Math. Nachr. l l i (1984) 7-35

9-asymptotisches Spektrum und Surjektivitatssatze vom F’REDHOLM Typ fur nichtlineare Operatoren mit Anwendungen

Voii HORST WEBER in Dusseldorf

(Eingegangen am 21. 0. 1982)

Einfiihrnng

In den letzten Jahren wurde von den italienischen Mathematikern M. FURI, M. MAETELLI und A. VIGNOLI eine Spektraltheorie entwickelt, die auf einer iieuen Definition des Spektrums einer yuwibeschriinkten (vgl. A. GRANAS [7]) iiicht- linaren Abbildurig S in einem BANACH-Raum X uber K (R oder C) basiert und zu xahlreichen bemerkenswerten Ergebnissen fuhrte (vgl. [2], [3] und [5]).

Weitere Untersuchungen in diesem Zusammenhang stammen von K. GEORG lilld M. MARTELLI [6], R. TANNACCI [8] sowie M. MI”mNI [Y].

Im Rahmen dieser Arbeit nun betrachten wir Operatorgleichungen der Form

~ T x - S X = ~ . I)nl)ei Bind X und 1’ reelle normierte Riiume, S und T (i. a. nichtlineare) Abbildun- g!cw von X in I’, I ein reeller Parameter, x E X und y e 1’.

Ferner sei noch A & X unbeschriinkt, yER+ und rp : R,f -R: eine Funktion itiit y ( t ) > O fur 1 5 7 .

Damit nennen wir eine Abl~ildung f : A - I’ genau dann qwsymptotisch be- ncltrankt bez. A , wenn gilt:

3b, r u t , + VXEA, l lzllsb: llf(z)ll=c * rp(11~11) *

1)wi linearen Rauin aller solcher Ahlddungeii bezeichnen wir mit &(q, A , J’), auf (h* i i i wir iiberdies vermoge

t a i t i c . Halbnorin q(q, A , 1’) festlegen. Schlieljlich heifit fur A’, 7 ’ ~ & ( y , A , 1’) die Menge

je zwei Operatoren

t lns clJ-m!ymptotische Spektrum des Paures ( T , S ) bez. A .

8 Weber, pasyniptot,isches Spektruni

Die Untersuchungen von Q(v, A , 1') ( 9 2) und Z$(T, S) ( $ 5 3 und 4) liefem danach eine Reihe interessanter Ergebnisse, wobei wir insbwondere fur A = Y = X, T =I uiid y ( t ) = 2 ( t € R z ) die Resultate von M. FURI, K. GEORQ, M. MARTELLI und A. VIGNOLI (vgl. [2] und [6]) erhalten.

l m AnschluS daran RpezialiRieren wir uns auf einen reellen, reflexive11 u11d Be- parablen RANACH-RaUm X sowie auf den Dualraum als Bildraum, d. h. Y = X * . Unter Verwendung von zuvor mit Hilfe des HRouwERRchen Abbildungsgrades hergeleiteten pndlegenden Hilfssatzen ( 5 5) werden sodann bei geeigneten Vor- aussetzungen fur Abbildungen S, !?' : X -X* niit AS, TE&(p, A , X*) und Parame- ter AER\{O} Aussagen der Gestalt

hewieBen ( 5 6) , die wir in Anlehnung an den linearen Fall als Satze voin FREDHOLM Typ (,,a'') bzw. FREDHoLMsche Alternativen (,,+") bezeichnen. UnRore Haupt- ergebnisse finden sich dabei in den Slltzen 6.1 und 0.2 Howie in Korollar 6.4 wieder, die - im Uiiterschied zu allen vergleichbaren hekannten Resultaten - u. a. keine Homogenitltseigen~chaften der hetrachteten Operatoren benotigen. SchlieBlich formulieren wir zwei Reispiele zur Anwentlung unserer abstrakten Theorie auf nichtlineare Integralgleichungen ( 8 7).

Iz@L'$(T, S ) Z A T - S : X - X * ist surjektiv

Bezeichnungen und Qrundbegrilfe Mit R + ( R - , I?:) bezeichnen wir die Menge der pofiitiven (negativen, nichtne-

gativen) reellen Zahlen. Ferner schreihen wir fur einen normierten Raum (X, Il.ils) auch kurzer (X, 11.11) oder nur X, verzichten also innbesondere in vielen Fallen auf eino Iiidizierung der Norm.

Weiter Heien jetzt X und 1' reelle norinierte Raume, Ao&A S X und a € R + . Die schwache 1)zw. starke (Norm-) Konvergeizz einer Folge (x,) & X gegen ein Ele- ment z EX symholisieren wir dann mittels x,, - r hzw. x, +x. ffberdies nemien wir die Menge A genau dam sysnmetrisch, wenn A = - A ist.

Damit heiBt eine Abbildung f : A -+ I' genau d a m (i) beduf ink t , wenn fur jede benohriinkte Teilmerige B von A das Rild f (B ) von B unter f befichriinkt ist. (ii) kompakt, wenn fur jede l>eschrinkte Teilmenge B von A dm I3ild f (B ) von B unter f relativkompakt ist (d. h. die Bildfolge (f(x,)) jeder in X beschrankten Folge (z~,) A enthalt eine (norm-) konvergente Teilfolge). (iii) deinistetig, wenn fur jede Folge (x,,)g'A und alle xE.4 mit x, , -x gilt: f(x,) - f ( x ) . (iv) stelig, wenn fur jede Folge ( x , ) z A und alle sCA mit x,,-cx gilt: f(x,,j-f(x). (v) vollstetig, wenn sie stetig uiid kompakt ist. (vij zmgernde, wenn A symmetrisch jst und fiir alle x C A gilt: f ( z ) = - f ( - x ) . (vii) a-homogen, wenn fur jedes tcR: und alle xE.4 gilt: tsCA und f ( t x ) = t a f ( s ) .

AuBerdem wird fiir die Einschrankung f I A o : A,,-+ I' von f : A - I' auf A,, In

der Regel kurzer f : A , - Y geschrieben. Zudem setzen wir heispielsweise A - sup Itf(4ll : = SUP Ilf(4ll

1121l = I zcA,llzll= I

uiid verfahren bei allen iihnlichen Ausdrucken ganz entsprechend.

1st nun noch X* der zu X duale Raum, zEX und !/EX*, 80 bedeutet das 8ym- Iiol (y, x) den Wert des linearen Funlrtionals y an der Stelle 2.

Hiermit erfullt eine Abhildung f : A -X* genau dann die Bedingung (S), wenn fiir jede Folge ( z , , ) g A undalle sEX mit x,,-zund (f(xn), x,-z)-0 gilt: x,-z.

Wir werden im weiteren oftmals verwenden, da13 die Summe zweier Abhildun- gen, voii denen die eine vollstetig ist und die andere der Bedingung ( 6 ) geniigt, gleichfalls die Bedingung (S) erfullt.

SchlieRlich 8ei 2 ein endlichdimensionaler reeller normierter R a u p , Q eine tiichtleere, offene und beschrgnkte Teilmenge von 2, f : 0-2 eine stetige Abbil- tiling und z ein Element aus Z\f(hQ) (0 ist die abgeschlossene Hulle von Q, af2 ist tler Rand vnn 0). Sodann verstehen wir unter dem Zeichen deg ( f , Q, z ) den I~nouwsR8chen A b b i l d u n g s g r c i r l der AbbiUung f auf a bez. z .

5 1. ~-beschriinkt8e Abbilduiigen

l m gaiizen Abschnitt seien S und I’ reelle normierte Raume, @=+=A &lT, 11 : H.: -R,T illid u c R + . Schreiben wir ferner an einer Stelle a s ta t t y , so sol1 tlwunter die Funktion qj : H: + H: definiert durch rp(L): = t ” ( 2 E R:) verstanden wrden .

\ l i r beginnen mit der

llefinition 1 . I . (a) Eine Ahl~ildung f : A - Y heilk genau dann v-beachrunkt bez. A , wenn gilt:

3( .cR,: V z c A : 11f(z)ll = c . y41211) . ( 1 , ) H ( , p , .4, 1’): = { f : A - 1’ I f ist. gi-beschriinkt hez. A } . ( ( 8 , ) I‘iir O E A ciefinieren wir B,,(v, A , 1’) : = { f ~ R(p, A , JT) 1 f ( O ) = O}. ( 1 1 ) Ilas Fnnktiond lljn(v,A,,.) : R(cp, A , I,.) + R l definieren wir durch

~ f c B ( p , A , 1’): l/iIIM(,,,A,l.):=inf {cEH: I V ~ E A : Ili(z)llsc. v(it~ll)) - ller Einfachheit halher wollen wir vereinbaren, statt B(q, A , J’) h w . Bn(p, A ,

1 ’ ) auch kurz H bzw. B, zu schreihen, wenn keine Verwechslungen befurchtet \r,twlen miissen.

()ffenbar ist jedes B ein Vektorrauin iil)er R und fur 0~ A ist R,, ein 1Jnterraum \ O I I 13. Perner gilt das

I~mrna I .2. (a) V ~ E BV,s E A : llf(z)ll l ! f l l l j . ~ ( l l ~ l i ) . ( 1 1 ) ( R , i i . l l l i ) ist ein normierter Raum. ( I - ) F u r o E A ist (R,,, l l . l l l # ) ein abgeschlossener Unterraun~ von ( B . l l j R ) . ( 1 1 ) Mit I- ist cruch ( B , l l . i l H ) ein H A N A C H - X U W L .

( v ) b’iir OEA k! ,nit 1‘ auch (B,,, l l . i l w ) eilt 1 3 A N A C H - R a U m .

10 Weber, cp-asymptotisches Spektrurn

Beweis. Die Teile (a), (b) , (d) und (f) zeigt man ebenso wie die entsprechenden Aussagen beim linearen normierten Raum L ( X , Y ) aller linearen und stetigen Ab- bildungen von X in Y . Der Teil (c) folgt mit (a), wiihrend sich (e) aus (c) und (d) ergibt. Q.E.D.

Zur Veranschaulichung der eiiigefiihrten Riiume geben wir noch da6:

Beispiel 1.3. (a) Es sei A =t= { O } , tA & A fur jedes t E R: und f : A -. P a-homogen. Dann folgt :

(i) fEB,(u, A , Y ) o f : A -t Y iHt bwohriCnkt. (ii) f E Bob A 9 Y ) *IlfllB(a,d,Y) = A -SUP Ilf(z)ll.

fEBo(1, L:, Y ) und IVIIL(X,Y)=IIJll~(,,o,r~).

ll.@ = 1

(b) Es eei U S X offen, O E U uad j E L ( X , Y ) . D a m folgt:

(c) Es sei f : A -. Y beschriinkt und f s 0. D a m folgt: Es gibt eine Funktion cp : R,f -Rc mit fEB(p, A . Y ) und ~&,~v,A,Ir)= 1.

Beweis. Die Teile (a) und (b) lassen sich unter Zuhilfenahme von Lemma 1.2 (u, f ) unmittelbar nachrechnen, und im Fall (c) le i~ te t p : R: -R: definiert durch

A -SUP ~ l f ( ~ ) l l fur A f l {ZE X I 1 1 ~ 1 1 = t ) * B , V’CR,+: p( t ) : =

da-9 Gewunschtc. Q.E.D.

$ 2. q-asyinptotisch besclirankte dbbildiingen

In diesem Abwhnitt und den folgenden Paragraphen 3 uiid 4 seien X , Y und 2 reelle normierte Riiume, A S X unbeschrankt, BZ 1’ unbeschrankt, y c R + , rp : R,f -lit eine Funktion mit p(t) =-0 fur t z y und a € Rf. Schreibeii wir ferner an einer Stelle a stat t p, so sol1 darunter wieder dieFunktion cp : R: - R: definiert durch ~ ( t ) : = t a ( t € R $ ) verstanden werden.

Wir verallgemeinern den Regriff der p-beschrinkten Abbildung mit der

Definition 2.1. (a) Eine Abbildung f : A .+ 1’ heil3t genau dann y-asy?np,totisrh beschrankt bez. A , weiiii gilt:

3b, cER; VZEA, ll4l=’b : Ilf(s)ll sf - q~(ll4l) . (b) Q(y, A , 1’) : = {f : A - Y 1 f ist p-asymptotisch beschriinkt bez. A ) . (c) Das Funktional q((p, A , 1’) : &(cp, A , Y) -Rt definieren wir durch

Vf€&(p, A , 1’): q(p, A , Y) ( f ) :=inf { C E I C ; I 3bER:V’sEA, l l 4 l ~ b : l l f ( ~ ) l l ~ ~ * ~i(l l4l))

Auch hier sei festgestellt, daB wir uiiter geeignetenUiru3tiinden statt Q(q, A , 1’)

Klarerweise ist jedes Q ein Vektorrauin iiber R uiid insbesondere jede quasibe- bzw. q(y, A , 1’) kurz Q bzw. q schreibeii werden.

schrilnkte Abbildung f : X -X &US Q(1, X, X). AuDerdein gilt darj

Weber, qJ,-asymptotisches Spektrum 11

Leinnia 2.2. (a) q ist eine Hnlbnorm uuf Q , ( I ) ) q ist keiiae Norm u,uf Q .

Ilf (411 IlPll - - d11x11)

(n) V f c Q : q ( f ) = A -1im sup -- ~

Heweis. Der Teil ( h ) ist offenkundig. Ferner gilt fur jedes f € Q und alle cER;

q ( f ) ~ c c - V & E R R f 3 € E , : V x E A , 1141~t~: Ilf(z)lls(C+&) * ~(Ilzll) w o m i t man (a) uiid (c) clirekt verifiziert. Q.E.D.

Wir bemerkeii noch, daB der Raum B ein Unterraum des Raumea Q ist (alge- Iiraisch), und fur jedes / C B die Ungleichung q ( f ) ~ l l f l l ~ gilt. Dagegen erhalten wir liir jede a-homogene Abhildung f : A - Y , fEBo(a, A , I’), die Gleichungen

( 2 . 1 )

die Aussage

IlfllH(a,A,1’)=Q(a7 A ? J’) ( / ) = A -SUP Ilf(x)ll . IlZIl = 1

Wie wir noch sehen werdeii, ist es im folgenden nicht notwenclig, zwischen zwei Al)bildungen f , g € Q mit q (f - 9 ) = 0 zu unterscheiden. Dementsprecheiid geben wir ilic

( I ) ) Es aeieii f , gEQ(rp, A , 1’). f heist genau dann y-asymptotisch iLguieaZeiat zu g bez. , I , i . Z . f - g , weiin gilt:

Definition 2.3. (a) N(rp. A , 17: ={fEQ(y, A , 1’) I q(p, A , I’) ( f ) = O ) .

f-gEN(cp. A , J’), M’ir wollen verabreden, von Pall zu Fall statt N ( y , A , 17) kurz N zu schreiben. Naturlich ist damit N ein Unterraum von Q und - eine ~quivaleiizrelation

ruif Q . Auhrdem ist eine Abbildung f : A - I’ genau dann aus N , wenn der

In1 *

rvilr~~a~klusse, d. h. die {qEO 1 f - 9 ) = : j . Mit dem nichsten Reispiel untersuchen wir die zu einem / c Q gehorige k’qui-

Ijeispiel 2.4. (a) Es sei A symmetrisch, uiid fur jedes h : A - 1- sei die Abbil- dung h- : A - I’ defiiiiert durch h - ( z ) : = - h ( -2) (zE A ) . D a m folgt fur alle f lL l lS Q(p A , 1’) : ( i ) f - c Q ( y , A , 1.1.

( i i ) f - f - e - f g E Q ( q 1 , A , IT), g ungerade: f - g . ( 1 1 ) ICs sei t A s A fur jedes t cRT, f , g : A - I ’ u-homogen und f , gEQ(u., A , Y).

I )rtnn folgt : f - g o f = I , .

Iloweis. Ad. (a ) : Fur f ~ & ( y , A , 1’) ist offenbar auch f ( - * ) E Q ( y , A , I’) mit I / ( I / , A . 1’) ( f ( - . ) ) = q ( y , A , 1’) ( f ) und daher f - E Q ( y , A , Y). 1st nun einerseits

/ I , so ist g : = - ( f + f - ) : A - I- ungerade uiid auBerdeni aus Q(y1, A , 17). Ferner 1

2

12 Weber, pasymptotisches Spektriim

1

2 wird noch q ( y J , A , Y) (f-g)=- q(v, A , Y ) ( f - f - ) = O , (1. h. f - g . Andererseits er-

halten wir fur eine ungerrtde Abbildung gEQ(T,, A , Y ) init f - 9 :

f - f - = f + f ( - . ) = ( f - g ) + ( f ( - *)-A - * ) I

q(v, -4, Y ) ( f - f - ) ~ 2 4 ( 9 7 , A , 1') ( f - g ) = O , uiid somit

d. h. f yf-. Ad. ( h ) : Fur f = g ist trivialerweise f - g . Zur Umkehrung sei f - g inid E C R + .

Dann 3 b E R + V ' € A , [lzllsb: I l f ( z ) -g ( s ) l lGE. IIzIJa.

1st also ~ E A \ { o ) ( f ( O ) = o = g ( o ) ) , so gibt es ein ~ E R + mit (ItylIzb u n d

1 I l f ( ? l ) - 9(v)ll = tQ IV(W - dWIl E * IlYII" 3

d. h. f = g, denn E war ja beliehig. Q.E.D. Die Hedeutung der Menge A bei Einfuhrung der Raunie Q(p, A , 1') liegt nun

darin, dalj fur zwei Abhildungen f, g : X - 1' init f , gEQ(v, A , 1') und f - g die Differenz f - g : X - Y nicht notwendigerweise ,,whwach nichtlinear" ist :

Retrachten wir etwa f , g : R -. R definiert durch f(s) : = z und g(z) : = z - e"sin z ( zER) , so konnen wir A : ={kn I k E Z } setzen und erhalten sofort: f , gEQ ( 1 , A , R ) Init q( 1, A , R ) (f - g) = 0. Fur die Differenz f - g : H - R ergiht sich aher (f - g) (2) = = e x sin z (z€ H) und somit eine ,,stark nichtlineare" Funktion.

Aiidererseitfi lamen sich nichtlineare Operatoren f : X - F, die eine aq/m,ptotwclte Ableitung hesitzen , probleinlos in die Theorie der gi-asymptotiscll bewhrankten Ahbildungen einordnen.

Reispiel 2.6. Die Al)l)ildung f : X -. Y sei ~ y m p t o t i s a h linear init der arympto- tischen Ahlcitung f-, d. h. es ist f ,EI , (X, 1') und dcr

Weber. pttsymptotisches Spektrum 13

Nach (2 .4) ist also f c Q ( 1, X , I’), whhrend aus (2.3) uberdies q( 1, X. 1’) ( f - f a ) = o iind somit auch q( 1 , X , 1’) ( f J = q ( 1, X , Y) ( f ) folgt. Q.E.D.

Umgekehrt ist aber naturlich nicht jedes f c & ( 1 , X , Y ) notwendigerweise wymptotisch linear, wie die Funktion f : R - R definiert durch f ( z ) : = 1x1 ( z E R ) xeigt. Hei uii~ereii spateren Ret.rachtungen konnen wir daher auf Ahbildungeien zu- riickgreifen, die keine asymptotiwhe Ableitung besitzen.

Mit &(p, A , I ’ ) /N(q , , A , 1’) hezeichnen wir nun wie uldich den Quotientenraum \’on Q(y, A , 1’) nach dem Unterraum N(p, A , Y ) . Ferner sei o : = o ) ( q , A , I’) : : Q(p, A , 3’) - Q ( q , A , I’)/N(v, A , 1’) die zugehiirige natiirliche Abbildung, d. h. ~ ( f ) : =/ ( f cQ(q j . A , 1’)). Sie ist hekanntlich linear, surjektiv und der Kern (m) = - = N ( q , A , Y).

Definition 2.6. (a) Q N ( y , A , Y ) : =Q(q, A , I’) /N(q, A , 1’). ( 1 1 ) Das Funktional ~ ~ ~ ~ ~ Q x ~ v , A , l . ) : QN((r, A , 1’) -220’ definieren wir durch

V / C Q W V A , 1’): il~IlQAy,,,A,Y): = d r P 9 A ! 1’) ( f ) . Wir vereinbareii, im Einzelfall s ta t t QN(p, A , 1’) auch kurzer QN zu schreihen.

Lemma 2.5. ( Q N , ~ ~ ~ ~ ~ a A y ) i s f ei7z izormierter Raum,.

B e w e i s. Trivial. Q.E.D. Wie sich weiter zeigen IiiilJt, zieht die Vollstandigkeit des Raumes I’auchdie des

Leinnra 2.8. V f E& 3 (f,) 5 R V ~ E X : f , - f und llf,llB - q ( f ) .

Beweis . Es sei f c Q . D a m

ilormierten Raumes ( Q N , I l . l i Q n . ) nach sich. Der Vorhereitung hierzu dient d a

36,,, c’oE I((: V z t A . 114 =>bu : ll/(z)ll ~ C O * ~(llzll) \l‘citer wa,hleli wii, ein n,,ciV, n(,=>b(, aus uiid definieren fur jedes nE AT, nzn,, eiiie :\l)hildung f , : A - I’ durch

14 Weber, q-asymptotisches Spektrum

AbschlieBend sind wir nun in der Lage, die wesentlichsten Zusammenhiinge

Lemma 2.9. Far zwischen den Riiumen B, Q und QN zu formulieren. Dies geschieht mit

mit i definiert durch i(/) : = f f u r j e d a f C B ,

LO definiert durch w ( f ) : =f f u r j e x h f CQ und n definiert durch, 3t : = w o i

f o k t : (a) ( B , 1 1 . 1 I B ) ist e in mrmierter Raum. Er ist sogar ein BANacH-Ruum, falls Y ein

(b) (Q , q ) b t e in halbmrmierter Raum. (c) (QN, Il-llQn.) is.! ein normkrter Raum. Er h t sogar ein RANAcH-Raum, fads I' e i n

( d ) Die Abbildung i ist linear, injektiv, u n d f u r jedes i€ B i s t q ( i ( f ) ) sIlflln. (e) Die Abbildung w iat linear, surjektiv, und f u r jedes fCQ ist die Ilw(f)IlaN=q(f). ( f ) Die Abbildung 3t ist linear, surjektiv, und f u r j e d e s f E B ist die Iln(f)llQn.~llfllB .

1.2 (b, d) und 2.2 (a) gezeigt bzw. klar.

folgt &us (d) und (e).

setzeii wir demnach Y als vollstiindig voraug. Perner sei (fn)C,QN mit

BANACH-Raum kt.

RANACH-RaUm id.

Reweis. Die Behauptungen (a), (b), (d) und (e) sind bereits mit den Lemmata

Ad. ( f ) : Die Surjektivitlt von n : B-&N ergibt gich init Lemma 2.8, der Rest

Ad. (c): Nach Lemma 2.7 ist ( Q N , II-l lzn7) ein normierter Itaum. Im weitcren

Nach Lemma 2.8 existiert dam eine Folge (gn)

Damit konvergiert die Reihe

B, so darj fur jedes n E N gilt:

n ( g n ) = f n und 11gnllBsIlfnllQN+2-n .

absolut im Raum (B , / / . l l B ) , der nnch Teil (a) vollstiindig ist. Also gibt es eiii gEB mit

k Cgn+g f u r k-00 n = l

Weber, pasymptotisches Spektrum 15

i t 1 ( B , ll-llB). Da die Abbildung 7c : (H, 1 1 . 1 l B ) -+(QN, I l * l l o n 7 ) nach Teil (f) linear und nktig ist, erhalten wir weiter:

t1=! ifn=.( n= ,$gn)-n(g) i fiir k--

i i i (QN, I l . l l e N ) . Demzufolge ist die Rcihe

N== 1

konvergent und somit (QN, I l * I I Q a ) ein RANACH-Raum. Q.E.D.

5 3. Das Funktional d

Es gelten die generellen Voraussetzungen des Paragraphen 2. Mit Hilfe des Funktioiials d : Q -R.:, dtts wir jetzt einfuhren und untemuchen

wcrden, konnen wir im iiiichsten Abwhnitt das ,,qmayinptotiscbe Spektrum" eines I'aares (T, 8) nichtlinearer Abbildungen S , TEQ erkliiren und eine Reihe von 15igenschaften dieses Spektrums a w entsprechenden Eigenschaften von d her- I oiten.

Definition 3.1. Das Funktional d ( y , A , Y ) : &(q, A , Y ) - R $ definieren wir 1 I urch

Wir wollen wieder verabreden, Etatt d(q , A , Y ) auch kurz d zu schreiben, wenn

Fur eine a-homogene Abbildung f : A --f IT, f cQ(a, A , IT), ergibt sich nnturlich koine MiBverfitiin&iisse zu befiirchten sind.

( 3 . 1 ) d(a, A , Y ( f ) = A - inf Ilf(s)ll . IlZll = 1

Wichtige Merlrmale des Funktionals d lamen sich wie nachfolgend angegeben

Lemma 3.2. Fur alle f , g c Q uiad jedes a . E R g i l t :

~,irsammenfttssen.

(IL) 0 & ( f ) sq(f). ( 1 , ) d ( a f ) = 1vl . 4f). ( ( - ) d ( f + g ) Wf) +4(9) . ( ( 1 ) 4f) - q ( g ) z d ( f+s )* ((') l4f)-4ff)l sq ( f - 9 ) . (0 f 9 -4f) = 4 g ) .

Beweis. Die Teile (a) und (b) sind klar, (d) und (e) ergeben sich leicht au6 (c),

Ad. ( c ) : Es seien f , g C Q und EER+ beliebig, feat. Dam giht es eineKonstante I I t l d (e) wiederum impliziert unmittelbar (f) .

16 Weber, p-asyniptot,isches Spektriini

beR;, AO da13 fur alle z € A niit llsIl&inax { b , y } die

und fur alle Z E A , Ilzl l~b, die

ist. Also wird fur all0 z E A , ()z/I"srnax 6" , die { .5) d. h. g o f e & ( a , A , Z), wahrend (3 .2) noch

4 0 , A Z ) ( g o f ) s (q(u, 13, 2) ( 9 ) + F ) . [d( 1 , A 1 1') ( f ) ] "

ergi 1)t. 62. E. D.

Lemma 3.4. Es sei f : A - B bijektiv ?nit der Inversen f - j : B -t A . Fernar seien f und f - 1 beschrankt sowie f C Q ( 1 , A , 1') ulul f - 1 E &( 1 , R, X). Dann folgt :

q(1 , B , X) (f-1)=-0 urn1 d(1, A , I7 (/)=[-(I, B, X) ( f - l ) ] - ' .

1141 = A - lirn sup -- Ils(.y)ll

o < q ( l , B , X ) (g)=B-limsup I lY ' l - - 11Y11 11511 -- lV(411

erhelten. Q. E. D.

Weber, q-asymptotischee Spektrum 1 7

Insbesondere ergibt Bich fur einen linearen Homoomorphiemus L : X - I- von A' auf I' nach Beispiel 1.3(b) und (2.1) sowie Lemma 3.4:

4 1 , x', Y ) ( L ) = [ q ( l , Y, X ) (L-l)]-~=[llL-'IIL(y,g,]-' .

Lemma 3.6. Es sei h : [0 , 1)XA - 1' und h ( t , .)EQ(y, A , 1') f i i r jeda t ~ [ o , 11. /at ferner far alle to( [O, 11 der

rlcmn folgt : [ V t t " O , 11: d(p , A , 17 ( h ( k *))=-0]

0 [ 3 B , CER+VZEA, llzIlzBV~t[0, 11: c * y(llsll)sllh(t, .,I[] . Reweis. , , + ' I Angenommen, die Behauptung ist falsch. Danii erhalten wir

Itolgen (C,)&R+, (zn)&A und (tn)s[O, 11 mit Cn-tO, 11~~11-m und

V ~ E N : C n . y(IISnIl) ZIIh(tn, %,)I1 *

Ohne Bmchritnkung der Allgemeinheit konnen wir dabei noch die Konvergenz der I'olge (t,) gegen ein t o E I O , 11 voraussetzen. Demnach ergibt sich zusammen mit (3.5) der Widerapruch

O-=d(q, A , Y ) ( W O , 9)

I zn) - h(tn, ~ n ) l l n--= dll%ll)

IMtnI ~ n ) I l s l i m inf [ l lh ( to t y( l l~nl l ) +

, , -e " Nach Voraussetzung ist fur jedes t E [0, 11 und f i i r alle zC A mit ((z(( s - inax {B , y} die

I l l d also d ( y , A , Y) (h(t, . ) ) Z C > O . Q. E. D. Unsere Sittze vom FREDHOLM Typ wollen wir unter Zuhilfenahme der Theorie

h s RRonwERschen Abbildungsgrades herleiten. Deshalb -gibt Lemma 3.5 Auf- uliIu13 dariiber, wie fur ein Paar (T, S ) nichtlinearer Abbildungen S, TEQ(y, A , Y ) II tiinnvoller Weise ein ,,q-mymptotisches Spektrum" zu erkliiren ist. Es werden lios alle diejenigen I E R sein, fur die d(q, A , Y ) (;ZT-S)=o ist.

Als nutzlich im Hinblick auf die spitter zu formulierenden Ergebnisse erweist ic!h im Zusammenhang mit Lemma 3.5 noch (vgl. auoh [l], S. 61) die

Definition 3.6. Es sei f : D ( f ) - Y mit A s D ( f ) Z X . Dann heifit u) die Abbildung f genau dann gleichmapig y-asymptotkch reguliir bez. A , wenn

gilt: 3B, CER+VZEA, Il4lzB: c - v( l l4l)~l l f(4l l .

MuLli. Nochr., Bd. 117

18 Weber, q-asymptotisches Spektrum

(b) die Abbildung f genau dann gleichrnapig pasymptotbch reguur surjektiv bez. A ,

(c) die Gleichung wenn f gleichmiifiig q-mymptotisch regullir bez. A und f ( D ( f ) ) = Y ist.

f ( 4 =Y ( Z W f ) , YE Y ) genau dann gleichmiiflig pasymptotisch regular liisbar bez. A , wenn die Abbil- dung f gleichmliBig q-mymptotisch reguliir surjektiv bez. A ist.

$4 . Das (p-asymptotische Spektrum

Es gelten die generellen Voraussetzungen des Paragraphen 2. Wir erklliren zuiilichst das ,,V-asymptotische Spektrum" wie angekundigt mit

der

Definition 4.1. (a) Fur S, TCQ(9, A , Y ) heil3t die Menge

Z t ( T , S):={AER I d(q, A , Y ) (AT-S)=O) daa q-casymptotbche Spektrum des Paares ( T , S) bez. A , und jeder Wert ACE; ( T , S) heil3t y-asymptotischer Eigenwert des Paulres ( T , S ) bez. A .

(b) Es sei D G X und S, T : D - Y. Dann heiBt die Menge 8 ( T , S):={AER I ~zED\{O} : ITz-SZ=O}

daa Spektrum des Paares ( T , S ) bez. D, und jeder Wert ICaD(T, S) heiBt Eigenwert d a Paares ( T , S) bez. D . Sind keine Verwechdungen zu befurchten, so schreiben wir im folgendeii an Stelle von 2<(T, S) bzw. 8 ( T , S) auch kurz Z ( T , S) bzw. o(T, S). Die beiden niichshn Lemmata liefeni Schraiiken fur die Betrlige der q-mym-

ptotischen Eigenwerte sowie topologische Eigenschaften des q-asymptotjschen Spektru m.

Lemma 4.2. Far alle S , T E Q urul jedes A E Z( T , S) gilt : (a) 111 . d ( T ) aq(8). (b) 48) is 111 * !AT). (c) [d(T)=-O A 3 RE R+ V z C A , 1 1 ~ ~ 1 1 ~ R : ll8~ll =~ITZI/]* 111 = 1 .

BeweiA. Ad. (a) bzw. (b): Wir erhalten mit Lemma 3.2 (b, d)

111 ' d ( T ) - q ( S ) s d ( IT-S)=O hzw.

d ( 8 ) - 111 * q(T) S d (AT -S) = O . Ad. (c) : Wegen d (IT - 8) = 0 bekomnien wir insbesondere die Existenz einer

Folge ( z J ~ A mit

Weber, pasymptotisches Spektrum

(1. h.

19

%asammen mit IITzJ = IISsflll (nE N ) ergeben (4.1) und (4.2)

iind weiter

SchlieDlich iAt

Q. E. D. i i i d also der 111 = 1 .

( I L ) Z(T, S ) ist abgeschlossen. (I)) d(T)rO=-I(T, S) ist kompakt.

Lemma 4.3. Fur al le S, T EQ gilt;

Beweis. Ad. (a): Jst (lfl)SZ(T, S ) mitl,a-AER,soistfiir jedesnEATd (&T- -S)=O und daher nach Lemma 3.2 (e) auch

O z d (AT-S)=ld ( l T - S ) - d ( l ~ T - S ) t ~ I 1 - l , a I * p ( T ) - + O liir n-t- , d. h. ACI(T, S ) .

Ad. (b): Wegeri d(T) =-0 ist nach Lemma 4.2(a) Z(T, S) beschrinkt uiid ferner wogen Teil (a) auch abgeschlossen, also kompakt. Q. E. D.

Auf die Angabe einer Reihe weiterer interessanter Eigenschaften des 9-asym- Ijlotischen Spektrums, so z. B. die ,,Homoomorphieinvarianz" und die ,,Multipli- I(rLtiVitat bei direkten Produkten", verziohten wir an dieser Stelle, da wir diefie 15rgebnisse im folgenden nicht mehr benotigen.

Statt dessen untersuchen wir nun die Frage, in welchem Verhaltnis die T-mym- 1)Lotischen Spektren Z(T , S ) und Z(To,.So) nichtlinearer Abhildungen S, So, T, '/',,EQ stehen, deren Differenzen S -So und T - To in einem gewissen Sinne ,,klein" hind.

Lemma 4.4. (a) Es seien S, So, T, ToEQ mit S -So und T - To. Dann folgt:

( I ) ) Es seien So, TOE&, d(To)>O und V & R eine (nach L e m m a 4.3(b) stete existie- X ( T , S)=z(To, 80).

rennte) offene Umgebung von Z(To, So). Dann folgt: 3 E c R + V S , TEQ, q(S-So)<E, q(T-To)<E: X(T, S ) s V .

20 Weber, q-asymptotisches Spektrum

Beweis. Ad. (a): Fur jedes AER folgt aus S-SO und T - T o offenbar auch ( IT-8) -(;lTo-So). Also erhalten wir zusammen rnit Lemma 3.2 (f):

V I E R : d (IT-S)=d (ATo-So) . Ad. (b) : Unter den getroffenen Annahmen definieren wir E ~ , ME R+ durch

1 !?(So) 2 EO

e 0 : =-d(To) und M:=1+- .

(i) Wir zeigen: VS, TEQ, q ( S - & ) S E ~ , q ( T - T ~ ) z ~ ~ V A E Z ( T , S ) : IAIsM. Da nach Lemma 3.2 (d)

d(T) Zd(T0) -Q (T - To) Sd(T0) - E O = EO > O

ist, bekommen wir zusammen mit Lemma 4.2 (a) fur jedes AEC(T, S) :

(ii) Wir zeigen: ~ E < ( O , E ~ ] VS, TEQ,q(S-So).c~,q(T-To)<~:Z(T,S)~V. Angenommen, dies ist nicht der Fall, so ergibt sich unter Beriicksichtigung von Punkt (i) f i i r jedes nEN die Existenz von Abbildungen S,, T,E& und Werten

(4.3) Kn€z(Tnv S n ) \ V lnit

lA,&\sM und l imq(8,-S,)=O=limq(T,-To) . n- - f l - -

Ohne Beschrankung der Allgemeinheit konnen wir dabei noch die Konvergenz der Folge ( I , ) gegen ein AER voraussetzen. Aus d (A,zT,-S,J = 0 (nCN) und Lemma 3.2 (e) folgt dam fur alle n e N :

Id (ATo-fJo)I=Id ( ~ T o - S O ) - ~ (AttT,-S,)l s q ( A T o - A n T n ) +!I (fln-fl~) 5 IA-AnI dT0) + l&I q (To- T,) +q (Sn-fJo) s l K - I n l q(To)+M.q (To-Tn)+q (S,-So)+O

fur n -a, d. h. AEC(To, So) V. Weil aber V offen ist und (A,) gegen K konvergiert, bedeutet dies einen Widerspruch zu (4.3). Q. E.D.

Dieseii Paragraphen abschliel3end untersuchen wir noch Zusammenhange zwischeii den Spektren u(T, S) und Z(T, S).

Lemma 4.6. (a) Es seien S, So, T , To€Q(a, A , Y), S -So, T - To und

V 2 E A V R E R + 3 t E [R , m) : tx E A , So(tx) = t'Sg und To(tx) = t'Tox. Dann folgt :

tot So)SZf (T , 8) . (b) Es aei A abgeschlossen, I , die Identitat auf A , S , So, TEQ(1, A , X), S-So,

T - I ~ Una

Weber, 9-asymptotisches Spektruni 21

FerPzer sei So : A -X vollstetig. Dann folgt :

Ef(T. S)\{O} Sad( l~ , so)\{O} . (c) Bs sei X ein reeller reflexiver BANaaH-Raurn, 1C R, A schwach abgeschlosseiz,

S , So, T , T,cQ(a, A , X * ) , S -80, T - T O u d 3 r , RfR.+VxCA, l \s \ lsR:

Ferner erfiille die AbbiUulzg IT -S : A -X* die Bedingung ( S ) ufid sei demi- stetig. D a m fokt :

Beweis. Ad. (a): Uiiter den gemachten Voraussetzuiigeii sei 1 aus ud(To, so). ACLTt(T, S ) 3 1 € d ( T o t 80).

Danii gibt es ein xn~A\{O} und eine Folge (t,) 2 R+ mit

Jim lltnxoll = 03

V n f N : tnx,C A

n- - sowie

uiid (ATo - So) (t,po) =ti (ATo - 8,) (xo) = 0 , d.h. Ic,Y:(T0, IS,). Nach Lemma 4.4 (a) gilt aber Z,d(To, So)=Zt(T , S).

Ad. (b): ZuiiachRt ist offeiisjchtlich IdCQ(l , A , X) und demnach die Bedin- gung T -I, sinnvoll. Sei iiun A c Z ~ ( T , S)\{O}. Wegen Lemma 4.4(a) ist dann auch A(Zf(Id, So)\{O} und daher d(1, A , X) (II,-S,)=O. Hieinwh existiert eine Polge (2,) in A\{O} mit

weshalb wir ohne 12eschrinkung der Allgemeiiiheit die 11z,1) z R (n c AT) annehmen X n konnen. Setzt man jetzt w,:=r __ ( n c N ) , so iBt die llwnll=r und nach V O ~ ~ U S -

IlXTlli Hetzung v , ~ A sowie

d. h. der (4.4)

Ferner gibt efi wegen der Vollstetigkeit voii So eine Teilfolge (v ,~) voii ( v , ~ ) uiid ein ?/EX mit

(4.5)

lim Illv, - Sovn\l = 0 . n- -

lim S,w,,=y. k--

Zusammen bedeuteii (4.4) uiid (4.5) aber

1 lim w,,=-ycA\{O}, k-- 1

22 Weber, p-asymptotisches Spektrum

denii I i O , A ist abgeschlossen und die l\wnkl]=r>O ( L E N ) . Mit (4.5) und der Ste- tigkeit von So wird demzufolge

d. h. A € a d ( l , , So)\{O}.

eine Folge ( v n ) s A mit l[vnll=r ( % E N ) und

(4.6)

Ad. (c): Es sei iZEZ:(T, 8). Analog zum Beweis von Teil (b) existiert somit

lim [IITov, - Sov,ll = 0 . n--

Da uberdies der Raum X reflexiv und die Menge A schwach abgeschlosseii ist, gibt es eine Teilfolge (v,) von (v,) und ein voE A mit

(4.7) [lvnkll=r (kEN) und vnk-vo fur k+-.

Danach gilt zusammen mit (4.6) fur jedes k E N :

I(ATo~nk-So~nkv vnk-vo)I~IIITovn,-SovnkII (r+IIvolI)-o fur k -00. Die Abbildung ITo -So : A -X* genugt aber der Bedingung ( S ) , so d a B wir sogar vnk +vo ( k - m ) und daher wegen (4.7) noch [lvoll =r =-O erhalten. SchlieB- lich liefert die Demistetigkeit von ITo -So : A -X* zusammen mit (4.6) iZTovo - -Sovo=O (vo~A\{O}) und also 2Ead(To, So). Q. E. D.

1st speziell A ein abgeschlossener Unterraum von X, I, die Identitat auf A und L : A - X linear und vollstetig, so wird nach Lemma 4.5 (a, 1))

Zf(IA, L)\{O} = &L4, L)\{O} . Hierzunotieren wir noch eiii Ergebnis aus [2]: 1st X ein reeller BANACH-Raum,

LEL(X) , R ( L ) : = { I E R I I I - L : X - X ist bijektiv} und S(L):=R\R(L) (,,ge- wohnliches" Spektrum des lineareii Operators L) , dann folgt :

Zf (1 , L ) S S ( L ) *

Zf(I, L) = S(L)

1st' dariiher hiiiaus L : X -X sogar vollstetig, so laRt sich auRerdem

zeigen.

unubersichtlich sein. Im ubrigen koniien - wie einfachste Reispiele belegeii - die Verhal tnisse recht

8 6. Hilfssiitze

I n dieseni Paragraphen werden wir u. a. eineii Existenzsatz vom BORSUK Typ forinulieren und beweisen (Setz 5.2). Wie sich spliter zeigen wird, stellt dieser Satz ein fur unsere Zwecke besonders geeignetes Kriterium dar, um die Losbarkeit

Weber, cp-asymptotisches Spektrum 23

von gewisclen Operatorgleichungeii der Form

?.TX-SX=Y

(8 und T Bind geeignete Elemente eines paasenden Raumes &) zu sichern. Fur den gesamten Abschnitt setzen wir nun folgendes voraus: Es sei X ein

reeller, reflexiver und (ubersichtlicherweise) separabler BANAOH-Raum, D 5 x' offen und beschriinkt, und es gelte 0 E Q. Den Rand bzw. die abgeschlossene Hulle von 9 bez. X hezeichnen wir aD bzw. 0. Ferner sei D = { d j I j€N} eine abziihlbare und in X dicht liegende Teilmenge von X.

Damit definieren wir noch

X , : = [ d , , ..., d,] ( n E W , d. h. X, ist der von den Elementen di, ..., d, aufgmpaimte Unterraum von X. Wir bekommen d a m clofort

endlichdimeiisionale

- U X , = X .

n=i

Dariiber hinaus fiei fur jedw n c N i, : X,-X die Einbettung von X , in X und i: : X * - X : der zu i n duale Operator. D a m ist fur alle f EX*

I I ~ I I ~ ~ : = I I ~ ~ ( ~ ) I I = ~ : = X ~ - ~ U P Itf(z)II 5 x - s ~ ~ IIf(s)II= : IIfIIx* . IIZII = 1 114 = i

SchlieBlich sei h, : X: - X , ( n c N ) ein linearer Homoomorphiemus von X : auf X,.

Lemma 6.1. Dip AbbiUung H : [0 , 11 X Q+X* erfillle die fanf nachstehenden Voraussetmngen : (i) H : [ 0 , l ]xD-+X* ist demistetig.

(ii) V t € [ O , ~ ] V ~ E E R + ~ ~ E R + V S E [ O , 1 1 , l s - t 1 < 6 V x ~ a S : l]H(s , s ) - H ( t , s)llx.-=~. (iii) V t E [ O , 11 : H ( t . .) : D-X* ist beschrdnkt. ( i v ) V't€[o, 13 : H ( t , .) : D+X* geniigt der Bedingung (8). ( v ) V t € [ O , lIVxEiX2: H ( t , x ) + O . Uann folgt : (a) 3/?ER+3n, ,ENVn<NN, n z n n V t c [ O , l ] V x c a Q n X , : IIH(t, x ) l l x ; ~ p . (I)) 3noENVnEAJ, n z n n o 3 z , E Z V i E [ 0 , 11: deg (h,iEH(t, iJ.)), QnX,, O)=z,.

Beweis. Ad. (a): Aufgrund der Redingung (ii) genugt 8s zu zeigen:

Y t c [ o , l ] 3 , 9 t c R + 3 n , ~ N V n ~ E N , n s n , V x c X V X , : IIH(t, z)llx;zpt.

Nehmen wir nun an, diese Aussage sei falsch, 80 giht es zusammen mit der Reflexi- vitatdes RaumesX Folgen (nk)&Arund (xnk)~Xsowiee inxoEXundein to~[O, 11 itiit

VkCAr: n k < n k + l und x,: , ,caSRX,,

lim IIH(to, z,,~)~I,:~= 0 und xnL -xo fur k -m . nowie

(5.1) k--

24 Weber, posymptotisches Spektrum

Weiter ergibt sich wegen nk-=nk+i noch

X f l k & X f l k + , ( k c N ) und DO:= u Xnk= U X , . k = 1 f l - 1

Demnach liegt auch Do dicht in X. 1st daher wkcXflk(kcN) derart gewihlt, dafi die

ist, SO folgt

(5 .2) vk+xO fur k + - . Also erhalten wir mit (5.1), (5.2) und Voraussetzung (iii) fur jedes EEN:

I(H(tol 'flk)! z f l k - z o ) I

I ( H ( t O , z f l k ) ? x n k - v k ) I + l ( H ( t O ! z f l k ) , v k - z O ) l

I I H ( t O , xflk)llx;k 11znk - vkll + IIH(tO~ snk)llX* 1Iwk - xO1l *

fur k - m . Zusammen mit Voraussetzung (iv) ergibt sich damit

x f l k + z o fur k + - uiid zoCaQ,

denn c%? ist abgeschlossen. Seinun wEDo,etwavEXnE.DannistfUr jedes L E N , k ~ ~ , a u c l i ~ ~ X ' , ~ i i i i d a I f i o

I (H(t0, xo), 41

5 I(H(to* zo)-H(to- z n k ) , v)1 + l W ( t o p znk)IIx;-kI141 -0

I(H(tnl 5 0 ) - H ( t o , zpLk), .)I + I(H(to, x,tk)j v)I

fur k-w nach Voraussetzung (i) und (5.1). Da Do dicht in X liegt, ist demiiach so- gar fur alle vex' (H( to , xo) , v) = 0. Zusanimen mit so€ ;la hedeutet dies einen Wider- spruch zur Voraussetzung ( v ) .

Ad. (b) : Fur jedes nE N definieren wir eine (unter den getroffenen AnnaShnien) stetige Abbildung f,, : [0, 11 x L m X , - t X n durch

v ( t , % ) € L O , ilxonxr,: j,(t, z) : = ~ . i ; ~ ( t , i,(z)) . Bezeichnet ferner an(QnXfl) den Rand von QnX,, hez. X n , d a m gibt es ~7egen a,,(Qnx',)~aQnX,, und Teil (a) ein WoEN, so dafj

V n c N , nsnoVtEIO, l]VsEa,$2nX,,) :

I I i3( t , in(z))IIx;= IIH(t7 z)IIx; > O

und somit

Demnach ergibt die Homotopieinvarianz des honwERschen Abbildungsgrdes die Rehauptung. Q. E. D.

VnEN, nznotrtc[o, l ] V ' z ~ a , , ( Q n X , , ) : f f l ( 4 z ) * o .

Weber, q-asymptotisches Spektruin 25

Satz 6.2. (Satz vom BOR~UK T y p ) . Es sei D symmetrisch, und die Abbildung N : [o, 11 x O+X* erf+ille die fiinf nachstehenden Voraussetzungen:

(i) H : [O, l]XO+X:b ist demistetig. (ii) V t € [ o , ~ I V E E E R + ~ ~ E R + V S E [ O , 13, l ~ - t I - = 6 V s E a Q : llH(s, z ) - H ( t , z)llx.<~.

(iii) v t ~ [ o , 13: H ( t , * ) : Q+X* ist bmchrtinkt. (iv) VtC[O, 11 : H(t , * ) : Q+X* genzlgt der Bedingung ( S ) .

Ferner erfillle Q : [o, 11 x Q+X* definiert durch (v) VtE[O, l ]VzEaQ: H ( t , s)*O.

v(t,z)E[O, 1IX.O: G ( t , s ) : = H ( l , s ) - t H ( I , -2)

noch die Bedingungen (vi) VtC [O, 13 : Q(t, * ) : Q-+X* geia.ligt der Bedingung (S) u?L4)?

(vii) V t E [0, 11 V s C aD : G(t, z) + O . Dann folgt : (a) 3 n o c N V n ~ N , n s n o : deg ( h , 7 L i z H ( ~ , in ( . ) ) , ans,, O ) * O . (h) 3sEO: H(O, z)=O.

Abbildung G : [ 0 , l ]XQ+X* wohldefiniert igt.

(5.3) 3n,ENVnEN, n z n , :

Beweis. Wir bemerken zunachst, da13 mit D auch Q symmetrifich und allso die

Ad. (a): Nach Lemma 5 . l ( b )

deg (h$;H(O, in(-)), QnX,, O)=deg (h,i:H(l, in(.)), DnX,, 0) . Weiter lmseii sich auch fiir G die Voraussetzuiigen (i) bis (v) von Lemina 5.1 un- mittelbar verifizieren. Wegen G( 0, .) = H ( 1 , .) ergibt fiich daher

Fur jedes nE AT ifit aber bildung h,iEG( 1 , in(*)) : BOR~TJK schlieBlich

offensichtlich SZ n X, Bymmetrisch, 0 E f2 fl X, und die Ab- .OnX,,-+X,, ungerade, so daB wir nach dem Satz von

(5-5)

erhalten. Fassen wir sbschliel3end (5 .3) , (5.4) und (5.5) zusammen, RO folgt die Behauptung.

Ad. (b) : Aus einer bekannten Eigenschaft des BRouwERschen AbbildungHgra- des hinsichtlich der Losbarkeit von Gleichungen ergibt sich zusaminen init Teil (a) :

VnEN, n z n , : deg (I&G(l, & ( - I ) , Q n X , , , O ) * O

3noENvnEN, n s n o 3 z , ~ S Z n X , : lIh,$:H(o, i,,(zw))ll = O . Dann ifit abcr auch f i i r jedes n E N , n z n , , die

26 Weber, pesyrnptotisches Spektrum

Uberdies gibt es wegen der Reflexivitllt des Raumes X eine Teilfolge ( x n k ) von ( X ~ ) , , ~ % ~ Q und ein x o E X mit

xnk-xo fur k - m

~ z ~ s ~ ~ - = ’ ) E ~ + ~ fur alle k E N . und

Damit lLiBt sich genau wie im Beweis von Lemma 5.1 (a) sogar x n E - z 0 ~ ~ fur k -. m und weiter

VvEX : ( H ( 0 , X O ) , v) = 0

zeigen. Der Voraussetzung (v) entsprechend mu13 deshalb xo in 52 liegen, und es ist allea bewiesen . Q. E. D.

Q 6. Satze vom FREDHOLM Typ

Zur Herleitung unserer FREDHoLMsChen Siitze werden wir - wie bereits er- wiihnt - als Bildraum Y steta den zum zugrundeliegenden Raum X dualen Raum X* annehmen. Ferner mussen die Bedingungen an X selbst, an die Menge A und an die Funktion q uber das bisher Obliche hinaus verschiirft werden und die Opera- toren S und T auf ganz X definiert sein. Die sich d a m ergebenden Resultate sind - insbesondere hinsichtlich des Parameters 3, -optimal, d. h. unter den gestellten Voraussetzungen nicht zu verbessern.

Im einzelnen fordern wir grundsitzlich fur den ganzen Abschnitt : Es sei X ein reeller, reflexiver und separabler BANAcH-Raum und (Qk) eine Folge von Teil- mengen von X mit

V k E N : f 2 k ist offen, beschriinkt, symmetrisch und o e i 2 k .

Daruber hinaus verlanpen wir, daB fur

der (6.1) lim mk=-

k--

ist. SchlieBlich sei A eine Hymmetrische Teilmenge voii X mit - A ? u aQ,

E = = i

und ~ 1 : RZ -R: eine Funktion, die der Bedingung

genug t. Unter den so getroffeneii Vereinbarungen stellen wirsofort fest, daS die Menge A

uiibeschriinkt und jede konstante Abbilduiig /: X - X * Element des Unterrau-

Weber, q-asymptotiechea Spektrurn 27

tiles N ( v , A , X * ) von &(rp, A , X * ) ist. Auch konnen wir - ohne im Einzelfall aus- tlrucklich darauf hinzuweisen - fur A = X stets 9,: ={zEX I llz/l<k} (LEN) setzen. uberdies erlauben es die zusitzlich gemachten Einschriinkungen nach wie vor, ( I d 3 selbst Abbildungen f : X +X*, f EN(v , A , X * ) , ,,stark nichtlinear" sind. Denn wtmn wir etwa fur festes YOEX* f(z):=ellzll~in (11z11) yo ($EX), Q,:={ZEX I 11z11< -:h} (LEN) und A : = u aQ,={zEX IElLEN: llzll=kn}, so ifit f € N ( v , A , X*) bei

Ibeliebigen zugelaaseiien X und q.

- E = i

Unser allgemeinsteR Ergebnis ist der

Satz 6.1.(Satz vom FREDHOLM T y p ) Es seien S , So, T , To: X - X * , S und So cdlatet ig , T und To demistetig und beschrtlnkt, S , So, T , TOEQ(v, A , X * ) , und f u r jcdes tE[O, 13 erfalle die Abbildung T + t ( T o - T ) : X + X * die Bedingung ( S ) .

(a) 1st noch To ungerude und d ( q , A , X * ) (To) =-O, dann folgt: F u r jedes A a w einer unbeschrankten Komponente von R\(,Zi(To, So) U ( 0 ) ) mit

(6.3) q(q, A , X*) ( I

(6.4) q(q, L4, X*) (I oder

ist die Abbildung AT tiv bez. A .

(I,) I s t noch So ungernde, d ( v , A , X*) (So)=-O undgenilgt f u r jedes tE[O, 11 die A b - bildung T o - t T o ( - .) : X - X * der Bedingung ( S ) , dann folgt : Far jedes A* 0 (ms der die Null enthaltende Komponente von R\Z<(T,, So) mif (6.3) oder (6.4) ist die AhbiMung AT -S : X - X * gleichma/3ig q-asymptotisch regular surjektiv bez. A .

Beweis. Ad. (a ) : Aus d ( T , , ) z O folgt sofort mit Lemma 4.3 (h), daB das 7-aaymptotisohe Spektrurn L'( To, So) kompakt ist. Demnach besitzt die Menge /{\@(To, So) U (0)) genau zwei unbeschriinkte Komponenten. Es aeien also jetzt Iz i t i s solch einer unbeschrinkten Komponente mit (6.3) oder (6.4) und ?!/EX* he- licbig. aher fest gewiihlt. D a m gibt es ein pER\{O} mit sign ( p ) = ~ i g i i (A) und

Damit definieren wir H : [ O , 11 XX -X* durch

1 1 T I , - S o + ( i - 2 t ) ( A ( T - T o ) + ( S o - S ) - y ) fur Osts

2 ' 1

2 (A+(2 t -1 ) p ) To-So fur - c t S l .

Jffenbar ist f u r jedeH t C [ O , 11 H ( t , a ) E Q und wegen q(y ) -0 erhalten wir nach Lem-

H ( t , a ) : =

28 Weber, q-asyinptotisches Spektrum

ma 3.2(d) fur alle t E 0, - : [ 21 d ( H ( t , *)) z d (IT,- So) - q(I (T - To) + (So- 8))

d ( H ( t , * ) ) = d ( I T - S - 2 t (I(T-T,)+(S,-S))-(1-2t) y) s d ( I T - 8 ) - q ( I (T-T,)+(S,-S)) .

und

In jedem der Fiille (6.3) und (6.4) ist deshalb fur jedes t € 0, d (H(2, * ) ) = - O .

Dies trifft aber auch fur alle tE -, 1 zu, wie unmittelbar &us der Wahl von il und

p ersichtlich ist. Weiter ist die Bedingung (3.5) fur H : [ 0 , 1IXX - X * leicht nach- zuweisen. Insgesamt ergibt daher Lemma 3.5 :

(6.6)

[ :I L 1 3&ER+VZ€A, \ l s ~ l z B ~ v t € [ o , 11: H ( t , s)*O .

G ( t , . ) : = H ( 1 , . ) - t H ( 1 , -.) Nunmehr verifizieren wir fur G : [ 0 , 13 XX -X* erklart durch

( t € [ O , 11) die Erfordernisse von Leinina 3.5. Da T o ungerade ist, bekonimen wir die Dar- stellung

Ferner ist A symmetrisch und also mit f € Q auch f ( - - )EQ und q( f ) = q ( f ( -.)). Danach ist fur jedes tE [0 , 13 G ( t , .) EQ, und zusammen mit Lemma 3.2(d) und (6.5)

G(t , . ) = ( l + t ) (A+p) T,-S,+tS,(-.) ( t E [ O , 1 1 ) .

folgt d(G(t? .))W + t ) (l~+cLJd(To)-q(m)=-O *

SchlieBlich genugt G : [ O , 11 KX - X * wegen

G ( t , *)-G(to, * ) = ( t - t o ) ( ( A + p ) To+So(-.)) ( t , t o € [ O , 11) auch der Redingung (3.5). Insgesamt liefert fiomit Lemma 3.5 unter Berucksichti- gung von (6.6):

3 R € R + V x E A , l l x l l ~ B V t € [ O , 11: H ( t , x)*O=kG(t, x ) . Vermoge (6.1) gibt es nun ein k o € N niit m k o z R . Definieren wir demnach

Q : = Q k , , so i B t fur alle x c a Q & A die I l x l l ~ R , und wir erhalten:

Dies bedeutet, daB fur die Abbildung H : [ 0 , 1 ]XS - X * die Voraussetzungen (v) und (vii) von Satz 5.2 erfiillt sind. V'ie man ohne Schwierigkeiten nachpiiifen kann, trifft die8 auch fur die ubrigen Redingungen dieses Satzes zu. Folglich

Demnach i g t AT-S : X-X* surjektiv. Ferner ergibt sich fur y=O noch d ( I T - - S ) = d ( H ( O , * ) ) S O , so daB die Abbildung AT-S: X - X * nachLemma3.5sogar gleich mii5ig v- asymp totisch regu Iar sur j ek tiv bez. A is t .

Ad. (b) : Die Definition des q-asyinptotischen Spektrums zusamnen mit d(S,) =-0 impliziert O4Z(T0, So). AuBerdem ist nach Lemina 4.3 (a) R\Z(To, So)

V t E [ O , 11 VsEaQ: H ( t , x )+O*G( t , x ) .

3 x c . Q : A T x - S X - ~ = H ( O , x ) = O .

Weber, rp-asymptotisches Spektrum 29

offen. Es seien also jetzt 1+0 a m der die Null enthaltende Komponente von f l \Z(To. So) mit (6.3) oder (6.4) u n d y € X * beliebig, fest. Dann gibt es ein p€R\{O} init O-= 111, sign ( p ) = -sign ( I ) und

11 + PI dTo) 4 S o ) - ]>amit definieren wir H : [O, l ]xX-X* wie im Fall (a) und ElohlieBen analog zu ilort auf die Behauptung. Q . E. D.

Beachtenswerterweise setzen wir in Satz 6.1 keinen der Operatoren S, So, T iind T o als homogen und lediglioh nur jeweil8 eine der Abbildungen So und To als ungerade voraus. Fenier sind S und So bzw. T und T o keineswegs notwendiger- weise q-asymptotisch iiquivalent bez. A . AuBerdem zeigen die Beispiele X : = A : = R , cp(t):=t ( t f R : ) , Sz:=S,p:=lzl ( ~ € 2 3 ) und Tz:=T@:=z (zER) Iizw. X : = A : = R, cp(t): = t (t €It,+), Sz: =S@: = z ( z € R ) und T z : = T , p : = 121 (zf R) , tlaB in Satz 6.1 (a) die Bedingung , , I aus einer unbeschriinkten Komponente von lt\(ZZ(To, So) U{O))" bzw. in Satz 6.1(b) die Bedingung ,J+O &us der die Null cmthaltende Komponente von R\Z;(To, So)" nicht ersetzt werden kann durch die iporderung ,,AfR\(ZZ(T,, So) U (0))" . SchlieBlich sei noch festgestellt, daB die riaoh Satz 6.1 surjektiven Operatoren I T - S : X -X* nicht zwangsliiufig ,,schwach I(oerzitiv" sind, d. h. es ist nicht unbedingt der

X - lim ll1Tz - Szll= 03 . llZIl - -

I)ies liegt eben daran, daB wir hier die Riiume Q(q, A , X*) und nicht die Raume Q(v, X, X*) betrachten.

Satz 6.2. (Satz vom FREDHOLM T y p ) Es seien S , So, T , To : X -X*. So u d Yo ungerade, S volbtetig, T demistetig unrZ beschrankt und S , So, T, ToEQ(q, A , X*). .

( I L ) Erfitllt noch fur jedes tE[O, 11 die Abbildung T - t T ( - - ) : X-X* die Bedin- gung ( S ) , dann folgt : Far jedes IcR\(Z<(To, So) U(0)) mi t

(6 .7) d q , A , X*) (12 (T-To) +(f l ,-S))-=d(q, A , X*) (ITo-So) ist die Abbildung IT - S : X -X* gleichmapig cp-aqmptotisch regular surjektiv bez. A .

( 1 1 ) 1st noch So vollstetig, To demisfetig uncl beschrankt und erfallt f u r jedes t E [0 , 11 die Abbildung T -t (T - To) x' -X* die Bedingung ( S ) , d a n n folgt 1

Fur jedes IER\(Z<(T,,, So) U(0)) mi t

((i.8) q(q, A , X T * ) ( I ( T - T ~ ) + ( S - S ~ ) ) ( ~ ( Q ) , A , X*) (1T-S) ist die Abbildung AT -S : X -X*. gleichmd/lig qmsymptotisch regdar surjektiz bez. A .

BeweiR. Ad. (a) : Es seien 3,fR\(O) init (6.7) und yEX* beliebig, aber fest ge- wiihlt. Offenbar ist dann a u c h l ~ R \ ( Z ( T o . So) U{O)), undwirdefinierenH : [O, l] X X X -X* durch

H ( t , * ) : = A T - S - y ( t f [ O , I ] ) .

30 Weber, cp-ssymptotisches Spektrum

Hierfur wird nach (6.7) fur jedes t € [ O , 13

d ( H ( t , . ) )=d (ATo-So+A (T-Tn) +(SO-S)-?J)

~d (ATo-So)-q(A ( T - T o ) + ( S n - S ) ) > O . Weiter betrachten wir G : [ O , 13 X X +X* erklLrt durch

G ( t , . ) : = H ( l , * ) - t H ( l , - * ) ( t E [ O , 1 3 ) .

Da So und To als ungerade vorausgesetzt sind, folgt fur jedes t c [ O , 11 die Darstel- lung

B(t, * ) = ( I + t ) (ATo-So)+A(T-T,)+(S,-S)-t [A(T-To) ( - a ) +

+(Sn-s) ( - * ) 1 - ( 1 - t ) Y und also

d(G( t , . ) ) & ( I + t ) [d (ATo-Sn)-q (A (T-T,).+(S,-S))]>o naeh (6.7).

weis von Satz 6.1. Die Behauptung ergibt xich dann mit Lemma 3.5 und Satz 5.2 analog zum Re-

Ad. (b): Es eeien 1cR\{O} mit (6.8) und yEX* beliehig, aber feAt gewiihlt. Offenhm ist dann wegeii

(1 (ATo-So)zd (AT-S)-q (A (T-T,)+(Sn-S))>O

auch I,€ R\(Z(T0, So) U { 0 } ) , und wir definieren H : [ O , 13 X S -X* durch

H ( t , . ):=AT-S-t (A (T-TO)+(S0-S))-(I - t ) y ( t E [ O , 11) . Hierfiir ist nach (6.8) d ( H ( t , * ) ) = - O ( t € [ O , 13).

Weiter betrachten wir B : [ 0 , 13 XX -X* erkliirt durch

G(t , . ) : = H ( l , * ) - t H ( l , - * ) ( t E [ O , 1 3 ) .

Nun ist aber H ( 1 , .) =ATO-So, und So sowie T o sind ungerade, SO da13 fur G(l, .) die Darstellung

B(t, * ) = ( l + t ) @To-So) ( t € [ O , 13)

folgt. Zusammen mit AER\(Z(T,, So) U (0)) wird damit d(G(t, .)) =-0 ( t € [ 0 , 11). Die Behauptung ergibt sich dann mitLemma 3.5 und Satz 5.2 analog zum Be-

weis von Satz 6.1. Q. E. D. Satz 6.2 ist zu entnehmen, da13 die AbschwLchung der Einschrliiikungen an den

Parameter 1, wie sie fur Satz 6.1 nicht moglich i d , gelingt, wenn wir nicht nur je- weils einen der Operatoren&',-, und To als ungerade voraussetzen, sondern beide.

Als unmittelbareFolgerungen aus Satz 6.2 erhalten wir zwei weitere Resultate. Zuvor erinnern wir noch einmal daran, daB fur einegegebene Abbildung f : X -X* der Operator f - : X + X * definiert ist durch f-(s):= -f( -5 ) ( z € X ) .

Korollar 6.3. (Satz von FREDHOLM Typ) Es seien S , T : X -X*, S vollstetig, T dernistetig und beschrankt, S , T C Q ( y , A , X*), und far jedes t € [ O , 1) erfihlle die Ab-

Weber, rp-asyniptotieches Spektrum 31

t 2

bildung T - - (T - T - ) : X +X* die Bedingung ( S ) . D a n n folgt :

Ftir j d e s A E R\{O} mit 1 - q(rp, A , X * ) ( A (T - T - ) + (S - -S))<d(rp, A , X*) (AT - S ) 2

id die Abbildung AT - S : X -X* gleichmapig tp-qmptot iach regular surjektiv 6cz. A.

1 1

2 2 Beweis. Wir setzen So: = - (S + S - ) sowie To: =- (T + T-) und erhalten

die Behauptung mit Satz 6.2 (b). Q. E. D.

Korollar 6.4. (FREDHoLMsche Alternative). Es seien S , So, T, To : X - X * , So md Towngerade, S volktetig, T demistetig und beschrdnkt, S , So, T, To€Q(y, A , X*), S-S0, T-T,,undf.itrjedesi!~[O, l ]erf . i tEZedieAbbildungT-tT(- . ) :X-X*die lledingung (S ) . D a n n folgt : P U T jede.9 A € R\{O} sind die vier A m s a g e n

(1)) ABZt(T, S ) , ( c ) AT -S : X - X * ist gleichmlipig rp-asymptotisch regular bez. A und ( d ) AT -S : X - X * ist gleichmapig pccsymptotisch regular surjektiv bez. A iiquivalent .

Beweis. Es sei AER\{O} beliebig vorgegeben. 1st dann A aus R\(Z(To, S0)U IJ{O}), so wird d (ATo-So)>O. Zusammen mit S-Sound T-Toergibt sichdaher iwch

(.) A B . q W 0 , SO)?

q (A (T-To)+(Sg-S))=O<d (AT,-So) . Demnach liefert Satz 6.2 (a) ,,(a)*(d)". Ferner gilt trivialerweise ,,(d) ~ ( c ) " , wiihrend ,,(c)+(b)" hzw. , , (b)o(a)" aus Lemma 3.5 bzw. Lemma 4.4 (a) folgen.

Q. E. D. Erwhhnenswer t ist wiederurn, dal3 wir mit Korollar 6.4 d n e FREDHoLMaChe

Alternative crhalten haben, bei der wir nach wie vor auf jegliche Homogenitlits- iiigenschaften der Operatoren S , So, T und To verzichten konnen. AuBerdem zeigt i l t w Beispiel X : = A : = R , cp(t): = t ( t E R ; ) , S@:=Ts: = Tg: = 2 (zER) und Hz:=s-sign (z) I/lsl ( s e R ) , da13 unter den dort getroffenen Annahmen die Aussage

V A E R\{O} : [AT -S : X -X* ist surjektiv] >A$,Z:(To, So)

I iicht allgemeingiiltig ist. Abschliel3end betrachten wir noch den Fall zweier a-homogener Abbildungen

A'$, und To (aER+). Hierfiir 1a13t sich dann eine FREDHOLMBChe Alternative im Sinne der iiblichen Definition eines Eigenwertes herleiten.

Korollar 6.6. (FREDHOLMSche Alternative) Es seien S, So, T, To : x +I*, so rtnd To ungerude, S vollstetig, T demistetig und beschrankt, a € R +, S,so, T, To€&

32 Weber, pl-asyinptotisches Spektruin

&(a, A , X * ) , S - S o , T -To , u i zd f i i r j edes t~[O, l ] geniigedieAbbiklungT-tT(-.): : X +X* der Bedingung (8).

Erfullt schlieplich auch To die Bedingung (8) und sind So und To a-homogen, So vollatetig und T o demistetig, darnn folgt : Fur jedea A € R\{O} s ind die vier Aussagen (a) A@d(To, so), (b) A@Z:(T, S), (c) AT -S : X -X* ist gleichmapig a-crsymptotkch reguhr bez. A und (d) AT -S : X -. X * ist gleichrnaflig a-asymptotisch regultir surjektiv bez. A dlquivalent.

R e w ei s. Nach Korollar 6.4 geniigt es zu zeigeii :

Sei also zuniichst A€Z:(To, So)\{O). Analog zum Beweis von Lemma 4.5(c) ( r : = 1) erhalten wir dann die Existenz eines voEX, llvoll= 1, mit ATovo-Sovo=O. Hierzu wiederuin gibt es ein t i€ R + , fur das gilt:

Z:(Toj So)\{O} =a”(To, So)\{O) .

O+tivoE aQn,SA und (ATo-So) (tivo)=ty (lTovo-Sovo)=O . Dies bedeutet aber AEad(To, So)\{O).

Umgekehrt sei nun ;1€ad(To, So)\{O), d. h .

(6.9) ~ZOEA\{O) : AT~z:,-S~X:,=O. Wegen der Gestalt der Q, ( k E N ) existiert weiter eine Folge ( t , ) S R + mit

Uberdies bekommen wir aus

(6.10) V k E N : t ~ o ~ 8 Q ~ ~ A .

noch, daS der

ist.Folglich ergibt sich ~ U E (6.9), (6.10), (6.11) uiid der a-Homogenitiit von Sound To such A€Z:(Toj So)\{O}. Q. E. D.

Sieht man einmal von der hier geforderten Separabilitiit des Raumes X ab, SO

stellt Korollar 6.5 eine Verdlgemeinerung der Siitze 2.2 und 2.4 in [l] dar. Auf den hier gewonnenen Ergebnissen aufbauend werden wir in einer weiteren

Arbeit fur ein Paar (T, S) njohtlinearer Abbildungen S, T : X -X* mit S, TEQ Q(cp, A , X * ) die Existenz asymptotischer Verzweigungspunkte bez. A naohweisen, ohne hierfiir die wymptotische Linearitiit oder Homogenititt von S oder T voraus- zusetzen. Dabei heil3t ein Wert A € R genau dann asymptotischer Verzweigungspnkt des Paarea ( T , S ) bez. A , wenn gilt:

3 (A,) R, I,, -13 (2,) & A , llznlI -00 VnE N : A,Tx, -Ex, = 0 . SchlieSlich werden wir im AnschluS an diese globalen Untersuchungen eine ent-

spreahende Eokale Theorie ( vg l . [4] und [lo]) formulieren, die lokale Surjektivi-

Weber, rp-asyrnptotisches Spektriirn 33

1 iitsauerjagen voin FREDHOLM Typ (auch Alternativen) sowie Existenzsiitze fur \'orzweigungspunkte einerj Paares ( T , 8) nichtlinearer und iiichtdifferenzierbarer ( )peratoren enthalten wird.

7. Anwendungen: Niehtlineare Integralgleichungen

In unserem letzten Abschnitt notieren wir noch zwei Beispiele zur Anwendung II tiserer abxtrakten Theorie auf URYSON8Che Integralgleichungen der Form

( 7 . 1 ) ~ [ T u ] (z)-g(u) J k ( z , ~ ( y ) ) d z ~ = u j ( z ) ( z € G ) . G

Dabei sei hier und im folgenden G S R N ( N E N ) meBbar und von endlichem Imitivem (LEBESOUE-) Ma13, d. h. 0 -= (GI -==. Bekanntlich erfiillt damit eine I h k t i o n f : G X R -+ R genau dann die CARATHEODORY-Bedingung (CB), wenn fur lmt alle zEG die Punktion f ( z , a ) : R - R stetig und fur jedes uCR die Funktion I(., u ) : G - R meBbar ist.

Als Anwendung von Satz 6.1 (a) auf die Gleichung (7 .1) ergibt sich das

Beispiel 7.1. (Satz vow F R E D H O L M - T Y ~ ) Es sei M E R , p , p i , q, ql , s ~ ( 1 , m),

/ : = m a x {qi, q } , p - l + q - ' = l , p ; ' + q ; ' = l , r - i+s - l= l , k : O X G X R - R erfillle d i p CB und

3 b E R + 3 c E L P 1 ( G ) 3 h E L ' ( G X G ) V ( z , y, u ) E G X G X R :

IW, ?it .)I 5 14, y)I (Ic(y)l +blUlp'pl) . Il'eiter seien T , To ; Lp(G) -+ Lq(G) demistetig uncl beschrankt, To sei ungerade, und llir jedes t € [ O , 13 erfulle die Abbildung T+t (To- T ) von Lp(G) in Lg(G) die Be- dingung ( S ) , T, TOE& ( p - 1 , Lp(G), L g ( G ) ) , T - T o c N ( p - 1 , LP(G),Lg(CJ)) u n d 11 ( p - 1, Lp(G), Lq(G)) (To) 5 0 . Is t d a n n noch g : Lp(0) -R e in vollstetiges Funkt io- w l mi t

( 7 4 4 p - i )

IL+ - lim inf [Lp(G) -sup Ig(u) P -MI]=O I - - Ilullp=t

vnd S : Lp(0) -Lq(G) definiert durch

V u € L P ( Q ) V X E G : [SU] (5): = g ( u ) J k ( z . y, u(l/)) d y , G

(7 .3)

N O folgt : Ids gibt eine unbeschrankte Teilmenge A von L p ( G ) mi t ( 1 ~ ) S€Q ( p - 1 , A , Lg(G)). ( I ) ) Far jedets 1 aus einer unbeschrtinkten Komponente von R\(Zt.-i(Z'~, S) U (0))

ist die Abbildung AT -S : Lp(G) -Lg(G) gleichm&/3ig ( p - 1)-asymptotisch regular surjektiv bez. A .

2 Math. Nrchr., Bd. 117

34 Weber, p-asymptotisches Spektrum

Kann als Sonderfallin (7 .2) speziell M = O gewiihlt werden, so ist L'pd-i(TO, S) U U (0) = { O } , und wir erhalten die SurjektivitBt von IT -8 : LP(Q) -Lg(Q) fur j d e s AcR\{O}. Daruber hinaus ist (7 .2) insbesondere fur g r l , p / p i < p - l und N = o sowie g s 1 , p / p l = p - 1 und M = 1 erfullt. Auljerdem bleibt es fur die Aussage von Reispiel 7.1 ohne Bedeutung, ob wir den Operator S : P(Q) -Lg(Q) uber (7.3) oder durch

VuuELP(Q)VzEG: [SU] (z):=g(u) J k ( z , y, u ( ~ ) ) d y , + [ S i u ] (5) 0

erkliiren, wohei Sl ein vollstetiger Integraloperator von Lp(Q) in Lq(G) mit

ist. SchlieBlich sind fur nEN, a&RJ ( i = O , 1 , ..., n) und a,>O durch n

V U E L ~ + ' ( Q ) V ~ E G : [Tu] (%):=a,+ C a i u ( z ) lu(z)l"-' i = l

sowie VuELn+'(Q)VzEG: [Tau] ( z ) :=a ,u ( z ) Iu(z)ln-'

zwei Operatoren T und T o definiert, die allen Voraussetzungen von BeiRpiel 7.1 (mit p : = n + 1) genugen.

Als Anwendung von Korollar 6.5 auf die Gleichung (7 .1) erhaltsn wir das

Beispiel 1.2. (FREDHOLMSChe Alternative) 8 s sei n E AT, pi, qi E ( 1 , -),

r:=max ql, 1 + - , p ; ' + q ; ' = l , a i E R J far i = O , 1 ,..., n, a,wO, k : G X Q X

X R -L R erflllle die C B und 1 :I

Ferner sei

(7-4) I-."

Dann foEgt : Es gibt eine unbeschrankte Teilmenge A von L("+'Q)\{O}, so dap far jedes A€ R\{O}

(a) Die Gleichung gilt :

i

+g(u) k ( z , y, u ( Y ) ) ] dy=w(z) (uELn+'(Q), wELi tn (Q) )

ist genau dann gleichml@ig n-asymptotisch regular lckbar bez. A , wenn die

Weher, q-asymptotischcs Spektrum 35

(7.5)

in A keine Ltisung besitzt. ( I ) ) Die Qleichung ( 7 . 5 ) besitzt genau dann in A keine L6su?zg, wenn

ist . Wiederuin ist klar, daD die Redinguiig (7.4) vor allem fur g= 1 uiid n +l/pi-=n

o1.f ull t iet.

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