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目 錄
單元一:平方根與近似值......................................................................................... 1
課文 A:根號的意義 ......................................................................................... 1
課文 B:根號的值 ........................................................................................... 12
課文 C:平方根的意義 ................................................................................... 27
單元二:根式的運算............................................................................................... 33
課文A:多項式............................................................................................... 33
課文 B:最簡根式與分母有理化 ................................................................... 41
課文 C:根式的加減 ....................................................................................... 50
課文 D:根式的四則運算 ............................................................................... 59
單元三:畢氏定理................................................................................................... 66
課文 A:畢氏定理 ........................................................................................... 66
課文 B:平面上兩點間的距離 ....................................................................... 78
1
單元一:平方根與近似值
課文 A:根號的意義
這一章要學習的內容是根號與畢氏定理。
關鍵:什麼是根號呢?
我們從正方形的面積與邊長關係討論起。
已知一個正方形的面積是 1,那麼它的邊長是多少?
我們馬上知道它的邊長是 1,因為 1 × 1 = 1。
如果給一個大一點的正方形,已知它的面積是 4,請問它的邊長是多
少?
我們也可以算出它的邊長是 2,因為 2 × 2 = 4。
那你心裡會不會想:在正方形面積從 1 到 4 中間,有沒有一種正方
形它的面積是 2?或是有沒有一種正方形它的面積是 3?
當然有!我們先把它畫出來。
那你會不會好奇,它們的邊長分別會是多少呢?
2
我們來做一點簡單的觀察,你會發現當正方形面積為 1 時邊長為 1,
當正方形面積為 4 時邊長為 2,面積 2 和面積 3 的正方形夾在面積 1
和面積 4 中間。
所以面積為 2 和 3 的正方形,邊長應該夾在 1 和 2 中間。
我們可以大膽的猜測,邊長是 1 和 2 中間的一半,也就是1.5。
而當邊長為1.5時,正方形面積為1.5 × 1.5 = 2.25。
這代表在面積為 2 和面積為 3 的正方形間,還夾有一個正方形,它
的邊長是 1.5,面積是 2.25。
由於面積2.25 的正方形比我們要求的面積 2 的正方形還要大。
所以我們要試試比 1.5 小一點的邊長。
我們來試試邊長 1.4 的正方形吧!
邊長 1.4 的正方形面積,等於1.4 × 1.4 = 1.96 。
所以我們可以發現邊長 1.4 的正方形面積1.96 比 2 來得小!
3
這代表在面積 2 的正方形前面有一個正方形的面積是 1.96。
如下圖所示,
因此,我們又可以知道面積 2 的正方形,它的邊長應該夾在 1.4 到1.5
中間。
我們繼續來試一下邊長 1.45 。算一下 1.45 × 1.45 = 2.1025,又比面
積是 2 的正方形大一點點。
接著再試邊長 1.41,算一下1.41 × 1.41 = 1.9881,那我就知道面積
為 2 的正方形夾在邊長為 1.41 和 1.45 的中間。
1.41 和 1.45 的中間是什麼數字?
我們猜一下數字1.413,面積等於1.413 × 1.413 = 1.996569,越來越
接近 2 了!
雖然我們可以這樣一直做下去,讓面積越來越接近 2。
4
但事實上,不管怎麼找,我們其實找不到一個曾經學過的數,它所
圍成的正方形面積會剛好等於 2!
關鍵:那麼,面積為 2 的正方形邊長究竟是什麼呢?
於是數學家們利用〝 √ 〞(唸作根號)這個符號,創造出一種新的
數來解決這個問題。
例如,正方形面積為 2 ,我們就將邊長直接表示為〝 √ 2 〞,唸作
「根號 2 」;
同樣的,正方形面積是 3,那我們就將邊長直接表示為〝 √ 3 〞,
唸做「根號 3 」。
我們將 √ 2 和 √ 3 這樣的數,稱做「根號數」。
有了這個符號〝 √ 〞,表示一個正方形的邊長就輕鬆多了。我們
連算都不用算!只要在前面掛一個 √ 就好。
正方形面積為 2 的邊長是 √2 ,正方形面積為 3 的邊長是 √3 。
所以,我們可以將正方形面積和邊長的關係寫出下面的等式:
√正方形面積 = 邊長
5
我們都知道正方形面積算法是「邊長2
= 邊長 × 邊長 = 面積」。
因此,如果√2 代表正方形面積為 2 的邊長,那麼 (√2)2 就會是在算
這個正方形面積,也就是 2,我們就可以寫出下面的等式
(√2)2 = √2 × √2 = 2。
從這個等式,我們可以觀察到兩件事:
⊙第一:√ 2 的平方會等於 2,也就是(√ 2 )2 = 2,
⊙第二:√2 × √2 = 2。
所以,當我們看到某一個根號數的平方時,就可以直接求出答案,
如(√ 7 )2就可以馬上知道(√ 7 )2 = 7,同樣的道理(√ 11 )2 = 11。
而當兩個相同的根號數相乘時,我們同樣也可以直接求出答案,如
√ 7 × √ 7 = 7,√ 11 × √ 11 = 11。
接著,我們來做三個例題.。這些例題的目標如下:
例題 1.以根號數表示正方形的邊長或求出面積
例題 2.求出根號數的平方之值
例題 3.比較根號數的大小關係
6
Ex 1:
正方形面積為 5 ,則邊長為何?正方形邊長為 √7 ,則面積為為何?
解:我們利用〝 √ 〞這個符號,來表示一個正方形的邊長。
所以正方形面積為 5 ,則邊長就會是 √ 5 ;
那麼正方形邊長為 √ 7 ,則面積就會是 7。
Ex 2:計算下列各式.
(1) (√ 11 )2 = 。
(2) (√ 4.9 )2 = 。
(3) (√ 2
3 )2 = 。
解:(1) (√11)2
= √11 × √11 = 11。
(2) (√4.9)2 = √4.9 × √4.9 = 4.9 。
(3) (√2
3)2 = √
2
3× √
2
3=
2
3。
7
關鍵:根號裡面的數可以是負數嗎?
既然我們利用√ (根號)來表示一個正方形面積的邊長的話,它就
會有一些限制!
想一下,前面說的〝 √正方形面積 = 邊長〞。
我們知道正方形面積與邊長不會有負值,所以根號內的數和根號本
身的值也不可以為負。
例如,因為不會有正方形的面積是 −3,所以在國中階段不會有 √−3
這種數。
而因為也沒有正方形的邊長會是 −3,所以也不會有一個數 a的根號
值是 −3,也就是不會有√ a = −3。
關鍵:如何比較兩個根號數的大小
接下來我們要來談一談,如何比較兩個根號數的大小。
以√2 和√ 5
3 當作例子。當我們要比較 √2 和√
5
3 的大小時,我們可以
利用根號的意義來想一下。
√2 表示正方形面積為 2 的邊長,√5
3 表示正方形面積為
5
3 的邊長。
8
如下圖所示:
很明顯的知道面積為 2 的正方形比面積為 5
3 的正方形還要大,所以正
方形面積為 2 的邊長 √2 當然比正方形面積為 5
3 的邊長 √
5
3 還要大。
Ex 3:試比較 √99 和 10 的大小。
解:首先,我們知道:
以√99為邊長的正方形,其面積為(√99)2 = 99;
而以 10為邊長的正方形,其面積為(10)2 = 100。
因為當正方形的面積愈大,其邊長也愈大,
所以,由 100 > 99 ,可得10 > √99 。
2 5
3 √2 √
5
3
9
重點提問
1. 請問在上面的課文中,「√ 」唸成什麼?請你用自己的話解釋
什麼是「√ 」?
2. 從上面的課文中,我們利用到根號來表示正方形邊長的大小,也
就是√正方形面積 = 邊長,請問這會讓根號產生什麼限制?
3. 要如何比較 √7 和 √8 的大小?為什麼可以這樣比較?
10
․隨堂練習:
1. 以下都是正方形,請填寫它的邊長。
2. 以下都是正方形,請填寫它的面積。
3. 請算出以下的值。
(1) √6 × √6 =
(2) √11 × √11 =
(3) (√15)2 =
(4) (√23)2 =
? 面積=12 面積=6 面積=8 ?
?
?
面積=15
面積= √5 面積= √11
11
4. 比較下列各小題中,兩數的大小關係:(在空格中填入>、=、<)
(1) √8 √11
(2) √25 5
(3) √17 4
(4) √11
4 √3
(5) √0.1 0.1
還是不太懂,請看下面影片:
根號的意義(1)
https://www.youtube.com/watch?
v=VVDCF--actE
還是不太懂,請看下面影片
根號的意義(2)
https://www.youtube.com/watch?
v=egPP9W_Hk7w
12
課文 B:根號的值
從課文 A 我們知道根號(√ )可以用來表示正方形的邊長。
例如:面積為2 的正方形,其邊長是 √2 ;
面積為3 的正方形,其邊長是 √3 ;
面積為4 的正方形,其邊長是 √4 。
而 4 剛好是 2 的平方(22) ,也就是面積為 4 的正方形,它的邊長其
實就是 2 ,所以 √4、√22、2 這三個其實是相等的,也就是:
√4 = √22 = 2
如此一來,我們就可以將√4的值算出來了。
那麼,除了√4以外,還有沒有其他數的根號值可以算出一個準確的
值?當然有!
例如:√9 = √32 = 3、√16 = √42 = 4、√25 = √52 = 5、...
你有沒有發現以上這些可以直接算出一個準確根號值的數,根號裡
面的數剛好都是某一個整數的平方,如9 = 32、16= 42、25= 52,
像這樣恰好是另一個整數的平方的數,我們稱作「完全平方數」。
只要根號內的數是「完全平方數」,就可以直接算出根號數的值,
如√9 = √32 = 3、√16 = √42 = 4、√25 = √52 = 5。
13
接著,我們來做六個例題。這些例題的目標如下:
例題 1.算出完全平方數的根號值
例題 2.算出分子與分母均為完全平方數之分數的根號值
例題 3.算出帶分數的根號值
例題 4.算出小數的根號值
例題 5.利用十分逼近法,求根號數的近似值
例題 6.利用查表,求根號數的近似值
Ex 1:計算下列各數
(1) √81 (2) √441 (3) √784
◎解題思維:
我們要算出一個根號的值,要試著去看看根號內的數是否為「完全
平方數」。例如 81 我們一下就知道是 9 的平方了。
但是如果那個數比較大,沒辦法直接看出來,那就要先將那個數做
因數分解,再將結果兩兩配對成某個數的平方,例如 441 這個數字
就稍微大了一些,所以我們利用短除法做因數分解,
14
會發現 441 = 32 × 72 ,有 2 個 3 、2 個 7 ,
所以 441 = (3 × 7)2。接下來就可以直接算出根號的值了!
解:(1) 81 = 92,所以 √81 = √92 = 9。
(2) √441 = √32 × 72
= √(3 × 7)2
= 3 × 7 = 21
441 = 32 × 72
(3) √784 = √42 × 72
= √(4 × 7)2
= 4 × 7 = 28
784 = 42 × 72
除了正整數以外,有些分數也可以利用同樣的想法去計算!
Ex 2:Ex2.計算下列各數
(1) √81
121 (2) √
100
441
◎解題思維:
在計算分數根號的值時,其實是跟整數的道理是一樣的,我們也是
試著將分數處理成某個分數的平方,例如 81
121 ,分子、分母分別利用
短除法來因式分解,像是 81 = 92、121 = 112 ,因此 81
121=
92
112=
(9
11)2。接下來就可以直接算出根號的值了!
15
解:
(1)
81
121=
92
112= (
9
11)2
√81
121=
9
11
(2)
100
441=
102
32×72=
102
(3×7)2= (
10
21)2
√100
441=
10
21
441 = 32 × 72
那當遇到帶分數時,要怎麼處理呢?
Ex 3:計算 √19
16 之值。
◎解題思維:
我們在計算帶分數的根號時,我們必須要先將帶分數化成假分數,
19
16=
25
16 ,然後再處理成某個分數的平方,
25
16= (
5
4)2 。接下來就可
以直接算出根號的值了!
16
解: 19
16=
25
16=
52
42= (
5
4)2
√1 9
16 = √
25
16= √(
5
4)2 =
5
4
★常見的錯誤省思:
有些同學會以為,在計算 √19
16 時,認為根號內的 1是12、9是32 ,
而 16是42。所以就將√19
16 誤認為會等於 1 +
3
4 。
如果,√19
16 真的等於 1
3
4 ,那代表1
3
4 平方後會等於1
9
16。
我們試著來做一下13
4 的平方,看看它會不會真的等於1
9
16。
(13
4)2 = (
7
4)2 =
49
16= 3
1
16
你有沒有發現13
4 平方後,並不會等於1
9
16。
換句話說,√19
16 並不等於 1
3
4 。
所以千萬記得,在計算帶分數的根號值時,必須要先化成假分數才
可以喔!
17
如果是要算小數的根號時,要怎麼做呢?
Ex 4:計算下列各數
(1) √0.04 (2) √20.25
◎解題思維:
我們利用前面計算分數的根號之經驗,先將小數化成分數,就可以
繼續算下去了。
解:(1) 0.04 =4
100=
22
102= (
2
10)2
√0.04 = √4
100=
2
10= 0.2
(2) 20.25 =2025
100=
52×92
102= (
5×9
10)2
√20.25 =5×9
10=
45
10= 4.5
當根號內的數值是某個整數或是分數的平方時,我們可以輕易的把
結果算出來,例如 √4、√64、√4
9 、√0.25 等…。
但是像是 √2、√3 這類不是某個整數或是分數的平方的,我們就沒
辦法準確得算出大小,所以我們必須透過一些方法估算出 √2 或 √3
的近似值,那有什麼方法呢?
分別是十分逼近法、查表法及使用計算機。
18
關鍵:估算 √𝟐 或 √3 的近似值
方法一:十分逼近法
我們用一個例子來說明十分逼近法是什麼:
Ex 5:請以十分逼近法計算出 √2 的近似值,並以四捨五入法取到
小數點後第 2位。
◎解題思維:
要算到小數點第二位,我們就要算小數點第三位,然後針對小數點
第三位四捨五入才有辦法算出來。
依照前面的討論,面積為 2的正方形,其邊長就是√2。
因為 12 = 1、22 = 4,所以√2是在 1~2 之間。
那 1~2 之間我們把它 10 等分,得到 1.1、1.2、1.3、1.4、1.5 …一直
到 1.9。我要的是哪一點呢?
假設用 1.3,1.32 = 1.69 還不到 2 ,所以繼續下去;1.42 = 1.96,很
接近 2 了,再繼續下去 1.52 = 2.25 ,超過 2 了。而因為我們知道 2 在
1.96~2.25 之間,所以平方等於 2 的這個數也會在 1.4~1.5 之間。
2 1
4 1
√2
2
19
那我再繼續把它 10 等分分成 1.41、1.42、1.42、…、1.49 。
那我們猜 1.41 好了, 1.412 = 1.9881、1.422 = 2.0164,發現 2 在這
兩數之間,因此平方等於 2 的這個數會在 1.41~1.42 之間。
我們可以繼續分成 1.411、1.412、…、1.419 。
那要猜哪一個?比方說猜 1.4112 ≒ 1.990921 還不到 2,所以繼續
1.4122 ≒ 1.9937 也還不到 2,1.4132 ≒ 1.9965 也不到 2,
1.4142 ≒ 1.9993 很接近了,1.4152 ≒ 2.0022 超過 2 了,所以知道此
數在 1.414 和 1.415 中間。
而這兩數中間有 1.4141、1.4142、1.4143、…、1.4149,所以又可
以 10 等分繼續算下去。
像這樣子每個段落都給它 10 等分,慢慢地逼近 √2 的值,這種方法
就稱為十分逼近法。
算到最後,我們可以得到 √2 = 1.414 … 一直下去,不過這題目沒有
到這麼多位,只要求到小數第二位,所以算到 1.414 再對第三位四捨
五入就可以了。
20
解:
第一步:
12 = 1
22 = 4
√2 介於 1 和 2 之間,
√2 = 1.…
第二步:
(1.1)2 = 1.21
(1.2)2 = 1.44
(1.3)2 = 1.69
(1.4)2 = 1.96
(1.5)2 = 2.25
√2 介於 1.4 和 1.5 之間,
√2 = 1.4…
第三步:
1.412 = 1.9881
1.422 = 2.0164
√2 介於 1.41 和 1.42 之間,
√2 = 1.41…
第四步:
1.4112 ≒ 1.990921
1.4122 ≒ 1.9937
1.4132 ≒ 1.9965
1.4142 ≒ 1.9993
1.4152 ≒ 2.0022
√2 介於 1.414 和 1.415 之間,
√2 = 1.414…
經過小數點第三位四捨五入後,√2 ≒ 1.41
2
2
2
2
21
方法二:查表法
接下來要介紹求根號數的近似值第二種方法:查表法。
既然叫「查表法」,那麼就會有一張表,這張表叫「乘方開方表」。
𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁 14 196 3.7416 11.8321 15 225 3.8729 12.2744 16 256 4.0000 12.6491 17 289 4.1231 13.0384
既然叫做「乘方開方表」,表上當然可以看到有乘方也有開方。
例如當 𝑁 = 14 時,𝑁2 也就是 142 會等於 196 ;
√𝑁 也就是 √14 , √14 會接近 3.7416 (這個是近似值, 3.74162 不會
剛剛好等於 14 );√10𝑁 也就是 √140 會接近 11.8321 。
利用這張表,就可以計算相關數字的根號了!
那我們利用例題 6來看一下應該要怎麼使用。
Ex 6:利用乘方開方表,查出下列近似值。
(1) 172 (2) √15 (3) √160 (4) √324
22
解:
𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁 14 196 3.7416 11.8321 15 225 3.8729 12.2744 16 256 4.0000 12.6491 17 289 4.1231 13.0384 18 324 4.2426 13.4164
(1)172:查 𝑁 = 17 ,對到 𝑁2,得到 172 = 289。
(2)√15:查 𝑁 = 15 ,對到 √𝑁,得到 √15 ≒ 3.8729。
(3)√160:查 𝑁 = 160 ,對到 √10𝑁,得到 √160 ≒ 12.6491。
(4)√324:在 𝑁 這欄當中,發現沒有324,但是整張表可以看到
𝑁 = 18 ,對𝑁2,得到 182 = 324,所以可以知道
√324 = √182 = 18。
方法三:使用計算機
除了十分逼近法和查表法之外,我們還可以使用計算機,雖然通常
考試中不能使用,但是在生活中卻是一個很好的幫手喔!
首先,準備一臺有√ 鍵的計算機,我們就是利用這個按鍵來計算
根號的近似值。
例如想要計算√3的值
23
第一步:輸入數字 3
第二步:按下 √ 鍵
第三步:就可以得到答案了
√3 ≒ 1.7320508075
可以驗證一下,用計算機計算
1.7320508075 × 1.7320508075
發現非常接近 3 !
重點提問
請舉出一個可以準確計算出根號值的數字。這類數字有什麼樣的特
性?
24
B.隨堂練習:
1. 計算下列各數
(1) √100 = (2) √324 = (3) √576 =
2. 計算下列各數
(1) √16
25= (2) √
225
784= (3) √
441
121=
3. 計算下列各數
(1) √111
25= (2) √3
13
81= (3) √1
25
144=
4. 計算下列各數
(1) √0.25 = (2) √1.96 = (3) √6.76 =
25
5. (1) √5 會介於哪兩個正整數之間?
(2) √8 會介於哪兩個正整數之間?
(3) √20 會介於哪兩個正整數之間?
6. 請利用十分逼近法計算出 √14 的近似值到小數點底下第 2位。
7. 利用乘方開方表,查出下列近似值。
𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁 17 289 4.123 13.038 18 324 4.242 13.416 19 361 4.358 13.784 20 400 4.472 14.142 40 1600 6.324 20.000
(1) 182 = (2) √19 = (3) √170 =
(4) √361 = (5) √400 =
26
還是不太懂,請看下面影
片
(十分逼近法)
https://www.youtube.com
/watch?v=g7nrMiqiC3U
還是不太懂,請看下面影
片
(查表法)
https://www.youtube.co
m/watch?v=PUsmj3pG_cg
還是不太懂,請看下面影
片
(計算機)
https://www.youtube.com/
watch?v=1wkpVssJH0E
還是不太懂,請看下面影
片根號的意義(例 1~例 5)
https://www.youtube.com/
watch?v=MAnymh61HQc
還是不太懂,請看下面影
片根號的意義(例6~例7)
https://www.youtube.com/
watch?v=gcYNaIoJ5l8
還是不太懂,請看下面影
片利用完全平方數作化
簡
https://www.youtube.com/
watch?v=lr9GJ5U7RFk
27
課文 C:平方根的意義
接下來我們來看一下「平方根」的意義。
我們以前學過平方的概念,當𝑏2 = 𝑎 時,我們會說 𝑎 是 𝑏 的平方,
例如 32 = 9,我們會說 9 是 3 的平方。
現在我們也可以相反地過來說。
當𝑏2 = 𝑎 時,我們除了可以說 𝑎 是 𝑏 的平方之外,也可以反過來說
𝑏 是 𝑎的「平方根」。
比方說,32 = 9,我們可以說 9 是 3 的平方,也可以反過來說 3 是
9的「平方根」。
所以我們可以這樣來解釋平方根:
某個正數 a的平方根是 m,
就是指 m平方後會等於 a,也就是m2 = a。
因此,我們在判斷一數是否為另一數的平方根時,只要將它平方後
確認是否相等,如果真的相等,它就是另一數的平方根。
例如要判斷 15 是否為 225 的平方根,只要算出 15 的平方(即152),
確認是 225 後,就可以確定 15 是 225 的平方根。
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關鍵:那麼一個正數的平方根只有一個嗎?
我們知道 3是 9的平方根,因為32 = 9 。而(−3) 的平方也會等於 9 ,
即(−3)2 = 9,所以 (−3) 也會是 9 的平方根。
因此,我們知道一個正數的平方根會有兩個,一個是正數、另一個
是負數。
以 7的平方根來說,要找 7的平方根,就是要找到某一個數平方後
會等於 7。
我們知道 (√7)2 = 7 ,所以 √7 是 7 的一個平方根。
那麼 7的另一個平方根是多少?
因為一個正數的的平方根會有兩個,一個是正數、另一個是負數。
所以 7的另外一個平方根會是負數,也就是−√7,因為(−√7)2 =
(−√7) × (−√7) = 7
從上面的討論中,我們可以知道:
一個正數的平方根會有兩個,一個是正的,另一個是負的;正的
就稱為正平方根、負的就稱為負平方根,兩個互為相反數!
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接著,我們來做四個例題。這些例題的目標如下:
例題 1.求出給定已知數的平方根
例題 2.平方根與平方的關係
例題 3.平方根與平方的關係
例題 4.平方根與平方的關係
Ex 1:求下列各數的平方根
(1) 17 (2) 64 (3) 25
81 (4) 1
9
16 (5) −169
解:
(1) 17 不是完全平方數,所以直接就知道正平方根 √17 ,但是平方
根有兩個且互為相反數,所以負平方根就是 −√17 。
(2) 64 是 8 的平方,所以就知道 64 的平方根是 8 和 −8 。
(3) 25
81 的正平方根是√
25
81= √
52
92=
5
9 ,但是平方根有兩個且互為相反
數,所以負平方根就是 −5
9 。
(4)要求 19
16 的正平方根 √1
9
16= √
25
16= √
52
42=
5
4 ,但是平方根有兩
個且互為相反數,所以負平方根就是 −5
4 。
(5)不會有一個數的平方會是負的,所以不存在。
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Ex 2:回答下列問題
(1)若 𝑎 的正平方根為 √31 ,則 𝑎 = ,又 𝑎 的負平方根為何?
(2)若 𝑏 的負平方根為 −3 ,則 𝑏 = ,又 𝑏 的正平方根為何?
解:
(1) 𝑎 的正平方根為 √31,代表 √31 的平方為 𝑎 ,
所以 𝑎 = (√31)2 = 31 ,而 𝑎 的負平方根為 −√31 。
(2) 𝑏 的負平方根為 −3 ,代表 −3 的平方為 𝑏 ,
所以 𝑏 = (−3 )2 = 9 ,而 𝑏 的正平方根為 3 。
Ex 3:已知 −7 是 2𝑘 + 3 的負平方根,則 𝑘 =
◎解題思維:
−7 是 2𝑘 + 3 的負平方根,所代表的意思是 2𝑘 + 3 是(−7) 的平方,
即 2𝑘 + 3 = (−7)2 ,這樣就可以解出 𝑘 了。
解: 2𝑘 + 3 = (−7)2
⇒ 2𝑘 + 3 = 49
⇒ 2𝑘 = 46
⇒ 𝑘 = 23
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Ex 4:回答下列問題
(1)若 𝑚2 = 225 ,則 𝑚 = 。
(2)若 𝑛2 = 51 ,且 𝑛 < 0,則 𝑛 = 。
解:
(1) 𝑚2 = 225 ,指的意思是 𝑚 是 225 的平方根。而 225 是 15 的平
方,也等於(−15 )的平方,所以 𝑚 為 15 或 −15 。
(2) 𝑛2 = 51 ,且 𝑛 < 0,指的意思是 𝑛 是 51 的負平方根,所以 𝑛 為
−√51 。
重點提問
依據課文的解釋,請你說明一下什麼是「平方根」?
並舉一個例子來解釋。
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․隨堂練習:
1. 求下列各數的平方根
(1) 100 (2) 324 (3) 25
144 (4) 1
21
100 (5) 1.96
2. 回答下列問題
(1)若 𝑎 的正平方根為 8 ,則 𝑎 = ,又 𝑎 的負平方根為何?
(2)若 𝑏 的負平方根為 −√24 ,則 𝑏 = ,又 𝑏 的正平方根為何?
3. 已知 6 是 3𝑚 + 3 的正平方根,則 𝑚 =
4. 已知−9 是 2𝑛 − 1 的負平方根,則 𝑛 =
5. 回答下列問題
(1)若 𝑥2 = 576 ,則 𝑥 = 。
(2)若 𝑦2 = 68 ,且 𝑦 > 0,則 𝑦 = 。
還是不太懂,請看下面影片平
方根的意義(例 1)
https://www.youtube.com/watc
h?v=xuN_L-nF3p0
還是不太懂,請看下面影片平
方根的意義(例 2~例 5)
https://www.youtube.com/watch
?v=10dh6PpomdA