Chapter 2Value and Number Systems

(ระบบเลขฐาน)

สาขาเทคโนโลยสีารสนเทศคณะเทคโนโลยสีารสนเทศและการสื่อสาร

มหาวทิยาลัยพะเยา

2

ระบบตัวเลข ระบบเลขฐาน ระบบเลขฐานสอง ระบบเลขฐานแปด ระบบเลขฐานสบิ ระบบเลขฐานสบิหก การแปลงเลขฐาน การบวก ลบ คณู หาร เลขฐานต่างๆ

Overview

3

เพื่อใหน้ิสติได้เรยีนรูพ้ื้นฐานของระบบตัวเลข รูว้ธิกีารคำานวณเลขฐานต่างๆ ได้ สามารถแปลงเลขฐานต่างๆ ได้ รูถึ้งวธิกีาร บวก ลบ คณู หาร เลขฐานต่างๆ ได้

Objective

4

ระบบตัวเลขและตัวอักษรถกูมนุษยพ์ฒันาขึน้ตามยุคตามสมยั จนถึงปัจจุบนัเรามรีะบบตัวเลขและตัวอักษรท่ีเป็นสากลไวส้ื่อสารระหวา่งกันและมนุษยก็์นำาเอาศาสตรด้์านนี้มาพฒันาสรา้ง เทคโนโลยีใหม่ๆ เพื่อให้ชวีติความเป็นอยูข่องตนเองดีขึน้ ระบบตัวเลขท่ีเราใชค้ำานวณในชวีติประจำาวนัเราใช้ตัวเลข 10 ตัวประกอบด้วย เลข 0 – 9 เรยีกวา่ระบบเลขฐานสบิ เป็นระบบตัวเลขท่ีมนุษยท์กุคนเขา้ใจ แต่ภายในระบบคอมพวิเตอรม์กีารประมวลผลโดยใชร้ะบบตัวเลขและรหัสต่างๆ อยูห่ลายรูปแบบ จงึมคีวามจำาเป็นอยา่งยิง่ท่ีต้องเรยีนรูร้ะบบเลขฐานต่างๆ การแปลงเลขฐานและรหัสที่ใชใ้นคอมพวิเตอร์

ระบบตัวเลข

5

ระบบเลขฐานเลขฐานหมายถึง กลุ่มขอ้มูลท่ีมจีำานวนหลัก (Digit) ตามชื่อของเลขฐานนัน้ๆ

เชน่ เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสบิและเลขฐานสบิหก เป็นต้น

ระบบเลขฐานสอง (Binary Number System) ประกอบด้วยตัวเลขสองตัวคือ 0 และ 1ระบบเลขฐานแปด (Octal Number System) ประกอบด้วยตัวเลขแปดตัวคือ 0, 1, 2,...,7ระบบเลขฐานแปด (Decimal Number System) ประกอบด้วยตัวเลขสบิตัวคือ 0, 1, 2,...,9

6

ระบบเลขฐานระบบเลขฐานสบิหก (Hexadecimal Number System) ประกอบด้วยตัวเลขสบิหกตัว คือ 0, 1, 2,...,9 และ A, B, C,…,F (เมื่อ A=10, B=11, C=12,…,F=15 ในฐานสบิ)ชื่อฐานเลข จำานวนหลัก (Digit)ฐานสอง (Binary)

0 1

ฐานแปด (Octal)

0 1 2 3 4 5 6 7

ฐานสบิ (Decimal)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ฐานสบิหก (Hexadecimal)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

ตารางท่ี 1 จำานวนหลักของระบบจำานวนฐานต่างๆ

7

ระบบเลขฐานฐานสบิ ฐานสอง ฐานแปด ฐานสบิ

หก0 0 0 01 1 1 12 10 2 23 11 3 34 100 4 45 101 5 56 110 6 67 111 7 78 1000 10 89 1001 11 9

10 1010 12 A11 1011 13 B12 1100 14 C13 1101 15 D14 1110 16 E15 1111 17 F

ตารางท่ี 2 เปรยีบเทียบจำานวนในระบบเลขฐานสบิ ฐานสองฐานแปดและฐานสบิหก

8

ระบบเลขฐานการเขยีนระบบเลขฐาน ต้องระบุชื่อฐานกำากับไวท่ี้ท้ายสดุของกลุ่มเลขนัน้ๆ เสมอยกเวน้ระบบเลขฐานสบิซึง่ใชง้านกันอยา่งแพรห่ลาย สว่นในระบบเลขฐานอ่ืนๆ จำาเป็นต้องเขยีนกำากับไวเ้สมอ เพื่อป้องกันความสบัสน

การอ่านระบบเลขฐาน สามารอ่านเรยีงตามตัวเลข ยกเวน้เลขฐานสบิท่ีอ่านค่าของตัวเลขในแต่ละหลัก

11012หมายถึง เลขฐานสองอ่านวา่ หนึ่ง-หนึ่ง-ศูนย-์หนึ่ง57248 หมายถึง เลขฐานแปดอ่านวา่ ห้า-เจด็-สอง-สี่D 8 A016หมายถึง เลขฐานสบิหกอ่านวา่ ดี-แปด-เอ-ศูนย์

เชน่

9

ระบบเลขฐานค่าคงท่ีประจำาหลักหรอืค่าคงท่ีเฉพาะ (Positional Values) คือ ค่ามาตรฐานของระบบเลขฐานในแต่ละตำาแหน่งของระบบเลขฐานนัน้ๆ กล่าวคือ ในระบบเลขฐานต่างๆ ยอ่มมค่ีาคงท่ีเฉพาะตามตำาแหน่งท่ีตัวเลขนัน้ๆ อยู ่ ดังนัน้ตัวเลขหนึ่งๆ ในระบบเลขฐานเดียวกันจะมค่ีาไมเ่ท่ากันเมื่ออยูใ่นตำาแหน่งท่ีต่างกัน

เชน่62914  10พจิารณาตัวเลข 6 มค่ีาหกหมื่นและตัวเลข 1 มค่ีาสบิ71856  10พจิารณาตัวเลข 6 มค่ีาหกและตัวเลข 1 มค่ีาหนึ่งพนั

จากตัวอยา่งพบวา่ ตัวเลขเดียวกันยอ่มมค่ีาต่างกันตามตำาแหน่งของตัวเลขนัน้ๆ โดยค่าค่งท่ีท่ีแตกต่างกันน้ีแปรผันไปตามค่าคงท่ีประจำาหลักหรอื ค่านำ้าหนัก (Position Weights) ซึง่ในระบบตัวเลขแต่ละฐานต่างกำาหนดค่าน้ีแตกต่างกันไป

10

ระบบเลขฐานสองระบบเลขฐานสอง (Binary Number) คือ กลุ่มตัวเลขท่ีแต่ละหลักมค่ีา 0 หรอื 1 เท่านัน้โดยแต่ละตำาแหน่งของเลขฐานสองเรยีกวา่ Binary Digit (bit) ซึง่ค่าของเลขฐานสองนัน้สามารถแทนด้วยสถานะทางไฟฟา้ได้ทันที และสามารถเทียบค่านำ้าหนักตามตำาแหน่งประจำาหลักท่ีสมัพนัธกั์บระบบเลขฐานสบิได้ ดังน้ี

… . ...

8 4 2 1 .

11

ระบบเลขฐานแปดระบบเลขฐานแปด (Octal Number) คือ กลุ่มตัวเลขท่ีแต่ละหลักมค่ีา 0 ถึง 7 เท่านัน้ระบบเลขฐานสองแสดงถึงการทำางานของระบบดิจติอลในจุดเล็กๆ แต่เมื่อมกีารพฒันาระบบดิจติอลก็มกีารทำางานท่ีซบัซอ้นและยุง่ยากมากขึน้ขอ้มูลก็มมีากขึน้ตาม จงึใชเ้ลขฐานท่ีสงูขึน้คือ ระบบเลขฐานแปด โดยสามารถเทียบค่านำ้าหนักตามตำาแหน่งประจำาหลักท่ีสมัพนัธกั์บระบบเลขฐานสบิได้ ดังนี้

… . ...

512 64 8 1 .

12

ระบบเลขฐานสบิระบบเลขฐานสบิ (Decimal Number) คือ กลุ่มตัวเลขท่ีแต่ละหลักมค่ีา 0 ถึง 9 เท่านัน้เป็นระบบเลขฐานท่ีเราคุ้นเคยมากท่ีสดุ สามารถเทียบค่านำ้าหนักตามตำาแหน่งประจำาหลักระบบเลขฐานสบิได้ ดังน้ี … . ...

1000

100 10 1 .

13

ระบบเลขฐานสบิหกระบบเลขฐานสบิหก (Hexadecimal Number) คือ กลุ่มตัวเลขท่ีแต่ละหลักมค่ีา 0 ถึง 9 และ A ถึง F เท่านัน้ ดังท่ีกล่าวแล้วขา้งต้นระบบดิจติอลเมื่อมกีารทำางานท่ีซบัซอ้นขอ้มูลยอ่มมากขึน้ระบบเลขฐานสบิหกจงึนิยมนำามาใชใ้นการป้อนคำาสัง่โปรแกรมและสามารถเทียบค่านำ้าหนักตามตำาแหน่งประจำาหลักท่ีสมัพนัธ์กับระบบเลขฐานสบิได้ ดังนี้

… . ...

4096

256 16 1 .

14

การแปลงเลขฐาน การแปลงเลขฐาน 2 เป็นเลขฐาน 10สามารถทำาได้โดยวธิกีารคณูค่าประหลักคือ กับ

ค่าสมัประสทิธิแ์ละนำาผลท่ีได้จากการคณูในแต่ละหลักมารวมกัน++ = + = 8+4+0+1 = 13

เชน่

+++ = ++ = 8+0+2+0+0.5+0.25 = 10.75

15

การแปลงเลขฐาน การแปลงเลขฐาน 8 เป็นเลขฐาน 10สามารถทำาได้โดยวธิกีารคณูค่าประหลักคือ กับ

ค่าสมัประสทิธิแ์ละนำาผลท่ีได้จากการคณูในแต่ละหลักมารวมกัน

= + = 2560+448+16+4 = 3028เชน่

+ = ++ = 512+192+0+2+0.5+0.125 = 706.625

16

การแปลงเลขฐาน การแปลงเลขฐาน 16 เป็นเลขฐาน 10สามารถทำาได้โดยวธิกีารคณูค่าประหลักคือ กับ

ค่าสมัประสทิธิแ์ละนำาผลท่ีได้จากการคณูในแต่ละหลักมารวมกัน

=+= 53248+2048+160+0 = 55456เชน่

+ = ++ = 1280+128+15++0.0625+0.04296875 = 1423.10546875

17

การแปลงเลขฐาน การแปลงเลขฐาน 10 เป็นเลขต่างๆการเปลี่ยนเลขฐานสบิไปเป็นเลขฐานต่างๆ มขีัน้

ตอนดังน้ี คือ 1. แบง่เลขฐานสบิจำานวนเต็มแยกออกจากเลขฐานสบิท่ีเป็นทศนิยม 2. สว่นของเลขฐานสบิท่ีเป็นจำานวนเต็ม - หลักการคือ นำาเลขฐาน 10 ตัวนัน้มาต้ังหารด้วยเลขฐานท่ีต้องการไปเรื่อยๆ จน กวา่ผลลัพธ์จะเป็น 0 - ในการหารแต่ละครัง้ให้เก็บเศษไว ้เมื่อการหารสิน้สดุแล้ว ให้นำาเศษมาเรยีงกันจากล่างขึน้บนก็จะได้เลขฐานท่ีแปลงไป - โดยเศษตัวสดุท้ายคือ MSB : Most Significant Bit เป็นบติท่ีอยูท่างด้านซา้ยสดุและมค่ีามากท่ีสดุ และ LSB : Least Significant Bit เป็นบติท่ีอยูท่างด้านขวาสดุและมค่ีาน้อยท่ีสดุ

18

การแปลงเลขฐาน การแปลงเลขฐาน 10 เป็นเลขต่างๆ3. สว่นของเลขฐานสบิท่ีเป็นทศนิยมจะถกูคณู

ด้วยเลขฐานท่ีต้องการหลายๆ ครัง้เท่าจำานวนทศนิยมท่ีต้องการหรอืจนกวา่จะคณูต่อไปไมไ่ด้ ผลลัพธคื์อเลขจำานวนเต็มหน้าทศนิยมของการคณูแต่ละครัง้ เลขจำานวนเต็มของการคณูครัง้แรกมค่ีาเป็น MSD เลขจำานวนเต็มของการคณูครัง้สดุท้ายมค่ีาเป็น LSD

19

การแปลงเลขฐาน การแปลงเลขฐาน 10 เป็นเลขต่างๆ

เชน่ )452)222 1)112 0) 52 1) 22) 12 100 1

LSB

MSB4510=1011012

4510=()8

)458) 58 0

554510=558

4510=()16

)4516) 216 0

1324510=2D16

20

การแปลงเลขฐาน การแปลงเลขฐาน 10 เป็นเลขต่างๆเชน่

LSBMSB

0 .5410=0 .12

0 .54×2

1 .08

0 .0 8×216

21

การแปลงเลขฐาน การแปลงเลขฐาน 10 เป็นเลขต่างๆ

0 .5410=()8

0 .5410=0 . 42436568

LSBMSB

0 .54×8

4 .32

0 .32×8

2 .56

0 .56×8

8

48×8

3 .84

84×8

72

0 .72×8

5 .76

0 .76×8

08

22

การแปลงเลขฐาน การแปลงเลขฐาน 10 เป็นเลขต่างๆ

0 .5410=()16

0 .5410=8 A3 D716

LSBMSB

0 .54×16

8 .6 4

0 .6 4×16

10 .24

0 .24×16

3 .84

0 .84×16

13 .44

0 . 44×16

7 .04

23

การแปลงเลขฐาน การแปลงเลขฐาน 2 เป็นเลขฐาน 8

การแปลงเลขฐาน 2 เป็นเลขฐาน 8 ทำาได้โดยเขยีนเลขฐานสอง 3 บติ แทนเลขฐานแปด 1 ตัว เขยีนเรยีงไปเป็นลำาดับตามค่าเดิมก็จะได้เลขฐานใหมอ่อกมา

1101011 02=()8¿11010110¿326¿326  8

เชน่

111001 .0112=()8¿111001.011

3¿71 .3  8

24

การแปลงเลขฐาน การแปลงเลขฐาน 2 เป็นเลขฐาน 16การแปลงเลขฐาน 2 เป็นเลขฐาน 16 ทำาได้โดย

เขยีนเลขฐานสอง 4 บติ แทนเลขฐานสบิหก 1 ตัว เขยีนเรยีงไปเป็นลำาดับตามค่าเดิมจะก็ได้เลขฐานใหมอ่อกมา

1101011 02=()16¿11010110¿136¿D6  16

เชน่

111001 .0112=()16¿111001 .0110

6¿39 .6  16

25

การแปลงเลขฐาน การแปลงเลขฐาน 8 เป็นเลขฐาน 16การแปลงเลขฐาน 8 เป็นเลขฐาน 16 และการ

แปลงเลขฐาน 16 เป็นเลขฐาน 8 มหีลักการแปลง คือ ให้แปลงเลขฐานนัน้เป็นเลขฐานสองก่อแล้วแปลงเลขฐานสองท่ีได้เป็นเลขฐานท่ีต้องการ

437 .658=()16

¿100011111 .110 101¿000100011111 .1101 0100¿   11F .D4  16

เชน่¿ 437 .65

26

การแปลงเลขฐาน การแปลงเลขฐาน 16 เป็นเลขฐาน 8

9 AB .3 E16=()8

¿100110101011 .00111110¿100110101011 .001111100¿   4653 .174  8

เชน่¿9 A B .3 E

27

การบวกเลขฐาน 2การแปลงเลขฐาน 8 เป็นเลขฐาน 16 และการแปลงเลขฐาน 16 เป็นเลขฐาน 8 มหีลักการแปลง คือ ให้แปลงเลขฐานนัน้เป็นเลขฐานสองก่อแล้วแปลงเลขฐานสองท่ีได้เป็นเลขฐานท่ีต้องการตัวต้ัง ตัวบวก ผลลัพธ์ ตัวทด

0 0 0 00 1 1 01 0 1 01 1 0 1

28

การบวกเลขฐาน 2เชน่

11011

11101+¿

1 110112+111012=1110002

100112+101002

10011

10100+¿

1 100112+1010 02=1001112

29

การลบเลขฐาน 2การลบเลขฐานสอง 0 – 1 ตัวต้ังมค่ีาน้อยกวา่ตัวลบ จงึต้องไปยมืหลักหน้ามา 1ในการยมืแต่ละครัง้ของเลขฐานสองมค่ีาเท่ากับ 2 เมื่อนำามาลบกับตัวลบคือ 1 จงึได้ผลลัพธเ์ป็น 1 และอยา่ลืมหักหลักท่ีถกูยมืออกอีก 1 ด้วยตัวต้ัง ตัวลบ ผลลัพธ์ ตัวยมื

0 0 0 00 1 1 11 0 1 01 1 0 0

30

การลบเลขฐาน 2เชน่

11101

10110−

0 0111

111012−101102=1112

100012−11102

10001

1110−

0 011

100012−11102=112

31

การคณูเลขฐาน 2

เชน่

111012×1102=101000102

101102×1012

101102×1012=11011102

การคณูเลขฐาน 2 ใชห้ลักการเดียวกันกับการคณูเลขฐาน 10

11011

110×

0 00001101111011

+¿

10100010

10110

101×

101100 000010110

+¿

1101110

32

การหารเลขฐาน 2

เชน่

110112÷112=10012

111102÷1102

111102÷1102=1012

การหารเลขฐาน 2 ใชห้ลักการเดียวกันกับการคณูเลขฐาน 10

11110 0

1001

0 0010 011110

−

−−

−

11011011

101

001101100

−

−−

33

การบวกเลขฐาน 8เชน่

6357

14 27+¿

10006

63578+14278=100062

26538+35618

2653

3561+¿

6 43 4

26538+35618=64348

34

การลบเลขฐาน 8เชน่

6357

14 27−

4730

63578−14278=47308

51248−3108

5124

310−

4614

51248−3108=46148

35

การคณูเลขฐาน 8

เชน่

1438×658=121778

36718×5128

36718×5128=23721728

การคณูเลขฐาน 8 ใชห้ลักการเดียวกันกับการคณูเลขฐาน 10

14 3

65×

7571122+¿12177

3671

512×

75623671

23235+¿

237217 2

36

การหารเลขฐาน 8

เชน่

7028÷178=368

156248÷248

156248÷248=5418

การหารเลขฐาน 8 ใชห้ลักการเดียวกันกับการคณูเลขฐาน 10

1755132

6

1320

−

−

24144122

5 41

12024240

−

−−

37

การบวกเลขฐาน 16เชน่

9 A 4

72 E+¿

10D 2

9 A 416+72E16=10D 216

B329516+F 4C 6116

B3295

F 4C 61+¿

1 A 7 E F6

B329516+F 4C 6116=1 𝐴7𝐸𝐹 68

38

การลบเลขฐาน 16เชน่

D 629

82 4 F−

53D A

D 62916−824 F16=53DA16

471516− ABC16

4715

A BC−

3C5 9

471516− ABC16=3C 5916

39

การคณูเลขฐาน 16

เชน่

70 F16×2 A16=1287616

C 87116×31216

C 87116×31216=2676 AF 216

การคณูเลขฐาน 16 ใชห้ลักการเดียวกันกับการคณูเลขฐาน 10

70 F

2 A×

4696𝐸1𝐸 +¿12876

C 871

312×

190𝐸 2C 871

25953+¿

2676 A F 2

40

การหารเลขฐาน 16

เชน่

B5216÷1216=A 116

E03016÷2216

E03016÷2216=69816

การหารเลขฐาน 16 ใชห้ลักการเดียวกันกับการคณูเลขฐาน 10

12B412

A1

120

−

−

22CC143

6 98

1321101100

−

−−

41

การหารเลขฐาน 2

เชน่

B5216÷1216=A 116

E03016÷2216

E03016÷2216=69816

การหารเลขฐาน 2 ใชห้ลักการเดียวกันกับการคณูเลขฐาน 10

12B412

A1

120

−

−

22CC143

6 98

1321101100

−

−−

42

LAB 2 ฝึกการคำานวณและหาคำาตอบ เขยีนลงบนกระดาษ A4 แล้วสง่ในห้อง

1. 2. 3. 4. 5.

แปลงเลขต่อไปน้ีให้เป็นเลขฐาน 2 เลขฐาน 8 และเลขฐาน 16

แปลงเลขต่อไปนี้ให้เป็นเลขฐาน 101. 2. 3. 4. 5. 6.

43

1.2.3.4.5.6.7.8.

จงหาคำาตอบและแสดงวธิทีำา :9.10.11.12.13.14.15.16.

Assignment งานท่ีมอบหมาย ครัง้ท่ี 2 สง่จนัทรห์น้า ก่อน 15.00 น.

44

Question/Answer