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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI

MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi1

Appunti ed esercizi su:

funzioni elementari: formule edimostrazioni

24 dicembre 2010

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Indice

1 Funzioni elementari: formule e “regole di calcolo” 31.1 Funzioni circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Definizioni e fatti basilari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 La relazione goniometrica fondamentale . . . . . . . . . . 41.1.3 Espressione di una funzione in termini delle altre . . . . . 41.1.4 Archi associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5 Formule di addizione e sottrazione . . . . . . . . . . . . . 61.1.6 Formule di duplicazione e di bisezione . . . . . . . . . . . 71.1.7 Formule cosiddette parametriche . . . . . . . . . . . . . . 81.1.8 Formule di prostaferesi e di Werner . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Definizioni e fatti fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Funzioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Le funzioni elementari: esercizi 122.1 Dimostrazione di identita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3 Funzione logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Dimostrazioni di formule e relazioni generali . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Esercizio 1 (esempio guidato) . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Esercizio 2 (esempio guidato) . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.6 Esercizio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.7 Esercizio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.8 Esercizio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.9 Esercizio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.10 Esercizio 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.11 Esercizio 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.12 Esercizio 12 (esempio svolto) . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Il software yEd e i grafi delle dimostrazioni . . . . . . . . . . . . 172.3.1 Esercizio 1 (esempio svolto) . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2 Esercizio 2 (esempio svolto) . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1


2.3.3 Esercizio 2 (esempio svolto) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

A Formulario 20A.1 Funzioni circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

A.1.1 Relazioni tra funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . 20A.1.2 Formule di addizione e sottrazione . . . . . . . . . . . . . 21A.1.3 Formule di duplicazione e di bisezione . . . . . . . . . . . 22A.1.4 Formule cosiddette parametriche . . . . . . . . . . . . . . 22A.1.5 Formule di prostaferesi e di Werner . . . . . . . . . . . . . 23

A.2 Funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24A.2.1 Proprieta delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

A.3 Funzioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25A.3.1 Proprieta dei logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2


Capitolo 1

Funzioni elementari:formule e “regole dicalcolo”

Tutte le formule dimostrate in questo capitolo sono riportate e numerate, percomodita, nell’appendice A e ad esse faremo riferimento con indicazioni del tipo:“utilizzando la A.3b . . . ”, “tramite la formula A.4b . . . ” e simili.

1.1 Funzioni circolari

1.1.1 Definizioni e fatti basilari

Definizione 1. Si dice circonferenza goniometrica la circonferenza di rag-gio unitario avente centro nell’origine degli assi cartesiani.

Usando la formula che da l’equazione della circonferenza, noti centro e raggio,possiamo facilmente trovare che l’equazione della circonferenza goniometrica ela seguente:

x2 + y2 = 1

Definizione 2. Si dice seno di un angolo l’ordinata del punto di intersezionetra la retta che individua l’angolo e la circonferenza goniometrica.

Definizione 3. Si dice coseno di un angolo l’ascissa del punto di intersezionetra la retta che individua l’angolo e la circonferenza goniometrica.

Definizione 4. Si dice tangente di un angolo l’ordinata del punto di inter-sezione tra la retta che individua l’angolo e la retta di equazione x = 1.

Teorema 1. (Relazione analitica tra sin, cos, tan). Tra le funzioni goniomet-riche sussiste la seguente relazione algebrica:

tanx =sinx

cosx(1.1)

3


Dimostrazione. Si consideri il grafico rappresentato in figura 1.1; sia x l’angolo

AOB. I triangoli AOB e A′OB′ sono simili, percio . . .

Figura 1.1: Grafico utilizzato per la dimostrazione della relazione algebrica sussistente frale funzioni seno, coseno, tangente.

1.1.2 La relazione goniometrica fondamentale

Con considerazioni di geometria analitica, si dimostra che:

sin2 x+ cos2 x = 1

1.1.3 Espressione di una funzione in termini delle altre

Dimostriamo in questa sezione che tra le funzioni goniometriche sussistono lerelazioni sintetizzate nella tabella 1.1.

Relazione tra seno e coseno

Dimostrazione. Utilizzando la A.1, con banali passaggi algebrici, e possibileottenere le relazioni cercate.

Tangente in funzione di seno e coseno

Dimostrazione. Si utilizza la relazione algebrica che lega tangente, seno e coseno(A.2) e le formule appena dimostrate che esprimono il seno in funzione del cosenoe viceversa.

4


Tabella 1.1: Espressione di una funzione goniometrica in termini delle altre.

sinx cosx tanx

sinx / ±√

1− cos2 x ± tan x√1+tan2 x

cosx ±√

1− sin2 x / ± 1√1+tan2 x

tanx ± sin x√1−sin2 x

±√1−cos2 xcos x /

Seno e coseno in funzione della tangente

Dimostrazione. A partire dalle formule che esprimono la tangente in funzionedel solo seno o del solo coseno, con passaggi algebrici, e possibile ricavare leformule cercate.

1.1.4 Archi associati

Basandoci su considerazioni geometriche, si nota che:

sin(−α) = − sin(α)

cos(−α) = cos(α)

. . .

5


1.1.5 Formule di addizione e sottrazione

Dimostriamo qui di seguito che valgono le seguenti formule di addizione esottrazione di seno, coseno e tangente:

cos(α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ

cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ

sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ

sin(α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ

tan(α− β) =tanα− tanβ

1 + tanα tanβ

tan(α+ β) =tanα+ tanβ

1− tanα tanβ

Sottrazione del coseno

Dimostrazione. Si faccia riferimento alla figura 1.2.

Siano α = AOC e β = AOB gli angoli assegnati. Si costruisce nel primoquadrante un triangolo congruente al triangolo OBC. Utilizzando le definizionidi seno e coseno e di circonferenza goniometrica, risulta che:

C(cosα, sinα);

B(cosβ, sinβ);

C′(cos(α− β), sin(α− β));

A(1, 0)

Poiche AOC′ ∼= OBC, risultera CB = C ′A, ossia:√

(cosα− cosβ)2 + . . .

Sviluppando i calcoli ed utilizzando la A.1, otteniamo la formula cercata.

6


Figura 1.2: Grafico utilizzato per la dimostrazione della formula di sottrazione del coseno.

Addizione del coseno

Partendo dalla A.4a, possiamo scrivere:

cos(α+ β) = cos(α− (−β)) = . . . = cosα cosβ − sinα sinβ

Addizione del seno

Utilizzando le formule relative agli archi associati, e possibile dimostrare che:

sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ

Sottrazione del seno

Anche qua, con un semplice trucco algebrico, possiamo scrivere:

sin(α− β) = sin(α− (−β)) = . . . = sinα cosβ − cosα sinβ

Sottrazione della tangente

Addizione della tangente

1.1.6 Formule di duplicazione e di bisezione

Duplicazione

Le seguenti formule di duplicazione:

sin(2x) = 2 sinx cosx cos(2x) = cos2 x− sin2 x tan(2x) =2 tanx

1− tan2 x

7


si dimostrano facilmente a partire dalle formule di addizione, con accorgimenticome il seguente:

sin(2x) = sin(x+ x) = sinx cosx+ sinx cosx = . . .

Bisezione

Sono le seguenti:

sin(x

2

)= ±

√1− cosx

2

cos(x

2

)= ±

√1 + cosx

2

tan(x

2

)= ±

√1− cosx

1 + cosx

1.1.7 Formule cosiddette parametriche

Formula per il seno

Dimostrazione. Ricordandoci che vogliamo introdurre gli angoli x/2, possiamoriscrivere la A.5a nel seguente modo:

sinx = 2 sin(x

2

)cos(x

2

)Possiamo adesso dividere il secondo membro per 1 = cos2(x/2) + sin2(x/2):

sinx = 2sin(x/2) cos(x/2)

cos2(x/2) + sin2(x/2)

Volendo ottenere un’espressione che contenga la tangente, possiamo dividerenumeratore e denominatore per cos2(x/2); otteniamo cosı:

sin(x

2

)=

2t

1 + t2; avendo posto t = tan

(x2

)

Formula per il coseno

Si ricava, in modo analogo, partendo dalla formula di duplicazione del coseno.

8


1.1.8 Formule di prostaferesi e di Werner

Le formule di prostaferesi

Dimostrazione. Sommando membro a membro la A.4c e la A.4d, otteniamo:

sin(α+ β) + sin(α− β) = 2 sinα cosβ

Consideriamo ora il seguente cambiamento di variabile e la sua trasformazioneinversa:

{p = α+ β

q = α− β =;

{α = p+q

2

β = p−q2

Otterremo allora la seguente:

sin p+ sin q = 2 sinp+ q

2cos

p− q2

Viceversa, sottraendo le A.4c e la A.4d otterremo . . .E ancora, se consideriamo le formule del coseno . . .

Le formule di Werner

Sommando e sottraendo membro a membro le formule di addizione e sottrazionedi seno e coseno, e possibile ricavare le seguenti formule dette di Werner:

sinx sin y =1

2[cos(x− y)− cos(x+ y)]

cosx cos y =1

2[cos(x− y) + cos(x+ y)]

sinx cos y =1

2[sin(x+ y) + sin(x− y)]

1.2 Funzioni esponenziali

1.2.1 Definizioni e fatti fondamentali

Definizione 5. Si definisce potenza n-sima di un numero a il prodotto di aper se stesso effettuato n volte, ossia:

an.= a · a . . . · a︸︷︷︸

n volte

(1.2)

9


E’ chiaro che dalla definizione precedente non e possibile dare un significatoad espressioni come a0, a−2, a

325 : che senso avrebbe moltiplicare un numero per

se stesso zero volte? o meno due volte?Vedremo come dare un senso alle scritture precedenti.Innanzitutto diciamo che, per definizione, vale:

a0.= 1

Consideriamo ora la seguente moltiplicazione:

am · an 1.2= a · a . . . · a︸︷︷︸

n volte

· a · a . . . · a︸︷︷︸mvolte

=

= a · a . . . · a︸︷︷︸n+mvolte

1.2= an+m

Consideriamo adesso la seguente moltiplicazione:

an · a−n A.10b= an−n = a0

A.10a= 1

Considerando il primo e l’ultimo membro, ricaviamo che:

a−n =1

an

Veniamo adesso al rapporto tra potenze:

an

am= an · 1

amA.10g

= an · a−m A.10b= an−m

1.3 Funzioni logaritmiche

10


Tabella 1.2: Confronto e relazioni tra funzioni circolari e funzioni iperboliche.

Funzioni circolari Funzioni iperboliche

Relazioni definitorie

eıx = cosx+ ı sinx ex = coshx+ sinhx

e−ıx = cosx− ı sinx e−x = coshx− sinhx

cosx = eıx+e−ıx

2 cosh = ex+e−x

2

sinx = eıx−e−ıx

2 sinh = ex−e−x

2

Relazione fondamentale cos2 x+ sin2 x = 1 cosh2 x− sinh2 x = 1

Proprieta di derivazioneD[cosx] = − sinx D[coshx] = sinhx

D[sinx] = cosx D[sinhx] = coshx

Relazione tra funzioni cir-colari ed iperboliche

cosx = cosh(ıx) sinx = −ı sinh(ıx)

11


Capitolo 2

Le funzioni elementari:esercizi

2.1 Dimostrazione di identita

Dimostrare le uguaglianze proposte negli esercizi seguenti, facendo riferimentoalle formule riportate nell’appendice A, come negli esempi svolti.

2.1.1 Funzioni goniometriche

Vedi [?], vol. 3, ess. 317-382, pagg. 610-614.

Esercizio 1 (esempio svolto)

Dimostriamo la seguente identita:

tan 2x(1− 2 sin2 x) = sin 2x

Dimostrazione.

tan 2x(1− 2 sin2 x)A.5c= tan 2x · cos 2x

A.2=

sin 2x

cos 2x· cos 2x = sin 2x

(2.1)


Dimostriamo la seguente identita:

sin2(x− y) + cos2(x+ y) = 1− sin 2x cos 2y

12


Dimostrazione.

sin2(x− y) + cos2(x+ y)A.4d= (sinx cos y − cosx sin y)2 + cos2(x+ y)

A.4b=

A.4b= (sinx cos y − cosx sin y)2 + (cosx cos y − sinx sin y)2 =

= sin2 xcos2y + cos2 x sin2 y − 2 sinx cos y cosx sin y+

+ cos2 x cos2 y + sin2 x sin2 y − 2 cosx cos y sinx sin y =

= sin2 x(cos2 y + sin2 y) + cos2 x(sin2 y + cos2 y)− 4 sinx cosx sin y cos yA.1=

A.1= 1− 2 sinx cosx · 2 sin y cos y

A.5a= 1− sin 2x sin 2y

Esercizio 3

Dimostrare le seguenti identita:

cos 2x

cos2 x= 1− tan2 x

tan 2x

tanx=

2 cos2 x

cos 2x

(sinx+ cosx)2

1 + cos 2x=

1

2(1 + tanx)2

1− 1

2 cos2 x=

tanx

tan 2x

tanx− tan y

tanx+ tan y=

sin(x− y)

sin(x+ y)

tanx− sinx

2 tanx= sin2 x

2

tanx− tan(x+ y) =sin(x− y)

cos 2x · cos(x+ y)

13


2.1.2 Funzione esponenziale


Dimostrare che:

32 · 35 · 7√

32 =1

3−51/7

Dimostrazione.

32 · 35 · 7√

32A.10f

= 32 · 35 · 32/7 A.10b= 351/7

A.10g=

1

3−51/7

Esercizio 2

Come esercizio, si possono considerare gli esercizi 18-30 pag. 614 di [?], con-siderando come punto di arrivo il risultato proposto di fianco. Qui di seguito,riportiamo alcune identita riprese da tale testo.

(3√

25x ·√

5x)6 :55x−2

25= 52x+4

(21−x−x2

:√

2x)4

(22−x)2+x= 25x

2−6x

(√

2x · 3√

2x+1) :6√

2x = 22x+1

3

2.1.3 Funzione logaritmica


Dimostrare che vale:

log3

3√

33√

3=

7

6

Dimostrazione.

log3

3√

33√

3

A.10f= log3

3 · 3 12

313

A.10b= log3

332

313

A.10c= log3 3

32−

13 = log3 3

76

A.11c=

7

6log3 3

A.11f=

7

6

14


Esercizio 2

Come esercizio, si possono considerare gli esercizi 4-8 pag. 656 di [?] e 92-99pag. 661, considerando come punto di arrivo il risultato proposto di fianco. Quidi seguito, riportiamo alcune identita riprese da tale testo.

log 23

3

√9

4= −2

3

log5

5√

53√

5=

7

6

1 + log√

10− 1

3log 10− log

6√

10 = log 10

log(x− y) + log(x+ y)− log(x2 − 2xy + y2) = logx+ y

x− y

2.2 Dimostrazioni di formule e relazioni generali

Dimostrare le formule e relazioni proposte di seguito, mettendo in evidenza, inogni passaggio in cui lo si ritenga opportuno, le altre formule, definizioni e fattinotevoli utilizzati per la dimostrazione.

2.2.1 Esercizio 1 (esempio guidato)

Dimostrazione 1. Dimostrare che: sinx = ± tan x√1+tan2 x

,

sapendo che: 1) tanx = sinx/ cosx e che: 2) cosx = ±√

1− sin2 x

Dimostrazione. Vogliamo innanzitutto far sparire la funzione coseno, per cui,utilizzando sia l’ipotesi 1 (definizione di tangente) che l’ipotesi 2, scriveremo:

tanx =sinx

±√

1− sin2 x

Elevando al quadrato entrambi i membri, dopo una serie di passaggi algebrici,si ottiene la formula cercata.

2.2.2 Esercizio 2 (esempio guidato)

Dimostrazione 2. Dimostrare la seguente formula, detta di prostaferesi:

sin p+ sin q = 2 sinp+ q

2cos

p− q2

a partire dalle formule di addizione e sottrazione del seno.

15


Qui di seguito proponiamo le linee guida della dimostrazione.

Dimostrazione. Si mettano a sistema le formule di addizione e di sottrazionedel seno e si sommino membro a membro tali equazioni. Si consideri il seguentecambiamento di variabili: {

α+ β = p

α− β = q

Si consideri la trasformazione inversa (che esprime cioe α e β in funzione di p e q).Si eseguano le opportune sostituzioni; si ottiene cosı la formula desiderata.

2.2.3 Esercizio 3

Con procedimento analogo a quello dell’esercizio precedente, dimostrare le for-mule che esprimono la differenza dei seni, la somma dei coseni, la differenza deicoseni (sin p− sin q; cos p+ cos q; . . . ).

2.2.4 Esercizio 4

Dimostrazione 3. Dimostrare la formula di duplicazione del coseno, con-siderando come nota la formula di sottrazione del coseno.

Dimostrazione. Per la formula di duplicazione del coseno, ci serve la formula diaddizione del coseno. Dovremo allora ricavare tale formula a partire da quelladi sottrazione del coseno . . .

2.2.5 Esercizio 5

Dimostrazione 4. A partire dalla formula di duplicazione del coseno (cos 2x =cos2 x−sin2 x), ed utilizzando la relazione goniometrica fondamentale, dimostrarela seguente versione alternativa per la formula di duplicazione del coseno:

cos(2x) = 2 cos2 x− 1

2.2.6 Esercizio 6

Ricavare e dimostrare la formula di triplicazione del seno, ossia la formula cheesprime, in termini del solo sinx, il valore del sin(3x).

2.2.7 Esercizio 7

Ricavare e dimostrare la formula di triplicazione della tangente, ossia la formulache esprime, in termini della sola tanx, il valore di tan(3x).

16


2.2.8 Esercizio 8

A partire dalla seguente formula di bisezione della tangente:

tan(x

2

)= ±

√1− cosx

1 + cosx

dimostrare la seguente versione alternativa della formula:

tan(x

2

)=

sinx

1 + cosx

2.2.9 Esercizio 9

Dimostrare, ricorrendo anche ad un grafico sul piano cartesiano, la formula disottrazione del coseno.

2.2.10 Esercizio 10

Dimostrare, avvalendosi anche di considerazioni geometriche, la formula che legaalgebricamente le funzioni seno, coseno, tangente.

2.2.11 Esercizio 11

Dimostrare la formula di addizione della tangente, note quelle di addizione delseno e del coseno.

2.2.12 Esercizio 12 (esempio svolto)

Dimostrare la formula che esprime la tangente in funzione del solo seno.

Dimostrazione. Per la A.2, vale:

tanx =sinx

cosx

Inoltre, considerando la A.3c, possiamo scrivere:

tanx = ± sinx√1− sin2 x

che e la formula cercata.

2.3 Il software yEd e i grafi delle dimostrazioni

In questa sezione, proponiamo di utilizzare il software yEd1 per rappresentaretramite grafi le relazioni esistenti fra definizioni, teoremi ed altri teoremi.E’ possibile estendere progressivamente il grafo, via via che vengono aggiuntenuove definizioni e nuovi teoremi.

1Tale software e liberamente scaricabile dal sito [?].

17



Costruire un grafo che illustri definizioni e teoremi utilizzati nella dimostrazionedella formula di sottrazione del coseno.Proponiamo tale grafo in figura 2.1, in cui abbiamo evidenziato in verde ledefinizioni ed in giallo le formule e i teoremi.

Figura 2.1: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo)utilizzate per la dimostrazione della formula di sottrazione del coseno.


Ampliare il grafo realizzato per l’esercizio precedente, introducendo la formuladi sottrazione della tangente e le ipotesi (definizioni e teoremi) necessari a di-mostrarla.Ripercorrendo la dimostrazione della formula di sottrazione della tangente, noti-amo che, oltre a vari passaggi algebrici banali, abbiamo bisogno della definizionedella funzione tangente e delle formule di sottrazione del seno e del coseno.Otterremo cosı il grafico proposto in figura 2.2.

Figura 2.2: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo)utilizzate per la dimostrazione della formula di sottrazione della tangente.

18



Ampliare il grafo realizzato per l’esercizio precedente, introducendo la formula diduplicazione del seno e le ipotesi (definizioni e teoremi) necessari a dimostrarla.La formula di duplicazione del seno si dimostra a partire da quella di addizionedel seno, la quale a sua volta si dimostra a partire da quella di sottrazionedel seno; quest’ultima, infine, si dimostra usando le formule relative agli archiassociati e la formula di sottrazione del coseno.Tutto cio e sintetizzato nel grafico proposto in figura 2.3.

Figura 2.3: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo)utilizzate per la dimostrazione della formula di duplicazione del seno.

19


Appendice A

Formulario

A.1 Funzioni circolari

A.1.1 Relazioni tra funzioni goniometriche

Relazioni fondamentali

sin2 x+ cos2 x = 1 (A.1)

tanx =sinx

cosx(A.2)

20


Espressione di una funzione in termini delle altre

sinx = ±√

1− cos2 x (A.3a)

= ± tanx√1 + tan2 x

(A.3b)

cosx = ±√

1− sin2 x (A.3c)

= ± 1√1 + tan2 x

(A.3d)

tanx = ± sinx√1− sin2 x

(A.3e)

= ±√

1− cos2 x

cosx(A.3f)

A.1.2 Formule di addizione e sottrazione

cos(α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ (A.4a)

cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ (A.4b)

sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ (A.4c)

sin(α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ (A.4d)

tan(α− β) =tanα− tanβ

1 + tanα tanβ(A.4e)

tan(α+ β) =tanα+ tanβ

1− tanα tanβ(A.4f)

21


A.1.3 Formule di duplicazione e di bisezione

Duplicazione

sin(2x) = 2 sinx cosx (A.5a)

cos(2x) = cos2 x− sin2 x (A.5b)

= 1− 2 sin2 x (A.5c)

= 2 cos2 x− 1 (A.5d)

tan(2x) =2 tanx

1− tan2 x(A.5e)

Bisezione

sin(x

2

)= ±

√1− cosx

2(A.6a)

cos(x

2

)= ±

√1 + cosx

2(A.6b)

tan(x

2

)= ±

√1− cosx

1 + cosx(A.6c)

A.1.4 Formule cosiddette parametriche

Sia t = tan(x2

). Allora:

sinx =2t

1 + t2(A.7a)

cosx =1− t2

1 + t2(A.7b)

tanx =2t

1− t2(A.7c)

22


A.1.5 Formule di prostaferesi e di Werner

Prostaferesi

sinx+ sin y = 2 sinx+ y

2cos

x− y2

(A.8a)

sinx− sin y = 2 cosx+ y

2sin

x− y2

(A.8b)

cosx+ cos y = 2 cosx+ y

2cos

x− y2

(A.8c)

cosx− cos y = −2 sinx+ y

2sin

x− y2

(A.8d)

Werner

sinx sin y =1

2[cos(x− y)− cos(x+ y)] (A.9a)

cosx cos y =1

2[cos(x− y) + cos(x+ y)] (A.9b)

sinx cos y =1

2[sin(x+ y) + sin(x− y)] (A.9c)

23


A.2 Funzioni esponenziali

A.2.1 Proprieta delle potenze

a0 = 1 (a 6= 0) (A.10a)

am · an = am+n (A.10b)

am

an= am−n (A.10c)

(ab

)n=an

bn(A.10d)

(am)n = am·n (A.10e)

n√am = a

mn (A.10f)

a−n =1

an(A.10g)

aloga x = x (A.10h)

24


A.3 Funzioni logaritmiche

A.3.1 Proprieta dei logaritmi

Laddove non e indicata esplicitamente la base, e inteso che la proprieta valequalsiasi sia la base.

log(xy) = log x+ log y (A.11a)

log(xy

)= log x− log y (A.11b)

log xn = n log x (A.11c)

loga x =logb x

logb a(A.11d)

loga ax = x (A.11e)

loga a = 1 (A.11f)

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