第七章 个体遗传评定—BLUP 法

第一节 有关基础知识第二节 BLUP 育种值估计

第三节 遗传参数估计的 REML 方法

矩阵代数基础 纯量、矩阵和向量

纯量（ scalar ）• 只有大小的一个数值，也称为标量、数量或元向量。• 用数字或经定义的拉丁字母斜体、小写表示。• 如 a 、 r 和 k 。

第一节 有关基础知识

矩阵 (matrix)• 由一定行数和一定列数的纯量，按一定顺序排列的表。• 一般用大写粗体字母表示。• 矩阵的阶数 (order) 或维数（ dimension ）是指矩阵的行数 (m) 和列数 (n) ，表示为 m n 。• 例如：

向量 (Vector)

• 仅有一列或一行的矩阵，前者称为列向量(column vector) ， 后 者 称 为 行 向 量 (row

vector) 。• 通常用小写粗体字母表示。• 为区别行向量和列向量，通常在字母的右上角加一撇表示行向量，不加撇表示列向量。• 行向量的阶数为 1j ，列向量的阶数为 j1 。• 例如： 1

23

a 1 2 3a

一些特殊矩阵 方阵 (square matrix) ：行数与列数相等的矩阵 ， 如 An×n 。 其 他 矩 阵 称 为 直 角 阵(rectangular matrices) 。

对称阵 (symmetric matrix) ：元素间满足 aij = aji 的方阵。

a b cc a bb c a

A

a b cb a bc b a

A

1 0.5 0.80.5 1 0.20.8 0.2 1

B

三角阵 (triangular matrix) ：• 上三角阵：主对角线以下元素全部为 0 ，即当 j

< i 时， aij = 0 （ j <

i ）

11 12 1

22 20

0 0

n

n

nn

a a aa a

a

11

21 22

1 2

0 00

n n nn

aa a

a a a

• 下三角阵：主对角线以上元素全部为 0 ，即当 j > i 时， aij = 0 （ i < j ）

对角阵 (diagonal matrix) ：除 i=j 时的元素（主对角线元素）外，其它元素均为零的方阵，即 aij = 0 （ j i 时）。通常可以用 Diag {aj } 表示，其中 aj 为该阵的第 i 个对角线元素。

1 0 00 1 0

0 0 1

单位矩阵 (identity matrix) ：所有对角线元素为1 ，其他元素均为 0 的矩阵。

11

22

0 00 0

0 0 nn

aa

a

分块矩阵 (block matrix) ：用水平和垂直虚线将矩阵分为若干小块，此时的矩阵称为分块矩阵。其中的小块称为子阵 (sub-matrix) 。

1 2

0 0 1 0 02 1 1 0 1

, , 0 0 , 0 1 01 2 2 2 0

0 0 0 0 1

A A O I

2 1 1 0 1

1 2 2 3 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

A1 2

1

A A

O I

分块对角阵 (block diagonal matrix) ：主对角线上的子阵都为方阵，其余子阵都是零阵的分块阵。如：

11

22

kk

Α 0 00 Α 0Α

0 0 Α

稀疏矩阵 (sparse matrix) ：设矩阵 Amn 中有 s 个非零元素，若 s 远远小于矩阵元素的总数 ( 即 s<<m×n) ，则称 A 为稀疏矩阵。

矩阵的运算 加法 (addition) ：当矩阵 A 和 B 同阶时，有：

ijij ba BA

4 1 5 0 3 2 5 5 56 3 0 4 2 1 9 4 3

A B B A

对于 m n 阶矩阵 A 、 B 和 C ，具有如下性质：• 闭 合 性： A + B 仍然是一个 m n 阶矩阵；• 结 合 性： (A + B) + C = A + (B + C) ；• 交 换 性： A + B = B + A ；• 加性等同： A + 0 = A ；• 加 性 逆： A + (−A) = 0 。

4 5 36 0 2

A 1 0 2

3 4 1

B例如：

对于 m n 阶矩阵 A 和 B 以及纯量 和 , 具有如下性质：• 闭 合 性： A 仍然是一个 m n 阶矩阵；• 结 合 性： () A = (A) ；• 分 配 性： (A+B) =A+B ； (+) A=A+A ；• 等 同 性： 1A = A 。

乘法 (multiplication)

纯量与矩阵相乘：一个纯量 与一个矩阵 A 的乘积是用 去乘 A 的每个元素，表示为 A 。 ijA A

矩阵乘法具有如下性质：• AB BA

• (AB)C = A(BC)

• (A + B)C = AC + BC ； C(A + B) = CA + CB

矩阵相乘：当矩阵 A 的列数与矩阵 B 的行数相等时， A 与 B 可乘，即

r c c l r l ijc A B Cc

ij ik kjk

c a b其中，

例如：

转置 (transposition) ：矩阵的行与列对调，用A´ 或 AT 表示，即：

m n ij n m jia a Α Α

矩阵的转置有如下性质：• 当 A 为对称方阵时， A´ = A ；• (A´) ´ = A

• (AB) ´ = B ´A ´

• (AB ´ C) ´ = C ´BA ´

• (A + B + C) ´= A ´ + B ´ + C ´

矩阵的迹 (trace) ：一个方阵的迹为其对角线元素之和，表示为：

iii

tr aΑ

迹的运算性质： tr trΑΒ ΒΑ

0.51 0.46 0.33 1.30tr Α

0.51 0.32 0.190.28 0.46 0.140.21 0.16 0.33

A设： 则

tr tr aq q a q a tr tr tr ABC BCA CAB

范数 (norm) ：矩阵与其转置矩阵乘积的迹的平方根，即：

5.0

25.0

i jijatr ΑΑΑ

范数的性质：• ||A|| > 0 ，除非 A = 0 ； ||A|| = 0 A=0⇐⇒

• ||kA|| = |k| ||A|| （ k 为一纯量）；• ||A+B||≤||A||+||B||

• ||AB||≤||A|| ||B||

逆矩阵 (inverse matrix) ：对于一方阵 A ，若存在另一矩阵 B ，使得 AB=BA=I ，则称 B 为A 的逆矩阵，并表示为 A–1，即 A–1 A=I 。

A–1 存在的先决条件：• A 必须是一方阵；• A 的行列式 |A|0 ，即 A 为非奇异阵。

1 1*

| | A A

A

其中， A* 是 A 的伴随矩阵。

对任意 n 阶矩阵 A ， 称

为 A 的 伴 随 矩 阵 。 其中， Aij 是 A 中元素 aij 的代数余子式。

11 1

1

*n

n nn

A AA

A a

A–1 具有如下性质：• A–1A=AA–1=I ；• A–1 是唯一的；• ；• (A–1) –1 =A ，因而也是非奇异阵；• (A–1) ´ =(A´) –1 ；• 如 A 为对称阵，则 A–1 也是对称阵；• 若 A 、 B 均可逆，则 (AB)–1 =B–1 A–1 。

ΑΑ

11

如果 n 阶矩阵A 的 行 列 式│ A│≠0 ， 则称 A 是非奇异阵；否则，称A 为奇异阵。

非奇异阵也就是满秩矩阵 ：对于方阵 A ，如果存在一个同阶的方阵 B ，两方阵的积为单位阵，则称方阵 A 为满秩方阵或非奇异阵。

广义逆 (generalized inverse) ：对于任一矩阵 A ，若有矩阵 G ，满足：

AGA = A

则称 G 为 A 的广义逆，记为 A¯ ，即

AA –A = A

广义逆的性质：• 若 A 为方阵且满秩，则 A¯ = A –1 ；• 对于任意矩阵 A ， A¯ 必存在。

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a B a B a Ba B a B a B

a B a B a B

A B

Kronecker 乘积 ( 或直积 , direct product)

设 和 分别为 mn 和 pq

阶矩阵，定义 ，称为 A 和 B

的 Kronecker 乘积或直积，记为 。即：

ijaΑ

nqmpija

ΒC

BAC

ijbΒ

直积的有关性质 :

• 0A=A0=0

• (A1+A2)B=(A1B)+(A2B)

• A(B1+B2)=(AB1)+(AB2)

• ( A)( B)= (AB) （、 均为纯量）• (A1B1)(A2B2)=(A1A2) (B1B2) ( 如 A1 与 A2 、B1 与 B2 可乘 )

• (AB)′=A′B′

• (AB)-1=A-1B-1 ( 如 A 、 B 均可逆 )

• (x′ y)′=y x′=yx′

Hadamard 乘积：两个矩阵 A 和 B 的元素间相乘，要求 A 和 B 同阶。用 * 表示：

ijijij abba **ΒΑ

随机变量的期望值和方差设 X 为一随机变量，则： 其数学期望： ，且具有如下性质：( )E X

（ k 为一常数）( ) ( )E kX kE X k (X 、 Y 相互独立时 )

( ) ( ) ( ) X YE X Y E X E Y

( ) ( ) ( ) X YE XY E X E Y

其方差： , 且具有如下性质 :2( ) ( )Var X E X 2 2 2( ) ( ) ( )Var kX k Var X k E X

(X 、 Y 相互独立时 )( ) ( ) ( )Var X Y Var X Var Y ( 称为 X 和 Y 的协方差 )

( , ) ( ) ( )X YCov X Y E X E Y

将上述内容推广至多个变量。设 x1,

x2, xn 为 n 个随机变量，则：1

2

n

xx

x

x

1

2( )

n

E

x

21 12 1

221 2 2

21 2

( )n

n

n n n

Var

x V

随机向量

x 的期望向 量

x 的方差 -协方差矩阵

V 的对角线元素为n 个变量的方差；非对角线元素为变量间的协方差。

动物育种中常用的是表型方差 - 协方差矩阵 V 、遗传方差 - 协方差矩阵 G 和残差方差 - 协方差矩阵 R 。

1 12 1

21 2 2

1 2

2

2

2

n

n

n n n

p p p

p p p

p p p

V

1 12 1

21 2 2

1 2

2

2

2

n

n

n n n

a a a

a a a

a a a

G

1 12 1

21 2 2

1 2

2

2

2

n

n

n n n

e e e

e e e

e e e

R

G 阵的构建需要一个由个体间亲缘相关系数组成的矩阵 A ，该矩阵称为加性遗传相关矩阵。由于它是由 Wright 计算近交系数公式中的分子计算而得，故又称为分子血缘相关矩阵。

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

A

个体 i 和 j

间的加性遗传相关。计算公式：

1 21( ) (1 )2

n n

ij Aa f

个体 i 的近交系数加 1 。即 : 1ii ia f

A 阵元素计算机计算的递推公式：

1 0.5i iii s da a

0.5( )j jij is ida a a

jd

式中： 和 分别为个体 i 的父亲和母亲； 和 分别为个体 j 的父亲和母亲； 为 和 间的加性遗传或亲缘相关系数。若个体 i 的一个亲本或双亲未知， 。 和 分别为个体 i 与 和 间的加性遗传相关。 未知时， ； 未知时， 。

i is da0

i is da

isid

jsjd

isid

ji sajida js

jd

js 0ji sa 0

jida

线性模型基础 模型 (model)

模型：指描述观察值与影响观察值变异性的各个因子间关系的方程式。 因子：影响观察值的因子也称为变量

• 变量可分为离散型变量（变异不连续）和连续型变量；• 离散型因子分为固定因子和随机因子两类；• 连续性变量通常作为协变量看待。

固定因子与随机因子：与抽样和目的有关• 固定因子（ fixed factors ）：抽取因子的若干特定水平、水平数相对较少、研究目的是要对这些水平的效应进行估计或比较。• 随机因子（ random factors ）：因子的各水平是其所有水平的一个随机样本、水平数相对较多、研究目的是要对该样本去推断总体。

固定效应与随机效应• 固定效应 （ fixed effects ）：固定因子各水平对观察值的效应。• 随机效应 （ random effects ）：随机因子各水平对观察值的效应。

线性模型 (linear model)

定义：模型中所包含的各个因子是以相加的形式影响观察值，即它们与观察值的关系为线性关系。 组成：一个完整的模型应包括 3 部分内容：

• 数学方程式（或数学模型式）及其解释；• 模型中随机变量的数学期望、方差协方差；• 建立模型时的所有假设和约束条件。

例 7.1 ：

模型中每个参数的解释• yij ：第 i 个日龄组的第 j 头肉牛的体重 , 为观察值 ;

• ：总体均值，是一常量；• ai ：第 i 个日龄组的效应，为固定效应；• eij ：随机误差或残差效应。

随机变量的期望、方差及协方差

ij i ijy a e

( ) 0 ( )ij ij iE e E y a 2( ) ( )ij ijVar y Var e

( , ) ( , ) ( , )ij ij ij i j ij ijCov e e Cov e e Cov e e

约束与假设• 所有犊牛都来自同一个品种；• 母亲年龄对犊牛体重无影响；• 犊牛的性别相同或性别对体重无影响；• 除日龄组外的其他环境条件相同。

对每一观察值建立方程式

y11=198= + a1 +e11

y12=204= + a1 +e12

y13=201= + a1 +e13

y21=203= + a2 +e21

y22=206= + a2 +e22

y23=210= + a2 +e23

y31=205= + a3 +e31

y32=212= + a3 +e32

y33=216= + a3 +e33

y41=225= + a4 +e41

y42=220= + a4 +e42

日龄组1 2 3 4观察值 残 差

个

体

1 2 3 4

日

龄

组

y11 =198= + a1 + e11

y12 =204= + a1 + e12

y13 =201= + a1 + e13

y21 =203= + a2 + e21

y22 =206= + a2 + e22

y23 =210= + a2 + e23

y31 =205= + a3 + e31

y32 =212= + a3 + e32

y33 =216= + a3 + e33

y41 =225= + a4 + e41

y41 =220= + a4 + e42

a1

a2

a3

a4

y a e

关联矩阵：又称设计矩阵或发生矩阵。指示 y 中的元素与 a 中元素的关联情况。

1 1 0 0 01 1 0 0 01 1 0 0 01 0 1 0 01 0 1 0 01 0 1 0 01 0 0 1 01 0 0 1 01 0 0 1 01 0 0 0 11 0 0 0 1

1112132122233132334142

yyyyyyyyyyy

1

2

3

4

aaaa

a1 a2 a3 a4

y aX

模型的矩阵表示：

式中， y 为观察值向量， a 为固定的日龄组向量，e 为随机残差效应向量， X 为 a 的关联矩阵。且有：

y = Xa + e

( ) ( )E E e 0 y Xa

2( ) ( )Var Var y e I

其中， I 为单位矩阵， σ2 为观察值的方差。

线性模型的分类

按模型中各因子的性质分类如下： 固定效应模型 (fixed effect model) ：模型中除随机残差外，其余所有效应均为固定效应。

y Xb e

随机效应模型 (random effect model) ：模型中除外，其余的所有效应均为随机效应。

y 1μ Zu e

式中： y— 观察值向量； b— 固定效应（包括）向量； u— 随机效应向量； e — 随机残差效应向量 ; X— 固定效应的关联矩阵（设计矩阵或发

生矩阵）； Z— 随机效应的关联矩阵（设计矩阵或发

生矩阵）

y Xb Zu e

混合效应模型 (mixed effect model) ：模型中除和 e 外，既含有固定效应，也含有随机效应。

第二节 BLUP 育种值估计背 景

• BLUP 法是基于克服传统选择指数法的缺点的。• 选择指数实质上就是育种值的估计值。• 选择指数法假定不存在影响观察值的系统环境效应，或者这些效应已知，可以对观察值进行事先校正，则选择指数是育种值的最佳无偏估值。但是这一假定几乎不能成立。• BLUP 的基本思路是在估计育种值的同时对系统环境效应进行估计和校正。• 根据这一思路， BLUP 法必须基于混合模型。

•最佳 (Best) ：估计误差方差 最小； ˆVar A A

•无偏 (Unbiased) ：估计值无偏，即估计值的期望值就是真值， ； ˆ 0E A A

基本原理 BLUP 的 涵 义 ： BLUP 是 Best Linear

Unbiased prediction 的首字母缩略词，既最佳线性无偏预测。其中：

• 线性 (Linear) ：估计值是观察值的线性函数；

•预测 (prediction) ：是可以对随机效应进行预测。

通常，对固定效应称估计，对随机效应称预测。

y Xb Zu e

；，， Xbyeu EEE 00

Var Var Cov u G e R u,e 0， ，

Co , (( ), ) ( , ) ( , )v Cov Cov Cov y u Zu e u Zu u e u ZG

混合模型（ Mixed model ）

式中， y— 观察值向量； b 和 u 分别为固定效应和随机效应向量； e 为随机残差向量； X 和 Z 分别为 b 和 u 的关联矩阵。且有：

( )Var Var y Zu e( ) ( ) 2 ( , )Var Var Cov Zu e u e ZGZ R

V

这里是假定固定效应与随机效应间无互作。育种中是假定遗传与环境间无互作。

;ˆˆ 值是一个广义最小二乘估，即byVXXVXb 11 bXyVZGu 1 ˆˆ

混合模型方程组（ MME ）

MME 的解：解向量 s 右手项 r系数矩阵 C

注意：尽管 MME 的解中有 V-1 ，但 MME 中没有，直接求解 MME 便可，即 。ˆ 1s C r

C-1 可用分块矩阵表示为： 1

XX XZ

ZX ZZC CCC C

yRZ

yRX

u

b

GZRZXRZ

ZRXXRX1

1

111

11

ˆ

ˆ(1)

式中， y＝ 表型观测值向量 b＝ 为固定环境效应向量 X＝ 固定环境效应 b 的关联矩阵 a＝ s 个个体的随机加性遗传效应向量 Z＝ 随机遗传效应 a 的关联矩阵，当 a 中的所有个体都有观测值时，即 s ＝ n 时， Z = I

e＝ 随机残差效应向量

单性状无重复观察值的动物模型 BLUP

模型表达式 一个个体时：

1

r

jj

y b a e

y Xb Za e n 个个体时：

y 为个体的观察值； bj 为第 j 个固定效应； a 为个体的随机加性遗传效应；e 为随机残差效应。

( ) ( ) 0 E E a e

2 ( ) aVar a G A＝2 ( ) eVar e R I

随机效应 a 和 e 的数学期望为：

随机效应 a 和 e 的方差 -协方差矩阵分别为：

其中： 为加性遗传方差； 为随机残差方差；A 为待估个体间的加性遗传相关矩阵（ additive

genetic relationship matrix ），即分子亲缘相关系数矩阵（ numerator relationship matrix ）。

2a 2

e

混合模型方差组（ MME ）

式中， A-1 ＝ A 的逆矩阵 X′＝ X 的转置矩阵 Z′＝ Z 的转置矩阵

2 2 2 22 2

2 2 2 2 2

1 / 1

/y a a ye

a a a y

hk

h

与（ 1 ）式相比，（ 2 ） 式 是 在（ 1 ）式两边同除了一个 R-1 变换而来。

'

ˆ

ˆyyk

' ' '

' 1X X X Z Xb

a ZZ'X Z Z A(2)

1

'

ˆ

ˆyyk

' ' '

' 1X X X Z Xb

a ZZ'X Z Z A

－

1

k

' '

' 1X X X ZZ'X Z Z A

－

为系数矩阵的逆矩阵。

MME 的求解

XX XZ

ZX ZZC CC C

也可表示为：

其中， 为固定效应的 BLUE 值； 为随机效应的 BLUP 值。

ˆ b ˆ a

个体育种值估计的准确度 (Accuracy, ACC)

用估计育种值与真实育种值之间的相关系数来度量，其计算公式为：

ˆi ia ar

2 2 2ˆ ˆ

ˆ 2ˆ

ˆ( , )1i i i

i i i

i i i

a a a a ei ii a a a

a a a a a a

dCov a aACC r d k

＝

式中， 为 中与个体 i 对应的对角线元素。iad ZZC

当个体 i 为非近交个体时：

当个体 i 为近交个体时： 2 2

ˆ 1 ( (1 ) )1

i

i i i

ai a a a i a

i

d kACC r f

f

式中， fi 为个体 i 的近交系数。

Relationship between true BV and EBV for three accuracy values, r= 0.8, 0.5 and 0.3

对育种值估计准确度的进一步理解

• 个体某一性状的真实育种值只有一个，而且永远不变。• 个体的估计育种值则与信息来源和信息的多少密切相关，并随之变化。• 一般而言，利用的信息越多，准确度越大。• 准确度还是育种值估计中利用信息多少的一个度量。它表明了当拥有更多信息时， EBV 变化的可能性。• 随着准确度的提高， EBV 的变化减小。

估计育种值的可靠性 (Reliability)

预测误差方差 (Prediction error variance, PEV)

估计育种值与真实育种值之间的相关系数 的平方 称为估计育种值的可靠性。可靠性是一个决定系数，是对真实育种值变异中由估计育种值说明的变异部分 ( )的一个度量。

ˆi ia ar2

ˆi ia ar

2 2ˆi ia a ar

PEV 是育种值预测时对误差大小的一个度量。PEV 是对真实育种值变异中未由估计育种值说明的变异部分 ( ) 的一个度量。2 2

ˆ(1 )aa ar

当个体 i 为非近交个体时： 2 2 2 2

ˆˆ( ) (1 )i i ia i i a e aa a a aPEV Var a a d r d k ＝ =

当个体 i 为近交个体时： 2 2 2 2

ˆ(1- )(1 ) (1 )i i i i ia a e a a i a a i aPEV d r f d k f ＝

育种值估计的准确度可由预测误差方差计算

21

(1 ) a

PEVACC

f

预测误差标准差 (Standard error of prediction, SEP)

2(1 )i ia a i aSEP d k f ＝

单性状有重复观察值的动物模型 BLUP

模型表达式—重复力模型 (Repeatability model)

1 2y = Xb + Z a + Z p + e

式中， y 为观察值向量； b 为固定效应向量； a为随机加性遗传效应向量； p 为随机永久环境效应向量； e 为随机残差效应向量。 Z1 为加性遗传效应的关联矩阵； Z2 为永久环境效应的关联矩阵。且有：

( ) ( ) ( ) ( )E E E E a 0 p 0 e 0 y Xb2 ( ) aVar a A 2 ( ) eVar e I2 ( ) pVar p I

混合模型方程组

yZ

yZ

yX

p

a

b

IZZZZXZ

ZZAZZXZ

ZXZXXX

2

1

22122

211

111

21

ˆ

ˆ

ˆ

2

1

k

k

其中：2 2

1 2 2

1e

a

hk

h

2

2 2 2

1e

p

rek

re h

其中： h2 为性状的遗传力， re 为性状的重复力。

动物模型 BLUP 的理想性质• 能最有效地充分利用所有亲属的信息；• 能校正由于选配所造成的偏差；• 当利用个体的重复记录时，可将由于淘汰造成的偏差降到最低；• 能考虑不同群体及不同世代的遗传差异；• 能提供个体育种值的最精确的无偏估值。达到如上理想性质的前提是：

数据特别是系谱正确完整； 所用模型是真实模型； 随机效应方差组分已知，而且是正确的。

多性状动物模型 BLUP 育种值估计 模型表达式

以两个性状为例。

性状 1 的模型为： 1 1 1 1 1 1 y X b Z a e

性状 2 的模型为： 2 2 2 2 2 2 y X b Z a e

1 1 1

2 2 2

y a ey a ey a e

1 1

2 2

X 0 Z 0X Z0 X 0 Z

令：

则有：

y Xb Za e

随机效应的期望和方差 - 协方差( ) ( ) E E a e 0 ( )E y Xb

1 12

12 2

2

2 ( ) a a

a a

Var

A Aa G

A A＝

1 12

12 2

2

2 ( ) e e

e e

Var

I Ie R

I I＝

其中， 和 分别为性状 1 和 2 的加性遗传方差； 为性状 1 和 2 间的加性遗传协方差。 和 分别为性状 1 和 2 的残差方差； 为性状1 和 2 间的残差协方差。 A 为分子血缘相关矩阵；I 为单位矩阵。

1

2a

2

2a

12a1

2e

2

2e

12e

MME 及其求解

ˆˆ

1 1 1

11 1 1X R X X R Z X R yb

a Z R yZ R X Z R Z G

计算 G-1 和 R-1 后，代入混合模型方程组求解，便可得到：

1

2

ˆ bb b

1

2

ˆ aa a

固定效应的 BLUE值

加性遗传效应的 BLUP值

第三节 遗传参数估计的 REML 方法

最大似然 (Maximum likelihood, ML) 法 是统计学参数估计的一个重要方法 , 由 Fisher提出。

最大似然法的一般原理

概率函数与密度函数设 f (x, ) 为随机变量 X 的概率函数（ X 为离散型变量）或密度函数（ X 为连续型变量）， 为有关的已知参数，且 X 为 的函数。则 f (x, ) 为已知时， X=x 的发生概率（ X 为离散型变量）或X=x 的概率密度（ X 为连续型变量）。

似然函数（ likelihood function ）假定 为待估计的未知参数，但 X=x 已知，为观察值。将 f (, x) 看作是 x 一定时 的一个函数，称之为似然函数，记为 L(, x) ，表示 取不同值时， X=x 发生的可能性或似然性。 最大似然原理寻找一个使得 X=x 发生可能性最大的 值 ，即当X=x 时，寻找 ，满足 其中为参数空间。如果 存在，则称它为 的最大似然估值。

ˆ( , ) max{ ( , ) : }L x L x

注意事项 ： 的估计值必须落在参数空间内。我们不考虑参数空间外的 ML 估值。似然函数通常用对数形式，即 ln L 或 log L 。因为在求最大值过程中需要求对数后求导。

混合模型下参数的 ML 估计ML法要求说明数据的分布。对于混合模型，通常假定呈多元正态分布。似然函数的对数为：

其中 C 为常数。根据定义， b 和 σ 的 ML 估值是参数空间 中的一个使上式最大化的一个值。

11 1log ( , ) log ( ) ( )

2 2L C b σ y V y Xb V y Xb

ML 法的缺点

ML 估值被严格地限定在参数空间中，不考虑参数空间之外的具有较大似然值的解；

ML 估值不考虑因估计固定效应而造成的自由度的损失。

对于有限样本， ML 估值有偏。有偏来源主要有两个：

约束最大似然法的一般原理 基本思路

用 个线型独立的误差对照 的约束似然函数 Lr代替全似然函数 L 。其中， n 为有记录的个体数， 为固定效应关联矩阵的秩。

( )n r X K y

( )r X

设混合模型为： y Xb Za e 且有：2 2~ (0, ) ~ (0, )a eN N a A e I

2 2~ ( , )a eN y Xb ZAZ I

对于 y ，总可以找到一个线性函数 ，它满足 ，使得：

K y

K X 0

( )E K y K Xb 0

亦即 不受固定效应影响。K y

若 y服从正态分布，则 也服从正态分布，即：

K y

~ ( , )N K y 0 K VK

的对数似然函数，也即约束似然函数的对数为：

K y

1 1log ( ) log ( )

2 2Lr C -1σ y K VK y K K VK K y

其中， C 为一常数，且有：

0.5( ( )) log 2C n r X

n 为有记录的个体数， 为固定效应关联矩阵的秩。

( )r X

求解上述对数约束似然函数关于 和 的最大值，便可得到 和 的 REML 估值。

2a 2

e2a 2

e

于是：2

22 2

a

a e

h

REML 和 ML 的区别 思路上： ML 是求观察值的似然函数的最大值；而 REML 是求观察值的某一特定线性函数的似然函数的最大值。 结果上：由于 不考虑估计固定效应，因此， REML 法克服了 ML法中产生有偏估值的一个来源，即克服了 ML法中因估计固定效应而造成的自由度的损失。

K y

REML 和 ML 的相同点都具有大样本特性，即小样本数据估值有偏。

非求导的 REML—DFREML

DFREML 、 MTDFREML 、 DMU

求一阶偏导数的 REML—EMREML

VCE 、 REMLF90

利用一阶和二阶偏导数的 REML—AIREML

DFREML 、 AIREMLF90 、 VCE 、 DMU

REML 的有关算法与相关软件