Μαθητές του Λυκείου ΛινόπετραςΑνδρέου Μαρίνα - Νικολάου Ειρήνη –

Οδυσσέως Νίκος - Παλάζης Κυριάκος –Χαραλάμπους Νεκταρία – Χ’’Παναγή

Στέλλα –Χριστοδούλου Χρυστάλλα

Καθηγήτρια ΜαθηματικώνΔημητρίου Τέρψα

• Μπορεί να υπολογιστεί ο αριθμός π μέχρι κάποια δεκαδικά ψηφία

χρησιμοποιώντας οδοντογλυφίδες και ένα ριγέ τραπεζομάντιλο;

• Με ποιο τρόπο τα μυρμήγκια μπορούν να μετρούν το εμβαδόν μικρών ρωγμών στο έδαφος, όπου θα μπορούσαν να εγκαταστήσουν τη μυρμηγκοφωλιά τους;

• Τα πιο πάνω ερωτήματα, αν και φαινομενικά ασύνδετα, βασίζονται στην ίδια μαθηματική αρχή:

Το πρόβλημα της βελόνας του Buffon.

1.1. Η βελόνα του Βuffon

• Η βελόνα του Βuffon είναι από τα παλαιοτέρα προβλήματα στον τομέα της γεωμετρικής πιθανότητας.

• Διατυπώθηκε αρχικά το 1733 από τον Γάλλο φυσιογνώστη και μαθηματικό George-Louis Lecrerc de Buffon (1707-1788) και παρουσιάστηκε με λύση από τον ίδιο το 1777.

την ρίψη μιας βελόνας μήκους ℓ σε μια επιφάνεια με ισοδιάστατες παράλληλες ευθείες με απόσταση d

και τον υπολογισμό της πιθανότητας η βελόνα να τέμνει μια από τις παράλληλες γραμμές.

Το πρόβλημα περιλαμβάνει:

• Για ℓ < d, τότε (1)

• Αν ρίξουμε κ οδοντογλυφίδες και έχουμε λ επιτυχίες, τότε η πιθανότητα δίνεται από τον τύπο: (2)

• Εξισώνοντας τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει η εξίσωση:

(3)

2P =

πd

λP =

κ

d2

Προσπάθειες μαθηματικών για υπολογισμό του π

Ερευνητής Μήκος Βελόνας Ρίψεις Επιτυχίες Τιμή του π

Wolf (1856) 0,8 5000 2,532 3,15955

De Morgan 1 600 382 3,14136

Smith (1855) 0,6 3204 1218 3,15665

Fox 0,75 1030 489 3,1494

Lazzarini (1901) 0,83 3408 1808 3,12902

Reina 0,5419 2520 859 3,17947

Gridgeman 0,7857 2 1 3,1428

ℓ =1, d=1

Μεταβλητές:

1) Γωνία θ (0 ≤ θ ≤ π)

2) Απόσταση D του μέσου της βελόνας από την

πιο κοντινή γραμμή, με

▪ Η βελόνα θα τέμνει τη γραμμή αν

1.2. Η απλούστερη περίπτωση

Απόσταση μεταξύ ευθειών = ℓ

Απόσταση στην κοντινότερη ευθεία (D) ½ ημθ

Μήκος βελόνας = 1

2

dD

1

2D

Ποια η πιθανότητα να κτυπήσει τη γραμμή;

• Η πιθανότητα μιας επιτυχίας ισούται με τον λόγο Εσκιασμένο / Εορθογωνίου

ππ

σκιασμένο0 0

ορθογωνίου

1 1Ε = ημθ dθ = - συνθ = 1

2 2

1Ε = π

2

έ

ί

20,6366197...P

Απόσταση κέντρου

βελόνας - κοντινότερης

ευθείας

f(x) = ½ ημθ

Πιθανές τιμές του θ

• Για ℓ ≤ d2

0

/ 2

0

/ 2

0

( , )

2

4 22

2 (1)

dP dd

dd

d

d

όπου συνφ0 = d/ℓ

00

21 2( , ) 2 1 1

2

221

dP d d

dd

d

1.3. Οι άλλες περιπτώσεις

• Για ℓ ≥ d

• Πέντε ανεξάρτητες σειρές ρίψεων μιας βελόνας με ℓ = d/3.

• Εκτιμητής για το π:

με διακύμανση

• r = ℓ /d, n: αριθμός ρίψεων, Ν: αριθμός τεμνόμενων γραμμών.

2π 1 5,63ˆvar π π 1

n 2 n

N2rnπ ˆ

2.1 Η προσομοίωση του πιο πάνωπροβλήματος με Η.Υ.

http://www.angelfire.com/wa/hurben/buff.html

http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/m262/buffon/buffon.html

3.1. Τα μυρμήγκια που ξέρουν το θεώρημα του Buffon !!!

Eamonn MallonΒιολόγος

Nigel Franks Βιολόγος

Leptothorax Albipennis

ΦερομόνηΦερομόνη

Κοινά Κοινά σημείασημεία

Όπου Μ, Ν : συνολικά μήκη των δύο τεθλασμένων γραμμών Κ : αριθμός κοινών σημείων διαδρομών

MN2E MN2E

Εκτιμώμενο εμβαδόν οποιασδήποτε επίπεδης επιφάνειας

3.2. Μαθηματικά και ζωή Τα μαθηματικά είναι πιο ενδιαφέροντα και δραματικά από ότι συνήθως οι περισσότεροι άνθρωποι νομίζουν. Βρίσκονται πλησιέστερα στην ζωντάνια και ενεργητικότητα της ίδιας της φύσης, αποτελώντας αναπόσπαστο κομμάτι της, παρά σε μία αποστεωμένη αυστηρότητα με την οποία συχνά συγχέονται.

Η Φύση έχει ένα μοναδικό και ανεξήγητο τρόπονα χρησιμοποιεί Μαθηματικά.

3.3. Η Φύση στη διδακτική των Μαθηματικών

Στην Μαργαρίτα Μπέλα (Bellis perenis), υπάρχουν 21 έλικες προς την μία κατεύθυνση και 34 προς την άλλη.

Στα κουκουνάρια υπάρχουν 8 έλικεςπρος

την μία κατεύθυνση και 13 προς την άλλη.

Η φύση με την ομορφιά και την ζωντάνια της θα μπορούσε να δώσει πολλά παραδείγματα για τη διδασκαλία πολλών μαθηματικών εννοιών,

με τρόπο ιδιαίτερα ελκυστικό.

Ηλιοτρόπιο Κυψέλες

ΜπρόκολοRomanesque

ΤυχαίοΛουλούδι

«Όλα τα αποτελέσματα στη φύση δεν είναι παρά οι μαθηματικές συνέπειες λίγων αναλλοίωτων νόμων»

P.S. Laplace

«Ο Θεός Γεωμετρεί» για άλλη μια φορά μπροστά στα έκπληκτα μάτια του ανθρώπου, που το πολύ που μπορεί να κάνει είναι να ανακαλύψει αυτές τις κρυμμένες αρμονίες του Σύμπαντος.

Τελικά, μάλλον τα φυτά ξέρουν καλά μαθηματικά και όπως φαίνεται η Φύση ολόκληρη υπακούει σε μαθηματικές αρμονίες…

«Χωρίς μουσική, η ζωή θα ήταν λάθος» έγραφε ο Νίτσε

Χωρίς Μαθηματικά;«Δεν θα είχαμε νιώσει την ηδονή της ανακάλυψης του πολυδιάστατου και πανέμορφου κόσμου που μας περιβάλλει»

Αθανάσιος Φωκάς Ελευθεροτυπία Αθηνών