29

C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

������� �

�������������

Page 2: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ����� ��� ��� ���������

��������� �� �� ����� �� ������� �� ������������� ��� ������

�� ������ �������� �� ��� ��������� ������ �� ��� ��� ����� ����

������ ��� � �� ������� �� �������� ������� �������� ��� �������

������ ��� ��!� ���� ��� ��������� � ����� ����� "� ��� �� ���� ����

��� ���� �� ��# �� ������ ���� ��������� ��� ��� ���� �� ��� ������� �� �������$

������� ��� ���� �� #��� %� ��������!� ����� �� � ��� ����� � �� ��&������ �

��� �������� ���� � ������ �� ����� �� ������ �� �� ��� ������� %� �����

�� ������������ ��� ��� ����$������ ���� �� �������� ������

���� ��������

� �������� C �������� ��' (�) � ���������� �� ������ O* (�) �� ��� ��� ���

��� �� �� O� � �� �� ����� � M��� ��* ��� (+) �� ��� ��� ���� ��� �� �� �� O

� �� �������� ������� Æ � M��� ���M��� ���M��� ��� "� ��������� ��� �������

�� �����#�� '

�� �������������� ����������� �� �������� �� �����������

�� ��������� ,� ��� � � O� �� -���� �� ������� ������� Id � M��� �� #���

� Æ Id � � �� ��� � �M��� �� ��� Id Æ � � � �� ��� � �M��� ���

%� #�� ������� �� �� ��� ��� ��� ������

�� �� � ������������ %� ���� �������� �� ���

���� �� �� �� ������� �� ����� .* ���� ����

#�� #�� ����� �� ��! �� ���������� � ���$������

%��� �������� ��� ��! ��� �� ����������� ��������

��-����� � � �� ���������� �������� ��������

�� ������� #�� �� ��� �� �� ��/������ ������ ����

#�� ��0��� ��� �������� � ��������� "� �� ����

���� �� ���� ���� � ��� �� �� � ��� �� ��

������ (��0���) ��� ��#� (��������)� � ��� ��

C �� �������$� �� � ����� ��� �� ����� (O) ����

�� ��� ����� ��� �� ����� �� �� � �� M��� �� �� ��#� ��� � �� � (�� ����

���� �� ��������)� %� ��� ��- �� ������� � �������! ������� ��#� �����������

�� ��#� ��� � �������$� �� � �������- #��� ������� �� �� ���������� �����

�� %� ������������� �� ����������� ��!#�� ��� �� ��# ��� �� ��� �����

�� �� #���� �� � +������-� %��� ���������� �� ������ �� ������� �� ����

�� ����� �� ������� �� � ��� �� ��� � � ��� ������ ��� ����� ���� ���� �� ������� � �� �� �������� ������ ��� ����� ��� �� ����� � ���� �� ��� �� �������

Page 3: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

����� �������� ��

����� ��� ����� �������� �� ������ ���������� ���� ��� ����� ������ � � ����� ����

������� �������� !��� ���� ���� � "#���� ��� ������� �����$ ������� �����

��������� ������ � ���� � ��� %������� ���� ���!��� ��� ����"��� ��!� �

�������� ��� ������������ �� ���� ���������� ����� �� ���� ��"#���&� ��� ���� �� ���

�������� � ������

'�� ��� ���� �������� � �������� �� �� ����� ����� � "� � �����(

����� ����� �������)

�� ���� ������ ��� � ���� �� ��� ����� ����������� Vect � *��� ��� ��������� Grp

+� %"����� ���� ��� ��������� Ab

,� *���� �"����� ���� ��� ����� ��������� GrAb

-� '������� ������ ��� �������� ���� Top

.� '������� ������ ��� ����� ������� � ���� hTop�

/� 0������� ��� ���� ���� Man

1� 2��� ��� �������� Set �� 3����� ���� ��� �������� FinSet

��� ����� �������� ��� ����� ���� ChCo ���

��� 4���� ��� ��(�������� �������� Pos�

5��� �������� �� ���� �!������$ ����� ����� ������)

�� *���� � �������� ����� �$ ��� ������ Op�

��� "#���� �6��� � ��� ���

���� � � ���������� ��� ����� ���7�$ !��� ��������� � � � ������� �������

� � ��

� % ����� ���� ������ � �� � ������ Face� !��� "#���� �� ����� !��� �(

������ � � � �8 � �� � ���� � � $ ��� �

+� %�� ���� ��������� ���� ���� ����� �� � ������ !��� "#���� �������� �

� ��� ������� � � �8 ��� '�� ������ �! �������� �� ������� �����

� � ���� �������

,� % ��� � ��� "� ������ �� � ������ !��� �� "#��� ��� !��� �������

� ��������� � �������� � �$ ��� �������� "���� ��� ��� ��(

����� '�� �������� � � �� ��� �������� ������$ ��� ���� ������ ���� "�

������"�� �!��� ������"�� �������� ����� !��� �� ����9 �� �����) ��� :��� ��

-� % �������� ��$ ������� ��� ����6�� ����$ ������ ������) �� �� � ������ !���

������"�� ������� �� ��� "���� � ������("#��� ������� % ����� �� �

������ !��� � ������ "#��� �� ��� "���� � ����(!���(���������

'�� ����� � !������ � ��� ��������� �������� ��9� ���� ��� ����� �

����� ������ ;� �� ������ "��� � ���������� ��� �������� � �������� ���� ����

������� ���������� �� ��� ����� � ���� �����

���� � ���� ����� ����� �

'�� �������� � ��� ������� �(������� �� ������ !�� ���������� �������� %

��������� �(������� �� ��� ������

��� �� � �� � �� �� � � � �� � � � �� � �

Page 4: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ����� ��� ���� ������ �

�� � ����� � �� ������ �� ��� � ��� �� � � ������ � ������ �� ��

� ��� � �� �� � ��� �� � � � ������ ���� �� ���������� ��������

�� �� �� � �� ���� � ���� � ������� � ����� ������ �� ����� ��� �����

� ��� !���� �� ������ �� ������� � ������" �� ��� ��� � ������� ������ #�

$���% �� ���� � �� �� � � � ����� � ��� � !�� � ���� �" � � ���� �������� ��

�������� � ��� ���� �� Simp� �� � ����� � �� �&�������� �� �� �

������� �� � ������� ��������� �

'������� �������� ��� � ����� ��&��� ��� �����&���� � ����� ��&��� ��&

������ !���� ��� � ���� �� � ��(����� )���� ��" ��� ��� � * � � � ���� � +

�� ���� � � � � � ��� � � � ������� #� � ������ �����&��� �������� ��&

� ��� �� ����� � � � ����� � � � � �� �������� �� �� ���� � � � �

�� , �� ������� � �������� �� � ���� � ���� � �� � ���� � + �� ���

����� �� � ����� �� � ��� � ��� �� ���� ����� �������� �� �� ���

� ������ ������ �� �� � ��� ����� -��� � ���� ���� �������� �� �&

� �� ��� � � � ��������� �������� ���� � ����� ��� �� ������ ����

�� ����������� �����&������ ��� ���� � �����& ���� ��� � � �� �����& ����

���� ��� �������� �������� � ������ ����� �� ���� � ��(�� ���� �� �

������� �� �������� ������� �

. ��� ���� ��� ������� � ����� � � , ��� � ������ �� ���� �� � ��� �����

! � ���� ��� ��" � �� ���� ����/��� �� �� ���� �� ���� �� � ��������� � !��

���� 01'"� � ������� � !�� ���� �2"� ��� ����� � !�� ���� 1�3"� 3�� � �����

�����4���� 0 ������� ������� �� � �� � ���� � ��� � ������������ ����� ��

�� �������5 ��� �� �� �� ����5 ������ � ��������� ��� ������� ��� ����������

����� ���� �� �� �� �� ��� �� � ���� ���� � � ����� ��� � �� ���/��

����� �� � �� ���

� � � � � � � � � � � � �� � � � � � �� � ��

0 , ��� ����� � �� �� ����� � � ���� � �� � � ������ � � � � �(

� � � � � ! � )���������� � � � � �"� #� ���� � �� ���� �� � �� ����� � �����

���� � ��� , ��� ������ � � �� ����� � � ���� �� Bool� �� � � ������

� ������ �� ������ �� �� �� �� ��� �� � � � � � � �� ���� , ���

������ � � ��� ���� �� �� ������� � ���� �� �� � ���� �� � �������� �������

�� Bool ���� )���� �� ����� ��� , ��� ������ �

������� �� ����� ��������� �

Page 5: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

����� ������� ���

� � ��� �� ���� ��� ������� ���� �� ������ ������� �������� �������� �� ����

�������� ������� � ������ ������ �� �������� ������� �� �������� ��������

C� ��������� �� � ����� ������� � � � � � �� � ������� � � !"� #� ��$���� ��

C� ��� �� ������ ����� �� �� ������� ��� %������ �� �� ������� %�� �� �& ��

�� ��������������'�����

#� ����� ��� ���������& %������ ��� ���������� ��

������ ������ �� ������ ����� � �� ������ ��������

#� ����� � �������� �� ���� �������� ��������� ( ���

��� �� ������� M��� �� ��� �� �)�� �� ��������� �� �

���������� ������ *�� �������& �� ����� ����� �� �

�� �� �� ����� ����� ��� ������� ����� � ��������

�� ��� ��$���� +�� ��� ������ ����� � ��� �,� #�

������� ��� ������� M��� �� ��� M��� �� ��� ��� �

����� ���� +�� ������& ������������ �� �� �)�����

-��� ���� �� � %�����,. M��� �� � ��������� �� ��

��� ���������� ��� ������� %������ ���� �������������. M��� �� � ������ �

���� �������

#� ������ �� �������� ����� � �� ����� �� ���/ �� ���������� ��������� �

� ������������������� ������� 0� � ������ �� ��� � ������� �� ���� )��� ����

��-�����& ������� �� �������� ����������& ������������ �� ����� ���� ���� ����

�� �������� �� �� ����������� 0�� �� �� �������� ����������� �� �1������ ���

����������� ����� � ���/�� �� ��������

��� � 2�� ���� � ���� �� �)� � ����

��� � � �������� C ��� � ���������3 4��

� ��� �������� �� ������ �� �)���� ����

�� �� �����. /������& �����& ��� ��� ����

�������������� ��/�� ��5���� � ��������

���� #� ���������� �������� �� �� �$�����

� � ��� ������� � ������ � � ���� � � � ��������������)�& ����& ����)��

� Æ � � Æ �& ��� � �� #� � ������ ���� ������� � ���������� ����� �

� � �������� ������� �� ���)��� ������� ��� �� �& �����& �� ������ ��-����

�� �$���)� ��� ��� �� �� �������� �� ����& ��� ���� �� �������& �������& ���

����������

�� � #� ��������� ����� �� �� ���� ����

��� ( �� ( � ���������� �������� ��

�� ���� ����� 0 ������ � � ��� �

����)�� Æ � � � Æ � & ��� � � +����

���������)�,� #� �������� ������� ���

��� ���� � ������� ��� � ��� �� ���� ���

��� ������ ����������� ������ +���& ����, ��� ��)����� �� ���� ����� �� ������

Page 6: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ������ �� ����� ������ �

����� ����� ���� �����

���� ��� ���� ����� ����� ���� �� �� �� ����� � ��� �� ��� � ����� ���� ��

� �� ���� ��� � ���� ���� �� ��� ���������� � ��� ��� ������� � � �� �� � �����

� � � ����� � ���� ��� �� ������ � ���� ���� � Æ � ��� � Æ � �� � �� ���������� �

� ��������� ��!���� �"����#� $ �%�����& ��� ������� � � �� � �� ���� ��� � ��� ��

��� ����� � � � � ����& ��� �� � � �� �� � '� ��(������� ���� ����� ���& ���� ��

Set& �� �� ���������� � ����������� ���� '� � ���� ������ �� � ����� � �� ���

����� ���� �� �� � ����� ������� ����� '� Set& �� � ���� �"���� �� �����������

��� � ���������� � ��������#) �� Top& �� � ���� �"���� �� � �� � ���� ������) ��

hTop& �� � ���� �"���� �� � � � ��� ������) �� Grp& �� � ���� ����� �� � �����

������� �� ��� ����� ��� ������% ����� � ���

��� �� ������������� �"����* � ��� �& �� ���

������� ��� ��� � ��� ����� �� '� � ������

����� �& �� ������ �"��� �� �� ���� � ��� ��

� ����� � � �� � ����� �"��� �� ��� ����� �

�� �#� + ��� ��� �"��� �� �� ���� � ������

� ����� � � ����� �"��� �� ��� ����� � � ��

�� �#� '������� ��� �������� �� ������ �� �� �

�� ������ �� � �� � ������ , � ��� ����� ���

� ����� ������� ������� �"����) ���� �� �� ������ � � � � ��� �� ��-� ����##

� � � ���������� � ����� ���� ������ �� ���� ������ .%������ � ����� ��� ���� ��������

�������� ������� ��� � �� ����*

�� Op�

��� � �� ������� ��� � �� ������� �"�����

�� ��� ����� ��� � �� ��� ������� �"��� � Set* ��� ��� ��� ��� �� � ������� �"���

������ �� � �� � �����#�

/� '� Grp ��� Vect& ��� ������� � �"��� �� � �� ������� ��� ��������

0� '� � ����� 1 ���� ������& 0 �� ������� ��� 1 �� ��������

2� '� Bool& ��� ��������� ������ ��� �� �� �������& ��� ��� �������������� ������

��� �� ��������

���������� '� ����� ������& �� ���� �� �� ��� -���� � � ����� ���� �) ��

��������& �� ������ ����� ���� �� -�������-� �"����� ��� ����� ����� ���� ���� ���

�� �� ���������

3���� � ��� � � ������ � � � � M��� ��& ��� ������4�

��

�������

��

��

��� �

��

���������

�� ������ � �� ��� �������� �"����� ����� ��� � �� �

���� ���� � Æ � � Æ � ���� ��& ����� ��� � ����� ����

� Æ � � Æ & ���� �%���� � ��� �� � ����� � �� �����

���� � �� ��� � , �� � � ��������� �� ������ �� ����

� � ������ � ��� �"���� �� ��������� ��� � ������ � �

-����� ��� ����� ���� �� ���������� ���� � -��� �� ��� ��� �

����� ����� ���� ��� ������ ������� ���� ������4� �� ��� � ���� � � ��� ������ �

5� � � � �6 ���� ���� �� ���������

�� ������� ���� � ����� ��� ������� ��� ���� ��������� ��� ������ ������������� ����

������� �������������� ��� �����������

Page 7: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

����� ������ ��

���� ������

�� ��� ���� �� ������ ���� � �� ��������� ����� �� �� ������ ����� � �� �

�� ������� �� ���� � ���� �� �� �������� ������� �� �������� �������

� � ������ ������ �� ���� ��� ������� �� �������!��������� �����������

������ ��������� " ������� �� �� ��������� F � C � C� ����� �#��� �#���

��� �������� �������� �� � ������ �� ������� ������� ��� ��������

������ �������� ��� ��� ������ �������� ��� �������� ��� ������ ��!

������� $�� ������� ���� %�� � ������� ���� � ��� �� �&����� ������� �� ���

���������

'�� ������� ������ ��� �� ������� ��������� �����

������ ����� ������� ��� � ������� �� �(������ ��

������ � � )�������� ����� ��*�������� ����+ ����!

��� ��� � )������ ����� �������� ���+ �� � �������

����� ��� �� ������ )Top� Grp� Man� Pos+ Set������ ��� ���� ����� ��� � �� ���� � ����!

����� ���� ����� � ������� ��� ����� �������

��� ��������� ��� �� � ������ �� �� ������� �� '��

����� �� �� ��������� ��� ����� ����� �� �� ������

����� �� �� � ����� ��� Top GrAb� ����� � ��� � � � � � ��� �������

��������� ��� � � ������ ���� �� ,����� �� �� � ����� � ����� ���

Top � GrAb� ����� �� ������� ��������� ��� ��� ���� � ����� ��!

����� �� ������� ���� ������ �� � ����� ����� �� ���������� '�� �������� �

�� ���� ���������� ������������ ��� �� �� ��� ����� � �� �� ������ - ���!

�� �� �������. ������� ����������� ,�������� ������ ����� ������

����!������ ��� �(������� ������ �� � ����� � � /����� �������

�� �� ���� ��� ��� � ��������� �

0����� �� ���� ���� �� ���� ���� ������ ���������� ������ � � �������

������� 1���� � ������ C� �� ������� � ����� C� ��� �� ���� �#���� ��

�������� �� ������� � ��� ����� M������ �� M������

�� �(������ ����� � ��� ������ ���� � �� �

������ ��� � ���&�� ������� � �* �� �� ����

������ �� �� ��� ����� ����� �������� �� ������ �����

2������ ��� ��� �� ���� �� ����� ��� ������ ��

� ����� �� ������ 3���� ����� ����� ����� � �����

��� Top � Ab� ������ ����� ������ � ����� ���

Top� � Ab� '�� ������ � ������� �� �����

������ ��� ���� ��� ���� � ������� �������� �C��� �

C� �

�� �� ���� �������� ���� �

'�� ������ � ���������� �����(�� �� ,����� ��/��� ������� ����� )�������

�������+ ��� ��������� ��� )���������� ��������� �����+� '��� ��(��� � �� ����!

��� ��� �� ��������� �� ��� ������ ��� ������� 4����� �� ��%���� � �� �!������(

Page 8: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ����� ��� ��� ���������

��� ��� ������ ����� �� ��� ����� � �� ��� ��� �� ������� ���� �� Simp�

���� �� ��� � ��� �� � � � ��� ���� �������� � ������� ��� � ���� ����

��� ��!��"�� ���������� #�� �������� � ���� �� �� ��� ����

�� � ��� � �� � ��� ��� ������ �� ���� �� � ��� � �� � ��� ����� �����"�� �$��

� ��� �� � �� ����%

����� �� � � �� �� ��� �� � � �� ���� ���� � � �� ��

����� �� � � �� �� ��� �� � � �� ���� � � � � ���� � � �� ��

#�� �� ��� ��� ��� �� ��� �� & �� �� � ���� �� ������� ���� ���

�������� ���� ������� �� �� �� ����� �� ����$ �� ���� �� �������� '�()�

���*� +� �������� �� �� ������� �� �� � ������ � ��������� �� ���� �����

,� ������ � ������� �� � ��� �"� �� ��� �� �� � � ��� �� �� �� ����� �

� ��� !������ ���� �� ��� ��� � �!�������

-� �� ��� �� �� ���� � ������ �� � �����

�� ����� �� ����� ���������� ���� ����� ��

������������ �� ����� ��������� ,� ������ �

��������� �� �� � ������ � � Simp� � Set� #���

������ ��������� � �� �� ��� �� �� �� Simp ���

����� ��� �� �� ���� ��� ����� .��������� ���

� ���� �� $��� ���$ �� �� ������������ �� ��

����� ���������� ������ �� � ����� ���$� � ���

� �� �������� ��� ����� �� ������� �� ����� ��

�� �������� ����% �� ��� �� ���� �� ��$!

�� �� ������ ��������� /��� ���� Simp ��������

�������� �� ��� ���������0 ���� ���������� �� �!

����� ���$$��� � �� ����$� �� � ���������� ��

�� � ��� � ������!���������� 1������� ������ ������� ���� � ���� �� ������ ������!

����� ��2���� �� ����� �� /���������� ����0 ������� #� ������ �� ���������

���$ �� �� ������ ����� ��� ���������� �� ��� � ���"�� ���� � ������ ���� ���� ��

���� �� ����� ������� �� ����� �� ������� ������� � � �� ������ �� �� ��!

������������ ����� �� � �3 ������ ���� �� �!��� �� ��� ���� ��� �!������

'�()� ���*� #�� � ��� �� ��� ����� �� ������������ ���� �� ���� ������

�� ���� ��% ��� ���� ��� �!������ ���� ���� 4 � ��� �!�������� ���

�� ������ ���� �� �� �!���������� � ��� �������� �

������ ���� ��� ���� ����� �

#� ��������� �������� �� �� �������� �� ���������� ��� ������ � ��� �����

5"� �� ��"� ��� � ����� �� �� ��� ����� �� �� �� 6��� #� �� �� ��

� ����� ��� ��� N�C�� �� �� ���������� �� ���� �!�������� � ��� �7����

�� � ��������� �������� �� C & � ����� �� � ����� #���� �� �� ��� �� C �

�� "���� �� N8 �� ���� �� C ��� ��� � �8 ���� �� �� ������� ���� �

�!��������� �� .��� � ����� �!������ ���� ��� ���� ��$ � �!������� ���� ��

��� ���� ��� � ������� �� ������ � ���� ����� #��� ����� �� ��� �� ������

�� ��� ��� � ���� ����� �� ���� � ��� �� � ���������� ��� #� � ����

Page 9: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

����� ������ � �� ���� ���

��� �� ����� � �� ����� ����� � � ������ � � �� ����� ��� � ���������

��� ���� �� � ������� ����� �� � � �� � ������ �� ��� ��� �� � ��� �

������ �� ����� ! ��� � � �� �! ����� � �� � "� � C� # ���$� ��

� ����� � ���� � � �� � ���� �� � ���������� �� % � ��� �� C�U� �

��� � ���� ! � ����� � �� �� � �� � � � ���� U � ���� �� � ����& �

� �� �� �������� �� N�C�U�� �� ������! � �������� �� � ��������� ��

�����' N�U� �� � (��)� �� ��������� ��& � � � ���������� �& ��� � ���

�� ! ��� �� �� ��������� ��� ��� ������� ��& � � � ������ ����*���

�� � ��������� �� �� �������� � � ��������� ��� �

���� ������ � �� ����

��������� �� ���� ��� ��� � �� ��! � � � �� �������� � ����� �� +�������&

��� ������ ,�� � � � ���� ��� � ��� - ��� ��� �& ���� ��������� �

���� �� ��$ � �� ����� � � ����� �� ����. � ����& �!� ��/���� & � � � /

���� �� �� ������� � ��������� � ������� ������ �� �� � � ������ �������

���� �� � ����! �� ��������� �� $� ��

,��� � (���& (���& � � (���� ��� �������� ����� ���

�����'���� � � ������! �� � ����� �� ��� ��� � ��� �����/

��!� �� ���/���� �� �� ��� �0� � �� � ��������

�� � �� � �� �� �� ����� �� ������ ��� ��� ��

�� �������� �� ����! ���& �� ������ � � ������� � �

� ����� � � �� �� � ��� �� �� ��� �� �� �� �!

�� ������ � � � ����� � Q � �� � � ������ �� ��� ��

�� ! � ������ ������ � � ! ����� ��$ � ������� ��

�� ���� � ������ � �������� �� � �� ��� ����� �$�

�� � �� � � � ���� ���� Q ����& ������� ���� �� � ��� � �� $ �� &

� ����� �� � ����� 1������ ���� � �� ������ � � � ��� � � ������ � �

��������� 2���� � ������� ��� � ������ � �������� � ������ ����� �� �

� ���� � ������� �.

�� ����� ��������� ������ �� � ����� � �� ����� ������ � �� � �����

�� ������������� 3�� � ! ������ �� � � � � Q& �� '��� � ���� � Q �����

!���� �� ������ �� � �������

4� ���������� 5�� � � �� Q ��� ����� � �����& ��� � ��� � �� Q

�� �� ���� ������& ���� �� � ��� � �� � � ����& � � �

������& ���� �� � ��� � �� � ������ �� ����� � � �� Q� ���

������ � �� ���� � �� �� Q�

�� �� ��� �! �����!& ����� ����� � ��& �� � ��� ����� � �� �

����. � ��& � ��� ����� �� ������� � ���� �� 6�� �� ����� � �����

� ������ ���! �� ��� �� �� ���� �& � � �� � � � ��$ � -���� ������� ���!

���� � ��� ��

Page 10: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ����� ��� ��� ���������

������� �� ��� ��� ����� ���� �� ��� � �������� �������� ��� � �� � ����

��������� ����� ���� ��� ��������

�� ������� ��������� �� �������������� �� ����� �������� �� �� ��� ������

� ��������� ������� �� ����� �� � �� ��!�� ��� � ��� �" �� ���� ���� �����

��# ���� �� ��!�� �� �� ������� ��������$ Clust$ %��� ��!��� � ���� �Q� �Q�

��������� �� � ���� �� Q ��# � �������� �Q ����� �� �������� �� Clust ��������� ��������� � � Q� Q� ���� ��# ���������������� ��# �������� ����� �� ��������

����� �� ���� � ���� ���� � ����Q�

� �� � ��������� �� �Q � � ����� ������

��� �������� ������ � �� ����� �� ��

� �������� ������ �� � ����� ��� �

������� �� ���� ���� ������ � Clust� �

�� ���� ������� ������ � � ���������� �

������� ������ � ������ ���������� ���

��������������� ������ ��� ����� ��� ��

�� ������� ������� ��� ������� ���������

��� � �������� ������� � ����� ���������� ��

���������������� � ����� �� ��� ��� �� ���

���� � �� �� ��������� ������� �������� �� ������� FinMet� ����� �� ��� ���

���� ���� ������ Q ��� ����� ������ � ��� ���� � ����� ������� ��� ��

� � Q� Q� ��� ��� ���� � �� ��� � ���� � ��� !�� ��� ����� ��� FinMet�� � ������

��� ����� � Clust � �� �������� ������ � ������� ���� ����������� ��� ����

��������� �� ������ "#�$ ��� �� �������� ������ �� ��� �� ��������� �� ���

� ����� �� �� ������ ����������� �� �� ���� �%�� �� ��������� ��� ������

��� FinMet� � Clust& ��� '(#) ��� �������

!�� �� �� ���� �� ���* ������� ����� �� ������+�� �� �� ������� �������&

��� �� ��� ������� ��� ������������ ��� � ��� ��� ��� ���� �� ����� ����� ,��

�������- ������ "#�$ ���������� �� � ������� ��� � � ������� ��� ��� �� ��

���� �� � ���� � ����� �� ��������. �� �������� ��� ��������� � ��������� �����. �� ��

��������� ������ ������ �� �������� ��������� �%��. ���� �������� �� ������

�� � ���� �� �� ��� �� ���� ��� ��������� ��� �������� �� ������ ������� /��

��� ��������� �� � �������� � ������� �� �������� �������

0���� PClust� �� ������� �� ����

����� ������� � �� �� ������� �����

�� ��� ��� ����� �Q� �Q��� ����� �Q

���

� �������� �������& � �� ��� �� ����

����� �� Q ��������� �� � � �����

��� �� �Q�

�� � ����� �� �� �Q� � ���

� � � �� ��� ������ � ��� ����������

������ � ��� Clust � � ���������� �� ��� �� ����� ��� �� ������� 1�� �

�������� �������� �� ������ � �� ����� �� � � �����& ��� ����� �� � ��

�� ����� ���� � ���������� ��������� �� �� ���������

������� ���� ������� ����� ����� � ����� ��� ��� FinMet� � PClust �� � �����

��� ���� ����� ������� �� ��� ����� �� ���� � � �� ��� ��������� ������ �����

Page 11: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

����� ����� ���� �������� ���

��� ������ � � � � ��� � � ������� � � � � � ��

���� ������� � �������� �� ��� �������� � ������ �����

�� �� ��������� ��� ����������� ��� ��� ��������� �������� �����

���� ����� ������ �� � ��� ������ ��� �������� � ���� �����!

��� ������ �� ��!"����� �� �� ���� ������ ������� �������� ���

�� �#������� �� �� ��� ���� ��� ������ �� ����� $ ���VR��Q�� %

��� ��������� ���������� � ��� ��������!� &������!'��� �����(

� Q� ��� ��������� � ��� &������!'��� �����( ��� �� ��� ��!

�(������� $�� ������� ����������� )��������� � ��� ������ ��

������� �� ��� ��������� � ��� ����� ���

���� ����� ���� ��������

��� ���� � ���� ���� ������ �� �� �����������F���

F�����

����

��

F���

����

��

F����F����

�� F����

�� ������� ���� � ��"� �� $���� �� �� ���� �� �� �������

���� ��� ���� ���������� �$����� � ���� �� ������ ����

�� ������ �������� �� ������� $�� ���� �������!

������ $������ ������� ����������� ���� �� ������� �� �

����������� ���� � ����������� ��� ������ ��� ��� �������

� ��� ������� � ������ ���� *���+� , ����� �����

�������� � � F � F� �������� � ��� � ������ F�F� � C � C� $ ������� ����

�$���� � � C �� � ������� ���� � F���� F���� �� ���� � ���� ������� � �� �

�� C� ���� �� � ����������� �#��� ���������� F�� ��� F����

-��� $����� � ����� ���� ������� �� � �����

�� ��� .����� � ���������� ���� �� � ���� ���� % ����

��������� ��������� �� ��� /$����� � � .�����

����� 0������� �� ������ 1���� ����� �����!

������ ��� ���� ��� ������� ����� �� ��� ��� �$��!

��� ��2� ��� )������ � ���� .����� ���� � ���

� 0�������� �� ��� ������ ������ � ���� �� ������

���� � ����� ���� ������� ���

����� ���� �������� ��� �"� ������� ���!

����$�� 3���� � � F � G ��� �� � F� � G�� ���� �� ���

�$����� ����� ���� ������� � Æ �� � F � F� � G � G�� 4������ �� �� ��� �����$� ��

������� � ����� ���� ������� � ���� � ����� H� ����� �� ��� � �� H � �� � ��

��� ����� � �H� �$������� � ����5�� ����� ���� ��������

������� ����� ������������ �

.������ ��� ��� ����� ���� ��� ���� ��� �� � ������ � ���� �� ��� �������

� � � ������� � � �� ��������� $ �� � ����� �� � � � � ���� ����� � ��

� � ��� ������� ��� ��� 1����� ��������2� ��� ��������� ����� ���� ��

����� ���� � ��� � �� �$������ ����� �� ����� �� �� ������ ���� ���� �� � �����

���� ������� �� � Id � �� �� ��� ������� ���� ��"�� �� � �� �� �� � � � � ��

Page 12: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ����� ��� ��� ���������

�� ��� ����� �� ���������� �� ���� ����� �� �� ������� �� ���� ���������� ������ ��� � ��� �� ����������� �

������� ��� �� ����� �

�� ��� !��� "!��� #�#$ ����� �� %����� �� �� �������� ������������ Æ � �

��C� � �

����A�& �'� � ���� %��� �()�� �� A � B � C� *����� � �� �)�� �� ����)� �� �� �������� ���������� �� �� �)���� ��� �%����()��& �� � +()����� "#�#$� ���� �� ()�'���� �� ��,�� ���� Æ �� � ���)�� ������������� �� �������� ������ �� ��� �, ChCoSES �� ���� %��� �()��� ������� �����%�� �� ��� !��� ����� ���� Æ �� � ���)�� ������������ �������� , �)����� �� GrAb-

⎛⎝

�� A� B � C� �

���C�

⎞⎠ Æ

⎛⎝

�� A � B� C� �

�����A�

⎞⎠ �

������� ��� ������������ �������� ���� �

�� �� �� �� ��'���� � �� �� �)����� ������ , ����� �'���� �� �����. �� ���� ��, � ��� ��������� �� ���� ��� ����������� � �������� ���� �������� ��� ���, �� �� ���)�� ��� ��� )�� ������ �� �� � ��� �����% � & �)� �������� ��� �����%� ���)� �� /���0 ����������� �� ������ ��& �� ���� ��1#�.� �� ��)�& ���� ���)����, ���, ���� ���� �� � ���)�� ����������������� �� '���)� ������ , �)�����- ���)��& ��� )��& 2��& 3��& ���& �������� �� �)���� �, �� �����4���� �� ����� ���� ����� � ����� ��� �&���������,& ������ ������������ ���� ������ , �)�����& ����� ����& � �&���� �����

���� �����

�& �� � �� ��'� ��� �� ���)�� ������������� ����

������������ "���� ��,�$ ,��� �� ������, ���)�� ������������ �� ��� ������ ,�)����� 5��)�� ����������� � �)��������� �

������� ��� � �������� �� � �� � ��� �� �

6�'� ��, ��� �, C& �� �� � )��() �)����R � C���� �� �� ��� �, ���� �� ����� ��� �� "������,$ ��������� ���� R �������� ��� ������ �� � ��� ��� ���������� �� ������,� 7� ��, �%� ����� � � C& �� ��'��)��)���� I� � ��� � C ���� ���� ��� � � ���� �� �� ����)����� ���� ������� R I� � Id

�� 8� ���� ��� ��)�� I� R �

������ �� �� ������, �)���� IdC9 8� �� ��� ���� C��� �� ������� ����� � � C& ��� �� �� � ���)�� ������������� � � I� R� IdC �'� �, ����� �� � � � ��� �&)��� �� )��() ������� ��� �� �������� ���� ����� �� �� �� ���,� �, �� �������-�� ���� �� �� ��% �� � ��� ���� ����� �� ��� �, ��& �����������,& ������������

����� ���� ������� ��� ����� � ��� ���� �������� ���� �� ������� ������ ��� ������������

�������� ������������

Page 13: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

����� ������� �� ��� ���� �� � ��� ������ ���

��� ���� ���� ������ �� �� ����������� C �� D� ���� ���� �� ������� F � C�D ��� G � D� C �� �� �� ������ � ���� G �F � IdC ��� F � G � IdD� �� � � ������ ����� ���� �� ������ �� ���� ��� ��� ����� ������ !�� �� �� "���

�����# � ��� ���� ���� ���� �� ��� �$�� � �� ��� ���� ����� ������ �� ���

G � F � IdC ��� F � G � IdD �� ��� ���� � ��� ��� ���� ���� ���� ������ �� C � D

�� ��������� ���� ���� �� � � �������� �� ��� ��� � �� �� �� ���� � ������

�� ������ ��� �$� ������ ������ ��� ������� � �� �� ��� ��

������� ����� ������ ��� ����� ������� �

%�� �� ��� �� ������ �� ��� ������� FinVect �� �� ��&� ��� ��� ����� ����������� � ��� ���&����� ������ D � FinVect� FinVect ���� ����� � � � Æ � '������

� � � Æ �� �� ��� � �� ����� ������� �� � �� ��� � � � ������ (��� �� �

���� �������� � ���� ���� � �� ����� �� ��� � D � Id� �� � ���� ����������� ��� � � FinVect � ������ �� ��� � �� �� �����&��� �� Æ� Æ ) ����� ���� � ������ �� ��� � � � D� � Id� �

���� ������� �� ��� ���� �� � ��� ������

��� �� ��� �� � ���&� ��� ����� � ������ �� ���� ����� � � ��� *��� �� ����&

� �� ��� ����� �� ���� +,�-� ����� �� � .,�� �� ������ ��� ��� ������� ���

���� ��� �� ��� ������ � ./��0 ��� .,�� ����� � � ���� 1�� �� �� ��� ��� ��� ��)

� ���� ��� ��� �� ���� �� ��� � �� ��� ���� 2��� ��� �������� ��� ���� ��

�� ��� ������ ��� �� � �� �� ��� � � � �� � � �� � �� ������ � �� ���� �� ���

�� �� �� � �� ������� �� �� "���# �3��� �� ���� �� � �� �� �� � �� ���

����� �� � � � � ��

��� $���� �� �� ���� �� � �� �) �� �� ���� �� �� ��� ��� ��� ��� ������� ��

��� �3��� �� ���� �� ������4 '�� �� � ��� �� ��� ������ �� �� ��� � �� � � �

������� ��5 ��� ������� �� ��� *��� �� ����� � ���� ��� ���� �� ��� �����

�� ���� � � �� �� � �$� �� �� � ��� �� �� ��3 �� �� ��� ����� �� �����

2���� ���� �� ���� ��� ���� �� ���� � ��� 6 ��� ��� �& ���3�� �� ���� ��&

$������� ���� ������ ��� �����

��� ���� �� �� � �� �� &��� ������ � ���� �3 ��

�� � ��� � � � � ������ � �����

���� ��� �

�� ����

�� � �������� ���� ����

�Æ� ��� � Æ

��� ���� ��� ���� �� ��� �� �� ���� ������ �� ��� �� �� ���

'� & ������ �� � �� ���� ��� �� ��� �� �� ��� ��� ��$������ ��� ���

� 7� �������� �� ��� ���� ��� ��� ������� �� � �� ����� ���� �� � ������&

�� � �� ��� ����� �� ��� �� �� ���� �� ��� � ������ ��������� �����

��� �� ��

��� �� � �� ��� � & ������ ���� �� � � ��� $� �� � �� �� � ��� � ��

��8� �� ��� ���� �� " � �� ������ �� �3 ���# ��� ��� ��� ������ � ��� � � ��

Page 14: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ������ �� ����� ������ �

����������� �������� �� �� � � ���������� ��������� ������ ��� ������ ��� �� �

���� �� � ��������������� ����������� �!�"����� ��� ��� ������� ���#������ � � ��

$ ���� ����� ������� %� ���� �������� ��� ������� ����� ��&

������� ��� �� ��� ����� �� �� � � � �� ��� ���������� ������� �������

��� ������ ��� ��������� ������� ��������� �� ���� � �� ��� �� ��� �� ���

������� �� ��� ������ ����������

��������� �����

��� � �� � �����

'��� ����� ��� �� ��������� ��� ����� ���� ��������� � ����� � $����� �

� � � � �� '��� $ � � ��� ������� � �� � �� $ �������� ���� $ � ������

�� �"���� ����� $���� E� � ����� � Top� '�� �������� �������� ��� ���������

� � � �� �� ��� � �� ���� � $ ���� $���� ���� ���

'�� ��������� $ $���� � � �������

�������

��

F

��

�������

��

F�

��

�����

F

��

��

��

C C C

��� #����� �& ���� �� ��� ����������� ����

����� $ ������ $���� � ������ C $ C �

����� �( '�� ����� ��� ���� ������ �����

$ ���� �� )*+� ,� -"����� ��� �������

�� � �� ����� �� � $���� � �� � ���� �

��� �������� $���� ��� ��� ������ ����$ �

���� � ��� .� �������������� $ �� $���� �

F�F� � �� C �� � ��� $ ������ ����$ ���� �� � F � F� � � ��� � � F� � F � �

���� ����

� � � �� Æ � F � ��� ��� � � �� Æ � � F� � ����

'�� ����������� �������� � $���� � ��F�F�� �� ��� ������ � $ �� ��������������

.� ��$ � ���� �� � � � ����� ��� ���� � ����� ������ ���� ��� ��/� � ��� �����

� $ � �������������� $���� ��

����� ��� ������ ���� ! )*+ 0���� �� �� � � � � ����� ����� �"���� � ���

$���� � E��E�� � �� Top� � �� ���� $ � � �� � ����

� ��� ������ ������

E���� � � � � � �� � � � � � E���� � ��

E����� � �� � � � � � � � � � E��� � ���

'��� ������� �� ������������� � � $ E� ��� E�� � � �� ���� $ ��� F�F� ���� ��

������������ � �� G � F ��� G � F� $ ��� $���� G �� $���� ������� .�������

��� � � � �� $���� �� � E� ��� E�� ������ �� ������������� � � � � �� $

� � �� � ����

� �

���� �����

1�� J �� � ������� ����� ��������� . ������� �� � $���� F � J � C $ � �� ����"

����� � � � ���������� � ����� �� . ������ ��� � ������� �� �� ���� $ �� �

Page 15: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

����� ����� �

��� ����� �� J �� C ��� ����� ������� �������������� � ���� � ������� � ��������

���� �� � ������ �� �� C � � ��� �� !��� J � �"� #�� � ��� ��������������

������ ��� ������ �� � $���� �� � ��������

%&��' ������ �� (�������� �&�����$$' ���� ���� $���� ��� � �)�$� � ���'

��� ����$� � $������� ��� � �� �!� �����* ���� !�� � � ��&������ �� � $����� ���

��� ����+��� ����$' �&�� !�� � ��� ��&����� � � ��� #�� ��� ����$��� �+���$�

�� $���� , � $���� �� � ����� � �� ����� �� � ����� �� �� �� �� ������ ���� ��

����� ���� �� �� � ����$��� �$ �� � , $���� �&�� � � � ����� -�� � ������� �$

$����� ��� ��&������ �).� � ����� �� � ������' C ��� ��� ����+��� ����$' � �� ����+

������' J� #�� $���� �� � ������� F � J� C � � ����������� �).� � ���J F � C ����

� ������� �� � � �������� �� F�

#�� ��/������ � �� �$������ )' �� ��+�$���' ����� �� -�+

��

���������

��

���������

F��� �� F���

F � J� C � �������� � ���� �&�� ��� ������� F � � J0����+������$' �� ������� �� � � � F��� ���� � /+�� �).� � � �� C�� ��� ����� �� J �� C ���� ���� � ��������� � ��� ���

�������" ��� �� � ������� � � � �� J� #�� �$$� ���� �� ���

��� �J� �&�� F ���� ��� �).� � �� ��� ���� �������� ConeF�

!���� � ������� )��!��� ��� ��� �J�� ���� ��

J� ���� ����

����� � � ������� �� �� ���� ���� ��� ������$� !��� �$$ �� ��� ��

� ���� �������

1�� &���$�2� ��� ��� �&�� F � �'�����0$��� ��� ���� )�$�� �� ���� ��� )��

����� �� F�

#�� ���� �� � ������� F � J� C � ��� �������$ �)0

.� � �� ��� ��� ������' ConeF� #�� �� �� ��������������

� � ���&���$ �������'* � � � $���� ��&� � �����������

�).� � ���J F � ���� F��� � C ��� J0���� ���� �������

�� � ���J F � F��� � � ���� ��' ����� ��� ��� �� ���

������� ��� $����� � �������$� $���� ���' � ����������

���� )$��� ������ ����� ����� ����� 345� ��������� ���

�$�����

����� ����� ������ �������� �

� �� ��� �� �� �$ �$�� $���� ��' �� ��' ��� �+��� 6��� � $���� �+��� �� ���$$'

�������� �� �������� ���������� #�� ��$$�!��� �+���$� �� $���� ������� � ���

�������������� �� � $���� � )���� ����� ��&� �� �������

�������������� 4������ �� ����+ ������' �� ��� ���� J � � � !��� �� ���0�������'

�������� ��� � ������� F � J� Op�� #�� �� ���$'� � ���� �� ���� �� �� � �� �

�� #�� ��� ������' ConeF �� � �).� � ���� �� �� � !��� �� $���� ���� ���

�!� ���� �� ��/��� )' F� #�� $���� � ��� $����� � � ���� �� ��' ����� �� ���

������� �� &�� �� $����"* ��� � ��� ������ ���� �� ��� �!� ���� ���

���������� #�� ��� ����+ ������' J � � � !��� ��� &�� F �� Top '��$� � ��7�����

�'$� �� $����* ��� ������� ����� � �� �� �� ��� F ��&� ����� �).� � ����$��� �$

�� � � ��� � � � ��� �&�� F � � �� � � ��� ��� � � �� � � � � � ���� ��'

����� �� � �� !��� ��� �� � ��� � ��� �� ��� ������� �* ��� � ��� �������

����� � � � � � � � #�� ��� ����� ���� !��� �� ��&� ��� ����$��� ����� � ��

Page 16: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ������� � ����� ������� �

Vect ��� Grp �� ����� ��� ��� ������ � ���� ������ J � � ��

����� ����� ����� ��� ���� ����� ����� ��� ��� ������ � ������� ��� � � ��� �����

�� �� �� ����� ��� ����� �� � ��� ����� � F �� � � ��� �!������� �"��� � � ���� �� �!

������� ���� � �� ����� �� ��� ����� � F� #� � $ ���� �������� ��� ����� � ����� ���

� ��� � ����� %&' � ��� �� ����� �"�����

������� �� � ������ ��� ����� ����� �� J � �� � ���� �� �"���� ��� � ���� �

� ������� ������� ����� ( � ��� ������� F � J �� C� �� � ��� ���� � � �� ��

F �� ��������� �� �"��� �� C ���� ���� �� ��� ��� � �� � ������� � ��� ����� �

F� )�� ����� �� ������ �� ��� ��� ����� ���� �"���� ��� �*����+��� ,����� ������ ��

��� ����� ������� �� ������ ��������

����������� )��� �������� �� ����������� ���� ��� �������� � � � � �� �� �� �� �

������ )�� +�� �� � � � � �� ���C� � � � ����� � ����� C �� ������ ��� ������ �

� � ��� ��� -���� � ����� �� � ��������+�� ������� �� �� ��� �� ����������� �� � ������

�� ��� ( � � �������� �������� ��� � �� � ���� � ����� ���� ���� � ��� �� �� �� �� )���

������� � ���

����� .�/

����� ��� ����� �� �� ��� � ������ ������� ���� ����� ���� ������� �� ��� ���� � ���

� ����� � ��� �� �� ��

��� ����� )�� ����� ����� �� �� � ���� �� ��� � � J� )�� ��� ������� � ���� J ��

C �� ��� ��� ��� �������� $� ������� �� � � �� �� ������ �� �"��� � C� ��� ��� ������

�� �� ������� �� ��������� � �������� �"��� �� C� ���� ������ ��������+� ����������

��������

)�� ������� J � � � � � � ����� � �� �����������

��

���F ��

��

��

��

��

�� �

���� � ���������� � �� ��� ������ %����� � ������� F ����

������ J ��� C �� �� � � ��� )���� � � �� �� F ���

��� �������� ����� �� ���������� �� � ������� � �*����� ��

��� ���� ������ �������� )�� � ����� �� ������ ��� �����

� ��� ������� ��� �� � ������� ��� ��� ������ � ! �����

� ���� � �� � Top� 0������� � ��������� �� ���� ����� ��

�������� ./ ��� �������� � � ���� ������ � � � � �

������ �� � �� � ��� � � � � �1 ��� .�/ ��� �������� � � ������ � � � .����

������� � ��� � �� � / ����� ��� ��� � � � � � � �

)���� ��� � �� ����������� ������ � �� ��� ���� ��� ��� � � ������ � �!�����

����� ����� ����� ��������� ��� ������ ���� �� ��������� )�� ������ � �� �� ������� �����

�������� �� �� ��� ���� ��� ���� � ����� � � ��*����� �� �������� �� � ������ � ���

���� ���� ���� ������� ��� �!������� ��*����� � � ����� ���F �� � ������ �"��� �� C���� ���� ���� ������� ��� ����� � ��� ������� F� 2��� ������������� � ����� �����

����� �� ��� �������� ���*������ ��� ��� ��������� � ������� � ��� ��������

Page 17: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

����� ������ ��

���� ������

��� ���� ������ ���� ��� �� �� ����� ������� ������� �������� �� ���� ������

����� ������ �������� ���� � ���������� ���������� ����� ��� ������ ���!���

������ ���� ������� ��� �� ����� "��� �� � ������� ������� �# �����$��� �� ��%��&

��� �� ��������

'���� � ������ F � J � C � ������ �� � �� ��

J&������� ����# �� ������� �� � F��� � � � � %���

��!�� � �� C ��� �� ���� �� J �� C �� �������

��������� �� J� ����� ��� ��!��� �� �� �������������

������ ������ CoConeF ����� � ������ ������

����� ��� �J� � ���� ��

J� ���� �� ���� �� � ������

� � �� �� ���� �� �������� ��� ��� �� ��� ��

� �����

����� ��� ������� �� � ������ F � J � C �� ��

������� ��!�� �� �� ������ ������# �� F� ���� �� ���

�� ����������� �� � ��������� ������#� �� ����� ����� � ������������ ��!��

�����J F ������ F��� � C ����� ��� J&��������� ������� �� � �����J F � F���

�� ������ ������ ��# ���� �������

����� ����� �������� �������� �

��� ����� ��������$�� �� ������ (��� ������ �� �� ������ �� J �� ��#)� *���

������� �� ������ ����� �� ����������� �� � ����� �� ����� ����������� ��

���!������ �� ������

������� +�� �� ����� ����� ������# J � � ��� � ������ F � J� Op� CoConeF��� �� ��!��� ���� ��� �� � ��������� �� �� ���� ��� ��%��� �# F� ��� �����

�� �� �������� ���� ���� �� (� ������ ������ ��# ���� ��� ���������)� ��� �� ��

������

������������ , ������ �� �� ��� ����� ������# � Top ��� ���� ������ � ���

� � ��� ����� �� F �� � ����� �����F ��� ��� ��� � ��� � ���� �� ��# ����

����� ��� ��� ��� � ��� � �� ����� ������ �� ������ ��� �� ��������# ��

��������� (�� ���!��� �����) � � � � ��� ��� ����� �� ��������� ��������� ����

Vect �� Grp �� �� ������ ��� � �� �� ��!���� ,�� �� ���� ������ ������� � �����

��� � ���!�������

���� -� � ���� ����� �� ����� �� �� !��� � �� �� F&����� �� �&������

��!�� �� � �� �� �&������ �� ��� ��� �� �� ���� �� F� -� � .������ �������

�� ����� ����������� � �� ������� */ �� �� �� ���� ��!����

������������� ��� ����� ������# J �� � ����� � � ����� �� �� ���� � ��

�0����$��� ���� �� ������ �� ���������� �� �� ������ ��� �� 1�� ��������� ��

��������� ���� ������$�� �� ������ ��� ��� ���� 0����� ��!��� ��� �����!����

� ������� ,� ��� ��������# ��� ���� �� $����� ��������� ���C� �� ���

�� ��� C �� ������� ��� ��� ��� �� ����� �� ��� �� ��� ���� �� ����� ����

������� � �������

�� ������

Page 18: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ������ �� ���� ���������

���� ��� ����� �� ��� ��� �������� ��� �� ������ ��

���������� ��� ��� �� J � � � � � � ����� �� �� ���� ������� �� ��� ��������

��� ������� �� ������ ��� ������� �� ��� ��� �� ��� ��

���

��� ��

��

��

� ��

��

�����F

���

��������� ������� ��� ��� �������� �������� ��� Top��� ������� �� � ������� �� ���� ���� � �� ��� ��� � ���

�� ������� ������ � � ��� ���� � �� � ��� ����� ��� �

��� � �� ����������� �� �� �!��� ������� �� � �������

�� Grp �� �� ��� ��� �� ��� "�� #����� ������ $%��&�

��� ��������� �� ����� �� ��������� ���� ���� ���� �����

��� �� �' ���� � � �� ��� ������� �� ��� ��� ��

������ ���� � �� ��� �

���� ������� ������� ���� ���� ��� ����� ����������� �� ������ ��������

����������� ���� ��������� ( ���� �� �� � �� ( ���� !��� ���� �� � ������ ��

���� ������ ���������� �������� ������ ���� ����� ������� ��� ��� �� �� � �� Top ���� ! ��� ������� ��!����� � �� �� �� �� �� �� � � � � )�� ��� ����� �� �� !�

��� ������� �� ���� ��� ��� ��� ���� ��� ����� ����� ���� �� ����� ��� ��� ���

��� ���������� !���� �* ���������� +�������� � ����� �������� �� Top ������ �

,� ������������� ��� ���� ��- �� ���� ���� .��/������ ����� ��� �� ���� ��� ���

!����� ���� � ���� ������� � ���� � �� ����� .��/������ �� ��� ��� ��� �����

�� ������ � ������������ ���� � � +������ ���� ������ .��/������ �� ������� ��

������ ����������� � � ������� ������������ �� ������ ��� �������� �� ���������

�� ������������ �� ���� � ���� � ��������� ��!���� �� ����� �����-�� ���

������ ��� ������� ������0����� �� ���� ��� ���� ����� �� ����� ���� ���� ��!��' ������

��� �������

���� ������ �� ��

��� ��� �� � �� ���� ���� ����� �������� ��� ��������� ���� ��� ��� ������

����� �� ������ 1�

�������� �������� 2�� � !� � � ��� ���� ������� ��� Face� !� ��� ����� ���� �

�� ��� ����� �� � ���� ��� ���� ������� �� �� ���� �!3���� �� ����� ��� ���� �� �

���4�� ������� � � �� ��� ���� �� $���� ��� ������� ���� ���� ��� �������

�������&� 5 ��� ��� ���� ��� ��!�!� �!����� ���� � ������� ����� ��� � ��

������ ��� �� ���� ���� � ������ F Face� � C� ����� �� ������ 1� Vect ��� Ab��� ���� ���������� �� C� ��� ��� �����4����� �� ���� �������� ��� �� � �� ����

��� �� ����� ������� ���� �� ����� ! � ����� �� ����� � � ����� �� �������� �

�� -��� �� ���� ����� ����' �� �� ��� ����������� ���� �� -� � )�� ����-� �� � �������

����� �� !��� � �� ���������� �� Face� �� C���� ���� ����� �� ���� ���� ������!�� �� ���� � ��� ���� ������� ��� �����

������ ���� �� ������ 1 ��� ����� � ���!� �� ��������� �!3����� +� �������� �

������� �� ������ �� � ����� �� � ���� ������� � ��-�� ������ �� Grp� � �������

Page 19: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

����� ������ �� �� ���

�� ������ � � Top����� ���� �� �� ���� ��� ��������� �������� ���� �� ������

�������� ����� ��� ��� ���� ���� � ������ ������� ��� ����� ��� ���� ��� ������ �

���� � �� !"������ #���$% �� � � ������ �� ��� �� ���� ���� ���� ����� ����� ���

�� ���� �� ���������� ���� & �� ������� �� �� ����� ��� �������� ��� ��� ��

���� ��' ���� ��� ���� �� ��� ���� F �� ��� �� � � �������( ��� ����� ��� ���

���� ���� �������(%

F��� � ������

F��� � �����F�� #���)$

��� �"�����( � � ����� ���� �� ��������� �� '��% ���

�������� � ������ �� F��� ���� !"������ #���$ ���� �

����� ��� �� ���� ����� ��� � �������( � ���� ��� ���

������ F � Face� � C� *( ��� � ������ �� � ������ �����

� ��� � ���"�� ��� ���� F��� �� ��� ������ *( �"�����(

� ����� ���� ��� ���"�� ��� � � ������� ����������

� ��� �� ��'� �( ���� �� ��� ������������( ��� �����

��� ��� �������� �� ����� ���� +��� ���� ��� ��� ��,���

���� �� ���� ������� ��������� ���� Vect �� Ab� ��� ��������� �������� '��� ��� �������� �� ������ -���������(�

���� ����� ��� �� �� ������������ ������ ��� ��� ������ �� �� ��� �� ����

������

�������� � ������ ��� �������� �� ���� ��� � �������( ���� ��� �� ���

���� �� ����������� ��������� & ������� �� � ���� � ��,��� ���� �� � �������(

C �� �������(� � ������� F � Op�� � C� '���� ��� ���������� �� ���������� �� �������� �������� �� ��� ��������� �� ���������� ���� ��� ���, �� � #���$����

'� � �� �� !"������ #��.$ � �� �','�� ��� �� �������� �"��������� /� ������

�� � � ��������

F� � ������

F����

'���� ��� � ��� ���� �� ���������� � � ��������(��� ��� �( ����� �������� #� �

� ��� � � �$ �� ���� � � ������ ��� '���� ��� ������� � ������� � /� � ��

������� �� ��' ���� ��� ����������� ������� ��� ��� ��� ��'�� � ��� ����

�������� ���������� ����� �� #��.$�

& ���� �� 0������ �� � ������� ����� �� ��� ��,� � ����� -�� ����

�� � ������� ��� ����� ��� �� ��� � � ��� ����� ��� �� ����� �"�������

����������� �� ��� �������� �� ��� �������� ��� ��� ����� � � ���������������� ��

��� ����� �"����� �� !"������ #���$� +����(� ��� ��( ���� ���� U � ���� �� �� ���

���� �� F �� � � �� �"����1��%

F���F����� �

��∏

� F��� �F��� ��� � �

��

F��� ��� � ���

∏� �� F��� �� � #���2$

3���� ��� ����������� � ������� �� ���������� �� � ������ ��� ������� �� �� ��������

�� � ���������� ��������� �� ����'�� ������� & ���� ������� ������������� �� ���

���� ���� ������� N�U� �� ��� ���� U �� � �� ������������ ��� �������� �� 4��5

Page 20: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ������ �� ���� ���������

�� ��������� ������� ��� � ������ � ��� ������ ��� ���� ����� �� ���������� ��

����� ����

F��� � ������N

F����� �����

�� ���� ��� �� ��� ����U� !� �� "������� ���#�$ ��� �������� �� �� �%��� �� ��������$

������ ���� F��� �� �������� ��������� �� ��� ����� �� F ��� ��� ����� ���� �����

�� ������� ��� ��� ���� ����� �� ��� ���� N �� ��� ���� U$ �� �� ��� �������

���� �%���� ! ���� �� �� ��� ���� N �� �� ��� %� � �����&�� �� � ���� ��������

� �������� ����������� �� ��� ���� ���� �� $ � � �$ ��'�� F����$ �� ��� �����$

(���& ���� � ���� ��� ����� �� (��� ������� ) � ����� ������ ���� ���� ���

������ � � � ��� *���� �� �� ���+� �� �������� �� ��� $ ��� ������,� � �����

����������� �� ��� ���� ����� (��� ���� ��� �� ����

����� ������� � ��� ������ ������������� �� ������� ������� �� -.�/ ���� �

��������� ��������� �� ���� ����� ���������� 0� �������$ � ����� ������� �� ������

��� �� ���� ���� � ������ ������������ � � F � F� %��(��� �������&��&��������

1� ����$ ���� �� ��� (���� ��%2��� ��� ����� ��� 3 ������� � ���� ���� 3 ����

������� ��� ������ �� ��'�� ������� �� ����(��� ������ ��������� ����'�� �� �

������ ������������ �� � ������ %��(��� ��� �������� ��� � ���� �� ��� %�

����������� �

4������ ���� � � ������ ���� �� ���&������ ���( �� ���� ���� ���� ��� ������

�� ��'�� ��� ��%2��� ��� �������� 5�� ��� ����' �� ��� ������ F � C � C� �� ��

���� ����� �� ��� ��� ��� �� �� ���� �� C� �� ��� ����� ���� �� C �� � �����&

��'� ������ 6����� ������������� � � F � F� ���� � ��� ����� �� ���������

��� ��� ��� ������� �� ������� 7��� ��� �� �� ���� �� �� ��8������� �� �%���

����$ Ab�$ ���� �� �� �����%�� �� ���� '����� �� ��'����� �� ���$ ��� �� �� ���

�������� � �� F� ���� ������ �(� ��� �� ��� ���� ��(���� ��� �� ������ ���� �����

�� ���� �� �����) ������ ������ $ �� (���� ����� �������� � �� � ���������

�������

����� ��� ���� � �������������

��� ��� �� ���� ������ �� �� ����� ��� �� � ��

�����������) ��� ���������� ������ ��$ ���$ ��������

��� �� � �� �� ���� ����� �������$ (��� � �����������

������������� ���� ������������ �� '��$ �� ������ � ������

�� �������� �������� ��� ����� ��� ����� ��� ������

������ �� �� �������� �� �� �� �%��� ����������� �������

��� �������� �� ������ ����$ (��� ��� �%����� �� ��'�

� ������� �� �&����� ������������ ! ��%������� ������

�������� %��' �� ��� �������� ���$ �� ��� %��� �����$ ���� � ���������� ��(�

�� ��������� �� ���� �������

���� ��������� 3 ��'� ���� �� ����� 3 �� ��� ������ � %���� �� ������ �9 ��(&

���$ �� ��� %��� �� ��:����� %� �� �;������ �� ������ � ���� �� �� ����� �� �� ����

���� (��� � ����� ����������� ��� ����� (��� %� �� ��� ���� �� ��� ��%2��� ���� ����

Page 21: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

������ ��� ���� � ������������� ���

�� ������ �������

������� ��� � ���������� ������� �

������ � ��� ����� ���������������� �� ������� �� �� ���� ���� �������� ��

���� �� ���� ���� ��������� � ������� �������� �������� ����� ����� �� ����� �

��� ��������� �� ������� � � ! ��� ��������" � ��� ���� ��� ���������� ������

�� ������� � ������ ��� � � �������� #���� ����� �� ���� " ��� ���������

������ � �� ������� " ���� ��� ������ ���� ���� ��" ��� �������" � ���� �����

FinSet� ��� ���������� ����� � � �� ����� ������� � ��� �������" �� � ��� ��������

�� � ������� ��� ��������� ������� � ������� � FinSet �� �� $��� ���� FinSet��� ���� ������� ���� �% �� ��������� ���#��� ������� ������� ������� �� #���

�� ��������� ����������� &����� FinSet � � �������"� ��� ��� ����" ����������

��������� ��� ��������� " �� ��� ��� ������� ������ '�� �(������ ��� ����� �

� ��� � ���� ���� ������ ��� ������������ �� ������) ��� ��� � � ��� ����

�������� ������ ������������ �� ����������� ������ ���� ��#� ! ���������"�

���������"� ��������" ! ���� ����� �*�������� ��� ��� ����� ������� � �� �

� ������� �� ��� ������� � �������� ��� ����������� +��������� ����� ��� ��"

��� � �� �������� � �������� � ����� � �������" �����" ������� �� ��# �����)

������� � � �� ���������" �(����� � ��# ��� ���� ����� ��� � ���������� ���

��� �����#� � ��������� ��� �����,� ��� �������" � �������� �

������� ��� � ���������� �������� �

��� ������������� � � �� FinSet � ��� ������% � ������ ������ ��# �� �������

������� ������� �� �(������ '��������"� ����� ��� ������ ������� ����������,

����� ���� � #��� ��� ���� ������������� ������� ��� ���������" FinVect � Vect�������� � ����,��������� ������ ������ ���� � ���� �� ���� ��� ��� � � � ��

��� �������" �" ����� � ��� ��������������� dim% �� �,��������� ������ �����

� ��� � � � � � �� +�������� ������� � FinVect ���� ��� ���� �������� +� ���

�������������� ��� � � � ������ � ��� ����� ��� �� ��� ��� � � � ����������

� �� ��� ������ ������ ����� � � �� ����� ��� ��*� �����" ������� �� �����

���������% ��� �,��������� ������ ������ �� �� ��� ��� �,��������� ������ �����

�� �� �� &" ������� "�� �� � �����,�������� ������� ��� �������� ���#��� �����

�������� ������� ��� ����� ��� ��� ����� ���� ���� ���� ������������

-���� �������������� ��� ���� ���������� ����� ������� FinChCo� ��� ���,

����" � ����� ����,��������� ���� ������(�� ����� � ���� � � #�� ���� ����

Page 22: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ������ �� ���� ���������

�� ��������� ��� ������� ���� ��������� �� FinVect ������ �� FinChCo �� � ���

������ ���� ��� ������ ���� ���� ������ ��! ��� ��� � ���� ��������� �" � ��

"������� #���� � ������� �������� $� ������ �% ����&!

� � � �� � �� � �� ���� � �� � �� � �� � � � �

��� ��� ������ ��"% �� ��% � ��'����� �" ����������( dim � � dim � � ��� ����

���� ��� ���� ���� � ��� ��� ��������� �" ��� )��� ������������ � � FinChCo� ��

*% ��"��� � �� ��� �" FinChCo! �����% $�����& ��������� �" ����� ������ ��������

��� ��������� ���� �" ����������! ������� � ��� ������� �" ��������� ��� �����

���� ������� ����� �

������� �� � ����������� �

��� ��� ����� � ������ �" ������ ���

������� + ��������� ��� )��� ����������

��� + ���� ������� ��������% �� ���� �� ��

*% ������ ,�-! ���% �� �� ���� ��������

��������� �" �������� ���� �� �� ��������

������������� .�"�� �" ����� ��� �%��� �" �������� ��������� �� ������ �� ���

����� ������ %� /� � ���� ������ �! ��� ������������ �" ����� �� ���� ���

����� �" �����! ��� ���� �% ��� ����% �" ��� ���� ��������� ����� �� ������ ,

�� ��� � ������������ ������ ���� �������� �� �� .�0�����! �� ������ 1! ��������

���������� �" ���������� ������ % ���� �� ����� �%���� �� �� ����������� ����� ��

��� ������ �� ��� ���������� �������� 2���������� 0���� �� ���� ������ ����%!

��� ����������� ����� �� ����� ������� ��� � ��������� ���� �� ������ 3 ����

��� ��� �� � �" ������ % ��� � ��� ���������� 2�� ��������% �� ��� ���������(

��������� �� � ����������������

*% �������� ��� ����� ��� �������% ����������� ���� � ����� ������ C �

���� ��! ��� ������� � ������ % �

����� �� "�������� $���� ������� ������ %����

����� ���� ���� ������� �� ������������ �� ������ %& ��� ���� � ������ ��%

������ ���� ��������� ������ *���� �����! ������ ������������ ������� ������ % ����

���� ����� ��"��� � ��� ���� ��� ��� � ����������� ������ �� ��� ���� �� �������

�� ��� ���������� ������ ���������� ����� ���� ������ % ���� ���0 �� � $���

��������� + � *���� �����& � �� �$��� ��� )��� ������������&� ���� ��� ��������

�" �������� %! ��� ���0� �� � �������������� ������� ��� � ������ �" ��� ���������

��� �������������

4���% ���% ���� �� �� ����� ������ % + ��� � ��� ���������! ������%! ��������%!

� ������! ��������� ������������! ��� �������! �������! ��������! ������� + ��

����� �� ��� "����������% ���� ���� ��������� �������� 4���% ���% ����������� ��

���� �� � + �� ����! �%������! ����! �����0�! ������ ! �� ����! �������� ! ������ !

������ ������� ! ������� ��"����! ��� ��� + ���� "�� ���� "����������%� �

������� ��� � ���������� �

5������ ��� ����" �������� % $��� ���� �����& ������ ���� ���������� �" ��������

���� ���������� ��� � ������ 6�� ������ � ����� "�� ���� �� � �� � 7�� ����" "��

Page 23: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

������ ����� �� �� ���� ���

��������� ������ ���� �� � ���� �� � � ������ ��!���� ��"� � ���� ��"����!

��#������#$ �� ����# ���� ��� ��� �� ����� �� ��� #����%������ &�� �� ������

��"������# ���� ����� � � �� #���� F �! ���# � � ��#�� ' #���(# ��� � �#

��� ����� #"���# ��#� � ��#�� �)���# ��� �� ��"����! �� ��� � �� ��#�������

�"# �� ��� #���� ��� � �� ����� *� � ��+� &�� ����,�# � ���# �������

,����� ����� � *�+ ��� ������! � �#� #���� �� �! � ����������-� ���� ����

��# �� �� �����#. *�+ ��� ������! � ������ ��� �� ���������# �! ���# � ��

�/��� #�)�����#. *0+ ��� "��#���� � �����! �� #���� �� �! �# ��� ������ �

�� "#���� � ��# ��� �"#. �� *�+ ��� ������! � �#� 1���� ����������#��� �

#�� �#�������# � �/��� �� ������ �����#�

2 ������ �/� "�� � #�����#��#�������,����� �� ���# ��/� �# ���

1���� �������# � 3��"��� 0� 2# ��� 1���� ����������#��� �# � ������

��,����� � �%� �!$ ��� 1���� ������� �# � �������,����� �

� "����! #�""��� #���� �� �! ���� ��4�����# �� #�����# �##�

����� � ��#��������� �������#� 2# "�� ����$ ��! ��#��������� �������

� � CF��� � � �� � #�� � ����# � � � "��/ � �������� #�����# F�

� "������ ���� ��� ����������� � � �� ��� �! �� &�� ��������

,����� � ���# � "��/ �! ���# � 1���� ����������#��� �� ��� 1����

�������∫���� � CF��� � �� &�� � ������ � ���# "��#"������ �# ��

� � ���� ����## � �����������!$ !��� �� ��� 5����� &���� *&����

0���+$ ��� ������� ����#�� # � �0��$ �� �� 6��$ ���$ �7�8� �

����� ����� �� �� ����

9��� ��������$ �� #�#"���# ���� ��! )��#���# �� �""��� ���� ����# ��� �� �����

��������� �� ������ �� ��� "�,����! ����� ����� ��� ���# � ������,������ 2

��� #"��������# �""��� ����� : � � ���#� �! �� �����-� �# "�"�� ������,���

���#. ����# ��� � �#� ������ ���� ���(� ��� ��#��#������� �#� � �����������!� &��#

��/� ��#�# ���� � �"� � "��(�� ��� ��� �� ��� ,� �� �� �#�� �����������!�

������� ��� � ��� ��������� �

&"����� ��� ����!#�# ��# ������� � #��#������� � ! � ��� ���� ���� �"�!

����������# ��� ���� ��� �� �����"������� � ����$ ������ ! "��� ��� #� ;� �#

���# ��� "��#�� < =�� ���� ���� �# ��� �/���# �""������� � �%� �! ������#

�� � �� � ��"���� �������# � � ��� #�� ���� ��� ������ *�����#���� �# ""#� � ,��

�����+$ ������� *����(# � >�!���?�����# �� ���� �/��� #�)�����#+$ �� ������

*�"����� ���������# ���� "�"�����# ���� ��#"��� � ��#�+� &�� ���� ����

� �! �# � ������ �� ��� �����! � �"����� #"���# ����# � �"�����

��� ����!#�# � ���� � ���������� ���� ��#"��� � �� �����#�

@��� ����!#�# ����# ���� ���#�����$ �� ��� #� � ��! ���� � �! ����# ����

��� &�� ���#����� ������# � ����� "��� � �� � � ���� �� #���#�!�� �������

,�����$ ��� ��� "���� � ���##��!�� �� �#�� ���� ���#����� #��� �# ��#� �

�����������! �# �# !�� ��� "���� 6A�8� &�� *"��#�#����+ � ���# �� "��� � ���

������� �� ��� # �� ��� &�!�� #����# � #��"� �� ���� &��# �# �� ��� "�� ����! ��

Page 24: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ����� ��� ��� ���������

�� �������� �� � ��� � ����� � ����������� ������� ������ ����� �

�������� ����� ������ ���� �� �� ����� ����� � �������� ��� �� �� ���

�������� �� ������� ������ � �� � ������ � � ��!��������� ��� ����" ��

�� #$���% �� ������������� �� ����������� ����� � � �� ���� �� ���� ��

�����& ���� � �� ���" ��� ��� ����� ������ ��� '��� ����" � �� �! ���!

���������������� �!��" � !� ��� ����� ����!� ��� �� ��� �� ����

��" �� ��� ��� ���� �� �������� �� ���������� ������ ���� �������� �� !���

��� �� �� ����������" ��� ���� �

������� ��� ��������� ��������� �

'�� ��� �� � ������ !�(����� )������ *�+,- �� ���� �� � �������

����!" �� ��������� ������ �� ����!

��! &����� �� �� ����� )�����

���� ����� �� �� ��������� ��

���!�� ���� ��� ����� � ���

�������� �� �� ������� ����" ��

�� ������ �� �� �� ����! � ���

�� � ��! �! � .��� � ����

��� ���" ����� � ��� �� )�����

���� ����� �� �� ��������� /�

�� �� � ����� 0�" �� �� �� ���"

1)�� ����23 ��.� ��� �.� ���

�������" ��� �� ���� ���� �� �������� �� ����� ���� �� � �������� ������� �� ��

��&�� ���� �������� ��! ������� � �� ����� ���� ��4���� ���� &����"

���� � � ��� ���������" ��������� �� !�5����� �� ����!�� � ����� ��� ���������%

.���" &�����" �� ���� �� �� )�������� ����� �� � ������� �������� ��! ��

)�� ���� ����6

7� .�� �� ���! �� �� ���� � !�����8����� .���

������ �����! ��� �� �+,� 9�� ������� ����

.�:� .��� ��������� �� � !���� ������� !����� .��� !���

�� ��� �&��� 9� ��� ���� !�����8����� ����� �� �����

���" �� ��� � ������� ���� �� �&� ���� ��� ��

� � �� � �������� �� ���� �������� ����" ����!��

�� �� � ��� ������� ���� ����� ��� �� !�(�

����� )������� �� ������� ���� ������� ����� �

� ������ �� �� �� ���� ��� �� �� !�(����� )���

����� ;�����" ��. " �� ��� �� ���.� ���� �� ���

� ��� ������� ����� .�� �� !�����8����� �� ��

���! ��! ���! �� �� ��� ������ �����! ��� �� !�(����� )�������

<� &����" �� �� ��� .� � �+, �� ���� ��� " ���� �� =���������� ������

0��� ,&����� >��> ��! ?��$3" �� !������� ���� �� �� �� ����� !�(�����

��� 0���" � ���� � ��������� ���3� +�����8�� 0!��� ������ 3 � ��������

�� � ���� ������� @� ��!����� �� !�����8����� �� ���� � ���!�. �� �� ���

������ �� ����� ���" �� ��� .�: �� ��� ���� �� ������� ���� �� �

���� ������" ���!�� �� ������ ������������ ���� �� ������ �� ���� ����

Page 25: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

������ ����� �� �� ���� ���

���� ������ ��� �������� ������� ������� ���� ��� ��� ���� ���� ���� ���������

�� � ��������� �������� !������ � "���� �#� ��� ������ �� �� ������� ������ � ����$

� �� �� � ��������"����� � ��%�������# �� � ��� &�� ��#��#�� ���� ������� ����

� �� � ������ ���� ��������#��' � ����� �������� ()��� �������� �*�����

����!���!��� &�� ������ ��+� ��� �����"� ��������"����� �� �������#�

����� ����� �������� �� ������ �

,��#������� � �#������ ��#' �� �'�� ��� ��� ��%�������# �-������ ���� � �

�������� � ����* ����'� .� ��� "��� ���������� �� /���� ��� "*�� ���� ����* I )��

��������� �� �� ������ ��!������ �� �-��#����� � �#���� !���� "�#��� � �����#� !��

� #��� ������# ��� ����� ����$� � 0����1� ����� � ��� 2�����3 &�� �����

(��4+ �������� ���� ���� ����* �� ��� � �� ��� '��#�� ��� 5�#�� �������������� )���

� ���������� !�� ��� � ���� .� 5*� �#� ����� I )�� ��!��#�� � �� � ������ ���

�������� ���#����#� � "*�� ����� � ��#� ��� �� )�## �� �-��#����� � !���� "�#���

�� ��� 5*� �#� 6���� ���� ��# ������ �� ��� 7�������8 ����* � /4���� �����������

"��� �� � ����� #�$� �� 5�#�� �������������� � ������� ����� �� /6�6� ��!��#�� �

�� �� ������# )��� ������� � 5�#�� ��������������� .� ��� #����� � 9������ �� ���

"*�� ���� ����* #���� � � � �#�* � ����������#� ����!��� ��� 5�#�� ��������������

� )���� � ��� 7�������8 ����*�

���� �������� � ������� �*� �#�"�� ������"��

� dim

� � � � � trace

��

��� �

�� �

��

��� ����#'� .� ��� ���� ���� � ��� #�!�# � �:� #'

���� ��� �) �� �#��� �'��� � ��������"����� ; ��

����� ��� 5�#�� �������������� ; )�$ )�## )��� !����

������ ��� ��-������ � !���� ������ ��������!�#'� <���

#����� � �'�� ���� ����� ��!� ���#���� ��� �� �����

� � !���� ����� �����#�8�� � ��� ����� � � ��#� ��=

��� 5�#�� �������������� � � ����� � �#�* �����#�8�� � ��� 7�������8 ����* � �

����� ��� ,��#'�� ����� � ��� �������' �� ���!��� �� ����� ��� 5�#�� ����

����������� ����� ����� ��� 7�������8 ����* ��� ��� ���������� �� �����# ��!�������

� �'�� ���� � )��� � ����� �������'> .� ��� �� � )�' ���� ������ ��##� ���

����� #���� � �:� #' ��� ��������#��'� ������ "*�� ����� ��� ����� �������

#���� � ��� ����� � �'�� ��� � �:� #'�

��� ���' � ������"����� �� �'�� ��� �� ������

���� �� �� "��� �������� 9������ ��� ������� "�#�� �

?��� ����' �� 9������ 6� &���� ��� "*�� ���� ����*

�� ����#' ���� �� ���� � ����������� �������# ���� ���

"*�� ���� ����* ��� ���� #����� �)�!��� � �� � !�#���

?��� ����*� �� )���� ����������8�� ��� #��# �'�� ����

@������ ��� )��� ���� ������ ����*� �� ��� ����$ ��� �����

��# ����� ��� ��� ?��� �#'� ��#A ��� ?��� ���-��#�����

� (6��+ ��� �� �������� � � ������ �#���� ��!��#�� )���

�#��� ����� ���������� ���� �������� )��� ��� ?��� �

#' � /6��� �' ��!����� �������# ����� ��� �������

��� �'�� ��� �� ��)� � ���!�� ��� � #' � ��� �����#'�� ����#� (�����

6��+� 9�##��' 6�B ������� ���� ��� ?��� � #' ��������"�� � �!� ��� 5�#��

Page 26: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ������ �� ���� ���������

�������������

�� ��� ������� �� �� �� ����� �� �������� ���� ����� ��� �� � �� ����������

��� ��� ���� �� �� ��� ��� ��! ���"��� ������ ���� ��� ���� � ���� ��� ����

������� ������ �� �#$���� ��� ����� � �� ��������� ���� ���� ��� ��%� &��� �� ��'

� �� � � #�� ��� �������� �������� "�� ��� ��"� ����������� �� ��� ��� ��(

��� ��� �� ���� ����)����� �� �� ������� ���� �� �� ��� ��� ��*+ ��� ��� ���� ��

C� �� � &��� �������� � � � � � ��� ��"� N�C�� ����� �� ���� ����)����� ��

�� ������ �� � ,*-.�

/�� �� ��� ������� �� ������ ( �� ���� ��� ���������� �� ��������� &��� �����

0 ��������� � ��������� ����� ������� ������� 0 �� �� ��� � ���#��� �"�� ��

��������� ��������� �� ������1��� 2� ��� ���� ��� ���� ��������� �� ������� ������

�� � ����� ������ � ���� ������ ���� �� &��� �� ��� � �� 3(� ����� ���

�� ��� � �� ��� #��� �������� �� �� ����� (��� ���� �� ���� �� ��� �� ������

������ �� � ������� ������ ���� �� � ���� �� ���� ���� ������� &��� �� ��� ��

�� ����� (���� 4���� ����� �� ��� �#����� �� $������� ��� ������ ���� ����� ���

��% ���� ���� ���� �� ����� �� ��� ������ ����� �� 3(�*� ����� �� ��� �� ������

��� �� ��� ���� "������� �� ��� "�� ��� �� �5��� �� ���� ���� ���� ���� ���

����������� � � ��� �� ��������� �� ��������� �#��� �� ��� ���� (�6'(�* �����

�� � ������������ �� ��� ������ ����� ����� ������� ���� �� ��� ����� �� &����

���� ����� ����"�� �� ��� �� ������� ���� �� � ����������� �� ���������� ��

��� ������ ����� �� ��5���� ������ � ,�7� �-� �**� �7*.� �������� � ��� ����#���

��� ������ �� ������� ���� ��� #���� �� ��� ����� ���� �� �� 3(�(� 8� � �����

��% ��� ������� �� �������� �� ��� ������ ����� �"� � �� � ��� ��� �� ���

,� !�.� ��% ���� ����� �� �����'��%� �������� �� ��� ������ ���� ���� ������ ���

��"��� �� ��� ���� ��������� �� ���� ���� #�� ���� ��� ������� ��� �����#��������

8���� ��� �� � ��"��� �� ����������� �� )���'��������� �� ������� ������� �#���

,�*!.� ����'���� �� �������� �� ���� ���� ����� � ,7!.� ��� ���� ��������� ��

2��� �� ��� � �� ��� ������ ������ ,-� �(6. ��� ��� ������������ ,-*.� ��� ���

���������� �� 9� �� ��� ��# �������� ���� ����"�� ,(�.� ���� �� ��� �� �� #�

����� �

� ����� ����� ������������� �

���� �� �� ���� ��������� �� ������� ������ �� ������� ���� �����+ �� � �

������ �� ���� �)����� ��� ����� �� � �� � �� ��5������� �1�������� ��� ���

��� ����������� �� ����������� �� � ������� ����� ���� �� � ��������� �� � �����

�������� �� ������� :�"�� ��� ���� ��� ��� � ��� ��� � ���� �� ������� �������

�� ���;$��� � ���� ����� ������� �� �� ���;���� ���� �� �� #� ���$������ ���� ���

��� �� ����� � �� ���������� �� ������������ #������ �� ��� ��� ���� ��� �� ��

��������� ���� ���

/�� �������� �� ���� �� ��� &��'2���;&��'��� ����� � ������� �� ��"������

�� ��� ��� *�6 ��� 3-�!� <����� ������ �� =������ ,��. ��"��� � �� ���� ���'

� ���������� <����� ���� ��� #� ��� ���� � ������� >�������? ��� � �� �����

�� �� �� ������ s � t� ���� �� �� ��"�� ���������� �� ��� ��� ��� �� �� ����� ������"���"� ��� �� � ���� ��� �� ���� ���� �� ��� �����;�� �� ������ �� �

���� �� %����� ��� �����"����� �� ��� ����� ��� �� ��� ������ �� � � ����#��%

Page 27: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

������ ����� �� �� ���� ���

��� � �� �������������� ����� �� ���� �� ��� ��� �!� � "# �$%�� � ���&���

�� � �&� ��� � ��� � ���� ��&���� '��� ��� �� ���� #�&� �� ��� � ����� ���� ���

���"# ������ ����� �� � ������� ����� � (� ��� ��� �� ���� ���� �� ����

����� ��� ���� � ������)������

��� )��� ���� �� � �������& ��� �������& ����������

�� � �������� �������� ��� $�� �� (� ��� ��������� ����

��� � �� ������ ���������� cap��� � �� ������� � ��

��� � � �� ��� �������& ����� F $�� � ��%�� $����� ��

��� �����$�� ��� cap���� ����� �������� #���� ��� �������

������� �� *�+ ������������ , ���������� �� ��������-

��� *�+ ������ , �� ��� ����� � �� ���� ��� ���#�� � ��

������ ���� ������� ������� ������ ��� ���������� �����

������� ��� �� ������ ��� �������&� ���� %��� � ����

����� ��������� �� � ������� � �������� � � ��� (� �� �

��������� ����$���� ���� �� ��� �������& ��� ����������

� ��� ��� �.���� ����� �� � ������ ������ $�� ��� �����������& ��������� �����&

� ������� � �����$� �����

/�� ���� ���������� � ��� ���"# ������ ����� ���� ��%�#���� 0�# ������

$���� � ��� ��� � ����� �&��� �������� 1#�$��� � ������� ��� ������������

� ��� ������&�� ����� �� �� ��������� � ����� � � �& ����& ���� �� � ���� ���

�������� ��� ��������� � ����� ���� �� ������ �� �� ������� � ���� O� ��%��

$����� �� �� ����� *�� ������� � ��� ���������� �� �����+- ���� ��� ��� ����

���& ���� ��� ����%� � O ��� ����� � � �� ����� #���� ���� �� ��� ����������

�� ����������� �������� ���� ����� / �������� � �& ����& �� ��%�� $�����

�� ����$�� � ������� � �����$� ���� �� ���������� $�� �� �2����.�� �����

*%������ ���� �� #������)���+� ��� ��� ������� � �����$� ��� � "#� � �

��������� ��� ��������� ��� ���������� � F ��� ��������&�

�����F� �� �����F� O� � ����

�F � O����� *��� +

���� ��)�����3����� ��� ���� �� #����� �� � $���

��� � 4�����5 ������& �� �������� ������ ��$�� �& 6�����

��� 7���8 ���� ��� �������� ��� ������� ��� ��������������

���"# ������ ����� � ��� ���� ��� � ���� �2�����

��� �� � ������)����� � ���� "#� � �� ��� ���

���� ��� ��� �� � ������)����� � ���� "# ������

������ ��� ������ #�% �� �# � ��������& ���������& ���

���� ��� ���� ����� � "#�$����� ��� ����$����� � �����

��� �� � � � ��� �#�%� ���� �� ��� �& ����� ���

����� ��$� ��� � �������� � �& �����F�� �����������

�� � ����� ��%� � ��� ��� (� ��� ��������� ������� ����

������� ��������)����� ���������� � ��� ���#�� �2�����& � ������� � �����$�

����9 ⋃

��� �

��� val���� �⋂

��� �

��� val���� *���:+

Page 28: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

��� ����� �� �������������

����� �� ������� ��� ���� ����� �� ������� ��� ����� �� �� ���� ����� ���

������!�� ��� � !���! "�� ��������� ������� �� � ������������� ��

������# ���! �� ������ �� !����� �� "���!� � ��! !�� ��� �� �� ���� ����

�� �� ���� � ��������� $���� �� !�����# ���!� "� � �# ���� �����#

�" �������# ����� ��%��� ����� �� ������ ���������� �����!�� ��� ���&���������

������� ��� �� ��� '�" �����!����� �������� ��! ������( �� ����%� ���

����! ��� !�����# ���� �� � ����� ����� �" ������������� �� �����! ����������

�����

�� ���� ��� �� �� ��� ���� ����� ����� ��� ����� ������� �� �� ������ �� � �����

��� � � ���� � �������� ������������� �������� ���� ����� ��� ��� � ���

�����

�� ��� � � �������� ��� ����������� ����� �� �� ���� ���� ����� ���� ��� �����

��� ���� ��� ���� � ����� �� ���������� ��� ���� ���� ��� ����

�� ��� ���� � ������ �� ������ ��� � ������ �� �� �! �� �� � ������ ����� ��

������� �� ��� ����"� �� ����� ��� ��������� #�� �� ������ ��� ������� ���� ��

� ����� � ������ �� $�� �� ��� �� � ����� �������% ������� ������ ���% ���� �

��� ����� ��� ����� ����� Q ���� ���� ����� � � � �� � ������ �&����� �� ������

�� Q� '� ��� ��% �� � ��� ���� � �����% � ������ �� Q ���� � ������ �� '� �����

���������� �� ���� ���� ������ ������ ��% ����� ��� ����� �� ������ � �� "�� �

�������

!� ��� ���� ������ �� ��� �� �������� �� �� ������� �������� �� �� �( �� �����&

���������� �������� '� ��� ������ �� �� �� �������� )* + ��� �� ,����� ��� �������

������- �� �����&���� �� ������ �� ��� �� ��&���� ���� �� ����� ���� �� ����

����� �� �� ������ �� �� ��� ���� ������ �������� .������ �� /���� )0�+ ��� ���

������ �� ��� � � ���� ������� 1������ )� *+ ���� ��� ������ �� ������� ��

�� ���� � ���� ���� ��� ���� ����� �� � ,� ��� ���� �� ����������- �� � ��

���� ��2���� �� ��� ����� ��� �� ��� �� �� �( )0 +�

0� ��� �� �������� �� ������ �� �������� �� ���� ��� �� ��� ����� ��� 3�� ��� ��� ���

���� ����% �� ����� ����% � �����

�� ������ ��� ������� ��� �� ��������� �� �� ��

���� � ������� ����% �������� ����% �� �����

� 4��% ���� � ����������

(� 5� ���� ������ �% �� ����� ���� ���������� �� ��� � ��� �� % � ��� � ��% �� ������%

��� �� ���� ����� � ��� ���� ����� ��� ������ ���� �� ���� ���� ��� ����� ��

� �� ����� �� ���� �� �����

*� 4��% �� ��� % ��� � �� ������ � �� ������� �� �� ����� �� ������ � ���� ��� ���

���� ��� � � ���� ������� �� % ������% ���� �� ��� � ��� 3�������� �� �� �����

� ������ ���� �� �� ���� ��% �&����� ���% �� ���� � �� ������� ����� ��� �� ���

������� �� ��� &����� �� ������ ������� ��� &����� ������� �� ��22���� �������� ���

��� �� �� �� ���� �� ����� �� �� � ����� �� ������ )��+6 ��� ���� ������� ���� �������

�� ���������� �� �� �� ����� �� ����� �� �� �����

7� 1��� ��� � ������% ���� ����� �� �������� �������� �� ��� ��� ���� ���� � ����

� ������� ������� ��� ��� ����� ����� �� ������ � �� ����� ���� "�� � �����&

��� ����� � �� ���� �� ��� ���� �� 8����� )� + �� � ����� �� � ������ �� ��� � � ��

9������ /������� /������� �� �������� �� ���� �� ����� �� ��� ���� ���� ����

����������% ����������% :� ���������% �������� ��;������% �� ���% ��� 4����

1���% �� ��� ���� ���� ����� �� ����� � ���� �� ��� ������% �������� ��� ����

Page 29: C O - Penn Mathghrist/EAT/EATchapter10.pdfClust $ % ! Q Q Q # Q Clust Q Q # # Q Q Clust

������ ����� �� �� ���� ���

�� ������ � � ��� � ���������� �������� ���� ����������� � �������� ����� �� � ��� �

���� �� ��� � ����������� � ����� ����� ���� �� ��� �������� ��������� ��

��� ���������� ��� �!� � ��� � �"��� �� �# $������ ���%� &�'�����# �����������(

��) *����! ��+�� &�'�����# ������� �� ��!��� ��������� � )��� �� �� ��(�

�� �� � ��� �� ��� # ��� ��!�) �����# ���# �� � � �� ����������� �������,�)

�������� -�# ��� ��)� ���� �� ��� ��� �������� ���� ������