고체역학 Chapter5 States of Stress

8/18/2019 Chapter5 States of Stress

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xσ

yσ

z σ

yxτ

yz τ xyτ

xz τ

zxτ

zy

τ

Chapter.5 States of Stress

김 대 영

E-mail: [email protected]

HP: 010-9249-5551

바이오시스템공학과2014년도 2학기 강의자료 (고체역학)


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1. 응력성분

z zy zx

yz y yx

xz xy x

응력상태: x, y, z축에 대한 어떤 평면에서의 응력

응력상태를 응력성분의 항에 대해 행렬식으로 표현


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1. 응력성분• 평행상태에 있다면, 전단응력 이므로, 응력행렬식은 대칭이 된다.

• 정지상태에 있는 유체에서의 한 요소의 면에 작용하는 응력은 둘러싸인 유체에 의한 압력과 같다.

• 이때 유체는 정지하고 있으므로, 전단응력은 0이다.

• 균일단면 봉의 끝단에 축하중을 가하면, x축 방향의

수직응력만이 유일한 응력성분이 된다.

• 축 비틀림을 받는 원통형 봉의 미소 요소를 분리하면,

순수전단응력 상태가 된다.

zx xz zy yz yx xy ,,

p z y x

p

p

p

00

00

00

000

000

00 x

000

00

00

yz

xy


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2. 평면응력 변환• 어떤 한 점에서 응력이 다음의 형태를 취하면, 평면응력상태에 있다고 할 수 있다.

• 즉, z축 성분들에 대한 응력 성분은 모두 0이고, 이 유일한 응력 성분임을 의미한다.

• 축하중을 받는 봉의 요소에서의 응력상태와 비틀림을 받는 봉의 요소에서의 응력상태 모두 평면응력상태이다.

000

0

0

y yx

xy x

xy y x ,,


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3. 평면응력 변환• 좌표변환에 따른 응력성분 도출

• 다음과 같은 좌표계에서 물체의 한점 p에서의 응력상태를 알고 있을 때, 기울어진 좌표계 x’y’z’으로 p의 응력상태는?

(단 z와 z’축은 일치한다.)

• 자유물체도의 경사면 면적을 라고 하면, 자유물체도에 대한 평형방정식으로부터 변환된 좌표에서의 응력

성분들을 도출할 수 있다.

• X’ 방향으로의 힘의 합

0cos)sin(sin)cos(sin)sin(cos)cos(' Δ A Δ A Δ A Δ A Δ A yx xy y x x

cossin2sincos' 22 xy y x x


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3. 평면응력 변환• y’ 방향으로의 힘의 합

• 다음의 삼각함수를 이용하면,

• 에 대한 식은 의 식에 대산 를 대입하여 얻을 수 있다.

• 한점에서 평면응력상태를 알고 있을 때, 임의 평면에서 수직응력과 전단응력을 결정할 수 있다는 것을 의미한다.

0sin)sin(cos)cos(cos)sin(sin)cos(' Δ A Δ A Δ A Δ A Δ A yx xy y x xy

)sin(coscossin)(' 22 xy y x xy

2cossincos

2sincossin2

2cos1sin2

2cos1cos2

22

2

2

2cos2sin2

'

2sin2cos22

'

xy

y x

xy

xy

y x y x

x

y' x' 90

2sin2cos22

' xy y x y x

y


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4. Mohr’s Circle• 정의: 수직면의 응력의 크기가 주어져 있을 때, 경사면의 응력의 크기를 구할 수 있는 원

• 그리는 순서

1

와 와의 교점을 의 부호가 이면 축 아래쪽에 잡는다.

3 와 와의 교점을 잡는다.

y

4 두 교점을 직선으로 잇고, 그 직선을 직경으로 하는 원을 작도한다.


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4. Mohr’s Circle• 수직면의 응력

y

y

x

• 경사면의 응력크기를 나타내는 Mohr’s circle

y

x

xy

xy

x

y


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4. Mohr’s Circle

y

x

y

x

' x

' y

2

'

' ' y '


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4. Mohr’s Circle

x

y

2

x y

2 y


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5. 주응력과 최대전단응력

1

max

x

y

2

y

1

2

x y

반경

max 반경

2 xy

y x y x 2

2

2122

,

• 주응력 (Principal stress)

• 최대전단응력 (Maximum shear stress)

xy y x 2

2

max 2


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5. Example 5-1• 어떤 한 점 p에서 평면응력상태는 다음의 왼쪽 요소상에 보였다. 오른쪽 요소에 작용하는 응력상태를 결정하기 위하여

Mohr원을 사용하여라. 그리고 응력이 작용하는 요소를 도시하여라.

MPa6

MPa10

MPa22

xy

y

x


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5. Example 5-1• Mohr 원을 그리는 4단계를 거쳐 작도한다.


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6. Example 5-2• 어떤 한 점 p에서 평면응력상태는 다음의 요소상에 보였다. 주응력과 최대 면내 전단응력을 구하기 위하여 Mohr원을

사용하고, 알맞은 위치의 요소에 작용하는 응력을 도시하여라.

MPa6

MPa10

MPa22

xy

y

x


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6. Example 5-2

주응력이 작용하는 면의 요소

xy y x y x 2

2

21 22,


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6. Example 5-2

xy y x 2

2

max 2


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7. 3차원에서의 주응력• 일반적인 응력상태

• 특정 좌표계 xyz의 한점 p에서의 응력성분

• 다음의 응력상태로 존재하는 좌표계가 적어도 하나 존재하며, 바뀐 좌표계

시스템에서 x’y’z’을 주축(principal axes)이라 한다. 이축에서는 주응력만 작용하며,전단응력은 존재하지 않는다.

z zy zx

yz y yx

xz xy x

I

z

y

x

z zy zx

yz y yx

xz xy x

00

00

00

'''

'''

'''


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7. 3차원에서의 주응력• 주응력을 3차식의 근으로 나타내면,

• 여기서

• 비록 응력상태의 성분은 표현되는 좌표계의 방향에 의존하기는 하지만, 이러한 세 개의 계수의 값은 좌표계의 방향에

의존하지 않는다. 이는 주응력이 그것의 값을 구하기 위해 사용된 좌표계의 방향에 의존하지 않는다는 사실이다. 이러한

이유로 응력불변(stress invariants)으로 불린다.

• 절대 최대 전단응력은 다음의 값중 가장 큰 값이다.

0222

1

3 I I I

zx yz xy xy z xz y yz x z y x

zx yz xy x z z y y x

z y x

I

I

I

22223

222

2

1

2,

2,

2

323121


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8. 압력용기에서의 응력• 구형용기

• 두께가 반지름보다 매우 얇은 구형 dyud기를 고려해 보자. 용기가 균일압력 p1을 갖는 가스로 채워져 있고 외벽은

균일압력 p0를 받고 있다고 가정하고, 내부와 외부의 압력차를 p=pi-p0로 나타낸다. 실제로 이경우, p0는 대개

대기압이다. (대략적으로 105

Pa 또는 14.7psi)

• 내부와 외부의 압력보다 하중의 영향이 무시될 때 벽두께가 얇은 구형 압력용기의 응력상태를 근사화

0)()2()( 22

0

R p Rt R p i

Rt

t

pR

t

R p pi

22

)( 0


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8. 압력용기에서의 응력

외부 표면에서 요소상의 응력 내부 표면에서 요소상의 응력

000

00

00

p z zy zx

yz y yx

xz xy x

i z zy zx

yz y yx

xz xy x

p00

00

00

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