物理フラクチュオマティクス論 Contents 第13 1. 2. … July 2007 物理フラクチュオマティクス論（東北大） 9 Contents 1. はじめに 2. 量子系の概説

1

July 2007 物理フラクチュオマティクス論（東北大） 1

物理フラクチュオマティクス論Physical Fluctuomatics

第13回量子力学からみた確率的情報処理13th Quantum-mechanical extensions of

probabilistic information processing

東北大学大学院情報科学研究科応用情報科学専攻田中和之(Kazuyuki Tanaka)[email protected]

http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/

本講義のWebpage:http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/PhysicalFluctuomatics/2007/

July 2007物理フラクチュオマティクス論（東北

大） 2

Contents1. はじめに

2. 量子系の概説

3. Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応

4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化

5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ

6. まとめ


多体系の量子統計力学を用いた情報処理

量子ホップフィールドモデル (H. Nishimori)量子アニーリング (H. Nishimori)ゲージ理論による量子誤り訂正符号 (H. Nishimori)

量子確率場による大規模情報処理への展開


My works of Information Processing by using in Quantum Statistical Mechanics

画像処理に対する量子平均場アニーリングK. Tanaka and T. Horiguchi: Quantum Statistical-Mechanical Iterative Method in Image Restoration, IEICE Transactions (A), J80-A (1997).画像処理における量子ライン場の導入K. Tanaka: Image Restorations by using Compound Gauss-Markov Random Field Model with Quantized Line Fields, IEICE Transactions (D-II), J84-D-II (2001).

2


確率伝搬法の深化と展開

確率伝搬法と平均場理論の類似性の指摘Y. Kabashima and D. Saad, Belief propagation vs. TAP for decoding corrupted messages, Europhys. Lett. 44 (1998). M. Opper and D. Saad (eds), Advanced Mean Field Methods ---Theory and Practice (MIT Press, 2001).

クラスター変分法による一般化された確率伝搬法への拡張J. S. Yedidia, W. T. Freeman and Y. Weiss: Constructing free-energy approximations and generalized belief propagation algorithms, IEEE Transactions on Information Theory, 51 (2005).

確率伝搬法の情報幾何的解釈S. Ikeda, T. Tanaka and S. Amari: Stochastic reasoning, free energy, and information geometry, Neural Computation, 16 (2004).


確率推論: 2N 重の多重和の計算

( )∑ ∑ ∑= = =1,0 1,0 1,0

211 2

,,,a a a

NN

aaaW LL

一部の特殊な場合を除いて厳密な数値対角化は一般には困難

確率推論と量子確率推論

量子確率場: 2N 行 2N 列の行列の対角化


確率分布と確率伝搬法

( ) ( ) ( )32232112321 ,,,, aawaawaaaP =

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∑∑∑∑

311 3

3223211232122 ,,,,aaa a

aawaawaaaPaP

確率伝搬法の数理的基盤

量子系では同じ取り扱いは難しい!!

( ) ( ) ( )BABA expexpexp =+は一般には成り立たない

行列 A, B に対して


本講演の主題

1次元鎖または木構造のグラフ上の量子系の難しさ

量子系に対する確率伝搬法の定式化

3


大） 9






6. まとめ


1ノードの量子状態

( ) ( )100,011,10

0,01

1 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

0 0 1

古典状態として可能なのは2つの状態のみ

2次元空間の2つの位置ベクトル



( ) ( )100,011,10

0,01

1 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

0 0

量子状態は2つの古典状態の重合せにより

表されるすべての可能な状態を想定

00 1

量子状態は

2次元空間

の任意の点

古典状態は

2次元空間

の2点

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

01

21

10

23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10

21

01

23

2/3− 2/1+

2/3+

2/1+＃係数は複素数でもかまわない



( ) 0001

0101

11 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( ) ( )100,011,10

0,01

1 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Taa =

0010

01 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0100

10 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1000

00 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+++

0,01,00;11;1

00;0011;0000;1111;11uuuu

uuuu

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1;001

0,01,00;11;1

1010,01,00;11;1

0 uuuuu

uuuu

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

( ) 101

0111 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 001 =010 = 100 = 直交性

4


1ノードの量子状態とパウリ演算子

0001

11 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0010

01 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0100

10 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1000

00 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00111001

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=I 0011

1001

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=zS

10010110

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=xS ( )1001i

0ii0

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=yS

( ) ( )100,011,10

0,01

1 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

1001

I

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

10

110

01

101

z

z

S

S

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=

−

∞+

=

+∞

=

∑

∑

h

h

n

n

n

ee

hh

n

hn

h

00

00

!1

!1exp

0

0

zz SS

( )

( ) 010

expmaxarg0

101

expmaxarg0

eigenvalue

eigenvalue

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒<

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒>

z

z

S

S

hh

hh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zS



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

1001

I

TT

1001

0110

UUSUUS zx =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

01

10

10

01

x

x

S

S ( ) ( ) TT exp0

0exp USUUUS zx h

ee

hh

h

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1111

21U

( ) ( )

( ) ( )102

111

21expmaxarg0

102

111

21expmaxarg0

eigenvalue

eigenvalue

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒<

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒>

x

x

S

S

hh

hh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zS



2121 aaaaa ⊗≡=r 2121 aaaaa ⊗≡=

r

Taa rr=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0001

01

0

01

1

01

01

11

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0010

10

0

10

1

10

01

10

( ) ( )100,011,10

0,01

1 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

古典状態を考えた場合は4次元空間の4点

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0100

01

1

01

0

01

10

01

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1000

10

1

10

0

10

10

00

量子状態は4次元空間の任意の点

＃一般に N ノードの量子状態は 2N 次元空間の任意の点

5


2ノードの量子状態の遷移行列

( )( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⊗⊗=

0000000000100000

0010

0010

01011010

( )( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⊗⊗=

0000000000000100

0100

0001

10110111

同じ状態の積をとると対応する対角成分の1つが1になる

異なる状態の積をとると対応する非対角成分の1つが1になる


遷移行列と密度行列

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

≡ ∑ ∑ ∑ ∑= = = =

00;0001;0010;0011;0000;0101;0110;0111;0100;1001;1010;1011;1000;1101;1110;1111;11

;1,0 1,0 1,0 1,0

212121211 2 1 2

uuuuuuuuuuuuuuuu

bbbbaauaaa a b b

H

( ) ( )∑+∞

=

−≡−0 !

1expn

n

nHH( )

( )[ ]HHρ−−

≡exptr

exp

ハミルトニアン

密度行列


密度行列と確率分布

( )( )

( )( )⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=

0,0ln00001,0ln00000,1ln00001,1ln

PP

PP

H

( )( )[ ]

( )( )

( )( )⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−−

≡

0,000001,000000,100001,1

exptrexp

PP

PP

HHρ

( )∑ ∑= =

=1,0 1,0

211 2

1,a a

aaP ( ) 0, 21 >aaP確率分布 P(a1,a2)H が対角行列であ

り，対角成分が確率分布により与えられる場合，量子確率モデルは確率分布と簡単に関係づけられる．


密度行列の計算

1

3

2

1

0

000000000000

−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= UUH

κκ

κκ

( )( )[ ]

( )

( )

( )

( )

1

3

2

1

0

exp1000

0exp100

00exp10

000exp1exptr

exp

−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

=

−−

≡

UU

HHρ

κ

κ

κ

κ

Z

Z

Z

Z

( )∑=

−≡3

0exp

nnZ κ

ハミルトニアンを対角化することで初めて統計量の計算が始まる．

6


確率分布と密度行列

確率分布の最大値を与える状態

密度行列の最大固有値

に対応する固有ベクトル

1−=UKUH ( )( )[ ]

( ) 1exp1exptr

exp

−−=

−−

≡

UKU

HHρ

Z⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

3

2

1

0

000000000000

κκ

κκ

K

0001

1011

0001

1011

CC

CC

++

+

( )21, aaP 00or 01,10,11 古典的

な状態

古典的な

状態の

重合せ


周辺確率と縮約密度行列

ρρ ii \tr=

周辺確率 ( ) ( )∑=iaa

ii aPaP\r

r

縮約密度行列

i 番目を除くすべてのノードに対する確率変数の和

i 番目を除くすべてのノードに対する自由度の対角和


縮約密度行列(Reduced Density Matrix)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

00;0001;0010;0011;0000;0101;0110;0111;0100;1001;1010;1011;1000;1101;1110;1111;11

ρρρρρρρρρρρρρρρρ

ρ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=

=

0,0;0,01,0;1,00,1;0,01,1;1,00,0;0,11,0;1,10,1;0,11,1;1,1

tr 1\1

ρρρρρρρρ

ρρ

ノード1の状態を固定した

もとでの部分対角和



( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

00;0001;0010;0011;0000;0101;0110;0111;0100;1001;1010;1011;1000;1101;1110;1111;11

ρρρρρρρρρρρρρρρρ

ρ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=

=

00;0010;1001;0011;1000;0110;1101;0111;11

tr 2\2

ρρρρρρρρ

ρρ

ノード2の状態を固定した

もとでの部分対角和

7


2 ノードの量子 Heisenberg モデル

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zS⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

0110xS ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≡

0ii0yS

( )zyx ,, , 21 =⊗≡⊗≡ ννν νν SISISSzzyyxx SSSSSSH 212121 JJJ −−−≡

( )( )[ ]H

Hρββ−−

≡exptr

exp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

1001

I


2ノードの量子 Heisenberg モデル

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zS⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

0110xS ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≡

0ii0yS

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=⊗≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=⊗≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=⊗≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

=⊗≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⊗≡

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⊗≡

1000010000100001

,

1000010000100001

0i00i000

000i00i0

,

00i0000ii000

0i000100100000010010

,

0010000110000100

21

21

21

zz SISISS

SISISS

SISISS

zz

yyyy

xxxx

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=

−−−≡

JJJJJ

JJJJ

000020020000

212121zzyyxx SSSSSSH

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

1001

I



の固有状態

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

−−−≡

100002/12/1002/12/100001

0000300000000

100002/12/1002/12/100001

212121

JJ

JJ

JJJ zzyyxx SSSSSSH

( ) State) (Singlet 01102

1

01

10

21 :Eigenstate3 :Eigenvelue −=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⇒J

( ) State)(Triplet 00

1000

,01102

1

0110

21 ,11

0001

:sEigenstate :Eigenvelue =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⇒− J



の密度行列の計算

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

−−−≡

100002/12/1002/12/100001

0000300000000

100002/12/1002/12/100001

212121

JJ

JJ

JJJ zzyyxx SSSSSSH

( )( )[ ] ( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

>−−

≡

−−

J

J

J

J

J

J

J

eJJJJ

e

J

ee

ee

Je

HH

β

β

β

β

β

β

β

ββββ

β

β

βββρ

2

2

3

00002cosh2sinh002sinh2cosh0000

2cosh41

100002/12/1002/12/100001

000000000000

100002/12/1002/12/100001

2cosh41

0 exptr

exp

8


2 ノードの Ising モデルの例に

対する密度行列の解釈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zSzzzz SISISS ⊗≡⊗≡ 21 ,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=−≡

JJ

JJ

J

000000000000

21zz SSH

( )( )[ ]( )

( )( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+−

−+++

=

−−

≡

1,100001,100001,100001,1

exptrexp

Ising

Ising

Ising

Ising

PP

PP

HHρββ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

1001

I

( ) ( )( )∑ ∑

±= ±=

≡

1s 121

2121Ising

1 2

expexp,

ssJs

sJsssPβ

β

密度行列の対角成分

がIsingモデルの

各状態の確率分布

に対応する．

Ising モデルの確率分布

密度行列


2 ノードの横磁場 Ising モデル(Transverse Ising Model)に対する

密度行列の解釈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zSzzzz SISISS ⊗≡⊗≡ 21 ,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−

−−−

=−−−≡

JhhhJhhJh

hhJ

hhJ

00

00

21x2

x1

zz SSSSH

( )( )[ ]H

Hρββ−−

≡exptr

exp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

1001

I

密度行列


3ノードの場合の密度行列

2312 HHH +≡

23x23 Matrix

( )( )[ ]H

Hρ−−

≡exptr

exp

( )∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = = =

≡1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

321,323223321231 2 3 1 2 3

11,;,

a a a b b bba bbbbbaauaaa δH

( )∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = = =

≡1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

321,212112321121 2 3 1 2 3

33,;,

a a a b b bba bbbbbaauaaa δH



000001010011100101110111

321 aaa( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

≡ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = = =

00;00001;00010;00011;000000;00001;00010;00011;00

00;01001;01010;01011;010000;01001;01010;01011;01

00;10001;10010;10011;100000;10001;10010;10011;10

00;11001;11010;11011;110000;11001;11010;11011;11

,;,

12121212

12121212

12121212

12121212

12121212

12121212

12121212

12121212

1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0321,21211232112

1 2 3 1 2 3

33

uuuuuuuu

uuuuuuuu

uuuuuuuu

uuuuuuuu

bbbbbaauaaaa a a b b b

baδH

( )3332112321 0 baaaaHbbb ≠=

9



000001010011100101110111

321 aaa( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

≡ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = = =

00;0001;0010;0011;00000000;0101;0110;0111;01000000;1001;1010;1011;10000000;1101;1110;1111;110000

000000;0001;0010;0011;00000000;0101;0110;0111;01000000;1001;1010;1011;10000000;1101;1110;1111;11

,;,

23232323

23232323

23232323

23232323

23232323

23232323

23232323

23232323

1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0321,32322332123

1 2 3 1 2 3

11

uuuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuuuuuuuuuuuu

bbbbbaauaaaa a a b b b

baδH

( )1132123321 0 baaaaHbbb ≠=


大） 34






6. まとめ


確率分布と確率伝搬法

( ) ( ) ( )32232112321 ,,,, aawaawaaaP =

( ) ( )

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

∑∑

∑∑

31

1 3

32232112

32122

,,

,,

aa

a a

aawaaw

aaaPaP

そこで同じ操作が量子系でも可能か?July 2007 物理フラクチュオマティクス論（東北大） 36

量子系の難しさ

( )( )[ ]2312

2312

exptrexp

HHHHρ−−−−

≡

( ) ( ) ( )( ) L+−+

−−=−−

23121223

23122312 expexpexpHHHH

HHHH

指数関数の加法定理が成り立たない

10


Suzuki-Trotter公式

( )n

n nn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−−

+∞→ 2312

2312

1exp1explim

exp

HH

HH

密度行列Suzuki-Trotter 公式

積に分かれたときn乗が

残るのでやはりそのままでは確率伝搬法を使うのは難しい．

3xn の梯子格子上のグラフィ

カルモデルの確率伝搬法

n: Trotter 数

ΣJuly 2007 物理フラクチュオマティクス論（東北大） 38


( )

bbnn

c

cnn

c

cnn

aa

nnnn

nn

n

cccn

n

n

n

n

n

rrrL

rr

rrr

44444444444 344444444444 21

L

rL

rr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −××

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−−

−

+∞→

+∞→

+∞→

∑−

23121

223121

,,,12312

23122312

2312

2312

1exp1exp

1exp1exp

1exp1explim

1exp1exp1exp1explim

1exp1explim

exp

121

HH

HH

HH

HHHH

HH

HH

個

n: Trotter 数



( )

bbcWccWccWcaWa

bbnn

c

cnn

c

cnn

c

cnn

aa

ncccn

n

cccn

n

n

rrrL

rrrrrrr

rrL

rr

rr

rrr

rL

rr

rL

rr

);();();();(lim

1exp1exp

1exp1exp

1exp1exp

1exp1explim

exp

132,,,

211

23121

323122

223121

,,,12312

2312

121

121

−+∞→

−

+∞→

××=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −××

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−−

∑

∑

−

−

HH

HH

HH

HH

HHn: Trotter 数



( )( )[ ]

( )

∑ ∑ ∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−−−

=

−

−+∞→a b cccnn

bbcccaPan

r r rL

rr

rrrL

rrrr

121 ,,,121

2312

2312

,,,,,lim

exptrexp

HHHHρ n: Trotter 数

( )∑

−

−−−

−−−− ××

××=

bcccannn

nnnn

n

bcWccWccWcaWbcWccWccWcaWbcccaP

rrL

rrr

rrrrL

rrrr

rrrrL

rrrrrrL

rrr

,,,,,112211

112211121

121

);();();();();();();();(,,,,,

密度行列ST 公式

Σ

br

ar321 ,, ccc rrr

3cr

2cr

1cr

確率分布

11



密度行列ST 公式

Σ

br

ar321 ,, ccc rrr

3cr

2cr

1cr

確率分布

3xn の梯子格子上のグラフィカルモデルの

確率伝搬法から統計量の厳密な数値を求めることができる．

3ノードからなる1次元鎖グラフ上の量子系


大） 42






6. まとめ


クラスター変分法（Cluster Variation Method）

古典系のクラスター変分法R. Kikuchi: A theory of cooperative phenomena, Phys. Rev., 81 (1951).T. Morita: Cluster variation method of cooperative phenomena and its generalization I, J. Phys. Soc. Jpn, 12 (1957).量子系のクラスター変分法T. Morita: Cluster variation method of cooperative phenomena and its generalization II, Quantum Statistics, J. Phys. Soc. Jpn, 12 (1957).T. Morita: An Approximation Scheme of the Cluster Variation Method for Quantum Lattice Gases, Progress of Theoretical Physics, 92 (1994).


ギブス分布と自由エネルギー最小原理

( )QQQHQ lntr][ +≡F

ρQQQ

==1tr][minarg F

( )[ ] HρQQQ

−−=== exptrln][1tr][min FF

( )( )[ ]H

Hρ−−

≡exptr

exp

12


密度行列と縮約密度行列

∑∈

≡Bij

ijHH ( )( )[ ]H

Hρ−−

≡exptr

exp

ρρ ii \tr≡ ρρ ijij \tr≡

ijii ρρ \tr≡


Reducibility Condition 1trtr == iji ρρ

Normalization Condition

i はノードij は i と j を結ぶリンク

B は与えられたグラフ

すべてのリンクの集合


クラスター変分法における近似自由エネルギー

( )[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( )

( ) ( ) ( )( )∑

∑∑

∑

∑

∈

Ω∈∈

∈

∈

−−+

+≅

+=

+=

+≡

Bjjiiijij

iiB

ijij

Bijij

Bij

QQQQQQ

QQHQ

QQHQ

QQQHQQQHQ

ij

iij

ij

ij

F

lntrlntrlntr

lntrtr

lntrtr

lntrtrlntr][

Consistency Conditionsijii ρρ \tr≡


近似自由エネルギーの変分

[ ] ( )

( ) ( ) ( )( )∑

∑∑

∈

Ω∈∈

−−+

+≡

Bjjiiijij

iiB

ijijiji

QQQQQQ

QQHQQ,Q

ij

iij

F

lntrlntrlntr

lntrtr][CVM

( ) [ ] [ ] 1trtr,][minarg CVM ===≅ ijiiji\iijiQ,Qiji QQQtrQQ,Qρ,ρiji

F

( )( )[ ]ii

ii

,

,

exptrexp

ΛΛ

ρi ≅

( )( )[ ]jij,ij,iij

jij,ij,iijij ΛΛH

ΛΛHρ

++−++−

≅exptr

exp

∑∈−

≡iB

ik,ii

i,i ΛB

Λkk1

1


近似縮約密度行列と有効場

( )( )[ ]∑∑

∈ →

∈ →≅

i

i

B ik

B iki λ

λρ

k

k

exptr

exp

( )( )[ ]∑∑

∑∑∈ →∈ →

∈ →∈ →

++−

++−≅

i\Bl jlj\Bk ikij

i\Bl jlj\Bk ikij

ij

ji

ji

λλH

λλHρ

exptr

exp

∑∈

→=j\Bkk

ikij,ii

λΛ k から i への有効場

ijii ρρ \tr≡

13


量子系における確率伝搬法の有効場伝搬規則

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+

−=

∑∑

∑

∈→

∈→

∈→→

i\Bljl

j\Bkikij

j\Bkikij

ji

i

λλH

λλ

exptrlog \iij

i

ZZ

有効場伝搬方程式ijii ρρ \tr≡

jiOutput


大） 50






6. まとめ


確率推論と従来の確率伝搬法

1. 閉路を持たないグラフ上の確率モデルに対して厳密な結果を与える．2. 閉路を持つグラフ上の確率モデルでは近似アルゴリズムとなる．

21

1324

25436

67658

PrPrPrPr

Pr,Pr

Pr,Pr Pr

AAAAAA

AAAAA

AAAAA

×

×

×

=A


閉路を持つグラフ上の確率モデルの結合確率

( )

),(),(),( ),()(),,(

,,,,,,Pr

311342245225

7667543346865568

821

882211

aaWaaWaaWaaW,a,aaWaaaW

aaaPaAaAaA

×==

===L

L

有向グラフ

1A

3A

2A

4A

6A 5A

13W

67W

24W

25W346W

568W

8A7A

無向グラフ

14


確率推論の密度行列

( )( )( )

( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

=

−≡

00000000ln00

011111110ln00011111111ln

ln

P

PP

aaPa

L

MOMM

L

L

rrrΗ

( )( )[ ] ( )

( )( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

=−−

≡

0000000000

01111111000011111111

exptrexp

P

PP

aaPa

L

MOMM

L

L

rrr

HHρ

1A

3A

2A

4A

6A 5A

13W

67W

24W

25W346W

568W

8A7A

無向グラフ


閉路を持つグラフ上の量子系の密度行列

( )

∑

∑

∈

∈

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

B

B

aaWa

γγ

γγ

H

Η rrr ln

1A

3A

2A

4A

6A 5A

13H

67H

24H

25H346H

568W

8A7A

無向グラフ

( )( ) aaWa rrrγγ ln−=H

67,568,346,25,24,13=B

( )( )[ ]H

Hρ−−

≡exptr

exp



∑∈

=Bγ

γHΗ

1A

3A

2A

4A

6A 5A

13H

67H

24H

25H346H

568W

8A7A

無向グラフ

( ) bbauai

ba ii

rrrr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∏

∉γγγγγ δ ,;H

67,568,346,25,24,13=B

( )( )[ ]H

Hρ−−

≡exptr

exp



1A

3A

2A

4A

6A 5A

13H

67H

24H

25H346H

568W

8A7A

無向グラフ

( ) bbbaaua babababababa

rr887766553311 ,,,,,,42422424 ; δδδδδδ=H

( )b

bbbaaaua

bababababa

r

r

8877552211 ,,,,,

643643346346 ;

δδδδδ×

=H

( )b

bbbaaaua

bababababa

r

r

7744332211 ,,,,,

865865568568 ;

δδδδδ×

=H

15


確率推論の密度行列への拡張の一例

( ) ∑∑∑∑∈=∈

=−−≡Bi

xi

B a

haaWaγ

γγ

γγ HSΗ8

1

logr

rrr

( ) ∑∑∈ −

−−≡γ

γγγi

xi

ia BhaaWa SH

1log

r

rrr

M

IIIIISIIS

IIIIIISISIIIIIIISS

⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗≡

⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗≡

⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗≡

xx

xx

xx

3

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

0110

I

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

0110xS


閉路を持つグラフ上の量子系の密度行列の数値実験

1A

3A

2A

4A

6A 5A

13H

67H

24H

25H346H

568W

8A7A

無向グラフ

...8272.0tr

...9029.0tr

444

111

==

==

ρSS

ρSSzz

zz

...8379.0tr

...9032.0tr

444

111

==

==

ρSS

ρSSzz

zz

Exact

Quantum CVM


線形応答理論

| Ωx ∈= ixi

z

zz

h

zz

zz

zz

h

dee

z

ρSρS

SS

ρSS

SS

HH

330

38

10 38

38

tr~trlim

)tr(

:

−=

⟩⟩⟨⟨−

≡

⟩⟩⟨⟨

→

−∫ λλλ

)exp(~1~

8z

zhZ

SHρ +−≡

1A

3A

2A

4A

6A 5A

8A7A

（人為的に小さなゆらぎを与えてその応答を見ることで詳細を知ることができる．）

)exp(1 Hρ −≡Z


閉路を持つグラフ上の量子系の密度行列の数値実験

1A

3A

2A

4A

6A 5A

13H

67H

24H

25H346H

568H

8A7A

無向グラフ

...1727.0:

...0918.0:

48

38

=⟩⟩⟨⟨

=⟩⟩⟨⟨zz

zz

SS

SS

Exact

Quantum CVM

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≡10

01zS

...0815.0:

...0740.0:

48

38

=⟩⟩⟨⟨

=⟩⟩⟨⟨zz

zz

SS

SS

1=xh

16


大） 61






6. まとめ


まとめ

従来型のＣＶＭによる量子系の取扱い

確率推論のグラフィカルモデルにおける量子確率伝搬法としてのアルゴリズム

量子確率推定への情報統計力学的アプローチ

今後の課題

Documents

物理フラクチュオマティクス論 Contents 第13 1. 2. … July 2007 物理フラクチュオマティクス論（東北 大） 9 Contents 1. はじめに 2. 量子系の概説

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