الرحمن الله الرحمن بسم الله بسمالرحيمالرحيم

Correlación y Correlación y regresiónregresión

Dr. Moataza Mahmoud Abdel WahabConferencista sobre BioestadísticaInstituto Superior de Salud Pública

Universidad de Alejandría

CorrelaciónCorrelación

Es la relación entre dos variables cuantitativas sin ser capaz de inferir relaciones causales.

Correlación es una técnica estadística utilizada para determinar el grado en el que dos variables están relacionadas

• Dos variables cuantitativas

• Una variable es llamada independiente (X)

y la otra dependiente (Y)

• Los puntos no se unen

• No es tabla de frecuencias

Diagrama de dispersión de puntos

Ejemplo

Dispersión de puntos de peso y presión Dispersión de puntos de peso y presión arterial sistólicaarterial sistólica

80

100

120

140

160

180

200

220

60 70 80 90 100 110 120wt (kg)

SBP(mmHg)TAS (mm HG)

Peso (Kg)

80

100

120

140

160

180

200

220

60 70 80 90 100 110 120Wt (kg)

SBP(mmHg)

Diagrama de puntos dispersos de peso y tensión arterial sistólica

TAS (mm HG)

Peso (Kg)

Dispersión de puntos

El modelo de los datos es indicativo del tipo de relación entre las dos variables:

Relación positiva Relación negativa No hay relación

Relación positivaRelación positiva

Número de horas para estudio

Cal

ifica

ción

fina

l del

cur

so

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Age in Weeks

Hei

gh

t in

CM

Edad en semanas

Est

atur

a en

cm

Relación negativaRelación negativa

Confiabilidad

Edad del Auto

Sin relaciónSin relación

Tasa de pulso (latidos/minuto)

Pes

o (li

bras

)

Coeficiente de correlaciónCoeficiente de correlación

Estadístico que muestra el grado de relación entre las dos variables

Coeficiente de correlación simple (r)Coeficiente de correlación simple (r)

También llamado correlación de También llamado correlación de Pearson Pearson

Mide la Mide la naturaleza naturaleza y y fuerzafuerza entre dos entre dos variables variables cuantitativascuantitativas..

El El signosigno de de rr denota la naturaleza de denota la naturaleza de la asociación la asociación

Mientras que el Mientras que el valorvalor de de rr denota la denota la fuerza de asociación.fuerza de asociación.

Si el signo es Si el signo es positivo,positivo, significa que la significa que la relación es relación es directa directa (un incremento en una (un incremento en una variable está asociado con el incremento variable está asociado con el incremento de la otra variable; una disminución de de la otra variable; una disminución de una variable está asociado con la una variable está asociado con la disminución de la otra variable).disminución de la otra variable).

Si el signo es Si el signo es negativo, negativo, significa una significa una relación relación inversa o indirectainversa o indirecta (significando (significando que el incremento en una variable está que el incremento en una variable está asociado con una disminución de la otra asociado con una disminución de la otra variable).variable).

El valor de r está entre ( -1) y ( +1)El valor de r está entre ( -1) y ( +1) El valor de r denota la fuerza de la El valor de r denota la fuerza de la

asociación como se ilustra en el siguiente asociación como se ilustra en el siguiente diagrama.diagrama.

-1 10-0.25-0.75 0.750.25

fuerte fuerteintermedio intermediodébil débil

sin relación

Correlación perfecta

correlación perfecta

Directaindirecta

Si Si rr = cero = cero significa que no hay asociación o significa que no hay asociación o correlación entre las dos variables.correlación entre las dos variables.

Si Si 0 < 0 < rr < 0.25 < 0.25 = débil correlación. = débil correlación.

Si Si 0.25 ≤ 0.25 ≤ rr < 0.75 < 0.75 = intermedia correlación. = intermedia correlación.

Si Si 0.75 ≤ 0.75 ≤ rr < 1 < 1 = fuerte correlación. = fuerte correlación.

Si Si r r = l= l = perfecta correlación. = perfecta correlación.

n

y)(y.

n

x)(x

n

yxxy

r2

22

2

¿Cómo clacular el coeficiente de correlación simple (r)?

EjemploEjemplo::

Una muestra de 6 niños fue seleccionada, datos de su Una muestra de 6 niños fue seleccionada, datos de su edad en años y peso en kilogramos fue registrada edad en años y peso en kilogramos fue registrada como se muestra en la siguiente tabla. Se requiere como se muestra en la siguiente tabla. Se requiere encontrar la correlación entre edad y peso.encontrar la correlación entre edad y peso.

Nº serial

Edad (años)

Peso (Kg)

1712

268

3812

4510

5611

6913

Las dos variables son de tipo cuantitativo, Las dos variables son de tipo cuantitativo, una variable (edad) es llamada una variable (edad) es llamada independiente y la otra (peso) es llamada independiente y la otra (peso) es llamada dependiente y con notación de variable Y, dependiente y con notación de variable Y, para encontrar la relación entre edad y para encontrar la relación entre edad y peso, calcule el coeficiente de correlación peso, calcule el coeficiente de correlación simple, usando la siguiente fórmula:simple, usando la siguiente fórmula:

n

y)(y.

n

x)(x

n

yxxy

r2

22

2

Nº Serial

Edad (años)

(x)

Peso (Kg)

(y)xyX2Y2

17128449144

268483664

38129664144

45105025100

56116636121

691311781169

Total∑x=41

∑y=66

∑xy= 461

∑x2=291

∑y2=742

r = 0.759r = 0.759

Fuerte correlación directaFuerte correlación directa

6

(66)742.

6

(41)291

6

6641461

r22

Ejemplo: Relación entre ansiedad y puntaje de Ejemplo: Relación entre ansiedad y puntaje de pruebaspruebas

AnsiedadAnsiedad

))XX((

Puntaje Puntaje de de

prueba prueba (Y)(Y)

XX22YY22XYXY

101022100100442020

88336464992424

22994481811818

117711494977

5566252536363030

6655363625253030

∑∑X = 32X = 32∑∑Y = 32Y = 32∑∑XX22 = 230 = 230∑∑YY22 = 204 = 204∑∑XY=129XY=129

Calculando el coeficiente de correlaciónCalculando el coeficiente de correlación

94.)200)(356(

1024774

32)204(632)230(6

)32)(32()129)(6(22

r

r = - 0.94

Fuerte correlación indirecta

Coeficiente de correlación de Rankings Coeficiente de correlación de Rankings de Spearman (rde Spearman (rss))

No es una prueba no paramétrica de No es una prueba no paramétrica de correlación. correlación. Este procedimiento usa los dos rankings que Este procedimiento usa los dos rankings que puede asignarse a los valores de la muestra en puede asignarse a los valores de la muestra en x y en y.x y en y.Coeficiente de correlación de rankings de Coeficiente de correlación de rankings de Spearman puede calcularse en los siguientes Spearman puede calcularse en los siguientes casos:casos:

Ambas variables son cuantitativas.Ambas variables son cuantitativas.Ambas variables son cualitativas ordinales.Ambas variables son cualitativas ordinales.Una variable es cuantitativa y la otra es cualitativa Una variable es cuantitativa y la otra es cualitativa ordinal.ordinal.

ProcedimientoProcedimiento::

1.1. Ranquee los valores de X de primero a n Ranquee los valores de X de primero a n donde n es el número de pares de donde n es el número de pares de valores de x y y en la muestra.valores de x y y en la muestra.

2.2. Ranquee el valor de y de primero a n.Ranquee el valor de y de primero a n.

3.3. Calcule el valor de di para cada par de Calcule el valor de di para cada par de observaciones restando el ranking de yi observaciones restando el ranking de yi del ranking de xi.del ranking de xi.

4.4. Eleve al cuadrado cada di y ∑diEleve al cuadrado cada di y ∑di22 lo cual lo cual es la suma de valores al cuadrado.es la suma de valores al cuadrado.

5.5. Aplique la siguiente fórmula:Aplique la siguiente fórmula:

1)n(n

(di)61r

2

2

s

El valor de rs denota la magnitud y naturaleza de la asociación dando la misma interpretación el r simple.

EjemploEjemplo

En un estudio de la relación entre el nivel de En un estudio de la relación entre el nivel de educación e ingreso, se obtuvieron los siguientes educación e ingreso, se obtuvieron los siguientes datos. Encuentre la relación entre ellos y datos. Encuentre la relación entre ellos y comente.comente.

Números de la

muestra

Nivel de educación(X)

Ingreso(Y)

APreparatoriaPreparatoria25

BPrimariaPrimaria10

CUniversidadUniversidad8

DSecundariaSecundaria10

ESecundariaSecundaria15

FAnalfabetaAnalfabeta50

GUniversidadUniversidad60

Respuesta:Respuesta:

(X)(Y)

RankingX

RankingY

didi2

APreparatoria255324

BPrimaria1065.50.50.25

CUniversidad81.57-5.5

30.25

DSecundaria103.55.5-24

ESecundaria153.54-0.5

0.25

FAnalfabeta5072525

GUniversidad601.510.50.25

∑ di2=64

Comentario:Comentario:

Hay una correlación débil indirecta entre el Hay una correlación débil indirecta entre el nivel de educación y el ingreso.nivel de educación y el ingreso.

1.0)48(7

6461

sr

EjercicioEjercicio

Análisis de regresiónAnálisis de regresión

Regresión: técnica enfocada a la predicción de algunas variables conociendo a otras.

El proceso de predecir la variable Y usando la variable X.

RegresiónRegresión

Usa la variable (x) para predecir el valor de la Usa la variable (x) para predecir el valor de la variable resultado (y)variable resultado (y)

Nos dice cuanto es el valor de cambio de y en Nos dice cuanto es el valor de cambio de y en función del cambio en los valores de x.función del cambio en los valores de x.

Correlación y regresiónCorrelación y regresión

Correlación describe la fuerza de una relación Correlación describe la fuerza de una relación lineal entre dos variables

Lineal significa “línea recta”

Regresión nos dice como trazar la línea recta descrita en la correlación.

Regresión Calcule la línea que de “el mejor trazo” para un grupo de Calcule la línea que de “el mejor trazo” para un grupo de

datosdatos

La línea de regresión hace la suma de cuadrados de los La línea de regresión hace la suma de cuadrados de los residuales, menores a cualquier otra línearesiduales, menores a cualquier otra línea

Regresión minimiza los residuales

80

100

120

140

160

180

200

220

60 70 80 90 100 110 120Wt (kg)

Peso Kg

TAS(mmHg)

Usando el método de los cuadrados mínimos (un Usando el método de los cuadrados mínimos (un procedimiento que minimiza las desviaciones procedimiento que minimiza las desviaciones verticales de puntos trazados alrededor de la verticales de puntos trazados alrededor de la línea recta) somos capaces de construir el mejor línea recta) somos capaces de construir el mejor trazado de la línea recta en la gráfica de puntos trazado de la línea recta en la gráfica de puntos dispersos y luego formular la ecuación de dispersos y luego formular la ecuación de regresión en la forma deregresión en la forma de::

n

x)(x

n

yxxy

b2

2

1)xb(xyy b

bXay

Ecuación de regresión

La ecuación de regresión describe la línea de regresión matemáticamente Intersección Pendiente

80

100

120

140

160

180

200

220

60 70 80 90 100 110 120Wt (kg)

SBP(mmHg)TAS (mmHg)

Peso (Kg)

Ecuación linealEcuación linealEcuación linealEcuación linealY

Y = bX + a

a = Y-intercept

X

Changein Y

Change in X

b = Slope

bXay Cambio en Y

Cambio en X

b= pendiente

a = intersección

Horas estudiando y Horas estudiando y calificacionescalificaciones

Regresión de calificaciones sobre horas de estudio

Linear Regression

2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

Number of hours spent studying

70.00

80.00

90.00

Final grade in course = 59.95 + 3.17 * studyR-Square = 0.88

Calificación final predicha en clase =

59.95 + 3.17*(número de horas de estudio por semana)

Regresión lineal

Calificación final en el curso= 59.95 + 3.17 * horas de estudio

R2=0.88

Número de horas empleadas en estudio

Ca

lifi

ca

ció

n f

ina

l e

n e

l c

urs

o

Prediga la calificación final dePrediga la calificación final de ……

Alguien quien estudia 12 horas Calificación final = 59.95 + (3.17*12) Calificación final = 97.99

Alguine quien estudia 1 hora: Calificación final = 59.95 + (3.17*1) Calificación final = 63.12

Calificación final en clases predicha= 59.95 + 3.17*(horas de estudio)

EjercicioEjercicio

Una muestra de 6 personas fue Una muestra de 6 personas fue seleccionada el valor de su edad seleccionada el valor de su edad (variable x) y su peso, mostrados en la (variable x) y su peso, mostrados en la siguiente tabla. Encuentre la ecuación de siguiente tabla. Encuentre la ecuación de regresión y que se predice del peso regresión y que se predice del peso cuando la edad es 8.5 años.cuando la edad es 8.5 años.

Número serialEdad (x)Peso (y)

123456

768569

128

12101113

RespuestaRespuesta

Número serial

Edad (x)

Peso (y)xyX2Y2

123456

768569

128

12101113

8448965066

117

493664253681

14464

144100121169

Total4166461291742

6.836

41x 11

6

66y

92.0

6

)41(291

6

6641461

2

b

Ecuación de regresión

6.83)0.9(x11y (x)

0.92x4.675y (x)

12.50Kg8.5*0.924.675y (8.5)

Kg58.117.5*0.924.675y (7.5)

11.411.611.8

1212.212.412.6

7 7.5 8 8.5 9

Age (in years)

Wei

ght (

in K

g)

Creamos una lñínea de regresión trazando dos valores estimados para y contra su componente de x, y luego extendiendo la línea a la derecha y a la

izquierda.

Edad (en años)

Pes

o (e

n K

g)

Ejercicio 2Ejercicio 2

Los siguientes son las Los siguientes son las edades en años y la edades en años y la presión arterial (PA) presión arterial (PA) de 20 adultos de 20 adultos aparentemente aparentemente sanos.sanos.

Edad (x)

PA (y)

Edad (x)

PA (y)

20436326533158465870

120128141126134128136132140144

46536020634326193123

128136146124143130124121126123

Encuentre la correlación entre Encuentre la correlación entre edad y presión arterial usando el edad y presión arterial usando el coeficiente de correlación de coeficiente de correlación de Spearman y comente.Spearman y comente.Encuentre la ecuación de Encuentre la ecuación de regresiónregresión¿Cual es la presión arterial ¿Cual es la presión arterial predecible para un hombre de 25 predecible para un hombre de 25 años?años?

Serialxyxyx2

1201202400400

24312855041849

36314188833969

4261263276676

55313471022809

6311283968961

75813678883364

84613260722116

95814081203364

1070144100804900

Serialxyxyx2

114612858882116

125313672082809

136014687603600

14201242480400

156314390093969

164313055901849

17261243224676

18191212299361

19311263906961

20231232829529

Total852263011448

641678

n

x)(x

n

yxxy

b2

2

1 4547.0

20

85241678

20

2630852114486

2

=

=112.13 + 0.4547 x

para edad 25

Presión arterial = 112.13 + 0.4547 * 25=123.49 = 123.5 mm hg

y

Regresión múltiple

Análisis de regresión múltiple es una extensión del análisis simple de regresión permitiendo más de una variable independiente.