2017/9/26

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システム制御工学－ フィードバック制御系の応答 －

古 田 一 雄

フィードバック制御系

閉ループ伝達関数

制御器Gc(s)

出力y(t)

u(t)目標値yd(t)

e(t) 制御対象G(s)

+

-

検出器H(s)

)(1)(

)()()(1)()()(

sLsG

sHsGsGsGsGsT F

c

c

+=

+=

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インパルス応答

インパルス入力 rp(t)=δ (t) に対する応答

なので

T(s) が安定ならば、 T(s) の全てのモードは時間減衰するので

任意の入力に対する応答

1)]([ =tL δ

0)(lim =∞→

tgt

τττ drtgtyt

p )()()(0∫ −=

)()]([)( 1 tgsTLty p == −

T(s)t=0 t=0

ステップ応答

ステップ状の入力に対する応答

なので

T(s) が安定ならば最終値定理より

strL s

1)]([ =

)0()(lim Ttyst=

∞→

∫=

= − t

s dgssTLty

0

1 )()()( ττ

≥<

=0100

)(tt

trs

T(s)t=0 t=0

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ランプ応答

ランプ入力 rr(t)=t に対する応答

なので21)]([s

trL r =

= −

21 )()(

ssTLtyr

T(s)t=0 t=0

周波数応答

正弦波入力 rf (t)=sinωt に対する応答

n T(s) が安定ならば定常出力も正弦波であり、その振幅と位相差は複素平面における T(jω) の絶対値と偏角になる。

n T(jω) そのものを周波数応答、A とϕ を周波数応答のゲインと位相角と呼ぶ。

)(arg,)(

)sin()(

ωϕω

ϕω

jTjTA

tAty f

==

+=

T(s)

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ボード線図

周波数応答の表示法

n 周波数を横軸に、ゲインと位相角とを上下に並べてプロットしたもの

n ゲインの単位はデシベル（dB） AA 10dB log20][ =

周波数応答の合成

複数の要素を直列に繋いだシステムの場合

合成システムに関して以下が成立

ボード線図など周波数応答のゲインや位相を軸にとったチャートについては図面上での加法性が成り立つ

n 一定のゲインや位相遅れを持つ要素に関しては平行移動

G1(s) 出力y(t)Gn(s)G2(s)入力

u(t)

)(arg)(arg)(arg)(arg)]([)]([)]([)]([

22

dBdB2dB1dB

ωωωωωωωω

jGjGjGjGjGjGjGjG

n

n

+++=+++=L

L

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周波数応答についてのTips逆数関数のゲインと位相

１次遅れ系の周波数応答

ω < ω0 で

[G]→0dB 、∠G→0°

ω > ω0 で

[G]→ 、∠G→-90°

[ ] )(arg)(

1arg,)()(

1dB

dB

ωω

ωω

jGjG

jGjG

−=−=

)/1(,1

1)( 00

0 TsTs

sG =+

=+

= ωω

ω

0dB

-90°

ゲイン

位相

周波数

0°

-45°

ω0

0

log20ωω

−ω0 ： 折点周波数

ボード線図による安定性判別s平面の虚軸に対応するナイキスト軌跡 R(jω) は一巡伝達関数の周波数応答を表す

ナイキスト軌跡が点(-1,0)の下を潜れば安定

一巡伝達関数のボード線図でゲインが0dBのときに位相遅れが180°未満なら安定

あるいは、位相遅れが180°のときにゲインが0dB未満なら安定

0dB

-180°

ゲイ

ン位

相

ゲイン余裕

位相余裕

周波数

η

θ

R(jω)

0dB

θ

η

Im

Re-1

0<k<66<k

O

k=6

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ゲイン余裕と位相余裕

ゲイン交点と位相交点

n ゲイン交点： ゲイン曲線と0dB線との交点

n 位相交点 ： 位相曲線と-180°線との交点

ゲイン余裕と位相余裕

n ゲイン余裕： 位相交点周波数であとゲインが何dB増えれば0dBになるか

n 位相余裕 ： ゲイン交点周波数で位相があと何度遅れれば-180°になるか

※ 経験上、ゲイン余裕は16dB以上、位相余裕は40°以上とることが推奨される。

制御系の過渡応答の評価

ステップ応答の評価基準

出力

時間

目標値

初期値

立上り時間

行過ぎ時間定常偏差

許容範囲

行過ぎ量

整定時間

100%90

100

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定常偏差の評価（１）

t→∞ で誤差 e(t) がどうなるか

最終値定理より

)(1)()(

)(1)(1)()()()(

sLsRsR

sLsLsYsHsRsE

+=

+

−=−=

)(1)(lim)(lim)(lim

00 sLssRssEte

sst +==

→→∞→

定常偏差の評価（２）

インパルス入力 R(s)=1 の場合

ステップ入力 R(s)=1/s の場合

ランプ入力 R(s)=1/s2 の場合

)(lim11

)(11lim)(lim

00 sLsL

tes

st→

→∞→ +=

+=

)]([lim1

)](1[1lim)(lim

00 ssLsLs

tes

st→

→∞→=

+=

0)(1

lim)(lim0

=+

=→∞→ sL

stest

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定常偏差の評価（３）

L(s) が次の形で表せるシステムをN形系と呼ぶ

ステップ入力、ランプ入力に対する定常偏差

)0,0(,)())((

)())(()(21

21 ≠≠+++

+++= ii

nN

m pzpspspss

zszszssLL

L

n

mN

s pppzzzsLsK

L

L

21

2100 )(lim ==

→

零形系 １形系 ２形系

ステップ入力（1/s） 1/(1+K0) 0 0

ランプ入力（1/s2） ∞ 1/K0 0

外乱や雑音のある制御系

制御器Gc(s)

出力y(t)

u(t)目標値yd(t)

e(t) 制御対象G(s)

+

-

検出器H(s)

+

+

雑音n(t)

+

外乱影響Gd(s)

外乱d(t)

+

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外乱の影響

外乱と出力の間の伝達関数

n 開ループ特性

n 閉ループ特性

n ループの減衰効果

※ インパルス状外乱の影響は制御系が安定ならば消滅

)()()(1)(

)()(

sHsGsGsG

sDsY

c

d

+=

)()()( sG

sDsY

d=

)()()(1

)()()(11

sHsGsGsHsGsG cc≈

+

雑音の影響（１）

雑音と出力の間の閉ループ伝達関数

n 制御が有効なためには

n つまり雑音がそのまま出力に出てきてしまう。

)()()(1)()()(

)()(

sHsGsGsHsGsG

sNsY

c

c

+−

=

1|)()()(| >>sHsGsG c

1)()(

≈sNsY

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雑音の影響（２）

現実の雑音は制御信号より周波数の高い成分が主体

一巡伝達関数は一般的に高周波領域でゲインが下がる（ローパス特性）

雑音の帯域で となるなら

となって雑音成分は制御ループで減衰

1|)()()(| <<sHsGsG c

1)()()()()()(1

)()()()()(

<<≈+

= sHsGsGsHsGsG

sHsGsGsNsY

cc

c

モデル化誤差の影響

制御対象の伝達関数がk倍になったと仮定

n 開ループ感度

n 閉ループ感度

)()()(1)()()(),()()(

sHsGskGsGskGsTsGskGsG

c

ccF +

==

1)()(

=∂

∂k

sGsG

k F

F

)1(,)()()(1

1)()(

≈+

≈∂

∂ ksHsGsGk

sTsT

k

c