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Wildson cruz

EXERCÍCIOS:

1. As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:

1 2 3 4 5 6 6 7 7 82 3 3 4 5 6 6 7 8 82 3 4 4 5 6 6 7 8 92 3 4 5 5 6 6 7 8 92 3 4 5 5 6 7 7 8 9

a) Complete a distribuição de freqüência abaixo:

i NOTAS

xi fi

1234

0 ├ 22 ├ 44 ├ 66 ├ 8

5 8 ├10∑

fi=50

b) Agora, responda:

1. Qual a amplitude amostral?

2. Qual a amplitude da distribuição?

3. Qual o número de classes da distribuição?

4. Qual o limite inferior da quarta classe?

5. Qual o limite superior da classe de ordem 2?

6. Qual a amplitude do segundo intervalo de classe?

c) Complete:

1. h3 =2. n =3. li =4. L3 =5. x2 =6. f5 =

3.2 – SÉRIES ESTATÍSTICAS:

Denominamos série estatística toda tabela que apresenta a distribuição de um

conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie.

Daí podemos inferir que numa série estatística observamos a existência de três elemento ou fatores: o tempo, o espaço e a espécie. Conforme varie um dos elementos da série, podemos classificá-la em histórica, geográfica e específica.

3.2.1 - Séries históricas, cronológicas, temporais ou marcha: Descrevem os valores da variável, em determinado local, discriminados segundo

intervalos de tempo variáveis.

Exemplo:Tabela 1

PRODUÇÃO DE FERTILIZANTESFOSFATADOS – BRASIL

1985 – 1989ANOS QUANTIDADE (t)19851986198719881989

3.570.1154.504.2015.448.8354.373,2264.024.813

FONTE: Associação Nacional para DifusãoDe adubos e Corretivos Agrícolas.

3.2.2 - Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização:Descrevem os valores da variável, em determinado instante, discriminados

segundo regiões. Exemplo:

Tabela 2PRODUÇÃO DE OVOS DE GALINHA

NO BRASIL - 1988REGIÃO QUANTIDADE

(1.000 dúzias)NorteNordesteSudesteSulCentro-Oeste

66.092356.810937.463485.098118.468

FONTE: IBGE.

3.2.3 - Séries específicas ou categóricas:

Descrevem os valores da variável, em determinado tempo e local, discriminados segundo especificações ou categorias.

Exemplo:Tabela 3

REBANHOS BRASILEIROS - 1988ESPÉCIE QUANTIDADE

(1.000 cabeças)BovinosBubalinosEqüinosAsininosMuaresSuínosOvinosCaprinosCoelhos

139.5991.1815.8551.3041.984

32.12120.08511.313

909FONTE: IBGE.

3.2.4 - Séries Conjugadas (Tabela de dupla entrada):

Muitas vezes temos necessidade de apresentar, em uma única tabela, a variação de valores de mais de uma variável, Istoé, fazer uma conjugação de duas ou mais séries.

Conjugando duas séries em uma única tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. Em uma tabela desse tipo ficam criadas duas ordens de classificação: uma horizontal (linha) e uma vertical (coluna).

Exemplo: Tabela 4TELEFONES INSTALADOS NO BRASIL

1987 a 1989REGIÃO 1987 1988 1989

NorteNordesteSudesteSulCentro-Oeste

373.3121.440.5318.435.3082.106.145

849.013

403.7121.567.0068.892.4092.192.762

849.401

457.7411.700.4678.673.6602.283.581

944.075Total 13.158.309 13.905.290 14.059.524

FONTE: IBGE.

A conjugação, no exemplo dado, foi série geográfica com série histórica, que dá origem à série geográfico-histórica ou geográfico-temporal.

Pode existir, se bem que mais raramente, pela dificuldade de representação, séries compostas de três ou mais entradas.

3.3 – DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS:

Os dados estatísticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulação senão a contagem ou medida, são chamados dados absolutos.

A leitura dos dados absolutos é sempre enfadonha e inexpressiva; embora esses dados traduzam um resultado exato e fiel, não têm a virtude de ressaltar de imediato as suas conclusões numéricas. Daí o uso imprescindível que faz a Estatística dos dados relativos.

Dados relativos são o resultado de comparações por quocientes (razões) que se estabelecem entre dados absolutos, e têm por finalidade realçar ou facilitar as comparações entre quantidades.

Traduzem-se dados relativos, em geral, por meio de porcentagens, índices, coeficientes e taxas.

3.3.1 - As porcentagens:

Consideremos a série:Tabela 6

MATRÍCULAS NAS ESCOLASDA CIDADE A - 1990

CATEGORIA N° DE ALUNOS1° Grau2° Grau3° Grau

19.2861.681234

Total 21.201FONTE: dados fictícios.

Calculemos as porcentagens dos alunos de cada grau:1° Grau = 19.286 x 100 / 21.201 = 90,96 ou 91,0%2° Grau = 1.681 x 100 / 21.201 = 7,92 ou 7,9%3° Grau = 234 x 100 / 21.201 = 1,10 ou 1,1%

Com esses dados, podemos formar uma nova coluna na série em estudo:

Tabela 7MATRÍCULAS NAS ESCOLAS

DA CIDADE A - 1990CATEGORIA N° DE ALUNOS %

1° Grau2° Grau3° Grau

19.2861.681234

91,07,91,1

Total 21.201 100,0 FONTE: dados fictícios.

Os valores dessa nova coluna nos dizem que, de cada 100 alunos da cidade A, 91 estão matriculados no 1° Grau, 8 aproximadamente, no 2° Grau e 1 no 3° Grau.

O emprego da porcentagem é de grande valia quando é nosso intuito destacar a participação da parte no todo.

Consideremos, agora, a série:

Tabela 8MATRÍCULAS NAS ESCOLAS

DA CIDADE A e B - 1990

CATEGORIAN° DE ALUNOS

CIDADE A CIDADE B 1° Grau

2° Grau3° Grau

19.2861.681234

38.6603.399424

Total 21.201 42.483 FONTE: dados fictícios.

Qual das cidades tem, comparativamente, maior número de alunos em cada grau?

Como o número total de alunos é diferente nas duas cidades, não é fácil concluir a respeito usando os dados absolutos. Porém, usando as porcentagens, tal tarefa fica bastante facilitada. Assim, acrescentando na tabela anterior as colunas correspondentes às porcentagens, obtemos:

Tabela 9MATRÍCULAS NAS ESCOLAS

DA CIDADE A e B - 1990

CATEGORIACIDADE A CIDADE B

N° ALUNOS

% N° DE ALUNOS

%

1° Grau2° Grau3° Grau

19.2861.681

234

91,07,91,1

38.6603.399

424

91,08,01,0

Total 21.201 100,0 42.483 100,0 FONTE: dados fictícios.

O que nos permite dizer que, comparativamente, contam, praticamente, com o mesmo número de alunos em cada grau.

Nota: Do mesmo modo que tomamos 100 para base de comparação, também podemos tomar um outro número qualquer, entre os quais destacamos o número 1. É claro que, supondo o total igual a 1, os dados relativos das parcelas serão todos menores que 1. Em geral, quando usamos 100 para base, os dados são arredondados até a primeira casa decimal; e quando tomamos 1 por base, são arredondados até a terceira casa decimal.

Tabela 10MATRÍCULAS NAS ESCOLAS

DA CIDADE A - 1990ESCOLAS N° DE

ALUNOSDADOS RELATIVOSPOR 1 POR 100

A 175 0,098 9,8

BCDEF

222202362280540

0,1250,1130,2030,1580,303

12,511,320,315,830,3

Total 1.781 1,000 100,0 FONTE: dados fictícios.

Cálculos: A = 175 x 1 / 1781 = 0,098 ou A = 175 x 100 / 1.781 = 9,8 ...

3.3.2 - Índices:

Os índices são razões entre duas grandezas.

São exemplos de índices:

- Índice cefálico = diâmetro transverso do crânio / diâmetro longitudinal do crânio x 100.- Quociente intelectual (QI) = idade mental / idade cronológica x 100.- Densidade demográfica = população / superfície- Índices econômicos:

- Produção per capita = valor total da produção / população- Consumo per capita = consumo do bem / população- Renda per capita = renda / população- Receita per capita = recita / população.

3.3.3 - Os Coeficientes:

São razões entre o número de ocorrências e o número total (número de ocorrências e número de não-ocorrências).

São exemplos de coeficientes:- Coeficiente de natalidade = número de nascimentos / população total. - Coeficiente de mortalidade = número de óbitos / população total. - Coeficientes educacionais:- Coeficiente de evasão escolar = n° de alunos evadidos / n° inicial de matrículas. - Coeficiente de aproveitamento escolar = n° de alunos aprovados / n° final de matrículas. - Coeficiente de recuperação escolar = n° de alunos recuperados / n° de alunos em recuperação.

3.3.4 - As taxas:

São os coeficientes multiplicados por uma potência de 10 (10, 100, 1000) para tornar o resultado mais inteligível.

São exemplos de taxas:- Taxa de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1.000- Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1.000. - Taxa de evasão escolar = coeficiente de evasão escolar x 100.

Exercício:

O Estado A apresentou 733.986 matrículas na 1° série, no início do ano de 1989, e 683.816 no fim do ano. O Estado B apresentou, respectivamente, 436.127 e 412.457 matrículas. Qual o Estado que apresentou maior evasão escolar?

A - (TEE) = 733.986 – 683.816 / 733.986 x 100 = 0,0683 x 100 = 6,83 ou 6,8%B - (TEE) = 436.127 – 412.457 / 436.127 x 100 = 0,0542 x 100 = 5,42 ou 5,4%.

O Estado que apresentou maior Taxa de Evasão Escolar foi o A.

4.2 – DIAGRAMAS:

Os diagramas são gráficos geométricos de, no máximo, duas dimensões; para sua construção, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano.

Dentre os principais diagramas, destacamos:

4.2.1 - Gráfico em linha:

Esse tipo de gráfico utiliza-se da linha poligonal para representar a série estatística.

O gráfico em linha constitui uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de coordenadas cartesianas.

Como sabemos, nesse sistema fazemos uso de duas retas perpendiculares; as retas são os eixos coordenados e o ponto de intersecção, a origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas (eixo dos x) e o vertical, eixo das ordenadas (ou eixo dos y).

Para tornar bem clara a explanação, consideremos a seguinte série:

Tabela 11PRODUÇÃO DE VEÍCULOS DE

AUTOPROPULSÃOBRASIL – 1984 a 1989

ANOS QUANTIDADE(1.000 unidades)

198419851986198719881989

865967

1.056920

1.069513

FONTE: ANFAVEA.

Vamos tomar os anos como abscissas e as quantidades como ordenadas. Assim, um ano dado (x) e a respectiva quantidade (y) formam um par ordenado

(x, y), que pode ser representado num sistema cartesiano.

Determinados, graficamente, todos os pontos da série, usando as coordenadas, ligamos todos esses pontos, dois a dois, por segmentos de reta, o que irá nos dar uma poligonal, que é o gráfico em linha correspondente à série em estudo.

0200400600800

10001200

1 2 3 4 5 6

84 85 86 87 88 89

Seqüência1

4.2.2 - Gráfico em colunas ou em barras:

É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras).

Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.

Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos retângulos e os dados estatísticos.

Exemplos:

a) Gráfico em colunas:Tabela 12

CONSTRUÇÃO DE AERONAVESBRASIL – 1984 a 1989

ANOS QUANTIDADE(1.000 unidades)

198419851986198719881989

184171167203199197

FONTE: EMBRAER.

CONSTRUÇÃO DE AERONAVES BRASIL – 1984 a 1989

0

100

200

300

84 85 86 87 88 89

FONTE: EMBRAER

b) Gráfico em Barras: Tabela 13PRODUÇÃO DE ALHO

BRASIL – 1988ESTADOS QUANTIDADE(t)

Santa CatarinaMinas GeraisRio Gde do SulGoiásSão Paulo

13.97313.3896.8926.1304.179

FONTE: IBGE

PRODUÇÃO DE ALHO BRASIL - 1988

0 5.000 10.000 15.000

Santa Catarina

Minas Gerais

Rio Grande do Sul

Goiás

São Paulo

FONTE: IBGE

Notas: Sempre que os dizeres a serem inscritos são extensos, devemos dar

preferência ao gráfico de barras (séries geográficas e específicas). Porém, se ainda assim preferirmos o gráfico em colunas, os dizeres deverão ser dispostos de baixo para cima, nunca ao contrário.

A ordem a ser observada é a cronológica, se a série for histórica, e a decrescente, se for geográfica ou categórica.

A distância entre as colunas (ou barras), por questões estéticas, não deverá ser menor que a metade nem maior que os dois terços da largura (ou da altura) dos retângulos.

4.2.3 - Gráfico em colunas ou barras múltiplas:

Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos representar, simultaneamente, dois ou mais fenômenos estudados com o propósito de comparação.(Tabela de dupla entrada).

Exemplo:Tabela 14

BALANÇA COMERCIALBRASIL – 1984 - 88

ESPECIFICAÇÃOVALOR (US$ 1.000.000)

1984 1985 1986 1987 1988

ExportaçãoImportação

27.00513.916

25.63913.153

22.34814.044

26.22415.052

33.78914.605

FONTE: Ministério da Economia

BALANÇA COMERCIAL BRASIL - 1984 - 1988

05.000

10.00015.00020.00025.00030.00035.00040.000

1984

1985

1986

1987

1988

(US$

1.0

00.0

00)

ExportaçãoImportação

FONTE: Ministério da Economia

4.2.4 - Gráfico em setores: (Pizza)

Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total.

O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes.

Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série.

Obtemos cada setor por meio de uma regra de três simples e direta, lembrando que o total da série corresponde a 360°.

Exemplo: Dada a série:Tabela 15

REBANHOS BRASILEIROS

1988

ESPÉCIEQUANTIDADE

(milhões de cabeças)

BovinosSuínosOvinosCaprinos

140322011

Total 203 FONTE: IBGE

Temos:203 : 360° :: 140 : X1 => X1 = 140 x 360 / 203 => X1 = 248,2 ou 248°

X2 = 56,7 ou 57° X3 = 35,4 ou 35° X4 = 19,5 ou 20°

REBANHOS BRASILEIROS 1988

Bovinos

SuínosOvinos

Caprinos

FONTE: IBGE

Notas: O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete

dados. Se a série já apresenta os dados percentuais, obtemos os respectivos

valores em graus multiplicando o valor percentual por 3,6.

4.2.5 -. Gráfico Polar:

É o gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas, isto é, séries temporais que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade, como, por exemplo, a variação da precipitação pluviométrica ao longo do ano ou da temperatura ao longo do dia, a arrecadação da Zona Azul durante a semana, o consumo de energia elétrica durante o mês ou o ano, o número de passageiros de uma linha de ônibus ao longo da semana etc.

O gráfico polar faz uso do sistema de coordenadas polares.

Exemplo: Dada a série:Tabela 16

PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA

MUNICÍPIO DE PORTO ALEGRE – 1995MESES PRECIPITAÇÃO

(mm)JaneiroFevereiroMarçoAbrilMaioJunhoJulhoAgostoSetembroOutubroNovembroDezembro

174,836,983,9

462,7418,1418,4538,7323,839,766,183,3

201,2FONTE: IBGE

Traçamos uma circunferência de raio arbitrário (damos preferência ao raio de comprimento proporcional à média dos valores da série. Neste caso, Ma = 124,5);

Construímos uma semi-reta partindo de 0 (pólo) e com uma escala (eixo polar);

Dividimos a circunferência em tantos arcos quantas forem as unidades temporais;

Traçamos, a partir do centro 0 (pólo), semi-retas passando pelos pontos da divisão;

Marcamos os valores correspondentes da variável, iniciando pela semi-reta horizontal (eixo polar);

Ligamos os pontos encontrados com segmentos de reta; Se pretendemos fechar a poligonal obtida, empregamos uma linha

interrompida. Assim, para nosso exemplo, temos:

PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA DO MUNICÍPIO DE PORTO ALEGRE -

1995

0200

400600Janeiro

Fevereiro

Março

Abril

Maio

JunhoJulho

Agosto

Setembro

Outubro

Novembro

Dezembro

FONTE: IBGE

4.2.6 - Cartograma:

O Cartograma é a representação sobre uma carta geográfica.

Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos

diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.

Distinguimos duas aplicações:

a) Representar dados absolutos (população) – neste caso lançamos mão, em geral, dos pontos, em número proporcional aos dados.

b) Representar dados relativos (densidade) – neste caso lançamos mão, em geral de hachuras.

Exemplo: Tabela 17POPULAÇÃO PROJETADA DA REGIÃO SUL DO BRASIL

1990

ESTADO POPULAÇÃO

(hab)

ÁREA(Km2)

DENSIDADE

ParanáSanta CatarinaRio Grande do Sul

9.137.7004.461.4009.163.200

199.32495.318

280.674

45,846,832,6

FONTE: IBGE

4.2.7 - Pictograma:

O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A representação gráfica consta de

figuras.

Exemplo:Tabela 18

POPULAÇÃO DO BRASIL1950 - 1980

ANOS HABITANTES(milhares)

1950196019701980

51.94470.19193.139

119.071FONTE: IBGE

POPULAÇÃO DO BRASIL1950 – 1980

1950

1960

1970

1980

Cada símbolo representa 10.000.000 de habitantes

FONTE: IBGE

Na verdade, o gráfico referente à tabela acima é essencialmente um gráfico em barras; porém, as figuras o tornam mais atrativo, o que, provavelmente, despertará a atenção do leitor para o seu exame.

Na confecção de gráficos pictóricos temos que utilizar muita criatividade, procurando obter uma otimização na união da arte com a técnica.

5.3.1 - Classe

Classes de freqüência ou simplesmente classes são intervalos de variação da

variável.

As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3,...k (onde k é o número total de classes da distribuição).

Assim, em nosso exemplo, o intervalo 154 ├ 158 define a segunda classe (i = 2). Como a distribuição e formada de seis classes, podemos afirmar que k = 6.

5.3.2 - Limites de classe

Denominamos limites de classe os extremos de cada classe.

O menor número é o limite inferior da classe (li) e o maior número, o limite superior da classe (Li).

Na segunda classe, por exemplo, temos: l2 = 154 e L2 = 158.

Nota: Os intervalos de classe devem ser escritos, de acordo com a Resolução 886/66 do IBGE, em termos de desta quantidade até menos aquela, empregando, para isso, o símbolo ├ (inclusão de li e exclusão de Li). Assim, o indivíduo com uma estatura de 158 cm está incluído na terceira classe (i = 3) e não na segunda.

5.3.3 - Amplitude de um intervalo de classe: (hi)

Amplitude de um intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo de classe é a medida

do intervalo que define a classe.

Ela é obtida pela diferença entre os limites superiores e inferiores dessa classe e indicada por hi. Assim:

hi = Li – li

Na distribuição da tabela 4, temos:h2 = L2 – l2 => h2 = 158 – 154 => h2 = 4 cm

5.3.4 - Amplitude total de distribuição: (AT)

Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior

mínimo):AT = L (máx.) – l (mín.)

Em nosso exemplo, temos:AT = 174 – 150 = 24 cm

É evidente que, se as classes possuem o mesmo intervalo, verificamos a relação:AT / hi = k.

Trocando por números do nosso exemplo: 24 / 4 = 6.

5.3.5 - Amplitude amostral: (AA)

Amplitude amostral (AA) é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra:

AA = x(máx.) – x(mín.)

Em nosso exemplo, temos: AA = 173 – 150 => AA = 23 cm. Observe que a amplitude total de distribuição jamais coincide com a amplitude

amostral.

5.3.6 - Ponto médio de uma classe: (xi)

Ponto médio de uma classe (xi) e, como o próprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.

Para obtermos o ponto médio de uma classe, calculamos a média aritmética das de cada intervalo de classe.

xi = li + Li / 2

Assim, o ponto médio da segunda classe, em nosso exemplo, é:

x2 = l2 + L2 /2 => x2 =154 +158 / 2 => x2 = 156 cm.

5.3.7 - Freqüência simples ou absoluta:

Freqüência simples ou freqüência absoluta ou, simplesmente freqüência de uma classe ou de um valor individual é o número de observações correspondente a essa

classe ou a esse valor.

A freqüência simples é simbolizada por fi (lemos f índice i) ou freqüência da classe i.

Assim, em nosso exemplo, temos: f1 = 4; f2 = 9; f3 = 11; f4 = 8; f5 = 5; f6 = 3

5.3.8 - Classe de Maior Freqüência e classe de menor freqüência:

Denomina-se classe de maior freqüência ou modal àquela em que se verifica o maior número de freqüências, e analogamente, de menor freqüência àquela em que se

verifica o menor número de freqüências.

No nosso exemplo, a maior freqüência se verifica no intervalo de classe 3 porque nele estão incluídos o maior número de alunos e a menor freqüência no intervalo de classe 6, onde estão incluídos o menor número de alunos.

A soma de todas as freqüências é representada pelo símbolo do somatório:

k

∑ fi

i = 1

É evidente que: k

∑ fi = n i = 1

Para a distribuição em estudo, temos: 6

∑ fi = 40i = 1

Não havendo possibilidade de engano, usamos: ∑ fi = 40

Podemos, agora, dar à distribuição de freqüência das estaturas dos quarenta alunos do Colégio A, a seguinte representação tabular técnica:

TABELA 5ESTATURA DE 40 ALUNOS

DO COLÉGIO Ai ESTATURA

S(cm)

fi

123456

150 ├ 154154 ├ 158158 ├ 162162 ├ 166166 ├ 170170 ├ 174

4911853

Total ∑ fi = 40