З.И.Андреева

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФГОУ «Пермский государственный национальный исследовательский университет»

З.И.Андреева

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебное пособие

Пермь 2011

ББК 22.14УДК 512.6А 655 Библиогр. назв.ISBN

Учебное пособие «Линейная алгебра» написано на основе курса лекций по линейной алгебре, читаемого автором в течение многих лет для студентов физического факультета Пермского государственного университета. Пособие может быть использовано студентами всех направлений физического факультета университета, а также студентами соответствующих специальностей педагогических вузов.

ББК УДК

©Андреева З.И., 2011-02-06ISBN

.

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие представляет собой изложение курса лекций по линейной алгебре, которые читаются студентам всех направлений физического факультете Пермского государственного университета. При написании пособия учтены многие достоинства наиболее распространенных учебников, содержащих материалы по линейной алгебре: А.Г.Куроша «Курс высшей алгебры», А.И.Кострикина «Основы алгебры», В.А.Ильина и Э.Г.Позняка «Линейная алгебра», Г.С.Шевцова «Линейная алгебра: теория и прикладные задачи». Приводятся в основном наиболее краткие доказательства. Ссылки на эти учебники в тексте данного пособия мы не делаем. Изложен только программный материал курса. Приведены все необходимые определения, понятия, утверждения и теоремы. Некоторые утверждения (например, теоремы Крамера, Лапласа, о равенстве числа векторов во всех базисах данного конечномерного линейного пространства и др.) приводятся в пособии без доказательства. Для самостоятельного доказательства предлагаются достаточно простые утверждения или утверждения, аналогичные уже доказанным. В пособии приведены образцы решения задач, использующие изложенную теорию.

I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА

Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с любым числом неизвестных. В качестве коэффициентов при неизвестных будем использовать действительные и комплексные числа. Неизвестные будем обозначать х1, х2, …, хn. Если уравнения занумеровать числами 1, 2, …, m, то коэффициент при к-ом неизвестном в р-ом уравнении будем обозначать рк,, свободный член р-го уравнения будем обозначать . Следовательно, система уравнений запишется следующим образом:

(1)

Очевидно правая часть системы (1) вполне определяется таблицей своих коэффициентов, т.е. прямоугольной таблицей из m строк и n столбцов:

(2)

Определение 1. Матрицей порядка mn называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка.Матрица (2) называется матрицей системы (1). Матрица

(3)

называется расширенной матрицей этой системы. Отметим следующие свойства системы (1), часто помогающие при её решении.

Если в системе (1) два или несколько уравнений поменять местами, то получится система уравнений, эквивалентная данной системе.

Если в системе (1) одно из уравнений умножить на отличное от нуля действительное число, то получится система уравнений, эквивалентная данной.

Если к одному из уравнений системы (1) прибавить другое её уравнение, умноженное на отличное от нуля действительное число, то получится система уравнений, эквивалентная данной.

Если система (1) содержит два пропорциональных уравнения, то, удалив одно из этих уравнений, мы получим систему уравнений, эквивалентную данной.

Если в системе (1) есть уравнение, все коэффициенты которого равны нулю, то после удаления этого уравнения мы получим систему уравнений, эквивалентную данной.

Описанные преобразования называются элементарными преобразованиями системы (1).Соответствующие преобразования матрицы (3) называются элементарными преобразованиями этой матрицы.

Одним из методов решения системы (1) является метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса.

Пусть дана система (1). Вместо того, чтобы преобразовывать эту систему, достаточно проводить соответствующие преобразования с её расширенной матрицей (3). Переставим, если нужно, строки матрицы так, чтобы в верхнем левом углу стоял отличный от нуля элемент. Будем считать, мто матрица (3) уже удовлетворяет этому условию.

Умножив первую строку на число ( ), прибавим её ко второй строке. В результате на

первом месте во второй строке будет стоять 0. Умножив первую строку на число ( ), прибавим её к р-ой строке. В результате на первом месте в р-ой строке будет стоять 0.

Сделаем это для всех р от 2 до m. Получим матрицу (4).

Если в матрице (4) есть строка, состоящая целиком из нулей, то её отбросим. Если есть пропорциональные строки, то из них оставим только одну. Пусть в матрице (4) все лишние строки уже отброшены. Строки с номерами 2, 3, … , m переставим, если нужно, так, чтобы во второй строке на втором месте стояло число, отличное от нуля. Пусть с22 0. Умножим вторую строку на ( ) и прибавим к к-ой строке для всех к от 3 до m. В результате все элементы второго столбца, кроме первых двух будут равны нулю. (Если в матрице (4) все ск2 равны нулю, то сразу переходим к третьей строке). Продолжая описанную процедуру дальше, мы получим либо треугольную, либо трапециевидную матрицу ( (5) или (6) ).

(5), (6)

В этих матрицах все диагональные элементы, кроме может быть последнего, отличны от нуля.

Если матрица (3) привелась к виду (5), то система (1) эквивалентна системе

(7)

Очевидно, еnn и fn не могут быть равны одновременно нулю. Если еnn 0, то система (7), а поэтому и система (1), имеет единственное решение. Действительно, из последнего уравнения можно найти хn. Подставив его значение в предпоследнее уравнение, найдём хn-1 и так далее. Если же еnn

= 0, то fn 0. В этом случае последнее уравнение, а поэтому и вся система, не имеет решения. Если матрица (3) привелась к виду (6), то система (1) будет эквивалентна системе

(8)

Если тогда и последнее уравнение не имеет решений. Следовательно, не имеет решений и вся система. Если же коэффициенты

не все равны нулю, то последнее уравнение имеет бесконечно много решений (одно неизвестное этого уравнения можно выразить через остальные). Но тогда из предпоследнего уравнения можно найти и, поднимаясь по системе, можно найти все неизвестные. Система будет иметь бесконечно много решений.

Метод Гаусса можно запрограммировать и используя полученную программу передать решение системы линейных уравнений на ЭВМ. Недостатком метода является то, что даже в случае определённой системы нельзя найти формулы, выражающие решение через коэффициенты уравнений и свободные члены, а так же не даёт возможности сформулировать условия совместности системы через коэффициенты и свободные члены. Последнее бывает очень важно в различных теоретических исследованиях.

II. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2.1. Определители второго и третьего порядков Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.

Пусть дана система (1)

Если обе части первого уравнения умножить на , а второго – на и уравнения

почленно вычесть, то получим Аналогично, если первое

уравнение умножить на и вычесть из него второе уравнение, умноженное на , то

получим Если 0, то х =

у = . Выражения, стоящие в числителях и знаменателях полученных

формул, имеют одинаковую структуру. Для их составления используется четыре числа.

Если числа, используемые для знаменателя, записать в виде матрицы , то

знаменатели получаются по правилу: из произведения элементов одной диагонали таблицы вычитается произведение элементов второй диагонали. Используя отмеченное правило, введём понятие определителя.

Для матрицы диагональ, на которой стоят элементы , называется

главной диагональю, вторая диагональ называется побочной диагональю.

Определение 2. Определителем 2-го порядка (определителем матрицы )

называется число, равное разности произведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочной диагонали.

Определитель матрицы обозначается .

Обозначим = , 1 = , 2 = . Используя определение 2,

получим, что система (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда 0.

Это решение можно найти по формулам х = , у = (2). Эти формулы

называются формулами Крамера. Пусть дана система трёх уравнений с тремя неизвестными:

(3)

Умножим первое уравнение на , второе уравнение – на , третье

уравнение – на и почленно сложим. Получим х

=

= . Легко заметить, что коэффициент при х и

правая часть составлены из девяти чисел по одному и тому же закону.

Пусть дана матрица А = .

Определение 3. Определителем матрицы А (определителем третьего порядка)

называется число, равное =

(4).Равенство (4) называется разложением определителя по элементам первого столбца. Итак, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка. Если вычислить определители второго порядка, входящие в формулу (4), то

получим, что

(5).Используя последнюю формулу, непосредственным вычислением можно получить:1. Определитель не изменится, если в нём строки и столбцы поменять местами (эту операцию называют транспонированием определителя). Следовательно в определителе строки и столбцы равноправны..2. =

.

Итак, определитель можно разлагать по любому столбцу. Можно заметить, что знак перед множителем равен . Так как в определителе строки и столбцы равноправны, то аналогичные разложения имеют место и по любой строке определителя (запишите их самостоятельно).3. Если в определителе одна из строк (или столбцов) целиком состоит из нулей, то

определитель равен нулю.4. Системы (3) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда 0. Это решение

можно найти по формулам: х = , у = , (6),

где 1, 2, 3 получаются из определителя заменой первого, второго, третьего столбца соответственно столбцом свободных членов. Формулы (6) тоже называются формулами Крамера.

2.2. Комплексные числа Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в – действительные числа, i2 = 1 (i называют мнимой единицей).

Если z = а + вi, то а называется действительной частью числа z, а вi – его мнимой частью. Говорят, что комплексное число задано в алгебраической форме. Во множестве комплексных чисел вводятся операции сложения и умножения следующим образом. Если z = а + вi и z1 = а1 + в1i два комплексных числа, то

z + z1 = (а + а1) + (в + в1)i, zz1 = (аа1 вв1) + (ав1 + а1в)i.Эти операции обладают следующими свойствами.1. Сложение и умножение для любой пары комплексных чисел определено и однозначно.2. z + z1 = z1 + z, z z1 = z1 z для любых z и z1 (коммутативный закон сложения и

умножения).3. z + (z1 + z2) = (z + z1) + z2, z (z1 z2) = (z z1) z2 для любых z, z1 и z2

(ассоциативный закон сложения и умножения).4. z (z1 + z2) = z z1 + z z2 для любых z, z1 и z2 (дистрибутивный закон).5. Если 0 = 0 + 0i, то z + 0 = z для любого z.6. Если z = а + (в)i, то z + (z) = 0, т.е. для любого комплексного числа существует

противоположное число.

Число = а вi называется сопряжённым для числа z, z + = 2а, z = а2 + в2.

Следовательно, если z 0, то z 0. 7. Если 1 = 1 + 0i, то 1z = z.

8. Если z 0 и , то . Следовательно, для каждого

отличного от нуля комплексного числа существует обратное число.Итак, во множестве комплексных чисел введены такие же операции (сложение и

умножение), как и во множествах рациональных и действительных чисел. И свойства этих операций во всех трёх множествах одинаковы. Такие множества называются полями. Их общее обозначение Р. Конкретные обозначения: Q – поле рациональных чисел, R – поле действительных чисел, С – поле комплексных чисел.

Зафиксируем на евклидовой плоскости прямоугольную систему координат. Пусть

z = а + bi. Будем говорить, что точка с координатами (а, b) и вектор с этими же координатами изображают данное комплексное число. Длину вектора назовём модулем числа z, Угол (ориентированный) между осью (ОХ) и этим вектором назовём аргументом данного числа. Очевидно, каждое комплексное число имеет бесконечно много значений аргумента. Так как а = пр(ОХ) и b = пр(ОУ) , то а = cos,

b = sin, 2 = а2 + b2, tg = . Подставив значения а и b в алгебраическую форму числа z,

получим z = (cos + isin). Это тригонометрическая форма комплексного числа. Легко

проверить, что z z1 = 1(cos( + 1) + sin( + 1)); , если

z1 0. Отсюда zn = n (cosn + isinn). Можно показать, что

, где к = 1, 2, … , n и арифметическое значение корня

из действительного числа . Таким образом, корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

2.3. Перестановки и подстановки Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка

(формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью

определителей второго порядка (разложение по столбцу). При этом легко проверяется, что все столбцы равноправны. Аналогично рекуррентным образом можно определить определитель n-го порядка (определитель квадратной матрицы n-го порядка), т.е.

=

=

(7) Но в этом случае уже не так просто, как для определителя третьего порядка,

проверить, что разложения по остальным столбцам или строкам дают тот же самый результат. Поэтому чаще всего используют в качестве исходного другой подход к определению определителя n-го порядка. Но при этом используются в качестве вспомогательного материала перестановки и подстановки.

Пусть дан упорядоченный набор из n элементов. Элементы этого набора занумеруем числами 1, 2, 3, … , n. Очевидно, вместо того, чтобы говорить об элементах, можно говорить об их номерах.

Определение 5. Перестановкой из n чисел (или n символов) называется расположение этих чисел (или символов) в любом определённом порядке (без повторений).

Теорема 1. Число перестановок из n символов равно n! Доказательство. Составляя перестановку, в качестве первого её элемента можно

выбрать точно n символов. Если первый элемент выбран, то в качестве второго элемента можно выбрать любой из оставшихся (n – 1) символов. Следовательно, первые два места можно заполнить n(n – 1 ) способами. Если два места в перестановке уже заполнены, то на третье место можно поставить любой из оставшихся (n – 2) символов. Следовательно, первые три места можно заполнить n(n – 1)(n – 2 ) способами. Продолжая этот процесс, получим, что все n мест в перестановке можно заполнить n(n – 1)(n – 2)…321 = n! способами.

Говорят, что числа к и р образуют в перестановке (…к…р…) инверсию, если к р, но в перестановке к стоит раньше р. Перестановка называется чётной, если она содержит чётное число инверсий. Перестановка называется нечётной, если она содержит нечётное число инверсий.

Пример. 1) Перестановка (9, 7, 1, 3, 4, 8, 5, 2, 6) чётная. В ней число 9 образует инверсии со всеми стоящими за ней числами, их 8. Число 7 образует новые инверсии со всеми стоящими за ней числами, кроме числа 8, их 6. Число 1 не образует ни одной новой инверсии. Числа 3 и 4 образуют по одной новой инверсии с числом 2. Число 8 образует ещё инверсии с 5, 2 и 6, их 3. Число 5 образует инверсию с числом 2. Итак, получается 8 + 6 + 1 + 1 + 3 + 1 = 20 инверсий. 2) Перестановка ( 2, 1, 3, 5, 4, 6, 9, 8, 7) нечётная. В ней инверсии образуют пары чисел 2 и 1, 5 и 4, 9 и 8, 9 и 7, 8 и 7. Получилось 5 инверсий.

Если в перестановке два символа поменять местами, а все остальные символы оставить на старых местах, то получим новую перестановку. Это преобразование перестановки называется транспозицией.

Теорема 2. Всякая транспозиция меняет чётность перестановки. Доказательство. Пусть в перестановке символы к и р меняются местами. При этом

возможны два случая.1) Символы к и р в данной перестановке стоят рядом, т.е. (…к, р …). После транспозиции получится перестановка (….р, к …). Если к и р составляли инверсию в данной

перестановке, то после инверсии они уже не будут составлять инверсию и наоборот. Число инверсий, которые к и р составляли в данной перестановке с остальными символами, не изменится. Следовательно, число инверсий изменится на 1, т.е. чётность перестановки изменится.2) Символы к и р в данной перестановке стоят не рядом, т.е. (….к,…,р…). После транспозиции получится перестановка (…р,…,к…). Число инверсий, которые к и р составляли в данной перестановке с символами, стоящими перед к и после р, не изменится. Если между к и р стоят m символов, то переставить к и р можно следующим образом: переставить к последовательно с каждым из этих m символов, затем переставить к и р, затем в обратном порядке переставить р с каждым из этих m символов. Получим 2m + 1 транспозиций соседних символов. По доказанному каждая из них меняет чётность перестановки. Итак, чётность перестановки изменилась.

Следствие. При n 1 число чётных перестановок равно числе нечётных перестановок и равно 0,5n!.

Определение 6. Подстановкой из n символов ( или подстановкой n-ой степени) называется любое взаимнооднозначное отображение множества этих символов на себя. Элементы данного множества будем обозначать 1, 2, …, n. Подстановка А может быть

записана так: если число к переходит в число к, то А = . Если в записи

подстановки А некоторые столбцы поменять местами, то получится то же самое отображение данного множества, т.е. та же подстановка. Например,

А = = .

Запись подстановки А = будем называть стандартной. Всякую

подстановку можно записать в стандартном виде. Верхнюю и нижнюю строки подстановки можно рассматривать как перестановки. Подстановка А называется чётной, если её верхняя и нижняя строки есть перестановки одинаковой чётности, т.е. общее число инверсий в них – чётное. В противном случае А называется нечётной. Так как перестановка столбцов равносильна транспозиции как в верхней так и в нижней строке, то при перестановке столбцов чётность подстановки не изменится, поэтому чётность подстановки можно вычислять по её стандартному виду и в этом случае она совпадает с чётностью нижней строки.

Подстановка Е = называется тождественной или единичной.

Произведением двух подстановок одного и того же порядка называется результат последовательного выполнения тех отображений, которые задают эти подстановки.

Например, если А = , В = , то

АВ = . Действительно, первая подстановка переводит 1 в 5, вторая

переводит 5 в 4, следовательно, окончательно 1 перейдёт в 4. Аналогично, , , следовательно, ; , , следовательно, ; , , следовательно, ;

, , следовательно, ; , , следовательно, .

Аналогично получаем, что ВА = . Отсюда следует, что умножение

подстановок не подчиняется коммутативному закону. Но можно проверить, что (АВ)С = А(ВС) для любых подстановок А, В, С одного и того же порядка. Очевидно, АЕ = ЕА для любой подстановки А, если А и Е одного порядка. Для подстановок

А = и В = очевидно АВ = ВА = Е.

Следовательно, А-1 = В, т.е. каждая подстановка имеет обратную.

2.5. Определители n-го порядка

Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка

с действительными (или комплексными) элементами. Определение 7. Определителем матрицы А (определителем n-го порядка)

называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. При этом произведение берётся со знаком «+», если подстановка из индексов входящих в него элементов чётная, и со знаком «» в противном случае.

Обозначение определителя: А = .

Например, при n = 6 произведение а21а13а62а34а46а55 является членом определителя, так как в него входит точно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца.

Подстановка, составленная из его индексов будет . В ней 4-е инверсии в

верхней строке и 2-е инверсии – в нижней. Общее число инверсий равно 6, т.е. подстановка чётная. Следовательно, данное произведение входит в разложение определителя со знаком «+».Произведение а21а13а62а34а46а15 не является членом определителя, так как в него входят два элемента из первой строки.

Свойства определителей. 10. При транспонировании определитель не меняется (напомним, что транспонирование матрицы и определителя означает перемену строк и столбцов местами).

Действительно, если (1)к является членом определителя, то все 1, 2, … , n различны и к – число инверсий в перестановке (1, 2, … , n). При транспонировании номера строк станут номерами столбцов и наоборот.

Следовательно, в произведении все множители будут из разных столбцов и строк, т.е. это произведение будет входить в транспонированный определитель.

Знак его будет определяться числом инверсий в подстановке . Но это

число, очевидно равно к. Итак, (1)к будет членом транспонированного определителя. Так как мы брали любой член данного определителя, а число членов в данном и транспонированном определителях одинаково, то отсюда и следует их равенство. Из доказанного свойства следует, что всё, что будет доказано для строк определителя, будет верно и для его столбцов.

20. Если все элементы строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Это следует из того, что по одному элементу указанной строки (или столбца) будет входить в каждый член определителя.

30. Если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Действительно, если все элементы к-ой строки имеют общий множитель , то их можно записать в виде . Любой член определителя будет иметь вид (1)s

. Следовательно, из всех членов определителя можно вынести множитель .

40. Если две строки определителя поменять местами, то определитель сменит знак.

Действительно, если (1)к любой член данного определителя, то в новом определителе номера строк р и q поменяются местами, а номера столбцов останутся прежними. Следовательно, в новом определителе это же самое

произведение будет входить в виде (1)s . Так как в номерах строк произошла одна транспозиция, а номера столбцов не изменились, то к и s имеют противоположные чётности. Итак, все члены данного определителя изменили знак, следовательно, и сам определитель изменил знак.

50. Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. Действительно, пусть все элементы к-ой строки равны соответствующим элементам

р-ой строки, умноженным на , т.е. А = = =

0. 60. Если в определителе все элементы к-ой строки есть суммы двух слагаемых, то

определитель равен сумме двух определителей, в которых все строки, кроме к-ой, такие же как и в данном определителе. На месте элементов к-ой строки одного из них стоят первые слагаемые элементов к-ой строки данного определителя, а на месте элементов к-ой строки второго – вторые их слагаемые. Пусть элементы к-ой строки будут + ск1, + ск2, …. , + скn. Тогда любой член

определителя будет иметь вид

(1)s = (1)s + (1)s .Собрав все первые слагаемые, мы получим определитель, отличающийся от данного только к-ой строкой. На месте к-ой строки будут стоять , , …. , . Собрав все вторые слагаемые, получим определитель тоже отличающийся от данного только к-ой строкой. В к-ой строке будут стоять ск1, ск2, …. , скn.

70. Если к одной строке определителя прибавить другую его строку, все элементы которой умножены на одно и то же число, то определитель не изменится.

Это свойство является следствием двух предыдущих. Если в определителе А вычеркнуть к-ую строку и р-ый столбец, то останется

определитель (n–1)-го порядка. Он называется минором, дополнительным для элемента и обозначается Мкр. Число (1)к+рМкр называется алгебраическим дополнением для

элемента и обозначается Акр. 80. Дополнительный минор и алгебраическое дополнение не зависит от того, какой

элемент стоит в к-ой строке и р-ом столбце определителя.

Лемма 1 = . (8)

Доказательство. Если а11 = 0, то равенство (8) очевидно. Пусть а11 0. Так как в каждый член определителя входит точно один элемент из первой строки, то ненулевыми членами определителя могут быть только те, в которые входит а11. Все они имеют вид

, где к и к пробегают значения от 2 до n. Знак этого члена в

определителе определяется чётностью подстановки = . Таким образом

есть алгебраическая сумма слагаемых вида со знаками, определяемыми подстановкой . Если в этой сумме вынести за скобки а11, то получим, что = а11 S, где S есть алгебраическая сумма слагаемых вида , знак которых определяется подстановкой . Этих слагаемых, очевидно, (n – 1)!. Но подстановка и подстановка

имеют одинаковую чётность. Следовательно, S = М11. Так как

А11 = (1)1+1М11 = М11, то = а11А11.

Лемма 2. =

(9) Доказательство. В определителе переставим р-ую строку последовательно с

каждой предыдущей. При этом р-ая строка займёт место первой строки , но минор, дополнительный к элементу арк не изменится. Всего будет сделано (р – 1) перестановка строк. Если новый определитель обозначить 1, то 1 = (1)р-1. В определителе 1

переставим к-ый столбец последовательно с каждым предыдущим столбцом, при этом будет сделано (к – 1) перестановка столбцов и минор, дополнительный к арк, не изменится. Получится определитель

2 = . Очевидно, 2 = (1)к-11 = (1)р+к-2 = (1)р+к. По лемме 1,

2 = аркМрк. Отсюда = арк(1)р+к Мрк = аркАрк. Теорема 3. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на

их алгебраические дополнения, т.е. = ак1Ак1 + ак2Ак2 +…+аknАkn (10).

Доказательство. Пусть = . Элементы к-ой строки запишем в

виде ак1 =ал1 + 0 + …+ 0, ак2 = 0 + ак2 + 0 + … + 0, … , а = 0 + 0 + …+ 0 + а . Используя свойство 60, получим, что =

= = ак1Ак1 +

ак2Ак2 + … + а А (использовали лемму 2).

Теорема 4. Сумма произведений элементов одной строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Доказательство. Пусть = . По предыдущей теореме

= . Если взять , то в определителе будет две одинаковые строки, т.е. будет равен нулю. Следовательно, 0 =

, если р к. Замечание. Теоремы 3 и 4 будут верны, если в их формулировках слово «строка»

заменить на слово «столбец». Способ вычисления определителя n-го порядка. Для вычисления определителя n-го порядка достаточно в какой-нибудь строке (или

столбце) получить как можно больше нулей, используя свойство 70, а потом использовать теорему 3. При этом вычисление определителя n-го порядка сведётся к вычислению определителя (n – 1)-го порядка.

Пример. Вычислите определитель = .

Решение. Получим нули во второй строке. Для этого второй столбец 1) умножим на (2) и прибавим к первому столбцу; 2) прибавим к третьему столбцу; 3) умножим на (4) и

прибавим к четвёртому столбцу. Получим, что = . Разложим

полученный определитель по элементам второй строки. При этом произведения всех элементов этой строки на их алгебраические дополнения, кроме элемента 1, равны нулю. Для того, чтобы получить алгебраическое дополнение для элемента 1, нужно вычеркнуть те строку и столбец, где этот элемент стоит, т.е. вторую строку и второй столбец. Знак

алгебраического дополнения определяет (1)2+2 = (1)4 = +1. Итак, = + .

Получили определитель 3-го порядка. Этот определитель можно вычислить, используя диагонали и треугольники, но можно свести к определителю второго порядка. Умножим первый столбец 1) на (4) и прибавим ко второму столбцу , 2) умножим его на 2 и прибавим к третьему столбцу. Получим, что

= . Следовательно, = (1)2+1 . Используя свойство 70,

прибавим к первому столбцу второй, получим = = 3(23 –

40) = 51. Некоторые определители (например, такие, в которых стоят «большие» миноры,

целиком состоящие из нулей) удобно разлагать по нескольким строкам. Это позволяет делать теорема Лапласа. Пусть в определителе выделен минор М s-го порядка, элементы которого стоят на строках с номерами к1,к2,…,кs и на столбцах с номерами р1,р2,…,рs . Вычеркнем строки и столбцы с указанными номерами. После этого останется определитель

(n – s)-го порядка. Его называют минором М1, дополнительным к минору М. Если = к1+…+ кs + р1+…+рs, тоалгебраическим дополнением к минору М называется А = (1)М1.

Теорема 5 (теорема Лапласа). Пусть в определителе n-го порядка выделены к строк (или столбцов). Определитель равен сумме произведений всех миноров, стоящих на выделенных строках, на их алгебраические дополнения.

Доказательство этой теоремы опустим.

Пример. = (1 – 20)(28 + 6) = 1934 =

661. Теорема 6 (теорема Крамера). Если в системе линейных уравнений число

неизвестных равно числу уравнений и определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение и только одно. Это решение получается по формулам

, где каждое к получается из заменой к-го столбца столбцом

свободных членов.

Доказательство. Пусть дана система

и 0. Умножим первое уравнение на А1к , второе – на А2к , … ,n-

ое уравнение – на Аnк и все уравнения сложим. Получим +… ... + + … + =

Используя теоремы 3 и 4, получим х10 + … + хк + … + хn0 = к , где

к = (к-ый столбец в определителе заменён столбцом свободных

членов уравнений данной системы). Отсюда = для всех к = 1, 2, …, n.

III. МАТРИЦЫ

3.1. Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число Рассмотрим множество Mmn всех матриц размерности mn с действительными

(комплексными) элементами. Определение 8. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица,

каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц.Если арк и врк – соответствующие элементы матриц А и В соответственно и С = А + В, то срк = арк + врк .

Очевидно, сложение матриц обладает следующими свойствами: Сумма любых двух матриц одинаковой размерности определена и однозначна. А + В = В + А для любых матриц А и В из Mmn. (А + В) + С = А + (В + С) для любых А, В, С из Mmn .

Матрица, все элементы которой равны нулю, играет роль нуля при сложении и называется нулевой матрицей. Её обозначают О (А + О = А ). Если обозначить А матрицу, все элементы которой противоположны соответствующим элементам матрицы А, то А + (А) = О, т.е. матрица (А) противоположна матрице А. Итак, каждая матрица имеет противоположную. Определение 9. Произведением матрицы А на действительное (или комплексное) число называется матрица В, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на . Если арк – элемент матрицы А, то в матрице В элемент врк =арк .

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами: Произведение любой матрицы на любое число определено и однозначно. 1А = А для любой матрицы А из Mmn . 0А = О для любой матрицы А из Mmn . ()А = (А) для любой матрицы А из Mmn и любых чисел и . ( + )А = А + А для любой матрицы А из Mmn и любых чисел и . (А + В) = А + В для любых матриц А и В из Mmn и любого числа . Если А квадратная матрица n-го порядка, то А = nА .

3.2. Простые и двойные суммы Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.

Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется простой суммой и

обозначается . Следовательно, = а1 + а2 + … +аn.

Свойства простых сумм:

10. , 20. .

Определение 10. Сумма вида называется двойной суммой и

обозначается .

Свойства двойных сумм:

10. = ; 20. = .

3.3 Умножение матриц Пусть А – матрица размерности mn и В – матрица размерности n к.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С, элементы которой получаются следующим образом: каждый элемент р-ой строки матрицы А умножается на соответствующий элемент q-го столбца матрицы В, полученные произведения складываются и результат ставится в пересечение р-ой строки и q-го столбца матрицы С, т.е. срq =

(11).

Размерность матрицы С равна m к.

Пример 1.

= .

Пример 2. Произведение матриц не определено.

Но даже если АВ и ВА определены, то они не обязаны быть равны.

Пример 3. АВ = ,

АВ = .

В этом примере АВ и ВА определены, но АВ ВА . Следовательно, для умножения матриц коммутативный закон не имеет места. Можно проверить: 10. Если (АВ)С и А(ВС) определены, то (АВ)С = А(ВС).20. Если (А + В)С определено, то (А + В)С = АС + ВС. 30. Если АВ определено, то (А)В =(АВ).

3.4. Умножение квадратных матриц одного порядка.

Произведение любых двух квадратных матриц одного порядка всегда определено. При умножении двух квадратных матриц n-го порядка получится матрица того же порядка. Теорема 7. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей сомножителей.

Доказательство. Пусть А = , В = .

Составим С = матрицу С и вычислим её определитель двумя

способами. Сначала используем теорему Лапласа, разложив его по первым n строкам. Получим С = АВ. Для вычисления вторым способом преобразуем матрицу С, используя те преобразования, которые не меняют определитель. К (n +1)-му столбцу матрицы С прибавим 1-ый столбец, умноженный на , 2-ой столбец, умноженный на , … , n-ый столбец, умноженный на .

Тогда в (n +1)-м столбце на первых n местах будут стоять элементы первого столбца матрицы АВ, а на остальных местах – нули. С1 = Продолжая аналогичные преобразования с

(n +2)-м и т.д. столбцами, получим матрицу С1. Здесь скр – элементы произведения АВ. Очевидно, С1 = С. Определитель матрицы С1 вычислим, разлагая его (по теореме Лапласа) по последним n строкам. Получим С = (1)n(1)кАВ, где к = 1 + 2 + …+

n + + (n + 1) + … + 2n = (2n + 1 )n. Так как (2n + 1 )n + + n = 2(n + 1 ), то С = АВ . Итак, АВ = АВ (12).

Если А 0, то матрица А называется невырожденной, если же А = 0, то матрица А вырожденная. Из теоремы 7 следует, что произведение двух невырожденных квадратных матриц одного порядка есть невырожденная матрица того же порядка, если же одна из матриц вырожденная, то их произведение – тоже вырожденная матрица.

Квадратная матрица Е = называется единичной матрицей. Легко

проверить, что ЕА = АЕ для любой квадратной матрицы А, имеющей тот же порядок, что и Е. Очевидно, Е = 1.

Определение 11. Матрица В называется правой обратной для матрицы А, если ВА= Е и левой обратной для А, если АВ = Е.

Возникает вопрос, всякая ли квадратная матрица имеет левую или правую обратную матрицу. Если В – левая или правая обратная матрица, то (по теореме 7) ВА = АВ = 1, т.е. матрица А не может быть вырожденной.

Пусть А квадратная невырожденная матрица, найдём алгебраические дополнения для всех её элементов. Составим новую матрицу А следующим образом: алгебраические дополнения элементов к-ой строки матрицы А поставим в к-ый столбец матрицы А, т.е.

А = . Матрица А называется присоединённой для матрицы А. По

правилу умножения матриц и свойствам определителя получаем, что

АА= АА = = АЕ.

Так как А 0, то матрица В = существует и АВ = ВА = Е, т.е. матрица В

является и левой и правой обратной матрицей для матрицы А. Эта матрица называется обратной матрицей для А и обозначается А-1. Итак, получили

Теорема 8. Для всякой квадратной невырожденной матрицы существует обратная матрица. Обратная матрица перестановочна с данной матрицей и вычисляется по формуле

А-1= (13)

Пример 4. Найдите обратную матрицу, если А = .

Решение. Найдём А = 10 + 12 + 0 – 0 + 4 + 12 = 36.

Составим присоединённую матрицу, для этого вычислим алгебраические дополнения.

А11 = = 14, А12 = = 6, А13 = = 3, А21 = = 8, А22 = =

2, А23 = = 1, А31 = = 28, А32 = = 16, А33 = = 11.

Используя теорему 8, получим А-1 = .

3.5. Решение матричных уравнений Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида АХ = В (14) и ХА = В

(15).Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А либо вырожденная, либо прямоугольная. 1) Если А – квадратная и А 0, то уравнения (14) и (15) имеют единственное решение каждое: Х = А-1В и Х = ВА-1 соответственно, если эти произведения определены. И не имеют решения, если они не определены.

2) А – квадратная матрица, но А = 0, либо А прямоугольная матрица. Если матрица А имеет размерность mn, а матрица В – размерность рк, то, при m р уравнение (14) не имеет решения, а при n к не имеет решения уравнение (15). Если же m = р , то в уравнении (14) матрица Х должна иметь к столбцов, а в уравнении (15) она должна иметь р строк. Решение этих матричных уравнений сводится к решению систем линейных уравнений.

Пример 5. Найдите матрицу Х, если АХ = В, где А = , В = .

Из примера 5 следует, что матрица А имеет обратную, поэтому Х = А-1В. Используя

найденную в примере 5 матрицу А-1, получим Х = =

= .

Пример 6. Найдите матрицу Х, если ХА = В, где А = , В = . Так

как А = 0, то для А обратной матрицы нет. По правилам умножения матриц, в матрице В столько строк, сколько их в матрице Х, и столько столбцов, сколько их в матрице А. Последнее условие выполняется, следовательно, уравнение имеет решение. На матрицу Х накладывается ограничения: в матрице Х должно быть два столбца и три строки. Чтобы найти элементы такой матрицы, обозначим их и перейдём к системе линейных уравнений.

Пусть Х = . Тогда ХА = . Полученная матрица равна матрице

В тогда и только тогда, когда их соответствующие элементы равны. Получим три системы

уравнений. Эти системы не имеют

решений, следовательно, не имеет решения и данное матричное уравнение.

IV. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

4.1. Алгебраические операции Пусть дано некоторое множество М. Будем говорить, что на множестве М задана

внутренняя алгебраическая операция, если задан закон (правило), по которому каждой упорядоченной паре элементов а и в из М ставится в соответствие вполне определённый элемент с. Если при этом для любой пары элементов а, в из М соответствующий элемент с всегда тоже принадлежит М, то М замкнуто относительно данной операции.

Пусть даны два множества М и К. Будем говорить, что на множестве М задана внешняя алгебраическая операция, если задан закон, по которому для каждой пары элементов а М, в К ставится в соответствие вполне определённый элемент с М.

Сложение и умножение действительных чисел – примеры внутренних алгебраических операций на множестве действительных чисел. Умножение вектора на действительное число – пример внешней алгебраической операции на множестве векторов трёхмерного евклидова пространства.

Пусть на множестве элементов Р определены две внутренние алгебраические операции: сложение и умножение: при сложении каждой упорядоченной паре элементов а и в из Р взаимнооднозначно соответствует элемент с Р (с = а + в); при умножении тоже каждой упорядоченной паре элементов а и в из Р взаимнооднозначно соответствует элемент с Р (с = ав). Определение 12. Множество элементов Р называется полем, если на нём заданы две алгебраические операции: сложение и умножение, удовлетворяющие следующим требованиям (аксиомам):1. Р замкнуто относительно обеих операций;2. а + в = в + а для любых элементов а и в из Р (коммутативный закон для сложения);3. (а + в) + с = а + (в + с) для любых элементов а, в и с из Р (ассоциативный закон);4. 0 Р такой, что а + 0 = а для любого а Р;5. для любого а Р существует (а) Р такой, что а + (а) = 0;6. ав = ва для любых элементов а и в из Р (коммутативный закон);7. (ав)с = а(вс) для любых элементов а, в и с из Р (ассоциативный закон);8. е Р такой, что еа = а для любого а Р (е называется единицей и обозначается 1);9. для любого а Р существует а-1 Р такой, что аа-1 = е (а-1 – обратный элемент для а);10. (а + в)с = ас + вс для любых элементов а, в и с из Р. Примерами полей являются множество рациональных чисел ( R ), множество действительных чисел (Q ), множество комплексных чисел (С ).

4.2. Определение и примеры линейных пространств Пусть даны множество элементов L и поле Р. Элементы из L будем называть

векторами. В качестве поля Р будем использовать поле действительных (иногда – комплексных) чисел. Векторы будем обозначать а, в, …; элементы из Р , , , …

Определение 13. Множество элементов L называется линейным (векторным) пространством над полем Р, если на L определены две алгебраические операции: сложение векторов и умножение их на элементы поля Р, удовлетворяющие следующим условиям:1. L замкнуто относительно обеих операций;2. а + в = в + а для любых а и в из L.;3. (а + в) + с = а + (в + с) для любых элементов а, в и с из L;4. 0 L такой, что а + 0 = а для любого а L;5. для любого а L существует (а) L такой, что а + (а) = 0;6. 1а = а для любого а L;7. ()а = (а) для любого а L и любых , Р ;8. ( + )а = а + а для любого а L и любых , Р ;9. (а + в) = а + в для любых а и в из L и любого Р (дистрибутивный закон).

Примеры: I. L = 0, Р – любое поле.II. Множество всех коллинеарных геометрических векторов.III. Множество всех компланарных геометрических векторов.IV. Множество всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства.V. Множество всех многочленов степени не выше n с действительными (комплексными) коэффициентами.VI. Множество всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами.VII. Множество всех действительных непрерывных на отрезке ав функций.

4.3. Линейная зависимость и независимость векторов Пусть L – линейное пространство над полем Р. Пусть а1, а2, … , аn ()

конечная система векторов из L. Вектор в = 1а1 + 2а2 + … + nаn ( 16) называется линейной комбинацией векторов (), или говорят, что вектор в линейно выражается через систему векторов ().

Определение 14. Система векторов () называется линейно зависимой, тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой набор коэффициентов 1, 2, … , n, что 1а1 + 2а2 + … + nаn = 0. Если же 1а1 + 2а2 + … + nаn = 0 1 = 2 = … = n

= 0, то система () называется линейно независимой. Свойства линейной зависимости и независимости.

10. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.Действительно, если в системе () вектор а1 = 0, то 10 + 0а2 + … + 0аn = 0. 20. Если система векторов содержит два пропорциональных вектора, то она линейно зависима.Пусть а1 = а2. Тогда 1а1 –а2 + 0а3 + … + 0аn = 0. 30. Конечная система векторов () при n 2 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из её векторов является линейной комбинацией остальных векторов этой системы. Пусть () линейно зависима. Тогда найдётся ненулевой набор коэффициентов 1, 2, … , n, при котором 1а1 + 2а2 + … + nаn = 0 . Не нарушая общности, можно считать, что 1 0. Тогда существует и а1 = 2а2 + … + nаn. Итак, вектор а1 является линейной комбинацией остальных векторов. Пусть один из векторов () является линейной комбинацией остальных. Можно считать, что это первый вектор, т.е. а1 = 2а2 + … + nаn, Отсюда (–1)а1 + 2а2 + … + nаn = 0, т.е. () линейно зависима.

Замечание. Используя последнее свойство, можно дать определение линейной зависимости и независимости бесконечной системы векторов.

Определение 15. Система векторов а1, а2, … , аn , … () называется линейно зависимой, если хотя бы один её вектор является линейной комбинацией некоторого конечного числа остальных векторов. В противном случае система () называется линейно независимой. 40. Конечная система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из её векторов нельзя линейно выразить через остальные её векторы. 50. Если система векторов линейно независима, то любая её подсистема тоже линейно независима. 60. Если некоторая подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и вся система тоже линейно зависима.

Пусть даны две системы векторов а1, а2, … , аn , … (16) и в1, в2, … , вs, … (17). Если каждый вектор системы (16) можно представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов системы (17), то говорят, что система (17) линейно выражается через систему (16).

Определение 16. Две системы векторов называются эквивалентными, если каждая из них линейно выражается через другую.

Теорема 9 (основная теорема о линейной зависимости). Пусть и – две конечные системы векторов из L. Если

первая система линейно независима и линейно выражается через вторую, то n s. Доказательство. Предположим, что n s. По условию теоремы

(21)

Так как система линейно независима, то равенство (18) х1=х2=…=хn= 0. Подставим сюда выражения векторов

: …+=0 (19). Отсюда

(20). Условия (18), (19) и (20), очевидно, эквивалентны. Но (18) выполняется только при х1=х2=…=хn= 0. Найдём, когда верно равенство (20). Если все его коэффициенты равны нулю, то оно, очевидно, верно. Приравняв их нулю, получим систему (21). Так как эта система имеет нулевое решение, то она

совместна. Так как число уравнений больше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений. Следовательно, у неё есть ненулевое решение х1

0, х20, …, хn

0. При этих значениях равенство (18) будет верно, что противоречит тому, что система векторов линейно независима. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, n s.

Следствие. Если две эквивалентные системы векторов конечны и линейно независимы, то они содержат одинаковое число векторов.

Определение 17. Система векторов называется максимальной линейно независимой системой векторов линейного пространства L, если она линейно независима, но при добавлении к ней любого вектора из L , не входящего в эту систему, она становится уже линейно зависимой.

Теорема 10. Любые две конечные максимальные линейно независимые системы векторов из L содержат одинаковое число векторов.

Доказательство следует из того, что любые две максимальные линейно независимые системы векторов эквивалентны.

Легко доказать, что любую линейно независимую систему векторов пространства L можно дополнить до максимальной линейно независимой системы векторов этого пространства.

Примеры:1. Во множестве всех коллинеарных геометрических векторов любая система, состоящая их одного ненулевого вектора, является максимальной линейно независимой.2. Во множестве всех компланарных геометрических векторов любые два неколлинеарных вектора составляют максимальную линейно независимую систему.3. Во множестве всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства любая система трёх некомпланарных векторов является максимальной линейно независимой.4. Во множестве всех многочленов степени не выше n с действительными (комплексными) коэффициентами система многочленов 1, х, х2, … , хn является максимальной линейно независимой.5. Во множестве всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами примерами максимальной линейно независимой системы являются а) 1, х, х2, … , хn, … ; б) 1, (1 – х), (1 – х)2, … , (1 – х)n, …

6. Множество матриц размерности mn является линейным пространством (проверьте это). Примером максимальной линейно независимой системы в этом пространстве является

система матриц Е11 = , Е12 = , … , Еmn = .

Пусть дана система векторов с1, с2, … , ср (). Подсистема векторов из ()

называется максимальной линейно независимой подсистемой системы (), если она линейно независима, но при добавлении к ней любого другого вектора этой система она становится линейно зависимой. Если система () конечна, то любая её максимальная линейно независимая подсистема содержит одно и то же число векторов. (Доказательство проведите самостоятельно). Число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме системы () называется рангом этой системы. Очевидно, эквивалентные системы векторов имеют одинаковые ранги.

4.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора Пусть L – линейное пространство над полем Р. Определение 18. Базисом линейного пространства называется любая упорядоченная

максимальная линейно независимая системе его векторов. Базису можно дать другое определение, эквивалентное приведённому. Определение 19. Базисом линейного пространства L называется любая

упорядоченная система а1, а2, … , аn , … () его векторов, удовлетворяющая следующим требованиям: 1. любой вектор из L можно представить в виде линейной комбинации конечного числа векторов из (); 2. ни один вектор ак из системы () нельзя представить в виде линейной комбинации конечного числа остальных векторов из ().

Теорема 11. Если линейное пространство L имеет конечный базис, то все базисы этого пространства конечны и содержат одно и то же число векторов.

Доказательство. Любые два базиса эквивалентны. Так как каждый из них линейно независим, то отсюда и следует утверждение теоремы.

Определение 20. Линейное пространство называется бесконечно мерным, если в нём есть базис, содержащий бесконечное множество векторов. Если все базисы пространства содержат n векторов, то пространство называется n-мерным.Размерность линейного пространства будем обозначать dimL.

Примеры. 1. Множество всех коллинеарных геометрических векторов есть одномерное линейное пространство. Базисом является любой ненулевой вектор.2. Множество всех компланарных геометрических векторов есть двумерное линейное пространство. Базисом является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.3. Множество всех возможных геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства есть трёхмерное линейное пространство. Базисом будет любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.4. Множество всех многочленов степени не выше n с действительными (комплексными) коэффициентами есть (n + 1)-мерное линейное пространство. Система 1, х, х2, … , хn – один из базисов в нём.5. Множество всех многочленов с действительными (комплексными) коэффициентами есть бесконечно мерное линейное пространство. Система 1, х, х2, … , хn, … – один из базисов в нём.6. Арифметическое n-мерное пространство. Пусть Аn – множество всех возможных упорядоченных наборов а =(1, 2,… , n ) действительных чисел. Если в = (1, 2, … , n),

то сумму наборов и умножение набора на действительное число определим следующим образом:

а + в = (1 + 1, 2 + 2, … , n + n); а = (1, 2, … , n). Легко проверить, что все требования определения 13 выполняются, т.е. Аn является линейным пространством. Очевидно, система е1 = (1, 0, … ,0), е2 = (0, 1, … 0), … , еn = (0, 0, … , 0) является линейно независимой. Если а =(1, 2,… , n ) – любой набор, то а = 1е1 + 2е2

+ … + nеn. Следовательно, система е1, е2, … , еn является базисом в Аn, т.е. Аn – n-мерное линейное пространство.

7. Во множестве матриц размерности mn базисом является система матриц

Е11 = , Е12 = , … , Еmn = .

Пусть L – n-мерное линейное пространство и В = е1, е2, … , еn базис в нём. Если а – любой вектор из L, то а = 1е1 + 2е2 + … + nеn.

Определение 21. Упорядоченный набор коэффициентов, с помощью которых данный вектор выражается через базисные векторы, называется координатами этого вектора в данном базисе. Обозначение а = 1, 2, … , n.

Если Через е = (е1, е2, … , еn ) обозначить строку базисных векторов, а через х – столбец координат вектора а, т.е. х = (1, 2, … , n)Т, то а = ех (22). Это матричная запись вектора в данном базисе.

Теорема 12. Каждый вектор пространства L имеет в базисе В единственный набор координат.

Доказательство. По определению базиса каждый вектор имеет хотя бы один набор координат. Предположим, что некоторый вектор а имеет в базисе В два различных набора координат, т.е. а = 1е1 + 2е2 + … + nеn и а = 1е1 + 2е2 + … + nеn . Будем считать, что 1 1. Тогда 1е1 + 2е2 + … + nеn = 1е1 + 2е2 + … + nеn . Отсюда

(1 – 1)е1 = (2 – 2)е2 + … + (n – n)еn.

е1 = , т.е. один из базисных векторов выразился через остальные

векторы базиса, что противоречит определению 19. Итак, 1 = 1. Аналогично получается равенство остальных соответствующих координат.

Теорема 13. Если векторы заданы координатами в одном и том же базисе, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, при умножении вектора на действительное (комплексное) число на это число умножается каждая его координата.

Доказательство проведите самостоятельно.

4.5. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два

базиса е = (е1, е2, … , еn ) и е1 = (е11, е2

1, … , еn1 ). Пусть

(23)

Если ввести матрицу

Т = , то систему (23) можно записать в матричном виде

е1 = еТ (24).

Матрица Т называется матрицей перехода от базиса е к базису е1. Так как векторы е1

1, е21, … , еn

1 линейно независимы, то матрица Т невырожденная. Если вектор а в базисе е имеет координаты х = (1, 2, … , n)Т, а в базисе е1 его

координаты х1 = (1, 2,…, n)Т, то а = ех и а = е1х1. отсюда ех = е1х1. Используя

формулу (24), получим ех = (еТ)х1 = е (Тх1). Отсюда х = Тх1 (25). Формула (25) даёт связь координат одного и того же вектора в разных базисах. Её называют формулой преобразования координат.

Пример. Пусть е = (е1, е2, е3 , е4 ) – базис в пространстве L4. Пусть е11 = 2е1 – 3е3 ,

е21 = е2 + е4 , е3

1 = 4е1 + е2 – е4 , е41 = е2 + 3е3 – е4 ; е1

11 = е1 + е2 , е211 = е1 – е3 , е3

11 = е3 + е4 , е4

11 = е3 – е4 . Покажите, что е1 = (е11, е2

1, … , еn1 ) и е11 = (е1

11, е211, … , еn

11 ) являются базисами в L.. Вектор а в базисе е1 имеет координаты (1, 4, –2, 5). Найдите координаты этого вектора в базисе е11.

Решение. Составим определители матриц перехода Т1 и Т2 от базиса е к е1 и е11

соответственно. Т1 =

,

Т2 =

,Т1=

=–12

Т2 = = 2. Так как матрицы Т1 и Т2 невырожденные, то е1 и е11 – базисы.

Из формулы (25) следует х = Т1х1, х = Т2х11. Отсюда Т1х1 = Т2х11, х11 = (Т2-1Т1)х1.

Найдём Т2-1. Для этого вычислим все алгебраические дополнения элементов матрицы Т2.

А11= 0, А12 = – = 1, А13 = = 1, А14 = – = 1, А21 = –

, А22 = = –2, А23 = – = –1, А24 = = –1, А31

= = 0, А32 = – = 0, А33 = = 1, А34 = – = –1,

А41 = – = 0, А42 = = 0. А43 = – = 1, А44 =

= –1. Используя найденные алгебраические дополнения, получим Т2-1 =

. Следовательно, =

= . Итак, в базисе е11 данный вектор

имеет координаты ( –10; 0; –17).

4.6. Подпространства линейных пространств

Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.

Теорема 14. Непустое множество элементов В L является линейным подпространством в L тогда и только тогда, когда для любых двух элементов в1 и в2 из В и любого Р выполняются условия: в1 + в2 В и в1 В.

Доказательство. Если В – линейное подпространство, то условия теоремы, очевидно, выполнены. Если условия теоремы выполняются, то возьмём любой элемент в В. Тогда (–1)в = –в принадлежит В. Итак, в В для каждого элемента есть противоположный. Но тогда и в + (–в) тоже принадлежит В, т.е. 0 В. Остальные требования определения 14 выполняются очевидно. Следовательно, В – линейное пространство над тем же полем, что и L.

Примеры линейных подпространств.1. Пусть а1, а2, … , ак – любая система векторов из L. Множество всех линейных

комбинаций этих векторов (т.е. элементов вида 1а1 + 2а2 + … + как) называется линейной оболочкой данной системы векторов и обозначается а1, а2, … , ак, или L(а1, а2, … , ак). Линейная оболочка любой конечной системы векторов из L является линейным подпространством в L.. Одним из базисов линейной оболочки является максимальная линейно независимая подсистема системы а1, а2, … , ак. Следовательно, размерность линейной оболочки равна рангу этой системы.

2. Множество многочленов степени не выше к (к n) с коэффициентами из поля Р является линейным подпространством в пространстве многочленов степени не выше n.

3. Множество компланарных геометрических векторов является линейным подпространством в пространстве всех геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства.

4. Нулевой вектор является линейным подпространством в том линейном пространстве, которому он принадлежит.

5. Множество диагональных матриц порядка n является линейным подпространством во множестве квадратных матриц порядка n.

Пусть А и В – два линейных подпространства пространства L . Определение 23. Суммой подпространств А и В называется множество всех

возможных элементов вида а + в, где а А, в В. (Обозначение А + В) Теорема 15. Сумма линейных подпространств из L есть линейное подпространство

из L. Доказательство. Пусть а1 + в1 и а2 + в2 – любые два элемента из А + В. Тогда

(а1 + в1) + (а2 + в2) = (а1 + а2) + (в1 + в2) А + В, так как а1 + а2 А, в1 + в2 В. Кроме того (а + в) = а + в А + В, так как а А, в В. Следовательно, по теореме 14 сумма А + В является линейным подпространством в L.

Теорема 16. Пересечение линейных подпространств из L есть линейное подпространство из L.

Доказательство проведите самостоятельно. Теорема 17. Размерность суммы двух линейных подпространств равна сумме

размерностей слагаемых минус размерность их пересечения. Доказательство. Пусть С = А + В, где А и В линейные подпространства

пространства L. Пусть D = А В. Выберем базис d = (d1, d2, … , dк) в подпространстве D и дополним его векторами е = (е1, е2, … , еm) и f = (f1, f2 … , fs) так, чтобы система (е1, е2, … , еm , d1, d2, … , dк) была базисом в подпространстве А, а система (d1, d2, … , dк, f1, f2 … , fs ) была базисом в В. Покажем, что система (е1, е2, … , еm , d1, d2, … , dк , f1, f2 … , fs) является базисом в подпространстве С. Если с С, то с = а + в. Так как а А, то а есть линейная комбинация векторов систем е и d. Так как в В, то в есть линейная комбинация векторов систем d и f . Но тогда с линейно выражается через векторы е, d и f . Остаётся показать, что система векторов (е1, е2, … , еm , d1, d2, … , dк , f1, f2 … , fs) линейно независима.

Для этого рассмотрим 1е1 + 2е2 + … + mеm + 1d1 + 2d2 + ... + кdк + 1f1 + 2f2 + … + sfs

= 0. Вектор а = 1е1 + 2е2 + … + mеm + 1d1 + 2d2 + ... + кdк лежит в подпространстве А. Но в то же время а = – 1f1 – 2f2 – … – sfs . Следовательно, а В. Итак, а D . Если бы а не был нулевым вектором, то он не мог бы выражаться через векторы системы f . Следовательно, – 1f1 – 2f2 – … – sfs = 0. Так как векторы системы f линейно независимы, то 1= 2= …= s = 0. Но тогда 1е1 + 2е2 + … + mеm + 1d1 + 2d2 + ... + кdк = 0. Так как система векторов (е, d ) линейно независима, то отсюда следует, что 1 = 2 = … = m = 1 = 2 = … = к = 0. Итак, система (е1, е2, … , еm , d1, d2, … , dк , f1, f2 … , fs) является базисом в подпространстве С. Отсюда dim C = m + k + s = (m + k) + (k + s) – k = dim A + dim B – dim D .

4.7. Изоморфизм линейных пространств Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р

называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение : L L1, что для любых векторов а и в из L и любого элемента Р выполняются условия: (а + в) = (а) + (в), (а) = (а).Отображение называется изоморфизмом. Определение 24 можно заменить следующим эквивалентным определением.

Определение 25. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение : L L1, что для любых векторов а и в из L и любых элементов , Р выполняется условие: (а + в) = (а) + (в).

Свойства изоморфизма.1. (0) = 01, где 0 и 01 – нулевые вектора в пространствах L и L1 соответственно.2. Если а1, а2, … , ак – любая система векторов из L и (а1) = а1

1, (а2) = а21, … , (ак)

= ак1, то (1а1 + 2а2 + … + как) = 1а1

1 + 2а21 + … + как

1.3. Если а1, а2, … , ак –линейно независимая система векторов из L и (а1) = а1

1, (а2) = а2

1, … , (ак) = ак1, то система векторов а1

1, а21, … , ак

1 – линейно независима в L1.4. Если а1, а2, … , ак –линейно зависимая система векторов из L и (а1) = а1

1, (а2) = а21,

… , (ак) = ак1, то система векторов а1

1, а21, … , ак

1 – линейно зависима в L1.5. Если L – n-мерное линейное пространство, то L1 – тоже n-мерное линейное пространство. 6. При изоморфизме образом любого базиса из L является базис из L1. Примеры изоморфных пространств. 1. Арифметическое линейное пространство Аn над полем Р изоморфно пространству многочленов степени не выше (n – 1) с коэффициентами из поля Р. 2. Пространство квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р изоморфно арифметическому линейному пространству размерности n2 над полем Р.

V. РАНГ МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

5.1. Ранг матрицы

Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А =

произвольная матрица размерности m n. Каждый столбец матрицы можно рассматривать как m-мерный вектор из m-мерного арифметического пространства Аm. Тогда система столбцов матрицы будет системой m-мерных векторов а1 = (а11, а21, … , аm1), а2 = (а12, а22, … , аm2), … , аn = (а1n, а2n, … , аmn).

Определение 26. Столбцовым рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – столбцов.

По аналогии со столбцами каждую строку матрицы А можно рассматривать как n-мерный вектор из n-мерного арифметического пространства Аn .

Определение 27. Строчным рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – строк.

Теорема 18. Столбцовый ранг матрицы равен наибольшему порядку среди отличных от нуля её миноров.

Доказательство. Если все элементы матрицы – нули поля Р, то все её столбцы – нулевые вектора. Ранг этой системы векторов равен нулю. В матрице А все миноры первого порядка, все миноры второго порядка и т.д. равны нулю. Можно считать, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.

Пусть в матрице А не все элементы равны нулю, тогда в матрице есть отличные от нуля миноры. Выберем минор наибольшего порядка среди всех отличных от нуля. При перестановке столбцов ранг системы векторов-столбцов не изменится. При перестановке строк матрицы изменится только порядок координат векторов (при этом у всех векторов одинаково). Следовательно, эта перестановка тоже не изменит ранга системы векторов-столбцов. Переставим, если нужно, строки и столбцы матрицы так, чтобы выбранный нами минор М располагался в левом верхнем углу матрицы. Пусть его порядок равен к. Рассмотрим систему векторов-столбцов матрицы А. Обозначим их а1, … , ак, ак+1, … , аn . Векторы а1, … , ак линейно независимы, иначе выбранный нами минор был бы равен нулю. Покажем, что любой другой вектор-столбец через них линейно выражается. Для этого окаймим выбранный минор любым столбцом с номером к +1, к + 2, … , n и любой

а1, … , ак, ак+1, …, аn

А = строкой. Если номер этой строки не больше к, то полученный определитель будет иметь две одинаковых строки, поэтому равен нулю. Если номер окаймляющей строки больше к, то это будет минор матрицы А порядка (к + 1), поэтому равен нулю по условию. Итак, определитель равнее нулю при любом s, равном к + 1, … , n и любом р, равном 1, 2, … , m .

= 0.

Разложим по последней строке, получим

Так как М 0, то

.

Если номер столбца s зафиксирован, то алгебраические дополнения Ар1, … , Арк не меняются

при изменении номера строки р. Следовательно, аs = а1 – … – ак . Итак,

любой вектор-столбец матрицы А линейно выражается через первые к её столбцов. Следовательно, столбцовый ранг матрицы равен к, т.е. наибольшему порядку отличных от нуля её миноров.

Следствие. Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу. Доказательство. Транспонируем матрицу А. При этом векторы-строки матрицы А

станут векторами-столбцами транспонированной матрицы АТ. П ри транспонировании матрицы транспонируются и все её миноры. Так как при транспонировании определитель не меняется, то максимальный порядок отличных от нуля миноров в матрицах А и АТ один и тот же. По доказанной теореме столбцовые ранги этих матриц равны. Отсюда и следует утверждение следствия.

Так как столбцовый и строчный ранги матриц равны, то можно дать определение:

Определение 28. Рангом матрицы называется ранг системы её векторов-столбцов (или векторов-строк).

Из теоремы о ранге матрицы следует, что если мы найдём в матрице А минор М к-го порядка, отличный от нуля, то среди миноров (к + 1)-го порядка достаточно рассмотреть только те, которые получаются окаймлением минора М. Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен к. В дальнейшем минор наибольшего порядка среди отличных от нуля будем называть базисным минором.

Пример. Найти ранг матрицы А = в зависимости от .

Решение. Так как не все элементы матрицы равны нулю, то её ранг не меньше 1. Так как второй т третий столбцы одинаковы, то один из ни можно отбросить и находить ранг

матрицы А1 = . Из миноров второго порядка только один не содержит

, но этот минор равен 0. Рассмотрим минор М1 = При = 0 матрица А1 имеет

вид . В ней только один ненулевой столбец, следовательно, её ранг равен 1.

Если , то М1 0, т.е. ранг матрицы не меньше 2. Минор М1 можно окаймить третьей строкой и третьим столбцом или четвёртой строкой и третьим столбцом. Получим М2 =

. Так как , то М2 0. В матрице А1 миноров 4-го порядка нет, поэтому

rang A = rang A1 = 3. Итак, при = 0 rang A = 1, при 0 rang A =3. Теорема 19. Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга. Доказательство следует из того, что при элементарных преобразованиях матрицы мы

получаем эквивалентные системы её векторов-строк.

5.2. Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы

Пусть дана система линейных уравнений (25),

коэффициенты которых принадлежат данному полю Р.

Пусть А = (26) матрица этой системы и

А1 = (27) расширенная матрица. Если система (25) имеет

хотя бы одно решение, то её называют совместной, в противном случае система

несовместная. Если все слагаемые, содержащие неизвестные, стоят в левых частях уравнений, а свободные члены – в правых частях, то система называется приведённой. Если в системе (25) хотя бы один свободный член отличен от нуля, то эта система называется неоднородной. Если же все свободные члены равны нулю, то имеем систему линейных однородных уравнений.

Теорема 26 (теорема Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу расширенной матрицы. Доказательство. Пусть система (25) совместна. Следовательно, существуют такие элементы 1, 2, … , n , что

Записав эти равенства в векторной форме, получим, что в = 1а1 + 2а2 + … + nаn , где а1, а2, … , аn –векторы-столбцы матрицы А, в – вектор-столбец свободных членов. Из последнего равенства следует, что системы векторов а1, а2, … , аn и а1, а2, … , аn , в эквивалентны, поэтому их ранги равны. Итак, rang A = rang A1. Пусть rang A = rang A1 = к. Не нарушая общности, можно считать, что отличный от нуля минор к-го порядка в матрице А стоит в левом верхнем углу. Векторы-столбцы обозначим а1, а2, … , ак, ак+1, … , аn, в (). Система а1, а2, … , ак будет максимальной линейно независимой подсистемой в системе (), следовательно, найдутся такие коэффициенты х1

0, х20, … , хк

0, что в = х10 а1 + х2

0 а2 + … + хк

0 ак. Это равенство равносильно

равенству в = х10 а1 + х2

0 а2 + … + хк

0 ак + … + 0ак+1 + … + 0аn. Перейдя к

координатам, получим:

(28)

Отсюда следует, что (х10, х2

0, … , хк0, 0,… ,0) – решение системы (25), т.е. эта система

совместна. Из теоремы Кронекера – Капелли следуют правила решения системы линейных

уравнений. Для решения системы линейных уравнений достаточно

1. Найти ранги основной и расширенной матриц ( А и А1 ). Если rang A rang A1, то система не имеет решения. 2. Если rang A = rang A1 = к, то для решения достаточно оставить к уравнений, коэффициенты которых стоят на тех строчках матрицы А, на которых стоит базисный минор, и в этих уравнениях оставить в их левых частях те неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор. Остальные неизвестные нужно перенести в правые части уравнений. Они могут принимать все возможные значения из поля Р. Эти неизвестные называются свободными. (Не нарушая общности, можно считать, что оставлены первые к уравнений и первые к неизвестных , система (29)).

(29)

Определитель левой части системы (29) отличен от нуля, число уравнений равно числу неизвестных, поэтому (по теореме Крамера) эта система при всевозможных хк+1, … , хn имеет единственное решение.

Следовательно, неизвестные х1, х2, … , хк можно выразить через хк+1, … , хn . Формулы, с помощью которых х1, х2, … , хк выражаются через хк+1, … , хn задают так называемое общее решение данной системы уравнений. При каждом конкретном наборе переменных хк+1, … , хn мы получим единственный набор х1, х2, … , хк . Это частное решение системы уравнений. Число свободных неизвестных равно n – к. Поэтому если к = n, то свободных неизвестных нет, система (29), а поэтому и система (25), имеет единственное решение. Если же к n, то система имеет бесконечно много решений.

Пример. Исследовать систему уравнений и решить её, если она совместна в поле R.

Решение. Составим матрицу и расширенную матрицу.

А1 = Так как первый и второй столбцы пропорциональны, то для нахождения ранга матрицы один из них можно удалить. Будем считать, что удалён второй столбец.

Минор М = 0.

Окаймим этот минор первым столбцом и третьей строкой , получим

= = 56

0.

Следовательно, rang A = 3. Но rang A1 не может быть больше 3. Итак, rang A = rang A1 = 3. Для решения остаются три уравнения, т.е. все уравнения. Оставим в левых частях первое, третье и четвёртое неизвестные, второе неизвестное перенесём в правые части,

получим

Для этой системы = 56, =

84х2 ,

= 20, = 24. По формулам Крамера получаем

х1 = , х3 = , х4 = . Общее решение данной системы (

), х2 – любое действительное число.

5.3. Пространство решений системы линейных однородных уравнений Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.

(30)

Так как столбец свободных членов в матрице А1 этой системы состоит только из нулей, то rang A = rang A1, т.е. система линейных однородных уравнений всегда совместна. В частности она всегда имеет нулевое решение. Рассмотрим множество всех возможных решений системы (30).

Пусть =(1, 2, … , n) и =(1, 2, … , n) – любые два из них. Их можно рассматривать, как векторы в арифметическом n-мерном пространстве над полем Р. Пусть – любой элемент поля Р. Тогда + = (1 + 1, 2 + 2, … , n + n ), = (1, 2, … , n). Подставим компоненты этих векторов в произвольное s-е уравнение системы (30). Получим

Итак, если и – любые

два решения системы (30) и – любой элемент поля Р, то + и тоже являются решением этой системы. Но тогда из теоремы 14 следует

Теорема 27. Множество решений системы линейных однородных уравнений с n переменными есть линейное подпространство арифметического пространства Аn .

Теорема 28. Размерность пространства решений системы линейных однородных уравнений равна n – r, где n – число неизвестных, r – ранг матрицы системы.

Доказательство. Пусть L – пространство решений системы (30). Тогда L Аn . Пусть = (1, 2, … r, r+1, … , n) – произвольное решение системы. Пусть (r+1, … , n) – набор свободных неизвестных, соответствующий этому решению. Множество всех возможных наборов свободных неизвестных есть арифметическое (n – r)-мерное пространство Аn–r . Зададим отображение : L Аn–r по правилу

= (1, 2, … r, r+1, … , n) () = (r+1, … , n).Покажем, что – изоморфизм (определение 24). Для этого нужно проверить три условия.1. Покажем, что – взаимнооднозначное отображение. Решению = (1, 2, … r, r+1, … , n) соответствует только один набор (r+1, … , n), следовательно, – однозначное отображение. Обратно, если задать элемент (r+1, … , n) из Аn–r , то по теореме Крамера найдётся только один набор (1, 2, … r ) искомых неизвестных, т.е. каждый элемент () из Аn–r соответствует единственному элементу из L . 2. () = (r+1, … , n ) = (r+1, … , n ) = (а).3. (а + в) = (r+1 + r+1, … ,n + n ) = (r+1, … , n) + (r+1, … , n ) = (а) + (в).

Итак, пространство решений системы линейных однородных уравнений изоморфно арифметическому (n – r)-мерному пространству. Следовательно, размерность L равна (n – r).

Определение 29. Базис пространства решений системы линейных однородных уравнений называется её фундаментальной системой решений.

Так как при изоморфизме базис пространства Аn–r соответствует базису пространства L , то для того. чтобы найти фундаментальную систему решений для системы (30), достаточно выбрать (n – r) линейно независимых наборов свободных неизвестных и для каждого из них найти решение данной системы.

Следствие. Если а1, а2, …, аn–r фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений (30) и С1, С2, … , Сn–r – произвольные элементы поля Р, то С1а1 + С2а2 + … + Сn–r аn–r – общее решение этой системы.

5.4. Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений

Пусть (25) произвольная система линейных

неоднородных уравнений с коэффициентами из поля Р. Если в этой системе все свободные члены заменить нулями, то полученная система линейных однородных уравнений называется соответствующей однородной системой (это система (30)). Решения систем (25) и (30) удовлетворяют следующим свойствам:

(30)

10. Сумма решений данной неоднородной и соответствующей однородной системы линейных уравнений есть решение данной неоднородной системы. Пусть а – частное решение системы (25) и с – частное решение системы (30). Рассмотрим вектор (а + с).

Системы (25) и (30) в векторной форме имеют вид Ах = в (31) и Ах = 0 (32). По условию Аа = в, Ас = 0. Следовательно, А(а + с) = Аа + Ас = в + 0 = в. Следовательно, (а + с) – решение уравнения (31), а поэтому и системы (25).

20. Разность двух решений неоднородной системы линейных уравнений есть решение соответствующей однородной системы.

Пусть а и с – решения системы (25), а следовательно, и уравнения (31), т.е. Аа = в и Ас = в. Тогда А(а – с) = Аа – Ас = в – в = 0, т.е. (а – с) – решение уравнения (32), а поэтому и системы (30).30. Если а – фиксированное частное решение системы (25), а с пробегает все решения системы (30), то (а + с) пробегает все решения системы (25).

Согласно 10, при любом с вектор (а + с) будет решением системы (25). Если d – любое решение системы (25), то, согласно 20, разность (d – а) будет решением системы (30). Обозначив (d – а) = с, получим d = (а + с).

Теорема 29. Если а – частное решение линейной неоднородной системы уравнений и а1, а2, …, аn–r – фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений, то общее решение данной неоднородной системы имеет вид

d = а + С1а1 + С2а2 + … + Сn–r аn–r , где С1, С2, … , Сn–r – любые элементы поля Р.(Иными словами, общее решение системы линейных неоднородных уравнений равно сумме

частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы.) Доказательство является следствием предыдущих свойств.

5.5. Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений

Пусть дано n-мерное линейное пространство L и пусть в нём зафиксирован базис е = (е1, е2, … , еn ). Пусть М – линейное подпространство в L .

Определение 30. Будем говорить, что система линейных уравнений задаёт подпространство М, если этой системе удовлетворяют координаты всех векторов из М и не удовлетворяют координаты никаких других векторов.

Из свойств решений однородной системы линейных уравнений следует, что любая однородная линейная система уравнений ранга r с n переменными задаёт в любом n-мерном пространстве Ln (если в нём зафиксирован базис) (n–r )-мерное линейное подпространство.

Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема. Теорема 30. Если в линейном n-мерном пространстве Ln зафиксирован базис, то любое его к-мерное линейное подпространство можно задать системой линейных однородных уравнений с n неизвестными ранга (n – к). Доказательство. Пусть в Ln зафиксирован базис е = (е1, е2, … , еn ). Пусть Lк – линейное к-мерное подпространство в Ln. Выберем в Lк любой базис а = (а1, а2,… , ак).

Пусть В матричной форме а = е А , где

А = .

Так как а – базис, то ранг матрицы А равен к. Если d – любой вектор, то d Lк d = с1а1 + с2а2 + … +скак , где с1, с2, … , ск

независимо друг от друга пробегают все элементы поля Р. Их называют параметрами. В матричном виде d = а с, где с – столбец параметров. Отсюда d = е(Ас). Если х – столбец координат вектора d в базисе е, то d = ех. Отсюда, ех = е(Ас) и х = Ас. Распишем в координатном виде.

Получили параметрические уравнения, определяющие Lк .

После исключения параметров получится система (n – к) линейных однородных уравнений. Векторы а1, а2, … , ак являются её линейно независимыми решениями. Все остальные решения являются их линейными комбинациями.

Следовательно, система векторов (а1, а2, … , ак) будет фундаментальной системой решений полученной системы уравнений и поэтому ранг этой системы уравнений равен (n – к).

Пример. В пространстве L5 зафиксирован базис е = (е1, е2, е3, е4 , е5 ). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L3 = <а1, а2, а3>, если а1 = (1, –2, 2, 0, 1), а2 = (0, 4, 7, 0, 1), а3 = (–2, 3, –1, 0, 0).

Решение. Найдём ранг системы векторов (а1, а2, а3 ). Для этого достаточно найти ранг

матрицы . Минор . Окаймляющий минор

0, следовательно, ранг матрицы равен 3, т.е. векторы а1, а2, а3 линейно

независимы и подпространство L3 – трёхмерное. Согласно доказанной теоремы, оно может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга 2.

d L3 d = с1а1 + с2а2 + с3а3 . Отсюда d L3 х1 = с1 – 2с3 , х2 = –2с1 + 4с2 + 3с3 , х3 = 2с1 + 7с2 – с3 , х4 = 0, х5 = с1 + с2. Если из первого, второго и пятого уравнений выразить с1, с2 и с3 и подставить их в третье и четвёртое уравнения, то получим следующую систему

Замечание. Очевидно, система, задающая данное подпространство, определяется не единственным образом. К найденным уравнениям можно добавлять новые уравнения, являющиеся их линейными комбинациями.

VI. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

6.1. Определение, примеры и свойства линейных операторов Пусть L и L1 – два линейных пространства над полем Р . Определение 31. Отображение линейного пространства L в линейное пространство

L1 называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любого элемента Р выполняются условия (а + в) = (а) + (в) и (а) =(а).

Элемент (а) называется образом элемента а, элемент а называется прообразом элемента (а).

Определение 31 эквивалентно Oпределению 311: Отображение линейного пространства L в линейное

пространство L1 называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любых элементов , Р выполняется условие (а + в) = (а) + (в).

Примеры. 1. Отображение (а) = 01, где а – любой вектор из L , а 01 – нулевой вектор из L1, является, очевидно, линейным оператором. Этот оператор называют нулевым.2. Отображение (а) = а есть линейный оператор пространства L на себя. Этот линейный оператор называется тождественным.3. Пусть е = (е1, е2, е3, … , еn ) – базис в пространстве Ln и L1 = <е1, е2, е3>. Пусть (х1е1 + х2е2 + х3е3 + … + хn еn ) = х1е1 + х2е2 + х3е3 . Заданное отображение есть линейный оператор, действующий из пространства L в его подпространство L1. Этот оператор называется проекцией пространства L на L1.

Пусть е = (е1, е2, … , еn ) – базис в пространстве L и f = (f1, f2, … , fn ) – упорядоченная совокупность векторов из L1.

Теорема 31. Существует и только один линейный оператор , действующий из L в L1, при котором (ек ) = fк для всех к = 1, 2, … , n .

Доказательство. Если а – любой вектор из L , то а = х1е1 + х2е2 + … +хn еn . Зададим отображение следующим образом: (а) = х1f1 + х2f2 + … + хn fn . Так как (а) L1, то действует из L в L1. Если Р, то (а) = х1f1 + х2f2 + … + хn fn = (х1f1 + х2f2 + … +хn fn) = (а). Если в = у1е1 + у2е2 + … +уn еn , то (а + в) = (х1 + у1) f1 + (х2 + у2 )f2 + … + (хn + уn) fn = (х1f1 + х2f2 + … + хn fn ) + (у1е1 + у2е2 + … +уn еn ) = (а) + (в). Итак, - линейный оператор из L в L1. Кроме того (ек ) = 1fк . Следовательно, - искомый линейный оператор. Обратно, если - любой линейный оператор, при котором (eк ) = fк , то по определению линейного оператора (а) = (х1е1 + х2е2 + … +хn еn) = х1(е1) + х2(е2) + … + хn(еn) = х1f1+ х2f2 +…+ хn fn = (а). Следовательно, - единственный искомый оператор.

Следствие. Для того чтобы задать линейный оператор, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L1 достаточно выбрать базис (е1, е2, … , еn ) в пространстве L и упорядоченную систему векторов (f1, f2, … , fn ) в пространстве L1 и задать отображение по правилу: (х1е1 + х2е2 + … +хn еn ) = х1f1 + х2f2 + … + хn fn. Пример. Даны два линейных пространства L3 и L5 . Пусть е = (е1, е2, е3) и f = (f1, f2, f3 , f4 , f5 ) – базисы в L3 и L5 соответственно. Пусть а1 = (1, 4, –1, 3, 0), а2 = (3, 0, 1, –3, 7), а3 = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L5 . Пусть линейный оператор : L3 L5 задан по правилу (х1е1 + х2е2 + х3е3 ) = х1а1 + х2а2 + х3а3. Найти образ вектора с = (5, –1, 3).

Решение. (с) = 5а1 – а2 + 3а3 = (5,20,–5,15,0) – (3,0,1,–3,7) + (3,3,6,6,0) = (5, 23, 0, 24, –7).Свойства линейных операторов. Пусть : Ln Lm линейный оператор.

10. (0) = 01, где 0 и 01 – нули пространств Ln и Lm соответственно.20. Произведение двух линейных операторов есть линейный оператор.Пусть : Ln Lm и : Lm Lк . Тогда (): Ln Lк . Если а и в – любые два вектора из Ln и - любой элемент из поля Р, то ()(а + в) = ( (а + в)) = ( (а) + (в)) = = ( (а)) + ( (в)) = ()(а) + ()(в); ()(а) = ( (а)) = ( (а)) = = ( ( (а)) = ()(а). Итак, отображение () удовлетворяет всем требованиям определения 31. Следовательно, () – линейный оператор.

Определение 32. Суммой двух линейных операторов : Ln Lm и : Ln Lm

называется такое отображение : Ln Lm , что для любого элемента а Ln верно равенство (а) = (а) + (а).

30. Сумма двух линейных операторов есть линейный оператор.Пусть а, в L и , Р. Тогда (а + в) = (а + в) + (а + в) = ((а) + + (в)) + ((а) + (в)), Следовательно, по определению 311, - линейный оператор, действующий из Ln в Lm .

40. Нулевой линейный оператор играет роль нулевого элемента при сложении линейных операторов.

Определение 32. Произведением линейного оператора : Ln Lm и элемента Р называется такое отображение из Ln в Lm , что ()(а) = ( (а)) для любого а Ln .

50. Произведение линейного оператора на элемент поля Р есть линейный оператор.Докажите это утверждение самостоятельно.

60. 1 = для любого линейного оператора . 70. 0 – нулевой оператор для любого линейного оператора . 80. Если и – два линейных оператора, , Р, : Ln Lm и : Ln Lm , то

( + ) – линейный оператор, действующий из Ln в Lm . Теорема 32. Множество линейных операторов, действующих из линейного

пространства Ln в Lm является линейным пространством (оба пространства над одним и тем же полем).

Доказательство следует из свойств суммы линейных операторов и произведения линейного оператора на элемент поля Р.

6.2. Область значений и ядро линейного оператора Пусть : Ln Lm линейный оператор. Определение 33. Областью значений оператора называется множество (Ln)

образов всех элементов из Ln . Теорема 32. Область значений линейного оператора : Ln Lm есть линейное

подпространство в Lm . Доказательство. По определению линейного оператора (Ln) Lm. Пусть в и с –

любые два вектора из (Ln). Тогда существуют такие векторы а1 и а2 из Ln , что (а1) = в, (а2) = с. Тогда, по определению 311, (а1 + а2) = (а1) + (а2) = в + с. Так как а1 + а2 Ln , то (а1 + а2) (Ln), т.е. в + с (Ln). Отсюда следует, что (Ln) – линейное подпространство в Lm .

Определение 34. Ядром линейного оператора : Ln Lm называется множество всех векторов из Ln , отображающихся в нулевой вектор пространства Lm .

Теорема 33. Ядро линейного оператора : Ln Lm является линейным подпространством в пространстве Ln . (Обозначение ядра Ker() )

Доказательство. По определению ядра Ker() Ln . Если а1 и а2 Ker(), то (а1) = 0, (а2) = 0. Но тогда (а1 + а2) = (а1) + (а2) = 0 + 0 = 0 а1 + а2 Ker(). Итак, Ker() – линейное подпространство в пространстве Ln .

Примеры. 1. Даны два линейных пространства L3 и L5 . Пусть е = (е1, е2, е3) и f = (f1, f2, f3 , f4 , f5 ) – базисы в L3 и L5 соответственно. Пусть а1 = (1, 4, –1, 3, 0), а2 = (3, 0, 1, –3, 7), а3 = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L5 . Пусть линейный оператор : L3 L5 задан по правилу (х1е1 + х2е2 + х3е3 ) = х1а1 + х2а2 + х3а3. Найти (L3) и Ker().

Решение. Так как х1, х2, х3 – любые элементы поля коэффициентов Р, то х1а1 + х2а2 + х3а3

– любой вектор из линейной оболочки а1, а2, а3 . Итак, (L3) = а1, а2, а3 .(х1е1 + х2е2 + х3е3 ) = 0 х1а1 + х2а2 + х3а3 = 0 х1(1, 4, –1, 3, 0) + х2(3, 0, 1, –3, 7)+ + х3(1, 1, 2, 2, 0) = (х1 + 3х2 + х3 , 4х1 + х3 , –х1 + х2 + 2х3 , 3х1 –3х2 + 2х3 , 7х2 ) = 0

Для нахождения х1, х2. х3 получили систему пяти уравнений с тремя неизвестными. Решая её, получим х1 = х2 = х3 = 0. Следовательно, ядро данного линейного оператора состоит только из нулевого вектора.

2. Даны два линейных пространства L3 и L5 . Пусть е = (е1, е2, е3) и f = (f1, f2, f3 , f4 , f5) – реперы в L3 и L5 соответственно. Пусть линейный оператор : L5 L3 задан правилом ( х1f1 + х2f2 + х3 f3 + х4f4 + х5f5) = х1е1 + х2е2 + х3е3. Найти (L5) и Ker().

Решение. Очевидно, (L5) = е1, е2, е3 = L3. Найдём ядро. ( х1f1 + х2f2 + х3 f3 + х4f4 + х5f5) = 0 х1е1 + х2е2 + х3е3 х1 = х2 = х3 = 0. Итак, ядро состоит из векторов вида а = (0, 0, 0, х4, х5 ), где х4, х5 – любые элементы поля Р.

6.3. Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа Пусть Ln и Lm – линейные пространства над полем Р и : Ln Lm линейный

оператор. Зафиксируем в Ln и Lm базисы е = (е1, е2, … , еn ) и f = (f1, f2, … , fm ) соответственно. Если (е) = ((е1), (е2), … , (еn)), то все векторы (ек) Lm . Выразим их через базис f.

Матрица А =

называется матрицей оператора в паре базисов е и

(31) f . Формулы (31) можно записать в матричном виде: ( е ) = f А (32)

Пусть а – произвольный вектор из Ln и (а) – его образ в Lm . Пусть х – столбец координат этого вектора в базисе е и х1 – столбец координат вектора (а) в базисе f . Тогда а = е х , (а) = (е) х, (а) = fх1. Следовательно, (е) х = fх1. Используя (32), получим (fА)х = fх1, или f(Ах) = fх1. Отсюда х 1 = А х (33).

Следствие. Если в линейных пространствах Ln и Lm зафиксированы базисы, то каждому линейному оператору, действующему из Ln в Lm соответствует единственная матрица размерности mn с элементами из поля Р. Теорема 34. Если в линейных пространствах Ln и Lm зафиксированы базисы, то каждая матрица размерности mn с элементами из поля Р является матрицей одного и только одного линейного оператора, действующего из Ln в Lm .

Доказательство. Пусть дана матрица А = с элементами из

поля Р и пусть Ln и Lm – линейные пространства над полем Р. Зафиксируем в Ln и Lm

базисы е = (е1, е2, … , еn ) и f = (f1, f2, … , fm ) соответственно. В пространстве Lm

зададим векторы а1 = (11, 21, … , m1), а2 = (12, 22, … , m2), … , аn (1n, 2n ,… , mn ). Если искомый линейный оператор существует, то должно быть (ек) = ак для любого к = 1, 2, … , n . По теореме 31 такой оператор существует и только один.

Следствие. Между множеством линейных операторов, действующих из Ln в Lm , и множеством матриц размерности mn с элементами из поля Р устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Если в Ln и Lm зафиксированы базисы е = (е1, е2, … , еn ) и f = (f1, f2, … , fm ), то при сложении линейных операторов складываются соответствующие им матрицы. Если линейный оператор умножить на элемент поля Р, то на этот элемент умножится и соответствующая матрица.

Следствие. Линейное пространство линейных операторов, действующих из Ln в Lm , изоморфно линейному пространству матриц размерности mn с элементами из поля Р.

Следствие. Размерность линейного пространства линейных операторов, действующих из Ln в Lm , равна mn .

6.4. Связь матриц линейного оператора в разных парах базисов Пусть даны два линейных пространства Ln и Lm над полем Р. Пусть в Ln

зафиксированы базисы е = (е1, е2, … , еn ) и е1 = (е11, е2

1, … , еn1 ), а в пространстве Lm –

базисы f = (f1, f2, … , fm ) и f1 = (f11, f2

1, … , fm1 ). Пусть : Ln Lm линейный оператор, А

– его матрица в паре базисов е и f и А1 – матрица этого же оператора в паре базисов е1

и f1. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е1, а Q – матрица перехода от f к f1. Тогда е1 = еТ, f1 = fQ , (е) = fА , (е1) = f1А1. Отсюда ( еТ) = ( fQ )А1, (е)Т = f(Q А1). Так как Т – матрица перехода, то она невырожденная, следовательно, существует матрица Т–1. Из последнего равенства получаем, что (е) = ( f(Q А1))Т–1 = f(Q А1Т–1). Но (е) = fА. Следовательно, А = Q А1Т–1, или А 1 = Q –1 А Т (34)

Пример. Даны два линейных пространства L3 и L5 . Пусть е = (е1, е2, е3) и f = (f1, f2, f3 , f4 , f5 ) – базисы в L3 и L5 соответственно. Пусть а1 = (1, 4, –1, 3, 0), а2 = (3, 0, 1, –3, 7), а3 = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L5 . Пусть линейный оператор : L3 L5 задан по правилу (х1е1 + х2е2 + х3е3 ) = х1а1 + х2а2 + х3а3. Составить матрицу оператора и найти образ вектора с = (5, –1, 3).

Решение. Для составления матрицы оператора достаточно найти координаты образов базисных элементов пространства L3 в базисе f пространства L5 . По данному правилу получим (е1) = 1а1 = (1, 4, –1, 3, 0), (е2) = 1а2 = (3, 0, 1, –3, 7), (е3) = 1а3 = (1, 1, 2, 2, 0). Составим матрицу, столбцами которой являются координаты найденных векторов.

А =

Координаты вектора (с) можно

найти по формуле (33), а именно, х1 = Ах .

= .

Итак, (с) = (5, 23, 0, 24, -7) в пространстве L5 . (Сравните с решением этого же примера в пункте 6.1.)

6.5. Линейные преобразования линейного пространства Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется

линейный оператор данного линейного пространства самого в себя. : L L

Всё, что было сказано о линейных операторах, очевидно, верно и для линейных преобразований, но некоторые формулы будут иметь более простой вид. Напомним формулы. 1. Если в пространстве Ln зафиксирован базис е = (е1, е2, … , еn ), то матрица А линейного преобразования : Ln Ln имеет вид

А = ,

столбцы которой – координаты образов базисных векторов е.

(35)

2. Формулы (35) в матричном виде имеют вид ( е ) = е А . 3. Связь столбцов координат вектора и его образа: х 1 = А х (36) 4. Если в пространстве Ln зафиксированы два базиса е = (е1, е2, … , еn) и е1 = (е1

1,е21, … ,

еn1) и Т – матрица перехода от е к е1, то связь матриц линейного преобразования в этих

базисах задаётся формулой А 1 = Т 1 А Т (37). Определение 36. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если

существует такая квадратная невырожденная матрица С, что В = С–1АС. 5. Матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны. 6. Теорема 35. Для любых двух подобных матриц А и В одного и того же порядка n над полем Р и любого линейного пространства Ln над полем Р в Ln существуют такие базисы е и е1, что данные матрицы будут задавать в этих базисах одно и то же линейное преобразование.

Доказательство. Пусть В = С–1АС. Зафиксируем в Ln какой-нибудь базис. Матрица А в этом базисе задаёт линейное преобразование (пусть это ). Так как матрица С невырожденная, то С–1 может быть матрицей перехода. Пусть е1 = еС–1. Тогда преобразование в базисе е1 будет иметь матрицу С–1А(С–1 )–1 = С–1АС = В. 7. dim ((Ln )) + dim (Ker ) = n. 8. Множество всех линейных преобразований пространства Ln есть тоже линейное пространство над тем же полем Р, что и пространство Ln .

Определение 37. Линейное пространство линейных преобразований линейного пространства Ln называется линейным пространством, сопряжённым пространству Ln . Пространство, сопряжённое Ln , обозначается Ln

. 9. Пространство Ln

изоморфно линейному пространству квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р. Следовательно, dim (Ln

) = n2.

6.6. Невырожденные линейные преобразования Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть : Ln

Ln – линейное преобразование. Если А –матрица этого преобразования в некотором базисе е, то в любом другом базисе задаётся матрицей, подобной А, т.е. матрицей вида А1 = ТАТ–1 . Так как матрица Т невырожденная, то rang (A1) = rang (A). Определение 38. Рангом линейного преобразования линейного пространства называется ранг его матрицы в любом базисе этого пространства. Определение 39. Линейное преобразование линейного пространства называется невырожденным, если его ранг равен размерности пространства.

Теорема 36. Линейное преобразование линейного пространства Ln является невырожденным тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: 1) (Ln ) = Ln ; 2) Ker() = 0; 3) – взаимнооднозначное отображение Ln на себя;4) при преобразовании различные векторы имеют различные образы.

6.7. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р, : Ln Ln – линейное

преобразование и А –матрица этого преобразования в некотором базисе е. Определение 40. Ненулевой вектор а называется собственным вектором преобразования , если (а) = а для некоторого Р. Элемент называется собственным значением преобразования . По определению собственного вектора, а – собственный вектор преобразования Р : (а) = а. Перепишем это равенство в координатах, получим Ах = х. Отсюда Ах – (Е)х = О, или (А –Е)х = О. Итак, а – собственный вектор преобразования столбец координат этого вектора является ненулевым решением уравнения (А –Е)х = О (38). Матрица (А –Е) называется характеристической матрицей для матрицы А. Матричное уравнение (38) перепишем в виде системы уравнений. Получим, что а – собственный вектор

(39)

преобразования (х1, х2, … , хn ) – ненулевое решение системы (39), при этом все хк принадлежат полю Р. Так как (39) система линейных однородных уравнений и число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, т.е.

(40)

имеет место равенство (40). Уравнение (40) называется характеристическим уравнением матрицы А. Определитель системы, т.е. А – Е , называется характеристическим многочленом матрицы А.

Корни характеристического многочлена называются характеристическими корнями матрицы А. ( Характеристический корень не всегда принадлежит полю Р). Множество всех характеристических корней матрицы А называется её спектром.

Согласно определению 40, Р. Пусть 0 Р и является характеристическим корнем матрицы А. При 0 система (39) имеет ненулевое решение, т. е. будет иметь собственный вектор и 0 будет собственным значением преобразования , заданного матрицей А.

Теорема 37. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы. Доказательство. Пусть В = С–1АС. Так как матрица Е перестановочна с любой

матрицей, то В – Е = С–1АС – Е = С–1АС – С–1 (Е)С = С–1(А – Е)С = С–1 А – Е С = А – Е .

Так как матрицы линейного преобразования в разных базисах подобны, то Следствие. Матрицы линейного преобразования в разных базисах имеют один и тот же

спектр.

Определение 41. Спектр матрицы линейного преобразования в каком-нибудь базисе называется спектром линейного преобразования.

Теорема 38. Собственными значениями линейного преобразования : Ln Ln , действующего в линейном пространстве над полем Р, являются характеристические корни этого преобразования, принадлежащие полю Р, и только они.

Доказательство этой теоремы вытекает из всего сказанного выше. Можно сформулировать следующие правила нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

1. Записать матрицу данного преобразования в некотором базисе. 2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни, принадлежащие полю Р

(т.е. найти собственные значения). 3. Если 0 – собственное значение, то составить систему

и найти её ненулевые решения.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования : L4 L4 (над полем R), если это преобразование в базисе е = (е1, е2, е3,е4) имеет матрицу А.

А = .

Решение. Составим характеристическое уравнение ().Используя теорему Лапласа, раскроем определитель, получим уравнение:

()

, (1 – )2 – 1(1– )(3 – ) – 6 = 0. Возможны два случая:

1) (1 – )2 – 1 = 0, 1 – = 1. Отсюда 1 = 0, 2 = 2.2) (1– )(3 – ) – 6 = 0, 2 – 4 – 3 = 0, 3 = , 4 = . Итак, характеристическое уравнение имеет четыре корня, все они действительные. Поэтому данное преобразование имеет четыре собственных значения. Для каждого из них составим систему уравнений для нахождения собственных векторов.

1) При = 0. Отсюда х2 = – х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения, получим

Отсюда

Решив последнюю систему, получим х4 = , х3 = . Если х1 = 3С, то х2 = –3С,

х3 = 13С, х4 = –11С, С – любое действительное число, отличное от нуля. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению = 0, являются все ненулевые векторы вида (3С, –3С, 13С, –11С ).

2) При = 2. Отсюда х2 = х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения.

Отсюда

Решив последнюю систему, получим х3 = , х4 = Если х1 = 7С, то х2 = 7С,

х3 = –15С, х4 = –11С, где С – любое отличное от нуля действительное число. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению = 2, являются все ненулевые векторы вида (7С, 7С, –15С, –11С ).

3) При = .

Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0.Подставив в третье и четвёртое

уравнения, получим

Из этой системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число.

Если х3 = 2С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2С,

).4) При = . Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0 .

Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим

Из полученной системы , х3 – любое отличное от нуля действительное

число. Если х3 = 2С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2С, (1 )С).

Свойства собственных векторов. 10. Если вектор а – собственный вектор преобразования , принадлежащий собственному значению и 0, то а – тоже собственный вектор, принадлежащий тому же собственному значению. Если (а ) = а, то (а) =(а) = (а) = (а). 20. Множество всех собственных векторов линейного преобразования : Ln Ln , принадлежащих одному и тому же собственному значению (если к ним добавить нулевой вектор), есть линейное подпространство в Ln . Пусть а и в два собственных вектора и (а ) = а, (в) = в. Тогда (а + в) = (а) + (в) = (а) + (в) = (а + в). 30. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы. Пусть (а ) = а, (в) = 1в, 1. Если бы а и в были бы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражался через другой пусть в = а. Так как в – собственный вектор, то 0. Тогда (в) = (а). Отсюда 1в = (а), 1(а) = (а), (1 – )а = 0. Но в левой части 0, 1 – 0, а 0. Противоречие. Следовательно, а и в – линейно независимы.40. Если в базисе е = (е1, е2, ... , ек, … , еn ) вектор ек – собственный вектор линейного

преобразования , принадлежащий собственному значению , то в к-ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к-го, стоят нули и акк = .

6.8. Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром

Теорема 39. Линейное преобразование линейного пространства Ln над полем Р имеет в базисе е = (е1, е2, ... , еn ) диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами преобразования .

Доказательство. Пусть матрица А линейного преобразования в базисе е – диагональная. Тогда (ек) = кек для любого к = 1, 2, … , n. Но это значит, что все базисные векторы – собственные.. Пусть все базисные векторы – собственные. Тогда (ек) = кек. Следовательно, в к-ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к-го, стоят нули и акк = к. Отсюда и следует, что матрица преобразования – диагональная.

Следствие. Квадратная матрица n-го порядка подобна диагональной тогда и только тогда, когда для соответствующего этой матрице линейного преобразования существует базис из собственных векторов.

Определение 42. Говорят, что линейное преобразование линейного пространства Ln над полем Р имеет простой спектр, если все его характеристические корни различны и принадлежат полю Р.

Теорема 40. Если линейное преобразование линейного пространства Ln над полем Р имеет простой спектр, то в Ln существует такой базис, в котором это преобразование имеет диагональную матрицу.

Теорема 41. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля Р . Если все характеристические корни матрицы А различны и принадлежат полю Р, то эта матрица подобна диагональной.

VII. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

7.1. Скалярное произведение векторов, его свойства. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств

Пусть L –линейное пространство над полем Р. В L определены две алгебраические операции: сложение векторов и умножение векторов на элементы поля Р, Введём ещё одну внутреннюю алгебраическую операцию, являющуюся обобщением скалярного произведения геометрических векторов. В основу определения этой операции положим те свойства скалярного произведения геометрических векторов, которые были получены в аналитической геометрии. При этом определения скалярного произведения в случае, когда поле Р является полем действительных чисел, отличается от случая, когда Р = С.

Определение 43а) Р = R

Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов а и в из L поставлено в соответствие число (а, в) R, удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам скалярного произведения):

1. (а, в) = (в, а) для любых а и в из L;

2. (а + в, с) = (а, с) + ( в, с) для любых а, в, с из L;

3. (а, в) = (а, в) для любых а и в из L и любого R;

4. (а, а) 0, если а 0; (а, а) = 0, если а = 0.

б) Р = С Будем говорить, что в комплексном

линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов а и в из L поставлено в соответствие число (а, в) С, удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам скалярного произведения):

1. = для любых а и из L; 2. (а + в, с) = (а, с) + ( в, с) для любых

а, в, с из L; 3. (а, в) = (а, в) для любых а и в из L и любого С;

4. (а, а) R и (а, а) 0, если а 0; (а, а) = 0, если а = 0.

Скалярное произведение векторов можно обозначать (а, в) или ав. Свойства скалярного произведения.

а) Р = R10. (а, в) = (а, в) для любых а и в из L и любого R;

20. ( а, в) = (а, в) для любых а и в из L и любых , Р;

30. ( а + в, с) = (а, с) + (в, с) для любых а, в и с из L и любых , , Р;

40. (а, 0) = 0 для любого вектора а L.

б) Р = С10. (а, в) = (а, в) для любых а и в из L и любого С; 20. ( а, в) = (а, в) для любых а и в из L и любых , С; 30. ( а + в, с) = (а, с) + (в, с)

для любых а, в и с из L и любых , , С;

40. (а, 0) = 0 для любого вектора а L.

Определение 44. Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется евклидовым пространством.

Определение 45. Комплексное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется унитарным пространством.

Так как и евклидово и унитарное пространства являются линейными пространствами, то для них верно всё то, что было сказано об этих пространствах. Но введение скалярного произведения позволяет ввести в этих пространствах метрику. В частности n-мерное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение векторов, называется n-мерным евклидовым (или унитарным) пространством. Евклидово n-мерное пространство будем обозначать Еn (унитарное пространство - Un).

Примеры евклидовых пространств. 1. Пусть L – множество всех непрерывных на промежутке [, ] действительных функций. Это множество является линейным пространством. Скалярное произведение определим по следующему правилу. Если f и g – две

непрерывные на [, ] функции, то пусть (f , g) = . Из

свойств определённого интеграла следует, что все требования определения 43 (а) выполняются. Следовательно, если в пространстве всех непрерывных на промежутке [, ] действительных функций ввести указанным способом скалярное произведение, то оно становится евклидовым пространством.

2. Пусть М2 – множество квадратных матриц с действительными элементами, это множество является линейным пространством на полем R. Определим скалярное

произведение формулой . Легко проверить, что

все требования определения 43 (а) выполняются. Множество М2 стало евклидовым пространством.3. Пусть М2 – множество квадратных матриц с комплексными элементами, это множество является линейным пространством на полем С. Определим скалярное произведение

формулой . Легко проверит, что все требования

определения 43 (б) выполняются. Получили пример унитарного пространства. Определение 46. Множество М элементов евклидова пространства Е называется

подпространством пространства Е, если оно само является евклидовым пространством относительно того же скалярного произведения, что и Е. Аналогично определяется подпространство унитарного пространства.

7.2. Матрица Грама в евклидовом пространстве Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2, ... , еn ) – базис в нём. Так как в Еn для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное

произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу

Г = (41)

Матрица Г называется матрицей Грама скалярного произведения для базиса е.Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления

скалярного произведения векторов, заданных координатами. Пусть в базисе е заданы векторы а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn , в = у1е1+ у2е2 + … + уnеn .

Тогда (а, в) = (х1е1 + х2е2 + … + хnеn)( у1е1+ у2е2 + … + уnеn) = = х ТГу, где

х Т– строка координат вектора а, у – столбец координат вектора в . Итак, (а, в) = х ТГу (42).

Свойства матрицы Грама.10. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали. Это следует из того, что (ек, еs ) = (еs , ек ).20. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны. Это следует из того, что ек 0 и, следовательно, (ек, ек ) 0.

30. Для матрицы Грама и любого n-мерного столбца х выполняется условие х ТГх 0. Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, удовлетворяющую условию х ТАх 0 для любого ненулевого столбца х, называют положительно определённой. Следовательно, матрица Грама положительно определённая.

40. Пусть е = (е1, е2, ... , еn ) и е1 = (е11, е2

1, ... , еn1 ) –два базиса в Еn , Г и Г1 – матрицы

Грама данного скалярного произведения в базисах е и е1 соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е1. Тогда (а, в) = х ТГу, х = Тх1, у = Ту1, х Т= (Тх1)Т= (х1)Т ТТ. Следовательно, (а, в) = ((х1)Т ТТ) Г (Ту1) = (х1)Т (ТТ Г Т ) у1. Но (а,в) = (х1)Т Г1 у1. Отсюда

Г1 = ТТ Г Т (43)Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

50. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак. Из формулы (42) следует Г1 = ТТ Г Т = Г Т 2. Так как |Т 2 0, то Г1 и

Г имеют одинаковые знаки. 60. Все главные миноры матрицы Грама строго положительны.

Примеры. 1. Во множестве М2 квадратных матриц с действительными элементами скалярное

произведение задано формулой . Найти матрицу Грама

этого произведения в базисе е1 = , е2 = , е3 = , е4 = .

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (е1, е1) = 1, (е1, е2) = (е2, е1) = 0, (е1, е3) = (е3, е1) = 0, (е1, е4) = (е4, е1) = 0, (е2, е2) = 1, (е2, е3) = (е3, е2) = 0, (е2, е4) = (е4, е2) = 0, (е3, е3) = 1, (е3, е4) = (е4, е3) = 0, (е4, е4) = 1. Следовательно,

Г = .

2. В пространстве R[х] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение

задано формулой , где и – фиксированные действительные числа, .

Составить матрицу Грама в базисе (1, х, х2, х3).

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = = –

,

(1, х) = (х, 1) = = ), (1, х2) = (х2, 1) = = ),

(1, х3) = (х3, 1) = = ), (х, х) = = ),

(х, х2) = (х2, х) = = ), (х, х3) = (х3, х) = = ),

(х2, х2) = = ), (х2, х3) = (х3, х2) = = ),

(х3, х3) = = ). Матрица Грама будет иметь вид:

Г = .

3. В базисе (е1, е2, е3) пространства Е3 скалярное произведение задано матрицей Грама Г

= . Найти скалярное произведение векторов а = (1, –5, 4) и в = (–3, 2, 7).

Решение. Используя формулу (41), получим (а, в) = (1, –5, 4) = 7.

7.3. Введение метрики в евклидовом пространстве Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение вектора

самого на себя назовём скалярным квадратом этого вектора, т.е. (а, а) = а2. По 4-ой аксиоме скалярного произведения а2 0.

Определение 47. Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора . т.е. а = (44)

Свойства длины вектора:1. Любой вектор а имеет длину и только одну, а 0.2. а = а для любого а Еn .3. Для любых векторов а и в из Еn верно неравенство ав а в.Доказательство. (а –в)2 = а2 – 2(а, в) + 2в2 0 для любого R. Так как

квадратный трёхчлен неотрицателен при любом значении , то его дискриминант неположителен, т.е. (а, в)2 – а2 в2 0, или (а, в)2 а2 в2. Отсюда ав а в (45). Знак равенства в этой формуле будет тогда и только тогда, когда векторы пропорциональны.

Определение 48. Вектор единичной длины называется единичным вектором или ортом.

40. Для любого ненулевого вектора существует пропорциональный с ним орт.

Если а 0, то а 0. Следовательно, существует вектор а0 = а. Очевидно, а0

=1.

Определение 49. Углом между ненулевыми векторами а и называется такое

действительное число , что (46).

Угол между векторами а и можно также обозначать .Свойства углов.10. Для любых двух ненулевых векторов угол между ними определён. Из формулы (44) следует, что Следовательно, существует.20. Если 0, 0, то . Определение 48. Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их

скалярное произведение равно нулю. Ортогональные векторы обозначаются а в.

30. Если а в, 0, 0, то (а) (в).40. Если а в и а с, то а ( в + с). Определение 50. Множество всех векторов пространства Еn, ортогональных вектору а,

к которому добавлен нулевой вектор, называется ортогональным дополнением вектора а.50. Ортогональное дополнение к вектору а является (n – 1)-мерным евклидовым

подпространством в Еn .Доказательство.

Из свойств 30 и 40 следует, что рассматриваемое множество L является линейным подпространством в Еn . Так как в Еn определено скалярное произведение, то оно определено и в ортогональном дополнении, следовательно, L является евклидовым подпространством. Кроме того, с L (а, с) = 0 (). Зафиксируем в Еn базис. Пусть а = (а1, а2, … , аn), с = (х1, х2, … , хn). Тогда с L а ТГх = 0 (). Уравнение () есть линейное однородное уравнение с n неизвестными. Фундаментальная система его решений состоит из (n – 1) решения. Следовательно, пространство решений уравнения () является (n – 1)-мерным.

Пусть Ек – подпространство пространства Еn. Обозначим Е множество, состоящее из нулевого вектора и всех векторов, ортогональных любому ненулевому вектору из Ек .Иными словами с Е (с, а) = 0 для всех а Ек . Пространство Е ортогональным дополнением к пространству Ек .

60. Ортогональное дополнение Е является (n – к)-мерным евклидовым подпространством в пространстве Еn .

Доказательство аналогично доказательству свойства 50.70. Е Ек = 0. 80. Любые два ортогональных вектора линейно независимы.Доказательство. Пусть а в. По определению эти векторы ненулевые. Предположим,

что они линейно зависимы, т.е. существует такая ненулевая пара , действительных чисел, что а + в = 0. Если 0, то умножим обе части последнего равенства скалярно на вектор а. Получим а2 + (а, в) = 0. Так как (а, в) = 0 и а2 0 , то = 0. Противоречие. Следовательно, а и в линейно независимы.

90. Если а1, а2, … , ак и в1, в2, … , вs – две системы линейно независимых векторов и каждый вектор первой системы ортогонален любому вектору второй, то система векторов а1, а2, … , ак и в1, в2, … , вs линейно независима.

Теорема 42. Для любого к (1 к n ) Еn = Е Ек . Доказательство. Пусть (е1, е2, ... , ек ) – базис в Ек и (ек +1, е к + 2, ... , еn ) – базис в Е .

Из свойства 90 следует, что (е1, е2, ... , ек, ек +1, е к + 2, ... , еn ) будет линейно независимой. Так как в ней n векторов, то это базис в Еn . Следовательно, Еn = Е + Ек . Из свойства 70 следует Еn = Е Ек .

Пусть Еn = Е Ек . Если а – любой вектор из Еn , то а = а1 + а2, где а1 Ек , а2 Е . Вектор а1 называется проекцией вектора а на подпространство Ек . Вектор а2 называется ортогональной составляющей вектора а.

7.4. Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве Определение 51. Базис е = (е1, е2, ... , еn) пространства Еn называется ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональные. Замечание. В примере 1 пункта 7.2 заданный базис является ортонормированным. Во втором примере этого пункта базис не ортонормированный. Если базисные векторы единичные, но не все попарно ортогональны, то базис называется нормированным. Если базисные векторы попарно ортогональны, но не все единичные, то базис называется ортогональным. Теорема 43. Любой базис евклидова пространства можно ортонормировать.

Доказательство. Пусть е = (е1, е2, ... , еn) – произвольный базис пространства Еn. Доказательство проведём в два этапа. Сначала на основе данного базиса получим ортогональный базис, а затем полученный базис нормируем. Пусть е1

1 = е1. Если е2 е1, то возьмём е21 = е2. Найдём коэффициент так, чтобы вектор

е21 = е1 + е2 был ортогонален вектору е1

1. Так как вектор е21 0, то для этого необходимо и

достаточно, чтобы (е11, е2

1 ) = 0, т.е. (е1, е1 + е2) = 0. Отсюда е12 + (е1, е2) = 0. Так как е1 0.

то Так как е11 и е2

1 ортогональны, то они линейно независимы. Вектор е31

будем искать в виде е31 = 1 е1

1 + 2 е21 + е3. Для того, чтобы е3

1 был ортогонален е11 и е2

1, необходимо и достаточно, чтобы (е1

1, е31) = (е2

1, е31) = 0. Получаем систему

Так как определитель этой системы отличен от нуля (по формуле 43) то система имеет и только одно решение. Следовательно,

вектор е31 найдётся и только один. Так как векторы е1

1, е21, е3

1 попарно ортогональны, то они линейно независимы. Если векторы е1

1, е21, … , еn–1

1 уже получены, то вектор еn1 будем

искать в виде еn1 = 1е1

1+ 2 е21 + … + n–1 еn–1

1 + еn . Так как вектор еn1 должен быть

ортогонален ко всем предыдущим, то для нахождения коэффициентов 1, 2, … , n–1 получим систему уравнений (е1

1, еn1) = (е2

1, еn1) = … = (еn–1

1, еn1) = 0. Можно показать, что эта система

всегда имеет решение и только одно. Итак, базис е1 = (е11, е2

1, ... , еn1) –ортогональный.

Разделив каждый полученный вектор на его длину, получим ортонормированный базис. Теорема 44. Скалярное произведение в ортонормированном базисе имеет единичную

матрицу Грама. Доказательство следует из того, что в ортонормированном базисе (ек, ек) =1, (ек, еs )= 0, если к s.

Следствие. Если вектор а в ортонормированном базисе имеет координаты (х1, х2,…, хn), то а= (47).

Теорема 45. Определитель матрицы Грама и все её главные угловые миноры строго положительны.

Доказательство. Пусть в данном (но произвольном) базисе матрица Грама имеет вид

Г = .

Пусть е = (е1, е2, ... , еn) ортонормированный базис и Т – матрица перехода от данного базиса к базису е. В базисе е матрица Грама – единичная. По формуле (41) Е = ТТГТ. Отсюда 1 = |Г ||Т |2. Так как |Т |2 0, то |Г | 0. Так как е1, е2, ... , ек – евклидово подпространство пространства Еn с тем

же скалярным произведением, то главный угловой минор матрицы Г будет для него матрицей Грама. Но тогда, по доказанному, этот минор положителен.

Примеры. Могут ли быть матрицами Грама следующие матрицы.

1. А = Матрица А не может быть матрицей Грама, так как в матрице Грама все диагональные элементы должны быть положительными.

2. В = Матрица В не может быть матрицей Грама, так как матрица Грама должна быть симметрична относительно главной диагонали.

3. С = Матрица С не может быть матрицей Грама, так как |С | = –81 0, а определитель матрицы Грама должен быть положителен.

4. D = Матрица D – симметрическая, диагональные элементы

положительны, |D| = 5 0, = 7 0. Следовательно, D

является матрицей Грама. Теорема 46. Если в ортонормированном базисе а = (х1, х2, … , хn) и в = (у1, у2, … , уn ),

то (а, в) = х1у1 + х2у2 + … + хnуn (48). Доказательство. В ортонормированном базисе скалярное произведение имеет

единичную матрицу, поэтому

(а, в) = хТЕу = хТу = (х1, х2, … , хn) = х1у1 + х2у2 + … + хnуn.

Пример. В пространстве Е4 задан ортонормированный базис и векторы а1= (2, 1, 1, 2) и а2 = (–3, 2, –5, 1). Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке L = а1, а2 .

Решение. Если L, то в L (а1, в) = (а2, в) = 0. Пусть в = (х1, х2, х3, х4). Так как базис ортонормированный, то (а1, в) = 2х1 + х2 + х3 + 2х4 , (а2, в) = –3х1 + 2х2 –5х3 + х4 .

Следовательно, в L Решая эту систему, получим, что

в = (–С1 –3С2 , С1 – 8С2 , С1 , 7С2), где С1 , С2 – любые действительные числа. Отсюда следует, что L - двумерное линейное пространство, натянутое на векторы

в1 = (–1, 1, 1, 0), в2 = (–3, –8, 0, 7), т.е. L = в1, в2 .

7.5. Изоморфизм евклидовых пространств Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е1 называются изоморфными,

если они изоморфны как линейные пространства и для любых двух пар соответствующих векторов а, а1 и в, в1 выполняется равенство (а, в) = (а1, в1).

Теорема 47. Два конечномерных евклидова пространства Е и Е1 изоморфны тогда и только тогда, когда dim E = dim E 1.

Доказательство. Пусть Е и Е1 изоморфны. Тогда они изоморфны и как линейные пространства. Из свойств изоморфизма линейных пространств следует, что dim E = dim E 1.

Пусть dim E = dim E 1 = n. Выберем в пространствах Е и Е1 ортонормированные базисы е = (е1, е2, ... , еn) и е1 = (е1

1, е21, ... , еn

1) соответственно. Зададим отображение : Е Е1 по следующему правилу. Если а Е и а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn, то пусть (а) = х1е1

1 + х2е21 + … + хnеn

1. Это отображение является, очевидно, изоморфизмом между линейными пространствами Е и Е1. Покажем, что при этом отображении сохраняется скалярное произведение векторов. Пусть в Е и в = у1е1+ у2е2 + … + уnеn . Тогда (в) =у1е1

1+ у2е21 + … + уnеn

1. Так как базис е ортонормированный, то (а,в)= х1у1 + х2у2 +…+

хnуn. Так как базис е1 ортонормированный, то ((а), (в)) = х1у1 + х2у2 + … + хnуn. Следовательно, (а,в) = ((а), (в)). Итак, - изоморфизм между Е и Е1.

Следствие. Если на конечномерном линейном пространстве различными способами задавать скалярные произведения, то все получающиеся при этом евклидовы пространства будут изоморфными.

VIII. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Так как евклидовы пространства являются линейными пространствами, то все свойства линейных преобразований линейных пространств верны и в евклидовых пространствах. Но все эти свойства связаны лишь с двумя алгебраическими операциями: сложением векторов и умножением вектора на элемент поля Р. В евклидовом пространстве есть ещё одна операция: скалярное умножение векторов. В зависимости от того как меняется скалярное произведение выделяются некоторые частные виды линейных преобразований.

8.1. Ортогональные линейные преобразования Определение 53. Линейное преобразование евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов а и в из Е выполняется условие ( а, в ) = ( ( а ), ( в )) (49)

Свойства ортогональных преобразований.Пусть – ортогональное преобразование пространства Е.

10. | а| = |(а)| для любого вектора а.| а| = = = | (а)|.

20. = для любых векторов а и . 30. Пусть Еn конечномерное евклидово пространство, е = (е1, е2, ... , еn) – базис в нём, А – матрица преобразования и Г – матрица Грама в этом базисе. Тогда (а) = Ах, () = Ау, где х и у –столбцы координат векторов а и соответственно; (а, ) = хТГу, ((а), ( )) = (Ах)ТГ( Ау) = хТ(АТГА)у. Так как (а, ) = ((а), ( )), то Г = АТГА. Итак, матрица ортогонального преобразования удовлетворяет условию

Г = АТГА (50) Справедливо и обратное. Если в Еn зафиксирован базис и Г – матрица Грама в этом

базисе, то матрица А, удовлетворяющая условию (48), задаёт ортогональное преобразование. Если базис е = (е1, е2, ... , еn) ортонормированный, то Г = Е и формула (50) примет вид

АТ А = Е, или АТ = А–1. Определение 54. Квадратная матрица А называется ортогональной, если

АТ = А–1 (51). Теорема 48. Линейное преобразование евклидова пространства является

ортогональным тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе оно задаётся ортогональной матрицей.

Доказательство следует из свойства 30 и определения 53. Теорема 49. Квадратная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда

сумма квадратов всех элементов любого столбца (или строки) равна 1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов двух различных столбцов (или строк) равна нулю.

Доказательство следует из формулы 51. Теорема 50. Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным

тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный базис.

Доказательство. Пусть : Еn Еn ортогональное преобразование и пусть е = (е1, е2, ... , еn) ортонормированный базис в Еn . Если А – матрица этого преобразования в базисе е, то А – ортогональная. Но тогда (е) = еА. Распишем это равенство, если

А = .

Получим (ек) = а1ке1 + а2ке2 + … + аnкеn . Так как базис е ортонормированный, то ((ек))2 = = (ек)2 = 1, т.е. все векторы (ек) единичной длины. По той же причине ((ек), (ер)) = а1ка1р + а2ка2р + … + аnкаnр = (ек , ер ) = 0,

если к р, т.е. (ек) (ер). Так как векторы системы (е) попарно ортогональны, то они линейно независимы, т.е. (е) – базис. Итак, (е) – ортонормированный базис.

Пусть е и (е) – ортонормированные базисы. Тогда 1 = ((ек))2 = и 0 = ((ек), (ер)) = а1ка1р + а2ка2р + … + аnкаnр при к р. Следовательно, по теореме 49, матрица А – ортогональная.

Теорема 51. Если матрица А ортогональная, то |А | = 1. Действительно, если матрица А ортогональная, то АТ А = Е. Отсюда |АТА | = |Е |, |

АТ|| А| = 1, |А||А| = 1, |А|2 = 1, |А| = 1. Теорема 52. Собственные значения ортогонального преобразования могут быть только

1 или (–1). Доказательство. Пусть – собственное значение ортогонального преобразования .

Тогда существует такой ненулевой вектор (х1, х2, … , хn )Т, что Ах = х, где А – матрица преобразования . Равенство транспонируем и перейдём к сопряжённым числам, получим . Перемножим почленно оба равенства.

. Так как А – действительная ортогональная матрица, то . Следовательно, . Отсюда , т.е. ||2 = 1. Но

это и значит, что собственными значениями могут быть только числа 1 и (–1).

Теорема53. Собственные векторы ортогонального преобразования, принадлежащие различным собственным значениям ортогональны.

Доказательство. Для любых а и в из Еn имеет место (а, в) = ((а), (в)) = (1а, 2в) = = 12(а, в). Так как 1 2, то, согласно предыдущей теоремы, 1 =1, 2 = –1. Следовательно, (а, в) = – (а, в). Отсюда (а, в) = 0. Так как а и в не нулевые, то они ортогональные.

8.2. Сопряженные линейные преобразования Пусть - линейное преобразование евклидова пространства Еn . Определение 55. Линейное преобразование : Еn Еn называется сопряжённым к

преобразованию , если для любых двух векторов а и в из Еn выполняется условие (а, (в)) = ((а), в) (52)

Теорема 54. Матрицы сопряжённых преобразований связаны формулой А = Г–

1(А)ТГ. Пусть в Еn зафиксирован базис е = (е1, е2, ... , еn), Г – матрица Грама, А – матрица

преобразования и А – матрица . Если х, у, у1 и х – столбцы координат векторов а, в, (в) и (а)) соответственно, то (а, (в)) = хТГ у1, ((а), в) = (х)ТГ у. Используя равенство (52), получим хТГ у1 = хГ у. Используя связь координат вектора и его образа (формула (36)), получим у1 = Ау, х = А х. Подставим в предыдущее равенство: хТГ(Ау) = (Ах)ТГу , хТ(ГА)у = хТ((А)ТГ)у. Отсюда ГА = (А)ТГ , или А = Г–1(А)ТГ (53)

Следствие 1. А = Г–1АТГ (54). Доказательство. Из формулы (53) следует, что (А)Т = ГАГ–1, А = (Г–1)ТАТГТ.

Так как Г – симметрическая матрица, то ГТ = Г. Следовательно, А = Г–1АТГ . Следствие 2. Сопряжённость линейных преобразований взаимна. Доказательство следует из формул 53 и 54. Следствие 3. Если базис ортонормированный, то А = АТ. Доказательство следует из того, что в ортонормированном базисе Г = Е. Пример. В базисе е = (е1, е2, е3 , е4) пространства Е4 скалярное произведение задано

матрицей Грама Г = . Пусть А = – матрица линейного

преобразования в этом базисе. Найти матрицу сопряжённого преобразования.

Решение. Легко проверить, что Г удовлетворяет всем требованиям матрицы Грама. Используем формулу (54). Из неё А = Г–1АТГ. Нужно найти матрицу Г–1. Проверьте, что

Г–1 = . Итак,

А = = .

Теорема 55. Если некоторое подпространство L евклидова пространства Еn

инвариантно относительно линейного преобразования , то ортогональное дополнение L

инвариантно относительно сопряжённого преобразования . Доказательство. Пусть а L , в L. Тогда из условия (а) L следует, что

(в, (а)) = 0. Но (в, (а)) = ((в), а). Следовательно, ((в), а) для любого вектора а L. Следовательно, (в) L для любого вектора в L. Но это и означает, что подпространство L инвариантно относительно .

8.3. Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования Определение 56. Линейное преобразование называется самосопряжённым, если оно

совпадает со своим сопряжённым преобразованием ( - самосопряжённое = ). Из формулы (52) следует, что линейное преобразование евклидова пространства

будет самосопряжённым тогда и только тогда, когда (а, (в)) = ((а), в) (55). Пусть в Еn зафиксирован базис е = (е1, е2, ... , еn), Г – матрица Грама и А – матрица самосопряжённого преобразования . В этом случае А = А и формула (53) будет иметь вид: А = Г–1АТГ . Если базис ортонормированный, то А = АТ, т.е. матрица А – симметрическая. Итак, верна

Теорема 56. Линейное преобразование является самосопряжённым тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе оно задаётся симметрической матрицей.

Теорема 56 объясняет тот факт, что самосопряжённое преобразование называют также симметрическим.

Отметим некоторые свойства симметрических преобразований. 10. Тождественное преобразование является симметрическим.

Действительно, тождественное преобразование в любом базисе задается единичной матрицей. Но единичная матрица – симметрическая.

20. Сумма симметрических преобразований есть преобразование симметрическое. Это утверждение следует из того, что сумма двух симметрических матриц есть

матрица симметрическая. 30. Произведение симметрического преобразования на действительное число есть

симметрическое преобразование. Действительно, если симметрическую матрицу умножить на действительное число, то

получится симметрическая матрица. 40. Если симметрическое преобразование имеет обратное преобразование –1, то –1 –

симметрическое преобразование. Это свойство тоже следует из свойств симметрических матриц. 50. Если линейные преобразования и евклидова пространства симметрические, то

их произведение будет симметрическим преобразованием тогда и только тогда, когда они перестановочны, т.е. = .

Действительно, для симметрических преобразований и имеем () = = . будет симметрическим тогда и только тогда (по определению), когда () = . отсюда следует, что будет симметрическим тогда и только тогда, когда = .

60. Пусть симметрическое преобразование евклидова пространства Е. Если Н – инвариантное подпространство преобразования , то и ортогональное дополнение Н

является инвариантным подпространством преобразования . Это свойство следует из соответствующего свойства преобразования . Теорема 57. Все корни характеристического многочлена симметрического

преобразования действительные. Доказательство. Пусть в пространстве Еn зафиксирован ортонормированный базис е,

пусть симметрическое преобразование и А – его матрица в базисе е. Матрица А – симметрическая. Пусть 0 – произвольный корень характеристического многочлена |А – Е |. Однородная система уравнений (А –0Е )х = 0 имеет ненулевые решения, ибо определитель её равен нулю. Эти решения могут быть и комплексные. Пусть х = (х1, х2, …, хn )Т – одно из таких решений. Тогда Ах = 0х. Умножим обе части этого матичного уравнения на строку Т , получим ТАх =0 Тх (). Вычисляя Тх, получим Тх =

. Отсюда следует, что Тх действительное число, не равное нулю. Покажем, что, если матрица А симметрическая, то число ТАх тоже действительное. Число ТАх можно рассматривать как квадратную матрицу первого порядка. Такая матрица не меняется при транспонировании, т.е. ТАх = ( ТАх)Т = хТАТ = хТА . Кроме того . В двух последних равенствах правые части одинаковы, следовательно, равны и левые части, т.е. ТАх = . Следовательно, число ТАх действительное. Из равенства () следует, что 0 – действительное число.

Следствие 1. Все характеристические корни симметрической матрицы А являются действительными.

Следствие 2. Симметрическое преобразование евклидова пространства имеет собственные векторы.

Теорема 58. Собственные векторы симметрического преобразования, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть – симметрическое преобразование евклидова пространства Еn, 1, 2, = его собственные значения и 1 2 . Пусть а и в – собственные векторы, принадлежащие собственным значениям 1 и 2 соответственно. Тогда (а) = 1а, (в) = 2в. По определению симметрического преобразования (а, (в)) = ((а), в). Отсюда (а, 2в) = (1а, в), 2(а, в) = 1(а, в), (1 – 2)(а, в) = 0. Так как 1 2 , то (а, в) = 0. Так как собственные векторы не нулевые, то а в.

Теорема 59. Линейное преобразование : Еn Еn является симметрическим тогда и только тогда, когда в Еn существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования .

Доказательство. Пусть е = (е1, е2, ..., еn) – ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования . В этом случае (ек) = кek для любого к = 1, 2, …, n. Следовательно, в данном базисе преобразование имеет диагональную, а поэтому и симметрическую матрицу, т.е. – симметрическое преобразование.

Пусть линейное преобразование : Еn Еn симметрическое. Доказательство проведём методом математической индукции. При n = 1 каждый вектор отображается на пропорциональный ему вектор, т.е каждый вектор является собственным. Поэтому есть базис из собственных векторов.

Предположим, что утверждение теоремы верно для евклидова пространства размерности (n – 1). Пусть Еn – евклидово пространство размерности n. По следствию 2 теоремы 54 имеет собственные векторы. Пусть е1 – собственный вектор, принадлежащий собственному значению 1. Можно считать, что этот вектор единичный, иначе его можно нормировать. Пусть Е1 = е1. Очевидно, (Е1) = Е1. Ортогональное дополнение Е1

Т тоже будет инвариантным относительно . Так как dim Е1

Т = n – 1, то в Е1Т существует

ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования . Пусть это ( е2, ..., еn). Но тогда (е1, е2, ..., еn) – ортонормированный базис из собственных векторов в пространстве Еn .

Из доказанной теоремы вытекает следующее утверждение. Теорема 60. Любая симметрическая матрица А приводится к диагональному виду с

помощью ортогональной матрицы. Доказательство. Пусть А – симметрическая матрица. Её можно рассматривать как

матрицу некоторого симметрического преобразования в ортонормированном базисе е = (е1, е2, ..., еn) пространства Еn . По теореме 56 в Еn существует ортонормированный базис е1 = (е1

1, е21, ..., еn

1), состоящий из собственных векторов преобразования . Если А1 – матрица в базисе е1, то А1 – диагональная. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е1. Тогда Т – ортогональная и А1 = Т–1АТ.

Пример. Привести к диагональному виду матрицу

А =

.

Решение. Характеристический многочлен матрицы А

= ( – 1)3( + 3)

имеет корни 1 = 2 = 3 = 1, 4 = – 3. Все они являются собственными значениями матрицы А. Найдём соответствующие собственные векторы.

При = 1 получаем систему уравненийРанг этой системы равен 1, поэтому фундаментальная системы состоит из 3-х решений, например, а1 = (1, 1, 0, 0), а2 = (1, 0, 1, 0), а3 = ( –1, 0, 0, 1). Полученную систему векторов нужно ортонормировать. Для этого нужно задать матрицу Грама. Так как скалярное произведение любое, то зададим Г = Е. Тогда получим

следующую ортонормированную систему:

е11 = е2

1 = , е3

1 = .

При = –3 получаем систему уравнений Ранг этой системы равен 3, поэтому фундаментальная системы состоит из 1-го решения, например, а4 = (1, –1, –1, 1). Нормируя

его, получим е41 = (1, –1, –1, 1).

Система векторов е11, е2

1, е31, е4

1 – ортонормированный базис из

собственных векторов. Матрица перехода от исходного базиса к базису е1 будет

Т = . Т–1 = .

А = ТА1Т–1 = .

. Теорема 62. Для любого линейного преобразования : Еn Еn преобразования и

являются неотрицательными, т.е. эти преобразования симметрические, а все их собственные значения – неотрицательные числа.

Доказательство. () = () = . Следовательно, – симметрическое преобразование. Пусть – собственное значение преобразования и а – соответствующий собственный вектор. Тогда (()(а), а) = (((а),а) = ((а), (а)) = =(а)2. С другой стороны, (()(а), а) = (а, а) = а2. Следовательно, (а)2 = а2. Так как а 0, то 0. Для преобразования рассуждения аналогичны. Определение 57. Симметрическое линейное преобразование называется положительно определённым, если для любого ненулевого вектора а выполняется неравенство (а, (а)) 0.

Теорема 61. Симметрическое преобразование является положительно определённым тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительные.

Доказательство. Пусть симметрическое преобразование является положительно определённым. Тогда (а, (а)) 0 для любого вектора, в частности для любого собственного вектора. Но если а – собственный вектор, то (а) = а. Следовательно, 0 (а, а) = (а, а). Так как для ненулевого вектора (а, а) 0, то 0. Пусть все собственные значения симметрического преобразования положительные. Выберем в пространстве Еn базис е = (е1, е2, ... , еn), состоящий из собственных векторов

этого преобразования. Если а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn , то (а, (а)) = ( =

. Если а 0, то (а, (а)) 0, т.е. преобразование

положительно определённое. Замечание. Симметрическое линейное преобразование называется неотрицательным,

если для любого ненулевого вектора а выполняется неравенство (а, (а)) 0.Симметрическое линейное преобразование называется отрицательно определённым, если для любого ненулевого вектора а выполняется неравенство (а, (а)) 0любого вектора а получим (а, (а)) = ((а), (а)) 0. Следовательно, преобразование неотрицательное.

IX. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

9.1. Линейные формы Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и f –линейное отображение

пространства Ln в поле Р (f : Ln Р). Определение 58. Линейное отображение f : Ln Р называется линейной функцией

или линейной формой, заданной на Ln . Если е = (е1, е2, ... , еn) – базис в Ln , а – любой вектор из Ln , то а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn, где х1, х2, … , хn – любые элементы поля Р. Если f (ек) = к , то f (а) = 1х1 + 2х2 + … + n хn . Следовательно, любую линейную форму можно задать в виде 1х1 + 2х2 + … + n хn .

Легко показать, что множество всех линейных форм f : Ln Р является линейным пространством над полем Р.

9.2. Билинейные формы Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р . Определение 59. Отображение f : (Ln Ln ) Р называется билинейной формой (или

билинейной функцией), заданной на Ln , если для любых векторов а, в, с и любого элемента Р выполняются условия: f (а + в, с) = f (а, с) + f (в, с) ; f (а, в + с ) = f (а, в) + f (а, с); f (а) = f (а).(Иными словами, билинейная форма линейна по обоим переменным.)

Пусть в Ln зафиксирован базис е = (е1, е2, ... , еn), а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn, в = у1е1 + у2е2 + … + уnеn, f (ек , ер) = кр . Тогда из определения 58 следует

f (а, в) = f ( ) = = , где кр – элементы

поля Р.

Итак, f (а, в) = (55) – запись билинейной формы в координатах.

Матрица А =

называется матрицей данной билинейной формы. Если х и у – столбцы координат векторов а и в, то билинейную форму можно записать в матричном виде:

f (а, в) = хТ А у (56) Если е1 = (е1

1, е21, ... , еn

1) – другой базис в Ln и Т – матрица перехода от базиса е к базису е1, то столбцы координат векторов а и в в этих базисах связаны формулами х = Тх1, у =Ту1. Подставив в формулу (56), получим f (а, в) = (Тх1)Т А (Ту1) = (х1)Т(ТТАТ)у1. Следовательно, матрицы билинейной формы в разных базисах связаны формулой

А1 = ТТАТ (57) Определение 60. Билинейная форма называется симметрической, если

f (а, в) = f ( в, а) для любых векторов а и в. (57) Очевидно, верно следующее утверждение: Теорема 62. Билинейная форма является симметрической тогда и только тогда, когда

она в любом базисе имеет симметрическую матрицу. Теорема 63. В любом базисе евклидова пространства Еn скалярное произведение

векторов задаётся симметрической билинейной формой. Доказательство. По формуле (42) скалярное произведение векторов а и в равно

(а, в) = х ТГу. Матрица Г – симметрическая, поэтому, согласно формуле (56), скалярное произведение задано симметрической билинейной формой.

9.3. Квадратичные формы Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (а, в).

Определение 61. Симметрическая билинейная форма f (а, в) при условии а = в называется квадратичной формой, заданной на Ln ((а) = f(а, в) ). При этом f(а, в) и (а) называются соответствующими друг другу.

Если в пространстве Ln задан базис е = (е1, е2, … , еn) и а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn, то, используя формулу (55), получим запись квадратичной формы в координатах

(а) = (59)

Матрица квадратичной формы совпадает с матрицей соответствующей симметрической билинейной формы. Квадратичная форма в матричном виде запишется

(а) = хТ А х (60)

Если в пространстве Ln зафиксирован базис, то между всеми квадратичными формами, заданными на Ln и всеми симметрическими квадратными матрицами порядка n устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Сумма двух квадратичных форм является квадратичной формой. При умножении квадратичной формы на элемент поля Р получается тоже квадратичная форма. При сложении квадратичных форм складываются их матрицы. Если форма умножается на элемент поля Р, то на этот же элемент умножается и её матрица. Следовательно, множество всех квадратичных форм, заданных на Ln , есть линейное пространство, изоморфное линейному пространству квадратных симметрических

матриц порядка n. Размерность этого пространства равна .

Так как квадратичная форма и соответствующая симметрическая билинейная форма имеют одну и ту же матрицу, то связь матриц А и А1 в разных базисах задаётся формулой (56), т.е. А1 = ТТАТ , где Т – матрица перехода от первого базиса ко второму, ТТ – матрица, транспонированная для матрицы Т. Следовательно, в разных базисах квадратичная форма имеет более или менее сложные матрицы, а поэтому более или менее сложную запись в координатах. Поэтому возникает задача: найти в пространстве Ln такой базис, в котором квадратичная форма имела бы наиболее простой вид.

Определение 62. Если (а) = 1х12 + 2х2

2 + … + n хn2, то говорят, что квадратичная

форма (а) имеет канонический вид. Если поле Р есть поле рациональных или действительных чисел и

(а) = х12 + х2

2 + … + хк2 – хк+1

2 – … – хr2,

то говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид. В случае, когда Р = С нормальным видом квадратичной формы называют (а) = х1

2 + х22 + …+ хк

2 + хк+12 + .+ хr

2. Теорема 64. Всякая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного

преобразования (преобразования координат) может быть приведена к каноническому виду. Доказательство. Пусть (а) – квадратичная форма, заданная на пространстве Ln .

Пусть в Ln задан базис е и пусть в этом базисе (а) = хТ А х . Матрица А –симметрическая, поэтому по теореме 60 существует такая ортогональная матрица Т, что матрица А1 = Т–1АТ будет диагональной, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А (они все – действительные числа). Так как ортогональная матрица невырожденная, то существует такой базис е1, что Т будет матрицей перехода от базиса е к базису е1. Так как для ортогональной матрицы Т –1 = Т Т, то А1 – матрица данной формы в базисе е1. Итак, в базисе е1 данная форма имеет канонический вид.

Замечание. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду описано в примере пункта 8.3.

Теорема 65. Всякую квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду.

Доказательство. В теореме 64 доказано, что квадратичную форму можно привести к каноническому виду. Перенумеровав, если нужно переменные, будем считать, что первые r коэффициентов в каноническом виде отличны от нуля, а остальные (n – r) равны нулю. 1) В случае, когда Р = С сделаем преобразование координат по формулам ().

()

Так как определитель этих формул отличен от нуля, то они задают преобразование координат. В новых координатах

(а) = у12 + у2

2 + … + уr2.

Получили комплексный нормальный вид квадратичной формы. 2) Если Р = R , т.е. (а) – действительная квадратичная форма, то в каноническом виде запишем сначала члены с положительными коэффициентами, затем – с отрицательными и, наконец, с нулевыми.

()

(а) = 1х12 + 2х2

2 + … + к хк2 – к+1хк+1

2 – … – rхr2

Сделаем преобразование координат по формулам (), получим(а) = у1

2 + у22 + … + ук

2 – ук+12 – … – уr

2 .Но это и есть нормальный вид действительной квадратичной формы.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму = 2х1х2 + 2х1х3 – 2х1х4 – 2х2х3 + 2х2х4 + 2х3х4 .

Решение. Матрица данной квадратичной формы

А =

Для решения задачи эту матрицу нужно привести к диагональному виду. Это было сделано в примере пункта 8.3. Собственные значения этой матрицы 1 = 2 = 3 = 1, 4 = – 3. Базис из собственных векторов был найден

е11 = е2

1 = ,

А1 = е3

1 = , е4

1 = (1, –1, –1, 1).

В этом базисе квадратичная форма будет иметь матрицу А1. Матрицей перехода от исходного базиса к базису е1

будет матрица Т.

Т =

Следовательно, форма будет иметь следующий канонический вид

= х12 + х2

2 + х32 – 3х4

2.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов

Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана

квадратичная форма (а) = . Если n = 1, то форма уже имеет канонический

вид, поэтому рассуждение можно вести индукцией по числу переменных. Пусть форму можно привести к каноническому виду, если число переменных не более (n – 1). Докажем его для n переменных. Возможны два случая.

1) Все коэффициенты кк = 0. Если все коэффициенты равны 0, то можно считать, что форма имеет канонический вид. Поэтому пусть хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Не нарушая общности, можно считать, что 12 0. Сделаем преобразование координат: х1 = у1 – у2 , х2 = у1 + у2 , х3 = у3 , … , хn = уn . В новых координатах (а) = 12у1

2 – 12у22 + , где не будет содержать у1

2 и у22, поэтому эти слагаемые ни с

чем проведены быть не могут. Следовательно, достаточно рассмотреть случай 2) Хотя бы один коэффициент при квадратах переменных отличен от нуля. Пусть

11 0. Соберём в форме (а) все слагаемые, содержащие х1, вынесем 11 за скобки, дополним полученную скобку до полного квадрата и компенсируем сделанные добавки.

11( )

+ + (х2, х3, … ,хn), где (х2, х3, … ,хn) – квадратичная форма от (n – 1) переменной. По предположению индукции форму (х2, х3, … ,хn) можно с помощью преобразования координат (х2, х3, … ,хn) привести к каноническому виду. Дополнив это преобразование

формулой у1 = , получим, что (а) = .

Рассмотрим этот способ упрощения квадратичной формы на примере. Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

1) = 3 х 12 + 5х2

2 + х32 – 6 х 1х2 + 9 х 1х3 – 7х2х3 .

Решение. Коэффициент при х12 отличен от нуля, поэтому соберём слагаемые,

содержащие х1 (они подчёркнуты), вынесем за скобки коэффициент при х12 (т.е. 3) и

дополним выражение в скобках до полного квадрата (за скобками компенсируем то, что добавили в скобках), получим

= 3(х12 – 2х1х2 + 3х1х3 + х2

2 + х32 – 3х2х3) – 3х2

2 – х32 + 9х2х3 + 5х2

2 + х32 – 7х2х3 =

= 3(х1 – х2 + х3)2 +2 х 22 – х3

2 + 2 х 2х3. Так как коэффициент при х22 отличен от нуля, то соберём

слагаемые, содержащие х2, вынесем коэффициент при х22 за скобку и дополним выражение в

скобках до полного квадрата. Получим

= 3(х1 – х2 + х3)2 +2(х22 + х2х3 + х3

2) – х32 – х3

2 =3(х1 – х2 + х3)2 + 2(х2 + х3)2 – х32.

Сделаем преобразование координат:

у1 = х1 – х2 + х3 , у2 = х2 + х3 , у3 = х3. В новых координатах получим, что

= 3у12 + 2у2

2 – у32.

Если квадратичная форма задана над полем действительных чисел, то сделав ещё одно

преобразование координат: z1 = у1, z2 = у2 , z3 = у3 , получим нормальный вид

данной формы = z12 + z2

2 – z32.

2) = х1х3 + 2х2х3 + 4х3х4 . Решение. Так как данная квадратичная форма не содержит квадратов переменных, то

сначала сделаем преобразование координат по формулам: х1 =у1 – у3, х2 =у2, х3 =у1 + у3, х4= у4. Получим = (у1– у3)( у1 + у3) + 2у2(у1– у3) + 4(у1 + у3)у4 = у1

2– у32 + 2у1у2 + 4у1у4 –2у2у3 + 4у3у4.

Соберём слагаемые с у1 (коэффициент при у12 равен 1, поэтому ничего за скобки выносить не

надо). Получим = (у12+ 2у1у2 + 4у1у4 + у2

2 +4у42+4у2у4) – у2

2– 4у42– 4 у 2у4 – у3

2– 2 у 2у3 + 4у3у4 = = (у1 + у2 + 2у4)2 – (у2

2 + 2у2у3 + 4у2у4 + у32 + 4у4

2 + 4у3у4) + у32+ 4у4

2 + 4у3у4 – 4у42– у3

2 + 4у3у4 = = (у1 + у2 + 2у4)2 – (у2 + у3 + 2у4)2 + 4у3у4. Для преобразования последнего слагаемого снова

нужно положить у3 = z3 – z4, у4 = z3 + z4. Отсюда z3 = , z4 = . Итак,

сделаем преобразование координат по формулам:

z1 = у1 + у2 + 2у4 , z2 = у2 + у3 + 2у4 , z3 = , z4 = . В новых координатах

= z12 – z2

2 + 4z32 – 4z4

2. Получили канонический вид данной квадратичной формы над полем действительных чисел.

9.4. Закон инерции квадратичных форм Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными

невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает

вопрос: как связаны между собой различные нормальные виды одной и той же квадратичной формы.

Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма (а). Пусть в Ln задан базис е = (е1, е2, … , еn) и пусть А – матрица данной формы в этом базисе. Пусть е1 = (е1

1, е21, … , еn

1) – один из базисов, в котором (а) имеет канонический вид, и Т матрица перехода от базиса е к базису е1. В базисе е1 форма (а) имеет диагональную матрицу А1. По формуле (56) А1 = ТТАТ. Матрицы Т и ТТ

невырожденные. Умножение матрицы А на невырожденную матрицу не меняет ранга матрицы А, следовательно, rang A = rang A1, т.е. в любом базисе матрица квадратичной формы имеет один и тот же ранг.

Определение 63. Рангом квадратичной формы, заданной на линейном пространстве Ln

называется ранг её матрицы в любом базисе этого пространства. Так как ранг диагональной матрицы равен числу отличных от нуля диагональных

элементов, то любой канонический вид данной квадратичной формы содержит одно и тоже число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Это число равно рангу формы. Следовательно, доказано утверждение :

Теорема 66. Комплексная квадратичная форма любым невырожденным линейным преобразованием приводится к одному и тому же нормальному виду, состоящему из r квадратов переменных с единичными коэффициентами, т.е. = х1

2 + х22 + … + хr

2. Если поле Р есть поле действительных чисел, то нормальный вид квадратичной формы

будет (а) = х12 + х2

2 + … + хк2 – хк+1

2 – … – хr2.

Определение 64. Число квадратов переменных, входящих с коэффициентом (+1) в нормальный вид действительной квадратичной формы, называется положительным индексом инерции этой формы. Число квадратов с коэффициентом (–1) называется отрицательным индексом инерции, разность между числом переменных и рангом квадратичной формы (т.е. n – r) называется её дефектом.

Теорема 67 (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным невырожденным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.

Доказательство. Пусть (а) – квадратичная форма, заданная в базисе е = (е1, е2, … , еn) линейного пространства Ln над полем R, а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn. Пусть эта форма приведена двумя способами к двум нормальным видам. Согласно предыдущим результатам оба этих нормальных вида содержат одинаковое число квадратов переменных с ненулевыми коэффициентами. Пусть

= у12 + у2

2 + … + ук2 – ук+1

2 – … – уr2 =

= z12 + z2

2 + … + zр2 – zр+1

2 – … – zr2. ()

Пусть уі = , і = 1, 2, … , n (), и zј = , ј = 1, 2, … , n ().

Так как эти формулы задают невырожденные преобразования, то их определители отличны от нуля. Достаточно доказать, что к = р. Предположим, что к р. Не нарушая общности, можно считать, что к р. Составим систему уравнений у1 = у2 = … = ук = zр+1 = … = zr = zr+1

= … = zn = 0. Это система n – р + к линейных однородных уравнений от n неизвестных. Так как число уравнений меньше числа неизвестных, то она имеет ненулевые решения. Пусть (х1

0, х20, … , хn

0 ) – одно из них. Подставив это решение в формулы () и (), вычислим все уі и zј и подставим их в равенство (). Получим –(ук+1

0)2 – … – (уr0)2 = (z1

0)2 + (z20)2 + … +

(zр0)2. Это равенство возможно тогда и только тогда, когда ук+1

0 = … = уr0 = z1

0 = z20 = … = zр

0

= 0. Получили, что система z1 = z2 = … = zр = zр+1 = … = zr = zr+1 = … = zn = 0 имеет ненулевое решение (х1

0, х20, … , хn

0 ), что невозможно, т.к. ранг этой системы равен n. Итак, наше предположение не верно. Следовательно, к = р.

9.5. Положительно определённые квадратичные формы

Определение 65. Действительная квадратичная форма называется положительно определённой, если для любого вектора а 0 имеет место (а) 0.

Теорема 68. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда её ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.

Доказательство. Пусть (а) – действительная положительно определённая квадратичная форма. Пусть она приводится к нормальному виду

у12 + у2

2 + … + ук2 – ук+1

2 – … – уr2 (),

в котором либо r n, либо r = n, но к n. Пусть преобразование координат, с помощью

которого форма приведена к нормальному виду, задаётся формулами уі = ().

Определитель этих формул отличен от нуля. Если r n, то возьмём у1 = у2 = … = уn–1 = 0, уn = 1 и подставим в (). Получим систему n линейных неоднородных уравнений с n неизвестными и с определителем, отличным от нуля. По правилу Крамера эта система имеет единственное решение. Очевидно, это решение не нулевое, поэтому определяет ненулевой вектор а. Но тогда (а) = 0, что противоречит определению положительно определённой формы. Аналогично приходим к противоречию и в случае r = n, но к n. Итак, если форма положительно определённая, то её нормальный вид у1

2 + у22 + … + уn

2. Это и значит, что ранг и положительный индекс инерции равны n.

Ранг и положительный индекс инерции действительной квадратичной формы равны n. Докажите самостоятельно, что форма положительно определённая.

Отметим без доказательства ещё одну теорему о положительно определённых действительных квадратичных формах.

Теорема 69. Действительная квадратичная форма является положительно определённой тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны.

Теорема 70. Квадрат длины вектора в любом базисе евклидова пространства задаётся положительно определённой квадратичной формой.

Доказательство. Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство, е = (е1, е2, … , еn) – базис в нём и Г – матрица Грама, задающая скалярное произведение векторов в этом базисе. Если а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn , в = у1е1+ у2е2 + … + уnеn, то (а, в) = х ТГу, где х Т– строка координат вектора а, у – столбец координат вектора в. Следовательно, а2 = (а, а) = х ТГх. Если сравнить с формулой (60), то получим, что х ТГх есть квадратичная форма с матрицей Г. В пространстве Еn есть ортонормированный базис. В этом базисе а2 = х1

2 + х22 +…+ хn

2. Но это значит, что при переходе к ортонормированному базису квадратичная форма х ТГх приводится к нормальному виду х1

2 + х22 +…+ хn

2. По теореме 68 получаем, что форма х ТГх является положительно определённой.

Пример. Какие из следующих квадратичных форм являются положительно определёнными?

1. 4х12 – х1х2 + 3х2

2 – х2х3 + 6х2х4. 2. 4х1х2 – х1х3 + 2х2

2 – 4х2х3 + 3х2х4 + 5х42.

3. 4х12 – 5х1х2 + 3х2

2 – 2х2х3 + х32 + 4х2х4 – х4

2 . Решение. Ответить на вопрос можно двумя способами: привести форму к

каноническому виду или вычислить главные миноры матрицы данной формы. Для первой формы используем первый способ, для второй и третьей – второй способ.

1. 4х12 – х1х2 + 3х2

2 – х2х3 + 6х2х4 = (4х12 – х1х2 + ) – + 3х2

2 – х2х3 + 6х2х4 =

= (2х1– )2 + ( х22 –

= (2х1– )2 + ( – =

= (2х1– )2 + ( – . Отсюда следует, что ранг

данной формы равен 3, т.е. меньше числа переменных, поэтому эта форма не является положительно определённой (теорема 68).2. Составим матрицу второй квадратичной формы и найдём главные её миноры.

А = , М1 = 0. Уже отсюда следует, что форма не является

положительно определённой (теорема 69).3. Составим матрицу третьей квадратичной формы и найдём главные её миноры.

А = , М1 = 4 0, М2 = = 5,75 0, М3 = 1,25

0, М4 = А= 14,25 0. Итак, все главные миноры положительны. Следовательно, третья квадратичная форма положительно определённая.

9.6. Распадающиеся квадратичные формы Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно

представить в виде произведения двух линейных форм. Теорема 70. Квадратичная форма над полем комплексных чисел распадается тогда и

только тогда, когда её ранг меньше или равен двум. Квадратичная форма над полем действительных чисел распадается тогда и только тогда, когда либо её ранг не больше единицы, либо её ранг равен двум, а положительный индекс инерции равен единице.

Доказательство. Если форма нулевая (её ранг равен нулю), то утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим любую ненулевую форму (а).

Пусть квадратичная форма распадающаяся. Тогда (а) = (1х1 + 2х2 + … + nхn)(1х1 + 2х2 + … + nхn).

Возможны два случая:1. к = к для всех к = 1, 2, … , n. Тогда (а) = (1х1 + 2х2 + … + nхn)2.Сделав преобразование координат по формулам:у1 = 1х1 + 2х2 + … + nхn , у2 = х2 , … , уn = хn , получим (а) = у1

2. Но это канонический вид данной формы. Следовательно, ранг формы равен 1.2. Не все к равны соответствующим к .Сделав преобразование координат по формулам:у1 = 1х1 + 2х2 + … + nхn , у2 = 1х1 + 2х2 + … + nхn , у3 = х3 , … , уn = хn , получим

= у1у2 .Сделав ещё одно преобразование координат по формулам:у1 = z1 – z2 , у2 = z1 + z2 , у3 = z3 , … , zn , получим = z1

2 – z22. В случае поля действительных

чисел это выражение является нормальным видом данной формы. Следовательно, ранг формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1. Если дана форма над полем

комплексных чисел, то преобразование у1 = z1 –i z2 , у2 = z1 +i z2 , у3 = z3 , … , zn приводит форму к виду = z1

2 + z22. Ранг этой формы равен 2.

Если действительная или комплексная форма имеет ранг 1, то она приводится к нормальному виду (а) = у1

2. Из формул преобразования координат у1=1х1 + 2х2 +…+ nхn .

Но тогда = (1х1 + 2х2 + … + nхn)2, т.е. форма распадающаяся. Если комплексная форма имеет ранг 2, то она приводится к виду

= z12 + z2

2 = (z1 – i z2)( z1 +i z2). Подставив вместо z1 и z2 их выражения из формул преобразования координат, получим в исходных координатах (а) = (1х1 + 2х2 + … + nхn)(1х1 + 2х2 + … + nхn), т.е. форма распадающаяся.

Если действительная форма имеет ранг 2 и положительный индекс инерции 1, то она приводится к виду = z1

2 – z22 = (z1 – z2)(z1 + z2). Подставив вместо z1 и z2 их выражения,

получим (а) = (1х1 + 2х2 + … + nхn)(1х1 + 2х2 + … + nхn), т.е. форма распадающаяся.

Пример. Будет ли распадающейся над полем действительных чисел квадратичная форма: = 3х1

2 + 3х1х2 – 2х1х3 + 8х1х4 – 2х2х3 + 5х2х4 – 2х3х4 + 5х42.

Решение. Приведём форму к каноническому виду.

= (36х12 + 36х1х2 – 24х1х3 + 96х1х4 + 9х2

2 + 4х32 + 64х4

2 – 12х2х3 + 48х2х4 – 32х3х4) – х22 –

– х32 – х4

2 + х2х3 – 4х2х4 + х3х4 – 2х2х3 + 5х2х4 – 2х3х4 + 5х42 = (6х1 +

3х2 – 2х3 + 8х4)2 –

– ( х22 + 3х2х3 – 3х2х4 + х3

2 + х42 – 2х3х4) + х3

2 + х42 – х3х4 – х3

2 – х42 + х3х4 –

– 2х3х4 + 5х42 = (6х1 + 3х2 – 2х3 + 8х4)2 – ( х2 + х3 – х4)2. Отсюда видно, что ранг данной

формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1, следовательно, форма распадается. Действительно,

= (3х1 + х2 – х3 + 4х4 + х2 + х3 – х4)( 3х1 + х2 – х3 + 4х4 – х2 – х3 + х4).

Отсюда = (х1 + х2 + х4)(3х1 – 2х3 + 5х4).

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К КОЛЛОКВИУМУ «Определители. Матрицы. Линейные пространства»

1. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.2. Определители 2-го и 3-го порядка.3. Перестановки: определение, свойства.4. Подстановки: определение, свойства.5. Определители n-го порядка: определение, свойства, в которых говорится о равенстве

определителя нулю.6. Определители n-го порядка: определение, свойства, в которых говорится, что

определитель не изменится.7. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя, в

котором все элементы одной строки, кроме одного, равны нулю. 8. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Сумма

произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки.

9. Теоремы Лапласа и Крамера.10. Матрицы. Сложение матриц: определение, свойства.11. Умножение матрицы на элемент поля Р: определение, свойства.12. Умножение квадратных матриц. Определитель произведения двух матриц.13. Обратная матрица.

14. Решение матричных уравнений.15. Определение и примеры линейных пространств.16. Арифметическое линейное пространство.17. Линейно зависимые системы векторов: определение, свойства.18. Линейно независимые системы векторов: определение, свойства.

19. Максимальная линейно независимая система векторов данного линейного пространства: определение, свойства. Максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Ранг системы векторов.

20. Базис линейного пространства: определение, примеры, свойства, размерность линейного пространства.

21. Координаты вектора в данном базисе: определение, свойства.22. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах.23. Подпространства линейных пространств: определение, свойства, примеры. Линейная

оболочка системы векторов.24. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух

конечномерных линейных подпространств. Прямая сумма. 25. Изоморфизм линейных пространств.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскости; модуль и аргумент комплексного числа; тригонометрическая форма комплексного числа; умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.3. Перестановки и подстановки: определение, свойства, чётные и нечётные перестановки и подстановки, умножение подстановок.4. Определители n-го порядка: определение, свойства; дополнительные миноры и алгебраические дополнения; вычисление определителя, в котором все элементы одной строки, кроме одного, равны нулю. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки. Теоремы Лапласа и Крамера.5. Матрицы. Сложение матриц: определение, свойства.6. Умножение матрицы на элемент поля Р: определение, свойства.7. Умножение квадратных матриц. Определитель произведения двух матриц.8. Обратная матрица: определение, свойства, способ вычисления.9. Решение матричных уравнений.10. Линейные пространства: определение, примеры. Арифметическое линейное пространство. Доказать, что множество матриц одной и той же размерности с элементами из поля Р есть линейное пространство.11. Линейно зависимые и независимые системы векторов: определение, свойства, примеры. 12. Максимальная линейно независимая система векторов данного линейного пространства: определение, свойства. Максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Ранг системы векторов.13. Базис линейного пространства: определение, примеры, свойства, размерность линейного пространства. Размерности арифметического линейного пространства, пространства матриц и пространства многочленов R[х].14. Координаты вектора в данном базисе: определение, свойства. Действия с векторами в координатах. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах.15. Подпространства линейных пространств: определение, свойства, примеры. Линейная оболочка системы векторов.

16. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух конечномерных линейных подпространств. Прямая сумма. 17. Изоморфизм линейных пространств: определение, свойства, примеры.18. Столбцовый и строчный ранги матрицы: определение, теорема о столбцовом ранге матрицы, ранг матрицы, практическое правило вычисления ранга матрицы.19. Теорема Кронекера-Капелли о системе линейных уравнений. Практическое правило решения системы линейных уравнений, общее и частное решения.20. Пространство решений системы линейных однородных уравнений, фундаментальная система решений (ФСР), выражение общего решения через ФСР.21. Связь решений системы линейных неоднородных уравнений и соответствующей системы линейных однородных уравнений.22. Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений. 23. Линейные операторы: определение, примеры, свойства, сумма линейных операторов, умножение линейного оператора на элемент основного поля. 24. Матрица линейного оператора в данной паре базисов. Соответствие между всеми линейными операторами : Ln Lm и всеми матрицами порядка nm с элементами из основного поля. 25. Теорема о задании линейного оператора : Ln Lm базисом из Ln и упорядоченным набором n векторов из Lm .26. Связь между координатами вектора и его образа при линейном операторе. Связь между матрицами линейного оператора в разных парах базисов.27. Область значений и ядро линейного оператора: определение, свойства, примеры.28. Линейные преобразования линейного пространства: определение, примеры, свойства.29. Сумма линейных преобразований, умножение линейного преобразования на элемент поля Р. Линейное пространство, сопряжённое данному линейному пространству. 30. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования: определение, примеры, свойства.31. Характеристический многочлен, характеристические корни и собственные значения квадратной матрицы.32. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.33. Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования

с простым спектром. 34. Скалярное произведение векторов, его свойства. Определение и примеры евклидовых и

унитарных пространств.35. Матрица Грама в евклидовом пространстве: определение, свойства, формула для

вычисления скалярного произведения.36. Длина вектора, угол между векторами, ортогональность векторов в евклидовом

пространстве: определение, примеры, свойства.37. Ортогональные дополнения вектора и евклидова подпространства: определение,

свойства, примеры.38. Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве: определение, свойства,

примеры. Теорема о том, что любой базис в конечномерном евклидовом пространстве можно ортонормировать. Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе.

39. Изоморфизм евклидовых пространств: определение, свойства, примеры.40. Ортогональное линейное преобразование: определение, примеры, свойства.

Ортогональная матрица.41. Сопряжённые линейные преобразования: определение, свойства, примеры. Доказать, что

для всякого линейного преобразования пространства Еn существует сопряжённое.42. Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования: определение, примеры,

свойства. Симметрические матрицы, их свойства.43. Билинейные формы.

44. Квадратичные формы: определение, примеры. Матрица квадратичной формы. Матричная запись квадратичной формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому и нормальному виду над полем R (над полем С).

45. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов. 46. Ранг, положительный индекс инерции, дефект действительной и комплексной квадратичных форм. Закон инерции квадратичной формы.47. Положительно определённые квадратичные формы: определение; необходимое и достаточное условие, при котором форма является положительно определённой; примеры.48. Распадающиеся квадратичные формы: определение; необходимые и достаточные условия, при которых форма является распадающейся над полем R (над полем С).49. Сингулярное разложение матриц.50. Решение системы линейных уравнений методом наименьших квадратов средствами математического анализа.51. Решение системы линейных уравнений методом наименьших квадратов с помощью сингулярного разложения матрицы.

ЛИТЕРАТУРА

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974 (и все последующие издания ).2. Половицкий Я.Д. Алгебра. Части 1 и 2. – Пермь: ПГУ, 2010.3. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные задачи. – М: Финансы и статистика, 2003.

4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Физматгиз, 1959 ( и все последующие издания).5. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. – Пермь, ПГУ, 1996.

6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1984 (и все последующие издания)

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Беклемышев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Физматгиз, 2000.

2. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. М.: Наука, 1984.

МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Линейная алгебра. Лабораторные работы 1 – 7 и 8 – 13. – Пермь: ПГУ, 2006.2. Методические указания к лабораторным работам по алгебре и геометрии. – Пермь: ПГУ, 1984.