修　士　論　文

題 目

　

部分再構築操作を組み込んだ遺伝的アルゴリズムによる

Facility Dispersion問題の解法　

指 導 教 員

山口一章 准教授

提 出 者（学籍番号）

　山田光宏 (114T271T)　

平成 25 年 2 月 7 日

神戸大学大学院工学研究科

博士前期課程電気電子工学専攻

内容梗概

Facility Dispersion問題とは，施設の候補地と施設の数 mが与えられたとき，m施設の

互いの距離をできるだけ離すような配置を求める問題である．この問題は NP困難な組合

せ最適化問題であることが知られており，発電所や重油貯蔵タンクなどの施設の配置を決

めることなどに応用がある. Facility Dispersion 問題の厳密解法や近似解法はこれまでに

も研究されている.

メタヒューリスティックスの一つである貪欲ランダム適応型探索法 (GRASP)を Facility

Dispersion 問題の解法に応用したものとして，M. G. C. Resende らの手法がある. 彼らは

組合せ最適化問題にしばしば用いられる，焼きなまし法や多スタート法などの代表的なメ

タヒューリスティックスとの比較を行い，GRASPの有効性を示した. 上記三つの手法は

全て，解の近傍を探索する局所探索法に基づいたものである.

本論文では，解の集団を扱うメタヒューリスティックスである，遺伝的アルゴリズムに

よる新たな Facility Dispersion問題の解法を提案する. 遺伝的アルゴリズムは，生物が自

然淘汰により集団の中から良い遺伝子を持つ個体を次世代に残すように，システムの中で

自然淘汰のシミュレーションを行い，解の集団の中から良い解を求めるものである. 提案

手法は，遺伝的アルゴリズムの遺伝子操作の一つである突然変異として，部分再構築操作

を用いる点に特徴がある. 一般的な突然変異は，多様な解を作ることが出来るが，解の精

度が悪くなる場合が多い. 一方で，提案する部分再構築操作は解の精度を改善しつつ，多

様な解を作ることが出来る，新しい突然変異である. 遺伝的アルゴリズムでは，この操作

を局所探索法と組み合わせて使うことも出来る. しかし，提案手法では部分再構築操作の

有効性を示すため，あえて局所探索法は使用していない.

ベンチマーク問題を入力とした計算機実験を行い，局所探索法に基づくいくつかの従

来手法との比較を行った. 提案手法は，これまでの研究によって導き出された Facility

Dispersion問題の最善解を，多くの入力で求めることができ，近年の手法に対しても同等

以上の結果を示した. よって，これまで有効とされてきた局所探索法を一切使用していな

い，部分再構築操作を組み込んだ独自の遺伝的アルゴリズムによる，Facility Dispersion

問題の新しい解法の有効性を示すことが出来た.

Abstract

Given some candidates of location of facilities and number of facilities m, the Facility

Dispersion Problem is a problem to determine the set of m locations such that the facilities are

separated from each other. This problem is a well-known NP-hard combinatorial optimization

problem and has applications such as placing facilities, power plants or fuel oil storage tanks.

Exact algorithms and approximate algorithms for the Facility Dispersion Problem have been

studied so far.

M. G. C. Resende proposed the method for the Facility Dispersion Problem based on the

greedy randomized adaptive search procedure(GRASP), which is one of the popular meta-

heuristics. They compared their algorithm with some other algorithms such as multi-start

local search and simulated annealing, and they showed that GRASP was an effective method

for the Facility Dispersion Problem. Above three methods are based on local search, which

traverse the neighbors of the best solution.

In this paper, we produce a new method for the Facility Dispersion Problem by Genetic

Algorithm, which is meta-heuristic using population of solutions. As living things leaved

good organisms to the next generation in the population by natural selection, Genetic Algo-

rithm perform a simulation of natural selection in the system, and find the good solution in

the population of solutions. Our method has a feature in point of using partial reconstruc-

tion operation as mutation, which is a genetic operation of Genetic Algorithm. Mutation can

make multiple solution, but generally lower the value of solution. On the other hand, par-

tial reconstruction operation is a new mutation, which can improve the value of solution and

make multiple solution. Genetic Algorithm can use both partial reconstruction operation and

local search. However, we do not dare use local search in order to showing effectiveness of

partial reconstruction operation.

We tested our method by some computer experiments with benchmark problems. Com-

pared with some methods based on local search, our method showed result equal to or greater

than some methods of late years. Therefore, we were able to show that our original Ge-

netic Algorithm using partial reconstruction operation is effective in the Facility Dispersion

Problem without using local search.

目次

第 1章 まえがき 1

第 2章 Facility Dispersion問題 3

第 3章 従来手法 4

第 4章 提案手法 7

4.1 遺伝子操作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1.1 交叉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1.2 突然変異 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1.3 選択 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 部分再構築操作を組み込んだ遺伝的アルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . 12

第 5章 計算機実験 13

5.1 実験方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.2 結果と考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

第 6章 あとがき 23

参考文献 25

1

第 1章

まえがき

Facility Dispersion問題 [1]とは，施設をいくつか配置するとき，施設間の距離をできる

だけ離すような配置を求める組合せ最適化問題である．具体的な応用としては，発電所や

重油貯蔵タンクなど，事故が起きた際に互いに影響が少ないことが望ましい施設を配置す

ることが挙げられる，また，通信符号の設計をする際，ハミング距離が互いに離れている

など，適切な符号語を選ぶ処理に応用があると思われる. Facility Dispersion問題は NP困

難な問題であることが知られており，大規模な問題の最適解を現実的な時間で求めるアル

ゴリズムは知られていないが，これまでにいくつかの厳密解法や近似解法が提案されてい

る [3] ∼ [12].

メタヒューリスティックスの一つである貪欲ランダム適応型探索法 (GRASP)を Facility

Dispersion問題の解法に応用したものとして，M. G. C. Resendeらの手法がある [9]. 彼ら

は組合せ最適化問題にしばしば用いられる，焼きなまし法 [7]や多スタート法 [8]などの

代表的なメタヒューリスティックスとの比較を行い，GRASPの有効性を示した. 上記三

つの手法は全て，解の近傍を探索する局所探索法に下づいたものである.

本論文では，解の集団を扱うメタヒューリスティックスである，遺伝的アルゴリズム

[2]による新たな Facility Dispersion問題の解法を提案する. 遺伝的アルゴリズムは，生物

が自然淘汰により集団の中から良い遺伝子を持つ個体を次世代に残すように，システムの

中で自然淘汰のシミュレーションを行い，解の集団の中から良い解を求めるものである.

提案手法は，遺伝的アルゴリズムの遺伝子操作の一つである突然変異として，部分再構築

操作を用いる点に特徴がある. 一般的な突然変異は，多様な解を作ることが出来るが，解

の精度が悪くなる場合が多い. 一方で，提案する部分再構築操作は解の精度を改善しつつ，

多様な解を作ることが出来る，新しい突然変異である. 遺伝的アルゴリズムでは，この操

作を局所探索法と組み合わせて使うことも出来る. しかし，提案手法では部分再構築操作

の有効性を示すため，あえて局所探索法は使用していない.

本論文の構成を以下に示す. 第 2章は，本論文で用いる用語や表記についての説明であ

2

る. 第 3章では，今までに研究されてきた Facility Dispersion問題のメタヒューリスティッ

クスによる解法をいくつか示す. 第 4章では，新しい突然変異操作として，部分再構築操

作を組み込んだ遺伝的アルゴリズムによる Facility Dispersion問題の解法を示す. 第 5章

では，ベンチマーク問題 [14]を入力として，第 3章で述べた解法を用いて得られた実験

結果を比較対象とし，提案手法による解法の有効性を検証する. 第 6章では，本論文のま

とめと今後の課題について述べる.

3

第 2章

Facility Dispersion問題

n を自然数とし，施設配置の候補地となる点の集合を V = {v1, v2, . . . , vn} とする．Facility Dispersion問題は，V から m 個の点を (1 < m < n)，点間の最小距離が出来るだ

け大きくなるように選ぶという組合せ最適化問題である．V から選び出した m個の点の

集合を S = {v1, v2, . . . , vm}とすると (S ⊆ V)，この集合が施設を配置する点の集合である．

つまり，評価値を f (S )とすると，以下の f (S )が最大となるように，V から S を選ぶ．な

お，d(vi, v j)を点 vi と点 v j の距離とする.

f (S ) = min1≤i< j≤m

d(vi, v j)

具体例として，n = 15，m = 5，平面上の点 V = {v1, v2, . . . , v15}が入力として与えられた際の (a)，出力結果 (b)を図 2.1に示す.

図 2.1: 入力と出力

4

第 3章

従来手法

Facility Dispersion 問題は NP 困難な組合せ最適化問題であることが証明されており

[5]，問題のサイズが大きい場合，現実的な時間内で厳密解を求めることは困難である. 線

形計画法を用いた厳密解法が研究されているが [4]，厳密解が求まる問題のサイズは小さ

い (n<50). よって，Facility Dispersion問題は近似解を求めるための発見的手法である，メ

タヒューリスティックスによる解法が盛んに行われている. 最も代表的なメタヒューリス

ティックスの一つに，局所探索法 (Local Search)がある. 局所探索法は「良い解同士は似

通った構造を持っている」という考えの下，適当な初期解 S を作り，S の近傍内に S の

改善解があれば移動するという操作を，近傍内に改善解が存在しなくなるまで (局所最適

解に達するまで)反復するという手法である. 局所探索法の簡単なフローチャートを図 3.1

に示す.

図 3.1: 局所探索法のフロー

5

近年の研究では，この局所探索法に様々な戦略を組み合わせて，探索の集中性と多様性

をバランス良く実現するメタヒューリスティックスによる解法が中心となっている. 近年

の Facility Dispersion問題の解法を以下に示す.

GRASP with Path Relinking Method (2010 年) : 貪欲ランダム適応型探索法 (GRASP) と

パス再結合法を組合せた手法 [9] がある. GRASP では，評価値の高い解をいくつか候補

(elite set) として持ち，その中からランダムに一つ初期解を選ぶことで探索にランダム性

を加える. そして，与えられた初期解から局所探索法によって解を改善していくという手

法である. さらに，GRASPによる探索が終わった後，パス再結合法で elite setから新たな

解を作り，それを初期解として局所探索法を開始する手法を組み込んでいる.

あるベンチマーク問題 (Geo,Ran)[14] を入力とし，組合せ最適化問題の代表的なメタ

ヒューリスティックスである焼きなまし法 [7]や多スタート法 [8]と比較して GRASPに

よる解法が優れていることを示した.

Approach Based on Max-Clique Method (2009 年) : Facility Dispersion 問題と最大

クリーク問題の等価性を利用して解く手法がある [10]. 探索は二分探索によって行われ，

クリークのサイズ決定問題を複数回解かなければならない. 文献 [9]と同じベンチマーク

問題に対して手法を試し，120個の入力のうち，53個の入力で文献 [9]で得られた評価値

(Best known)と同じ値を出力し，67個の入力で Best knownを更新した. また，求めた解

を下界として最大クリーク問題の厳密解法を解き，n = 100 (Geo,Ran), n = 250 (Geo) に

ついて，求めた解が最適解であることを示した.

Drop-Add Simple Tabu Search Method (2011 年) : 過去の探索の履歴を利用するメ

タヒューリスティックスである，タブー探索を利用した手法がある [11]. 解 S の点を一

つだけ解から出し (Drop)，V \ S から点を一つ解に入れる (Add) という操作を繰り返す

局所探索法が探索の基本となっている. 点が解に入った回数を記憶し，その回数が多い点

を優先して解から出すことで解に多様性を持たせた. Nogain(評価値が更新されなかった

回数) が規定値 (maxNogain) を越えると探索を終了する. 文献 [9, 10] の結果から得られ

た Best knownに対して，maxNogain = 10000nで 97個，maxNogain = 2000000nで 112

個，同じ評価値を出力した. それ以外の入力では Best known より低い評価値しか出力出

来なかったが，ある一つの入力に対して新たな Best knownを更新した.

A Variable Neighborhood Search Method (2012 年) : 解の近傍を定義し，暫定解の

近傍から一つ初期解を作り，局所探索法を行うという操作を繰り返す手法 [12]. 探索の反

復において暫定解が更新されたか否かによって次の初期解を選択するための近傍を変える

6

点に特徴がある. 通常の局所探索法のほかに，評価値が更新されない場合でも，ある基準

を設けて暫定解の点と V \ S の点との交換 (swap)を試み，暫定解の近傍を丁寧に調べて

いる (platau search).

文献 [9] ∼ [11]で得られた Best knownに対して，全ての入力で同じ評価値を出力した.

また，得られた解を下界として混合整数計画問題のソルバーである，CPLEX 12.4[14]を

実行し，n = 250 (Geo,Ran), n = 500 (Geoの 13個の入力)に対して求めた解が最適解であ

ることを示した.

7

第 4章

提案手法

本章では，遺伝的アルゴリズム [2] による Facility Dispersion 問題の解法を提案する.

まず，一般的な遺伝的アルゴリズムの流れを説明する. 遺伝的アルゴリズム (Genetic

Algorithm，以下 GA)とは，生物が自然淘汰により集団の中から良い遺伝子を持つ個体を

次世代に残してきたように，システムの中で自然淘汰のシミュレーションを行い，良い解

を求めるものである. GAの大きな特徴は，交叉，突然変異，選択という三つの遺伝子操作

を行うことで集団の多様性と集中性を保ちながら解空間を探索出来ることである. 図 4.1

に GAの簡単なフローを示す.

図 4.1: GAのフロー

8

これまでの Facility Dispersion問題の研究では，良い解の近傍を調べる局所探索法によ

る解探索が中心であった. しかし，Facility Dispersion問題は局所最適解が非常に多いこと

が知られている [12]. 局所探索法では，いったん局所最適解に陥ってしまうと，そこから

の脱出は難しい. そこで，今回は局所探索法に頼らない探索をすることによって局所最適

解からの脱出を図り，集団ヒューリスティックスである GAを使うことで解に多様性を持

たせる，新しい Facility Dispersion問題の解法を提案する. 以下では，提案手法で用いる

各遺伝子操作を説明した後，それらを組合せた GA全体の流れを説明する.

4.1 遺伝子操作

遺伝子操作には扱う問題や設計者の意図によって様々な方法がある. 以下では，提案手

法の各遺伝子操作の方法を説明する. なお，個体を Facility Dispersion問題の解 S，遺伝子

を点 v (∈ S )，評価値を f (S )と定義する.

4.1.1 交叉

交叉とは，生物が交配によって子孫を残すことをモデル化したもので，個体の遺伝子の

一部を入れ換える操作である. 二つの良い解 (親)の遺伝子を掛け合わせて，さらに良い解

(子)を作るものであり，集中的な解探索が出来る点で GAにおける重要な遺伝子操作の一

つである.

Facility Dispersion 問題における交叉の具体例を示す. n = 10,m = 4 の時，S 1 =

{v1, v2, v5, v9}, S 2 = {v2, v5, v7, v10}という二つの解 (個体)があるとする. この時，2つの個

体 (親)の遺伝子をなるべく残した個体 (子)を生成する. 例えば，S 1 ∩ S 2 である v2, v5 を

残し，v1と v7 を入れ換えると，S ′1 = {v7, v2, v5, v9}, S ′2 = {v2, v5, v1, v10}となる. このよう

にして出来た子 S ′1, S′2 は，後の選択操作で次世代に残すかどうか判断される.

パス再結合法 [9]を交叉として組み込んだ GAを実装したが，計算機実験の結果，親と

新たに出来る個体の評価値にさほど改善がなかった. これは，Facility Dispersion問題は局

所最適解が非常に多いため，交叉によって生まれる子も親と同じ局所最適解に陥ってい

ることが理由として考えられる. よって，今回の提案手法には交叉は組み込まないことに

した.

4.1.2 突然変異

突然変異は生物に見られる遺伝子の突然変異をモデル化したもので，個体の遺伝子の一

部を変化させる操作である．突然変異は，局所最適解からの脱出に効果があり，局所的最

適解が多い Facility Dispersion問題の解法にも有効であると考えた. しかし，一般的な突

9

然変異は解の評価値が悪くなる場合がほとんどで，交叉を使用しない提案手法ではあまり

効果がない.

そこで，解の評価値 f (S ) を改善しつつ，局所最適解からの脱出を図ることが出来る，

新しい突然変異を提案する. 本論文で提案する突然変異は，個体を部分的に破壊した後，

貪欲算法によって個体を再構築するもので，特徴は次の 2点である．

•複数の点を削除することで新しく解に加えることが出来る点の数が増え，探索空間を広

げられる．

•個体の再構築に高速な貪欲算法を用いることで，探索範囲が広い割に計算時間が小さく

抑えられる．

以降，提案する新しい突然変異を部分再構築操作と呼ぶ. 部分再構築操作は，Greedy

Construction Algorithm[5] と呼ばれる，Facility Dispersion 問題の近似アルゴリズムのア

イデアに基づいて構成されている. Greedy Construction Algorithmは貪欲算法で解を構成

するアルゴリズムで，最適解の 1/2倍の近似率が保証されている (最適解を S *とすると，

f (S */2 < f (S ))近似アルゴリズムである. 図 4.2にそのアルゴリズムを示す.

1: max d(vi, v j)となる vi, v j(∈ V)を解 S に加える (S = {vi, v j}).2: for i= 3 to m do

3: minv∈{v1,v2,...,vi−1}

d(v, v′)の値が最大となる点 v′(∈ V \ S )を vi とし，S に加える．

4: end

5: return S

図 4.2: Greedy Construction Algorithm

(n,m) = (30, 6)の時の具体例を用いて，Greedy Construction Algorithmの流れを図 4.3

で説明する．V から最大距離となる 2点 (黒丸)を解 S に加える (a)．既に解に入っている

点との距離のうち，最小距離を V \ S の全ての点に対して調べる (b)．最小距離が最大と

なる点を一つ，S に加える (c)．|S | = mとなるまで b,cの操作を繰り返し，解 S を出力す

る (d).

10

図 4.3: Greedy Construction Algorithmの流れ

この手法を応用した，部分再構築操作のアルゴリズムを図 4.4に示す．

1: 解 S の点を k個削除し (1 ≤ k < m)，残った点の集合を S ′ = {s1, s2, . . . , sm−k}とする．2: for i= (m − k + 1) to m do

3: mins∈{s1,s2,...,si−1}

d(s, v)の値が最大となる点 v(∈ V \ S ′)を si とし，S ′ に加える．

4: end

5: return S ′

図 4.4: 部分再構築操作

11

(n,m) = (30, 6)の時の具体例を用いて，部分再構築操作の流れを図 4.5で説明する．黒

丸を S の点とし，初期状態 (親)とする (a)．k = m/2とし，S から点を 3個取り除いたも

のを S ′ とする (b)．この時，d(x1, x2) = f (S )となる 2点 x1, x2 のうち，少なくとも 1点

を必ず取り除く．次に，V \ S ′ 上の全ての点 vに対して，s(∈ S ′)との最小距離を調べ，そ

れが最大となる点を一つ，S ′ に加える (c)．|S ′| = mとなるまで cの操作を繰り返し，こ

の操作で出来た個体 S ′ を子とする (d). 部分再構築操作の計算量は，O(nm)である. また，

部分再構築操作で出来る新たな子 S ′ は，親 S に比べて評価値を改善できる可能性を秘め

ている．しかし，S と S ′ は似た遺伝子を持っており，最悪の場合，親と全く同じ個体が

生まれる場合もある. そのような個体は，後述の選択操作で集団から取り除いている．

図 4.5: 部分再構築操作の流れ

4.1.3 選択

選択操作は，集団の中から次世代に残す個体を選ぶという遺伝子操作である. GAでは，

単純に評価値の良い個体ばかりを次世代に残してしまうと，解の多様性が失われてしま

12

い，最終的に局所最適解しか得られない状態に陥ってしまうことがしばしばある. 従って

選択を行う際には，優秀な個体を保存することはもちろんであるが，解の多様性が失われ

ることの無いような，選択方式の工夫が必要である.

そこで選択の際に，評価値 f (S )以外に，個体間のハミング距離も考慮する. 集団の中か

ら評価値 f (S )の高い個体を順に選び，次世代の集団に加えるが，その際，評価値 f (S )が

同値の個体に対して個体間のハミング距離を計算し，ハミング距離が規定値 dH 以下の個

体を選ばないようにする. この手法は最大クリーク問題を GAで解く片山らの手法で用い

られている [13]. このような工夫をすることで，選択操作によって解集団の多様性を保つ.

4.2 部分再構築操作を組み込んだ遺伝的アルゴリズム

部分再構築操作と選択操作を遺伝子操作として組み込んだ GAを提案手法とする. GA

では，部分再構築操作を局所探索法と組み合わせて使うことも出来る. しかし，提案手法

では部分再構築操作の有効性を示すため，あえて局所探索法は使用していない. 以降，集

団のサイズを L とする. まずランダムな L 個の初期解を作り，それを親集団 Pp とする．

Pp の各個体に部分再構築操作を行うことで新たな子集団 Pc を生成する．こうして得られ

た Pc と Pp を合わせた 2L個の集団から L個の個体を選択し，それを次世代の親集団 Pp

とする．この，子集団の生成と選択操作を設定した世代数だけ繰り返す．図 4.6に提案手

法を示す．

入力:点集合 V，集団のサイズ L

出力:点集合 S

1: 初期解を L個生成し，Pp とする．

2: while以下の処理を N 世代繰り返す．

3: Pp の各個体に部分再構築操作を行い，L個の新しい個体を生成する．

生成された L個の個体を Pc とする．

4: Pp ∪ Pc に対して選択操作を行い，選ばれた L個の個体を Pp とする．

5: end6: return処理中に得られた最も評価値の高い S

図 4.6: 提案手法

13

第 5章

計算機実験

5.1 実験方法

計算機実験により，提案手法の有効性を比較，検証する. Facility Dispersion 問題

には，Geo,Ran の 2 種類のベンチマーク問題がある [14]. これらの入力を使った

比較実験がこれまで行われており [9] ∼ [12]，本論文でもこれらの入力を使った比較

実験を行う. 入力は合計で 120個あり，それぞれ作り方が異なる. 以下にその特徴を述べる.

Geo : 60個の入力

点数 n=100, 250, 500，それぞれの nに対して施設数 m=0.1n, 0.3n

座標データは [0,100]のランダムな小数値

次元数は 2∼21のランダムな値

※ Geoの距離情報は任意の 2点間のユークリッド距離を計算して求める. 一般に，次元数

を Rとし，vi = (vi1, vi2, . . . , viR)とすると，vi から v j 間のユークリッド距離 dR(vi, v j)は，

以下の式で定義される．

dR(vi, v j) =

√√√ R∑k=1

(vik − v jk)2

Ran : 60個の入力

点数 n=100, 250, 500，それぞれの nに対して施設数 m=0.1n, 0.3n

任意の 2点間の距離情報は [50,100]のランダムな整数値

※ (n,m)=(500,0.3n)のみ [0,200]のランダムな整数値

14

また，比較対象は局所探索法を中心としたメタヒューリスティックである，GRASP +

EvPR[9]，Drop-Add Search[11]とした. 実験環境を以下に示す.

Drop-Add Search : 使用言語C++,-o option(gcc version 4.4.3), OS:Linux, CPU:Intel(R)Core(TM)

i7 870 2.93GHz 2.9GB

GA(提案手法) : 使用言語 Java, OS:Linux, CPU:Intel(R)Core(TM) i7 870 2.93GHz,

RAM:2.9GB

上記の入力に対して提案手法を実行し，結果を出力した. 実験 1では提案手法と従来手

法との比較実験を行った. 実験に用いたパラメータ k, dH は，予備実験の結果が良かった

ものを使用した. 実験 2 では実験 1 と設定を変えて提案手法を実行した. 実験 1，実験 2

における提案手法のパラメータを以下に示す.

(実験 1)

最大世代数 : 20n

集団のサイズ : 100

部分再構築操作のパラメータ : k = m/4

選択操作のパラメータ : dH = m/4

(実験 2)

最大計算時間 : 5時間

集団のサイズ : 100

部分再構築操作のパラメータ : k = m/4

選択操作のパラメータ : dH = m/4,m/2

※ 100n世代の間，解の更新がなければ集団を作り直す.その際，解に入った回数が少ない

点を優先して解に入れている.

5.2 結果と考察

実験 1の結果を表 5.1 ∼ 5.5に，実験 2の結果を表 5.6，表 5.7に示す. また，出力した

数値については以下の通りである.

(表 5.1∼表 5.3,表 5.6，表 5.7の数値)

Our : 提案手法が最大世代数まで計算した際の最も高い評価値

Best known : これまでの文献より導き出された最も高い評価値

15

Time[s] : 提案手法が最大世代数を計算し終えるまでにかかった時間 (表 5.1∼表 5.3)

Time(best)[s] : 提案手法が Best knownを出力するまでにかかった時間 (表 5.6，表 5.7)

(表 5.4，5.5の数値)

Dev.(Deviation)[%] : Best knownとの誤差率の平均

(例えば，1 つの入力の Best known が 90，提案手法を実行した時の結果が 60，別

の入力の Best known が 120，提案手法を実行した時の結果が 80 の時，Deviation =

{(90 − 60)/90 × 100 + {(120 − 80)/120 × 100}/2 = 67%である.)

#Best : 各手法で得られた解が Best knownに達した入力の個数

Avg.Time(best)[s] : 提案手法が最善解を出力するのにかかった時間の平均

Avg.Time(total)[s] : 各手法が実行を終えた際にかかった時間の平均

16

表 5.1: 実験 1の結果

Instance n m Time[s] Our Best knownGeo 100 1 100 10 11.84 89.37 89.37Geo 100 2 100 10 12.97 96.66 96.66Geo 100 3 100 10 9.74 76.45 76.45Geo 100 4 100 10 10.93 103.01 103.01Geo 100 5 100 10 10.23 119.72 119.72Geo 100 6 100 10 8.62 36.52 36.52Geo 100 7 100 10 9.20 189.21 189.21Geo 100 8 100 10 9.77 110.02 110.02Geo 100 9 100 10 8.77 141.24 141.24Geo 100 10 100 10 9.39 163.68 163.68Geo 100 11 100 30 13.81 102.19 102.19Geo 100 12 100 30 15.59 117.48 117.48Geo 100 13 100 30 12.78 29.83 29.83Geo 100 14 100 30 12.87 54.08 54.08Geo 100 15 100 30 14.40 144.48 144.48Geo 100 16 100 30 21.91 122.38 122.38Geo 100 17 100 30 14.22 130.35 130.35Geo 100 18 100 30 14.29 109.87 109.87Geo 100 19 100 30 12.73 152.21 152.21Geo 100 20 100 30 12.32 140.6 140.60Geo 250 1 250 25 43.263 171.01 171.01Geo 250 2 250 25 43.975 20.03 20.03Geo 250 3 250 25 40.091 137.75 137.75Geo 250 4 250 25 45.506 171.96 171.96Geo 250 5 250 25 44.306 148.76 148.76Geo 250 6 250 25 43.599 100.38 100.38Geo 250 7 250 25 43.17 175.71 175.71Geo 250 8 250 25 43.664 164.51 164.51Geo 250 9 250 25 43.628 179.18 179.18Geo 250 10 250 25 43.991 102.23 102.23Geo 250 11 250 75 88.253 31.37 31.72Geo 250 12 250 75 88.961 93.91 93.91Geo 250 13 250 75 88.872 145.13 145.22Geo 250 14 250 75 88.542 70.7 70.70Geo 250 15 250 75 84.808 142.54 142.54Geo 250 16 250 75 84.641 108.05 108.05Geo 250 17 250 75 88.434 124.26 124.63Geo 250 18 250 75 88.029 148.76 148.76Geo 250 19 250 75 87.609 134.74 134.74Geo 250 20 250 75 84.935 147.83 147.83

17

表 5.2: 実験 1の結果 (続き)

Instance n m Time[s] Our Best knownGeo 500 1 500 50 174.13 124.16 124.79Geo 500 2 500 50 195.33 13.7 13.79Geo 500 3 500 50 181.97 165.04 165.04Geo 500 4 500 50 125.46 132.5 132.50Geo 500 5 500 50 179.57 28.48 28.55Geo 500 6 500 50 180.94 28.39 28.60Geo 500 7 500 50 197.40 132.51 132.51Geo 500 8 500 50 171.55 113.6 113.60Geo 500 9 500 50 125.93 168.96 168.96Geo 500 10 500 50 197.10 159.98 159.98Geo 500 11 500 150 537.92 93.49 93.97Geo 500 12 500 150 487.24 71.46 71.46Geo 500 13 500 150 541.79 134.47 134.47Geo 500 14 500 150 519.95 111.49 111.63Geo 500 15 500 150 512.83 36.07 36.18Geo 500 16 500 150 517.47 132.58 132.58Geo 500 17 500 150 536.73 129.26 129.49Geo 500 18 500 150 540.85 72.31 72.65Geo 500 19 500 150 537.80 123.99 123.99Geo 500 20 500 150 518.93 123.4 123.43Ran 100 1 100 10 9.16 73 73Ran 100 2 100 10 9.63 75 75Ran 100 3 100 10 13.34 74 74Ran 100 4 100 10 10.38 74 74Ran 100 5 100 10 14.53 74 74Ran 100 6 100 10 16.44 74 74Ran 100 7 100 10 10.35 75 75Ran 100 8 100 10 14.55 74 74Ran 100 9 100 10 10.29 74 74Ran 100 10 100 10 15.60 75 75Ran 100 11 100 30 14.06 54 54Ran 100 12 100 30 13.31 55 55Ran 100 13 100 30 15.00 55 55Ran 100 14 100 30 12.21 55 55Ran 100 15 100 30 25.10 55 55Ran 100 16 100 30 11.17 55 55Ran 100 17 100 30 12.60 55 55Ran 100 18 100 30 13.88 55 55Ran 100 19 100 30 12.13 55 55Ran 100 20 100 30 10.59 55 55

18

表 5.3: 実験 1の結果 (続き)

Instance n m Time[s] Our Best knownRan 250 1 250 25 53.65 61 61Ran 250 2 250 25 46.38 61 61Ran 250 3 250 25 53.08 61 61Ran 250 4 250 25 38.63 61 61Ran 250 5 250 25 46.41 61 61Ran 250 6 250 25 41.66 61 61Ran 250 7 250 25 44.54 61 61Ran 250 8 250 25 48.15 61 61Ran 250 9 250 25 45.77 61 61Ran 250 10 250 25 44.65 61 61Ran 250 11 250 75 90.28 52 52Ran 250 12 250 75 91.43 52 52Ran 250 13 250 75 89.82 52 52Ran 250 14 250 75 90.86 52 52Ran 250 15 250 75 93.20 52 52Ran 250 16 250 75 92.04 52 52Ran 250 17 250 75 91.09 52 52Ran 250 18 250 75 92.44 52 52Ran 250 19 250 75 96.42 52 52Ran 250 20 250 75 96.52 52 52Ran 500 1 500 50 195.32 55 55Ran 500 2 500 50 176.74 55 56Ran 500 3 500 50 177.91 55 56Ran 500 4 500 50 170.87 56 56Ran 500 5 500 50 176.53 55 56Ran 500 6 500 50 195.60 55 55Ran 500 7 500 50 88.45 56 56Ran 500 8 500 50 194.54 55 56Ran 500 9 500 50 195.34 55 56Ran 500 10 500 50 89.50 56 56Ran 500 11 500 150 477.04 5 5Ran 500 12 500 150 476.74 4 5Ran 500 13 500 150 476.99 5 5Ran 500 14 500 150 477.99 5 5Ran 500 15 500 150 477.62 4 5Ran 500 16 500 150 453.34 5 5Ran 500 17 500 150 477.26 5 5Ran 500 18 500 150 476.49 5 5Ran 500 19 500 150 478.77 5 5Ran 500 20 500 150 478.96 5 5

19

表 5.4: 実験 1の結果 (GRASP + EvPRとの比較)

Instance group GRASP+EvPR GA(提案手法)

Dev. #Best Avg.Time Dev. #Best Avg.Time Avg.Time

[%] (total)[s] [%] (best)[s] (total)[s]

Geo 100 0.09 17 4 0 20 0.6 12.3

Geo 250 0.47 4 66 0.07 17 15.6 65.4

Geo 500 0.88 0 1465 0.19 10 111 349

Ran 100 0.49 15 7 0 20 1.1 13.2

Ran 250 1.53 6 271 0 20 8.8 69.4

Ran 500 11.34 0 6349 2.45 13 52.3 320

All 120 Instance 2.47 42 1360 0.45 100 31.5 138.3

表 5.1∼表 5.3より，提案手法が n = 100 (Geo,Ran), n = 250 (Ran)の全ての入力で Best

knwonを出力したことがわかる. また，nが大きくなるにつれて Best knownを出力した数

が小さくなっている. これは，nが大きくなるにつれて解の組合せの数が増え，良い解を

得ることが困難になるからである. また，計算時間は nが大きくなるにつれて急激に増え

ている.

GRASP + EvPRと提案手法との比較結果を表 5.4に示す. なお，GRASP + EvPRは文

献 [9]から，GRASPで局所探索を行った後，パス再結合法で GRASPとは異なる局所探

索を行う，という反復操作を 100回行った結果を引用した. GRASP + EvPRの使用言語は

Java，CPUは Pentium4 3GHz 2GBである. Avg.Time(total)に着目すると，n = 500のサ

イズの大きな入力に対して，提案手法が GRASP + EvPRに比べかなり小さく抑えられて

いる. n = 100, 250の場合は GRASP + EvPRの方が小さい入力もあるが，Avg.Time(best)

に着目すると，提案手法がほとんどの入力に対して，かなり小さい時間で Best knownに

達していることがわかる. これは，提案手法が最大世代数を計算し終えるまでもなく，Best

knownに達していることを意味しており，それ以降の計算時間は不要である. よって，実

験環境の違いはあるものの，提案手法のほうが GRASP + EvPRより早く良い解を出力す

ることが出来ていると思われる. また，GRASP + EvPRは 42個の入力で Best knownが

得られている. これに対して，提案手法は 100個の入力で Best knownを得られ，大きく

GRASP + EvPRを上回っている，Best knownとの偏差値の平均を表す Deviationの値で

も，提案手法は GRASP + EvPRに比べ，非常に小さく抑えられている. また，提案手法

より GRASP + EvPRの評価値が上回っている入力は存在しなかった. よって，提案手法

は GRASP + EvPRの性能を上回る結果を示した.

20

表 5.5: 実験 1の結果 (Drop-Add Searchとの比較)

Instance group Drop-Add Search GA(提案手法)

Dev. #Best Avg.Time Dev. #Best Avg.Time Avg.Time

[%] (total)[s] [%] (best)[s] (total)[s]

Geo 100 0 20 2.5 0 20 0.6 12.3

Geo 250 0.1 15 16.7 0.07 17 15.6 65.4

Geo 500 0.31 8 84.6 0.19 10 111 349

Ran 100 0 20 2.8 0 20 1.1 13.2

Ran 250 0 20 16.9 0 20 8.8 69.4

Ran 500 0.63 13 66 2.45 13 52.3 320

All 120 Instance 0.17 96 31.6 0.45 100 31.5 138.3

Drop-Add Search と提案手法との比較結果を表 5.5 に示す. なお，Drop-Add Search は

文献 [11] から，maxNogain = 10000n とした時の結果を引用した. Drop-Add Search の

計算時間については，公開されているソースコード (C++)[16] を使用し，提案手法と同

じ CPU で実験を行った. Drop-Add Search は 96 個の入力で Best known が得られてい

る. これに対して，提案手法は 100個の入力で Best knownを得られ，わずかに Drop-Add

Searchを上回っている. Deviationの値は提案手法のほうが大きい. これは，誤差率が大き

い，(n,m) = (500, 150)の 10個の入力において，Drop-Add Searchが 10個全ての入力で

Best knownを出力しているのに対して，提案手法は 8個の入力でしか Best knownを出力

出来ていないからだと考えられる. また，計算時間では，提案手法が Drop-Add Searchに

比べて 4 ∼ 5 倍の時間がかかっているものの，使用言語による違いがあるため (一般に，

C++は Javaより高速であると言われている)，一概に提案手法が劣っているとは言えない.

なお，提案手法の Avg.Time(best)に着目すると，Drop-Add Searchの計算時間とほとんど

変わらない数値を示している.

21

表 5.6: 実験 2の結果 (dH = m/4)

Instance n m Time(best)[s] Our Best knownGeo 250 11 250 75 6196 31.72 31.72Geo 250 13 250 75 191 145.22 145.22Geo 250 17 250 75 time over 124.42 124.63Geo 500 1 500 50 439 124.79 124.79Geo 500 2 500 50 4339 13.79 13.79Geo 500 5 500 50 1022 28.55 28.55Geo 500 6 500 50 3256 28.6 28.60Geo 500 11 500 150 time over 93.74 93.97Geo 500 14 500 150 13880 111.63 111.63Geo 500 15 500 150 818 36.18 36.18Geo 500 17 500 150 time over 129.3 129.49Geo 500 18 500 150 822 72.65 72.65Geo 500 20 500 150 time over 123.4 123.43Ran 500 2 500 50 686 56 56Ran 500 3 500 50 time over 55 56Ran 500 5 500 50 6739 56 56Ran 500 8 500 50 time over 55 56Ran 500 9 500 50 4760 56 56Ran 500 12 500 150 7065 5 5Ran 500 15 500 150 866 5 5

表 5.7: 実験 2の結果 (dH = m/2)

Instance n m Time(best)[s] Our Best knownGeo 250 17 250 75 388 124.63 124.63Geo 500 11 500 150 time over 93.74 93.97Geo 500 17 500 150 time over 129.3 129.49Geo 500 20 500 150 2791 123.43 123.43Ran 500 3 500 50 4587 56 56Ran 500 8 500 50 time over 55 56

実験 2の結果を 5.6，表 5.7に示す. 実験 2は，実験 1で提案手法によって Best known

が得られなかった 20個の入力に対して行った. 表 5.6の結果から，新たに 14個の入力で

Best knownが得られた. この結果から，提案手法は計算時間を大きめに設定することで，

良い結果が得られることがわかる. したがって，アルゴリズムの高速化が性能の向上に繋

がることがわかる. 提案手法では，部分再構築操作が全体の計算時間の 8割程を占めてい

る. よって，もし部分再構築操作の高速化を実現することが出来れば，アルゴリズム全体

の性能が向上すると思われる. これは今後の検討課題である. また，表 5.7より，パラメー

タ dH を変えて実験を行ったところ，さらに 3個の入力で Best knownが得られた. 最終的

に提案手法によって Best knwonが得られた入力の数は，全入力 120個のうち，117個で

22

あった. また，文献 [11]の結果，Drop-Add Searchは計算時間を大きく設定して実行した

場合 (maxNogain = 2000000n)，最終的に 112個の入力で Best knownを得られた. 結果的

に提案手法は，Drop-Add Searchよりも Best knownが得られる入力の数で上回った. よっ

て，提案手法は Drop-Add Searchにも劣らない性能を持っていることがわかった.

提案手法は，Approach Based on Max-Clique Method (2009年)[10]や，A Variable Neigh-

borhood Search Method (2012 年)[12] の結果と比較すると，Best known を出力した入力

の数，計算時間ともに優れた結果を出すことは出来なかった. 文献 [10]は最大クリーク問

題の解法を利用した解法であり，手法の直接的な比較は出来ない. 文献 [12]では，plateau

searchによる局所探索法を用いて，解の近傍を丁寧に調べている. それに比べて提案手法

は，突然変異操作による局所最適解からの脱出を中心とした手法であり，解の近傍を丁寧

に調べていない. その結果，提案手法では，入力によっては，ある程度評価値の高い解を

得ることが出来ても，評価値が Best knownに達する解を得ることが難しくなっていると

思われる. 提案手法は遺伝的アルゴリズムの遺伝子操作として，部分再構築操作と簡単な

選択操作だけを組み込んだシンプルな構造である. よって，提案手法を拡張し，近傍をよ

り丁寧に調べる操作を加えることが出来れば，アルゴリズムの性能の向上に繋がる可能性

がある. これは今後の検討課題である.

23

第 6章

あとがき

本論文では，Facility Dispersion問題の局所探索法に基づくメタヒューリスティックス

による解法について述べ，次に解の集団を扱うメタヒューリスティックスである遺伝的ア

ルゴリズムによる，新しい Facility Dispersion問題の解法を提案した. 提案手法は，遺伝

的アルゴリズムの遺伝子操作の一つである突然変異として，部分再構築操作を用いる点に

特徴がある. 計算機実験によって，局所探索法に基づくいくつかの従来手法との比較を行

い，比較的良好な結果を示した.

遺伝的アルゴリズムでは，部分再構築操作を局所探索法と組み合わせて使うことも出来

るが，提案手法では，あえて局所探索法は使用しなかった. それにもかかわらず提案手法

では，120個のベンチマーク問題の入力のうち，117個の入力で Best knownを得られた.

これは比較的近年の手法と比べても，良い結果であった. よって，これまで有効とされて

きた局所探索法を一切使用していない，部分再構築操作を組み込んだ独自の遺伝的アルゴ

リズムによる，Facility Dispersion 問題の新しい解法の有効性を示すことが出来た. しか

し，提案手法は最新の局所探索法による手法を上回ることが出来なかった. また，提案手

法では，部分再構築操作が全体の計算時間の 8割程を占めていることがわかった.

提案手法は遺伝的アルゴリズムの遺伝子操作として，部分再構築操作と簡単な選択操作

を組み込んだシンプルな構造である. そのため，最新の局所探索法で行っているような，

解の近傍を丁寧に調べる操作は行っておらず，部分再構築操作による局所最適解からの脱

出のみで解の改善を図っている. よって，部分再構築操作だけではなく，局所探索法を新

たに組み込むことや，有効な交叉を考案し，それを組み込むことが今後の課題として挙げ

られる. また，部分再構築操作の高速化を実現することが出来れば，アルゴリズム全体の

性能が向上すると思われる. よってこれも今後の課題である.

24

謝辞

本研究を進めるにあたり，有意義な討論とご指導を頂いた神戸大学大学院工学研究科，

増田澄男教授，山口一章准教授，斎藤寿樹助教に深く感謝致します．また，色々な面で手

助けして頂いたアルゴリズム研究室の院生，学部生にも深く感謝致します．

25

参考文献

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isum Dispersion Problem,” Geographical Analysis, Vol.19, No.4, pp.319 – 329, 1987.

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tics,” Annals of Operations Research, Vol.40, No.1, pp.265 – 281, 1992.

[8] J. B. Ghosh, “Computational Aspects of the Maximum Diversity Problem,” Computers

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[11] D. C. Porumbel, J-K. Hao and F. Glover, “A Simple and Effective Algorithm for the

MaxMin Diversity Problem,” Annals of Operations Research, Vol.186, No.1, pp.275 –

293, 2011.

26

[12] B. Saboonchi, P. Hansen and S. Perron, “Franchise Location Models and Cannibaliza-

tion Effects: A Variable Neighborhood Search Approach,” Les Cahiers du GERAD,

G-2012-60.

[13] 片山謙吾,定松政史,南原英生,成久洋之, “最大クリーク問題に対する進化的アルゴリ

ズム,” 情報処理学会論文誌, Vol.49, No.11, pp.3715 – 3724, 2008.

[14] Rafael Marti, “Rafael Marti,” http://www.uv.es/rmarti/paper/mdp.html

[15] IBM, “IBM - Mathematical Programming: Linear Programming, Mixed-Integer

Programming and Quadratic Programming - IBM ILOG CPLEX Optimizer -

Software:,” http://www-01.ibm.com/software/integration/optimization/

cplex-optimizer

[16] D. C. Porumbel, J-K. Hao and F. Glover, “Code and solutions for the best lower bounds

of the MMDP instances used in the paper:,” http://www.info.univ-angers.fr/

pub/hao/mmdp.html

発表論文リスト

[1] 山田光宏，山口一章，斎藤寿樹，増田澄男，“部分再構築操作を組み込んだ GAによる

Facility Dispersion問題の解法，”進化計算シンポジウム 2012講演論文集 CD-ROM,

S1-18, 2012.