場の量子論

平成 25 年 7 月 18 日

目 次

第 1章 場の量子論とは 1

1.1 場の量子論 v.s.量子力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 粒子数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 同種粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 粒子数の生成・消滅をどのように表すか . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 統計性はどのように表されるか . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 場の演算子と第二量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

第 2章 正準量子化 7

2.1 解析力学復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 ラグランジュ形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 正準運動量とハミルトニアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3 ポアッソン括弧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.4 簡単な系での例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 交換子積とその性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 正準量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 シュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像 . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 シュレーディンガー描像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2 ハイゼンベルク描像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3 二つの描像間の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

第 3章 調和振動子の正準量子化 25

3.1 古典論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 エネルギー固有値，エネルギー固有状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 物理量の期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4.1 ＜参考＞ x表示の波動関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

第 4章 弦の正準量子化 38

4.1 古典論：弦の解析力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

ii

iii

4.1.1 ラグランジアン，ラグランジアン密度 . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.2 最小作用の原理と運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.3 共役運動量とハミルトニアン・ハミルトニアン密度 . . . . . . . . . 42

4.1.4 Poisson括弧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.5 空間座標＝自由度のラベル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 弦の量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 正準交換関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.2 Heisenberg方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 正準量子化のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

第 5章 シュレーディンガー場の量子論 50

5.1 シュレーディンガー場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2 解析力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.1 ラグランジアン密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.2 共役運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.3 ハミルトニアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.4 ポアッソン括弧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 量子論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.1 正準量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4 1次元自由粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4.1 平面波解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4.2 平面波解による展開１：古典場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4.3 平面波解による展開 2：量子場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4.4 ハミルトニアン演算子，運動量演算子，個数演算子 . . . . . . . . . 63

5.4.5 粒子描像：真空，1粒子状態，多粒子状態 . . . . . . . . . . . . . . 64

5.4.6 統計性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5 L→ ∞の極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.6 量子力学との対応関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.6.1 1粒子の量子力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.6.2 場の量子論における 1粒子状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.6.3 場の演算子の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

第 6章 シュレーディンガー場の量子論その２：フェルミ粒子 77

6.1 交換関係とボーズ統計性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2 フェルミ統計性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3 反交換子積の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.4 反交換関係によるシュレーディンガー場の量子化 . . . . . . . . . . . . . . 81

6.4.1 量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.4.2 ハイゼンベルク方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

iv

6.4.3 運動量表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.5 粒子描像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.6 量子力学との関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.7 補足：統計性と波動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

第 7章 相対論的波動方程式 89

7.1 非相対論的量子力学の復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.1.1 波動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.1.2 確率解釈，確率の保存 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.1.3 スピン自由度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2 Klein-Gordon方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.2.1 試み１ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.2.2 試み２：クライン-ゴルドン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.3 Dirac方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.3.1 試み３：ディラック . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.3.2 Dirac方程式における保存量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.3.3 Dirac方程式の平面波解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.3.4 ディラックの海と陽電子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.3.5 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

第 8章 相対論的場の量子論１：スカラー場 110

8.1 解析力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.1.1 ラグランジアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.1.2 共役運動量，ハミルトニアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.1.3 Poisson括弧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.2 正準量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.2.1 正準交換関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.2.2 ハミルトニアン演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.2.3 ハイゼンベルク方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.2.4 平面波解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.2.5 平面波展開と生成消滅演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.2.6 ハミルトニアンの生成消滅演算子による表示 . . . . . . . . . . . . . 120

8.2.7 運動量演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.2.8 粒子描像：真空，1粒子状態，多粒子状態 . . . . . . . . . . . . . . 121

8.2.9 「電荷」 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.3 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

第1章 場の量子論とは

1.1 場の量子論 v.s.量子力学

場の量子論とはどんなものかを見るため，とりあえず，学部時代に習った量子力学と比

較してみよう．

1.1.1 粒子数

場の量子論 場の量子論では，粒子数は変化してもよい．粒子の生成・消滅を扱える．し

たがって，粒子数の変化する現象に対しては，場の量子論を必要とする．

光子は，原子などから放出・吸収されるので，光子数は容易に変化する．また，高

エネルギーの現象では，電子なども反粒子と対で，対生成・対消滅が起き得るので，

やはり粒子数は変化する．

量子力学 量子力学では，粒子数は固定されている．

• 1粒子の波動関数：ψ(r)

• 2粒子の波動関数：ψ(r1, r2)

• 3粒子の波動関数：ψ(r1, r2, r3)

　・・・・・

• n粒子の波動関数：ψ(r1, r2, · · · , rn)

例えば 2粒子の問題を扱う場合は，最初から最後まで，2粒子の波動関数を扱う．

したがって，粒子数の変化する現象に対しては，量子力学は使えない．

1.1.2 同種粒子

場の量子論 場の量子論では，同種粒子の統計性は最初から理論に組み込まれている．

量子力学 量子力学では同種粒子の統計性は，手で要求しなければならない．

例えば，同種 2粒子の系を考えてみよう．

1

2

ψ(r1, r2)で与えられる状態を考える．同種粒子であれば，粒子 1と粒子 2を入れ替

えても状態は変わらないから，その状態は，定数倍の不定性を除いて，同じ波動関

数で表されるはずである：

ψ(r2, r1) = Cψ(r1, r2).

この式において，変数 r1と r2を入れ替えれば，

ψ(r1, r2) = Cψ(r2, r1).

この右辺に第一式を代入することで，

ψ(r1, r2) = C2ψ(r1, r2)

が成り立ち，結局，

C2 = 1, or C = ±1

が成り立つ．すなわち，同種 2粒子の波動関数は，

ψ(r1, r2) = ±ψ(r2, r1)

を満たさなければならない1．

このように，同種粒子の系の状態を表す波動関数には，座標の入れ替えに関する対

称性が成り立たなければならない．しかし，シュレーディンガー方程式の解という

だけでは，この性質は出てこないので，この対称性は手で要求することになる．

例として，お互いの相互作用が無視できる 2個の電子からなる系を考えてみよう．粒

子間の相互作用が無視できるので，それぞれの電子の状態は，1粒子の波動関数で

記述できる．1番目の粒子の状態を 1粒子の波動関数ψ1(r1)で, 2番目の粒子の状態

を 1粒子の波動関数ψ2(r2)で表したとしよう．もし，同種粒子でなければ，全体の

2粒子系としての状態は，

ψ(r1, r2) = ψ1(r1)ψ2(r2)

で表されるのであるが，今の場合は同種粒子であるので，統計性に対応する対称性

をみたさないこの波動関数は採用することができない．統計性（今の場合は，電子

なのでフェルミ統計）を満たすためには，

ψ(r1, r2) =1√2[ψ1(r1)ψ2(r2)− ψ1(r2)ψ2(r1)]

1 この粒子を入れ替えたときに±1が出ることが統計性に対応している．+1に対してはボーズ統計（またはボーズ・アインシュタイン統計）が対応し，−1に対してはフェルミ統計（またはフェルミ・ディラック統計）が対応する．ボーズ統計にしたがう粒子をボーズ粒子（またはボソン，boson），フェルミ統計にしたがう粒子をフェルミ粒子（またはフェルミオン, fermion）と呼ぶ．フェルミ粒子にはパウリの排他原理が成り立つ．例えば，2粒子が同じ位置rにくる確率振幅は，r1 = r2 = r

を波動関数に代入すればよく，ψ(r, r) で与えられる．ところが，フェルミ統計にしたがうので，二つの rを入れ替えればマイナスがでるので，

ψ(r, r) = −ψ(r, r) = 0

となって，このような確率振幅はゼロとなる．すなわち，フェルミ粒子は同じ場所に二個は存在できない．

3

としなければならない．同種粒子の個数がもっと多い場合も同様である2.

1.1.3 まとめ

量子力学 場の量子論

粒子数 　固定されている　 変化できる

　同種粒子の統計性　 　手で要求する　 　自動組み込み　

　　　　

1.2 粒子数の生成・消滅をどのように表すか

場の量子論では粒子数の変化を許すため，いろいろな粒子数の状態，

{ 0粒子状態 (真空), 1粒子状態, 2粒子状態, 3粒子状態, · · · }

をまとめて扱うことになる．そのためには，粒子数の異なる状態を結びつける演算子が必

要となる．

真空状態を |0〉, 運動量 pの粒子が 1個ある様態を |p〉, 運動量 p, p′ の 2粒子状態を

|p,p′〉で表そう．これらの間を結ぶ演算子が必要となる：

|0〉 ↔ |p〉 ↔ |p,p′〉 ↔ · · ·

このような演算子として，

　　 a(p): 運動量 pの粒子を一個消す演算子（消滅演算子）

　　 a†(p): 運動量 pの粒子を一個生成する演算子（生成演算子）

を考えよう．つまり，これらは，

a(p′)|p,p′〉 = |p〉, a(p)|p〉 = |0〉, a(p)|0〉 = 0,

a†(p)|0〉 = |p〉, a†(p′)|p〉 = |p,p′〉, · · ·

を満たすものとする3．

2 例えば，互いの相互作用を無視できる n個の電子があり，i番目の電子の状態が ψi(ri)で与えられるとき，全体としての波動関数は，

ψ(r1, r2, · · · , rn) =1√n!

det [ψi(rj)]

とすればよい．右辺の行列式は，i，j を行列の添え字としてとったもので，スレーター行列式と呼ばれる．3 消滅演算子が真空に作用したら，真空にはこれ以上消す粒子がないのでゼロベクトルになっている

(a|0〉 = 0)ことに注意しよう．同様に，p 6= p′ であれば，

a(p)|p′〉 = 0 (p 6= p′)

も成り立つ．

4

上の性質から，真空 |0〉 に，a†(p)を作用して粒子を一個作り，さらに a(p)を作用して

その粒子を消せば，もとの真空に戻るはずである：

a(p)a†(p)|0〉 = |0〉. (1.2.1)

一方，真空に作用する演算子の順番を替えれば，当然ゼロになる：

a†(p)a(p)|0〉 = 0. (1.2.2)

辺々の差をとれば， (a(p)a†(p)− a†(p)a(p)

)|0〉 = |0〉 (1.2.3)

が成り立つ．これは，a, a†が交換関係

[ a(p), a†(p) ] = 1 (1.2.4)

をみたせば成り立つ4．ここで，[ , ]は交換子 ([A,B] = AB −BA)である．

場の量子論では，このような交換関係をみたすものとして，生成消滅演算子が現れる．

生成消滅演算子に対する上の交換関係は，ちょうど調和振動子の生成消滅に対する交換

関係と同じであることに注意しよう．実際，場の量子論では無限個の調和振動子の系とし

て，理論が組み立てられるのである．

1.3 統計性はどのように表されるか

前節で考えた二粒子状態 |p,p′〉は，真空に生成演算子を二回作用することにより，

|p,p′〉 = a†(p)a†(p′)|0〉

と表される．一方，同種粒子の統計性を考えれば，この二粒子状態は，

|p,p′〉 = ±|p′,p〉 (＋： ボーズ統計，－：フェルミ統計)

を満たさなければならない．したがって，生成演算子の積の性質として，

a†(p)a†(p′) = ±a†(p′)a†(p) (＋： ボーズ統計，－：フェルミ統計)

が得られる．あるいは，これを書き直すと，

[ a†(p), a†(p′) ] = 0 (ボーズ統計) (1.3.1)

{a†(p), a†(p′)} = 0 (フェルミ統計) (1.3.2)

とできる．ここで，{ , }は反交換子 ({A,B} = AB +BA)である．

4 もちろんこれは十分条件であり，必要十分条件として導出したわけではない．

5

さて，前節では，生成演算子と消滅演算子の間に，交換関係 (1.2.4)が成り立てばいい

ことを見てきた．このときには，(1.2.1)式から (1.2.2)式を引いて (1.2.3)を出した．しか

し，(1.2.1)式に (1.2.2)式を足しても同様な式，(a(p)a†(p) + a†(p)a(p)

)|0〉 = |0〉 (1.3.3)

を導くことができる．したがって，これからは，a, a†が反交換関係

{ a(p), a†(p) } = 1 (1.3.4)

を満たすとしてもよかったのである．

場の量子論では，ボーズ粒子に対するは生成消滅演算子に対しては，交換関係を用い，

フェルミ粒子に対しては反交換関係を用いる．すなわち，一般に，ボーズ粒子に対しては，

[ a(p), a†(p′) ] = δp,p′ (1.3.5)

[ a†(p), a†(p′) ] = 0 (1.3.6)

[ a(p), a(p′) ] = 0 (1.3.7)

なる交換関係を用い，フェルミ粒子に対しては，

{ a(p), a†(p′) } = δp,p′ (1.3.8)

{ a†(p), a†(p′) } = 0 (1.3.9)

{ a(p), a(p′) } = 0 (1.3.10)

なる反交換関係を用いることで，それぞれの統計性を表している．このように交換関係ま

たは反交換関係が設定されていれば，あとは，真空に生成演算子を何回か作用することに

よって作られる任意の状態には，統計性が自動的に組み込まれるているのである．

1.4 場の演算子と第二量子化

これまでは，粒子数が変化する状況として，1粒子状態，2粒子状態の例を考える際，状

態のラベルとして運動量を用いた．例えば，一粒子状態としては |p〉 を考えた．これは，1粒子の量子力学でいえば，運動量表示で考えていることに相当する．座標表示の量子力

学で無理矢理，粒子数が変化できるような状況を考えようとしたらどうなるだろうか．

1粒子の状態は波動関数

ψ(r)

で表される．2粒子の状態は，互いに相互作用しなければ，1粒子波動関数の積

ψ1(r1)ψ2(r2)

6

で表される（実際はこれに，統計性に対応する対称化をする)．3粒子状態であれば，

ψ1(r1)ψ2(r2)ψ3(r3)

これらの状態の間を取り持つ，粒子数を変える演算子を考えなければならない．そのため

には，1粒子の波動関数の個数を増やしたり減らしたりしなければならない．とすれば，

波動関数自身が演算子のようなものであればいいだろう・・・．

これはあくまでも，非常にいい加減な推測であるが，場の量子論では，実際に，この推

測が実現されているのである．すなわち，場の量子論では，波動関数が演算子に昇格され

ているのである（この演算子を「場の演算子」という）．

では，波動関数を演算子にするとはどういうことだろうか．そもそも波動関数は，古典

的な物理量 rや pを演算子に昇格させ，その演算子が作用する対象として導入されたも

のである．つまり，古典的な粒子を量子化することで波動関数が現れ，この波動関数を，

一端，古典的な波動の場だと思い直すことにより，その量子化を考えるのである．こうし

て，粒子を量子化することで出てきた波動場を，再度量子化しようするので，場の量子化

のことを第二量子化と呼ぶことがある．

電磁場は，古典的には波動と考えられていた．この波動場を量子化（一回目の量子化だ

けれど第二量子化）すると生成消滅演算子が現れ，粒子性が取り組める．こうして出てく

る粒子が光子である．

一方，電子などは古典的には粒子として考えられていた．これを量子化（第一量子化）

することで波動関数が現れ，波動性をとりいれることが出来た．さらにこの波動関数を量

子化（第二量子化）することで再び粒子性が現れるのである．

このように，一般に，古典的粒子を量子化すると波動性が現れ，古典的波動を量子化す

ると粒子性が現れる．こうして，量子論における粒子性と波動性は，互いに関連している

のである．

第2章 正準量子化

2.1 解析力学復習

2.1.1 ラグランジュ形式

（一般化)座標変数を qi （i = 1, 2, · · · , N)とする系のラグランジアン L(qi, qi)は

L(qi, qi) = K(qi, qi)− V (qi) (2.1.1)

で表される．ここで，qi は (一般化)速度変数 (qi = dqi/dt)であり，K(qi, qi)は運動エネ

ルギー，V (qi)ポテンシャルエネルギーである．

ラグランジアンが与えられると，それを用いて運動方程式を次のように表すことができ

る (Euler-Lagrange方程式，E-L eq.):

d

dt

∂L

∂qi=∂L

∂qi. (i = 1, 2, · · · , N) (2.1.2)

2.1.2 正準運動量とハミルトニアン

ラグランジアンが与えられると，それから qiに共役な正準運動量 piを定義することが

できる．

pi =∂L

∂qi. (2.1.3)

(注意) この piは上の E-L eq. (2.1.2)の左辺に含まれていることに注意しよう．つまり，

piを使えば，E-L eq. はdpidt

=∂L

∂qi(2.1.4)

と表される．

ハミルトニアンHを次で定義する，

H =N∑i=1

piqi − L. (2.1.5)

7

8

このとき，Hの微分をとると1

dH =N∑i=1

(dpiqi + pidqi)−N∑i=1

(∂L

∂qidqi +

∂L

∂qidqi

)

=N∑i=1

dpiqi −N∑i=1

∂L

∂qidqi. (2.1.6)

2番目の等号では，piの定義 (2.1.3)から dqiの項が相殺されて消えていることに注意しよ

う．この結果をみると，ハミルトニアンH は qiと piの関数と考えるのが自然であろう．

以後，ハミルトニアンと言ったら，この qiと piを変数とする関数H(qi, pi)として考える．

(ハミルトン関数ともいう）．そうすると，Hの全微分の一般形

dH(pi, pi) =N∑i=1

∂H

∂pidpi +

N∑i=1

∂H

∂qidqi (2.1.7)

と，上の式 (2.1.6)を比較すれば，

∂H

∂pi= qi,

∂H

∂qi= −∂L

∂qi.

これに E-L eq. (2.1.4)を合わせて考えれば，ハミルトンの運動方程式が得られる：

dqidt

=∂H

∂pi(2.1.8)

dpidt

= −∂H∂qi

. (2.1.9)

2.1.3 ポアッソン括弧

一般の物理量 (力学変数)は，正準変数 qi, piの関数で表される．物理量A = A(qi, pi),

B = B(qi, pi)があるとき，これらのポアッソンの括弧式 (Poisson bracket; Pb)は，次の

式で定義される:

{A, B}Pb =N∑i=1

(∂A

∂qi

∂B

∂pi− ∂A

∂pi

∂B

∂qi

). (2.1.10)

1 全微分の公式の復習：一般に，2変数関数 f(x, y)の全微分は，

df(x, y) =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy

と表される．変数が 3以上の場合も同様．

9

ポアッソン括弧と運動方程式

正準変数 qi, piの関数である物理量Aの時間変化は，は，qi，piを通しての変化である

ので，

dA

dt=

N∑i=1

(∂A

∂qi

dqidt

+∂A

∂pi

dpidt

)

=N∑i=1

(∂A

∂qi

∂H

∂pi− ∂A

∂pi

∂H

∂qi

)2行目では，ハミルトンの運動方程式 (2.1.8), (2.1.9)を用いた．最右辺の形をみると，こ

れはAとHのポアッソン括弧である．したがって，一般に，物理量Aの時間変化は次で

表される．dA

dt= {A, H}Pb. (2.1.11)

特にAとして qi, piを選べば，ハミルトンの運動方程式 (2.1.8), (2.1.9)も

dqidt

= {qi, H}Pb (2.1.12)

dpidt

= {pi, H}Pb (2.1.13)

と表される．

ポアッソン括弧の性質

ポアッソン括弧の定義式 (2.1.10)より，次の性質が導かれる：

(i) 反対称性

{A, B}Pb = −{B, A}Pb

(ii) 線形性 (or 分配法則と定数倍)

{A, cB + c′B′}Pb = c{A, B}Pb + c′{A, B′}Pb

{cA+ c′A′, B}Pb = c{A, B}Pb + c′{A′, B}Pb

ただし， c, c′は定数，

(iii) 積の微分公式 (ライプニッツ則)の類似形

{A, BC}Pb = {A, B}PbC +B{A, C}Pb

{AB, C}Pb = {A, C}PbB + A{B, C}Pb

10

(iv) ヤコビの恒等式

{A, {B, C}Pb}Pb + {B, {C, A}Pb}Pb + {C, {A, B}Pb}Pb = 0.

(v) 正準変数間のポアッソン括弧

{qi, qj}Pb = {pi, pj}Pb = 0,

{qi, pj}Pb = −{pi, qj}Pb = δij =

{1 (i = j)

0 (i 6= j)

これらの性質がポアッソン括弧の定義 (2.1.10)から出てくることを見るのは易しい．性

質 (i)は定義から自明．性質 (ii)と (iii)は定義に含まれる微分の性質をそのまま引き継い

だもの．性質 (iv)は，一目ではわからないかもしれないが，定義に基づいて地道に計算す

れば成り立つことがわかる．性質 (v)も直接の計算で容易に確かめられる．

問 2.1 ポアッソン括弧の定義 (2.1.10)に基づいて性質 (i)～(iii)を確かめよ．

問 2.2 定義 (2.1.10)に基づいて性質 (v)を確かめよ．

問 2.3 定義 (2.1.10)に基づいて性質 (iv)を確かめよ．

問 2.4 Aに対応した「演算子」DAを次で定義する：

DAX = {A, X}Pb.

ポアッソン括弧の性質 (ii)の一番目の式と，性質 (iii)の一番目の式をDAを用いて

表せ．

問 2.5 上の問題のDAを使うと，性質 (iv) (ヤコビの恒等式) は次の式に帰着されること

を確認せよ．

DA{B, C}Pb = {DAB, C}Pb + {B, DAC}Pb.

問 2.6 上の問 2.4，問 2.5 の出題意図（or 鑑賞ポイント）を推測せよ．

性質 (i)～(v)がポアッソン括弧を特徴付ける

上で見たように，ポアッソン括弧の性質 (i)～(v)は，定義 (2.1.10)から導かれた．この

逆も成立することをここで強調しておきたい．すなわち，

11

　性質 (i)～(iii), (v)を満たす括弧式があれば，それは (2.1.10)て定義されるものに他

ならない．2

このことを，自由度 1の場合 (N = 1)で，次の順で見ていこう．(ちょっと長くなるの

で，とりあえず認めてもらえれば，以下をスキップしても構わない．）

(1) {A, 1}Pb = 0 が成り立つこと.

性質 (iii)において，C = 1とおけば，

{A, B · 1}Pb = {A, B}Pb · 1 +B{A, 1}Pb.

これが，任意のBに対して成り立つためには，

{A, 1}Pb = 0

が成り立たなければならない．

特に， {q, 1}Pb = 0, {p, 1}Pb = 0.

(2) {A, qn}Pb = {A, q}Pb nqn−1, {A, pn}Pb = {A, p}Pb np

n−1 が成り立つこと．

nに関する帰納法を使って，前半の式を示そう．

n = 0のときは，右辺は 0，左辺も (1)の結果から 0となって成立．

n = 1のときは，右辺も左辺も同じ式で，そのまま成り立つ．

nのときまで成り立つと仮定して，n+ 1の場合を考える：

性質 (iii)より，

{A, qn+1}Pb = {A, q qn}Pb

= {A, q}Pb qn + q {A, qn}Pb

第 2項に帰納法の仮定を使えば,

= {A, q}Pb qn + q {A, q}Pb nq

n−1

= {A, q}Pb (n+ 1)qn

となるので，確かにn+1のときにも成り立つ．したがって，{A, qn}Pb = {A, q}Pb nqn−1q

はすべての nに対して成り立つ．

{A, pn}Pb = {A, p}Pb npn−1が成り立つことも全く同様に示せる．

2Qi = Fi(qj , pj), Pi = G(qj , pj)なる変数 (Qi, Pi)の組で (v)を満たすものがあれば，Poisson括弧は，

{A, B}Pb =N∑i=1

(∂A

∂Qi

∂B

∂Pi− ∂A

∂Pi

∂B

∂Qi

).

とも表されることも，このことから直ちにわかる．

12

(3) {A, B}Pb = {A, p}Pb ∂B/∂p+ {A, q}Pb ∂B/∂q が成り立つこと．

B = B(p, q)をテイラー展開して，B =∑

n,m cnmpnqmと考えれば，性質 (ii), (iii)

より，

{A, B}Pb =∑n,m

cnm{A, pnqm}Pb

=∑n,m

cnm ({A, pn}Pb qm + pn {A, qm}Pb)

ここで，(2)の結果を使うと，

=∑n,m

cnm({A, p}Pb np

n−1 qm + pn {A, q}Pbmqm−1)

=∑n,m

cnm

({A, p}Pb

∂(pnqm)

∂p+ {A, q}Pb

∂(pnqm)

∂q

)= {A, p}Pb

∂B

∂p+ {A, q}Pb

∂B

∂q.

(4) {A, p}Pb = ∂A/∂q, {A, q}Pb = −∂A/∂p が成り立つこと．

(3)で示された式において，Aとして p，BとしてAを使うと，

{p, A}Pb = {p, p}Pb

∂A

∂p+ {p, q}Pb

∂A

∂q= −∂A

∂q

が成り立つ．ここで，2番目の等号では，性質 (v)の {p, p}Pb = 0, {p, q}Pb = −1を

用いた．これと，性質 (i)を使えば，

{A, p}Pb = −{p, A}Pb =∂A

∂q.

同様に，(3)の式において，Aを qに，BをAに置き換えれば，

{q, A}Pb = {q, p}Pb

∂A

∂p+ {q, q}Pb

∂A

∂q=∂A

∂p.

2番目の等号では性質 (v)の {q, p}Pb = 1, {q, q}Pb = 0を使った．これと性質 (i)

より，

{A, q}Pb = −{q, A}Pb = −∂A∂p

.

(5) {A, B}Pb =∂A

∂q

∂B

∂p− ∂A

∂p

∂B

∂qが成り立つこと．

(3)と (4)の結果を使えば，

{A, B}Pb = {A, p}Pb

∂B

∂p+ {A, q}Pb

∂B

∂q

=∂A

∂q

∂B

∂p− ∂A

∂p

∂B

∂q.

13

(注意) 上の (4)の式において ∂A/∂p = 0 または ∂A/∂q = 0の場合，すなわち，A(p, q) =

f(q)またはA(p, q) = g(p) の場合には，次の性質が成り立つことがわかる．

{q, f(q)}Pb = {f(q), q}Pb = 0, (2.1.14)

{p, g(p)}Pb = {g(p), p}Pb = 0. (2.1.15)

2.1.4 簡単な系での例

ここまでのまとめを兼ねて，次のような簡単な系で復習してみよう．

質量mの 1次元粒子を考える．ポテンシャルは V (x)とする．

ラグランジアン

L(x, x) =m

2x2 − V (x). (2.1.16)

E-L eq.は

md2x

dt2= −∂V (x)

∂x. (2.1.17)

運動量 p

p =∂L

∂x= mx. (2.1.18)

ハミルトニアン

H(p, x) = px− L

= mxx−(m2x2 − V (x)

)=m

2x2 + V (x)

=p2

2m+ V (x). (2.1.19)

途中の計算では，変数を何にしてもよいが，最終形は pと xで表わさないとハミルトニア

ンとは言えないことに注意しよう．

14

ポアッソン括弧

{A(p, x), B(p, x)}Pb =∂A(p, x)

∂x

∂B(p, x)

∂p− ∂A(p, x)

∂p

∂B(p, x)

∂x. (2.1.20)

正準変数 p, x間のポアッソン括弧

{x, x}Pb = 0, {p, p}Pb = 0 (2.1.21)

{x, p}Pb = −{p, x}Pb = 1. (2.1.22)

ハミルトンの運動方程式

さて，ポアッソン括弧で表したハミルトンの運動方程式 (2.1.12), (2.1.13) を求めてみよ

う．ここでは，ポアッソン括弧の定義式 (2.1.20)を使わずに，正準変数間のポアッソン括

弧 (2.1.21), (2.1.22) と性質 (i)～(iii)だけを使うことにする．

dx

dt= {x, H}Pb

=

{x,

p2

2m+ V (x)

}Pb

(Hを代入)

=1

2m{x, p2}Pb + {x, V (x)}Pb (性質 (ii)より)

=1

2m({x, p}Pbp+ p{x, p}Pb) + 0 (性質 (iii)と {x, f(x)}Pb = 0より)

=1

2m2p ((2.1.22)より)

=p

m. (2.1.23)

4行目で使った {x, f(x)}Pb = 0は，ポアッソン括弧の性質 (i)～(iii)と (2.1.21) から出て

くる式 (2.1.14) である．

dp

dt= {p, H}Pb

=

{p,

p2

2m+ V (x)

}Pb

(Hを代入)

=1

2m{p, p2}Pb + {p, V (x)}Pb (性質 (ii)より)

= 0− ∂V (x)

∂x((2.1.21), (2.1.22)と性質 (i)～(iii)より)

= −∂V (x)

∂x(2.1.24)

4行目への変形で使った {p, V (x)}Pb = −∂V (x)/∂x は，もちろん，12ページの (4)を用

いた．これは，ポアッソン括弧の性質 (i)～(iii)と (v)から導かれたものである．

15

2.2 量子化

2.2.1 交換子積とその性質

量子論では，古典的な物理量A, Bに対応して，演算子 A, Bが量子論的な物理量にな

る．演算子であるため一般には積の順番が交換できない：

AB 6= BA,

すなわち，

AB − BA 6= 0.

そこで，一般には 0にならない左辺の量に対して次の交換子積 (or交換子)を定義する：

[A, B] = AB − BA (2.2.1)

交換子積は二つの演算子の「交換のしにくさの度合」を表すものと考えてよい．特に，

AB = BA ⇐⇒ [A, B] = 0 (2.2.2)

が成り立つ．

また，交換子積は二つの演算子を交換したときの「おつり」と考えることもできる：

AB = BA+ [A, B] (2.2.3)

交換子積の性質

(i) 反対称性

[A, B] = −[B, A]

(ii) 線形性 (分配法則，定数倍)

[A, cB + c′B′] = c[A, B] + c′[A, B′]

[cA+ c′A′, B] = c[A, B] + c′[A′, B]

ここで，c, c′は演算子ではない普通の数 (c数という)．

(iii) 積の微分公式 (ライプニッツ則)に類似した式

[A, BC] = [A, B]C + B[A, C]

[AB, C] = [A, C]B + A[B, C]

(iv) ヤコビの恒等式

[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0.

16

問 2.7 定義 (2.2.1)に基づいて，交換子積の性質 (i)を示せ．

問 2.8 定義 (2.2.1)に基づいて，交換子積の性質 (ii)を示せ．

問 2.9 定義 (2.2.1)に基づいて，交換子積の性質 (iii)を示せ．

問 2.10 定義 (2.2.1)に基づいて，交換子積の性質 (iv)を示せ．

(ヒント：[A, [B, C]]を，一端，[A, [B, C]] = [A, BC]− [A, CB] と分解しておいて，

この右辺に対して先に示しておいた交換子積の性質 (iii)を使い，その結果を再び交

換子でまとめると簡単になるだろう．）

問 2.11 演算子 Aに対して，演算子に作用する演算子LA を次で定義する：任意の演算子Xに対して，

LAX = [A, X].

さて，このとき，交換子積の性質 (ii)の一番目の式と (iii)の一番目の式を，LAを使って表せ．

問 2.12 LAを上の問で定義したものとする．交換子積の性質 (iv)（ヤコビの恒等式）を

LAを使って表すと，LA[B, C] = [LAB, C] + [B, LAC]

と書けることを確かめよ．

問 2.13 LAを用いた上の二つの問の結果を鑑賞せよ．

2.2.2 正準量子化

正準量子化というのは，おおざっぱにいうと，古典的な物理量を次のように演算子（量

子論的な物理量）に置き換えることである：

• A, B −→ A, B

• i~{A, B} −→ [A, B]

古典物理の世界のポアッソン括弧の性質 (i)～(iv)と，量子論の世界の交換子積の性質 (i)

～(iv)がまったく同じ形であることに注意しよう．この事実が，量子論へ移行するときの

橋渡しになっているのである．

17

正準交換関係

古典論では，ポアッソン括弧の定義式は，ポアッソン括弧の性質 (i)～(iii)と正準変数

間のポアッソン括弧 (v)がから導かれた．量子論でも，正準変数間に対応する交換関係を

設定する．

qi，pi (i = 1, 2, · · · , N) を正準変数とする古典論に対する演算子を，qi, piとする．こ

れらの，正準変数の間に次の正準交換関係 (Canonical Commutation Relation; CCR) を

設定する：

[qi, qj] = [pi, pj] = 0

[qi, pj] = −[pi, qj] = i~δij(2.2.4)

これらは，古典的な正準変数の間のポアッソン括弧に対応する式である．（正準変数間の

ポアソン括弧を i~したものが，交換子に置き換わる．）

ハイゼンベルク方程式

ポアッソン括弧を交換子積に置き換えることをハミルトンの運動方程式に適用すれば，

次のハイゼンベルク方程式が得られる：

i~dqidt

= [qi, H]

i~dpidt

= [pi, H](2.2.5)

ここでハミルトニアン演算子 Hは，古典的ハミルトン関数から次の置き換えで得られる：

• H(pi, qi) −→ H = H(pi, qi)

簡単な系での例

ポテンシャル V (x)内の 1次元 1粒子系で考えてみよう．古典的ハミルトン関数は，

H(p, x) =p2

2m+ V (x)

であり，xと pが正準変数である．

正準量子化の操作の元では，x, pは正準交換関係

[x, p] = i~

を満たす演算子 x, pに昇格する．また，ハミルトン関数も，次のハミルトニアン演算子

H =p2

2m+ V (x)

18

に置き換えられる．

ハイゼンベルク方程式を正準交換関係と交換子の性質を使って計算してみよう．

i~dx

dt= [x, H]

=

[x,

p2

2m+ V (x)

](Hを代入)

=1

2m[x, p2] + [x, V (x)] (交換子積の性質 (ii)より)

=1

2m

([x, p] p+ p [x, p]

)+ 0 (交換子積の性質 (iii)，[x, V (x)] = 0より)

=1

2m2i~p (正準交換関係より)

= i~p

m

4行目への変形で，[x, V (x)] = 0を使ったが，これはポアッソン括弧のときと全く同様に

示すことができる．例えば，[x, xn] = 0 を示せば十分であるが，これは，交換子積の性

質 (iii)より [x，x] = 0に帰着される．

i~dp

dt= [p, H]

=

[p,

p2

2m+ V (x)

](Hを代入)

=1

2m[p, p2] + [p, V (x)] (交換子積の性質 (ii)より)

=1

2m· 0 + [p, V (x)]) (正準交換関係より)

= −i~V ′(x) (正準交換関係より)

最後の行にあるV ′(x)は，古典的変数xの関数V (x)を考え，その導関数V ′(x) = ∂V (x)/∂x

において，x→ x の置き換えを行ったものである．つまり，

V (x) =∞∑n=0

cnxn

と表されている関数であれば，

V ′(x) =∂V (x)

∂x=∞∑n=1

cnnxn−1

19

となる．ここで xを演算子 xに置き換えたものが，V ′(x) である3：

V ′(x) =∞∑n=1

cnn xn−1.

結局，[p, V (x)] = −i~V ′(x)を見るには，

[p, xn] = −i~nxn−1

を示せばよい．これもまた，ポアッソン括弧のときと同様に，交換子積の性質 (iii)を使う

ことで，正準交換関係 [p, x] = −i~に帰着される．以上をまとめると，ハイゼンベルク方程式から，

dx

dt=

p

mdp

dt= −V ′(x)

が得られる．これが古典論の運動方程式と全く同じ形をしていることに注意しよう．だか

らこそ，この量子論は，元の古典論を量子化したものだとも言える．

古典論と同じ運動方程式が出てきた理由は量子化の手続きを考えれば明らかであろう．

ポアッソン括弧を交換子積に置き換え，ポアッソン括弧で表されるハミルトンの運動方程

式を交換子積で表しなおしただけであるから．途中計算は，ポアッソン括弧であろうが交

換子積であろうが，全く同じ形の計算になる．

問 2.14 x, pを 1次元 1粒子系の位置と運動量の演算子とする．これらは，次の正準交換

関係をみたす．

[x, p] = i~

このとき，次の式が成り立つことを確認せよ．

[x, xn] = 0,

[x, f(x)] = 0,

[x, pn] = i~npn−1,

[x, g(p)] = [x, p]∂g

∂p(p),

[p, pn] = 0,

[p, g(p)] = 0,

[p, xn] = −i~nxn−1,

[p, f(x)] = [p, x]∂f

∂x(x).

3V (x)はもちろん，今の場合

V (x) =

∞∑n=0

cn xn

で与えられている．

20

ただしここで， 古典的変数の関数，

f(x) =∑n

fnxn, g(p) =

∑n

gnpn

に対して，これらに付随する演算子を次で定義した：

f(x) =∞∑n=0

fnxn,

∂f

∂x(x) =

∞∑n=1

nfn xn−1,

g(p) =∞∑n=0

gnpn,

∂g

∂p(p) =

∞∑n=1

ngn pn−1.

21

2.3 シュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像

ポアッソン括弧で表したハミルトンの運動方程式は，正準量子化をした後では，ポアッ

ソン括弧が交換子積に変わることにより，ハイゼンベルク方程式となった．

ハイゼンベルク方程式は，演算子の時間発展を表す方程式であるので，これはもちろ

ん，ハイゼンベルク描像のもとで考えることになる．そこで，ハイゼンベルク描像と，そ

れと比較されるシュレーディンガー描像とを復習しておこう．なお，以下では，状態を表

すのに（波動関数ではなく) ケットベクトルを用いる

2.3.1 シュレーディンガー描像

シュレーディンガー描像 (Schrodinger picture)では，状態ベクトルが時間とともに変化

する．

状態ベクトルの時間発展を表すのは，シュレーディンガー方程式である：ハミルトニア

ン演算子を Hとし，状態ベクトルを |ψ(t)〉Sとすれば，

i~d

dt|ψ(t)〉S = H|ψ(t)〉S. (2.3.1)

これに対し，物理量を表す演算子は時間に依存しない：OSをシュレーディンガー描像

での演算子とすれば，d

dtOS = 0. (2.3.2)

特に，正準変数 q，pも時間に依らない4．

演算子の指数関数を用いると，上のシュレーディンガー方程式の形式的な解を求めるこ

とができる：

|ψ(t)〉S = e−iHt/~ |ψ(0)〉S. (2.3.3)

これが解であることは，一般に，演算子 Aの指数関数 etAに対して，

d

dtetA = AetA (2.3.4)

が成り立つことから容易に確かめられる．

問 2.15 Aを演算子 (または，正方行列)，tを実数パラメーターとするとき，tAの指数関

数 etA は次で定義される：

etA =∞∑n=0

tn

n!An = 1+ tA+

t2

2!A2 + · · · . (2.3.5)

4シュレーディンガ描像なので，q, pというよりは，OS の書き方で qS, pS．同様に，上のシュレーディンガー方程式におけるハミルトニアン演算子 H ももちろんシュレーディンガー描像での量であるが，ハミルトニアンに関しては敢えて添え字の Sはつけないことにする．

22

（1 は恒等演算子，つまり，かかっても何もしない演算子：1|ψ〉 = |ψ〉．）さて，このとき，次の式が成り立つことを確かめよ．

d

dtetA = AetA = etAA. (2.3.6)

2.3.2 ハイゼンベルク描像

ハイゼンベルク描像 (Heisenberg picture)では，状態ベクトルは変化せず，演算子の方

が時間発展をする．

ハイゼンベルク描像の状態ベクトルを |ψ〉H とすると，|ψ〉Hはシュレーディンガー描像の状態ベクトル |ψ(t)〉Sとの間に，次の関係で結びつけられる：

|ψ〉H = eitH/~|ψ(t)〉S. (2.3.7)

(2.3.3)式と比較すれば，

|ψ〉H = |ψ(0)〉S (2.3.8)

であることがわかるであろう．したがって，また，確かに |ψ〉Hが時間に依存しないこともわかる．

シュレーディンガー描像の演算子 OSに対応するハイゼンベルク描像の演算子 OH(t) は，

OH(t) = eitH/~OSe−itH/~ (2.3.9)

で与えられる．この定義のもとでは，

i~d

dtOH(t) = i~

d

dt

(eitH/~OSe

−itH/~)

=

(i~d

dteitH/~

)OSe

−itH/~ + eitH/~OS

(i~d

dte−itH/~

)= −HeitH/~OSe

−itH/~ + eitH/~OSe−itH/~H

= −HOH(t) + OH(t)H

= [OH(t), H] (2.3.10)

となり，確かに，OH(t)がハイゼンベルク方程式にしたがって時間発展することがわかる．

2.3.3 二つの描像間の関係

ハイゼンベルク描像とシュレーディンガー描像との関係から，次のことが成り立つこと

に注意しておく．

• 二つの描像において，ハミルトニアン演算子は共通である．実際，

HH(t) = eitH/~ H e−itH/~ = eitH/~ e−itH/~ H = H (= HS).

23

• t = 0において二つの描像の状態ベクトルは一致する：

|ψ(0)〉S = |ψ〉H (2.3.11)

• t = 0において二つの描像の演算子は一致する：

OH(0) = OS (2.3.12)

• 状態ベクトル |ψ(t)〉S には |ψ〉H が対応し，演算子 OS には，OH(t) が対応するとき，

OS|ψ(t)〉S には，OH(t)|ψ〉H が対応する．実際，

OH(t)|ψ〉H =(eitH/~OSe

−itH/~)(

eitH/~|ψ(t)〉S)

= eitH/~OSe−itH/~eitH/~|ψ(t)〉S

= eitH/~OS

(e−itH/~eitH/~

)|ψ(t)〉S

= eitH/~(OS|ψ(t)〉S

)(2.3.13)

となる．一番下の行の形が，OS|ψ(t)〉S に対応するハイゼンベルク描像の状態を表している．

• 演算子 OS，O′S にそれぞれ，OH(t)，O

′H(t) が対応するとき，演算子の積 OSO

′S には

OH(t)O′H(t) が対応する．実際，

OH(t)O′H(t) =

(eitH/~OSe

−itH/~)(

eitH/~O′Se−itH/~

)= eitH/~OSe

−itH/~eitH/~O′Se−itH/~

= eitH/~OS

(e−itH/~eitH/~

)eitH/~O′Se

−itH/~

= eitH/~(OSO

′S

)e−itH/~ (2.3.14)

となる．一番下の行の形が，OSO′S に対応するハイゼンベルク描像の演算子を表し

ている．

• シュレーディンガー描像での演算子 OS = f(pS, qS) に対応するハイゼンベルグ描像

の演算子は，OH(t) = f(pH(t), qH(t)) である．

特に，ハミルトニアンは，二つの描像で共通ではあるが，それぞれの描像での正準

変数で表しておくのが便利である：H = H(pS, qS) = H(pH(t), qH(t)).

• OS，O′Sにそれぞれ，OH(t)，O

′H(t)が対応するとき，交換子積 [OS, O

′S]には [OH(t), O

′H(t)]

が対応する．すなわち，

[OH(t), O′H(t)] = eitH/~ [OS, O

′S]e−itH/~ (2.3.15)

24

• 二つの描像で，同一の正準交換関係が成り立つ．すなわち，シュレーディンガー描像では，

[qSi, qSj] = 0, [pSi, pSj] = 0

[qSi, pSj] = −[pSi, qSj] = i~δij (2.3.16)

となり，ハイゼンベルク描像では，

[qHi(t), qHj(t)] = 0, [pHi(t), pHj(t)] = 0

[qHi(t), pHj(t)] = −[pHi(t), qHj(t)] = i~δij. (2.3.17)

• 状態ベクトル |ψ(t)〉S には |ψ〉H が対応し，演算子 OS には，OH(t) が対応するとき，

二つの描像で計算する期待値は等しい:

H〈ψ|OH(t)|ψ〉H = S〈ψ(t)|OS|ψ(t)〉S. (2.3.18)

実際，

左辺 =

{S〈ψ(t)|

(eitH/~

)†}{eitH/~OSe

−itH/~}{

eitH/~ |ψ(t)〉S}

= S〈ψ(t)|e−itH/~ · eitH/~OSe−itH/~ · eitH/~ |ψ(t)〉S

= S〈ψ(t)| OS |ψ(t)〉S=右辺

• 状態ベクトル |ψ(t)〉S には |ψ〉H が対応し，|ψ′(t)〉S には |ψ〉′H が対応するとき，これらの状態間での振幅（＝内積）は二つの描像で一致する：

H〈ψ|ψ′〉H = S〈ψ(t)|ψ′(t)〉S. (2.3.19)

問 2.16 (2.3.12)が成り立つことを確認せよ．

問 2.17 (2.3.15)が成り立つことを確認せよ．

問 2.18 (2.3.16)を仮定して (2.3.17)を示せ．

問 2.19 (2.3.19)が成り立つことを確認せよ．

問 2.20 シュレーディンガー描像における演算子 OS = {pS}n{qS}m に対応するハイゼンベルグ表示の演算子は，OH(t) = {pH(t)}n {qH(t)}m であることを確認せよ．さらには，f(p, q) =

∑n,m cnmp

nqm と級数で表される関数があるとき，シュレーディンガー描像

における演算子 f(pS, qS)に対応するハイゼンベルグ表示の演算子は，f(pH(t), qH(t))

であることを納得せよ．

第3章 調和振動子の正準量子化

3.1 古典論

質量m，角振動数 ωの調和振動子の系のラグランジアンは，

L(x, x) =m

2x2 − mω2

2x2 (3.1.1)

である．これから得られる運動方程式は，

md2x

dt2= −mω2x (3.1.2)

であり，その解は

x = A sin(ωt− α) (3.1.3)

で与えられる．

ラグランジアンから，正準運動量を求めると，

p =∂L

∂x= mx. (3.1.4)

ハミルトニアンは，

H = px− L

= mxx−(m

2x2 − mω2

2x2)

=m

2x2 +

mω2

2x2

=1

2mp2 +

mω2

2x2

すなわち，

H(p, x) =p2

2m+mω2

2x2. (3.1.5)

正準変数は，xと pであり，これらの間のポアッソン括弧は，

{x, x}Pb = 0, {p, p}Pb = 0 (3.1.6)

{x, p}Pb = −{p, x}Pb = 1. (3.1.7)

25

26

3.2 量子化

正準量子化は，正準変数 x, pを正準交換関係をみたすエルミート演算子 x, p に置き換

えることで実行できる：

x −→ x

p −→ p

[x, x] = 0, [p, p] = 0 (3.2.1)

[x, p] = −[p, x] = i~. (3.2.2)

これに応じてハミルトニアンも次のようなハミルトニアン演算子に置き換えられる：

H(p, x) −→ H = H(p, x)

すなわち，

H =p2

2m+mω2

2x2. (3.2.3)

時間発展はこのハミルトニアン演算子によって記述される．

シュレーディンガー描像をとれば，状態の時間発展は次のシュレーディンガー方程式に

よって与えられる:

i~d

dt|ψ(t)〉 = H |ψ(t)〉. (3.2.4)

この解を得るには，ハミルトニアン Hの固有値と固有ベクトルがわかればよい．実際，

H |En〉 = En |En〉 (3.2.5)

なるエネルギー固有値Enとエネルギー固有ベクトル |En〉が求まれば，上の (3.2.4)の解

は，容易にわかるように，

|ψ(t)〉 =∑n

cn e−iEnt/~ |En〉 (3.2.6)

で与えられる．ここで，cnは重ねあわせの係数である．こうして，この量子系を解くこ

とは，エネルギー固有値問題 (3.2.5)を解くことに帰着される．

問 3.1 (3.2.6)で与えられる |ψ(t)〉が，シュレーディンガー方程式 (3.2.4)の解であること

を確認せよ．

27

3.3 エネルギー固有値，エネルギー固有状態

調和振動子のハミルトニアン

H =p2

2m+mω2

2x2. (3.3.1)

のもとで，エネルギー固有値問題

H |En〉 = En |En〉 (3.3.2)

を考えていこう．ただし，ハミルトニアン Hにおいて，x，p は正準交換関係，

[x, p] = i~ (3.3.3)

を満たすエルミート演算子である．

古典的な変数のときには，ハミルトニアンは，

H =p2

2m+mω2

2x2

=

(√mω2

2x+ i

√1

2mp

)(√mω2

2x− i

√1

2mp

)

と因数分解できることを頭において，次の演算子 A, A† を導入する．

A =

√mω2

2x+ i

√1

2mp, (3.3.4)

A† =

√mω2

2x− i

√1

2mp. (3.3.5)

Aと A†の交換関係を調べてみよう．

[A, A†] =

[√mω2

2x+ i

√1

2mp,

√mω2

2x− i

√1

2mp

]

= −i√mω2

2

√1

2m[x, p] + i

√1

2m

√mω2

2[p, x]

= −iω2i~+ i

ω

2(−i~)

= ~ω. (3.3.6)

1行目右辺を交換子積の分配法則を使って展開すれば，4つの交換子積の項がでる．しか

し，そのうちの 2項は，xどうしの交換子積と pとうしの交換子積の項で，直ちにゼロにな

ることがわかる項である．そこで，2行目では，最初からゼロにならない項だけを書いた．

28

上の結果から，Aと A†のかわりに，A =√~ω a, A† =

√~ω a† となるような aと a†を

導入すると便利である．すなわち，

a =

√mω

2~x+ i

√1

2mω~p, (3.3.7)

a† =

√mω

2~x− i

√1

2mω~p (3.3.8)

とすると，

[a, a†] = 1 (3.3.9)

が成り立つ．

(3.3.7), (3.3.8)を逆に解けば，

x =

√~

2mω(a+ a†), (3.3.10)

p =1

i

√mω~2

(a− a†) (3.3.11)

となる．これらをハミルトニアン (3.3.1)に代入すれば，

H =p2

2m+mω2

2x2

=1

2m· (−1)

mω~2

(a− a†)2 +mω2

2· ~2mω

(a+ a†)2

=~ω4

{(a+ a†)2 − (a− a†)2

}=

~ω4

{a2 + aa† + a†a+ a†2 − (a2 − aa† − a†a+ a†2)

}=

~ω2(aa† + a†a) (3.3.12)

= ~ω(a†a+

1

2

)(3.3.13)

となる．最後の行では，交換関係 [a, a†] = 1 を使った．

ここまで，整理すると，われわれの問題は，

H = ~ω(a†a+

1

2

), (3.3.14)

[a, a†] = 1 (3.3.15)

のもとで，エネルギー固有値問題

H |En〉 = En |En〉 (3.3.16)

29

を解くことである．

Hの固有値を求めるには，Hに現れる a†a の固有値がわかればよい．すなわち，N を

N = a†a (3.3.17)

と定義すれば，ハミルトニアンが

H = ~ω(N +

1

2

)(3.3.18)

と表されるので，Hの固有値問題は， N の固有値問題に帰着される．

固有値問題，

N |ν〉 = ν|ν〉 (3.3.19)

を調べよう．まず，N が a†aの形をしていることから，固有値 ν は非負 (ν ≥ 0)である

ことがわかる．実際，|ν〉が規格化されているとして，(3.3.19)の両辺に 〈ν|を左からかけると，

〈ν|N |ν〉 = ν〈ν|ν〉 = ν.

ここで最左辺は，|φ〉 ≡ a|ν〉おくと，

〈ν|N |ν〉 = 〈ν|a†a|ν〉 = 〈ν|a† · a|ν〉 = 〈φ| · |φ〉 = 〈φ|φ〉 ≥ 0 (3.3.20)

が成り立つ．ただし，等号が成り立つのは，|φ〉 = a|ν〉 = 0の場合に限る．結局，

a|ν〉 6= 0 ⇒ ν > 0, (3.3.21)

a|ν〉 = 0 ⇒ ν = 0 (3.3.22)

が成り立つことがわかる．

さて，N と a, a†との交換関係を調べると，

[N , a†] = a†, (3.3.23)

[N , a] = −a. (3.3.24)

これらを使って，N の a†|ν〉や a|ν〉への作用を見てみよう．

N(a†|ν〉

)= N a†|ν〉= (a†N + [N , a†])|ν〉= (a†N + a†)|ν〉= (a†ν + a†)|ν〉= (ν + 1)

(a†|ν〉

). (3.3.25)

30

同様に，

N (a|ν〉) = (aN + [N , a])|ν〉= (aN − a)|ν〉= (ν − 1) (a|ν〉) . (3.3.26)

これらの結果を見ると，a†|ν〉や a|ν〉は Nの固有状態であり，その固有値はそれぞれ ν+1，

ν − 1であることがわかる：

a†|ν〉 ∼ |ν + 1〉,a|ν〉 ∼ |ν − 1〉.

言い換えれば，a†は Nの固有値を 1だけ上げる演算子であり，aは固有値を 1だけ下げる

演算子である．こうして，ある |ν〉から出発して，次々と a†を作用していけば，いくらで

も大きい固有値をもつ固有ベクトルが作れる：

|ν〉 a†−→ |ν + 1〉 a†−→ |ν + 2〉 a†−→ |ν + 3〉 a†−→ · · ·

しかしながら，aを次々と作用して行った場合は事情が異なる．もし，いくらでも固有値

を下げていくことができるならば，いずれ負の固有値を生み出すことになる．しかし，こ

れは，N の固有値が非負でなけらばならないこと (3.3.21), (3.3.22)に反する．したがっ

て，aを次々と作用して行った場合は，あるところ (n+ 1回目)でゼロにならなければな

らない：

|ν〉 a−→ |ν − 1〉 a−→ |ν − 2〉 a−→ · · · a−→ |ν − n〉 a−→ 0.

n+ 1回目でゼロになること，

a|ν − n〉 = 0

の両辺に，左から a†をかけると，

0 = a†a|ν − n〉 = N |ν − n〉

であるから，|ν − n〉は固有値 0の固有ベクトルである．一方，|ν − n〉は固有値 ν − nで

あったから，ν = nが導かれる．すなわち，N の固有値 ν は非負の整数でなければなら

ない：

N |ν〉 = ν|ν〉 ⇒ ν = 0, 1, 2, 3, · · · . (3.3.27)

このことから，N は個数演算子 (number operator)と呼ばれる．

これ以降は Nの固有値を (νではなく)nと書き，固有ベクトルを |n〉と書くことにする．最小の固有値 n = 0に対応する |0〉は，

a|0〉 = 0 (3.3.28)

31

を満たすことで特徴づけられる．この |0〉から出発すれば，a†を次々と作用することにより，すべての固有ベクトルを作ることができる：

|0〉 a†−→ |1〉 a†−→ |2〉 a†−→ |3〉 a†−→ · · ·

したがって，固有値 nに対応する固有ベクトル |n〉は，

|n〉 ∝ (a†)n |0〉

で与えられる．以下では，規格化を考慮して，比例定数を決めよう．

出発点の |0〉は規格化してあるものとする：

〈0|0〉 = 1. (3.3.29)

|1〉 = c a†|0〉 とおき，|1〉が規格化されるよう定数 cを決める．

1 = 〈1|1〉= c∗c 〈0|a · a†|0〉= |c|2〈0|(a†a+ [a, a†])|0〉= |c|2〈0|[a, a†]|0〉 (⇐ a|0〉 = 0)

= |c|2〈0|1|0〉 (⇐ [a, a†] = 1)

= |c|2.

したがって，c = 1と選ぶことができる：

|1〉 = a†|0〉. (3.3.30)

同様に，|2〉 = c a†|1〉 とおき，|2〉が規格化されるように定数 cを決める．

1 = 〈2|2〉= c∗c 〈1|a · a†|1〉= |c|2〈1|(a†a+ [a, a†])|1〉= |c|2〈1|(1 + [a, a†])|1〉 (⇐ a†a|1〉 = N |1〉 = 1 · |1〉)= |c|2〈1|2|1〉 (⇐ [a, a†] = 1)

= 2|c|2.

したがって，c = 1/√2と選ぶことができる：

|2〉 = 1√2a†|1〉 = 1√

2(a†)2|0〉. (3.3.31)

32

以下，同様にしていけば |n〉としては，

|n〉 ≡ 1√n!

(a†)n |0〉 (3.3.32)

とおけば，

N |n〉 = n|n〉, (3.3.33)

〈n|n〉 = 1 (3.3.34)

が成り立つことがわかる．さらには，

〈n|m〉 = δnm, (3.3.35)

a|n〉 =√n |n− 1〉, (3.3.36)

a†|n〉 =√n+ 1 |n+ 1〉 (3.3.37)

も成り立つ．

問 3.2 |n〉が (3.3.32)で与えられるとき，(3.3.33)～(3.3.37) が成り立つことを確認せよ．

さて，N の固有値問題が解けたので，ハミルトニアン Hの固有値問題も直ちにわかる．

Hが

H = ~ω(N +

1

2

)と表されたことを思い出すと，N の固有ベクトル |n〉は H の固有ベクトルでもあり，対

応する固有値Enは，

H|n〉 = ~ω(n+ 1/2)|n〉 = En|n〉 (3.3.38)

であることから，

En =

(n+

1

2

)~ω (n = 0, 1, 2, · · · ) (3.3.39)

であることがわかる．また，基底状態は |0〉であり，基底状態のエネルギー (ゼロ点エネ

ルギー）は，

E0 =1

2~ω (3.3.40)

である．

33

3.4 物理量の期待値

ここまでの議論では，正準量子化に基づいた演算子の性質だけを使ってきた．波動関数

ψ(x)や，p = −i~∂/∂x などの表示は全く使っていないことに注意しよう．極論すれば，正準交換関係だけですべてを計算できたのであり，波動関数などは必要としなかった．交

換関係だけで波動関数は本当に必要ないのであろうか．

例えば，波動関数がわかれば |ψ(x)|2によって粒子の確率分布がわかる．波動関数を使わずにこのような情報はどのように得られるであろうか？

xnの期待値 〈xn〉がわかればよい．〈x〉 で平均的な位置がわかり，さらに 〈x2〉がわかれば，平均的な位置からの広がり∆xもわかる：

∆x2 ≡ 〈(x− 〈x〉)2〉 = 〈x2〉 − 〈x〉2.

さらに高次の 〈xn〉がわかれば，より詳細な分布の形がわかるであろう．では，このような期待値 〈xn〉はどうやって求められるだろうか．それは，(3.3.10)式，

x =

√~

2mω(a+ a†)

を使うことでできる．例えば，

〈n|x|n〉 =√

~2mω

〈n|(a+ a†)|n〉

=

√~

2mω

(〈n|

√n|n− 1〉+ 〈n|

√n+ 1|n+ 1〉

)= 0.

〈n|x2|n〉 = ~2mω

〈n|(a+ a†)2|n〉

=~

2mω〈n|a2 + (a†)2 + aa† + a†a︸ ︷︷ ︸

‖2N+1

|n〉

=~

2mω〈n|0 + 0 + (2n+ 1)|n〉

=~

2mω(2n+ 1).

問 3.3 (3.3.11)式などを使って，〈p〉, 〈p2〉 を求めよ．

問 3.4 次の等式が成り立つことを示せ：

〈n| p2

2m|n〉 = 〈n| mω

2

2x2 |n〉 = ~ω

2

(n+

1

2

)

34

3.4.1 ＜参考＞ x表示の波動関数

上で見たように，交換関係だけですべてが計算でき，波動関数は必要なかった．それで

も波動関数がないと落ち着かない人もいるだろう．あるいは，波動関数は必要ないのは理

解はしたが，これまでの記法と波動関数との関係が知りたいという人いるかもしれない．

そのような人のためにこれまでの記法と波動関数との関係を簡単に説明しておこう．

状態ベクトル |ψ〉に対応する波動関数 ψ(x)は，

ψ(x) = 〈x|ψ〉 (3.4.1)

で与えられる．ここで，|x〉 は粒子が位置 xにいるという状態を表す．したがって，上で

与えられる ψ(x)は，状態が |ψ〉で与えられるとき位置の測定をして測定値 xを得る確率

振幅を与える1．すなわち，

[粒子が位置 xに見つかる確率] ∝ |ψ(x)|2.

これこそが波動関数の持つ意味であった．

粒子の位置が xであるという状態 |x〉の定義を思いだそう．位置の演算子 xの固有値 x

に属する固有ベクトルが |x〉である2．

x|x〉 = x|x〉. (3.4.2)

xの固有値は連続的な値をとりうるので，その固有ベクトルの規格化は，δ関数の規格化

をする：

〈x|x′〉 = δ(x− x′). (3.4.3)

任意の状態 |ψ〉を |x〉の重ねあわせで表す場合は，固有値 xについての積分となる．

|ψ〉 =∫ ∞−∞

c(x) |x〉dx.

展開係数 c(x)は，上の規格化条件を使うと，

〈x′|ψ〉 =∫ ∞−∞

c(x) 〈x′|x〉 dx

=

∫ ∞−∞

c(x)δ(x′ − x) dx

= c(x′)

1量子力学復習：一般に，状態が |ψ〉で与えられるときに測定をして状態 |φ〉 を得る確率は，|〈φ|ψ〉|2 に比例する．絶対値をとる前の 〈φ|ψ〉は確率振幅と呼ばれる：確率＝ |確率振幅 |2．

2量子力学復習その２：物理量を表す演算子 Aの固有ベクトル |ψ〉があったとする：A|ψ〉 = a|ψ〉. 状態が |ψ〉で表されるとき，物理量 Aの測定をすると，その測定値は確実に固有値 aとなる．すなわち，Aの固有ベクトルが与える状態は Aの値が確定している状態である．

35

と求められる．すなわち，この展開係数 c(x)こそが |ψ〉に対応する x表示の波動関数ψ(x)

である：

|ψ〉 =∫ ∞−∞

ψ(x) |x〉dx. (3.4.4)

さて，|ψ〉に対応する波動関数がψ(x) = 〈x|ψ〉であることはわかったが，では，p|ψ〉に対応する波動関数は何であろうか．もちろん，それは 〈x|p|ψ〉であるが，これと 〈x|ψ〉 = ψ(x)

との関係が知りたいのである．

上の (3.4.4)に注意すると，

〈x| p |ψ〉 = 〈x| p∫ ∞−∞

ψ(x′) |x′〉dx′

=

∫ ∞−∞

ψ(x′) 〈x| p |x′〉dx′ (3.4.5)

となるので，〈x| p |x′〉を決定すればよい．これは，pと xの関係から求めることになる．

そこで，正準交換関係 [x, p] = i~ の両辺を 〈x|と |x′〉 ではさめば，

〈x| [x, p] |x′〉 = i~〈x|x′〉.

すなわち，

〈x| xp |x′〉 − 〈x| px |x′〉 = i~ δ(x− x′).

ここで，〈x|x = x〈x|, x|x′〉 = x′|x′〉 であることに注意すれば，

(x− x′) 〈x| p |x′〉 = i~ δ(x− x′) (3.4.6)

を得る．デルタ関数とその導関数に関する恒等式

(x− x′) δ′(x− x′) = −δ(x− x′) (3.4.7)

を思い出し3，上と比較すれば，

〈x| p |x′〉 = −i~ δ′(x− x′) (3.4.8)

と考えてよいことがわかる．〈x| p |x′〉が決まったので，これを (3.4.5)式に代入すれば，

〈x| p |ψ〉 =∫ ∞−∞

ψ(x′) (−i~ δ′(x− x′)) dx′

= −i~ ∂

∂x

∫ ∞−∞

ψ(x′) δ(x− x′) dx′

= −i~ ∂

∂xψ(x) (3.4.9)

3思い出し方：デルタ関数の恒等式 x δ(x) = 0 の両辺を微分すれば，

δ(x) + x δ′(x) = 0

となり，δ(x)を右辺に移項すれば上の式がでる．

36

が得られる．あるいは同じことであるが，任意の |ψ〉に対して，

〈x| p |ψ〉 = ~i

∂

∂x〈x|ψ〉 (3.4.10)

が成り立つ．

まとめると，|ψ〉に対応する波動関数を ψ(x)とすれば，p |ψ〉には (~/i) ∂ψ(x)/∂xが対応する．こうして，シュレーディンガー方程式を作るときの置き換え，

p→ ~i

∂

∂x

が導かれた．

さて，x表示の波動関数や運動量演算子がわかったので，調和振動子の基底状態 |0〉 に対応する波動関数 (ψ0(x) = 〈x|0〉)を求めてみよう．|0〉に対する条件

a |0〉 = 0

より，

0 = 〈x| a |0〉

= 〈x|

(√mω

2~x+ i

√1

2mω~p,

)|0〉

=

(√mω

2~x+ i

√1

2mω~~i

∂

∂x

)〈x|0〉

=

√~

2mω

(mω

~x+

∂

∂x

)〈x|0〉.

すなわち，ψ0(x) = 〈x|0〉は，微分方程式

∂ψ0(x)

∂x= −mω

~xψ0(x) (3.4.11)

を満たさなければならない．解は直ちに求められて，

ψ0(x) = C exp(−mω

2~x2)

(3.4.12)

となる．（C は規格化の定数．） 励起状態も簡単に求められる．例えば，第一励起状態

37

ψ1(x) = 〈x|1〉は，

ψ1(x) = 〈x| a†|0〉

= 〈x|

(√mω

2~x− i

√1

2mω~p

)|0〉

=

(√mω

2~x− i

√1

2mω~~i

∂

∂x

)〈x|0〉

=

√~

2mω

(mω

~x− ∂

∂x

)C exp

(−mω

2~x2)

= C ′ x exp(−mω

2~x2)

(3.4.13)

などと求められる．一般に，n番目の励起状態の波動関数は，

ψn(x) =1√n!〈x|(a†)n|0〉

∝(mω

~x− ∂

∂x

)nexp

(−mω

2~x2)

(3.4.14)

で求められる．

第4章 弦の正準量子化

弦は空間が 1次元の場の理論とみなすことができる．

u(x, t)

x

xの各点ごとに変位（振幅）u(x, t)が与えられており，それが時刻 tとともに変化する．こ

の振幅 u(x, t)を場の変数と考えることができる．

4.1 古典論：弦の解析力学

x軸に横たわる長さLの弦を考える．弦は張力 (tension)T で張られている．弦の質量密

度（質量線密度=単位長さあたりの質量)を σとする．

弦は両端で (x = 0と x = L)で固定されているものとする．すなわち，振幅を u(x, t)と

すれば，u(0, t) = u(L, t) = 0.

弦は，物質が連続的に分布しているので，これまでの質点系の解析力学がすぐには使え

ない．そこで，この連続的な弦を離散化して考えることにする．つまり，弦を十分に細か

くN 等分に分割して，それぞれの素片を質点とみなすことにする．こうすれば質点系の

理論が適用できる．最後にN → ∞の極限をとれば，連続的な質量分布が再現されるだろう．以下では，しばらくの間，N を大きいけれど有限の大きさのものとして話をする．

xx0 = 0 x1 x2 xn xn+1 xN = L

un un+1

∆x

図のように，弦をN 等分したときの x軸の位置を xnで表す．

xn =nL

N(n = 0, 1, · · · , N)．

長さ Lの弦をN 等分したので，一つの素片の長さ∆xは，

∆x = xn+1 − xn =L

N(4.1.1)

38

39

で与えられる．このとき，一つの素片の質量 δmは

δm = σ∆x (4.1.2)

となる．こうして，離散化された弦は，質量 δmの質点 (素片)が xnの位置ごとにN − 1

個1存在する系として考えられる．xnでの質点の変位は振幅 u(x, t)を使えば，u(xn, t)で

与えられる．これを，unで表すことにする：

un = u(xn, t). (4.1.3)

質点系として考えたとき，この unが座標変数 (一般化座標)であると考えてよい．速度変

数 unには，

un =∂

∂tu(xn, t). (4.1.4)

が対応する．

4.1.1 ラグランジアン，ラグランジアン密度

ラグランジアン L(u1, u2, · · · ; u1, u2, · · · )を求めてみよう．そのためには，運動エネルギーKと位置エネルギー U がわかればよい．

n番目の質点の運動エネルギーは，

δm

2u2n =

σ

2u2n∆x

で与えられるので，全運動エネルギーは，

K =N−1∑n=1

δm

2u2n =

N−1∑n=1

σ

2u2n∆x (4.1.5)

と求まる．

つぎに位置エネルギーを求めてみよう．図のような配置を考える．

xn xn+1

unun+1

xn+2

un+2

　

1両端が固定されている弦なので，両端 (の素片)は数えていない

40

n番目の質点と n+ 1番目の質点の間に蓄えられた位置エネルギーを考えてみよう．

l

∆x

∆un = un+1 − unn

n+ 1

釣り合いの位置にいたときには二つの質点間の距離は∆xであった．これが，今の配置で

は図の長さ lにまで伸ばされている．張力 T で引っ張られながら長さが∆x から lまで伸

ばされたのであるから，位置エネルギーの増加分は，このときに加えられた仕事分，

∆Un = T × (l −∆x)

で与えられる．∆xは十分に小さいので，図の lは直角三角形の斜辺と見なしてよい (他の

二辺が，∆xと∆un)．また，(図では強調して描いているが）∆un � ∆xと考えてよいの

で，lは，

l =√

(∆x)2 + (∆un)2

= ∆x

[1 +

(∆un∆x

)2]1/2

= ∆x

[1 +

1

2

(∆un∆x

)2]

= ∆x+1

2

(∆un∆x

)2

∆x

と近似できる2．こうして，n番目と n + 1番目の質点の間に蓄えられた位置エネルギー

∆Unは，

∆Un =T

2

(∆un∆x

)2

∆x

と求められる．したがって，全位置エネルギーは

U =N−1∑n=0

T

2

(∆un∆x

)2

∆x (4.1.6)

で与えられる．結局ラグランジアンは，

L = K − U =∑n

[σ

2u2n −

T

2

(∆un∆x

)2]∆x (4.1.7)

2一般に，|x| � 1のときは (1 + x)α ≈ 1 + αx と近似できる．

41

と求められる．一端この段階で，N → ∞の極限を考えてみよう．このとき，∆x→ 0で

あり，un → ∂u(x, t)/∂t, ∆un/∆x→ ∂u(x, t)/∂x，∑

n∆x→∫dx などに注意すると，

L =

∫ L

0

[σ

2

(∂u

∂t

)2

− T

2

(∂u

∂x

)2]dx (4.1.8)

を得る．右辺の被積分関数をラグランジアン密度といって，Lで表す：

L =

∫ L

0

L dx, (4.1.9)

L =σ

2

(∂u

∂t

)2

− T

2

(∂u

∂x

)2

. (4.1.10)

4.1.2 最小作用の原理と運動方程式

ラグランジアンが求まったので，作用積分も決まる：

S =

∫ t2

t1

Ldt

=

∫dtdxL

=

∫ t2

t1

dt

∫ L

0

dx

[σ

2

(∂u

∂t

)2

− T

2

(∂u

∂x

)2]. (4.1.11)

最小作用の原理から運動方程式を求めてみよう．u(x, t) → u(x, t) + δu(x, t) なる変分3 の

もとで，Sの変分を考えると，

δS =

∫ t2

t1

dt

∫ L

0

dxδ

[σ

2

(∂u

∂t

)2

− T

2

(∂u

∂x

)2]

=

∫ t2

t1

dt

∫ L

0

dx

[σ∂u

∂tδ

(∂u

∂t

)− T

∂u

∂xδ

(∂u

∂x

)]=

∫ t2

t1

dt

∫ L

0

dx

[σ∂u

∂t

∂

∂tδu− T

∂u

∂x

∂

∂xδu

](4.1.12)

となる．ここで，δu(x, t1) = δu(x, t2) = 0，δu(0, t) = δu(L, t) = 0 に注意して部分積分を

実行すると，

δS =

∫dtdx

[−σ∂

2u

∂t2+ T

∂2u

∂x2

]δu(x, t). (4.1.13)

3 いつものように，t = t1, t2 では uを動かさない：δu(x, t1) = δu(x, t2) = 0.

42

したがって，任意の δu(x, t)のもとで δS = 0となるためには，u(x, t)が

σ∂2u

∂t2− T

∂2u

∂x2= 0, (4.1.14)

を満たさなければならない．これが，弦に対する運動方程式である．c =√T/σとおけ

ば，上の方程式は，

1

c2∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= 0, (4.1.15)

ともかける．この形の式は，波動方程式と呼ばれ，波の速さが cの波動を記述する式であ

る．実際，この偏微分方程式の一般解は，容易に確かめられるように，

u(x, t) = f(x− ct) + g(x+ ct) (4.1.16)

で与えられる (D’Alembertの解)．ここで，f(x), g(x)は任意の1変数関数である．f(x−ct)は速さ cで右向き (x軸正の向き)に進む波を表し，g(x + ct)は速さ cで左向き (x軸負の

向き)に進む波を表している．

問 4.1 u(x, t)が (4.1.16)の形で表されるならば，波動方程式 (4.1.15)を満たすことを確か

めよ．

4.1.3 共役運動量とハミルトニアン・ハミルトニアン密度

運動量変数を求めるため，再び，離散的な場合のラグランジアン (4.1.7) に戻ろう．こ

れより，座標変数 unに共役な運動量 pnは，

pn =∂L

∂un= σun∆x (4.1.17)

となる．この段階でN → ∞の極限をとろうとすると，∆x → 0となるので，pn → 0と

なってしまい，運動量変数がなくなってしまう．そこで，pnから∆xをはずしたものを πnとする：

πn = σun, (4.1.18)

pn = πn∆x (4.1.19)

こうすれば，N → ∞の極限で，πnは πn → σ∂u(x, t)/∂t となって有限の値に収束する．

43

次に，ハミルトニアンを求めよう．いつものように，pnと unで表せば，

H =∑n

pnun − L

=∑n

σu2n∆x−∑n

[σ

2u2n −

T

2

(∆un∆x

)2]∆x

=∑n

[σ

2u2n +

T

2

(∆un∆x

)2]∆x

=∑n

[p2n

2σ∆x+T

2

(∆un∆x

)2

∆x

](4.1.20)

となる．これもやはりN → ∞の極限をとるのにはなじまない形をしている．そこで，ハミルトニアンを，pnと unの関数というよりは，πnと unの関数として表し直せば，

H =∑n

[π2n

2σ+T

2

(∆un∆x

)2]∆x (4.1.21)

となる．ここまで来れば直ちにN → ∞の極限がとれ，連続極限でのハミルトニアンは，

H =

∫ L

0

[π2

2σ+T

2

(∂u

∂x

)2]dx (4.1.22)

で与えられる．右辺の被積分関数をハミルトニアン密度と呼び，Hで表す：

H =

∫ L

0

H dx, (4.1.23)

H =π2

2σ+T

2

(∂u

∂x

)2

. (4.1.24)

ここで，πは，πnの極限として表したものである：πn → π(x, t)．πn = σunに対応する

式は，

π(x, t) = σ∂u(x, t)

∂t

となる．また，πn∆x = pn = ∂L/∂unに対応する連続極限での式は，ラグランジアン密

度Lを使って，

π =∂L∂u

(4.1.25)

で表される．ただしここで，u = ∂u/∂tとした．

44

4.1.4 Poisson括弧

正準変数間のポアッソン括弧をみてみよう．離散化バージョンに戻って考えれば，

{un, um}Pb = 0, (4.1.26)

{pn, pm}Pb = 0, (4.1.27)

{un, pm}Pb = δnm, (4.1.28)

である．pnを πnで表し直せば，

{un, um}Pb = 0, (4.1.29)

{πn, πm}Pb = 0, (4.1.30)

{un, πm}Pb =1

∆xδnm, (4.1.31)

となる．1番目と 2番目の式の連続極限は直ちにわかるが，3番目の式の右辺の極限は何

であろうか．N → ∞ (∆x→ 0)のときに，xn → x, xm → x′ とすれば，

limN→∞

1

∆xδnm =

{0 (x 6= x′)

+∞ (x = x′)(4.1.32)

となる．連続変数 x, x′の関数でこのような性質を持つものは，Diracのデルタ関数であ

る．定数倍の不定性を考えれば，

limN→∞

1

∆xδnm = C δ(x− x′).

比例定数Cを決めるため，両辺を xについて積分すると，

右辺 =

∫Cδ(x− x′) dx = C.

一方，左辺は，離散化段階の和 (nについての和)の極限が積分であることから，

左辺 =

∫dx

[limN→∞

1

∆xδnm

]= lim

N→∞

∑n

∆x

[1

∆xδnm

]= lim

N→∞

∑n

δnm

= 1

となり，結局C = 1が導かれる．つまり，

limN→∞

1

∆xδnm = δ(x− x′). (4.1.33)

45

以上より，連続極限での正準変数 (π(x, t), u(x, t))間の Poisson括弧は以下のように与え

られる．

{u(x, t), u(x′, t)}Pb = 0, (4.1.34)

{π(x, t), π(x′, t)}Pb = 0, (4.1.35)

{u(x, t), π(x′, t)}Pb = δ(x− x′). (4.1.36)

4.1.5 空間座標＝自由度のラベル

ここまで，離散化の手続きを考えることで連続的な分布をもつ弦に対する解析力学を考

えてきた．この手続きを振り返ると次のようなことに思い当たる．

離散化した段階での座標変数はun (n = 1, 2, · · · )であった．これが，通常の質点系での座標変数 qnに対応する．ここで，nは自由度を区別するためのラベルである（例えば，n = 1

は 1番目の粒子の x座標を表し，n = 2, 3は 1番目の粒子の y座標と z座標，n = 4, 5, 6

は 2番目の粒子の x, y, z座標，・・・など)．ところが，対応する unの nは x軸上の点 xnを

表していた：un = u(xn, t). つまり，弦では自由度のラベルは x座標である．空間 (x軸)の

各点に力学変数 u(x)が割り当てられており，それが時間発展 (u(x, t))しているのである．

一般に，場の理論においては，(電場や磁場のように)場は空間と時間の関数である：

φ(x, y, z; t)．空間の各点ごとに場の変数 φが力学変数として与えられており，その時間発

展を考えるのが場の理論である．空間点 x = (x, y, z)ごとに力学変数があるのであるか

ら，この x = (x, y, z)が自由度のラベルである．

重要なのでくり返す．質点の力学では，x = (x, y, z)は粒子の位置座標を表す力学変数

であったが，場の理論では単なる自由度のラベルに過ぎない．（qnの nのようなもの．）た

だし，質点系の自由度のラベルはとびとびの値をとるが，場の理論の自由度のラベルは連

続的な値をとりうる.4 これらのことは十分に意識しておこう．このような「考え方の転

換」をきちんとしておきさえすれば，きっと場の理論の学習は楽しいものになるだろう．

qn(t) φ(x, t)

自由度のラベル 自由度のラベル

質点系 場の理論

(とびとびの値) (連続的な値をとる)　　　　　　　

4 これに応じて，自由度についての足し算は，質点系では∑

nだったものが，場の理論では，積分∫d3x

になる．したがってまた，質点系でのクロネッカーデルタ δmn は場の理論ではディラックのデルタ関数

δ(x− x′) になる．

46

4.2 弦の量子化

正準量子化とは，正準変数を演算子に置き換え（したがって，それらの関数として表さ

れるハミルトニアンも演算子になる)，それら正準変数演算子の間に正準交換関係を設定

することであった．

4.2.1 正準交換関係

交換子積は対応する古典力学の Poisson括弧に i~をつけたものであった．量子化に伴い，u(x, t)は演算子 u(x, t)に，π(x, t)は演算子 π(x, t)に変わる．これらの間の (同時刻)

交換関係は，

[u(x, t), u(x′, t)] = 0, (4.2.1)

[π(x, t), π(x′, t)] = 0, (4.2.2)

[u(x, t), π(x′, t)] = i~δ(x− x′), (4.2.3)

で与えられる．

4.2.2 Heisenberg方程式

ハミルトニアン演算子 Hは，

H =

∫ L

0

Hdx,

H =π(x, t)2

2σ+T

2

(∂u(x, t)

∂x

)2

(4.2.4)

で与えられる．

このハミルトニアンを用いることで，(Heisenberg pictureにおける）演算子 O(t)に対

するHeisenbergの運動方程式も，

i~dO(t)

dt= [O(t), H] (4.2.5)

で表される．

47

Heisenbergの運動方程式を使って，u(x, t)や π(x, t)の時間発展を調べてみよう．

i~∂u(x, t)

∂t= [u(x, t), H]

=

[u(x, t),

∫ L

0

H(y) dy

]=

∫ L

0

dy [u(x, t), H(y)]

=

∫ L

0

dy

[u(x, t),

π(y, t)2

2σ+T

2

(∂u(y, t)

∂y

)2]

=1

2σ

∫ L

0

dy [u(x, t), π(y, t)2] +T

2

∫ L

0

dy

[u(x, t),

(∂u(y, t)

∂y

)2]. (4.2.6)

ここで，第一項と第二項の被積分関数を求めると，

[u(x, t), π(y, t)2] = [u(x, t), π(y, t)]π(y, t) + π(y, t)[u(x, t), π(y, t)]

= 2i~δ(x− y) π(y, t), (4.2.7)[u(x, t),

(∂u(y, t)

∂y

)2]=

[u(x, t),

∂u(y, t)

∂y

]∂u(y, t)

∂y+∂u(y, t)

∂y

[u(x, t),

∂u(y, t)

∂y

]=

∂

∂y[u(x, t), u(y, t)]

∂u(y, t)

∂y+∂u(y, t)

∂y

∂

∂y[u(x, t), u(y, t)]

= 0. (4.2.8)

これらの結果を代入すると，

i~∂u(x, t)

∂t=

1

2σ

∫ L

0

dy 2i~ δ(x− y)π(y, t)

=i~σπ(x, t).

すなわち，

∂u(x, t)

∂t=π(x, t)

σ. (4.2.9)

同様にして計算すると，

i~∂π(x, t)

∂t=

∫ L

0

dy [π(x, t), H(y)]

=1

2σ

∫ L

0

dy [π(x, t), π(y, t)2] +T

2

∫ L

0

dy

[π(x, t),

(∂u(y, t)

∂y

)2]

(4.2.10)

=T

2

∫ L

0

dy 2∂u(y, t)

∂y

∂

∂y[π(x, t), u(y, t)] (4.2.11)

= i~T∂2u(x, t)

∂x2. (4.2.12)

48

すなわち，

∂π(x, t)

∂t= T

∂2u(x, t)

∂x2. (4.2.13)

(4.2.9)を tについて微分して (4.2.13)を使えば，

∂2u(x, t)

∂t2=

1

σ

∂π(x, t)

∂x

=T

σ

∂2u(x, t)

∂x2

となる．すなわち，弦に対する運動方程式（波動方程式）

σ∂2u(x, t)

∂t2= T

∂2u(x, t)

∂x2(4.2.14)

が演算子レベルで導かれた．

問 4.2 (4.2.10)から (4.2.11)への変形を説明せよ．

問 4.3 (4.2.11)から (4.2.12)への変形を説明せよ．

4.3 正準量子化のまとめ

弦の正準量子化を考えるにあたり，ここまでは，まず解析力学を構築するのに，離散化

の手続きとその連続極限を考えた．

連続極限の結果だけを書けばつぎのようにまとめられる．ただし，以下では，弦とは限

らない場 φ(x, t)で説明する．

［ラグランジアン密度］ φとその導関数を変数とするラグランジアン密度

L = L(φ, φ, φ′) (4.3.1)

を導入する．ただしここで，φ = ∂φ/∂t, φ′ = ∂φ/∂x とした．このラグランジアン

密度のもと，最小作用の原理

δS = δ

∫dt dxL = 0

から，φに対する運動方程式（場の方程式）が導かれる．

［正準運動量］ Lから φに共役な正準運動量 πを定義する：

π =∂L∂φ

(4.3.2)

49

［ハミルトニアン密度・ハミルトニアン］

H = πφ− L (4.3.3)

によって，ハミルトニアン密度H = H(π, φ)を導入する．

ハミルトニアンはハミルトニアン密度の空間積分で与えられる：

H =

∫dxH. (4.3.4)

［ポアッソン括弧］ 正準変数 φ, πの間にポアッソン括弧を導入する：

{φ(x, t), φ(y, t)}Pb = 0, (4.3.5)

{π(x, t), π(y, t)}Pb = 0, (4.3.6)

{φ(x, t), π(y, t)}Pb = δ(x− y). (4.3.7)

［量子化］ 正準変数を演算子に昇格させ (φ → φ, π → π) それらの間に正準交換関係

(CCR)を課す：

[φ(x, t), φ(y, t)] = 0, (4.3.8)

[π(x, t), π(y, t)] = 0, (4.3.9)

[φ(x, t), π(y, t)] = i~ δ(x− y). (4.3.10)

これに応じて，ハミルトニアン密度やハミルトニアンも演算子に昇格される．

H(π, φ) → H = H(π, φ) (4.3.11)

H → H =

∫dx H. (4.3.12)

［時間発展］ Heisenberg pictureを採用すれば，演算子の時間発展は，Heisenberg方程式，

i~dO(t)

dt= [O(t), H] (4.3.13)

によって記述される．

上では，簡単のため，場としては１次元の場φ(x, t)で考えたが，3次元空間の場φ(x, y, z, t) =

φ(x, t)の場合でも，全く同様に考えることができる．（容易に拡張できる．）

第5章 シュレーディンガー場の量子論

5.1 シュレーディンガー場

1粒子の量子力学では，粒子を量子化することにより波動関数ψ(x, t)が現れた (第一量

子化)．この波動関数が満たす式がシュレーディンガー方程式（シュレーディンガーの波

動方程式），

i~∂ψ(x, t)

∂t=

[− ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x)

]ψ(x, t) (5.1.1)

であった．

第二量子化では，この波動関数 ψ(x, t)を古典的な波動場とみなして，これを量子化す

る．すなわち，この立場では，ψ(x, t)はもはや量子力学的状態を表す波動関数ではなく

単なる波動の場である．この場を，シュレーディンガー場と呼ぶことにする．これから見

ていくように，古典的なシュレーディンガー場を量子化することにより，再び，粒子性が

現れることになる．

以下では，上のシュレーディンガー方程式の右辺に現れる微分演算子を h(∂∂x , x

)で表

すことにする1：

h(∂∂x , x

)= − ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x). (5.1.2)

この h(∂∂x , x

)を使えば，シュレーディンガー場が満たす波動方程式は，

i~∂ψ(x, t)

∂t= h

(∂∂x , x

)ψ(x, t) (5.1.3)

と表される．

(Remark) 量子力学でも，互いに相互作用をしない非常に多数 (N個)の同種粒子が，す

べて一つの 1粒子状態ψ(x, t)にある状況を考えてみると，古典的な波動のようなも

のが考えられる．

例えば，1個の粒子に注目すれば，∫V

|ψ(x, t)|2 d3x

1 h(

∂∂x , x

)は，1粒子の量子力学ではハミルトニアン演算子であったものだが，今の場合は，あくまで

もｃ数関数に作用する微分演算子に過ぎない．

50

51

はその 1個の粒子が体積V内に見いだされる確率を表す．しかし，N 個もの粒子が

すべてこの状態にあるのであるから，この確率をN 倍したものは（N が非常に大

きいので) V内に存在する粒子数にほぼ等しいと考えられる．（N が 100億，上の確

率が 0.02であれば，確実に 2億個ほどの粒子がV内に存在しているものと判断でき

る．）したがって，このような場合，ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 ∝個数密度 とみなせる．

そこで，ψを

N =

∫|ψ(x, t)|2d3x (5.1.4)

と規格化し直しておけば，

ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2 =個数密度 (5.1.5)

が成り立つ．すなわち，このような状況では，ψ(x, t)は，古典的な波動のようなも

のと考えられる．

また，規格化 (5.1.4) のもとでは，

〈h〉 =∫ψ∗(x, t)h

(∂∂x , x

)ψ(x, t) d3x =エネルギー (5.1.6)

〈p〉 =∫ψ∗(x, t)

~i

∂

∂xψ(x, t) d3x =運動量 (5.1.7)

なども成り立つ．すなわち，1粒子の量子力学では，例えば 〈h〉はエネルギーの期待値（平均的な値）であったが，今の場合は，そのN 倍（1個当たりの平均的なエ

ネルギー×N）であるので，エネルギーの値そのものと言ってよい．

5.2 解析力学

5.2.1 ラグランジアン密度

場の量子化を実行するためにはまず，場の解析力学が必要であった．そのためにはまず，

シュレーディンガーの波動方程式 (5.1.3)がEuler-Lagrange方程式として出てくるラグラ

ンジアン密度が必要である．すなわち，

δS = 0 , S =

∫Ldt =

∫L d3xdt (5.2.1)

なる最小作用の条件から，シュレーディンガーの波動方程式 (5.1.3)が出てくるようなラ

グランジアン密度Lが必要である．容易にわかるように，そのようなラグランジアン密度としては，次のものを考えれば

よい：

L = ψ∗(x, t)

[i~∂ψ(x, t)

∂t− h(∂∂x , x

)ψ(x, t)

]. (5.2.2)

52

この Lのもと，最小作用の原理からシュレーディンガー方程式が実際に導かれることを示すことができる．しかし，その前に少し注意を述べよう．

今考えている変数は複素数 ψ である．したがって，δS = 0を考えるときには，ψの実

部と虚部の変分を独立なものとして考えることになる．すなわち，実部，虚部をそれぞれ

ψ1, ψ2，

ψ = ψ1 + iψ2

ψ∗ = ψ1 − iψ2

とするとき，

δS =

∫{Aδψ1 +B δψ2} d3x dt = 0

⇒ A = 0, B = 0. (5.2.3)

などとしなければならない．（A = 0，B = 0がEuler-Lagrange方程式）しかしながら，わ

ざわざ実部と虚部に分けるのは面倒である．そこで，

ψ1 =1

2(ψ + ψ∗)

ψ2 =1

2i(ψ − ψ∗)

となることに注意すれば，上の δSの括弧内は，

Aδψ1 +B δψ2 = A1

2(δψ + δψ∗) +B

1

2i(δψ − δψ∗)

=1

2(A− iB) δψ +

1

2(A+ iB) δψ∗

と変形できる．この結果をみると，δψと δψ∗をあたかも独立な変分だと考えて δS = 0と

すれば， {A− iB = 0

A+ iB = 0⇒

{A = 0

B = 0(5.2.4)

と正しい結果が導かれることがわかる．こうして，複素数の変数を扱うときには，（本当

は ψと ψ∗は独立ではないのであるが）ψと ψ∗を独立な変数として変分をとることで正

しい運動方程式が導かれることがわかった．そこで，以下では，ψと ψ∗を独立な変数と

して扱う．

さて，ψと ψ∗を独立な変数として，ラグランジアン密度 (5.2.2)のもとでの作用 S，

S =

∫Ld3xdt =

∫ψ∗[i~∂

∂t− h(∂∂x , x

)]ψ(x, t)d3xdt (5.2.5)

53

の変分を考え，運動方程式を導こう：

0 = δS =

∫δψ∗(x, t)

[i~∂

∂t− h(∂∂x , x

)]ψ(x, t)d3xdt

+

∫ψ∗(x, t)

[i~∂

∂t− h(∂∂x , x

)]δψ(x, t)d3xdt. (5.2.6)

δψ∗の係数から直ちに， [i~∂

∂t− h(∂∂x , x

)]ψ(x, t) = 0 (5.2.7)

が導かれる．これは，確かに，シュレーディンガー場の方程式 (5.1.3)である．では，δψ

の係数からはどうであろうか．(5.2.6)式中の δψには微分演算子がかかっているので，こ

のままではだめで，部分積分をしなければならない：

(5.2.6)右辺第二項 =

∫ψ∗[i~∂

∂tδψ −

(− ~2

2m∇2δψ + V δψ

)]d3xdt

=

∫ [−i~∂ψ

∗

∂t−(− ~2

2m∇2ψ∗ + V ψ∗

)]δψ d3xdt

=

∫ [−i~∂ψ

∗

∂t− h(∂∂x , x

)ψ∗]δψ(x, t) d3xdt. (5.2.8)

もちろんここで，部分積分による表面項はいつものように 0となることを用いた．これよ

り，δψの変分から出る運動方程式は，

− i~∂ψ∗(x, t)

∂t− h(∂∂x , x

)ψ∗(x, t) = 0 (5.2.9)

である．この式は，(5.2.7)の複素共役になっているので，これもまた ψ∗に対する正しい

シュレーディンガー場の方程式である．

5.2.2 共役運動量

ラグランジアン密度 (5.2.2),

L = i~ψ∗(x, t) ψ(x, t)− ψ∗(x, t)h(∂∂x , x

)ψ(x, t) (5.2.10)

が得られたので，共役運動量も計算できる：

π =∂L∂ψ

= i~ψ∗. (5.2.11)

ψ と ψ∗を独立な変数として扱っている今の場合，この πはもちろんψに共役な運動量で

ある．では，ψ∗に共役な運動量はどうなるかというと，Lに ψ∗ が含まれていないので，∂L∂ψ∗ = 0となってしまう．しかし，ψに共役な運動量が π = i~ψ∗であったので，ψ∗を座標変数とは考えずに運動量変数だと考えれば，あらためて，ψ∗の共役運動量というもの

は必要ないだろう2．2 このような考え方で問題がないことは，この考えのもとで定義したポアッソン括弧を用いて，ハミル

トンの運動方程式からもとのシュレーディンガー場の方程式が再現されることを示せばよい．

54

5.2.3 ハミルトニアン

共役運動量が求まったので，ハミルトニアン密度も決まる：

H = π ψ − L= i~ψ∗ ψ − ψ∗ (i~ψ − h

(∂∂x , x

)ψ)

= ψ∗ h(∂∂x , x

)ψ. (5.2.12)

したがって，また，ハミルトニアンは，

H =

∫H d3x =

∫ψ∗(x, t)h

(∂∂x , x

)ψ(x, t) d3x (5.2.13)

で与えられる．右辺が量子力学でのハミルトニアンの期待値 〈h〉の形をしていることに注意しよう．

5.2.4 ポアッソン括弧

正準変数間のポアッソン括弧は，

{ψ(x, t), π(y, t)}Pb = δ3(x− y),

{ψ(x, t), ψ(y, t)}Pb = {π(x, t), π(y, t)}Pb = 0, (5.2.14)

で与えられる．π(x, t) = i~ψ∗(x, t)より，πの代わりに ψ∗を使えば，

i~ {ψ(x, t), ψ∗(y, t)}Pb = δ3(x− y),

{ψ(x, t), ψ(y, t)}Pb = {ψ∗(x, t), ψ∗(y, t)}Pb = 0, (5.2.15)

5.3 量子論

5.3.1 正準量子化

量子論に移るには，これまで古典的な正準変数だったものを演算子に昇格させる：

ψ(x, t) → ψ(x, t), (5.3.1)

π(x, t) → π(x, t). (5.3.2)

また，ψの複素共役 ψ∗は，演算子に昇格させた場合はエルミート共役になる：

ψ∗(x, t) → ψ†(x, t). (5.3.3)

したがって，関係式 π = i~ψ∗も

π(x, t) = i~ψ†(x, t)

と表される．

55

正準交換関係

ハットを付けただけではどういう演算子かわからない．次の正準交換関係を要請しては

じめて演算子としての意味を持つことになる：

[ψ(x, t), π(y, t)] = i~ δ3(x− y),

[ψ(x, t), ψ(y, t)] = [π(x, t), π(y, t)] = 0. (5.3.4)

あるいは，πの代わりに ψ†を使えば，

[ψ(x, t), ψ†(y, t)] = δ3(x− y),

[ψ(x, t), ψ(y, t)] = [ψ†(x, t), ψ†(y, t)] = 0 (5.3.5)

となる．

ハミルトニアン演算子

正準変数が演算子に昇格したので，それらに応じて，ハミルトニアンも次のようなハミ

ルトニアン演算子になる：H → H,

H =

∫ψ†(x, t)h

(∂∂x , x

)ψ(x, t)d3x. (5.3.6)

ハイゼンベルク方程式

演算子 Oの時間発展は，ハイゼンベルク方程式

i~ ˙O = [O, H] (5.3.7)

で与えられる．

ψと ψ†に対するハイゼンベルク方程式を計算して，シュレーディンガー方程式が再現

されるかどうか確認してみよう．

i~ ˙ψ(x, t) = [ψ(x, t), H]

=[ψ(x, t),

∫ψ†(y, t)h

(∂∂y , y

)ψ(y, t) d3y

]=

∫d3y

[ψ(x, t), ψ†(y, t)h

(∂∂y , y

)ψ(y, t)

]=

∫d3y

{[ψ(x, t), ψ†(y, t)

]h(∂∂y , y

)ψ(y, t)

+ ψ†(y, t)[ψ(x, t), h

(∂∂y , y

)ψ(y, t)

]}

56

=

∫d3y

{[ψ(x, t), ψ†(y, t)

]h(∂∂y , y

)ψ(y, t)

+ ψ†(y, t)h(∂∂y , y

)[ψ(x, t), ψ(y, t)

]}=

∫d3y δ3(x− y)h

(∂∂y , y

)ψ(y, t)

= h(∂∂x , x

)ψ(x, t). (5.3.8)

同様に，

i~ ˙ψ†(x, t) = [ψ†(x, t), H]

=[ψ†(x, t),

∫ψ†(y, t)h

(∂∂y , y

)ψ(y, t) d3y

]=

∫d3y

[ψ†(x, t), ψ†(y, t)h

(∂∂y , y

)ψ(y, t)

]=

∫d3y

{[ψ†(x, t), ψ†(y, t)

]h(∂∂y , y

)ψ(y, t)

+ ψ†(y, t)[ψ†(x, t), h

(∂∂y , y

)ψ(y, t)

]}=

∫d3y

{[ψ†(x, t), ψ†(y, t)

]h(∂∂y , y

)ψ(y, t)

+ ψ†(y, t)h(∂∂y , y

)[ψ†(x, t), ψ(y, t)

]}= −

∫d3y ψ†(y, t)h

(∂∂y , y

)δ3(x− y)

= −∫d3y

{h(− ∂

∂y , y)ψ†(y, t)

}δ3(x− y)

= −h(− ∂

∂x , x)ψ†(x, t)

= −h(∂∂x , x

)ψ†(x, t). (5.3.9)

(5.3.8)と (5.3.9) を整理すれば，

i~∂ψ(x, t)

∂t= h

(∂∂x , x

)ψ(x, t), (5.3.10)

−i~∂ψ†(x, t)

∂t= h

(∂∂x , x

)ψ†(x, t) (5.3.11)

となる．これらは，まさに，シュレーディンガー場が満たすべき方程式である．すなわち，

古典論での (5.2.7), (5.2.9)において，場の変数 ψと ψ∗を対応する演算子 ψ，ψ†に置き換

えたものになっている3．

3 この結果は，今の場合，必ずしも自明なことではない．というのも，共役運動量を定義するときに，ψに対するものしか導入しなかったことを思い出そう．∂L/∂ψ∗ = 0 であったため，敢えて，ψ∗ の共役運動

量は定義せず，そのかわり ψ∗は ψの共役運動量 (の i~倍) として解釈した．このような「ルール違反」をしたら普通はその結果は保証できない．しかし，今の場合は，Heisenberg方程式からもとのシュレーディンガー方程式が成り立つことを直接確かめることができたので，われわれの対処が正当化されたことになる．

57

(Remark) 上の ψと ψ†に対するHeisenberg方程式の計算では，各ステップを丁寧に書

いたつもりであるが，念のため，ここでもう少し詳しく解説しておこう．

ここでは，(5.3.8)式の計算を説明する．

　 (5.3.8)の説明 　

2番目の等号（すなわち，1行目から 2行目への変形）　

ハミルトニアン演算子 Hに対して定義式 (5.3.6)を代入しただけ．ただし，文

字xが使用中だったので，代入するにあたっては，積分変数としてyを使った．

3番目の等号 　

交換子の線形性を用いて，y積分を交換子の外に出した．

4番目の等号 　

交換子の公式 [A,BC] = [A,B]C +B[A,C] を用いた．

5番目の等号 　

交換子の線形性を用いて，微分演算子 h(∂∂y , y

)を交換子の外に出した．

6番目の等号 　

正準交換関係 (5.3.5)を代入．

7番目の等号 　

δ(x− y)を含む積分の実行．

問 5.1 上の「(5.3.8)の説明」にならって，(5.3.9)式の計算の各ステップを説明せよ．

個数演算子，運動量演算子

ハミルトニアン以外にも，古典的な物理量はすべて対応する演算子に置き換えられる．

例えば，(5.1.4)で与えられる個数や，(5.1.7)で与えられる運動量に対応して，個数演算

子 N , 運動量演算子 P が次のように与えられる：

N =

∫ψ†(x, t) ψ(x, t) d3x, (5.3.12)

P =

∫ψ†(x, t)

~i

∂

∂xψ(x, t) d3x. (5.3.13)

一般の演算子

ここまで，ハミルトニアン演算子，個数演算子，運動量演算子を見てきた．一般には，

1粒子の量子力学における物理量に対応して，第二量子化レベルでの演算子を次のように

58

して考えることができる．すなわち，1粒子の量子力学での物理量 A(∂∂x , x) があると，

この期待値 〈A〉として，

〈A〉 =∫ψ∗(x, t)A

(∂∂x , x)ψ(x, t) d

3x (5.3.14)

が考えられた．ψ, ψ∗を場の演算子 ψ, ψ† に置き換えることで，対応する第二量子化レベ

ルでの演算子 Aが定義される：

A =

∫ψ†(x, t)A

(∂∂x , x)ψ(x, t) d

3x. (5.3.15)

5.4 1次元自由粒子

以下では，空間は 1次元とし，ポテンシャルも V (x) = 0と仮定する．この章の主題は，

第二量子化でいかにして粒子描像が得られるかであった．粒子描像がどう現れるかをい見

るだけならば，このような仮定をしても十分であろう．

場の演算子は，ψ(x, t), ψ†(x, t) であり，これらは次の正準交換関係，

[ψ(x, t), ψ†(y, t)] = δ(x− y),

[ψ(x, t), ψ(y, t)] = [ψ†(x, t), ψ†(y, t)] = 0 (5.4.1)

を満たす．系のハミルトニアン演算子は，

H =

∫ ∞−∞

ψ†(x, t)h(∂∂x, x)ψ(x, t) dx (5.4.2)

で与えられる．ここで，第一量子化のハミルトニアン h(∂∂x, x)は，

h(∂∂x, x)= − ~2

2m

∂2

∂x2(5.4.3)

である．このハミルトニアン演算子のもと，ψ に対するハイゼンベルク方程式からは，シュ

レーディンガー方程式

i~∂ψ(x, t)

∂t= − ~2

2m

∂2ψ(x, t)

∂x2, (5.4.4)

が得られる．（このエルミート共役をとれば，ψ†に対する式になる．）

以下では，さらにもう二つ，議論を扱いやすくするための仮定をする．その一つは，x

に関して周期的境界条件を仮定することで，空間を有限の大きさを持つものとして扱うこ

とである．すなわち，ψ(x, t)などに周期 Lの周期的境界条件

ψ(x+ L, t) = ψ(x, t) (5.4.5)

59

を課す．これにより，全空間を−L/2 < x ≤ L/2の範囲とみなすことができる．したがっ

てまた，ハミルトニアン演算子は，(5.4.2)ではなくて，

H =

∫ L/2

−L/2ψ†(x, t)h

(∂∂x, x)ψ(x, t) dx (5.4.6)

で与えられる．

もう一つの仮定は，~ = 1となる単位系をとることである．これにより，~があちこちに現れる煩わしさから解放される．（必要ならば，次元解析などを使えば，~を復活させることもできる．） この単位系では，シュレーディンガー方程式は

i∂ψ(x, t)

∂t= − 1

2m

∂2ψ(x, t)

∂x2, (5.4.7)

である．

5.4.1 平面波解

シュレーディンガー方程式 (5.4.7)の解を見つけるため，まず，古典的な解を探す．平

面波解の候補として，

ψ(x, t) = ei(px−Et)

の形を仮定して4，上のシュレーディンガー方程式に代入すると，

i∂ψ(x, t)

∂t= i(−iE)ei(px−Et) = Eψ(x, t),

− 1

2m

∂2ψ(x, t)

∂x2= − 1

2m(−p2)ei(px−Et) = p2

2mψ(x, t),

となるので，Eが pの関数として，

E =p2

2m(5.4.8)

を満たせば，この平面波が解となる．ただし，今は周期的境界条件 (5.4.5) を仮定してい

るので，pは任意の値をとることはできない．実際，(5.4.5)より，

ei[p(x+L)−Et] = ei(px−Et) ⇒ eipL = 1.

したがって，

p = pn ≡ 2πn

L(nは整数) (5.4.9)

4 平面波なのだから，ei(kx−ωt)のように波数 kと角振動数 ωの文字を用いるべきだと思う人もいるだろう．しかし，今の場合，~ = 1としたので，波数と運動量の関係は p = ~k = kであり，エネルギーと角振動数の関係も E = ~ω = ωとなるので，波数 kと角振動数 ωの代わりに，運動量 pとエネルギー E を使って上のように表しても同じことである．

60

が許される pの値である．(整数 nというのは，正も負もゼロも含むことに注意．）

さて，以下では，規格化も考慮した平面波解として，

ϕn(x, t) =1√Le−iEnt+ipnx (nは整数) (5.4.10)

とおく．ここで，もちろん，pnは (5.4.9)で与えられる量であり，Enは，

En =pn

2

2m(5.4.11)

で与えられる．くり返しになるが，このϕn(x, t)が，古典場ψ(x, t)に対するシュレーディ

ンガー方程式

i∂ψ(x, t)

∂t= − 1

2m

∂2ψ(x, t)

∂x2(5.4.12)

の解である．また，複素共役を考えれば，ϕ∗n(x, t)は，ψ∗(x, t)に対するシュレーディン

ガー方程式

− i∂ψ∗(x, t)

∂t= − 1

2m

∂2ψ∗(x, t)

∂x2(5.4.13)

の解であることもわかる．

これらの ϕn(x, t)は，規格直交関係∫ L/2

−L/2ϕ∗n(x, t)ϕl(x, t) dx = δnl (5.4.14)

を満たす．これが成り立つことは，n = lの場合は明らかであろう．n 6= l の場合には，次

のようにして確認できる：

(左辺) =

∫ L/2

−L/2ϕ∗n(x, t)ϕl(x, t) dx

=1

L

∫ L/2

−L/2eiEnt−ipnx e−iElt+iplx dx

=1

Lei(En−El)t

∫ L/2

−L/2ei(pl−pn)x dx

=1

Lei(En−El)t

∫ L/2

−L/2ei2π(l−n)x/L dx

= 0 = (右辺). (5.4.15)

5.4.2 平面波解による展開１：古典場

古典場に対するシュレーディンガー方程式 (5.4.12) の一般解は，これらの平面波解の重

ね合わせで表すことができる:

ψ(x, t) =∞∑

n=−∞

an ϕn(x, t). (5.4.16)

61

ここで，anは重ね合わせの係数 (展開係数)である．ψが与えられたとき，係数 anは次の

ようにして求めることができる:

an =

∫ L/2

−L/2ϕ∗n(x, t)ψ(x, t) dx. (5.4.17)

実際，右辺に上の展開式を代入してみれば，

(右辺) =

∫ L/2

−L/2ϕ∗n(x, t)ψ(x, t) dx

=

∫ L/2

−L/2ϕ∗n(x, t)

∞∑l=−∞

al ϕl(x, t) dx

=∞∑

l=−∞

al

∫ L/2

−L/2ϕ∗n(x, t)ϕl(x, t) dx

=∞∑

l=−∞

al δnl

= an. (5.4.18)

ここで，ψの展開式 (5.4.16)を代入するときには，添え字 nがビ ジ ー

使用中であったため，展開

の足し上げの添え字として lを使った．

5.4.3 平面波解による展開2：量子場

古典解がわかったので，場の量子論に戻ろう．第二量子化レベルでは，場の変数ψが場

の演算子 ψに昇格している．これに応じて，展開式 (5.4.16)では，展開係数 anが演算子

anに昇格することになる：

an → an.

こうして，ψは，

ψ(x, t) =∞∑

n=−∞

an ϕn(x, t) (5.4.19)

と表されることになる．また，両辺のエルミート共役をとれば，ψ†の展開式も得られる：

ψ†(x, t) =∞∑

n=−∞

a†n ϕ∗n(x, t). (5.4.20)

62

もちろん，ψが与えられたとき，展開係数 anは，

an =

∫ L/2

−L/2ϕ∗n(x, t) ψ(x, t) dx (5.4.21)

で求めることができる．両辺のエルミート共役をとれば，a†n に対しても，

a†n =

∫ L/2

−L/2ϕn(x, t) ψ

†(x, t) dx (5.4.22)

が成り立つ．

ψ(x, t), ψ†(x, t)に対する正準交換関係 (5.4.1)を用いて，an, a†n の交換関係を求めてみ

よう．(5.4.21), (5.4.22)より，

[an, al] =

[∫ L/2

−L/2ϕ∗n(x, t) ψ(x, t) dx,

∫ L/2

−L/2ϕ∗l (y, t) ψ(y, t) dy

]

=

∫ L/2

−L/2dx

∫ L/2

−L/2dy ϕ∗n(x, t)ϕ

∗l (y, t) [ψ(x, t), ψ(y, t)]︸ ︷︷ ︸

||

0

= 0. (5.4.23)

同様に，

[a†n, a†l ] = 0. (5.4.24)

また，

[an, a†l ] =

[∫ L/2

−L/2ϕ∗n(x, t) ψ(x, t) dx,

∫ L/2

−L/2ϕl(y, t) ψ

†(y, t) dy

]

=

∫ L/2

−L/2dx

∫ L/2

−L/2dy ϕ∗n(x, t)ϕl(y, t) [ψ(x, t), ψ

†(y, t)]︸ ︷︷ ︸||

δ(x− y)

=

∫ L/2

−L/2ϕ∗n(x, t)ϕl(x, t) dx

= δnl. (5.4.25)

まとめれば，

[an, al] = 0,

[an, a†l ] = δnl, (5.4.26)

[a†n, a†l ] = 0.

63

これらの交換関係は，調和振動子の生成消滅演算子と同じであることに注意しよう．例え

ば，n = l = 1に限ってみれば，[a1, a1] = [a†1, a†1] = 0 は自明であり，残りは，

[a1, a†1] = 1,

となる．これは，確かに調和振動子の交換関係 (3.3.9)に等しい．こうして，自由粒子の

場は，無限個の調和振動子の系と同等であることがわかった．

問 5.2 上とは逆に，an, a†n に対する交換関係 (5.4.26) と展開式 (5.4.19), (5.4.20)から，

ψ(x, t), ψ†(x, t) の交換関係 (5.4.1)が導かれることを示せ．

ただし，次の公式を使ってよい．

∞∑n=−∞

ei2πn(x−y)/L = Lδ(x− y).

5.4.4 ハミルトニアン演算子，運動量演算子，個数演算子

ハミルトニアン Hをこれらの an, a†l で表してみよう．Hの式 (5.4.6)に展開式 (5.4.19),

(5.4.20)を代入すると，

H =

∫ L/2

−L/2ψ†(x, t)h

(∂∂x, x)ψ(x, t) dx

=

∫ L/2

−L/2dx

∞∑n=−∞

a†n ϕ∗n(x, t)h

(∂∂x, x) ∞∑l=−∞

al ϕl(x, t)

=∞∑

n=−∞

∞∑l=−∞

a†n al

∫ L/2

−L/2dxϕ∗n(x, t)h

(∂∂x, x)ϕl(x, t)

ここで，h(∂∂x, x)ϕl(x, t) =

p2l2mϕl(x, t) = El ϕl(x, t) を使うと，

=∞∑

n=−∞

∞∑l=−∞

a†n alEl

∫ L/2

−L/2dxϕ∗n(x, t)ϕl(x, t)︸ ︷︷ ︸

||

δnl

=∞∑

n=−∞

En a†n an. (5.4.27)

したがって，

H =∞∑

n=−∞

En a†n an (5.4.28)

64

である．

ハミルトニアン以外の演算子も，an, a†l で表すことができる．個数演算子 N，運動量演

算子 P にたいしては，

N =

∫ L/2

−L/2ψ†(x, t)ψ(x, t) dx

=∞∑

n=−∞

a†n an, (5.4.29)

P =

∫ L/2

−L/2ψ†(x, t)

(1

i

∂

∂x

)ψ(x, t) dx

=∞∑

n=−∞

pn a†n an, (5.4.30)

と表される．

問 5.3 上の N と P の式を導出せよ．

5.4.5 粒子描像：真空，1粒子状態，多粒子状態

真空

調和振動子の基底状態に対応して，|0〉を

an|0〉 = 0 for all n (5.4.31)

で定義する．このとき，

H|0〉 = 0 (5.4.32)

が成り立つことが直ちにわかる．したがって，|0〉は確かに Hの固有状態であり，そのエ

ネルギー固有値は 0である．同様に，

P |0〉 = 0 (5.4.33)

も成り立つ．すなわち，この |0〉は，運動量演算子 P の固有状態でもあり，その固有値は

0である．エネルギーも運動量も 0のこの状態 |0〉を真空と呼ぶ．

65

1粒子状態

真空 |0〉に生成演算子を一個だけ作用した状態を考えよう．

|pn〉 ≡ a†n|0〉 (5.4.34)

なる状態 |pn〉を考える．このとき，

H |pn〉 =∞∑

l=−∞

El a†l al a

†n|0〉

=∞∑

l=−∞

El a†l

(a†n al↓0

+ [al, a†n]︸ ︷︷ ︸

δln

)|0〉

= En a†n|0〉

= En|pn〉 (5.4.35)

また，同様に，

P |pn〉 = pn|pn〉 (5.4.36)

も成り立つ．結局，状態 |pn〉は，エネルギー En = p2n/(2m)，運動量が pnを持つ状態で

ある．これは，|pn〉が表す状態は，質量mの粒子が 1個運動量 pnで運動している状態で

あることを意味する．実際，個数演算子 N を |pn〉に作用すると，

N |pn〉 = |pn〉, (5.4.37)

も成り立つので，この状態は確かに「個数」が 1の状態である．

問 5.4 (5.4.30), (5.4.29)などを使って (5.4.36)，(5.4.37)式を確かめよ．

多粒子状態

真空と 1粒子状態がわかったので，a†nを真空に何個か作用すれば，多粒子状態が得ら

れるだろうと予想できる．

例えば，

|pn, pl〉 ≡ a†n a†l |0〉

とおけば，|pn, pl〉は運動量がそれぞれ pn, plの粒子が 2個存在する状態である．実際に，

この状態が，運動量の固有値が pn + plであり，エネルギー Hの固有値が p2n2m

+p2l2m，N の

固有値が 2であることは次のようにしてわかる．

66

まず，H, N , P などと生成・消滅演算子 a†n, anとの交換関係を求める．

[H, a†n] =[∑

l

El a†l al, a

†n

]=∑l

El [a†l al, a

†n]

=∑l

El

([a†l , a

†n] al + a†l [al, a

†n])

=∑l

El (0 + a†l δln)

= En a†n. (5.4.38)

同様に，

[H, an] = −En an, (5.4.39)

が得られる．また，

[P , an] = −pn an, [P , a†n] = +pn a†n, (5.4.40)

[N , an] = −an, [N , a†n] = +a†n (5.4.41)

も成り立つ．

さて，|E〉がハミルトニアン Hの固有値Eの固有状態とする．

H|E〉 = E|E〉.

このとき，

H(a†n|E〉

)=(a†nH

↓E

+ [H, a†n]||

Ena†n

)|E〉

= (E + En)(a†n|E〉

)(5.4.42)

したがって，a†n|E〉は Hの固有状態であり，固有値はE +Enである．すなわち，a†nはエ

ネルギーをEnだけ上げる演算子である．

交換関係 (5.4.40)，(5.4.41) を使うと，全く同様なことが P と Nの固有値についても言

える．すなわち，a†nは運動量を pn，粒子数を 1だけ上げる演算子である．

以上の結果を使えば，|pn, pl〉は確かに，運動量の固有値がpn+pl，Hの固有値がp2n2m

+p2l2m，

N の固有値が 2であることがわかる．

より多粒子の状態も同様にして作ることができる：

|pn1 , pn2 , . . . , pnl〉 ≡ a†n1

a†n2· · · a†nl

|0〉

67

とおけば，

H |pn1 , . . . , pnl〉 = (En1 + · · ·+ Enl

) |pn1 , . . . , pnl〉,

P |pn1 , . . . , pnl〉 = (pn1 + · · ·+ pnl

) |pn1 , . . . , pnl〉,

N |pn1 , . . . , pnl〉 = l |pn1 , . . . , pnl

〉

が成り立つ．

問 5.5 (5.4.40), (5.4.41)式を導出せよ．

5.4.6 統計性

２粒子状態

|pn, pn′〉 = a†na†n′ |0〉

を考えてみよう．交換関係

[a†n, a†n′ ] = 0

を使えば，

|pn, pn′〉 = |pn′ , pn〉 (5.4.43)

が成り立つ．すなわち，1番目と 2番目の粒子を交換しても同じ状態ベクトルを与える．

これは，ボーズ粒子が満たす条件であり，考えている粒子がボーズ統計にしたがうことを

意味している．

多粒子の状態に対しても同様である．l粒子状態

|pn1 , pn2 , . . . , pnl〉 ≡ a†n1

a†n2· · · a†nl

|0〉

は，どの二つの運動量を入れ替えても，同じ状態ベクトルを表す．これらは，交換関係

(5.4.26) から導かれることである．

5.5 L→ ∞の極限ここまでは，空間座標 xに対して周期Lの周期的境界条件を課してきた．その結果，許

される運動量は

pn =2πn

L(n = 0, ±1, ±2, · · · ) (5.5.1)

68

と，とびとびの値になった．有限のサイズの空間を考えたからである．無限大の空間を考

えるために L→ ∞の極限を考えてみよう．このとき，

∆pn = pn+1 − pn =2π

L→ 0 (5.5.2)

となるので，確かに pは連続的な量がとれるようになる．

平面波解による展開

ψ(x, t) =∑n

an ϕn(x, t) =1√L

∑n

an ei(pnx−Ent)

はこの極限でどうなるであろうか．nに関する足し算を，pに関する積分に直すには，∆pn =

2π/L（これが極限で dpになる）が必要である．そこで，上の展開を

ψ(x, t) =

√L

2π

∑n

an ei(pnx−Ent)

2π

L

=1√2π

∑n

(√L

2πan

)ei(pnx−Ent)∆pn (5.5.3)

と表せば，L→ ∞ (∆pn → 0) の極限で，

ψ(x, t) =1√2π

∫ ∞−∞

a(p) ei(px−Ept) dp (5.5.4)

と表すことができる．ただし，ここで，Ep = p2/(2m)であり，a(p)は，

pn → p として

√L

2πan → a(p) (5.5.5)

とした．同様に，ψ†(x, t)の平面波解展開は，

ψ†(x, t) =1√2π

∫ ∞−∞

a†(p) e−i(px−Ept) dp (5.5.6)

となり，ここで，

pn → p として

√L

2πa†n → a†(p) (5.5.7)

である．

このように導入された，連続変数 pの関数となった，a(p)， a†(p) の間の交換関係を見

てみよう．上の対応より，

[a(p), a†(p′)] = limL→∞

[√L

2πan,

√L

2πa†n′

]= lim

L→∞

L

2πδnn′

= δ(p− p′) (5.5.8)

69

が得られる．ここで，pn ∼ p, pn′ ∼ p′ とみなした．また，最後の等式では，

1 =∑n

δnn′ =∑n

L

2πδnn′ ∆pn ∼

∫ ∞−∞

(L

2πδnn′

)dp

であることから，L

2πδnn′ → δ(p− p′)

とみなした．

そのほかの交換子も同様に計算でき，結果をまとめると，

[a(p), a†(p†)] = δ(p− p′),

[a(p), a(p′)] = [a†(p), a†(p′)] = 0 (5.5.9)

となる．これらの交換関係が正しいことは次のようにしてわかる．すなわち，(5.5.9)と

展開式 (5.5.4), (5.5.6) を仮定して，ψと ψ†の交換子を計算すると，

[ψ(x, t), ψ†(y, t)] =

[1√2π

∫ ∞−∞

a(p) ei(px−Ept) dp,1√2π

∫ ∞−∞

a†(q) e−i(qy−Eqt) dq

]=

1

2π

∫dp

∫dq ei(px−Ept)−i(qy−Eqt) [a(p), a†(q)]

=1

2π

∫dp

∫dq ei(px−Ept)−i(qy−Eqt) δ(p− q)

=1

2π

∫dp eip(x−y)

= δ(x− y) (5.5.10)

と，正しい正準交換関係が再現されることからである．

L→ ∞において，ハミルトニアン (5.4.28)は，(5.5.7)より，

H =∑n

En a†nan

=∑n

En

√L

2πa†n

√L

2πan

2π

L

=∑n

En

√L

2πa†n

√L

2πan∆pn

→∫ ∞−∞

Ep a†(p) a(p) dp

となる．すなわち，

H =

∫ ∞−∞

Ep a†(p)a(p) dp. (5.5.11)

70

同様に，運動量や個数演算子，(5.4.30)，(5.4.29) も，

P =

∫ ∞−∞

p a†(p)a(p) dp., (5.5.12)

N =

∫ ∞−∞

a†(p)a(p) dp. (5.5.13)

と表される．

交換関係，(5.5.9) を使えば，これらの H, P , N と a(p), a†(p)との交換関係も，

[H, a(p)] = −Ep a(p), [H, a†(p)] = +Ep a†(p), (5.5.14)

[P , a(p)] = −p a(p), [P , a†(p)] = + p a†(p), (5.5.15)

[N , a(p)] = −a(p), [N , a†(p)] = + a†(p), (5.5.16)

となることがわかる．

運動量が pの 1粒子状態は

|p〉 = a†(p) |0〉 (5.5.17)

で定義される．このとき，

〈p|p′〉 = δ(p− p′) (5.5.18)

が成り立つ．また，運動量が p, p′の二粒子状態は

|p, p′〉 = a†(p) a†(p′) |0〉 (5.5.19)

で定義されることも同様である．この状態は，もちろん，ボーズ統計性

|p, p′〉 = |p′, p〉

を見たしている（交換関係 (5.5.9)から保証されている）．

5.6 量子力学との対応関係

場を量子化することにより粒子描像が現れることを見てきた．特に，1次元自由粒子系

では，真空 |0〉に a†(p)を 1個だけかけた状態（あるいは，それらの線形結合）が 1粒子の

状態であった．これらの 1粒子状態に限れば，1粒子の量子力学と等価な理論になってい

るものと期待される．以下では，この対応関係を見ていこう．

71

5.6.1 1粒子の量子力学

まず，1粒子の量子力学（1次元系）を復習しておこう．ここでは，シュレーディンガー

描像で考える．

ディラックの記法では，位置演算子 x と運動量演算子 pがあり，交換関係

[x, p] = i (5.6.1)

が成り立つ (~ = 1の単位系)．これらの演算子の固有状態，|x〉, |p〉 は

x |x〉 = x |x〉, 〈x|y〉 = δ(x− y), (5.6.2)

p |p〉 = p |p〉, 〈p|p′〉 = δ(p− p′) (5.6.3)

で定義される．さらに，交換関係 (5.6.1)から，|x〉と |p〉の間の内積は，

〈x|p〉 = 1√2π

eipx (5.6.4)

を満たすことがわかる (3.4.1節参照)．特に，上の式から，

〈x|p|y〉 = 1

i

∂

∂xδ(x− y) (5.6.5)

が成り立ち，また，任意の状態 |ϕ〉に対して，

〈x|p|ϕ〉 = 1

i

∂

∂x〈x|ϕ〉 (5.6.6)

も成り立つことがわかった．

状態 |ϕ〉に対応する x表示の波動関数 ϕ(x)は

ϕ(x) = 〈x|ϕ〉 (5.6.7)

で与えられた．この対応では，(5.6.6)式は，|ϕ〉 への pの作用が，x表示の波動関数では

微分演算子になることを表していた：

|ϕ〉 ↔ ϕ(x) のとき p|ϕ〉 ↔ 1

i

∂

∂xϕ(x).

5.6.2 場の量子論における1粒子状態

場の量子論において，運動量が確定している 1粒子状態は，

|p〉 = a†(p)|0〉

72

で与えられた．実際，運動量演算子

P =

∫ ∞−∞

ψ†(x, t)1

i

∂

∂xψ(x, t) dx (5.6.8)

=

∫ ∞−∞

p a†(p)a(p) dp (5.6.9)

を作用すると，

P |p〉 = p |p〉 (5.6.10)

が成り立ち，交換関係，

[a(p), a†(p′)] = δ(p− p′)

より，

〈p|p′〉 = δ(p− p′) (5.6.11)

も成り立った．したがって，この 1粒子状態 |p〉が量子力学の運動量固有状態 |p〉に対応するものと考えられる．

では，量子力学における位置の固有状態 |x〉に対応する場の量子論の 1粒子状態は何で

あろうか．量子力学での結果をみれば，

〈x|p〉 = 1√2π

eipx

であるはずなので，

|x〉 =∫dp |p〉〈p|x〉

=

∫dp |p〉 1√

2πe−ipx

で定義すればよさそうである．つまり，

|x〉 ≡∫

1√2π

e−ipx|p〉 dp

=1√2π

∫e−ipxa†(p)|0〉 dp

= ψ†(x, 0)|0〉 (5.6.12)

である．ここで，ψ†(x, 0) の式は，平面波展開 (5.5.6)式，

ψ†(x, t) =1√2π

∫ ∞−∞

a†(p) e−i(px−Ept) dp

において，t = 0を代入したものを使った．

73

ところで，今比較している 1粒子の量子力学系は，シュレーディンガー描像のもので

あったから，場の量子論でもシュレーディンガー描像で考えれば，この ψ†(x, 0)は，シュ

レーディンガー描像の場の演算子に他ならない（ハイゼンベルク描像の演算子は，t = 0

でシュレーディンガー描像の演算子に等しい：OH(t = 0) = OS）．そこで，この ψ†(x, 0)

を，シュレーディンガー描像での場の演算子として，単に，ψ†(x)と書くことにする．ま

た，（同様に，ψの方も，ψ(x)でシュレーディンガー描像での演算子を表すことにする．）

この約束で，量子力学の位置の固有状態に対応すると思われるものは，

|x〉 = ψ†(x) |0〉 (5.6.13)

と表される．では，本当にこの予想は正しいだろうか．

上の予想の正しさを確かめるため，運動量演算子，

P =

∫ ∞−∞

ψ†(x)1

i

∂

∂xψ(x) dx

に対応して，位置演算子 Xを

X =

∫ ∞−∞

ψ†(x) x ψ(x) dx (5.6.14)

で定義する．（一般に，量子力学での期待値が場の理論での演算子になったことを思い出

そう．）この定義より，

[X, ψ†(x)] =

[∫ ∞−∞

ψ†(y) y ψ(y) dy, ψ†(x)

]=

∫ ∞−∞

dy [ψ†(y) y ψ(y), ψ†(x)]

=

∫ ∞−∞

dy

([ψ†(y), ψ†(x)] y ψ(y) + ψ†(y) y [ψ(y), ψ†(x)]

)=

∫ ∞−∞

dy ψ†(y) y δ(y − x)

= x ψ†(x) (5.6.15)

が成り立つ．これより，

X |x〉 = Xψ†(x) |0〉=(ψ†(x)X + [X, ψ†(x)] |0〉

= x ψ†(x) |0〉= x |x〉 (5.6.16)

が導かれる．ここで，X|0〉 = 0を使った（これは，ψ(x)|0〉 = 0から直ちに得られる）．し

たがって，上で定義した 1粒子状態 |x〉は確かに位置演算子 Xの固有状態であり，固有値

74

xをもつものであることがわかる．また，規格化の条件も，

〈x|y〉 = 〈0| ψ(x) ψ†(y) |0〉= 〈0| [ψ(x), ψ†(y)] |0〉= δ(x− y)〈0|0〉= δ(x− y) (5.6.17)

と出てくる．

こうして，量子力学の状態 |x〉に対応する場の量子論の 1粒子状態は ψ†(x)|0〉であることが確かめられた．

ここまでくると，波動関数との対応もわかる．量子力学では，状態 |ϕ〉に対応する波動関数 ϕ(x)は，(5.6.7)式，

ϕ(x) = 〈x|ϕ〉

であった．場の量子論でもこれをそのまま使えばよい．〈x| = 〈0|ψ(x)に注意すれば，次のようにまとめられる：

1粒子状態 |ϕ〉に対応する，量子力学の波動関数 ϕ(x)は，

ϕ(x) = 〈0| ψ(x) |ϕ〉

で与えられる．

(5.6.18)

あるいは，逆に，ϕ(x)から |ϕ〉を得るには，

|ϕ〉 =∫ ∞−∞

ϕ(x) ψ†(x) |0〉 dx (5.6.19)

とすればよい．

問 5.6 (5.6.15)式の導出にならって、

[X, ψ(x)] = −x ψ(x) (5.6.20)

が成り立つことを示せ．

問 5.7 (5.6.15)や上の問の結果などを使って，

[X, P ] = iN (5.6.21)

が成り立つことを示せ．ここで，N は個数演算子

N =

∫ ∞−∞

ψ†(x)ψ(x) dx

である．したがって，特に 1粒子状態に限れば，N = 1となるため，Xと P は，1

粒子量子力学の位置演算子と運動量演算子の交換関係をみたすことがわかる．

75

問 5.8 [ψ(x), P ] = (1/i)∂ψ(x)/∂x が成り立つことを確認し，その結果を用いて，つぎの

ことを示せ．

状態 |ϕ〉に対して，ϕ(x) = 〈x|ϕ〉 とすると，

〈x|P |ϕ〉 = 1

i

∂ϕ(x)

∂x

が成り立つ．ここで，〈x|はもちろん，〈x| = 〈0|ψ(x).

問 5.9 シュレーディンガー描像における状態ベクトル |ϕ〉に，|ϕ〉 → |ϕ, t〉 = e−iHt|ϕ〉によって時間発展をさせる．このとき，ϕ(x, t) ≡ 〈0|ψ(x)|ϕ, t〉とおくと，ϕ(x, t) =〈0|ψ(x, t)|ϕ〉が成り立つことを示せ．また，ϕ(x, t)がシュレーディンガー方程式をみたすことを確かめよ．

5.6.3 場の演算子の意味

上の節で見てきたように，

ψ†(x) |0〉

は，粒子が点 xに 1個存在する状態を表すことがわかった．ところで，今やっているのは

場の理論である．場の理論では，エネルギー密度を表す演算子，すなわちハミルトニアン

密度 H が存在する：H(x) = ψ†(x)h

(∂∂x, x)ψ(x). (5.6.22)

そこで，このハミルトニアン密度を使って，本当に |x〉 = ψ†(x)|0〉 という状態が，点 xに

だけエネルギーが集中している状態であるかどうかを確かめよう．

次の行列要素を考えよう．

〈y|H(x)|y′〉 = 〈0|ψ(y) ψ†(x)h(∂∂x, x)ψ(x) ψ†(y′) |0〉.

ここで，

ψ(x) ψ†(y′) |0〉 = [ψ(x), ψ†(y′)] |0〉= δ(x− y′) |0〉

であることに注意すると（〈0| ψ(y)ψ†(x)についても同様），

〈y|H(x)|y′〉 = 〈0|δ(y − x)h(∂∂x, x)δ(x− y′)|0〉

= δ(y − x)h(∂∂x, x)δ(x− y′) =

{6= 0 (x = y = y′)

0 (otherwise)(5.6.23)

となる．これは確かに，|y〉が点 yにだけにエネルギーを持っている状態であることを示す．

76

上の式ではh(∂∂x, x)のかかったデルタ関数があってわかりにくいかもしれないので，よ

り一般の状態 (5.6.19) で H(x)の期待値を見てみよう．上の結果を使うと，

〈ϕ|H(x)|ϕ〉 =∫dy 〈y|ϕ∗(y) · H(x) ·

∫dy′ ϕ(y′)|y′〉

=

∫dy

∫dy′ ϕ∗(y)ϕ(y′)〈y|H(x)|y′〉

=

∫dy

∫dy′ ϕ∗(y)ϕ(y′)δ(y − x)h

(∂∂x, x)δ(x− y′)

=

∫dy′ ϕ∗(x)ϕ(y′)h

(∂∂x, x)δ(x− y′)

= ϕ∗(x)h(∂∂x, x) ∫

dy′ ϕ(y′)δ(x− y′)

= ϕ∗(x)h(∂∂x, x)ϕ(x).

したがって，もし，「波動関数」ϕ(x)が x = x0のごく近傍でしか値を持たない関数であれ

ば，エネルギーもその x = x0の近傍でしか値を持たないことがわかる．

以上のことから，場の演算子に対して，次のことを結論してよいだろう．

• ψ†(x) は点 xに粒子を一個生成する演算子．

• ψ(x) は点 xにおける粒子を一個消滅させる演算子．

したがって，例えば，

|x, y〉 = ψ†(x) ψ†(y) |0〉

という状態は，点 xと yのそれぞれに 1個ずつ粒子が存在する 2粒子状態である．

ここまでは 1次元の自由粒子で考えてきたが，このような解釈は，3次元でも，また，

ポテンシャルがあったとしても成り立つ：

• ψ†(x) は点 xに粒子を一個生成する演算子．

• ψ(x) は点 xにおける粒子を一個消滅させる演算子．

(Remark) 粒子数が保存しないような相互作用を考えるときには，ハミルトニアン密度

に，次のような相互作用項が含まれることがある．

g ψ†(x)ψ(x)φ(x).

これを，上の解釈でみると，点xで φ粒子とψ粒子が消滅し，またその点からψ粒

子が生成されるのであるから，「φ粒子とψ粒子が点xにやってきて φ粒子はそこで

消え，ψ粒子だけがそこから飛んでいく」というようなプロセスを意味する．（例え

ば，結晶内の電子にフォノンが吸収されるようなプロセス．）また，gはこのプロセ

スの強さである．gが大きければ [小さければ]，このようなプロセスが起きる確率が

大きい [小さい]．

第6章 シュレーディンガー場の量子論そ

の２：フェルミ粒子

前章では，シュレーディンガー場を量子化することにより，ボーズ統計にしたがう粒子

が現れることを見てきた．では，フェルミ統計にしたがう粒子はどのようにして現れるの

だろうか．

6.1 交換関係とボーズ統計性

前章での２粒子状態のもつボーズ統計性

|p, p′〉 = |p′, p〉

がどのように現れたかを思い出してみよう．|p, p′〉の定義が，

|p, p′〉 = a†(p)a(p′)|0〉

であったことを考えると，上の統計性は，交換関係

[a†(p), a†(p′)] = 0

から導かれたことがわかる．

多粒子の状態に対しても同様である．例えば 3粒子状態

|p, p′, p′′〉 ≡ a†(p) a†(p′) a†(p′′) |0〉

は，どの二つの運動量を入れ替えても，同じ状態ベクトルを表す．これらもやはり，交換

関係 (5.5.9) から導かれることである．

6.2 フェルミ統計性

上でみたように，ボーズ統計性は交換関係 (5.5.9)から導かれた．これらは結局，ψ(x, t)

と ψ†(x, t)に対する正準交換関係 (5.4.1)から来たものである．そこで，フェルミ統計を考

えるには，正準交換関係 (5.4.1)に代わるものとして，反交換関係を考えたくなる．

77

78

ψ(x, t) と ψ†(x, t)に対して次の反交換関係を仮定しよう．

{ψ(x, t), ψ†(y, t)} = δ(x− y),

{ψ(x, t), ψ(y, t)} = {ψ†(x, t), ψ†(y, t)} = 0. (6.2.1)

ここで，反交換子積の記号として，

{A, B} ≡ AB + BA (6.2.2)

を用いた．さて，正準交換関係 (5.4.1)から a(p), a†(p′) に対するは交換関係 (5.5.9) が導

かれたように，上の反交換関係 (6.2.1)からは，a(p), a†(p′) に対する反交換関係が導かれ

るものと期待される．実際，ψ(x, t) と ψ†(x, t)に対する平面波展開の式，(5.5.4), (5.5.6)，

ψ(x, t) =1√2π

∫ ∞−∞

a(p) ei(px−Ept) dp, (6.2.3)

ψ†(x, t) =1√2π

∫ ∞−∞

a†(p) e−i(px−Ept) dp, (6.2.4)

を仮定すると，逆フーリエ変換の式より，

a(p) =1√2π

∫ ∞−∞

ψ(x, t) e−i(px−Ept) dx, (6.2.5)

a†(p) =1√2π

∫ ∞−∞

ψ†(x, t) ei(px−Ept) dx, (6.2.6)

が得られる．これより，例えば，

{a(p), a†(p′)} =

{1√2π

∫ ∞−∞

ψ(x, t) e−i(px−Ept) dx,1√2π

∫ ∞−∞

ψ†(y, t) ei(p′y−Ep′ t) dy

}=

1

2π

∫dx

∫dy e−i(px−Ept) ei(p

′y−Ep′ t) {ψ(x, t), ψ†(y, t)}

=1

2π

∫dx

∫dy e−i(px−Ept) ei(p

′y−Ep′ t) δ(x− y)

=1

2π

∫dx e−i(p−p

′)x ei(Ep−Ep′ )t

= ei(Ep−Ep′ )t δ(p− p′)

= δ(p− p′)

が導かれる．他も同様で，結果をまとめれば，結局

{a(p), a†(p′)} = δ(p− p′),

{a(p), a(p′)} = {a†(p), a†(a′)} = 0. (6.2.7)

79

と，確かに a(p), a†(p′)の間の反交換関係が導かれる．さらには，この反交換関係 (6.2.7)

を使えば，

|p, p′〉 = a†(p) a†(p′) |0〉

によって定義した状態 |p, p′〉が確かにフェルミ統計性

|p, p′〉 = −|p′, p〉

を満たすこともわかる．

これで首尾よくフェルミ粒子の理論が完成したのであろうか．残念ながらまだである．

少なくとも，ボーズ粒子では成り立っていた次のような事柄は，交換関係を変更してし

まったりしているので，そのまま成り立つ保証はないだろう．

1. 本当にこの理論は，シュレーディンガー場の量子論になっているのか？ すなわち，

場の演算子 ψ(x, t)はハイゼンベルク方程式の結果としてシュレーディンガー方程式

を満たしているのか？

2. 今の場合でも粒子描像が出てくるのか？ 状態 a†(p) |0〉は，本当に，運動量が p，エ

ネルギーがEp = p2/2mの粒子の状態とみなせるのか？

3. 1粒子状態に限れば，もとの量子力学と等価であることが示せるか？

以下では，これらのことを実際に確認していこう．しかし，その前の準備として，まず，

反交換子積が現れるときの代数計算の公式を見ておこう．

6.3 反交換子積の性質

Aと Bの反交換子積 {A, B}は，(6.2.2)式で定義された：

{A, B} = AB + BA. (6.2.2)

空間ベクトルのベクトル積ではかけ算の順番を入れ換えるとマイナスが出る．一般に，

Aと Bが AB = −BAを満たせば，Aと Bは反交換するという．したがって，反交換子

積は二つの演算子の「反交換のしにくさの度合」を表すものと考えられる．特に，

AB = −BA ⇐⇒ {A, B} = 0 (6.3.1)

が成り立つ．また，反交換子積は二つの演算子を反交換（マイナスを付けて交換）したと

きの「おつり」と考えることもできる：

AB = −BA+ {A, B} (6.3.2)

反交換子積の意味がわかったところで，性質をまとめておこう．

80

反交換子積の性質 　

(i) 対称性

{A, B} = {B, A}

(ii) 線形性 (分配法則，定数倍)

{A, cB + c′B′} = c{A, B}+ c′{A, B′}{cA+ c′A′, B} = c{A, B}+ c′{A′, B}

ここで，c, c′は演算子ではない普通の数 (c数)である．

(iii) 積の微分公式 (ライプニッツ則)に類似した式

[A, BC] = {A, B}C − B{A, C}[AB, C] = A{B, C} − {A, C}B

(iv) ヤコビの恒等式

[A, {B, C}] + [B, {C, A}] + [C, {A, B}] = 0.

性質 (i)と (ii)は定義 (6.2.2)から直ちにわかるであろう．気になるのは性質 (iii)である1．

憶えやすそうな気もするが，マイナスが出てきたりしてやはり難しそうである．交換子の

場合であれば (iii)の一番目の式に対応するものとして，

[A, BC] = [A, B]C + B[A, C] (6.3.3)

というものがあった．まずは，この公式の証明の仕方を思い出して，反交換子の場合の

(iii)第一式を示してみよう．

[A, BC] = ABC − BCA

= ABC + BAC − BAC − BCA

= (AB + BA)C − B(AC + CA)

= {A, B}C − B{A, C}.

したがって，

[A, BC] = {A, B}C − B{A, C}. (6.3.4)

交換子の場合の (6.3.3)の公式が完全に頭に入っている人にとっては，この式は次のよう

に考えると憶え易い：

1性質 (iv)は性質 (iii)を使えば導かれる．しかも，この性質を利用する機会はほとんどない．

81

1. A, B, C はすべてフェルミ的なものと考える．つまり，基本は互いに反交換したが

るものとするのである．だからこそ，反交換したときのおつり＝反交換子 に注目し

ているのである．

2. フェルミ的なもの二つの積 BCはボーズ的なものである．実際，Aが（おつりを無

視して）二つの積 BCを飛び越えようと思ったら，マイナスが 2回出るので結局は

プラスが出るからである．

3. 公式 (6.3.4)の左辺は交換子でなければならない．なぜなら，フェルミ的な Aがボー

ズ的な BCを飛び越えたときの「おつり」に興味があるからである．

4. 右辺の各項の符号は次のように考える．まず，公式 (6.3.4)で，交換子や反交換子の

括弧は無視して，A, B, Cの順番だけに着目する．

左辺は，ABCの順である．右辺第一項もABCの順である．右辺第二項はBACの

順であり，左辺の順番と比べるとAとBが逆転している．A, B, C はすべてフェル

ミ的なものであったので，逆転が 1回起きるたびにマイナス符号がでると思えばよ

い．こうして，右辺第一項にはプラス，第二項にはマイナスが現れている．

5. このように考えると，性質 (iii)の第二式も自然に思えてくる：

[AB, C] = A{B, C} − {A, C}B. (6.3.5)

問 6.1 (6.3.5)式が成り立つことを示せ．

問 6.2 反交換子の性質 (iii)を使って，

[A, {B, C}] = [A, BC] + [A, CB] (6.3.6)

を計算していくと，性質 (iv)と等価な式がでることを確認せよ．

6.4 反交換関係によるシュレーディンガー場の量子化

1次元自由粒子系のシュレーディンガー場の第二量子化を，反交換関係にもとづいてや

り直してみよう．

6.4.1 量子化

波動関数 ψ(x, t)，ψ∗(x, t)は演算子に昇格される．

ψ(x, t) → ψ(x, t)

ψ∗(x, t) → ψ†(x, t).

82

ただし，これらの演算子は，今回は，反交換関係を満たすものとする：

{ψ(x, t), ψ†(y, t)} = δ(x− y),

{ψ(x, t), ψ(y, t)} = {ψ†(x, t), ψ†(y, t)} = 0. (6.4.1)

波動関数が演算子に昇格されたことに応じて，第一量子化レベルでの期待値が対応する

演算子に昇格される．特に，ハミルトニアン H は，

H =

∫ ∞−∞

ψ†(x, t)h(∂∂x, x)ψ(x, t) dx (6.4.2)

で与えられる．同様に，運動量演算子 P，個数演算子 N は次で与えられる．

P =

∫ ∞−∞

ψ†(x, t)1

i

∂

∂xψ(x, t) dx, (6.4.3)

N =

∫ ∞−∞

ψ†(x, t)ψ(x, t) dx. (6.4.4)

6.4.2 ハイゼンベルク方程式

演算子 O(t)の時間発展は，ハイゼンベルク方程式，

i∂

∂tO(t) = [O(t), H]

にしたがう．

ハイゼンベルク方程式を用いて，ψ(x, t)の時間発展を調べてみよう．反交換関係 (6.4.1)

と反交換子の性質などより，

i∂ψ(x, t)

∂t= [ψ(x, t), H]

=

[ψ(x, t),

∫ ∞−∞

ψ†(y, t)h(∂∂y, y)ψ(y, t) dy

]=

∫ ∞−∞

dy[ψ(x, t), ψ†(y, t)h

(∂∂y, y)ψ(y, t)

]=

∫ ∞−∞

dy

({ψ(x, t), ψ†(y, t)}h

(∂∂y, y)ψ(y, t)

− ψ†(y, t){ψ(x, t), h

(∂∂y, y)ψ(y, t)

})=

∫ ∞−∞

dy

({ψ(x, t), ψ†(y, t)}h

(∂∂y, y)ψ(y, t)

− ψ†(y, t)h(∂∂y, y){ψ(x, t), ψ(y, t)}

)=

∫ ∞−∞

dy δ(x− y)h(∂∂y, y)ψ(y, t)

= h(∂∂x, x)ψ(x, t). (6.4.5)

83

同様に，

i∂ψ†(x, t)

∂t= [ψ†(x, t), H]

=

[ψ†(x, t),

∫ ∞−∞

ψ†(y, t)h(∂∂y, y)ψ(y, t) dy

]=

∫ ∞−∞

dy[ψ†(x, t), ψ†(y, t)h

(∂∂y, y)ψ(y, t)

]=

∫ ∞−∞

dy

({ψ†(x, t), ψ†(y, t)}h

(∂∂y, y)ψ(y, t)

− ψ†(y, t){ψ†(x, t), h

(∂∂y, y)ψ(y, t)

})=

∫ ∞−∞

dy

({ψ†(x, t), ψ†(y, t)}h

(∂∂y, y)ψ(y, t)

− ψ†(y, t)h(∂∂y, y){ψ†(x, t), ψ(y, t)}

)= −

∫ ∞−∞

dy ψ†(y, t)h(∂∂y, y)δ(x− y)

= −∫ ∞−∞

dy(h(− ∂∂y, y)ψ†(y, t)

)δ(x− y)

= −h(− ∂∂x, x)ψ†(x, t)

= −h(∂∂x, x)ψ†(x, t). (6.4.6)

こうして，ハイゼンベルク方程式から正しいシュレーディンガー方程式

i∂ψ(x, t)

∂t= h

(∂∂x, x)ψ(x, t), (6.4.7)

−i∂ψ†(x, t)

∂t= h

(∂∂x, x)ψ†(x, t) (6.4.8)

が成り立つことが示された．したがって，反交換関係にもとづく今の理論は，確かにシュ

レーディンガー場を量子化したものになっていることがわかる．

問 6.3 57ページの「(5.3.8)の説明」にならって，上の (6.4.5), (6.4.6)式の計算の各ステッ

プを説明せよ．

84

6.4.3 運動量表示

場の演算子 ψ(x, t), ψ†(x, t)がシュレーディンガー方程式を満たすことがわかったので，

ようやく，平面波解による展開

ψ(x, t) =1√2π

∫ ∞−∞

a(p) ei(px−Ept) dp, (6.4.9)

ψ†(x, t) =1√2π

∫ ∞−∞

a†(p) e−i(px−Ept) dp, (6.4.10)

の正当化が出来た．もちろんここで，Ep = p2/(2m)である．したがって，また，逆フー

リエ変換の式，(6.2.5), (6.2.6)も使うことができ，a(p), a†(p′)間の反交換関係

{a(p), a†(p′)} = δ(p− p′),

{a(p), a(p′)} = {a†(p), a†(a′)} = 0. (6.4.11)

も導かれる．

運動量表示の H, P , N

a(p), a†(p)で Hなどを表してみよう．

展開式，(6.4.9), (6.4.10)をハミルトニアン (6.4.2)に代入すると，

H =

∫ ∞−∞

ψ†(x, t)h(∂∂x, x)ψ(x, t) dx

=

∫ ∞−∞

dx1√2π

∫ ∞−∞

dp a†(p) e−i(px−Ept) h(∂∂x, x) 1√

2π

∫ ∞−∞

dp′ a(p′) ei(p′x−Ep′ t)

=1

2π

∫ ∞−∞

dx

∫ ∞−∞

dp

∫ ∞−∞

dp′ a†(p) a(p′) e−i(px−Ept)Ep′ ei(p′x−Ep′ t)

=

∫ ∞−∞

dp

∫ ∞−∞

dp′Ep′ a†(p) a(p′) e−i(Ep′−Ep)t

1

2π

∫ ∞−∞

dx ei(p′−p)x

=

∫ ∞−∞

dp

∫ ∞−∞

dp′Ep′ a†(p) a(p′) e−i(Ep′−Ep)t δ(p′ − p)

=

∫ ∞−∞

Ep a†(p)a(p) dp.

（上の計算でわかるように，演算子 a(p), a†(p)などの順番の入れ換えは一切行っていない

ので，ボーズ粒子と同じ結果になるのは当然である．）P や N についても同様である．結

果をまとめると，

H =

∫ ∞−∞

Ep a†(p)a(p) dp, (6.4.12)

P =

∫ ∞−∞

p a†(p)a(p) dp, (6.4.13)

85

N =

∫ ∞−∞

a†(p)a(p) dp. (6.4.14)

交換関係

a(p), a†(p)で Hが表せたので，交換関係を調べてみよう．反交換子積の性質や，a(p),

a†(p)の反交換関係などより，

[H, a(p)] =

[∫ ∞−∞

Ep′ a†(p′)a(p′) dp′, a(p)

]=

∫ ∞−∞

dp′Ep′ [a†(p′)a(p′), a(p)]

=

∫ ∞−∞

dp′Ep′(a†(p′){a(p′), a(p)} − {a†(p′), a(p)} a(p′)

)=

∫ ∞−∞

dp′Ep′(a†(p′) · 0− δ(p′ − p)a(p′)

)= −Ep a(p)

となり，結局，

[H, a(p)] = −Ep a(p) (6.4.15)

が得られる．同様な計算により，

[H, a†(p)] = Ep a†(p) (6.4.16)

も得られる．これらは，ボーズ粒子の場合と同じ結果であることに注意しよう．

上では，ハミルトニアンとの交換関係を求めたが，運動量や個数演算子の場合も全く同

様である．結果は，

[P , a(p)] = −p a(p), [P , a†(p)] = p a†(p) (6.4.17)

[N , a(p)] = −a(p), [N , a†(p)] = a†(p) (6.4.18)

である．

6.5 粒子描像

真空

真空 |0〉を次で定義する：

a(p) |0〉 = 0 for all p, 〈0|0〉 = 1. (6.5.1)

86

そうすれば，

H|0〉 = 0, (6.5.2)

P |0〉 = 0, (6.5.3)

N |0〉 = 0 (6.5.4)

が成り立つので，確かに |0〉は真空という名前に相応しい．エネルギーも運動量も粒子数もすべてゼロとなる固有状態である．

1粒子状態

励起状態として，

|p〉 ≡ a†(p) |0〉 (6.5.5)

と置けば，

H|p〉 = Ha†(p) |0〉

=(a†H + [H, a†(p)]

)|0〉

=(a†H + Epa

†(p))|0〉

= Epa†(p)|0〉

= Ep |p〉 (6.5.6)

が成り立つ．また同様に，

P |p〉 = p |p〉, (6.5.7)

N |p〉 = |p〉 (6.5.8)

も成り立つ．したがって，|p〉という状態は，運動量が p，エネルギーがEp = p2/(2m) の

固有状態であり，質量mの粒子が 1個ある状態とみなせる．

また，内積は，

〈p|p′〉 = 〈0| a(p) a†(p′)|0〉= 〈0|a(p) a†(p′) + a†(p′) a(p)|0〉= 〈0|{a(p), a†(p′)}|0〉= 〈0|δ(p− p′)|0〉= δ(p− p′) (6.5.9)

と，いつものデルタ関数の規格化条件を満たしていることがわかる．

87

2粒子状態

|p, p′〉 = a†(p) a†(p′) |0〉 (6.5.10)

とおけば，交換関係などから，

H|p, p′〉 =(p2

2m+p′2

2m

)|p, p′〉, (6.5.11)

P |p, p′〉 = (p+ p′)|p, p′〉, (6.5.12)

N |p, p′〉 = 2|p, p′〉 (6.5.13)

などが成り立つ．したがって，この状態は運動量が pの粒子と p′の粒子が 1個ずつ存在す

る状態であることもわかる．しかも，今回は，フェルミ統計性

|p, p′〉 = −|p′, p〉

を満たす．

多粒子状態

|p1, p2, . . . , pn〉 = a†(p1)a†(p2) · · · a†(pn)|0〉

とおけば，

H|p1, p2, . . . , pn〉 = (Ep1 + Ep2 + · · ·Epn)|p1, p2, . . . , pn〉 (6.5.14)

P |p1, p2, . . . , pn〉 = (p1 + p2 + · · · pn)|p1, p2, . . . , pn〉 (6.5.15)

N |p1, p2, . . . , pn〉 = n|p1, p2, . . . , pn〉 (6.5.16)

が成り立つことがわかる．この状態は，n個の粒子があり，各粒子がそれぞれ運動量 pj（j = 1, 2, . . . , n) をもつ状態である．しかも，どの二組の運動量を交換してもマイナス符

号が現れる．

6.6 量子力学との関係

1粒子状態に限れば，ボーズ統計のときと全く同じ状態が得られたので，1粒子の量子

力学との対応関係も全く同じものが成り立つ．

1粒子状態 |ϕ〉に対応する量子力学の波動関数 ϕ(x)は，

ϕ(x) = 〈0|ψ(x)|ϕ〉

88

で与えられる．（シュレーディンガー描像）

もちろん，位置の確定した 1粒子状態 |x〉は

|x〉 = ψ†(x) |0〉

で与えられる．ψ†(x)は点 xに粒子を一個生成する演算子である．

一般の 2粒子状態 |φ〉があったとしよう．この状態に対応する 2粒子の量子力学の波動

関数 φ(x1, x2)は，

φ(x1, x2) = 〈0|ψ(x1)ψ(x2)|φ〉

が対応する．このとき，ψ†同士の反交換関係から，波動関数のフェルミ統計性

φ(x1, x2) = −φ(x2, x1)

は自動的に満たされている．

6.7 補足：統計性と波動方程式

非相対論的なシュレーディンガー場に対しては，前章のように正準変数に対して交換関

係から出発しても，この章のように反交換関係から出発しても，どちらの場合にもハイゼ

ンベルク方程式からシュレーディンガー方程式が導けた．つまり，シュレーディンガー場

に対しては，ボーズ統計性とフェルミ統計性のどちらの統計性も持たせることが出来た．

しかし，相対論的な波動方程式に対してはそうはいかないことが知られている．スピン

が 0，1，2, ・・・と整数スピンの粒子の波動場に対しては，ボーズ統計性しか導入できな

い．また，スピンが 1/2, 3/2, ・・・と半整数スピンの粒子の波動場に対しては，フェルミ

統計しか導入できない．

このことは，スピンと統計性の関係として知られている．

第7章 相対論的波動方程式

7.1 非相対論的量子力学の復習

相対論的な波動方程式を考える前に，非相対論的な量子力学を復習しておこう．

7.1.1 波動方程式

質量mの非相対論的な自由粒子に対する波動方程式（シュレーディンガー方程式）は，

次のようにして作ることができた：

step 1) エネルギーEと運動量 pの関係式を書く：

E =p2

2m. (7.1.1)

step 2) Eと pをそれぞれ次の微分演算子に置き換える：

E → i~∂

∂t, (7.1.2)

p → ~i

∂

∂x. (7.1.3)

step 3) 置き換えたものを step 1) の式に代入し，それらのうしろに波動関数を置けば

完成：

i~∂

∂tψ(x, t) =

1

2m

(~i

∂

∂x

)2

ψ(x, t). (7.1.4)

7.1.2 確率解釈，確率の保存

確率解釈によれば（規格化された）波動関数の絶対値の 2乗は確率密度を表す．すな

わち，

|ψ(x, t)|2d3x (7.1.5)

89

90

は，時刻 tにおいて粒子が点xの周りの微小体積 d3x = dxdydz内に見つかる確率を表す．

したがって，特に，これを全空間にわたって足しあげたもの（全確率)は 1となる：∫全空間

|ψ(x, t)|2d3x = 1. (7.1.6)

波動関数ψ(x, t)がシュレーディンガー方程式にしたがって時間発展をすれば，上の全確

率の式における被積分関数も tとともに変化する．しかし，確率解釈が成り立つためには，

全確率は 1のままでなければならない．実際，上のシュレーディンガー方程式を使えば，

d

dt

∫全空間

|ψ(x, t)|2d3x = 0 (7.1.7)

が成り立つことが示される．これが確率の保存である．

連続の式というものを使えば，確率の保存を容易に示すことができる．確率密度関数を

ρ(x, t)と置く：

ρ(x, t) = |ψ(x, t)|2. (7.1.8)

確率の保存を示すには，d

dt

∫全空間

ρ(x, t) d3x = 0

を示せばよい．そこで，次の確率の流れの密度 j(x, t)を定義する．

j(x, t) =~

2mi

(ψ∗(x, t)

∂ψ(x, t)

∂x− ∂ψ∗(x, t)

∂xψ(x, t)

). (7.1.9)

シュレーディンガー方程式を使うと，これら ρ(x, t) と j(x, t)の間に次の連続の式が成り

立つことがわかる：

∂ρ

∂t+ divj = 0. (7.1.10)

この式を使えば，

d

dt

∫V

ρ(x, t) d3 =

∫V

∂ρ(x, t)

∂td3x

= −∫V

divj(x, t) d3x

= −∫S

j(x, t) · dS (7.1.11)

が導かれる．ここで，S は 3次元領域Vの表面であり，dSは S上の面積要素を表すベク

トルである (法線方向外向き)．Vとして全空間をとれば，Sは無限遠方からなる面となり，

無限遠方ではψ(x, t)などはゼロとしてよいので，被積分関数 j(x, t)も S上でゼロとなる．

結局，連続の式が成り立てば，保存則

d

dt

∫全空間

ρ(x, t) d3x = 0 (7.1.12)

がいえる．

91

7.1.3 スピン自由度

電子のようにスピンを持つ粒子に対しては，スピンの自由度をも考えなければならな

い．スピンが 1/2の粒子の場合，スピン upと down の二つの状態を取り得るので，状態

は 2成分の波動関数

ψ(x, t) =

(ψ↑(x, t)

ψ↓(x, t)

)(7.1.13)

で表される．このとき，|ψ↑(x, t)|2は，点xにおいてスピンが上向きの粒子を見いだす確

率密度であり，|ψ↓(x, t)|2は，点xにおいてスピンが下向きの粒子を見いだす確率密度で

ある．したがって，スピンの向きは問わずに，粒子が点 xに見いだされる確率密度は，

|ψ↑(x, t)|2 + |ψ↓(x, t)|2 (7.1.14)

で与えられる．これはまた，

ψ†(x, t) =(ψ∗↑(x, t) ψ∗↓(x, t)

)(7.1.15)

なる ψ†(x, t)を用いれば，

ψ†(x, t)ψ(x, t) (7.1.16)

で与えられる．実際，行列のかけ算の規則により，

ψ†(x, t)ψ(x, t) =(ψ∗↑(x, t) ψ∗↓(x, t)

)(ψ↑(x, t)ψ↓(x, t)

)

= ψ∗↑(x, t)ψ↑(x, t) + ψ∗↓(x, t)ψ↓(x, t)

= |ψ↑(x, t)|2 + |ψ↓(x, t)|2 (7.1.17)

となって，(7.1.14)に一致する．特に，全確率は，∫全空間

ψ†(x, t)ψ(x, t) d3x (7.1.18)

で与えられる．確率の保存のためには，

d

dt

∫全空間

ψ†(x, t)ψ(x, t) d3x = 0 (7.1.19)

が成り立たなければならない．

シュレーディンガー方程式，

i~∂

∂tψ(x, t) = Hψ(x, t) (7.1.20)

92

におけるハミルトニアン Hが，いつものように，

H = − ~2

2m

∂2

∂x2+ V (x) (7.1.21)

と書けるとしよう．ただし今の場合，ハミルトニアンが作用する波動関数は 2成分である

ので，ポテンシャル V (x)は，一般には，2行 2列の行列である．このようなハミルトニ

アンのもとで ψ(x, t)が時間発展をする場合，ポテンシャルの行列 V がエルミート行列，

すなわち，

V † = V

が成り立てば，確率の保存が成り立つことがわかる．ここで V †はもちろん，行列 V のエ

ルミート共役である (随伴行列ともいう)．すなわち，

V =

(V11 V12V21 V22

)のとき V † =

(V ∗11 V ∗21V ∗12 V ∗22

).

さて，V がエルミート行列として，確率の保存を確かめてみよう．確率密度を

ρ(x, t) = ψ†(x, t)ψ(x, t) (7.1.22)

とし，確率の流れの密度 j(x, t) として，

j(x, t) =~

2mi

(ψ†(x, t)

∂ψ(x, t)

∂x− ∂ψ†(x, t)

∂xψ(x, t)

)(7.1.23)

とおくと，連続の式，

∂ρ

∂t+ div j = 0 (7.1.24)

が成り立つことが示せる．実際，

∂ρ

∂t=

∂

∂t

(ψ†ψ

)=∂ψ†

∂tψ + ψ†

∂ψ

∂t

= − 1

i~

(− ~2

2m

∂2ψ

∂x2+ V ψ

)†ψ + ψ†

1

i~

(− ~2

2m

∂2ψ

∂x2+ V ψ

)=

~2mi

(∂2ψ†

∂x2ψ − ψ†

∂2ψ

∂x2

)− 1

i~((V ψ)†ψ − ψ†V ψ

)=

~2mi

(∂2ψ†

∂x2ψ − ψ†

∂2ψ

∂x2

)=

~2mi

∂

∂x·(∂ψ†

∂xψ − ψ†

∂ψ

∂x

)= − div j (7.1.25)

93

となって連続の式が導かれる．なお，4行目から 5行目への変形では，行列の積に対する

エルミート共役の式と V のエルミート性を使って，(V ψ)† = ψ†V † = ψ†V として，ポテ

ンシャルの項の計算を行った．

このように，多成分の波動関数に対するハミルトニアンのエルミート性は，微分演算子

としてだけではなく，行列としてのエルミート性も考えなければならない．一般の物理量

を表す演算子も同様である．

スピン角運動量を表す演算子 s = (sx, sy, sz)は，スピン 1/2の場合には，2行 2列の行

列で表される：

sx =~2σ1, sy =

~2σ2, sz =

~2σ3. (7.1.26)

ここで，σ1, σ2, σ3 はパウリ行列

σ1 =

(0 1

1 0

), σ1 =

(0 −ii 0

), σ1 =

(1 0

0 −1

)(7.1.27)

である．これらの定義式を見ればわかるように，パウリ行列は 3つともエルミート行列で

ある．したがって，スピン演算子 sx, sy, szもエルミート行列である．また，角運動量演

算子としての交換関係，

[sx, sy] = i~sz, [sy, sz] = i~sx, [sz, sx] = i~sy, (7.1.28)

は，パウリ行列の交換関係，

[σ1, σ2] = 2iσ3, [σ2, σ3] = 2iσ1, [σ3, σ1] = 2iσ2, (7.1.29)

によって保証されている．パウリ行列の交換関係は，より詳細な次の性質から導くことが

できる：

σ1σ2 = −σ2σ1 = iσ3, σ2σ3 = −σ3σ2 = iσ1, σ3σ1 = −σ1σ3 = iσ2. (7.1.30)

また，次の式も成り立つ：

(σ1)2 = (σ2)

2 = (σ3)2 = 1. (7.1.31)

ただし，最右辺において 1と書いたのは，2行 2列の単位行列のつもりである1．異なる σi同士が反交換することと，2乗したら単位行列となることを合わせると，

{σi, σj} = 2δij (7.1.32)

と表すこともできる．ここで，{ , }はもちろん反交換子である．

問 7.1 パウリ行列の定義 (7.1.27)を使って，パウリ行列の性質 (7.1.30), (7.1.31) が成り立

つことを確かめよ．

1本当は I とか 1とかを使うべきかもしれないが，ここでは簡単に 1を使うことにする．次の式の δij についても，i = j なら δij = 1 となるが，この 1も必要に応じて単位行列として理解する．

94

7.2 Klein-Gordon方程式

相対論的な波動方程式（シュレーディンガー方程式の相対論的なバージョン）を見つけ

るには，相対論的なエネルギーと運動量の関係から出発すればよいだろう．質量mの自

由粒子を考えれば，エネルギーEと運動量 pとの間には，

E2 = p2c2 +m2c4 (7.2.1)

が成り立つ (cは光速)．したがって，Eについて解けば，

E = ±√p2c2 +m2c4 (7.2.2)

となるが，エネルギーが負となるのを避ければ，

E =√p2c2 +m2c4 (7.2.3)

である．

7.2.1 試み１

エネルギーと運動量の関係式 (7.2.3)にもとづいて波動方程式を求めてみよう．

step 1) エネルギーと運動量の関係：

E =√

p2c2 +m2c4.

step 2) Eと pの置き換え：

E → i~∂

∂t,

p → ~i

∂

∂x.

step 3) 置き換えたものを step 1) の式に代入し，それらのうしろに波動関数を置く：

i~∂

∂tψ(x, t) =

√−~2c2∇2 +m2c4 ψ(x, t). (7.2.4)

これで，一応は得られたが，その結果は次の点で気に入らない．

• ルートの記号の中に微分演算子∇2が入っているのがイヤだ．

そのため，取り扱いが難しそう．例えば，確率の流れの密度が作れそうにない．

ちゃんと調べてみると，|ψ(x, t)|2を確率密度と解釈したとして，この波動方程式のもとでは，確率密度が光速よりも速く移動することが導かれる．つまり，Einstein

の因果律に反する2．

2ルートをとるとき負のエネルギーの方を捨ててしまった結果によるものらしい．

95

• 時間 tと空間 xが対等な形になっていないのがイヤだ．

相対論的であるならば，時間と空間（時間微分と空間微分）は対等に入っているべ

きだから．

7.2.2 試み２：クライン-ゴルドン

試み１では，ルートをとったのが敗因．そこで，ルートをとる前の (7.2.1)にもとづい

て考える．

step 1) エネルギーと運動量の関係：

E2 = p2c2 +m2c4.

step 2) Eと pの置き換え：

E → i~∂

∂t,

p → ~i

∂

∂x.

step 3) 置き換えたものを step 1) の式に代入し，それらのうしろに波動関数を置く：(i~∂

∂t

)2

ψ(x, t) =

[c2(~i∇)2

+m2c4

]ψ(x, t).

あるいは，これを整理すると，[1

c2∂2

∂t2−∇2 +

(mc~

)2]ψ(x, t) = 0. (7.2.5)

得られた波動方程式は，Klein-Gordon方程式として知られている3．ダランベルシアン�を

� =1

c2∂2

∂t2−∇2 (7.2.6)

で定義すると，Klein-Gordon方程式は，[�+

(mc~

)2]ψ(x, t) = 0 (7.2.7)

と書くこともできる．ダランベルシアン�はラプラシアン4 = ∇2の 4次元版とも言える．

Klein-Gordon方程式は，

3Klein-Gordon方程式を最初に見つけたのはシュレーディンガーである．彼は，この式にもとづいていろいろ調べてみたが，なかなか望みの結果が出なかったため，非相対論的な近似を用いてシュレーディン

ガー方程式を作ってみたら旨くいったらしい．

96

• t微分と x微分が対等に入っている．

という点で，確かに相対論的な波動方程式であることがわかる．この点で，試み１よりは

改善している．

しかし，次の点で不満足である：

• 量子力学の波動関数に対する式としては使えない．

|ψ(x, t)|2を確率密度として考えることが出来ない．これを確率密度としたとしても確率が保存しなくなるからである．

別に保存量は存在する．

ρ =i~

2mc2

(ψ∗∂ψ

∂t− ∂ψ∗

∂tψ

)(7.2.8)

j =~

2mi

(ψ∗∇ψ − (∇ψ∗)ψ

)(7.2.9)

と置くと，Klein-Gordon方程式を使うことで，ρと jが連続の式

∂ρ

∂t+∇ · j = 0 (7.2.10)

を満たすことを示すことができる．したがって，(|ψ|2の積分は保存しなくとも）∫全空間

ρ(x, t) d3x (7.2.11)

は保存する．

ρ(x, t)が保存量を定義するからといって，ρを確率密度と解釈するわけにはいかな

い．なぜならば，ρは (|ψ|2とは違って)正にも負にもなり得るからである．（確率密

度であるからには常に正でなければならない．）例えば，ψ(x, t) = e−iωtu(x)の場合

には，

ρ =~ωmc2

|u(x)|2

となる．つまり，ωの正負に応じて ρの正負が決まる．

正負両方の符号がとれるのは，ρを定義する式の中に，時間微分がはいっていたた

めである．Klein-Gordon方程式が時間に関して 2階微分であったため，ρの中に t

の 1階微分がなければ，Klein-Gordonを使って連続の式を示すことができないから

である．

• 負エネルギーの解がある．

平面波解を探すため，ψ = e−i(Et−p·x)/~ を仮定して，Klein-Gordon方程式に代入す

ると，

− E2

~2c2+

p2

~2+m2c2

~2= 0．

97

整理すると，

E2 = p2c2 +m2c4

が得られる．したがって，エネルギーEは

E = ±√p2c2 +m2c4

と正と負の可能性がある．

初期状態として正エネルギー解を選べばいいと思うかもしれない．しかし，少しで

も相互作用を考えると4うまく行かないことがわかる．例えば，電磁場と相互作用し

ているとすれば，正エネルギーの粒子は，電磁波（or 光子）を放出してエネルギー

を失うことで，負エネルギー状態に容易に落ちることが出来る．負エネルギーでは，

E = −√p2c2 +m2c4であるため，更に電磁波を放出しながら |p| → ∞ となって，

E → −∞となるであろう．

Klein-Gordon方程式について，ここまでまとめると，

• Klein-Gordon方程式は時間に関して 2階の微分方程式である．

• Klein-Gordon方程式は相対論的な波動方程式である．

• 確率解釈ができるための，正定値の保存量が存在しない．したがって，量子力学の波動関数に対する式としては不適切である．

• 負エネルギー解を含む．

これらのことは互いに関連している．2階微分にしたために（ルートがいらなくなって）

相対論的になったのであるが，そのために．正定値の保存量が存在しなくなったり，負エ

ネルギー解が現れたりするのである．

7.3 Dirac方程式

7.3.1 試み３：ディラック

クライン-ゴルドン方程式では，正定値の保存量がなかったため，確率解釈がうまくい

かなかった．これはKlein-Gordon方程式が，時間に関して 2階の微分方程式であったた

めである（そのため，ρの定義に時間の 1階微分が含まれてしまった．そうでなければ，

ρ = ψ∗ψ ≥ 0とできたかもしれない．）そこでDiracは，時間に関する 1階微分の波動方程

式を探した．かといって，(7.2.4)のようなルートの中に空間微分が入るのは困る．相対論

的であるならば，時間と空間は対等な形で現れなければならない．すなわち，時間微分が

1階なら，空間微分も 1階でなければならない．

4観測される粒子であるならば，少なくとも観測装置とは相互作用をしなければならない．

98

これは，相対論的なエネルギーと運動量の関係式

E2 = p2c2 +m2c4 (7.2.1)

において，ルートをとってEに対する式にしたときに，

E = α · p c+ βmc2 (7.3.1)

のように，pの 1次式で与えられることを要求している5．

このような式は不可能のように思うかもしれない．しかし，求めている波動方程式が多

成分の波動関数に対するものと考えれば，右辺の係数α = (α1, α2, α3)や βが行列である

としてもいいだろう．行列であれば，ルートが 1次式になることもあり得るだろう．

では，α, β を適当な行列として (7.3.1)式の 2乗が，(7.2.1)になるかどうかをみてみ

よう．ただし，以下では簡単のため，c = 1の単位系を使うものとし，p = (px, py, pz) =

(p1, p2, p3) = (pi) などとする．

E2 = (α · p+ βm)2

= (α · p)2 + (α · p)βm+ βm(α · p) + β2m2

したがって，

(α · p)2 = p2 (7.3.2)

(α · p)β + β(α · p) = 0 (7.3.3)

β2 = 1 (7.3.4)

が成り立てば (7.2.1)が再現される6．

第 1式 (7.3.2)を見てみよう．

(左辺) = (α · p)2

= (α1p1 + α2p2 + α3p3 +mβ)2

= α12p1

2 + α22p2

2 + α32p3

2

+ α1p1α2p2 + α2p2α1p1

+ α2p2α3p3 + α3p3α2p2

+ α3p3α1p1 + α1p1α3p3

= (α1)2p1

2 + (α2)2p2

2 + (α3)2p3

2

+ (α1α2 + α2α1)p1p2

+ (α2α3 + α3α2)p2p3

+ (α3α1 + α1α3)p3p1

5 αと β は無次元量である（そうなるように cを導入した)．6もちろん，第 1式と第 3式の右辺には単位行列を補って考える．同じように，第 2式の右辺の 0はゼ

ロ行列（すべての成分が０の行列）である．

99

これが，任意の pに対して

(右辺) = p2 = p12 + p2

2 + p32

に等しくなるためには， (α1)

2 = (α2)2 = (α3)

2 = 1

α1α2 + α2α1 = 0

α2α3 + α3α2 = 0

α3α1 + α1α3 = 0

(7.3.5)

が成り立たなければならない7．

第 2式 (7.3.3)からは，

(α1p1 + α2p2 + α3p3)β + β(α1p1 + α2p2 + α3p3) = 0.

すなわち，

(α1β + βα1)p1 + (α2β + βα2)p2 + (α3β + βα3)p3 = 0

が任意の pに対して成り立たなければならない．これより，α1β + βα1 = 0

α2β + βα2 = 0

α3β + βα3 = 0

. (7.3.6)

これらと，第 3式 (7.3.4)をまとめると (i，j = 1, 2, 3として)，次のように表すことがで

きる． αiαj + αjαi = 2δij

αi β + βαi = 0

β2 = 1

. (7.3.7)

つまり，これら 4つの行列 β, α1, α2, α3は，お互いに反交換し，またそれぞれを 2乗した

ら単位行列となる行列である．

また，ハミルトニアン

H(p,x) = α · p+ βm

がエルミートでなければならないことを考えると，αi, β がエルミート行列でなければな

らないこともわかる．

7 1行目の式の最右辺にある 1は，単位行列を表している．

100

上の反交換関係をみるとパウリ行列の満たす反交換関係 (7.1.32) を思い出す．つまり，

3個の行列でいいのであれば 2× 2行列として答えがわかっている．では，4個の行列が

必要な今の場合はどうであろうか．上のような反交換関係を満たす 4つのエルミート行列

は，4行 4列の行列として実現することができるのである：4行 4列の行列を 2行 2列の

行列 4個をブロック状に並べたものとして，

α =

(0 σ

σ 0

), β =

(1 0

0 −1

)(7.3.8)

とすればよい．ここで，ベクトル記法で書いたαに対する式は，もちろん，

α1 =

(0 σ1σ1 0

), α2 =

(0 σ2σ2 0

), α3 =

(0 σ3σ3 0

)(7.3.9)

の意味である．このようにパウリ行列を使って定義された αiや βが反交換関係 (7.3.7)を

満たすことは容易に確認することができる．

問 7.2 A,B,C,Dを 4個の 2行 2列の行列とし，これらを用いて 4行 4列の行列Xを

X =

(A B

C D

)

で定義する．このとき，行列Xのエルミート共役X†は，

X† =

(A B

C D

)†=

(A† C†

B† D†

)(7.3.10)

となることを確認せよ．

問 7.3 4行4列の行列Xを上の問題と同じものとし，さらに行列X ′を2行2列のA′, B′, C ′, D′

を用いて同じように表したものとする．すなわち，

X =

(A B

C D

)X ′ =

(A′ B′

C ′ D′

)

である．このとき，

XX ′ =

(A B

C D

)(A′ B′

C ′ D′

)=

(AA′ +BC ′ AB′ +BD′

CA′ +DC ′ CB′ +DD′

)(7.3.11)

が成り立つことを確認せよ．

問 7.4 上の公式 (7.3.11)の鑑賞ポイントを言うことにより，記憶にとどめ易くせよ．

101

問 7.5 (7.3.8)，(7.3.9)で定義される 4つの行列αi, β がエルミート行列であることを確か

めよ．その際，公式 (7.3.10)とパウリ行列がエルミートであることを使ってよい．

問 7.6 (7.3.8)，(7.3.9)で定義される 4つの行列αi, β が反交換関係 (7.3.7)を満たすことを

確かめよ．その際，公式 (7.3.11)とパウリ行列の反交換関係 (7.1.32)を使ってよい．

問 7.7 反交換関係 (7.3.7)は，反交換子 { , }の記号を使えば，

{αi, αj} = 2δij

{αi, β} = 0 (7.3.12)

{β, β} = 2

と表すことができることを確認せよ．

問 7.8 次の計算は，αiに対する反交換関係（(7.3.7)の第 1式 or (7.3.12)の第 1式)を使っ

て，(α · p)2 = p2が成り立つことを確認しているものである．各ステップごとに根

拠を説明せよ．

(α · p)2 =

(3∑i=1

αipi

)2

=3∑i=1

αipi

3∑j=1

αjpj

=3∑i=1

3∑j=1

αiαjpipj

=3∑i=1

3∑j=1

αjαipjpi

=3∑i=1

3∑j=1

αjαipipj

=3∑i=1

3∑j=1

1

2(αiαj + αjαi) pipj

=3∑i=1

3∑j=1

δijpipj

=3∑i=1

pipi

=3∑i=1

(pi)2

= p2

102

さて，ここまでの議論で，(7.3.8)式で定義される行列αi, βを使えば，エネルギーEを

pと xで表したもの，ハミルトニアンH(p,x)，が pの 1次式で表すことができた:

H(p,x) = α · p+ βm

と表されることがわかった．あるいは，光速 cを復活すれば，

H(p,x) = α · p c+ βmc2 (7.3.13)

である．これにもとづいて波動方程式を求めてみよう．

step 1) エネルギーと運動量の関係：

E = H(p,x)

= α · p c+ βmc2.

step 2) Eと pの置き換え：

E → i~∂

∂t,

p → ~i

∂

∂x= −i~∇.

step 3) 置き換えたものを step 1) の式に代入し，それらのうしろに波動関数を置く：

i~∂

∂tψ(x, t) =

(−i~cα · ∇+ βmc2

)ψ(x, t) (7.3.14)

(7.3.14)式はディラック方程式と呼ばれている．ここで，α や βが 4行 4列の行列であ

るので，波動関数 ψ(x, t) はもちろん，4成分の波動関数である：

ψ =

ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

. (7.3.15)

7.3.2 Dirac方程式における保存量

望み通り，時間に関して 1階の（空間に関しても 1階）の微分方程式が得られたので，

「確率の保存」を調べてみよう．いつものように

ρ(x, t) = ψ†(x, t)ψ(x, t) (7.3.16)

103

として，∂ρ/∂tを調べてみよう．そのため，Dirac方程式をもう一度書いておこう：

i~∂

∂tψ = −i~cα · ∇ψ + βmc2ψ (7.3.14)

これより，ψ†に対しては，

−i~∂ψ†

∂t= i~c∇ψ† ·α+mc2ψ†β (7.3.17)

となる．ここで，α と βがエルミート行列であることを使った．

これらを使うと，

∂ρ

∂t=

∂

∂t(ψ†ψ)

=∂ψ†

∂tψ + ψ†

∂ψ

∂t

=1

−i~(i~c∇ψ† ·α+mc2ψ†β

)ψ +

1

i~ψ†(−i~cα · ∇ψ + βmc2ψ

)= −c(∇ψ† ·αψ + ψ†α · ∇ψ) + 1

−i~(mc2ψ†βψ − ψ†βmc2ψ)

= −∇(ψ†αcψ). (7.3.18)

したがって，流れの密度 j(x，t)を

j(x, t) = ψ†(x, t)αc ψ(x, t) (7.3.19)

で定義すれば，確かに，連続の式

∂ρ

∂t+∇ · j = 0 (7.3.20)

が成り立つ．したがって，d

dt

∫全空間

ρ(x, t) d3x = 0

が成り立ち，ρを全空間に渡って積分したものは保存する．しかも，今回は，この保存量

（の密度）が正であることも容易にわかる：

ρ = ψ†ψ =(ψ∗1 ψ∗2 ψ∗3 ψ∗4

)ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

= ψ∗1ψ1 + ψ∗2ψ2 + ψ∗3ψ3 + ψ∗4ψ4

= |ψ1|2 + |ψ2|2 + |ψ3|2 + |ψ4|2 ≥ 0.

104

7.3.3 Dirac方程式の平面波解

そろそろ面倒になったので，~ = 1, c = 1の単位系（自然単位系）で考える．このとき，

Dirac方程式は，

i∂ψ

∂t= −iα · ∇ψ + βmψ (7.3.21)

となる．ψ(x, t)に対して平面波の形

ψ(x, t) = e−i(Et−p·x) u (7.3.22)

を仮定する．ここで，uは tや xに依存しない 4成分の量

u =

u1u2u3u4

である．(7.3.22)を (7.3.21)に代入すると，

E e−i(Et−p·x) u = α · p e−i(Et−p·x) u+ βme−i(Et−p·x) u.

これを整理すれば，uが

H(p)u = Eu, (7.3.23)

を満たせば，(7.3.22)の ψがDirac方程式の解となる．ここで，H(p)は，

H(p) = α · p+ βm (7.3.24)

なる 4行 4列の行列として表されるハミルトニアンである．

したがって，平面波解（運動量の確定している解）を求めるのは，行列H(p)の固有値

問題 (7.3.23)を解けばよいことになる．ここでは，簡単のため，p = 0の場合で求めてみ

よう．このとき，ハミルトニアンH(p) = H(0)は

H(0) = βm =

m 0 0 0

0 m 0 0

0 0 −m 0

0 0 0 −m

(7.3.25)

である．したがって，固有値はE = ±mであり，対応する固有ベクトルは，

u(1) =

1

0

0

0

, u(2) =

0

1

0

0

, u(3) =

0

0

1

0

, u(4) =

0

0

0

1

(7.3.26)

である．u(1)とu(2)が正エネルギーE = +mに対応し，u(3)とu(4)が負エネルギーE = −mに対応する．p = 0の例で調べただけだが，Dirac方程式にはやはり負エネルギー解が含

まれることがわかった．

105

参考：p 6= 0の場合

p 6= 0の場合の固有値問題もがんばれば求められる．（たかだか 4行 4列の行列の固有値

問題である．）このときのH(p)は，2行 2列の行列のブロックで表すと，

H(p) =

(m σ · p

σ · p −m

)(7.3.27)

である．したがって， (m σ · p

σ · p −m

)u = Eu (7.3.28)

なる固有値問題を解けばよい．その結果，固有値は

E = ±Ep = ±√

p2 +m2 (7.3.29)

であり，対応する固有ベクトルは，2成分の χ(s) (s = 1, 2)

χ(1) =

(1

0

), χ(2) =

(0

1

)(7.3.30)

を用いて，

u(s)(p) = N

χ(s)

σ · pEp +m

χ(s)

, (7.3.31)

u(s+2)(p) = N

−σ · pEp +m

χ(s)

χ(s)

(7.3.32)

で与えられることがわかる．u(1)(p)とu(2)(p)が正エネルギーE = +Epに対応し，u(3)(p)

と u(4)(p)が負エネルギーE = −Ep に対応する．N は規格化の定数であり，

N =√Ep +m (7.3.33)

と選べば，

u(s)†(p)u(s

′)(p) = 2Ep δss′ , (s, s′ = 1, 2, 3, 4) (7.3.34)

が成り立つ．

問 7.9 (7.3.31), (7.3.32)を (7.3.28)に代入することにより，u(1)(p)とu(2)(p)が固有値E =

+Epに対応し，u(3)(p)とu(4)(p)が固有値E = −Epに対応していることを確認せよ．

問 7.10 N =√Ep +mのもとでは，(7.3.31), (7.3.32)が (7.3.34)を満たすことを確か

めよ．

106

7.3.4 ディラックの海と陽電子

ここまで見てきたように，時間に関して 1階の微分方程式を見つけたことにより，ディ

ラックは正定値の保存量を導入することができた．

Klein-Gordon Diraqc equation

正定値の保存量 No! Yes

正エネルギーだけにできる？ No! No (?)

　　　　

しかしながら，負エネルギー解を避けることはできなかった (E = ±√m2c4 + p2c2)．こ

E

0

−mc2

mc2

正エネルギー状態

負エネルギー状態

(実際は連続スペクトル)

(実際は連続スペクトル)

　　　

図 7.1: Dirac方程式の解のエネルギースペクトル

の点ではKlein-Gordon方程式と同じである．初期状態として正エネルギー解しか考えな

ければいいと思うかもしれないが，電磁場などとの相互作用をかんが得れば，ただちに光

子を放出して粒子は負エネルギー状態に落ち込むであろう．

これで万事休す！と思いきや，ディラックは起死回生のアイデアを思いついた．考えて

いる粒子を電子だとしよう．電子にはパウリの排他原理が成り立つ．したがって，もし，

すべての負エネルギー状態にすでに電子が存在していれば，正エネルギーの電子が負エネ

ルギーに落ちることができない．これにより，正エネルギーの電子は安定に存在できる．

　　　　　

これは万事急須！

この，負エネルギーの電子に満ちている状態をディラックの海（Dirac sea)という．

真空は空っぽの状態ではなく，すべての負エネルギーレベルが占有されている状態であ

ると考えるのである．そうすると，真空にも電荷がありその値は −∞ということになる．

107

E

0

−mc2

mc2

γ

γ

γ　　　

図 7.2: 電子は光子を放出して負エネルギー状態に落ちてしまう

しかし，われわれは，この値を基準として，プラスマイナスどの程度ずれるかで判断して

いるのである．

ではこのような真空に，高エネルギーのガンマ線などがやってきて，一個の負エネル

ギー電子にエネルギーを与えたとしよう．十分に大きなエネルギーを与えられれば，この

電子は正エネルギー状態に励起される．そうすると，最初は「何もなかった」真空が，正

エネルギーの電子が 1個と，負エネルギーの海に開いた穴 (hole)があることになる．この

穴（孔ともかく）は，マイナスの電気で満ちた海の中の孔であるから，われわれにとって

は，最初の状態から電荷−eがなくなったのであるから，結局は，電荷+eが現れたよう

に見える．

同じように，励起される前の負エネルギー状態の電子の運動量をp，エネルギーをE =

−Epとすれば，この状態に孔があいたのであれば，この孔は，真空を基準にして運動量−p，エネルギー+Epをもつものとして観測される．

こうして，Dirac sea を考えると，電子と質量が全く同じで，電荷の符号だけが逆の粒

子の存在が予言される．実際，Diracの理論が発表されてからまもなく，そのような粒子，

陽電子（positron)が発見された．

このように，Diracは相対論と量子論の融合を考えることで，反物質の存在を予言した

のである．

7.3.5 まとめ

相対論的な量子力学の模索をしていて，二つの，相対論的な波動方程式が得られた．

Klein-Gordon方程式と，Dirac方程式である．

Klein-Gordonは，正定値の保存量もなく，負エネルギー状態も現れたため，量子力学

の波動関数としては使えなかった．

108

E

0

−mc2

mc2

　　　　　　

図 7.3: Dirac sea: 真空は負エネルギー状態の電子で満ちている

E

0

−mc2

mc2

γ　

　　　

図 7.4: 電子・陽電子の対生成：孔 (hole)は正電荷・正質量の粒子として観測される

Dirac方程式には，正定値の保存量があった．負エネルギー状態も現れるが，Dirac sea

の考え方を使えば，何とか正エネルギーで安定する電子を考えることができた．

Klein-Gordon Dirac equation

正定値の保存量 No! Yes

正エネルギーだけにできる？ No! Dirac seaで何とか．

1粒子状態を考えられる？ N.A. 不可．無限個の負エネルギー電子．

第二量子化すれば たぶんOK きっとOK

　

109

　

しかし，そもそも 1粒子の相対論的な量子力学を探していたのに，結果的に，無限個の

負エネルギー電子を考えなくてはいけなかった．（その結果，対生成や対消滅も考えるこ

とになる．）ということは，せっかく正定値保存量が存在できるようになったけれど，電

子 1個の状態を表す波動関数というのは考えられなくなり，電子数の変化も考えざるを得

なくなっている．

粒子数の変化まで考えるのであれば，これは第二量子化をしろということである．Dirac

方程式にしたがう波動を古典的な波動場と思い，これを量子化すればいいだろう．

こう考えてくると，Klein-Gordon方程式にしたがう波動関数も，古典的な波動場と考

えて量子化するのであれば，第一量子化レベルでの正定値の保存量がないことや，負エネ

ルギーの問題も解決するかもしれない．

というわけで，相対論的量子力学の探索はこの辺にしておいて，次に，相対論的な波動

方程式にしたがう場の量子化を考えよう．そのようなものを考えるのが，「相対論的場の

量子論」である．

第8章 相対論的場の量子論１：スカ

ラー場

この章では，スピン 0の粒子に対応する，相対論的な波動方程式を満たす場の量子化

（第二量子化）を考える．

スピン 0の粒子に対応する場は，相対論的なスカラー場（4次元のスカラー場）で表さ

れる．スピンが 0なので 1成分の波動関数であり，Klein-Gordon方程式にしたがう場で

ある．

考えるスカラー場を φ(x) = φ(x, t)で表そう．φが満たす式は，Klein-Gordon方程式，

(�+m2)φ = 0 (8.0.1)

である．ここで，もちろん，~ = c = 1の単位系を仮定しており，� = ∂2/∂t2 −∇2 であ

る．また，mは対応する粒子の質量である．

8.1 解析力学

8.1.1 ラグランジアン

上のKlein-Gordon方程式を Euler-Lagrange方程式としてもつラグランジアン密度は，

φが複素数値をとる場とすると，

L = φ∗φ−∇φ∗ · ∇φ−m2φ∗φ (8.1.1)

である．ただし，φ = ∂φ/∂tなどである．実際，このLのもとで作用積分をS =∫L d3x dt =∫

L d4xとして変分を考えてみよう．いつものように，変分を考えるときには，φとその

110

111

複素共役 φ∗が独立な変数と考えてよい．δφ∗の変分のもとでは，

0 = δS

=

∫δL d4x

=

∫ {δφ∗φ−∇δφ∗ · ∇φ−m2δφ∗φ

}d4x

=

∫δφ∗

(−φ+∇2φ−m2φ

)d4x

= −∫δφ∗(x)(�+m2)φ(x) d4x

となる．任意関数 δφ∗(x)に対して成り立つためには，φが確かに

(�+m2)φ(x) = 0

を満たさなければならない．同じように，δφのもとでの変分を考えれば，φ∗(x)に対する

Klein-Gordon方程式

(�+m2)φ∗(x) = 0

が導かれる．

φ, φ∗がKlein-Gordon方程式を満たすことは，作用積分をあらかじめ部分積分をしてお

いて

S =

∫L d4x

= −∫φ∗(�+m2)φ d4x (8.1.2)

= −∫

(�+m2)φ∗ · φ d4x (8.1.3)

と表しておけば，もっとよくわかったかもしれない．δφ∗の変分を考えるときには二行目

の式で変分を考えれば直ちに φに対するKlein-Gordon方程式が出る．また，δφの変分を

考えるときには三行目の式で変分を考えれば φ∗に対するKlein-Gordon方程式がすぐに出

てくる．

複素スカラー場 φを実部と虚部にわけて

φ =1√2(φ1 + iφ2) (8.1.4)

φ∗ =1√2(φ1 − iφ2) (8.1.5)

としよう．φ1と φ2は実スカラー場である．この式を，φに対するラグランジアン密度に代入すれば，

L =1

2

{φ21 − (∇φ1)2 −m2φ1

2}+

1

2

{φ22 − (∇φ2)2 −m2φ2

2}

112

が得られる．一般に，1個の実スカラー場 ϕに対するラグランジアン密度は，

L =1

2

{ϕ2 − (∇ϕ)2 −m2ϕ2

}で与えられる．（このEuler-Lagrange方程式からK-G方程式が出てくることも容易に

確かめることができる．）したがって，複素スカラー場の系は，質量の等しい実スカ

ラー場が二個の系と等価である．

8.1.2 共役運動量，ハミルトニアン

ラグランジアン密度 (8.1.1)にもとづいて複素スカラー場に対する解析力学を考える．φ

に共役な運動量を πφ，φ∗ に共役な運動量を πφ∗とすると，(8.1.1)より，

πφ =∂L∂φ

= φ∗ (8.1.6)

πφ∗ =∂L∂φ∗

= φ . (8.1.7)

これより，ハミルトニアン密度は，

H = πφφ+ πφ∗φ∗ − L

= φ∗φ+ φφ∗ −{φ∗φ−∇φ∗ · ∇φ−m2φ∗φ

}= φ∗φ+∇φ∗ · ∇φ+m2φ∗φ.

すなわち，

H = πφπφ∗ +∇φ∗ · ∇φ+m2φ∗φ (8.1.8)

である．ハミルトニアンは，

H =

∫H d3x =

∫ (πφπφ∗ +∇φ∗ · ∇φ+m2φ∗φ

)d3x.

πφ = φ∗ = (φ)∗ = (πφ∗)∗であることに注意すれば，Hが（したがってまたHも）正定値

(H ≥ 0)であることがわかる．

8.1.3 Poisson括弧

場の変数 φ, φ∗とその共役運動量 πφ，πφ∗ が正準変数である．これらの間には，次のポ

アッソン括弧式が成り立つ．互いに正準共役どうしではデルタ関数，

{φ(x, t), πφ(y, t)}Pb = δ3(x− y), (8.1.9)

{φ∗(x, t), πφ∗(y, t)}Pb = δ3(x− y), (8.1.10)

113

となり，それ以外の組合わせではゼロとなる．

{φ(x, t), φ(y, t)}Pb = {φ(x, t), φ∗(y, t)}Pb = {φ∗(x, t), φ∗(y, t)}Pb = 0, (8.1.11)

{φ(x, t), πφ∗(y, t)}Pb = {φ∗(x, t), πφ(y, t)}Pb = 0, (8.1.12)

{πφ(x, t), πφ(y, t)}Pb = {πφ(x, t), πφ∗(y, t)}Pb = {πφ∗(x, t), πφ∗(y, t)}Pb = 0. (8.1.13)

8.2 正準量子化

8.2.1 正準交換関係

いつものように，古典的正準変数である，場の変数 φ, φ∗とその共役運動量 πφ，πφ∗ を，

演算子に昇格させる．

φ(x, t) → φ(x, t), (8.2.1)

φ∗(x, t) → φ†(x, t), (8.2.2)

πφ(x, t) → πφ(x, t), (8.2.3)

πφ∗(x, t) → πφ∗(x, t). (8.2.4)

ただし，πφ = (πφ∗)∗に対応して，

πφ(x, t) = π†φ∗(x, t) (8.2.5)

も成り立っている．

ポアッソン括弧（の i倍）を交換子に置き換えることで，次の (同時刻)正準交換関係を

設定する：

[φ(x, t), πφ(y, t)] = iδ3(x− y), (8.2.6)

[φ†(x, t), πφ∗(y, t)] = iδ3(x− y), (8.2.7)

および，

[φ(x, t), φ(y, t)] = [φ(x, t), φ†(y, t)] = [φ†(x, t), φ†(y, t)] = 0, (8.2.8)

[φ(x, t), π†φ(y, t)] = [φ†(x, t), πφ(y, t)] = 0, (8.2.9)

[πφ(x, t), πφ(y, t)] = [πφ(x, t), πφ∗(y, t)] = [πφ∗(x, t), πφ∗(y, t)] = 0. (8.2.10)

すなわち，φと πφ， φ†と πφ∗の組み合わせのときに交換子はゼロではなく，それ以外の

組み合わせはすべてゼロである．

114

8.2.2 ハミルトニアン演算子

場の変数が演算子になったことに対応して，ハミルトニアン密度やハミルトニアンも演

算子に昇格する：

H = πφπφ∗ +∇φ† · ∇φ+m2φ†φ, (8.2.11)

H =

∫H d3x. (8.2.12)

(8.2.5)を使えば，Hの第一項はπ†φ∗πφ∗

とかけるので，Hの正定値性が保証されているのがわかる．

8.2.3 ハイゼンベルク方程式

上のハミルトニアン演算子のもと，（ハイゼンベルク描像における）演算子の時間発展

は，ハイゼンベルク方程式

d

dtO(t) = i[H, O(t)] (8.2.13)

によって記述される．

例えば，

˙φ(x, t) = i[H, φ(x, t)]

= i[

∫H(y, t)d3y, φ(x, t)]

= i

∫d3y[H(y, t), φ(x, t)]

= i

∫d3y[πφ(y, t)πφ∗(y, t) +∇φ†(y, t) · ∇φ(y, t) +m2φ†(y, t)φ(y, t), φ(x, t)]

= i

∫d3y[πφ(y, t), φ(x, t)]πφ∗(y, t)

= i

∫d3y(−i)δ3(y − x)πφ∗(y, t)

= πφ∗(x, t). (8.2.14)

もちろんここでは，いつものように，正準変数間の正準交換関係はもちろんのこと，交換

子積の線形性を用いた．同じように，次のことも容易に示すことができる：

˙φ†(x, t) = i[H, φ(x, t)] = πφ(x, t), (8.2.15)

˙πφ(x, t) = i[H, πφ(x, t)] = (∇2 −m2)φ†(x, t), (8.2.16)

˙πφ∗(x, t) = i[H, π†φ(x, t)] = (∇2 −m2)φ(x, t). (8.2.17)

115

これらからまた，

¨φ(x, t) = (∇2 −m2)φ(x, t), (8.2.18)

¨φ†(x, t) = (∇2 −m2)φ†(x, t), (8.2.19)

が導かれる．これらは，φ, φ† がKlein-Gordon方程式

(�+m2)φ(x, t), (8.2.20)

(�+m2)φ†(x, t), (8.2.21)

を満たすことに他ならない．

問 8.1 (8.2.15)～(8.2.21)が成り立つことを確かめよ．

8.2.4 平面波解

前章でもやったが，Klein-Gordon方程式の古典的な解を思い出してみよう．平面波解

の候補として，

ψ(x, t) = ei(p·x−Et)

の形を仮定して，Klein-Gordon方程式[∂2

∂t2−∇2 +m2

]ψ(x, t) = 0

に代入すると， [−E2 + p2 +m2

]ei(p·x−Et) = 0

となるので，Eが pの関数として，

E2 = p2 +m2

を満たせば，上の平面波が解となる．そこで，

Ep = +√

p2 +m2 (8.2.22)

と置くと，Eは

E = ±Ep (8.2.23)

となり，正エネルギー解と負エネルギー解，

ψ(x, t) = exp[i(p · x∓ Ep t)

],

が得られる．負エネルギー解に対しては，pを −pに置き換えたものを考えることにす

れば，

E−p = Ep

116

に注意すると，

ψ(x, t) = exp[−i(p · x− Ep t)

],

が負エネルギー解である．4次元運動量ベクトルを p = (p0,p) = (Ep,p)とし，4次元位

置ベクトルを x = (x0,x) = (t,x)とすれば，pと xの 4次元ベクトルとしての内積は，

px = p0x0 − p · x = Ep t− p · x (8.2.24)

となる．これを使うと，Klein-Gordon方程式の平面波解は，

ψ(x) = e∓ipx (8.2.25)

と表される．指数のマイナス符号が正エネルギー解で，プラス符号が負エネルギー解であ

る．正エネルギー解と負エネルギー解が互いに複素共役になっていることに注意しよう．

以下では，x, y, z方向に周期Lの周期的境界条件を仮定する．したがって，許される p

は，

p =2πn

L=

2π

L(nx, ny, nz), (nx, ny, nzは整数) (8.2.26)

で与えられる．

また，運動量 pに対応する正エネルギー解を，適当な規格化因子をつけて，

ϕp(x) =1√

V 2Epe−ipx (8.2.27)

で表す．負エネルギー解はその複素共役，

ϕ∗p(x) =1√

V 2Epe+ipx (8.2.28)

で表される．ここで，V は全空間の体積V = L3である．これらの関数の間には，次の (直

交)関係が成り立つ．∫ϕ∗p(x, t)ϕp′(x, t) d3x =

1

2Epδpp′ (8.2.29)∫

ϕp(x, t)ϕp′(x, t) d3x =1

2Epδp,−p′ exp(−2iEp t) (8.2.30)∫

ϕ∗p(x, t)ϕ∗p′(x, t) d3x =

1

2Epδp,−p′ exp(+2iEp t) (8.2.31)

積分範囲はもちろん V = L3の全空間である (x, y, zとも−L/2 ∼ +L/2)．

問 8.2 (8.2.29)～(8.2.31) を確かめよ．

117

上の直交関係 (8.2.29)～(8.2.31)では，正エネルギー解同士や負エネルギー解同士はいい

が，正エネルギー解と負エネルギー解が直交しない．しかも，変な時間依存性 exp(±2iEp t)

も表れる．そこで，Klein-Gordon方程式を満たす関数の間の内積として，次のものを利

用する：

i

∫ϕ∗1(x)

↔∂0 ϕ2(x) d

3x (8.2.32)

ただし，ここで，∂0 = ∂/∂tであり，↔∂0 =

→∂0 −

←∂0 である．すなわち，

ϕ∗1(x)↔∂0ϕ2(x) = ϕ∗1(x) ∂0ϕ2(x)− ∂0ϕ

∗1(x) · ϕ2(x)

= ϕ∗1(x) ϕ2(x)− ϕ∗1(x)ϕ2(x). (8.2.33)

この内積を使うと，

i

∫ϕ∗p(x, t)

↔∂0ϕp′(x, t) d3x = δpp′ , (8.2.34)

i

∫ϕp(x, t)

↔∂0ϕp′(x, t) d3x = 0, (8.2.35)

i

∫ϕ∗p(x, t)

↔∂0ϕ

∗p′(x, t) d3x = 0, (8.2.36)

が成り立つ．このように，この内積では正エネルギー解と負エネルギー解が直交するので

都合がよい．（ϕp(x, t)の規格化因子のルートの中に入っていた，2Epはこの内積の結果

をきれいにするためだったのである．）

問 8.3 ϕ1(x)とϕ2(x)がKlein-Gordon方程式 (�+m2)ϕj(x) = 0 (j = 1, 2) を満たすなら

ば，(8.2.32)で定義される内積は，時刻 t (= x0)に依存しないことを確かめよ．

問 8.4 (8.2.34)～(8.2.36) を確かめよ．

8.2.5 平面波展開と生成消滅演算子

Klein-Gordon方程式の (周期 Lの境界条件のもとでの)一般解 ψ(x) = ψ(x, t)は，基本

解である平面波 ϕp(x)と ϕ∗p(x) の線形結合で表される：

ψ(x) =∑p

{a(p)ϕp(x) + b∗(p)ϕ∗p(x)

}.

ここで，a(p)と b∗(p)は展開係数である．非相対論的なシュレーディンガー方程式の場合

と異なり，展開する基本解には，負エネルギー解もあることに注意しよう．（負エネルギー

118

解に対する展開係数を bではなく b∗としたのはあとの都合のためである．）ψが与えられ

たとき，展開係数を求めるには，直交関係 (8.2.34)～(8.2.36)を用いる．例えば，

i

∫ϕ∗p(x)

↔∂0 ψ(x) d

3x

= i

∫d3xϕ∗p(x)

↔∂0∑p′

{a(p′)ϕp′(x) + b∗(p′)ϕ∗p′(x)

}=∑p′

{a(p′) i

∫ϕ∗p(x)

↔∂0 ϕp′(x) d3x+ b∗(p′) i

∫ϕ∗p(x)

↔∂0 ϕ

∗p′(x) d3x

}=∑p′

{a(p′) δpp′ + b∗(p′) 0

}= a(p) (8.2.37)

量子化された場の演算子 φ(x)，φ†(x)もKlein-Gordon方程式を満たすので，ϕp(x)と

ϕ∗p(x)の線形結合で表すことができる．ただし，今の場合，展開係数は演算子となる：

φ(x) =∑p

{a(p)ϕp(x) + b†(p)ϕ∗p(x)

}, (8.2.38)

φ†(x) =∑p

{a†(p)ϕ∗p(x) + b(p)ϕp(x)

}. (8.2.39)

もちろん，φ(x)，φ†(x)から展開係数 a(p)，b(p)，a†(p)，b†(p) を求めるには，直交関

係 (8.2.34)～(8.2.36) を用いればよい：

a(p) = i

∫ϕ∗p(x)

↔∂0 φ(x) d

3x, (8.2.40)

b(p) = i

∫ϕ∗p(x)

↔∂0 φ

†(x) d3x, (8.2.41)

a†(p) = i

∫φ†(x)

↔∂0 ϕp(x) d

3x, (8.2.42)

b†(p) = i

∫φ(x)

↔∂0 ϕp(x) d

3x. (8.2.43)

あるいは，↔∂0 を具体的に計算して，

˙φ(x) = πφ∗，

˙φ†(x) = πφ を使えば，

a(p) = i

∫ {ϕ∗p(x)πφ∗(x)− ϕ∗p(x)φ(x)

}d3x, (8.2.44)

b(p) = i

∫ {ϕ∗p(x)πφ(x)− ϕ∗p(x)φ

†(x)}d3x, (8.2.45)

a†(p) = i

∫ {φ†(x)ϕp(x)− πφ(x)ϕp(x)

}d3x, (8.2.46)

b†(p) = i

∫ {φ(x)ϕp(x)− πφ∗(x)ϕp(x)

}d3x (8.2.47)

119

である．

これらを使えば，a(p)，b(p)，a†(p)，b†(p) の間の交換関係を容易に求めることができ

る．例えば，

[a(p), a†(p′)]

=

[i

∫ {ϕ∗p(x)πφ∗(x)− ϕ∗p(x)φ(x)

}d3x, i

∫ {φ†(y)ϕp′(y)− πφ(y)ϕp′(y)

}d3y,

]= −

∫d3xd3x

{ϕ∗p(x)ϕp′(y)[πφ∗(x), φ

†(y)] + ϕ∗p(x)ϕp′(y)[φ(x), πφ(y)]}

= −∫d3xd3x

{+ϕ∗p(x)ϕp′(y)(−i)δ3(x− y) + ϕ∗p(x)ϕp′(y)iδ3(x− y)

}= i

∫d3x

{ϕ∗p(x)ϕp′(x)− ϕ∗p(x)ϕp′(x)

}= i

∫d3xϕ∗p(x)

↔∂0 ϕp′(x)

= δpp′ . (8.2.48)

ここでは，xと yは同時刻 x = (x, t)，y = (y, t)として計算した (問 8.3の結果より，この

時刻は自由に選ぶことができる)．また，3行目では，4個の交換子がでるはずであるが，

ゼロになる 2個は最初から省いた．同じように，計算すると，

[a(p), b(p′)]

=

[i

∫ {ϕ∗p(x)πφ∗(x)− ϕ∗p(x)φ(x)

}d3x, i

∫ {ϕ∗p′(y)πφ(y)− ϕ∗p′(y)φ†(y)

}d3y,

]= −

∫d3xd3x

{−ϕ∗p(x)ϕ∗p′(y)[πφ∗(x), φ

†(y)]− ϕ∗p(x)ϕ∗p′(y)[φ(x), πφ(y)]

}= −

∫d3xd3x

{−ϕ∗p(x)ϕ∗p′(y)(−i)δ3(x− y)− ϕ∗p(x)ϕ

∗p′(y)iδ3(x− y)

}= −i

∫d3x

{ϕ∗p(x)ϕ

∗p′(x)− ϕ∗p(x)ϕ

∗p′(x)

}= −i

∫d3xϕ∗p(x)

↔∂0 ϕ

∗p′(x)

= 0. (8.2.49)

その他も同じように計算できる．結果をまとめると，

[a(p), a†(p′)] = [b(p), b†(p′)] = δpp′ , (8.2.50)

[a(p), b†(p′)] = [a†(p), b(p′)] = 0, (8.2.51)

[a(p), a(p′)] = [b(p), b(p′)] = [a(p), b(p′)] = 0. (8.2.52)

これらの交換関係から，二種類の生成消滅演算子の組があることがわかる．すなわち，a(p)

と b(p)が消滅演算子であり，a†(p)と b†(p)が生成演算子である．

120

問 8.5 (8.2.50)～(8.2.52)を確かめよ．

8.2.6 ハミルトニアンの生成消滅演算子による表示

ハミルトニアン (8.2.12) を生成消滅演算子 a(p)，b(p)，a†(p)，b†(p) を用いて表してみ

よう．その前に，Hを次のように変形する：

H =

∫ {πφπφ∗ +∇φ† · ∇φ+m2φ†φ

}d3x

=

∫ {˙φ†(x)

˙φ(x)− φ†(x)(∇2 −m2)φ(x)

}d3x

=

∫ {˙φ†(x)

˙φ(x)− φ†(x)

¨φ(x)

}d3x

= −∫φ†(x)

↔∂0

˙φ(x) d3x (8.2.53)

1行目から 2行目への変形では，部分積分と πφ =˙φ†, πφ∗ =

˙φであることを使った．3行

目への変形では φがKlein-Gordon方程式を満たすことを使った．

φの平面波展開 (8.2.38)と，ϕp = −iEp ϕpなどより，˙φ(x) =

∑p

{a(p)ϕp(x) + b†(p)ϕ∗p(x)

}=∑p

(−iEp){a(p)ϕp(x)− b†(p)ϕ∗p(x)

}. (8.2.54)

これを，(8.2.53)の最右辺に代入すると，

H = −∫φ†(x)

↔∂0∑p

(−iEp){a(p)ϕp(x)− b†(p)ϕ∗p(x)

}d3x

=∑pEp

{i

∫φ†(x)

↔∂0 ϕp(x) d

3x · a(p)− i

∫φ†(x)

↔∂0 ϕ

∗p(x) d

3x · b†(p)}

=∑pEp

{a†(p)a(p) + b(p)b†(p)

}=∑pEp

{a†(p)a(p) + b†(p)b(p) + 1

}(8.2.55)

が得られる．最後の行では b(p)と b†(p′)の間の交換関係を使った．Hは次のように表す

ことができる：

H =∑pEp

{a†(p)a(p) + b†(p)b(p)

}+ E0, (8.2.56)

E0 =∑pEp. (8.2.57)

121

c数E0はこの場のゼロ点振動のエネルギーである．今の場合，ゼロ点エネルギーは無限

大ではあるが定数である．c数の定数であれば，エネルギーを測るときの基準点をずらす

ことでこのE0を消すことができる．（こうしても，ハイゼンベルク方程式は変更を受けな

い．）これ以後は，ゼロ点エネルギーを省いた部分をハミルトニアン演算子として考える:

H =∑pEp

{a†(p)a(p) + b†(p)b(p)

}. (8.2.58)

8.2.7 運動量演算子

4次元運動量ベクトル pµ = (p0,p) = (Ep,p)を用いて，

P µ =∑ppµ{a†(p)a(p) + b†(p)b(p)

}(8.2.59)

を定義すると，P µは 4次元ベクトルの演算子であり，その第 0成分はハミルトニアンに

等しい：P 0 = H. 第 0成分がエネルギーの演算子であるような 4次元ベクトルは，その

空間成分が運動量演算子であるはずである．すなわち，この場の運動量演算子 P は，

P =∑p

p{a†(p)a(p) + b†(p)b(p)

}(8.2.60)

で与えられる．

問 8.6 (8.2.59)で定義される 4次元運動量演算子 P µ (µ = 0, 1, 2, 3) は，

P µ = −∫φ†(x)

↔∂0 ∂

µφ(x) d3x (8.2.61)

（からゼロ点振動部分を省いたもの）で表されることを確認せよ．ただし，この式

で，∂0 = ∂0 = ∂/∂t, ∂j = −∂j = −∂/∂xj (j = 1, 2, 3) である．

8.2.8 粒子描像：真空，1粒子状態，多粒子状態

真空

いつものように，真空 |0〉を

a(p)|0〉 = b(p)|0〉 = 0 for all p (8.2.62)

で定義する．このとき，

H|0〉 = 0, (8.2.63)

P |0〉 = 0 (8.2.64)

が成り立つ．したがって，|0〉は確かにエネルギーと運動量がゼロの固有状態であることがわかる．すなわち，真空とよぶのにふさわしい状態である．

122

1粒子状態

真空に生成演算子を 1個だけ作用した状態を考えよう．今の場合，生成演算子は a†(p)

と b†(p)の二種類あるので，このような状態も二種類ある：

|a:p〉 = a†(p)|0〉, (8.2.65)

|b:p〉 = b†(p)|0〉. (8.2.66)

この二つの状態は，いずれも，エネルギーがEp，運動量が pの固有状態である:

H|a:p〉 = Ep|a:p〉,H|b:p〉 = Ep|b:p〉,P |a:p〉 = p|a:p〉,P |b:p〉 = p|b:p〉. (8.2.67)

Ep =√p2 +m2であることから，どちらの状態も，質量mの粒子が運動量 pで運動し

ている状態と考えることができる．すなわち，質量の等しい二種類の粒子（a粒子，b粒

子)の 1粒子状態と考えることができる．

負エネルギーはどこに行った？ 上の状態には，負エネルギー状態が現れていないことに

注意しよう．（Hが正定値なのだからあたりまえではあるが．）b粒子に対応する b† はそも

そも負エネルギー解の係数であった．φの展開式 φ =∑

(aϕ + b†ϕ∗) を思い出すと，aが

正エネルギー状態を消滅させる演算子であれば，b†は負エネルギー状態を消滅させる演算

子と言える．しかし，負エネルギー状態を消滅させるということは，逆にエネルギーを増

やしていることになる．これを b粒子を生成させたと解釈するのである．こうして，負エ

ネルギー解は，正エネルギーの b粒子（a粒子の反粒子)として理解することができる．

問 8.7 (8.2.67)を確かめよ．

２粒子状態，多粒子状態

次の様な 2粒子状態を考えることができる：

|a:p,p′〉 = a†(p)a†(p′)|0〉, (8.2.68)

|a:p; b:p′〉 = a†(p)b†(p′)|0〉. (8.2.69)

|b:p,p′〉 = b†(p)b†(p′)|0〉. (8.2.70)

これらの状態は，いずれも，エネルギーがEp + Ep′，運動量が p+ p′の状態である．

123

2粒子状態のエネルギーがこのようになることを確かめるには，ハミルトニアンや運動

量演算子と生成消滅演算子との交換関係を使う：

[H, a†(p)] = Ep a†(p) (8.2.71)

[H, b†(p)] = Ep b†(p) (8.2.72)

[P , a†(p)] = p a†(p) (8.2.73)

[P , b†(p)] = p b†(p) (8.2.74)

これらから，a†(p)と b†(p)が，エネルギーをEpだけ増やし，運動量をpだけ増やす演算

子であることがわかる．

この交換関係を使えば，一般の多粒子状態（a粒子が r個，b粒子が s個の状態）を

|a:p1, · · · ,pr; b:p′1, · · · ,p′s〉 = a†(p1) · · · a†(pr) b†(p′1) · · · b†(p′s) |0〉 (8.2.75)

で定義すると，この状態のエネルギーと運動量が

E = Ep1+ · · ·+ Epr

+ Ep′1+ · · ·+ Ep′

s, (8.2.76)

P = p1 + · · ·+ pr + p′1 + · · ·+ p′s (8.2.77)

であることも直ちにわかる．

8.2.9 「電荷」

前章では，相対論的な 1粒子の量子力学を探す上で，Klein-Gordon方程式を満たす場

に対する保存量を考えた．この保存量に対応して，連続の式を満たす 4次元の流れの密度

jµ = (j0, j) = (ρ, j)を考えることができた．今の場合は，量子化されているので，これ

も演算子となっている：

jµ = iφ†↔∂µ φ, (8.2.78)

あるいは，

ρ = iφ†↔∂0 φ, (8.2.79)

j = −iφ†↔∇ φ. (8.2.80)

実際，φと φ†がKlein-Gordon方程式を満たすことから，

∂ρ

∂t+∇ · j = 0 (8.2.81)

124

が容易に導ける．これに関する保存量を Qと置くと，

Q =

∫ρ(x) d3x

= i

∫φ†(x)

↔∂0 φ(x)

=∑p

{a†(p)a(p)− b(p)b†(p)

}. (8.2.82)

あるいは，b，b†に対する交換関係を使えば，

Q =∑p

{a†(p)a(p)− b†(p)b(p)− 1

}. (8.2.83)

括弧内の第 3項の −1 からは，（ゼロ点振動からくる）マイナス無限大が出てくるが，こ

れは c数の定数であり，Qの基準点をずらすことで消すことができる．結局，

Q =∑p

{a†(p)a(p)− b†(p)b(p)

}(8.2.84)

としてよい．この保存量は，第 7章でも注意した様に，正定値ではなく，正負どちらの値

も取り得る．実際，

Q |a:p1, · · · ,pr; b:p′1, · · · ,p′s〉 = (r − s) |a:p1, · · · ,pr; b:p′1, · · · ,p′s〉 (8.2.85)

が成り立つ．すなわち，Qは，a粒子 1個に対して +1，b粒子 1個に対して −1 を与え

る．これは次の交換関係によっても表すことができる：

[Q, a†(p)] = +a†(p), (8.2.86)

[Q, b†(p)] = −b†(p). (8.2.87)

前章では保存量Qを確率として解釈しようとしたが，正負のどちらの値もとることがで

きるので，断念せざるを得なかった．しかし，第二量子化された今となっては，このよう

な量で確率を考える必要はなくなった．（確率はケットベクトル間で内積に任せればよい．）

Qは正にも負にもなる保存量である．これを「電荷」と考えれば，a粒子は +1の「電

荷」を持ち，その反粒子であるb粒子は−1の「電荷」を持つと言うことができる．複素ス

カラー場と電磁場との相互作用を考えれば，Qは確かに電荷と考えていいことがわかる．

8.3 まとめ

Klein-Gordon方程式にしたがうスカラー場を量子化（第二量子化）した結果，次のこ

とが導かれた．

125

• Klein-Gordon方程式 (� +m2)φにしたがう場を量子化すれば，粒子描像が現れる．

質量mの粒子が二種類 (a粒子と b粒子)．

• 負エネルギー解の問題は解決された．(ボーズ粒子でも)負エネルギー解は反粒子とし

て出てくる．Diracの海は考えていない（ボーズ粒子なのでそもそも考えられない）．

• 前章で考えたKlein-Gordon場に対する保存則は，確率の保存ではなく，電荷の保存

であった．