ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣesp.it.teithe.gr/documents/PE04/mathimataseirwn.pdf · ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ του α΄

Κωνσταντίνος Σπ. Κατωπόδης Δρ Μαθηματικός

Καθηγητής ΤΕΙ Θεσσαλονίκης

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΣΕΙΡΕΣ

ΔΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Περιληπτική Θεωρία και Ασκήσεις

Θεσσαλονίκη 2008

Περιεχόμενα

i

Περιεχόμενα

Πρόλογος iii 1 ακολουθίες 1 1.1 Ορισμός της ακολουθίας 1 1.2 Μονότονες-Φραγμένες ακολουθίες 3 1.3 Συγκλίνουσες –Αποκλίνουσες ακολουθίες 5 1.3.1 Συγκλίνουσες ακολουθίες 5 1.3.2 Αποκλίνουσες ακολουθίες 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 10 2 σειρές 11 2.1 Αριθμητικές σειρές 11 2.1.1 Σειρές με όρους θετικούς 13 2.1.2 Σειρές με όρους τυχαίου προσήμου 19 2.2 Δυναμοσειρές 21 2.2.1 Παραγώγιση –Ολοκλήρωση δυναμοσειράς 25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 27 3 διωνυμικές δυναμοσειρές 29 3.1 Μεταθέσεις 29 3.2 Συνδυασμοί 30 3.3 Διωνυμικές δυναμοσειρές 31 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 34

Κ. Σπ. Κατωπόδη: Ακολουθίες-Σειρές-Δυναμοσειρές

ii

Βιβλιογραφία 35

Πρόλογος iii

Πρόλογος

Οι Σημειώσεις αυτές απευθύνονται, κυρίως, στους φοιτητές του τμήματος Πληροφορικής του ΑΤΕΙ Θεσσαλονίκης. Αποτελούν τμήμα του μαθήματος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ του α΄ εξαμήνου και συγχρόνως προαπαιτούμενη γνώση για το μάθημα του β΄ εξαμήνου ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Προαπαιτούμενες γνώσεις για να μελετήσει ο φοιτητής τις Σημειώσεις αυτές, όπως και τα άλλα μαθήματα Μαθηματικών που διδάσκονται στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση, είναι οι βασικές γνώσεις που έχει ο κάθε απόφοιτος της Μέσης Εκπαίδευσης τις οποίες έχει πάρει κατά τη διάρκεια των σχολικών του χρόνων από το Δημοτικό μέχρι και την τελευταία τάξη του Λυκείου. Τονίζεται αυτό, γιατί οι περισσότεροι φοιτητές εμφανίζονται να γνωρίζουν λίγα έως καθόλου Μαθηματικά για διάφορους λόγους. Όπως όμως είναι γνωστό, θετικές επιστήμες χωρίς Μαθηματικά δε μπορούν αφενός μεν να κατανοηθούν αφετέρου δε να αναπτυχθούν. Οι Σημειώσεις δεν καλύπτουν πλήρως και λεπτομερώς τα αντικείμενα που διαπραγματεύονται αλλά περιορίζονται κυρίως σ’ ό,τι εμπίπτει στα ενδιαφέροντα του τμήματος Πληροφορικής. Αυτές περιλαμβάνουν περιληπτική θεωρία, αρκετά λυμένα παραδείγματα και άλυτες ασκήσεις με τα αποτελέσματά τους. Μερικές από τις άλυτες ασκήσεις έχουν μερική δυσκολία και θα πρέπει ο φοιτητής να ασχοληθεί αρκετά προκειμένου να τις επιλύσει. Ο κόπος που θα δαπανήσει ο φοιτητής είναι το κέρδος που αποκομίζει για την εξάσκηση του μυαλού του. Οι αποδείξεις των διαφόρων προτάσεων που δεν υπάρχουν στις Σημειώσεις όπου χρειάζονται διδάσκονται κατά τη διάρκεια των μαθημάτων και επίσης μπορεί να τις βρει ο κάθε φοιτητής σε βιβλία Μαθηματικών που υπάρχουν στη βιβλιοθήκη του ΑΤΕΙ-Θ, όπως και σε βιβλία Μαθηματικών που κυκλοφορούν πολλά. Επομένως είναι προφανές ότι για την απόκτηση της γνώσης η παρουσία των φοιτητών στην τάξη κρίνεται απαραίτητη, χωρίς να είναι υποχρεωτική, και δεν αντικαθίσταται μόνο με τη μελέτη. Οι Σημειώσεις αποτελούνται από τρία κεφάλαια. Το πρώτο κεφάλαιο περιλαμβάνει τις ακολουθίες. Είναι ένα βασικό προαπαιτούμενο για τις Σειρές, για τα Διακριτά Μαθηματικά, για τους Αναδρομικούς Αλγόριθμους κ.ά.. Το δεύτερο κεφάλαιο περιλαμβάνει τις Σειρές, αριθμητικές και δυναμοσειρές. Οι αριθμητικές σειρές είναι προαπαιτούμενες για τις δυναμοσειρές που είναι το κύριο αντικείμενο αυτής της ενότητας. Οι δυναμοσειρές είναι ένα πολύ καλό εργαλείο στην κατανόηση των διωνυμικών δυναμοσειρών, όπως και τα άλλα είδη σειρών που είναι

Κ. Σπ. Κατωπόδη: Ακολουθίες-Σειρές-Διωνυμικές Δυναμοσειρές iv

χρήσιμες τόσο στη επιστήμη της πληροφορικής όσο και σε άλλες θετικές επιστήμες και όχι μόνο. Το τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο περιέχει τις διωνυμικές δυναμοσειρές. Αυτή η κατηγορία των σειρών είναι το κυρίως χρήσιμο εργαλείο στην κατανόηση των γεννητριών συναρτήσεων στα Διακριτά Μαθηματικά όπως και σε άλλες κατηγορίες αντικειμένων στις θετικές επιστήμες. Στο τέλος των Σημειώσεων υπάρχει βιβλιογραφία. Τα βιβλία που αναφέρονται εκεί είναι κυρίως βιβλία που υπάρχουν στη βιβλιοθήκη του ΑΤΕΙ-Θ και μπορεί εύκολα να τα συμβουλευθεί ο αναγνώστης-φοιτητής. Στις Σημειώσεις, όπως ίσως θα επισημάνει ο προσεκτικός αναγνώστης, θα υπάρχουν λάθη είτε ουσίας είτε τυπογραφικά είτε λάθη από παραδρομή. Πιστεύω ότι οι αναγνώστες που θα τα επισημάνουν θα τα αναφέρουν στο συγγραφέα προκειμένου να διορθωθούν. Σ' αυτήν την προσπάθεια μεγάλη θα είναι η συμβολή των φοιτητών.

Θεσσαλονίκη, Χειμώνας 2008

Κων/νος Κατωπόδης

1 ακολουθίες

1.1 Ορισμός της ακολουθίας Ορισμός 1.1: Μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των φυσικών αριθμών

:na N R→ (1.1) ονομάζεται ακολουθία (sequence) πραγματικών αριθμών1. Η ακολουθία η οποία ονομάζεται και αριθμητική συνάρτηση συμβολίζεται αn=αn(n) ή (αn)n∈N ή συνηθέστερα (αn). Το πεδίο τιμών της ακολουθίας αποτελούν οι πραγματικοί αριθμοί

α1, α2, α3, …, αn, …. (1.2) οι οποίοι ονομάζονται όροι (terms) της ακολουθίας. Είναι φανερό ότι η θέση κάθε όρου της ακολουθίας είναι καθορισμένη η δε τιμή του καθορίζεται από τον φυσικό αριθμό n. Μια ακολουθία είναι καλά ορισμένη αν μπορεί να βρεθεί ο οποιοσδήποτε όρος της για τις διάφορες τιμές του n. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί αν η ακολουθία ορίζεται από ένα μαθηματικό τύπο2 ή αν ορισθεί με μια αναδρομική σχέση.

1 Ν=1, 2, 3, …, n,…, ( , )R = −∞ ∞ , , R R= − −∞ ∞ . 2 Δηλαδή αν η ακολουθία ορίζεται αναλυτικά.

Κ. Σπ. Κατωπόδη: Ακολουθίες-Σειρές-Διωνυμικές Δυναμοσειρές 2

Παράδειγμα 1.1: Η ακολουθίες (αn) με γενικούς όρους αn=1n

, και αn= 2 !

n

n

nn⋅

είναι

καλά ορισμένες γιατί για διάφορες τιμές του n μπορούν να βρεθούν οποιοιδήποτε όροι τους. Για την πρώτη ακολουθία είναι

1 2 31 1 1 11, , ,..., , ...1 2 3 na a a a

n= = = = =

ενώ για τη δεύτερη είναι 1 2 3

1 2 31 2 3

1 2 3, , ,..., , ...2 1! 2 2! 2 3! 2 !

n

n n

na a a an

= = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

ή

1 2 31 1 9, , , ..., , ...2 2 16 2 !

n

n n

na a a an

= = = =⋅

.

Επίσης της ακολουθίας που ορίζεται από την αναδρομική σχέση

1n n na a a 2− −= + , α1=1, α2=2

μερικοί όροι της είναι

α1=1, α2=2, α3=3, α4=5, α5=8, α6=13, α7=21, ….

Δεν είναι καλά ορισμένη μια ακολουθία αν ορισθεί από μερικούς όρους της όπως π.χ. η ακολουθία

12, 22, 32, … γιατί ενώ μπορεί να θεωρηθεί ότι η ακολουθία είναι η (αn) με αn=n2 και με όρους

12, 22, 32, 42, …, n2, …, ή μπορεί επίσης να θεωρηθεί ότι είναι και η ακολουθία (αn) με

αn=n3−5n2+11n−6 και με όρους

12, 22, 32, 22, 49, 96, …, , n3−5n2+11n−6, …, ή οποιαδήποτε άλλη της οποίας οι τρεις πρώτοι όροι κατά σειρά είναι 12, 22, 32. Μια ακολουθία δεν ορίζεται πάντα από μια αναλυτική έκφραση ή μια αναδρομική σχέση κ.ο.κ.. Μια τέτοια ακολουθία είναι π.χ. η ακολουθία

1 1 1 1 1 1 1, , , , , , ,..2 3 5 7 11 13 17

. .

των αντίστροφων των πρώτων αριθμών. Η ακολουθία αυτή έχει άπειρους όρους γιατί, σύμφωνα με το θεώρημα του Ευκλείδη, το πλήθος των πρώτων αριθμών είναι άπειρο. Παρατήρηση 1.1: Μια ακολουθία διατηρεί τα χαρακτηριστικά της, όπως π.χ. τη μονοτονία και τη σύγκλιση της αν σ΄ αυτήν αναδιαταχθούν οι όροι της. 1.2 Μονότονες-Φραγμένες ακολουθίες

Κεφ. 1: Ακολουθίες 3

Με τον όρο μονότονη ακολουθία ορίζεται η ακολουθία που είναι αύξουσα (increasing sequence) ή φθίνουσα (decreasing sequence). Ορισμός 1.2: Μια ακολουθία ονομάζεται αύξουσα (φθίνουσα) αν

∀n∈N, αn≤αn+1 (αn≥αn+1). (1.3) Ειδικότερα αν

∀n∈N, αn<αn+1 (αn>αn+1) (1.4)

η ακολουθία ονομάζεται γνησίως αύξουσα (γνησίως φθίνουσα)1. Ορισμός 1.3: Mια ακολουθία ονομάζεται φραγμένη εκ των άνω (φραγμένη εκ των κάτω) αν υπάρχει πραγματικός αριθμός Μ (m) τέτοιος ώστε

∀n∈N, αn≤Μ (αn≥m). (1.5)

Οι αριθμοί Μ και m ονομάζονται άνω και κάτω φράγμα της ακολουθίας αντί- στοιχα. Ορισμός 1.4: Μια ακολουθία ονομάζεται φραγμένη εκ των άνω και εκ των κάτω ή απλά φραγμένη αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί m και Μ τέτοιοι ώστε

∀n∈N, m≤ αn≤ Μ. (1.6) Οι αριθμοί Μ και m ονομάζονται άνω και κάτω φράγμα της ακολουθίας αντί- στοιχα. Από όλους τους αριθμούς Μ και m που αποτελούν άνω και κάτω φράγμα μιας φραγμένης ακολουθίας ο μικρότερος από τους αριθμούς Μ και ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς m ονομάζεται ανώτερο φράγμα (upper bound) και κατώτερο φράγμα (lower bound) της ακολουθίας αντίστοιχα. Σημείωση 1.1: Αν μια ακολουθία είναι φραγμένη τότε αν Κ=max|M|, |m| θα είναι

∀n∈N, |αn|≤Κ. (1.7)

Στην περίπτωση αυτή η ακολουθία ονομάζεται και απολύτως φραγμένη. Παράδειγμα 1.2: Δίνονται οι ακολουθίες:

(α) αn=(−1)n⋅n, (β) αn=2+ 5n

, (γ) αn=4

2n

n5+ , (δ) αn=

12 3

nσυνπ+

Αφού (i) βρεθούν οι όροι τους να διαπιστωθεί αν είναι (ii) μονότονες και (iii) φραγμένες. Λύση: (α) (i) −1, 2, −3, 4, −5, 6, …,(−1)n⋅n, …. (ii) Η διαφορά

1na a+ n− =(−1)n+1(2n+1)

1 Η υπόθεση ∀n∈N μπορεί να αντικατασταθεί από την, ∃n0: ∀n ≥ n0 (παρατ. 1.1).


προφανώς δεν έχει σταθερό πρόσημο και επομένως η ακολουθία δεν είναι μονότονη. (iii) Επειδή |αn|=n δεν υπάρχει δεδομένος αριθμός Μ τέτοιος ώστε |αn|<Μ γιατί πάντα θα υπάρχει n>M. Άρα η ακολουθία δεν είναι φραγμένη.

(β) (i) 7, 92

, 134

, 3, …, 2+ 5n

, …

(ii) Είναι

1n na a+ − =2+ 51n +−

52n

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= − 5( 1n n )+

<0.

Άρα η ακολουθία είναι φθίνουσα. (iii) Είναι

αn=2+ 5n

>2 και αn=2+ 5n

<8.

Άρα ∀n∈N, 2<αn<8, οπότε η ακολουθία είναι φραγμένη με κατώτερο και ανώ- τερο φράγμα τους αριθμούς 2 και 8 αντίστοιχα.

(γ) (i) 92

, 134

, 176

, 218

, 52

, …, 4 52n

n+ , … .

(ii) Είναι

1n na a+ − = 4( 1) 52( 1)n

n+ ++

−4 5

2n

n+ = − 5

2 ( 1)n n +<0 ⇒ . 1n na a +>

Άρα η ακολουθία είναι φθίνουσα. (iii) Είναι

αn=4 5

2n

n+ =2+ 5

2n>2, και αn=

4 52n

n+ =2+ 5

2n<5.

Άρα ∀n∈N, 2<αn<5, οπότε η ακολουθία είναι φραγμένη με κατώτερο και ανώ- τερο φράγμα τους αριθμούς 2 και 5 αντίστοιχα.

(δ) (i) 1, 0, 12

− , 0, 1, 32

, 1, 0, 12

− , 0, 1, 32

, …, 12 3

nσυνπ+ , ….

(ii) Η διαφορά

1( 1)

3 3n nn na a συν συνπ π

+

+− = −

για διαδοχικές τιμές του n έχει τιμές

−1, 12

− , 12

, 1, 12

, 12

− , −1, 12

− , … .

Επειδή η διαφορά αn+1−αn+1 δεν έχει σταθερό πρόσημο η ακολουθία δεν είναι μονότονη. (iii) Είναι

1 12 3n

na συνπ− = ≤ , ⇒ 11 12na− ≤ − ≤ ⇒

1 32 2na− ≤ ≤ .


Άρα η ακολουθία είναι φραγμένη με κατώτερο και ανώτερο φράγμα τους αριθμούς

12

− και 32

αντίστοιχα.

1.3 Συγκλίνουσες-Αποκλίνουσες ακολουθίες 1.3.1 Συγκλίνουσες ακολουθίες (α) Ακολουθίες συγκλίνουσες στον αριθμό λ∈R Ορισμός 1.4: Μια ακολουθία (αn) έχει όριο τον πραγματικό αριθμό λ (λ∈R) ή αλλιώς1

nim→∞l αn=λ

αν ∀ε>0, οσονδήποτε μικρό, ∃n0=n0(ε)2: ∀n≥n0 να ισχύει na λ− <ε.

Η na λ− <ε γράφεται λ−ε<αn<λ+ε και ισχύει ∀n ≥ n0. Οδηγούμαστε επομένως στο συμπέρασμα ότι ∀ε>0 όλοι οι όροι της ακολουθίας, εκτός ίσως από πεπερασμένο πλήθος, βρίσκονται μέσα στην περιοχή π(λ,ε)3. Μια τέτοια ακολουθία ονομάζεται και συγκλίνουσα ακολουθία (convergent sequence). (β) Μηδενικές ακολουθίες Ορισμός 1.5: Μια ακολουθία ονομάζεται μηδενική αν α

nim→∞l n=0. Δηλαδή ∀ε>0,

οσονδήποτε μικρό, ∃n0=n0(ε): ∀n ≥ n0 να ισχύει na <ε. Για τις συγκλίνουσες ακολουθίες ισχύουν τα εξής θεωρήματα που αναφέρονται χωρίς απόδειξη: Θεώρημα 1.1: Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία ορίζει το όριό της μονότιμα. Θεώρημα 1.2: Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να συγκλίνει μια μονότονη ακολουθία είναι να είναι φραγμένη. Θεώρημα 1.3: (Κριτήριο σύγκλισης Cauchy) Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να συγκλίνει μια ακολουθία είναι, ∀ε>0, οσονδήποτε μικρό, ∃n0=n0(ε): ∀n,m≥n0 να ισχύει n ma α− <ε. Ιδιότητες των συγκλίνουσών ακολουθιών

1 Ο συμβολισμός α

nim→∞l n=λ μπορεί να αντικατασταθεί από τους συμβολισμούς αn n→∞⎯⎯⎯→ λ ή αn→λ.

2 Ο συμβολισμός n0=n0(ε) σημαίνει ότι ο n0 εξαρτάται, γενικά, από το ε. 3 Ως περιοχή π(λ,ε) ορίζεται το διάστημα (λ−ε, λ+ε). Το λ ονομάζεται κέντρο της περιοχής και το ε ακτίνα της. Ως περιορισμένη περιοχή ορίζεται το σύνολο π (λ,ε)=π(λ,ε)−λ.


Έστω (αn) και (βn) δύο συγκλίνουσες ακολουθίες με αnim→∞l n=λ1 και β

nim→∞l n=λ2.

Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες.

(α) (kαnim→∞l n)=kλ1, ∀k∈R.

(β) (αnim→∞l n ± βn)=λ1 ± λ2.

(γ) (αnim→∞l n ⋅ βn)=λ1 ⋅ λ2.

(δ) nim→∞l n

n

αβ

= 1

2

λλ

, αν λ2≠0 και βn≠0, ∀n∈N.

(ε) = ( =nim→∞l ( )k

na )k

nnim a→∞l 1

kλ , k∈R.

1.3.2 Αποκλίνουσες ακολουθίες Κάθε μη συγκλίνουσα ακολουθία ονομάζεται αποκλίνουσα (divergent sequence). Ειδικότερα: Ορισμός 1.6: (α) Μια ακολουθία (αn) ονομάζεται ορισμένως αποκλίνουσα προς το +∞, και γράφεται α

nim→∞l n=+∞, αν ∀M>0 οσονδήποτε μεγάλο ∃n0=n0(M): ∀n ≥ n0

αn>M.

(β) Μια ακολουθία (αn) ονομάζεται ορισμένως αποκλίνουσα προς το −∞, και γράφεται α

nim→∞l n=−∞, αν ∀M>0 οσονδήποτε μεγάλο ∃n0=n0(M): ∀n ≥ n0 αn<−M.

(γ) Μια ακολουθία που δεν είναι συγκλίνουσα είτε ορισμένως αποκλίνουσα ονομάζεται αορίστως αποκλίνουσα. Αντίστοιχες ιδιότητες προς τις ιδιότητες των συγκλινουσών ακολουθιών ισχύουν και για τις αποκλίνουσες ακολουθίες, με την προϋπόθεση ότι δε θα προκύπτουν μη επιτρεπτές πράξεις (απροσδιόριστες μορφές)1. Παράδειγμα 1.3: Να διαπιστωθεί με τα χρήση του ορισμού του ορίου ότι οι ακολουθίες

(α) αn=2

4 5n +, (β) αn= 1n n+ − .

είναι μηδενικές.

Λύση: (α) Σύμφωνα με τον ορισμό θα πρέπει ∀ε>0, οσονδήποτε μικρό, ∃n0=n0(ε): ∀n ≥ n0 να ισχύει na <ε. Αρκεί επομένως να βρούμε τον αριθμό n0. Είναι

na <ε ή 24 5n +

<ε, ή 24 5n +

<ε ή n> 2 54 4ε

− ⇒ n0=2 54 4ε⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

2.

1 Υπενθυμίζεται ότι οι απροσδιόριστες μορφές είναι οι +∞−∞, −∞+∞, 0⋅(±∞), ∞0, ±∞

±∞, 0

0 κ.λπ.

2 [x] = ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι μικρότερος ή ίσος του x. Π.χ. [4.3]=4.


(β) Ομοίως είναι

1n + − n < ε, ή 1n + − n <ε1, ή 11n n+ +

<ε ή 1n n+ + > 1ε

ή 2 1n + > 1ε

ή 1n + > 12ε

ή n> 2

1 14ε

− ⇒ n0= 2

1 14ε⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Παράδειγμα 1.4: Να βρεθούν τα όρια των ακολουθιών:

(α) αn= 2 1n

n −, (β) αn= 1n + − n , (γ) αn=

42n

n5+ , (δ) αn=

( )n nn

l .

Λύση: (α) nim→∞l 2 1

nn −

=nim→∞l

2

2

2 21

nn

nn n

−=

nim→∞l

2

1

11

n

n−

=(ιδιότητες)= 01 0−

=0.

Εφαρμογή 1: Είναι nim→∞l

4

2

3 25 6n nn n− ++ −

71

=∞. (γιατί;)

(β) (άλλος τρόπος)

nim→∞l ( 1n n+ − )=

nim→∞l

11n n+ +

=nim→∞l

1

11 1

n

n+ +

=nim→∞l

1

11 1

n

n+ +

=0.

(γ) nim→∞l

4 52n

n+ =((α))= 4

2=2.

(δ) Αποδεικνύεται ότι ( )n n n<l . Επειδή, 0< ( )n nn

l < 1nn n

= και επειδή

1 0nn →∞⎯⎯⎯→ συνεπάγεται ότι nim→∞l

( )n nn

l =0.

Παράδειγμα 1.5: Να υπολογισθούν τα όρια των ακολουθιών:

(α) αn= n a , α>0, (β) αn= n n , (γ) αn=αn, α>0, (δ) αn= 1nk

n⎛ +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ , k∈R.

Λύση: (α) Έστω (βn) ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών.

(i) Αν α>1 ⇒ n a >1 ⇒ n a =1+βn ⇒ α=(1+βn)n>1+nβn>nβn ⇒ 0<βn<an

,

Άρα

0< βnim→∞l n<

1n

a a imn n→∞= ⋅l ⇒ 0< β

nim→∞l n<0 ⇒ β

nim→∞l n=0,

οπότε 1 Υπενθυμίζεται η ιδιότητα των απολύτων τιμών |α|−|β|≤|α−β|≤|α|+|β|.


nim→∞l n a = (1+β

nim→∞l n) ή

nim→∞l n a =1+ β

nim→∞l n ή

nim→∞l n a =1.

(ii) Αν α<1 ⇒ n a <1 ⇒ n a = 11 nβ+

⇒ α= 1(1 )n

nβ+< 1

nnβ⇒ 0<βn<

1 1 1na a n

= ⋅ .

Άρα (βλ. (i))

nim→∞l βn=0, οπότε

nim→∞l n a =1.

(iii) Αν α=1 προφανώς nim→∞l n a =1.

(β) Προφανώς είναι n n >1. Άρα αν (βn) είναι ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών τότε

n n =1+βn ⇒ n=(1+βn)n>1+nβn+ 2( 1)2 n

n n β+ ⇒ n> 2( 1)2 n

n n β+ ⇒ 0< 2nβ < 2

1n +⇒

0< βn <2

1n + ⇒ 0< β

nim→∞l n<

nim→∞l

21n +⇒ 0< β

nim→∞l n<0 ⇒ β

nim→∞l n=0

Άρα

nim→∞l n n =1.

(γ) Έστω δ θετικός πραγματικός αριθμός. (i) Αν α>1 ⇒ α=1+δ ⇒ αn=(1+δ)n>1+nδ>nδ. Όμως nδ n→∞⎯⎯⎯→∞, οπότε

nim→∞l αn = ∞.

(ii) Αν α<1 ⇒ α= 11 δ+

⇒ αn= 1(1 nδ)+

< 11 nδ+

< 1nδ

. Όμως 1nδ n→∞⎯⎯⎯→ 0, οπότε

nim→∞l αn=0.

(iii) Αν α=1, τότε αnim→∞l n=1.

(δ) Αποδεικνύεται1 ότι nim→∞l 1

nkn

⎛ +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ =ek. Ειδικότερα

nim→∞l

11n

n⎛ +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ =e.

Εφαρμογή 1: Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας αn=1 nn

n+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Λύση: Είναι nim→∞l

1 nnn+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

=nim→∞l

11n

n⎛ +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ = e.

Εφαρμογή 2: Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας αn=1

nnn

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

1 Ο υπολογισμός αυτού του ορίου δε γίνεται γιατί είναι και εκτεταμένος και πολύπλοκος.


Λύση: Είναι nim→∞l

1

nnn

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

=nim→∞l

11

n

nn

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=nim→∞l

111

n

n−⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

= 111

n

nim

n→∞

−⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

l

= 1

1e− =e.

Εφαρμογή 3: Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας αn=3

3 1

nnn

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

.

Λύση: Είναι 3

3 1

nnn

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

=nim→∞l

13 1

3

nnn+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

=nim→∞l

1113

n

n⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 13 3

1

113

n

nim

n→∞

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠l

= nim→∞l

= 13 3

3

1

113

n

nim

n→∞

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠l

= 13

1

e.

Εφαρμογή 4: Να βρεθεί το όριο της ακολουθίας αn=2 1

3 1

nnn

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Λύση: Είναι

αn=2 1

3 1

nnn

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

=2 1

3 1 3 1

nn nn n

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=2 3 1

3 1

nn nn n

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= 21 3

3 1 nnnn

n

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

1 =

= 21 313

nnn

n

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 = 2

2

1 3 1

13 13

nn

nn

n

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

= 21 3 1

139 1

n

n

nn

n

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟

⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Άρα

nim→∞l

2 1

3 1

nnn

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

=nim→∞l 2

1 3

139 1

n

n

nn

n

1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥−⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

=

= 21 3 1

13[ (9 )] 1

n n

n

n n

nimn

im imn

→∞

→∞ →∞

−⋅

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⋅ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

l

l l

(9 )n

nim→∞l=0, γιατί =∞,


2131

n

nim

n→∞

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

l = ( )213e− =

23e− και 3

n

nimn→∞

1−l =3.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. (α) Να αποδειχθεί με τη χρήση του ορισμού ότι οι ακολουθίες (i)αn= 2

( 1)( 1)

n

n−+

και (ii) αn= 3 2 1n

n n+ + είναι μηδενικές.

(β) Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία αn=2

100n αποκλίνει προς το +∞. Να βρεθεί ο

μικρότερος n0 τέτοιος ώστε αn>104.

(Απαντ.: (α) Αρκεί να είναι n0>1 1ε

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦, (β) n0=103).

2. Να υπολογισθούν τα όρια των ακολουθιών:

(α) αn=2

2

23 1

n nn n

1− ++ −

, (β) αn=( 3) 2

3

n n

n

− + , (γ) αn=!

3n

n , (δ) αn=21

3 1nn+⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠.

(Απαντ.: (α) 23

, (β) αποκλίνει αορίστως, (γ) ∞, (δ) 19

).


(α) αn: 1 2a = , 2 2 2a = + , …, 1 2na + na= + , (β) αn= 2

3n

n

(γ) αn=3

2

( 2)1 1

n n nn n+

−+ +

, (δ) αn=11

n

n

aa

−+

, α>0.

(Απαντ.: (α) 2, (β) ∞, (γ) 1, (δ) αποκλίνει αορίστως).


(α) αn=!n

nn

, (β) αn=2 2 21 1 ... 1

2 3 3 4 ( 1)n n⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞− − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

(Απαντ.: (α) 0, (β) 13

).

2 σειρές

2.1 Αριθμητικές Σειρές Ορισμός 2.1: Το άθροισμα των όρων της ακολουθίας (αn)

α1 + α2 + α3 + … + αn +…, (2.1)

το οποίο συμβολίζεται

1n

n

a∞

=∑ , (2.2)

ονομάζεται αριθμητική σειρά (numerical series). Μια αριθμητική σειρά μπορεί να συγκλίνει (converges) ή να αποκλίνει (diverges). Θα λέμε ότι μια αριθμητική σειρά συγκλίνει αν το άθροισμα (2.1) τείνει σε πεπερασμένο αριθμό. Επίσης θα λέμε ότι η αριθμητική σειρά αποκλίνει, και μάλιστα ορισμένως, αν το άθροισμα (2.1) τείνει στο ±∞. Αν μια αριθμητική σειρά δεν είναι συγκλίνουσα ή ορισμένως αποκλίνουσα ονομάζεται αορίστως αποκλίνουσα1. Για την εύρεση της φύσης μιας αριθμητικής σειράς θεωρούμε την ακολουθία (Sn),

S1 = α1, S2 = α1 + α2, …, Sn = α1 + α2 + α3 + … + αn, …

η οποία ονομάζεται ακολουθία μερικών αθροισμάτων (sequence of partial sums).

1 Η σύγκλιση ή η απόκλιση μιας σειράς ονομάζεται και φύση της σειράς.


Η σύγκλιση ή η απόκλιση της αριθμητικής σειράς (2.1) εξαρτάται, προφανώς, από το . Αν δηλαδή =s, s∈R, τότε η σειρά συγκλίνει αλλιώς η σειρά

αποκλίνει ορισμένως (αν π.χ. = ∞) ή αορίστως. nn

im S→∞l nn

im S→∞l

nnim S→∞l

Παράδειγμα 2.1: Αν δοθεί η ακολουθία (αn) με αn = αλn−1, α≠0, τότε η σειρά

1

1

n

n

aλ∞

−

=∑ = α + αλ + αλ2 + αλ2 + … + αλn−1 … (2.3)

σ υγκλίνει αν το όριο της ακολουθίας (Sn) με

Sn = α + αλ + αλ2 + αλ2 + … + αλn−1 (2.4)

είναι πεπερασμένος πραγματικός αριθμός1. Πραγματικά από την (2.4) παίρνουμε

(1 )1

n

naS λ

λ−

=−

. (2.5)

Από τον τύπο (2.5) προκύπτει ότι: (α) Αν |λ|<1

1nn

aim Sλ→∞

=−

l ∈R (2.6)

οπότε και η σειρά (2.3) συγκλίνει. Ο αριθμός 1

aλ−

είναι το άθροισμα της αριθμη-

τικής σειράς (2.3). (β) Αν |λ|>1 τότε η σειρά αποκλίνει (αποδείξτε το). Ιδιότητες των σειρών

Θεωρούμε τις αριθμητικές σειρές 11

nn

a s∞

=

=∑ , 21

nn

sβ∞

=

=∑ , 1 2,s s R∈ .

(α) Αν όλοι οι όροι μιας αριθμητικής σειράς πολλαπλασιασθούν με τον πραγματικό αριθμό k τότε και το άθροισμα της πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό. Δηλαδή

11 1

n nn n

ka k a ks∞ ∞

= =

= =∑ ∑ . (2.7)

(β) Ισχύει

1 1

( )n n nn n

a a1

nn

β β∞ ∞

= =

± = ±∑ ∑∞

=∑ , (2.8)

εφόσον, φυσικά, δεν προκύπτει απροσδιοριστία. (γ) Η φύση μιας αριθμητικής σειράς δεν αλλάζει αν σ΄ αυτήν προστεθούν ή διαγρα- φούν ή αναδιαταχθούν πεπερασμένου πλήθους όροι.

(δ) Αν η αριθμητική σειρά συγκλίνει τότε 1

nn

a∞

=∑ im 0nn

a→∞

=l . (Το αντίστροφο δεν

ισχύει).

1 Η ακολουθία (αn) είναι η γνωστή γεωμετρική πρόοδος. Για το λόγο αυτό η σειρά αυτή ονομάζεται γεωμετρική σειρά.

Κεφ. 2: Σειρές 13

Παρατήρηση 2.1: Είναι φανερό ότι αν 0nn

im a λ→∞

= ≠l τότε η σειρά θα αποκλίνει.

(Γιατί;) Παράδειγμα 2.2: Να βρεθεί η φύση, ή και το άθροισμα αν μπορεί να βρεθεί, της αριθμητικής σειράς

1

32n

n

∞

=∑ . (2.9)

Λύση: Η σειρά αυτή είναι μια γεωμετρική σειρά με πρώτο όρο 32

και λόγο 12

.

Επειδή 12

<1 η σειρά θα συγκλίνει και το άθροισμά της είναι, σύμφωνα με τον τύπο

(2.6), s=

32 311

2

=−

.

Παράδειγμα 2.3: Να βρεθεί η φύση της αριθμητικής σειράς1

1

1n nρ

∞

=∑ .

Λύση: Αποδεικνύεται ότι αν ρ>1 η σειρά συγκλίνει ενώ αν ρ≤1 η σειρά αποκλίνει.

Έτσι η σειρά 21

1n n

∞

=∑ συγκλίνει γιατί ρ=2>1, ενώ οι σειρές

31

1n n

∞

=∑ και

1

1n n

∞

=∑

αποκλίνουν γιατί ρ= 13

<1 και ρ=1 αντίστοιχα.

2.1.1 Σειρές με θετικούς όρους Στα προηγούμενα δεν έγινε καμία υπόθεση όσον αφορά τα πρόσημα των όρων της αριθμητικής σειράς (2.1). Η δυσκολία όμως που υπάρχει στο υπολογισμό του αθροί- σματος της ή ακόμα και στην εύρεση της φύσης της, δημιουργεί την ανάγκη «απλοποίησης» της σειράς αυτής κάνοντας παραπέρα υποθέσεις όσον αφορά τη μορφή της. Μια τέτοια υπόθεση αφορά το πρόσημο των όρων της. Έτσι θα υποθέσουμε κατ’ αρχάς, ότι οι όροι της έχουν θετικό πρόσημο.

Ορισμός 2.2: Η αριθμητική σειρά 1

nn

a∞

=∑ ονομάζεται σειρά θετικών όρων αν

αn≥0, ∀n∈Ν.

Παρατήρηση 1.3: Η σειρά 1

nn

a∞

=∑ ονομάζεται επίσης σειρά θετικών όρων αν

αn≥0, ∀n≥n0 (βλ. ιδιοτ. (γ)). Αν συμβαίνει αn≤0, ∀n∈Ν, ή αντίστοιχα αn≤0, ∀n≥n0, 1 Η σειρά αυτή ονομάζεται αρμονική σειρά ρ-τάξης. Ιδιαίτερα αν ρ=1 η αντίστοιχη σειρά ονομάζεται απλά αρμονική σειρά.


τότε η σειρά θα έχει αρνητικούς όρους. Η μελέτη αυτής της σειράς είναι η ίδια με τη σειρά που έχει θετικούς όρους γιατί ισχύει

1 1

| |n nn n

a a∞ ∞

= =

= −∑ ∑ .

2.1.1.1 Κριτήρια σύγκλισης σειρών με θετικούς όρους Θα διατυπωθούν παρακάτω, χωρίς απόδειξη, κριτήρια για την εύρεση της φύσης

μιας σειράς με θετικούς όρους. Προς τούτο θεωρούμε τις σειρές 1

nn

a∞

=∑ και

1n

n

β∞

=∑ με

θετικούς όρους.

1. Κριτήριο σύγκρισης: (α) Αν αn≤βn και η σειρά 1

nn

β∞

=∑ συγκλίνει τότε θα

συγκλίνει και η σειρά . 1

nn

a∞

=∑

(β) Αν αn≤βn και η σειρά αποκλίνει θα αποκλίνει και η σειρά 1

nn

a∞

=∑

1n

n

β∞

=∑ .

Παράδειγμα 2.4: Να βρεθεί η φύση των σειρών:

(α) 2

1

11n n

∞

= +∑ , (β) 3

1

1n

nn

∞

=

+∑ , (γ) 1

12n

n n

∞

= ⋅∑ , (δ) 1

2 12

n

n

nn

∞

=

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ .

Λύση: Κατ’ αρχάς διαπιστώνεται ότι και οι 4 σειρές είναι σειρές θετικών όρων. (α) Επειδή

2

11n +≥

2 2

1n n+

= 1 12 n⋅

και η σειρά 1

1n n

∞

=∑ αποκλίνει, οπότε θα αποκλίνει και η σειρά

1

1 12n n

∞

=

⋅∑ (ιδιοτ. (α)),

σύμφωνα με το κριτήριο 1(β) θα αποκλίνει και η αρχική σειρά. (β) Διαπιστώνεται ότι

31

1n

nn

∞

=

+∑ = 2 31

1 1n n n

∞

=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ = 21

1n n

∞

=∑ + 3

1

1n n

∞

=∑ .

Επειδή οι σειρές 21

1n n

∞

=∑ και 3

1

1n n

∞

=∑ συγκλίνουν ως αρμονικές σειρές 2 και 3-τάξης

αντίστοιχα, σύμφωνα με την ιδιότητα (β) θα συγκλίνει και η αρχική σειρά. (γ) Επειδή

12nn ⋅

≤12n



12n

n

∞

=∑ συγκλίνει, ως γεωμετρική σειρά, σύμφωνα με το κριτήριο 1(α) θα

συγκλίνει και η αρχική σειρά. (δ) Επειδή

nim→∞l

2 12

nnn+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

=nim→∞l

112

n

n⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

=nim→∞l

12 211

2

n

n⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

=1

2e = e ≠0

σύμφωνα με την παρατήρηση 1.1 η σειρά θα αποκλίνει.

2. Κριτήριο του D’ Alembert: Έστω 1n

nn

aima+

→∞l =k. Αν k<1 η σειρά συγκλίνει,

αν k>1 αποκλίνει, ενώ αν k=1 δεν μπορούμε να αποφανθούμε για τη φύση της σειράς1

nn

a∞

=∑

1. Παράδειγμα 2.5: Να βρεθεί η φύση των σειρών:

(α) 1

12n

n n

∞

= ⋅∑ , (β) 231

2

3

n

nn n

∞

= ⋅∑ (γ)

1 2 !

n

nn

nn

∞

= ⋅∑ (δ) 2

1

14n n

∞

= +∑ .


1n

nn

aima+

→∞l = im

n→∞l

11

( 1) 212

n

n

n

n

++ ⋅

⋅

=nim→∞l 1

2( 1) 2

n

n

nn +

⋅+ ⋅

=nim→∞l

12 1

nn⋅

+= 1

2 nim→∞l

1n

n += 1

2<1,

σύμφωνα με το κριτήριο D’ Alembert η σειρά θα συγκλίνει. (β) Επειδή

1n

nn

aima+

→∞l =

nim→∞l

1

21 3

23

2

3 ( 1)2

3

n

n

n

n

n

n

+

+ + =nim→∞l

21 3

21 3

2 3

2 3 ( 1)

n n

n n

n

n

+

+

⋅ ⋅

⋅ ⋅ +=

nim→∞l

232

3 1n

n⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

=2

32 13⋅ = 2

3<1,

σύμφωνα με το κριτήριο η σειρά D’ Alembert η σειρά θα συγκλίνει. (γ) Επειδή

1n

nn

aima+

→∞l =

nim→∞l

1

1( 1)

2 ( 1)!

2 !

n

n

n

n

nnn

n

+

+

++ =

nim→∞l

1

1

2 ( 1) !2 ( 1)!

n n

n n

n nn n

+

+

+nim→∞l

1 12

nnn+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

=

1 Σ’ αυτήν την περίπτωση καταφεύγουμε σε άλλα κριτήρια. Ειδικότερα αν k =1 και υπάρχει n0 τέτοιο

ώστε ∀≥ n0, 1n

n

aa+ >1 τότε η σειρά αποκλίνει.


= 12 n

im→∞l

11n

n⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 12

e>1,

σύμφωνα με το κριτήριο του D’ Alembert η σειρά θα αποκλίνει. (δ) Επειδή

1n

nn

aima+

→∞l =

nim→∞l

2

2

1( 1) 4

14

n

n

+ +

+

=nim→∞l

2

2

4( 1) 4

nn

+

+ +=

nim→∞l

2

2

4( 1) 4

nn

++ +

=

=2

2

4( 1) 4n

nimn→∞

++ +

l = 1 =1

δεν μπορούμε να αποφανθούμε για τη φύση της σειράς, οπότε θα χρησιμοποιήσουμε άλλο κριτήριο, όπως π.χ. το κριτήριο σύγκρισης. Προς τούτο διαπιστώνεται ότι

2 2 2

1 1 124 nn n n

> =+ +

1⋅ .

Επειδή όμως η σειρά 1

1n n

∞

=∑ αποκλίνει, οπότε θα αποκλίνει και η σειρά

1

1 12n n

∞

=

⋅∑

(ιδιοτ. (α)), σύμφωνα με το κριτήριο σύγκρισης θα αποκλίνει και η αρχική σειρά.

3. Κριτήριο του Cauchy: Έστω nim→∞l n

na =k. Αν k<1 η σειρά 1

nn

a∞

=∑ συγκλίνει, αν

k>1 αποκλίνει, ενώ αν k=1 δεν μπορούμε να αποφανθούμε για τη φύση της σειράς1. Παράδειγμα 2.6: Να βρεθεί η φύση των σειρών:

(α) 1

5 32 7

n

n

nn

∞

=

+⎛⎜ −⎝ ⎠

∑ ⎞⎟ , (β)

2

1

45

n

n

n∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (γ)

2

1 1

n

n

nn

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑ , (δ) 31

nn

ne

∞

=∑ .


nim→∞l n

na =nim→∞l

5 32 7

n

nnn+⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠=

nim→∞l

5 32 7

nn+−

= 52

>1

σύμφωνα με το κριτήριο του Cauchy η σειρά θα αποκλίνει. (β) Επειδή

nim→∞l n

na =nim→∞l

245

n

n n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=nim→∞l

245

n n⎡ ⎤⎛ ⎞ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

= 1625

⋅nim→∞l n n = 16

25⋅1= 16

25<1

1 Ομοίως, όπως και στην περίπτωση του κριτηρίου του D’ Alembert, καταφεύγουμε σε άλλα κριτήρια. Ειδικότερα, όμως, αν k =1 και υπάρχει n0 τέτοιο ώστε ∀≥ n0, n

na >1 τότε η σειρά αποκλίνει.


σύμφωνα με το κριτήριο του Cauchy η σειρά θα συγκλίνει. (γ) Επειδή

nim→∞l

2

1

n

nn

n⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

=nim→∞l

1

nnn

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

=nim→∞l

111

n

n⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1

1e− =e>1

σύμφωνα με το κριτήριο του Cauchy η σειρά θα αποκλίνει. (δ) Επειδή

nim→∞l 3

nn

ne

=nim→∞l 3

n ne

= 3

1e

<1

σύμφωνα με το κριτήριο του Cauchy η σειρά θα συγκλίνει.

4. Κριτήριο του λόγου: Δίνονται οι αριθμητικές σειρές θετικών όρων , 1

nn

a∞

=∑

1n

nβ

∞

=∑ και έστω

nim→∞l n

n

aβ

=k. Τότε:

(α) Αν k∈R−0 οι δύο σειρές έχουν την ίδια φύση.

(β) Αν k=0 και η σειρά 1

nn

β∞

=∑ συγκλίνει θα συγκλίνει και η σειρά

1n

na

∞

=∑ .

(γ) Αν k=∞ και η σειρά 1

nn

β∞

=∑ αποκλίνει θα αποκλίνει και η σειρά .

1n

n

a∞

=∑


(α) 2

31

4 53 4n

n nn n

∞

=

− ++∑ , (β)

1

1n nημ

∞

=∑ , (γ) 3

1

43 4n n n

∞

= 5+ +∑ (δ) 2

21

4 54 5n

n nn n

∞

=

− +− +∑ .

Λύση: (α) Διαπιστώνεται κατ’ αρχάς ότι ∀n∈N, 2

3

43 4n nn n

5− ++

>0. (Γιατί;). Θεω-

ρούμε τη σειρά θετικών όρων 1

nn

β∞

=∑ , όπου 4

n nβ = >0. Επειδή

nim→∞l

2

34 53 4

4

n nn n

n

− ++ =

nim→∞l

3 2

3

4 512 16n n n

n n− ++

= 412

= 13∈R−0

και επειδή η σειρά 1

4n n

∞

=∑ αποκλίνει, σύμφωνα με το κριτήριο του λόγου, θα αποκλίνει


31

4 53 4n

n nn n

∞

=

− ++∑ .


(β) Διαπιστώνεται κατ’ αρχάς ότι 1n∈ 0,

2π⎛

⎜⎤⎥⎝ ⎦

(γιατί;), οπότε ∀n∈N, 1n

ημ >0.

Άρα η σειρά 1

1n nημ

∞

=∑ είναι σειρά θετικών όρων.

Θεωρούμε τη σειρά θετικών όρων 1

1n n

∞

=∑ . Επειδή

nim→∞l

1

1n

n

ημ=1∈R−0


1n n

∞

=∑ αποκλίνει ως αρμονική 1

2-τάξης, σύμφωνα με το κριτήριο

του λόγου θα αποκλίνει και η σειρά 1

1n nημ

∞

=∑ .

(γ) Διαπιστώνεται εύκολα ότι η σειρά 31

43 4n n n

∞

= 5+ +∑ είναι σειρά θετικών όρων.

Θεωρούμε και τη σειρά 21

1n n

∞

=∑ , η οποία είναι επίσης θετικών όρων και συγκλίνουσα

ως αρμονική 2-τάξης. Επειδή

nim→∞l

3

2

43 4 5

1n n

n

+nim→∞l=

2

3

43 4

nn n

+5+ +

=0


1n n

∞

=∑ συγκλίνει, σύμφωνα με το κριτήριο του λόγου θα συγκλίνει


43 4n n n

∞

= 5+ +∑ .

(δ) Εύκολα διαπιστώνεται ότι η σειρά 2

21

4 54 5n

n nn n

∞

=

− +− +∑ είναι σειρά θετικών όρων.

Θεωρούμε τη θετικών όρων αποκλίνουσα σειρά 1

1n n

∞

=∑ . Επειδή

nim→∞l

2

24 5

4 51

n nn n

n

− +− + =

nim→∞l

3 2

2

4 54 5

n nn n

n− +− +

=∞


σύμφωνα με το κριτήριο του λόγου η σειρά 2

21

4 54 5n

n nn n

∞

=

− +− +∑ θα αποκλίνει.

Παρατήρηση 2.4: Το ότι η σειρά 2

21

4 54 5n

n nn n

∞

=

− +− +∑ αποκλίνει εξασφαλίζεται και από

το γεγονός ότι (ιδιοτ. 4)

nim→∞l

2

2

4 54 5n n

n n− +− +

= 14≠0.

Δε συμβαίνει το ίδιο και για τις σειρές 2

31

4 53 4n

n nn n

∞

=

− ++∑ και 3

1

43 4n n n

∞

= + +∑ 5.

(Γιατί;). 2.1.2 Σειρές με όρους τυχαίου πρόσημου Ορισμός 2.3: Σειρές με όρους τυχαίου πρόσημου (plus and minus series), ή σειρές τυχαίου πρόσημου, ονομάζονται εκείνες οι αριθμητικές σειρές για τις οποίες δε γίνεται καμία υπόθεση ως προς το πρόσημο των όρων τους. Επομένως μια τέτοια σειρά περιγράφεται από το γενικό τύπο (2.1)

1n

na

∞

=∑ =α1+α2+α3+…+αn+… . (2.10)

Μια ειδική περίπτωση αυτών των σειρών είναι οι σειρές με εναλλασσόμενο πρόσημο (alternating series), ή σειρές εναλλασσομένου πρόσημου, οι οποίες περιγρά- φονται από τον τύπο

1

1

( 1)nn

n

a∞

+

=

−∑ =α1−α2+α3− …+(−1)n+1αn +…, (2.11)

όπου αn≥0, ∀n∈N1. Στα επόμενα θα δοθούν, χωρίς απόδειξη, δύο κριτήρια σύγκλισης που αφορούν τις σειρές που αναφέρθηκαν προηγουμένως. Το πρώτο κριτήριο αφορά γενικώς σειρές με τυχαίο πρόσημο.

Κριτήριο της απόλυτης σύγκλισης: Δίνεται η σειρά τυχαίου πρόσημου . Αν

η αντίστοιχή της απόλυτη σειρά

1n

n

a∞

=∑

2 1| n

na

∞

=

|∑ συγκλίνει3 τότε θα συγκλίνει και η αρχική

σειρά. (Το αντίστροφο δεν ισχύει γενικώς).

|

1 Ή αν υπάρχει n0 τέτοιο ώστε ∀n≥n0, αn≥0. 2 = |α

1

| nn

a∞

=∑ 1| + |α2| + |α3| + … + |αn| +…

3 Μια αριθμητική σειρά η οποία διαπιστώνεται ότι συγκλίνει με την εφαρμογή αυτού του κριτηρίου ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσα (absolutely convergent series).


Το δεύτερο κριτήριο αφορά ειδικότερα σειρές με εναλλασσόμενο πρόσημο1.

Κριτήριο του Leibnitz: Δίνεται η σειρά εναλλασσομένου πρόσημου .

Αν η ακολουθία (α

1

1

( 1)nn

n

a∞

+

=

−∑n) είναι φθίνουσα και μηδενική τότε η σειρά συγκλίνει.


(α) 3

1

( )1n

nn

ημ∞

= +∑ , (β) 1

1

1( 1)n

n n

∞+

=

−∑ , (γ) 12

1

1( 1)n

n n

∞+

=

−∑ (δ) 1

1

( 1( 1)nn

n

nne

∞+

=

+−∑ )

Λύση: Κατ’ αρχάς διαπιστώνεται ότι οι παραπάνω σειρές είναι, γενικά, τυχαίου πρόσημου ή ιδιαίτερα οι (β), (γ) και (δ) εναλλασσομένου πρόσημου. (α) Διαπιστώνεται ότι

3

( )1

nn

ημ+

≤3

( )

1

n

n

ημ

+≤

3

11 n+

< 32

1

n.

Επειδή η θετικών όρων σειρά 321

1n n

∞

=∑ συγκλίνει, ως αρμονική 3

2-τάξης, σύμφωνα

με το κριτήριο σύγκρισης θα συγκλίνει και η σειρά 3

1

( )1n

nn

ημ∞

= +∑ , οπότε, σύμφωνα με

το κριτήριο της απόλυτης σύγκλισης, θα συγκλίνει και η αρχική σειρά. (β) (i) Διαπιστώνεται ότι

1 1( 1)n

n+− = 1

n.

Επειδή όμως η θετικών όρων σειρά 1

1n n

∞

=∑ είναι η αρμονική σειρά η οποία

αποκλίνει συμπεραίνουμε η αρχική σειρά δεν είναι απολύτως συγκλίνουσα.

(ii) Διαπιστώνεται όμως ότι η ακολουθία 1n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

είναι φθίνουσα, 1 11n n

>+

, και

μηδενική, 1imn n→∞l =0, οπότε, σύμφωνα με το κριτήριο του Leibnitz, η αρχική σειρά

συγκλίνει2. (γ) (i) Διαπιστώνεται ότι

12

1( 1)n

n+− = 2

1n

.

1 Είναι φανερό ότι, επειδή οι εναλλάσσουσες σειρές ανήκουν στην κατηγορία των σειρών τυχαίου πρόσημου μπορούν να μελετηθούν και με το κριτήριο της απόλυτης σύγκλισης. 2 Μια σειρά, όπως η (β), η οποία συγκλίνει χωρίς να συγκλίνει απολύτως ονομάζεται ημισυγκλίνουσα.


Επειδή όμως η θετικών όρων σειρά 21

1n n

∞

=∑ συγκλίνει, ως αρμονική 2-τάξης,

συμπεραίνουμε ότι η αρχική σειρά είναι απολύτως συγκλίνουσα.

(ii) Διαπιστώνεται όμως ότι η ακολουθία 2

1n

⎛⎜⎝ ⎠

⎞⎟ είναι φθίνουσα, 2 2

1 1( 1)n n

>+

,

και μηδενική, 2

1imn n→∞l =0, οπότε σύμφωνα με το κριτήριο του Leibnitz η αρχική σειρά

συγκλίνει. (δ) Διαπιστώνεται ότι

1 1( 1)nn

nne

+ +− = 1

n

nne+ >0.

Είναι

nim→∞l

1( 1) 1( 1)

1

n

n

nn e

nne

+

+ +++

=nim→∞l 2 1

( 2)( 1)

n

n

n n en e +

++

=nim→∞l 2

1 ( 2)( 1)n n

e n⎡ ⎤+

⋅⎢ ⎥+⎣ ⎦= 1

e⋅1= 1

e<1,

οπότε η θετικών όρων σειρά 1

1n

n

nne

∞

=

+∑ συγκλίνει. Επομένως, σύμφωνα με το κριτήριο

τη απόλυτης σύγκλισης, η αρχική σειρά συγκλίνει.

2.2 Δυναμοσειρές Ορισμός 2.4: Δυναμοσειρά (power series) ονομάζεται η σειρά της μορφής

0

nn

na x

∞

=∑ = α0 + α1 x + α2 x2 + α3 x3 + … + αn xn + … , (2.12)

όπου (αn) ακολουθία πραγματικών αριθμών και x πραγματική μεταβλητή. Η παραπάνω σειρά ονομάζεται δυναμοσειρά Maclaurin. Μια άλλη γραφή της δυναμοσειράς (2.12) είναι η

00

( nn

n

a x x∞

=

−∑ ) = α0 + α1 (x−x0) + α2 (x−x0)2 + α3 (x−x0)3 + … αn (x−x0)n + …, (2.13)

όπου x0 πραγματική σταθερά, και ονομάζεται δυναμοσειρά Taylor. Είναι φανερό πως αν τεθεί t=x−x0 τότε η δυναμοσειρά (2.13) μετασχηματίζεται στη δυναμοσειρά (2.12). Γι’ αυτό το λόγο θα μελετήσουμε μόνο τη δυναμοσειρά (2.12). Το βασικό πρόβλημα της δυναμοσειράς, όπως και κάθε σειράς, είναι η σύγκλιση ή η απόκλισή της. Ειδικότερα στις δυναμοσειρές, λόγω της ύπαρξης της μεταβλητής, ενδιαφέρει για ποιες τιμές της μεταβλητής συγκλίνουν. Στο πρόβλημα αυτό βοήθεια προσφέρει το παρακάτω θεώρημα, γνωστό ως θεώρημα του Abel, το οποίο δίνεται χωρίς απόδειξη.

Θεώρημα 2.1: (α) Αν η δυναμοσειρά συγκλίνει για x=x0

nn

na x

∞

=∑ 0 ≠0, θα συγκλίνει,

και μάλιστα απολύτως, για κάθε x με |x|<|x0|.


(β) Αν η δυναμοσειρά αποκλίνει για x=x0

nn

n

a x∞

=∑ 0 ≠0 θα αποκλίνει και για κάθε x με

|x|>|x0|.

Κατ’ αρχάς διαπιστώνεται ότι για x=0 προκύπτει1 = α0

nn

n

a x∞

=∑ 0 . Αυτό σημαίνει ότι

υπάρχει μια τιμή της μεταβλητής για την οποία η δυναμοσειρά συγκλίνει. Θα πρέπει να βρεθούν, αν υπάρχουν, και άλλες τιμές της μεταβλητής για τις οποίες αυτή συγκλίνει. Παίρνοντας υπόψη τα προηγούμενα και το θεώρημα (2.1) έχουμε τα παρακάτω θεώρημα που αφορά το πεδίο σύγκλισης της δυναμοσειράς (2.12). Θεώρημα 2.2: Το πεδίο σύγκλισης μιας δυναμοσειράς είναι ένα διάστημα με κέντρο στην αρχή του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Επομένως, το διάστημα αυτό θα είναι ένα διάστημα πραγματικών αριθμών της μορφής <−ρ, ρ>2, όπου ρ∈R ή ρ=0 ή ρ=∞, το οποίο ονομάζεται διάστημα σύγκλισης (interval of convergence), ενώ ο αριθμός ρ ονομάζεται ακτίνα σύγκλισης (radius of convergence) της δυναμοσειράς αντίστοιχα. Για την εύρεση του διαστήματος σύγκλισης εργαζόμαστε ως εξής. Επειδή ούτε για το πρόσημο των όρων της ακολουθίας (αn), ούτε για το πρόσημο

της μεταβλητής x γίνεται καμία υπόθεση, η δυναμοσειρά θεωρείται τυχαίου

πρόσημου. Επομένως η σύγκλιση της δυναμοσειράς εξαρτάται από τη σύγκλιση της

απόλυτης σειράς

0

nn

n

a x∞

=∑

0

nn

n

a x∞

=∑ . Επειδή η σειρά αυτή είναι θετικών όρων για τον έλεγχο

της σύγκλισής της θα εφαρμοσθεί το κριτήριο D’ Alembert. Είναι

nim→∞l

11

nn

nn

a xa x

++ =

nim→∞l 1n

n

a xa+ = k x ,

όπου 1n

nn

ak ima+

→∞= l . Σύμφωνα με το κριτήριο D’ Alembert για να συγκλίνει η σειρά

0

nn

na x

∞

=∑ θα πρέπει k x <1 ή 1x

k< =ρ. Επομένως η δυναμοσειρά συγκλίνει για τις

τιμές του x∈(−ρ, ρ), όπου

ρ= 1k

=1

n

nn

aima→∞

+

l . (2.14)

1 Αν η δυναμοσειρά γραφεί = α

1

nn

n

a x∞

=∑ 1 x + α2 x2 + α3 x3 + … + αn xn + … το άθροισμά της για x=0

είναι = 0. 1

nn

n

a x∞

=∑

2 Ο συμβολισμός αυτός του διαστήματος σύγκλισης χρησιμοποιείται όταν δεν ενδιαφέρει αν το διάστημα είναι κλειστό, ανοικτό, ημιανοικτό ή ημικλειστό.


Για να διαπιστωθεί αν το διάστημα (−ρ, ρ) είναι κλειστό θα πρέπει να εξετασθεί αν

η δυναμοσειρά συγκλίνει για x=−ρ και για x=ρ. 0

nn

n

a x∞

=∑

Σημείωση 2.1: Αν για τον έλεγχο σύγκλισης της δυναμοσειράς εφαρμο-

σθεί το κριτήριο του Caushy χρησιμοποιείται αντίστοιχη διαδικασία και η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι

0

nn

n

a x∞

=∑

ρ= 1n

nnim a→∞l

. (2.15)

Παράδειγμα 2.9: Να βρεθούν τα διαστήματα σύγκλισης των δυναμοσειρών:

(α) 3

1

2nn

n

xn

∞

=∑ (β)

1

1!

n

n

xn

∞

=∑ (γ) 2

1

1 ( 3)n

n

xn

∞

=

−∑ , (δ) 1

( 1) ( 1)3 2

nn

n

xn

∞

=

−−

+∑ .

Λύση: (α) Η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι (τύπος (2.14))

ρ=1

n

nn

aima→∞

+

l =nim→∞l

3

1

3

2

21

n

nn

n

+

+

=nim→∞l

3

1 3

2 12

n

n

nn+

+ =nim→∞l 3

1 12

nn+ = 1

2 nim→∞l 3

1nn+ = 1

2.

Άρα κατ’ αρχάς το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι το (− 12

, 12

). Θα

εξετασθεί η σύγκλιση της δυναμοσειράς και στα άκρα.

(i) Για ρ=− 12

η δυναμοσειρά γράφεται 3

1

2 1( 1)2

nn

nn n

∞

=

− ⋅∑ ή 131

1( 1)n

n n

∞

=

−∑ η οποία

συγκλίνει1 (γιατί;).

(ii) Για ρ= 12

η δυναμοσειρά γράφεται 3

1

2 12

n

nn n

∞

=

⋅∑ ή 131

1n n

∞

=∑ η οποία προφανώς

αποκλίνει (γιατί;).

Άρα το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι το 1 1,2 2

⎡ ⎞− ⎟⎢⎣ ⎠.

(β) Η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι

ρ=1

n

nn

aima→∞

+

l =nim→∞l

1!

1( 1)!

n

n +

=nim→∞l

( 1)!

nn

!+ = (n+1)=∞ nim→∞l

Άρα το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι το σύνολο R .

1 Στην πραγματικότητα η σειρά αυτή είναι ημισυγκλίνουσα.


(γ) Αν τεθεί t=x−3 η δυναμοσειρά γράφεται 21

1 n

n

tn

∞

=∑ . Της δυναμοσειράς αυτής η

ακτίνα σύγκλισης είναι

ρ=1

n

nn

aima→∞

+

l =nim→∞l

2

2

1

1( 1)

n

n +

=nim→∞l

2

2

( 1)nn+ =1.

Άρα κατ’ αρχάς το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι το (−1,1). Θα εξετασθεί η σύγκλιση της δυναμοσειράς και στα άκρα.

(i) Για ρ=−1 η δυναμοσειρά γράφεται 21

1( 1)n

n n

∞

=

−∑ η οποία προφανώς συγκλίνει.

(ii) Για ρ=1 η δυναμοσειρά γράφεται 21

1n n

∞

=∑ η οποία προφανώς και αυτή

συγκλίνει.

Άρα η δυναμοσειρά 21

1 n

nt

n

∞

=∑ συγκλίνει για −1≤ t ≤1 και η αρχική για −1≤ x−3 ≤1

ή για 2≤ x ≤4, δηλαδή το διάστημα σύγκλισής της είναι το [2, 4].

(δ) Αν τεθεί t=x−1 η δυναμοσειρά γράφεται 1

( 1)3 2

nn

n

tn

∞

=

−+∑ . Της δυναμοσειράς αυτής

η ακτίνα σύγκλισης είναι

ρ=1

n

nn

aima→∞

+

l =nim→∞l

13 2

13( 1) 2

n

n

+

+ +

=nim→∞l

3 53 2

nn++

=1.

Άρα κατ’ αρχάς το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι το (−1,1). Θα εξετασθεί η σύγκλιση της δυναμοσειράς και στα άκρα.

(i) Για ρ=−1 η δυναμοσειρά γράφεται 1

13 2n n

∞

= +∑ η οποία αποκλίνει (γιατί;).

(ii) Για ρ=1 η δυναμοσειρά γράφεται 1

( 1)3 2

n

n n

∞

=

−+∑ η οποία συγκλίνει (γιατί;).

Άρα η δυναμοσειρά 1

( 1)3 2

nn

n

tn

∞

=

−+∑ συγκλίνει για −1< t ≤1 και η αρχική για

−1< x−1 ≤1 ή για 0< x ≤2 δηλαδή το διάστημα σύγκλισής της είναι το (0, 2]. 2.2.1 Παραγώγιση-Ολοκλήρωση Δυναμοσειράς Ας θεωρήσουμε τη δυναμοσειρά

1

n

nx

∞

=∑ =1 + x + x2 + x3 + …+ xn +… (2.16)

η οποία συγκλίνει στο διάστημα (−1, 1), δηλαδή για |x|<1. Η δυναμοσειρά αυτή είναι μια γεωμετρική σειρά με πρώτο όρο 1 και λόγο x. Επειδή |x|<1 το άθροισμά της είναι


η συνάρτηση 11 x−

. Είναι δηλαδή

1

n

n

x∞

=∑ = 1 + x + x2 + x3 + …+ xn +…= 1

1 x−. (2.17)

Παρατηρούμε, κατ’ αρχάς, ότι μια δυναμοσειρά, οι όροι της οποίας είναι μονώνυμα του x, ουσιαστικά δηλαδή απλές συναρτήσεις του x, συγκλίνει, στο διάστημα σύγκλισής της, σε μια πραγματική συνάρτηση του x. Γενικότερα ορίζεται μια σειρά συναρτήσεων (series of function) αν οι όροι της σειράς είναι συναρτήσεις. Ας θεωρήσουμε τη σειρά συναρτήσεων

1

( )nn

f x∞

=∑ = f1(x) + f2(x) + f3(x) +…+ fn(x) +… . (2.18)

Για κάθε επιτρεπτή τιμή της μεταβλητής x δημιουργούνται διαφορετικές αριθμητικές σειρές οι οποίες θα συγκλίνουν ή θα αποκλίνουν. Το σύνολο των τιμών του x για τις οποίες οι αντίστοιχες αριθμητικές σειρές συγκλίνουν ονομάζεται πεδίο σύγκλισης (domain of convergence) της σειράς. Προφανώς το άθροισμα μιας συγκλί- νουσας σειράς συναρτήσεων, όπως η (2.18), είναι μια συνάρτηση f(x). Ειδικότερα κάθε δυναμοσειρά που συγκλίνει στο διάστημα (−ρ, ρ) έχει άθροισμα μια συνάρτηση του x η οποία συμβολίζεται s(x). Π. χ. μερικές δυναμοσειρές και τα αθροίσματά τους είναι επίσης οι παρακάτω

(α) 0

( 1)n n

n

x∞

=

−∑ = 11 x+

(β) 1

1 n

n

xn

∞

=∑ = 1(1 )

1n x n

x− − =

−l l

(2.19)

(γ) 10

12

nn

n

x∞

+=∑ = 1

2 x− (δ) 2

0

( 1) n

n

n x∞

=

+∑ = 3

1(1 )

xx

+−

Μια σειρά συναρτήσεων μελετάται ως προς τη συνέχεια, την παραγώγιση και την ολοκλήρωσή της. Υπάρχουν προς τούτο σχετικά θεωρήματα. Στην παράγραφο αυτή, όμως, θα μελετήσουμε μόνο τις δυναμοσειρές ως προς την παραγώγιση και την ολοκλήρωσή τους1. Προς τούτο θα αναφέρουμε παρακάτω δύο θεωρήματα χωρίς απόδειξη. Κατ’ αρχάς ας θεωρήσουμε τη συγκλίνουσα δυναμοσειρά (2.12) και ας υποθέ- σουμε ότι στο διάστημα σύγκλισής της (−ρ, ρ) έχει άθροισμα τη συνάρτηση s(x), δηλαδή

0

nn

n

a x∞

=∑ = α0 + α1 x + α2 x2 + α3 x3 + … + αn xn + …= s(x). (2.20)

Η δυναμοσειρά

α1 + 2α2 x + 3α3 x2 + … + nαn xn−1 + …= 1

1

nn

nna x

∞−

=∑ (2.21)

προκύπτει από την όρο προς όρο παραγώγιση της δυναμοσειράς (2.20). 1 Γιατί δεν είναι στα αντικείμενα μελέτης οι σειρές συναρτήσεων.


Θεώρημα 2.3: Αν η δυναμοσειρά (2.20) έχει διάστημα σύγκλισης το διάστημα (−ρ, ρ), τότε η δυναμοσειρά (2.21) συγκλίνει επίσης στο ίδιο διάστημα και έχει άθροισμα τη συνάρτηση s′(x). Είναι δηλαδή

1

1

nn

n

na x∞

−

=∑ = α1 + 2α2 x + 3α3 x2 + … + nαn xn−1 + (n+1)αn+1 xn + … = s′(x).

Το θεώρημα (2.3) επεκτείνεται και σε οποιασδήποτε τάξης παράγωγο. Έτσι π.χ. στο διάστημα (−ρ, ρ) ισχύει

2α2 + 6α3 x + … + n(n−1)αn xn−1 + … = s′′(x)

κ.ο.κ. n(n−1) (n−2) (n−3)⋅…⋅ (n−r+1)αn xn− k + … = s(k) (x), r∈N

ή

( 1) ( 2) ... ( 1) n kn

n kn n n n r a x

∞−

=

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +∑ = s(k) (x), k∈N. (2.22)

Θεωρούμε τώρα τη δυναμοσειρά (2.20). Η δυναμοσειρά

2 3 1

0 1 3 ... ...2 3 1

n

nx x xa x a a a

n

+

+ + + + ++

=1

0 1

n

nn

xan

+∞

= +∑ (2.23)

προκύπτει από την όρο προς όρο ολοκλήρωση της δυναμοσειράς (2.20). Θεώρημα 2.4: Αν η δυναμοσειρά (2.20) έχει διάστημα σύγκλισης το διάστημα (−ρ, ρ), τότε η δυναμοσειρά (2.23) συγκλίνει επίσης στο ίδιο διάστημα και έχει

άθροισμα τη συνάρτηση . 0

( )x

t

s t dt=∫

Είναι δηλαδή

1

0 1

n

nn

xan

+∞

= +∑ = . (2.24) 0

( )x

t

s t dt=∫

Παράδειγμα 2.10: Θεωρούμε τη δυναμοσειρά 2.19(γ). (α) Η πέμπτη όρο προς όρο παράγωγος της δυναμοσειράς και το αντίστοιχο άθροισμά της είναι

51

5

1 !2 ( 5)!

kk

k

k xk

∞−

+=

⋅−∑ = 6 6

0

1 (5 )! 5!2 ! (2 )

rr

r

r xr x

∞

+=

+⋅ = −

−∑ =(5)1

2 x⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

(β) Ομοίως η όρο προς όρο ολοκλήρωση της ίδιας δυναμοσειράς και το αντίστοιχο άθροισμά της είναι

11

0

1 12 1

nn

n

xn

∞+

+=

⋅+∑ = 1

2xn− −l =

0

12

x

t

dtt= −∫ .


ΑΣΚΗΣΕΙΣ 2.1. Να βρεθεί η φύση των αριθμητικών σειρών1:

(α) ∑∞

=1 !1

n n (σ) (β) ∑

∞

=1 !2

n

n

n (σ) (γ) ∑

∞

= +1 )1(1

n nn (α)

(δ) ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 321

n

n

n (σ) (ε) ∑

∞

= +12 1n n

n (στ) ∑∞

= ++−

13

2

234

n nnnn

(ζ) ∑∞

=1 !2nn

n

nn (η) ∑

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+1

2

1n

n

nn (σ) (θ) ∑

∞

= +131)(

n nnσυν (σ)

(ι) ∑∞

=

+−

1 21)1(

nn

n

(σ) (ια) ∑∞

=2 )(1

n n nnl (α) (ιβ) ∑

∞

= ++

12 1

12n n

n (α)

(ιγ) ∑∞

=

+−1

21

!)1(

n

n

nn (σ) (ιδ) ∑

∞

=

+−1

1 1)1(n

n

n (σ) (ιε) ∑

∞

=1 !n

n

nn

(ιστ) ∑∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−1

12

13n

n

nn (ιζ) ∑

∞

=1 21

nnn

(σ) (ιη) ∑∞

=1 10!

nn

n (α)

(ιθ) ∑∞

= −13 12

)(n n

nnl

(σ) (κ) ∑

∞

=1

1n

nn (κα) ∑

∞

=

+−

1

1)1(n

n

n (ημσ)

(κβ) 2

1 !n

nn

∞

=∑

(κγ) ∑

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+1 133

n

n

nn (α)

(κδ) ∑

∞

= +13 11

n n

2.2. Να βρεθεί το διάστημα σύγκλισης των δυναμοσειρών

1

( )n n

n

n x∞

=

−∑ 1

1 n

n

xn

∞

=∑

1

1 nn

n

xn

∞

=∑

(α) x=0

(β) Δ.Σ.2= [−1, 1)

(γ) Δ.Σ. = R

(δ) 1

1 n

n

xn

∞

=∑ (ε)

1

2nn

nx

n

∞

=∑ (στ) 3

1

12

nn

n

xn

∞

=∑

1 (α) Στην παρένθεση δίπλα σε κάθε σειρά υπάρχει η απάντηση: (α) = η σειρά αποκλίνει, (σ) = η σειρά συγκλίνει, (ημσ) = η σειρά είναι ημισυγκλίνουσα. (β) Σε μερικές ασκήσεις, οι αριθμοί των οποίων επελέγησαν τυχαία, δεν υπάρχουν απαντήσεις. Αυτό έγινε για να προσπαθήσει για τη λύση τους ο φοιτητής χωρίς να τον οδηγεί το αποτέλεσμα. 2 Δ.Σ.= Διάστημα Σύγκλισης.


2

1

12

n

n

xn

∞

=∑ 2

1

1 ( 1)1

n

n

xn

∞

=

++∑ 3

1

1 ( 1)n

n

xn

∞

=

−∑ (ζ)

Δ.Σ.=(−1, 1) (η)

Δ.Σ.= [−2, 0] (θ)

Δ.Σ.= [0, 2]

11

1 ( 2)2

nn

nx

n

∞

−=

+∑ 1

12

n

n

x∞

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ 2

1( 3)

2n

nn

n x∞

=

−∑ (ι)

(ια)

Δ.Σ.= (0, 4) (ιβ)

1

1 2 ( 1)3

nn

n

xn

∞

=

⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ 2

1( 1) ( 2)

!n n

n

n xn

∞

=

− +∑1

1 ( 2)n

n

xn n

∞

=

−+

∑

(ιγ) Δ.Σ.= 3 3,

2 2⎡ ⎞− ⎟⎢⎣ ⎠

(ιδ)

(ιε)

Δ.Σ.= [1, 3)

3 διωνυμικες

δυναμοσειρες 3.1 Μεταθέσεις Θεωρούμε το σύνολο S το οποίο περιέχει n (n∈N) διακριτά στοιχεία. Ορισμός 3.1: Ως μετάθεση (permutation) των n διακριτών στοιχείων ορίζεται μια τοποθέτηση τους σε ευθεία γραμμή. Το πλήθος των διαφορετικών μεταθέσεων συμβολίζεται Pn και είναι

! 1 2 3nP n n= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅K = n(n−1)⋅ (n−2)⋅ ... ⋅3⋅2⋅1. (3.1)

Το σύμβολο n! διαβάζεται n παραγοντικό (n factorial).

Για τις μεταθέσεις ισχύουν οι εξής ιδιότητες: (α) (n+1)!=(n+1)⋅n! (β) n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅ ...⋅[n−(r−1)]⋅(n−r)!= =n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅ ...⋅(n-r+1)⋅(n−1)! (γ) 0!=1. Παράδειγμα 3.1: Είναι 5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120


3.2 Συνδυασμοί

Θεωρούμε το σύνολο S το οποίο περιέχει n (n∈N) διακριτά στοιχεία και τον αριθμό r∈N, 0≤r≤n. Ορισμός 3.2: Ως ένας συνδυασμός (combination) των n στοιχείων ορίζεται ένα υποσύνολο του S r στοιχείων.

Το πλήθος των διαφορετικών συνδυασμών συμβολίζονται C(n,r), ή και είναι ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛rn

!( , )!( )!

n nC n rr r n r⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠. (3.2)

Το σύμβολο C(n,r) ή διαβάζεται «συνδυασμός των n στοιχείων ανά r». ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛rn

Για τους συνδυασμούς ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

(α) . ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ n

rnnr

(β) . ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ 1

11 n

rn

rnr

(γ) ( =1. )0n

Ο τύπος (3.2) γράφεται και ως

( 1)( 2) ... ( 1)!

n n n n n rr r⎛ ⎞ − − ⋅ ⋅ − +

=⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.3)

και ισχύει για κάθε n∈R, r∈N . Ειδικότερα αν n,r∈N ισχύει

1( 1)rn n r

r r− + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (3.4)

Παράδειγμα 3.2: Είναι

5! 5! 5 4 103!(5 3)! 3! 2! 2

53

5(5 1)(5 2) 5 4 3 103! 1 2 3

η΄

⋅⎧ = = =⎪ − ⋅⎪⎛ ⎞ ⎪= ⎨⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪ − − ⋅ ⋅⎪ = =

⋅ ⋅⎪⎩

Παράδειγμα 3.3: Να υπολογισθούν:

Κεφ. 3: 31

14−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, 213

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 133

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 134

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 32

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

, . 35⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Λύση: (α) 1!4

4321!4

)31)(21)(11)(1(41

=⋅⋅⋅

=−−−−−−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−.

(β) Δεν υπολογίζεται γιατί 13∉N.

(γ) 4

1 1 1 1 4 71 ( )( 1)( 2) 14 143 3 3 3 3 333! 1 2 3 3 813

⎛ ⎞ − − − − − ⋅ ⋅−⎜ ⎟ = = − = −⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= − .

(δ)

2 3 8 132 2 2 22 ( 1)( 2)( 3) 5 5 5 55 5 5 554! 1 2 3 44

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ − ⋅ −⎛ ⎞ − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ = =

⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

=

4

2 3 8 13 261 2 3 4 5 625

⋅ ⋅ ⋅= − = −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅.

(ε) Δεν υπολογίζεται γιατί −2∉N. (στ) Δεν υπολογίζεται γιατί 5>3. 3.3 Διωνυμικές Δυναμοσειρές Μερικές εφαρμογές των παραπάνω τύπων αποτελούν τα αναπτύγματα σε δυναμοσειρά Maclaurin της συνάρτησης

( ) ( )nf x a βx= ± , α,β∈R. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

1. n∈N−∞: Είναι

( ) ( )nf x a βx= ± = 1n

na xaβ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠=

0

( 1)rn

n r r

r

n βa xr a=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ =0

( 1)rn

n r r

r

n βa xr a=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ .(3.5)

Το ανάπτυγμα αυτό είναι το γνωστό διώνυμο του Newton. Ο αριθμός

( 1)r n n βar a⎛ ⎞⎛ ⎞± ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.6)

αποτελεί το συντελεστή1 της δύναμης xr.

Παράδειγμα 3.4: (α) Η συνάρτηση 3( ) ( )f x a βx= + γράφεται

1 Στον τύπο (3.6) στον παράγοντα (±1)r το πρόσημο του ±1 είναι (+) αν οι α και β είναι ομόσημοι και (−) αν είναι ετερόσημοι.


3( ) ( )f x a βx= + =3

3

0

3( 1)

rr r

r

βa xr a=

⎛ ⎞⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ = 3

3

0

3 rr

r

βa xr a=

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠∑ =

=0

3 030

β xα

α⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠+

13 13

1β xα

α⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠+

23 23

2β xα

α⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠+

33 33

3β xα

α⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠=

=α3 + 3 2a βx +3αβ2x2 + β3x3.

(β) Ομοίως η συνάρτηση ( ) (1 )nf x = − x

n n

γράφεται

2( ) (1 ) ... ( 1) ... ( 1)0 1 2

n r rn n n n nf x x x x x

r n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − = − + − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x .

2. n∉N: Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση ( ) ( )nf x a βx= ± γράφεται

( ) ( )nf x a βx= ± = 1n

n βa xa

⎛ ⎞±⎜ ⎟⎝ ⎠

=0

( 1)r

n r

r

n βar a

∞

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ rx . (3.7)

Η δυναμοσειρά αυτή ονομάζεται διώνυμική δυναμοσειρά1 (binomial series) και έχει ακτίνα σύγκλισης2

ρ= aβ

. (3.8)

Στην (3.7) ο αριθμός

( 1)r

r n n βar a⎛ ⎞⎛ ⎞± ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.9)

αποτελεί, και σ’ αυτήν την περίπτωση, το συντελεστή της δύναμης xr.

Ειδικότερα αν n∈N−∞είναι

f(x) = (α ± βx)−n = 0

( 1)r

n r

r

n β rxr

αα

∞

=

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ =

ή

f(x) = (α ± βx)−n =0

1( 1) ( 1)

rn r r

r

n r β rxr a

α∞

=

+ −⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ± . (3.10)

Παράδειγμα 3.5: (α) Η συνάρτηση f(x) = (1+x)n, n∉N γράφεται

f(x) = (1+x)n = 0

11 ( 11

rn r)

r

n rxr

∞

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 0

r

r

n∑ = x

r

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

=

1 Ο όρος διωνυμική δυναμοσειρά προέρχεται από τη συνάρτηση f(x)=α ± βx που αποτελεί ένα διώνυμο. Περισσότερες λεπτομέρειες γι’ αυτήν τη δυναμοσειρά στο β΄ εξάμηνο στα πλαίσια του μαθήματος «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ». 2 Αποδείξτε το.

Κεφ. 3: 33

= . 2 ... ...0 1 2

rn n n nx x x

r⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(β) Ομοίως η συνάρτηση f(x) = (1−x)n, n∉N, γράφεται

f(x) = (1−x)n = 0

11 ( 11

rn r)

r

n rxr

∞

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑0

( 1)r r

r

n= x

r

∞

=

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ =

= . 2 3 ... ( 1) ...0 1 2 3

r rn n n n nx x x x

r⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− + − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(γ) Η συνάρτηση f(x)= 1(1 )nx±

= (1±x)−n|x≠1, επειδή −n∉Ν, γράφεται

f(x)=( )

( ) ( )0 0

1 1 ( 1) 11

n rr r rn

r r

n nx x x

r rx

∞ ∞−

= =

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ± = ± = ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟

± ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ =

=0

1 11 ( 1) ( 1)1

rn r r r

r

n rx

r

∞

=

+ −⎛ ⎞⎛ ⎞− ±⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 0

1( 1) ( 1)r r r

r

n r∑ = x

r

∞

=

+ −⎛ ⎞− ±⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ .

(δ) Ειδικότερα η συνάρτηση f(x)= 11 x−

= (1−x)−1|x≠1, επειδή −1∉Ν, γράφεται

f(x)=(1−x)−1 =0

1 11 ( 11

rn r

r

) rxr

∞

=

−⎛ ⎞⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 0

1 1( 1) ( 1)r

r

r∑ = r rx

r

∞

=

+ −⎛ ⎞− −⎜ ⎟

⎝ ⎠ 0

r

r

r∑ = x

r

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

ή

f(x)= 11 x−

= (1−x)−1=0

r

rx

∞

=∑ =1 + x + x2 + x3 + … + xr +….

(ε) Ομοίως η συνάρτηση f(x)= 11 x+

=(1+x)−1|x≠−1, επειδή −1∉Ν, γράφεται

f(x)=(1−x)−1 =0

1 11 ( 11

rn r

r

) rxr

∞

=

−⎛ ⎞⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑0

( 1)r r

r

r= x

r

∞

=

⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

ή

f(x)= 11 x+

= (1+x)−1=0

( 1)r r

rx

∞

=

−∑ =1 − x + x2 − x3 + … +(−1)r xr +….

Παράδειγμα 3.6: Να βρεθεί ο συντελεστής του x5 στα αναπτύγματα:

(α) ( ) 7( ) 1 2f x x −= − , (β) 23( ) (1 )f x x= + .

Λύση: (α) Είναι (τύπος (3.10))

7( ) (1 2 )f x x −= − =0

7 2 ( 1)1

r r

rx

r

∞

=

⎡ − ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ =0

7 1 2( 1) ( 1)1

r r

r

r rxr

∞

=

⎡ + − ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ .

Άρα ο ζητούμενος συντελεστής είναι ο


α5= =14784. 5 57 5 1( 1) ( 1) 2

5+ −⎛ ⎞

− −⎜ ⎟⎝ ⎠

5⋅

(β) Είναι

23( ) (1 )f x x= + =2

3(1 )x+ =(τύπος (3.7))=0

23 r

r

xr

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

οπότε ο ζητούμενος συντελεστής είναι ο 2

35

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= 14729

.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3.1. Να υπολογισθούν:

23

5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 2

35

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

, 52

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

, , , , 54⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

51⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2317⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

23

45

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, 7

12−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

(Να δικαιολογηθεί η απάντηση. Επίσης να σχολιασθούν τα αποτελέσματα). 3.2. Να βρεθούν οι συντελεστές των αντίστοιχων δυνάμεων στις παρακάτω διωνυμικές δυναμοσειρές.

(α) 6( ) ( 2 5 )f x x −= − − 9, x . (β) 9( ) ( 3 5 )f x x= − + , 6x .

(γ) ( ) 1 | 1f x x x= + > − , 8x , (δ) 35

1( )(1 2 )

f xx

=−

| 12

x > , 7x .

(Απαντ.: (α) 1955078125163844

− , (β) −35437500, (γ) 42932768

− , (δ) 15155712390625

)

3.3. Να γενικευθούν οι τύποι (3.5) και (3.6) για τη συνάρτηση

( ) ( )nf x ax βy= ± .

Εφαρμογή: Να βρεθεί ο συντελεστής του 6 2x y στο ανάπτυγμα

8( ) (2 5 )f x x y= − .

(Απαντ.: f(x)= . Ο συντελεστής του x0

( 1)n

r n r r n r

r

na x y

rβ− −

=

⎛ ⎞± ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ r

r

n−ryr είναι ο

( 1)r n rna

rβ−⎛ ⎞

± ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Εφαρμογή: 44800).

Βιβλιογραφία 35

Βιβλιογραφία 1. ΑΘΑΝΑΣΙΑΔΗ Γ. Α.: 1999, «Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός συναρτήσεων μιας μεταβλητής», Α. Τζιόλα, Θεσσαλονίκη. 2. ΚΑΤΣΑΡΑ Α.: 1980, «Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων-Στοιχεία διαφορικών εξισώσεων-Μετασχηματισμός Laplace», Ιωάννινα. 3. ΜΠΟΖΗ Δ. Γ.: 1975, «Γενικά Μαθηματικά», Θεσσαλονίκη. 4. ΜΩΥΣΙΑΔΗΣ, Χ: 1996, «Ανώτερα μαθηματικά», Χριστοδουλίδης, Θεσσα- λονίκη 5. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗ Π. Ν.-ΚΑΡΥΟΦΥΛΛΗ Γ. Χ.: 1984, «Διαφορικός Λογισμός Ι», Θεσσαλονίκη. 6. ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ, Ε.-ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ Ι.-ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ Α.: 1994, «Μαθηματικά γενικών μαθηματικών» Σύγχρονη Εκδοτική, Αθήνα. 7. ΤΕΡΖΙΔΗ, Κ., Χαραλ. 2006, «Λογισμός Συναρτήσεων μιας Μεταβλητής με στοιχεία Διανυσματικής & Γραμμικής Άλγεβρας», Εκδ. Χριστοδου- λίδη, Θεσ/νίκη. 1. Agnew, R.: «Calculus» Mc Graw Hill " 2. APOSTOL T.: 1965, «Calculus», Blaisdel Publ. Co. . 3. AYRES, F.: 1983, «Γενικά μαθηματικά» (μετάφραση Σωτήριος Κ. Περσίδης και Χαράλαμπος Κ. Τερζίδης) Schaum's outline series ΕΣΠΙ, Αθήνα. 4. Ayres, F.: «Matrices» Mc Graw Hill, 1962 5. BERMAN. G. N.: 1965, «A collection of Problems on a course of Mathematical Analysis», Pergamon Press. 6. BOWMAN F.-GERARD G.: 1967, «Higher Calculus», Cambridge Univ. Press. 7. BRAND Louis: 1962, «Advanced Calculus», John Wiley 8. BUNDAY. B. B.-MULHOLLAND.H.: 1972, «Pure Mathematics for advanced level», Butter Worths, London. 9. CAY H. J.: 1950, «Analytic Geometry and Calculus», Mc Graw-Hill. 10. CHIRWIN B.-PLUMPTON C. : 1972, «A course of Mathematics for Ingineers and Scientists», Pergamon Press, Oxford. 11. COURANT R.-JOHN F.: 1974, «Introduction to Calculus and Analysis» Wiley

Int. . 12. DEMIDOVITCH B.: 1973, «Problems in Mathematical Analysis», Moscow. 13. FOBS M. P.-SMYTH R. B.: 1963, «Calculus and Analytic Geometry», Prentice Hall.


14. HEGARTY C. J.: 1990, «Applied Calculus», John Wiley. 15. MUNROE M.E.: 1970, «Calculus», W. Β. Sawnders. 16. Piscunov, N.: 1974 «Differential and Integral Calculus» Mir Publishers. 17. RANKIN R.: 1965, «An Introduction to Mathematical Analysis», Pergamon Press. 18. RUDIN W.: 1976, «Principles of Mathematical Analysis», Mc Grow- Hill. 19. SALAS S.-HILLE E.: 1974, «Calculus», Xerox Pub. Co. Lexington. Spiegel M.: «Advanced Calculus» McGraw-Hill, 1963. 20. STRANG, G: 1996, «Linear algebra and its applications», (απόδοση στα ελ- ληνικά Πάρις Πάμφιλος) Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. 21. THOMAS G. B- FINNEY. R. L.: 1984, «Calculus and Analytic Geometry», Addison- Wesley. 22. WHITTAKER. E. T.- WATSON. G. N.: 1965, «A course of Modern Analy Harvard Univ. Press.

Documents

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣesp.it.teithe.gr/documents/PE04/mathimataseirwn.pdf · ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ του α΄