· exercice t t réserve t t Résultat SCR F r +

n

0;( )t t nF ∈

r CoC

φ (0,1)N iα i

tI t

1, , jj n C∀ ∈

[ ]0; j 1 (1 )

ji

j ii

ICr=

=+

t

1

|(1 )

ni

t ti ti t

BE E FrI

−= +

= +

[ ]; 1i i +

[ ] 1 1, 1 (1 ).i i ii iRésultat I r BE BE+ ++ = − + + −

[ ]( ) ( )( )1

1, 1 (1 ) | |in i n ii iRésultat r E C F E C F+

++ = + −

i

iSCR

[ ] ( )( ) ( )1(1 ) . 99,5% | | (1 ) . |i ii n i i n iSCR r E C F F r E C F+= + − +

MVM t

1. |(1 )

ni

t ti ti t

SCRMVM CoC E Fr + −

=

= +

00

1; , . tt

BEt n SCR SCRBE

∀ ∈ =

( )1,..., ~ ( , )nX X N µ Λ

11

( | )0; 1 , ln( | )

n ii

n i

E C Fi n XE C F

++

∀ ∈ − =

:

i

i j

j

µµ

µ

=

(1: )*(1: ) (1: )*( 1: )

( 1: )*(1: ) ( 1: )*( 1: )

i i i i n

i n i i n i n

+

+ + +

Λ Λ Λ = Λ Λ

1

1| ( 1): (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:i i n i n i i i i

i

Xµ µ µ

X

−+ +

= +Λ Λ −

1| (( 1): )*(( 1): ) (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) (( 1): )*(1: ) 'i i n i n i n i i i i n i

−+ + + +Λ = Λ −Λ Λ Λ ,1

, ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

0' (1, 0 0) t i t

i t i t i n i i ii tI

λ α −−− +

−

= + Λ Λ

t

| ,1:1

1

1: ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

1

1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:

, | ,1:( ) , | ,(1: )*(1:

1:1

1:1

0(1 ) . ( | ). exp

0

12

i

ti i i n i i i

tt n t

i n i i i i

i t t i t i t t i t i

X

Xµ

MVM r E C F

µ

µ

φ

λ λ

−+

−

−+

− −

Λ

+ + Λ Λ = +

− Λ Λ

+ + Λ

1

') ,

1n

i t

t i tλ

−

=

−

−

| ,1:1

11

0 : ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:0

',0 1: ,0 (1: )*(1: ) ,0

1:1

1 . ( ). exp 11

12

in

n i i i n i i i ii

i i i i i i

MVM E C µ µr

µ

φ

λ λ λ

−−

+=

Λ = + − Λ Λ − + + + Λ

1:( | )n i i nE C F ∈

t

( , )µ Λ

( )1,..., nX X

CV PP PR τ

0 (1 ).( ) 0 brute nette brute netteCV PP PP PR MVM MVMτ≥ ⇔ − − − + − ≥

( ) 1brute nette

brute nettePP PPMVM MVMPR

τ−

−≤ +

−

n

0;( )t t nF ∈ t

r CoC φ (0,1)N iα

i tI t

1; , jj n C∀ ∈ t

1 (1 )

ji

j ii

ICr=

=+

t 1

|(1 )

ni

t ti ti t

BE E FrI

−= +

= +

[ ]; 1i i +

[ ] 1 1, 1Result (1 ).i i ii i I r BE BE+ ++ = − + + −

[ ]( ) ( )( )1

1, 1Result (1 ) | |in i n ii i r E C F E C F+

++ = + −

i

iSCR

[ ] ( )( ) ( )1(1 ) . 99,5% | | (1 ) . |i ii n i i n iSCR r E C F F r E C F+= + − +

MVM t

1. |(1 )

ni

t ti ti t


=

= +

( )1,..., ~ ( , )nX X N µ Λ

11

( | )0; 1 , ln( | )

n ii

n i

E C Fi n XE C F

++

∀ ∈ − =

:

i

i j

j

µµ

µ

=

(1: )*(1: ) (1: )*( 1: )

( 1: )*(1: ) ( 1: )*( 1: )

i i i i n

i n i i n i n

+

+ + +

Λ Λ Λ = Λ Λ

1

1| ( 1): (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:i i n i n i i i i

i

Xµ µ µ

X

−+ +

= +Λ Λ −

1| (( 1): )*(( 1): ) (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) (( 1): )*(1: ) 'i i n i n i n i i i i n i

−+ + + +Λ = Λ −Λ Λ Λ ,1

, ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

0' (1, 0 0) t i t


λ α −−− +

−

= + Λ Λ

t

| ,1:1

1

1: ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

1

1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:

, | ,1:( ) , | ,(1: )*(1:

1:1

1:1

0(1 ) . ( | ). exp

0

12

i

ti i i n i i i

tt n t

i n i i i i


X

Xµ

MVM r E C F

µ

µ

φ

λ λ

−+

−

−+

− −

Λ

+ + Λ Λ = +

− Λ Λ

+ + Λ

1

') ,

1n

i t

t i tλ

−

=

−

−

| ,1:1

11

0 : ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:0

',0 1: ,0 (1: )*(1: ) ,0

1:1

1 . ( ). exp 11

12

in

n i i i n i i i ii

i i i i i i

MVM E C µ µr

µ

φ

λ λ λ

−−

+=

Λ = + − Λ Λ − + + + Λ

1:( | )n i i nE C F ∈ t

( , )µ Λ

( )1,..., nX X

CV PC PP PR τ

0 (1 ).( ) 0 gross net gross netCV PP PP PR MVM MVMτ≥ ⇔ − − − + − ≥

( ) 1gross net

gross netPP PPMVM MVM

PRτ

−−

≤ +−

o o

o

R [ ], 1t t +

t C t

[ ] { } { }, 11 1inf / ( 0) 0,5% inf / ( ) 99,5%

1 1t tSCR C P R C C P R Cr r+ = ∈ + < ≤ = ∈ − ≤ ≥

+ +

RF −− R−

[ ], 11 (0,995)

1 Rt tSCR Fr

−−+ =

+ RF−

[ ], 11 (0,005)

1 Rt tSCR Fr

−+ =

+

10 1

.(1 )

nii

i i

SCRCoCM CoCr +

= +

=+

10 1

.(1 )

nii

i i

SCRCoCM CoCr +

= +

=+ CoCM

0F iSCR i iSCR 0( | )iE SCR F n

0;( )t t nF ∈

r tI t tI

tF

t1

t

t ii

C I=

=

t1

( | )(1 )

ni

t ti ti t

IBE E Fr −

= +

=+

[ [ 1;t t−

0t =

1t = ( ) 1 1. 1primeacquise r BE I+ − −

0t =

[ ] [ ]0 01 11

1 10

1 1

1 99,5% | ( | ) 99,5%1 (1 ) (1 )

( | ) ( | )(1 )

n n ni i i

prime i i ii i i

E I F I E I FSCR F E F BEr r r r− −

= = =

= − = − + + + +

1t ≥ tF 0t = [ [ ; 1t t +

1 tI + t 1t +

tBE 1 tBE+ 1t +

( ) 1 11t t tBE r BE I+ ++ − −

1 tF + ( ) 1 1( 1 | . ) 0t t t tE BE r BE I F+ ++ − − =

t

[ ] [ [ , 1, 99,5% |

1exercice t t

réserve t t

RésultatSCR F

r+−

= +

[ ] 1 1, 99,5% |

1t t

réserve t t tS BE I BE FCr

R + ++ = − +

CoC

1. |(1 )

ni

t ti ti t


=

= +

iSCR 1i +

[ ] ; 1i i + iSCR

1i +

[ ]0;1

n

1, , jj n I∀ ∈ [ ]1;j j−

j

1, , jj n C∀ ∈ [ ]0; j

1 (1 )

ji

j ii

ICr=

=+

0, , jj n F∀ ∈

0,( )j j nF ∈

0, , jj n BE∀ ∈

j

[ ]; 1i i +

[ ] 1 1, 1 (1 ).i i ii iRésultat I r BE BE+ ++ = − + + −

[ ] ( )

11 1, 1 ( 1) ( 1)

1 2

11 1

1 2

(1 ) ( | ) ( | )(1 ) (1 )

(1 ) ( | ) ( | )(1 ) (1 )

n ni k k

i i i ii i k i k ik i k i

n ni k k

i i i ik kk i k i

I IRésultat r C C E F E Fr r

I Ir C C E F E Fr r

++ ++ − + − +

= + = +

++ +

= + = +

⇔ = + − + −+ +

= + − + − + +

( ) ( )( )1

1 1 1 (1 ) | |ii i n i i n i ir C C E C C F E C C F+

+ + += + − + − − −

[ ]( ) ( )( )1

1, 1 (1 ) | |in i n ii iRésultat r E C F E C F+

++ = + −

jC jF

[ ]; 1i i +

[ ]; 1i i +

i i [ ]; 1i i +

1 r+

[ ] ( ) ( ){ }11 1

1 .(1 ) . 99,5% ( | ) ( | ) | ( | ) ( | ) |1

ii n i n i i n i n i iSCR r E C F E C F F E E C F E C F F

r+

+ += + − − −+

[ ] 1(1 ) . 99,5% ( ( | ) | ) (1 ) . ( | )i i

i n i i n iSCR r E C F F r E C F+= + − +

[ ] ( ) 99,5% ( | ) | ( | )n i i n iE C F F E C F= ( ) 1 ( | ) | ( | )n i i n iE E C F F E C F+ =

t

1

1

( | ).(1 )

ni t

t i ti t

E SCR FMVM CoCr

−

+ −=

=+

( )[ ] { }

1

11 . 99,5% ( ( | ) | ) ( | ) | 1

n

t n i i n i tti t

CoCMVM E E C F F E C F Fr

−

+−=

= −+

( )[ ] { } ( )

1

11 . 99,5% ( ( | ) | ) | ( | )1

n

t n i i t n tti t

CoCMVM E E C F F F E C Fr

−

+−=

⇔ = −+

( )

( )[ ] ( ){ }

1

11 1.( ). ( | ) . 99,5% ( | ) | | 1 1

n

t n t n i i tt ti t

CoC CoCMVM n t E C F E E C F F Fr r

−

+− −=

= − − ++ +

0t =

[ ] ( ){ }1

0 10

. . ( ) . 99,5% ( | ) | 1 1

n

n n i ii

CoC CoCMVM n E C E E C F Fr r

−

+=

= − ++ +

( )

( )[ ] ( ){ }

1

11 1.( ). ( | ) . 99,5% ( | ) | | 1 1

n

t n t n i i tt ti t


−

+− −=

= − − ++ +

1p

2p P 1 2. .(1 )P p p−

2p

LR

Charge de sinistres

primes acquisesLR =

[ ]

6

_inf _sup _sup _inf

(Max, Min, a, b, borne_inf, borne_sup) , > 0,( )= Max.1 Min.1 1 . .LR borne LR borne borne LR borne

LRf LR aLR b< > > >

∃ ∈ ∀

+ + +

1 ( ) 1 ( )R S M S MS R M RXS

< < >− + −=

(1 ).(P )brute bruteC PP MVMτ− − − PC PP τ

(1 ).(P )nette netteC PP PR MVMτ− − − − PR

CV

0 (1 ).(P ) (1 ).(P ) 0 (1 ).( ) 0

nette nette brute brute

brute nette brute nette

CV C PP PR MVM C PP MVMPP PP PR MVM MVM

τ τ

τ

≥ ⇔ − − − − − − − + ≥

⇔ − − − + − ≥

( ) 1brute nette

brute nettePP PPMVM MVMPR

τ−

−≤ +

−

6,53µ =

[ [3 000 000, +∞

ξ µ σ

1 ( ), ( ) 1 xx µ P X xξξ µ

σ

−− ∀ ≥ > = +

+∞

n , 1;iX i n∈ nN

nu 1

1ni

n

ni

X uN=

>=

( , ( ))n nN B n F u F

Loi de Pareto Généralisée utilisée

Fréq

uenc

e

4.0e+06 6.0e+06 8.0e+06 1.0e+07 1.2e+07 1.4e+07 1.6e+07

0.0e

+00

5.0e

-08

1.0e

-07

1.5e

-07

2.0e

-07

, lim ( )nnnF uτ τ+

→∞∃ ∈ =

lim E(N ) lim ( )n nn nnF u τ

→∞ →∞= =

nN τ

nu

, lim ( )nnnF uτ τ+

→∞∃ ∈ =

1 ( )( ) ,...,( ) ( )

n

n n

E CE CE C E C

( ) 0na > ( )nb ( )n n

n

M ba−

1 2max( , ...., )n nM X X X=

+∞

iLoss

[ ]( )min ,max ,0iliability Loss retentmaxi um ionm −

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Coefficients de développement des sinistres

Année

Frac

tion

du m

onta

nt u

ltim

e

TP.5.32 et suivants :

00

1; , . tt

BEt n SCR SCRBE

∀ ∈ =

n

TP.5.49. du QIS5.

0 0.lobMVM BEα= lobα

brute netteMVM MVM−

0 ( ) 1brute nette

brute nettePP PPMVM MVMCV PR

τ−

−≥ ⇔ ≤ +

−

+∞

8,5%lobα =

1,..., nI I

0BE

01

( )(1 )

nii

i

E IBEr=

=+

11

( )( ) ,..., ( ,..., )( ) ( )

nn

n n

E CE C c cE C E C

=

11; , ( ) ( ). ( )i i i ni n E I c c E C−∀ ∈ = − nC

1,..., nI I

110

mod0

1

( )1 (1 ).

( )(1 )

nii

in

ii

i

E IiBE rD

E IBE rr

+=

=

∂ += − =

∂+

11 r+

0 0 mod. .MVM CoCSCR D=

0SCR

11

mod 1

1

( ).(1 )( ..... )

( )(1 )

nii

in n

ii

i

E IirD I I

E Ir

+=

=

+=

+

11; , E( ) . .( )i i ii n I F Loss c c −∀ = − F

Loss ic i

11

1mod 1

1

1

. .( ).(1 )( ..... )

. .( )(1 )

ni ii

in n

i ii

i

F Loss c cirD I I

F Loss c cr

−+

=

−

=

−+

=−

+

11

1mod 1 1

1

1

( )(1 )( ..... ) ( ..... )

( )(1 )

ni i

ii

n nni i

ii

c cirD I I f c c

c cr

−+

=

−

=

−+

= =−+

0 0 1. . ( ..... )nMVM CoC SCR f c c=

11

0

1

. ( )(1 ). .

( )(1 )

nkk

kn

kk

k

k E IrMVM CoC SCR

E Ir

+=

=

+=

+

+∞

+∞ 0SCR

mod 1 1( ..... ) ( ..... )n nD I I f c c=

0SCR

1 0 1 0( | ),..., ( | )nE SCR F E SCR F− 0SCR

00 0

0

( | )0, , ( | ) . ii

E BE Fi n E SCR F SCRBE

∀ ∈ =

10

0 100

( | ). .(1 )

nii

i

E BE FCoCMVM SCRBE r

−

+=

=+

, 1i i + 1(1 )ir ++

1,..., nI I

00

1

( | )0, , ( | )(1 )

nk

i k ik i

E I Fi n E BE Fr −

= +

∀ ∈ =+

0 5 10 15 20 25 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Coefficients de développement

Années de développement

coefficients netscoefficients bruts

10

0 10 10

10

0 11 00

00 1

10

( | ). .(1 )( | ) . .

(1 ). ( | ) . .(1 )

n nk

ki k i

n kk

kk i

nk

kk

E I FCoCMVM SCRBE r

E I FCoC SCRBE r

k E I FCoC SCRBE r

−

+= = +

−

+= =

+=

=+

=+

=+

01

10

0

1

. ( | )(1 ). .

( | )(1 )

nk

kkn

kk

k

k E I FrMVM CoC SCR

E I Fr

+=

=

+=

+

iBE iSCR

1

( | )(1 )

ni

t ti ti t

IBE E Fr −

= +

=+

7I

(1 )r+ 6 7BE BE<

0 5 10 15 20 25 30

0e+0

01e

+07

2e+0

73e

+07

4e+0

7

Comparaison des SCR réserves méthode 3 QIS5

Années

Euro

s

SCR réserves brutSCR réserves net

1 2( , ....., )nI I I 1,.., nI I

( , , )F PΩ 1,..., nI I

{ } { }( )111

,... ,n n

n i i i iii

E E F P I E P I E==

∀ ∈ ∈ = ∈

∏

, ( | ) ( )k i kk i E I F E I∀ > =

[ ] 1(1 ) . 99,5% ( ( | ) | ) (1 ) . ( | )i i

i n i i n iSCR r E C F F r E C F+= + − +

1 (1 )

ij

i jj

IC

r=

=+ i iI

[ ] 11 1

(1 ) . 99,5% ( | ) | (1 ) . ( | )(1 ) (1 )

n ni ik k

i i i ik kk k

I ISCR r E F F r E Fr r+

= =

= + − + + +

[ ]

[ ]

1

11 2 1 1

1

1 2 1

(1 ) . 99,5% ( | ) | ( | )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

= 99,5% ( ) | ((1 ) (1 ) (1 ) (1 )

i n i ni k k k k

i i i ik k k kk k i k k i

i n ik k k k

ik k k kk k i k

I I I Ir SCR E F F E Fr r r r

I I I IE F Er r r r

+−

+= = + = = +

+

= = + =

+ = + − − + + + +

+ − − + + + +

1

) n

k i= +

[ ]

[ ]

11

1 2 1 1

1 11 1

2 2

.(1 ) 99,5% ( ) ( )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

= 99,5% ( ) ( ) ((1 ) (1 ) (1 ) (1 )

i n i ni i k k k k

i i k k k kk k i k k i

n ni k i k

i k i kk i k i

I I I I ISCR r E Er r r r r

I I I IE E Er r r r

− ++

= = + = = +

+ ++ +

= + = +

+ = + + − − + + + + +

+ − − + + + +

)

[ ] 1 199,5% 1 1i i

iI ISCR Er r

+ + = − + +

00 0

0

01

0

1

( | )( | ) .

( ( | ) | )(1 ) = .

( )(1 )

kk

ni

kii k

ni

ii

E BE FE SCR F SCRBE

IE E F FrSCRIEr

= +

=

=

+

+

1

0 0

1

( )(1 )( | ) .

( )(1 )

ni

ii k

k ni

ii

IErE SCR F SCR

IEr

= +

=

+=

+

1 2( , ....., )nI I I

' ' '1 2( , ....., )nI I I

2/k∃ ≥ '( )= ( ) k kE I E I [ ] [ ] '99,5% ( ) 99,5% ( )k kI I≠

'1; \{ }, ~ et ~i ii n k I I I I∀ ∈ I

[ ] [ ]1

' ' '0 1 1 1 0(1 ). 99,5% ( ) ( ) 99,5% ( ) ( ) (1 ).r SCR I E I I E I r SCR+ = − = − = +

( ) [ ] [ ]'

' ( 1)1 1 .(1 ) 99,5% 99,5%

(1 ) (1 )k k k

k k k k

I ISCR SCR rr r

− −− −

− + = − + +

' '

1 1 0 1 1( | ) 0k k k kE SCR SCR F SCR SCR− − − −− = − ≠

kI ' kI

1 01 0 0

0

( | )( | ) . kk

E BE FE SCR F SCRBE

−− =

'' ' 1 0

1 0 0 '0

( | )( | ) . kk

E BE FE SCR F SCRBE

−− =

' '0 0 1 0 1 0 et ( | ) ( | )k kBE BE E BE F E BE F− −= = '

0SCR 0SCR

'

1 0 1 0( | ) ( | ) k kE SCR F E SCR F− −=

'1 1 0( | ) 0k kE SCR SCR F− −− ≠

2 3( , ....., )nX X X

1C

1ii

i

CXC

+=

[ ] 11; , (1 ) . 99,5% ( | ) | ( | )i

i n i i n ii n r SCR E C F F E C F−+

∀ ∈ + = −

[ ] 1 2 3 1 1 2(1 ) . 99,5% ( ..... | ) | ( ..... | ) i

i i i i n i i i i i n ir SCR C E X X X F F C E X X X F−+ + + + + +

⇔ + = −

[ ] 1 2 3 1 2(1 ) . 99,5% ( ) ( )..... ( ) | ( ) ( )..... ( )i

i i i i n i i i i nr SCR C E X E X E X F C E X E X E X−+ + + + +

⇔ + = −

[ ][ ] 2 1 2 3 1 1 2 3 1(1 ) . ( )..... ( ). ..... 99,5% | ..... ( )i

i i n i i i i ir SCR E X E X C X X X X F C X X X E X−+ + +

⇔ + = −

( ) [ ][ ]1 2 3 2 1 1(1 ) . ..... ( )..... ( ) . 99,5% ( )ii i i n i ir SCR C X X X E X E X X E X−

+ + + ⇔ + = −

[ ][ ]0 1 1 12

1

(1 ) . ( | ) ( ). ( ). 99,5% ( )n

ii i i i

kk i

r E SCR F E C E X X E X−+ +

=≠ +

+ = − ∏

00 0

0

( | )( | ) . kk

E BE FE SCR F SCRBE

= 0 0

0 0

( | ) ( | ) k kE SCR F E BE FSCR BE

=

( )

10

01

2

1 . ( )( ( ) 1)( | )

( ). ( )

nk

k ii kkn

ii

r E C E XE SCR F

SCR E C E X

= +

=

+ −

=

∏

∏

' '1,..., nC C

1,..., nC C ' '

2( ,....., )nX X ' '

1,..., nC C 1,..., nC C 2;k n∈ [ ][ ] [ ] '

1 199,5% 99,5%k kX X+ + ≠

'0 0SCR SCR=

'0 0((1 ) | ) ((1 ) | )k k

k kE r SCR F E r SCR F− −+ ≠ +

[ ][ ] [ ] '1 199,5% 99,5%k kX X+ + ≠

'0 0( | ) ( | )k kE SCR F E SCR F=

i 1i + i i 1i +

( ) 1,14t tθ

∈

i tθ

i i t+

t

( )1 . t tθ θ µ+ − µ

[ ] [ ][ ]1 1 1(1 ) . 99,5% ( | ) | ( | ) (1 ). 99,5% ( ) ii n i i n i i i ir SCR E C F F E C F r SCR I E I−

+ + + + = − ⇔ + = −

[ ][ ]1 1(1 ). 99,5% ( ) i i ir SCR IBNYR E IBNYR+ +⇔ + = − 1iIBNYR+

1 1( _( ). )i i iIBNYR Poisson Pareto Généraliséeθ θ µ+ += − ×

µ

_Pareto Généralisée Poisson

[ ][ ][ ][ ]

[ ][ ]

1 1

1

1

1

(1 ). 99,5% ( )

(1 ). 99,5% (( ). ). _( (( ). ). _ ) (1 ). 99,5% (( ). ). _( ((

i i i

i i i

i i

i i i

i

r SCR I E I

r SCR Poisson Pareto GénéraliséeE Poisson Pareto Généralisée

r SCR Poisson Pareto GénéraliséeE Poisson

θ θ µ

θ θ µ

θ θ µ

θ

+ +

+

+

+

+

+ = −

⇔ + = −

− −

⇔ + = −

− 1 ). )). ( _ )i E Pareto Généraliséeθ µ−

[ ][ ]

[ ][ ]

1

1

1

1

(1 ). 99,5% (( ). ). _(( ). ) ( _ )

0, (1 ). ( / ) 99,5% (( ). ). _(( ). ). ( _ )

i i i

i i

i t i i

i i

r SCR Poisson Pareto GénéraliséeE Pareto Généralisée

t r E SCR F Poisson Pareto GénéraliséeE Pareto Généralisée

θ θ µ

θ θ µ

θ θ µ

θ θ µ

+

+

+

+

⇔ + = −

− −

∀ ≥ + = −

− −

1

0 010

. ( | )(1 )

nii

i

SCRMVM CoC E Fr

−

+=

=+

[ ][ ]11

0 10 1

99,5% (( ). ). _1.(1 ) (( ). ). ( _ )

ni i

ii i i

Poisson Pareto GénéraliséeMVM CoC

r E Pareto Généraliséeθ θ µ

θ θ µ

−+

+= +

−= + − −

( ) 1,14t tθ

∈

t

θ θ

{ }2: / ( , ) , , ( ) 1a bxf a b x f x e +→ ∃ ∈ ∀ ∈ = +

2 4 6 8 10 12 14

0.2

0.6

1.0

Theta

Année de développement

2 4 6 8 10 12

0.00

0.10

Theta décumulé


2 4 6 8 10 12

0.0e

+00

1.5e

+07

SCR réserves


.1;14 , 1 ln( 1) .a b ii ii f e f a bi+∀ ∈ = + ⇔ − = +

a b

[ ]214

( , ) 1( , )= argmin ln( 1) .i

a b ia b f a bi

=

− − −

[ ][ ]1

1

0, (1 ). ( | ) 99,5% (( ). ). _ _ (( ). ). ( _ _ )

i t i i

i i

t r E SCR F Poisson Pareto Généralisée netteE Pareto Généralisée nette

θ θ µ

θ θ µ+

+

∀ ≥ + = −

− −

2 4 6 8 10 12 14

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Proportion des sinistres reportés

Année Développement

Prop

ortio

n

2 4 6 8 10 12

0.00

0.05

0.10

0.15

Théta décumulé

development year

Observations Extrapolation

2 4 6 8 10 12

0.0e

+00

1.0e

+07

2.0e

+07

SCR réserves

Année de Développement

SCR

Rés

erve

t t t

+∞

2 4 6 8 10 12

0.0e

+00

1.0e

+07

2.0e

+07

SCR réserves


Euro

s

SCR reserves brut SCR reserves net

( )

( )[ ] ( ){ }

1

11 1.( ). ( | ) . 99,5% ( | ) | | 1 1

n

t n t n i i tt ti t


−

+− −=

= − − ++ +

[ ] ( ){ }1

0 10

. . ( ) . 99,5% ( | ) | 1 1

n

n n i ii

CoC CoCMVM n E C E E C F Fr r

−

+=

= − ++ +

nC ( | )n iE C F 0;i n∈

( | )n iE C F

11

( | )0; 1 , ln( | )

n ii

n i

E C Fi n XE C F

++

∀ ∈ − =

( )1,..., nX X ( )1,..., ~ ( , )nX X N µ Λ µ n Λ

n n×

11

1

( | ), ( | ) ( | ).exp( ln( ))( | )

( | ).exp( ))

in k

n i n tk t n ki

n t kk t

E C Fi t E C F E C FE C F

E C F X

++

=

+=

∀ ≥ =

=

:

i

i j

j

µµ

µ

=

(1: )*(1: ) (1: )*( 1: )

( 1: )*(1: ) ( 1: )*( 1: )

i i i i n

i n i i n i n

+

+ + +

Λ Λ Λ = Λ Λ

( : )*( : )ab cdT T

1: 1i iµ+ + 1iµ +

1( ,..., ) |i n iX X F+ 1 1 | |( ,..., ) | ( ,..., ) ~ ( , )i n i i iX X X X N µ+ Λ

11

| ( 1): (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:i i n i n i i i i

i

Xµ µ µ

X

−+ +

= +Λ Λ −

1| (( 1): )*(( 1): ) (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) (( 1): )*(1: ) 'i i n i n i n i i i i n i

−+ + + +Λ =Λ −Λ Λ Λ

t iSCR i

t0 1t i n≤ ≤ ≤ −

[ ] ( )199,5% ( | ) |n i iE C F F+

[ ] ( ) [ ]

[ ]( )

1

11

11

99,5% ( | ) | 99,5% ( | ).exp( ) |

( | ).exp( ). 99,5% exp( ) |

i

n i i n t k ik t

i

n t k i ik t

E C F F E C F X F

E C F X X F

+

+= +

+= +

=

=

i t=

1

i

kk t

X= +

[ ] ( ) 1 | ,1:1 | ,1:1

199,5% ( | ) | ( | ).exp( ).exp( )

i

n i i n t k i ik t

E C F F E C F X µ φ+= +

= + Λ

[ ] { }199,5% ( ( | ) | ) |n i i tE E C F F F+

[ ] { }

1 | ,1:1 | ,1:11

| ,1:1 | ,1:11

99,5% ( ( | ) | ) | ( | ). exp( ) |

( | ).exp( ). exp( ) |

i

n i i t n t k i i tk t

i

n t i k i tk t

E E C F F F E C F E X µ F

E C F E X µ F

φ

φ

+= +

= +

= + + Λ

= Λ +

| ,1:1 iΛ

11

| ( 1): ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:i i n i n i i i i

i

Xµ µ µ

X

−+ +

= +Λ Λ −

11

| ,1:1 ( 1): ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:

1:1

i i n i n i i i i

i

Xµ µ µ

X

−+ +

= +Λ Λ −

1

1| ,1:1 ( 1):( 1) ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) ( 1: )*(1: )

1

1:1

1:1

0

0

0

0

ti i i i n i i i

i n i i i i n it

i

X

Xµ µ

X

X

−+ + +

−+ +

+

= + Λ Λ

+ Λ Λ − Λ Λ

1(1: )*(1: ) 1: 1:1i i iµ−

[ ] { } 1 | ,1:1

1

1 1( 1):( 1) ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1: 1:1

1:1

99,5% ( ( | ) | ) | ( | ).exp( ).

exp0

0

n i i t n t i

ti i i n i i i i n i i i i

E E C F F F E C F

X

Xµ µ

φ+

− −+ + + +

= Λ

+ Λ Λ − Λ Λ

1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

1 1

1:1

0

0. exp( ) |

i

k i n i i i tk t t

i

E X FX

X

−+

= + +

+ Λ Λ

i tα − i t−

11

'( ,..., )i

k i t t ik t

X X Xα − += +

=

1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

1 1

11

( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )1

1:1

0

0exp( ) |

0

0= exp( ' (1,0 0)

i

k i n i i i tk t t

i

t

i t i n i i it

i

i

E X FX

X

XE

XX

X

α

−+

= + +

+

−− +

+

+ Λ Λ

+ Λ Λ

1 1,1

( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

) |

0exp( ' (1,0 0) ) |

t

t tt i t

i t i n i i i ti t

i i

F

X XE F

IX X

α+ +

−−− +

−

= + Λ Λ

,0 t i t

i tI−

−

1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

1 1

1,1

( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

1:1

0

0exp( ) |

0exp( ' (1,0 0)

i

k i n i i i tk t t

i

tt i t

i t i n i i ii t

i

E X FX

X

XE

IX

α

−+

= + +

+−−

− +

−

+ Λ Λ

= + Λ Λ

1

,

) |

exp( ) |

t

t

i t t

i

F

XE F

Xλ

+

=

,1, ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

0' (1, 0 0) t i t


λ α −−− +

−

= + Λ Λ

1 1 | ,1:( ) | ,(1: )*(1: )( ,..., ) | ( ,..., ) ~ ( , )t i t t i t t i t i tX X X X N µ+ − − −Λ

1 '( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) , | ,1:( ) , | ,(1: )*(1: ) ,

1 1

1:1

0

0 1exp( ) | =exp( ) 2

i

k i n i i i t i t t i t i t t i t i t i tk t t

i

E X F µX

X

λ λ λ−+ − − −

= + +

+ Λ Λ + Λ

[ ] { }

| ,1:1

1

1: ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

1

1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:

, | ,1:( ) , | ,(

1:1

1:1

099,5% ( ( | ) | ) | ( | ).exp

0

12

i

ti i i n i i i

n i i t n t

i n i i i i

i t t i t i t t

X

Xµ

E E C F F F E C F

µ

µ

φ

λ λ

−+

+

−+

−

Λ

+ + Λ Λ =

− Λ Λ

+ + Λ

'1: )*(1: ) ,

i t i t i tλ− −

iSCR

| ,1:1

1

1: ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:

, | ,1:( ) , | ,(1: )*

1:1

1:1

0( | ) (1 ) . ( | ). exp

0

12

i

ti i i n i i i

ii t n t

i n i i i i

i t t i t i t t i t

X

Xµ

E SCR F r E C F

µ

µ

φ

λ λ

−+

−+

− −

Λ

+ + Λ Λ = +

− Λ Λ

+ + Λ

'(1: ) ,

1

i t i tλ−

−

2 2 21, (exp( ( , ) )) exp( )2

t E N µ t µt tσ σ∀ ∈ = +

0; 1t n∈ −

t

| ,1:1

1

1: ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: )

1

1( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:

, | ,1:( ) , | ,(1: )*(1:

1:1

1:1

0(1 ) . ( | ). exp

0

12

i

ti i i n i i i

tt n t

i n i i i i


X

Xµ

MVM r E C F

µ

µ

φ

λ λ

−+

−

−+

− −

Λ

+ + Λ Λ = +

− Λ Λ

+ + Λ

1

') ,

1n

i t

t i tλ

−

=

−

−

| ,1:1

11

0 : ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:0

',0 1: ,0 (1: )*(1: ) ,0

1:1

1 . ( ). exp 11

12

in

n i i i n i i i ii

i i i i i i

MVM E C µ µr

µ

φ

λ λ λ

−−

+=

Λ = + − Λ Λ − + + + Λ

( ) 1,14t t

θ∈

1998;2011i∈ tθ i

i t+ tθ

( )t tF

+∈ i t+

( | ) ( ).n i t i t i t n tE C F payé suspens coûtmoyenθ θ+ + += + + −

( | )n i tE C F+ i tsuspens +

( , )µ Λ

1 1 | |( ,..., ) | ( ,..., ) ~ ( , )i n i i iX X X X N µ+ Λ

1 2( , .... )nx x x

θ nθ

n

1 21; , ( , ,..., )b b b bnb B x x x x∀ ∈ =

[ ]( , )E Xθ ϕ θ ϕ ( )

1

1 ( , ) B

bn

bx

Bϕ θ

=

( )

1

1 ( ) - B

bn n

bx

Bθ θ

=

1;( )i i ny ∈ 1;( )i i nx ∈

1;( )i i ny ∈

, 1;i i

i

y y i ny

−∈

1; , | 0 , | 1 i i i i

i i

i i

y y y yi n E x V xy y

− − ∀ ∈ = =

res val .valprédite res valprédite− valprédite

( , )µ Λ ( , )µ Λ

1( | )( | )

n t

n t

E C FE C F

+

Distribution des résidus de Pearson

Effe

ctif

-2000 -1000 0 1000 2000

05

1015

2025

Année 1

Den

sity

2e+07 4e+07 6e+07

0e+0

03e

-08

Année 2

Den

sity

2e+07 4e+07 6e+07

0e+0

03e

-08

Année 3

Den

sity

2e+07 3e+07 4e+07 5e+07

0e+0

03e

-08

Année 4

Den

sity

1.0e+07 2.0e+07 3.0e+07 4.0e+07

0e+0

04e

-08

Année 5

Den

sity

5.0e+06 1.5e+07 2.5e+07 3.5e+07

0e+0

06e

-08

Année 6

Den

sity

5.0e+06 1.5e+07 2.5e+07

0e+0

06e

-08

Année 7

Den

sity

5.0e+06 1.5e+07 2.5e+07

0e+0

06e

-08

Année 8

Den

sity

5.0e+06 1.5e+07 2.5e+07

0e+0

06e

-08

Année 9

Den

sity

5.0e+06 1.5e+07 2.5e+07

0e+0

06e

-08

Année 10

Den

sity

1.0e+07 2.0e+07 3.0e+07

0e+0

06e

-08

Année 11

Den

sity

5.0e+06 1.5e+07 2.5e+07 3.5e+07

0e+0

06e

-08

Année 12

Den

sity

1.0e+07 2.0e+070.0e

+00

1.0e

-07

Année 13

Den

sity

1.0e+07 2.0e+07 3.0e+070.0e

+00

1.0e

-07

Année 14

Den

sity

1.5e+07 2.0e+07 2.5e+07 3.0e+070.0e

+00

1.0e

-07

Année 15

Den

sity

1.5e+07 2.0e+07 2.5e+07 3.0e+070.0e

+00

1.0e

-07

Distribution des montants ultimes espérés ré-échantillonnés par bootstrap Interpolation par des distributions normales

Année 1 à 2

Dens

ity

0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

1.0

2.0

Année 2 à 3

Dens

ity

0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

1.0

2.0

Année 3 à 4

Dens

ity

0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

1.0

2.0

Année 4 à 5

Dens

ity

0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

1.0

Année 5 à 6

Dens

ity

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

1.0

Année 6 à 7

Dens

ity

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

0.0

0.6

1.2

Année 7 à 8

Dens

ity

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

0.6

1.2

Année 8 à 9De

nsity

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

0.0

0.6

1.2

Année 9 à 10

Dens

ity

1 2 3 4

0.0

0.4

0.8

Année 10 à 11

Dens

ity

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

1.0

Année 11 à 12

Den

sity

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

0.6

1.2

Année 12 à 13

Den

sity

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

0.6

1.2

Année 13 à 14

Den

sity

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.0

0.6

1.2

Année 14 à 15

Den

sity

0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.

00.

61.

2

Distribution des coefficients de passage ré-échantillonnés par bootstrap Interpolation par des distributions normales

Année 1 à 2

Dens

ity

-0.5 0.0 0.5

0.0

1.0

2.0

Année 2 à 3

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5

0.0

1.0

Année 3 à 4

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5

0.0

1.0

Année 4 à 5

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5

0.0

1.0

Année 5 à 6

Dens

ity

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.6

1.2

Année 6 à 7

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.6

1.2

Année 7 à 8

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.6

1.2

Année 8 à 9

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.6

1.2

Année 9 à 10

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.6

1.2

Année 10 à 11

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.6

1.2

Année 11 à 12

Den

sity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.6

1.2

Année 12 à 13

Den

sity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.6

1.2

Année 13 à 14

Den

sity

-0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.6

1.2

Année 14 à 15

Den

sity

-0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.0

Distribution des log-coefficients de passage ré-échantillonnés par bootstrap Interpolation par des distributions normales

1,..., nx x

2

2

1

2

1

( )

( )

n

i n i ii

n

ii

a x x

Wx x

−=

=

− =

−

où les sont des constantes tabulées.ia

0( | ),..., ( | )n n nE C F E C F

1( | )ln( | )n t

tn t

E C FXE C F

+

=

( )1 1( , ) ln( ( | )) ln( ( | )), ln( ( | )) ln( ( | ))s t n s n s n t n tCov X X Cov E C F E C F E C F E C F+ += − −

| | 2t s− ≥ 12

− | | 1t s− =

s t=

+∞

( | ) ( ).n i t i t i t n tE C F payé suspens coûtmoyenθ θ+ + += + + −

1( | )( | )

n t

n t

E C FE C F

+

1( | )( | )

n t

n t

E C FE C F

+

Année 1 à 2

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5

0.0

1.0

2.0

Année 2 à 3

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5

0.0

1.0

2.0

Année 3 à 4

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5

0.0

1.0

Année 4 à 5

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.0

Année 5 à 6

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.0

Année 6 à 7

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.6

1.2

Année 7 à 8

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.6

1.2

Année 8 à 9

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

0.6

1.2

Année 9 à 10

Dens

ity

-0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.0

Année 10 à 11

Dens

ity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.0

Année 11 à 12

Den

sity

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.0

Année 12 à 13

Den

sity

-0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.0

Année 13 à 14

Den

sity

-0.5 0.0 0.5 1.0

0.0

1.0

Année 14 à 15

Den

sity

-0.5 0.0 0.5

0.0

1.0

Distribution des log-coefficients de passage ré-échantillonnés par bootstrap Interpolation par des distributions normales

1 1( | ) ( | ) ( | )( | ) ( | ) ( | ) ( | )n t n t n t

n t n t n t n t

E C F E C F E C FE E E F E EE C F E C F E C F E C F

+ +

= = = =

log ~ ( , )E C FE C F

( )

11 1( | ) |( | ) ( | ) ( | )| 1

( | ) ( | ) ( | ) ( | )n t tn t n t n t

tn t n t n t n t

E E C F FE C F E C F E C FE E E F E EE C F E C F E C F E C F

++ + = = = =

21( | )log ~ ( , )( | )

n tt t

n t

E C F N mE C F

σ+

212t tm σ+ =

tm tσ 21 12t tm σ+ =

tσ 2112t tm σ= −

( | ) ( | ) ( | )| 1( | ) ( | ) ( | ) ( | )n t n t n t

n t n t n t n t

E C F E C F E C FE C F E C F E C F E C F

= = = =

1+ =

1+ =

tm

µ Λ

11

| ( 1): (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:i i n i n i i i i

i

Yµ µ µ

Y

−+ +

= +Λ Λ −

1| (( 1): )*(( 1): ) (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) (( 1): )*(1: ) 'i i n i n i n i i i i n i

−+ + + +Λ = Λ −Λ Λ Λ

| ,1:1

1

1: (( 1): )*(1: ) (1: )*(1: )

1(( 1): )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:

, | ,1:( ) , | ,1:(

1:1

1:1

0( | ) (1 ) . ( | ). exp

0

12

i

ti i i n i i i

ii t n t

i n i i i i

i t t i t i t t i

X

Xµ

E SCR F r E C F

µ

µ

φ

λ λ

−+

−+

−

Λ

+ + Λ Λ = +

− Λ Λ

+ + Λ

'),1:( ) ,

1

t i t i tλ− −

−

| ,1:1

11

0 : ( 1: )*(1: ) (1: )*(1: ) 1:0

',0 1: ,0 (1: )*(1: ) ,0

1:1

1 . ( ). exp 11

12

in

n i i i n i i i ii

i i i i i i

MVM E C µ µr

µ

φ

λ λ λ

−−

+=

Λ = + − Λ Λ − + + + Λ

2( ,..., )nX X 1( ,..., )nX X

1( | )nE C F 2( ,..., )nX X

1( | )nE C F

1t ≥ 0t =

1

0

CC

0 0C =

Λ

2 4 6 8 10 12 14

0e+0

01e

+07

2e+0

73e

+07

4e+0

75e

+07

E(SCR) pour une nouvelle année de survenance sans corrélations


Euro

s

SCR brutSCR net

2 4 6 8 10 12 14

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

Variance des log-coefficients de passage des montants ultimes espérés


12

−

2 4 6 8 10 12 14

0.0e

+00

1.0e

+07

2.0e

+07

E(SCR) pour une nouvelle année de survenance avec corrélations


Euro

sSCR brutSCR net

2 4 6 8 10 12

0.0e

+00

1.0e

+07

2.0e

+07

SCR réserves


Euro

s

SCR reserves brut SCR reserves net

0 5 10 15 20 25 30

0e+0

01e

+07

2e+0

73e

+07

4e+0

7

Comparaison des SCR réserves méthode 3 QIS5

Années

Euro

s

SCR réserves brutSCR réserves net

[ ]1

min min , max( ,0) ,Frequency

ii

liability Loss rmaxi etention AALmum=

−

0C, . t

tt

t retention retentionC

∀ = { }0

110%0

. .1i

t

t i indexi i

indexC Iindex ≥

=

=

iindex

+∞ retention

+∞

[ ]1

min min , max( ,0) ,Frequency

ii

liability Loss rmaxi etention AALmum=

−

1t ≥ t

( ) 1brute nette

brute nettePP PPMVM MVisovaluemin M

τ−

−= +

−

X + X

XF Xf 1( )L g

[ ]0;1 [ ]0;1 (0) 0g = (1) 1g = g

X

0( ) (1 ( ))g XR X g F x dx

+∞= −

g gR

( )Xy F x=

[ ]0 0( ) . (1 ( )) . ( ). '( ).g X XR X x g F x x f x g x dx

+∞+∞= − +

( )gR X (1 ( ))Xx g F x− +

/20, (1 ( )) . (1 ( )) 0

2x

X Xx

xx g F u du g F x∀ ≥ − ≥ − ≥

/2

(1 ( )) 0x

Xx xg F u du

→+∞− →

. (1 ( )) 0X xx g F x

→+∞− → [ ]0. (1 ( )) 0Xx g F x +∞

− =

1C Xf

0

01 1

01 1

01

0

( )= . ( ). '( ).

=- . ( (1 ( )))

=- ( ). ( (1 ))

= (1 ). ( ( ))

= ( ). ( ( ))

g X

X

X

X

X

R X x f x g x dx

xd g F x

F y d g y

F y d g y

VaR y d g y

+∞

+∞

−

−

−

−

−

gR

g

g

0 X Y≤ ≤ , ( ) ( )X Yu F u F u+∀ ∈ ≥ g

, (1 ( )) (1 ( ))X Yu g F u g F u+∀ ∈ − ≤ − ( ) ( )g gR X R Y≤

λ∈

, ( ) ( ) ( )X Xu F u P X u F uλ λ λ+∀ ∈ = + ≤ = − ( )0;1 , ( ) ( )X XVaR VaRλα α λ α+∀ ∈ = +

λ +∈ ( ) .0;1 , ( ) . ( )X XVaR VaRλα α λ α∀ ∈ =

( . )= . ( )g gR X R Xλ λ

o

o g 2C

1

01 1

0 0

( )= ( ). ( ( ))

= ( ). ( ( )) . ( ( ))

= ( ) .( (1) (0)) = ( )

g X

X

g

g

R X VaR y d g y

VaR y d g y d g y

R X g gR X

λλ

λ

λ

λ

++

+

+ −

+

1 1 1

0 0( ) (1 )

=- . ( ) avec ( ) 1

= ( )

X X

X X

VaR u du F u du

v f v dv F v u

E X

−

−∞

+∞

= −

= −

( )

1

01 1

0 0 001 1

0 0

( )= ( ). ( ( ))

= '( ). ( ) ''( ). ( )

= '(1). ( ) ''( ). ( )

= '(1). ( ) ''( ).

g X Y

y y

X Y X Y

X Y X Y

R X Y VaR y d g y

g y VaR u du g y VaR u du dy

g VaR u du g y TVaR y dy

g E X Y g y TVa

+

+ +

+ +

+

−

−

+ −

( )

1

01

01 1

0 0

( )

'(1). ( ) '(1). ( ) ''( ). ( ) ( ) car '' 0

'(1). ( ) '(1). ( ) ''( ). ( ) ''( ). ( )

( ) ( )

X Y

X Y

X Y

g g

R y dy

g E X g E Y g y TVaR y TVaR y dy g

g E X g E Y g y TVaR y dy g y TVaR y dy

R X R Y

+

≤ + − + ≤

≤ + − −

≤ +

0

( ) (1 ( ))g XR X g F x dx+∞

= −

g (1 ( )) (1 ( ))Xx g F x g P X x− = − ≤

(1 (0)) 1Xg F− = lim (1 ( )) 0Xxg F x

→+∞− =

Y (1 ( ))Xx g F x− ( )gR X

Y

g

(0) 0g = (1) 1g = [ ]0;1 , ( )x g x x∀ ∈ ≥

, ( ) ( )X Yx F x F x∀ ∈ ≥ g

x XF

X

Y X Y X

X X Y

× 1X 2X

1 2 1 2( ) ( ) ( )g g gR X X R X R X+ ≤ +

1X 2X 1Y 2Y

1 2( )gR X X+

uf

[ ] 10;1 , , ( ) uuu x f x x −∀ ∈ ∀ ∈ =

F X S u 1(1 )VaR Fα α−= −

1( ) ( ) uuS x S x −= ( )11 ( ) 1 ( ) u

uF x F x −− = − ( )1( ) 1 1 ( ) u

uF x F x −= − −

1

1 1 1 1( ) ( ) 1 (1 ( )) 1 (1 )u uu ux F y F x y F x y x F y− − − −

= ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = − −

( )

11

1

11 1

11 1

(1 )

= 1 1 (1 )

= 1

=

u

uu

u

u

VaR F

F

F

VaR

α

α

α

α

α

−

−

− −

− −

= −

− − −

−

1

0

( ) ( ) uuE X S x dx

∞−=

X .(1 ( )) ( ) 0X Xx xx F x ydP y

+∞

→+∞− ≤ →

[ ]00 0 0( ) ( ) (1 ( )) (1 ( )). ( ).X x xE X xdP x x F x F x dx S x dx

+∞ +∞ +∞+∞= = − − + − =

o

×

o

o

o

o

o

o

t

• • •

Triangle des sinistres payés et des suspens 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1998 0 990496 1680115 2869294 4251034 4272151 7465542 8117300 12296988 16709877 16709880 20343465 20415455 20415453 20415452 1999 18294 18294 2538428 3676804 6502564 6972524 6885223 9812064 9969216 15997996 17016106 18286902 18286902 18305223 2000 134707 4213124 5501737 7978035 7979046 9547719 11501301 12612836 16718365 16730855 16733490 16586845 16782532 2001 862601 1960804 1960804 1970402 2048402 2048502 3020402 6546032 9197528 9197528 9197530 9197529 2002 1729418 5250345 5856846 3502928 10619450 14634754 24530505 24530507 23907919 27888908 27750675 2003 2822418 6235545 7259291 4905373 11662449 14360754 22770412 22770414 25120684 29106550 2004 26898 26898 3670516 3670516 3670516 5071450 5071450 6010466 6007922 2005 5278897 5299181 7799181 11797467 15884382 19946778 24723937 24746995 2006 2190247 3061084 5814614 11821111 11823161 22393299 22393297 2007 1422792 5417400 8480978 8489316 16328965 16334165 2008 15322783 16553148 17041217 17592542 17602539 2009 7259627 8873228 6284075 3273419 2010 6488206 11848472 11848471 2011 7777010 7777010

Triangle des suspens 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1998 0 950644 1638281 2688190 3816442 3831930 6265638 6872679 10854883 15004285 14602248 16533651 15102190 14965424 14887184 1999 18294 18294 2537645 3617757 6436128 6888495 6545516 9338675 9494709 13616943 14529647 14794954 13596907 12781761 2000 133923 4194212 5471755 7846950 7090793 6914943 8369449 8988029 13086000 12327248 12318529 9918048 9916964 2001 861839 1957883 1955201 1243057 1263983 1261691 2227725 5516415 7797742 7797743 7797744 7797744 2002 1724834 5240642 5845734 3481567 10576340 13140510 22756889 21926426 21908987 25146769 24754939 2003 2821880 6224980 7248047 4878579 11611559 13388652 21200740 20400992 22745142 26602161 2004 26898 26898 3670516 3670516 3670516 4870903 4870903 5640777 5597422 2005 5278522 5296504 7715769 10973038 14592262 18460040 21917737 21433131 2006 2186021 3048103 5797764 11591568 11427074 18052981 18028631 2007 1421596 5395505 8449453 8104513 13964970 13959775 2008 15314531 16510846 16988051 17296883 17288528 2009 7256570 8788997 6200203 379024 2010 6475734 11828566 11796764 2011 7767613 7767613

11

tt

t

CXC

++ = 2( ,..., ) ~ ln ( , )nX X N µ Λ

2

1 1

( | ) ( | )( ,..., ) ~ ln ( , )( | ) ( | )

n n n

n n n

E C F E C F N µE C F E C F −

Λ

2

1 1

, ..., n

n

CCC C −

t 1t + ~

2:t nM +

1tF+ tF

t 2:t nM + 2:t nS +

tF 199.5% tL

tF

111; 1 , ln i

ii

Ci n XC

++

∀ ∈ − =

( )2,..., ~ ( , )nX X N µ Λ

( )1 1 2( ,..., ) ,...,n nY Y X X− = µ 1n−

Λ ( 1) ( 1)n n− × −

1

1 11

1, , exp ln exp expn n n

kn j j k j k

k j k j k jk

Cj n C C C X C YC

−

= + = + =−

∀ ∈ = = =

[ ] { }1( | ) (1 ) . 99, 5% ( ( | ) | ) ( | ) | ii t n i i n i tE SCR F r E E C F F E C F F+= + −

1( | )n iE C F+

1

11

.exp( )n

n i kk i

C C Y−

+= +

= 1

1 1 11

( | ) . exp |n

n i i k ik i

E C F C E Y F−

+ + += +

=

:

i

i j

j

µµ

µ

=

(1: )*(1: ) (1: )*( 1: 1)

( 1: 1)*(1: ) ( 1: 1)*( 1: 1)

i i i i n

i n i i n i n

+ −

+ − + − + −

Λ Λ Λ = Λ Λ

( : )*( : )ab cdT T

1 1 1( ,..., ) |i n iY Y F+ − + 1 1 1 | |( ,..., ) | ( ,..., ) ~ ( , )i n i i iY Y Y Y N µ+ − Λ

11

| ( 1):( 1) (( 1):( 1))*(1: ) (1: )*(1: ) 1:i i n i n i i i i

i

Yµ µ µ

Y

−+ − + −

= +Λ Λ −

1| (( 1):( 1))*(( 1):( 1)) (( 1):( 1))*(1: ) (1: )*(1: ) (( 1):( 1))*(1: ) 'i i n i n i n i i i i n i

−+ − + − + − + −Λ =Λ −Λ Λ Λ

1n iα − − 1n i− − 1

1 1 1 1 11

| '( ,..., ) | ( ,..., )n

k i n i i n ik i

Y F Y Y Y Yα−

+ − − + −= +

=

1

1 1 | 1 | 11

| ~ ( ' , ' )n

k i n i i n i i n ik i

Y F N µα α α−

+ − − − − − −= +

Λ

1

1 1 11

1 1 | 1 | 1

( | ) . (exp | )

1 .exp( ' ' )2

n

n i i k ik i

i n i i n i i n i

E C F C E Y F

C µα α α

−

+ + += +

+ − − − − − −

=

= + Λ

[ ] 199,5% ( ( | ) | )n i iE C F F+

i

1

1 1| ( 1):( 1) ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1: ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: )

1

0

00

i i n i n i i i i i n i i ii

i

Y

µ µ µY

Y

− −+ − + − + −

−

= +Λ Λ − +Λ Λ

[ ] [ ]

[ ]

1 1 1 | 1 | 1

1 1 | 1 | 1

199,5% ( ( | ) | ) 99,5% exp( ' ' ) | 2

1 99,5% exp( ) exp( ' ' ) | 2

n i i i n i i n i i n i i

i i n i i n i i n i i

E C F F C µ F

C X µ F

α α α

α α α

+ + − − − − − −

+ − − − − − −

= + Λ = + Λ

11 1 1ln( ) .exp( )i

i i i ii

C X C C XC

++ + += ⇔ = 1i iX Y+ =

[ ] [ ]1 1 | 1 | 1199,5% ( ( | ) | ) 99,5% exp( ' ' ) | 2n i i i n i i n i i n i i iE C F F C µ Y Fα α α+ − − − − − −

= + Λ +

[ ]

[ ]

1

1

11 | 1 1 ( 1):( 1) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1:

1

11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: )

99,5% ( ( | ) | )

1.exp( ' ).exp( ' ' ).2

0

0

99,5% exp( '

n i i

i n i i n i n i i n n i i n i i i ii

n i i n i i i

E C F F

Y

C µ µY

α α α α

α

+

−− − − − − − + − − − + −

−

−− − + −

=

Λ + Λ Λ −

Λ Λ

) | 0 i i

i

Y F

Y

+

2 2 21, (exp( ( , ) )) exp2

t E N µ t µt tσ σ ∀ ∈ = +

1i iY X += iF

iF

iY

|i iY F 1 1 | 1;1:1 | 1;(1:1)*(1:1)| ( , ..., ) ~ ( , )i i i iY Y Y N µ− − −Λ

1 11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : )

0

' ( ' )0n i i n i i i n i i n i i i i i i

i

Y

Y

α α− −− − + − − − + −

Λ Λ = Λ Λ

1 11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;1:1 | 1;(1:1)*(1:1)

0

' | ~ (( ' ) 1). ( , )0n i i n i i i i i n i i n i i i i i i i

i

Y F N µ

Y

α α− −− − + − − − + − − −

Λ Λ + Λ Λ + Λ

11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : )( ' ) 1n i i n i i i i iα −

− − + −Λ Λ +

[ ] 11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: )

1 1/21 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;1:1 | 1;(1:1)*(1:1)

0

99,5% ( ' | )0

(( ' ) 1)( )

n i i n i i i i i

i

n i i n i i i i i i i

Y F

Y

µ

α

α φ

−− − + −

−− − + − − −

Λ Λ +

= Λ Λ + +Λ

φ (0,1)N

1F

[ ] [ ]( , ) , . ., 99,5% ( ) . 99,5% ( )a b X v a aX b a X b+∀ ∈ × ∀ + = +

W ] [0;1τ ∈

[ ]

( )

11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: )

1 1/21 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;1:1 | 1;(1:1)*(1:1)

0

99,5% (exp( ' ) | )0

exp ( ' ) 1).( )

n i i n i i i i i

i

n i i n i i i i i i i

Y F

Y

µ

α

α φ

−− − + −

−− − + − − −

Λ Λ +

= Λ Λ + +Λ

[ ]

1

1

11 | 1 1 ( 1):( 1) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1:

1

11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*(

99,5% ( ( | ) | )

1exp ' exp ' ' ( )2

0

exp ( ' )

n i i

i n i i n i n i i n n i i n i i i ii

n i i n i i i

E C F F

Y

C µ µY

α α α α

α

+

−− − − − − − + − − − + −

−

−− − + −

= Λ + Λ Λ −

Λ Λ

( )1/2: ) | 1;1:1 | 1;(1:1)*(1:1)1 ( )i i i iµ φ− − + +Λ

[ ] 1( 99,5% ( ( | ) | ) | )n i i tE E C F F F+

tF 1 1n i t− ≥ ≥ ≥

1C 1 1,..., tY Y−

tF

1

1exp( ) exp( )

i i

i t k t kk t k t

C C X C Y−

= + =

= =

[ ] { }

{ }{ }{ }

*

*

*

( ( )) inf / (exp( ) )

inf / (exp( ) )

inf / ( ln( ))

inf exp(ln( )) / and ( ln( ))

exp inf ln( )

exp W x P W x

x P W x

x P W x

x x P W x

x

τ τ

τ

τ

τ

+

+

+

= ∈ ≤ ≥

= ∈ ≤ ≥

= ∈ ≤ ≥

= ∈ ≤ ≥

=

{ }( ){ }( )

[ ]( )

*/ and ( ln( ))

exp inf / ( )

exp ( )

x P W x

y P W y

W

τ

τ

τ

+∈ ≤ ≥

= ∈ ≤ ≥

=

1t i+ > i t=

[ ]

( )

1

11 | 1 1 ( 1):( 1) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1:

1 1/21 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;(1:1)*(1:1)

( 99,5% ( ( | ) | ) | )

1exp ' ' ' .2

exp (( ' ) 1) .

e

n i i t

t n i i n i n i i n n i i n i i i i

n i i n i i i i i i

E E C F F F

C µ µ

E

α α α α

α φ

+

−− − − − − − + − − − + −

−− − + − −

= Λ + − Λ Λ

Λ Λ + Λ

1

1 11 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;1:1

11

xp( ' (( ' ) 1) ) |

0

i

n i i n i i i k n i i n i i i i i i tk ti

Y

X µ FY

α α− −− − + − − − + − −

= +−

Λ Λ + + Λ Λ +

[ ]

( )

1

11 | 1 1 ( 1):( 1) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1:

1 1/21 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;(1:1)*(1:1)

( 99,5% ( ( | ) | ) | )

1exp ' ' ' .2

exp (( ' ) 1) .

e

n i i t

t n i i n i n i i n n i i n i i i i

n i i n i i i i i i

E E C F F F

C µ µ

E

α α α α

α φ

+

−− − − − − − + − − − + −

−− − + − −

= Λ + − Λ Λ

Λ Λ + Λ

1

11 1

1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) 1 ( 1: 1)*(1: ) (1: )*(1: ) (1:1)*( : ) | 1;1:1 1 11

xp( ' (( ' ) 1) ) | ,...,

0

i

n i i n i i i k n i i n i i i i i i tk ti

Y

Y µ Y YY

α α−

− −− − + − − − + − − −

=−

Λ Λ + + Λ Λ +

1 1,..., tY Y− 1,...,t iY Y− 1,...,t iY Y−

1 1,..., tY Y− | 1tµ − | 1t−Λ

i t= tF

[ ] ( )[ ] ( ) [ ]

1 1 1

1

1 1 1

99,5% ( ( | ) | ) |

99,5% ( | ) |

( 99,5% (exp( ) | ) | )

n n n t

n n t

n n n t

E E C F F F

E C F F

E C Y F F

− + −

−

− − −

=

=

1 1 2 | 2 | 2| ( ,..., ) ~ ( , )n n n nY Y Y N µ− − − −Λ

[ ] 1 1 1 1 | 2,1:1 | 2,(1:1)*(1:1)( 99,5% ( ( | ) | ) | ) ( exp( ) | )n n n t n n n tE E C F F F E C µ Fφ− + − − − −= +Λ

[ ] 2

1 1 1 | 2,(1:1)*(1:1) | 2,1:1( 99,5% ( ( | ) | ) | ) exp( ) (exp | )n

n n n t t n k n tk t

E E C F F F C E Y µ Fφ−

− + − − −=

= Λ +

[ ] 1( | ) ( 99,5% ( ( | ) | ) | ) ( | )i t n i i t n tE SCR F E E C F F F E C F+= −

1

1

( | ).(1 )

ni t

t i ti t

E SCR FMVM CoCr

−

+ −=

=+ ( | )n tE C F

Λ µ

1;i n∈ i

iY ( ),1 ,1, ,...,i i i kX X X=

,i ix y

( , , , { , } )uF P uΩ Θ ∈Θ

i|i iY X x= Ω F

Ω Θ{ , }uP u∈Θ Ω

u∈Θ i|i iY X x= Pu 1;i n∈

λ { , }uP u∈Θ

|i i iY X x= λ

: ( )( , ( , )) exp ( , )f y by u c yθ θ

θ φ φφ

+×Θ→

−= +

b 2C 'b iu |i i iY X x=

( , )iθ φ φ

|i i iY X x=

2

( | ) '( )( | ) ''( ).

i i i i

i i i i

E Y X x bV Y X x b

θ

θ φ

= =

= =

φ

|i i iY X x= iθ g

( )( )1; , | 'i i i ii n g E Y X x x β∀ ∈ = =

( )1; , '( ) 'i ii n g b xθ β∀ ∈ =

g g id= lng =

1 1( ,..., ) ( ,..., )n nX X x x= ( , )β φ

|i i iY X x= ( , )i iu θ φ=

( | )i i iE Y X x= iu ( ( | ))i i ig E Y X x=

iu 'b iθ 'ix β

iθ

( , )i iY X

1( ,..., )nY Y 1 1( ,..., ) ( ,..., )n nX X x x=

λλ ⊗⊗... n

1 1 11

( )( , , ) , ( , , ; , , ) exp ( , )n

n i i in n n

i

y by y L y y c yθ θθ θ φ

φ=

− ∀ … ∈ … … = +

∏

1 1 11

( )( , , ) , ( , , ; , , ) ( , )n

n i i in n n

i

y by y l y y c yθ θθ θ φ

φ=

− ∀ … ∈ … … = +

1 1 1 1

1 11

. ' ( ( ' )) ( ' ( ( ' )))( , , ) , ( , , ; ) ( , )n

n i i in n

i

y b g x b b g xy y l y y c yβ ββ φ

φ

− − − −

=

−∀ … ∈ … = +

β

|i i iY X x=

1( ' ), 1,...,ig x i nβ− = lng =

1; , | ~ (exp( ' ))i i i ii n Y X x Poisson x β∀ ∈ =

' .

'1

1( ,..., ; ) exp( )

!

i ii

x ynx

ni i

eL y y ey

βββ

=

= −∏

'1

1 1 1( ,..., ; ) ' . ln( !)i

n n nx

n i i ii i i

l y y e x y yββ β= = =

= − + −

'1

10

'1 ,

1

( ,..., ; ) ( ) 0

1; , ( ,..., ; ) ( ) 0

i

i

nx

n ii

nx

n i i jik

l y y y e

lj k y y y e x

β

β

ββ

ββ

=

=

∂= − =∂

∂∀ ∈ = − =

∂

1k+

'

1 1

i

n nx

ii iy e β

= =

=

iY iY ( | )i i iE Y X x= 'ixe β

'ixiy e β−

,i jY

,i jX

( , )i j X Y

( )| ~ XY X Poisson eβ

X

X

Y erese

β

β

−= β β

X

X

Y erese

β

β

−=

( | ) 0( | ) 1

E res XV res X

=

=

( ),

,,

0i jXi j

i jY eβ− =

,

,0i j

i jres =

1e+07 2e+07 3e+07 4e+07 5e+07

1e+0

72e

+07

3e+0

74e

+07

5e+0

7Nuage des couples (donnée,donnée estimée)

Données

Don

nées

est

imée

s

( | ) 0E res X = µ ( | ) 1V res X = Λ

( ),

, ,,

0i j Xi j i j

i jY e Xβ

− =

2R

+∞

12

−

uP

1

0

( ) ( )u

uPE X S x dx

∞−=

1

00

( ) ( ) (1 ) ( ) ( )u

u uPE X S x x x u S x dS x

∞∞− − = − −

0

( ) (1 ). . ( ) ( ) u

uPE X u x S x dF x

∞−= −

( ) 1 - ( )S x F x=

( )( ) (1 ). . ( ) u

uP PE X u E X S X −= −

1,..., NX X N X

(1) ( ),..., NX X

1

( )1

1( ) .uN

Pu ii

u N iE X XN N

−−

=

− − =

tSCR 1n t≥ ≥

0SCR 0SCR

0( | )tE SCR F

0 5 10 15 20 25 30

0e+0

01e

+07

2e+0

73e

+07

4e+0

7

Comparaison des SCR réserves méthode 3 QIS5, traité 2 XS 3

Années

Euro

s

SCR réserves brut choquéSCR réserves brutSCR réserves net choquéSCR réserves net

0( | )tE SCR F

0 5 10 15 20 25 30

0e+0

01e

+07

2e+0

73e

+07

4e+0

7Comparaison des SCR réserves méthode 3 QIS5, traité 5 XS 5

Années

Euro

s

SCR réserves brut choquéSCR réserves brutSCR réserves net choquéSCR réserves net

2 4 6 8 10 12

0.0e

+00

1.0e

+07

2.0e

+07

3.0e

+07

SCR réserves méthode 2 variante 2, traité 2 XS 3


Euro

s

SCR réserves net choquéSCR réserves net SCR réserves brut choquéSCR réserves brut

0( | )tE SCR F

2 4 6 8 10 12

0.0e

+00

1.0e

+07

2.0e

+07



Euro

s


2 4 6 8 10 12 14

0.0e

+00

1.0e

+07

2.0e

+07

3.0e

+07



Euro

s


2 4 6 8 10 12 14

0.0e

+00

1.0e

+07

2.0e

+07

3.0e

+07



Euro

s


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· exercice t t réserve t t Résultat SCR F r +