НОВОКИЇВСЬИЙ НАВЧАЛЬНО-ВИХОВНИЙ КОМПЛЕКС

«ЗАГАЛЬНОСВІТНІЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД І-ІІІ СТУПЕНІВ -

ДОШКІЛЬНИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД»

КАЛАНЧАЦЬКОЇ СЕЛИЩНОЇ РАДИ ХЕРСОНСЬКОЇ ОБЛАСТІ

Урок геометрії

у 9 класі

Вчитель: Сисоєнко В.М.

Тема: Повторення. Трикутник його елементи, особливі точки.

Властивості медіани трикутника.

Мета: повторити теорему про властивості медіани трикутника,

познайомитися з його визначними точками. Формувати навички розв’язання

задач різними способами з використанням теореми Піфагора, властивості

медіани трикутника, обчислення периметра. Розвивати логічне мислення,

просторову уяву, мовлення. Вчити навичкам самооцінки, робота з

додатковою літературою. Виховувати акуратність ведення записів.

Обладнання: малюнки, епіграф уроку.

Тип уроку: урок-беніфіс однієї теореми

Учні повинні:

Знати

1. Визначні точки трикутника.

2. Теорему про медіану трикутника.

3. Формули вираження медіани через сторони трикутника.

4. Властивості медіани прямокутного трикутника, опущену на

гіпотенузу.

Уміти:

1. Використовувати теорему про медіани трикутників для

розв’язування задач.

2. Застосовувати різні способи знаходження невідомого елемента

трикутника.

Повторити:

1. Теорему Піфагора.

2. Дії з векторами.

3. Формули площ трикутника.

4. Властивості площ трикутника.

5. Гомотетію та її властивості.

6. Теореми синусів.

Узагальнити практичні навички

1. Знаходження периметра трикутника.

2. Застосування теореми Піфагора.

3. Властивості медіани трикутника.

Підготовча робота до уроку.

І. Визначення трьох груп учнів – істориків, науковців, практиків. Дача їм

випереджаючих завдань.

Історики: підібрати історичний матеріал про визначення «особливих

точок трикутника».

Науковці: довести теорему про точки перетину медіан трикутника

декількома способами.

Практики: дібрати задачі, які розв’язуються з використанням теореми

про медіани трикутника.

ІІ. Оформлення дошки.

2.1. Епіграф уроку.

Я чую – і я забуваю

Я слухаю – і я запам’ятовую

Я дію – і я розумію.

Китайська мудрість.

2.2. План уроку

1. Мозковий штурм.

2. Історична довідка.

3. Бенефіс теореми.

4. Сторінка абітурієнта.

5. Практикум розв’язування задач (групова робота).

6. Самостійна робота.

7. Для тих, хто хоче більше знати.

2.3. Малюнки до кожного етапу уроку.

2.4. Учні повинні:

Знати.

Уміти.

Повторити.

Узагальнити практичні навички.

Хід уроку

І. Вступно-мотиваційний етап.

Учитель. Ми продовжуємо повторення курсу планіметрії. Основною

фігурою є трикутник , а його елементи, їх властивості – основою розв’язання

більшості задач геометрії.

На уроці ми повторимо елементи трикутника, вивчимо теорему про

медіани трикутника, побачимо нестандартні прийоми її доведення. Отже, в

центрі уваги уроку – теорема про медіани трикутника.

Будьте готові в кінці уроку відповісти на питання: що дізналися, чому

навчилися, що повторили, що ще не знаємо.

1.1. План уроку наступний.

1. Мозковий штурм.

2. Історична довідка.

3. Бенефіс теореми про медіани трикутника.

4. Сторінка абітурієнта.

5. Практикум розв’язування задач .

6. Самостійна робота.

7. Самооцінка діяльності кожного учня.

Оскільки в основі уроку є способи доведення теореми, а під час

практикуму вам необхідно буде застосувати свої знання і уміння для

винаходу різних способів розв’язання однієї задачі, повторимо необхідні

математичні твердження, які є опорою при реалізації плану уроку.

1.2. Мозковий штурм.

Дати відповіді на питання.

1. Означення медіани трикутника.

2. Формулювання теореми Фалеса.

3. Властивості середньої лінії трикутника.

4. Які фігури називаються рівновеликі?

5. Сформулювати теорему синусів.

6. Дайте поняття геометричних фігур.

Розв’язання усних вправ практичного змісту, що є основою для

доведення теореми і розв’язання задач.

1. Порівняти площі трикутників, у яких висоти рівні.

(площі трикутників пропорційні довжині основ трикутника)

2. В3 ● Визначити співвідношення між відрізками

В2 АВ1, В1В2, В2 В3, якщо А1В1|| А2 В2 || А3В3

В1 ●

А ● ● ●

А1 А2 А2

3. Знайти вектор, який дорівнює:

АВ + ВС; АВ – АС; АС – АВ ; АВ + ВС; АВ – АС; АС – АВ

В

А С

ІІ Операційно-пізнавальний етап.

Учитель. Ви неодноразово чули термін «особливі точки трикутника».

Група «істориків» досліджувала це питання і дійшли наступного висновку.

2.1. Історики.

В четвертій книзі «Початків» Евклід розв’язує задачу: «Вписати коло в

даний трикутник» Із розв’язку випливає, що три бісектриси внутрішніх кутів

трикутника перетинаються в одній точці – центр вписаного кола. Із розв’язку

іншої задачі Евкліда випливає, що перпендикуляри, проведені до середини

сторін трикутника, також перетинаються в одній точці – центрі описаного

кола. В «Початках» не сказано про те, що і три висоти трикутника

перетинаються в одній точці, яку називають ортоцентром (грецьке слово

«ортос» означає прямий, правильний). Проте це твердження було відомо

Архімеду. Особливою точкою трикутника є точка перетину медіан. Архімед

довів,що вона являється центром ваги (барицентром) трикутника.

На вищезазначені чотири точки було звернуто особливу увагу,

починаючи з ХУІІІ ст..; вони були названі «особливими» (на російській мові

«замечательными») точками трикутника. Дослідження властивостей

трикутника , пов’язаних з цими та іншими точками, слугувало початком для

створення нової вітки елементарної математики – «геометрії трикутника»,

або «нової геометрії трикутника», одним із засновником якої був Леонард

Ейлер.

У 1765 році Ейлер довів, що в будь-якому трикутнику ортоцентр,

барицентр і центр описаного кола лежать в одній прямій, яку пізніше назвали

«прямою Ейлера».

У 20-х роках ХІХ ст французькі математики Ж.Понселе, Ш.Бріашон

довели незалежно один від одного наступну теорему: основи медіани, основи

висот і середини відрізків висот, що з’єднують ортоцентр з вершинами

трикутників, лежать на одному колі.

Це коло називають «колом дев’яти точок», або «Колом Фейєрбаха»,

або «колом Ейлера». К Фейрбах встановив, що центр цього кола лежить на

«прямій Ейлера».

А

N Р M

D F

L T

B E K C

Учитель. Та ще Евклід довів досить суттєву теорему про одну із багатьої

«особливих» точок трикутника, точку перетину медіан. Сформулюйте цю

теорему.

Учень. Точка перетину медіан трикутника поділяє кожну медіану у

відношенні 2:1, рахуючи від вершини.

Учитель. Групі «науковців» було поставлено завдання: довести дану теорему

відомими їм способами.

2.2. Науковці.

Учень. В усіх доведеннях ми встановлюємо тільки, що медіана проходить

через точку М, яка ділить медіану АА1 у відношенні 2:1, якщо у доведеннях

замінити відрізок ВВ1 на відрізок СС1, то одержимо, що і СС1 проходить через

точку М. Цим самим буде доведено, що всі три медіани перетинаються в

деякій точці М, причому АМ : МА1 = 2:1

Оскільки всі медіани рівноправні, можна замінити АА1 на ВВ1 або

СС1; звідки випливає рівність АМ : МА1 = ВМ : МВ1 = СМ : МС1 = 2:1.

Учні записують всі способи доведення в зошити.

O

Перше доведення.

А

L ≡

≡ К

В1

≡ М N

≡ C B

𝐴1

Нехай К – середина відрізка АМ, В1 – точка перетину прямої ВМ із

стороною АС. Доведемо, що АВ1 = В1С, тобто ВВ1 – медіана, що проходить

через точку М, яка ділить медіану АА1 у відношенні АМ : МА1 = 2 : 1.

Проведемо через точки К і А1 паралельно прямій ВВ1 відрізки KL і

А1N. Оскільки АК = КМ = МА1 і СА1 = А1В, то за теоремою Фалеса одержимо

AL = 𝐿В1 = В1𝑁 = NC

Отже, АВ1 = В1С. Тобто, ВВ1- медіана, проведена із вершини в ∆АВС

до сторони АС.

Друге доведення

А

В1=Вʹ С1

● М

С В

А1

Розглянемо гомотетію з центром М і коефіцієнтом - -1

2. Точка А

переходить при такій гомотетії в т. А1. Нехай В переходить в Вʹ. Тоді А1Вʹ = - 1

2АВ. З іншого боку, середня лінія А1В1 одержується із сторони ВА при

гомотетії з центром С і коефіцієнтом 1

2 ; таким чином А1В1 =

1

2ВА = -

1

2АВ.

Отже А1Вʹ = А1В1. Значить Вʹ = В1. Тому трикутники АВС і А1В1С1

гомотетичні, причому центр гомотетії лежить у точці М. За означенням

гомотетії, точки В М і Вʹ = В1 лежать на одній прямій.

Третє доведення

А

В1

М ●С1

С

А1 В

Розглянемо трикутники МАС і МА1С. Їх висоти проведені із вершини

С, співпадають, а довжини сторін АМ і МА1, протилежні вершині С,

відносяться як 2:1, тому 𝑆∆𝐴𝑀𝐶 = 2 𝑆∆𝐴1𝑀𝐶., де 𝑆 – площа трикутника.

Аналогічно,

𝑆∆𝐴𝑀В = 2 𝑆∆𝐴1𝑀В.

Але 𝑆∆𝐴1𝑀𝐶 = 𝑆∆𝐴1𝑀В. Тому трикутники МАВ, МВС і МСА

рівновеликі.

Нехай В1 – точка перетину прямих ВМ і АС. Доведемо, що АВ1 = В1С .

З одного боку АВ1

В1С =

𝑆∆АВ1𝑀

𝑆∆СВ1𝑀

З іншого боку АВ1

В1С =

𝑆∆АВ1𝑀

𝑆∆СВ1𝑀 . Тому

АВ1

В1С =

𝑆∆АВ1В− 𝑆∆АВ1𝑀

𝑆∆СВ1В− 𝑆∆СВ1𝑀 =

𝑆∆АВ𝑀

𝑆∆СВ𝑀 =1

Отже, АВ1 = В1С

Четверте доведення

А

В1

С1

М

С

В

А1 Користуючись малюнком, маємо

ВМ = ВС + СА + АМ = ВС + СА + 2

3 АА1 = ВС + СА +

2

3 (АС + СА1) = ВС +

СА + 2

3 (АС +

1

2 СВ) = ВС + СА +

2

3 АС +

1

3 СВ = ВС -

1

3 ВС + СА -

2

3 СА =

2

3 ВС +

1

3 СА =

2

3 (ВС +

1

2 СА) =

2

3 ( ВС + СВ1) =

2

3ВВ1.

Отже, точка М лежить на медіані ВВ1

П’яте доведення.

А

В1

С1

М

С

А1 В

Розглянемо точку В1 перетину прямих ВМ І АС. Використовуючи

теорему синусів спочатку для трикутників АМВ і А1ВМ і, враховуючи, що

𝑠𝑖𝑛∠ АВ1𝐵 = 𝑠𝑖𝑛∠ 𝐶В1𝐵, 𝑠𝑖𝑛∠ АМВ = 𝑠𝑖𝑛∠ А1М𝐵 , ВС = 2А1В і МА = 2 А1М1,

одержимо АВ1

ВС1 =

АВ𝑠𝑖𝑛∠ АВМ

𝑠𝑖𝑛∠ АВ1𝐵 :

ВС𝑠𝑖𝑛∠ А1ВМ

𝑠𝑖𝑛∠ 𝐶В1𝐵 =

МА𝑠𝑖𝑛∠ АМВ

2МА1𝑠𝑖𝑛∠ А1М𝐵 =1.

Отже, АВ1 = ВС1

Учитель. Отже, якщо у 7 класі ми доводили у задачі дану теорему, шукаючи

співвідношення між відрізками медіани, на які вона ділиться точкою

перетину, науковці – дослідники нам продемонстрували, що є інші підходи

до доведення теореми про медіани трикутника, а саме, допускається, що

точка М ділить медіану А1А1 у відношенні АМ : МА1 = 2:1 і доводиться,

що відрізок ВМ буде медіаною, проведеною до сторони АС.

2.3. Сторінка абітурієнта.

Варто знати, що:

1. Медіани трикутника, як правило у довідковій літературі, проведені

до сторін трикутника а, в, с позначаються 𝑚𝑎 , 𝑚𝑏 , 𝑚𝑐.

2. Довжина медіани обчислюється за формулами:

𝑚𝑎 = √2(𝑏2 + 𝑐2)− 𝑎2

2 ;

𝑚𝑏 = √2(𝑎2 + 𝑐2)− 𝑏2

2 ;

𝑚𝑐 = √2(𝑎2 + 𝑏2)− 𝑐2

2 .

3. Сума квадратів медіан дорівнює трьом чвертям суми квадратів

сторін трикутника

𝑚𝑎2 + 𝑚𝑏

2 + 𝑚𝑐2 =

3

4 (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2)

4. У прямокутному трикутнику медіана, опущена на гіпотенузу,

дорівнює половині гіпотенузи.

Учитель. Показовою є наступна задача, де використовується властивість

медіани трикутника, яка розвіються векторним способом.

Задача. Якщо М - точка перетину медіан трикутника АВС, а О – довільна

точка простору, то між векторами ОМ, ОА, ОВ і ОС існує така залежність:

S

ОМ = 1

3 ( ОА + ОВ + ОС)

Доведення. Виходячи з того, що

|АМ| : |МА1| = 2 : 1 на основі

B N C першої тотожності можна записати:

ОМ = 1

3 ОА +

2

3 ОА1 (1)

Застосувавши векторну формулу

A M D середини відрізка, дістанемо

ОА1= 1

2 (ОВ + ОС) (2)

Підставивши значення ОА1 з рівності (2) у рівність (1), матимемо:

ОМ = 1

3 ОА +

2

3 ●

1

2 (ОВ + ОС) =

1

3 (ОА + ОВ + ОС)

Правильним є і обернене твердження: якщо ОМ = 1

3 (ОА + ОВ + ОС)

називається векторною формулою точки перетину медіан трикутника.

ІІІ. Контрольно-оцінювальний етап.

Учитель. Група практиків підібрала ряд задач, пов’язаних з «особливими»

точками трикутника і прийомами, які були використані при доведені теореми

про медіани трикутника..

Клас розбивається на три групи (краще по рядах), до кожної з яких

входить по 2 учні – науковці, по 2 учні – практики, які виступають у ролі

консультантів.

3.1. Практики.

Пропонуємо для розв’язку наступну групу задач, причому першу задачу

треба розв’язати якомога більше способами.

1 група. У рівносторонньому трикутнику АВС проведено медіани А1А1

і ВВ1, що перетинаються у точці М, знайти периметр трикутника АВМ,

якщо сторона трикутника 6.

2 група. Довжина вписаного кола у рівносторонній трикутник

становить 16π. Обчислити периметр трикутника.

3 група. Діаметр вписаного у рівносторонній трикутник кола дорівнює

8. Обчислити периметр трикутника.

Задача 2 (для всіх груп). Оцінюється правильність, швидкість,

оригінальність розв’язку.

Медіана, що проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника

дорівнює а і ділить прямий кут у відношенні 1:2 . Знайти сторони

трикутника і величини його гострих кутів.

На роботу відводиться 15-20 хвилин. Лаборанти-консультанти

забезпечують пояснення і розв’язання перших завдань усіма учнями шляхом

спільної роботи всіх членів кожної групи, взаємно консультації і

взаємоперевірки.

3.2. Презентація розв’язку задачі 2.

А

Дано: ∆АВС, ∠С = 90° , ∠АСD:

∠ВСD = 1:2, АD = ВD, СD = а D

Знайти: ∠А, ∠В, Р∆АВС

С В

Розв’язання

У ∆АВС ∠С = 90°, 90°: ∠ВСD = 1:2

Нехай коефіцієнт пропорційності х, тоді ∠АСD = х°, ∠ВСD = 2х°,

∠С = ∠АСD + ∠ВСD; х + 2х = 90, х = 30

Тому ∠АСD = 30°, ∠ВСD = 60°.

Трикутники АСD і ВСD рівнобедрені, оскільки СD = АD = ВD (за

властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи). Тому ∠АСD = ∠САD = 30°,

∠DВС =∠DСВ = 60°; АD = DВ = а, АВ = 2а. Трикутник СВD рівносторонній, оскільки всі кути по 60°, тому ВС = а

Із ∆АВС (∠АСВ = 90°) АС = √АВ2 − ВС2, АС = √4а2 − а2 = а√3 .

Оцінюються всі роботи учнів, шляхом обходу рядів і перевірки

виконаних завдань. За розв’язання задачі 1 одним способом – 3 бали, двома

способами – 6 балів, 3-4 способи – 9 балів. За розв’язання задачі 2 – ще 3

бали.

3.3. Самостійна робота.

А 1. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 4 см.

Обчислити довжину медіани, проведеної до більшого катета і

периметри утворених трикутників.

2. Катет рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює 8 см.

Обчислити довжину медіани, проведеної до катета і периметр

трикутників.

Б 1. Катет прямокутного трикутника дорівнює а, протилежний гострий

кут α. Знайти довжину медіани, проведеної до гіпотенузи.

2. Висота і медіана трикутника, що проведені до сторони 12 см,

відповідно дорівнюють 4 см і 5 см. Знайти довжину більшої з двох

інших сторін.

В 1. Медіана, проведена до основи рівнобедреного трикутника, дорівнює

50. Довжина кола, вписаного у рівнобедрений трикутник, дорівнює

32π. Знайти периметр трикутника.

2. Медіана і висота, що проведені з вершини прямого кута трикутника,

відповідно дорівнюють 25 см і 24 см. Обчислити периметр

трикутника.

Учні вибирають самостійно задачі.

Оцінюється: по одній задачі з А і Б – 9 балів.

по одній задачі з А і В – 12 балів.

дві задачі з А - 6 балів.

Учні здають зошити із самостійною роботою вчителю.

Учитель. Які питання виникли при виконанні самостійної роботи?

Учні задають питання. Відповіді дають учні, які можуть відповісти.

Якщо учні не знають відповіді, вчитель показує потрібні прийоми і

шляхи розв’язання задач, оскільки у домашній роботі вправи аналогічні

завданням самостійної роботи.

ІУ. Підсумки уроку.

Учитель. Ми повторили властивість медіани трикутника, навчалися

використовувати теорему про точку перетину медіан трикутника для

розв’язування задач, шукати різні способи розв’язання однієї задачі, добрати

раціональний спосіб. Познайомилися з «особливими» точками трикутника –

ортоцентр, точка ваги трикутника.

4.1. Дайте відповіді на питання

1. Я дізнався на уроці…

2. Я повторив…

3. Я навчився…

4. Мені ще потрібно дізнатися…

(за результатами постійної роботи).

У. Домашнє завдання.

1. Повторити тему «Чотирикутник軧6.

2. Творче завдання: встановити залежність між елементами

паралелограма.

3. Розв’язати вправи

Книга «Підсумкова перевірка знань і умінь учнів». Дніпропетровськ, 1997.

А 774 б)

Б 969 а)

В 1211 а)

Задачі аналогічні вправам самостійної роботи.

VІ. Для тих хто хоче більше знати.

1. Медіана прямокутного трикутника, що проведена до

гіпотенузи, дорівнює 5 см, а радіус вписаного в нього кола дорівнює 2 см.

Знайти периметр трикутника.

2. а, в, с – довжини сторін трикутника АВС. Визначити довжину

медіани трикутника, проведеної до сторони а.

3. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 100 см.

Відстань між основами медіани і висоти, проведених з вершини прямого

кута, дорівнює 14 см. Знайти периметр прямокутного трикутника.