ԹԻՎ 5 (108), 2016թ.

«МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» журнал на армянском языке «MATHEMATICS IN SCHOOLS» Journal in Armenian

Տ Ե Ղ Ե Կ Ա Տ Վ Ա Կ Ա Ն ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆ. 4-ՐԴ ԳԻՏԱԺՈՂՈՎ ............... 3

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ Համլետ Միքայելյան ԻՆԴՈՒԿՑԻԱՅԻ ԵՎ ԴԵԴՈՒԿՑԻԱՅԻ ԳԵՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ԳՐԱՎՉՈՒԹՅՈՒՆԸ .......................................... 5 Ո Ւ Ս Ո Ւ Մ Ն Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Արաքսյա Մկրտչյան ԲԱԶՄՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԻՋՈՑՈՎ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԵՎ ԴԱՏՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԱՐՏԱՀԱՅՏՄԱՆ ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ ՆՇԱՆԱԿՈՒԹՅՈՒՆԸ ................... 19

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Նունե Հակոբյան, Արինա Մելքումյան ՄԵԿ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՈՎ ԲԱԶՄԱՆԴԱՄՆԵՐԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ ՈՐՈՇ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ ՀՆԱՐՆԵՐ ........................ 27 Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր Գայանե Սիմոնյան ՈՐՈՇ ՆԿԱՏԱՌՈՒՄՆԵՐ ԷԼԵԿՏՐՈՆԱՅԻՆ

ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՆՅՈՒԹԵՐԻ ՍՏԵՂԾՄԱՆ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ............... 35

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը Արփենիկ Սիմոնյան ԻՆՉՊԵՍ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ ԱՌԱՐԿԱՆ ԴԱՐՁՆԵԼ ԱՎԵԼԻ ՀԵՏԱՔՐՔԻՐ ԵՎ ՄԱՏՉԵԼԻ ........................................... 45 Ջուլետա Վարդանյան ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ ԵՎ ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄԸ ՈՐՊԵՍ ԱՇԱԿԵՐՏՆԵՐՒ ՃԱՆԱՉՈՂԱԿԱՆ ԵՎ ՃԱՆԱՉՈՂԱԿԱՆ ԵՎ ՈՐՈՆՈՂԱԿԱՆ ԿԱՐՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՁԵՎԱՎՈՐՄԱՆ ՄԻՋՈՑ ......................................................... 53

ÐÐ

ÏñÃ

áõÃ

Û³Ý

¨ ·

Çïáõ

ÃÛ³

Ý Ý³

˳

ñ³ñá

õÃÛá

õÝ

Î

ñÃáõ

ÃÛ³

Ý ³

½·

³ÛÇ

Ý ÇÝ

ëïÇï

áõï

¶Çï

³Ù»

Ãá¹

³Ï³

Ý ³

Ùë³

·Çñ

` ¸åñáóáõÙ

Ø ³Ã»Ù³ïÇϳÝ

Ê Ù μ ³ · ñ ³ Ï ³ Ý Ë á ñ Ñ á õ ñ ¹

гÙÉ»ï ØÇù³Û»ÉÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·Çñ

ê³ñÇμ»Ï гÏáμÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·ñÇ ï»Õ³Ï³É« å³ï³ë˳ݳïáõ ù³ñïáõÕ³ñ

Ê á ñ Ñ ñ ¹ Ç ³ Ý ¹ ³ Ù Ý » ñ

²μñ³Ñ³ÙÛ³Ý ²ñ³Ù ²Ûí³½Û³Ý ¿¹í³ñ¹ ²é³ù»ÉÛ³Ý ÎáñÛáõÝ ´³Õ¹³ë³ñÛ³Ý ¶¨áñ· ¼³ù³ñÛ³Ý ì³ÝÇÏ Ð³ñáõÃÛáõÝÛ³Ý Ð³ÛÏáõÝÇ ÔáõϳëÛ³Ý Üáñ³Ûñ ÔáõßãÛ³Ý ²É»ùë³Ý¹ñ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý úÝÇÏ ØÏñïãÛ³Ý Ø³ÝáõÏ ØáíëÇëÛ³Ý Úáõñ³ ܳí³ë³ñ¹Û³Ý гÛϳ½ èá¹ÇáÝáí ØÇ˳ÇÉ ê³ý³ñÛ³Ý ¶ñÇ·áñ 껹ñ³ÏÛ³Ý Ü³ÇñÇ

Ü Ï ³ ñ Ç ã ì© Ð© ØÇù³Û»ÉÛ³Ý

Ð ³ Ù ³ Ï ³ ñ · ã ³ Û Ç Ý Ó ¨ ³ í á ñ á õ Ù Á ÜáõÝ» ²ÙÇñÛ³ÝÇ îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67« ë»ÝÛ³Ï 401375005 ºñ¨³Ý 5 Tigran Metsi 67« Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

§ Ø ³ Ã » Ù ³ ï Ç Ï ³ Ý ¹ å ñ á ó á õ Ù ¦

· Ç ï ³ Ù » Ã á ¹ ³ Ï ³ Ý ³ Ù ë ³ · Ç ñ

№5, 2016Ã.

Ðñ³ï³ñ³ÏíáõÙ ¿ 1998Ã-Çó Lñ³ïí³Ï³Ý ·áñÍáõÝ»áõÃÛáõÝ Çñ³Ï³Ý³óÝáÕ`

§ Î ñ Ã á õ Ã Û ³ Ý ³ ½ · ³ Û Ç Ý Ç Ý ë ï Ç ï á õ ï ¦ ö´À

гëó»Ý` ºñ¨³Ý, îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67,

íϳ۳ϳÝ` N 01 ² 044424, ïñí³Í 16.02.1999Ã.

²Ùë³·ñÇ ÃáÕ³ñÏÙ³Ý å³ï³ë˳ݳïáõ` · É˳íáñ ËÙμ³·Çñ` гÙÉ»ï ØÇù³Û»É Û³Ý Ð³ÝÓÝí³Í ¿ ïå³·ñáõÃÛ³Ý 29 .11.2016Ã: îå³ù³Ý³ÏÁ`1500 , ͳí³ÉÁ` 4 Ù³ÙáõÉ: îå³·ñáõà ÛáõÝÁ` ûýë»Ã: â³÷ëÁ` 70×100 1/16: ¸åñáóÝ»ñÇÝ ³Ýí׳ñ ïñíáõÙ ¿ Ù»Ï ûñÇݳÏ, áñÁ å»ïù ¿ å³ñï³¹Çñ ·ñ³ÝóíÇ ¹åñáó³Ï³Ý ·ñ³¹³ñ³ÝáõÙ :

ì³×³éùÇ »Ýóϳ ã¿:

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aniedu.am

5

ԻՆԴՈՒԿՑԻԱՅԻ ԵՎ ԴԵԴՈՒԿՑԻԱՅԻ ԳԵՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ԳՐԱՎՉՈՒԹՅՈՒՆԸ

Հ. Ս. Միքայելյան

Իրերի պատճառների իմացությունից բխում է ճշմարիտ երջանկության իմացությունը:

Գոթֆրիդ Լայբնից

Բանալի բառեր – Ինդուկցիա, դեդուկցիա, մտահանգում, ապացուցում, գեղագիտություն, գեղեցիկի հայտանիշներ

Ինդուկցիան և նրա գեղագիտական գրավչությունը

Նախապես նշենք, որ գիտական կամ մաթեմատիկական գեղեցի-

կին վերաբերող և սույն աշխատանքում գործածվող հասկացություն-ներին կարելի է ծանոթանալ [1]-ում:

Ճանաչողության գործընթացում իմացության մեթոդները ավելի հաճախ հանդես են գալիս միասնաբար, ինչը ճանաչողությունը դարձ-նում է ավելի համակողմանի ու խորը: Էմպիրիկ, էվրիստիկական և տրամաբանական մեթոդների զուգակցման միջոցով ճանաչողության իրականացման կարևոր մեթոդ է ինդուկցիան (լատիներեն` inductio – մակածում, մակածություն), իմացության այն մեթոդը, որը ճանաչողու-թյունը իրականացնում է փորձից ստացված գիտելիքների ընդհան-

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

6

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

րացման, մասնավորից դեպի ընդհանուրը գնալու, առանձին փաս-տերից ընդհանրական եզրակացության հանգելու եղանակով: Հարկ է նշել, որ ինդուկցիան հիմնականում կիրառվում է մաթեմատիկական օրինաչափությունների բացահայտման համար, իսկ դրանց ապացու-ցումը կատարվում է դեդուկտիվ մեթոդներով:

Նկարագրենք իմացութան ինդուկտիվ մեթոդը ավելի հանգամանո-րեն: Դիցուք ունենք À բազմությունը և P հատկությունը, որով կարող են օժտված լինել կամ չլինել A–ի տարրերը: Ինդուկցիայի մեթոդը կիր-առվում է ապացուցելու համար այն, որ A–ի բոլոր տարրերը օժտված են P հատկությամբ: Դրա համար առաջարկվում է այսպիսի մտահանգում.

Եթե A–ի à1, à2,...,àk տարրերը օժտված են P հատկությամբ, ապա P հատկությամբ օժտված են A–ի բոլոր տարրերը:

Նման մոտեցում հաճախ է կիրառվում մեր առօրյայում: Գնալով որևէ երկիր և սիրալիր վերաբերմունքի արժանանալով նրա բնակիչնե-րի կողմից, մենք եզրակացնում ենք, որ այդ երկրի բնակիչները սիրա-լիր են օտարների հանդեպ: Բայց մենք հանդիպել ենք այդ երկրի բնա-կիչների միայն մի փոքր մասի հետ: Հետևաբար, մեր եզրակացությունը ամբողջական և ճշմարիտ կամ ապացուցված համարվել չի կարող:

Նույն կերպ` եթե վերևում կատարված դատողության մեջ A–ն վեր-ջավոր է և ունի հենց k տարր, ապա առաջարկված ինդուկտիվ մտա-հանգումը բերում է ճշմարիտ եզրակացության: Այդ դեպքում այն կոչ-վում է լրիվ ինդուկցիա: Հակառակ դեպքում, այսինքն` եթե A–ի տար-րերի թիվը k–ից մեծ է կամ եթե A–ն անվերջ բազմություն է, այդ մտա-հանգումը կոչվում է թերի ինդուկցիա: Պարզ է, որ թերի ինդուկցիան հավաստի տեղեկություն չի տալիս, և նրա եզրակացությունը կարող է կեղծ լինել: Օրինակ, կարելի է նշել բազմաթիվ բնական թվեր, որոնք փոքր են հարյուրից: Այդտեղից, թերի ինդուկցիան հնարավորություն է տալիս պնդելու, որ յուրաքանչյուր բնական թիվ փոքր է հարյուրից, ինչը, իհարկե, սխալ է:

Ինդուկցիայի նշված տեսակները ավելի հաճախ կիրառվում են դպրոցական ցածր դասարաններում, որտեղ սովորողների մտածողու-թյունը ավելի առարկայական է: Ընդ որում, թերի ինդուկցիան հիմնա-

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

7

կանում կիրառվում է արդյունավետ եզրահանգումներ կատարելիս, այ-սինքն` այն դեպքում, երբ հայտնի է, որ ստուգվող ընդհանուր եզրակա-ցությունը ճշմարիտ է, իսկ առանձին տարրերի համար նախադրյալների ճշմարտությունը բերվում են որպես ընդհանուր եզրակացության մաս-նավոր օրինակներ: Սխալ եզրահանգումներով թերի ինդուկցիան հա-մարյա չի կիրառվում մաթեմատիկայի ողջ դասընթացում: Մինչդեռ, հարկ է նկատել, որ մարդկային մտածողությունը հակված է դեպի թերի ինդուկցիա. նրան հատուկ է մասնավոր մի քանի դեպքերից ընդհան-րական դատողությունների, եզրակացությունների հանգելը: Օրինակ, եթե ինչ-որ բնակավայրում մարդուն մի քանի անգամ խաբել են, ապա նա եզրակացնում է, որ այդ բնակավայրում բոլոր մարդիկ խաբեբաներ են, կամ եթե մարդկանց մի խումբ լքում է հայրենիքը, ապա մարդիկ եզ-րակացնում են, որ բոլորը լքում են հայրենիքը և այլն: Եվ մաթեմատի-կայի ուսուցման գործընթացում ինդուկցիայի մեթոդը կիրառելիս պետք է աշխատել սովորողի ուշադրությունը հրավիրել այս երևույթի վրա. լրիվ և թերի ինդուկցիաների կիրառումը նման հնարավորություն ընձեռում է: Հստակ խոսքի, ճշմարիտ դատողության կառուցման ճանապարհը նաև սովորողին սխալներից զերծ պահելն է:

Ասվածը ցույց է տալիս, որ մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթա-ցում լրիվ և թերի ինդուկցիաների կիրառումը ունի արժեքների ձևա-վորման մեծ ներուժ: Դրա գեղագիտական բաղադրիչը լրիվ ինդուկ-ցիայի տրամաբանական խստությունն է, հիմնավորվածությունը, հստակությունը, պարզությունը, ընդհանրությունը: Իսկ թերի ինդուկ-ցիան առօրեական և մաթեմատիկական պարզ օրինակների միջոցով սխալ մտածողության ցուցադրման և կանխարգելման հնարավորու-թյուն է տալիս, ինչում նույնպես առկա է գեղագիտական տարրը:

Սխալ եզրակացությամբ թերի ինդուկցիայի կիրառման օրինակ-ները թույլ են տալիս նաև սովորողին համոզվելու, որ թերի ինդուկցիան միայն վարկածների, ճշմարտանման եզակացությունների ստացման միջոց է: Իսկ թերի ինդուկցիայի կիրառումով սխալ եզրակացության են հանգել անգամ մեծ մաթեմատիկոսները: Օրնակ, Պ. Ֆերման ենթա-դրում էր, որ 2 + 1 տեսքի թվերը պարզ թվեր են ո–ի կամայական

8

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

բնական արժեքի դեպքում: Դրա համար հիմք է ծառայել այն, որ իսկա-պես, այդ տեսքի թվերը պարզ են ո–ի 1, 2, 3 և 4 արժեքների համար: Այն ժամանակներում հաշվիչ մեքենաներ չկային, և մարդիկ, նաև` մա-թեմատիկոսները հաշվելու վրա բավական շատ ժամանակ էին ծախ-սում, և Լ. Էյլերը, ով ավելի արագ էր հաշվում, քան Ֆերման, ցույց տվեց, որ Ֆերմայի եզրակացությունը սխալ է. n = 5 արժեքի համար ստացվող 232+ 1 թիվը բաղադրալ է, այն ունի մեկից տարբեր բաժա-նարար, օրինակ՝ 641–ը:

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ: Կարելի է ստուգել, որ n2+n+17 ար-տահայտության արժեքը n–ի 1,2,3, ..., 15 արժեքների համար, պարզ թիվ է: Կարելի՞ է այստեղից եզրակացնել, որ այդ արտահայտության արժեքը ո–ի կամայական արժեքի դեպքում դարձյալ պարզ թիվ է: Պարզվում է, որ ոչ. n = 16 արժեքի համար մենք ստանում ենք 162+16+17 թիվը, որը արդեն բաղադրյալ է: Իսկ եթե դասարանում գտնվի մեկը՝ շնորհալին, որը կնկատի, որ հաշվումները ամենևին էլ անհրաժեշտ չեն, քանի որ նշված թիվը բաղադրյալ է n = 17 արժեքի համար՝ 172+17+17 = 17(17 +2), ապա առաջադրված օրինակում գեղե-ցիկը կդրսևորվի բոլորովին այլ կողմերով, քանի որ նրանում հանդես կգան պարզության և անսպասելիության գեղագիտական հատկանիշ-ները: Իսկ այդ շնորհալին կստանա լրացուցիչ գեղագիտական բավա-րարվածություն, ինչն արդյունք է գտնելու, հայտնագործելու գեղագի-տական հատկանիշների:

Ասվածը չի կարող թերագնահատել թերի ինդուկցիայի դերը մա-թեմատիկայի ուսուցման գործընթացում: Այն ճշմարտությունների բա-ցահայտման հզոր միջոց է, սակայն նորից կրկնենք, որ նրա եզրակա-ցությունները միայն վարկածներ են, որոնք կարիք ունեն հաստատման կամ հերքման:

Եվ վարկածային տեսքի մեջ անգամ թերի ինդուկցիան ունի գրավ-չության իր տարրերը, որոնք արդյունք են գիտական գեղեցիկի ինչպես օբյեկտիվ, այնպես էլ սուբյեկտիվ հատկանիշների (տես [1]) դրսևոր-ման: Իսկապես, ինդուկցիայի վարկածը ստացվում է գիտական գեղե-ցիկի՝ որոնման, գտնելու, հայտնագործելու սուբյեկտիվ հատկանիշների դրսևորման արդյունքում: Իսկ որպես վարկածը գտնելու, առաջադրելու

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

9

խթանիչ գործոններ հանդես են գալիս ուսումնասիրվող օբյեկտներում բազմազանությունների ընդհանրության և միասնության, կարգի, պար-զության, համաչափության, ռիթմի առանձին կողմեր, որոնք նախա-նշում են նաև գեղեցիկի համապատասխան օբյեկտիվ հատկանիշների դրսևորումներ, իրենց հետ բերում գեղեցիկի որոշակի նախազգացում: Վարկածի հաստատումը արդեն նշանակում է նաև գեղեցիկի առկա-յություն: Գեղեցիկի հայտնաբերման և հաստատման այդ գրավիչ տարրն է, որ մարդկային միտքը մղում է դեպի վարկածի առաջադրումն ու հաստատումը, ապահովում դրա համար պահանջվող մարդկային ջանքերի գործադրումը: Հետևաբար, այստեղ դրսևորվում են նաև գի-տական գեղեցիկի՝ ոչ ակնհայտ ճշմարտության իմացության և դրա հա-մար գործադրված ջանքերի սուբյեկտիվ հատկանիշները:

Դեդուկցիան և նրա գեղագիտական գրավչությունը

Դեդուկցիան (լատիներեն deductio նշանակում է արտածում) գիտա-

կան իմացության մեթոդ է, գործընթաց, մտածողության ձև, մտահանգ-ման եղանակ, որի միջոցով տրված դատողություններից բխեցվում, ստացվում է այլ դատողություն: Ընդ որում, բխեցումը կարող է կատար-վել ինչպես անմիջականորեն, այնպես էլ դատողությունների այնպիսի շղթայի տեսքով, որի յուրաքանչյուր անդամ ստացվում է իր նախորդ-ներից` տրամաբանության կանոնների հիման վրա: Տրված դատողու-թյունները կոչվում են դեդուկցիայի նախադրյալներ, իսկ բխեցված դա-տողությունը` նրա եզրակացություն: Ահա դեդուկտիվ մտահանգման դասական օրինակը.

Բոլոր մարդիկ մահկանացու են: Սոկրատեսը մարդ է: Հետևաբար, Սոկրատեսը մահկանացու է:

Այս օրինակը հիմք է ծառայել դեդուկտիվ մտահանգումը ներկայաց-նել որպես առարկաների կամայական դասի մասին ընդհանուր գիտե-լիքներից նրա ենթադասի կամ եզակի տարրի մասին մասնավոր գիտե-լիքների բխեցման եղանակ: Սակայն դեդուկտիվ մտահանգման մյուս կարևոր օրինակները` աքսիոմատիկ տեսության մեջ արտածումը և մա-

10

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

թեմատիկական ինդուկցիան (տես հաջորդ կետը), որը նույնպես դե-դուկտիվ մտահանգում է, հերքում են այս մոտեցումը (մանրամասները տես [2]-ում):

Դեդուկցիան կամ տրամաբանական արտածումը դիտարկել և նրա անհրաժեշտությունը գիտակցել են դեռևս անտիկ շրջանի հույն մտա-ծողները: Պյութագորասը առաջիններից մեկն էր, ով խոսեց գիտելիքի ապացուցման մասին և տվեց ապացուցման իր հանրահայտ օրինակը` Պյութագորասի թեորեմի ապացուցումը: Ժամանակի հույն մտածողնե-րի ուսումնասիրությունները հնարավորություն տվեցին Արիստոտելին մշակելու դեդուկցիայի մասին տեսությունը: Իսկ Էվկլիդեսը իր «Սկզբունքներում» դեդուկտիվ մեթոդի կիրառումը հասցրեց կատա-րելության բարձրագույն աստիճանի. երկրաչափության կառույցի մեջ դեդուկտիվ մեթոդի կիրառման էվկլիդեսյան մոտեցումը եղել է դեդուկ-տիվ մտածողության իդեալ բոլոր ժամանակների համար:

Դեդուկցիայի արիստոտելայն տեսությունը զարգացման նոր փուլ է մտել միայն նոր ժամանակներում` Դեկարտի, Լայբնիցի, Կանտի և այլ մտածողների աշխատանքներում, իսկ 19–րդ դարի իռլանդացի մաթե-մատիկոս և փիլիսոփա Ջորջ Բուլը սահմանեց հանրահաշվական գոր-ծողություններ մտքի, տրամաբանական դատողությունների նկատ-մամբ է ստեղծեց տրամաբանության կամ բուլյան հանրահաշիվը: 20–րդ դարի սկզբներին դեդուկտիվ մեթոդը իր վերջնական ձևավորումը ստացավ մաթեմատիկական տրամաբանության շրջանակներում` դառ-նալով նրա բաժիններից մեկը:

Դեդուկտիվ մտահանգման միջոցով ստացված գիտելիքը համար-վում է հավաստի, և եթե մաթեմատիկական գիտելիքը մեծ հավատ է ներշնչում, համարվում է ճշմարտության չափանիշ, ապա հիմնական պատճառն այն է, որ այն հաստատվում է դեդուկտիվ մտահանգման մի-ջոցներով: Հետևաբար, երբ մենք խոսում ենք գիտական գեղեցիկի այնպիսի օբյետիվ հատկանիշի մասին, ինչպիսին տրամաբանական խստությունն է, ապա առաջին հերթին նկատի ունենք մտահանգման դեդուկտիվ մեթոդի կիրառությունը: Այս հանգամաքը նույնպես ընդ-գծում է դեդուկտիվ մեթոդի գեղագիտական գրավչությունը:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

11

Գիտական գեղեցիկի օբյեկտիվ հատկանիշներից դեդուկտիվ մտահանգմանը կարելի է վերագրել նաև ներդաշնակությունը, որ ստեղծվում է մտահանգման տարրերի կամ արտածման անդամների միջև` տրամաբանական օրենքների և կանոնների միջոցով: Գիտական գեղեցիկի մյուս օբյեկտիվ, ինչպես նաև սուբյեկտիվ հատկանիշները դեդուկտիվ մեթոդում դրսևորվում են յուրովի` ոչ անմիջականորեն:

Գիտական գեղեցիկի սուբյեկտիվ հատկանիշներից թերևս միայն մաթեմատիկական օբյեկտի` թեորեմի կամ ապացուցման էությունը հասկանալու համար գործադրված ջանքներն են, որ հատուկ են և ուղղակիորեն դրսևորվում են դեդուկտիվ մտահանգման ժամանակ: Իսկ գտնելը, որոնելը, հայտնագործելը, անսպասելիությունը և գիտա-կան գեղեցիկի մնացած սուբյեկտիվ հատկանիշները այնքան էլ հա-րազատ չեն դեդուկտիվ մեթոդին, և ունեն կոնկրետ դրսևորվումներ` կապված յուրաքանչյուր թեորեմի կամ նրա ապացուցման հետ և կքննարկվեն մտածողության այդ ձևերին նվիրված բաժնում:

Գիտական գեղեցիկի հաջորդ հատկանիշը, որ դրսևորվում է դե-դուկտիվ մեթոդի կիրառման ընթացքում, նրա տրամաբանական խըս-տությունն է: Ընդ որում, եթե անդրադառնալու լինենք հանրակրթու-թյանը, ապա երկրաչափության դասընթացի աքսիոմատիկ շարա-դրանքին և նրանում դեդուկտիվ մեթոդի կիրառմանը անընդհատ հե-տևող աշակերտի համար հանրահաշվական նյութի շարադրանքը ստանում է անհրապուրիչ տեսք, եթե նրանում չի կիրառվում աքսիո-մատիկ մեթոդը:

Մաթեմատիկական ինդուկցիան և

նրա գեղագիտական գրավչությունը

Հասկանալի է, որ անվերջ բազմությունների նկատմամբ լրիվ ին-դուկցիայի կիրառումը անիրագործելի է: Սակայն մաթեմատիկայում հաճախ են գործ ունենում անվերջ բազմությունների հետ, և այստեղ արդյունավետ են հետազոտության այնպիսի մեթոդները, որոնք հնա-րավորություն են տալիս բազմության վերջավոր թվով տարրերի մա-սին արված դատողություններից հանգել նրա բոլոր տարրերի մասին

12

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

համապատասխան դատողության: Նման մտահանգման կարևորա-գույն միջոց է մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը, որի շնորհիվ բոլոր բնական թվերի մասին դատողությունը բխեցվում է առանձին բնական թվերի մասին ստուգելի դատողություններից: Ասվածից հե-տևում է, որ թեև մեթոդը համարվում է ինդուկտիվ, բայց իրականում այն դեդուկտիվ մտահանգում է: Իսկ մեթոդը հետևյալն է.

Եթե բնական թվերի մասին ինչ-որ դատողություն ճշմարիտ է 1 թվի համար, և այն բանից, որ այն ճշմարիտ է կամայական ո բնական թվի համար, հետևում է նրա ճշմարտությունը n + 1 բնական թվի համար, ապա այդ դատողությունը ճշմարիտ է բոլոր բնական թվերի համար:

Այսպիսով, մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով բոլոր բնա-կան թվերի համար ինչ-որ P հատկության իրավացիությունը ցույց տա-լը իրականացվում է հետևյալ ճանապարհով: Նախապես պայմանա-վորվենք ո բնական թվի նկատմամբ P հատկության կիրառման արդ-յունքում ստացված դատողությունը գրառել P(ո) տեսքով: Այսպիսով, P(ո) –ը կարող է լինել ճշմարիտ կամ կեղծ:

Մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով կամայական n բնական թվի համար P(ո)-ի ապացուցումը հանգում է հետևյալին.

ա. Ապացուցում ենք, որ 1 թիվը օժտված է P հատկությամբ, այսինքն` P(1) –ը ճշմարիտ է: Ապացուցման այս քայլը կոչվում է ինդուկ-ցիայի բազիս կամ հիմք:

բ. Ապացուցում ենք, որ կամայական ո բնական թվի համար իրավացի է “եթե P(n), ապա P(n + 1)” հետևությունը: Այս քայլն էլ կոչվում է ինդուկցիոն քայլ:

Այս երկու քայլերի ապացուցումից հետո մենք կարող ենք եզրակա-նացնել, որ P(n)–ը ճշմարիտ է բոլոր ո բնական թվերի համար: (Այդ եզրակացությունը կոչվում է ինդուկցիոն եզրակացություն:)

Մաթեմատիկայի լեզվով ինդուկցիայի մեթոդը կարելի է կարճ գրառել հետևյալ բանաձևով. (1)&∀ ∈ ( ( ) → ( + 1)) → ∀ ∈ ( ( )) :

Մեթոդի արդյունավետությունը կայանում է նրանում, որ թեպետ և մենք չենք կարող ինչ-որ հատկության իրավացիությունը ստուգել բոլոր

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

13

բնական թվերի համար /քանի որ բնական թվերի բազմությունը ան-վերջ է/, այնուամենայնիվ, մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդի մի-ջոցով կարող ենք հատկությունը իրավացի համարել բոլոր բնական թվերի համար:

Մյուս կողմից, այստեղ առկա է (1) -ը ճշմարիտ է ըստ պայմանի ինդուկտիվ դատողությունը և հետևյալ դեդուկտիվ դատողությունները. (2) -ը ճշմարիտ է, քանի որ (1) -ի ճշմարիտ լինելուց հետևում է (2)-ի ճշմարտությունը, (3) -ը ճշմարիտ է, քանի որ (2) -ի ճշմարիտ լինելուց հետևում է (3) -ի ճշմարտությունը: Նույն կերպ ճշմարիտ են նաև (4), (5), ... դատողությունները: Սակայն այս գործընթացը մենք չենք կարող անվերջ շարունակել, և դատողությունների բերված շղթան չի կարող մեզ ցանկալի արդյունքի հասցնել` թույլ տալ կատարելու ին-դուկտիվ եզրակացությունը: Եվ մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթո-դի գրավչությունը կայանում է նրանում, որ այն դեդուկտիվ դատողու-թյունների անսահմանափակ և ոչ արդյունավետ այդ շղթան փոխա-րինում է մեկ դեդուկտիվ դատողությամբ, որն ունի ընդամենը երկու նա-խադրյալ` ինդուկցիայի բազիսը և ինդուկցիոն քայլը, և մեկ եզրակացու-թյուն, որը և մեր ինդուկտիվ եզրակացությունն է: Ասվածը ցույց է տա-լիս, որ մաթեմատիկական ինդուկցիայում առաջին հերթին դրսևորվում են գիտական գեղեցիկի` տրամաբանական խստության և բարդը պար-զին հանգեցնելու հատկանիշները:

Անշուշտ, մեծ է մաթեմատիկական ինդուկցիայի դերը մաթեմատի-կական գործունեության իրականացման մեջ: Սակայն հանրակրթու-թյան բովանդակության մեջ նրա ներառման հարցի վերաբերյալ միաս-նական կարծիք չկա: Միջին դպրոցում նրա ուսուցումը նպատակահար-մար չի կատարել, քանի որ նրա ընկալումը վեր է սովորողների ուժերից: Իսկ ավագ դպրոցում նյութի շարադրանքը ընկալելի դարձնելու համար անհրաժեշտ է ցուցաբերել մեթոդական որոշակի հմտություն, ինչին հա-ճախ չեն տիրապետում ինչպես ուսուցիչների ճնշող մեծամասնությունը, այնպես էլ դասագրքերի որոշ հեղինակներ:

Այնուամենայնիվ, մեզ թվում է, որ ավագ դպրոցում` ինդուկտիվ մե-թոդի առկայության և կիրառման շնորհիվ, սովորողը հնարավորություն

14

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

է ստանում նորովի նայել ապացուցման գաղափարի վրա, քննադատա-բար գնահատել միջին դպրոցում իրեն որպես ապացուցում ներկայաց-րած շատ դատողություններ, տեսնել դրանց թերությունները, անկա-տարությունը, հասկանալ ինչ է ճշմարտության բացահայտմանն ուղղ-ված գիտական ապացուցումը և ապացուցման մեթոդը: Նման թեմաներ բավականին շատ են միջին դպրոցի հանրահաշվի դասընթացում: Բա-վական է նշել թվաբանական և երկրաչափական պրոգրեսիաներին վե-րաբերող զանազան թեորեմներ, որոնց ապացուցումները իրականաց-վում են թերի ինդուկցիայի միջոցով:

Նման մոտեցման համար հիմք է ծառայում նաև ավագ դպրոցում միջին դպրոցի հանրահաշվի ուսումնական առարկային փոխարինած “Հանրահաշիվ և մաթանալիզի տարրերը” ուսումնական առարկան: Շատ հաճախ այստեղի ծրագրային նյութը, ըստ էության, հեռու է բուն հանրահաշվից: Այնինչ, այն պետք է ներառի միջին դպրոցում ընդգրկ-ված մի շարք թեմաներ` նորովի, ապացուցման նոր մեթոդների (հիմնա-կանում` մաթեմատիկական ինդուկցիայի) կիրառումով, ապահովելով ուսուցման գիտականության դիդակտիկակական սկզբունքը, մաթեմա-տիկական ապացույցին հաղորդելով տրամաբանական խստություն, ձևերի բազմազանություն և այլ հատկանիշներ, հատկանիշներ, որոնք ապահովում են նաև մաթեմատիկական ապացույցի գեղագիտական գրավչությունը:

Այսպես, օրինակ, միջին դպրոցում ցույց է տրվում, որ թվաբանա-կան պրոգրեսիայի առաջին ո անդամների գումարը հավասար որոշ-վում է =n(n+1)/2 բանաձևով: Այնտեղ բերված ապացուցումը կատար-վում է ինտուիտիվ կամ թերի ինդուկցիայի մակարդակով և զուրկ է տրամաբանական խստությունից: Ավագ դպրոցում, արդեն, սովորող-ները ծանոթ են մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդին և կարող են ապացուցումը կատարել այդ մեթոդով:

Ինչպես նշվեց, մաթեմատիկական ինդուկցիայի գեղագիտական գրավչությունը արտահայտվում է առաջին հերթի նրա տրամաբանա-կան խստության մեջ: Սակայն մաթեմատիկական ինդուկցիայի գեղա-գիտական ներուժը պայմանավորված է կարգի հետ նրա սերտ կապով: Իրականում հենց կարգը, ավելի ճշգրիտ, կարգի լավագույն տեսակը`

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

15

լիովին կարգավորվածության գաղափարն է ընկած մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդի հիմքում: Չխորանալով կարգի և լիովին կարգա-վորված բազմության և դրա հիման վրա մաթեմատիկական ինդուկ-ցիայի ընդհանրացման` այսպես կոչված` տրանսֆինիտ ինդուկցիայի հասկացություններին առնչվող մանրամասների մեջ, կանգ առնենք միայն բնական թվերի համապատասխան օրինակի վրա:

Դիտարկենք, օրինակ, բնական թվերի բազմության վրա տրված փոքր լինելու կարգը: Այդ կարգը գծային է, այսնքն` կամայական երկու բնական թվեր կամ իրար հավասար են, կամ առաջինն է փոքր երկրոր-դից, կամ էլ երկրորդն է փոքր առաջինից: Այնուհետև, այդ գծային կար-գի նկատմամբ բնական թվերի բազմությունը նաև լիովին կարգավոր-ված է, այսինքն` բնական թվերի կամայական ոչ դատարկ ենթաբազ-մություն ունի ամենափոքր տարրը: Իսկ դա նշանակում է, որ այդ են-թաբազմության մեջ գոյություն ունի մեկ այնպիսի տարր, որը փոքր է նրա մնացած բոլոր տարրերից: Այս վերջին փաստի ապացուցումը չի ներառվում մաթեմատիկայի դպրոցական ծրագրերում: (Բայց դա չի խանգարում, որ մենք օգտվենք նրա առկայությունից ինդուկցիայի գե-ղագիտական գրավչությունը տեսնելու համար): Այժմ, հենվելով այդ փաստի վրա, ապացուցենք, մաթեմատիկական ինդուկցիայի օրինա-կանությունը: Այսինքն, ցույց տանք, որ եթե բնական թվերի վերաբեր-յալ որևէ P(ո) դատողություն ճշմարիտ է 1 –ի համար, և այն բանից, որ n բնական թվի համար P(ո)–ի ճշմարիտ լինելուց հետևում է P(ո+1) -ի ճշմարտությունը, ապա բոլոր բնական թվերի համար P(ո)–ը ճշմարիտ է:

Իսկապես, նշանակենք M–ով բոլոր այն ո բնական թվերի բազ-մությունը, որոնց համար P(ո)–ը ճշմարիտ չէ: Եթե M–ը դատարկ չէ, ապա նրանում գոյություն ունի ամենափոքր տարրը. դիցուք այն a–ն է, այսինքն` a–ն ամենափոքր տարրն է, որի համար P(a)–ն ճշմարիտ չէ: Պարզ է, որ a > 1, քանի որ ըստ պայմանի P(1)–ը ճշմարիտ է: Բայց այդ դեպքում a – 1–ը բնական թիվ է և a–ից փոքր է, և, ուրեմն, չի պատկա-նում M–ին, այսինքն, P(a – 1)–ը ճշմարիտ է: Բայց, համաձայն ինդուկտիվ ենթադրության, P(a – 1)–ի ճշմարիտ լինելուց հետևում է P(a)–ի ճշմարտությունը: Ստացվեց հակասություն այն պնդման հետ, որ

16

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

P(a)–ն ճըշմարիտ չէր: Հակասությունը բխեց այնտեղից, որ մենք են-թադրեցինք, որ M–ը դատարկ չէ: Հետևաբար այն, այսինքն` բոլոր այն ո բնական թվերի բազմությունը, որոնց համար P(ո)–ը ճշմարիտ չէ, դա-տարկ է: Ուրեմն, P(ո) դատողությունը ճշմարիտ է բոլոր ո բնական թվերի համար:

Խոսելով մաթեմատիկական ինդուկցիայի գեղագիտական գրավ-չության մասին, պետք է նկատի ունենալ ոչ միայն բերված ապացուց-ման գեղեցկությունը (ինչը, իսկապես, այդպես է, քանի որ այստեղ դրսևորվում են գեղեցիկի այնպիսի հատկանիշներ, ինչպիսիք են ընդ-հանրականությունը, հստակությունը, պարզությունը, տրամաբանական խստությունը), այլև նրա իրականացման մեջ կարգի` բնական թվերի կարգավորվածության հիմնարար նշանակությունը:

Ուսուցման գործընթացում մաթեմատիկական ինուկցիայի գեղա-գիտական գրավչությունը դրսևորվում է նաև նրա հստակության և ինք-նատիպության մեջ:

Ցուցադրենք մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում ինդու-կտիվ և դեդուկտիվ մեթոդների և նրանցում գեղագիտական տարրի դրսևորման մեկ օրինակ: Դիցուք պահանջվում է գտնել առաջին n կենտ բնական թվերի գումարը: Նշանակենք այն S(n)-ով: Բնական կլինի դիմել ինդուկցիոն մեթոդին և գտնել այդ գումարը նախ n-ի 1, 2, 3, 4 թվերի համար: Պարզագույն հաշվումները ցույց են տալիս, որ՝

S(1) = 1, S(2) = 4, S(3) = 9, S(4) = 16: Այս չորս քայլը հավանաբար արդեն բավարար է, որ մենք

նկատենք հետևյալ օրինաչափությունը. յուրաքանչյուր հավասարու-թյան աջ մասում ստացված թիվը այն n թվի քառակուսին է, որի համար հաշվում ենք համապատասխան S(n) գումարը: Այս օրինաչափությունը մեզ անմիջապես մղում է S(n) = n2 վարկածի կամ ինդուկցիոն ենթա-դրության առաջադրմանը, որի ապացուցումը պետք է փորձել կատա-րել մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով:

Ինդուկցիայի բազիսը. n = 1 թվի համար ինդուկցիոն ենթադրու-թյունը ճշմարիտ է, քանի որ S(1) = 12:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

17

Ինդուկցիոն քայլը. Դիցուք ճշմարիտ է S(n) = n2 բանաձևը: Ցույց տանք, որ այդ դեպքում ճշմարիտ կլինի նաև S(n+1) = (n+1)2 բանաձևը: Իսկապես.

S(n+1) = S(n) + (2n+1) = n2 + 2n +1 = (n+1)2, S(n+1) = (n+1)2: Նույն բանաձևը, սակայն, կարելի էր ստանալ և ապացուցել դե-

դուկցիայի մեթոդով՝ կենտ թվերի հաջորդականությունը դիտարկելով որպես թվաբանական պրոգրեսիա: Սակայն այս դեպքում մեզ ան-հրաժեշտ էր նախապես իմանալ a1, a2, …, an թվաբանական պրո-գրեսիայի գումարի S(n) = n(a1+an)/2 բանաձևը և նկատել, որ կենտ թվե-րի հաջորդականությունը իսկապես կազմում է թվաբանական պրո-գրեսիա: Կիրառելով դեդուկցիայի մեթոդը, կստանանք՝

S(n) = n(a1+an)/2 = n(1 + (2n+1))/2 = n2, S(n) = n2: Գիտական գեղեցիկի այլ հատկանիշների ընդհանրության պայ-

մաններում, լուծման առաջին մեթոդում գերիշխում է գիտական գե-ղեցիկի՝ որոնման, գտնելու, հայտնագործելու սուբյեկտիվ հատկա-նիշը, իսկ երկրորդում՝ բազմազանությունների միասնության օբյեկտիվ հատկանիշը:

Գրականություն

1. Հ. Ս. Միքայելյան, Գեղեցիկը և մաթեմատիկայի կրթական ներուժը, Երևան, Էդիթ Պրինտ, 2015, 440 էջ:

2. Ս. Է. Հակոբյան, Դեդուկցիայի և ինդուկցիայի մասին ավանդական պատկերացումների վերանայումը մաթեմատիկական կրթության հայեցակետից, Գիտության և մշակույթի փիլիսոփայության և մեթոդաբանության հարցեր, ԳԱԱ, Երևան, Էդիթ Պրինտ, 2013, 108-127 էջեր:

ЭСТЕТИЧЕСКАЯ ПРИВЛЕКАТЕЛЬНОСТЬ ИНДУКЦИ И ДЕДУКЦИ

Г. С. Микаелян Резюме

В статье рассматривается проблема эстетической привлекательнос-

ти методов индукци и дедукци в процессе обучения математике.

18

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Показывается, что оба метода могут быть успешно использовани в указанном процессе, особенно в старшей школе, и привлечение признаков математического прекрасного во многом способствует повышению интереса к изучаемому материалу и эффективности обучения.

AESTHETIC APPEAL OF INDUCTION AND DEDUCTION H. S. Mikaelian

Summary

The problem of the aesthetic appeal of the method of induction and deduction in the process of learning mathematics. It is shown that both methods can be successfully use in this process, especially in high school, and the involvement of the mathematical signs of beauty is largely due to increased interest in the material under study and learning efficiency.

Համլետ Սուրենի Միքայելյան – մաթեմատիկայի /ՌԴ/ և մանկավարժության /ՀՀ/ պրոֆեսոր, ՀՊՄՀ մաթեմատիկայի և նրա դասավանդման մեթոդիկայի ամբիոնի վարիչի պաշտոնակատար, “Մաթեմատիկան դպրոցում” ամսագրի գլխավոր խմբագիր:

Հեռախոս՝ 093 88 17 07 Էլ. hասցե` h.s.mikaelian@gmail.com

19

ԲԱԶՄՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՄԻՋՈՑՈՎ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԵՎ

ԴԱՏՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԱՐՏԱՀԱՅՏՄԱՆ ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ ՆՇԱՆԱԿՈՒԹՅՈՒՆԸ

Արաքսյա Մկրտչյան

Բանալի բառեր – բազմությունների տեսություն, մաթե-մատիկական տրամաբանություն, հասկացություն, դատո-ղություն, մտահանգում, էյլերյան շրջան, միջառարկայա-կան կապեր:

Մաթեմատիկայում բազմությունների տեսությունը և մաթեմատի-կական տրամաբանությունը ունեն առանձնահատուկ նշանակություն, քանի որ դրանք կիրառվում և օգտագործվում են մաթեմատիկական մյուս բոլոր տեսություններում: Համանման նշանակություն ունեն նաև տրամաբանության և բազմությունների տեսության տարրերը մաթեմա-տիկայի դասընթացում, երբ տարբեր թեմաների ուսումնասիրության ընթացքում գործածվում են մի կողմից՝ բազմություններն ու դրանց գործողությունները, իսկ մյուս կողմից՝ տրամաբանության օրենքներն ու սկզբունքները: Տարբեր դասընթացներ ուսումնասիրելիս նկատվում է, որ տրամաբանության օրենքները և բանաձևերը ձևակերպելիս հաճախ օգտագործվում են բազմությունները և դրանց միջև ներմուծված գործո-ղությունները: Ուստի ծագում է բնական հարց` թվացյա՞լ են այդ նմա-նություններն ու անալոգիաները, թե՞ գոյություն ունեն խորքային միջա-

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

20

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ռարկայական կապեր: Այս հիմնական հարցի լուսաբանումը մեր հետա-զոտած թեմայի կապակցությամբ կարևոր է նախ և առաջ այն առումով, որ բազմություններն ու նրանց միջև ներմուծվող գործողությունները ակ-նառու ձևով պատկերվում են էյլերյան շրջանակներով, և եթե մենք ցույց տանք, որ տրամաբանական կառուցվածքային ձևերը խորքային կապեր ունեն բազմությունների և դրանց գործողությունների հետ, ապա դա լուրջ մեթոդական հնարավորություններ կընձեռի տրամաբանական կա-ռուցվածքային ձևերը ևս շրջանակներով պատկերելու և այդ միջոցով դրանք դիտողական և ընկալելի դարձնելու համար: Այդ հարցի լուսաբա-նումը կարևոր է նաև այն առումով, որ մաթեմատիկայի դասընթացում տրամաբանության տարրերի և բազմությունների տեսության տարրերի ներառման վերաբերյալ երբեմն ցուցաբերվում են միմյանցից զգալիորեն տարբեր մոտեցումներ: Եթե բազմության հասկացության և բազմու-թյունների միջև գործողությունների ուսուցման հարցի նկատմամբ տա-րաձայնություններն արդեն գրեթե բացակայում են, և այդ պատճառով բազմությունների տեսության տարրերին վերաբերող թեմաները բացո-րոշ ձևով ներառվում են մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացնե-րում, ապա նույնը չի կարելի ասել տրամաբանության տարրերի ուսուց-ման վերաբերյալ, ինչը դրսևորվել է նաև ՀՀ հանրակրթական միջին դպրոցի հանրահաշվի ծրագրում [3]: Ուրեմն, հարկավոր է պարզաբա-նել, թե ինչքանով են հիմնավոր մոտեցումների այդ տարբերություն-ները:

Բազմությունների տեսության և տրամաբանության տարրերի միջև կապերի բացահայտումը հնարավորություն կտա լուսաբանելու նաև այն հարցը, թե ելակետային ինչպիսի սկզբունքներով պետք է առաջնորդվել դրանց ուսուցման մեթոդիկաները մշակելիս: Իսկ այդ հարցը հրատապ է այն առումով, որ ավագ դպրոցի ընտրողական առարկայացանկում ընդգրկված է նաև «Տրամաբանություն» առարկան, որի ծրագրում ամ-փոփված թեմաներից շատերը առնչություն ունեն բազմությունների և նրանց միջև գործողությունների հետ [4]:

Այսպիսով, միջառարկայական կապերի բացահայտման վերոհիշ-յալ հարցն ունի ինչպես տեսական, այնպես էլ գործնական նշանակու-

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

21

թյուն: Տեսական հարցադրումը հետևյալն է. քանի որ տրամաբանու-թյունն ունի կառուցվածքային հիմնական երեք միավորներ` հասկացու-թյունը, դատողությունը և մտահանգումը, ուստի անհրաժեշտ է դիտար-կել դրանցից յուրաքանչյուրը և ցույց տալ, թե ինչպես են դրանք արտա-հայտվում բազմությունների և նրանց գործողությունների միջոցով: Իսկ հարցի կիրառական կողմը կապված է կրթական խնդիրների և առաջին հերթին, մաթեմատիկական դասընթացներում դրանց առնչություննե-րին վերաբերող թեմաների լուսաբանման հարցերի հետ: Ընդ որում՝ ամբողջական պատկեր ունենալու համար այստեղ մենք հանգամա-նորեն կանդրադառնանք տրամաբանական կառուցվածքային ձևերից յուրաքանչյուրին և ցույց կտանք դրանց անմիջական կապը բազմու-թյունների և նրանց համապատասխան գործողությունների հետ: Նշենք, որ դրանք հիմնականում հայտնի փաստեր են, սակայն ուսումնա-մեթոդական գրականության մեջ դիտարկվում են կա´մ զուտ տրամա-բանության տեսակետից, ինչպես օրինակ [1], [2], [6], [7], [8], [9] և այլ աշխատանքներում, կա´մ զուտ բազմությունների տեսության տեսա-կետից, ինչպես օրինակ [5], [11], 10], [12] և այլ աշխատանքներում: Ուս-տի անհրաժեշտ է այդ երկուսը համադրել և ներկայացնել միասնաբար:

Ինչպես ասվեց՝ տրամաբանական կառուցվածքային հիմնական ձևերը երեքն են. հասկացությունը, դատողությունը, մտահանգումը: Նախ դիտարկենք հասկացությունը, որն ընդգրկվում է և´ դատողու-թյան, և´ մտահանգման կազմության մեջ:

Յուրաքանչյուր հասկացություն որոշվում է ծավալով և բովանդա-կությամբ: Հասկացության ծավալն այն առարկաների բազմությունն է, որոնք օժտված են տվյալ հասկացության բովանդակությունը ներկա-յացնող հատկանիշներով:

Այս սահմանումից արդեն իսկ պարզ է, որ հասկացությունները կա-րող ենք ներկայացնել բազմությունների տեսքով, և հետևաբար հասկա-ցությունների ծավալների միջև առնչությունները արտահայտել բազմու-թյունների գործողությունների միջոցով: Եվ դա վերաբերում է հասկա-ցությունների ծավալների միջև առնչությունների հնարավոր բոլոր չորս դեպքերին: Դրանք են.

1. Արտակայություն, այսինքն՝ երկու այնպիսի S և P հասկա-ցությունների հարաբերությունը, որոնց ծավալները հատում չունեն:

22

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Օրինակ: S={եռանկյուն} և P={շրջանագիծ} հասկացությունների ծավալները չեն հատվում: Այս երկու հասկացությունների հարաբերու-թյունը բազմությունների գործողությունների միջոցով արտահայտվում է S∩P=∅ բանաձևով և պատկերվում է այսպես (տես նկ.1)՝

2. Խաչավորում, այսինքն՝ երկու այնպիսի S և P հասկացություն-ների հարաբերությունը, որոնց ծավալներն ունեն ընդհանուր տարր և մեկի ծավալը չի ներառվում մյուսի մեջ:

Օրինակ: S={եռանիշ թիվ}, P={զույգ թիվ}: Այս հասկացությունների ծավալները չեն ներառվում մեկը մյուսի մեջ: Սրանք որպես բազմություններ պատկերվում են այսպես (տես նկ.2).

բազմությունների տեսության բանաձևային տեսքով գրառվում է այս-պես. S ∩ P ≠ ∅, ընդ որում՝ S ⊄ P և P ⊄ S: Սա մի M բազմություն է, որը ներկայացնում է հետևյալ հասկացությունը` M={եռանիշ զույգ թիվ}:

3. Ներառում, այսինքն՝ երկու այնպիսի S և P հասկացությունների հարաբերությունը, որոնցից մեկի ծավալն ընդգրկվում է մյուսի ծավալի մեջ:

Օրինակ: S={ուղղանկյուն}, P={զուգահեռագիծ}: Այս դեպքում S-ը ներառվում է P-ի մեջ: Այս հասկացությունները որպես բազմություններ իրենցից ներկայացնում են հետևյալը (տես նկ.3).

P S

S P

S P

Նկ. 1

Նկ. 2

Նկ. 3

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

23

Այսինքն` P բազմությունը իր մեջ պարունակում, ընդգրկում է S բազմությունը, որը նույնն է, թե S-ը P-ի ենթաբազմությունն է` S ⊂ P:

4. Համարժեքություն, այսինքն՝ երկու այնպիսի հասկացություննե-րի առնչություն, որոնց ծավալները համընկնում են:

Օրինակ: S={բնական թիվ}, P={դրական ամբողջ թիվ}: S և P բազմությունները պատկերվում են այսպես (տես նկ.4).

Նման հարաբերությունը բազմությունների գործողությունների միջոցով արտահայտվում է հավասարության առնչությամբ` S=P:

Այսպիսով, երկու հասկացությունների` ըստ ծավալների հարաբե-րությունների բոլոր չորս դեպքերն էլ արտահայտվում են բազմություն-ների ու նրանց գործողությունների միջոցով: Այդ հարաբերությունները դրսևորվում են տրամաբանական բոլոր կառուցվածքային ձևերում, նաև այն դեպքերում, երբ հարաբերվում են երկուսից ավելի հասկացություն-ներ: Դրանք արտահայտվում են հնարավոր բոլոր զույգերի հարաբերու-թյուններով, այսինքն` ի վերջո հիմքում ընկած են այն հարաբերություն-ները, որոնք մենք դիտարկեցինք:

Տրամաբանական մյուս կառուցվածքային միավորը դատողու-թյունն է, որի էական հատկանիշը ճշմարտային արժեքներ ընդունելն է, (նշանակում են` ճշմարիտը ճ(1) և կեղծը կ(0)) և կազմված է սուբյեկտից` (S), պրեդիկատից` (P) ու կապից:

Դատողություններն ըստ որակի լինում են` հաստատական և ժխտական, իսկ ըստ քանակի` եզակի, ընդհանուր և մասնավոր: Սա-կայն ընդունված է այս տեսակները միավորել և դատողությունները դա-սակարգել ըստ որակի և քանակի, ընդ որում եզակի դատողությունները, որպես մասնավոր դեպք, ներառել ընդհանուրի մեջ, քանի որ և´ մեկում, և´ մյուսում պնդումը վերաբերում է սուբյեկտի ամբողջ ծավալին [1, 122-123]: Այդպիսով դատողությունները դասակարգվում են չորս տեսակի.

S

Նկ. 4

24

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

1. Ընդհանուր հաստատական - բոլոր S-երը P են: 2. Մասնավոր հաստատական - որոշ S-եր P են: 3. Ընդհանուր ժխտական - բոլոր S-եր P չեն: 4. Մասնավոր ժխտական - որոշ S-եր P չեն: Այս դատողությունների կառուցվածքներում կապերն ու առնչու-

թյունները բազմությունների ու նրանց գործողությունների հետ ներկա-յացվում են հետևյալ կերպ:

1. Ընդհանուր հաստատական - բոլոր S-երը P են: Սա նշանակում է, որ եթե ունենք S և P բազմություններ, ապա S բազմության բոլոր տար-րերը միաժամանակ տարր են նաև P բազմության համար, այսինքն` պատկանում են P-ին: Հակառակը պնդել չենք կարող: S-ի և P-ի՝ որպես բազմությունների առնչությունը գրվում է հետևյալ տեսքով S ⊂ P, կամ որ նույնն է x∀ (( x ∈ S)→( x ∈ P)), և այն պատկերվում է ինչպես նկ.3-ում:

2. Մասնավոր հաստատական - որոշ S-եր P են: Այս դատո-ղությունը ըստ բազմությունների տեսության նշանակում է, որ գոյություն ունեն S բազմության տարրեր, որոնք պատկանում են P-ին: Այս դատո-ղության սուբյեկտի և պրեդիկատի հարաբերությունը՝ որպես բազ-մությունների հարաբերություն գրվում է այսպես՝ S∩P≠∅, այսինքն` x∃( x ∈ S)&( x ∈ P ), և այն պատկերվում է ինչպես նկ.2-ում:

3. Ընդհանուր ժխտական - բոլոր S-եր P չեն: Այս հարաբերությունը՝ որպես բազմությունների միջև առնչություն արտահայտվում է հետևյալ կապով. S ∩ P=∅: Այլ կերպ կարող ենք գրել` xx(∀ ∈S)&(x∉P), և այն պատկերվում է ինչպես նկ. 1-ում:

4. Մասնավոր ժխտական - որոշ S-եր P չեն: Այս դատողությունը բազմությունների լեզվով գրվում է հետևյալ տեսքով. S\P≠∅, այսինքն՝ ∃ x ( x ∈S)&( x ∉P), և պատկերվում է, ասենք, ինչպես նկ.2-ում, սակայն ընդգծելով S-ի այն մասը, որն ընկած է P-ից դուրս:

Այստեղ բազմությունների և նրանց գործողությունների միջոցով արտահայտելու հարցը դիտարկեցինք միայն պարզ դատողությունների համար: Քննարկման հարց է նաև տրամաբանական շաղկապների մի-ջոցով առաջացող բարդ դատողությունների արտահայտումը բազմու-թյունների միջոցով:

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

25

Գրականություն

1. Բրուտյան Գ. Ա., Տրամաբանության դասընթաց, Եր., ԵՊՀ հրատա-րակչություն, 1976 թ., 508 էջ:

2. Գևորգյան Գ. Գ., Սահակյան Ա. Ա., Հանրահաշիվ և մաթեմատիկա-կան անալիզի տարրեր. դասագիրք հանրակրթ. դպր. 12-րդ դասա-րանի (ընդհանուր և հումանիտար հոսքերի համար), Եր., Էդիթ Պրինտ, 2009 թ., 128 էջ:

3. Հանրահաշիվ. Ծրագիր 7-9-րդ դասարանների (հաստատված 2011 թ.), www. aniedu.am, 5 էջ:

4. Տրամաբանություն. ծրագիր ավագ դպրոցի համար//ԿԳՆ 2013 թ. հուլիսի 9-ի N920-Ա/Ք հրամանի հավելված, www.aniedu.am, -7 էջ:

5. Аминова А. В., Элементы теории множеств, Казань, Казанский гос. ун-т, 2008 г., 46 с.105

6. Виноградов С. Н. и Кузьмин А.Ф., Логика, Учебник для средней школы, Изд. 8, Москва, Учпедгиз, 1954 г., 176 с.

7. Ерышев А. А. Н. П. Лукашевич, Е. Ф. Сластенко, Логика, Курс лекций, 3-е изд., перепаб. И доп.-К., МАУП, 2000 г., 184 с.

8. Зегет В. Элементарная логика.– М., Высшая школа, 2005 г., -254 с. 9. Новиков П. С., Элементы математической логики. 2-ое изд. М.,

Наука, 1973 г., 400 с. 10. Ружа И., Теория множеств//Малая математическая энциклапедия,

Будапешт, АН Венгрии, 1976 г., стр. 536-579. 11. Столл Р. Р., Множества, логика, аксиоматические теории, М.,

Просвещение, 1968 г., 232 с. 12. Хаусдорф Ф., Теория множеств, Либроком, 2013 г., 304 с.

О методическом значении выражения понятий и суждений с помощью теории множеств

А.Т. Мкртчян Резюме

В статье подробно показаны глубокие связи между логикой и теорией множеств, с помощью которых учебные задачи связаны с

26

ՈՒՍՈՒՄՆԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

логическими структурными формами и их отношениями, переводятся из чисто абстрактного уровня восприятия на образный уровень. Таким образом, открываются новые перспективы для интегрированного обучения.

About methodological meaning of expression of concepts and judgments by the sets.

A. T. Mkrtchyan Summary

The deep connections between logic and sets theory are showed in the article, due to which

instructional tasks which are related on logical structural forms and their connections, flit from purely abstract perceptions level into the image perceptions level. So, there are new prospects open for integrated learning.

Արաքսյա Տիգրանի Մկրտչյան – մ.գ.թ., Խ. Աբովյանի անվան ՀՊՄՀ մաթեմատիկայի և նրա դասավանդման մեթոդիկայի ամբիոնի դասախոս:

Էլ. հասցե՝ araqsya8582@yandex.ru Հեռախոս՝ 093 14 32 42

27

ՄԵԿ ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՈՎ ԲԱԶՄԱՆԴԱՄՆԵՐԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ ՈՐՈՇ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐԻ

ԼՈՒԾՄԱՆ ՀՆԱՐՆԵՐ

Նունե Հակոբյան, Արինա Մելքումյան

Բանալի բառեր – բազմանդամ, բազմանդամների բա-ժանելիություն, քանորդ, մնացորդ, Բեզուի թեորեմ, Վիետի թեորեմ, ռացիոնալ արմատ, անորոշ գործակիցներ, պրո-գրեսիա

Սույն հոդվածում համառոտ ներկայացվում են մեկ փոփոխականով բազմանդամների վերաբերյալ այն հիմնական հարցերը, որոնք կարող են քննարկվել մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում: Այնու-հետև դիտարկվում են այդ թեմայի վերաբերյալ որոշ տիպային ա-ռաջադրանքների լուծման յուրատիպ հնարներ: Կարծում ենք, որ դրանք կարող են օգտակար լինել մաթեմատիկայի սկսնակ ուսու-ցիչներին, ինչպես նաև մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրասի-րություն ցուցաբերող դպրոցականներին:

10. Ս ա հ մ ա ն ու մ: x փոփոխականի նկատմամբ բազմանդամ է կոչվում + + ⋯ + x + (1) տեսքի արտահայտությունը, որտեղ n-ը ոչ բացասական ամբողջ թիվ է, , , … , ը որոշ իրական թվեր են:

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

28

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

, ,.... թվերն անվանում են բազմանդամի գործակիցներ. գործակիցն անվանում են նաև ազատ անդամ, գումարելին՝ ավագ անդամ, –ը՝ ավագ գործակից: Եթե ≠ 0, ապա ո թիվը կոչվում է բազմանդամի աստիճան, համապատասխան բազմանդա-մը՝ ո-րդ աստիճանի բազմանդամ: (1) տեսքն անվանում են ո-րդ աս-տիճանի բազմանդամի կանոնական կամ ստանդարտ տեսք: Մեկ փո-փոխականով բազմանդամները ներկայացնելիս ամենուրեք պահպա-նում են նրա ստանդարտ տեսքը: փոփոխականով բազմանդամների համար, կրճատ գրելաձևի նպա-տակով, սովորաբար գործածում են ( ), Q( ), R( ), . . . նշանա-կումները: Եթե ցանկանում են ընդգծել, որ ( ) բազմանդամը ո-րդ աստիճանի է, ապա բառերի փոխարեն երբեմն հակիրճ գրառում են՝ Pո( ): ( ) = ( ≠ 0) զրո աստիճանի բազմանդամները զրոյից տարբեր իրական թվեր են: Եթե (1) բազմանդամի բոլոր գործակիցները հավասար լինեն 0-ի, ապա այն համարում են զրոյական բազմանդամ: Այն միակ բազմանդամն է, որը չունի աստիճան: Այդպիսի ( ) բազ-մանդամի համար գրառվում է՝ ( ) ≡ 0: Երկու բազմանդամներ համարվում են հավասար, եթե դրանք միև-նույն աստիճանի են և հավասար են համապատասխան գործակիցները: 20. Բազմանդամների տեսության մեջ առանձնահատուկ տեղ ունեն բազմանդամների բաժանելիությանը վերաբերող հարցերը: Դիցուք, ( ) -ը ո-րդ աստիճանի (n∈ ) բազմանդամ է, իսկ Q( )-ը՝ ոչ զրոյական բազմանդամ: Եթե գոյություն ունի այնպիսի T( ) բազմանդամ, որ ցանկացած –ի դեպքում տեղի ունի ( ) = T( ) ∙ Q( ) հավասարությունը, ապա ասում են, որ ( ) բազմանդամը բաժանվում է Q( ) բազմանդամի վրա: Այդ դեպքում T( ) բազմանդամը կոչվում է ( ) բազմանդամը Q( )-ի բաժանելիս ստացված քանորդ: Ինչպես բնական թվերի բազ-մությունում, այնպես էլ բազմանդամների բազմությունում միշտ չէ, որ բաժանումն իրագործելի է: Սակայն տեղի ունի ավելի ընդհանուր գործողություն, որը կոչվում է մնացորդով բաժանում: Դիցուք՝ տրված են 1-ից ոչ ցածր աստիճանի ( ) բազմանդամը և ոչ զրոյական Q( ) բազմանդամը: Ընդունված է ասել, որ.

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

29

( ) բազմանդամը մնացորդով բաժանվում է Q( ) բազմանդամի վրա, եթե գոյություն ունեն այնպիսի T( ) և R( ) բազմանդամներ, որ ցանկացած – ի դեպքում տեղի ունենա ( ) = T( ) ∙ Q( ) + R( ) (2) հավասարությունը, ընդ որում R(x) -ի աստիճանը փոքր լինի Q( )-ի աստիճանից կամ R( )≡ 0:

Այդ դեպքում T( ) բազմանդամը կոչվում է ոչ լրիվ քանորդ, իսկ R( )-ը՝ մնացորդ: Եթե R( )≡ 0, ապա ասում են, որ ( ) − ն ամբողջությամբ (առանց մնացորդի) բաժանվում է Q( )-ի և գրառվում է՝ ( ) ⋮Q( ): Այդ դեպքում Q( )-ը կոչվում է նաև ( ) բազմանդամի բաժանարար: Բազմանդամների բաժանելիության վերաբերյալ խնդիրներ լուծելիս երբեմն կիրառվում է նաև, այսպես կոչված, անորոշ գործակիցների մեթոդը, որի էությունը կայանում է հետևյալում. Pո( ) բազմանդամը Qm( ) (n≥ ) բազմանդամի վրա բաժանելիս նախապես հեշտությամբ կարելի է որոշել T( ) քանորդի և R( ) մնացորդի տեսքերը (T( )-ը (m-n) աստիճանի բազմանդամ է, իսկ R( )-ը՝ (m-1)–ից ոչ բարձր աստիճանի): Սակայն հնարավոր չէ անմիջապես որոշել այդ բազմանդամների ան-հայտ (անորոշ) գործակիցները: (2) նույնության մեջ Pո( )-ը, Qm ( )-ը, T( )-ը և R( )-ը փոխարինվում են իրենց արտահայտություններով: Այնուհետև, այդ հավասարության աջ մասը բերվում է ստանդարտ տեսքի (ձախ մասն արդեն այդպիսին է), որից հետո համեմատվում են աջ և ձախ մասերի՝ -ի միևնույն աստիճանների գործակիցները: Արդ-յունքում ստացվում են հավասարումների համակարգ, որը հնարավո-րություն է տալիս գտնելու որոնելի գործակիցները (որով էլ հայտնի են դառնում քանորդ և մնացորդ բազմանդամները): 30. Վիետի ընդհանրացված թեորեմը երրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարման համար: Թեորեմ 1: Եթե 1, 2, 3 թվերը երրորդ աստիճանի ( ) = a 3 +b 2+c +d (a≠ 0) բազմանդամի արմատներն են, ապա

1+ 2+ 3= − , 1 2+ 1 3 + 2 3 = , 1 2 3 = − :

30

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

40. Թեորեմ 2: ( ) բազմանդամը ( -a)-ի բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է ( ) բազմանդամի արժեքին՝ = a դեպքում (Բեզուի թեորեմ):

50. Եթե ամբողջ գործակիցներով հանրահաշվական հավասարումն ունի ռացիոնալ արմատ, ապա այն կարելի է գտնել՝ օգտվելով հետևյալ թեորեմից.

Թեորեմ 3: Դիցուք, անկրճատելի կոտորակն ամբողջ գործակից-

ներով ո-րդ աստիճանի + + ⋯ + + = 0 ( ≠ 0) ( 3 ) հանրահաշվական հավասարման արմատ է: Այդ դեպքում p թիվը ազատ անդամի բաժանարար է, իսկ q – ն՝ ավագ գործակցի բաժանարար: Հ ե տ և ա ն ք 1: Եթե ամբողջ գործակիցներերով բազմանդամն ունի ամբողջ արմատ, ապա այն ազատ անդամի բաժանարար է: Հ ե տ և ա ն ք 2: Եթե ամբողջ գործակիցներով բազմանդամի ավագ գործակիցը 1 է, ապա նրա ռացիոնալ արմատները (եթե, իհարկե, գոյություն ունեն) ամբողջ են: Վերոնշյալ 30-50 կետերում բերված պնդումների ապացուցումները առաջարկվում է ընթերցողներին: Օրինակ 1: 3 + + 4 բազմանդամը բաժանել ( 2 + + 2)-ի՝ օգտվելով անորոշ գործակիցների մեթոդից:

Լ ու ծ ու մ: Դիցուք՝ 3 + + 4 = ( 2 + + 2)(a + b) + c + d :

Հավասարության աջ մասը ներկայացնենք բազմանդամի ստանդարտ տեսքով. 3 + + 4 = a 3 + (a + b) 2+ (2a + b + c) + 2b + d:

Օգտվելով բազմանդամների հավասարության պայմանից, կունենանք հետևյալ հավասարումները՝

a = 1, a + b = 0, 2a + b + c = 1 և 2b + d = 4,

որտեղից անմիջապես գտնում ենք՝ a = 1, b = -1, c = 0, d = 6:

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

31

Այսպիսով, 3 + + 4 = ( 2 + + 2)( - 1) + 6: Օրինակ 2: Գտնենք a և b գործակիցները, եթե ( 6 + a 5 + b 2 + - 1)⋮ ( 2 - - 2) : Լ ու ծ ու մ : Դիցուք՝ ( 6 + a 5 + b 2 + - 1) = ( 2 - - 2) Q( ): Այս նույնության մեջ հերթով տեղադրելով x = -1 և x = 2 (որոնք x 2 – x – - 2 բազմանդամի արմատներն են), կունենանք՝

1 – a + b – 2 = 0 և 64 + 32a + 4b + 1 = 0, որտեղից գտնում ենք՝ a = − , b = - :

Օրինակ 3: − 18 + + 24 = 0 հավասարման արմատները կազ-մում են թվաբանական պրոգրեսիա: Գտնել q-ն և նրա արմատները:

Լ ու ծ ու մ: Պայմանի համաձայն՝ + = 2 : Ըստ Վիետի թեորեմի՝ + + = 18: Այդ հավասարություններից հետևում է, որ = 6: Ստացվում է, որ 6-ը տրված հավասարման արմատ է: Տեղադրելով հավասարման մեջ, կստանանք՝ = 68: Մյուս կողմից՝ = −24 (ըստ Վիետի թեորեմի): Այսպիսով՝ + =12 և = −4, որտեղից գտնում ենք՝ = 6 + 2√10; = 6 − 2√10 կամ = 6 − 2√10; = 6 + 2√10 : Պատասխան՝ q = 68: Հավասարման արմատներն են՝ 6; 6 ± 2√10: Օրինակ 4: Գտնենք ( ո + bո) – ը ( + b) –ի բաժանելիս ստացվող մնացորդը, որտեղ n∈ , b≠0:

Լ ու ծ ու մ: Քանի որ +b = -(-b), ուստի որոնելի մնացորդը գտնելու համար բավական է ( ) = ո + bո արտահայտության մեջ – ի փոխարեն տեղադրել -b: Կունենանք՝ (− )=(-b)ո+bո =

0, եթե ո − ը կենտ է,2 , եթե ո − ը զույգ է:

32

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Միաժամանակ ապացուցում ենք, որ ( ո + bո) – ը բաժանվում է ( + b) –ի այն և միայն այն դեպքում , երբ ո-ը կենտ է:

Օրինակ 5: P( ) բազմանդամը ( -3)-ի բաժանելիս ստացվում է 5 մնա-ցորդ, իսկ ( -l)-ի բաժանելիս՝ 7 մնացորդ: Գտնել P( )-ը ( -3)( -1)-ի բաժանելիս ստացվող մնացորդը: Լ ու ծ ու մ: Օգտվելով Բեզուի թեորեմից և հաշվի առնելով խնդրի պայմանները կունենանք՝ (3) = 5 և (1) = 7: Դիցուք, P( )-ը ( -3)( -l)-ի վրա բաժանելիս քանորդում ստացվում է Q( ) բազմանդամ, իսկ մնացորդում՝ R( )=a +b. P( )= ( -3)( -l) Q( )+ a +b:

Այս նույնության մեջ տեղադրելով՝ = 1, այնուհետև ՝ = 3, կունենանք՝ + = 7 և 3 + = 5, որտեղից՝ a = -1, b = 8:

Հետևաբար, որոնելի մնացորդը՝ R(x)= - + 8 բազմանդամն է: Օրինակ 6: Գտնել (5 2 - 4)50( +1)7 արտահայտության փակագծերը բացելիս և նման անդամների միացումից հետո ստացված բազմանդամի.

ա) բոլոր գործակիցների գումարը,

բ) - ի զույգ ցուցիչով աստիճանների բոլոր գործակիցների գումարը,

գ) - ի կենտ ցուցիչով աստիճանների բոլոր գործակիցների գումարը:

Լ ու ծ ու մ: Ամենից առաջ նկատենք, որ P(x) բազմանդամի բոլոր գործակիցների գումարը հավասար է P(1)-ի (դրանում համոզվելու համար բավական է P(x)-ի ստանդարտ տեսքում վերցնել՝ x = 1): Այնուհետև, դժվար չէ համոզվել, որ P(x) բազմանդամի մեջ x-ի զույգ ցուցիչով աստիճանների գործակիցների գումարը հավասար է Р( ) Р( ), իսկ կենտ ցուցիչով աստիճանների գործակիցների գումարը՝ Р( ) Р( ) : Մեր օրինակում՝ P(1) = (5∙12 - 4)50(1+1)7 =27 = 128,

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

33

P(-1) = (5∙ (−1)2 - 4)50(-1+1)7 = 0,

որտեղից էլ ստանում ենք պատասխանները. ա) 128, բ) 64, գ)64:

Օրինակ 7: Լուծենք հավասարումը՝

2 + 7 + 6 + 7 − 6 = 0

Լ ու ծ ու մ: Գտնենք հավասարման ռացիոնալ արմատները: Դիցուք,

անկրճատելի կոտորակն այդ հավասարման արմատ է: Ըստ թեորեմ 3-ի՝ p թիվը պետք է փնտրել ազատ անդամի բաժանարարների, այսինքն՝ ±1, ±2, ±3, ±6 թվերի մեջ, իսկ q-ն՝ ավագ գործակցի դրական բաժանարարների մեջ: Այսպիսով, ռացիոնալ արմատները հարկավոր է փնտրել ±1, ±2, ±3, ±6, ± , ± թվերի մեջ: Տեղադրությամբ

պարզում ենք, որ -3-ը և –ը տրված հավասարման արմատներ են: Հավասարման ձախ մասը մասը վերածենք բազմապատկիչների: Քանի որ =-3-ը և = -ը արմատներ են, ուստի հավասարման ձախ մասը բաժանվում է ( + 3) (2 - 1)-ի: Կատարելով անկյունաձև բաժանում, տրված հավասարումը բերվում է հետևյալ տեսքի՝

( - 3) (2 − 1)( + + 2) = 0

Ստացված արտադրյալի երրորդ բազմապատկիչն արմատ չունի, քանի որ այդ քառակուսային եռանդամի տարբերիչը բացասական է: Այսպիսով, տրված հավասարումն ունի ճիշտ երկու արմատ՝ -3 և ∶

Գ ր ա կ ա ն ու թ յ ու ն

1. Գ.Մ. Միքայելյան, Տարրական մաթեմատկայի մեթոդները հանրա-հաշվում, Երևան, 2006:

2. Կ.Գ.Առաքելյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տար-րեր - 10 (մաթեմատիկայի խորացված ուսուցում): Օժանդակ ձեռ-նարկ բնագիտամաթեմատիկական հոսքի համար: Երևան, 2011:

34

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Методы решения некоторых задач для многочленов одной переменной

Нуне Акопян, Арина Мелкумян Резюме

В статье рассматриваюся основные теоретические вопросы мно-гочленов одной переменной и методы решения некоторых типовых задач, такие методы, которые способствуют более глубокому пони-манию темы, которые могут способствовать для подготовки к олим-пиадам и внеклассовых занятиях, а также могут быть средством для поднятия уровня специализации молодых учителей.

Polynomials, algebrical egualions Nune Hakobyan, Arina Melkumyan

Summary

In this material are offered such methods which promote the deep adoption of the theme. Running tasks are useful for the preparation of competitions and extracurricular, and may also be a means of raising the professional level of young teachers themselves.

Արինա Հրանտի Մելքումյան – Ստեփանակերտի Վիտալի Ջհանգիրյանի անվ. ավագ դպրոցի ուսուցչուհի Հեռախոս՝ 097 24 84 82

Նունե Հակոբյան – ԼՂՀ. Քաշաթաղի շրջանի Բերձորի Վահան Թեքեյանի անվան թիվ 1 միջն. դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցչուհի

Հեռախոս` 095 41 07 08 Էլ. Հասցե` nune.hakobyan.2013@mail.ru

35

ՈՐՈՇ ՆԿԱՏԱՌՈՒՄՆԵՐ ԷԼԵԿՏՐՈՆԱՅԻՆ ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՆՅՈՒԹԵՐԻ ՍՏԵՂԾՄԱՆ

ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ

Գայանե Սիմոնյան

Բանալի բառեր – ցուցադրում, PowerPoint գրաֆիկա-կան խմբագրիչ, ուսուցման գործընթաց, նյութի էլեկտրո-նային մշակում, ռեբուսներ, տեղեկատվական նյութ, մտա-հորիզոնի ընդլայնում, արժեհամակարգ:

Վերջին ժամանակներում համակարգիչը ակտիվորեն ներթա-փանցել է մեր առօրյա: Բացառություն չէ նաև կրթական ոլորտը, մաս-նավորապես՝ հանրակրթությունը, և շատ ուսուցիչներ, ուսումնական գործընթացն առավել արդյունավետ կազմակերպելու նպատակով, հա-ջողությամբ կիրառում են ՏՀՏ-ների ընձեռած հնարավորությունները:

Մանկավարժական միտքը շարունակ փորձում է մշակել մեթոդ-ներ, հնարներ, գտնել միջոցներ՝ հարուստ ու հագեցած ուսումնական միջավայր ստեղծելու նպատակով: Այս հարցում անփոխարինելի դեր ունեն PowerPoint գրաֆիկական խմբագրիչի միջոցով պատրաստված ցուցադրումները, որոնք կարելի է օգտագործել ուսուցման գործընթացի տարբեր փուլերում՝ նոր նյութի հաղորդման, գիտելիքների ամրա-պնդման, ինչպես նաև անցած նյութի կրկնության և ամփոփման ժամա-նակ:

PowerPoint գրաֆիկական խմբագրիչը բավականին պարզ ծրա-գիր է, և ուսուցիչներից շատերն առանց դժվարության կարողանում են

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

36

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

դրա օգնությամբ ցուցադրումներ պատրաստել: Սակայն հարկ է նշել, որ այդպիսի ցուցադրումների պատրաստումն աշխատատար գործ է, և ուսուցչից պահանջվում են մեծ ջանքեր, ժամանակ, ստեղծագործական մոտեցում համապատասխան համակարգչային ծրագրերի իմացություն, ինչպես նաև համակարգչի միջոցով ուսումնական նյութը մշակելու և ներկայացնելու հստակ մոտիվացիա:

Վերջին երեք-չորս տարիների ընթացքում մշտապես հետևել եմ կրթական կայքերում հրապարակվող նյութերին, և իմ դիտարկումները ցույց են տվել, որ «Մաթեմատիկա» բնագավառի առարկաների վերա-բերյալ ուսումնամեթոդական նյութերն իրենց քանակով գրեթե երկու անգամ գերազանցում են ցանկացած այլ առարկայի վերաբերյալ նյու-թերին: Այսինքն, մաթեմատիկայի ուսուցիչներն այս հարցում բավա-կանին ակտիվ են, ինչը շատ ողջունելի է: Չէ՞ որ աշխատանքի արդյուն-քում ծնվում են լավ գաղափարներ, ձևավորվում համապատասխան համակարգչային ծրագրերից օգտվելու հմտություններ և ձեռք է բերվում արժեքավոր փորձ:

Սակայն պետք է նշեմ՝ միշտ չէ, որ ՏՀՏ-ների ընձեռած հնարա-վորություններն ուսուցիչների կողմից օգտագործվում են տեղին՝ ըստ անհրաժեշտության և նպատակի՝ ելնելով թեմայի ուսուցմանը ներկա-յացվող չափորոշչային պահանջներից: Ուստի խոսենք մի քանի սկզբունքների մասին, որոնք մաթեմատիկայի ուսուցիչը պետք է նկատի ունենա ցուցադրում պատրաստելիս: Երբ ուսուցիչը որոշում է տվյալ թեման ուսուցանել ցուցադրման մի-

ջոցով, պետք է հեռանկարում տեսնի ուսումնական նյութը նման ձևով ներկայացնելու ակնհայտ առավելությունները, քան որ կարվեր գրատախտակին կավիճով: Հետևաբար պետք չէ տարվել դասը հա-մակարգչային տեխնիկայի կիրառմամբ անցկացնելու ցանկությամբ, այլ պետք է այնպես անել, որ ցուցադրման կիրառումը լինի առավե-լագույնս արդարացված:

Օրինակ՝ = ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցումը: Քանի որ = − + , ապա = ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է = ֆունկցիայի գրաֆիկը

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

37

միավորով դեպի ձախ տեղաշարժելով և աբսցիսների առանցքի նկատ-մամբ համաչափ արտապատկերելով ([1], էջ 107): Նման դեպքերում ցուցադրման կիրառումը բավականին արդյունավետ է: Սկզբում ցուցա-դրվում է տանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկի դեպի ձախ տեղաշարժը (նկ. 1), հետո ընդհատ գծերով պատկերված տանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկի անհետացումը (նկ. 2), այնուհետև աբսցիսների առանցքի նկատմամբ համաչափի կառուցումը (նկ. 3), իսկ վերջում ցուցադրվում է = − ֆունկցիայի գրաֆիկի անհետացումը և էկրանին մնում է կոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը (նկ. 4): Ակնհայտ է, որ այս և նման դեպքերում

նկ. 2

նկ. 1

38

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

ցուցադրման կիրառումն արդարացված է և ապա-հովում է դիտողականու-թյան անհամեմատ ավելի բարձր մակարդակ, իսկ ժամանակն օգտագործ-վում է ավելի արդյունա-վետ (տես [8]):

Ցուցադրումներն այնպես պետք է պատ-րաստել, որ դրանց կի-

րառմամբ անցկացվող դասի ժամանակ հնա-րավոր լինի դասարանը ներգրավել դասապրո-ցեսի մեջ. Աշակերտնե-րը լինեն ոչ թե պասիվ դիտողի դերում, այլ դառնան ուսուցման գործընթացի ակտիվ մասնակիցներ: Օրի-նակ՝ «Վիետի թեորեմը» թեման ուսուցանելիս դասարանը բաժանում եմ խմբերի, դրանցից յուրաքանչյուրին տրվում է մեկական բերված տես-քի հավասարում և հանձնարարվում գտնել հավասարման միջին ան-դամի գործակիցը, ազատ անդամը, հաշվել տարբերիչը և արմատները: Յուրաքանչյուր խումբ ներկայացնում է իր ստացած թվերը, և ճիշտ պա-տասխանները հայտնվում են էկրանի վրա ցուցադրվող աղյուսակի հա-մապատասխան տողում (նկ. 5): Այնուհետեև խմբերին հանձնարարում եմ հաշվել միջին անդամների գործակիցների հակադիր թվերը, որոնք գրանցվում են աղյուսակի վերջին սյունակում: Իսկ հետո հաշվում են ար-

նկ. 3

նկ. 4

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

39

մատների գումարը, ո-րոնց արժեքները գրանցվում են աղյու-սակի նախավերջին սյունակում (նկ.6): Այնո-ւհետև, նայելով աղյու-սակի վերջին երկու սյունակներին, աշա-կերտները նկատում են, որ բերված տեսքի քա-ռակուսային հավասար-ման արմատների գու-

մարը հավասար է միջին անդամի գործակցին՝ հա-կադիր նշանով (տես [6]): Նման մոտեցման շնորհիվ խթանվում է սովորողների տրամաբանական մտածո-ղությունը, և նրանց հնա-րավորություն է ընձեռվում կատարել համապատաս-խան հետևություններ և եզ-րահանգումներ: Իսկ ուսու-ցիչը, ձերբազատվելով պատրաստի գիտելիք հա-ղորդողի դերից, ստանձնում է դասապրոցեսը կազմակերպողի և վե-րահսկողի դերը: Ուսուցիչը ցուցադման մեջ կարող է ներկայացնել տվյալ թեմային

վերաբերվող այնպիսի լրացուցիչ տեղեկատվական, ցուցադրա-կան կամ հետաքրքրաշարժ նյութ, ինչը սովորական դասերի ժամանակ ցուցադրելու հնարավորությունները սահմանափակ են:

Օրինակ՝ «Քառանիստ և զուգահեռանիստ» թեմայի ուսուցման համար պատրաստված ցուցադրման մեջ ընդգրկել եմ քառանիստի ձև ունեցող մի քանի կառույցների (դրանք, ի տարբերություն քառանկյուն

նկ. 5նկ. 5

նկ. 6

40

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

բուրգի ձև ունեցող կառույցների, աշխարհում շատ քիչ են) վերաբերյալ տեղեկատվական-ցուցադրական նյութ (տես [9]): Առավել հետաքրքիր է Նոր Օռլեանում (ԱՄՆ) կառուցվելիք «Հսկա քառանիստ» շենք-քաղաքի նախագիծը (նկ. 7, 8):

Հետաքրքիր է նաև ցուցադրումներում ռեբուսների, խաչբառների ընդգրկումը:

Օրինակ՝ «Վիետի թեորեմը» դասի ցուցադրման մեջ ընդգրկել եմ մի ռեբուս (նկ. 9), որի վերծանումից ստացվում է «Ճիշտ է նաև Վիետի թեորեմի հակադարձ թեորեմը» նախադասությունը ([5], էջ 226), որից հետո տրվում է հակադարձ թեորեմի ձևակերպումը (տես [6]):

նկ. 7 Նկ .8

Նկ .9

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

41

Ցուցադրումներում այսպիսի նյութերի ընդգրկումը դասապրոցեսը դարձնում է գրավիչ, բովանդակալից ու հետաքրքիր, խթանում է աշակերտների սովորելու ցանկությունը, նպաստում նրանց մտահո-րիզոնի ընդլայնմանն ու արժեհամակարգի ձևավորմանը: Երբ ուսուցիչը ստանձնում է ուսումնական նյութը էլեկտրոնային

մշակմամբ ներկայացնելու պատասխանատու գործը, պետք է լինի չափազանց ուշադիր և հետևողական, որպեսզի չհեռանա գիտա-կանությունից. ներկայացված փաստերը պետք է լինեն հիմնա-վորված, հասկացությունները՝ հստակ ձևակերպված, դատողու-

թյունները՝ որոշակի և կոնկրետ ([4], էջ 15): Ցանկալի է ցուցադրումնե-րում ընդգրկել այնպիսի առա-ջադրանքներ և խնդիրներ, ո-րոնք բացահայտում են մաթե-մատիկական գիտելիքի գործ-նական, կիրառական նշանա-կությունը:

Օրինակ՝ «Սեղանի մակե-րեսը» թեմայի ուսուցման հա-մար պատրաստված ցուցա-դրման մեջ ընդգրկել եմ այն-պիսի խնդիր, որն իր կիրա-ռականությամբ առանձնա-նում է դասագրքում եղած խնդիրներից (նկ. 10, 11) (տես [7]): Այսպիսի խնդիրների լու-ծումը սովորողներին ևս մեկ անգամ հնարավորություն է

նկ. 10

նկ. 9

նկ. 10

նկ. 11

42

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

տալիս համոզվելու, որ մաթեմատիկական գիտելիքների իմացությունն ինքնանպատակ չէ, այլ պայմանավորված է առօրյա կյանքում յուրա-քանչյուրիս առջև ծագած կոնկրետ խնդիրների պատասխանը գտնելու պահանջով ([3], էջ 43): Ցուցադրումներում տեքստերը պետք է լինեն հակիրճ, իսկ առաջ-

նային հասկացությունները՝ ընդգծված: Բանաձևերի, գրաֆիկնե-րի, գծապատկերների և մաթեմատիկայում գործածվող պայմանա-նշանների օգտագործումը, օբյեկտների հայտնվելու, թարթելու, տե-ղափոխվելու կամ անհայտանալու անիմացիոն էֆեկտների ճիշտ կիրառումը հնարավորություն կտան առանց ծավալուն տեքստերով սահիկները ծանրաբեռնելու մատուցվող նյութը դարձնել դիտողա-կան և դյուրըմբռնելի:

Ցուցադրումներ պատրաստելիս պետք է լուրջ ուշադրություն դարձնել դրանց գեղագիտական կողմին. գույները, պատկերները, նկարները պետք է այնպես համադրել, որպեսզի դրանք նպաստեն աշակերտ-ների գեղագիտական ճաշակի ձևավորմանը: Իհարկե, այստեղ կոն-կրետ ցուցումներ տալը դժվար է: Սակայն ուսումնական նյութի հա-մակարգչային ձևավորման ժամանակ մի քանի պարզ կանոնների, այնուամենայնիվ, կարելի է հետևել.

սահիկները «չլցնել» այնպիսի պատկերներով ու նկարներով, որոնք կապ չունեն մատուցվող նյութի հետ,

խուսափել սահիկներում չափից շատ օբյեկտների, ձայնային և ան-իմացիոն էֆեկտների անհարկի օգտագործումից, ինչը կարող է շեղել աշակերտի ուշադրությունը բուն նյութից,

նյութի ներկայացման ձևերը, գրաֆիկական պատկերները, նկար-ները, սահիկների ֆոներն ու դրանց գույներն ընտրելիս հաշվի առնել աշակերտների տարիքային առանձնահատկությունները:

Գրականություն

1. Գևորգյան Գ. Գ., Սահակյան Ա. Ա., «Հանրահաշիվ և մաթեմա-տիկական անալիզի տարրեր 10», դասագիրք հանրակրթական դպրոցի ընդհանուր և հումանիտար հոսքերի 10-րդ դասարանի համար, «Էդիթ Պրինտ» հրատարակչություն, Երևան 2009:

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

43

2. Մաթեմատիկա: Հանրակրթական դպրոցի առարկայական չափո-րոշիչ և ծրագիր, Անտարես, Երևան, 2006:

3. Միքայելյան Հ. Ս., Հանրահաշվի ուսուցման հիմնահարցերը, Էդիթ Պրինտ, Երևան, 2003:

4. Մկրտչյան Հ. Հ., Սահակյան Օ. Վ., Հանրահաշվի դպրոցական դասընթացի դիդակտիկական սկզբունքների վերլուծություն, Մաթեմատիկան դպրոցում, № 5-6, 2000:

5. Նիկոլսկի Ս. Մ., Պոտապով Մ. Կ., Ռեշետնիկով Ն. Ն., Շեվկին Ա. Վ «Հանրահաշիվ 8», «Անտարես» հրատարակչություն, Երևան 2012:

6. Սիմոնյան Գ. Մ., Վիետի թեորեմը` http://lib.armedu.am/resource/1654, Վիետի թեորեմը` http://lib.armedu.am/resource/10746,

7. Սիմոնյան Գ. Մ., Սեղանի մակերեսը` http://lib.armedu.am/resource/10273,

8. Սիմոնյան Գ. Մ., Տանգենս և կոտանգենս ֆունկցիաների հատկու-թյուններն ու գրաֆիկները՝ http://lib.armedu.am/resource/4393,

9. Սիմոնյան Գ. Մ., Քառանիստ և զուգահեռանիստ՝ http://lib.armedu.am/resource/3732:

НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ О СОЗДАНИИ ЭЛЕКТРОННЫХ МАТЕРИАЛОВ ОБУЧЕНИЯ

Гаяане Симонян Резюме

В статье представлены соображения, которые должны учитывать учителя математики при создании презентаций. Примемение презента-ции должно быть мотивировано и должно способствовать органи-зации активного учебного процесса. Презентация может содержать до-полнительный познавательно-наглядный материал, который расширет мировоззрение учащихся, а так же, такие задания, которые выявляют практическое, прикладное значение математических знаний.

44

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

SOME CONSIDERATIONS ON CREATION OF ELECTRONIC TRAINING MATERIALS Gayane Simonyan

Summary

In the article there are presented some considerations, which should be taken into account while preparing presentations. Their use must assist on the organization of the active educational process. The presentation may contain additional informational-demonstrative content to broaden the learners' horizon and tasks, wich reveal the meaning of the practical, applicable importance of mathematical knowledge.

Գայանե Սիմոնյան - Կոտայքի մարզի Ակունքի միջն. դպրոց, մաթեմատիկայի ուսուցչուհի /որակավորման առաջին աստիճա-նի տարակարգ/

Էլ. հասցե՝ simonyan19691121@mail.ru Հեռախոս՝ 0 77 272 808

45

ԻՆՉՊԵՍ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ ԱՌԱՐԿԱՆ ԴԱՐՁՆԵԼ ԱՎԵԼԻ ՀԵՏԱՔՐՔԻՐ ԵՎ ՄԱՏՉԵԼԻ

Արփենիկ Սիմոնյան

Բանալի բառեր –հետաքրքրություն, սրամտություն, ինքնուրույնություն,լրացուցիչ կրթական նյութեր, նոր մտածողություն

Կրթության բովանդակությունը կապված է ուսուցման նպա-

տակների հետ, իսկ վերջիններս բխում են հասարակության պահանջ-մունքներից: Գիտելիքներով զինելու հետ միաժամանակ և դրանց հիման վրա աշակերտներին պետք է սովորեցնել մարդկության կողմից մշակված իմացության և պրակտիկ գործունեության եղանակները: Բայց այդ եղանակները ևս չեն կարող երկար ծառայել: Գիտության և տեխնիկայի առաջընթացի ազդեցության ներքո մարդկության առջև ծառանալու են նոր, առավել բարդ խնդիրներ, որոնց լուծման համար դպրոցում յուրացված հին եղանակները դառնում են անբավարար, իսկ երբեմն էլ բոլորվին ոչ պիտանի: Հարկ է մշակել իմացության և պրակտիկ գործունեության նոր եղանակներ: Դպրոցը դրան նույնպես պետք է պատրաստի իր սաներին: Այն պետք է նրանց տա ոչ միայն հասարակության կողմից կուտակված գիտելիքներ և գործունեության պատրաստի եղանակներ, այլև զարգացնի իմացական պրակտիկ

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

46

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

գործունեության իր նախկինում անհայտ եղանակները ինքնուրույ-նաբար գտնելու, հայտնագործելու ընդունակություններ: Երբ ուսուցիչը աշակերտին մաթեմատիկա է դասավանդում, նա ոչ միայն նրան կյանքի համար անհրաժեշտ գիտելիքներ պետք է հաղորդի, այլ նաև դրա հետ միասին սովորեցնի աշխատել, հաղթա-հարել դժվարություններ, քննադատական վերաբերմունք ունենալ իր նկատմամբ, մեծ նպատակներ դնել իր առջև և, որ գլխավորն է՝ իրենց սովորեցնի ինքնուրույն մտածել և գործել: Ուսումնական պրոցեսի անհատականացման և ընդհանրապես նրա հաջողության առաջնահերթ պայմանը հանդիսանում է բազմապի-սի մեթոդների կիրառւմը ուսումնական պրոցեսի ընթացքում: Բազմա-զան ձևերի օգտագործումն ապահովում է այնպիսի պայմաններ, որոնց առկայության դեպքում սովորողներից ոչ ոք դուրս չի մնում նրանց հի-շողության, երևակայության, դիտողունակության, առանձնահատկու-թյունների, նրանց մտավոր զարգացման և ընդունակությունների վրա ամենից լավ ներգործող միջոներից ու ձևերից: Ուսուցիչը պատասխանատու է աշակերտի մոտ սովորելու նկատմամբ մոտիվացիա առաջացնելու համար:

Մաթեմատիկայի ուսուցչի տրամաբանված հարցադումները աշակերտներին ոչ միայն լիովին համոզում են համապատասխան գի-տական դրույթների ճշմարտության մեջ, այլև նրանց սովորեցնում է մտածել, որոնել, բորբոքում է նրանց հետաքրքրությունը: Աշակերտին պետք է սովորեցնել մտածել և գործել ինքնուրույն՝ նրա ճանապարհին ստեղծելով հաղթահարման ենթակա խնդիրներ ու պրոբլեմային իրա-վիճակներ:

Հանելուկների, տրամաբանական խնդիրների, կատակ խնդիր-ների մաթեմատիկական խաղային օրինակներ ավելի հաճախ կարելի է բերել ցածր դասարաններում՝ մաթեմատիկա առարկայի հանդեպ նրանց սերն ու հետաքրքրությունն առավել ամուր արմատավորելու համար:

Ավելին, աշակերտները ծանոթանակով գիտնականների գոր-ծունեությանը, պատկերացում են կազմում նաև նրանց անձնային ո-րակների մասին, մի բան, որն ունի խոշոր բարոյադաստիարակչական

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

47

նշանակություն: Արդյունքն առավել շոշափելի է դառնում այն ժամա-նակ, երբ ուսուցիչը աշակերտին է մասնակից դարձնում դասին՝ ցան-կանալով պարզել, թե ինչպես նրանք կվարվեին այս կամ այն գիտ-նականի փոխարեն: Այս դեպքում սովորողն ինքն է մասամբ ներգրավ-վում գիտական որոնումներ մեջ:

Հայտնի է, որ դպրոցում վճռական դերը պատկանում է ուսուց-չին, նրա անձին, պրոֆեսիոնալ բանիմացությանն ու մանկավարժա-կան վարպետությանը: Նա պետք է իրազեկ լինի նոր կրթակարգին, պետական և առարկայական չափորոշիչներին, նրանցում ամրագր-ված ընդհանրական պահանջներին, երաշխավորվող ուսուցման մե-թոդներին ու եղանակներին:

Բայց և այնպես, չնայած արդի նորարարական մեթոդներին, անհնար է մաթեմատիկայի դասին նոր գիտելիքների մատուցումը ա-ռանց հետազոտական, նախագծային (պրոբլեմային) ուսուցման մե-թոդների: Այդ դեպքում ևս, ուսուցիչը պետք է առավել մեծ դերն ու մաս-նակցությունը տա աշակերտին: Իսկ բացատրելու եղանակին կարելի է դիմել, երբ անհրաժեշտ է լինում որոշ ելակետային դրույթների հիման վրա սահմանել նոր հասկացություններ՝ ինչ-որ տեսություն կառուցելու համար: Բացատրելու եղանակը արդյունավետ է օգտագործվում, երբ անհրաժեշտ է մեկնաբանել ու բացատրել նոր հասկացություններ, աք-սեոմաներ, թեորեմներ ու խնդիրների լուծման եղանակներ:

Մաթեմատիկայի դասին ուսուցիչը նաև կարող է աշակերտնե-րին հաղորդել այնպիսի կրթական նյութեր, նորություններ, հայտնա-գործություններ, որոնք չեն արտացոլված դպրոցական դասագրքե-րում: Բայց նման գիտելիքներ չպետք է դիտվեն որպես սովորելու համար պարադիր գիտելիքներ:

Օրինակ: Դպրոցական օլիմպիադա 2016թ. 9-րդ դասարանի վարժություն 18: Գտնել 8!(8!=1·2·3·4·5·6·7·8) թվի բաժանարարների քանակը:

Այս խնդիրը լուծելու համար՝ նախ թիվը ներկայացնում ենք պարզ թվերի արտադրյալի տեսքով, այնուհետև բերում կատարյալ տեսքի. n= · · ··· , որտեղ P1, P2, P3,…, Pk-ն իրարից տարբեր պարզ թվեր են: Բոլոր բաժանարարների а քանակը որոշվում է հետևյալ բանաձևով a = (a1+1) · (a2+1) · (a3+1) ···(ak+1): Այսպիսով՝

48

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

8! =1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8=1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 2 · 2 · 2 = 27 · 32 · 51 · 71, բաժանարարների քանակը կլինի՝ (7+1) · (2+1) · (1+1) · (1+1) կամ 96:

Մաթեմատիկա առարկայի դասավանդման ժամանակ ուսուց-ման խնդիրներից մեկը սովորողների տրամաբանական մտածողու-թյան զարգացումն է, կնշանակի՝ ուսուցչի ձևակերպումները պետք է լինեն լեզվատրամաբանական մտածողության իսկական օրինակ, ճարտարապետական մի կառույց:

Դասը հետաքրքրիր դարձնելը մանկավարժական վարպետու-թյան էական կողմերից մեկն է: Դրան կարելի է հասնել ուսուցչի բովան-դակալից, ճշգրիտ և գեղեցիկ շարադրանքի միջոցով, համեմված զգաց-մունքների ջերմությամբ, փոխաբերական ու թևավոր արտահայտու-թյուններով, տեղին կատարած սրախոսություններով, կատակով և այլն:

Օրինակ: 5-րդ դասարանում <<Բնական թվերի բաժանումը>> դասի մեջ հիմնավոր ձևակերպված է, թե ինչու թիվը չի կարելի բա-ժանել 0-ի: Որպեսզի աշակերտը այդ փաստը երբեք չմոռանա, ներկայացնում եմ հետևյալ <<աճպարարությունը>>. 6-րդ դասարանի դաս 41 <<մաթեմատիկական սոփեստություններ>> դասում առկա թիվ 1 օրինակը՝ թե ինչպես է ապացուցվում, որ 4 = 3, և աշակերտներից պահանջում գտնել, թե որտեղ եմ ես նրանց խաբում:

Մանկավարժական սրամիտ, տրամաբանված ու հիմնավորված պատասխանը շատ դեպքերում նաև պետք է գալիս այն ժամանակ, երբ աշակերտը որևէ թեմա լավ չյուրացնելու դեպքում փորձում է արդարանալ հետևյալ հարցադրմամբ <<ինչի΄ս է պետք, մեկե դա ինձ կյանքում պետք չի գալու>>: Բայց չէ՞ որ մաթեմատիկան բոլոր գիտու-թյունների հիմնաքարն է, և գոյություն չունի մի այնպիսի մասնագիտու-թյուն, որտեղ մաթեմատիկան կամ մաթեմատիկական տրամաբանու-թյունը պետք չլինի, դե իսկ կյանքում, անխոս, առավել քան ան-հրաժեշտ է: Չէ՞ որ կյանքն ինքնին իրար հաջորդող նպատակների մի ամբողջություն է: Իսկ այդ նպատակների ծնունդը, ստեղծումը, հիմնա-վորումը, դրանց հասնելու ուղին, ձգտումները, հանդիպող խոչնդոտ-ները, խնդիրները, իրագործված նպատակի հաճույքը, վայելքն ու բերկ-րանքը մի ամբողջ գիտական աշխատանք է՝ համեմված տրամաբանու-թյամբ: Այդ իսկ պատճառով ուսուցիչը գիտելիքների շարադրման ըն-թացքում պետք է աշխատի բոլոր հնարավոր դեպքերում դրանք կապել

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

49

կյանքի հետ: Իսկ իրականության ճանաչողության մեջ մաթեմատի-կայի ներգրավման կարևոր ճանապարհներից մեկը մաթեմատի-կական մոդելավորման մեթոդն է: Սա մաթեմատիկայի գործնական կի-րառության ճանապարհն է՝ կյանքում առաջացած գործնական խնդիր-ների ուսումնասիրության և լուծման մեջ մաթեմատիկայի կիրառության ճանապարհը:

Գերազանցապես սովորողների ինքնուրույն աշխատանքի վրա է հիմնված ուսուցման անհատականացումը ծրագրավորված և պրոբլե-մային ուսուցումը և այլն: Պրոբլեմային ուսուցման ընթացքում սովորո-ղը ստանում է ոչ թե պատրաստի գիտելիքներ, այլ որոնում և գտնում է դրանք: Այդ ընթացքում դրսևորվում են այնպիսի արժեքներ, որոնք մե-ծացնում են մաթեմատիկական նյութի նկատմամբ հետաքրքրությունը, սովորողին մղում ստեղծագործական ակտիվության:

Մաթեմատիկայի դասին ինքնուրույն աշխատանքն իր բնույթով խիստ բազմազան է՝ լինի դա թե աշխատանք գրքով, և թե վարժու-թյունների ու խնդիրների լուծում:

Օրինակ: 8-րդ դասարան՝ դաս 4.1-ը <<Թվային անհավասարու-թյունների հատկությունները>> շատ ծավալուն է՝ պարունակում է հինգ կանոն, 8 հատկություն (նաև 4) 3 խնդիր՝ իրենց օրինակներով ու ապա-ցույցներով: Այս դասը ես վարում եմ այսպես. այդ 16 կետերն ըստ հերթականության բաժանում եմ աշակերտներին՝ ըստ մատյանի հեր-թականության, որոշ աշակերտներին նույն կետն եմ հանձնարարում՝ որպես օգնող և լրացնող անձեր: Հանձնարարում եմ ինքնուրույն տե-ղում սովորել յուրաքանչյուրին հանձնարարված կետը:

Նախապես պատրաստում եմ պաստառ, որտեղ պետք է լրաց-նեն աշակերտները: Հանձնարարված ժամանակից հետո սկսում են աշխատանքը. յուրաքնչյուր աշակերտ նախ բանավոր ձևակերպում է իր կանոնը կամ հատկությունը, այնուհետև հակիրճ, իմ օգնությամբ գրում պաստառին, իսկ ապացույցն ու օրինակները գրում է գրատախ-տակին և բացատրում: Բայց նման աշխատանքի համար սովորաբար 1 դասաժամը չի բավականացնում, դասը շատ հագեցած է ստացվում: 2-րդ դասաժամին դասն ամբողջությամբ ամփոփելուց հետո պատ-րաստ է լինում նաև պաստառը՝ գեղեցիկ, հակիրճ ու ընկալելի գրված

50

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

կանոններով ու հատկություններով, որը կուղեկցի մեզ մինչև գլուխ 4-րդի ավարտը: Մարդը լրջորեն մտածում է, երբ նրան մտածելու նյութ են տա-լիս, նրա առջև խնդիրներ ու պրոբլեմներ դնում: Ինքնուրույն աշխա-տանքներն աշակերտից պահանջում են մտածողության ուժերի լարում, վերլուծելու, որոնելու կարողութուն, ուրեմն և զարգացնում են այդ ու-ժերն ու կարողությունները: Մաթեմատիկա առարկայի դասավանդման ժամանակ պետք է ունենալ նյութի մատուցման գործընթացի նկատմամբ ստեղծագործա-կան մոտեցում, համառ պայքար չեզոքության և քարացածության դեմ, նոր մտածողություն աշխատանքային նոր ոճ:

Օրինակ: Ստորև կներկայացնեմ մի քանի ֆունկցիաների գրա-ֆիկների պատկերման այնպիսի մոտեցում, որը համոզված եմ և΄ ուրա-խություն, հաճույք կպատճառի աշակերտներին, և նաև կտպավորվի նրանց հիշողության մեջ շատ երկար ժամանակ:

Պարում են գրաֆիկները

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

51

Մաթեմատիակայի դասին կարևոր կետերից է գիտելիքների և հմտությունների ամրապնդումը, որոնց իրականացման հիմնական մեթոդը կրկնությունն է:

ՈՒսուցչի խոսքը համոզիչ լինելու համար նա պետք է գերազանց կերպով տիրապետի իր դասավանդած առարկային, ընդ որում ոչ թե դպրոցական ծրագրերի և դասագրքերի, այլ շատ ավելի ընդարձակ ծավալով: Ծրագրերը և դասագրքերը ուսուցչի գիտելիքների չափանիշ չեն, այլ միայն աշակերտների: Եվ եթե մեկն իր առարկան գիտի միայն ծրագրերի և դասագրքերի ծավալով, նա երբեք այդքանը չի կարող հա-ղորդել, ապացուցել, մանավանդ սովորեցնել իր աշակերտներին:

Հասկացնել կարող ես միայն այն, ինչ ինքդ լավ գիտես: Իրականում ուսուցման արվեստն անպայման ընդգրկում է իր մեջ

այն հետաքրքիր, աշխույժ, կենսուրախ, հաճելի և գրավիչ դարձնելու շնորհքն ու կարողությունը: Որպեսզի ուսոցումն արդյունավետ լինի, պետք է ներգործել սովորողի ոչ միայն գիտակցության վրա, քանզի մարդը միայն գիտակցությունից չի բաղկացած, այլ զգացմունքների վրա, առաջացնել նրա մեջ սիրո, ատելության, զայրույթի, կարեկցու-թյան և այլ զգացմունքներ: Միանգամայն բնական է, երբ աշակերտը դասի ժամանակ և՜ ուրախանում է, և՜ ծիծաղում, և՜վշտանում ու նույն-իսկ հուզվում, լաց լինում: Դասը նրա կյանքի մի մասն է, որին չեն կա-րող խորթ լինել կյանքի պատճառած վերապրումները:

Как математику, как предмет, сделать

более интересной и доступной Арпеник Симонян

Резюме

В статье приводятся примеры собственного опыта преподавания, которые помогут увеличить любовь и интерес учащихся к математике. Она включает в себя творческие подходы ведения урока, новые методы в 5-ом классе, 8-ом классе, 9-ом классе и графических представлений функций в 10-ом классе.

52

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

How to make mathematics more interesting and accessible Arpenik Simonyan

Summary

The article includes examples of own teaching experience, which will help to increase the affection and interest in mathematics by pupils. It includes creative approaches to the topic conducted, new methods to 5th grade, 8th grade, 9th grade and 10 graphic representations of functions.

Արփենիկ Սերյոժայի Սիմոնյան - ՀՀ Սյունիքի մարզի Կապան քաղաքի թիվ 6 հիմնական դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցչուհի:

Հեռախոս - 093 111 240 Էլ. հասցե - arpeniksimonyan@mail.ru

53

ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ ԵՎ ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄԸ ՈՐՊԵՍ

ԱՇԱԿԵՐՏՆԵՐՒ ՃԱՆԱՉՈՂԱԿԱՆ ԵՎ ՈՐՈՆՈՂԱԿԱՆ ԿԱՐՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ՁԵՎԱՎՈՐՄԱՆ ՄԻՋՈՑ

Ջուլետա Վարդանյան

Բանալի բառեր - գիտելիք, խնդիր, մաթեմատիկա, հետա-քրքրություն, ճանաչողական կարողություն, տրամաբանություն

Հարցադրումը

Աշակերտների գիտելիքների, կարողությունների, հմտություն-ների ձեռք բերման գործընթացում կարևոր դեր ունի նրանց ճանաչո-ղական և որոնողական հետաքրքրությունների ձևավորումը: Վերջինս ունի նաև հետադարձ ուժ: Այն ազդում է անձի և´ դաստիակության, և´ ընդհանուր զարգացման վրա:

Հասկանալի է, որ այս ամենի համար պետք է լինի համապա-տասխան միջավայր, ինչը կապված է շատ գործոնների հետ: Այդ գործոնների ամենակարևոր դերակատարումը վերապահված է ուսուցչին:

Ուսուցիչը լավ գիտի, որ դասարանում կան և´մաթեմատիկա առարկայով հետաքրքրված աշակերտներ և´ այնպիսիները, որոնք թե-կուզև սովորում են, բայց հատուկ ջանքեր չեն ցուցաբերում մաթեմա-տիկական այս կամ այն խնդրի լուծման, ինչպես նաև բերված լուծումը լիարժեք հասկանալուն: Դրանք մաթեմատիկայի նկատմամբ հետա-

54

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

քրքրություն չունեցող, կամ տարբեր պատճառներով ետ մնացող (գի-տելիքների բացթողում ունեցող) աշակերտներն են: Սա ուսուցչի մոտ առաջացնում է պրոբլեմային իրավիճակ. ինչպե՞ս անել, որ մաթեմա-տիկայի առարկան հետաքրքիր դառնա բոլորի համար: Իմ կարծիքով, ինչպես, այնպես էլ արտադասարանական միջոցառում-ների և պարապմունքների ընթացքում, հարմար է դիտարկել հետա-քրքրաշարժ, տրամաբանական, ինչու չէ նաև խաղային խնդիրներ, ռե-բուսներ, որոնք իրենց մեջ պարունակեն հաղթահարելի դժվարություն-ներ, և որոնք այս կամ այն կերպ կապված լինեն իրական իրավիճակ-ների հետ: Դրանք հնարավորություն կտան, որ «հայտնագործողի» դե-րում հանդես գա աշակերտը, ինչը նպաստում է բարձրացնել նրա ակտիվության մակարդակը: Ճանաչողական հետաքրքրության ակտիվացման համար մեծ դեր են խաղում տվյալ թեմայի վերաբերյալ պատմական տեղեկություններ պարունակող խնդիրները: Ահավասիկ` [1] դասագրքում «Երկրաչա-փական պրոգրեսիայի անդամների գումար» թեման սկսվում է լեգենդի պատմությամբ, ըստ որի Հնդկաստանի թագավորը ցանկանում է պարգևատրել շախմատի գյուտարարին,վերջինս հրաժարվելով թա-գավորի նվերներից` խնդրեց իր շախմատային տախտակի 64 վան-դակներից առաջինի համար ցորենի 1 հատիկ, երկրորդի համար` 2, երրորդի համար` 4 և այլն: Թագավորը մտածելով, որ խաղի հեղինակը կյանքի հարցերում իմաստուն չէ, որքան շախմատի ասպարեզում, այնուամենայնիվ հանձնարարեց կատարել նրա խնդրանքը: Բայց մեծ եղավ թագավորի զարմանքը, երբ հայտնեցին, որ նույնիսկ աշխարհի ցորենի քանակը բավարար չէ խնդրանքը կատարելու համար: Այս պատմությամբ մենք առաջացնում ենք զարմանք և հետա-քրքրություն աշակերտների մոտ, կարողանում ենք դասը դարձնել գրավիչ բոլոր աշակերտների համար, մանավանդ երբ նրանք հեշ-տությամբ համոզվում են, որ ցորենի հատիկների քանակները կազմում են 2 հայտարարով և 1 առաջին անդամով երկրաչափական պրոգրե-սիա, որի անդամների թիվը 64 է: Իսկ այդ պրոգրեսիայի անդամների գումարի հաշվումը դասագրքում կատարված է շատ պարզ, մատչելի և հնարամիտ եղանակով: Կազմենք S գումարը. S=1+2+22+….+263:

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

55

Հավասարության երկու մասերը բազմապատկենք 2-ով. 2S=2+22+…263+264: 2-րդ հավասարությունից հանենք 1-ինը. 2S-S=(2+22+…263+264)- (1+2+22+….+263)=264-1: Այսպիսով, հաշվարկը ցույց է տալիս, որ թագավորը շախմատ խաղը հնարողին պետք է տար

1212

122...2221 64

646332 −=

−−=+++++ հատ ցորենի հատիկ:

Հետաքրքիր է աշխակերտների հոգեբանական վիճակը հե-տևյալ խնդրի հարցադրման ժամանակ: Երեք ընկերներ գնում են ռեստորան: Պատվիրվածը ուտել վերջացնե-լուց հետո մատուցողը յուրաքանչյուրից պահանջում է 10-ական դոլլար գումար: Ստացած 30 դոլլար գումարը տալիս է գանձապահին: Գան-ձապահը 5 դոլլարը համարելով ավել, ետ է վերադարձնում մատուցո-ղին, որպեսզի նա տա հաճախորդներին: Ճանապարհին մատուցողը 2 դոլլարը պահում է իրեն և մնացած 1-ական դոլլարը տալիս է հաճա-խորդներին: Այժմ հետևում է հարցադրումը.- Ստացվում է, որ յուրաքանչյուր ընկեր վճարել է 9-ական դոլլար, իսկ 2 դոլլար էլ մնացել է մատուցողի գրպանում: Ունեցանք 29293 =+⋅ դոլլար գումար, մինչդեռ վճարվել էր 30 դոլլար: Բա ո՞ւր մնաց 1 դոլլարը:

Առաջացած սոփեստությունը հաղթահարել այդքան էլ հեշտ չէ: Պետք է համոզիչ բացատրել երեխաներին, թե հաշվարկի ո՞ր մասում է առաջացել սխալը, դրանով մեծացնելով ուշադրությունը հարցում ներկայացվող պայմանի յուրաքանչյուր բառի նկատմամբ, մասնավո-րաբար 2793 =⋅ դոլլարի հաշվարկում արդեն մասնակցել է այն 2 դոլ-լարը, որը մնացել էր մատուցողի մոտ:

Չէ՞ որ 27 դոլլար վճարելիս 25-ն են վճարել իրենց ճաշելու համար, իսկ 2 դոլլարը այդ 27-ից առանց հաճախորդի կամքը հարցնելու գրպանել էր մատուցողը: Սա միաժամանակ ստեղծում է իրավիճակ, երբ մարդը հաշվարկելիս չպետք է կորցնի զգոնությունը:

56

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

Հետաքրքրաշարժ խնդիրներ կրտսեր և միջին դպրոցականների համար

Խնդիր N1: Տված են 6 քարտեր, որոնց վրա գրված են հետևյալ թվերը.

2 309 5 7 68 41

Այդ քարտերը դնելով կողք-կողքի՝ ստանալ հնարավոր ամենա-մեծ բնական թիվը, այնուհետև կարդալ այն (քարտերը կտրել չի կարելի): Այս խնդիրը լուծելիս սովորաբար երեխաները տված քար-տերը իրար կողք-կողքի դնում են ձախ մասերի սկզբնական թվա-նշանների նվազման կարգով` մեծից փոքր և ստանում են`

7 68 5 41 309 2

պատասխանը: Ավելի ուշ հասկանում են քարտ բառի իմաստը, երբ նկատում են, որ 68 թիվը նշող քարտը կարելի է շրջել: Այդ դեպքում կստանանք.

89 7 5 41 309 2

խնդրի պահանջին բավարարող պատասխանը: Այս խնդիրը կարելի է կիրառել «Բնական թվեր» թեմայի ուսուցման ժամանակ: Խնդիր N2: Եռանկյան կողմերի երկարությունները արտահայտվում են բնական թվերով, որոնք չեն գերազանցում.

ա) 10, բ) 100, գ) 2016-ը:

Քանի՞ այդպիսի եռանկյուն կա, եթե հայտնի է, որ նրանցից յուրաքանչ-յուրն ունի 1 միավոր երկարությամբ կողմ:

Հիմնական շեշտադրումը այս խնդրում երեք հատվածներով եռանկյուն կառուցելն է,որի հիմքում ընկած է եռանկյան անհավասարությունը, համաձայն որի՝ երկու 2 փոքր կողմերի գումարը պետք է մեծ լինի երրորդ կողմից: Այնպես, որ եթե կողմերից մեկը 1 (սմ) է, ապա մնացած երկուսը պետք է լինեն իրար հավասար:

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

57

Պատ.` ա) 10; բ) 100; գ) 2016:

Խնդիր N3: Տրված է 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 թվանշանները: Չփոխելով նրանց դասավորությունը՝ դնել միայն «+» կամ «-» նշանները այնպես որ ստացվի 100:

Պատ.` Հնարավոր լուծումներից մեկն է`

100986754312 =++++−+ , գտնել այլ լուծում:

Խնդիր N4: Օգտվելով թվաբանական գործողություններից և փակագծերից չորս հատ 5 թվանշանով ստանալ 30:

Պատ.` 305)5:55( =⋅+ : Խնդիր N5: Հինգ հատ 2 թվանշանով ստանալ. ա) 28, բ) 0-ից մինչև 16 եղած բոլոր թվերը, գ) ստանալ 17` օգտվելով նաև աստիճանի գրելաձևից:

Խնդիր N6: 8 հատ 8 թվանշանով ստանալ 1000:

Խնդիր N7: Կետերը փոխարինել թվանշաններով և վերականգնել գործողությունը:

ա) 2 7 • • 5 • • •

8 • • Լուծում: Պարզ է, որ գործողությունը բազմապատկում է: Երկրորդ ար-տադրիչի վերջին թվանշանը 2 է, քանի որ ստացվել է 5 •: Երկրորդ արտադրիչի I թվանշանը 3 է, քանի որ վերջում ստացվել է 8 • •:

Պատ.` 27 · 32 = 864:

Խնդիր N8: Գտեք օրինաչափությունը և ավելացրեք ևս 2 թիվ.

58

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

ա) 1, 4, 13, 40, 121, … բ) 2, 2, 4, 6, 10, 16, … գ) 1,2, 5, 10, 17, … : Լուծում: ա) Յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ ստացվում է իր նախորդը բազ-մապատկած 3-ով և գումարած 1:

1134 +⋅= ; 14313 +⋅= ; 113340 +⋅= ; 1403121 +⋅= : Ուստի` հաջորդը կլինի.

36711213 =+⋅ ; 110213673 =+⋅ : Լուծել բ)-ն և գ)-ն:

Խնդիր N9: Մի ուղիղի վրա նշված չորս կետերով քանի՞ հատված է առաջանում:

Լուծում:

Նույն հարցին պատասխանել 5; 6; 10; 100 կետերի դեպքում:

Կետերը նշել տառերով և սկզբում գրել A սկզբնակետով եղած բոլոր հատվածները AB ; AC ; AD , հետո B սկզբնակետով եղածը` BC ; BD , հետո C-ով` CD :

Պատ.` 6123 =++ :

Խնդիր N10: Հարթության մեջ տրված են 8 կետեր: Նրանց ցանկացած երկու հարևան կետերի միջև եղած հեռավորությունները իրար հավասար են (տե´ս գծագիր): Քանի՞ քառակուսի կա, որոնց գա-գաթները գտնվում են այդ կետերում:

Պատ.` 4 քառակուսի (տե´ս նկարը).

A B C D

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

59

բ) Պատասխանել նույն հարցին 9 կետերի դեպքում (տե´ս գծագիրը):

ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ ԽՆԴԻՐՆԵՐ ՄԻՋԻՆ ԵՎ ԲԱՐՁՐ ԴԱՍԱՐԱՆՑԻՆԵՐԻ ՀԱՄԱՐ

Խնդիր N12: Գտնել ABCD քառանկյան մակերեսը, եթե 5=AB (սմ), 13=BC (սմ), 9=CD (սմ), 15=DA (սմ), 12=AC (սմ):

Այս խնդրի ճանաչողական հետաքրքրությունը կայանում է նրանում, որ քառանկյան կողմերը և անկյունները այնպիսին են, որ տեղի ունի Պյութագորասի թեորեմի հակադարձը: Քանի որ

222222 13125 BCACAB ==+=+

և բացի այդ

222222 15912 ==+=+ DACDAC : Ուստի

842

912

2

125 =⋅+⋅=+= ACDABCABCD SSS (սմ2): Պատ.` 84 (սմ2):

Խնդիր N13: Գտնել ABCD քառանկյան մակերեսը, եթե 8=AB (սմ), 6=BC (սմ), 24=CD (սմ), 26=DA (սմ) և 10=AC (սմ):

Լուծելիս առաջին հայացքից թվում է, թե մենք գործ ունենք ըստ էության նույն խնդրի հետ: Մինչդեռ դա պարզապես խաբուսիկ իրավի-ճակ է: Իրոք: Մի դեպքում ունենք(ա), իսկ մյուս դեպ-

A

B

C

D

D

91

1

15

60

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

քում`(բ) դեպքերը: Խնդիրը ունենում է երկու լուծում: 222 ACBCAB =+ , 222 1068 =+ ,

222 ADCACD =+ , 222 261024 =+ ,

144120242

2410

2

68 =+=⋅+⋅=ABCDS (սմ2):

Պատ.` 144 (սմ2):

(բ) դեպքում, երբ քառանկյունը ո´չ ուռուցիկ է, կստանանք

96241202

68

2

2410 =−=⋅−⋅(սմ2):

Նախորդ դեպքը, երբ ACCD ⊥' լինի վերին կիսահարթությունում, քառանկյուն չէինք ունենա: Շատ ուշագրավ` նկատառում:

Խնդիր N12 -ը և Խնդիր N13-ը կարելի է կիրառել «Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմը » թեմայի ուսուցման ժամանակ:

Խնդիր N14: Խանութ բերեցին 6 տակառ գինի: Առաջինում կար 17 լ գինի, II-ում` 23 լ, III-ում` 20 լ, IV-ում` 30 լ, V-ում` 19 լ, իսկ VI-ում` 10 լ: Խանութ եկած 2 գնորդները գնեցին տակառներից 5-ը: Ընդ որում, 1-ին գնեց 2 տակառ, իսկ 2-րդը` 3 տակառ գինի: Պարզվեց, որ առաջին գնորդի գնած գինին 2 անգամ քիչ էր երկրորդ գնորդի գնածից: 6 տակառներից ո՞րը մնաց խանութում:

Լուծում: Խնդրի լուծման բանալին այն է, որ տված 6 թվերից 5-ը պետք է այնպիսի երկու խմբի բաժանել, 2 և 3 թվերից կազմած, որ I խմբի 2 թվերի գումարը 2 անգամ փոքր լինի երկրորդ խմբի 3 թվերի գումարից: Փորձերից հետո ստուգվում է միայն մեկ տարբերակը. 331023 =+ և

A

B

C

D

1

22

D

2

68

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

61

66193017 =++ , որն էլ բավարարում է խնդրի պայմանին: Հետևա-բար մնում է միայն 20 լ-ոց տակառը:

Պատ.` III տակառը:

Խնդիր N15: Տակառներից մեկը լցված է գինով, իսկ նրանից երկու անգամ մեծ տակառը լցված է ջրով: Մեծ տակառից 1 բաժակ ջուր լցնում են գինով լցված տակառի մեջ (այն չի թափվում), այնուհետև ստացված խառնուրդից 1 բաժակ լցնում են ջրով լցված տակառի մեջ: Հարց - գինով լցված տակառի մեջ ավելի շատ ջո՞ւր մնաց, թե՞ ջրով լցված տակառի մեջ գինի:

Լուծում: Արտաքինից այս պարզ թվացող խնդիրը լուծել հեշտ չէ: Մինչդեռ այն ունի հատուկ լուծում: Իրոք:

I քայլ – 1 բաժակ ջուր (ջրի տակառից) լցրեցինք գինու մեջ - ջուր: Այնուհետև, գինու տակառից հանած 1 բաժակ խառնուրդը այնտեղ կլինի`

(ջուր + գինի) որոշակի քանակության գինի և ջուր: Ընդ որում գինի կլինի այնքան, որքան ջուր մնաց գինու տակառում: Սա էլ լցնել ջրի տակառի մեջ: Ինչպես ասում են ամեն մի հանճարեղ բան հասարակ է: Վերջնական արդյունքը կապ չունեցավ տակառների տարողությունների հետ:

Պատ.` հավասար են:

Խնդիր N16: Օգտվելով դպրոցական դասընթացից հայտնի մաթեմա-տիկական սիմվոլներից և գործողություններից՝ 3 հատ 5 թվանշանի օգնությամբ ստանալ 3:

Ահա այս խնդրի մի քանի լուծում:

)5!5(log3 5 += , 5:5]5[3 += , 3=[ 5 ]+[ 5 ]+[ 5 ]:

62

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

Խնդիր N17: Լուծել խնդիր N16-ը միայն 2 հատ 5 թվանշանի օգտագործմամբ:

Լուծում: 3=[ 5 ]+[ √ ], [ √ ]=2-ը √ -ի ամբողջ մասն է:

Խնդիր N18: Լուծել խնդիր N 17-ը մեկ հատ 5 թվանշանի օգտագործմամբ:

Լուծում: [ ] 3...309 ,3],...95,10[]120[]!5[3 ===== :

Գրականություն

1. Հ.Ս. Միքայելյան – Հանրահաշիվ 9, Երևան, 2008թ. 2.Բ.Ա. Կորդեմսկի – Մաթեմատիկական հնարամտություն Հ-2, Երևան,«Հայաստան», 1967թ. 3. Ա. Հակոբյան, Ն. Խրիմյան – Տրամաբանական խաղեր, Երևան, 2007թ. 4.Я.И. Перельман – Веселые задачи, М., Астрель, 2003г. 5.Յա.Ի. Պերելման – Հետաքրքրաշարժ հանրահաշիվ, 1962թ. 6. Բնագետ N1-2, 2009. Ա.Ս. Միքայելյան – Գործողություններ մաթե-մատիկական սիմվոլների օգնությամբ, էջ 28-33

Использование занимаательных и логических задач, как средство развития познавательных и мыслительных способностей учеников

Варданян Джулета Резюме

Рассмотренные в статье задачи, способствуют формированию и развитию познавательной заинтересованности, логического мышления и чуткости, для правильного восприятия выдвинутых условий и пос-тавленных вопросов, что в свою очередь оказывает положительное влияние на такие психические процессы, как память и внимание, которые стимулируют проявления познавательного интереса учащихся,

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

63

придавая учебному процессу определенную активность и направ-ленность.

The use of interesting and logical tasks as a means of tool for developing pupils' cognitive and research capabilities

Vardanyan Juleta Summary

The problems observed in the work enable the pupils to form and develop their cognitive interests, logical way of thinking, as well as alertness towards raising questions and exact perception of conditions. They also have a positive influence not only over the studying process, but also psychological processes,including thinking, imagination, memory, and attentiveness, which may acquire a special activeness and redirection due to the influence of cognitive interest.

Ջուլետա Ռուբենի Վարդանյան - Պ.Սևակի անվան հ.123 հիմնական դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցչուհի:

Հեռախոս` 077 45 09 19 Էլ.հասցե` julia.vardanyan.71@mail.ru

64

Տ ե ղ ե կ ո ւ թ յ ո ւ ն ն ե ր թ ղ թ ա կ ց ո ւ թ յ ա ն կ ա ր գ ի մ ա ս ի ն

• Քաղաքացիները ներկայացրած հոդվածների և թղթակցությունների (նա-

մակների, հաղորդումների) միջոցով կարող են ամսագրի բովանդակային ուղղվածությանն առնչվող հարցերի վերաբերյալ ազատորեն արտա-հայտել իրենց տեսակետներն ու կարծիքները, կատարել հարցադրում-ներ, ամսագրի միջոցով հաղորդել և ստանալ հավաստի լրատվություն:

• Հոդվածներն ու թղթակցությունները ներկայացվելու են հայերեն լեզվով, համակարգչային շարվածքով` տպագրված և էլեկտրոնային տարբերակ-ներով, ներառելով նաև բանալի բառեր, համառոտ ամփոփումներ /50-60 բառի սահմաններում /ռուսերեն և անգլերեն լեզուներով, ինչպես նաև տեղեկություններ հեղինակի մասին /անունը, ազգանունը, կրթությունը, գիտական աստիճանը, կոչումները /եթե այդպիսիք ունի/, աշխատանքի վայրը, էլեկտրոնային հասցեն, հեռախոսը/:

• Հեղինակը պատասխանատվություն է կրում ներկայացրած հոդվածի կամ թղթակցության մեջ պարունակվող տեղեկությունների համար:

• Առանց հեղինակի համաձայնության` փոփոխված կամ վերախմբա-գրված նյութերը խմբագրության կողմից չեն թողարկվում:

• Խմբագրությունը պայմաններ է ստեղծում անհրաժեշտության դեպքում հրապարակելու հերքումներ, կամ շահագրգռված անձանց հանդես գալու պատասխաններով:

• Խմբագրության ընդունած նյութերը գրաքննության չեն ենթարկվում: Գի-տական և մեթոդական նյութեր հրապարակելիս հաշվի են առնվում փոր-ձագիտական կարծիքները (գրախոսությունները):

• Հրապարակվող նյութերի բնագրերը հեղինակներին չեն վերադարձվում: • “Մարդ և հասարակություն” ամսագրի նյութերն օգտագործելիս անհրա-

ժեշտ է կատարել համապատասխան հղումներ. ընդ որում` հղումներ պետք է տալ ոչ միայն հոդվածի (աշխատանքի) վերջում, այլ նաև տեքս-տում:

ՈՒղղում

<<Մաթեմատիկան դպրոցում>> ամսագրի 2016թ. 4(107) համարի 58-64 էջերում ընդգրկված <<Աշակերտների ինքնուսուցման կազմակերպու-մը մաթեմատիկայի դասերին>> հոդվածի հեղինակը Արմինե Նաալ-բանդյանն է (տպագրական վրիպակի պատճառով գրվել է` Արմինե Նալբանդյան):