Fatoração Unidade Temática: Produtos Notáveis

Colégio São GonçaloColégio São GonçaloMatemática- Prof . José Carlos Matemática- Prof . José Carlos

FatoraçãoFatoração

Unidade Unidade Temática:Temática:

Produtos Produtos NotáveisNotáveis


Produtos Produtos Notáveis:Notáveis:

Quadrado Quadrado da Soma de da Soma de dois termos:dois termos: bb

aa

bbaa

2)( ba

2b

2a

ba.

ba.

22 ..2 bbaa Soma das Soma das Áreas=Áreas=

)).(( baba



Quadrado da Quadrado da diferença de diferença de dois termos:dois termos:

bb

aa

bbaa

2)( ba

2)( ba


Produtos Produtos Notáveis:Notáveis:Quadrado da Quadrado da

diferença de dois diferença de dois termos.termos.

a - a - bb

a - a - bb

2)( ba

2)( ba

22 ..2 bbaa

Calculando a Calculando a área que sobrou área que sobrou

teremos:teremos:)).(( baba



Diferença Diferença de de

quadrados:quadrados:22 ba

bb

aa

aa

bb

2a

2b


Após a Após a subtração da subtração da maior área pela maior área pela menor área, menor área, marcamos com marcamos com uma diagonal uma diagonal separando a área separando a área restante restante dividindo-a em dividindo-a em duas partes, que duas partes, que são dois trapézios.são dois trapézios.


Após Após separarmos as separarmos as áreas, registramos áreas, registramos algebricamente as algebricamente as partes que partes que sobraram (lados sobraram (lados do trapézio).do trapézio).

bb

aa

aa

bb

a - a - bb

a - a - bb

Diferença de Diferença de quadrados:quadrados:

ba.ba.


Agora se Agora se juntarmos os juntarmos os

trapézios trapézios formaremos um formaremos um

retângulo de lado retângulo de lado (a + b) e (a - b) e (a + b) e (a - b) e se calcularmos a se calcularmos a sua área vamos sua área vamos

encontrar (aencontrar (a2 2 - - bb22).).

a + a + bb

a -

ba -

b

)).(( baba 2a 22 ba

bb

2b

22 ba


aa

bb

bbaaaa

bb

Considere um cubo Considere um cubo de aresta “a + b”, de aresta “a + b”, como o da figura como o da figura

ao lado.ao lado.

O volume de um O volume de um cubo de arestas ℓ é cubo de arestas ℓ é ℓℓ33, então o volume , então o volume do cubo do cubo representado pela representado pela figura é (a+b)figura é (a+b)33. .

O Cubo da soma O Cubo da soma de dois termos:de dois termos:


Vamos separar as partes em que o cubo está Vamos separar as partes em que o cubo está dividido:dividido:

Um cubo de aresta Um cubo de aresta “a”.“a”.

Volume: aVolume: a33..

aa

aaaa33

aa


Três Três paralelepípedos paralelepípedos que têm arestas que têm arestas

a, a e b. a, a e b.

Cada Cada paralelepípedo paralelepípedo tem volume atem volume a22b. b.

O volume dos três O volume dos três paralelepípedos é paralelepípedos é

3a3a22b.b.

bb

bb

aa22

bbaa

aa22

bb

aa22 bb

aa

aa

aa

bb

aa

aa


Três Três paralelepípedos paralelepípedos que têm arestas que têm arestas

a, b e b. a, b e b.

Cada Cada paralelepípedo paralelepípedo tem volume abtem volume ab22. .

O volume dos três O volume dos três paralelepípedos é paralelepípedos é

3ab3ab22..

abab22

abab22

bb

bb

aa

bb

aa

aabb

bb

abab22

bb


Um cubo de aresta Um cubo de aresta “b”.“b”.

Volume: bVolume: b33..bb33bb

bbbb

aa22 bb

aa22bb

aa33


Somando todos esses Somando todos esses volumes temos:volumes temos:

abab223a 3bba23 23ab

Como o volume do todo é igual Como o volume do todo é igual à soma dos volumes das à soma dos volumes das

partes, temos:partes, temos:

32233 33)( babbaaba

aa22bb

abab22

abab22

bb33


Esse mesmo resultado pode ser obtido Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo:através do seguinte cálculo:

23 )(.)()( bababa

)2(.)( 22 bababa

Aplicando a propriedade Aplicando a propriedade distributiva:distributiva:

3a 3bba2 22abba22 2ab


PortantoPortanto:: 32233 33)( babbaaba

1º 1º

TermTermoo

2º 2º TermoTermo

Cubo do 1º Cubo do 1º Termo.Termo.

Cubo 2º Cubo 2º Termo.Termo.

3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º º termo).termo).

3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado do o quadrado do 22º º termo).termo).


Esse mesmo resultado pode ser obtido Esse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo:através do seguinte cálculo: 23 )(.)()( bababa

)2(.)( 22 bababa

Aplicando a propriedade Aplicando a propriedade distributiva:distributiva:

3a 3bba2 22abba22 2ab

O Cubo da diferença de dois O Cubo da diferença de dois termos:termos:


PortantoPortanto:: 32233 33)( babbaaba

1º 1º

TermTermoo

2º 2º TermoTermo

Cubo do 1º Cubo do 1º Termo.Termo.

Cubo 2º Cubo 2º Termo.Termo.

3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º º termo).termo).

3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado do o quadrado do 22º º termo).termo).


Hora da Hora da revisão:revisão:

Diferença de Diferença de quadrados:quadrados:

Quadrado da soma de dois termos:Quadrado da soma de dois termos:

Quadrado da diferença de dois Quadrado da diferença de dois termos:termos:

2)( ba 22 ..2 bbaa 2)( ba 22 ..2 bbaa

)).(( baba

22 ba

Cubo da soma de dois termos:Cubo da soma de dois termos:

Cubo da diferença de dois Cubo da diferença de dois termos:termos: 32233 33)( babbaaba

32233 33)( babbaaba


).( axx 2x

Fator Fator ComumComum

FatoraçãoFatoração::

xx

aaxx

2x xa.

xa.

Calculando-se Calculando-se a Área:a Área:


Fator Fator ComumComum


)2.(2 aa 2.2 a

22aa

44aa

22aa.4

a.4

aa

Colocando o fator Colocando o fator em evidência em evidência

teremos:teremos:

Fazendo o fator Fazendo o fator comum entre as comum entre as

áreas áreas encontraremos :encontraremos :

2a2a


por por agrupamento:agrupamento:

amam

bb

aa

mm nn

)).(( nmba ma. na. nb.mb.


bmbm

aannbnbn


Fazendo o fator comum entre os Fazendo o fator comum entre os termos apresentados, volta-se ao termos apresentados, volta-se ao

início. início.

)).(( nmba

ma. na. nb.mb. ).( nma ).( nmb

Aplicando o fator comum Aplicando o fator comum duplamente:duplamente:

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