Upload
phungkhanh
View
237
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต
( Finite Element Method, FEM ]
โดย
ผศ.ดร. มนตศกด พมสาร
Engineering Analysis
Classical Methods Numerical Methods
Closed-form
Approximate
Finite Element
Finite Difference
Boundary Element
วธการแกปญหาทางวศวกรรม
ระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตเปนวธการหนงในการนามาวเคราะหปญหาทางวศวกรรม
บทนาเกยวกบระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต
ระเบยบวธไฟไนตเอลเมนตเปนวธเชงตวเลขทใชแกปญหา ทางฟสกส หรอทาง
วศวกรรม และอนๆ
รปแบบปญหาคอ การหาฟงกชนการกระจายตวของตวแปรในระบบสามมต ซง
ปญหาแตละอนจะสามารถอธบายดวย
Differential equation/Integral equation
Finite element คอ องคประกอบยอยๆของโดเมนโครงสราง
สาหรบวธการของ FEM โดเมนของโครงสรางถกแบงยอยเปนองคประกอบ
ยอยทมรปรางอยางงายขนาดเลก องคประกอบยอยนจะถกเรยกเปน “element”
โดเมนของโครงสราง: มระดบความเสรแบบอนนต ( infinite number of DOF)
โดเมนของแบบจาลอง : มระดบความเสรจากด (finite number of DOF)
โดเมนของโครงสราง: มระดบความเสรแบบอนนต ( infinite number of DOF)
โดเมนของแบบจาลอง : มระดบความเสรจากด (finite number of DOF)
ดงนนเองนจงเปนทมาของ “Finite element method”
ในแตละ element การกระจายตวของตวแปรทเราสนใจนน จะมคาตางกนตาม
ตาแหนงใดๆ
รปดานซายแสดงตวอยางของรปราง
Mesh, Element และ Node
ตวแปรทเราสนใจคอ u(x,y)(การขจด
ตามแนวแกน x) และ v(x,y) (การขจดตาม
แนวแกน y)
ขนตอนในการทาแบบจาลอง FEM
FEM คอ การสรางสถานการณจาลองขนมา (Simulation)
คาความผดพลาดมาจาก Modeling error, Discretization error, Numerical error
ประวตของ FEM
ประวตของ FEM
มนเปนการยากทจะบอกไดวา FEM ไดเรมเกดขนมาเมอไหร เพราะวาแนวคด
พนฐานของมนไดถกพฒนามากอนหนานเมอ 150 ป หรอมากกวาน
Clough คอ บคคลแรกทไดบญญตเทอม Finite element ในชวงตอนตนทศวรรษท
1960 จากนนวศวกรไดใช FEM แกปญหาทางดานการวเคราะหความเคน การวเคราะห
การไหล การถายเทความรอนและอนๆ
หนงสอเลมแรกทเกยวกบ FEM แตงโดย Zienkiewicz และ Cheung ซงตพมพในป
1967
ในปลายทศวรรษ 1960 และตนทศวรรษ 1970 ไดมการนาเอา FEM มาใชแกปญหา
ในทางวศวกรรมกนอยางแพรหลาย
ประวตของ FEM
ในทศวรรษท 1970 การพฒนา FEM ไดมความกาวหนาอยางมาก โดยไดมการ
พฒนา เอลเมนตใหมๆขนมา และไดมการศกษา Convergent ของวธ FEM
ซอฟแวรสวนใหญ ไดออกวางขายใน ชวงทศวรรษท 1970 เชน ABAQUS,
ADINA, ANSYS, MARC, PAFEC
ซอฟแวรสวนใหญ ไดออกวางขายใน ชวงทศวรรษท 1980 เชน FENRIS,
LARSTRAN’80, SESAM’80
ขอดของ FEM
สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทมรปรางซบซอนได (จดเดนทสด)
สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทซบซอนเชน
Vibration
Transients
Nonlinear
Heat Transfer
Fluids
Buckling
Electromagnetic
Multi-Physics
ขอดของ FEM
สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทรบภาระตางๆเชน ภาระทกระทากบ node เชน point loads
ภาระทกระทากบ element เชน pressure, thermal, inertia forces, gravity
forces
ภาระทเปลยนแปลงตามเวลา หรอภาระทขนอยกบความถ
สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทวตถมคณสมบตแบบ non-isotropic
Orthotropic
Anisotropic
ขอดของ FEM
สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทวตถมคณสมบตพเศษเชน คณสมบตของวตถเปลยนแปลงตามอณหภมPlasticity
Creep
Swelling
สามารถนามาใชวเคราะหปญหาทมเปนแบบ
Large displacements
Large rotations
Contact (gap) conditions
ขอเสยของ FEM
เปนวธการประเมนเชงตวเลขดงนนจะม error เกดขนเสมอ ผใชตองมประสบการณและความชานาญในการทาแบบจาลอง FEM ถง
จะทาใหไดคาตอบทสอดคลองกบความเปนจรง
ตองใชคอมพวเตอรทมสมรรถนะสงและซอฟแวรทนาเชอถอได(ราคาแพง)
มปญหาเชงตวเลขเกดขนจาก เนองจากคอมพวเตอรสามารถเกบคาเลขนยสาคญไดจากด
Round-off error สะสม
ขอเสยของ FEM
เปนวธการประเมนเชงตวเลขดงนนจะม error เกดขนเสมอ ผใชตองมประสบการณและความชานาญในการทาแบบจาลอง FEM ถงจะทาใหไดคาตอบทสอดคลองกบความเปนจรง
ตองใชคอมพวเตอรทมสมรรถนะสงและซอฟแวรทนาเชอถอได(ราคาแพง)
มขอผดพาดเกดขนจากการทา Modeling เนองจาก
การเลอกใชชนดอลเมนตทไมเหมาะสม
การใช Distorted element ในโมเดล
การทาเมชทไมเหมาะสม
ขอเสยของ FEM
พฤตกรรมบางอยางไมไดรวมใหโดยอตโนมตเชนBuckling
Large displacements และ Large rotations
Materials nonlinearities
Nonlinearities อนๆเชน Contact condition
ขนตอนพนฐานของระเบยบวธไฟไนตเอลเมนต
1. ขนตอนของการเตรยมแบบจาลอง (Preprocessing phase)
การสรางรปรางของแบบจาลอง (Geometric construction)
การแบงโดเมนของแบบจาลองออกเปนเอลเมนตยอยๆตอกน โดยแตเอล
เมนตจะประกอบไปดวยโนด (Discretization)
การกาหนด shape function ซงแสดงถงพฤตกรรมทางกายภาพของเอลเมนต
หรอผลเฉลยของเอลเมนต(คาประมาณ)
สรางสมการสาหรบเอลเมนต
กาหนดคาเงอนไขเรมตน สภาวะโหลดและสภาวะขอบใหกบปญหา
กาหนดคณสมบตของวสด (Material properties)
2. ขนตอนการหาคาตอบ (Solution phase)
การแกหาคาตอบของสมการซงอยในรปสมการเชงเสนหรอสมการไม
เชงเสน ซงคาตอบคอคาการกระจดทโนดตางๆ หรอคาอณหภมทโนด
ตางๆ(ในกรณเปนปญหาการถายเทความรอน)
3. การวเคราะหผลลพธ (Postprocessing phase)
การวเคราะหหาผลลพธทเราสนใจเพมเตมเชนเราอาจอยากจะทราบคา
ความเคนหลก ฟลกซความรอน เปนตน
ปญหาทางกลศาสตรของแขง(Solid-Mechanics)Analysis of solids
Static Dynamics
Behavior of Solids
Linear Nonlinear
Material
Fracture
GeometricLarge Displacement
Instability
Plasticity
ViscoplasticityGeometric
Classification of solids
Skeletal Systems1D Elements
Plates and Shells2D Elements
Solid Blocks3D Elements
TrussesCablesPipes
Plane StressPlane StrainAxisymmetricPlate BendingShells with flat elementsShells with curved elements
Brick ElementsTetrahedral ElementsGeneral Elements
Elementary Advanced
Stress Stiffening
ชนดของเอลเมนตพนฐาน
Primitive structure elements
Continuum elements
Special elements
การสรางเอลเมนต 1 มต (1D element or Line element)
วธการสรางเอลเมนต 1 มตโดย1. Direct stiffness method (เราจะใชอนน)
2. Weighted residual method
3. Minimum potential energy method (เราจะใชอนน)
4. Variational method
การสรางเอลเมนต 1 มตโดยวธ Direct stiffness
วธการสรางเอลเมนต 1 มต (Spring element or bar element)
รปขางลางแสดงสปรงในพกดสามมต
ˆˆ ˆxyz Global coordinate systemxyz Local coordinate system
−−
ในการพจารณาทสปรงเอลเมนตใดๆนนเราจะกาหนดให ทศทางของแรงทกระทาทโนด(Nodal force) และการกระจดทโนด(Nodal displacement) มทศทางและสญลกษณแสดงดงรป
1 2
1 2
ˆ ˆ, 1 2ˆ ˆ, 1 2
x x
x x
f f Local nodal forces at node and
d d Local nodal displacements at node and
−
−L คอความยาวของสปรงกอนยดหรอหด
k คอคาคงทของสปรง
สงทเราตองการในตอนนคอตองการแสดงความสมพนธของแรงกระทาทโนดและการกระจดทโนดของสปรงเอลเมนต ซงจะเขยนเปนสมการไดดงน
1 111 12
21 222 2
ˆ ˆ(1)
ˆ ˆx x
x x
f dk kk kf d
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
หรอ
ˆ ˆ ˆf k d=
ˆ 2 1ˆ 2 2ˆ 2 1
f Local nodal forces matrix
k Element stiffness matrix
d Local nodal displacements matrix
− − ×
− − ×
− − ×
เมอ
ขนตอนท 1 กาหนดชนดเอลเมนตกาหนดเอลเมนตทจะพฒนาเปนสปรงเอลเมนต สมมตสปรงถกกระทาดวยแรงดง T ทงสองขางและแกน x ของ Local coordinate ชจากโนด 1 ไปยงโนด 2 ดงรป
ˆ 0x = x L=โนด 1 โนด 2
แตละโนดมความอสระในการเคลอนทได 1 แบบ(ตามแนวแกนสปรง) – DOF = 1
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจดเปนขนตอนการกาหนดเลอกฟงกชนทางคณตศาสตรเพอจะนามาอธบายการ
เสยรปของสปรง ซงฟงกชนนจะถอวาเปนคาประมาณ(Approximate solution)
ฟงกชนทเลอกใชสวนใหญเปนฟงกชนโพลโนเมยล ณ.ทนเราใชฟงกชนเชง
เสน (Linear function)
[ ] 11 2
2
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 1 (2)a
u x a a x xa
⎧ ⎫= + = ⎨ ⎬
⎩ ⎭
โดย a1 และ a2 คอคาคงทและจะหาไดจากเงอนไขดงน
1
2
ˆˆ ˆ( 0)ˆˆ ˆ( )
x
x
u x d
u x L d
= =
= =
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
จากนนทาการแทนคาเงอนไขดงกลาวลงในสมการท (2) จะได
1 1
2 2 1
ˆˆ ˆ( 0) (3)ˆ ˆˆ ˆ( ) (4)
x
x x
u x d a
u x L d a L d
= = =
= = = +
หรอได a2 ดงน2 1
2
ˆ ˆ(5)x xd da
L−
=
นากลบไปแทนในสมการท (2) ได
[ ]
2 11
1 11 2
2 2
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( )
ˆ ˆˆ ˆ1 (6)ˆ ˆ
x xx
x x
x x
d du x x dL
d dx x N NL d d
⎛ ⎞−= +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤= − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
โดย N1 และ N2 คอ shape function
และมคณสมบตดงรปดานขวามอ
ขนตอนท 3 การกาหนดความสมพนธของระยะยดของสปรงกบแรงรปขางลางแสดงสปรงทมการยดตวและระยะยดของสปรงคอ
2 1ˆ ˆ (7)x xd dδ = −
จากความสมพนธของแรงในสปรงกบระยะยดตว
2 1ˆ ˆ( ) (8)x xT k k d d= δ = −
ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix
จากรปแรงทโนด 1 และ 2
1 2ˆ ˆ (9)x xf T f T= − =
จากสมการท (8) และ (9) เราสรปได
1 2 1
2 2 1
ˆ ˆ ˆ( ) (10)ˆ ˆ ˆ( ) (11)
x x x
x x x
T f k d d
T f k d d
= − = −
= = −
เราสามารถเขยนสมการ (10) และ (11) ในรปเมตรกดงน
1 1
2 2
ˆ ˆ(12)
ˆ ˆx x
x x
f dk kk kf d
⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Local stiffness matrix หรอ Element stiffness matrix
ขนตอนท 5 การประกอบเอลเมนตเขาดวยกนขนตอนนจะทาการประกอบเอลเมนตทกอนเขาดวยกนจะทาใหเราได Global equation
ซง สมการนจะแสดงถงความสมพนธของ Nodal forces และ Nodal displacements ซง
ม Global matrix เปนตวแสดงความสมพนธหรอเขยนสมการไดดงน
{ } [ ]{ } (13)F K d or F K d= =โดย
[ ] { }( ) ( )
1 1
N Ne e
e e
K K k F F f= =
= = = =∑ ∑
ขนตอนท 6 ทาการแกสมการหาคา Nodal displacements
จากนนทาการกาหนดคาสภาวะขอบลงไปในสมการท (13) จากนนทาการแกสมการหา
คา การกระจดทโนด (Nodal displacements)
ขนตอนท 7 ทาการแกหาคาแรงทกระทาทโนดตางๆ ภายใน
เอลเมนต
นาเอาคาการกระจดทคานวณไดแทนลงในสมการท (12) เพอหาคาแรงทกระทา
ทโนดภายในเอลเมนต
ตวอยาง
(1)1 1 1 1
(1)1 1 33
ˆ( )
ˆx x
xx
f k k da
k k df
⎧ ⎫ − ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
(2)3 2 2 3
(2)2 2 22
ˆ( )
ˆx x
xx
f k k db
k k df
⎧ ⎫ − ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
เอลเมนต 1
เอลเมนต 2
Compatibility conditions
(1) (2)3 3 3 ( )x x xd d d c= =
(1) (2)3 3 3
(2)2 2
(1)1 1
( )
( )
( )
x x x
x x
x x
F f f d
F f e
F f f
= +
=
=
Free body diagram แสดง Nodal forces
นาคาสมการ (a) และ (b) ลงในสมการ (d), (e) และ (f) จะได
3 1 1 1 3 2 3 2 2
2 2 3 2 2
1 1 1 1 3
( ) ( )( )
x x x x x
x x x
x x x
F k d k d k d k dF k d k d gF k d k d
= − + + −= − += −
นาสมการ (g) มาเขยนเปนเมตรก
3 1 2 2 1 3
2 2 2 2
1 1 1 1
0 ( )0
x x
x x
x x
F k k k k dF k k d hF k k d
+ − −⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
1 1 1 1
2 2 2 2
3 1 2 1 2 3
00 ( )
x x
x x
x x
F k k dF k k d iF k k k k d
−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − +⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
(13)F K d=
นาสมการ (h) มาเขยนใหมเปน
หรอ
F Global nodal force matrixd Global nodal displacement matrixK Total or global system stiffness matrix
===
การหา Global equations โดย Superpositionเราสามารถหาไดโดยใชหลกการของ Superposition ดงน
(1) (1)1 1 1(1) (1)
1 2 2 2(1) (1)3 3 3
1 0 10 0 0 ( )1 0 1
x x x
x x x
x x x
d d fk d d f j
d d f
⎧ ⎫ ⎧ ⎫− =⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− =⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
เอลเมนต 1 จากสมการ (a) ในตวอยางทแลวสามารถเขยนใหมได
เอลเมนต 2 จากสมการ (b) ในตวอยางทแลวสามารถเขยนใหมได
(2) (2)1 1 1(2) (2)
2 2 2 2(2) (2)3 3 3
0 0 00 1 1 ( )0 1 1
x x x
x x x
x x x
d d fk d d f k
d d f
⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− =⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
0
0
จบสมการ (j) และ (k) บวกกน และจากสมดลแรงทแตละโนด จากสมการ (d), (e)
และ (f) ในตวอยางทแลว เราจะได
(1)1 1 1 1
(2)1 2 2 2 2 2
(1) (2)3 3 3 3 3
1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 1 0 ( )1 0 1 0 1 1
x x x x
x x x x
x x x x x
d d f Fk d k d f F l
d d f f F
⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − = + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭
หรอเขยนไดเหมอนสมการ (i)
1 1 1 1
2 2 2 2
3 1 2 1 2 3
00 ( )
x x
x x
x x
F k k dF k k d iF k k k k d
−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − +⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
(13)F K d=หรอ
ตวอยางเชงตวเลขกาหนดระบบสปรงดงรป,มแรงภายนอกกระทาทโนด 4 เทากบ 5000 lb และหมายเลข
โนดกาหนดใหดงรป
จงหา (1) Global stiffness matrix
(2) การกระจดทโนด 3 และ 4
(3) แรงปฎกรยาทโนด 1 และ 2
เอลเมนต 1 ประกอบดวยโนด 1 และ 3 Element stiffness matrix คอ
(1)
1 31000 1000 11000 1000 3
k−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
เอลเมนต 2 ประกอบดวยโนด 3 และ 4 Element stiffness matrix คอ
(3)
4 23000 3000 43000 3000 2
k−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
เอลเมนต 3 ประกอบดวยโนด 4 และ 2 Element stiffness matrix คอ
(2)
3 42000 2000 32000 2000 4
k−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
Element stiffness matrix ทงหมดเขยนใหมไดดงน
(1)
1 2 3 41000 0 1000 0 1
0 0 0 0 21000 0 1000 0 30 0 0 0 4
k
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
(2)
1 2 3 40 0 0 0 10 0 0 0 20 0 2000 2000 30 0 2000 2000 4
k
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦
(3)
1 2 3 40 0 0 0 10 3000 0 3000 20 0 0 0 30 3000 0 3000 4
k
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
จากนนจบ Element stiffness matrix บวกกน(1) (2) (3)
1000 0 1000 00 3000 0 3000
1000 0 1000 2000 20000 3000 2000 2000 3000
1000 0 1000 00 3000 0 3000
1000 0 3000 20000 3000 2000 5000
K k k k= + +
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥− + −⎢ ⎥− − +⎣ ⎦
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Global stiffness matrix
1 1
2 2
3 3
4 4
1000 0 1000 00 3000 0 3000
1000 0 3000 20000 3000 2000 5000
x x
x x
x x
x x
F dF dF dF d
−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
กาหนดสภาวะขอบและภาระทกระทาทโนด 3 และ 4 จะไดสมการ
1 1
2 2
3 3
4 4
01000 0 1000 000 3000 0 3000
0 1000 0 3000 20005000 0 3000 2000 5000
x x
x x
x x
x x
F dF d
F dF d
=−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥= − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − −⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
หรอ3
4
0 3000 20005000 2000 5000
x
x
dd
− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
แกสมการได
3 410 1511 11x xd in d in= =
นาคาทไดไปแทนในสมการเมตรกขางบนได
1 210,000 45,000
11 11x xF lb F lb= − = −
การสรางเอลเมนตเมตรกสาหรบบาร(Bar or rod) เราสามารถลอกเลยนแบบการสรางเอลเมนตเมตรกสาหรบบารทอยภายใตแรงตามแนวแกนไดเชนเดยวกบกรณสปรง โดยคาคงทสปรงของบารคอ
(14)AEkL
=
โดย A = พนทหนาตดของบาร L = ความยาวเดมของบาร
E = Young’s modulus ของบาร
ดงนนเราจะสามารถสรปไดวาสาหรบบารเอลเมนต เอลเมนตเมตรกของบารคอ
1 1ˆ (15)1 1
AEkL
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
ความเคนภายในเอลเมนตหาไดจากสมการความสมพนธ
[ ]
2 1
1
2
ˆ ˆ( )
ˆ1 1 (16)
ˆ
x x
x
x
EE E d dL L
dEL d
δσ = ε = = −
⎧ ⎫⎪ ⎪= − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
Note: ดงนนจะเหนวาความเคนตามแนวแกนภายในเอลเมนตนนๆหรอภายในแทงบารจะมคาคงทตลอดทวทงเอลเมนต
ตวอยางปญหาของบารเอลเมนตระบบโครงสรางบารดงรป
จงหา (1) Global stiffness matrix
(2) การกระจดทโนด 2 และ 3
(3) แรงปฎกรยาทโนด 1 และ 4
(4) ความเคนภายในแตละเอลเมนต
ถากาหนดใหแรงกระทาทโนด 2 ในทศทางแกน x เทากบ 3000 lb ความยาวของแตละเอลเมนตเทากบ 30 in
E = 30 x 106 psi และ A = 1 in2 สาหรบเอลเมนต 1 และ 2
E = 15 x 106 psi และ A = 2 in2 สาหรบเอลเมนต 3
เอลเมนต 1 ประกอบดวยโนด 1 และ 2 Element stiffness matrix คอ
6(1) 6
1 21 1 1 1(1)(30 10 ) 101 1 1 130
lbkin
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤×= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
เอลเมนต 2 ประกอบดวยโนด 2 และ 3 Element stiffness matrix คอ
เอลเมนต 3 ประกอบดวยโนด 3 และ 4 Element stiffness matrix คอ
6(2) 6
2 31 1 1 1(1)(30 10 ) 101 1 1 130
lbkin
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤×= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
6(3) 6
3 41 1 1 1(2)(15 10 ) 101 1 1 130
lbkin
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤×= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Element stiffness matrix ทงหมดเขยนใหมไดดงน
(1) 6
1 2 3 41 1 0 0 11 1 0 0 2
100 0 0 0 30 0 0 0 4
lbkin
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(2) 6
1 2 3 40 0 0 0 10 1 1 0 2
100 1 1 0 30 0 0 0 4
lbkin
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
(3) 6
1 2 3 40 0 0 0 10 0 0 0 2
100 0 1 1 30 0 1 1 4
lbkin
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦
จากนนจบ Element stiffness matrix บวกกน(1) (2) (3)
6
6
1 1 0 01 1 1 1 0
100 1 1 1 10 0 1 1
1 1 0 01 2 1 0
100 1 2 10 0 1 1
K k k k
lbin
lbin
= + +
−⎡ ⎤⎢ ⎥− + −⎢ ⎥=⎢ ⎥− + −⎢ ⎥−⎣ ⎦
−⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥−⎣ ⎦Global stiffness matrix
1 1
2 26
3 3
4 4
1 1 0 01 2 1 0
100 1 2 10 0 1 1
x x
x x
x x
x x
F dF dF dF d
−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
กาหนดสภาวะขอบและภาระทกระทาทโนด 2 และ 3 จะไดสมการ
1 1
2 26
3 3
4 4
01 1 0 03000 1 2 1 0
100 0 1 2 1
00 0 1 1
x x
x x
x x
x x
F dF d
F dF d
=−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥= − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
หรอ26
3
3000 2 110
0 1 2x
x
dd
− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
แกสมการได
2 30.002 0.001x xd in d in= =
นาคาทไดไปแทนในสมการเมตรกขางบนได
6 61 410 (0 0.002) 2000 10 ( 0.001 0) 1000x xF lb F lb= − = − = − + = −
ความเคนภายในเอลเมนต 1
(1) 6(1) 3
2 1(1)
30 10ˆ ˆ( ) (0.002 0) 2 1030x x
E lbd dL in
×σ = − = − = ×
ความเคนภายในเอลเมนต 2
(2) 6(2) 3
3 2(2)
30 10ˆ ˆ( ) (0.001 0.002) 1 1030x x
E lbd dL in
×σ = − = − = − ×
(3) 6(3) 2
4 3(3)
15 10ˆ ˆ( ) (0 0.001) 5 1030x x
E lbd dL in
×σ = − = − = − ×
ความเคนภายในเอลเมนต 3
(ความเคนดง)
(ความเคนอด)
(ความเคนอด)
ขอสงเกต เกดความไมตอเนองของคาความเคนทบรเวณรอยตอของเอลเมนต
Practical example 1 (Bar element)
Practical example 2 (Bar element)
Plane truss element (2 มต)
เราสามารถพฒนา Truss element แบบ 2 มตไดโดยเอาผลจากการพฒนา Bar
element เพยงแตแรงและการกระจดของแตละโนดใน Truss element จะมคาตาม
แนวแกน x และ y ดวยดงนน รปขางลางคอตวอยางของ Plane truss system
2 Node truss element
เราสามารถแสดงความสมพนธของ Nodal forces กบ Nodal displacements ท
อางองกบ Global coordinate system ไดดงสมการ
x
y 2 2,x xf d
θ
1 1,y yf d
1 1,x xf d
2 2,y yf d
f k d=
1
2
In global coordinate system, the vector of nodal displacements and loads
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
2y
2x
1y
1x
2y
2x
1y
1x
ffff
f;
dddd
d
Our objective is to obtain a relation of the form
144414dkf×××
=
Where k is the 4x4 element stiffness matrix in global coordinatesystem
The key is to look at the local coordinates
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
2x
1x
2x
1x
dd
kk-k-k
ff
LEAk =
Rewrite as
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
2y
2x
1y
1x
2y
2x
1y
1x
d
dd
d
00000k0k-00000k-0k
f
ff
f
xy
θ
1x1x f,d
2x2x f,d
x
y
1y 1yˆ ˆd , f 0=
2y 2yˆ ˆd , f 0=
dkf =
NOTES
1. Assume that there is no stiffness in the local y direction.
2. If you consider the displacement at a point along the local xdirection as a vector, then the components of that vector along the global x and y directions are the global x and y displacements.
3. The expanded stiffness matrix in the local coordinates is symmetric and singular.
^
NOTES5. In local coordinates we have
But or goal is to obtain the following relationship
Hence, need a relationship between and and between and
144414dkf×××
=
144414dkf×××
=
d df f
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
2y
2x
1y
1x
2y
2x
1y
1x
d
dd
d
d
dddd
d
Need to understand how the components of a vector change with coordinate transformation
1xd
1yd1xdθ
1yd
2xd
2yd2xdθ
2yd
Transformation of a vector in two dimensions
θ
xyyv
xv cos θx
y
v
xvxv
yv
yv sin θ
θ
yv cos θ
xv sin θ
x x y
y x y
v v cos θ v sin θ
v v sin θ v cos θ
= +
= − +
The vector v has components (vx, vy) in the global coordinate system and (vx, vy) in the local coordinate system. From geometry^ ^
Angle θ is measured positive in the counter clockwise direction from the +x axis)
x x
y y
v vcos θ sin θv vsin θ cos θ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
In matrix form
Orx x
y y
v vv v
C SS C
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
wherecossin
CS
θθ
==
Transformation matrix for a single vector in 2D
*TC SS C
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
*v T v=
x x
y y
v vv and v
v v⎧ ⎫ ⎧ ⎫
= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭
relates
where are components of the same vector in local and global coordinates, respectively.
Direction cosines
Relationship between and for the truss elementd d
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
1y
1x*
1y
1x
dd
TddAt node 1
At node 2
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
2y
2x*
2y
2x
dd
Tdd
Putting these together
{ {
1x 1x
1y 1y
2x2x
2y2y
T dd
d d0 0d d0 0ˆ 0 0 dd
0 0 dd
C SS C
C SS C
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭ 144424443
dTd =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
×*
*
44 T00TT
1xd
1yd1xdθ
1yd
2xd
2yd2xdθ
2yd
Relationship between and for the truss elementf f
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
1y
1x*
1y
1x
ff
TffAt node 1
At node 2
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
2y
2x*
2y
2x
ff
Tff
Putting these together
{ {
1x 1x
1y 1y
2x2x
2y2y
T ff
f f0 0f f0 0ˆ 0 0 ff
0 0 ff
C SS C
C SS C
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭ 144424443
fTf =
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
×*
*
44 T00TT
1xf
1yf1xfθ
1yf
2xf
2yf2xfθ
2yf
Important property of the transformation matrix T
The transformation matrix is orthogonal, i.e. its inverse is its transpose
TTT 1 =−
Use the property that C2+S2=1
Putting all the pieces together
( )dTkTf
dTkfT
dkf
k
1
43421−=⇒
=⇒
=
xy
θ
1x1x f,d
2x2x f,d
x
y
1y1y f,d
2y2y f,d
fTf =
dTd =
The desired relationship is144414
dkf×××
=
Where 44444444
TkTk××××
= T is the element stiffness matrix in the global coordinate system
0 00 0
T0 00 0
C SS C
C SS C
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
00000k0k-00000k-0k
k
2 2
2 2
2 2
2 2
EAˆk T kTL
T
C CS C CSCS S CS SC CS C CSCS S CS S
⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥= =⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
Computation of the direction cosines
L
1
2
θ
(x1,y1)
(x2,y2)2 1
2 1
cos
sin
x xCL
y ySL
θ
θ
−= =
−= =
What happens if I reverse the node numbers?
L
2
1
θ
(x1,y1)
(x2,y2)
1 2
1 2
' cos
' sin
x xC CL
y yS SL
θ
θ
−= = = −
−= = = −
Question: Does the stiffness matrix change?
© 2002 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
Example Bar element for stiffness matrix evaluation
o30602
10302
6
=
==
×=
θ
inLinA
psiE
3cos 302
1sin302
C
S
= =
= =
( )( )inlb
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
×=
41
43
41
43
43
43
43
43
41
43
41
43
43
43
43
43
6021030k
6
© 2002 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
Computation of element strains
[ ]
[ ]
[ ] dT0101L1
d0101L1
d
dd
d
0101L1
Lddε
2y
2x
1y
1x
1x2x
−=
−=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=−
=
Recall that the element strain is
[ ]
[ ]
[ ]
1x
1y
2x
2y
0 00 01ε 1 0 1 0 d
0 0L0 0
1 dL
dd1dLd
C SS C
C SS C
C S C S
C S C S
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
= − −
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= − − ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Computation of element stresses stress and tension
( ) [ ]2x 1xE Eˆ ˆEε d d dL L
C S C Sσ = = − = − −
[ ]EAT EAε dL
C S C S= = − −
Recall that the element stress is
Recall that the element tension is
Steps in solving a problemStep 1: Write down the node-element connectivity table
linking local and global nodes; also form the table of direction cosines (C, S)
Step 2: Write down the stiffness matrix of each element in global coordinate system with global numbering
Step 3: Assemble the element stiffness matrices to form the global stiffness matrix for the entire structure using the node element connectivity table
Step 4: Incorporate appropriate boundary conditions
Step 5: Solve resulting set of reduced equations for the unknowndisplacements
Step 6: Compute the unknown nodal forces
การโกง(Buckling)ใน Bar หรอ Truss
ถงแมความเคนในบารหรอTruss มคาตากวาความเคนคราก ชนสวนของ
โครงสรางแบบนสามารถเสยหายไดจากการโกงซงเราสามารถหาคาความเคนททา
ใหเกดการโกงได จากสตร
2
2
ALEI
APcrb
crbπσ ==
comcrb
PwhereA
σ σ σ> =การโกงเกดขนเมอ
ความเคนอดในเอลเมนต
Example 1
P1
P2
1
2
3
x
y
El#1
El#2
The length of bars 12 and 23 are equal (L)E: Young’s modulusA: Cross sectional area of each barSolve for (1) d2x and d2y(2) Stresses in each bar
Solution
Step 1: Node element connectivity table
322
2Node 2
11Node 1ELEMENT
45o
Table of nodal coordinates
Lsin45Lcos452
2Lsin45
0
y
03
01
xNode
Table of direction cosines
-cos45
cos45
sin45L2
sin45L1
LengthELEMENT 2 1x xClength
−= 2 1y yS
length−
=
Step 2: Stiffness matrix of each element in global coordinates with global numbering
2 2
2 2(1)
2 2
2 2
EAkL
C CS C CSCS S CS SC CS C CSCS S CS S
⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
Stiffness matrix of element 1
d1x
d2x
d2xd1x d1y d2y
d1y
d2y
1 1 1 11 1 1 1EA1 1 1 12L1 1 1 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Stiffness matrix of element 2
d2x
d3x
d3x d3y
d2y
d3y
d2x d2y
(2)
1 1 1 11 1 1 1EAk1 1 1 12L
1 1 1 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
1 1 1 1 0 01 1 1 1 0 01 1 2 0 1 1EAK1 1 0 2 1 12L
0 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −
= ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥
− −⎣ ⎦
Step 3: Assemble the global stiffness matrix
The final set of equations is K d F=
Step 4: Incorporate boundary conditions
2
2
00
00
x
y
dd
d
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Hence reduced set of equations to solve for unknown displacements at node 2
2 1
2 2
2 00 22
x
y
d PE Ad PL
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
Step 5: Solve for unknown displacements1
2
2 2
x
y
P Ld E Ad P L
E A
⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Step 6: Obtain stresses in the elements
For element #1: 1
1(1)
2
2
1 22 2
E 1 1 1 1L 2 2 2 2
E ( )2L 2
x
y
x
y
x y
dddd
P Pd dA
σ
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎡ ⎤ ⎪ ⎪= − − ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
+= + =
0
0
For element #2: 2
2(2)
3
3
1 22 2
E 1 1 1 1L 2 2 2 2
E ( )2L 2
x
y
x
y
x y
dddd
P Pd dA
σ
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎡ ⎤ ⎪ ⎪= − − ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
−= − =
00
ตวอยาง Plane truss
F = 1000 N F = 1000 N
1 2
34
1
2
3
4 5
1 2
34
1
2
3
4 5
(1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) (4)
(5) (5)
(1) (2) (3) (4) (5)
200 2
10 2
10, 10 2
E A E A E A E A
E A
L L L L L
= = = =
=
= = = = =
กาหนด
© 2002 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
Figure 3-22 Plane truss with inclined boundary conditions at node 3 (see problem worked out in class)
Multi-point constraints
Problem 3: For the plane truss
P
1
2
3
x
y
El#1
El#2
45o
El#3
P=1000 kN, L=length of elements 1 and 2 = 1mE=210 GPaA = 6×10-4m2 for elements 1 and 2
= 6 ×10-4 m2 for element 32
Determine the unknown displacements and reaction forces.
SolutionStep 1: Node element connectivity table
322313
2Node 2
11Node 1ELEMENT
Table of nodal coordinates
L02
L
0
y
L3
01
xNode
Table of direction cosines
01L2
0
L3
1L1
LengthELEMENT 2 1x xClength
−= 2 1y yS
length−
=
2 1/ 2 1/ 2
Step 2: Stiffness matrix of each element in global coordinates with global numbering
2 2
2 2(1)
2 2
2 2
EAkL
C CS C CSCS S CS SC CS C CSCS S CS S
⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
Stiffness matrix of element 1
d1x
d2x
d2xd1x d1y d2y
d1y
d2y
9 -4
0 0 0 00 1 0 1(210 10 )(6 10 )0 0 0 010 1 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥−× × ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Stiffness matrix of element 2d2x
d3x
d3x d3y
d2y
d3y
d2x d2y
9 -4(2)
1 0 1 00 0 0 0(210 10 )(6 10 )k1 0 1 01
0 0 0 0
−⎡ ⎤⎢ ⎥× × ⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
Stiffness matrix of element 3
9 -4(3)
0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 0.5 0.5(210 10 )(6 2 10 )k0.5 0.5 0.5 0.520.5 0.5 0.5 0.5
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −× × ⎢ ⎥=⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
d1x
d3x
d3x d3y
d1y
d3y
d1x d1y
5
0.5 0.5 0 0 0.5 0.50.5 1.5 0 1 0.5 0.50 0 1 0 1 0
K 1260 100 1 0 1 0 00.5 0.5 1 0 1.5 0.50.5 0.5 0 0 0.5 0.5
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−
= × ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥− −⎣ ⎦
Step 3: Assemble the global stiffness matrix
The final set of equations is K d F=
N/m
Eq(1)
Step 4: Incorporate boundary conditions
2
3
3
00
0x
x
y
dd
dd
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
P
1
2
3
x
y
El#1
El#2
45o
El#3
$x$y
Also, $3 0yd =
How do I convert this to a boundary condition in the global (x,y) coordinates?
in the local coordinate system of element 3
1
1
2
3
3
x
y
y
x
y
FFP
FFFF
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
P
1
2
3
x
y
El#1
El#2
45o
El#3
$x$y
Also, 3 0xF =How do I convert this to a boundary condition in the global (x,y) coordinates?
in the local coordinate system of element 3
3 3
33
ˆ 1,ˆ 2x x
yy
d dC SC S
dS Cd
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
Using coordinate transformations
$
$
( )
( )
3 33 3
333 3
1 1 12 2 21 1 12 2 2
x yx x
yyy x
d ddddd d d
⎡ ⎤ ⎧ ⎫+⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ − −⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
$3 0yd =
$ ( )3 3 3
3 3
1 02
0
y y x
y x
d d d
d d
⇒ = − =
⇒ − = Eq (2)
(Multi-point constraint)
3 3
33
ˆ 1,ˆ 2x x
yy
F FC SC S
FS CF
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
Similarly for the forces at node 3
( )
( )
3 33 3
333 3
1 1 1ˆ 2 2 2ˆ 1 1 1
2 2 2
x yx x
yyy x
F FF FFF F F
⎡ ⎤ ⎧ ⎫+⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ − −⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
( )3 3 3
3 3
1ˆ 02
0
x y x
y x
F F F
F F
⇒ = + =
⇒ + = Eq (3)
3 0xF =
Therefore we need to solve the following equations simultaneouslyK d F= Eq(1)
3 3 0y xd d− = Eq(2)
3 3 0y xF F+ = Eq(3)
Incorporate boundary conditions and reduce Eq(1) to
25
3 3
3 3
1 1 01 2 6 0 1 0 1 1 .5 0 .5
0 0 .5 0 .5
x
x x
y y
d Pd Fd F
⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥× − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Write these equations out explicitly5
2 35
2 3 3 35
3 3 3
1 2 6 0 1 0 ( )1 2 6 0 1 0 ( 1 .5 0 .5 )
1 2 6 0 1 0 ( 0 .5 0 .5 )
x x
x x y x
x y y
d d Pd d d F
d d F
× − =× − + + =
× + =
Eq(4)
Eq(5)Eq(6)
Add Eq (5) and (6)5
2 3 3 3 31 2 6 0 1 0 ( 2 ) 0x x y x yd d d F F× − + + = + = using Eq(3)
52 31 2 6 0 1 0 ( 3 ) 0x xd d⇒ × − + = using Eq(2)
2 33x xd d⇒ = Eq(7)
Plug this into Eq(4)5
3 3
5 63
1 2 6 0 1 0 (3 )
2 5 2 0 1 0 1 0x x
x
d d P
d
⇒ × − =
⇒ × =
3
2 3
0 .0 0 3 9 6 83 0 .0 1 1 9
x
x x
d md d m⇒ =
= =
Compute the reaction forces1
1 25
2 3
3 3
3
0 0 .5 0 .50 0 .5 0 .5
1 2 6 0 1 0 0 0 01 1 .5 0 .5
0 0 .5 0 .5
5 0 05 0 00
5 0 05 0 0
x
y x
y x
x y
y
FF dF dF dF
k N
− −⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥= ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎩ ⎭
−⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
เอลเมนตแบบ 1 มตพนฐานทนาสนใจSimple beam element
Beam หรอคานคอโครงสรางทออกแบบไวสาหรบรบภาระตามแนวดง ซงในกรณของ
คานอยางงาย(Simple beam) คอคานทมความยาวมาก หรอขนาดของความยาวคานมคา
มากกวามตของหนาตดของคานมาก และแรงกระทาตามแนวดง ไมกอใหเกดการบดตว
รอบแนวแกนคาน(No torsion/twist) ความเคนทสาคญประกอบไปดวยความเคนตาม
แนวแกน(จาก Bending moment) และความเคนเฉอนจากแรงเฉอน
Beam terminology
Common supports
Simple beam element
{ }1
1
2
2
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
y
y
fm
ffm
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Simple beam element แบบ 2 โนด โดยแตละโนดจะม DOF เทากบ 2 ซง
ประกอบไปดวยการหมนและการกระจดตามแนวดง
Local nodal force และ
moment { }1
1
2
2
ˆ
ˆˆ
ˆ
ˆ
y
y
d
dd
φ
φ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Local nodal transverse
displacement และ
rotation
สรางความสมพนธ
Simple beam element (ตอ) ขอกาหนดเกยวกบทศทางของการกระจด แรง มม และโมเมนต ทโนด
1. โมเมนตมทศเปนบวก เมอทศทวนเขมนาฬกา
2. มม(Rotation)มทศเปนบวก เมอทศทวนเขมนาฬกา
3. แรงมทศเปนบวกเมอมทศชในทศทางแกน y
4. การกระจด dy มทศเปนบวกเมอมทศชในทศทางแกน y
Beam Theory ขอกาหนดเกยวกบทศทางของแรง และโมเมนต ทหนาตดดานซายและขวา
ขอสงเกต
1. โมเมนตทางดานซาย ตามเขมนาฬกาเปนบวก
2. แรงเฉอนดานขวาชลงเปนบวก
Beam Theory (ตอ)พจารณาคานภายใตภาระใดๆ
พจารณาสมดลตามแนวดง
ˆ0; ( ) ( ) 0 or
ˆ- 0 or (1)ˆ
yF V V dV w x dx
dVwdx dV wdx
∑ = − + − =
− = = −
Beam Theory (ตอ)
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
ˆ ˆ1 ˆ,ˆ ˆ
Substitute into (2) then (1)
ˆ ˆ( ) (3)ˆ ˆ
ˆNodal force only 0 (4)ˆ ˆ
M d v dvEI dx dx
M
d d vEI w xdx dx
d d vEIdx dx
κ φρ
= = = =
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎝ ⎠
พจารณาสมดลโมเมนตรอบจด 2
2ˆˆ ˆ ˆ0; ( ) 0 or
2
(2)ˆ
dxM Vdx dM w x dx
dMVdx
⎛ ⎞∑ = − + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Beam curvature
Simple beam element (ตอ)
{ } { }ˆ ˆ ˆf k d⎡ ⎤= ⎣ ⎦
หาความสมพนธของ Local nodal matrix และ Local nodal displacement matrix
หรอ
112 2
1 13
2 22 2
2 2
ˆˆ 12 6 12 6ˆˆ 6 4 6 2
ˆ ˆ12 6 12 66 2 6 4 ˆˆ
yy
y y
df L Lm L L L LEI
L LLf dL L L Lm
φ
φ
⎧ ⎫⎧ ⎫ −⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Local element stiffness matrix
Local element equation
ขนตอนท 1 กาหนดชนดเอลเมนตกาหนดเอลเมนตทจะพฒนาเปนคานเอลเมนต (Beam element)
ˆ 0x = x L=โนด 1 โนด 2
แตละโนดมความอสระในการเคลอนทได 2 แบบ – DOF = 2
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจดเปนขนตอนการกาหนดเลอกฟงกชนทางคณตศาสตรเพอจะนามาอธบายการเสยรป
ของคาน ซงฟงกชนนจะถอวาเปนคาประมาณ(Approximate solution) ฟงกชนท
เลอกใชสวนใหญเปนฟงกชนโพลโนเมยล
3 21 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) (1)v x a x a x a x a= + + +
โดย a1 a2 a3 และ a4 คอคาคงทและจะหาไดจากเงอนไขดงน
1 4
1 3
3 22 1 2 3 4
22 1 2 3
ˆˆ ˆ( 0) (2.1)ˆ ˆ( 0) ˆ (2.2)
ˆˆˆ ˆ( ) (2.3)
ˆ ˆ( ) ˆ 3 2 (2.4)ˆ
y
y
v x d adv x a
dxv x L d a L a L a L adv x L a L a L a
dx
= = =
== φ =
= = = + + +
== φ = + +
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
จากนนทาการแกสมการดงกลาว (2.1-2.4) จะได a1 a2 a3 และ a4 จากนนนาไปแทนในสมการท 1 ได
( ) ( )
( ) ( )
31 2 1 23 2
21 2 1 2 1 13 2
2 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( )
3 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ2 (3)
y y
y y y
v x d d xL L
d d x x dL L
⎡ ⎤= − + φ + φ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− − − φ + φ + φ +⎢ ⎥⎣ ⎦
หรอเขยนเปนเมตรกได
{ }1
11 2 3 4
2
2
ˆ
ˆˆˆ ˆ( ) [ ] [ ] (4)
ˆ
ˆ
y
y
d
v x N d N N N Nd
⎧ ⎫⎪ ⎪
φ⎪ ⎪= = ⎨ ⎬
⎪ ⎪⎪ ⎪φ⎩ ⎭
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
โดย N1 N2 N3 และ N4 คอ shape function และมคาดงน
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 3 2 2 31 23 3
3 2 3 2 23 43 3
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 2
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ2 3
N x x L L N x L x L xLL L
N x x L N x L x LL L
= − + = − +
= − + = −
ขนตอนท 3 การกาหนดความสมพนธของความเครยดกบการกระจด ความเครยดตามแนวแกนของคาน
2
2
ˆˆ ˆ( , ) (5)ˆ
ˆˆ ˆ (6)ˆ
ˆˆ ˆ ˆ( , ) (7)ˆ
x
x
dux ydx
dvu ydx
d vx y ydx
ε =
= −
∴ ε = −
ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix
จากรปทโนด 1 และ 2 และจากสมการ2 3
2 3
ˆ ˆˆˆ ˆ( ) (8)ˆ ˆ
d v d vm x EI V EIdx dx
= =
จะเขยนเปนสมการไดดงน
( )
( )
( )
3
1 1 1 2 23 3
22 2
1 1 1 2 22 3
3
2 1 1 2 23 3
2
2 12 3
ˆ(0)ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 12 6 12 6 ( )ˆˆ(0) ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ 6 4 6 2 ( )ˆ
ˆ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ 12 6 12 6 ( )ˆ
ˆ( ) ˆˆ ˆ 6 2ˆ
y y y
y y
y y y
y
d v EIf V EI d L d L adx Ld v EIm m EI Ld L Ld L b
dx Ld v L EIf V EI d L d L c
dx Ld v L EIm m EI Ld
dx L
= = = + φ − + φ
= − = = + φ − + φ
= − = − = − − φ + − φ
= = = +( )2 21 2 2
ˆˆ ˆ6 4 ( )yL Ld L dφ − + φ
ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix (ตอ)
จดรปสมการ (a), (b), (c) และ (d) ใหมเขยนเปนสมการได
112 2
1 13
2 22 2
2 2
ˆˆ 12 6 12 6ˆˆ 6 4 6 2
(9)ˆ ˆ12 6 12 6
6 2 6 4 ˆˆ
yy
y y
df L Lm L L L LEI
L LLf dL L L Lm
φ
φ
⎧ ⎫⎧ ⎫ −⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
ขนตอนท 5 การประกอบเอลเมนตเขาดวยกนขนตอนนจะทาการประกอบเอลเมนตทกอนเขาดวยกนจะทาใหเราได Global equation
ซง สมการนจะแสดงถงความสมพนธของ Nodal forces และ Nodal displacements ซง
ม Global matrix เปนตวแสดงความสมพนธหรอเขยนสมการไดดงน
{ } [ ]{ } (13)F K d or F K d= =โดย
[ ] { }( ) ( )
1 1
N Ne e
e e
K K k F F f= =
= = = =∑ ∑
ขนตอนท 6 ทาการแกสมการหาคา Nodal displacements
จากนนทาการกาหนดคาสภาวะขอบลงไปในสมการท (13) จากนนทาการแกสมการหา
คา การกระจดทโนด (Nodal displacements)
ขนตอนท 7 ทาการแกหาคาแรงทกระทาทโนดตางๆ ภายใน
เอลเมนต
นาเอาคาการกระจดทคานวณไดแทนลงในสมการท (12) เพอหาคาแรงทกระทา
ทโนดภายในเอลเมนต
ตวอยาง จากระบบคานดงรป จงหาการกระจดในแนวดงและการหมน ทจดกงกลางคาน และเขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนต กาหนดใหวสดของคานมคา E = 210 GPa และ I = 4 x 10-4 m4
วธทา หา Element stiffness matrix ของแตละเอลเมนต
แทนคาลงไปได
2 29 4(1) (2)
3
2 2
5
12 6 3 12 6 36 3 4 3 6 3 2 3210 10 4 10ˆ ˆ
12 6 3 12 6 336 3 2 3 6 3 4 3
12 18 12 1818 36 18 18840 1012 18 12 189
18 18 18 36
k k−
× − ×⎡ ⎤⎢ ⎥× × − × ×× × × ⎢ ⎥= =⎢ ⎥− − × − ×⎢ ⎥× × − × ×⎣ ⎦
−⎡ ⎤⎢ ⎥−× ⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎣ ⎦
จากนนขยายเมตรกใหเทากบเมตรก K(6 x 6)
5(1)
12 18 12 18 0 018 36 18 18 0 012 18 12 18 0 0840 10ˆ
18 18 18 36 0 090 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
k
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −×
= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
5(2)
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 12 18 12 18840 10ˆ0 0 18 36 18 1890 0 12 18 12 180 0 18 18 18 36
k
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−×
= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
จากนนประกอบเมตรกเขาดวยกนได
1 1
1 15
2 2
2 2
3 3
3 3
12 18 12 18 0 018 36 18 18 0 012 18 12 12 18 18 12 18840 10
18 18 18 18 36 36 18 1890 0 12 18 12 180 0 18 18 18 36
y y
y y
y y
F dMF dMF dM
φ
φ
φ
−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − + − + −×⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− + + −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
1 1 3 3 2 20, 10,000, 20,000y yd d F Mφ φ= = = = = − =
จากนนกาหนดคาสภาวะขอบและภาระทกาหนดให
K d F=
ไดสมการ
1
15
2
2
3
3
12 18 12 18 0 0 018 36 18 18 0 0 0
10,000 12 18 24 0 12 18840 1020,000 18 18 0 72 18 189
0 0 12 18 12 18 00 0 18 18 18 36 0
y
y
y
FM
d
FM
φ
−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪− − − −×⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥
−⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
52
2
10,000 24 0840 1020,000 0 729
ydφ
− ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤×=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
จากนนทาการแบงสวนเมตรก
แกสมการได4 5
2 21.339 10 , 8.928 10yd m radφ− −= − × = ×
จากนนคานวณแรงภายในของแตละเอลเมนต
เอลเมนต 1(1)
1(1) 51
4(1)2
5(1)2
12 18 12 18 018 36 18 18 0840 1012 18 12 18 1.339 109
18 18 18 36 8.929 10
y
y
fmfm
−
−
−⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪−×⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − − − ×⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ×⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
แกสมการไดแรงภายใน(1) (1) (1)
1 1 2
(1)2
10,000 , 12,500 , 10,000 ,
17,500y yf N m N m f N
m N m
= = − = −
= −
เขยนเปน FBD
เอลเมนต 2(2) 4
2(2) 552(2)
3(2)3
12 18 12 18 1.339 1018 36 18 18 8.929 10840 1012 18 12 189 0
18 18 18 36 0
y
y
fmfm
−
−
−⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ×⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ××⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
แกสมการไดแรงภายใน
(2) (2) (2) (1)2 2 3 20 , 2,500 , 0 , 2,500y yf N m N m f N m N m= = − = = − −
เขยนเปน FBD
นาขอมลมาเขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนต ของแตละเอลเมนตได
V, N10,000
M, N-m
-12,500
17,500
V, N
M, N-m
-2,500
0
เอลเมนต 1 เอลเมนต 2
ภาระแบบกระจายตลอดความยาวของเอลเมนต
(Distributed loading)
• เมอมภาระกระจายตลอดความยาวเอลเมนต ตองทาการเปลยนรปใหเปนภาระ
กระทาทโนดทงสอง ดงตวอยางจากรปขางลาง เหตผลเพราะภาระ(โหลด)ไม
สามารถใสคาลงไปทโนดใดโนดนงได ตองทาการเปลยนรปกอน
• วธการเปลยนภาระกระจายตลอดความยาวเอลเมนต ไปเปนภาระกระทาท
โนดทงสอง จะใชหลกการของ Work-Equivalent method ซงมหลกการคอ
งานทไดจากการกระทาของแรงกระจาย = งานของแรงและโมเมนตทกระทา
ทโนดทงสองรวมกน
เปลยนเปนภาระกระทาทโนดทงสอง
ตวอยาง เอลเมนตมการรบภาระกระจายแบบสมาเสมอ ตองการเปลยนรปใหเปนภาระกระทาทโนดทงสองขาง
งานทไดจากภาระจากทงสองระบบเทากน (Work equivalent system)
งานทไดจากภาระทงสองเขยนเปนสมการได
0
1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ( )
L
distributed
discrete y y y y
W w x v x dx a
W m m f d f d bφ φ
=
= + + +
∫
หรอสมการ (a) = (b)
1 1 2 2 1 1 2 20
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )L
y y y yw x v x dx m m f d f d cφ φ= + + +∫
แทนคา
( ) ( )
( ) ( )
31 2 1 23 2
21 2 1 2 1 13 2
ˆ( )2 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( )
3 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ2
y y
y y y
w x w
v x d d xL L
d d x x dL L
φ φ
φ φ φ
= −
⎡ ⎤= − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤− − − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
ลงไปในสมการ (c) และทาการอนทเกรทได
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
1 2 1 2 2 1 1 2
2
1 1 1 1 2 2 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ22 4 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ( )2
y y y y
y y y y y
Lw L w L wd d Lw d d
L w d wL m m f d f d d
φ φ φ φ
φ φ φ
− − − + − − + +
⎛ ⎞− − = + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมอตองหาคา
2 2 22
12ˆ
4 3 2 12L w L wLm L w w
⎛ ⎞= − − + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
1ˆ (1)m
1 2ˆ ˆˆ ˆ1, 0, 0, 01 2 y yd d= = = =φ φ
แทนลงไปในสมการ (d) ได
กาหนดคา
เชนเดยวกนถาตองหาคา
กาหนดคา
แทนลงไปในสมการ (d) ได
2ˆ (1)m
2 2 2
2ˆ4 2 12
L w L w wLm⎛ ⎞
= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2ˆ ˆˆ ˆ0, 1, 0, 01 2 y yd dφ φ= = = =
ดงนนถาใชวธการเดยวกน จะสามารถหาไดวา
1 1 2 2 1
2 1 2 1 2
ˆ ˆ ˆˆ ˆ( 0, 1)2 2
ˆ ˆ ˆˆ ˆ( 0, 1)2 2
y y y
y y y
Lw Lwf Lw Lw d d
Lw Lwf Lw d d
φ φ
φ φ
= − + − = − = = = =
= − = = = = =
ดงนนสรปไดวา
2wL
− 2wL
2
12wL
−2
12wL
ขอมลจากหนงสอ Appendix D
หมายเหต ถาภาระกระจายมรปแบบนอกเหนอจากน ตองทาการอนทเกรท
หาใหม
วธการแกปญหา ของปญหาทมแรงกระจาย ทาไดโดยเปลยนแรงกระจายให
เปนแรงกระทาทโนด ดงนนจะถอวาแรงทเปลยนรปแลวกคอภาระกระทาท
โนดนนๆ นนเอง หรอเขยนเปนสมการได
0F Kd F= −
แรงกระจายทเปลยนรปเปนแรงกระทาทโนดแลวหรอ Equivalent nodal forces
Global equation
0ˆ ˆ ˆ ˆf k d f= − Element equation
แรงกระจายทเปลยนรปเปนแรงกระทาทโนดแลว บนเอลเมนตใดๆ
ตวอยาง คานดงรป ทงสองขางมการยดแบบแคนทลเวอร(Fix)และรบภาระ
แบบกระจาย จงคานวณหาการกระจดและการหมนหรอ slope ทจดกงกลางคาน พรอมทงหาแรงปฎกรยาทจดรองรบทงสองขาง กาหนด คานมคา E และ
พนทหนาตด คงททวทงความยาว การคานวณใหใช 2 เอลเมนต
1 2 3
วธทา ทาการแบงเอลเมนตออกเปนสองเอลเมนต จากนนหาเอลเมนตเมตรกและประกอบเขาดวยกน เพอใหไดสมการของโครงสรางรวมหรอ Global
equation โดยแรงกระทาทโนดของประกอบไปดวยแรงและโมเมนตภายนอกทใหมารวมกบแรงและโมเมนตทไดจากการเปลยนแรงกระจาย
หาเอลเมนตเมตรกได
2 2(1) (2)
3
2 2
12 6 12 66 4 6 212 6 12 6
6 2 6 4
L LL L L LEIk k
L LLL L L L
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= =⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎣ ⎦
2 2
(1) (2)2 2 2 23
2 2
2 2
2 2 23
12 6 12 6 0 06 4 6 2 0 012 6 12 12 6 6 12 6
6 2 6 6 4 4 6 20 0 12 6 12 60 0 6 2 6 4
12 6 12 6 0 06 4 6 2 0 012 6 24 0 12 6
6 2 0 8 6 20 0 12 6 12 6
L LL L L L
L L L LEIK k kL L L L L L L LL
L LL L L L
L LL L L L
L LEIL L L L LL
L L
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − + − + −
= + = ⎢ ⎥− + + −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
−−
− − −=
−− −
2 20 0 6 2 6 4L L L L
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
ประกอบเอลเมนตเมตรกเขาดวยกนได
หาแรงและโมเมนตเสมอน(equivalent nodal forces) ของเอลเมนตและโครงสราง
เอลเมนต 1
เอลเมนต 2
+
โครงสราง
2
0 2
2
340
60
2
301740
15
wL
wL
wL
FwL
wL
wL
−⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬
−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
0F Kd F= −จากสมการ Global equation
2
1 12 2
1 1
2 22 2 23 2
2 2
3 32 2
3 3
340
12 6 12 6 0 0 606 4 6 2 0 012 6 24 0 12 6 2
6 2 0 8 6 2300 0 12 6 12 6
0 0 6 2 6 4
y y
y y
y y
wL
wLF dL LM L L L L wLF dL LEIM L L L L LL wLF dL LM L L L L
φ
φ
φ
−
−−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
2
1740
15
wL
wL
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
0
0
0
0
0
0
ทาการแยกสวนเมตรกซได
223 2
2
0 24 0 20 0 8
30
y
wLdEI
LL wLφ
−⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ −⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭แกสมการได 4 3
2 2,48 240y
wL wLdEI EI
φ− −= =
นาคาทงสองไปแทน
ในสมการ Global equation ได21
1
3
32
1240
860
2840315
y
y
wL
F wLMF wLM
wL
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪−⎪ ⎪
⎪ ⎪⎩ ⎭ คาตอบ
กรณศกษา การเปรยบเทยบผลลพธทไดจาก Exact solution กบจากวธไฟ
ไนตเอลเมนต จากปญหาของคานดงรป
จดประสงค ทาการศกษาหากราฟของระยะกระจด(v) โมเมนต(M) และแรง
เฉอน(V) โดยในวธไฟไนตเอลเมนตจะใชจานวนเอลเมนตเทากบ 1 เอลเมนต
Exact solution จากสมการของ Beam Theory และภาระทกาหนดให
สามารถแกหาคาตอบไดดงน (ดหนา 188-189)
( )
4 3 2 2
2 2
1( )24 6 4
( )2 2
( )
wx wLx wL xy xEI
wL wxM x wLx
V x w L x
⎛ ⎞−= + −⎜ ⎟
⎝ ⎠−
= − +
= −
โดยกาหนดให
5 4210 , 4 10 , 2.5 , 4 /E GPa I m L m w kN m−= = × = =
ผลลพธ
ผลลพธ(ตอ)
ขอสงเกต ผลตางของการกระจดจะนอยทสด และผลตางของแรงเฉอนจะมากทสด วธการทจะทาใหผลตางของแรงเฉอนมคาดขนคอใชจานวนเอลเมนตมากขนหรอใช high order เอลเมนต
เทนเซอรความเคน(Stress tensor)
เทนเซอรความเคนเปนปรมาณทใชอธบายคาความเคนทเกดขนภายใน
เนอวตถ ณ จดใด ซงคานตองมการอางองกบพกดฉาก XYZ ทเราตอง
กาหนดขนมาลวงหนา
เราจะมาดกนวาเทนเซอรความเคนมองคประกอบทงหมดกคา และคาน
หามาไดอยางไร และพกดฉากทตงขนมาไวอางองมความสาคญอยางไร
กบเทนเซอรความเคน
พจารณาวตถทถกแรงภายนอก
กระทาและอยในสภาวะสมดล
ดงรป
จากนนทาการตดวตถดวยระนาบ เราจะ
เหนแรงกระทาบนหนาตด ไดดงรป
ถาพจารณาพนทเลกๆ ΔA (Normal vector ชไปตามแนวแกน z )บนหนาตดซงมแรงกระทา ΔF ดงรปเราสามารถแตกแรงนออกเปนตามแกน x, y และ z ตามลาดบ และนยามคาดงน
0
0
0
lim
lim
lim
zz A
xzx A
yzy A
FAFAFA
Δ →
Δ →
Δ →
Δσ =
ΔΔ
τ =ΔΔ
τ =Δ
ความเคนตงฉาก ตามแนวแกน z
ความเคนเฉอน ตามแนวแกน x
ความเคนเฉอน ตามแนวแกน y
ในทานองเดยวกน ถาพจารณาพนทเลกๆ ΔA (Normal vector ชไปตามแนวแกน y
)บนหนาตดซงมแรงกระทา ΔF ดงรปเราสามารถแตกแรงนออกเปนตามแกน x, y
และ z ตามลาดบ และนยามคาดงน
ความเคนตงฉาก ตามแนวแกน y0
0
0
lim
lim
lim
yy A
xyx A
zyz A
FAFAFA
Δ →
Δ →
Δ →
Δσ =
ΔΔ
τ =ΔΔ
τ =Δ
ความเคนเฉอน ตามแนวแกน x
ความเคนเฉอน ตามแนวแกน z
และในทานองเดยวกน ถาพจารณาพนทเลกๆ ΔA (Normal vector ชไปตามแนวแกน x )บนหนาตดซงมแรงกระทา ΔF ดงรปเราสามารถแตกแรงนออกเปนตามแกน x, y และ z ตามลาดบ และนยามคาดงน
0
0
0
lim
lim
lim
xx A
yxy A
zxz A
FAFAFA
Δ →
Δ →
Δ →
Δσ =
ΔΔ
τ =ΔΔ
τ =Δ
ความเคนตงฉาก ตามแนวแกน x
ความเคนเฉอน ตามแนวแกน y
ความเคนเฉอน ตามแนวแกน z
ดงนนเรานยามเทนเซอรความเคน ณ จดใดๆ โดยคาดงกลาวหรอเขยนเปน
{ }
, ,
x
yx xy xz
zyx y yz
yzzx zy z
zx
xy
xy yx xz zx yz zy
σ⎧ ⎫⎪ ⎪σ⎪ ⎪⎡ ⎤σ τ τ⎪ ⎪σ⎪ ⎪⎢ ⎥σ = τ σ τ = ⎨ ⎬⎢ ⎥ τ⎪ ⎪⎢ ⎥τ τ σ⎣ ⎦ ⎪ ⎪τ⎪ ⎪
τ⎪ ⎪⎩ ⎭τ = τ τ = τ τ = τ
ดงนนเทนเซอรความเคนคอสถานะของความเคน(State of stress) ณ จดใดๆ
ในวตถ ซงเปนคาทตองอางองกบพกด xyz
Stress tensor
เมอ
ในทานองเดยวกนเราสามารถนยามเทนเซอรความเครยด ณ จดใดๆ โดย
{ }
, ,
x
yx xy xz
zyx y yz
zyzx zy z
zx
xy
xy yx xz zx yz zy
ε⎧ ⎫⎪ ⎪ε⎪ ⎪⎡ ⎤ε ε ε⎪ ⎪ε⎪ ⎪⎢ ⎥ε = ε ε ε = ⎨ ⎬⎢ ⎥ ε⎪ ⎪⎢ ⎥ε ε ε⎣ ⎦ ⎪ ⎪ε⎪ ⎪
ε⎪ ⎪⎩ ⎭ε = ε ε = ε ε = ε
ดงนนเทนเซอรความเครยดคอสถานะของความเครยด(State of strain) ณ จด
ใดๆในวตถ ซงเปนคาทตองอางองกบพกด xyz
Strain tensor
เมอ
x
y
A B
CA’
B’
C’
vudy
dx
dxxv
∂∂
xdxuu
∂∂
+
dyyu
∂∂
dyyvv
∂∂
+
1 2 1 2
ud x u d x u d xA 'B ' A B ux
A B d x xvd y v d y v d yyA 'C ' A C v
A C d y yπ a n g le (C 'A 'B ') β β t a n β t a n β2
v ux
x
y
x y
y
ε
ε
ε
∂⎛ ⎞⎛ ⎞+ + − −⎜ ⎟⎜ ⎟− ∂∂⎝ ⎠⎝ ⎠= = =∂
⎛ ⎞⎛ ⎞∂+ + − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂− ∂⎝ ⎠⎝ ⎠= = =∂
= − = + ≈ +
∂ ∂≈ +
∂ ∂
1β
2β
ตวอยาง 2D
คาของเทนเซอรความเคนและเทนเซอรความเครยดมความสมพนธซงอธบายไดดวย Constitutive matrix หรอ Stress/Strain matrix
{ } { }[ ]6 1 6 1
Dσ = ε
× ×
คาคงททจะนามาใชในเมตรก [D] ขนอยวาวตถทพจารณามคณสมเปนแบบไหนเชน Isotropic material หรอ orthotropic material หรอ Anisotropic
material
ขนาด 6 x 6 หรอ มองคประกอบ 36 ตว
ซงไดจากคาคงทของวสด
Generalized Hooke’s Law
Constitutive matrix หรอ Stress/Strain matrix ของ Linear isotropic material
1 0 0 01 0 0 0
1 0 0 0[ ]
0 0 0 1 2 0 0(1 )(1 2 )0 0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 1 2
ED
− ν ν ν⎡ ⎤⎢ ⎥ν − ν ν⎢ ⎥⎢ ⎥ν ν − ν
= ⎢ ⎥− ν+ ν − ν ⎢ ⎥⎢ ⎥− ν⎢ ⎥
− ν⎢ ⎥⎣ ⎦
จะเหนวามคาคงทสองตวทตองหามาจากการทดลอง E และ ν , poisson’s ratio,
(คาหลงนหายาก) แตเราจะหาคาหลงจากความสมพนธน
( mod )2(1 )
EG shear ulus =+ ν
Torsion test Tensile test
orthotropic material ต.ย. เชน ไม ลามเนตพลาสตก Rolled steel เปนตน มคาคณสมบต 9 ตวทตองหามา โดยสวนใหญจะเขยนดงนแทน
, ,yz zy xy yxzx xz
y z z x x yE E E E E Eν ν ν νν ν
= = =
{ } { } { }1[ ] [ ]
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0[ ]
10 0 0 0 02
10 0 0 0 02
10 0 0 0 02
yx zx
x y z
xy zy
x y z
yzxz
x y z
yz
zx
xy
D S
E E E
E E E
E E ES
G
G
G
−ε = σ = σ
ν⎡ ⎤ν− −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ν ν− −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥νν⎢ ⎥− −⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
เมอ
Compliance matrix
Constitutive matrix หรอ Stress/Strain matrix ของ anisotropic material นนจะมคาคงทของวสดถง 21 คา ซงจะไมกลาวถง ณ ทน
ในทางปฏบตนนเราสามารถทจะหาพกดฉากอางองทเหมาะสมแลวทาใหคาสถานะความเคนทจดนนๆ มคาเฉพาะความเคนในแนวตงฉาก ซงเราจะเรยกความเคนนวาเปน Principal stresses ซงคาของมนจะมคาทสงทสด(Maximum) คากลาง(Intermediate) และคาตาสด (Minimum)
Transform
เมอทาการ Transform คาเทนเซอรความเคนแลวหรอเลอกพกดอางองทเหมาะสมไดแลว ณ ทนคอพกด
{ } { }0 0
0 00 0
x xy xz x x y x z I
yx y yz y x y y z II
zx zy z z x z y z III
I II III
′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′ ′
⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ τ τ σ τ τ σ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′σ = τ σ τ → σ = τ σ τ = σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ τ σ τ τ σ σ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
σ > σ > σPrincipal stresses - ความเคนหลกสงสดหาไดจาก
x y z′ ′ ′
3 21 2 3
1
2 2 22
2 2 23
( )( )( ) 0where
2
I II III
x y z
x y y z x z xy xz yz
x y z xy xz yz x yz y xz z xy
− + − = − − − =
= + +
= + + − − −
= + − − −
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ σ σ σ τ τ τ
σ σ σ τ τ τ σ τ σ τ σ τ
I I I
I
I
I
ความเคนหลกสงสดในระบบ 2 มต
สามารคานวณความเคนหลกจากสมการ
2,2 2
x y x yI II xy
σ σ σ σσ σ τ
+ −⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟
⎝ ⎠
สถานะของความเคน
x xy
yx y
σ ττ σ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
สมการนคอสมการของวงกลม Mohr นนเอง
การเสยหายของวสดวศวกรรม
การเสยหายของวสดสามารถแบงออกไดดงนดงตอไปน
1. Instantaneous fracture (Overload)
2. Yielding (Plastic deformation)
3. Fatigue (Delayed fracture)
4. Corrosion (Environmentally-assisted cracking)
5. Creep (Time dependent plastic deformation)
6. Wear( Surface damage)
Instantaneous Fracture
Tensile test results : (a) Ductile Fracture (b) Brittle Fracture
การคราก(Yielding)
Plastic deformation is induced and the original structure is not returned to its original shape
การลา(Fatigue)
This high tensile steel bolt failed under low stress high cycle conditions with a fatigue crack running from 9 o'clock as shown by the beach marks.
Crack origin
การกดกรอน(Corrosion)
The deep drawn brass cup on the right shows stress corrosion cracking under the influence of the residual manufacturing stresses and a mildly corrosive environment. The cup on the left has been annealed before putting it into service which solves the problem
การคบ(Creep)
Failed toilet float - creep failure due to overtightening.
การสกหรอ(Wear)
Wear may be defined as damage to a solid surface caused by the removal or displacement of material by the mechanical action of a contacting solid, liquid, or gas.
Abrasion of gear tooth surface
ทฤษฎการเสยหาย(Failure theories)
เราสามารถทานายการเสยหาย(เกดการครากแลวหรอแตกหก)ของวสด
ไดดวยทฤษฎดงตอไปน
1. Maximum principal stress theory
2. Maximum shear stress theory
3. Distortion energy theory
หมายเหต : จรงๆแลวมทฤษฎอนๆอกแตทงสามทฤษฎน เปนทนยมใชสาหรบ
โลหะ เซรามค และพลาสตก เปนตน
Maximum Principal Stress Theory
ทฤษฎกลาวไววา “การครากของวสดจะเกดขนเมอคาสมบรณความเคนหลกมคา
เทากบหรอมากกวาคาความเคนแรงดงสงสด(uni-axial tensile yield strength)” ทฤษฎมกจะนาไปใชทานายการเสยหายของวสดเปราะ
( , , )I II III yMAX σ σ σ σ≥
Maximum Shear Stress Theory
มชออกอยางหนงวา “Tresca criterion” ซงมาจากชอของนกวทยาศาสตรชาว
ฝรงเศสทชอวา Henri Tresca ทฤษฎกลาวไววา “การครากของวสดจะเกดขนเมอคา
ความเคนเฉอนสงสดมคาเทากบหรอมากกวาคาความเคนเฉอนคราก (τy = σy/2) ของวสดทอยภายใตแรงกระทาตามแนวแกนอยางเดยวแบะคาความเคนเทากบความเคนแรงดงสงสด ทฤษฎมกจะนาไปใชทานายการเสยหายของวสด
เหนยว
( , , )2 2 2 2
yII III III I I IIyMAX
σσ σ σ σ σ σ τ− − −= =
, ,2 2 2
II III III I I III II III
σ σ σ σ σ στ τ τ− − −= = =
คาความเคนเฉอนหลกหาไดโดย
Distortion Energy Theory
ทฤษฎนสมมตใหพลงงานความเครยดรวมสามารถแบงออกเปนสองสวนคอ
volumetric (hydrostatic) strain energy และ shape (distortion or shear) strain
energy ดงนนพลงงานททาใหเกดการครากจะมาจากสวนหลง ทฤษฎจงกลาวไววา
“การครากจะเกดขนเมอ distortion energy มคามากกวาความเคนแรงดงสงสด”
ทฤษฎนเปนทรจกกนดในนาม Von Mises criterion และสามารถแสดงเปนสมการ
ไดดงน 2 2 2 21 ( ) ( ) ( )
2 I II II III III I yσ σ σ σ σ σ σ⎡ ⎤− + − + − =⎣ ⎦หรอ
2 2 2 2 2 2 21 ( ) ( ) ( ) 6( )2 x y y z z x xy yz zx yσ σ σ σ σ σ τ τ τ σ⎡ ⎤− + − + − + + + =⎣ ⎦
1/ 22 2 2 2 2 21 ( ) ( ) ( ) 6( )2von x y y z z x xy yz zxσ σ σ σ σ σ σ τ τ τ⎡ ⎤= − + − + − + + +⎣ ⎦
Von Mises stress
Examples of Calculation
Example: A three dimensional state of stress is as follows:
100 80 080 60 00 0 40
ij MPaσ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Solution: Substitute in the principal stress equation, we get
12
22
3
100 60 40 80100 ( 60) ( 60) 40 100 40 80 10,800100 ( 60) 40 40 80 496,000
III
= − + =
= × − + − × + × − = −
= × − × − × =
Find the principal stresses?
Examples of Calculation (cont.)
3 2
2
3
1
2
80 10,800 496,000 0or( 40)( 40 12, 400) 0
40 MPa133.1 MPa
93.1 MPa
σ σ σ
σ σ σσσσ
− − + =
− − + =∴ =
== −
Examples of Failure Calculation
Question From previous example, if the material has tensile yield strength equal to 100 MPa, determine that the plastic deformation has already occurred or not. Use the following criterions,
1. Maximum principal stress theory2. Maximum shear stress theory3. Distortion energy theory
Solution : 1) Maximum principal stress theory
1 2 3( 133.1 , 93.1 , 40 ) 133.1 100σ σ σ= = − = = >MAX
Therefore, yielding has occurred.
Examples of Failure Calculation (cont.)
2 31
1 32
1 23
93.1 40 66.52 2
133.1 40 46.552 2
133.1 ( 93.1) 113.12 2
σ στ
σ στ
σ στ
− − −= = =
− −= = =
− − −= = =
Solution : 2) Maximum shear stress theory
Therefore, yielding has occurred.3 max 113.1 100 / 2τ τ= = >
Examples of Failure Calculation (cont.)
Solution : 3) Distortion energy theory
Therefore, yielding has occurred.
22 2 2 21 (133.1 ( 93.1)) (( 93.1) 40) (40 133.1)2
196.91 100
σ
σ
⎡ ⎤− − + − − + − =⎣ ⎦
= >
e
e
Tutorial
Problem The round bar is subjected to a force and torque, as shown below. Determine
1) State of stress at any point within a body2) Principal normal stresses
Tutorial (cont.)
σxx = F/Aτxy = Tr/J, J (Circular Shaft) = πr4/2, r = outside radius of a solid shaft, shear is maximum at outside radius
• If solid shaft material is AISI 1030, determine that is it failed by yielding or not?
ปญหาแบบสองมตของกลศาสตรของแขง
ปญหาบางสวนสามารถทจะลดรปใหเปนปญหาแบบสองมตได ซง
แบงเปนดงน
1. Plane stress problem
2. Plane strain problem
3. Axisymmetric problem
ซงเราจะมาพจารณากนตอไปวาปญหาแบบนมนยามอยางไร
ปญหา Plane stress
ปญหาทซงมแรงกระทาบนระนาบ xy และความหนาของวตถมขนาดเลกดงตวอยางดงรปขางลาง
{ }
, 0
xx xy
yyx y
xy
xy yx z yz xz
⎧ ⎫σσ τ⎡ ⎤ ⎪ ⎪σ = = σ⎨ ⎬⎢ ⎥τ σ⎣ ⎦ ⎪ ⎪τ⎩ ⎭
τ = τ σ = τ = τ =
ปญหา Plane stress (ตอ)
สาหรบ Isotropic material ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด มคาดงน
{ } 2
1 0[ ] 1 0
10 0 1
x x x
y y y
xy xy xy
vED v
v
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫σ ε ε⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥σ = σ = ε = ε⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥τ ε − ε⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
ปญหา Plane stress (ตอ)
1 0
1[ ] 0
10 02
yx
x yx x x
xyy y y
x yxy xy xy
xy
yx xy
y x
vE Ev
SE E
G
whenE E
⎡ ⎤−⎢ ⎥
⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ε σ σ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ε = σ = − σ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ε τ τ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
ν ν=
สาหรบ orthotropic material ตวอยางดงรป ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด มคาดงน (มคาคงท 4 ตว)
ปญหา Plane strain
ปญหาทซงมแรงกระทาบนระนาบ xy และความหนาของวตถมขนาดใหญมากตวอยางดงรปขางลาง
{ }
, 0, 0
xx xy
yyx y
xy
xy yx z yz xz z
⎧ ⎫εε ε⎡ ⎤ ⎪ ⎪ε = = ε⎨ ⎬⎢ ⎥ε ε⎣ ⎦ ⎪ ⎪ε⎩ ⎭
ε = ε ε = ε = ε = σ ≠
ปญหา Plane strain (ตอ)
สาหรบ Isotropic material ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด มคาดงน
{ }1 0
[ ] 1 0(1 )(1 2 )
0 0 1 2
x x x
y y y
xy xy xy
v vED v v
vv
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫σ ε − ε⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥σ = σ = ε = − ε⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ − ν⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥τ ε − ε⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
ปญหา Axisymmetric ปญหาทซงมรปรางของปญหาและแรงกระทามความสมมาตรรอบแกน Z ดงนนเราสามารถสรปไดดงน (สาหรบ Isotropic material)
1 01 0
1 0(1 )(1 2 )0 0 0 1 2
r r
z z
rz rz
v v vv v vEv v vv v
vθ θ
σ ε−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥σ ε−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥σ ε−+ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ ε−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
การสรางเอลเมนต 2 มตโดยวธ Minimum potential energy
วธการสรางเอลเมนต 2 มตแบบ Triangular element ซงสามารถ
นาไปใชกบปญหาแบบ Plane stress และ Plane strain ได
DOF ของแตละโนดคอ v และ u การกระจดตามแนวแกน x และ y
ขนตอนท 1 กาหนดชนดเอลเมนตกาหนดเอลเมนตทจะพฒนาเปน Linear triangular element โดย Nodal displacement matrix คอ
แตละโนดมความอสระในการเคลอนทได 2 แบบ – DOF = 2
{ }
i
ii
jj
jm
m
m
uv
du
d dv
duv
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจดเปนขนตอนการกาหนดเลอกฟงกชนทางคณตศาสตรเพอจะนามาอธบายการ
เสยรปของเอลเมนต ซงฟงกชนนจะถอวาเปนคาประมาณ(Approximate
solution) ฟงกชนทเลอกใชสวนใหญเปนฟงกชนโพลโนเมยล ณ.ทนเราใช
ฟงกชนเชงเสน (Linear function)
{ }
1
2
1 2 3 3
4 5 6 4
5
6
( , ) 1 0 0 0( , ) 0 0 0 1
aa
a a x a y au x y x ya a x a y av x y x y
aa
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+ +⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ψ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ +⎩ ⎭ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
โดย a1 , a2 , a3 , a4 , a5 และ a6 คอคาคงทและจะหาไดจากเงอนไขการกระจดทโนดทงสามดงน
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
{ }0 0 0( , )
0 0 0( , )
i
i
i i j j m m i j m j
i i j j m m i j m j
m
m
uv
N u N u N u N N N uu x yN v N v N v N N N vv x y
uv
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪
+ + ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪ψ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ +⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
( , ) , ( , )( , ) , ( , )
( , ) , ( , )
i i i i i i i i i i
j j j j j j j j j j
m m m m m m m j m m
u u x y a a x a y v v x y a a x a yu u x y a a x a y v v x y a a x a y
u u x y a a x a y v v x y a a x a y
= = + + = = + += = + + = = + +
= = + + = = + +
แกสมการได
1 1( ), ( )2 2
1 ( ), 2 ( ) ( ) ( )2
i i i i j j j j
m m m m i j m j m i m i j
N x y N x yA A
N x y A x y y x y y x y yA
α β γ α β γ
α β γ
= + + = + +
= + + = − + − + −
โดย
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
, ,
, ,
, ,
i j m j m j m i m i m i j i j
i j m j m i m i j
i m j j i m m j i
x y y x x y y x x y y x
y y y y y y
x x x x x x
α α α
β β β
γ γ γ
= − = − = −
= − = − = −
= − = − = −
เมอ
โดย Ni , Nj และ Nm คอ shape function และมคณสมบตดงรปดานขวามอ
ขนตอนท 2 การกาหนดฟงกชนของการกระจด(ตอ)
คณสมบตทสาคญของ Displacement function, {ψ}, คอตองมความสมบรณ
(Completeness) ในการใหมการเคลอนทแบบ Rigid-body translation และ Rotation
ได โดยไมทาใหเกดความเคนขน
Stress-free element
Translation Rotation
ขนตอนท 3 การกาหนดความสมพนธของความเครยดกบการกระจด และความเคนกบความเครยดความเครยดของเอลเมนต
{ }
1 ( )2
x
y
xy
uxvy
u vy x
⎧ ⎫∂⎪ ⎪
∂⎪ ⎪⎧ ⎫ε⎪ ⎪∂⎪ ⎪ε = ε =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ε⎩ ⎭ ⎪ ⎪∂ ∂
+⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎭
จากการแทนคา u และ v ลงไปในสมการขางบนจะได
{ }0 0 0
1 0 0 0 [ ]{ }2
i
ii j m
ji j m
ji i j j m m
m
m
uvu
B dvAuv
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫β β β⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ε = γ γ γ =⎨ ⎬⎨ ⎬
⎪ ⎪⎪ ⎪γ β γ β γ β⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
ขนตอนท 3 การกาหนดความสมพนธของความเครยดกบการกระจด และความเคนกบความเครยด (ตอ)
ความเคนของเอลเมนต
[ ] [ ][ ]{ }x x
y y
xy xy
D D B d⎧ ⎫ ⎧ ⎫σ ε⎪ ⎪ ⎪ ⎪σ = ε =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪τ ε⎩ ⎭ ⎩ ⎭
ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix
จากหลกการของ Minimum potential energy, Total potential energy
( , , ,..., )p p i i j mu v u vπ = πซงสามารถเขยนไดดงน
โดย{ } { } { } [ ]{ }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
1 12 2
T T
V V
Tb
V
Tp
T
s S Ss
U dV D dV
X dV
d P
T dS
= ε σ = ε ε
Ω = − ψ
Ω = −
Ω = − ψ
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
∫∫
p b p sUπ = + Ω + Ω + Ω
Potential energy ของ Body force
แรงกระทาเปนจด และแรงกระจายบนผว
Strain energy
ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix (ตอ)
นาคา {σ}, {ε} และ {ψ} ไปแทนสมการพลงงานจะได{ } [ ] [ ][ ]{ }
{ } [ ] { } { } { } { } [ ] { }
12
TTp
V
T TT T TS S
V S
d B D B d dV
d N X dV d P d N T dS
π =
− − −
∫∫∫
∫∫∫ ∫∫ถากาหนดให
{ } [ ] { } { } [ ] { }TT
S SV S
f N X dV P N T dS= + +∫∫∫ ∫∫แทนในสมการขางบน
{ } [ ] [ ][ ] { } { } { }12
TT Tp
V
d B D B dV d d fπ = −∫∫∫
ขนตอนท 4 การพสจนหา Element stiffness matrix (ตอ)
จากนนทาการหาคาอนพนธแลวจบเทากบศนย
{ } [ ] [ ][ ] { } { } 0Tp
V
B D B dV d fd
⎡ ⎤∂π= − =⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦
∫∫∫ดงนน
[ ] [ ][ ] { } { }
[ ]{ } { }
T
V
B D B dV d f
k d f
⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦=
∫∫∫
ถาความหนาของเอลเมนตคงทเทากบ t
[ ] [ ] [ ][ ]
[ ] [ ][ ]
T
AT
k t B D B dxdy
tA B D B
=
=
∫∫
ขนาด(6 x 6)
ขนตอนท 5 การประกอบเอลเมนตเขาดวยกนขนตอนนจะทาการประกอบเอลเมนตทกอนเขาดวยกนจะทาใหเราได Global equation
ซง สมการนจะแสดงถงความสมพนธของ Nodal forces และ Nodal displacements ซง
ม Global matrix เปนตวแสดงความสมพนธหรอเขยนสมการไดดงน
{ } [ ]{ }F K d=โดย
[ ] { }( ) ( )
1 1
N Ne e
e e
K K k F F f= =
= = = =∑ ∑
ขนตอนท 6 ทาการแกสมการหาคา Nodal displacements
จากนนทาการกาหนดคาสภาวะขอบลงไปในสมการทแลว จากนนทาการแกสมการหา
คา การกระจดทโนด (Nodal displacements)
ขนตอนท 7 ทาการแกหาคาแรงทกระทาทโนดตางๆ ภายใน
เอลเมนต
นาเอาคาการกระจดทคานวณไดแทนลงในสมการGlobal equation เพอหาคาแรง
ทกระทาทโนดภายในเอลเมนต นอกจากนนเรายงสามารถหาคาความเคนภายใน
เอลเมนตไดดวย
ตวอยางการแปลงแรงกระจายไปเปนแรงทโนด
การแปลงแรงกระจายไปเปนแรงกระทาทโนดมความจาเปนเพราะระเบยบวธไฟ
ไนตเอลเมนตตองการแรงกระทาทโนด ตวอยางขางลางคอการแปลง Surface force
แรงแบบดงเดม Surface load แรงแบบใหม Point load
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress
แผนเพลทคอนขางบางถกกระทาดวยแรงกระจายแบบผวดงรป
จงหา (a) การกระจดทโนด (b) ความเคนภายในเอลเมนต
กาหนดใหความหนาของแผนเพลทเทากบ 1 นว Young’s Modulus, E, กบ 30 x
106 psi และ ν = 0.3
FE model
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress (ตอ)
(1) (2)[ ] [ ] [ ]K k k= +หลกการทาคอตองหา Global element stiffness matrix
จากนนแทนในสมการ Global matrix equation และแทนเงอนไขโหลดและ
สภาวะขอบลงไป
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
4 4
4 4
0000
[ ]5000
05000
0
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x x
y y
F dF dF dF d
KF d
F dF d
F d
=⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎩ ⎭ ⎩ ⎭
F1x
5000
5000
F2x
F2y
F1y
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress (ตอ)
จากผลการแทนจะไดสมการ
1
1
2
2
48 0 28 14 0 26 20 120 87 12 80 26 0 14 728 12 48 26 20 14 0 0
14 80 26 87 12 7 0 0375,005000 0 26 20 12 48 0 28 140.91
0 26 0 14 7 0 87 12 805000 20 14 0 0 28 12 48 26
0 12 7 0 0 14 80 26 87
x
y
x
y
FFFF
− − −⎧ ⎫ ⎡⎪ ⎪ ⎢ − − −⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪ ⎢− − −⎪ ⎪ ⎢ − − −⎪ ⎪ ⎢=⎨ ⎬ ⎢ − − −⎪ ⎪ ⎢⎪ ⎪ − − −⎪ ⎪
− − −⎪ ⎪⎪ ⎪ − − −⎩ ⎭ ⎣
3
3
4
4
0000
x
y
x
y
dddd
⎧ ⎫⎤⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥⎪ ⎪⎥ ⎨ ⎬⎥ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎦ ⎩ ⎭
ตอไปตองทาการแกหาของดานขวามอ(คาการกระจดทโนด)กอน จากนนแทน
คาเพอหาคาตอบของดานซายมอคอคาแรงกระทาทโนดของโครงสรางรวม
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress (ตอ)
3
3 6
4
4
609.64.2
10 .663.7104.1
x
y
x
y
dd
indd
−
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭
ผลลพธของคาตอบได
ขอสงเกต จะเหนวาคาตอบทไดมคาความผดพลาดขนของสมดลแรง(แตนอย
มากๆ) และการกระจดทโนด จะแกไดอยางไร
1
1 3
2
2
5.00050.0007
10 .4.99970.0005
x
y
x
y
FF
lbFF
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭⎩ ⎭
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress (ตอ)
10053012.4
x
y
xy
psiσστ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭⎩ ⎭
นาคาการกระจดทไดลงไปแทนในสมการความสมพนธระหวางความเคนและ
ความเครยดจะได
Note: คาความเคนมคาคงทตลอดทวทงอลเมนต ดงนนจะเกดอะไรขนระหวาง
รอยตอของอลเมนต ลองมาดกนตอไป
9951.22.4
x
y
xy
psiσστ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭⎩ ⎭
อลเมนต 1 อลเมนต 2
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress (ตอ)
ขดกบหลกสมดล
คาความเคนทรอยตอเอลเมนตมทศตรงกนขาม
แตขนาดตางกนดงนนสมดลระหวางเอลเมนตไมได
ตวอยางเชงตวเลขของปญหา Plane stress (ตอ)
จากการทดสอบตอไปพบวาม Directional bias เกดขน
Mesh แบบท 1
Mesh แบบท 2
3D Stress element
เรามความจาเปนตองใชเอลเมนตแบบสามมตเมอ วตถ รปแบบของภาระและสภาวะขอบของปญหามความซบซอนทจะวเคราะหปญหาเปนแบบ 2 มตได เอลเมนตพนฐานของระบบสามมตประกอบไปดวย (1) Brick element (2) Tetrahedral element (3) Wedge element
Solid(3D)
• ทแตละโนดจะมระดบความอสระเทากบ
3 คอ u, v, w สมการของเอลเมนตจะเปน
{ } { }ˆ ˆ ˆf k d⎡ ⎤= ⎣ ⎦
ขนาด 24 x 24 สาหรบ Brick element
ขนาด 8 x 1 ขนาด 8 x 1
ขอควรพจารณาในการทาแบบจาลอง
ขอควรพจารณาโดยทวไป เลอกชนดเอลเมนตทเหมาะสม กาหนดสภาวะขอบทเหมาะสม กาหนดสภาวะโหลดทเหมาะสม
Aspect ratio และ รปรางของเอลเมนต
Aspect ratio คอ อตราสวนของสวนทยาวทสดตอสวนทสน ถา Aspect ratio
เพมมากขนจะทาใหความถกตองของคาตอบมคาลดลง ตวอยางดงหนาถดไป
ผลของ Aspect ratio
เชคการกระจดทโนด A
ผลของ Aspect ratio
เชคการกระจดทโนด A
ไมควรใชรปรางของเอลเมนตดงน
ควรใชหลกการของสมมาตรเพอลดขนาดของปญหา
ควรใชหลกการของสมมาตรเพอลดขนาดของปญหา(ตอ)
Cyclic symmetry
ควรแบงเมชใหละเอยดในบรเวณดงตอไปน
ใช semi-infinite element ในการลดขนาดโมเดลใหเลกลง เพราะบรเวณดงกลาว
อยไกลจากโหลดมาก
Semi-infinite element
เมอมการใชชนดของเอลเมนตตางชนดกนใหคานงถงการถายโหลดระหวางกนวา
ถกตองหรอไม
แบบนจะไมมการถายโมเมนตระหวาง
Plane element กบ Beam element
เพราะ Plane element ไมสามารถ
รบภาระแบบโมเมนตไดทจด A
วธแกคอการเพม Beam element AB
เขาไปจะทาใหมการถายโมเมนตได
ในบาง Commercial program เราสามารถใชเทคนคของการ Refinement (h หรอ P)
มาชวยในการทาใหไดคาตอบทดขน
เพม order ของ element ให
สงขน
เพมจานวนของ element ให
มากขน
Mesh convergence
จดประสงคตองการศกษาหาจานวนเอลเมนตทใชในการวเคราะห วาจานวนเอลเมนตทเหมาะสมควรจะมคาเทาไหร ทงนเพอสรางความมนใจวาคาตอบทไดเปนคาตอบทยอมรบได ซงขนตอนนจะเรยกวาเปนการเชค convergence ของคาตอบ
ตวอยางแสดงดงรป โดยเราจะทาการเชคคาเปรยบเทยบคาตอบสามคา
1) การขจดทดานลางของร
2) Peak Von Mises stress ทคาจน
3) Peak Von Mises stress ทผวภายในร
Mesh convergence (ตอ)
รปแบบของการแบงเมช
Mesh convergence (ตอ)
22.5496.E6345.E63.15E–4Very fine
2.7426.E6332.E63.14E–4Fine
1.0365.E6311.E63.13E–4Normal
0.26205.E6180.E62.01E–4Coarse
Relative CPU time (sec)
Stress at attachment
Stress at bottom of
hole
Displacement of bottom
of hole
Mesh
Mesh convergence (ตอ)
Mesh convergence (ตอ)Locally refined mesh
3.44346.E63.14E–4Locally refined
22.5345.E63.15E–4Very fine
Relative CPU time
Stress at bottom of
hole
Displacement of bottom of
holeMesh
ตวอยางการวเคราะหทนาสนใจ
Woman’s bra
ตวอยางการวเคราะหทนาสนใจ(ตอ)
รองเทาสาหรบผปวยโรคเบาหวาน