ΕΘΝΙΚΟΜΕΤΣΟΒΙΟΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΤΜΗΜΑΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝΤΟΜΕΑΣΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣΔΙΟΙΚΗΣΗΣΚΑΙΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣΕΡΕΥΝΑΣ

ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΔιδάσκων:Δρ.ΡιζιώτηςΒασίλης

Ροήμεστροβιλότητα–Αστρόβιληροή

ΆδειαΧρήσης

ΤοπαρόνεκπαιδευτικόυλικόυπόκειταισεάδειεςχρήσηςCreativeCommons.Γιαεκπαιδευτικόυλικό,όπωςεικόνες,πουυπόκειταισεάδειαχρήσηςάλλουτύπου,αυτήπρέπεινααναφέρεταιρητώς.

Ροή με στροβιλότητα

Ορισμός της στροβιλότητας

( ;t)= ∇×Ω u r πεδίο στροβιλότητας

συσχέτιση στροβιλότητας κυκλοφορίας

C S S

Γ dS dS= ⋅ = ∇× ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫u ds u n Ω n

nC

dΓ dS dS= ⋅ = ∇× ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ u ds u n Ω n

Ροή με στροβιλότητα

d 0× =Ω s γραμμή στροβιλότητας –πεδιακή γραμμή του πεδίου στροβιλότητας (vortex line)

επιφάνεια στροβιλότητας (vortex surface)

σωλήνας στροβιλότητας (vortex tube)

Ω

Ροή με στροβιλότητα

Το πεδίο στροβιλότητας είναι div free

( ) 0∇ = ∇ ∇× =Ω u

S R

dS dR 0⋅ ⋅ = ∇ ⋅ =∫ ∫Ω n Ω

Η παροχή στροβιλότητας διαμέσω κλειστής επιφάνειας είναι μηδέν

Ροή με στροβιλότητα

Το πεδίο στροβιλότητας είναι div free

1 2 w

1 2

R S S S

0 γιατί παράλληλοστην επφάνειακαιάρακάθετοστο

1 2S S

dR dS dS dS

dS dS 0

∇ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Ω

n

Ω Ω n Ω n Ω n

Ω n Ω n

1 4 2 4 3

2n =n1n = -n 1n

n

1S 2S

wS

Rεπομένως:

1 2

1 2S S

dS dS⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫Ω n Ω n

Η παροχή στροβιλότας από οποιαδήποτε τομή ενός σωλήνα στροβιλότητας είναι σταθερή

S

dS const.⋅ ⋅ =∫Ω n

κατά μήκος σωλήνα στροβιλότητας

Ροή με στροβιλότητα

Η κυκλοφορία γύρω από οποιαδήποτε καμπύλη περιβάλλει το σωλήνα παραμένει σταθερή

S

dS const. Γ⋅ ⋅ = =∫Ω n n1S 2S

n

ΓΓ

Ροή με στροβιλότητα

σωλήνας στροβιλότητας (vortex tube) “νήμα” στροβιλότητας (vortex filament)

Γ dS= ⋅ ⋅Ω n

Δεδομένου ότι η κατεύθυνση κάθετου διανύσματος και στροβιλότητας

συμπίπτουν

Γ Ω dS= ⋅

n1S 2S

n

ΓΓ

n

ΓΩ

dl

dS

−r s

r

s

Ροή με στροβιλότητα

Μια/ένας γραμμή/σωλήνας/νήμα στροβιλότητας δεν μπορούν να ξεκινουν η να διακόπτονται απότομα σε κάποια θέση του πεδίου ροής.

Είτε διαμορφώνουν κλειστούς δακτυλίους είτε εκτείνονται στο άπειρο.

Η κυκλοφορία γύρω από μια/ένα γραμμή/σωλήνας/νήμα στροβιλότητας ονομάζεται ένταση του.

Γ

∞

∞

Γ

Ροή με στροβιλότητα

Ρυθμός μεταβολής της Κυκλοφορίας

C S

DΓ D D dS 0Dt Dt Dt

= ⋅ = ⋅ =∫ ∫u ds Ω n

θεώρημα Kelvin

Η κυκλοφορία διατηρείται υλικά

Η κυκλοφορία γύρω από ένα σωλήνα στροβιλότητας παραμένει σταθερή σε όλους του χρόνους καθώς ο σωλήνας κινείται μέσα στη ροή

Ροή με στροβιλότητα

Φυσική ερμηνεία θεωρήματος Kelvin

D 0DtΓ=

Η κυκλοφορία διατηρείται υλικά

Αεροτομή που ξεκινά από ακινησία (Γ=0) παράγει στρόβιλο (στρόβιλος εκκίνησης) ίσης έντασης με την κυκλοφορία που αναπτύσσεται γύρω της και αντίθετης φοράς. Ο στροβιλος ταξιδεύει κατάντι της ροής και όταν απομακρυνθεί αρκετά από την αεροτομή τότε η κυκλοφορία γύρω από την αεροτομή σταθεροποιείται

αΓwΓ

Αστρόβιλη Ροή

Πηγή: “Principles of ideal-fluid aerodynamics“- Karamcheti K. , Wiley

Αστρόβιλη Ροή

Το πρόβλημα της εκκίνησης

Ροή με στροβιλότητα

( )DΓ D dS 0Dt Dt

= ⋅ =Ω n

Ω

Ω

n

n0⋅ =Ω n

Μια επιφάνεια η οποία αποτελεί φύλλο στροβιλότητας κάποια στιγμή, παραμένει φύλλο στροβιλότητας κάθε στιγμή

Τα στοιχεία του ρευστού που συνιστούν ένα φύλλο στροβιλότητας, συνιστούν πάντα ένα φύλλο στροβιλότητας

Ροή με στροβιλότητα

= ∇×Ω u

= 0∇u

πεδίο στροβιλότητας - ορισμός

εξίσωση συνέχειας ασυμπίεστης ροής

= ∇×u Α ορισμός διανυσματικού δυναμικού

( ) ( ) 2

0

= ∇× ∇× ∇× = ∇ ∇ −∇Ω u = Α Α Α14 2 43

2∇ = −Α Ω

Α εξ’ορισμού div free

Με χρήση 2ης ταυτότητας Green αποδεικνύεται

R

1 ( ,t( ,t) dR4

=π −∫Ω s )Α rr s

R

1 ( ,t dR4

⎛ ⎞= ∇× = ∇×⎜ ⎟⎜ ⎟π −⎝ ⎠

∫Ω s )u Αr s

Ροή με στροβιλότητα

για vortex filament

dR

1 ( ,tδ ( dS d )4

⎛ ⎞⎜ ⎟= ∇× ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟π −⎝ ⎠

Ω s )u n lr s 1 4 2 4 3

dS = Γ⋅ ⋅Ω n

( )3

d1 Γ d Γδ4 4

⎛ ⎞ × −⋅= ∇× = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟π − π −⎝ ⎠

l r slur s r s

( )3

l

dΓ4

× −=

π −∫l r s

ur s

Νόμος Biot-Savart

n

ΓΩ

dl

dS

−r s

r

s

Ροή με στροβιλότητα

για vortex filament

Γ2 d

= ⋅π

u e άπειρος

∞

∞

Γ

u

e

d

( )12 1 2Γ cos cos4 d

= ⋅ β − β ⋅π

u e

πεπερασμένος

Ροή με στροβιλότητα

για vortex filament

{ {

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ ⋅×⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ −

× × ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 3 1 2 31 2

12

cosβ cosβ1d

Γ4π

0 0 1 0 21 2

1 2 1 2 0 1 0 2

e

r r r r rr rur r r r r r r r

Γ

12u

e1

2

1r

2r0r

Χρηματοδότηση

Τοπαρόνεκπαιδευτικόυλικόέχειαναπτυχθείσταπλαίσιατουεκπαιδευτικούέργουτουδιδάσκοντα.Τοέργο«ΑνοικτάΑκαδημαϊκάΜαθήματα»τουΕΜΠέχειχρηματοδοτήσειμόνοτηναναδιαμόρφωσητουυλικού.ΤοέργουλοποιείταιστοπλαίσιοτουΕπιχειρησιακούΠρογράμματος«ΕκπαίδευσηκαιΔιαΒίουΜάθηση»καισυγχρηματοδοτείταιαπότηνΕυρωπαϊκήΈνωση(ΕυρωπαϊκόΚοινωνικόΤαμείο)καιαπόεθνικούςπόρους.