（付録）

「フレネル・フラウンホーファー回折 」

1. 近軸近似

2. フレネル回折

3. フラウンホーファー回折

4. 絵解き解説：回折

5. 比較：回折条件

6. レンズ付きフレネル回折

暫定版 修正・加筆の可能性あり

付録（９０１～９０４）のアプローチ：回折（diffraction）までの道標 1. 球面波（spherical wave）のみ対象：スカラー表示 2. 虚数単位「ｉ」を使用する。 3. お詫び：自己流かつ説明が飛躍する場面があります。

• キルヒホッフの回折公式：Kirchhoff's diffraction formula • 近軸近似：paraxial approximation • フレネル回折： Fresnel diffraction • フラウンホーファー回折：Fraunhofer diffraction

９０３－1

９０３－2

参照：902-23

レンズ（２）：波動光学的な取扱い

i kr t

i kr t

ez f

r

z f e

レンズ入射側 レンズ出射側 下線部：レンズ効果

ｆ：焦点距離

凸レンズ：レンズ通過で位相シフト（添え字：「ｌ」） 何が言いたいのかな：波動光学的な取扱い • 今回は正符号（青色）を採用した。 • 正符号を採用するとレンズによる位相シフト量が負になる。 • 但し、物理現象の本質は変わらない。

z f

z f

0z

z f

球面発散波

平面進行波

ｚ軸

理想的な凸レンズ：無収差、無損失、薄いが無限に大きい

球面波：位相のみ 平面波：位相のみ

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2 2

2 2

2 2 2

11 1

2 2

x y x y x yik f ik f ikf fikr ikz ikff

x y x y x yz f r x y f f f f

f f f

e e e e e e

注意：正符号（青色）採用 凸レンズの機能：波動光学的に考えるなら球面波（点光源）を平面波に変換

2 2, ,2

li

l

ke x y x y

f

補足：教科書でお馴染みの表現へ（１）

書き換え：キルヒホッフの回折公式

1 1

1

1

2

2

1 2

1

1

'

2

2

' cos cos , ' ,

1

4

1, '

4

z z z zslit

i ks ts

ikss

ik dS G dS dxdy

es

s

eG G s

s

r

r r

r r r r

r

r r

一例：正符号採用、関数Ψ修正

1 1

1 2

1 1

1 1 0

1 1

01 2

1 2

1 2

1 2

1

4

' cos cos ,4

'cos , cos

i ks t i ks t

ik s si t

z z z zslit

e es s

s s

ik e edS dS dxdy

s s

s s

r

n r rn r

注意：実在する点光源（原点）の大きさ

９０３－3

参照：902-21

近軸近似（１）

角度に関する近軸近似： paraxial approximation

1 1 1 1, ,x y zr

2 2 2 2 1, ,x y z z r

0,0,0

0,0, 1 n

2 1r r1s

2s

点光源

観測点

V空

1 2

1 2

1 1 1 1

2 2 1 12 2 1 2 1

, 0

cos cos 2

,

,

s z x y

s z z z x x y y

1r

2

1

近軸近似： paraxial approximation 光軸に対する角δが小さく、光軸の近くを通る光線（近軸光線）を扱う。

キルヒホッフの回折公式（近軸近似）

1 12 1 2 1 1 2

1 1 1 2 1 1 1

cos cos , ,

2 , ,

r r r r

r r r

z z z zslit

slit

ik dS G dS dxdy

ik dS G dS dx dy

1 0z

スリット

９０３－4

12z

修正：ベクトル添字

近軸近似（２）

キルヒホッフの回折公式：近軸近似

1

1

2 1 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1

1

2 ,

1, ,

4

slit

i ks ts

ik dx dy G

ez z x y z s

s

r

r r r r

r

原点を点光源とする発散球面波が開口面上で示す振幅分布 スリット位置

瞳関数（ pupil’s function ）の導入 別名：開口関数（ aperture function ）

11 1 1 1 1 1 1 1

1, , , ,

0{z zx y z u x y u x y

複雑なスリット形状でも対応可（複素数も可：説明省略）

単純な円開口 複雑なスリット形状 添字：スリット位置

１

０

何が言いたいのかな：瞳関数 • 瞳関数は開口面上での振幅分布（強度・位相）を示し、複素振幅扱いが一般的である。 • 複雑なスリット形状、例えば、場所により異なる透過率（強度）、異なる屈折率（位相）を持つスリットも表現可能である。

９０３－5

発散球面波：正符号採用

近軸近似（３）

瞳関数：開口面

1 1 1 1 1 1 1, , ,x y z u x y r

2

2 1 2

1 2 2

2

2 2 2

2 2 1 2 1 12

2 2 1 2 1 12

1,

4

, ,

ikss e

G G ss

s x x y y z

G s G x x y y z

r rr r

2 1 1 1 22slit

ik dx dy G s r r

グリーン関数：正符号採用

2 2 2 1 1 1 1 1 2

1 1 1 1 1 2 1 2 1 12 1 2 2

, 2 ,

, , , ,

all

all

u x y ik dx dy u x y G s

dx dy u x y G x x y y z u G x y

2 2 2 2 2 2 2, , ,x y z u x y r

振幅分布：観察面

重要：キルヒホッフの回折公式（近軸近似） • 瞳関数とグリーン関数の畳み込み積分 • 積分領域は見かけ上、全領域「all」に拡張されるが、結局、瞳関数により開口面に制限される。 • 位置変数ｚは積分対象外

形式的な表現 畳み込み積分：convolution 2 1u u G

９０３－6

下付添字：開口面

下付添字：観測面

添字「all」：全領域

添字「slit」：開口領域

注意：定数項を省略

重要：キルヒホッフの回折公式（近軸近似）は観測面での振幅分布を与える。 畳み込み積分 参照：902-14 近軸近似 • 近似（ 参照：902-14 ）は波長に比べて「点光源と開口面」や「開口面と観測面」の間隔が大であればよい。 • 瞳関数を既知とすれば、「点光源」について詳しく知る必要はなくなる。

近軸近似（４）

お詫び：空間分布を色に例えたが、実際に色（波長）は変化しない。

12 2z s

ｚ軸

畳み込み積分

観測面 開口面

2z z1 1z z s

1 2u G u

2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 12, , , , ,u x y u G x y s s s z s z

９０３－7

1 1 1,u x y

2 2 2,u x y

瞳関数 振幅分布 2

2

2

1

4

ikseG s

s

グリーン関数

0,0,0

点光源

1s 2s

スリット スクリーン

フレネル回折（１）

グリーン関数の簡略化

22 2 2

2 2 2 1 2 1 12

2

2 2

2 1 2 1

2 12 2

12

22 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1

12 2 2

12 12

1,

4

1

1 11

2 8

ikseG s s x x y y z

s

x x y ys z

z

x x y y x x y yz

z z

フレネル近似：第三項以降を無視

９０３－8

フレネル回折条件

2

2 2 22 2

2 1 2 12 1 2 1 312

122

12

28 8

x x y yx x y ykzz

z

2 212 2 1 2 1

12

12

2 2 2 1 1 1 1 1 2

22

2 2 2 1 1 1 1 1

12

2 2 2 1 1 1 1 1 12 2 1 2 1

12

, 2 ,

, ,

, , , ,

all

ikikz x x y yzk

all

ikz

all

u x y ik dx dy u x y G s

eu x y dx dy u x y e

i z

eu x y dx dy u x y h x x y y

i z

９０３－9

フレネル回折（２）

グリーン関数の近似式

2 22 2 12 2 1 2 1

1222

2

2 12 12

22

4 2

ikiks iks ikz x x y yzkik e k e e

ikG s es i z i z

フレネル回折（Fresnel diffraction）：教科書でお馴染みの表現（青枠）

2 2

122

2 2 2 1 12 2 2 12 12, * , , , , 1

ikx y

zu x y u h x y h x y e h

参照：903-６

別表記：瞳関数とフレネル核の畳み込み積分 フレネル核：Fresnel kernel 注意：絶対値は１

注意：下付添字

９０３－10

フレネル回折（３）

フレネル回折：参照903-9

2 2

2 1 2 112

2 1 2 112

2

2 2 2 1 1 1 1 1

12 2 2 1 1 1 1 1 12 1 1

, ,

, , ,

ikx x y y

z

all

ikx x y y

z

all

u x y dx dy u x y e

h x y dx dy u x y h x y e

2 1 2 12

2 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1 12 1 1

2 12 1 12

, , , ,i x y

allu h dx dy u x y h x y e

u h F u h

重要：フレネル回折は瞳関数とフレネル核の積に対するフーリエ積分を含む。

2 2 12 2 2 122 , ,k x z y z 注意：変数変換

2 2 2 22 2 2 2

12

2 22 22 12 2 122 212

12

12

2

12 2 2

2

12 2 2

,

,

ik ix y x y

z

ikz z

zi

z

z

h x y e e

e e h

フレネル核：変数変換

注意：変数変換 赤字部分が分母から分子へ移動

12 121 z z

略記：フーリエ積分

９０３－11

フラウンホーファー回折（１）

フレネル回折条件

フラウンホーファー回折条件

2 2

1 112

2 2 2 221 1 1 1

12 12 12 1 12

12

2 , 12 2

ikx y

zx y x ykz z h x y e

z

グリーン関数の近似式

2

2 2

2 1 2 1

2 2 12 2

2 12

2 2 2 2

2 2 2 1 2 1 1 112 2 2 2

12 12 12

1 11

4 2

12 2

iks x x y yeG s s z

s z

x y x x y y x yz

z z z

2 2

2 2 2 1 2 112 2 2

12 12

12

x y x x y yz

z z

2

2 2

2 1 2 13

128

x x y yz

フレネル近似を満足しながら、更に条件を課す。

フラウンホーファー近似

９０３－12

フラウンホーファー回折（２）

フラウンホーファー回折：Fraunhofer diffraction

2 1 2 1

12

2 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1, , ,

ikx x y y

z

allu x y h x y dx dy u x y e

2 2 2 22 22 2 2 22 212

2 1 2 1

12122

12 2 2 12 2 2

2

2 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1 2 12 1

, ,

, , ,

ik ix y x y iz

i

z

a

z

x y

ll

h x y e e e h

u h dx dy u x y e u h F u

重要：フラウンホーファー回折は瞳関数のフーリエ積分を含む。

注意：変数変換

略記：フーリエ積分

フレネル回折：参照903-10

2 1 2 1

12

2 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1 12 1 1, , , ,

ikx x y y

z

allu x y h x y dx dy u x y h x y e

12 1 1, 1h x y

2 2 12 2 2 122 , ,k x z y z

９０３－13

• フラウンホーファー回折は観測面での振幅分布が瞳関数のフーリエ積分を含む。 • 観測面での振幅分布（絶対値）は瞳関数のフーリエ積分（絶対値）に対応する。

絵解き解説：回折（１）

簡単のため：円開口による光波の回折を考える。

12z

1 1 1,u x y

フーリエ積分

瞳関数

観測面 開口面

2z z1z z

振幅分布

12 1 2h F u u

2 1 2 1

12 2 2 2 1 2 1

2

2 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1

, 1 2

2 2 2 1 1 1 1 1

, , ,

, ,

i x y

all

h i x y

all

u h dx dy u x y e

u dx dy u x y e

2 2 2,u x y

スリット スクリーン

ｚ軸

2 2 12 2 2 12,x z y z

９０３－14

フラウンホーファー回折条件 開口領域 • 教科書でお馴染みの条件（赤枠）：スリット面の開口円直径に対して観測面が非常に遠くにあればよい。 • 別解釈（青枠）：回折光拡がりが顕著となり開口円に対してビームサイズが非常に大きくなる。

絵解き解説：回折（２）

フラウンホーファー回折条件：Fraunhofer diffraction

12z

1 1 1,u x y

フーリエ積分

瞳関数

観測面 円開口：直径

2z z1z z

振幅分布

12 1 2h F u u

2 2 2,u x y

スリット スクリーン

ｚ軸

D

2 2 21 1

2 2 22 max

1 112 1 1 2 2

12

1 , ,2

D x yx y Dz x y x y

z

９０３－15

比較：フラウンホーファー回折条件とフレネル回折条件 • フラウンホーファー回折条件（青枠）からスタート フラウンホーファー回折条件（青枠）を利用 フレネル回折条件を書き換える！ フラウンホーファー回折条件（赤枠）が含まれている。 • 円開口の場合：フラウンホーファー回折条件（赤枠）が満足されればフレネル回折条件も満足される。

• 次頁：フレネル回折条件は満足されるが、フラウンホーファー回折条件が満足されない状況を考えましょう！

絵解き解説：回折（３）

2 2 21 1

1 1 2 2

22 2 2 2

2 2 2 22 1 2 1 2 2 1 13

12

22 2 4 2 2

2 max1 1 3

12 3 2

12 12 12

, ,

8 8 8

1 18

D x y

x y x y

x x y y x y x yz

x y D D Dz

z z z

2 2 2 2

2

12 12 12 12

1 1D D D D

z z z z

９０３－16

状況：フレネル回折条件は満足されるが、フラウンホーファー回折条件が満足されない。 フラウンホーファー回折条件 フレネル回折条件 回折光拡がりが顕著とならず 開口径とビーム径（観測面） が同程度とみなせる。

絵解き解説：回折（４）

フレネル回折条件：Fresnel diffraction

12z

1 1 1,u x y

瞳関数

観測面 円開口：直径

2z z1z z

振幅分布

2 2 2,u x y

スリット

ｚ軸 D

2 2

1 112

2

x yz

2

2 2

2 1 2 13

12 2 1 2 1, ,8

x x y yz x x y y

スクリーン

９０３－17

絵解き解説：回折（５）

再掲：フレネル回折条件は満足されるが、フラウンホーファー回折条件が満足されない状況

2 2

1 112

2

x yz

2

2 2

2 1 2 13

12 2 1 2 1, ,8

x x y yz x x y y

ガウスビーム（Gaussian beam） 詳細説明省略：参考文献 末田正「光エレクトロニクス」p.80、昭晃堂 • スポットサイズ（spot size ） 最小スポットサイズ • フレネル回折条件（別表記）：回折光拡がり小さい領域をレーリー長（Rayleigh length or Rayleigh range）で与える。

0

2 2 220 0

12

12

1w D

R

w w Dz z

z

Rz

02w02 2w

2

0 1R

zw z w

z

ｚ軸

0z

９０３－18

比較：回折条件（１）

フレネル回折（Fresnel diffraction） • 瞳関数とフレネル核の畳み込み積分 • 瞳関数とフレネル核の積に対するフーリエ積分を含む

2 2 2 1 12 2 2

2 12 1 12

, * ,u x y u h x y

u h F u h

フラウンホーファー回折（Fraunhofer diffraction） • 瞳関数のフーリエ積分を含む • 絶対値で考えるなら瞳関数のフーリエ積分

2 12 1 2 1 12, 1u h F u u F u h

122

12 121,ikz

D z e i z

2

12 12 1 11, , 1D z h x y

2 1 2 112

2 1 2 1

2 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1 12 1 1

2

2 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1 12 1 1

, , , ,

, , , ,

ikx x y y

z

all

i x y

all

u x y h x y dx dy u x y h x y e

u h dx dy u x y h x y e

略記：フーリエ積分

2 1 2 112

2 1 2 1

2 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1

2

2 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1

, , ,

, , ,

ikx x y y

z

all

i x y

all

u x y h x y dx dy u x y e

u h dx dy u x y e

略記：フーリエ積分

注意：座標変換前後でフーリエ積分の本質は変わりません。

2 2 12 2 2 12,x z y z

注意：座標変換前後でフーリエ積分の本質は変わりません。

９０３－19

比較：回折条件（２）

簡単のため：円開口による光波の回折

フラウンホーファー領域：フーリエ積分

瞳関数

円開口：直径

1z z

回折拡がり

スリット

ｚ軸

フレネル領域：畳み込み積分

2z z

2z z

1 1 1,u x y1 12*u h

2

12 1D z

2 2 2,u x y

12z 2

12 1D z

12 1h F u

12z

1 1 1,u x y 2 2 2,u x y

お詫び：大雑把なイメージ

入射光：平行ビーム

D

大雑把なイメージ：凸レンズを介した回折光は拡がらず集光、焦点面通過後、拡がります。 振幅分布 レンズ入射直前 レンズ通過直後 焦点面（観測面） スクリーンは凸レンズの焦点面に設置： フレネル回折条件：

９０３－20

レンズ付きフレネル回折（１）

状況：円開口に凸レンズを設置して観測面（焦点面）で集光

12z

観測面 円開口：直径

2z z1z z

振幅分布

2 2 2,u x y

スリット

ｚ軸 D

スクリーン

1 1 1,u x y

0 1 1 1 1 1 2 2 2, , , , ,u x y u x y u x y

12z f 2

12 1D z

注意：理想的な凸レンズ • 無収差、無損失、薄いが無限に大きい • 凸レンズの円開口部以外は不要なので消去している。

0 1 1,u x y

入射

光：

平行

ビー

ム

９０３－21

レンズ付きフレネル回折（２）

前頁と異なる角度で描写

円開口：直径

回折拡がり スリット

ｚ軸

入射光：平行ビーム

D注意：理想的な凸レンズ • 無収差、無損失、薄いが

無限に大きい • 凸レンズの円開口部以外

は不要なので前頁では消去している。

12z f

振幅分布 • レンズ入射直前（瞳関数）

• レンズ通過直後（次頁）

1 1 1 0 1 1 10

, lim , ,u x y u x y z

1z z 2z z

2 2 2,u x y

1 1 1,u x y 0 1 1,u x y

0 1 1 0 1 1 10

, lim , ,u x y u x y z

注意：スリットの役割 瞳関数 に開口情報を反映させることで見かけ上、 スリットを消去できる。

0 1 1,u x y

９０３－22

レンズ付きフレネル回折（３）

参照：903-2

2 21 1

12 *2

1 1 1 0 1 1 0 1 1 12 1 1, , , ,

ikx y

f zfu x y u x y e u x y h x y

レンズ付きフレネル回折

理想的な凸レンズ：無収差、無損失、薄いが無限に大きい

2 1 2 1

2 12 1 12

2

12 2 2 1 1 1 1 1 12 1 1

*

12 2 2 1 1 0 1 1 12 1 1 12 1 1

, , ,

, , , ,

i x y

all

all

u h F u h

h dx dy u x y h x y e

h dx dy u x y h x y h x y

2 1 2 1

2 1 2 1

2

2

12 2 2 1 1 0 1 1

12 0

2 212 2 2

12 12

, ,

, ,

i x y

i x y

all

e

h dx dy u x y e

h F u

x yz f

z z

レンズの役割：焦点面のみ有効 • レンズ付きフレネル回折とレンズ無しフラウンホーファー回折

は数式上焦点面で一致、等価 • 凸レンズによる焦点はレンズ無しフラウンホーファー回折で記

述できる。

レンズ付きフレネル回折：瞳関数ｕ1

レンズ無しフラウンホーファー回折：瞳関数ｕ0

理想的な凸レンズの役割：フレネル核の複素共役