Função sinusoidal Regime forçado com fontes sinusoidais Amplitudes complexas Impedância e Admitância Técnicas de análise Teoria de Circuitos

Função sinusoidal Regime forçado com fontes sinusoidais Amplitudes complexas Impedância e Admitância Técnicas de análise

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica:Regime forçado sinusoidal

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Função sinusoidal

Xm

-Xm

4T

2T

43T

T

x(t)

t

Tf 1 f 2


tsenXtx m tsenXtx m

Xm

-Xm

2

23

2

x(t)

t

Xm amplitude frequência angular


tsenXtx m

Xm

-Xm

2

23

2

x(t)

t

Xm amplitude frequência angular

tsen

2cos tXm

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Função sinusoidalUma função sinusoidal com desfasagem

pode se escrita na forma

sentXtsenXtx mm coscos

tsenXtx m

senXAXA mm 21 cos

senbabasenbasen coscos

tAtsenAtx cos21

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Função sinusoidalou na forma

com

tAtsenAtx cos21

cos1 mXA θ2 senXA m 222222

21 cos MM XsenXAA

22

21 AAXM

tan1

2 AA

2

222

21 arctan

AA

tsenAAtx

7

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica:Regime forçado com fontes sinusoidais Num circuito linear com excitações sinusoidais, as tensões e

correntes em regime forçado são sinusoides com a mesma frequência.

+-

vs(t) i(t)

tsenAtvsKCLKCV

tsenAti

8

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica:Regime forçado com fontes sinusoidais

Sendo a fonte de tensão sinusoidal, a corrente terá a forma sinusoidal. Podedeterminar-se a amplitude A e a desfasagem através da equação

diferencial

R

L

i(t)

+-

vs(t) tVtiRdttdiL M cos

tVv Ms cos

tsenAtAsentsenAtAtAti 21 coscoscoscos

bsensenababa coscoscos

9


Para se verificar a equação anterior

tVtsenAtARdt

tsenAtAdL M

coscos

cos21

21

tVtsenRAtRAtLAtLsenA M coscoscos 2121

MVRALARALA

12

21 0

2222

2221

LRLVA

LRRVA

M

M

tsenLR

LVtLR

RVti MM

222222 cos

10


22222221 LR

LVALR

RVA MM

tsenLR

LVtLR

RVti MM

222222 cos

2

222

21 arctan

AAtsenAAti

11


tAti cos

tan1

2

RL

AA

222

22

LRV

A M

RLt

LR

Vti M

arctancos 222

222

22

222

2

2222

LRV

LRLV

LRRV

A MMM

12

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica:Regime forçado com fontes sinusoidais Para simplificar a análise, utilizando equações algébricas,

estabelece-se uma correspondência entre funções sinusoidais e números complexos.

tjMMM eVtsenVjtVtv cos)(

tVjtIeIti MMtj

M cos)( )(Re tjM eIti

tVtv M cos)(

)cos( tIti M

13

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Amplitudes complexas (phasors)

R

L

i(t)

+-


tVv Ms cos tjMs eVv

tjM

tjM

tjM eVeIReI

dtdL tj

Mtj

Mtj

M eVeIReLIj

tjM eIi

Mj

Mj

M VeIReLIj

14


R

L

i(t)

+-

vs(t)LjRVeI Mj

M

R

LarctgjMj

M eLR

VeI

222

RLarctgt

LR

Vti M

cos)(222

15

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica:Amplitudes complexas (phasors)

em que V e I são as amplitudes complexas

)(Recos tjMM eVtVtv

MVV

)(Recos tjMM eItIti

MII

)( tjM eV )( tj

M eI

tjeV tjeI

tjjM eeV tjj

M eeI

16

Amplitudes complexas (a frequência fica ímplicita)

Representação no tempo Amplitudes complexas


cos tA

tsenVM

A

º90 MV

º4524

º30 12

º45377cos24 t

º12037712 tsen

17


R

L

i(t)

+-


tjtjtj

VeIeRdtIedL

tjtjtj VeIeRLIej

V e I são as amplitudes complexas

VIRLIj RLarctg

RL

VRLj

VI M

222

18


R

L

i(t)

+-

vs(t)

RLarctg

RL

VRLj

VI M

222

RLarctgt

LR

Vti

cos)(222

19


Transformou-se uma equação diferencial com excitação sinusoidal numa equação algébrica com amplitudes complexas.

Tensão v(t) no domínio do tempo transformada na amplitude complexa V no domínio da frequência

R

L

i(t)

+-

vs(t)

tVtiRdttdiL M cos

VIRLIj

20

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Exemplo Amplitude complexa (f = 1kHz)

Representação no tempo?

º2016 V

º75 10 I

º20102cos16 3 ttv

º75102cos10 3 tti

21

R

i(t)

v(t)

+

-

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Resistência

R

i(t)

v(t)

+

-

v, i

tiv

vi

tiRtv

V

iv I

Re

Im

R

I

V

+

-

IRV

iMj

M VeII i

vMj

M VeVV v

22

L

i(t)

v(t)

+

-

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Bobina

dttdi

Ltv

R

i(t)

v(t)

+

-

v, i

t

v i

tjM

tjM

iv eIdtdLeV

tMM

iv eILjeV

ILjV

23

L

i(t)

v(t)

+

-

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Bobina

dttdi

Ltv

L

I

V

+

-

ILjV

º90 iv

iI

Re

Im

I

v

VR

i(t)

v(t)

+

-

v, i

t

v i

24

C

i(t)

v(t)

+

-

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Condensador

dttdv

Lti

R

i(t)

v(t)

+

-

v, i

t

vi

vi tjM

tjM eI

dtdCeI

tMM

vi eVLjeI

VCjI

25

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Condensador

C

i(t)

v(t)

+

-

dttdvcti

C

I

V

+

-

LjIV

º90 vi

vI

Re

Im V

i

IR

i(t)

v(t)

+

-

v, i

t

vi

26

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Impedância Impedância: relação entre a amplitude complexa da tensão e a

amplitude complexa da corrente

R é a parte resistiva (real) e X é a parte reactiva (imaginária). X designa-se por reactância

R, X e Z dependem da frequência

IV

Z

jXRZ

jjXjRjZ

27

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Admitância Admitância

G é a condutância

B é a susceptância

VI

ZY

1 jBGY

28

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Impedância Resistência

Bobina

Condensador

RZ

LXLjXLjZ

L

L

º90

CX

CjX

CjZ

L

C

1

º9011

29

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Exemplo

Amplitude complexa

Tensão aos terminais de R = 4 k

Tensão aos terminais de L = 3 mH

Tensão aos terminais de C = 5 F

mAtti º4510cos5 3

mAI º455

º4510cos5 3 tti

VV º4520

VV º13515

VV º451

30

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Exemplo

R CLZ

R

C

L

Z CjLjRZ

1

CjLjRZ

Y

111

31

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Exemplo i(t) = ?

20

50 F

40 mH

+-vs

Vtsentvs º60377120 i(t)

32

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Exemplo i(t) = ?

20

50 F

40 mH

+-vs

Vtsentvs º60377120

Smj

YLR 540377201

1885,01050377 6 jjCjYC

SjYLR 024,00318,0

º2,3984,3º2,9032,030120 YVI

SjYYY CLR º2,9032,00052,0318,0

SLjR

YLR

1

)º2,39377cos(84,3)( tti

33

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Exemplo Zeq = ? R1

Zeq

C2

R3

L4

C5

R6 L7

R8

C9

987654321 ////// ZZZZZZZZZZeq

88

66

33

11

RZRZRZRZ

77

44

LjZLjZ

79

55

22

111

LjZLjZLjZ

34

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Técnicas de análise Análise nodal Ix = ? e ix (t)= ?

j 10

-j 5

j 5 10 0,5 -90º A1 0º A-j 10

5

IX

V1 V2

52

jV

I x

35

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Técnicas de análise

j 10

-j 5

j 5 10 0,5 -90º A1 0º A-j 10

5

IX

V1 V2

5,0510105

1510105

121222

212111

jjVV

jVVV

jV

jVV

jVV

jVV

52

jV

I x

36


j 10

-j 5

j 5 10 0,5 -90º A1 0º A-j 10

5

IX

V1 V2

1,01,01.01,02,02,0

2,01,01,02,01,02,01,02,02,01,01,02,0

jjjj

jjjjjjjjjj

G

37


5,01

1,01,01.01,02,02,0

2

1

jVV

jjjj

j 10

-j 5

j 5 10 0,5 -90º A1 0º A-j 10

5

IX

V1 V2

4205,0

2,01,0

1,01,01,01,02,02,0

5,01,012,02,0

2 jj

jjjjjj

j

V

52

jV

I x

38


Ajjj

jVI x 4,08,0

542

52

89,016,064,0 xI

º6,265.0arctan xI

AI x º6,2689,0 Attix º6,26cos89,0)(

AjI x 4,08,0

39

Teoria de Circuitos e Fundamentos de Electrónica: Técnicas de análise Análise de malhas ix(t)=

02241043

1212

211

IIjIIjIIjI

500 F

4 mH10 cos(1k t)

3

I1 I2+-

+- 2 Ix

Ix

024210443

21

21

IjIjIjIj

1II x

242443

20410

1

jjjj

jj

I

40


Atix )º8,2910cos(24,1 3

500 F

4 mH10 cos(1k t)

3

I1 I2+-

+- 2 Ix

Ix

AI º8,2924,11

1II x

13

81465

40701649

471047

10814

20

242443

20410

1jjjj

jj

jj

jjjj

jj

I

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