Upload
dokhuong
View
239
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
САРАНСКИЙ КООПЕРАТИВНЫЙ ИНСТИТУТ АВТОНОМНОЙ НЕКОММЕРЧЕСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЦЕНТРОСОЮЗА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ»
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания и задания для самостоятельной работы
Часть 1
САРАНСК 2010
2
УДК [336.51](76)
Составители: В.Д. Золотков, А.И. Матвеев, Е.А. Черноиванова
Финансовая математика: метод. указания и задания для са-
мостоят. работы: в 3 ч. / [сост.: В.Д. Золотков, А.И. Матвеев, Е.А. Черноиванова] ; Саран. кооп. ин-т РУК. – Саранск, 2010. – Ч. 1. – 28 с.
Раскрываются основные понятия финансовой математики, вопросы нало-гообложения, начисления процентов и финансовой ренты. Каждая глава со-провождается рядом примеров и задач, а также заданиями для самостоятель-ной работы.
Предназначены для студентов экономических специальностей.
Печатается по решению научно-методического совета Саран-ского кооперативного института РУК.
3
1. НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ДЕНЕЖНЫХ СУММ
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ
Важнейшим фактором финансовой операции является неравно-ценность денег во времени – рубль, полученный сейчас, стоит больше рубля, который будет получен в будущем, и наоборот. Данный фактор учитывается с помощью начисления процентов.
Под процентными деньгами, или процентами, понимают абсо-лютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: выдачи денежной ссуды, продажи в кредит и т. п.
Исходную сумму называют первоначальной и обозначают P, наращенная сумма S – это первоначальная сумма P плюс начис-ленные к концу срока ссуды проценты I:
S = P + I.
Период начисления – это промежуток времени, за который на-числяются проценты. Интервал начисления – минимальный про-межуток времени, по прошествии которого происходит начисле-ние процентов. Например, сумма P может быть выдана на 2 года (период), а проценты на нее будут начисляться каждый квартал (интервал).
Различают два способа начисления процентов. При декурсив-ном способе проценты начисляются в конце каждого интервала, при антисипативном (предварительном) – в начале.
Процентная ставка наращения – это отношение процентов за единицу времени (например, год) к сумме долга. Она характеризу-ет интенсивность начисления процентов. Декурсивная процентная ставка называется ссудным процентом, антисипативная – учетной ставкой.
При любом способе начисления процентов они могут быть про-стыми (в течение всего периода начисления применяются к пер-
4
воначальной сумме) либо сложными (в каждом интервале начис-ления применяются к текущей наращенной сумме).
1.2. ПРОСТЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
В случае простой процентной ставки наращения база начисле-ния процентов остается неизменной. Проценты I за весь срок ссу-ды определяются по формуле
,PniI = (1.1)
где P – первоначальная сумма; n – срок ссуды (как правило, в го-дах); i – простая ставка наращения (обычно годовая). Тогда нара-щенную сумму можно узнать следующим образом:
).1( niPIPS +=+= (1.2)
Множитель )1( ni+ называют множителем наращения простых процентов.
Пример 1.1. Первоначальная сумма 50 тыс. руб. (P) помещена в банк на 2 года под 15 % годовых (простых). Найдите наращенную сумму, тыс. руб.
Р еш е н и е. .65)15,021(50)1( =⋅+=+= niPS
Пример 1.2. Первоначальная сумма P равна 30 тыс. руб., нара-щенная сумма S – 45 тыс. руб., i – 20 % годовых (простых). Найди-те период начисления.
Р еш е н и е. Из формулы (1.2) ,PniPS += отсюда ;PSPni −=
.Pi
PSn
−= Следовательно, период начисления составляет, лет:
.5,26
15
20,030
3045 ==⋅−=n
В формуле (1.2) период начисления n измеряется в годах, что не всегда удобно, поскольку он может быть меньше года. В таком случае применяют выражение
,К
tn =
где t – число дней ссуды, причем первый и последний принимают-
5
ся за один; K – временнáя база (число дней в году). Используют два типа временных баз:
а) K = 360 дней (обыкновенные проценты); б) K = 365 (366) дней (точные проценты). Тогда формула (1.2) принимает вид
).1( iK
tPS += (1.3)
Пример 1.3. Предприятию предоставлена ссуда 100 млн руб. под 10 % годовых (простых) с 1 января по 1 апреля текущего года. Долг гасится единовременным платежом, проценты обыкновен-ные. Определите подлежащую возврату сумму, млн руб.
Р еш е н и е.
.5,102)10,036090
1(100 =⋅+=S
Если процентные ставки наращения изменяются во времени, то наращенная сумма вычисляется по формуле
),1( 2211 kkinininPS ++++= K (1.4)
где −knnn ,,, 21 K временные интервалы, следующие друг за дру-гом; −kiii ,,, 21 K соответствующие этим интервалам ставки.
Пример 1.4. Сумма 30 тыс. руб. помещена в банк. В первой по-ловине года применялась простая процентная ставка 15 % годо-вых, во второй половине – 12 %. Определите наращенную сумму, тыс. руб.
Р еш е н и е.
.05,34)12,05,015,05,01(30 =⋅+⋅+=S
1.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
Математическим дисконтированием называется операция, ко-гда по наращенной сумме S, периоду начисления n и процентной ставке i находят первоначальную сумму P:
.1 ni
SP
+= (1.5)
Множитель ni+1
1 – это дисконтный множитель, разность
PSD −= – дисконт с суммы S.
6
Пример 1.5. Наращенная сумма S составляет 88,4 тыс. руб., пе-риод начисления n – 3 года, процентная ставка i – 12 % годовых (простых). Найдите первоначальную сумму P и дисконт D, тыс. руб.
Р еш е н и е.
;6536,1
4,88
12,031
4,88 ==⋅+
=P .4,23654,88 =−=D
Пример 1.6. Через 146 дней должник уплатит 86,4 тыс. руб. Кредит выдан под 20 % годовых (простых). Каковы первоначаль-ная сумма P и дисконт D, если временная база K равна 365 дням?
Р еш е н и е.
;8008,1
4,86
20,0365
1461
4,86 ==⋅+
=P .4,6804,86 =−=D
1.4. ПРОСТЫЕ УЧЕТНЫЕ СТАВКИ
Рассмотрим антисипативный (предварительный) способ начис-ления процентов. В такой ситуации в момент предоставления ссу-ды с заемщика удерживают проценты за весь срок, т. е. он получа-ет сумму .DSP −=
Данная операция называется дисконтированием по простой учетной ставке d.
В этом случае ,SndD = следовательно
).1( ndSP −= (1.6)
Пример 1.7. Кредит 70 тыс. руб. выдается на 0,5 года по про-стой учетной ставке 11 % годовых. Какую сумму (тыс. руб.) полу-чит заемщик?
Р еш е н и е.
.15,66945,070)11,05,01(70 =⋅=⋅−=P
Если период начисления меньше года, то формула (1.6) примет вид
.1
−= dK
tSP (1.7)
7
На практике простые учетные ставки применяются при учете (покупке) векселей. Банк может купить вексель до наступления срока платежа с дисконтом, т. е. приобрести его у владельца по цене, меньшей номинала. Номинал – это указанная на векселе сумма денег, которую его владелец получит в момент наступления срока платежа.
Пример 1.8. Вексель номинальной стоимостью 8 тыс. руб. (S) учтен в банке по учетной ставке 18 % годовых (простых) за 110 дней до срока его погашения. K = 360 дней. Какую сумму (тыс. руб.) получит владелец векселя?
Р еш е н и е.
.56,7945,0818,0360
11018 =⋅=
⋅−=P
Пример 1.9. Вексель учтен банком за 0,25 года до срока пога-шения по простой учетной ставке 15 % годовых. Банк заплатил 9,625 тыс. руб. Найдите номинальную стоимость векселя, тыс. руб.
Р еш е н и е. .1
ьно,следовател),1(nd
PSndSP
−=−=
.1015,025,01
625,9 =⋅−
=S
1.5. СЛОЖНЫЕ СТАВКИ ССУДНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Предположим, что P руб. помещены в банк под i % годовых, причем проценты сложные.
Через год наращенная сумма составит ).1( iPS += Через два года: .)1()1)(1()1()1( 2iPiiPiiPiPS +=++=+++= Через три: .)1()1()1()1()1( 3222 iPiiPiiPiPS +=++=+++= Таким образом, формула сложных процентов имеет вид
.)1( niPS += (1.8)
Множитель ni)1( + называется множителем наращения слож-ных процентов.
8
Пример 1.10. Первоначальная сумма в размере 60 тыс. руб. по-мещена в банк на 4 года под 16 % годовых (сложных). Найдите наращенную сумму S, тыс. руб.
Р еш е н и е.
.72,108812,160)16,01(60 4 =⋅≈+=S Зная первоначальную (Р) и наращенную (S) суммы, сложную
процентную ставку i, можно определить период начисления.
Пример 1.11. Первоначальная сумма P равна 30 тыс. руб., на-ращенная сумма S – 45 тыс. руб., сложная процентная ставка i – 20 % годовых. Найдите период начисления, лет.
Р еш е н и е.
.)1ln(
ln;ln)1ln(;)1(;)1(
iP
S
nP
Sin
P
SiiPS nn
+==+=++=
.2,22,1ln
5,1ln
)20,01ln(30
45ln
≈=+
=n
Зная первоначальную и наращенную суммы, а также период начисления, можно рассчитать сложную годовую ставку i.
Пример 1.12. Первоначальная и наращенная суммы составляют 20 и 35 тыс. руб. соответственно. Период начисления n – 3 года. Определите сложную процентную ставку i.
Р еш е н и е.
;1;)1(;)1( −==++= nnn
P
Si
P
SiiPS
%.5,20;205,01205,1175,1120
35 33 ==−≈−=−= ii
1.6. НОМИНАЛЬНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ НАРАЩЕНИЯ
В финансовых операциях в качестве интервала начисления процентов часто используется не год, а, например, месяц, квартал или другой период. Тогда говорят, что проценты начисляются m раз в году. В контрактах при этом обычно фиксируется годовая
9
ставка, которая в этом случае называется номинальной и обознача-ется через j. Наращенная сумма при использовании номинальной процентной ставки наращения определяется по формуле
.1mn
m
jPS
+= (1.9)
Пример 1.13. Первоначальная сумма P равна 70 тыс. руб., пе-риод начисления n – 2 года, сложная процентная ставка j – 12 % годовых ежеквартально. Найдите наращенную сумму S, тыс. руб.
Р еш е н и е.
.672,8803,1704
12,0170 8
24
≈⋅=
+=⋅
S
З а м е ч а н и е. Если бы проценты начислялись раз в год, то на-ращенная сумма составила бы, тыс. руб.:
,8,87)12,01(70 2 =+=S
т. е. меньше на 872 руб. Математическое дисконтирование в случае сложной процент-
ной ставки осуществляется по формуле
.)1( ni
SР
+= (1.10)
Пример 1.14. Наращенная сумма S равна 52,9 тыс. руб., период начисления n – 2 года, сложная процентная ставка i – 15 % годо-вых. Найдите первоначальную сумму Р, тыс. руб.
Р еш е н и е.
.40)15,01(
9,522
=+
=P
1.7. СЛОЖНЫЕ УЧЕТНЫЕ СТАВКИ
При применении сложных учетных ставок сумма, выдаваемая банком при учете векселей, рассчитывается по формуле
.)1( ndSР −= (1.11)
10
Пример 1.15. Вексель на сумму 20 тыс. руб., срок платежа по которому наступит через 1,8 года, учтен по сложной учетной став-ке 18 % годовых. Определите сумму, полученную владельцем век-селя, и дисконт, тыс. руб.
Р еш е н и е.
;992,13)18,01(20 8,1 =−=P .008,6992,1320 =−=D
1.8. СРЕДНИЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ
Если во время финансовой операции размер процентной ставки изменяется, то все ее значения можно обобщить с помощью сред-ней. Замена усредняемых значений на среднюю по определению не влияет на результат наращения.
Начнем с простых ставок. Пусть за последовательные периоды n1, n2, ..., nt начисляются простые проценты по ставкам i1, i2,..., i t. Искомые средние получим путем приравнивания соответству-ющих множителей наращения друг к другу.
Пусть ∑= tnn – общий срок наращения процентов. Тогда
∑+=+t
ttinin .11
Следовательно,
.n
ini t
tt∑= (1.12)
Найденный показатель представляет собой среднюю арифмети-ческую взвешенную с весами, равными продолжительности от-дельных периодов.
Аналогичным способом определим среднюю учетную ставку:
.n
dnd tt∑= (1.13)
Пример 1.16. Контракт предусматривает переменную по пе-риодам ставку простых процентов: 20, 22 и 25 %. Продолжитель-ность последовательных периодов начисления процентов – 2, 3 и 5 мес. Какой размер средней ставки приведет к аналогичному на-ращению исходной суммы?
Р еш е н и е.
.231,010
525,0322,022,0 =⋅+⋅+⋅=i
11
Если усредняются переменные во времени ставки сложных процентов, то из равенства множителей наращения
tnt
nnn iiii )1(...)1()1()1( 2121 +++=+
следует, что
.1)1(...)1()1( 2121 −+++= n n
tnn tiiii (1.14)
Средняя ставка ссудного процента в этом случае вычисляется как взвешенная средняя геометрическая.
Пример 1.17. Для первых двух лет ссуды применялась ставка, равная 15 %, для следующих трех лет она составляла 20 %. Рас-считайте среднюю ставку за весь срок ссуды.
Р еш е н и е. .74179,012,115,15 32 =−⋅=i
Рассмотрим теперь усреднение ставок, применяемых в нескольких однородных операциях, в которых суммы ссуд и про-центные ставки различны, а сроки операций n одинаковы.
Искомые средние ставки найдем из условия равенства соответ-ствующих сумм после наращения процентов:
∑ ∑ +=+ )1()1( ttt niPinP ;
.∑∑=
t
tt
P
iPi (1.15)
Перейдем к усреднению сложных ставок для однородных ссуд-ных операций. Из равенства
ntt
nt iPiP ∑∑ +=+ )1()1(
следует, что
.1)1( −+=
∑∑
n
t
ntt
P
iPi (1.16)
Формулы (1.15) и (1.16) получены для частных случаев, когда сроки ссуд одинаковы. В общих случаях они не работают.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Налог на добавленную стоимость (НДС) составляет 18 % от цены. Найдите цену товара, если с учетом НДС он стоит 1 652 руб.
2. За первый месяц цена товара увеличилась на 30 %, а в тече-ние следующего месяца новая цена уменьшилась на 10 %. На
12
сколько процентов изменилась первоначальная цена товара за 2 мес.?
3. За месяц цена товара увеличилась на 25 %, а в течение сле-дующего месяца возвратилась к первоначальному уровню. На сколько процентов уменьшилась новая цена товара?
4. Банковский вклад, не востребованный на протяжении года, в конце этого срока увеличивается на 10 %. На сколько процентов возрастет сумма вклада, не запрашиваемого в течение 3 лет?
5. Месячный темп инфляции равен 5 %. На сколько процентов возрастают цены за год?
6. Предприниматель обратился в банк с просьбой о предостав-лении кредита в размере 1 млн руб. на 1 год. Банк выделил ему эту ссуду с годовой процентной ставкой 20 % при условии ее погаше-ния одним платежом в конце срока. Какую сумму должен через год возвратить предприниматель банку? Какие процентные деньги получит банк?
7. Предприниматель обратился в банк с просьбой о предостав-лении кредита в размере 1 млн руб. на 1 год. Банк выделил ему ссуду с годовой учетной ставкой 20 % при условии ее погашения одним платежом в конце срока. Какую сумму должен через год возвратить предприниматель банку? Какие процентные деньги по-лучит банк?
8. Первоначальная сумма равна 1 млн руб., i – 0,12, n – 0,5. В каком случае плата за кредит меньше: при расчете по схеме про-стых или сложных процентов?
9. Первоначальная сумма равна 3 млн руб., i – 0,16, n – 3,4. Найдите сумму, возвращаемую кредитору в случае расчета по смешанной схеме.
10. Заемщик получил ссуду 1 млн руб. Он должен погасить ее одним платежом через 0,75 года. Расчет производится по схеме простых процентов, причем первые 0,25 года годовая процентная ставка равна 12 %, а в оставшееся время – 16 %. Найдите сумму, возвращаемую кредитору, и процентные деньги.
2. НАЛОГООБЛОЖЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ
В развитых странах со стабильной экономикой проценты, по-лучаемые при помещении некоторой суммы в рост, облагают на-логом. Естественно, это уменьшает реальную наращенную сумму.
Пусть на сумму Р в течение n лет начислялись простые процен-ты i. Тогда до выплаты налогов они составят величину .Pni Если ставка налога на проценты равна q, то государству необходимо выплатить сумму Pniq и, следовательно, наращенную сумму с учетом налога можно будет найти по формуле
13
)].1(1[ qniPPniqPniPSq −+=−+= (2.1)
Таким образом, учет налога при определении наращенной сум-мы сводится к соответствующему сокращению процентной ставки: вместо i фактически применяется i(1 – q).
Пример 2.1. На депозит была помещена сумма в размере 30 тыс. руб. под 16 % годовых (простых) на 1,5 года, по истечении которых были начислены проценты. Ставка налога на проценты q составила 12 %. Определите наращенную сумму с учетом уплаты налога, тыс. руб.
Р еш е н и е.
.335,36)]12,01(16,05,11[30 =−⋅+=qS
Перейдем к долгосрочным операциям со сложными процента-ми. Начнем с варианта определения налога за весь срок.
Пусть на сумму Р в течение n лет начислялись сложные про-центы i. При ставке налога на проценты q государству необходимо выплатить сумму ( ) ,]1[ qPiP n −+ т. е. наращенную сумму с учетом налога можно рассчитать по формуле
].)1()1[(])1([)1( qqiPqPiPiPS nnnq +−+=−+−+= (2.2)
Пример 2.2. Пусть ставка налога на проценты равна 10 %. Ссудная ставка – 30 % годовых, период начисления процентов – 3 года. Первоначальная сумма ссуды – 1 млн руб. Определите сумму налога при начислении простых и сложных процентов, тыс. руб.
Р еш е н и е. При начислении простых процентов сумма ссуды без налога и с его учетом составит соответственно, тыс. руб.:
;9001)3,031(0001 =⋅+=S .8101)]1,01(3,031[0001 =−⋅+=qS
Общая сумма налога на проценты, тыс. руб.: .9081019001 =−=Q
При использовании метода сложных процентов сумма ссуды без налога и с его учетом составит соответственно, тыс. руб.:
;1972)3,01(0001 3 =+=S .3,0772]1,0)1,01()3,01[(0001 3 =+−+=qS
Общая сумма налога на проценты, тыс. руб.: .7,1193,07721972 =−=Q
Пусть на сумму Р по истечении n лет начислены сложные про-центы по годовой номинальной ставке j, т. е. исходя из начисления
14
m раз в году. Величину наращенной за n лет суммы можно узнать по формуле
,nPaS=
где .1m
m
ja
+=
Если q – ставка налога, то сумма налога будет равна
qPPan )( −
и наращенная сумма с учетом уплаты налога составит
)].)1([)( qqaPqPPaPaS nnnq +−=−−= (2.3)
Пример 2.3. На вклад 20 тыс. руб. по истечении 4 лет были на-числены сложные проценты по номинальной ставке j 12 % годо-вых исходя из полугодовой схемы начисления. Ставка налога на проценты q – 8 %. Определите наращенную сумму c учетом упла-ты налога, тыс. руб.
Р еш е н и е. Поскольку m = 2, то .6123,12
12,01
2
≈
+=a Следо-
вательно, ;927,30]08,0)08,01(6123,1[20 4 ≈+−=qS
;877,312361,100020 4 ≈⋅=S
.95,0927,30817,31 =−=Q
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. На депозит была помещена сумма в размере 50 тыс. руб. под 12 % годовых (простых) на 1,5 года, по истечении которых были начислены проценты. Ставка налога на проценты q составляет 10 %. Определите наращенную сумму с учетом уплаты налога.
2. Пусть ставка налога на проценты равна 12 %. Ссудная став-ка – 24 % годовых, период начисления процентов – 2 года. Перво-начальная сумма ссуды – 2 млн руб. Найдите сумму налога на про-центы при использовании методов простых и сложных процентов.
3. На вклад 40 тыс. руб. по истечении 5 лет были начислены сложные проценты по номинальной ставке (j) 9 % годовых исходя из полугодовой схемы начисления. Ставка налога на проценты q – 8 %. Рассчитайте наращенную сумму c учетом уплаты налога.
15
3. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ В УСЛОВИЯХ ИНФЛЯЦИИ
3.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ИНФЛЯЦИИ
Под инфляцией понимают повышение общего уровня цен в эко-номике или, что практически эквивалентно, процесс снижения по-купательной способности денег. При этом инфляция может прояв-ляться двояко: в переполнении сферы обращения бумажными деньгами вследствие их чрезмерного выпуска либо в сокращении товарной массы при неизменном количестве выпускаемых денег.
Пусть выбран определенный набор товаров и услуг и за время t его стоимость изменилась от Р1 до Р2.
Индексом цен (инфляции) за время t называется величина
.1
2)(
P
PI t
p = (3.1)
Данный параметр показывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемый период.
Темпом инфляции th за время t называется величина
.1
12
P
PPht
−= (3.2)
Темп инфляции th (умноженный на 100) демонстрирует, на сколько процентов выросли цены за период t.
Из (3.1) и (3.2) вытекает следующее соотношение между индек-сом цен и темпом инфляции за время t:
.1)(t
tp hI += (3.3)
Пример 3.1. Каждый месяц цены растут на 1,5 %. Каков ожи-даемый темп инфляции за год?
Р еш е н и е. Распространен неправильный ответ – %.18%5,112 =⋅ Поскольку цены увеличиваются на 1,5 % каждый
месяц от достигнутого уровня, их рост идет по схеме сложных процентов:
;2,1)015,01( 12 ≈+
т. е. цены вырастут в 1,2 раза. Следовательно, индекс инфляции за год ,2,1≈pI а темп инфляции за этот период составит:
;1−= pIh h = 1,2 – 1 = 0,2.
16
Грубейшей ошибкой, которая, к сожалению, встречается в рос-сийской практике, является именно эта – суммирование темпов инфляции отдельных периодов для определения обобщающего показателя за весь срок. Что, заметим, существенно занижает его величину.
Например, постоянный темп инфляции на уровне 5 % в месяц приводит к росту цен в размере pI = 1,0512 = 1,796 за год. Следова-тельно, действительный годовой темп инфляции равен 79,6 %, а не 60 % (12 ⋅ 5 %), как при суммировании.
Индекс цен за несколько периодов k, следующих друг за дру-гом, вычисляется по формуле
( ) ,)1()1()1)(1(1
)(
121 ∏∏
===+=+⋅⋅++=
k
i
tp
k
iik
tp
iIhhhhI K (3.4)
где ih и ( )itpI – темп и индекс инфляции в периоде ∑
==
k
iii ttt
1.,
Пример 3.2. Пусть приросты цен по месяцам составили: 1,5; 1,2 и 0,5 %. Определите индекс цен и темп инфляции за этот период.
Р еш е н и е. Индекс цен (инфляции) за три месяца, согласно (3.4), равен
( )tpI = 1,015 · 1,012 · 1,005 ≈ 1,032 3,
а темп инфляции %.2,33032,013032,1 ≈=−=h
3.2. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ
В рассмотренных ранее методах наращения все денежные ве-личины измерялись по номиналу. Иначе говоря, не принималось во внимание снижение реальной покупательной способности денег за период, охватываемый финансовой операцией. Однако в совре-менных условиях инфляция играет заметную роль, и без ее учета конечные результаты часто представляют собой условную величину.
Инфляцию необходимо принимать во внимание, по крайней мере, в двух случаях:
а) при расчете наращенной суммы денег; б) при измерении реальной доходности финансовой операции. Остановимся на первой проблеме. Пусть С – наращенная сумма
с учетом ее обесценения в результате инфляции; S – наращенная
17
сумма денег, измеренная по номиналу; Р – первоначальная сумма; n – период начисления; i – годовая простая ставка ссудного про-цента. Тогда наращенная сумма будет определяться по формуле
).1( niPS += Если темп инфляции за рассматриваемый период n равен h, то
реальная наращенная сумма денег с учетом их покупательной спо-собности составит
.1
)1()( h
niP
I
SC n
p ++== (3.5)
Из формулы (3.5) следует, что реальное наращение первона-чального капитала с учетом покупательной способности денег произойдет только в том случае, если 1 + ni > 1 + h. При ni = h на-ращение лишь компенсирует действие инфляции. Ставка
n
hi =* (3.6)
является минимально допустимой процентной ставкой, при кото-рой не происходит реального уменьшения (эрозии) капитала. Ставка *ii > называется положительной, так как только она обес-печит действительный рост капитала.
Обозначим через hS сумму денег, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы S при отсутствии инфляции:
).1)(1( hniPSh ++=
Ту же сумму hS можно получить, поместив сумму Р на срок n под простую ставку ,r учитывающую инфляцию:
).1( nrPSh += Отсюда
;);1)(1()1( nihhninrhniPnrP ++=++=+
.n
nihhnir
++= (3.7)
Именно под такую простую ставку ссудных процентов нужно положить сумму Р на срок n, чтобы при уровне инфляции h за рас-сматриваемый период обеспечить реальную доходность в виде го-довой простой ставки ссудных процентов i.
Если считать n = 1, получим формулу Фишера: .ihhir ++= (3.8)
Величина ihh + называется инфляционной премией. Таким об-
18
разом, способом компенсации обесценения денег является увели-чение ставки процентов i на величину инфляционной премии.
Величину r, определяемую по формуле (3.7), называют брут-то-ставкой.
Пример 3.3. Период начисления n равен 3 мес., ожидаемый ежемесячный уровень инфляции – 2 %. Под какую простую ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму Р, чтобы обеспечить реальную доходность 5 % годовых (простых)?
Р еш е н и е. Ожидаемый индекс цен за 3 мес. (0,25 года) соста-вил:
;061,1)02,01( 3 ≈+=pI
таким образом, за рассматриваемый период темп инфляции .061,0=h
Тогда процентная ставка равна:
;297,025,0
061,005,025,0061,005,025,0 ≈⋅⋅++⋅=r
иными словами, реальная доходность в 5 % годовых (простых) бу-дет обеспечена при брутто-ставке 29,7 % годовых.
Предположим, что величина r задана и известен темп инфляции h за рассматриваемый период n. Оценим реальную доходность i от вложения суммы P под r % годовых (простых).
Из формулы (3.7) следует, что ).( nhnihrn ++= Отсюда
.nhn
hrni
+−= (3.9)
Пример 3.4. Первоначальная сумма положена на срок апрель – июнь под простую брутто-ставку 15 % годовых. Темп инфляции в апреле составил 1 %, мае – 1,5, июне – 2 %. Какова реальная до-ходность в виде годовой простой ставки ссудных процентов?
Р еш е н и е. Индекс цен (инфляции) за 3 мес. (0,25 года):
;046,1)02,01)(015,01)(01,01( ≈+++=pI
т. е. темп инфляции за рассматриваемый период .046,0=h
;033,0046,025,025,0046,025,015,0 −≈
⋅+−⋅=i
или –3,3 % годовых. Значит, операция убыточна.
19
3.3. НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Выведем формулу, учитывающую инфляцию в случае начисле-ния в течение n лет сложных процентов.
Наращенная сумма (без учета инфляции) .)1( niPS += Если темп инфляции за этот период равен h, то реальная наращенная сумма денег с учетом ее покупательной способности будет опре-деляться по формуле
.1
)1(
h
iPC
n
++=
Обозначим через hS сумму денег, покупательная способность которой с учетом инфляции эквивалентна покупательной способ-ности суммы S при отсутствии инфляции:
).1()1( hiPS nh ++=
Эту же сумму можно получить, поместив сумму Р в ссуду под сложную ставку r, учитывающую инфляцию:
.)1( nh rPS +=
Отсюда
;1)1(1);1()1()1( nnn hirhiPrP ++=+++=+
.11)1( −++= n hir (3.10)
Именно под такую сложную процентную ставку следует дать ссуду на срок n лет, чтобы при темпе инфляции h за этот период обеспечить реальную доходность i % годовых.
Пример 3.5. Период начисления n составляет 3 года, ожидае-мый темп ежегодной инфляции – 14 %. Под какую сложную брут-то-ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму, чтобы обеспечить реальную доходность 5 % годовых (сложных)?
Р еш е н и е. Ожидаемый индекс цен за 3 года равен ;48,1)14,01( 3 ≈+=pI
т. е. темп инфляции h = 0,48. Значит,
,197,0148,01)05,01( 3 ≈−++=r или 19,7 %.
Предположим, что величина r задана и известен темп инфляции h за рассматриваемый период. Оценим реальную доходность от вложения суммы P под сложную ставку r.
20
Из формулы (3.10) следует, что
.1
11
n h
ri
++=+
Отсюда
.11
1 −++=
n h
ri (3.11)
Пример 3.6. Первоначальная сумма была помещена в банк на 3 года под сложную брутто-ставку 20 % годовых. Темп инфляции за первый год был равен 16 %, за второй – 14 %, за третий –13 %. Какова реальная доходность этой операции в виде сложной годо-вой ставки ссудных процентов?
Р еш е н и е. Индекс цен за рассматриваемый период составил
;494,1)13,01)(14,01)(16,01( ≈+++=pI
т. е. темп инфляции ;494,0=h
,05,01494,01
12,03
≈−+
+=i или 5 %.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Каждый месяц цены растут на 2 %. Каков ожидаемый темп инфляции за год?
2. Пусть приросты цен по месяцам составили 2; 1,5 и 0,75 %. Определите индекс цен и темп инфляции за этот период.
3. Период начисления n равен 3 мес., ожидаемый ежемесячный уровень инфляции – 2 %. Под какую простую ставку ссудных про-центов нужно положить первоначальную сумму Р, чтобы обеспе-чить реальную доходность 5 % годовых (простых)?
4. Первоначальная сумма помещена на срок январь – март под простую брутто-ставку 10 % годовых. Темп инфляции в январе составил 2 %, феврале – 1,5 %, марте – 1 %. Какова реальная до-ходность в виде годовой простой ставки ссудных процентов?
5. Период начисления n равен 4 годам, ожидаемый темп ежегод-ной инфляции – 15 %. Под какую сложную брутто-ставку ссудных процентов нужно положить первоначальную сумму, чтобы обес-печить реальную доходность 9 % годовых (простых, сложных)?
6. Первоначальная сумма была помещена в банк на 2 года под сложную брутто-ставку 10 % годовых. Темп инфляции за первый год составил 15 %, за второй – 12 %. Какова реальная доходность этой операции в виде сложной годовой ставки ссудных процентов?
21
4. ФИНАНСОВАЯ РЕНТА (АННУИТЕТ)
В финансовых контрактах часто предусматривают серию пла-тежей, распределенных во времени, например, регулярные выпла-ты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начислен-ными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд, и т. п.
Ряд последовательных выплат и поступлений называется пото-ком платежей. Поступления представляют собой положительные величины, выплаты – отрицательные.
Поток платежей, в котором все члены положительны, а времен-ные интервалы между поступлениями постоянны, – это финансо-вая рента, или аннуитет. Аннуитет считается постоянным, если все денежные поступления равны между собой.
По моменту выплат в пределах между началом и концом пе-риода ренты делятся:
а) на постнумерандо (обыкновенные) – выплаты производятся в конце периода;
б) пренумерандо – выплаты осуществляются в начале периода.
4.1. ГОДОВАЯ РЕНТА ПОСТНУМЕРАНДО
Пусть в конце каждого года в течение n лет в банк вносится по R руб., на которые в конце следующего года начисляются процен-ты по сложной процентной ставке i.
В этом случае к концу срока ренты первый взнос возрастет до величины ,)1( 1−+ niR так как на сумму R проценты начислялись (n – 1) лет. Второй взнос увеличится до ,)1( 2−+ niR предпоследний – до ).1( iR + На последний взнос проценты не начисляются.
Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма, за-писанная в обратном порядке, будет определяться по формуле
.)1()1()1()1( 122 −− +++++++++= nn iRiRiRiRRS K
Мы получили сумму n первых членов геометрической про-грессии
,12 −++++= nn aqaqaqaS K
в которой первый член ,Ra = множитель .1 iq += Как известно,
,1
1
−−=
q
qaS
n
n (4.1)
22
значит, наращенная сумма годовой ренты постнумерандо к концу срока начисления находится по формуле
.1)1(
i
iRS
n
pst−+= (4.2)
Часто эту формулу записывают в следующем виде: ,;inpst sRS = (4.3)
где
i
is
n
in1)1(
;−+= (4.4)
обозначает коэффициент наращения ренты (табулированная функ-ция). Он показывает, чему будет равна суммарная величина аннуи-тета в 1 ден. ед. (например, 1 руб.) к концу срока его действия.
Пример 4.1. В фонд в течение 7 лет в конце года поступают 10 тыс. руб., на которые начисляются сложные проценты по ставке 15 % годовых. Определите величину фонда на конец срока.
Р еш е н и е. Коэффициент наращения ренты
,8066,1115,0
1)15,01( 7
15;7 ≈−+=s следовательно, сумма, наращенная к
концу срока, составит, тыс. руб.:
.668,1108066,1110 =⋅=pstS
4.2. ГОДОВАЯ РЕНТА, НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ m РАЗ В ГОДУ
Пусть платежи осуществляются один раз в конце года, а про-центы начисляются m раз в году. Это означает, что каждый раз
применяется ставка ,m
j где j – номинальная ставка процентов.
В этом случае к концу срока ренты первый взнос возрастет до
,1)1( −
+nm
m
jR так как на сумму R проценты начислялись в тече-
ние (n – 1) года. Второй взнос увеличится до ,1)2( −
+nm
m
jR пред-
23
последний – до .1
+m
jR На последний взнос проценты не начис-
ляются. Наращенная сумма ренты равна сумме n членов геометриче-
ской прогрессии с первым членом a = R и знаменателем
:1m
m
jq
+=
.
11
11
−
+
−
+= m
mn
pst
m
j
m
j
RS (4.5)
Если воспользоваться формулой (4.4), то последнее выражение можно записать в виде
.;
;
m
jm
m
jmn
psts
s
RS = (4.6)
Пример 4.2. В фонд в течение 7 лет в конце года поступают 10 тыс. руб., на которые начисляются сложные проценты по номи-нальной ставке 16 % годовых ежеквартально. Определите величи-ну фонда на конец срока.
Р еш е н и е. Произведение %.44
16;2874 ===⋅=
m
jnm На-
ращенная сумма составит, тыс. руб.:
.668,1175246,46967,49
104;4
4;28 ≈==s
sRSpst
4.3. ГОДОВАЯ РЕНТА ПРЕНУМЕРАНДО
Поскольку денежные поступления в аннуитете пренумерандо происходят в начале каждого периода, то он отличается от ренты постнумерандо количеством периодов начисления процен-тов. В этом случае к концу срока ренты первый взнос возрастет до
24
величины ,)1( niR + второй – до ,)1( 1−+ niR последний – до ),1( iR + и наращенная сумма составит .)1()1()1( 2 niRiRiRS ++++++= K
Воспользуемся формулой (4.1). a = R(1 + i), q = 1 + i, следова-тельно,
.)1(1)1(
)1( ; in
n
pre siRi
iiRS +=−++= (4.7)
Из сравнения формул (4.3) и (4.7) видно, что наращенная стои-мость ренты пренумерандо preS в (1 + i) раз больше наращенной стоимости ренты постнумерандо .pstS
4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА РЕНТЫ
Зная величину отдельного платежа R, процентную ставку i и наращенную сумму S годовой ренты, можно узнать ее срок.
Для ренты постнумерандо ;1)1(
i
iRS
n
pst−+=
;1ln)1ln(;1)1(
+=++=+R
Siin
R
Sii n
.)1ln(
1ln
iR
Si
npst +
+= (4.8)
В случае ренты пренумерандо для определения n необходимо в формулу (4.8) вместо R подставить выражение R(1+i):
.)1ln(
)1(1ln
i
iR
Si
npre +
++
= (4.9)
Пример 4.3. Размер ежегодных платежей R составил 5 тыс. руб., процентная ставка i – 12 % годовых, наращенная сум-ма S – 61,49 тыс. руб. Определите сроки рент постнумерандо и пренумерандо, лет.
Р еш е н и е. Для ренты постнумерандо:
.812,1ln
476,2ln
)12,01ln(5
12,0490,611ln
=≈+
+=pstn
Для ренты пренумерандо:
25
.42,712,1ln
318,2ln
)12,01ln(
)12,01(5
12,049,611ln
≈≈+
++
=pren
4.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ОТДЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА РЕНТЫ
Зная процентную ставку i, количество выплат n и наращенную сумму S годовой ренты, можно вычислить величину отдельного платежа R.
Для ренты постнумерандо .1)1(
i
iRS
n
pst−+= Отсюда
.1)1( −+
=npst
i
SiR (4.10)
В случае ренты пренумерандо для определения R необхо- димо в формуле (4.10) вместо pstR подставить R(1 + i):
,1)1(
)1(−+
=+ni
SiiR следовательно,
.]1)1)[(1( −++
=npre
ii
SiR (4.11)
Из сравнения формул (4.10) и (4.11) видно, что pstR в (1 + i) раз больше .preR
Пример 4.4. Определите размер ежегодных платежей (тыс. руб.) по сложной процентной ставке 14 % годовых для нако-пления 50 тыс. руб. через 3 года, если платежи осуществляются:
а) в конце года; б) в начале года. Р еш е н и е.
а) ;538,145481,0
71)14,01(
14,0503
≈≈−+
⋅=pstR
б) .753,129548,0
7]1)14,01)[(14,01(
14,0503
≈≈−++
⋅=preR
26
4.6. СОВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ ГОДОВОЙ РЕНТЫ
Для определения современной стоимости годовой ренты необ-ходимо каждый платеж продисконтировать на начало ренты и суммировать все продисконтированные платежи.
Пусть член годовой ренты равен R, процентная ставка i, про-центы начисляются один раз в конце года, срок ренты n лет.
Тогда дисконтированная величина первого платежа равна ,)1/( RviR =+ где )1/(1 iv += – дисконтный множитель. Приведен-
ная к началу ренты величина второго платежа составляет ,2Rv третьего – ,3Rv последнего – .nRv Указанные величины обра-
зуют геометрическую прогрессию с первым членом Rva = и зна-менателем .vq = Сумма членов этой прогрессии представляет со-бой современную стоимость ренты постнумерандо:
.)1(11)1(
11
1
11
1
11
1
i
iR
i
iR
i
ii
R
v
vRvA
nn
n
n −− +−=−
−+=−
+
−
++
=−−=
Часто последнюю формулу записывают в виде
,;inRaA = (4.12)
где i
ia
n
in
−+−= )1(1; – коэффициент приведения (дисконтирова-
ния) аннуитета (табулированная функция). Коэффициент ina ; можно интерпретировать как величину капи-
тала, поместив который в банк под сложную процентную ставку i, можно обеспечить регулярные выплаты в размере 1 ден. ед. в те-чение n лет (выплаты производятся в конце каждого года).
Например, поскольку ,1690,218;,4 =a то, поместив 2 руб. 69 коп. под сложную процентную ставку 18 %, можно обеспечить выпла-ты по 1 руб. в конце каждого года в течение 4 лет.
Пример 4.5. Петров предполагает поместить в банк, который выплачивает 10 % годовых (сложных), такую сумму, чтобы его дочь, поступившая в университет, могла снимать с этого счета в конце каждого года по 10 тыс. руб., исчерпав вклад к концу пяти-летнего срока обучения. Какую сумму он должен положить?
27
Р еш е н и е: Вычислим ,8790,31,0
)1,01(1 5
10;5 ≈+−=−
a следова-
тельно, в банк необходимо положить сумму, тыс. руб.:
.908,378790,310 =⋅=A
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. В фонд в течение 8 лет в конце года поступают средства в размере 1 тыс. руб., на которые начисляются сложные проценты по ставке 16 % годовых. Определите величину фонда на конец срока.
2. В фонд в течение 10 лет в конце года поступают средства в размере 1 тыс. руб., на которые начисляются сложные проценты по номинальной ставке 10 % ежеквартально. Определите величи-ну фонда на конец срока.
3. Размер ежегодных платежей R составляет 9 тыс. руб., процентная ставка i = 10 % годовых, наращенная сумма S – 73,8 тыс. руб. Определите сроки рент постнумерандо и пренуме-рандо.
4. Рассчитайте размер ежегодных платежей по сложной процентной ставке i 11 % годовых для накопления 100 тыс. руб. через 3 года, если платежи осуществляются:
а) в конце года; б) в начале года. 5. Иванов планирует положить в банк, который выплачивает
15 % годовых (сложных), такую сумму, чтобы его дочь, посту-пившая в университет, могла снимать с этого счета в конце каждо-го года по 15 тыс. руб., исчерпав вклад к концу пятилетнего срока обучения. Вычислите размер начального вклада.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Ковалев, В.В. Курс финансовых вычислений / В.В. Ковалев, В.А. Уланов. М.: Финансы и статистика, 2005. 346 с.
Колемаев, В.А. Финансовая математика. М.: Юнити-Дана, 2005. 278 с. Кузнецов, Б.Т. Математические методы финансового анализа. М.: Юнити-
Дана, 2006. 152 с. Мелкумов, Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вы-
числениям. М.: Инфра-М, 1996. 366 с. Просветов, Г.И. Математика в экономике: задачи и решения. М.: Изд-во РДЛ,
2005. 134 с. Четыркин, Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2006. 422 с.
28
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
Методические указания и задания для самостоятельной работы
Часть 1
Составители: ЗОЛОТКОВ Вячеслав Дмитриевич МАТВЕЕВ Александр Иванович
ЧЕРНОИВАНОВА Елена Анатольевна
Редактор О.С. К а р я к и н а Компьютерная верстка Л.Н. Ч е б а к о в о й
Подписано в печать 19.04.10. Формат 60 × 84 1/16
Усл. печ. л. 1,63. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 33
Саранский кооперативный институт АНО ВПО ЦС РФ «Российский университет кооперации»
430027, г. Саранск, ул. Транспортная, 17
Отпечатано с оригинал-макета заказчика в ОАО «Типография „Рузаевский печатник“»
431440, г. Рузаевка, ул. Трынова, 67а