5
Δ K K K E K E K Δ E K R P GL(R, P ) GL(R) GL(R, P )/[GL(R, P ), GL(R, P )] K 0 K 1 E(R, P ) E(R)=[GL(R), GL(R)] GL(R) E(R, P ) St(R, P ) E(R, P ) K 2 K 2 (R, P ) = ker(St(R, P ) E(R, P )) + BE(R, P ) K K i (R, P )= π i (BE(R, P ) + ),i 2. K i (R, P ) K i (R, P ) K i (R) K i (R) R K i (R, P ) K P R n Z n n P R n F F, : Z n Z F u Z n F P F, u0 u Z n P P u P P u ,u = 1 F P F, u0 P u Col(P ) P p P Z n k p + ku P u p P u ht Pu (p) ht F (p)= F, p q

Δ-graphs of polytopes in Bruns and Gubeladze K-theory

  • Upload
    m-v

  • View
    213

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Δ-graphs of polytopes in Bruns and Gubeladze K-theory

���� �������� �� ��� ������ ��� ���������� �������� ��� ���� ! ��� ""� �!�#�!$� �© %������� &�� ���� ����'��(���� )� ��� *�+� �© ����&��,��-.,� ��� "�/�� ��- �� �� ���, �� ,�� ,�(� ������ ����� ��������,�� ��,����,� ������� ! ��� ""� �0#�1�

������� � ��� ���� �� �������� ��������� K�������

���� �������

������ ���� �� ������ ������� �� �������� ��� �����������

������� ����� ������� ������ ������

�������� ������� �� ��

����������� ����� ��� �� ��������� ��������� � ��� ������� �� �� ������ K!"���# �"���K! �������� ����������# ����������� �# ���#���� �� ��� #��� $� "�� ����� �� ������� � ������ �� �����E!�%��������� �"��" ��� �� ���� � �������� K! ����� ��� "� "!���������� ���#����� &��#���� �"��"��� ����� E!�%������� "��� ������ ����� �������� ��� ������"�� K! ������ $� �������� ��� ���"���#��� �� ��'�� � Δ! ���" �"��" �� �� ������� ���" ���� �������� ����� � ����� E!�%����������

���� �����������������������

�� ����� ���

�� ��� ��� ����� ��� ���� ��!� �"��#�� � ��$ ��%�&" '( �� �"#'�� ��"$��� ")� � *����#& K+")�'�, ���%' ,"'%��� )� �"��"#�* %'#�" '( ")�#� &'��"��&"#'� #� � &'--�"�"#.� �#�* R $#") ")� ��#" ��� � %' ,"'%� P$#") �'-� %�'%��"#��� ����� ��� ���� ��!� &'��"��&"�� � *����� #!�"#'� GL(R,P ) '( ")� �#�* GL(R) $)����� ��� '*�� '( ")� ")�'��- '� ��&'-%'�#"#'� '( �� #�.��"#� � -�"�#/ #�"' � %�'��&" '( � �-��"��, '��� #� .� #�� )� %�&� #��#", '( ")�#� ���� "� #� ")�" %�'0�&"'�� ��� 1��"��-#���"�2 GL(R,P )/[GL(R,P ), GL(R,P )] #�")��� �#�*� $��� ��� �"��#�� ��'�*) "' �%��3 ��'�" *����� #!�"#'�� '( ")� (��&"'�� K0 ��� K1� )'$�.��� �������� ���� ��!� ��&&����� #� ��"��-#�#�* �� ��� '*�� E(R,P ) '( ")� ���*�'�% E(R) = [GL(R), GL(R)] ⊂GL(R) *�����"�� �, � �-��"��, -�"�#&��� 4'� � $#�� & ��� '( �'+&� �� �� ��&�� %' ,"'%��� ")� �"�������� �"#'�� '� � �-��"��, -�"�#&�� &�� �� "����(����� "' ")� *�'�% E(R,P )� )#� (�&" *#.�� �� �� '%%'�"��#","' ��5�� ")� �"�#����* *�'�% St(R,P ) ��� %�'.� ")�" #" #� ")� ��#.���� &��"�� �/"���#'� '( E(R,P )� �� ")#�&��� '�� &�� ��5�� �� ��� '*�� '( ")� 6# �'� *�'�% K2 �� K2(R,P ) = ker(St(R,P ) → E(R,P ))� 7%% ,#�*")� ++&'��"��&"#'� "' BE(R,P )� '�� *�"� �� ��� '*�� '( 8�# �� )#*)�� K+*�'�%� 9���� ��*�� ���:� #����

Ki(R,P ) = πi(BE(R,P )+), i ≥ 2.

7 ��"��� ;���"#'� ��#���< $)�" ��� ")� *�'�%� Ki(R,P ) ('� �#=����" %' ,"'%��> 7" %�����"� ")��� *�'�%�)�.� ���� &� &� �"�� ('� ��.��� & ����� '( %' ,"'%�� '� ,� ��� #� ��, &��� Ki(R,P ) #� #�'-'�%)#& �#")�� "'")� 8�# �� *�'�% Ki(R)� '� "' � �#��&" ��- '( ��.��� &'%#�� '( Ki(R) 9&��"�#� ���#"#'�� ���"�#&"#'�� �)'� ��� %'��� '� ")� �#�* R #� ")� &��� '( �'-� %' ,"'%��:�

�� '���� "' �"��, Ki(R,P )� 5��" $� ���� "' ������"��� ")� �����*�-��" '( ")� %��"#� %�'��&" '� ")� ��"'( ��%%'�"#�* .�&"'�� '( ")� %' ,"'%�� )��� .�&"'�� )�.� ")� ��-� -���#�* �� ")� %�#�� '( #��#&�� ��5�#�*� �-��"��, -�"�#&�� #� ")� & ���#& K+")�'�,� )#� %�%�� #� ('&���� '� ")� �"��, '( ")#� ��" #� ")� &��� '(���#"���, %' ,"'%���

67�� �?4��� ����

@�" P �� � &'�.�/ %' ,"'%� #� Rn $)'�� � .��"#&�� �� '�* "' ")� #�"�*�� �""#&� Z

n� �� $)�" (' '$� $�� $�,� ����-� ")�" ")� �#-���#'� n #� -#�#-� � #���� ")� #���� )� � '( ")� (�&�� '( P ��� ),%��% ���� #� R

n��� ")#� &��� ��&) ��&) (�&� F &'����%'��� "' ")� ��#;�� ���0�&"#.� )'-'-'�%)#�- 〈F,−〉 : Zn → Z ��&) ")�"#"� 3���� #� ")� ��" '( .�&"'�� %��� � "' ")� (�&� F ��� ('� ��, .�&"'� u ∈ Z

n �"��"#�* �" F ��� ���#�* �"P ")� #��;�� #", 〈F, u〉 ≥ 0 )' ���

��������� ����� ��� �������� �������� � 7 .�&"'� u ∈ Zn #� ��#� "' �� ��%%'�"#�* ('� � %' ,"'%� P #(

")��� �/#�"� � (�&� Pu ⊂ P ��&) ")�" 〈Pu, u〉 = −1� ��� ('� ��, '")�� (�&� F ⊂ P ")� #��;�� #", 〈F, u〉 ≥ 0)' ��� �� ")#� &��� ")� (�&� Pu #� ��#� "' �� ���#&� �, Col(P ) $� ���'"� ")� ��" '( � ��%%'�"#�* .�&"'�� '(")� %' ,"'%� P �

��� '( ")� -�#� %�'%��"#�� '( ")� ��%%'�"#�* .�&"'�� #� ")� (' '$#�*< ('� ��, %'#�" p ∈ P ∩ Zn ")���

�/#�"� �'���*�"#.� #�"�*�� k ��&) ")�" p+ ku ∈ Pu� )#� ��-��� #� ��(����� "' �� ")� )�#*)" '( ")� %'#�" p'.�� ")� (�&� Pu ��� #� ���'"�� �, htPu(p)� )� )�#*)" '( � %'#�" '.�� � (�&� &�� �� &� &� �"�� �� (' '$�<

htF (p) = 〈F, p− q〉

�A�

Page 2: Δ-graphs of polytopes in Bruns and Gubeladze K-theory

�A� &�$()*+,(*

('� ��, %'#�" q ∈ F � )#� ��5�#"#'� �'�� �'" ��%��� '� ")� &)'#&� '( ")� %'#�" q ��&���� � ")� .�&"'��0'#�#�* %'#�"� (�'- F ��� %��� � "' F �

)� '%���"#'� '( %��"#� %�'��&" &�� �� ��5��� '� ")� ��" '( ��%%'�"#�* .�&"'�� �� (' '$�< #( ")� .�&"'��u, v ∈ Col(P ) ��"#�(, ")� &'��#"#'�� u+ v ∈ Col(P ) ��� Pu+v = Pu� ")�� $� ��, ")�" ")� %�'��&" uv = u+ v#� ��"��-#���� ������ , �%��3#�*� ")� %�'��&" �/#�"� �'" ('� ��, %�#� '( ��%%'�"#�* .�&"'��� ���#���� #( uv#� ��"��-#���� ")�� vu #� �'" ��"��-#����

7 %' ,"'%� P #� &� �� �� ��&�� #( 〈Pu, v〉 ≤ 1 ('� ��, u, v ∈ Col(P )� 4'� �/�-% �� � �#-% �/� � �;������ ;����# �"��� %,��-#� $#") ")� )�#*)" 1 ��� �� ��&��� B'$�.��� � �#*)" "�#��* � $#") ")� �*� 1 ��� 2#� �'" �� ��&��� 7 �� ��&�� %' ,"'%�� $��� ���&�#��� #� ���� �#-# �� & ���#5&�"#'�� �' �'" �/#�" #� '")���#-���#'���

����������� ���� � ����� 4'� ��, %' ,"'%� P ��� #"� (�&� F '�� &�� ��"��-#�� � ��$ %' ,"'%� P �F &� ��")� ��% #&�"#'� '( P � '�* ")� (�&� F � ��%%'�� ")� '�#*#� �� '�*� "' ")� (�&� F ��� &'��#��� ")� �"�������-����#�* '( Rn #�"' R

n+1� �'"�"� ")� %' ,"'%� P #� Rn+1 �, 90◦ ��'��� ")� (�&� F � )� .��"#&�� '( ")�

�'"�"�� %' ,"'%� ")�" #� ���'"�� �, P |F &�� �� ('��� '�"�#�� ")� #�"�*�� �""#&�� ��" $� &�� &)��*� ")����#� #� R

n+1 �' ")�" ")� .��"#&�� '( P ��� P |F �' )�.� #�"�*�� &''��#��"�� $#") ���%�&" "' ")� ��$ ���#�9('� �/�-% �� '�� &�� � $�,� �%% , �� �C��+#�"�*�� &)��*� '( &''��#��"�� #� R

n �' ")�" ")� (�&� F #�� #�")� % ��� xn = 0 �("�� #"� ��� ")�� ")� #-�*�� '( � .��"#&�� ����� ")� �'"�"#'� )�.� #�"�*�� &''��#��"��:��'$ ��5�� ")� %' ,"'%� P �F �� ")� &'�.�/ )� '( P ��� P |F � �( ")� (�&� F #� ���#& ('� v� ")�� $� $�#"�P �v "''�

)� ��% #&�"#'� '( � %' ,"'%� � '�* #"� (�&� F #�&������ ")� ��-��� '( #"� (�&�� �, 1� 4'� ��, (�&� G�/&�%" ('� F $� &'��#��� ")� &'�.�/ )� '( G ��� G| 9)��� G| ���'"�� ")� #-�*� '( G ����� ")� �'"�"#'�:�� ")� #-�*� '( G ����� ")� ��% #&�"#'� ��� ���'"� #" �, G�F � 4'� F $� ����-� F �F = P | �, ��5�#"#'���#�&� ")� &'����%'����&� G�F ↔ G #� '��+"'+'��� $� �'-�"#-�� #���"#(, G�F $#") G�

�'$ �" P �� � �� ��&�� %' ,"'%� ��� v ∈ Col(P ) �� � ��%%'�"#�* .�&"'� $#") ")� ���#& (�&� G� )��v #� � �' ��%%'�"#�* ('� P �F $#") ")� ���#& (�&� G�F � ���#���� ��, ��% #&�"#'� ���� "� #� �%%�����&� '( "$'��$ ��%%'�"#�* .�&"'�� δ ��� −δ $#") ")� ���#& (�&�� P ��� P |� ���%�&"#.� ,� 4'� ��, v ∈ Col(P ) ")� �'"�"��.�&"'� v| #� ��%%'�"#�* ('� P �F 9��� #( v #� %��� � "' F � ")�� v| &'#�&#��� $#") v:� )� ��% #&�"#'� '( ��� ��&�� %' ,"'%� � '�* � ���#& (�&� %�'��&�� � �� ��&�� %' ,"'%� "''� ��� ")� ��" '( #"� ��%%'�"#�* .�&"'��&'��#�"� '( '� , ")� .�&"'�� #�"�� ��'.�� #����

Col(P �F ) = Col(P ) ∪ Col(P |) ∪ {δ,−δ}.

7 ��;���&� '( �-������ %' ,"'%�� P = (P = P0 ⊂ P1 ⊂ P2 ⊂ . . .) #� &� �� ��% #&�"#'� ��;���&� #(� 5��"���&) �����;���" %' ,"'%� #� � ��% #&�"#'� '( ")� %��.#'�� '�� � '�* � ���#& (�&� ���� ��&'��� ('� ��, i ∈ Z+�v ∈ Col(Pi) ")��� �/#�"� �� #���/ j ≥ i ��&) ")�" Pj+1 = P �v

j �

�#�&� ")��� #� ")� ��"��� �-����#�* Col(Pi) ⊂ Col(Pi+1)� '�� &�� ��"��-#�� ")� �#��&" #-#" limCol(Pi)���'"�� )��� �, Col(P)�

�������� ����� 4'� � �� ��&�� %' ,"'%� P � � ��% #&�"#'� ��;���&� P = (P ⊂ P1 ⊂ . . .)� ��� �����'&#�"#.� &'--�"�"#.� �#�* R $#") ")� ��#" $� ��5�� ")� �"�#����* *�'�% St(R,P ) �� ")� *�'�% $#") ")�*�����"'�� xλ

v � v ∈ Col(P)� λ ∈ R� ��� ")� �� �"#'��

xλvx

μv = xλ+μ

v���

[xλu, x

μv ] =

{x−λμuv , #( uv #� ��5���D

1, #( u+ v �∈ Col(P) ∪ {0}.��� &�� �)'$ ")�" ")#� ��5�#"#'� �'�� �'" ��%��� '� ")� &)'#&� '( ")� ��% #&�"#'� ��;���&� P� �,

Sti(R,P ) $� ���'"� ")� ���*�'�% '( ")� *�'�% St(R,P ) *�����"�� �, xλv � $)��� v ∈ Col(Pi) 9('� i �= 0 ")#�

��5�#"#'� �'�� �'" � ����, ��%��� '� ")� &)'#&� '( ")� ��% #&�"#'� �,�"�-:����������� ���������� � � @�" S(P ) �� ")� ��-#*�'�% #� Z

n × N *�����"�� �, ")� %�#�� (p, 1)� p ∈P ∩Z

n� $#") ���%�&" "' ")� � �-��"+$#�� ���#"#'� $�#""�� #� ")� -� "#% #&�"#.� ('�-� 4'� � *#.�� ���'&#�"#.�&'--�"�"#.� �#�* R $#") ")� ��#" ")� ��-#*�'�% *�����"�� �#�* R[P ] = R[S(P )] #� ��5���� �, gr.aut(R[P ])$� ���'"� ")� *�'�% '( ")� *�����"�� ��"'-'�%)#�- '( ")#� ��-#�#�*� 7� � �-��" φ '( ")#� *�'�% #� &� ���� � �-��"��, ��"'-'�%)#�- #( ")��� �/#�" � ��%%'�"#�* .�&"'� v ∈ Col(P ) ��� �� � �-��" λ ∈ R '( ")� �#�*��&) ")�"

φ(x) = (1 + λv)htPv (x)x

('� ��, x ∈ S(P )� �, eλv $� ���'"� ")#� ��"'-'�%)#�- ��� �, E0(R,P ) $� ���'"� ")� ���*�'�% #� ")� *�'�%gr.aut(R[P ]) *�����"�� �, � �-��"��, ��"'-'�%)#�-�� �" $�� �)'$� #� ��� ")�" � �-��"��, ��"'-'�%)#�-�('� �� ��&�� %' ,"'%�� � $�,� ��"#�(, &��"�#� �� �"#'�� �#-# �� "' ")'�� ��"$��� � �-��"��, -�"�#&��� #����

eλveμv = eλ+μ

v ,

-*�.*� /0$12��$34 -53)2-53$.� �/6623$0 1��� �7 0�� � ��8

Page 3: Δ-graphs of polytopes in Bruns and Gubeladze K-theory

Δ!��5&)� *9 &*643*&2� �A�

[eλu, eμv ] =

{e−λμuv , #( uv #� ��5���D

1, #( u+ v �∈ Col(P ).

7� #� ")� &��� '( �"�#����* *�'�%� ('� � *#.�� ��% #&�"#'� ��;���&�

P = (P = P0 ⊂ P1 ⊂ P2 ⊂ . . .)

")� �#�* R[P] = limi→∞

R[S(Pi)] #� ��"��-#���� �� ")� *�'�% '( #"� ��"'-'�%)#�-� %�����.#�* ")� *���#�*�

$� ��"��-#�� ")� ���*�'�% E(R,P) *�����"�� �, � �-��"��, ��"'-'�%)#�-�� 4'� ��'")�� &)'#&� '( ")���% #&�"#'� ��;���&� $� *�" � ��"��� , #�'-'�%)#& *�'�%� ")���('��� #� $)�" (' '$� $� ��� ")� �'"�"#'�E(R,P ) #��"��� '( E(R,P)�

K����� ��� E������������ 7� $�� � ����, -��"#'��� #� ��"�'��&"#'�� ")� )#*)�� K+*�'�%� ('� � &'-+-�"�"#.� �#�* R ��� � �� ��&�� %' ,"'%� P ��� ��5��� �� (' '$�< Ki(R,P ) = πi(BE(R,P )+)� i ≥ 2�

�� ")� &��� $)�� P #� � �#-% �/� Ki(R,P ) &'#�&#��� $#") ")� & ���#& 8�# �� K+")�'�,�4'� � 5/�� �#�* R� ")� �"��&"��� '( �"�#����* *�'�% 9��� )��&� ")� �"��&"��� '( � K+*�'�%�: #� ('�-��

�, ")� �"��&"��� '( ")� ��%%'�"#�* .�&"'�� -� "#% #&�"#'� #� ")� ��% #&�"#'� ��;���&�� �� ")� '")�� )���� #($� 3�'$ ")� �"��&"��� '( ")� ��%%'�"#�* .�&"'�� -� "#% #&�"#'� ('� � *#.�� %' ,"'%� ��� ")� .� ��� '( ")�'%���"'� 〈·, ·〉 �" � %�#�� '( (�&�� ��� ��%%'�"#�* .�&"'��� ")�� $� &�� &� &� �"� ")� -� "#% #&�"#'� �"��&"���'( ��%%'�"#�* .�&"'�� ��� ")� .� ��� '( ")� '%���"'� 〈·, ·〉 ('� ")� ��% #&�"�� %' ,"'%� ��� )��&� ('� ")� $)' ���% #&�"#'� ��;���&��

$' %' ,"'%�� P ��� Q ��� ��#� "' �� E+�;�#.� ��" #( ")��� �/#�"� �� #�'-'�%)#�- ψ1 ��"$��� ")� ��"�'( (�&�� '( P ��� Q ��� �� #�'-'�%)#�- ψ2 ��"$��� Col(P ) ��� Col(Q) ��&) ")�"

�: ('� ��, (�&� F ∈ P ��� ��, .�&"'� u ∈ Col(P ) ")� �� �"#'� 〈F, u〉 = 〈ψ1(F ), ψ2(u)〉 #� .� #�D�: ('� ��, "$' .�&"'�� u, v ∈ Col(P ) ")� %�'��&" uv �/#�"� #( ��� '� , #( ")� %�'��&" ψ2(u)ψ2(v) #�

��"��-#���� ��� #� ")#� &��� ψ2(uv) = ψ2(u)ψ2(v)� $' %' ,"'%�� P ��� Q ��� ��#� "' �� �"�� � E+�;�#.� ��" #( �'-� ��% #&�"#'� ��;���&� '( ")� %' ,"'%�

P &'�"�#�� � %' ,"'%� ��#�* E+�;�#.� ��" "' �'-� %' ,"'%� (�'- �'-� ��% #&�"#'� ��;���&� '( ")� %' ,"'%�Q� �"�#����* *�'�%� 9��� � �' ")� *�'�%� E(R,P ) ��� Ki(R,P ): '( �"�� � E+�;�#.� ��" %' ,"'%�� ���#�'-'�%)#&�

����?E � �4 47�?� δ+�F66? ��?� 7�� Δ+��7EB �4 7 E�@F �E?

G� ��, ")�" "$' ���#& (�&�� F ��� G '( � %' ,"'%� P ��� δ+ �������� ��� $�#"� Fδ∼ G #( ")��� �/#�"� �

��%%'�"#�* .�&"'� u = δGF ��&) ")�" Pu = F ��� P−u = G 9 �"�� $� %�'.� ")�" ('� "$' *#.�� δ+�,--�"�#&

(�&�� ")��� �/#�"� '� , '�� ��&) .�&"'�:� 4'� �/�-% �� P ��� P | ��� � $�,� δ+�,--�"�#& #� P �� 7 ��%%'�"#�*.�&"'� v ��&) ")�" ")� .�&"'� −v #� � �' ��%%'�"#�* #� &� �� � δ+������

����� �� 1� ��� �� �� ��� �� �� ���� �� � �������� �������� P ��� �� ����������� ���� �������� ������������ S1,S2, . . . ,SN � ���� ��� ��� ���� ���� ��� ��� ������ ��� δ� �������� ��� ��� ��� ���� ������������ ������� ��� ��� δ� ���������

2� ��� ����������� �� � �������� ��� ��� δ� �������� �� ���� � �� ��� � ��� ��� ���� ��� �� ���������������� � δ� �������� �� P |� ��� � ��� ������ N �� ��� ������� � ��� ������ ����� ����������� ������ ��� ������ �� ��� ������ �� ��� ����������� ��������

3� � P ⊂ Rn� ���� N ≤ n�

!����� ' %�'.� ")� 5��" �"�"�-��"� #" #� ��&�����, "' .��#(, ")�" #( Fδ∼ G� ��� G

δ∼ H � ")�� Fδ∼ H �

E�'.� ")�" δGF + δHG = δHF � ������� ('� ��, (�&� X �#�"#�&" (�'- F ��� G $� )�.� 〈X, δGF 〉 = 〈X,−δGF 〉 = 0��#-# �� ,� ('� ��, (�&� Y �#�"#�&" (�'- G ��� H $� )�.� 〈Y, δHG 〉 = 〈Y,−δHG 〉 = 0� )���('��� ('� ��, (�&� Z�#�"#�&" (�'- F � G� ��� H ")� �;�� #"#��

〈Z, δGF + δHG 〉 = 〈Z,−δGF − δHG 〉 = 0

���〈F, δGF + δHG 〉 = −1, 〈G, δGF + δHG 〉 = 0, 〈H, δGF + δHG 〉 = 1

��� .� #�� )� '%���"#'� '( ��% #&�"#'� � '�* � (�&� %�����.�� ")� (��&"#'�� 〈·, ·〉� ")���('��� δ+�,--�"�#& (�&��

��-�#� δ+�,--�"�#&� )� ��" '( ��%%'�"#�* .�&"'�� '( ")� ��% #&�"�� %' ,"'%� &�� �� ���&�#��� ��

Col(P ) ∪ Col(P |) ∪ {δ,−δ},

�' #( Fδ� G� ")�� F � δ

� G�� ' &'-% �"� ")� %�''( '( ")� ��&'�� �"�"�-��" '( ")� ")�'��-� #" ��-�#�� "'�'"#&� ")�" P ⊂ P � #� � ��$ ���#& (�&� ��#�* δ+�,--�"�#& "' P |�

-*�.*� /0$12��$34 -53)2-53$.� �/6623$0 1��� �7 0�� � ��8

Page 4: Δ-graphs of polytopes in Bruns and Gubeladze K-theory

�A &�$()*+,(*

��%%'�� P ⊂ Rn ��� ")��� �/#�" k %�#�$#�� �'�+δ+�,--�"�#& ���#& (�&�� F1, . . . , Fk� @�" ui �� � ��%%'�"#�*

.�&"'� ('� ")� (�&� Fi� 4'�- � k×k -�"�#/ A ��&) ")�" Aij = 〈Fi, uj〉� 7�, ��&) -�"�#/ ��"#�5�� ")� (' '$#�*%�'%��"#��<

�: � �#�*'�� � �-��"� '( ")#� -�"�#/ ��� �;�� "' −1 ��� ")� ��-�#�#�* � �-��"� ��� �;�� "' �#")�� 0�'� 1D

�: #( Aij = 1 ('� �'-� %�#� '( #��#&�� i, j� ")�� Aji = 0� ������� #( 〈Fi, uj〉 = 〈Fj , ui〉 = 1� ")�� 〈Fi, ui+uj〉 =〈Fj , ui + uj〉 = 0� �� ")#� &���� 〈F, ui + uj〉 = 〈F, ui〉 + 〈F, uj〉 ≥ 0 ('� ��, (�&� F ∈ P � )#� #� %'��#� � #(

ui + uj = 0 '� , ��&���� ('� ��, �'�!��' .�&"'� u ")��� �/#�"� � (�&� F ��&) ")�" 〈F, u〉 > 0� )��� Fiδ∼ Fj D

�: #( Aij = 1� ")�� ")� %�'��&" ujui ∈ Col(P ) #� ��"��-#����7� � -�""�� '( (�&"� ")� �""�� %�'%��", -���� ")�" #( Aij = 1� ")�� '�� &�� ��� ")� i") &' �-� "' ")� j")

&' �-�� ��� ")� ���� "#�* -�"�#/ #� ")� -�"�#/ '( %�'��&"� '( ")� ��%%'�"#�* .�&"'�� u1, . . . , uj−1, ujui, uj+1, . . . ,uk $#") ")� ���#& (�&�� F1, . . . , Fk ��� %'������� � ")� %�'%��"#�� #�"�� ��'.�� �� �"#�* ")� ��#"� ����� ")��#�*'�� #� ")#� -������ '�� &�� ����&� ")� -�"�#/ "' ")� �%%��+"�#��*� �� ('�- $#") −1 �" ")� -�#� �#�*+'�� � )� ���� "#�* -�"�#/ #� �'���*�����"�� ")���('��� #"� &' �-�� ��� #���� , #���%�����"� �� ")� '")��)���� #( k > n� ")�� ")��� �/#�"� � �'�"�#.#� #���� &'-�#��"#'� '( ")� .�&"'��� #���� λ1u1 + . . .+ λkuk = 0��� ")#� &��� ")� &' �-�� '( ")� -�"�#/ A ��� #���� , ��%�����" ��&���� λ1〈Fi, u1〉 + . . . + λk〈Fi, uk〉 = 0� )���('��� ")� ��-��� '( %�#�$#�� �'�+δ+�,--�"�#& (�&�� '( ")� %' ,"'%� &���'" �/&��� ")� �#-���#'� '( #"��-�#��" �%�&�� �

�, ColF $� ���'"� ")� ��" '( � ��%%'�"#�* .�&"'�� '( � ���#& (�&� F � ��� �" ColS ���'"� ")� ��" '( � ��%%'�"#�* .�&"'�� '( � (�-# , S� G� )�.�

Col(P ) =⊔i

ColSi =⊔i

⊔F∈Si

ColF .

�)''�� ")� �����" '( δ+.�&"'�� #� ��&) ��" ColF ��� ���'"� #" �, Δ(F )� �, U(F ) $� ���'"� ")� ��" '(�'�+δ+.�&"'�� #� ColF � )� ��-��� '( .�&"'�� #� Δ(F ) #� �;�� "' ")� ��-��� '( (�&�� δ+�,--�"�#& "' F��&���� ")��� �/#�" �' "$' �#�"#�&" δ+.�&"'�� u ��� v ��&) ")�" u, v ∈ ColF ��� −u,−v ∈ ColG 9#( ��&) u��� v �' �/#�"� ")�� 〈H,u− v〉 ≥ 0� ��� )��&� u = v:�

�'$ �" Fδ∼ G� 4'� ��, u ∈ ColF �#�"#�&" (�'- δGF $� )�.� δFGu ∈ ColG� 6'��'.��� ")� -� "#% #&�"#'�

�, δFG ��"��-#��� ")� #�'-'�%)#�-�

Δ(F ) \ {δGF } → Δ(G) \ {δFG} ��� U(F ) → U(G).

�� %��"#&� ��� ")� �""�� #-% #�� ")� (' '$#�* ���� "� �������� "�� � ������ S �� ������ � δ� �������� ���� ��� � � �� m ���� ��� ��� ��� �� ��� � ���� �

�� �� ��� l ����δ������ � ���� ���� ���� ���� S ������� m− 1 �� δ������ ��� l �� ����δ������ � ����� ���δ� �������� ���� ��� ��� ��� �� �� �������� ����� �� ��� �� �� �

�'��#��� ")� �"��&"��� '( %��"#� %�'��&" '� ColS� 4'� ��, %�#� '( (�&�� Fi, Fj (�'- S $� ����-� δji = δFj

Fi�

�'$ �" ('� �'-� i ")� � �-��"� '( ")� ��" U(Fi) �� ���-���"��� #���� u1i , . . . , u

li� �� ")#� &��� ")� #�'-'�%)#�-

U(Fi) → U(Fj) -��"#'��� ��'.� #���&�� �� ���-���"#'� '( ")� � �-��"� '( ")� ��" U(Fj)� 6'��'.��� #"#� ���, "' �'"#&� ")�" ('� ")� (�&�� Fj ��� Fk ")� #�'-'�%)#�- U(Fj) → U(Fk) %�����.�� ")#� #���&�����-���"#'�� )��� $� &'�& ��� ")�" ")� .�&"'�� (�'- ColS ��"#�(, �/�&" , ")� (' '$#�* �� �"#'��<

utj = δiju

ti, δji δ

kj = δki , δji = −δij,

$)���

i = 1, . . . , N, j = 1, . . . , N, k = 1, . . . , N, i �= j �= k �= i, t = 1, . . . , l.

�"��, ")� �� �"#'�� '� ���#& (�&�� ��� ��%%'�"#�* .�&"'��� 7�, δ+.�&"'� δGF #� %��� � "' ��, ���#& (�&�H �#�"#�&" (�'- F ��� G� �� ")� '")�� )���� #( ")� �;�� #", 〈Fi, u

tj〉 = 1 #� .� #� ('� �'-� i, j� ��� t� ")��

〈Fi, uti〉 = 〈Fi, δ

ji u

tj〉 = 0� $)#&) #� #-%'��#� � ��&���� ut

i ∈ ColFi � )��� $� *�" ")� (' '$#�* �� �"#'��<

〈Fi, δji 〉 = −1, 〈Fi, δ

ij〉 = 1, 〈Fk, δ

ji 〉 = 0, 〈Fi, u

ti〉 = −1, 〈Fi, u

tj〉 = 0,

$)���

i = 1, . . . , N, j = 1, . . . , N, k = 1, . . . , N, i �= j �= k �= i, t = 1, . . . , l.

����� 7�, %' ,"'%� $)'�� � ���#& (�&�� ��� %�#�$#�� δ+�,--�"�#& #� �"�� � E+�;�#.� ��" �#")�� "' ��#-% �/� '� "' Pd,t ('� �'-� t > 0 9)��� Pd,t #� '�� '( ")� (�-# #�� '( �� ��&�� %' ,*'�� ���&�#��� #� ���:�

-*�.*� /0$12��$34 -53)2-53$.� �/6623$0 1��� �7 0�� � ��8

Page 5: Δ-graphs of polytopes in Bruns and Gubeladze K-theory

Δ!��5&)� *9 &*643*&2� �AH

)���('��� $� )�.� &'-% �"� , ���&�#��� ")� �"��&"��� '( %��"#� %�'��&" '� ")� ��" '( ��%%'�"#�* .�&"'��('� '�� (�-# , '( %�#�$#�� δ+�,--�"�#& (�&��� �'$ $� �"��, ")� �� �"#'�� �%%���#�* ��"$��� ��%%'�"#�*.�&"'�� '( �'�+δ+�,--�"�#& (�&���

��� �� "�� Fδ� G� ���� ��� ��� �������� ����� u ∈ ColF ��� �������� �������� ��� ���������#

1) ����� �$� � � �������� ����� v ∈ ColG ��� ���� ��� ������� uv ∈ ColF � ����������%2) ��� ��� �������� ����� v ∈ ColG ��� ������� uv ∈ ColF � ����������%3) 〈G, u〉 = 1�

!����� )� #-% #&�"#'� 2 ⇒ 1 #� �.#���"�E�'.� ")� #-% #&�"#'� 3 ⇒ 2� @�" v ∈ ColG� ")�� �#")�� 〈F, v〉 = 1� '� 〈F, v〉 = 0� �� ")� 5��" &��� ('� ��,

(�&� H ")� #��;�� #", 〈H,u + v〉 ≥ 0 #� .� #�� )���('��� u = −v� $)#&) &'�"���#&"� ")� ����-%"#'� ")�" F��� G ��� �'" δ+�,--�"�#&� )��� 〈F, v〉 = 0 ��� ")�� #" #� ���, "' .��#(, ")�" ")� .�&"'� u+ v #� ��%%'�"#�*('� F �

�'$ %�'.� ")� #-% #&�"#'� 1 ⇒ 3� @�" ")� %�'��&" uv ∈ ColF �� ��"��-#��� ('� �'-� v ∈ ColG� G� )�.�

〈G, u〉 = 〈G, uv〉 − 〈G, v〉 = 〈G, uv〉+ 1 ≥ 1,

��" 〈G, u〉 &���'" �� -'�� ")�� '�� �#�&� ")� %' ,"'%� #� �� ��&��� ��, U(F/G) $� ���'"� ")� ��" '( � ")� .�&"'�� u ∈ ColF ��&) ")�" ")� �"�"�-��" '( @�--� � #� .� #�

('� ")�-� �( ")#� ��" #� �'��-%",� ")�� $� $�#"� G � F �

��� �� � u ∈ U(F/G)� ���� u ∈ U(F ) (����� u � ��� � δ������)�

!����� G� )�.� 〈G, u〉 = 1� ")���('��� 〈G,−u〉 = −1� ��� #( u #� � δ+.�&"'�� ")�� F ��� G ��� δ+�,--�"�#&��

����� �� 1. "�� S ��� T �� ������� �� ������ � δ� �������� �� �� ���� � F �� �� ������� �� ��������� S� G �� �� ������� �� T� ��� G � F � ���� ��� ��� ���� F ′ ∈ S ��� G′ ∈ T ��� �������� G′ � F ′ � ����� ���������� ��� �������� T � S � �������&����

2. � H � G ��� G � F � ���� H � F �3. '�� ��� �� �� ���� F ��� G �$����� ��� �� ��� �������� �������� � ����#

�( Fδ∼ G%

�( G � F %�( F � G%�( ��� ��� u ∈ ColF ��� v ∈ ColG ���� ��� ������� uv ��� vu �� ��� �$� ��

!����� �� ��� "' �"�- � (�'- @�--� �� ('� �'-� u ∈ ColF ��� v ∈ ColG ")� %�'��&" uv ∈ ColF #���"��-#���� @�--� � #-% #�� ")�" u �= δF

F � �� ")#� &���� δFF ′u ∈ ColF ′ ��� ")� %�'��&" δFF ′uv ∈ ColF ′ #���"��-#��� ��� )��&� G � F ′�

��� "' �"�- � '( @�--� �� $� &�� ����-� ")�" v = δG′

G � )� ��- '( ")� .�&"'�� uδG′

G ∈ ColF ���

δGG′ ∈ ColG′ #� �;�� "' u ��� )��&� ")�#� %�'��&" (uδG′

G )δGG′ ∈ CollF #� ��"��-#���� )��� G′ � F ��� ��� "' �"�- � '( @�--� �� ('� v ∈ ColG ��� w ∈ ColH ")� %�'��&" vw ∈ ColG #� ��"��-#���� 7��

��� "' �"�- � '( @�--� �� ('� �'-� u ∈ ColF ")� %�'��&" uv ∈ ColF #� ��"��-#���� )���('��� ")� %�'��&"'( ")� .�&"'�� uv ��� w #� � �' ��"��-#��� ��� #�� #� ColF �

�� �" ��C&�� "' �)'$ ")�" #( G � F ��� F � G� ")�� Fδ∼ G� @�" u ∈ U(F/G) ��� v ∈ U(G/F )�

)�� 〈F, u〉 = 〈G, v〉 = −1 ��� 〈G, u〉 = 〈F, v〉 = 1� )���('��� ('� ��, (�&� H '( ")� %' ,"'%� $� )�.�〈H,u + v〉 ≥ 0� )��� u = −v = δGF � �

7 Δ+*��%) '( � %' ,"'%� P #� �� '�#��"�� *��%) $)'�� .��"#&�� ��� ")� (�-# #�� '( %�#�$#�� δ+�,--�"�#&(�&�� '( P ��� ��&) �� �"#'� T � S &'����%'��� "' ")� ��*� �"��"#�* �" T ��� ���#�* �" S� ��� "' )�'��- ��")#� *��%) �'�� �'" &'�"�#� -� "#% � ��*��� ''%�� ��� '�#��"�� &,& ���

������� �� ����� �� ����� E���������� �������� ��� � ���������

������� �� � ��� �������� ����� �� � �������� P ��� δ������ � ���� P � ����� E���������� �� ��� N ������ ����� ���� (����� N ������ ��� ������ �� ������� �� δ� �������� ���� ) ��� Km(R,P ) = Km(R)N

��� ��� m ≥ 2�

7�I��G@?��6?� � )� $'�3 $�� %��" , ��%%'�"�� �, ")� %�'*��- 1@���#�* �&#��"#5& �&)'' � '( ")� ����#�� 4�����"#'��2

9%�'0�&" ��)J����������:�

�?4?�?��?��� �� ����� ��� �� ���������� :&��#"����� K2�; -������� -�"� �� 8�< = �� >�

� �� ����� ��� �� ���������� :)� "�� &��#"����� K! ������; �� &��� ��� 5���� 5� ���� � � �<? = ��8>�

8� 6� 0� 1�����"���� :9��������� �� 5� ������ K!"���#�; /���@"� -��� 0��@ � =A>� 7< =�B<�> C������� -�"������#� � =A>� 7B =�B<�>D�

���� ����� �� )� ���

-*�.*� /0$12��$34 -53)2-53$.� �/6623$0 1��� �7 0�� � ��8