- Guía Práctica Cursos J. G Fronti y Pablo Herrera

Las respuestas son solamente orientativas, al ser esta gua una primera versin la misma puede tener errores.

CONTENIDO

Gua prctica de ejercicios N 1: Formas cuadrticas y topologa ...................................................................................... 1

Respuestas .................................................................................................................................................................... 4

Bibliografa................................................................................................................................................................. 7

Gua prctica de ejercicios N 2: Esttica comparativa y equilibrio .................................................................................... 8

Respuestas .................................................................................................................................................................. 12

Bibliografa............................................................................................................................................................... 14

Gua prctica de ejercicios N 3: Optimizacin esttica .................................................................................................... 15

Respuestas .................................................................................................................................................................. 18

Bibliografa............................................................................................................................................................... 21

Gua prctica de ejercicios n4: Programacin no lineal ................................................................................................... 22

Respuestas .................................................................................................................................................................. 27

Bibliografa............................................................................................................................................................... 33

Gua prctica de ejercicios N5: Procesos Markovianos ................................................................................................... 34

Respuestas .................................................................................................................................................................. 42

Bibliografa............................................................................................................................................................... 46

Gua prctica de ejercicios N6: Sistemas dinmicos discretos........................................................................................ 47

Respuestas .................................................................................................................................................................. 55

Bibliografa............................................................................................................................................................... 66

Gua prctica de ejercicios N7: Sistemas dinmicos continuos ...................................................................................... 67

Respuestas .................................................................................................................................................................. 73

Bibliografa............................................................................................................................................................... 75

Gua prctica de ejercicios N8: Diferencias finitas .......................................................................................................... 76

Respuestas .................................................................................................................................................................. 79

Bibliografa............................................................................................................................................................... 82

Gua prctica de ejercicios N9: Optimizacin dinmica continua .................................................................................... 83

Respuestas .................................................................................................................................................................. 87

Bibliografa............................................................................................................................................................... 90

Gua prctica de ejercicios N10: Optimizacin dinmica discreta ................................................................................... 91

Respuestas .................................................................................................................................................................. 93

Bibliografa............................................................................................................................................................... 94

1

GUA PR CTICA DE EJER CICIOS N 1: FORMA S C UADRTICAS Y T OPOL OGA

1) Expresar la matriz asociada de las siguientes formas cuadrticas:

a. b. c. d.

2) Expresar cada una de las formas cuadrticas mediante su matriz asociada y determinar el signo de las mismas:

a. b. c. con d. con

3) Dadas las siguientes matrices, desarrollar las formas bilineales y determinar el signo de las formas cuadrticas:

a.

b.

c.

con

d.

con

4) Expresar cada una de las formas cuadrticas mediante su matriz asociada y determinar el signo de las mismas:

a.

b.

c. con d. con

5) Encontrar los autovalores de las matrices asociadas a las siguientes formas cuadrticas y determine el signo de estas ltimas:

a. b. c. d.

6) Encontrar los autovalores de los hessianos de las siguientes funciones y determine el signo de estos ltimos:

a.

b.

c.

7) Calcular el valor del parmetro a para que la forma cuadrtica

sea:

a. Definida negativa

b. Semidefinida negativa

sea:

c. Definida positiva

d. Semidefinida positiva

2

8) Analizar el signo de las siguientes formas cuadrticas condicionadas

a. s. a: b. s. a:

9) Determinar el valor del parmetro a para que las siguientes formas cuadrticas condicionadas sean definidas negativas:

a. s. a: b. s. a:

Definidas positivas:

c. s. a:

d. s. a:

10) Encontrar los autovalores de las matrices asociadas a las siguientes formas cuadrticas y determine el signo de estas ltimas:

a. con b. con

c. con

d. con

11) Para las siguientes matrices:

a. Encontrar sus autovalores y sus autovectores.

b. Diagonalice.

c. Encontrar sus autovalores y sus autovectores.

d. Diagonalice.

12) Para la siguiente matriz:

a. Encontrar sus autovalores y sus autovectores.

b. Diagonalizar.

Para la siguiente matriz:

c. Encontrar sus autovalores y sus autovectores.

d. Diagonalizar.

13) Indicar si las siguientes funciones son cncavas o convexas:

a.

con x, y >0

b. con x, y >0 c. en d. en 14) Analizar si las siguientes funciones son cncavas o convexas:

a. con x, y > 0

b. en Determinar para qu valores de los parmetros dados las siguientes funciones son cncavas o convexas:

3

c. en

d.

con

15) Indicar si las siguientes funciones son cuasicncavas o cuasiconvexas:

a. b. con c. con d. 16) Determinar si las siguientes funciones son cuasicncavas o cuasiconvexas: a. con b. con c. d. Indicar para qu valores de los parmetros a, b y c la funcin es cuasicncava o cuasiconvexa.

17) con y

a. Para qu valores de los parmetros la funcin es cncava? b. Para qu valores de los parmetros la funcin es cuasicncava? c. Para qu valores de los parmetros la funcin es convexa? d. Para qu valores de los parmetros la funcin es cuasiconvexa?

18) Dada con y a. Para qu valores de los parmetros la funcin es cncava? b. Para qu valores de los parmetros la funcin es cuasicncava? c. Para qu valores de los parmetros la funcin es convexa? d. Para qu valores de los parmetros la funcin es cuasiconvexa?

19) Dada con

a. Para qu valores de los parmetros la funcin es cncava? b. Para qu valores de los parmetros la funcin es convexa?

Dada con

c. Para qu valores de los parmetros la funcin es cncava?

d. Para qu valores de los parmetros la funcin es convexa?

20) Dada la siguiente matriz:

a. Estudiar el signo de la forma cuadrtica asociada a la matriz A, segn el parmetro a, indicando para qu valores de a es definida positiva (reescribir la matriz asociada para que sea simtrica)

b. Para cules valores de a, la forma cuadrtica asociada es definida negativa? c. Si se encuentra sujeta a 2 x + y + z =0, para qu valores de a, la forma cuadrtica asociada es definida negativa? d. Si a= 1 y la matriz A est sujeta a: -x + y + 2 z = 0 clasificar la forma cuadrtica condicionada.

4

RESPUESTA S

1)

a.

b.

c.

d.

2)

a.

Es definida positiva.

b.

Es definida negativa.

c.

Es definida positiva.

d.

Es definida negativa.

3)

a. Es definida positiva.

b. Es definida negativa.

c. Es definida negativa.

d. Es definida positiva.

4)

a.

Es semidefinida positiva.

b.

Es semidefinida negativa.

c.

Es semidefinida positiva.

d.

Es semidefinida negativa.

5)

a. Es definida positiva.

b. Es definida positiva.

c. Es definida negativa.

d. Es definida negativa.

6)

a. Es indefinida.

b. Es indefinida.

c.

Es indefinida.

5

7)

a. b.

c.

d.

8)

a. Indefinida.

b. Definida positiva.

9)

a.

b.

c.

d.

10)

a. Definida negativa.

b. Semidefinida positiva.

c. Definida positiva.

d. Definida negativa.

11)

a. ;

b.

c. ;

d.

12)

a. ;

b.

c. ;

d.

13)

a. Es cncava.

b. Es cncava.

c. Es convexa.

d. Es convexa.

6

14)

a. Es cncava.

b. Es convexa.

c. Es cncava para: . Es convexa para: .

d. Es cncava para: . Es convexa para: .

15)

a. Es cuasicncava.

b. Es cuasiconvexa.

c. Es cuasicncava.

d. Es cuasiconvexa.

16)

a. Es cuasicncava.

b. Es cuasiconvexa.

c. Es cuasicncava.

d. Es cuasicncava para: . Es cuasiconvexa para: .

17)

a. Es Cncava para: .

b. Es cuasicncava para: .

c. Para ningn valor vlido es convexa.

d. Para ningn valor vlido es cuasiconvexa.

18)

a. Es cncava para: .

b. Es cuasiconcava para: .

c. Es convexa para: .

d. Es cuasiconvexa para: .

19)

a. Es cncava para: .

b. Es convexa para: .

c. Es cncava para: .

d. Es convexa para: .

20)

a.

b. Para ningn valor de .

c. Para ningn valor de .

d. Indefinida.

7

B IBL IOGR AFA

- Bernardello, A., Bianco, M., Casparri M., Garca Fronti, J. y Olivera de Marzana, S. (2010).Matemtica para economistas con Excel y

Matlab. Omicron System.

- Blume, L. y Simon, C. P. (1994). Mathematics for economists. W Norton & Company.

- Chiang, A. C. y Wainwright, K. (2005). Fundamental methods of mathematical economics. McGraw-Hill, New York.

- Mas-Colell, A., Whinston, M. D. y Green, J. R. (1995). Microeconomic theory (Vol. 1). New York: Oxford university press. Mathematical

Appendix.

8

GUA PR CTICA DE EJER CICIOS N 2: ESTTICA COMPAR ATIVA Y EQUIL IB RIO

1) Determine la diferencial total para cada una de las siguientes funciones

a.

b.

c.

d.

2) Considere un modelo de mercado simple de un artculo dado por

[demanda]

[oferta]

a. Hallar

b. Hallar los valores de equilibrio de las variables endgenas.

c. Determine cmo afectar a los valores y un cambio infinitesimal en los parmetros Las conclusiones a las que arriba,

son de tipo cuantitativo o cualitativo?, por qu? En qu difieren y ?

d. Grafique el equilibrio inicial ) y los cambios en dicho equilibrio frente a un incremento en . (Arme cada grfico por

separado

3) Dado un modelo de ingreso nacional con las siguientes condiciones de equilibrio

Con endgenas.

a. Determine el producto de equilibrio.

b. Hallar las derivadas estticas comparativas , y

.

c. Explique en qu consiste el anlisis esttico comparativo.

d. Interprete el significado de cada derivada.

4) Tomando en cuenta el siguiente mercado de un artculo, donde la cantidad demandada es una funcin del precio y de un ingreso

determinado exgenamente y la cantidad suministrada es una funcin del precio, expresado

a. Expresar el precio de equilibrio del mercado en una ecuacin, verificar si se cumplen las condiciones del teorema de la funcin implcita y

calcular por la regla de la funcin implcita .

b. Lo mismo para las cantidades de equilibrio, calcular .

c. Hallar y por el mtodo de ecuaciones simultneas.

d. Utilice las derivadas totales para hallar las derivadas estticas comparativas.

5) Sean las funciones de oferta y demanda para un artculo

donde es el ingreso y es el impuesto sobre un artculo. Todas las derivadas son continuas.

a. Escribir la condicin de equilibrio en una sola ecuacin y compruebe si es aplicable el teorema de la funcin implcita. Si la respuesta es

afirmativa, escribir la identidad de equilibrio.

b. Determine y , y explique sus implicaciones econmicas.

c. Por medio de la regla de la funcin implcita encontrar a partir de la funcin de oferta y de la funcin de

demanda. (Por qu no usar la funcin de la demanda para la primera y la funcin de oferta para la ltima?)

d. Resolver el problema mediante el mtodo de ecuaciones simultneas.

9

6) Dado el modelo:

Con , , , , , , , constante.

Siendo:

=ingreso.

=consumo.

=inversin.

=tasa de inters.

=demanda de capitales.

=oferta de capitales.

a. Hallar la expresin que define la curva IS.

b. Hallar la expresin que define la curva LM.

c. Determine los valores de de equilibrio.

d. Calcular .

7) Dada la formulacin del modelo IS-LM:

(condicin de equilibrio en el mercado de bienes)

(condicin de equilibrio en el mercado de dinero)

Siendo:

=ingreso real.

=gasto real en consumo.

=recaudacin impositiva en trminos reales.

=demanda real de inversin.

=tasa de inters.

=compras reales del gobierno.

=oferta monetaria nominal.

=nivel de precios.

=factores que afectan a la recaudacin impositiva.

Se pide:

a. Hallar la pendiente de la curva IS. Analizar el caso de la Trampa de la Inversin (

b. Hallar la pendiente de la curva LM. Analizar el caso de la Trampa de la Liquidez

c. Partiendo de una situacin de equilibrio inicial verificar si se cumplen las condiciones del teorema de la funcin implcita.

d. Analizar matemticamente el efecto cualitativo sobre las variables endgenas de:

i. Una disminucin del gasto pblico. Analizar el caso comn y el caso de Trampa de Liquidez. Compare cuando es ms efectiva una

poltica fiscal expansiva.

ii. Una variacin de los factores exgenos que afectan a la recaudacin impositiva.

iii. Un aumento de la oferta monetaria nominal.

iv. Una disminucin del nivel de precios.

v. Una disminucin de la oferta monetaria real.

9) Partiendo de un equilibrio inicial en el marco del modelo de Patinkin

(mercado de bienes)

(mercado de bonos)

(mercado de dinero)

(mercado de trabajo)

10

Considere el caso en el que el mercado de trabajo est en equilibrio tal que la economa est en pleno empleo con (note

que de esta forma se puede prescindir de la ltima ecuacin)

a. Desarrollar matemticamente los efectos que causara sobre las variables endgenas y , un aumento en la cantidad nominal de

dinero.

b. Calcular las pendientes de las curvas de equilibrio del mercado de bienes, dinero y bonos.

c. Graficar mostrando el equilibrio previo a la perturbacin y el(los) punto(s) de equilibrio final.

Recordar que:

suponemos ajuste instantneo en el mercado de trabajo.

se cumple la ley de Walras.

las empresas financian sus planes de inversin recurriendo a la emisin de bonos.

d. Aunque se pide que se concentre en la matemtica del ejercicio, fundamentar brevemente su respuesta.

10) Considerar el siguiente modelo planteado en su forma estructural. Las siete primeras ecuaciones corresponden al mercado de bienes y

las restantes tres se refieren al mercado monetario.

es el consumo privado, es la inversin privada, G es el gasto del gobierno. es el ingreso disponible, la tasa de inters, es el

ingreso, son los impuestos, es el gasto total o demanda agregada, es un parmetro que representa las variaciones autnomas de la

recaudacin tributaria. es la demanda real de dinero, es la oferta real de dinero, es la cantidad de dinero nominal, es el nivel

general de precios. y son parmetros de perturbacin del consumo, la inversin y la demanda real de dinero, respectivamente.

Se pide:

a. Operar por sustitucin de manera de reexpresar la forma estructural del modelo en un sistema de dos ecuaciones implcitas que

representen, respectivamente, las condiciones de equilibrio del mercado de bienes y en el de dinero.

b. Aunque no la pueda hallar algebraicamente expresar cules seran, de existir, las ecuaciones de la forma reducida del modelo.

c. Diferenciar totalmente el sistema de la forma estructural hallado en el punto a) considerando todas las posibles fuentes de variacin

presentes en esta versin del modelo IS-LM.

d. En particular, calcular los efectos que sobre las variables endgenas del modelo tendra, respectivamente un incremento autnomo en las

preferencias por la liquidez real por parte de los agentes econmicos y los efectos de un cambio exgeno, para valores dados de e ,

de los animals spirits de los empresarios (esto es, del deseo de invertir de los empresarios). Deducir analticamente las pendientes de

equilibrio de ambos mercados y grafique los efectos provocados por los ejercicios de esttica comparada planteados.

Aclaracin:

Tener en cuenta que, en la especificacin de la demanda de inversin, hemos incluido el denominado efecto acelerador de la inversin.

Para comprender dicho efecto (y el signo de la derivada parcial asociada al mismo) recordar que, desde un punto de vista analtico, la

demanda de inversin puede ser representada por la siguiente funcin , donde es el producto marginal del

capital, es la tasa de inters e . Esto es, ser rentable para las firmas invertir siempre que el producto marginal del capital que

refleja el incremento del output hecho posible por un incremento unitario del stock de capital para un monto dado de trabajo exceda a la

tasa de inters. Esta ltima mide el costo de endeudarse (o el costo de oportunidad de no prestar) por lo que cuando el ser

rentable para las firmas endeudarse e invertir. Tener en cuenta adems que la funcin de produccin es y que tiene las

siguientes propiedades usuales , , , y (donde es la primera derivada de la funcin de

11

produccin respecto del factor trabajo, es la segunda derivada respecto a este mismo factor, etc). Prestar especial atencin al signo

de la derivada parcial cruzada y pensar qu implicancias tiene ello respecto de la relacin existente entre e .

Asimismo, no olvidar que la propensin marginal del gasto total respecto del ingreso es positiva pero menor que la unidad.

11) Dado el modelo IS-LM

Con , , , , , .

Se le pide que, habiendo verificado se cumplen las condiciones del teorema de la funcin implcita, calcular:

a. La pendiente de la IS.

b. La pendiente de la LM.

c. El efecto cualitativo de una poltica fiscal expansiva en el ingreso y tasa de inters de equilibrio.

d. El efecto cualitativo de una poltica monetaria expansiva en el ingreso y tasa de inters de equilibrio.

12) Dado el equilibrio en una economa abierta

Con

,

, ,

, ,

a. Plantear las condiciones que deben cumplirse para expresar las soluciones de equilibrio en forma implcita

b. Expresar las funciones implcitas

c. Calule , ,

d. Calcular ,

,

12

RESPUESTA S

1)

a.

b.

c.

d.

2)

a.

b.

c.

d.

Conclusiones de tipo cualitativo.

3)

a.

b.

;

4)

5)

a.

b.

c.

d.

6)

a. IS:

b. LM:

c.

d.

7)

a.

. Con ( ,

, pendiente casi vertical.

13

b.

. Con ,

, pendiente casi horizontal.

d.

i.

. El multiplicador del gasto con trampa de liquidez es mayor.

ii.

;

iii.

;

iv.

;

v.

;

8)

a.

;

b.

;

;

d. Se verifica neutralidad del dinero.

9)

a. IS:

LM:

b.

d.

e.

10)

a.

b.

c.

;

d.

;

11)

a. ;

;

b.

;

;

c.

;

;

14

B IBL IOGR AFA



- Chiang, A. C., y Wainwright, K. (2005). Fundamental methods of mathematical economics. McGraw-Hill, New York.

15

GUA PR CTICA DE EJER CICIOS N 3: OPTIMIZA C IN ESTT ICA

1) Con la siguiente funcin: sabiendo que x puede tomar valores entre 0 y 1.

a. Encontrar el valor de x que maximice la funcin.

b. Encontrar el valor de x que minimice la funcin.

Con la siguiente funcin: sabiendo que x e y pueden tomar valores entre 0 y 1.

c. Encontrar los valores de x e y que maximicen la funcin.

d. Encontrar los valores de x e y que minimicen la funcin.

2) Con la siguiente funcin: sabiendo que x puede tomar valores entre 0 y 1 y que .

a. Encontrar el valor de x que maximice la funcin.

b. Encontrar el valor de x que minimice la funcin.

Con la siguiente funcin: sabiendo que x e y pueden tomar valores entre 0 y 1 y que .

c. Encontrar los valores de F(x; y), x e y que maximicen la funcin.

d. Encontrar los valores de F(x; y), x e y que minimicen la funcin.

3) Dada la siguiente funcin: para valores no negativos de las variables x e y.

a. Establecer las condiciones necesarias para maximizar F(x; y).

b. Encontrar los valores ptimos de F(x; y), x e y.

c. Verificar las condiciones de suficiencia.

d. Es posible maximizar esta funcin sujeta a 2 o ms restricciones de igualdad?

4) Dada la siguiente funcin:

a. Establecer las condiciones necesarias para minimizar F(x; y).

b. Encontrar los valores ptimos de F(x; y), x e y.


d. Es posible minimizar esta funcin sujeta a 2 restricciones de igualdad?


a. Establecer las condiciones necesarias para optimizar F(x; y).

b. Encontrar los candidatos a ptimo.

c. Si x solo toma valores positivos e y solo valores negativos establecer si existe un mnimo o un mximo.

d. Si x solo toma valores negativos e y solo valores positivos establecer si existe un mnimo o un mximo.

6) Dada la siguiente funcin: para valores negativos de las variables x e y. Con

a. Establecer las condiciones necesarias para maximizar F(x; y).

b. Encontrar los valores ptimos de x e y.


d. Cul de las 2 variables vara ms al variar a?

7) Dada la siguiente funcin: . Con

a. Establecer las condiciones necesarias para minimizar F(x; y).



d. Cmo vara x al variar ?


a. Establecer las condiciones necesarias para optimizar F(x; y).

b. Es posible minimizar la funcin? Por qu?

c. Es posible maximizar la funcin? Por qu?

16

d. Con la siguiente restriccin:

Encontrar los valores ptimos de x e y.

9) Dada la siguiente funcin: y la siguiente restriccin: tomando siempre x e y valores no

negativos y siendo .

a. Establecer las condiciones necesarias para maximizar F(x; y) sujeto a la restriccin.

b. Encontrar los valores ptimos del multiplicador de Lagrange, x e y.

c. Demostrar que el ptimo encontrado es un mximo.

d. Cmo vara el valor ptimo del multiplicador de Lagrange al variar d?

10) Dada la siguiente funcin: y la siguiente restriccin: con x e y no negativas.

a. Establecer las condiciones necesarias para minimizar F(x; y) sujeto a la restriccin.


c. Demostrar que el ptimo encontrado se trata de un mnimo.

d. Determinar cmo vara el valor ptimo de la funcin objetivo al variar c.

11) Dada la siguiente funcin: y la siguiente restriccin: a ; los parmetros son todos positivos.

a. Establezca las igualdades que conforman las condiciones necesarias.


c. A qu debe ser mayor el binomio (a+b) para que el ptimo sea un mximo?

d. Cmo vara el multiplicador de Lagrange al variar el parmetro c?

12) Dadas la siguiente funcin: y la siguiente restriccin:

a. Establecer las condiciones necesarias para optimizar F(x; y) sujeto a la restriccin.


c. Asumiendo que b es positivo: Es el valor ptimo un mximo o un mnimo?

d. Cmo vara x al variar b?

13) Dada la siguiente funcin: y la siguiente restriccin: , con , con

a. Establecer las condiciones necesarias para optimizar F(x; y) sujeto a la restriccin.


c. Verificar que se trate de un mximo.

d. Determinar el signo de la sensibilidad del multiplicador al variar c.

14) Min

a. Escribir la condicin necesaria que deben cumplir los candidatos al ptimo. b. Escribir la condicin de suficiencia para obtener un mnimo.

c. Si

y con encontrar el candidato al ptimo.

d. Verificar si el punto obtenido en c es mnimo.

15) Min

a. Escribir la condicin necesaria que deben cumplir los candidatos al ptimo.

b. Establezca a qu debe ser mayor para.

c. Cul es el valor del multiplicador de Lagrange?

d. Qu representa el valor del multiplicador de Lagrange? Qu informacin nos da del ptimo alcanzado?

16) Con la siguiente funcin: para valores no negativos de x, con .

17

a. Escribir la condicin necesaria que deben cumplir los candidatos al ptimo. b. Encontrar el ptimo. c. Verificar que se trate de un mximo. d. Analizar como vara x* al variar b.

17) Con la siguiente funcin: con .

a. Encontrar el ptimo. b. Verificar que se trate de un mximo.

c. Encontrar el valor ptimo de P, sabiendo que . d. Analizar como vara P* al variar .

18) Con la siguiente funcin:

sujeta a: siendo todos los parmetros positivos y sabiendo que .

a. Encontrar los candidatos a ptimo. b. Verificar las condiciones de suficiencia. c. Calcular la derivada de la utilidad ptima con respecto a w.

d. Calcular la derivada de la utilidad ptima con respecto a .

19) Con la siguiente funcin: sujeta a: y sabiendo que ; ; ; ;

; ; ;

a. Encontrar las condiciones necesarias que deben cumplir los candidatos a ptimo. b. Demostrar el signo del multiplicador de Lagrange. c. Establezca qu desigualdades deben cumplirse para que el candidato a ptimo se trate de un mximo.

18

RESPUESTA S

1)

a. x=1

b. x=0

c. (x;y)=(0;1)

d. (x;y)=(1;0)

2)

a. x=1

b. x=0

c. (x; y)= (1; 0)

d. (x; y)= (0; 1)

3)

a.

b.

c.

;

;

d. No, porque la cantidad de restricciones debe ser estrictamente menor que la cantidad de variables.

4)

a.

b.

c.

; ;

d. No, porque la cantidad de restricciones debe ser estrictamente menor que la cantidad de variables.

5)

a.

b.

c. (x; y)= (1; 0)

d. (x; y)= (0; 1)

6)

a. +b = 0 =0

b.

c. No se cumplen:

d. La Y

7)

a. = 0

b.

c. No verifican. Es un punto de ensilladura.

d. Si a aumenta X se hace ms chico. Y viceversa.

19

8)

a.

b. No, no es posible.

c. No, no es posible.

d.

9)

a.

b.

c. para

d.

10)

a.

b.

c.

d.

11)

a.

b.

c.

d.

y la siguiente restriccin:

12)

a.

b.

c. . Es un mximo.

d.

13)

a.

b.

c. .

d. .

14)

a.

b.

c. .

d. Representa el riesgo marginal de aumentar la proporcin de un activo.

15)

a.

20

b.

c.

d. .

16)

a. .

b.

.

c.

.

d.

17)

a.

.

b.

.

c.

d.

18)

a.

b.

c.

d.

19)

a.

b.

>0

c.

21

B IBL IOGR AFA

- Baxley, J. V. y Moorhouse, J. C. (1984). Lagrange multiplier problems in economics. American Mathematical Monthly, 404-412.



- Blume, L. y Simon, C. P. (1994). Mathematics for economists. W Norton & Company.

22

GUA PR CTICA DE EJER CICIOS N4: PR OGRAMA CIN N O L IN EAL

1) Minimizar:

s.a.

a. Identificar cada una de las partes que componen el problema (i.e. cul es la funcin objetivo?, cules son las variables de eleccin?,

cules son las restricciones del problema?)

b. Plantear las condiciones de Kuhn-Tucker.

c. Obtener todos los candidatos a ptimo.

d. Qu teoremas conoce para garantizar la suficiencia de las condiciones Kuhn-Tucker?. Enuncie cada uno de ellos. Aplique alguno de

ellos para verificar suficiencia en el ejercicio planteado.

2) Maximizar:

s.a.

a. Comente (en trminos meramente tericos) qu condicin debe cumplirse para que las condiciones Kuhn-Tucker adopten el status de

condiciones necesarias para un ptimo. Qu pasa si esa condicin no se cumple?

b. Enunciar el algoritmo de resolucin que emplear para resolver un problema de programacin no-lineal.

c. Plantear las condiciones de Kuhn-Tucker.

d. Obtener todos los candidatos a ptimo.

3) Maximizar:

s.a.

a. Estudie la topologa de la funcin objetivo y de las restricciones. Clasifique.


c. Analizar el caso en donde las restricciones estn activas.

d. Compruebe suficiencia.

4) Maximizar:

a. Plantear las condiciones de Kuhn-Tucker.

b. Deducir los casos analticos (plantear los posibles casos a analizar).


d. Verificar condiciones suficientes.

5) Maximizar:

23


b. Verificar condiciones de suficiencia.

c. Deducir los casos analticos (plantear los posibles casos a analizar).


6)

a. Plantear un problema genrico de programacin no-lineal con n variables de eleccin y m restricciones. Plantear las condiciones

Kuhn-Tucker en forma reducida

b. Mostrar que, en las condiciones Kuhn-Tucker, en lugar de escribir..

como un conjunto de m condiciones separadas, es suficiente escribir una sola ecuacin en

forma de

c. Dado el siguiente problema

s.a.

Analizar el caso en que las dos restricciones estn activas.

d. Analizar el caso en que la primera restriccin este activa y la segunda inactiva.

7) Minimizar:

s.a.

a. Escribir la funcin lagrangeana.


c. Deducir los casos analticos(plantear los posibles casos a analizar).


8) Minimizar:

s.a.

a. Qu nombre recibe el conjunto de todos los vectores que cumplen con todas las restricciones del problema?

b. Identificar cada una de las partes que componen el problema (i.e. cul es la funcin objetivo?, cules son las variables de eleccin?,

cules son las restricciones del problema?)


d. Verificar suficiencia.

9) Maximizar:

24


b. Deducir los casos analticos (plantear los posibles casos a analizar).


d. Verificar suficiencia.

10) Maximizar:

s.a

a. Escribir la funcin lagrangeana

b. Plantear las condiciones Kuhn-Tucker

c. Suponiendo que ; B=100; ; , encontrar todos los candidatos a ptimo

d. Verificar suficiencia

11) Maximizar:

s.a



c. Suponiendo que ; B=100; ; , encontrar todos los candidatos a ptimo


12) Maximizar:

s.a

Siendo las variables de eleccin

a. Escribir la funcin lagrangeana. Plantear las condiciones Kuhn-Tucker

b. Expresar todos los casos posibles a analizar que surgen de las condiciones planteadas en el punto anterior

c. Analizar cada uno de los casos y encontrar todos los candidatos a ptimos.


13) Maximizar:

25

a. Plantear las condiciones de Kuhn-Tucker

b. Demostrar que la restriccin se cumple con igualdad.(Demostrar que >0)

c. Sea la funcin de utilidad del consumidor, el set de precios de los bienes , el ingreso del consumidor:

Interprete el significado de

d. Dado el enunciado del punto anterior, interprete la condicin de holgura complementaria que indica que

14) Maximizar:

s.a

a. Plantear el largrangeano

b. Obtenga las condiciones Kuhn-Tucker.

c. Enuncie los casos a analizar.

d. Suponga que y analizar los siguientes casos:

Activa, ,

Inactiva,

15) Maximizar:

s.a

donde

a. Plantear el lagrangeano.

b. Plantear las condiciones K-T, suponga que tanto como son estrictamente positivos y demostrar que en ningn vector candidato a

ptimo podra darse que

c. Manteniendo el supuesto del punto anterior, analizar el caso donde la restriccin est inactiva. A qu deber ser igual

? Y

?

d. Manteniendo el supuesto del punto anterior, analizar el caso donde la restriccin est activa. A qu deber ser igual

? Y

?

16) Maximizar:

s.a

a. Se satisface la calificacin de restricciones? En vista de lo anterior, son necesarias las condiciones Kuhn-Tucker?y suficientes?


c. Suponga que

y que

A qu es igual

con i=1,2 ?

d. Hallar para el caso del punto anterior.

26

17) Maximizar:

s.a

Supuestos:



c. Expresar todos los casos posibles a analizar que surgen de las condiciones planteadas en el punto anterior

d. Analizar cada uno de los casos y encontrar todos los candidatos a ptimos. A modo de ayuda, en algunos casos los candidatos a ptimo

estn sujetos al cumplimiento de ciertas condiciones cul es la forma matemtica que adoptan dichas condiciones?

27

RESPUESTA S

1)

a. Funcin objetivo:

Variables de eleccin:

Restricciones: ;

b.

c. Candidatos a ptimo:

d. Teorema de suficiencia de Kuhn-Tucker y Arrow-Enthoven. Por teorema de Kuhn-Tucker no se verifica suficiencia.

2)

a. Para que las condiciones de Kuhn-Tucker adopten el status de condiciones necesarias, se tiene que cumplir la calificacin de todas las

restricciones del problema. De no cumplirse esta condicin para algn punto de la regin de factibilidad, este deber ser tenido en cuenta

como candidato a ptimo (aunque no cumple condicin de K-T).

b. -Transformar el problema en un problema de maximizacin

-Plantear el Lagrangeano

-Verificar cualificacin de las restricciones

-Plantear las condiciones de K-T

-Obtener los candidatos a ptimo

-Verificar suficiencia

-Evaluar los candidatos en la funcin, para obtener el mejor.

c.

d. Candidatos a ptimo:

3)

a. Las restricciones cualificacin por ser ambas lineales. La funcin objetivo es indefinida.

b.

c. No se encuentran candidatos a ptimo.

d. No se puede verificar suficiencia.

4)

28

a.

b. Activa-Activa; Activa-Inactiva; Inactiva-Activa; Inactiva-Inactiva


d. No se puede verificar suficiencia.

5)

a.

Las condiciones de no negatividad estn implcitas en la resolucion. Se tienen en cuenta a la hora de evaluar el candidato a ptimo.

b. No se verifica suficiencia. El Lagrangeano es una funcin convexa.

c. Activa-Activa; Activa-Inactiva; Inactiva-Activa; Inactiva-Inactiva


6)

a.

b. Se demuestra.


d. No hay candidato a ptimo.

7)

a. L=-

b.

c. Activa-Activa; Activa-Inactiva; Inactiva-Activa; Inactiva-Inactiva


8)

a. Regin de Factibilidad.

b. Similar al punto 1-a


d. Se cumple con suficiencia por medio del criterio de Arrow-Enthoven.

9)

a.

29

b. Activa-Activa; Activa-Inactiva; Inactiva-Activa; Inactiva-Inactiva

c. No hay candidato a ptimo.

d.

10)

a.

b.

c. Candidato a ptimo:

Candidato a ptimo:

d. Se verifica suficiencia.

11)

a.

b.

c. Candidato a ptimo:

Candidato a ptimo:

d. Se verifica suficiencia.

12)

a. Lagrangeano

Condiciones K-T

b. Activa, ,

Inactiva, ,

Activa, ,

Inactiva, ,

Activa, ,

Inactiva, ,

Activa, ,

Inactiva, ,

c. Candidatos a ptimo

30

(

d. Se verifica

13)

a. Condiciones K-T

b. Se demuestra

c. es la utilidad marginal del ingreso

d. La condicin de holgura complementaria en indica que, si el consumidor maximiza su utilidad sin gastar todo su ingreso, entonces un

aumento marginal de ste no deber reportarle mayor bienestar ( ). En otros trminos, si un aumento de su ingreso le reporta un

mayor bienestar es porque su consumo ptimo requera la utilizacin plena de sus recursos.

14)

a. Lagrangeano

b. Condiciones K-T

c. Casos a analizar:

Activa, y > 0 , x > 0

Inactiva, y > 0 , x > 0

Activa, y = 0, x > 0

Inactiva, y = 0, x > 0

Activa, y > 0 , x = 0

Inactiva, y > 0 , x = 0

Activa, y = 0 , x = 0

Inactiva, y = 0 , x = 0

d. No hay candidatos a ptimos

15)

a. Lagrangeano

b. Se demuestra

c.

d.

31

16)

a. Se satisface la calificacin de restricciones, por lo tanto, las condiciones K-T son necesarias. Sin embargo, no son suficientes (resta

evaluar condiciones suficientes)

b. Condiciones K-T

c.

d.

17)

a. Lagrangeano

b. Condiciones K-T

c. Activa,

Inactiva,

Activa,

Inactiva,

Activa,

Inactiva,

Activa,

Inactiva

d. Candidatos a ptimo

En el tercer candidato a ptimo, la variable queda definida de manera implcita de la siguiente manera:

Y, a su vez, las otras variables quedan determinadas de la siguiente manera:

33

B IBL IOGR AFA

- Bernardello, A., Bianco, M. J., Casparri, M. T., Garca Fronti, J., & Olivera de Marzana, S. Matemtica para economistas con Microsoft

Excel y Matlab.

- Carter, M. (2001). Foundations of mathematical economics. MIT Press.

- Chiang, A. C., & Wainwright, K. (1987). Mtodos fundamentales de economa matemtica. Mc Graw Hill, 3.

- Intriligator, MD (2002). optimizacin matemtica y la teora econmica (Vol. 39).Siam.

- Sydsaeter, K., & Hammond, P. J. (1995). Mathematics for economic analysis(p. 145). Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.

34

GUA PR CTICA DE EJER CICIOS N5: PR OC ESOS MARK OVIAN OS

1) a. Defina qu es una cadena de Markov ergdica. b. Determine si las siguientes cadenas de Markov son o no cadenas ergdicas. Justificar en cada caso.

I.

II.

III.

c. Qu valor deben tomar a, b y c para que sea una cadena ergdica, de forma tal que para pasar del estado X al y, necesariamente tenga que pasar por el estado Z?

d. Determine si las siguiente cadena de Markov es o no una cadena ergdica. Justifique.

2) a. Defina cadena de Markov regular. b. Determine si la siguiente matriz es una cadena cclica o no. Defina el concepto.

c. Determine si la siguiente matriz es una cadena regular o no. Justifique.

I.

II. Matriz del ejercicio 1 (punto d).

d. Qu valor deben tomar a, b y c para que NO sea una cadena regular?

3)

a. Defina estado absorbente

b. Defina cadena absorbente

c. Qu valores deben tener , y para que la matriz tenga un estado absorbente en ?

d. Cules de estas cadenas de Markov son cadenas absorbentes?

I.

II.

III.

35

4) a. Qu es un vector estocstico? Qu es una matriz estocstica?

b. Es la siguiente matriz estocstica? Por qu?

c. Qu valores deberan tomar a y b para que la siguiente matriz sea estocstica?

d. Cul de las siguientes matrices son estocsticas?

I.

II.

III.

5)

a. Encontrar el valor de a, b y c de forma tal que sea una matriz ergdica, regular y estocstica y represente el resultado en diagrama de

rbol.

b. Explique cul es la diferencia entre la representacin en diagrama de rbol y la representacin matricial.

c. Represente el siguiente diagrama de rbol en forma matricial

d. Calcular la probabilidad de enfermedad en el momento 1 de un paciente con salud que en el momento 0 se vacun.

Pacientes

Vacunados

Salud

Salud

Enfermedad

Muerte

Enfermedad Enfermedad

Muerte Muerte

No vacunados

Salud

Salud

Enfermedad

Muerte

Enfermedad Enfermedad

Muerte Muerte

1

0

0

1

0

0

0.6

0.4

0.3

0.3

0.4

0.4

0.6

0.2

0.2

0.6

36

6)

a. Encontrar U(1), U(2) y U(3) de la siguiente matriz:

b. Realice el diagrama de rbol de la siguiente matriz:

c. Encontrar U (1), U (2) y U (3).

d. Compare los datos obtenidos en b y c.

7)

a. Hallar

b. Hallar

c. Si = (0; 1; 0), hallar

c. Hallar

en funcin de , , y


a. Cul es la probabilidad de estar en el estado B luego de dos pasos si partimos del estado C?

b. Si luego de dos pasos nos encontramos en el estado B. Es posible que el prximo estado sea el B?

c. Cul es la probabilidad de estar en el estado C luego de dos pasos partiendo del vector ?

Dada la siguiente matriz:

d. Cul es la probabilidad de estar en el estado A en un solo paso si se parte del vector (1/4; 1/4; 1/2)?

9)

a. Defina qu es un vector de punto fijo y establezca la relacin con el vector a largo plazo.

37

b. Calcular el vector fijo:

c. Obtenga el vector a largo plazo:

d. Establezca los valores de a,b y c y obtenga

10) Dado el siguiente sistema de ecuaciones, en el que A, B y C representan las probabilidades totales de los respectivos sucesos:

+ +

+ +

+ +

a. Armar la cadena de Markov que est representada por el sistema

b. Hallar las probabilidades del estado estacionario

Dado el siguiente sistema de ecuaciones, en el que D, E y F representan las probabilidades totales de los respectivos sucesos:

+ +

+ +

+ +

c. Armar la cadena de Markov que est representada por el sistema

d. Hallar las probabilidades del estado estacionario

11) Problema empresario-logstica.

En un mercado en el que solo operan tres empresas, cada semestre estas se disputan la clientela de la siguiente manera:

a. Cul ser la porcin del mercado que retendr la empresa A luego de dos pasos si vector de estado inicial es ?

b. Cul ser la porcin de mercado que retendr la empresa B luego de un ao si al momento inicial la proporcin es

?

c. Cul es la tendencia de largo plazo si el vector de estado inicial es ?

d. Es la tendencia de largo plazo el vector fijo de la matriz?

12) El director de contenidos de Telef tiene que determinar la programacin del canal durante la temporada. l sabe que al inicio de una

temporada, los televidentes suelen cambiar bastante semana a semana los programas que ven hasta estabilizar sus preferencias. La

siguiente cadena de Markov indica la forma en la que los televidentes tienden a cambiar de canal de una semana a otra en la primera

semana del ao (t=0):

38

a. Hallar valores de y para que la matriz sea estocstica

b. Cul es la probabilidad de que un televidente de Telef en la primera semana de la temporada (t=0) siga sintonizando el canal en la

tercera semana (t=2)?

c. Cmo sera la cadena de Markov que represente las preferencias de la audiencia en la segunda semana (t=1)?

d. Hallar el vector que represente las preferencias de la audiencia estabilizadas en el largo plazo.

13) Buscador de

Cuando realizamos una bsqueda en Google sobre una cierta temtica, lo normal es que obtengamos un sinfn de resultados, los cuales si no

estuvieran bien organizados, sera muy difcil seleccionar las webs ms interesantes.Para ello naci el algoritmo de PageRank, que fue creado

por Google, y que sirve para otorgar un valor numrico a cada pgina web y a partir de l, establecer el orden en el que aparecen tras una

bsqueda. El algoritmo PageRank muestra la distribucin de probabilidades usada para representar la probabilidad de que una persona,

haciendo clicks al azar en los links, llegue a una pgina particular. Tomemos un ejemplo modelo para entender el funcionamiento.

Imaginemos que la web fueran slo 3 sitios y que inicialmente todos poseen el mismo nivel de ranking. El sitio A tiene dos links salientes, uno

que dirige hacia B y otro que dirige hacia C, el sitio B tiene un slo link hacia C y, por ltimo, C tiene un link saliente hacia A, este navegador

aleatorio generara el siguiente comportamiento.

Representacin de grfica:

a. Obtenga la matriz de transicin del problema

b. Determine cul/es es/son los sitios ms relevantes en funcin de la probabilidad de un usuario que comienza a navegar en la pgina A y

clickea cualquiera de las opciones en forma aleatoria. Cmo debera rankear el buscador las pginas A, B y C.

c. Determine como sera la matriz de transicin en la 3 bsqueda que realiza el usuario.

d. Si buscramos una palabra que estuviera dentro del contenido de los sitios A y B, entonces el buscador Qu devolvera en primer

lugar?

14) La ruina del jugador

Un jugador entra a un casino con la idea de amasar cierta cantidad de dinero , se dirige a una maquina tragamonedas con la idea de apostar

siempre la misma cantidad de dinero de manera que si resulta ganador, es $100 ms rico, de lo contrario pierde $100.Dicho jugador, cuenta,

adems con un capital inicial y no tiene la capacidad de seguir jugando una vez agotado el mismo. Es decir, que el jugador dejara

de jugar si en algn momento , o bien .Si las probabilidades de ganar son q, las de perder son 1-q, de manera que el

comportamiento del jugador podra resumirse en la matriz de transicin:

A

C

B 0,50

0,50

1 1

http://es.wikipedia.org/wiki/PageRank

39

Asimismo ocurrir que, en algn t:

O bien

a. Armar la matriz de transicin si .

b. Para los mismos valores de los parmetros Cul es la probabilidad de que el jugador se arruine si q=0.3?

c. Para los mismos valores de los parmetros Cul es la probabilidad de que el jugador se retire voluntariamente (gane) si q=0.6 luego de

dos pasos?

d. Calcular el vector fijo correspondiente.

15) Problema Bonos en default

Se emiten dos bonos uno con denominacin A y otro con denominacin B. A promete un pago del 4% anual, mientras que B promete un pago

del 4,5% anual. La diferencia entre las promesas de pago se deben a que si A cae en default se compromete a un pago del 60% del valor

nominal.

a. Obtenga el vector de posibles pagos de A

b. Cul es la esperanza de pago de A?

c. Obtenga el vector de posibles pagos de B

d. Cul es su esperanza de pago de B?

16) Demostrar el siguiente teorema:

a. Ninguna raz caracterstica de la matriz cuadrada A puede tener mdulo mayor que la mxima suma de los mdulos de los elementos de

cada fila ni que la mxima suma de los mdulos de los elementos de cada columna, o sea min donde denota cualquier

raz caracterstica de la matriz A,

40

b. Demostrar que toda matriz estocstica tiene raz caracterstica igual a 1.

c. Definir raz dominante

d. Utilizar el 2 teorema de Frobenius


a. Determinar si la matriz es estocstica.

b. En caso afirmativo, evaluar si es regular.

El valor de cierta accin puede ir al alza, a la baja o permanecer sin cambio en cualquier da. La probabilidad de que la accin vaya al alza, a

la baja o permanezca estable al da siguiente est dada en la matriz detransicin:

c. Determine el autovalor mximo

d. Cul es la situacin del sistema en el largo plazo?


a. Si hoy (T=0) el sistema se encuentra en el estado X. Cul es la probabilidad de que en el momento (t=2) el sistema se encontrar en el

estado Y?

b. Hoy (T=0) el sistema se encuentra en el estado Y. Cul es la probabilidad de que en T=2 el sistema se encontrar en el estado Y?

c. Encontrar el equilibrio en el largo plazo.

d. Si ahora se asume que el estado Z es absorbente, encontrar la nueva matriz de transicin.


a. Hallar , y para que sea estocstica

b. Se sabe con certeza que hoy (t=0) el sistema se encuentra en el estado , cul es la probabilidad de que en el momento 2 (t=2) el sistema

se encontrar en el estado ?

c. Si al momento inicial (t=0), el vector estado es = (1/2; 0; 1/2), cul es el vector estado al momento 1?

d. Encontrar el equilibrio en el largo plazo


41

a. Para qu valores de a y b la matriz es estocstica?

b. Determinar el autovalor mximo de la matriz.

c. Es la matriz de transicin regular?

d. Si en (t=0) el sistema se encuentra en el estado x Cul es la probabilidad de que en el momento (t=2) el sistema se encontrar en el estado

z?

42

RESPUESTA S

1)

b.

I. No es ergdica, de los dos primeros estados no se puede pasar al tercero.

II. Es ergdica, se puede pasar de un estado al otro.

III. No es ergdica, la segunda fila es un estado absorbente.

c.

d. Es ergdica, se puede ir de cualquier estado a cualquier otro.

2)

b. S es cclica.

c.

I. Es cadena regular

.

II. Es cadena regular.

d.

3)

c.

d.

I. No es una cadena absorbente, no puedo ir de los estados X e Y al estado absorbente Z.

II. Es absorbente.

III. Es absorbente.

4)

b. No, porque no es cuadrada.

c.

d. Solo la matriz III es estocstica.

5)

a.

0,2

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

X

Y

Z

0,4

A=0,4

0,5

B=0,2

0,3

C=0,3

0,6

0,1

X

0,2

0,4

A=0,4

43

c.

d.

6)

a.

U(1)

U(2)

U(3)

c.

U(1)

U(2)

U(3)

7)

a.

b.

c.

d.

8)

a. 0.15

b. No

c. 0.29

d. + 0.75

9)

b.

c.

d. ?

10)

a.

b.

c.

d.

44

11)

a.

b.

c.

d. S.

12)

a.

b.

c.

d.

13)

a.

b.

c.

d.

14)

a.

b.

c.

d.

15)

a.

b.

c.

d.

17)

a. S

b. S

c. 1

d.

18)

a. 0.24

b. 0.27

c.

45

d.

19)

a. , y

b. 0.185

c.

d.

20)

a. ,

b. 1

c. S

d. 0.32

46

B IBL IOGR AFA

- Bernardello, A., Bianco, M. J., Casparri, M. T., Garca Fronti, J., & Olivera de Marzana, S. CD-ROM: Matemtica para economistas con Microsoft Excel y Matlab.

- Alpha C. Chiang. (2004). Matemtica para economistas. Makron Books, Pearson Education. - Grinstead, C. M., & Snell, J. L. (1997). Markov chains. Introduction to Probability, 405-70. - Rubio-Terrs, C., & Mainar, A. S. (2007). Perfil farmacoeconmico de Exubera en el tratamiento de la diabetes. PharmacoEconomics

Spanish Research Articles, 4(1), 41-51.

- Page, Lawrence and Brin, Sergey and Motwani, Rajeev and Winograd, Terry (1999) The page Rank Citation Ranking: Bringing Order to the

Web. Technical Report. Stanford InfoLab.

47

GUA PR CTICA DE EJER CICIOS N6: S IST EMA S D INMIC OS DISCR ET OS

Ecuaciones en diferencia de primer orden

1)

a. Hallar la solucin general. b. Analizar su comportamiento/estabilidad. c. Realizar el diagrama de fases.

2)


3)


4)


5)

a. Hallar la solucin general. b. Hallar la solucin particular para c. Dada la condicin anterior, analizar su comportamiento/estabilidad. d. Realizar el diagrama de fases.

6)

a. Hallar la solucin general.

b. Hallar la solucin particular para c. Dada la condicin anterior, analizar su comportamiento/estabilidad. d. Calcular los primeros 5 valores.

7)



8)


b. Hallar la solucin particular para

c. Dada la condicin anterior, analizar su comportamiento/estabilidad. d. Calcular los primeros 5 valores.

9)


b. Hallar la solucin particular para

48

c. Dada la condicin anterior, analizar su comportamiento/estabilidad. d. Calcular los primeros 5 valores.

10)



11)



12)

a. Hallar la solucin general. b. Hallar la solucin particular para c. Dada la condicin anterior, analizar su comportamiento/estabilidad. d. Calcular los primeros 5 valores.

Ecuaciones en diferencia de orden superior

13) a. Hallar la ecuacin caracterstica. b. Hallar las races de la ecuacin. c. Hallar la solucin general. d. Analizar estabilidad.

14)

a. Hallar la ecuacin caracterstica. b. Hallar las races de la ecuacin. c. Hallar la solucin general. d. Analizar estabilidad.

15)

a. Hallar la solucin homognea asociada. b. Hallar la solucin complementaria. c. Hallar la solucin general. d. Analizar estabilidad.

16)


17)


49

18)


19)


20)


21)


22)

1) Hallar la solucin homognea asociada. 2) Hallar la solucin complementaria. 3) Hallar la solucin general. 4) Analizar estabilidad.

Ecuaciones en diferencia paramtricos y modelos

Aplicaciones financieras

23) Si queremos calcular el valor final de una renta cierta. Denominamos al monto de la renta al finalizar el perodo ; y a la cuota constante

depositada en cada perodo, el cual se capitaliza a una tasa perodo a perodo.

a. Si los pagos se realizan de manera adelantada, es decir, al inicio de cada perodo. La ecuacin en diferencias o de recurrencia es: Hallar la solucin general.

b. Analizar estabilidad/comportamiento (considere ). c. Si los pagos se realizan sobre el final de cada perodo (vencidas). La ecuacin en diferencias que representa el valor final de una renta cierta

es: Hallar la solucin general.

d. Analizar estabilidad/comportamiento (considere ).

24) Se invierte una suma de dinero en el perodo , la cual perodo a perodo se capitaliza a una tasa de inters . Lo cual define la siguiente ecuacin en diferencias:

a. Hallar solucin general b. Analizar estabilidad/comportamiento

c. Si se invierte en el perodo una suma de a una tasa del . Cunto capital se acumular al perodo ?

50

d. Si se invierte inicialmente a una tasa de inters compuesta al A partir de qu perodo el capital se ve duplicado?

25) Se desea calcular el valor inicial de una renta cierta en dnde denominamos al saldo de la deuda al finalizar el perodo , cuyo inters

denotamos con la , y C a la cuota constante que se paga en cada perodo.

a. Si los pagos se realizan al finalizar cada perodo (vencidas) el saldo de la deuda al finalizar el perodo es igual al saldo de la deuda del perodo anterior capitalizado por un perodo menos la cuota pagada en el momento . Esto define la siguiente ecuacin en diferencias: Encontrar la solucin general.

b. Analizar estabilidad/comportamiento. c. Si el pago se realiza por adelantado, es decir, al comenzar cada perodo. El saldo de la deuda en el momento es igual al saldo de la

deuda en menos capitalizado por un perodo. Esto define la siguiente ecuacin en diferencias: Encontrar la solucin general.

d. Analizar estabilidad/comportamiento.

26) Si se invierte una suma inicial de dinero (valor constante) a una tasa de inters . En donde, perodo a perodo, el capital del perodo

resulta del capital en al cual se le acumula un inters sobre la suma inicial . Esto define la siguiente ecuacin de recurrencia:

a. De qu tipo de aplicacin financiera se trata? b. Encontrar la solucin general. c. Analizar estabilidad/comportamiento.

d. Usando los datos del ejercicio 2.c Cunto capital se acumular al perodo ? El resultado es el mismo? A qu se debe el cambio?

Modelos econmicos paramtricos

27) Dado el siguiente modelo de mercado (telaraa) definido por las siguientes ecuaciones en diferencia que representan el comportamiento de la

oferta y la demanda:

a. Expresar el modelo en una ecuacin diferencial y hallar la solucin general.

b. Determinar el precio de equilibrio de largo plazo . c. Determinar la trayectoria del modelo (Estabilidad/Comportamiento: convergente, divergente, oscilante).

d. Graficar el diagrama de fase del modelo suponiendo que

.

28) Dado el siguiente modelo representado en la siguiente ecuacin en diferencias:

a. Hallar la solucin de equilibrio. b. Hallar la ecuacin caracterstica y la solucin homognea asociada (dejar expresada las races y utilizar para expresar la solucin

homognea). c. Hallar la solucin general. d. Determinar su comportamiento

29) Dado el siguiente modelo:

a. Hallar ecuacin en diferencias y la solucin general para el modelo genrico. b. Hallar la expresin de sus races. c. Analizar estabilidad para el modelo genrico. d. Si , hallar la solucin general y analizar estabilidad para tal solucin.

51

30) Dado el siguiente modelo cuyas ecuaciones que lo definen el modelo son:

Con: todas

a. Llegar a la expresin de la ecuacin en diferencias del modelo respecto el producto Y. b. Expresar la ecuacin homognea asociada genrica del modelo. c. Analizar estabilidad mediante las condiciones necesarias y suficientes de Schur. d. Encontrar la solucin homognea suponiendo ahora que:

31) Dado el siguiente modelo:

todas

a. Hallar la ecuacin en diferencias del modelo respecto de la variable (precio). b. Hallar el precio de equilibrio intertemporal.

c. Hallar la ecuacin en diferencias del modelo respecto de la variable (desempleo). d. Hallar el desempleo de equilibrio intertemporal.

Sistemas de ecuaciones en diferencias numricos

32)

a. Hallar la solucin homognea. b. Hallar la solucin general del sistema.

c. Hallar la solucin particular sabiendo que d. Analizar estabilidad.

33)

a. Expresar la ecuacin caracterstica. b. Hallar la solucin general del sistema.

c. Hallar la solucin particular sabiendo que:

d. Analizar estabilidad.

34)

a. Expresar la ecuacin caracterstica. b. Hallar la solucin homognea del sistema. c. Hallar la solucin complementaria. d. Hallar la solucin general del sistema.

35)

a. Hallar la solucin homognea del sistema. b. Hallar la solucin general del sistema.

c. Hallar la solucin particular dado las siguientes condiciones:

52

d. Analizar estabilidad.

36)

a. Expresar la ecuacin caracterstica b. Hallar la solucin homognea y expresar el tipo de solucin complementaria a proponer. c. Hallar la solucin general del sistema. d. Analizar estabilidad.

37)

a. Expresar la ecuacin caracterstica. b. Hallar la solucin homognea. c. Hallar la solucin complementaria. d. Hallar la solucin general del sistema.

38)

a. Expresar la ecuacin caracterstica. b. Hallar la solucin homognea. c. Hallar la solucin general del sistema. d. Analizar su estabilidad.

39)

a. Hallar la solucin homognea. b. Hallar la solucin general del sistema.

c. Hallar la solucin particular dado que:

d. Analizar su estabilidad.

40)

a. Expresar la ecuacin caracterstica. b. Hallar la solucin homognea del sistema. c. Hallar la solucin general del sistema. d. Analizar su estabilidad.

41)

a. Expresar la ecuacin caracterstica. b. Hallar la solucin homognea del sistema. c. Hallar la solucin general del sistema. d. Analizar su estabilidad.

42)


53

43)

a. Expresar la ecuacin caracterstica. b. Hallar la solucin homognea. c. Hallar la solucin general del sistema.

d. Hallar la solucin particular dado que:

44)


Ejercicios integradores

45) Modelo de mercado (telaraa) aplicado con precio mximo inicial

a. Expresar el modelo en nica ecuacin en diferencias y resolver.

b. Dados los siguientes datos: . Evaluar la solucin con dichos datos, hallar la expresin y el valor del precio de equilibrio y analizar el comportamiento del modelo.

c. Realizar el diagrama de fases con ejes P vertical y Q horizontal.

d. Realizar el diagrama de fases con los ejes vertical y horizontal.

46) Sea un modelo dinmico del tipo MKS expresado de la siguiente manera:

Suponga c y parmetros (0; 1) y que la suma entre ambos es menor a 1, y que ; son estrictamente positivos.

a. Obtener la ecuacin en diferencias del modelo. b. Resolver la ecuacin en diferencias y analizar estabilidad. c. Obtener la renta de equilibrio. Evaluar con los siguientes datos: ;

d. Con los datos anteriores, realizar el diagrama de fases ( ) y suponiendo que inicialmente el producto era

47)


48)

a. Hallar la solucin homognea asociada. b. Hallar la solucin complementaria. c. Hallar la solucin general.

54

d. Considerando el sistema homogneo y jp+2 despreciable (= 0)

Analizar estabilidad.

49)

a. Hallar la forma normal de la ecuacin en diferencias de primer orden lineal. b. Hallar la solucin general de la ecuacin en diferencias. c. Analizar estabilidad- d. Realizar el diagrama de fases.

55

RESPUESTA S

1)

a.

b. .

c. Si Y0 < 0 creciente, y si Y0 > 0 decreciente, si Y0 = 0 cte.

2)

a.

b.

si Y0 < 1 decreciente, y si Y0 > 1 creciente, si Y0 = 1 cte.

c.

3)

a.

b.

56

c.

4)

a.

b.

c.

5)

a.

b.

c.

d. Ser un punto fijo en el 2

6)

a.

b.

c.

d.

7)

a.

b.

c.

d.

57

8)

a.

b.

c.

d.

9)

a.

b.

c.

d.

10)

a.

b.

c.

d.

11)

a.

b.

c.

d.

12)

a.

b.

c.

d.

Ecuaciones en diferencia de orden superior

13)

a.

b.

c.

d.

14)

a.

b.

c.

d.

15)

a.

b.

58

c.

d.

16)

a.

b.

c.

d.

17)

a.

b.

c.

d.

18)

a.

b.

c.

d.

19)

a.

b.

c.

d.

20)

a.

b.

c.

d.

21)

a.

b.

c.

d.

22)

a.

b.

c.

d.

59

Ecuaciones en diferencia paramtricos y modelos

Aplicaciones financieras

23)

a.

b.

c.

d.

24)

a.

b.

c.

d.

25)

a.

b.

c.

d.

26)

a.

b.

c.

d.

Modelos econmicos paramtricos

27)

a.

b.

c.

d. Tomando un ejemplo con

convergente. y si por ej. n=10 y b=1.

28)

a.

b.

60

c.

d.

29)

a.

b.

c.

Si

d.

30)

a.

b.

c.

d.

31)

a.

b.

c.

d.

Sistemas de ecuaciones en diferencias numricos

32)

a.

b.

c.

d. .

61

33)

a.

b.

c.

d.

34)

a.

b.

c.

d.

35)

a.

b.

c.

d.

36)

a.

b.

c.

d. .

37)

a.

b.

c.

d.

38)

a.

62

b.

c.

d.

39)

a.

b.

c.

d.

40)

a.

b.

c.

d.

41)

a.

b.

c.

d.

42)

a.

b.

c.

=

d.

43)

a.

b.

c.

d.

63

44)

a.

b.

c.

d.

Ejercicios integradores

45)

a.

b.

c. d.

46)

a.

b.

64

c.

d.

47)

a.

b.

c.

d. Inestable

48)

a.

b.

=

c.

d. Inestable

49)

a.

b.

c. Convergente, no montona,

65

d.

66

B IBL IOGR AFA

- Bernardello, A., Bianco, M., Casparri M., Garca Fronti, J. y Olivera de Marzana, S. (2010).Matemtica para economistas con Excel y Matlab.

Omicron System.

- Chiang, A. C. y Wainwright, K. (2005). Fundamental methods of mathematical economics. McGraw-Hill, New York.

- Bernardello, A. y Garca Fronti, V. Resolucin del modelo econmico de Hicks utilizando ecuaciones en diferencias de orden superior.

- Blume, L. y Simon, C. P. (1994).Mathematics for economists. W Norton & Company.

- Caibano, M. Aplicaciones financieras de las ecuaciones en diferencias

- Caibano, M. Sistemas de ecuaciones en diferencias

67

GUA PR CTICA DE EJER CICIOS N7: S IST EMA S D INMIC OS C ONTIN UOS

1) y - 7y = 0

a. Hallar la ecuacin caracterstica b. Hallar la solucin general de la ecuacin c. Analizar la estabilidad de la ecuacin. d. Demostrar que si e son soluciones de una ecuacin lineal homognea entonces: donde y

son constantes arbitrarias es tambin solucin. 2) y + 4y + 5y = 0

a. Hallar la ecuacin caracterstica b. Hallar la solucin c. Analizar la estabilidad de la ecuacin. d. Demostrar que la condicin necesaria y suficiente para que una ecuacin diferencial con races reales y diferentes sea estable es que todas

las races de la ecuacin caracterstica sean negativas.

3) y + 4y + 4y = 0

a. Hallar la ecuacin caracterstica b. Encontrar la solucin de la ecuacin c. Analizar la estabilidad de la ecuacin diferencial

d. Demostrar: Si y1 (x) y y2 (x) son soluciones de (2), entonces y3 (x)=C1 y1 (x)+C2 y2 (x) donde C1 y C2 son

constantes arbitrarias, es tambin solucin de (2) 4) yIV+ 8y + 24y + 32y + 16y = 0

a. Hallar la ecuacin caracterstica b. Encontrar la solucin de la ecuacin c. Analizar la estabilidad de la ecuacin diferencial

d. Demostrar que si son solucin de la homognea, tambin es solucin de la homognea con .

5) yIV- 8y + 32y - 64y + 64y = 0

a. Hallar la ecuacin caracterstica b. Encontrar la solucin de la ecuacin c. Analizar la estabilidad de la ecuacin diferencial d. Demostrar que la condicin necesaria y suficiente para que una ecuacin diferencial con races reales y diferentes sea estable es que todas

las races de la ecuacin caracterstica sean negativas. 6) y - 4y = 3.e2x

a. Hallar la ecuacin caracterstica b. Encontrar la solucin de la ecuacin c. Analizar la estabilidad de la ecuacin diferencial d. Demostrar la forma de la solucin de una ecuacin diferencial homognea de segundo orden con races complejas. 7) y - 2y + 2y = 5. e2x .cos x

a. Hallar la ecuacin caracterstica b. Encontrar la solucin de la ecuacin c. Analizar la estabilidad de la ecuacin diferencial d. Defina orden y grado de una ecuacin diferencial. Explique qu tipos de soluciones existen. Ejemplifique. 8) yV 4y = 5

a. Hallar la ecuacin caracterstica b. Encontrar la solucin de la ecuacin c. Analizar si la ecuacin es estable y justifique su anlisis planteando las condiciones necesarias y suficientes de estabilidad.

68

d. Exponga qu solucin complementaria se ensayara por el mtodo de los coeficientes indeterminados en caso de que g(x) sea exponencial. 9) y + 4y + y = 2t2

a. Hallar la ecuacin caracterstica b. Encontrar la solucin de la ecuacin c. Exponga la solucin de la ecuacin homognea en caso de tener races complejas iguales. d. Establezca si la ecuacin es estable o inestable y justifique. 10) y + y + 1y = sen t

a) Hallar la ecuacin caracterstica b) Encontrar la solucin de la ecuacin c) Exponga la solucin de la ecuacin homognea en caso de tener races complejas y distintas.

d) Si , races de la ecuacin caracterstica de la ecuacin diferencial lineal homognea

donde ,

son solucin de la misma, demostrar que e son linealmente independientes.

Modelos con ecuaciones diferenciales

11) Dado el modelo de Solow definido por la siguiente ecuacin:

Donde:

s es el ahorro expresado como fraccin del producto

es la tasa de depreciacin del capital es la tasa de crecimiento de la fuerza laboral

a. Expresar el equilibrio del Modelo. b. Defina estabilidad y enumere las condiciones que deben cumplirse para que el Modelo sea estable. c. Analizar la estabilidad del Modelo y justifique con el diagrama correspondiente.

d. Dada la funcin de produccin definida en trminos per cpita como , la proporcin del producto que se ahorra es , la fuerza laboral crece a una tasa y la tasa de depreciacin del capital es . Escribir cmo resulta la ecuacin de la tasa de crecimiento del capital per cpita y hallar el valor de equilibrio.

12) Dado el Modelo de Sachs definido por las siguientes expresiones:

= +

Con a. Expresar el equilibrio del modelo b. Analizar la estabilidad del equilibrio hallado. Justifique empleando el diagrama de fase correspondiente. c. Demostrar que la condicin necesaria y suficiente para que una ecuacin diferencial con races reales y diferentes sea estable es que todas

las races de la ecuacin caracterstica sean negativas

d. Demostrar la siguiente afirmacin: Si e son soluciones de [2], entonces

es tambin solucin de [2] con y siendo constantes arbitrarias. 13) En una economa el crecimiento de los prstamos otorgados est determinado por el modelo definido por la siguiente expresin:

Donde:

Documents

- Guía Práctica Cursos J. G Fronti y Pablo Herrera