55
P r o b l e m a s d e E s t á t i c a 1 F u e r z a s y M o m e n t o s 2 E q u i l i b r i o d e l p u n t o 3 E q u i l i b r i o d e l s ó l i d o s i n r o z a m i e n t o 4 E q u i l i b r i o d e l s ó l i d o c o n r o z a m i e n t o 5 E q u i l i b r i o d e l s i s t e m a d e s ó l i d o s 6 E n t r a m a d o s y a r m a d u r a s 7 M e c a n i s m o s : p o l e a s , c u ñ a s , t o r n i l l o s 8 M é t o d o d e l o s t r a b a j o s v i r t u a l e s 9 F u e r z a s d i s t r i b u i d a s : c a b l e s y v i g a s 10 C e n t r o s d e g r a v e d a d

aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

P r o b l e m a s d e E s t á t i c a

1 F u e r z a s y M o m e n t o s 2 E q u i l i b r i o d e l p u n t o 3 E q u i l i b r i o d e l s ó l i d o s i n r o z a m i e n t o 4 E q u i l i b r i o d e l s ó l i d o c o n r o z a m i e n t o 5 E q u i l i b r i o d e l s i s t e m a d e s ó l i d o s 6 E n t r a m a d o s y a r m a d u r a s 7 M e c a n i s m o s : p o l e a s , c u ñ a s , t o r n i l l o s 8 M é t o d o d e l o s t r a b a j o s v i r t u a l e s 9 F u e r z a s d i s t r i b u i d a s : c a b l e s y v i g a s 10 C e n t r o s d e g r a v e d a d

Page 2: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

������������ �������������������� !

"

Page 3: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� �� �� ����������� �� " � ���

Fuerzas y momentos

���������������

� �"!�� �� #�!�� � � �"!��� �� �� � � ����$�! ��&%� �

' � �)( � ���������� ��������#� * +,�-�./ + +0 +�+1/ +�+0 + + 22×××++=

3 4 516*�+�7=

3' � �)( � ����#� ���������#�

89:;=<>?�;A@ 9:B>CED#FG�B�H89�BI�J�C

9AB B>CKD�F

=L=L=

MAN�O�PAQRTSVUXW#UXQ�NVY[ZAN\UAW#U\]^WV_a`

b�ced W�_"P�O�] c U\]^WfW�_�O c _"P�Y chg WfO c _�Q�NVY[ZANVU�W#U\]^W�_ g WfQ cig c P U cfg WjO c _�k�PAW d"l�c _m`

no�p\qp p\qrsEt#u�v qVwwv qxiy�sznAq q{Aq�q |}~|}}~+=�++=

�m���A�=���i�����h� W#]^W d Y�R�U c#d O ced W�_"P�O�] c U\]^W g WjO c _ g N�_�k�PAW d"l�c _�R�U g RTQ cig c _�W#U�O c k"RT��P dKci�\g c U g N�WiO�Y�S g P�OTNj��WiO�#UA��P�O�N��\PAWfk�N d Y c O ce� N d R l NVU\] c O�`

�a�)�

�a�����

�#�a���α

α

�������

�a�����

�a�)�

 

¡

¢

�#�a���

���a�£�

�a�)�

Page 4: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� d N���OTW#Y c _ g W��m_�]^��]�R�Q c `

����� ���������������

������ =�==

��� �"!$#&%('$)

��� �"!$#&%('$)* ��+�,.-0/�� `�MAW g R1��P32 c�c WV_KQ c O c O c _"P�Y c g W�O c _mk�PAW d"l�c _a`�4 R g RTW#U g N�WO=Y�S g P�OTN g W O cjd W�_"P�O ] c U\]^W[_KW N�� ]�RTW#UAW6587��9&:<; Y�R g RTW�U g N�WiO��#UA��P�O�N��\PAWfk�N d Y c Q�NVU�O ce� N d R l NVU\] c O�W�_�N��\]�RTW�UAW>=@?�A

�m����� ���i� �CB�� W�]�W d Y�R�U c�d WiOED c O�N d g WiO Y�S g P�OTN � O c g R d W�Q�QiRTS\U g W�O c k�PAW d"l�cGFIH �\PAW �Ac � �\PAW c Z�O RTQ c#d c O��OTN �VP�W g W O c k"RT��P d&c c�g 2 P�U\] c Z c�d&c �VPAW O cfd W�_&P�O ] c U ]^W g W c Y � c _�k�PAW d&l�c _ _KW c P U c k�PAW d"l�c DAW d ]�RTQ c O g WJ9�K�K&: _ERWiO�Y�S g P�OTN g WjO c k�P�W d"l�cLFNM WV_ g WPO�K�K6: `

�m����� ���i� �RQ � W�]^W d Y�R�U c#d O c�d W�_"P�O�] c U\]^W g WiO _ER _"]^W#Y c g W�k�PAW d"l�c _ Q�NVU�Q#P d�d W�U\]^W�_ �VPAW _KW R�U g RTQ c W#U O c k"RT��P d&cc�g 2 P�U\] c _ c ��R�W#U g N��VPAWS5 MUTWV�X�Y6Z\[&]_^`Tba@Y�YcZ\[&]edGTgfhYcZjik]ml`TnV�fhYcZGo

p

qr s r t

r u r v

w�x3y

z�x3y

{}|~y

z�x~y

]m^`TgX����@[0f�Z �αT�a��@[�V3�

α

� �

� s� �

� �

� t��� α �����

Page 5: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� o����������� �Y�� Y���� a@Y�Y�X

X

�����������������! #"%$'&�$ � $ �)('��%���+*���,.-0/1(324/1� $ �!� $ ,5, $06�7 �98 i�, $�6�7 �;: &�$ -�� & �=<��4� &�$ *>��,.?< $ ��@��1,(o4AB24���)��� &C$$ ,)�D/%,FE4��*>/1� $ ,G, $ /1H�� $ � $ *>�I� $ ,�<%*J�D���!� $ i $ *LK�� 6 <%*>/NM1< $ ?)/!�)(=�O-�/1� $ * $�PQ$ 8Io�RS��,T-�/1(324/!� $ �!� $ , &C$ *���,T?< $ ��@��1,,U/1�LV

WYX T V3a@��o � �=Z\[ X@o Y^] � W ^ T−V [ �o a �=Z V�Y�Y�o Y^]

WEd T −�@Y�o Y �

− _ ��o aG] � WNl`T V3a [ o �−V(a [ o ^]

RS�`� $ ,�<%*��D���!� $G$ ,�V W TΣ Wba!c ���Io Y �

−a V o X�] d ] T ����o Y6Z �

α T

−a _ �

egf3hFiOjGkQlOm

n1o�p!qrstnonvu�nnwnLunLuyx==z+= {|}~

egf3hFiOjGkQlOm

� $ 2�� $ , $ �!�D�0-0>�1� 6 ��K�?�>-�� &�$ *>��,�?< $ ��@���,

�Y�y�4� ���0�����O�I$ � $ �)('��4����*>�G� $ ,�<%*J�D���!� $�&�$ *>��,�?< $ ��@���,�� $ 2�� $ , $ �!�D� & ��, $ ��*���?� 6 <��U��� &�P <��!�D��o � ���Y,�<3(=� & <%*�/i $ *4K�� 6 <%*>/OM1< $ ?)/!�)(=�G-�/1� $ * $�PQ$ 8Io

�Y�y�4� ���0���'�=�I$ ,U-0/1(324/1� $ ��<��4��?< $ ��@��IW &�$ (=� & <%*>/ aIfhY�YPZ $ � & /%,#-�/!(324/1� $ ��� $ ,�W X i5WN^+�D�0* $ ,#M1< $W X ?)/1�)( $ -0/1��W�<���K�� 6 <%*>/ &�$ a@Y�� i�M1< $ ,�< & >? $ � $ �4-�>� &�$ (=� & <%*>/g, ] X�� ]m^�, $ �� 6 <4�0*�� V�Y�Y�Y ZGo�I$ � $ �)('��4����,�<�,�(=� & <%*>/%, i $ *%K�� 6 <%*�/�M!< $ ?)/1�)(=��� o

�(xL�

p

��}w(x �¡ |(xL�

¡)�}xL�

¢ x~y�}x~y

{�x3y

|3x3y

¡ x(x �

r

r �

r�s

�}x~y α

Page 6: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

���U/1H%* $ (=�1, &C$�� ,)�DKy��-���o

_

�I$ *>�.* $ i &�$ *�, $ �4/O��2g*�>-�� & �^��*!� �U>K�� 6 <g*>/ &�$ ?���g & /I24/1��*>��,�� � $ ,�?< $ ��@��1,�, $ �� $ � $

���������� ����

� =

�����������������! "�$#%��&('*)!���,+��-&.&/�10"���2#%�43!���/5%+����1����#�6�)��� "�

78:9";<=�>8:9?; @A BBB +=

CD�E ?5%'F���/���!��5%�E "�4GIH" 1)�#%��&J "�2#%�-&J "��&('*)!���,+��-&

K�L?L?LMN =− OOPEQ �����:�! "�R�����I#%�-&S�T�/�-&J����)!���U5%���!�-&.&/�E��0"�V5%���!�

WX?Y"Z\[]^_`Za�Y?X1b^_`Zc�Y"X"b de === ff

g�h$ikjRlEmonRpq4� Q ����&/���1������5%H��sr-��t�'�5%���E "�2#%�-&J'V)!�:�,+��-&

uwvx!y{z\|�}�~��I���-&/����G Q ���!�:��)"�!��'V)!���,+��������� "��&w����G Q �������1���-&k�w�����(���V��#%�-&k6�)!���w��'F���,GI����������)?�t��!r-)�#\��6�)���&/����#%�sG�5����� � "��#(t:�!r-)�#%��6�)!�I',���FGI���(�����1������#%��&4GIH" �)�#%��&E ?�s�w�1�� "�I�(����)"G Q #%����#\�����#%����5%H��$���������2���¡ �¢w��#\��)�#%���(��#?GIH" 1)�#%�R "�2#%�-&J����G Q ���!���1�V�-&���#%��&Jt��!r-)�#%��&J6�)!�E'F���,GI���s�����$�� 

£

£ ¤£ ¥

α

β ¦�§ α

¨α

α ¦�©:ª¬« §o­ ® β ¦4¯°o« ©o­ ® ± ¥ ¦³²,« ´ ± µ ± ¤ ¦³²,« ¨ ±

Page 7: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�� �� ���*�V5 � ����������� ����

g�h$ikjRlEmonRpq4� Q ����&/���1������5%H��sr-��t�'�5%���E "�2#%�-&J'V)!�:�,+��-&

g�h$ikjRlEmonRpq4� Q ����&/���1������5%H��sr-��t�'�5%���E "�2#%�-&J'V)!�:�,+��-&

����� � ���� �������

++++

=

���! �"$#&%('*),+.-0/2143652798 5;: /=<?>: @BAC> /=<ED6@BFHG/BI JLK(MN/=:OG�5�1P365;798 52: /=:QR/1SFUTWVXFZYHQR@([&/1S\2> /BA]52<]7B/=:/=:;Q^<_/W1a`b>:dc=: e>�[&5fG/Wg2JihjVk1E>$1l7Bm�G2>�[n5�1B/1EQRo=:p/=:d[n@,<_/([n@(3(qnm2:fIsrUg tvu�@([&3=>�[n@=<B[n@,7B@6e:wqxQ^> GyG/z[n@13652798 52:�/=:;QR/1{V|[n5�1vc=: e>w[n5�1

αT V

αY \2>�/SAE52<]7B@=:}3652:9Fft

���! "~#&%('�),���Z:�[n@1�G�qn@6e;52:�@([n/1�G/B>:,8�@=<_@([n/�[n/=8�`�8�/6G5�<_/63!QR@�: e>�[n@=<jG/|@=<4q�1EQR@1j���^���&����@63=Q^� @=:�Q^<_/1jA�> /=<ED6@21G/([�7�q�1E7B507BmG;>�[n5j����t(u�@([&3=>�[n@=<v[n@b<_/21E>�[xQR@�:;QR/SFUt

� � �*����� �2���=� �β���������  � ¡ �s¢�^�£�z�=� ¤

α�¥�(¢� ¦�  ¤

§

§ ¨©�ª£«

α

β

¬

­

®¯

°

±²

³

´

µ�¶

µ·

µ2¸¹

º

»

Page 8: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�$<45���[n/=7B@21ZG�/U��1]QRc!Q�q&36@;t

�������� ����

����8<_/214@=: G59[n@21ZAC> /=<ED6@1v/=:}365;798 52: /=:QR/1{VL1_>7B@=: G5 14/P5��;Q�q&/=: /j[n@b<_/1E>w[xQR@=:;Q�/����

++= ��

�������� ����

��[�� /63!QR52< >:wqxQR@=<4q&5 /�:}[&@SG q�<_/6363�qnm2: VL1�/=:;Q�qnG�5 G�/P[&@SAC> /=<ED6@P/1 ( )���� ++−=

! @PA�> /=<ED6@P/=:}365;798 52: /=:QR/1v/1 F#"%$=J'&− (*)*+,).-0/

���! "~#&%('�)21B��[{3=>�� 5B<_/=8<4/14/=:;Q�@6G5|/=:.[&@0AEq&e><_@ @6G43�>�:;QR@�Q�qn/=: / G/ @=<4q�1EQR@ I�7���[ 52<�qne;/=:65fV,[n5�1�/7�Q^<_/=7B5w1G/�[n@1 AC> /=<ED6@1vF T V�F Y /1]QRc=:B/�:B/([�8>:;QR507B/6G qn5lG/j[n5�1z[&@6G5�1�t8! 5�1 7BmG2>�[&5�1vG/j[n@1vA�> /=<_D6@1�1452:k� T:9%;=<?>@;ACBED�FHG 9JIK<?>ML ACBNDOFQP 9SRT<VU ACBXWZY\[=]^[7_a`2bdcKe7_gfhei_j[lkjm:fn]^e7c�]^[poqW

rts=uKvMwhxCyqz|{C}�~ cKe���mK[�_��8e��T[ ;=�T<�R�I A�[�ka]^���TbV_�b���bh��e�e�f��*f�e7_j������[�fhei_j[8�7]^e���m:[%�Ke��T[Cf���mTc�]^���T[�8����_���[7cKe8�Telkp� >K<�IK<VU��Q� e�ka]^e�[Cf���m�c�]^�q��[��8����_j��[7cKeC��elkp� ;7<dL�<nR�� ]�eCf��8��`��gk�[�`�mK[lk�]�_je�[7cgf�e���b��lmT_je�e8�4 ¡m�c�]^e¢W£ �:k'�KeCf���_j[�k���[6f�elk��C����_j��[�cKe8��elk�[lka]^�7c¤��e8���:k�[7c¥`�[=]�_��:k�W¦Y'[=]^[7_�`2bVcKe7_'[§fH`���`�[7c�]��¥��[¨o�_j[lk��K[C�=]^�¥��[§f��_�b���[�c0©«ª0f��:k�`���`�[7c�]^�:k¬��[po­_�[lk��K[8�7]^����[Of��:k¬[® �[�k0¯ <H°±<p² W

³

´

µ

¶¸·º¹®»º¹

¶h¼½¹j¾�¹

¿

À

°

°

´

³

µ

Á¿ Â ¿ Ã

Ä Å

Page 9: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� W��%e7_®]�bVc RTU���U����½IKU�U:L

� f�`���`�[7c�]^�6��[¢f�e2�®mK[7_��8e�_j[lk��K[C�=]^�q�T[Cf@��_ºb���[7c6[�ka]^���Te8���J�:��_ FM ∧= OP < ����cK��[�[§f���m�c�]^�� [lkZmTc��m�c�]^�¤�7mKe§f���m:b�[�_je �T[6f�eq_j[8�7]^e#kº���K��_®]�[ ��[ o ��� ��`�e7cK�T� [Cft��m�c�]^��|� >%<?I%<nU«��< [Cf `���`�[7c�]^� ��[ f�e ��mK[7_j�8e_j[lk��K[C�=]^����[Cf:��_�bh��[7c�[lk

����� ;=U � I��−>��������0�

� f���_�����mK�=]���[lk��CeCf�e7_Q��[Cf:�K[C�=]^��_ � � �K��_Qf��:k �K[8�=]^��_j[lkQ�T['f�e! Kelk�[ �,��<"� �T_j���K��_��Cb���cKe'f��:k«`���`�[�c�]^�:kH�T[

f�e���mK[7_��8eZ_j[�k��K[8�=]��\�T[�fh�:k¬[® �[lk¢¯!# ° # ² W%$�mMk��KeCf���_j[lkQk���c'&(*) 9EI:U (�+ 9 −

>KU (-, 9���U

.0/�1325476985:

� fK`���`�[7c�]���;=<M[lk [Cf���[pm�c��:e7_¬��[O��mK[�_��8elk ��[ >KU?> � k4bn]�mKe8�Telk [7c�[CfT�:f�e7c:� � ��_�bd�8��c�]^eCf:��[7c�m�c��:f�e7cK�'�Ke�_jeCf�[Cfh�eCf � ��_�bd�8��c�]�eCf�ªqk�[7�:e7_je8��e�k¬m�cKe �Kb½ka]^e7c:�Cb�e ��[Om�c�`�[=]�_��¢DK[Cf:`���`�[7c�]^�!; G [lkH[CfM�T[�m�c��Ke�_je ��[ �®mK[7_��8elkQ��[ >KU�> �kºbn]�mKeC��elkt[7c¢[§fM�:fhe7cK�¢bVcK�CfhbdcKe8���0�2[�c2m�c0�:f�e�cK���:e7_jeCf�[§f��2e§fM�:fhe7cK�¢bVcK�CfhbdcKe8����ª6k�[��Ke7_je8�TelkHmTcKe'�Kb½ka]^e7c:�Cb�e �T[ R ` <]^eCf �C��`��¢k�[ `�mK[lka]½_je [7cJf�e �jb��lm�_je'e � W�@¦e7_je'�ae8�Cb�fhbn]^e7_f�e�kjm�`�e ��[\f��:k%`���`�[7c�]��:kQ��[\f��:k���:k¬�Ke�_j[lk < f��:k@�K[C�=]^��_j[�k��mK[Of��:k¬�a��_�`�e7c0k�[ � e7c\]^��`�e8�T�\�C��c0k�mMk¬�TbV_j[C�8�Cb���c:[lk��Ke7_jeCfh[Cf�elk¬eOf�eZ_j[8�=]�ep�T[�bdc�]^[7_4kº[8�8�CbBA�c��T[�fh�:k��:f�e7cK��k�W

��e �

rts=uKvMwhxCyqz2{T{-� c�fhep�jb��lm�_je�e8�4 ¡m�c�]^e k�[Z_j[���_j[lk�[�c�]^eimTc\�:e7_@��[Z`���`�[7c�]^� Μ C =

>KU AED½` ��m:[peC�=]GFKe k��H T_j[Zm�c�:f�e7c:� � ��_�bd�8��c�]^eCf�ª���]�_j�'�Ke7_@��[Z`���`�[7c�]^�

ΜG 9%;¡IKU AED½` ��mK[�e8�7]GFKe k��H �_�[ mTc\��f�e7cK����mK[��a��_a`�e ��UHI �C��c

[Cf � ��_�b��8��c�]^eCf®W�Y'[=]^[�_a`2bVcKe7_@�l_j�C��b��8e7`�[�c�]^[�[CfT`���`�[7c�]�� _�[lk�m:fn]�e7c�]^[ � ��[�e7`� K��k��:e7_j[lk

JLKNM

O PO Q

RES

¿TVU

W

−−−−¿

Page 10: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

@ _��H :f�[7`�e�k@�T[ � ka]^�=]�bh�8e�W

;7U

� f¦�Ke7__j[�k�m:fn]^e�c�]^[�[lka]����a��_a`�e8�T�0�K��_Zf�elkZ�®mK[7_��8elk o¨ª −o k�[��Ke7_je8�Telkm�cKe��Tb½ka]�e7cK�Cb�e��gW $�m¢`���`�[7c�]��0[�kQmTc

�K[8�=]^��_ � �K[�_a�K[7cK�Kb��7m:f�e�_ eCf¦�:f�e7c:�J��[8��bVc�b����0�K��_ o ª −o < �:fhe7cK�J��mK[�����_a`�e��8��c fhe � ��_�bd�8��c�]^eCf±m�cX�7cK�lm:fh�

θ, �jb��lm�_je- �

. � �

@¦e7_je �CeCf��7m:fhe7_Hf�e �Kb½ka]^e7c:�Cb�e�� < �_je8�8����[Cf:�:e7_@_j[lkjm:fn]^e7c�]^[ < e7�:fhb��Ce7cK����fhe f�[¡ª¢��[§f��8�:k�[7c:��eCfT]�_�b���cK�lm:f���������k�[Z]�b�[7c:[� 9 � 9EI:< ��>ML ` fVmK[C���\[§f�`���`�[7c�]^����[CfT�Ke�_S_�[lk�m:fn]�e7c�]^[�[lk

; 9 ;=U:L�< A�DM`@¦e7_je��8eCfh�7m:f�e7_@[Cf:�7c:�lm:f��

θ,e7��fhb��8e7c:����f�eOf�[¡ª2��[Cf k�[7cK��eCf�]�_ºb��7cK�lm:fh������� k�[ ]�b�[7cK[���m:[

θ9.���T<?I5I

.0/�1325476985:

r s=uTvMw�xCyXzq{ ��~ c:e� Ke7_�_je � ��_�bd�8��c�]�eCf ��[ > `E�T['f�e7_�����[lka]���k���`�[7]�b���e'eOm�cKe'��mK[7_j�8e��K[7_®]®b��8eCf � e8�Cb�e'e Ke® =����[;�I AT� e7�:fhb��Ce8��e¢[7c¤k�m¥[���]�_�[7`�����W Y'[7`��:ka]½_je7_O��mK[0[lkO[C��m:bn�KeCfh[7c�]^[0e�mTcKe2�®mK[7_��8e0��[ ;¡I AT� � e8�Cbhe2e :e® ��e��:fhb��8eC��e�[7c0k�m�[���]�_j[�`���� ª�eZm�c��Ke�_��T[ kº[7c�]�b��T� � ��_je7_�bh�\�T[ >� AT�%D½`XW

O

J9K M

W

θ

� S

�0U �

¿��

� U

� ¿

� ¿

¿

��

� U

Page 11: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� W��%e7_®]�bVc RTU���U����½IKU�U:L

;T;

Equilibrio del punto

.0/�1325476985:

� ��c:�Tb��CbBA�c��T[p[C��m:bhfhb �_�b��

���������� ���

�� �����

���� ��� �

α+==

α

���� �=α � ���� ����

=

�! �"�#%$'&)(+*-,/.103254625798;:=< >57!2)?%@�>)?BA�7!CD2)?E8GFDCIH ?BAKJL?B>MC�:=7N2)OPO):BF�<QCD2K?B>MRSH�257UTP>3VXWKCD2K?B>3RN:BYZHD7N>M>PC[\HD<I46>^]�>57N>_ H�2`2)?�a ?BA _ H�2`CD2cb dZegfhCD2i]�2ZjkAGjk2`25<�O/H�25<I4l7k2g2/<m2 _ H :'?':naD7k:BAGjo: 2)?�8GFDC�Hp?BAKCD2c?B>`RSH�257UTP>qV!rP2ZjsCD2gt�uDegfwv

x yxZzα

{

|\}o~

{

x y

x z α

|\}o~

Page 12: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�%7kA�a ?B258G>�jXC�2��!j94���4S:'OP>Iv

���

���� ��������

� _ H :'?l:=aD7k:BAK25< 2)?�]DH�<I46A�� � _ Hp:'?':=aD7o:BAK25< 2)?�]DHD<I46A��

������ ���! "$#�%�

&' "$#�%( )

== �+*-,�.0/1*-.2, � ��3��� ��45 "6#�%�

7 "$#�%8

==

9 ]�257N>/<�CDA _ H�2PC�>

*;:�<0/ � dZb>= f ? *@:�AB/C*-A�:D/ � d2E5F f ? �HG b�b d2= f ? *-A�IJ/ d � d2= f

�! �"�#%$'&)(+* ,LKM�X< 2)? 2Zj _ H�258G>1CD21?B> RU:BYZHD7N>2N 2)? ap?BA _ H�2 CD2G]�2ZjkAL� jk2G8G>5<I4S:B2/<�2;2/< 2 _ H :'?':=a�7k:BA-O5H�>5<�C�A jk2>5] ?':BO)>QHD<�> RSH�257NTP>PORQSF�eDeLf 25< 2)? ]DH�<I46AUT C�2)?ijo: jU46258G>+CD2LOP>5a ?B2�j vE0M2�4625798;:n<�>57M?B>�j 4625< j:BA�<�2ZjK25< ?BA jOP>5a ?B2�jEJ;2)?�]�2ZjoA�Vcv

x{

W

X

Y Z[]\o~

^�\o~

*;:'A

*;:�<� e!_`

*-A�:

�*-A�I� e!_

Page 13: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�)v�� >57 4S:=< E�e��Se =�� � eDe5F

� E

���� ��������

� _ H :'?':=a�7k:BAK25< 2)?�]DHD<I4SA � � _ H :'?l:=aD7k:BAK25< 2)?�]DH�<I46A��

����� ��� ����

�� �����

������ ==

? *;:'A Q *-A�: ? ����� !"

#$�

�� !"

%�

�� !" &('&()&(*

==

+-,�.�/10�2�3�465�7�.83�0

9;:<>=@?BAC?BAED F 9C:�GH=I9JG(:K=ML�NOL�PQD F 9JG(RTSU?�VXW�VYD FZ9JG([\=ML�P�]^VHD

_a`�b�c�dfeOgihMjOkml 2on�7�.�/p,�4q3�.srt0�uv0xwzy L�V�W6{�| .�up}�~s7�2^��3�4q0O��u���up}�.�rt0�3�.�n80��^��.�ua��2�3���nO083�4t.�2���0��1� | 7�/10��u�.�rt0�2X}���.�2^.�.�2m.O5�7^�f�f����/v��46.�2t��0�,�4^u���nO����2t��2^3���n8083�0X����.}�.�/prq��2�0�/J�f0�u;}�.�2�u��f4�2�.�u�.�2t��4^u�n80��^��.�u(�

�B���

�B���

�B���

9 :�G

9 :<

]�W� 

¡9 G([

9 G(R

¢ W� 

A�W� ]�W� 

9 G(:

Page 14: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

¡ /v4��^��.�rt0�uJ3�.��aup}�~}��fn80X�

?(A

���������� ��

_a`�b�c�dfeOgihMj��ml 2on�7�.�/p,�4q3�.srt0�uv0xwzy L�V�W6{�| .�up}�~s7�2^��3�4q0O��u���up}�.�rt0�3�.�n80��^��.�ua��2�3���nO083�4t.�2���0��1� | 7�/10��u�.�rt0�2X}���.�2^.�.�2m.O5�7^�f�f����/v��46.�2t��0�,�4^u���nO����2t��2^3���n8083�0X����.}�.�/prq��2�0�/J�f0�u;}�.�2�u��f4�2�.�u�.�2t��4^u�n80��^��.�u(�

��

� ���

�B���

�B���

�B� ���

Page 15: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� ���H0�/ }���2 ¢ W���W�P�� L�W�W^V

?8V

��� ������ ��

9 .�2�u�����2 .�2 .O�^n80��^�f. ? � �� y ��� �

9 .�2�u�����2 .�2 .O�^n80��^�f. L � ��� y � ��������

9 .�2�u�����2 .�2 .O�^n80��^�f.�¢ � ��� y ������� �

��� ������ ��

� y� � V } |α ! ?(L�W uv.�2

αy N�W � � y ? � ¢ A r

_a`b�c�dfeOgihij#" �J2 .O� .�uv5�7�.�rt0�3�.6��0 � � | 7�/v0�083�$ 7�2X}�0#��7�2o�^��4�5�7^.�3�. ]�W�D 3�.�,�.�uv4q.�up}�~�7�2^��3�4o0�} /1.�u n80��^��.�u3�4^u�3�.-.O�f�f4^u�n84�2X}�.�2^��3�4^u�.�267�26,^�f0�2�4&%�4�/v�('84�2X}�0O� ����.}�.�/prq��2�0�/���0�u�}�.�2�u���4X2�.�u�.�2t��4^u�n80�� ��.�u(�

_�`b�c�d eOgMh j�) �J2z.O� .�uv5�7�.�rt0 3�. ��0 � � | 7�/10 083*$ 7�2X}�0 ��4 uM} /1.�u n�7�.�/p,^4^uM7�2^��3�4^uM,�4�/in80��^��.�u .�u }�~�2x.�2.O5�7^�f�f����/v��4���+ 4^u �^��4�5�7^.�u-,K�/. ,^.�uv0�2 ]�W-D n8083�0�7�2^4��q.����^��4�5�7^.10 ,�.�uv0 N�W-D �O��.}�.�/ rq��2�0�/�.O�32�0���4�/�3�.�

�54

6

��

α

�87

�97�:7 �:7

; 7

<=

>

?

Page 16: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

¡ /v4��^��.�rt0�uJ3�.��aup}�~}��fn80X�

?�]

��� ������ ��

h���� 7�0�2�3�4 ��0�}�.�2�u�����2t.�2t.O� nO0��^��.%�4X/v� '84�2X}�0O� uv.80�2�7 ��0#��.�2t.O��,�7�2X}�4 0YnO4�2�n�7�/ /1.�26} /1.�u ��7�.�/�'80�u�� ,^0�/10-5�7�.-.�up}��.�2 .85�7^�f� ����/v��4tu 7ou 7�rt0 %^0�3�.�u�.�/Jn8.�/14��

_�������� � y W

u���.�2�3�4 � s�f0�� 7�.�/�'80-5�7�.-. $.�/1n8.-.O�^n80��^��.�7�2^��3�4 0���,�7�2X}�4 ,>.�2 .O��,�7�2X}�4 0 � � � .O� 2�0O��4�/J3 e�� �

� 4�2�3��fnO����2 | /1~8�1��n80-3�.-.85�7^� �f����/v�f4

� 7�0�2�3�4H�f0M}�.�2�u����X2K.�2K.���nO0��^��. , 0 uv.80 2�7 ��0 .�2 .O��,�7�2X}�4 0 n84�2�n�7�/p/1.�2 } /1.�u � 7�.�/�'80�u�� ,�0�/10 5�7^. .�u }�� .�2.85�7^�f� ����/v��4tu 7ou 7�rt0 %^0�3�.�u�.�/Jn8.�/14��

_����J:������ y W

u���.�2�3�4 ��� ��0-��7�.�/�'80-5�7�.-. $(.�/1n8.-.O�^n80��^�f.�7�2^��3�460O��,�7�2�}�4 . .�2m.���,�7�2X}�4/0 � � ��.O� 2�0O�f4�/J3 e�� �

_�`b�c�d eOgMh j�� �J2i.�� .�uv5�7�.�rt063�.m��06� � | 7�/106083*$B7�2X}�0#� 7�2��^��4�5�7^. 3�. ]�W�W D 3�.�,^.�uv4q,�.�2�3�. 3�. 3�4^u�n80��^��.�u(�� .}�.�/prq��2�0�/��^0�� .O� ��2X}�.�/ 2�0���4q3�. 2�0O�f4�/1.�ua3�.6��0�� 7�.�/�'80 � ,�0�/v0�5�7^.�0�rm�^4^u nO0��^��.�ua.�up}���2t}�.�2�uv4^u F ��� .O�-2�0O��4�/3�.-�f0�u;}�.�2�u��f4�2�.�u�.�2t��4^u�n80��^��.�uC,�0�/v0 � y VXW�W�D ����0}�4��O} |

αy A&� ¢

�� �!" �#

α+= $&%('

)$�%('*

� � y ¢ L�] � L D

+-,

.

/�0

1325476α

8925489254

:

13254α

;

<=

Page 17: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

������������ ��������������������

���

�! �"��$#��&%' )(��+*-,+�&#-�."�/./-0'1��32$��4��5�

67���+�.0'1�/82 :9 " �9 #-��4�2&/ 9 / 9 <;� =</� 95 �9?> 2$�A@B��(� ��C31�"D"�/82&�E,�1�/��+F-�G��H�2$�&#-��"��JILK��G"�/ 9 �M�� 9 ,N�-#-/��O2&�.# �"��&#��&%P

�P��Q > �SR≤

I≤

� �'�TR

U�V)67���5�W/�2AX���2 �YI Z �'���[R > 2&� 9 �/� 9 � �/ 9 /� E2 :9 " �9 #-��4:2&/ 9\95 ]"�� 9 ��� �<� 9 "�/W#-/�� �_^O ]/�2`H�1� P <# �#�1��a�+/� )#�1���3� ,�1�/��+F-� 9?> 2�1�/-( H����+�.0'1�/./ 9 </./� )/-0'1��$23��4��5� B9 1D�+/ 9 1�2C<�� P</.�."�/ 9 /��_#-/�� �

�! �"��$#��&%' )(��+*-,+�&#-�."�/./-0'1��32$��4��5�

IcbdZ �-e�f �g�AR h IjikZl�����:� �GR

InmoZ � �'�TR

.:Op

:qb

α

rs?tMuv�wPxsytMuz{

=

|

:~}

α

: b

�����

Page 18: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

6~� 4�2&/�@B� 9 "�/A^ 9 <*M��$#-�P�

��e

������������

^n0'1��$2$� 4��5� /� )/�2�H�1� � �� ^j0'1:�$2$��4��?� /� )/�2�H�1� P ��

� H�2$�&#��� �" 2&�82&/�� "�/�2 9 /� B9 /A��&/� �/

�� �������

��� �!

" #$ %&�' ()

(+*�,-

. H�/��+�� �" 0'1�/-"��

αZ ��� > QP�0/ h 1 Z � Q����:� e R h 2.i Z � � e���> � R h 2AbdZ � f�f Q > � R

354�6 798;:=<?>A@CBAD�E�F5G�HCIKJMLCE�FNL HPO0QRHCSUTVIWFYXPI�LCIWFZE�F\[^]`_ba�c dPegfih [9jk_ml c0nCegfoIWFpQrqKOsHPOutVXPE�FkvwIxXCtVSKO0QrIHPOyGxSKzuTVI{h|F+I\SKLuE=h�SKO}FZE~zPJ�I�HPOCS�FpHPLuIKJ��ptVGUtVI\GUt;T;��OCX0JZtVGxSbT;t�FZS�QrS=TAGxE~vwEyFZI��CI\I�O�TVS��ptV�WH J�S\S=X���HPOPQrS0�D�I�QrIKJpvAt�OCSKJ�TVSYQrIKO9F+tV�~O�XPI=TuGxS�zuTVI=�PT;SWF�OCE~JMvwS=T;IWF�IKOwTVEuF�SKLCE=h�E�F�hAI=TuqKOC�WH�TVE�XPIIx�~Hut;TRt�zPJZtVE9�

[ j

fg�α[^]�

fg�

α

[�][�j

αcCe− α�

c e− α α

Page 19: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�=���{SKJ Q t�O�� e�� ePc���lCePe�

a�c

��� ����������

��� ������� �� ���

"!$#%

"!$#&

$!"# ==

��� ����������

')( _|lC� d dbv

354�6 798;:=<?>g@+*�,^OATVS �ptV�WH J�S SxX���HPO0QrS I=TCz�TVEP�~HCI X I-�~ePef�XPI LCIWF+E�F+IYvwS�O0Q tVIKOuI I�O�I=�~Hut;T;t zPJZtVE�IKOwTVS LCEuF�tVG=tV�~Ot�OCX tVG=SxXPS�zCS ��E TVSgSxGxG=t;�~O X IgTVSg� HCI�J/.xS10 SKL�T;tVGxSxX S�IKO I=T I�2PQRJZIKvwEsTRt�zPJ�IgXPI�TVS�G�HCIKJ�XPSg�~HCI�LCSWF+S LCE0JNTVS LCE TVIxS3��D�I�Q IKJMvAt�OCS�J�IUT0�CSUTVE~J^XPI TVS� HCIKJ4.xS0�

354�6 798;:=<?> @P@5,^O I=TYIWFZ�~HuIKvwS XPI TVS ��tV�WHPJ�S SxX���H O0QrS=�kI=T�G=SKzuTVI-687�IWFMQrq HPOutVXPEmLCE~J�FpH I�2PQRJ�I�vwE97�S HPOv�HCI=T;TVIsGKHWh�SsGxE~O9FMQrSKO0Q IAXPIwJZtV�Pt;XPI�.AI~F;:s_<�~ewf=�Rv �?>utNFZIwS�LuT;tVGxSAIKO IUT^I�2PQ�J�IKvwE@7 XPI=T�GxSKzuTVI�HPOCSA� HCIKJ/.xS�CIKJ Q tVG=S=T9XPI~FZGxIKOCX IKO0QrIBA ( _DCWe f}I=T`F+trFMQrIKvwS�IWFMQrq�IKOAIx�~H�t;T;t�zPJ+tVE�GKHCS�OCXPE�I=T9qKOC�WHuTVE

θ_ dPeFEN�=DgI�QrIKJMvAt OCSKJkTVS

TVE~OC�Pt Q�HCX�OCS�QRHPJZS=T 'HG XPIUTPv�HuI=T;TVI

I

JLK

M

NOPK

O/QSRT

UWV

I X$Y R M

NFZ

[+K

T

\-]_^�`Fa�bcaed

N

fg

h Y R

O4QSR

Page 20: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

[9JZE~zuTVIKvwS~F^X I ,5FMQrq�Q t;GxS0�

lue

Equilibrio del sólido sin rozamiento

> �

���

� �

354�6 798;:=<?>\@�� [ SKJ�S TVE�F F�tV�WHutVIKOPQrIWF X t�FpLuEuF+t Q t��CEuF+� GxSUTVGKHuTVS�J?T;S Q IKO F+tV�0O X I=TgGxSKzuTVImh TVS JZIxSxGxG=t;�~ObI�O TVSSKJ Q tVG�HuTVSxG=t;�~O���,kT LCI~FZE�XPI TVS zCSKJMJ�S�FZIGxE0O F+tVXPI�J�SXPIWFpLPJZIxG=tVSKz�TVI0�

X$Y R�

T

J Y R

h Y RJ Y R �

Page 21: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�=���{SKJ Q t�O�� e�� ePc���lCePe�

l^a

��� ����������

Page 22: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

[9JZE~zuTVIKvwS~F^X I ,5FMQrq�Q t;GxS0�

l l

��� ����������

3Y4�6 7 8;:U<?>s@�� [ SKJZS�TVEuF X t�F�LCEuF+t Q t �CEuF XPI=T L J�E~zuTVI�vwS�SKO0QrIKJ+tVE~JZ��GxS=TVGKH�TVSKJ TVS�QrI�O F+tV�~O?XPIUT G=SKzuTVI h TVS�J�IxSxGxGUtV�~OIKOwTVSSKJMQ tVGKHuT;SxG=tV�~OsF+t�TVS~F zuSKJMJ�SWFNFZE0O��uE~vwEP���KOCI=SWF h FpH LCIWFZE IWF�XPIAa�lCe f �

Page 23: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�=���{SKJ Q t�O�� e�� ePc���lCePe�

l �

��� ����������

>CE~zPJ�I TVS zCSKJpJ�S?SxG�Q��CSKO GKHuS�QRJ�E � HCIKJ/.xSWF�� ,kT LCIWF+E 3N��T;SWF OCE~JMvwSUTVIWF�IKO TVE�F�SKLCE=h�EuF � �~� � � h{TVS � HCIKJ4.xSSKLuT;tVG=SxXPSIKO�I=TuI�2PQRJZIKvwE � �

DgtVSx�WJZSKvwSXPI=T9FZ� T;t;XPE�T;t�zPJ�I

� E~OCX t;G=tV�~O�XPIIx�~H�t;T;t�zPJ+tVE

��E~vwSKOuXPE�vwE~vwIKO0QrE�F JZIWFpLCIxGKQrE�XPI � �� '− ��� ' G=EuF � eFE _ e

LCI�J�SKOCXPE��~HuIxXPS � ��_� ������� � ����������������� � �!�"�#�$�

%'&)(+*-,/.103254#687:9#;=<#;?>@>A;CBED�FCD�GIH?9#J1;LK+J=MEN�NL��K+JCOEJ PADRQTSUD�9#G�VXW/YEK5Z[PAJL;?O#D1Q\;3PAD�<�>AJ=K�D\P]P^Y+O#J?>`_^VUa1VbJ PS/V�PA; PcWd;1S-a�D�FCD�PAJ�FeY#J P^W/>`;fJ?9�Sb;f_^VbG Y+>`;f;�KhgiY�9IWj;�k1l]J?WjJ?>@F=V�9E;?>nm�;�opJ1S#q#;1SbDI>rK�J:Sb;:_dY#J?>^s�;ftuO#;?>A;�FC;?9IWjJv9#J?>rSb;<E;?>@>`;�J?9wJ�x�Y\VUSUV�<�>yVbDzJ?9CSb;nO#DEPyVba{Vb|�9CV�9#K+VUa�;�K�;]��<#o}Sb; P}>`J�;1a�a1VbD�9EJ PpJ?9CSbDEPp;?O#D1Q\D\P~k

� N��

t

�f�

�f�

%

���f�e�����@�h���{���L���� ���i� ���{�������

�I� �d�b�h�����1��� � ��� �y� � � � � � �)��~� �n�X�@�~� � � �i��� � � �U�~�

%

��

 

��NI�� NI�t ���

� �

 

�+N��� N��t

Page 24: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� >AD�<ESbJ?FC;�PcK+J��[P@W��)WdVUa�;Ik

M��

��� ������� �

� DI<�>`J3Sb;L<#;v>@>`;R;�a)W��#;?9ua?Y#;)W�>`D _dY#J?>^s�;�Pwm���SpO#J�PAD5% �cSb;�P�9ED�>@FC;1SbJ�PfJv9uSUDEP:;?O#D1Q\DEP����I� ���zQ Sb;�_dY#J?>`s�;;?OESUVba1;�K�;�J?9wJ1SEJ���W/>AJ?FCD � k

l Vb;�G >A;?FC;�K�J1S PA|+SUVUK�DeSUV�<�>`J

� D�9#K+VUa1Vb|�9wK�J�J�x�Y\VUSUV�<�>yVbD

�pD�FC;?9EK�D]FCD�FCJ?9IWjD\P >AJ P^O#J�a?WjDzK�Jn −��� Z �i� � �1�1� ������Z �i� � �1�1�=�"N

� O#Jv>`;?9#K�Dzx�YEJ�K�; ����� � � � �!��� ���@�h�� {��� �∆ZE� !#"$%

=&'

%[&)(+* ,U.103254)(87:9#;=<#;?>^>`;=B#D�FCD�GIH?9EJ�;�K�J � N�NL� K�J=O#J PADRQ SbD�9#G�VXW�Y#K5Z[PAJL;?O#D1Q\;3PAD�<+>`J=K+DEP]P`Y�O#J?>`_`Vba1VbJ PSUV�PA; P Wd;1S a�D�FCD5PAJ FeYEJ P@W/>`;eJv95Sb;e_^VbG Y�>A;e;�Khg Y+9IWj;Ik � J FC;?9IWdVUJ?9#JeJ?93J�x�Y\VUSUV�<�>yVbD=<#; g~DRSb;z;�a1a1Vb|�93x�Y#JeSbJzJ g)J?>`a�JY�9zFeY#J1SUSbJnY�9\VbK�Dz;:P^YwJ���W/>`JvFCD: �K�J�a�DI9-P@Wj;?9�WjJ+*�� �IN�N��-,/F3k�l]J)WjJv>@F=V�9#;?>cJ1SE;1SU;?>`GI;?F=VbJv9IWjDzK�J1S+FeY#J1S/SbJIk

 

��N��� N��%

���f�C� �^�y�. 1���L�e�����^�y���1���L�R� �� �i� �/ {���L� ��� �i� ���{���

�I� �d�b�h�����1��� � ��� �y� � � � � � �)�� � � �X�@�~� � � �i�1� � � �b�)�

t

���

� �

%0�132

%

��

 

��N��� N��

t

���

���

Page 25: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�1k��$;?> WdV�9 � N ,dN�� ,�M#N�NE�

M-�

��� ������� �

� DI<�>`J�Sb;n<#;?>@>A;�;1a)W �#;?9 W/>AJ Pp_dY#J?>^s�;�P[m ��S+O#J�PAD]% ��Sb;n9#DI>@FC;1SEJ?9wJ1SE;?O#D1Q\D ��� QLSb;n>`J�;�a1a1Vb|�9wJ?9 � kl Vb;�G >A;?FC;zK�J1ScPA|+SUVUK�DRSUV�<�>`J�k��r;za�D�9#K#Vba1Vb|�9�9#J1a�J PA;?>yVb;]O#;?>`;zx�Y#J]Y�9 PA|#SUVbK�D3PAD�FCJ)W VbK�DL;�W/>AJ P _ Y#J?>^s�; P[J P@WdJ

J?9wJ�x�YEVUS/V�<�>AVbDzJ Ppx�YEJ�SU; P W/>`J Pp_dY#Jv>^s�; P PAJ�a�D�> WdJ?9wJ?9zY�9zF=V�P^FCD]O�Y�9IWdD�� DCPAJ�;v9 OE;?>`;1SbJ{Sb; Ppo

� D�9#K+VUa1Vb|�9wK�J�J�x�Y\VUSUV�<�>yVbD

�pD�FC;?9EK�D]FCD�FCJ?9IWjD\P >AJ P^O#J�a?WjDzK�J � �����@�h���{� Z−����Z �i� ��� �{�L� N

� O#Jv>`;?9#K�Dzx�YEJ�K�; ����� M}�)� � ������� � 2 ���r�f� � Mc�)� M �

%[&)(+* ,U.1032C4�� 7:9E;�<#;?>^>`;�B#DIFCD�GIH?9#J�;]K�J � ���:� K�J�O#J�PAD]Q3SUD�9#G�VXW/YEKCZ�J�P@Wj;:;v> WdVba?Y\Sb;�K�;]J?93P^Y�J���W/>AJ?FCD � QPAJ ;vO#D1Q\; J?9 P`Y�J��+W/>`J?FCD   PyD�<�>`J Y�9#; P^Y�O#Jv>`_^Vba1VUJ SUVjPA; Wd;1Swa�DIFCD�PAJ�FeY#J P@W/>A; J?9 Sb; _^VUG Y�>`; ;1Khg Y�9�Wj;Ikl]J)WjJ?>^F=V�9#;?>pSb;�>`J�;�a�a{Vb|�9wJ?9CSb;�;?> WdVUa?YESb;�a{Vb|�9�k

�1���

� �

���%

α=

α+= � ���� �

!"$#&%

'"$#&%(

)*,+ -/.0 -

�I� �d�b�h�����1��� � ��� �y� � � � � � �)��~� �n�X�@�~� � � �i��� � � �U�~�

%

��

 

1���

� �

���

 

1�1��1� �

�1�{�

α

Page 26: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� >AD�<ESbJ?FC;�PcK+J��[P@W��)WdVUa�;Ik

ME�

��� ������� �� DI<�>`J�Sb;n<#;?>@>A;�;1a)W �#;?9 W/>AJ Pp_dY#J?>^s�;�P[m ��S+O#J PAD]% ��Sb;n9#D�>@FC;{S#Jv9eJ{S#;vO#D1Q\D �f�'QLSb;n9#D�>^FC;1SEJ?9 � ��� kl Vb;�G >A;?FC;zK�J1ScPA|+SUVUK�DRSUV�<�>`J�k��r;za�D�9#K#Vba1Vb|�9�9#J1a�J PA;?>yVb;]O#;?>`;zx�Y#J]Y�9 PA|#SUVbK�D3PAD�FCJ)W VbK�DL;�W/>AJ P _ Y#J?>^s�; P[J P@WdJ

J?9wJ�x�YEVUS/V�<�>AVbDzJ Ppx�YEJ�SU; P W/>`J Pp_dY#Jv>^s�; P PAJ�a�D�> WdJ?9wJ?9zY�9zF=V�P^FCD]O�Y�9IWdD�� DCPAJ�;v9 OE;?>`;1SbJ{Sb; Ppo

� D�9#K+VUa1Vb|�9wK�J�J�x�Y\VUSUV�<�>yVbD

�pD�FC;?9EK�D]FCD�FCJ?9IWjD\P >AJ P^O#J�a?WjDzK�J � � � M � a�DEPα −�

������ �"N

� O#Jv>`;?9#K�Dzx�YEJ�K�; � � � �� � a1DEPcM

α� � �������

α � ���� �=−α−α ��� ����!� � α "$#�%'& #'(

)+*-,/.1032547698�: ;�<�=?>�=�@A@B=DC!E�FGEIHKJ�<�L5=DM�L�N�E )PORQSE�<!HITVUXW�Y9Z[L�N\U]=?L�<^L`_�W T3Q3Ta>I@bTSE9L�<9WI<�=?c5=-d!TSYI=`YN�L�FTSL�NbeAJ�@�TSc5=fQ3TgN�=hYILi@�=`Y/TSEfjkU]=lQmc`E�FGEnN�LiFhW�L�NAUX@B=hL�<oQS=pe\T3H�WI@B=p=`YrqsWI<KU]=KtIu�L-U]L�@\FTa<�=�@+L5Q1d�=5QSEK@vY/L5Qxw�<�H�W!QSEYILyL`_�W!T3QXTa>I@�TSE

αNbT!Z!z7{5jyt

}i~

���

=α �������-�K� �

� ����-���

�K�a���S�r�����5���5�����'�b���'�s�a�����-��'�����V�A�'��� ���s¡`¢���� �3�'�

α

)

£

¤

¥

}i~

���

¦

α

α

α

§§

¨

α

α

©

α

¨

ª©

Page 27: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�5t�� =�@ U�Ta< {���������� ����

���

������������� �

� EK>I@BL�QS=�>�=�@A@B=�=`c-U ��=�<hUX@BL�N e�W�L�@"!`=�N$#%�Q�M�L�N�Ei)�&/QS= <!E�@AFG=5Q L�<GLlQ =�M�E5O E ���vO QS= @BL`=`c5c5T('�<GL�<*) Y�Ta@�TSHITSY/=M�L�@AM�L�<�Y/TSc�W QS=�@AFGL�<IU]Ly=yQ3= H�W�+S=Kt

uiTS=`H�@�=�FG=pYIL5Q N,'/Q3T3YIE[Q3Ta>[email protected] =pc`E�<�Y�TSc5T('�< <�L5c`L�N�=�@bTS=�M�=�@B=p_�W�L�WI< N,'�Q3TSYIE7N�E�FGL-U TSYIE =�UX@�L�Nve W�L�@"!`=�N+L�NAU�LL�<fL`_�W!T3QXTa>I@�TSEpL�N _�W!LyQ3=�NmUX@BL�N e�W�L�@"!`=�N N�Lyc`E�@ U�L�<fL�<pWI<pFTgN\FGE�MIWI<KU�E0/mEGN�L`=�<iM!=�@B=5QSLlQS=�N21

¦ E�<�Y/T3c5T('�<fYILyL`_�W T3Q3Ta>I@bTSE

)+*-,/.10325476G8 3 ;�<!= >�=�@A@B=�C�E�FGEIHKJ�<!L`=�Y/LiQSEK<�HITVUXW�Y Z O M�L�NbEf) L�NAU�w WI< TSYI=�M�E�@�WI<�E YILpN\W1N L54IUg@BL�FGE!N =�WI<M�=�N�=`Y/E�@ _KW�L M/W�L`YILDYIL�NbQXT6!`=�@ NbTa< @BE.!`=�FTSL�<KU]E M�E�@ WI<�=DH�W�+S= d�L�@ U�TSc5=5Q�t�- =k>�=�@A@�=?N�L =�M�E5O =?N�E�>I@�L WI<�=N\WIM�L�@�e\TSc5TSL clT3Q7+a<�YK@�TSc`= Q3TgNb= Y/Lo@�=`Y/TSE jyt � T Q3= Q3E�<�HITVUXW!Y Y/L Q3=o>!=�@A@B= L�NG{5j8&vYIL�U]L�@AFTa<!=�@fL5Q w�<�H�W!QSE

αYIL

L`_�W!T3QXTa>I@�TSE1t

9 :; <=<

>5?�@ =α

=α ACBED

F.GIH�J(KMLONQPRKQPRSHTK�UWVN�UXGISCYK5HU�SCY$J[Z\K�H]G^YEUX_a`�YG^J7N�H

b0c

d*e

f

α

f

g

h

ib c

d e

j

α

α

k

l

m

no

α

Page 28: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

������������ �������������������� !

"�#

$%���� �&��'�(�������&!���)�*��+�-,.������/�'$i 0 e j i− 1 α2+3.45

687 9;:

<(=� ?>-�@+A'�B C��������&. DEGF=α

HJIGK

L ,.M�B �&.�'�/N�A���' ( ) OPQR

=+αα S�T�US�T�U V α WYX�Z\[ ]\X_^

`)acbed/f?g\h d

f�i�j�k�l�monqpsr.t j o���A��� ��(o�u,�+���v����wG�x���sN�A.y,'A.��'v����,.������ ��z� {+���|��A����|A'�B {�'{� q>B�@+A'�B }�~��� ���M&G�����&����w)�x�� (�'o���o ����(+�(� :�:': b��q� ?����wG�x�� ������c,��B+����!&8N�A.?,�A.��'z����,.���J�� ��u� ?�� ����B ���u�' " :�:': by � �� b������&G�����'��B ��%��.,.+���c�'��� ��. ����B ' ai��u���)��.,.+���c�'��� ��. ����B =���� :': b��)�-A8���&.@'�x�|A.���C����� ?�� ���@! �N!A.�,.�&.�'�'o���w'�|������*i��� " :':': b ���.��B���c,.=� ��. ��-�B o�

������

�!�M�

Page 29: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�o �� ��J���x&�� :���:��� " :':�

" �

`)acbed/f?g\h d

f�i�j�kGl�m�nqp�r ���C&��� M�J��o� �'=,.������ �� @���A.��@! C�'�A'&q����,.���J��?�� o� �������y��=�cA.����|�B (�& � (>-�@+A'�� C ����_A'&!�� ' j ����A�� M���� ����&G����!&y��o� �� ����=� � ���� ����o����& M&y� z ��J�J���A�� o�o���& h )��� � ����&G������&8����w)�x�� zN�A.���z���,'A���' �,)����� ��� o���� M���?+�=� :':': b��!� j A.�o��+�%o��,.+���C����w)�x���/�'o���� �����o��N�A.C���,'A.o�'?�����@! ����&�i��

� �

1 �

� � �C�

" �

Page 30: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

������������ �������������������� !

� :

Equilibrio del sólido con rozamiento

������������ ������������������������! "�$#&%��(')�+*$'-,�.$.-/0*�'"1('32��+465�!��#$798;:(*�<=2�'-��1(��4>�?2��!�$�@'-*$�>2A2@:$1�'��@B@7DC�7D'32E8F�G5C)�! "�?2�'� H:�'32�8I�@�J'��?5D�JBK7D#3:$�@�J�)*MLM:$�&8N�&O&PQ�"2K:$1('��@BK7DCG7D'H7R��C�57S���)*$�J'32T57I2U�E4�5D�����!�U7SV)�!�&8F�G5��K:�#&�(2��&O!WA'�8F'��� X7S�����ZY�)[\'�5�]���5D�!��*$'H5D�JBN:�'^�KV)�J*$'��@�&V)�� X7D'^�&8F�-'���_`1����@�� "���&8N'���'��=5D�������K�@�J'���')a!:(75;7R�$��7D��'���5D�b1��(2U7DCG7Dc!��7R��*�7DC��)*$�"d��[e'�5(C)�$')BK7C�7D'��&8N'f*�'=���&V)�� X7D'��$8F�� XgR�(7R "��1������f'G5�'�a!:(757S�$��7D�hO

i>jHkmlJnEoqpJr

!s t��!���@'�5D�u���������b�)C�8Iv�����C^:���8;�@�XBN:�'��@V)�32EY$wx5>1�'!2��H�my(5�32Q���&�� "��5D'32m'��-5�(2\��1(��4>�(2 rZz y rZ{ 4+5D�uB|:�'��KV)�b}*$'T�@�&V)�� X7D'^�&8F�J'��T_AO

WA7D�)#3���� "�E*$'�5�2�c�57*$�H57R�$�@'

~ �!��*�7C�7Dc!��*$'E')a!:>757R�$�U7D�

���! "���(*$�� "�! "'��&8F�>2e��'32K1�')C�8F�J*$'=� �E{�<− ��� <(C��(2���.!�+��.

� 1�'^�@����*$�Ja!:(')*$��� { ���3�$yR��/ � B?������/

�$.!���.!�

��.!�

}

r z

r {

� zu� � {E�����E�G�)� � �� {f ¢¡3�£�G�)� ��¤

¥&¦ �N§D��¨Z©xª��xª�¡3�£�q U«3©q  ¦ ¡��3��� q¡��T§9¬��q� ¦ �! ¢­)®^� ¦ §©q�

¯�

��.!���.!�} r {

r z

Page 31: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

��O�� ���|8N7R� ��.��N.����I,�.$.(�

��

�(s� ���@� '�5bC��$')BK7DCG7D'��&8F' *$' �@�&V)�� X7'��&8F�� XgR�(7R "��yf5� �����K�@� '32K8 � '�� '32�8F��*$��*$' "�3](7R X7D'^�&8F� 7S�$ X7R��'��$8F' 4`5�C)�!���@'!2K1��!��*�7D'��&8F'EBN:('��KV)�E*$'T�@�&V)�� X7'��&8F�J'32Q5D�T ����>7S "��y$5R:�'�#&��2U'fC^:$ H1(5D'Ea!:�'`¤��b�

µ���

wx5$]���5D�!� *$'x��� '32��^�!�$yR�f/ y&*$'E*$�!��*�'fa&:�')*$�E'�5$]���5D�&�µ�?.$y��h�

i>jHkmlJnEoqpJr

WA7D��#3�@�� "�-*$'�5�2�c�5;7D*$� 57R�$��'&O t��!���@'+5D�X�������@�-�)C�8;v������ BN:�'��@V)�32"Ye5�(2Z1�'32��(2�*$'+5D�X���������J46'�5��(5D��a!:�'�y 5�8F'��h2U7c!��*$'G5�C)���>5D'T4�5�Z�@'32@:(598F���$8F'�� '���'�5h1$:$�&8N�"*$'���1���4>����y(a!:�'�'32m5D�H2K:$ "��*$'�5D�u���!�� "�G5�4+*$'A5D�bB|:�'��KV)�u*�'�@�&V)�� X7D'^�&8F�hO

~ �!��*�7C�7Dc!��*$'E')a!:>757R�$�U7D�

������������ ��$�"Px�Z�����K�@�Z���& "�$#&%���')�\_���*�'�5D��BK7D#3:$�@���)*�L¢:$�&8F��� *$'u "�32����`� �"!�#`4+5�!��#$798;:(* <h�?,� Xy>2�' "���&8N7D'^��'H'��?')a!:>757R�$�U7D�+��1���4>��*$�H'��?'�5£���!��*$'J*$'�:$��2��!1��!��8F' � .>O �H *�'�2@:+'#�$8;�@'� "�u_ 4+ "')*�7D���&8F'�:$�C)���(5D'X:$�>7D*$� �?2K: '��$8;�@'^ "�$�ZOhW�'�5x'��$8I�@'� "��_ 1�'���*$'X:$� C�:('���1�� *$'X "�32����"%x��� !�#�O>WA'�8F'��� X7S�����HY �)[*�7R�$:¢L����b'�5\*�7�)#3�@�� "�+*$'G5=2�c�57D*�� 57R�$�@'+*�'�5D������������d ��[EC)��5DC�:>5D���b5D�"8F'��h2�7Dc!� *$'�5xC)���>5D' d C)[Z5D�-BN:�'��KV)�-*$'�@�&V)�� X7D'^�&8F�-'���'�5 ��1���4>� d>*�[m2U7 '�5 ��1���4>��2�'AC)�!�h2�7D*$'��@�J57I2U��y>*$')*!:(C�7R�T2U7£'#�>7I2�8F'^��]���5D�!�@'!2m*$'&� 4'� % 1����@�a!:�'Z5D�T���������u2U'= "�^�&8F'���#&�E'���')a&:(757R����7D�J'��"5D�T1��(2U7C�7Dc!�"7R��*�7DC)�)*$�$O

_

(�)+*

� %

,

-/.

}

0

(�)+*

1

2

3 (�)+*

(4)+*

576

Page 32: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

����!�(5D'� "�!2 *�'=w�2�8 ��8N7C)�&O

�$,

���! "���(*$�� "�! "'��&8F�>2e��'32K1�')C�8F�J*$' ~

�������������

����� � ��

+= ������������

������������ "!$#&%��� '�()*�*)

)+,==

-.

/"%103254627%�89���� '!:���<;=�>0��?�%"�� "����@�%���@A4CBD�E '��;=�F@A!&�� '4C@�4CB&�< "����#&%G47;=46H"�I4=!<0�J2K4C�����

LMNO MP== QR

/94S�G!UTG�V8W�I!DX���YZ4C���"2[!'\]0I�����^@�%G�A;C��0$0I�����^;=��0_Y`��0I�ba 8caEde;C��0>@�!&YE��!&�G���D2[��0> "�f;C!G0�����0I!90J8g "�b;=�2[���104=B&�<���`;C�� '46����@A@A4CB&�< "�_;C�hH��������h��!`0I��@�����@���;C���G\";i%���?D!j��!j�"%��� '�kTG��H����S��#&%94=;=46H"�4C!1l

mFnFoqpfr3sut�vAwhx$y'zGx"z|{~}1�V��r�v�w��� o�pZ����r�vAw��Gx�y�zGx"z�{�}�r3st_vAwA�

�D� r5�Csu�_���As��A��r�s������� � ��t�s�r����th���3s�r � t&�V����t � �=��r

� �

�� {�

� ���V�

v�w��

v�w��

Page 33: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� l�� ���K2546������������ ������

���

���������������

4C�A?�����Y`� "�A;_0IB';=4C '! ;=4iH"���Dl /�!DH"��� ;C� HG���3��� ��@�2"!G���$#&%5%�����X��&0(' �A; ����0I! "� ;C� H����3���Z8 "�A; H9;C!"#&%���\�;=�2[���104=B&�Z "�A;�@���HG;C�h8 ;C������0�%G;�2[���"2[��)+*_���Z��;G�"%"�D25!< "�_����!�89!-, \"#&%��_�&0�;C�j0�%"Y`�_ "�>;=�F��!&�3Y`�A;D8b "�>;=�.%5%�����X��_ '���!DX���YZ4C���D2[!1l�/��0%K%�����X��� "�h��!DX���YZ4C���D2[! 254=����� 0�%21��A;C!&� Y43(5146Y`!6%87�9

µ : *

;J!&�� �4C@A4CB&�< "����#D%G4=;=46H'�I4C!

<>=@?�ACBEDGFIHKJ�L / � H����3�I�>T�!DY`!"?NM�������O�P "�$;C�Q%�4C?�%"���:�� SRV%"�D2[�UT '�>Y`��0� a 8 ;C!&��?"4�2 %� WV7\�0I� Y`���D254=�����:�����#&%94=;=46H"�4C! ����!A89�� '�b���W��;SHG!&�� "�X, "�`%"�g0!&��!&�K25�A\�2[�A; #&%��-Y2;Z9[V\�]� 8WY`�� '4C���"2[�<%'� @���HG;C�`%"�G4C "! � 0�%�(5"2 ����Y`!^P�l �A;h�(5"27�I��Y`!_O �����G "� %'� @�%G���3��! "� Y`�&0I� aEd>9`#ga`l ��2[���3YZ4i�����a' �A;b1���;C!&� YKci�G46Y`!g '�A;@�!"�G%�4C@A4C���D2[�� "�h��!DX���YZ4=���D2[!

µ��������#&%��_;C�hH����3��� 0I�hY`���D2[����?D�����<��#&%G4=;746H"�I4C!$���`;C�h��!904C@A4CBD�<4i�� '4C@��A "�Dl

d

e

f gUhji

klknm ioi

prq

m n oqpfr3sut.s�tJx$y'zGx"z { }1�V��r�vut��µm n xqpZ����rvs�t��qo$y�z�x'z { }�r�st�vut��

�D� r5�Csu�_���As��A��r�s������� � ��t�s�r����th���3s�r � t&�V����t � �=��r

O

P

,

w hxi

< d

<

y� z

{ | }~U�x�

� z� �

~��x�

{ |� �x�

~��x�

Page 34: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

������������ �������������������� !

"$#

%&���� (')�$�*�������'!�����+�,-�/.)0�����1�$32

4�5�67�8:94;< 5=?>

<< 54 @ ABCBCB

+= DE-F)GDEHF�G

I .)��, (')�$�1J�K)��� LNMO P�QR S

=

T KU�����V�WK-XY�')���Z('[�� �.����V����, 3��(K) ��0�\!']��3�� ^�0��')����H�\�'[�$3�J�K��W���V�$�����[�?��_��')

`&abZc d-ed-f=

gih,�V') 0�V��('!��3�$j� k���l-K$'��$ 3���K) ��H�\�'[�$3�J�K��W���V�$�����µ mon-prq(s

tYu]vxw1y3z|{1}~)�����,���0�^�0�����V�����,�������W�����������)�(�/���-���N�0���)�-�?�����$�0���0�������)���,���x�����������/�����)���������!�!���0��� �$�0����������¢¡£���

�,�-�/���V�����!���^¤�¥j�(���0�)�$�$�!���]�$�j���)�0¡Y��¦o��§��)�j�-�¨���*�/�$©��j�$�ª����)�!��©��0��¡����3���^�_�)���/���3�$���,�!���(©«����!����¬(­N�3���)���,����$���,�!����©«��(�!���k��������ª�,�*®)�H����¯©�°�±Y�V©��²��³-´

µ µ ¥¶ ��0·-�,��©��3�$�0����¸��W��$�]���V�$���¹¡«�����)�����0�¸��[�$�3��§��Y�����V�$�?��U¬

º�»�¼�½�¾�¿0À�Á�Â)Ã[Ä �Å�0�����V�����,���)��©��$·!Æ������«���ª�)����� º ¡¢�,���)��ZÇ����Z���)�0¡Y�[�������,�ª���«�������)�¢�V�)�0�����)���$�[���)·!�����§��)�ª���!��©��jÈ$È$É+���!�Ê��3�)�!���������!���0��¬)~)�j���)�������!�W�,�j�(�������)�����0����)���N�$�^©��-®��V©«��(�!���[�V�$©«���)���!���^���_Ë|�[��j�0���0�¸���$�ª��j���)�(�/���j§��)�ª��j��Ë|���,�0�j�0�Y���������^�)���������!�!���0�)�$�Y��$�3�0���0�������)���,�1���Ê�/�1�)�������k�/�$�)���?����̬ ¶ ��������©«���)�����0�$®)�0�����$�0�����$���,��0����$���3�$���,�!����©«��(�!���

µ¬

Í q�ÎÏ

Ð Ñ

Ò

Ñ

Ó

Ô ÕÍ q�Î Ñ

ÓÔ Õ ÖW×

Ø Õ

Í q�Î

Ù�ÚÜÛµ mÞÝ�ß?à^s!á�mZn-p Í�â

Page 35: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� ¬������_���V� ����������� ����

���

tYu]vxw1y3z|{1}

� �������)�)��0������-�N�$�^©��-®��V©«�����!���[�V��©«�V�)���!���0����^���������0��¸������«��^�)�(�,���]�����/©��^�0��������)����©��0���$�[°���·-����θ���0��§����

�����θ´

µ´��$�����o�-�&�$���H�V�

θ´��|È$É?¬

~)�����,�«�H�+�����$§��)�Ê�����W������� ���)�(�/���-�[� �0���)�-�?��� � �������)�(�/���[� ¡���[�,�-�/���V�����!���[¤ �����0���(�)�0¡Y��� §��)�«�-�j����/�$©������«��[�)����©��0� ¡ �$�����[���)���,���[�$�1�,�$����©«����!���U¬ � �������)�)��0������-�^�$�1©���®��V©«����!�����V�$©«�V�����!���0� ��[�_�)���/���[����,�!����©«��(�!���k��������ª�,�*®)�H����¯©�°�±Y�V©��²��³-´

µ µ ¬¶ ��0·-�,��©��3�$�0����¸��W��$�]���V�$���¹¡«�����)�����0�¸��[�$��©��-®��V©«�����!���]�V�$©«���)���!�����)�0�0��3���)�_Ë��

�����)�)��0�¸��[�$��©��-®���©«����!���]�V��©«�V�)���!���������0��3�����?�V�)�

�k�Y����������$�]��j��Ì¡«�$�0�������)�1�3��©]�)�Y� � ���°��)·-�Y����&§��)�����

º�»�¼�½�¾�¿0À�Á«Â ��� � ����$§!�)�*�)��©��$·!Æ������¢�$�]��1�/�·-�$�,�1���ÜËÜ�$�!���ª�_����)�*�$�¢�)�-�?�Ê������� �� µ ¡��-�/��°1���)�0¡Y�����«����$�)���)���,���Å®)���_�������0��¬ � �&���$���/���0����!�����$�[�,�!����©«��(�!�����(�!�W�,�«��©]�)�-�*�/�$�)�����/��0����3�-�

µ´��$����� ¬ � �+����$§!�)�¢���

���)���)�(�!�W�,�����i��§��Y�����V�$�?��Þ�)�_Ë|��������0�0�¸��i�$� ������)�(�/����� ���0�Z����©�� ���¹©]�)�-�/�W�,����� ����/�·-�$�����0�:ËÜ�$�$���!¬¶ �������/©«�V�)�����0�Y�V�!�����_®)�0��1�$��®)�0�����,�-�&�$�^���)�����^§!�)�3�0������$§����ª�?��©��(�!�����)·!�3���[��§!�������V������U¬

����É

º

¤! �

"$# ´��%��&� µ ≤"

≤"(' ´ÅÈ���$È µ

} #

º)+* Î

�,#â n�Î

- ³ .q�Î

¤ #

}/'

�0' ºâ n�Î

- ³)1* Î) q�Î) n * Î

¤ '

Page 36: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�����������©�������� � ����°��������!¬

� �

tYu]vxw1y3z|{1}

~)���$�,�[���Z�)�����,�]�0���W�)�����(�)���W�,�Å�_�)���/���-�*� � �����-��� º �����k������©��0� }�������1�������/���1�$�*�,�!����©«�����!���¢��³Y´µ µ �*¡ ���

���)���/���^�����Y����������^�(���*¬¶ ���·-�,�(©��^���0����¸�������1�W�V�$�,�

�����)�����0�¸��[�$�3��§��Y�����V�$�?��

� ��©������$�*©���©����!���Y�¯���-�/�)�������1�$� � ������0���β´ " � ������

α − β � 3�)�(�,���)�$�1§������$�

β−α=µ �����������

º�»�¼�½�¾�¿0À�Á Â�� Ä �)�Ê�)������������©��$·!Æ��)�0�Ê�������-��� º ¡������·$� �W�)�����?�Ê�(�)�0¡Y�«�)���Z�/����±$� �,��©��[¦ �����$�,�«�$��/�)�0����)���?�������!���H�U����·!�������Y�������/��0�����!���*�$�j�,�$����©«����!���

µ�]¡ �/�Ê��±��W�,��©���� �-����°j�$�����$���ª�$�Ê���(����0��§��)�ª�)�-���

�)���+�$�)�^��������0���0�Y���)�H�U��j�_Ë|�(�,�����$�)�3���)�(�/���^��§��)��©����!�������)�j����)�������^�(�[���������?��0��¸����V�)����0���$�3���Ê�?� �W�����0�¸���$��©��-®��V©«����$���]�V�$©«�V�)�(�!���!¬ ¶ ��������©«���)�����0�$®)�0������$�

µ���[�����)�0�¸��[�$�

α¡

β¬

�α

β¦

� ��� "��! à α´"�

"$#&%'�α

´µ� �

- ³

}�� ºα

Ñ

º(

β- ³

Ñ

}��α

α − β

¤

Page 37: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� ¬������_���V� ����������� ����

� &

tYu]vxw1y3z|{1}

��°0����Y��1�$�0��°��)·-�����α¬

­N�1�)���/�,�[�����/©��[��������Z�����,���Ê�$��°(�)·-����Å�$�]� ��É�¡���*���(�U�?�¸������0�¯���������]������©��]���!����]���V�,�0���0�¸������Z�)�����,�Z���°��)·-����1�$� ���HÉ�¬

¶ ���·-�,�(©��]�$�0�&��¸��W��$�����V���,�ª¡ �����)�����0�¸����$�]�0§����������$����U¬�~)���$�,�]��*�)�(���,�1�����W�������Ê�_�)���/���-�:�U�0� �)�-��� º � ��������U�?��¸�� �$�H�������Y���� ¡ ��1�,���0���0�¸���¤ �����0�����)�0¡Y�*¦ §��)�[�-�j��Ê�/�$©����$����[�_�)���/���[���1�,�!����©«�����!����-,� �)�V���·$�����)���0��3���/���V�)�0�k©��-�N����)�!��©��0��¬

º�»�¼�½�¾�¿0À�ÁZÂ��*Ä �)�^�)���/�,�^�)��©��$·!Æ(�)���j�$�^�)��������´���� µ ¡«�����)·$� �W��� � ����©����!�������)�3���[��§����W���V�$�����Z�(�)�0¡Y���$��)���3�/����±��W�,��©��k¦ ���!�$�,�Z�$�)�Z�����,���«®)����������0� �/�)·!������� �/����±��W�,��©�� � �-����°*�$�Y��$�¢�*�$����������1�/� Ë|�¢�]��*�)���,������ �0�N�$�$�$���� �����-¡Y�������)·$� �W��� �-� ��� � & � §��)�Å�����/©��Å�����¹��Ê�)�(�,��� �$� °���·-���� �$� ���É�¬ ¶ �������/©«�V�)���|�¯�0�°��)·-����

α�Z���������U�?�¸!�]���0����������x¡Ê��3���)���,���^�������!����©«����$���U¬

¦

s0sHÎ

α

¦

��ÌÛ− α

Ù|Ù|Ûα

= ��������

� ���������� �

��� �� ß?à�� % α m Í * Î

Page 38: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�����������©�������� � ����°��������!¬

� �

� ��©����)�$�*©���©��(�!�����+�,�-�,�)�������1�$��¦����3���!�_����)�j����������?�¸��[�$�0�����(����

� � ´�� � µ

~$�U�/��� �W�-¡Y�(�)�$�1¡����)�(�,���)�$�����ª��������*�0�U®)�0��!� �$�H� °���·-����ϕ´ ���ÌÉx¬ �����)�$�H��$���H��°��)·-�Y��¢���*���!�������)�k�H�

®)�0������$�j����,���0���0�¸��Y��ǹ´�� � µ ¬(­N�3���)�(�/���3�$���,�!����©«��(�!���1�-� �/�1�$�,�0¡Y�0���0�¸��Z®)����������0���� � � µ

Ù|Ù|Û

º�

¤

�Ù|Ù|Û

º¤ϕ

����� ������������������ ϕ−==

ϕ

���

����! #"�$&%(')"+*&"�,.-%�,���/�0"1�,�/�0324�50�,1687�0�5 9%1�

:

;

<

=1>@?

A

B

C

=@D1?

Page 39: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

������������ ��������������������

���

E q u i l i b r i o d e l s i s t e m a d e s ó l i d o s

���! #"%$'&)(%*

B,+.-�/1032�46587�9;:; ��=<����>�?�=@� ��BADCE�>FHG'I�G=J�G�KLC BNMPOBCE �Q���3@�ISR�G�KDUT'�����BV�@�OB�'G� [email protected]�3�LG�FHC : MYKLG'��J�C�M��ZK[CE<��?G@� HI���KLV\CWO3��KLC!I�G]�?��I��BCZ^_MHJ�G�KLCW`ba�U��O�V\CEFHCbKLG=F!@�G�KD3�?�'G� HOB�'AD�BQ�@��L�]��Idce@� �U�f��ghO�I��UKLV\CHKLG'��J�C�M��;KLCf<��?G=@� ��K?@�J�G��?A?�BV��BG%i�CE�L�kj\CE �U��OlOm�UKL�;MnKD@oV\G� f3�?CP@� ��BI�CY�WOB�!���>��BV�@�Om�\V��BpE YFHG�I��B�� f�Gq@� oV\��<�OmGf��r8G�UG��>Fb�� ����=OB�8UG� sK[�BpE I�G�O�V\��<�OBG#MPOB�=�?G\�\V�V��BpE WG� HOB�'����BV�@�OB��V��BpE t�

;

:

^u

Page 40: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�s�LCE<�OBG�FH�EKlI�G,g K>UT.��mV\�f�

� �

���! #"%$'&)(%*

B +.-�/s0m2�465����W:; YV��mOm�� �IE�?CHI�G J�G�K[C���MP�?�\I��mC8^ K[G;G� �V�@�G� f3�L�;G� G�E@��mO3��<��L�BCbG� Om� J�C�Kd�BV��BpE Y�� �I��mV\�\I��8G� OB�AD�BQ�@��?���\Iece@� f��f���G�V\CE sK[�BI�G��L���E@�G UC�I���K OB��K KD@�J�G��LAD�BV��BGEK KLCf Om�UKL��K)�%r8G�UG��>Fb�� ����� OB� �LG\�\V\V��mpE G� OB������BV�@�OB�\V��mpE ;MbOB�,UG� 1K[�BpE WI�G�O�V���<�OBGf�

B +.-�/s0m2�465����Zg OsG.X���?G�FHC�� I�G @� �� <����>�?� �C!i�CEFHC�Q��� �G\�8I�G8OBCf �Q�� 3@�I��oMPJ�G�KLC���������� K[GZ��J�C�M��%KLCE<��?G@� ��8J����?G�I ��G����BV\��O O3��KL� MoG� YG�OsJ�@� fUC u a KLCE<��?G8@� KLG�Fb�BV��3Om�� �IE�LCW���F!<��!�� oOm�UKLC I�G8�?�\I��BC!^#"n��a �bF M6J�G�KLC$ �sghO,K[G�Fb�BV��mO3�� �IE�?C_GEK>UTYV\C�OmC�V\�\I�C K[CE<��?GP@� ��NKD@�J�G��LAD�BV��BGPi�CE�L�kj\CE �U��O �>@�QfC�KL��a ���OhV\CEFHCnKLG%��G G� nOB� AD�BQ�@��?��\Idce@� fU��a G�KDU�� �I�C G�O V\CE c @� fUC G� _G�E@��3Om��<��L�mC1��r8G.UG��>Fb�� ����& �' r%��<�@ c.���'G�O I��m�\Q��?��FH�PI�G�O#KLp�Om�mI�C O3��<��?GbI�GbOB�<����>�?�]MYI�G.�G��>Fb�� ���� OB�ZJ�C�K[�BV��BpE I�G�OsV�G� f3�?CbI�G;Q��L�(��G\I��\IbI�G8Om� <����D�?�&)�<*' OB�EK �?G\��V\V��BCE �G�K G� YOBC�Kh��J�C�M�C�K : Mu )�V+' OB�8A�@�G��Dj\�8I�G �LCfj\��Fb�BG� �UC%�E@�G;�\V.-,��%KLCf<��?GZG�OsV��mOm�� �IE�?C.)�I/'hK[�1G�O�J�G�KLCWI�G�O KLG�Fb�mV��mOm�� �IE�?CWG�K � ���Ha/01 @�T�OG�K G�O�����OBCE� F�2� ��kFHCqI�G

µJ����?�3�E@�G'G�OsK[��KDUG�FH�'G�K>UG'G� WG�f@��mOm��<��L�BC/4

:

u

5

;

2+67

8:9;7

^<

=:

u

^

��aB�'F

Page 41: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

������������ ��������������������

���

���! #"%$'&)(%*

5�� �CE<��?GHOB�%<����>�?�W��V. ,��� ,� ��BV\��FHG� fUG��d+.2��ZA�@�G��Dj\��K[a OB��K= �CE�>FH��OmG�K]G� : M u M G�O J�GEKLC%� I�GbOB�%<����D�?�f��h�V\CE �I��mV��BpE �12��\2 �e5�+��m5PI�GqG�E@��3Om��<��L�mCbG�K �E@�G%OB��Kh3�?GEK#A�@�G��Dj\��K]KLGqV\CE�UG� G� P@� PJ�@� f�C1��� ��K �CE�>FH��OBG�K G� G� : Mu KLG'V\CE�U�� !G� = a�O�@�G\QfC8J�Cf� I��BV�i�C8J�@� �UC%G�O�J�G�KLC%I�G OB�=<����D�?�f�

rq�B�\Q��L��FH�'I�G�OsKLp�Om�mI�C!Om��<��?G

r8G8OB�8AD�BQ�@��L�%KLG8I�G\IE@�V�G��E@�GqOB�;I���K>U�� �V��B� : u G�K ��a � F a�O�@�G\QfCHG�OtT� �Q�@�OmCHG�K�� " ����a!�����[��� �;I���K>U�� �V��B� u <G�K u < " ��a ���8�Q���"o��a ���1�'F6� ghO�V\G� f3�?C%I�G'Q��?�(��G�I��\IHKLG'G� �V�@�G� f3�?�'� ��a�E��� F I�G�O�G.X���?G�FHC : I�G OB�=<����>�?���

/��

1 CE �I��mV��BpE WI�G'G�E@��mOm��<��[�BC%I�G OB�=<����>�?� �

��� " ���8UQ�� " ��� �

�"! " #$&%%'�()

*=

ϕ

�+�

B

,

u

φ =

* !

* �φ

��aB�'F

��a �;F

* �

* ! Bφ

* !

φ

-=

*�.

`

`

* .

-

φ * !

Page 42: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�s�LCE<�OBG�FH�EKlI�G,g K>UT.��mV\�f�

� �

r8G OB�'V\CE �I��mV��BpE WI�G'G�E@��mOm��<��[�BC�KLG,��mG� �G � #�%)�����=ϕ= ��

� ���?� G�O ����OBCf�hF�2k ���FHC I�G�O V\C�G�AD�BV��BG� fUG%I�G8�?Cfj\��Fb�mG� fUC�atOB�HK[� 3@���V��BpE 6G�K,I�G8FHC ����Fb�mG� fUCY�� �Fb�k �G� fUG�� � �%A�@�G��?j\�I�G �?C�j\��Fb�BG� f�C%��BG� �G%KD@%����OBCE� FHT.X���FHC��E@�G8G�K#�BQ�@���Os��bJ�CE� OB�Z �CE�>FH��O�� � ���?�8G�O ����OmCE�hI���I�CWI�G $ a�G�O ����OBCE� I�GOB�= �CE�>FH��OHG�K � � ��������� V�C�K � " � ��� �6�

r8G���� "� ��� ��� KLG,��BG� �G " ��aB�!�

���! #"%$'&)(%*

���� "!$#&%('�)+*�,.-�/�0(1&2314/65�798+5;:=<>:@?A8CBED�79F(5"1G8�H�?A:IFJ<68(DKF=L>8;0MFIFJL6FONP8Q?A8�L;7A:=R;/6FS?TR;<6:J79UT1G0(1&:=V68�7�1XWM8�/ZY[F\2>Y[F(20M8�]�8^?A:Q]SR6:@?_Y37AF�:`/^2GFaUT1Gb@R;79FaFM5cNdR"/ZY[FZegfh/i?TRj14/ZY[:`7�1G8�7 V6FPDj5;8>?k:@?�U_:`79F@?l5;:C79FM561G8nmkDo<6:�?A8Cpq0MFM5;F�R"/6FZer�:�Y[:`7T]+14/6F`7h:(2"<6:@?�8k5":(2>0(1&2&14/>5�798�<6F`79Fts�R>:u:�?_Y[:v/68Iw;R6:(2GsZR6:Ze(xy8;5;F@?y2GF@?z?TR"<6:`79UT1&0(1G:@?z?A:t0M8�/$?�1G5;:`7AF`/�2&1{?AF@?�e

m

m

Page 43: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�(e��jF`7OY 14/����������� ������

� �

��������������

���� "!$#&%('�) *"!$#68�L"79:CR;/ <K2GF`/68 1X/60(2&14/>FM5;8 s�R>:�U_8�7_]�F�R"/&%`/6b@R>2G8 5":'���"(t0M8�/o2GF�V68Z7A1XWM8�/ZY F(2 ?A: ?�1 Y�)6F`/ 5;8>?L>2G8;s�R>:@?�5;:�<6:@?�8>?+*+,.- � �����0/ D1*32�-54������6/ 79:@?T<6:(0�Y 1 w6F`]�:J/ZY[:Ze�7�]SL68>?I:@?_Y8%J/ R"/>1G5;8>?=]�:M561GF`/ZY[:+R;/0MF`L>2G:;e�9 8>?t0M8":MUT1G0(1&:`/ZY[:@?=5;:S7A8ZWMF`]+1G:`/;Y[8a:`/;Y379:+2&8>?vL>2&8;s�R6:@?�D :(2�<>2GF`/68 14/60(2314/6FM5;8 ?A8�/

µ, -:��; � D

µ2 -:��;=<�;

79:@?T<6:(0�Y 1 w6F`]�:J/ZY[:Ze r�:�Y[:`7T]+14/6F`7+2GF Y :`/ ?�1?>Z/ 5;:(2t0MF`LK2G:�D�2GF@?+U R6:J7TWMF@?+5;: 798;WMF`]+1G:`/ZY 8^sZR6:nFM0�Y@)6FJ/ ?�8�L;79: 2G8>?L>2G8;s�R>:@?Pe

* ,

ACBCD

* 2

Page 44: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�$7A8�L>2G:`]�F�?h5": f�?_Y8%�Y 1&0MFZe

���

��������������

���� "!$#&%('�)Q*"*+-I/6FkL6F`7T79FkR;/>1GUT8�7_]�:S5;:k<6:�?A8�������4 / D 2G8�/6b;1 Y{R65�� :@?_Y%kFJ7OY 1G0`RK2GFl:`/ ?TR�:��;Y379:J]�8 D U_8�7_]�FR;/ %`/6b@R>2&8S5;: ���"( 0M8�/+2GFuV>8�7A1XWM8�/;Y[F(2 e�#;R�:��;Y37A:`]�8�� ?A:=F`<68\DKF�?A8�L;79: 2&F�?TR;<6:`7AUT1G0(1G: 231{?AF=5;:vR;/lL>2G8"s�R6:t5;:v<6:@?A8� < / ;z?�1 Y3R>FM5;8o?A8�L"79:�R;/6F ?TR"<6:`79UT1&0(1G:�14/60\2&14/6FM5"F�7_R6bZ8>?AFQsZR6:QU_8�7_]�F�R /&%`/6b@R>2G8 5": ��<C(t0M8�/o2GF�V68Z7A1XWM8�/ZY F(2 er�:�Y[:`7T]+14/6F`7 2GF 79:MF(0M0(1?>�/q:`/ 2GF�F`7_Y 1G0`R>2&FM0(1?>�/ Dq:\2�0M8":MUT1G0(1&:`/ZY[: 5;: 798ZWMF`]+1G:J/ZY[8 ]� 4/>14]�8 <6F`79F s�R6: V6F DKF:Ms�R>1&2314L;7A1G8$e

��� DACB D

Page 45: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�(e��jF`7OY 14/����������� ������

� �

��������������

���� "!$#&%('�) *��C-�/6F�:@?�0MF(2G:`7AF�5;:.<6:@?A8�p ?A:.FJ<68(DKF.:`/aR;/6Fl<6FJ79:M5�w6:`7_Y 1G0MF(2 2&1{?AFID ?�8�L;79:lR"/ ?TR6:(2&8CV68�7A1GWM8�/ZY[F(27_R6bZ8>?A8$e f 2 0M8;:MUT1&0(1G:`/ZY : 5;: 798ZWMFJ]+1G:`/ZY[8i:�?

µ- ��; �4��6e 9yF 5"1{?TY[F`/60(1&F :`/ZY379: <>:(2G5;F��>8>?+:@?+5;: ���j0J]�e�-I/6F

<6:`7c?A8Z/6F 5;:n<>:@?A8 B�F�?A0(1G:`/>5;:n<68�7C2GF :@?A0(F(2G:`79F;e r�:`Y[:`7_]+14/>F`7.V6F@?TY[F s�R6: <6:(2G5;F��68^<;R6:M5":o?TR;L>147C?c14/ s�R6: 2GF:@?A0MF(2&:`79FI?A:t0MF(1GbZF;e

Page 46: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�$7A8�L>2G:`]�F�?h5": f�?_Y8%�Y 1&0MFZe

� 4

��������������

)��

α=+α �����

������ ������

f 2G:�w6FJ/65;8lF(2>0`R6FM5Z79FM5;8�;(D�0M8Z]�8

!��

���� "!$#&%('�) *��C-�/ ?A:`]+1&0(1&2&14/>5�798a5":S<6:@?�8�� -:4�� / D 79F(5"1G8+H ;�?�:�F`<68\DKFC?A8�L"79:SR;/>F�?TR;<6:J79UT1G0(1&:lV68�7A1GWM8�/ZY[F(27_R6bZ8>?AF;e�9 FSL6F`7T79FSV68Z]�8;b��`/6:MF+5;:S<>:@?A8 * - � ��� / D 2G8�/6b;14Y3R65 �`H ; :@?TY8%.F`7OYO1G0`R>2GF(5;F.:`/ ?9R :��;Y37A:`]�8 � D ?A:F`<68(DKF�?A8�L"79:S2GF�?TR;<6:`7AUT1G0(1G:S2&1[?AFl5;:(2h?A:`]+1G0\1&2&14/65Z798C:`/CR;/C<;R;/ZY[8�� s�R6:k5"1{?TY[FuH 5;:(2g:��;Y{79:`]�8ke�f 2�?�1{?_Y[:J]�FS?A:]�F`/ZY 1G:J/6:Q:`/ :Ms�RK1&2&14L;7�1G8 :`/o2GF�<68K?�1G0(1?>Z/o14/65"1G0(FM5;FZe r�:�Y[:`7T]+14/6F`7���F! =:\2 w6F(2G8�7I5;:\2.%`/6b@R>2G8

α " L# t5"14L"R NPF`7 :(25"1GFMb@79FJ]�F�5;:\2 ? >62&1G5;8C2&14L;7A:�5;:l2GFIL6F`7_7AF " 0! :(2>w6F(2&8�7 5;:k2GF=/>8�7_]�F(2 :`/$�oDQ5;:�2&F=79:MF(0M0(1?>�/C:`/C2&FIF`7OYO1G0`R>2GF(0(1?>�/ "5� �2GFSU R6:J7TWMFS5;:k798ZWMFJ]+1G:`/ZY[8 ?�8�L;79:l:(2 0(1&2314/65�798SD :(2$w6F(2G8�7z]� 4/K14]�8C5;:(2 0M8;:MU91G0(1G:`/;Y[:l5;:�798ZWMF`]+1G:J/ZY[8µ<6F`79Fl:(2

:Ms�R>1&2314L;7A1G8$e

H

% - ��; ���� Hα

α

α

H

&(')

−'+*-,

α . &0/21�*α

3�4�576 α 8:9+.α

;<2=�>?

@�A B 3�4�5 6 α −� 3C4�5 α −

� A � . B α- ����; �(

DFE

G

HJI

α

KML2NPORQ

βG

D E

H I

S:1 5�T7U / UWVX50T ,Y,2ZX[ UW\ UP]�^_U 1

@�A B 3�4�5 6 α −� 3C4�5 α −

� A � . B

Page 47: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�(e��jF`7OY 14/����������� ������

� �

0! Qr�:=2GFt0M8Z/65"1G0(1=>�/.5;:t:Ms�R>1&2314L;7A1G8�?A: Y 1&:`/6:

������ ��������� ������������������

β−==

β

���

������ %\'�)"!$%v,.%�#%$ )&# � (' % � #M )' ! � '*#�+&,(' �� ) �.-0/ b@R6F(2GF`/>5;8lFu0(:`798S2G8>?�]�8�]�:`/;Y[8>?�79:@?T<>:M0�Y[8l5;: � ?A: Y 1G:`/>:

123 457698 =α+− :;<; = >

?A@)BDCFE9G)H&I"JLK)B�H(E MONQPSRLTVU Wβ XZY)[&\�[L] W ^`_QP [&a U

bdcfehg E�i�CFEDjkEAH&B%l*m7n)l g H&Iol g�p CFBAH&B%l*m7BDj grq�g l g G)HsCFI

e BtlrE q ILG)H g�q%g nLGuH&BAB�JLK g l g�p C g Ikm7B0v g BDG)BAJLK�BAl�ExwyK)BDC�z�EAH&B{CFIsz�E9j g BDGsv|I"B�m~}��QMONOm7BDGu� [&\��%] ���(TxU� EDCFEoB%l��)E�lrILC�j���G g jkI�H&B%l q I&B%w grq%g B9Gsv|BoH&BhCFI&z�EDj g BDGsv�I \ lrE�m g v�K)E q�g nLGfB�m0H&B�jkI�� g j g BDGsv|I g G&j g G)BDGsv|Bt��lrE"w�K)BDCFz�EH&B{CFIsz�EDj g B9Gsv|I q K&jo@�l�B�}��

µMu�

e BtlrE q ILG)H g�q%g nLGuH&BAB�JLK g l g�p C g Ikm7B0v g BDG)B�B%l&�)E%lrILC`H&BtlrE{G)IsC�jkE%l \ M�����T&TxUµ��T \ �

����

���

�� �¡£¢.¤

¥§¦D¨L©%ª�«¬ª�­D¨A©�®¯®�°D±�ª�²�ª£³�´yª�¦

α

Page 48: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� C7I p lrBDjkELm`H(B���m�v���v g�q Es�

� �

�������� �� �

��� � EDCFE"lrE @)I�m grq�g nLG g G)H grq E%H&E�lrEtv|E p l�EtG)I�B�m�v���BDG q IsG)H grq%g ILG)B�m�H&BtjkI�� g j g BDGsv|I g G&j g G�BDGsv|Bs���`G B%l*E9@)I%�dIkB9G�� \E�H&BDj���m H&BtlrE{G)ILC�jkE�l)E q v��)EtlrEAw�K)B9C�z�EAH&B{CFIsz�EDj g B9Gsv|Io�fH g C g i g H(E���E q%g EtlrEAH&BDC7B q �)Es������! #"$��%��'&)(+*),+-.*/��&10�*/�32."4(5&)(6*7�98:�.2)*:� ;<0.*/= >0�?#09&1(�@�A1($"�BC�C,

D

e B%l(@)I(l���isILG)I"H&BAw�K)BDCFz�E�m m7BAH&B�HLK q B g G&jkB�H g EDv|EDjkBDGsv�BxB�ls�)E�lrILC`H&BtlrEAw�K)BDCFz�ExH(B0C7Isz�EDj g BDG&v|I"BDGuB%l*m�K)B%lrI

α= E�FHGIJK L �!M

N EtG)IsC�jkE%l*B9GPO w�ILC�jkE q ILG lrEA�)BDCyv grq E%l�K&GQ�9G)i�K�lrIαJLK)BOBLm B%l�j g mFjkIuJLK)BOw�ILC�jkE lrEAv|E p lrE q ILG�B%l m�K)B%lrISR)H&B lrIdm

H&E�v|I�m m7BuH&B�HsK q B m�K �)E%lrILC \ α� � [&\���aL] � e BklrE mFK&jkEuH&B"jkIsjkBDGsv|I�m{CFB�m�@)B q v|I H&BT� g i�K)E%l`E q BDCFI m7BuI p v g BDG)Bkl�E

B q K)E q�g nLG

α+= UWV#XYZ ['\][5^_['`acb

dfeCg>hjilk)monqp>rts�uwv'xwyWz+{}|#uwv�~�y9xwy#{}|q�#�w�'��{����wy�{}|#�>z�y9��u���vW���/��u���|#��|����Wuwy)|�~>y9�j�)����~>y�x�y�{}|���v)���.|#��|{}y��q�wy#{���z�vtyWu��/vt���/����z}v�v.~$�H��u���v��1��yC��yWz��Q�:uwvWz'�wv.�6�lv�� �wyWz�¡.v�~�yz�|�¡.vW�Q�/yWu�� |�yWuQy)�¢{��wy)�/|��W�wvWuw~>|��/vxwy�z${}|#uwv{}yty�uw�W�wyWu���z�v�xwvWz�v.~>vtvT��£7¤q�¥~�y)�¦yC§���z�y���|¨�£©{$�©y)�¦vWxw|1ª«|QyWuo¬­{}yt�)|#uS{4�/~>yWz�vT�l�®{}|«¯P�w�°{4�jy)�©�.|�y.���/�)�/yWu���y�~�yz�|�¡.vW�Q�/y�u���|�yWu�¨±ª²¬³y�{

µ ´ ��£��«µ�~>yC��yWz��Q�:uwvWz5�/v�~>�®{���v�uw�)�/v��¶W§«�7��v'·'v��lv�¸#�wy'x��wy)~�yt{������:z6�/v'xwyWz${4|#uwvt{4�7u¸#�wyy)����vW���l�#u�~�y�{4�l�l�.y��

α

¹d

º »

º ¼

½

¾

¬�>£¿¤��

º »

d

½

º ¼¨

À

Á

Â

Ã#Ä Å9Æ

¨

Â

¬Ç+Ä�È�Æ

É�ÄËÊfÆ

Page 49: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

�)��� vWz � �7u��>��� ����®�w����µ

��

�ty �/v ���/����z}v {}y � �/yWuwy �/|�{��wv)�/|#z�y#{ ������ ������== ��� � xwy�z�vWuw~�| ¸#�wy.~>v xwvWz}v �/v uw|#z���v)��yWucy1�

vWxw|)ª«|±��� ´ �«µ��C£/µ �o�9��y�lv y.�W��v.�)�/�#u�� �C� {4yf� �/yWuwy � �wyWz�¡.v~�y9z�|�¡.vW�Q�/yWu�� | !"$#"=

% ��ty)�¦xw|>�'&/��|#uw|²~�yq� �wyWz�¡.v�{�{4y�|���� �/yWu�yT�:u���y.~>�/vW��vW��yWu�� yT�lv�u�|#z���v)�¢yWu)( *+,�-+.,/0,1,32

=−= 45 66 �87«�y)�«�.|�y.���/�)�/yWu���y ~�y'z�|�¡.vW�Q�lyWu���|qyWu�y)�j{���y)�/|Ty�{

µ ´ �>£3�«µ�£�y)���wv)�/|#z���¶C§S�7��|T~�y��/v� �wyWz�¡.v~�y9z�|�¡.vW�Q�/yWu�� |�y#{ ������£7�� ªP�/v9xwyWz${}|�uwv9x��wy.~�y�{}y)�����7z5{������lyWuw~�|txw|#z<�/v���v����/v�{4�7u�¸#�wyy�{���v~�y�{4�l�l�.y��

h:9<; uo�/v�x�|�{4�/�)�l�#u²�'&7�Q�¿��y)£«�/v���vW���lv�y�{�� ¶�yWu {4�¿���wv)�)�/�#u�~�y���|���:�Q�/yWu���|P�7u��Q�7u�yWu���y)£#ªo�lv�{�� ��yWz�¡.v�{°~�y�z�|�¡.vW�Q�/yWu�� |� �/yWuwy�u {��=�wv1�/|#z��¶C§«�7��|w£

µxw|�z��/v�uw|#z���v)� �?>6vP� �wyWz�¡.vQ~�y�z�|�¡.v��Q�/yWu���| yWuA@ � �/yWu�yP�/vP~>�7z}y.�.�)�/��u ~�y��/v���vW���lv

~>�7z}�/���l~�v9�wv.�)�/vvWz�z}�7�wv��

Á�BDCFE?GHC�IJCLK:MON>·0P�NQBRK:STNUBDV3GWMXKMYNZC�[ZC\V\NZC ]^S�NQ_ E`S3aSLKM1b1c�M�Ged�C#·

f ����v)�/vWuw~>|�v�.y�z�|q�/v�{�����v~�y9��|#��yWu�� |�{ z�y�{�xwy)�C��|T~�y�( £w{}y�� �/yWu�y

gihjkgmlj

nogmhkojgmln pp −α

=qα+= rFs:trFs:tuv

�ty��/v��/yHªQ~�y)�j{}y�uw|TvWx��l�/�)v.~�vv)����z}�/¶�uw�����/|T~�y� �wy�z�¡.v�{<��|#z���v)~�|txw|#z<�/|�{��wy.�C� |#z�y�{ dxw ½zyJ{i| £ { � ªT��y�u��/yWuw~>|�y�u�W�wyWu�� v'¸��wy }~ �8�D���:�������Q�O� ====�==== �3��F���

��\���������

������� ��W�� � �0���� ��W� � ������0� � =�+

=�=�+= �����  ¡ ¡¢£¡

¤ �8¥§¦U¨D¦'�©?� ª�\«m¬��­Z«3®e�¥¯¥$��¦U¨°� ª� ¥ = ±0²�³1´Tµ

Entramados y armaduras

¶ · ¸µ ¹ ·

º» ·

» ¼½

θ

¾ ·

¾ ¼

θ

¶ ¼ ¸µ ¹ ¼

α

¶ ·

¿

À

» ·

º

½

» ¼Á

Â

¶ ¼

Ã

Page 50: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� ®$«��:­Z� µ �3¥ �\��� ¥§¦��0¦U¨��O�

��

�������������

º������! �"$#&%('*) � ª ­Z�=�3¥§¦'®§�+� ¦'��®e� ��� ­Z�-,e¨/.��®e� ² �\�0¦Q� ® µ ¨ ª� ®10 �32 ­Z�¥ ®e�O�3�3��¨Z«3ª�¥�� ª ­°� � ® ¦ ¨/� �:­Z�$�F¨/43ª Á © ­Z�ª«3® µ �F­?��ªz�F­?�65«F©?«87:9�;2 ­Z�¥<,U���®>=O�¥ �3��Y�3�0¦@?� ª�� ªz­Z�¥A�� ® ®e�¥ Ái¿�BFÁ à B*C 7 B 7 à © ¥�¨�¦'®e�6�:�EDW� ª���¦'®e�$�3�F¨/43ª«T�F�O« µ 5�®e�¥�¨�43ªG

H I

J

K

L± � ���*�NM .

O µ

´Lµ ´Tµ ´Lµ ´Tµ

± � ���*�NM .

± � ���*�NM .

Page 51: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� �� � ® ¦U¨Dª ³ ��� ������+�*�;�

� ±

��� �������� »

º������! �"$#&% '�� K �0¦Q� ® µ ¨Dª� ® ­Z� ,U�:� ®>=O� �1�� �3� ¦ ?� ��ª �O�O�\�A��ª� ��� ­°�¥ ���®§®e�¥ ��� ­Z� � ® µ �O�1��®e� �F� D ��ª�¦Q� ²¨Dª�\¨/�F� ª��«z¥�¨�¦'®e����EDW��ª���¦'®$�3�3�F¨/41ª�« �F�O« µ 5\®e�¥�¨/41ªG

� �*�����HI

J

K

� �

± � �*�*���

± � µ � µ

� µ

� µ

Page 52: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� ®$«��:­Z� µ �3¥ �\��� ¥§¦��0¦U¨��O�

���

º������! �"$#&%���� K �0¦Q� ® µ ¨Dª� ®i­Z� ,U�:� ®>=O�z�1��z�3� ¦ ?�z��ª �O�O�\� ��ª���\�z­Z�¥��:� ®§®e�¥Y���z­Z����® µ �O�3��®$�����z­Z� , ¨/.��®e��O� D �\ª1¦Q�^© ¥ ¨1¦ ®e�6��ED0� ª���¦'®e�3�3��¨/43ª�« � �F« µ 5�®e�¥ ¨/43ªG

Page 53: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� �� � ® ¦U¨Dª ³ ��� ������+�*�;�

� ³

��� �������� »

I

J K

H

´ ���*���

O µ

� µ

� µ

³ µ

Page 54: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� ®$«��:­Z� µ �3¥ �\��� ¥§¦��0¦U¨��O�

� ´

Page 55: aransa.upc.esaransa.upc.es/ED/martin/prob_estatica.pdf · H :f [7` ek@ T[ka]^ =] bh 8e W;7U f¦ Ke7_ _j[k m:fn]^e c ]^[[lka] a _a` e8 T 0 K _Zf elkZ ®mK[7_ 8elk o¨ª − o k [ Ke7_je8

� �� � ® ¦U¨Dª ³ ��� ������+�*�;�

���

M e c ani smos : p ol e as, c uñ as, torni l l os y di sc os

M é todo de l os trab aj os v i rtual e s

F ue rz as di stri b ui das: c ab l e s y v i g as

C e ntros de g rav e dad