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CENS 453 – CONSCRIPTO BERNARDI

SEGUNDO

AÑO MATEMÁTICA II

BACHILLERATO ORIENTADO EN CIENCICAS SOCIALES ESPECIALIZADO EN CARTOGRAFIA

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MATEMÁTICA II

PRIMER CUATRIMESTRE

UNIDAD 1: POLINOMIOS

Expresiones algebraicas. Monomios, binomios, trinomios, polinomios. Grado de un polinomio. Operaciones: suma, resta multiplicación y división. División de un polinomio por un binomio de la forma (x+a) o (x-a): regla de Ruffini

UNIDAD 2: FACTOREO DE POLINOMIOS

Casos de factoreo de un polinomio: factor común, factor común en grupos, trinomio cuadrado perfecto, cuatrinomio cubo perfecto,, diferencia de cuadrados

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UNIDAD 1: EXPRESIONES ALGEBRAICAS: POLINOMIOS

Links sugeridos

DIVISION DE POLINOMIOS : https://www.youtube.com/watch?v=inuImtZHQjo

REGLA DE RUFFINI: https://www.youtube.com/watch?v=Rp3LEbCfNFs

EXPRESIONES LITERALES

Son expresiones matemáticas en donde los números están simbolizados por letras.

Veamos una nueva forma de pensar con los números.

Todos sabemos que si una habitación es de 9m por 12m, tendrá una superficie de 9m x 12m = 108m2. Si la habitación fuera de 12m por 18m tendría una superficie de 12m x 18m = 216m2.

¿Existe una forma de generalizar cuando nos referimos a la superficie de cualquier habitación?

Sí. Podemos decir que para cualquier habitación rectangular, su superficie es el producto del largo por el ancho.

Es decir: superficie = largo x ancho

O más sencillamente s = l a.

Al utilizar s, l y a no estamos hablando de ningún valor en particular; sino de cualquier valor que se quiera considerar.

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Las letras s, l y a son llamadas NÚMEROS O EXPRESIONES LITERALES, pues ellas son letras que representan números. A estas letras también se las denomina VARIABLES; y esto es lógico porque s, l y a pueden tomar diferentes valores, es decir, pueden variar o cambiar.

Operaciones con expresiones literales

Supongamos que queremos hallar la suma entre dos números. Si los números son 5 y 3, la respuesta es 5 + 3 u 8. Pero, si los números no son conocidos, podemos llamarlos por ejemplo x e y. Entonces x e y pueden representar cualquier par de números. Luego podemos escribir la suma entre ellos como x + y. La misma idea se utiliza para todas las operaciones.

Probablemente usted, muchas veces ha tenido que operar con números y cantidades para dar respuesta a algún problema de Matemática, Física, Dibujo Militar, Topografía, etc. Para ello habrá tenido que calcular el valor de expresiones parecidas a algunas de las siguientes:

La suma de dos números x e y: x + y

La diferencia de dos números p y q: p – q

El cociente de dos números m y n: m:nón

m cuando n 0

El producto de dos números a y b: a x b ó a b ó ab.

Al expresar la multiplicación entre dos números literales, el signo de multiplicación puede omitirse. Tanto a b o ab significa a por b.

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Superficie o área del triángulo → A = b X h (b=base, h= altura)

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Ecuación de la posición en el movimiento uniformemente acelerado →

x = x0 + v0 . t + (1/2) a t2. (x0 = posición inicial, v0 = velocidad inicial,

a=aceleración, t= tiempo)

Estas combinaciones de números y números literales (o variables) se llaman expresiones algebraicas.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una EXPRESIÓN ALGEBRAICA es una combinación de números y variables.

Ejemplos: 3x + 4y es una expresión que significa: “3 veces un número y” o bien “tres por x más cuatro por y” 2x3 es una expresión que significa: “2 veces x por x por x” o bien “dos por x al cubo”? Veamos algunos conceptos básicos.

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Veamos otra definición.

Término: es una expresión algebraica con números y variables, conectadas sólo por las operaciones de multiplicación (como caso particular la potenciación) y división (las letras no pueden aparecer en el divisor).

Ejemplos:

3x; 2xy; -7a2; 4ab3; 3

a

Cada término se forma usando solo multiplicación y/o división. Los signos + y – separan términos y permiten construir expresiones algebraicas con más de un término.

Binomo: es una expresión algebraica de dos términos.

Ejemplos:

8x3 + 5xy

Trinomio: es una expresión algebraica de tres términos.

Ejemplos:

9xy + 10 zx – ab

Polinomio: En general, cualquier expresión algebraica con más de un término es un polinomio. Por lo tanto, binomios, trinomios y cuatrinomios son polinomios.

Coeficiente: El coeficiente de un monomio es el resultado de operar con los factores numéricos que en él aparecen. Por ejemplo en el monomio 2a(-3)b el coeficiente es el resultado de multiplicar 2(-3) = -6 es decir que 2a(-3)b = -6 ab

Grado de un monomio: indica el número de factores literales que lo conforman.

Así, en el monomio 3 m2 hay dos factores literales pues m2 =

m m, entonces decimos 3 m2 es un monomio de grado 2.

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2x3 tiene 3 factores literales es de grado 3 3a tiene 1 factor literal es de grado .1 5 tiene no tiene ningún factor literal es de grado 0

a) 2 + x3 + x6 grado = 6 b) 8 + 3x grado = 1 c) 7 grado = 0 d) 3 + x2 – 2x3 + x4 grado = 4 OPERACIONES CON POLINOMIOS Adición o suma de expresiones algebraicas 6x4 según la definición de producto, puede expresarse como: x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4 o también como 4x4 + 2x4 ó 5x4 + 1x44 ó ...... Y si tenemos la expresión 5x7 + 3x7 (suma de monomios de igual grado): ¿cómo la podemos expresar más sencillamente? Ya está intuyendo que:

–4x3 + 7x3 = 3 x3

-7x5 + x5 = -6 x5 Si los monomios no son semejantes; por ejemplo: -3x5 ; 2x3 ; -x

GRADO DE UN POLINOMIO: es el mayor de los grados de sus términos.

Para sumar monomios semejantes (del mismo grado) se halla la suma de sus coeficientes y se deja la misma parte literal.

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para sumarlos se escriben uno a continuación del otro con sus respectivos signos, dejando la suma indicada: -3x5 + 2x3 – x EJERCICIOS Dados los siguientes monomios: (utilizamos letras mayúsculas para nombrarlos) P = 5x4 Q = -x4 R = 0,5x7 S= -0,1x Halle las sumas: 1) Q + R 4) P + Q 2) S + R 5) P + Q + R 3) Q + S 6) P + Q+ R + S RESPUESTAS Q + R = -x4 + 0,5 x7 S + R = -0,1x + 0,5x7 Q + S = -x4 + (-0,1x) = -x4 – 0,1x P + Q = 5x4 + (-x4) = 4x4 P + Q + R = 4x4 + 0,5 x7 P + Q + R + S =4x4 + 0,5x7 – 0,1x Si a 8° 3’ le sumamos 10° 3’ obtenemos 18° 8’. Hemos sumado grados sexagesimales por un lado y los minutos por otro. La misma idea se utiliza para sumar polinomios. Veamos algunos ejemplos: Dados los polinomios: P = -2x3 + x2 Q = 4x3 – 2x2 S = 6x2 U = 2x2 – 4x3 queremos hallar: 1°) P + Q P = -2x3 + x2 + Q = 4x3 – 2x2

P + Q = 2x3 – x2

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2°) Q + U Q = 4x3 – 2x2 Para hallar la suma resulta práctico + U = -4x3 + 2x2 encolumnar los términos de igual grado. Q + U = 0 3°) S + P

EJERCICIOS Dados los polinomios: P = 2x3 – 4x5 + 7x2 T = 3x3 – 3x5 + 3x4 Q = -2x3 + x4 - 4x5 + 3x2 R = 3x6 + 7x5 – 4x4 S = -x3 + 4x5 – 3x2 U = -2x3 + 4x5 – 7x2 calcule: 1) P + S 2) P + T 3) S + R 4) P + U 5) S + P 6) P + R + Q 7) Q + S + T 8) (P + S) + R (utilice el resultado de 11.1) 9) P + (S+R) (utilice el resultado de .......)

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RESPUESTAS 1) P = 2x3 – 4x5 + 7x2 S = -x3 + 4x5 – 3x2 P + S =1x3 + 0x5 + 4x2 P + S = x3 + 4x2

2) P = 2x3 – 4x5 + 7x2 T = 3x3 - 3x5 + 3x4 P + T = 5x3 - 7x5 + 7x2 + 3x4 3) S = -x3 + 4x5 – 3x2

R = 7x5 + 3x6 - 4x4 S + R = -x3 + 11x5 - 3x2 +3x6 - 4x4 P = 2x3 – 4x5 + 7x2 U = -2x3 + 4x5 –7x2 P + U = 0x3 +0x5 + 0x2 P + U = 0 S + P = P + S = x3 + 4x2 P = 2x3 – 4x5 + 7x2 R = 7x5 + 3x6 - 4x4 Q = -2x3 – 4x5+3x2 - x4 P + Q + R = 0x3 -1x5 + 10x2 + 3x6 -5x4 -x5 + 10x2 + 3x6 – 5x4 7) Q = -2x3 – x4 – 4x5 + 3x2 S = -x3 + 4x5 – 3x2

T = 3x3 +3x4 - 3x5 . Q + S +T = 0x3 +2x4 – 3x5 + 0x2 2x4 – 3x5 8) (P + S) + R = x3 + 4x2 + 3x6 + 7x5 – 4x4 9) P + (S + R) = x3 + 7x5 + 4x2 + 3x6 – 4x4

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Sustracción de expresiones algebraicas Vamos a restar polinomios. Ejemplo 1: P = -2x5 minuendo Q = -3x5 sustraendo queremos hallar P – Q P – Q = -2x5 – (-3x5) P – Q = -2x5 + 3x5 Observe que la resta se transforma en la suma P – Q = x5 del minuendo más el opuesto del sustraendo. Ejemplo 2: R = x6 – 3x4 + 2x5

S = -3x6 + x4 – 3x queremos hallar R – S R = x6 – 3x4 + 2x5 + -S = 3x6 – x4 + 3x opuesto de S R – S = 4x6 – 4x4 + 2x5 + 3x Para restar dos polinomios, se le suma al polinomio minuendo el opuesto del polinomio sustraendo, (todos los términos del sustraendo cambian de signo). EJERCICIOS P = 2x9 – 3x5 + 0,5x4 Q = -1,5x5 + 3x9 – 3x R = -2x4 + 3x5 + x9 – 0,2x2 Calcule: 1) P – Q 3) R – P 2) Q – R 4) P + R – Q P – Q = -x9 – 1,5x5 + 0,5x4 + 3x Q – R = -4,5x5 + 2x9 – 3x + 2x4 + 0,2x2 R – P = -2,5x4 + 6x5 – x9 – 0,2x2 P + R - Q = 1,5x5 – 1,5x4 – 0,2x2 + 3x -

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Multiplicación de expresiones algebraicas Multiplicación de un número por un polinomio Dado P = -2x4 + 5x3 + 15x2 queremos hallar 3 P (es decir 3 por P) Como 3 P es igual a P + P + P, una manera de hacer esta multiplicación es sumar: -2x4 + 5x3 + 15x2 + -2x4 + 5x3 + 15x2

-2x4 + 5x3 + 15x2 -6x4 + 15x3 + 45x2 Pero también puede hacerse, aplicando la propiedad distributiva: 3 (-2x4 + 5x3 + 15x2) = 3(-2x4) + 3 5x3 + 3 15x2 = -6x4 + 15x3 + 45x2 Como podrá observarse, ambos procedimientos son equivalentes, pero el segundo es más práctico. Esto podrá comprobar usted si resuelve las siguientes multiplicaciones. EJERCICIOS: Dados los polinomios R = x5 – 3x2 + 2 S = -4x2 + 2x3 + 0,5x Efectúe las siguientes multiplicaciones: 1) 10 R 3) (-0,5) S 2) (-3) R 4) S 2 RESPUESTAS 10 R = 10x5 – 30x2 + 20 (-3) R = -3x5 + 9x2 – 6 (-0,5) S = 2x2 – x3 – 0,25x S 2 = -8x2 + 4x3 + x

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Multiplicación de monomios Ejemplo: (2x2) (3x5) Se multiplica: parte numérica con parte numérica y parte literal con parte literal. 2 3 = 6 y x2 x5 = x7 (xx xxxxx = xxxxxxx = x7) producto de potencias de igual base = se suman los exponentes, 2+5=7) Por lo tanto (2x2) (3x5) = 6 x7 Observe que en general: xmxn = xm+n EJERCICIOS Dados los siguientes monomios P = -3x5 Q = 0,5 x4 R = -x9

efectúe las siguientes multiplicaciones:

1) 3

1P

2) P R 3) Q R 4) P Q 5) RPQ (se hace primero RQ y al resultado se lo multiplica por P) RESPUESTAS

1) 3

1 P = -x5 2) P R =3x14 3) Q R = -0,5x13

4) P Q = -1,5x9 5) R Q P =1,5x18

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Multiplicación de un monomio por un polinomio Ejemplo: Dadas las siguientes expresiones algebraicas P = -3x5 + 7x4 – 5x Q = -6x2 queremos hallar P Q

Para facilitar la multiplicación, vamos a utilizar una disposición similar a la que utilizamos para multiplicar números. Multiplicamos multiplicamos números expresiones algebraicas 1er paso)

Observe que hemos multiplicado al monomio por cada término del polinomio.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Dados los polinomios S = 5x3 – x2 + 0,2 x4 T = -2x + 3x2

queremos hallar S T

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Vamos a comparar con la multiplicación de números.

14) Considerando los polinomios S y T anteriores, complete según corrresponda.

grado de S = .........

grado de T = .........

grado de (S T) = .........

entonces grado de (S T) = grado de S ............ grado de T

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15) Le damos los siguientes polinomios:

P = -3x2 Q = -5x3 R = -5x4 + 2x3 – x S = -2x2 - 3x4 + x3 T = 7x – 2 Calcule:

16.1) P Q 16.4) S T 16.2) R P 16.5) (R T) P 16.3) S Q 16.6) R (T P)

Ejemplo 4: ¿Qué factor común podemos sacan en el siguiente polinomio? P = 6x3 – 9x4 + 21x2 factor común: 3x2. Y así tenemos: P = 6x3 – 9x4 + 21x2 = 3x2 (2x – 3x2 + 7) Ahora le proponemos que resuelva la siguiente actividad.

16) Saque factor común en los siguientes polinomios:

17.1) A = 5x4 – 3x2 – 2x 17.2) B = 6x4 – 4x3

17.3) C = -10x4 + 6x5 + 4x2 17.4) D = -8x6 + 6x4 + 4x2

Esperamos que usted no esté como este personaje de la historieta, y que se

encuentre listo para analizar algunos casos especiales.

EJERCICIOS P = -3x2 Q = -5x3 R = -5x4 + 2x3 – x S = -2x2 - 3x4 + x3 T = 7x – 2 Calcule: 1) P Q 4) S T 2) R P 5) (R T) P 3) S Q 6) R (T P)

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RESPUESTAS P Q = 15x5 R P = 15x6 – 6x5 + 3x9 S Q = 10x5 + 15x7 – 5x6 S T = -16x3 – 21x5 + 13x4 + 4x2 (R T) P = 105x7 – 72x6 + 21x10 + 12x5 – 6x9 R (T P) = (R T) P División de expresiones algebraicas Ya hemos visto cómo sumar, restar y multiplicar polinomios. Ahora veremos como dividir expresiones algebraicas.

Recuerde lo que significan los exponentes, y tenga cuidado de no cometer el

error de pensar que b

a

b

a2

2

.

Los factores literales deben ser los mismos, para que puedan dividirse.

Veamos: x5 : x3el lo mismo que 2

3

5

xxxxxx

xxxxx

x

x

Ejemplo 1:

223

2.24

8xóx

x

x

Hicimos: 8:4=2 y restamos los exponentes de x; 3-1=2 por lo que quedó x2

Ejemplo 2: = 3 a2 b Se dividió 15 por 3, y se restaron los exponentes de a, b y c entre sí respectivamente. Al restar los exponentes de c, que en ambos casos es 1,

Para dividir expresiones algebraicas

Primero se dividen los factores numéricos y luego se dividen los factores literales. Cuando dividimos una potencia de x por otra

15 a3 b2 c

5abc

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nos queda 1-1=0, es decir c0, pero cualquier número elevado a la 0 es igual a 1. Por lo tanto el resultado sería: 3 a2.b.1, siendo innecesario colocar este último número ya que no altera el resultado del producto.

Ejemplo 3: x8

x8x16x24 23

En este caso lo dividimos un polinomio por un monomio. Cada término del polinomio debe ser dividido por 8x.

1x2x3x8

x8

x8

x16

x8

x24 223

Como 1x2x3

x8

x8x16x24 223

se verifica que: 24x3 – 16x2 – 8x = (3x2-2x-1) 8x Así, hemos factoreado al polinomio, pues quedó expresado como un producto. EJERCITACIÓN Realice las siguientes divisiones:

2

3

z

z9

–7y2 : 14y

ab

ab3

x3

x12x3x9 32

RESPUESTAS

z9z

z92

3

–7y2 : 14 y = y

2

1

19

23

bab

ab

4xx3x3

x12

x3

x3

x3

x9

x3

x12x3x9 23232

Polinomio ordenado y completo

EJERCITACIÓN Exprese los siguientes polinomios en forma decreciente y completa. P = -3 + x2 Q = 1 – 3x2 + 2x R = 3x + x5 – 2 + x2 S = 2x2 – 1 + 3x3 + 5x T = -3x3 + x2 – 2x

Decimos que un polinomio está ordenado en forma decreciente con respecto a una letra, cuando los exponentes (potencias) del mismo, van disminuyendo término a término.

La expresión x4 + 3x3 + 2x2 – x + 3 es un polinomio ordenado en forma decreciente con respecto a la letra x.

A veces un polinomio puede aparecer incompleto, como el que sigue:

2x6 + x3 + 5x – 8

¿Cómo lo podemos completar? Así:

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RESPUESTAS P = x2 +0x – 3 Q = -3x2 +2x +1 R = x5 + 0x4 + 0x3 + x2 + 3x – 2 S = 3x3 + 2x2 + 5x – 1 T = -3x3 + x2 – 2x + 0 término correspondiente a x0 Ahora continuamos dividiendo ... Antes recordemos cómo se denominan los elementos de una división.

El polinomio dividendo (en nuestro caso P) debe estar completo y ordenado en forma decreciente. Veamos cómo se aplica este regla. P: Q = (2x4 + 7x3 + 9 + 5x2 – 5x) : (x + 3)

Para calcular el cociente y el resto de una división en la que el divisor es de la forma (x + a) (siendo a un número cualquiera), utilizamos una disposición práctica llamada REGLA DE RUFFINI.

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Queremos hallar: el polinomio cociente, al que hemos llamado C, y el resto R, tal que se verifique:

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6) Multiplicamos 1x(-3), lo colocamos debajo del 5 y sumamos

7) Repetimos el procedimiento hasta llegar a obtener:

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Como el dividendo es un polinomio de grado 4 y el divisor es un polinomio de grado1, obtenemos un polinomio de grado3. (pues 4-1 = 3)

Por lo tanto, como P = Q C + R, se verifica:

(2x4 + 7x3 + 5x2 – 5x + 9) = (x + 3)(2x3 + x2 + 2x – 11) + 42 Ejemplo: Queremos resolver (x3-2x+5) : (x – 3)

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EJERCITACIÓN Resuelva las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini, indicando en cada caso el cociente C y el resto R. (x3 – 7x2 + 14x – 8) : (x - 2) (x3 – 3x2 + 2) : (x + 1) (x2 – 5x3 + 3x4 – 2) : (x – 1) (x2 + 7x + 12) : (x + 3) (4x – 5x2 + 3) : (x + 3) SOLUCIONES 30.1) (x3 – 7x2 + 14x – 8) : (x – 2) Completamos y ordenamos en forma decreciente el polinomio dividendo. En este caso ya está hecho.

Completamos y ordenamos en forma decreciente el dividendo. .

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30.3) (x2 – 5x3 + 3x4 - 2) : (x - 1) Ordenamos en forma decreciente y completa el dividendo:

30.5) (4x – 5x2 + 3) : (x + 3) Ordenamos en forma decreciente el dividendo:

Si usted desea conocer el método para efectuar la división entre de polinomios cualesquiera, le presentamos el siguiente ejemplo:

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Queremos dividir un polinomio P por un polinomio Q. Para poder hacer la división, el grado del dividendo (P) debe ser mayor o igual que el grado del divisor (Q) Sean P = 2x3 + 2x – 3 y Q = 3x + x2 – 2 Para efectuar la división de polinomios, utilizamos una disposición similar a la que utilizamos para números. Para facilitar el mecanismo de la división: 1°) Completamos y ordenamos en forma decreciente el dividendo. 2°) Ordenamos en forma decreciente el divisor.

Multiplicamos el cociente hallado por cada término del divisor. Restamos el producto obtenido. Observe que al producto obtenido le cambiamos los signos, pues para restar polinomios le sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo.

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Bajamos el término siguiente.

Dividimos el primer término del polinomio obtenido por el primer término del divisor. Escribimos en el cociente el término hallado.

Multiplicamos el cociente hallado por cada término del divisor. Restamos el producto obtenido. Se repiten los pasos hasta obtener un resto cuyo grado sea menor que el grado del divisor. En este caso como el resto es 24x – 15 (de grado 1) y el divisor es x2 + 3x – 2 (de grado 2), hemos terminado la cuenta. C = 2x - 6 Entonces R = 24x – 15 Ahora podrá usted practicar el método que acabamos de ver, resolviendo la siguiente actividad: Calcule el cociente y el resto de las siguientes divisiones. Recuerde ordenar en forma decreciente al dividendo y al divisor y completar al dividendo. (2x4 – 6x + 10) : (x + 2) (2x5 – 3x3 + 6x) : (x2 + x – 1) (9x3 – 12x2 – 3) : (3x2 + 1)

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SOLUCIONES (2x4 – 6x + 10) : (x + 2) 2x4 – 0x3 + 0x2 - 6x + 10 x + 2 -2x4 - 4x3 2x3 – 4x2 + 8x - 22

-4x3 + 0x2 4x 3 + 8x2 8x2 – 6x -8x2 –16x -22x + 10 22x + 44 54 C = 2x3 – 4x2 + 8x – 22 R = 54 2) (2x5 – 3x3 + 6x) : (x2 + x - 1) 2x5 + 0x4 - 3x3 + 0x2 + 6x + 0 x2+ x - 1 -2x5 - 2x4 + 2x3 2x3 – 2x2 + x -3

-2x4 – x3 + 0x2 22x4 + 2x3 - 2x2 x3 – 2x2 + 6x -x3 - x2 + x -3x2 + 7x + 0 3x2 + 3x - 3 10x - 3 C = 2x3 – 2x2 + x – 3 R = 10x - 3 3) (9x3 – 12x2 - 3) : (3x2 + 1) 9x3 - 12x2 + 0x - 3 3x + 1 -9x3 -3x 3x – 4

- 12x2 - 3x - 3 12x + 4 -3x + 1 C = 3x – 4 R = -3x + 1

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RAÍCES O CEROS DE UN POLINOMIO Dado un polinomio con una sola variable, por ejemplo. x2 – 2x – 3 La variable es x. Lo designaremos P(x) Supongamos que queremos hallar el valor que toma P cuando x = 5. Entonces se reemplaza x por 5: P(5) = 52 – 2 5 – 3 significa que reemplazamos x por 5 P(5) = 25 – 10 – 3 P(5) = 12 Por lo tanto el valor numérico de P cuando x = 5 es 12. EJERCICIOS Halle el valor numérico de P(x) cuando: x = 1 x = 3 x = -1 SOLUCIONES P(x) = x2 – 2x – 3 1) x = 1 P(1) = 12 - 21 – 3 P(1) = 1 – 2 – 3 P(1) = -4 2) x = 3 P(3) = 32 - 23 – 3 P(3) = 9 – 6 – 3 P(3) = 0 3) x = -1 P(-1) = (-1)2 - 2(-1) – 3 P(-1) = 1 + 2 – 3 P(-1) = 0

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Si resolvió bien la actividad anterior pudo comprobar que P(3) = 0 y P(-1) = 0. Los números que hacen que el valor numérico de un polinomio sea 0, se llaman raíces o ceros del polinomio. Por lo tanto 3 y –1 son las raíces o ceros de P(x).

(pues el resto de la división (pues el resto de la división

entera no es 0) entera es 0)

12 = 2 + 5 + 5 12 = 3 4 aquí la operación aquí la operación principal principal es la suma. es la multiplicación. Esto significa que Esto significa que 12 NO está FACTOREADO 12 está FACTOREADO, porque lo pudimos escribir como un producto de factores ( en este caso 3 y 4)

La misma idea de lo que significa Divisibilidad, se aplica para expresiones algebraicas. Veámoslo ..... Dado el polinomio Q(x) = x2 – 3x – 10

Un número a es un cero o raíz de un polinomio P(x) cuando este se anula para x = a

En cada caso los dividendos

pueden expresarse como:

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Caso 1 Caso 2 (x2 – 3x – 10) : (x + 3) (x2 – 3x – 10) : (x – 5) 1 -3 -10 1 -3 -10 -3 -3 18 5 5 10

1 -6 8 1 2 0

(x2 – 3x – 10) : (x + 3) (x2 – 3x – 10) : (x - 5) C = x – 6 C = x + 2 R = 8 R = 0 o escrito de otra forma o escrito de otra forma x2 – 3x – 10 x + 3 x2 – 3x – 10 x - 5 . x - 6 x + 2 8 0

Aplicando Ruffini

(algoritmo de división de polinomios)

(x2– 3x – 10)no es divisible por (x + 3), pues el resto no es 0.

(x2– 3x – 10)es divisible por (x -5), pues el resto es 0.

32

(x2 - 3x – 10) = (x-6)(x+3) + 8 (x2 – 3x – 10) = (x+2)(x-5) Aquí la operación principal es la Aquí la operación principal es la multi- suma y (x2-3x-10) no está factoreado plicación y (x2-3x-10) está factoreado En este caso el divisor es En este caso el divisor es (x + 3) o (x – (-3)) (x – 5)

¿(-3) es raíz de Q(x)? ¿5 es raíz de Q(x)? Q(-3)=(-3)2 – 3 (-3) – 10 Q(5) = 52 – 3 5 – 10 Q(-3)=9 + 9 – 10 Q(5) = 25 – 15 – 10 Q(-3) = 8 3 no es raíz de Q(x) Q(5) = 0 5 es raíz de Q(x)

En cada caso el dividendo puede expresarse como:

34)

34.1) Averigüe si 1 y –1 son raíces del polinomio D(x) = x2 – 1

En el ejercicio anterior usted habrá visto que 1 y –1 son raíces de D(x). Como D(x) es una diferencia de cuadrados lo podemos factorear: D(x) = x2 – 1 = (x + 1) (x – 1) Si reemplazamos x por (-1) Si reemplazamos x por 1 este factor se hace 0 por lo este factor se hace 0 por tanto se anula D(x) lo tanto se anula D(x) Observemos que: D(x) x –1

0 x +1 Puede verificar esto y haciendo la división D(x) x +1 por Ruffini 0 x -1 Por lo tanto D(x) es divisible por (x-1) y por (x+1)

33

UNIDAD 2

FACTOREO O FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factorear un polinomio significa transformarlo en productos en monomios o polinomios de menos grado.

Se parte de una expresión formada por sumas y/o restas de términos y se llega a una expresión equivalente

Por ejemplo:

Por ejemplo, de x2 + 3x + 2 se llega a (x+2).(x+1)

Factores

Factorear es útil en muchos temas de matemática donde es necesario trabajar con multiplicaciones en vez de sumas o restas.

Para verificar si el factoreo fue bien realizado se multiplican los factores entre sí, debiéndose llegar a la expresión originaria.

Haciéndolo en el ejemplo dado:

(x+2).(x+1) = x2 + x + 2x + 2 = x2 + 3x +2

(se empleó propiedad distributiva y se sumaron los términos lineales de x entre sí, o sea x + 2x = 3x

34

FACTORIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

Sea P(x) un polinomio de segundo grado de la forma:

P(x) = a x2 + b x + c

Si sus raíces (o ceros) son x1 y x2,, dicho polinomio se podrá descomponer en factores del siguiente modo:

P(x) = a x2 + b x + c = a.( x – x1 ),( x –x2)

Ejemplo 1 :

P(x) = 2x2 – 2x – 4

Para hallar las raíces (x1 y x2) de una expresión cuadrática, se emplea la

Fórmula de Bascara:

2x2 – 2x – 4 = 0

, =− ± √ −

En nuestro ejemplo, a = 2 , b = -2 y c = -4

Reemplazando en la fórmula:

1, 2 =−(−2) ± (−2) − 4.2. (−4)

2.2

Resolviendo nos quedaría:

x1 = = 2 y x2 = = -1

Por lo tanto, el polinomio dado quedaría factorizado del siguiente modo:

P(x) = 2x2 – 2x – 4 = 2 ( x – 2) ( x –(-1)) = 2 (x – 2)(x +1)

35

Podemos verificar la expresión obtenida aplicando propiedad distributiva, llegando así al polinomio en la forma original:

2 (x – 2)(x +1) = (2x – 4) (x + 1) = 2x2 + 2x – 4x – 4 = 2x2 – 2x – 4

Ejemplo 2 :

P(x) = -x2 - 4x - 4

Encontremos las raíces:

-x2 - 4x – 4 = 0

a = -1 , b =-4, c = -4

1, 2 =( )± ( ) .( ),( )

.( ) =

x1= ( )

= -2

x2 = ( )

= -2

vemos que x1 = x2 = -2

En este caso se dice que el polinomio tiene una raíz doble. El mismo se factorea:

P(x) = -x2 - 4x – 4 = (x – (-2)). (x – (-2)) = (x + 2).(x + 2) = ( x + 2)2

Ejemplo 3:

P(x) = 2 x2 - 10 x

36

En este caso, al no poseer término independiente, podemos decir que c = 0, mientras que a = 2 y b = - 10

Reemplazan do y resolviendo la fórmula de Bascara, llegamos a que

P(x) = 2 x2 - 10 x= 2 (x – 0).(x – 5) = 2 x (x -.5)

En estos casos que el polinomio de segundo grado no tiene término independiente, resulta más sencillo factorearlo sacando factor común, procedimiento que veremos más adelante.

Ejemplo 4:

P(x) = 4x2 – 16

4x2 – 16 = 0

Para encontrar las raíces por la fórmula de Bascara, debemos reemplazar

a = 4, b = 0, c = -16

pero en el caso que b = 0, como en este, no es necesario usarla porque basta con despejar x directamente

4x2 – 16 = 0

4x2 = 16

x2 = 16 / 4

x2= 4

x = ± √4

x1 = +√4= 2 y x2 = - √4= - 2

Entonces:

P(x) = 4x2 – 16 = 4 ( x – 2).( x –(-2)) = 4 (x – 2)(x + 2)

37

Ejemplo 5:

P(x) = x2 + 4x + 11

x2 + 4x + 11 = 0 , a = 1 , b = 4 , c = 11

1, 2 =−4 ± √4 − 4.1.11

2.1

En este caso, al intentar resolver la fórmula de Bascara, al operar dentro de la

raíz, llegaremos a √−28, la cual no tiene solución en el campo real, por lo que el polinomio dado no se puede factorear, es decir, no podemos expresarlo como factores.

Ejercitación

Factorear los siguientes polinomios y verificar aplicando la propiedad distributiva:

1 ) P(x) = x2 + x – 6

2) P(x) = -x2 + 6x – 5

3) P(x) = x2 – 2x + 1

4) P(x) = 3x2 – 3x – 18

5) P(x) = -2x2 + 8

6) P(x) = 4 x2 + 12x

7) P(x) = -2x2 + 2x + 24

8) P(x) = x2 – 6x + 10

9) P(x) = 7x2 – 49

10) P(x) = 2x2 – 10x

38

CASOS DE FACTOREO

1- FACTOR COMÚN Ejemplo 1: 8 x + 4 y + 16 z = En este caso sólo podremos sacar factor común entre los coeficientes, puesto que la parte literal es distinta en cada término (x, y ,z) Se elige el máximo común divisor entre los 3 coeficientes Divisores de 8 : 1, 2, 4, 8 Divisores de 4 : 1,2,4 Divisores de 16 : 1,2, 4 , 8 , 16 Es decir, adopto el 4. 8 x + 4 y + 16 z = 4 . ( ----------) Luego dividimos los 3 coeficientes por 4 (8:4 =2 , 4:4 = 1 , 16:4 = 4 ) 8 x + 4 y + 16 z = 4 (2x + y + 4z ) Quedando así el polinomio dado factoreado (un factor es 4 y el otro la expresión que está entre paréntesis) Podemos verificar el resultado se aplicamos la propiedad distributiva al segundo miembro, ya que, si el ejercicio está hecho correctamente, volveríamos a la expresión dada.

39

Ejemplo 2 : 12 x + 18 y – 24 z = En este caso, analizando los divisores de 12, 18 y 24 vemos que el número mayor que sea común a todos es 6. Entonces queda: 12 x + 18 y – 24 z = 6 (2 x + 3 y – 4 z) Para estudiar los casos en que podemos sacar factor común entre las variables repasemos antes producto y división de potencias de igual base. Producto de potencias de igual base: Sean xa y xb , entonces: xa . xb = x a+b Es decir si multiplicamos dos o más números iguales elevados a una determinada potencia, el resultado es un número de igual base a la de los factores elevado a una potencia que resulta de sumar las potencias de los factores. Ejemplo: x4. x3 x2 = x 9 la potencia 9 del resultado surge de sumar las potencias de los factores (4+3+2) Cociente de potencias de igual base Sean xa y xb entonces: xa / xb = x a-b Si dividimos dos o más números iguales elevados a una determinada potencia, el resultado es un número de igual base a la de los factores elevado a una potencia que resulta de restar las potencias de los factores.

40

Ejemplo: x6/ x4 = x2 (la potencia del resultado surge de restar 6-4) Retomamos el primer caso de factoreo Ejemplo 3: 9 x4 – 6 x7 + 12 x5 = Sacamos primero el factor común entre los coeficientes comparando los divisores de los mismos y eligiendo el mayor que sea común a todos: Divisores de 9: 1, 3, 9 Divisores de 6: 1, 2, 3, 6 Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 , 12 Vemos que el máximo divisor común es 3 En este caso también podremos sacar factor común entre las variables (x4 ,x3 y x6 ). Se toma el factor elevado al menor exponente (x3) Entonces: 9 x4 – 6 x3 + 12 x5 = 3 x4( …….. Ahora se divide cada coeficiente del polinomio por 3 y cada expresión literal por x3, recordando que para hacerlo debemos restar los exponentes entre sí, como vimos en los ejemplos de cociente de potencias de igual base: 9 x4 – 6 x3 + 12 x5 = 3 x3( 3 x – 2 + 4 x2 ) Vemos que x3 : x 3 = x0 = 1 (todo número elevado a la 0 es igual a 1) Se sugiere al alumno aplicar la propiedad distributiva al resultado para verificar el resultado. Ejercicios propuestos En cada caso factorear y aplicar propiedad distributiva para verificar el resultado obtenido:

41

1) 14 x5 – 7 x3 + 28 x4 – 49 x6 =

2) 15 x4 + 25 x5 – 100 x2 =

2 – FACTOR COMÙN EN GRUPOS

En estos casos vemos, si bien no hay un factor común a todos los términos, se pueden agrupar algunos términos y sacar factor común entre los mismos

Ejemplo:

3 x3 + 5 x6 – 6 x2 – 10 x5 =

Sacamos factor común entre el primer y tercer término por un lado y el segundo y cuarto término por el otro

3 x2 (x-2) + 5 x5 (x-2) =

Ahora vemos que podemos sacar factor común (x-2) ya que aparece en ambos términos:

= (x-2) ( 3 x2 + 5 x5)

Ejercicios propuestos

1) 2 x4 + 5x2 `+ 8 x3 + 15 x = 2) 5 x6 – 7x3 + 15 x4 – 21 x =

42

3- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Vamos a desarrollar un binomio elevado al cuadrado:

( a + b )2 = ( a + b ) . ( a + b) =

Aplicando la propiedad distributiva:

= a . a + a . b + b . a + b . b =

= a2 + 2.a.b + b2

Del mismo modo, si desarrollamos

(a – b)2 llegamos a que es igual a: a2 – 2.a.b + b2

Entonces:

( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2

( a – b) 2 = a2 – 2. a. b + b2

cuadrado de un binomio trinomio cuadrado perfecto

La idea es reconocer un trinomio cuadrado perfecto y pasarlo a su forma de binomio elevado al cuadrado:

43

Ejemplo 1

x2 + 6 x + 9 =

Busco dos términos que sean el cuadrado de números, en este caso el primer término lo es de “x” y el tercero de 3 ( x y 3 son las bases)

Luego verifico que el otro término sea el producto de las bases anteriores multiplicados por dos (el doble producto)

2.x.3 = 6 x

Entonces podemos expresar:

x2 + 6 x + 9 = ( x + 3 )2

Ejemplo 2

9 x2 – 30 x + 25 =

9 = 32 entonces 9 x2 = (3x)2 y 25 = 52 ; bases: 3x y 5

Por otro lado, verificamos que:

2. 3x . 5 = 30 x

Por lo que :

9 x2 – 30 x + 25 = (3x – 5)2

44

Ejercitación:

Factorear:

1) 4 x2 – 4 x + 1 = 2) x2 – 6 x + 9 = 3) x6 + 10 x3 + 25 =

4- CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

Del mismo modo que demostramos el desarrollo del cuadrado de un binomio, llegamos que el cubo de un binomio podemos expresarlo de la siguiente forma:

( a + b )3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3

( a – b )3 = a3 – 3 a2 b + 3a b2 +,b3

Ejemplo 1:

x3 + 6 x2 + 12 x + 8 = ( x + 2 )3

x3 23

3 x2 2 3 x 22

Ejemplo 2:

x3 – 27 – 9 x2 + 27 x = ( x – 3)3

x3 (-3)3 3x2(-3) 3x (-3)2

45

Ejercitación

1) x3 + 15 x2 + 75 x + 125 = 2) 64 x3 + 27 + 144 x2 + 108 x = 3) x3 – 12 x2 + 48 x – 64 =

5 – DIFERENCIA DE CUADRADOS

P(x) = x2 – a2 = (x – a).(x + a)

Ejemplos

1) x2 – 9 = ( x-3) (x+3) 2) 36 x2 - 100 = (x2)2 - 52 = (x2 - 5).(x2 + 5) 3) 36 x2 – 100 = (6 x + 10).(6x – 10)

Ejercitación

a) x2 - 81 = b) 25 x2 – 4 = c) 1 – x2 = d) x4 – 36 = e) x6 – 100 =

6 – SUMA Y RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO

P(x) = xn± an

Por ejemplo, P(x) = x7 + 27 , P(x) = x4 - 54

Ejemplo 1

P(x) = x4 – 16

Polinomio que podemos expresar como

P(x) = x4 – 24

Hemos visto , al estudiar polinomios de segundo grado, que se expresan como:

P(x) = a ( x – x1) ( x – x2) , donde x1 y x2 son las raíces del polinomio

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En este ejemplo, por ser un polinomio de cuarto grado, a lo sumo tendrá cuatro raíces. En ese caso, se podrá factorear:

P(x) = a ( x – x1 ) ( x – x2) ( x – x3 ) ( x – x4 )

Siendo a = 1 (a : coeficiente principal, o sea el número que multiplica la x con mayor exponente), podemos calcular las dos primeras raíces despejando x:

x4 – 16 = 0

x = ± √16 , x1 = 4 , x2 = -4

Entonces:

x4 – 16 = ( x – 4 ) ( x + 4 ) ( x – x3 ) ( x – x4 )

Para hallar las últimas dos raíces despejamos

x4 – 16 . = ( x – x3 ) ( x – x4 ) ( x – 4 ) ( x + 4 ) Para hacer esta división empleamos la regla de Ruffini: 1 0 0 0 -16 2 2 4 8 16 1 2 4 8 0 La solución de esta división es :x2 + 4 , expresión que no se puede seguir factoreando, por quedar raíz cuadrada de un número negativo, por lo que la expresión final será: P(x) = ( x – 4 ) ( x + 4 ) ( x2 + 4) Ejemplo 2 P(x) = x3 – 27 Busquemos las raíces: x3 – 27 = 0 Despejando x : x = 3, es decir, el primer factor es ( x – 3).

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Ahora buscamos las otras dos raíces usando la regla de Ruffini 1 0 0 -27 3 3 9 27 1 3 9 0 x2+ 3 x + 9 = 0 Se propone al alumno que resuelva esta ecuación usando la fórmula de Bascara y compruebe que no existen raíces por quedar un número negativo dentro de la raíz cuadrada. Por tal motivo, el polinomio se factorea del siguiente modo: P(x) = x3 – 27 = ( x – 3 ) (x2 + 3 x + 9 )