堆積 (Heap Tree)

授課老師：蕭志明

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何謂堆積1. 堆積 (Heap) 和二元搜尋樹大致上雷同，但有一點點差異。2. Heap 在分類上大致可分為 Max-heap, Min-h

eap, Min-max heap 及 Deap 。3. Heap 也可用在排序上，此稱為 Heap sort（堆積排序）。

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Definition1. 最大樹 ( max  tree ) 是一種樹，其中每一個節點的值不小於它的子節點 ( 如果存在的話 ) 的鍵值。　　2. 最大累堆 ( max heap ) 為一種也是最大樹的完整二元樹。　　3. 最小樹 ( min  tree ) 是一種樹，其中每一個節點的值不大於它的子節點 ( 如果存在的話 ) 的鍵值。　　最小累堆 ( min heap ) 為一種也是最小樹的完整二元樹。

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堆積範例

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堆積範例

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何謂堆積 它是一棵 Heap ，而不是二元搜尋樹。在調整的過程中有二種方式：1. 一是由上而下，從樹根開始與其子節點相比，若前者大則不用交換2. ，反之，則要交換；以符合父節點大於子節點。

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堆積操作

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堆積操作 此種方法也可以讓子節點先比，找出最大者再與其父節點比，此種方法至多只要做一次對調即可，如下圖 23 和 30 中 30 較大，因此 15和 30 對調。由於這種方式較快，故若以由上而下調整時，皆以此種方式進行之。

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何謂堆積 一棵 Heap 不是唯一，因為只要父節點大於子節點即可。需在此提醒讀者的是，當中間有某些節點互換時，需要再往上相比較，直到父節點大於子節點為止。

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基本的堆積樹演算法 1. 堆積樹有二個基本的維護作業：

新增。 刪除。

2. 對堆積樹進行追蹤、搜尋與列印，是沒有意義的。3. 在這一方面，它比較像是一個限制資料結構。4. Heap 也可用在排序上，此稱為 Heap sort （堆積排

序）。

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為了實作新增與刪除作業，需要二個基本的演算法：1. 重新向上堆積2. 重新向下堆積。

基本的堆積樹演算法

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1. 假設一個類完全二元樹包含 N 個節點，其中 N-1 個節點滿足堆積樹的順序性質，但是最後一個節點不滿足。

2. 換句話說，倘使最後一個節點不存在，則此結構即成為一個堆積樹。3. 重新向上堆積 (ReheapUp) ，將最後一個節點往上移動，直到它

位於正確的位置，以符合堆積的定義。4. 圖 9-4 顯示調整的情況，在進行重新向上堆積樹之前，最後一個節

點的順序不對。而在操作之後，它會位於正確的位置，因此堆積樹也就多了一個節點。

重新向上堆積 (ReheapUp)

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1. 新增在葉節點進行。2. 堆積樹是一個完全或類完全樹，新節點必須放在葉階層的第 1 個 ( 最左邊 ) 空位，如圖 9-4 所示。3. 如果新節點的鍵值大於父節點，就交換兩者的資料與鍵值，將新節點往上移動。4. 經由不斷地改變子－父節點的鍵值與資料，新節點最後會到達正確的位置。5. 重新向上堆積 (ReheapUp) 藉由將最後一個節點向上

移動，直到它位於正確的位置，以修復堆積樹的結構。

重新向上堆積 (ReheapUp)

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圖 9-4 重新向上堆積作業

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圖 9-5 追蹤 ReheapUp 操作。1. 依定義 25 比父節點 12 的左子樹的所有鍵值都大。

於是將 25 與 12 交換。2. 接著發現 25 依然大於其父節點 21 ，所以再交換一

次。3. 最後目標節點鍵值 25 小於父節點鍵值 42 ，表示找

到正確的位置，整個操作結束。

重新向上堆積 (ReheapUp)

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圖 9-5 重新向上堆積範例

異 動 前 的 樹 ： 不 是 堆 積

最 後 一 個 元 素 向 上 移 動

再 向 上 移 動 ： 樹 成 為 堆 積

( 2 5 )

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重新向下堆積 (ReheapDown)1. 假設一個類完全二元樹，除了根節點之外，滿足堆積樹的順序性質。2. 這會發生在刪除根節點時，剩下兩個堆積樹。3. 為了修正這種情況，將最後一個節點資料移到根節點。很明顯地，這會破壞堆積樹的性質。 4. 重新向下堆積 (ReheapDown) 由根節點向下移動，一直找到它正確的位置為止。5. 為了修復結構，需要將根節點向下移動，直到它的位置符合堆積樹的順序規定。6. 們稱此作業為重新向下堆積 (ReHeapDown) ，如圖 9-6 所示。

重新向下堆積 (ReheapDown)

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圖 9-6 重新向下堆積的例子

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1. 圖 9-7 顯示重新向下堆積的作業過程。2. 開始時，根節點 10 小於其子樹，所以要檢查左右子樹，並

選擇比較大的子樹 32 ，與根節點作 交換。3. 圖 9-7(b) 顯示交換之後的情況，繼續檢查子樹以判斷是否

可以結束作業，發現 10 小於其子樹，所以要將 10 與比較大的子樹 30 作交換。

4. 此時，已到達葉節點，所以可以結束作業。

重新向下堆積 (ReheapDown)

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圖 9-7 重新向下堆積

異 動 前 的 樹 ： 不 是 堆 積

( )根 節 點 向 下 移 動 向 右 下

再 向 下 移 動 ： 樹 成 為 堆 積

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Heap 的加入

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Heap 的加入加入 30 及 50 。 首先按照完整二元樹的特性將 30 加進來， 如下圖

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Heap 的加入 因為加入 50 後不是一棵 Heap ，所以要加以調整之。

由於原先已是一棵 Heap ，所以，只要將加入的那一個節點往上調整即可。

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Heap 的刪除 Heap 的刪除則將完整二元樹的最後一節點取代被刪除的節點，然後判斷是否為一棵 Heap ，若否，則再依上述的方法加以調整之。

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Heap 的刪除

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Heap 的刪除

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Heap 的刪除再刪除 40 ，則將 10取代之。

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堆積練習再舉一例，有一棵 Heap 如下：

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堆積練習 今欲將 40 刪除，則以 15取代 40 （因為 15在完整二元樹中是最後一個節點）

30

堆積練習 此時將 15 和其所屬的最大子節點比較，亦即 15 和 35 （因為它大於 30 ）比較，直接將

15 和 35 交換。

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何謂 min-heap 上述介紹的 Heap ，我們稱之為 max-heap ，在 max-heap 樹中的鍵值，一律是上大於下，節點內的鍵值一律大於其子節點。其中 min-h

eap 的觀念十分簡單，其節點鍵值一律小於子節點，恰與 max-heap 相反，如下圖即為一棵min-heap 的例子。

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何謂 min-heap

由於其加入與刪除的方法與 max-heap十分類似，在此就不重覆說明了。

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min-max heap min-max heap 包含了 min-heap 與 max-heap兩種 Heap 的特徵

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min-max heap

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min-max heap 何謂 min-max heap ： 為了方便解說，我們就直接以上圖為例，來定義 min-max heap ，必須符合下列三項定義：

1.min-max heap 是以一層 min-heap ，一層 max-heap 交互構成的。

2. 樹中為 min-heap 的部分，仍需符合 min-heap的特性。 3. 樹中為 max-heap 的部分，仍需符合 max-hea

p 的特性。

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min-max heap 的加入 min-max heap 的加入與 max-heap 的原理差不多，但是加入後，要調整至符合上述 min-max heap 的定義。

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min-max heap 的加入

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min-max heap 的加入若加入 5 ，步驟如下：

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min-max heap 的加入 加入後 18>5 ，不符合第一項定義，將 5與 18 交換。

40

min-max heap 的加入 交換後，由於 10>5 ，不符合第二項定義，將 5 與 10 對調。

此時已符合 min-max heap 的定義，不須再作調整。

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min-max heap 的刪除 若刪除 min-max heap 的最後一個節點，則直接刪除即可；否則，先將刪除節點鍵值與樹中的最後一個節點對調，再作調整動作，亦即以最後一個節點取代被刪除節點。假設已存在一棵 min-max heap 如下：

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min-max heap 的刪除

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min-max heap 的刪除

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min-max heap 的刪除若刪除 45 ，則直接刪除。

45

min-max heap 的刪除 若刪除 40 ，則需以最後一個節點的鍵值 1

8取代 40 。

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min-max heap 的刪除 交換後 18<19 ，不符合第一項定義，將 1

8 與 19 交換。

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min-max heap 的刪除 交換後，由於 19 小於 32 、 28 、 34 、 3

1 ，不符合第三項定義，必需將 19 與最大的鍵值 34 交換。

符合 min-max heap 的定義，刪除動作結束。

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Deap

Deap 同樣也具備max-heap 與 min-heap 的特徵，其定義如下：1.Deap 的樹根不儲存任何資料，為一空節點。2. 樹根的左子樹，為一棵 min-heap ；右子樹則為 max-heap 。3.min-heap 與 max-heap 存在一對應，假設左子樹中有一節點為 i ，則在右子樹中必存在一節點 j 與 i 對應，則 i 必須小於等於 j 。

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Deap

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Deap

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Deap 的加入Deap 的加入動作與其它 Heap 一樣，將新的鍵值加入於整棵樹的最後，再調整符合 Deap 的定義。

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Deap 的加入假設已存在一 deap 如下：

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Deap 的加入 若加入 25 ，加入後右子樹仍為一棵 max-

heap ，且左子樹對應節點 15 小於等於它所對應的右子樹節點 25 ，符合 deap 的定義，加入的結果如下：

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Deap 的加入加入 17 ，加入後的圖形如下所示：

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Deap 的加入 此時右子樹仍為 max-heap ，但 17 小於其左子樹的對應節點 20 ，故將 17 與 20 交換。

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Deap 的加入加入 40 ，如下所示：

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Deap 的加入 加入後左子樹雖為 min-heap ，但 40 大於其對應節點 25 （與節點 40 的父節點對應之右子樹節點），不符合 deap 的定義，故將 40與 25 交換，如下所示：

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Deap 的加入 交換後樹中的右子樹不是一棵 max-heap ，重新將其調整為 max-heap 即可。

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Deap 的刪除 Deap 的刪除動作與其它 Heap 一樣，當遇到刪除節點非最後一個節點時，要以最後一個節點的鍵值取代刪除節點，並調整至符合 dea

p 的定義。

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Deap 的刪除

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Deap 的刪除

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Deap 的刪除 若刪除 29 ，則直接刪除即可，結果如下圖所示：

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Deap 的刪除 刪除 21 ，此時以最後一個節點 22取代之，再將最後一個節點刪除，檢查左子樹仍為一棵

min-heap ，且節點鍵值 22 小於其對應節點 32 ，不需作任何調整。刪除結果如下：

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Deap 的刪除

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Deap 的刪除刪除 12 ，以最後一個節點 27取代。

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Deap 的刪除 左子樹不符合 min-heap 的定義，將 27 子節點中鍵值較小者 16 交換。

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Deap 的刪除 最後 16 與其對應的 30 比較； 16 小於 30 ，並且 27 也小於它所對應max-heap那邊的 30 ，故不需再做調整。