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H : 化学平衡 2006年11月27日 . 単位名 学部 : 天体輻射論 I 大学院:恒星物理学特論 IV 教官名 中田 好一. 授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。 成績は「レポート+出欠」でつけます。. 授業の内容は下の HP に掲載されます。 http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html. 休講:12月4日、1月15日、1月29日. H.1.化学平衡. - PowerPoint PPT Presentation
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単位名 学部 :天体輻射論 I 大学院:恒星物理学特論 IV
教官名 中田 好一
授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。成績は「レポート+出欠」でつけます。授業の内容は下の HPに掲載されます。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
H : 化学平衡 2006年11月27日
休講:12月4日、1月15日、1月29日
例 H2-2H=0 水素の解離
HーH+-e=0 水素の電離
CO-C-O=0 一酸化炭素の形成
孤立系(エネルギーU、体積V、粒子数Nが一定)では、エントロピー極大が平衡に対応するが、温度T,圧力Pが一定の環境では、ギブスの自由エネルギー G=U-TS+PV =ΣμjNj が 極値をとる。( μ jは j - 種粒子の化学ポテンシャル)
H.1.化学平衡
上の反応では、1回の反応で Δ Nj=ajの変化が起きるから、dR回では、
dN j =a j dR。そこで、T,P一定下での化学反応(Niが変化)を考えると、
dG=-SdT+VdP+ Σμ jdNj= Σμ jdNj= ( Σμ jaj)dR=0
したがって化学平衡の条件は、
a 1A1 +a 2A2 + a 3A3 + … . = Σ aj A j =0
nj=n( Aj)=Aj の数密度 を求める問題を考えよう。
Σ aj μ j=0
最初の例では、 a1=1, A1=H2, a2=-2, A2=H である。
(質量作用の法則)
粒子の内部自由エネルギー F in は、内部分配関数 Zin と
F in =- kT ln Z in =- kT ln [Σexp ( - Ein/kT)] で結ばれているから、
Π n j a j = Π[ nQ jνj exp(- a j F inj/kT)] と書く場合もある。
前節の平衡条件、
jinjQ
jj Zn
nkT
,,
ln 一般に、気体の化学ポテンシャル μ
jは、
0 jja
に上の μ jの式を代入すると、
TKZnn jjj a
jina
jQaj
jinjQjjj Znana lnln
nj=Nj/V= Aj の数密度(個 / cm3)、
nQ、j=( 2πm j kT/ h2)3 / 2= Aj の量子密度(個 / cm3)、
Z in,j = Σexp ( - Ein,j/kT)=Aj の内部状態分配関数
である。
Π n j a j = n i1 n j - 1
Π[ nQ ja j Z inj
a j ]= [ nQ i1 Z ini
1 ] [ nQ j-1 Z inj
-1 ] = Z ini1 Z
inj-1
例1: 励起準位 Ai-Aj=0下図のような、j 準位と i 準位の間の遷移を反応の一つと見なす。
a i =1, Zi =g i exp( - Ei/kT), aj =-1, Zj =g j exp( - Ej/kT)
この場合、 Zi , 、 Zj の表式に∑記号がないことに注意。
さらに、 nQ=( 2πmkT/ h2)3 / 2=共通なので、質量作用の法則を書き下すと、
= 励起原子の数密度
gi
n i
gj n
j
go n
0
統計重み 数密度
E j
E i
kT
EE
g
g
kT
EkTE
g
g
n
n ji
j
i
j
i
j
i
j
i exp
exp
exp
kT
E
g
gnn ii
i exp0
0
特にj=0(基底状態)の時、
例2: 水素の(第1励起/基底)比
on
n1
n
1
n0
g1=8
E 1=10.15eV
T.
T
kT
.exp
51156
1041510
5040
104
1510
2
8
eV
g0=2T
.on
nlog
5115660201
10
-2-4-6 0
0
1 2 3 4( 51156 /T)
5
log(n1/no)
T= 30000
B0型
T= 10000
A0型T= 42000
O5型
T<10000K(A0より晩期型星)では、 log (n1 /
no)<-5で大変小さいことが分かる。
T=85000Kで n1=no となり、
T∞では n1 / no=4 に接近する。
g2 E
2
g1 E
1
g o E=0
例3:ボルツマンの式 (Boltzmann’s formula)
kTiEexp
ogig
onin
前節の例1で示したように
なので
ある原子の総数密度を n とし、うち基底状態にno、第1励起状
態にn1、第2励起状態にn2,...あるとする。 n=no+n1
+n2 +...である。
...
kT
Eexpg
kT
Eexpg
kT
EexpgogZ 3
32
21
1 とすると、
Zogon...
kT
Eexpg
kT
Eexpgog
ogon
nnonn
22
11
21 ...
したがって、
ZkTiEexp
ignin
内部エネルギーの相対的な値の決め方には注意がいる。
自由電子と陽子の内部エネルギーをそれぞれ0とする。 すると、中性水素
原子の内部エネルギーは ‐Ⅰ となる(基底状態のみ考えている)。Ⅰは電離
エネルギーで水素では13.6eVである。
電子のスピン上向き、下向きの2状態を考えるので、(原子核の方は無視)
電子とH原子のZinには2が入ってくる。
例4: 水素原子の電離 H++e-H=0 (I=inization energy)
H + + e ー H = 0
E : 0 0 -I
g : 1 2 2
Zin : 1 2 2 exp(I / kT)
nQ : ( 2π mH kT/ h2)3 / 2 ( 2π m ekT/ h2)3 / 2 ( 2π
mH kT/ h2)3 / 2
H (中性水素原子)を I 、 H +(水素イオン)を II と表すと、
kT
I
h
kTm
kTI
hkTm
hkTm
hkTm
Z
ZZ
n
nn
n
nn
exp2
exp2
2
2
22
3
23
e
23
2I
23
2e
23
2II
I in,
e in,II in,
I Q,
e Q,II Q,
I
eII
TKZnn jjj a
jina
jQaj (質量作用の法則)を前頁の電離に適用す
る。
: サハの電離式 (Saha equation)
kT
I
h
kTm
n
nnexp
23
23
e
I
eII
a II=1, a(e)= 1, a I =‐1 だから、質量作用の法則は、
1・HII+1・Ee-1・HI=0
例5: 水素分子の解離 2H-H2
=0
a(H)=2、 a(H2)=-1 であるから、質量作用の法則は、
2 H ー H2 = 0
E : 0 -D ( -4.476eV)
g : 2 4(S=0 ortho ,1 para )
Zin : 2 4 exp( D/kT)
nQ : ( 2π mH kT/ h2)3 / 2 ( 2π2 mH kT/ h2)3 / 2
電離の時とは違って、今度は水素原子の内部エネルギーを0とする。すると、水素分子基底状態の内部エネルギーは-Dである。Dは解離エネルギー (Disociation Energy)で、水素ではD=4.47eVである。
kT
D
h
kTm
kT
D
h
kTm
h
kTm
n
n
H
HH
H
exp
exp4
2222
3
23
21
3
232
3
232H
2
H.2.サハの式 (Saha equation)
原子の電離度はサハの式によって決まる。
ni,0= i 回電離イオン基底状態の数密度
ni+1,0= (i+1) 回電離イオン基底状態の数密度
ne= 電子の数密度
Ii,0 = i 回電離イオン基底状態からの電離エネルギー とすると、
kT,iIexp
,ig,ig
h
kTem
,inen,in 0
0
013
2322
0
01
ni= i 回電離イオンの数密度(基底状態+励起状態)
ni+1= (i+1) 回電離イオンの数密度(基底状態+励起状態)
に対しては、上式を少し変えた以下の式が成立する。
kT,iIexp
iZiZ
h
kTem
inenin 01
3
23221
Zi= Σ gi・exp(-E / kT)(=i回電離イオンの分配関数) は前出のZinと同じ
すべての電子が水素から供給されている場合、n( H +)=n(e)なので、
水素原子の電離に関しては、
kT
I
h
kTm
n
nnexp
23
23e
H
eH
exp(‐I/ 2 kT) の因子がボルツマン型の exp(‐I/kT) と異なることに注意。
n(e)が全てHから供給されている必要はない。
実際、低温環境では電子はアルカリ金属(Na,K)の電離が主な
供給源である。
しかし、高温になると水素の電離で作られる電子が圧倒的となる。
kT
I
h
kTmnn
2exp
22/3
4/3e2
1
He
例1: 水素のみから成る星の大気
サハの式をガス圧
P=nkT で表して、
早期型星大気でのガス圧として、 log Pg(erg/cm3)=3.5 と仮定する。
Pe=PII 、 Pg=PI+PII+Pe を代入すると、
log10(PII2 / PI) = - 13.6(5040/T) + 2.5 logT - 0.48
2
1
I
I
Z
Z I
( 励起状態を無視 )
48.0log5.268544
2log 10
2
10
TTPPg
P
II
II
kT
I
h
kTmkT
P
PP
kTkT
I
h
kTm
n
nn
exp2
)(exp2
3
23
e
I
eII
3
23
e
I
eII
B0 B0 A0 F0 G0 K0
T 30500 9500 7500 6300 5350
PII2 / (Pg – 2 ×PII) 3.0E8 177.5 1.17 0.0137 1.07E-4
PII (erg/cm3) 1600 590 60 6.6 0.58
PI 0.0083 1980 3040 3150 3160
NII/NI 1.9×105 0.30 0.020 0.0021 1.8×10 - 4
NII/(NI+NII) 1 0.2 3 0.02 0.0021 1.8×10 - 4
log T4.04.5 3.5
-1
0
-2
-3
-4
III
II
NN
N10log
B0
A0A0
K0
バルマー線は水素原子主量子数
n=2 i (=3, 4, ...) への吸収線である。
H.1.例2の計算から n1/n0 を見てみると、
下のように温度が高くなると急に大きくなる。
n1 / n0はB0型ではA0型の5000倍になる。
では、バルマー線は高温度星ほど強いであろうか?
例2 バルマー線 (Balmer lines) 強度と星のスペクトル型
H α線
H β線
n0
n1
n2
n3
n=1
n=2
n=3
スペクトル型 B0 A0 F0 G0 K0
表面温度 (K) 30,500 9,500 7,500 6,300 5,350
n1 / n0 0.083 1.64E-5 6.00E-7 3.01E-8 1.09E-9
したがって、星のバルマー線強度はn1が大きくなるほど強くなる。混乱しやすい慣用法なので注意しておくが、n1の1は第1励起状態の1で、主量子数はn=2である。
ボルツマン分布
(励起)
電離平衡
主系列星大気の総ガス圧を、 log10Pg(erg/cm3)=3.5 と仮定し、
星の有効温度を log10T ( K) = 3.5、3.6、...、4.5とする。
この時に、 log10( NI1 /NI )、 log10( NI/NH )、 log10( NI
1 /N
H )
がどう変わるだろうか。
NH = NI +
NII NI1
NI0
NII
NI
PI=水素原子の分圧、PII=水素イオン(陽子)の分圧とおくと、
Pe=PIIであり、サハの式は以下のようになる。
ATTPPg
P
II
II
48.0log5.268544
2log 10
2
10
まず、 Pg=103.5 に対し、 上の式を解いてP II を求め、
次に、 P I =P II 2・10-A から P I を決める。
次に、
NI1 /NI = g1exp(-E1/kT) / [g0+ g1exp(-E1/kT) +…]
≒ 4・ exp(-E1/kT) / [ 1 + 4・ exp(-E1/kT)]
NI/NH = P I/ P H =P I/ (Pg- PII )
NI1 /N H =( NI
1 /NI )・( NI/NH )
を計算して次ページの表を得る。
logT 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
A -13.405 -8.697 -4.906 -1.843 +0.640 2.665 4.325 5.695 6.834 7.791 8.602
PII 1.11E-5 2.52E-3 0.198 6.72 113 832 1526 1578 1581 1581 1581
P I 3162 3162 3162 3149 2936 1498 110 5.02 0.366 0.0404 6.25E-3
Log(NI1 /NI )
-15.685 – 12.380 –9.779 –7.737 -6.133 -4.871 -3.877 -3.092 -2.472 -1.981 -1.592
Log(NI/NH)
0.0 0.0 0.0 0.0 -0.016 -0.192 -1.172 -2.500 -3.635 -4.592 -5.403
Log(NI1 /NH)
-15.685 -12.380 -9.779 -7.737 -6.149 -5.063 -5.049 -5.592 -6.107 -6.573 -6.995
3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.
2 4.3 4.4 4.5
logT
0
-5
-10
-15
Log(NI1 /NH)
Log(NI/NH)
Log(NI1 /NI )
水素(原子+イオン)中の第1励起原子の割合
スペクトル型
M K G F A B
H α
H βH αH β
H.3.電子の供給源恒星大気の温度が高い時には、大量に存在する水素の電離が自由電子の供給源となる。しかし、低温になると水素の電離度が下がり、電子を供給できなくなる。そうすると、存在比は水素より小さいが電離エネルギーが小さくて電離しやすいアルカリ金属が電子供給の役割を担うようになる。
種族IIの星のように低金属量の星では低温でも依然として水素の役割が大きい。
低温大気高温大気
水素
アルカリ金属
水素原子水素イオン
電子
アルカリ金属イオン
アルカリ金属、 Li, Na, K, Sc,..、電離エネルギーが低い。
存在比は小さいが、電離しやすいので、 Te < 5 000 K ( K型より晩期 ) ではKと Na が電子の主な供給源である。
電離エネルギー
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25 30原子番号
電離
エネ
ルギ
ー
Li Na K
He
Ne
Ar
B
Al
H
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
3
4
5
log10Te (K)
log1
0Pg
( erg/
cm3 )
そこで、簡単なモデルで大気中の電子がどのくらい存在するかを調べてみよう。下図の実線は主系列星大気の典型的な( τ≒ 0.6)ガス圧である。
電子供給源として、水素HとナトリウムNaのみを考え、それぞれが独立に電子を出した時どこで役割が入れ替わるかを計算してみる。元素組成は、NH:NHe:NNa=1:0 . 1:2 × 10-6 とする。
主系列星大気のガス圧 Pg の表面温度 Te による変化
PH=PHII+PHI とおくと、 PHe=0.1PH
Pe=PHII なので、 Pg=Pe+1.1PH
したがって、 PHI=PH-Pe=(Pg-Pe) / 1.1-Pe=(Pg-2.1Pe) / 1.1
圧力で書いたサハの式は、Pg=Pe+PHII+PHI+PHe を用いると、
ATTPePg
Pe
P
PeP
HI
HII
48.0log5.268534
1.2
1.1loglog 10
2
1010
前ページのグラフとPg=Pe+PHII+PHI+PHe から上の式を解くと、
温度 Pg (erg/cm3) A Pe (erg/cm3) NHI
4000 100000 2.450× 10- 9 0.015
5000 85000 1.144× 10-5 0.94
6000 62000 3.478× 10-3 14.0
7500 17000 1.170 134.4
10000 1300 462.4 419.6
25000 1900 5.929×107 904.7
水素が電子供給源の場合
Naの電離エネルギーは5 . 14 eV と低い。Na存在比が低いので、PgへのPeの影響は考えなくてよい。したがって、PNa=PNaI+PNa
IIとし、
PNa=Pg × 2 × 10-6 / 1 . 1 PNaII=Pe PNaI=PNa-Pe
に注意して、サハの電離平衡の式をNaに対して書くと、BT
TPePg
Pe
P
PeP
NaI
NaII
48.0log5.225905
1082.1loglog 106
2
1010
T Pg(erg/cm3) B PNa (erg/cm3) Pe (erg/c
m3)
4000 100000 111.9 0.182 0.182
5000 85000 3858 0.155 0.155
6000 62000 44450 0.113 0.113
7500 17000 567100 0.031 0.031
10000 1300 8.501× 106 0.0023 0.0023
25000 1900 3.011×10 9 0.0034 0.0034
どの場合もNaが完全電離としての解、Pe=PNa=Pg × 2 × 10-6 / 1 . 1
電子がNaから供給されるとき
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
-3
0
2
log10Te (K)
log1
0Pe
( erg/
cm3 )-2
-1
1
結局、T<4500KではNaT>4500KではH が電子の供給源となっていることが分かった。
Na起源の電子圧
H起源の電子圧
H.4.一般の原子の電離
イオンと原子の質量はほぼ等しいので、nQ(A+)=nQ(A)
電子のスピン上向き、下向きの2状態を考えるので、Z(e)=2。
自由電子とイオンの内部エネルギーをそれぞれ0とする。 すると、中性原子
の内部エネルギーは ‐Ⅰ となる(基底状態のみ考えている)。Ⅰは電離
エネルギー。 Z(A+)=u(A+)、Z(A)=u(A) exp(I/kT)
u(A+)=g0+g1 exp(-E1/kT)+g2 exp(-E2/kT) +….
A++e-A=0 (I=inization energy)
質量作用の法則まで戻ると、
a1=1 a2=1 a3=-1
n(A+)n(e)/n(A)= [ nQ(A+)nQ(e)/nQ(A) ]
[ Z(A+)Z(e)/Z(A) ]
結局、
n( A+)n(e) / n ( A ) = [u (A+)2/ u (A) ] ( 2π mekT/ h2)3 / 2 exp(‐I/kT)
天文ではPe(電子圧)を与えて計算する例が多い。
Pe=n(e)kTを使い、数値を入れて
log [ n( A+) / n ( A ) ]
=log[ u (A+)/ u (A) ] +log 2 +(5/2) log T -log Pe-Ⅰ (eV)(5040/T) - 0.48
(Peの単位は erg/cm3 )
H+e - H -=0 Wildt 1939. ApJ, 89, 295.”Electron affinity in Astrophysics”
水素負イオンはⅠ=0.754eVという非常に浅い準位を持つ。したがって、
高温の星の大気には存在しない。G型より晩期の星では非常に重要な
光の吸収源である。
Negative Hydrogen H‐ (水素負イオン)
水素負イオンの束縛状態は、二つの電子がスピン上向き、下向きの両方を
占めるので、総スピン=0であり、統計重みg=1である。
自由電子と中性水素の内部エネルギーをそれぞれ0とする。 すると、Negative
Hydrogen H - (陰性水素とは言わない)イオンの内部エネルギーは ‐Ⅰ となる
(基底状態のみ考えている)。
H.5.解離平衡分子雲や晩期型星大気では分子の形成を考慮する必要がある。
A + B ⇔ C という分子形成を考えよう。 注意すべきは、この反応式は実際には起きていなくても構わないことである。
水素分子形成を例にとると、 H+H = H2 という反応は直接には起こらず、水素分子は実際には星間ダストの上で形成されると考えられている。それでも、平衡を考える際には A, B, C の持つエネルギーの高さだけが問題となる。化学平衡での A, B, C の数密度 n A, n B, n C は質量作用の法則で決まる。
C in,
B in,A in,
3
23
C
3
23
B3
23
A
C in,
B in,A in,
C Q,
B Q,A Q,
C
BA
2
22
Z
ZZ
hkTm
hkTm
hkTm
Z
ZZ
n
nn
n
nn
数密度 n から圧力 P =nk T の表示に変えると、
)(2
2
PC in,
B in,A in,252
3
2
C in,
B in,A in,
C2
BA
C
BA
C
BA 23
TKZ
ZZkT
h
M
Z
ZZ
mh
kTmmkT
kTn
kTnkTn
P
PP
宇宙標準組成比では原子数の比は、H:C:O=1:0 . 36 × 10-3 :0 . 85 × 10-3
したがって通常のM型星の大気中には、 O が C の約2倍存在する。 M 型星大気の
温度は4000 K 以下であり、このように低い温度では CO が安定な分子種である。
CO の乖離エネルギーは DCO=11.1eV と大きいことが原因である。
このため、CはCOとして消費されつくす。後に残るOがOHやH2Oの Oが入った分
子を作る。
炭素星ではC:O比が逆転している。炭素星では CO として消費されつくすのは O で
残ったCがC2やCHを作る。
このように、 M 型星と C 型星では大気中に形成される分子の種類が異なり、それは
スペクトルの形に大きく影響している。
PH2=PH2 / KH2
PO2=PO2 / KO2
PC2=PC2 / KC2
POH=POPH / KOH
PCH=PCPH / KCH
PCO=PCPO / KCO
PH2O=POHPH / KH2O
POH=PH +2PH2 +POH+PCH+ 2PH2O
POC=PC+2PC2 +PCH+PCO
POO=PO+2PO2 +POH+PCO+PH2O
求める未知数はPH、PO、PC、PH2 、PO2 、PC2 、POH、PCO、PCH、
PH2Oの10個
である。高温では原子優勢、低温ではH2とCO、H2Oが大量にできる。
H,C,Oが全て原子であったと仮定した時の仮想圧力をP HO 、P C
O、P OO、
とする。P CO、P O
O << P HOである。
与えられた、P HO、P C
O、P OO と T に対し、 PH、PC、PO、PH
2、……PH2O を
決める問題を考えてみよう。
PH0=1000,PC
0=0.5, PO0=1 erg / cm3
例:G-K-M型星の大気組成
TC
1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 4,000 5,000 6,000
H2 -11.09 -3.56 0.42 2.82 4.40 6.36 7.70 8.48
O2 -13.32 -4.79 -0.13 2.35 4.11 6.27 7.71 8.59
C2 -18.54 -8.48 -2.87 -0.04 2.04 4.61 6.31 7.29
OH -11.05 -3.65 0.21 2.61 3.95 5.94 6.44 8.16
CH -6.53 -0.67 2.26 4.31 5.55 7.06 8.14 8.76
CO -42.98 -24.74 -14.33 -9.43 -5.67 -0.89 2.12 3.92
H2O -13.61 -5.05 -0.53 2.17 3.95 6.13 7.62 8.46
log10Kp(T) を下の表に示す。Kp(T)の単位はdyn/cm2 である。
CO に対するKp(T)が小さいことに注意せよ。
10変数の連立式なので、一般には、
(1)適当な初期値からスタートして、
(2)ヤコビ行列の逆行列を作り、
(3) F1=0, F2=0, … F9=0, F10=0 が満たされるまで、PH、PO、...PH2Oを
変えていくのだが、逆行列がうまく求まらない場合があるので注意が必要。
例えば、PH、PO、PC のみを独立変数と考え、残りの分圧は平衡式から厳密
に求め、 F8 =0 , F9 =0 , F10=0 を満たすPH、PO、PC を探す方法などもある。
F1=PH2ーPH2 / KH2、 F2 =PO2ーPO2 / KO2、…、
F10= POOー(PO+2PO2 +POH+PCO+PH2O)とするとき、
ある温度 T で与えられたKH2、KO2、…、PO O に対して、
F1=0, F2=0, … F9=0, F10=0 となるPH、PO、PC、...PC
H、PCO、PH2O
を求める問題である。
Po(H)=1000 Po(O)= , Po(C)=0.5 dyn/ cm2)解離平衡 、 1 (
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
1000 2000 3000 4000 5000 6000
K)温度(
log P(dyn/cm2)
H2O2C2OHCHCOH2OHOC
H.6.散光星雲の輻射過程 1
hν
基底状態の水素
電離水素 h ν >h ν O=13 . 6eVの
フォトンを電離フォトンと呼ぶ。
P /電離フォトンの放出数 (個 秒)
46
47
48
49
50
O5 O6 O7 O8 O9 O9.5 B0 B0.5スペクトル型
log P
高温度星
散光星雲の輻射過程 2
光電離
h ν H
e
p
再結合
h ν
散光星雲の輻射過程 3
特に σ 1(n=1から自由状態への光吸収)が重要。
NH : n=1状態のH数密度 Ne : 電子数密度 Np : プロトン数密度
I ν (r)=I ν S(r)+I ν D(r) I ν S(r):星からの輻射 I ν D(r):星雲内の発光輻射
J ν (r)=J ν S(r)+J ν D(r) J ν S(r):星からの平均輻射強度
J ν D(r):星雲内の発光平均輻射強度
A : 光電離レート(回 / cm3 / sec) Photoionization
A=NH∫ ν O∞ (4 π J ν/ h ν ) σ 1 ν d ν
σ 1 ν =6 × 10-18( ν o / ν )3 cm2
光電離
再結合 R : 再結合レート(回 / cm3 / sec) Recombination
R=NpNe α (T) α =再結合係数(recombination coefficient)
散光星雲の輻射過程 4
α = α 1 + α B
free free
h ν >h ν o=13 .6eV
H ν <h νo
n=3
2
1
T(K) α(cm3sec-1) α 1
α B
5 , 000 6.82 ×10-13 2.28 ×10-13 4.54 ×10-13
10 , 000 4.18 ×10-13 1.58 ×10-13 2.60 ×10-13
20 , 000 2.51 ×10-13 1.08 ×10-13 1.43 ×10-13
再結合
散光星雲の輻射過程 5
h ν =13.6eVのフォトンが星間雲中をどのくらい動けるか考えよう。
平均自由行程=L、水素原子密度=Nとすると、Lyman連続吸収端で
σ =6 × 10-18cm2だから、 τ =N σ L=1より、
L=1 / N σ =1.6 × 1019cm-2 / N=5.4 × 10-3(103cm-3 / N)pc高温天体(O型星や惑星状星雲)の周りの星雲(半径R)の密度が高いと、
L<<Rとなる。このような星雲での電離、再結合を考える。
平均輻射強度 J ν =(F ν / 4 π )+S ν
F ν / 4 π =中心星からの電離フォトン
S ν = 星雲内再結合で生み出された電離フォトン
(1) 光電離率=再結合率 (A=R)
NH∫ ν O∞ (4 π J ν/ h ν ) σ 1 ν d ν =NpNe α (T)
(2) 星の電離フォトンの吸収率=再結合線の脱出率
散光星雲の輻射過程 6
α 1
α B
α = α 1 + α B
非電離フォトン
星雲から脱出電離フォトンその場で吸収
星の電離フォトン
自由電子
n=1
光電離
再結合
ガス密度の高い星雲では、電離フォトンのL<<Rであり、 α 1(自由電子→n=1への再結合)で放出された電離フォトンは直ちに吸収されて光電離を起こす。
α B(自由電子→n= 2 ,3 , ..への再結合)で放出された非電離フォトンは吸収されず星雲から逃げ出す。上の図から判るように、星からの電離フォトンの吸収= α B再結合の必要がある。
(2)続き
散光星雲の輻射過程 7
中心星からのフラックス=L ν 、電離フォトンフラックス = P(個 /sec)とする。
τν (R) = τ o( ν/ν o)-3 =中心からの光学深さ
τ o(R)=∫0RNH(r) σ 0dr
F ν (R)=L ν e- τν / (4 π R2)
(2)続き(星の光)
前ページの、 星からの電離フォトンの吸収= α B再結合、を式にすると、 NH∫ σν (L ν / h ν )e- τν / (4 π R2)d ν =NpNe α B
O型星(電離フォトン放出率 P =1049 / sec)の周囲H密度 N=Np+ N H
=104 / cm3、ガス温度 T =10,000Kをとる。
NH=ξN, Np=Ne=(1-ξ)N とする。
星からR=1pc( 3.08 × 1016cm)離れた点での電離フォトンの個数フラックスは、
∫ν O∞ (4 π J ν/ h ν )d ν =1049 / sec / 4 π (3.08 × 1018cm)2=8.
4 × 1010 / cm2 / sec
光電離レート A=104 ξ 8.4 × 10106 × 10-18 =5 × 10-3 ξ (回 / cm3 / sec)
再結合レート R=NpNe α = (1-ξ) 2 108 4.18 ×10-13 (回 / cm3 / sec)
A=Rから、 ξ = 8 ×10- 3<<1
その時、h ν =13.6eVのフォトンの平均自由行程Lは、
τ =N H σ 1 νL=1より、L=1 / ( 104 × 6 × 10-18 )= 1.6 × 101
3cm<<R
例:O型星周囲の電離
宇宙の物質を水素のみと仮定する。
水素原子の数密度= NI 水素イオン数密度= NII = Ne=電子の数
密度 NH = NI + NII 電離度=X= NII / N H
熱平衡を仮定し、サハの式を用いて
縦軸: 0 < log T(K) < 8 横軸: -10 < log NH (cm-3) < 30
の面内に、X=0.9999 , 0.5 , 0.0001 のラインを引け。
レポート問題H 出題11月27日 提出12月11日
レポートには、問題番号、学生証番号、学科、学年、氏名を書くこと。H.
1.
現在の宇宙輻射の温度 To = 2.7K 、水素原子数密度 No= 5 × 10-7
cm-3とする。ビッグバン宇宙の進化経路は、スケールパラメター
= a として、 T=To/a 、 NH = No /a3 で表される。 H.1の
グラフ上に進化経路を引き、X= 0.5 となるときの温度T1をグラフから求めよ。
H.2.
H.3.
X<0.5の中性原子領域では電子による光散乱が効かなくなり、ガスは輻射と切り離される( decoupling )。この領域ではガス温度TgはTg∝a-2で変化する。H.1の図に decoupling 後のガス温度の変化を書き込め。