២០១៨ - mathtoday.files.wordpress.com · I-េគឲ្យស ុីតៃនចំនួនព តិ(u n) កំណត់េដ យ 2 2 13 34 25 n 2 65 nn u nn −+ = −+

សរមាបឆា� សកសោ ២០១៧-២០១៨

(េរៀនេនសលជយ ថាវ បន�ប 45 M េមាង 5.30-6.30 ល� ច)

I-េគឲយអនគមន f កណតេដយ ( ) 21x

t

x

f x e dt+

−= − ∫ ែដល 0x > ។

១.ចរគណនាេដរេវ ( )'f x ។

២.េគតង ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

' ' 1 ' 2 ' 3 .... 'n

nk

S f k f f f f n=

= = + + + + ∑ ។

ចររសយប�� កថា 1 112 1n n

Se n e

= − +

រចទញរកលមតៃន nS កលណា n ខតជត +∞ ។

II-េគឲយអនគមន :f ℜ→ℜ ែដលចេពះរគប x∈ℜ នង y∈ℜ េគមាន ( ) ( ) ( ) 2f x y f x f y xy+ = + + ។ ១.េប f ជាអនគមនមានេដរេវរតង 0x = េនាះចររសយថា f ជាអនគមនមានេដរេវេល ℜ ។ ២.សន�តថា ( )' 0 1f = ។ ក)ចររក ( )f x ។

ខ)គណនា ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 1 1 1...1 2 3

n

nk

Tf k f f f f n=

= = + + + +

∑ ជាអនគមនៃន n រចទញរក lim nn

T→+∞

។

III-េគឲយ A នង B ជារពត�ករណពរែដលេផ��ងផា� តរប�បាប ( )P A B a∪ = នង ( ) ( )P A P B b= ែដល 0 2 1b a< < < ។ តង ( )/P B A ជារប�បាបៃនរពត�ករណB េដយដងថារពត�ករណ Aេកតេឡងរចេហយ។ ១.ចរកណត ( )P A នង ( )P B ជាអនគមនៃនaនងb េដមបឲយរប�បាប ( )/P B A មានតៃម�តចបផត ។ ២.េនក�ងលក�ខណ� ខងេលេនះចររកទនាកទនងរវងaនងb េដមបឲយ A នង B ជារពត�ករណមនទកទងគា� ។

IV-េគឲយពហធា ( ) ( )2 2n

P x x x= + + ែដល n∈ ។

១.ចររកសណលៃនវធែចករវង ( )P x នង 2 1x + ។ ២.េគឧបមាថា ( ) 2 3 2

0 1 2 3 2... ....n nn nP x a a x a x a x a x a x= + + + + + + + ។

ក)ចរគណនាេលខេមគណ 1a នង 2a ជាអនគមនៃន n ។ ខ)េគតង 0 2 4 2....n nS a a a a= + + + + នង 1 3 5 2 1....n nT a a a a −= + + + + ។ គណនា nS នង nT ជាអនគមនៃនn។

V-េគឲយស�តអងេតរកល 4 4

0

a n

nx dxIx a

=+

∫ ែដល 0,1,2,3,...n = នង 0a > ។

១.ចររសយប�� កថា 1 111 12

n n

na aIn n

− −

× ≤ ≤+ +

រចរកលក�ខណ� សរមាបa េដមបឲយ( )nI ជាស� តរម ។

២.កណតតៃម� n េដមបឲយ nI មនអរសយនង a ។ ៣.គណនា nI ចេពះតៃម� n េទបរកេឃញខងេល ។

VI-េគឲយអនគមន (1 )( ) , 1 , [0,1]1

xf x xx

α

α α+= ≥ ∈

+ ។

ក)រកចណចបរមាៃនអនគមន f ។ ខ)រសយប�� កថា ( ) ( )2| | | | | | | | 2 | | | |x y x y x yαα α α α α−+ ≤ + ≤ + ។

(របឡងេទរបេទសេវៀតណាមឆា� ២០១៣)



I-េគឲយ A នង B ជារពត�ករណពរែដលេផ��ងផា� តរប�បាប ( ) 34

P A = នង ( ) 45

P B = ។

១.េតរប�បាប ( )P A B∩ ស�តេនក�ងចេនា� ះរពែដនណា ? ២.ចរកណតតៃម�អតបរមានងអបបបរមាៃនរប�បាប ( )/P B A ។

II-េគឲយ 2

20 4 5cos

dxux

π

=+

∫ ។

១.ចររសយប�� កថា 1 1sin2 2

u≤ ≤ ។

២.ទញប�� កថា 4

6

1 3 sin 1 3ln ln2 2 22

u duu

π

π

≤ ≤∫ ។

III-េគឲយស� តៃនចននពត ( )nu ែដល 0,1,2,3,....n = េហយកណតេដយ៖

0 1u = នងទនាកទនងកេណន 1

2 12( 1)!n n

nu un+

+= +

+ ។

១.ចរគណនា nu ជាអនគមនៃន n ។

២.ចររសយប�� កថា ( )nu ជាស� តរមខតេទរកចននពតមយែដលេគនងប�� ក។

IV-េគឲយអងេតរកល 4 4

0

na

n

x dxIx a

=+∫ ែដល n∈ℜ នង 0a > ។

១)ចរកណតតៃម�ៃន a េដមបឲយ nI មានតៃម�មនអរសយេទនង a ។

២)ចរគណនាតៃម�ៃន nI ចេពះតៃម� n ែដលេទបរកេឃញខងេលេនះ ។

៣)គណនាលមត lim nnI

→+∞ េដយពភាកសោេទតមតៃម�េផសងៗៃន a ។

V-េបអនគមនជាប f កណតេល ℜ េហយបេពញលក�ខណ� ៖

2 2( ) ( ) 1 ( ( )) ( ) 1 ( ( ))f x y f x f y f y f x+ = + + + នង 0

( )lim 1x

f xx→

= ។

រសយប�� កថាអនគមន f មានឌេផរងែសយល ។ (របឡងេទរបេទសចនឆា� ២០១៣) VI-េគឲយ n ជាចននគតវជ�មាន ។ េគដងថាេបេគយកចនន n ែចកនង 8េនាះឲយសណល1 ែតេបេគយកចននnដែដល

ែចកនង 5 វញេនាះឲយសណល 2 ។

១.េតចនន n ែចកនង 40 ឲយសណលបនា� ន ?

២.រកចនន n េនាះេដយដងថា 3940 4000n< < ។ (របឡងអហរបករណេទរបេទសជបន)



I-1)គណនាលមត 2lim cos cos ...cos2 2 2nn

x x x→∞

ែដល n∈ ។

2)រកតៃម� m េដមបឲយ 0

cos3 1lim 12 sinx

mxx mx→

−= − ។ (របឡងេទរបេទសចនឆា� ២០១៣)

II-េគដកឃ�រកហម 5 នងឃ�េខៀវ 15 ចលក�ងថងមយ ។ ឃ�បរត�វ

យកេចញេដយៃចដនយ ។ រករប�បាប ៖

ក)ឃ�ទងបសទ�ែតពណរកហម

ខ)ឃ�ពរគតពណរកហម

គ)យាងតចឃ�ពរពណរកហម

ឃ)យាងតចឃ�មយពណេខៀវ ។ (របឡងេទរបេទសេវៀតណាមឆា� ២០១៣)

III-ចរកណតតៃម� a នង b េដមបបេពញលក�ខណ� នមយៗខងេរកម៖

១.2 8lim 82 3n

an bnn→∞

+ +=

−

២. ( )2 2lim 2 2 3 3n

n an n n→+∞

+ + − + + = (របឡងអហរបករណេទរបទសសង�បរ)

IV-េគមានបណងេធ�អងទកមយអពេបតងរងរបេលពែបតែកងែដលមានបាតជាកេរែតគា� នគរមបេហយផ�កទកបាន

ចណះ 34m សរមាបេរបរបាស។ជ�� ងអងនងបាតអងមានករមាស0.2m ដចគា� ។

តង x ជារង� សរជ�ងនមយៗៃនបាតខងក�ងេហយhជារង� សកម�សខងក�ងអង។

ចរកណត x នង h េដមបឲយសណងអងេនាះអសេបតងតចបផត។ (របឡងអហរបករណេទរបទសជបន)

V-េគឲយអងេតរកល1

0 30 1

dtIt

=+∫ នង

3

30

. , ( )1

t n

ntI dt n

t= ∈

+∫

)a បង� ញថា ( )nI ជាស� តចះ។

)b រសយប�� កថា 11

3 1n nI In+ + =+

។ទញឲយបានថា 1 1:6 2 6 4nn I

n n∀ ∈ ≤ ≤

+ −

)c សរេសរកេនសោម nI ជាអនគមនៃន n នងៃន 0I ។ (របឡងអហរបករណេទរបទសជបន)

VI-រសយប�� កថា 0 0

( ). ( ).a a

f x dx f a x dx= −∫ ∫ ។

រចអនវត�គណនា 4

0

ln(1 tan ).A x dx

π

= +∫ ។ (របឡងអហរបករណេទរបទសជបន)



I-េគឲយអនគមន f មានេដរេវរតង0 នង ( )0 0f = ។

ចរគណនា 0

1lim ( ) ( ) ... ( ) ;2x

x xf x f f kx k→

+ + + ∈ ។ (របឡងេទរបេទសេវៀតណាមឆា� ២០១៣)

II-ចររកខ�ងកតៃនផលបក 25 81 41113 4 5+ + ។ (របឡងេទរបេទសចនឆា� ២០១៣)

III-គណនាលមតខងេរកម៖

ក) 2 4 2lim (1 )(1 )(1 ).....(1 ) , | | 1n

nx x x x x

→+∞+ + + + <

ខ) 0

1 . 1 1lim , ,m n

x

ax bx m nx→

+ + −∈ (របឡងអហរបករណេទរបទសជបន)

IV-កណតរកអនគមន f ែដលកណតនងមានេដរេវេល េហយេផ��ងផា� ត៖

, : ( ) ( ) . ( )2

x yx y f f x f y+∀ ∈ = ។ (របឡងអហរបករណេទរបទសជបន)

V-1)គណនាផលបក 1.1! 2.2! 3.3! ... . !nS n n= + + + + ។

2)េប 4 k n≤ ≤ ចរបង� ញថា 1 2 3 444 6 4k k k k k k

n n n n n nC C C C C C− − − −++ + + + = ។

(របឡងេទរបេទសចនឆា� ២០១៣)

VI-១.េគឲយ A នង B ជារពត�ករណពរែដលមានរប�បាប ( ) 4 ( ) ( ) 0.25P A B P A P B∩ = = ។ ចរកណតរប�បាប ( )P A នង ( )P B េដយដងថា ( )P A B∪ មានតៃម�អបបបរមា ។

២.េគឲយ X នង Y ជារពត�ករណពរែដលមានរប�បាប 2( ) ( )3

P X P Y= = ។

ចរកណតតៃម�តចបផតនងធបផតៃនរប�បាប ( )( ) , /P X Y P X Y∩ នង ( )/P Y X ។

VII-េកនមយមានកម�ស 15cm នងកថាសបាត 6cm។

រកកម�សនងកថាសបាតចរកក�ងេកណេនះេដមបឲយមាឌសឡាងមានតម�ៃលធបផត។

(របឡងអហរបករណេទរបទសជបន)



I-១.គណនាអងេតរកលកណត 2

2

0

| 3 2 5 |I x x dx= + −∫ ។

២.េដះរសយរបពន�សមករ ( )5 log log 26

64y xx y

xy

+ =

= (របឡងអហរបករណេទរបទសជបន)

II-េគេបាះរគាបទកឡាកធមយនងរគាបឡកឡាកតចមយរពមគា� ។ េគតង x ជាេលខែដលេចញេលរគាបឡកឡាក

ធេហយ y ជាេលខែដលេចញេលរគាបឡកឡាកតច ។

ចរគណនារប�បាបេដមបឲយបាន 2 4x y< ។ (របឡងអហរបករណេទរបេទសសង�បរ)

III-េគឲយស� ត { }nu កណតេដយ 1 12 ; 2 , 1 ; 2 ; 3 ; .....n nu u u n+= = + = ។

កណតរក nu ជាអនគមនៃន n ។ (របឡងអហរបករណេទរបទសជបន)

IV-ចរគណនាលមតខងេរកម៖

20 0

1 cos cos2 1 cos5lim , lim1 cos3x x

x x xx x→ →

− −−

។ (របឡងអហរបករណេទរបទសជបន)

V-ចរគណនាលមតខងេរកម៖

( )2 2 2 2 2 2lim 2 1 4 1 6 1 .... 2 1 1x

x x x x x x x nx n x→∞

+ + + + + + + + + + + + − +

(របឡងេទរបេទសេវៀតណាម)

VI-េគឲយអនគមន f កណតេដយ ( )4

11

f xx

=+

នង ( )100

10

I f x dx= ∫ ។

១.ចររសយប�� កថាចេពះរគបចននពតវជ�មាន u េគបាន 11 1 12

u u≤ + ≤ + ។

២.ចររសយប�� កថាចេពះរគបចននពតវជ�មាន u េគបាន 1 11

uu≥ −

+ ។

៣.ទញឲយបានថារគប ( )2 6 2

1 1 10 :2

x f xx x x

> − ≤ ≤ ។ ចរសរេសរ I អមេដយចននពតពរ ។

(របឡងេទរបេទសេវៀតណាម)



I-េគឲយស�តៃនចននពត( )nu កណតេដយ 2

2

13 34 252 6 5nn nun n− +

=− +

ែដល n∈។

១.ចររសយប�� កថា ( )nu ជាស� តទលរចប�� កេគាលទលេលនងេគាលទលេរកមរបសវផង។

២.ចររសយប�� កថា( )nu ជាស� តរមខតេទរកចននពតមយ ។

II-ចរេដះរសយសមករខងេរកមក�ងសណ ៖

១. ( )412 9

1log log2

x x x+ = ២.1 1 12 2 2

2 36 log (sin ) log (sin ) 2 8 log (sin )x x x− + = +

III-េនក�ងថងមយមានបល9 រគាបចះេលខខសគា� 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ។ េគចបយកបលម�ងមយរគាបចននពរដង

េដយមនដកចលវញ ។ តង pជាេលខចះេលបលចបបានេលកទមយនងqជាេលខចះេលបលចបបានេលកទពរ

ចរគណនារប�បាបែដលេធ�ឲយសមករ 2 6 0x qx p+ + = មានឬសក�ងសណៃនចននពត ។

IV-េគឲយរគ�សរែខសេកង ( ) ( ) 3 2 21: ( 1) 23m mc y f x x mx m x m= = − + − + − ែដល m ជាបារែមរត ។

១.េតមានែខសេកងបនា� នៃនរគ�សរែខសេកង( )mc ែដលកតតមចណច ( )3,7A រចរកសមករែខសេកងេនាះ។

២.េតេគរត�វឲយmមានតៃម�ស�តេនក�ងចេនា� ះរពែដនណាេទបែខសេកង( )mc កតអកស( ' )x ox រតងបចណចែដល

មានអបសសវជ�មាន ។

V-ចរកណតបចននពត , ,a b c ែដលេផ��ងផា� ត 3 3 2 3 2

11

1 1

n

k

nak bk ck ak bk ckn=

+ + + − + + = + +

∑ ។

VI-េគឲយផលបក 1 2 3 ...n

nSn n

+ + + += ែដល n∈ ។

១.ចេពះរគប k∈ ចររសយប�� កថា 1

1k

k

k x dx k+

≤ ≤ +∫ ។

២.ទញឲយបានថារគប :k∈ 1

1 1

1 1 2 3 ....n n

x dx n x dx+

+ ≤ + + + + ≤∫ ∫ ។

៣.ចរសរេសរកេនសោមអមៃន nS រចទញរកលមតៃន nS កលណា n →+∞ ។



I-ចរគណនាលមត 2 2 2 2 2 21lim ( 1)( 4)( 9)....( )n

nA n n n n n

n→+∞

= + + + +

II-េគឲយអនគមន f មានេដរេវេល េហយេផ��ងផា� ត (0) '(0) 0f f= = នង1: ''( ) '( ) 1 x

x

xx f x f x xex e−

+∀ ∈ − = +

+

១. g ជាអនគមនកណតរគប x∈ េដយ '( )( )1 x

f xg xxe

=+

។ ចររសយថារគប :x∈ '( ) 1g x = ។

២.គណនា ( )g x រចទញរក ( )f x ។

III-េគេបាះកកមខពរ H នង T ចនន6ដងេដយៃចដនយ ។ ចរគណនារប�បាបៃនរពត�ករណ ៖

១. :A កកេចញមខ H ចនន4ដងនងមខT ចនន2ដង ។

២. :B កកេចញមខ H យងតច4ដង។

៣. :C កកេចញមខ H ចនន3ឬ4ដង។

IV-េគឲយអនគមន f កណតេល េហយេផ��ងផា� ត ( ) ( ) 2 2cos2f x f x x+ − = + រគប x∈ ។

ចរគណនាអងេតរកល ( )23

23

I f x dx

π

π−

= ∫ ។

V-េគឲយពហធា ( ) ( )2 2 2n

P x x x= + + ែដល n∈ ។

១.ចររកសណលៃនវធែចករវង ( )P x នង 2 2 2x x− + ។

២.េគតង na នង nb េរៀងគា� ជាេលខេមគណមខត x នង 2x ៃនពហធា ( )P x ។ ចរគណនា na នង nb ជាអនគមន

ៃន n រចទញរកលមត 31 22

1 2 3

1lim ..... n

nn

b bb bLn a a a a→+∞

= + + + +

។

VI-េគឲយអនគមន f កណតេល (0, )+∞ េដយ ( ) xf x x= មានែខសេកង( )c ក�ងតរម�យអរតនរមាល( , , )o i j→ →

។

១.ចេពះរគប 0x > ចរបង� ញថា ( ) lnx xf x e= ែដល 2.71828e = ជាេគាលេលករតេនែព ។

២.ចរគណនាលមត ( )limx

f x→+∞

នង ( )0

limx

f x+→

។

៣.គណនាេដរេវ '( )f x រចសកសោស�� ៃន ( )'f x ។ សងតរងអេថរភាពៃន f ។

៤.ចរសរេសរសមករបនា� ត( )T បះនងែខសេកង( )c រតងចណចមានអបសស 1x = ។

៥.គណនា ( )2f រចសងរកប( )c នងបនា� ត( )T ក�ងតរម�យអរតនរមាល ( , , )o i j→ →

ែតមយ។

៦.េដយេរបែខសេកង( )c ចរសកសោអត�ភាពនងស�� ៃនឬសរបសសមករ xx x m= + ( mជាបារែមរត)។



I-េដយមនេរបវធានឡពតលចរគណនាលមត 0

1 1 1limsinx

Ax x x→

= − នង 3 20

1 2lim2 2

x

xB e

x x x−

→

= − + +

II-េគេបាះរគាបឡកឡាក១រគាបេដយៃចដនយ។

តង Aជារពត�ករណរគាបឡកឡាកេចញេលខេសសនង Bជារពត�ករណរគាបឡកឡាកេចញេលខធជាងឬេស�n ែដល

1n > ។ កណតតៃម�n េដមបឲយ Aនង B ជារពត�ករណមនទកទងគា� ។

III-េគឲយវសមករ ( ) ( )2 25 51 log 1 log 4x mx x m+ + ≥ + + ។

ចរកណតតៃម�m េដមបឲយវសមករខងេលេផ��ងផា� តរគប x∈ ។ (របឡងអហរបករណេទជបន)

IV-១.គណនាអងេតរកល 2

2

0

| 3 2 5 |I x x dx= + −∫ ។

២.គណនាផលបក ( )

4 44 444 .......... 444.....444n

S = + + + +((

;elx

។ (របឡងអហរបករណេទជបន)

V-១.ចរេរបៀបេធៀបចនន 3log 4 នង 4log 5 ។

២.គណនាអងេតរកល2 2( 1 )

dxIx x

=+ +

∫ ។ (របឡងអហរបករណេទជបន)

VI-ឧបមាថាេយងយកចណច P េនរតងគលតរម�យ O(0,0) េហយេគេបាះរគាបឡកឡាក១រគាប ។ េបឡកឡាកេចញេលខែដលជាពហគណៃន 3 េនាះេគរកលចណច P េទេលមយឯកត ែតេបេចញេលខ េផសងេទៀតេគរកលចណច P េទខងស� មយឯកត ។ េគេបាះរគាបឡកឡាកបដង ។ រករប�បាបៃនរពត�ករណ ៖ 1)A : ចណច P េនរតងចណច (3,0)បនា� បពរកល3ដង ។ 2)B: ចណច P េនរតងចណច (2,1)បនា� បពរកល3ដង ។ (របឡងអហរបករណេទសង�បរ)

VII-1)គណនាអងេតរកលមនកណតខងេរកម ៖

ក- sin xe sin 2x.dx∫ ខ- 2

1 1 .dxln x ln x

− ∫

2)តង 1 2C & C ជាែខសេកងតងអនគមន f (x) cos x= នង g(x) sin 2x (0 x )2π

= ≤ ≤ េរៀងគា� ។

រកៃផ�រកឡា S ែដលខណ� េដយែខសេកងទងពរេនះ ។ (របឡងអហរបករណេទសង�បរ)



I-េដយមនេរបរទស�បទឡពតលចរគណនាលមត1

0

(1 )limx

x

x eAx→

+ −= ។ ែដល e ជាេគាលេលករតេនែព។

II-(របឡងអហរបករណេទៃថឆា� ២០១៦)

១.ក)គណនា 2

0

cos1 2sin

xJ dxx

π

=+∫ ។

ខ)គណនា S I J= + ែដល 2

0

sin 21 2sin

xI dxx

π

=+∫ រចទញរក I ។

២.គណនាៃផ�រកឡាែផ�កប�ងខណ� េដយែខសេកង( )1C តង ( )f x x= នង( )2C តង ( ) 2g x x= ។

III-េគឲយរតេកណ ABC មយែកងរតងC នងមានម 512

BAC π∠ = ។

ចររសយប�� កថា 10 10 10181256

AB AC BC+ = ។

IV-េគឲយអនគមន kf កណតេដយ ( 1)( 2)......( 1)( )!k

x x x x kf xk

+ + + −=

ក.េដយេរបអនមានរមគណតវទយោចររសយថា៖

( )

( )1

: ( ) ( 1) 1

10 ( )2 1

n

k nk

n

i f x f x

ii f xn

=

= + −

< <+

∑

ខ.េដយយក 12

x = − ចរសយថា 1 1.3 1.3.5 1.3.5.....(2 1) 1lim .....2.4 2.4.6 2.4.6.8 2.4.6.....(2 2) 2n

nn→+∞

−+ + + + = +

។

V-េគឲយអនគមន f កណតេដយ ( )28 12 34 4

x xf xx

− +=

− ែដល {1}x∈ − នង( )C ជាែខសេកងតងឲយអនគមន f

ក�ងតរម�យអរតនរមាល ( , , )o i j→ →

។( )m∆ ជាបនា� តមានសមករ y x m= − + ែដលmជាបារែមរត។ ចរកណតតៃម�m េដមបឲយបនា� ត( )m∆ កតែខសេកង( )C បានពរចណច Aនង Bឆ�ះគា� េធៀបនងបនា� តពះទមយៃនអកស កអរេដេន ។

VI-េគឲយអនគមន f កណតេល េដយ ( )2

2

61

x xf xx+ −

=+

( )C ជាែខសេកងតងឲយអនគមន f ក�ងតរម�យ

អរតនរមាល ( , , )o i j→ →

។( )d ជាបនា� តមានសមករ y x m= + ែដលmជាបារែមរត។ កណតm េដមបឲយបនា� ត( )d កតែខសេកង( )C រតងបចណចេផសងគា� ។



I-១.ចរកណតចននពតa េដយដងថា0

1 1 1lim8x

ax xx→

+ − += ។

២.ចរកណតចននពតa នង b េដយដងថា0

1 1limx

ax x bx→

+ − += ។

II-េដះរសយសមករ 3 3 23 3

6 8log (2 1) 1 2 log (2 1)log (2 1) log (2 1)

x xx x+ + = + + ++ +

III-េតេគអចសរេសរចនន 125 ជាផលបកពរកេរៃនចននគតវជ�មានបានបនា� នរេបៀប? IV-េគឲយរង�ង ( ) 2 2: 14 4 28 0C x y x y+ − − + = នងពរចណច ( )3,0A − នង ( )6 ,12B ស�តេនក�ងតរម�យ

អរតនរមាល , ,o i j→ →

។រកកអរេដេនៃនចណច ( )M C∈ េដយដងថា AM MB+ មានតៃម�អបបបរមាឬអតបរមា ។

V-េគឲយបារបល ( ) ( ) 2: 6 11p y f x x x= = − + នងពរចណច ( )1,2A − នង ( )1, 2B − ស�តេនក�ងតរម�យ

អរតនរមាល , ,o i j→ →

។រកកអរេដេនៃនចណច ( )M p∈ េដយដងថា AM MB+ មានតៃម�អបបបរមា។

VI-េនក�ងលហរបកបេដយតរម�យអរតនរមាលមានទសេដវជ�មាន , , ,o i j k→ → →

េគឲយពរចណច

( 4,1,5)A − នង (2,7,2)B នងែស�( )S មានសមករទេទ 2 2 2 4 2 2 3 0x y z x y z+ + − − + − = ។

ចររកកអរេដេនៃនចណច ( )M S∈ េដយដងថាMA MB+ មានតៃម�អតបរមា ឬ អបបបរមា ។

VII- Find the set of positive values of a satisfying the equation:

( )2 3

0

3 4 5 2a

x x dx a+ − = −∫ .

VIII-េគឲយអនគមន 2

2

2 3 82 ( 1)

x mx myx

+ + −=

+ ែដល x∈ នង mជាបារែមរត ។

េតេគអចកនតតៃម� m េដមបឲយអនគមនេនះអចតងឲយតៃម�កសនសៃនមមយបានឬេទ។

IX-េគឲយស�តៃនចននពត (u )n កណតេដយ 0

1

1

11

nn

uuu n

n+

=

= + + +

ែដល 0,1,2,...n =

ចរគណនាផលបក 0 1 2 ...n nS u u u u= + + + + ។

M

សរមាប ឆស� ស២០១៧-២០១៨

(េរៀនេនសលជយ ជានាបជ45ជMជេមា ជ5.30-6.30ជស �ចជ

I-�រាយប �បជ1

2 30

26 84 2

dxx x

π π≤ ≤

− −∫ ជជ។ជ

II-េគឲ េេ ABC ជមន 90oBAC∠ = ជេហ ជ , ,BC a AC b AB c= = = ជ។ជ

ជជជ�រ�េបរង �ប ម ជC ជេដយដជ 4 4 48( ) 7b c a+ = ជ។ជ

III-�រគេនា ជជ2 2 4

80

2sin cos 2 1 cos 2limx

x x xx→

+ − + ជជ។ជ

IV-១.�រាយប �បជ2 2

0 0

(sin cos ) (sin cos )4

x f x x dx f x x dx

π π

π+ = +∫ ∫ ជ។ជ

ជជជជ២.អនមយ �ន៖ជជគេនា េាជ2

4 2

0

(sin cos ) (sin cos )I x x x x x dx

π

= + − +∫ ជ

V-េគមនអនមគនជ f ជ�េបេដជជ2sin( )

cos3xf xx

= ជជជែយាជ06

x π< < ជ។ជ

ជជជ១.�រជ 1 1 1( ) ( )4 cos3 cos

f xx x

= − ជគាបជ06

x π< < ជ។ជ

ជជជ២.គេនជ0

( )3

n

n kk

xS f=

= ∑ ជជនជ lim nnS

→+∞ជជ។ជ

VI-េគឲែែខេជ2 24 4 1( ) : ( )m m

x mx mC y f xm x

+ − += =

−ែយាជmជាា ាា ែា ជ។ជ

ជជាង �មនែែខេេ រងនគៃរែែខេ( )mC ែយាប �នម� 0 0 0( ; )M x y �េពគាប( ) 20 0;x y ∈y ជជ

VII-��មា�ប�មផ��ជ( , , )O i j→ →

ជេគឱាបន�នម�ជ , , ,A B C D ជែយាមនាហ�េរៀៀ� យ�ខេ៖ជ

ជជជជជជ 1 6 , 4 5 , 5 4A B CZ i Z i Z i= + = + = + ជនជ 2 3DZ i= − − ជ។ជ

ជជជជជជ�រ� មេេជABCDចរ��មរ ប បែយាេគនដ ាយប �បផ�នជរា�បជ។ជ

VIII-េគឱ�ម ( )nx ប�េបេដជ ....nx a a a a= + + + + ជជ(ជជមនជnាា ាបជនជ 0a > ជចជ

ជជជជជជ�រាយប �ប ជ 1 1 42n

ax + +< ជ។ជ

ជ



I-�រាយប �បជ1

2 22

0

cos sin .1 4

a x b x dx a bx

π+≤ +

+∫ ជជែដលជa ជនជb ជជា រ�ចនននាជ ជ

II-េគឱយច េតលជ22

2 20

sin .sin cos

n

n n n

xI dxx x

π

=+

∫ ជជជនជ22

2 20

cos .sin cos

n

n n n

xJ dxx x

π

=+

∫ ជជ

ជជជជ�រាង �ជជ n nI J= ជរន�ទ�រ�តៃមជជ nI ជនជ nJ ជ ជ

III-�រគណនល ៃ ជជ2 4

8

2

2(1 sin sin ) 1 sinlim( 2 )x

x x xxπ π→

− + − +−

ជជ ជ

IV-េគឲយៃ តរជ 2 0 , 0 ,ax bx c a a c+ + = ≠ ≠ ជជ ជតជ tana ជនជ tan β ជជាយរាយបយៃ តរេល ជ ជ

ជជជជ�រគណនតៃមតន�េននៃជ 2 2sin ( ) sin( )cos( ) cos ( )A a b ca β a β a β a β= + + + + + + ជ

ជជជជជាននគៃននតនេលលេៃគនណជ , ,a b c ជ ជ

V-េគឲាននគៃនន f ជ�ចណប�ចេពគាបជ x∈ ជេដជ3 2

2

3 3 1( )3 3 1

x x xf xx x+ − +

=− +

ជ ជ

ជជជ�ចេពគាប�ចនននាយបមនជa ជនជb ជ�រាយប �ប ជ 1 12 2a b a b abf f

a b+ + + + + ≥ + +

ជ ជ

VI-េគឱយ�ន តន�ចនននាជ( )nI ជ�ចណបេដជ៖ជ1 1 1

0 10 0 0

, ,..., .1 1 1

x nx

nx x x

dx e dx eI I I dxe e e

= = =+ + +∫ ∫ ∫ ជែដលជn ជជ�ចនននគបធៃ�ជជ ជ

១.ជគណនជ 0 1 1;I I I+ ជរន�ទ�រ�តៃមតនជ 0I ជជ ជ២.ជគណនជ 1n nI I ++ ជជាននគៃននតនជn ជរន�ទ�រ�តៃមជ 2I នជ 3I ជ ជ៣.�ចេពជ [0,1]x∈ ជ�រេាៀាេធៀាតៃមជ nxe ជនជ ( 1)n xe + ជ ជជជជជាង �ជ( )nI ជជយ�ន េ� នជេដៃនចច �បគណនជ nI ជជ ជ

៤.ជាង ��ចេពគាបជ [0,1]x∈ ជេគមនជ 1 1 14 1 2xe≤ ≤

+ជជ

៥.ជទ�រ��េននៃាៃតនជ nI ជតៃតរគណនជជ1

0

.nxe dx∫ ជ ជេ យ�ន ( )nI ជជមនល ៃ ាេេជ ជ

ជ



I-េគឱយននគគននជ f ជកណតបេដជ 2( ) 2 ( )xf x ax bx c= + + ជ។ជ

ជជជរកជ , ,a b c ជជែដលជ 2( 1) ( ) 2xf x f x x+ − = ជជរ�ទរកកលាបកជ 2 2 2 3 2 22.1 2 .2 2 .3 .... 2 .nnS n= + + + + ។ជ

II-សន�តជជ , ,a b c ជជ�នននពតយ ពជមនែដលជ 3log 7 27 ,a = ជ 7log 11 49b = ជជនពជជ 11log 25 11c = ជជ។ជ

ជជជជ�បរគណនជជ ( ) ( ) ( )2 223 7 11log 7 log 11 log 25S a b c= + + ជជ។ជ

III-�បរគណនល គ តជជ2

41

2(1 ) 1lim(1 )x

x x xx→

+ − − +−

ជជ។ជ

IV-េគឲសគ រជជ 4 3 2 0x px qx rx s+ + + + = ជមននសានយ ពជមនជ។ជជជ

ជជជជជ�បរាយជ កប 16 0pr s− ≥ ជនពជ 2 36 0q s− ≥ ជជ។ជ

V-េគឲយននគគនន f ជកណតបេដជ ( )2ln 3ln 3( ) x xf x x + += ជជជែដលជ 0x > ជនពជ 1x ≠ ជជ។ជ

េគនពនពតស�ន តៃន�នននពតជ( )nu ជកណតបេដជ 1 ( )u f e= ជនព�េពគាប�ននគតបយ ពជមនជn ជេគមនជ 1 ( )n nu f u+ = ជជជ

�េពគាប�ននគតបយ ពជមនជn ជ�បរជ 311 ln (1 ln )n nu u++ = + ជរ�ទរកតជ nu ជជយននគគននៃនជn ជ។ជ

VI-េគឱយននគគននជ f ជកណតប គាបជ ( 1,1)x∈ − ជេដយនកបយន2 3

2 3

1 3 3( ) 2 ( ) ln( )1 3 3

x x xf x f xx x x

− + −− − =

+ + +ជជ

ជជជជជ�បររក (cos )f θ ជជយននគគននៃនជ tan2

t θ= ជែដលជ

2 2π πθ− < < ជជជ។ជ

VII-េគឱយននគគននជ f ជកនតបេល ជ[ ];a b ជជែដលជ [ ]; : ( ) ( )x a b f a b x f x∀ ∈ + − = ជ ។ជ

ជជជជជ�បរាង ជ ( ). ( ).2

b b

a a

a bx f x dx f x dx+=∫ ∫ ជ។ជ

ជជជជជយននយត�ននជ៖ជជ�បរគណនជ0

sin .3 cos 2x xI dx

x

π

=−∫ ។ជ

VIII-េគឱយននគគននជ 2

ln(1 )( ) , 11

xf x xx+

= > −+

ជ ជ

ជ ១.ជាង ជ2

22

1 1 (1 ) 1( ) (1 ) ( )1 2 1 2

t tf t f tt t

− += − +

+ +ជែដលជ0 1t≤ ≤ ជ។ជ

ជ ២.ជគណនជ1

0

( ).I f x dx= ∫ ជ។ជ

ជ ៣.ជទរកតៃគមជ1

0

arctan .1

xJ dxx

=+∫ ជ។ជ

ជ



I-គណនាអ េងេតជ៖ជ

ជជ3

6

sin .sin cos

n

n n

xI dxx x

π

π

=+∫ ជ ជជនជជ

3

6

sin .sin cos

n

n n

xI dxx x

π

π

=+∫ ជ

II-េគឱយននគគននជ f ជកអណងបេគាបជ x∈ ជេដយអនកបយអនជ 22 2( ) 3 ( ) 8 4( )x x

f x f x e e−

+ − + = + ជ។ជ

ជជជជ�រគណន គ ងជ 20

( ) 2limx

f xx→

− ជជ។ជ

III-�រគណន គ ងជជ 4

4

11 tan tan2 coslim

cot 2x

x xx

xπ→

+ − −ជជ។ជ

IV-េគឲស�ន ងៃន�អននពងជ( )nu ជកអនងបេដជ 0 1u = ជនជ4

1 3 24 6 4 1n

nn n n

uuu u u+ =

+ + +ជេគាបជn∈ ជ

�រាង �ជ4

1

1 11 1n nu u+

+ = +

ជេគាបជn∈ ជរ�គណនជ nu ជជយននគគននៃនជn ជ។ជ

V-១.�រេាយប កប ជ 4 3 4 1 4 14 1 4 1 4 3n n nn n n− − −

< <+ + +

ជ�អេពេគាបជn∈ ជ

ជជជជ២.ទ�ាង �ជ 1 3 7 11 ....... (4 1) 35 9 13 ....... (4 1) 4 32 1

nn nn

× × × × −< <

× × × × + ++ជជជជជ។ជ

VI-េគកជ I ជតឲ�េនេ ជ[ ; ]4 4π π

− ជ។ជ�រកអនងបយននគគននជ f កអណងបេ ជ[ 1 , 1 ]− ជេា េគដជជជជជជ

ជជជ (sin 2 ) sin cosf x x x= + ជជរ�សេគម ជ 2(tan )f x ជ�អេពេគាបជ x ជក�ន�េនេ ជ I ជ។ជ

VII-េគឱយាកជជ 2 21

1 cos( )n

nk

kS kn n

π=

= ∑ ជជ

ជជជជ១.ជាង �ជ2

cos 12xx ≥ − ជ�អេពេគាបជ 0x ≥ ជជ។ជ

ជជជជ២.ជគណន គ ងជ lim nnS

→+∞ជជ។ជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជជ

VIII-េគឱជ f ជជយននគគននគេ ជ[ ],a a− ជជ។ជ�រាង �ជជ0

( ). ( ). , 0 , 11

a a

xa

f x dx f x dx q qq−

= > ≠+∫ ∫ ជជ។ជ

ខ.ជយននយង�ននជ៖ជជ�រគណនជជជ3 2

3

4 | | 3.1x

x xI dxe−

− +=

+∫ ជ។ជ



I-េគឲយស រជ 2 2( ) : 2(2 3) 4 8 8 0E x m x m m+ + + + + = ជ

ជជ១.�រកនតបាណា តតសមជm∈ េដ ស ឲយស រេនរមនះយជ�នននគតបរ រឡា ាជ។ជ

ជជ២.រកះយែដលជ�នននគតបរ រឡា ារាយបយស រជ។ជ

II-េគឲ�នននកក ម��ជ 2 22 2

1 1(cos ) .(sin )cos sin

Z x i xx x

= + + + ជែដលជ x ជជជ�នននន�តន�02

x π< < ។ជ

ជជជជ�រកណតបរកសាឌកលអាារមតន�នននកក ម��េនរជ។ជ

III-េគឲអនកគសនន f ជេដជ 1 1( ) .....2 4

f x x x x x x= + + + + + + + ជមនn ជះយេរ។ជ

ជជជជ១.�រាយប កប 1 1( )2 4

f x x= + + ជគាប�នននន�ត14

x ≥ − ជ។ជ

ជជជជ២.�រគណនល ស តជ0

( ) 1limx

f xx→

− ជជ។ជ

IV-េគឲ�នននកកម��ជ 5 1 10 2 5Z i= + + − ជជ

ជ ១.�រគណនតតសមកដតនជcos5π ជន�ជsin

5π ជជ។ជ

ជ ២.ទរកាស បត េណមតតនZ ជ។ជ

ជ ៣.�ររកគាប�នននគតបសមជត�n ជែដលេ� ឲ nZ ជជ�នននន�ត។ជជ

V-គណនតតសមជsinθ ជេា 2 2 2 2

3 3 3 32 2

1 2 3 ... 2lim tan 1 2 3 ...2 3 1n

n nn x n

πθ→+∞

+ + + + = ⋅ + + + + + + ។ជ

VI-គណនា េតលជ1

cos(ln )e

A x dxπ

= ∫ ជជន�ជ1

sin(ln )e

B x dxπ

= ∫ ជជ។ជ

VII-�រគណនា េតលជ1

2 30

( 1)(2 1)( 1)

x x xI dxx x+ +

=+ +

∫ ជជ។ជ

VIII-េគឲ�ណក � (2,0,5), (3,4,4)A B ជន�ានតប( ) 3 1 1:2 1 3

x y zL − − += =

− −ជ។ជ

ជ ជជជជ�រកណតប�ណក �P ជយ��តេនេល ( )L ជេា 2 2PA PB+ ជអាារម។ជជជ



I-េដះស សរខេះសកជ

ជជ១.ជ2 24x x 4 4x x 4(2 3) (2 5) 706− −− + − = ជ

ជជ២.2 22 3 3 2 4 9( 3 3) ( 3 3)x x x xx x x x− + + −− + = − + ជជជ

II-េគឲយននគននជ f ជកណតបេដជ 1( ) ln1

xf x xx−

= −+

ជែដលជ 1x ≥ ជ។ជ

ជជជ�រសកសោាណតនតន f េល �េនា ជ[1, )+∞ ជ។ជ

III-េគឲសសន តតន�នននោតជ n(u ) ជកណតបេដជជn

n1 1 1u .ln 1 , n

n(n 1) n n = + ∀ ∈ +

ជជ

ជជជជជតជ ( )n

n k 1 2 3 nk 1

S u u u u ... u=

= = + + + +∑ ជជ។ជជជ

ជជជជ១.�រះជ nln(n 1)S

n 1+

=+

ជ។ជ

ជជជជ២.ទរកល តជ [ ]nnL lim n (n 1)S ln(n)

→∞= + − ជជ។ជ

IV-�រគណនល តជជ ជ

ជជជជ ( )3 3 3 3

2 2

1 2 3 ...1 2 3 ...lim cos( 1)n

nnAn n n

π→+∞

+ + + + + + + += ⋅ +

ជជ

ជជជជ ( )2 2 2lim 2 3 5x

B x x x x x x x→+∞

= + − + + + ជ

V-គណនា េតះសលជ32

20

( 2)4 5

xI dxx x

−=

− +∫ ជ

VI-េគឲសសន តតន�នននកន ា�( )nz កណតបេល ជេដជ 1

1

1 cos sin(cos sin ) 1 cos sinn n

z iz i z i

ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ+

= + + = + + − −

ជជ

ជ ែដលជn∈ ជនជϕ ∈ ជ។ជជ ១.�ររកះាេេភតនសសន តជ 1n nw z= − ជរន�គណន nw ជជយននគននតនn ជ។ជ

ជ ២.�រះាយប កប ជ 2cos cos sin2 2 2n

n n nz iϕ ϕ ϕ = +

ជ។ជ

VII-េគឲ�ណន � (2, 3,4), ( 4,1, 2)A B− − − ជនាាប( ) : 2 2 2 0p x y z− + − = ជ។ជជ �រកណតប�ណន �P ជស�តេនកកនាា ប( )p ជេា 2 2PA PB+ ជយាារម។ជជជជ

Documents

២០១៨ - mathtoday.files.wordpress.com · I-េគឲ្យស ុីតៃនចំនួនព តិ(u n) កំណត់េដ យ 2 2 13 34 25 n 2 65 nn u nn −+ = −+