22
ﻣﺜﻠﺜﺎﺕ ﺍﻟﺼﻒ ﺍﻷﻭﻝ ﺍﻟﺜﺎﻧﻮﻯ ﺇﻋﺪﺍﺩ ﺃ. ﻣﺤﻤﺪ ﺻﺒﺮﻩ) ٣١ ( ﻃﺮﻕ ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﻤﻮﺟﻬﺔ: زوج) اوی ا ه( رأسة ه واای اوی ا. ا ا ا واا اول ا ان ا وی ا و ب= ) و ا ، و ب( ب و ا= ) و ب ، و ا( ا ااو س ا واس ا ا ا إا ا ا ن ا إذا آ سن ا آ رب ان وإذا آ ا س ﺱن ا آ رب ااو ا ا: اوین ا ا ان إذا آ : ١ ( ا رأﺱ. ٢ ( ا ا ا اتر ا . ﻗﻴﺎﺱ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳـــﺎس ا ا أو: س س ا ا اوی ویرﺝ ا هس اة ا و° ورة ا ا و= ٤ ا = ٣٦٠ ° رﺝ ا، = ٦٠ ، ١ = ٦٠ ، و ص وس ا اول إذا و ا ا اوی ا إ ا و ا ا ذا و و ص، و س/ ا وهول ا ا٩٠ ا ا هـJ [ ٠ ، ٩٠ ] هـJ [ ٩٠ ، ١٨٠ ] س٠ ١٨٠ س / ٣٦٠ هـJ [ ٢٧٠ ، ٣٦٠ ] هـJ [ ١٨٠ ، ٢٧٠ ] اا ا٢٧٠ ا ا- ب ا ا إ و+ ا إ و ا ب ا و ب و

ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

  • Upload
    others

  • View
    27

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٣١ ( محمد صبره. إعداد أ

طرق قياس الزاوية

:الزاوية الموجهة ������ �� �%�� $#"� !�ای� وا �ة ه� رأس ) ه�� ���� ا��اوی� ( زوج ��

وی45ن ا��.#- ا2ول ا�+�* ا0!/�ا)' وا��.#- ا�,�$' ا�+�* ا�(%�)' .ا��اوی�

) ا، و و ب( = ا و ب ) ، و ب او ( = و ب ا ����س ا���� وا����س ا���� ���او� ا������ا

رب ا�.��� آ�ن ا�#��س �4ج� �� �#إذا آ�ن ا0:�9 �� ا�+�* ا0!/�ا)' إ�' ا�+�* ا�(%�)' رب ا�.��� آ�ن ا�#��س س�� ��* �#ا0:�9 وإذا آ�ن

:ا���� ا������ ���او�

:#��س' إذا آ�نا��4* ا�45ن ا��اوی� ?' ١ ( BC2رأس%� $#"� ا . .�4Fر ا�.�(�تا0:�9 ا��4ج � ا0!/�ا)'���%� ) ٢

قياس الزوايـــا

: أو0 ا�#��س ا�./�('

° و �ة ا�#��س ا�./�(' ه' ا��رج� وی��� ���اوی� ?' ا�#��س ا�./�(' !����� س ٦٠= ١ ، ٦٠= ، ا��رج� °٣٦٠= 4Lا)K ٤= و?�H ا��ورة ا�����5

ا��اوی� #* ?' ا��!* ا2ول إذا وL* ا�+�* ا�(%�)' !�� وس ، و ص

وهT5ا / س و و ص، ذا وL* ا�+�* ا�(%�)' !�� و#* ?' ا�,�$' إ

ا��!* ا�,�$' ٩٠ ا��!* ا2ول

[١٨٠ ، ٩٠]J هـ [ ٩٠ ، ٠]J هـ

/ س١٨٠ ٠ س ٣٦٠

[٢٧٠ ،١٨٠] Jهـ [ ٣٦٠ ،٢٧٠]J هـ ا��!* ا�,��\ ٢٧٠ ا��ا!* ا��!*

-

ب

��* $%�)� ا

��* إ!/�ا)�

و

+

��* إ!/�ا)�

�(�%$ *��

و ا

ب

و ا

ب

و

Page 2: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٣٢ ( محمد صبره. إعداد أ

: مالحظـــة ) �4�:�٣٦٠%�� ( أ �ه�� �4ج و ا`_� س��ن�B5 زاوی� �4ج%� ?' و��%� ا�#��س ��Lس�

:الزوايا المتكافئـــــــة ./�a?�5 إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' �%� ج���� وا � ی#�ل ���ة زوای� ?' ا��4* ا�#��س' أ$%� �

�%45ن �) ٥ ٣٦٠× ن+ ٥هـ( وإذا آ�ن هـ ه��L 4س زاوی� �� ?bن ا��وای� ا�/' ��Lس��a?�5�%� .

� J ن �\

ـ إ��?� ��ة دورات آ���� ��اوی� ی�"� زوای� �١�a?�5 : أنأي زوای� ��a?�5ـ g�ح ��ة دورات آ���� �� زاوی� ی�"� ٢

أمثلــــة ��Lس ا�.�� ا��h?�5 ا�#��س ا��4ج ا����L h?�5س ا��اوی�

٥ ٣٤٨-= ٥ ٣٦٠ – ٥ ١٢ ٥ ٣٦٠+ ٥ ١٢ ٥ ١٢

٥ ٢٠٨-= ٣٦٠×٢ –٥١٢ ١٥٢ =٣٦٠- ٥١٢ ٥ ٥١٢

-٣٨٧- = ٣٦٠ – ٢٧- ٥ ٣٣٣= ٣٦٠ +٢٧ – ٥ ٢٧ -٥ ٢٢-= ٣٦٠×٢+ ٧٤٢- ٥ ٣٣٨= ٣٦٠×٣+ ٧٤٢- ٥ ٧٤٢

:القياس األساسى للزاوية [ ٣٦٠ ، ٠ [Jأى أن ا�#��س ا2س�س� . �٣٦٠ �BL أ �4ج و

: �د ا��!* ا�Tى #* ?�H ا��اوی� : �,�ل

١٥٠- ، ٧٥٠ ، ١٥٢ BFس%� ا2س�س� : ا���L �? 45ن ا��اوی� .ی: أن е ١٥٢ J[١٨٠ ، ٩٠ ] Ε !* ا�,�$� ١٥٢�ا� �? *#

٣٠ = ٣٦٠ × ٢ + ٣٠ = ٧٥٠ J [٩٠ ،٠ ] !* ا2ول�ا� �? *# - ٢١٠ = ٣٦٠ + ١٥٠ - = ١٥٠ J [٢٧٠ ،١٨٠. ] \��,!* ا��ا� �? *# .

و�� رب زد�� ���

Page 3: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٣٣ ( محمد صبره. إعداد أ

:�س ا��ا� ي��� ا��

= ءـ ا�#�k ا��ا)�ى ��اوی� ��آ�ی� هـ 9�lF ا�(.4g ��! �mل ا�#4س ا�Tى

.ا��اوی� و4gل $L nl"� ا��ا)�ة

ءوی��� �%� !����� هـ) ا��اوی� ا�(L nl"�ی�(ه' ا��ادی�ن : وحدة القياس الدائري lF� 4Lس� H�4g ی.�وي 4gل $nl ه' ا��اوی� ا���آ�ی� ?' دا)�ة :الزاوية النصف قطرية

L"� ا��ا)�ة

�× ءءءءهـ = ل ، = ، � = ءءءءهـ

ا�#��س ا��ا)�ى ���اوی� ا���آ�ی� = ء4gل ا�#4س ، هـ= �\ ل

ءوالقياس الدائري هـ ٥العالقة بين القياس الستيني س

٣٦٠= ، ا��ورة ا�����5 !���رج�ت )٢t( ط ٢= ا��ورة ا�����5 !��/#�ی� ا��ا)�ى E ٣٦٠ = ء ط ٢ E ١٨٠ = ء ط

#�ی�m ٣q١٤= ا�(.�m ا�/#�ی��m = �\ ط = = ) × �/4FیB ا��ا)�ى ��رج�ت ( × ءهـ= ٥س

) × ��ا)�ي��رج�ت �/4FیB ا(× ٥س= ء هـ

ىو��ق آ� ذ�� � أ���ــــــــــ� ����

لr$

ل ءهـ

و ءهـ

ل

r$ ا

ب

ا

ب

و ل ء١

$r ءهـ

س١٨٠

ءهـ ط

٢٢ ٧

١٨٠ ط

١٨٠ ط

ط ١٨٠

ط ١٨٠

Page 4: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٣٤ ( محمد صبره. إعداد أ

٣١٥ ، ١٢٠ ، ٣٠: !���0 ط ا�#��س ا��ا)�ى ���وای� أوج�)١(�,�ل BFا� : ١٢٠= ١٢٠ ، = × ٣٠= ٣٠ × =

٣١٥= ٣١٥ × =

.ء ١q٣٥ ، ء ٠q٦٧، : ./�(� ���وای� أوج� ا�#��س ا� : )٢(�,�ل BFا� :

= × =٢٢q٢٢ ٣٠= ٥

٠q٠ = ء ٦٧q١٨٠ × ٦٧ ÷ t = ،،،٣٨ ٢٣ ١٧

١q١ = ء ٣٥q١٨٠ × ٣٥ ÷ t = ،،،٧٧ ٢٠ ٥٧

٢٢٥ ١٢ ٣٠ ، ١٤٥ ٢٠ ، ٧٢q٦: �س ا��ا)�ى ���وای� أوج� ا�#� :)٣(�,�ل BFا�: ٧٢q٧٢= ٦q٦ × t ÷ ١ = ١٨٠qء ٢٦٧ ١٤٥ ٢٠= ١٤٥ ٢٠ ×t ÷ ٢،،، = ١٨٠qء ٥٣٦ ٢٢٥ ١٢ ٣٠= ٢٢٥ ١٢ ٣٠ ×t ÷ ٣ = ١٨٠qء ٩

سK ��ا)�ة 4gل l١٥� 4Lس H�4g أوج� ا�#��س�� ا�./�(' وا��ا)�ي ��اوی� ��آ�ی� F : )٤(�,�ل . سK L١٢"�ه� BFا� : r$ =٦ = ٢ ÷ ١٢ ، Kس eء هـ = E٢ = ٦ ÷ ١٥ = ء هـqء ٥

١٤٣ ١٤ ٢٢،،، = t ÷ ١٨٠ × ٢q٥= !���رج�ت

?� دا)�ة 4gل $L nl"�ه� ٨٠اوی� ���L ��"�Fس%� أوج� 4gل ا�#4س ا��#�!B �� : )٥ (�,�ل١٠Kس

BFآ�ی� : ا��س ا����L =١٦٠ = ٨٠ × ٢ ء ٢q٧٩ = ١٨٠ ÷ t × ١٦٠ = ء هـ

س٢٧q٩K = ١٠ × ٢q٧٩= $r × ءهـ= 4gل ا�#4س ل

: �د ا��!* ا�Tي #* ?�H ا��وای� ا`�� )٦ (�,�ل٢ ، ١٥٢٥ ، ٢١٠ - ، ٨٩ ١٨ ، ٢١٣qء٥

?' ا��!* ا2ول ، ٨٩ ١٨?' ا��!* ا�,��\ ، ٥ ٢١٣

ط ١٨٠

ط ٦

ط ١٨٠

ط ٧ ٤

ءط ٨

ءط ٨

ءط ٨

١٨٠ ط

ل r$

ط ١٨٠

ط ٢ ٣

Page 5: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٣٥ ( محمد صبره. إعداد أ

-٢١٠h?�5?' ا��!* ا�,�$' ١٥٠ =٣٦٠ + ٢١٠- = ١٥٢٥ h?�5 ?' ا��!* ا2ول ٨٥ = ٨٥ + ٣٦٠ × ٤ =

٢qرج�ت ء ٥�4ی�%� �F/! ٢= ٥ سq٥ ١٤٣ ١٤ ٢٢= × ٥

2.5 X 180 ÷ shift exp = ,,,,, سK ��ا)�ة $nl ٧ أوج� ا�#��س�� ا�./�(' وا��ا)�ي ��اوی� ��آ�ی� lF� 4Lس H�4g )٧ (�,�ل

سL٥K"�ه� BF١ = = = ءهـ : ا�qء ٤ = ٤lF� 4Lس H�4g ٥ ٦٠ زاوی� ��آ�ی� ��Lس%� )٨(�,�ل q٤�% سK أوج� 4gل $L nl"� دا)� س٤q٢K = ١q٠٤ ÷٤q٤= = $r ء ١q٠٤= × ٥ ٦٠= ء هـ

٥ ٧٥ ��Lس%� ��F"�� زاوی� )٩ (�,�ل H�4g 4س�L �lF١١ �% سK أوج� 4gل $L nl"� دا)� BFآ�ی� : ا��س ا����L =١٥٠ = ٢× ٧٥

= × ١٥٠= ا�#��س ا��ا)�ى ����آ�ی� r$ = =

: تذكر أن

المضلع عدد أضالعن حيث )٢ –ن( ١٨٠ى مضلع تساوى الداخلة أل الزوايامجموع قياسات

� �.�" = r$٨ = ٢ Er$ ١٦ = ٢ E r$ =٤

B5uا� -�F� = r$ + r ل + $r × ءهـ= ل

٦q٢٨٣= ٤ × ١٨٠÷ ط ×٩٠= ل E B5uا� -�F� =٦ +٤ + ٤q١٤= ٢٨٣q١٤ = ٢٨٣q٢٨Kس

١٨٠ ط

ط١٨٠

ل ءهـ

لr$

٧ ٥

ط ل ١٨٠

ءهـ

١ ٢

� �

ل

) ١٠(مثال

Page 6: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٣٦ ( محمد صبره. إعداد أ

تمارين :تية حدد الربع الذى تقع فيه الزوايا اآل)١٢ ، ٥٤٨ - ، ١٥٦٠ ، ١٣٠ - ، ٢٣٢ ، ٤٧q٣٦٠×٣ + ١٢٠ ، ط ٣ ، ، :أوج� أآm� ��Lس س�� ���وای� ) ٢ ١٢٤٠ ، ١٤٠ ٣٠ ١٢ ، ٣١٠ ، ٧٠ أوج� أvC� ��Lس �4ج ���وای� ) ٣

- ١٣٢٠ - ، ١٦٠ ١٢ ٣٠ - ، ٣١٥ - ، ٧٥ ٤ ( �� : أوج� !���0 ط ا�#��س ا��ا)�ى ���وای� ا�/� ��Lس�%� ا�./�(�� ا`

٢١٠ - ،١ ، ١١٢ ٣٠ ، ٣١٥ ، ٣٠ ٥ ( �� :أوج� ا�#��س ا��ا)�ى ���وای� ا�/� ��Lس�%� ا�./�(�� ا`

٥٣٧ ، ٢٢٩ ١٢ ٣٠ - ، ٢٤٣ - ، ٥٤ ٨٠سK ، و#�!B زاوی� ��آ�ی� ��Lس%� ٦أوج� 4gل ا�#4س �� ا��ا)�ة ا�/� 4gل $L nl"�ه� )٦ ٧٥سK ، و#�!B زاوی� ���L ��"�Fس%� ١٠أوج� 4gل ا�#4س �� ا��ا)�ة ا�/� 4gل L"�ه� ) ٧ )جـ < (ق أوج� ٦٥) = ب < ( ، ق ) = ا< ( ب جـ ، قا?� ا��,�\ ) ٨ :أكمل العبارات اآلتية) ٩ ...............ا��اوی� ا�/� ��Lس%� #* ?� ا��!* )١ = ...............ا�#��س ا�./�(� ���اوی� ا�(L nl"�ی� ) ٢٣ ( H�4g ة�4س� �� دا)L �lF = ..............ا��اوی� ا�(L nl"�ی� ه� زاوی� ��آ�ی� ٤( H�4g ىTه� ط ?٣ا�#4س ا��"L nl$ 4لg ة�س%� ا�./�(� �٩ دا)��L آ�ی��زاوی� � B!�#ی Kس

............= .......×= .....ط × ?bن س ءهـ= و!��/#�ی� ا��ا)�ى إذا آ�ن ��ی(� زاوی� ��Lس%� ا�./�(� س) ٥٦ ( Ky/)ا�� k�zى ��اوی� ا���ا)�ا�#��س ا�..........= =..............، و���اوی� ا��./#��� =....... � ا�#��س ا��ا)�ى ���اوی� ا�#�)�) ٧

ط٣-٤

ط٥٨

ط٤

ط-٤

Page 7: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٣٧ ( محمد صبره. إعداد أ

١ ص

١ ج� هـ

١ س

١ ج/�هـ

س ص

ج/�هـ ج� هـ

الدوال المثلثيةالدوال المثلثيةالدوال المثلثيةالدوال المثلثية

"# إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� �4ج%� ?' ا��4* ا�#��س' : %$ :?bن ) س ، ص ( ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ا�(#"�

= }� هـ ) ٣(س ، = ج/� هـ ) ٢( ص ، = ج� هـ ) ١(

9Tه '�. ٠ ا��وال ا�,{|� !���وال ا��,�,�� ا2س�س�� و )2��01رث (١ = ٢ص + ٢س: و()' أن

ـ ـ ـ ـ ::::مقلوبات الدوال المثلثية مقلوبات الدوال المثلثية مقلوبات الدوال المثلثية مقلوبات الدوال المثلثية = =�46 هـ ) ٣= = (�5 هـ ) ٢= = (�45 هـ ) ١(

?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ا�(#"� ) ـ ه( إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� : ١١١١ مثال مثال مثال مثال )٠q٠ ، ٦q9 ا��اوی� ؟ ) ٨T%� ��,�,وال ا���ا� �ـ أوج

== = ، �6 هـ ٠9٦= س = ،، �47 هـ ٠9٨= ص = ـ �7 هـ :ا��� ـ :مالحظات هامة ���� ا�B5u آ�� ه��m� 4 ?' ] إ��رات ا��وال ا��,�,�� ][١[

F�ی� إ��رة ا��ا�� ا��,�,�� F�ی� ا��!* BmL :و ی

�د إ!�رات ا��وال ا���� : ٢مثال$ ٣٠٠ ، �L ٢١٠ ، }� ٢٤٠ ، ج/� ٦٠ج� ٣٠ - ، }� ١٥٠ج/� ـ :ا���

( + ) ٦٠ ج� ∴ #* ?' ا��!* ا2ول ٦٠∴ ) - ( ٢٤٠ ج/� ∴#* ?' ا��!* ا�,��\ ٢٤٠∴∴٢١٠ (+) ٣٠٠ �L ∴ ?' ا��!* ا��ا!* ٣٠٠،، ( + ) ٢١٠ }� ∴#* ?' ا��!* ا�,��\ ) - (٣٠- ?' ا��ا!* }� ٣٣٠ = ٣٠- ،،، ) - ( ١٥٠ ج/� ∴ #* ?' ا��!* ا�,�$' ١٥٠∴ إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ���اوی� ا��4ج%� ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ا�(#"� ] ٢[

]ث�� $y�ی� ?�,��4ر** [ ١ = ٢ص + ٢س 2>ن ) س، ص (

ص س

و هـ

)س ،ص(ب

ا

١

س

ص

ص س

٠q٨ ٠q٦

٤ ٣

٩٠

-س +س

٠=ط ٢ ١٨٠=ط

ط

٢

ط٣ ٢٧٠

٢

B5ا�+ �/L ، ج�+

�/g ، �g+ �L ، �/ج+

Page 8: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٣٨ ( محمد صبره. إعداد أ

٣ ٥

٩ ٢٥

٣ ٥

٩ ٢٥

٢٥ ٢٥

٩ ٢٥

١٦ ٤ ٢٥

٥ ٤ ٥

٣ ٥

٣ ٥

٤ ٥

٤ ٣

٥ ٤ ٥

٤ ٣

إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ا�(#"� :٣���ل |K أوج� ج� هـ ، }� هـ ، �L هـ + ح∈?�وج� ���L س �\ س ) س، (

١ + = ٢ س� ١ = ٢ + ( )٢ س∴ ١ =٢ص + ٢ س∴ـ :ا���� = - = - ١ = ٢ س

) ، ( ا�(#"� ه' ∴ = س = ، �L هـ = ، �g هـ= ، ج/� هـ = هـ �ج ∴ و ب ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ا�(#"� اإذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� ) ٤(�,�ل )٠qص �\ ص ) ، ص٦ ���L �ح ∈?�وج -

ـ |K أوج� }� أ و ب ،، L/� أ و ب ١ = ٢ص + ٠q٣٦ � ١ =٢ص + ٢)٠q٦ (∴ ١ = ٢ص + ٢ سeـ :ا���

٠q٣٦ -١ = ٢ص ∴ ) ٠q٨ - ، ٠q٦( ا�(#"� ه' ٠q٨ - =أ، ص ) ��?4ض ( ٠q٨= ص ∴ ٠q٦٤ = ٢ ص # - = ٠q٦ - / ١= ،، L/� أ و ب - = ٠q٦ ÷ ٠q٨ - = }� أ و ب ∴ �4 �ة ?' ا�(#"� إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا) ٥(�,�ل

) س ، س٢( ?�وج� ���L س ا��4ج�m ـ |K أوج� ج� هـ ، �L هـ

١ = ٢س٥ � ١ = ٢س + ٢س٤ � ١ = ٢س + ٢)س٢ ( ∴ ١ = ٢ص + ٢ س჻ـ :ا��� )، = ( ا�(#"� E= س E = ٢ س�

= ، �L هـ = ج� هـ

�\ هـ �دة أوج� � هـ ، /� هـ= إذا آ�ن �g هـ ) ٦(�,�ل BFا� :e هـ �g =E م ، ١٢= م ، س ٥= ص e١ = ٢ص + ٢ س

E ١ = ٢ م٤٤-١٢ + ٢م٢٥ E ١ = ٢م١٦٩ E٢ م = E م =E س = ، ج/� هـ = ص = ج� هـ =

ىو��ق آ� ذ�� �

٥ ٣

١ ٢٥

١ ٥ة

٢ ٥ة

١ ٥ة

١ ٥ة

٥ة ٢

٥ ١٢

ص س

١ ١ ١٦٩

٥ ١٣ ١٣

١٢ ١٣

Page 9: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٣٩ ( محمد صبره. إعداد أ

ص س

������ � )٢( ر

))))١١١١ ( ( ( (�����د إ!�رات ا��وال ا��%�%�� ا$٠٠

٤٢٠ }/� ، ٥٠٠ ، L/� ٣٠٠ - ، }� ٤٥ ، �L ٣١٥ ، }� ٢١٠ ، ج/� ١١٠ ج� !��/#�ی� ا�./�(' |K �د إ��رة ) س( ?�وج� ق ء ٢و٤ =ءإذا آ�$� س) ٢(

س ٢ ج� س ، ج/� س ، }� إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ) ٣(

|K أوج� ا��وال ا��,�,�� ��اوی� هـ + ح ∈?�وج� ���L ص �\ ص ) ، ص ٠q٨( ا�(#"� إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' )٤(

?�وج� ���L س ا��4جK| �m أوج� }� هـ ، ج� هـ ، L/� هـ ) س س ، - ( ا�(#"� إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ) ٥(

?�وج� ���L س ا��4جK| �m أوج� ج/� هـ ، ج� هـ ، }/� هـ ) س٣س ، ( ا�(#"� إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ) ٦(

?�وج� ���L س ا�.���m ـ |K أوج� ا��وال ا��,�,�� ��اوی� هـ ) س ، ( ا�(#"�

هـ ؟ هـ �دة ?�وج� ا��وال ا��,�,�� �ـ < �\ =إذا آ�$� ج/� هـ ) ٧( إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ا�(#"� ) ٨(

�C� ـ |K أوج� ا��وال ا��,�,�� ��اوی� هـ > ?�وج� ���L س �\ س ) س ، س ( هـ ؟ هـ �دة ?�وج� ا��وال ا��,�,�� �ـ < �\ = � هـ gإذا آ�$� ) ٩(

ىو��ق آ� ذ�� �

١ ٢ة

٤ ٥

٣ ٤

Page 10: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٤٠ ( محمد صبره. إعداد أ

١ ٢

١ ٢

���� ـ : الدوال المثلثية للزاويا الخاصة ���� �C�، ٣٦٠ ٢٧٠ ١٨٠ ٩٠ ٦٠ ٤٥ ٣٠ ا��اوی�/ ا��ا��

ج�

١ ��C - ١ C��

ج/�

��C - ١ ��C ١

�{

١ ��� ���ف

��C ��� ���ف

��C

٠٠ بدون إستخدام األلة أوجد قيمة كال مما ياتي: مثال ٤٥ ٢ ج/�- ٩٠ج� + ٦٠ ج/� ٣٠ج� ) ١(

ـ :ا��� = - ١ = + ٢ ( )- ١+ × = ا��#�ار ٢)ج/� هـ = ( هـ ٢ 0 � أن ج/� ١٨٠ ج/�- ٤٥ ٢ج� + ٦٠ }� ٣٠ج/� ) ٢(

BFا� : # ٣ = ١ + + ) = ١- (- ٢ ) + (٣ ة× = ا��#�ار

٦٠ ج/� ٤ + ٢٧٠ ج/� ٣ + ١٨٠ج/� ٢ + ٩٠ج/�) ٣(

�C� = ٢ + ٠ + ٢ - ٠= × ٤ + ٠× ٣) + ١ - ( ٢ + ٠= ـ ا��#�ار :ا��� )٦٠ ٢}�) ٤ -�L ٤٥ ج/� ٤٥ج� + ٩٠ج� + ٦٠ ٢

+ =١ + ٤ - ٣= × + ١ + ٢)٢ (- ٢ )٣ة= ( ـ ا��#�ار :ا��� ٩٠ج� = ٦٠ ج� ٣٠ج/� + ٦٠ ج/� ٣٠ ج� إثبت أن) ٥(

ف اA#B@ :ا���D١ = += × + × = ـ ا� �/.�وی�ن ١ =٩٠،، ج�

١ ٢

١ ٢

١ ٢ة

١ ٤

١ ٢

٣ ٤

٣ة ٢

١ ٢ة

٣ ٢

١ ٢

١ ٢

١ ٢

٣ة ٢

٣ة ٢

١ ٤

٣ ٤

١ ٢ة

١ ٢ة

١ ٢

١ ٢

Page 11: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٤١ ( محمد صبره. إعداد أ

�{٤٥ }/�- ٦٠ ٢ �L٣٠ ٢ -�/L ٤٥ ٢

٣٠ }ـــــــ� ٢٣٠ ٢ }�-١

������ � )٣( ر

) I ( E%F# �A� :�Iون ا��B أو5 �7�A آ( ١٨٠ج/� × ٤٥ }�- ٦٠ ٢ج� + ٣٠ج� ٢) ٢ (٦٠ ٢ }�- ٤٥ ٢�L٢ - ٤٥ }� ٣٠ ج� ٣) ١()٣ (�L٢٧٠ج� + ٤٥ ٢ ج�٤ - ٦٠) ٤ ( )II ( إثبت أن*** ١٨٠ ٢ ج/�٦٠ج� = ٣٠ ج/� ٣٠ج� ٢) ٦ (٩٠ج/� = ٦٠ ج� ٣٠ ج� - ٦٠ ج/�٣٠ج/�) ٥( ٢٧٠ ج/�٣ + ٤٥ ج/� ٤٥ ج� ٢ = ٩٠ج� ) ٨ ( = ٦٠}� ) ٧( )٩ ( �/L٣٠ }/� ٦٠ L ٢ = �٤٥�L ٤٥ ج/� ٤٥ ٢) ١٨٠ج/� + ٣٠ ٢ج/�٢ = ٦٠ج/� ) ١٠

ـ:بعض خواص الدوال المثلثية

] هـ -٩٠هـ ، [ الدوال المثلثية للزاويتين المتتامتين] ١[ ) هـ -٩٠(}/�= }� هـ ) ٣) ( هـ - ٩٠(ج�= ج/� هـ ) ٢) ( هـ- ٩٠(ج/� = ج� هـ ) ١(

B,���! : هـ�/L =�L)هـ - ٩٠ ( هـ �L ، = �/L )هـ – ٩٠( ،}/� ) هـ- ٩٠ (

ج/� ص = ج� س :مالحظة

٩٠= ص + س فإن /� ص L= � س L إذا كان g/� ص = �g س

٠٠٠٠٠ ، L٢٥/� = ٦٥ ،، �L ٧٠}� = ٢٠ ، }/� ٥٨ج/� = ٣٢ـ ج� :�١,�ل

[ ، ٠ ] ∈?�وج� ���L س �\ س ) ١٠ - س٢(ج� ) = ٢٥+ س( إذا آ�$� ج/� ) ٢(�,�لBFـ :ا�e�/٩٠ = ١٠ -س٢ + ٢٥+ س∴) ١٠ - س٢(ج� ) = ٢٥+س( ج

٢٥= س ∴ ٧٥= س ٣ � ٩٠ = ١٥+ س٣ ∴

?�وج� ���L س !��/#�ی� ا��ا)�ي ؟ ) ١٠ -س( }� ) = ٢٠+ س٣( إذا آ�$� }� ) ٣( �,�لBFـ :ا� e �{ )٩٠ = ١٠ -س + ٢٠+ س٣ ∴) ١٠ -س( }� ) = ٢٠+ س٣

٢٠= س ∴ ٨٠=س ٤ � ٩٠ = ١٠+س٤ ∴ ء.٣٥ =١٨٠ ÷ t × ٢٠ =ء س

ط ٢

Page 12: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٤٢ ( محمد صبره. إعداد أ

:?�وج� ���L هـ |K أوج� ���L ا��#�ار ) ٦٠-هـ ٣( L/� = هـ ٢إذا آ�$� �L) ٤(�,�ل هـ ٣ج�+ هـ ٢ج/�٢+ ج� هـ

٣٠= هـ � ١٥٠= هـ ٥ ∴ ٩٠ = ٦٠- هـ ٣+ هـ ٢ ∴ ) ٦٠- هـ ٣( L/� = هـ ٢ e�Lـ :ا���E ار�٢ = ١+ × ٢ = + ٩٠ج� + ٦٠ج/� ٢ + ٣٠ج�= ا��#

?�وج� ���L س ) ٣٦+ س( }/� ) = ٩+ س٢(إذا آ�$� }� ) ٥( ���ل

١=س٢ ٢ج/�+ س٢ ٢ج� : |K إ|�m أن ٩٠=٤٥+ س٣ � ٩٠ = ٣٦+س+ ٩+ س٢ ∴ ) ٣٦+ س( }/� ) = ٩+ س٢(}� e ـ :ا���

# ١٥= س � ٤٥= س٣ ∴ ٣٠ ٢ج/� + ٣٠ ٢ج� = ١٥×٢ ٢ج/� + ١٥×٢ ٢ج�= ا��#�ار ∴

( ) = ١ = + = ٢ + ( )٢

تعميم للملحوظة األخيرة

� ∈ ن حيث ن ٣٦٠ + ٩٠= ص ±جتا ص فإن س = جاس : إذا كان ) ١ (

، � ∈ ن حيث ن ٣٦٠ + ٩٠= ص ±قا ص فإن س = قتاس : إذا كان ) ) ٢(

ط ) ١ + ن٢ (≠ ط ، ص ن ≠ حيث س

� ∈ ن حيث ن ١٨٠ + ٩٠= ص +طتا ص فإن س = طاس : إذا كان ) ٣(

ط ن ≠ط ، ص ) ١ + ن٢ (≠ حيث س

)يوضح هذا التعميم ( :٦مثال

[٩٠ ، ٠ ] ∈س �\ س ٢ج/� = س ٤ ج� إذا آ�ن

BFا� :e س ٢ج/� = س ٤ج�E ن ، ن ٣٦٠ + ٩٠= س ٢ ±س ٤ ∋ �

[٩٠ ، ٠ ] ∈ ١٥= س E ٩٠= س ٦ E ٩٠= س ٢+ س ٤ ?bن ٠= �(� ن [٩٠ ، ٠ ] ∈ ٤٥= س E ٩٠= س ٢ E ٩٠= س ٢ -س ٤ ،

[٩٠ ، ٠ ] ∈ ٧٥= س E ٤٥٠= س ٦ E ٤٥٠= س ٢+ س ٤ ?bن ١= �(� ن [٩٠ ، ٠ ] ٢٢٥h= س E ٤٥٠= س ٢ E ٩٠= س ٢ -س ٤ ،

E BF٧٥ ، ٤٥ ، ١٥{ �:���4 ا� {

١ ٢

١ ٤

٣ ٤

١ ٢

١ ٢

١ ٢

٣ة ٢

Page 13: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٤٣ ( محمد صبره. إعداد أ

������ � )٤( ر

أكمل ما يأتي) ١( ٠٠٠٠ج� = ٥٠ج/� ) جـ (L�٠٠٠٠/ = �L٧٥ ) ب( ٠٠٠٠٠}� = ٥٤}/� ) أ( = .......... × )هـ( ٠٠٠٠) = د( س ٣س ج� ٢س |K أوج� ���L ا��#�ار ج� س ج/� ٢ج/� = أوج� ���L س إذا آ�ن ج� س ) ٢( [٩٠ ، ٠ ] ∈س ،) ٥ -س ٣( }/� ) = ٢٥+ س٢( أوج� ���L هـ إذا آ�ن }� ) ٣()٤ ( �/L �$ي إذا آ��(ا�ا� �ی�ص !��/# ���L �أوج)ص٣ = (�L )[٩٠ ، ٠ ] ∈ص ،) ص-٥٠ [٩٠ ، ٠ ] ∈س ، )٥٠ -س٢( ج� ) = ٥٠+ س( إذا آ�$� ج/� ) ٥(

K| س ـ ���L �ار ـ ?�وج�ا��# ���L �٤٥ }� ٢٧٠ج/� + س ٣ج� + س ٢ج/�= أوج [٩٠ ، ٠ ] ∈س ، ) ١٠=س( ج� ) = ٢٠+ س(إذا آ�$� ج/� ) ٦(

ـ ?�وج� ���L س ـ |K أوج� ���L ا��#�ار [٩٠ ، ٠ ] ∈أوج� ���L س �\ س . ١= إذا آ�ن ) ٧(

)٨ ( �g إذا آ�ن)س �\ س = . )س+ ٤ ���L �[٩٠ ، ٠ ] ∈أوج )٩ ( �g إذا آ�ن)٢٨ ٢٣+ س ( = �/g)س �\ س .) ٤١ ١٧+ س ���L �[٩٠ ، ٠ ] ∈أوج [٩٠ ، ٠ ] ∈س ١= ) ١٠ -س٣(�L × أوج� ���L س إذا آ�ن ج� س ) ١٠(

ج/� جـ أوج� ��Lس�ت زوای�9 ؟ = ب جـ ، ج� أ = ـ ?�H أ ب أ ب ج∆) ٧(

áîÜÇ@áÜÇ@ôˆ@Ý×@ÖìÏë@ @

١٧ج� ٧٣ج/�

٢٤٥ج/�+ س٢ج/� �g٤٥ ٢

�g )٩+ س ٢( �/g ) ١٦+ س(

١ �g س٣

�g٢٠ ٣٥ج�

٥٥ج/� �/g٧٠

Page 14: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٤٤ ( محمد صبره. إعداد أ

٠٠ ] هـ -١٨ ٠هـ ، [ الدوال المثلثية للزاويتين المتكاملتين] ٢: [

�6 هـ -) = هـ -١٨٠( �6 ، �47 هـ - ) = هـ -١٨٠( �47 ،�7 هـ ) = هـ-١٨٠(�7 ) � ا�M��ALA (- =� ا�Kاو#� ، M ) � ا�4��ALA 7 (-= =ا�Kاو#� ، �47 �7 ا���ALA=)� ا�Kاو#�

] هـ+ ١٨٠هـ ، [ ا��وال ا��,�,�� ���اوی/��] ٣[

}� هـ ) = هـ + ١٨٠( }� ، ج/� هـ -) = هـ + ١٨٠( ج/� ، ج� هـ - ) = هـ + ١٨٠(ج� ] هـ- ٣٦٠ هـ ،[ ا��وال ا��,�,�� ���اوی/��] ٤[

�g هـ -) = هـ - ٣٦٠( }� ،ج/� هـ ) = هـ -٣٦٠( ج/� ج� هـ ، -)= هـ - ٣٦٠(ج� ــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

F�ی� ا��!* أوK| 0 إ_/��ر زاوی� )١(�()�Oت �� �!0 �%/��L �?��� 2ی:�د دا�� أي زاوی� و �m٦٠ ، ٤٥ ، ��٣٠ ا��وای� �(�س

٦٠ - ١٨٠ = ١٢٠ ، ٤٥ - ١٨٠ = ١٣٥ ، ٣٠ - ١٨٠ = ١٥٠زاوی� ا��!* ا�,�$' ه' ) ٢( ٦٠+ ١٨٠ = ٢٤٠ ، ٤٥+ ١٨٠ = ٢٢٥ ، ٣٠+ ١٨٠ = ٢١٠زوای� ا��!* ا�,��\ ه' ) ٣( ٦٠ - ٣٦٠ = ٣٠٠ ، ٤٥ - ٣٦٠ = ٣١٥ ، ٣٠ - ٣٦٠ = ٣٣٠زوای� ا��!* ا��ا!* ه' ) ٤( |B�5$ K ا�b? BF$(� $"�ح �(%� ا��ورات ا��ا)�ة٣٦٠أذا زادت ا��اوی� �� ) ٥(�ml �4ج�m و0 �ی� �� اوی� س��n�+$ �m �%� دورات آ�$� ا��اأذ) ٦( �/ ٣٦٠BFا� B�5$ K| }� هـ -) = هـ - ( ج/� هـ ، }� ) = هـ -( ج� هـ ، ج/� - ) = هـ - (ج� ) ٧(

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٠٠ أوجد قيمة كال مما يأتي: مثال ٣٠٠ }� ٢٤٠ج� + ٣١٥ }� ١٢٠ج/�) ١(

BFـ :ا� - = ٦٠ ج/� - ) = ٦٠ -١٨٠(ج/� = ١٢٠ ج/�

�{ ،،١- = ٤٥ }� -) = ٤٥ -٣٦٠(}� = ٣١٥

- = ٦٠ ج� - ) = ٦٠+ ١٨٠(ج� = ٢٤٠، ج�

٣ة - = ٦٠ }� - ) = ٦٠ -٣٦٠(}� = ٣٠٠ ،، }�

١- = - =٣ة - × - ١- × -= ا��#�ار ∴

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

س ?�وج� ���L س ؟ = ٩٠ ج�L٤٥/� ) ١٣٥ - (ج/� ٢ + ٢٤٠ }/� ٣٣٠إذا آ�$� ج/� ) ٢( BFـ:ا� = ٣٠ج/� ) = ٣٠ - ٣٦٠( ج/� = ٣٣٠ ج/�

١ ٢

٣ة ٢

١ ٢

٣ة ٢

١ ٢

٣ ٢

٣ة ٢

Page 15: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٤٥ ( محمد صبره. إعداد أ

�46 ،٢٤٠ = �46)٦٠ + ١٨٠ = ( �46٦٠ =

- = ٤٥ ج/� - ) = ٤٥ - ١٨٠( ج/� = ١٣٥ج/� ) = ١٣٥ -(،، ج/�

�C� = ١ - ١ = ١× ٢ة × - × ٢+ × = ا��#�ار ∴ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٠٠ ٢٢٥ ٢ }�)٣٠ - ( ج� ٤٨٠أوج� ���L ج/�) ٣(BFـ :ا� - = ٦٠ ج/� -) = ٦٠ -١٨٠(ج/� = ١٢٠ج/� ) = ١٢٠ + ٣٦٠(ج/� = ٤٨٠ج/�

- = ٣٠ ج� -= ) ٣٠-(ج�

�g ،، ١ = ٤٥}� ) = ٤٥+ ١٨٠(}� = ٢٢٥ E ار�٢)١( × - × -= ا��# = :هـ ?�وج� ���L هـ |K أوج� ٢���Lج/� = إذا آ�$� ج� هـ ) ٤(

ا��#�ار BFـ :ا�e هـ ٢ج/� = ج� هـ

E ٣٠= هـ ∴ ٩٠= هـ ٣ � ٩٠= هـ ٢+ هـ ∴ �L )هـ - ) = هـ-١٨٠ �L =- �L ٣٠ = -�L ، هـ ٢ =

- = ٣٠ ج� -= ج� هـ -)=هـ+ ١٨٠(، ج�

) = هـ٢ -١٨٠ (٢ ج�∴ = ٦٠ج� = هـ ٢ج� = )هـ٢ -١٨٠(،، ج�

= = ا��#�ار ∴

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

) ٢٠- س( }/� ) = ٢٠+ س ( إذا آ�$� }� ) ٥ ( + ـ ?�وج� ���L س |K ـ أوج� ���L ا��#�ار

BFـ :ا� e �{ ) ٢٠- س( }/� = ) ٢٠+ س ( E٤٥= س∴ ٩٠=س٢ � ٩٠ = ٢٠ - س + ٢٠+ س ،e ٩٠ 2ن �:��4%�� ١ = ٢٠ج/� ÷ ٧٠ ج�∴ ٢٠ج/� = ٧٠ج� �L ، )س -) = س- ١٨٠ �L = - �L ٢ة - = ٤٥ ∴�L ١- = ١٣٥ ،، }� ٢ = ٤٥ ٢

١- = ٢ - ١ ) = + (١= ا���Aار ∴∴∴∴

٧٠ج� ٢٠ج/�

�Lس-١٨٠ ( ٢ ( �{١٣٥

١ ٣ة

١ ٢ة

٣ة ٢

١ ٣ة

١ ٢ة

١ ٢

١ ٢

١ ٢

١ ٢

١ ٤

�Lهـ– ١٨٠ (٢ +( g�١٣٥ـــــــ )هـ٢- ١٨٠ (٢ج�) هـ+ ١٨٠(ج�

-٨ ٩

٢ ٣ة

٤ ٣

١ ٢ ٣ة ٢

٣ ٤

٢ -١

Page 16: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٤٦ ( محمد صبره. إعداد أ

١- = ١٨٠ج/�+١٦٠ج/�+..............٦٠ج/�+٤٠ج/�+٢٠ج/� )٦( ١-= ١٨٠ وهT5ا ویm#� ج/� ٤٠ج/� - = ١٤٠ ، ج/� ٢٠ ج/� - = 2١٦٠ن ج/�

؟)���ذا ( �C� = ٣٥٩ج�+٣٥٨ج�+ .........+٣ج�+٢ج�+١ج�) ٧(

������ � )٥( ر

) ١ ( ' أآ�B �� ی� ٠٠٠٠٠٠٠٠ = �L٣٠٠ ) جـ (٠٠٠٠٠٠٠ = ١٢٠}� ) ب (٠٠٠٠٠ = ١٣٥ج�) أ( ٠٠٠٠٠٠٠٠٠ أ، ٠٠٠٠٠٠٠ ?bن ج� ص= إذا آ�$� ج� س ) د( )١/٢( ) ٣٩٠ -( ج� ١٢٠ ج/� - ١٢٠ ج� ٤٢٠أوج� ���L ا��#�ار ج� ) ٢( )٢( ٩٠ ج� ١٣٥ }� - ١٢٠ }/� ٢٤٠ج� + ٣١٥ }� ١٢٠أوج� ���L ا��#�ار ج/� ) ٣()٤ (L �ار ج/�أوج�٣١٥ - }� - ١٢٠ج/� + ٣٣٠ ج� +١٨٠ ���٢ ا��# ) -١( )١( ?�وج� ���L هـ |K أوج� ���L ا��#�ار )١٥+ هـ ( ج/� = ١٥إذا آ�$� ج� ) ٥( )١/٤-( |K أوج� ���L ا��#�ار. ?�وج� ���L س .س ٢}/� = إذا آ�ن }� س ) ٦(

س ٣ ج� -س ٢ج/� ) + س- ٩٠ (٢ ج/� )١ - ( ١٨٠ج/� = ٣٣٠ ج/� ٦٠٠ج� + ١٢٠ ج/� ١٥٠إ|�m أن ج� ) ٧( )٧/٢( ٣٠٠ �L٢) + ٦٧٥ - ( ج/� ٣١٥ج� = أوج� ���L ا��#�ار ) ٨( ـ : ت المثلثيةحل المعادال �

P��4رات ا��QR�7ول ا : %Sآ

�� [ ط ٢ ، ٠ ] ∈س : أوج� �:�B ��4 ا����د0ت ا2 �C� = ج� س ج/� س ) ٣(�C� = ١ - ج� س ٢) ٢ (١= }� س ) ١(

ـ :ا���

)هـ – ١٨٠(٢ج/�+ هـ �٢ج �g١٨٠ج/� × ١٣٥

٩٠

-س +س

٠=ط ٢ ١٨٠=ط

ط

٢

ط٣ ٢٧٠

٢

B5ا�+ �/L ، ج�+

�/g ، �g+ �L ، �/ج+

هـ - ١٨٠ هـ

هـ - ٣٦٠ هـ + ١٨٠

:آ���� و�* زاوی� �دة هـ ?� ا��!*

Page 17: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٤٧ ( محمد صبره. إعداد أ

)١ (e !��� ا2ول و ا�,��\ ��5 }� هـ �٤٥= س ∴ ١ = ٤٥ ، }� ١= }� س�ا� '? �m4ج } ٢٢٥ ، ٤٥{ = م ح � ٢٢٥ = ١٨٠ + ٤٥= س∴ )٢ (e ٠= ج� س ∴ ١= ج� س ٢q!��� ا2ول و ا�,�$' ٣٠= س ∴ ٥�ا� '? �m�5 ج� هـ �4ج� } ° ١٥٠، ° ٣٠{ = م ح � ١٥٠ = ٣٠ - ١٨٠= س ∴ )٣( e ٠ ، ١٨٠= س ∴ ٠= س إ�� ج�٠= ج� س ج/� س

°٢٧٠،°٩٠= س∴ ٠= أ، ج/� س } ٢٧٠ ، ١٨٠ ، ٩ ، ٠{ = م ح ∴

�C� = ١+ ج/� س ٢) ٤( ج/� هـ س���m ?' ا��!��� ا�,�$' و ا�,��\ e ، = ٦٠ ج/�e ، = ج/� س ) ٤(ـ :ا���

٢٤٠ = ٦٠+ ١٨٠= أ، س ١٢٠ = ٦٠ - ١٨٠= س ∴ ١ ) = ١٠+ س٢( ج� ) ٥ ( E ٢٠= س ∴ ٨٠= س ٢ � ٩٠ = ١٠+ س٢ ∴ ١ = ٩٠ ج� :ا�� ٠= ١ -ج� س + س ٢ج�٢) ٦(

BFا� : B��F/��!∴ ) ١-= و أ، ج� س٥= ج�س � ٠) = ١+ ج� س)( ١ -ج� س ٢ ٢٧٠= س ∴ ١- = ج� س : ،، �(��� ١٥٠ أ، ٣٠= س∴ = ج� س: �(���

ج/� س ) = ١٥٠ - ( ج� ١٢٠ ج/� - ٣٠٠ ج� ٦٠ج� : B ا����د�� ) ٧(

BF١ - = - = × - × = ج/� س : ا� e ١٨٠= س ∴ ١-= ج/� س : رـــــ� �� ٠٠ تيأكمل ما يأ) ١( ٠٠٠٠٠٠٠٠ أ، ٠٠٠٠٠٠٠٠= ?bن ج/� س ١= ج� س ٢إذا آ�$� ) أ( ٠٠٠٠٠٠٠٠٠ أ، ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠= ?bن ج� س ١= إذا آ�$� }� س ) ب( ٠٠٠٠٠٠٠٠٠ أ، ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠= ?�ن �L س ٢-= إذا آ�$� L/�س ) جـ( ٠٠ أوجد مجموعة حل المعادالت األتية) ٢( �Cـ� = ١ - س ٢}�) ب (١= ــ� س ج/ـــــ٢) أ( ١( ) = }� ) د ( �C� = ٣ة – ج� س ٢) جـ( ١ - ) = ٣٠+ س ٣( ج/� ) و( �C� = ج/� س - س ٢ج/�) هـ(

س٣ ٥

-١ ٢

٣ة٢

٣ة-٢

-١ ٢

-٣ ٤

١ ٤

-١ ٢

١ ٢

١ ٢

Page 18: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٤٨ ( محمد صبره. إعداد أ

دة الدوال المثلثية للزوايا الحا

ب �ـ �� �� ب ا ∆�� أي

���� ا������ ��او�� �ـ ا��� �� ب ��� ور �� ، ا��� ب �ـ ��

�� �%$ ا�$#" ���� ���� .أ� ا��� ا�� ) ا���- (ون*"ف ا�)وال�� � :ا���01�1 آ

= ، 6هـ = ، �5 هـ = �هـ

=، g/� هـ = ، �L هـ = و!��T ی45ن L/�هـ أ ب جـ K(�L ?' ب∆

= = ،، ج/� جـ = = ی45ن ج� جـ

= = ،، }� جـ

سK ٥= سK ، أ جـ ٣ =ب �L)�� ، أ ب < أ ب جـ ?�H ∆: ١مثال ) جـ - (، L/� ) جـ - ٩٠( ، ج� ) أ - ١٨٠( }� أ ، ج� : أوج� ـ:الحل ســــK ٤= أ جـ ∴ ١٦ = ٩- ٢٥ = ٢)أ ب ( - ٢)أ جـ = (٢)ب جـ : ( ?�,��4رث ��

= = ج� أ ) = أ -١٨٠( ج� = = }� أ ∴ - = -= L/� جـ - ) = جـ -( L/� ، = = ج/� جـ ) = جـ - ٩٠( ج� ،

�\ هـ زاوی� �دة ?�وج� ���L آ{ �� ٣= }� هـ ٤إذا آ�$� ) ٢(�,�ل ج/� هـ ٥١٠ج� ) + هـ - ١٨٠( ج� ١٢٠ج/� ) هـ ب ٢ ج�- هـ ٢ ج/�) أ ـ :ا��� =- = ٢( ) - ٢( ) = ا��#�ار)أ - =٦٠ �47 - ) = ٦٠ - ١٨٠( �47 = ١٢٠ �47 )ب

،= ج� هـ ) = هـ -١٨٠( ، ج�

B!�#� � و

�:�ور

ا

ـج ب���� و#"

� ور و#"

���� � ور

� وB!�#�

� و �:�ور

�:�ورB!�#�

B!�#� � و

ا ب ا جـ

:�ور�� و

ب جـ ا جـ

B!�#� �:�ور

ا ب ب جـ

ب جـ ا ب

٤ ٣

ب جـ ا جـ

٤ ٥

ب جـ ا جـ

اجـ ا ب

٥ ٣

٤ ٥

١٦ ٢٥

١ ٢

١ ٢

٣ ٥

B!�#� � و

�:�ور

ا

ـج ب

٣Kس ٥Kس

٤Kس

ا

ـج ب

٣ ٥

٩ ٢٥

٧ ٢٥

Page 19: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٤٩ ( محمد صبره. إعداد أ

= ٣٠ج� = ١٥٠ج� = ٥١٠، ج� = = + × + × - = ا���Aار ∴∴∴∴

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠= ١٢-ج� ص ١٣، [ ط ، ] ∈ �\ س ٣= }� س ٤إذا آ�$� ) ٣(�,�ل ١٨٠< ص < ٩٠ �\

?�وج� ���L ا��#�ار ـ :ا���

Tآ� ا���رات[ 0 � أن س #* ?' ا��!* ا�,��\ ،، ص #* ?' ا��!* ا�,�$' [

= - = ج� س - = س -،، ج�= }/� ص ) = ص-٩٠( }� ∴

= ٢ = ( )٤٥ ٢، ج/� )٣ - ( ÷ = ( + ) = ا��#�ار ∴

= ÷ = × = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٣= }� جـ ٤ ، ١٨٠< ب < ٩٠ �\ ٨= ج� ب ١٧إذا آ�ن ) ٤(�,�ل ٢٧٠< جـ < ١٨٠ �\

) ٤٨٠ -(ج/� × ) جـ -١٨٠( �L + ٣٣٠-L/� × ) ب - ١٨٠( }/� : ?�وج� ���L ا��#�ار

�\ ب ?' ا��!* ا�,�$' = ـ ج� ب :ا���

، جـ ?' ا��!* ا�,��\ =،، }� جـ ∴ = - = }/� ب -) = ب - ١٨٠( }/�

�/L ، -٣٣٠ = �/L ٢ = ٣٠ �L ، )جـ -) = جـ - ١٨٠ �L =- =

- = ١٢٠/� ج = ٤٨٠ج/� ) = ٤٨٠ -(، ج/�

# = + = - × - ٢× = ا��#�ار ∴ ١> ج/� جـ + ?� ا��,�\ ا ب جـ ا�#�)K ?� ب أ|�m أن ج� جـ ) ٥(�,�ل BFا� :

١ ٢

٣ ٥

١ ٢

٤ ٥

-٣ ١٠

٤ ١٠

١ ١٠

ط٣ ٢

g�)٣٠ج�)+ س- (ج�) ص -٩٠ �g٦٠ ٦٠ ج�٢ - ٤٥ ٢ ج�

-٥ ١٢

-٣ ٥

٣ ٥

١ ٢ة

١ ٢

١ ٤

١ ٢

١ ٢

٣ ٤

-٥ ٢

٣ ٤

-٢ ٥

-٣ ١٠

٨ ٣ ١٧

٤ -١٥ ٨

١٥ ٨

-٥ ٤

٥ ٤

١ ٢

١٥ ٨

٥ ٤

١ ٢

٣٠ ٨

٥ ٨

٣٥ ٨

ب

ا

ج ـ

B!�#�

�:�ور

� و با جـا

ب جـ جـا

٨ ١٧

-١٥ ب

-٥ ٣

-٤ ج

Page 20: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٥٠ ( محمد صبره. إعداد أ

= +ج/� جـ + ج� جـ

= < ١ )�/�mی(� ا��,�\( �\ أن �:�4ع أى ����� ?� ا��,�\ أآm� �� ا�+�* ا�,��\

)٦(�,�ل

�/Lا = E ا ج�=

= ، ج(� ب

=٦٠ج/� ) = ٦٠- ٣٦٠(ج/� = ٣٠٠ج/� = ٣٠ ج� –) = ٣٠ + ١٨٠( ج� = ٢١٠ج�

) =- ( ÷ )١)= × + ١ ÷ =

+ + = ١× = ا��#�ار

)٦( ريــــــــنامت � سK ٨= سK ، ب جـ ٦= أ ب جـ K(�L ا��اوی� ?' ب ، ?�H أ ب ∆) ١(

) جـ + ١٨٠( ،، ج/� ) أ - ( �L ،،) جـ -٩٠( ،، ج/� ) أ + ١٨٠( ـ أوج� }�

ب جـ+ ب ا جـا

- ١ ١٠ةةةة

- �4M ب - ا �g ١١١١ + �4Mبا �M

١ ١- ٢

٢

١ ٢

-١ ٢

٤ ٣

١ ٣

-٤ ٣

١ ٣

٥ ٩

٩ ٥

٣ ٥

-٤ ا

-١ ١٠ة

-٣ ب

٥ ٣

٣ ٥

٩ ٥

٩ ٥

Page 21: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٥١ ( محمد صبره. إعداد أ

[ ١٨٠ ، ٠ ] ∈ �\ هـ ٤= }� هـ ٣إذا آ�$� ) ٢(

٣١٥ }�- ١٢٠ج/� ) + هـ -١٨٠( }� + ج/� هـ ٥ ـ ?�وج� ���L ا��#�ار [ ٢٧٠ ، ١٨٠ ] ∈ �\ ب ٠ = ٢٤+ ج� ب ٢٥إذا آ�$� ) ٣(

\ جـ أآm� زاوی� �4ج�C �m� � = ١٢ - }� جـ ٥ ، ) جـ - ١٨٠( ج/� ) + ب + ١٨٠( ـ ?�وج� ���L ا��#�ار ج�

�\ س أآm� زاوی� �4ج�m = إذا آ�$� ج� س ) ٤(

�/L ار�ا��# ���L �س -١٨٠( ـ ?�وج ( س �g - �/ج )س + ١٨٠ ( ٢٠٠ ج� - �٤٢ } + ٢٠!bس/z�ام ا��2 ا��Fس�m أوج� ���L ا��#�ار ج/�) ٥( ١٥ ج/� ١٥ ج/� - ١٥ ج� ١٥!bس/z�ام ا��2 أوج� ���L ا��#�ار � ) ٦( ٠و٢٣٤٥= B ا����د�� ج� س ) ٧(

متنوعةتمارين]١ [ �� : أآ�ــــــــ� �� ٠٠٠٠٠= }� أ : ?bن ) أ – ٩٠( ج� = ج� أ : إذا آ�ن ) ١( ٠٠٠= ج/� ص : ?bن = � زاوی/�� �//��/�� ، آ�ن ج� س إذا آ�ن س ، ص ه�� ��Lس) ٢( ٠٠٠٠٠) = ص + س ( ج� : L/� ص ?bن = إذا آ�ن }� س ) ٣( ٠٠٠= ج� هـ ج/� هـ ٢: ?bن ] ٩٠ ، ٠ [ ∈ هـ �\ هـ L٢/� = إذا آ�ن �L هـ ) ٤( )٥ ( �L إذا آ�ن )هـ ٢ – ٩٠ = ( �/L )ن ٩٠< هـ < ٠، ) هـ + ٦٠b? : ٠٠٠= هـ ٠٠٠= ج� هـ : ?bن ٩٠< هـ < ٠ ، ٤) = هـ – ٩٠( ج/� ٥: إذا آ�ن ) ٦( ٠٠٠= هـ : �C� �\ هـ زاوی� �دة �4جb? �mن = }� هـ - إذا آ�ن }/� هـ ) ٧( ٩٠< هـ < ٠ س ، ٣ج/� ) = ١٠ – س ٢( إذا آ�ن ج� ] ٢[

]�C� : ا�:4اب [ س ٣ س }/� ٣ }� – س ٣ س ج/� �L٣: أوج� ١ = ٩٠٠}� )٢٢٥ -( �L – ٣٣٠ج� ١٢٠ج/� + ٦٠٠ج� )١٥٠ -( ج/� : أ|�m أن ] ٣[

٣ ٥

٤ ٥

Page 22: ا وا ا س او ا س ﺝ4 س# ا نآ . ا برegytp105lshpi.powweb.com/customers/zaki-high-school/site/wp-content/... · ﻯﻮﻧﺎﺜﻟﺍ ﻝﻭﻷﺍ ﻒﺼﻟﺍ ﺕﺎﺜﻠﺜﻣ

مثلثات الصف األول الثانوى

) ٥٢ ( محمد صبره. إعداد أ

:?�وج� ���L آB �� ] ١٨٠ ، ٩٠ [ ∈ �\ ـ -= إذا آ�ن ج/� ـ ] ٤[

) ـ -( /� ج) ٣) ( ـ – ٣٦٠( �L ) ٢) ( ـ – ١٨٠( ج� ) ١ ( ]٥ [ �� :أو�� ���� ��

)- : ا�:4اب ( ٨٥٥ }� ٥١٠ج� ) + ٢٤٠ -( ج/� ٦٩٠ج� ) ١ (

)١: ا�:4اب ( ١٢٠ ج� ٣٠ج/� ) + ٦٠ -( ج/� ٣٩٠ج� ) ٢ (

)�C� : ا�:4اب ) ( ٣٣٠ -( ج/� ٣٣٠ ج� – ٥١٠ ج� ٢١٠ج/� ) ٣ ( ��� ) أ ، أ -( إذا ��(� ا��اوی� ا��4ج%� ?� ا��4* ا�#��س� ا�/� ��Lس%� هـ ا�(#"� ] ٦[

. ?�وج� ج��* ا�(. ا��,�,�� ���اوی� هـ ٠> دا)�ة ا�4 �ة �\ أ ]٧ [�� Bا��,�,�� ���اوی� هـ ?� آ ج��* ا�(. �أوج �� : ا�0�Fت ا`

٣/٤ -= ، }� هـ [ ، ط ٢/ ط ] ∈ هـ - ٢ ٠q٦= ، ج/� هـ [ ٢/ ، ط ٠ ] ∈ هـ - ١ ١ = ٤٥ }� ٤٥ ج/� ٤٥ � ٢: أ|�FC �m ا��/.�وی� ] ٨[ ]٩ [ �FC �m|٩٠ � ٣/٢ = ٣٠ ج/� ٦٠ � ٢ – ٤٥ ٢ }/�٣أ :ا�BF �����د�� ا`�� ?�وج� �:���4 ] ٢/ ، ط٠ [ ∈إذا آ�$� س ] ١٠[

٢٧٠ � ١٨٠ ج/� ٣٠ � ٦٠ ج/� ٤= }� س إذا آ�ن هـ ��Lس زاوی� �دة �4ج�m ?� و�* ��Lس� و ��� ��� دا)�ة ا�4 �ة ا�(#"�] ١١[

) ــ هـ ٩٠( �L ) + هـ – ٩٠( }� : ?�وج� ���L ) ، ص (

]١٢ [ ٥/ط٤ ، L/� ١٦٠ ، � ٣٢٠ ، }� ٢٠٠ /� : �� إ!F\ إ��رات ا�(. ا��,�,�� ا`

٤ ٥

١ ٤