Upload
others
View
27
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٣١ ( محمد صبره. إعداد أ
طرق قياس الزاوية
:الزاوية الموجهة ������ �� �%�� $#"� !�ای� وا �ة ه� رأس ) ه�� ���� ا��اوی� ( زوج ��
وی45ن ا��.#- ا2ول ا�+�* ا0!/�ا)' وا��.#- ا�,�$' ا�+�* ا�(%�)' .ا��اوی�
) ا، و و ب( = ا و ب ) ، و ب او ( = و ب ا ����س ا���� وا����س ا���� ���او� ا������ا
رب ا�.��� آ�ن ا�#��س �4ج� �� �#إذا آ�ن ا0:�9 �� ا�+�* ا0!/�ا)' إ�' ا�+�* ا�(%�)' رب ا�.��� آ�ن ا�#��س س�� ��* �#ا0:�9 وإذا آ�ن
:ا���� ا������ ���او�
:#��س' إذا آ�نا��4* ا�45ن ا��اوی� ?' ١ ( BC2رأس%� $#"� ا . .�4Fر ا�.�(�تا0:�9 ا��4ج � ا0!/�ا)'���%� ) ٢
قياس الزوايـــا
: أو0 ا�#��س ا�./�('
° و �ة ا�#��س ا�./�(' ه' ا��رج� وی��� ���اوی� ?' ا�#��س ا�./�(' !����� س ٦٠= ١ ، ٦٠= ، ا��رج� °٣٦٠= 4Lا)K ٤= و?�H ا��ورة ا�����5
ا��اوی� #* ?' ا��!* ا2ول إذا وL* ا�+�* ا�(%�)' !�� وس ، و ص
وهT5ا / س و و ص، ذا وL* ا�+�* ا�(%�)' !�� و#* ?' ا�,�$' إ
ا��!* ا�,�$' ٩٠ ا��!* ا2ول
[١٨٠ ، ٩٠]J هـ [ ٩٠ ، ٠]J هـ
/ س١٨٠ ٠ س ٣٦٠
[٢٧٠ ،١٨٠] Jهـ [ ٣٦٠ ،٢٧٠]J هـ ا��!* ا�,��\ ٢٧٠ ا��ا!* ا��!*
-
ب
��* $%�)� ا
��* إ!/�ا)�
و
+
��* إ!/�ا)�
�(�%$ *��
و ا
ب
و ا
ب
و
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٣٢ ( محمد صبره. إعداد أ
: مالحظـــة ) �4�:�٣٦٠%�� ( أ �ه�� �4ج و ا`_� س��ن�B5 زاوی� �4ج%� ?' و��%� ا�#��س ��Lس�
:الزوايا المتكافئـــــــة ./�a?�5 إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' �%� ج���� وا � ی#�ل ���ة زوای� ?' ا��4* ا�#��س' أ$%� �
�%45ن �) ٥ ٣٦٠× ن+ ٥هـ( وإذا آ�ن هـ ه��L 4س زاوی� �� ?bن ا��وای� ا�/' ��Lس��a?�5�%� .
� J ن �\
ـ إ��?� ��ة دورات آ���� ��اوی� ی�"� زوای� �١�a?�5 : أنأي زوای� ��a?�5ـ g�ح ��ة دورات آ���� �� زاوی� ی�"� ٢
أمثلــــة ��Lس ا�.�� ا��h?�5 ا�#��س ا��4ج ا����L h?�5س ا��اوی�
٥ ٣٤٨-= ٥ ٣٦٠ – ٥ ١٢ ٥ ٣٦٠+ ٥ ١٢ ٥ ١٢
٥ ٢٠٨-= ٣٦٠×٢ –٥١٢ ١٥٢ =٣٦٠- ٥١٢ ٥ ٥١٢
-٣٨٧- = ٣٦٠ – ٢٧- ٥ ٣٣٣= ٣٦٠ +٢٧ – ٥ ٢٧ -٥ ٢٢-= ٣٦٠×٢+ ٧٤٢- ٥ ٣٣٨= ٣٦٠×٣+ ٧٤٢- ٥ ٧٤٢
:القياس األساسى للزاوية [ ٣٦٠ ، ٠ [Jأى أن ا�#��س ا2س�س� . �٣٦٠ �BL أ �4ج و
: �د ا��!* ا�Tى #* ?�H ا��اوی� : �,�ل
١٥٠- ، ٧٥٠ ، ١٥٢ BFس%� ا2س�س� : ا���L �? 45ن ا��اوی� .ی: أن е ١٥٢ J[١٨٠ ، ٩٠ ] Ε !* ا�,�$� ١٥٢�ا� �? *#
٣٠ = ٣٦٠ × ٢ + ٣٠ = ٧٥٠ J [٩٠ ،٠ ] !* ا2ول�ا� �? *# - ٢١٠ = ٣٦٠ + ١٥٠ - = ١٥٠ J [٢٧٠ ،١٨٠. ] \��,!* ا��ا� �? *# .
و�� رب زد�� ���
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٣٣ ( محمد صبره. إعداد أ
:�س ا��ا� ي��� ا��
= ءـ ا�#�k ا��ا)�ى ��اوی� ��آ�ی� هـ 9�lF ا�(.4g ��! �mل ا�#4س ا�Tى
.ا��اوی� و4gل $L nl"� ا��ا)�ة
ءوی��� �%� !����� هـ) ا��اوی� ا�(L nl"�ی�(ه' ا��ادی�ن : وحدة القياس الدائري lF� 4Lس� H�4g ی.�وي 4gل $nl ه' ا��اوی� ا���آ�ی� ?' دا)�ة :الزاوية النصف قطرية
L"� ا��ا)�ة
�× ءءءءهـ = ل ، = ، � = ءءءءهـ
ا�#��س ا��ا)�ى ���اوی� ا���آ�ی� = ء4gل ا�#4س ، هـ= �\ ل
ءوالقياس الدائري هـ ٥العالقة بين القياس الستيني س
٣٦٠= ، ا��ورة ا�����5 !���رج�ت )٢t( ط ٢= ا��ورة ا�����5 !��/#�ی� ا��ا)�ى E ٣٦٠ = ء ط ٢ E ١٨٠ = ء ط
#�ی�m ٣q١٤= ا�(.�m ا�/#�ی��m = �\ ط = = ) × �/4FیB ا��ا)�ى ��رج�ت ( × ءهـ= ٥س
) × ��ا)�ي��رج�ت �/4FیB ا(× ٥س= ء هـ
ىو��ق آ� ذ�� � أ���ــــــــــ� ����
لr$
ل ءهـ
و ءهـ
ل
r$ ا
ب
ا
ب
و ل ء١
$r ءهـ
س١٨٠
ءهـ ط
٢٢ ٧
١٨٠ ط
١٨٠ ط
ط ١٨٠
ط ١٨٠
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٣٤ ( محمد صبره. إعداد أ
٣١٥ ، ١٢٠ ، ٣٠: !���0 ط ا�#��س ا��ا)�ى ���وای� أوج�)١(�,�ل BFا� : ١٢٠= ١٢٠ ، = × ٣٠= ٣٠ × =
٣١٥= ٣١٥ × =
.ء ١q٣٥ ، ء ٠q٦٧، : ./�(� ���وای� أوج� ا�#��س ا� : )٢(�,�ل BFا� :
= × =٢٢q٢٢ ٣٠= ٥
٠q٠ = ء ٦٧q١٨٠ × ٦٧ ÷ t = ،،،٣٨ ٢٣ ١٧
١q١ = ء ٣٥q١٨٠ × ٣٥ ÷ t = ،،،٧٧ ٢٠ ٥٧
٢٢٥ ١٢ ٣٠ ، ١٤٥ ٢٠ ، ٧٢q٦: �س ا��ا)�ى ���وای� أوج� ا�#� :)٣(�,�ل BFا�: ٧٢q٧٢= ٦q٦ × t ÷ ١ = ١٨٠qء ٢٦٧ ١٤٥ ٢٠= ١٤٥ ٢٠ ×t ÷ ٢،،، = ١٨٠qء ٥٣٦ ٢٢٥ ١٢ ٣٠= ٢٢٥ ١٢ ٣٠ ×t ÷ ٣ = ١٨٠qء ٩
سK ��ا)�ة 4gل l١٥� 4Lس H�4g أوج� ا�#��س�� ا�./�(' وا��ا)�ي ��اوی� ��آ�ی� F : )٤(�,�ل . سK L١٢"�ه� BFا� : r$ =٦ = ٢ ÷ ١٢ ، Kس eء هـ = E٢ = ٦ ÷ ١٥ = ء هـqء ٥
١٤٣ ١٤ ٢٢،،، = t ÷ ١٨٠ × ٢q٥= !���رج�ت
?� دا)�ة 4gل $L nl"�ه� ٨٠اوی� ���L ��"�Fس%� أوج� 4gل ا�#4س ا��#�!B �� : )٥ (�,�ل١٠Kس
BFآ�ی� : ا��س ا����L =١٦٠ = ٨٠ × ٢ ء ٢q٧٩ = ١٨٠ ÷ t × ١٦٠ = ء هـ
س٢٧q٩K = ١٠ × ٢q٧٩= $r × ءهـ= 4gل ا�#4س ل
: �د ا��!* ا�Tي #* ?�H ا��وای� ا`�� )٦ (�,�ل٢ ، ١٥٢٥ ، ٢١٠ - ، ٨٩ ١٨ ، ٢١٣qء٥
?' ا��!* ا2ول ، ٨٩ ١٨?' ا��!* ا�,��\ ، ٥ ٢١٣
ط ١٨٠
ط ٦
ط ١٨٠
ط ٧ ٤
ءط ٨
ءط ٨
ءط ٨
١٨٠ ط
ل r$
ط ١٨٠
ط ٢ ٣
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٣٥ ( محمد صبره. إعداد أ
-٢١٠h?�5?' ا��!* ا�,�$' ١٥٠ =٣٦٠ + ٢١٠- = ١٥٢٥ h?�5 ?' ا��!* ا2ول ٨٥ = ٨٥ + ٣٦٠ × ٤ =
٢qرج�ت ء ٥�4ی�%� �F/! ٢= ٥ سq٥ ١٤٣ ١٤ ٢٢= × ٥
2.5 X 180 ÷ shift exp = ,,,,, سK ��ا)�ة $nl ٧ أوج� ا�#��س�� ا�./�(' وا��ا)�ي ��اوی� ��آ�ی� lF� 4Lس H�4g )٧ (�,�ل
سL٥K"�ه� BF١ = = = ءهـ : ا�qء ٤ = ٤lF� 4Lس H�4g ٥ ٦٠ زاوی� ��آ�ی� ��Lس%� )٨(�,�ل q٤�% سK أوج� 4gل $L nl"� دا)� س٤q٢K = ١q٠٤ ÷٤q٤= = $r ء ١q٠٤= × ٥ ٦٠= ء هـ
٥ ٧٥ ��Lس%� ��F"�� زاوی� )٩ (�,�ل H�4g 4س�L �lF١١ �% سK أوج� 4gل $L nl"� دا)� BFآ�ی� : ا��س ا����L =١٥٠ = ٢× ٧٥
= × ١٥٠= ا�#��س ا��ا)�ى ����آ�ی� r$ = =
: تذكر أن
المضلع عدد أضالعن حيث )٢ –ن( ١٨٠ى مضلع تساوى الداخلة أل الزوايامجموع قياسات
� �.�" = r$٨ = ٢ Er$ ١٦ = ٢ E r$ =٤
B5uا� -�F� = r$ + r ل + $r × ءهـ= ل
٦q٢٨٣= ٤ × ١٨٠÷ ط ×٩٠= ل E B5uا� -�F� =٦ +٤ + ٤q١٤= ٢٨٣q١٤ = ٢٨٣q٢٨Kس
١٨٠ ط
ط١٨٠
ل ءهـ
لr$
٧ ٥
ط ل ١٨٠
ءهـ
١ ٢
� �
ل
) ١٠(مثال
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٣٦ ( محمد صبره. إعداد أ
تمارين :تية حدد الربع الذى تقع فيه الزوايا اآل)١٢ ، ٥٤٨ - ، ١٥٦٠ ، ١٣٠ - ، ٢٣٢ ، ٤٧q٣٦٠×٣ + ١٢٠ ، ط ٣ ، ، :أوج� أآm� ��Lس س�� ���وای� ) ٢ ١٢٤٠ ، ١٤٠ ٣٠ ١٢ ، ٣١٠ ، ٧٠ أوج� أvC� ��Lس �4ج ���وای� ) ٣
- ١٣٢٠ - ، ١٦٠ ١٢ ٣٠ - ، ٣١٥ - ، ٧٥ ٤ ( �� : أوج� !���0 ط ا�#��س ا��ا)�ى ���وای� ا�/� ��Lس�%� ا�./�(�� ا`
٢١٠ - ،١ ، ١١٢ ٣٠ ، ٣١٥ ، ٣٠ ٥ ( �� :أوج� ا�#��س ا��ا)�ى ���وای� ا�/� ��Lس�%� ا�./�(�� ا`
٥٣٧ ، ٢٢٩ ١٢ ٣٠ - ، ٢٤٣ - ، ٥٤ ٨٠سK ، و#�!B زاوی� ��آ�ی� ��Lس%� ٦أوج� 4gل ا�#4س �� ا��ا)�ة ا�/� 4gل $L nl"�ه� )٦ ٧٥سK ، و#�!B زاوی� ���L ��"�Fس%� ١٠أوج� 4gل ا�#4س �� ا��ا)�ة ا�/� 4gل L"�ه� ) ٧ )جـ < (ق أوج� ٦٥) = ب < ( ، ق ) = ا< ( ب جـ ، قا?� ا��,�\ ) ٨ :أكمل العبارات اآلتية) ٩ ...............ا��اوی� ا�/� ��Lس%� #* ?� ا��!* )١ = ...............ا�#��س ا�./�(� ���اوی� ا�(L nl"�ی� ) ٢٣ ( H�4g ة�4س� �� دا)L �lF = ..............ا��اوی� ا�(L nl"�ی� ه� زاوی� ��آ�ی� ٤( H�4g ىTه� ط ?٣ا�#4س ا��"L nl$ 4لg ة�س%� ا�./�(� �٩ دا)��L آ�ی��زاوی� � B!�#ی Kس
............= .......×= .....ط × ?bن س ءهـ= و!��/#�ی� ا��ا)�ى إذا آ�ن ��ی(� زاوی� ��Lس%� ا�./�(� س) ٥٦ ( Ky/)ا�� k�zى ��اوی� ا���ا)�ا�#��س ا�..........= =..............، و���اوی� ا��./#��� =....... � ا�#��س ا��ا)�ى ���اوی� ا�#�)�) ٧
ط٣-٤
ط٥٨
ط٤
ط-٤
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٣٧ ( محمد صبره. إعداد أ
١ ص
١ ج� هـ
١ س
١ ج/�هـ
س ص
ج/�هـ ج� هـ
الدوال المثلثيةالدوال المثلثيةالدوال المثلثيةالدوال المثلثية
"# إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� �4ج%� ?' ا��4* ا�#��س' : %$ :?bن ) س ، ص ( ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ا�(#"�
= }� هـ ) ٣(س ، = ج/� هـ ) ٢( ص ، = ج� هـ ) ١(
9Tه '�. ٠ ا��وال ا�,{|� !���وال ا��,�,�� ا2س�س�� و )2��01رث (١ = ٢ص + ٢س: و()' أن
ـ ـ ـ ـ ::::مقلوبات الدوال المثلثية مقلوبات الدوال المثلثية مقلوبات الدوال المثلثية مقلوبات الدوال المثلثية = =�46 هـ ) ٣= = (�5 هـ ) ٢= = (�45 هـ ) ١(
?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ا�(#"� ) ـ ه( إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� : ١١١١ مثال مثال مثال مثال )٠q٠ ، ٦q9 ا��اوی� ؟ ) ٨T%� ��,�,وال ا���ا� �ـ أوج
== = ، �6 هـ ٠9٦= س = ،، �47 هـ ٠9٨= ص = ـ �7 هـ :ا��� ـ :مالحظات هامة ���� ا�B5u آ�� ه��m� 4 ?' ] إ��رات ا��وال ا��,�,�� ][١[
F�ی� إ��رة ا��ا�� ا��,�,�� F�ی� ا��!* BmL :و ی
�د إ!�رات ا��وال ا���� : ٢مثال$ ٣٠٠ ، �L ٢١٠ ، }� ٢٤٠ ، ج/� ٦٠ج� ٣٠ - ، }� ١٥٠ج/� ـ :ا���
( + ) ٦٠ ج� ∴ #* ?' ا��!* ا2ول ٦٠∴ ) - ( ٢٤٠ ج/� ∴#* ?' ا��!* ا�,��\ ٢٤٠∴∴٢١٠ (+) ٣٠٠ �L ∴ ?' ا��!* ا��ا!* ٣٠٠،، ( + ) ٢١٠ }� ∴#* ?' ا��!* ا�,��\ ) - (٣٠- ?' ا��ا!* }� ٣٣٠ = ٣٠- ،،، ) - ( ١٥٠ ج/� ∴ #* ?' ا��!* ا�,�$' ١٥٠∴ إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ���اوی� ا��4ج%� ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ا�(#"� ] ٢[
]ث�� $y�ی� ?�,��4ر** [ ١ = ٢ص + ٢س 2>ن ) س، ص (
ص س
و هـ
)س ،ص(ب
ا
١
س
ص
ص س
٠q٨ ٠q٦
٤ ٣
٩٠
-س +س
-ص
+ص
٠=ط ٢ ١٨٠=ط
ط
٢
ط٣ ٢٧٠
٢
B5ا�+ �/L ، ج�+
�/g ، �g+ �L ، �/ج+
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٣٨ ( محمد صبره. إعداد أ
٣ ٥
٩ ٢٥
٣ ٥
٩ ٢٥
٢٥ ٢٥
٩ ٢٥
١٦ ٤ ٢٥
٥ ٤ ٥
٣ ٥
٣ ٥
٤ ٥
٤ ٣
٥ ٤ ٥
٤ ٣
إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ا�(#"� :٣���ل |K أوج� ج� هـ ، }� هـ ، �L هـ + ح∈?�وج� ���L س �\ س ) س، (
١ + = ٢ س� ١ = ٢ + ( )٢ س∴ ١ =٢ص + ٢ س∴ـ :ا���� = - = - ١ = ٢ س
) ، ( ا�(#"� ه' ∴ = س = ، �L هـ = ، �g هـ= ، ج/� هـ = هـ �ج ∴ و ب ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ا�(#"� اإذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� ) ٤(�,�ل )٠qص �\ ص ) ، ص٦ ���L �ح ∈?�وج -
ـ |K أوج� }� أ و ب ،، L/� أ و ب ١ = ٢ص + ٠q٣٦ � ١ =٢ص + ٢)٠q٦ (∴ ١ = ٢ص + ٢ سeـ :ا���
٠q٣٦ -١ = ٢ص ∴ ) ٠q٨ - ، ٠q٦( ا�(#"� ه' ٠q٨ - =أ، ص ) ��?4ض ( ٠q٨= ص ∴ ٠q٦٤ = ٢ ص # - = ٠q٦ - / ١= ،، L/� أ و ب - = ٠q٦ ÷ ٠q٨ - = }� أ و ب ∴ �4 �ة ?' ا�(#"� إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا) ٥(�,�ل
) س ، س٢( ?�وج� ���L س ا��4ج�m ـ |K أوج� ج� هـ ، �L هـ
١ = ٢س٥ � ١ = ٢س + ٢س٤ � ١ = ٢س + ٢)س٢ ( ∴ ١ = ٢ص + ٢ س჻ـ :ا��� )، = ( ا�(#"� E= س E = ٢ س�
= ، �L هـ = ج� هـ
�\ هـ �دة أوج� � هـ ، /� هـ= إذا آ�ن �g هـ ) ٦(�,�ل BFا� :e هـ �g =E م ، ١٢= م ، س ٥= ص e١ = ٢ص + ٢ س
E ١ = ٢ م٤٤-١٢ + ٢م٢٥ E ١ = ٢م١٦٩ E٢ م = E م =E س = ، ج/� هـ = ص = ج� هـ =
ىو��ق آ� ذ�� �
٥ ٣
١ ٢٥
١ ٥ة
٢ ٥ة
١ ٥ة
١ ٥ة
٥ة ٢
٥ ١٢
ص س
١ ١ ١٦٩
٥ ١٣ ١٣
١٢ ١٣
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٣٩ ( محمد صبره. إعداد أ
ص س
������ � )٢( ر
))))١١١١ ( ( ( (�����د إ!�رات ا��وال ا��%�%�� ا$٠٠
٤٢٠ }/� ، ٥٠٠ ، L/� ٣٠٠ - ، }� ٤٥ ، �L ٣١٥ ، }� ٢١٠ ، ج/� ١١٠ ج� !��/#�ی� ا�./�(' |K �د إ��رة ) س( ?�وج� ق ء ٢و٤ =ءإذا آ�$� س) ٢(
س ٢ ج� س ، ج/� س ، }� إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ) ٣(
|K أوج� ا��وال ا��,�,�� ��اوی� هـ + ح ∈?�وج� ���L ص �\ ص ) ، ص ٠q٨( ا�(#"� إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' )٤(
?�وج� ���L س ا��4جK| �m أوج� }� هـ ، ج� هـ ، L/� هـ ) س س ، - ( ا�(#"� إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ) ٥(
?�وج� ���L س ا��4جK| �m أوج� ج/� هـ ، ج� هـ ، }/� هـ ) س٣س ، ( ا�(#"� إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ) ٦(
?�وج� ���L س ا�.���m ـ |K أوج� ا��وال ا��,�,�� ��اوی� هـ ) س ، ( ا�(#"�
هـ ؟ هـ �دة ?�وج� ا��وال ا��,�,�� �ـ < �\ =إذا آ�$� ج/� هـ ) ٧( إذا آ�ن ا�+�* ا�(%�)' ��اوی� هـ ?' و��%� ا�#��س' ی#"* دا)�ة ا�4 �ة ?' ا�(#"� ) ٨(
�C� ـ |K أوج� ا��وال ا��,�,�� ��اوی� هـ > ?�وج� ���L س �\ س ) س ، س ( هـ ؟ هـ �دة ?�وج� ا��وال ا��,�,�� �ـ < �\ = � هـ gإذا آ�$� ) ٩(
ىو��ق آ� ذ�� �
١ ٢ة
٤ ٥
٣ ٤
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٤٠ ( محمد صبره. إعداد أ
١ ٢
١ ٢
���� ـ : الدوال المثلثية للزاويا الخاصة ���� �C�، ٣٦٠ ٢٧٠ ١٨٠ ٩٠ ٦٠ ٤٥ ٣٠ ا��اوی�/ ا��ا��
ج�
١ ��C - ١ C��
ج/�
��C - ١ ��C ١
�{
١ ��� ���ف
��C ��� ���ف
��C
٠٠ بدون إستخدام األلة أوجد قيمة كال مما ياتي: مثال ٤٥ ٢ ج/�- ٩٠ج� + ٦٠ ج/� ٣٠ج� ) ١(
ـ :ا��� = - ١ = + ٢ ( )- ١+ × = ا��#�ار ٢)ج/� هـ = ( هـ ٢ 0 � أن ج/� ١٨٠ ج/�- ٤٥ ٢ج� + ٦٠ }� ٣٠ج/� ) ٢(
BFا� : # ٣ = ١ + + ) = ١- (- ٢ ) + (٣ ة× = ا��#�ار
٦٠ ج/� ٤ + ٢٧٠ ج/� ٣ + ١٨٠ج/� ٢ + ٩٠ج/�) ٣(
�C� = ٢ + ٠ + ٢ - ٠= × ٤ + ٠× ٣) + ١ - ( ٢ + ٠= ـ ا��#�ار :ا��� )٦٠ ٢}�) ٤ -�L ٤٥ ج/� ٤٥ج� + ٩٠ج� + ٦٠ ٢
+ =١ + ٤ - ٣= × + ١ + ٢)٢ (- ٢ )٣ة= ( ـ ا��#�ار :ا��� ٩٠ج� = ٦٠ ج� ٣٠ج/� + ٦٠ ج/� ٣٠ ج� إثبت أن) ٥(
ف اA#B@ :ا���D١ = += × + × = ـ ا� �/.�وی�ن ١ =٩٠،، ج�
١ ٢
١ ٢
١ ٢ة
١ ٤
١ ٢
٣ ٤
٣ة ٢
١ ٢ة
٣ ٢
١ ٢
١ ٢
١ ٢
٣ة ٢
٣ة ٢
١ ٤
٣ ٤
١ ٢ة
١ ٢ة
١ ٢
١ ٢
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٤١ ( محمد صبره. إعداد أ
�{٤٥ }/�- ٦٠ ٢ �L٣٠ ٢ -�/L ٤٥ ٢
٣٠ }ـــــــ� ٢٣٠ ٢ }�-١
������ � )٣( ر
) I ( E%F# �A� :�Iون ا��B أو5 �7�A آ( ١٨٠ج/� × ٤٥ }�- ٦٠ ٢ج� + ٣٠ج� ٢) ٢ (٦٠ ٢ }�- ٤٥ ٢�L٢ - ٤٥ }� ٣٠ ج� ٣) ١()٣ (�L٢٧٠ج� + ٤٥ ٢ ج�٤ - ٦٠) ٤ ( )II ( إثبت أن*** ١٨٠ ٢ ج/�٦٠ج� = ٣٠ ج/� ٣٠ج� ٢) ٦ (٩٠ج/� = ٦٠ ج� ٣٠ ج� - ٦٠ ج/�٣٠ج/�) ٥( ٢٧٠ ج/�٣ + ٤٥ ج/� ٤٥ ج� ٢ = ٩٠ج� ) ٨ ( = ٦٠}� ) ٧( )٩ ( �/L٣٠ }/� ٦٠ L ٢ = �٤٥�L ٤٥ ج/� ٤٥ ٢) ١٨٠ج/� + ٣٠ ٢ج/�٢ = ٦٠ج/� ) ١٠
ـ:بعض خواص الدوال المثلثية
] هـ -٩٠هـ ، [ الدوال المثلثية للزاويتين المتتامتين] ١[ ) هـ -٩٠(}/�= }� هـ ) ٣) ( هـ - ٩٠(ج�= ج/� هـ ) ٢) ( هـ- ٩٠(ج/� = ج� هـ ) ١(
B,���! : هـ�/L =�L)هـ - ٩٠ ( هـ �L ، = �/L )هـ – ٩٠( ،}/� ) هـ- ٩٠ (
ج/� ص = ج� س :مالحظة
٩٠= ص + س فإن /� ص L= � س L إذا كان g/� ص = �g س
٠٠٠٠٠ ، L٢٥/� = ٦٥ ،، �L ٧٠}� = ٢٠ ، }/� ٥٨ج/� = ٣٢ـ ج� :�١,�ل
[ ، ٠ ] ∈?�وج� ���L س �\ س ) ١٠ - س٢(ج� ) = ٢٥+ س( إذا آ�$� ج/� ) ٢(�,�لBFـ :ا�e�/٩٠ = ١٠ -س٢ + ٢٥+ س∴) ١٠ - س٢(ج� ) = ٢٥+س( ج
٢٥= س ∴ ٧٥= س ٣ � ٩٠ = ١٥+ س٣ ∴
?�وج� ���L س !��/#�ی� ا��ا)�ي ؟ ) ١٠ -س( }� ) = ٢٠+ س٣( إذا آ�$� }� ) ٣( �,�لBFـ :ا� e �{ )٩٠ = ١٠ -س + ٢٠+ س٣ ∴) ١٠ -س( }� ) = ٢٠+ س٣
٢٠= س ∴ ٨٠=س ٤ � ٩٠ = ١٠+س٤ ∴ ء.٣٥ =١٨٠ ÷ t × ٢٠ =ء س
ط ٢
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٤٢ ( محمد صبره. إعداد أ
:?�وج� ���L هـ |K أوج� ���L ا��#�ار ) ٦٠-هـ ٣( L/� = هـ ٢إذا آ�$� �L) ٤(�,�ل هـ ٣ج�+ هـ ٢ج/�٢+ ج� هـ
٣٠= هـ � ١٥٠= هـ ٥ ∴ ٩٠ = ٦٠- هـ ٣+ هـ ٢ ∴ ) ٦٠- هـ ٣( L/� = هـ ٢ e�Lـ :ا���E ار�٢ = ١+ × ٢ = + ٩٠ج� + ٦٠ج/� ٢ + ٣٠ج�= ا��#
?�وج� ���L س ) ٣٦+ س( }/� ) = ٩+ س٢(إذا آ�$� }� ) ٥( ���ل
١=س٢ ٢ج/�+ س٢ ٢ج� : |K إ|�m أن ٩٠=٤٥+ س٣ � ٩٠ = ٣٦+س+ ٩+ س٢ ∴ ) ٣٦+ س( }/� ) = ٩+ س٢(}� e ـ :ا���
# ١٥= س � ٤٥= س٣ ∴ ٣٠ ٢ج/� + ٣٠ ٢ج� = ١٥×٢ ٢ج/� + ١٥×٢ ٢ج�= ا��#�ار ∴
( ) = ١ = + = ٢ + ( )٢
تعميم للملحوظة األخيرة
� ∈ ن حيث ن ٣٦٠ + ٩٠= ص ±جتا ص فإن س = جاس : إذا كان ) ١ (
، � ∈ ن حيث ن ٣٦٠ + ٩٠= ص ±قا ص فإن س = قتاس : إذا كان ) ) ٢(
ط ) ١ + ن٢ (≠ ط ، ص ن ≠ حيث س
� ∈ ن حيث ن ١٨٠ + ٩٠= ص +طتا ص فإن س = طاس : إذا كان ) ٣(
ط ن ≠ط ، ص ) ١ + ن٢ (≠ حيث س
)يوضح هذا التعميم ( :٦مثال
[٩٠ ، ٠ ] ∈س �\ س ٢ج/� = س ٤ ج� إذا آ�ن
BFا� :e س ٢ج/� = س ٤ج�E ن ، ن ٣٦٠ + ٩٠= س ٢ ±س ٤ ∋ �
[٩٠ ، ٠ ] ∈ ١٥= س E ٩٠= س ٦ E ٩٠= س ٢+ س ٤ ?bن ٠= �(� ن [٩٠ ، ٠ ] ∈ ٤٥= س E ٩٠= س ٢ E ٩٠= س ٢ -س ٤ ،
[٩٠ ، ٠ ] ∈ ٧٥= س E ٤٥٠= س ٦ E ٤٥٠= س ٢+ س ٤ ?bن ١= �(� ن [٩٠ ، ٠ ] ٢٢٥h= س E ٤٥٠= س ٢ E ٩٠= س ٢ -س ٤ ،
E BF٧٥ ، ٤٥ ، ١٥{ �:���4 ا� {
١ ٢
١ ٤
٣ ٤
١ ٢
١ ٢
١ ٢
٣ة ٢
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٤٣ ( محمد صبره. إعداد أ
������ � )٤( ر
أكمل ما يأتي) ١( ٠٠٠٠ج� = ٥٠ج/� ) جـ (L�٠٠٠٠/ = �L٧٥ ) ب( ٠٠٠٠٠}� = ٥٤}/� ) أ( = .......... × )هـ( ٠٠٠٠) = د( س ٣س ج� ٢س |K أوج� ���L ا��#�ار ج� س ج/� ٢ج/� = أوج� ���L س إذا آ�ن ج� س ) ٢( [٩٠ ، ٠ ] ∈س ،) ٥ -س ٣( }/� ) = ٢٥+ س٢( أوج� ���L هـ إذا آ�ن }� ) ٣()٤ ( �/L �$ي إذا آ��(ا�ا� �ی�ص !��/# ���L �أوج)ص٣ = (�L )[٩٠ ، ٠ ] ∈ص ،) ص-٥٠ [٩٠ ، ٠ ] ∈س ، )٥٠ -س٢( ج� ) = ٥٠+ س( إذا آ�$� ج/� ) ٥(
K| س ـ ���L �ار ـ ?�وج�ا��# ���L �٤٥ }� ٢٧٠ج/� + س ٣ج� + س ٢ج/�= أوج [٩٠ ، ٠ ] ∈س ، ) ١٠=س( ج� ) = ٢٠+ س(إذا آ�$� ج/� ) ٦(
ـ ?�وج� ���L س ـ |K أوج� ���L ا��#�ار [٩٠ ، ٠ ] ∈أوج� ���L س �\ س . ١= إذا آ�ن ) ٧(
)٨ ( �g إذا آ�ن)س �\ س = . )س+ ٤ ���L �[٩٠ ، ٠ ] ∈أوج )٩ ( �g إذا آ�ن)٢٨ ٢٣+ س ( = �/g)س �\ س .) ٤١ ١٧+ س ���L �[٩٠ ، ٠ ] ∈أوج [٩٠ ، ٠ ] ∈س ١= ) ١٠ -س٣(�L × أوج� ���L س إذا آ�ن ج� س ) ١٠(
ج/� جـ أوج� ��Lس�ت زوای�9 ؟ = ب جـ ، ج� أ = ـ ?�H أ ب أ ب ج∆) ٧(
áîÜÇ@áÜÇ@ôˆ@Ý×@ÖìÏë@ @
١٧ج� ٧٣ج/�
٢٤٥ج/�+ س٢ج/� �g٤٥ ٢
�g )٩+ س ٢( �/g ) ١٦+ س(
١ �g س٣
�g٢٠ ٣٥ج�
٥٥ج/� �/g٧٠
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٤٤ ( محمد صبره. إعداد أ
٠٠ ] هـ -١٨ ٠هـ ، [ الدوال المثلثية للزاويتين المتكاملتين] ٢: [
�6 هـ -) = هـ -١٨٠( �6 ، �47 هـ - ) = هـ -١٨٠( �47 ،�7 هـ ) = هـ-١٨٠(�7 ) � ا�M��ALA (- =� ا�Kاو#� ، M ) � ا�4��ALA 7 (-= =ا�Kاو#� ، �47 �7 ا���ALA=)� ا�Kاو#�
] هـ+ ١٨٠هـ ، [ ا��وال ا��,�,�� ���اوی/��] ٣[
}� هـ ) = هـ + ١٨٠( }� ، ج/� هـ -) = هـ + ١٨٠( ج/� ، ج� هـ - ) = هـ + ١٨٠(ج� ] هـ- ٣٦٠ هـ ،[ ا��وال ا��,�,�� ���اوی/��] ٤[
�g هـ -) = هـ - ٣٦٠( }� ،ج/� هـ ) = هـ -٣٦٠( ج/� ج� هـ ، -)= هـ - ٣٦٠(ج� ــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
F�ی� ا��!* أوK| 0 إ_/��ر زاوی� )١(�()�Oت �� �!0 �%/��L �?��� 2ی:�د دا�� أي زاوی� و �m٦٠ ، ٤٥ ، ��٣٠ ا��وای� �(�س
٦٠ - ١٨٠ = ١٢٠ ، ٤٥ - ١٨٠ = ١٣٥ ، ٣٠ - ١٨٠ = ١٥٠زاوی� ا��!* ا�,�$' ه' ) ٢( ٦٠+ ١٨٠ = ٢٤٠ ، ٤٥+ ١٨٠ = ٢٢٥ ، ٣٠+ ١٨٠ = ٢١٠زوای� ا��!* ا�,��\ ه' ) ٣( ٦٠ - ٣٦٠ = ٣٠٠ ، ٤٥ - ٣٦٠ = ٣١٥ ، ٣٠ - ٣٦٠ = ٣٣٠زوای� ا��!* ا��ا!* ه' ) ٤( |B�5$ K ا�b? BF$(� $"�ح �(%� ا��ورات ا��ا)�ة٣٦٠أذا زادت ا��اوی� �� ) ٥(�ml �4ج�m و0 �ی� �� اوی� س��n�+$ �m �%� دورات آ�$� ا��اأذ) ٦( �/ ٣٦٠BFا� B�5$ K| }� هـ -) = هـ - ( ج/� هـ ، }� ) = هـ -( ج� هـ ، ج/� - ) = هـ - (ج� ) ٧(
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٠٠ أوجد قيمة كال مما يأتي: مثال ٣٠٠ }� ٢٤٠ج� + ٣١٥ }� ١٢٠ج/�) ١(
BFـ :ا� - = ٦٠ ج/� - ) = ٦٠ -١٨٠(ج/� = ١٢٠ ج/�
�{ ،،١- = ٤٥ }� -) = ٤٥ -٣٦٠(}� = ٣١٥
- = ٦٠ ج� - ) = ٦٠+ ١٨٠(ج� = ٢٤٠، ج�
٣ة - = ٦٠ }� - ) = ٦٠ -٣٦٠(}� = ٣٠٠ ،، }�
١- = - =٣ة - × - ١- × -= ا��#�ار ∴
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س ?�وج� ���L س ؟ = ٩٠ ج�L٤٥/� ) ١٣٥ - (ج/� ٢ + ٢٤٠ }/� ٣٣٠إذا آ�$� ج/� ) ٢( BFـ:ا� = ٣٠ج/� ) = ٣٠ - ٣٦٠( ج/� = ٣٣٠ ج/�
١ ٢
٣ة ٢
١ ٢
٣ة ٢
١ ٢
٣ ٢
٣ة ٢
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٤٥ ( محمد صبره. إعداد أ
�46 ،٢٤٠ = �46)٦٠ + ١٨٠ = ( �46٦٠ =
- = ٤٥ ج/� - ) = ٤٥ - ١٨٠( ج/� = ١٣٥ج/� ) = ١٣٥ -(،، ج/�
�C� = ١ - ١ = ١× ٢ة × - × ٢+ × = ا��#�ار ∴ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٠٠ ٢٢٥ ٢ }�)٣٠ - ( ج� ٤٨٠أوج� ���L ج/�) ٣(BFـ :ا� - = ٦٠ ج/� -) = ٦٠ -١٨٠(ج/� = ١٢٠ج/� ) = ١٢٠ + ٣٦٠(ج/� = ٤٨٠ج/�
- = ٣٠ ج� -= ) ٣٠-(ج�
�g ،، ١ = ٤٥}� ) = ٤٥+ ١٨٠(}� = ٢٢٥ E ار�٢)١( × - × -= ا��# = :هـ ?�وج� ���L هـ |K أوج� ٢���Lج/� = إذا آ�$� ج� هـ ) ٤(
ا��#�ار BFـ :ا�e هـ ٢ج/� = ج� هـ
E ٣٠= هـ ∴ ٩٠= هـ ٣ � ٩٠= هـ ٢+ هـ ∴ �L )هـ - ) = هـ-١٨٠ �L =- �L ٣٠ = -�L ، هـ ٢ =
- = ٣٠ ج� -= ج� هـ -)=هـ+ ١٨٠(، ج�
) = هـ٢ -١٨٠ (٢ ج�∴ = ٦٠ج� = هـ ٢ج� = )هـ٢ -١٨٠(،، ج�
= = ا��#�ار ∴
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
) ٢٠- س( }/� ) = ٢٠+ س ( إذا آ�$� }� ) ٥ ( + ـ ?�وج� ���L س |K ـ أوج� ���L ا��#�ار
BFـ :ا� e �{ ) ٢٠- س( }/� = ) ٢٠+ س ( E٤٥= س∴ ٩٠=س٢ � ٩٠ = ٢٠ - س + ٢٠+ س ،e ٩٠ 2ن �:��4%�� ١ = ٢٠ج/� ÷ ٧٠ ج�∴ ٢٠ج/� = ٧٠ج� �L ، )س -) = س- ١٨٠ �L = - �L ٢ة - = ٤٥ ∴�L ١- = ١٣٥ ،، }� ٢ = ٤٥ ٢
١- = ٢ - ١ ) = + (١= ا���Aار ∴∴∴∴
٧٠ج� ٢٠ج/�
�Lس-١٨٠ ( ٢ ( �{١٣٥
١ ٣ة
١ ٢ة
٣ة ٢
١ ٣ة
١ ٢ة
١ ٢
١ ٢
١ ٢
١ ٢
١ ٤
�Lهـ– ١٨٠ (٢ +( g�١٣٥ـــــــ )هـ٢- ١٨٠ (٢ج�) هـ+ ١٨٠(ج�
-٨ ٩
٢ ٣ة
٤ ٣
١ ٢ ٣ة ٢
٣ ٤
٢ -١
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٤٦ ( محمد صبره. إعداد أ
١- = ١٨٠ج/�+١٦٠ج/�+..............٦٠ج/�+٤٠ج/�+٢٠ج/� )٦( ١-= ١٨٠ وهT5ا ویm#� ج/� ٤٠ج/� - = ١٤٠ ، ج/� ٢٠ ج/� - = 2١٦٠ن ج/�
؟)���ذا ( �C� = ٣٥٩ج�+٣٥٨ج�+ .........+٣ج�+٢ج�+١ج�) ٧(
������ � )٥( ر
) ١ ( ' أآ�B �� ی� ٠٠٠٠٠٠٠٠ = �L٣٠٠ ) جـ (٠٠٠٠٠٠٠ = ١٢٠}� ) ب (٠٠٠٠٠ = ١٣٥ج�) أ( ٠٠٠٠٠٠٠٠٠ أ، ٠٠٠٠٠٠٠ ?bن ج� ص= إذا آ�$� ج� س ) د( )١/٢( ) ٣٩٠ -( ج� ١٢٠ ج/� - ١٢٠ ج� ٤٢٠أوج� ���L ا��#�ار ج� ) ٢( )٢( ٩٠ ج� ١٣٥ }� - ١٢٠ }/� ٢٤٠ج� + ٣١٥ }� ١٢٠أوج� ���L ا��#�ار ج/� ) ٣()٤ (L �ار ج/�أوج�٣١٥ - }� - ١٢٠ج/� + ٣٣٠ ج� +١٨٠ ���٢ ا��# ) -١( )١( ?�وج� ���L هـ |K أوج� ���L ا��#�ار )١٥+ هـ ( ج/� = ١٥إذا آ�$� ج� ) ٥( )١/٤-( |K أوج� ���L ا��#�ار. ?�وج� ���L س .س ٢}/� = إذا آ�ن }� س ) ٦(
س ٣ ج� -س ٢ج/� ) + س- ٩٠ (٢ ج/� )١ - ( ١٨٠ج/� = ٣٣٠ ج/� ٦٠٠ج� + ١٢٠ ج/� ١٥٠إ|�m أن ج� ) ٧( )٧/٢( ٣٠٠ �L٢) + ٦٧٥ - ( ج/� ٣١٥ج� = أوج� ���L ا��#�ار ) ٨( ـ : ت المثلثيةحل المعادال �
P��4رات ا��QR�7ول ا : %Sآ
�� [ ط ٢ ، ٠ ] ∈س : أوج� �:�B ��4 ا����د0ت ا2 �C� = ج� س ج/� س ) ٣(�C� = ١ - ج� س ٢) ٢ (١= }� س ) ١(
ـ :ا���
)هـ – ١٨٠(٢ج/�+ هـ �٢ج �g١٨٠ج/� × ١٣٥
٩٠
-س +س
-ص
+ص
٠=ط ٢ ١٨٠=ط
ط
٢
ط٣ ٢٧٠
٢
B5ا�+ �/L ، ج�+
�/g ، �g+ �L ، �/ج+
هـ - ١٨٠ هـ
هـ - ٣٦٠ هـ + ١٨٠
:آ���� و�* زاوی� �دة هـ ?� ا��!*
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٤٧ ( محمد صبره. إعداد أ
)١ (e !��� ا2ول و ا�,��\ ��5 }� هـ �٤٥= س ∴ ١ = ٤٥ ، }� ١= }� س�ا� '? �m4ج } ٢٢٥ ، ٤٥{ = م ح � ٢٢٥ = ١٨٠ + ٤٥= س∴ )٢ (e ٠= ج� س ∴ ١= ج� س ٢q!��� ا2ول و ا�,�$' ٣٠= س ∴ ٥�ا� '? �m�5 ج� هـ �4ج� } ° ١٥٠، ° ٣٠{ = م ح � ١٥٠ = ٣٠ - ١٨٠= س ∴ )٣( e ٠ ، ١٨٠= س ∴ ٠= س إ�� ج�٠= ج� س ج/� س
°٢٧٠،°٩٠= س∴ ٠= أ، ج/� س } ٢٧٠ ، ١٨٠ ، ٩ ، ٠{ = م ح ∴
�C� = ١+ ج/� س ٢) ٤( ج/� هـ س���m ?' ا��!��� ا�,�$' و ا�,��\ e ، = ٦٠ ج/�e ، = ج/� س ) ٤(ـ :ا���
٢٤٠ = ٦٠+ ١٨٠= أ، س ١٢٠ = ٦٠ - ١٨٠= س ∴ ١ ) = ١٠+ س٢( ج� ) ٥ ( E ٢٠= س ∴ ٨٠= س ٢ � ٩٠ = ١٠+ س٢ ∴ ١ = ٩٠ ج� :ا�� ٠= ١ -ج� س + س ٢ج�٢) ٦(
BFا� : B��F/��!∴ ) ١-= و أ، ج� س٥= ج�س � ٠) = ١+ ج� س)( ١ -ج� س ٢ ٢٧٠= س ∴ ١- = ج� س : ،، �(��� ١٥٠ أ، ٣٠= س∴ = ج� س: �(���
ج/� س ) = ١٥٠ - ( ج� ١٢٠ ج/� - ٣٠٠ ج� ٦٠ج� : B ا����د�� ) ٧(
BF١ - = - = × - × = ج/� س : ا� e ١٨٠= س ∴ ١-= ج/� س : رـــــ� �� ٠٠ تيأكمل ما يأ) ١( ٠٠٠٠٠٠٠٠ أ، ٠٠٠٠٠٠٠٠= ?bن ج/� س ١= ج� س ٢إذا آ�$� ) أ( ٠٠٠٠٠٠٠٠٠ أ، ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠= ?bن ج� س ١= إذا آ�$� }� س ) ب( ٠٠٠٠٠٠٠٠٠ أ، ٠٠٠٠٠٠٠٠٠٠= ?�ن �L س ٢-= إذا آ�$� L/�س ) جـ( ٠٠ أوجد مجموعة حل المعادالت األتية) ٢( �Cـ� = ١ - س ٢}�) ب (١= ــ� س ج/ـــــ٢) أ( ١( ) = }� ) د ( �C� = ٣ة – ج� س ٢) جـ( ١ - ) = ٣٠+ س ٣( ج/� ) و( �C� = ج/� س - س ٢ج/�) هـ(
س٣ ٥
-١ ٢
٣ة٢
٣ة-٢
-١ ٢
-٣ ٤
١ ٤
-١ ٢
١ ٢
١ ٢
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٤٨ ( محمد صبره. إعداد أ
دة الدوال المثلثية للزوايا الحا
ب �ـ �� �� ب ا ∆�� أي
���� ا������ ��او�� �ـ ا��� �� ب ��� ور �� ، ا��� ب �ـ ��
�� �%$ ا�$#" ���� ���� .أ� ا��� ا�� ) ا���- (ون*"ف ا�)وال�� � :ا���01�1 آ
= ، 6هـ = ، �5 هـ = �هـ
=، g/� هـ = ، �L هـ = و!��T ی45ن L/�هـ أ ب جـ K(�L ?' ب∆
= = ،، ج/� جـ = = ی45ن ج� جـ
= = ،، }� جـ
سK ٥= سK ، أ جـ ٣ =ب �L)�� ، أ ب < أ ب جـ ?�H ∆: ١مثال ) جـ - (، L/� ) جـ - ٩٠( ، ج� ) أ - ١٨٠( }� أ ، ج� : أوج� ـ:الحل ســــK ٤= أ جـ ∴ ١٦ = ٩- ٢٥ = ٢)أ ب ( - ٢)أ جـ = (٢)ب جـ : ( ?�,��4رث ��
= = ج� أ ) = أ -١٨٠( ج� = = }� أ ∴ - = -= L/� جـ - ) = جـ -( L/� ، = = ج/� جـ ) = جـ - ٩٠( ج� ،
�\ هـ زاوی� �دة ?�وج� ���L آ{ �� ٣= }� هـ ٤إذا آ�$� ) ٢(�,�ل ج/� هـ ٥١٠ج� ) + هـ - ١٨٠( ج� ١٢٠ج/� ) هـ ب ٢ ج�- هـ ٢ ج/�) أ ـ :ا��� =- = ٢( ) - ٢( ) = ا��#�ار)أ - =٦٠ �47 - ) = ٦٠ - ١٨٠( �47 = ١٢٠ �47 )ب
،= ج� هـ ) = هـ -١٨٠( ، ج�
B!�#� � و
�:�ور
ا
ـج ب���� و#"
� ور و#"
���� � ور
� وB!�#�
� و �:�ور
�:�ورB!�#�
B!�#� � و
ا ب ا جـ
:�ور�� و
ب جـ ا جـ
B!�#� �:�ور
ا ب ب جـ
ب جـ ا ب
٤ ٣
ب جـ ا جـ
٤ ٥
ب جـ ا جـ
اجـ ا ب
٥ ٣
٤ ٥
١٦ ٢٥
١ ٢
١ ٢
٣ ٥
B!�#� � و
�:�ور
ا
ـج ب
٣Kس ٥Kس
٤Kس
ا
ـج ب
٣ ٥
٩ ٢٥
٧ ٢٥
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٤٩ ( محمد صبره. إعداد أ
= ٣٠ج� = ١٥٠ج� = ٥١٠، ج� = = + × + × - = ا���Aار ∴∴∴∴
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٠= ١٢-ج� ص ١٣، [ ط ، ] ∈ �\ س ٣= }� س ٤إذا آ�$� ) ٣(�,�ل ١٨٠< ص < ٩٠ �\
?�وج� ���L ا��#�ار ـ :ا���
Tآ� ا���رات[ 0 � أن س #* ?' ا��!* ا�,��\ ،، ص #* ?' ا��!* ا�,�$' [
= - = ج� س - = س -،، ج�= }/� ص ) = ص-٩٠( }� ∴
= ٢ = ( )٤٥ ٢، ج/� )٣ - ( ÷ = ( + ) = ا��#�ار ∴
= ÷ = × = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
٣= }� جـ ٤ ، ١٨٠< ب < ٩٠ �\ ٨= ج� ب ١٧إذا آ�ن ) ٤(�,�ل ٢٧٠< جـ < ١٨٠ �\
) ٤٨٠ -(ج/� × ) جـ -١٨٠( �L + ٣٣٠-L/� × ) ب - ١٨٠( }/� : ?�وج� ���L ا��#�ار
�\ ب ?' ا��!* ا�,�$' = ـ ج� ب :ا���
، جـ ?' ا��!* ا�,��\ =،، }� جـ ∴ = - = }/� ب -) = ب - ١٨٠( }/�
�/L ، -٣٣٠ = �/L ٢ = ٣٠ �L ، )جـ -) = جـ - ١٨٠ �L =- =
- = ١٢٠/� ج = ٤٨٠ج/� ) = ٤٨٠ -(، ج/�
# = + = - × - ٢× = ا��#�ار ∴ ١> ج/� جـ + ?� ا��,�\ ا ب جـ ا�#�)K ?� ب أ|�m أن ج� جـ ) ٥(�,�ل BFا� :
١ ٢
٣ ٥
١ ٢
٤ ٥
-٣ ١٠
٤ ١٠
١ ١٠
ط٣ ٢
g�)٣٠ج�)+ س- (ج�) ص -٩٠ �g٦٠ ٦٠ ج�٢ - ٤٥ ٢ ج�
-٥ ١٢
-٣ ٥
٣ ٥
١ ٢ة
١ ٢
١ ٤
١ ٢
١ ٢
٣ ٤
-٥ ٢
٣ ٤
-٢ ٥
-٣ ١٠
٨ ٣ ١٧
٤ -١٥ ٨
١٥ ٨
-٥ ٤
٥ ٤
١ ٢
١٥ ٨
٥ ٤
١ ٢
٣٠ ٨
٥ ٨
٣٥ ٨
ب
ا
ج ـ
B!�#�
�:�ور
� و با جـا
ب جـ جـا
٨ ١٧
-١٥ ب
-٥ ٣
-٤ ج
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٥٠ ( محمد صبره. إعداد أ
= +ج/� جـ + ج� جـ
= < ١ )�/�mی(� ا��,�\( �\ أن �:�4ع أى ����� ?� ا��,�\ أآm� �� ا�+�* ا�,��\
)٦(�,�ل
�/Lا = E ا ج�=
= ، ج(� ب
=٦٠ج/� ) = ٦٠- ٣٦٠(ج/� = ٣٠٠ج/� = ٣٠ ج� –) = ٣٠ + ١٨٠( ج� = ٢١٠ج�
) =- ( ÷ )١)= × + ١ ÷ =
+ + = ١× = ا��#�ار
)٦( ريــــــــنامت � سK ٨= سK ، ب جـ ٦= أ ب جـ K(�L ا��اوی� ?' ب ، ?�H أ ب ∆) ١(
) جـ + ١٨٠( ،، ج/� ) أ - ( �L ،،) جـ -٩٠( ،، ج/� ) أ + ١٨٠( ـ أوج� }�
ب جـ+ ب ا جـا
- ١ ١٠ةةةة
- �4M ب - ا �g ١١١١ + �4Mبا �M
١ ١- ٢
٢
١ ٢
-١ ٢
٤ ٣
١ ٣
-٤ ٣
١ ٣
٥ ٩
٩ ٥
٣ ٥
-٤ ا
-١ ١٠ة
-٣ ب
٥ ٣
٣ ٥
٩ ٥
٩ ٥
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٥١ ( محمد صبره. إعداد أ
[ ١٨٠ ، ٠ ] ∈ �\ هـ ٤= }� هـ ٣إذا آ�$� ) ٢(
٣١٥ }�- ١٢٠ج/� ) + هـ -١٨٠( }� + ج/� هـ ٥ ـ ?�وج� ���L ا��#�ار [ ٢٧٠ ، ١٨٠ ] ∈ �\ ب ٠ = ٢٤+ ج� ب ٢٥إذا آ�$� ) ٣(
\ جـ أآm� زاوی� �4ج�C �m� � = ١٢ - }� جـ ٥ ، ) جـ - ١٨٠( ج/� ) + ب + ١٨٠( ـ ?�وج� ���L ا��#�ار ج�
�\ س أآm� زاوی� �4ج�m = إذا آ�$� ج� س ) ٤(
�/L ار�ا��# ���L �س -١٨٠( ـ ?�وج ( س �g - �/ج )س + ١٨٠ ( ٢٠٠ ج� - �٤٢ } + ٢٠!bس/z�ام ا��2 ا��Fس�m أوج� ���L ا��#�ار ج/�) ٥( ١٥ ج/� ١٥ ج/� - ١٥ ج� ١٥!bس/z�ام ا��2 أوج� ���L ا��#�ار � ) ٦( ٠و٢٣٤٥= B ا����د�� ج� س ) ٧(
متنوعةتمارين]١ [ �� : أآ�ــــــــ� �� ٠٠٠٠٠= }� أ : ?bن ) أ – ٩٠( ج� = ج� أ : إذا آ�ن ) ١( ٠٠٠= ج/� ص : ?bن = � زاوی/�� �//��/�� ، آ�ن ج� س إذا آ�ن س ، ص ه�� ��Lس) ٢( ٠٠٠٠٠) = ص + س ( ج� : L/� ص ?bن = إذا آ�ن }� س ) ٣( ٠٠٠= ج� هـ ج/� هـ ٢: ?bن ] ٩٠ ، ٠ [ ∈ هـ �\ هـ L٢/� = إذا آ�ن �L هـ ) ٤( )٥ ( �L إذا آ�ن )هـ ٢ – ٩٠ = ( �/L )ن ٩٠< هـ < ٠، ) هـ + ٦٠b? : ٠٠٠= هـ ٠٠٠= ج� هـ : ?bن ٩٠< هـ < ٠ ، ٤) = هـ – ٩٠( ج/� ٥: إذا آ�ن ) ٦( ٠٠٠= هـ : �C� �\ هـ زاوی� �دة �4جb? �mن = }� هـ - إذا آ�ن }/� هـ ) ٧( ٩٠< هـ < ٠ س ، ٣ج/� ) = ١٠ – س ٢( إذا آ�ن ج� ] ٢[
]�C� : ا�:4اب [ س ٣ س }/� ٣ }� – س ٣ س ج/� �L٣: أوج� ١ = ٩٠٠}� )٢٢٥ -( �L – ٣٣٠ج� ١٢٠ج/� + ٦٠٠ج� )١٥٠ -( ج/� : أ|�m أن ] ٣[
٣ ٥
٤ ٥
مثلثات الصف األول الثانوى
) ٥٢ ( محمد صبره. إعداد أ
:?�وج� ���L آB �� ] ١٨٠ ، ٩٠ [ ∈ �\ ـ -= إذا آ�ن ج/� ـ ] ٤[
) ـ -( /� ج) ٣) ( ـ – ٣٦٠( �L ) ٢) ( ـ – ١٨٠( ج� ) ١ ( ]٥ [ �� :أو�� ���� ��
)- : ا�:4اب ( ٨٥٥ }� ٥١٠ج� ) + ٢٤٠ -( ج/� ٦٩٠ج� ) ١ (
)١: ا�:4اب ( ١٢٠ ج� ٣٠ج/� ) + ٦٠ -( ج/� ٣٩٠ج� ) ٢ (
)�C� : ا�:4اب ) ( ٣٣٠ -( ج/� ٣٣٠ ج� – ٥١٠ ج� ٢١٠ج/� ) ٣ ( ��� ) أ ، أ -( إذا ��(� ا��اوی� ا��4ج%� ?� ا��4* ا�#��س� ا�/� ��Lس%� هـ ا�(#"� ] ٦[
. ?�وج� ج��* ا�(. ا��,�,�� ���اوی� هـ ٠> دا)�ة ا�4 �ة �\ أ ]٧ [�� Bا��,�,�� ���اوی� هـ ?� آ ج��* ا�(. �أوج �� : ا�0�Fت ا`
٣/٤ -= ، }� هـ [ ، ط ٢/ ط ] ∈ هـ - ٢ ٠q٦= ، ج/� هـ [ ٢/ ، ط ٠ ] ∈ هـ - ١ ١ = ٤٥ }� ٤٥ ج/� ٤٥ � ٢: أ|�FC �m ا��/.�وی� ] ٨[ ]٩ [ �FC �m|٩٠ � ٣/٢ = ٣٠ ج/� ٦٠ � ٢ – ٤٥ ٢ }/�٣أ :ا�BF �����د�� ا`�� ?�وج� �:���4 ] ٢/ ، ط٠ [ ∈إذا آ�$� س ] ١٠[
٢٧٠ � ١٨٠ ج/� ٣٠ � ٦٠ ج/� ٤= }� س إذا آ�ن هـ ��Lس زاوی� �دة �4ج�m ?� و�* ��Lس� و ��� ��� دا)�ة ا�4 �ة ا�(#"�] ١١[
) ــ هـ ٩٠( �L ) + هـ – ٩٠( }� : ?�وج� ���L ) ، ص (
]١٢ [ ٥/ط٤ ، L/� ١٦٠ ، � ٣٢٠ ، }� ٢٠٠ /� : �� إ!F\ إ��رات ا�(. ا��,�,�� ا`
٤ ٥
١ ٤