Тема I: Операции со дропки

Собирање и Одземање на дропки.

Мешани броеви

Дропки. Видови Дропки – Повторување

Дропката која претставува природен број се вика привидна дропка.

Пример: n1 =n

Дропките кои имаат помал броител од именител и се помали од 1 се викаат правилни или чисти дропки.

Пример: 14 , 34 , 57 итн.

Дропките кои имаат поголем именител од броител и се поголеми од 1 се викаат неправилни или нечисти дропки.

Пример: 54 , 114 , 94 итн.

Претставување Дропки на Бројна Права.

Еднаквост на Дропки

Секој природен број може да се претстави на бројна права.

Множам вкрстено и добивам еднакви производи. Тоа важи кај еднаквите дропки.

Пример: 14 = 28 , важи: 1 ∙ 8 = 4 ∙ 2

Проширување и Скратување на Дропки

Ако броителот и именителот на една дропка се помножат со еден ист број различен од нула, се добива дропка еднаква на дадената.

Оваа постапка се вика проширување.

Пример: 79 = 7 ∙29 ∙2 = 1418

Ако броителот и именителот на една дропка се поделат со нивниот заеднички делител n (n < 1), тогаш се добива дропка еднаква на дадената. Оваа постапка се вика скратување на дропките.

Пример: 2460 = 24÷260÷2 = 12÷230÷2 = 6÷315÷3 = 25

Скратувањето на дропка се врши до нескратлива дропка.

Сведување Дропки на Заеднички Именител.

Споредување на Дропки

Дропки со еднакви именители се споредуваат кога претходно се доведат на заеднички именител. Потоа се споредуваат како дропки со еднакви именители.

Пример: НЗС (6, 9) = 18 56 = 5∙318 = 1518

Собирање на Дропки

Дропки со различни именители се собираат кога претходно ке се сведат на заеднички именител (најмал заеднички именител), а потоа се собираат како дропки со еднакви именитеки.

Пример: НЗС (6, 9) = 18 56 + 79 = 5∙318 + 7 ∙218 = 1518 + 1418 = 15+1418 = 1 1118

Собирање на Мешани броеви.Својства на Собирањето на Дропки

Мешани броеви се собираат така што тие се претвораат во неправилни дропки, а потоа се собираат како дропки со различни именители.

Пример: 349 + 416 + 133 = 34 ∙29 ∙2 + 41 ∙36 ∙3 + 13∙63∙6 = 6818 + 12318 + 7818 = 26918 = 14 1718

Збирот на две дропки не се менува ако собироците ги променат местата.

Тоа е комутативното својство на собирањето дропки.

Пример: 23 + 34 = 34 + 23

Збирот на дропки не се менува , ако собироците различно се групираат.

Тоа е асоцијативното својство на собирањето дропки.

Пример: ( 12 + 34 ) + 58 = 12 + ( 34 + 58 ) = 12 + 34 + 58

Множење и Делење на Дропки

Множење Дропка со Дропка

Производот на природен број и дропка е дропка.

Броителот на таа дропка е производ од природниот број и броителот на дадената дропка, а именителот останува ист.

Пример: n ∙ ab = n ∙ab

Дел од даден број се одредува ако бројот го помножиш со дропката

што го означува тој дел, т.е. ab од n е еднакво на n ∙ ab .

Множење на Мешани броеви.

Својства на Множењето Дропки

З множењето на дропки важи комутативното својство, т.е. за кои

било две дропки ab и cd важи: ab ∙ cd = cd ∙ ab .

За множењето важи асоцијативното својство, (ab ∙ cd ) ∙ ef = ab ∙ (cd ∙ ef )

т.е. производот не се менува ако множителите различно се групираат.

За кои било дропки ab , cd и ef важи: множењето на дропки е

дистрибутивно во однос на собирањето и одземањето.

Делење на Дропка со Дропка

Дропката ba се вика реципрочна вредност ( или реципрочен број) на

дропката ab .

Реципрочната вредност на природниот број n е бројот 1n .

Двојни Дропки

Дропката на која броителот и именителот или еден од нив е дропка се вика двојна дропка.

Пример:

4538

Дробната црта што ги разделува броителот и именителот на двојната дропка е подолга од обичната и се вика главна дробна црта.

Пресметување на Процентен Износ

Процентот се означува со буквата p.

Основната вредност (S) е бројот о кој се пресметува процент .

Процентниот износ (i) е преметаниот процент од основната вредност.

Пример: p% од S е i

Тема 2: Триаголник и Паралелни Прави

Осна и Централна Симетрија

Нормала на Права. Пресликување

За две прави што се сечат и образуваат рави агли се вели дека се заемно нормални рави. Тоа симболички се заиува: p ⊥ n.

Пример:

n

p

Растојанието од точката М до правата p е должината на отсечката MC, каде што C е пресечната точка на правата p и нејзината нормала што минува низ М.

Осна Симетрија

Тоа пресликување се вока осна симетрија со оска s, а правата s се вика оска на симетријата.

Точката А1 е слика на точката А. За точката А1 се вели дека е симетрична точка на А во однос на правата s.

Пример:

S

p A A1

За секоја фигура којашто при некоја осна симетрија е слика сама на себе, се вели дека е осносиметрична фигура.

Пример:

Симетрала на Отсечка.

Симетрала на Агол

Симетрала на отсечка е права што ја преполовува отсечката и е нормална на неа.

Пример:

Полуправата што го дели еден агол на два еднакви агли се вика симетрала на тој агол.

Пример:

Централна Симетрија

Ако постои точка О во рамнината таква што дадената фигура се прсликува сама во себе при централна симетрија со центар О, тогаш за таа фигура се вели дека е централно симетрична фигура, а точката О се вика центар на симетријата на таа фигура.

Пример:

Триаголник

Триаголник. Видови Триаголници

Триаголник е многуаголник со три страни.Пример:

Секој триаголник има шест основни елементи: три агли и три страни.

Според страните постојат три вида на триаголници:a) Разностран – на кој сите страни му се различниb) Рамнокрак – на кој две страни му се еднаквиc) Рамностран – на кој сите страни му се еднакви

Според аглите триаголниците можат да бидат:

a) Остроаголен – на кој сите агли му се остриb) Правоаголен – кој има еден прав аголc) Тапоаголен – кој има еден тап агол

Кај секој триаголник постојат внатрешни и надворешни агли.

Висини и Тежишни Линии на Триаголник

Секоја од отсечките АА1, BB1, CC1 се вика висина на ∆ABC. Тие се означуваат со: ha, hb, hc итн. Висините се сечат во една точка која се вика ортоцентар и се означува со H.

Пример:

Секоја од овие три отсечки се вика тежишна линија или медијана. Тие се означуваат со: t a, t b, t c итн. Тежишните линии се сечат во точка која се вика тежиште и се означува со Т.

Пример:

Симетрали на Страните. Симетрали на Аглите

Кружницата која минува низ темињата на триаголникот се вика опишана кружница на тој триаголник.

Центарот на опишаната кружница на тапоаголен триаголник лежи надвор од триаголникот.

Центарот на опишаната кружница на правоаголен триаголник лежи на средината на хипотенузата.

Кружницата која ги допира страните на триаголникот се вика впишана кружница на тој триаголник.

За тежиштето, ортоцентарот, центарот на опишаната и центарот на впишаната кружница во еден триаголник се вели дека се четири значајни точки на триаголникот.

Складни Фигури

Складни Фигури. Складни Триаголници

За две фигури велиме дека се складни, ако може со движење тие да се доведат до совпаѓање. Запишуваме: А ≅ А1.

При совпаѓање на триагоници се совпѓаат и нивните: соодветни темиња, соодветни страни и соодветни агли.

Два триаголника се складни, ако нивните страни и агли им се еднакви.

Признаци за Складност на Триаголници.

Признакот - Страна – Агол – Страна (САС)

Два триаголника се складни, ако две страни и аголот меѓу нив од едниот триаголник се соодветно еднакви со две страни и аголот меѓу нив од другиот триаголник.

Ова правило се вика прв признак за складност на триаголници и се пишува САС.

Пример:

Два правоаголни триаголници се складни, ако катетите од едниот се соодветно еднакви со другиот.Пример:

Признакот – Агол – Страна – Агол (АСА)

Два триаголника се складни ако една страна и аглите што лежат на неа од едниот триаголник се соодветно еднакви на една страна и аглите на неа од другиот триаголник.

Ова е втор признак за складност на триаголници и се означува со АСА.

Пример:

Признакот – Страна – Страна – Страна

Два триаголника се складни ако трите страни од едниот се соодветно еднакви со трите страни од другиот триаголник.

Ова е трет признак и се означува со ССС.

Пример:

Својства на Рамнокрак Триаголник

Својства на рамнокрак триагоник се: краци и основа.

Пример:

Паралелни Прави

Паралелни Прави. Агли на Пресечката на Две Паралелни Прави

Низ дадена точка што лежи на дадена права минува точно една права што е паралелна на дадената права.

Ова се вика основно својство или аксиома за паралелни прави.

Пример:

Правата t се вика пресечка или трансврзала на правите a и b.

Постојат агли кои се викаат агли на пресечката и тие се делат на: внатрешни и надворешни агли.

Два агли на пресечка според положбата се делат на:

a) Согласни агли – немаат заедничко теме, лежат на иста страна од пресечката и едниот е внатрешен а другиот надворешен агол.

b) Наизменични агли – немаат заедничко теме, лежат на различна страна од пресечката и двата се внатрешни или надворешни агли.

c) Спротивни агли – немаат заедничко теме, лежат на иста страна од пресечката и двата се внатрешни или надворешни агли.

Агли со Паралелни Краци. Агли со Нормални Краци

Полуправите ОМ и PN имаат иста насока, а полуправите SX и TY имаат различни насоки.

Аглите со заемно нормални и аглите со заемно паралелни краци се или еднакви или суплементни.

Збир на Аглите во Триаголник

a) Збирот на внатрешните агли во секој триаголник изнесува 180°

.

b) Збирот на надворешните агли во секој триаголник изнесува 180°.

c) Секој надворешен агол е еднаков со збирот на двата внатрешни сесоседни со него агли.

Односот меѓу Страните и Аглите во Триаголник

Средна Линија на Триаголник

Спроти поголем агол во триаголникот лежи поголема страна, а и

обобратно: спроти поголема страна лежи поголем агол.

Отсечка чии крајни точки се средините на две страни на еден триаголник се вика средна линија на триаголникот.

Конструктивни Задачи

Конструкција на Симетрала на Отсечка и на Опишана Кружница на Триаголник

Секој цртеж што се прави само со шестар и со линијар се вика конструкција.

Конструкција на Симетрала на Агол и на Впишана Кружница во Триголник

Трите симетрали на аглите во ∆ABC се сечат во една точка. Таа е центар на впишаната кружница на ∆ABC.

Конструкција на Агли.

Конструкција на Тангента на Кружница

Права што има една заедничка точка со кружницата се вика тангента на таа кружница.

Пример: p

k

М

Заедничката точка на кружницата и тангентата се вика допирна точка.