第四章 整数规划(Integer Programming, IP)

2005 年 8 月 龙子泉

– 整数规划（ Integer Programming ）主要是指整数线性规划。一个线性规划问题，如果要求部分决策变量为整数，则构成一个整数规划问题。

– 所有变量都要求为整数的称为纯整数规划（ Pure Int

eger Programming ）或称全整数规划（ All intege

r Programming ）；– 仅有一部分变量要求为整数的称为混合整数规划（ M

ixed Integer Programming ）；– 有的变量限制其取值只能为 0 或 1 ，这类特殊的整数规划称为 0 － 1 规划 (0-1 Integer Programming )。

整数规划的有关概念

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一、整数规划问题 例 4.1 某工厂生产甲、乙两种设备，已知生产这两

种设备需要消耗材料 A 、材料 B ，有关数据如下，问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？

设备材 料 甲 乙 资源限量

材料 A （ kg ） 2 3 14

材料 B （ kg ） 1 0.5 4.5

利润（元 /件） 3 2

第一节 整数规划问题及其数学模型

解：设生产甲、乙这两种设备的数量分别为 x1、 x2，由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建立模型如下：

Maxz=3x1+2x2

2x1+3x2≤14x1+0.5x2≤4.5x1 、 x2≥0, 且为整数

要求该模型的解，不考虑整数约束条件，用单纯形法对相应线性规划求解，其最优解为：

x1 ＝ 3.25 x2 ＝ 2.5 max z ＝ 14.75

•凑整得到的（ 4 ， 2 ）不在可行域范围内。•（ 3 ， 2 ）点尽管在可行域内，但没有使目标达到极大化。•（ 4 ， 1 ）使目标函数达到最大，即 z ＝ 14 。

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二、整数规划数学模型的一般形式

• 由上述例子可得出整数规划数学模型的一般形式：

Max z =CX

AX=b

X≥0, 且为整数或部分为整数

• 若称该整数规划问题为原问题，则线性规划问题：

Max z =CX

AX=b

X≥0• 为原问题对应的松驰问题（ LP

Relaxation) 。

• 显然，原问题与松弛问题有如下关系：

1) 松弛问题可行域包含原问题可行域；

2) 若两者都有最优解，则松弛问题最优解大于原问题最优解；

3) 若松弛问题最优解为整数解，则该最优解就是原问题最优解。

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– 整数规划常用的解法有分枝定界法和割平面法，它们适用于解纯整数规划问题和混合整数规划问题。

一、分枝定界法 （ 1 ）基本思想 （ 2 ）基本原理

二、割平面法 （ 1 ） 基本思想 （ 2 ）基本原理

三、整数规划的计算机解法 计算机求解举例

第二节 整数规划的解法

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第三节 0 － 1 整数规划

一、 0 － 1 整数规划模型– 0 － 1 整数规划在实际中应用较多。因为实际问题中经常碰到大量的决策问题，要求回答“是－否”或“有－无”问题，这类问题可以借助整数规划中的 0 － 1 整数变量，使许多复杂的、困难的问题相对变得简单。

– 0 － 1 变量一般可表示为：

为

为 无j

jj

1 xx =

0 x

是或有

否或

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– 0 － 1 整数规划的数学模型可表示为：

或

n

j jj=1

n

ij j ij=1

j

maxz = c x

a x = b (i = 1,2, ,m)s.t

x = 0 1 (j = 1,2, ,n)

第三节 0 － 1 整数规划

二、 0 － 1 整数规划求解– 0 － 1 整数规划的求解方法有穷举法、隐枚举法和分枝定界法 .

– 隐枚举法求解举例

或

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3

1 2 3

maxz = 4x +3x +2x

2x - 5x +3x <= 4

4x + x +3x >= 3s.t

x + x >= 1

x ,x ,x = 0 1

– 解：（ 1 ）先用试探的方法找出一个初始可行解，如x1＝ x2＝ 0 ， x3＝ 1 。满足约束条件，选其作为初始可行解，目标函数 z0＝ 2 。

（ 2 ）附加过滤条件 以目标函数作为过滤约束： 4x1＋ 3x2＋ 2x3 >= 2

– 原模型变为：

或

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3

1 2 3

1 2 3

max z = 4x +3x +2x

2x - 5x +3x <= 4 (1)

4x + x +3x >= 3 (2)

x + x >= 1 (3)

4x +3x +2x >= 2 (4)

x ,x ,x = 0 1

（ 3）求解 求解过程如表 4－ 6所示。

点 过滤条件约束

z 值④ ① ② ③

  4x1 ＋ 3x2 ＋ 2x3≥2          

（ 0 ， 0 ，0 ） T

 ×

       

（ 0 ， 0 ，1 ） T

 √ √ √ √ 2

（ 0 ， 1 ，0 ） T

 √ √ ×

   

（ 0 ， 1 ，1 ） T

 √ √ √ √ 5

  4x1 ＋ 3x2 ＋ 2x3≥5          

（ 1 ， 0 ，0 ） T

 ×

       

（ 1 ， 0 ，1 ） T

 √ ×

     

（ 1 ， 1 ，0 ） T

 √ √ √ √ 7

  4x1 ＋ 3x2 ＋ 2x3≥7          

（ 1 ， 1 ，1 ） T

 √ √ √ √ 9

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一、相互排斥的计划 (Mutually exclusive planning)

– 例 4.6 某公司拟在市东、西、南三区中建立门市部，有例 7 个点 Ai（ i ＝ 1 ， 2 ，…， 7 ）可供选择，要求满足以下条件：

1) 在东区，在 A1， A2， A3三个点中至多选两个； 2) 在西区， A4， A5两个点中至少选一个； 3) 在南区， A6， A7两个点为互斥点。 4) 选 A2点必选 A5点。– 若 Ai点投资为 bi万元，每年可获利润为 ci万元，投资总

额为 B 万元，试建立利润最大化的 0 － 1 规划模型。

第四节 0 － 1 整数规划应用 (Applications)

解：设决策变量为

当 点 选

当 点 选

被 用

未被 用i

i

i

1, Ax = i = 1,2,...,7

0, A

1 1 2 2 7 7maxz = c x +c x + +c x

，或

7

i ii=1

1 2 3

4 5

6 7

2 5

i

b x <= B

x + x + x <= 2

x + x >= 1s.t

x + x = 1

x - x <= 0

x = 0 1, i = 1,2,...,7

建立 0 － 1 规划模型如下：

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例 4.7 某产品有 A1和 A2两种型号，需要经过 B1、 B

2、 B3三道工序，单位工时和利润、各工序每周工时限制见表所示，问工厂如何安排生产，才能使总利润最大？（ B3工序有两种加工方式 B31和 B32，产品为整数）。

二、互排斥的约束条件 (Mutually exclusive constraints)

工序型号

B1 B2

B3 利润（元 /件）B31 B32

A1

A2

0.3

0.7

0.2

0.1

0.3

0.5

0.2

0.4

25

40

每周工时 (小时 /月 ) 250 100 150 120

– 解：设 A1、 A2产品的生产数量分别为 x1、 x2件，在不考虑 B31和 B32相互排斥的情况下，问题的数学模型为

且为整数

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

maxz = 25x + 40x

0.3x +0.7x <= 250

0.2x +0.1x <= 100

s.t. 0.3x +0.5x <= 150 (1)

0.2x +0.4x <= 120 (2)

x ,x >= 0,

• 工序 B3只能从两种加工方式中选择一种，那么约束条件（ 1 ）和（ 2 ）就成为相互排斥的约束条件。为了统一在一个问题中，引入 0-1 变量

采用 加工方式

不采用 加工方式3 3i

i

3 3i

1, B By = i = 1,2

0, B B

且为整数或

1 2

1 2

1 2

1 2 1

1 2 2

1 2

1 2

1 2

maxz = 25x + 40x

0.3x +0.7x <= 250

0.2x +0.1x <= 100

0.3x +0.5x <= 150 +M(1- y )

s.t. 0.2x +0.4x <= 120 +M(1- y )

y + y = 1

x ,x >= 0,

y ,y = 0 1

则数学模型为

– 一般地，在建立数学模型时，若需从 p 个约束条件中选择 q 个约束条件，则可以引入 p 个 0-1 变量

选择 个约

选择 个约

若 第 束

若不 第 束i

1, iy = i = 1,...,p

0, i

ij j i i ij=1

p

ii=1

a x <= b +M (1- y )

y = q

那么约束条件组

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例 4.8 某公司制造小、中、大三种尺寸的容器，所需资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如下表所示：不考虑固定费用，小、中、大号容器每售出一个其利润分别为 4 万元、 5

万元、 6 万元，可使用的金属板有 500吨，劳动力有300人 /月，机器有 100 台 /月，另外若生产，不管每种容器生产多少，都需要支付一笔固定费用：小号为 1

00 万元，中号为 150 万元，大号为 200 万元。问如何制定生产计划使获得的利润对大？

三、固定成本问题 (Fixed cost problem)

解：设 x1、 x2、 x3分别为小号容器、中号容器、大号容器的生产数量。不考虑固定费用，则问题的数学模型为

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

maxz = 4x +5x +6x

2x + 4x +8x <= 500

2x +3x + 4x <= 300s.t.

x +2x +3x <= 100

x ,x ,x >= 0

资源 小号容器 中号容器 大号容器金属板（吨） 2 4 8

劳动力（人 /月） 2 3 4

机器设备（台 /月）

1 2 3

若考虑固定费用就必须引入 0—1 变量：

当 产 时

当 产 时

生 第种容器即

不生 第种容器 即i

i

i

1, i x > 0y = i = 1,2,3

0, i x = 0

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1

2 2

3 3

1 2 3

1 2 3

maxz = 4x +5x +6x -100y -150y - 200y

2x + 4x +8x <= 500

2x +3x + 4x <= 300

x +2x +3x <= 100

x -My <= 0s.t.

x -My <= 0

x -My <= 0

x ,x ,x >= 0

y ,y ,y = 0or1

则该问题的数学模型为

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例 4.9 某城市消防队布点问题。该城市共有 6 个区，每个区都可以建消防站，市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在 15 分钟内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见表 4 － 9 ，请帮助该市制定一个布点最少的计划。

  地区 1 地区 2 地区 3 地区 4 地区 5 地区 6

地区 1 0 10 16 28 27 20

地区 2 10 0 24 32 17 10

地区 3 16 24 0 12 27 21

地区 4 28 32 12 0 15 25

地区 5 27 17 27 15 0 14

地区 6 20 10 21 25 14 0

四、布点问题 (Location Problem)

表 4 － 9 消防车在各区间行驶时间表 单位： min

– 本问题的约束方程是要保证每个地区都有一个消防站在15 分钟行程内。如地区 1 ，由表 4 － 9 可知，在地区 1及地区 2 内设消防站都能达到此要求，即 x1＋ x2≥1

– 因此本问题的数学模型为： min z ＝ x1＋ x2＋ x3＋ x4＋ x5＋ x6

x1＋ x2 ≥1 x1＋ x2 ＋ x6 ≥1 x3＋ x4 ≥1 x3＋ x4＋ x5 ≥1 x4＋ x5＋ x6 ≥1 x2 ＋ x5＋ x6 ≥1 xi＝ 1 或 0 （ i ＝ 1 ，…， 6 ）

区设

区 设

表示在地 消防站

表示在地 不 消防站i

1, ix = i = 1,2,...,6

0, i

解：引入 0 － 1 变量 xi 作决策变量，令

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资金预算（ Capital budgeting problem ） 冰冷电冰箱公司正在考虑 4 种投资方案，有关数据如下表。 问题：选择投资项目使总现值最大。

五、其他案例（数据、模型与决策）

冰冷电冰箱公司各投资项目现值估算、资金需求和 4 年内的资产（单位：千美元）

项目 工厂扩张

仓库扩张

新机器 新产品研究

总可用资金

现值第 1 年资金第 2 年资金第 3 年资金第 4 年资金

9015202015

401015205

1010

4

3715101010

——40504035

引入 4 个 0-1 变量： P=1 ，工厂扩建通过； P=0 ，则不选工厂扩建； W=1 ，仓库扩建通过； P=0 ，则不选仓库扩建； M=1 ，机器更新通过； P=0 ，则不选机器更新； R=1 ，新产品研究通过； P=0 ，则不选新产品研究；则问题的 0-1 规划数学模型为： Max Z=90P+40W+10M+37R

15P+10W+10M+15R ≤40

20P+15W +10R ≤50

20P+20W +10R ≤40

15P+ 5W+ 4M+10R ≤50

P ， W ， M ， R=0 ， 1

案例 固定成本（ Fixed cost problem ） 生产三种产品需要用三种原料，生产这些产品需要配置成本，若不需要，则无配置成本。有关数据如下表。

问题：各产品应生产多少总利润最大。 生 产 数 据 表

添加剂 溶剂 清洁剂 原料数量

原料 1

原料 2

原料 3

0.4

0.6

0.5

0.2

0.3

0.6

0.1

0.3

20

5

21

单位利润 ($) 40 30 50

配置费用 ($) 200 50 400

最大产量 (t) 50 25 40

设： F=添加剂生产量； S=溶剂生产量； C=清洁剂生产量；引入 3 个 0-1 变量： 若生产添加剂， SF=1 ，否则 SF=0 ； 若生产溶剂， SS=1 ，否则 SS=0 ； 若生产清洁剂， SC=1 ，否则 SC=0 ；则问题的 0-1 规划数学模型为： Max Z=40F+30S+50C – 200SF – 50SS – 400SC

0.4F+0.5S+0.6C ≤20

0.2S +0.1C ≤5

0.6F+0.3S+0.3C ≤21

F - 50SF ≤0

S - 25SS ≤0

C - 40SC ≤0

F,S,C ≥0, SF,SS,SC=0,1

案例 分销系统设计 (Distribution system design problem)

马丁贝克公司在圣路易斯经营一家生产量为 30000 件产品的工厂。产品被运输到位于波士顿、亚特兰大和休斯敦的地区分销中心。由于预期将有需求增长 , 公司计划在底特律、托来多、丹佛和堪萨斯中一个或多个城市建立新工厂以增加生产力。有关数据如下表。

问题：各选择哪个或哪些工厂使总成本最小。

生 产 数 据 表

分销中心生产地

1

波士顿2

亚特兰大3

休斯敦生产能力（千件）

年固定成本 ( 千 $)

1 底特律2 托来多3 丹 佛4 堪萨斯5 圣路易斯

5

4

9

10

8

2

3

7

4

4

3

4

5

2

3

10

20

30

40

30

175

300

375

500

需求量 ( 千件 ) 30 20 20

在不考虑固定成本和生产地选择的情况下，此问题是一个运输问题 .

若用 xij表示从产地 i 到分销中心 j 的运量 , 则其数学模型为：Minf=5x11+2x12+3x13+4x21+3x22+4x23+…+ 4x52+3x53

x11+x12+x13 ≤10

x21+x22+x23 ≤20

x31+x32+x33 ≤30

x41+x42+x43 ≤40

x51+x52+x53 ≤30

x11+x21+x31+x41+x51=30

x12+x22+x32+x42+x52=20

x13+x23+x33+x43+x53=20

xij≥0, 所有 i,j

若考虑固定成本和生产地的选择需要引入 0-1 变量 .

若在底特律建立工厂 , y1=1, 否则 y1=0;

若在托来多建立工厂 , y2=1, 否则 y2=0;

若在丹佛建立工厂 , y3=1, 否则 y3=0;

若在堪萨斯建立工厂 , y4=1, 否则 y4=0;

若用 xij 表示从产地 i 到分销中心 j 的运量 , 则其数学模型为：minf=5x11+2x12+3x13+…+4x52+3x53+175y1+300y2+375y3+500y4

x11+x12+x13 -10y1 ≤0

x21+x22+x23 -20y2 ≤0

x31+x32+x33 -30y3 ≤0

x41+x42+x43 -40y4 ≤0

x51+x52+x53 ≤30

x11+x21+x31+x41+x51 =30

x12+x22+x32+x42+x52 =20

x13+x23+x33+x43+x53 =20

xij≥0, 所有 i,j; y1,y2,y3,y4=0,1

案例 银行选址（ Location problem ）• 俄亥俄州信托投资公司的远期计划正在考虑在俄亥俄州东北部 20 个

郡的地区开展业务 . 该投资公司目前在这 20 个郡还没有主营业处 .根据该州法律 : 如果一个银行在任一个郡建立主营业处 , 即可在该郡及所有毗邻郡建设分行 . 该计划的第一步是：投资公司需要确定为了在这 20 个郡完全营业一共要建立的主营业处的最小数目 .

2019

1817

876

4

5 9

11

10 13

14

3

15

12

2

16

1

若在第 i 郡建立主营业处 , 则 xi=1, 否则 xi=0

这样 , 目标函数为 : min z = x1+x2+ …+x20

每个郡要满足一个约束条件 : 该郡或与该郡相毗邻的郡中至少有一个需要建立主营业处 .

例如第 10 个郡有 : x3+x9+x8+x11x10+x12+x13 ≥1

因此 , 该问题的数学模型为 :

min z = x1+x2 + … + x20

x1+x2 +x12 +x16 ≥1 ( 第 1 个郡 )

x1+x2+x3 +x12 +x16 ≥1 ( 第 2 个郡 )

x2+x3+x4+x9+x10 +x12+x13 ≥1 ( 第 3 个郡 ) . . . . . .

x11+ x14+ x19+x20 ≥1 ( 第 20 个郡 )

xi=0,1 I=1,2, … , 20

案例 产品设计和市场份额的优化（ Product design and market share optimization problem ）

顾客

面包皮 奶酪 调味品 香肠口味 顾客对现有品牌的效用

薄 厚意大利

混合

细滑

橙块果酱

清谈

中等 辣 安东

尼奥 国王

1

2

3

4

5

6

7

8

11

11

7

13

2

12

9

5

2

7

5

20

8

17

19

9

6

15

8

20

6

11

12

4

7

17

14

17

11

9

16

14

3

16

16

17

30

2

16

23

17

26

7

14

20

30

25

16

26

14

29

25

15

22

30

16

27

1

16

29

5

12

23

30

8

10

19

10

12

20

19

3

52

49

36

83

39

70

79

59

47

58

56

72

58

45

71

58

决策变量 :

xij=1, 表示赛伦 pizza 在属性 j上选择 i, 否则 xij=0

yk=1, 顾客 i 选择赛伦 pizza, 否则 yk=0

这样 , 目标函数为 : 选择赛伦 pizza 的顾客数最大 , 即 max z = y1+ y2+ y3+ y4+ y5+ y6+ y7+ y8

约束条件 :

(1) 若果顾客 i 选择赛伦 , 则他认为赛伦的效用比他目前中意的品牌的效用还要大 . 例如第 1 个顾客 , 目前中意的 pizza是安东尼奥 , 效用为 52, 因此 :

11x11+2x21+6x12+7x22+3x13+17x23+26x14+27x24+8x34 ≥1+52y1

(2)赛伦在每中属性中只能选择一种 , 即 x11+x21=1

x12+x22=1

x13+x23=1

x14+x24+x34=1

因此 , 该问题的数学模型为： max z = y1+ y2+ y3+ y4+ y5+ y6+ y7+ y8

11x11+ 2x21+ 6x12+ 7x22+ 3x13+17x23+26x14+27x24+ 8x34 ≥1+52y1

11x11+ 7x21+15x12+17x22+16x13+26x23+14x14+ 1x24+10x34 ≥1+58y2

7x11+ 5x21+ 8x12+14x22+16x13+ 7x23+29x14+16x24+19x34 ≥1+56y3

13x11+20x21+20x12+17x22+17x13+14x23+25x14+29x24+10x34 ≥1+83y4

2x11 +8x21+ 6x12+11x22+30x13+20x23+15x14+ 5x24+12x34 ≥1+58y5

12x11+17x21+11x12+ 9x22+ 2x13+30x23+22x14+12x24+20x34 ≥1+70y6

9x11+19x21+12x12+16x22+16x13+25x23+30x14+23x24+19x34 ≥1+79y7

5x11+ 9x21+ 4x12+14x22+23x13+16x23+16x14+30x24+ 3x34 ≥1+59y8

x11+x21=1

x12+x22=1

x13+x23=1

x14+x24+x34=1

xij ， yk=0 ， 1 对于所有 i ， j ， k

求解结果： x11=x22= x23=x14=1 ， y1= y2=y3= y6= y7=1

五、指派问题（ Assignment problem ）（ P223 ）• 指派问题是一种特殊的整数规划问题。在实践中经常会遇到一种

问题：某单位有 m 项任务要 m 个人去完成（每人只完成一项工作），在分配过程中要充分考虑各人的知识、能力、经验等，应如何分配才能使工作效率最高或消耗的资源最少？这类问题就属于指派问题。引入 0 － 1 变量 xij

个 项 务

个 项 务

指派第 人完成第 任

不指派第 人完成第 任ij

1 i jx =

0 i j

m m

ij iji=1 j=1

minz = c x

或

m

ijj=1

m

iji=1

ij

x = 1 i = 1,2,...,m

s.t x = 1 j = 1,2,...,m

x = 0 1

案例：福尔市场营销调查指派问题（ P223 ）• 福尔市场营销调查公司有 3 个新客户需要进行市场调查，

目前正好有 3 个人没有其他工作，由于他们的对不同市场的经验和能力不同，估计他们完成不同任务所需时间如下表。公司面临的问题是如何给每个客户指派一个项目主管（代理商），使他们完成市场调查的时间最短。预计完成时间 客户项目主管

1 2 3

1

2

3

10

9

6

15

18

14

9

5

3

设 xij=1 表示指派主管 i完成第 j项市场调查，否则 xij=0

则问题的数学模型为：min f= 10x11+15x12+9x13+9x21+18x22+5x23+6x31+14x32+3x33

x11+x12+x13 = 1

x21+x22+x23 = 1

x31+x32+x33 = 1

x11+x21+x31 = 1

x12+x22+x32 = 1

x13+x23+x33 = 1

xij≥0 ， i=1 ， 2 ， 3 ； j=1 ， 2 ， 3

2005 年 8 月 龙子泉

1. 整数规划的提出是解决实际的需要 ;

2. 0-1 变量的引入使得整数规划的应用非常广泛 ;

3. 整数规划的求解对计算机软件要求较篙 .

整数规划小结 :

第四章 结束