1

境界要素法入門

Introductionto

BoundaryElementMethod(BEM)

2

§１.数学的補足

Greenの定理

∂Ω：xy平面上の単一閉曲線

Ω：∂Ωに囲まれる領域

n ：∂Ω上の外向き単位法線ベクトル

Greenの定理

A(x)：２次元ベクトル場（x = xex + yey；z成分を含まない）に対して，

Ω

∇ · A dxdy =∮

∂Ω

A · n ds (1.1)

Greenの第２定理

スカラー場w(x), u(x)に対して，

Ω

(wu − uw) dxdy =∮

∂Ω

(w∂u∂n− u∂w∂n

)ds (1.2)

∂Ω

n

Ω

3

∵）wu − uw = ∇ · (w∇u − u∇w)より，Ω

(wu − uw) dxdy(1.1)=

∮∂Ω

(w∇u − u∇w) · n ds =∮∂Ω

(w∂u∂n− u∂w∂n

)ds　　

２次元デルタ関数

定義　δ(x) ≡ δ(x)δ(y) (1.3)

性質

i)∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞δ(x) dxdy = 1 ,

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f (x)δ(x − z) dxdy = f (z) (1.4)

ii)

Ω

f (x)δ(x − z) dxdy = c(z) f (z) (1.5)

但し，形状係数：c(z) ≡

1 (z ∈ Ω)∆θ(z)

2π(z ∈ ∂Ω)

0 (otherwise)

(1.6)Δθ(z)

z

4

§２.２次元 Laplace問題

問題設定

(∗1)

u = 0 in Ωu = u on ΓD

q = q on ΓN

但し，q ≡ ∂u∂n,

u :ΓD上の既知関数，q :ΓN上の既知関数．

重み付き残差表示と逆形式

u = 0 in Ω

⇐⇒ ∀w(x) :

Ω

wu dxdy = 0

⇐⇒ ∀w(x) : −

Ω

uw dxdy =∮

∂Ω

(w∂u∂n− u∂w∂n

)ds (Green’s 2nd Theorem)

Ω

ΓD

ΓN

n

←　重み付き残差表示

逆形式

5

§３.境界積分方程式基本解

定義 Aw∗ = δ(x − z) の特解w∗(x, z)をA の基本解という．

−の基本解 w∗(x, z) =1

2πlog

1r　　　但し，r ≡ |x − z| .

∵）

−w∗ = δ(x − z)⇐⇒

i) w∗ = 0 (for x z)

ii) ∀ε > 0 : −

S εw∗dxdy = 1

i) − w∗ = −[1r∂

∂r

(r∂

∂r

)+

1r2

∂2

∂θ2

]1

2πlog

1r=

12π

1r∂

∂r

(r

1r

)= 0

ii) −

S εw∗ dxdy = −

S ε∇ · (∇w∗) dxdy

(1.1)= −

∮∂S ε∇w∗ · n ds

= −∫ 2π

0

(∂w∗

∂rr)

r=εdθ =

12π

∫ 2π

0dθ = 1

εz

∂Sε

rθ

x

6

境界積分方程式

逆形式中に現れる重み関数w(x)として，−の基本解w∗(x, z)を用いると，

c(z)u(z) =∮

∂Ω

(qw∗ − u

∂w∗

∂n

)ds (3.1)

∵）

Ω

u(x)δ(x − z) dxdy =∮

∂Ω

(qw∗ − u

∂w∗

∂n

)ds

左辺に (1.5)を適用すると，(3.1)が得られる．

(3.1)の意味

z ∈ Ωのとき，u(z) =∮

∂Ω

(qw∗ − u

∂w∗

∂n

)ds

　内点zにおける u(z)は境界∂Ω上の uと qの分布から計算できる．

　2DLaplace問題は境界∂Ω上の uと qの分布を求める問題に帰着した．

7

§４.要素分割と近似関数

境界要素分割

i) 境界∂Ω上に境界節点x1, x2, · · · , xNを配置する．

ii) 隣り合った節点を 2個ずつ線分で結ぶことにより，境界要素Γ1, Γ2, · · · , ΓN

を構成する．

x1

x9

x11x10

x8

x7

x6

x5x4

x3 x2

x13x12

Γ1

Γ8

Γ6

Γ7

Γ2

Γ5

Γ4

Γ3

Γ13

Γ10

Γ12

Γ9

Γ11

8

準備データ

入力データ変　数 意　味N 全節点数（全要素数）

xi (i = 1, 2, · · · ,N) 第 i節点の位置ベクトル

σ(e, k) (e = 1, 2, · · · ,N; k = 1, 2)第 e 番目の境界要素Γeに属する k番目

の節点の全体節点番号

β(i) (i = 1, 2, · · · ,N) β(i) ≡

0 : xi ∈ ΓD

1 : xi ∈ ΓN

di (i = 1, 2, · · · , N) 第 i節点xi上で与えられたu or qの値

Γe

xσ(e,1)

xσ(e,2)

9

ex)下図のような境界要素分割の場合，

σ(e, 1) = e

σ(e, 2) =

e + 1 (e N)1 (e = N)

= Mod(e,N) + 1

x1

x9

x11x10

x8

x7

x6

x5x4

x3 x2

x13x12

Γ1

Γ8

Γ6

Γ7

Γ2

Γ5

Γ4

Γ3

Γ13

Γ10

Γ12

Γ9

Γ11

10

近似関数

【仮定】境界要素Γe上で関数 u(x(s)),q(x(s))が弧長 sに関する１次多項式

u(x(s)) =2∑

k=1

uσ(e,k)φk(ξ), q(x(s)) =2∑

k=1

qσ(e,k)φk(ξ) (4.1)

但し，uk ≡ u(xk) , qk ≡ q(xk)，

φk(ξ) =12

[1 + (−1)kξ] (k = 1, 2)：１次形状関数，

s =le2

(ξ + 1)．

【Γeのベクトル方程式】

x(ξ) =2∑

k=1

xσ(e,k)φk(ξ) (−1 ξ 1) (4.2)

∵）x = xσ(e,1) +sle

[xσ(e,2) − xσ(e,1)] (0 s le)より自明．

Γe

xσ(e,1)

xσ(e,2)

x(s)

sle

11

§５.離散化

境界積分方程式の離散化

u = 0 in Ω⇐⇒ c(z)u(z) =∮∂Ω

(qw∗ − u

∂w∗

∂n

)ds (3.1)

離散化手順

①　(3.1)中の∂Ωを∂Ω N⋃

e=1

Γeで近似．

c(z)u(z) =N∑

e=1

∫Γe

(qw∗ − u

∂w∗

∂n

)ds (5.1)

②　z = xiと u, qの近似式 (4.1)を (5.1)に代入．

c(xi) ui =

N∑e=1

2∑k=1

[gkei qσ(e,k) − hk

ei uσ(e,k)] (i = 1, 2, · · · ,N) (5.2)

但し，gkei ≡∫Γe

w∗φk ds, hkei ≡∫Γe

∂w∗

∂nφk ds：影響係数

12

行列方程式

(5.2)⇐⇒ Hu = Gq (5.3)

但し，

u ≡N∑

i=1

uiei, q ≡N∑

i=1

qiei,

H =N∑

i=1

c(xi) eieTi +

N∑i=1

N∑e=1

2∑k=1

hkei eieT

σ(e,k), (5.4a)

G =N∑

i=1

N∑e=1

2∑k=1

gkei eieT

σ(e,k). (5.4b)

H, G:影響行列．

13

境界条件の離散化

”β(i) = 0 =⇒ ui = di ; β(i) = 1 =⇒ qi = di”

⇐⇒ eTi+Nβ(i)

[uq

]= di (i = 1, 2, · · · ,N)

⇐⇒ B[uq

]= d (5.5)

但し，

B ≡N∑

i=1

eieTi+Nβ(i) (5.6)

d ≡N∑

i=1

diei (5.7)

14

[例 ]　節点 x1, x2, …, xm 上でそれぞれ u1 = d1, u2 = d2, …, um = dm が与えられ，節

点 xm+1, xm+2, …, xN 上でそれぞれ qm+1 = dm+1, qm+2 = dm+2, …, qN = dN が与えられて

いるとき，(5.5)は次のようになる．

eT1...

eTm

eTm+N...

eT2N

[uq

]= d

i.e.[

E O O OO O O E

]

u1

u2

q1

q2

= d

(∵

[u1

q2

]= d

)

但し，u1 ≡

u1

...um

, u2 ≡

um+1

...uN

, q1 ≡

q1

...qm

, q2 ≡

qm+1

...qN

2N

2N

N

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離散化された 2DLaplace問題 (*1)

(5.3), (5.5) ⇐⇒[

H −GB

] [uq

]=

[0d

](5.8)

⇐⇒ G∗q∗ = H∗d (5.9)

但し，[

H∗ −G∗ ]≡

[H −G

]P ,

[u∗

q∗

]≡ PT

[uq

],

P ≡ P1P2 · · · PN,

E ( β(i) = 0 )

右から掛けたとき，第 i列と第 i+N列を交換する行列 ( β(i) = 1 )Pi ≡

2N 元連立１次方程式 (5.8)または N 元連立１次方程式 (5.9)を解けば，境界

∂Ω上での uと qの分布を決定できる．

16

[H −G

B

] [uq

]=

[0d

](5.8) ⇐⇒ G∗q∗ = H∗d (5.9)

[ (5.8) ⇐⇒ (5.9)の証明 ]

B =

bT1...

bTN

とおくと，(5.6)よりbT

i = eTi+Nβ(i)．

∴　bTi Pi = eT

i (i = 1, 2, · · · ,N)　　i.e.　BP =[

E O].

従って，

(5.8) ⇐⇒[

H∗ −G∗

E O

] [u∗

q∗

]=

[0d

]

⇐⇒ G∗q∗ = H∗d

17

§６．影響係数の計算方法

影響係数

gkei ≡∫Γe

w∗φk ds, hkei ≡∫Γe

∂w∗

∂nφk ds

xi ∈ Γeの場合

hkei = 0 (k = 1, 2) (6.1)

xi = xσ(e,1) のとき，gkei =

le8π

(3 − 2 log le) (k = 1)le8π

(1 − 2 log le) (k = 2) (6.2a)

xi = xσ(e,2) のとき，gkei =

le8π

(1 − 2 log le) (k = 1)le8π

(3 − 2 log le) (k = 2) (6.2b)

18

∵）∂w∗

∂n= n · ∇w∗ = − n · ∇r

2πr= 0 (∵ n · ∇r = 0)

より，hkei = 0．

一方，xi = xσ(e,1) のとき，

r = |x − xi| = |xσ(e,2) − xσ(e,1)|φ2(ξ) (∵ x = xσ(e,1)φ1(ξ) + xσ(e,2)φ2(ξ))= leφ2(ξ)

であるから，

gkei = −

le4π

∫ 1

−1φk(ξ)[log le + log φ2(ξ)]dξ．

上式を計算すると，(6.2a)が得られる．全く同様にすれば，xi = xσ(e,2) のとき，

(6.2b)が導かれる．

xσ(e,1)

xσ(e,2)

xn

∇r

r

19

xi Γeの場合

hkei =

le2

∫ 1

−1

∂w∗(x(ξ), xi)∂n

φk(ξ) dξ (6.3)

gkei =

le2

∫ 1

−1w∗(x(ξ), xi)φk(ξ) dξ (6.4)

x(ξ) = xσ(e,1)φ1(ξ) + xσ(e,2)φ2(ξ)

∂w∗

∂n= (n · ∇r)

dw∗

dr= − x(ξ) − xi

2πr2 ·[R(−π

2

)·

xσ(e,2) − xσ(e,1)

le

]

但し，R(θ) :角度 qの回転を表すテンソル，r ≡ |x(ξ) − xi|．　(6.3),(6.4)の右辺の被積分関数は ξだけの正則関数．

∴　(6.3),(6.4)の右辺は Gauss-Legendre積分で評価できる．

xσ(e,1)

xσ(e,2)

xn

rxi

Γe

20

§７．内点公式と正則化

内点公式

z ∈ Ωのときの境界積分方程式 (3.1)

u(z) =∮∂Ω

(qw∗ − u

∂w∗

∂n

)ds

N∑e=1

∫Γe

(qw∗ − u

∂w∗

∂n

)ds (7.1)

Γe上でu(x(s)) =2∑

k=1

uσ(e,k)φk(ξ), q(x(s)) =2∑

k=1

qσ(e,k)φk(ξ)であるから，

u(z) =N∑

e=1

2∑k=1

[gke(z) qσ(e,k) − hk

e(z) uσ(e,k)] (7.2)

但し，gke(z) ≡

∫Γe

w∗(x(ξ), z)φk(ξ) ds, hke(z) ≡

∫Γe

∂w∗(x(ξ), z)∂n

φk(ξ) ds .

原理的には，(7.2)を用いて内点 zでの uの値を計算できる．

21

内点公式の難点

gke(z) ≡

∫Γe

w∗(x(ξ), z)φk(ξ) ds (7.3a)

hke(z) ≡

∫Γe

∂w∗(x(ξ), z)∂n

φk(ξ) ds (7.3b)

r ≡ |x − z|とおくと，

w∗ = − 12π

log r

∣∣∣∣∣∂w∗

∂n

∣∣∣∣∣ ∼ O(

1r

) (∵

∂w∗

∂n= − x − z

2πr2 ·[R(θ) ·

xσ(e,2) − xσ(e,1)

le

])

　r 1で∣∣∣∣∣∂w∗

∂n

∣∣∣∣∣ |w∗| 1　　

∴　gke(z), hk

e(z)は擬似特異積分となる．

被積分関数はgke(z)よりもhk

e(z)の方が強い擬似特異性を示す．

22

正則化内点公式

u(z) = u(x0) +∮∂Ω

qw∗ − [u − u(x0)]

∂w∗

∂n

ds (7.4)

但し，x0:z ∈ Ωに対する境界∂Ω上の最近接点．

∵）　∮∂Ω

∂w∗

∂nds

(1.1)=

Ω

w∗ dxdy = −Ω

δ(x − z) dxdy = −1より，

u(x0) = −∮∂Ω

u(x0)∂w∗

∂nds. (a)

(a)と内点公式：

u(z) =∮∂Ω

(qw∗ − u

∂w∗

∂n

)ds

の両辺を引き算すれば，(7.4)が得られる．

∂Ω

zx0