2

この本の使い方 数学の学習で大切なこと ノートの工夫

rarr本資料P821

rarr本資料P18

rarr本資料P12〜13 rarr本資料P21

rarr本資料P4〜5

rarr本資料P6〜9

rarr本資料P20

章末の問題

章末の特設ページ

やや程度が高い基本

くり返し練習

深める数学

とりくんでみよう

生活への利用

基本の問題

章の扉

本文（小節）

次の章を学ぶ前に

観点別評価

数学のたんけん

予習復習

特設ページ

章の導入

rarr本資料P18〜19

rarr本資料P20〜21

標準 観点別評価

章のたしかめ

基本

巻頭

章

節

教 科 書 の 構 成

3

数学 マイ トライ

算数をふりかえろう数学研究室力をのばそう

数学研究室１年の復習力をのばそう

数学研究室力をのばそうステップアップ

個に応じて扱うことができる課題や問題を集めたコーナーです各学年に応じた構成になっていますrarr本資料P9〜1119

家庭での自主学習にも対応できるよう〈次の章を学ぶ前に〉章末の問題（くり返し練習章のたしかめとりくんでみよう）及び巻末〈数学 マイ トライ〉の各問題には巻末に解答例を付けました

解答例

メインキャラクターのマテマです生徒の気づきを促したり注目するべきポイントを示したりして

生徒の学習活動を助けます

まちがいやすい問題について注意を促しているところもあります

印がついているものは各学級や個の実態に応じて柔軟に扱うことができる問題や特設ページです

4人の中学生キャラクターです

学習の過程で生じる疑問や気づきなどを提示することで実際の生徒の

学習活動を助けます

初出の用語を使った表現や説明の具体例を示しているところもあります

彩あや

さん 和かず

也や

さん 陸りく

さん 真ま

央お

さん

マテマ

巻末

１年 2 年 3 年

キャラクターの紹介

4

章の扉

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

２年P98 〜 99

親しみやすい中学生のキャラクターの吹き出しによってストーリーが展開されます

学習意欲を高める必然性ストーリー性

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

5

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

〈章の扉〉の特徴学びの必然性ストーリー性を重視した内容とその見せ方で章で学ぶ内容に対する　見通しを持たせ学習意欲を高められるようにしました章全体の導入であると同時に第１時の授業の導入として「使える扉」としました

学習の出発点となる問題です

学習のきっかけとなる疑問や気づきなどを　　マークのついた吹き出しで示しました

6

本文（小節）

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

先生が指導をしやすく生徒が学びやすいよう原則として１つの小節が１時間の授業に対応する小節構成にしています（一部例外もあります）

１年P98 〜 99

前の見開きページの横欄に掲載されている〈チャレンジ〉の答えです

〈例〉にタイトルをつけ学習内容をつかみやすくまたふり返りやすくしました

初出用語が目立つデザインにしました

学習のめあてを明示する一文です

学習の出発点となる問題です

学習内容の明確化

わかりやすく使いやすい教科書

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

7

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

章末の〈くり返し練習〉の掲載ページを示すことでその日の授業内容の復習をしやすいようにしました

1年 P115

114 3 章　方程式

3章

115

3章

円のみかん 個とかき 個を買ったところ代金が

円になりましたかき 個の値段を求めなさい考

冊の厚さが mmのノートと mmのノートが合わせて

冊ありますそれらを積み重ねたときの全体の厚さが

mmのとき厚さが mmのノートは何冊ありますか考

持っているお金ではペットボトルのお茶を 本買うには

円たりませんまたそのお茶を 本買うと 円

余りますお茶 本の値段と持っている金額を求めなさい考

基本の問題

1

2

3

方程式の活用P106 例 1

方程式の活用P107 例 2

過不足の問題P108 例 1

今から1700年ほど前のギリシャの数学者ディオファントスは方程式の研究をし

その基き

礎そ

を築きました彼かれ

がいつ生まれいつ死んだかはよくわかっていませんが

何歳さい

まで生きたかということは知ることができますそれは次のような文が

彼の墓石にきざまれていたからです

ディオファントスは

何歳まで

生きたのでしょうか

1　 　　 　　 2　

3　 　 　　 4　 　

5　 　　 　　 6　 　

7　 　　　 8　

1　 　　　 2　

3　 　　 　　 4　

5　 　　　 6　

7　 　　 　　 8　

9　 　 10　

1　 　 2　

3　 　 4　

5　 　 6　

1　 　 2　

3　 　 4　

1　 　　　 2　

3　 　 4　

次の比例式が成り立つとき の値を求めなさい

1　 　 2　

3　 　　　 4　

5　 　 6　

　次の1～5の方程式を解きなさいまた6の問いに答えなさい

3章のくり返し練習 解答例 P283

1

2

3

4

5

6

等式の性質を使って解く方程式P97

移項と等式の性質を使って解く方程式P98 ～ 99

かっこがある方程式P100

係数に小数をふくむ方程式P101

係数に分数をふくむ方程式P102 ～ 103

比例式P112 ～ 113

3 章の問題

ディオファントスの一生数学のたんけん数学のたんけん

15

20

5

10

5

10

15

20

歴史

ディオファントスは

一生の16を少年としてすごし一生の

112を青年としてすごした

さらに一生の17をすごしてから結

けっ

婚こん

した

結婚してから 5年後に子どもが生まれたがその子は父の一生の半分だけしか生きられず父より 4年前にこの世を去った

16

112

17

5年

12

4年

（ディオファントスの一生）1

1 〈問〉を早く終わらせてしまった生徒が自主的に取り組むための追加の問題です答えはすぐに見えずそれでいて見つけやすいよう次の見開きの脚注に掲載しました

個に応じた学習への配慮

基礎基本の確実な定着

8

３年P91

３年 P108

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

「4章　関数 」を学ぶ前に 解答例 P267

比例の式 y =ax

反比例の式　y =ax

1次関数の式 y =ax+b

(yの増加量)

(xの増加量)を

　変化の割合という　1次関数y=ax+bの　変化の割合は一定で　xの係数aに等しい

比例y=axのグラフ

反比例y=ax のグラフ

　

1次関数y=ax+bのグラフは傾きがa　切片がbの直線

ふりかえり 12年

　卓たっ

球きゅう

の個人戦で全員が他の

参加者と 回ずつ試合をするとき

参加者の人数と試合数の関係を

考えましょう

　右の図は参加者を hellipとして

参加者どうしを線分で結んだものです

　この図では参加者どうしを結ぶ線分の

本数が試合数を表しています

　参加者が 人の場合について

和かず

也や

さんは次のように考えました

1問 和也さんの考え方で下線　　のように試合数を 試合の

半分とするのはなぜですかその理由を説明しましょう

2問 和也さんの考え方で参加者が 人の場合の試合数を求めましょう

3問 参加者が 人の場合の試合数を の式で表しましょう

4問 試合数が全部で 試合となるのは参加者が何人の場合ですか

次の場合についてyをxの式で表しましょう

1 　yがxに比例しx=3のときy=6である

2　yがxに反比例しx=2のときy=4である

3　yがxの1次関数で変化の割合は4である

　　またx=0のときy=5である

次の図で 1 の直線は比例 2 の双そう

曲きょく

線せん

は反比例

3 の直線は1次関数のグラフです

それぞれyをxの式で表しましょう

1 　 2　

3　

1

2

生活への利用 参加者の人数と試合数

［和也さんのノート］

説明しよう

15

20

25

5

10

5

A～ E鼫5人が参加する場合A131317

自分以外鼫4人と1試合ずつするからA1313174試合する他鼫4人も同じように4試合ずつする5人がそれぞれ4試合ずつするから　45=20 (試合)

割だし実際呀する試合131317その半分孼から全部で10試合で158878る

A2人

参加者の人数 試合数

1試合

3人

3試合

4人

6試合

B

A

B C

B C

A D

B E

C D

E

C D

AA

Aは4試合 Bも4試合

B

O

5

-5 5x

y

-5

O

5

-5

-5 5x

y

O

5

-5 5x

y

-5

y

xO

b 1

a

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

発展

90 3 章　2次方程式 91

3章

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

すべての章の直前に既習事項を思い起こすための自学自習のコーナーを新設しました1年では算数との連携を図ることができる内容としています

各章（章の扉の直前）

次の章を学ぶ前に

生徒の理解を深めたり広げたりするために既習事項をふり返り学び直しをする機会を適宜設けました

各章（小節）

ふりかえり

Qふりかえり

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

小中連携学び直し

9

1年 P252 〜 253（巻末〈算数をふりかえろう〉）

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを

　80mminと

　表すことがありますP7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを　80mminと　表すことがあります

P7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

1年 P110（３章　方程式）

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

1年 P68（２章　文字と式）

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

算数の内容で特に中学数学との関連性が高いものをふり返るコーナーを設けました

巻末

算数をふりかえろう（１年）

ふりかえり

ふりかえり

10

246

7章

2477 章　資料の活用

生活への利用 借りた本の冊数の比較　

　右の表はある中学校の 年 組と 年 組の生徒

各 人がある期間に図書室から借りた本の冊数を

調べ借りた冊数が少ない順に並べたものです

　この資料からどちらの学級の生徒が図書室の本を

たくさん借りているかを比べたいと思います

　まず 組と 組の生徒が借りた本の冊数の平均値を

求めたところどちらも 冊でした

1問 組と 組のそれぞれについて借りた本の

冊数の中央値と最頻値を求めましょう

2問 組について 冊借りた 人を除く

人の平均値中央値最頻値を

それぞれ求め 人の場合と比べましょう

このことからどんなことがわかりますか

　 2問 からわかるように平均値には資料の中に

　　　極きょく

端たん

に離はな

れた値があるとその値に大きく影えい

響きょう

を

受けるという性質がありますこれに対し中央値と

最頻値には離れた値の影響を受けにくいという性質が

あります

　 さんは「平均値はどちらも 冊で等しいから

組の生徒と 組の生徒はどちらも同じくらい

図書室の本を借りている」といっています

　あなたの考えは さんの考えと同じですか

それともちがいますかそう考えた理由を説明し

ほかの人の意見も聞いてみましょう

借りた本の冊数

通し番号 1組冊

2組冊

① 2 0② 2 0③ 2 1④ 3 1⑤ 3 1⑥ 3 1⑦ 3 1⑧ 3 1⑨ 3 1⑩ 4 2⑪ 4 2⑫ 4 2⑬ 4 2⑭ 4 2⑮ 5 2⑯ 5 3⑰ 5 3⑱ 5 3⑲ 6 4⑳ 6 5

6 56 46

平均値 4 4中央値最頻値

話し合おう

分数 248

割合 250

速さ時間道のり 252

図形の計量 254

小町算 256

集合の関係を表す図 257

円周率の歴史 258

地球の温暖化 259

地震のP波と S波 260

ランドルト環 261

速さを一定として考える 262

立体の切り口 発展 263

正多面体が5種類しかない理由 264

2つの資料の関係を読み取ろう 発展 266

数学レポートをかこう 268

巻末 数学 マイ トライ

算数をふりかえろう

数学研究室

A問題

　1章　正の数と負の数 270

　2章　文字と式 271

　3章　方程式 272

　4章　比例と反比例 273

　5章　平面図形 274

　6章　空間図形 275

　7章　資料の活用 276

B問題（活用） 277

いろいろな問題 280

力をのばそう

15

20

25

5

10

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

220 221

倍数の見分け方 222

暗号と素因数分解 224

エラトステネスのふるい 226

風の強さ 227

関数と年代測定 228

偉大な数学者ピタゴラス 229

和算の歴史 230

黄金比 232

正方形の紙を３等分する折り方 234

三平方の定理の証明 236

数学レポートをかこう 238

放物線と三角形 248

放物線と正方形 250

面積の変化 252

角柱の切り分け 254

円と三角形 256

線分の長さ 258

図形と確率 260

数の規則性 262

ステップアップ

数学研究室A問題

　数と式 240

　図形 241

　関数 242

　資料の活用 244

B問題（活用） 245

力をのばそう

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

184 6 章　確率

6章

185

　立方体の つの面のうち 面には 面には

面にはのマークがついたさいころがあります

右の図はそのさいころの展開図です　

　このさいころを つ同時に投げるとき最も出やすい

マークの組み合わせはどれとどれでしょうか

1問 　最も出やすいマークの組み合わせを予想しましょう

2問 　次の表を使ってマークの出方の組み合わせをすべて

かき出しましょう

3問 　最も出やすいマークの組み合わせはどれとどれですか

またその理由を確率を使って説明しましょう

　さいころにつけるマークの種類や

数を自分で決めて確率の問題をつくり

その問題について考えましょう

投げるさいころは同じものでなくても

かまいません

深める数学 マークの組み合わせの確率

やってみよう

説明しよう

正の数と負の数 204

文字と式 205

方程式 206

比例と反比例 207

平面図形 208

空間図形 208

資料の活用 209

連続する 10個の整数の和 186

アルキメデスの墓石 188

さっさ立て 189

食塩水の濃度 190

ダイヤグラム 191

将来の予測 192

面積が変わった 193

どんな図形になるかな 194

期待値 発展 195

魔方陣 196

点字のしくみ 198

格子点を結んでできる図形の面積 200

数学レポートをかこう 202

1年の復習数学研究室

A問題

　1章　式の計算 210

　2章　連立方程式 211

　3章　1次関数 212

　4章　図形の性質と合同 214

　5章　三角形と四角形 216

　6章　確率 217

B問題（活用） 218

いろいろな問題 224

力をのばそう

15

20

5

10

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

学年別の特徴１年hellip小中連携を図るための　　　〈算数をふりかえろう〉を設けています２年hellip全国学力学習状況調査の問題を　　　取り入れた〈力をのばそう〉が　　　充実しています３年hellip3年間の各領域の内容を総合的に扱う　　　〈ステップアップ〉を設けています　　　総まとめとして使うことができます

１年P247

３年 P221２年 P185

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

個に応じた学習を充実させるとともに主体的に学ぶ態度や学習習慣を身につけさせるために巻末に〈数学 マイ トライ〉を設けました家庭での自主学習にも対応できるようにすべての問題に解答例が付いています

個に応じた学習

11

218 219

内のりの縦と高さが cm横が cmの

直方体の水そうがあります

この水そうの底に縦が cm横が cm

高さが cmの直方体の段が右の図のように

固定してあります

この水そうに一定の割合で水を入れたところ

水を入れ始めて 分後に水面の高さが

cmになりました

水を入れ始めてから 分後の水面の高さを cmとして

次の問いに答えなさい

1　水面の高さが cmになるのは水を入れ始めてから

　　何分後ですか

2　 の増加量に対する の増加量の割合を

　 変化の割合といいます

　 水を入れ始めてから水面の高さが cmになるまでの

　 変化の割合は ですこの値はどのような数量を

　 表していますか

3　水面の高さが cmになってから満水になるまでの

　　変化の割合を求めなさい

4　水を入れ始めてから満水に

　　なるまでの と の

　　関係を表すグラフとして

　 正しいものを右の ～

の中から つ選びなさい

　　またそのグラフが正しい

　　理由を「傾き」という

　　ことばを使って説明しなさい

絵え

美み

さんは連続する つの奇数の和がどんな数に

なるかを考えています次の問いに答えなさい

1　絵美さんは右に示した つの例から

　 次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

　 しかしこの予想は正しくありません

が正しくない理由を説明するために反例を つ

　 あげなさい

2　絵美さんはさらにいろいろな連続する つの奇数の

　 和を求めあらためて次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

の予想が正しいことの説明を絵美さんは次の

　 ようにかき出しました

　 絵美さんの考え方で の予想が正しいことを

　 説明しなさい

3　連続する つの奇数を連続する つの奇数に変えたとき

　 その和はどんな数になるかを調べなさい

　 その結果から連続する つの奇数の和はどんな数に

　 なると予想できますか上の のかき方のように

　 「 はhelliphellipになる」という形で答えなさい

解答例 P237B問題（活用）

1

2

力をのばそう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

15

10

20

25

cm

cm

cmcm

cm

y

x

y

x

y

x

y

x

O O

O O

a b

c d

　　　

1 + 3 + 5 = 9

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 = 45

nを整数協すると連続する3つの奇数1313172n-12n+12n+3と表される

［絵美さんのノート］

３年P248 〜 249248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

２年P218

全国学力学習状況調査で正答率が低かった問題をそれぞれ〈A問題〉〈B 問題（活用）〉に反映させました１２年には思考力を伸ばすための〈いろいろな問題〉も用意しました

巻末

力をのばそう（１〜３年）

3年間の各領域の内容を総合的に扱う応用問題です例とその解答例解説及び問から構成されているので自学自習によってさらなる学力の向上を図ることができます

巻末

ステップアップ（３年）

12

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

数学的な思考力表現力を育み数学を活用する能力を伸ばすために大切なことを生徒にわかりやすく伝える工夫をしました

数学の学習で大切なこと

アの活動 見つけよう 考えよう

巻頭

既習の数学を基にして数や図形の性質などを見いだし発展させる活動

２年P120

120 ４章　図形の性質と合同

4章

1212 節　三角形の合同と証明

4章

1問 　次のことがらについて仮定と結論をいいなさい

1 　 ならば である

2 　 において ならば である

3 　 が の倍数ならば は の倍数である

　前ページの のことがらがいつも成り立つことは と

に着目すると次のように説明することができます

　上の説明では仮定のほかにすでに正しいと認められている

次のことがらを使って結論を導いています

対頂角は等しい

組の辺とその間の角がそれぞれ等しい三角形は合同である

合同な図形では対応する線分の長さは等しい

　上のように証明することで のことがらは

線分 の長さや交わる角度に関係なく

いつも成り立つことが明らかになります

右の図のように点Pで交わる線分ABとCDを

　　　 AP=DPCP=BP

となるようにかきAとCBとDをそれぞれ

線分で結ぶとき線分ACとBDの長さについて

いつも成り立つ性質を予想しましょう

あることがらがいつも成り立つことを筋道を立てて

　 説明することについて考えましょう

　Qのようにかいた図ではいつも線分 と の長さが

等しくなると予想されます

　予想したことがらは次のように表すことができます

Q

ならば helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

　　 ならば と表したとき

　　 の部分を仮か

定てい

　　 の部分を結けつ

論ろん

といいます

P

A

C

D B

D

A

B

C

P

D

A

B

C

P

A

A

C

C

DDB

B

P

P

　このように仮定から出発しすでに正しいと

認められていることがらを根こん

拠きょ

にして筋道を

立てて結論を導くことを　　証しょう

明めい

といいます

D

A

B

C

P

と において

仮定から　　　　　　　 　 helliphelliphellip①　 　

　　　　　　　　　　　 　 helliphelliphellip②対頂角は等しいから　 　 helliphelliphellip③

①②③より 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

　　　　　　　　　　

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから

　　　　　　　　　　　

仮定結論と証明3

問題にあう図をノートにかいてみよう

上の図は仮定を満たす図の代表としてかかれたものだよ

見つけよう

結論

ならば

仮定

15

5

10

5

10

15

20

25

正しいと認められたことがら

証明

仮定

結論

本文（小節）や特設ページなどに生徒の主体的な学びを重視した数学的活動の場面を適宜設けました

１年P137

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

学習習慣

数学的活動を通した学びldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

13

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

３年P ６〜 7

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節

生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　 日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

でわれば 日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あや

さんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は 冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたいを使った

平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あやさん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表は さんが m走を 回走った

記録をまとめたものです

　この 回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず

也や

さんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　 冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして 日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って 日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず也やさん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると

　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

回目 回目 回目

分 秒 分 秒 分 秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 冊

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

イの活動 生活への利用

日常生活や社会で数学を利用する活動

１年P50

２年 P85

3問 　右下の図は長さ cmの線せん

香こう

に火を

つけてからの時間と線香の長さの関係を

分ごとに 分後までかき入れたものです

次の問いに答えなさい

1　翼つばさ

さんはこのグラフを見て「線香に

　　火をつけてから 分後の線香の長さを

　　 cmとすると は の 次関数と

　　みなすことができる」と考えました

　　それはグラフのどのような特徴からで

　　しょうかその特徴を説明しなさい

2　このまま燃やし続けると線香が

　　燃えつきるのは火をつけてから

　　何分後と予想できますかまた

　　どのように考えたかも説明しなさい

1次関数とみなして考えること1

節 1次関数の活用

実験で得られたデータを関数の考え方を活用して考察しましょう

右の写真のようにビーカーの水を加熱する

実験をしました水を熱し始めてから 分後の

水温を として 分後まで調べたところ

次の表のようになりました

この と の対応する点をグラフ用紙に

とると右の図のようにほぼ一直線上に

並んでいるといえますこのような場合

は の 次関数とみなして考えることが

あります

右の図では実験結果をもとにかいた

つの点のできるだけ近くを通るように

直線をかいています

1問 　例 1 の直線を 次関数のグラフとみて

次の問いに答えなさい

1　 を の式で表しなさい

2　グラフの傾きと切片はそれぞれ何を表していますか

2問 　例 1 の実験を続けたとき水温が となるのは

熱し始めてから何分後かをグラフや式から予想し

どのように考えたのかを説明しなさい

1次関数とみなして考えること例 1

音が空気中を伝わる速さはそのときの気温によって

変わります気温が xampのとき音が空気中を伝わる

速さを秒速 ymとするとxと yの間にはおよそ

次の関係が成り立つことが知られています

y=06x+3315

1 気温が 30ampで稲いな

妻づま

が見えてから 8秒後に雷らい

鳴めい

が聞こえたとき

雷かみなり

までの距離を求めましょう

ところで雷までの距離が遠いからといって油断をしてはいけません

なぜなら雷らい

雲うん

は広い範はん

囲い

にわたって広がっているものでその範囲内の

どこで次の雷が発生するかはわからないからです

稲妻を見たり雷鳴を聞いたりしたらすぐに安全な場所に避ひ

難なん

しましょう

分

雷に気をつけよう数学のたんけん数学のたんけん

説明しよう

説明しよう

防災

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

分

cm

84

3章

85

3章

3 章　1次関数 3節　1次関数の活用

ウの活動 説明しよう

数学的な表現を用いて根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節4生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　5日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

5でわれば1日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あやさんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は90冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたい

を使った平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あや

さん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表はAさんが 1500m走を 3回走った

記録をまとめたものです

　この 3回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず也やさんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　100冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして1日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って1日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず

也や

さん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

1回目 2回目 3回目

6分 52秒 7分 12秒 7分 8秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) 19 0

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 (冊) 109 90 92 96 108

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) +9

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

14

社では荷物の大きさが cm以下ならば

円それより大きくて cm以下ならば

円と定めています

下の表と左のグラフは 社の料金のしくみを

表したものです

1問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

2　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3　荷物の大きさが cm以下であるとき料金は荷物の

　　大きさの関数といえますかその理由も答えなさい

　次の表は 社が定めた宅配便の料金表です

2問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　 社の料金のグラフを前ページの図にかき入れなさい

2　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

3　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3問 　荷物の大きさが cmの場合 社と 社のどちらの料金が

安いかを彩あや

さんは 2問 の 1 でかいた図を使って

次のように説明しました

荷物の大きさが次の場合料金は 社と 社のどちらが

安いかを判断して彩さんのように説明しなさい

1　 cm　　　　 2　 cm　　　　 3　 cm

4問 　和かず

也や

さんは大きさが cm以下の荷物を送るとき 社と

社のどちらの料金が安いかを次のようにまとめています

にあてはまる数や式をかき入れなさい

［和也さんのノート］

身のまわりの関数を活用しよう2 生活への利用

説明しよう

同じ都道府県内に荷物を送るときの宅配便の

料金についてA社とB社を調べたところ

どちらも荷物の縦の長さ横の長さ高さの

和を荷物の大きさとしてその大きさに応じて

料金を定めていました

荷物の大きさがどんな場合にどちらの会社の

料金が安いかを調べましょう

acm

bcm

(荷物の大きさ)=a+b+c

ccm

O

500

1000

1500

2000

(円)

(cm)50 100 150

A社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

料金 円 円

左上の図ではグラフがその点をふくむことを示しはグラフがその点をふくまないことを示しているよ

彩あやさん

A社とB社のグラフのうち横軸の値が80のときの点が下側にあるのはB社のグラフだから大きさが80cmの場合料金が安いのはB社です

和かず也やさん

説明の例

15

20

5

10

5

10

15

20

B社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

料金 円 円 円 円 円 円

荷物鼫大132529さをxcm協する

80ltxle 鼫場合と 鼫場合131317

A社鼫方が安い龥れ以外鼫場合131317B社鼫方が安い

118

4章

4 章　関数 y=ax2 119

4章

3 節　いろいろな関数３年P119

102 ４章　図形の性質と合同

4章

103１節　角と平行線

4章

Q ノートの横線と交わるように直線を

ひいたとき横線とひいた直線との間に

できる角の大きさについて

どんなことがいえますか

平行線に直線が交わってできる角について調べましょう

　右の図のように平行な 直線 に交わる

つの直線 をひくとその同位角 は

等しくなります

　すなわち　 ならば 　です

1問 　右の図で のとき大きさが

である角すべてに印をつけなさい

このことから平行線の錯角について

どんなことがいえるか予想しなさい

　 1問 から平行線の錯角は等しいことが予想されます

　このことが正しい理由は次のように説明することが

できます

　右のような図で のとき

　　平行線の同位角は等しいから　

　　対頂角は等しいから　

　　したがって　

　すなわち　 ならば 　です

a

b

l

n

mc

a

b

l

n

m

2問 　右の図で のとき の

大きさを求めなさい

3問 　右のような図で のとき

と の間に成り立つ性質について

次の 1 ～ 3 の順に調べなさい

1　 のとき は何度ですか

2　 と の間に成り立つ性質を

　　予想しなさい

3　 2 で予想した性質がいつも成り立つ

　　理由を説明しなさい

b d

al

m

c

la

b d

c

m

平行線の性質2つの直線に つの直線が交わるとき次のことが成り立つ

　 つの直線が平行なとき

　　同位角は等しい

　 つの直線が平行なとき

　　錯角は等しい

平行線の性質

くり返し練習 1P131

左の図の~cと~dは錯角でlmです平行線の錯角は等しいから~c=~dです

右の図の~aと~bは同位角でlmです平行線の同位角は等しいから~a=~bです

陸りくさん 彩

あやさん見つけよう

表現の例表現の例

15

20

5

10

5

10

15

説明しよう

２年P103

「話す」「聞く」「かく」「読む」といった言語活動を通して基礎的基本的な内容の理解を深め数学的な思考力表現力を育成することができるようにしましたまた基本的な用語の使い方から口述による説明記述による説明まで数学的な表現力が無理なく身につくように様々な工夫をしました

初出の用語を使った表現の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

表現の例

口述による説明の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

説明の例

記述による説明の具体例をノート形式で示しました

各章（小節）

さんのノート

「説明のひな形」による指導内容の明確化

言語活動の充実ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

3

数学 マイ トライ

算数をふりかえろう数学研究室力をのばそう

数学研究室１年の復習力をのばそう

数学研究室力をのばそうステップアップ

個に応じて扱うことができる課題や問題を集めたコーナーです各学年に応じた構成になっていますrarr本資料P9〜1119

家庭での自主学習にも対応できるよう〈次の章を学ぶ前に〉章末の問題（くり返し練習章のたしかめとりくんでみよう）及び巻末〈数学 マイ トライ〉の各問題には巻末に解答例を付けました

解答例

メインキャラクターのマテマです生徒の気づきを促したり注目するべきポイントを示したりして

生徒の学習活動を助けます

まちがいやすい問題について注意を促しているところもあります

印がついているものは各学級や個の実態に応じて柔軟に扱うことができる問題や特設ページです

4人の中学生キャラクターです

学習の過程で生じる疑問や気づきなどを提示することで実際の生徒の

学習活動を助けます

初出の用語を使った表現や説明の具体例を示しているところもあります

彩あや

さん 和かず

也や

さん 陸りく

さん 真ま

央お

さん

マテマ

巻末

１年 2 年 3 年

キャラクターの紹介

4

章の扉

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

２年P98 〜 99

親しみやすい中学生のキャラクターの吹き出しによってストーリーが展開されます

学習意欲を高める必然性ストーリー性

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

5

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

〈章の扉〉の特徴学びの必然性ストーリー性を重視した内容とその見せ方で章で学ぶ内容に対する　見通しを持たせ学習意欲を高められるようにしました章全体の導入であると同時に第１時の授業の導入として「使える扉」としました

学習の出発点となる問題です

学習のきっかけとなる疑問や気づきなどを　　マークのついた吹き出しで示しました

6

本文（小節）

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

先生が指導をしやすく生徒が学びやすいよう原則として１つの小節が１時間の授業に対応する小節構成にしています（一部例外もあります）

１年P98 〜 99

前の見開きページの横欄に掲載されている〈チャレンジ〉の答えです

〈例〉にタイトルをつけ学習内容をつかみやすくまたふり返りやすくしました

初出用語が目立つデザインにしました

学習のめあてを明示する一文です

学習の出発点となる問題です

学習内容の明確化

わかりやすく使いやすい教科書

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

7

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

章末の〈くり返し練習〉の掲載ページを示すことでその日の授業内容の復習をしやすいようにしました

1年 P115

114 3 章　方程式

3章

115

3章

円のみかん 個とかき 個を買ったところ代金が

円になりましたかき 個の値段を求めなさい考

冊の厚さが mmのノートと mmのノートが合わせて

冊ありますそれらを積み重ねたときの全体の厚さが

mmのとき厚さが mmのノートは何冊ありますか考

持っているお金ではペットボトルのお茶を 本買うには

円たりませんまたそのお茶を 本買うと 円

余りますお茶 本の値段と持っている金額を求めなさい考

基本の問題

1

2

3

方程式の活用P106 例 1

方程式の活用P107 例 2

過不足の問題P108 例 1

今から1700年ほど前のギリシャの数学者ディオファントスは方程式の研究をし

その基き

礎そ

を築きました彼かれ

がいつ生まれいつ死んだかはよくわかっていませんが

何歳さい

まで生きたかということは知ることができますそれは次のような文が

彼の墓石にきざまれていたからです

ディオファントスは

何歳まで

生きたのでしょうか

1　 　　 　　 2　

3　 　 　　 4　 　

5　 　　 　　 6　 　

7　 　　　 8　

1　 　　　 2　

3　 　　 　　 4　

5　 　　　 6　

7　 　　 　　 8　

9　 　 10　

1　 　 2　

3　 　 4　

5　 　 6　

1　 　 2　

3　 　 4　

1　 　　　 2　

3　 　 4　

次の比例式が成り立つとき の値を求めなさい

1　 　 2　

3　 　　　 4　

5　 　 6　

　次の1～5の方程式を解きなさいまた6の問いに答えなさい

3章のくり返し練習 解答例 P283

1

2

3

4

5

6

等式の性質を使って解く方程式P97

移項と等式の性質を使って解く方程式P98 ～ 99

かっこがある方程式P100

係数に小数をふくむ方程式P101

係数に分数をふくむ方程式P102 ～ 103

比例式P112 ～ 113

3 章の問題

ディオファントスの一生数学のたんけん数学のたんけん

15

20

5

10

5

10

15

20

歴史

ディオファントスは

一生の16を少年としてすごし一生の

112を青年としてすごした

さらに一生の17をすごしてから結

けっ

婚こん

した

結婚してから 5年後に子どもが生まれたがその子は父の一生の半分だけしか生きられず父より 4年前にこの世を去った

16

112

17

5年

12

4年

（ディオファントスの一生）1

1 〈問〉を早く終わらせてしまった生徒が自主的に取り組むための追加の問題です答えはすぐに見えずそれでいて見つけやすいよう次の見開きの脚注に掲載しました

個に応じた学習への配慮

基礎基本の確実な定着

8

３年P91

３年 P108

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

「4章　関数 」を学ぶ前に 解答例 P267

比例の式 y =ax

反比例の式　y =ax

1次関数の式 y =ax+b

(yの増加量)

(xの増加量)を

　変化の割合という　1次関数y=ax+bの　変化の割合は一定で　xの係数aに等しい

比例y=axのグラフ

反比例y=ax のグラフ

　

1次関数y=ax+bのグラフは傾きがa　切片がbの直線

ふりかえり 12年

　卓たっ

球きゅう

の個人戦で全員が他の

参加者と 回ずつ試合をするとき

参加者の人数と試合数の関係を

考えましょう

　右の図は参加者を hellipとして

参加者どうしを線分で結んだものです

　この図では参加者どうしを結ぶ線分の

本数が試合数を表しています

　参加者が 人の場合について

和かず

也や

さんは次のように考えました

1問 和也さんの考え方で下線　　のように試合数を 試合の

半分とするのはなぜですかその理由を説明しましょう

2問 和也さんの考え方で参加者が 人の場合の試合数を求めましょう

3問 参加者が 人の場合の試合数を の式で表しましょう

4問 試合数が全部で 試合となるのは参加者が何人の場合ですか

次の場合についてyをxの式で表しましょう

1 　yがxに比例しx=3のときy=6である

2　yがxに反比例しx=2のときy=4である

3　yがxの1次関数で変化の割合は4である

　　またx=0のときy=5である

次の図で 1 の直線は比例 2 の双そう

曲きょく

線せん

は反比例

3 の直線は1次関数のグラフです

それぞれyをxの式で表しましょう

1 　 2　

3　

1

2

生活への利用 参加者の人数と試合数

［和也さんのノート］

説明しよう

15

20

25

5

10

5

A～ E鼫5人が参加する場合A131317

自分以外鼫4人と1試合ずつするからA1313174試合する他鼫4人も同じように4試合ずつする5人がそれぞれ4試合ずつするから　45=20 (試合)

割だし実際呀する試合131317その半分孼から全部で10試合で158878る

A2人

参加者の人数 試合数

1試合

3人

3試合

4人

6試合

B

A

B C

B C

A D

B E

C D

E

C D

AA

Aは4試合 Bも4試合

B

O

5

-5 5x

y

-5

O

5

-5

-5 5x

y

O

5

-5 5x

y

-5

y

xO

b 1

a

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

発展

90 3 章　2次方程式 91

3章

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

すべての章の直前に既習事項を思い起こすための自学自習のコーナーを新設しました1年では算数との連携を図ることができる内容としています

各章（章の扉の直前）

次の章を学ぶ前に

生徒の理解を深めたり広げたりするために既習事項をふり返り学び直しをする機会を適宜設けました

各章（小節）

ふりかえり

Qふりかえり

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

小中連携学び直し

9

1年 P252 〜 253（巻末〈算数をふりかえろう〉）

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを

　80mminと

　表すことがありますP7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを　80mminと　表すことがあります

P7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

1年 P110（３章　方程式）

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

1年 P68（２章　文字と式）

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

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82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

算数の内容で特に中学数学との関連性が高いものをふり返るコーナーを設けました

巻末

算数をふりかえろう（１年）

ふりかえり

ふりかえり

10

246

7章

2477 章　資料の活用

生活への利用 借りた本の冊数の比較　

　右の表はある中学校の 年 組と 年 組の生徒

各 人がある期間に図書室から借りた本の冊数を

調べ借りた冊数が少ない順に並べたものです

　この資料からどちらの学級の生徒が図書室の本を

たくさん借りているかを比べたいと思います

　まず 組と 組の生徒が借りた本の冊数の平均値を

求めたところどちらも 冊でした

1問 組と 組のそれぞれについて借りた本の

冊数の中央値と最頻値を求めましょう

2問 組について 冊借りた 人を除く

人の平均値中央値最頻値を

それぞれ求め 人の場合と比べましょう

このことからどんなことがわかりますか

　 2問 からわかるように平均値には資料の中に

　　　極きょく

端たん

に離はな

れた値があるとその値に大きく影えい

響きょう

を

受けるという性質がありますこれに対し中央値と

最頻値には離れた値の影響を受けにくいという性質が

あります

　 さんは「平均値はどちらも 冊で等しいから

組の生徒と 組の生徒はどちらも同じくらい

図書室の本を借りている」といっています

　あなたの考えは さんの考えと同じですか

それともちがいますかそう考えた理由を説明し

ほかの人の意見も聞いてみましょう

借りた本の冊数

通し番号 1組冊

2組冊

① 2 0② 2 0③ 2 1④ 3 1⑤ 3 1⑥ 3 1⑦ 3 1⑧ 3 1⑨ 3 1⑩ 4 2⑪ 4 2⑫ 4 2⑬ 4 2⑭ 4 2⑮ 5 2⑯ 5 3⑰ 5 3⑱ 5 3⑲ 6 4⑳ 6 5

6 56 46

平均値 4 4中央値最頻値

話し合おう

分数 248

割合 250

速さ時間道のり 252

図形の計量 254

小町算 256

集合の関係を表す図 257

円周率の歴史 258

地球の温暖化 259

地震のP波と S波 260

ランドルト環 261

速さを一定として考える 262

立体の切り口 発展 263

正多面体が5種類しかない理由 264

2つの資料の関係を読み取ろう 発展 266

数学レポートをかこう 268

巻末 数学 マイ トライ

算数をふりかえろう

数学研究室

A問題

　1章　正の数と負の数 270

　2章　文字と式 271

　3章　方程式 272

　4章　比例と反比例 273

　5章　平面図形 274

　6章　空間図形 275

　7章　資料の活用 276

B問題（活用） 277

いろいろな問題 280

力をのばそう

15

20

25

5

10

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

220 221

倍数の見分け方 222

暗号と素因数分解 224

エラトステネスのふるい 226

風の強さ 227

関数と年代測定 228

偉大な数学者ピタゴラス 229

和算の歴史 230

黄金比 232

正方形の紙を３等分する折り方 234

三平方の定理の証明 236

数学レポートをかこう 238

放物線と三角形 248

放物線と正方形 250

面積の変化 252

角柱の切り分け 254

円と三角形 256

線分の長さ 258

図形と確率 260

数の規則性 262

ステップアップ

数学研究室A問題

　数と式 240

　図形 241

　関数 242

　資料の活用 244

B問題（活用） 245

力をのばそう

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

184 6 章　確率

6章

185

　立方体の つの面のうち 面には 面には

面にはのマークがついたさいころがあります

右の図はそのさいころの展開図です　

　このさいころを つ同時に投げるとき最も出やすい

マークの組み合わせはどれとどれでしょうか

1問 　最も出やすいマークの組み合わせを予想しましょう

2問 　次の表を使ってマークの出方の組み合わせをすべて

かき出しましょう

3問 　最も出やすいマークの組み合わせはどれとどれですか

またその理由を確率を使って説明しましょう

　さいころにつけるマークの種類や

数を自分で決めて確率の問題をつくり

その問題について考えましょう

投げるさいころは同じものでなくても

かまいません

深める数学 マークの組み合わせの確率

やってみよう

説明しよう

正の数と負の数 204

文字と式 205

方程式 206

比例と反比例 207

平面図形 208

空間図形 208

資料の活用 209

連続する 10個の整数の和 186

アルキメデスの墓石 188

さっさ立て 189

食塩水の濃度 190

ダイヤグラム 191

将来の予測 192

面積が変わった 193

どんな図形になるかな 194

期待値 発展 195

魔方陣 196

点字のしくみ 198

格子点を結んでできる図形の面積 200

数学レポートをかこう 202

1年の復習数学研究室

A問題

　1章　式の計算 210

　2章　連立方程式 211

　3章　1次関数 212

　4章　図形の性質と合同 214

　5章　三角形と四角形 216

　6章　確率 217

B問題（活用） 218

いろいろな問題 224

力をのばそう

15

20

5

10

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

学年別の特徴１年hellip小中連携を図るための　　　〈算数をふりかえろう〉を設けています２年hellip全国学力学習状況調査の問題を　　　取り入れた〈力をのばそう〉が　　　充実しています３年hellip3年間の各領域の内容を総合的に扱う　　　〈ステップアップ〉を設けています　　　総まとめとして使うことができます

１年P247

３年 P221２年 P185

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

個に応じた学習を充実させるとともに主体的に学ぶ態度や学習習慣を身につけさせるために巻末に〈数学 マイ トライ〉を設けました家庭での自主学習にも対応できるようにすべての問題に解答例が付いています

個に応じた学習

11

218 219

内のりの縦と高さが cm横が cmの

直方体の水そうがあります

この水そうの底に縦が cm横が cm

高さが cmの直方体の段が右の図のように

固定してあります

この水そうに一定の割合で水を入れたところ

水を入れ始めて 分後に水面の高さが

cmになりました

水を入れ始めてから 分後の水面の高さを cmとして

次の問いに答えなさい

1　水面の高さが cmになるのは水を入れ始めてから

　　何分後ですか

2　 の増加量に対する の増加量の割合を

　 変化の割合といいます

　 水を入れ始めてから水面の高さが cmになるまでの

　 変化の割合は ですこの値はどのような数量を

　 表していますか

3　水面の高さが cmになってから満水になるまでの

　　変化の割合を求めなさい

4　水を入れ始めてから満水に

　　なるまでの と の

　　関係を表すグラフとして

　 正しいものを右の ～

の中から つ選びなさい

　　またそのグラフが正しい

　　理由を「傾き」という

　　ことばを使って説明しなさい

絵え

美み

さんは連続する つの奇数の和がどんな数に

なるかを考えています次の問いに答えなさい

1　絵美さんは右に示した つの例から

　 次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

　 しかしこの予想は正しくありません

が正しくない理由を説明するために反例を つ

　 あげなさい

2　絵美さんはさらにいろいろな連続する つの奇数の

　 和を求めあらためて次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

の予想が正しいことの説明を絵美さんは次の

　 ようにかき出しました

　 絵美さんの考え方で の予想が正しいことを

　 説明しなさい

3　連続する つの奇数を連続する つの奇数に変えたとき

　 その和はどんな数になるかを調べなさい

　 その結果から連続する つの奇数の和はどんな数に

　 なると予想できますか上の のかき方のように

　 「 はhelliphellipになる」という形で答えなさい

解答例 P237B問題（活用）

1

2

力をのばそう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

15

10

20

25

cm

cm

cmcm

cm

y

x

y

x

y

x

y

x

O O

O O

a b

c d

　　　

1 + 3 + 5 = 9

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 = 45

nを整数協すると連続する3つの奇数1313172n-12n+12n+3と表される

［絵美さんのノート］

３年P248 〜 249248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

２年P218

全国学力学習状況調査で正答率が低かった問題をそれぞれ〈A問題〉〈B 問題（活用）〉に反映させました１２年には思考力を伸ばすための〈いろいろな問題〉も用意しました

巻末

力をのばそう（１〜３年）

3年間の各領域の内容を総合的に扱う応用問題です例とその解答例解説及び問から構成されているので自学自習によってさらなる学力の向上を図ることができます

巻末

ステップアップ（３年）

12

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

数学的な思考力表現力を育み数学を活用する能力を伸ばすために大切なことを生徒にわかりやすく伝える工夫をしました

数学の学習で大切なこと

アの活動 見つけよう 考えよう

巻頭

既習の数学を基にして数や図形の性質などを見いだし発展させる活動

２年P120

120 ４章　図形の性質と合同

4章

1212 節　三角形の合同と証明

4章

1問 　次のことがらについて仮定と結論をいいなさい

1 　 ならば である

2 　 において ならば である

3 　 が の倍数ならば は の倍数である

　前ページの のことがらがいつも成り立つことは と

に着目すると次のように説明することができます

　上の説明では仮定のほかにすでに正しいと認められている

次のことがらを使って結論を導いています

対頂角は等しい

組の辺とその間の角がそれぞれ等しい三角形は合同である

合同な図形では対応する線分の長さは等しい

　上のように証明することで のことがらは

線分 の長さや交わる角度に関係なく

いつも成り立つことが明らかになります

右の図のように点Pで交わる線分ABとCDを

　　　 AP=DPCP=BP

となるようにかきAとCBとDをそれぞれ

線分で結ぶとき線分ACとBDの長さについて

いつも成り立つ性質を予想しましょう

あることがらがいつも成り立つことを筋道を立てて

　 説明することについて考えましょう

　Qのようにかいた図ではいつも線分 と の長さが

等しくなると予想されます

　予想したことがらは次のように表すことができます

Q

ならば helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

　　 ならば と表したとき

　　 の部分を仮か

定てい

　　 の部分を結けつ

論ろん

といいます

P

A

C

D B

D

A

B

C

P

D

A

B

C

P

A

A

C

C

DDB

B

P

P

　このように仮定から出発しすでに正しいと

認められていることがらを根こん

拠きょ

にして筋道を

立てて結論を導くことを　　証しょう

明めい

といいます

D

A

B

C

P

と において

仮定から　　　　　　　 　 helliphelliphellip①　 　

　　　　　　　　　　　 　 helliphelliphellip②対頂角は等しいから　 　 helliphelliphellip③

①②③より 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

　　　　　　　　　　

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから

　　　　　　　　　　　

仮定結論と証明3

問題にあう図をノートにかいてみよう

上の図は仮定を満たす図の代表としてかかれたものだよ

見つけよう

結論

ならば

仮定

15

5

10

5

10

15

20

25

正しいと認められたことがら

証明

仮定

結論

本文（小節）や特設ページなどに生徒の主体的な学びを重視した数学的活動の場面を適宜設けました

１年P137

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

学習習慣

数学的活動を通した学びldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

13

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

３年P ６〜 7

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節

生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　 日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

でわれば 日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あや

さんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は 冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたいを使った

平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あやさん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表は さんが m走を 回走った

記録をまとめたものです

　この 回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず

也や

さんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　 冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして 日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って 日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず也やさん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると

　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

回目 回目 回目

分 秒 分 秒 分 秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 冊

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

イの活動 生活への利用

日常生活や社会で数学を利用する活動

１年P50

２年 P85

3問 　右下の図は長さ cmの線せん

香こう

に火を

つけてからの時間と線香の長さの関係を

分ごとに 分後までかき入れたものです

次の問いに答えなさい

1　翼つばさ

さんはこのグラフを見て「線香に

　　火をつけてから 分後の線香の長さを

　　 cmとすると は の 次関数と

　　みなすことができる」と考えました

　　それはグラフのどのような特徴からで

　　しょうかその特徴を説明しなさい

2　このまま燃やし続けると線香が

　　燃えつきるのは火をつけてから

　　何分後と予想できますかまた

　　どのように考えたかも説明しなさい

1次関数とみなして考えること1

節 1次関数の活用

実験で得られたデータを関数の考え方を活用して考察しましょう

右の写真のようにビーカーの水を加熱する

実験をしました水を熱し始めてから 分後の

水温を として 分後まで調べたところ

次の表のようになりました

この と の対応する点をグラフ用紙に

とると右の図のようにほぼ一直線上に

並んでいるといえますこのような場合

は の 次関数とみなして考えることが

あります

右の図では実験結果をもとにかいた

つの点のできるだけ近くを通るように

直線をかいています

1問 　例 1 の直線を 次関数のグラフとみて

次の問いに答えなさい

1　 を の式で表しなさい

2　グラフの傾きと切片はそれぞれ何を表していますか

2問 　例 1 の実験を続けたとき水温が となるのは

熱し始めてから何分後かをグラフや式から予想し

どのように考えたのかを説明しなさい

1次関数とみなして考えること例 1

音が空気中を伝わる速さはそのときの気温によって

変わります気温が xampのとき音が空気中を伝わる

速さを秒速 ymとするとxと yの間にはおよそ

次の関係が成り立つことが知られています

y=06x+3315

1 気温が 30ampで稲いな

妻づま

が見えてから 8秒後に雷らい

鳴めい

が聞こえたとき

雷かみなり

までの距離を求めましょう

ところで雷までの距離が遠いからといって油断をしてはいけません

なぜなら雷らい

雲うん

は広い範はん

囲い

にわたって広がっているものでその範囲内の

どこで次の雷が発生するかはわからないからです

稲妻を見たり雷鳴を聞いたりしたらすぐに安全な場所に避ひ

難なん

しましょう

分

雷に気をつけよう数学のたんけん数学のたんけん

説明しよう

説明しよう

防災

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

分

cm

84

3章

85

3章

3 章　1次関数 3節　1次関数の活用

ウの活動 説明しよう

数学的な表現を用いて根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節4生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　5日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

5でわれば1日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あやさんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は90冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたい

を使った平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あや

さん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表はAさんが 1500m走を 3回走った

記録をまとめたものです

　この 3回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず也やさんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　100冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして1日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って1日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず

也や

さん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

1回目 2回目 3回目

6分 52秒 7分 12秒 7分 8秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) 19 0

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 (冊) 109 90 92 96 108

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) +9

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

14

社では荷物の大きさが cm以下ならば

円それより大きくて cm以下ならば

円と定めています

下の表と左のグラフは 社の料金のしくみを

表したものです

1問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

2　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3　荷物の大きさが cm以下であるとき料金は荷物の

　　大きさの関数といえますかその理由も答えなさい

　次の表は 社が定めた宅配便の料金表です

2問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　 社の料金のグラフを前ページの図にかき入れなさい

2　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

3　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3問 　荷物の大きさが cmの場合 社と 社のどちらの料金が

安いかを彩あや

さんは 2問 の 1 でかいた図を使って

次のように説明しました

荷物の大きさが次の場合料金は 社と 社のどちらが

安いかを判断して彩さんのように説明しなさい

1　 cm　　　　 2　 cm　　　　 3　 cm

4問 　和かず

也や

さんは大きさが cm以下の荷物を送るとき 社と

社のどちらの料金が安いかを次のようにまとめています

にあてはまる数や式をかき入れなさい

［和也さんのノート］

身のまわりの関数を活用しよう2 生活への利用

説明しよう

同じ都道府県内に荷物を送るときの宅配便の

料金についてA社とB社を調べたところ

どちらも荷物の縦の長さ横の長さ高さの

和を荷物の大きさとしてその大きさに応じて

料金を定めていました

荷物の大きさがどんな場合にどちらの会社の

料金が安いかを調べましょう

acm

bcm

(荷物の大きさ)=a+b+c

ccm

O

500

1000

1500

2000

(円)

(cm)50 100 150

A社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

料金 円 円

左上の図ではグラフがその点をふくむことを示しはグラフがその点をふくまないことを示しているよ

彩あやさん

A社とB社のグラフのうち横軸の値が80のときの点が下側にあるのはB社のグラフだから大きさが80cmの場合料金が安いのはB社です

和かず也やさん

説明の例

15

20

5

10

5

10

15

20

B社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

料金 円 円 円 円 円 円

荷物鼫大132529さをxcm協する

80ltxle 鼫場合と 鼫場合131317

A社鼫方が安い龥れ以外鼫場合131317B社鼫方が安い

118

4章

4 章　関数 y=ax2 119

4章

3 節　いろいろな関数３年P119

102 ４章　図形の性質と合同

4章

103１節　角と平行線

4章

Q ノートの横線と交わるように直線を

ひいたとき横線とひいた直線との間に

できる角の大きさについて

どんなことがいえますか

平行線に直線が交わってできる角について調べましょう

　右の図のように平行な 直線 に交わる

つの直線 をひくとその同位角 は

等しくなります

　すなわち　 ならば 　です

1問 　右の図で のとき大きさが

である角すべてに印をつけなさい

このことから平行線の錯角について

どんなことがいえるか予想しなさい

　 1問 から平行線の錯角は等しいことが予想されます

　このことが正しい理由は次のように説明することが

できます

　右のような図で のとき

　　平行線の同位角は等しいから　

　　対頂角は等しいから　

　　したがって　

　すなわち　 ならば 　です

a

b

l

n

mc

a

b

l

n

m

2問 　右の図で のとき の

大きさを求めなさい

3問 　右のような図で のとき

と の間に成り立つ性質について

次の 1 ～ 3 の順に調べなさい

1　 のとき は何度ですか

2　 と の間に成り立つ性質を

　　予想しなさい

3　 2 で予想した性質がいつも成り立つ

　　理由を説明しなさい

b d

al

m

c

la

b d

c

m

平行線の性質2つの直線に つの直線が交わるとき次のことが成り立つ

　 つの直線が平行なとき

　　同位角は等しい

　 つの直線が平行なとき

　　錯角は等しい

平行線の性質

くり返し練習 1P131

左の図の~cと~dは錯角でlmです平行線の錯角は等しいから~c=~dです

右の図の~aと~bは同位角でlmです平行線の同位角は等しいから~a=~bです

陸りくさん 彩

あやさん見つけよう

表現の例表現の例

15

20

5

10

5

10

15

説明しよう

２年P103

「話す」「聞く」「かく」「読む」といった言語活動を通して基礎的基本的な内容の理解を深め数学的な思考力表現力を育成することができるようにしましたまた基本的な用語の使い方から口述による説明記述による説明まで数学的な表現力が無理なく身につくように様々な工夫をしました

初出の用語を使った表現の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

表現の例

口述による説明の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

説明の例

記述による説明の具体例をノート形式で示しました

各章（小節）

さんのノート

「説明のひな形」による指導内容の明確化

言語活動の充実ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

4

章の扉

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

２年P98 〜 99

親しみやすい中学生のキャラクターの吹き出しによってストーリーが展開されます

学習意欲を高める必然性ストーリー性

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

5

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

〈章の扉〉の特徴学びの必然性ストーリー性を重視した内容とその見せ方で章で学ぶ内容に対する　見通しを持たせ学習意欲を高められるようにしました章全体の導入であると同時に第１時の授業の導入として「使える扉」としました

学習の出発点となる問題です

学習のきっかけとなる疑問や気づきなどを　　マークのついた吹き出しで示しました

6

本文（小節）

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

先生が指導をしやすく生徒が学びやすいよう原則として１つの小節が１時間の授業に対応する小節構成にしています（一部例外もあります）

１年P98 〜 99

前の見開きページの横欄に掲載されている〈チャレンジ〉の答えです

〈例〉にタイトルをつけ学習内容をつかみやすくまたふり返りやすくしました

初出用語が目立つデザインにしました

学習のめあてを明示する一文です

学習の出発点となる問題です

学習内容の明確化

わかりやすく使いやすい教科書

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

7

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

章末の〈くり返し練習〉の掲載ページを示すことでその日の授業内容の復習をしやすいようにしました

1年 P115

114 3 章　方程式

3章

115

3章

円のみかん 個とかき 個を買ったところ代金が

円になりましたかき 個の値段を求めなさい考

冊の厚さが mmのノートと mmのノートが合わせて

冊ありますそれらを積み重ねたときの全体の厚さが

mmのとき厚さが mmのノートは何冊ありますか考

持っているお金ではペットボトルのお茶を 本買うには

円たりませんまたそのお茶を 本買うと 円

余りますお茶 本の値段と持っている金額を求めなさい考

基本の問題

1

2

3

方程式の活用P106 例 1

方程式の活用P107 例 2

過不足の問題P108 例 1

今から1700年ほど前のギリシャの数学者ディオファントスは方程式の研究をし

その基き

礎そ

を築きました彼かれ

がいつ生まれいつ死んだかはよくわかっていませんが

何歳さい

まで生きたかということは知ることができますそれは次のような文が

彼の墓石にきざまれていたからです

ディオファントスは

何歳まで

生きたのでしょうか

1　 　　 　　 2　

3　 　 　　 4　 　

5　 　　 　　 6　 　

7　 　　　 8　

1　 　　　 2　

3　 　　 　　 4　

5　 　　　 6　

7　 　　 　　 8　

9　 　 10　

1　 　 2　

3　 　 4　

5　 　 6　

1　 　 2　

3　 　 4　

1　 　　　 2　

3　 　 4　

次の比例式が成り立つとき の値を求めなさい

1　 　 2　

3　 　　　 4　

5　 　 6　

　次の1～5の方程式を解きなさいまた6の問いに答えなさい

3章のくり返し練習 解答例 P283

1

2

3

4

5

6

等式の性質を使って解く方程式P97

移項と等式の性質を使って解く方程式P98 ～ 99

かっこがある方程式P100

係数に小数をふくむ方程式P101

係数に分数をふくむ方程式P102 ～ 103

比例式P112 ～ 113

3 章の問題

ディオファントスの一生数学のたんけん数学のたんけん

15

20

5

10

5

10

15

20

歴史

ディオファントスは

一生の16を少年としてすごし一生の

112を青年としてすごした

さらに一生の17をすごしてから結

けっ

婚こん

した

結婚してから 5年後に子どもが生まれたがその子は父の一生の半分だけしか生きられず父より 4年前にこの世を去った

16

112

17

5年

12

4年

（ディオファントスの一生）1

1 〈問〉を早く終わらせてしまった生徒が自主的に取り組むための追加の問題です答えはすぐに見えずそれでいて見つけやすいよう次の見開きの脚注に掲載しました

個に応じた学習への配慮

基礎基本の確実な定着

8

３年P91

３年 P108

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

「4章　関数 」を学ぶ前に 解答例 P267

比例の式 y =ax

反比例の式　y =ax

1次関数の式 y =ax+b

(yの増加量)

(xの増加量)を

　変化の割合という　1次関数y=ax+bの　変化の割合は一定で　xの係数aに等しい

比例y=axのグラフ

反比例y=ax のグラフ

　

1次関数y=ax+bのグラフは傾きがa　切片がbの直線

ふりかえり 12年

　卓たっ

球きゅう

の個人戦で全員が他の

参加者と 回ずつ試合をするとき

参加者の人数と試合数の関係を

考えましょう

　右の図は参加者を hellipとして

参加者どうしを線分で結んだものです

　この図では参加者どうしを結ぶ線分の

本数が試合数を表しています

　参加者が 人の場合について

和かず

也や

さんは次のように考えました

1問 和也さんの考え方で下線　　のように試合数を 試合の

半分とするのはなぜですかその理由を説明しましょう

2問 和也さんの考え方で参加者が 人の場合の試合数を求めましょう

3問 参加者が 人の場合の試合数を の式で表しましょう

4問 試合数が全部で 試合となるのは参加者が何人の場合ですか

次の場合についてyをxの式で表しましょう

1 　yがxに比例しx=3のときy=6である

2　yがxに反比例しx=2のときy=4である

3　yがxの1次関数で変化の割合は4である

　　またx=0のときy=5である

次の図で 1 の直線は比例 2 の双そう

曲きょく

線せん

は反比例

3 の直線は1次関数のグラフです

それぞれyをxの式で表しましょう

1 　 2　

3　

1

2

生活への利用 参加者の人数と試合数

［和也さんのノート］

説明しよう

15

20

25

5

10

5

A～ E鼫5人が参加する場合A131317

自分以外鼫4人と1試合ずつするからA1313174試合する他鼫4人も同じように4試合ずつする5人がそれぞれ4試合ずつするから　45=20 (試合)

割だし実際呀する試合131317その半分孼から全部で10試合で158878る

A2人

参加者の人数 試合数

1試合

3人

3試合

4人

6試合

B

A

B C

B C

A D

B E

C D

E

C D

AA

Aは4試合 Bも4試合

B

O

5

-5 5x

y

-5

O

5

-5

-5 5x

y

O

5

-5 5x

y

-5

y

xO

b 1

a

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

発展

90 3 章　2次方程式 91

3章

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

すべての章の直前に既習事項を思い起こすための自学自習のコーナーを新設しました1年では算数との連携を図ることができる内容としています

各章（章の扉の直前）

次の章を学ぶ前に

生徒の理解を深めたり広げたりするために既習事項をふり返り学び直しをする機会を適宜設けました

各章（小節）

ふりかえり

Qふりかえり

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

小中連携学び直し

9

1年 P252 〜 253（巻末〈算数をふりかえろう〉）

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを

　80mminと

　表すことがありますP7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを　80mminと　表すことがあります

P7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

1年 P110（３章　方程式）

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

1年 P68（２章　文字と式）

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

算数の内容で特に中学数学との関連性が高いものをふり返るコーナーを設けました

巻末

算数をふりかえろう（１年）

ふりかえり

ふりかえり

10

246

7章

2477 章　資料の活用

生活への利用 借りた本の冊数の比較　

　右の表はある中学校の 年 組と 年 組の生徒

各 人がある期間に図書室から借りた本の冊数を

調べ借りた冊数が少ない順に並べたものです

　この資料からどちらの学級の生徒が図書室の本を

たくさん借りているかを比べたいと思います

　まず 組と 組の生徒が借りた本の冊数の平均値を

求めたところどちらも 冊でした

1問 組と 組のそれぞれについて借りた本の

冊数の中央値と最頻値を求めましょう

2問 組について 冊借りた 人を除く

人の平均値中央値最頻値を

それぞれ求め 人の場合と比べましょう

このことからどんなことがわかりますか

　 2問 からわかるように平均値には資料の中に

　　　極きょく

端たん

に離はな

れた値があるとその値に大きく影えい

響きょう

を

受けるという性質がありますこれに対し中央値と

最頻値には離れた値の影響を受けにくいという性質が

あります

　 さんは「平均値はどちらも 冊で等しいから

組の生徒と 組の生徒はどちらも同じくらい

図書室の本を借りている」といっています

　あなたの考えは さんの考えと同じですか

それともちがいますかそう考えた理由を説明し

ほかの人の意見も聞いてみましょう

借りた本の冊数

通し番号 1組冊

2組冊

① 2 0② 2 0③ 2 1④ 3 1⑤ 3 1⑥ 3 1⑦ 3 1⑧ 3 1⑨ 3 1⑩ 4 2⑪ 4 2⑫ 4 2⑬ 4 2⑭ 4 2⑮ 5 2⑯ 5 3⑰ 5 3⑱ 5 3⑲ 6 4⑳ 6 5

6 56 46

平均値 4 4中央値最頻値

話し合おう

分数 248

割合 250

速さ時間道のり 252

図形の計量 254

小町算 256

集合の関係を表す図 257

円周率の歴史 258

地球の温暖化 259

地震のP波と S波 260

ランドルト環 261

速さを一定として考える 262

立体の切り口 発展 263

正多面体が5種類しかない理由 264

2つの資料の関係を読み取ろう 発展 266

数学レポートをかこう 268

巻末 数学 マイ トライ

算数をふりかえろう

数学研究室

A問題

　1章　正の数と負の数 270

　2章　文字と式 271

　3章　方程式 272

　4章　比例と反比例 273

　5章　平面図形 274

　6章　空間図形 275

　7章　資料の活用 276

B問題（活用） 277

いろいろな問題 280

力をのばそう

15

20

25

5

10

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

220 221

倍数の見分け方 222

暗号と素因数分解 224

エラトステネスのふるい 226

風の強さ 227

関数と年代測定 228

偉大な数学者ピタゴラス 229

和算の歴史 230

黄金比 232

正方形の紙を３等分する折り方 234

三平方の定理の証明 236

数学レポートをかこう 238

放物線と三角形 248

放物線と正方形 250

面積の変化 252

角柱の切り分け 254

円と三角形 256

線分の長さ 258

図形と確率 260

数の規則性 262

ステップアップ

数学研究室A問題

　数と式 240

　図形 241

　関数 242

　資料の活用 244

B問題（活用） 245

力をのばそう

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

184 6 章　確率

6章

185

　立方体の つの面のうち 面には 面には

面にはのマークがついたさいころがあります

右の図はそのさいころの展開図です　

　このさいころを つ同時に投げるとき最も出やすい

マークの組み合わせはどれとどれでしょうか

1問 　最も出やすいマークの組み合わせを予想しましょう

2問 　次の表を使ってマークの出方の組み合わせをすべて

かき出しましょう

3問 　最も出やすいマークの組み合わせはどれとどれですか

またその理由を確率を使って説明しましょう

　さいころにつけるマークの種類や

数を自分で決めて確率の問題をつくり

その問題について考えましょう

投げるさいころは同じものでなくても

かまいません

深める数学 マークの組み合わせの確率

やってみよう

説明しよう

正の数と負の数 204

文字と式 205

方程式 206

比例と反比例 207

平面図形 208

空間図形 208

資料の活用 209

連続する 10個の整数の和 186

アルキメデスの墓石 188

さっさ立て 189

食塩水の濃度 190

ダイヤグラム 191

将来の予測 192

面積が変わった 193

どんな図形になるかな 194

期待値 発展 195

魔方陣 196

点字のしくみ 198

格子点を結んでできる図形の面積 200

数学レポートをかこう 202

1年の復習数学研究室

A問題

　1章　式の計算 210

　2章　連立方程式 211

　3章　1次関数 212

　4章　図形の性質と合同 214

　5章　三角形と四角形 216

　6章　確率 217

B問題（活用） 218

いろいろな問題 224

力をのばそう

15

20

5

10

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

学年別の特徴１年hellip小中連携を図るための　　　〈算数をふりかえろう〉を設けています２年hellip全国学力学習状況調査の問題を　　　取り入れた〈力をのばそう〉が　　　充実しています３年hellip3年間の各領域の内容を総合的に扱う　　　〈ステップアップ〉を設けています　　　総まとめとして使うことができます

１年P247

３年 P221２年 P185

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

個に応じた学習を充実させるとともに主体的に学ぶ態度や学習習慣を身につけさせるために巻末に〈数学 マイ トライ〉を設けました家庭での自主学習にも対応できるようにすべての問題に解答例が付いています

個に応じた学習

11

218 219

内のりの縦と高さが cm横が cmの

直方体の水そうがあります

この水そうの底に縦が cm横が cm

高さが cmの直方体の段が右の図のように

固定してあります

この水そうに一定の割合で水を入れたところ

水を入れ始めて 分後に水面の高さが

cmになりました

水を入れ始めてから 分後の水面の高さを cmとして

次の問いに答えなさい

1　水面の高さが cmになるのは水を入れ始めてから

　　何分後ですか

2　 の増加量に対する の増加量の割合を

　 変化の割合といいます

　 水を入れ始めてから水面の高さが cmになるまでの

　 変化の割合は ですこの値はどのような数量を

　 表していますか

3　水面の高さが cmになってから満水になるまでの

　　変化の割合を求めなさい

4　水を入れ始めてから満水に

　　なるまでの と の

　　関係を表すグラフとして

　 正しいものを右の ～

の中から つ選びなさい

　　またそのグラフが正しい

　　理由を「傾き」という

　　ことばを使って説明しなさい

絵え

美み

さんは連続する つの奇数の和がどんな数に

なるかを考えています次の問いに答えなさい

1　絵美さんは右に示した つの例から

　 次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

　 しかしこの予想は正しくありません

が正しくない理由を説明するために反例を つ

　 あげなさい

2　絵美さんはさらにいろいろな連続する つの奇数の

　 和を求めあらためて次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

の予想が正しいことの説明を絵美さんは次の

　 ようにかき出しました

　 絵美さんの考え方で の予想が正しいことを

　 説明しなさい

3　連続する つの奇数を連続する つの奇数に変えたとき

　 その和はどんな数になるかを調べなさい

　 その結果から連続する つの奇数の和はどんな数に

　 なると予想できますか上の のかき方のように

　 「 はhelliphellipになる」という形で答えなさい

解答例 P237B問題（活用）

1

2

力をのばそう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

15

10

20

25

cm

cm

cmcm

cm

y

x

y

x

y

x

y

x

O O

O O

a b

c d

　　　

1 + 3 + 5 = 9

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 = 45

nを整数協すると連続する3つの奇数1313172n-12n+12n+3と表される

［絵美さんのノート］

３年P248 〜 249248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

２年P218

全国学力学習状況調査で正答率が低かった問題をそれぞれ〈A問題〉〈B 問題（活用）〉に反映させました１２年には思考力を伸ばすための〈いろいろな問題〉も用意しました

巻末

力をのばそう（１〜３年）

3年間の各領域の内容を総合的に扱う応用問題です例とその解答例解説及び問から構成されているので自学自習によってさらなる学力の向上を図ることができます

巻末

ステップアップ（３年）

12

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

数学的な思考力表現力を育み数学を活用する能力を伸ばすために大切なことを生徒にわかりやすく伝える工夫をしました

数学の学習で大切なこと

アの活動 見つけよう 考えよう

巻頭

既習の数学を基にして数や図形の性質などを見いだし発展させる活動

２年P120

120 ４章　図形の性質と合同

4章

1212 節　三角形の合同と証明

4章

1問 　次のことがらについて仮定と結論をいいなさい

1 　 ならば である

2 　 において ならば である

3 　 が の倍数ならば は の倍数である

　前ページの のことがらがいつも成り立つことは と

に着目すると次のように説明することができます

　上の説明では仮定のほかにすでに正しいと認められている

次のことがらを使って結論を導いています

対頂角は等しい

組の辺とその間の角がそれぞれ等しい三角形は合同である

合同な図形では対応する線分の長さは等しい

　上のように証明することで のことがらは

線分 の長さや交わる角度に関係なく

いつも成り立つことが明らかになります

右の図のように点Pで交わる線分ABとCDを

　　　 AP=DPCP=BP

となるようにかきAとCBとDをそれぞれ

線分で結ぶとき線分ACとBDの長さについて

いつも成り立つ性質を予想しましょう

あることがらがいつも成り立つことを筋道を立てて

　 説明することについて考えましょう

　Qのようにかいた図ではいつも線分 と の長さが

等しくなると予想されます

　予想したことがらは次のように表すことができます

Q

ならば helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

　　 ならば と表したとき

　　 の部分を仮か

定てい

　　 の部分を結けつ

論ろん

といいます

P

A

C

D B

D

A

B

C

P

D

A

B

C

P

A

A

C

C

DDB

B

P

P

　このように仮定から出発しすでに正しいと

認められていることがらを根こん

拠きょ

にして筋道を

立てて結論を導くことを　　証しょう

明めい

といいます

D

A

B

C

P

と において

仮定から　　　　　　　 　 helliphelliphellip①　 　

　　　　　　　　　　　 　 helliphelliphellip②対頂角は等しいから　 　 helliphelliphellip③

①②③より 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

　　　　　　　　　　

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから

　　　　　　　　　　　

仮定結論と証明3

問題にあう図をノートにかいてみよう

上の図は仮定を満たす図の代表としてかかれたものだよ

見つけよう

結論

ならば

仮定

15

5

10

5

10

15

20

25

正しいと認められたことがら

証明

仮定

結論

本文（小節）や特設ページなどに生徒の主体的な学びを重視した数学的活動の場面を適宜設けました

１年P137

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

学習習慣

数学的活動を通した学びldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

13

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

３年P ６〜 7

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節

生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　 日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

でわれば 日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あや

さんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は 冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたいを使った

平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あやさん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表は さんが m走を 回走った

記録をまとめたものです

　この 回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず

也や

さんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　 冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして 日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って 日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず也やさん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると

　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

回目 回目 回目

分 秒 分 秒 分 秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 冊

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

イの活動 生活への利用

日常生活や社会で数学を利用する活動

１年P50

２年 P85

3問 　右下の図は長さ cmの線せん

香こう

に火を

つけてからの時間と線香の長さの関係を

分ごとに 分後までかき入れたものです

次の問いに答えなさい

1　翼つばさ

さんはこのグラフを見て「線香に

　　火をつけてから 分後の線香の長さを

　　 cmとすると は の 次関数と

　　みなすことができる」と考えました

　　それはグラフのどのような特徴からで

　　しょうかその特徴を説明しなさい

2　このまま燃やし続けると線香が

　　燃えつきるのは火をつけてから

　　何分後と予想できますかまた

　　どのように考えたかも説明しなさい

1次関数とみなして考えること1

節 1次関数の活用

実験で得られたデータを関数の考え方を活用して考察しましょう

右の写真のようにビーカーの水を加熱する

実験をしました水を熱し始めてから 分後の

水温を として 分後まで調べたところ

次の表のようになりました

この と の対応する点をグラフ用紙に

とると右の図のようにほぼ一直線上に

並んでいるといえますこのような場合

は の 次関数とみなして考えることが

あります

右の図では実験結果をもとにかいた

つの点のできるだけ近くを通るように

直線をかいています

1問 　例 1 の直線を 次関数のグラフとみて

次の問いに答えなさい

1　 を の式で表しなさい

2　グラフの傾きと切片はそれぞれ何を表していますか

2問 　例 1 の実験を続けたとき水温が となるのは

熱し始めてから何分後かをグラフや式から予想し

どのように考えたのかを説明しなさい

1次関数とみなして考えること例 1

音が空気中を伝わる速さはそのときの気温によって

変わります気温が xampのとき音が空気中を伝わる

速さを秒速 ymとするとxと yの間にはおよそ

次の関係が成り立つことが知られています

y=06x+3315

1 気温が 30ampで稲いな

妻づま

が見えてから 8秒後に雷らい

鳴めい

が聞こえたとき

雷かみなり

までの距離を求めましょう

ところで雷までの距離が遠いからといって油断をしてはいけません

なぜなら雷らい

雲うん

は広い範はん

囲い

にわたって広がっているものでその範囲内の

どこで次の雷が発生するかはわからないからです

稲妻を見たり雷鳴を聞いたりしたらすぐに安全な場所に避ひ

難なん

しましょう

分

雷に気をつけよう数学のたんけん数学のたんけん

説明しよう

説明しよう

防災

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

分

cm

84

3章

85

3章

3 章　1次関数 3節　1次関数の活用

ウの活動 説明しよう

数学的な表現を用いて根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節4生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　5日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

5でわれば1日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あやさんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は90冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたい

を使った平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あや

さん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表はAさんが 1500m走を 3回走った

記録をまとめたものです

　この 3回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず也やさんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　100冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして1日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って1日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず

也や

さん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

1回目 2回目 3回目

6分 52秒 7分 12秒 7分 8秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) 19 0

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 (冊) 109 90 92 96 108

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) +9

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

14

社では荷物の大きさが cm以下ならば

円それより大きくて cm以下ならば

円と定めています

下の表と左のグラフは 社の料金のしくみを

表したものです

1問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

2　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3　荷物の大きさが cm以下であるとき料金は荷物の

　　大きさの関数といえますかその理由も答えなさい

　次の表は 社が定めた宅配便の料金表です

2問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　 社の料金のグラフを前ページの図にかき入れなさい

2　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

3　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3問 　荷物の大きさが cmの場合 社と 社のどちらの料金が

安いかを彩あや

さんは 2問 の 1 でかいた図を使って

次のように説明しました

荷物の大きさが次の場合料金は 社と 社のどちらが

安いかを判断して彩さんのように説明しなさい

1　 cm　　　　 2　 cm　　　　 3　 cm

4問 　和かず

也や

さんは大きさが cm以下の荷物を送るとき 社と

社のどちらの料金が安いかを次のようにまとめています

にあてはまる数や式をかき入れなさい

［和也さんのノート］

身のまわりの関数を活用しよう2 生活への利用

説明しよう

同じ都道府県内に荷物を送るときの宅配便の

料金についてA社とB社を調べたところ

どちらも荷物の縦の長さ横の長さ高さの

和を荷物の大きさとしてその大きさに応じて

料金を定めていました

荷物の大きさがどんな場合にどちらの会社の

料金が安いかを調べましょう

acm

bcm

(荷物の大きさ)=a+b+c

ccm

O

500

1000

1500

2000

(円)

(cm)50 100 150

A社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

料金 円 円

左上の図ではグラフがその点をふくむことを示しはグラフがその点をふくまないことを示しているよ

彩あやさん

A社とB社のグラフのうち横軸の値が80のときの点が下側にあるのはB社のグラフだから大きさが80cmの場合料金が安いのはB社です

和かず也やさん

説明の例

15

20

5

10

5

10

15

20

B社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

料金 円 円 円 円 円 円

荷物鼫大132529さをxcm協する

80ltxle 鼫場合と 鼫場合131317

A社鼫方が安い龥れ以外鼫場合131317B社鼫方が安い

118

4章

4 章　関数 y=ax2 119

4章

3 節　いろいろな関数３年P119

102 ４章　図形の性質と合同

4章

103１節　角と平行線

4章

Q ノートの横線と交わるように直線を

ひいたとき横線とひいた直線との間に

できる角の大きさについて

どんなことがいえますか

平行線に直線が交わってできる角について調べましょう

　右の図のように平行な 直線 に交わる

つの直線 をひくとその同位角 は

等しくなります

　すなわち　 ならば 　です

1問 　右の図で のとき大きさが

である角すべてに印をつけなさい

このことから平行線の錯角について

どんなことがいえるか予想しなさい

　 1問 から平行線の錯角は等しいことが予想されます

　このことが正しい理由は次のように説明することが

できます

　右のような図で のとき

　　平行線の同位角は等しいから　

　　対頂角は等しいから　

　　したがって　

　すなわち　 ならば 　です

a

b

l

n

mc

a

b

l

n

m

2問 　右の図で のとき の

大きさを求めなさい

3問 　右のような図で のとき

と の間に成り立つ性質について

次の 1 ～ 3 の順に調べなさい

1　 のとき は何度ですか

2　 と の間に成り立つ性質を

　　予想しなさい

3　 2 で予想した性質がいつも成り立つ

　　理由を説明しなさい

b d

al

m

c

la

b d

c

m

平行線の性質2つの直線に つの直線が交わるとき次のことが成り立つ

　 つの直線が平行なとき

　　同位角は等しい

　 つの直線が平行なとき

　　錯角は等しい

平行線の性質

くり返し練習 1P131

左の図の~cと~dは錯角でlmです平行線の錯角は等しいから~c=~dです

右の図の~aと~bは同位角でlmです平行線の同位角は等しいから~a=~bです

陸りくさん 彩

あやさん見つけよう

表現の例表現の例

15

20

5

10

5

10

15

説明しよう

２年P103

「話す」「聞く」「かく」「読む」といった言語活動を通して基礎的基本的な内容の理解を深め数学的な思考力表現力を育成することができるようにしましたまた基本的な用語の使い方から口述による説明記述による説明まで数学的な表現力が無理なく身につくように様々な工夫をしました

初出の用語を使った表現の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

表現の例

口述による説明の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

説明の例

記述による説明の具体例をノート形式で示しました

各章（小節）

さんのノート

「説明のひな形」による指導内容の明確化

言語活動の充実ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

5

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

章

　小学校では三角形の つの角の大きさの和が degであることを学びました

図形の性質と合同4

真ま央おさん 和

かず也やさん

ふりかえり 算数

分度器で三角形の3つの角の

大きさを測る

三角形の紙をちぎって角を集める

いくつ調べてもすべての三角形を調べつくすことはできないのではないかな

いろいろな形の三角形を調べてみたらどうかな

小学校ではこんなふうに確かめたね

「いつも成り立つ」ということはどうすれば説明できるのかな

どんな三角形でも180^になることはどうすれば確かめられるのかな

この章では図形の性質を調べたり図形の性質がいつも成り立つことを

筋道を立てて説明したりすることについて学びましょう

いつも成り立つ性質がありそうだよ

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

d

b

a c

1　 　　　　　　 2　 　　　　　　 3　

彩あやさん 陸

りくさん

Q 右の図のように2つの直線が交わってできる

4つの角を順に~a~b~c~dとします

~dの大きさが次の 1 ～ 3 のとき

~aと~cの大きさはそれぞれ何度ですか

その結果からどんなことが予想できますか

98 99

4章

4章

〈章の扉〉の特徴学びの必然性ストーリー性を重視した内容とその見せ方で章で学ぶ内容に対する　見通しを持たせ学習意欲を高められるようにしました章全体の導入であると同時に第１時の授業の導入として「使える扉」としました

学習の出発点となる問題です

学習のきっかけとなる疑問や気づきなどを　　マークのついた吹き出しで示しました

6

本文（小節）

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

先生が指導をしやすく生徒が学びやすいよう原則として１つの小節が１時間の授業に対応する小節構成にしています（一部例外もあります）

１年P98 〜 99

前の見開きページの横欄に掲載されている〈チャレンジ〉の答えです

〈例〉にタイトルをつけ学習内容をつかみやすくまたふり返りやすくしました

初出用語が目立つデザインにしました

学習のめあてを明示する一文です

学習の出発点となる問題です

学習内容の明確化

わかりやすく使いやすい教科書

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

7

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

章末の〈くり返し練習〉の掲載ページを示すことでその日の授業内容の復習をしやすいようにしました

1年 P115

114 3 章　方程式

3章

115

3章

円のみかん 個とかき 個を買ったところ代金が

円になりましたかき 個の値段を求めなさい考

冊の厚さが mmのノートと mmのノートが合わせて

冊ありますそれらを積み重ねたときの全体の厚さが

mmのとき厚さが mmのノートは何冊ありますか考

持っているお金ではペットボトルのお茶を 本買うには

円たりませんまたそのお茶を 本買うと 円

余りますお茶 本の値段と持っている金額を求めなさい考

基本の問題

1

2

3

方程式の活用P106 例 1

方程式の活用P107 例 2

過不足の問題P108 例 1

今から1700年ほど前のギリシャの数学者ディオファントスは方程式の研究をし

その基き

礎そ

を築きました彼かれ

がいつ生まれいつ死んだかはよくわかっていませんが

何歳さい

まで生きたかということは知ることができますそれは次のような文が

彼の墓石にきざまれていたからです

ディオファントスは

何歳まで

生きたのでしょうか

1　 　　 　　 2　

3　 　 　　 4　 　

5　 　　 　　 6　 　

7　 　　　 8　

1　 　　　 2　

3　 　　 　　 4　

5　 　　　 6　

7　 　　 　　 8　

9　 　 10　

1　 　 2　

3　 　 4　

5　 　 6　

1　 　 2　

3　 　 4　

1　 　　　 2　

3　 　 4　

次の比例式が成り立つとき の値を求めなさい

1　 　 2　

3　 　　　 4　

5　 　 6　

　次の1～5の方程式を解きなさいまた6の問いに答えなさい

3章のくり返し練習 解答例 P283

1

2

3

4

5

6

等式の性質を使って解く方程式P97

移項と等式の性質を使って解く方程式P98 ～ 99

かっこがある方程式P100

係数に小数をふくむ方程式P101

係数に分数をふくむ方程式P102 ～ 103

比例式P112 ～ 113

3 章の問題

ディオファントスの一生数学のたんけん数学のたんけん

15

20

5

10

5

10

15

20

歴史

ディオファントスは

一生の16を少年としてすごし一生の

112を青年としてすごした

さらに一生の17をすごしてから結

けっ

婚こん

した

結婚してから 5年後に子どもが生まれたがその子は父の一生の半分だけしか生きられず父より 4年前にこの世を去った

16

112

17

5年

12

4年

（ディオファントスの一生）1

1 〈問〉を早く終わらせてしまった生徒が自主的に取り組むための追加の問題です答えはすぐに見えずそれでいて見つけやすいよう次の見開きの脚注に掲載しました

個に応じた学習への配慮

基礎基本の確実な定着

8

３年P91

３年 P108

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

「4章　関数 」を学ぶ前に 解答例 P267

比例の式 y =ax

反比例の式　y =ax

1次関数の式 y =ax+b

(yの増加量)

(xの増加量)を

　変化の割合という　1次関数y=ax+bの　変化の割合は一定で　xの係数aに等しい

比例y=axのグラフ

反比例y=ax のグラフ

　

1次関数y=ax+bのグラフは傾きがa　切片がbの直線

ふりかえり 12年

　卓たっ

球きゅう

の個人戦で全員が他の

参加者と 回ずつ試合をするとき

参加者の人数と試合数の関係を

考えましょう

　右の図は参加者を hellipとして

参加者どうしを線分で結んだものです

　この図では参加者どうしを結ぶ線分の

本数が試合数を表しています

　参加者が 人の場合について

和かず

也や

さんは次のように考えました

1問 和也さんの考え方で下線　　のように試合数を 試合の

半分とするのはなぜですかその理由を説明しましょう

2問 和也さんの考え方で参加者が 人の場合の試合数を求めましょう

3問 参加者が 人の場合の試合数を の式で表しましょう

4問 試合数が全部で 試合となるのは参加者が何人の場合ですか

次の場合についてyをxの式で表しましょう

1 　yがxに比例しx=3のときy=6である

2　yがxに反比例しx=2のときy=4である

3　yがxの1次関数で変化の割合は4である

　　またx=0のときy=5である

次の図で 1 の直線は比例 2 の双そう

曲きょく

線せん

は反比例

3 の直線は1次関数のグラフです

それぞれyをxの式で表しましょう

1 　 2　

3　

1

2

生活への利用 参加者の人数と試合数

［和也さんのノート］

説明しよう

15

20

25

5

10

5

A～ E鼫5人が参加する場合A131317

自分以外鼫4人と1試合ずつするからA1313174試合する他鼫4人も同じように4試合ずつする5人がそれぞれ4試合ずつするから　45=20 (試合)

割だし実際呀する試合131317その半分孼から全部で10試合で158878る

A2人

参加者の人数 試合数

1試合

3人

3試合

4人

6試合

B

A

B C

B C

A D

B E

C D

E

C D

AA

Aは4試合 Bも4試合

B

O

5

-5 5x

y

-5

O

5

-5

-5 5x

y

O

5

-5 5x

y

-5

y

xO

b 1

a

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

発展

90 3 章　2次方程式 91

3章

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

すべての章の直前に既習事項を思い起こすための自学自習のコーナーを新設しました1年では算数との連携を図ることができる内容としています

各章（章の扉の直前）

次の章を学ぶ前に

生徒の理解を深めたり広げたりするために既習事項をふり返り学び直しをする機会を適宜設けました

各章（小節）

ふりかえり

Qふりかえり

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

小中連携学び直し

9

1年 P252 〜 253（巻末〈算数をふりかえろう〉）

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを

　80mminと

　表すことがありますP7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを　80mminと　表すことがあります

P7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

1年 P110（３章　方程式）

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

1年 P68（２章　文字と式）

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

算数の内容で特に中学数学との関連性が高いものをふり返るコーナーを設けました

巻末

算数をふりかえろう（１年）

ふりかえり

ふりかえり

10

246

7章

2477 章　資料の活用

生活への利用 借りた本の冊数の比較　

　右の表はある中学校の 年 組と 年 組の生徒

各 人がある期間に図書室から借りた本の冊数を

調べ借りた冊数が少ない順に並べたものです

　この資料からどちらの学級の生徒が図書室の本を

たくさん借りているかを比べたいと思います

　まず 組と 組の生徒が借りた本の冊数の平均値を

求めたところどちらも 冊でした

1問 組と 組のそれぞれについて借りた本の

冊数の中央値と最頻値を求めましょう

2問 組について 冊借りた 人を除く

人の平均値中央値最頻値を

それぞれ求め 人の場合と比べましょう

このことからどんなことがわかりますか

　 2問 からわかるように平均値には資料の中に

　　　極きょく

端たん

に離はな

れた値があるとその値に大きく影えい

響きょう

を

受けるという性質がありますこれに対し中央値と

最頻値には離れた値の影響を受けにくいという性質が

あります

　 さんは「平均値はどちらも 冊で等しいから

組の生徒と 組の生徒はどちらも同じくらい

図書室の本を借りている」といっています

　あなたの考えは さんの考えと同じですか

それともちがいますかそう考えた理由を説明し

ほかの人の意見も聞いてみましょう

借りた本の冊数

通し番号 1組冊

2組冊

① 2 0② 2 0③ 2 1④ 3 1⑤ 3 1⑥ 3 1⑦ 3 1⑧ 3 1⑨ 3 1⑩ 4 2⑪ 4 2⑫ 4 2⑬ 4 2⑭ 4 2⑮ 5 2⑯ 5 3⑰ 5 3⑱ 5 3⑲ 6 4⑳ 6 5

6 56 46

平均値 4 4中央値最頻値

話し合おう

分数 248

割合 250

速さ時間道のり 252

図形の計量 254

小町算 256

集合の関係を表す図 257

円周率の歴史 258

地球の温暖化 259

地震のP波と S波 260

ランドルト環 261

速さを一定として考える 262

立体の切り口 発展 263

正多面体が5種類しかない理由 264

2つの資料の関係を読み取ろう 発展 266

数学レポートをかこう 268

巻末 数学 マイ トライ

算数をふりかえろう

数学研究室

A問題

　1章　正の数と負の数 270

　2章　文字と式 271

　3章　方程式 272

　4章　比例と反比例 273

　5章　平面図形 274

　6章　空間図形 275

　7章　資料の活用 276

B問題（活用） 277

いろいろな問題 280

力をのばそう

15

20

25

5

10

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

220 221

倍数の見分け方 222

暗号と素因数分解 224

エラトステネスのふるい 226

風の強さ 227

関数と年代測定 228

偉大な数学者ピタゴラス 229

和算の歴史 230

黄金比 232

正方形の紙を３等分する折り方 234

三平方の定理の証明 236

数学レポートをかこう 238

放物線と三角形 248

放物線と正方形 250

面積の変化 252

角柱の切り分け 254

円と三角形 256

線分の長さ 258

図形と確率 260

数の規則性 262

ステップアップ

数学研究室A問題

　数と式 240

　図形 241

　関数 242

　資料の活用 244

B問題（活用） 245

力をのばそう

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

184 6 章　確率

6章

185

　立方体の つの面のうち 面には 面には

面にはのマークがついたさいころがあります

右の図はそのさいころの展開図です　

　このさいころを つ同時に投げるとき最も出やすい

マークの組み合わせはどれとどれでしょうか

1問 　最も出やすいマークの組み合わせを予想しましょう

2問 　次の表を使ってマークの出方の組み合わせをすべて

かき出しましょう

3問 　最も出やすいマークの組み合わせはどれとどれですか

またその理由を確率を使って説明しましょう

　さいころにつけるマークの種類や

数を自分で決めて確率の問題をつくり

その問題について考えましょう

投げるさいころは同じものでなくても

かまいません

深める数学 マークの組み合わせの確率

やってみよう

説明しよう

正の数と負の数 204

文字と式 205

方程式 206

比例と反比例 207

平面図形 208

空間図形 208

資料の活用 209

連続する 10個の整数の和 186

アルキメデスの墓石 188

さっさ立て 189

食塩水の濃度 190

ダイヤグラム 191

将来の予測 192

面積が変わった 193

どんな図形になるかな 194

期待値 発展 195

魔方陣 196

点字のしくみ 198

格子点を結んでできる図形の面積 200

数学レポートをかこう 202

1年の復習数学研究室

A問題

　1章　式の計算 210

　2章　連立方程式 211

　3章　1次関数 212

　4章　図形の性質と合同 214

　5章　三角形と四角形 216

　6章　確率 217

B問題（活用） 218

いろいろな問題 224

力をのばそう

15

20

5

10

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

学年別の特徴１年hellip小中連携を図るための　　　〈算数をふりかえろう〉を設けています２年hellip全国学力学習状況調査の問題を　　　取り入れた〈力をのばそう〉が　　　充実しています３年hellip3年間の各領域の内容を総合的に扱う　　　〈ステップアップ〉を設けています　　　総まとめとして使うことができます

１年P247

３年 P221２年 P185

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

個に応じた学習を充実させるとともに主体的に学ぶ態度や学習習慣を身につけさせるために巻末に〈数学 マイ トライ〉を設けました家庭での自主学習にも対応できるようにすべての問題に解答例が付いています

個に応じた学習

11

218 219

内のりの縦と高さが cm横が cmの

直方体の水そうがあります

この水そうの底に縦が cm横が cm

高さが cmの直方体の段が右の図のように

固定してあります

この水そうに一定の割合で水を入れたところ

水を入れ始めて 分後に水面の高さが

cmになりました

水を入れ始めてから 分後の水面の高さを cmとして

次の問いに答えなさい

1　水面の高さが cmになるのは水を入れ始めてから

　　何分後ですか

2　 の増加量に対する の増加量の割合を

　 変化の割合といいます

　 水を入れ始めてから水面の高さが cmになるまでの

　 変化の割合は ですこの値はどのような数量を

　 表していますか

3　水面の高さが cmになってから満水になるまでの

　　変化の割合を求めなさい

4　水を入れ始めてから満水に

　　なるまでの と の

　　関係を表すグラフとして

　 正しいものを右の ～

の中から つ選びなさい

　　またそのグラフが正しい

　　理由を「傾き」という

　　ことばを使って説明しなさい

絵え

美み

さんは連続する つの奇数の和がどんな数に

なるかを考えています次の問いに答えなさい

1　絵美さんは右に示した つの例から

　 次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

　 しかしこの予想は正しくありません

が正しくない理由を説明するために反例を つ

　 あげなさい

2　絵美さんはさらにいろいろな連続する つの奇数の

　 和を求めあらためて次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

の予想が正しいことの説明を絵美さんは次の

　 ようにかき出しました

　 絵美さんの考え方で の予想が正しいことを

　 説明しなさい

3　連続する つの奇数を連続する つの奇数に変えたとき

　 その和はどんな数になるかを調べなさい

　 その結果から連続する つの奇数の和はどんな数に

　 なると予想できますか上の のかき方のように

　 「 はhelliphellipになる」という形で答えなさい

解答例 P237B問題（活用）

1

2

力をのばそう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

15

10

20

25

cm

cm

cmcm

cm

y

x

y

x

y

x

y

x

O O

O O

a b

c d

　　　

1 + 3 + 5 = 9

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 = 45

nを整数協すると連続する3つの奇数1313172n-12n+12n+3と表される

［絵美さんのノート］

３年P248 〜 249248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

２年P218

全国学力学習状況調査で正答率が低かった問題をそれぞれ〈A問題〉〈B 問題（活用）〉に反映させました１２年には思考力を伸ばすための〈いろいろな問題〉も用意しました

巻末

力をのばそう（１〜３年）

3年間の各領域の内容を総合的に扱う応用問題です例とその解答例解説及び問から構成されているので自学自習によってさらなる学力の向上を図ることができます

巻末

ステップアップ（３年）

12

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

数学的な思考力表現力を育み数学を活用する能力を伸ばすために大切なことを生徒にわかりやすく伝える工夫をしました

数学の学習で大切なこと

アの活動 見つけよう 考えよう

巻頭

既習の数学を基にして数や図形の性質などを見いだし発展させる活動

２年P120

120 ４章　図形の性質と合同

4章

1212 節　三角形の合同と証明

4章

1問 　次のことがらについて仮定と結論をいいなさい

1 　 ならば である

2 　 において ならば である

3 　 が の倍数ならば は の倍数である

　前ページの のことがらがいつも成り立つことは と

に着目すると次のように説明することができます

　上の説明では仮定のほかにすでに正しいと認められている

次のことがらを使って結論を導いています

対頂角は等しい

組の辺とその間の角がそれぞれ等しい三角形は合同である

合同な図形では対応する線分の長さは等しい

　上のように証明することで のことがらは

線分 の長さや交わる角度に関係なく

いつも成り立つことが明らかになります

右の図のように点Pで交わる線分ABとCDを

　　　 AP=DPCP=BP

となるようにかきAとCBとDをそれぞれ

線分で結ぶとき線分ACとBDの長さについて

いつも成り立つ性質を予想しましょう

あることがらがいつも成り立つことを筋道を立てて

　 説明することについて考えましょう

　Qのようにかいた図ではいつも線分 と の長さが

等しくなると予想されます

　予想したことがらは次のように表すことができます

Q

ならば helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

　　 ならば と表したとき

　　 の部分を仮か

定てい

　　 の部分を結けつ

論ろん

といいます

P

A

C

D B

D

A

B

C

P

D

A

B

C

P

A

A

C

C

DDB

B

P

P

　このように仮定から出発しすでに正しいと

認められていることがらを根こん

拠きょ

にして筋道を

立てて結論を導くことを　　証しょう

明めい

といいます

D

A

B

C

P

と において

仮定から　　　　　　　 　 helliphelliphellip①　 　

　　　　　　　　　　　 　 helliphelliphellip②対頂角は等しいから　 　 helliphelliphellip③

①②③より 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

　　　　　　　　　　

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから

　　　　　　　　　　　

仮定結論と証明3

問題にあう図をノートにかいてみよう

上の図は仮定を満たす図の代表としてかかれたものだよ

見つけよう

結論

ならば

仮定

15

5

10

5

10

15

20

25

正しいと認められたことがら

証明

仮定

結論

本文（小節）や特設ページなどに生徒の主体的な学びを重視した数学的活動の場面を適宜設けました

１年P137

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

学習習慣

数学的活動を通した学びldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

13

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

３年P ６〜 7

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節

生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　 日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

でわれば 日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あや

さんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は 冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたいを使った

平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あやさん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表は さんが m走を 回走った

記録をまとめたものです

　この 回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず

也や

さんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　 冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして 日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って 日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず也やさん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると

　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

回目 回目 回目

分 秒 分 秒 分 秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 冊

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

イの活動 生活への利用

日常生活や社会で数学を利用する活動

１年P50

２年 P85

3問 　右下の図は長さ cmの線せん

香こう

に火を

つけてからの時間と線香の長さの関係を

分ごとに 分後までかき入れたものです

次の問いに答えなさい

1　翼つばさ

さんはこのグラフを見て「線香に

　　火をつけてから 分後の線香の長さを

　　 cmとすると は の 次関数と

　　みなすことができる」と考えました

　　それはグラフのどのような特徴からで

　　しょうかその特徴を説明しなさい

2　このまま燃やし続けると線香が

　　燃えつきるのは火をつけてから

　　何分後と予想できますかまた

　　どのように考えたかも説明しなさい

1次関数とみなして考えること1

節 1次関数の活用

実験で得られたデータを関数の考え方を活用して考察しましょう

右の写真のようにビーカーの水を加熱する

実験をしました水を熱し始めてから 分後の

水温を として 分後まで調べたところ

次の表のようになりました

この と の対応する点をグラフ用紙に

とると右の図のようにほぼ一直線上に

並んでいるといえますこのような場合

は の 次関数とみなして考えることが

あります

右の図では実験結果をもとにかいた

つの点のできるだけ近くを通るように

直線をかいています

1問 　例 1 の直線を 次関数のグラフとみて

次の問いに答えなさい

1　 を の式で表しなさい

2　グラフの傾きと切片はそれぞれ何を表していますか

2問 　例 1 の実験を続けたとき水温が となるのは

熱し始めてから何分後かをグラフや式から予想し

どのように考えたのかを説明しなさい

1次関数とみなして考えること例 1

音が空気中を伝わる速さはそのときの気温によって

変わります気温が xampのとき音が空気中を伝わる

速さを秒速 ymとするとxと yの間にはおよそ

次の関係が成り立つことが知られています

y=06x+3315

1 気温が 30ampで稲いな

妻づま

が見えてから 8秒後に雷らい

鳴めい

が聞こえたとき

雷かみなり

までの距離を求めましょう

ところで雷までの距離が遠いからといって油断をしてはいけません

なぜなら雷らい

雲うん

は広い範はん

囲い

にわたって広がっているものでその範囲内の

どこで次の雷が発生するかはわからないからです

稲妻を見たり雷鳴を聞いたりしたらすぐに安全な場所に避ひ

難なん

しましょう

分

雷に気をつけよう数学のたんけん数学のたんけん

説明しよう

説明しよう

防災

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

分

cm

84

3章

85

3章

3 章　1次関数 3節　1次関数の活用

ウの活動 説明しよう

数学的な表現を用いて根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節4生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　5日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

5でわれば1日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あやさんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は90冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたい

を使った平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あや

さん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表はAさんが 1500m走を 3回走った

記録をまとめたものです

　この 3回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず也やさんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　100冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして1日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って1日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず

也や

さん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

1回目 2回目 3回目

6分 52秒 7分 12秒 7分 8秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) 19 0

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 (冊) 109 90 92 96 108

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) +9

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

14

社では荷物の大きさが cm以下ならば

円それより大きくて cm以下ならば

円と定めています

下の表と左のグラフは 社の料金のしくみを

表したものです

1問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

2　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3　荷物の大きさが cm以下であるとき料金は荷物の

　　大きさの関数といえますかその理由も答えなさい

　次の表は 社が定めた宅配便の料金表です

2問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　 社の料金のグラフを前ページの図にかき入れなさい

2　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

3　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3問 　荷物の大きさが cmの場合 社と 社のどちらの料金が

安いかを彩あや

さんは 2問 の 1 でかいた図を使って

次のように説明しました

荷物の大きさが次の場合料金は 社と 社のどちらが

安いかを判断して彩さんのように説明しなさい

1　 cm　　　　 2　 cm　　　　 3　 cm

4問 　和かず

也や

さんは大きさが cm以下の荷物を送るとき 社と

社のどちらの料金が安いかを次のようにまとめています

にあてはまる数や式をかき入れなさい

［和也さんのノート］

身のまわりの関数を活用しよう2 生活への利用

説明しよう

同じ都道府県内に荷物を送るときの宅配便の

料金についてA社とB社を調べたところ

どちらも荷物の縦の長さ横の長さ高さの

和を荷物の大きさとしてその大きさに応じて

料金を定めていました

荷物の大きさがどんな場合にどちらの会社の

料金が安いかを調べましょう

acm

bcm

(荷物の大きさ)=a+b+c

ccm

O

500

1000

1500

2000

(円)

(cm)50 100 150

A社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

料金 円 円

左上の図ではグラフがその点をふくむことを示しはグラフがその点をふくまないことを示しているよ

彩あやさん

A社とB社のグラフのうち横軸の値が80のときの点が下側にあるのはB社のグラフだから大きさが80cmの場合料金が安いのはB社です

和かず也やさん

説明の例

15

20

5

10

5

10

15

20

B社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

料金 円 円 円 円 円 円

荷物鼫大132529さをxcm協する

80ltxle 鼫場合と 鼫場合131317

A社鼫方が安い龥れ以外鼫場合131317B社鼫方が安い

118

4章

4 章　関数 y=ax2 119

4章

3 節　いろいろな関数３年P119

102 ４章　図形の性質と合同

4章

103１節　角と平行線

4章

Q ノートの横線と交わるように直線を

ひいたとき横線とひいた直線との間に

できる角の大きさについて

どんなことがいえますか

平行線に直線が交わってできる角について調べましょう

　右の図のように平行な 直線 に交わる

つの直線 をひくとその同位角 は

等しくなります

　すなわち　 ならば 　です

1問 　右の図で のとき大きさが

である角すべてに印をつけなさい

このことから平行線の錯角について

どんなことがいえるか予想しなさい

　 1問 から平行線の錯角は等しいことが予想されます

　このことが正しい理由は次のように説明することが

できます

　右のような図で のとき

　　平行線の同位角は等しいから　

　　対頂角は等しいから　

　　したがって　

　すなわち　 ならば 　です

a

b

l

n

mc

a

b

l

n

m

2問 　右の図で のとき の

大きさを求めなさい

3問 　右のような図で のとき

と の間に成り立つ性質について

次の 1 ～ 3 の順に調べなさい

1　 のとき は何度ですか

2　 と の間に成り立つ性質を

　　予想しなさい

3　 2 で予想した性質がいつも成り立つ

　　理由を説明しなさい

b d

al

m

c

la

b d

c

m

平行線の性質2つの直線に つの直線が交わるとき次のことが成り立つ

　 つの直線が平行なとき

　　同位角は等しい

　 つの直線が平行なとき

　　錯角は等しい

平行線の性質

くり返し練習 1P131

左の図の~cと~dは錯角でlmです平行線の錯角は等しいから~c=~dです

右の図の~aと~bは同位角でlmです平行線の同位角は等しいから~a=~bです

陸りくさん 彩

あやさん見つけよう

表現の例表現の例

15

20

5

10

5

10

15

説明しよう

２年P103

「話す」「聞く」「かく」「読む」といった言語活動を通して基礎的基本的な内容の理解を深め数学的な思考力表現力を育成することができるようにしましたまた基本的な用語の使い方から口述による説明記述による説明まで数学的な表現力が無理なく身につくように様々な工夫をしました

初出の用語を使った表現の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

表現の例

口述による説明の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

説明の例

記述による説明の具体例をノート形式で示しました

各章（小節）

さんのノート

「説明のひな形」による指導内容の明確化

言語活動の充実ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

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20

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5

10

5

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注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

6

本文（小節）

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

先生が指導をしやすく生徒が学びやすいよう原則として１つの小節が１時間の授業に対応する小節構成にしています（一部例外もあります）

１年P98 〜 99

前の見開きページの横欄に掲載されている〈チャレンジ〉の答えです

〈例〉にタイトルをつけ学習内容をつかみやすくまたふり返りやすくしました

初出用語が目立つデザインにしました

学習のめあてを明示する一文です

学習の出発点となる問題です

学習内容の明確化

わかりやすく使いやすい教科書

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

7

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

章末の〈くり返し練習〉の掲載ページを示すことでその日の授業内容の復習をしやすいようにしました

1年 P115

114 3 章　方程式

3章

115

3章

円のみかん 個とかき 個を買ったところ代金が

円になりましたかき 個の値段を求めなさい考

冊の厚さが mmのノートと mmのノートが合わせて

冊ありますそれらを積み重ねたときの全体の厚さが

mmのとき厚さが mmのノートは何冊ありますか考

持っているお金ではペットボトルのお茶を 本買うには

円たりませんまたそのお茶を 本買うと 円

余りますお茶 本の値段と持っている金額を求めなさい考

基本の問題

1

2

3

方程式の活用P106 例 1

方程式の活用P107 例 2

過不足の問題P108 例 1

今から1700年ほど前のギリシャの数学者ディオファントスは方程式の研究をし

その基き

礎そ

を築きました彼かれ

がいつ生まれいつ死んだかはよくわかっていませんが

何歳さい

まで生きたかということは知ることができますそれは次のような文が

彼の墓石にきざまれていたからです

ディオファントスは

何歳まで

生きたのでしょうか

1　 　　 　　 2　

3　 　 　　 4　 　

5　 　　 　　 6　 　

7　 　　　 8　

1　 　　　 2　

3　 　　 　　 4　

5　 　　　 6　

7　 　　 　　 8　

9　 　 10　

1　 　 2　

3　 　 4　

5　 　 6　

1　 　 2　

3　 　 4　

1　 　　　 2　

3　 　 4　

次の比例式が成り立つとき の値を求めなさい

1　 　 2　

3　 　　　 4　

5　 　 6　

　次の1～5の方程式を解きなさいまた6の問いに答えなさい

3章のくり返し練習 解答例 P283

1

2

3

4

5

6

等式の性質を使って解く方程式P97

移項と等式の性質を使って解く方程式P98 ～ 99

かっこがある方程式P100

係数に小数をふくむ方程式P101

係数に分数をふくむ方程式P102 ～ 103

比例式P112 ～ 113

3 章の問題

ディオファントスの一生数学のたんけん数学のたんけん

15

20

5

10

5

10

15

20

歴史

ディオファントスは

一生の16を少年としてすごし一生の

112を青年としてすごした

さらに一生の17をすごしてから結

けっ

婚こん

した

結婚してから 5年後に子どもが生まれたがその子は父の一生の半分だけしか生きられず父より 4年前にこの世を去った

16

112

17

5年

12

4年

（ディオファントスの一生）1

1 〈問〉を早く終わらせてしまった生徒が自主的に取り組むための追加の問題です答えはすぐに見えずそれでいて見つけやすいよう次の見開きの脚注に掲載しました

個に応じた学習への配慮

基礎基本の確実な定着

8

３年P91

３年 P108

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

「4章　関数 」を学ぶ前に 解答例 P267

比例の式 y =ax

反比例の式　y =ax

1次関数の式 y =ax+b

(yの増加量)

(xの増加量)を

　変化の割合という　1次関数y=ax+bの　変化の割合は一定で　xの係数aに等しい

比例y=axのグラフ

反比例y=ax のグラフ

　

1次関数y=ax+bのグラフは傾きがa　切片がbの直線

ふりかえり 12年

　卓たっ

球きゅう

の個人戦で全員が他の

参加者と 回ずつ試合をするとき

参加者の人数と試合数の関係を

考えましょう

　右の図は参加者を hellipとして

参加者どうしを線分で結んだものです

　この図では参加者どうしを結ぶ線分の

本数が試合数を表しています

　参加者が 人の場合について

和かず

也や

さんは次のように考えました

1問 和也さんの考え方で下線　　のように試合数を 試合の

半分とするのはなぜですかその理由を説明しましょう

2問 和也さんの考え方で参加者が 人の場合の試合数を求めましょう

3問 参加者が 人の場合の試合数を の式で表しましょう

4問 試合数が全部で 試合となるのは参加者が何人の場合ですか

次の場合についてyをxの式で表しましょう

1 　yがxに比例しx=3のときy=6である

2　yがxに反比例しx=2のときy=4である

3　yがxの1次関数で変化の割合は4である

　　またx=0のときy=5である

次の図で 1 の直線は比例 2 の双そう

曲きょく

線せん

は反比例

3 の直線は1次関数のグラフです

それぞれyをxの式で表しましょう

1 　 2　

3　

1

2

生活への利用 参加者の人数と試合数

［和也さんのノート］

説明しよう

15

20

25

5

10

5

A～ E鼫5人が参加する場合A131317

自分以外鼫4人と1試合ずつするからA1313174試合する他鼫4人も同じように4試合ずつする5人がそれぞれ4試合ずつするから　45=20 (試合)

割だし実際呀する試合131317その半分孼から全部で10試合で158878る

A2人

参加者の人数 試合数

1試合

3人

3試合

4人

6試合

B

A

B C

B C

A D

B E

C D

E

C D

AA

Aは4試合 Bも4試合

B

O

5

-5 5x

y

-5

O

5

-5

-5 5x

y

O

5

-5 5x

y

-5

y

xO

b 1

a

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

発展

90 3 章　2次方程式 91

3章

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

すべての章の直前に既習事項を思い起こすための自学自習のコーナーを新設しました1年では算数との連携を図ることができる内容としています

各章（章の扉の直前）

次の章を学ぶ前に

生徒の理解を深めたり広げたりするために既習事項をふり返り学び直しをする機会を適宜設けました

各章（小節）

ふりかえり

Qふりかえり

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

小中連携学び直し

9

1年 P252 〜 253（巻末〈算数をふりかえろう〉）

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを

　80mminと

　表すことがありますP7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを　80mminと　表すことがあります

P7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

1年 P110（３章　方程式）

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

1年 P68（２章　文字と式）

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

算数の内容で特に中学数学との関連性が高いものをふり返るコーナーを設けました

巻末

算数をふりかえろう（１年）

ふりかえり

ふりかえり

10

246

7章

2477 章　資料の活用

生活への利用 借りた本の冊数の比較　

　右の表はある中学校の 年 組と 年 組の生徒

各 人がある期間に図書室から借りた本の冊数を

調べ借りた冊数が少ない順に並べたものです

　この資料からどちらの学級の生徒が図書室の本を

たくさん借りているかを比べたいと思います

　まず 組と 組の生徒が借りた本の冊数の平均値を

求めたところどちらも 冊でした

1問 組と 組のそれぞれについて借りた本の

冊数の中央値と最頻値を求めましょう

2問 組について 冊借りた 人を除く

人の平均値中央値最頻値を

それぞれ求め 人の場合と比べましょう

このことからどんなことがわかりますか

　 2問 からわかるように平均値には資料の中に

　　　極きょく

端たん

に離はな

れた値があるとその値に大きく影えい

響きょう

を

受けるという性質がありますこれに対し中央値と

最頻値には離れた値の影響を受けにくいという性質が

あります

　 さんは「平均値はどちらも 冊で等しいから

組の生徒と 組の生徒はどちらも同じくらい

図書室の本を借りている」といっています

　あなたの考えは さんの考えと同じですか

それともちがいますかそう考えた理由を説明し

ほかの人の意見も聞いてみましょう

借りた本の冊数

通し番号 1組冊

2組冊

① 2 0② 2 0③ 2 1④ 3 1⑤ 3 1⑥ 3 1⑦ 3 1⑧ 3 1⑨ 3 1⑩ 4 2⑪ 4 2⑫ 4 2⑬ 4 2⑭ 4 2⑮ 5 2⑯ 5 3⑰ 5 3⑱ 5 3⑲ 6 4⑳ 6 5

6 56 46

平均値 4 4中央値最頻値

話し合おう

分数 248

割合 250

速さ時間道のり 252

図形の計量 254

小町算 256

集合の関係を表す図 257

円周率の歴史 258

地球の温暖化 259

地震のP波と S波 260

ランドルト環 261

速さを一定として考える 262

立体の切り口 発展 263

正多面体が5種類しかない理由 264

2つの資料の関係を読み取ろう 発展 266

数学レポートをかこう 268

巻末 数学 マイ トライ

算数をふりかえろう

数学研究室

A問題

　1章　正の数と負の数 270

　2章　文字と式 271

　3章　方程式 272

　4章　比例と反比例 273

　5章　平面図形 274

　6章　空間図形 275

　7章　資料の活用 276

B問題（活用） 277

いろいろな問題 280

力をのばそう

15

20

25

5

10

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

220 221

倍数の見分け方 222

暗号と素因数分解 224

エラトステネスのふるい 226

風の強さ 227

関数と年代測定 228

偉大な数学者ピタゴラス 229

和算の歴史 230

黄金比 232

正方形の紙を３等分する折り方 234

三平方の定理の証明 236

数学レポートをかこう 238

放物線と三角形 248

放物線と正方形 250

面積の変化 252

角柱の切り分け 254

円と三角形 256

線分の長さ 258

図形と確率 260

数の規則性 262

ステップアップ

数学研究室A問題

　数と式 240

　図形 241

　関数 242

　資料の活用 244

B問題（活用） 245

力をのばそう

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

184 6 章　確率

6章

185

　立方体の つの面のうち 面には 面には

面にはのマークがついたさいころがあります

右の図はそのさいころの展開図です　

　このさいころを つ同時に投げるとき最も出やすい

マークの組み合わせはどれとどれでしょうか

1問 　最も出やすいマークの組み合わせを予想しましょう

2問 　次の表を使ってマークの出方の組み合わせをすべて

かき出しましょう

3問 　最も出やすいマークの組み合わせはどれとどれですか

またその理由を確率を使って説明しましょう

　さいころにつけるマークの種類や

数を自分で決めて確率の問題をつくり

その問題について考えましょう

投げるさいころは同じものでなくても

かまいません

深める数学 マークの組み合わせの確率

やってみよう

説明しよう

正の数と負の数 204

文字と式 205

方程式 206

比例と反比例 207

平面図形 208

空間図形 208

資料の活用 209

連続する 10個の整数の和 186

アルキメデスの墓石 188

さっさ立て 189

食塩水の濃度 190

ダイヤグラム 191

将来の予測 192

面積が変わった 193

どんな図形になるかな 194

期待値 発展 195

魔方陣 196

点字のしくみ 198

格子点を結んでできる図形の面積 200

数学レポートをかこう 202

1年の復習数学研究室

A問題

　1章　式の計算 210

　2章　連立方程式 211

　3章　1次関数 212

　4章　図形の性質と合同 214

　5章　三角形と四角形 216

　6章　確率 217

B問題（活用） 218

いろいろな問題 224

力をのばそう

15

20

5

10

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

学年別の特徴１年hellip小中連携を図るための　　　〈算数をふりかえろう〉を設けています２年hellip全国学力学習状況調査の問題を　　　取り入れた〈力をのばそう〉が　　　充実しています３年hellip3年間の各領域の内容を総合的に扱う　　　〈ステップアップ〉を設けています　　　総まとめとして使うことができます

１年P247

３年 P221２年 P185

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

個に応じた学習を充実させるとともに主体的に学ぶ態度や学習習慣を身につけさせるために巻末に〈数学 マイ トライ〉を設けました家庭での自主学習にも対応できるようにすべての問題に解答例が付いています

個に応じた学習

11

218 219

内のりの縦と高さが cm横が cmの

直方体の水そうがあります

この水そうの底に縦が cm横が cm

高さが cmの直方体の段が右の図のように

固定してあります

この水そうに一定の割合で水を入れたところ

水を入れ始めて 分後に水面の高さが

cmになりました

水を入れ始めてから 分後の水面の高さを cmとして

次の問いに答えなさい

1　水面の高さが cmになるのは水を入れ始めてから

　　何分後ですか

2　 の増加量に対する の増加量の割合を

　 変化の割合といいます

　 水を入れ始めてから水面の高さが cmになるまでの

　 変化の割合は ですこの値はどのような数量を

　 表していますか

3　水面の高さが cmになってから満水になるまでの

　　変化の割合を求めなさい

4　水を入れ始めてから満水に

　　なるまでの と の

　　関係を表すグラフとして

　 正しいものを右の ～

の中から つ選びなさい

　　またそのグラフが正しい

　　理由を「傾き」という

　　ことばを使って説明しなさい

絵え

美み

さんは連続する つの奇数の和がどんな数に

なるかを考えています次の問いに答えなさい

1　絵美さんは右に示した つの例から

　 次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

　 しかしこの予想は正しくありません

が正しくない理由を説明するために反例を つ

　 あげなさい

2　絵美さんはさらにいろいろな連続する つの奇数の

　 和を求めあらためて次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

の予想が正しいことの説明を絵美さんは次の

　 ようにかき出しました

　 絵美さんの考え方で の予想が正しいことを

　 説明しなさい

3　連続する つの奇数を連続する つの奇数に変えたとき

　 その和はどんな数になるかを調べなさい

　 その結果から連続する つの奇数の和はどんな数に

　 なると予想できますか上の のかき方のように

　 「 はhelliphellipになる」という形で答えなさい

解答例 P237B問題（活用）

1

2

力をのばそう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

15

10

20

25

cm

cm

cmcm

cm

y

x

y

x

y

x

y

x

O O

O O

a b

c d

　　　

1 + 3 + 5 = 9

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 = 45

nを整数協すると連続する3つの奇数1313172n-12n+12n+3と表される

［絵美さんのノート］

３年P248 〜 249248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

２年P218

全国学力学習状況調査で正答率が低かった問題をそれぞれ〈A問題〉〈B 問題（活用）〉に反映させました１２年には思考力を伸ばすための〈いろいろな問題〉も用意しました

巻末

力をのばそう（１〜３年）

3年間の各領域の内容を総合的に扱う応用問題です例とその解答例解説及び問から構成されているので自学自習によってさらなる学力の向上を図ることができます

巻末

ステップアップ（３年）

12

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

数学的な思考力表現力を育み数学を活用する能力を伸ばすために大切なことを生徒にわかりやすく伝える工夫をしました

数学の学習で大切なこと

アの活動 見つけよう 考えよう

巻頭

既習の数学を基にして数や図形の性質などを見いだし発展させる活動

２年P120

120 ４章　図形の性質と合同

4章

1212 節　三角形の合同と証明

4章

1問 　次のことがらについて仮定と結論をいいなさい

1 　 ならば である

2 　 において ならば である

3 　 が の倍数ならば は の倍数である

　前ページの のことがらがいつも成り立つことは と

に着目すると次のように説明することができます

　上の説明では仮定のほかにすでに正しいと認められている

次のことがらを使って結論を導いています

対頂角は等しい

組の辺とその間の角がそれぞれ等しい三角形は合同である

合同な図形では対応する線分の長さは等しい

　上のように証明することで のことがらは

線分 の長さや交わる角度に関係なく

いつも成り立つことが明らかになります

右の図のように点Pで交わる線分ABとCDを

　　　 AP=DPCP=BP

となるようにかきAとCBとDをそれぞれ

線分で結ぶとき線分ACとBDの長さについて

いつも成り立つ性質を予想しましょう

あることがらがいつも成り立つことを筋道を立てて

　 説明することについて考えましょう

　Qのようにかいた図ではいつも線分 と の長さが

等しくなると予想されます

　予想したことがらは次のように表すことができます

Q

ならば helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

　　 ならば と表したとき

　　 の部分を仮か

定てい

　　 の部分を結けつ

論ろん

といいます

P

A

C

D B

D

A

B

C

P

D

A

B

C

P

A

A

C

C

DDB

B

P

P

　このように仮定から出発しすでに正しいと

認められていることがらを根こん

拠きょ

にして筋道を

立てて結論を導くことを　　証しょう

明めい

といいます

D

A

B

C

P

と において

仮定から　　　　　　　 　 helliphelliphellip①　 　

　　　　　　　　　　　 　 helliphelliphellip②対頂角は等しいから　 　 helliphelliphellip③

①②③より 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

　　　　　　　　　　

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから

　　　　　　　　　　　

仮定結論と証明3

問題にあう図をノートにかいてみよう

上の図は仮定を満たす図の代表としてかかれたものだよ

見つけよう

結論

ならば

仮定

15

5

10

5

10

15

20

25

正しいと認められたことがら

証明

仮定

結論

本文（小節）や特設ページなどに生徒の主体的な学びを重視した数学的活動の場面を適宜設けました

１年P137

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

学習習慣

数学的活動を通した学びldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

13

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

３年P ６〜 7

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節

生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　 日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

でわれば 日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あや

さんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は 冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたいを使った

平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あやさん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表は さんが m走を 回走った

記録をまとめたものです

　この 回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず

也や

さんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　 冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして 日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って 日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず也やさん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると

　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

回目 回目 回目

分 秒 分 秒 分 秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 冊

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

イの活動 生活への利用

日常生活や社会で数学を利用する活動

１年P50

２年 P85

3問 　右下の図は長さ cmの線せん

香こう

に火を

つけてからの時間と線香の長さの関係を

分ごとに 分後までかき入れたものです

次の問いに答えなさい

1　翼つばさ

さんはこのグラフを見て「線香に

　　火をつけてから 分後の線香の長さを

　　 cmとすると は の 次関数と

　　みなすことができる」と考えました

　　それはグラフのどのような特徴からで

　　しょうかその特徴を説明しなさい

2　このまま燃やし続けると線香が

　　燃えつきるのは火をつけてから

　　何分後と予想できますかまた

　　どのように考えたかも説明しなさい

1次関数とみなして考えること1

節 1次関数の活用

実験で得られたデータを関数の考え方を活用して考察しましょう

右の写真のようにビーカーの水を加熱する

実験をしました水を熱し始めてから 分後の

水温を として 分後まで調べたところ

次の表のようになりました

この と の対応する点をグラフ用紙に

とると右の図のようにほぼ一直線上に

並んでいるといえますこのような場合

は の 次関数とみなして考えることが

あります

右の図では実験結果をもとにかいた

つの点のできるだけ近くを通るように

直線をかいています

1問 　例 1 の直線を 次関数のグラフとみて

次の問いに答えなさい

1　 を の式で表しなさい

2　グラフの傾きと切片はそれぞれ何を表していますか

2問 　例 1 の実験を続けたとき水温が となるのは

熱し始めてから何分後かをグラフや式から予想し

どのように考えたのかを説明しなさい

1次関数とみなして考えること例 1

音が空気中を伝わる速さはそのときの気温によって

変わります気温が xampのとき音が空気中を伝わる

速さを秒速 ymとするとxと yの間にはおよそ

次の関係が成り立つことが知られています

y=06x+3315

1 気温が 30ampで稲いな

妻づま

が見えてから 8秒後に雷らい

鳴めい

が聞こえたとき

雷かみなり

までの距離を求めましょう

ところで雷までの距離が遠いからといって油断をしてはいけません

なぜなら雷らい

雲うん

は広い範はん

囲い

にわたって広がっているものでその範囲内の

どこで次の雷が発生するかはわからないからです

稲妻を見たり雷鳴を聞いたりしたらすぐに安全な場所に避ひ

難なん

しましょう

分

雷に気をつけよう数学のたんけん数学のたんけん

説明しよう

説明しよう

防災

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

分

cm

84

3章

85

3章

3 章　1次関数 3節　1次関数の活用

ウの活動 説明しよう

数学的な表現を用いて根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節4生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　5日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

5でわれば1日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あやさんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は90冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたい

を使った平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あや

さん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表はAさんが 1500m走を 3回走った

記録をまとめたものです

　この 3回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず也やさんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　100冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして1日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って1日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず

也や

さん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

1回目 2回目 3回目

6分 52秒 7分 12秒 7分 8秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) 19 0

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 (冊) 109 90 92 96 108

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) +9

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

14

社では荷物の大きさが cm以下ならば

円それより大きくて cm以下ならば

円と定めています

下の表と左のグラフは 社の料金のしくみを

表したものです

1問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

2　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3　荷物の大きさが cm以下であるとき料金は荷物の

　　大きさの関数といえますかその理由も答えなさい

　次の表は 社が定めた宅配便の料金表です

2問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　 社の料金のグラフを前ページの図にかき入れなさい

2　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

3　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3問 　荷物の大きさが cmの場合 社と 社のどちらの料金が

安いかを彩あや

さんは 2問 の 1 でかいた図を使って

次のように説明しました

荷物の大きさが次の場合料金は 社と 社のどちらが

安いかを判断して彩さんのように説明しなさい

1　 cm　　　　 2　 cm　　　　 3　 cm

4問 　和かず

也や

さんは大きさが cm以下の荷物を送るとき 社と

社のどちらの料金が安いかを次のようにまとめています

にあてはまる数や式をかき入れなさい

［和也さんのノート］

身のまわりの関数を活用しよう2 生活への利用

説明しよう

同じ都道府県内に荷物を送るときの宅配便の

料金についてA社とB社を調べたところ

どちらも荷物の縦の長さ横の長さ高さの

和を荷物の大きさとしてその大きさに応じて

料金を定めていました

荷物の大きさがどんな場合にどちらの会社の

料金が安いかを調べましょう

acm

bcm

(荷物の大きさ)=a+b+c

ccm

O

500

1000

1500

2000

(円)

(cm)50 100 150

A社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

料金 円 円

左上の図ではグラフがその点をふくむことを示しはグラフがその点をふくまないことを示しているよ

彩あやさん

A社とB社のグラフのうち横軸の値が80のときの点が下側にあるのはB社のグラフだから大きさが80cmの場合料金が安いのはB社です

和かず也やさん

説明の例

15

20

5

10

5

10

15

20

B社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

料金 円 円 円 円 円 円

荷物鼫大132529さをxcm協する

80ltxle 鼫場合と 鼫場合131317

A社鼫方が安い龥れ以外鼫場合131317B社鼫方が安い

118

4章

4 章　関数 y=ax2 119

4章

3 節　いろいろな関数３年P119

102 ４章　図形の性質と合同

4章

103１節　角と平行線

4章

Q ノートの横線と交わるように直線を

ひいたとき横線とひいた直線との間に

できる角の大きさについて

どんなことがいえますか

平行線に直線が交わってできる角について調べましょう

　右の図のように平行な 直線 に交わる

つの直線 をひくとその同位角 は

等しくなります

　すなわち　 ならば 　です

1問 　右の図で のとき大きさが

である角すべてに印をつけなさい

このことから平行線の錯角について

どんなことがいえるか予想しなさい

　 1問 から平行線の錯角は等しいことが予想されます

　このことが正しい理由は次のように説明することが

できます

　右のような図で のとき

　　平行線の同位角は等しいから　

　　対頂角は等しいから　

　　したがって　

　すなわち　 ならば 　です

a

b

l

n

mc

a

b

l

n

m

2問 　右の図で のとき の

大きさを求めなさい

3問 　右のような図で のとき

と の間に成り立つ性質について

次の 1 ～ 3 の順に調べなさい

1　 のとき は何度ですか

2　 と の間に成り立つ性質を

　　予想しなさい

3　 2 で予想した性質がいつも成り立つ

　　理由を説明しなさい

b d

al

m

c

la

b d

c

m

平行線の性質2つの直線に つの直線が交わるとき次のことが成り立つ

　 つの直線が平行なとき

　　同位角は等しい

　 つの直線が平行なとき

　　錯角は等しい

平行線の性質

くり返し練習 1P131

左の図の~cと~dは錯角でlmです平行線の錯角は等しいから~c=~dです

右の図の~aと~bは同位角でlmです平行線の同位角は等しいから~a=~bです

陸りくさん 彩

あやさん見つけよう

表現の例表現の例

15

20

5

10

5

10

15

説明しよう

２年P103

「話す」「聞く」「かく」「読む」といった言語活動を通して基礎的基本的な内容の理解を深め数学的な思考力表現力を育成することができるようにしましたまた基本的な用語の使い方から口述による説明記述による説明まで数学的な表現力が無理なく身につくように様々な工夫をしました

初出の用語を使った表現の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

表現の例

口述による説明の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

説明の例

記述による説明の具体例をノート形式で示しました

各章（小節）

さんのノート

「説明のひな形」による指導内容の明確化

言語活動の充実ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

7

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

98 3 章　方程式

3章

991 節　方程式

3章

95ページの 例 1 の方法でその解が正しいか確かめよう

「=」を縦にそろえてかくとわかりやすいね

Q 右のAの式からBの式を導くのに

等式の性質のどれを使っていますか

方程式を手ぎわよく解く方法を考えましょう

　Qの②の式は①の式の左辺の項こう

-4の符ふ

号ごう

を

変えて右辺へ移した形になっています

　

移項を使った方程式の解き方①例 1方程式　x+3=-7を解きましょう

　 x +3 =-7

　 x=-7 -3

　 x=-10

1問 　例 1 のもとの方程式の左辺に x=-10を代入して

左辺の式の値が右辺の値-7と等しくなることを

確かめなさい

2問 　次の方程式を解きなさい

1　x-6=-5　 2　x+8=-3

3　9+x=4　 4　-27+x=-13

　等式では一方の辺にある項を符号を変えて

他方の辺へ移すことができますこのように項を

移すことを移い

項こう

するといいます

文字をふくむ項も定数項と同じように移項することができるんだね

移項を使った方程式の解き方②例 2方程式　5x=2x+6を解きましょう

　 5x=2x+6

　5x-2x=6

　 3x=6

　 x=2

3問 　次の方程式を解きなさい

1　2x+5=13　 2　7x+4=-10

3　3x=x+16　 4　5x=18-x

5　x=4x-3　 6　-6x=-5x+7

1次の項と定数項を移項して解く方法例 3

　 方程式 8x+3=5x+18を解きましょう

考え方 　文字をふくむ項は左辺に定数項は右辺に移項します

解答例

4問 　次の方程式を解きなさい

1　3x-4=x+2　 2　6x-1=4x-3

3　-9x-15=-4x-5　 4　-2x-5=5x-12

5　-3-x=2x+9　 6　8x+1=-2+2x

　これまでに学んだ方程式は移項して整理すると

　　(xの 1次式)=0

の形になりますこのような方程式を

xについての 1いち

次じ

方ほう

程てい

式しき

といいます

1次方程式の解き方3

くり返し練習 2P115

　 x-4=2 helliphellipAx-4+4=2+4

　　 　x=2+4 helliphellipB

8x+3=5x+18

8x-5x=18-3

3x=15

x=5

チャレンジ3

1　x-4=2x-112　7-x=6x+73　-x+5=3x-5

答P100

チャレンジ1

x-1

2=3

2

答P100

P97のチャレンジの答　1　 1 x=0　　 2 x=10　　2　 1 x= 2

5　　 2 x=18

チャレンジ2

1　13x-2=4

2　2x+1=

1

2

答P100

　　x-4=2

　　　　x=2+4

移項

左辺の+3を右辺へ移項する

右辺の 2xを左辺へ移項する

両辺を 3でわる

章末の〈くり返し練習〉の掲載ページを示すことでその日の授業内容の復習をしやすいようにしました

1年 P115

114 3 章　方程式

3章

115

3章

円のみかん 個とかき 個を買ったところ代金が

円になりましたかき 個の値段を求めなさい考

冊の厚さが mmのノートと mmのノートが合わせて

冊ありますそれらを積み重ねたときの全体の厚さが

mmのとき厚さが mmのノートは何冊ありますか考

持っているお金ではペットボトルのお茶を 本買うには

円たりませんまたそのお茶を 本買うと 円

余りますお茶 本の値段と持っている金額を求めなさい考

基本の問題

1

2

3

方程式の活用P106 例 1

方程式の活用P107 例 2

過不足の問題P108 例 1

今から1700年ほど前のギリシャの数学者ディオファントスは方程式の研究をし

その基き

礎そ

を築きました彼かれ

がいつ生まれいつ死んだかはよくわかっていませんが

何歳さい

まで生きたかということは知ることができますそれは次のような文が

彼の墓石にきざまれていたからです

ディオファントスは

何歳まで

生きたのでしょうか

1　 　　 　　 2　

3　 　 　　 4　 　

5　 　　 　　 6　 　

7　 　　　 8　

1　 　　　 2　

3　 　　 　　 4　

5　 　　　 6　

7　 　　 　　 8　

9　 　 10　

1　 　 2　

3　 　 4　

5　 　 6　

1　 　 2　

3　 　 4　

1　 　　　 2　

3　 　 4　

次の比例式が成り立つとき の値を求めなさい

1　 　 2　

3　 　　　 4　

5　 　 6　

　次の1～5の方程式を解きなさいまた6の問いに答えなさい

3章のくり返し練習 解答例 P283

1

2

3

4

5

6

等式の性質を使って解く方程式P97

移項と等式の性質を使って解く方程式P98 ～ 99

かっこがある方程式P100

係数に小数をふくむ方程式P101

係数に分数をふくむ方程式P102 ～ 103

比例式P112 ～ 113

3 章の問題

ディオファントスの一生数学のたんけん数学のたんけん

15

20

5

10

5

10

15

20

歴史

ディオファントスは

一生の16を少年としてすごし一生の

112を青年としてすごした

さらに一生の17をすごしてから結

けっ

婚こん

した

結婚してから 5年後に子どもが生まれたがその子は父の一生の半分だけしか生きられず父より 4年前にこの世を去った

16

112

17

5年

12

4年

（ディオファントスの一生）1

1 〈問〉を早く終わらせてしまった生徒が自主的に取り組むための追加の問題です答えはすぐに見えずそれでいて見つけやすいよう次の見開きの脚注に掲載しました

個に応じた学習への配慮

基礎基本の確実な定着

8

３年P91

３年 P108

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

「4章　関数 」を学ぶ前に 解答例 P267

比例の式 y =ax

反比例の式　y =ax

1次関数の式 y =ax+b

(yの増加量)

(xの増加量)を

　変化の割合という　1次関数y=ax+bの　変化の割合は一定で　xの係数aに等しい

比例y=axのグラフ

反比例y=ax のグラフ

　

1次関数y=ax+bのグラフは傾きがa　切片がbの直線

ふりかえり 12年

　卓たっ

球きゅう

の個人戦で全員が他の

参加者と 回ずつ試合をするとき

参加者の人数と試合数の関係を

考えましょう

　右の図は参加者を hellipとして

参加者どうしを線分で結んだものです

　この図では参加者どうしを結ぶ線分の

本数が試合数を表しています

　参加者が 人の場合について

和かず

也や

さんは次のように考えました

1問 和也さんの考え方で下線　　のように試合数を 試合の

半分とするのはなぜですかその理由を説明しましょう

2問 和也さんの考え方で参加者が 人の場合の試合数を求めましょう

3問 参加者が 人の場合の試合数を の式で表しましょう

4問 試合数が全部で 試合となるのは参加者が何人の場合ですか

次の場合についてyをxの式で表しましょう

1 　yがxに比例しx=3のときy=6である

2　yがxに反比例しx=2のときy=4である

3　yがxの1次関数で変化の割合は4である

　　またx=0のときy=5である

次の図で 1 の直線は比例 2 の双そう

曲きょく

線せん

は反比例

3 の直線は1次関数のグラフです

それぞれyをxの式で表しましょう

1 　 2　

3　

1

2

生活への利用 参加者の人数と試合数

［和也さんのノート］

説明しよう

15

20

25

5

10

5

A～ E鼫5人が参加する場合A131317

自分以外鼫4人と1試合ずつするからA1313174試合する他鼫4人も同じように4試合ずつする5人がそれぞれ4試合ずつするから　45=20 (試合)

割だし実際呀する試合131317その半分孼から全部で10試合で158878る

A2人

参加者の人数 試合数

1試合

3人

3試合

4人

6試合

B

A

B C

B C

A D

B E

C D

E

C D

AA

Aは4試合 Bも4試合

B

O

5

-5 5x

y

-5

O

5

-5

-5 5x

y

O

5

-5 5x

y

-5

y

xO

b 1

a

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

発展

90 3 章　2次方程式 91

3章

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

すべての章の直前に既習事項を思い起こすための自学自習のコーナーを新設しました1年では算数との連携を図ることができる内容としています

各章（章の扉の直前）

次の章を学ぶ前に

生徒の理解を深めたり広げたりするために既習事項をふり返り学び直しをする機会を適宜設けました

各章（小節）

ふりかえり

Qふりかえり

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

小中連携学び直し

9

1年 P252 〜 253（巻末〈算数をふりかえろう〉）

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを

　80mminと

　表すことがありますP7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを　80mminと　表すことがあります

P7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

1年 P110（３章　方程式）

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

1年 P68（２章　文字と式）

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

算数の内容で特に中学数学との関連性が高いものをふり返るコーナーを設けました

巻末

算数をふりかえろう（１年）

ふりかえり

ふりかえり

10

246

7章

2477 章　資料の活用

生活への利用 借りた本の冊数の比較　

　右の表はある中学校の 年 組と 年 組の生徒

各 人がある期間に図書室から借りた本の冊数を

調べ借りた冊数が少ない順に並べたものです

　この資料からどちらの学級の生徒が図書室の本を

たくさん借りているかを比べたいと思います

　まず 組と 組の生徒が借りた本の冊数の平均値を

求めたところどちらも 冊でした

1問 組と 組のそれぞれについて借りた本の

冊数の中央値と最頻値を求めましょう

2問 組について 冊借りた 人を除く

人の平均値中央値最頻値を

それぞれ求め 人の場合と比べましょう

このことからどんなことがわかりますか

　 2問 からわかるように平均値には資料の中に

　　　極きょく

端たん

に離はな

れた値があるとその値に大きく影えい

響きょう

を

受けるという性質がありますこれに対し中央値と

最頻値には離れた値の影響を受けにくいという性質が

あります

　 さんは「平均値はどちらも 冊で等しいから

組の生徒と 組の生徒はどちらも同じくらい

図書室の本を借りている」といっています

　あなたの考えは さんの考えと同じですか

それともちがいますかそう考えた理由を説明し

ほかの人の意見も聞いてみましょう

借りた本の冊数

通し番号 1組冊

2組冊

① 2 0② 2 0③ 2 1④ 3 1⑤ 3 1⑥ 3 1⑦ 3 1⑧ 3 1⑨ 3 1⑩ 4 2⑪ 4 2⑫ 4 2⑬ 4 2⑭ 4 2⑮ 5 2⑯ 5 3⑰ 5 3⑱ 5 3⑲ 6 4⑳ 6 5

6 56 46

平均値 4 4中央値最頻値

話し合おう

分数 248

割合 250

速さ時間道のり 252

図形の計量 254

小町算 256

集合の関係を表す図 257

円周率の歴史 258

地球の温暖化 259

地震のP波と S波 260

ランドルト環 261

速さを一定として考える 262

立体の切り口 発展 263

正多面体が5種類しかない理由 264

2つの資料の関係を読み取ろう 発展 266

数学レポートをかこう 268

巻末 数学 マイ トライ

算数をふりかえろう

数学研究室

A問題

　1章　正の数と負の数 270

　2章　文字と式 271

　3章　方程式 272

　4章　比例と反比例 273

　5章　平面図形 274

　6章　空間図形 275

　7章　資料の活用 276

B問題（活用） 277

いろいろな問題 280

力をのばそう

15

20

25

5

10

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

220 221

倍数の見分け方 222

暗号と素因数分解 224

エラトステネスのふるい 226

風の強さ 227

関数と年代測定 228

偉大な数学者ピタゴラス 229

和算の歴史 230

黄金比 232

正方形の紙を３等分する折り方 234

三平方の定理の証明 236

数学レポートをかこう 238

放物線と三角形 248

放物線と正方形 250

面積の変化 252

角柱の切り分け 254

円と三角形 256

線分の長さ 258

図形と確率 260

数の規則性 262

ステップアップ

数学研究室A問題

　数と式 240

　図形 241

　関数 242

　資料の活用 244

B問題（活用） 245

力をのばそう

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

184 6 章　確率

6章

185

　立方体の つの面のうち 面には 面には

面にはのマークがついたさいころがあります

右の図はそのさいころの展開図です　

　このさいころを つ同時に投げるとき最も出やすい

マークの組み合わせはどれとどれでしょうか

1問 　最も出やすいマークの組み合わせを予想しましょう

2問 　次の表を使ってマークの出方の組み合わせをすべて

かき出しましょう

3問 　最も出やすいマークの組み合わせはどれとどれですか

またその理由を確率を使って説明しましょう

　さいころにつけるマークの種類や

数を自分で決めて確率の問題をつくり

その問題について考えましょう

投げるさいころは同じものでなくても

かまいません

深める数学 マークの組み合わせの確率

やってみよう

説明しよう

正の数と負の数 204

文字と式 205

方程式 206

比例と反比例 207

平面図形 208

空間図形 208

資料の活用 209

連続する 10個の整数の和 186

アルキメデスの墓石 188

さっさ立て 189

食塩水の濃度 190

ダイヤグラム 191

将来の予測 192

面積が変わった 193

どんな図形になるかな 194

期待値 発展 195

魔方陣 196

点字のしくみ 198

格子点を結んでできる図形の面積 200

数学レポートをかこう 202

1年の復習数学研究室

A問題

　1章　式の計算 210

　2章　連立方程式 211

　3章　1次関数 212

　4章　図形の性質と合同 214

　5章　三角形と四角形 216

　6章　確率 217

B問題（活用） 218

いろいろな問題 224

力をのばそう

15

20

5

10

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

学年別の特徴１年hellip小中連携を図るための　　　〈算数をふりかえろう〉を設けています２年hellip全国学力学習状況調査の問題を　　　取り入れた〈力をのばそう〉が　　　充実しています３年hellip3年間の各領域の内容を総合的に扱う　　　〈ステップアップ〉を設けています　　　総まとめとして使うことができます

１年P247

３年 P221２年 P185

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

個に応じた学習を充実させるとともに主体的に学ぶ態度や学習習慣を身につけさせるために巻末に〈数学 マイ トライ〉を設けました家庭での自主学習にも対応できるようにすべての問題に解答例が付いています

個に応じた学習

11

218 219

内のりの縦と高さが cm横が cmの

直方体の水そうがあります

この水そうの底に縦が cm横が cm

高さが cmの直方体の段が右の図のように

固定してあります

この水そうに一定の割合で水を入れたところ

水を入れ始めて 分後に水面の高さが

cmになりました

水を入れ始めてから 分後の水面の高さを cmとして

次の問いに答えなさい

1　水面の高さが cmになるのは水を入れ始めてから

　　何分後ですか

2　 の増加量に対する の増加量の割合を

　 変化の割合といいます

　 水を入れ始めてから水面の高さが cmになるまでの

　 変化の割合は ですこの値はどのような数量を

　 表していますか

3　水面の高さが cmになってから満水になるまでの

　　変化の割合を求めなさい

4　水を入れ始めてから満水に

　　なるまでの と の

　　関係を表すグラフとして

　 正しいものを右の ～

の中から つ選びなさい

　　またそのグラフが正しい

　　理由を「傾き」という

　　ことばを使って説明しなさい

絵え

美み

さんは連続する つの奇数の和がどんな数に

なるかを考えています次の問いに答えなさい

1　絵美さんは右に示した つの例から

　 次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

　 しかしこの予想は正しくありません

が正しくない理由を説明するために反例を つ

　 あげなさい

2　絵美さんはさらにいろいろな連続する つの奇数の

　 和を求めあらためて次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

の予想が正しいことの説明を絵美さんは次の

　 ようにかき出しました

　 絵美さんの考え方で の予想が正しいことを

　 説明しなさい

3　連続する つの奇数を連続する つの奇数に変えたとき

　 その和はどんな数になるかを調べなさい

　 その結果から連続する つの奇数の和はどんな数に

　 なると予想できますか上の のかき方のように

　 「 はhelliphellipになる」という形で答えなさい

解答例 P237B問題（活用）

1

2

力をのばそう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

15

10

20

25

cm

cm

cmcm

cm

y

x

y

x

y

x

y

x

O O

O O

a b

c d

　　　

1 + 3 + 5 = 9

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 = 45

nを整数協すると連続する3つの奇数1313172n-12n+12n+3と表される

［絵美さんのノート］

３年P248 〜 249248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

２年P218

全国学力学習状況調査で正答率が低かった問題をそれぞれ〈A問題〉〈B 問題（活用）〉に反映させました１２年には思考力を伸ばすための〈いろいろな問題〉も用意しました

巻末

力をのばそう（１〜３年）

3年間の各領域の内容を総合的に扱う応用問題です例とその解答例解説及び問から構成されているので自学自習によってさらなる学力の向上を図ることができます

巻末

ステップアップ（３年）

12

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

数学的な思考力表現力を育み数学を活用する能力を伸ばすために大切なことを生徒にわかりやすく伝える工夫をしました

数学の学習で大切なこと

アの活動 見つけよう 考えよう

巻頭

既習の数学を基にして数や図形の性質などを見いだし発展させる活動

２年P120

120 ４章　図形の性質と合同

4章

1212 節　三角形の合同と証明

4章

1問 　次のことがらについて仮定と結論をいいなさい

1 　 ならば である

2 　 において ならば である

3 　 が の倍数ならば は の倍数である

　前ページの のことがらがいつも成り立つことは と

に着目すると次のように説明することができます

　上の説明では仮定のほかにすでに正しいと認められている

次のことがらを使って結論を導いています

対頂角は等しい

組の辺とその間の角がそれぞれ等しい三角形は合同である

合同な図形では対応する線分の長さは等しい

　上のように証明することで のことがらは

線分 の長さや交わる角度に関係なく

いつも成り立つことが明らかになります

右の図のように点Pで交わる線分ABとCDを

　　　 AP=DPCP=BP

となるようにかきAとCBとDをそれぞれ

線分で結ぶとき線分ACとBDの長さについて

いつも成り立つ性質を予想しましょう

あることがらがいつも成り立つことを筋道を立てて

　 説明することについて考えましょう

　Qのようにかいた図ではいつも線分 と の長さが

等しくなると予想されます

　予想したことがらは次のように表すことができます

Q

ならば helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

　　 ならば と表したとき

　　 の部分を仮か

定てい

　　 の部分を結けつ

論ろん

といいます

P

A

C

D B

D

A

B

C

P

D

A

B

C

P

A

A

C

C

DDB

B

P

P

　このように仮定から出発しすでに正しいと

認められていることがらを根こん

拠きょ

にして筋道を

立てて結論を導くことを　　証しょう

明めい

といいます

D

A

B

C

P

と において

仮定から　　　　　　　 　 helliphelliphellip①　 　

　　　　　　　　　　　 　 helliphelliphellip②対頂角は等しいから　 　 helliphelliphellip③

①②③より 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

　　　　　　　　　　

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから

　　　　　　　　　　　

仮定結論と証明3

問題にあう図をノートにかいてみよう

上の図は仮定を満たす図の代表としてかかれたものだよ

見つけよう

結論

ならば

仮定

15

5

10

5

10

15

20

25

正しいと認められたことがら

証明

仮定

結論

本文（小節）や特設ページなどに生徒の主体的な学びを重視した数学的活動の場面を適宜設けました

１年P137

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

学習習慣

数学的活動を通した学びldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

13

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

３年P ６〜 7

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節

生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　 日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

でわれば 日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あや

さんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は 冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたいを使った

平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あやさん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表は さんが m走を 回走った

記録をまとめたものです

　この 回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず

也や

さんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　 冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして 日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って 日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず也やさん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると

　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

回目 回目 回目

分 秒 分 秒 分 秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 冊

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

イの活動 生活への利用

日常生活や社会で数学を利用する活動

１年P50

２年 P85

3問 　右下の図は長さ cmの線せん

香こう

に火を

つけてからの時間と線香の長さの関係を

分ごとに 分後までかき入れたものです

次の問いに答えなさい

1　翼つばさ

さんはこのグラフを見て「線香に

　　火をつけてから 分後の線香の長さを

　　 cmとすると は の 次関数と

　　みなすことができる」と考えました

　　それはグラフのどのような特徴からで

　　しょうかその特徴を説明しなさい

2　このまま燃やし続けると線香が

　　燃えつきるのは火をつけてから

　　何分後と予想できますかまた

　　どのように考えたかも説明しなさい

1次関数とみなして考えること1

節 1次関数の活用

実験で得られたデータを関数の考え方を活用して考察しましょう

右の写真のようにビーカーの水を加熱する

実験をしました水を熱し始めてから 分後の

水温を として 分後まで調べたところ

次の表のようになりました

この と の対応する点をグラフ用紙に

とると右の図のようにほぼ一直線上に

並んでいるといえますこのような場合

は の 次関数とみなして考えることが

あります

右の図では実験結果をもとにかいた

つの点のできるだけ近くを通るように

直線をかいています

1問 　例 1 の直線を 次関数のグラフとみて

次の問いに答えなさい

1　 を の式で表しなさい

2　グラフの傾きと切片はそれぞれ何を表していますか

2問 　例 1 の実験を続けたとき水温が となるのは

熱し始めてから何分後かをグラフや式から予想し

どのように考えたのかを説明しなさい

1次関数とみなして考えること例 1

音が空気中を伝わる速さはそのときの気温によって

変わります気温が xampのとき音が空気中を伝わる

速さを秒速 ymとするとxと yの間にはおよそ

次の関係が成り立つことが知られています

y=06x+3315

1 気温が 30ampで稲いな

妻づま

が見えてから 8秒後に雷らい

鳴めい

が聞こえたとき

雷かみなり

までの距離を求めましょう

ところで雷までの距離が遠いからといって油断をしてはいけません

なぜなら雷らい

雲うん

は広い範はん

囲い

にわたって広がっているものでその範囲内の

どこで次の雷が発生するかはわからないからです

稲妻を見たり雷鳴を聞いたりしたらすぐに安全な場所に避ひ

難なん

しましょう

分

雷に気をつけよう数学のたんけん数学のたんけん

説明しよう

説明しよう

防災

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

分

cm

84

3章

85

3章

3 章　1次関数 3節　1次関数の活用

ウの活動 説明しよう

数学的な表現を用いて根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節4生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　5日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

5でわれば1日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あやさんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は90冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたい

を使った平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あや

さん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表はAさんが 1500m走を 3回走った

記録をまとめたものです

　この 3回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず也やさんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　100冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして1日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って1日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず

也や

さん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

1回目 2回目 3回目

6分 52秒 7分 12秒 7分 8秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) 19 0

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 (冊) 109 90 92 96 108

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) +9

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

14

社では荷物の大きさが cm以下ならば

円それより大きくて cm以下ならば

円と定めています

下の表と左のグラフは 社の料金のしくみを

表したものです

1問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

2　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3　荷物の大きさが cm以下であるとき料金は荷物の

　　大きさの関数といえますかその理由も答えなさい

　次の表は 社が定めた宅配便の料金表です

2問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　 社の料金のグラフを前ページの図にかき入れなさい

2　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

3　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3問 　荷物の大きさが cmの場合 社と 社のどちらの料金が

安いかを彩あや

さんは 2問 の 1 でかいた図を使って

次のように説明しました

荷物の大きさが次の場合料金は 社と 社のどちらが

安いかを判断して彩さんのように説明しなさい

1　 cm　　　　 2　 cm　　　　 3　 cm

4問 　和かず

也や

さんは大きさが cm以下の荷物を送るとき 社と

社のどちらの料金が安いかを次のようにまとめています

にあてはまる数や式をかき入れなさい

［和也さんのノート］

身のまわりの関数を活用しよう2 生活への利用

説明しよう

同じ都道府県内に荷物を送るときの宅配便の

料金についてA社とB社を調べたところ

どちらも荷物の縦の長さ横の長さ高さの

和を荷物の大きさとしてその大きさに応じて

料金を定めていました

荷物の大きさがどんな場合にどちらの会社の

料金が安いかを調べましょう

acm

bcm

(荷物の大きさ)=a+b+c

ccm

O

500

1000

1500

2000

(円)

(cm)50 100 150

A社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

料金 円 円

左上の図ではグラフがその点をふくむことを示しはグラフがその点をふくまないことを示しているよ

彩あやさん

A社とB社のグラフのうち横軸の値が80のときの点が下側にあるのはB社のグラフだから大きさが80cmの場合料金が安いのはB社です

和かず也やさん

説明の例

15

20

5

10

5

10

15

20

B社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

料金 円 円 円 円 円 円

荷物鼫大132529さをxcm協する

80ltxle 鼫場合と 鼫場合131317

A社鼫方が安い龥れ以外鼫場合131317B社鼫方が安い

118

4章

4 章　関数 y=ax2 119

4章

3 節　いろいろな関数３年P119

102 ４章　図形の性質と合同

4章

103１節　角と平行線

4章

Q ノートの横線と交わるように直線を

ひいたとき横線とひいた直線との間に

できる角の大きさについて

どんなことがいえますか

平行線に直線が交わってできる角について調べましょう

　右の図のように平行な 直線 に交わる

つの直線 をひくとその同位角 は

等しくなります

　すなわち　 ならば 　です

1問 　右の図で のとき大きさが

である角すべてに印をつけなさい

このことから平行線の錯角について

どんなことがいえるか予想しなさい

　 1問 から平行線の錯角は等しいことが予想されます

　このことが正しい理由は次のように説明することが

できます

　右のような図で のとき

　　平行線の同位角は等しいから　

　　対頂角は等しいから　

　　したがって　

　すなわち　 ならば 　です

a

b

l

n

mc

a

b

l

n

m

2問 　右の図で のとき の

大きさを求めなさい

3問 　右のような図で のとき

と の間に成り立つ性質について

次の 1 ～ 3 の順に調べなさい

1　 のとき は何度ですか

2　 と の間に成り立つ性質を

　　予想しなさい

3　 2 で予想した性質がいつも成り立つ

　　理由を説明しなさい

b d

al

m

c

la

b d

c

m

平行線の性質2つの直線に つの直線が交わるとき次のことが成り立つ

　 つの直線が平行なとき

　　同位角は等しい

　 つの直線が平行なとき

　　錯角は等しい

平行線の性質

くり返し練習 1P131

左の図の~cと~dは錯角でlmです平行線の錯角は等しいから~c=~dです

右の図の~aと~bは同位角でlmです平行線の同位角は等しいから~a=~bです

陸りくさん 彩

あやさん見つけよう

表現の例表現の例

15

20

5

10

5

10

15

説明しよう

２年P103

「話す」「聞く」「かく」「読む」といった言語活動を通して基礎的基本的な内容の理解を深め数学的な思考力表現力を育成することができるようにしましたまた基本的な用語の使い方から口述による説明記述による説明まで数学的な表現力が無理なく身につくように様々な工夫をしました

初出の用語を使った表現の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

表現の例

口述による説明の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

説明の例

記述による説明の具体例をノート形式で示しました

各章（小節）

さんのノート

「説明のひな形」による指導内容の明確化

言語活動の充実ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

8

３年P91

３年 P108

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

「4章　関数 」を学ぶ前に 解答例 P267

比例の式 y =ax

反比例の式　y =ax

1次関数の式 y =ax+b

(yの増加量)

(xの増加量)を

　変化の割合という　1次関数y=ax+bの　変化の割合は一定で　xの係数aに等しい

比例y=axのグラフ

反比例y=ax のグラフ

　

1次関数y=ax+bのグラフは傾きがa　切片がbの直線

ふりかえり 12年

　卓たっ

球きゅう

の個人戦で全員が他の

参加者と 回ずつ試合をするとき

参加者の人数と試合数の関係を

考えましょう

　右の図は参加者を hellipとして

参加者どうしを線分で結んだものです

　この図では参加者どうしを結ぶ線分の

本数が試合数を表しています

　参加者が 人の場合について

和かず

也や

さんは次のように考えました

1問 和也さんの考え方で下線　　のように試合数を 試合の

半分とするのはなぜですかその理由を説明しましょう

2問 和也さんの考え方で参加者が 人の場合の試合数を求めましょう

3問 参加者が 人の場合の試合数を の式で表しましょう

4問 試合数が全部で 試合となるのは参加者が何人の場合ですか

次の場合についてyをxの式で表しましょう

1 　yがxに比例しx=3のときy=6である

2　yがxに反比例しx=2のときy=4である

3　yがxの1次関数で変化の割合は4である

　　またx=0のときy=5である

次の図で 1 の直線は比例 2 の双そう

曲きょく

線せん

は反比例

3 の直線は1次関数のグラフです

それぞれyをxの式で表しましょう

1 　 2　

3　

1

2

生活への利用 参加者の人数と試合数

［和也さんのノート］

説明しよう

15

20

25

5

10

5

A～ E鼫5人が参加する場合A131317

自分以外鼫4人と1試合ずつするからA1313174試合する他鼫4人も同じように4試合ずつする5人がそれぞれ4試合ずつするから　45=20 (試合)

割だし実際呀する試合131317その半分孼から全部で10試合で158878る

A2人

参加者の人数 試合数

1試合

3人

3試合

4人

6試合

B

A

B C

B C

A D

B E

C D

E

C D

AA

Aは4試合 Bも4試合

B

O

5

-5 5x

y

-5

O

5

-5

-5 5x

y

O

5

-5 5x

y

-5

y

xO

b 1

a

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

a

y

x1O

( 1 sbquo a)

発展

90 3 章　2次方程式 91

3章

関数y=2x+1について次の表を完成し

表の下の にあてはまる数をかき入れましょう

関数 の変化の割合を調べましょう

1問 関数 について次の表を完成し表の下の

にあてはまる数をかき入れなさい

　関数 のグラフに 1問 で調べた変化の

ようすをかき表すと右の図のようになります

　 1問 の表や右の図からわかるように

関数 の変化の割合は一定ではありません

関数 の変化の割合62問 関数 について の値が から

だけ増加するときの変化の割合を右の

表を使って求めなさい

3問 関数 について次の場合の変化の

割合を求めなさい

1　 の値が から だけ増加する

2　 の値が から だけ増加する

関数 の変化の割合例 1

関数 について の値が

から まで増加するときの変化の

割合を求めましょう

解答例 が から まで増加するとき

　 の増加量は　

　 の増加量は　　

　　 　　　　　　　　　

したがって変化の割合は

　の増加量の増加量

　 　　　　　答　

　 例 1 で求めた変化の割合 は 点

を通る直線 の傾かたむ

きに等しくなります

4問 関数 について次の場合の変化の割合を

求めなさい

1　 の値が から まで増加する

2　 の値が から まで増加する

　これまでに調べたことからわかるように関数 の

変化の割合は一定ではありません

O

2

-2 -1 2

B

A

41 3

8

y

x

y= x212

6

2

ふりかえり 2年

(変化の割合)=(yの増加量)

(xの増加量)

Qふりかえり

15

5

10

5

10

15

20

25

x

y

O 2

12

-2

-2

2

4

6

8

4

12

12

12

12

y=2x+1

1 1 1 1xの増加量

yの増加量 2

1

hellip hellip

hellip hellip

1

-5

1 1 1xの増加量

yの増加量

1 1

hellip hellip

hellip hellip

O 2-2

2

4

y

x

1

-3

-1

3

1

1

1

1

y=x2

xの増加量

yの増加量

hellip hellip hellip

hellip hellip hellip

1xの増加量

yの増加量

hellip hellip

hellip hellip

xの値が1だけ増加するときのyの値の変化についてQの関数と

1問 の関数ではどんなちがいがありますか

考えよう

108

4章

4 章　関数 y=ax2 109

4章

1 節　関数 y=ax2

すべての章の直前に既習事項を思い起こすための自学自習のコーナーを新設しました1年では算数との連携を図ることができる内容としています

各章（章の扉の直前）

次の章を学ぶ前に

生徒の理解を深めたり広げたりするために既習事項をふり返り学び直しをする機会を適宜設けました

各章（小節）

ふりかえり

Qふりかえり

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

小中連携学び直し

9

1年 P252 〜 253（巻末〈算数をふりかえろう〉）

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを

　80mminと

　表すことがありますP7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを　80mminと　表すことがあります

P7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

1年 P110（３章　方程式）

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

1年 P68（２章　文字と式）

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

算数の内容で特に中学数学との関連性が高いものをふり返るコーナーを設けました

巻末

算数をふりかえろう（１年）

ふりかえり

ふりかえり

10

246

7章

2477 章　資料の活用

生活への利用 借りた本の冊数の比較　

　右の表はある中学校の 年 組と 年 組の生徒

各 人がある期間に図書室から借りた本の冊数を

調べ借りた冊数が少ない順に並べたものです

　この資料からどちらの学級の生徒が図書室の本を

たくさん借りているかを比べたいと思います

　まず 組と 組の生徒が借りた本の冊数の平均値を

求めたところどちらも 冊でした

1問 組と 組のそれぞれについて借りた本の

冊数の中央値と最頻値を求めましょう

2問 組について 冊借りた 人を除く

人の平均値中央値最頻値を

それぞれ求め 人の場合と比べましょう

このことからどんなことがわかりますか

　 2問 からわかるように平均値には資料の中に

　　　極きょく

端たん

に離はな

れた値があるとその値に大きく影えい

響きょう

を

受けるという性質がありますこれに対し中央値と

最頻値には離れた値の影響を受けにくいという性質が

あります

　 さんは「平均値はどちらも 冊で等しいから

組の生徒と 組の生徒はどちらも同じくらい

図書室の本を借りている」といっています

　あなたの考えは さんの考えと同じですか

それともちがいますかそう考えた理由を説明し

ほかの人の意見も聞いてみましょう

借りた本の冊数

通し番号 1組冊

2組冊

① 2 0② 2 0③ 2 1④ 3 1⑤ 3 1⑥ 3 1⑦ 3 1⑧ 3 1⑨ 3 1⑩ 4 2⑪ 4 2⑫ 4 2⑬ 4 2⑭ 4 2⑮ 5 2⑯ 5 3⑰ 5 3⑱ 5 3⑲ 6 4⑳ 6 5

6 56 46

平均値 4 4中央値最頻値

話し合おう

分数 248

割合 250

速さ時間道のり 252

図形の計量 254

小町算 256

集合の関係を表す図 257

円周率の歴史 258

地球の温暖化 259

地震のP波と S波 260

ランドルト環 261

速さを一定として考える 262

立体の切り口 発展 263

正多面体が5種類しかない理由 264

2つの資料の関係を読み取ろう 発展 266

数学レポートをかこう 268

巻末 数学 マイ トライ

算数をふりかえろう

数学研究室

A問題

　1章　正の数と負の数 270

　2章　文字と式 271

　3章　方程式 272

　4章　比例と反比例 273

　5章　平面図形 274

　6章　空間図形 275

　7章　資料の活用 276

B問題（活用） 277

いろいろな問題 280

力をのばそう

15

20

25

5

10

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

220 221

倍数の見分け方 222

暗号と素因数分解 224

エラトステネスのふるい 226

風の強さ 227

関数と年代測定 228

偉大な数学者ピタゴラス 229

和算の歴史 230

黄金比 232

正方形の紙を３等分する折り方 234

三平方の定理の証明 236

数学レポートをかこう 238

放物線と三角形 248

放物線と正方形 250

面積の変化 252

角柱の切り分け 254

円と三角形 256

線分の長さ 258

図形と確率 260

数の規則性 262

ステップアップ

数学研究室A問題

　数と式 240

　図形 241

　関数 242

　資料の活用 244

B問題（活用） 245

力をのばそう

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

184 6 章　確率

6章

185

　立方体の つの面のうち 面には 面には

面にはのマークがついたさいころがあります

右の図はそのさいころの展開図です　

　このさいころを つ同時に投げるとき最も出やすい

マークの組み合わせはどれとどれでしょうか

1問 　最も出やすいマークの組み合わせを予想しましょう

2問 　次の表を使ってマークの出方の組み合わせをすべて

かき出しましょう

3問 　最も出やすいマークの組み合わせはどれとどれですか

またその理由を確率を使って説明しましょう

　さいころにつけるマークの種類や

数を自分で決めて確率の問題をつくり

その問題について考えましょう

投げるさいころは同じものでなくても

かまいません

深める数学 マークの組み合わせの確率

やってみよう

説明しよう

正の数と負の数 204

文字と式 205

方程式 206

比例と反比例 207

平面図形 208

空間図形 208

資料の活用 209

連続する 10個の整数の和 186

アルキメデスの墓石 188

さっさ立て 189

食塩水の濃度 190

ダイヤグラム 191

将来の予測 192

面積が変わった 193

どんな図形になるかな 194

期待値 発展 195

魔方陣 196

点字のしくみ 198

格子点を結んでできる図形の面積 200

数学レポートをかこう 202

1年の復習数学研究室

A問題

　1章　式の計算 210

　2章　連立方程式 211

　3章　1次関数 212

　4章　図形の性質と合同 214

　5章　三角形と四角形 216

　6章　確率 217

B問題（活用） 218

いろいろな問題 224

力をのばそう

15

20

5

10

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

学年別の特徴１年hellip小中連携を図るための　　　〈算数をふりかえろう〉を設けています２年hellip全国学力学習状況調査の問題を　　　取り入れた〈力をのばそう〉が　　　充実しています３年hellip3年間の各領域の内容を総合的に扱う　　　〈ステップアップ〉を設けています　　　総まとめとして使うことができます

１年P247

３年 P221２年 P185

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

個に応じた学習を充実させるとともに主体的に学ぶ態度や学習習慣を身につけさせるために巻末に〈数学 マイ トライ〉を設けました家庭での自主学習にも対応できるようにすべての問題に解答例が付いています

個に応じた学習

11

218 219

内のりの縦と高さが cm横が cmの

直方体の水そうがあります

この水そうの底に縦が cm横が cm

高さが cmの直方体の段が右の図のように

固定してあります

この水そうに一定の割合で水を入れたところ

水を入れ始めて 分後に水面の高さが

cmになりました

水を入れ始めてから 分後の水面の高さを cmとして

次の問いに答えなさい

1　水面の高さが cmになるのは水を入れ始めてから

　　何分後ですか

2　 の増加量に対する の増加量の割合を

　 変化の割合といいます

　 水を入れ始めてから水面の高さが cmになるまでの

　 変化の割合は ですこの値はどのような数量を

　 表していますか

3　水面の高さが cmになってから満水になるまでの

　　変化の割合を求めなさい

4　水を入れ始めてから満水に

　　なるまでの と の

　　関係を表すグラフとして

　 正しいものを右の ～

の中から つ選びなさい

　　またそのグラフが正しい

　　理由を「傾き」という

　　ことばを使って説明しなさい

絵え

美み

さんは連続する つの奇数の和がどんな数に

なるかを考えています次の問いに答えなさい

1　絵美さんは右に示した つの例から

　 次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

　 しかしこの予想は正しくありません

が正しくない理由を説明するために反例を つ

　 あげなさい

2　絵美さんはさらにいろいろな連続する つの奇数の

　 和を求めあらためて次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

の予想が正しいことの説明を絵美さんは次の

　 ようにかき出しました

　 絵美さんの考え方で の予想が正しいことを

　 説明しなさい

3　連続する つの奇数を連続する つの奇数に変えたとき

　 その和はどんな数になるかを調べなさい

　 その結果から連続する つの奇数の和はどんな数に

　 なると予想できますか上の のかき方のように

　 「 はhelliphellipになる」という形で答えなさい

解答例 P237B問題（活用）

1

2

力をのばそう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

15

10

20

25

cm

cm

cmcm

cm

y

x

y

x

y

x

y

x

O O

O O

a b

c d

　　　

1 + 3 + 5 = 9

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 = 45

nを整数協すると連続する3つの奇数1313172n-12n+12n+3と表される

［絵美さんのノート］

３年P248 〜 249248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

２年P218

全国学力学習状況調査で正答率が低かった問題をそれぞれ〈A問題〉〈B 問題（活用）〉に反映させました１２年には思考力を伸ばすための〈いろいろな問題〉も用意しました

巻末

力をのばそう（１〜３年）

3年間の各領域の内容を総合的に扱う応用問題です例とその解答例解説及び問から構成されているので自学自習によってさらなる学力の向上を図ることができます

巻末

ステップアップ（３年）

12

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

数学的な思考力表現力を育み数学を活用する能力を伸ばすために大切なことを生徒にわかりやすく伝える工夫をしました

数学の学習で大切なこと

アの活動 見つけよう 考えよう

巻頭

既習の数学を基にして数や図形の性質などを見いだし発展させる活動

２年P120

120 ４章　図形の性質と合同

4章

1212 節　三角形の合同と証明

4章

1問 　次のことがらについて仮定と結論をいいなさい

1 　 ならば である

2 　 において ならば である

3 　 が の倍数ならば は の倍数である

　前ページの のことがらがいつも成り立つことは と

に着目すると次のように説明することができます

　上の説明では仮定のほかにすでに正しいと認められている

次のことがらを使って結論を導いています

対頂角は等しい

組の辺とその間の角がそれぞれ等しい三角形は合同である

合同な図形では対応する線分の長さは等しい

　上のように証明することで のことがらは

線分 の長さや交わる角度に関係なく

いつも成り立つことが明らかになります

右の図のように点Pで交わる線分ABとCDを

　　　 AP=DPCP=BP

となるようにかきAとCBとDをそれぞれ

線分で結ぶとき線分ACとBDの長さについて

いつも成り立つ性質を予想しましょう

あることがらがいつも成り立つことを筋道を立てて

　 説明することについて考えましょう

　Qのようにかいた図ではいつも線分 と の長さが

等しくなると予想されます

　予想したことがらは次のように表すことができます

Q

ならば helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

　　 ならば と表したとき

　　 の部分を仮か

定てい

　　 の部分を結けつ

論ろん

といいます

P

A

C

D B

D

A

B

C

P

D

A

B

C

P

A

A

C

C

DDB

B

P

P

　このように仮定から出発しすでに正しいと

認められていることがらを根こん

拠きょ

にして筋道を

立てて結論を導くことを　　証しょう

明めい

といいます

D

A

B

C

P

と において

仮定から　　　　　　　 　 helliphelliphellip①　 　

　　　　　　　　　　　 　 helliphelliphellip②対頂角は等しいから　 　 helliphelliphellip③

①②③より 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

　　　　　　　　　　

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから

　　　　　　　　　　　

仮定結論と証明3

問題にあう図をノートにかいてみよう

上の図は仮定を満たす図の代表としてかかれたものだよ

見つけよう

結論

ならば

仮定

15

5

10

5

10

15

20

25

正しいと認められたことがら

証明

仮定

結論

本文（小節）や特設ページなどに生徒の主体的な学びを重視した数学的活動の場面を適宜設けました

１年P137

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

学習習慣

数学的活動を通した学びldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

13

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

３年P ６〜 7

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節

生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　 日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

でわれば 日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あや

さんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は 冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたいを使った

平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あやさん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表は さんが m走を 回走った

記録をまとめたものです

　この 回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず

也や

さんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　 冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして 日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って 日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず也やさん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると

　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

回目 回目 回目

分 秒 分 秒 分 秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 冊

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

イの活動 生活への利用

日常生活や社会で数学を利用する活動

１年P50

２年 P85

3問 　右下の図は長さ cmの線せん

香こう

に火を

つけてからの時間と線香の長さの関係を

分ごとに 分後までかき入れたものです

次の問いに答えなさい

1　翼つばさ

さんはこのグラフを見て「線香に

　　火をつけてから 分後の線香の長さを

　　 cmとすると は の 次関数と

　　みなすことができる」と考えました

　　それはグラフのどのような特徴からで

　　しょうかその特徴を説明しなさい

2　このまま燃やし続けると線香が

　　燃えつきるのは火をつけてから

　　何分後と予想できますかまた

　　どのように考えたかも説明しなさい

1次関数とみなして考えること1

節 1次関数の活用

実験で得られたデータを関数の考え方を活用して考察しましょう

右の写真のようにビーカーの水を加熱する

実験をしました水を熱し始めてから 分後の

水温を として 分後まで調べたところ

次の表のようになりました

この と の対応する点をグラフ用紙に

とると右の図のようにほぼ一直線上に

並んでいるといえますこのような場合

は の 次関数とみなして考えることが

あります

右の図では実験結果をもとにかいた

つの点のできるだけ近くを通るように

直線をかいています

1問 　例 1 の直線を 次関数のグラフとみて

次の問いに答えなさい

1　 を の式で表しなさい

2　グラフの傾きと切片はそれぞれ何を表していますか

2問 　例 1 の実験を続けたとき水温が となるのは

熱し始めてから何分後かをグラフや式から予想し

どのように考えたのかを説明しなさい

1次関数とみなして考えること例 1

音が空気中を伝わる速さはそのときの気温によって

変わります気温が xampのとき音が空気中を伝わる

速さを秒速 ymとするとxと yの間にはおよそ

次の関係が成り立つことが知られています

y=06x+3315

1 気温が 30ampで稲いな

妻づま

が見えてから 8秒後に雷らい

鳴めい

が聞こえたとき

雷かみなり

までの距離を求めましょう

ところで雷までの距離が遠いからといって油断をしてはいけません

なぜなら雷らい

雲うん

は広い範はん

囲い

にわたって広がっているものでその範囲内の

どこで次の雷が発生するかはわからないからです

稲妻を見たり雷鳴を聞いたりしたらすぐに安全な場所に避ひ

難なん

しましょう

分

雷に気をつけよう数学のたんけん数学のたんけん

説明しよう

説明しよう

防災

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

分

cm

84

3章

85

3章

3 章　1次関数 3節　1次関数の活用

ウの活動 説明しよう

数学的な表現を用いて根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節4生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　5日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

5でわれば1日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あやさんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は90冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたい

を使った平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あや

さん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表はAさんが 1500m走を 3回走った

記録をまとめたものです

　この 3回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず也やさんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　100冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして1日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って1日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず

也や

さん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

1回目 2回目 3回目

6分 52秒 7分 12秒 7分 8秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) 19 0

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 (冊) 109 90 92 96 108

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) +9

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

14

社では荷物の大きさが cm以下ならば

円それより大きくて cm以下ならば

円と定めています

下の表と左のグラフは 社の料金のしくみを

表したものです

1問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

2　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3　荷物の大きさが cm以下であるとき料金は荷物の

　　大きさの関数といえますかその理由も答えなさい

　次の表は 社が定めた宅配便の料金表です

2問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　 社の料金のグラフを前ページの図にかき入れなさい

2　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

3　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3問 　荷物の大きさが cmの場合 社と 社のどちらの料金が

安いかを彩あや

さんは 2問 の 1 でかいた図を使って

次のように説明しました

荷物の大きさが次の場合料金は 社と 社のどちらが

安いかを判断して彩さんのように説明しなさい

1　 cm　　　　 2　 cm　　　　 3　 cm

4問 　和かず

也や

さんは大きさが cm以下の荷物を送るとき 社と

社のどちらの料金が安いかを次のようにまとめています

にあてはまる数や式をかき入れなさい

［和也さんのノート］

身のまわりの関数を活用しよう2 生活への利用

説明しよう

同じ都道府県内に荷物を送るときの宅配便の

料金についてA社とB社を調べたところ

どちらも荷物の縦の長さ横の長さ高さの

和を荷物の大きさとしてその大きさに応じて

料金を定めていました

荷物の大きさがどんな場合にどちらの会社の

料金が安いかを調べましょう

acm

bcm

(荷物の大きさ)=a+b+c

ccm

O

500

1000

1500

2000

(円)

(cm)50 100 150

A社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

料金 円 円

左上の図ではグラフがその点をふくむことを示しはグラフがその点をふくまないことを示しているよ

彩あやさん

A社とB社のグラフのうち横軸の値が80のときの点が下側にあるのはB社のグラフだから大きさが80cmの場合料金が安いのはB社です

和かず也やさん

説明の例

15

20

5

10

5

10

15

20

B社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

料金 円 円 円 円 円 円

荷物鼫大132529さをxcm協する

80ltxle 鼫場合と 鼫場合131317

A社鼫方が安い龥れ以外鼫場合131317B社鼫方が安い

118

4章

4 章　関数 y=ax2 119

4章

3 節　いろいろな関数３年P119

102 ４章　図形の性質と合同

4章

103１節　角と平行線

4章

Q ノートの横線と交わるように直線を

ひいたとき横線とひいた直線との間に

できる角の大きさについて

どんなことがいえますか

平行線に直線が交わってできる角について調べましょう

　右の図のように平行な 直線 に交わる

つの直線 をひくとその同位角 は

等しくなります

　すなわち　 ならば 　です

1問 　右の図で のとき大きさが

である角すべてに印をつけなさい

このことから平行線の錯角について

どんなことがいえるか予想しなさい

　 1問 から平行線の錯角は等しいことが予想されます

　このことが正しい理由は次のように説明することが

できます

　右のような図で のとき

　　平行線の同位角は等しいから　

　　対頂角は等しいから　

　　したがって　

　すなわち　 ならば 　です

a

b

l

n

mc

a

b

l

n

m

2問 　右の図で のとき の

大きさを求めなさい

3問 　右のような図で のとき

と の間に成り立つ性質について

次の 1 ～ 3 の順に調べなさい

1　 のとき は何度ですか

2　 と の間に成り立つ性質を

　　予想しなさい

3　 2 で予想した性質がいつも成り立つ

　　理由を説明しなさい

b d

al

m

c

la

b d

c

m

平行線の性質2つの直線に つの直線が交わるとき次のことが成り立つ

　 つの直線が平行なとき

　　同位角は等しい

　 つの直線が平行なとき

　　錯角は等しい

平行線の性質

くり返し練習 1P131

左の図の~cと~dは錯角でlmです平行線の錯角は等しいから~c=~dです

右の図の~aと~bは同位角でlmです平行線の同位角は等しいから~a=~bです

陸りくさん 彩

あやさん見つけよう

表現の例表現の例

15

20

5

10

5

10

15

説明しよう

２年P103

「話す」「聞く」「かく」「読む」といった言語活動を通して基礎的基本的な内容の理解を深め数学的な思考力表現力を育成することができるようにしましたまた基本的な用語の使い方から口述による説明記述による説明まで数学的な表現力が無理なく身につくように様々な工夫をしました

初出の用語を使った表現の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

表現の例

口述による説明の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

説明の例

記述による説明の具体例をノート形式で示しました

各章（小節）

さんのノート

「説明のひな形」による指導内容の明確化

言語活動の充実ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

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注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

9

1年 P252 〜 253（巻末〈算数をふりかえろう〉）

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを

　80mminと

　表すことがありますP7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

110 3 章　方程式

3章

111

3章

次の数量を文字式で表しましょう

1 　時速 x kmで 2時間歩いたときに進む道のり

2　xmの道のりを分速 70mで歩いたときに

　　かかる時間

速さに関する問題を方程式を使って考えましょう

何分後に追いつくかを考える問題例 1

妹は家から m離はな

れた駅へ向かって歩き出しました

その 分後に兄は自転車で妹を追いかけました

妹は分速 m兄は分速 mで進んだとすると兄が

妹に追いつくのは兄が出発してから何分後ですか

考え方 　兄が出発してから 分後に妹に追いつくとして問題に

ふくまれる数量を次のような図や表に整理して考えます

1問 　上の表の空らんにあてはまる の式をかき入れなさい

速さの問題3 生活への利用

Qふりかえり

分速80mを　80mminと　表すことがあります

P7

x分間に進んだ道のり

12分間に進んだ道のり

分速 80m

分速 320m

0m 1500m

家 駅

妹

兄

x分間に進んだ道のり

兄が出発したときに妹が歩いている地点

追いつく地点

2問 　例 1 について 考え方 をもとに次の問いに答えなさい

1　兄が妹に追いついたとき次の関係が成り立ちます

　　　 妹が進んだ道のり 兄が進んだ道のり

　　このことから についての方程式をつくりなさい

2　 1 の方程式を解いて答えを求めなさい

3問 　例 1 で兄が出発したのが妹が出発してから

分後だったとすると兄は駅までの途中で妹に

追いつけますかその理由も説明しなさい

　方程式を使って問題を解くときその方程式の解が問題の

答えとしてあわない場合があります

　したがって方程式の解が問題にあうかどうかを確かめる

必要があります

4問 　家と公園を往復しました行きは分速 mで歩き

帰りは分速 mで走ったところかかった時間は

行きより帰りの方が 分短かったそうです

行きにかかった時間と片道の道のりを求めなさい

　右の絵の場面で方程式を使って解くことが

できる問題をつくりましょう

　つくった問題は自分で解いて解答も

かきましょう

兄は駅までの途と中ちゅうで

妹に追いつけますか

考えよう

2 節　方程式の活用

やってみよう

説明しよう

時間と道のりはどの数量をxとすると求められますか

話し合おう

15

5

10

5

10

15

20

ふりかえり P68 例 2

(道のり)=(速さ )(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ)

速さ mmin 時間 分 道のり m

妹

兄

1年 P110（３章　方程式）

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

1年 P68（２章　文字と式）

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

252 253

道のりと時間から速さを求める問題

1例 540kmの道のりを2時間で

進む新幹線の速さを

求めましょう

考え方 速さは次の式で求められます

(速さ )=(道のり )(時間 )

解答例 5402=270 　　　　 答　時速270km

1問 次の速さを求めなさい

1 　2時間で100 km進む自動車の時速

2　1800mの道のりを12分で進む自転車の分速

3　5秒間に35m走る人の秒速

速さと時間から道のりを求める問題

2例 時速80 kmで進む自動車が

2時間で進む道のりを

求めましょう

考え方 道のりは次の式で求められます

(道のり )=(速さ )(時間 )

解答例 802=160 　　　　　　 答　160km

2問 次の道のりを求めなさい

1 　時速4kmで3時間進んだときの道のり

2　分速70mで10分進んだときの道のり

道のりと速さから時間を求める問題

3例 1600mの道のりを

分速200mで進んだときに

かかる時間を求めましょう

考え方 時間は次の式で求められます

(時間 )=(道のり )(速さ )

解答例 1600200=8 　　　　　　 答　8分

3問 次の時間を求めなさい

1 　1200mの道のりを分速60mで進んだときに

かかる時間

2　時速30kmの船が150km進むのにかかる時間

残りの道のりを求める問題

4例 家から800m離はな

れた駅に向かって

分速60mで歩いています

家を出発してから10分後の残りの

道のりを求めましょう

解答例 800-6010=800-600

　=200 答　200m

4問 家から1200m離れた図書館に向かって分速80mで

歩いています

家を出発してから5分後の残りの道のりを求めなさい

800m

家 駅(6010)m

分速60m

解答例 P288速さ時間道のり

算数をふりかえろう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

10

15

20

道のり m

時　間 分0 1

0 200 1600

道のり km

時間 時間0 1 2

0 540

道のり km

時間 時間0 1 2

0 80

速さの意味と表し方

速さは単位時間あたりに進む道のりで表します

時速 40km helliphellip 1 時間で 40km進む速さ

分速 60m helliphellip 1 分間で 60m進む速さ

秒速 8m helliphellip 1 秒間で 8m進む速さ

400円の3は何円ですか

また1200円の7割は何円ですか

いろいろな数量を文字式で表しましょう

割合例 1

円の を文字式で表しましょう

考え方 比べる量 もとにする量 割合

を分数で表すと です

解答例 　円の は　 　　 　 答　　　 円

注 意 　を小数で表すと だから 円の を 円と

　 表すこともできます

1問 次の数量を文字式で表しなさい

1　 円の 　 2　 kg の 割　3　 枚の

速さ時間道のり例 2

時速 kmで走っている自動車は 時間で何 kmの

道のりを進みますか

考え方 　道のり 速さ 時間

解答例 　 　 答　 km

2問 次の数量を文字式で表しなさい

1　分速 mで 分歩いたときの道のり

2　 kmの道のりを時速 kmで歩いたときに

　　かかる時間

3　 kmの道のりを 時間で歩いたときの速さ

いろいろな数量の表し方5

ふりかえり 算数P252

(道のり)=(速さ ) (時間 )

(速さ )=(道のり)(時間 )

(時間 )=(道のり)(速さ )

ふりかえり 算数P250

分数 小数

1 001

1割 01

1100

110

3問 家から m離はな

れた駅に向かって

分速 mで歩いています

家を出発してから 分後の残りの

道のりを文字式で表しなさい

また家を出発してから 分後の

残りの道のりを求めなさい

　どんな円でも円周の長さの直径に対する

割合は一定でこれを円周率といいます

　円周率は次のような限りなく続く数です

　　 円周率 hellip

注 意 　πはある決まった数を表す文字なので積の中では　 数のあと他の文字の前にかきます

πを使った円の周の長さや面積の表し方例 3

半径が cmの円の周の長さと面積を文字式で

表しましょう

円周の長さは 直径 円周率 すなわち

　　 π π

であるから π cmとなります

円の面積は 半径 半径 円周率 すなわち

　　 π π

であるからπ cm となります

4問 右の図は底面の半径が cm高さが cmの

円柱ですこの円柱の体積を文字式で

表しなさい

　これからは円周率をパイ

で表すことにします

cm

cm

cm

ふりかえり 算数P255

(円周率 )=(円周の長さ)

(直径)

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 23

07

81

64

06

28

62

08

99

86

28

03

48

25

34

21

17

06

79

82

14

80

86

51

32

82

30

66

47

09

38

44

60

95

50

58

22

31

72

53

59

40

81

28

48

11

17

45

02

8

410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847hellip

800m

家 駅60tm

分速60m

15

20

5

10

5

10

15

20

25

チャレンジ

定価が 円である商品を割引きで買うときの代金

答P70

Qふりかえり

68 2 章　文字と式

2章

691 節　文字と式

2章

算数の内容で特に中学数学との関連性が高いものをふり返るコーナーを設けました

巻末

算数をふりかえろう（１年）

ふりかえり

ふりかえり

10

246

7章

2477 章　資料の活用

生活への利用 借りた本の冊数の比較　

　右の表はある中学校の 年 組と 年 組の生徒

各 人がある期間に図書室から借りた本の冊数を

調べ借りた冊数が少ない順に並べたものです

　この資料からどちらの学級の生徒が図書室の本を

たくさん借りているかを比べたいと思います

　まず 組と 組の生徒が借りた本の冊数の平均値を

求めたところどちらも 冊でした

1問 組と 組のそれぞれについて借りた本の

冊数の中央値と最頻値を求めましょう

2問 組について 冊借りた 人を除く

人の平均値中央値最頻値を

それぞれ求め 人の場合と比べましょう

このことからどんなことがわかりますか

　 2問 からわかるように平均値には資料の中に

　　　極きょく

端たん

に離はな

れた値があるとその値に大きく影えい

響きょう

を

受けるという性質がありますこれに対し中央値と

最頻値には離れた値の影響を受けにくいという性質が

あります

　 さんは「平均値はどちらも 冊で等しいから

組の生徒と 組の生徒はどちらも同じくらい

図書室の本を借りている」といっています

　あなたの考えは さんの考えと同じですか

それともちがいますかそう考えた理由を説明し

ほかの人の意見も聞いてみましょう

借りた本の冊数

通し番号 1組冊

2組冊

① 2 0② 2 0③ 2 1④ 3 1⑤ 3 1⑥ 3 1⑦ 3 1⑧ 3 1⑨ 3 1⑩ 4 2⑪ 4 2⑫ 4 2⑬ 4 2⑭ 4 2⑮ 5 2⑯ 5 3⑰ 5 3⑱ 5 3⑲ 6 4⑳ 6 5

6 56 46

平均値 4 4中央値最頻値

話し合おう

分数 248

割合 250

速さ時間道のり 252

図形の計量 254

小町算 256

集合の関係を表す図 257

円周率の歴史 258

地球の温暖化 259

地震のP波と S波 260

ランドルト環 261

速さを一定として考える 262

立体の切り口 発展 263

正多面体が5種類しかない理由 264

2つの資料の関係を読み取ろう 発展 266

数学レポートをかこう 268

巻末 数学 マイ トライ

算数をふりかえろう

数学研究室

A問題

　1章　正の数と負の数 270

　2章　文字と式 271

　3章　方程式 272

　4章　比例と反比例 273

　5章　平面図形 274

　6章　空間図形 275

　7章　資料の活用 276

B問題（活用） 277

いろいろな問題 280

力をのばそう

15

20

25

5

10

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

220 221

倍数の見分け方 222

暗号と素因数分解 224

エラトステネスのふるい 226

風の強さ 227

関数と年代測定 228

偉大な数学者ピタゴラス 229

和算の歴史 230

黄金比 232

正方形の紙を３等分する折り方 234

三平方の定理の証明 236

数学レポートをかこう 238

放物線と三角形 248

放物線と正方形 250

面積の変化 252

角柱の切り分け 254

円と三角形 256

線分の長さ 258

図形と確率 260

数の規則性 262

ステップアップ

数学研究室A問題

　数と式 240

　図形 241

　関数 242

　資料の活用 244

B問題（活用） 245

力をのばそう

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

184 6 章　確率

6章

185

　立方体の つの面のうち 面には 面には

面にはのマークがついたさいころがあります

右の図はそのさいころの展開図です　

　このさいころを つ同時に投げるとき最も出やすい

マークの組み合わせはどれとどれでしょうか

1問 　最も出やすいマークの組み合わせを予想しましょう

2問 　次の表を使ってマークの出方の組み合わせをすべて

かき出しましょう

3問 　最も出やすいマークの組み合わせはどれとどれですか

またその理由を確率を使って説明しましょう

　さいころにつけるマークの種類や

数を自分で決めて確率の問題をつくり

その問題について考えましょう

投げるさいころは同じものでなくても

かまいません

深める数学 マークの組み合わせの確率

やってみよう

説明しよう

正の数と負の数 204

文字と式 205

方程式 206

比例と反比例 207

平面図形 208

空間図形 208

資料の活用 209

連続する 10個の整数の和 186

アルキメデスの墓石 188

さっさ立て 189

食塩水の濃度 190

ダイヤグラム 191

将来の予測 192

面積が変わった 193

どんな図形になるかな 194

期待値 発展 195

魔方陣 196

点字のしくみ 198

格子点を結んでできる図形の面積 200

数学レポートをかこう 202

1年の復習数学研究室

A問題

　1章　式の計算 210

　2章　連立方程式 211

　3章　1次関数 212

　4章　図形の性質と合同 214

　5章　三角形と四角形 216

　6章　確率 217

B問題（活用） 218

いろいろな問題 224

力をのばそう

15

20

5

10

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

学年別の特徴１年hellip小中連携を図るための　　　〈算数をふりかえろう〉を設けています２年hellip全国学力学習状況調査の問題を　　　取り入れた〈力をのばそう〉が　　　充実しています３年hellip3年間の各領域の内容を総合的に扱う　　　〈ステップアップ〉を設けています　　　総まとめとして使うことができます

１年P247

３年 P221２年 P185

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

個に応じた学習を充実させるとともに主体的に学ぶ態度や学習習慣を身につけさせるために巻末に〈数学 マイ トライ〉を設けました家庭での自主学習にも対応できるようにすべての問題に解答例が付いています

個に応じた学習

11

218 219

内のりの縦と高さが cm横が cmの

直方体の水そうがあります

この水そうの底に縦が cm横が cm

高さが cmの直方体の段が右の図のように

固定してあります

この水そうに一定の割合で水を入れたところ

水を入れ始めて 分後に水面の高さが

cmになりました

水を入れ始めてから 分後の水面の高さを cmとして

次の問いに答えなさい

1　水面の高さが cmになるのは水を入れ始めてから

　　何分後ですか

2　 の増加量に対する の増加量の割合を

　 変化の割合といいます

　 水を入れ始めてから水面の高さが cmになるまでの

　 変化の割合は ですこの値はどのような数量を

　 表していますか

3　水面の高さが cmになってから満水になるまでの

　　変化の割合を求めなさい

4　水を入れ始めてから満水に

　　なるまでの と の

　　関係を表すグラフとして

　 正しいものを右の ～

の中から つ選びなさい

　　またそのグラフが正しい

　　理由を「傾き」という

　　ことばを使って説明しなさい

絵え

美み

さんは連続する つの奇数の和がどんな数に

なるかを考えています次の問いに答えなさい

1　絵美さんは右に示した つの例から

　 次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

　 しかしこの予想は正しくありません

が正しくない理由を説明するために反例を つ

　 あげなさい

2　絵美さんはさらにいろいろな連続する つの奇数の

　 和を求めあらためて次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

の予想が正しいことの説明を絵美さんは次の

　 ようにかき出しました

　 絵美さんの考え方で の予想が正しいことを

　 説明しなさい

3　連続する つの奇数を連続する つの奇数に変えたとき

　 その和はどんな数になるかを調べなさい

　 その結果から連続する つの奇数の和はどんな数に

　 なると予想できますか上の のかき方のように

　 「 はhelliphellipになる」という形で答えなさい

解答例 P237B問題（活用）

1

2

力をのばそう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

15

10

20

25

cm

cm

cmcm

cm

y

x

y

x

y

x

y

x

O O

O O

a b

c d

　　　

1 + 3 + 5 = 9

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 = 45

nを整数協すると連続する3つの奇数1313172n-12n+12n+3と表される

［絵美さんのノート］

３年P248 〜 249248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

２年P218

全国学力学習状況調査で正答率が低かった問題をそれぞれ〈A問題〉〈B 問題（活用）〉に反映させました１２年には思考力を伸ばすための〈いろいろな問題〉も用意しました

巻末

力をのばそう（１〜３年）

3年間の各領域の内容を総合的に扱う応用問題です例とその解答例解説及び問から構成されているので自学自習によってさらなる学力の向上を図ることができます

巻末

ステップアップ（３年）

12

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

数学的な思考力表現力を育み数学を活用する能力を伸ばすために大切なことを生徒にわかりやすく伝える工夫をしました

数学の学習で大切なこと

アの活動 見つけよう 考えよう

巻頭

既習の数学を基にして数や図形の性質などを見いだし発展させる活動

２年P120

120 ４章　図形の性質と合同

4章

1212 節　三角形の合同と証明

4章

1問 　次のことがらについて仮定と結論をいいなさい

1 　 ならば である

2 　 において ならば である

3 　 が の倍数ならば は の倍数である

　前ページの のことがらがいつも成り立つことは と

に着目すると次のように説明することができます

　上の説明では仮定のほかにすでに正しいと認められている

次のことがらを使って結論を導いています

対頂角は等しい

組の辺とその間の角がそれぞれ等しい三角形は合同である

合同な図形では対応する線分の長さは等しい

　上のように証明することで のことがらは

線分 の長さや交わる角度に関係なく

いつも成り立つことが明らかになります

右の図のように点Pで交わる線分ABとCDを

　　　 AP=DPCP=BP

となるようにかきAとCBとDをそれぞれ

線分で結ぶとき線分ACとBDの長さについて

いつも成り立つ性質を予想しましょう

あることがらがいつも成り立つことを筋道を立てて

　 説明することについて考えましょう

　Qのようにかいた図ではいつも線分 と の長さが

等しくなると予想されます

　予想したことがらは次のように表すことができます

Q

ならば helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

　　 ならば と表したとき

　　 の部分を仮か

定てい

　　 の部分を結けつ

論ろん

といいます

P

A

C

D B

D

A

B

C

P

D

A

B

C

P

A

A

C

C

DDB

B

P

P

　このように仮定から出発しすでに正しいと

認められていることがらを根こん

拠きょ

にして筋道を

立てて結論を導くことを　　証しょう

明めい

といいます

D

A

B

C

P

と において

仮定から　　　　　　　 　 helliphelliphellip①　 　

　　　　　　　　　　　 　 helliphelliphellip②対頂角は等しいから　 　 helliphelliphellip③

①②③より 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

　　　　　　　　　　

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから

　　　　　　　　　　　

仮定結論と証明3

問題にあう図をノートにかいてみよう

上の図は仮定を満たす図の代表としてかかれたものだよ

見つけよう

結論

ならば

仮定

15

5

10

5

10

15

20

25

正しいと認められたことがら

証明

仮定

結論

本文（小節）や特設ページなどに生徒の主体的な学びを重視した数学的活動の場面を適宜設けました

１年P137

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

学習習慣

数学的活動を通した学びldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

13

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

３年P ６〜 7

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節

生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　 日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

でわれば 日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あや

さんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は 冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたいを使った

平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あやさん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表は さんが m走を 回走った

記録をまとめたものです

　この 回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず

也や

さんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　 冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして 日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って 日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず也やさん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると

　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

回目 回目 回目

分 秒 分 秒 分 秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 冊

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

イの活動 生活への利用

日常生活や社会で数学を利用する活動

１年P50

２年 P85

3問 　右下の図は長さ cmの線せん

香こう

に火を

つけてからの時間と線香の長さの関係を

分ごとに 分後までかき入れたものです

次の問いに答えなさい

1　翼つばさ

さんはこのグラフを見て「線香に

　　火をつけてから 分後の線香の長さを

　　 cmとすると は の 次関数と

　　みなすことができる」と考えました

　　それはグラフのどのような特徴からで

　　しょうかその特徴を説明しなさい

2　このまま燃やし続けると線香が

　　燃えつきるのは火をつけてから

　　何分後と予想できますかまた

　　どのように考えたかも説明しなさい

1次関数とみなして考えること1

節 1次関数の活用

実験で得られたデータを関数の考え方を活用して考察しましょう

右の写真のようにビーカーの水を加熱する

実験をしました水を熱し始めてから 分後の

水温を として 分後まで調べたところ

次の表のようになりました

この と の対応する点をグラフ用紙に

とると右の図のようにほぼ一直線上に

並んでいるといえますこのような場合

は の 次関数とみなして考えることが

あります

右の図では実験結果をもとにかいた

つの点のできるだけ近くを通るように

直線をかいています

1問 　例 1 の直線を 次関数のグラフとみて

次の問いに答えなさい

1　 を の式で表しなさい

2　グラフの傾きと切片はそれぞれ何を表していますか

2問 　例 1 の実験を続けたとき水温が となるのは

熱し始めてから何分後かをグラフや式から予想し

どのように考えたのかを説明しなさい

1次関数とみなして考えること例 1

音が空気中を伝わる速さはそのときの気温によって

変わります気温が xampのとき音が空気中を伝わる

速さを秒速 ymとするとxと yの間にはおよそ

次の関係が成り立つことが知られています

y=06x+3315

1 気温が 30ampで稲いな

妻づま

が見えてから 8秒後に雷らい

鳴めい

が聞こえたとき

雷かみなり

までの距離を求めましょう

ところで雷までの距離が遠いからといって油断をしてはいけません

なぜなら雷らい

雲うん

は広い範はん

囲い

にわたって広がっているものでその範囲内の

どこで次の雷が発生するかはわからないからです

稲妻を見たり雷鳴を聞いたりしたらすぐに安全な場所に避ひ

難なん

しましょう

分

雷に気をつけよう数学のたんけん数学のたんけん

説明しよう

説明しよう

防災

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

分

cm

84

3章

85

3章

3 章　1次関数 3節　1次関数の活用

ウの活動 説明しよう

数学的な表現を用いて根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節4生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　5日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

5でわれば1日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あやさんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は90冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたい

を使った平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あや

さん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表はAさんが 1500m走を 3回走った

記録をまとめたものです

　この 3回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず也やさんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　100冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして1日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って1日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず

也や

さん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

1回目 2回目 3回目

6分 52秒 7分 12秒 7分 8秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) 19 0

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 (冊) 109 90 92 96 108

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) +9

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

14

社では荷物の大きさが cm以下ならば

円それより大きくて cm以下ならば

円と定めています

下の表と左のグラフは 社の料金のしくみを

表したものです

1問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

2　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3　荷物の大きさが cm以下であるとき料金は荷物の

　　大きさの関数といえますかその理由も答えなさい

　次の表は 社が定めた宅配便の料金表です

2問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　 社の料金のグラフを前ページの図にかき入れなさい

2　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

3　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3問 　荷物の大きさが cmの場合 社と 社のどちらの料金が

安いかを彩あや

さんは 2問 の 1 でかいた図を使って

次のように説明しました

荷物の大きさが次の場合料金は 社と 社のどちらが

安いかを判断して彩さんのように説明しなさい

1　 cm　　　　 2　 cm　　　　 3　 cm

4問 　和かず

也や

さんは大きさが cm以下の荷物を送るとき 社と

社のどちらの料金が安いかを次のようにまとめています

にあてはまる数や式をかき入れなさい

［和也さんのノート］

身のまわりの関数を活用しよう2 生活への利用

説明しよう

同じ都道府県内に荷物を送るときの宅配便の

料金についてA社とB社を調べたところ

どちらも荷物の縦の長さ横の長さ高さの

和を荷物の大きさとしてその大きさに応じて

料金を定めていました

荷物の大きさがどんな場合にどちらの会社の

料金が安いかを調べましょう

acm

bcm

(荷物の大きさ)=a+b+c

ccm

O

500

1000

1500

2000

(円)

(cm)50 100 150

A社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

料金 円 円

左上の図ではグラフがその点をふくむことを示しはグラフがその点をふくまないことを示しているよ

彩あやさん

A社とB社のグラフのうち横軸の値が80のときの点が下側にあるのはB社のグラフだから大きさが80cmの場合料金が安いのはB社です

和かず也やさん

説明の例

15

20

5

10

5

10

15

20

B社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

料金 円 円 円 円 円 円

荷物鼫大132529さをxcm協する

80ltxle 鼫場合と 鼫場合131317

A社鼫方が安い龥れ以外鼫場合131317B社鼫方が安い

118

4章

4 章　関数 y=ax2 119

4章

3 節　いろいろな関数３年P119

102 ４章　図形の性質と合同

4章

103１節　角と平行線

4章

Q ノートの横線と交わるように直線を

ひいたとき横線とひいた直線との間に

できる角の大きさについて

どんなことがいえますか

平行線に直線が交わってできる角について調べましょう

　右の図のように平行な 直線 に交わる

つの直線 をひくとその同位角 は

等しくなります

　すなわち　 ならば 　です

1問 　右の図で のとき大きさが

である角すべてに印をつけなさい

このことから平行線の錯角について

どんなことがいえるか予想しなさい

　 1問 から平行線の錯角は等しいことが予想されます

　このことが正しい理由は次のように説明することが

できます

　右のような図で のとき

　　平行線の同位角は等しいから　

　　対頂角は等しいから　

　　したがって　

　すなわち　 ならば 　です

a

b

l

n

mc

a

b

l

n

m

2問 　右の図で のとき の

大きさを求めなさい

3問 　右のような図で のとき

と の間に成り立つ性質について

次の 1 ～ 3 の順に調べなさい

1　 のとき は何度ですか

2　 と の間に成り立つ性質を

　　予想しなさい

3　 2 で予想した性質がいつも成り立つ

　　理由を説明しなさい

b d

al

m

c

la

b d

c

m

平行線の性質2つの直線に つの直線が交わるとき次のことが成り立つ

　 つの直線が平行なとき

　　同位角は等しい

　 つの直線が平行なとき

　　錯角は等しい

平行線の性質

くり返し練習 1P131

左の図の~cと~dは錯角でlmです平行線の錯角は等しいから~c=~dです

右の図の~aと~bは同位角でlmです平行線の同位角は等しいから~a=~bです

陸りくさん 彩

あやさん見つけよう

表現の例表現の例

15

20

5

10

5

10

15

説明しよう

２年P103

「話す」「聞く」「かく」「読む」といった言語活動を通して基礎的基本的な内容の理解を深め数学的な思考力表現力を育成することができるようにしましたまた基本的な用語の使い方から口述による説明記述による説明まで数学的な表現力が無理なく身につくように様々な工夫をしました

初出の用語を使った表現の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

表現の例

口述による説明の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

説明の例

記述による説明の具体例をノート形式で示しました

各章（小節）

さんのノート

「説明のひな形」による指導内容の明確化

言語活動の充実ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

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20

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5

10

5

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注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

10

246

7章

2477 章　資料の活用

生活への利用 借りた本の冊数の比較　

　右の表はある中学校の 年 組と 年 組の生徒

各 人がある期間に図書室から借りた本の冊数を

調べ借りた冊数が少ない順に並べたものです

　この資料からどちらの学級の生徒が図書室の本を

たくさん借りているかを比べたいと思います

　まず 組と 組の生徒が借りた本の冊数の平均値を

求めたところどちらも 冊でした

1問 組と 組のそれぞれについて借りた本の

冊数の中央値と最頻値を求めましょう

2問 組について 冊借りた 人を除く

人の平均値中央値最頻値を

それぞれ求め 人の場合と比べましょう

このことからどんなことがわかりますか

　 2問 からわかるように平均値には資料の中に

　　　極きょく

端たん

に離はな

れた値があるとその値に大きく影えい

響きょう

を

受けるという性質がありますこれに対し中央値と

最頻値には離れた値の影響を受けにくいという性質が

あります

　 さんは「平均値はどちらも 冊で等しいから

組の生徒と 組の生徒はどちらも同じくらい

図書室の本を借りている」といっています

　あなたの考えは さんの考えと同じですか

それともちがいますかそう考えた理由を説明し

ほかの人の意見も聞いてみましょう

借りた本の冊数

通し番号 1組冊

2組冊

① 2 0② 2 0③ 2 1④ 3 1⑤ 3 1⑥ 3 1⑦ 3 1⑧ 3 1⑨ 3 1⑩ 4 2⑪ 4 2⑫ 4 2⑬ 4 2⑭ 4 2⑮ 5 2⑯ 5 3⑰ 5 3⑱ 5 3⑲ 6 4⑳ 6 5

6 56 46

平均値 4 4中央値最頻値

話し合おう

分数 248

割合 250

速さ時間道のり 252

図形の計量 254

小町算 256

集合の関係を表す図 257

円周率の歴史 258

地球の温暖化 259

地震のP波と S波 260

ランドルト環 261

速さを一定として考える 262

立体の切り口 発展 263

正多面体が5種類しかない理由 264

2つの資料の関係を読み取ろう 発展 266

数学レポートをかこう 268

巻末 数学 マイ トライ

算数をふりかえろう

数学研究室

A問題

　1章　正の数と負の数 270

　2章　文字と式 271

　3章　方程式 272

　4章　比例と反比例 273

　5章　平面図形 274

　6章　空間図形 275

　7章　資料の活用 276

B問題（活用） 277

いろいろな問題 280

力をのばそう

15

20

25

5

10

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

220 221

倍数の見分け方 222

暗号と素因数分解 224

エラトステネスのふるい 226

風の強さ 227

関数と年代測定 228

偉大な数学者ピタゴラス 229

和算の歴史 230

黄金比 232

正方形の紙を３等分する折り方 234

三平方の定理の証明 236

数学レポートをかこう 238

放物線と三角形 248

放物線と正方形 250

面積の変化 252

角柱の切り分け 254

円と三角形 256

線分の長さ 258

図形と確率 260

数の規則性 262

ステップアップ

数学研究室A問題

　数と式 240

　図形 241

　関数 242

　資料の活用 244

B問題（活用） 245

力をのばそう

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

184 6 章　確率

6章

185

　立方体の つの面のうち 面には 面には

面にはのマークがついたさいころがあります

右の図はそのさいころの展開図です　

　このさいころを つ同時に投げるとき最も出やすい

マークの組み合わせはどれとどれでしょうか

1問 　最も出やすいマークの組み合わせを予想しましょう

2問 　次の表を使ってマークの出方の組み合わせをすべて

かき出しましょう

3問 　最も出やすいマークの組み合わせはどれとどれですか

またその理由を確率を使って説明しましょう

　さいころにつけるマークの種類や

数を自分で決めて確率の問題をつくり

その問題について考えましょう

投げるさいころは同じものでなくても

かまいません

深める数学 マークの組み合わせの確率

やってみよう

説明しよう

正の数と負の数 204

文字と式 205

方程式 206

比例と反比例 207

平面図形 208

空間図形 208

資料の活用 209

連続する 10個の整数の和 186

アルキメデスの墓石 188

さっさ立て 189

食塩水の濃度 190

ダイヤグラム 191

将来の予測 192

面積が変わった 193

どんな図形になるかな 194

期待値 発展 195

魔方陣 196

点字のしくみ 198

格子点を結んでできる図形の面積 200

数学レポートをかこう 202

1年の復習数学研究室

A問題

　1章　式の計算 210

　2章　連立方程式 211

　3章　1次関数 212

　4章　図形の性質と合同 214

　5章　三角形と四角形 216

　6章　確率 217

B問題（活用） 218

いろいろな問題 224

力をのばそう

15

20

5

10

巻末 数学 マイ トライ

興味があるところから進んで取り組もう

先生保護者のみなさんへ

「数学 マイ トライ」では一人一人の学習状況などに応じて扱うことにより学習を確かにしたり学んだことを広げたり深めたりするための課題などを扱っています（全員が一律に学習する必要はありません）

学年別の特徴１年hellip小中連携を図るための　　　〈算数をふりかえろう〉を設けています２年hellip全国学力学習状況調査の問題を　　　取り入れた〈力をのばそう〉が　　　充実しています３年hellip3年間の各領域の内容を総合的に扱う　　　〈ステップアップ〉を設けています　　　総まとめとして使うことができます

１年P247

３年 P221２年 P185

ldquo わかる数学できる数学 rdquo へポイント

1

個に応じた学習を充実させるとともに主体的に学ぶ態度や学習習慣を身につけさせるために巻末に〈数学 マイ トライ〉を設けました家庭での自主学習にも対応できるようにすべての問題に解答例が付いています

個に応じた学習

11

218 219

内のりの縦と高さが cm横が cmの

直方体の水そうがあります

この水そうの底に縦が cm横が cm

高さが cmの直方体の段が右の図のように

固定してあります

この水そうに一定の割合で水を入れたところ

水を入れ始めて 分後に水面の高さが

cmになりました

水を入れ始めてから 分後の水面の高さを cmとして

次の問いに答えなさい

1　水面の高さが cmになるのは水を入れ始めてから

　　何分後ですか

2　 の増加量に対する の増加量の割合を

　 変化の割合といいます

　 水を入れ始めてから水面の高さが cmになるまでの

　 変化の割合は ですこの値はどのような数量を

　 表していますか

3　水面の高さが cmになってから満水になるまでの

　　変化の割合を求めなさい

4　水を入れ始めてから満水に

　　なるまでの と の

　　関係を表すグラフとして

　 正しいものを右の ～

の中から つ選びなさい

　　またそのグラフが正しい

　　理由を「傾き」という

　　ことばを使って説明しなさい

絵え

美み

さんは連続する つの奇数の和がどんな数に

なるかを考えています次の問いに答えなさい

1　絵美さんは右に示した つの例から

　 次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

　 しかしこの予想は正しくありません

が正しくない理由を説明するために反例を つ

　 あげなさい

2　絵美さんはさらにいろいろな連続する つの奇数の

　 和を求めあらためて次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

の予想が正しいことの説明を絵美さんは次の

　 ようにかき出しました

　 絵美さんの考え方で の予想が正しいことを

　 説明しなさい

3　連続する つの奇数を連続する つの奇数に変えたとき

　 その和はどんな数になるかを調べなさい

　 その結果から連続する つの奇数の和はどんな数に

　 なると予想できますか上の のかき方のように

　 「 はhelliphellipになる」という形で答えなさい

解答例 P237B問題（活用）

1

2

力をのばそう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

15

10

20

25

cm

cm

cmcm

cm

y

x

y

x

y

x

y

x

O O

O O

a b

c d

　　　

1 + 3 + 5 = 9

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 = 45

nを整数協すると連続する3つの奇数1313172n-12n+12n+3と表される

［絵美さんのノート］

３年P248 〜 249248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

２年P218

全国学力学習状況調査で正答率が低かった問題をそれぞれ〈A問題〉〈B 問題（活用）〉に反映させました１２年には思考力を伸ばすための〈いろいろな問題〉も用意しました

巻末

力をのばそう（１〜３年）

3年間の各領域の内容を総合的に扱う応用問題です例とその解答例解説及び問から構成されているので自学自習によってさらなる学力の向上を図ることができます

巻末

ステップアップ（３年）

12

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

数学的な思考力表現力を育み数学を活用する能力を伸ばすために大切なことを生徒にわかりやすく伝える工夫をしました

数学の学習で大切なこと

アの活動 見つけよう 考えよう

巻頭

既習の数学を基にして数や図形の性質などを見いだし発展させる活動

２年P120

120 ４章　図形の性質と合同

4章

1212 節　三角形の合同と証明

4章

1問 　次のことがらについて仮定と結論をいいなさい

1 　 ならば である

2 　 において ならば である

3 　 が の倍数ならば は の倍数である

　前ページの のことがらがいつも成り立つことは と

に着目すると次のように説明することができます

　上の説明では仮定のほかにすでに正しいと認められている

次のことがらを使って結論を導いています

対頂角は等しい

組の辺とその間の角がそれぞれ等しい三角形は合同である

合同な図形では対応する線分の長さは等しい

　上のように証明することで のことがらは

線分 の長さや交わる角度に関係なく

いつも成り立つことが明らかになります

右の図のように点Pで交わる線分ABとCDを

　　　 AP=DPCP=BP

となるようにかきAとCBとDをそれぞれ

線分で結ぶとき線分ACとBDの長さについて

いつも成り立つ性質を予想しましょう

あることがらがいつも成り立つことを筋道を立てて

　 説明することについて考えましょう

　Qのようにかいた図ではいつも線分 と の長さが

等しくなると予想されます

　予想したことがらは次のように表すことができます

Q

ならば helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

　　 ならば と表したとき

　　 の部分を仮か

定てい

　　 の部分を結けつ

論ろん

といいます

P

A

C

D B

D

A

B

C

P

D

A

B

C

P

A

A

C

C

DDB

B

P

P

　このように仮定から出発しすでに正しいと

認められていることがらを根こん

拠きょ

にして筋道を

立てて結論を導くことを　　証しょう

明めい

といいます

D

A

B

C

P

と において

仮定から　　　　　　　 　 helliphelliphellip①　 　

　　　　　　　　　　　 　 helliphelliphellip②対頂角は等しいから　 　 helliphelliphellip③

①②③より 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

　　　　　　　　　　

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから

　　　　　　　　　　　

仮定結論と証明3

問題にあう図をノートにかいてみよう

上の図は仮定を満たす図の代表としてかかれたものだよ

見つけよう

結論

ならば

仮定

15

5

10

5

10

15

20

25

正しいと認められたことがら

証明

仮定

結論

本文（小節）や特設ページなどに生徒の主体的な学びを重視した数学的活動の場面を適宜設けました

１年P137

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

学習習慣

数学的活動を通した学びldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

13

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

３年P ６〜 7

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節

生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　 日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

でわれば 日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あや

さんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は 冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたいを使った

平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あやさん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表は さんが m走を 回走った

記録をまとめたものです

　この 回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず

也や

さんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　 冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして 日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って 日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず也やさん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると

　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

回目 回目 回目

分 秒 分 秒 分 秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 冊

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

イの活動 生活への利用

日常生活や社会で数学を利用する活動

１年P50

２年 P85

3問 　右下の図は長さ cmの線せん

香こう

に火を

つけてからの時間と線香の長さの関係を

分ごとに 分後までかき入れたものです

次の問いに答えなさい

1　翼つばさ

さんはこのグラフを見て「線香に

　　火をつけてから 分後の線香の長さを

　　 cmとすると は の 次関数と

　　みなすことができる」と考えました

　　それはグラフのどのような特徴からで

　　しょうかその特徴を説明しなさい

2　このまま燃やし続けると線香が

　　燃えつきるのは火をつけてから

　　何分後と予想できますかまた

　　どのように考えたかも説明しなさい

1次関数とみなして考えること1

節 1次関数の活用

実験で得られたデータを関数の考え方を活用して考察しましょう

右の写真のようにビーカーの水を加熱する

実験をしました水を熱し始めてから 分後の

水温を として 分後まで調べたところ

次の表のようになりました

この と の対応する点をグラフ用紙に

とると右の図のようにほぼ一直線上に

並んでいるといえますこのような場合

は の 次関数とみなして考えることが

あります

右の図では実験結果をもとにかいた

つの点のできるだけ近くを通るように

直線をかいています

1問 　例 1 の直線を 次関数のグラフとみて

次の問いに答えなさい

1　 を の式で表しなさい

2　グラフの傾きと切片はそれぞれ何を表していますか

2問 　例 1 の実験を続けたとき水温が となるのは

熱し始めてから何分後かをグラフや式から予想し

どのように考えたのかを説明しなさい

1次関数とみなして考えること例 1

音が空気中を伝わる速さはそのときの気温によって

変わります気温が xampのとき音が空気中を伝わる

速さを秒速 ymとするとxと yの間にはおよそ

次の関係が成り立つことが知られています

y=06x+3315

1 気温が 30ampで稲いな

妻づま

が見えてから 8秒後に雷らい

鳴めい

が聞こえたとき

雷かみなり

までの距離を求めましょう

ところで雷までの距離が遠いからといって油断をしてはいけません

なぜなら雷らい

雲うん

は広い範はん

囲い

にわたって広がっているものでその範囲内の

どこで次の雷が発生するかはわからないからです

稲妻を見たり雷鳴を聞いたりしたらすぐに安全な場所に避ひ

難なん

しましょう

分

雷に気をつけよう数学のたんけん数学のたんけん

説明しよう

説明しよう

防災

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

分

cm

84

3章

85

3章

3 章　1次関数 3節　1次関数の活用

ウの活動 説明しよう

数学的な表現を用いて根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節4生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　5日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

5でわれば1日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あやさんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は90冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたい

を使った平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あや

さん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表はAさんが 1500m走を 3回走った

記録をまとめたものです

　この 3回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず也やさんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　100冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして1日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って1日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず

也や

さん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

1回目 2回目 3回目

6分 52秒 7分 12秒 7分 8秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) 19 0

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 (冊) 109 90 92 96 108

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) +9

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

14

社では荷物の大きさが cm以下ならば

円それより大きくて cm以下ならば

円と定めています

下の表と左のグラフは 社の料金のしくみを

表したものです

1問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

2　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3　荷物の大きさが cm以下であるとき料金は荷物の

　　大きさの関数といえますかその理由も答えなさい

　次の表は 社が定めた宅配便の料金表です

2問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　 社の料金のグラフを前ページの図にかき入れなさい

2　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

3　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3問 　荷物の大きさが cmの場合 社と 社のどちらの料金が

安いかを彩あや

さんは 2問 の 1 でかいた図を使って

次のように説明しました

荷物の大きさが次の場合料金は 社と 社のどちらが

安いかを判断して彩さんのように説明しなさい

1　 cm　　　　 2　 cm　　　　 3　 cm

4問 　和かず

也や

さんは大きさが cm以下の荷物を送るとき 社と

社のどちらの料金が安いかを次のようにまとめています

にあてはまる数や式をかき入れなさい

［和也さんのノート］

身のまわりの関数を活用しよう2 生活への利用

説明しよう

同じ都道府県内に荷物を送るときの宅配便の

料金についてA社とB社を調べたところ

どちらも荷物の縦の長さ横の長さ高さの

和を荷物の大きさとしてその大きさに応じて

料金を定めていました

荷物の大きさがどんな場合にどちらの会社の

料金が安いかを調べましょう

acm

bcm

(荷物の大きさ)=a+b+c

ccm

O

500

1000

1500

2000

(円)

(cm)50 100 150

A社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

料金 円 円

左上の図ではグラフがその点をふくむことを示しはグラフがその点をふくまないことを示しているよ

彩あやさん

A社とB社のグラフのうち横軸の値が80のときの点が下側にあるのはB社のグラフだから大きさが80cmの場合料金が安いのはB社です

和かず也やさん

説明の例

15

20

5

10

5

10

15

20

B社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

料金 円 円 円 円 円 円

荷物鼫大132529さをxcm協する

80ltxle 鼫場合と 鼫場合131317

A社鼫方が安い龥れ以外鼫場合131317B社鼫方が安い

118

4章

4 章　関数 y=ax2 119

4章

3 節　いろいろな関数３年P119

102 ４章　図形の性質と合同

4章

103１節　角と平行線

4章

Q ノートの横線と交わるように直線を

ひいたとき横線とひいた直線との間に

できる角の大きさについて

どんなことがいえますか

平行線に直線が交わってできる角について調べましょう

　右の図のように平行な 直線 に交わる

つの直線 をひくとその同位角 は

等しくなります

　すなわち　 ならば 　です

1問 　右の図で のとき大きさが

である角すべてに印をつけなさい

このことから平行線の錯角について

どんなことがいえるか予想しなさい

　 1問 から平行線の錯角は等しいことが予想されます

　このことが正しい理由は次のように説明することが

できます

　右のような図で のとき

　　平行線の同位角は等しいから　

　　対頂角は等しいから　

　　したがって　

　すなわち　 ならば 　です

a

b

l

n

mc

a

b

l

n

m

2問 　右の図で のとき の

大きさを求めなさい

3問 　右のような図で のとき

と の間に成り立つ性質について

次の 1 ～ 3 の順に調べなさい

1　 のとき は何度ですか

2　 と の間に成り立つ性質を

　　予想しなさい

3　 2 で予想した性質がいつも成り立つ

　　理由を説明しなさい

b d

al

m

c

la

b d

c

m

平行線の性質2つの直線に つの直線が交わるとき次のことが成り立つ

　 つの直線が平行なとき

　　同位角は等しい

　 つの直線が平行なとき

　　錯角は等しい

平行線の性質

くり返し練習 1P131

左の図の~cと~dは錯角でlmです平行線の錯角は等しいから~c=~dです

右の図の~aと~bは同位角でlmです平行線の同位角は等しいから~a=~bです

陸りくさん 彩

あやさん見つけよう

表現の例表現の例

15

20

5

10

5

10

15

説明しよう

２年P103

「話す」「聞く」「かく」「読む」といった言語活動を通して基礎的基本的な内容の理解を深め数学的な思考力表現力を育成することができるようにしましたまた基本的な用語の使い方から口述による説明記述による説明まで数学的な表現力が無理なく身につくように様々な工夫をしました

初出の用語を使った表現の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

表現の例

口述による説明の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

説明の例

記述による説明の具体例をノート形式で示しました

各章（小節）

さんのノート

「説明のひな形」による指導内容の明確化

言語活動の充実ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

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20

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注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

11

218 219

内のりの縦と高さが cm横が cmの

直方体の水そうがあります

この水そうの底に縦が cm横が cm

高さが cmの直方体の段が右の図のように

固定してあります

この水そうに一定の割合で水を入れたところ

水を入れ始めて 分後に水面の高さが

cmになりました

水を入れ始めてから 分後の水面の高さを cmとして

次の問いに答えなさい

1　水面の高さが cmになるのは水を入れ始めてから

　　何分後ですか

2　 の増加量に対する の増加量の割合を

　 変化の割合といいます

　 水を入れ始めてから水面の高さが cmになるまでの

　 変化の割合は ですこの値はどのような数量を

　 表していますか

3　水面の高さが cmになってから満水になるまでの

　　変化の割合を求めなさい

4　水を入れ始めてから満水に

　　なるまでの と の

　　関係を表すグラフとして

　 正しいものを右の ～

の中から つ選びなさい

　　またそのグラフが正しい

　　理由を「傾き」という

　　ことばを使って説明しなさい

絵え

美み

さんは連続する つの奇数の和がどんな数に

なるかを考えています次の問いに答えなさい

1　絵美さんは右に示した つの例から

　 次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

　 しかしこの予想は正しくありません

が正しくない理由を説明するために反例を つ

　 あげなさい

2　絵美さんはさらにいろいろな連続する つの奇数の

　 和を求めあらためて次の のことを予想しました

　 連続する つの奇数の和は の倍数になるhelliphellip

の予想が正しいことの説明を絵美さんは次の

　 ようにかき出しました

　 絵美さんの考え方で の予想が正しいことを

　 説明しなさい

3　連続する つの奇数を連続する つの奇数に変えたとき

　 その和はどんな数になるかを調べなさい

　 その結果から連続する つの奇数の和はどんな数に

　 なると予想できますか上の のかき方のように

　 「 はhelliphellipになる」という形で答えなさい

解答例 P237B問題（活用）

1

2

力をのばそう数学 マイ トライ

15

20

5

10

5

15

10

20

25

cm

cm

cmcm

cm

y

x

y

x

y

x

y

x

O O

O O

a b

c d

　　　

1 + 3 + 5 = 9

7 + 9 + 11 = 27

13 + 15 + 17 = 45

nを整数協すると連続する3つの奇数1313172n-12n+12n+3と表される

［絵美さんのノート］

３年P248 〜 249248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

248 249

解説

例 　右の図のように関数 のグラフと

関数 のグラフが 点 で

交わっています交点 の 座標が

それぞれ であるとき次の問いに

答えなさい

1　 の 値あたい

を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

解答例

1　点 は関数 のグラフ上の点だから

のとき　

　

したがって点 の座標は

点 は関数 のグラフ上の点で

のとき だから

　

　　　　　　　　　　　　　

答　

2　直線 と 軸じく

の交点を とする

点 は直線 の切片だから

点 の 座標は

また点 の 座標は 点 の

座標は

だから

　

答　

3　原点 を通り の面積を 等分する

　 直線は辺 の中点を通る

辺 の中点を とすると

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

点 の 座標は

と の

真ん中だから

図より　

よって点 の座標は

求める直線は原点 と点 を通る直線である

求める直線の式を とし

を代入すると

　

　

ゆえに求める直線の式は　

答　

1　点 を利用してもよい

点 は関数 の

グラフ上の点だから

のとき　

したがって点 の座標は

これを に代入すると

　

2　 を と の

つに分けるそれぞれの

三角形で を底辺点

の 座標の絶対値を高さと

みて面積を求める

1問 　右の図のように関数 のグラフと

直線 が 点 で交わっています

交点 の 座標がそれぞれ で

あるとき次の問いに答えなさい

1　直線 の式を求めなさい

2　 の面積を求めなさい

3　原点 を通り の面積を

等分する直線の式を求めなさい

3　三角形の つの頂点とその

頂点と向かい合う辺の中点を

結ぶ直線はその三角形の

面積を 等分する

中点 の座標は 座標 座標に

分けて考える

座標

点 のそれぞれの 座標の

真ん中の値となる

座標

点 のそれぞれの

座標の真ん中の値と

なる

ステップアップ数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

O 2-6

y

x

A

B

y=ax2

y=-x+3

O 2-6

y

x

A

P(03)

B

-3 1

A

B

y=-x2

l

xy

O

O

1

5

9

2-6 -2

y

x

A

M

BM

高さ

O 2

BMA

-6 -2

x

O1

5

9

M

B

A

y

ステップアップ

放物線と三角形 解答例 P276

２年P218

全国学力学習状況調査で正答率が低かった問題をそれぞれ〈A問題〉〈B 問題（活用）〉に反映させました１２年には思考力を伸ばすための〈いろいろな問題〉も用意しました

巻末

力をのばそう（１〜３年）

3年間の各領域の内容を総合的に扱う応用問題です例とその解答例解説及び問から構成されているので自学自習によってさらなる学力の向上を図ることができます

巻末

ステップアップ（３年）

12

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

数学的な思考力表現力を育み数学を活用する能力を伸ばすために大切なことを生徒にわかりやすく伝える工夫をしました

数学の学習で大切なこと

アの活動 見つけよう 考えよう

巻頭

既習の数学を基にして数や図形の性質などを見いだし発展させる活動

２年P120

120 ４章　図形の性質と合同

4章

1212 節　三角形の合同と証明

4章

1問 　次のことがらについて仮定と結論をいいなさい

1 　 ならば である

2 　 において ならば である

3 　 が の倍数ならば は の倍数である

　前ページの のことがらがいつも成り立つことは と

に着目すると次のように説明することができます

　上の説明では仮定のほかにすでに正しいと認められている

次のことがらを使って結論を導いています

対頂角は等しい

組の辺とその間の角がそれぞれ等しい三角形は合同である

合同な図形では対応する線分の長さは等しい

　上のように証明することで のことがらは

線分 の長さや交わる角度に関係なく

いつも成り立つことが明らかになります

右の図のように点Pで交わる線分ABとCDを

　　　 AP=DPCP=BP

となるようにかきAとCBとDをそれぞれ

線分で結ぶとき線分ACとBDの長さについて

いつも成り立つ性質を予想しましょう

あることがらがいつも成り立つことを筋道を立てて

　 説明することについて考えましょう

　Qのようにかいた図ではいつも線分 と の長さが

等しくなると予想されます

　予想したことがらは次のように表すことができます

Q

ならば helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

　　 ならば と表したとき

　　 の部分を仮か

定てい

　　 の部分を結けつ

論ろん

といいます

P

A

C

D B

D

A

B

C

P

D

A

B

C

P

A

A

C

C

DDB

B

P

P

　このように仮定から出発しすでに正しいと

認められていることがらを根こん

拠きょ

にして筋道を

立てて結論を導くことを　　証しょう

明めい

といいます

D

A

B

C

P

と において

仮定から　　　　　　　 　 helliphelliphellip①　 　

　　　　　　　　　　　 　 helliphelliphellip②対頂角は等しいから　 　 helliphelliphellip③

①②③より 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

　　　　　　　　　　

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから

　　　　　　　　　　　

仮定結論と証明3

問題にあう図をノートにかいてみよう

上の図は仮定を満たす図の代表としてかかれたものだよ

見つけよう

結論

ならば

仮定

15

5

10

5

10

15

20

25

正しいと認められたことがら

証明

仮定

結論

本文（小節）や特設ページなどに生徒の主体的な学びを重視した数学的活動の場面を適宜設けました

１年P137

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

学習習慣

数学的活動を通した学びldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

13

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

３年P ６〜 7

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節

生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　 日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

でわれば 日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あや

さんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は 冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたいを使った

平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あやさん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表は さんが m走を 回走った

記録をまとめたものです

　この 回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず

也や

さんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　 冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして 日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って 日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず也やさん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると

　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

回目 回目 回目

分 秒 分 秒 分 秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 冊

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

イの活動 生活への利用

日常生活や社会で数学を利用する活動

１年P50

２年 P85

3問 　右下の図は長さ cmの線せん

香こう

に火を

つけてからの時間と線香の長さの関係を

分ごとに 分後までかき入れたものです

次の問いに答えなさい

1　翼つばさ

さんはこのグラフを見て「線香に

　　火をつけてから 分後の線香の長さを

　　 cmとすると は の 次関数と

　　みなすことができる」と考えました

　　それはグラフのどのような特徴からで

　　しょうかその特徴を説明しなさい

2　このまま燃やし続けると線香が

　　燃えつきるのは火をつけてから

　　何分後と予想できますかまた

　　どのように考えたかも説明しなさい

1次関数とみなして考えること1

節 1次関数の活用

実験で得られたデータを関数の考え方を活用して考察しましょう

右の写真のようにビーカーの水を加熱する

実験をしました水を熱し始めてから 分後の

水温を として 分後まで調べたところ

次の表のようになりました

この と の対応する点をグラフ用紙に

とると右の図のようにほぼ一直線上に

並んでいるといえますこのような場合

は の 次関数とみなして考えることが

あります

右の図では実験結果をもとにかいた

つの点のできるだけ近くを通るように

直線をかいています

1問 　例 1 の直線を 次関数のグラフとみて

次の問いに答えなさい

1　 を の式で表しなさい

2　グラフの傾きと切片はそれぞれ何を表していますか

2問 　例 1 の実験を続けたとき水温が となるのは

熱し始めてから何分後かをグラフや式から予想し

どのように考えたのかを説明しなさい

1次関数とみなして考えること例 1

音が空気中を伝わる速さはそのときの気温によって

変わります気温が xampのとき音が空気中を伝わる

速さを秒速 ymとするとxと yの間にはおよそ

次の関係が成り立つことが知られています

y=06x+3315

1 気温が 30ampで稲いな

妻づま

が見えてから 8秒後に雷らい

鳴めい

が聞こえたとき

雷かみなり

までの距離を求めましょう

ところで雷までの距離が遠いからといって油断をしてはいけません

なぜなら雷らい

雲うん

は広い範はん

囲い

にわたって広がっているものでその範囲内の

どこで次の雷が発生するかはわからないからです

稲妻を見たり雷鳴を聞いたりしたらすぐに安全な場所に避ひ

難なん

しましょう

分

雷に気をつけよう数学のたんけん数学のたんけん

説明しよう

説明しよう

防災

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

分

cm

84

3章

85

3章

3 章　1次関数 3節　1次関数の活用

ウの活動 説明しよう

数学的な表現を用いて根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節4生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　5日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

5でわれば1日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あやさんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は90冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたい

を使った平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あや

さん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表はAさんが 1500m走を 3回走った

記録をまとめたものです

　この 3回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず也やさんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　100冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして1日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って1日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず

也や

さん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

1回目 2回目 3回目

6分 52秒 7分 12秒 7分 8秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) 19 0

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 (冊) 109 90 92 96 108

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) +9

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

14

社では荷物の大きさが cm以下ならば

円それより大きくて cm以下ならば

円と定めています

下の表と左のグラフは 社の料金のしくみを

表したものです

1問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

2　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3　荷物の大きさが cm以下であるとき料金は荷物の

　　大きさの関数といえますかその理由も答えなさい

　次の表は 社が定めた宅配便の料金表です

2問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　 社の料金のグラフを前ページの図にかき入れなさい

2　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

3　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3問 　荷物の大きさが cmの場合 社と 社のどちらの料金が

安いかを彩あや

さんは 2問 の 1 でかいた図を使って

次のように説明しました

荷物の大きさが次の場合料金は 社と 社のどちらが

安いかを判断して彩さんのように説明しなさい

1　 cm　　　　 2　 cm　　　　 3　 cm

4問 　和かず

也や

さんは大きさが cm以下の荷物を送るとき 社と

社のどちらの料金が安いかを次のようにまとめています

にあてはまる数や式をかき入れなさい

［和也さんのノート］

身のまわりの関数を活用しよう2 生活への利用

説明しよう

同じ都道府県内に荷物を送るときの宅配便の

料金についてA社とB社を調べたところ

どちらも荷物の縦の長さ横の長さ高さの

和を荷物の大きさとしてその大きさに応じて

料金を定めていました

荷物の大きさがどんな場合にどちらの会社の

料金が安いかを調べましょう

acm

bcm

(荷物の大きさ)=a+b+c

ccm

O

500

1000

1500

2000

(円)

(cm)50 100 150

A社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

料金 円 円

左上の図ではグラフがその点をふくむことを示しはグラフがその点をふくまないことを示しているよ

彩あやさん

A社とB社のグラフのうち横軸の値が80のときの点が下側にあるのはB社のグラフだから大きさが80cmの場合料金が安いのはB社です

和かず也やさん

説明の例

15

20

5

10

5

10

15

20

B社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

料金 円 円 円 円 円 円

荷物鼫大132529さをxcm協する

80ltxle 鼫場合と 鼫場合131317

A社鼫方が安い龥れ以外鼫場合131317B社鼫方が安い

118

4章

4 章　関数 y=ax2 119

4章

3 節　いろいろな関数３年P119

102 ４章　図形の性質と合同

4章

103１節　角と平行線

4章

Q ノートの横線と交わるように直線を

ひいたとき横線とひいた直線との間に

できる角の大きさについて

どんなことがいえますか

平行線に直線が交わってできる角について調べましょう

　右の図のように平行な 直線 に交わる

つの直線 をひくとその同位角 は

等しくなります

　すなわち　 ならば 　です

1問 　右の図で のとき大きさが

である角すべてに印をつけなさい

このことから平行線の錯角について

どんなことがいえるか予想しなさい

　 1問 から平行線の錯角は等しいことが予想されます

　このことが正しい理由は次のように説明することが

できます

　右のような図で のとき

　　平行線の同位角は等しいから　

　　対頂角は等しいから　

　　したがって　

　すなわち　 ならば 　です

a

b

l

n

mc

a

b

l

n

m

2問 　右の図で のとき の

大きさを求めなさい

3問 　右のような図で のとき

と の間に成り立つ性質について

次の 1 ～ 3 の順に調べなさい

1　 のとき は何度ですか

2　 と の間に成り立つ性質を

　　予想しなさい

3　 2 で予想した性質がいつも成り立つ

　　理由を説明しなさい

b d

al

m

c

la

b d

c

m

平行線の性質2つの直線に つの直線が交わるとき次のことが成り立つ

　 つの直線が平行なとき

　　同位角は等しい

　 つの直線が平行なとき

　　錯角は等しい

平行線の性質

くり返し練習 1P131

左の図の~cと~dは錯角でlmです平行線の錯角は等しいから~c=~dです

右の図の~aと~bは同位角でlmです平行線の同位角は等しいから~a=~bです

陸りくさん 彩

あやさん見つけよう

表現の例表現の例

15

20

5

10

5

10

15

説明しよう

２年P103

「話す」「聞く」「かく」「読む」といった言語活動を通して基礎的基本的な内容の理解を深め数学的な思考力表現力を育成することができるようにしましたまた基本的な用語の使い方から口述による説明記述による説明まで数学的な表現力が無理なく身につくように様々な工夫をしました

初出の用語を使った表現の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

表現の例

口述による説明の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

説明の例

記述による説明の具体例をノート形式で示しました

各章（小節）

さんのノート

「説明のひな形」による指導内容の明確化

言語活動の充実ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

12

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

数学的な思考力表現力を育み数学を活用する能力を伸ばすために大切なことを生徒にわかりやすく伝える工夫をしました

数学の学習で大切なこと

アの活動 見つけよう 考えよう

巻頭

既習の数学を基にして数や図形の性質などを見いだし発展させる活動

２年P120

120 ４章　図形の性質と合同

4章

1212 節　三角形の合同と証明

4章

1問 　次のことがらについて仮定と結論をいいなさい

1 　 ならば である

2 　 において ならば である

3 　 が の倍数ならば は の倍数である

　前ページの のことがらがいつも成り立つことは と

に着目すると次のように説明することができます

　上の説明では仮定のほかにすでに正しいと認められている

次のことがらを使って結論を導いています

対頂角は等しい

組の辺とその間の角がそれぞれ等しい三角形は合同である

合同な図形では対応する線分の長さは等しい

　上のように証明することで のことがらは

線分 の長さや交わる角度に関係なく

いつも成り立つことが明らかになります

右の図のように点Pで交わる線分ABとCDを

　　　 AP=DPCP=BP

となるようにかきAとCBとDをそれぞれ

線分で結ぶとき線分ACとBDの長さについて

いつも成り立つ性質を予想しましょう

あることがらがいつも成り立つことを筋道を立てて

　 説明することについて考えましょう

　Qのようにかいた図ではいつも線分 と の長さが

等しくなると予想されます

　予想したことがらは次のように表すことができます

Q

ならば helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip

　　 ならば と表したとき

　　 の部分を仮か

定てい

　　 の部分を結けつ

論ろん

といいます

P

A

C

D B

D

A

B

C

P

D

A

B

C

P

A

A

C

C

DDB

B

P

P

　このように仮定から出発しすでに正しいと

認められていることがらを根こん

拠きょ

にして筋道を

立てて結論を導くことを　　証しょう

明めい

といいます

D

A

B

C

P

と において

仮定から　　　　　　　 　 helliphelliphellip①　 　

　　　　　　　　　　　 　 helliphelliphellip②対頂角は等しいから　 　 helliphelliphellip③

①②③より 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

　　　　　　　　　　

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから

　　　　　　　　　　　

仮定結論と証明3

問題にあう図をノートにかいてみよう

上の図は仮定を満たす図の代表としてかかれたものだよ

見つけよう

結論

ならば

仮定

15

5

10

5

10

15

20

25

正しいと認められたことがら

証明

仮定

結論

本文（小節）や特設ページなどに生徒の主体的な学びを重視した数学的活動の場面を適宜設けました

１年P137

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

136 ４章　比例と反比例

4章

1372 節　比例

4章

yが xに比例する関係を表した表が紙にかいて

ありましたが紙が破れてしまったために

その一部しか見えません右の表から比例の

式を求めることはできるでしょうか

比例の式の求め方を考えましょう

　 が に比例する関係は比例定数を とすると

と表されますしたがって比例定数がわかれば

式を求めることができます

が に比例し のとき です

を の式で表しましょう

解答例 　が に比例するから比例定数を とすると

　

のとき だから

　

　

したがって　 　　　　　　　答　

1問 　 が に比例するとき次の問いに答えなさい

1　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

2　 のとき です を の式で

　　表しなさい

　　また のときの の値を求めなさい

5問 　次の表と右の図のグラフはどちらも

比例 を表したものです

比例 について下の問いに

答えなさい

1　 の値が 増加すると の値は

　　どのように変化しますか

2　グラフで右へ めもり分進むと上下の

　　どちらの方向へ何めもり分進みますか

　これまでに調べたことから比例のグラフについて

次のようにまとめることができます

6問 　比例 のグラフとして

ふさわしいのは右の

の図のどちらですか

またその理由を説明しなさい

比例の式の求め方7

Q

見つけよう

考えよう

yがxに比例するとき対応するxとyの値が何組わかれば比例定数を求められますか

表の縦の関係から4a=-8と

考えてもいいね

1組の の値から比例の式を求める方法例 1

hellip

hellip

チャレンジ

が に比例しのとき です

を の式で表しなさい

答P138

15

5

10

5

10

15

20

25

比例 のグラフは原点と点 を通る直線である

　 のときは右上がり　 　　　 のときは右下がり

比例のグラフ

増加

増加

増加

減少

x

y2

-2

-4

-6

O 42-2

y=-2x

hellip hellip

hellip hellip

y

x

O

y

x

O

a b

説明しよう

hellip hellip

hellip hellip

学習習慣

数学的活動を通した学びldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

13

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

３年P ６〜 7

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節

生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　 日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

でわれば 日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あや

さんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は 冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたいを使った

平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あやさん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表は さんが m走を 回走った

記録をまとめたものです

　この 回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず

也や

さんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　 冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして 日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って 日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず也やさん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると

　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

回目 回目 回目

分 秒 分 秒 分 秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 冊

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

イの活動 生活への利用

日常生活や社会で数学を利用する活動

１年P50

２年 P85

3問 　右下の図は長さ cmの線せん

香こう

に火を

つけてからの時間と線香の長さの関係を

分ごとに 分後までかき入れたものです

次の問いに答えなさい

1　翼つばさ

さんはこのグラフを見て「線香に

　　火をつけてから 分後の線香の長さを

　　 cmとすると は の 次関数と

　　みなすことができる」と考えました

　　それはグラフのどのような特徴からで

　　しょうかその特徴を説明しなさい

2　このまま燃やし続けると線香が

　　燃えつきるのは火をつけてから

　　何分後と予想できますかまた

　　どのように考えたかも説明しなさい

1次関数とみなして考えること1

節 1次関数の活用

実験で得られたデータを関数の考え方を活用して考察しましょう

右の写真のようにビーカーの水を加熱する

実験をしました水を熱し始めてから 分後の

水温を として 分後まで調べたところ

次の表のようになりました

この と の対応する点をグラフ用紙に

とると右の図のようにほぼ一直線上に

並んでいるといえますこのような場合

は の 次関数とみなして考えることが

あります

右の図では実験結果をもとにかいた

つの点のできるだけ近くを通るように

直線をかいています

1問 　例 1 の直線を 次関数のグラフとみて

次の問いに答えなさい

1　 を の式で表しなさい

2　グラフの傾きと切片はそれぞれ何を表していますか

2問 　例 1 の実験を続けたとき水温が となるのは

熱し始めてから何分後かをグラフや式から予想し

どのように考えたのかを説明しなさい

1次関数とみなして考えること例 1

音が空気中を伝わる速さはそのときの気温によって

変わります気温が xampのとき音が空気中を伝わる

速さを秒速 ymとするとxと yの間にはおよそ

次の関係が成り立つことが知られています

y=06x+3315

1 気温が 30ampで稲いな

妻づま

が見えてから 8秒後に雷らい

鳴めい

が聞こえたとき

雷かみなり

までの距離を求めましょう

ところで雷までの距離が遠いからといって油断をしてはいけません

なぜなら雷らい

雲うん

は広い範はん

囲い

にわたって広がっているものでその範囲内の

どこで次の雷が発生するかはわからないからです

稲妻を見たり雷鳴を聞いたりしたらすぐに安全な場所に避ひ

難なん

しましょう

分

雷に気をつけよう数学のたんけん数学のたんけん

説明しよう

説明しよう

防災

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

分

cm

84

3章

85

3章

3 章　1次関数 3節　1次関数の活用

ウの活動 説明しよう

数学的な表現を用いて根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節4生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　5日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

5でわれば1日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あやさんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は90冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたい

を使った平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あや

さん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表はAさんが 1500m走を 3回走った

記録をまとめたものです

　この 3回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず也やさんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　100冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして1日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って1日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず

也や

さん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

1回目 2回目 3回目

6分 52秒 7分 12秒 7分 8秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) 19 0

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 (冊) 109 90 92 96 108

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) +9

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

14

社では荷物の大きさが cm以下ならば

円それより大きくて cm以下ならば

円と定めています

下の表と左のグラフは 社の料金のしくみを

表したものです

1問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

2　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3　荷物の大きさが cm以下であるとき料金は荷物の

　　大きさの関数といえますかその理由も答えなさい

　次の表は 社が定めた宅配便の料金表です

2問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　 社の料金のグラフを前ページの図にかき入れなさい

2　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

3　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3問 　荷物の大きさが cmの場合 社と 社のどちらの料金が

安いかを彩あや

さんは 2問 の 1 でかいた図を使って

次のように説明しました

荷物の大きさが次の場合料金は 社と 社のどちらが

安いかを判断して彩さんのように説明しなさい

1　 cm　　　　 2　 cm　　　　 3　 cm

4問 　和かず

也や

さんは大きさが cm以下の荷物を送るとき 社と

社のどちらの料金が安いかを次のようにまとめています

にあてはまる数や式をかき入れなさい

［和也さんのノート］

身のまわりの関数を活用しよう2 生活への利用

説明しよう

同じ都道府県内に荷物を送るときの宅配便の

料金についてA社とB社を調べたところ

どちらも荷物の縦の長さ横の長さ高さの

和を荷物の大きさとしてその大きさに応じて

料金を定めていました

荷物の大きさがどんな場合にどちらの会社の

料金が安いかを調べましょう

acm

bcm

(荷物の大きさ)=a+b+c

ccm

O

500

1000

1500

2000

(円)

(cm)50 100 150

A社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

料金 円 円

左上の図ではグラフがその点をふくむことを示しはグラフがその点をふくまないことを示しているよ

彩あやさん

A社とB社のグラフのうち横軸の値が80のときの点が下側にあるのはB社のグラフだから大きさが80cmの場合料金が安いのはB社です

和かず也やさん

説明の例

15

20

5

10

5

10

15

20

B社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

料金 円 円 円 円 円 円

荷物鼫大132529さをxcm協する

80ltxle 鼫場合と 鼫場合131317

A社鼫方が安い龥れ以外鼫場合131317B社鼫方が安い

118

4章

4 章　関数 y=ax2 119

4章

3 節　いろいろな関数３年P119

102 ４章　図形の性質と合同

4章

103１節　角と平行線

4章

Q ノートの横線と交わるように直線を

ひいたとき横線とひいた直線との間に

できる角の大きさについて

どんなことがいえますか

平行線に直線が交わってできる角について調べましょう

　右の図のように平行な 直線 に交わる

つの直線 をひくとその同位角 は

等しくなります

　すなわち　 ならば 　です

1問 　右の図で のとき大きさが

である角すべてに印をつけなさい

このことから平行線の錯角について

どんなことがいえるか予想しなさい

　 1問 から平行線の錯角は等しいことが予想されます

　このことが正しい理由は次のように説明することが

できます

　右のような図で のとき

　　平行線の同位角は等しいから　

　　対頂角は等しいから　

　　したがって　

　すなわち　 ならば 　です

a

b

l

n

mc

a

b

l

n

m

2問 　右の図で のとき の

大きさを求めなさい

3問 　右のような図で のとき

と の間に成り立つ性質について

次の 1 ～ 3 の順に調べなさい

1　 のとき は何度ですか

2　 と の間に成り立つ性質を

　　予想しなさい

3　 2 で予想した性質がいつも成り立つ

　　理由を説明しなさい

b d

al

m

c

la

b d

c

m

平行線の性質2つの直線に つの直線が交わるとき次のことが成り立つ

　 つの直線が平行なとき

　　同位角は等しい

　 つの直線が平行なとき

　　錯角は等しい

平行線の性質

くり返し練習 1P131

左の図の~cと~dは錯角でlmです平行線の錯角は等しいから~c=~dです

右の図の~aと~bは同位角でlmです平行線の同位角は等しいから~a=~bです

陸りくさん 彩

あやさん見つけよう

表現の例表現の例

15

20

5

10

5

10

15

説明しよう

２年P103

「話す」「聞く」「かく」「読む」といった言語活動を通して基礎的基本的な内容の理解を深め数学的な思考力表現力を育成することができるようにしましたまた基本的な用語の使い方から口述による説明記述による説明まで数学的な表現力が無理なく身につくように様々な工夫をしました

初出の用語を使った表現の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

表現の例

口述による説明の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

説明の例

記述による説明の具体例をノート形式で示しました

各章（小節）

さんのノート

「説明のひな形」による指導内容の明確化

言語活動の充実ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

13

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

予習復習をしよう

考えを伝え合おう

自分で考えよう

数学を利用しよう

　数学の学習では問題を解くための方法や考え方を身につけたり身につけたことを別の場面で利用したり自分の考えやほかの人の考えをたがいに伝え合ったりできるようになることが大切です

　数学ではすでに学んだ知識や考え方などを使って新しいことを見つけていきます

「数学のことば」を積極的に使いましょう　 説明しよう や 話し合おう で説明するときは学んだ用語を積極的に使ってその使い方に慣れましょう　また式や図表グラフなども自分の考えを伝え合う道具として使っていきましょう

説明したいことをていねいに伝えましょう　説明をするときには　　「何がどうなるのか」　　「どうすればそうなるのか」　　「なぜそうなるのか」などがきちんと伝わるようにしましょう

ほかの人の発表をしっかり聞きましょう　ほかの人の考えのよいところや自分の考えとのちがいを考えましょう　わからないところや疑問に思ったところがあれば質問をしましょう

学んだことをまとめましょう　ノートやレポートなどをかくときはあなたがどのように考えどのような方法や手順で解決したのかがほかの人が読んでもわかるようにかくことを心がけましょう

速さの単位を次のようにかく場合があります

　時速4km 4kmh

　分速80m 80mmin　秒速5m 5ms

hはhour (時間 )minはminute (分 )sはsecond (秒 )を略した単位記号ですhは「1時間あたり」という意味です

　たとえ答えにたどり着けなくても自分で考えた経験が考える力をのばしていきます　また自分で考えることで新たなことに気づいたり生み出したりする楽しさを感じられるでしょう

　身のまわりの場面や将来経験するであろう場面では数学を使うことで解決できる問題に出あうことがあります

求めた結果はどんな意味をもつのかな

どんなことが予想できるかな

条件を変えるとどうなるかな

共通点は何かなちがいは何かな

数学を使って解決できないかな

数学をどのように使えばよいかな

ほかに方法はないかな

これまでにどんなことを学んだかな

学ぶ前に や章末の「くり返し練習」を使うなどして自分で予習復習をする習慣を身につけましょう

章末の とりくんでみよう にある 説明できるかな では方法や理由などをかく練習をしましょう

見つけよう 考えよう やってみよう などでは新しいことがらや問題の解き方いろいろな見方や考え方などを見つけたり発展させたりしましょう

生活への利用 では生活の中で数学を利用する問題に取り組みましょうまたそこで学んだ経験を実際の生活の中でも生かしていきましょう

表現の例

9の平方根は3と-3です

速さの単位の表し方

ノートの工夫P8 数学レポートをかこうP238

数学の学習で大切なこと

6 7

真ま央おさん

彩あやさん

和かず也やさん

陸りくさん

３年P ６〜 7

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節

生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　 日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

でわれば 日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あや

さんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は 冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたいを使った

平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あやさん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表は さんが m走を 回走った

記録をまとめたものです

　この 回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず

也や

さんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　 冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして 日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って 日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず也やさん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると

　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

回目 回目 回目

分 秒 分 秒 分 秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 冊

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 冊

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

イの活動 生活への利用

日常生活や社会で数学を利用する活動

１年P50

２年 P85

3問 　右下の図は長さ cmの線せん

香こう

に火を

つけてからの時間と線香の長さの関係を

分ごとに 分後までかき入れたものです

次の問いに答えなさい

1　翼つばさ

さんはこのグラフを見て「線香に

　　火をつけてから 分後の線香の長さを

　　 cmとすると は の 次関数と

　　みなすことができる」と考えました

　　それはグラフのどのような特徴からで

　　しょうかその特徴を説明しなさい

2　このまま燃やし続けると線香が

　　燃えつきるのは火をつけてから

　　何分後と予想できますかまた

　　どのように考えたかも説明しなさい

1次関数とみなして考えること1

節 1次関数の活用

実験で得られたデータを関数の考え方を活用して考察しましょう

右の写真のようにビーカーの水を加熱する

実験をしました水を熱し始めてから 分後の

水温を として 分後まで調べたところ

次の表のようになりました

この と の対応する点をグラフ用紙に

とると右の図のようにほぼ一直線上に

並んでいるといえますこのような場合

は の 次関数とみなして考えることが

あります

右の図では実験結果をもとにかいた

つの点のできるだけ近くを通るように

直線をかいています

1問 　例 1 の直線を 次関数のグラフとみて

次の問いに答えなさい

1　 を の式で表しなさい

2　グラフの傾きと切片はそれぞれ何を表していますか

2問 　例 1 の実験を続けたとき水温が となるのは

熱し始めてから何分後かをグラフや式から予想し

どのように考えたのかを説明しなさい

1次関数とみなして考えること例 1

音が空気中を伝わる速さはそのときの気温によって

変わります気温が xampのとき音が空気中を伝わる

速さを秒速 ymとするとxと yの間にはおよそ

次の関係が成り立つことが知られています

y=06x+3315

1 気温が 30ampで稲いな

妻づま

が見えてから 8秒後に雷らい

鳴めい

が聞こえたとき

雷かみなり

までの距離を求めましょう

ところで雷までの距離が遠いからといって油断をしてはいけません

なぜなら雷らい

雲うん

は広い範はん

囲い

にわたって広がっているものでその範囲内の

どこで次の雷が発生するかはわからないからです

稲妻を見たり雷鳴を聞いたりしたらすぐに安全な場所に避ひ

難なん

しましょう

分

雷に気をつけよう数学のたんけん数学のたんけん

説明しよう

説明しよう

防災

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

分

cm

84

3章

85

3章

3 章　1次関数 3節　1次関数の活用

ウの活動 説明しよう

数学的な表現を用いて根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動

50 1 章　正の数と負の数

1章

51

1章

4 節　正の数と負の数の活用

正の数と負の数の活用節4生活への利用

正の数と負の数を使って身のまわりの問題を考えましょう

1問 　5日間の貸出冊数の合計を求めてその合計を

5でわれば1日あたりの貸出冊数の平均を

求めることができますこの方法で貸出冊数の

平均を求めなさい

　右の図は先週の貸出冊数を棒グラフに

表したものです

　このグラフを見た彩あやさんは 1問 の方法よりも

簡単に平均を求められないかと考えています

2問 　次の表は90冊を基準として貸出冊数が基準より何冊

多かったかを表したものですこの表を完成しなさい

平均の求め方を工夫しよう1

この表の 値あたい

を使った平均の求め方を考えましょう

考えよう

やってみよう

彩あや

さん

右の表は先週ある中学校の

図書室から貸し出された本の

冊数をまとめたものです

1日あたりの貸出冊数の平均は

何冊でしょうか

［彩さんのノート］

　右の表はAさんが 1500m走を 3回走った

記録をまとめたものです

　この 3回の記録の平均を正の数と負の数を

使って求めましょう

3問 　彩さんは 2問 の表の値を使った平均の求め方を

次のようにノートにまとめています

にあてはまる数をかき入れなさい

　和かず也やさんは彩さんの考えを参考にして

さらに別の求め方を考えています

4問 　100冊を基準とし基準より多い場合を正の数で

表すとして1日ごとの貸出冊数の基準との差を

正の数と負の数を使って表し次の表にまとめなさい

またこの表の値を使って1日あたりの貸出冊数の

平均を求めなさい

(平均 )=(合計 )(個数 )

ふりかえり 算数

和かず

也や

さん

問2鼫表鼫値鼫平均を求めると　( 19+0+ + + )5=

132844割がって1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317

基準に132844た90冊より 冊多い

つまり1日鼪たりの貸出冊数鼫平均131317 冊で158878る

1回目 2回目 3回目

6分 52秒 7分 12秒 7分 8秒

20

15

5

10

5

10

15

20

この方法で求めた平均は 1問 の答えと同じ値になるかな

どの日も90冊以上だから90冊をこえる分の冊数の平均を求めて考えられないかな

100冊を基準として基準との差を正の数と負の数で表して平均を求められないかな

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) 19 0

貸出冊数

月 火 水 木 金

冊数 (冊) 109 90 92 96 108

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

月 火 水 木 金

基準との差 (冊) +9

月 火 水 木 金

100

90

0

110(冊) 貸出冊数

14

社では荷物の大きさが cm以下ならば

円それより大きくて cm以下ならば

円と定めています

下の表と左のグラフは 社の料金のしくみを

表したものです

1問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

2　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3　荷物の大きさが cm以下であるとき料金は荷物の

　　大きさの関数といえますかその理由も答えなさい

　次の表は 社が定めた宅配便の料金表です

2問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　 社の料金のグラフを前ページの図にかき入れなさい

2　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

3　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3問 　荷物の大きさが cmの場合 社と 社のどちらの料金が

安いかを彩あや

さんは 2問 の 1 でかいた図を使って

次のように説明しました

荷物の大きさが次の場合料金は 社と 社のどちらが

安いかを判断して彩さんのように説明しなさい

1　 cm　　　　 2　 cm　　　　 3　 cm

4問 　和かず

也や

さんは大きさが cm以下の荷物を送るとき 社と

社のどちらの料金が安いかを次のようにまとめています

にあてはまる数や式をかき入れなさい

［和也さんのノート］

身のまわりの関数を活用しよう2 生活への利用

説明しよう

同じ都道府県内に荷物を送るときの宅配便の

料金についてA社とB社を調べたところ

どちらも荷物の縦の長さ横の長さ高さの

和を荷物の大きさとしてその大きさに応じて

料金を定めていました

荷物の大きさがどんな場合にどちらの会社の

料金が安いかを調べましょう

acm

bcm

(荷物の大きさ)=a+b+c

ccm

O

500

1000

1500

2000

(円)

(cm)50 100 150

A社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

料金 円 円

左上の図ではグラフがその点をふくむことを示しはグラフがその点をふくまないことを示しているよ

彩あやさん

A社とB社のグラフのうち横軸の値が80のときの点が下側にあるのはB社のグラフだから大きさが80cmの場合料金が安いのはB社です

和かず也やさん

説明の例

15

20

5

10

5

10

15

20

B社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

料金 円 円 円 円 円 円

荷物鼫大132529さをxcm協する

80ltxle 鼫場合と 鼫場合131317

A社鼫方が安い龥れ以外鼫場合131317B社鼫方が安い

118

4章

4 章　関数 y=ax2 119

4章

3 節　いろいろな関数３年P119

102 ４章　図形の性質と合同

4章

103１節　角と平行線

4章

Q ノートの横線と交わるように直線を

ひいたとき横線とひいた直線との間に

できる角の大きさについて

どんなことがいえますか

平行線に直線が交わってできる角について調べましょう

　右の図のように平行な 直線 に交わる

つの直線 をひくとその同位角 は

等しくなります

　すなわち　 ならば 　です

1問 　右の図で のとき大きさが

である角すべてに印をつけなさい

このことから平行線の錯角について

どんなことがいえるか予想しなさい

　 1問 から平行線の錯角は等しいことが予想されます

　このことが正しい理由は次のように説明することが

できます

　右のような図で のとき

　　平行線の同位角は等しいから　

　　対頂角は等しいから　

　　したがって　

　すなわち　 ならば 　です

a

b

l

n

mc

a

b

l

n

m

2問 　右の図で のとき の

大きさを求めなさい

3問 　右のような図で のとき

と の間に成り立つ性質について

次の 1 ～ 3 の順に調べなさい

1　 のとき は何度ですか

2　 と の間に成り立つ性質を

　　予想しなさい

3　 2 で予想した性質がいつも成り立つ

　　理由を説明しなさい

b d

al

m

c

la

b d

c

m

平行線の性質2つの直線に つの直線が交わるとき次のことが成り立つ

　 つの直線が平行なとき

　　同位角は等しい

　 つの直線が平行なとき

　　錯角は等しい

平行線の性質

くり返し練習 1P131

左の図の~cと~dは錯角でlmです平行線の錯角は等しいから~c=~dです

右の図の~aと~bは同位角でlmです平行線の同位角は等しいから~a=~bです

陸りくさん 彩

あやさん見つけよう

表現の例表現の例

15

20

5

10

5

10

15

説明しよう

２年P103

「話す」「聞く」「かく」「読む」といった言語活動を通して基礎的基本的な内容の理解を深め数学的な思考力表現力を育成することができるようにしましたまた基本的な用語の使い方から口述による説明記述による説明まで数学的な表現力が無理なく身につくように様々な工夫をしました

初出の用語を使った表現の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

表現の例

口述による説明の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

説明の例

記述による説明の具体例をノート形式で示しました

各章（小節）

さんのノート

「説明のひな形」による指導内容の明確化

言語活動の充実ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

14

社では荷物の大きさが cm以下ならば

円それより大きくて cm以下ならば

円と定めています

下の表と左のグラフは 社の料金のしくみを

表したものです

1問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

2　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3　荷物の大きさが cm以下であるとき料金は荷物の

　　大きさの関数といえますかその理由も答えなさい

　次の表は 社が定めた宅配便の料金表です

2問 　 社の料金について次の問いに答えなさい

1　 社の料金のグラフを前ページの図にかき入れなさい

2　荷物の大きさが cmであるときの料金を求めなさい

3　 円以下で送ることができる荷物の大きさは

　　最大で何 cmですか

3問 　荷物の大きさが cmの場合 社と 社のどちらの料金が

安いかを彩あや

さんは 2問 の 1 でかいた図を使って

次のように説明しました

荷物の大きさが次の場合料金は 社と 社のどちらが

安いかを判断して彩さんのように説明しなさい

1　 cm　　　　 2　 cm　　　　 3　 cm

4問 　和かず

也や

さんは大きさが cm以下の荷物を送るとき 社と

社のどちらの料金が安いかを次のようにまとめています

にあてはまる数や式をかき入れなさい

［和也さんのノート］

身のまわりの関数を活用しよう2 生活への利用

説明しよう

同じ都道府県内に荷物を送るときの宅配便の

料金についてA社とB社を調べたところ

どちらも荷物の縦の長さ横の長さ高さの

和を荷物の大きさとしてその大きさに応じて

料金を定めていました

荷物の大きさがどんな場合にどちらの会社の

料金が安いかを調べましょう

acm

bcm

(荷物の大きさ)=a+b+c

ccm

O

500

1000

1500

2000

(円)

(cm)50 100 150

A社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

料金 円 円

左上の図ではグラフがその点をふくむことを示しはグラフがその点をふくまないことを示しているよ

彩あやさん

A社とB社のグラフのうち横軸の値が80のときの点が下側にあるのはB社のグラフだから大きさが80cmの場合料金が安いのはB社です

和かず也やさん

説明の例

15

20

5

10

5

10

15

20

B社の料金表

荷物の大きさ cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

cm以下

料金 円 円 円 円 円 円

荷物鼫大132529さをxcm協する

80ltxle 鼫場合と 鼫場合131317

A社鼫方が安い龥れ以外鼫場合131317B社鼫方が安い

118

4章

4 章　関数 y=ax2 119

4章

3 節　いろいろな関数３年P119

102 ４章　図形の性質と合同

4章

103１節　角と平行線

4章

Q ノートの横線と交わるように直線を

ひいたとき横線とひいた直線との間に

できる角の大きさについて

どんなことがいえますか

平行線に直線が交わってできる角について調べましょう

　右の図のように平行な 直線 に交わる

つの直線 をひくとその同位角 は

等しくなります

　すなわち　 ならば 　です

1問 　右の図で のとき大きさが

である角すべてに印をつけなさい

このことから平行線の錯角について

どんなことがいえるか予想しなさい

　 1問 から平行線の錯角は等しいことが予想されます

　このことが正しい理由は次のように説明することが

できます

　右のような図で のとき

　　平行線の同位角は等しいから　

　　対頂角は等しいから　

　　したがって　

　すなわち　 ならば 　です

a

b

l

n

mc

a

b

l

n

m

2問 　右の図で のとき の

大きさを求めなさい

3問 　右のような図で のとき

と の間に成り立つ性質について

次の 1 ～ 3 の順に調べなさい

1　 のとき は何度ですか

2　 と の間に成り立つ性質を

　　予想しなさい

3　 2 で予想した性質がいつも成り立つ

　　理由を説明しなさい

b d

al

m

c

la

b d

c

m

平行線の性質2つの直線に つの直線が交わるとき次のことが成り立つ

　 つの直線が平行なとき

　　同位角は等しい

　 つの直線が平行なとき

　　錯角は等しい

平行線の性質

くり返し練習 1P131

左の図の~cと~dは錯角でlmです平行線の錯角は等しいから~c=~dです

右の図の~aと~bは同位角でlmです平行線の同位角は等しいから~a=~bです

陸りくさん 彩

あやさん見つけよう

表現の例表現の例

15

20

5

10

5

10

15

説明しよう

２年P103

「話す」「聞く」「かく」「読む」といった言語活動を通して基礎的基本的な内容の理解を深め数学的な思考力表現力を育成することができるようにしましたまた基本的な用語の使い方から口述による説明記述による説明まで数学的な表現力が無理なく身につくように様々な工夫をしました

初出の用語を使った表現の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

表現の例

口述による説明の具体例を中学生のキャラクターの吹き出しで示しました

各章（小節）

説明の例

記述による説明の具体例をノート形式で示しました

各章（小節）

さんのノート

「説明のひな形」による指導内容の明確化

言語活動の充実ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

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20

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注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

15

184 5 章　平面図形

5章

185

5章

これまでに学んだ作図をいろいろな問題に活用しましょう

　Qで考えたことから直線 上の点 を

通る直線 の垂線の作図は大きさが の

の二等分線と考えることができます

　また右の図で をかくと

は の二等辺三角形です

　二等辺三角形は線対称な図形で直線 が

の対称の軸だから線対称な図形の性質より

がいえます

1問 　ノートに直線を自由にひきその直線上に点をとりなさい

そしてその点を通る直線の垂線を作図しなさい

2問

3 節　基本の作図

　円の中心は円周上のどの点からも等しい距離にあります

　また ページで学んだように 点 からの距離が

等しい点は線分 の垂直二等分線上にあるから

円の中心はその円の弦の垂直二等分線上にあります

　このことをもとに円の中心を作図で求めてみましょう

3問 　右の図は遺い

跡せき

から発はっ

掘くつ

された

皿の一部です

もとは円形だったと考えて

その円の中心を作図で求め

もとの円をかきなさい

　 ページの 3問 では正三角形の１つの角は であることを使って

の角と の角を作図しました

　ほかにはどんな大きさの角が作図できるでしょうか

またその角はどうすれば作図できるでしょうか

作図の活用5

Q

左の図で円 の周上の点 を通る

円 の接線を作図しなさい

陸りくさん 彩

あやさん

BA

まず垂線を作図してそのときできる4つの直角の1つを2等分すれば45degの角が作図できるね

直角二等辺三角形を作図することができれば45degの角ができるね

15

5

10

5

10

15

左の~APBの二等分線lを作図しなさい

~APBが大きくなり3点APBが

一直線上の点になったときlは

直線ABとどのように交わりますか

O

A

A

B

P

見つけよう

話し合おう

P DC

Q

A

①

② ②

③

B

2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

25

注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

巻末

１年P185

１年 P55

２年 P202 〜 203

54 1 章　正の数と負の数

1章

55

1章

次の数の中から下の 1 ～ 4 にあてはまる数を選びなさい知

　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　

1　最も大きい数　 2　最も大きい負の数

3　最も小さい数　 4　最も小さい自然数

次の各組の数の大小を不等号を使って表しなさい技

1　 　 2　 　　　 3　

次の数を答えなさい知

1　絶対値が である負の数　 2　 の符号を変えた数　

3　 の逆数　 　 　 4　正の数でも負の数でもない整数

の意味として正しい式を次の ～ の中から つ選び記号で

答えなさい知

　 　　　　　　 　 　　　　　　 　

次の計算をしなさい技

1　 　 2　 　 3　

4　 　　 5　 　 6　

7　 　 8　 　 9　

10　 　 11　 　 12　

13　 　 14　 　 15　

ある日の大おお

分いた

市の最低気温は 富と

山やま

市の最低気温は

でした

この日の大分市の最低気温は富山市の最低気温より

何 高かったですか考

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

7　 　 　 8　

ある学級で空あ

き缶かん

の回収をしました次の表は

週間ごとの回収量を第 週を基準としそれより

多い場合を正の数少ない場合を負の数で表した

ものです下の問いに答えなさい

1　回収量が最も多い週と少ない週との差は何 kg ですか

2　第 週の回収量は kg でしたこの 週間の回収量の

　　 週間あたりの平均は何 kg ですか

右の資料は奈な

良ら

県三さん

郷ごう

町の広報誌に掲けい

載さい

された

ものですこの資料から次の方法で前月の

町の人口を求めることができます

上の説明を参考にして前月の町の世帯数の求め方を

説明しなさい

週 第 週 第 週 第 週 第 週 第 週

基準との差 kg

とりくんでみよう 解答例 P282１章のたしかめ 解答例 P282

1 章の問題

1

2

3

4

5

6

1

2

3

町の人口は前月に比べて12人減り今月は23149人になったこのことから前月の人口は　　23149-(-12)

という式の計算で求めることができる

説明できるかな

20

15

5

10

5

10

15

20

25

横欄や小節末などにみんなで話し合って解決する課題を示しました

各章（小節）

話し合おう

全国学力学習状況調査の B問題で正答率の低さ無解答率の高さが課題と指摘されている記述式の問題を各章末の〈とりくんでみよう〉に設けました

各章（章末）

説明できるかな

数学的活動の過程をふり返りその成果を共有するためのレポートのかき方を示しました

数学レポートをかこう2年　組　番　名前　 （班）

連続する3つの偶数と3段目鼫数課題　教科書10～ 11ページの図で1段目にはいる数を「連続する3つの偶数」と132844た　場合3段目鼫数131317どんな数にるかを予想し龥嚮が正しいことを説明する

予想132844たこと　

　調194713た結果から「3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる」と予想132844た

予想132844たこ協が正しいことの説明　nを整数協すると連続する3つの偶数131317　2n2n+22n+4と表される　図より2段目鼫数131317 2n+(2n+2)=4n+2

(2n+2)+(2n+4)=4n+6

　3段目鼫数131317 (4n+2)+(4n+6)=8n+8

=4(2n+2)

　2n+21313171段目鼫真ん中鼫数孼から4(2n+2)131317龥の4倍で158878る　132844割がって3段目鼫数1313171段目鼫真ん中鼫数鼫4倍にる

鼪協から気づいたこと　8n+8=8(n+1 )協るn+1131317整数孼から8(n+1 )1313178鼫倍数で158878る　つまり「上鼫図で1段目に連続する3つの偶数を順に入龞ると3段目鼫数131317　8鼫倍数にる」こともいえる

感想　131317じめに予想132844たこ協が正しいと説明で132529てうれ132844かった佳た8鼫倍数に　ることに気づいた協きはもっとうれ132844かった　今度1313171段目に連続する3つの奇数を順に入嚮た場合も調194713て襁たいと思う

　学んだことや調べたことなどをレポートにまとめてみましょう

　 　課題を明確にする

　　タイトルや課題はじめに予想したことなどをかきましょう

　 　調べた結果をかく

　　結果だけではなく調べた方法や結果が正しいといえる理由なども

　　　かきましょう

　　読む人のことを考えて見やすくわかりやすいレポートにしましょう

　　　　式図表グラフなどを使って表現する

　　　　見出しをつける

　　　　色を使う　　　　　　　　　　　　など

　 　まとめや感想をかく

　　取り組んだことについてふり返りまとめや感想をかきましょう

　　　例えば次のようなことをかくとよいでしょう

　　　　友だちと話し合って気づいたことや他の班の発表を聞いて感じたこと

　　　　　（自分の考えと似ていたところやちがっていたところなど）

　　　　わからなかったことや反省したこと

　　　　今後取り組みたいこと　　　　　　　など

　［その他］

かいたレポートを先生や友だちに

見てもらって感想を聞きましょう

よいところやわかりにくいところを

教えてもらうと次にレポートを

かくときの参考になります

数学レポートをかこう

レポートのかき方

数学レポートの例

1段目hellip

2段目hellip

3段目hellip

2 4

16

6

6

10

=44

8 10

40

18

12

22

=104

2n 2n+2

8n+8

4n+2

2n+4

4n+6

16 18

72

34

20

38

=184

202 203数学レポートをかこう数学 マイ トライ

15

20

25

5

10

5

10

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20

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注 意 　参考にした資料などがあれば本の著者名書名出版社名発行年やホームページのアドレスなどをかきましょう

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

16

章2

正方形が1個増えると必要な棒は何本増えるかな

　彩あや

さんは正方形を 個つくるときに必要な棒の

本数の求め方を次のような図と式で表しました

1　彩さんが考えた式で はそれぞれどんな

　　数量を表していますか

2　正方形を 個つくるときに必要な棒の本数を求める図と

　　式を彩さんと同じ考え方でそれぞれ表しましょう

文字と式

この章では文字を使って数量の関係などを式に表すことや

式の計算について学びましょう

図をかいて調べよう

下の図のように長さが等しい棒を並べて正方形を

横一列につくっていきます

正方形を20個つくるとき棒は何本必要でしょうか

Q

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

正方形が 個のとき必要な棒は 本

陸りくさん

彩あやさん

真ま央おさん

式　1+34

式

和かず也やさん

正方形を20個つくるときも彩さんが考えた方法で求められるかな

彩さんが考えた方法以外の求め方を考えてみよう

58

2章

59

2章

244 7 章　資料の活用

7章

245

7章

7 章の問題

右の表はある中学校の 年生男子 人の

立ち幅とびの記録です整理をしやすいように

値を小さい順に並べかえてあります

この資料について次の問いに答えなさい知

1　範囲を求めなさい

2　中央値と最頻値をそれぞれ求めなさい

3　右の表の測定値は cm未満を切り捨てて

　　求めた近似値です測定値が cmのとき

　　その真の値を cmとして の範囲を記号

　　 を使って表しなさい

1の資料について次の問いに答えなさい技

1　右の度数分布表を完成しなさい

2　右の度数分布表をもとに下の図に

　　ヒストグラムをかきなさい

右の表は品物 の重さをはかり

g未満を四捨五入して求めた近似値です

有効数字は何けたかを考えて の重さを

整数部分が けたの小数と の累乗の積の形で

それぞれ表しなさい考

前日にテレビを見た時間をある中学校の

年生と 年生にアンケートをして

調べました右の図はその調査結果で

縦軸は相対度数を表しています

この図から読み取ることができる

ことがらとして適切なものを次の

～ の中からすべて選びなさい

　 年生では「 ～ 分」と答えた

　　生徒が最も多かった

　 年生のうち 割以上が「 分未満」と答えた

　「 ～ 分」と答えた生徒の人数は 年生と

　　 年生とでちょうど同じである

　全体の傾向としては 年生の方が 年生より長時間

　　テレビを見たといえる

通学にかかる時間についてある中学校の

年生 人にアンケートをして調べました

右の図はその調査結果です

またアンケート結果から通学にかかる時間の

平均値を求めると 分でした

この中学校の 年生である直なお

人と

さんに関する

次のことがらは正しいですか正しくないですか

そのように判断した理由も説明しなさい

立ち幅とび

階級 cm 度数 人　以上 　未満

130 ～ 140140 ～ 150150 ～ 160160 ～ 170170 ～ 180180 ～ 190190 ～ 200200 ～ 210計 36

重さ g12401000900

品物の重さ

とりくんでみよう 解答例 P2877章のたしかめ 解答例 P287

1

2

3

1

2説明できるかな

直人さんの通学呀かかる時間131317約11分で158878るこれは平均値より短いから通学呀かかる時間が短い方から数えると60人鼫半分鼫30番以内で158878るといえる

立ち幅とび

136 173 182 189152 175 183 192159 178 183 195161 178 184 196163 179 185 198166 180 186 199170 180 186 199172 180 188 200172 181 188 205

cm

00 30 60 90 120 150 180 210

005

010

015

020

025

030

(分)

テレビを見た時間

1年生3年生

0

5

10

15

20(人)

(分)0 5 10 15 20 25 30 35 40

通学にかかる時間

0

5

10

15

(人)

(cm)130 140 150 160 170 180 190 200 210

立ち幅とび

15

20

5

10

5

10

15

20

25

１年P59

１年 P245

数学的な表現力読解力を問う問題を適宜設けました

数学的な表現力読解力ldquo 活用する数学 rdquo へ

ポイント2

ことば（文章）や図式表グラフなどから必要な情報を読み取ったりそれらを使って思考し表現したりする活動を適宜取り入れました

ヒストグラムから必要な情報を読み取り資料の傾向をとらえ数学的に説明する問題

長さが等しい棒で正方形を横一列につくっていくときの必要な棒の本数の求め方を見いだしその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

17

152 ４章　比例と反比例

4章

1534 節　比例と反比例の活用

4章 彩

あやさん

陸りくさん

兄は家から 600m離はな

れた公園へ向かって歩きました

下の図は兄が家を出てから公園の前に着くまでの

時間と道のりの関係を表したグラフです

このグラフからどんな情報が読み取れますか

比例のグラフを読んだり数量の関係を表や式グラフに

　 表したりしてその数量の関係をとらえましょう

1問 　上の Qで兄が家を出てから 分後に家からの

　　　　道のりが mになったとして次の問いに答えなさい

1　 と の関係を表す次の表を完成しなさい

2　 を の式で表しなさいまた の変域を

　　それぞれ表しなさい

比例の表式グラフの活用2

兄が歩いた時間と道のりの間にはどんな関係があるといえるかな

このグラフから兄が歩いた速さを求めるにはどうすればよいかな

Q

生活への利用

O

600

700

800

900

500

400

300

200

100

54321

兄

10 11 12 13 14 15 16 17 18 199876 (分)

(m)

2問 　次の文章は前ページで調べた関数に関するものです

下の問いに答えなさい

1 　 にあてはまる数をかき入れなさい

2 　 にあてはまる数はどんな数量を表していますか

3問 　前ページの Qで妹は兄と同時に

家を出て同じ道を歩き公園の

先にある駅に向かいました

妹は兄より 分遅おく

れて公園の前を

通過し駅に着いたのは

家を出てから 分後でした

妹の歩く速さは一定だったとして

次の問いに答えなさい

1 　妹が家を出てから駅に着くまでの時間と

　　道のりの関係を表すグラフを前ページの図に

　　かき加えなさい

2 　妹が歩いた速さは分速何mですか

3 　家から駅までの道のりは何mですか

4 　兄が公園に着いたとき妹は家からの道のりが

　　何mの地点を通過しましたか

5 　 人が家を出てから 分後に 人は何m離れて

　　いますか

x鼫値が1増加するとy鼫値131317 増加する

x0鼫協きyx 鼫値131317一定で龥の値131317 で158878る

yをx鼫式で表132844た協きの比例定数131317 で158878る

先に行くよ

気をつけてね

5

10

5

10

15

20１年P152

２年 P109108 ４章　図形の性質と合同

4章

109１節　角と平行線

4章

彩あやさん

直線のひき方は1通りではないよいろいろなひき方を考えてみよう

4問 　次の図で のとき の大きさを求めなさい

1　　　 　 　　　　　 2　

5問 　右のような図形の性質について

次の 1 2 の順に調べなさい

1　右の図で の大きさを

求めなさい

2　右のような図で

の大きさについていつも

成り立つ性質を予想しそれが

正しいことを説明しなさい

1 　右の図は の頂点 を通って辺 に

平行な直線 をひいたものです

この図を使って三角形の内角の和が で

あることを説明しましょう

2 　次の 1 2 の図に直線をひいて の大きさを

求めましょう

1 　 　 　 　　　　　 2

A

B C

a

l

b

d e

c

平行線の性質が使えそうだよ

式や図を使って自分の考えを説明してみよう

五角形の内角の和も彩さんと同じ方法で求められるのかな

彩さんとは別の方法で四角形や五角形の内角の和を求められないかな

　まず四角形五角形の内角の和を考えましょう

1問 　次の多角形の内角の和をそれぞれ求めなさい

またどんな方法で求めたかを図や式などを

使って説明しなさい

1　四角形　 　 　 2　五角形

四角形は1本の対角線で 2つの三角形に分けることができます1つの三角形の内角の和は 180degでその 2つ分だから　　180deg2=360degしたがって四角形の内角の和は360degです

多角形の内角の和5 見つけよう

多角形についても三角形と同じように

内角と外角を考えることができます

三角形の内角の和が 180degであることを

もとにしてn角形の内角の和を

求めましょう

またどのように求めたかを説明し

伝え合いましょう

内角外角

外角

外角

外角

内角 内角

内角

陸りくさん

真ま央おさん

やってみよう

説明の例

15

5

10

5

10

説明しよう

説明しよう

n角形の内角の和を求めるために四角形や五角形の和を求めその求め方を図や式を用いて説明し伝え合う活動

関数のグラフから情報を読み取る活動

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

18

2年 P96（3章末）１年P29

数学を学ぶ楽しさや数学のよさを実感できるような話や生活の中にある身近なことがらを数学的に考察する課題を適宜設けました

右の図は直線ADを

対たい

称しょう

の軸じく

とする線対称な

図形です

この図について次の

問いに答えましょう

1 　頂点Bに対応する頂点はどれですか

2　辺BCに対応する辺はどれですか

3　~BCDに対応する角はどれですか

4　次の にあてはまる角をかき入れましょう

　　　~CDA=12

~

5　直線ADからの距きょ

離り

が頂点Cと等しい

　　頂点はどれですか

次のことがらを表すように にあてはまる記号を

かき入れましょう

1 　2直線lmは

　　平行である

　　　 l m

2　直線nは線分ABの垂直二等分線で

　　その交点がMである

　　　 n AB

　　 AM BM

ふりかえり 算数

ふりかえり 1年

ぴったり重ね合わせることができる2つの図形は合同であるという左の図で四角形 ABCDと四角形 AFED は合同である

合同な図形で重なり合う頂点辺角をそれぞれ対応する頂点対応する辺対応する角という

直線線分半直線

線分 A Bと線分 C Dの 長さが等しい　AB=CD

~ABCの大きさが 90deg　~ABC=90deg

直線 A Bと直線 C Dが 垂直である　AB|CD

直線 A Bと直線 C Dが 平行である　ABCD

「4章　図形の性質と合同」を学ぶ前に 解答例 P230

1

2

　地上から約 ｍまでは高度が高くなるのに

ともなって気温が一定の割合で下がります

このため高い山に登るとそのふもとに比べて

気温が低くなりますただし地形や天候によって

変わることもありますこのことを実際の

気象データを使って確かめてみましょう

　右の図は気象庁が設けている山やま

梨なし

県内の

観測所を記した地図です

　また次の表は気象庁のホームページで

調べて作成した富ふ

士じ

山さん

とその周辺の観測所の

標高と 年 月の平均気温の資料です

　右の図は標高を横軸に

とり平均気温を縦軸に

とって上の表の標高と

平均気温の関係をグラフに

表したものです

　

1問 　上の図から標高が高くなるのにともなって平均気温が

一定の割合で下がっていることがわかります標高が m

高くなるごとに平均気温は約何 ずつ下がっていますか

2問 　富士山周辺の標高が mの地点で 年 月の

平均気温は何 くらいだったと考えられますか

生活への利用 高度と気温

2500 3000 3500 4000500 1000 1500 2000(m)

O

10

20

30

(amp)

2013年 8月の平均気温

観測所 南なん

部ぶ

切きり

石いし

甲こう

府ふ

勝かつ

沼ぬま

古ふる

関せき

河かわ

口ぐち

湖こ

山やま

中なか

富士山

標高 m

平均気温

A

直線AB

線分AB

B

A

B

A

半直線BAB

A

半直線ABB

A

C

B

E

D

F

l

m

A BM

n

気象庁ホームページ

15

20

25

5

10

5

10

15

20

96 97

3章

3 章　1次関数のチャレンジの答 　 1 　　 2 　　 3

説明しよう

28 1 章　正の数と負の数

1章

292 節　加法と減法

1章

次の減法を加法になおして計算しなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

次の計算をしなさい

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　 　 6　

1　 　 　2　 　

3　 　 　4　 　

1　 　 　 2　

3　 　 　 4　

5　 　　 6　

1　 　 　 2　

1　 　 2 をひく 　 　　 2　 　 6 をひく

　 　 2 をたす 　 　　　 　 6 をたす

　 　 　 　 　 　　　

1　 　　 2　 　

絶対値が等しく符号が同じ 数の差は である

26～ 28ページで学んだ減法についてふり返ってみましょう

　　　　ひかれる数が同じである減法の式でひく数が1大きくなるとその差は

どうなりますかまたひく数が1小さくなるとその差はどうなりますか

　(+2)- 　0 = +2 (+2)-(+2)=

　(+2)- (+1 ) = +1 (+2)-(+1 ) = +1

　(+2)- (+2) = (+2)- 0 = +2

　(+2)- (+3) = (+2)- (-1 ) =

　(+2)-(+4) = (+2)- (-2) =

　　　　減法 (+3 )-(-5)を加法 (+3 )+(+5)になおすことができる理由を

真ま

央お

さんと陸りく

さんはトランプの黒（ ）のカードが表す数を正の数

赤（ ）のカードが表す数を負の数として次のように説明しています

(-6)-(+2)を (-6)+(-2)になおすことができる理由を

同じように説明してみましょう

1

2

ある数をひくことはその数の符号を変えた数をたすことと

同じである

正の数負の数の減法

2問

3問

4問

5問

負の数をひく計算例 2

0からひく計算0をひく計算例 3

くり返し練習 2P52

減法のいろいろな見方数学のたんけん数学のたんけん

チャレンジ

1　

2　

3　

答P30

チャレンジ

1　

2　

答P30

-5のカードなんてないよ

加法（+3）+（+5）になおすことができるんだね

これなら-5のカードがとれるね

ここから-5のカードをとってください

だから減法（+3）-（-5）の計算はhellip

13

24

それなら+5と-5のカードを追加してみます

+5と-5の和は0だ

15

20

5

10

5

10

各章の学習内容に関連した興味深い話などです

各章

数学のたんけんその章で学んだことを使って身のまわりの問題を解決する課題です

各章（章末）

生活への利用

数学のよさや有用性の実感ldquo 探究する数学 rdquo へ

ポイント3

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学

19

１年P256

生徒の興味関心に応じて探究的な学習内容に取り組めるようにしました

256 257

小町算

　江え

戸ど

時代に発達したわが国独自の数学を和わ

算さん

といいます

　その つを紹しょう

介かい

しましょう

1 次の計算をしましょう

1　 　　　

2　

3　

　上の例のように の

数字を順に並べて数字の間に を

入れて式をつくり答えが になる計算のことを

小こ

町まち

算ざん

といいます

2 次の に記号を入れて小町算を完成しましょう

1　

2　

3　

4　 　

　小町算は 年 寛かん

保ぽう

年 に出版された

中なか

根ね

彦げん

循じゅん

の著書『勘かん

者じゃ

御お

伽とぎ

双ぞう

紙し

』にかかれています

この本には多くの数学遊ゆう

戯ぎ

が解説されていて

明めい

治じ

大たい

正しょう

時代になっても広く読まれました

　 ページで学んだ数の集合についてさらに考えてみましょう

1 右の図①は自然数の範はん

囲い

で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「 の倍数の集合」の関係を表しています

図①で の倍数の集合と の倍数の

集合が重なり合っている部分には や

があてはまりますこの部分は

どのような数の集合といえますか

2 右の図②は自然数の範囲で

「自然数の集合」「 の倍数の集合」

「奇き

数すう

の集合」の関係を表しています

図②について次の問いに

答えましょう

1　 から までの自然数は

　　それぞれ ～ のどこにあてはまりますか

2　 より大きい自然数で の部分にあてはまるものを

　　小さい方から つ答えましょう

3　 の部分にあてはまる自然数はどのような数の

　　集合といえますか

3 右の図③の集合 集合 を

自分で決めて ～ にあてはまる

自然数を考えましょう

集合の関係を表す図

数学研究室数学 マイ トライ

歴史伝統と文化

15

20

5

10

5

10

15

20

解答例 P288

解答例 P288

勘者御伽双紙の小町算の部分

① hellip

自然数

の倍数 の倍数 hellip

hellip

hellip

② 自然数

の倍数 奇数

③ 自然数

「3でわると1余る自然数の集合」や「5の倍数に2をたした数の集合」なども考えられるね

数学研究室

３年P44（１章末）

2 10 と 3 9

5 13 と 6 12

「2章　平方根」を学ぶ前に 解答例 P265

6 6を62とかいて「6の2乗」または「6の平方」と読む

ふりかえり 1年

36を素因数分解すると22 32となる

36 =22 32

=(2 3)2

=62　larr6の平方

ふりかえり P39

3問 　彩あや

さんは別の性質を見つけてその性質がいつも成り立つことを

次のように文字を使って表しました彩さんはどんな囲み方をして

どんな性質を見つけたのでしょうか式から読み取り図やことばで

説明しましょう

4問 　カレンダーの数の並びについてほかにもいろいろな性質を

見つけましょうまた見つけた性質がいつも成り立つことを

文字を使って説明しましょう

　カレンダーの数の並びについていつも

成り立つ性質を見つけそのことを文字を

使って説明し伝え合いましょう

1問 　真ま

央お

さんはカレンダーの数の並びについて調べ

次のような性質を見つけました

真央さんが見つけた性質について次の問いに答えましょう

1　真央さんが見つけた性質はこのカレンダーの

　　ほかの場所でも成り立つことを実際に計算して

　　確かめましょう

2　長方形で囲んだ つの数のうち左上の数を

　　 として真央さんが見つけた性質がいつも

　　成り立つことを文字を使って説明しましょう

2問 　陸りく

さんは上の真央さんと同じ囲み方をしたときの

左上と右下の数の積と右上と左下の数の積を

比べるとどうなるだろうかと考えています

どんな性質があるか調べましょうまた調べて

見つけたことを文字を使って説明しましょう

深める数学 カレンダーの秘密を解き明かそう

真ま央おさん

陸りくさん

彩あやさん

次の計算をしましょう

1 　32 2　42　　　　　　 3　52

324がどのような自然数の平方であるかを

調べましょう

1

2

15

20

5

10

5

10

15

　x2 -(x+7)(x-7)

=x2 -(x2 -49)

=49

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

カレンダーの4つの数を右鼫ように囲んだ協き左上と右下鼫数鼫和131317右上と左下鼫数鼫和と等しくる　　2+ 10 = 3+ 9

　　5+ 13 = 6+ 12

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

日 月 火 水 木 金 土1 2 3

4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

説明しよう

36

3

2182

93

44 1 章　式の展開と因数分解 45

1章

３年P177

右の図のように円に2つの弦ABCDを

交わるようにひきその交点をPとします

この図について次の 1 ～ 3 の にあてはまる

角やその根こん

拠きょ

となることがらをかき入れましょう

1 　CBに対する円周角は等しいから ~CAB =~

2　 に対する円周角は等しいから ~ACD =~

3　 は等しいから ~APC =~

円と弦がつくる図形について考えましょう

円と相似な三角形例 1

Qの図で であることを

証明しましょう

［証明］

1問 　右の図のように円に つの弦 を　

　 交わるようにひきその交点を とします

cm cm cmのとき

の長さを求めなさい

2問 　右の図のように円に つの弦

をひき つの弦を

延長した直線の交点を とします

このとき

　　

であることを証明しなさい

２つの弦がつくる角の大きさ例 2

右の図で は に対する

円周角と に対する円周角の和に

等しいことを証明しましょう

［証明］ において

三角形の内角と外角の性質より

　　

は に対する円周角で

は に対する円周角だから

は に対する円周角と

に対する円周角の和に等しい

3問 　例 2 の図で をそれぞれ延長した

　 直線の交点を とします

このとき は に対する円周角と

に対する円周角の差に等しいことを

証明しなさい

　右の図で点 は

それぞれ１つの円周上にあります

　このときそれぞれの図で

　　

が成り立つことを証明しましょう

円周角といろいろな問題5

Q

ACPとDBP呀おいて

　　に対する円周角131317等しいから ~CAP=~BDP helliphellip①

対頂角131317等しいから ~APC=~DPB helliphellip②

①②より2組鼫角がそれぞれ等しいから

　　ACP]DBP

132844割がって　CPBP=APDP

CB

P

A

D

B

C

5cm

3cm

3cm

A

C

D

B

P

A

C D

B

P

やってみよう 発展

15

20

5

10

5

10

15

20

25

176 6 章　円

6章

1771 節　円周角と中心角

6章

探究的な学習活動

その節や小節で学んだことを活用して考える課題です

各章

やってみよう数学の見方や考え方をさらに広げる課題学習や調べ学習のきっかけとなる話です

巻末

数学研究室

その章で学んだことをさらに深めたり発展させたりする課題です

各章（章末）

深める数学