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© Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, 20.03.2004
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Mathematische GrundlagenGraphen und Operationen auf Graphen
Karin Haenelt
© Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, 20.03.2004
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Graphen
• Definitionen• Operationen auf Graphen• Graph-Repräsentationen
© Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, 20.03.2004
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Vorbemerkung
• „Wenn hier von Knoten und Kanten gesprochen wird, so ist dies nur eine Veranschaulichung, die sich an einen gezeichneten Graphen anlehnt.Die Definitionen sind davon unabhängig.“
(Kunze, 2001, 32)
• Graphen sind Mengen, in denen die Elemente in bestimmten Beziehungen zueinander stehen
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Definition: Graph
• Ein Graph G = (V,E) besteht aus– einer Menge V von Knoten (vertices)– einer Menge E von Kanten (edges)
• wobei die Kanten– zwei Knoten miteinander verbinden
• ungerichteter Graph– jede Kante e = {v1,v2} ist ein ungeordnetes Paar
• gerichteter Graph (directed graph)– jede Kante e = (v1,v2) ist ein geordnetes Paar, d.h.– jede Kante hat eine Orientierung, einen Anfangspunkt und
einen Endpunkt
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Definitionen:benachbart, indiziert, Grad
benachbart (bnb) (adjacent)
zwei Knoten, die durch eine Kante verbunden sind
indiziert (labeled)
die Kanten werden voneinander durch Namen unterscheiden
Grad (degree) eines Knotens - d(V): Anzahl der Kanten, die von einem Knoten ausgehen
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Definitionen:Schlinge, Mehrfachkante
Schlinge (loop) Kante, die einen Knoten mit sich selbst verbindet
Mehrfachkante (multiple lines)
Mehrere Kanten zwischen zwei Knoten
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Definitionen:Weg, Zyklus, Masche
Weg (path)
eine Folge von Kanten e1, e2, ... , en in einem gerichteten Graphen, wobei n > 1 ist, so dass
Endpunkt von e1 = Anfangspunkt e2, Endpunkt von e2 = Anfangspunkt von e3, ... und Endpunkt von en-1 = Anfangspunkt von en.
n ist die Länge des Weges.
Zyklus (cycle)
ein Weg, für den gilt: Endpunkt von en = Anfangspunkt von e1 (bei n =1: Schlinge)
Masche Zwei verschiedene Wege e1, ... , en und f1, ... , fm, bei denen der Anfangspunkt von e1 und f1 sowie der Endpunkt von en und fm übereinstimmen, bilden eine Masche. (bei n = m = 1: Mehrfachkante)
Kunze, 2001
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Definitionen:Wurzel, terminaler Knoten
Wurzel (root) Knoten in einem gerichteten Graphen, von dem aus man jeden anderen Knoten auf einem passenden Weg erreichen kann
terminaler Knoten (terminal node)
Knoten, von dem keine Kante ausgeht
Kunze, 2001
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Operationen auf Graphen
• Grundoperationen: Einfügen, Löschen• Traversion von Graphen
– Relation „benachbart“
– Traversionsmethoden
• Mengenoperationen– Komplement (complement)
– Vereinigung (union)
– Durchschnitt (intersection)
– Verbindung (join)
– Kartesisches Produkt (Cartesian product)
– Komposition (composition)
– Differenz (difference)
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Operationen: Komplement
G
2+Beispiel Harary, 1974, 25
G
)}( und |{)(
)(
von
GEuvvuuvGE
GV)GV(
G:GKomplement
G
GDas Komplement eines Graphen G
• hat V(G) als Kantenmenge
• zwei Kanten sind in dann und nur dann benachbart,wenn sie in G nicht benachbart sind
1 White, 1984, 9
Definition1 Erläuterung2
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Operationen: Vereinigung
)V(G)V(G)V(G)V(G
21
21
von zwei disjunkten oder nicht disjunkten Graphen,Annahmen:
)()()()()(
21
21
21
GEGEGEGVGVV(G)
hat:GGGgVereinigun
Definition1
21 GGG 2G1G
bzw.
Beispiel Harary, 1974, 251 White, 1984, 9
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Operationen: Vereinigung
Beispiel: nicht-disjunkte, gerichtete und etikettierte Graphen
c:3
1G
a:1 b:2
d:4 e:5
i:9
2G
a:1 b:2
h:8 c:3
21 GGG a:1 b:2
d:4 e:5
h:8i:9
)()()()()(
21
21
21
GEGEGEGVGVV(G)
:GGG
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Operationen: Durchschnitt
)V(G)V(G)V(G)V(G
21
21
von zwei disjunkten oder nicht disjunkten Graphen,Annahmen:
)()()()()(
21
21
21
GEGEGEGVGVV(G)
hat:GGGttDurchschni
Definition
21 GGG
2G1G
bzw.
1 Wagner, 1970, 23
Die Graphen heißen disjunkt,wenn der Durchschnitt von je zweiGraphen leer ist.Sie heißen kantendisjunkt,wenn der Durchschnitt von je zwei
Kantenmengen leer ist.1
)( IiGi
)(, jiGG ji
)(, jiKK ji
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Operationen: Durchschnitt
Beispiel: nicht-disjunkte, gerichtete und etikettierte Graphen
c:3
1G
a:1 b:2
d:4 e:5
i:9
2G
a:1 b:2
h:8
21 GGG a:1 b:2
)()()()()(
21
21
21
GEGEGEGVGVV(G)
:GGG
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Operationen: Verbindung
)V(G)V(G 21
von zwei disjunkten Graphen,Annahme:
}2,1),(|{)()()()()(
)(
2121
21
21
iGVvvvGEGEGEGVGVV(G)
hat:GGGjoinVerbindung
ii
Definition1
21 GGG 2G1G
Beispiel Harary, 1974, 311 White, 1984, 10
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Operationen:Kartesisches Produkt
)V(G)V(G 21
von zwei disjunkten Graphen,Annahme:
} )( |)],(),,{[()(
)()(
11122
222112121
21
21
)E(Gv und uvuoderGEvuundvuvvuuGE
GVGVV(G)hat:GGGProduktesKartesisch
Definition1
u 1
v 1
w2u2 v2
21 GGG 2G1G
Beispiel Harary, 1974, 321 White, 1984, 10
u1w2u1u2 u1v2
v1w2v1u2 v1v2
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Operationen:Kartesisches Produkt: Beispiel
} )(
|)],(),,{[()(
E(G)ggund hhoderHEhhundgg
hghgKE
yxyx
yxyx
yyxx
g 0
g 1
h2h0 h1
HGK HG
g0h2g0h0 g0h1
g1h2g1h0 g1h1
g1h2g1h1g1h0g0h2g0h1g0h0
g0h0
g0h1
g0h2
g1h0
g1h1
g1h2
gxhx
gyhy
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Operationen: Komposition
)V(G)V(G 21
von zwei disjunkten Graphen,Annahme:
)}( )( |)],(),,{[()(
)()( ][
22211
1112121
21
21
)E(Gv und uvuoderGEvuvvuuGE
GVGVV(G)hat:GGGnKompositio
Definition1
u 1
v 1
w2u2 v2
][ 21 GGG 2G1G
Beispiel Harary, 1974, 321 White, 1984, 10
u1w2u1u2 u1v2
v1w2v1u2 v1v2
w2v1
u2v1
v2v1
w2u1
u1u1
v2u1
][ 12 GGG
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Operationen:Komposition: Beispiel
))}( (G |)],(),,{[(
)(
HEhhundggoder gg
hghgKE
yxyx
yx
yyxx
g 1
h2h0 h1
][HGK HG
g0h2g0h0 g0h1
g1h2g1h0 g1h1
g1h2g1h1g1h0g0h2g0h1g0h0
g0h0
g0h1
g0h2
g1h0
g1h1
g1h2
gxhx
gyhy
g 0
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20
Graph-Repräsentationen I: Adjazenz-Matrix
1 2 3 4 1 0 1 0 0 2 0 0 1 1 3 1 0 0 1 4 1 0 0 0
1
3
2
4
Standish, 1997, 306
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21
Graph-Repräsentationen II:Adjazenz-Liste
2
1 3
45
Knoten V
Grad Nachbar- Liste
1 2 2 3 2 3 3 4 5 3 1 4 4 0 5 1 1
12345
234
1
34 5
V Link V Link V Link V Link
Graph G Sequentielle Adjazenzliste für G
Verkettete Adjazenzliste für G
Standish, 1997, 308
© Karin Haenelt 2004, Math.Grundlagen: Graphen, 20.03.2004
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Literatur
• Harary, Frank (1969). Graph Theory. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company.(deutsche Übersetzung: Graphentheorie. München: Oldenbourg Verlag, 1974)
• Kunze, Jürgen (2001). Computerlinguistik. Voraussetzungen, Grundlagen, Werkzeuge. Vorlesungsskript. Humboldt Universität zu Berlin. http://www2.rz.hu-berlin.de/compling/Lehrstuhl/Skripte/Computerlinguistik_1/index.html
• Standish, Thomas A. (1997). Data Structures in Java. Reading, Mass.: Addison-Wesley Longman Inc.
• Wagner, Klaus (1970). Graphentheorie. Mannheim: Bibliographisches Institut A.G.
• White, Arthur T. (1984). Graphs, Groups and Surfaces. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V.