弾性力学入門弾性力学入門

2011年夏学期

中島 研吾

科学技術計算Ⅰ（4820-1027）・コンピュータ科学特別講義Ⅰ（4810-1204）

elast 2

• 弾性力学

– 弾性力学の対象

– 応力力

– 弾性力学の支配方程式

elast 3

弾性力学弾性力学

• 連続体力学（Continuum Mechanics）固体力学連続体力学（Continuum Mechanics）固体力学（Solid Mechanics）の一部

• 弾性体（Elastic Material）を対象• 弾性体（Elastic Material）を対象

– 弾性論（Theory of Elasticity）

• 中島の学生時代（航空学科）

材料力学（ 年冬 ） 船舶 応物– 材料力学（2年冬，2コマ）：船舶，応物

– 材料力学演習（3年夏，1コマ）

– 材料強弱実験（3年夏，1コマ）

– 弾性力学Ｉ（3年夏，1コマ）

– 弾性力学Ⅱ（3年冬，1コマ）

elast 4

弾性体とは ?弾性体とは ?

• 「荷重」と「変形量」が比例

– Hookeの法則

– 例• バネ kx = -mg 荷

重

• 金属，繊維，樹脂・・・

「荷重」を除くと「変形量」– 「荷重」を除くと「変形量」は0になる

• もとの形状にもどる

変形量

もとの形状にもどる

elast 5

変形量（荷重）が増えると弾性でなくなる

• 降伏

– 降伏点降伏点

– 弾性限界

荷重

降伏点

• 非弾性

• 塑性（Plastic Material）変形量

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弾性限界を超えると，荷重が0になっても変形量は0にならない

• 元の形状にもどらない

• 永久変形• 永久変形

首

荷重

降伏点

• Tシャツの首

• はさみすぎたクリップ

• 伸びすぎたバネ，ゴム 変形量永久久変形

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弾性力学の扱う範囲

• 弾性限界，降伏点まで弾性限界，降伏点まで

– 変形量（変位）は小さい

– 微小変形理論微小変形理論

• 物理的な変形量はあるが，形状は変わらないと仮定 荷

重

– 線形

• 塑性 非弾性⇒非線形変形量

• 塑性，非弾性⇒非線形

– 研究としてはより難しく，おもしろい

工学的には「弾性」の方が重要• 工学的には「弾性」の方が重要

– 弾性限界を超えたものは再利用不可（例外：板金加工等）いかに弾性限界内 荷重 変形を抑制するかが設計とし は問題• いかに弾性限界内で荷重，変形を抑制するかが設計としては問題

– 塑性，非弾性は事故時：衝突

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• 弾性力学

– 弾性力学の対象

– 応力力

– 弾性力学の支配方程式

elast 9

応力とは ?（1/6）応力とは ?（1/6）

• 物体（ここでは弾性体）に外力（external force）• 物体（ここでは弾性体）に外力（external force）が作用すると，物体は変形し，物体を構成する分子間の力によって内力（internal force）を発生さ子間の力によって内力（internal force）を発生させ，外力に抵抗する。

物体は 内力と外力が釣り合うと ろま 変形• 物体はこの内力と外力が釣り合うところまで変形する

• 外力

– 表面力：軸力，荷重，内圧など

– 物体力：重力，遠心力，磁力など

• 外力，内力は「大きさ」と「方向・向き」を持っ外力，内力は 大きさ」と 方向 向き」を持ったベクトル量

elast 10

応力とは ?（2/6）応力とは ?（2/6）

• ある弾性体がn個の外力を受けて釣り合っているも• ある弾性体がn個の外力を受けて釣り合っているものとする

P

Pn-1

P1

Pn

P2

n

elast 11

応力とは ?（3/6）応力とは ?（3/6）

• 仮想的な断面Sで切断すると 面Sを通して A部分• 仮想的な断面Sで切断すると，面Sを通して，A部分はB部分に，B部分はA部分に内力を作用

P

Pn-1

P1

Pn

A B

P2

n

S

elast 12

応力とは ?（4/6）応力とは ?（4/6）

A部分のS面上に微小面積要素ΔSを考えて S面上• A部分のS面上に微小面積要素ΔSを考えて，S面上に作用する分布内力のうちΔSに作用しているものの合力をΔF（ベクトル）とするの合力をΔF（ベクトル）とする

• 単位面積当たりの平均力ΔF/ΔSのΔSを無限小とした極限値 を応力ベクトル（ ）と言うた極限値pを応力ベクトル（stress vector）と言う

Pn-1

ΔF SS ΔΔ

=→Δ

Fp0

lim

Pn

A ΔS

n

S

elast 13

応力とは ?（5/6）応力とは ?（5/6）• 応力：単位面積当たりの力（のベクトル）

– 引張：正，圧縮：負

• 面に対して・・・面に対して

– 垂直：垂直応力（normal stress）– 平行：せん断応力（shear stress）– 平行：せん断応力（shear stress）

• 設計に当たって重要なポイント：降伏応力

Pn-1

ΔF SS ΔΔ

=→Δ

Fp0

lim

Pn

A ΔS

n

S

elast 14

応力とは ?（6/6）応力とは ?（6/6）

直交座標系に関する応力成分• 直交座標系に関する応力成分

– 三次元：9成分

垂直応力（ l t ）– 垂直応力（normal stress） σ– せん断応力（shear stress）τ

⎫⎧

{ }⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

= yzyyx

xzxyx

τστττσ

σ⎪⎭

⎪⎩ zzyzx σττ

elast 15

• 弾性力学

– 弾性力学の対象

– 応力力

– 弾性力学の支配方程式

elast 16

弾性力学の支配方程式弾性力学の支配方程式

• つりあい式（equilibrium equations）• つりあい式（equilibrium equations）• 適合条件式（compatibility conditions）

– 変位～ひずみ関係式

• 構成式（constitutive equations）– 応力～ひずみ関係式

• 主に二次元モデルを使用して説明する

elast 17

つりあい式 dyyyx

yx ∂

∂+

ττdy

yy

y ∂

∂+

σσ dy

yyx

yx ∂

∂+

ττdy

yy

y ∂

∂+

σσ

X方向二次元微小要素

dxdy

dxxxy

xy ∂

∂+

ττ

y∂

dxdy

dxxxy

xy ∂

∂+

ττ

y∂

二次元微小要素Gxσ

y

xyτ

dxx

xx ∂

∂+

σσGxσy

xyτ

dxx

xx ∂

∂+

σσ

y

y

yxτy

y

yxτ

⎞⎛ ∂σx

yσz x

yσz

11

⎞⎛ ∂

×⋅−×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+ dydydxx x

xx

τ

σσσ

0111 =×⋅⋅+×⋅−×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++ dydxXdxdxdy

y yxyx

yx ττ

τ物体力方向成分

0=+∂

∂+

∂∂ X

yxyxx τσ X方向成分

elast 18

つりあい式 dyyyx

yx ∂

∂+

ττdy

yy

y ∂

∂+

σσ dy

yyx

yx ∂

∂+

ττdy

yy

y ∂

∂+

σσ

Y方向二次元微小要素

dxdy

dxxxy

xy ∂

∂+

ττ

y∂

dxdy

dxxxy

xy ∂

∂+

ττ

y∂

二次元微小要素Gxσ

y

xyτ

dxx

xx ∂

∂+

σσGxσy

xyτ

dxx

xx ∂

∂+

σσ

y

y

yxτy

y

yxτ

⎟⎞

⎜⎛ ∂σ

xyσ

z xyσ

z

11

⎞⎛ ∂

×⋅−×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+ dxdxdy

y yy

y σσ

σ

0111 =×⋅⋅+×⋅−×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++ dydxYdydydx

x xyxy

xy ττ

τ物体力方向成分

0=+∂

∂+

∂

∂Y

xyxyy τσ Y方向成分

elast 19

dyyyx

yx ∂

∂+

ττdy

yy

y ∂

∂+

σσ dy

yyx

yx ∂

∂+

ττdy

yy

y ∂

∂+

σσZ軸まわり

dxdy

dxxxy

xy ∂

∂+

ττ

y∂

dxdy

dxxxy

xy ∂

∂+

ττ

y∂Z軸まわりモーメント

Gxσy

xyτ

dxx

xx ∂

∂+

σσGxσy

xyτ

dxx

xx ∂

∂+

σσ@G点

y

y

yxτy

y

yxτ

xyσ

z xyσ

z

xyxy

xydxdydxdydx

xτ

ττ ××+××⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

21

21

yxyx

yxdydxdydxdy

yτ

ττ =××−××⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−

⎠⎝

02

12

1

yxxy

yττ =∴

⎠⎝ ∂ 22

elast 20

二次元のつりあい式二次元のつりあい式

0=+∂

∂+

∂∂ X

yxxyx τσ

0=+∂

∂+

∂

∂∂∂

Yxy

yx

xyy τσ∂∂ xy

elast 21

三次元のつりあい式な成応力の独立な成分は6つ

⎫⎧ττ

{ }⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

= yzyxy

zxxyx

τστττσ

σzyyz

yxxy

ττ

ττ

=

=

⎪⎭

⎪⎩ zyzzx σττxzzx ττ =

0=+∂

∂+

∂

∂+

∂∂ X

zyxzxxyx ττσ

0=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂∂∂∂

Y

zyx

yzyxy τστ

0=+∂

+∂

+∂

∂∂∂

Z

zyx

zyzzx σττ 0+∂

+∂

+∂

Zzyx

elast 22

ひずみの概念ひずみの概念

• 弾性力学（というか固体力学）• 弾性力学（というか固体力学）

– 荷重と変形量

応力（ ）• 応力（stress）– 単位面積あたりの荷重

• ひずみ（strain）– 相対的な変形量

elast 23

ひずみ：相対的な変形量 変位ひずみ：相対的な変形量，変位

• 垂直ひずみ（normal strain）垂直ひずみ（normal strain）

L ΔL

LLΔ

=ε

• せん断ひずみ（shear strain）ΔΔx

xΔγL L

=γ

elast 24

ひずみ，変位の関係変

• 変位（3次元）：(u, v, w)では 次元微小要素• ここでは二次元微小要素

– 変形前：P, Q, R，変形後：P’, Q’, R’

),(:P yxRR’

),(:R),(:Q

dyyxydxx

++

d Q’yu ∂∂ /

dy

P’

Q’

)(

),(:P'

dvdud

vyux∂∂

++

y

dxP Q )(R'

),(:Q'

dvddu

dxxvvydx

xuudxx

∂∂∂∂

++∂∂

+++xv ∂∂ /

xz

dx Q ),(:R' dyy

vdyydyy

ux∂

+++∂

++

elast 25

垂直ひずみ～変位の関係変

• PQ⇒P’Q’ ( ) dxuxdxuudxx∂

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+++ ( )

xu

dxxεx ∂

∂=⎭

⎬⎩⎨

⎠⎝ ∂=

RR’

u∂

d Q’yu ∂∂ /

vxuεx

∂∂∂

=

dy

P’

Q’

wyvε y

∂∂∂

=

y

dxP Q

xv ∂∂ /zwεz ∂

∂=

xz

dx Q

elast 26

せん断ひずみ～変位の関係変

RR’

xv

yu

xy ∂∂

+∂∂

=γ

d Q’yu ∂∂ /

yw

zv

xy

yz ∂∂

+∂∂

=

∂∂

γdy

P’

Q’

zu

xw

yz

zx ∂∂

+∂∂

=

∂∂

γy

dxP Q

xv ∂∂ /zx ∂∂

xz

dx Q

elast 27

適合条件式：ひずみ成分の関係式適合条件 ず 成分 関係

∂∂∂ 222

• 二次元

yxxyxyyx

∂∂

∂=

∂

∂+

∂∂ γεε 2

2

2

2

2

• 三次元

∂∂∂∂∂∂∂∂∂ γεεγεεγεε 222222222

xzzxzyyzyxxyzxxzyzzyxyyx

∂∂∂

=∂∂

+∂∂

∂∂

∂=

∂∂

+∂

∂

∂∂

∂=

∂

∂+

∂∂ γεεγεεγεε

222222 ,,

⎞⎛ ∂∂∂∂∂ γγ2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂−

∂∂

=∂∂

∂zyxxzyxyzxyzx γγγε2

2

⎞⎛ ∂∂∂∂∂2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−∂∂

=∂∂

∂

xzyyxzyzxyzxy γγγε2

2

⎞⎛ ∂∂2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−

∂∂

=∂∂

∂yxzzyxxzyzxyz γγγε2

2

elast 28

構成式：応力～ひずみ関係（1/3）構成 ず 関係（ ）

• ヤング率 Eず– 応力とひずみは比例

– 比例定数をヤング率Eとする（各物質に固有の値）

EE x

xxxσεεσ == ,

ポ 比

xy νεε −=

• ポアソン比 ν– X方向に荷重をかけると，横方向（Y Z）にも変形

xy（Y,Z）にも変形

– 縮み割合をポアソン比νとする各物質に固有の値

xσxε• 各物質に固有の値

– 金属では0.30程度

– 水：0.50，ゴム：ほぼ0.50⇒非圧縮

Ex

xyσννεε −=−=

elast 29

構成式：応力～ひずみ関係（2/3）構成 ず 関係（ ）

• 三方向の垂直応力（σx,σy,σz）の効果

ず

( ){ }y σσσ 1

– 各ひずみ成分の足し合わせ

( ){ }

( ){ }y

zyxzyx

x EEEEσσσ

σσνσσνσ

νσε +−=−−=

1

1

( ){ }

( ){ }y

xzyxzy

y EEEEσσσ

σσνσσνσνσ

ε +−=−−=

1

1

( ){ }yxzyxz

z EEEEσσνσνσνσε +−=−−=

1

elast 30

構成式：応力～ひずみ関係（3/3）構成 ず 関係（ ）

• せん断ひずみは垂直応力（σx,σy,σz）に，無関係でせん断応力 にのみ比例せん断応力τ にのみ比例

– 比例定数：横弾性係数G

GGGzx

zxyz

yzxy

xyτγ

τγ

τγ === ,,

( )ν+=

12EG

elast 31

応力⇒ひずみ関係ず 関係

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−−−

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧ xx

σσ

νννν

εε

00010001

( ) ⎪

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

+−−

=⎪

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨z

y

z

y

E τσσ

ννν

νν

γεε

001200000010001

1( )

( )( ) ⎪

⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

++

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩yz

xy

yz

xy Eττ

νν

γγ

120000001200000012000

( ) ⎪⎭⎪⎩⎥⎦⎢⎣ +⎪⎭⎪⎩ zxzx τνγ 1200000

elast 32

ひずみ⇒応力関係ず 関係

⎤⎡ − ννν 0001

⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎧

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

−−

⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎧

y

x

y

x

εε

νννννν

σσ

100010001

( )( )( )

( ) ⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−+

=

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨

xy

z

xy

z Eγε

ν

ννντ

σ

02110000

002121000

211( )

( ) ⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣−

−

⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩ zx

yz

zx

yz

γγ

ν

ν

ττ

212100000

0212

0000

⎦⎣ 2

[ ]D

{ } [ ]{ }εσ D=

• 非圧縮性材料（ν~0.50）の場合，特別な扱い必要

elast 33

いくつかの仮定仮定

• 等方性材料を仮定

– ヤング率，ポアソン比が一定

– CFRP（Carbon Fiber Reinforced Plastics，炭素繊維強（ ，炭素繊維強化プラスチック）のような複合材料

• 直交異方性

• ポアソン比は0.30程度

elast 34

有限要素法への適用有限要素法 適用

• 変位法

– 変位量を従属変数：一般的に広く使用されている

– 本講義でもこのアプローチを採用本講義 を採用

• 応力法

– 応力を従属変数– 応力を従属変数

elast 35

一次元弾性問題

• 一次元トラス要素（x方向のみに自由度）の向のみに自由度）の引っ張り

断面積 定 AF

– 断面積一定 A– ヤング率 E

0@X 0 引張力F@X L– u=0@X=0, 引張力F@X=L

0=+∂ Xxσ u

x∂

=ε xx Eεσ =∂x xx ∂

xx

• 変位法

– 「ひずみ~変位関係」を「ひずみ⇒応力関係」に代入，得られた「変位⇒応力」関係を「つりあい式」に代入

0=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ X

xuE

x