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解析学特論 I、数理物理学
小西由紀子
はじめに
ミラー対称性
局所ミラー対称性Plan参考文献
解析学特論 I，数理物理学Introdu tion (10/2)小西由紀子 11 京都大学数学教室02/10/09
解析学特論 I、数理物理学
小西由紀子
はじめに
ミラー対称性
局所ミラー対称性Plan参考文献
はじめに� 局所ミラー対称性 (lo al mirror symmetry)とは何か？� 複素 3次元カラビヤウ多様体におけるミラー対称性という現象の亜種．� なぜミラー対称性でなく局所ミラー対称性を講義する
のか？� ミラー対称性とくらべて技術的に簡単だから．(e.g. 局所 GW不変量の局所化による計算)� 関連する話題が豊富(GW/DT対応 [MNOP℄，topologi al vertex [AKMV℄,modularity [ABK℄, [BKMP℄).� ３次元 CY多様体では難しい予想も証明できる場合がある (GW/DT対応，GV不変量の整数性).� 予備知識
複素多様体，コホモロジー，ベクトル束，特性類
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ミラー対称性
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3次元カラビヤウ多様体X が 3次元カラビヤウ多様体であるとは� X は滑らかな射影的代数多様体で (体は C )，� 基本群 �1(X ) = 0,� 標準束 KX = ^3T �X が自明, つまり KX �= OX .(T �X は holomorphi otangent bundle.)
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３次元カラビヤウ多様体Xのホッジ数10 00 h1;1(X ) 01 h2;1(X ) h1;2(X ) 10 h2;2(X ) 00 01� h1;1(X ) = h2;2(X ), h2;1(X ) = h1;2()X� h1;1(X )はケーラーモジュライの次元，� h2;1(X )は複素変形のモジュライの次元である．
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Example4次元複素射影空間 P4内のなめらかな５次超曲面 X．X =f[x1 : x2 : x3 : x4 : x5℄ 2 P4 jXi1�i2�:::�i5 ai1i2i3i4i5xi1xi2xi3xi4xi5 = 0g(ai1i2i3i4i5 2 C は X がなめらかになるように選ぶ.)� h1;1(X ) = 1(= h1;1(P4)).� h2;1(X ) = 101(= #fai1i2:::i5g � dimPGL(5; C ) � 1 = 126� 24� 1)
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ミラー対称性X ;X_：３次元カラビヤウ多様体とする．次の 2つの条件を満たすとき X_は X のミラー多様体，X は X_のミラー多様体という．� h1;1(X ) = h2;1(X_), h1;1(X_) = h2;1(X ).� X の種数ゼロのグロモフ・ウィッテン不変量N0;�(X ); � 2 H2(X ;Z)mある関係X_の正則３形式 !の周期積分Z !; 2 H3(X_;Z)� X ;X_の役割を入れ替えても同様のことが成立する．
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グロモフ・ウィッテン不変量� X を３次元カラビヤウ多様体とする．� 種数 g,次数 � 2 H2(X ;Z)のグロモフ・ウィッテン不変量Ng;�(X )は（点なしの）安定写像のモジュライ空間Mg;0(X ; �)で１を積分したもの:Ng;�(X ) = Z[Mg;0(X ;�)℄vir 1 :� 種数 g 2 Z�0,次数 � 2 H2(X ;Z), n点付きの安定写像とは種数 gの代数曲線 Cとその上の n個の点 p1; : : : ;pn,射f : C ! X で，f�[C℄ = �となるもの (さらに安定性条件と呼ばれるものを課す)Mg;n(X ; �) = f((C;p1; : : : ;pn); f ) j種数 g,次数 �の安定写像 g� モジュライ空間Mg;n(X ; �) の (仮想)次元は(1� g)(dimX � 3)� Z� 1(KX ) + n:
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ミラー対称性の例Example� X を P4の５次超曲面とする．� ミラー多様体 X_は 1989にGreene�Plesserによって構成された．mirror quinti と呼ばれる．h1;1(X ) = h2;1(X_) = 1 ;h2;1(X ) = h1;1(X_) = 101 :� Candelasらによって X のGW不変量と X_の周期積分の関係が明らかにされた (1991)．� 数学的な証明は Giventalによる (1996).
他にトーリック多様体のカラビヤウ超曲面 (Batyrev '93),グラスマン多様体のカラビヤウ omplete interese tionのミラー多様体などの例が知られている．
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局所ミラー対称性
� ミラー対称性のある１例からChiang�Klemm�Yau�Zaslowによって導かれた [CKYZ℄('99)．� ２次元反射的多面体 (re�exive polyhedron)ひとつに対して，局所ミラー対称性の例が一つある．
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反射的多面体(Re�exive polyhedra)� � Zn� R が反射的多面体とは� �は有限個の頂点の onvex hull,� 頂点はすべて整数点,� 内点は原点のみ,� すべての odimension 1の面 Æと原点との距離は１(つまり, すべての点m 2 Æに対して hu;mi = 1が成り立つ primitive ve tor u 2 Znが存在する.)
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２次元反射的多面体� ２次元反射的多面体は１６個(Batyrevにより分類された'93).� Gorenstein Fano tori surfa esと一対一．�� ��������#1 ��������#2 �� �������#3 ��� �����������#4 ��������#5 ���� �����#6 ������ ��#7 ���� ��HHH#8��������#9 AAA���� ������#10 AAA���� ��� ��#11 ���� ����#12 ��BBBBB AAA���� AAAAAA #13 AAA���� �����#14 ������ ��#15 AAA���� ��HHH�����#16
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� P�を２次元 re�exive polyhedronとする．� �から滑らかな射影的トーリック曲面 Pがひとつ決まる．� の原点以外の整数点
, ２次元 omplete fanの一次元 ones の生成元
補足：トーリック曲面は扇 (fan)と呼ばれる 0,1,2次元 onesの集合で指定される．Example� �が#1なら P = P2(２次元射影空間)� �が#2なら P = P1 � P1.
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� CÆ� �から２次元代数的トーラス T2 = (C � )2 の af�ne urve(の族)がひとつ定まる．Fa(t1; t2) := Xm2�\Z2amtm11 tm22 2 C [t�11 t�12 ℄;CÆa := f(t1; t2) 2 T2 j Fa(t1; t2) = 0g :(ただし，CÆa(のコンパクト化)がなめらかになるためにFaに�-regularityという条件を課す)Example� �が#1なら CÆa は種数１の曲線から３点を除いたもの� �が#2なら CÆa は種数１の曲線から 4点を除いたもの
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局所ミラー対称性(Lo al mirror symmetry)局所ミラー対称性の主張は次の２点である．� (i)(Batyrev, Stienstra)H�(P) = H2(T2;CÆa) :
特に，左辺の H0(P);H2(P);H4(P)と右辺の Hodge�ltrationによる graded quotientsが対応する.� 注１：右辺は相対コホモロジー.� 注２：左辺も右辺も係数は C .
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� (ii)Pの種数ゼロの局所グロモフ・ウィッテン不変量N0;�(KP) (� 2 H2(P2;Z))* (Chiang et al, Coates�Givental)�に付随するパラメータ (0;0;0)の A超幾何系 (amに関する偏微分方程式系) の解空間m (Batyrev, Stienstra)! = dt1t1 ^ dt2t2 2 H2(T2;CÆa)の周期積分
R ! ( 2 H2(T2;CÆa))
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局所GW不変量� Pをトーリック曲面とする．� 種数 g,次数 � 2 H2(P;Z)の局所 GW不変量 Ng;�(KP)とは安定写像のモジュライ空間上で，あるベクトル束 Eの最高次の Chern類 top(E)を積分したもの．� ベクトル束 E は R1��ev�KP. これは点(C; f ) 2 Mg;0(P; �)上のファイバーが H1(C; f �KX )となるようなベクトル束．このランクはモジュライ空間の次
元と等しい．(そのためには Pと �にある条件が必要である．) Mg;1(X ; �) ev�! X� #Mg;0(X ; �)Ng;�(KP) = Z[Mg;0(X ;�)℄vir top(R1��ev�KP)
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Plan� イントロダクション (10/2)� A超幾何系� B-model (H2(T 2;CÆa)の計算)� A-model� トーリック曲面とそのコホモロジー� 安定写像と (局所)グロモフ・ウィッテン不変量� 局所ミラー対称性の statement� 局所化による計算, (Giventalの証明)� その他の話題 topologi al vertex ??（未定）
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講義でやらないこと
� ホモロジー的ミラー対称性� open topologi al string
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局所ミラー対称性Plan参考文献
参考文献
� ミラー対称性の教科書として [CK℄ [V℄を挙げておく.局所化の計算が前者に書かれている．� 局所ミラー対称性を導いたのが論文 [CKYZ℄である．� [B℄ [S℄に H2(T2;CÆa)について書いてある� [F℄はトーリック多様体の入門者向け教科書.
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ミラー対称性
局所ミラー対称性Plan参考文献
参考文献[ABK℄ Aganagi �Bou hard�Klemm, Comm. Math.Phys.277(2008) no.3,771-819; arXiv:hep-th/0607100.[AKMV℄ Aganagi , Mina; Klemm, Albre ht; Marino, Mar os;Vafa, Cumrun, Comm. Math. Phys. 254 (2005), no. 2,425�478; arXiv:hep-th/0305132v3[B℄ Batyrev, Vi tor V.,Duke Math. J. 69 (1993), no. 2, 349�409;arXiv:math/0206057.[BKMP℄ Bou hard�Klemm�Marinõ�Pasquetti,Comm.Math.Phys.287:117-178 (2009);arXiv:0709.1453(hep-th)[CKYZ℄ Chiang, T.-M.; Klemm, A.; Yau, S.-T.; Zaslow, E.,Adv. Theor. Math. Phys. 3 (1999), no. 3, 495�565;arXiv:hep-th/9903053.
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ミラー対称性
局所ミラー対称性Plan参考文献
[CK℄ David A. Cox, Sheldon Katz,"Mirror symmetry and algebrai geometry".Ameri an Mathemati al So iety.[F℄ Fulton, William,"Introdu tion to tori varieties".Prin eton University Press.[MNOP℄ Maulik, D.; Nekrasov, N.; Okounkov, A.;Pandharipande, R.,Compos. Math. 142 (2006), no. 5, 1263�1285;arXiv:math/0312059.[S℄ Stienstra, Jan,Integrable systems and algebrai geometry (Kobe/Kyoto,1997), 412�452, World S i. Publ., River Edge, NJ, 1998;arXiv:alg-geom/9711002.[V℄ Voisin, Claire, "Mirror symmetry".Ameri an Mathemati al So iety.
