线 性 代 数线 性 代 数Linear AlgebraLinear Algebra

刘鹏刘鹏

复旦大学通信科学与工程系光华楼东主楼 1109 Tel: 65100226

pliu@fudan.edu.cn

布置习题 P 186: 20. 22. 24. 26. 28. 30*. 31*. 34*. 36*.

三、内积的坐标表示三、内积的坐标表示 设 设 V V 是一个 是一个 n n 维欧氏空间，在 维欧氏空间，在 V V 中任意中任意取定取定 一个基 一个基 εε11, , εε22 , , ...,...,εεnn ，对 ，对 V V 中任意两个向量中任意两个向量 ，， 有有

n

iiix

1

n

jjjy

1

)8.3(),( AYX T

，， 的内积用矩阵可表示为的内积用矩阵可表示为

nnjiaA ][ ),,2,1,(),( njia jiji

矩阵 矩阵 A A 称为基 称为基 εε11, , εε22 , , ...,...,εεnn 的 的 度量矩阵度量矩阵 (metric matrix)(metric matrix)..

四、标准正交基四、标准正交基

定义 定义 4.114.11 在欧氏空间 在欧氏空间 V V 中，一组非零向量，中，一组非零向量，如果它们如果它们两两正交两两正交 (mutually orthogonal)(mutually orthogonal) ，就称它为，就称它为正交向量组正交向量组。。

定理 定理 4.64.6 设设 αα11,α,α22,…,α,…,αm m (m≤n) (m≤n) 是 是 n n 维欧氏空间维欧氏空间

V V 中的中的正交向量组正交向量组，则，则 αα11,α,α22,…,α,…,αmm 线性无关线性无关。。

定义 定义 4.124.12 在 在 n n 维欧氏空间 维欧氏空间 V V 中，由 中，由 n n 个个两两正交两两正交的的非零向量非零向量所构成的正交向量组称为所构成的正交向量组称为正交基正交基；；

• 由由单位单位向量向量构成的正交基称为构成的正交基称为标准标准正交基正交基。。

定理 定理 4.74.7 任一 任一 n n 维欧氏空间维欧氏空间 (n(n≥1≥1) ) 都必有都必有 正交基正交基 (orthogonal basis)(orthogonal basis) 。。

• 构造正交基 构造正交基 — — 施密特正交化过程施密特正交化过程

定义定义 (( 投影投影 )) 若 若 与 与 是 是 n n 维内积空间中的维内积空间中的向量，则 向量，则 到 到 的的标量投影标量投影 (scalar projection)(scalar projection) 为为

),(

则 则 到 到 的的向量投影向量投影 (vector projection)(vector projection) ηη 为为

proj

),(

),(),(

-- ηη ⊥⊥

例：令矩阵例：令矩阵

试求：试求： A A 的列空间的的列空间的一组标准正交基一组标准正交基；；

004

242

102

121

A

解解 : : 显然 显然 A A 的的 33 个列向量线性无关，它们构成 个列向量线性无关，它们构成 RR4 4

的的 3 3 维子空间的一组基，可以使用施密特正交化过维子空间的一组基，可以使用施密特正交化过程程 正交化、标准化正交化、标准化同时进行同时进行，令，令 ,511 1αr

T

r

,

5

4,

5

2,

5

2,

5

1

11

11

αq

令令 ,2),(21 21 αqr ,221 11 qq r

,,5

8,

5

16,

5

4,

5

821

T

r

12 qα

,,5

8,

5

16,

5

4,

5

821

T

r

12 qα

,42122 12 qα rrT

r

r

5

2,

5

4,

5

1,

5

2

22

212

12 qαq

令令 ,1),( 331 αq1r

004

242

102

121

A

T

r

,

5

4,

5

2,

5

2,

5

1

11

11

αq

,1),( 3232 αqr

,5

2,

5

4,

5

4,

5

8232313

T

rr

qqα 1

,223231333 qqα 1 rrr

T

r

rr

5

1,

5

2,

5

2,

5

4

33

2323133

qqαq 1

向量组向量组 qq11 ，， qq2 2 ，， qq3 3 就是 就是 A A 的列空间的一组标准正的列空间的一组标准正交基交基 ..

11r11 qα

22221 rr qqα 12

333322313 rrr qqqα 1

33

3222

312111

32

321

,,

,,

r

rr

rrr

A

qqq

ααα

1

定理定理 (QR(QR 分解分解 )) 若 若 A A 是一秩为 是一秩为 n n 的 的 mm××n n 阶矩阵，则阶矩阵，则 A A

可以可以分解为乘积 分解为乘积 QR, QR, 其中 其中 Q Q 为列正交的为列正交的 mm××n n 阶矩阵，阶矩阵，R R 为对角线元素均为正的 为对角线元素均为正的 nn××n n 阶上三角阵阶上三角阵。。 例中的 例中的 QR QR 分解为分解为

2

14

125

5

1

5

2

5

45

2

5

4

5

25

2

5

1

5

25

4

5

2

5

1

004

242

102

121

超定方程组的最小二乘解超定方程组的最小二乘解 给定一个 给定一个 mm××n n 阶方程组 阶方程组 AX=bAX=b ，，

其中 其中 mm> > nn ，这类方程组通常是不相容的。，这类方程组通常是不相容的。 只能期望找到一个近似解 只能期望找到一个近似解 X’X’ ，使得，使得 AX’ AX’ 尽可能尽可能接近接近 bb

二者的残余误差 二者的残余误差 (residual)(residual) 最小最小 ')r(X' AXb

即向量 即向量 b b 和向量 和向量 AX’ AX’ 最接近，最接近，距离距离最小最小min')r(X' AXb

使得这个距离最小化的使得这个距离最小化的 X’ X’ 称为方程组的最小二乘解称为方程组的最小二乘解 ..

令 令 p= p= AX’ AX’ ， ， p p 就是 就是 A A 的的列空间列空间中最接近 中最接近 b b 的向的向量量 .. 如何寻找如何寻找 X’X’ ？ 要用到子空间的直和、正交等概念？ 要用到子空间的直和、正交等概念

结论：结论： AX=b AX=b 的最小二乘解是 的最小二乘解是 X’=RX’=R-1-1 Q QTT b b

例：求方程组例：求方程组

的最小二乘解的最小二乘解 ..

2-

1

1

1-

x

x

x

004

242

102

121

3

2

1

解解 : : 设设 AAX’= QR X’= bX’= QR X’= b ，则 ，则 R X’= QR X’= QTT b = y b = y

2

1-

1-

2

1

1

1

5

1-

5

2

5

2

5

4-

5

2

5

4-

5

1

5

2-

5

4

5

2

5

2

5

1

Q by T

回代求解 回代求解 RX’= y, RX’= y, 得得

2

1-

1-

x

x

x

2

14

125

3

2

1

T

105

2-X'

Matlab Matlab 验证验证

若若 εε11, , εε22 , , ...,...,εεnn 是 是 n n 维欧氏空间 维欧氏空间 V V 中的一个中的一个 标准正交基，任一向量 标准正交基，任一向量 ∈ ∈ VV ，设，设

nnxxx 2211

标准标准正交正交基上的坐标基上的坐标

用用 εεii 与上式两边做内积，可得与上式两边做内积，可得 ),( iix

nn ),(),(),( 2211

利用利用标准正交基的标准正交基的度量矩阵，两个向量的内积变得度量矩阵，两个向量的内积变得 非常简单 非常简单

nnT yxyxyxEYX 2211),(

222

21),( nxxx

标量投影

例：已知欧氏空间例：已知欧氏空间 RR44 的的向量组：向量组：

(1) (1) 证明 证明 11 ，， 22 ，， 33 ，， 44 是 是 RR4 4 的的一个标准正一个标准正交基交基；；(2) (2) 若若向量 向量 = 3= 3 11+2+2 22+4+4 3 3 -5-5 44 ，求，求 || || |||| 和和

(( ，， ))..

1

1

1

1

2

1,

1

1

1

1

2

1,

1

1

1

1

2

1,

1

1

1

1

2

14321

解解 : : (1)(1) 因为因为 ,14321

)4,3,2,1,,(0),( jijiji 所以 所以 11 ，， 22 ，， 33 ，， 44 是 是 RR4 4 的的一个标准一个标准正交基正交基 ..

2222 )5(423),()2( 6354

T1100

),(5),(4),(2),(3),( 4321 123 (( 课本课本 )) 先求 先求 在标准正交基下在标准正交基下的坐标，再点乘的坐标，再点乘 的坐的坐标标 ..

定理 定理 4.84.8: 设 设 εε11, , εε22 , ..., , ..., εεnn 是 是 n n 维欧氏空维欧氏空间 间 V V 中的一个标准正交基，若中的一个标准正交基，若：：

Ann ],,,[],,,[ 2121

其中 其中 A=[ A=[ aai ji j ] ]n ×nn ×n ，则向量组，则向量组 ηη11, , ηη22 , ..., , ..., ηηnn 是是标准正交基的充要条件是 标准正交基的充要条件是 AA 为一个正交阵为一个正交阵 ..

证明证明 : : 因为因为 εε11, , εε22 , ..., , ..., εεnn 是标准正交基是标准正交基

ji

jiji 1

0),(

nnnnnn

nn

nn

aaa

aaa

aaa

2211

22221122

12211111

由已知

于是，向量 于是，向量 ηηi i , , ηηjj 的内积为 的内积为 XXTT Y Y 的形式的形式

jninjijiji 2211),(

ji

jijninjiji 1

02211

即即向量组 向量组 ηη11, , ηη22 , ..., , ..., ηηnn 是标准正交基的充要条件是标准正交基的充要条件是是

EAAT

即 即 A A 是一个正交阵是一个正交阵 . . 证毕证毕 ..

从而 的充要条件是从而 的充要条件是

ji

jiji 1

0),(

也就是说，同一欧氏空间中，两组也就是说，同一欧氏空间中，两组标准正交基间的标准正交基间的 过渡过渡矩阵是正交阵矩阵是正交阵。。

§ § 4.4 4.4 子空间的交、和、直和及正交子空间的交、和、直和及正交

目的：了解子空间相互之间的关系与运算目的：了解子空间相互之间的关系与运算一、子空间的交与和一、子空间的交与和

定义 定义 4.134.13 设 WW11 ，， WW2 2 是线性空间 V 的两个子空间， 则 WW11 ，， WW2 2 的的交交是是

WW11 ，， WW2 2 的的和和是是

2121 , WWWW

2121 , WWWW

定理 定理 4.94.9 设 WW11 ，， WW2 2 是线性空间 V 的子空间， 则 WW11 ∩∩WW2 2 ， ， WW11 + + WW22 都是都是 V 的子空间 .

证明：首先证明证明：首先证明 WW11 ∩∩WW2 2 是是 V 的子空间定理 定理 4.14.1: W 是 是 V 的的子集子集，满足条件：，满足条件：(1)(1) W W 非空非空；；(2)(2) 如果如果 αα ，， β∈ β∈ WW ，， 则则 αα++β∈ β∈ WW ；；(3)(3) 如果如果 α∈ α∈ WW ，， λ∈ λ∈ PP 则 则 λα∈ λα∈ WW ；；

因为 因为 00∈∈ WW11 ，， 00∈∈ WW22 ，故 ，故 00 ∈ ∈ WW11 ∩∩WW22 ，，

WW11 ∩∩WW22 非空；非空；

WW11++WW22 是是 V V 中含中含 WW11∪∪WW22 的最小的子空间的最小的子空间

设设 αα，， ββ∈∈WW11∩∩WW22 ，则，则 αα，， ββ∈∈WW11 ，， αα，， ββ∈∈WW22

因为因为 WWi i ((i i = 1= 1，， 2)2) 是子空间，所以 是子空间，所以 kk∈∈FF α+α+ββ∈∈WW i i ，， kkαα∈∈WWi i ；； 于是于是 α+α+ββ∈∈WW11∩∩WW22 ，， kkαα∈∈WW11∩∩WW22 ，因此，，因此， WW11∩∩WW22 是 是 V V 的子空间的子空间 ..

再证明再证明 WW11 + + WW2 2 是是 V 的子空间，记 W= WW= W11 + + WW2 2

因为 因为 00∈∈ WW11 ，， 00∈∈ WW22 ，故 ，故 00 ∈ ∈ WW11 + + WW22 ，，

WW 非空；非空；

设设 αα，， ββ∈∈WW ，则有，则有

由于 由于 WW11 ， ， WW2 2 是 是 V 的子空间：的子空间：

22112121 , WWWWW 由定义：

;,, 221121 WW

;,, 221121 WW

;, 222111 WW

kk∈∈FF，， kkααii∈∈WWi i ；于是；于是)()( 2121 )()( 2211

;21 WW

212121 )( WWkkkk 根据定理 根据定理 4.14.1 ， ， WW11 + + WW2 2 是 是 V 的子空间的子空间 . . 证毕证毕 ..

例：在线性空间 例：在线性空间 RR33 中，若中，若

的全体；表示向量 Tyx yxR ]0,,[

的全体；表示向量 Tz zyR ],,0[y

的全体；表示向量 Tz zR ],0,0[

则它们都是则它们都是 RR33 的子空间，并且：的子空间，并且：

的全体；Tzyyx yRR ]0,,0[ ；3RRR zyyx

；3RRR zyx ；zyzzy RRR

；0zyx RR ；zzzy RRR

例例 : 设设 αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααll 与 与 ββ11 , , ββ22 , , ... ,... , ββss 是是线性空间 线性空间 V V 中的两个向量组，则有中的两个向量组，则有

L(L(αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααll ) + L() + L(ββ11 , , ββ22 , , ... ,... , ββss ) )

= L = L((αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααll ,,ββ11 , , ββ22 , , ... ,... , ββss ) .) .

证明：证明：设设 VWL l 121 ,,,

VWL s 221 ,,, VWL sl 32121 ,,,,,,,

对 对 WW11 + + WW22 中任一向量 中任一向量 ηη= = α+α+ββ ，其中，其中αα∈∈WW11 ，， ββ∈∈WW 2 2 ，所以 ，所以 αα 、、 β β 都属于都属于 WW 3 3 ，即，即

3W

;321 WWWW

另一方面另一方面 WW 3 3 中的任一向量中的任一向量

ssll 22112211

记记12211 Wll

22211 Wss

21 WW 即有

213 WWW

于是证明了于是证明了 L(L(αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααll ) + L() + L(ββ11 , , ββ22 , , ... ,... , ββss ) )

= L = L((αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααll ,,ββ11 , , ββ22 , , ... ,... , ββss ) .) .

性质性质 设 WW11 ，， WW2 2 ，， WW33 是线性空间 V 的子空间， 则它们满足交换律与结合律：：(1) (1) 交换律：：

(2) (2) 结合律：：

1221 WWWW

1221 WWWW

）（）（ 321321 WWWWWW

）（）（ 321321 WWWWWW

定理定理 4.10(4.10( 维数公式维数公式 )) 设 设 WW11 ，， WW2 2 是线性空间 是线性空间 V V

的子空间，的子空间， dimdimWW11 + + dimdimWW2 2 =dim(=dim(WW11 + + WW22)+ )+

dimdimWW11 ∩∩WW22 .例：例：在三维几何空间在三维几何空间 VV33 中，设中，设 WW11 是过原点是过原点 OO 的一的一个平面，个平面， WW22 是过是过 OO 的另一个平面，且它们相交于直的另一个平面，且它们相交于直线 线 LL 则：则： WW11 ，， WW22 ，， LL 都是都是 VV33 的子空间，并且的子空间，并且WW11∩∩WW22==LL VV33 中每个向量中每个向量 αα 可以表示成可以表示成 WW11 中一个向量与中一个向量与 WW22 中中一个向量的和，所以一个向量的和，所以 WW11++WW22==VV33 2121 , WWWW

由于由于 dimdimWW11=dim=dimWW22=2=2，， dimdimLL=1,dim=1,dimVV33=3=3 ，因此有，因此有 212121 dimdimdimdim WWWWWW

．

定理定理 4.10(4.10( 维数公式维数公式 )) 设 WW11 ，， WW2 2 是线性空间 V

的子空间， dimdimWW11 + + dimdimWW2 2 =dim(=dim(WW11 + + WW22)+ )+

dimdimWW11 ∩∩WW22 .证明：证明：设W1,W2 的维数分别是 n1， n2 ， W1∩W2 的维数是 m ． 取取 WW11∩∩WW22 的一个基的一个基 将它扩充成将它扩充成 WW11 的一个基的一个基

m ,,, 21

mnm 1,,,,,,, 2121

同理可将它扩充成同理可将它扩充成 WW22 的一个基的一个基mnm 2

,,,,,,, 2121

因此因此 ),,,,,,,(121211 mnmLW

),,,,,,,(221212 mnmLW

根据例根据例 22 ，我们有，我们有),,,,,,,,,,,(

21 21212121 mnmnmLWW

作线性组合作线性组合

)1.4(022

11

2211

22112211

mnmn

mnmnmm

bbb

aaaccc

令令)2.4()(

22

11

2211

22112211

mnmn

mnmnmm

bbb

aaaccc

由由 (4.2)(4.2) 第一行知， 第一行知， αα ∈∈WW11 ；由第二行知；由第二行知 αα ∈∈WW 2 2 ；；所以 所以 αα ∈∈ W1∩W2 ，可经向量组可经向量组 γγ 线性表示线性表示

mmlll 2211

由由 (4.2)(4.2) 02222112211 mnmnmm bbblll

由于由于 mnm 2,,,,,,, 2121 是是 WW22 的一个的一个基基

022121 mnm bbblll

)2.4()(22

11

2211

22112211

mnmn

mnmnmm

bbb

aaaccc

由由 (4.2)(4.2) ，有，有0

1122112211 mnmnmm aaaccc

由于由于 mnm 1,,,,,,, 2121 是是 WW11 的一个的一个基基

012121 mnm aaaccc

)1.4(022

11

2211

22112211

mnmn

mnmnmm

bbb

aaaccc

因此，要因此，要 (4.1)(4.1) 成立，只能是成立，只能是0

21 212121 mnmnm bbbaaaccc

所以，向量组所以，向量组

mnmnm 21,,,,,,,,,,, 212121 线性无关线性无关 ..

由由定理定理 4.4(2) 4.4(2) — — L(L(αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααll ) ) 的维数等于的维数等于

向量组 向量组 αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααll 的秩的秩 ..

故故 WW11++WW22 的维数是的维数是),,,,,,,,,,,(

21 21212121 mnmnmLWW

mnnmnmnm 2121 )()(

即维数公式维数公式成立：设 WW11 ，， WW2 2 是线性空间 V 的子空间， dimdimWW11 + + dimdimWW2 2 =dim(=dim(WW11 + + WW22)+ dim)+ dimWW11

∩∩WW22 .

解：因 解：因 WW11++WW22== L L((αα11,,αα22) +) + L L((ββ11,,ββ22) =) = L L((αα11,,αα22,,ββ11,,ββ22))

7110

3011

1112

1211

0000

3100

4010

10012

13

12

RR

RR

例：例： WW11==LL((αα11 ，， αα22))，， WW22==LL((ββ11 ，， ββ22)) ，其中 ，其中 αα11=(1=(1 ，， 22，， 11，， 0)0)TT ，， αα22=(=(11，， 11，， 11，， 1) 1) TT ， ，

求求 WW11 与与 WW22 的的和和与与交交的基及维数． 的基及维数．

ββ11=(2=(2 ，， 11 ，， 00 ，， 1)1)TT ，， ββ22=(1=(1 ，， 11 ，， 33 ，， 77 ))TT ，，

所以，所以， WW11++WW2 2 的维数是向量组的维数是向量组 αα11,,αα22,, ββ11,,ββ2 2 的的 极大线性无关组所含向量的个数； 极大线性无关组所含向量的个数； 将它们构成矩阵，做初等变换，得 将它们构成矩阵，做初等变换，得

这表明这表明 αα11 ，， αα22 ，， ββ11 是是 WW11++WW22 的一个基，故的一个基，故 dim(dim(WW11++WW22)=3)=3 ．．

0000

3100

4010

10012

13

12

RR

RR

同时也知道，同时也知道， ββ22 可经可经 αα11 ，， αα22 ，， ββ 线性表示，其形式为 线性表示，其形式为

ββ22= -= -αα11+4+4αα22+3+3ββ11

故故 33ββ11 －－ ββ22∈∈WW11∩∩WW22 ．．

dim(dim(WW11∩∩WW22) = 2 + 2 – 3 = 1) = 2 + 2 – 3 = 1

因为 因为 αα11 ，， αα22 线性无关，线性无关， ββ11 ，， ββ22 线性无关．线性无关． 由维数公式易得 由维数公式易得

故故 αα11- 4- 4αα22=(5=(5，， -2-2，， -3-3，， -4) -4) 是是 WW11∩∩WW22 的一个基．的一个基．

目的：方便空间分解，解决向量表示方法目的：方便空间分解，解决向量表示方法的唯一性问题的唯一性问题

二、子空间的直和二、子空间的直和

定义 定义 4.144.14 设设 WW11 ，， WW2 2 是线性空间是线性空间 V 的两个的两个子空间，如果和子空间，如果和 WW11+W+W2 2 中，每个向量 中，每个向量 ηη 的的分解式是唯一的分解式是唯一的 (( 或者说都能唯一地表示为或者说都能唯一地表示为 ))

那么称这个和是子空间那么称这个和是子空间 WW11 ，， WW2 2 的的直和直和（（ direct sumdirect sum ）），记作，记作

),(, 221121 WW

21 WWW

定理 定理 4.114.11 设设 WW11 ，， WW2 2 是线性空间是线性空间 V 的两个的两个子空间，子空间， WW11+W+W2 2 是是直和直和的充要条件是等式的充要条件是等式

只有在 只有在 αα11 ，， αα22 全为零向量时才成立全为零向量时才成立 ..

),(,0 221121 WW

证明证明 : (1): (1) 充分性，设向量充分性，设向量 ηη∈∈ W1+W2

若若向量向量 ηη 有两有两个分解式个分解式)2,1,,(2121 iWW iiii

于是于是 0)()( 2211 其中其中 )2,1()( iWiii

由定理条件由定理条件 0)( ii ii

说明对于任意向量说明对于任意向量 ηη∈∈ W1+W2 ，， 分解式是唯一的 分解式是唯一的 因此 因此 W1+W2 是直和是直和 ..

(2)(2) 必要性，由定义 必要性，由定义 4.14 — (4.14 — ( 和和 WW11+W+W2 2 中，中，每个向量的分解式是唯一，称这个和是子空间每个向量的分解式是唯一，称这个和是子空间 WW11 ，，

WW2 2 的的直和直和 )) ，必要性显然成立，必要性显然成立 ..

判断是否为直和，只要检验零向量的分解式判断是否为直和，只要检验零向量的分解式 是否唯一 是否唯一 ..

推论推论 11 设设 WW11 ，， WW2 2 是线性空间是线性空间 V 的两个的两个子空间，子空间， WW11+W+W2 2 是是直和直和的充要条件是等式的充要条件是等式

021 WW

证明证明 : (1): (1) 充分性，假设有等式充分性，假设有等式

则则 2121 WW

由假设知由假设知 021

)2,1,(021 iWii

零向量的表示方法是唯一的，所以零向量的表示方法是唯一的，所以 WW11+W+W2 2

是直和是直和 ..

证明证明 : (2): (2) 必要性，任取向量必要性，任取向量 ηη∈∈ W1∩W2 ，于是，于是零向量可表示为零向量可表示为

因为是直和，所以因为是直和，所以 0

),()(0 21 WW

因而证明因而证明 021 WW

推论推论 22 设设 WW11 ，， WW2 2 是线性空间是线性空间 V 的两个的两个子空间，子空间， WW11+W+W2 2 是是直和直和的充要条件是：的充要条件是： dimdimWW11 + + dimdimWW2 2 =dim(=dim(WW11 + + WW22) ) (4.4)(4.4)

证明证明 : : 若若 WW11+W+W2 2 是是直和直和，则，则 由维数公式得 由维数公式得 (4.4) (4.4) 成立成立

反之，由反之，由 (4.4)(4.4) 成立，可知 成立，可知 dimdimWW11 ∩∩WW2 2 =0=0

021 WW

即可推出 即可推出 dim(dim(WW11 ∩∩WW2 2 )) ={0}={0} 所以 所以 WW11+W+W2 2 是直和是直和 ..

推论推论 33 设设 WW11 ，， WW2 2 是 是 n n 维维线性空间线性空间 V 的两个的两个子空间，如果：子空间，如果： dimdimWW11 + + dimdimWW2 2 > n> n

则 则 WW11 ，， WW2 2 必含有非零公共向量必含有非零公共向量 ..

证明证明 : : 因为，由因为，由

又由于又由于

n )W dim(W ) W dim(W dimW dimW 21212 1

即可推出 即可推出 dim(dim(WW11 ∩∩WW2 2 ) > 0) > 0

所以 所以 WW11 ，， WW2 2 必含有非零公共向量必含有非零公共向量 ..

W, W W 21 dim(W) ) W dim(W 21

总结定理总结定理 4.114.11 及其及其 33 个推论个推论 ：设设 WW11 ，， WW2 2 是线是线性空间性空间 V 的两个子空间，则下列陈述彼此等价：的两个子空间，则下列陈述彼此等价：• 和和 WW11++WW22 是直和；是直和；• 和和 WW11++WW22 中零向量的表法唯一，即若中零向量的表法唯一，即若 αα11++αα22 ＝＝

θθ ，， αα11∈∈WW11 ，， αα22∈∈WW22 ，则，则 αα11==αα22 ＝＝ θθ ； ；

• WW11∩∩WW22=0=0 ；；

• dim(dim(WW11++WW22)=dim)=dimWW11+dim+dimWW22 ．．

定义 定义 4.154.15 设设 WW11 ，， WW2 2 是线性空间是线性空间 V 的两个的两个子空间，如果子空间，如果

VWW 21

那么称子空间那么称子空间 WW11 是是 WW2 2 的的补子空间补子空间 ..

• 由定义，显然由定义，显然 WW11 和和 WW22 互为补子空间互为补子空间 ..

定理 定理 4.124.12 设设 WW11 是 是 n n 维维线性空间线性空间 V 的一个的一个子空间，则一定存在子空间，则一定存在 WW11 的补子空间的补子空间 WW22 ，使得：，使得：

VWW 21

证明证明 : : 设 设 dimdimWW11 = s, = s, 令 令 αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααss 为为WW11 的一个基，我们把它扩充为 的一个基，我们把它扩充为 V 的一个基的一个基

n1s21 ,,,,,, s

取取 WW2 2 = L(L(ααs+1, s+1, ααs+2 s+2 , , ... ,... , ααnn ) ) ， 则有， 则有 V =V = WW11++WW2 2 ，并且 ，并且 WW11∩∩WW22= {0}= {0}. . 故故

21 WWV

于是证明了 于是证明了 WW2 2 就是所求的就是所求的 WW11 的补子空的补子空间间 ..

V V 的每一个子空间都有补空间．的每一个子空间都有补空间． 但是但是，一个子空间的补空间未必唯一．，一个子空间的补空间未必唯一．

例如，在例如，在 VV33 中，设中，设 WW 是过原点是过原点 OO 的一个平面，的一个平面，

则任意一条经过点 则任意一条经过点 OO ，，但不在但不在 WW 上的直线上的直线 都是 都是 WW 的补空间．的补空间． 显然，补空间的概念与补集的概念是不同的，显然，补空间的概念与补集的概念是不同的，不要混淆．不要混淆．

例：在线性空间 例：在线性空间 RR33 中，显然有中，显然有

zyx RRR y3 ｝；｛0 yzyyx RRR

zyx RRR 3

；且 0zyx RR

，又的和空间，但不是直和与是所以 zy RRR yx3

.x3 子空间的直和，且二者互为补与是所以 zy RRR

√ 子空间的交、和、直和的概念可推广到多个子空间的交、和、直和的概念可推广到多个 子空间的情况： 子空间的情况：

ss

i

WWWWWW

,11

is21

siWWWWW iisi

i ,,1,1

s

1s21

如果和空间每一个向量的分解式唯一：如果和空间每一个向量的分解式唯一：

siWiis ,,1,1 ，

则称它为直和，记为：则称它为直和，记为：

sWWWW 21

二、子空间的正交二、子空间的正交

定义 定义 4.164.16 设设 WW11 ，， WW2 2 是线性空间是线性空间 V 的两个的两个子空间，如果对于任意的 子空间，如果对于任意的 αα∈∈WW11 ，， β β ∈∈ WW2 2 ，都有，都有

那么称子空间那么称子空间 WW11 与 与 WW2 2 正交正交，记作，记作0),(

21 WW

若 若 V 中中向量向量 ηη 对 对 WW11 中任一向量中任一向量 αα 都满足都满足0),(

则称则称 ηη 与 与 WW11 正交，记为 正交，记为 ηη ⊥ ⊥ WW11 . .

因为只有零向量与自身正交，于是有因为只有零向量与自身正交，于是有

(1) (1) 若 若 WW11 ⊥ ⊥ WW22 ，则 ，则 WW11∩∩WW22= {0}= {0}..

(2) (2) 若 若 αα∈∈WW11 ，且，且 αα ⊥ ⊥ WW11 ，则 ，则 α= 0α= 0..

定理 定理 4.134.13 若子空间若子空间 WW11 ，， WW2 2 ，… , WWs s 两两两两正交，则正交，则

s21s21 WWWWWW

证明证明 : : 在每个子空间在每个子空间 WWii 中取一个正交基中取一个正交基 ini2i1i ,,,

由于子空间两两正交，所以如下向量组也是由于子空间两两正交，所以如下向量组也是 一个正交向量组 一个正交向量组

snnn s1s21212111 ,,,,,,,,,,21

且 ∑且 ∑ WWii 中任一向量中任一向量 αα可由此向量线性表示，可由此向量线性表示，故它可以作为 ∑故它可以作为 ∑ WWi i 的一个基，则的一个基，则

)(

)(

)(

ss1s1s

221212

1121211111

22

11

ss nn

nn

nn

xx

xx

xxx

siWiis ,,1,1 ，

由于表示式唯一，故由于表示式唯一，故

s21s21 WWWWWW

定义 定义 4.174.17 设设 WW11 ，， WW2 2 是线性空间是线性空间 V 的两个的两个子空间，如果 子空间，如果 WW22 ⊥ ⊥ WW11 ，且，且 WW11 + W + W22 = = V ，，那么称子空间那么称子空间 WW11 是是 WW2 2 的的正交补正交补 ..

显然正交补是相互的显然正交补是相互的 ..

例：设 例：设 W W 是是齐次线性方程组齐次线性方程组的解空的解空间间

0

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

则系数矩阵列向量的生成子空间 则系数矩阵列向量的生成子空间 L(L(αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααmm) ) 是 是 W W 的正交补的正交补 ..

证明： 设 证明： 设 X= [xX= [x1,1, x x2,2, ... ...,, x xnn ]]TT 是 是 W W 中的任一解向量，显然中的任一解向量，显然

),,2,1(.0aa),( ni11i mixxX ni 对任一向量对任一向量 αα∈ ∈ L(L(αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααmm)) ，有，有

m m11 0),( X 即 即 WW ⊥⊥ L(L(αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααmm))

设 设 dimdim L(L(αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααmm) = r) = r

则 则 dim dim W = n-rW = n-r

nm

n RLRW ),,(, 1 又因为

且 且 dim dim W + W + dimdim L(L(αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααmm) = n = dim R) = n = dim Rnn

即 即 W +W + L(L(αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααmm) = R) = Rnn

由定义知 由定义知 L(L(αα1, 1, αα2 2 , , ... ,... , ααmm) ) 是 是 W W 的正交补的正交补 ..

定理 定理 4.144.14 n n 维欧氏空间维欧氏空间 V 的每一个子空间 的每一个子空间 W W

都存在都存在唯一的正交补唯一的正交补，记为，记为 W W ⊥ ⊥..

推论推论 W W ⊥ ⊥ 是所有与 是所有与 WW 正交的向量所组成正交的向量所组成 ..

若若WW 是 是 n n 维欧氏空间维欧氏空间 V 的一个子空间，则的一个子空间，则 WWV

因此，对任一向量因此，对任一向量 αα∈ ∈ VV ，都可以被唯一地分解成，都可以被唯一地分解成），（ WW 2121

我们称我们称 αα1 1 为 为 αα 在子空间 在子空间 WW 上的上的内射影内射影 (( 或正射或正射影影 ).).

解：由定理解：由定理 4.144.14 推论， 推论， WW⊥⊥ 中任一向量 中任一向量 X= [xX= [x1,1, x x2,2, ... ...,, x xnn ]]TT

与向量 与向量 αα11,,αα22 ，， αα33 正交， 由此得到齐次线性方程组正交， 由此得到齐次线性方程组

例：设 例：设 WW 是欧氏空间是欧氏空间 RR55 的一个子空间，已知的一个子空间，已知 WW==LL((αα11 ，， αα2 2 ，， αα33)) ，其中 ，其中

αα11=(1=(1 ，， 1, 1, 21, 1, 2 ，， 1)1)TT ，， αα22=(1=(1 ，， 00 ，， 00 ，， 1, -2) 1, -2) TT ， ，

求求 WW⊥⊥ 与向量 与向量 (3, -7(3, -7 ，， 22 ，， 11 ，， 88 ))TT 在在 WW 上的正投影．上的正投影．

αα33=(2, 1=(2, 1 ，， 11，， 00，， 22 ))TT ， ，

02-2

02-

02

5321

541

54321

xxxx

xxx

xxxxx

其基础解系为其基础解系为

αα44=(2, -1=(2, -1，， 33，， -2-2，， 00 ))TT ， ， αα55=(4, -9=(4, -9，， 33，， 00，， 22 ))TT

则 则 αα44 ，， αα5 5 构成 构成 WW⊥⊥ 的一个基，即的一个基，即 WW⊥⊥ =L(=L(αα44 ，， αα5 5 )) 现在，求 现在，求 αα 在在 W W 上的正射影，将上的正射影，将 αα 用用 αα11,,αα22 ，， αα3,3, αα44 ，， αα5 5 线性表示，得线性表示，得

54321 2

1-

2

12-

其中其中 ，W2

12- 321

W2

1- 54

故 故 αα 在在 W W 上的正射影为上的正射影为T

321 ,0,6]2

1,

2

3[0,

2

12-

本章小结 本章小结 A. A. 概念与概念与理论：理论：

(1) (1) 线性空间，子空间的定义线性空间，子空间的定义(2) (2) 线性空间，子空间线性空间，子空间常用基本常用基本性质性质

(4) (4) 过渡矩阵、度量矩阵、坐标变换公式过渡矩阵、度量矩阵、坐标变换公式

(6) (6) 子空间的交、和、直和及正交子空间的交、和、直和及正交 ..

B.B. 计算方法：计算方法：

(2) (2) 给定基求向量坐标，基变换、坐标变换给定基求向量坐标，基变换、坐标变换(3) (3) 欧氏空间内的各种运算欧氏空间内的各种运算

(3)(3) 基、维数和坐标的概念基、维数和坐标的概念

(4) (4) 施密特正交化过程施密特正交化过程 ..

(5) (5) 欧几里得空间欧几里得空间，内积、范数、夹角、标准正交基，内积、范数、夹角、标准正交基

(1) (1) 判断向量组是否构成线性空间判断向量组是否构成线性空间