解析学 授業ノート

井出 学

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目 次

第 1章 数列と極限 5

1.1 実数の公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 max, min, sup, inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 数列の極限の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 収束するための条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 収束列に関する諸定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Appendix: e の話 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

第 2章 関数の極限と連続性 23

2.1 関数の極限の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 連続性の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 連続関数の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

第 3章 微分 29

3.1 微分可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 合成関数, 逆関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 高階導関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

第 4章 平均値の定理と Taylor の定理 37

4.1 一次近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 平均値の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 関数の増減と凸関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 極値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5 L’Hospital の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.6 Taylor の定理と高次近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.7 Newton 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

第 5章 一変数 Riemann 積分 53

5.1 Riemann 積分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 連続関数の積分可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3 定積分の基本性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.4 微分積分学の基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.5 原始関数と不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

第 6章 積分の計算 69

6.1 部分積分法・置換積分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.2 部分分数展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.3 有理関数の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.4 有理関数の積分に帰着出来る問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

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第 7章 積分の応用 83

7.1 曲線の長さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2 扇型の面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.3 体積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.4 Taylor の定理の積分形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.5 円周率 π が無理数であること . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

第 8章 広義積分 95

8.1 広義積分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.2 広義積分の収束判定法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.3 ベータ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.4 ガンマ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

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第1章 数列と極限

1.1 実数の公理

R を実数全体のなす集合とする. 次を実数の公理として認める.

Axiom 1. R は体である. すなわち R には四則演算 (+, −, ×, ÷)がある.

Axiom 2. R は全順序集合である. すなわち次が成り立つ.∀a ∈ R に対して a ≤ a.

a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b.

a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c.∀a, b ∈ R に対して, a ≤ b または b ≤ a.

Axiom 3 (Archimedes の公理). ∀a, b ∈ R, b > 0 に対して, ∃n ∈ N が存在して a < nb.

Axiom 4 (有理数の稠密性). ∀a, b ∈ R, a � b に対して ∃x ∈ Q が存在して a � x � b.

Definition. R の空でない部分集合の組 (A,B) が R の切断であるとは,

i ) R = A ∪ B,

ii ) ∀a ∈ A, ∀b ∈ B に対して a � b.

が成り立つことを言う. このとき A を切断 (A,B) の下組, B を上組と呼ぶ.

Axiom 5 (Dedekind の切断公理 (実数の連続性)). 実数の切断は下組と上組の境界として一つの実数を確定する.

切断には次の４種類が考えられるが, Dedekind の切断公理は 1 や 2 が起きなく, 必ず 3 または 4 のどちらか一方のみとなることを保証している。

1 下組に最大元があり, 上組に最小元がある (leap).

2 下組に最大元がなく, 上組に最小元がない (gap).

3 下組に最大元があり, 上組に最小元がない.

4 下組に最大元がなく, 上組に最小元がある.

シンボルとしての無限大 ∞±∞ は次を満たすものとする.

∀a ∈ R に対して −∞ � a � ∞.

∞ ≤ ∞, −∞ ≤ −∞, −∞ � ∞.

6 第 1章 数列と極限

1.2 max, min, sup, inf

Definition. E ⊂ R を空でない実数の集合とする. x ∈ R が E の最大元 (resp. 最小元)であるとは

i ) x ∈ E

ii ) ∀y ∈ E に対して x = y (resp. x 5 y)

が成り立つこと. E の最大元を maxE, 最小元を minE と表す.

Remark. すべての集合 E ⊂ R が max E, min E を持つとは限らない. 例えばE = [0, 1] なら max E = 1, minE = 0.E = (0, 1) なら max E, minE は存在しない.E = { 1

n |n = 1, 2, 3, . . . } なら maxE = 1, min E は存在しない.

max や min がもし存在しなくても, それに代わるものがあると便利. 例えば E = [0, 1) には max E は存在し

ないが x = 1 は max の様なもの. これを定義していく.

Definition. E ⊂ R を空でない実数の集合とする. x ∈ R が E の上界 (resp. 下界) であるとは「∀y ∈ E に対し

て x = y (resp. x 5 y)」が成り立つこと. (i.e., x は E のどんな元よりも大きい (resp. 小さい))

Remark. x が E の最大元 ⇐⇒ x ∈ E かつ x は E の上界.

Proposition 1.1. E ⊂ R を空でない実数の集合, x ∈ R を E の上界とする. x′ ∈ R, x′ > x ならば x′ も E の

上界である.

Proof. ∀y ∈ E に対して y 5 x < x′.

Definition. E ⊂ R を空でない実数の集合とする.E が上に有界 (resp. 下に有界) def⇐⇒ E の上界 (resp. 下界) が存在する.E が有界 def⇐⇒ E は上に有界かつ下に有界.

Theorem 1.2. E ⊂ R を空でない実数の集合とする. E が上に有界ならば, E の上界全体の集合 {x ∈R |x は E の上界 } は最小元をもつ. E が下に有界ならば, E の下界全体の集合は最大元をもつ.

Proof. B := {b ∈ R | b は E の上界 }, A := {a ∈ R | ∀b ∈ B に対して a � b} とおく. まず (A,B) が実数の切断を定めることを示そう.

A の定義より, ∀a ∈ A, ∀b ∈ B に対して a � b を満たすことは明らか. よって R = A ∪ B であることを示せば

十分. もし R ) A ∪ B であると仮定すると, ∃x ∈ R で x 6∈ A かつ x 6∈ B となるものが存在する. x 6∈ A である

ので ∃b ∈ B で x ≥ b を満たすものが存在する. また x 6∈ B であるので, x は E の上界でない. すなわち ∃e ∈ E

で x � e となるものが存在する. このときb ≤ x � e

となり, b ∈ B すなわち b が E の上界であることに矛盾. したがって R = A ∪ B であり, (A,B) は実数の切断である.

(A,B) が実数の切断であるので, Dedekind の切断公理より, 切口 ∃s ∈ R が存在する. すなわち(1) s ∈ A, このとき s は A の最大元であり s 6∈ B, または(2) s ∈ B, このとき s は B の最小元であり s 6∈ A,

のいずれか一方のみが成立する. (2) が成立することを示すのが目標である. 背理法で示そう.(1) が成立すると仮定する. このとき s 6∈ B であるので, s は E の上界でない. したがって ∃e ∈ E が存在して

s � e とできる. このとき有理数の稠密性より ∃q ∈ Q があって s � q � e とできるが, s が A の最大元であり,s � q であるので q 6∈ A, すなわち q ∈ B である. したがって q は E の上界であるが, これは q � e, e ∈ E であ

ることに矛盾. したがって (2) が成立する.

1.2. max,min, sup, inf 7

Definition. E が上に有界であるとき, E の上界全体の集合の最小元を E の上限といい, それを supE と表す.E が下に有界であるとき, E の下界全体の集合の最大元を E の下限といい, それを inf E と表す.E が上に有界でない (resp. 下に有界でないとき), supE = ∞ (resp. inf E = −∞) と定義する.

Remark. Theorem 1.2 より, 空でない実数の集合 E に対して, supE, inf E は必ず存在する.

Lemma 1.3. 次が成り立つ.

i ) E ⊂ R, E 6= ∅ とすると, inf E ≤ supE.

ii ) E,F ⊂ R, ∅ 6= E ⊂ F とすると, supE 5 supF かつ inf E = inf F .

Proof. i ) ∀e ∈ E を一つとる. 今, supE は E の上界であり, inf E は E の下界であるので, inf E ≤ e ≤ supE で

ある.ii ) sup E 5 supF であることのみ示す. 「x が F の上界ならば x は E の上界」であることを示せばよい. x が

F の上界とする. E ⊂ F より, ∀y ∈ E に対して, y ∈ F であるので, y 5 x. これは x が E の上界であること.

Proposition 1.4. E ⊂ Rとする. max E (resp. minE)が存在するならば, max E = supE (resp. minE = inf E).

Proof. x := maxE とする. 定義より x は E の上界である. 「x が E の上界のうち最小」であることを示せばよ

い. x′ ∈ R を E の任意の上界とする. 今 x ∈ E であるので

x 5 x′.

従って, x は E の上界のうち最小.

次の定理は sup, inf を扱う際に非常に有用である.

Theorem 1.5. 空でない実数の集合 E ⊂ R に対して

i ) α = supE, α 6= ∞ ⇐⇒ α は E の上界かつ, ∀ε > 0 に対して ∃x ∈ E が存在して, α − ε < x 5 α.

ii ) supE = ∞ ⇐⇒ ∀M > 0 に対して ∃x ∈ E が存在して x > M .

iii ) β = inf E, β 6= −∞ ⇐⇒ β は E の下界かつ, ∀ε > 0 に対して ∃x ∈ E が存在して, β 5 x < β + ε.

iv ) inf E = −∞ ⇐⇒ ∀M > 0 に対して ∃x ∈ E が存在して x < −M .

Proof. i =⇒) 背理法で示す. α 6= ∞, α = supE (特に α は E の上界), 「∃ε > 0 が存在して ∀x ∈ E に対して

α − ε = x または x > α が成立する」と仮定する. もし ∃x ∈ E があって x > α となるならば, α が E の上界で

あることに矛盾する. したがって ∀x ∈ E に対して α − ε = x であるとしてよい. しかしこれは α − ε が E の上

界であることであり, α � α − ε であるので, α の最小性に反する.⇐=) 右辺を仮定する. α が E の上界の最小元でないと仮定する. このとき E の上界 ∃α′ で α′ < α なるもの

が存在する. ε = α − α′ とおくと ε > 0 である. このとき仮定より ∃x ∈ E が存在して

α − ε < x 5 α

とできるが, α′ = α − ε < x となり, α′ が E の上界であることに矛盾.ii ) 右辺は E の上界が存在しないことを示している.

Remark. i ) における ∀ε > 0 と, ii ) における ∀M > 0 はどちらも「任意の正の数～に対し」であるが, ニュアンスは全く違う. i ) は「どんなに小さな正の数 ε に対しても」であり, ii ) は「どんなに大きな正の数 M に対し

ても」である。

これは, i ) において, 正数 ε > 0 が性質「∃x ∈ E があって α− ε < x 5 α」を満たしていれば, それより大きなε′ > ε に対しては明らかに「∃x ∈ E があって α− ε′ < x 5 α」を満たすので, 小さい ε > 0 についてのみ「・・・」を確かめれば十分だからである.

ii ) も同様に大きな M > 0 のみについて確かめれば十分である.

8 第 1章 数列と極限

Example 1. Theorem 1.5 を使って inf{ 1n |n ∈ N} = 0 であることを示してみよう.

まず 0 が { 1n | n ∈ N} の下界であることは明らか. ∀ε > 0 とする. 1 と ε に Archimedes 性を使えば, ∃N ∈ N が

存在して

1 < ε · N

と出来ることがわかる. よって 1N ∈ { 1

n | n ∈ N} が存在して

0 ≤ 1N

< 0 + ε

を満たすことが分かった.

R := R ∪ {±∞} の部分集合 E に対しても, 上界, 下界, 上限, 下限 を次の様に定義する.

Definition. x ∈ R が E ⊂ R の上界 (resp. 下界)であるとは, 「∀e ∈ E に対して x ≥ e (resp. x ≤ e)」となることをいう.

この定義によると, ∀E ⊂ R, E 6= ∅ に対して, ∞ は E の上界であり, −∞ は E の下界である. 従って, 前の定義のままでは全ての集合は有界になってしまい, R の中での有界性と整合しなくなってしまう. そこで, R の部分集合の有界性を次のように定義しよう.

Definition. E ⊂ R, E 6= ∅ は, ∞ 以外に上界が存在するとき上に有界であるといい, −∞ 以外に下界が存在するとき下に有界であるという.

このとき Theorem 1.2 に対応して次が成り立つ.

Theorem 1.2′. E ⊂ R, E 6= ∅ に対して, E の上界全体に最小元 (E の下界全体に最大元)が存在する.

Proof. U を E の R の中での上界全体のなす集合, U を E ∩ R の R の中での上界全体のなす集合とする. U に

最小元が存在することを示す.( I ) E 3 ∞ のとき, このとき U = {∞} であるのでminU = ∞.( II ) E 63 ∞ かつ E ∩ R 6= ∅ のとき. このとき U = U ∪ {+∞} である. 実際 ∞ は常に E の上界であるし,

E 63 ∞ であるので, x ∈ R が E ∩ R の上界であることと E の上界であることは同値である. 従って,

min U = min{minU,∞

}=

{∞ (U = ∅)min U (U 6= ∅)

である.( III ) E 63 ∞ かつ E ∩ R = ∅ のとき. このとき E = {−∞} であり, U = R である. したがって min U = −∞

である.

Definition. E ⊂ R, E 6= ∅ に対して, E の上界の最小元を E の上限とよび supE で表す. E の下界の最大元を

E の下限とよび inf E と表す.

R 内における上限, 下限と R 内における上限, 下限を定義したが, 両者は同じものであろうか？

Corollary. E ⊂ R, E 6= ∅ に対し, E の R 内での上限・下限と, R 内での上限・下限は一致する.

Proof. Theorem 1.2′ の証明における ( II ) より明らかである.

また, Lemma 1.3, Proposition 1.4 と全く同様のことが成立する. 実際これらは (sup, inf が存在するならば)一般の全順序集合で成立する. Theorem 1.5 と対応して次が成立する.

Theorem 1.5′. E ⊂ R, E 6= ∅ に対して

i ) α = supE, α 6= ±∞ ⇐⇒ α は E の上界かつ, ∀ε > 0 に対して ∃x ∈ E が存在して, α − ε < x 5 α.

1.2. max,min, sup, inf 9

ii ) supE = ∞ ⇐⇒ ∀M > 0 に対して ∃x ∈ E が存在して x > M .

iii ) supE = −∞ ⇐⇒ E = {−∞}.

inf E についても同様である.

Proof. 集合 U , U を Theorem 1.2′ の証明と同様のものとする.i ) このときは Thoerem 1.2′ の証明において, ( II ) の U 6= のときである. 従って supE = sup E ∩ R であるの

で, Theorem 1.5 がそのまま使える.ii ) このときは E 3 ∞ である ( ( I ) のとき)か, E 63 ∞ であるが E は上に有界でないか ( ( II ) U = ∅ のとき)

のどちらかである. 前者のときは, x = ∞ ∈ E とすればよい. 後者のときは, Thorem 1.5 の証明と全く同様である.iii ) このときは ( III ) のときであるので明らか.

以降, Theorem 1.2 から Thoerem 1.5 までを引用してあれば, 文脈によってはそれらは Thoerem 1.2′ からTheorem 1.5′ のことを意味する. 実際それらの使いかたは同じなので, 混用しても問題ない.

10 第 1章 数列と極限

1.3 数列の極限の定義

Definition. 自然数の集合 N から実数の集合 R への写像

n 7−→ an (n = 1, 2, 3, . . . )

を数列と呼ぶ. これを {an}∞n=1 とか {an}n∈N などで表す. 単に {an} と書くこともある.

Remark. あまり気にしないでいいが, a1, a2, a3, . . . を集めて出来る集合

{a1, a2, a3, . . . } = {an |n ∈ N}

を数列 {an}∞n=1 と区別することにする.

Definition. 自然数の集合 N から R := R ∪ {±∞} への写像を (拡張された) 数列と呼び, 数列と同じように{an}∞n=1 などで表す.

数列の極限を次の様に定義していく. 単調増加な数列 {an} に対しては sup{an |n ∈ N}, 単調減少な数列 {an}に対しては inf{an |n ∈ N} を極限として定義するのが妥当であろう.

Notation. 数列 {an}n∈N に対して

ak := inf{an |n = k} = inf{ak, ak+1, ak+2, . . . }ak := sup{an |n = k} = sup{ak, ak+1, ak+2, . . . }

(k = 1, 2, . . . )

と書くことにする.

Lemma 1.6. 数列 {an} に対して, {ak}∞k=1 は単調増加, {ak}∞k=1 は単調減少な (拡張された)数列.

Proof. 今 {ak, ak+1, ak+2, . . . } ⊇ {ak+1, ak+2, . . . } であるので, Lemma 1.3 より

ak = inf{ak, ak+1, . . . } 5 inf{ak+1, ak+2, . . . } = ak+1,

ak = sup{ak, ak+1, . . . } = sup{ak+1, ak+2, . . . } = ak+1.

Definition. a := sup{an |n ∈ N} を {an} の下極限, a := inf{an |n ∈ N} を {an} の上極限と呼ぶ.

Lemma 1.7. ∀N ∈ N に対して

a = sup{an |n ∈ N} = sup{an |n ≥ N},

a = inf{an |n ∈ N} = inf{an |n ≥ N}.

Proof. まず {an | n ∈ N} ⊃ {an | n ≥ N} であるので, Lemma 1.3 より, sup{an | n ∈ N} ≥ sup{an | n ≥ N}.β := sup{an | n ≥ N} とおけば, ∀n ≥ N に対して β ≥ an であるが, {an} の単調増加性より,

β ≥ aN ≥ aN−1 ≥ · · · ≥ a1.

すなわち β は {an | n ∈ N} の上界である. sup{an | n ∈ N} は {an | n ∈ N} の上界の最小元であるので,

sup{an | n ∈ N} ≤ β = sup{an | n ≥ N}.

Theorem 1.8.

a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ a ≤ a ≤ · · · ≤ a2 ≤ a1.

1.3. 数列の極限の定義 11

Proof. ak ≤ ak+1, ak+1 ≤ ak は既に示した. ak ≤ a, a ≤ ak は下極限, 上極限の定義より明らか. したがってa ≤ a のみを示せば十分.もし a = −∞ または a = ∞ ならば, 明らかに a ≤ a が成り立つ.a = ∞ のとき. このとき, Theorem 1.5 より, ∀M > 0 に対して ∃N ∈ N が存在して, aN > M と出来る.

aN = inf{ak | k ≥ N} であるので, 結局「∀M > 0 に対して ∃N ∈ N が存在して ∀k ≥ N ならば ak > M」が成り

立つ. ∀n ∈ N, ∀M > 0 に対して, 上の様な N ∈ N を取り, k > max{N,n} とすれば, ak > M であるので, 結局,∀n ∈ N に対して「∀M > 0 に対して ∃k ≥ n が存在して ak > M」が成り立つ. 従って Theorem 1.5 より, ∀n ∈ Nに対して an = ∞ である. よって a = inf{a1, a2, · · · } = inf{∞,∞, · · · } = ∞. 従ってこのとき a = a = ∞ であ

る. 同様に a = −∞ ならば a = ∞ であることも示せる.

a, a ∈ R のとき. a a と仮定する. ε :=a − a

2とおけば ε > 0 である. a = sup{an |n = 1, 2, . . . } であるので

Theorem 1.5 より ∃N ∈ N があってa − ε < aN ≤ a

と出来る. ∀n ≥ N に対して, Lemma 1.6 より aN 5 an であり, an 5 an は定義から明らかであるので,

a − ε < an (∀n ≥ N)

が成り立つ. 今 a − ε = a + ε であるので,

a + ε < an (∀n ≥ N)

であり, よってa + ε ≤ inf{an |n ≥ N} = a

となり, これは矛盾.

Definition. a = a であるとき, この値を数列 {an} の極限といい limn→∞

an と書く.a ) a = a 6= ±∞ であるとき, 数列 {an} は収束するという.b ) a = a = ±∞ であるとき, 数列 {an} は発散するという. (±∞ に収束するともいう)c ) a � a であるとき, 数列 {an} は振動するという.

Remark. 人によっては a ) のみを収束, b ) 及び c ) を発散ということもある. ここでは a ) と b ) を, すなわちlim が確定するとき, 収束ということが多い.

Proposition 1.9. {an}が単調増加ならば limn→∞

an = sup{an |n ∈ N},単調減少ならば limn→∞

an = inf{an |n ∈ N}.

Proof. {an} が単調増加のとき示す. このとき an = inf{an, an+1, an+2, · · · } = an. したがって

a = sup{a1, a2, a3, · · · } = sup{a1, a2, a3, · · · }.

一方 ∀k = 1, 2, · · · , n − 1 に対して ak ≤ an であるので, Lemma 1.7 と同様に,

an = sup{an, an+1, an+2, · · · } = sup{a1, · · · , an−1, an, an+1 · · · } = a1.

したがって

a = sup{a1, a2, a3, · · · } = sup{a1, a1, a1, · · · } = a1 = sup{a1, a2, a3, · · · }.

したがって a = a = sup{an |n ∈ N}.

12 第 1章 数列と極限

1.4 収束するための条件

Theorem 1.10. 数列 {an} が実数 a ∈ R に収束するための必要十分条件は, 「∀ε > 0 に対して ∃N ∈ N が存在して, ∀n ≥ N ならば |an − a| < ε」となること.また, 数列 {an} が ∞ (resp. −∞) に発散するための必要十分条件は, 「∀M > 0 に対して ∃N ∈ N が存在し

て, ∀n ≥ N ならば an > M (resp. an < −M)」となること.

Proof. まずは a 6= ∞ のとき示す. 「∀n ≥ N に対して |an − a| < ε」と「{an | n ≥ N} ⊂ (a − ε, a + ε)」が同値であることに注意する.⇒) {an} が a に収束すると仮定する, i.e., a = a = a とする. ∀ε > 0 を一つとり固定する. このとき

a = a = sup{an |n ∈ N} より ∃N1 ∈ N が存在して a − ε < aN1 ≤ a,a = a = inf{an |n ∈ N} より ∃N2 ∈ N が存在して a ≤ aN2 < a + ε,

とできる. ここで N = max{N1, N2} とすれば Lemma 1.6 より

a − ε < aN1 ≤ aN ≤ aN ≤ aN2 ≤ a + ε

となる. 今 aN = inf{an |n ≥ N}, aN = sup{an |n ≥ N} であるので

{an |n ≥ N} ⊂ (a − ε, a + ε).

よって「∀ε > 0 に対して ∃N ∈ N が存在して, ∀n ≥ N ならば |an − a| < ε」であることが示された.⇐) 「∀ε > 0, ∃N ∈ N s.t. ∀n ≥ N ⇒ |an − a| < ε」を仮定する. ∀ε > 0 に対して仮定の ∃N ∈ N をとれば,

{an |n ≥ N} ⊂ (a − ε, a + ε) であるので,

a − ε ≤ aN ≤ a ≤ a ≤ aN ≤ a + ε

とできる. したがって,a − ε ≤ a ≤ a ≤ a + ε

が ∀ε > 0 に対して成立する. これから a = a = a であることを示そう.実際, もし a � a であるとすると, ε′ := 1

3 |a − a| > 0 に対して,

a − ε′ ≤ a � a ≤ a + ε′ (i.e., a, a ∈ (a − ε′, a + ε′))

とできるが,

|(a + ε′) − (a − ε′)| = 2ε′ =23|a − a| � |a − a|

となり矛盾. したがって a = a であり, {an} は収束する.次に, a 6= a = a であるとする. ε′′ := 1

3 |a − a| とおけば, ε′′ > 0 であり,

a, a ∈ (a − ε′′, a + ε′′)

であるので

|(a + ε′′) − (a − ε′′)| = 2ε′′ =23|a − a| � |a − a|

となりこれも矛盾. したがって {an} は a に収束する.次に a = ∞ のときに示す. (a = −∞ のときも同様である). lim

n→∞an = ∞ である必要十分条件は,

a := sup{an |n ∈ N} = ∞

である. Theorem 1.5 よりこれは, 「∀M > 0 に対して ∃N ∈ N が存在して aN > M」であることと同値. ここで aN = inf{an |n ≥ N} であるので, 「aN > M」 は 「∀n ≥ N にたいして an > M」と同値. したがって,lim

n→∞an = ∞ である必要十分条件は, 「∀M > 0 に対して ∃N ∈ N が存在して, ∀n ≥ N ならば an > M」となる

こと.

1.4. 収束するための条件 13

Remark. Theorem 1.10 は有用であるが, 極限がわからないと使えない.

Example 2. 数列 an = (−1)n 1nの極限を計算してみよう. まず極限の定義通り計算してみる。

an = inf{

(−1)k 1k

∣∣∣ k ≥ n}

=

{− 1

n (n: 奇数)− 1

n+1 (n: 偶数)

故に Example 1 と同様に計算すれば

a = sup{a1, a2, a3, a4, · · · }

= sup{−1,−13 ,−1

3 ,−15 ,−1

5 , · · · }

= 0.

一方

an = sup{

(−1)k 1k

∣∣∣ k ≥ n}

=

{1

k+1 (k: 奇数)1k (k: 偶数)

故に

a = inf{a1, a2, a3, a4, · · · }

= inf{ 12 , 1

2 , 14 , 1

4 , · · · }

= 0.

したがって, a = a であるので {an} は収束し, その極限は

limn→∞

an = a = a = 0.

次に Theorem 1.10 を使って limn→∞

an = 0 であることを示そう.∀ε > 0 を固定する. 「∃N ∈ N があって ∀n ≥ N に対して |(−1)n 1

n − 0| < ε (, i.e., 1n < ε)」となることを示せ

ば良い. しかしこれは Example 1 と同様に Archimedes 性からでる.

極限が分からないときも収束するかどうかだけでも判別出来ることは重要である. その意味でも Cauchy 列 (基本列)の概念は重要である.

Definition. 数列 {an} が Cauchy 列であるとは, 「∀ε > 0 に対して ∃N ∈ N が存在して, ∀m,n ≥ N ならば

|am − an| < ε」が成り立つことを言う.

Lemma 1.11 (三角不等式). ∀x, y ∈ R に対して

|x + y| ≤ |x| + |y|,∣∣|x| − |y|∣∣ ≤ |x − y|.

Proof. (右辺)2 − (左辺)2 ≥ 0 であることを示せばよい.

(|x| + |y|)2 − |x + y|2 = (x2 + y2 + 2|xy|) − (x2 + y2 + 2xy)

= 2(|xy| − xy) ≥ 0.

Proposition 1.12. 収束列は Cauchy 列である.

14 第 1章 数列と極限

Proof. {an} を収束列とし, その極限を a := limn→∞

an とする. ε > 0 を固定する. このとき Theorem 1.10 より∃N ∈ N が存在して

∀n ≥ N =⇒ |an − a| <ε

2と出来る. よって ∀m,n ≥ N に対して

|am − an| = |(am − a) + (a − an)|

≤ |am − a| + |a − an|

<ε

2+

ε

2= ε.

Definition. 集合 {an | n ∈ N} が有界であるとき, 数列 {an}∞n=1 は有界であるという.

Lemma 1.13. Cauchy 列は有界である.

Proof. {an} を Cauchy 列とする. このとき ε = 1 に対しても ∃N ∈ N が存在して

∀m, n ≥ N =⇒ |am − an| < 1

と出来る. 特に m = N と固定すれば

∀n ≥ N =⇒ |an − aN | < 1 i.e., aN − 1 ≤ an < aN + 1

となる. これより ∀n ≥ N に対して |an| ≤ |aN | + 1 であることが分かる. したがって

K := max{|a1|, · · · , |aN−1|, |aN | + 1}

とおけば, ∀n ∈ N に対して|an| ≤ K,

すなわち {an} は有界である.

Corollary 1.14. 収束列は有界である.

Proof. Proposition 1.12 および Lemma 1.13 より明らか.

Theorem 1.15 (実数の完備性). 数列 {an} が収束する必要十分条件は, それが Cauchy 列であることである.

Proof. Proposition 1.12 より, Cauchy 列が (ある実数に)収束することを示せば十分である. {an} を Cauchy 列とする.まず Lemma 1.13 より a 6= −∞, a 6= ∞ である. 特に {an} が ±∞ に発散することはない. {an} が振動する

(i.e., a � a) と仮定する.ε := 1

3 |a − a| とおく. 仮定より ε > 0 である. 今 {an} は Cauchy 列であるので, ∃N ∈ N があって

∀m,n ≥ N =⇒ |am − an| < ε (∗1)

と出来る. 特に, ∀n ≥ N に対して

aN − ε < an < aN + ε

である. これより aN − ε は {an | n ≥ N} の下界であり, aN + ε はその上界である. 従って、

aN − ε ≤ aN ≤ a < a ≤ aN ≤ aN + ε

である. しかしこれは|(aN + ε) − (aN − ε)| = 2ε =

23|a − a| � |a − a|

となり矛盾である. よって {an} が振動することもない. 従って {an} はある実数に収束する.

1.5. 収束列に関する諸定理 15

1.5 収束列に関する諸定理

Lemma 1.16. {an}, {bn} を (拡張された)数列, ∀n に対して an ≤ bn とする. このとき ∀n に対して an ≤ bn か

つ an ≤ bn である.

Proof. 「∀n に対して an ≤ bn」であることのみ示す. (an ≤ bn であることも同様に示せる.)まず aN = ±∞ または bN = ±∞ となる N ∈ N に対しては aN ≤ bN となることを示そう. (a) aN = −∞ の

ときは bN が何であっても, 明らかに aN ≤ bN は成り立つ. (b) bN = ∞ のときも同様に明らかである. (c)aN = ∞ であるとき.

aN = inf{aN , aN+1, aN+2, · · · } = ∞

の意味することは, aN = aN+1 = aN+2 = · · · = ∞ である. 仮定より an ≤ bn (∀n) であるので, bN = bN+1 =bN+2 = · · · = ∞ でなければならない. したがって, このとき

bN = inf{bN , bN+1, bN+2, · · · } = ∞

となり, ∞ = aN ≤ bN = ∞がなりたつ. (d) bN = −∞のとき, ∀M > 0に対して ∃n ≥ N が存在して bn < −M

と出来るが, 仮定より an ≤ bn < −M であるので, aN = −∞ である. よって, このとき −∞ = aN ≤ bN = −∞が成り立つ.

aN 6= ±∞, bN 6= ±∞ であるとき. aN ≤ bN となることを背理法で示そう. aN � bN と仮定し, ε = 12 (aN − bN )

とおく. ε > 0 であり, bN = inf{bk | k ≥ N} であるので, Theorem 1.5 より, ∃n0 ≥ N が存在して

bN ≤ bn0 < bN + ε

と出来る. 一方 aN = inf{ak | k ≥ N} であるので,

aN ≤ an0

となる. したがって

bn0 < bN + ε

= bN +12(aN − bN )

=12(aN + bN )

< aN

≤ an0

であるが, これは an ≤ bn (∀n) であることに矛盾.

Theorem 1.17 (はさみうちの原理). 数列 {an}, {bn}, {cn} に対して

i ) ∀n に対して an ≤ bn ならば, a ≤ b かつ a ≤ b.

ii ) limn→∞

an, limn→∞

bn が存在するとき, ∀n に対して an ≤ bn ならば limn→∞

an ≤ limn→∞

bn.

iii ) limn→∞

an, limn→∞

bn が存在し limn→∞

an = limn→∞

bn を満たし更に ∀n に対して an ≤ cn ≤ bn ならば,数列 {cn} は収束し, lim

n→∞an = lim

n→∞cn = lim

n→∞bn.

Proof. i ) αn = an, βn = bn とおく. Lemma 1.16 より ∀n に対して αn = an ≤ bn = βn である. 再び Lemma1.16 より α1 ≤ β1 である. ここで

α1 = sup{α1, α2, · · · } = sup{a1, a2, · · · } = a

β1 = sup{β1, β2, · · · } = sup{b1, b2, · · · } = b

16 第 1章 数列と極限

であるので, a ≤ b が示された. a ≤ b も全く同様である.ii ) lim

n→∞an = a = a, lim

n→∞bn = b = b であるので i) より明らかである.

iii ) a := limn→∞

an, b := limn→∞

bn とおく. i) より

a ≤ c ≤ b かつ a ≤ c ≤ b

が成り立つ. よってa = a ≤ c ≤ b = b かつ a = a ≤ c ≤ b = b

であり, a = b であるので

a = c = c = b.

すなわち, 数列 {cn} は収束し limn→∞

cn = a = b.

Theorem 1.18. limn→∞

an = a, limn→∞

bn = b, (a, b ∈ R) とすると,

i ) limn→∞

(an ± bn) = a ± b.

ii ) limn→∞

(an · bn) = a · b.iii ) bn 6= 0, b 6= 0 ならば lim

n→∞(an/bn) = a/b.

Proof. Theorem 1.10 を用いて証明する.i ) ∀ε > 0 を一つとり固定する. 「∀n > N に対して |(an ± bn)− (a± b)| < ε」とできる ∃N ∈ N の存在を示せ

ばよい. 今 limn→∞

an = a であるので, Theorem 1.10 より, ∃N1 ∈ N があって

∀n ≥ N1 =⇒ |an − a| <ε

2

と出来る. また limn→∞

bn = b であるので, ∃N2 ∈ N があって

∀n ≥ N2 =⇒ |bn − b| <ε

2

とできる. ここで N := max{N1, N2} とおけば, ∀n ≥ N に対して

|(an ± bn) − (a ± b)| = |(an − a) ± (bn − b)|

≤ |an − a| + |bn − b|

<ε

2+

ε

2= ε

であるので, この N が求めるものである.ii ) ∀ε > 0 を一つとり固定する. 「∀n > N に対して |(an · bn) − (a · b)| < ε」とできる ∃N ∈ N の存在を示せ

ばよい. まず {an}, {bn} は収束列であるので, Corollary 1.14 より有界. したがって ∃M > 0 が存在して

|an| < M, |bn| < M (∀n ∈ N)

とできる. またこのとき Theorem 1.17 より,|b| ≤ M

である. さらに limn→∞

an = a であるので, ∃N1 ∈ N があって

∀n ≥ N1 =⇒ |an − a| <ε

2M

とできる. また limn→∞

bn = b であるので, ∃N2 ∈ N があって

∀n ≥ N2 =⇒ |bn − b| <ε

2M

1.5. 収束列に関する諸定理 17

とできる. ここで N := max{N1, N2} とおけば, ∀n ≥ N に対して

|anbn − ab| = |anbn − anb + anb − ab|

≤ |anbn − anb| + |anb − ab|

= |an| · |bn − b| + |an − a| · |b|

< M · ε

2M+

ε

2M· M = ε

であるので, この N が求めるものである.

iii ) bn 6= 0, b 6= 0 のとき limn→∞

1bn

=1bとなることを示せば十分. ∀ε > 0 を一つとり固定する. lim

n→∞bn = b で

あるので, ∃N1 ∈ N があって∀n ≥ N1 =⇒ |bn − b| <

|b|2

とできる. したがって ∀n ≥ N1 に対して

|b| − |bn| ≤ |bn − b| <|b|2

,

|bn| > |b| − |b|2

=|b|2

.

再び limn→∞

bn = b より ∃N2 ∈ N があって

∀n ≥ N1 =⇒ |bn − b| <ε|b|2

2

とできる. ここで N := max{N1, N2} とすれば, ∀n ≥ N に対して∣∣∣∣ 1bn

− 1b

∣∣∣∣ =|bn − b||bn| · |b|

<ε|b|2/2|b|2 · |b|

= ε.

Definition. 数列 {an}∞n=1 と自然数の (無限)狭義単調増大列 n1 � n2 � n3 � · · · に対して, {ank}∞k=1 の形で与

えられる数列を {an} の部分列という.

Lemma 1.19. 数列 {an} に対して, 次は同値.

i ) limn→∞

an = a.

ii ) {an} の任意の部分列 {ank} に対し, lim

k→∞ank

= a.

iii ) {an} は極限を持ち, ある部分列 {ank} に対し lim

k→∞ank

= a.

Proof. a 6= ±∞ のとき.i ) ⇒ ii ) {ank

} を任意の部分列とする. ∀ε > 0 を一つとり固定する. limn→∞

an = a であるので, ∃N ∈ N があって

∀n ≥ N =⇒ |an − a| < ε

と出来る. 今 {nk}∞k=1 は自然数の狭義無限増大列であるので, ∃K ∈ N があって

∀k ≥ K =⇒ nk ≥ N

と出来る. したがって∀k ≥ K =⇒ |ank

− a| < ε.

ii ) ⇒ iii ) は明らか.iii ) ⇒ i ) b := lim

n→∞an とする. このとき, 既に示してある i ) ⇒ ii ) より lim

k→∞ank

= b となる. したがって

b = a すなわち limn→∞

an = a である.

a = ∞のときは上の証明において「∀ε > 0」を「∀M > 0」に,「|an−a| < ε」を「an > M」に,「|ank−a| < ε」

を「ank> M」に変えればよい.

18 第 1章 数列と極限

Lemma 1.20. {xn} を数列, {nk}∞k=1, {mk}∞k=1 を自然数の狭義単調増大列で,

{n1, n2, n3, · · · } ∪ {m1,m2, m3, · · · } = N

を満たすものとする. 部分列 {xnk}, {xmk

} が同じ極限を持てば, {xn} 自身も同じ極限を持つ.

Proof. limk→∞

xnk= lim

k→∞xmk

= α とする.

α 6= ±∞ のとき. ε > 0 を一つとり固定する. Theorem 1.10 より ∃K1,∃K2 ∈ N があって

∀k ≥ K1 =⇒ |xnk− α| < ε,

∀k ≥ K2 =⇒ |xmk− α| < ε

と出来る. ここで N := max{nK1 ,mK2} とおく.∀n ≥ N とする. 仮定より ∃k ∈ N があって n = nk または n = mk と書けるが, 例えば n = nk とすると,

nk = n ≥ N ≥ nK1 であるので {nk} の単調増大性より k ≥ K1 である. したがって

|xn − α| = |xnk− α| < ε

である. n = mk のときも全く同様である. したがって limn→∞

xn = α.α = ±∞ のときは, Lemma 1.19 の証明の様に書き換えればよい.

Proposition 1.21. 任意の数列に対し, その上極限, 下極限それぞれに収束する部分列が存在する.

Proof. 数列 {an} の上極限 a に収束する様な部分列を構成する (下極限についても同様に構成できる).a 6= ∞ のとき. まず n1 := 1 とする. an1+1 = sup{ak | k ≥ n1 + 1} であるので

an1+1 −11

< an2 ≤ an1+1

となる ∃n2 > n1 が存在する. 次に an2+1 = sup{ak | k ≥ n2 + 1} であるので

an2+1 −12

< an3 ≤ an2+1

となる ∃n3 > n2 が存在する. 以下同様に繰り返せば, 部分列 {ank}∞k=1 で

ank+1 −1k

< ank+1 ≤ ank+1

を満たすものが構成できる. Theorem 1.17, Lemma 1.19, Lemma 1.6 と Proposition 1.9 より

limk→∞

ank= lim

k→∞ank+1 = lim

n→∞an = a.

a = ∞ のとき. a = inf{a1, a2, a3, · · · } = ∞ であるので, このとき a1 = a2 = a3 = · · · = ∞ である. 特に∞ = a1 = sup{a1, a2, a3, · · · } であるので

an1 > 1

となる n1 ≥ 1 が存在する. 次に∞ = an1+1 = sup{an1+1, an1+2, an1+3, · · · } であるので

an2 > 2

となる n2 > n1 が存在する. 同様に∞ = an2+1 = sup{an2+1, an2+2, an2+3, · · · } であるので

an3 > 3

となる n3 > n2 が存在する. これを繰り返せば部分列 {ank} で

ank> k

1.5. 収束列に関する諸定理 19

を満たすものが存在する. よって Theorem 1.17 より

limk→∞

ank= ∞ = a.

Theorem 1.22 (Bolzano-Weierstrass). 有界な数列は収束する部分列を持つ.

Proof. Proposition 1.21 より明らか.

Definition. I ⊂ R を部分集合とする. 数列 {an} が I 内の数列であるとは, ∀n ∈ N に対して an ∈ I であること.

Remark. 数列 {an} が集合 I 内にあるからといって, その極限が I 内にあるとは限らない. 例えば I = (0, 1],an = 1

n を考えれば, ∀n ∈ N に対して an ∈ (0, 1] であるが, limn→∞

an = 0 6∈ (0, 1].

Proposition 1.23. I を閉区間 (i.e., [a, b], [a,∞), (−∞, b] (−∞,∞) のいずれか) とする. I 内の数列が (実数に)収束すれば, その極限も I 内にある.

Proof. {xn} を閉区間 I 内の収束列, x = limn→∞

xn とする. I = [a, b] のとき示すが, [a,∞), (−∞, b] のときも同様である (I = (−∞,∞) のときは明らかである).背理法で示す. x 6∈ [a, b] とする. このとき x � a または b � x である. 例えば x � a とする. ε := a − x とお

けば ε > 0 である. 今 limn→∞

xn = x であったので, ∃N ∈ N が存在して ∀n > N に対して

|xn − x| < ε

とできる. したがってxn < x + ε = x + (a − x) = a

であるので, xn 6∈ [a, b] となりこれは矛盾.

Corollary 1.24 (有界閉区間のコンパクト性). 有界閉区間内の数列は, その区間内で収束する部分列をもつ.

Proof. Thorem 1.22, Proposition 1.23 より明らか.

Lemma 1.25. 空でない実数の集合 A ⊂ R に対して, supA, inf A に収束する A 内の数列がそれぞれ存在する.

Proof. supA に収束する A 内の数列を構成する. (inf A のときも同様に出来る)supA < ∞ のとき. このとき Theorem 1.5 i) より ∀ε > 0 に対し supA− ε < a ≤ supA となる ∃a ∈ A が存在

する. 特に ε = 1n (∀n ∈ N) に対しても

supA − 1n < an ≤ supA

となる ∃an ∈ A が存在する. この様に A 内の数列 {an} が構成出来るが, これが supA に収束するのは Theorem1.17 より明らか.

supA = ∞ のとき. このとき Theorem 1.5 ii) より ∀M > 0 に対し a > M となる ∃a ∈ A が存在する. 特にM = ∀n ∈ N に対しても

an > n

となる ∃an ∈ A が存在する. このとき limn→∞

an = ∞ となることは明らか.

20 第 1章 数列と極限

1.6 Appendix: e の話

ここでは

e := limn→∞

(1 + 1n )n = 2.718 · · ·

の話をする. まずは数列 {an = (1 + 1n )n} が収束することを示そう.

Lemma 1.26. ∀n ∈ N, ∀k = 1, 2, . . . , n に対して

nCk1nk

=1k!

{1 · (1 − 1

n ) · (1 − 2n ) · · · (1 − k−1

n )}.

Proof.

nCk1nk

=n(n − 1)(n − 2) · · · (n − (k − 1))

k!· 1nk

=1k!

· n

n· n − 1

n· n − 2

n· · · n − (k − 1)

n

=1k!

{1 · (1 − 1

n ) · (1 − 2n ) · · · (1 − k−1

n )}.

Lemma 1.27. ∀n ∈ N, ∀k = 1, 2, . . . , n に対して

nCk1nk

≤ n+1Ck1

(n + 1)k.

Proof. ∀l = 1, 2, . . . , k − 1 に対して ln > l

n+1 より 1 − ln < 1 − l

n+1 . したがって Lemma 1.26 より

nCk1nk

=1k!

{1 · (1 − 1

n ) · (1 − 2n ) · · · (1 − k

n )}

≤ 1k!

{1 · (1 − 1

n+1 ) · (1 − 2n+1 ) · · · (1 − k

n+1 )}

= n+1Ck1

(n + 1)k

Theorem 1.28. 数列 an = (1 + 1n )n は単調増大である.

Proof. an = (1 + 1n )n の二項展開の各項を Lemma 1.27 を使って比較する.

an = (1 + 1n )n = 1 + nC1

1n

+ nC21n2

+ · · · + nCn1nn

≤ 1 + n+1C11

n + 1+ n+1C2

1(n + 1)2

+ · · · + n+1Cn1

(n + 1)n

≤ 1 + n+1C11

n + 1+ n+1C2

1(n + 1)2

+ · · · + n+1Cn1

(n + 1)n+ n+1Cn+1

1(n + 1)n+1

= (1 + 1n+1 )n+1 = an+1.

Lemma 1.29. ∀n ∈ N, ∀k = 2, 3, . . . , n に対して

nCk1nk

<1k!

≤ 12k−1

.

1.6. Appendix: e の話 21

Proof. 左側の不等式は, 1 − ln < 1 であるので Lemma 1.26 より明らか. 右側の不等式を示すには, ∀k ≥ 2 に対

して

k! ≥ 2k−1

となることを示せばよい. これを数学的帰納法で示す.k = 2 に対しては k! = 2! = 2 · 1 = 2, 2k−1 = 22−1 = 2 であるので明らかに不等式は成り立つ. k = l ≥ 2 で不

等式 l! ≥ 2l−1 が成立していると仮定する. このとき k = l + 1 に対して

(l + 1)! = (l + 1) · l! ≥ (l + 1) · 2l−1 ≥ 2 · 2l−1 = 2(l+1)−1.

したがって不等式が成立.

Theorem 1.30. ∀n ∈ N に対して an < 3.

Proof. an = (1 + 1n )n の二項展開の各項を Lemma 1.29 を使って比較する.

an = (1 + 1n )n = 1 + nC1

1n

+ nC21n2

+ nC31n3

+ · · · + nCn1nn

≤ 1 + 1 +121

+122

+ · · · + 12n−1

= 1 +1(1 − 1

2n )1 − 1

2

= 3 − 12n−1

< 3.

Corollary 1.31. e := limn→∞

(1 + 1n )n は存在する. 更に 2 < e < 3 を満たす.

Proof. 数列 {(1 + 1n )n} は Theorem 1.28, Theorem 1.30 より単調増大で上に有界. したがって Proposition 1.9

より収束する. a2 = (1 + 12 )2 = 9

4 > 2 であるので, {an} の単調増大性より e > 2 は明らか. また Theorem 1.30より e ≤ 3 は明らか. 更に ∀n ≥ 3 に対して

122

− nC31n3

=122

−(1 − 1

n )(1 − 2n )

3 · 2≥ 1

4− 1

6=

112

より, ∀n ≥ 3 に対して 3 − an ≥ 112 であることが分かる. よって e < 3.

23

第2章 関数の極限と連続性

2.1 関数の極限の定義

Definition. f : I → R を関数, I はいくつかの区間の和集合, a ∈ R ∪ {±∞} とする. a に収束する I \ {a} 内の任意の数列 {xn}∞n=1 (i.e., xn ∈ I, xn 6= a, lim

n→∞xn = a) に対して, 数列 {f(xn)}∞n=1 が, {xn} の取り方に依らず,

ある一定値 α ∈ R ∪ {±∞} に収束するとき, 「f(x) の x = a での極限値が α である」といい, limx→α

f(x) = α と

表す.

Definition. xn � a (resp. xn � a), xn ∈ I, limn→∞

xn = a を満たす任意の数列 {xn} に対して, 数列 {f(xn)} がある一定値 α ∈ R ∪ {±∞} に収束するとき, 「f(x) の x = a における右極限値 (resp. 左極限値) が α である」

といい limx↓a

f(x) = α または limx→a+0

f(x) = α (resp. limx↑a

f(x) = α または limx→a−0

f(x) = α) と表す.

Proposition 2.1. f(x) : I → R を関数とする. このとき

limx→a

f(x) = α ⇐⇒ limx↓a

f(x) = αかつ limx↑a

f(x) = α.

Proof. ⇒ ) は明らか.⇐ ) {xn} を xn 6= a, lim

n→∞xn = a なる任意の数列とする. {f(xn)} が α に収束することを示せばよい.

まず {xn} を次のような２つの部分列に分ける. xn � a なる xn を (添字の)順番に並べたものを y1, y2, y3, · · · ,xn � a なる xn を順番に並べたものを z1, z2, z3, · · · とする. ({yn}, {zn} のどちらか一方が有限数列になることもありうる.){zn} が有限数列のとき ({yn} が有限数列のときも同様). このとき明らかに lim

n→∞f(xn) = lim

n→∞f(yn) であり,

仮定 limx↓a

f(x) = α より limn→∞

f(yn) = α. したがって limn→∞

f(xn) = α.

{yn}, {zn} が共に無限数列のとき. このとき仮定 limx↓a

f(x) = α より limn→∞

f(yn) = α. また, 仮定 limx↑a

f(x) = α

より limn→∞

f(zn) = α. したがって Lemma 1.20 より limn→∞

f(xn) = α.

Proposition 2.2. f(x) : I → R を関数とする.

i ) limx↑a

f(x) = α ⇐⇒ xn � a, limn→∞

xn = a なる I \{a} 内の任意の単調増大列 {xn} に対して limn→∞

f(xn) = α.

ii ) limx↓a

f(x) = α ⇐⇒ xn � a, limn→∞

xn = a なる I \{a} 内の任意の単調減少列 {xn} に対して limn→∞

f(xn) = α.

Proof. i ) のみ示す. ⇒ ) は明らか.⇐ ) {xn} を xn � a, lim

n→∞xn = a なる I \ {a} 内の任意の数列 (単調とは限らない)に対して, {f(xn)} が α に

収束することを示せばよい.背理法で示す. xn � a, lim

n→∞xn = a なる数列 {xn} で, {f(xn)} が α に収束しないものがあるとする. すなわち

∃ε > 0 があって ∀N ∈ N に対して ∃n ≥ N があって |f(xn) − α| ≥ ε

と仮定する. このとき |f(xn)−α| ≥ ε となる n ∈ N は無限個あり, それらを並べて {xn} の部分列 {yn} が出来る.Lemma 1.19 より lim

n→∞yn = a である. 次に {yn} の単調増加部分列 {zn} を次のように構成する; まず z1 := y1

とする. 今 z1 = y1 � a, limn→∞

yn = a であるので ∃n2 > 1 が存在して z1 � yn2 � a と出来る. z2 := yn2 とお

く. 再び z2 = yn2 � a, limn→∞

yn = a であるので ∃n3 > n2 が存在して z2 � yn3 � a と出来る. z3 := yn3 とお

24 第 2章 関数の極限と連続性

く. これを繰り返せば部分列 {zn} が構成出来る. このように構成した {zn} は明らかに単調増大であり zn � a

を満たす. 更に {xn} の部分列であるので limn→∞

zn = a であるが, {yn} の部分列でもあるので ∀n ∈ N に対して|f(zn) − α| ≥ ε であり, したがって {f(zn)} は α に収束しない. これは「右辺」の仮定に矛盾.

Theorem 2.3. a, α ∈ R (i.e., a, α 6= ±∞), f(x) : I → R を関数とする. このとき limx→a

f(x) = α である必要十分

条件は「∀ε > 0 に対して ∃δ > 0 が存在して, ∀x ∈ I \ {a}, |x − a| < δ ならば |f(x) − α| < ε」となること.

Proof. ⇒) limx→a

f(x) = α とする. 背理法で示す. 右辺の否定, 「∃ε > 0 があって ∀δ > 0 に対し,

|xδ − a| < δ かつ |f(xδ) − α| ≥ ε

を満たす ∃xδ ∈ I \ {a} が存在する」を仮定する. このとき特に δ = 1n (∀n ∈ N) に対しても

|xn − a| < 1n かつ |f(xn) − α| ≥ ε

を満たす ∃xn ∈ I \ {a} が存在する. このようにして出来る数列 {xn} は

a − 1n < xn < a + 1

n

を満たすので Theorem 1.17 より a に収束するが, |f(xn) − α| ≥ ε より {f(xn)} は α に収束しない. これはlimx→a

f(x) = α であることに矛盾する.⇐) 右辺を仮定する. {xn} を a に収束する I \ {a} 内の数列とする. {f(xn)} が α に収束することを示せばよ

い. ∀ε > 0 を一つとり固定する. ∃δ > 0 を仮定でのものとする. 今 limn→∞

xn = a であるので ∃N ∈ N が存在して

∀n ≥ N ⇒ |xn − a| < δ

と出来る. よって仮定より∀n ≥ N ⇒ |xn − a| < δ ⇒ |f(xn) − α| < ε.

これは limn→∞

f(xn) = α であること.

Theorem 2.4. limx→a

f(x) = α, limx→a

g(x) = β, α, β ∈ R とすると

i ) limx→a

(cf(x) + dg(x)) = cα + dβ. (∀c, d ∈ R)

ii ) limx→a

(f(x)g(x)) = αβ.

iii ) β 6= 0, x = a の近傍で g(x) 6= 0 ならば limx→a

f(x)g(x) = α

β .

Proof. 極限の定義と Theorem 1.18 より明らか.

2.2. 連続性の定義 25

2.2 連続性の定義

Definition. f : I → R を関数, a ∈ I とする. f(x) が x = a で連続 (resp. 右連続, 左連続) であるとはlimx→a

f(x) = f(a) (resp. limx↓a

f(x) = f(a), limx↑a

f(x) = f(a)) が成り立つことをいう.

Theorem 2.5 (ε-δ 論法). f(x) が x = a で連続である必要十分条件は「ε > 0 に対して δ > 0 が存在して ∀x ∈ I,|x − a| < δ ならば |f(x) − f(a)| < ε」となること.

Proof. 2.3 より明らか. (x = a のときは |a − a| = 0 < δ かつ |f(a) − f(a)| = 0 < ε となることに注意)

Definition. f(x) : I → R とする.f(x) が (I 上) 連続 def⇐⇒ ∀a ∈ I に対し f(x) は x = a で連続.

Remark. 連続性とは「f( limn→∞

xn) = limn→∞

f(xn)」が成立すること.

Proposition 2.6. f, g : I → R が連続関数なら,

cf + dg (c, d ∈ R), f · g,f

g(但し g(x) は I 上 0 にならないとき)

は連続関数.

Proof. 定義及び Theorem 2.4 より明らか

Definition. f : I → R, g : J → R を関数とする. f(I) ⊂ J ならば ∀x ∈ I に対して f(x) ∈ J であるので g(f(x))の値が決まる. x ∈ I に対して g(f(x)) を対応させる関数を f と g との合成といい g ◦ f で表す.

g ◦ f(x) := g(f(x)).

Proposition 2.7. f : I → R, g : J → R をそれぞれ連続関数, f(I) ⊂ J とする. このとき合成関数 g ◦ f : I → Rも連続である.

Proof. ∀a ∈ I, ∀{xn} を a に収束する I 内の任意の数列とする. f の連続性より limn→∞

f(xn) = f(a). g の連続性

より limn→∞

g(f(xn)) = g(f(a)) となる. すなわち limn→∞

g ◦ f(xn) = g ◦ f(a). これは g ◦ f が x = a で連続である

こと.

26 第 2章 関数の極限と連続性

2.3 連続関数の性質

Theorem 2.8 (中間値の定理). f : [a, b] → R が連続ならば, f は f(a) と f(b) との間のどんな値をも取り得る.すなわち, m := min{f(a), f(b)}, M := max{f(a), f(b)} とすれば, [m,M ] ⊂ f([a, b]) である.

Proof. ∀r ∈ [m,M ] に対して r = f(c) となる ∃c ∈ [a, b] が存在することを示せばよい. r = m, r = M に対して

は c = a または c = b とすればよい. したがって m � M , m � r � M のとき示せばよい. m = f(a), M = f(b)のとき示す.

A := {x ∈ [a, b] | f(x) � r} とおき, c := supA とおく. 今 Lemma 1.25 より c に収束する A 内の数列 {xn} が存在する. A ⊂ [a, b] であるので, Proposition 1.23 より c ∈ [a, b] である. f の連続性より

limn→∞

f(xn) = f( limn→∞

xn) = f(c)

である. また xn ∈ A より f(xn) � r. したがって Theorem 1.17 より

f(c) ≤ r

である.一方 f(c) ≤ r � M = f(b) であるので, c � b である. したがって十分大きな n ∈ N に対して

c + 1n � b (したがって c + 1

n ∈ [a, b])

とできる. 今 c = supA であったので, c + 1n 6∈ A すなわち

f(c + 1n ) ≥ r

である 。したがって f の連続性と Theorem 1.17 より

f(c) = f( limn→∞

(c + 1n )) = lim

n→∞f(c + 1

n ) ≥ r.

したがって

f(c) = r.

Definition. 写像 f : X → Y が

単射 def⇐⇒ f(x1) = f(x2) ならば x1 = x2対偶⇐⇒ x1 6= x2 ならば f(x1) 6= f(x2).

全射 def⇐⇒ f(X) = Y ⇐⇒ ∀y ∈ Y に対して ∃x ∈ X が存在して f(x) = y.全単射 def⇐⇒ f は全射かつ単射.

Definition. f : X → Y が全単射とすると, 全射性より ∀y ∈ Y に対し f(x) = y となる x ∈ X が存在し, 単射性より, そのような x ∈ X は各 y ∈ Y に対して唯ひとつだけである. したがって y ∈ Y に対して f(x) = y となる

ような x ∈ X を対応させる写像が考えられる. この写像を f の逆写像といい f−1 : Y → X と表す. f が関数の

とき f−1 を逆関数と呼ぶ. 明らかに f−1(f(x)) = x, f(f−1(y)) = y.

Remark. f : X → Y が単射ならば, f : X → f(X) は全単射. したがって逆写像 f−1 : f(X) → X が定義できる.

Definition. f : I → R を関数とする.f が狭義単調増加 (resp. 減少) def⇐⇒ ∀x1, x2 ∈ I, x1 � x2 ならば f(x1) � f(x2) (resp. f(x1) � f(x2))f が広義単調増加 (resp. 減少) def⇐⇒ ∀x1, x2 ∈ I, x1 ≤ x2 ならば f(x1) ≤ f(x2) (resp. f(x1) ≥ f(x2))

Remark. 関数が狭義単調ならば単射であるので, 逆関数が考えられる

2.3. 連続関数の性質 27

Theorem 2.9 (逆関数の連続性). I ⊂ R を区間, f : I → R を狭義単調な関数とする. f が連続ならば, 逆関数f−1 : f(I) → I も連続である.

Proof. 連続性は局所的な性質であるので, I として有界区間, 特に (二点以上を含む)有界閉区間のときを考えればよい. ∀c ∈ f(I) とし ∀{yn} を f(I) 内の c に収束する単調数列とする. lim

n→∞f−1(yn) = f−1(c) であることを示

せばよい.f の単調性と {yn} の単調性より, {f−1(yn)} は I 内の単調数列である. したがって {f−1(yn)} は極限をもつ

が, I は有界閉であるので Theorem 1.22, Proposition 1.23 よりそれは I 内にある.

limn→∞

f−1(yn) =: d ∈ I

とする. f の連続性より

f(d) = f( limn→∞

f−1(yn)) = limn→∞

f(f−1(yn)) = limn→∞

yn = c.

故に

f−1(c) = f−1(f(d)) = d = limn→∞

f−1(yn).

Definition. f : I → Rを関数とする. 値域 f(I)の最大元 max f(I) (resp. 最小元 min f(I))を f の最大値 (resp.最小値) と呼ぶ.

Remark. 最大値, 最小値が存在しないこともある. sup f(I) はいつも存在するが, f(x) = sup f(I) となる x ∈ I

が存在するとき, f は最大値を持つ.

Theorem 2.10 (Weierstrass). 有界閉区間上定義された連続関数は最大値, 最小値をもつ.

Proof. I = [a, b] を有界閉区間, f : I → R を連続関数とする. α := sup f(I) とおく. f(c) = α となる c ∈ I が存

在することを示す.Lemma 1.25 より f(I) 内の数列 {yn} で lim

n→∞yn = α となるものが存在する. ここで yn ∈ f(I) であるので,

∃xn ∈ I で yn = f(xn) なるものが存在する. すなわち {xn} は I 内の数列で limn→∞

f(xn) = α を満たす. 今 I は

有界閉区間であるので, Corollary 1.24 より I 内で収束する部分列 {xnk} が存在する. lim

k→∞xnk

=: c ∈ I とおく.

{f(xnk)} は {f(xn)} の部分列であるので Lemma 1.19 より

limk→∞

f(xnk) = lim

n→∞f(xn) = α

である. 一方 f は連続であるので,lim

k→∞f(xnk

) = f( limk→∞

xnk) = f(c)

である. したがって f(c) = α であるので α = max f(I).

Definition. f : I → R が一様連続であるとは「∀ε > 0 に対して ∃δ > 0 が存在して, ∀x, x′ ∈ I, |x − x′| < δ な

らば |f(x) − f(x′)| < ε」が成り立つことをいう.

Remark. f : I → R が連続であるとは「∀x ∈ I, ∀ε > 0 に対して ∃δ > 0 が存在して, ∀x′ ∈ I, |x − x′| < δ なら

ば |f(x) − f(x′)| < ε」が成り立つことだった.この定義における δ は x ∈ I, ε > 0 のとり方に依存して決まるが, 一様連続の定義における δ は ε > 0 のとり

方にしか依存しない.したがって一様連続の方が連続より強い条件であるので, 一様連続ならば連続である.

Example 3. f(x) =1xは I = (0, 1] 上連続であるが, 一様連続でない.

28 第 2章 関数の極限と連続性

Theorem 2.11. 有界閉区間上定義された連続関数は一様連続である.

Proof. I = [a, b] を有界閉区間, f : I → R を連続関数とする. 背理法で示す. f が一様連続でない, すなわち「∃ε > 0 があって ∀δ > 0 に対して ∃x, x′ ∈ I で |x − x′| < δ かつ |f(x) − f(x′)| ≥ ε を満たすものが存在する」

と仮定する.このとき特に δ = 1

n (∀n ∈ N) に対しても ∃xn, x′n ∈ I で

|xn − x′n| < 1

n かつ |f(xn) − f(x′n)| ≥ ε

を満たすものが存在する. このように作った数列 {xn}, {x′n} を考える. {xn} は有界閉区間 I 内の数列だから

Corollary 1.24 より I 内で収束する部分列をもつ. それを {xnk}, lim

k→∞xnk

=: c ∈ I とする. 今

xnk− 1

nk< x′

nk< xnk

+ 1nk

であるので, Theorem 1.17 より limk→∞

x′nk

= c である.

今, f は連続であるので

limk→∞

f(xnk) = f(c) = lim

k→∞f(x′

nk)

すなわち

limk→∞

|f(xnk) − f(x′

nk)| = 0

であるが, これは|f(xnk

) − f(x′nk

)| ≥ ε (∀k = 1, 2, 3, · · · )

に矛盾する.

29

第3章 微分

3.1 微分可能性

Definition. I ⊂ R を区間, f : I → R を関数, a, a + h ∈ I とする. x = a から x = a + h までの平均変化率 (i.e.,平面上の２点 (a, f(a)), (a + h, f(a + h)) を結ぶ直線の傾き)

f(a + h) − f(a)(a + h) − a

=f(a + h) − f(a)

h

の h を 0 に近付けたときの極限 (i.e., x = a での瞬間変化率)

limh→0

f(a + h) − f(a)h

が存在するとき「f は x = a で微分可能である」という. この極限を「f の x = a での微分係数」と呼び, f ′(a)

やdf

dx(a) で表す.

上で極限のかわりに右極限 (resp. 左極限) を考えたものを, f の x = a における右微分 (resp. 左微分) といい,

f ′+(a) := lim

h↓0

f(a + h) − f(a)h

(resp. f ′

−(a) := limh↑0

f(a + h) − f(a)h

)で表す.

Definition. f : I → R を関数とする. f が I の各点で微分可能であるとき, a ∈ I に対して f ′(a) を対応させる

関数が考えられる. この関数を f の導関数と呼び, f ′(x) やdf

dx(x) などで表す.

Example 4. 定数関数の微分は 0 である. 実際 a ∈ R とし f(x) ≡ a (i.e., ∀x に対し f(x) = a) を考えれば,

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)h

= limh→0

a − a

h= lim

h→0

0h

= 0.

Example 5. f(x) = xn (n ∈ N) の微分は次のように計算できる. 二項定理より

(x + h)n =n∑

k=0

nCk xn−k hk

= xn + nxn−1 h +n∑

k=2

nCk xn−k hk

であるので

(xn)′ = limh→0

(x + h)n − xn

h

= limh→0

nxn−1 h +∑n

k=2 nCk xn−k hk

h

= limh→0

{nxn−1 + h

n∑k=2

nCk xn−khk−2}

= nxn−1 + 0

= nxn−1.

30 第 3章 微分

Example 6. 対数関数 f(x) = log x (= loge x) の微分の計算. limh→0

(1 + h)1h =: e を使う.

(log x)′ = limh→0

log(x + h) − log x

h

=1x

limh→0

x

hlog

x + h

x

=1x

limh→0

log(1 +

h

x

) xh

対数関数の連続性より

=1x

log limh→0

(1 +

h

x

) xh

=1x

log e =1x

.

Theorem 3.1. f が x = a で微分可能である必要十分条件は「定数 ∃A ∈ R と関数 ∃ε(h) で limh→0

ε(h)h

= 0 かつ

f(a + h) − f(a) = A · h + ε(h) を満たすものが存在する」ことである.

Proof. ⇐ ) 右辺が成り立つとすると, limh→0

f(a + h) − f(a)h

= limh→0

Ah + ε(h)h

= A + limh→0

ε(h)h

= A.

⇒ ) A := f ′(a), ε(h) := f(a + h) − f(a) − A · h とおく. limh→0

ε(h)h

= 0 であることを示せばよい.

limh→0

ε(h)h

= limh→0

f(a + h) − f(a) − A · hh

= limh→0

f(a + h) − f(a)h

− A = f ′(a) − A = 0.

Remark. 証明をみれば明らかであるように, Theorem 3.1 において A = f ′(a) である.

Proposition 3.2. f が x = a で微分可能ならば, f は x = a で連続.

Proof. ∃A = f ′(a) ∈ R, ∃ε(h) を Theorem 3.1 でのものとする. 今

limh→0

ε(h) = limh→0

h × ε(h)h

= 0 × 0 = 0

であるので,limh→0

|f(a + h) − f(a)| = limh→0

|A · h + ε(h)| = |A · 0 + 0| = 0.

これは f が x = a で連続であることを示している.

Theorem 3.3. 関数 f(x), g(x) が x = a で微分可能ならば αf + βg (α, β ∈ R), f · g も x = a で微分可能で

あり,

i ) (αf + βg)′(a) = αf ′(a) + βg′(a).

ii ) (f · g)′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a).

Proof. i ) (αf + βg)(a + h) − (αf + βg)(a)h

= αf(a + h) − f(a)

h+ β

g(a + h) − g(a)h

より明らか.ii ) (f · g)(a + h) − (f · g)(a)

h=

f(a + h)g(a + h) − f(a)g(a)h

=f(a + h)g(a + h) − f(a)g(a + h) + f(a)g(a + h) − f(a)g(a)

h

=f(a + h) − f(a)

hg(a + h) + f(a)

g(a + h) − g(a)h

Proposition 3.2 より g は x = a で連続であるので, これより明らか.

3.2. 合成関数, 逆関数の微分 31

3.2 合成関数, 逆関数の微分

Lemma 3.4. 関数 f(x) は x = a で微分可能で, 条件「∀ε > 0 に対して,x 6= a, |x − a| < ε, f(x) = f(a) を満たす ∃x が存在する」を満たすものとする. このとき f ′(a) = 0.

Proof. f が x = a で微分可能, すなわち

limn→∞

f(xn) − f(a)xn − a

(∗)

が a に収束する数列 {xn} のとり方に依らず一定値に収束するので, (∗) が 0 に収束するような数列を一つでも構成してやればよい.仮定より特に ε = 1

n (∀n ∈ N) に対しても ∃xn で xn 6= a, |xn − a| < 1n , f(xn) = f(a) を満たすものが存在す

る. |xn − a| < 1n とはさみうちの原理 Theorem 1.17 より, lim

n→∞xn = a である. さらに

limn→∞

f(xn) − f(a)xn − a

= limn→∞

f(a) − f(a)xn − a

= limn→∞

0xn − a

= limn→∞

0 = 0.

したがって {xn} が求めるものであり, f ′(a) = 0 である.

Theorem 3.5. f : I → R, g : J → R を微分可能な関数, f(I) ⊂ J とすると, 合成関数 g ◦ f : I → R も微分可能であり,

d(g ◦ f)dx

(x) =dg

dx(f(x)) · df

dx(x).

((g ◦ f)′(x) = g′(f(x)) · f(x)

)Proof. ∀a ∈ I とし, (g ◦ f)′(a) = g′(f(a)) · f ′(a) であることを示そう. f が Lemma 3.4 の「条件」を満たすとき.このとき g ◦ f も Lemma 3.4 の「条件」を満たす. したがって (g ◦ f)′(a) = 0, g′(f(a)) · f ′(a) = g′(f(a)) · 0 = 0であり, 等号は成立する.

f が Lemma 3.4 の「条件」を満たさないとき. このとき十分小さな h に対して f(a + h) 6= f(a) である. したがって, 十分小さな h に対して

g(f(a + h)) − g(f(a))h

=g(f(a + h)) − g(f(a))

f(a + h) − f(a)· f(a + h) − f(a)

h

である. 今 f は x = a で連続でもあるので limh→0

f(a + h) = f(a). したがって

(g ◦ f)′(a) = limh→0

g(f(a + h)) − g(f(a))h

= limh→0

g(f(a + h)) − g(f(a))f(a + h) − f(a)

· f(a + h) − f(a)h

= limh→0

g(f(a + h)) − g(f(a))f(a + h) − f(a)

· limh→0

f(a + h) − f(a)h

= g′(f(a)) · f ′(a).

Theorem 3.6. I を区間. 関数 f : I → R, y 7→ x = f(y) を狭義単調 (したがって逆関数 f−1 が存在)とする. f

が I 上微分可能で, ∀y ∈ I に対して f ′(y) 6= 0 を満たせば, 逆関数 f−1 : f(I) → I, x 7→ y = f−1(x) も f(I) 上微分可能であり

df−1

dx(x) =

1dfdy (y)

=1

dfdy (f−1(x))

.

32 第 3章 微分

Proof. b = f(a) ∈ f(I) での微分可能性を調べる. h := h(k) := f−1(b + k)− f−1(b) = f−1(b + k)− a とおく. このとき a + h = f−1(b + k) である. まず Theorem 2.9 より f−1 は連続であるので, k → 0 のとき h → 0 となる.逆に f(a) + k = b + k = f(a + h) であるので h → 0 のとき k → 0. したがって

df−1

dx(b) = lim

k→0

f−1(b + k) − f−1(b)(b + k) − b

= limh→0

(a + h) − a

f(a + h) − f(a)

=1

limh→0

f(a+h)−f(a)(a+h)−a

=1

dfdy (a)

=1

dfdy (f−1(b))

.

Example 7. Theorem 3.6 を用いて指数関数 ex の微分を計算しよう. まず f(y) := log y : (0,∞) → R,y 7→ x = log y の逆関数が f−1(x) = ex : R → (0,∞), x 7→ y = ex である. Example 6 で計算したように(log y)′ = 1

y であったので

(ex)′ =df−1

dx(x) =

1dfdy (y)

=1(1y

) = y = ex.

単調でない関数も, 定義域を単調になるように制限すれば, そこでは逆関数をもつ. 特に三角関数のような周期関数の場合, 「単調になるような定義域」が周期的に出てくる. どこを定義域 (= 逆関数の値域) にするかで, 逆関数の値が変わってくる. 定義域を決定することを「逆関数の主値を決める」という.

Example 8. f(y) = sin y : R → [−1, 1] は定義域を [nπ− π2 , nπ+ π

2 ] (n ∈ Z) に制限すると単調である. sin y の逆

関数を一般に sin−1 x または arcsinx で表す. sinx の累乗は sin2 x, sin3 x のように書くのが習慣であり, sin−1 x

は sinx の −1 乗と紛らわしいので, ここでは逆関数は arcsinx を使うことにする. 同じ意味で sinx の −1 乗のことも sin−1 x とは書かず, 1

sin x と書くことにする.

sin : [−π2 , π

2 ] 増大−→ [−1, 1] なら arcsin : [−1, 1] 増大−→ [−π2 , π

2 ]

sin : [π2 , 3

2π] 減少−→ [−1, 1] なら arcsin : [−1, 1] 減少−→ [−π2 , π

2 ]

主値を −π2 ≤ arcsin x ≤ π

2 にしたものを特に Arcsinx (または Sin−1 x) で表す.同様に x = f(y) = cos y の逆関数を一般に y = f−1(x) = arccos x と表し, 主値を [0, π] に制限したものを

Arccos x : [−1, 1] → [0, π] と表す. また x = f(y) = tan y の逆関数を一般に y = f−1(x) = arctanx と表し, 主値を (−π

2 , π2 ) に制限したものを Arctanx : R → (−π

2 , π2 ) と表す.

Example 9. f(y) = sin y : [−π2 , π

2 ] → [−1, 1], y 7→ x = sin y の逆関数 f−1(x) = Arcsin x : [−1, 1] → [−π2 , π

2 ],x 7→ y = Arcsin x の微分を計算しよう. まず f ′(y) = df

dy (y) = cos y であるので, Theorem 3.6 より

d

dx(Arcsinx) =

1dfdy (y)

=1

cos y=

1cos(Arcsin x)

であるが, このままでは美しくないので次のように変形する. まず cos2 y = 1 − sin2 y であるので cos y =±

√1 − sin2 y. 今 −π

2 ≤ y ≤ π2 であるので cos y ≥ 0. したがって cos y =

√1 − sin2 y. これを代入すると

d

dx(Arcsinx) =

1cos y

=1√

1 − sin2 y=

1√1 − sin2(Arcsinx)

=1√

1 − x2.

3.2. 合成関数, 逆関数の微分 33

全く同様にd

dx(Arccos x) = − 1√

1 − x2

であることもわかる.

Remark. Example 9 の証明の下線部を見れば明らかだが, arcsin x の主値の取り方を変えれば, 微分の符合 (±)が変わってくる. 例えば x = f(y) = sin x : [π

2 , 32π] → [−1, 1] の逆関数 y = f−1(x) = arcsin x : [−1, 1] → [π

2 , 32π]

の微分は ddx (arcsin x) = − 1√

1−x2 となる.

Example 10. f(y) = tan y : (−π2 , π

2 ) → R, y 7→ x = tan y の逆関数 f−1(x) = Arctan x : R → (−π2 , π

2 ),x 7→ y = Arctan x の微分を計算する. まず df

dy (y) = (tan y)′ = 1 + tan2 y であるので Theorem 3.6 より

d

dx(Arctanx) =

1dfdy (y)

=1

1 + tan2 y=

11 + tan2(Arctanx)

=1

1 + x2.

34 第 3章 微分

3.3 高階導関数

Definition. f(x) を微分可能関数とする. f の導関数 f ′(x) が再び微分可能であるとき, f は 2 階 (2 回) 微分可能であるという. f ′ の導関数を f の 2 階導関数といい, f ′′(x), f (2)(x), d2f

dx2 (x), d2

dx2 f(x) などで表す.以下帰納的に, f の n− 1 階導関数 f (n−1)(x) が微分可能であるとき f は n 階微分可能であるという, f (n−1)(x)

の導関数を f の n 階導関数といい, f (n)(x), dnfdxn などで表す.

Definition. 関数 f が n 階微分可能で, 更に n 階導関数 f (n) が連続であるとき, f は Cn-級であるという. 但し

f が C0-級 def⇐⇒ f は連続.f が C∞-級 def⇐⇒ ∀n ∈ N に対し f は n 階微分可能.

と定義する.

Corollary 3.7. 関数 f が n 階微分可能ならば, f は Cn−1-級である.

Proof. Proposition 3.2 より明らか.

Example 11. R 上微分可能であるが, C1-級でない例.

f(x) =

{x2 sin 1

x (x 6= 0)0 (x = 0)

の導関数を計算してみよう.x = 0 における微分係数は, 定義通りに計算する.

f ′(0) = limh→0

f(0 + h) − f(0)h

= limh→0

h2 sin 1h − 0

h= lim

h→0h sin 1

h = 0.

この最後の等式は, −1 ≤ sin 1h ≤ 1 より−|h| ≤ h sin 1

h ≤ |h| であるので, はさみうちの原理 (Theorem 1.17) より出る.

x 6= 0 における微分係数は, 積の微分公式 (Theorem 3.3 ii) と合成関数の微分公式 (Theorem 3.5) を使って計算する.

f ′(x) = (x2 sin 1x )′

= (x2)′ sin 1x + x2(sin 1

x )′

= 2x sin 1x + x2 cos 1

x · (− 1x2 )

= 2x sin 1x − cos 1

x .

したがって f(x) は R 上微分可能であり, 導関数は

f ′(x) =

{2x sin 1

x − cos 1x (x 6= 0)

0 (x = 0)

で与えられる.しかし, はさみうちの原理 (Theorem 1.17) より lim

x→02x sin 1

x であり, − cos 1x は x → 0 のとき振動するので,

f ′(x) = 2x sin 1x − cos 1

x は x → 0 のとき振動する. したがって f ′(x) は x = 0 で連続でない.

Theorem 3.8. f(x), g(x) : I → R を Cn-級関数とすると, 一次結合 αf + βg (α, β ∈ R), 積 fg も Cn-級であり,∀k = 0, 1, 2, · · · , n に対して

(αf + βg)(k) = αf (k) + βg(k),

(fg)(k) =k∑

i=0kCif

(k)g(k−i).

3.3. 高階導関数 35

Proof. αf + βg については Proposition 2.6, Theorem 3.3 より明らか.fg について. k = 0 については Proposition 2.6 より明らか. k まで正しいと仮定する. k + 1 について. f , g は

Ck+1-級であるとする. このとき明らかに Ck-級でもあるので

(fg)(k+1) =((fg)(k)

)′=

( k∑i=0

kCif(i)g(k−i)

)′=

k∑i=0

kCi

{f (i+1)g(k−i) + f (i)g(k−i+1)

}=

k∑i=0

kCif(i+1)g(k−i) +

k∑i=0

kCif(i)g(k−i+1)

第一項の i を i − 1 におきかえると

=k+1∑i=1

kCi−1f(i)g(k−i+1) +

k∑i=0

kCif(i)g(k−i+1)

= kCkf (k+1)g(0) +k∑

i=1

(kCi−1 + kCi

)f (i)g(k−i+1) + kC0f

(0)g(k+1)

ここで kCi−1 + kCi = k+1Ci, kCk = 1 = k+1Ck+1, kC0 = 1 = k+1C0 であるので

= k+1Ck+1f(k+1)g(0) +

k∑i=1

k+1Cif(i)g(k−i+1) + k+1C0f

(0)g(k+1)

=k+1∑i=0

k+1Cif(i)g(k−i+1).

これは連続関数の積の一次結合であるので Proposition 2.6 より連続である. すなわち fg は Ck+1-級.

Theorem 3.9. f(x) : I → R を Cn-級関数, ∀x ∈ I に対して f(x) 6= 0 とすると,1

f(x)も Cn-級関数である.

Proof. まず, ∀k = 0, 1, 2, · · · , n に対して, Cn−k-級関数 ∃gk(x) が存在して,(1

f(x)

)(k)

=gk(x)f(x)2k

と出来ることを示す.k = 0 については明らか. k < n とし, k まで正しいと仮定する. このとき(

1f(x)

)(k+1)

=

((1

f(x)

)(k))′

=(

gk(x)f(x)2k

)′

=gk

′(x) · f(x)2k − gk(x) ·

(f(x)2

k)′(f(x)2k

)2

ここで gk(x) は Cn−k-級であるので, gk′(x) は Cn−k−1-級. f(x)2

k

は Theorem 3.8 より Cn-級. したがって

gk+1(x) := gk′(x) · f(x)2

k

− gk(x) ·(f(x)2

k)′

36 第 3章 微分

とおけば, gk+1(x) は Cn−k−1-級である.したがって, 連続関数 ∃g(x) により (

1f(x)

)(n)

=g(x)

f(x)2n

と表せるが, これは Proposition 2.6 より連続である.

Theorem 3.10. f : I → R, g : J → R を Cn-級関数, f(I) ⊂ J とすれば, 合成関数 g ◦ f : I → R も Cn-級である.

Proof. n = 0 ならば Proposition 2.7 より明らか. n − 1 まで正しいとする. f , g を Cn-級関数とする.

(g ◦ f)(n) =((g ◦ f)′

)(n−1)

=(g′(f(x)) · f ′(x)

)(n−1).

今, 仮定より f ′(x), g′(x)は Cn−1-級. また f(x)は明らかに Cn−1-級であるので, 帰納法の仮定より, 合成 g′(f(x))は Cn−1-級. よって Proposition 3.8 より, 積 g′(f(x)) · f ′(x) も Cn−1-級. したがって

(g ◦ f)(n) =(g′(f(x)) · f ′(x)

)(n−1)

は存在し連続である.

Theorem 3.11. I を区間, f : I → R を狭義単調な Cn-級関数. ∀x ∈ I に対して f ′(x) 6= 0 とすると, 逆関数f−1 も Cn-級.

Proof. n = 0 については Theorem 2.9 より明らか. n − 1 まで正しいと仮定する. f を Cn-級とすると, f ′ は

Cn−1-級. また f は Cn−1-級でもあるので, 帰納法の仮定より, f−1 は Cn−1-級である. よって合成 f ′(f−1(x)) もCn−1-級. したがって Theorem 3.9 より

df−1

dx=

1f ′(f−1(x))

も Cn−1-級である. すなわち f−1(x) は Cn-級である.

37

第4章 平均値の定理と Taylor の定理

4.1 一次近似

関数 f(x) が x = a において微分可能で, x = a での値 f(a), f ′(a) が計算出来ているものとする. このとき, f(a + h) (|h|:十分小) の値を簡単な関数を用いて近似計算しよう. 例えば f(x) = sin x は x = 0 での値f(0) = sin 0 = 0, f ′(0) = cos 0 = 1 などはわかるが, x = 0 に近いところでの値, f(0.1) = sin 0.1 などの値, は正確にはわからない。このような値を近似的にでも計算したい。

0 次近似 f(x) は x = a で連続なので, |h| が十分小ならば, f(a + h) は f(a) とだいたい同じである.

f(a + h) ; f(a).

一次近似 x = a の近くで, f(x) を一番よく近似する一次関数を求めよう. 求める一次関数を

g(x) = A(x − a) + B (A,B ∈ R)

とする. x = a + h とおけば

g(a + h) = A · h + B (∗)

とも書ける. f(x) は x = a で微分可能であるので Theorem 3.1 より

f(a + h) = f(a) + f ′(a)h + ∃ε(h)(

limh→0

ε(h)h

= 0)

(∗∗)

とできる. したがって (∗∗) − (∗) より

f(a + h) − g(a + h) = (f(a) − B) + (f ′(a) − A)h + ε(h)

となる.今 lim

h→0

((f ′(a) − A)h + ε(h)

)= 0, すなわち, h が十分小のとき (f ′(a) − A)h + ε(h) はとても小さいので,

f(a) − B = 0 のときが一番近似が良くなる. 更にこのとき,

f(a + h) − g(a + h) = h((f ′(a) − A) +

ε(h)h

)であり, lim

h→0

ε(h)h = 0 であるので, f ′(a) − A = 0 のとき, 一番近似が良くなる.

したがって x が十分 a に近いとき, f(x)に一番近い値を与える一次関数は,

g(x) = f ′(a)(x − a) + f(a).

すなわち

f(a + h) ; f(a) + f ′(a)h.

Example 12. sin 0.1 ; sin 0 + cos 0 × 0.1 = 0 + 1 × 0.1 = 0.1

38 第 4章 平均値の定理と Taylor の定理

4.2 平均値の定理

Theorem 4.1 (Rolle の定理). 関数 f(x) は有界閉区間 [a, b] で連続, 開区間 (a, b) で微分可能とする. このときf(a) = f(b) ならば, ∃c ∈ (a, b) が存在して f ′(c) = 0 となる.

Proof. もし f が定数関数ならば, ∀c ∈ (a, b) に対して f ′(c) = 0 であるので, 何も示すことはない.f は定数関数でないとする. 今 Theorem 2.10 より f は [a, b] 上最大値・最小値をとるが, f が定数でないので,

「最大値 � f(a) = f(b)」,または,「最小値 � f(a) = f(b)」の少なくとも一方は成立する.「最大値 � f(a) = f(b)」のとき示す.

c ∈ [a, b]で f が最大値をとるとする. 今 f(c) � f(a) = f(b)より c 6= a, b. すなわち c ∈ (a, b)である. f ′(c) = 0であることを示そう. 今 f(c) は最大値であるので c + h ∈ [a, b] なる h ∈ R に対して

f(c + h) − f(c) ≤ 0

である. したがって h > 0 に対してf(c + h) − f(c)

h≤ 0.

よって右微分係数は f ′+(c) ≤ 0 となる. 一方 h < 0 に対して

f(c + h) − f(c)h

≥ 0.

よって左微分係数は f ′−(c) ≥ 0 となる.

今 f は x = c で微分可能であるので f ′+(c) = f ′

−(c) である. よって

f ′(c) = f ′+(c) = f ′

−(c) = 0

でなくてはならない.

Theorem 4.2 (平均値の定理). 関数 f(x) は有界閉区間 [a, b] で連続, 開区間 (a, b) で微分可能とする. このとき∃c ∈ (a, b) が存在して

f(b) = f(a) + f ′(c)(b − a)(f(b) − f(a)

b − a= f ′(c)

).

Proof. 関数 g(x) を

g(x) := f(x) − f(b) − f(a)b − a

(x − a)

とおく. このとき g は f と一次関数との和であるので Proposition 2.6, Theorem 3.3 より [a, b] で連続, (a, b) で微分可能である. さらに

g(a) = f(a) − f(b) − f(a)b − a

(a − a) = f(a),

g(b) = f(b) − f(b) − f(a)b − a

(b − a) = f(b) − (f(b) − f(a)) = f(a)

であるので, Rolle の定理 (Theorem 4.1) より, ∃c ∈ (a, b) があって g′(c) = 0 と出来る. 今

0 = g′(c) = f ′(c) − f(b) − f(a)b − a

であるので

f ′(c) =f(b) − f(a)

b − a.

4.2. 平均値の定理 39

Remark. 「c ∈ (a, b)」は「0 < θ < 1」 により

c = a + θ(b − a)

と表すことが出来る. この表記は a, b の大小に依らないので便利である. すなわち「a と b の間にある c があっ

て」を表記するのに, a と b の大小がわからないと 「∃c ∈ (a, b)」 なのか「∃c ∈ (b, a)」 なのか (場合分けしないと)書くことが出来ないが, 「0 < ∃θ < 1 があって c = a + θ(b− a)」とすれば, これは a, b の大小に依らず, a と

b の間にある.

40 第 4章 平均値の定理と Taylor の定理

4.3 関数の増減と凸関数

Proposition 4.3. I を区間, f(x) : I → R を微分可能な関数とする. f が I 上定数関数である必要十分条件は

「∀x ∈ I に対して f ′(x) = 0」であること.

Proof. 定数関数の微分が 0 になることは既にみた. 「∀x ∈ I に対して f ′(x) = 0」であると仮定する. ∀x1, x2 ∈ I,x1 < x2 とする. このとき平均値の定理 (Theorem 4.2) より, x1 < ∃c < x2 があって

f(x1) − f(x2)x1 − x2

= f ′(c) = 0

となる. よって f(x1) = f(x2) である. これは f が定数関数であること.

Corollary 4.4. f(x) を n 階微分可能な関数とする. ∀x に対して f (n)(x) = 0 ならば, f は n − 1 次以下の多項式である.

Proof. n についての帰納法で示す. n = 1 については Proposition 4.3 そのものである. n − 1 まで正しいと仮定する. 導関数 g(x) = f ′(x) について考える. 今 ∀x に対して g(n−1)(x) = f (n)(x) = 0 であるので, 帰納法の仮定より g(x) は n − 2 次以下の多項式である.

g(x) := a0 + a1x + · · · + an−2xn−2 (ai ∈ R)

とおく. このとき,ϕ(x) := f(x) −

(a0x +

a1

2x2 + · · · + an−2

n − 1xn−1

)とおけば, ∀x に対して

ϕ′(x) = f ′(x) − (a0 + a1x + · · · + an−2xn−2) = 0

であるので Proposition 4.3 より ϕ(x) は定数関数である. ϕ(x) ≡ c ∈ R とすれば,

f(x) = c + a0x +a1

2x2 + · · · + an−2

n − 1xn−1.

したがって f(x) は n − 1 次以下の多項式である.

Theorem 4.5. I を区間, f : I → R を微分可能な関数とする. ∀x ∈ I に対して f ′(x) > 0 (resp. ∀x ∈ I に対し

て f ′(x) < 0) ならば, f は I 上狭義単調増加 (resp. 狭義単調減少).

Proof. ∀x ∈ I に対して f ′(x) > 0 と仮定する. ∀x1, x2 ∈ I, x1 < x2 とする. このとき平均値の定理 (Theorem4.2) より, x1 < ∃c < x2 があって,

f(x1) − f(x2)x1 − x2

= f ′(c) > 0

と出来る. 今 x1 − x2 < 0 よりf(x1) − f(x2) < 0.

したがって f は狭義単調増加.

Corollary 4.6. I を 区間, f : I → R を C1-級関数, a ∈ I とする. f ′(a) � 0 ならば, f は x = a のある近傍にお

いて狭義単調増加 (i.e., ∃ε > 0 があって f は (a − ε, a + ε) ∩ I 上狭義単調増加).

Proof. f は C1-級であるので, f ′(x) は連続である. f ′(a) � 0 であるので, ∃ε > 0 があって (a − ε, a + ε) ∩ I 上

f ′(x) は常に正となる. この (a − ε, a + ε) ∩ I 上で Theorem 4.5 を使えばよい.

4.3. 関数の増減と凸関数 41

Definition. I を区間, f(x) : I → R を連続関数とする.f が I 上, 下に凸 (resp. 上に凸)

def⇐⇒ ∀x1, x2 ∈ I (x1 < x2) に対し, 座標平面上の二点 P1(x1, f(x1)), P2(x2, f(x2)) を結ぶ線分よりも,f のグラフ {(x, f(x)) |x1 < x < x2} のほうが下に (resp. 上に)くる.

⇐⇒ ∀x1, x2 ∈ I, ∀α, β > 0, α + β = 1 に対し,αf(x1) + βf(x2) ≥ f(αx1 + βx2) (resp. αf(x1) + βf(x2) ≤ f(αx1 + βx2)).

Remark. α, β > 0, α + β = 1 に対して, αx1 + βx2 は x1, x2 を β : α に内分する点を表している.

Proposition 4.7. I を区間, f : I → R を微分可能な関数とする. このとき「f が I 上, 下に凸 (resp. 上に凸) 」⇐⇒ 「導関数 f ′ が I 上 (広義)単調増加 (resp. 減少)」

Proof. ⇒ ) ∀x1, x2 ∈ I, x1 < x2 とする. x1 < ∀x < x2 をとると, 仮定より P1(x1, f(x1)), P2(x1, f(x1)) を結ぶ線分の下に点 P(x, f(x)) があるので,

P1P の傾き ≤ P1P2 の傾き ≤ PP2 の傾き,

すなわちf(x1) − f(x)

x1 − x≤ f(x1) − f(x2)

x1 − x2≤ f(x) − f(x2)

x − x2

となる. ここで x → x1, x → x2 とすれば,

f ′(x1) ≤f(x1) − f(x2)

x1 − x2≤ f ′(x2)

を得る. したがって f ′ は単調増加である.⇐ ) f ′ が単調増加と仮定する. ∀x1, x2 ∈ I, ∀α, β > 0, α + β = 1 とする.

αf(x1) + βf(x2) − f(αx1 + βx2) = αf(x1) + βf(x2) − (α + β)f(αx1 + βx2)

= α{f(x1) − f(αx1 + βx2)

}+ β

{f(x2) − f(αx1 + βx2)

}(∗)

これが非負であることを示せばよい. 平均値の定理 (Theorem 4.2) より, x1 < ∃c < αx1 + βx2 < ∃d < x2 が

あって

f(αx1 + βx2) − f(x1) = f ′(c) ·(αx1 + βx2 − x1

)= f ′(c) · β(x2 − x1)

f(x2) − f(αx1 + βx2) = f ′(d) ·(x2 − αx1 − βx2

)= f ′(d) · α(x2 − x1)

と出来る. 今 f ′ が単調増加であるので f ′(d) − f ′(c) ≥ 0. 故に

(∗) = −αβf ′(c)(x2 − x1) + αβf ′(d)(x2 − x1)

= αβ(x2 − x1){f ′(d) − f ′(c)

}≥ 0.

Corollary 4.8. I を区間, f : I → R を 2 階微分可能な関数とする. ∀x ∈ I に対して f ′′(x) ≥ 0 (resp. ∀x ∈ I に

対して f ′′(x) ≤ 0) ならば, f は I 上, 下に凸 (resp. 上に凸).

Proof. Theorem 4.5, Proposition 4.7 より明らか.

42 第 4章 平均値の定理と Taylor の定理

4.4 極値問題

Definition. f : I → R を関数, a ∈ I とする.f が x = a で極大 (resp. 極小)

def⇐⇒ x = a のある近傍において f は x = a で最大 (resp. 最小) となる.⇐⇒ ∃ε > 0 があって, ∀x ∈ (a − ε, a + ε) ∩ I に対して f(a) ≥ f(x) (resp. f(a) ≤ f(x)).

このとき x = a での値 f(a) を極大値 (resp. 極小値) と呼ぶ. 極大値, 極小値を総称して極値と呼ぶ.

Theorem 4.9. I を開区間, a ∈ I, f : I → R を微分可能な関数とする. f が x = a で極値をとるならば f ′(a) = 0である.

Proof. Rolle の定理 (Theorem 4.1) の証明の後半と全く同様に証明できる.

Proposition 4.10. I を開区間, a ∈ I, f : I → R を Cn-級関数とする. f (1)(a) = f (2)(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0,f (n)(a) 6= 0 とする.

i ) n が偶数で f (n)(a) > 0 ならば f は x = a で極小.

ii ) n が偶数で f (n)(a) < 0 ならば f は x = a で極大.

iii ) n が奇数で f (n)(a) > 0 ならば f は x = a のまわりで単調増加.

iv ) n が奇数で f (n)(a) < 0 ならば f は x = a のまわりで単調減少.

Proof. f (n)(a) > 0 のとき示す. 今 f (n)(x) は連続なので, ∃ε > 0 が存在して, (a − ε, a + ε) 上 f (n)(x) > 0であるように出来る. したがって Theorem 4.5 より f (n−1)(x) は (a − ε, a + ε) 上単調増大 である. 仮定よりf (n−1)(a) = 0 であるので, (a − ε, a) 上 f (n−1)(x) < 0, (a, a + ε) 上 f (n−1)(x) > 0 である. 再び Theorem 4.5より f (n−2)(x) は (a − ε, a) 上単調減少, (a, a + ε) 上単調増加である. f (n−2)(a) = 0 であるので, (a − ε, a) 上f (n−2)(x) > 0, (a, a + ε) 上 f (n−2)(x) > 0 となる. 更に Theorem 4.5 より f (n−3)(x) は (a − ε, a) 上単調増加,(a, a − ε) 上単調増加. f (n−3)(a) = 0 であるので (a − ε, a) 上 f (n−3)(x) < 0, (a, a + ε) 上 f (n−3)(x) > 0 となる.これを繰り返していく. 増減表は次の様になる.

x · · · a · · ·f (n) + + +

f (n−1) − 0 +f (n−2) + 0 +f (n−3) − 0 +

i ) n が偶数のとき. このとき (a − ε, a) 上 f (1)(x) < 0, (a, a + ε) 上 f (1)(x) > 0 であるので f は (a − ε, a) 上単調減少, (a, a + ε) 上単調増加. したがって f は x = a で極小である.

iii ) n が奇数のとき. このとき (a− ε, a) 上 f (1)(x) > 0, (a, a + ε) 上 f (1)(x) > 0 であるので f は (a− ε, a) 上単調増加, (a, a + ε) 上単調増加. したがって f は x = a のまわりで単調増加.

4.5. L’Hospital の定理 43

4.5 L’Hospital の定理

Lemma 4.11 (Cauchy の平均値定理). f(x), g(x) を有界閉区間 [a, b] で連続, 開区間 (a, b) で微分可能な関数で,∀x ∈ (a, b) に対して g′(x) 6= 0 とする. このとき ∃c ∈ (a, b) が存在して

f(b) − f(a)g(b) − g(a)

=f ′(c)g′(c)

とできる.

Proof. もし g(a) = g(b) ならば Rolle の定理 (Theorem 4.1) より, ∃c ∈ (a, b) があって g′(c) = 0 となる. これは仮定に反する. したがって g(a) 6= g(b) であり, 両辺の分母は 0 とならない.

ϕ(x) :=(f(x) − f(a)

)− f(b) − f(a)

g(b) − g(a)(g(x) − g(a)

)とおく. 明らかに ϕ(x) は [a, b] で連続で (a, b) で微分可能である. 更に

ϕ(a) =(f(a) − f(a)

)− f(b) − f(a)

g(b) − g(a)(g(a) − g(a)

)= 0,

ϕ(b) =(f(b) − f(a)

)− f(b) − f(a)

g(b) − g(a)(g(b) − g(a)

)=

(f(b) − f(a)

)−

(f(b) − f(a)

)= 0

である. 故に Rolle の定理 (Theorem 4.1) より ∃c ∈ (a, b) が存在して

0 = ϕ′(c) = f ′(c) − f(b) − f(a)g(b) − g(a)

g′(c)

とできる. すなわちf(b) − f(a)g(b) − g(a)

=f ′(c)g′(c)

.

Remark. Lemma 4.11 において「∀x ∈ (a, b) に対して g′(x) 6= 0」という仮定は結論の「比」を「分数」の形で表すためだけのもので本質的でない. 実際, 結論を

f(b) − f(a) : g(b) − g(a) = f ′(c) : g′(c)

の形にすれば上の仮定は必要ない. 証明は ϕ(x) の代わりに

ψ(x) :=(g(b) − g(a)

)(f(x) − f(a)

)−

(f(b) − f(a)

)(g(x) − g(a)

)を考えればよいだけである.

Lemma 4.12. 「limx↑b

f(x) = α」⇐⇒ 「b に収束する任意の単調増大列 ∀{xn} に対してある部分列 ∃{xnk} が存

在して limk→∞

f(xnk) = α」

Proof. Proposition 2.2 によると limx↑b

f(x) = α である必要十分条件は「b に収束する任意の単調増大列 ∀{xn} に

対して limn→∞

f(xn) = α」であったので ⇒ ) は明らかである.

⇐ ) 背理法で示す. 「右」を仮定する. limx↑b

f(x) 6= α, すなわち「b に収束する単調増大列 ∃{xn} と ∃ε > 0 が

あって, ∀N ∈ N に対して |f(xn) − α| ≥ ε となる ∃n > N が存在する」と仮定する. したがって無限個の n ∈ Nに対して |f(xn) − α| ≥ ε となるので, そのようなものを集めて部分列 {yk := xnk

} で

|f(yk) − α| ≥ ε ∀k = 1, 2, 3, . . . (∗)

を満たすものが出来る. {yk} は {xn} の部分列であるので Lemma 1.19 より b に収束する単調増大列である. したがって仮定より部分列 {ykl

} が存在して liml→∞

f(ykl) = α となるが, これは (∗) に矛盾する.

44 第 4章 平均値の定理と Taylor の定理

Theorem 4.13 (L’Hospital). I = [a, b) (b = ∞ でもよい) (resp. I = (a, b] (a = −∞ でもよい)), f(x), g(x) を

I 上微分可能な関数で, limx↑b

f(x)g(x)

(resp. lim

x↓a

f(x)g(x)

)は

00または ± ∞

∞の不定形とする. このとき

limx↑b

f(x)g(x)

= limx↑b

f ′(x)g′(x)

(resp. lim

x↓a

f(x)g(x)

= limx↓a

f ′(x)g′(x)

).

Proof. Case 1. b ∈ R,00の形の不定形 (i.e., lim

x↑bf(x) = lim

x↑bg(x) = 0) のとき.

このとき f(b) = 0, g(b) = 0 と定義すれば, f , g は有界閉区間 [a, b] 上の連続関数に拡張される. したがってLemma 4.11 より a ≤ ∀x < b に対して x < ∃c < b が存在して,

f ′(c)g′(c)

=f(x) − f(b)g(x) − g(b)

=f(x) − 0g(x) − 0

=f(x)g(x)

となる. 今 x → b のとき c → b であるので,

limx↑b

f(x)g(x)

= limc↑b

f ′(c)g′(c)

= limx↑b

f ′(x)g′(x)

.

Case 2. b ∈ R,∞∞の形の不定形のとき.

limx↑b

f(x) = limx↑b

g(x) = ∞, limx↑b

f ′(x)g′(x)

= α とする. Lemma 4.12 より, b に収束する任意の単調増大列 ∀{xn} に対

して limk→∞

f(xnk)

g(xnk)

= α となる部分列 ∃{xnk} が存在することを示せばよい. 部分列 {xnk

} を次のように帰納的に

構成する.まず lim

n→∞f(xn) = ∞, lim

n→∞g(xn) = ∞ であるので, ∃n ∈ N があって f(xn) > 0, g(xn) > 0 と出来る. この n

を n1 とする. xnkまで構成出来たとする. lim

n→∞f(xn) = lim

n→∞g(xn) = ∞ であるので ∃n > nk が存在して

f(xn) > k · f(xnk), g(xn) > k · g(xnk

) (∗)

と出来る. この n を nk+1 とする. この様に構成した部分列 {xnk} は (∗) より

0 <f(xnk

)f(xnk+1)

<1k

, 0 <g(xnk

)g(xnk+1)

<1k

であるので, はさみうちの原理 (Theorem 1.17) より

limk→∞

f(xnk)

f(xnk+1)= lim

k→∞

g(xnk)

g(xnk+1)= 0

となる. 今 Lemma 4.11 より xnk< ∃yk < xnk+1 で

f(xnk+1) − f(xnk)

g(xnk+1) − g(xnk)

=f ′(yk)g′(yk)

となるものが存在する. 今, はさみうちの原理より limk→∞

yk = limk→∞

xnk= b であるので, 仮定より lim

k→∞

f ′(yk)g′(yk)

= α

である. よって

limk→∞

f(xnk+1)g(xnk+1)

= limk→∞

f(xnk+1)(1 − f(xnk

)f(xnk+1)

)g(xnk+1)

(1 − g(xnk

)g(xnk+1)

)= lim

k→∞

f(xnk+1) − f(xnk)

g(xnk+1) − g(xnk)

= limk→∞

f ′(yk)g′(yk)

= α.

4.5. L’Hospital の定理 45

Case 3. b = ∞ のとき.このとき f( 1

x ), g( 1x ) を考えれば, x ↓ 0 のとき 1

x → ∞ であるので, Case 1, Case 2 に帰着できる.

limx→∞

f(x)g(x)

= limx↓0

f( 1x )

g( 1x )

Case 1, Case 2 より

= limx↓0

(f( 1

x ))′(

g( 1x )

)′合成関数の微分公式 (Theorem 3.5) より

= limx↓0

f ′( 1x ) ·

(1x

)′g′( 1

x ) ·(

1x

)′= lim

x↓0

f ′( 1x )

g′( 1x )

= limx→∞

f ′(x)g′(x)

.

46 第 4章 平均値の定理と Taylor の定理

4.6 Taylor の定理と高次近似

Theorem 4.14 (Taylor). I を区間, f : I → R を n + 1 階微分可能な関数, a ∈ I を定点とする. このとき ∀b ∈ I

に対して

f(b) = f(a) +f (1)(a)

1!(b − a) +

f (2)(a)2!

(b − a)2 +f (3)(a)

3!(b − a)3 + · · · + f (n)(a)

n!(b − a)n + Rn+1(b)

=n∑

k=0

f (k)(a)k!

(b − a)k + Rn+1(b)

とできる. ここで Rn+1 は Cauchy の誤差項 (剰余項)と呼ばれるもので

Rn+1(b) =f (n+1)(a + θ(b − a))

(n + 1)!(b − a)n+1 (0 < ∃θ < 1)

で与えられる.

Proof. もし b = a ならばこの等式は f(b) = f(a) であるので明らかに成り立つ. b 6= a とする.

α :=1

(b − a)n+1

{f(b) − f(a) − f (1)(a)

1!(b − a) − f (2)(a)

2!(b − a)2 − · · · − f (n)(a)

n!(b − a)n

}とし

g(x) := f(b) − f(x) − f (1)(x)1!

(b − x) − f (2)(x)2!

(b − x)2 − · · · − f (n)(x)n!

(b − x)n − α(b − x)n+1

とおく. このとき g は明らかに I 上微分可能であり, 導関数は

g′(x) = − f ′(x) − 11!

{f (2)(x)(b − x) − f ′(x)

}− 1

2!

{f (3)(x)(b − x)2 − 2 · f (2)(x)(b − x)

}− · · · − 1

n!

{f (n+1)(x)(b − x)n − n · f (n)(x)(b − x)n−1

}+ (n + 1)α(b − x)n

= − f ′(x) − 11!

f (2)(x)(b − x) + f ′(x) − 12!

f (3)(x)(b − x)2 +11!

f (2)(x)(b − x)

− · · · − 1n!

f (n+1)(x)(b − x)n +1

(n − 1)!f (n)(x)(b − x)n−1 + (n + 1)α(b − x)n

= − 1n!

f (n+1)(x)(b − x)n + (n + 1)α(b − x)n

で与えられる. 今

g(a) =f(b) − f(a) − f (1)(a)1!

(b − a) − · · · − f (n)(a)n!

(b − a)n

− 1(b − a)n+1

{f(b) − f(a) − f (1)(a)

1!(b − a) − · · · − f (n)(a)

n!(b − a)n

}(b − a)n+1

=0,

g(b) =f(b) − f(b) − f (1)(b)1!

(b − b) − · · · − f (n)(b)n!

(b − b)n − α(b − b)n+1

=0

であるので, Rolle の定理 (Theorem 4.1) より 0 < ∃θ < 1 があって

0 = g′(a + θ(b − a))

= − 1n!

f (n+1)(a + θ(b − a)) · zn − (n + 1)αzn

4.6. Taylor の定理と高次近似 47

と出来る, 但し z := b − (a + θ(b − a)) = (1 − θ)(b − a) である. 今 θ 6= 1, b 6= a であるので z 6= 0. したがって,両辺を zn で割って

α =1

(n + 1)!f (n+1)(a + θ(b − a))

を得る. この両辺に (b − a)n+1 をかけて適当に移項すると, 求める等式を得る.

Taylor の定理は (n + 1) 階微分可能な関数が n 次多項式で近似出来ることを示している. 実際, 関数 f(x) がn + 1 階微分可能で x = a での値 f(a), f ′(a), f (2)(a), . . . , f (n)(a) が計算出来るとき, x が十分 a に近ければ f(x)の n 次多項式による近似式

f(x) ; f(a) +f ′(a)

1!(x − a) +

f (2)(a)2!

(x − a)2 + · · · + f (n)(a)n!

(x − a)n

を得る. この近似の誤差が

Rn+1(x) :=f (n+1)(a + θ(x − a))

(n + 1)!(x − a)n+1

で与えられる.Rn+1(x) の中にある θ は, n, x に依存して決まる量であるが, 一般に計算するのは難しい. したがって Rn+1(x)

の値も一般には計算できない. しかし, 誤差の大きさを評価することは近似計算において非常に大切なことである.なぜなら誤差の大きさが近似計算がどれだけ正しいかを表す量であるからである. 誤差の評価のない近似計算は意味がない.

Example 13. Taylor の定理を使って e := limn→∞

(1 + 1n )n の近似計算をしよう. 十分大きな n に対して (1 + 1

n )n

を計算すればいいのだが, これは大変である. しかし比較的簡単に 2 < e = limn→∞

(1 + 1n )n < 3 はわかる (Corollary

1.31)ので, これは使おう.f(x) = ex とおく. e = f(1) である. また f (n)(x) = ex より f (n)(0) = 1. Taylor の定理 (Theorem 4.14) より

ex = 1 +11!

x +12!

x2 + · · · + 1n!

xn +eθx

(n + 1)!(0 < ∃θ < 1)

x = 1 を代入して

e = 1 +11!

+12!

+ · · · + 1n!

+eθ

(n + 1)!(0 < ∃θ < 1)

を得る. よってe ; 1 +

11!

+12!

+ · · · + 1n!

と近似計算できる また 0 < θ < 1 より 1 = e0 < eθ < e1 < 3 であるので, 誤差は

1(n + 1)!

< Rn+1 <3

(n + 1)!

と評価することができる. これより n を大きくする程, 誤差が 0 に近付いていく (すなわち近似計算が正確な値に近付いていく) こともわかる.具体的に計算していくと n = 10 なら

e ; 1 + 1 +12!

+ · · · + 110!

= 2.718281801 · · ·

誤差 <3

11!= 0.000000075 · · ·

であるので, 誤差による繰り上がりを考慮しても, 小数第 7位までは e = 2.7182818 で正しいことがわかる.

48 第 4章 平均値の定理と Taylor の定理

Example 14. Taylor の定理の応用として e が無理数であることを示してみよう.背理法で示す. e が有理数, e = m

n (m,n ∈ N) と仮定する. Taylor の定理より

e = 1 +11!

+12!

+ · · · + 1n!

+eθ

(n + 1)!(0 < ∃θ < 1)

であるので,

n! e = n!(1 +

11!

+12!

+ · · · + 1n!

)+

eθ

n + 1.

ここで

n! e = n!m

n= (n − 1)! m ∈ N

n!(1 +

11!

+12!

+ · · · + 1n!

)= nPn + nPn−1 + nPn−2 + · · · + nP1 + 1 ∈ N

であるのでeθ

n + 1∈ Z である.

今 0 < θ < 1 より 1 < eθ < e1 < 3 である. よって1

n + 1�

eθ

n + 1�

3n + 1

. またeθ

n + 1∈ Z であるので,

1 ≤ eθ

n + 1�

3n + 1

.

したがって n + 1 � 3 でなければならない. よって n = 1 であり, e = m ∈ N となるが, これは 2 < e < 3 であることに矛盾する.

4.7. Newton 法 49

4.7 Newton 法

方程式 f(x) = 0 の解を近似的に求めたい. 例えば√

2 は f(x) = x2 − 2 = 0 の解である. このような値を近似的に求める方法の一つが Newton 法である.

Theorem 4.15 (Newton 法). f(x) : [a, b] → R を C1-級関数とする. x1 ∈ [a, b] を一つ取る. 漸化式

xn+1 := xn − f(xn)f ′(xn)

(∗)

で [a, b] 内の数列 {xn}∞n=1 が定義可能 (i.e., f ′(xn) 6= 0, xn − f(xn)f ′(xn) ∈ [a, b]) であり更に x∞ := lim

n→∞xn が存在

すれば, x = x∞ は方程式 f(x) = 0 の解である.

Proof. (∗) よりf(xn) = −f ′(xn)(xn+1 − xn)

両辺 n → ∞ とすれば, f , f ′ の連続性より

f(x∞) = f ′(x∞)(x∞ − x∞) = 0.

Remark. Newton 法の幾何学的意味. xn が与えられているとき xn+1 は次の様な意味を持つ.まず座標平面上の点 (xn, f(xn)) における, f のグラフの接線の方程式は

y = f ′(xn)(x − xn) + f(xn)

である. この接線と x-軸との交点を求めるには, y = 0 を代入して

0 = f ′(xn)(x − xn) + f(xn).

これを x について解いてみると

x = xn − f(xn)f ′(xn)

となる. すなわち xn+1 は (xn, f(xn)) における接線と x-軸との交点の x-座標である.

Newton 法を使うには, 数列が定義でき, 更に極限が存在しないといけない. それを保証するのが次の定理である.

Theorem 4.16. f(x) : [a, b] → R を C2-級関数で, f(a)× f(b) < 0 を満たすものとする. また [a, b] 上 f ′′(x) > 0(すなわち f(x) は下に凸)を仮定する. このとき f ′(x1) > 0 を満たすどんな x1 ∈ [a, b] からはじめても Newton法により数列 {xn} が定義でき, 極限 x∞ := lim

n→∞xn が存在する. 更に x∞ は方程式 f(x) = 0 の [a, b] における

唯一の解である.また ∃C > 0 が存在して

|xn+1 − x∞| ≤ C|xn − x∞|2 (∀n ∈ N)

が成立する.

Proof. Step 1. f(x) = 0 の解が [a, b] 内にただ一つ存在すること.∵ ) f(a)× f(b) < 0 であるので, 中間値の定理 (Theorem 2.8) より (a, b) 内に解は少なくとも一つは存在する. もし 2 個の解 x1, x2 ∈ (a, b) (x1 � x2) が存在するとすれば, f(x1) = 0 = f(x2)であるので, Rolle の定理 (Theorem4.1) より x1 < ∃c < x2 が存在して f ′(c) = 0 となる. 今 [a, b] 上 f ′′(x) > 0 であるので f ′(x) は単調増大. したがって, a ≤ x < c において f ′(x) < 0, c < x ≤ b において f ′(x) > 0 となる. よって f(a) > f(x1) = 0,0 = f(x2) < f(b) となり, f(a)× f(b) < 0 に矛盾. したがって解はただ一つである. この解を x∞ と書くことにす

る. Theorem 4.15 より, 数列 {xn} とその極限 limn→∞

xn が存在すれば, x∞ = limn→∞

xn である.

50 第 4章 平均値の定理と Taylor の定理

以下 f(a) < 0, f(b) > 0 のとき示す. 逆のときも同様である.Step 2. f ′(c) = 0 となる c ∈ [a, b] は存在しても高々一個である. 更に c < x∞ を満たす.

∵ ) 今 f ′′(x) > 0 であるので f ′(x) は [a, b] で狭義単調増大. したがって f ′(c) = 0 となる c ∈ [a, b] は存在しても高々一個である. もしあれば, a ≤ x < c において f ′(x) < 0 であるので, この範囲において f(x) は単調減少である. (同様に, c < x ≤ b において f ′(x) > 0 であるので, この範囲において f(x) は単調増加である. ) したがって,もし x∞ ≤ c とすると, f(a) ≥ f(x∞) = 0 となり f(a) < 0 に反する.

Step 3. x∞ < ∀x ≤ b に対して f ′(x) > 0.∵ ) 上でみたように f ′(c) = 0 となる c ∈ [a, b] があれば, c < ∀x ≤ b に対して f ′(x) > 0 であり, c < x∞ である

ので, このとき x∞ < ∀x ≤ b に対して f ′(x) > 0 である. もし f ′(c) = 0 となる c ∈ [a, b] が無ければ, f ′(x) の連続性より,「∀x ∈ [a, b] に対して f ′(x) > 0」であるか,「∀x ∈ [a, b] に対して f ′(x) < 0」であるかどちらかであるが, もし「∀x ∈ [a, b] に対して f ′(x) < 0」であれば, f(x) は [a, b] で単調減少であり, これは f(a) < 0, f(b) > 0であることに反する.

Step 4. x1 ∈ [a, b], f(x1) > 0 から Newton 法で {xn} が定義可能であり, 更に {xn} は単調減少で, ∀n ∈ N に対して x∞ < xn が成立する.

∵ ) まず f(x1) > 0 であるので x∞ < x1 ≤ b. 故に Step 3 より f ′(x1) > 0 である. したがって x2 := x1 −f(x1)f ′(x1)

は定義できる. x2 < x1 であることも明らか. f ′′(x) > 0 であるので f は下に凸. 故に

f(x2) > f ′(x1)(x2 − x1) + f(x1) = 0.

よって x∞ < x2 であり, Step 3 より f ′(x2) > 0. これを繰り返せばよい.Step 5. {xn} は収束し, その極限は x∞ である.

∵ ) Step 4 より {xn} は下に有界で単調減少な数列. したがって Proposition 1.9 より収束する. 更に Theorem4.15 より, 極限は f(x) = 0 の解, すなわち x∞ である.

Step 6. 正定数 C > 0 の存在.∵ ) まず f(x∞) = 0 であるので

xn+1 − x∞ = xn − f(xn)f ′(xn)

− x∞

=f(x∞) − f(xn) − (x∞ − xn)f ′(xn)

f ′(xn). (∗)

ここで Taylor の定理 (Theorem 4.14) より x∞ < ∃c < xn があって

f(x∞) = f(xn) +f ′(xn)

1!(x∞ − xn) +

f ′′(c)2!

(x∞ − xn)2

であるので, (∗) に代入すれば

xn+1 − x∞ =1

f ′(xn)f ′′(c)

2(x∞ − xn)2

となる. ここで f ′′(x) > 0 より f ′(x) は単調増大であるので, 0 < f ′(x∞) ≤ f ′(xn). 更に f ′′(x) は [x∞, b] 上連続であるので, Theorem 2.10 より ∃M > 0 があって

0 < f ′′(x) ≤ M (∀x ∈ [x∞, b])

と出来る. 特に f ′′(c) ≤ M である. 故に

xn+1 − x∞ ≤ M

2f ′(x∞)(xn − x∞)2

となる. よって C :=M

2f ′(x∞)とおけばよい.

4.7. Newton 法 51

Remark. 不等式 |xn+1 − x∞| ≤ C|xn − x∞|2 は xn が非常に速く x∞ に収束することを表している.実際, k, n ∈ N, k < n に対して

|xn − x∞| ≤ C|xn−1 − x∞|2

≤ C(C|xn−2 − x∞|2

)2 = C1+2|xn−2 − x∞|22

≤ C1+2(C|xn−3 − x∞|2

)22

= C1+2+22|xn−3 − x∞|2

3

≤ · · ·

≤ C1+2+22+···+2n−k−1|xk − x∞|2

n−k

= C2n−k−1|xk − x∞|2n−k

=1C

(C|xk − x∞|

)2n−k

である. 今 limn→∞

xn = x∞ であるので, 十分大きな k に対して C|xk − x∞| は十分 (特に 1 よりも)小さくなる. 更にこの上式の左辺は, xn の x∞ からの誤差の大きさであるが, 右辺が比較的計算しやすいので, この右辺で誤差を評価することが出来る.

Remark. 誤差を評価するためにも正定数 C を見つけないといけない. Step 6. では

C :=M

2f ′(x∞)

としていた. ここで M は

0 < f ′′(x) ≤ M (∀x ∈ [x∞, b])

となる正定数であるので, 特にM := max

a≤x≤bf ′′(x)

とすればよい. さらに f ′(x∞) が計算出来ればよいが, もし出来ないとしても

m := mina≤x≤b

f ′(x) ≤ f ′(x∞)

とすればM

2f ′(x∞)≤ M

2m

であるので, この右辺を C とすればよい.

Example 15.√

2 を近似計算しよう. まず, x =√

2 は 方程式 f(x) = x2 − 2 = 0 の解である. f(x) : [1, 2] → Rを考える. f(1) = −1 < 0, f(2) = 2 > 0, f ′(x) = 2x > 0 (∀x ∈ [1, 2]) であるので, Theorem 4.16 の仮定を満たしている. Newton 法の漸化式は

xn+1 = xn − f(xn)f ′(xn)

= xn − xn2 − 22xn

で与えられる.まず初項を x1 = 3

2 = 1.5 で始めてみよう. f(x1) = 1.52 − 2 = 0.25 > 0 であるので Newton 法でうまくいくはずである.

x2 = x1 −x1

2 − 22x1

=1712

= 1.416̇

x3 = x2 −x2

2 − 22x2

=577408

= 1.414215686 · · ·

x4 = x3 −x3

2 − 22x3

=665857470832

= 1.4142135623746 · · ·

x5 = x4 −x4

2 − 22x − 4

=886731088897627013566048

= 1.414213562373095048801689623502 · · ·

53

第5章 一変数 Riemann 積分

5.1 Riemann 積分の定義

Definition. ∆ = {xj}nj=0 が有界閉区間 I = [a, b] の分割であるとは

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b

が成り立つこと. xj を ∆ の分点と呼ぶ. また I の分割 ∆ = {xj} に対して Ij := [xj−1, xj ] (j = 1, 2, . . . , n) を I

の小区間, |∆| := max{xj − xj−1 | j = 1, 2, . . . , n} を ∆ の (最大)幅と呼ぶ. I の分割 ∆ = {xj}nj=0 を小区間 Ij

を使って∆ = {Ij}nj=1 と表すときもある.

Definition (Riemann 積分可能性). I = [a, b] を有界閉区間, f(x) を I 上定義された有界な関数とする. I の分

割 ∆ = {xj}nj=0 = {Ij}n

j=1,∀pj ∈ Ij (j = 1, 2, . . . , n)を選び,

R(∆, f) = R(∆, {pj}; f) =n∑

j=1

f(pj)(xj − xj−1)

を考える. この和を f の (∆ に関する) Riemann 和と呼ぶ.|∆| → 0 のとき R(∆, f) の極限 lim

|∆|→0R(∆, f) が, ∆, {pj} の取り方に依らず一定値に収束するとき, すな

わち, limn→∞

|∆n| = 0 なる I の分割の列 {∆n}, ∆n = {In,k}sk=0, と小区間上の任意の点 pn,k ∈ In,k に対して

limn→∞

R(∆n, {pn,k}; f) が一定値に収束するとき, f は I 上 Riemann 積分可能であるという. また, この極限値を∫I

f(x) dx や∫ b

a

f(x) dx で表す.

この定義はそのままだと使いにくいので、使いやすくしていこう. 以下ここでは I を有界閉区間, f を I 上定

義された有界な関数とする.

Definition. I の分割 ∆ = {xj}nj=0 = {Ij}n

j=1 に対して,

mj := inf f(Ij) = inf{f(x) |xj−1 ≤ x ≤ xj}

Mj := sup f(Ij) = sup{f(x) |xj−1 ≤ x ≤ xj}

とし

s(∆; f) :=n∑

j=1

mj(xj − xj−1) : Darboux の不足和

S(∆; f) :=n∑

j=1

Mj(xj − xj−1) : Darboux の過剰和

と定義する. また

s(I; f) := sup{s(∆; f) |∆ は I の分割 } :下積分

S(I; f) := inf{S(∆; f) |∆ は I の分割 } :上積分

と定義する.

54 第 5章 一変数 Riemann 積分

Definition. ∆1 = {x1j}nj=0, ∆2 = {x2k}m

k=0 を I の二つの分割とする.

∆2 が ∆1 の細分def⇐⇒ ∆1 の分点はすべて ∆2 の分点.⇐⇒ x1j = x2kj となる 0 = ∃k0 < ∃k1 < · · · < ∃kn = m がある.

Definition. ∆1, ∆2 を有界閉区間 I の二つの分割とする. ∆1 と ∆2 の分点をすべて合わせたものを分点として

持つ分割を ∆1 と ∆2 の合併分割といい, ∆1 ∪ ∆2 と表す.

Remark. ∆1 ∪ ∆2 は ∆1 及び ∆2 の細分である.

Lemma 5.1. ∆1, ∆2 を有界閉区間 I の分割とする. ∆2 が ∆1 の細分ならば

s(∆1; f) ≤ s(∆2; f) ≤ S(∆2; f) ≤ S(∆1; f).

Proof. Ij ⊂ I のとき f(Ij) ⊂ f(I) であるので, Lemma 1.3 より

inf f(I) ≤ inf f(Ij) ≤ sup f(Ij) ≤ sup f(I)

であることに注意する.I = [a, b], ∆1 = {a < b}, ∆2 = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b} のとき示せば十分である. Ij = [xj−1, xj ] とす

る. このとき

s(∆1; f) = inf f(I)(b − a)

= inf f(I)n∑

j=1

(xj − xj−1)

=n∑

j=1

inf f(I)(xj − xj−1)

≤n∑

j=1

inf f(Ij)(xj − xj−1) = s(∆2; f)

≤n∑

j=1

sup f(Ij)(xj − xj−1) = S(∆2; f)

=n∑

j=1

sup f(I)(xj − xj−1)

= sup f(I)n∑

j=1

(xj − xj−1)

= inf f(I)(b − a) = s(∆1; f).

Lemma 5.2. ∆1, ∆2 を有界閉区間 I の分割とする (細分になってなくてもよい). このとき

s(∆1; f) ≤ S(∆2; f).

Proof. 合併分割 ∆1 ∪ ∆2 は ∆1 および ∆2 の細分であるので, Lemma 5.1より

s(∆1; f) ≤ s(∆1 ∪ ∆2; f) ≤ S(∆1 ∪ ∆2; f) ≤ S(∆2; f).

Lemma 5.3. 有界閉区間 I 上の有界な関数 f(x) に対して

s(I; f) ≤ S(I; f).

5.1. Riemann 積分の定義 55

Proof. Lemma 5.2 より I 上の任意の分割 ∆1, ∆2 に対して

s(∆1; f) ≤ S(∆2; f).

ここで ∆1 を固定して ∆2 を動かすと

s(∆1; f) ≤ inf{S(∆2; f) | ∆2 は I の分割 } = S(I; f).

∆1 を動かすと

s(I; f) = sup{s(∆1; f) | ∆1 は I の分割 } ≤ S(I; f).

Theorem 5.4 (Darboux). I を有界閉区間, f(x) を I 上定義された有界な関数とする. {∆n}∞n=1 を I の分割の

列で, limn→∞

|∆n| = 0 なるものとする. このとき

i ) limn→∞

s(∆n; f) = s(I; f),

ii ) limn→∞

S(∆n; f) = S(I; f).

Proof. i) のみ示す. ∀ε > 0 を一つとり固定する. 「∃n0 ∈ N があって ∀n ≥ n0 に対して s(I; f) − s(∆n; f) < ε」

であることを示せばよい.今 f は I 上有界であるので, ∃M > 0 があって

|f(x)| ≤ M (∀x ∈ I)

とできる. また s(I; f) = sup{s(∆; f) |∆ は I の分割 } であるので, Theorem 1.5 より, I の分割 ∃∆′ = {xj}N+1j=0

があって

s(I; f) − ε

2< s(∆′; f) ≤ s(I; f) (1)

とできる. 更に limn→∞

|∆n| = 0 であるので ∃n0 ∈ N があって ∀n ≥ n0 に対して

|∆n| <ε

4MN(2)

とできる. 以下 n ≥ n0 とする.∆ := ∆′ ∪ ∆n とおく, Lemma 5.1 より

s(∆′; f) − s(∆; f) ≤ 0 (3)

である. また s(∆; f) と s(∆n; f) との差が出来るのは, ∆n の小区間が ∆′ の分点により分けられるところが原因

であるが, そのような ∆n の小区間は高々 N 個しかない. そのような小区間における関数の値の差は高々 2M で

あるので

s(∆; f) − s(∆n; f) ≤ N × 2M × |∆n| ≤ N × 2M × ε

4MN=

ε

2(4)

である. したがって (1), (3), (4) より

s(I; f) − s(∆n; f) = {s(I : f) − s(∆′ : f)} + {s(∆′; f) − s(∆; f)} + {s(∆; f) − s(∆n : f)}

≤ ε

2+ 0 +

ε

2= ε.

Remark. Theorem 5.4 より, 極限 limn→∞

s(∆n; f), limn→∞

S(∆n; f) は limn→∞

|∆n| = 0 なる分割の列 {∆n} の取り方に依らないので, これらを lim

|∆|→0s(∆; f), lim

|∆|→0S(∆; f) と表すことにする. 同様に, f が積分可能であるとき

limn→∞

R(∆n; f) のことを lim|∆|→0

R(∆; f) で表すことにする.

56 第 5章 一変数 Riemann 積分

Theorem 5.5. 有界閉区間 I 上定義された有界な関数 f(x) に対して, 次は同値である.

i ) f は I 上 Riemann 積分可能 (すなわち lim|∆|→0

R(∆; f) が存在する),

ii ) s(I; f) = S(I; f),

iii ) ∀ε > 0 に対して I の分割 ∃∆ が存在して, 0 ≤ S(∆; f) − s(∆; f) < ε.

Proof. i ⇒ iii) {∆n} (∆n = {In,j}j) を limn→∞

|∆n| = 0 なる I の任意の分割の列とする. α := limn→∞

R(∆n; f) と

おく. ∀ε > 0 をひとつとり固定する.今 mn,j := inf{f(p) | p ∈ In,j} とすると, Theorem 1.5 より, 各 n に対して ∃pn,j ∈ In,j があって

mn,j ≤ f(pn,j) < mn,j +ε

3(b − a)

とできる. これの各辺に (xn,j − xn,j−1) をかけて, j について足し合わせると

s(∆n; f) ≤ R(∆n, {pn,j}; f) < s(∆n; f) +ε

3,

すなわち

R(∆n, {pn,j}; f) − s(∆n; f) <ε

3(1)

を得る. 同様に各 n に対して ∃p′n,j ∈ In,j があって,

S(∆n; f) − ε

3< R(∆n, {p′n,j}; f) ≤ S(∆n; f),

すなわち

S(∆n; f) − R(∆n, {p′n,j}; f) <ε

3(2)

とできる. また, 仮定より limn→∞

R(∆n, {pn,j}; f) = limn→∞

R(∆n, {p′n,j}; f) = α であるので, 十分大きな n に対して

|R(∆n, {pn,j}; f) − α| <ε

6,

|R(∆n, {p′n,j}; f) − α| <ε

6と出来る. これらより

R(∆n, {p′n,j}; f) − R(∆n, {pn,j}; f) <ε

3(3)

である. (1), (2), (3) をたし合わせるとS(∆n; f) − s(∆n; f) < ε

が十分大きな n について成り立つことがわかった.iii ⇒ ii) 対偶を示す. s(I; f) 6= S(I; f) であるとする. ε := S(I; f) − s(I; f) とすれば, Lemma 5.3 と仮定より

ε > 0 である. 今 ∀∆ に対してs(∆; f) ≤ s(I; f) < S(I; f) ≤ S(∆; f)

であるので

S(∆; f) − s(∆; f) ≥ S(I; f) − s(I; f) = ε.

ii ⇒ i) limn→∞

|∆n| = 0 なる分割の列 {∆n} に対して

s(∆n; f) ≤ R(∆n; f) ≤ S(∆n; f)

であるので, Theorem 5.4 とはさみうちの原理より明らか.

5.1. Riemann 積分の定義 57

Corollary 5.6 (区分求積法). 関数 f(x) が区間 I = [a, b] 上積分可能ならば∫ b

a

f(x) dx = limn→∞

b − a

n

n∑j=1

f(a + b−an j) = lim

n→∞

b − a

n

n−1∑j=0

f(a + b−an j)

Proof. ∆n = {xn,j}nj=0 を I を n 等分した分割とする. このとき xn,j = a + b−a

n j, xn,j − xn,j−1 = b−an である

ので,

b − a

n

n∑j=1

f(a + b−an j) =

n∑j=1

f(xn,j)(xn,j − xn,j−1)

= R(∆n; f) n→∞−→∫ b

a

f(x) dx.

58 第 5章 一変数 Riemann 積分

5.2 連続関数の積分可能性

Theorem 5.7. I = [a, b] を有界閉区間, f(x) を I 上有界な関数とする.

i ) f が I 上一様連続ならば I 上積分可能.

ii ) f が I 上単調ならば I 上積分可能.

Proof. i) ∀ε > 0 を固定する. f が I 上一様連続であるので, ∃δ > 0が存在して

x, x′ ∈ I, |x − x′| < δ ⇒ |f(x) − f(x′)| <ε

b − a

とできる. このとき |∆| < δ なる分割 ∆ = {xj}nj=0 に対して

0 ≤ Mj − mj ≤ ε

b − a

となるので

0 ≤ (Mj − mj)(xj − xj−1) ≤ε(xj − xj−1)

b − a

である. これを j について足し合わせれば,

0 ≤ S(∆; f) − s(∆; f) ≤ ε.

したがって Theorem 5.5 より f は I 上積分可能.ii) f が単調増加のとき示す. ε > 0 を固定する. I の分割 ∆ = {xj}n

j=0 = {Ij}nj=1 を

|∆| <ε

f(b) − f(a)

なるものとする. f が単調増加であるので小区間 Ij = [xj−1, xn] において

mj = inf f(Ij) = f(xj−1), Mj = sup f(Ij) = f(xj)

となる. したがって

0 ≤ S(∆; f) − s(∆; f)

=n∑

j=1

(f(xj) − f(xj−1)

)(xj − xj−1)

≤n∑

j=1

(f(xj) − f(xj−1)

)|∆|

=(f(b) − f(a)

)|∆|

<(f(b) − f(a)

) ε

f(b) − f(a)= ε.

よって Theorem 5.5 より f は I 上積分可能.

Corollary 5.8. 有界閉区間上の連続関数は積分可能.

Proof. Theorem 2.11 より有界閉区間上の連続関数は一様連続.

5.3. 定積分の基本性質 59

5.3 定積分の基本性質

Definition. X を集合, f : X → R を関数とする. 部分集合 Y ⊂ X に対し, Y 上の関数 f |Y : Y → R を

f |Y (y) := f(y) (∀y ∈ Y )

で定める. これを f の Y への制限と呼ぶ.

Remark. f |Y は f の定義域を Y に制限しただけのもの. f |Y を単に f で表すことも多い. f |Y と書くときには“Yに制限している”ことを強調している意味もある.

Proposition 5.9 (区間の縮小可能性). I を有界閉区間, f を I 上積分可能な関数とする. このとき ∀a, b ∈ I

(a < b) に対して f |[a,b] は [a, b] 上積分可能.

Proof. [a, b] の分割 ∆ に対して, I \ [a, b] に分点を (各分点間の幅) ≤ |∆| となる様に付け加えることにより I の

分割 ∆̃ で |∆̃| = |∆| なるものが得られる. 逆に I の分割 ∆̃ があれば, x = a, b を分点に付け加えて [a, b] に制限すれば, [a, b] の分割 ∆ が得られる. この様な ∆, ∆̃ に対して

|∆| → 0 ⇐⇒ |∆̃| → 0

であることは明らか. 今

S(∆; f |[a,b]) − s(∆; f |[a,b]) =n∑

j=1

(Mj − mj)(xj − xj−1)

であるが, 各項 (Mj −mj)(xj − xj−1) は 0 以上であるので, 和を取る範囲が増えるほど, 和の値は大きくなる. したがって

S(∆̃; f) − s(∆̃; f) ≥ S(∆; f |[a,b]) − s(∆; f |[a,b]) ≥ 0

である. 仮定より f は I 上積分可能であるので,

lim|∆|→0

(S(∆̃; f) − s(∆̃; f)

)= 0.

よってはさみうちの原理 Theorem 1.17 より

lim|∆|→0

(S(∆; f |[a,b]) − s(∆; f |[a,b])

)= 0.

したがって f |[a,b] は [a, b] 上積分可能である.

Remark. 今後∫ b

af |[a,b](x) dx のことを単に

∫ b

af(x) dx と書く.

Proposition 5.10 (区間に関する加法性). f(x) を有界閉区間 [a, b] 上積分可能な関数とすると, ∀c ∈ [a, b] に対して ∫ b

a

f(x) dx =∫ c

a

f(x) dx +∫ b

c

f(x) dx.

Proof. [a, c] の分割 ∆1 = {x1j}

n1j=0 (a = x1

0 < x11 < · · · < x1

n1= c) と [c, b] の分割 ∆2 = {x2

j}n2j=0 (c = x2

0 < x21 <

· · · < x2n1

= b) があれば, [a, b] = [a, c] ∪ [c, d] の分割 ∆ = {xj}n1+n2j=0 ,

xj =

{x1

j (j = 0, 1, 2, . . . , n1)x2

j−n1(j = n1 + 1, n1 + 2, . . . , n2 + n1)

60 第 5章 一変数 Riemann 積分

が作れる. 逆に [a, b] の分割 ∆ で, x = c を分点に持つものがあれば, [a, c] の分割 ∆1 と [c, b] の分割 ∆2 に分け

ることが出来る. この状況のもと明らかに

S(∆; f) =S(∆1; f) + S(∆2; f)

s(∆; f) =s(∆1; f) + s(∆2; f)

|∆| → 0 ⇐⇒|∆1| → 0 かつ |∆2| → 0

であるので, 両辺極限をとれば ∫ b

a

f(x) dx =∫ c

a

f(x) dx +∫ d

c

f(x) dx

を得る.

Definition. b < a のとき ∫ b

a

f(x) dx := −∫ a

b

f(x) dx

と書くことにする.

Corollary 5.11. f(x) を有界閉区間 I 上積分可能な関数とすると, ∀a, b, c ∈ I に対して∫ b

a

f(x) dx =∫ c

a

f(x) dx +∫ b

c

f(x) dx.

Proof. a < c < b のときは Proposition 5.10 そのもの. 例えば a < b < c ならば, Proposition 5.10 より∫ c

a

f(x) dx =∫ b

a

f(x) dx +∫ c

b

f(x) dx

であるので, ∫ b

a

f(x) dx =∫ c

a

f(x) dx −∫ c

b

f(x) dx

=∫ c

a

f(x) dx +∫ b

c

f(x) dx

となる. 他の場合でも同様である.

Proposition 5.12 (積分の線形性). f, g は有界閉区間 [a, b] 上積分可能, α, β ∈ R とすると∫ b

a

(αf + βg)(x) dx = α

∫ b

a

f(x) dx + β

∫ b

a

g(x) dx.

Proof. 和 f + g について. I = [a, b] の任意の分割 ∆ = {Ij}j に対して

inf f(Ij) + inf g(Ij) ≤ inf(f + g)(Ij) ≤ sup(f + g)(Ij) ≤ sup f(Ij) + sup g(Ij)

であるので,s(∆; f) + s(∆; g) ≤ s(∆; f + g) ≤ S(∆; f + g) ≤ S(∆; f) + S(∆; g)

得る. 今, f , g が I 上積分可能であるので,

lim|∆|→0

s(∆; f) + lim|∆|→0

s(∆; g) = lim|∆|→0

S(∆; f) + lim|∆|→0

S(∆; g).

よってはさみうちの原理 Theorem 1.17 より, f + g は積分可能であり,∫ b

a

(f + g)(x) dx =∫ b

a

f(x) dx +∫ b

a

g(x) dx.

5.3. 定積分の基本性質 61

スカラー倍 αf について.α ≥ 0 のとき, inf(αf(Ij)) = α inf f(Ij), sup(αf(Ij)) = α sup f(Ij),α < 0 のとき, inf(αf(Ij)) = α sup f(Ij), sup(αf(Ij)) = α inf f(Ij),

であるので,α ≥ 0 のとき, s(∆; αf) = αs(∆; f), S(∆;αf) = αS(∆; f),α < 0 のとき, s(∆; αf) = αS(∆; f), S(∆;αf) = αs(∆; f),

となる. どちらにせよ lim|∆|→0

s(∆; f) = lim|∆|→0

S(∆; f) より, αf の積分可能性と

∫ b

a

(αf)(x) dx = α

∫ b

a

f(x) dx

が導かれる.

Proposition 5.13. f, g を有界閉区間 I = [a, b] 上積分可能な関数とする. ∀x ∈ I に対して f(x) ≤ g(x) ならば,∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

g(x) dx.

特に ∀x ∈ I に対して f(x) ≥ 0 ならば, ∫ b

a

f(x) dx ≥ 0.

Proof. 積分の線形性 5.12 より、後半のみを示せば十分である. ∀x ∈ I にたいして f(x) ≥ 0 であるとき, I の分

割 ∆ = {Ij} に対してmj := inf f(Ij) ≥ 0

であるので, 両辺に xj − xj−1 ≥ 0 をかけて, j について足しあわせれば,

s(∆; f) ≥ 0

を得る. 故に ∫ b

a

f(x) dx = lim|∆|→0

s(∆; f) ≥ 0.

Lemma 5.14. f を有界閉区間 I = [a, b] 上の連続関数とする. ∀x ∈ I に対して f(x) ≥ 0, かつ, f(x) は I 上恒

等的に 0 でない (すなわち, ∃c ∈ I があって f(c) � 0) とすると∫ b

a

f(x) dx � 0.

Proof. c ∈ I を f(c) � 0 なる点とする. もし c = a, b であっても, f の連続性より, a, b に十分近い c′ ∈ (a, b) でf(c′) = 0 と出来るので, 始めから c ∈ (a, b) としてよい. f の連続性より ∃δ > 0 があって, [c− δ, c + δ] ⊂ I かつ,∀x ∈ [c − δ, c + δ] に対して |f(x) − f(c)| < f(c)

2 , すなわち

f(x) >f(c)2

となる様に出来る. 故に Proposition 5.10, Proposition 5.13 より∫ b

a

f(x) dx =∫ c−δ

a

f(x) dx +∫ c+δ

c−δ

f(x) dx +∫ b

c+δ

f(x) dx

≥∫ c−δ

a

0 dx +∫ c+δ

c−δ

f(c)2

dx +∫ b

c+δ

0 dx

= 0 +f(c)2

· 2δ + 0

= f(c) · δ > 0.

62 第 5章 一変数 Riemann 積分

Theorem 5.15 (積分に関する平均値の定理). f(x) を有界閉区間 I = [a, b] 上の連続関数とする. このとき∃c ∈ (a, b) があって

f(c)(b − a) =∫ b

a

f(x) dx.

Proof. f が定数関数ならば ∀c ∈ (a, b) に対して f(x) = f(c) であるので,∫ b

a

f(x) dx =∫ b

a

f(c) dx = f(c)(b − a).

f が定数関数でないとする. f は有界閉区間 I = [a, b] 上連続であるので, Weierstrass の定理 2.10 より最大値・最小値を持つ. m := min f(I) = f(p), M := max f(I) = f(q), ∃p, q ∈ I, とし, p と q の作る閉区間を

J = [min{p, q}, max{p, q}] ⊂ [a, b], 開区間を J◦ = (min{p, q}, max{p, q}) ⊂ (a, b) とする. 今, m が最小値であ

り, f が定数でないので {f(x) − m ≥ 0 (∀x ∈ I)f(x) − m 6≡ 0 (すなわち「恒等的に 0」でない)

となる. よって Lemma 5.14 より,

0 �∫ b

a

(f(x) − m) dx =∫ b

a

f(x) dx − m(b − a),

すなわち

m �1

b − a

∫ b

a

f(x) dx

を得る. 全く同様にM �1

b − a

∫ b

a

f(x) dx もわかる. したがって

f(p) = m �1

b − a

∫ b

a

f(x) dx � M = f(q).

今, f が J 上連続であるので, 中間値の定理 Theorem 2.8 より ∃c ∈ J が存在して,

f(c) =1

b − a

∫ b

a

f(x) dx

と出来るが, f(c) 6= f(p), f(q) であるので, c 6= p, q. すなわち c ∈ J◦ ⊂ (a, b) である.

Proposition 5.16 (三角不等式). f(x), |f(x)| が共に [a, b] 上積分可能ならば,∣∣∣∫ b

a

f(x) dx∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)| dx.

Proof. I = [a, b] の分割 ∆ = {Ij}nj=1, 点 pj ∈ Ij に対して, 三角不等式 Lemma 1.11 より

|R(∆; f)| =∣∣∣ n∑j=1

f(pj)(xj − xj−1)∣∣∣ ≤ n∑

j=1

|f(pj)|(xj − xj−1) = R(∆; |f |)

である. よって |∆| → 0 とすれば ∣∣∣∫ b

a

f(x) dx∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)| dx.

Corollary 5.17. f(x), |f(x)| が共に有界閉区間 I 上積分可能ならば, ∀a, b ∈ I に対して,∣∣∣∫ b

a

f(x) dx∣∣∣ ≤ ∣∣∣∫ b

a

|f(x)| dx∣∣∣.

5.3. 定積分の基本性質 63

Proof. a ≤ b のときは, Proposition 5.13 より,∫ b

a

|f(x)| dx ≥ 0 であるので, 求める不等式は Proposition 5.16 そ

のものである.

a > b のときは Proposition 5.13 より∫ a

b

|f(x)| dx ≥ 0 であるので,

∣∣∣∫ b

a

|f(x)| dx∣∣∣ =

∣∣∣−∫ a

b

|f(x)| dx∣∣∣ =

∫ a

b

|f(x)| dx.

であることに注意すれば, Proposition 5.16 より∣∣∣∫ b

a

f(x) dx∣∣∣ =

∣∣∣−∫ a

b

f(x) dx∣∣∣ =

∣∣∣∫ a

b

f(x) dx∣∣∣ ≤ ∫ a

b

|f(x)| dx =∣∣∣∫ b

a

|f(x)| dx∣∣∣.

64 第 5章 一変数 Riemann 積分

5.4 微分積分学の基本定理

Lemma 5.18. f(x) を有界閉区間 I = [a, b] 上積分可能な関数とする. このとき I 上の関数 S(x) を

S(x) :=∫ x

a

f(t) dt

と定義すれば, S は I 上連続である.

Proof. ∀x0 ∈ I とする. f(x) が x = x0 で連続であること, すなわち「∀ε > 0 にたいして ∃δ > 0 が存在して∀x ∈ I, |x − x0| < δ ならば |S(x) − S(x0)| < ε」となることを示す. ∀ε > 0 をひとつ取り固定する.まず f は I 上有界であるので, ∃M > 0 があって,

|f(x)| ≤ M (∀x ∈ I)

と出来る. したがって

|S(x) − S(x0)| =∣∣∣∣∫ x

a

f(t) dt −∫ x0

a

f(t) dt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ x

x0

f(t) dt

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∫ x

x0

|f(t)| dt

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∫ x

x0

M dt

∣∣∣∣= M · |x − x0|

となる. よって δ :=ε

Mとおけば, δ > 0 であり,

|x − x0| < δ =⇒ |S(x) − S(x0)| < M · ε

M= ε.

Lemma 5.19. 関数 f(x) は x = a で連続とする. このとき

m(h) := min f([a, a + h]), M(h) := max f([a, a + h])

とおけば,limh↓0

m(h) = limh↓0

M(h) = f(a).

Proof. ∀ε > 0 とする. f は x = a で連続であるので, ∃δ > 0 があって

x ∈ [a − δ, a + δ] =⇒ |f(x) − f(a)| < ε

と出来る. 特に 0 < ∀h < δ に対して, m(h) = f(x1), M(h) = f(x2) となる x1, x2 ∈ [a, a + h] ⊂ [a − δ, a + δ] をとれば,

|m(h) − f(a)| = |f(x1) − f(a)| < ε,

|M(h) − f(a)| = |f(x2) − f(a)| < ε.

5.4. 微分積分学の基本定理 65

Theorem 5.20 (微分積分学の基本定理). 関数 f(x) が有界閉区間 I = [a, b] 上連続であれば

S(x) :=∫ x

a

f(t) dt

は I 上微分可能 (端点では片側微分可能)であり,

d

dxS(x) =

d

dx

∫ x

a

f(t) dt = f(x).

Proof. ∀x0 ∈ [a, b) とする. S(x) が x0 で右側微分可能で, S′+(x0) = f(x0) であることを示す.

∀h > 0 を x0 + h ∈ [a, b] なるものとする. 今 Proposition 5.10 より,

S(x0 + h) − S(x0) =∫ x0+h

a

f(t) dt −∫ x0

a

f(t) dt

=∫ x0+h

x0

f(t) dt

である. ここでm(h) := min f([x0, x0 + h]), M(h) := max f([x0, x0 + h]) とおけば,

m(h) ≤ f(t) ≤ M(h) (∀t ∈ [x0, x0 + h])

であるので,

m(h) · h =∫ x0+h

x0

m(h) dt ≤∫ x0+h

x0

f(t) dt

∫ x0+h

x0

M(h) dt = M(h) · h.

したがって

m(h) ≤ S(x0 + h) − S(x0)h

≤ M(h)

となる. よって Lemma 5.19 とはさみうちの原理 Theorem 1.17 より

S′+(x0) = lim

h↓0

S(x0 + h) − S(x0)h

= f(x0).

同様に x0 ∈ (a, b] であるとき, 左微分係数が

S′+(x0) = lim

h↑0

S(x0 + h) − S(x0)h

= f(x0)

であることも分かる.

Theorem 5.21. 関数 f(x) が I = [a, b] 上微分可能 (端点では片側微分可能)で, 導関数 f ′(x) が I 上積分可能な

らば, ∫ b

a

f ′(x) dx = f(b) − f(a).

Proof. ∆ = {xj}nj=0 を I の任意の分割とする. 小区間 Ij = [xj−1, xj ] についての平均値の定理 Theorem 4.2 よ

り, ∃pj ∈ (xj−1, xj) が存在してf(xj) − f(xj−1) = f ′(pj)(xj − xj−1)

と出来る. このとき

f(b) − f(a) =n∑

j=1

(f(xj) − f(xj−1)

)=

n∑j=1

f ′(pj)(xj − xj−1)

= R(∆, {pj}; f).

66 第 5章 一変数 Riemann 積分

これが任意の分割で成り立つので, ∫ b

a

f(t) dt = lim|D|→0

R(∆; f) = f(b) − f(a).

Corollary 5.22. 関数 f(x) が I = [a, b] 上 C1-級ならば,∫ b

a

f ′(x) dx = f(b) − f(a).

Proof. f ′(x) が連続なので積分可能.

5.5. 原始関数と不定積分 67

5.5 原始関数と不定積分

Definition. 関数 f(x) に対して,F ′(x) = f(x)

となる関数 F (x) を f(x) の原始関数という.

Remark. 微積分の基本定理 Theorem 5.20 より,

S(x) :=∫ x

a

f(t) dt

は f(x) の原始関数のひとつである.

Definition. 関数 f(x) に対して, その原始関数全体の集合

{F (x) |F ′(x) = f(x)}

を f(x) の不定積分と呼び,∫

f(x) dx で表す.

Lemma 5.23. 関数 f(x) が区間 I 上微分可能であるとき, 導関数 f ′(x) が恒等的に 0 である必要十分条件は f(x)が定数関数であることである.

Proof. f(x) が定数関数 f(x) ≡ C ならば, 微分の定義より,

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)h

= limh→0

C − C

h= 0.

f ′(x) ≡ 0 とする. ∀a ∈ I をひとつとり C := f(a) とする. ∀x ∈ I に対して f(x) = C であることを示す. 平均値の定理 Theorem 4.2 より 0 < ∃θ < 1 が存在して,

f(x) − C = f(x) − f(a) = f ′(a + θ(x − a))(x − a) = 0 · (x − a) = 0

と出来る. よって f(x) = C であり, f は定数関数である.

Theorem 5.24. 関数 f(x) の原始関数は存在すれば, 定数差を除いて一意である. すなわち, F (x), G(x) が共に関数 f(x) の原始関数ならば, F (x) − G(x) は定数関数である.

Proof. 線形性 Proposition 5.12 と Lemma 5.23 より明らか.

Remark. Theorem 5.24 より, f(x) の原始関数の一つを F (x) とすれば, f(x) の不定積分は∫f(x) dx = {F (x) + C |C ∈ R}

とかける. このニュアンスで ∫f(x) dx = F (x) + C (C は積分定数)

と書くこともある.

Theorem 5.25. 関数 f(x) が [a, b] 上積分可能, F (x) を f(x) の原始関数とすると∫ b

a

f(x) dx = F (b) − F (a).

Proof. F ′(x) = f(x) であるので, Theorem 5.21 より明らか.

Notation. F (b) − F (a) を[F (x)

]b

aと書く.

68 第 5章 一変数 Riemann 積分

Proposition 5.26. 不定積分について, 次が成り立つ.

(1) (線形性)∫

(αf(x) + βg(x)) dx = α

∫f(x) dx + β

∫g(x) dx.

(2) (対数微分)∫

f ′(x)f(x)

dx = log |f(x)| + C.

Proof. (1) {αf(x) + βg(x)}′ = αf ′(x) + βg′(x) より明らか.

(2) 合成関数の微分公式より {log |f(x)|}′ =f ′(x)f(x)

であるので明らか.

69

第6章 積分の計算

6.1 部分積分法・置換積分法

Theorem 6.1 (部分積分法). C1-級関数 f(x), g(x) に対して

(1)∫

f(x)g′(x) dx = f(x)g(x) −∫

f ′(x)g(x) dx.

(2)∫ b

a

f(x)g′(x) dx =[f(x)g(x)

]b

a−

∫ b

a

f ′(x)g(x) dx.

Proof. 積の微分公式 Theorem 3.3 ii) より

f · g′ = (f · g)′ − f ′ · g (∗)

である.(1) f · g が (f · g)′ の原始関数であることに注意して, (∗) の両辺の不定積分をとれば,∫

f · g′ dx = f · g −∫

f ′ · g dx.

(2) (∗) の両辺を [a, b] 上定積分すれば,∫ b

a

f · g′dx =∫ b

a

{(f · g)′ − f ′ · g} dx

=∫ b

a

(f · g)′ dx −∫ b

a

f ′ · g dx

=[f · g

]b

a−

∫ b

a

f ′ · g dx.

Theorem 6.2 (置換積分法 I). f(x) は積分可能, x = ϕ(t) は C1-級とすると,

(1)∫

f(x) dx =∫

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt =∫

f(ϕ(t))dϕ

dt(t) dt.

(2) I を f(x) の定義域, a, b ∈ I, ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, ϕ([α, β]) ⊂ I のとき,∫ b

a

f(x) dx =∫ β

α

f(ϕ(t))ϕ′(x) dt.

Proof. f(x) の原始関数を F (x) とする. このとき合成関数の微分公式 Theorem 3.5 より,

d

dtF (ϕ(t)) =

dF

dx(ϕ(t)) · dϕ

dt(t) = f(ϕ(t)) · ϕ′(t)

である. 故に F (x) = F (ϕ(t)) は f(ϕ(t)) · ϕ′(t) の (t に関する)原始関数であるので,∫f(ϕ(t)) · ϕ′(t) dt = F (x) + C (C は積分定数)

, すなわち, ∫f(ϕ(t)) · ϕ′(t) dt =

∫f(x) dx.

70 第 6章 積分の計算

(2) Theorem 5.25 より ∫ b

a

f(x) dx = F (b) − F (a)

= F (ϕ(β)) − F (ϕ(α))

=∫ β

α

d

dtF (ϕ(t)) dt

=∫ β

α

f(ϕ(t))ϕ′(t) dt.

Theorem 6.3 (置換積分法 II). t = ϕ(x) のとき,∫f(ϕ(x)) dx =

∫f(t)

1(dtdx

)dt =∫

f(t)dϕ−1

dt(t) dt.

Proof. g(x) := f(ϕ(x)) とおけば, Theorem 6.2 より∫g(x) dx =

∫g(ϕ−1(t))(ϕ−1(t))′ dt

=∫

f(ϕ(ϕ−1(t)))1(dϕdt

) dt

=∫

f(t)1(dϕdt

) dt

6.2. 部分分数展開 71

6.2 部分分数展開

Definition. P (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + adx

d (a0, a1, . . . , ad ∈ R, ad 6= 0) の形の関数を (実数係数)多項式関数と呼ぶ. d を P (x) の次数と呼び deg P (x) で表す.

Definition. 2つの多項式関数 P (x), Q(x) の比

H(x) =Q(x)P (x)

の形でかける関数を有理関数と呼ぶ.

Theorem 6.4 (代数学の基本定理). 代数方程式

a0 + a1x + a2x2 + · · · + adx

d = 0 (ai ∈ R)

は必ず複素数解を持つ.

Proof. ここでは証明しない. 複素解析などを使って証明できる.

Definition.

C = {a + b√−1 | a, b ∈ R}.

また z = a + b√−1 (a, b ∈ R) に対して z := a− b

√−1 を z の (複素)共役, |z| :=

√a2 + b2 を z の絶対値と呼ぶ.

Lemma 6.5. ∀z, w ∈ C に対して(1) (z + w) = z + w,

(2) z · w = z · w,

(3) z · z = |z|2,(4) (z) = z,

(5) z = z ⇐⇒ z は実数.z = −z ⇐⇒ z は純虚数 (すなわち z = b

√−1, b ∈ R)

Proof. 簡単.

Lemma 6.6. 実数係数代数方程式

P (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + adx

d = 0 (1)

が複素数 z を解に持てば, その共役 z も解である.

Proof. z が (1) の解であれば,P (z) = a0 + a1z + a2z

2 + · · · + adzd = 0

である. この両辺の複素共役をとれば, Lemma 6.5 (1), (2) より

a0 + a1 · z + a2 · (z)2 + · · · + ad · (z)d = 0.

ここで a0, a1, . . . , ad は実数であるので, Lemma 6.5 (5) より

a0 + a1z + a2(z)2 + · · · + ad(z)d = 0.

この左辺は P (z) であるので, これは z が (1) の解であること.

Theorem 6.7 (余因子定理). x = α が代数方程式 P (x) = 0 の解であるための必要十分条件は, 多項式 P (x) がx − α で割り切れることである.

72 第 6章 積分の計算

Proof. P (x) を 1 次式 x − α で割ったときの商を Q(x), 余りを R(x) とする. 今 deg R(x) � deg(x − α) = 1 であるので, R(x) は定数である. R(x) = r ∈ R とおけば,

P (x) = (x − α)Q(x) + r

であるので, x = α を代入して,P (α) = (α − α)Q(α) + r = r.

したがって,

x = α が P (x) = 0 の解⇐⇒ P (α) = r = 0

⇐⇒ P (x) = (x − α)Q(x)

⇐⇒ P (x) は x − α で割り切れる.

Lemma 6.8. α ∈ C に対して, (x − α)(x − α) は実数係数の 2 次式である.

Proof. α = a + b√−1 (a, b ∈ R) とすると

(x − α)(x − α) = x2 − (α + α)x + αα

= x2 − {(a + b√−1) + (a − b

√−1)}x + (a + b

√−1)(a − b

√−1)

= x2 − 2ax + (a2 + b2).

Corollary 6.9. 実数係数多項式は, いくつかの実数係数 1 次式と, いくつかの実数係数既約 2 次式との積に, (積の順番を除いて)一意的に分解される.

P (x) = a∏

i

(x − bi)mi

∏j

(x2 + cjx + dj)mj

(a, bi, cj , dj ∈ R, cj2 − 4dj < 0, ni,mj ∈ N,

∑i ni + 2

∑j mj = deg P )

Proof. 代数学の基本定理 Theorem 6.4 より n 次代数方程式 P (x) = 0 は重複もこめてちょうど n 個の複素数解

をもつが, もし α ∈ C \ R が解ならば, 複素共役 α も解であるので, 余因子定理 Theorem 6.7 より, P (x) は

P (x) = a∏

i

(x − bi)ni

∏j

{(x − αj)mj (x − αj)mj

}(a, bi ∈ R, αj ∈ C \ R,

∑i ni + 2

∑j mj = deg P ) なる形の因数分解を持つ. したがって Lemma 6.8 より

P (x) = a∏

i

(x − bi)ni

∏j

(x2 + cjx + dj)mj .

ただし

cj = −(αj + aj) ∈ R, dj = αjαj = |αj |2 ∈ R

である. αj − αj は純虚数であるので

cj2 − 4dj =

{−(αj + αj)

}2 − 4αjαj = aj − 2αjαj + αj2 = (αj − αj)2 < 0.

Theorem 6.10 (部分分数展開). 有理関数Q(x)P (x)

(P (x), Q(x) は互いに素)に対し,

6.2. 部分分数展開 73

• Q(x)を P (x)で割った商を Q1(x)余りを R(x) (すなわちQ(x) = P (x)Q1(x)+R(x), deg R(x) � deg P (x))

• P (x) の既約因数分解をP (x) = a

∏i

(x − bi)ni

∏j

(x2 + cjx + dj)mj

(a, bi, cj , dj ∈ R, cj − 4dj < 0, bi 6= bi′ (i 6= i′), (cj , dj) 6= (cj′ , dj′) (j 6= j′))

とすると, ∃βil,∃γjk, ∃δjk ∈ R が存在して

Q(x)P (x)

=Q1(x) +R(x)P (x)

=Q1(x) +∑

i

{ βi1

x − bi+

βi2

(x − bi)2+ · · · + βini

(x − bi)ni

}+

∑j

{ γj1x + δj1

x2 + cjx + dj+

γj2x + δj2

(x2 + cjx + dj)2+ · · · +

γjmj x + δjmj

(x2 + cjx + dj)mj

}と (和の順番を除いて)一意的に分解出来る.

Proof. 次の未定係数法を使い, 連立方程式の話にすれば証明できるが, ここではしない.

部分分数展開の仕方1:未定係数法

有理関数R(x)P (x)

(deg R � deg P ) の部分分数展開は Theorem 6.10 によると,

R(x)P (x)

=∑

i

{ βi1

x − bi+

βi2

(x − bi)2+ · · · + βini

(x − bi)ni

}+

∑j

{ γj1x + δj1

x2 + cjx + dj+

γj2x + δj2

(x2 + cjx + dj)2+ · · · +

γjmjx + δjmj

(x2 + cjx + dj)mj

}の形である. この右辺を通分して分母を P (x) にしたとき, 分子に出てくるのは R(x) になるはずである. この分子と R(x) の係数を比較すると βil, γjk, δjk の連立方程式ができ, それを解くことにより, βil, γjk, δjk の値がわかる.

Example 16.3x

x3 − 1の部分分数展開をしてみよう. まず, 分母を因数分解すると x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)

であるので,3x

x3 − 1=

A

x − 1+

Bx + C

x2 + x + 1

の形に展開できるはずである.

この右辺を通分すると

A

x − 1+

Bx + C

x2 + x + 1=

A(x2 + x + 1) + (Bx + C)(x − 1)(x − 1)(x2 + x + 1)

=(A + B)x2 + (A − B + C)x + (A − C)

x3 − 1

であるから, 分子を係数比較して 0 = A + B

3 = A − B + C

0 = A − C

である. これを解いて A = 1, B = −1, C = 1 を得る. よって

3x

x3 − 1=

1x − 1

+−x + 1

x2 + x + 1.

74 第 6章 積分の計算

2: Laurent 展開を使う方法

F (x) =R(x)

(x − α)nP (x)(α ∈ C)を考える. ただし x−α は P (x) も Q(x) も割り切らないとする. F (x) は x = α

では分母が 0 となるので, x = α で定義されない. 当然 x = α では不連続で微分も出来ない. しかし

Fα(x) := (x − α)nF (x) =R(x)P (x)

とおけば, これは分母が 0 にならないので, x = α で定義され, かつ C∞-級である (実は更に「解析的」という強い条件を満たす). したがって Fα(x) は x = α を中心に Taylor 展開でき,

Fα(x) =Fα(α) +Fα

(1)(α)1!

(x − α)1 +Fα

(2)(α)2!

(x − α)2 + · · · + Fα(n−1)(α)

(n − 1)!(x − α)n−1

+((x − α) の n 次以上の項

)とできる. この両辺を (x − α)n で割れば,

F (x) =Fα(x)

(x − α)n=

Fα(α)(x − α)n

+

(F (1)α (α)1!

)(x − α)n−1

+

(F (2)α (α)2!

)(x − α)n−2

+ · · · +

(F (n−1)α (α)(n−1)!

)x − a

+((x − α) の 0 次以上の項

)という形に展開できる (これを F (x) の x = α を中心とした Laurent 展開と呼ぶ). 実はこれが部分分数展開の一部である. すなわち

部分分数展開の 1(x−α)n−k の係数 =

Fα(k)(α)k!

である. 一般には Fα(k)(x) の計算が大変なので, この方法を使っても計算は楽にはならないが, 次の 2 つの例は

この方法で計算が楽な典型的な例である.

Example 17. 分母が互いに異なる一次式の積に因数分解できるとき. このときは微分しないで良いので簡単に計

算できる. 例えば F (x) =x2 + 2x + 4

(x + 1)(x − 1)(x − 2)の部分分数展開をしよう.

F−1(x) := (x + 1)F (x) =x2 + 2x + 4

(x − 1)(x − 2)とおくと, F−1(−1) =

(−1)2 + 2(−1) + 4(−1 − 1)(−1 − 2)

=12

.

F1(x) := (x − 1)F (x) =x2 + 2x + 4

(x + 1)(x − 2)とおくと, F1(1) =

(1)2 + 2(1) + 4(1 + 1)(1 − 2)

= − 72

.

F2(x) := (x − 2)F (x) =x2 + 2x + 4

(x + 1)(x − 1)とおくと, F2(2) =

(2)2 + 2(2) + 4(2 + 1)(2 − 1)

= 4.

したがって,x2 + 2x + 4

(x + 1)(x − 1)(x − 2)=

(12

)x + 1

+

(−7

2

)x − 1

+4

x − 2.

Example 18. 分母の因子が 2 種類で分子が定数のとき. このときは微分が非常に簡単に計算できる. 例えば

F (x) =1

(x − 1)3(x − 2)4の部分分数展開をしよう.

F1(x) := (x − 1)3F (x) =1

(x − 2)4= (x − 2)−4 とおけば,

F1(1) = (1 − 2)−4 = 1.

F1(1)(x) = −4(x − 2)−5より, F1

(1)(1) = −4(1 − 2)−5 = −4.

F1(2)(x) = 20(x − 2)−6より, F1

(2)(1) = 20(1 − 2)−6 = 20.

6.2. 部分分数展開 75

F2(x) := (x − 2)4F (x) =1

(x − 1)3= (x − 1)−3 とおけば,

F2(2) = (2 − 1)−3 = 1.

F2(1)(x) = −3(x − 1)−4より, F2

(1)(2) = −3(2 − 1)−4 = −3.

F2(2)(x) = 12(x − 1)−5より, F2

(2)(2) = 12(2 − 1)−5 = 12.

F2(3)(x) = −60(x − 1)−6より, F2

(3)(2) = −60(2 − 1)−6 = −60.

したがって

1(x − 1)3(x − 2)4

=1

(x − 1)3+

−41!

(x − 1)2+

202!

x − 1

+1

(x − 2)4+

−31!

(x − 2)3+

122!

(x − 2)2+

−603!

x − 2.

76 第 6章 積分の計算

6.3 有理関数の積分

有理関数は部分分数展開 Theorem 6.10 により

i ) 多項式

ii )β

(x − b)n(n ≥ 1)

iii )γx + δ

(x2 + cx + d)m(m ≥ 1, c2 − 4d < 0)

の形のものの和に分解される. 故にこれらの積分さえ分かれば有理関数の積分が計算出来る.

i ) 多項式の積分は簡単. ∫xn dx =

1n + 1

xn+1.

ii ) この形の積分も簡単である.

∫dx

(x − b)n=

log |x − b| (n = 1 のとき)1

−n + 1· 1(x − b)n−1

(n ≥ 2 のとき)

iii ) まず分母を平方完成する.

x2 + cx + d = (x + e)2 + f (e =c

2, f =

4d − c2

4> 0)

= f{

1 +( 1√

f(x + e)

)2}故に必要ならば 1√

f(x + e) = t と変数変換 (置換積分)して iii) の項は

γt + δ

(1 + t2)m(m ≥ 1)

の形に変形出来る. 故に

iii -1)t

(1 + t2)m

iii -2)1

(1 + t2)m

の形の積分が出来れば良い.

iii -1) この積分は (1 + t2)′ = 2t であるので簡単に計算出来る.∫t

(1 + t2)mdt =

12

∫2t

(1 + t2)mdt

=

12 log(1 + t2) (m = 1)

12(−m + 1)(1 + t2)m−1

(m ≥ 2)

iii -2) この積分は m = 1 のときは簡単. m ≥ 2 のときは次の Proposition 6.11 を使って帰納的に計算していく.∫dt

(1 + t2)m=

{Arctan t (m = 1)Km (m ≥ 2)

Proposition 6.11. Km :=∫

dt

(1 + t2)m(m ≥ 1) は次の漸化式を満たす.

Km+1 =t

2m(1 + t2)m+

2m − 12m

Km.

6.3. 有理関数の積分 77

Proof. 部分積分する.

Km =∫

dt

(1 + t2)m

=∫

t′ · 1(1 + t2)m

dt

=t

(1 + t2)m−

∫t(−m)

2t

(1 + t2)m+1dt

=t

(1 + t2)m+ 2m

∫t2

(1 + t2)m+1dt

=t

(1 + t2)m+ 2m

∫(1 + t2) − 1(1 + t2)m+1

dt

=t

(1 + t2)m+ 2m

{∫1

(1 + t2)mdt −

∫1

(1 + t2)m+1dt

}=

t

(1 + t2)m+ 2m

{Km − Km+1

}したがって

2mKm+1 =t

(1 + t2)m+ (2m − 1)Km,

Km+1 =t

2m(1 + t2)m+

2m − 12m

Km.

Example 19. ∫dt

(1 + t2)2= K2 = K1+1 =

t

2 · 1(1 + t2)1+

2 · 1 − 12 · 1

K1

=t

2(1 + t2)+

12

Arctan t.∫dt

(1 + t2)3= K3 = K2+1 =

t

2 · 2(1 + t2)2+

2 · 2 − 12 · 2

K2

=t

4(1 + t2)2+

34

{t

2(1 + t2)+

12

Arctanx

}=

t

4(1 + t2)2+

3t

8(1 + t2)+

38

Arctan t.

Example 20.∫

x8 + x7 − x5

(x − 1)2(x2 + 1)2dx を計算しよう.

まずは分子を分母で割ると

x8 + x7 − x5 = (x2 + 3x + 3)(x − 1)2(x2 + 1)2 + 5x3 − 4x2 + 3x − 3

であるのでx8 + x7 − x5

(x − 1)2(x2 + 1)2= x2 + 3x + 3 +

5x3 − 4x2 + 3x − 3(x − 1)2(x2 + 1)2

である.

次に有理関数 F (x) :=5x3 − 4x2 + 3x − 3(x − 1)2(x2 + 1)2

の部分分数展開を求める. 部分分数展開における1

(x − 1)2の係数

と1

x − 1の係数は Laurent 展開を使って求めるのが楽である. F1(x) := (x − 1)2F (x) =

5x3 − 4x2 + 3x − 3(x2 + 1)2

と

すると

F1(1) =5 · 13 − 4 · 12 + 3 · 1 − 3

(12 + 1)2=

14

,

78 第 6章 積分の計算

F1′(x) =

−5x4 + 8x3 + 6x2 + 4x + 3(x2 + 1)3

, F1′(1) =

−5 · 14 + 8 · 13 + 6 · 12 + 4 · 1 + 3(12 + 1)3

=168

= 2

であるので,1

(x − 1)2の係数は

14であり,

1x − 1

の係数は21!

= 2 である.

残りのx

x2 + 1,

1x2 + 1

,x

(x2 + 1)2,

1(x2 + 1)2

の係数は次の様に計算する.

5x3 − 4x2 + 3x − 3(x − 1)2(x2 + 1)2

−{ 1

4

(x − 1)2+

2x − 1

}=

4(5x3 − 4x2 + 3x − 3) − (x2 + 1)2 − 8(x − 1)(x2 + 1)2

4(x − 1)2(x2 + 1)2

=−8x5 + 7x4 + 4x3 − 2x2 + 4x − 5

4(x − 1)2(x2 + 1)2

この右辺の分母は (x − 1)2 で割り切れるはずである. 実際計算すると

=(x − 1)2(−8x3 − 9x2 − 6x − 5)

4(x − 1)2(x2 + 1)2

=−8x3 − 9x2 − 6x − 5

4(x2 + 1)2

この分子を x2 + 1 で割ると

=(x2 + 1)(−8x − 9) + 2x + 4

4(x2 + 1)2

=−8x − 94(x2 + 1)

+2x + 4

4(x2 + 1)2

=−2x

x2 + 1+

− 94

x2 + 1+

12 x

(x2 + 1)2+

1(x2 + 1)2

.

したがって

5x3 − 4x2 + 3x − 3(x − 1)2(x2 + 1)2

=14

(x − 1)2+

2x − 1

+−2x

x2 + 1+

− 94

x2 + 1+

12 x

(x2 + 1)2+

1(x2 + 1)2

であるので∫x8 + x7 − x5

(x − 1)2(x2 + 1)2dx

=∫ {

x2 + 3x + 3 +14

(x − 1)2+

2x − 1

+−2x

x2 + 1+

− 94

x2 + 1+

12 x

(x2 + 1)2+

1(x2 + 1)2

}dx

=13

x3 +32

x2 + 3x − 14(x − 1)

+ 2 log |x − 1|

− log |x2 + 1| − 94

Arctanx − 14(x2 + 1)

+(

x

2(x2 + 1)+

12

Arctanx

)+ C

=13

x3 +32

x2 + 3x − 14(x − 1)

+ 2 log |x − 1|

− log |x2 + 1| − 74

Arctanx − 14(x2 + 1)

+x

2(x2 + 1)+ C. (C は積分定数)

6.4. 有理関数の積分に帰着出来る問題 79

6.4 有理関数の積分に帰着出来る問題

ここでは 2 変数有理関数 R(x, y) =Q(x, y)P (x, y)

(P , Q は 2 変数多項式関数) と, 特殊な関数 x = ϕ(t), y = ψ(t) の

合成で得られる 1 変数関数 R(ϕ(t), ψ(t)) の積分∫R(ϕ(t), ψ(t)) dt

が有理関数の積分に帰着出来ることを示そう。

Remark. ϕ(t), ψ(t) が t の有理関数ならば, R(ϕ(t), ψ(t)) も t の有理関数である.

Case 1.∫

R(x,√

ax + b) dx (a 6= 0)

このときは t =√

ax + b で置換積分する. すると t2 = ax + b, x =t2 − b

a, dx =

2a

t dt であるので,

∫R(x,

√ax + b) dx =

∫R

( t2 − b

a, t

) 2a

t dt

であるが, この右辺の非積分関数は t の有理関数である.

Example.∫

dx

x +√

x + 2の積分を計算しよう. t =

√x + 2 とおけば, x = t2 − 2, dx = 2t dt である. したがって

∫dx

x +√

x + 2=

∫2t dt

(t2 − 2) + t

=∫

2t

(t − 1)(t + 2)dt

=∫ { 2

3

t − 1+

43

t + 2

}dt

=23

log |t − 1| + 43

log |t + 2| + C

=23

log |√

x + 2 − 1| + 43

log |√

x + 2 + 2| + C.

Case 2.∫

R(x,√

ax2 + bx + c) dx (a > 0)

このときは t =√

ax2 + bx + c +√

a x で置換積分する. t −√

a x =√

ax2 + bx + c の両辺を 2 乗して, x につい

て解くと

t2 − 2√

a tx + ax2 = ax2 + bx + c

(b + 2√

a t)x = t2 − c

x =t2 − c

b + 2√

a t

よってdx

dt=

2t(b + 2√

a t) − (t2 − c)2√

a

(b + 2√

a t)2=

2(√

a t2 + bt −√

a c)(b + 2

√a t)2

dx =2(√

a t2 + bt −√

a c)(b + 2

√a t)2

dt

であるので,∫R(x,

√ax2 + bx + c) dx =

∫R

( t2 − c

b + 2√

a t, t −

√a

t2 − c

b + 2√

a t

) 2(√

a t2 + bt −√

a c)(b + 2

√a t)2

dt

となり, 有理関数の積分に帰着出来た.

80 第 6章 積分の計算

Case 3.∫

R(x,√

ax2 + bx + c) dx (a < 0)

b2 − 4ac < 0 のときは ∀x ∈ R に対して ax2 + bx + c < 0 となるので, このときは考えない.b2 − 4ac > 0 とし,

ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β) (α < β)

と因数分解しているとする. このとき t =√

x − α

β − xで置換積分する.

t2(β − x) = x − α

(1 + t2)x = α + βt2

x =α + βt2

1 + t2.

したがって

dx =2βt(1 + t2) − (α + βt2)2t

(1 + t2)2dt

=2(β − α)t(1 + t2)2

dt.

更に √ax2 + bx + c =

√a(x − α)(x − β)

=√

−a(x − α)(β − x)

=√−a

√x − α

β − x(β − x)

=√−a · t ·

(β − α + βt2

1 + t2

).

よって ∫R(x,

√ax2 + bx + c ) dx =

∫R

( α + βt2

1 + t2,√−a t

(β − α + βt2

1 + t2

))· 2(β − α)t

(1 + t2)2dt.

Case 4.∫

R(x, n

√ax+bcx+d

)dx (ad − bc 6= 0)

このときは t := n

√ax + b

cx + dで置換積分する. 両辺 n 乗して分母をはらうと

tn(cx + d) = ax + b

(ctn − a)x = b − dtn

x =b − dtn

ctn − a.

よって

dx =−dntn−1(ctn − a) − (b − dtn)nctn−1

(ctn − a)2dt

=n(ad − bc)tn−1

(ctn − a)2dt

であるので ∫R(x, n

√ax+bcx+d ) dx =

∫R(

b − dtn

ctn − a, t) · n(ad − bc)tn − 1

ctn − adt.

6.4. 有理関数の積分に帰着出来る問題 81

Case 5.∫

R(cos θ, sin θ) dθ

このときは t = tan θ2 で置換積分する. θ = 2Arctan t より

dθ =2

1 + t2dt.

また

cos2θ

2=

11 + tan2 θ

2

=1

1 + t2.

したがって

cos θ = 2 cos2θ

2− 1 =

21 + t2

− 1 =1 − t2

1 + t2,

sin θ = 2 sinθ

2cos

θ

2= 2 tan

θ

2cos2

θ

2= 2t

11 + t2

=2t

1 + t2.

よって ∫R(cos θ, sin θ) dθ =

∫R

( 1 − t2

1 + t2,

2t

1 + t2) 2

1 + t2dt

Remark. 単位円 S の代表的な表示には次の３つがある。今の置換積分は次の 2. と 3. との対応を考えているに他ならない.

1. 定義方程式による表示.S = {(x, y) | x2 + y2 = 1}

2. 偏角 θ によるパラメータ付け.S = {(cos θ, sin θ) | θ ∈ R}

3. (−1, 0) を通る直線の傾き t によるパラメータ付け.S =

{(1−t2

1+t2 , 2t1+t2

)| −∞ ≤ t ≤ ∞

}-x

6y

kθKα = θ

2

tanα = t

y = t(x + 1)

1の意味:√

x2 + y2 は点 (x, y) と原点 (0, 0) との距離である. したがって

x2 + y2 = 1 ⇔√

x2 + y2 = 1 ⇔ (x, y) と原点との距離が 1 ⇔ (x, y) は原点中心, 半径 1 の円周上にある.

1と 2との関係: 三平方の定理 cos2 θ + sin2 θ = 1 は点 (cos θ, sin θ) が単位円上にあることを示している.2と 3との関係: 直線 y = t(x + 1) と x 軸の正の向きとのなす角を α とすると,

t = tanα, α =θ

2

3と 1との関係: t 6= ±∞ のとき, 連立方程式 {x2 + y2 = 1y = t(x + 1)

を解くと, (x, y) = (−1, 0), ( 1−t2

1+t2 , 2t1+t2 ) を得る.

83

第7章 積分の応用

7.1 曲線の長さ

Definition. 有界閉区間 I = [a, b] から Rn への写像

C : [a, b]−→Rn∈ ∈

t 7−→C(t) := (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

(x1(t), . . . , xn(t) は I 上の関数) を曲線と呼ぶ. C(a) を C の始点, C(b) を C の終点と呼ぶ.

• x1(t), . . . , xn(t) が全て連続であるとき, C を連続曲線と呼ぶ.

• x1(t), . . . , xn(t) が C1-級であるとき, C を C1-級曲線と呼ぶ.

同様に, 微分可能曲線, C∞-級曲線なども定義する.

Remark. 像 C(I) = {C(t) | t ∈ I}(⊂ Rn) を曲線, 写像 C : I → Rn を曲線のパラメータ表示ということもある.ここでは, パラメータ表示が違うものは異なる曲線としてあつかうことにする.

Example. 中心 (0, 0) 半径 R の円 {(x, y) | x2 + y2 = R2} のパラメータ表示には何通りもある.

C1(t) = (R cos t, R sin t) 0 ≤ t ≤ 2π (反時計回り)C2(t) = (R cos t, R sin t) −π ≤ t ≤ 3π (反時計回り: C1 とは始点・終点が違う)C3(t) = (R cos(−t), R sin(−t)) 0 ≤ t ≤ 2π (時計回り)C4(t) = (R cos t, R sin t) 0 ≤ t ≤ 4π (反時計回り・二回転)

半円ならば, 次の様なパラメータ表示もある

C5(t) = (x,√

R2 − x2) − R ≤ x ≤ R

Remark. 上の定義では一点につぶれる写像

C(t) = (x1, x2, . . . , xn) (∀t ∈ I)

(すなわち, 各 xi(t) が定数関数) も曲線としてあつかっている.

積分論において「図形の面積」は長方形の面積の和で近似していった極限であった。これは「長方形の面積＝

タテ ×ヨコ」が広さを的確に表しているので, 一般の面積も長方形の面積を用いるべきであるという思想によるものである .「曲線の長さ」も同様な思想のもと定義する. まず長さを的確に表すのは線分の長さ (2 点間の距離)であるの

で, それを使って曲線の長さを近似する.

Definition (2 点間の距離). Rn 上の 2 点 P = (p1, p2, . . . , pn), Q = (q1, q2, . . . , qn) 間の距離 d(P,Q) を

d(P,Q) =√

(p1 − q1)2 + (p2 − q2)2 + · · · + (pn − qn)2

と定義する.

84 第 7章 積分の応用

連続曲線 C : I = [a, b] → Rn, C(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) を考える. I の分割 ∆ = {tj}Nj=0 a = t0 < t1 < · · · <

tN = b に対して C 上の 2 点 C(tj−1), C(tj) 間の距離は d(C(tj−1), C(tj)) 間の距離は

d(C(tj−1), C(tj)) =√(

x1(tj) − x1(tj−1))2 + · · · +

(xn(tj) − xn(tj−1)

)2

である. したがって, C(a) = C(t0), C(t1), . . . , C(tN ) = C(b) を結ぶ折れ線の長さは

`(∆) =N∑

j=1

d(C(tj−1), C(tj))

=N∑

j=1

√(x1(tj) − x1(tj−1)

)2 + · · · +(xn(tj) − xn(tj−1)

)2

で与えられる.

Definition. 極限値 lim|∆|→0

`(∆) が ∆ の取り方に依らず一定値に収束するとき, その値を C の長さと呼び, ここで

は `(C) と表す.

Lemma 7.1 (三角不等式). ∀P,Q,R ∈ Rn に対して

|d(P,R) − d(Q, R)| ≤ d(P,Q) ≤ d(P,R) + d(Q,R).

Proof. ここではやらない. (後半の不等式さえ示せば, それから前半は出る)

Theorem 7.2. C(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) : I = [a, b] → Rn を C1-級曲線とすると

`(C) =∫ b

a

√(dx1

dt(t)

)2

+ · · · +(dxn

dt(t)

)2

dt.

Proof. n = 2, C(t) = (x(t), y(t)) のときのみ示すが, 一般の n のときも全く同様である. ∆ = {tj}Nj=0 を I の分

割とする. 平均値の定理 Theorem 4.2 より

x(tj) − x(tj−1) = x′(ξj)(tj − tj−1), tj−1 < ∃ξj < tj

y(tj) − y(tj−1) = y′(ηj)(tj − tj−1), tj−1 < ∃ηj < tj

と出来る.今 x(t), y(t) は C1-級であるので, x′(t), y′(t) は I = [a, b] 上連続. したがって Theorem 2.11 より x′(t), y′(t)

は一様連続. 故に ∀ε > 0 に対して ∃δ > 0 があって

|t − t′| < δ ⇒ |x′(t) − x′(t′)| < ε かつ |y′(t) − y′(t′)| < ε

とできる. したがって |∆| < δ なるとき, |ξj − tj | < δ, |ηj − tj | < δ であるので

|x′(ξj) − x′(tj)| < ε かつ |y′(ηj) − y′(tj)| < ε

となる. ここで Lemma 7.1 より∣∣∣√x′(ξj)2 + y′(ηj)2 −√

x′(tj)2 + y′(tj)2∣∣∣ ≤ √(

x′(ξj) − x′(tj))2 +

(y′(ηj) − y′(tj)

)2

<√

ε2 + ε2 =√

2 ε.

したがって √x′(tj)2 + y′(tj)2 −

√2 ε ≤

√x′(ξj)2 + y′(ηj)2 ≤

√x′(tj)2 + y′(tj)2 +

√2 ε. (∗)

7.1. 曲線の長さ 85

ここで

`(∆) =N∑

j=1

√(x(tj) − x(tj−1)

)2 +(y(tj) − y(tj−1)

)2

=N∑

j=1

√{x′(ξj)(tj − tj−1)

}2 +{y′(ηj)(tj − tj−1)

}2

=N∑

j=1

√x′(ξj)2 + y′(ηj)2 (tj − tj−1)

であるので, (∗) の各辺に (tj − tj−1) をかけて j = 1, 2, . . . , N について和をとれば,

N∑j=1

{√x′(tj)2 + y′(tj)2 −

√2 ε

}(tj − tj−1) ≤ `(∆) ≤

N∑j=1

{√x′(tj)2 + y′(tj)2 +

√2 ε

}(tj − tj−1),

N∑j=1

√x′(tj)2 + y′(tj)2(tj − tj−1) −

√2 ε(b − a) ≤ `(∆) ≤

N∑j=1

√x′(tj)2 + y′(tj)2(tj − tj−1) +

√2 ε(b − a),

R(∆,

√x′2 + y′2) −

√2 ε(b − a) ≤ `(∆) ≤ R(∆,

√x′2 + y′2) +

√2 ε(b − a)

となる.今 x, y は C1-級であるので

√x′2 + y′2 は連続, したがって Corollary 5.8 より I 上積分可能である. また ε → 0

であるとき δ → 0, したがって |∆| → 0 であるので, はさみうちの原理 Theorem 1.17 より,

lim|∆|→0

`(∆) = lim|∆|→0

R(∆,

√x′2 + y′2) =

∫ b

a

√x′(t)2 + y′(t)2 dt.

Corollary 7.3. 有界閉区間 I = [a, b] 上の C1-級関数 f(x) のグラフの長さは

` =∫ b

a

√1 + f ′(x)2 dx

で与えられる.

Proof. f(x) のグラフはΓf = {(x, f(x)) | x ∈ I}

であり, これは曲線のパラメータ表示 (パラメータ x) を与えている.dx

dx(x) = 1,

df

dx(x) = f ′(x) であるので,

Theorem 7.2 より明らか.

Example. 半径 R(> 0) の円の円周 ` を求めよう. 半径 R の円は

C(t) = (x(t), y(t)) = (R cos t, R sin t) (0 ≤ t ≤ 2π)

というパラメータ表示を持つので

` =∫ 2π

0

√(dx

dt )2 + (dydt )2 dt

=∫ 2π

0

√R2 sin2 t + R2 cos2 t dt

=∫ 2π

0

R dt = 2πR.

86 第 7章 積分の応用

Example. 放物線 {(x, x2) | 0 ≤ x ≤ a} の長さ `を求めよう.

` =∫ a

0

√1 + 4x2 dx.

t =√

1 + 4x2 + 2x とおく. x = 0 のとき t = 1, x = a のとき t =√

1 + 4a2 + 2a である. また

t − 2x =√

1 + 4x2,

t2 − 4tx + 4x2 = 1 + 4x2,

x =t2 − 1

4t,

dx =2t · 4t − (t2 − 1) · 4

16t2dt =

t2 + 14t2

dt,√1 + 4x2 = t − 2x

であるので

` =∫ a

0

√1 + 4x2 dx

=∫ a

0

(t − 2x) dx

=∫ a

0

t dx −∫ a

0

2x dx

=∫ √

1+4a2+2a

1

t · t2 + 14t2

dt −∫ a

0

2x dx

=∫ √

1+4a2+2a

1

( t

4+

14t

)dt −

∫ a

0

2x dx

=[ t2

8+

14

log t]√1+4a2+2a

1−

[x2

]a

0

=(√

1 + 4a2 + 2a)2

8+

14

log(√

1 + 4a2 + 2a) − 18

− a2

=1 + 4a2 + 4a

√1 + 4a2 + 4a2

8+

14

log(√

1 + 4a2 + 2a) − 18

− 8a2

8

=12

a√

1 + 4a2 +14

log(√

1 + 4a2 + 2a).

7.2. 扇型の面積 87

7.2 扇型の面積

ここでは極方程式 r = r(θ) で表される曲線, すなわち直交座標で C(θ) = (r(θ) cos θ, r(θ) sin θ) と表される曲線を考える. ただし, r(θ) : I = [a, b] → R は正値連続関数とする.

a < b < a + 2π とし, 曲線 r = r(θ) と 2つの半直線 θ = a, θ = b で囲まれて出来る

「扇型」の面積を計算しよう. 積分論において「図形の面積」とは長方形の面積の和で近似していった極限であるが, 三角形の面積の和で近似しても極限が等しいという事実は認めることにする. 「扇型」の面積を三角形で近似しよう.

-

6

aM

bi C(a)

C(b)

Oまず I = [a, b] の分割 ∆ = {tj}Nj=0 を考える. 3 点 O, C(tj−1), C(tj) を頂点とする

三角形の面積 Sj は

Sj =12|OC(tj−1)| · |OC(tj)| · sin(tj − tj−1)

=12

r(tj−1) r(tj) sin(tj − tj−1)

で与えられる. 考えている「扇型」の面積はこれらの三角形の面積の和

S(∆) =N∑

j=1

12

r(tj−1)r(tj) sin(tj − tj−1)

で近似出来る. もし |∆| → 0 の極限の取り方に依らず, lim|∆|→0

S(∆) が一定値に収束すれば, その値がこの「扇型」

の面積である.

Lemma 7.4. tj−1 < ∃ξj < tj が存在して

r(tj−1)r(tj) = r(ξj)2.

Proof. r(θ) が正値連続であるので, log r(θ) も連続. よって中間値の定理 Theorem 2.8より, tj−1 < ∃ξj < tj で

log r(ξj) =log r(tj−1) + log r(tj)

2を満たすものが存在する. これより明らかに

r(ξj)2 = r(tj−1)r(tj).

Lemma 7.5. −1 ≤ ∃Mj ≤ 1 が存在して

sin(tj − tj−1) = (tj − tj−1) +Mj

2!(tj − tj−1)2.

Proof. sinx の Maclaurin 展開より明らか. 実際

Mj = sin(2)(η(tj − tj−1)

)= − sin

(η(tj − tj−1)

), (0 < ∃η < 1)

の形である.

Lemma 7.4, Lemma 7.5 を使って, S(∆) を書き換えてみると

S(∆) =N∑

j=1

12

r(ξj)2{

(tj − tj−1) +Mj

2(tj − tj−1)2

}

=12

N∑j=1

r(ξj)2(tj − tj−1) +14

N∑j=1

r(ξj)2 Mj(tj − tj−1)2

=12

R(∆, {ξj}; r(θ)2) +14

N∑j=1

r(ξj)2 Mj(tj − tj−1)2

88 第 7章 積分の応用

Lemma 7.6.

lim|∆|→0

14

N∑j=1

r(ξj)2 Mj (tj − tj−1)2 = 0.

Proof. まず r(θ) は有界閉区間 I = [a, b] 上の連続関数であるので, 有界である. すなわち ∃M > 0 が存在して

|r(θ)| < M (∀θ ∈ I)

と出来る. よって

∣∣∣ N∑j=1

r(ξj)2 Mj (tj − tj−1)2∣∣∣ ≤ N∑

j=1

|r(ξj)|2 |Mj ||tj − tj−1|2

≤N∑

j=1

M2 · 1 · |∆| · |tj − tj−1|

≤ M2|∆|N∑

j=1

(tj − tj−1)

= M2 · |∆| · (b − a).

ここで M , b − a は ∆ の取り方に依らない定数であるので,

lim|∆|→0

∣∣∣ N∑j=1

r(ξj)2 Mj (tj − tj−1)2∣∣∣ ≤ lim

|∆|→0M2 · |∆| · (b − a) = 0.

今 r(θ) は連続関数であるので, r(θ)2 は I 上積分可能である. これと Lemma 7.6 より

lim|∆|→0

S(∆) = lim|∆|→0

12

R(∆; r(θ)2) + lim|∆|→0

14

N∑j=1

r(ξj)2 Mj (tj − tj−1)2

=12

∫ b

a

r(θ)2 dθ + 0.

以上をまとめると次の結果を得る.

Theorem 7.7. r(θ) : I = [a, b] → R (a < b < a + 2π) を連続関数とするとき, 極方程式 r = r(θ), θ = a, θ = b

で表される三曲線で囲まれる「扇型」の面積は

12

∫ b

a

r(θ)2 dθ

と等しい.

7.3. 体積 89

7.3 体積

90 第 7章 積分の応用

7.4 Taylor の定理の積分形

Theorem 7.8. I を区間, f(x) : I → R を Cn+1-級関数, a ∈ I を定点とする. このとき ∀x ∈ I に対して

f(x) = f(a)＋f (1)(a)

1!(x − a) +

f (2)(a)2!

(x − a)2 + · · · + f (n)(a)n!

(x − a)n + Rn+1(x)

とかけ, 誤差項 Rn+1(x) は次の形に表される.

Rn+1(x) =∫ x

a

(x − t)n

n!f (n+1)(t) dt.

Proof. 帰納法を用いて証明する. n = 0 のときは Theorem 5.21

f(x) − f(a) =∫ x

a

f ′(t) dt

そのものである.n = k − 1 まで等式が成り立つとする. まず,

Rk(x) =∫ x

a

(x − t)k−1

(k − 1)!f (k)(t) dt

=∫ x

a

d

dt

{−(x − t)k

k!

}f (k)(t) dt

=[− (x − t)k

k!f (k)(t)

]x

a

−∫ x

a

−(x − t)k

k!· df (k)

dt(t) dt

=(x − a)k

k!f (k)(a) +

∫ x

a

(x − t)k

k!f (k+1)(t) dt

=(x − a)k

k!f (k)(a) + Rk+1(x).

7.5. 円周率 π が無理数であること 91

7.5 円周率 π が無理数であること

Lemma 7.9. 任意の正定数 a > 0 に対してlim

n→∞

an

n!= 0.

Proof. m > a なる自然数 m を一つ取り固定する. r := am とおけば 0 < r < 1 であるので, lim

n→∞rn = 0 である.

∀n > m に対して

0 <an

n!=

am−1

(m − 1)!·

n∏k=m

a

k<

am−1

(m − 1)!·

n∏k=m

r =|a|m−1

(m − 1)!· r−m+1 · rn

この右辺は n → ∞ のとき 0 に収束するので, はさみうちの原理より

limn→∞

an

n!= 0.

Lemma 7.10. 多項式関数 f(x) = A0 + A1x + A2x2 + · · · + Adx

d に対して

f (k)(0) = k!Ak (∀k = 0, 1, 2, . . . )

が成り立つ.

Proof. f(0) = A0 であることは明らか.

f ′(x) = 1A1 + 2A2x1 + 3A3x

2 + · · · + dAdxd−1

より f ′(0) = 1A1.

f (2)(x) = 2 · 1A2 + 3 · 2A3x1 + 4 · 3A4x

2 + · · · + d(d − 1)Adxd−2

= 2!A2 + 3P2A3x1 + 4P2A4x

2 + · · · + dP2Adxd−2

より f (2)(0) = 2! · A2. これを繰り返すと

f (k)(x) = k!Ak + k+1PkAk+1x1 + k+2PkAk+2x

2 + · · · + dPkAdxd−k

より f (k)(0) = k! · Ak を得る.

Theorem 7.11. 円周率 π は無理数である.

Proof. 背理法で示す. π が有理数であるとする. 自然数 p, q ∈ N で

π =q

p

と書けているとする.自然数 n ∈ N に対し, 関数 fn(x) を

fn(x) :=1n!

pnxn(π − x)n

と定義する. fn(x) は次の性質をもつ. まず fn(x) は 2n 次多項式であるので, 2n + 1 階以上の微分は消える. 特に

f (2n+2)n (x) ≡ 0 (∗1)

である. 次に, 明らかに fn(x) = fn(π − x) が成り立つので,

fn′(x) = fn

′(π − x)(π − x)′ = −fn′(π − x),

92 第 7章 積分の応用

fn(2)(x) = −fn

(2)(π − x)(π − x)′ = fn(2)(π − x)

これを繰り返すと

fn(k)(x) = (−1)kfn

(k)(π − x)

となり, これに x = π を代入すると,fn

(k)(π) = (−1)kfn(k)(0). (∗2)

を得る. また fn(x) の右辺を二項展開すると

fn(x) =1n!

pnxnn∑

k=0

nCkπn−k(−x)k

=n∑

k=0

(−1)k 1n!nCkpnπn−kxn+k

であるので, Lemma 7.10 より

fn(0) = fn(1)(0) = fn

(2)(0) = · · · = fn(n−1)(0) = 0.

また ∀k = 0, 1, 2, . . . , n に対して

fn(n+k)(0) = (n + k)! · (−1)k 1

n!nCk pnπn−k

= (−1)k (n + k)!n! nCk pn

( q

p

)n−k

= (−1)kn+kPk · nCk pkqn−k

となる. 従って特に ∀k = 0, 1, 2, . . . , 2n に対して,

fn(k)(0) ∈ Z (∗3)

である.0 < x < π に対して, 0 < π − x < π であるので,

0 < x(π − x) < π2

である. これの各辺を n 乗して,1n!

pn sinx をかけると, 0 < x < π において sinx > 0 であるので,

0 < fn(x) sinx <(pπ2)n

n!sin x

である. 各辺を x = 0 から x = π まで積分すると

0 <

∫ π

0

fn(x) sinx dx <(pπ2)n

n!

∫ π

0

sin x dx =(pπ2)n

n!· 2

であるが, ここで Lemma 7.9 より limn→∞

(pπ2)n

n!= 0であるので, 十分大きな n ∈ N に対して

(pπ2)n

n!· 2 < 1

と出来る. この様な n を一つ固定し, fn(x) を単に f(x) で表すことにする.

0 <

∫ π

0

f(x) sin x dx < 1 (∗4)

である.

7.5. 円周率 π が無理数であること 93

次に∫ π

0

f(x) sin x dx を部分積分を用いて計算していこう.

∫ π

0

f(x) sinx dx =∫ π

0

f(x)(− cos x)′ dx

=[−f(x) cos x

]π

0+

∫ π

0

f ′(x) cos x dx

= f(π) + f(0) +∫ π

0

f ′(x)(sinx)′ dx

= f(π) + f(0) +[f ′(x) sinx

]π

0−

∫ π

0

f (2)(x) sin x dx

= f(π) + f(0) −∫ π

0

f (2) sin x dx

同様な部分積分を∫ π

0

f (2) sinx dx に行なうと

= f(π) + f(0) −{

f (2)(π) + f (2)(0) −∫ π

0

f (4) sinx dx}

={f(π) + f(x)

}−

{f (2)(π) + f (2)(0)

}+

∫ π

0

f (4)(x) sin x dx

同様な部分積分を繰り返して

=n∑

k=0

(−1)k{f (2k)(π) + f (2k)(0)

}+ (−1)k+1

∫ π

0

f (2n+2)(x) sinx dx

を得る. 従って (∗1), (∗2) より∫ π

0

f(x) sinx dx =n∑

k=0

(−1)k{(−1)2kf (2k)(0) + f (2k)(0)

}=

n∑k=0

(−1)k2 f (2k)(0)

となるが, (∗3) より, この右辺は整数である. これは (∗4) に矛盾する.

95

第8章 広義積分

8.1 広義積分の定義

今までは有界閉区間上の有界な関数についてのみ Riemann 積分を定義してきた. しかし積分区間が有界でなかったり閉でないときや, 非積分関数が有界でないときも, “積分” (すなわちグラフの面積)を定義したい.

Proposition 8.1. I = [a, b] を有界閉区間, f(x) を I 上 Riemann 積分可能 (したがって特に I 上有界)な関数とする. In = [an, bn] ⊂ I (n ∈ N) を,

limn→∞

an = a, limn→∞

bn = b

なる有界閉区間の列とするとき, ∫ b

a

f(x) dx = limn→∞

∫ bn

an

f(x) dx.

Proof. ∀ε > 0 を一つとり固定する. 「∃N ∈ N があって ∀n > N に対して∣∣∣∫ b

a

f(x) dx −∫ bn

an

f(x) dx∣∣∣ < ε」が

成り立つことを示せばよい.まず f は I 上有界であるので ∃M > 0 があって

|f(x)| ≤ M (∀x ∈ I)

とできる. また limn→∞

an = a, limn→∞

bn = b であるので ∃N ∈ N が存在して, ∀n > N に対して

|an − a| <ε

2Mかつ |bn − b| <

ε

2M

とできる. よって ∀n > N に対して∣∣∣∫ b

a

f(x) dx −∫ bn

an

f(x) dx∣∣∣ =

∣∣∣∫ an

a

f(x) dx +∫ b

bn

f(x) dx∣∣∣

≤∣∣∣∫ an

a

f(x) dx∣∣∣ +

∣∣∣∫ b

bn

f(x) dx∣∣∣

≤∫ an

a

|f(x)| dx +∫ b

bn

|f(x)| dx

≤∫ an

a

M dx +∫ b

bn

M dx

= M |an − a| + M |bn − b|

< Mε

2M+ M

ε

2M= ε.

Definition. f(x) を区間 I 上の連続関数とする (したがって I に含まれる有界閉区間に制限すると f(x) はRiemann 積分可能). f(x) が I 上広義積分可能であるとは, 有界閉区間の無限増大列

I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · · ⊂ I,

∞∪n=1

In = I

96 第 8章 広義積分

に対して, 極限

limn→∞

∫In

f(x) dx

の値が, {In} の取り方に依らず, 一定値に収束することをいう. この極限値を f の I 上での広義積分といい,∫I

f(x) dx で表す (a = inf I, b = sup I のとき,∫ b

a

f(x) dx とも表す). また, f が I 上広義積分可能であるとき∫I

f(x) dx は収束するといい, そうでないとき∫

I

f(x) dx は発散するという.

Remark. Proposition 8.1 は, I が有界閉集合で f(x) が I 上有界ならば, f(x) の I 上の「広義積分」と, f(x) のI 上の 「Riemann 積分」が一致するということ.

Proposition 8.2. I を区間, a = inf I, b = sup I とする. f(x) が I 上広義積分可能ならば,∫I

f(x) dx = limA↓a, B↑b

∫ B

A

f(x) dx.

Proof. 広義積分の定義と関数の極限の定義より明らか.

Example. I = (−∞,∞), f(x) = x とする.

In := [−n, n] とすると, I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ I,∞∪

n=1In = I を満たす. さらに

∫In

f(x) dx =∫ n

−n

x dx =[ x2

2

]n

−n=

n2

2− n2

2= 0

であるので, limn→∞

∫In

f(x) dx = 0. 一方 Jn := [−n, n + 1] とすると, J1 ⊂ J2 ⊂ · · · ⊂ I,∞∪

n=1Jn = I を満たし,

∫Jn

f(x) dx =∫ n+1

−n

x dx =[ x2

2

]n+1

−n=

(n + 1)2

2− n2

2= n +

12

.

したがって limn→∞

∫Jn

f(x) dx = ∞ である. よって f(x) = x は I = (−∞,∞) 上広義積分可能ではない.

Lemma 8.3. i )∫ ∞

1

1xp

dx は p > 1 のとき収束, p ≤ 1 のとき発散する.

ii )∫ 1

0

1xp

dx は p < 1 のとき収束, p ≥ 1 のとき発散する.

Proof. i ) p = 1 のとき∫ ∞

1

1x

dx = limB↑∞

∫ B

1

1x

dx = limB↑∞

[log x

]B

1= lim

B↑∞

(log B − log 1

)= ∞.

p 6= 1 のとき ∫ ∞

1

1xp

dx = limB↑∞

∫ B

1

1xp

dx = limB↑∞

[ 1−p + 1

x−p+1]B

1

=1

−p + 1limB↑∞

(B−p+1 − 1

)=

∞ (−p + 1 > 0 すなわち p < 1 のとき)1

p − 1(−p + 1 < 0 すなわち p > 1 のとき)

p ≤ 0 のとき1xpは [0, 1] 上有界であるので, これは普通の Riemann 積分である. このとき∫ 1

0

1xp

dx =[ 1−p + 1

x−p+1]1

0=

1−p + 1

.

8.1. 広義積分の定義 97

p = 1 のとき, ∫ 1

0

1x

dx = limA↓0

∫ 1

A

1x

dx = limA↓0

[log x

]1A

= limA↓0

(log 1 − log A

)= ∞.

p > 0, p 6= 1 のとき, ∫ 1

0

1xp

dx = limA↓0

∫ 1

A

1xp

dx = limA↓0

[ 1−p + 1

x−p+1]1

A

=1

−p + 1limA↓0

(1 − A−p+1

)=

∞ (−p + 1 < 0 すなわち p > 1 のとき)1

p − 1(−p + 1 > 0 すなわち 0 < p < 1 のとき)

Theorem 8.4 (部分積分法). I を区間, a = inf I, b = sup I とし, f(x), g(x) を I 上 C1-級な関数とする.limx↓a

f(x)g(x), limx↑b

f(x)g(x) が収束し f ′(x)g(x) が I 上広義積分可能ならば, f(x)g′(x) も I 上広義積分可能であり,

∫I

f(x)g′(x) dx =[f(x)g(x)

]b

a−

∫I

f ′(x)g(x) dx.

ここで, [f(x)g(x)

]b

a:= lim

x↑bf(x)g(x) − lim

x↓af(x)g(x)

とする.

Proof. 明らか.

Proposition 8.5. I を区間, a := inf I, b := sup I, f(x) : I → R を連続関数とする. ∀c ∈ (a, b) を固定し,I− := {x ∈ I | x ≤ c}, I+ := {x ∈ I | x ≥ c} とおく.

i )∫

I−

f(x) dx,∫

I+

f(x) dxが共に収束するならば,∫

I

f(x) dxも収束し,∫

I

f(x) dx =∫

I−

f(x) dx+∫

I+

f(x) dx.

ii )∫

I−

f(x) dx = ±∞,∫

I+

f(x) dx = ±∞ (複号同順)ならば∫

I

f(x) dx = ±∞.

iii )∫

I−

f(x) dx = ±∞,∫

I+

f(x) dx = ∓∞ (複号同順)ならば f(x) は I 上広義積分不可能.

Proof. a < A ≤ c, c ≤ B < b なる A,B に対して,∫ B

A

f(x) dx =∫ c

A

f(x) dx +∫ B

c

f(x) dx であるので, i ), ii )

は明らか.

iii )∫

I−

f(x) dx = limA↓a

∫ c

A

f(x) dx = −∞,∫

I+

f(x) dx = limB↑b

∫ B

c

f(x) dx = ∞, のとき示す. 逆の場合も全く同

様である.

Lemma 5.18 より S(A) :=∫ c

A

f(x) dx は A についての連続関数である. limA↓a

S(A) = limA↓a

∫ c

A

f(x) dx = −∞ で

あるので, 中間値の定理 Theorem 2.8 より, ∃n0 ∈ N と c ∃A1 ∃A2 · · · ∃An · · · a で

limn→∞

An = a,∫ c

An

f(x) dx = −(n0 + n) (∀n ∈ N)

を満たすものが存在する. 同様に ∃n1 ∈ N と c � ∃B1 � ∃B2 � · · · � ∃Bn � · · · � b で

limn→∞

Bn = b,

98 第 8章 広義積分

∫ Bn

c

f(x) dx = −(n1 + n) (∀n ∈ N)

を満たすものが存在する. このとき,

limn→∞

∫ Bn

An

f(x) dx = limn→∞

(∫ c

An

f(x) dx +∫ Bn

c

f(x), dx)

= limn→∞

(− (n0 + n) + (n1 + n)

)= n1 − n0,

limn→∞

∫ Bn+1

An

f(x) dx = limn→∞

(∫ c

An

f(x) dx +∫ Bn+1

c

f(x), dx)

= limn→∞

(− (n0 + n) + (n1 + n + 1)

)= n1 − n0 + 1

となり, 積分値が極限の取り方に依存して変わる. 従って f(x) は広義積分可能ではない.

8.2. 広義積分の収束判定法 99

8.2 広義積分の収束判定法

広義積分∫

I

f(x) dx の収束性を判定したい. I = (a, b) の形のときは c ∈ (a, b) を一つ固定して, I− = (a, c],

I+ = [c, b) と分ければ, Proposition 8.5 より,∫

I

f(x) dx が収束する必要十分条件は∫

I−

f(x) dx,∫

I+

f(x) dx が

共に収束することである. 従って I = [a, b) の形のときのみ考えればよい.

Theorem 8.6. I を区間とし, f(x) を I 上定義された非負値連続関数とする. このとき, 極限 limn→∞

∫In

f(x) dx

の値は, 有界閉区間の増大列 {In},∞∪

n=1In = I, の取り方に依らず一定である (極限が ∞ のときもある). 従って

f(x) が I 上広義積分可能である必要十分条件は積分が有界であること.

Proof. I = [a, b) としてよい. 区間 In, Jn を

In := [a, xn], a ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · � b, limn→∞

xn = b,

Jn := [a, yn], a ≤ y1 ≤ y2 ≤ · · · � b, limn→∞

yn = b

となるものとする. limn→∞

∫In

f(x) dx = limn→∞

∫Jn

f(x) dx であることを示せば良い.

今 {xn}, {yn} は単調増大で b に収束し, xk � b, yk � b であるので, ∀n ∈ N に対して, ∃M(n), N(n) ∈ N が存在して, xn ≤ yM(n) ≤ xN(n) かつ {M(n)}∞n=1, {N(n)}∞n=1 は狭義単調増加になるように出来る. I 上 f(x) ≥ 0であるので, ∫ xn

a

f(x) dx ≤∫ yM(n)

a

f(x) dx ≤∫ xN(n)

a

f(x) dx

≥ ≥ ≥∫ xn+1

a

f(x) dx ≤∫ yM(n+1)

a

f(x) dx ≤∫ xN(n+1)

a

f(x) dx

である. ここで数列{∫ xn

a

f(x) dx}∞

n=1,{∫ yn

a

f(x) dx}∞

n=1は共に単調増大であるので, 極限はそれぞれ部分列{∫ xM(n)

a

f(x) dx}∞

n=1,{∫ yN(n)

a

f(x) dx}∞

n=1のもとの一致する. 従ってはさみうちの原理 Theorem 1.17 より,

limn→∞

∫ xn

a

f(x) dx = limn→∞

∫ yM(n)

a

f(x) dx

= limn→∞

∫ yn

a

f(x) dx.

Theorem 8.7. f(x)が I = [a, b) (b 6= ∞)で広義積分可能であるための必要十分条件は「∀ε > 0に対して, ∃δ > 0

が存在して, b − δ < ∀x1 < ∀x2 < b に対して∣∣∣∫ x2

x1

f(t) dt∣∣∣ < ε」と出来ること.

Proof. Proposition 1.12 から Theorem 1.15 までの議論 (収束列であることと Cauchy列であることが同値である)

とまったく同様に, 「F (x) :=∫ x

a

f(t) dt の x = b における左極限の存在」することとと「∀ > ε に対して ∃δ > 0

が存在して, b − δ < ∀x1 < ∀x2 < b に対して∣∣∣F (x2) − F (x1)

∣∣∣ < ε」であることが同値なことが分かる. あとは,

F (x2) − F (x1) =∫ x2

a

f(t) dt −∫ x1

a

f(t) dt =∫ x2

x1

f(t) dt

であることから明らか.

100 第 8章 広義積分

Theorem 8.8. f(x) が I = [a,∞) 上広義積分可能であるための必要十分条件は「∀ε > 0 に対して, ∃M > 0 が

存在して, M < ∀x1 < ∀x2 に対して∣∣∣∫ x2

x1

f(t) dt∣∣∣ < ε」と出来ること.

Definition. |f(x)| が I 上広義積分可能であるとき, f(x) は I 絶対可積分である, または, 広義積分∫

I

f(x) dx

は絶対収束する, という.∫

I

f(x) dx は収束するが∫

I

|f(x)| dx = ∞ となるとき, 広義積分∫

I

f(x) dx は条件収束

するという.

Remark. Theorem 8.6 より f(x) が絶対可積分である必要十分条件は,∫

I

|f(x)| dx < ∞ であること.

Theorem 8.9. 関数 f(x) が区間 I 上絶対可積分ならば, f(x) 自身も I 上広義積分可能である.

Proof. Proposition 5.16 より, x1 < x2 に対して∣∣∣∫ x2

x1

f(t) dt∣∣∣ ≤ ∫ x2

x1

|f(t)| dt

である. あとは Theorem 8.7, Theorem 8.8 より明らか.

Theorem 8.10 (優関数判定法). I を区間, f(x), g(x) を I 上の連続関数で, ∀x ∈ I に対して |f(x)| ≤ g(x), かつ, g(x) は I 上広義積分可能であるとする. このとき f(x) は I 上絶対可積分である.

Proof. Proposition 5.13 より, x1 < x2 に対して,∫ x2

x1

|f(t)| dt ≤∫ x2

x1

g(t) dt

である. あとは Theorem 8.7, Theorem 8.8 より明らか.

Corollary 8.11. 次が成立する.

i ) f(x) が (0, 1] 上連続であり, ∃M > 0, 0 < ∃p < 1 が存在して

|f(x)| ≤ M

xp∀x ∈ (0, 1]

と出来れば, f(x) は (0, 1] 上絶対可積分である.

ii ) f(x) が [1,∞) 上連続であり, ∃M > 0, ∃p > 1 が存在して,

|f(x)| ≤ M

xp∀x ∈ [1,∞)

と出来れば, f(x) は [1,∞) 上絶対可積分である.

Proof. Lemma 8.3 および Theorem 8.10 より明らか.

Example. f(x) =sinx

x2とすると |f(x)| ≤ 1

x2であるので, 広義積分

∫ ∞

1

sinx

x2dx は絶対収束する.

Example.∫ ∞

0

sin x

xdx が条件収束することを示そう.

これを示すには, (1)∫ ∞

0

sin x

xdx の収束性, (2)

∫ ∞

0

∣∣∣ sin x

x

∣∣∣ dx = ∞, を示せばよい. Proposition 8.5 より (1)

を示すためには, (1-1)∫ 1

0

sin x

xdx の収束性, (1-2)

∫ ∞

1

sinx

xdx の収束性, を示せばよい.

8.2. 広義積分の収束判定法 101

(1-1)∫ 1

0

sinx

xdx の収束性.

今 limx↓0

sinx

x= 1 であるので,

f(x) :=

sinx

x(x 6= 0)

1 (x = 0)

と定義すれば, f(x) は有界閉区間 [0, 1] 上の連続関数である. 従って Corollary 5.8 より [0, 1] 上 Riemann 積分可

能であり, Proposition 8.1 より,∫ 1

0

f(x) dx =∫ 1

0

sin x

xdx である.

(1-2)∫ ∞

1

sinx

xdx の収束性.

∫ M

1

sinx

xdx =

∫ M

1

1x

(− cos x

)′dx

=[− 1

xcos x

]M

1−

∫ M

1

( 1x

)′(− cos x

)dx

= −cos M

M+ cos 1 −

∫ M

1

cos x

x2dx

M→∞−→ cos 1 −∫ ∞

1

cos x

x2dx

ここで,∣∣∣cos x

x2

∣∣∣ ≤ 1x2であるので, Corollary 8.11 ii )より,

∫ ∞

1

cos x

x2dxは絶対収束する. したがって,

∫ ∞

1

sinx

xdx

は収束する.

(2)∫ ∞

0

∣∣∣ sinx

x

∣∣∣ dx の発散性.

n = 1, 2, 3, · · · に対して, ∫ (n+1)π

nπ

∣∣∣ sin x

x

∣∣∣ dx ≥∫ (n+1)π

nπ

| sinx|(n + 1)π

dx

=1

(n + 1)π

∫ (n+1)π

nπ

| sinx| dx

=2

(n + 1)π

=2π

∫ n+2

n+1

1n + 1

dx

>2π

∫ n+2

n+1

1x

dx

故に, ∫ (n+1)π

π

∣∣∣ sin x

x

∣∣∣ dx =n∑

k=1

∫ (k+1)π

kπ

| sinx|x

>n∑

k=1

2π

∫ k+2

k+1

1x

dx

=2π

∫ n+2

2

1x

dxn→∞−→ ∞

であるので,∫ ∞

π

∣∣∣ sinx

x

∣∣∣ dx = ∞.

102 第 8章 広義積分

8.3 ベータ関数

Definition. p, q > 0 についての二変数関数

B(p, q) :=∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1 dx

をベータ関数と呼ぶ.

Remark. p < 1 のとき, limx↓0

xp−1(1 − x)q−1 = ∞, q < 1 のとき, limx↑1

xp−1(1 − x)q−1 = ∞ であるので, この右辺

の積分は広義積分である.

Theorem 8.12. ∀p, q > 0 に対し, 広義積分 ∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1 dx

は絶対収束する. 従ってベータ関数は定義出来る.

Proof. Proposition 8.5 より∫ 1

2

0

xp−1(1 − x)q−1 dx および∫ 1

12

xp−1(1 − x)q−1 dx の絶対収束性を示せばよい.

p ≥ 1 のとき xp−1(1 − x)q−1 は[0, 1

2

]上有界であるので, 明らかに

∫ 12

0

xp−1(1 − x)q−1 dx は絶対収束である.

0 < p < 1 とする. 0 < x ≤ 12 に対して, 1

2 ≤ 1 − x < 1 であるので,

(1 − x)q−1 ≤

{ (12

)q−1 = 21−q (q − 1 < 0)1 (q − 1 ≥ 0).

どちらにせよ, ∃M > 0 が存在して (1 − x)q−1 ≤ M である. 故に ∀x ∈(0, 1

2

]) に対して

|xp−1(1 − x)q−1| ≤ M

x1−p.

今 0 < 1 − p < 1 であるので, Corollary 8.11 i ) より xp−1(1 − x)q−1 は区間(0, 1

2

]上絶対可積分である.[

12 , 1

)での絶対可積分性もまったく同様に示せる (もしくは次にみるように t = 1 − x で置換積分してもよ

い).

Theorem 8.13 (ベータ関数の基本性質). ベータ関数 B(p, q) は次を満たす;

i ) B(p, q) = B(q, p).

ii ) B(p, 1) =1p

, B(1, q) =1q

.

iii ) B(p, q) =p − 1

qB(p − 1, q + 1) (∀p > 1, ∀q > 0),

B(p, q) =q − 1

pB(p + 1, q − 1) (∀p > 0, ∀q > 1).

Proof. i ) t = 1 − x と置換する. このとき dx = −dt, x = 0 のとき t = 1, x = 1 のとき t = 0 であるので,

B(p, q) =∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1 dx

=∫ 0

1

(1 − t)p−1tq−1 (−dt)

=∫ 1

0

tq−1(1 − t)p−1 dt = B(q, p).

8.3. ベータ関数 103

ii ) B(p, 1) =∫ 1

0

xp−1(1 − x)0 dx =∫ 1

0

xp−1 dx =[ 1

pxp

]1

0=

1p

.

iii ) p > 1, q > 0 とすると,

B(p, q) =∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1 dx

=∫ 1

0

xp−1{− 1

q(1 − x)q

}′dx

= −[ 1

qxp−1(1 − x)q

]1

0+

1q

∫ 1

0

(p − 1)xp−2(1 − x)q dx

ここで p − 1 > 0, q > 0 より limx↓0

xp−1(1 − x)q = limx↑0

xp−1(1 − x)q = 0 であるので

= 0 +p − 1

q

∫ 1

0

x(p−1)−1(1 − x)(q+1)−1 dx

=p − 1

qB(p, q).

Corollary 8.14. ∀n ∈ N, ∀q > 0 に対して

B(n, q) =(n − 1)!

q(q + 1) · · · (q + n − 1).

Proof. Theorem 8.13 i ), iii ) より,

B(n, q) =n − 1

qB(n − 1, q + 1)

=n − 1

q· n − 2

q + 1B(n − 2, q + 2)

= · · ·

=n − 1

q· n − 2

q + 1· · · 1

q + n − 2B(1, q + n − 1)

=n − 1

q· n − 2

q + 1· · · 1

q + n − 2· 1q + n − 1

.

Example.

B(√

2, 3) =3 − 1√

2B(

√2 + 1, 3 − 1) =

2√2B(

√2 + 1, 2)

=2√2· 1√

2 + 1· B(

√2 + 2, 1) =

2√2(√

2 + 1)(√

2 + 2).

B(5, 13 ) =

4(13

) · B(4, 43 ) =

4(13

) · 3(43

) · B(3, 73 ) =

4(13

) · 3(43

) · 2(73

) · B(2, 103 )

=4(13

) · 3(43

) · 2(73

) · 1(103

) · B(1, 133 ) =

4(13

) · 3(43

) · 2(73

) · 1(103

) · 1(133

)=

36

5 · 7 · 13.

Theorem 8.15.

B(m + 1

2,n + 1

2)

= 2∫ π

2

0

sinm t cosn t dt.

104 第 8章 広義積分

Proof. B(p, q) =∫ 1

0

xp−1(1 − x)q−1 dx において, x = sin2 t と置換する. このとき dx = 2 sin t cos t dt, x = 0 の

とき t = 0, x = 1 のとき t =π

2である. また 1 − x = 1 − sin2 t = cos2 t であるので

B(p, q) =∫ π

2

0

(sin2 t)p−1(cos2 t)q−1 · 2 sin t cos t dt

= 2∫ π

2

0

sin2p−1 t cos2q−1 t dt.

ここで 2p − 1 = m, 2q − 1 = n とおけば, p =m + 1

2, q =

n + 12であるので,

B(m + 1

2,n + 1

2)

= 2∫ π

2

0

sinm t cosn t dt.

Example.

B( 12 , 1

2 ) = B( 0+12 , 0+1

2 )

= 2∫ π

2

0

sin0 t cos0 t dt

= 2∫ π

2

0

dt = 2 · π

2= π.

B(1, 12 ) = B( 1+1

2 , 0+12 )

= 2∫ π

2

0

sin1 t cos0 t dt

= 2∫ π

2

0

sin t dt = 2 · 1 = 2.

Theorem 8.16. ∀m ≥ 1 に対して,

B(m +

12

,12

)=

2m − 12m

B(m − 1

2,

12

).

Proof. Theorem 8.15 より

B(m +

12

,12

)= B

(2m + 12

,0 + 1

2)

= 2∫ π

2

0

sin2m t cos0 t dt

= 2∫ π

2

0

sin2m−1 t (− cos t)′ dt

= −2[sin2m−1 t cos t

]π2

0+ 2

∫ π2

0

(2m − 1) sin2m−2 t cos2 t dt

ここで 2m − 1 ≥ 1 より[sin2m−1 t cos t

]π2

0= 0 であるので

= 2(2m − 1)∫ π

2

0

sin2m−2 t (1 − sin2 t) dt

= (2m − 1){

2∫ π

2

0

sin2m−2 t dt − 2∫ π

2

0

sin2m t dt

}= (2m − 1)

{B

(2m − 2 + 12

,0 + 1

2)− B

(2m + 12

,0 + 1

2)}

= (2m − 1){

B(m − 1

2,12)− B

(m +

12,12)}

.

8.3. ベータ関数 105

よって,

2mB(m +

12

,12

) = (2m − 1)B(m − 1

2,

12

).

Corollary 8.17. ∀n > 0 に対して,

B(n + 1,

12

)=

2n

2n + 1B

(n,

12

).

Proof. Theorem 8.16 において m = n + 12 とおけば,

2m − 12m

=2(n + 1

2 ) − 12(n + 1

2 )=

2n

2n + 1.

これらを使えば, ∀p, q ∈ 12 Z>0 = { 1

2 , 1, 32 , 2, · · · } に対して B(p, q) の値を求めることが出来る.

Example. B( 32 , 7

2 ) =32 −1

72

B( 32 − 1, 7

2 + 1) = 17 B( 1

2 , 92 ) = 1

7 B( 12 , 4 + 1

2 ) = 17 · 2·4−1

2·4 B( 12 , 4 − 1

2 ) =

17 · 7

8 B( 12 , 3+ 1

2 ) = 18 · 2·3−1

2·3 B( 12 , 3− 1

2 ) = 18 · 5

6 B( 12 , 2+ 1

2 ) = 56·8 ·

2·2−12·2 B( 1

2 , 2− 12 ) = 5·3

6·8·4B( 12 , 1+ 1

2 ) =5·3

6·8·4 · 2·1−12·1 B( 1

2 , 1 − 12 ) = 5·3

6·8·4·2B( 12 , 1

2 ) = 5128π.

106 第 8章 広義積分

8.4 ガンマ関数

Definition. x > 0 についての関数

Γ (x) :=∫ ∞

0

tx−1e−x dt

をガンマ関数と呼ぶ.

Remark. 0 < x < 1 であるとき limt↓0

tx−1e−t = ∞ であるので, t ↓ 0 の方向でも広義積分である.

Theorem 8.18. ∀x > 0 に対して, 広義積分 ∫ ∞

0

tx−1e−t dt

は絶対収束する. したがってガンマ関数は定義出来る.

Proof. Proposition 8.5 より,∫ 1

0

tx−1e−t dt,∫ ∞

1

tx−1e−t dt の収束性をそれぞれ示せばよい.∫ 1

0

tx−1e−t dt の絶対収束性を示そう. 今, 0 < t ≤ 1 に対して e−t ≤ 1 であるので,

|tx−1e−t| ≤ tx−1 =1

t1−x(∀t ∈ (0, 1])

ここで 1 − x � 1 であるので, Corollary 8.11 i ) より,∫ 1

0

tx−1e−t dt は絶対収束する.∫ ∞

1

tx−1e−t dt の収束性

は次の Lemma 8.19 で示す.

Lemma 8.19. ∀m ∈ R に対し, 広義積分 ∫ ∞

1

tme−t dt

は絶対収束する.

Proof. 部分積分により, ∫ B

1

tme−t dt = −∫ B

1

tm(e−t

)′dt

= −[tme−t

]B

1+ m

∫ B

1

tm−1e−t dt

= −Bme−B +1e

+ m

∫ B

1

tm−1e−t dt.

ここで limB→∞

Bme−B = 0 であるので,∫ ∞

1

tme−t dt の収束性と,∫ ∞

1

tm−1e−t dt の収束性は同値である. したがっ

て m < −1 のときの∫ ∞

1

tm−1e−t dt の収束性を示せば十分である. 以下 m < −1 とする.

今, t ∈ [1,∞) に対して, e−t ≤ e−1 ≤ 1 であるので,

|tme−t| ≤ tm = 1/t−m(∀t ∈ [1,∞)

)いま −m � 1 であるので, Corollary 8.11 ii ) より

∫ ∞

1

tme−t dt は絶対収束する.

Theorem 8.20 (ガンマ関数の基本性質). ガンマ関数 Γ (x) は次を満たす;

i ) Γ (1) = 1.

ii ) Γ (x) = (x − 1)Γ (x − 1).

8.4. ガンマ関数 107

iii ) 特に n ∈ N に対して, Γ (n) = (n − 1)!.

Proof. i )Γ (1) =

∫ ∞

0

t1−1e−t dt = limA↓0,B↑∞

∫ B

A

e−t dt

= limA↓0,B↑∞

[−e−t

]B

A= lim

A↓0,B↑∞

(−e−B + e−A

)= 0 + 1 = 1.

ii ) Γ (x) =∫ ∞

0

tx−1(−e−t

)′dt

=[−tx−1e−t

]∞0

+∫ ∞

0

(x − 1)tx−2e−t dt

= limA↓0,B↑∞

{−Bx−1e−B + Ax−1e−A

}+ (x − 1)

∫ ∞

0

tx−2e−t dt}

ここで limB↑∞

Bx−1e−B = 0, また, x − 1 > 0 より, limA↓0

Ax−1e−A = 0 であるので,

Γ (x) = (x − 1)Γ (x − 1).

iii ) は i ) および ii ) より明らか.

Theorem 8.21. ∀x > 0 に対して

Γ (x) = 2∫ ∞

0

s2x−1e−s2ds.

Proof. t = s2 と置換積分する. このとき dt = 2s ds, t = A のとき s =√

A, t = B のとき s =√

B であるので,

Γ (x) = limA↓0,B↑∞

∫ √B

√A

(s2)x−1 e−s2· 2s ds

= 2 limA↓0,B↑∞

∫ √B

√A

s2x−1 e−s2ds

= 2∫ ∞

0

s2x−1 e−s2ds.

Corollary 8.22.

Γ ( 12 ) = 2

∫ ∞

0

e−s2ds =

√π.

Proof. この積分の計算は二変数関数の広義積分を用いるのでここではやらない。

Example. Γ ( 52 ) = 3

2 Γ ( 32 ) = 3

2 · 12 Γ ( 1

2 ) = 34

√π.

Theorem 8.23. ∀p, q > 0 に対して

B(p, q) =Γ (p) · Γ (q)Γ (p + q)

.

Proof. この証明も二変数関数の広義積分を用いるので、ここでは示さない.