Новая система довузовской ...mech.math.msu.su/~falin/files/Фалин_Г.И.,Фалин_А.И.(2... · Математика в школе, 2011, ... вызванную

Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/~falin

~ 1 ~

Новая система довузовской

подготовки и аттестации

выпускников школ в Великобритании1

Г.И.Фалин, д.ф.м.н., проф. кафедра теории вероятностей

механико-математический факультет МГУ им М.В.Ломоносова (Москва)

http://mech.math.msu.su/~falin

А.И.Фалин, к.ф.м.н., доцент кафедра общей математики

факультет ВМиК МГУ им М.В.Ломоносова (Москва)

Мы рассказываем о новой системе довузовской подготовки и

аттестации выпускников школ в Великобритании, разработанной

университетом Кембриджа. Описана программа по математике, приведены

демонстрационные варианты экзаменов, изложены критерии проверки.

Ключевые слова: опыт Великобритании, университет Кембриджа,

довузовская подготовка, программа, экзамены, критерии оценки

1. Введение

Для большинства школьников Великобритании среднее образование

заканчивается получением после соответствующих экзаменов General

Certificate of Secondary Education (GCSE) – аналога российского аттестата

зрелости. Желающие получить высшее образование должны предварительно

получить Advanced Level General Certificate of Education (A-level GCE). Для

этого нужно в течение двух дополнительных лет изучить три предмета (их

выбор определяется университетской специальностью, на которую хочет

поступить школьник) и сдать дополнительные экзамены. Эти экзамены

проводятся пятью негосударственными организациями. Следует отметить,

что система образования и аттестации в Шотландии отличается от этой [1].

Общественность Великобритании (как и США, Канады и т.д.) с

возрастающей обеспокоенностью обсуждает [см., например, 2,3] «инфляцию

1 Г.И.Фалин, А.И.Фалин. Новая система довузовской подготовки и аттестации выпускников школ

в Великобритании. Математика в школе, 2011, №10, стр.59-70. Расширенный вариант доклада на

Всероссийском съезде учителей математики 28-30 октября 2010 г., МГУ им. М.В.Ломоносова.

http://mech.math.msu.su/~falin


~ 2 ~

оценок», вызванную давлением учеников, их родителей, но прежде всего

бюрократов, руководящих национальным образованием, и политического

руководства. Всё больше британских университетов, обеспокоенных

будущим страны, вводит независимые вступительные экзамены. Реакцией

университета Кембриджа стала разработка (при участии других

университетов, профессиональных объединений, лучших школ) новой

системы довузовской подготовки и аттестации школьников – Cambridge Pre-

U («Pre-U» можно перевести как «Пред-Университетская» или

«довузовская»). В 2008 году началось преподавание по этой программе, а в

2010 году проведены первые экзамены. Их результаты принимаются в

качестве вступительных всеми университетами Russell Group (20 ведущих

университетов Великобритании), а также ведущими университетами США и

Канады.

В настоящей заметке мы подробно расскажем об основном курсе

математики и соответствующем итоговом экзамене этой новой системы

довузовской подготовки и аттестации. Следует отметить, что эта система

включает и отдельный курс дополнительных глав математики (с

соответствующим экзаменом) – так называемую Further Mathematics.

2. Программа Cambridge Pre-U по математике

Цель программы Cambridge Pre-U по математике [4] заключается в том,

чтобы в ходе подготовки к заключительному аттестационному экзамену

школьник мог получить формальные знания, необходимые для

последующего обучения в университете; развить способности к

самостоятельному изучению математики; развить способности к

критическому и продуктивному мышлению; привить интерес к математике;

показать взаимосвязь разных разделов математики; научиться описывать

реальные ситуации математическими моделями; научиться излагать мысли

на правильном математическом языке, с помощью стройных логических

конструкций.

Предполагается, что усвоение программы потребует 380 часов аудиторных

занятий на протяжении 2 лет и необходимое время для самостоятельного

изучения материала [4,5].

Программа Cambridge Pre-U по математике состоит из двух основных

разделов: чистая математика и приложения математики. В качестве

приложений математики рассматриваются только две темы: теория

вероятностей и механика. Соответственно, раздел «приложения» делится на

два подраздела.

Чистая математика покрывает следующие темы:

Квадратные уравнения: выделение полного квадрата, дискриминант и

теорема о числе корней, график квадратичной функции. Сюда же входят


~ 3 ~

квадратные неравенства, биквадратные и другие уравнения, которые

сводятся к квадратным с помощью новой неизвестной, простые системы двух

уравнений (одно из которых – линейное, а второе – квадратное) с двумя

неизвестными, а также преобразования выражений с иррациональностями.

Алгебраические преобразования: деление многочлена на многочлен с

остатком, теорема Безу, разложение рациональной функции в сумму

элементарных дробей, Сюда же входят модули (определение, свойства,

уравнения и неравенства с модулями).

Функции: общее понятие о функции, область определения, область

значений, взаимно однозначная функция, обратная функция, сложная

функция (включая решение задач на эти понятия).

Координатная геометрия: школьник должен уметь находить длину,

угловой коэффициент и середину отрезка прямой по заданным координатам

его концов; находить уравнение прямой линии, если заданы две точки этой

прямой или одна точка и угловой коэффициент и т.д.; знать связь между

угловыми коэффициентами параллельных и перпендикулярных прямых;

знать уравнение окружности и уметь решать соответствующие задачи;

понимать связь графиков, заданных уравнениями y = f(x) + a, y = f(x + a), y =

af(x), y = f(ax), y = −f(x), y = f(−x) и их простыми комбинациями, с графиком

функции y = f(x); уметь решать уравнения графически.

Круговые меры: определение радианной меры, связь между радианами и

градусами, формулы для длины дуги и площади сектора.

Тригонометрия: точные значения синуса, косинуса и тангенса углов 30°,

45°, 60° и связанных с ними; основные тригонометрические тождества (для

двойных углов, суммы/разности углов и т.д.); представление выражения asin

θ + bcos θ в виде Rsin (θ ± α) и Rcos (θ ± β); задачи на упрощение

тригонометрических выражений; графики тригонометрических функций;

решение тригонометрических уравнений (включая отбор решений, лежащих

на заданном промежутке); обратные тригонометрические функции.

Последовательности и ряды: арифметическая и геометрическая

прогрессии (формулы для n-го члена последовательности и суммы первых n

членов); сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

запись суммы с помощью символа ; рекуррентные соотношения для

задания последовательностей, знакопеременные, периодические, сходящиеся

и расходящиеся последовательности; бином Ньютона; биномиальный

степенной ряд.

Логарифмы и экспоненциальные выражения: определение и свойства

логарифмов; решение показательных и логарифмических уравнений и

неравенств; функции ex и lnx.

Дифференцирование: определение производной, её вычисление; нормаль,

касательная; возрастание и убывание функции; стационарные точки, их


~ 4 ~

классификация (локальный максимум или минимум); производные функций,

заданных параметрически или неявно и графики таких функций; уравнение

функции, заданной параметрически, в декартовых координатах.-

Интегрирование: определение неопределённого интеграла, его

вычисление, включая интегрирование рациональных функций разложением

их на элементарные дроби, интегрирование по частям, интегрирование

подстановкой; задачи, связанные с определением постоянной

интегрирования; площадь криволинейной трапеции и других областей; объём

тела вращения.

Векторная геометрия: радиус-вектор, вектор переноса; сложение и

вычитание векторов, умножение вектора на скаляр; длина вектора; скалярное

произведение двух векторов, его применение для вычисления угла между

двумя векторами; векторное уравнение прямой линии: r = a + tb и

параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся прямые, угол между двумя

прямыми, точку их пересечения.

Дифференциальные уравнения: формулировать простые утверждения о

скорости изменения как дифференциальные уравнения; находить общий вид

решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными;

использовать начальное условие для нахождения частного решения;

интерпретировать решение дифференциального уравнения в контексте

задачи, моделируемой этим уравнением.

Комплексные числа: определение комплексного числа, действительная и

мнимая части, модуль, аргумент, сопряжённое число; геометрическая

интерпретация; сложение, вычитание, умножение и деление комплексных

чисел, выраженных в виде x + iy; вычисление комплексных корней

квадратного уравнения с действительными коэффициентами.

Численные методы: локализация корней уравнения f(x) = 0; метод прямой

итерации для численного расчёта приближённого значения корня уравнения

вида x = F(x), связь между величиной производной функции F в корне и

сходимостью или расходимостью итерационной процедуры; итерационный

метод Ньютона для численного определения корня уравнения f(x) = 0, его

геометрическое обоснование; скорость сходимости.

В раздел «теория вероятностей» включены следующие темы.

Анализ данных: меры центра (среднее значение, медиана, мода) и разброса

(размах, интерквартильный размах, стандартное отклонение), их применение

для сравнения наборов данных; выбросы (используя правило «полтора

интерквартильных размаха»); положительно, отрицательно асимметричные

наборы данных; линейная корреляция; линия регрессии; коэффициент

корреляции как мера зависимости между случайными величинами;

использование ковариации и дисперсии при построении линии регрессии.

Законы теории вероятностей: вычисление вероятностей с помощью

перестановок и сочетаний; несовместные и независимые события, условные

вероятности; использование теорем = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) и


~ 5 ~

P(A ∩ B) = P(A) P(B|A) = P(B)P(A|B).

Перестановки и сочетания: решение задач на выбор и размещение.

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей дискретной

случайной величины, её среднее, дисперсия, стандартное отклонение;

биномиальное и геометрическое распределения, их средние и дисперсии;

задачи на эти распределения (с использованием таблиц).

Нормальное распределение: применение нормальное распределение для

моделирования непрерывных случайных величин; использование таблиц для

стандартного нормального распределения; решение задач, связанных с

произвольной нормальной величиной X, в том числе на вычисление

вероятности P(X < x) (или аналогичных вероятностей) по заданным среднему

μ и стандартному отклонению σ, или же задач на вычисление значения x

(или μ и σ) по данным вероятностям.

В раздел «механика» включены следующие темы.

Кинематика движения по прямой: расстояние и абсолютное значение

скорости как скалярные величины; перемещение, скорость и ускорение как

векторные величины; графики зависимости перемещения от времени и

скорости от времени; величина перемещения как площадь под графиком v(t),

скорость как x'(t), ускорение как v'(t); задачи на движение с постоянным

ускорением.

Сила и равновесие: описание сил векторами; определение сил,

действующих в конкретной ситуации, включая вес, натяжение, реакция

опоры, трение; равнодействующая двух или более сил, приложенных к

одной точке; использование сложения векторов для решения задач на

равнодействующие; ортогональные составляющие силы; принцип равновесия

материальной точки; модель «гладкого» контакта.

Трение: сила трения и коэффициент трения; трение в задачах на равновесие

материальной точки.

Законы движения Ньютона: задачи на движение тела постоянной массы

по прямой под действием постоянных сил; законы движения тела,

перемещающегося вертикально или по наклонной плоскости как движения с

постоянным ускорением; задачи на движение двух связанных материальных

точек.

Количество движения и импульс силы: векторная природа количества

движения материальной точки или системы материальных точек; импульс

силы в случае действия постоянной силы на протяжении конечного

промежутка времени и в случае мгновенного столкновения; применение

закона сохранения количества движения для решения задач на столкновение

двух тел, движущихся по одной прямой.

Движение брошенного тела: движение брошенного тела как движение

материальной точки, перемещающейся с постоянным ускорением; уравнения

движения; определение абсолютного значения и направления скорости в

заданный момент или в заданном месте, предельной дальности полёта и


~ 6 ~

наибольшей высоты подъёма; декартовы уравнения траектории брошенного

тела.

Кроме того, экзаменующиеся должны владеть основными методами

доказательства утверждений (включая от противного, опровержение с

помощью контрпримера).

3. Экзамен Cambridge Pre-U по математике

В ходе экзамена проверяется способность [4]:

1. Правильно проводить вычисления и математические преобразования и, в

частности, способность понимать роль и ограниченность калькуляторов для

получения точных решений (35-40% объёма экзамена).

2. Строить строгие математические доказательства (8-13% объёма

экзамена).

3. Вспоминать, отбирать и применять математические факты, методы и

идеи в разнообразных ситуациях (35-40% объёма экзамена).

4. Понимать, как математика используется для моделирования реальных

ситуаций, способность интерпретировать результаты математического

анализа моделей (15-20% объёма экзамена).

Экзамен по математике состоит из двух письменных работ. Каждая работа

включает около 15 задач и на её выполнение даётся 3 часа.

Каждая задача оценивается определённым числом баллов. Часто задача

состоит из нескольких логически связанных вопросов, каждый из которых

оценивается независимо. Отдельный вопрос (или несложная задача,

состоящая из одного вопроса) может принести от 1 до 9 баллов (обычно 2-4).

Максимально возможное число баллов за каждую из двух письменных работ

равно 120. Итоговое количество баллов за экзамен является средним

арифметическим числа баллов, полученных за эти две работы.

Две письменные работы, составляющие единый экзамен, в свою очередь,

делятся на две части: чистая математика (примерно 2/3 вопросов, т.е. около

10 задач, которые могут принести около 80 баллов) и приложения

математики (примерно 1/3 вопросов, которые могут принести около 40

баллов). В первой письменной работе под приложениями математики

понимается элементарная теория вероятностей, а во второй – механика

(кинематика, динамика, статика).

В ходе экзамена разрешается использовать научный калькулятор, но

графические калькуляторы запрещены. Кроме того, экзаменующимся

вручается брошюра с основными математическими формулами и таблицами.

В их число входят формулы для общего члена и суммы первых членов

арифметической и геометрической прогрессий, основные формулы

тригонометрии, таблицы производных, интегралов и т.д.

В следующем разделе мы приведём демонстрационный вариант экзамена

[9]. Формулировки некоторых вопросов слегка отредактированы.


~ 7 ~

Число в квадратных скобках [ ] – это количество баллов за правильный

ответ на соответствующий вопрос. Критерии выставления оценок мы

рассмотрим позже.

4. Демонстрационный вариант экзамена

Работа 1 – Чистая математика и теория вероятностей

Раздел A: Чистая математика (79 баллов)

1. Найдите 2( 1)x x dx . [3]

2.Найдите все решения x уравнения 1 1

sin2 4

x

, удовлетворяющие

неравенству 0 360x . [3]

3.Запишите выражение 6

2a b в виде многочлена в стандартной форме. [3]

Используя этот результат (или любым другим способом), найдите тот член в

разложении выражения

63

3 22x x

в сумму степеней переменной x,

который не зависит от x. [2]

4.Покажите, что кривая 2 14y x

x имеет только одну стационарную точку

и определите, является ли она точкой минимума или точкой максимума. [6]

5.Выразите 9x в терминах 3xy . [1]

Проверьте, что 0x является корнем уравнения 6 27 5 9 2 3 1 0x x x

и найдите все решения этого уравнения. [1]

6.Функция f определена соотношением 3: 1f x x , x R .

(i) Найдите выражение для 1( ).f x

[1]

(ii) Изобразите на одном рисунке графики функций ( )y f x и 1( )y f x ,

указав, как связаны между собой эти графики. [2]

(iii) Выпишите формулу для '( )f x и с её помощью найдите градиент

функции 1( )y f x в точке, где её график пересекает ось y-в. [3]

7.Окружность задана уравнением 2 2 8 9.x y y Найдите координаты её

центра и радиус. [3]

Прямая задаётся уравнением x=3y+k, где k – некоторая константа. Покажите,

что ординаты точек пересечения прямой и окружности удовлетворяют

уравнению 2 210 (6 8) ( 9) 0y k y k . [2]

Используя это уравнение, определите, при каких k прямая касается

окружности. [4]


~ 8 ~

8.Докажите, что 2 3 1 2

.3 4 2 3 [3]

Докажите, что 1

1 2

n n

n n

для всех натуральных n. [4]

Верно ли это неравенство для всех положительных рациональных n?[2]

9. Касательная к графику функции 1

2y x в точке P(4;2) пересекает ось y-в в

точке Q. Найдите площадь области, ограниченной графиком, касательной PQ

и осью ординат. [9]

10.Найдите уравнение прямой, проходящей через точку P(5;0)

перпендикулярно прямой l, задаваемой уравнением 1

2y x . С его помощью

найдите координаты точки N, которая является основанием перпендикуляра,

опущенного из точки P на прямую l. [4]

Набросайте рисунок, на котором изображены l, P, N и начало координат O. С

его помощью найдите координаты точки Q, которая является отражением P

относительно l. [3]

Рассмотрев углы наклона l и OQ, покажите, что 4 1

arctg 2arctg3 2 . [3]

11.Покажите, что 1 1 1

arctg arctg2 3 4

[3]. К углу A квадратного поля ABCD

верёвкой привязана коза. Длина верёвки позволяет козе дойти только до

середины отрезков BC и CD. Какую долю от площади поля составляет

площадь участка, до которого коза не может добраться? Выразите ваш ответ

в виде 1

arctg3

a b , где a и b – рациональные числа. [8]

Раздел B: Теория вероятностей (41 балл)

12.Исследователь изучает долю p школьников, к которым в школе

приставали хулиганы. Для того, чтобы преодолеть возможное нежелание

школьников отвечать на этот вопрос, используется следующая процедура.

Исследователь спрашивает: «К тебе приставали хулиганы?» Перед тем, как

отвечать, школьник бросает игральную кость (на которую исследователь не

смотрит). Если выпадает 1,2,3 или 4, то школьник отвечает на вопрос

правдиво, а если выпадет 5 или 6, то нет.

(i) Покажите, что вероятность ответа «Да», равна 1

(1 )3

p . [3]

(ii) 35% школьников ответили «Да». Найдите условную вероятность того, что

школьник, ответивший «Нет», ответил искренне. [4]


~ 9 ~

13. Время непрерывной работы осветительных ламп определённой марки

имеет среднее значение 2408 часов и среднее стандартное отклонение 101

час. Предполагая, что время непрерывной работы осветительных ламп

может быть описано нормальным распределением, найдите:

(i) вероятность того, что это время больше, чем 2600 часов, [3]

(ii) процент ламп, которые проработают от 2200 до 2500 час. [4]

(iii) время (округлённое до ближайшего часа), дольше которого проработает

5% ламп. [3]

14.Четыре супружеские пары рассаживаются на восьми местах,

занумерованных от 1 до 8.

(i) Сколькими способами можно рассадить этих людей так, чтобы рядом не

сидели ни два мужчины, ни две женщины? [3]

(ii) Допустим, что мужчины сидят на местах 1,3,5 и 7. Покажите, что есть

ровно 3 способа рассадить женщин так, чтобы ни одна из них не сидела

рядом с мужем. [2]

(iii) Используя этот результат (или любым другим способом) найдите число

способов рассадки, при которых мужчины и женщины чередуются и ни одна

из женщин не сидит рядом с мужем. [4]

(iv) Найдите число способов рассадки, при которых муж и жена должны

сидеть рядом. [3]

15. Доля правшей как среди мужчин, так и среди женщин равна 0.8.

(i) Случайно выбраны три женщины и три мужчины.

(a) Найдите вероятность того, что среди них в точности две женщины и два

мужчины являются правшами. [3]

(b) Найдите вероятность того, что одно и то же число женщин и мужчин

являются правшами. [4]

(ii) Случайно выбирается мужчина, затем случайно выбирается женщина,

затем ещё один мужчина, затем опять женщина и т.д. Этот процесс

продолжается до тех пор, пока не будет выбран правша (мужчина или

женщина).

(a) Найдите вероятность того, что этим человеком будет вторая выбранная

женщина. [2]

(b) Суммируя соответствующий ряд (или другим способом) покажите, что

этим человеком будет женщина. [3]

Письменная работа 2 – Чистая математика и механика

Раздел A: Чистая математика (80 баллов)

1. Покажите, что для любого целого положительного n сумма первых n

чисел, кратных числу 8, на единицу меньше квадрата некоторого нечётного

числа. [4]

2. Решите неравенство |x+1|<|2x+1|.[4]


~ 10 ~

3. (i) Решите уравнение 19 10x x (ответ дайте в терминах lg9). [2]

(ii) Определите число цифр в десятичной записи числа 386386 . [3]

4. Вычислите 2

2

0

1d

2 3

xx

x x

. [6]

5. (i) Покажите, что уравнение 1 cosx x x имеет по меньшей мере два

корня на промежутке 0 3.x [2]

(ii) Используйте итерацию 1 1 cosn n nx x x с начальным условием

0 0x ,

чтобы найти приближённое значение одного из этих корней с точностью до

одного десятичного знака после запятой. [3]

(iii) Прокомментируйте попытку использования той же самой итерации, но с

начальным условием 0 3x , для получения ещё одного корня. [2]

6. Докажите тождество 2

tg ctgsin2

A AA

. [3]

С его помощью (или любым другим методом) найдите все корни уравнения

tg( 45 ) ctg( 45 ) 4 на интервале 0 360 . [5]

7. (i) Найдите корни p и q уравнения 2 6 13 0.x x Если p – корень,

аргумент которого является острым углом, найдите уравнение, корни

которого равны ip и –iq. [5]

(ii) На одном рисунке изобразите геометрические места точек,

удовлетворяющих уравнениям | | 2z i и 1

arg4

z . Определите

пересечение этих множеств. [5]

8. Пусть O – начало декартовой системы координат в пространстве, i, j, k –

единичные вектора на осях x, y, z соответственно. Рассмотрим точки A, B, C,

D такие, что 4OA i , 4 2OB i j, 2OC j, 6OD k и обозначим середины

отрезков AD, BD и AB через L, M и N соответственно.

(i) Найдите вектор MN и угол между MN и OB . [4]

(ii) Точка P лежит на отрезке OD так, что OP p k . Определите значение p,

при котором прямые PB и CL пересекаются. [7]

9. На рисунке 1 изображён график функции ln x

yx

. Покажите, что

наибольшее значение y достигается при x=e. [5]

Найдите все значения k, для которых уравнение ln x

kx

имеет два корня. [2]

Обозначим эти два корня через a и b, считая, что a<b.

(i) Объясните, почему 1<a<e, и укажите какое-нибудь неравенство, которому

удовлетворяет b. [3]

(ii) Покажите, что b aa b . [2]


~ 11 ~

(iii) Считая, что a и b – положительные целые числа, получите из (i) и (ii) их

точные значения. [2]

10. Отходы некоторого горнорудного производства сбрасываются в террикон

(большую кучу), который приближённо имеет коническую форму. Размеры

террикона постоянно увеличиваются по мере того, как сверху наваливаются

всё новые порции отходов. В простейшей математической модели,

описывающая его рост, скорость увеличения высоты h террикона обратно

пропорциональна h2. Превратите это утверждение в дифференциальное

уравнение для функции h(t). [2]

Покажите, что общее решение этого дифференциального уравнения имеет

вид h3 =At+B, где A и B – некоторые константы. [3]

Новый террикон начал формироваться в момент t=0 и спустя 2 года его

высота была 18 м. Через сколько лет его высота вырастет до 30 м? [4]

Описанная выше математическая модель базируется на предположении, что

объём V террикона увеличивается с постоянной скоростью, а его форма

(коническая) остаётся неизменной, так что величина V пропорциональна h3.

Покажите, как эти предположения приводят к модели, описанной в начале

задачи. [4]

Раздел B: Механика (40 баллов)

11. На материальную точку O действуют три силы, лежащие в одной

плоскости. Модули этих сил равны N, 4N, 9N, а угол между направлениями

любой пары сил равен 120○ . Введём декартову систему координат с началом

в точке O, в качестве оси абсцисс возьмём направление третьей силы, а ось

ординат направим так, чтобы проекция на неё второй силы была

положительна.

(i) Найдите проекции равнодействующей силы на оси абсцисс и ординат. [3]

(ii) Используя этот результат покажите, что модуль равнодействующей силы

равен 9N и найдите угол, который эта сила образует с положительным

направлением оси абсцисс. [3]

12. Две материальные точки A и B, массой m килограмм каждая, связаны

лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Точка A лежит на

наклонной плоскости с углом наклона 30○, а точка B висит на нити

(см.рисунок 2).

(i) Предполагая, что плоскость – гладкая, покажите, что абсолютное

значение ускорения точек равно 0,25g, и найдите натяжение нити в терминах

m и g. [5]

(ii) Допустим, что трением между точкой A и плоскостью нельзя пренебречь.

Предполагая, что система находится в равновесии, найдите коэффициент

трения между точкой A и плоскостью. [4]

13. Шар свободно падает на горизонтальную плоскость с высоты H. После

первого отскока он поднимается на высоту 24 метра, а после второго – на 6

метров.


~ 12 ~

(i) Вычислите коэффициент восстановления между шаром и поверхностью и

покажите, что H=96 метров. [8]

(ii) Покажите, что суммарное расстояние, которое пройдёт шар до того, как

остановится, равно 160 метров. [3]

14. Тело бросают из точки O, расположенной на горизонтальной

поверхности, с начальной скоростью V под углом к горизонту. Введём

декартову систему координат в плоскости броска, выбрав точку O в качестве

начала, горизонтальное направление броска – в качестве оси абсцисс,

вертикальное направление – в качестве оси ординат. Найдите уравнение

траектории движения тела в этой системе координат. [4]

На расстоянии a от точки O находится стена, о которую, на высоте h,

ударяется брошенное тело. Скорость броска равна 2ga . Покажите, что 2 4 4 0ap ap a h , где tgp . При каких значениях тело ударится о

стену на уровне земли? [3]

Найдите максимальное значение h как функции параметра p и

соответствующее значение . [4]

5. Критерии оценивания задач

Как мы уже отмечали, каждая задача оценивается определённым числом

баллов. Балл за конкретную задачу или часть задачи складывается из баллов

за отдельные этапы решения. Эти промежуточные баллы даются за [9] :

1.Верный метод решения (код балла – M– Method). Балл за верный метод

решения не теряется в случае ошибок в вычислениях, описок и т.д. Однако,

чтобы заработать балл типа M, нельзя просто упомянуть, что задача будет

решаться каким-то определённым способом (с помощью какой-то теоремы,

формулы и т.д.) – нужно начать этот метод реализовывать.

2.Верный ответ или верный промежуточный результат, полученный в

результате применения верного метода решения (код балла – A–Accuracy).

Этот балл нельзя получить, если верный результат был получен в результате

ошибочных шагов.

3.Верный ответ или верный промежуточный результат, вне связи с

методом его получения (код балла – B–Basic).

Чтобы проиллюстрировать эти общие принципы, рассмотрим, например,

решение задачи 10 Работы 1 (Чистая математика и теория вероятностей),

рекомендованное авторами демонстрационного варианта [9].

Шаг 1. Известно, что прямая, перпендикулярная прямой y kx b имеет

уравнение вида 1

'y x bk

. В нашем случае этот общий факт означает, что


~ 13 ~

прямая 'l , проходящей через точку P перпендикулярно прямой l , имеет

уравнение 2 '.y x b

Суть шага 1 заключается в том, что в каком-нибудь виде должно быть явно

указано, что угловой коэффициент прямой 'l равен (-2). Обоснование этого

факта (в соответствии с принятыми критериями оценки) не требуется. Этот

результат относится к типу B и за него даётся 1 балл.

Шаг 2. Чтобы найти числовое значение параметра 'b , воспользуемся тем,

что прямая 'l проходит через точку P. Это означает, что координаты точки P

удовлетворяют уравнению прямой 'l , т.е. при подстановке чисел x=5 и y=0 в

уравнение 2 'y x b мы должны получить истинное числовое равенство:

0 2 5 'b . Отсюда: ' 10b , так что уравнение прямой 'l есть: 2 10y x .

В соответствии с принятыми критериями оценки, за выписанное в любом

виде уравнение прямой 'l даётся один балл типа B. Таким образом,

обоснование этого шага не требуется.

Шаг 3. Поскольку точка N является точкой пересечения прямых l и 'l , её

координаты x и y удовлетворяют как уравнению прямой l , так и

уравнению прямой 'l , т.е. являются решением системы, составленной из

уравнений этих прямых. Исключая неизвестную y , мы получим уравнение с

одной неизвестной x : 1

2 102

x x , которое имеет единственное решение

4x – это абсцисса точки N . Ординату точки N можно найти, подставляя

значение 4x в уравнение любой из наших прямых: 2y .

Критерии оценки требуют, чтобы явно был указан метод расчёта

координат точки N как решения соответствующей системы. Этот результат

относится к типу M и за него даётся 1 балл. Если эта система решена верно и

получены верные координаты точки N , то за этот результат даётся один балл

типа А. Обратим внимание на то, что этот балл (как балл типа A) можно

заработать только если за предыдущий этап выставлен балл типа M.

Шаг 4. На координатной плоскости изобразим прямые , 'l l и точки ,P N

(угол 90ONP ). Этот результат относится к типу B и за него даётся 1 балл.

Поскольку точка N является серединой отрезка QP, её координаты являются

средним арифметическим координат точек Q и P: , ,2 2

y yx xx y

Q PQ PN N

откуда 2 3;x x xQ N P 2 4y y yQ N P .

Критерии оценки требуют, чтобы явно был указан метод расчёта

координат точки Q с использованием того факта, что точка N является

серединой отрезка QP. Этот результат относится к типу M и за него даётся 1

балл. Если в результате расчётов получены верные координаты точки Q, то за

этот результат даётся один балл типа А.

Шаг 5. Для завершения решения прежде всего отметим, что углы QON и

NOP равны (этот результат относится к типу B, так что обоснование не


~ 14 ~

требуется, и за него даётся 1 балл; более того, этот факт может быть просто

отмечен на рисунке).

Шаг 6. Поскольку 1

tg2

y

x

NNOP

N и этот угол острый,

1arctg .

2NOP

Аналогично, 4

arctg3

QOP (т.к. 4

tg3

y

x

QQOP

Q и этот угол острый).

В соответствии с критериями проверки, эти результаты относятся к типу B,

так что обоснование не требуется, и за них даётся 1 балл.

Шаг 7. Как мы отметили на шаге 5, углы QON и NOP равны. Поэтому

2QOP NOP . Используя значения этих углов, найденные на шаге 6, мы

получим равенство 4 1

arctg 2arctg .3 2 За этот результат даётся 1 балл.

Допустимо и любое другое решение, отличающееся от предложенного

авторами экзамена. Если это решение логически верно, содержит все

необходимые пояснения, то за него даётся полный балл. Например,

заработать 3 балла за вторую часть («найдите координаты точки Q») только

что разобранной задачи можно и так. Точка Q однозначно определяется

тремя условиями: (1) вектор PQ ортогонален направляющему вектору

прямой l; (2) расстояние OQ равно расстоянию OP; (3) Q P . Если (x,y) –

координаты точки Q, то координаты вектора PQ равны {x-5;y}. В качестве

направляющего вектора прямой l можно взять вектор {2;1}, и потому первое

условие означает, что 2(x-5)+y=0. Далее, 2 2OQ x y , а OP=5, и потому

второе условие означает, что 2 2 25x y . Решая систему из этих двух

уравнений, мы получим: (x;y)=(5;0) или (x;y)=(3;4). Первое решение

соответствует точке P (она, очевидно, также удовлетворяет первым двум

отмеченным выше условиям), а второе – точке Q.

Если же такое альтернативное решение не доведено до конца, то

оцениваются все верные этапы решения. Число баллов за эти этапы равно

числу баллов за эквивалентные (с точки зрения продвижения к

окончательному ответу, сложности и т.д.) этапы рекомендованного решения.

Однако, если в тексте задачи предписан метод решения, то нужно

применять только его – альтернативное (пусть и безупречное) решение не

принесёт баллов. Например, равенство 4 1

arctg 2arctg3 2 легко доказать

алгебраически: так как 2

2

1 12tg arctg 21 42 2tg 2arctg

12 311 tg arctg 12 2

, а


~ 15 ~

10 2arctg 2arctg1

2 2

, по определению

4arctg

3 получим требуемое

равенство. Но в только что разобранной задаче это решение не будет зачтено.

6. Система оценок экзамена как целого

Первичные баллы переформатируются в систему более понятных оценок.

За экзамен как целое выставляются оценки:

Distinction («ОТЛИЧНО») – это аналог оценки «5». Эта оценка делится на

оценки D1 (аналог оценки «5+»), D2 (собственно «5»), D3 (аналог «5-»).

Merit («ПОХВАЛЬНО») – это аналог оценки «4». Эта оценка делится на

оценки M1 (аналог оценки «4+»), M2 (собственно «4»), M3 (аналог «4-»).

Pass («СДАНО») – это аналог оценки «3». Эта оценка делится на оценки

P1 (аналог оценки «3+»), P2 (собственно «3»), P3 (аналог оценки «3-»).

В терминах этих оценок университеты формулируют требования к

абитуриентам. Например, в 2010 для поступления в университет Бристоля по

результатам экзаменов Cambridge Pre-U на специальность «математика»

требовалось три оценки D3, включая математику и по меньшей мере один

предмет из списка: биология, химия, компьютерная наука, экономика,

физика. Университет Йорка, специальность «компьютерная наука», требовал

оценки D3,D3,M2, включая математику.

Список литературы

1.R.Browne, S.Dudzic, C.Stripp. Understanding the UK Mathematics Curriculum

Pre-Higher Education. The Higher Education Engineering Subject Centre, 2010.

2. Universities criticise exam 'grade inflation'. The Guardian, 06 Jul 2010.

3. A-level results: grade inflation is just a cruel confidence trick. The Telegraph,

20 August 2009.

4. Cambridge Pre-U Syllabus. Mathematics (9794). University of Cambridge

International Examinations, 2007.

5. Cambridge Pre-U Specimen Papers and Mark Schemes. Mathematics (9794).

University of Cambridge International Examinations, 2007.

Documents

Новая система довузовской ...mech.math.msu.su/~falin/files/Фалин_Г.И.,Фалин_А.И.(2... · Математика в школе, 2011, ... вызванную