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國中
數學精進教材
【教師手冊】
單元 2 分數的運算
【推廣教材，請勿擅自影印複製】
國立臺灣師範大學教育研究與評鑑中心 發行
中華民國 101 年 9 月
I
數學精進教材 目錄
單元 2 分數的運算
壹、主題與子題 .....................................................................................2-i
貳、必備與次要能力 .......................................................................... 2-ii
主題一 質因數分解 ............................................................................ 57
B1-2-1-1：因數與倍數 ........................................................................ 57
B1-2-1-2：質數與合數 ........................................................................ 61
B1-2-1-3：標準分解式 ........................................................................ 63
綜合練習 ............................................................................................... 66
主題二 最大公因數與最小公倍數 ................................................ 68
B1-2-2-1：最大公因數 ........................................................................ 68
B1-2-2-2：最大公因數的應用問題 .................................................... 73
B1-2-2-3：最小公倍數 ........................................................................ 74
B1-2-2-4：最小公倍數的應用問題 .................................................... 79
綜合練習 ............................................................................................... 81
主題三 分數的加減 ............................................................................ 83
B1-2-3-1：等值分數 ............................................................................ 83
B1-2-3-2：分數的加法 ........................................................................ 84
B1-2-3-3：分數的減法 ........................................................................ 86
B1-2-3-4：分數的加減法 .................................................................... 88
綜合練習 ............................................................................................... 89
主題四 分數的乘除 ............................................................................ 91
B1-2-4-1：分數的乘法 ........................................................................ 91
B1-2-4-2：分數的除法 ........................................................................ 93
B1-2-4-3：分數的四則運算 ................................................................ 96
綜合練習 ............................................................................................... 99
II
筆 記 欄
單元 2 分數的運算
重點速記
2-i
壹、主題與子題
本章共分四個主題，各主題又有若干子題，說明如下：
主題 子題 範例
質因數分解
(B1-2-1)
因數與倍數 (B1-2-1-1) 1~4
質數與合數 (B1-2-1-2) 1~2
標準分解式 (B1-2-1-3) 1~4
最大公因數與
最小公倍數
(B1-2-2)
最大公因數 (B1-2-2-1) 1~5
最大公因數的應用問題 (B1-2-2-2) 1
最小公倍數 (B1-2-2-3) 1~5
最小公倍數的應用問題 (B1-2-2-4) 1
分數的加減法
(B1-2-3)
等值分數 (B1-2-3-1) 1
分數的加法 (B1-2-3-2) 1~2
分數的減法 (B1-2-3-3) 1~2
分數的加減法 (B1-2-3-4) 1
分數的乘除法
(B1-2-4)
分數的乘法 (B1-2-4-1) 1~2
分數的除法 (B1-2-4-2) 1~3
分數的四則運算 (B1-2-4-3) 1~3
2-ii
貳、必備與次要能力
一、 本單元先復習國小已學過的概念如：因數、倍數、公因數、公倍
數、最大公因數、最小公倍數、質數、合數、質因數、質因數分
解等，再加入「整數的標準分解式」新概念與表示法，並加強「質
因數分解」與「最大公因數與最小公倍數」的應用。
二、 本單元與國小不同處有以下三點：
1. 數字變大。
2. 以標準分解式表徵一個整數。
3. 求三個數的最大公因數與最小公倍數。
分數
必備之能力
整數的加減運算
整數的乘法運算
簡易的因數、倍數概念
簡易的質因數分解
簡易的最大公因數與最小
公倍數求法
正分數的四則運算
次要之能力
正小數的四則運算
指數的意義與指數律
2-iii
下表是國小已學習教材與本單元應學習內容比較表:
概念 國小階段 本單元
質數 20 以內的整數 100 以內的整數
質因數 10 以內的整數 47 以內的整數為宜
被分解數 100 以內的整數 以整數或標準分解式呈現
倍數 200 以內的整數 以整數或標準分解式呈現
最大公因數 求 2 個 100 以內整數的最
大公因數。
求 2 個或 3 個數的最大公
因數，並以整數或標準分
解式呈現
最小公倍數 求 2 個 100 以內整數的最
小公倍數。
求 2 個或 3 個數的最小公
因數，並以整數或標準分
解式呈現
三、 對於正、負分數的四則計算，應先復習正分數的四則運算與正、
負整數的四則運算，尤其是異分母分數的通分要再多練習，再引
入正、負分數的運算。
同時強調：
1. 加減規則與整數的加減規則相同。
2. 乘除計算和正分數的乘除計算規則相同。
3. 正負號的變化和正負整數乘除的規則相同。
四、 有關於準備度測驗：
1. 第一題檢測學生是否仍記得已學過的「因數、質因數、公因數、
公倍數和最小公倍數」等概念。
2. 第二題檢測學生分解較小正整數的能力。
3. 第三題檢測學生求較小兩正整數最大公因數和最小公倍數的能
力。
4. 第四題檢測學生對正、負整數的加、減運算的能力(若整數加減運
算的能力不足，必須在進行分數加減之前，先做加強)。
5. 第五題檢測學生對正分數加、減、乘、除的運算能力。
57
範例 1
練習
主題一 質因數分解
B1-2-1-1：因數與倍數
1. 已知 95÷5＝19…0，下列敘述對的畫「○」，錯的畫「×」。
(1) （ ）95 是 19 的倍數
(2) （ ）5 是 19 的因數
(3) （ ）19 是 95 的因數
(4) （ ）95 是 5 的倍數
2. 寫出 28 的所有正因數。
Ans：1、2、4、7、14、28
1. 已知 24＝3×8，下列敘述對的畫「○」，錯的畫「×」。
(1) （ ）24 是 3 的倍數
(2) （ ）8 是 24 的因數
(3) （ ）24 是 8 的倍數
(4) （ ）8 是 3 的倍數
2. 寫出 35 的所有正因數。
Ans：1、5、7、35
57-t
★ 教學提示
一、教學目的：復習因數、倍數的意義。
二、教學注意事項：
1. 學生在小學五、六年級時已經學過因數和倍數，公因數，公倍數，
簡易的質因數分解，並利用表列法與短除法求兩數的最大公因數
與最小公倍數。
2. 【第 1 題】：
(1) 用一個整除的除法算式 95÷5＝19…0，復習有關因數和倍數
的舊經驗。
(2) 將式子寫成 95=5×19 的形式，進一步說明因數與倍數的關
係。
3. 【第 2 題】：說明 28 的所有正因數的求法。
58
範例 2
練習
填入適當的數字：
1. 如果 703□是 2 的倍數，則□內可以填入什麼數字？
0、2、4、6、8
2. 如果 703□是 5 的倍數，則□內可以填入什麼數字？
0、5
3. 如果 703□是 2 的倍數，也是 5 的倍數，
則□內可以填入什麼數字？ 0
4. 如果 703□是 3 的倍數，
則□內可以填入什麼數字？ 2、5、8
5. 如果 703□是 2 的倍數，也是 3 的倍數，
則□內可以填入什麼數字？ 2、8
填入適當的數字：
1. 如果 237□是 2 的倍數，也是 5 的倍數，
則□內可以填入什麼數字？ 0
2. 如果 456□8 是 3 的倍數，則□內可以填入什麼數字？
1、4、7
3. 如果 351□是 2 的倍數，也是 3 的倍數，
則□內可以填入什麼數字？ 0、6
58-t
★ 教學提示
一、教學目的：復習判別 2、5、3 倍數的方法：
二、教學注意事項：
1. 【第 1 題】：2 的倍數直接由個位數的數字決定。
2. 【第 2 題】：5 的倍數直接由個位數的數字決定。
3. 【第 3 題】：在判別既是 2 的倍數，也是 5 的倍數時，應同時具有
個位數的數字必須是 0、2、4、6、8 中的數，也必須
是 0 和 5 之中的一個數，所以只能填 0。
4. 【第 4 題】：將一個數的各個數字加起來，其和是 3 的倍數，該數
就是 3 的倍數。
已知 703□是 3 的倍數，則 7＋0＋3＋□一定是 3 的
倍數，因此□內可以填入 2、5、8。
5. 【第 5 題】：既是 2 的倍數，也是 3 的倍數，可以從【第 4 題】的
答案 2、5、8 中篩選出偶數的 2 和 8。
59
範例 3
練習
1. 下列哪些數是 11 的倍數？
8921 、 83413 、 4627
Ans：8921、83413
2. 如果□7072 是 11 的倍數，則□內可以填入什麼數字？
Ans：1
1. 下列何者是 11 的倍數？
(1) 9253 (2) 27181
Ans：27181 是 11 的倍數
2. 如果 4□21 是 11 的倍數，則□內可以填入什麼數字？
Ans：5
59-t
★ 教學提示
一、 教學目的：判別 11 倍數的方法。
二、 教學注意事項：
1. 【第 1 題】解題策略為：
(1) 直接除看看。
(2) 依下列步驟進行判別：
分別求奇數位與偶數位的數字和。
拿此二數中大數減小數。
二數的差若是 11 的倍數(0 也是 11 的倍數)，則原數是 11
的倍數；如【第 1 題】中 8921 與 83413。
如果不是 11 的倍數，則原數不是 11 的倍數；如【第 1
題】中 4627。
2. 【第 2 題】：
奇數位數字和＝□＋0＋2＝(最大為 11)，
偶數位數字和＝7＋7＝14，
因此以 14 減(□＋0＋2)，結果為 11 的倍數即可。
60
範例 4
練習
阿德想用 30 塊邊長為 1 的正方形紙板，緊密地拼成面積為 30 的長方
形，阿德有幾種拼法？拼成的各種長方形長寬各是多少？
Ans：1. 有八種拼法
2. (1) 長 1、寬 30
(2) 長 2、寬 15
(3) 長 3、寬 10
(4) 長 5、寬 6
(5) 長 6、寬 5
(6) 長 10、寬 3
(7) 長 15、寬 2
(8) 長 30、寬 1
面積為 36 的長方形中，如果長、寬皆為整數，那麼周長最小的長方形，
其長、寬各為多少？
Ans：長 6、寬 6 (正方形亦屬長方形的一種)
60-t
★ 教學提示
一、教學目的：將一個整數改寫為兩個整數的乘積。
二、教學注意事項：
1. 【範例 4】
(1) 說明長方形的面積為長乘以寬。
(2) 說明長方形的長、寬都是 30 的因數。
(3) 提示 1×30、2×15、3×10、5×6 的結果都是 30。
2. 【練習】
(1) 說明長方形的長、寬都是 36 的因數。
(2) 提示 1×36、2×18、3×12、4×9、6×6 的結果都是 36。
(3) 提示長方形周長的算法。
▲ 錯誤類型與指導策略：【範例 4】及【練習】
一、 錯誤類型：學生漏寫一種以上的結論。
二、 指導策略：針對缺寫的結論，再以紙板拼排說明。
61
範例 1
練習
B1-2-1-2：質數與合數
（一個大於 1 的整數，只有 1 和本身兩個因數，就稱為「質數」，如果
除了 1 和本身兩個因數之外，還有其他因數，就稱為「合數」。）
分別用 15 個、16 個、17 個、18 個、19 個邊長為 1 公分的小正方形來
拼成長方形，哪幾個數量只有一種拼法？
Ans：17 個、19 個
分別用 29 個、30 個、31 個、32 個、33 個邊長為 1 公分的小正方形來
拼成長方形，哪幾個數量只有一種拼法？
Ans：29 個、31 個
61-t
★ 教學提示
一、教學目的：以長方形邊長說明質數的意義。
二、教學注意事項：
1. 一個大於 1 的整數，只有 1 和本身兩個因數，就稱為「質數」，如
果除了 1 和本身兩個因數之外，還有其他因數，就稱為「合數」。
這樣的定義在小學六年級時已經學過，老師應再舉例說明，如 2，
3，5，7，11…是質數，而 4，8，9，10…等是合數。
2. 本【範例 1】是質數概念的學習，應與第 4 頁【範例 4】作教學的
連結，說明 30 有許多排法所以是合數。
3. 在解決『分別用 15 個、16 個、17 個、18 個、19 個邊長為 1 公分
的小正方形來拼成長方形，哪幾個數量只有一種拼法？』的問題
時，可以使用刪去法，刪去有兩種以上拼法的數量，最後只剩下
17 個和 19 個兩數量，只有一種拼法，所以 17、19 就是質數。
62
範例 2
練習
在下列各數中，何者為質數？何者為合數？
2、9、12、17、22、39、46、51、67、78、83、99
質數：2、17、67、83
合數：9、12、22、39、46、51、78、99
1. 所有質數中最小的是 2
2. 所有合數中最小的是 4
3. 判別下列各數是質數或合數，並在□中打︰
16 是（□質數、□合數）
23 是（□質數、□合數）
37 是（□質數、□合數）
57 是（□質數、□合數）
62-t
★ 教學提示
一、教學目的：判別質數、合數。
二、教學注意事項：
1. 說明質數、合數的意義。
2. 尋找 100 以內的質數以篩法為主。
3. 歸納：一個 100 以內的數，除了 1 以外，如果不能被 2、3、5、7
這幾個質數整除者就是質數。
4. 可根據質數的意義，利用除法來判別。
63
範例 1
B1-2-1-3：標準分解式
回答下列問題：
1. 2 是 60 的因數嗎？（□是、□不是）
2 是質數嗎？（□是、□不是）
2 是 60 的質因數嗎？（□是、□不是）
2. 4 是 60 的因數嗎？（□是、□不是）
4 是質數嗎？（□是、□不是）
4 是 60 的質因數嗎？（□是、□不是）
3. 將 60 做質因數分解。
Ans：
4. 60 的質因數有哪些？
Ans：2、3、5
5. 寫出 60 的標準分解式。
Ans：60＝22×3×5
60
15
30
2
2
3
5
63-t
★ 教學提示
一、 教學目的：將整數做質因數分解，並寫成標準分解式。
二、 教學注意事項：
1. 前兩個子題已經復習過因數與質數，本【範例 1】的目的在結合因
數與質數的概念，復習小學曾經學過的質因數、質因數分解，進
而說明標準分解式的記法。
2. 【第 1 題】：先判斷 2 是 60 的因數，再判斷 2 是質數，2 就是 60
的質因數。
【第 2 題】：4 是 60 的因數，但 4 不是質數，所以 4 不是 60 的質
因數。
【第 3 題】：利用短除法進行質因數分解。
【第 4 題】：由【第 3 題】說明質因數只有 2、3、5。
【第 5 題】：將質因數從小到大順序乘起來，相同的質因數以乘冪
表示，寫成 60 的標準分解式。
64
範例 2
練習
1. 將下列各數分別寫成標準分解式︰
2100 、 3591
Ans：(1) 2100＝22×3×5
2×7
(2) 3591＝33×7×19
2. 2100 的質因數有： 2、3、5、7
3. 3591 的質因數有： 3、7、19
1. 將下列各數寫成標準分解式：
1680 、 396
Ans：(1) 1680＝24×3×5×7
(2) 396＝22×3
2×11
2. 1680 的質因數有： 2、3、5、7
3. 396 的質因數有： 2、3、11
64-t
★ 教學提示
一、教學目的：求較大整數的標準分解式。
二、教學注意事項：
1. 質因數分解的方法，以 2100 為例：
2 2100
2 1050
3 525
5 175
5 35
7
先判斷出 2100 的質因數有 2，2100 除以 2 之後，再判斷 1050 的
質因數有 2，1050 除以 2 之後，再繼續找 525 的質因數……依此
方法繼續下去，直到除完之後的商是質數為止。
2. 在質因數分解的過程中，不一定要依照質因數大小的順序進行分
解，學生只要發現該整數的任一質因數，就可以先以該質因數進
行分解。
3. 將 2100 寫成標準分解式 22×3×5
2×7 的步驟如下：
(1) 找出所有質因數 2、3、5、7。
(2) 將質因數由小到大排列 2×2×3×5×5×7
(3) 將相同的質因數寫成指數形式 22×3×5
2×7
4. 有些題目上會出現「相異質因數」的用詞，學生常不理解「相異
質因數」的意義，教師應說明「2100＝22×3×5
2×7，2、2、3、5、5、
7 都是 2100 的質因數，其中 2、3、5、7 四個質因數是相異的數，
也稱為 2100 的『相異質因數』。」
65
範例 3
練習
範例 4
練習
下列哪些是 3 22 3 的因數？
（A） 22 （B）32 （C） 42
（D） 32 3 （E）23×3
3 （F）22×3
2
Ans：（A）、（B）、（F）
下列哪些是 2 3 43 7 11 的因數？
（A）3 （B）72 （C）11
5
（D）3×7×113 （E）3
2× 7
2 ×11
2 （F） 33 ×7×112
Ans：（A）、（B）、（D）、（E）
下列哪些是 2 23 5 的倍數？
（A）54 （B）3
3 （C）32×5
（D）34×5 （E）3
3×5
3 （F） 2 23 5 7
Ans：（E）、（F）
下列哪些是 2 22 5 7 13 的倍數？
（A）2 5 7 13 （B）22×5×13
2 （C）2
2×5×7
2×13
2
（D）23×5
3×7
2×13
3 （E）22×5×7×13
2 （F）22×5×7×13
2×4
Ans：（C）、（D）、（E）、（F）
65-t
★ 教學提示
一、 教學目的：由標準分解式判別因數、倍數。
二、 教學注意事項：
1. 因數與倍數的判別是求公因數與公倍數的基礎，應仔細說明，
2. 判別標準分解式因數的方法：
(1) 【範例 3】可寫成
32
32□
23
的形式；考慮□、△中放入哪些數，
使算式 2□3
△可以整除 3 22 3 。
(2) 從觀察中得 2、22、2
3， 3、32、3
3， 2×3、22×3、2
3×3，
2×32、2
2×3
2、23×3
2 都是 2
3×3
2的因式。
(3) 進一步歸納出：
2 的次方≦3，且 3 的次方≦2，以及它們的相互乘積都是 23×3
2
的因數。
3. 判別標準分解式倍數的方法：
【範例 4】可寫成22
53
53□
的形式；考慮 53□ 是否為 32×5
2
的倍數。即 53□ 的算式中，以 3 為底的次數需≧2，且以 5
為底的次數需≧2，它們的乘積才能被 23×5
2整除。
66
綜合練習
1. （ A ） 9243 是下列何者的倍數？
（A）3 （B）5 （C）7 （D）11
2. （ D ） 如果今天是星期五，則往後的第幾天也是星期五？
（A）45 （B）67 （C）143 （D）203
3. （ C ） 用一些邊長為 1 的小正方形拼成長、寬皆大於 1 的長方
形，且全部用完，則小正方形的個數不可能為下列哪一
個數？
（A）95 （B）96 （C）97 （D）98
4. （ B ） 下列何者是 23×5 的因數？
（A）24 （B）2
2×5 （C）2
3×5
2 （D）23×3
2×5
5. （ A ） 下列何者是 32 的質因數？
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16
6. 大凱想用 60 塊邊長為 1 的正方形紙板，緊密地拼成面積為 60 的長
方形，則此長方形的周長最小為多少？
Ans：32
7. （1）將下列各數寫成標準分解式︰
2730 、 4620
Ans： 2730＝2×3×5×7×13
4620＝22×3×5×7×11
（2）將 17784 寫成標準分解式可得：2a×3
b×c×19，求 a、b、c。
Ans：a＝3、b＝2、c＝13
67
筆 記 欄
68
練習
範例 1
主題二 最大公因數與最小公倍數
B1-2-2-1：最大公因數
1. 填充︰
12 的因數有 1、2、3、4、6、12
18 的因數有 1、2、3、6、9、18
12 和 18 的公因數有 1、2、3、6
12 和 18 的最大公因數：（12 , 18）= 6
2. 利用短除法求 36 與 64 的最大公因數。
Ans：4
1. 填充︰
42 的因數有 1、2、3、6、7、14、21、42
63 的因數有 1、3、7、9、21、63
42 和 63 的公因數有 1、3、7、21
42 和 63 的最大公因數：（42 , 63）= 21
2. 利用短除法求 48 與 56 的最大公因數。
Ans：8
36 64 2
18 32
9 16
2 2×2＝4
48 56 2
24 28
12 14
2 2×2×2＝8
2
6 7
68-t
★ 教學提示
一、 教學目的：以列舉法與短除法求最大公因數。
二、 教學注意事項：
1. 【範例 1】
(1) 【第 1 題】：用列舉法找因數、公因數和最大公因數，其目
的是連結前一主題有關因數的概念。
(2) 【第 2 題】：喚起學生小學學過有關利用短除法求最大公因
數的舊經驗。
(3) 國中階段以(12, 18)來表示「12 和 18 的最大公因數」，但不
是看到這個符號就是求最大公因數，它也可以表示坐標平
面的位置…等。
2. 【練習】：說明同【範例 1】。
69
練習
範例 2
求出下列各組數的最大公因數：
1. （22 , 2
3）＝ 22
2. （22× 3
3 , 2
3 × 3
2）＝ 22×3
2
3. （22× 3
3× 5
2 , 2
3 × 3
2× 7）＝ 2
2×3
2
4. （22× 3
3× 5
2× 11 , 2
3× 3
2× 5×7）＝ 2
2 ×3
2× 5
5. （23× 3× 5
3 , 7 × 11
2 × 13
3）＝ 1
求下列各組數的最大公因數：
1. （3 , 33）＝ 3
2. （3× 54 , 3
3× 5
2）＝ 3× 52
3. （3× 54× 17 , 3
3 × 5
2 × 19）＝ 3×5
2
4. （22× 5× 7
3 , 2
3 × 5
2 ×7×13）＝ 2
2×5×7
5. （32 × 5× 7 , 2
3× 11
2）＝ 1
69-t
★ 教學提示
一、 教學目的：由標準分解式求兩數的最大公因數。
二、 教學注意事項：
1. 題目以編序法設計，教師在教學上應循序漸進說明題目之間的關
連。
2. 【範例 2】教學重點有三：
(1) 兩數的公因數：能同時整除兩數的因數。
以【第 1 題】、【第 2 題】為例：
【第 1 題】：（22 , 2
3）的公因數有 1、2、22。
【第 2 題】：（22× 3
3 , 2
3 × 3
2）的公因數有 1、2、22、3、3
2、
2×3、2×32、2
2×3、2
2×3
2。
(2) 兩數的最大公因數：公因數中最大的一個就是最大公因
數。
如【第 1 題】22，【第 2 題】2
2×3
2，並由【第 1 題】、【第 2
題】中說明。
歸納上兩題的結果得求最大公因數的方法如下：
底數不相同的質因數不取。
底數相同的質因數指數取較小的次數，例如：（22× 3
3 ,
23 ×3
2）中 22與 2
3取 22，3
3與 32取 3
2。
22×3
2就是（22× 3
3 , 2
3 ×3
2）的最大公因數。
由上面的規則求【第 3 題】、【第 4 題】。
(3) 兩數互質，其最大公因數為 1。
【第 5 題】中，兩數沒有共同質因數，則這兩數的最大公
因數為 1，又稱兩數互質。
70
範例 3
練習
求下列各組數的最大公因數
1. 將 165 和 198 寫成標準分解式，並求出它們的最大公因數
（165,198）。
Ans：(1) 165＝3×5×11
198＝2×32×11
(2) （165,198）＝33
2. （585 , 2 × 34 × 11 × 13
2）
Ans：最大公因數為 117
求下列各組數的最大公因數
1. （126 ,168） 2. （8 × 112 × 13 , 5 × 6 × 7
2）
Ans：42 Ans：2
3. （25 × 3
2 × 11
3 , 336）
Ans：48
70-t
★ 教學提示
一、 教學目的：由標準分解式找兩個數的最大公因數。
二、 教學注意事項：
1. 【第 1 題】：先讓學生將 165 和 198 寫成標準分解式，再找兩數的
最大公因數。
2. 【第 2 題】：
(1) 585 是以數的形式呈現，而 2 × 34 × 11 × 13
2是以標準分解
式的形式呈現，有些學生會將 2 × 34 × 11 × 13
2乘出來，再
找兩數的最大公因數，這個方法往往因為數字太大，增加
解題的困難度。
(2) 比較好的做法是先將 585 寫成標準分解式，再用短除法做
585 的質因數分解，過程中可以試試另一數的標準分解式中
的質因數 11 和 13，將更容易找出兩數的最大公因數。
3. 寫答時可以直接以標準分解式呈現，或將標準分解式乘開。
4. 【練習第 1 題】可以先寫成標準分解式再找出最大公因數，也可
以用短除法求出兩數的最大公因數。
5. 【練習第 3 題】宜先將 336 寫成標準分解式，再求兩數的最大公
因數。
71
範例 4
練習
求下列各組數的最大公因數：
1. （2 , 22 , 2
3）＝ 2
2. （2 × 53 , 2
2 × 5
2 , 2
3× 5）＝ 2 × 5 (或 10)
3. （2 × 53 × 7 , 2
2 × 5
2 , 2
3× 5 × 7
2）＝ 2 × 5 (或 10)
4. （23× 5× 11
2 , 3
3× 7× 13
2 , 5 × 7
2 × 13
3）＝ 1
求下列各組數的最大公因數：
1. （52 , 5
3 , 5
4）＝ 52 (或 25)
2. （23× 5
2 , 2
2 × 5
3 , 2
4 × 5
4）＝ 22 × 5
2 (或 100)
3. （23× 5
2 × 11 , 2
2 × 5
3 × 13 , 2
4 × 5
4 × 13
3）＝ 22 × 5
2 (或 100)
4. （22 × 5× 17 , 3
2 × 11
2 , 3
3 × 11
2 × 13
3）＝ 1
71-t
★ 教學提示
一、 教學目的：由標準分解式求三個數的最大公因數。
二、 教學注意事項：
1. 【範例 2】是從兩個整數的標準分解式找最大公因數，
【範例 4】則是從三個整數的標準分解式中找最大公因數。
2. 【範例 4】與【範例 2】不同的地方在於，選取三數都具有的質因
數，且所取的指數是三個數中最小的。
3. 只有兩個數的質因數相同不可選取。
4. 本範例中四個題目安排的順序與【範例 2】同。說明如下：
【第 1 題】：三個數都只有質因數 2，取其乘冪最小者 1，所以最
大公因數是 2。
【第 2 題】：三個數的質因數都是 2 和 5，取乘冪較小者，所以最
大公因數是 2×5。
【第 3 題】：三個數共同的質因數是 2 和 5，第一個和第三個標準
分解式中有質因數7，但是第二個標準分解式沒有7，
所以最大公因數的質因數只取 2和5，（2 × 53 × 7 , 2
2 ×
52 , 2
3× 5 × 7
2）＝2×5。
【第 4 題】：三個標準分解式中都沒有共同的質因數，其最大公因
數為 1。
5. 【練習】中四個題目的安排順序與【範例 4】同。
72
範例 5
練習
求下列各組數的最大公因數
1. （72 , 108 , 144）
Ans：36
2. （260 , 2×53×13×19
2 , 455）
Ans：65
求下列各組數的最大公因數
1. （98 , 126 , 168）
Ans：14
2. （32×13
2×17 , 340 , 2×13
3×17×31
2）
Ans：17
72-t
★ 教學提示
一、教學目的：求三個整數的最大公因數。
二、教學注意事項：
1. 【第 1 題】
(1) 求三個數的最大公因數，可以將三個數都寫成標準分解式
再找最大公因數，也可以用短除法找最大公因數。
(2) 用短除法求最大公因數時，一一找出三個數的共同質因數，
進行分解，其做法如下：
2 72 108 144
2 36 54 72
2 18 27 36
3 6 9 12
2 3 4
2×2×2×3＝24 （72 , 108 , 144）＝24
2. 【第 2 題】
(1) 可以先將 260 和 455 分別寫成標準分解式，
(2) 在用短除法做 260 和 455 的質因數分解時，可以先試試 2、
5、13、19 是不是 260 和 455 的質因數。
(3) 因為 2 不是 455 的質因數，所以 2 一定不是三個數的質因
數；5是 260和 455的質因數，也就是三個數共同的質因數。
依此方法可以很快的找出三個數的最大公因數。
73
範例 1
練習
B1-2-2-2：最大公因數的應用問題
1. 將一個長 30cm，寬 24cm 的長方形分割成大小一樣的正方形，且沒
有剩下，則正方形的邊長最長是幾公分？
Ans：6 公分
2. 桌上現有 10 元硬幣 15 個，1 元硬幣 20 個要分給一些人，且每個人
所得到的 10 元及 1 元硬幣個數要相同，則最多可分給多少人？每
人可分得多少元？
Ans：5 人、34 元
1. 將一條長 56cm 的綠色緞帶和一條長 42cm 的紅色緞帶剪成一樣長
的小段，且沒有剩下，則每小段緞帶最長是幾 cm？
Ans：14 cm
2. 水果店將 60 顆蘋果和 84 顆水梨混合分裝成禮盒，每一個禮盒中的
蘋果數一樣多，水梨數也一樣多，最多可分裝成幾盒？每盒中有幾
顆蘋果、幾顆水梨？
Ans：(1) 12 盒
(2) 5 顆蘋果、7 顆水梨
73-t
★ 教學提示
一、 教學目的：利用最大公因數解題。
二、 教學注意事項：
1. 本【範例 1】是利用最大公因數解題，解題之前，必須先和學生溝
通題意，待學生確實了解題意之後，再進行解題活動。解題之前，
必須先和學生溝通題意，待學生確實了解題意之後，再進行解題
活動。
2. 【第 1 題】解題的關鍵在於了解：
(1) 『分割成大小一樣的正方形，且沒有剩下』的意義是能整
除它們的邊長，即 30cm 和 24cm 的公因數。
(2) 『正方形的邊長最長是幾公分？』就是求 30 和 24 的最大
公因數。
(3) 如果討論後學生仍無法了解題意，教師可準備一張長 30 公
分，寬 24 公分紙，和邊長 6 公分的正方形 20 個，讓學生
實地操作，將 20 個正方形排在長方形紙上，觀察將長方形
分割後的情形。之後，可以再和學生討論將長方形分割成
邊長為 3 公分、2 公分、1 公分的正方形的情形。
3. 【第 2 題】解題的策略可以在解題前先問學生：
(1) 在每堆的個數一樣的條件下，
15 個 10 元硬幣可以如何分堆？
20 個 1 元硬幣要如何分堆？
(2) 有可能分給幾個人？最多可分給幾個人？
(3) 每人可分得多少元？
4. 觀察學生會不會從硬幣的分堆活動中，學習解【練習第 2 題】的
技巧。
74
範例 1
練習
B1-2-2-3：最小公倍數
1. 我們將 8 和 12 的倍數由小到大列出若干個如下︰
8 的倍數︰ 8、16、24、32、40、48、56、64、72……
12 的倍數： 12、24、36、48、60、72、84……
觀察上面所列出的倍數，圈出 8 和 12 的公倍數，並回答下列問題：
(1) 8 和 12 的公倍數有 24、48、72
(2) 8 和 12 的最小公倍數：〔8,12〕= 24
2. 利用短除法求 8 與 12 的最小公倍數。
Ans：24
1. (1) 將 18 和 24 的倍數由小到大列出若干個︰
18 的倍數︰18、36、54、72、90、108、126、144、162、180
24 的倍數：24、48、72、96、120、144、168、192、216、240
(2) 觀察上面所列出的倍數，圈出 18 和 24 的公倍數。
(3) 18 和 24 的最小公倍數：〔18, 24〕= 72
2. 利用短除法求 18 與 24 的最小公倍數。
Ans：72
8 12 2
4 6
2 3
2 2×2×2×3＝24
18 24 2
9 12
3 4
3 2×3×3×4＝72
74-t
★ 教學提示
一、教學目的：分別以列舉法與短除法求兩個整數的最小公倍數。
二、教學注意事項：
1. 【第 1 題】：用列舉法依序寫出 8 和 12 的數個倍數、再觀察列舉
出來的倍數，找出兩數的公倍數和最小公倍數。
2. 【第 2 題】：利用短除法喚起學生學過有關公倍數和最小公倍數的
舊經驗。
3. 國中階段以〔8,12〕來表示「8 和 12 的最小公倍數」。
75
範例 2
練習
求下列各組數的最小公倍數
1. 〔22 , 2
3〕＝ 23
2. 〔22× 3
3 , 2
3 × 3
2〕＝ 23 × 3
3
3. 〔22× 3
3× 5 , 2
3 × 3
2× 7〕＝ 2
3 × 3
3× 5× 7
4. 〔23× 3× 5
2 , 7 × 11
2 × 13
3〕＝ 23 × 3× 5
2× 7× 11
2 × 13
3
求下列各組數的最小公倍數
1. 〔32 , 3
3〕＝ 33
2. 〔32× 5
4 , 3
3× 5
2〕＝ 33 × 5
4
3. 〔32× 5
4× 17 , 3
3 × 5
2 × 19〕＝ 3
3 × 5
4× 17× 19
4. 〔32 × 5× 7 , 2
3× 11
2 × 13
3〕＝ 23 × 3
2 × 5 × 7 × 11
2 × 133
75-t
★ 教學提示
一、 教學目的：由標準分解式求兩個整數的最小公倍數。
二、 教學注意事項：
1. 本【範例 2】與求最大公因數的【範例 2】一樣，是以編序的方法
設計題目。
2. 以【第 1 題】〔22 , 2
3〕為例：
(1) 請學生由小到大舉出 22的倍數的實例。
由小到大舉出 23的倍數的實例。
(2) 討論 22，2
3的公倍數是甚麼：
25是公倍數嗎？ 2
4呢？ 23呢？ 2
2呢？
(3) 以此例說明最小公倍數的特性---能被整除的算式中最小的一
個。
3. 以下列題目依序教學：
【第 1 題】：兩個數都只有一個相同的質因數 2，其乘冪分別為 2
和 3，22不是 2
3的倍數，23才是 2
2的倍數，所以取
最小公倍數時必須從相同的質因數中取乘冪較大
者。
【第 2 題】：兩個數都只有 2 和 3 兩個質因數，2 的乘冪取較大的
3，3 的乘冪也取較大的 3，所以最小公倍數是 23×3
3。
【第 3 題】：兩數除了 2 和 3 兩數共同的質因數外，還有 5 和 7 兩
個相異的質因數，共同的質因數取法同第(2)題；還要
再乘以相異質因數，所以〔22× 3
3× 5 , 2
3 × 3
2× 7〕＝
23×3
3×5×7。
【第 4 題】：兩個標準分解式中都沒有共同的質因數，這兩個數互
質，其最小公倍數就是將所有的數連乘起來。
76
範例 3
練習
求下列各組數的最小公倍數：
1. 將 65 和 91 寫成標準分解式，並求出它們的最小公倍數〔65 , 91〕。
Ans：(1) 65＝5×13
91＝7×13
(2) 〔65 , 91〕＝5×7×13＝455
2. 〔18 , 35〕
Ans：〔18 , 35〕＝630
3. 〔20 , 60〕
Ans：〔20 , 60〕＝60
4. 〔275 , 2×53×11〕
Ans：〔275 , 2×53×11〕＝2750
求下列各組數的最小公倍數：
1. 〔12 , 35〕 2. 〔120 , 168〕
Ans：420 Ans：840
3. 〔22×5×7
2 , 140〕 4. 〔330 , 6 × 5
2 × 7〕
Ans：980 Ans：11550
76-t
★ 教學提示
一、 教學目的：求兩個整數的最小公倍數。
二、 教學注意事項：
1. 學生從【範例 2】學習由標準分解式求最小公倍數，本【範例 3
第 1 題】讓學生先將 65 和 91 寫成標準分解式，再找兩數的最小
公倍數。
2. 【第 2 題】和【第 3 題】學生可以選擇用短除法求最小公倍數，
或先將兩數寫成標準分解式再求出兩數的最小公倍數。
3. 【第 4 題】的兩個整數，275 是以數的形式呈現，2×53×11 是以標
準分解式形式呈現，有些學生會將 2×53×11 乘出來，再找兩數的
最小公倍數，這個方法往往因為數字太大，增加解題的困難度。
解題時可以將 275 寫成標準分解式，再找出兩數的最小公倍數。
77
範例 4
練習
求下列各組數的最小公倍數：
1. 〔5 , 52 , 5
3 〕＝ 5
3
2. 〔23 × 5 , 2
2 × 5
2 , 2 × 5
3〕＝ 23 × 5
3
3. 〔23 × 5 × 7 , 2
2 × 5
2 , 2 × 5
3 × 7
2〕＝ 23 × 5
3 × 7
2
4. 〔23× 5 × 7 , 2
2 × 5
2 × 13 , 2 × 5
3× 7
2〕＝ 23 × 5
3 × 7
2 × 13
5. 〔23× 3
2 × 5 , 3 × 5
2 × 7 , 2 × 7 × 11
2〕＝ 23 × 3
2× 5
2 × 7 × 11
2
求下列各組數的最小公倍數：
1. 〔2 , 22 , 2
4〕＝ 24
2. 〔2 × 32 , 2
2× 3 , 2
4 × 3
3〕＝ 24 × 3
3
3. 〔2 × 32 × 11
2 , 2
2× 3
× 11
4 , 2
4 × 3
3× 11
3〕＝ 24 × 3
3× 11
4
4. 〔2 × 32 × 5
2× 11
2 , 2
2× 3
× 11
4 , 2
4 × 3
3× 5
3 × 11
3〕
＝ 24 × 3
3× 5
3× 11
4
5. 〔22 × 17 , 3
2 × 11
2 , 11
2 × 13
3〕＝ 22 × 3
2 × 11
2 × 13
3× 17
77-t
★ 教學提示
一、 教學目的：由標準分解式求三個整數的最小公倍數。
二、 教學注意事項：
1. 【範例 2】是從兩個整數的標準分解式找最小公倍數，本【範例 4】
是從三個整數的標準分解式找最小公倍數。
2. 本範例中 5 個題目安排的順序與【範例 2】同。
說明如下：
【第 1 題】：三個數都只有質因數 5，取其乘冪最大者 3，所以最
小公倍數是 53。
【第 2 題】：三個數的質因數都是 2 和 5，取乘冪較大者，所以最
小公倍數是 23×5
3。
【第 3 題】：三個數的質因數都有 2 和 5，第一個和第三個標準分
解式中有質因數 7，最小公倍數的質因數除了取 2 和
5 外，也要取 7，所以〔23 ×5×7 , 2
2 ×5
2 , 2×5
3 ×7
2〕
＝23×5
3×7
2。
【第 4 題】：三個數的質因數都有 2 和 5，第一個和第三個標準分
解式中有質因數 7，第二個標準分解式中有質因數 13，
最小公倍數的質因數除了取 2 和 5 外，也要取 7 和
13，所以〔23 ×5×7 , 2
2 ×5
2×13 , 2×5
3×7
2〕＝
23×5
3×7
2×13。
【第 5 題】：求最小公倍數〔23× 3
2 × 5 , 3 × 5
2 × 7 , 2 × 7 × 11
2〕，
(1) 三個算式中沒有共同的質因數。
(2) 第一式與第三式有共同的質因數 2，取 23。。
第一式與第二式有共同的質因數 3 和 5，取 32 × 5
2。
第二式與第三式有共同的質因數 7，取 7。
第三式有質因數 11，取 112。
最小公倍數是將所取的這些數連乘起來，即
〔23× 3
2 × 5 , 3 × 5
2 × 7 , 2 × 7 × 11
2〕＝ 23× 3
2 ×5
2× 7 ×
112。
78
範例 5
練習
求下列各組數的最小公倍數：
1. 〔12 , 18 , 30〕
Ans：180
2. 〔5 , 7 , 21〕
Ans：105
3. 〔120 , 2 × 53 × 13 , 150〕
Ans：39000 (23×3×5
3×13)
求下列各組數的最小公倍數：
1. 〔15 , 20 , 70〕
Ans：420
2. 〔2 , 3 , 11〕
Ans：66
3. 〔32 × 11 , 2
3 × 5
2 × 11 , 165〕
Ans：19800 (23×3
2×52×11)
78-t
★ 教學提示
一、 教學目的：求三個整數的最小公倍數。
二、 教學注意事項：
1. 【第 1 題】
(1) 可以將三個數都寫成標準分解式再找最小公倍數，也可以
用短除法找最小公倍數。
(2) 用短除法求最小公倍數時，一一找出三個數的共同質因數，
進行分解，其做法如下：
2 12 18 30
3 6 9 15
2 3 5
2×3×2×3×5＝180 〔12 , 18 , 30〕＝180
2. 【第 2 題】
(1) 可以用短除法求最小公倍數，
(2) 特別說明，三個數中只要有兩個數有共同質因數，就可以
提出公因數繼續分解，這和求三個數的最大公因數不同，
(3) 其短除法的做法如下：
7 5 7 21
5 1 3
7×5×1×3＝105 〔5 , 7 , 21〕＝105
3. 【第 3 題】
可以分別將 120 和 150 寫成標準分解式，再找出三個數的最小
公倍數。
79
範例 1
B1-2-2-4：最小公倍數的應用問題
1. 小華用長 6 公分的積木連接成一列，小英用長 8 公分的積木連接成
另一列，最少要連接成幾公分，兩列積木才會一樣長？各需要幾個
積木？
Ans：(1) 24 公分
(2) 小華需 4 個，小英需 3 個
2. 張家三兄弟都到外地工作，大哥每隔 2 天回家一次，二哥每隔 3 天
回家一次，三弟每隔 4 天回家一次，某日三兄弟同時回家，幾天之
後，三兄弟才能再次見面？
Ans：12 天
2 2 …… 大哥
3 3 …… 二哥
4 4 …… 三弟
6
小華
8
小英
79-t
★ 教學提示
一、 教學目的：利用最小公倍解題。
二、 教學注意事項：
1. 【第 1 題】
(1) 說明兩列積木同長，其長度是 6 與 8 的公倍數。
(2) 提醒學生，要用最少個積木連接成長條，那它的長度是 6
與 8 的最小公倍數。
2. 【第 2 題】
(1) 說明三人同時回家，所以回家的天數是 2、3、4 的公倍數。
(2) 提醒學生，下一次同時回家，相隔天數最少，那天數就是 2、
3、4 的最小公倍數。
▲ 錯誤類型與指導策略：
【範例 1 第 1 題】
一、 錯誤類型 I：以短除法寫完算式之後，可能直接回答
6 公分的排 3 個，8 公分的排 4 個。
指導策略：適時提醒學生，作到這裡，尚未作完。
二、 錯誤類型 II：可能直接以 6×8=48 來回答整列長度。
指導策略：說明 48 公分並不是最少個小積木連接，強調題意是用
最少個小積木連接。
2 6 8
3 4
80
練習
1. 用長 15 公分、寬 12 公分的長方形紙卡拼成一個正方形，正方形的
邊長最少是幾公分？共需要幾張長方形紙卡？
Ans：(1) 60 公分
(2) 20 張
2. 遊樂場裡有一條路長 1600 公尺，自起點開始，在路的一旁每隔 40
公尺設一盞路燈，在路的另一旁每隔 50 公尺設一個卡通人物，若
起點同時設有路燈和卡通人物，那麼這條路上同時在對面設有路燈
和卡通人物的有幾處？
Ans：9 處
12 公分
15
公
分
路燈
卡通
人物
40m
50m
80-t
★ 教學提示
一、練習目的：利用最小公倍解題。
二、教學注意事項：
1. 【第 1 題】
(1) 強調正方形的邊長是 15 與 12 的公倍數。
(2) 提醒學生，要用最少個長方形紙卡，所以它的邊長是 15 與
12 的最小公倍數。
2. 【第 2 題】
(1) 同時設路燈與卡通人物的位置，離道路起點長是 40、50 的
公倍數。
(2) 說明在 1600 以內且是 40、50 的公倍數的位置，都設置路
燈與卡通人物。因此小於 1600，且為〔40, 50〕之倍數即為
所求。
錯誤類型與指導策略：【第 1 題】
一、 錯誤類型 I：以短除法寫完算式之後，可能直接
回答 3×5×4=60 個。
指導策略：提醒學生，這個最小公倍數是正方形的邊長。
二、 錯誤類型 II：可能直接以 15×12=180 來作為正方形邊長。
指導策略：說明邊長 180 公分的正方形並不是最小的一個，強調
題意是要排出最小的正方形。
3 15 12
5 4
81
綜合練習
（ B ）1. 下列兩數何者互質？
（A）7，7 （B）15，32 （C）22，36 （D）19，38
（ D ）2. 下列何者是 23×5
2×7
2和 22×3
2×5
4的公因數。
（A）32×5
2 （B）5
2×7
2 （C）2
2×3
2 （D）22×5
（ D ）3. 下列何者是 33×5
3 和 54 的公倍數？
（A）53 （B）5
4 （C）33×5
3 （D）34×5
4×13
4. 求下列各組數的最大公因數與最小公倍數：
(1) （18 , 36）＝ 18
〔18 , 36〕＝ 36
(2) （16 , 25）＝ 1
〔16 , 25〕＝ 400
(3) （22 × 5 , 2
3 × 3
5）＝ 22
〔22 × 5 , 2
3 × 3
5〕＝ 23 × 3
5 × 5
82
5. 求下列各組數的最大公因數與最小公倍數：
(1) 45 , 54 , 90
Ans：最大公因數為 9、最小公倍數為 270
(2) 23× 3
5× 5
2 , 2
2 × 3
5× 7 , 2
2 × 3
4× 5
3
Ans：最大公因數為 22×3
4、最小公倍數為 23×3
5×5
3×7
(3) 2×53×13
3×19
2 , 5
2×26 , 390
Ans：最大公因數為 2×5×13
最小公倍數為 2×3×53×13
3×19
2
6. 要將一些長 4 公分，寬 5 公分的長方形紙卡拼成正方形，則正方形
的邊長最少是幾公分？共需要幾個長方形紙卡？
Ans：(1) 20 公分
(2) 20 個
7. 勤學國中一年級有 63 位男生和 72 位女生，趣味競賽時男女生混合
編組，各組的男生人數一樣多，女生人數也一樣多，最多可以編成
幾組？每組有幾位男生、幾位女生？
Ans：(1) 9 組
(2) 7 位男生、8 位女生
83
範例 1
主題三 分數的加減
B1-2-3-1：等值分數
填充：
1.
5 255
2 2.
1
7 14 35
3. 6
1 118 3
4 .
22
5 5 5
1. 9
4 12 48
2
.
202 2
35 7 7
1
10
5
2 －5
1 12 －12
練習
3 36 4 18
83-t
★ 教學提示
一、教學目的：說明等值分數的意義。
二、教學注意事項：
1. 說明經約分或擴分可得相等的分數為等值的數。
2. 說明以下運算類型：
(1) 將整數化為假分數。
(2) 將分數擴分(或約分)。
(3) 將帶分數化為幾假分數，其中負的帶分數化為假分數的方法
與正分數相同。
錯誤類型與指導策略
【範例 1 第 1 題】
一、 錯誤類型 I：寫出)0(
55 。
指導策略：適時指正學生，5 的「0」倍不是 5。
二、 錯誤類型 II：寫出)(
25
2
)(
)1(
55
亂寫
亂寫 。
指導策略：學生不會(或忘掉)正分數的擴分，應再復習正分數的擴
分的內容。
【範例 1 第 4 題】
一、 錯誤類型：
學生寫出5
4
5
22 。
二、 指導策略：適時說明，5
22 是 2+
5
2，不是 2×
5
2。
84
範例 1
練習
B1-2-3-2：分數的加法
計算下列各題︰
1. 1 1
4 4
2.
1 5
6 6
Ans：2
1 Ans：
3
2
3. 3 12
5 5
4. 3 1
8 8
Ans：－3 Ans：4
1
計算下列各題︰
1. 7 9
4 4 （ ）（ ）
2.
5 3
11 11
（ ）
Ans：－4 Ans：11
8
3. 5 2
7 7 （ ） 4.
4 7
3 3
Ans：7
3 Ans：1
84-t
★ 教學提示
一、 教學目的：說明同分母分數加法規則。
二、 教學注意事項：
1. 復習同分母正分數相加，如4
11
4
1
4
1 。
2. 說明同分母正、負分數相加：
(1) 將5
3 改為
5
3。
(2) 將共同的分母寫為分母，即6
5)(1
6
5
6
1
。
(3) 分子的相加，與正、負整數加法法則相同。
錯誤類型與指導策略：
【範例 1 第 1 題】
一、 錯誤類型：寫出8
2
4
1
4
1 。
二、 指導策略：應重新說明正分數的加法意義與規則。
【範例 1 第 3 題】
一、 錯誤類型：寫出5
123
5
12
5
3
。
二、 指導策略：提醒學生，最前面的負號只給第一個分數用。
【練習第 2 題】
一、 錯誤類型：寫出11
2
11
35)
11
3(
11
5
。
二、 指導策略：應重新復習正、負整數的加減法運算規則。
85
練習
範例 2
計算下列各題︰
1. 1 1
2 3 2.
4 2
7 3 （ ）
Ans：6
5 Ans：
21
26
3. 3 4
4 3 （ ） 4.
7 5
10 4
Ans：12
7 Ans：
20
11
計算下列各題︰
1. 11 7
3 6 （ ） 2.
5 7
8 6
Ans：6
29 Ans：
24
13
3. 3 5
7 3 （ ）
4.
13 11
12 18
Ans：21
26 Ans：
36
17
85-t
★ 教學提示
一、 教學目的：說明異分母分數加法規則。
二、 教學注意事項：
1. 找出不同分母的最小公倍數當新分母。
2. 每個分數各自擴分。
3. 以整數加法規則來處理分子。
錯誤類型與指導策略：
【範例 2 第 1 題】
一、 錯誤類型：寫出5
2
3
1
2
1 。
二、 指導策略：應確認學生是否理解分數的意義、了解等值分數，
及理解須通分成公分母的理由。
【範例 2 第 4 題】
一、 錯誤類型：寫出20
39
20
2514
4
5
10
7
。
二、 指導策略：應重新說明正、負整數的加減法運算規則。
86
練習
範例 1
B1-2-3-3：分數的減法
計算下列各題︰
1. 5 9
7 7
2.
12 8
5 5
Ans：7
4 Ans：－4
3. 3 3
4 4 （ ）
4.
19 35
17 17 （ ）
Ans：2
3 Ans：
17
16
計算下列各題︰
1. 23 13
15 15 2.
10 7
3 3
Ans：3
2 Ans：
3
17
3. 25 3
34 34
（ ） 4.
15 17
4 4 （ ）
Ans：17
11 Ans：8
86-t
★ 教學提示
一、 教學目的：說明同分母分數減法規則。
二、 教學注意事項：
1. 減負數改為加上相反數，例如：
25 3
34 34
（ ）＝
34
3
34
25
=……。
2. 減正數以整數減法的方式處理分數減法。
例如：將【第 2 題】12 8
5 5 ，改寫為
5
812。
3. 減正數的運算也可用加負數的方式處理。
例如：12 8
5 5 =－
5
12+(－
5
8)。
錯誤類型與指導策略：
【範例 1 第 2 題】
一、 錯誤類型：寫出5
812
5
8
5
12 =……。
二、 指導策略：提醒學生，第一個負號是給第一個分數用(負分數)。
【範例 1 第 4 題】
一、 錯誤類型：寫出17
54
17
3519)
17
35(
17
19
。
二、 指導策略：應重新說明正、負整數的加、減法運算規則。
87
範例 2
練習
計算下列各題︰
1. 5 7
8 2 2.
7 5
4 6
Ans：8
23 Ans：
12
31
3. 1 13
15 6 （ ）
4.
9 2
7 3 （ ）
Ans：10
21 Ans：
21
41
計算下列各題︰
1. 3 4
2 7 2.
4 11
3 9
Ans：14
13 Ans：
9
23
3. 9 7
8 6 （ ） 4.
15 2
14 21 （ ）
Ans：24
55 Ans：
42
41
87-t
★ 教學提示
一、 教學目的：說明異分母分數減法規則。
二、 教學注意事項：
1. 異分母分數的減法須先通分。
2. 再以同分母分數的減法進行運算，其分子的減法與正、負整數減
法規則相同。
錯誤類型與指導策略：
【範例 2 第 2 題】
一、 錯誤類型：寫出12
11
12
10
12
21
6
5
4
7 。
二、 指導策略：提醒學生，第一個負號是給第一個分數用(負分數)。
【範例 2 第 3 題】
一、 錯誤類型：寫出30
67
30
652
30
65
30
2)
6
13(
15
1
。
二、 指導策略：應重新說明正、負整數的加減法運算規則。
【練習第 3 題】
一、 可能作法：寫出
48
110
48
5654)
6
7(
8
9……。
二、 注意事項：
1. 可容許這種作法。
2. 提醒學生，這種作法最後還要約分。
88
範例 1
練習
B1-2-3-4：分數的加減法
計算下列各題︰
1. －3 1 5
4 4 4 （ ）（ ）
2.
5 2 3
7 7 7 （ ）
Ans：4
7 Ans：
7
4
3. 10 5 7
3 2 4 （ ）（ ）
4.
5 57 3
6 3 （ ）（ ）
Ans：12
31 Ans：
6
29
計算下列各題︰
1. 1 4 9
4 5 2
2.
2 11 2 2
3 2 （ ）
Ans：20
101 Ans：
6
17
88-t
★ 教學提示
一、 教學目的：說明正、負分數加、減混合運算規則。
二、 教學注意事項：
1. 本範例包含同分母與異分母分數的加減。
2. 提醒學生在作異分母分數運算之前要先通分。
3. 算式中有加有減時，必須由左而右運算。
4. 其餘說明，與兩個分數的運算相同。
錯誤類型與指導策略：
一、錯誤類型：三個分數的加減可能產生先處理第二個運算符號的錯
誤。
例如：計算10 5 7
3 2 4 （ ）（ ）時，先計算 )
4
7()
2
5( 。
指導策略：說明加減混合運算需由左至右計算。
二、其餘錯誤類型與兩個分數的運算類似。
89
綜合練習
（ C ）1. 下列各分數中，何者為最簡分數？
（A）17
34 （B）
111
663 （C）
46
87
（ B ）2. 下列何者等於 2
23
？
（A）2
23
（ ）
（B）2
23
（C）3
22
（ D ）3. 下列何者等於 2 3
3 5
？
（A）2 3
3 5
（B）
2 3
3 5 （C）
2 3
3 5
（D）
2 3
3 5
4. 計算下列各式：
（1） 2 4
5 5 （ ）（ ） （2）
2 1
3 6
Ans：5
6 Ans：
2
1
（3） 7 2
8 3 （ ） （4）
3 7
4 6 （ ）
Ans：24
37 Ans：
12
5
5. 計算下列各式：
（1） 2 7 5
11 11 11 （ ）（ ） （2）
2 31
3 4 （ ）
Ans：11
4 Ans：
12
29
（3） 2 4
4 215 5
（ ） （4） 1 1
7 12 4
Ans：15
104 (或 6
15
14) Ans：
4
25 (或
4
16 )
90
筆 記 欄
91
範例 1
練習
主題四 分數的乘除
B1-2-4-1：分數的乘法
計算下列各題︰
1. 1
24 2.
3 1
5 3
Ans：2
1 Ans：
5
1
3. 1 2
12 3
4.
1 12 1
4 3
Ans：1 Ans：3
計算下列各題︰
1. 3
62 2.
4 32
15 16
Ans：9 Ans：40
17
91-t
★ 教學提示
一、 教學目的：復習正分數乘法規則。
二、 教學注意事項：
1. 帶分數先化為假分數，整數視為分母為 1 的分數。
2. 先約分再乘。
3. 答案為假分數時不需化為帶分數。
錯誤類型與指導策略：
【範例 1 第 3 題】
一、 錯誤類型：寫出
32
211
3
2
2
11 ……。
二、 指導策略：提醒學生，需先將2
11 化為假分數再繼續運算。
92
範例 2
練習
計算下列各題︰
1. 1
36
2. 2 3
15 4 （ ）
Ans：2
1 Ans：
10
1
3. 28 2
115 7
（ ） 4. 21
22
（ ）
Ans：5
12 Ans：
4
25
計算下列各題︰
1. 1
42 （ ） 2.
1 32 3
6 5 （ ）
Ans：－2 Ans：5
39
92-t
★ 教學提示
一、 教學目的：說明正、負分數乘法規則。
二、 教學注意事項：
1. 與正分數的乘法規則相同。
2. 性質符號的運算規則與整數的乘除法相同。
3. 算式中有指數時，化成相同的數連乘。
錯誤類型與指導策略：
【範例 2 第 4 題】
一、 錯誤類型：寫出 222 )2
1(2)
2
12( =……。
二、 指導策略：提醒學生，需先將2
12 化為假分數再繼續運算。
93
範例 1
練習
B1-2-4-2：分數的除法
寫出下列各數的倒數：
1. 的倒數是＿＿＿＿＿。 2. 的倒數是＿＿＿＿＿。
Ans：8 Ans：3
4
3. 2
17
的倒數是＿＿＿＿＿。 4. 5 的倒數是＿＿＿＿＿。
Ans：9
7 Ans：
5
1
寫出下列各數的倒數：
1. 11
5的倒數是＿＿＿＿＿。 2.
3
8 的倒數是＿＿＿＿＿。
Ans：11
5 Ans：
3
8
3. 1
26
的倒數是＿＿＿＿＿。 4. 7 的倒數是＿＿＿＿＿。
Ans：13
6 Ans：
7
1
1
8
3
4
93-t
★ 教學提示
一、 教學目的：複習倒數概念。
二、 教學注意事項：
1. 求倒數是作分數除法的必要能力，故以此範例先複習倒數的概
念。
2. 復習一個不為零數的倒數之意義。
3. 求一個帶分數的倒數時，必須先將帶分數化成假分數再寫出倒
數。
錯誤類型與指導策略：
【範例 1 第 2 題】
一、 錯誤類型：寫出4
3 的倒數為
3
4。
二、 指導策略：提醒學生相反數(兩數相加為 0)與倒數(兩數相乘為 1)
的意義。
【範例 1 第 4 題】
一、 錯誤類型：寫出－5 的倒數為 5。
二、 指導策略：將－5 視為1
5 ，再寫出倒數。
94
範例 2
練習
計算下列各題︰
1. 2 3 2. 3
62
Ans：3
2 Ans：
4
1
3. 4
15
4
15 4.
3 43
5 3
Ans：1 Ans：10
27
計算下列各題︰
1. 11 6 2. 5
54
Ans：6
11 Ans：4
3. 1 1
4 26 7
Ans：18
35
94-t
★ 教學提示
一、 教學目的：復習正分數除法規則。
二、 教學注意事項：
1. 復習正整數除法(不能整除的結果，以分數表示)。
2. 復習正分數的除法規則：
(1) 將除以除數改記為乘以除數的倒數
(再強調倒數的意義與寫法)。
(2) 能約分者應先約分再繼續計算。
錯誤類型與指導策略：【範例 2 第 1 題】
一、 錯誤類型：寫出 2÷3=2
3。
二、 指導策略：應再說明除以 3 的意義。
95
範例 3
練習
計算下列各題︰
1. 6 15
5 8 （ ）
2.
5 2
12 3
Ans：25
16 Ans：
8
5
3. 5
512
（ ） 4. 6 39
17 14
（ ）
Ans：12 Ans：3
2
計算下列各題︰
1. 9
37
2. 10 1
3 12 （ ）
Ans：7
3 Ans：－40
3. 25 35
4 11 （ ） 4.
4 221
7 5 （ ）
Ans：28
55 Ans：
14
5
95-t
★ 教學提示
一、 教學目的：說明正、負分數除法規則。
二、 教學注意事項：
1. 除以除數，改為乘以除數的倒數。
2. 性質符號的運算規則與整數的乘法計算法則相同。
錯誤類型與指導策略：【範例 3 第 4 題】
一、 錯誤類型：寫出 )39
14(
7
61)
14
39(
7
61 ……。
二、 指導策略：提醒學生，7
61 是帶分數，必須先化為假分數再計算。
2 2
13
96
範例 1
練習
B1-2-4-3：分數的四則運算
計算下列各題︰
1. 9 4 25
5 3 8
2.
6 21 7
5 10 12 （ ）
Ans：2
15 Ans：
49
48
3. 1
3 55
4. 1 8
612 3
（ ）（ ）
Ans：25
3 Ans：
16
3
5. 34 12 1
45 5 2
（ ）（ ）（ ）
Ans：4
1
計算下列各題︰
1. 5 1
12 13 2
（ ） 2. 26 39
1 37 14
（ ）（ ）
Ans：30 Ans：27
2
3. 29 9
030 8
（ ） 4. 11 22 1
524 9 3
（ ）（ ）（ ）
Ans：0 Ans：－1
96-t
★ 教學提示
一、 教學目的：說明正、負分數乘、除混合運算規則。
二、 教學注意事項：
1. 【範例 1】
(1) 算式中有指數時先做指數運算。
(2) 算式中有除號時改為乘以該數的倒數。
(3) 先約分再相乘。
2. 【練習第 3 題】
說明「0 乘以任何數的結果都是 0」的概念。
錯誤類型與指導策略：
【範例 1 第 3 題】
一、 錯誤類型：先作乘法，寫出 3÷5×5
1=3÷1=3，
(未弄懂的概念—先乘除，後加減)。
二、 指導策略：應說明乘除一起運算時，不是先乘後除，而是先將除
以的那一項改寫為乘以該項的倒數，再全部以連乘計
算。即 3÷5×5
1=
5
1
5
13 =…。
【範例 1 第 5 題】
一、 錯誤類型：寫出 3)2
1()
5
12()
5
44( =
3)25
112()
5
44(
=……。
二、 指導策略：提醒學生，含次方的數先計算(化簡)，再繼續計算。
【練習第 4 題】
一、 錯誤類型：寫出 )3
15()
9
22()
24
11( = )
3
16
9
22()
24
11( =……。
二、 指導策略：同【範例 1 第 3 題】。
97
範例 2
練習
計算下列各題︰
1. 8 9 9
5 8 2 （ ） 2.
3 75 2 1
4 8 （ ）
Ans：10
27 Ans：－17
3. 8 1 14
1.5 23 3 9
（ ）（ ）
Ans：3
8
計算下列各題︰
1. 5 4 3
3 3 2 （ ）
2. 2 15
12 23 2
（ ）
Ans：3
1 Ans：3
97-t
★ 教學提示
一、 教學目的：說明正、負分數(小數)四則混合運算規則。
二、 教學注意事項：
1. 復習分數的加、減、乘、除法運算規則。
2. 算式中有小數時，可先化成分數再運算。
3. 復習正(分)數的四則運算規則：「含次方者先計算(化簡)，然後先乘
(或除)，再加(或減)」。
4. 說明負(分)數的的四則運算規則與正(分)數的四則運算規則相同。
5. 提醒學生，注意正、負號的判定。
錯誤類型與指導策略：
【範例 2 第 2 題】
一、 錯誤類型：先作減法，寫出8
1
4
12)
8
71(
4
325 =……。
二、 指導策略：說明先作乘(或除)，再作加(或減)。
【練習第 1 題】
一、 錯誤類型：先作前兩數相減，寫出5 4 3
3 3 2 （ ）＝
3
9 ×(
2
3 )
二、 指導策略：說明先乘再減。
98
範例 3
練習
填充︰
1.
3 22 2 2
3 3 3 （ ）（ ） （ ）
□ 2.
41 1 1
3 3 3 （ ） （ ）（ ）
□
□= _____________ □ = _____________
3.
2
35 5
2 2
（ ） （ ）
□ 4.
3 3 33 4
2 15 （ ）（ ） （ ）
□ = _____________ （ ） = _____________
填充︰
1. 2 42 2 2
5 5 5 （ ） （ ） （ ）
□ 2.
5 23 3 3
7 7 7 （ ） （ ） （ ）
□
□ = _____________ □ = _____________
3.
2
31 1
2 2
（ ） （ ）
□ 4.
7 7 73 8
4 15 （ ） （ ） （ ）
□ = _____________ （ ） = _____________
5 3
6
6 3
6
98-t
★ 教學提示
一、 教學目的：說明分數的指數律。
二、 教學注意事項：
1. 先復習整數的指數律。
2. 說明分數的指數律與整數的指數律相同。
▲ 錯誤類型與指導策略：
【範例 3 第 1 題】
一、 錯誤類型：寫出 623 )3
2()
3
2()
3
2( 。
二、 指導策略：應再復習整數的指數律。
【範例 3 第 4 題】
一、 錯誤類型：寫出 633 )15
4
2
3()
15
4()
2
3( 。
二、 指導策略：應再復習整數的指數律。
99
綜合練習
（ D ）1. 5
28
的倒數是下列何者？
（A） 5
28
（B）8
25
（C）8
21 （D）
8
21
（ D ）2. 計算 15
6 22 （ ） 的結果為下列何者?
（A） 43 （B） 30 （C）8
15 （D）
4
3
（ B ）3.〔（1
2 ）3〕2等於下列何者？
（A）(1
2)
5 （B）(1
2)
6 （C）
2
5 （D） 3
4. 計算下列各式：
（1）2 3
15 4 （ ）（ ） （2）
3 5 11
8 6 24 （ ）
Ans：10
1 Ans：
10
3
（3）8 2
9 3 （ ） （4）
2 512
5 6 （ ）（ ）（ ）
Ans：3
4 Ans：
36
1
5. 計算下列各式：
（1）2 1 3
4 6 615 5 2
（ ）（ ） （2） 21
6 1 36 4
〔 （ ） 〕
Ans：3
25 Ans：
2
15
（3） 2 1 3 1
1+ 2 3 2 2 2 （ ） （ ）
Ans：3
2
100
筆 記 欄
版權所有˙翻印必究
晨曦學苑數學精進課程 數學科教師手冊 【單元 2】
◆主持人
甄曉蘭：國立臺灣師範大學教育學系教授
◆主編
吳昭容：國立臺灣師範大學教育心理與輔導學系教授
曹博盛：國立臺灣師範大學數學系副教授
◆研發人員 (按姓氏筆畫順序)
王淑真：臺北市立啟明學校退休教師
李信仲：臺北市立蘭雅國中退休教師
章念慈：臺北市立蘭雅國中退休教師
黃若玲：臺北市立明湖國小退休教師
黃淑華：國立中和高中退休教師
陳財盛：高雄市立中正高中退休教師
◆編輯 (按姓氏筆畫順序)
呂能凱：國立臺灣師範大學教育研究與評鑑中心研究助理
鄭鈐華：國立臺灣師範大學教育研究與評鑑中心研究助理 (修訂)
◆封面設計
沈余愷
發行人：許添明
發行單位：國立臺灣師範大學教育研究與評鑑中心
行政聯繫：李珮瑜 (02)7734-3675 E-mail：[email protected]
教材聯繫：鄭鈐華 (02)7734-3678 E-mail：[email protected]
教學資源網站：http://eoqeds.cere.ntnu.edu.tw/index.php
