Embed Size (px)
Citation preview
�÷÷áâ¥àá⢮ ®á¢÷⨠â 㪨 �ªà ù¨� æ÷® «ì¨© â¥å÷稩 ã÷¢¥àá¨â¥â �ªà ù¨
«�¨ù¢á쪨© ¯®«÷â¥å÷稩 ÷áâ¨âãâ»
� ¢ç «ì®- 㪮¢¨© ª®¬¯«¥ªá«öáâ¨âã⠯ਪ« ¤®£® á¨á⥬®£® «÷§ã»
¤¨áªà¥â ¬ ⥬ ⨪
«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥ì, ⥮à÷ï ¬®¦¨, ⥮à÷ï ¢÷¤®è¥ì,¥«¥¬¥â¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨, ⥮à÷ï £à ä÷¢ ¥«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
â ª÷«¥æì
�«ï áâ㤥â÷¢ ¬ ⥬ â¨ç¨å ᯥæ÷ «ì®á⥩¢¨é¨å ¢ç «ì¨å § ª« ¤÷¢
�¨ù¢ 2004
�®á÷¡¨ª ¬÷áâ¨âì ⥮à¥â¨ç÷ ¢÷¤®¬®áâ÷ ÷§ âà ¤¨æ÷©¨å ஧¤÷«÷¢¤¨áªà¥â®ù ¬ ⥬ ⨪¨ { «£¥¡à ¢¨á«®¢«¥ì, «£¥¡à ¬®¦¨, ⥮à÷ï¢÷¤®è¥ì, ª®¬¡÷ â®à¨ª , ⥮à÷ï £à ä÷¢, ¥«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £à㯠÷ ª÷«¥æì.
�®á÷¡¨ª ®à÷õ⮢ ¨© ¤«ï áâ㤥â÷¢ ¬ ⥬ â¨ç¨å ᯥæ÷ «ì®á⥩¢¨é¨å ¢ç «ì¨å § ª« ¤÷¢, â ª®¦ ¤«ï 㪮¢¨å ¯à æ÷¢¨ª÷¢ ÷ ÷¦¥-¥à÷¢, ïª÷ æ÷ª ¢«ïâìáï ¢÷¤¯®¢÷¤¨¬¨ ஧¤÷« ¬¨ ¤¨áªà¥â®ù ¬ ⥬ ⨪¨.�¥à¥¤¡ ç õâìáï, é® ç¨â ç ¢®«®¤÷õ ¡ §®¢¨¬¨ ¯®ïââﬨ «÷÷©®ù «£¥¡à¨â ¬ ⥬ â¨ç®£® «÷§ã.
�÷÷áâ¥àá⢮ ®á¢÷⨠â 㪨 �ªà ù¨� æ÷® «ì¨© â¥å÷稩 ã÷¢¥àá¨â¥â �ªà ù¨
«�¨ù¢á쪨© ¯®«÷â¥å÷稩 ÷áâ¨âãâ»
� ¢ç «ì®- 㪮¢¨© ª®¬¯«¥ªá«öáâ¨âã⠯ਪ« ¤®£® á¨á⥬®£® «÷§ã»
¤¨áªà¥â ¬ ⥬ ⨪
«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥ì, ⥮à÷ï ¬®¦¨, ⥮à÷ï ¢÷¤®è¥ì,¥«¥¬¥â¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨, ⥮à÷ï £à ä÷¢, ¥«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
â ª÷«¥æì
�«ï áâ㤥â÷¢ ¬ ⥬ â¨ç¨å ᯥæ÷ «ì®á⥩ ¢¨é¨å ¢ç «ì¨å § ª« ¤÷¢
� ⢥द¥® § á÷¤ ÷ ª 䥤ਬ ⥬ â¨ç¨å ¬¥â®¤÷¢
á¨á⥬®£® «÷§ã
�à®â®ª®« ü?? ¢÷¤ ????????????? பã
�¨ù¢ 2004
� ¢ç «ì¨© ¯®á÷¡¨ª § ¤¨á樯«÷¨ «�¨áªà¥â ¬ ⥬ ⨪ ». �ª« -¤ ç: ö.�¯¥ªâ®àá쪨©. - �.: ���� «��ö», ��� «ö���», 2002. - 120 á.
� ¢ç «ì¥ ¢¨¤ ï
�¨áªà¥â ¬ ⥬ ⨪
«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥ì, ⥮à÷ï ¬®¦¨, ⥮à÷ï ¢÷¤®è¥ì,¥«¥¬¥â¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨, ⥮à÷ï £à ä÷¢, ¥«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £à㯠⠪÷«¥æì
�«ï áâ㤥â÷¢ ¬ ⥬ â¨ç¨å ᯥæ÷ «ì®á⥩ ã÷¢¥àá¨â¥â÷¢
�ª« ¤ ç: �¯¥ªâ®àá쪨© ö£®à �ª®¢¨ç
�÷¤¯®¢÷¤ «ì¨© । ªâ®à: �®¬ ¥ª® �÷ªâ®à �¥¬¨¤®¢¨ç
�¥æ¥§¥â¨: �î¡ è¥ª® �®«®¤¨¬¨à � ᨫ쮢¨ç� ÷®¢áìª öਠ�à÷ù¢
�¬÷áâ
�áâ㯠6
1. �«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥ì 71.1. �ᮢ÷ ¯®ïââï «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì . . . . . . . . . . . . . 71.2. öâ¥à¯à¥â æ÷ù ä®à¬ã« «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì. � ¡«¨æ÷
¯à ¢¤¨¢®áâ÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. �®â®¦®áâ÷ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. �à¨æ¨¯ ¤ã «ì®áâ÷. �§ £ «ì¥¥ ¯à ¢¨«® ¤¥ �®à£ . . . 141.5. �®£÷稩 á«÷¤®ª ÷ «®£÷ç ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì . . . . . . . . . 17
2. �¥®à÷ï ¬®¦¨ 192.1. �ᮢ÷ ¯®ïââï ⥮à÷ù ¬®¦¨ . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. �®â®¦®áâ÷ «£¥¡à¨ ¬®¦¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3. �®¢¥¤¥ï § ª®÷¢ «£¥¡à¨ ¬®¦¨ . . . . . . . . . . . . . . 252.4. �ª÷ç¥÷ ¬®¦¨¨. �®âã¦÷áâì áª÷祮ù ¬®¦¨¨ . . . 262.5. �¥ª àâ÷¢ ¤®¡ã⮪ ¬®¦¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6. �«£¥¡à ¬®¦¨ ïª «£¥¡à¨ç áâàãªâãà . �÷«ìæ¥ ¬®¦¨ . . 30
3. �¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì 333.1. �ᮢ÷ ¯®ïââï ⥮à÷ù ¢÷¤®è¥ì . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. �¯®á®¡¨ § ¤ ï ¡÷ à¨å ¢÷¤®è¥ì . . . . . . . . . . . . . 343.3. �¯¥à æ÷ù ¤ ¡÷ ਬ¨ ¢÷¤®è¥ï¬¨ . . . . . . . . . . . . 373.4. �« á⨢®áâ÷ ¡÷ à¨å ¢÷¤®è¥ì . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5. �÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ â ¢÷¤®è¥ï ¯®à浪ã . . . . 453.6. �®§¡¨ââï ¬®¦¨¨. � ªâ®à-¬®¦¨ . . . . . . . . . . . . . 493.7. �ãªæ÷ï ïª ®ªà¥¬¨© ¢¨¯ ¤®ª ¢÷¤®è¥ï . . . . . . . . . . 53
3
�¬÷áâ
4. �«¥¬¥â¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨ 574.1. �ᮢ÷ ¯à¨æ¨¯¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨. � £ «ì¥ ¢¨§ ç¥ï
¢¨¡÷ન . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2. �®§¬÷é¥ï § ¯®¢â®à¥ï¬¨ â ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì . . . . . . . . 604.3. �®¬¡÷ æ÷ù § ¯®¢â®à¥ï¬¨ â ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì . . . . . . . . . 614.4. �¯®à浪®¢ ÷ ஧¡¨ââï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.5. �÷®¬÷ «ì â ¯®«÷®¬÷ «ì ä®à¬ã«¨. �ਪã⨪ � ᪠«ï . 654.6. � áâ®áã¢ ï ª®à¥¥¢¨å ¤¥à¥¢ ã ª®¬¡÷ â®à¨å § ¤ ç å . . 68
5. �¥®à÷ï £à ä÷¢ 705.1. �ᮢ÷ ¯®ïââï ⥮à÷ù £à ä÷¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2. �⥯¥÷ ¢¥àè¨ £à äã. �¥®à¥¬ ¯à® á⥯¥÷ ¢¥àè¨ . . . . 725.3. �¢'ï§÷áâì £à ä÷¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.4. �©«¥à®¢÷ ÷ ¯÷¢¥©«¥à®¢÷ £à ä¨ . . . . . . . . . . . . . . . . 775.5. �®ïââï ¯à® £ ¬÷«ìâ®®¢÷ â ¯÷¢£ ¬÷«ìâ®®¢÷ £à ä¨ . . . 815.6. �¯¥æ÷ «ì÷ ⨯¨ £à ä÷¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.7. ö§®¬®àä÷§¬ ÷ £®¬¥®¬®àä÷§¬ £à ä÷¢ . . . . . . . . . . . . . . 875.8. � âà¨æï áã¬÷¦®áâ÷ £à äã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.9. �«®áª÷ â ¯« à÷ £à ä¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.10. �à ÷ £à äã. �®à¬ã« �©«¥à . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.11. �ã «ì÷ £à ä¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.12. �⥯÷ì £à ÷ ¯«®áª®£® £à äã. �¥®à¥¬ ¯à® á⥯¥÷ £à ¥© . 975.13. �¤¨ á«÷¤®ª § ä®à¬ã«¨ �©«¥à ¤«ï ¯«®áª¨å £à ä÷¢ . . . 985.14. � à¡ã¢ ï ¢¥àè¨ â £à ¥© £à äã . . . . . . . . . . . . . 1005.15. �®ïââï ¯à® ®à÷õ⮢ ÷ £à ä¨ . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £à㯠1066.1. �«£¥¡à¨ç÷ áâàãªâãਠ§ ®¤÷õî ¡÷ à®î ®¯¥à æ÷õî . . . . 1066.2. �ᮢ÷ ¢« á⨢®áâ÷ £àã¯. �⥯÷ì ¥«¥¬¥â . . . . . . . . . 1116.3. �à㯠¯÷¤áâ ®¢®ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.4. �¤¨â¨¢ â ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ £à㯨 ª« á÷¢ «¨èª÷¢ . . . . 1326.5. �®ïââï ¯÷¤£à㯨. �à¨â¥à÷© ¯÷¤£à㯨 . . . . . . . . . . . . . 1386.6. �®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯: ®á®¢÷ ¢¨§ ç¥ï â ⥮६¨ . . . . 1416.7. �¨ª«÷ç÷ £à㯨 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.8. �ã¬÷¦÷ ª« ᨠ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.9. �ª÷ç¥÷ £à㯨. �¥®à¥¬ � £à ¦ . . . . . . . . . . . . . 1506.10. � á«÷¤ª¨ § ⥮६¨ � £à ¦ . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4
�¬÷áâ
6.11. �®à¬ «ì÷ ¤÷«ì¨ª¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.12. �®ïââï ä ªâ®à-£à㯨 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.13. �®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯: ⥮६¨ ¯à® ï¤à® â ®¡à §
£®¬®¬®àä÷§¬ã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.14. �¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £à㯠. . . . . . . . . . . . . . . . 170
7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì 1777.1. �¨§ ç¥ï ⠯ਪ« ¤¨ ª÷«¥æì . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.2. �ᮢ÷ ¢« á⨢®áâ÷ ª÷«¥æì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.3. �÷¤ª÷«ìæ¥. �à¨â¥à÷© ¯÷¤ª÷«ìæï . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.4. �÷«ìæï § ®¤¨¨æ¥î . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.5. �÷«ì¨ª¨ ã«ï. �®ïââï ®¡« áâ÷ æ÷«÷á®áâ÷ . . . . . . . . . . 1867.6. ö¤¥ « ª÷«ìæï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1917.7. � ªâ®à-ª÷«ìæ¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1957.8. �®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.9. �¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì . . . . . . . . . . . . . . . 2007.10. � ªá¨¬ «ì÷ ÷¤¥ «¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.11. �®ïââï ¯à® ÷¤¥¬¯®â¥â÷ ª÷«ìæï . . . . . . . . . . . . . . . 2087.12. �®ïââï ¬®¤ã«ï â «£¥¡à¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
�¯¨á®ª ¢¨ª®à¨áâ ®ù «÷â¥à âãਠ213
�®ª ¦ç¨ª â¥à¬÷÷¢ 215
5
�áâã¯
�¨á樯«÷ «�¨áªà¥â ¬ ⥬ ⨪ » õ ®¤÷õî § ®á®¢¨å ä㤠¬¥-â «ì¨å ¤¨á樯«÷ ã § £ «ì® 㪮¢÷© ¯÷¤£®â®¢æ÷ áâ㤥â÷¢ § ᯥæ÷ «ì-®áâﬨ 7.080203 «�¨á⥬¨© «÷§ ÷ ã¯à ¢«÷ï», 7.080204 «�®æ÷ «ì ÷ä®à¬ ⨪ » â 7.080404 «ö⥫¥ªâã «ì÷ á¨á⥬¨ ¯à¨©ïââï à÷è¥ì».�ãàá ¤¨áªà¥â®ù ¬ ⥬ ⨪¨ ¡ §®¢¨© ¤«ï â ª¨å ¤¨á樯«÷, ïª «�¥®à÷𤋮®¢÷à®á⥩ â ¬ ⥬ â¨ç áâ â¨á⨪ », «�¯¥æ÷ «÷§®¢ ÷ ¬®¢¨ ¯à®£à -¬ã¢ ï», «�ªá¯¥àâ÷ á¨á⥬¨» â ÷. �÷¤ ç á ¢¨¢ç¥ï ªãàáã ¢¨ª®à¨áâ®-¢ãîâì ®á®¢÷ ¢¨§ ç¥ï â ⥮६¨ ¤¨á樯«÷ «� ⥬ â¨ç¨© «÷§»â «�÷÷© «£¥¡à ».
� ¢ç «ì®¬ã ¯®á÷¡¨ªã ¯®¤ ® ⥮à¥â¨ç¨© ¬ â¥à÷ « § ஧¤÷« ¬¨:«�«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥ì», «�¥®à÷ï ¬®¦¨», «�¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì», «�«¥¬¥-⨠ª®¬¡÷ â®à¨ª¨», «�¥®à÷ï £à ä÷¢», «�«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £à㯻, «�«¥¬¥â¨â¥®à÷ù ª÷«¥æì». � â¥à÷ « §£÷¤® § ஡®ç®î ¯à®£à ¬®î ¤¨á樯«÷¨ «�¨áª-à¥â ¬ ⥬ ⨪ » ஧à 客 ® ¢¨ª« ¤ ï ¯à®â¬ ¤¢ ¤æï⨠®¤÷õù«¥ªæ÷ù.
�§ ç¥ï â ⥮६¨ ¯à®÷«îáâ஢ ® ¯à¨ª« ¤ ¬¨. �®¢¥¤¥ï «¥¬ ÷⥮६ ¢¥¤¥® ¢ áâ¨á«®¬ã ¢¨£«ï¤÷. �à®áâ÷ ⢥द¥ï â ⢥द¥ï,é® ¬®¦ãâì ¡ã⨠¤®¢¥¤¥÷ § «®£÷õî, § ¯à®¯®®¢ ® ïª ¢¯à ¢¨ ¤«ïá ¬®áâ÷©®ù ஡®â¨.
�®à冷ª ÷ áâ¨«ì ¯®¤ ï ¬ â¥à÷ «ã ¯®¢÷áâî ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ஡®ç÷© ¯à®£-à ¬÷ ¤¨á樯«÷¨ «�¨áªà¥â ¬ ⥬ ⨪ » â § ¤®¢®«ìïõ ¯®âॡ¨ áã-¬÷¦¨å ¬ ⥬ â¨ç¨å ÷ ¯à¨ª« ¤¨å ¤¨á樯«÷.
6
�®§¤÷« 1
�«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥ì
1.1. �ᮢ÷ ¯®ïââï «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì
� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¢¥¤¥¬® ®á®¢÷ ®§ ç¥ï â ä ªâ¨, é® áâ®áã-îâìáï «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì.
�§ ç¥ï 1.1. �¨á«®¢«¥ï¬ §¨¢ îâì ஧¯®¢÷¤¥ à¥ç¥ï, áâ®-ᮢ® 类£® ¢ ¤ ®¬ã ª®â¥ªáâ÷ ¬®¦ ¢¨§ ç¨â¨, õ ¢®® ¯à ¢¤¨¢¨¬ 稥¯à ¢¤¨¢¨¬.
�ਪ« ¤ 1.1. �¥ç¥ï «�÷£ { ¡÷«¨©» õ ¢¨á«®¢«¥ï¬, ®áª÷«ìª¨ ¯à¨ä÷ªá®¢ ®¬ã ª®â¥ªáâ÷ ¬®¦ ¢¨§ ç¨â¨ ©®£® ¯à ¢¤¨¢÷áâì ç¨ ¥¯à ¢¤¨-¢÷áâì. �ਠ¯à¨à®¤®¬ã ª®â¥ªáâ÷ (®à¬ «ì¨© ⬮áä¥à¨© â¨áª, ¢÷¤-®á® ç¨á⥠¯®¢÷âàï â®é®) ¤ ¥ ¢¨á«®¢«¥ï õ ¯à ¢¤¨¢¨¬. �«÷¤ § § -ç¨â¨, é® ä÷ªá æ÷ï ª®â¥ªáâã õ ¥®¡å÷¤®î ¯¥à¥¤ã¬®¢®î ¤«ï ¢¨§ ç¥ï¯à ¢¤¨¢®áâ÷ ¤ ®£® à¥ç¥ï, ®áª÷«ìª¨ ¢ ¥ª®«®£÷ç® § ¡à㤥÷© ¬÷á楢®á-â÷ á÷£ ¬®¦¥ ¥ ¡ã⨠¡÷«¨¬ (ã ¬¥¦ å ª®â¥ªáâã á«÷¤ â ª®¦ ¢¨§ ç¨â¨ á ¬÷¯®ïââï «á÷£» â «¡÷«¨© ª®«÷à»).
� 㢠¦¥ï 1.1. � ¯à¨ª«. 1.1 ¯¥à¥¤ ¬¨ ¯®áâ « ¯à®¡«¥¬ ä®à¬ -«÷§ æ÷ù ¯à¨à®¤®ù ¬®¢¨. �®à¬ «ì¥ ¢¨§ ç¥ï â¥à¬÷÷¢ «á÷£» â «¡÷«¨©ª®«÷à» ¥ õ ¯à®á⨬, ¢ ¬¥¦ å ä®à¬ «ì®ù «®£÷ª¨ ÷ ¥¬®¦«¨¢¨¬ (§ á¯à®¡¨ ¤ ⨠¢÷¤¯®¢÷¤÷ ®§ ç¥ï ¡ã¤ãâì §'ïâ¨áï ¢á¥ ®¢÷ â ®¢÷ â¥à-¬÷¨). � ª ¯à®¡«¥¬ ⨯®¢ ¯÷¤ ç á ஧£«ï¤ã «â¥ªá⮢¨å» § ¤ ç.
7
�®§¤÷« 1. �«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥ì
�ਪ« ¤ 1.2. �¥ç¥ï «�ப®¤¨«¨ «÷â îâì» õ ¢¨á«®¢«¥ï¬, ¥-¯à ¢¤¨¢¨¬ ¯à¨ ¯à¨à®¤®¬ã ª®â¥ªáâ÷ (¢ ¦ª® ᪮áâàãî¢ â¨ ª®â¥ªáâ,§ 直¬ ¤ ¥ ¢¨á«®¢«¥ï ¯à ¢¤¨¢¥, ¯à®â¥ ⥮à¥â¨ç® â ª ¬®¦«¨¢÷áâì¥ ¢¨ª«îç¥ ).
�ਪ« ¤ 1.3. �®§¯®¢÷¤¥ à¥ç¥ï «�¥ à¥ç¥ï õ ¥¯à ¢¤¨¢¨¬» ¥õ ¢¨á«®¢«¥ï¬, ®áª÷«ìª¨, ïª «¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, ¯à¨ ¦®¤®¬ã ª®â¥ªáâ÷¥¬®¦«¨¢® ¢¨§ ç¨â¨ ©®£® ¯à ¢¤¨¢÷áâì ç¨ ¥¯à ¢¤¨¢÷áâì.
� 㢠¦¥ï 1.2. �ਪ« ¤ 1.3 õ ®¤¨¬ § â ª §¢ ¨å ««®£÷ç¨å ¯ à -¤®ªá÷¢». �à® ¯à¨à®¤ã â § ᮡ¨ ¡®à®â졨 § ¯ à ¤®ªá ¬¨ ¤¨¢. [1, 2].
� ¤ «÷ ¤®¬®¢¨¬®áì ¯®§ ç ⨠¢¨á«®¢«¥ï ¢¥«¨ª¨¬¨ «÷â¥à ¬¨ £-«÷©á쪮£® «ä ¢÷âã § ÷¤¥ªá ¬¨ ç¨ ¡¥§: A, B3, X2,13 (â ª §¢ ÷ ¯à®¯®§¨-æ÷©÷ «÷â¥à¨). �ªé® ¢¨á«®¢«¥ï A ¯à¨ ä÷ªá®¢ ®¬ã ª®â¥ªáâ÷ ¯à ¢¤¨¢¥(¥¯à ¢¤¨¢¥), ¡ã¤¥¬® ¯¨á â¨: |A| = 1 (¢÷¤¯®¢÷¤® |A| = 0).
1.1.1. �ᮢ÷ ®¯¥à æ÷ù ¤ ¢¨á«®¢«¥ï¬¨
�§ ç¥ï 1.2. �¨§'îªæ÷õî («®£÷ç®î á㬮î) ¢¨á«®¢«¥ì A â B §¨¢ îâì ¢¨á«®¢«¥ï A ∨ B, 瘟 õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨¯à ¢¤¨¢¥ å®ç ¡ ®¤¥ § ¢¨á«®¢«¥ì A ç¨ B.
�§ ç¥ï 1.3. �®'îªæ÷õî («®£÷稬 ¤®¡ã⪮¬) ¢¨á«®¢«¥ì A â B §¨¢ îâì ¢¨á«®¢«¥ï A∧B, 瘟 õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨¯à ¢¤¨¢÷ ®¡¨¤¢ ¢¨á«®¢«¥ï A â B.
�§ ç¥ï 1.4. � ¯¥à¥ç¥ï¬ ¢¨á«®¢«¥ï A §¨¢ îâì ¢¨á«®¢«¥-ï ¬A, 瘟 õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¢¨á«®¢«¥ï A ¥¯à ¢-¤¨¢¥.
�§ ç¥ï 1.5. ö¬¯«÷ª æ÷õî ¢¨á«®¢«¥ì A â B §¨¢ îâì ¢¨á«®¢-«¥ï A → B, 瘟 õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ § ¯à ¢¤¨¢®áâ÷¢¨á«®¢«¥ï A ¢¨¯«¨¢ õ ¯à ¢¤¨¢÷áâì B. �¨á«®¢«¥ï A ç áâ® §¨¢ îâ쯮ᨫª®î ¡® £÷¯®â¥§®î ÷¬¯«÷ª æ÷ù A → B, ¢¨á«®¢«¥ï B { á«÷¤ª®¬.
� 㢠¦¥ï 1.3. �¨á«®¢«¥ï A → B õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨â®¤÷, ª®«¨ á«÷¤®ª B ¯à ¢¤¨¢¨© ¡® ¯®á¨«ª A ¥¯à ¢¤¨¢ , ⮡â®:A → B = (¬A) ∨B.
8
1.1. �ᮢ÷ ¯®ïââï «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì
�§ ç¥ï 1.6. �ª¢÷¢ «¥æ÷õî (¯®¤¢÷©®î ÷¬¯«÷ª æ÷õî) ¢¨á«®¢«¥ìA â B §¨¢ îâì ¢¨á«®¢«¥ï A ↔ B, 瘟 õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷,ª®«¨ ®¡¨¤¢ ¢¨á«®¢«¥ï A â B õ ¢®¤®ç á ¯à ¢¤¨¢¨¬¨ ¡® ¢®¤®ç á¥¯à ¢¤¨¢¨¬¨ ( ¡ã¢ îâì ®¤ ª®¢¨å § ç¥ì).
� 㢠¦¥ï 1.4. �¨á«®¢«¥ï A ↔ B õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ ⮤÷ i â÷«ìª¨ â®-¤÷, ª®«¨ ¢®¤®ç á ¯à ¢¤¨¢÷ ®¡¨¤¢÷ ÷¬¯«÷ª æ÷ù A → B â B → A, ⮡â®:A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A).
�§ ç¥ï 1.7. �ã¬®î § ¬®¤ã«¥¬ 2 (¢¨ª«îç®î «®£÷ç®î á㬮î)¢¨á«®¢«¥ì A â B §¨¢ îâì ¢¨á«®¢«¥ï A⊕B, 瘟 õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ ⮤÷÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ à÷¢® ®¤¥ § ¢¨á«®¢«¥ì A ç¨ B õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ (¢¨á«®-¢«¥ï A â B ¡ã¢ îâì à÷§¨å § ç¥ì).
� 㢠¦¥ï 1.5. �¨á«®¢«¥ï A ⊕ B õ ¯à ¢¤¨¢¨¬ ⮤÷ i â÷«ìª¨ ⮤÷,ª®«¨ ¥ª¢÷¢ «¥æ÷ï A ↔ B õ ¥¯à ¢¤¨¢®î: A⊕B = ¬(A ↔ B).
1.1.2. �¥ªãàᨢ¥ ¢¨§ ç¥ï ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì
� § 稬®, é® ¯®ïââï ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì õ ÷âãù⨢® §à®-§ã¬÷«¨¬, ¯à®â¥ ä®à¬ «÷§ æ÷ï ¯®âॡãõ ç÷âª¨å ¢¨§ ç¥ì.
�§ ç¥ï 1.8. �®¦¨ ä®à¬ã« ¢¨§ ç õâìáï â ª¨¬¨ âà쮬 㬮¢ ¬¨:
• ¯à®¯®§¨æ÷© «÷â¥à õ ä®à¬ã«®î;• ïªé® A â B { ä®à¬ã«¨, â® (A∨B), (A∧B), (¬A) { â ª®¦ ä®à¬ã«¨;• ÷è¨å ä®à¬ã« ¥¬ õ.
�ਪ« ¤¨ ä®à¬ã« «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì: (A∨(¬B)), (A∧(B∨C)). � ¯¨áA ∨B ∧ C, §£÷¤® § ®§ ç¥ï¬ 1.8, ¥ õ ä®à¬ã«®î «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì.
� ¤ «÷ ¢¨à § A → B ¢¢ ¦ ⨬¥¬® ᪮à®ç¥ï¬ ¤«ï (¬A)∨B, ¢¨à §A ↔ B { ᪮à®ç¥ï¬ ¤«ï (A → B) ∧ (B → A) (¤¨¢. § ã¢. 1.3 â 1.4).
� ¬¥â®î á¯à®é¥ï § ¯¨áã, ¤ «÷ ã ä®à¬ã« å ®¯ã᪠⨬¥¬® §®¢÷è-÷ ¤ã¦ª¨, é® ¥ ¥áãâì ¢ ᮡ÷ ¤®¤ ⪮¢®ù ÷ä®à¬ æ÷ù, ¯à®â¥ ¥¬¨ã祧'ïîâìáï, ïªé® ä®à¬ã« ¬÷áâ¨âì å®ç ¡ ®¤ã «®£÷çã ®¯¥à æ÷î. � ª,§ ¬÷áâì (A ∨B) ¡ã¤¥¬® ¯¨á ⨠A ∨B.
9
�®§¤÷« 1. �«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥ì
� ¤ «÷ ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® ¡÷ à÷ ®¯¥à æ÷ù «∨», «∧», «→», «↔» â «⊕»¬ îâì ¬¥è¨© ¯à÷®à¨â¥â, ÷¦ ã à ®¯¥à æ÷ï «¬». � ¯¨áãîç¨ ä®à¬ã-«¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì, ¡ã¤¥¬® ®¯ã᪠⨠¤ã¦ª¨, ï¢÷áâì ïª¨å ¢áâ ®-¢«îõâìáï § ¬÷àªã¢ ì ¯à÷®à¨â¥â®áâ÷ ®¯¥à æ÷©. � ª, § ¬÷áâì A∨ (¬B) â (¬A) → B ¯¨á ⨬¥¬® ¢÷¤¯®¢÷¤® A ∨ ¬B â ¬A → B.
1.2. öâ¥à¯à¥â æ÷ù ä®à¬ã« «£¥¡à¨¢¨á«®¢«¥ì. � ¡«¨æ÷ ¯à ¢¤¨¢®áâ÷
�§ ç¥ï 1.9. öâ¥à¯à¥â æ÷õî ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì -§¨¢ õâìáï §÷áâ ¢«¥ï ª®¦÷© ¯à®¯®§¨æ÷©÷© «÷â¥à÷, é® ¬÷áâ¨âìáï ã ä®à-¬ã«÷, § ç¥ï «¯à ¢¤ » (1) ç¨ «¥¯à ¢¤ » (0).
�®¦¨ã ¢á÷å ÷â¥à¯à¥â æ÷© ¤ ®ù ä®à¬ã«¨ §àãç® §¢®¤¨â¨ ¢ â ª §¢ -ã â ¡«¨æî ¯à ¢¤¨¢®áâ÷. �¥å © ä®à¬ã« A ¬÷áâ¨âì n ¯à®¯®§¨æ÷©¨å «÷-â¥à: A1, A2, . . . , An. � ¡«¨æï ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ ä®à¬ã«¨ A ¡ã¤ãõâìáï ïª â ¡«¨-æï, é® ¬÷áâ¨âì n+1 á⮢¯æ÷¢ â 2n à浪÷¢. �ਠæ쮬㠢 ¯¥àè¨å n á⮢¯æï姢®¤ïâìáï «®£÷ç÷ § ç¥ï, ïª÷ §÷áâ ¢«ïîâìáï n ¯à®¯®§¨æ÷©¨¬ «÷â¥à ¬,(n + 1)-© á⮢¯¥æì ¬÷áâ¨âì ¢÷¤¯®¢÷¤¥ § ç¥ï á ¬®ù ä®à¬ã«¨ A. �⦥,ª®¦¥ § à浪÷¢ ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ®¤÷© ÷â¥à¯à¥â æ÷ù.
�ਪ« ¤ 1.4. � ¢¥¤¥¬® â ¡«¨æ÷ ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ ¤«ï ä®à¬ã« «£¥¡à¨¢¨á«®¢«¥ì ¬A â A1 ∨ ¬A2:
A ¬A0 11 0
A1 A2 A1 ∨ ¬A2
0 0 10 1 01 0 11 1 1
� áâ® ¢ ®¤ã â ¡«¨æî ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ §¢®¤ïâì ÷â¥à¯à¥â æ÷ù ¤¥ª÷«ìª®åä®à¬ã«, é® ¬÷áâïâì á¯÷«ì÷ ¯à®¯®§¨æ÷©÷ «÷â¥à¨.
�ਪ« ¤ 1.5. �¢¥¤¥¬® ¢ ®¤ã â ¡«¨æî ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ ÷â¥à¯à¥â æ÷ù ¤«ï¡÷ à¨å «®£÷ç¨å ®¯¥à æ÷© «∨», «∧», «→», «↔» â «⊕»:
10
1.2. öâ¥à¯à¥â æ÷ù ä®à¬ã« «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì. � ¡«¨æ÷ ¯à ¢¤¨¢®áâ÷
A B A ∨B A ∧B A → B A ↔ B A⊕B0 0 0 0 1 1 00 1 1 0 1 0 11 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 0
�ã¤ãîç¨ â ¡«¨æ÷ ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ ᪫ ¤¨å ä®à¬ã« ÷®¤÷ ¤®æ÷«ì® ¢¨¢¥-á⨠§ ç¥ï ¯à®¬÷¦¨å ᪫ ¤®¢¨å ç á⨠¢¨å÷¤®ù ä®à¬ã«¨.
�ਪ« ¤ 1.6. �®¡ã¤ãõ¬® â ¡«¨æî ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ ¤«ï ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨¢¨á«®¢«¥ì (A ∨B) ↔ (A ∧B):
A B A ∨B A ∧B (A ∨B) ↔ (A ∧B)0 0 0 0 10 1 1 0 01 0 1 0 01 1 1 1 1
�§ ç¥ï 1.10. �®à¬ã«¨ A1 â A2 §¨¢ îâì «®£÷ç® ¥ª¢÷¢ «¥â-¨¬¨ ¡® â®â®¦¨¬¨, ïªé® ª®¦÷© ÷â¥à¯à¥â æ÷ù ¢®¨ ¡ã¢ îâì ®¤- ª®¢¨å § ç¥ì (¢®¤®ç á ¯à ¢¤¨¢÷ ¡® ¢®¤®ç á ¥¯à ¢¤¨¢÷).
� ªâ «®£÷ç®ù ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ (â®â®¦®áâ÷) ä®à¬ã« A1 â A2 ¯®§ -ç ⨬¥¬® ïª A1 ⇔ A2 ¡® A1 = A2.
�ਪ« ¤ 1.7. �祢¨¤®, é® A ∨ B = B ∨ A, A ∧ B = B ∧ A, ¯à®â¥A ∧B 6= A ∨B.
�«ï ¤®¢¥¤¥ï â®â®¦®áâ÷ ä®à¬ã« «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì, é® ¬÷áâïâ쥢¥«¨ªã ª÷«ìª÷áâì ¯à®¯®§¨æ÷©¨å «÷â¥à, §àãç® ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨠⠡«¨-æ÷ ¯à ¢¤¨¢®áâ÷.
�ਪ« ¤ 1.8. �®¢¥¤¥¬® § ª® ¤¨áâਡã⨢®áâ÷ ¤¨§'îªæ÷ù ¢÷¤®á®ª®'îªæ÷ù: A ∨ (B ∧ C) = (A ∨B) ∧ (A ∨ C).
11
�®§¤÷« 1. �«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥ì
A B C B ∧ C A ∨ (B ∧C) A ∨B A ∨ C (A ∨B) ∧ (A ∨C)0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 11 1 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1
�§ ç¥ï 1.11. �®à¬ã«ã A §¨¢ îâì «®£÷ç® § £ «ì®§ çãé®î ¡® ⠢⮫®£÷õî, ïªé® A ¡ã¢ õ § ç¥ï 1 ¢á÷å ÷â¥à¯à¥â æ÷ïå. �®à-¬ã«ã A §¨¢ îâì «®£÷ç®î á㯥à¥ç÷áâî ¡® ¯à®áâ® á㯥à¥ç÷áâî, ïª-é® A ¡ã¢ õ § ç¥ï 0 ¢á÷å ÷â¥à¯à¥â æ÷ïå. �®à¬ã«ã A §¨¢ îâìâ ª®î, é® ¢¨ª®ãõâìáï, ïªé® A ¡ã¢ õ § ç¥ï 1 å®ç ¡ ®¤÷© ÷-â¥à¯à¥â æ÷ù.
�«ï ⠢⮫®£÷ù â á㯥à¥ç®áâ÷ §¡¥à¥¦¥¬® ¯®§ ç¥ï 1 ÷ 0 ¢÷¤¯®¢÷¤®.
�ਪ« ¤ 1.9. �®à¬ã« A = A1 ∨ ¬A1 õ ⠢⮫®£÷õî, ®áª÷«ìª¨A1 ∨ ¬A1 = 1. �®à¬ã« A = A1 ∧ ¬A1 õ á㯥à¥ç÷áâî, ®áª÷«ìª¨A1 ∧ ¬A1 = 0. �®à¬ã« A = A1 ∧ ¬A2 õ â ª®î, é® ¢¨ª®ãõâìáï, ¯à®-â¥, ïª ¢¨¤® § ¢÷¤¯®¢÷¤®ù â ¡«¨æ÷ ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ (¤¨¢. ¯à¨ª«. 1.4), ¥ õ⠢⮫®£÷õî.
1.3. �®â®¦®áâ÷ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì1.3.1. �ᮢ÷ â®â®¦®áâ÷ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì
� ¢¥¤¥¬® ç®â¨à¨ ¯ ਠ§ ª®÷¢ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì, ïª÷ ¤ «÷ ¢¨¤÷-«ï⨬¥¬® ïª ®á®¢÷.
�¥å © A, B, C { ¤®¢÷«ì÷ ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì.1. �®¬ãâ ⨢÷áâì (¯¥à¥áâ ¢¨© § ª®): A ∨B = B ∨ A,
A ∧B = B ∧ A.2. �¨áâਡã⨢÷áâì (஧¯®¤÷«ì¨© § ª®):
A ∨ (B ∧ C) = (A ∨B) ∧ (A ∨ C),A ∧ (B ∨ C) = (A ∧B) ∨ (A ∧ C).
12
1.3. �®â®¦®áâ÷ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì
3. �¥©âà «ì÷áâì: A ∨ 0 = A,A ∧ 1 = A.
4. �®¯®¢¥÷áâì: A ∨ ¬A = 1,A ∧ ¬A = 0.
�¯à ¢ 1.1. �¨¢¥á⨠¢¥¤¥÷ ®á®¢÷ § ª®¨ § ¤®¯®¬®£®î â ¡«¨æì¯à ¢¤¨¢®áâ÷.
� ¢¥¤¥¨å ¢®á쬨 (ç®â¨à¨ ¯ à¨) ®á®¢¨å § ª®÷¢ ¤®áâ âì® ¤«ï ¢¨-¢¥¤¥ï ¡ã¤ì-类ù â®â®¦®áâ÷ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì ¡¥§ ¢¨ª®à¨áâ ï â ¡-«¨æì ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ (楩 ä ªâ ¥£ ©® ¢¨¯«¨¢ õ § ¬®¦«¨¢®áâ÷ §®¡à ¦¥ï¤®¢÷«ì®ù ä®à¬ã«¨ ã ¢¨£«ï¤÷ â ª §¢ ®ù ¤®áª® «®ù ¤¨§'îªâ¨¢®ù ®à-¬ «ì®ù ä®à¬¨; ⥮à÷ï ¤¨§'îªâ¨¢¨å ÷ ª®'îªâ¨¢¨å ä®à¬ ஧£«ï¤ -õâìáï, ¯à¨ª« ¤, ã [3]).
� § 稬®, é® ¦®¤ã ¯ àã ¢¥¤¥¨å ®á®¢¨å § ª®÷¢ ¥ ¬®¦ ¢¨-¢¥á⨠§ âàì®å ÷è¨å ¯ à, é® § «¨è îâìáï. �à®â¥, ®¤ (¡ã¤ì-ïª ) § â®-⮦®á⥩ ¥©âà «ì®áâ÷ ¬®¦¥ ¡ã⨠¢¨¢¥¤¥ § ᥬ¨ § ª®÷¢, é® § «¨-è îâìáï. �¯à ¢¤÷, ¢¨¢¥¤¥¬® â®â®¦÷áâì A ∨ 0 = A. �«ï æ쮣® ᯮç âªã¢¨¢¥¤¥¬® â ª §¢ ã â®â®¦÷áâì ã÷¢¥àá «ì¨å ¬¥¦ A ∨ 1 = 1 ( £ ¤ -õ¬®, é® A { ¤®¢÷«ì ä®à¬ã« ), ¯®â÷¬ ¤®¢¥¤¥¬® ¯®âà÷¡ã â®â®¦÷áâ쥩âà «ì®áâ÷ A ∨ 0 = A.
A ∨ 1 = (A ∨ 1) ∧ 1 = (A ∨ 1) ∧ (A ∨ ¬A) = A ∨ (1 ∧ ¬A) = A ∨ ¬A = 1;
A ∨ 0 = A ∨ (A ∧ ¬A) = (A ∧ 1) ∨ (A ∧ ¬A) = A ∧ (1 ∨ ¬A) = A ∧ 1 = A.
�¨á⥬ § ᥬ¨ § ª®÷¢, é® § «¨è îâìáï ¯÷á«ï ¢¨ª«îç¥ï ®¤÷õù § â®-⮦®á⥩ ¥©âà «ì®áâ÷, ¢¨ï¢«ïõâìáï ¥§ «¥¦®î (¤¨¢. [3]).
1.3.2. öè÷ § ª®¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì� ¢¥¤¥¬® ¤¥ïª÷ ÷è÷ § ª®¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì, é® ¡ã¤ãâì ç áâ® ¢¨-
ª®à¨á⮢㢠â¨áì ¤ «÷.5. �÷¢¥àá «ì÷ ¬¥¦÷: A ∨ 1 = 1,
A ∧ 0 = 0.
6. �¡á®à¡æ÷ï (¯®£«¨ ï): A ∨ (A ∧B) = A,A ∧ (A ∨B) = A.
7. ö¤¥¬¯®â¥â÷áâì: A ∨ A = A,A ∧ A = A.
13
�®§¤÷« 1. �«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥ì
8. �á®æ÷ ⨢÷áâì (ᯮ«ã稩 § ª®): A ∨ (B ∨ C) = (A ∨B) ∨ C,A ∧ (B ∧ C) = (A ∧B) ∧ C.
9. ô¤¨÷áâì § ¯¥à¥ç¥ï: á¨á⥬ à÷¢ïì{
A ∨X = 1,
A ∧X = 0¢÷¤®á® X
¬ õ õ¤¨¨© ஧¢'燐ª X = ¬A (⮡⮠ïªé® A ∨X = 1 â A ∧X = 0, â®X = ¬A).
10. ö¢®«î⨢÷áâì (¯®¤¢÷©¥ § ¯¥à¥ç¥ï): ¬(¬A) = A .11. � ª® (¯à ¢¨«®) ¤¥ �®à£ : ¬(A ∨B) = ¬A ∧ ¬B,
¬(A ∧B) = ¬A ∨ ¬B.� £ ¤ õ¬®, é® ¢¥¤¥÷ â®â®¦®áâ÷ (ïª ÷ ¡ã¤ì-ïª÷ ÷è÷ â®â®¦®áâ÷ «-
£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì) ¬®¦ãâì ¡ã⨠¢¨¢¥¤¥÷ § ç®â¨àì®å ¯ à ®á®¢¨å § ª®÷¢¡¥§ ¢¨ª®à¨áâ ï â ¡«¨æì ¯à ¢¤¨¢®áâ÷.
�®§£«ïã¢è¨ ¢¥¤¥÷ § ª®¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì, ¥¢ ¦ª® ¯®¬÷â¨-⨠¯¥¢ã ᨬ¥âà÷î { ãá÷ ®á®¢÷ § ª®¨ §£à㯮¢ ÷ ¢ â ª §¢ ÷ «¤ã «ì÷¯ ਻. �ï ᨬ¥âà÷ï õ ®á®¢®î ¤«ï ¯à¨æ¨¯ã ¤ã «ì®áâ÷ { ¯®â㦮£®§ ᮡ㠤®¢¥¤¥ï â®â®¦®á⥩ ¢ «£¥¡à÷ ¢¨á«®¢«¥ì â ÷è¨å ¯®¤÷¡¨åáâàãªâãà å.
1.4. �à¨æ¨¯ ¤ã «ì®áâ÷. �§ £ «ì¥¥¯à ¢¨«® ¤¥ �®à£
1.4.1. �à¨æ¨¯ ¤ã «ì®áâ÷�§ ç¥ï 1.12. �®à¬ã«ã A∗ §¨¢ îâì ¤ã «ì®î ¤® ä®à¬ã«¨ A,
ïªé® A∗ ®âਬãõâìáï § A § ¬÷®î ¢á÷å ¢å®¤¦¥ì «∨» «∧», ¢á÷å ¢å®-¤¦¥ì «∧» «∨», ¢á÷å ¢å®¤¦¥ì «0» «1» â ¢á÷å ¢å®¤¦¥ì «1» «0».
�ਪ« ¤ 1.10. (A∨¬B)∗ = A∧¬B, (A∧¬(B ∨ 1))∗ = A∨¬(B ∧ 0).� § 稬® ®ç¥¢¨¤¨© ä ªâ ÷¢®«î⨢®áâ÷ ®¯¥à æ÷ù ¢§ïââï ¤ã «ì®ù
ä®à¬ã«¨: A∗∗ = A.� áâ㯠⥮६ ä®à¬ã«îõ â ª §¢ ¨© ¯à¨æ¨¯ ¤ã «ì®áâ÷ ¤«ï «-
£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì.�¥®à¥¬ 1.1. �¥å © ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì A â B ¥ª¢÷¢ -
«¥â÷, ⮡⮠¬ õ ¬÷áæ¥ â®â®¦÷áâì A = B. �®¤÷ ¬ õ ¬÷áæ¥ â®â®¦-÷áâì ¤ã «ì¨å ä®à¬ã«: A∗ = B∗.
14
1.4. �à¨æ¨¯ ¤ã «ì®áâ÷. �§ £ «ì¥¥ ¯à ¢¨«® ¤¥ �®à£
�®¢¥¤¥ï. �¥å © ¬ õ ¬÷áæ¥ â®â®¦÷áâì A = B. �®¤÷ ¬ õ ÷á㢠⨢¨¢¥¤¥ï § § 祮ù â®â®¦®áâ÷ § ®á®¢¨å ä®à¬ã« «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì:
A = A1 = A2 = · · · = An = B, (1.1)
¤¥ ª®¦®¬ã ªà®æ÷ § áâ®á®¢ãõâìáï ®¤¨ ÷§ § ª®÷¢ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì.�«¥ ⮤÷, ®áª÷«ìª¨ ¢á÷ ®á®¢÷ § ª®¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì §£à㯮¢ ÷ ¢ç®â¨à¨ «¤ã «ì÷ ¯ ਻, ¬®¦¥¬® ¯®¡ã¤ã¢ ⨠¢¨¢¥¤¥ï, ¤ã «ì¥ ¤® (1.1):
A∗ = A∗1 = A∗
2 = · · · = A∗n = B∗,
¤¥ ª®¦®¬ã ªà®æ÷ ¢¨ª®à¨á⮢ãõâìáï ®á®¢¨© § ª®, ¤ã «ì¨© ¤® â®-⮦®áâ÷, é® ¢¨ª®à¨á⮢㢠« áì ¢÷¤¯®¢÷¤®¬ã ªà®æ÷ ã ¢¨¢¥¤¥÷ (1.1).
�ਪ« ¤ 1.11. �த¥¬®áâàãõ¬®, ïª ¯à æîõ ¯à¨æ¨¯ ¤ã «ì®áâ÷, ¯à¨ª« ¤÷ ¢¨¢¥¤¥ï § ª®ã ã÷¢¥àá «ì¨å ¬¥¦:
A ∨ 1 = (A ∨ 1) ∧ 1 = (A ∨ 1) ∧ (A ∨ ¬A) = A ∨ (1 ∧ ¬A) = A ∨ ¬A = 1;
A ∧ 0 = (A ∧ 0) ∨ 0 = (A ∧ 0) ∨ (A ∧ ¬A) = A ∧ (0 ∨ ¬A) = A ∧ ¬A = 0.
�¯à ¢ 1.2. �¨¢¥á⨠§ ª®¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì 6 { 11 § ®á®¢¨å§ ª®÷¢, ¥ ª®à¨áâãîç¨áì §¬÷á⮢¨¬¨ ¢¨§ ç¥ï¬¨ ®¯¥à æ÷© (§®ªà¥¬ ,¥ ª®à¨áâãîç¨áì â ¡«¨æﬨ ¯à ¢¤¨¢®áâ÷).
�ª §÷¢ª . �®â®¦®áâ÷ §àãç® ¤®¢®¤¨â¨ ¢ ⮬㠦 ¯®à浪ã, ¢ 类¬ã¢®¨ ¢¥¤¥÷ ¢¨é¥. �à÷¬ ⮣®, § ¢¤ïª¨ ¯à¨æ¨¯ã ¤ã «ì®áâ÷, ¤®á¨â줮¢¥á⨠«¨è¥ ®¤ã â®â®¦÷áâì § ª®¦®ù ¤ã «ì®ù ¯ à¨.
1.4.2. �§ £ «ì¥¥ ¯à ¢¨«® ¤¥ �®à£ �« á¨ç¥ ¯à ¢¨«® ¤¥ �®à£ à §®¬ ÷§ § ª®®¬ ÷¢®«î⨢®áâ÷ (§ -
ª®¨ 11 â 10 á. 14) §àãç® ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨠¤«ï «¯à®¥á¥ï»§®¢÷èì®ù ®¯¥à æ÷ù «®£÷箣® § ¯¥à¥ç¥ï ¯÷¤ ®¯¥à æ÷ù ¤¨§'îªæ÷ù â ª®'îªæ÷ù.
�ਪ« ¤ 1.12.
¬(A∨ (B ∧¬C)) = ¬A∧¬(B ∧¬C) = ¬A∧ (¬B ∨¬¬C) = ¬A∧ (¬B ∨C).
15
�®§¤÷« 1. �«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥ì
�¦¥ § ¢¥¤¥®£® ¯à¨ª« ¤ã ¢¨¤®, é® ®¯¥à æ÷ï «¯à®¥á¥ï § ¯¥à¥-ç¥ï» â÷á® ¯®¢'ï§ § ¤ã «ì÷áâî ä®à¬ã«, ÷ ¯à ¢¨«® ¤¥ �®à£ ¬®¦- ¯à¨à®¤¨¬ 種¬ 㧠£ «ì¨â¨ ¢¨¯ ¤®ª ¤®¢÷«ì¨å ä®à¬ã« «£¥¡à¨¢¨á«®¢«¥ì.
�¥®à¥¬ 1.2 (㧠£ «ì¥¥ ¯à ¢¨«® ¤¥ �®à£ ). �¥å © A { ¤®-¢÷«ì ä®à¬ã« «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì, ä®à¬ã« A~ ®âਬãõâìáï § ä®à-¬ã«¨ A∗ § ¬÷®î ¢á÷å ¯à®¯®§¨æ÷©¨å «÷â¥à ùå § ¯¥à¥ç¥ï. �®¤÷ ¬ õ¬÷áæ¥ â®â®¦÷áâì:
A~ = ¬A.
�«ï ¤®¢¥¤¥ï ⥮६¨ ¬ § ¤®¡¨âìáï áâ㯠«¥¬ .
�¥¬ 1.1. �«ï ¤®¢÷«ì¨å ä®à¬ã« A â B ¢¨ª®ãîâìáï â ª÷ â®-⮦®áâ÷:
(A ∧ B)~ = A~ ∨ B~; (A ∨ B)~ = A~ ∧ B~; (¬A)~ = ¬ (A~).
�¢¥à¤¦¥ï «¥¬¨ ¥£ ©® ¢¨¯«¨¢ õ § ®§ ç¥ï ¤«ï A~ â B~.
�®¢¥¤¥ï ⥮६¨ 1.2. � áâ®áãõ¬® ¬¥â®¤ ¬ ⥬ â¨ç®ù ÷¤ãªæ÷ù § ª÷«ìª÷áâî «®£÷ç¨å ®¯¥à æ÷© («∨», «∧», «¬») ã ¢¨å÷¤÷© ä®à¬ã«÷ A.
1. � § ÷¤ãªæ÷ù. �¥å © ä®à¬ã« A ¬÷áâ¨âì 0 ®¯¥à æ÷©. �¥ ®§ ç õ, é®A õ ¯à®¯®§¨æ÷©®î «÷â¥à®î: A = A. �®¤÷ ⢥द¥ï ⥮६¨, ®ç¥¢¨¤®,¢¨ª®ãõâìáï:
A~ = A~ = ¬A = ¬A.
2. �ਯãé¥ï ÷¤ãªæ÷ù. �¥å © ⢥द¥ï ⥮६¨ ¢¨ª®ãõâìáï ¤«ï¡ã¤ì-类ù ä®à¬ã«¨ A, é® ¬÷áâ¨âì ¥ ¡÷«ìè ïª n «®£÷ç¨å ®¯¥à æ÷©.
3. �ப ÷¤ãªæ÷ù. �®¢¥¤¥¬® ⢥द¥ï ⥮६¨ ¤«ï ä®à¬ã«¨ A, 鮬÷áâ¨âì n + 1 «®£÷çã ®¯¥à æ÷î.
3.1. �¥å © §®¢÷èï ®¯¥à æ÷ï õ ¤¨§'îªæ÷ï, ⮡⮠A = A1 ∨ A2. �ç¥-¢¨¤®, é® ä®à¬ã«¨ A1 â A2 ¬÷áâïâì ¥ ¡÷«ìè ïª n ®¯¥à æ÷©. �®¤÷ ¯÷¤áâ ¢÷ «¥¬¨ 1.1, ª« á¨ç®£® ¯à ¢¨« ¤¥ �®à£ ⠯ਯãé¥ï ÷¤ãª-æ÷ù ¬ õ¬®:
A~ = (A1 ∨ A2)~ = A~
1 ∧ A~2 = ¬A1 ∧ ¬A2 = ¬(A1 ∨ A2) = ¬A.
3.2. �¥å © §®¢÷èï ®¯¥à æ÷ï { ª®'îªæ÷ï, ⮡⮠A = A1 ∧A2. �®¢¥-¤¥ï ¯à®¢®¤¨âìáï «®£÷ç® ¢¨¯ ¤ªã 3.1.
16
1.5. �®£÷稩 á«÷¤®ª ÷ «®£÷ç ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì
3.3. �¥å © §®¢÷èï ®¯¥à æ÷ï { § ¯¥à¥ç¥ï, ⮡⮠A = ¬A1. �ç¥-¢¨¤®, é® ä®à¬ã« A1 ¬÷áâ¨âì n ®¯¥à æ÷©. �®¤÷ ¯÷¤áâ ¢÷ «¥¬¨ 1.1 ⠯ਯãé¥ï ÷¤ãªæ÷ù ¬ õ¬®:
A~ = (¬A1)~ = ¬ (A~
1
)= ¬¬A1 = ¬A.
�⦥, ⥮६㠯®¢÷áâî ¤®¢¥¤¥®.
�ਪ« ¤ 1.13. � áâ®áãõ¬® 㧠£ «ì¥¥ ¯à ¢¨«® ¤¥ �®à£ ¤® ä®à-¬ã«¨ § ¯à¨ª«. 1.12:
¬(A ∨ (B ∧ ¬C)) = (A ∨ (B ∧ ¬C))~ = ¬A ∧ (¬B ∨ C).
1.5. �®£÷稩 á«÷¤®ª÷ «®£÷ç ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì
�§ ç¥ï 1.13. �®à¬ã« B «®£÷ç® ¢¨¯«¨¢ õ § ä®à¬ã« A1, A2, . . . ,An (ä®à¬ã«¨ A1, A2, . . . , An «®£÷ç® âï£ãâì ä®à¬ã«ã B), ïªé® ä®à¬ã-« B õ ¯à ¢¤¨¢®î ¢á÷å ÷â¥à¯à¥â æ÷ïå, ïª¨å ¢®¤®ç á ¯à ¢¤¨¢÷ä®à¬ã«¨ A1, A2, . . . , An.
�®à¬ã«¨ A1, A2, . . . , An §¨¢ îâì £÷¯®â¥§ ¬¨, ä®à¬ã«ã B { á«÷¤-ª®¬. �«ï ä ªâã «®£÷箣® á«÷¤ªã ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨬¥¬® ¯®§ ç¥ï:A1, A2, . . . , An |= B. �ªé® n = 1 (®¤ £÷¯®â¥§ A), ¢¨ª®à¨á⮢ãõâìáïâ ª®¦ ¯®§ ç¥ï A ⇒ B.
�ªé® n = 0, ä®à¬ã« B õ á«÷¤ª®¬ ¯®à®¦ì®ù ¬®¦¨¨ £÷¯®â¥§, ⮡-â® ¡ã¢ õ § ç¥ï 1 ¢á÷å ÷â¥à¯à¥â æ÷ïå, ¡¥§ ¤®¤ ⪮¢¨å ¯à¨¯ãé¥ì鮤® ¯à ¢¤¨¢®áâ÷ £÷¯®â¥§ (B õ ⠢⮫®£÷õî). � æ쮬ã à §÷ ¢¨ª®à¨á⮢ãõ-âìáï ¯®§ ç¥ï |= B.
�祢¨¤®, ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì ä®à¬ã« A â B ¬ õ ¬÷áæ¥ â®¤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷,ª®«¨ A ⇒ B â B ⇒ A.
�¥®à¥¬ 1.3 (⥮६ ¤¥¤ãªæ÷ù).1. �®à¬ã« B «®£÷ç® ¢¨¯«¨¢ õ § ä®à¬ã« A1, . . . , An ⮤÷ i â÷«ìª¨
⮤÷, ª®«¨ ä®à¬ã« (A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An) → B õ ⠢⮫®£÷õî.2. �®à¬ã«¨ A â B «®£÷ç® ¥ª¢÷¢ «¥â÷ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨
ä®à¬ã« A ↔ B õ ⠢⮫®£÷õî.
17
�®§¤÷« 1. �«£¥¡à ¢¨á«®¢«¥ì
�¢¥à¤¦¥ï ⥮६¨ õ ¡¥§¯®á¥à¥¤÷¬ á«÷¤ª®¬ ®§ ç¥ì «®£÷箣® á«÷¤ªã, «®£÷ç®ù ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ â ®§ ç¥ì «®£÷ç¨å ®¯¥à æ÷© ÷¬¯«÷-ª æ÷ù i ¥ª¢÷¢ «¥æ÷ù.
1.5.1. �ਪ« ¤¨ § ¤ ç «®£÷稩 á«÷¤®ª1. �®¢¥á⨠«¯à ¢¨«® ¢¨¡®àã» (Modus Ponens1, MP): A,A → B |= B.�¥å © ¤¥ïª÷© ä÷ªá®¢ ÷© ÷â¥à¯à¥â æ÷ù |A| = 1 â |A → B| = 1.
�®¤÷, ïª ¢¨¯«¨¢ õ § ®§ ç¥ï ÷¬¯«÷ª æ÷ù, ¤ ÷© ÷â¥à¯à¥â æ÷ù |B| = 1.� ¢¤ïª¨ ¤®¢÷«ì®áâ÷ ä÷ªá®¢ ®ù ÷â¥à¯à¥â æ÷ù, ¯à ¢¨«® MP ¤®¢¥¤¥®.
�âਬ ¥ ¤®¢¥¤¥ï ç áâ® § ¯¨áãîâì ã ª®¬¯ ªâ®¬ã ¢¨£«ï¤÷:
1. |A| = 1 (�÷¯®â¥§ 1, �1)2. |A → B| = 1 (�2)3. |B| = 1 (1,2)
2. �®¢¥á⨠¯à ¢¨«® ᨫ®£÷§¬ã: A → B,B → C |= A → C.�®£÷稩 á«÷¤®ª ¤®¢®¤¨â¨¬¥¬® §¢¥¤¥ï¬ ¤® ¡áãà¤ã. �ਯãáâ÷¬®,
é® ¤¥ïª÷© ÷â¥à¯à¥â æ÷ù £÷¯®â¥§¨ ¯à ¢¤¨¢÷ â á«÷¤®ª ¥¯à ¢¤¨¢¨©,¯÷á«ï 箣® ®âਬãõ¬® á㯥à¥ç÷áâì.
1. |A → B| = 1 (�1)2. |B → C| = 1 (�2)3. |A → C| = 0 (¯à¨¯ãé¥ï)4. |A| = 1 (3)5. |C| = 0 (3)6. |B| = 1 (MP(4,1))7. |C| = 1 (MP(6,2))
�ãªâ¨ 5 â 7 ¤ îâì á㯥à¥ç÷áâì.�¥â «ì÷è÷ ¢÷¤®¬®áâ÷ § ¬ ⥬ â¨ç®ù «®£÷ª¨ ¢¥¤¥®, §®ªà¥¬ , ¢ à®-
¡®â å [1{4].
1�àﬨ© ¯¥à¥ª« ¤ § « â¨á쪮ù: ¯à ¢¨«® ¯®§¨æ÷®ã¢ ï.
18
�®§¤÷« 2
�¥®à÷ï ¬®¦¨
2.1. �ᮢ÷ ¯®ïââï ⥮à÷ù ¬®¦¨�§ ç¥ï 2.1 (« ù¢¥» ¢¨§ ç¥ï ¬®¦¨¨). �®¢÷«ì¨© -
¡÷à ®¡'õªâ÷¢, é® ¯®¯ ஠஧à÷§ïîâìáï, §¨¢ îâì ¬®¦¨®î.
�÷¤®¬® (¤¨¢., ¯à¨ª« ¤,[1]), é®, ¢¥¤¥¥ ¢¨§ ç¥ï ¬®¦¨¨ ( -«¥¦¨âì ÷¬¥æ쪮¬ã ¢ç¥®¬ã �¥®à£ã � â®àã) ¯à¨§¢®¤¨âì ¤® ¯ à ¤®ªá÷¢.�¨÷ ÷áãîâì ªá÷®¬ â¨ç÷ ⥮à÷ù ¬®¦¨ ( ªá÷®¬ ⨪¨ �¥à¬¥«® { �à¥-ª¥«ï, �¥¤¥«ï { �¥à ©á â®é®; ¤¨¢., §®ªà¥¬ , [1]), é® ¢÷«ì÷ ¢÷¤ ¯ à ¤®ª-á÷¢, ïª÷ ¢« á⨢÷ « ù¢÷©» ⥮à÷ù � â®à . �à®â¥ « ù¢ » ⥮à÷ï ¬®¦¨æ÷«ª®¬ ¯à¨¤ â ¤«ï ஧¢'ï§ ï è¨à®ª®£® ª« á㠯ਪ« ¤¨å ¯à®¡«¥¬.
�®¦¨¨ ¯®§ ç ⨬¥¬®, ïª ¯à ¢¨«®, ¢¥«¨ª¨¬¨ «÷â¥à ¬¨ £«÷©áì-ª®£® «ä ¢÷âã § ÷¤¥ªá ¬¨ ç¨ ¡¥§: A, B1, X1,42. �«ï ¯®§ ç¥ï ä ªâã -«¥¦®áâ÷ ¥«¥¬¥â x ¬®¦¨÷ A ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨬¥¬® ¯®§ ç¥ï x ∈ A,¤«ï ¯®§ ç¥ï ä ªâã ¥ «¥¦®áâ÷ x ¬®¦¨÷ A { ¯®§ ç¥ï x /∈ A.
�«ï ¬®¦¨ âãà «ì¨å, æ÷«¨å, à æ÷® «ì¨å, ¤÷©á¨å â ª®¬¯«¥ª-á¨å ç¨á¥« ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨬¥¬® «ª« á¨ç÷» ¯®§ ç¥ï: N, Z, Q, R, C.�¢ ¦ ⨬¥¬®, é® ¬®¦¨ N ¬÷áâ¨âì æ÷«÷ ¤®¤ â÷ ç¨á« (0 /∈ N). �«ï¬®¦¨¨, é® ¥ ¬÷áâ¨âì ¦®¤®£® ¥«¥¬¥â (¯®à®¦ì®ù ¬®¦¨¨) ¡ã¤¥-¬® ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨠¯®§ ç¥ï ∅.
�§ ç¥ï 2.2. �®¦¨¨ A â B §¨¢ îâì ¥ª¢÷¢ «¥â¨¬¨ ¡®à÷¢¨¬¨ (A = B), ïªé® ¢®¨ ¬÷áâïâì ®¤÷ © â÷ á ¬÷ ¥«¥¬¥â¨:
(A = B) ⇔ ((x ∈ A) ↔ (x ∈ B)).
19
�®§¤÷« 2. �¥®à÷ï ¬®¦¨
�§ ç¥ï 2.3. �®¦¨ã B §¨¢ îâì ¯÷¤¬®¦¨®î ¬®¦¨¨ A(¯®§ ç¥ï B ⊂ A), ¬®¦¨ã A { ¤¬®¦¨®î ¬®¦¨¨ B (A ⊃ B),ïªé® ª®¦¥ ¥«¥¬¥â ¬®¦¨¨ B «¥¦¨âì ¬®¦¨÷ A:
(B ⊂ A) ⇔ (A ⊃ B) ⇔ ((x ∈ B) → (x ∈ A)).
�祢¨¤®, é® ∅ ⊂ A â A ⊂ A ¤«ï ¤®¢÷«ì®ù ¬®¦¨¨ A. �®¦¨ãB ⊂ A, â ªã, é® B 6= ∅, B 6= A, ÷®¤÷ §¨¢ îâì ¢« á®î ¯÷¤¬®¦¨®î¬®¦¨¨ A.
� 㢠¦¥ï 2.1. � «÷â¥à âãà÷ ¤«ï ¯®§ ç¥ï ä ªâã «¬®¦¨ A õ¯÷¤¬®¦¨®î ¬®¦¨¨ B» ÷®¤÷ ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ¯®§ ç¥ï A ⊆ B (¯÷¤-ªà¥á«îîç¨ ¬®¦«¨¢÷áâì A = B), ¯®§ ç¥ï ¦ A ⊂ B ã â ª®¬ã à §÷ ¢¨ª®-à¨á⮢ãîâì ¤«ï ¢¨¯ ¤ªã A 6= B. � æ쮬㠯®á÷¡¨ªã ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨬¥-¬® áâ¨«ì ¯®§ ç¥ì, ¢¢¥¤¥¨© ¢ ®§ ç¥÷ 2.3: ¢¢ ¦ îç¨, é® ¯®§ ç¥ïA ⊂ B ¯à¨¯ã᪠õ A = B, ¯®§ ç¥ï A ⊆ B ¢§ £ «÷ ¥ ¢¨ª®à¨á⮢㢠-⨬¥¬®.
2.1.1. �¯®á®¡¨ § ¤ ï ¬®¦¨
1. �¥§¯®á¥à¥¤õ ¯¥à¥«÷ç¥ï ¥«¥¬¥â÷¢ ¬®¦¨¨: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6},B = {� è , �¥âà®, � ᨫì}, C = {�ப®¤¨«}.
� 㢠¦¥ï 2.2. �㦥 ç áâ® ¢¨ª®à¨á⮢ãîâìáï ¯®§ ç¥ï ¢¨£«ï-¤ã {1, 2, . . . , n} (¬®¦¨ âãà «ì¨å ç¨á¥«, ¥ ¡÷«ìè¨å § n) â {1, 2, . . . , n, . . . } (¬®¦¨ ¢á÷å âãà «ì¨å ç¨á¥«). � ¢¥¤¥÷ ¯®§ ç¥ï¥ õ ¡á®«îâ® ª®à¥ªâ¨¬¨, ®áª÷«ìª¨ ᨬ¢®« «. . . » ¬®¦¥ âà ªâ㢠â¨á쥮¤®§ ç®. �à®â¥ á¥á â ª¨å ¯®§ ç¥ì æ÷«ª®¬ §à®§ã¬÷«¨© § ª®â¥ª-áâã, ÷ ¬¨ ùå ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨬¥¬® ¤«ï ¡÷«ìè ®ç®£® § ¯¨áã.
2. � ¤ ï ¬®¦¨¨ ç¥à¥§ å à ªâ¥à¨áâ¨çã ¢« á⨢÷áâì (å à ªâ¥à¨á-â¨ç¨© ¯à¥¤¨ª â): A = {x : P (x)}, ¤¥ P (x) { ¤¥ïª¥ ¢¨á«®¢«¥ï, é® ¡ã¢ õ § ç¥ï 1 «¨è¥ ¤«ï ¥«¥¬¥â÷¢ x ¬®¦¨¨ A (P §¨¢ îâì å -à ªâ¥à¨áâ¨ç®î ¢« á⨢÷áâî ¬®¦¨¨ A). �⦥, A ¢¨§ ç õâìáï 窱®¦¨ , é® ¬÷áâ¨âì â÷ ÷ â÷«ìª¨ â÷ ¥«¥¬¥â¨ x, ¤«ï ïª¨å ¯à ¢¤¨¢¥ ¢¨-á«®¢«¥ï P (x). � áâ® ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ¯®§ ç¥ï A = {x ∈ U : P (x)}
20
2.1. �ᮢ÷ ¯®ïââï ⥮à÷ù ¬®¦¨
{ ¬®¦¨ A ¬÷áâ¨âì â÷ ÷ â÷«ìª¨ â÷ ¥«¥¬¥â¨ x, é® «¥¦ âì ¬®¦¨÷ Uâ ¤«ï ïª¨å ¯à ¢¤¨¢¥ ¢¨á«®¢«¥ï P (x).
{x ∈ N : x = 1 (mod 3)} = {1, 4, 7, . . . , 3n + 1, . . . }{x : x { ¢¥«¨ª÷ «÷â¥à¨ ãªà ùá쪮£® «ä ¢÷âã} = {�,�,. . . ,�,�}.
3. � ¤ ï ¬®¦¨¨ § ¢¨ª®à¨áâ ï¬ ä®à¬ã«, ïª÷ ¬÷áâïâì ®¯¥à æ÷ù ¤ ¢÷¤®¬¨¬¨ ¬®¦¨ ¬¨ (®¯¥à æ÷ù ¤ ¬®¦¨ ¬¨ { ®¡'õ¤ ï, ¯¥à¥-à÷§, ¤®¯®¢¥ï â®é® { ¢¨§ ç îâìáï ¨¦ç¥ ¢ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷).
2.1.2. �¯¥à æ÷ù ¤ ¬®¦¨ ¬¨�§ ç¥ï 2.4. �¡'õ¤ ï¬ ¬®¦¨ A â B §¨¢ îâì ¬®¦¨ã
A ∪B = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.
�§ ç¥ï 2.5. �¥à¥à÷§®¬ ¬®¦¨ A â B §¨¢ îâì ¬®¦¨ã
A ∩B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}.
�ªé® A ∩B = ∅, ª ¦ãâì, é® ¬®¦¨¨ A â B ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï.� 㢠¦¥ï 2.3. �¨§ ç¥ï ®¯¥à æ÷© ®¡'õ¤ ï â ¯¥à¥à÷§ã ¯à¨à®¤-
¨¬ 種¬ ¯¥à¥®áïâìáï ¥áª÷ç¥ã ª÷«ìª÷áâì ¬®¦¨:⋂a∈I
Aa = {x : ∀a ∈ I : x ∈ Aa},⋃a∈I
Aa = {x : ∃a ∈ I : x ∈ Aa },
¤¥ I { ¤®¢÷«ì ¬®¦¨ ÷¤¥ªá÷¢.
�§ ç¥ï 2.6. �÷§¨æ¥î ¬®¦¨ A â B §¨¢ îâì ¬®¦¨ã
A \B = {x : (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)}.
�§ ç¥ï 2.7. �¨¬¥âà¨ç®î à÷§¨æ¥î ¬®¦¨ A â B §¨¢ îâ쬮¦¨ã
A M B = {x : (x ∈ A)⊕ (x ∈ B)}.�祢¨¤®, é® A M B = (A \B) ∪ (B \ A).
21
�®§¤÷« 2. �¥®à÷ï ¬®¦¨
�ਪ« ¤ 2.1.
{1, 2, 3} \ {3, 4} = {1, 2}, {1, 2, 3} M {3, 4} = {1, 2, 4}.� ¤ «÷ ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® ¢ ¬¥¦ å ¤ ®£® ª®â¥ªáâã ¢¨§ ç¥ â ª
§¢ ã÷¢¥àá «ì ¬®¦¨ U , é® ¬÷áâ¨âì ¢á÷ ¥«¥¬¥â¨, ïª÷ ஧£«ï¤ -îâìáï ¢ § ¤ ®¬ã ª®â¥ªáâ÷.
�§ ç¥ï 2.8. �®¯®¢¥ï¬ ¤® ¬®¦¨¨ A (¢÷¤®á® ã÷¢¥àá «ì-®ù ¬®¦¨¨ U) §¨¢ îâì ¬®¦¨ã Ac = {x ∈ U : (x /∈ A)}.
�¥£ª® ¯®¡ ç¨â¨, é® Ac = U \ A, A \B = A ∩Bc.� 㢠¦¥ï 2.4. �÷¤ªà¥á«¨¬®, é® à¥§ã«ìâ â ®¯¥à æ÷ù ¤®¯®¢¥ï áãâ-
âõ¢® § «¥¦¨âì ¢÷¤ ¢¨¡®àã ã÷¢¥àá «ì®ù ¬®¦¨¨:
U = R, [0; 1]c = (−∞; 0) ∪ (1; +∞); U = [0; +∞), [0; 1]c = (1; +∞).
� § 稬®, é® ®¯¥à æ÷ù ®¡'õ¤ ï, ¯¥à¥à÷§ã, à÷§¨æ÷ â ᨬ¥âà¨ç®ùà÷§¨æ÷ ¡ã«¨ ¢¢¥¤¥÷ ¡¥§ ä÷ªá®¢ ®ù ã÷¢¥àá «ì®ù ¬®¦¨¨. �à®â¥, § ¢¨§ 祮ù ã÷¢¥àá «ì®ù ¬®¦¨¨ (÷, ïª á«÷¤®ª, § ¢¨§ 祮ù ®¯¥à -æ÷ù ¤®¯®¢¥ï), à÷§¨æï â ᨬ¥âà¨ç à÷§¨æï ¬®¦¨ ¬®¦ãâì ¡ã⨢¨§ ç¥÷ ç¥à¥§ ®¯¥à æ÷ù ®¡'õ¤ ï, ¯¥à¥à÷§ã â ¤®¯®¢¥ï (¤¨¢. ¢¨é¥ã æ쮬㠯÷¤à®§¤.).
�¯à ¢ 2.1. � «®£÷õî § «£¥¡à®î ¢¨á«®¢«¥ì ¢¥á⨠४ãàᨢ¥®§ ç¥ï ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨ ¬®¦¨ (§ ®á®¢÷ ®¯¥à æ÷ù ¢§ï⨠®¡'õ¤ -ï, ¯¥à¥à÷§ â ¤®¯®¢¥ï).
2.2. �®â®¦®áâ÷ «£¥¡à¨ ¬®¦¨� ª®¨ «£¥¡à¨ ¬®¦¨ æ÷«ª®¬ «®£÷ç÷ § ª® ¬ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢-
«¥ì: ®¯¥à æ÷ï¬ ¤¨§'îªæ÷ù, ª®'îªæ÷ù â § ¯¥à¥ç¥ï ¢ «£¥¡à÷ ¢¨á«®¢-«¥ì ¢÷¤¯®¢÷¤ îâì ®¡'õ¤ ï, ¯¥à¥à÷§ â ¤®¯®¢¥ï ¤ ¬®¦¨ ¬¨.
2.2.1. �ᮢ÷ â®â®¦®áâ÷ «£¥¡à¨ ¬®¦¨� ¢¥¤¥¬® ç®â¨à¨ ¯ ਠ§ ª®÷¢ «£¥¡à¨ ¬®¦¨, ïª÷ ¤ «÷ ¢¨¤÷«ïâ¨-
¬¥¬® ïª ®á®¢÷.
22
2.2. �®â®¦®áâ÷ «£¥¡à¨ ¬®¦¨
�¥å © A, B, C { ¤®¢÷«ì÷ ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨ ¬®¦¨.1. �®¬ãâ ⨢÷áâì (¯¥à¥áâ ¢¨© § ª®): A ∪B = B ∪ A,
A ∩B = B ∩ A.2. �¨áâਡã⨢÷áâì (஧¯®¤÷«ì¨© § ª®):
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C),A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
3. �¥©âà «ì÷áâì: A ∪∅ = A,A ∩ U = A.
4. �®¯®¢¥÷áâì: A ∪ Ac = U,A ∩ Ac = ∅.
�¯à ¢ 2.2. �¨¢¥á⨠¢¥¤¥÷ ®á®¢÷ § ª®¨, ª®à¨áâãîç¨áì ¢¨§ -ç¥ï¬¨ ®¯¥à æ÷© ¤ ¬®¦¨ ¬¨.
�ª ÷ ã ¢¨¯ ¤ªã «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì, ¢¥¤¥¨å ç®â¨àì®å ¯ à ®á®¢¨å§ ª®÷¢ ¤®áâ âì® ¤«ï ¢¨¢¥¤¥ï ¡ã¤ì-类ù â®â®¦®áâ÷, é® § ¯¨á §¢¨ª®à¨áâ ï¬ ®¯¥à æ÷© ®¡'õ¤ ï, ¯¥à¥à÷§ã â ¤®¯®¢¥ï.
2.2.2. öè÷ § ª®¨ «£¥¡à¨ ¬®¦¨� ¢¥¤¥¬® ¤¥ïª÷ ÷è÷ § ª®¨ «£¥¡à¨ ¬®¦¨, ïª÷ ç áâ® ¢¨ª®à¨á⮢ã-
¢ ⨬¥¬® ¤ «÷.5. �÷¢¥àá «ì÷ ¬¥¦÷: A ∪ U = U,
A ∩∅ = ∅.
6. �¡á®à¡æ÷ï (¯®£«¨ ï ): A ∪ (A ∩B) = A,A ∩ (A ∪B) = A.
7. ö¤¥¬¯®â¥â÷áâì: A ∪ A = A,A ∩ A = A.
8. �á®æ÷ ⨢÷áâì (ᯮ«ã稩 § ª®): A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C,A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.
9. ô¤¨÷áâì ¤®¯®¢¥ï: á¨á⥬ à÷¢ïì{
A ∪X = U,
A ∩X = ∅¢÷¤®á® X
¬ õ õ¤¨¨© ஧¢'燐ª X = Ac (⮡⮠ïªé® A ∪X = U â A ∩X = ∅, â®X = Ac).
10. ö¢®«î⨢÷áâì: (Ac)c = A.11. � ª® (¯à ¢¨«®) ¤¥ �®à£ : (A ∪B)c = Ac ∩Bc,
(A ∩B)c = Ac ∪Bc.
23
�®§¤÷« 2. �¥®à÷ï ¬®¦¨
� £ ¤ õ¬®, é® ¢¥¤¥÷ â®â®¦®áâ÷ (ïª ÷ ¡ã¤ì-ïª÷ ÷è÷ â®â®¦®áâ÷ «-£¥¡à¨ ¬®¦¨, § ¯¨á ÷ § ¢¨ª®à¨áâ ï¬ ®¯¥à æ÷© ®¡'õ¤ ï, ¯¥à¥à÷§ãâ ¤®¯®¢¥ï) ¬®¦ãâì ¡ã⨠¢¨¢¥¤¥÷ § ç®â¨àì®å ¯ à ®á®¢¨å § ª®÷¢.
�¯à ¢ 2.3. �ä®à¬ã«î¢ ⨠⠤®¢¥á⨠¯à¨æ¨¯ ¤ã «ì®áâ÷ â 㧠-£ «ì¥¥ ¯à ¢¨«® ¤¥ �®à£ ¤«ï «£¥¡à¨ ¬®¦¨.
2.2.3. �÷ £à ¬¨ �¥ �÷ £à ¬¨ �¥ (÷è §¢ { ªà㣨 �©«¥à ) ¤®¯®¬ £ îâì ®ç®
¯à®÷«îáâà㢠⨠१ã«ìâ ⨠¢¨ª® ï ®¯¥à æ÷© ¢ «£¥¡à÷ ¬®¦¨, â -ª®¦ «¢£ ¤ ⨻ ( «¥ ¥ ¤®¢¥áâ¨!) ¤¥ïª÷ ¥áª« ¤÷ â®â®¦®áâ÷.
� ¤÷ £à ¬÷ �¥ ã÷¢¥àá «ìã ¬®¦¨ã §®¡à ¦ãîâì ã ¢¨£«ï¤÷ ¯àï-¬®ªã⨪ , ª®¦ã ÷èã ¬®¦¨ã { ã ¢¨£«ï¤÷ ªà㣠( ¡® ÷è®ù ä÷£ãà¨).�ªé® ¢÷¤®¬®, é® ¬®¦¨¨ ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï, ¢÷¤¯®¢÷¤÷ ªà㣨 §®¡à ¦ã-îâì â ª¨¬¨, é® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï. �ªé® ¢÷¤®¬®, é® A ⊂ B, ªà㣠¬®-¦¨¨ A §®¡à ¦ãîâì ¢á¥à¥¤¨÷ ªà㣠¬®¦¨¨ B. �ªé® ¯à÷®à÷ ÷箣®¥ ¢÷¤®¬® ¯à® ¢§ õ¬¥ ¯®«®¦¥ï ¬®¦¨, ¢÷¤¯®¢÷¤÷ ªà㣨 §®¡à ¦ãîâìâ ª¨¬¨, é® ¯¥à¥à÷§ îâìáï, â ¦®¤¥ ªà㣠¥ «¥¦¨âì æ÷«ª®¬ ¢á¥à¥¤¨÷÷讣®.
�ਪ« ¤ 2.2. �®¡à §¨¬® ¤÷ £à ¬÷ �¥ ᨬ¥âà¨çã à÷§¨æ¦¨ A M B (à¨á. 2.1).
UA B
�¨á. 2.1
� ¢¥¤¥®£® à¨á㪠«¥£ª® «¢£ ¤ãõâìáï» â®â®¦÷áâì
A M B = (A ∪B) \ (A ∩B),
®¤ ª æï â®â®¦÷áâì ¯®âॡãõ ªãà ⮣® ¤®¢¥¤¥ï.
24
2.3. �®¢¥¤¥ï § ª®÷¢ «£¥¡à¨ ¬®¦¨
2.3. �®¢¥¤¥ï § ª®÷¢ «£¥¡à¨ ¬®¦¨2.3.1. �®¤¥«ì¥ ¤®¢¥¤¥ï
�®¤¥«ì¨© ¬¥â®¤ ¤®¢¥¤¥ï ¡ §ãõâìáï ¢¨§ ç¥÷ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷(à÷¢®áâ÷) ¬®¦¨ â ¢¨§ ç¥÷ ¯÷¤¬®¦¨¨:
(A = B) ⇔ ((x ∈ A) ↔ (x ∈ B)) ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A);
(A ⊂ B) ⇔ (B ⊃ A) ⇔ ((x ∈ A) → (x ∈ B)).
�ਪ« ¤ 2.3. �®¢¥¤¥¬® â®â®¦÷áâì ¯®£«¨ ï: A ∪ (A ∩B) = A.
(x ∈ (A ∪ (A ∩B))) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ (A ∩B)) ⇔(x ∈ A) ∨ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) ⇔ (x ∈ A)
( ®áâ 쮬㠫®£÷箬㠯¥à¥å®¤÷ ¢¨ª®à¨áâ ® § ª® ¯®£«¨ ï ¤«ï «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì).
�ਪ« ¤ 2.4. �®¢¥¤¥¬® ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì: A ⊂ B ⇔ A ∪B = B.1. �¥å © A ⊂ B, ⮡⮠(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B). �®âà÷¡® ¤®¢¥áâ¨:
A ∪B = B, ⮡⮠(x ∈ A ∪B) ⇔ (x ∈ B).(x ∈ A ∪B) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ⇔ (x ∈ B),
®áª÷«ìª¨ (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B).2. �¥å © A ∪ B = B. �®¤÷, § ®§ ç¥ï ®¯¥à æ÷ù ®¡'õ¤ ï ¬®¦¨,
(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B), ⮡⮠A ⊂ B.�ਪ« ¤ 2.5. �®¢¥¤¥¬® § ª® ¬®¤ã«ïà®áâ÷:
A ⊂ B ⇒ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ C) ∩B.
�¥å © A ⊂ B. �®¢¥¤¥¬®, é® A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ C) ∩B.
(x ∈ A ∪ (B ∩ C)) ⇒ (x ∈ A) ∨ ((x ∈ B) ∧ (x ∈ C)) ⇒⇒ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)) ∧ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ C)) ⇒
⇒ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ C)) ∧ (x ∈ B) ⇒ x ∈ (A ∪ C) ∩B.
�®¢¥¤¥¬®, é® A ∪ (B ∩ C) ⊃ (A ∪ C) ∩B.
x ∈ (A ∪ C) ∩B ⇒ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ C)) ∧ (x ∈ B) ⇒⇒ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) ∨ ((x ∈ C) ∧ (x ∈ B)) ⇒
⇒ (x ∈ A) ∨ ((x ∈ B) ∧ (x ∈ C)) ⇒ x ∈ A ∪ (B ∩ C).
25
�®§¤÷« 2. �¥®à÷ï ¬®¦¨
2.3.2. �ªá÷®¬ â¨ç¥ ¤®¢¥¤¥ï�ªá÷®¬ â¨ç¥ ¤®¢¥¤¥ï, ïª ÷ ¢ ¢¨¯ ¤ªã «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì, ¯¥à¥¤¡ -
ç õ § áâ®á㢠ï ç®â¨àì®å ¯ à ®á®¢¨å § ª®÷¢ (ª®¬ãâ ⨢÷áâì, ¤¨á-âਡã⨢÷áâì, ¥©âà «ì÷áâì â ¤®¯®¢¥÷áâì), ¡¥§ ãà åã¢ ï §¬÷áâ㮯¥à æ÷© ¤ ¬®¦¨ ¬¨.
�ਪ« ¤ 2.6. �®¢¥¤¥¬® § ª® ᪫¥î¢ ï: (A ∩B) ∪ (A ∩Bc) = A.
(A ∩B) ∪ (A ∩Bc) = A ∩ (B ∪Bc) = A ∩ U = A.
�ਪ« ¤ 2.7. �®¢¥¤¥¬® ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì A ∪B = B ⇔ A ∩B = A.1. �¥å © A ∪B = B. �®¤÷ (A ∪B) ∩ A = B ∩ A, â A = B ∩ A.2. �¥å © A ∩B = A. �®¤÷ (A ∩B) ∪B = A ∪B, â B = A ∪B.
�¯à ¢ 2.4. �®¢¥á⨠ªá÷®¬ â¨ç¨¬ ¬¥â®¤®¬ « æª ¥ª¢÷¢ «¥â-®á⥩: A ∪B = B ⇔ A ∩B = A ⇔ A ∩Bc = ∅⇔ Ac ∪B = U .
�¥§ã«ìâ ⠯ਪ«. 2.4 ¤®§¢®«ïõ ¢¢¥á⨠ªá÷®¬ â¨ç¥ (ç¥à¥§ ®¯¥à æ÷ù¯¥à¥à÷§ã, ®¡'õ¤ ï â ¤®¯®¢¥ï) ¢¨§ ç¥ï ¯÷¤¬®¦¨¨:
A ⊂ B ⇔ (§ ¢¨§ ç¥ï¬) A ∪B = B.
�¥ ¢¨§ ç¥ï, à §®¬ § १ã«ìâ ⮬ ¢¯à ¢¨ 2.4, ¤®§¢®«ïõ ªá÷®¬ â¨ç®¤®¢®¤¨â¨ ä ªâ¨ ¢ª«îç¥ï ¬®¦¨.
�ਪ« ¤ 2.8. �®¢¥¤¥¬® «®£÷稩 á«÷¤®ª: A ⊂ B ⇒ Bc ⊂ Ac.�¥å © A ⊂ B. �®¤÷, § ¢¨§ ç¥ï¬, A∪B = B. �¥àãç¨ ¢÷¤ ®¡®å ç á-
⨠à÷¢®áâ÷ ¤®¯®¢¥ï, § § ª®®¬ ¤¥ �®à£ ®âਬãõ¬®: Ac∩Bc = Bc,§¢÷¤ª¨, § « æ®¬ ¥ª¢÷¢ «¥â®á⥩ ¢¯à ¢¨ 2.4, ¤÷áâ ¥¬®: Bc ⊂ Ac.
2.4. �ª÷ç¥÷ ¬®¦¨¨. �®âã¦÷áâìáª÷祮ù ¬®¦¨¨
� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ஧£«ï¤ ⨬¥¬® áª÷ç¥÷ ¬®¦¨¨, ⮡⮠¬®-¦¨¨, é® ¬÷áâïâì áª÷ç¥ã ª÷«ìª÷áâì ¥«¥¬¥â÷¢.
�§ ç¥ï 2.9. �®âã¦÷áâì áª÷祮ù ¬®¦¨¨ A ¢¨§ ç õâìáï 着÷«ìª÷áâì ¥«¥¬¥â÷¢, é® «¥¦ âì ¬®¦¨÷ A.
26
2.4. �ª÷ç¥÷ ¬®¦¨¨. �®âã¦÷áâì áª÷祮ù ¬®¦¨¨
�®âã¦÷áâì áª÷祮ù ¬®¦¨¨ A ¯®§ ç ⨬® ïª n(A) ¡® card(A).
�ਪ« ¤ 2.9. n({1, 2, 18}) = 3, n(∅) = 0, n({∅}) = 1.
� áâ㯥 ⢥द¥ï ¥£ ©® ¢¨¯«¨¢ õ § ®§ ç¥ï ¯®â㦮áâ÷.
�¥®à¥¬ 2.1. �¥å © A, B { áª÷ç¥÷ ¬®¦¨¨, é® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâì-áï, ⮡⮠A ∩B = ∅. �®¤÷ n(A ∪B) = n(A) + n(B).
�¥§ã«ìâ â ⥮६¨ 2.1 ¬¥â®¤®¬ ¬ ⥬ â¨ç®ù ÷¤ãªæ÷ù 㧠£ «ìîõâìáï ¤®¢÷«ìã áª÷ç¥ã ª÷«ìª÷áâì ¬®¦¨, é® ¯®¯ à® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï.
� á«÷¤®ª. �¥å © Ak (k = 1, 2, . . . , n) { áª÷ç¥÷ ¬®¦¨¨, é® ¯®-¯ à® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï. �®¤÷ n(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) =
n∑k=1
n(Ak).
� ¢¥¤¥¬® 㧠£ «ì¥ï ⥮६¨ 2.1 ¢¨¯ ¤®ª ¬®¦¨, é® ¯¥à¥à÷-§ îâìáï.
�¥®à¥¬ 2.2. �¥å © A â B { ¤®¢÷«ì÷ áª÷ç¥÷ ¬®¦¨¨. �®¤÷n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B).
�®¢¥¤¥ï. �¥§¯®á¥à¥¤ì® ¯¥à¥¢÷àïõâìáï, é® ¬®¦¨¨ A1 = A \ B,A2 = B \ A, A3 = A ∩ B ¯®¯ à® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï, â A = A1 ∪ A3,B = A2 ∪A3, A ∪B = A1 ∪A2 ∪A3, �®¤÷, ¯÷¤áâ ¢÷ ⥮६¨ 2.1, ¬ õ¬®:
n(A ∪B) = (n(A1) + n(A3)) + (n(A2) + n(A3))− n(A3) =
= n(A) + n(B)− n(A ∩B).
�¯à ¢ 2.5. �¨¢¥á⨠ä®à¬ã«ã ¤«ï ¯®â㦮áâ÷ ®¡'õ¤ ï âàì®åáª÷ç¥¨å ¬®¦¨:
n(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)−− n(A ∩B)− n(B ∩ C)− n(A ∩ C) + n(A ∩B ∩ C).
�த㬠⨠㧠£ «ì¥ï ¤«ï ¤®¢÷«ì®ù áª÷祮ù ª÷«ìª®áâ÷ áª÷票嬮¦¨.
27
�®§¤÷« 2. �¥®à÷ï ¬®¦¨
2.5. �¥ª àâ÷¢ ¤®¡ã⮪ ¬®¦¨�§ ç¥ï 2.10. �¥ª à⮢¨¬ ¤®¡ã⪮¬ ¤®¢÷«ì¨å ¬®¦¨ A â B
§¨¢ îâì ¬®¦¨ã A×B, é® áª« ¤ õâìáï § 㯮à浪®¢ ¨å ¯ à ¢¨£«ï¤ã(a, b), ¤¥ a ∈ A, b ∈ B:
A×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
�«ï ¢¨¯ ¤ªã A = B («¤¥ª àâ÷¢ ª¢ ¤à â») ç áâ® ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ¯®-§ ç¥ï A× A = A×2 = A2.
�ਪ« ¤ 2.10. �¥å © A = {1, 2, 3}, B = {a, b}. �®¤÷
A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.
� 㢠¦¥ï 2.5. �¥ª àâ÷¢ ¤®¡ã⮪ ¥ª®¬ãâ ⨢¨©. � ª, ¤«ï ¬®¦¨§ ¯à¨ª«. 2.10,
B × A = {(a, 1), (b, 1), (a, 2), (b, 2), (a, 3), (b, 3)} 6= A×B.
�áª÷«ìª¨ ¥«¥¬¥â¨ ¬®¦¨ A â B ¢ ¤¥ª à⮢®¬ã ¤®¡ãâªã A×B ¬®-¦ãâì ¡ã⨠à÷§®ù ¯à¨à®¤¨, ¤®æ÷«ì® ¢¢®¤¨â¨ à÷§÷ ã÷¢¥àá «ì÷ ¬®¦¨¨¤«ï ¯¥àè®ù ÷ ¤à㣮ù ª®¬¯®¥â ¤¥ª à⮢®£® ¤®¡ãâªã: A ⊂ U1, B ⊂ U2.�÷¢¥àá «ì®î ¬®¦¨®î ¤«ï ¤¥ª à⮢®£® ¤®¡ãâªã ¢ æ쮬ã à §÷ ¢¢ ¦ -⨬¥¬® U = U1 × U2.
�¥®à¥¬ 2.3. �¥å © A â B { áª÷ç¥÷ ¬®¦¨¨. �®¤÷
n(A×B) = n(A) · n(B).
�®¢¥¤¥ï. �¥å © A = {a1, a2, . . . , an}, B = {b1, b2, . . . , bm}. �«ï ¤®¢¥-¤¥ï ¤®áâ âì® à®§¬÷áâ¨â¨ ¥«¥¬¥â¨ ¬®¦¨¨ A × B ã ¢¨£«ï¤÷ â ¡«¨-æ÷, à浪¨ 类ù ¢÷¤¯®¢÷¤ îâì ¥«¥¬¥â ¬ ¬®¦¨¨ A, á⮢¯æ÷ { ¥«¥¬¥â ¬¬®¦¨¨ B:
b1 b2 . . . bm
a1 (a1, b1) (a1, b2) . . . (a1, bm)a2 (a2, b1) (a2, b2) . . . (a2, bm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an (an, b1) (an, b2) . . . (an, bm)
28
2.5. �¥ª àâ÷¢ ¤®¡ã⮪ ¬®¦¨
�祢¨¤®, é® â ¡«¨æï ¬÷áâ¨âì nm ¥«¥¬¥â÷¢, é® ¤®¢®¤¨âì ⥮६ã.
�§ ç¥ï 2.10 㧠£ «ìîõâìáï ¢¨¯ ¤®ª ¤®¢÷«ì®ù áª÷祮ù ª÷«ì-ª®áâ÷ ¬®¦¨.
�§ ç¥ï 2.11. �¥ª à⮢¨¬ ¤®¡ã⪮¬ ¬®¦¨ A1, A2, . . . , An -§¨¢ îâì ¬®¦¨ã A1 × A2 × · · · × An, é® áª« ¤ õâìáï § 㯮à浪®¢ ¨ån-®ª ¢¨£«ï¤ã (a1, a2, . . . , an), ¤¥ a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An:
A1 × A2 × · · · × An = {(a1, a2, . . . , an) : a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An}.�«ï ¢¨¯ ¤ªã A1 = A2 = · · · = An = A («¤¥ª àâ÷¢ á⥯÷ì») ç áâ®
¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ¯®§ ç¥ï A×n = An.�¯à ¢ 2.6. �®à¨áâãîç¨áì ¬¥â®¤®¬ ¬ ⥬ â¨ç®ù ÷¤ãªæ÷ù, ¤®¢¥áâ¨
«®£ ⥮६¨ 2.3 ¤«ï ¤¥ª à⮢®£® ¤®¡ãâªã ¤®¢÷«ì®ù áª÷祮ù ª÷«ì-ª®áâ÷ ¬®¦¨:
n(A1 × A2 × · · · × An) = n(A1) · n(A2) · · ·n(An).
2.5.1. �®¢¥¤¥ï â®â®¦®á⥩, é® ¬÷áâïâ줥ª àâ÷¢ ¤®¡ã⮪
�«ï ¤®¢¥¤¥ï â®â®¦®á⥩, é® ¬÷áâïâì ¤¥ª àâ÷¢ ¤®¡ã⮪, §àã箢¨ª®à¨á⮢㢠⨠¬®¤¥«ì¨© ¬¥â®¤.
�ਪ« ¤ 2.11. �®¢¥¤¥¬® â®â®¦÷áâì A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
(x, y) ∈ A× (B ∪ C) ⇔ (x ∈ A) ∧ (y ∈ (B ∪ C)) ⇔⇔ (x ∈ A) ∧ ((y ∈ B) ∨ (y ∈ C)).
(x, y) ∈ (A×B) ∪ (A× C) ⇔ ((x, y) ∈ (A×B)) ∨ ((x, y) ∈ (A× C)) ⇔⇔ ((x ∈ A)∧(y ∈ B))∨((x ∈ A)∧(y ∈ C)) ⇔ (x ∈ A)∧((y ∈ B)∨(y ∈ C)).
�÷¤ ç á «÷§ã ¥áª« ¤¨å â®â®¦®á⥩, é® ¬÷áâïâì ¤¥ª àâ÷¢ ¤®¡ã-⮪, §àãç® ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨠«®£ ¤÷ £à ¬ �¥ . �®¦¨¨, é® ¢÷¤-¯®¢÷¤ îâì ¯¥àè÷© ª®¬¯®¥â÷ ¤¥ª à⮢®£® ¤®¡ãâªã, ஧¬÷éãîâì ¯® ®á÷ X,¤àã£÷© ª®¬¯®¥â÷ { ¯® ®á÷ Y . � £ ¤ õ¬®, é® ¤÷ £à ¬¨ �¥ ¤®§¢®«ïîâì«¢£ ¤ ⨻ â®â®¦÷áâì, «¥ «¢£ ¤ » â®â®¦÷áâì ¯®âॡãõ ¤®¢¥¤¥ï.
29
�®§¤÷« 2. �¥®à÷ï ¬®¦¨
�ਪ« ¤ 2.12. �®¡à §¨¬® ¤÷ £à ¬÷ �¥ ¬®¦¨ã (A × B)c
(à¨á. 2.2). � £ ¤ õ¬®, é® (A×B)c = U \ (A×B), ¤¥ U = U1 × U2.
{} } }U1
U=U U1 2´
U2
AB
A´B
X
Y
�¨á. 2.2
� ¢¥¤¥®£® à¨á㪠«¥£ª® «¢£ ¤ãõâìáï» â®â®¦÷áâì
(A×B)c = (U1 ×Bc) ∪ (Ac × U2).
�¯à ¢ 2.7. �®¢¥á⨠â®â®¦÷áâì (A × B)c = (U1 × Bc) ∪ (Ac × U2)¬®¤¥«ì¨¬ ¬¥â®¤®¬.
2.6. �«£¥¡à ¬®¦¨ ïª «£¥¡à¨ç áâàãªâãà . �÷«ìæ¥ ¬®¦¨
2.6.1. �«£¥¡à ¬®¦¨�§ ç¥ï 2.12. �¥¯®à®¦î áãªã¯÷áâì ¬®¦¨ S, § ¬ª¥ã ¢÷¤-
®á® ®¯¥à æ÷© ®¡'õ¤ ï, ¯¥à¥à÷§ã â ¤®¯®¢¥ï, ⮡⮠⠪ã, é®
(A ∈ S) ∧ (B ∈ S) ⇒ (A ∪B ∈ S) ∧ (A ∩B ∈ S) ∧ (Ac ∈ S),
§¨¢ îâì «£¥¡à®î ¬®¦¨.
30
2.6. �«£¥¡à ¬®¦¨ ïª «£¥¡à¨ç áâàãªâãà . �÷«ìæ¥ ¬®¦¨
� ®§ ç¥ï 2.12 ¥£ ©® ¢¨¯«¨¢ õ § ¬ª¥÷áâì «£¥¡à¨ ¬®¦¨ ¢÷¤-®á® ®¯¥à æ÷© à÷§¨æ÷ â ᨬ¥âà¨ç®ù à÷§¨æ÷, ®áª÷«ìª¨ æ÷ ®¯¥à æ÷ù ¬®¦- ¢¨à §¨â¨ ç¥à¥§ ®¡'õ¤ ï, ¯¥à¥à÷§ â ¤®¯®¢¥ï. � § 稬®, é® ¢¨-¬®£ ®§ ç¥ï 2.12 ¬®¦¥ ¡ã⨠¯®á« ¡«¥ , ®áª÷«ìª¨, § ¢¤ïª¨ § ª®ã ¤¥�®à£ , ®¯¥à æ÷î ®¡'õ¤ ï (¯¥à¥à÷§) ¬®¦ ¢¨à §¨â¨ ç¥à¥§ ¯¥à¥à÷§(®¡'õ¤ ï) â ¤®¯®¢¥ï.
�¯à ¢ 2.8. �®¢¥áâ¨, é® «£¥¡à ¬®¦¨ § ¢¦¤¨ ¬÷áâ¨âì ¯®à®¦î¬®¦¨ã: ∅ ∈ S.
�ਪ« ¤ 2.13. �¥å © U { ¤®¢÷«ì ¥¯®à®¦ï ¬®¦¨ , ïªã ¢¢ -¦ ⨬¥¬® ã÷¢¥àá «ì®î ¬®¦¨®î.
1. S1 = {U,∅} { «£¥¡à ¬®¦¨.2. S2 = {U,∅, A, Ac} (A ⊂ U) { «£¥¡à ¬®¦¨.3. �¥å © U = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An, ¯à¨ç®¬ã ¬®¦¨¨ Ak (k = 1, . . . , n)
¯®¯ à® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï. �®§£«ï¥¬® áãªã¯÷áâì ¬®¦¨
Sn = {Aj1 ∪ Aj2 ∪ · · · ∪ Ajm : m = 0, . . . , n},é® ¬÷áâ¨âì ¢á÷ ¬®¦«¨¢÷ ®¡'õ¤ ï ¬®¦¨ Ak (k = 1, . . . , n), ¢¨¯ ¤®ªm = 0 ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ¯®à®¦÷© ¬®¦¨÷. �¥¢ ¦ª® ¤®¢¥áâ¨, é® Sn { «£¥¡à ¬®¦¨. � § 稬®, é® S0 â S1 { ®ªà¥¬÷ ¢¨¯ ¤ª¨ «£¥¡à¨ Sn ¯à¨ n = 0â n = 1 ¢÷¤¯®¢÷¤®. �¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® «£¥¡à Sn ¬÷áâ¨âì 2n ¬®¦¨.
� 㢠¦¥ï 2.6. �÷¤®¬® (¤¨¢., ¯à¨ª« ¤, [3]), é® ¡ã¤ì-ïª áª÷ç¥ «£¥¡à ¬®¦¨ § ¢¦¤¨ ¬÷áâ¨âì 2n ¥«¥¬¥â÷¢, ¤¥ n { ¤¥ïª¥ âãà «ì¥ç¨á«®. �÷«ìè¥ â®£®, ¤®¢÷«ì áª÷ç¥ «£¥¡à ¬®¦¨ ¬®¦¥ ¡ã⨠§®¡-à ¦¥ ã ¢¨£«ï¤÷ Sn.
� ¢¥¤¥¬® ¯à¨ª« ¤ ¥áª÷祮ù «£¥¡à¨ ¬®¦¨.
�ਪ« ¤ 2.14. �¥å © U = [0, 1). �®§£«ï¥¬® áãªã¯÷áâì ¬®¦¨
A = {[a1, b1) ∪ [a2, b2) ∪ · · · ∪ [am, bm) : 0 ≤ aj < bj ≤ 1, m ≥ 0},é® ¬÷áâ¨âì ¢á÷ ¬®¦«¨¢÷ áª÷ç¥÷ ®¡'õ¤ ï ¯÷¢¢÷¤ªà¨â¨å ÷â¥à¢ «÷¢¢¨£«ï¤ã [a, b) ⊂ [0, 1); ¢¨¯ ¤®ª m = 0 ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ¯®à®¦÷© ¬®¦¨÷. �¥-¢ ¦ª® ¤®¢¥áâ¨, é® A { «£¥¡à ¬®¦¨. �«£¥¡àã A = A([0, 1)) §¨¢ îâ졮५÷¢áìª®î «£¥¡à®î [0, 1), ¢® ¢÷¤÷£à õ ª«î箢ã à®«ì ¢ ⥮à÷ù ¬÷à¨â ÷â¥£à « .
31
�®§¤÷« 2. �¥®à÷ï ¬®¦¨
2.6.2. �®ïââï ¯à® ª÷«ìæ¥ ¬®¦¨�§ ç¥ï 2.13. �÷«ì楬 ¬®¦¨ §¨¢ îâì ¥¯®à®¦î áãªã¯-
÷áâì ¬®¦¨ S, § ¬ª¥ã ¢÷¤®á® ®¯¥à æ÷© ¯¥à¥à÷§ã â ᨬ¥âà¨ç®ùà÷§¨æ÷, ⮡⮠⠪ã, é®
(A ∈ S) ∧ (B ∈ S) ⇒ (A ∩B ∈ S) ∧ (A M B ∈ S).
� ®§ ç¥ï 2.13 ¢¨¯«¨¢ õ § ¬ª¥÷áâì ª÷«ìæï ¢÷¤®á® ®¯¥à æ÷©®¡'õ¤ ï â à÷§¨æ÷, ®áª÷«ìª¨
A ∪B = (A M B) M (A ∩B), A \B = (A ∪B) M B.
�¯à ¢ 2.9. �®¢¥áâ¨, é® ª÷«ìæ¥ ¬®¦¨ § ¢¦¤¨ ¬÷áâ¨âì ¯®à®¦î¬®¦¨ã: ∅ ∈ R.
�¯à ¢ 2.10. �®¢¥áâ¨, é® ¥¯®à®¦ï áãªã¯÷áâì ¬®¦¨ R õ ª÷«ì-楬 ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ R § ¬ª¥¥ ¢÷¤®á® ®¯¥à æ÷© ®¡'õ¤ ï â à÷§¨æ÷.
�ਪ« ¤ 2.15. �®¢÷«ì «£¥¡à ¬®¦¨ S õ ª÷«ì楬.�¯à ¢ 2.11. �®¢¥áâ¨, é® ª÷«ìæ¥ ¬®¦¨ õ «£¥¡à®î ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨
⮤÷, ª®«¨ ¢®® ¬÷áâ¨âì ã÷¢¥àá «ìã ¬®¦¨ã.�ਪ« ¤ 2.16. �¥å © U { ã÷¢¥àá «ì ¬®¦¨ .1. �¥å © A ⊂ U . �®¤÷ R = {∅, A} { ª÷«ìæ¥ ¬®¦¨. � § 稬®, é®
¯à¨ A 6= U ª÷«ìæ¥ R ¥ ¬÷áâ¨âì ã÷¢¥àá «ìã ¬®¦¨ã (U /∈ R).2. �¥å © A ⊂ U , B ⊂ U , A∩B = ∅. �®¤÷ R = {∅, A, B,A∪B} { ª÷«ìæ¥
¬®¦¨.3. �¥å © U = R. �®§£«ï¥¬® áãªã¯÷áâì ¬®¦¨
R = {[a1, b1) ∪ [a2, b2) ∪ · · · ∪ [am, bm) : aj < bj, m ≥ 0},é® ¬÷áâ¨âì ¢á÷ ¬®¦«¨¢÷ áª÷ç¥÷ ®¡'õ¤ ï ¯÷¢¢÷¤ªà¨â¨å ÷â¥à¢ «÷¢¢¨£«ï¤ã [a, b) ⊂ R; ¢¨¯ ¤®ª m = 0 ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ¯®à®¦÷© ¬®¦¨÷. �¥¢ ¦-ª® ¤®¢¥áâ¨, é® R { ª÷«ìæ¥ ¬®¦¨. �÷«ìæ¥ R §¨¢ îâì ¡®à¥«÷¢á쪨¬ª÷«ì楬 ( R), ¢®® ¢÷¤÷£à õ ¢ ¦«¨¢ã à®«ì ¢ ⥮à÷ù ¬÷ਠâ ÷â¥£à « .
�¥â «ì÷ ¢÷¤®¬®áâ÷ ¯à® «£¥¡àã â ª÷«ìæï ¬®¦¨ ( â ª®¦ ¯à® ÷è÷á¨á⥬¨ ¬®¦¨) ¬®¦ § ©â¨, ¯à¨ª« ¤, ¢ [5].
� £ «ì÷ ¯¨â ï ⥮à÷ù ¬®¦¨ ¤¥â «ì® ¢¨á¢÷â«¥÷, §®ªà¥¬ , ¢ [6].
32
�®§¤÷« 3
�¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì
3.1. �ᮢ÷ ¯®ïââï ⥮à÷ù ¢÷¤®è¥ì�§ ç¥ï 3.1. �¥å © A1, A2, . . . , An { ¤®¢÷«ì÷ ¬®¦¨¨. �÷¤®-
è¥ï¬ R, é® § ¤ ¥ ¬®¦¨ å A1, . . . , An, §¨¢ îâì ¤®¢÷«ìã ¯÷¤-¬®¦¨ã ¤¥ª à⮢®£® ¤®¡ãâªã A1 × A2 × · · · × An:
R ⊂ A1 × A2 × · · · × An.
�ªé® A1 = A2 = · · · = An = A, â® ª ¦ãâì, é® R § ¤ ¥ ¬®¦¨÷ A.�÷¤®è¥ï R = ∅ §¨¢ îâì ¯®à®¦÷¬, ¢÷¤®è¥ï R = A1×· · ·×An
{ ¯®¢¨¬.�ªé® n = 1, ¢÷¤®è¥ï §¨¢ îâì ã ਬ, ïªé® n = 2 { ¡÷ ਬ,
ïªé® n = 3 { â¥à ਬ ( «®£÷ç÷ §¢¨ ¤«ï ¡÷«ìè¨å § ç¥ì n ¬®¦- ã⢮àî¢ â¨ ¢÷¤ « â¨áìª¨å ¯®à浪®¢¨å ç¨á«÷¢¨ª÷¢, «¥ ¯à ªâ¨æ÷¢®¨ ¬ ©¦¥ ¥ ¢¨ª®à¨á⮢ãîâìáï).
�ਪ« ¤ 3.1. 1. � ¬®¦¨÷ A1 = N ¬®¦ § ¤ ⨠ã ॠ¢÷¤®-è¥ï
R = {n : n { ¯ à¥}.2. �¥å © A1 { ¬®¦¨ ªã«ì, A2 { ¬®¦¨ ª®«ì®à÷¢. � ¬®¦¨ å
A1, A2 ¬®¦ § ¤ ⨠¡÷ ॠ¢÷¤®è¥ï
R = {(a1, a2) : ªã«ï a1 ¬ õ ª®«÷à a2}.
33
�®§¤÷« 3. �¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì
3. �¥å © A1 { ¬®¦¨ ¢á÷å 箫®¢÷ª÷¢, A2 { ¬®¦¨ ¦÷®ª, A3 {¬®¦¨ ¢á÷å «î¤¥©. � ¬®¦¨ å A1, A2, A3 ¬®¦ § ¤ ⨠â¥à ॢ÷¤®è¥ï
R = {(a1, a2, a3) : a1 â a2 õ ¡ âìª ¬¨ a3}.� ¤ «÷ ®á®¢ã 㢠£ã ¯à¨¤÷«ï⨬¥¬® ¡÷ ਬ ¢÷¤®è¥ï¬, ïª÷ è¨-
ப® § áâ®á®¢ãîâì ã à÷§¨å £ «ã§ïå ¬ ⥬ ⨪¨.�÷¤ ç á «÷§ã ¡÷ à¨å ¢÷¤®è¥ì §àãç® ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨠¯®§ -
ç¥ï:• R :: A → B § ¬÷áâì R ⊂ A×B;• xRy § ¬÷áâì (x, y) ∈ R;• x6Ry § ¬÷áâì ¬((x, y) ∈ R).
�ਪ« ¤ 3.2. �¥å © R : R→ R. � ¤ ¬® ¢÷¤®è¥ï R ç¥à¥§ «®£÷ç㥪¢÷¢ «¥â÷áâì xRy ⇔ x ≤ y. �祢¨¤®, R = {(x, y) : x ≤ y}.
�ਪ« ¤ 3.3. �¥å © R : U → 2U , ¤¥ U { ¤®¢÷«ì ¬®¦¨ , 2U
{ ¬®¦¨ ¢á÷å ¯÷¤¬®¦¨ U , ⮡⮠2U = {A : A ⊂ U}. � ¤ ¬® ¢÷¤-®è¥ï R ç¥à¥§ «®£÷çã ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì aRA ⇔ a ∈ A. �祢¨¤®,R = {(a,A) : a ∈ A}.
� «÷, ïªé® ¥ ¢ª § ® ÷è¥, ¢á÷ ¢÷¤®è¥ï ¢¢ ¦ ⨬¥¬® ¡÷ ਬ¨.
�§ ç¥ï 3.2. �®â®¦¨¬ ¢÷¤®è¥ï¬ ¬®¦¨÷ A §¨¢ îâì¢÷¤®è¥ï IA, ¢¨§ 祥 «®£÷ç®î ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâî xIAy ⇔ x = y, ⮡â®
IA = {(x, x) : x ∈ A}.
3.2. �¯®á®¡¨ § ¤ ï ¡÷ à¨å ¢÷¤®è¥ì
1. �®¢÷«ì¥ (¥ ®¡®¢'離®¢® ¡÷ à¥) ¢÷¤®è¥ï ¬®¦ § ¤ ⨠窱®¦¨ã. �஠ᯮᮡ¨ § ¤ ï ¬®¦¨ ¤¨¢. ¯÷¤à®§¤. 2.1.
2. �®®à¤¨ ⨩ ᯮá÷¡: § áâ®á®¢ãõâìáï ¤«ï ¡÷ ண® ¢÷¤®è¥ïR : A → B ã ¢¨¯ ¤ªã, ª®«¨ ¥«¥¬¥â ¬ ¬®¦¨ A â B ¬®¦ ¯à¨à®¤®§÷áâ ¢¨â¨ â®çª¨ ç¨á«®¢÷© ®á÷. �®¤÷ ¬®¦¨ A § ¤ õâìáï ïª ¯÷¤¬®-¦¨ ®á÷ X, ¬®¦¨ B { ïª ¯÷¤¬®¦¨ ®á÷ Y , ¥«¥¬¥â ¬ ¢÷¤®è¥ïR §÷áâ ¢«ïîâìáï â®çª¨ ª®®à¤¨ â÷© ¯«®é¨÷.
34
3.2. �¯®á®¡¨ § ¤ ï ¡÷ à¨å ¢÷¤®è¥ì
�ਪ« ¤ 3.4. �¥å © R : A → B. � à¨á. 3.1 ¢¥¤¥® ¢÷¤®è¥ï
R = {(x, y) : x2 + y2 = 1}, A = B = R
(®¤¨¨ç¥ ª®«® § æ¥â஬ ã ¯®ç âªã ª®®à¤¨ â).� à¨á. 3.2 ¢¥¤¥® ¢÷¤®è¥ï
R = {(1, x), (2, y), (3, y)}, A = {1, 2, 3}, B = {x, y}
(âਠâ®çª¨ ª®®à¤¨ â÷© ¯«®é¨÷).
X
Y
0
1
1
–1
–1
�¨á. 3.1
X
Y
1
x
y
2 3
(1, )x
(2, )y (3, )y
0
�¨á. 3.2
3. �âà÷«ª®¢÷ ¤÷ £à ¬¨: § áâ®á®¢ãîâìáï ¤«ï ¢÷¤®è¥ï R : A → Bã ¢¨¯ ¤ªã áª÷ç¥¨å ¬®¦¨ A â B. �¥å © A = (a1, a2, . . . , an),B = (b1, b2, . . . , bm). �«¥¬¥â¨ ¬®¦¨ A â B §®¡à ¦ãîâì ã ¢¨£«ï¤÷¢÷¤®ªà¥¬«¥¨å ®¤ ¢÷¤ ®¤®ù â®ç®ª ¯«®é¨÷; ïªé® aRb, à¨áãªã¢÷¤ â®çª¨ a ¤® â®çª¨ b ¯à®¢®¤ïâì áâà÷«ªã.
�ਪ« ¤ 3.5. �¥å © R : A → B. � à¨á. 3.3 ¢¥¤¥® ¢÷¤®è¥ï
R = {(a1, b1), (a2, b2), (a3, b1)}, A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2}
(âਠáâà÷«ª¨ ¤÷ £à ¬÷).� à¨á. 3.4 ¢¥¤¥® ¯®¢¥ ¢÷¤®è¥ï
R = A×B, A = B = {a, b, c}
(¤¥¢'ïâì áâà÷«®ª ¤÷ £à ¬÷).
35
�®§¤÷« 3. �¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì
a2
b2
a3
a1
b1
A B
�¨á. 3.3
b b
c c
aa
A B
�¨á. 3.4
�ª ¢¨¤® § ¢¥¤¥¨å à¨áãª÷¢, áâà÷«ª®¢÷ ¤÷ £à ¬¨ ¤®æ÷«ì® § áâ®-ᮢ㢠⨠¤«ï §®¡à ¦¥ï ¢÷¤®è¥ì, é® ¬÷áâïâì ¥¢¥«¨ªã ª÷«ìª÷áâì ¯ ५¥¬¥â÷¢ (¤«ï §®¡à ¦¥ï ¯®¢®£® ¢÷¤®è¥ï áâà÷«ª®¢ ¤÷ £à ¬ { ¥ ©ªà 騩 ¢¨¡÷à).
4. � âà¨ç¨© ᯮá÷¡: § áâ®á®¢ãõâìáï ¤«ï ¢÷¤®è¥ï R : A → Bã ¢¨¯ ¤ªã áª÷ç¥¨å ¬®¦¨ A â B. �¥å © A = (a1, a2, . . . , an),B = (b1, b2, . . . , bm). �÷¤®è¥ï R § ¤ õâìáï ã ¢¨£«ï¤÷ ¬ âà¨æ÷ MR ஧-¬÷஬ n × m (â ¡«¨æï § n à浪÷¢ â m á⮢¯æ÷¢); à浪¨ ¬ âà¨æ÷ MR
㬥àãîâìáï ¥«¥¬¥â ¬¨ ¬®¦¨¨ A, á⮢¯æ÷ { ¥«¥¬¥â ¬¨ ¬®¦¨¨ B.� âà¨æï § ¯®¢îõâìáï «®£÷稬¨ ¥«¥¬¥â ¬¨ 0 â 1: ¥«¥¬¥â ai,j ( ¯¥à¥â¨÷ à浪 i â á⮢¯æï j) ¤®à÷¢îõ 1 ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ aiRbj.
�ਪ« ¤ 3.6. �¥å © A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2}. �®¦®¬ã¥«¥¬¥âã ai §÷áâ ¢¨¬® i-© à冷ª (i = 1, 2, 3) ¬ âà¨æ÷, ª®¦®¬ã ¥«¥-¬¥âã bj §÷áâ ¢¨¬® j-© á⮢¯¥æì (j = 1, 2). �®¤÷ ¤«ï ¢÷¤®è¥ïR = {(a1, b1), (a2, b2), (a3, b1)}, â ª®¦ ¤«ï ¯®¢®£® â ¯®à®¦ì®£® ¢÷¤-®è¥ì A×B ÷ ¤«ï â®â®¦®£® ¢÷¤®è¥ï IB, ¤÷áâ ¥¬®:
MR =
1 00 11 0
; MA×B =
1 11 11 1
; M∅ =
0 00 00 0
; MIB
=
(1 00 1
).
5. �à÷õ⮢ ÷ £à ä¨: § áâ®á®¢ãîâìáï ¤«ï ¢÷¤®è¥ï R : A → Aã ¢¨¯ ¤ªã áª÷祮ù ¬®¦¨¨ A. �÷¤®è¥ï R § ¤ õâìáï ã ¢¨£«ï¤÷®à÷õ⮢ ®£® £à äã: ª®¦®¬ã ¥«¥¬¥âã a ∈ A §÷áâ ¢«ïõâìáï ¤¥ïª â®çª ¯«®é¨÷ (¢¥àè¨ £à äã); ïªé® aRb, ¢¥à訨 a â b §'õ¤ãîâìáï®à÷õ⮢ ¨¬ ॡ஬, é® ¢¥¤¥ ¢÷¤ a ¤® b. �¨¯ ¤ªã aRa £à ä÷ ¢÷¤¯®¢÷¤ õ«§ ¬ª¥¥» ॡ஠(¯¥â«ï) ¢¥àè¨÷ a.
36
3.3. �¯¥à æ÷ù ¤ ¡÷ ਬ¨ ¢÷¤®è¥ï¬¨
�ਪ« ¤ 3.7. �¥å © A = {a, b, c}.� à¨á. 3.5 ¢¥¤¥® ¢÷¤®è¥ï
R = {(a, b), (b, c), (c, c)}
(£à ä § âà쮬 à¥¡à ¬¨, ®¤¥ § 直å {¯¥â«ï).
b
ca
�¨á. 3.5
3.3. �¯¥à æ÷ù ¤ ¡÷ ਬ¨ ¢÷¤®è¥ï¬¨
1. �¡'õ¤ ï ¢÷¤®è¥ì: § áâ®á®¢ãõâìáï ¤® ¤®¢÷«ì¨å (¥ ®¡®¢'離®-¢® ¡÷ à¨å) ¢÷¤®è¥ì R,S ⊂ A1 × A2 × · · · × An ÷ ¢¨§ ç õâìáï 类¡'õ¤ ï ¬®¦¨ R ∪ S. � ¢¨¯ ¤ªã ¡÷ à¨å ¢÷¤®è¥ì R, S : A → B áª÷票å A â B ¬ âà¨æï ®¡'õ¤ ï MR∪S ®¡ç¨á«îõâìáï ïª ¯®¥«¥-¬¥â ¤¨§'îªæ÷ï ¬ âà¨æì MR â MS:
(MR∪S)i,j = (MR)i,j ∨ (MS)i,j , 1 ≤ i ≤ n(A), 1 ≤ j ≤ n(B).
�ਪ« ¤ 3.8. �¥å ©A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2},
R = {(a1, b1), (a2, b2), (a3, b1)}, S = {(a1, b1), (a1, b2)}.� áâ®á®¢ãîç¨ ¯à¨à®¤ã 㬥à æ÷î à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢ ¬ âà¨æì MR
â MS (¥«¥¬¥âã ai §÷áâ ¢¨¬® i-© à冷ª, ¥«¥¬¥âã bj { j-© á⮢¯¥æì),®âਬãõ¬®:
MR =
1 00 11 0
, MS =
1 10 00 0
, MR∪S =
1 10 11 0
,
⮡⮠R ∪ S = {(a1, b1), (a2, b2), (a3, b1), (a1, b2)}.2. �¥à¥à÷§ ¢÷¤®è¥ì: § áâ®á®¢ãõâìáï ¤® ¤®¢÷«ì¨å (¥ ®¡®¢'離®¢®
¡÷ à¨å) ¢÷¤®è¥ì R, S ⊂ A1×A2× · · · ×An ÷ ¢¨§ ç õâìáï ïª ¯¥à¥à÷§¬®¦¨ R∩S. � ¢¨¯ ¤ªã ¡÷ à¨å ¢÷¤®è¥ì R, S : A → B áª÷票åA â B ¬ âà¨æï ¯¥à¥à÷§ã MR∩S ®¡ç¨á«îõâìáï ïª ¯®¥«¥¬¥â ª®'îªæ÷ï¬ âà¨æì MR â MS:
(MR∩S)i,j = (MR)i,j ∧ (MS)i,j , 1 ≤ i ≤ n(A), 1 ≤ j ≤ n(B).
37
�®§¤÷« 3. �¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì
�ਪ« ¤ 3.9. �¥å ©
A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2},R = {(a1, b1), (a2, b2), (a3, b1)}, S = {(a1, b1), (a1, b2)}.
� áâ®á®¢ãîç¨ ¯à¨à®¤ã 㬥à æ÷î à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢ ¬ âà¨æì MR â MS, ®¤¥à¦¨¬®:
MR =
1 00 11 0
, MS =
1 10 00 0
, MR∩S =
1 00 00 0
,
⮡⮠R ∩ S = {(a1, b1)}.
3. �®¯®¢ï«ì¥ ¢÷¤®è¥ï: ¢¨§ 祮 ¤«ï ¤®¢÷«ì®£® (¥ ®¡®¢'離®-¢® ¡÷ ண®) ¢÷¤®è¥ï R ⊂ A1 × A2 × · · · × An ïª ¤®¯®¢¥ï Rc
¬®¦¨¨ R ¢÷¤®á® ã÷¢¥àá «ì®ù ¬®¦¨¨ U = A1 × · · · × An, ⮡â®
Rc = (A1 × A2 × · · · × An) \R.
� ¢¨¯ ¤ªã ¡÷ ண® ¢÷¤®è¥ï R : A → B áª÷票å A â B ¬ â-à¨æï ¤®¯®¢¥ï MRc ®¡ç¨á«îõâìáï ïª ¯®¥«¥¬¥â¥ «®£÷ç¥ § ¯¥à¥ç¥ï¬ âà¨æ÷ MR:
(MRc)i,j = ¬ (MR)i,j , 1 ≤ i ≤ n(A), 1 ≤ j ≤ n(B).
�ਪ« ¤ 3.10. �¥å ©
A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2}, R = {(a1, b1), (a2, b2), (a3, b1)}.
� áâ®á®¢ãîç¨ ¯à¨à®¤ã 㬥à æ÷î à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢, ¤÷áâ ¥¬®:
MR =
1 00 11 0
, MRc =
0 11 00 1
,
⮡⮠Rc = {(a1, b2), (a2, b1), (a3, b2)}.
38
3.3. �¯¥à æ÷ù ¤ ¡÷ ਬ¨ ¢÷¤®è¥ï¬¨
4. ö¢¥àᥠ(®¡¥à¥¥) ¢÷¤®è¥ï: ¢¨§ ç õâìáï ¤«ï ¡÷ ண® ¢÷¤®-è¥ï R : A → B ïª ¢÷¤®è¥ï R−1 : B → A, â ª¥, é®:
yR−1x ⇔ xRy (x ∈ A, y ∈ B).
� ¢¨¯ ¤ªã ¡÷ ண® ¢÷¤®è¥ï R : A → B áª÷票å A â B ¬ -âà¨æï ÷¢¥àᮣ® ¢÷¤®è¥ï MR−1 ®¡ç¨á«îõâìáï ïª âà ᯮ®¢ ¤®¬ âà¨æ÷ MR: MR−1 = (MR)T , ⮡â®
(MR−1)j,i = (MR)i,j , 1 ≤ i ≤ n(A), 1 ≤ j ≤ n(B).
�ਪ« ¤ 3.11. �¥å ©
A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2}, R = {(a1, b1), (a2, b2), (a3, b1)}.
� áâ®á®¢ãîç¨ ¯à¨à®¤ã 㬥à æ÷î à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢, ®âਬãõ¬®:
MR =
1 00 11 0
, MR−1 =
(1 0 10 1 0
),
⮡⮠R−1 = {(b1, a1), (b2, a2), (b1, a3)}.
5. �®¬¯®§¨æ÷ï ¢÷¤®è¥ì: ¢¨§ ç õâìáï ¤«ï ¢÷¤®è¥ì R : A → B â S : B → C ïª ¢÷¤®è¥ï R ◦ S : A → C, â ª¥, é®:
a(R ◦ S)c ⇔ ∃b ∈ B : aRb ∧ bSc.
� 㢠¦¥ï 3.1. �«ï § ¯¨áã ª®¬¯®§¨æ÷ù äãªæ÷© §àã稬 â § £ «ì-®¯à¨©ï⨬ õ §¢®à®â¨© § ¯¨á ((g ◦ f)(x) = g(f(x))), ®¤ ª ¤«ï ª®¬¯®-§¨æ÷ù ¢÷¤®è¥ì ç áâ® ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ïª ¯àﬨ©, â ª ÷ §¢®à®â¨© § ¯¨á.� æ쮬㠯®á÷¡¨ªã ¤«ï ª®¬¯®§¨æ÷ù ¢÷¤®è¥ì ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨬¥¬® ¯àï-¬¨© § ¯¨á, 直© §àãç÷訩 ¤«ï è¨å ¯®âॡ.
�«ï áª÷ç¥¨å ¬®¦¨ A, B â C § ¥¢¥«¨ª®î ª÷«ìª÷áâî ¥«¥¬¥-â÷¢ ª®¬¯®§¨æ÷î ¢÷¤®è¥ì §àãç® ®¡ç¨á«î¢ ⨠§ ¤®¯®¬®£®î áâà÷«ª®¢¨å¤÷ £à ¬.
39
�®§¤÷« 3. �¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì
�ਪ« ¤ 3.12. �¥å © A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2, b3}, C = {c1, c2}.�®§£«ï¥¬® ¢÷¤®è¥ï
R : A → B, R = {(a1, b2), (a2, b1), (a2, b3), (a3, b2)};S : B → C, S = {(b1, c1), (b3, c1), (b3, c2)}.
�¡ç¨á«¨¬® ª®¬¯®§¨æ÷î R ◦ S.
a2 b2
c2
b3a3
a1 b1c1
A B C
R S
�¨á. 3.6
�ª ¢¨¤® § à¨á. 3.6,
R ◦ S = {(a2, c1), (a2, c2)}.
�®¬¯®§¨æ÷ï ¢÷¤®è¥ì áª÷ç¥¨å ¬®¦¨ å â÷á® ¯®¢'ï§ § ¤®-¡ã⪮¬ ¬ âà¨æì ¢÷¤®è¥ì.
�§ ç¥ï 3.3. �¥å ©
A = {a1, . . . , an}, B = {b1, . . . , bm}, C = {c1, . . . , ck},R : A → B, S : B → C.
�®¤÷ MRMS ¢¨§ ç õâìáï ïª ¬ âà¨æï ஧¬÷஬ n× k, â ª , é®
(MRMS)i,j =m∨
p=1
(MR)i,p ∧ (MS)p,j =
{1, ∃p : (MR)i,p = (MS)p,j = 1,
0, ∀p : (MR)i,p ∧ (MS)p,j = 0.
� § 稬®, é® ¤®¡ã⮪ ¬ âà¨æì ¢÷¤®è¥ì MRMS ¢¨§ ç õâìáï -«®£÷ç® ª« á¨ç®¬ã ¤®¡ãâªã ¬ âà¨æì, ¢÷¤®¬®¬ã § ªãàáã «÷÷©®ù «£¥¡à¨, «¥ § ¬÷áâì à¨ä¬¥â¨ç¨å ®¯¥à æ÷© ¤®¡ãâªã â á㬨 ¢¨ª®à¨á⮢ãîâìáï«®£÷ç÷ ®¯¥à æ÷ù ª®'îªæ÷ù â ¤¨§'îªæ÷ù ¢÷¤¯®¢÷¤®.
40
3.4. �« á⨢®áâ÷ ¡÷ à¨å ¢÷¤®è¥ì
�¯à ¢ 3.1. �®¢¥áâ¨, é® MR◦S = MRMS.�ਪ« ¤ 3.13. �¡ç¨á«¨¬® ª®¬¯®§¨æ÷î ¢÷¤®è¥ì § ¯à¨ª« ¤ã 3.12.
� ¯à¨à®¤®ù 㬥à æ÷ù à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢ ¬ âà¨æì ®âਬãõ¬®:
MR◦S = MRMS =
0 1 01 0 10 1 0
1 00 01 1
=
0 01 10 0
.
�⦥, R ◦ S = {(a2, c1), (a2, c2)}.�¥®à¥¬ 3.1. �¯¥à æ÷ï ª®¬¯®§¨æ÷ù á®æ÷ ⨢ , ⮡â®
R ◦ (S ◦ T ) = (R ◦ S) ◦ T, ¤¥ R : A → B, S : B → C, T : C → D.
�®¢¥¤¥ï. �®¢¥¤¥ï ¡ã¤¥¬® ¯à®¢®¤¨â¨ ¬®¤¥«ì¨¬ ᯮᮡ®¬.
1) a(R ◦ (S ◦ T ))d ⇔ ∃b : aRb ∧ b(S ◦ T )d ⇔⇔ ∃b : aRb ∧ (∃c : bSc ∧ cTd) ⇔ ∃b∃c : aRb ∧ bSc ∧ cTd;
2) a((R ◦ S) ◦ T )d ⇔ ∃c : a(R ◦ S)c ∧ cTd ⇔⇔ ∃c : (∃b : aRb ∧ bSc) ∧ cTd ⇔ ∃b∃c : aRb ∧ bSc ∧ cTd.
3.4. �« á⨢®áâ÷ ¡÷ à¨å ¢÷¤®è¥ì� ¯à ªâ¨æ÷ ç áâ® §ãáâà÷ç îâìáï ÷ ¢¨ª®à¨á⮢ãîâìáï ¡÷ à÷ ¢÷¤®-
è¥ï ¬®¦¨÷ A, é® ¬ îâì ¯¥¢÷ ¤®¤ ⪮¢÷ ¢« á⨢®áâ÷. �¥ïª÷ §â ª¨å ¢« á⨢®á⥩ ஧£«ï¥¬® ¢ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷. � ¤ «÷ ¢ æ쮬㠯÷¤-஧¤÷«÷ ஧£«ï¤ õâìáï ¢÷¤®è¥ï R : A → A.
1. �÷¤®è¥ï R §¨¢ îâì à¥ä«¥ªá¨¢¨¬, ïªé® ∀a : aRa.� ®§ ç¥ï ¢¨¯«¨¢ õ, é® ã ¢¨¯ ¤ªã áª÷祮ù ¬®¦¨¨ A
(R { à¥ä«¥ªá¨¢¥) ⇔ (∀i : (MR)ii = 1).
�¯à ¢ 3.2. �®¢¥áâ¨, é®
(R { à¥ä«¥ªá¨¢¥) ⇔ (R ⊃ IA).
�ਪ« ¤ 3.14. 1) �¥ä«¥ªá¨¢¨¬¨ õ â®â®¦¥ ¢÷¤®è¥ï IA â ¯®¢¥¢÷¤®è¥ï A2 ¤«ï ¤®¢÷«ì®ù ¬®¦¨¨ A;
2) ¥å © A = R. �®¤÷ ¢÷¤®è¥ï «=», «≤», «≥» à¥ä«¥ªá¨¢÷.
41
�®§¤÷« 3. �¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì
2. �÷¤®è¥ï R §¨¢ îâì â¨à¥ä«¥ªá¨¢¨¬, ïªé® ∀a : a6Ra.� ®§ ç¥ï ¢¨¯«¨¢ õ, é® ã ¢¨¯ ¤ªã áª÷祮ù ¬®¦¨¨ A
(R { â¨à¥ä«¥ªá¨¢¥) ⇔ (∀i : (MR)ii = 0).
�¯à ¢ 3.3. �®¢¥áâ¨, é®
(R { â¨à¥ä«¥ªá¨¢¥) ⇔ (R ∩ IA = ∅).
�ਪ« ¤ 3.15. 1) �â¨à¥ä«¥ªá¨¢¨¬ õ ¯®à®¦õ ¢÷¤®è¥ï ∅;2) ¥å © A = R. �®¤÷ ¢÷¤®è¥ï «<>», «<», «>» â¨à¥ä«¥ªá¨¢÷.
3. �÷¤®è¥ï R §¨¢ îâì ᨬ¥âà¨ç¨¬, ïªé® aRb ⇔ bRa.� ®§ ç¥ï ¢¨¯«¨¢ õ, é® ã ¢¨¯ ¤ªã áª÷祮ù ¬®¦¨¨ A
(R { ᨬ¥âà¨ç¥) ⇔ (MR = (MR)T ).
�¯à ¢ 3.4. �®¢¥áâ¨, é®
(R { ᨬ¥âà¨ç¥) ⇔ (R = R−1).
�ਪ« ¤ 3.16. 1) �¨¬¥âà¨ç¨¬¨ õ ¯®à®¦õ, ¯®¢¥ â â®â®¦¥ ¢÷¤-®è¥ï ¤®¢÷«ì÷© ¬®¦¨÷ A;
2) ¥å © A = R. �®¤÷ ¢÷¤®è¥ï «<>» â «=» ᨬ¥âà¨ç÷.
4. �÷¤®è¥ï R §¨¢ îâì â¨á¨¬¥âà¨ç¨¬, ïªé®
(aRb ∧ bRa) ⇒ (a = b).
�¯à ¢ 3.5. �®¢¥áâ¨, é®
(R { â¨á¨¬¥âà¨ç¥) ⇔ (R ∩R−1 ⊂ IA).
�ਪ« ¤ 3.17. 1) �â¨á¨¬¥âà¨ç¨¬¨ õ ¯®à®¦õ â â®â®¦¥ ¢÷¤®-è¥ï ¤®¢÷«ì÷© ¬®¦¨÷ A;
2) ¥å © A = R. �®¤÷ ¢÷¤®è¥ï «≤»,«≥», «<», «>» â¨á¨¬¥âà¨ç÷.
� 㢠¦¥ï 3.2. �« á⨢®áâ÷ ᨬ¥âà¨ç®áâ÷ â â¨á¨¬¥âà¨ç®áâ÷ ¥õ ¢§ õ¬®¢¨ª«î稬¨. � ª, ¯®à®¦õ â â®â®¦¥ ¢÷¤®è¥ï ¢®¤®ç á á¨-¬¥âà¨ç÷ â â¨á¨¬¥âà¨ç÷.
42
3.4. �« á⨢®áâ÷ ¡÷ à¨å ¢÷¤®è¥ì
�¯à ¢ 3.6. � ¢¥á⨠¯à¨ª« ¤¨ ¢÷¤®è¥ì, ïª÷:1) ¥ õ ÷ ᨬ¥âà¨ç¨¬¨, ÷ â¨á¨¬¥âà¨ç¨¬¨;2) ¥ õ ÷ à¥ä«¥ªá¨¢¨¬¨, ÷ â¨à¥ä«¥ªá¨¢¨¬¨;3) õ ᨬ¥âà¨ç¨¬¨ ÷ â¨á¨¬¥âà¨ç¨¬¨ ®¤®ç á®.5. �÷¤®è¥ï R §¨¢ îâì âà §¨â¨¢¨¬, ïªé®
(aRb ∧ bRc) ⇒ (aRc).
�¯à ¢ 3.7. �®¢¥áâ¨, é®(R { âà §¨â¨¢¥) ⇔ (R ◦R ⊂ R).
�ਪ« ¤ 3.18. 1) �à §¨â¨¢¨¬¨ õ ¯®à®¦õ, ¯®¢¥ â â®â®¦¥ ¢÷¤-®è¥ï ¤®¢÷«ì÷© ¬®¦¨÷ A;
2) ¥å © A = R. �®¤÷ ¢÷¤®è¥ï «=», «≤», «≥», «<», «>» âà §¨â¨¢÷.
3.4.1. �à §¨â¨¢¥ § ¬¨ª ï�§ ç¥ï 3.4. �à §¨â¨¢¨¬ § ¬¨ª ï¬ ¢÷¤®è¥ï R : A → A
§¨¢ îâì â ª¥ ¢÷¤®è¥ï Rtr : A → A, é®:• Rtr { âà §¨â¨¢¥;• Rtr ⊃ R;• ïªé® ¢÷¤®è¥ï S : A → A âà §¨â¨¢¥ â S ⊃ R, â® S ⊃ Rtr.ö ªè¥ ª ¦ãç¨, âà §¨â¨¢¨¬ § ¬¨ª ï¬ ¢÷¤®è¥ï R õ ©¬¥-
è¥ § ¢ª«îç¥ï¬ («⊂») âà §¨â¨¢¥ ¢÷¤®è¥ï Rtr, é® ¬÷áâ¨âì ¢÷¤-®è¥ï R ïª ¯÷¤¬®¦¨ã (Rtr { ©¬¥è¥ âà §¨â¨¢¥ ஧è¨à¥ï¢÷¤®è¥ï R).
�祢¨¤®, é® âà §¨â¨¢¥ § ¬¨ª ï ¢¨§ 祥 ®¤®§ ç®. �¯à ¢-¤÷, ïªé® 㬮¢¨ ®§ ç¥ï 3.4 § ¤®¢®«ìïîâì ¤¢ ¢÷¤®è¥ï Rtr,1 â Rtr,2, § ®§ ç¥ï 3.4 ¥£ ©® ®âਬãõ¬®:
(Rtr,1 ⊂ Rtr,2) ∧ (Rtr,2 ⊂ Rtr,1) ⇒ Rtr,1 = Rtr,2.
�¯à ¢ 3.8. �®¢¥á⨠⠪ã ä®à¬ã«ã ¤«ï ®¡ç¨á«¥ï Rtr:
Rtr =∞⋃
n=1
Rn = R ∪R2 ∪ · · · ∪Rn ∪ . . . , (3.1)
¤¥ R1 = R, Rn = R ◦ · · · ◦R︸ ︷︷ ︸n
.
43
�®§¤÷« 3. �¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì
�®à¬ã« (3.1) ¬÷áâ¨âì ®¡'õ¤ ï ¥áª÷祮ù ª÷«ìª®áâ÷ «ª®¬¯®§¨-æ÷©¨å á⥯¥÷¢» Rn, ¯à®â¥ ã ¢¨¯ ¤ªã áª÷祮ù ¬®¦¨¨ A ¤«ï ®¡-ç¨á«¥ï Rtr ¯à®æ¥á ®¡ç¨á«¥ï «áâ ¡÷«÷§ãõâìáï» § áª÷ç¥ã ª÷«ìª÷áâìªà®ª÷¢. �ä®à¬ã«îõ¬® 楩 ä ªâ ã ¢¨£«ï¤÷ ⥮६¨.
�¥®à¥¬ 3.2. �¥å © n(A) = N . �®¤÷
Rtr =N⋃
n=1
Rn = R ∪R2 ∪ · · · ∪RN .
�¥®à¥¬ã 3.2 ¡ã¤¥ ¤®¢¥¤¥® ¤ «÷, § ¢¨ª®à¨áâ ï¬ â¥å÷ª¨ ®à÷õ⮢ -¨å £à ä÷¢ (¤¨¢. ¯÷¤à®§¤. 5.8).
�ਪ« ¤ 3.19. 1. �¥å © A = {a, b}, R = {(a, b), (b, a)}. �®¤÷
R2 = {(a, a), (b, b)}, Rtr = R ∪R2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}.
�÷ª ¢® § § ç¨â¨, é® ª®¬¯®§¨æ÷©÷ á⥯¥÷ Rk ¢ æ쮬㠯ਪ« ¤÷ ¥ áâ -¡÷«÷§ãîâìáï:
R2k = {(a, a), (b, b)}, R2k+1 = R, k ∈ N.
2. �®§£«ï¥¬® ¢¨¯ ¤®ª ¢÷¤®è¥ï ¥áª÷ç¥÷© ¬®¦¨÷. �¥å ©A = N, R = {(n, n + 1): n ∈ N}. �¥â®¤®¬ ¬ ⥬ â¨ç®ù ÷¤ãªæ÷ù ¥¢ ¦ª®¤®¢¥áâ¨, é® Rk = {(n, n + k)}, (k ≥ 1), §¢÷¤ª¨ ¬ õ¬®:
Rtr =∞⋃
k=1
Rk = {(n, n + k) : n ∈ N, k ∈ N} = {(n,m) : n < m}.
�⦥, ¢÷¤®è¥ï R §¡÷£ õâìáï § ¢÷¤®è¥ï¬ «<» ¬®¦¨÷ âã-à «ì¨å ç¨á¥«:
nRm ⇔ n < m, n, m ∈ N.
� ஡®â÷ [7] ¢¥¤¥® ¥ä¥ªâ¨¢¨© ª®¬¯'îâ¥à®-®à÷õ⮢ ¨© «£®-à¨â¬ ®¡ç¨á«¥ï âà §¨â¨¢®£® § ¬¨ª ï ¤«ï ¢÷¤®è¥ì áª÷票嬮¦¨ å.
44
3.5. �÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ â ¢÷¤®è¥ï ¯®à浪ã
3.5. �÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷â ¢÷¤®è¥ï ¯®à浪ã
3.5.1. �÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷�§ ç¥ï 3.5. �÷¤®è¥ï R : A → A §¨¢ îâì ¢÷¤®è¥ï¬
¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ ( ¡® ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâî), ïªé® R õ ¢®¤®ç á à¥ä«¥ªá¨¢¨¬,ᨬ¥âà¨ç¨¬ â âà §¨â¨¢¨¬.
� à §÷ ¡áâà ªâ®£® ¢÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ R ¤«ï ¢¨á«®¢«¥ïxRy § £ «ì®¯à¨©ï⨬ õ ¯®§ ç¥ï x ∼ y (x ¥ª¢÷¢ «¥â¥ y).
�¯à ¢ 3.9. �¥à¥¢÷à¨â¨, ç¨ õ ¯®¢¥ ¢÷¤®è¥ï ¢÷¤®è¥ï¬ ¥ª¢÷-¢ «¥â®áâ÷.
�¯à ¢ 3.10. �¥à¥¢÷à¨â¨, ç¨ õ ¯®à®¦õ ¢÷¤®è¥ï ¢÷¤®è¥ï¬¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷.
�ਪ« ¤ 3.20. 1. �¥å © A { ¤®¢÷«ì ¬®¦¨ . �®â®¦¥ ¢÷¤®è¥ïIA õ ¢÷¤®è¥ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷.
2. �¥å © A = Z. �÷ ॠ¢÷¤®è¥ï
(x ∼ y) ⇔ ((x− y) { ¯ à¥)
õ ¢÷¤®è¥ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷. � ªã ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì §¨¢ îâì ¥ª¢÷¢ -«¥â÷áâî § ¬®¤ã«¥¬ 2 â ¯®§ ç îâì ç¥à¥§ x = y (mod 2). �ª «¥£ª®¯®¡ ç¨â¨, ¤¢ ç¨á« x â y ¥ª¢÷¢ «¥â÷ § ¬®¤ã«¥¬ 2 ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷,ª®«¨ ¢®¨ ¬ îâì ®¤ ª®¢ã ¯ à÷áâì (®¡¨¤¢ ¯ à÷ ¡® ®¡¨¤¢ ¥¯ à÷).� ª, 2 ∼ 0 ∼ 4 ∼ −2 ∼ 18, 1 ∼ 3 ∼ −13, «¥ 1 6∼ 4.
3. �®§£«ï¥¬® 㧠£ «ì¥ï ¯à¨ª« ¤ã § ¯ãªâã 2. �¥å © p ∈ N, A = Z.�¥à¥§ x mod p (x ∈ Z) ¡ã¤¥¬® ¯®§ ç ⨠®áâ çã ¢÷¤ ¤÷«¥ï x/p, ⮡â®x = pk + (x mod p) ¤«ï ¤¥ïª®£® k ∈ Z. �¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ¡÷ ॢ÷¤®è¥ï
(x ∼ y) ⇔ (x− y) mod p = 0
õ ¢÷¤®è¥ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷. � ªã ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì §¨¢ îâì ¥ª¢÷¢ -«¥â÷áâî § ¬®¤ã«¥¬ p â ¯®§ ç îâì x = y (mod p). �ª «¥£ª® ¡ ç¨â¨,
45
�®§¤÷« 3. �¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì
¤¢ ç¨á« x â y ¥ª¢÷¢ «¥â÷ § ¬®¤ã«¥¬ p ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¢®-¨ ¤ îâì ®¤ ª®¢ã ®áâ çã ¢÷¤ ¤÷«¥ï p. � ª, ¯à¨ p = 2 ®¤¥à¦¨¬®¢÷¤®è¥ï § ¯ãªâã 2.
4. �¥å © A = R2. �®§£«ï¥¬® ¢÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷((x1, x2) ∼ (y1, y2)) ⇔ (x1 = y1).
�ª ¡ 稬®, ¤¢ ¢¥ªâ®à¨ x = (x1, x2), y = (y1, y2) ®£®«®èãîâìáï ¥ª¢÷¢ -«¥â¨¬¨ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¢®¨ ¬ îâì ®¤ ª®¢÷ ¯¥àè÷ ª®®à¤¨ â¨,⮡⮠x1 = y1.
5. � ¢¥¤¥¬® ¤¥é® èâã稩 ¯à¨ª« ¤. �¥å © A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. �®§-£«ï¥¬® â ª¥ ¢÷¤®è¥ï:
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6),
(1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3), (4, 5), (5, 4)}.�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® R { ¢÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷:
1 ∼ 2, 3 ∼ 4 ∼ 5, 1 6∼ 3, 1 6∼ 6, 3 6∼ 6.
�÷¤®è¥ï R ¬ õ ®ç÷è¥ §®¡à ¦¥ï ã ¢¨£«ï¤÷ ®à÷õ⮢ ®£® £à -äã â ¬ âà¨æ÷ (à¨á. 3.7, § ¯à¨à®¤®ù 㬥à æ÷ù à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢).
1
2
3
4
5
6
M∼ =
1 1 0 0 0 01 1 0 0 0 00 0 1 1 1 00 0 1 1 1 00 0 1 1 1 00 0 0 0 0 1
�¨á. 3.7
46
3.5. �÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ â ¢÷¤®è¥ï ¯®à浪ã
� § 稬®, é® «¡«®ª®¢ » áâàãªâãà ¬ âà¨æ÷ M∼ ¥ õ ¢¨¯ ¤ª®¢÷áâî{ ¤®áâ âì® ¯®à÷¢ï⨠áâàãªâãàã ¬ âà¨æ÷ §÷ áâàãªâãà®î ®à÷õ⮢ ®£®£à äã. �÷«ìè¥ â®£®, ¬ âà¨æï ¤®¢÷«ì®£® ¢÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ áª÷ç¥÷© ¬®¦¨÷ ¬ ⨬¥ «®£÷çã ¡«®ª®¢ã áâàãªâãàã § «¥¦®ù㬥à æ÷ù à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢ (¯®¢¥à÷¬®áì ¤® æ쮣® ¯¨â ï, ª®«¨ ஧-£«ï¤ ⨬¥¬® ä ªâ®à-¬®¦¨¨).
�¯à ¢ 3.11. �®¢¥áâ¨, é® ¢á÷ ¢÷¤®è¥ï § ¯à¨ª«. 3.20 õ ¢÷¤®è¥-ﬨ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷.
�ਪ« ¤ 3.21. �¥å © A { ¬®¦¨ 箫®¢÷ª÷¢. �®§£«ï¥¬® â ª¥ ¢÷¤-®è¥ï A:
(xRy) ⇔ (y { ¡à â x (§ ®¡®¬ ¡ âìª ¬¨)).
�祢¨¤®, ¢÷¤®è¥ï R ᨬ¥âà¨ç¥. �à®â¥ à¥ä«¥ªá¨¢¨¬ â âà §¨-⨢¨¬ æ¥ ¢÷¤®è¥ï ¡ã¤¥ «¨è¥ ⮤÷, ïªé® ¤®¬®¢¨â¨áì, é® ª®¦¥ ç®-«®¢÷ª { ¡à â á ¬®¬ã ᮡ÷.
3.5.2. �÷¤®è¥ï ¯®à浪ã�§ ç¥ï 3.6. �÷¤®è¥ï R : A → A §¨¢ îâì ¢÷¤®è¥ï¬
¯®à浪ã (¯®à浪®¬, ¥áâண¨¬ ç á⪮¢¨¬ ¯®à浪®¬), ïªé® R õ ¢®¤®ç áà¥ä«¥ªá¨¢¨¬, â¨á¨¬¥âà¨ç¨¬ â âà §¨â¨¢¨¬. �®¦¨ã A, ïª÷©§ ¤ ¥ ¢÷¤®è¥ï ¯®à浪㠫R», §¨¢ îâì ç á⪮¢® ¢¯®à浪®¢ ®î.�«ï ç á⪮¢® ¢¯®à浪®¢ ®ù ¬®¦¨¨ A § ¢÷¤®è¥ï¬ ¯®à浪㠫R»¢¨ª®à¨á⮢㢠⨬¥¬® ¯®§ ç¥ï 〈A,R〉.
�÷¤ ç á ஡®â¨ § ¡áâà ªâ¨¬ ¢÷¤®è¥ï¬ ¯®à浪ã R ¤«ï ¢¨á«®-¢«¥ï xRy ¯à¨©ïâ® ¯®§ ç¥ï x ¹ y (x ¯¥à¥¤ãõ y, y á«÷¤ãõ § x).� ¤ «÷ ¡ã¤¥¬® â ª®¦ ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨠⠪÷ ¯®§ ç¥ï:
• (x º y) ⇔ (y ¹ x);• (x ≺ y) ⇔ ((x ¹ y) ∧ (x 6= y));• (x  y) ⇔ (y ≺ x).
�ਪ« ¤ 3.22. 1. �¥å © A { ¤®¢÷«ì ¬®¦¨ . �®â®¦¥ ¢÷¤®è¥ïIA õ ¢÷¤®è¥ï¬ ¯®à浪ã A.
2. �¥å © A = R. �÷¤®è¥ï «≤» â «≥» { ¢÷¤®è¥ï ¯®à浪ã R,
47
�®§¤÷« 3. �¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì
®¤ ª ¢÷¤®è¥ï «<» â «>» ¥ õ ¢÷¤®è¥ï¬¨ ¯®à浪ã (¥ ¢¨ª®ãõ-âìáï ¢¨¬®£ à¥ä«¥ªá¨¢®áâ÷).
3. �¥å © A { ¬®¦¨ 箫®¢÷ª÷¢. �®§£«ï¥¬® â ª¥ ¢÷¤®è¥ï A:
(x ¹ y) ⇔ (y { ¯à¥¤®ª ¤«ï x).
�ªé® ¢¢ ¦ ⨠«î¤¨ã ¯à¥¤ª®¬ á ¬®ù ᥡ¥, ¢¢¥¤¥¥ ¢÷¤®è¥ï õ ¢÷¤®-è¥ï¬ ¯®à浪ã.
�¯à ¢ 3.12. �®¢¥áâ¨, é® ¢á÷ ¢÷¤®è¥ï § ¯à¨ª«. 3.22, § ¢¨ï⪮¬«<» â «>» R, õ ¢÷¤®è¥ï¬¨ ¯®à浪ã.
�§ ç¥ï 3.7. �¥å © 〈A,¹〉 { ç á⪮¢® ¢¯®à浪®¢ ¬®¦¨ .�«¥¬¥â¨ x, y ∈ A §¨¢ îâì ¯®à÷¢ï¨¬¨, ïªé® (x ¹ y) ∨ (y ¹ x).�ªé® ¡ã¤ì-ïª÷ ¥«¥¬¥â¨ x, y ∈ A õ ¯®à÷¢ï¨¬¨, ¢÷¤®è¥ï «¹» §¨-¢ îâì ¢÷¤®è¥ï¬ «÷÷©®£® ¯®à浪ã («÷÷©¨¬ ¯®à浪®¬), ¬®¦¨ãA { «÷÷©® ¢¯®à浪®¢ ®î.
�ਪ« ¤ 3.23. 1. �¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ç á⪮¢® ¢¯®à浪®¢ ÷ ¬®-¦¨¨ 〈R,≤〉 â 〈R,≥〉 õ «÷÷©® ¢¯®à浪®¢ ¨¬¨.
2. �¥å © U { ¤®¢÷«ì ¬®¦¨ . �¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® 〈2U ,⊂〉 õ ç áâ-ª®¢® ¢¯®à浪®¢ ®î ¬®¦¨®î. �à®â¥, ¢ § £ «ì®¬ã ¢¨¯ ¤ªã, ¢÷¤®-è¥ï «⊂» ¥ õ «÷÷©¨¬ ¯®à浪®¬. � ª, ¯à¨ U = {a, b, c}, ¥«¥¬¥â¨{a, b}, {b, c} ∈ 2U ¥ õ ¯®à÷¢ï¨¬¨.
3. � ¬®¦¨÷ R2 ஧£«ï¥¬® ¢÷¤®è¥ï ç á⪮¢®£® ( «¥ ¥ «÷÷©®-£®) ¯®à浪ã:
((x1, x2) ¹ (y1, y2)) ⇔ ((x1 ≤ y1) ∧ (x2 ≤ y2)).
� ª, ¯à¨ª« ¤, (0, 1) ¹ (1, 1) ¹ (2, 1). �¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ¢¢¥¤¥¥¢÷¤®è¥ï õ ç á⪮¢¨¬ ¯®à浪®¬, «¥, §à®§ã¬÷«®, ¢ R2 ÷áãîâì ¥¯®à÷¢-ï÷ ¥«¥¬¥â¨ ( ¯à¨ª« ¤, (1, 0) â (0, 1)).
4. � ¬®¦¨÷ R2 ஧£«ï¥¬® ¢÷¤®è¥ï «÷÷©®£® ¯®à浪ã
((x1, x2) ¹ (y1, y2)) ⇔ ((x1 < y1) ∨ ((x1 = y1) ∧ (x2 ≤ y2))).
� ª, ¯à¨ª« ¤, (0, 1) ¹ (1, 0). �¢¥¤¥¥ ¢÷¤®è¥ï §¨¢ îâì «¥ªá¨ª®-£à ä÷稬 㯮àï¤ªã¢ ï¬ (¯®à÷¢ï©â¥ § 㯮àï¤ªã¢ ï¬ ¤¢®«÷â¥à¨å
48
3.6. �®§¡¨ââï ¬®¦¨¨. � ªâ®à-¬®¦¨
á«÷¢ ã á«®¢¨ªã: ᯮç âªã ¯®à÷¢îîâìáï ¯¥àè÷ «÷â¥à¨, ÷ ïªé® ¯¥àè÷ «÷-â¥à¨ §¡÷£ îâìáï, ¯®à÷¢îîâìáï ¤àã£÷ «÷â¥à¨).
5. �÷¤®è¥ï «¥ªá¨ª®£à ä÷箣® ¢¯®àï¤ªã¢ ï ¯à¨à®¤® ¯®è¨àî-õâìáï Rn ¤«ï ¤®¢÷«ì®£® n ∈ N:
(x1, . . . , xn) ¹ (y1, . . . , yn) ⇔⇔ (∃k : (xk < yk) ∧ (∀j < k : xj = yj)) ∨ (∀j ≤ n : xj = yj).
�⦥, «£®«®¢®î» ®£®«®èãõâìáï ¯¥àè ª®®à¤¨ â : ïªé® x1 < y1,â®, § ¢¨§ ç¥ï¬, x ¹ y (¡÷«ìè¥ â®£®, x ≺ y); ïªé® ¯¥àè÷ ª®®à¤¨ ⨢¥ªâ®à÷¢ ®¤ ª®¢÷, ¯®à÷¢îîâìáï ¤àã£÷ ª®®à¤¨ â¨; ïªé® ÷ ¤àã£÷ ª®®à¤¨- ⨠®¤ ª®¢÷, ¯®à÷¢îîâìáï âà¥â÷ ª®®à¤¨ ⨠÷ â. ¤. �¥£ª® §à®§ã¬÷â¨,é® ¡ã¤ì-ïª÷ ¤¢ ¢¥ªâ®à¨ § Rn ¬®¦ ¯®à÷¢ïâ¨.
�¨§ 祥 ¢ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¢÷¤®è¥ï ¯®à浪ã ç áâ® §¨¢ îâì¢÷¤®è¥ï¬ ¥áâண®£® ¯®à浪ã (§¢ ¦ îç¨ à¥ä«¥ªá¨¢÷áâì). �®¤®-ç á, ç á⮠஧£«ï¤ îâì ¢÷¤®è¥ï áâண®£® ¯®à浪ã, é® ¢¨§ ç õâìáïç¥à¥§ ¢¨¬®£¨ â¨à¥ä«¥ªá¨¢®áâ÷, â¨á¨¬¥âà¨ç®áâ÷ â âà §¨â¨¢®áâ÷.� ª, ¢÷¤®è¥ï «<» â «>» R { ¢÷¤®è¥ï áâண®£® ¯®à浪ã.
�¯à ¢ 3.13. �®¢¥áâ¨, é® â¨á¨¬¥âà¨ç÷áâì ¡÷ ண® ¢÷¤®è¥ï¢¨¯«¨¢ õ § â¨à¥ä«¥ªá¨¢®áâ÷ â âà §¨â¨¢®áâ÷.
3.6. �®§¡¨ââï ¬®¦¨¨. � ªâ®à-¬®¦¨ 3.6.1. �®§¡¨ââï ¬®¦¨¨
�§ ç¥ï 3.8. �¥å © U 6= ∅. �ãªã¯÷áâì ¬®¦¨ {Aa : a ∈ I}, ¤¥I{¤®¢÷«ì ¬®¦¨ ÷¤¥ªá÷¢, §¨¢ îâì ஧¡¨ââï¬ ¬®¦¨¨ U , ïªé®:
• Aa 6= ∅ (a ∈ I);• U =
⋃a∈I
Aa;• Aa1 ∩ Aa2 = ∅ (a1 6= a2).�ਪ« ¤ 3.24. 1. �¥å © U { ¤®¢÷«ì ¥¯®à®¦ï ¬®¦¨ , A ⊂ U ,
A 6= U . �¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® {A, Ac} { ஧¡¨ââï ¬®¦¨¨ U .2. {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2} ∪ {3, 5} ∪ {4}. �⦥, {{1, 2}, {3, 5}, {4}} { ஧-
¡¨ââï ¬®¦¨¨ {1, 2, 3, 4, 5}.3. �¥å © U = R2, Ay = {(x, y) : x ∈ R} (y ∈ R). �¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, é®
{Ay : y ∈ R} õ ஧¡¨ââï¬ ¬®¦¨¨ R2.
49
�®§¤÷« 3. �¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì
X
Y
1
10
0,5 A0,5
A0
A1
A–1–1
–1
�¨á. 3.8
�ª ¢¨¤® § à¨á. 3.8, ª®¦ ¬®¦¨ Ay ª®®à¤¨ â-÷© ¯«®é¨÷ õ ¯àאַî, é® ¯ -à «¥«ì ®á÷ OX. �⦥, ¢á类®à¤¨ â ¯«®é¨ R2 õ®¡'õ¤ ï¬ ¥¯®à®¦÷å ¬®-¦¨ Ay (y ∈ R), é® ¯®¯ ஥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï.
4. �¥å © U = R2, Ar = {(x, y) : x2 + y2 = r2} (r ≥ 0). �¥£ª® §à®§ã¬÷â¨,é® {Ar : r ≥ 0} õ ஧¡¨ââï¬ ¬®¦¨¨ R2.
X
Y
1
1
2
A2
A1
A0={(0, 0)}
�¨á. 3.9
�ª ¢¨¤® § à¨á. 3.9, ª®¦- ¬®¦¨ Ar ª®®à¤¨- â÷© ¯«®é¨÷ õ ª®«®¬ §æ¥â஬ ¢ ¯®ç âªã ª®®à¤¨- â ÷ à ¤÷ãᮬ r ¯à¨ r > 0â ®¤®â®çª®¢®î ¬®¦¨®î{(0, 0)} ¯à¨ r = 0. �⦥, ¢á类®à¤¨ â ¯«®é¨ R2 {®¡'õ¤ ï ¥¯®à®¦÷å ¬®-¦¨ Ar (r ≥ 0), é® ¯®¯ ஥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï.
3.6.2. � ªâ®à-¬®¦¨ �¥å © A { ¤¥ïª ¥¯®à®¦ï ¬®¦¨ , ïª÷© § ¤ ¥ ¢÷¤®è¥ï
¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ «∼».�§ ç¥ï 3.9. �¥å © a ∈ A. �« ᮬ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷, ¯®à®¤¦¥¨¬
¥«¥¬¥â®¬ a, §¨¢ îâì ¬®¦¨ã [a], é® áª« ¤ õâìáï § ¥«¥¬¥â÷¢, ¥ª¢÷-¢ «¥â¨å ¥«¥¬¥âã a:
[a] = {x ∈ A : x ∼ a}.
50
3.6. �®§¡¨ââï ¬®¦¨¨. � ªâ®à-¬®¦¨
�¥®à¥¬ 3.3. �« ᨠ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ ¡® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï, ¡® §¡÷-£ îâìáï:
∀a1, a2 ∈ A : ([a1] ∩ [a2] = ∅) ∨ ([a1] = [a2]).
�®¢¥¤¥ï. �¥å © b ∈ [a1] ∩ [a2], ⮡⮠[a1] ∩ [a2] 6= ∅. �«ï ¤®¢¥¤¥ï⥮६¨ ¤®áâ âì® ¤®¢¥á⨠à÷¢÷áâì [a1] = [a2].(b ∈ [a1]) ⇒ (b ∼ a1); (b ∈ [a2]) ⇒ (b ∼ a2); (a1 ∼ b)∧(b ∼ a2) ⇒ (a1 ∼ a2).
�⦥, a1 ∼ a2. �¥¯¥à ¤«ï ¤®¢¥¤¥ï à÷¢®áâ÷ [a1] = [a2] ᪮à¨áâ õ¬®á쬮¤¥«ì¨¬ ᯮᮡ®¬:
(x ∈ [a1]) ⇔ (x ∼ a1) ⇔ (x ∼ a2) ⇔ (x ∈ [a2]).
�⦥, [a1] = [a2], é® § ¢¥àèãõ ¤®¢¥¤¥ï ⥮६¨.�§ ç¥ï 3.10. � ªâ®à-¬®¦¨®î ¬®¦¨¨ A § ¢÷¤®è¥ï¬
¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ «∼» §¨¢ îâì ¬®¦¨ã A/∼ ¢á÷å ª« á÷¢ ¥ª¢÷¢ «¥â-
®áâ÷:A
/∼ = {[a] : a ∈ A}.
�¯¥à æ÷î ®¡ç¨á«¥ï ä ªâ®à-¬®¦¨¨ §¨¢ îâì ä ªâ®à¨§ æ÷õî ¬®-¦¨¨ § ¤ ®î ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâî.
� § 稬®, é® ã ä ªâ®à-¬®¦¨÷ {[a] : a ∈ A} ¤¥ïª÷ § ª« á÷¢ ¥ª¢÷¢ -«¥â®áâ÷, é® ¯®à®¤¦¥÷ à÷§¨¬¨ ¥«¥¬¥â ¬¨, ¬®¦ãâì §¡÷£ â¨áï (¡÷«ìè¥â®£®, ïªé® ¢÷¤®è¥ï «∼» ¥ õ â®â®¦¨¬, ÷áãîâì a1, a2 ∈ A, â ª÷ é®[a1] = [a2]). �¤ ª ã § ¯¨áã {[a] : a ∈ A} ®¤ ª®¢÷ ª« ᨠ¥ ஧à÷§ïîâìáï:ª« ᨠ[a1] = [a2] ¢¢ ¦ îâìáï ®¤¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ ä ªâ®à-¬®¦¨¨.
� «÷ § § 稬®, é® ¦®¤¥ ÷§ ª« á÷¢ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ ¥ õ ¯®à®¦ì®î¬®¦¨®î: ¯à¨ ©¬÷ a ∈ [a].
�⦥, ¢à 客ãîç¨ â¢¥à¤¦¥ï ⥮६¨ 3.3 ¬®¦¥¬® §à®¡¨â¨ ¢¨á®-¢®ª, é® (¯®¯ à® à÷§÷) ª« ᨠ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ ã⢮àîîâì ஧¡¨ââï ¬®-¦¨¨ A. �à®â¥ ¬ õ ¬÷áæ¥ ÷ §¢®à®â¥ ⢥द¥ï: ª®¦¥ ஧¡¨ââï ¬®-¦¨¨ A ¯®à®¤¦¥¥ ¤¥ïª¨¬ ¢÷¤®è¥ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷.
�¯à ¢ 3.14. �¥å © {Aa : a ∈ I} { ஧¡¨ââï ¬®¦¨¨ A. �¢¥¤¥¬®â ª¥ ¡÷ ॠ¢÷¤®è¥ï «∼»:
(a1 ∼ a2) ⇔ (∃a ∈ I : a1, a2 ∈ Aa),
⮡⮠a1 ∼ a2 ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ a1 â a2 «¥¦ âì ®¤÷© ÷ â÷© á ¬÷©¬®¦¨÷ Aa. �®¢¥áâ¨:
51
�®§¤÷« 3. �¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì
• ¢¢¥¤¥¥ ¢÷¤®è¥ï «∼» õ ¢÷¤®è¥ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ A;• ä ªâ®à-¬®¦¨ § ¢÷¤®è¥ï¬ «∼» §¡÷£ õâìáï § ¢¨å÷¤¨¬ ஧-
¡¨ââï¬:A
/∼ = {Aa : a ∈ I}.
�ਪ« ¤ 3.25. 1. �¥å © A { ¤®¢÷«ì ¥¯®à®¦ï ¬®¦¨ . �à®ä ª-â®à¨§ãõ¬® A § â®â®¦¨¬ ¢÷¤®è¥ï¬ IA («=»). �祢¨¤®, ¢á÷ ª« ᨥª¢÷¢ «¥â®áâ÷ { ®¤®¥«¥¬¥â÷ ¬®¦¨¨:
[a] = {a} (a ∈ A), A/
== {{a} : a ∈ A}.
2. �à®ä ªâ®à¨§ãõ¬® ¬®¦¨ã A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} § â ª¨¬ ¢÷¤®è¥-ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷:
1 ∼ 2, 3 ∼ 4 ∼ 5, 1 6∼ 3, 1 6∼ 6, 3 6∼ 6
(¤¨¢. ¯à¨ª«. 3.20, ¯ãªâ 5). �祢¨¤®, ä ªâ®à-¬®¦¨ ¬÷áâ¨âì âਠª« -ᨠ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷:
A/∼ = {{1, 2}, {3, 4, 5}, {6}}.
�®à÷¢îîç¨ A/∼ § £à 䮬 â ¬ âà¨æ¥î ¢÷¤®è¥ï «∼», «¥£ª® ¯®¡ ç¨-
â¨, é® ª®¦¥ ª« á ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ ®¤®§ ç® ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ¤¥ïª÷© ®¡« áâ÷§¢'燐áâ÷ £à äã â ¤¥ïª®¬ã «®¤¨¨ç®¬ã ¡«®ªã» ¬ âà¨æ÷ M∼ (£à ä â ¬ âà¨æï M∼ ¢¥¤¥÷ ¢ ¯à¨ª«. 3.20, ¯ãªâ 3). �஧ã¬÷«®, é® ¬ âà¨æ冷¢÷«ì®£® ¢÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ § ¢¦¤¨ ¬ ⨬¥ ¡«®ª®¢ã áâàãªâã-àã, ïªé® ¥«¥¬¥â¨ ¬®¦¨¨ A ¤«ï §÷áâ ¢«¥ï à浪 ¬ â á⮢¯æï¬ ¬ -âà¨æ÷ 㬥à㢠⨠§ ª« á ¬¨ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷: ᯮç âªã ¯à®ã¬¥à㢠⨥«¥¬¥â¨ ®¤®£® ¤®¢÷«ì®£® ª« áã [a1], ¯®â÷¬ { ¥«¥¬¥â¨ ª« áã [a2] 6= [a1],÷ â. ¤. �஧ã¬÷«®, é® § ÷è®ù 㬥à æ÷ù à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢ ¡«®ª®¢ áâàãª-âãà ¬ âà¨æ÷ ¬®¦¥ ¯®àãè¨â¨áì.
�¯à ¢ 3.15. �®¡ã¤ã¢ ⨠¬ âà¨æî ¢¥¤¥®£® ¢÷¤®è¥ï «∼», ¢¨-ª®à¨á⮢ãîç¨ â ªã 㬥à æ÷î à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢: ¯¥à訩 à冷ª â á⮢¯¥æì ¬ âà¨æ÷ ¢÷¤¯®¢÷¤ îâì ¥«¥¬¥âã 1, ¤à㣨© à冷ª â á⮢¯¥æì{ ¥«¥¬¥âã 3, âà¥â÷© à冷ª â á⮢¯¥æì { ¥«¥¬¥âã 6, ç¥â¢¥à⨩ à冷ª â á⮢¯¥æì { ¥«¥¬¥âã 2, ¯'ï⨩ à冷ª â á⮢¯¥æì { ¥«¥¬¥âã 4, è®á⨩à冷ª â á⮢¯¥æì { ¥«¥¬¥âã 5. �¥à¥ª® â¨áï, é® ¡«®ª®¢ áâàãªâãà ¬ âà¨æ÷ ¯®àãè¥ .
52
3.7. �ãªæ÷ï ïª ®ªà¥¬¨© ¢¨¯ ¤®ª ¢÷¤®è¥ï
3. �à®ä ªâ®à¨§ãõ¬® Z § ¢÷¤®è¥ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ «( mod p)», ¤¥p ∈ N. �祢¨¤®, ª®¦¥ ª« á ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ ¬÷áâ¨âì ¥«¥¬¥â¨ n ∈ Z §ä÷ªá®¢ ¨¬ § ç¥ï¬ ®áâ ç÷ ¢÷¤ ¤÷«¥ï p. �⦥, ¬ õ¬® p à÷§¨åª« á÷¢ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷:
Ak = [k] = {k + jp : j ∈ Z}, (0 ≤ k ≤ p− 1),
A/
( mod p)= {Ak : 0 ≤ k ≤ p− 1}.
� ª, ¯à¨ p = 2 ä ªâ®à-¬®¦¨ A/
( mod p)¡ã¤¥ ¤¢®¥«¥¬¥â®î:
A/
( mod 2)= {{n ∈ Z : n { ¯ à¥}, {n ∈ Z : n { ¥¯ à¥}}.
4. �à®ä ªâ®à¨§ãõ¬® R2 § â ª¨¬ ¢÷¤®è¥ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷:((x1, x2) ∼ (y1, y2)) ⇔ (x2
1 + x22 = y2
1 + y22).
� ¢¨§ ç¥ï ¤ ®£® ¢÷¤®è¥ï «∼» ¢¨¯«¨¢ õ, é® ª®¦¥ ª« á ¥ª¢÷¢ -«¥â®áâ÷ ¬÷áâ¨âì ¥«¥¬¥â¨ (x1, x2) ∈ R2 § ä÷ªá®¢ ¨¬ § ç¥ï¬ x2
1 +x22:
Ar = {(x1, x2) : x21 + x2
2 = r2}, (r ≥ 0), A/∼ = {Ar : r ≥ 0}.
�⦥, ä ªâ®à-¬®¦¨ A/∼ õ ஧¡¨ââï¬ ª®®à¤¨ â®ù ¯«®é¨¨ R2
ª®æ¥âà¨ç÷ ª®« § æ¥âà ¬¨ ã ¯®ç âªã ª®®à¤¨ â ÷ à ¤÷ãá ¬¨r ≥ 0 (¢¨¯ ¤ªã r = 0 ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ®¤®â®çª®¢¨© ª« á ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷[(0, 0)] = {(0, 0)}). � § 稬®, é® ¤ ¥ ஧¡¨ââï R2 ¬¨ ஧£«ï¤ «¨ ¢¯à¨ª«. 3.24 (¯ãªâ 4), ¤¥ ¡ã«® ¢¥¤¥® ¢÷¤¯®¢÷¤¨© à¨á㮪.
3.7. �ãªæ÷ï ïª ®ªà¥¬¨© ¢¨¯ ¤®ª¢÷¤®è¥ï
� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¢¨¢ç ⨬¥¬® §¢'燐ª, é® ÷áãõ ¬÷¦ ¡÷ ਬ¨ ¢÷¤-®è¥ï¬¨ â ª« á¨ç¨¬ ¯®ïââï¬ äãªæ÷ù, 瘟 ¢÷¤®¬¥ § ªãàáã ¬ ⥬ -â¨ç®£® «÷§ã (â §÷ èª÷«ì®£® ªãàáã ¬ ⥬ ⨪¨).
�§ ç¥ï 3.11. �¡« áâî ¢¨§ ç¥ï ¢÷¤®è¥ï R : A → B §¨-¢ îâì ¬®¦¨ã
DR = {x ∈ A : ∃y ∈ B : xRy}.�¡« áâî § ç¥ì (®¡à §®¬) ¢÷¤®è¥ï R : A → B §¨¢ îâì ¬®¦¨ã
ImR = {y ∈ B : ∃x ∈ A : xRy}.
53
�®§¤÷« 3. �¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì
�¯à ¢ 3.16. �®¢¥áâ¨: DR = ImR−1 .
�§ ç¥ï 3.12. �÷ ॠ¢÷¤®è¥ï R : A → B §¨¢ îâì áîà'õª-⨢¨¬, ïªé®
∀y ∈ B ∃x ∈ A : xRy.
�¯à ¢ 3.17. �®¢¥áâ¨: (R { áîà'õªâ¨¢¥) ⇔ (ImR = B).
�§ ç¥ï 3.13. �÷ ॠ¢÷¤®è¥ï R : A → B §¨¢ îâì ÷'õªâ¨-¢¨¬, ïªé®
((x1Ry) ∧ (x2Ry)) ⇒ (x1 = x2).
�÷ ॠ¢÷¤®è¥ï R : A → B §¨¢ îâì äãªæ÷® «ì¨¬, ïªé®
((xRy1) ∧ (xRy2)) ⇒ (y1 = y2).
�¯à ¢ 3.18. �®¢¥áâ¨: (R { ÷'õªâ¨¢¥) ⇔ (R−1 { äãªæ÷® «ì¥).
� «÷ ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® äãªæ÷® «ì®¬ã ¢÷¤®è¥î Rf : A → B¢÷¤¯®¢÷¤ õ äãªæ÷ï f : A → B (Rf ¿ f), â ª , é®:
Df = DRf, (f(x) = y) ⇔ (xRfy).
�ਪ« ¤ 3.26. �®§£«ï¥¬® ¢÷¤®è¥ï R : R→ R, (xRy) ⇔(y = x2).�¥§¯®á¥à¥¤ì® ¯¥à¥¢÷àïõâìáï, é® R { äãªæ÷® «ì¥ ¢÷¤®è¥ï, 类¬ã¢÷¤¯®¢÷¤ õ äãªæ÷ï f(x) = x2. �à®â¥ ®¡¥à¥¥ ¢÷¤®è¥ï R−1 ¥ õ äãª-æ÷® «ì¨¬, ®áª÷«ìª¨ R ¥ ÷'õªâ¨¢¥ (1R1, (−1)R1, «¥ 1 6= −1).
� ¢¨§ ç¥ì ¥£ ©® ¢¨¯«¨¢ õ, é® ª®¬¯®§¨æ÷ù ¢÷¤®è¥ì ¢÷¤¯®¢÷¤ õª®¬¯®§¨æ÷ï äãªæ÷©, ®¡¥à¥®¬ã ÷'õªâ¨¢®¬ã ¢÷¤®è¥î { ®¡¥à¥ äãªæ÷ï:
(Rf ◦Rg) ¿ (g ◦ f), (Rf : A → B, Rg : B → C { äãªæ÷® «ì÷);(Rf )
−1 ¿ f−1, (Rf { ÷'õªâ¨¢¥ â äãªæ÷® «ì¥).
� 㢠¦¥ï 3.3. �¥ à § §¢¥à÷¬® 㢠£ã â¥, é® ¤«ï § ¯¨áã ª®¬-¯®§¨æ÷ù ¢÷¤®è¥ì ¯à¨©ïâ® ¯àﬨ© ¯®à冷ª § ¯¨áã, ¤«ï ª®¬¯®§¨æ÷ùäãªæ÷© { §¢®à®â¨© (¤¨¢. § ã¢. 3.1).
54
3.7. �ãªæ÷ï ïª ®ªà¥¬¨© ¢¨¯ ¤®ª ¢÷¤®è¥ï
�¥®à¥¬ 3.4. �®¬¯®§¨æ÷ï áîà'õªâ¨¢¨å ¢÷¤®è¥ì õ áîà'õªâ¨¢¨¬¢÷¤®è¥ï¬, ª®¬¯®§¨æ÷ï ÷'õªâ¨¢¨å ¢÷¤®è¥ì õ ÷'õªâ¨¢¨¬ ¢÷¤®-è¥ï¬, ª®¬¯®§¨æ÷ï äãªæ÷® «ì¨å ¢÷¤®è¥ì õ äãªæ÷® «ì¨¬ ¢÷¤-®è¥ï¬.
�®¢¥¤¥ï. �¥å © R : A → B, S : B → C. �®¤÷ ¢¨§ ç¥ ª®¬¯®§¨æ÷ïR ◦ S : A → C.
1. �¥å © R, S { áîà'õªâ¨¢÷. �®¢¥¤¥¬® áîà'õªâ¨¢÷áâì R ◦ S.�¥å © z ∈ C. � ¢¤ïª¨ áîà'õªâ¨¢®áâ÷ S § ©¤¥âìáï y ∈ B, â ª¨©, é®
ySz. � «÷, § ¢¤ïª¨ áîà'õªâ¨¢®áâ÷ R § ©¤¥âìáï x ∈ A, â ª¨©, é® xRy.�⦥, x(R ◦ S)z.
2. �¥å © R, S { ÷'õªâ¨¢÷. �®¢¥¤¥¬® ÷'õªâ¨¢÷áâì R ◦ S.�¥å © x1(R ◦ S)z, x2(R ◦ S)z. �®¤÷, § ¢¨§ ç¥ï¬ ª®¬¯®§¨æ÷ù, § ©-
¤ãâìáï y1, y2 ∈ B, â ª÷, é® x1Ry1, x2Ry2, y1Sz â y2Sz. � «÷, § ¢¤ïª¨÷'õªâ¨¢®áâ÷ S, y1 = y2 = y. �⦥, x1Ry â x2Ry, §¢÷¤ª¨, § ¢¤ïª¨ ÷'õª-⨢®áâ÷ R, ¬ õ¬®: x1 = x2.
3. �¥å © R, S { äãªæ÷® «ì÷. �®¢¥¤¥ï äãªæ÷® «ì®áâ÷ R ◦ S§ «¨è õ¬® ïª ¢¯à ¢ã.
�¯à ¢ 3.19. �®¢¥á⨠äãªæ÷® «ì÷áâì R ◦ S á ¬®áâ÷©®.�ª §÷¢ª . �®¢¥¤¥ï §¢®¤¨âìáï ¤® ¯ãªâã 2 § ¢¨ª®à¨áâ ï¬ à¥§ã«ì-
â âã ¢¯à ¢¨ 3.18, ïªé® ᯮç âªã ¤®¢¥á⨠¯à®áâã â®â®¦÷áâì:
(R ◦ S)−1 = S−1 ◦R−1.
� «÷, ïªé® ¥ ¢¨¨ª õ ¥¯®à®§ã¬÷ì, ¡ã¤¥¬® ®â®â®¦î¢ ⨠äãªæ÷-® «ì¥ ¢÷¤®è¥ï Rf â ¢÷¤¯®¢÷¤ã äãªæ÷î f .
�§ ç¥ï 3.14. �ãªæ÷î f : A → B §¨¢ îâì ¢÷¤®¡à ¦¥ï¬,ïªé® ¢® ¢¨§ ç¥ ¤«ï ¢á÷å x ∈ A, ⮡⮠Df = A.
�¯à ¢ 3.20. �¥å © Rf { äãªæ÷® «ì¥ ¢÷¤®è¥ï. �®¢¥áâ¨:
(f { ¢÷¤®¡à ¦¥ï) ⇔ ((Rf )−1 { áîà'õªâ¨¢¥).
�÷¤ªà¥á«¨¬®, é® ¢÷¤®è¥ï (Rf )−1 ¬®¦¥ ¥ ¡ã⨠äãªæ÷® «ì¨¬.
�¯à ¢ 3.21. �®¢¥áâ¨, é® ª®¬¯®§¨æ÷ï ¢÷¤®¡à ¦¥ì õ ¢÷¤®¡à ¦¥ï¬.
55
�®§¤÷« 3. �¥®à÷ï ¢÷¤®è¥ì
� 㢠¦¥ï 3.4. � «÷â¥à âãà÷ §ãáâà÷ç îâìáï à÷§÷ ¢¨§ ç¥ï ¤«ï ¯®-ïâì äãªæ÷ù â ¢÷¤®¡à ¦¥ï: ©ç áâ÷è¥ æ÷ ¯®ïââï ¢¨§ ç îâì â ªá ¬®, ïª ÷ ¢ æ쮬㠯®á÷¡¨ªã, ¯à®â¥ ÷®¤÷ ù¬ ¤ îâì ¤¥é® ÷讣® á¥áã(â ª, ÷ª®«¨ ¯®ïââï äãªæ÷ù â ¢÷¤®¡à ¦¥ï ®â®â®¦îîâì). �¯à æì®-¢ãîç¨ «÷â¥à âãàã § æ÷õù ⥬¨ á«÷¤ §¢¥àâ ⨠㢠£ã, ïª á ¬¥ ¢â®à ¢¨§ ç õäãªæ÷î â ¢÷¤®¡à ¦¥ï.
�§ ç¥ï 3.15. ö'õªæ÷õî §¨¢ îâì ¢÷¤®¡à ¦¥ï, é® ¢÷¤¯®¢÷¤ õ÷'õªâ¨¢®¬ã äãªæ÷® «ì®¬ã ¢÷¤®è¥î; áîà'õªæ÷õî §¨¢ îâì ¢÷¤®-¡à ¦¥ï, é® ¢÷¤¯®¢÷¤ õ áîà'õªâ¨¢®¬ã äãªæ÷® «ì®¬ã ¢÷¤®è¥î;¡÷õªæ÷õî (¢§ õ¬® ®¤®§ 稬 ¢÷¤®¡à ¦¥ï¬) §¨¢ îâì ¢÷¤®¡à ¦¥-ï, 瘟 õ ¢®¤®ç á ÷'õªæ÷õî â áîà'õªæ÷õî.
�¯à ¢ 3.22. �®¢¥áâ¨:• ïªé® äãªæ÷® «ì¥ ¢÷¤®è¥ï Rf ¢¨§ ç õ ¡÷õªæ÷î f , â® ®¡¥à-
¥¥ ¢÷¤®è¥ï (Rf )−1 â ª®¦ õ äãªæ÷® «ì¨¬ ÷ ¢¨§ ç õ ¡÷õª-
æ÷î f−1;• ª®¬¯®§¨æ÷ï ¡÷õªæ÷© õ ¡÷õªæ÷õî.
�ਪ« ¤ 3.27. 1. f : R → R, f(x) = x2. �÷¤®¡à ¦¥ï f ¥ õ ÷÷'õªæ÷õî (f(1) = f(−1)), ÷ áîà'õªæ÷õî (f(x) ≥ 0).
2. f : R → [0,∞), f(x) = x2. �÷¤®¡à ¦¥ï f õ áîà'õªæ÷õî, «¥ ¥ õ÷'õªæ÷õî.
3. f : [0,∞) → R, f(x) = x2. �÷¤®¡à ¦¥ï f õ ÷'õªæ÷õî, «¥ ¥ õáîà'õªæ÷õî.
4. f : [0,∞) → [0,∞), f(x) = x2. �÷¤®¡à ¦¥ï f õ ¡÷õªæ÷õî.
56
�®§¤÷« 4
�«¥¬¥â¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨
4.1. �ᮢ÷ ¯à¨æ¨¯¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨.� £ «ì¥ ¢¨§ ç¥ï ¢¨¡÷ન
�¡'õªâ ¢¨¢ç¥ï ª®¬¡÷ â®à¨ª¨ { æ¥ ¢¨¡÷à ¥«¥¬¥â÷¢ ÷§ áª÷祮ù¬®¦¨¨ §£÷¤® ÷§ § ¤ ¨¬¨ ¯à ¢¨« ¬¨.
4.1.1. �ᮢ÷ ¯à¨æ¨¯¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨
1. �à¨æ¨¯ ¤®¡ãâªã. �¥å © ¤¥ïªã ¤÷î ¬®¦ ஧¡¨â¨ n ¯®á«÷-¤®¢¨å ¥§ «¥¦¨å ¯÷¤¤÷©, ¯à¨ç®¬ã ª®¦ã ¯÷¤¤÷î j ¬®¦ ¢¨ª® ⨠kj
ᯮᮡ ¬¨ (j = 1, . . . , n). �®¤÷ ¢¨å÷¤ã ¤÷î ¬®¦ ¢¨ª® ⨠k1k2 . . . kn
ᯮᮡ ¬¨.�¡óàãâã¢ ï ¯à¨æ¨¯ã ¤®¡ãâªã §¢®¤¨âìáï ¤® ¯÷¤à åãªã ¯®âã¦-
®áâ÷ ¤¥ª à⮢®£® ¤®¡ãâªã áª÷祮ù ª÷«ìª®áâ÷ áª÷ç¥¨å ¬®¦¨. �÷¤-ªà¥á«¨¬®, é® ¯¥à¥¤ã¬®¢®î ª®à¥ªâ®£® § áâ®áã¢ ï ¯à¨æ¨¯ã ¤®¡ãâªãõ ¥§ «¥¦÷áâì kj ¢÷¤ ⮣®, 直¬ á ¬¥ ᯮᮡ®¬ ¡ã«¨ ¢¨ª® ÷ ¯®¯¥à¥¤÷j − 1 ¯÷¤¤÷©.
�ਪ« ¤ 4.1. �®§£«ï¥¬® ¤®¡à¥ ¢÷¤®¬ã ¬®¤¥«ì, áâ ¤ àâã ¤«ï ¡ -£ âì®å ª®¬¡÷ â®à¨å ®¡'õªâ÷¢.
�¥å © ¢ ãà÷ ¬÷áâïâìáï n ¡÷«¨å â m ç®à¨å 㬥஢ ¨å ªã«ì,n,m ≥ 2. �ª÷«ìª®¬ ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦ ¯®á«÷¤®¢® ¢¨âï£â¨ 2 ªã«÷ â ª,鮡 ¯¥àè ¢¨âï£ãâ ªã«ï ¢¨ï¢¨« áï ¡÷«®î, ¤à㣠{ ç®à®î?
57
�®§¤÷« 4. �«¥¬¥â¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨
�¨å÷¤ ¤÷ï (¢¨âï£ã¢ ï ¤¢®å ªã«ì) ஧¯ ¤ õâìáï ¤¢÷ ¯®á«÷¤®¢÷¥§ «¥¦÷ ¯÷¤¤÷ù { ¢¨âï£ã¢ ï ¡÷«®ù ªã«÷ â ¢¨âï£ã¢ ï ç®à®ù ªã«÷.�¥àè ¯÷¤¤÷ï ¬®¦¥ ¡ã⨠¢¨ª® n ᯮᮡ ¬¨, ¤à㣠(¥§ «¥¦® ¢÷¤á¯®á®¡ã ¢¨ª® ï ¯¥àè®ù ¯÷¤¤÷ù, ⮡⮠¢÷¤ ⮣®, ïªã á ¬¥ ¡÷«ã ªã«î¡ã«® ¢¨âï£ãâ® ¯¥àè®î ¯÷¤¤÷õî) { m ᯮᮡ ¬¨. �⦥, ïª ¢¨¯«¨¢ õ §¯à¨æ¨¯ã ¤®¡ãâªã, ¢¨å÷¤ ¤÷ï ¬®¦¥ ¡ã⨠¢¨ª® nm ᯮᮡ ¬¨.
2. �à¨æ¨¯ á㬨. �¥å © ¬®¦¨ã ᯮᮡ÷¢ ¢¨ª® ï ¤¥ïª®ù ¤÷ù ¬®¦- ஧¡¨â¨ k ¯÷¤¬®¦¨, é® ¯®¯ à® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï, ¯à¨ç®¬ã ¢ª®¦÷© j-© ¬®¦¨÷ ¬÷áâ¨âìáï nj ¥«¥¬¥â÷¢ (ᯮᮡ÷¢). �®¤÷ ¢¨å÷¤ã ¤÷¦ ¢¨ª® ⨠n1 + n2 + · · ·+ nk ᯮᮡ ¬¨.
�¡óàãâã¢ ï ¯à¨æ¨¯ã á㬨 §¢®¤¨âìáï ¤® ¯÷¤à åãªã ¥«¥¬¥â÷¢ ¢®¡'õ¤ ÷ áª÷祮ù ª÷«ìª®áâ÷ áª÷ç¥¨å ¬®¦¨, é® ¯®¯ à® ¥ ¯¥à¥-à÷§ îâìáï.
�ਪ« ¤ 4.2. �¥å © ¢ ãà÷ ¬÷áâïâìáï n ¡÷«¨å, m ç®à¨å â k ç¥à-¢®¨å 㬥஢ ¨å ªã«ì, n,m, k ≥ 2. �ª÷«ìª®¬ ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦ ¯®á«÷-¤®¢® ¢¨âï£â¨ 2 ªã«÷ â ª, 鮡 ¯¥àè ÷ â÷«ìª¨ ¯¥àè ¢¨âï£ãâ ªã«ï ¡ã« ¡÷«®î?
�®¦¨ã ᯮᮡ÷¢ ¢¨ª® ï ¢¨å÷¤®ù ¤÷ù ¬®¦ ஧¡¨â¨ ¤¢÷ ¯÷¤-¬®¦¨¨, é® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï { ¯÷¤¬®¦¨ ᯮᮡ÷¢, ª®«¨ ¤à㣠ªã«ï¡ã¤¥ ç®à®î, â ¯÷¤¬®¦¨ , ª®«¨ ¤à㣠ªã«ï õ ç¥à¢®®î. �¥àè ¯÷¤¬®-¦¨ , § ¯à¨æ¨¯®¬ ¤®¡ãâªã, ¬÷áâ¨âì nm ¥«¥¬¥â÷¢, ¤à㣠{ nk ¥«¥¬¥-â÷¢. �⦥, ïª ¢¨¯«¨¢ õ § ¯à¨æ¨¯ã á㬨, ¢¨å÷¤ã ¤÷î ¬®¦ ¢¨ª® â¨nm + nk ᯮᮡ ¬¨.
3. �à¨æ¨¯ �÷à÷å«¥. �¥å © ¥«¥¬¥â¨ ¬®¦¨¨ A = {a1, a2, . . . , an}¯®âà÷¡® ஧¬÷áâ¨â¨ ¯® m ª®¬÷ઠå, ¯à¨ç®¬ã n > m. �®¤÷ ¯à¨ ©¬÷®¤ § ª®¬÷ப ¡ã¤¥ ¬÷áâ¨â¨ ¡÷«ìè¥ ®¤®£® ¥«¥¬¥â .
�ਪ« ¤ 4.3. 1. �¥å © 5 áâ㤥â÷¢ ᪫ ¤ îâì ÷ᯨ⠧ áâ ¤ àâ®îç®â¨à¨¡ «ì®î á¨á⥬®î («¢÷¤¬÷®», «¤®¡à¥», «§ ¤®¢÷«ì®», «¥§ ¤®¢÷-«ì®»). �®¤÷ § ¯à¨æ¨¯®¬ �÷à÷å«¥ ¯à¨ ©¬÷ ¤¢ áâ㤥⨠®âਬ îâ쮤 ª®¢÷ ®æ÷ª¨.
2. �£÷¤® § ¯à¨æ¨¯®¬ �÷à÷å«¥ ¢ ¬÷áâ÷ �¨õ¢÷ 2004 ப㠬¥èª «¨ ¯à¨- ©¬÷ ¤¢÷ «î¤¨¨ § ®¤ ª®¢®î ª÷«ìª÷áâî ¢®«®á¨ £®«®¢÷ (®áª÷«ìª¨ 2004 à÷ª ᥫ¥ï �¨õ¢ ¯¥à¥¢¨é㢠«® ¬®¦«¨¢ã ª÷«ìª÷áâì ¢®«®á¨ £®«®¢÷ «î¤¨¨).
58
4.1. �ᮢ÷ ¯à¨æ¨¯¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨. � £ «ì¥ ¢¨§ ç¥ï ¢¨¡÷ન
4.1.2. � £ «ì¥ ¢¨§ ç¥ï ¢¨¡÷ન.�¨¡÷ન ¢¯®à浪®¢ ÷ â ¥¢¯®à浪®¢ ÷,§ ¯®¢â®à¥ï¬¨ â ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì
�§ ç¥ï 4.1. �¨¡÷àª®î § ¬®¦¨¨ A = {a1, a2, . . . , an} ¤®¢¦¨®î(®¡'õ¬®¬) k §¨¢ îâì ¤®¢÷«ì¨© ¡÷à ¥«¥¬¥â÷¢ aj1 , aj2 , . . . , ajk
, ¯à¨ç®¬ã¥«¥¬¥â¨ ¢¨¡÷ન ¢ § £ «ì®¬ã ¢¨¯ ¤ªã ¬®¦ãâì ¯®¢â®àî¢ â¨áì.
�ªé® ¢á÷ ¥«¥¬¥â¨ ¢¨¡÷ન ¯®¯ à® à÷§÷ (ajp 6= ajq ¯à¨ p 6= q), ¢¨¡÷àªã §¨¢ îâì ¢¨¡÷àª®î ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì. �ªé® ¯®¢â®à¥ï ¤®§¢®«ïîâìáï ( «¥¥ ¢¨¬ £ îâìáï), ¢¨¡÷àªã §¨¢ îâì ¢¨¡÷àª®î § ¯®¢â®à¥ï¬¨.
�ªé® ¢¨¡÷àæ÷ § ¤ ® ¢÷¤®è¥ï «÷÷©®£® ¯®à浪ã, ¢¨¡÷àªã -§¨¢ îâì 㯮à浪®¢ ®î ¢¨¡÷મî, ¡® ஧¬÷é¥ï¬. �ªé® ¢÷¤®è¥ï¯®à浪㠥 § ¤ ¥ (¯®à冷ª ¥«¥¬¥â÷¢ ¢¨¡÷ન ¥ ¢à 客ãõâìáï), ¢¨¡÷àªã §¨¢ îâì ¥¢¯®à浪®¢ ®î ¢¨¡÷મî, ¡® ª®¬¡÷ æ÷õî.
�®§¬÷é¥ï ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì ¯à¨ n = k §¨¢ îâì ¯¥à¥áâ ¢«¥ï¬ ¬®-¦¨¨ A.
�áª÷«ìª¨ ¤«ï «÷§ã ¢« á⨢®á⥩ ¢¨¡÷ப ¯à¨à®¤ ¥«¥¬¥â÷¢ aj ¥¬ õ § ç¥ï, ¢¨¡÷àªã ¤®¢¦¨®î k § ¬®¦¨¨ A ¯®âã¦÷áâî n §¨¢ -îâì ¢¨¡÷àª®î § n § k.
�ਪ« ¤ 4.4. �¥å © ¢ ãà÷ ¬÷áâïâìáï 3 㬥஢ ÷ ªã«÷ (ª1, ª2, ª3).�®âà÷¡® ¯÷¤à å㢠â¨, áª÷«ìª®¬ ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦ ¢¨âï£â¨ 2 ªã«÷ § â -ª¨å 㬮¢:
1. �¨âï£ãâ ªã«ï ¥ ¯®¢¥àâ õâìáï ¤® ãà¨; ¯®à冷ª ¢¨âï£ã¢ ï ¥¢à 客ãõâìáï, ⮡⮠¢¨¡÷ન ⨯㠪i, ªj â ªj, ªi ¢¢ ¦ îâì ®¤÷õî ¢¨¡÷à-ª®î. �祢¨¤®, ¬®¦«¨¢÷ â ª÷ ¢ à÷ â¨:
ª1, ª2; ª1, ª3; ª2, ª3.
2. �¨âï£ãâ ªã«ï ¥ ¯®¢¥àâ õâìáï ¤® ãà¨; ¯®à冷ª ¢¨âï£ã¢ ï ¢à -客ãõâìáï, ⮡⮠¢¨¡÷ન ⨯㠪i, ªj â ªj, ªi ¢¢ ¦ îâì à÷§¨¬¨ ¢¨¡÷ઠ-¬¨. �祢¨¤®, ¬®¦«¨¢÷ â ª÷ ¢ à÷ â¨:
ª1, ª2; ª1, ª3; ª2, ª3;
ª2, ª1; ª3, ª1; ª3, ª2.
3. �¨âï£ãâ ªã«ï ¯®¢¥àâ õâìáï ¤® ãਠ÷ ¬®¦¥ ¡ã⨠¢¨âï£ãâ §®¢ã;¯®à冷ª ¢¨âï£ã¢ ï ¥ ¢à 客ãõâìáï. �祢¨¤®, ¬®¦«¨¢÷ â ª÷ ¢ à÷ â¨:
ª1, ª2; ª1, ª3; ª2, ª3; ª1, ª1; ª2, ª2; ª3, ª3.
59
�®§¤÷« 4. �«¥¬¥â¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨
4. �¨âï£ãâ ªã«ï ¯®¢¥àâ õâìáï ¤® ãਠ÷ ¬®¦¥ ¡ã⨠¢¨âï£ãâ §®¢ã;¯®à冷ª ¢¨âï£ã¢ ï ¢à 客ãõâìáï. �祢¨¤®, ¬®¦«¨¢÷ â ª÷ ¢ à÷ â¨:
ª1, ª2; ª1, ª3; ª2, ª3; ª2, ª1; ª3, ª1; ª3, ª2.
ª1, ª1; ª2, ª2; ª3, ª3.
�祢¨¤®, é® ç®â¨à¨ ஧£«ïãâ÷ á¨âã æ÷ù ¢÷¤¯®¢÷¤ îâì ¢¨¡÷ઠ¬ § 3§ 2 § ¯®¢â®à¥ï¬¨ (ªã«÷ ¯®¢¥àâ îâìáï ÷ ¬®¦ãâì ¡ã⨠¢¨âï£ãâ÷ §®¢ã)â ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì (ªã«÷ ¥ ¯®¢¥àâ îâìáï), ¢¯®à浪®¢ ¨¬ (§ ãà å㢠אָ®à浪ã) â ¥¢¯®à浪®¢ ¨¬ (¡¥§ ãà åã¢ ï ¯®à浪ã).
�®§¢'ï§ ï ç®â¨àì®å ¯à®¡«¥¬ ¯à¨ª«. 4.4 ¢ § £ «ì®¬ã ¢¨¯ ¤ªã (¢ãà÷ n 㬥஢ ¨å ªã«ì, ¢¨âï£ãõâìáï k ªã«ì) §¢®¤¨âìáï ¤® ¯÷¤à åã-ªã § £ «ì®ù ª÷«ìª®áâ÷ ஧¬÷é¥ì â ª®¬¡÷ æ÷© § ¯®¢â®à¥ï¬¨ â ¡¥§¯®¢â®à¥ì § n § k.
4.2. �®§¬÷é¥ï § ¯®¢â®à¥ï¬¨â ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì
� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¯÷¤à åãõ¬® ª÷«ìª÷áâì ஧¬÷é¥ì § ¯®¢â®à¥ï¬¨â ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì § n § k.
4.2.1. �®§¬÷é¥ï ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì�÷«ìª÷áâì ஧¬÷é¥ì ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì § n § k ¯®§ ç îâì ç¥à¥§ P k
n ¡®Ak
n. �÷«ìª÷áâì ¯¥à¥áâ ¢«¥ì (¢¨¯ ¤®ª n = k) ¯®§ ç ⨬¥¬® ç¥à¥§ Pn.�¥®à¥¬ 4.1. P k
n = n(n− 1) · · · (n− k + 1) = n!(n−k)!
.
�®¢¥¤¥ï. �¥å © A = {a1, a2, . . . , an}. �®à¬ã¢ ï ஧¬÷é¥ï ¡¥§¯®¢â®à¥ï § n § k, ⮡⮠¢¯®à浪®¢ ®ù ¢¨¡÷ન ¯®¯ à® à÷§¨å ¥«¥-¬¥â÷¢ aj1 , aj2 , . . . , ajk
, ¬®¦ ஧¡¨â¨ k ¯®á«÷¤®¢¨å ¯÷¤¤÷© { ¢¨¡÷५¥¬¥â aj1 , ¢¨¡÷à ¥«¥¬¥â aj2 , . . . , ¢¨¡÷à ¥«¥¬¥â ajk
. �¥à訩 ¥«¥-¬¥â (aj1) ¬®¦¥¬® ¢¨¡à ⨠n ᯮᮡ ¬¨, ¤à㣨© (aj2) { n− 1 ᯮᮡ ¬¨,®áª÷«ìª¨ aj2 6= aj1 ÷ â. ¤. �¥¯¥à ⢥द¥ï ⥮६¨ ¢¨¯«¨¢ õ § ¯à¨æ¨¯ã¤®¡ãâªã.
� á«÷¤®ª 4.1.1. Pn = n!.
60
4.3. �®¬¡÷ æ÷ù § ¯®¢â®à¥ï¬¨ â ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì
4.2.2. �®§¬÷é¥ï § ¯®¢â®à¥ï¬¨�÷«ìª÷áâì ஧¬÷é¥ì § ¯®¢â®à¥ï¬¨ § n § k ¯®§ ç ⨬¥¬® ç¥à¥§ P k
n .
�¥®à¥¬ 4.2. P kn = nk.
�®¢¥¤¥ï. �¥å © A = {a1, a2, . . . , an}. �®à¬ã¢ ï ஧¬÷é¥ï §¯®¢â®à¥ï¬¨ § n § k, ⮡⮠¢¯®à浪®¢ ®ù ¢¨¡÷ન ¥ ®¡®¢'離®¢® à÷§-¨å ¥«¥¬¥â÷¢ aj1 , aj2 , . . . , ajk
, ¬®¦ ஧¡¨â¨ k ¯®á«÷¤®¢¨å ¯÷¤¤÷© {¢¨¡÷à ¥«¥¬¥â aj1 , ¢¨¡÷à ¥«¥¬¥â aj2 , . . . , ¢¨¡÷à ¥«¥¬¥â ajk
. �¥à訩¥«¥¬¥â (aj1) ¬®¦¥¬® ¢¨¡à ⨠n ᯮᮡ ¬¨, ¤à㣨© (aj2) { â ª®¦ n ᯮá®-¡ ¬¨, ¢à 客ãîç¨ ¬®¦«¨¢¨© ¢¨¯ ¤®ª aj2 = aj1 ÷ â. ¤. �¥¯¥à ⢥द¥ï⥮६¨ ¢¨¯«¨¢ õ § ¯à¨æ¨¯ã ¤®¡ãâªã.
4.3. �®¬¡÷ æ÷ù § ¯®¢â®à¥ï¬¨â ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì
� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¯÷¤à åãõ¬® ª÷«ìª÷áâì ª®¬¡÷ æ÷© § ¯®¢â®à¥ï¬¨ â ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì § n § k.
4.3.1. �®¬¡÷ æ÷ù ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì�÷«ìª÷áâì ª®¬¡÷ æ÷© ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì § n § k ¯®§ ç îâì ç¥à¥§ Ck
n
¡®(
nk
). � æ쮬㠯®á÷¡¨ªã ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨬¥¬® ¯¥àè¥ ¯®§ ç¥ï, 瘟
¯à¨©ïâ® ã ¢÷â稧ï÷© «÷â¥à âãà÷.
�¥®à¥¬ 4.3. Ckn = n(n−1)...(n−k+1)
k!= n!
(n−k)!k!.
�®¢¥¤¥ï. �¥å © A = {a1, a2, . . . , an}. � ¬®¦¨÷ ¢á÷å ஧¬÷é¥ì¡¥§ ¯®¢â®à¥ì § n § k ¢¢¥¤¥¬® ¢÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷:
((ai1 , . . . , aik) ∼ (aj1 , . . . , ajk)) ⇔ ({ai1 , . . . , aik} = {aj1 , . . . , ajk
}),⮡⮠¥ª¢÷¢ «¥â¨¬¨ ¢¢ ¦ õ¬® â÷ ÷ â÷«ìª¨ â÷ ஧¬÷é¥ï, ïª÷ ¢÷¤à÷§-ïîâìáï «¨è¥ ¯®à浪®¬ ¥«¥¬¥â÷¢ (÷ §¡÷£ îâìáï ïª ¬®¦¨¨). �®¦¥ª« á ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ [(ai1 , . . . , aik)] § ¢¨§ ç¥ï¬ ¬÷áâ¨âì ஧¬÷é¥ï,é® áª« ¤ îâìáï § ®¤¨å ÷ â¨å á ¬¨å ¥«¥¬¥â÷¢ ai1 , . . . , aik ÷ ¢÷¤à÷§ïîâì-áï «¨è¥ ¯®à浪®¬. �⦥, ª®¦®¬ã ª« áã ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ [(ai1 , . . . , aik)]
61
�®§¤÷« 4. �«¥¬¥â¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨
®¤®§ ç® ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ª®¬¡÷ æ÷ï ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì {ai1 , . . . , aik}. � ª¥ §÷-áâ ¢«¥ï õ ¢§ õ¬® ®¤®§ 稬, ®áª÷«ìª¨ ª®¦¥ ª« á ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷¢¨§ ç õ à÷¢® ®¤ã ª®¬¡÷ æ÷î (¥¢¯®à浪®¢ ã ¯÷¤¬®¦¨ã), ÷ ª®¦ ª®¬¡÷ æ÷ï ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ®¤®¬ã ª« áã ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷.
� ª¨¬ 種¬, ª÷«ìª÷áâì ª« á÷¢ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ (¢÷¤®á® ¢¢¥¤¥®£®¢÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ ¬®¦¨÷ ஧¬÷é¥ì ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì § n§ k) ¤®à÷¢îõ Ck
n. � à¥èâ÷, ®áª÷«ìª¨ ª®¦¥ ª« á ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ ¬÷á-â¨âì k! ஧¬÷é¥ì (§ ª÷«ìª÷áâî ¯¥à¥áâ ¢«¥ì ¬®¦¨÷ {ai1 , . . . , aik}),¬ õ¬®:
P kn = k!Ck
n,
§¢÷¤ª¨ ¥£ ©® ¢¨¯«¨¢ õ ⢥द¥ï ⥮६¨.
�¨á« Ckn = n!
(n−k)!k!(0 ≤ k ≤ n) §¨¢ îâì ¡÷®¬÷ «ì¨¬¨ ª®¥ä÷æ÷õ-
â ¬¨.� 㢠¦¥ï 4.1. �÷®¬÷ «ì¨¬ ª®¥ä÷æ÷õâ ¬ Ck
n ç áâ® ¤ îâì á¥á ÷¯à¨ k > n, ¢áâ ®¢«îîç¨ ¤«ï æ쮣® ¢¨¯ ¤ªã Ck
n = 0. � ª¥ 㧠£ «ì¥ïæ÷«ª®¬ ¯à¨à®¤¥, ®áª÷«ìª¨ ª÷«ìª÷áâì ¢¨¡÷ப ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì § n § k ¯à¨k > n ¤®à÷¢îõ ã«î.
�ਪ« ¤ 4.5. �®§£«ï¥¬® â ª §¢ ã «¯à®¡«¥¬ã ¤¥â «¥©». �¥å © 㪮஡æ÷ ¬÷áâ¨âìáï n ¤¥â «¥© m á®àâ÷¢: n1 ¤¥â «¥© ¯¥à讣® á®àâã, n2 ¤¥-â «¥© ¤à㣮£® á®àâã, . . . , nm ¤¥â «¥© m-£® á®àâã. � ª®à®¡ª¨ ¢¬ ï,¡¥§ ãà åã¢ ï ¯®à浪ã, ¢¨âï£ãîâì k ¤¥â «¥©. �÷¤à å㢠⨠ª÷«ìª÷áâì ¥-¢¯®à浪®¢ ¨å ¢¨¡÷ப, ª®«¨ ¡ã¤¥ ¢¨âï£ãâ® à÷¢® k1 ¤¥â «¥© ¯¥à讣®á®àâã, k2 ¤¥â «¥© ¤à㣮£® á®àâã, . . . , km ¤¥â «¥© m-£® á®àâã (0 ≤ kj ≤ mj).
�áª÷«ìª¨ ¯®à冷ª ¢¨¡÷ન ã æ÷© § ¤ ç÷ ¥ ¬ õ § ç¥ï, ¢¢ ¦ ⨬¥¬®,é® á¯®ç âªã ¢¨âï£ãîâì ¤¥â «÷ ¯¥à讣® á®àâã, ¯®â÷¬ { ¤à㣮£®, ÷ â. ¤.�®¤÷ ª÷«ìª÷áâì ¢¨¡÷ப, é® § ¤®¢®«ìïîâì § ¤ ã 㬮¢ã, ¯÷¤à 客ãîâì§ ¯à ¢¨«®¬ ¤®¡ãâªã: Ck1
n1Ck2
n2· · ·Ckm
nm.
4.3.2. �®¬¡÷ æ÷ù § ¯®¢â®à¥ï¬¨�÷«ìª÷áâì ª®¬¡÷ æ÷© § ¯®¢â®à¥ï¬¨ § n § k ¡ã¤¥¬® ¯®§ ç â¨
ç¥à¥§ Ckn.
�¥®à¥¬ 4.4. Ckn = Ck
n+k−1.
62
4.3. �®¬¡÷ æ÷ù § ¯®¢â®à¥ï¬¨ â ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì
�®¢¥¤¥ï. �¥å © A = {a1, a2, . . . , an}. �®¦ ª®¬¡÷ æ÷ï § ¯®¢â®à¥-ﬨ ¤®¢¦¨®î k ¬®¦¨÷ A ®¤®§ ç® ¢¨§ ç õâìáï ª÷«ìª÷áâî kj
¢å®¤¦¥ì ¤® ª®¬¡÷ æ÷ù ª®¦®£® § ¥«¥¬¥â÷¢ aj (1 ≤ j ≤ n). �⦥, ª®¦- ª®¬¡÷ æ÷ï ¢§ õ¬® ®¤®§ ç® ¢¨§ ç õâìáï ¢¯®à浪®¢ ¨¬ ¡®à®¬ç¨á¥«
(k1, . . . , kn) : k1 + · · ·+ kn = k, kj ≥ 0 (1 ≤ j ≤ n).
�«ï ¯÷¤à åãªã ª÷«ìª®áâ÷ ¡®à÷¢ ¥¢÷¤'õ¬¨å æ÷«¨å ç¨á¥« (k1, . . . , kn),â ª¨å, é® k1 + · · · + kn = k, ஧£«ï¥¬® ¬®¤¥«ì ஧â è㢠ï n − 1 ¥-㬥஢ ¨å ªã«ì ¯® n + k − 1 㬥஢ ¨å ª®¬÷ઠå (ã ª®¦÷© ª®¬÷àæ÷¢¬÷éãõâìáï ®¤ ªã«ï). �÷¤ªà¥á«¨¬®, é® ªã«÷ ¥ã¬¥à®¢ ÷, ⮡⮠¯®-¯ à® ¥ ஧à÷§ïîâìáï. �®¦®¬ã ஧â èã¢ î ªã«ì §÷áâ ¢¨¬® ¡÷ॢ÷¤'õ¬¨å æ÷«¨å ç¨á¥« (k1, . . . , kn):
¤ . . . ¤︸ ︷︷ ︸k1
¥¤ . . . ¤︸ ︷︷ ︸k2
¥ . . . . . . ¥¤ . . . ¤︸ ︷︷ ︸kn−1
¥ ¤ . . . ¤︸ ︷︷ ︸kn
k1 { ª÷«ìª÷áâì ª®¬÷ப ¤® ¯¥àè®ù § ©ïâ®ù (¥ ¢à 客ãî稧 ©ïâã);
k2 { ª÷«ìª÷áâì ª®¬÷ப ¬÷¦ ¯¥àè®î â ¤àã£®î § ©ï⨬¨;k3 { ª÷«ìª÷áâì ª®¬÷ப ¬÷¦ ¤à㣮î â âà¥âì®î § ©ï⨬¨;. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kn−1 { ª÷«ìª÷áâì ª®¬÷ப ¬÷¦ ¯¥à¥¤®áâ ì®î â ®áâ ì®î
§ ©ï⨬¨;kn { ª÷«ìª÷áâì ª®¬÷ப ¯÷á«ï ®áâ ì®ù § ©ïâ®ù.
�⦥, ª®¦®¬ã ஧â èã¢ î ªã«ì ¢ ®¯¨á ÷© ¬®¤¥«÷ ¢§ õ¬® ®¤®-§ ç® §÷áâ ¢«¥® ¡÷à ¥¢÷¤'õ¬¨å æ÷«¨å ç¨á¥« (k1, . . . , kn), â ª¨å, é®k1 + · · · + kn = k. �«ï § ¢¥àè¥ï ¤®¢¥¤¥ï ⥮६¨ § § 稬®, 鮪÷«ìª÷áâì ¬®¦«¨¢¨å ஧â è㢠ì n− 1 ¥ã¬¥à®¢ ¨å ªã«ì ¯® n + k− 1㬥஢ ¨å ª®¬÷àª å ¤®à÷¢îõ Cn−1
n+k−1 = Ckn+k−1 (ª÷«ìª÷áâì ¥¢¯®à浪®-
¢ ¨å ¢¨¡®à÷¢ k ª®¬÷ப, é® § «¨è âìáï ¢÷«ì¨¬¨, § n + k − 1 § £ «ì®ùª÷«ìª®áâ÷ ª®¬÷ப).
�ਪ« ¤ 4.6. 1. �÷¤à åãõ¬®, áª÷«ìª®¬ ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦ ஧¡¨â¨ç¨á«® k áã¬ã n ¥¢÷¤'õ¬¨å ¤®¤ ª÷¢: k1 + · · ·+ kn = k.
�ª ¢¨¯«¨¢ õ § ¤®¢¥¤¥ï ⥮६¨ 4.4, ª÷«ìª÷áâì â ª¨å ஧¡¨ââ÷¢ ¤®-à÷¢îõ Ck
n = Ckn+k−1.
63
�®§¤÷« 4. �«¥¬¥â¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨
�¯à ¢ 4.1. �§ £ «ì¨â¨ 楩 १ã«ìâ â ¢¨¯ ¤®ª, ª®«¨ k1 ≥ m1,k2 ≥ m2, . . . , kn ≥ mn, ¤¥ mj (1 ≤ j ≤ n) { § ¤ ÷ æ÷«÷ ç¨á« .
2. �÷¤à åãõ¬® ª÷«ìª÷áâì ª÷á⮪ ¤®¬÷®.�ª ¢÷¤®¬®, ª®¦ ª÷á⪠¤®¬÷® ¢§ õ¬® ®¤®§ ç® ¢¨§ ç õâìáï ¥-
¢¯®à浪®¢ ®î ¯ à®î ç¨á¥« {n,m}, â ª¨å, é® 0 ≤ m ≤ 6, 0 ≤ n ≤ 6,¢ª«îç îç¨ ¢¨¯ ¤®ª n = m. �⦥, ª÷«ìª÷áâì ª÷á⮪ ¤®¬÷®
C27 = C2
7+2−1 = C28 =
8 · 72
= 28.
4.4. �¯®à浪®¢ ÷ ஧¡¨ââï�®§£«ï¥¬® ⠪㠯஡«¥¬ã: ¯®âà÷¡® ஧â è㢠⨠¥«¥¬¥â¨ ¬®¦¨-
¨ A = {a1, a2, . . . , an} ¯® k 㬥஢ ¨å ª®¬÷ઠå õ¬÷áâî n1, n2, . . . , nk
¢÷¤¯®¢÷¤®, ¯à¨ç®¬ã n1 + · · ·+nk = n. �î ¯à®¡«¥¬ã §¨¢ îâì 㯮à浪®-¢ ¨¬ ஧¡¨ââï¬ ¬®¦¨¨ A ¯® k 㯮à浪®¢ ¨å ª®¬÷ઠå. � § 稬®,é® ¯®à冷ª ஧â èã¢ ï ¥«¥¬¥â÷¢ ã ª®¦÷© ª®¬÷àæ÷ ¥ ¬ õ § ç¥ï { á æ÷ª ¢¨âì «¨è¥ â¥, ¢ ïªã ª®¬÷àªã ¯®âà ¯¨âì ª®¦¥ § ¥«¥¬¥â÷¢ ¬®-¦¨¨ A. �÷«ìª÷áâì 㯮à浪®¢ ¨å ஧¡¨ââ÷¢ § áä®à¬ã«ì®¢ ¨¬¨ ¯ à -¬¥âà ¬¨ ¯®§ ç ⨬¥¬® ç¥à¥§ Cn1,n2,...,nk
n .�«ï ¯÷¤à åãªã ª÷«ìª®áâ÷ ¢¯®à浪®¢ ¨å ஧¡¨ââ÷¢ ᪮à¨áâ õ¬®áì
¯à¨æ¨¯®¬ ¤®¡ãâªã: ᯮç âªã § ¯®¢¨¬® ¯¥àèã ª®¬÷àªã, ¯®â÷¬ { ¤àã£ã÷ â. ¤. �祢¨¤®, ¯¥àèã ª®¬÷àªã ¬®¦ § ¯®¢¨â¨ Cn1
n ᯮᮡ ¬¨, ¤àã-£ã { Cn2
n−n1ᯮᮡ ¬¨, âà¥âî { Cn3
n−n1−n2ᯮᮡ ¬¨ ÷ â. ¤. � ¯à¨æ¨¯®¬
¤®¡ãâªã ¬ õ¬®:
Cn1,n2,...,nkn = Cn1
n Cn2n−n1
Cn3n−n1−n2
· · ·Cnkn−n1−···−nk−1
. (4.1)
� 㢠¦¥ï 4.2. �áâ ÷© ¬®¦¨ª Cnkn−n1−···−nk−1
= Cnknk
= 1 (ïª÷ ®ç÷ªã¢ «¨, ®áª÷«ìª¨ ®áâ î ª®¬÷àªã ¬®¦¥¬® § ¯®¢¨â¨ «¨è¥ ®¤-¨¬ ᯮᮡ®¬).
�¥§¯®á¥à¥¤÷© ¯÷¤à å㮪 ¤®§¢®«ïõ § ç® á¯à®áâ¨â¨ ¢¨à § ã ¯à ¢÷©ç áâ¨÷ (4.1):
Cn1,n2,...,nkn =
n!
n1!n2! · · ·nk!.
64
4.5. �÷®¬÷ «ì â ¯®«÷®¬÷ «ì ä®à¬ã«¨. �ਪã⨪ � ᪠«ï
� § 稬®, é® ã ¢¨¯ ¤ªã k = 2 ¬ õ¬® ª« á¨ç¨© ¢¨¯ ¤®ª ª®¬¡÷ æ÷© ¡¥§¯®¢â®à¥ì (¥¢¯®à浪®¢ ¨© ¢¨¡÷à ¥«¥¬¥â÷¢ ¤«ï ®¤÷õù § ¤¢®å ª®¬÷ப):
Cn1,n2n =
n!
n1!n2!= Cn1
n = Cn2n .
�¯à ¢ 4.2. �§ £ «ì¨â¨ ä®à¬ã«ã ¤«ï Cn1,n2,...,nkn ¢¨¯ ¤®ª, ª®«¨
n1 + · · ·+ nk ≤ n.
�ਪ« ¤ 4.7. �÷¤à åãõ¬®, áª÷«ìª¨ á«÷¢ (¤®¢÷«ì¨å ¯®á«÷¤®¢®á⥩«÷â¥à) ¬®¦ ᪫ á⨠§ è¥á⨠ª à⮪, âàì®å § ïª¨å ¯®§ ç¥ «÷â¥à «�», ¤¢®å { «÷â¥à «�», ®¤÷© { «�»:
� � � � � �
�«ï ஧¢'ï§ ï § ¤ ç÷ ஧£«ï¥¬® ⠪㠬®¤¥«ì: õ âਠª®¬÷ન «�»,«�» â «�» õ¬®áâﬨ 3, 2 â 1 ¢÷¤¯®¢÷¤®, ã 直å âॡ ஧¬÷áâ¨â¨¥«¥¬¥â¨ ¬®¦¨¨ X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. �®¤÷ ª®¦®¬ã á«®¢ã ®¤®§ ç-® ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ஧¡¨ââï ¬®¦¨¨ X ¯® ª®¬÷àª å «�», «�» â «�» { ª®-¦¥ ¥«¥¬¥â ¬®¦¨¨ X ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ®¬¥àã «÷â¥à¨ ¢ á«®¢÷, é® áª« ¤ -õâìáï. �⦥, ª÷«ìª÷áâì á«÷¢ ®¡ç¨á«îõâìáï ïª ª÷«ìª÷áâì 㯮à浪®¢ ¨å஧¡¨ââ÷¢:
C3,2,16 =
6!
3!2!1!= 60.
4.5. �÷®¬÷ «ì â ¯®«÷®¬÷ «ì ä®à¬ã«¨.�ਪã⨪ � ᪠«ï
4.5.1. �« á⨢®áâ÷ ¡÷®¬÷ «ì¨å ª®¥ä÷æ÷õâ÷¢� £ ¤ õ¬® (¤¨¢. á. 62), é® ç¨á« Ck
n (0 ≤ k ≤ n) §¨¢ îâì ¡÷®¬÷- «ì¨¬¨ ª®¥ä÷æ÷õâ ¬¨. �®§£«ï¥¬® ª÷«ìª ©¢ ¦«¨¢÷è¨å ¢« á⨢®á-⥩ ¡÷®¬÷ «ì¨å ª®¥ä÷æ÷õâ÷¢.
1. Ckn = Cn−k
n ;2. C0
n = Cnn = 1, C1
n = Cn−1n = n;
3. Ckn + Ck+1
n = Ck+1n+1.
�¯à ¢ 4.3. �®¢¥á⨠¢ª § ÷ â®â®¦®áâ÷.
65
�®§¤÷« 4. �«¥¬¥â¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨
4.5.2. �÷®¬÷ «ì â ¯®«÷®¬÷ «ì ä®à¬ã«¨� ªãàáã ¬ ⥬ â¨ç®£® «÷§ã ¢÷¤®¬ ä®à¬ã« ¤«ï «à®§ªà¨ââï ¤ã-
¦®ª» ã ¢¨à §÷ (a + b)n:
(a + b)n =n∑
k=0
Cknakbn−k. (4.2)
�®à¬ã«ã (4.2), ïª ¢÷¤®¬®, §¨¢ îâì ¡÷®¬®¬ �ìîâ® , ¡® ¡÷®¬÷ «ì-®î ä®à¬ã«®î, §¢÷¤ª¨ ¤÷áâ «¨ §¢ã ª®¥ä÷æ÷õ⨠Ck
n.� 㢠¦¥ï 4.3. � §¢ «¡÷®¬ �ìîâ® » ¤¢÷ç÷ ¥¯à ¢¨«ì : ¯®-
¯¥àè¥, ÷ ¯à ¢ , ÷ «÷¢ ç á⨠ä®à¬ã«¨ (4.2) ¥ õ ¡÷®¬®¬ (¤¢ãç«¥®¬);¯®-¤à㣥, ä®à¬ã« (4.2) ¡ã« ¢÷¤®¬ ÷ ¤® ஡÷â �ìîâ® (öá ªã �ìîâ®-ã «¥¦¨âì ¢ ¦«¨¢¥ 㧠£ «ì¥ï ä®à¬ã«¨ (4.2) ¢¨¯ ¤®ª ¤®¢÷«ì®£®n ∈ R).
�®¢¥¤¥¬® ¡÷®¬÷ «ìã ä®à¬ã«ã (4.2) ¬¥â®¤ ¬¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨. �®§-ªà¨õ¬® ¤ã¦ª¨ ã ¢¨à §÷ (a + b)n, ¥ ª®à¨áâãîç¨áì ª®¬ãâ ⨢÷áâî ¬®-¦¥ï ¤÷©á¨å ç¨á¥«:
(a + b)n = (a + b) · · · (a + b)︸ ︷︷ ︸n
= aa · · · a︸ ︷︷ ︸n
+ ba · · · a︸ ︷︷ ︸n
+ ab · · · a︸ ︷︷ ︸n
+ · · ·+ bb · · · b︸ ︷︷ ︸n
.
�÷á«ï §¢¥¤¥ï ¯®¤÷¡¨å ç«¥÷¢ (¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ ª®¬ãâ ⨢÷áâì ¬®-¦¥ï) ¤÷áâ ¥¬®:
(a + b)n =n∑
k=0
ckakbn−k,
¤¥ ck { ª÷«ìª÷áâì ¤®¤ ª÷¢ ¢¨£«ï¤ã a1 · · · an (aj ∈ {a, b}), â ª¨å, é® ¬®¦-¨ª a ¬÷áâ¨âìáï ¢ ¤®¡ãâªã a1 · · · an à÷¢® k à §÷¢ (¬®¦¨ª b ¬÷áâ¨âìáï¢÷¤¯®¢÷¤® n− k à §÷¢).
�«ï ®¡ç¨á«¥ï ª®¥ä÷æ÷õâ÷¢ ck ஧£«ï¥¬® ª®¬¡÷ â®àã ¬®¤¥«ì ஧-â èã¢ ï ¬®¦¨ª÷¢ aj (1 ≤ j ≤ n) ¯® ª®¬÷ઠå a â b õ¬®áâﬨ k â n − k ¢÷¤¯®¢÷¤®. �祢¨¤®, ª®¦¥ â ª¥ ஧â èã¢ ï ®¤®§ ç® ¢÷¤-¯®¢÷¤ õ ®¤®¬ã § ¤®¤ ª÷¢ a1 · · · an, é® ¬÷áâ¨âì k ¬®¦¨ª÷¢ a â n − k¬®¦¨ª÷¢ b. �⦥,
ck = Ck,n−kn = Ck
n,
é® ÷ âॡ ¡ã«® ¤®¢¥áâ¨.
66
4.5. �÷®¬÷ «ì â ¯®«÷®¬÷ «ì ä®à¬ã«¨. �ਪã⨪ � ᪠«ï
�®¬¡÷ â®à¥ ¤®¢¥¤¥ï ä®à¬ã«¨ (4.2) ¯à¨à®¤® ¯®è¨àîõâìáï ¤«ï¢¨à §ã (a1 + a2 + · · ·+ am)n:
(a1 + a2 + · · ·+ am)n =∑
k1,k2,...,km≥0k1+···+km=n
Ck1,...,kmn ak1
1 · · · akmm . (4.3)
�¯à ¢ 4.4. �஢¥á⨠¤®¢¥¤¥ï ä®à¬ã«¨ (4.3).
�®à¬ã« (4.3), § «®£÷õî § ¡÷®¬÷ «ì®î ä®à¬ã«®î, ¤÷áâ « -§¢ã ¯®«÷®¬÷ «ì ä®à¬ã« . � § 稬®, é® ª÷«ìª÷áâì ¤®¤ ª÷¢ ã ¯à ¢÷©ç áâ¨÷ ä®à¬ã«¨ (4.3) ®¡ç¨á«îõâìáï ïª ª÷«ìª÷áâì ஧¡¨ââ÷¢ ç¨á« n m ¥¢÷¤'õ¬¨å æ÷«¨å ¤®¤ ª÷¢, ⮡⮠ç¥à¥§ ª®¬¡÷ æ÷ù § ¯®¢â®à¥ï¬¨:Cn
m = Cnm+n−1. � ª, ¯à¨ m = 2 (¢¨¯ ¤®ª ¡÷®¬÷ «ì®ù ä®à¬ã«¨) ¬ ⨬¥-
¨: Cnn+1 = n + 1.
�ਪ« ¤ 4.8. 1. �®à¨áâãîç¨áì ¯®«÷®¬÷ «ì®î ä®à¬ã«®î, ஧ªà¨-õ¬® ¤ã¦ª¨ ã ¢¨à §÷ (a + b + c)3:
(a + b + c)3 = C3,0,03︸ ︷︷ ︸=1
a3b0c0 + b3 + c3+
+ C2,1,03︸ ︷︷ ︸=3
a2b1c0 + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + C1,1,13︸ ︷︷ ︸=6
a1b1c1.
2. �¥ ஧ªà¨¢ îç¨ ¯®¢÷áâî ¤ã¦ª¨ ã ¢¨à §÷ (a+b+c+d)132, ®¡ç¨á«¨¬®ª®¥ä÷æ÷õ⠯ਠ¤®¤ ªã a131b:
C131,1,0,0132 =
132!
131!1!0!0!= 132.
� § 稬®, é® § £ «ì ª÷«ìª÷áâì ¤®¤ ª÷¢ ¯÷á«ï ஧ªà¨ââï ¤ã¦®ª â §¢¥¤¥ï ¯®¤÷¡¨å ç«¥÷¢ áâ ®¢¨âì C132
4 = 400995.
4.5.3. �ਪã⨪ � ᪠«ï�¤¥¡÷«ì讣® (§®ªà¥¬ , ¤«ï ®¡ç¨á«¥ï ª®¥ä÷æ÷õâ÷¢ ã ¡÷®¬÷ �ìîâ®-
) ¡÷®¬÷ «ì÷ ª®¥ä÷æ÷õ⨠§àãç® à®§â 订㢠⨠ã ä®à¬÷ â ª §¢ ®£®âਪã⨪ � ᪠«ï:
67
�®§¤÷« 4. �«¥¬¥â¨ ª®¬¡÷ â®à¨ª¨
C00
C01 C1
1
C02 C1
2 C22
C03 C1
3 C23 C3
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
¡®
C00
C01 C1
1
C02 C1
2 C22
C03 C1
3 C23 C3
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ਪã⨪ � ᪠«ï, ®ç¥¢¨¤®, ¥áª÷票©, ¯à®â¥ ¯à ªâ¨æ÷ ®¡ç¨á-«îîâì ª÷«ìª ¯¥àè¨å à浪÷¢ (â ª, ¤«ï ஧ª« ¤ ï (a + b)5 ¯®âà÷¡÷¯¥àè÷ 6 à浪÷¢).
�¡ç¨á«îîç¨ ¯¥àè÷ à浪¨ âਪã⨪ � ᪠«ï (ã «¯àאַªãâ÷©»ç¨ «à÷¢®¡¥¤à¥÷©» ä®à¬÷), ïª ¯à ¢¨«®, ¢¨¯¨áãîâì ®¤¨¨ç÷ ¥«¥¬¥-⨠«¡÷ç¨å áâ®à÷» âਪã⨪ , ¯÷á«ï 箣® ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì â®â®¦÷áâìCk
n + Ck+1n = Ck+1
n+1.
�ਪ« ¤ 4.9. �¡ç¨á«¨¬® ¯¥àè÷ ¯'ïâì à浪÷¢ âਪã⨪ � ᪠«ï(ã «¯àאַªãâ÷©» ä®à¬÷):
11 11 1 + 1 = 2 11 1 + 2 = 3 2 + 1 = 3 11 1 + 3 = 4 3 + 3 = 6 3 + 1 = 4 1
4.6. � áâ®áã¢ ï ª®à¥¥¢¨å ¤¥à¥¢ã ª®¬¡÷ â®à¨å § ¤ ç å
� £ â® ª®¬¡÷ â®à¨å ¯à®¡«¥¬ ¥ ¬®¦ ®¯¨á ⨠¦®¤®î § ª« á¨ç-¨å ª®¬¡÷ â®à¨å ¬®¤¥«¥©. � â ª¨å á¨âã æ÷ïå, ª®«¨ ¬ ©¦¥ õ¤¨¨© ¬¥-⮤ { ¡¥§¯®á¥à¥¤÷© ¯¥à¥¡÷à ¢á÷å ¢ à÷ â÷¢, §àãç® ª®à¨áâ㢠â¨áï £à -ä ¬¨ ᯥæ÷ «ì®£® ¢¨¤ã { â ª §¢ ¨¬¨ ª®à¥¥¢¨¬¨ ¤¥à¥¢ ¬¨. �®à¥¥¢¥¤¥à¥¢® ¢¨§ ç õâìáï ïª ¤¥à¥¢® § ¢¨¤÷«¥®î ¢¥à訮î { ª®à¥¥¬ (â®ç÷¢¨§ ç¥ï ¢¥¤¥¬® ¤ «÷, ¯÷¤ ç á ¢¨¢ç¥ï £à ä÷¢ ᯥæ÷ «ì¨å ⨯÷¢).�÷¤ ç á ¯¥à¥¡®àã ¢ à÷ â÷¢ ª®¦÷© ¢¥àè¨÷ ¤¥à¥¢ (¯®ç¨ îç¨ § ª®à¥ï)¢÷¤¯®¢÷¤ õ ¯¥¢ £à㯠¢ à÷ â÷¢; ïªé® £à㯠¢ à÷ â÷¢ ஧¡¨¢ õâìáï n ¬®¦¨, § ¢÷¤¯®¢÷¤®ù ¢¥à訨 ¤¥à¥¢ ¢¨å®¤¨âì n ॡ¥à. �®¦®¬ã «¨á-âªã («§ ª«î稬» ¢¥àè¨ ¬ ¤¥à¥¢ ) ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ¤®áâ âì® ¯à®áâ ¬®-¦¨ ¢ à÷ â÷¢ ( ©ç áâ÷è¥ ª®¦®¬ã «¨áâªã ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ®¤¨ ¢ à÷ â).
68
4.6. � áâ®áã¢ ï ª®à¥¥¢¨å ¤¥à¥¢ ã ª®¬¡÷ â®à¨å § ¤ ç å
�ਪ« ¤ 4.10. � ¤¥ïª®¬ã ( ¡áâà ªâ®¬ã) ª §÷® £à ¯à®å®¤¨âì § â ª¨¬¨ ¯à ¢¨« ¬¨: ã à §÷ ¢¨£à èã £à ¢¥æì ®âਬãõ ¢¨£à è ã ஧¬÷à÷áâ ¢ª¨ (⮡â®, ¯®áâ ¢¨¢è¨ k £à¨¢¥ì, £à ¢¥æì ã à §÷ ¢¨£à èã § ¡¥à¥ 2k£à¨¢¥ì); ¯à®£à ¢è¨, £à ¢¥æì ¢âà ç õ ᢮î áâ ¢ªã.
�¥å © ¤¥åâ® ( ¡áâà ªâ¨© £à ¢¥æì) ¯à¨©è®¢ ã ª §÷® § ®¤÷õî £à¨¢-¥î ÷ ¢¨à÷訢 £à ⨠¤®â¨, ¤®ª¨ ¢ 쮣® õ £à®è÷, «¥ ¥ ¡÷«ìè¥ âàì®å ÷£®à,áâ ¢«ïç¨ ª®¦ã £àã ®¤ã £à¨¢î.�®§â èãõ¬® ¬®¦«¨¢÷ ¢ à÷ ⨠஧¢¨âªã ¯®¤÷©
1
2
3 1
0
4 2 2 0
––
–
–
++
+
+
�¨á. 4.1
ã ¢¨£«ï¤÷ ª®à¥¥¢®£® ¤¥à¥¢ (à¨á. 4.1). �¥¡à®,é® ¯®§ 祥 § ª®¬ «+», ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ¢¨£à è㢠ª®ªà¥â÷© £à÷; ॡà®, é® ¯®§ 祥 § ª®¬«−», ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ¯à®£à èã. �®¦ã ¢¥àè¨ã ¤¥-ॢ ¯®§ ç ⨬¥¬® á㬮î (¢ £à¨¢ïå), é® § -«¨è¨« áï ã £à ¢æï. �¨á⪨ ¤¥à¥¢ (¢ à÷ ⨠§ -ª÷ç¥ï á¥à÷ù ÷£®à) ¯®§ 稬® §®¢÷è÷¬ ª¢ ¤-à ⮬. �ª ¢¨¤® § à¨á. 4.1, ã âàì®å § ¯'ï⨠¢ à÷- â÷¢ § ª÷ç¥ï á¥à÷ù £à ¢¥æì ¢¨£à õ, ÷ ¢ ¤¢®å {¯à®£à õ. �¢¨ç ©®, §¢÷¤á¨ ¥ ¢¨¯«¨¢ õ, é® ¢ á¥-à¥¤ì®¬ã £à ¢¥æì ¡ã¤¥ ¢¨£à ¢ â¨, ®áª÷«ìª¨ ¥¢á÷ ¢ à÷ ⨠§ ª÷ç¥ï ¬ îâì ®¤ ª®¢ã ©¬®¢÷à÷áâì.
69
�®§¤÷« 5
�¥®à÷ï £à ä÷¢
5.1. �ᮢ÷ ¯®ïââï ⥮à÷ù £à ä÷¢�§ ç¥ï 5.1. �à 䮬 (£¥®¬¥âà¨ç¨¬ £à 䮬) G §¨¢ îâì ä÷-
£ãàã ¯«®é¨÷, ïª áª« ¤ õâìáï § ¥¯®à®¦ì®ù áª÷祮ù ¬®¦¨¨ Vâ®ç®ª (¢¥àè¨) ÷ áª÷祮ù ¬®¦¨¨ E ®à÷õ⮢ ¨å ç¨ ¥ ®à÷õ⮢ ¨å«÷÷© (ॡ¥à), é® §'õ¤ãîâì ¤¥ïª÷ ¯ ਠ¢¥àè¨.
� ¤ «÷, ïªé® ¥ ¢ª § ® ÷è¥, ¢¥à訨 ¯®§ ç ⨬¥¬® «÷â¥à®î v§ ÷¤¥ªá ¬¨ ç¨ ¡¥§: v, v2, v2,34; ॡà { «÷â¥à®î e § ÷¤¥ªá ¬¨ ç¨ ¡¥§:e, e6, e8,3,97.
�¥¡à®, é® §'õ¤ãõ ¤¥ïªã ¢¥àè¨ã á ¬ã § ᮡ®î, §¨¢ îâì ¯¥â«¥î.�¥¡à , é® §'õ¤ãîâì ®¤ã © âã á ¬ã ¯ àã ¢¥àè¨, §¨¢ îâì ¬ã«ìâ¨à¥-¡à ¬¨. �à ä, é® ¥ ¬÷áâ¨âì ¬ã«ìâ¨à¥¡¥à â ¯¥â¥«ì, §¨¢ îâì ¯à®á⨬£à 䮬, ¡® ¯à®á⮣à 䮬. �à ä, ¢ 类¬ã ¤®¯ã᪠îâìáï ¬ã«ìâ¨à¥¡à 稯¥â«÷, §¨¢ îâì ¬ã«ì⨣à 䮬 (¤¨¢. ¯à¨ª«. 5.1).
�à ä, ãá÷ ॡà 类£® ¥®à÷õ⮢ ÷, §¨¢ îâì ¥®à÷õ⮢ ¨¬ £à -䮬; £à ä, ãá÷ ॡà 类£® ®à÷õ⮢ ÷ { ®à÷õ⮢ ¨¬ £à 䮬, ¡® ®à-£à 䮬; ¬÷è ÷ £à ä¨ (¬÷áâïâì ïª ®à÷õ⮢ ÷, â ª ÷ ¥®à÷õ⮢ ÷ ॡà )¬¨ ¥ ஧£«ï¤ ⨬¥¬®. � ®à£à ä å ¯ ਠ¯à®â¨ ¯àשׂ¥¨å ¬ã«ìâ¨à¥-¡¥à, é® §'õ¤ãîâì ®¤ã © âã á ¬ã ¯ àã ¢¥àè¨, ç áâ® §®¡à ¦ãîâì ®¤÷õî«÷÷õî §÷ áâà÷«ª ¬¨ ¯à®â¨«¥¦¨å ª÷æïå.
�ਪ« ¤ 5.1. � à¨á. 5.1 §®¡à ¦¥® ®à÷õ⮢ ¨© ¬ã«ì⨣à ä G1,¥®à÷õ⮢ ¨© ¯à®á⮣à ä G2 â ¥®à÷õ⮢ ¨© ¬ã«ì⨣à ä G3. �¥à-訨 v1 â v3 £à äã G1 §'õ¤ãîâìáï ¤¢®¬ ¯à®â¨ ¯àשׂ¥¨¬¨ ¬ã«ìâ¨-
70
5.1. �ᮢ÷ ¯®ïââï ⥮à÷ù £à ä÷¢
à¥¡à ¬¨ (§®¡à ¦¥÷ «÷÷õî § ¤¢®¬ áâà÷«ª ¬¨). � ¢¥àè¨÷ v4 ¥®à÷õâ®-¢ ®£® ¬ã«ì⨣à äã G3 «¢¨á¨âì» ¯¥â«ï.
v2v2 v2
v3
v3 v3
v1
v1 v1
v4
v4v4 v5v5
G1
G2 G3
�¨á. 5.1
� ¤ «÷, ïªé® ¥ ¢ª § ® ÷è¥, £à ä¨ ¢¢ ¦ ⨬¥¬® ¥®à÷õ⮢ ¨¬¨.�¥à訨 v1 â v2 §¨¢ îâì áã¬÷¦¨¬¨, ïªé® ¢®¨ §'õ¤ ÷ ॡ-
஬ e. � â ª®¬ã à §÷ ª ¦ãâì, é® ¢¥à訨 v1 â v2 ÷樤¥â÷ ॡàã e; «®£÷ç®, ॡ஠e ÷樤¥â¥ ¢¥àè¨ ¬ v1 â v2.
�«ï宬 ã £à ä÷, é® ¯®ç¨ õâìáï ã ¢¥àè¨÷ v1 ÷ § ª÷çãõâìáï ã ¢¥à-è¨÷ v2, §¨¢ îâì ¯®á«÷¤®¢÷áâì ¢¥àè¨ â ॡ¥à ¢¨£«ï¤ã:
v1ei1vi1ei2vi2ei3 . . . vin−1einv2,
¤¥ ª®¦¥ ॡ஠÷樤¥â¥ ®¡®¬ ¢¥àè¨ ¬, ïª÷ õ ¤«ï 쮣® áãá÷¤÷¬¨ ¢ ¯®-á«÷¤®¢®áâ÷ (ॡ஠ei1 ÷樤¥â¥ ¢¥àè¨ ¬ v1 â vi1 , ॡ஠ei2 ÷樤¥â-¥ ¢¥àè¨ ¬ vi1 â vi2 ÷ â. ¤.). � § 稬®, é® è«ïå ã £à ä÷ ®¤®§ 箢¨§ ç õâìáï ¯¥àè®î ÷ ®áâ ì®î ¢¥àè¨ ¬¨ (v1 â v2) â ¯®á«÷¤®¢÷áâîॡ¥à, ⮡⮠¯à®¬÷¦÷ ¢¥à訨 ¬®¦ ¥ ¢ª §ã¢ â¨:
v1ei1ei2ei3 . . . einv2.
�à÷¬ ⮣®, ¤«ï ¯à®á⮣à ä÷¢ ( «¥ ¥ ¤«ï ¬ã«ì⨣à ä÷¢) è«ïå ®¤®-§ ç® ¢¨§ ç õâìáï ¯®á«÷¤®¢÷áâî ¢¥àè¨:
v1vi1vi2 . . . vin−1v2.
� § 稬®, é® ¤«ï ®à÷õ⮢ ¨å £à ä÷¢ è«ïå ¢¨§ ç õâìáï «®£÷ç-®, «¥ § ãà åã¢ ï¬ ®à÷õâ æ÷ù ॡ¥à: ॡ஠ei1 ¬ õ ¢¥á⨠¢÷¤ v1 ¤® vi1 ,ॡ஠ei2 { ¢÷¤ vi1 ¤® vi2 ÷ â. ¤.
71
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
�«ïå, 直© ¥ ¬÷áâ¨âì ¯®¢â®à¥ì ¢¥àè¨ ÷ ॡ¥à, ªà÷¬, ¬®¦«¨¢®,¤¢®å ªà ©÷å ¢¥àè¨ v1 â v2, §¨¢ îâì ¯à®á⨬ è«ï宬. �¥£ª® ¯¥à¥-¢÷à¨â¨, é® ¯®¢â®à¥ï ॡ¥à ã è«ïåã ¢¥¤¥ ¤® ¯®¢â®à¥ï ¢¥àè¨ (®¤ ª¬®¦«¨¢®, é® ¯®¢â®àî¢ â¨¬ãâìáï «¨è¥ ¤¢÷ ªà ©÷ ¢¥à訨).
� ¬ª¥¨© è«ïå (v1 = v2) §¨¢ îâì 横«®¬. �à®á⨩ § ¬ª¥¨©è«ïå §¨¢ îâì ¯à®á⨬ 横«®¬.
�¥¬ 5.1. �ã¤ì-直© è«ïå, é® §'õ¤ãõ ¢¥à訨 v1 â v2 (v1 6= v2),¬÷áâ¨âì ¯à®á⨩ è«ïå, é® §'õ¤ãõ â÷ ¦ ¢¥à訨 v1 â v2.
�®¢¥¤¥ï. �«ï ¤®¢¥¤¥ï «¥¬¨ ¤®áâ âì® ¢¨¤ «¨â¨ ÷§ è«ïåã ¢á÷横«¨, é® ¢¨¨ª îâì § ¡ã¤ì-类£® ¯®¢â®à¥ï ¢¥àè¨.
�ਪ« ¤ 5.2. �®§£«ï¥¬® £à ä, §®¡à ¦¥¨© à¨á. 5.2.v2
e1
e3
e2 e4
v3
v1
v4
�¨á. 5.2
�«ïå v1e1e2e3v1 ã æ쮬㠣à ä÷ { ¯à®á⨩ 横«,è«ïå v1e1e4v4 { ¯à®á⨩ è«ïå ( «¥ ¥ 横«, ®á-ª÷«ìª¨ v1 6= v4), è«ïå v1e1e1v1 { 横« ( «¥ ¥ ¯à®-á⨩ 横«, ®áª÷«ìª¨ ¯®¢â®àîõâìáï ॡ஠e1).
� ¤ «÷, ïªé® ¥ ¢ª § ® ÷è¥, £à ä¨ ¢¢ ¦ ⨬¥¬® ÷ ¥®à÷õ⮢ ¨-¬¨, ÷ ¯à®á⨬¨.
5.2. �⥯¥÷ ¢¥àè¨ £à äã.�¥®à¥¬ ¯à® á⥯¥÷ ¢¥àè¨
�§ ç¥ï 5.2. �⥯¥¥¬ dv ¢¥à訨 v §¨¢ îâì ª÷«ìª÷áâì ॡ¥à,÷樤¥â¨å v. �ªé® dv = 0, ¢¥àè¨ã v §¨¢ îâì ÷§®«ì®¢ ®î. �¥àè¨ã¯ ண® á⥯¥ï §¨¢ îâì ¯ à®î, ¥¯ ண® á⥯¥ï { ¥¯ à®î.
�ਪ« ¤ 5.3. �®§£«ï¥¬® £à ä à¨á. 5.3.v2
v3
v1
v4
v5
�¨á. 5.3
�«ï æ쮣® £à äã ¬ õ¬® ¢¥à訨 ÷§ áâ¥-¯¥ï¬¨: dv1 = dv3 = 2, dv2 = 3, dv4 = 1,dv5 = 0. �⦥, ¢¥àè¨ v5 ÷§®«ì®¢ .
72
5.2. �⥯¥÷ ¢¥àè¨ £à äã. �¥®à¥¬ ¯à® á⥯¥÷ ¢¥àè¨
�祢¨¤®, á⥯÷ì ¢¥à訨 ¢ ¯à®áâ¨å £à ä å ( á ¬¥ ¯à®áâ÷ £à 䨬¨ § à § ஧£«ï¤ õ¬®) «¥¦¨âì ã ¬¥¦ å ¢÷¤ 0 ¤® nv−1, ¤¥ nv = card(V ) {§ £ «ì ª÷«ìª÷áâì ¢¥àè¨ ã £à ä÷. �à ä, ãá÷ ¢¥à訨 类£® ÷§®«ì®¢ ÷, §¨¢ îâì ¯®à®¦÷¬ £à 䮬. �à ä, ãá÷ ¢¥à訨 类£® ¬ îâì á⥯÷ìnv − 1, §¨¢ îâì ¯®¢¨¬ £à 䮬. �祢¨¤®, ¢ ¯®à®¦ì®¬ã £à ä÷ ª÷«ì-ª÷áâì ॡ¥à ne = card(E) = 0, ¢ ¯®¢®¬ã £à ä÷ ª÷«ìª÷áâì ॡ¥à ne = C2
nv.
�¥®à¥¬ 5.1. �®¢÷«ì¨© (¯à®á⨩ â ¥®à÷õ⮢ ¨©) £à ä ¬÷á-â¨âì ¯à¨ ©¬÷ ¤¢÷ ¢¥à訨 ®¤ ª®¢®£® á⥯¥ï.
�®¢¥¤¥ï. �ਯãáâ÷¬®, é® ¢ £à ä÷ G ¢á÷ ¢¥à訨 ¬ îâì à÷§÷ áâ¥-¯¥÷. �®¤÷, ®áª÷«ìª¨ á⥯÷ì ¢¥à訨 õ æ÷«¨¬ ç¨á«®¬ ã ¬¥¦ å ¢÷¤ 0 ¤®nv − 1 (¢á쮣® nv ¬®¦«¨¢¨å § ç¥ì), £à ä G ¬ õ ¬÷áâ¨â¨ ¢¥à訨 ¢á÷åá⥯¥÷¢ ¢÷¤ 0 ¤® nv−1. �⦥, £à ä G ¬ õ ¬÷áâ¨â¨ ÷§®«ì®¢ ã ¢¥àè¨ã v0
(dv0 = 0) â ¢¥àè¨ã vnv−1 á⥯¥ï nv − 1, é® ¥¬®¦«¨¢®: ¢¥àè¨ vnv−1
¬ õ ¡ã⨠áã¬÷¦®î § ãá÷¬ ¢¥àè¨ ¬¨ £à äã G, §®ªà¥¬ § ÷§®«ì®¢ ®î¢¥à訮î v0.
�§ ç¥ï 5.3. �¥å © G { £à ä § ¬®¦¨®î ¢¥àè¨ V â ¬®¦¨-®î ॡ¥à E. �à ä G1 § ¬®¦¨®î ¢¥àè¨ V1 â ¬®¦¨®î ॡ¥à E1
§¨¢ îâì ¯÷¤£à 䮬 £à äã G, ïªé® V1 ⊂ V â E1 ⊂ E.
� ¦«¨¢¨¬ ª« ᮬ ¯÷¤£à ä÷¢ õ £à ä¨, ïª÷ ®âਬãîâì ®¯¥à æ÷ﬨ ¢¨-¤ «¥ï ¢¥àè¨ â ¢¨¤ «¥ï ॡ¥à { § £ «ì¨© §¬÷áâ æ¨å ®¯¥à æ÷© §à®-§ã¬÷«® § §¢¨. �¢ ¦ îâì, é® ã à §÷ ¢¨¤ «¥ï ¢¥à訨 v à §®¬ ÷§ ¢¥à-訮î v ¢¨¤ «ïîâìáï ¢á÷ ॡà , ïª÷ ù© ÷樤¥â÷; ã à §÷ ¢¨¤ «¥ï à¥¡à ¬®¦¨ ¢¥àè¨ ¥ §¬÷îõâìáï.
�ਪ« ¤ 5.4. � à¨á. 5.4 £à ä¨ G2 â G3 ®âਬ ÷ § G1 ¢¨¤ «¥ï¬¢¥à訨 v2 â ॡà e ¢÷¤¯®¢÷¤®.
G1 G2G3
v3
v1
v4
v2
v3
v1
v4
v2
e
v3
v1
v4
�¨á. 5.4
73
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
�¥®à¥¬ 5.2 (⥮६ ¯à® á⥯¥÷ ¢¥àè¨). �㬠á⥯¥÷¢ ãá÷墥àè¨ £à äã ¤®à÷¢îõ ¯®¤¢÷©÷© ª÷«ìª®áâ÷ ॡ¥à:
∑v∈V
dv = 2ne, ¤¥ ne = card(E) { ª÷«ìª÷áâì ॡ¥à ã £à ä÷.
�®¢¥¤¥ï. � áâ®áãõ¬® ¬¥â®¤ ¬ ⥬ â¨ç®ù ÷¤ãªæ÷ù § ne.1. � § ÷¤ãªæ÷ù. ne = 0. �祢¨¤®, ¤«ï ¯®à®¦ì®£® £à äã ⢥द¥-
ï ⥮६¨ á¯à ¢¤¦ãõâìáï.2. �ਯãé¥ï ÷¤ãªæ÷ù. �¥å © ¤«ï £à ä÷¢ § ne ≤ n ⢥द¥ï ⥮-
६¨ á¯à ¢¥¤«¨¢¥.3. �ப ÷¤ãªæ÷ù. �¥å © £à ä G ¬ õ ne = n + 1 ॡà®. �«ï ¤®¢¥¤¥ï
⥮६¨ ¢¨¤ «¨¬® ã £à ä÷ G ¤®¢÷«ì¥ ॡ஠e. �âਬãõ¬® £à ä G § ª÷«ì-ª÷áâî ॡ¥à ne− 1 = n, ¤«ï 类£® ⢥द¥ï ⥮६¨, § ¯à¨¯ãé¥ï¬÷¤ãªæ÷ù, á¯à ¢¥¤«¨¢¥. �⦥, ¤«ï G ¬ õ¬®:
∑v∈V
dv = 2(ne − 1), ¤¥ dv { á⥯÷ì ¢¥à訨 v ã £à ä÷ G.
� à¥èâ÷, ®áª÷«ìª¨ ¢¨¤ «¥¥ ॡ஠e §¡÷«ìè㢠«® áã¬ã á⥯¥÷¢ ¢¥àè¨ 2 (¯® 1 ª®¦ã § ¤¢®å ¢¥àè¨, ÷樤¥â¨å e), ¤«ï £à äã G ¬ õ¬®:
∑v∈V
dv = 2(ne − 1) + 2 = 2ne.
� 㢠¦¥ï 5.1. �¥®à¥¬ 5.2 § «¨è õâìáï ¯à ¢¨«ì®î ÷ ¤«ï ¬ã«ì-⨣à ä÷¢, ïªé® ¢¨§ ç îç¨ á⥯÷ì ¢¥à訨 ¢¢ ¦ â¨, é® ª®¦ ¯¥â«ï§¡÷«ìèãõ á⥯÷ì ¢÷¤¯®¢÷¤®ù ¢¥à訨 2. �®¢¥¤¥ï ⥮६¨ ¯à¨ æ쮬ã¯à ªâ¨ç® ¥ §¬÷îõâìáï.
�ਪ« ¤ 5.5. �«ï £à äã, §®¡à ¦¥®£® à¨á. 5.5, ¬ õ¬® â ª÷ á⥯¥÷¢¥àè¨:
v2 v3v1
v4 v5
�¨á. 5.5
dv1 = dv2 = dv3 = 2, dv4 = 3 (¯¥â«ï §¡÷«ì訫 á⥯÷ì 2), dv5 = 3. �⦥,
∑v∈V
dv =5∑
k=1
dvk= 12 = 2ne.
74
5.3. �¢'ï§÷áâì £à ä÷¢
5.3. �¢'ï§÷áâì £à ä÷¢�§ ç¥ï 5.4. �à ä G §¨¢ îâì §¢'裡¬, ïªé® ¡ã¤ì-ïª÷ ¤¢÷ ©®£®
¢¥à訨 ¬®¦ãâì ¡ã⨠§'õ¤ ÷ è«ï宬. � ªá¨¬ «ì¨© § ¢ª«îç¥ï¬(«⊂») §¢'裡© ¯÷¤£à ä £à äã G §¨¢ îâì §¢'ï§®î ª®¬¯®¥â®î, ¡®®¡« áâî §¢'燐áâ÷.
�祢¨¤®, £à ä §¢'裡© ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¢÷ á ¬ õ ®¡« áâ'燐áâ÷; ã § £ «ì®¬ã ¢¨¯ ¤ªã ª®¦¥ £à ä õ ®¡'õ¤ ï¬ áª÷祮ùª÷«ìª®áâ÷ ®¡« á⥩ §¢'燐áâ÷.
�ਪ« ¤ 5.6. �®§£«ï¥¬® £à ä, §®¡à ¦¥¨© à¨á. 5.6.
�¥© £à ä ¬÷áâ¨âì âਠ®¡« á-â÷ §¢'燐áâ÷: ¯÷¤£à ä § ¢¥àè¨- ¬¨ v1, v2, v3, v4, ¯÷¤£à ä §¢¥àè¨ ¬¨ v5, v6, v7 â ¯÷¤-£à ä, é® ¬÷áâ¨âì ®¤ã ÷§®«ì®-¢ ã ¢¥àè¨ã v8.
G
v2 v6
v3
v7
v1 v5
v4 v8
�¨á. 5.6
�§ ç¥ï 5.5. �à ä G §¨¢ îâì ¤®¯®¢¥ï¬ (¤®¯®¢ï«ì¨¬£à 䮬) ¤® £à äã G, ïªé®:
• ¬®¦¨¨ ¢¥àè¨ £à ä÷¢ G â G §¡÷£ îâìáï;• ¢¥à訨 v1 â v2 áã¬÷¦÷ ¢ £à ä÷ G ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¢®¨ ¥
áã¬÷¦÷ ¢ £à ä÷ G.
�祢¨¤®, ¯¥à¥à÷§ £à ä÷¢ G â G { ¯®à®¦÷© £à ä, ®¡'õ¤ ï Gâ G { ¯®¢¨© £à ä.
�¥®à¥¬ 5.3. �ਠ©¬÷ ®¤¨ ÷§ £à ä÷¢ G ¡® G §¢'裡©.
�®¢¥¤¥ï. �ਯãáâ÷¬®, é® £à ä G ¥ §¢'裡©. �®¢¥¤¥¬®, é® ¢ æì®-¬ã à §÷ £à ä G §¢'裡©.
�áª÷«ìª¨ £à ä G ¥ §¢'裡©, ã G § ©¤¥âìáï ¯à¨ ©¬÷ ®¤ ®¡-« áâì §¢'燐áâ÷ G0 6= G. � ä÷ªáãõ¬® ¤®¢÷«ìã ¢¥àè¨ã v0 ∈ G0 â ¤®¢÷-«ìã ¢¥àè¨ã v /∈ G0. � ¢¨§ ç¥ï¬ ®¡« áâ÷ §¢'燐áâ÷ ¢¥àè¨ v0 ¥õ áã¬÷¦®î (÷ ¢÷âì ¥ §'õ¤ ¦®¤¨¬ è«ï宬) ã £à ä÷ G § ¢¥àè¨-®î v. �®¤÷, § ¢¨§ ç¥ï¬ ¤®¯®¢ï«ì®£® £à äã, ¢¥àè¨ v0 áã¬÷¦
75
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
§ ¢¥à訮î v ã £à ä÷ G. �⦥, ¤¢÷ ¡ã¤ì-ïª÷ ¢¥à訨 v1 â v2 ã £à ä÷G ¡ã¤ãâì §'õ¤ ÷ è«ï宬 ¤®¢¦¨¨ ¥ ¡÷«ìè¥ § 2: ¢¥à訨 v1 â v2 áã-¬÷¦÷ (§'õ¤ ÷ ®¤¨¬ ॡ஬), ïªé® à÷¢® ®¤ § æ¨å ¢¥àè¨ «¥¦¨âìG0; ¢¥à訨 v1 â v2 §'õ¤ ÷ è«ï宬 ¤®¢¦¨¨ 2, é® ¯à®å®¤¨âì ç¥à¥§¤®¢÷«ìã ¢¥àè¨ã v0 ∈ G0, ïªé® v1, v2 /∈ G0; ¢¥à訨 v1 â v2 §'õ¤ ÷è«ï宬 ¤®¢¦¨¨ 2, é® ¯à®å®¤¨âì ç¥à¥§ ¤®¢÷«ìã ¢¥àè¨ã v /∈ G0, ïªé®v1, v2 ∈ G0.
�ਪ« ¤ 5.7. � à¨á. 5.7 §®¡à ¦¥® £à ä G â ©®£® ¤®¯®¢ï«ì¨©G. �à ä G ¥ õ §¢'裡¬, ®¤ ª ¤®¯®¢ï«ì¨© £à ä G { §¢'裡©.
G
v2
v6v3
v1
v5
v4
G
v2
v6v3
v1
v5
v4
�¨á. 5.7
�¯à ¢ 5.1. � ¢¥á⨠¯à¨ª« ¤ £à äã, §¢'燐£® à §®¬ ÷§ ᢮ù¬ ¤®-¯®¢¥ï¬.
�§ ç¥ï 5.6. �®á⮬ §¨¢ îâì ॡ஠£à äã, ¢¨¤ «¥ï 类£®¢¥¤¥ ¤® §¡÷«ìè¥ï ®¡« á⥩ §¢'燐áâ÷. �®çª®î §'õ¤ ï §¨¢ îâ좥àè¨ã £à äã, ¢¨¤ «¥ï 类ù ¢¥¤¥ ¤® §¡÷«ìè¥ï ®¡« á⥩ §¢'燐áâ÷.
�祢¨¤®, ¤«ï §¢'燐£® £à äã ¢¨¤ «¥ï ¬®áâ ç¨ â®çª¨ §'õ¤ ¤¥ ¤® ¢âà ⨠§¢'燐áâ÷.
� áâ㯥 ⢥द¥ï ¥£ ©® ¢¨¯«¨¢ õ § ¢¨§ ç¥ï §¢'燐áâ÷ â ⢥द¥ï «¥¬¨ 5.1.
�¥¬ 5.2. �¥¡à® õ ¬®á⮬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¢®® ¥ ¢å®¤¨âìã ¦®¤¨© ¯à®á⨩ 横«.
76
5.4. �©«¥à®¢÷ ÷ ¯÷¢¥©«¥à®¢÷ £à ä¨
�ਪ« ¤ 5.8. �®§£«ï¥¬® £à ä, §®¡à ¦¥¨© à¨á. 5.8.�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ¢¥àè¨ v2 { â®çª §'õ¤ ï,ॡ஠e { ¬÷áâ. � § 稬®, é® æ¥© £à ä ¬÷áâ¨âì ®¤¨¯à®á⨩ 横« v1v2v3, 直© ¯à®å®¤¨âì ç¥à¥§ ãá÷ à¥¡à £à äã, ªà÷¬ ॡà e.
v2
e
v3
v1
v4
�¨á. 5.8
5.4. �©«¥à®¢÷ ÷ ¯÷¢¥©«¥à®¢÷ £à ä¨�§ ç¥ï 5.7. �©«¥à®¢¨¬ è«ï宬 ã £à ä÷ §¨¢ îâì è«ïå, 直©
¬÷áâ¨âì ª®¦¥ ॡ஠£à äã à÷¢® ®¤¨ à § (¯à®å®¤¨âì ç¥à¥§ ª®¦¥ ॡ஡¥§ ¯®¢â®à¥ì). � ¬ª¥¨© ¥©«¥à÷¢ è«ïå §¨¢ îâì ¥©«¥à®¢¨¬ 横«®¬.�¢'裡© £à ä, é® ¤®¯ã᪠õ ¯®¡ã¤®¢ã ¥©«¥à®¢®£® 横«ã (è«ïåã), §¨-¢ îâì ¥©«¥à®¢¨¬ ( ¯÷¢¥©«¥à®¢¨¬).
�஡«¥¬ ஧¯÷§ ¢ ï ¥©«¥à®¢®áâ÷ â ¯÷¢¥©«¥à®¢®áâ÷ £à ä÷¢ ÷á-â®à¨ç® ¯®¢'ï§ ÷§ ¢÷¤®¬®î ¯à®¡«¥¬®î ª¥÷£á¡¥à§ìª¨å ¬®áâ÷¢. � ¯®-ç âªã XVIII á⮫÷ââï ¢ ¬÷áâ÷ �¥÷£á¡¥à§÷ (¨÷ { � «÷÷£à ¤) ¡ã«® á÷¬¬®áâ÷¢, é® ¢¥«¨ ç¥à¥§ à÷çªã �ॣ¥«ì.
� à¨á. 5.9 §®¡à ¦¥® áå¥-
AA
B B
C
C
D
D
�¨á. 5.9
¬ã ஧â èã¢ ï ª¥÷£á¡¥à§ì-ª¨å ¬®áâ÷¢ â ¢÷¤¯®¢÷¤¨© ¬ã«ì-⨣à ä: ª®¦÷© §¢'ï§÷© ®¡« á-â÷ áãè÷ ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ¢¥àè¨ £à -äã, ª®¦®¬ã ¬®áâã { ॡà®.
�஡«¥¬ : ç¨ ¬®¦ ®¡÷©â¨¢á÷ ¬®á⨠à÷¢® ¯® ®¤®¬ã à -§ã, ¯®¢¥àãâ¨áì ã ¢¨å÷¤¨© ¯ãªâ? �祢¨¤®, ¢ â¥à¬÷ å ⥮à÷ù £à ä÷¢¯à®¡«¥¬ ª¥÷£á¡¥à§ìª¨å ¬®áâ÷¢ §¢®¤¨âìáï ¤® ஧¯÷§ ¢ ï ¥©«¥à®¢®áâ÷¢÷¤¯®¢÷¤®£® £à äã. �î ¯à®¡«¥¬ã ¢ § £ «ì®¬ã ¢¨¯ ¤ªã ஧¢'ï§ ¢ § -¬¥¨â¨© ã票© XVIII áâ®à÷ççï �¥® ठ�©«¥à (á ¬¥ ©®£® ÷¬'ï¬ §¢ ÷横«¨, é® ¬÷áâïâì ª®¦¥ ॡ஠£à äã ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì).
�¥®à¥¬ 5.4 (�. �©«¥à, 1736 à.). �¢'裡© £à ä õ ¥©«¥à®¢¨¬ ⮤÷÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¢á÷ ©®£® ¢¥à訨 ¯ à÷.
77
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
�®¢¥¤¥ï. �¥®¡å÷¤÷áâì. �¥å © £à ä (§¢'裡©) õ ¥©«¥à®¢¨¬. �á-ª÷«ìª¨ ¥©«¥à÷¢ 横« ¬÷áâ¨âì ¢á÷ à¥¡à £à äã ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì, ª®¦ ¢¥à-è¨ , é® ¢å®¤¨âì ¤® 横«ã k à §÷¢, ¢å®¤¨âì ã 横« § ¯ à®î ª÷«ìª÷áâî2k ÷樤¥â¨å ù© ॡ¥à. �⦥, á⥯÷ì ª®¦®ù ¢¥à訨 £à äã õ ¯ à¥ç¨á«® 2k, ¤¥ k { ª÷«ìª÷áâì ¢å®¤¦¥ì ¢¥à訨 ¤® ¥©«¥à®¢®£® 横«ã.
�®áâ â÷áâì. �¥å © ¢á÷ ¢¥à訨 §¢'燐£® £à äã G ¯ à÷. �¢ ¦ -⨬¥¬®, é® G ¥ ¯®à®¦÷© (¢¨¯ ¤®ª ¯®à®¦ì®£® £à äã, ®ç¥¢¨¤®, ¥¯®âॡãõ ¤®¢¥¤¥ï). �®¢¥¤¥ï ¥©«¥à®¢®áâ÷ £à äã G ¯à®¢¥¤¥¬® ¢ ¤¢ ¥â ¯¨.
A. � ä÷ªáãõ¬® ¤®¢÷«ìã ¢¥àè¨ã v0 ∈ V ÷, ¯®ç¨ îç¨ § v0, ¯®¡ã¤ãõ¬®æ¨ª«, é® ¬÷áâ¨âì ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì ¤¥ïª÷ (¥ ®¡®¢'離®¢® ¢á÷) à¥¡à £à äã G.�áª÷«ìª¨ G { §¢'裡© £à ä, ÷áãõ ¯à¨ ©¬÷ ®¤¥ ॡ஠e1, ÷樤¥â¥¢¥àè¨÷ v0. �¥¡à® e1 ¢¥¤¥ ¢÷¤ v0 ¤® ¤¥ïª®ù ¢¥à訨 v1 6= v0. �áª÷«ìª¨ v1
¯ à , ÷áãõ ¯à¨ ©¬÷ ®¤¥ ॡ஠e2 6= e1, ÷樤¥â¥ ¢¥àè¨÷ v1.� § £ «ì®¬ã ¢¨¯ ¤ªã, ¥å © n-¬ã ªà®æ÷ ¬¨ ¯®¡ã¤ã¢ «¨ è«ïå
v0e1v1 . . . envn, â ª¨©, é® vk 6= v0 ¯à¨ 0 < k < n â ek 6= ej ¯à¨ k 6= j(¯÷¤ªà¥á«¨¬®, é® ¢¥à訨 ¢ ¯®¡ã¤®¢ ®¬ã è«ïåã ¬®¦ãâì ¯®¢â®àî¢ -â¨áì). �ªé® vn = v0, ¯®¡ã¤®¢ ¨© è«ïå õ 横«®¬. �¥å © vn 6= v0. �¥å ©¢¥àè¨ vn ¢å®¤¨âì ã ¯®¡ã¤®¢ ¨© è«ïå m à §÷¢. �®¤÷ ¯®¡ã¤®¢ ¨© è«ïå¬÷áâ¨âì 2m−1 ॡ¥à, ÷樤¥â¨å vn: ¯à¨ ¢á÷å ¢å®¤¦¥ïå, ®ªà÷¬ ®áâ -쮣®, ¢¥àè¨ vn ¢å®¤¨âì § ¤¢®¬ ÷樤¥â¨¬¨ ù© à¥¡à ¬¨, ¯à¨ ®áâ -쮬㠢室¦¥÷ ¤®¤ õâìáï ॡ஠en. �⦥, ¬ õ ÷á㢠⨠¯à¨ ©¬÷ ®¤¥à¥¡à® en+1, ÷樤¥â¥ vn, é® ¥ ¢å®¤¨âì ã ¯®¡ã¤®¢ ¨© è«ïå. �®¤ ¬® à¥-¡à® en+1 ¤® ¯®¡ã¤®¢ ®£® è«ïåã, ®âਬãîç¨ è«ïå v0e1v1 . . . envnen+1vn+1,÷ â. ¤. �¥© ¯à®æ¥á ¬ õ § ª÷ç¨â¨áì ( ¢¥àè¨÷ v0) § áª÷ç¥ã ª÷«ìª÷áâìªà®ª÷¢, ®áª÷«ìª¨ £à ä G ¬ õ áª÷ç¥ã ª÷«ìª÷áâì ॡ¥à.
B. �¥å © 横« P , ¯®¡ã¤®¢ ¨© ¯¥à讬㠥⠯÷, ¬÷áâ¨âì ¥ ¢á÷ à¥¡à £à äã G (÷ ªè¥ ¯®¡ã¤®¢ ¨© 横« P { ¥©«¥à÷¢). �®§£«ï¥¬® £à ä G1,®âਬ ¨© § £à äã G ¢¨¤ «¥ï¬ ãá÷å ॡ¥à, ïª÷ ã¢÷©è«¨ ¢ 横« P .�祢¨¤®, G1 ¬÷áâ¨âì â÷ ÷ â÷«ìª¨ â÷ ॡà , ïª÷ ¥ ã¢÷©è«¨ ¢ P . �¢÷¤á¨¢¨¯«¨¢ õ, é® ª®¦ ¢¥àè¨ £à äã G1 ¯ à . �áª÷«ìª¨ £à ä G §¢'裡©,横« P ¬÷áâ¨âì ¯à¨ ©¬÷ ®¤ã ¢¥àè¨ã vk, ïª ÷樤¥â ¤¥ïª®¬ãॡàã £à äã G1. � áâ®á㢠¢è¨ «£®à¨â¬ ¯¥à讣® ¥â ¯ã ¤«ï £à äã G1 §¯®ç ⪮¢®î ¢¥à訮î vk, ¯®¡ã¤ãõ¬® 横« Q, é® ¬÷áâ¨âì ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì¤¥ïª÷ (¬®¦«¨¢®, ¥ ¢á÷) à¥¡à £à äã G1.
78
5.4. �©«¥à®¢÷ ÷ ¯÷¢¥©«¥à®¢÷ £à ä¨
� à¥èâ÷, ¯®¡ã¤ãõ¬® 横«P1 = vkPvkQvk, é® ¬÷á-â¨âì ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì ¢á÷ à¥-¡à , ïª÷ ã¢÷©è«¨ ¢ 横«¨P â Q. �® áãâ÷, ¬¨ ⨬-ç ᮢ® «à®§¬¨ª õ¬®» 横«P ã ¢¥àè¨÷ vk ÷ ¤®¤ õ¬®æ¨ª« Q (à¨á. 5.10). �祢¨¤-®, 楩 ¯à®æ¥á ¬ õ § ª÷-ç¨â¨áì § áª÷ç¥ã ª÷«ì-ª÷áâì ªà®ª÷¢ ¯®¡ã¤®¢®î ¥©-«¥à®¢®£® 横«ã ¢ £à ä÷ G.
vk
P
P1: –1 2–3v vk k– –4–5–6–7–8–9–
Q12
3
45
6 7
89
�¨á. 5.10
� á«÷¤®ª. �¢'裡© £à ä õ ¯÷¢¥©«¥à®¢¨¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨¢÷ ¬÷áâ¨âì ¥ ¡÷«ìè¥ ïª ¤¢÷ ¥¯ à÷ ¢¥à訨.
�®¢¥¤¥ï. �¥®¡å÷¤÷áâì. �¥å © £à ä õ ¯÷¢¥©«¥à®¢¨¬, «¥ ¥ ¥©«¥-஢¨¬ (¤«ï ¥©«¥à®¢®£® £à äã ¢á÷ ¢¥à訨 ¯ à÷). �«ï ¤®¢¥¤¥ï ÷áã-¢ ï à÷¢® ¤¢®å ¥¯ à¨å ¢¥àè¨ ¤®áâ âì® §'õ¤ ⨠¯®ç ⮪ â ª÷¥æ쥩«¥à®¢®£® è«ïåã ÷ § áâ®á㢠⨠¤® ®âਬ ®£® £à äã ⢥द¥ï ®á®¢-®ù ⥮६¨.
�®áâ â÷áâì. �¥å © £à ä ¬ õ ¤¢÷ ¥¯ à÷ ¢¥à訨 (á¨âã æ÷ï ®¤÷õù¥¯ à®ù ¢¥à訨 ¥¬®¦«¨¢ ç¥à¥§ ⥮६ã 5.2 { ¯à® á⥯¥÷ ¢¥àè¨).�«ï ¤®¢¥¤¥ï ¯÷¢¥©«¥à®¢®áâ÷ ¤®áâ âì® §'õ¤ ⨠ॡ஬ ¤¢÷ ¥¯ à÷¢¥à訨 ÷ § áâ®á㢠⨠⢥द¥ï ®á®¢®ù ⥮६¨.
� 㢠¦¥ï 5.2. �¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, é® § áâ÷ à÷¢® ¤¢®å ¥¯ à-¨å ¢¥àè¨ ã §¢'燐¬ã £à ä÷ ¥©«¥à÷¢ è«ïå ¬ õ ¯®ç¨ â¨áì â § ª÷çã-¢ â¨áì á ¬¥ ¢ ¥¯ à¨å ¢¥àè¨ å.
�¯à ¢ 5.2. �§ £ «ì¨â¨ ¤®¢¥¤¥ï ⥮६¨ 5.4 â ùù á«÷¤ªã ¢¨-¯ ¤®ª ¬ã«ì⨣à ä÷¢ ( £ ¤ õ¬®, é® ¯¥â«ï §¡÷«ìèãõ á⥯÷ì ¢¥à訨 2).
�ਪ« ¤ 5.9. �à ä «ª¥÷£á¡¥à§ìª÷ ¬®á⨻ (¤¨¢. à¨á. 5.9) ¥ õ ÷¥©«¥à®¢¨¬, ÷ ¢÷âì ¯÷¢¥©«¥à®¢¨¬, ®áª÷«ìª¨ ¢á÷ ©®£® ¢¥à訨 ¥¯ à÷.
�® ஧¯÷§ ¢ ï ¥©«¥à®¢®áâ÷ ( ¯÷¢¥©«¥à®¢®áâ÷) £à ä÷¢ §¢®¤¨âìá冷¡à¥ ¢÷¤®¬ ¤ ¢ï ¯à®¡«¥¬ : ¬ «î¢ ⨠ä÷£ãàã, ¥ ¢÷¤à¨¢ îç¨ ®«÷-¢¥æì ¢÷¤ ¯ ¯¥àã, § ¯®¢¥à¥ï¬ (¡¥§ ¯®¢¥à¥ï) ¤® ¢¨å÷¤®ù â®çª¨.
79
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
�ਪ« ¤ 5.10. �®§£«ï¥¬® £à ä, §®¡à ¦¥¨© à¨á. 5.11.�¥© £à ä ¢÷¤¯®¢÷¤ õ áâ த ¢÷©
v4
v2
v5 v6
v3v1
�¨á. 5.11
(¯à¨¡«¨§® â¨áïç ப÷¢) ¯à®¡-«¥¬÷ «è ¡«¥© � £®¬¥â » { âॡ ¬ «î¢ ⨠«è ¡«÷ � £®¬¥â »,¥ ¢÷¤à¨¢ îç¨ ®«÷¢¥æì ¢÷¤ ¯ ¯¥àã.�祢¨¤®, ¯à®¡«¥¬ ¬ õ ஧¢'ï-§®ª, ®áª÷«ìª¨ £à ä ¥©«¥à÷¢ (ãá÷¢¥à訨 ¯ à÷). �¤¨¬ § ¬®¦-«¨¢¨å ( «¥ ¥ õ¤¨¨¬) ¥©«¥à®¢¨å
横«÷¢ ã æ쮬㠣à ä÷ õ 横« v1v2v6v5v4v2v3v5v1.�«ï ¯à ªâ¨ç®ù ¯®¡ã¤®¢¨ ¥©«¥à®¢®£® 横«ã (è«ïåã) ¬®¦ ᪮à¨á-
â â¨áì ¤ã¦¥ ¯à®á⨬ ⠥䥪⨢¨¬ «£®à¨â¬®¬ �«¥à÷ .
5.4.1. �«£®à¨â¬ �«¥à÷
1. �©«¥à÷¢ 横« ¬®¦ ¯®ç¨ ⨠§ ¡ã¤ì-类ù ¢¥à訨 (¥©«¥à÷¢ è«ïåâॡ ¯®ç¨ ⨠§ ®¤÷õù § ¥¯ à¨å ¢¥àè¨).
2. �÷¤ ç á ¯®¡ã¤®¢¨ ¥©«¥à®¢®£® 横«ã (è«ïåã) § £à äã ¢¨¤ «ïîâìॡà , é® ¢å®¤ïâì ¤® 横«ã.
3. � ª®¦®¬ã ªà®æ÷ ¬®¦ ¢¨¡¨à ⨠¤®¢÷«ì¥ ॡà®, 瘟, § ¬®¦«¨-¢®áâ÷, ¥ õ ¬®á⮬ (§ ãà åã¢ ï¬ ¢¨¤ «¥ï ॡ¥à ¯®¯¥à¥¤÷å ªà®-ª å); ¬÷áâ ¬®¦ ®¡¨à ⨠«¨è¥ ⮤÷, ª®«¨ ¢á÷ ॡà , ÷樤¥â÷ ¤ ÷©¢¥àè¨÷, õ ¬®áâ ¬¨.
�¡óàãâã¢ ï ª®à¥ªâ®áâ÷ «£®à¨â¬ã �«¥à÷ ¤¨¢., ¯à¨ª« ¤, ¢ [8].�ਪ« ¤ 5.11. �®§£«ï¥¬® £à ä à¨á. 5.12.
v2
e1
e3e2
e5
e6
e7
e8
e4
v3v1
v4v5
�¨á. 5.12
�¥© £à ä õ ¯÷¢¥©«¥à®¢¨¬, ®áª÷«ìª¨ ¬ õ à÷¢®¤¢÷ ¥¯ à÷ ¢¥à訨 (v4 â v5). � áâ®á®¢ãîç¨ «-£®à¨â¬ �«¥à÷, ®âਬãõ¬® ®¤¨ ÷§ ¬®¦«¨¢¨å ¥©«¥-஢¨å è«ïå÷¢: v4e1v1e2v2e3v3e4v5e5v1e6v3e7v4e8v5.� § 稬®, é® âàì®å ®áâ ÷å ªà®ª å ®¡à ®¬®á⨠e6, e7 â e8, ®áª÷«ìª¨ ¡ã«® ¥¬®¦«¨¢® ¢¨-¡à ⨠ॡà®, 瘟 ¥ õ ¬®á⮬.
80
5.5. �®ïââï ¯à® £ ¬÷«ìâ®®¢÷ â ¯÷¢£ ¬÷«ìâ®®¢÷ £à ä¨
5.5. �®ïââï ¯à® £ ¬÷«ìâ®®¢÷â ¯÷¢£ ¬÷«ìâ®®¢÷ £à ä¨
�§ ç¥ï 5.8. � ¬÷«ìâ®®¢¨¬ è«ï宬 ã £à ä÷ §¨¢ îâì ¯à®á⨩è«ïå, 直© ¬÷áâ¨âì ª®¦ã ¢¥àè¨ã £à äã à÷¢® ®¤¨ à § (¯à®å®¤¨âìç¥à¥§ ª®¦ã ¢¥àè¨ã ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì). � ¬ª¥¨© £ ¬÷«ìâ®÷¢ è«ïå -§¨¢ îâì £ ¬÷«ìâ®®¢¨¬ 横«®¬. �à ä, é® ¤®¯ã᪠õ ¯®¡ã¤®¢ã £ ¬÷«ìâ®-®¢®£® 横«ã, §¨¢ îâì £ ¬÷«ìâ®®¢¨¬. �à ä, é® ¤®¯ã᪠õ ¯®¡ã¤®¢ã£ ¬÷«ìâ®®¢®£® è«ïåã, §¨¢ îâì ¯÷¢£ ¬÷«ìâ®®¢¨¬.
öáâ®à¨ç® ¯à®¡«¥¬ ஧¯÷§ ¢ ï£ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷ £à äã ¯®¢'ï§ § £®-«®¢®«®¬ª®î «ªà㣮á¢÷âï ¯®¤®à®¦»,§ ¯à®¯®®¢ ®î 1859 பã ÷à« ¤áì-ª¨¬ ¬ ⥬ ⨪®¬ �÷«ìאַ¬ � ¬÷«ìâ®-®¬: ª®¦÷© § ¤¢ ¤æï⨠¢¥àè¨ ¤®¤¥ª -¥¤à (à¨á. 5.13) ¢÷¤¯®¢÷¤ õ §¢ ®¤®-£® § ¢¥«¨ª¨å ¬÷áâ á¢÷âã; ¯®âà÷¡®, ¯¥à¥-á㢠îç¨áì ¯® ॡà å £à äã, ®¡÷©â¨ ¢á÷¢¥à訨 à÷¢® ¯® ®¤®¬ã à §ã â ¯®-¢¥àãâ¨áì ã ¯ãªâ ¯®ç âªã ¯®¤®à®¦÷. �¨á. 5.13
�஡«¥¬¨ ஧¯÷§ ¢ ï ¥©«¥à®¢®áâ÷ ( ¯÷¢¥©«¥à®¢®áâ÷) â £ ¬÷«ìâ®-®¢®áâ÷ ( ¯÷¢£ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷) £à ä÷¢, ¥§¢ ¦ îç¨ ùå §®¢÷èî áå®-¦÷áâì, ¯à¨æ¨¯®¢® à÷§÷. �«ï ஧¯÷§ ¢ ï ¥©«¥à®¢®áâ÷ £à äã ÷áãõ¥ä¥ªâ¨¢¨© ªà¨â¥à÷© (⥮६ 5.4), ¤«ï ¯à ªâ¨ç®ù ¯®¡ã¤®¢¨ ¥©«¥à®-¢®£® 横«ã ¬®¦ ᪮à¨áâ â¨áì ¯à®á⨬ â §àã稬 «£®à¨â¬®¬ �«¥à÷.
�¨âã æ÷ï 鮤® £ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷ ¡ £ ⮠᪫ ¤÷è { á쮣®¤÷ ¥ ÷á-ãõ ¥ä¥ªâ¨¢®£® ªà¨â¥à÷î (⥮६¨ ¯à® ¥®¡å÷¤÷ â ¤®áâ â÷ 㬮¢¨) £ -¬÷«ìâ®®¢®áâ÷ ( ¯÷¢£ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷) £à ä÷¢. �à®â¥ ÷áãõ àï¤ â¥®à¥¬ ¯à®¥®¡å÷¤÷ 㬮¢¨ â àï¤ â¥®à¥¬ ¯à® ¤®áâ â÷ 㬮¢¨ £ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷ ( -¯÷¢£ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷). �¥ïª÷ § æ¨å ⥮६ ஧£«ï¥¬® ¢ æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷.
5.5.1. �¥®¡å÷¤÷ 㬮¢¨ £ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷ £à ä÷¢� áâ㯠«¥¬ ¢®¤¨âì ¤¢ ®ç¥¢¨¤¨å ⨯¨ £à ä÷¢, «¥¦÷áâì ¤®
ïª¨å ¢¨ª«îç õ ¬®¦«¨¢÷áâì £ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷.
81
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
�¥¬ 5.3. �®¤¥ £à ä, é® ¬÷áâ¨âì â®çªã §'õ¤ ï ¡® ¬÷áâ, ¥õ £ ¬÷«ìâ®®¢¨¬.
�¢¥à¤¦¥ï «¥¬¨ 5.3 ¢¨¯«¨¢ õ ¡¥§¯®á¥à¥¤ì® § ¢¨§ ç¥ï ¬®áâ â â®çª¨ §'õ¤ ï.
�®§£«ï¥¬® é¥ ®¤¨ ¢ ¦«¨¢¨© ª« á £à ä÷¢, «¥¦÷áâì ¤® 类£® ¢¨-ª«îç õ ¬®¦«¨¢÷áâì £ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷.
�§ ç¥ï 5.9. �à ä G §¨¢ îâì Θ-£à 䮬 (â¥â -£à 䮬), ïªé®¢÷ ᪫ ¤ õâìáï § ¤¢®å ¢¥àè¨ á⥯¥÷ 3, ᯮ«ã票å âà쮬 ¯à®á⨬¨è«ïå ¬¨ ¤®¢¦¨®î ¥ ¬¥è¥ 2, é® ¯®¯ à® ¥ ¯¥à¥â¨ îâìáï (¦®¤-÷ ¤¢ § æ¨å âàì®å è«ïå÷¢ ¥ ¬ îâì á¯÷«ì¨å ¢¥àè¨, ®ªà÷¬ á¯÷«ì®£®¯®ç âªã â á¯÷«ì®£® ª÷æï).
�ਪ« ¤ 5.12. �à ä¨ G1 â G2, §®¡à ¦¥÷ à¨á. 5.14, { ¯à¨ª« ¤¨Θ-£à ä÷¢, ®¤ ª £à ä G3 ¥ õ Θ-£à 䮬.
v8
v7
v2 v2
v2 v6
v6
v3 v3v3
v1 v1v1 v4
v4
v4
v5v5
v5
G1 G2 G3
�¨á. 5.14
�¥®à¥¬ 5.5. �®¤¥ Θ-£à ä ¥ õ £ ¬÷«ìâ®®¢¨¬.
�®¢¥¤¥ï. �ਯãáâ÷¬®, é® â¢¥à¤¦¥ï ⥮६¨ ¥ á¯à ¢¤¦ãõâìáï.
v2
v1
S1 S3S2
�¨á. 5.15
�¥å © Θ-£à ä G ¬÷áâ¨âì ¤¢÷ ¢¥à訨 v1 â v2, ᯮ«ãç¥÷âà쮬 è«ïå ¬¨ S1, S2, S3 ¤®¢¦¨®î ¥ ¬¥è¥ 2, é® ¯®-¯ à® ¥ ¯¥à¥â¨ îâìáï (à¨á. 5.15). �ਯãáâ÷¬®, é® £à äG õ £ ¬÷«ìâ®®¢¨¬. �áª÷«ìª¨ è«ïå¨ S1, S2, S3 ¬÷áâïâì¯à¨ ©¬÷ ¯® ®¤÷© ¢¥àè¨÷ (¥ ¢à 客ãîç¨ v1 â v2), £ -¬÷«ìâ®÷¢ 横« ¬ õ ¯à®å®¤¨â¨ à÷¢® ¯® ®¤®¬ã à §ã ç¥à¥§ª®¦¥ ÷§ è«ïå÷¢ S1, S2 â S3. �«¥ ⮤÷, ¢à 客ãîç¨ § ¬ª-¥÷áâì, 横« ¬ õ ¯à®©â¨ ¤¢÷ç÷ ¯® ¢¥àè¨ å v1 â v2, é®á㯥à¥ç¨âì ¢¨§ ç¥î £ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷ 横«ã.
82
5.5. �®ïââï ¯à® £ ¬÷«ìâ®®¢÷ â ¯÷¢£ ¬÷«ìâ®®¢÷ £à ä¨
� 㢠¦¥ï 5.3. �®¤¥ Θ-£à ä ¥ õ £ ¬÷«ìâ®®¢¨¬, ®¤ ª ª®¦¥Θ-£à ä õ ¯÷¢£ ¬÷«ìâ®®¢¨¬. � ª, Θ-£à ä¨ G1 â G2 § ¯à¨ª«. 5.12 ¤®-¯ã᪠îâì £ ¬÷«ìâ®®¢÷ è«ïå¨ v3v1v2v5v4 (G1) â v6v3v1v2v5v8v7v4 (G2).
5.5.2. �®áâ â÷ 㬮¢¨ £ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷ £à ä÷¢� ¢¥¤¥¬® ¡¥§ ¤®¢¥¤¥ï ¤¥ïª÷ ¤®áâ â÷ 㬮¢¨ £ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷ â -
¯÷¢£ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷ £à ä÷¢.
�¥®à¥¬ 5.6 (�. �à¥, 1960 à.). �¥å © G { §¢'裡© £à ä § ª÷«ì-ª÷áâî ¢¥àè¨ n = card(V ) ≥ 3.
1. �ªé® ¤«ï ¡ã¤ì-类ù ¯ ਠ¥áã¬÷¦¨å ¢¥àè¨ u â v ¢¨ª®ãõâìáï¥à÷¢÷áâì du + dv ≥ n, £à ä G { £ ¬÷«ìâ®÷¢.
2. �ªé® ¤«ï ¡ã¤ì-类ù ¯ ਠ¥áã¬÷¦¨å ¢¥àè¨ u â v ¢¨ª®ãõâìáï¥à÷¢÷áâì du + dv ≥ n− 1, £à ä G { ¯÷¢£ ¬÷«ìâ®÷¢.
� ⥮६¨ 5.6 ¥£ ©® ¢¨¯«¨¢ õ â ª¨© १ã«ìâ â (¤®¢¥¤¥¨©, é®¯à ¢-¤ , ª÷«ìª ப÷¢ à ÷è¥ â¥®à¥¬¨ 5.6).
�¥®à¥¬ 5.7 (�. �÷à ª, 1953 à.). �¥å © G { §¢'裡© £à ä § ª÷«ì-ª÷áâî ¢¥àè¨ n = card(V ) ≥ 3. �ªé® ¤«ï ¡ã¤ì-类ù ¢¥à訨 v ∈ V¢¨ª®ãõâìáï ¥à÷¢÷áâì dv ≥ n/2, £à ä G õ £ ¬÷«ìâ®®¢¨¬.
�¥ ®¤ ¤®áâ âï 㬮¢ £ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷ ¯®¢'ï§ § ï¢÷áâîΘ-¯÷¤£à ä÷¢.
�¥®à¥¬ 5.8. �ã¤ì-直© §¢'裡© ¥£ ¬÷«ìâ®÷¢ £à ä ¡¥§ ¬®áâ÷¢ â â®ç®ª §'õ¤ ï ¬÷áâ¨âì Θ-¯÷¤£à ä.
�à ªâ¨ç¥ § áâ®á㢠ï ⥮६¨ 5.8 ¯®¢'ï§ ¥ § «÷§®¬ áâ÷Θ-¯÷¤£à ä÷¢: §¢'裡© £à ä ¡¥§ ¬®áâ÷¢ â®ç®ª §'õ¤ ï, é® ¥ ¬÷áâ¨âìΘ-¯÷¤£à ä÷¢, § ⥮६®î 5.8 õ £ ¬÷«ìâ®®¢¨¬.
�à® ÷è÷ ¤®áâ â÷ 㬮¢¨ £ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷ ¤¨¢. [8].� § 稬®, é® â¥®à¥¬¨ 5.6, 5.7 â 5.8 ¤ îâì «¨è¥ ¤®áâ â÷, «¥ ¥
¥®¡å÷¤÷ 㬮¢¨ £ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷ £à äã.
�ਪ« ¤ 5.13. �¤¥ § ©¢ ¦«¨¢÷è¨å § áâ®á㢠ì ⥮à÷ù £ ¬÷«ì-â®®¢¨å £à ä÷¢ ¯®¢'ï§ ¥ § ¯à®¡«¥¬®î ªã¯æï (ª®¬÷¢®ï¦¥à ). � ¢¥¤¥¬®
83
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
¤¥é® á¯à®é¥¥ ä®à¬ã«î¢ ï æ÷õù ¯à®¡«¥¬¨: ªã¯¥æì ¯®¢¨¥, ª®à¨á-âãîç¨áì á¨á⥬®î ¤®à÷£, ¯®¡ã¢ ⨠¢ ãá÷å ᥫ¥¨å ¯ãªâ å ªà ù¨ â ¯®¢¥àãâ¨áì ¤® ¯ãªâã ¯®ç âªã ¯®¤®à®¦÷ (¯®à÷¢ï©â¥ § £®«®¢®«®¬ª®î�. � ¬÷«ìâ® ). �祢¨¤®, ¯à®¡«¥¬ §¢®¤¨âìáï ¤® ஧¯÷§ ¢ ï £ ¬÷«ì-â®®¢®áâ÷ ¢÷¤¯®¢÷¤®£® £à äã.
�ਪ« ¤ 5.14. �¥ ®¤¥ æ÷ª ¢¥ § áâ®á㢠ï ⥮à÷ù £ ¬÷«ìâ®®¢¨å£à ä÷¢ ¯®¢'ï§ ¥ § ¯à®¡«¥¬®î ®¡å®¤ã è 客¨¬ ª®¥¬ ¢á÷å ª«÷⨮ª è -å÷¢¨æ÷ à÷¢® ¯® ®¤®¬ã à §ã, § ¯®¢¥à¥ï¬ ç¨ ¡¥§ ¯®¢¥à¥ï ¤® ¯®-ç ⪮¢®£® ¯®«ï. �ï ¯à®¡«¥¬ §¢®¤¨âìáï ¤® ஧¯÷§ ¢ ï £ ¬÷«ìâ®®¢®á-â÷ ( ¯÷¢£ ¬÷«ìâ®®¢®áâ÷) £à äã § 64 ¢¥àè¨ ¬¨: ª®¦ ¢¥àè¨ £à äã¢÷¤¯®¢÷¤ õ ¯¥¢®¬ã ¯®«î è å÷¢¨æ÷; áã¬÷¦¨¬¨ õ â÷ ÷ â÷«ìª¨ â÷ ¢¥à訨,ïª÷ ¬®¦ãâì ¡ã⨠§'õ¤ ÷ è å÷¢¨æ÷ 室®¬ ª®ï.
�ª ¢÷¤®¬®, æï ¯à®¡«¥¬ ¬ õ ஧¢'燐ª: ¢á÷ ¯®«ï è å÷¢¨æ÷ ¬®¦ ®¡÷©-⨠室®¬ ª®ï, ¯®¢¥àã¢è¨áì ¤® ¯®ç ⪮¢®£® ¯®«ï. � § 稬®, é® ¤®¢÷¤¯®¢÷¤®£® £à äã ¥ ¬®¦ § áâ®á㢠⨠¦®¤ã § ⥮६ 5.6, 5.7 ¡®5.8 { 㬮¢¨ æ¨å ⥮६ ¥ ¢¨ª®ãîâìáï, ¯à®â¥ £à ä õ £ ¬÷«ìâ®®¢¨¬.
5.6. �¯¥æ÷ «ì÷ ⨯¨ £à ä÷¢5.6.1. �¥£ã«ïà÷ £à ä¨
�§ ç¥ï 5.10. �¥£ã«ïਬ £à 䮬 §¨¢ îâì £à ä, ãá÷ ¢¥à訨类£® ¬ îâì ®¤ ª®¢¨© á⥯÷ì.
�ਪ« ¤ 5.15. �¥£ã«ïਬ £à 䮬, ®ç¥¢¨¤®, õ ¤®¢÷«ì¨© ¯®¢¨©£à ä (dv = n − 1, ¤¥ n = card(V )), â ª®¦ ¤®¢÷«ì¨© ¯®à®¦÷© £à ä(dv = 0).
�ਪ« ¤ 5.16. �à ä, §®¡à ¦¥¨© à¨á. 5.16, { ॣã«ï਩: dv = 2¤«ï ¢á÷å v ∈ V .
�¨á. 5.16
84
5.6. �¯¥æ÷ «ì÷ ⨯¨ £à ä÷¢
5.6.2. �¢®¤®«ì÷ £à ä¨�§ ç¥ï 5.11. �¢®¤®«ì¨¬ §¨¢ îâì £à ä, ¬®¦¨ã ¢¥àè¨
类£® ¬®¦ ஧¡¨â¨ ¤¢÷ ¥¯®à®¦÷ ¯÷¤¬®¦¨¨ (¤®«÷) V1 â V2
(V1 ∩ V2 = ∅) â ª, é® ¡ã¤ì-ïª÷ ¤¢÷ ¢¥à訨 § ®¤÷õù ¤®«÷ Vk (k = 1, 2)õ ¥áã¬÷¦¨¬¨.
�ਪ« ¤ 5.17. �à ä, §®¡à ¦¥¨© à¨á. 5.17, õ ¤¢®¤®«ì¨¬:V1 = {v1, v3, v5}, V2 = {v2, v4, v6}.
v2v3
v1v4
v5
v6
�¨á. 5.17
�¥®à¥¬ 5.9 (�. �ì®÷£, 1936 à.). �à ä õ ¤¢®¤®«ì¨¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨â®¤÷, ª®«¨ ¢á÷ ©®£® 横«¨ ¬ îâì ¯ àã ¤®¢¦¨ã.
�®¢¥¤¥ï ¥®¡å÷¤®áâ÷. �¥å © £à ä G § ¬®¦¨®î ¢¥àè¨ V õ ¤¢®-¤®«ì¨¬. �®¤÷ ¬®¦¨ V ¬®¦¥ ¡ã⨠§®¡à ¦¥ ã ä®à¬÷ V = V1 ∪ V2,V1∩V2 = ∅ â ª, é® ¡ã¤ì-ïª÷ ¤¢÷ ¢¥à訨 § ®¤÷õù ¯÷¤¬®¦¨¨ Vk (k = 1, 2)õ ¥áã¬÷¦¨¬¨.
�®§£«ï¥¬® ¤®¢÷«ì¨© 横« v1v2 . . . vn (vn = v1). �¥§ ¢âà ⨠§ £ «ì-®áâ÷ ¯à¨¯ãáâ÷¬®, é® v1 ∈ V1. �®¤÷, ¢à 客ãîç¨ áã¬÷¦÷áâì v1 â v2, ®âà¨-¬ãõ¬®, é® v2 /∈ V1, ⮡⮠v2 ∈ V2. � «®£÷ç®, v3 ∈ V1, v4 ∈ V2 ÷ â. ¤., ⮡â®v2k+1 ∈ V1, v2k ∈ V2 (0 ≤ 2k ≤ n). �áª÷«ìª¨ vn = v1 ∈ V1, ®âਬãõ¬®, é®n = 2k + 1 ÷ ¤®¢¦¨ 横«ã n− 1 = 2k { ¯ ॠç¨á«®.
�¯à ¢ 5.3. � ¬®áâ÷©® ¤®¢¥á⨠¤®áâ â÷áâì 㬮¢¨ ¯ à®áâ÷ ¢á÷å横«÷¢ ¤«ï ¤¢®¤®«ì®áâ÷ £à äã.
�ª §÷¢ª . �®áâ âì® ®¡¬¥¦¨â¨áì ¢¨¯ ¤ª®¬ §¢'燐£® £à äã, ®áª÷«ìª¨¥§¢'裡© £à ä õ ®¡'õ¤ ï¬ áª÷祮ù ª÷«ìª®áâ÷ ®¡« á⥩ §¢'燐áâ÷.�«ï §¢'燐£® £à äã, é® ¬÷áâ¨âì «¨è¥ 横«¨ ¯ à®ù ¤®¢¦¨¨, ஧£«ïì-⥠⠪¥ ¢÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ ¬®¦¨÷ ¢¥àè¨ V : v1 ∼ v2 ⮤÷÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ v1 â v2 §'õ¤ ÷ «¨è¥ è«ïå ¬¨ ¯ à®ù ¤®¢¦¨¨. �¥-ॢ÷àâ¥, é® ¢¢¥¤¥¥ ¢÷¤®è¥ï á¯à ¢¤÷ õ ¢÷¤®è¥ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷,÷ ä ªâ®à-¬®¦¨ V
/∼ = {V1, V2} ¤ õ è㪠¥ ஧¡¨ââï ¬®¦¨¨ V .
85
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
5.6.3. �¥à¥¢ �¥à¥¢®¬ §¨¢ îâì §¢'裡© £à ä, é® ¥ ¬÷áâ¨âì ¯à®áâ¨å 横«÷¢.
�÷ᮬ §¨¢ îâì £à ä, é® õ ®¡'õ¤ ï¬ ¤¥à¥¢, ïª÷ ¯®¯ à® ¥ ¯¥à¥à÷-§ îâìáï.
�ਪ« ¤ 5.18. �à ä, §®¡à ¦¥¨© à¨á. 5.18, õ «÷ᮬ (®¡'õ¤ 濫®å ¤¥à¥¢, ïª÷ ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï).
�¨á. 5.18
�¤¥¡÷«ì讣® ¤®æ÷«ì® ¢¨¤÷«¨â¨ ®¤ã § ¢¥àè¨ ¤¥à¥¢ ïª ¯®ç ⪮-¢ã (¢¥àè¨ , § 类ù ¤¥à¥¢® «§à®áâ õ»). �¥à¥¢® § ¢¨¤÷«¥®î ¢¥àè¨®î §¨¢ îâì ª®à¥¥¢¨¬ ¤¥à¥¢®¬, ¢¨¤÷«¥ã ¢¥àè¨ã §¨¢ îâì ª®à¥¥¢®î¢¥à訮î, ¡® ª®à¥¥¬. �÷¤ªà¥á«¨¬®, é® ª®à¥¥¬ ¬®¦ ¢¨¡à ⨠¤®¢÷«ì-ã ¢¥àè¨ã ¤¥à¥¢ ; ¤®æ÷«ì÷áâì ¢¨¡®àã ª®à¥¥¢®ù ¢¥à訨 ¢¨§ ç õâìáï¯à®¡«¥¬®î, ïª à®§¢'ï§ãõâìáï § ¤®¯®¬®£®î ¤ ®£® ¤¥à¥¢ . �ª ¯à ¢¨«®,ª®à¥¥¢÷ ¤¥à¥¢ §®¡à ¦ãîâì â ª, 鮡 ¤¥à¥¢® «§à®áâ «®» ¢÷¤ ª®à¥ï ¢®¤®¬ã ä÷ªá®¢ ®¬ã ¯àשׁã { ¢¨§, ¢£®àã, ¢¯à ¢® ¡® ¢«÷¢®.
�÷¢¥¬ ¢¥à訨 ª®à¥¥¢®£® ¤¥à¥¢ §¨¢ îâì ¤®¢¦¨ã ¯à®á⮣®è«ïåã, é® §'õ¤ãõ æî ¢¥àè¨ã § ª®à¥¥¬. �®¦¨ã ¢¥àè¨ n-£® à÷¢-ï §¨¢ îâì n-¬ ïàãᮬ ª®à¥¥¢®£® ¤¥à¥¢ . �祢¨¤®, ïàãá à÷¢ï 0§ ¢¦¤¨ ¬÷áâ¨âì «¨è¥ á ¬ã ª®à¥¥¢ã ¢¥àè¨ã.
� ¦ãâì, é® ¢¥àè¨ v1 n-£® à÷¢ï ¯®à®¤¦ãõ ¢¥àè¨ã v2 (n + 1)-£®à÷¢ï, ïªé® ¢¥à訨 v1 ÷ v2 áã¬÷¦÷. �¥àè¨ã ª®à¥¥¢®£® ¤¥à¥¢ , é® ¥¯®à®¤¦ãõ ¦®¤ã ¢¥àè¨ã ¤ ®£® ¤¥à¥¢ , ç áâ® §¨¢ îâì «¨á⪮¬.
�ਪ« ¤ 5.19. �¥à¥¢®, é® §®¡à ¦¥¥ à¨á. 5.19, ¬®¦ ஧£«ï¤ -â¨ ïª ª®à¥¥¢¥ § ª®à¥¥¢®î ¢¥à訮î v.
v2,1v2,2
v2,3
v2v1,1
v1,2
v1
v
�¨á. 5.19
�àãá à÷¢ï 0 ¬÷áâ¨âì ª®à¥¥¢ã ¢¥àè¨ã v; ïàãá à÷¢-ï 1 ¬÷áâ¨âì ¢¥à訨 v1 â v2 (¯®à®¤¦ãîâìáï ¢¥à-訮î v); ïàãá à÷¢ï 2 ¬÷áâ¨âì ¢¥à訨 v1,1 â v1,2
(¯®à®¤¦ãîâìáï ¢¥à訮î v1), â ª®¦ v2,1 â v2,2 â v2,3 (¯®à®¤¦ãîâìáï ¢¥à訮î v2). �祢¨¤®, «¨áâ-ª ¬¨ æ쮣® ¤¥à¥¢ õ ¢¥à訨 v1,1, v1,2, v2,1, v2,2, v2,3.
86
5.7. ö§®¬®àä÷§¬ ÷ £®¬¥®¬®àä÷§¬ £à ä÷¢
�«÷¤ §¢¥àã⨠㢠£ã ¡ £ â®÷¤¥ªáã 㬥à æ÷î ¢¥àè¨ ª®à¥¥¢®£®¤¥à¥¢ ¢ ¯à¨ª«. 5.19:
• ª®à¥¥¢÷© ¢¥àè¨÷ ¯à¨á¢®îõâìáï «¯®à®¦÷©» ®¬¥à (¢¥àè¨ v);• ¢¥à訨, é® ¯®à®¤¦¥÷ ¢¥à訮î vs, 㬥àãîâìáï (ã ¤®¢÷«ì®¬ã
¯®à浪ã) ïª ¢¥à訨 vs,i, i = 1, 2, . . . , m.� ¯à®¯®®¢ ¨© ᯮá÷¡ 㬥à æ÷ù ¢¥àè¨ ª®à¥¥¢®£® ¤¥à¥¢ (÷®¤÷ ©®-
£® §¨¢ îâì 㯠ª®¢ ®î ¤à¥á æ÷õî) ¤®§¢®«ïõ ®¤®§ ç® ¢¨§ ç¨â¨,ïª÷ ¢¥à訨 ¤¥à¥¢ áã¬÷¦÷, ÷ ç áâ® ¢¨ª®à¨á⮢ãõâìáï ¯÷¤ ç á «÷§ãáâàãªâãਠ¤¥à¥¢ ª®¬¯'îâ¥à¨¬¨ «£®à¨â¬ ¬¨.
� § 稬®, é® ®¤¥ § ¢ ¦«¨¢¨å § áâ®áã¢ ì ª®à¥¥¢¨å ¤¥à¥¢ { ஧-¢'ï§ ï ª®¬¡÷ â®à¨å § ¤ ç { ஧£«ïãâ® ¢ ¯÷¤à®§¤. 4.6.
5.6.4. �®ïââï ¯à® ¬÷ç¥÷ £à ä¨�§ ç¥ï 5.12. �÷票¬ £à 䮬, ¡® ¬¥à¥¦¥î §¨¢ îâì £à ä,
¢¥àè¨ ¬ ¡® (â ) à¥¡à ¬ 类£® §÷áâ ¢«ïõâìáï ¯¥¢ ¬÷⪠.
�÷⪠¬¨ ¬÷祮£® £à äã ¬®¦ãâì ¡ã⨠¥«¥¬¥â¨ ¤®¢÷«ì®ù ¬®¦¨¨.� ª, ஧£«ï¤ îç¨ ¯à®¡«¥¬ã ª®¬÷¢®ï¦¥à (¤¨¢. ¯à¨ª«. 5.13) ¤®æ÷«ì® à¥-¡à ¬ £à äã ¯à¨á¢®ù⨠¤®¢¦¨ã ¢÷¤¯®¢÷¤®ù ¤÷«ïª¨ è«ïåã, ¢¥àè¨ ¬{ ç á ¯¥à¥¡ã¢ ï ã ¢÷¤¯®¢÷¤®¬ã ¬÷áâ÷.
�¥ ®¤¥ ¢ ¦«¨¢¥ § áâ®áã¢ ï ¬÷ç¥¨å £à ä÷¢ ¯®¢'ï§ ¥ § ä à¡ã¢ -ï¬ ¢¥àè¨ ¡® ॡ¥à (¬÷⪠¬¨ õ ª®«ì®à¨). � à¡ã¢ ï ¢¥àè¨ £à äã஧£«ï¥¬® ¤ «÷ ¢ ¯÷¤à®§¤. 5.14.
5.7. ö§®¬®àä÷§¬ ÷ £®¬¥®¬®àä÷§¬ £à ä÷¢�§ ç¥ï 5.13. �à ä¨ G1 ÷ G2 § ¬®¦¨ ¬¨ ¢¥àè¨ V1 â V2 -
§¨¢ îâì ÷§®¬®à䨬¨, ïªé® ÷áãõ â ª ¡÷õªæ÷ï (÷§®¬®àä÷§¬) f : V1 → V2,é®:
∀u, v ∈ V1 : (u, v { áã¬÷¦÷ ¢ G1) ⇔ (f(u), f(v) { áã¬÷¦÷ ¢ G2).
�⦥, ÷§®¬®àä÷§¬ £à ä÷¢ ¬®¦ ஧ã¬÷â¨ ïª ¢§ õ¬® ®¤®§ ç¥ ¢÷-¤®¡à ¦¥ï, é® §¡¥à÷£ õ áã¬÷¦÷áâì ¢¥àè¨.
87
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
�ਪ« ¤ 5.20. �à ä¨ G1 â G2, §®¡à ¦¥÷ à¨á. 5.20, ÷§®¬®àä÷;¬®¦«¨¢¨© ( «¥ ¥ õ¤¨¨©) ÷§®¬®àä÷§¬ f : uk 7→ vk, k = 1, 2, 3, 4.
u2v2
u3v3
u1
v1
u4
v4
G1 G2
�¨á. 5.20
� 㢠¦¥ï 5.4. �¨§ ç¥ï ÷§®¬®àä®áâ÷ ¯à¨à®¤® ¯¥à¥®á¨âìáï ¢¨¯ ¤®ª ®à÷õ⮢ ¨å â ¥®à÷õ⮢ ¨å ¬ã«ì⨣à ä÷¢: ÷§®¬®àä÷§¬ ¬ã«ì-⨣à ä÷¢ ¬ õ §¡¥à÷£ ⨠ª÷«ìª÷áâì ॡ¥à ¬÷¦ ¤ ¨¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨, ¤«ï®à£à ä÷¢ { ª÷«ìª÷áâì ॡ¥à ¬÷¦ ¤ ¨¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨, é® ¢¥¤ãâì ã ¤ ®¬ã ¯àשׁã.
� ¤ «÷ ¬ § ¤®¡¨âìáï ®¯¥à æ÷ï ¯÷¤à®§¡¨ââï à¥¡à £à äã.�¥å © ॡ஠e ÷樤¥â¥ ¢¥àè¨ ¬ v1 â v2. �÷¤à®§-
v2 v2
v
v1v1
e1e
e2
�¨á. 5.21
¡¨ââï ॡà e ¯®«ï£ õ ã ¢¨¤ «¥÷ e â ¤®¤ ¢ ÷ ¤¢®å®¢¨å ॡ¥à e1, e2 ÷ ®¢®ù ¢¥à訨 v â ª, é®: ॡ஠e1
÷樤¥â¥ ¢¥àè¨ ¬ v1 ÷ v, ॡ஠e2 ÷樤¥â¥ ¢¥à-è¨ ¬ v ÷ v2 (à¨á. 5.21). �® áãâ÷, ¯÷¤à®§¡¨ââï ॡà e §¢®¤¨âìáï (§ â®ç÷áâî ¤® ÷§®¬®àä÷§¬ã) ¤® « ¢÷èã-
¢ ï» à¥¡à® e ®¢®ù ¢¥à訨 v.
�§ ç¥ï 5.14. �à ä¨ G1 ÷ G2 §¨¢ îâì £®¬¥®¬®à䨬¨, ïªé®ùå ¬®¦ ®âਬ ⨠§ ÷§®¬®àä¨å £à ä÷¢ áª÷ç¥®î ª÷«ìª÷áâî ®¯¥à æ÷©¯÷¤à®§¡¨ââï ॡ¥à.
�ਪ« ¤ 5.21. �à ä¨ G1 â G2, §®¡à ¦¥÷ à¨á. 5.22, £®¬¥®¬®àä-÷, ®áª÷«ìª¨ ùå ¬®¦ ®âਬ ⨠§ ÷§®¬®àä¨å £à ä÷¢ G′
1 â G′2 ¯÷¤à®§-
¡¨ââï¬ à¥¡¥à.
G1 G1
G2G2`
`
�¨á. 5.22
88
5.8. � âà¨æï áã¬÷¦®áâ÷ £à äã
� 㢠¦¥ï 5.5. �¨§ ç¥ï ®¯¥à æ÷ù ¯÷¤à®§¡¨ââï ॡ¥à â £®¬¥®-¬®àä®áâ÷ £à ä÷¢ ¯à¨à®¤® ¯®è¨àîõâìáï ¢¨¯ ¤®ª ®à÷õ⮢ ¨å â ¥®à÷õ⮢ ¨å ¬ã«ì⨣à ä÷¢.
5.8. � âà¨æï áã¬÷¦®áâ÷ £à äã� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¯à æî¢ â¨¬¥¬® § ®à÷õ⮢ ¨¬¨ £à ä ¬¨, ¤¢÷ à÷§-
÷ ¢¥à訨 ïª¨å ¥ ¬®¦ãâì ¡ã⨠§'õ¤ ÷ ¤¢®¬ ¡® ¡÷«ìè¥ à¥¡à ¬¨, 鮢¥¤ãâì ¢ ®¤®¬ã ¯àשׁã. ö ªè¥ ª ¦ãç¨, ¯à æî¢ â¨¬¥¬® § ®à£à ä -¬¨, ¢ ïª¨å ¤®§¢®«ïõ¬® ¯¥â«÷ â ¯ ਠ¯à®â¨ ¯àשׂ¥¨å ¬ã«ìâ¨à¥¡¥à.
�§ ç¥ï 5.15. �¥å © £à ä G, é® § ¤®¢®«ìïõ ¢¨¬®£¨ æ쮣® ¯÷¤-஧¤÷«ã, ¬ õ ¬®¦¨ã ¢¥àè¨ V = {v1, . . . , vn}. � âà¨æ¥î áã¬÷¦®áâ÷£à äã G §¨¢ îâì ¬ âà¨æî MG ஧¬÷஬ n× n, â ªã é®:
(MG)i,j =
{1, ¢÷¤ vi ¤® vj ¢¥¤¥ ॡà®;
0, ¢÷¤ vi ¤® vj ¥ ¢¥¤¥ ॡà®.
�¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, é® ¢¨£«ï¤ ¬ âà¨æ÷ áã¬÷¦®áâ÷ æ쮣® £à äã § «¥-¦¨âì ¢÷¤ ¯®à浪ã 㬥à æ÷ù ¢¥àè¨; §¬÷ ¯®à浪ã 㬥à æ÷ù ¢¥à訧㬮¢«îõ ¯¥à¥áâ ¢«¥ï ¢÷¤¯®¢÷¤¨å à浪÷¢ â á⮢¯æ÷¢ ¬ âà¨æ÷ áã¬÷¦-®áâ÷.
�ਪ« ¤ 5.22. � à¨á. 5.23 §®¡à ¦¥® £à ä ÷ ¢÷¤¯®¢÷¤ã ¬ âà¨æîáã¬÷¦®áâ÷.
v2
v3
v1
v4
0 0 1 00 0 0 11 1 0 10 0 0 1
�¨á. 5.23
� áâ㯥 ⢥द¥ï ¢¨¯«¨¢ õ ¡¥§¯®á¥à¥¤ì® § ¢¨§ ç¥ï ÷§®¬®à-ä÷§¬ã £à ä÷¢.
89
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
�¥¬ 5.4. �à ä¨ G1 ÷ G2 ÷§®¬®àä÷ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ÷áãõâ ª 㬥à æ÷ï ¢¥àè¨ £à äã G1, é® ¬ âà¨æ÷ áã¬÷¦®áâ÷ MG1 ÷ MG2
§¡÷£ îâìáï.
�à÷õ⮢ ÷ ¬ã«ì⨣à ä¨ ¡¥§ ®¤® ¯àשׂ¥¨å ¬ã«ìâ¨à¥¡¥à § áâ®-ᮢãîâì ¤«ï §®¡à ¦¥ï ¡÷ ண® ¢÷¤®è¥ï áª÷ç¥÷© ¬®¦¨÷(¤¨¢. ஧¤. 3). � â¥à¬÷ å ⥮à÷ù ¢÷¤®è¥ì ¬ âà¨æï áã¬÷¦®áâ÷ £à äãG õ ¬ âà¨æ¥î ¡÷ ண® ¢÷¤®è¥ï, 瘟 § ¤ ® £à 䮬 G. �¥§ ¢âà ⨧ £ «ì®áâ÷ ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® ¡÷ ॠ¢÷¤®è¥ï, ¢¨§ 祥 £à 䮬 G,§ ¤ ® ¬®¦¨÷ ¢¥àè¨ V £à äã G.
� £ ¤ õ¬®, é® ¤«ï ¬ âà¨æì áã¬÷¦®áâ÷ A â B ஧¬÷஬ n×n ¢¨§ -票© ««®£÷稩 ¤®¡ã⮪» AB { § ¬÷áâì à¨ä¬¥â¨ç¨å ®¯¥à æ÷© á㬨⠤®¡ãâªã ¢¨ª®à¨á⮢ãîâìáï ¢÷¤¯®¢÷¤÷ «®£÷ç÷ ®¯¥à æ÷ù ¤¨§'îªæ÷ù â ª®'îªæ÷ù (¤¨¢. ®§ ç¥ï 3.3). �¢ ¦ ⨬¥¬®, é® á⥯÷ì Ak (k ∈ N)¬ âà¨æ÷ áã¬÷¦®áâ÷ A â ª®¦ ¢¨§ 祮 ç¥à¥§ ««®£÷稩 ¤®¡ã⮪».
� «÷â¨ç¨© ¯ à â, ¯®¢'ï§ ¨© § ¬ âà¨æ¥î áã¬÷¦®áâ÷, ¤ õ §¬®£ã®æ÷¨â¨ ª÷«ìª÷áâì ªà®ª÷¢, ¯®âà÷¡¨å ¤«ï ®¡ç¨á«¥ï âà §¨â¨¢®£® § -¬¨ª ï ¡÷ ண® ¢÷¤®è¥ï áª÷ç¥÷© ¬®¦¨÷, ⮡⮠¤ õ §¬®£ã¤®¢¥á⨠⥮६ã 3.2. �¥¯¥à ⥮६ 3.2 õ ¯àﬨ¬ á«÷¤ª®¬ áâ㯮£®¯à®á⮣® ⢥द¥ï.
�¥®à¥¬ 5.10. �¥å © G { ®à÷õ⮢ ¨© ¬ã«ì⨣à ä ¡¥§ ®¤® ¯-àשׂ¥¨å ¬ã«ìâ¨à¥¡¥à, MG { ¬ âà¨æï áã¬÷¦®áâ÷ £à äã G, á⥯÷ìMk
G (k ∈ N) ¢¨§ 祮 ç¥à¥§ ««®£÷稩 ¤®¡ã⮪». �®¤÷((Mk
G)i,j = 1) ⇔ (� £à ä÷ G ÷áãõ è«ïå ¤®¢¦¨®î k ¢÷¤ vi ¤® vj).
�®¢¥¤¥ï. �¥®à¥¬ã ¬®¦ ¤®¢¥á⨠¬¥â®¤®¬ ¬ ⥬ â¨ç®ù ÷¤ãªæ÷ù § k.
�¯à ¢ 5.4. �®¢¥á⨠⥮६ã á ¬®áâ÷©®.
�ª §÷¢ª . �¢¥à¤¦¥ï æ÷õù ⥮६¨ õ ¯¥à¥ä®à¬ã«î¢ ï¬ â¢¥à¤¦¥-ï ¢¯à ¢¨ 3.1.
�ਪ« ¤¨ ®¡ç¨á«¥ï âà §¨â¨¢®£® § ¬¨ª ï ¡÷ ண® ¢÷¤®è¥-ï ¢¥¤¥÷ ¢¨é¥ (¤¨¢. ¯à¨ª«. 3.19).
90
5.9. �«®áª÷ â ¯« à÷ £à ä¨
5.9. �«®áª÷ â ¯« à÷ £à ä¨�§ ç¥ï 5.16. �à ä G §¨¢ îâì ¯«®áª¨¬, ïªé®:• ¦®¤¥ ॡ஠e £à äã G ¥ ¬ õ â®ç®ª á ¬®¯¥à¥â¨ã;• ¦®¤÷ ¤¢ ॡà e1 â e2 £à äã G ¥ ¬ îâì â®ç®ª ¯¥à¥â¨ã, ®ªà÷¬
¢¥àè¨, ÷樤¥â¨å ®¡®¬ à¥¡à ¬ e1 â e2.�à ä, ÷§®¬®à䨩 ¯«®áª®¬ã, §¨¢ îâì ¯« ਬ.
�ਪ« ¤ 5.23. � à¨á. 5.24 §®¡à ¦¥® ¯« ਩ £à ä G1, ÷§®¬®àä-¨© ¯«®áª®¬ã £à äã G2.
G1 G2
�¨á. 5.24
�ਪ« ¤ 5.24. � à¨á. 5.25 §®¡à ¦¥® ¥¯« à÷ £à ä¨ G1 («�÷à-ª ») â G2 («�ਠªà¨¨æ÷»).
v2v2
v3
v3
v1v1 v4
v4
v5
v6v5
G1 («Зірка )» G2 («Три криниці )»
�¨á. 5.25
�à ä G1, ®ç¥¢¨¤®, õ ¯®¢¨¬ £à 䮬 § ¢¥àè¨ ¬¨ v1{v5 ( §¢ «�÷à-ª » §ã¬®¢«¥ §®¢÷è÷¬ ¢¨£«ï¤®¬ æ쮣® £à äã). �à ä G2 { ¤¢®¤®«ì¨©£à ä § ¤®«ï¬¨ {v1, v2, v3} â {v4, v5, v6}, â ª¨©, é® ¡ã¤ì-ïª÷ ¤¢÷ ¢¥à訨 §à÷§¨å ¤®«¥© áã¬÷¦÷. � §¢ «�ਠªà¨¨æ÷» ¯®å®¤¨âì ¢÷¤ ¢÷¤®¬®ù ¯à®¡«¥-¬¨ ¯à® âਠ¡ã¤¨ª¨ â âਠªà¨¨æ÷: ¬÷¦ âà쮬 ¡ã¤¨ª ¬¨ (v1, v2, v3) â âà쮬 ªà¨¨æﬨ (v4, v5, v6) âॡ ¯à®ª« á⨠¤¥¢'ïâì è«ïå÷¢ ¡¥§ â®ç®ª¯¥à¥â¨ã â ª, 鮡 ÷á㢠¢ è«ïå ¢÷¤ ª®¦®£® ¡ã¤¨ªã ¤® ª®¦®ù ªà¨¨æ÷.
�¥¯« à÷áâì £à ä÷¢ G1 â G2 ¡ã¤¥ ¤®¢¥¤¥® ¢ ¯÷¤à®§¤. 5.13.� ¢¥¤¥¬® ¡¥§ ¤®¢¥¤¥ï ¢÷¤®¬¨© ªà¨â¥à÷© ¯« à®áâ÷, ®âਬ ¨©
¥§ «¥¦® �. �. �®âàï£÷¨¬ (1927 à.) â �. �ãà ⮢á쪨¬ (1930 à.).
91
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
�¥®à¥¬ 5.11 (⥮६ �®âàï£÷ { �ãà ⮢á쪮£®). �à ä õ¯« ਬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¢÷ ¥ ¬÷áâ¨âì ¯÷¤£à ä÷¢, £®¬¥®-¬®àä¨å £à ä ¬ «�÷ઠ» â «�ਠªà¨¨æ÷» (à¨á. 5.25).
� ⥮६¨ �®âàï£÷ { �ãà ⮢á쪮£® ¥£ ©® ¢¨¯«¨¢ õ, é® ¡ã¤ì-直© ¯®¢¨© £à ä § 5 â ¡÷«ìè¥ ¢¥àè¨ ¬¨ ¥¯« ਩, ÷ ¡ã¤ì-直©£à ä § 4 â ¬¥è¥ ¢¥àè¨ ¬¨ ¯« ਩. � § 稬®, é® ¥®¡å÷¤-÷áâì 㬮¢¨ ⥮६¨ ¢¨¯«¨¢ õ § ¥¯« à®áâ÷ £à ä÷¢ G1 â G2 (¤¨¢.¯÷¤à®§¤. 5.13). �®¢¥ ¤®¢¥¤¥ï ⥮६¨ �®âàï£÷ { �ãà ⮢á쪮£®, â ª®¦ ¥ä¥ªâ¨¢¨© «£®à¨â¬ ¯®¡ã¤®¢¨ ÷§®¬®à䮣® ¯«®áª®£® £à äã, ¤¨¢., ¯à¨ª« ¤, ¢ [8].
� 㢠¦¥ï 5.6. �®ïââï ¯«®áª®£® â ¯« ண® £à ä÷¢ ¯à¨à®¤®¯®è¨àîõâìáï ¢¨¯ ¤®ª ¬ã«ì⨣à ä÷¢.
5.10. �à ÷ £à äã. �®à¬ã« �©«¥à � æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¢á÷ £à ä¨ ¢¢ ¦ ⨬¥¬® ¯«®áª¨¬¨ ¥®à÷õ⮢ ¨-
¬¨ ¬ã«ì⨣à ä ¬¨.
5.10.1. �à ÷ ¯«®áª®£® £à äã�§ ç¥ï 5.17. �à î £à äã G §¨¢ îâì ¬ ªá¨¬ «ìã § ¢÷¤-
®è¥ï¬ ¢ª«îç¥ï («⊂») ®¡« áâì ¯«®é¨¨ r, â ªã, é®: ¡ã¤ì-ïª÷ ¤¢÷â®çª¨ a, b ∈ r ¬®¦ãâì ¡ã⨠§'õ¤ ÷ ¥¯¥à¥à¢®î ªà¨¢®î, ïª ¥ ¬ õá¯÷«ì¨å â®ç®ª § à¥¡à ¬¨ £à äã G, ®ªà÷¬, ¬®¦«¨¢®, á ¬¨å â®ç®ª a â b.�®¦¨ã ॡ¥à, é® «¥¦ âì £à ÷, §¨¢ îâì ¬¥¦¥î £à ÷.
�à ÷ £à äã ¯®§ ç ⨬¥¬® «÷â¥à®î r § ÷¤¥ªá ¬¨ ç¨ ¡¥§ (r, r1, r22,11),¬®¦¨ã £à ¥© £à äã G ¯®§ ç ⨬¥¬® ç¥à¥§ R.
� ¢¥¤¥¬® ª÷«ìª ®ç¥¢¨¤¨å ⢥द¥ì, é® ¥£ ©® ¢¨¯«¨¢ îâì §®§ ç¥ï 5.17.
�¥¬ 5.5. �®¦ â®çª ¯«®é¨¨ «¥¦¨âì ¯à¨ ©¬÷ ®¤÷© £à ÷¤ ®£® £à äã.
�¥¬ 5.6. �«ï ª®¦®£® £à äã ÷áãõ à÷¢® ®¤ ¥®¡¬¥¦¥ £à ì(£à ì ¥áª÷祮ù ¯«®é÷).
92
5.10. �à ÷ £à äã. �®à¬ã« �©«¥à
�¥®¡¬¥¦¥ã £à ì £à äã §¨¢ îâì §®¢÷èì®î, ÷è÷ (®¡¬¥¦¥÷)£à ÷ { ¢ãâà÷è÷¬¨.
�¥¬ 5.7. �®¦¥ ॡà®, é® ¥ õ ¬®á⮬, «¥¦¨âì ¬¥¦÷ à÷¢®¤¢®å £à ¥©. �®¦¥ ¬÷áâ «¥¦¨âì ¬¥¦ ¬ à÷¢® ®¤÷õù £à ÷.
�ਪ« ¤ 5.25. �«ï £à äã, §®¡à ¦¥®£® à¨á. 5.26, ¬®¦¨ £à -¥© R = {r1, r2, r3, r4}, §®¢÷èì®î õ £à ì r4 § ¬¥¦¥î {e1, e2, e7, e8}. �ç¥-¢¨¤®, ¬÷áâ e8 «¥¦¨âì ¬¥¦÷ «¨è¥ ®¤÷õù £à ÷ (r4).
e3
r3
e2
r2
e5
e7e6 e4
r4
e1
r1
e8
�¨á. 5.26
5.10.2. �®à¬ã« �©«¥à ¤«ï ¯«®áª¨å £à ä÷¢�¥®à¥¬ 5.12 (ä®à¬ã« �©«¥à ¤«ï ¯«®áª¨å £à ä÷¢). �¥å ©
G { ¯«®áª¨© §¢'裡© £à ä § nv ¢¥àè¨ ¬¨, ne à¥¡à ¬¨ â nr £à ﬨ.�®¤÷
nv − ne + nr = 2.
�®¢¥¤¥ï.1. �¥å © £à ä G { ¤¥à¥¢®. �®¢¥¤¥ï ¯à®¢®¤¨â¨¬® ÷¤ãªæ÷õî § ª÷«ì-
ª÷áâî ॡ¥à ne.A. � § ÷¤ãªæ÷ù: ne = 0 (¯®à®¦÷© £à ä § ®¤÷õî ¢¥à訮î). �á-
ª÷«ìª¨ ne = 0, nr = 1, ®âਬãõ¬®:
nv − ne + nr = 1− 0 + 1 = 2.
B. �ਯãé¥ï ÷¤ãªæ÷ù: ¥å © ¯à¨ ne ≤ n ⢥द¥ï ⥮६¨á¯à ¢¤¦ãõâìáï.
93
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
C. �ப ÷¤ãªæ÷ù: ¥å © ne = n + 1. �¨¤ «¨¬® ã £à ä÷ G ¤®¢÷«ì¥à¥¡à® e. �âਬãõ¬® £à ä G, 直© õ ®¡'õ¤ ï¬ ¤¢®å §¢'ï§¨å ª®¬¯®¥âG1 â G2. �祢¨¤®, £à ä¨ G1 â G2 õ ¤¥à¥¢ ¬¨, é® ¬÷áâïâì ¥ ¡÷«ìè ïª nॡ¥à. �⦥, § ¯à¨¯ãé¥ï¬ ÷¤ãªæ÷ù, ¤«ï G1 â G2 ⢥द¥ï ⥮à¥-¬¨ á¯à ¢¤¦ãõâìáï. �®§ ç¨¢è¨ ç¥à¥§ ni,v, ni,e, ni,r ª÷«ìª÷áâì ¢÷¤¯®¢÷¤®¢¥àè¨, ॡ¥à â £à ¥© ã £à ä÷ Gi (i = 1, 2), ¤÷áâ ¥¬®:
ni,v − ni,e + ni,r = 2, i = 1, 2.
�áª÷«ìª¨ ¢ ¤®¢÷«ì®¬ã ¤¥à¥¢÷, ç¥à¥§ ¢÷¤áãâ÷áâì ¯à®áâ¨å 横«÷¢, ÷áãõ«¨è¥ ®¤ (§®¢÷èï) £à ì, ¬ õ¬®: n1,r = n2,r = 1. �⦥, ¤«ï £à äã G¬ ⨬¥¬®:
nv − ne + nr = (n1,v + n2,v)− (n1,e + n2,e + 1) + 1 =
= (n1,v − n1,e + 1) + (n2,v − n2,e + 1)− 2 = 2.
2. �¥å © G { ¤®¢÷«ì¨© ¯«®áª¨© §¢'裡© £à ä. �®¢¥¤¥ï ¢ § £ «ì-®¬ã ¢¨¯ ¤ªã ¯à®¢®¤¨â¨¬¥¬® â ª®¦ ÷¤ãªæ÷õî § ª÷«ìª÷áâî ॡ¥à ne.
A. � § ÷¤ãªæ÷ù: ne = 0 ¤«ï æ쮣® ¢¨¯ ¤ªã ⢥द¥ï ⥮६¨¢¦¥ ¤®¢¥¤¥®.
B. �ਯãé¥ï ÷¤ãªæ÷ù: ¥å © ¯à¨ ne ≤ n ⢥द¥ï ⥮६¨á¯à ¢¤¦ãõâìáï.
C. �ப ÷¤ãªæ÷ù: ஧£«ï¥¬® £à ä G § ne = n + 1 à¥¡à ¬¨. �¥å ©G ¥ õ ¤¥à¥¢®¬ (¤«ï ¤¥à¥¢ ⢥द¥ï ⥮६¨ ¢¦¥ ¤®¢¥¤¥®), ⮤÷, ç¥-१ ï¢÷áâì ¯à¨ ©¬÷ ®¤®£® ¯à®á⮣® 横«ã, ¬ õ ÷á㢠⨠¯à¨ ©¬÷®¤¥ ॡ஠e, é® ¥ õ ¬®á⮬ («¥¬ 5.2). �¨¤ «¨¢è¨ ã £à ä÷ G ॡà®e, ®âਬãõ¬® §¢'裡© £à ä G § nv ¢¥àè¨ ¬¨ â ne − 1 = n à¥¡à ¬¨.�áª÷«ìª¨ § «¥¬®î 5.7 ॡ஠e (¥ ¬÷áâ) «¥¦¨âì ¬¥¦÷ ¤¢®å £à ¥©,¢¨¤ «¥ï ॡà e §¬¥èãõ ª÷«ìª÷áâì £à ¥© 1. �⦥, £à ä G ¬÷á-â¨âì nr − 1 £à ¥©. � ¯à¨¯ãé¥ï¬ ÷¤ãªæ÷ù, ¤«ï £à äã G ⢥द¥ï⥮६¨ á¯à ¢¥¤«¨¢¥, ÷ ¤«ï ¢¨å÷¤®£® £à äã G ®âਬãõ¬®:
nv − ne + nr = nv − (ne − 1) + (nr − 1) = 2.
�⦥, ⢥द¥ï ⥮६¨ ¢ § £ «ì®¬ã ¢¨¯ ¤ªã ¤®¢¥¤¥®.
94
5.11. �ã «ì÷ £à ä¨
�ਪ« ¤ 5.26. �¥à¥¢÷ਬ® á¯à ¢¥¤«¨¢÷áâì ä®à¬ã«¨ �©«¥à ¤«ï£à äã, §®¡à ¦¥®£® à¨á. 5.27:
nv − ne + nr = 4− 6 + 4 = 2.
�ਪ« ¤ 5.27. � ⥮६÷ 5.12 㬮¢ §¢'燐áâ÷ £à äã áãââõ¢ . � ª,¤«ï £à äã, §®¡à ¦¥®£® à¨á. 5.28, ®âਬãõ¬®:
nv − ne + nr = 3− 1 + 1 = 3 6= 2.
�¨á. 5.27 �¨á. 5.28
5.11. �ã «ì÷ £à ä¨� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¢á÷ £à ä¨ ¢¢ ¦ ⨬¥¬® ¯«®áª¨¬¨ ¥®à÷õ⮢ ¨-
¬¨ ¬ã«ì⨣à ä ¬¨.
5.11.1. �¨§ ç¥ï ¤ã «ì®£® £à äã�§ ç¥ï 5.18. �¥å © G { ¯«®áª¨© £à ä § ª÷«ìª÷áâî ¢¥àè¨, à¥-
¡¥à ÷ £à ¥© nv, ne â nr ¢÷¤¯®¢÷¤®. �«®áª¨© £à ä G∗ § ª÷«ìª÷áâî ¢¥à-è¨, ॡ¥à â £à ¥© nv, ne â nr ¢÷¤¯®¢÷¤® §¨¢ îâì ¤ã «ì¨¬ ¤®£à äã G, ïªé®:
1. ne = ne, nv = nr.2. �®¦ £à ì r £à äã G ¬÷áâ¨âì à÷¢® ®¤ã ¢¥àè¨ã v∗ £à äã G∗
(¢¥àè¨ v∗ £à äã G∗ ¢÷¤¯®¢÷¤ õ £à ÷ r £à äã G).3. �®¦¥ ॡ஠e £à äã G ¯¥à¥â¨ õâìáï à÷¢® § ®¤¨¬ ॡ஬ e∗
£à äã G∗ (ॡ஠e £à äã G ¢÷¤¯®¢÷¤ õ ॡàã e∗ £à äã G∗).� ®§ ç¥ï 5.18 ¢¨¯«¨¢ õ, é® ¤«ï ª®¦®£® ¯«®áª®£® £à äã G ÷áãõ
õ¤¨¨©, § â®ç÷áâî ¤® ÷§®¬®àä÷§¬ã, ¤ã «ì¨© £à ä G∗. �à®â¥ ã ÷§®¬®àä-¨å £à ä÷¢ G1 â G2 ¬®¦ãâì ¡ã⨠¥÷§®¬®àä÷ ¤ã «ì÷ G∗
1 â G∗2.
95
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
�ਪ« ¤ 5.28. � à¨á. 5.29 §®¡à ¦¥® ÷§®¬®àä÷ £à ä¨ G1 â G2, â ª®¦ ùå ¤ã «ì÷ G∗
1 â G∗2 (à¥¡à ¤ã «ì¨å £à ä÷¢ ¯®§ 祮 ¯ãªâ¨à®¬).
�祢¨¤®, ¤ã «ì÷ £à ä¨ G∗1 â G∗
2 ¥÷§®¬®àä÷ { £à ä G∗1 ¬÷áâ¨âì ¤¢÷
¢¥à訨 á⥯¥÷¢ 3 â 7, ®¤ ª ®¡¨¤¢÷ ¢¥à訨 £à äã G∗2 ¬ îâì á⥯÷ì 5.
G G2 2,G1, G1 **
�¨á. 5.29
� 㢠¦¥ï 5.7. ö§ ¯®¡ã¤®¢¨ ¤ã «ì®£® £à äã «¥£ª® ¡ ç¨â¨, 鮤㠫쨩 £à ä G∗ §¢'裡©, ¥§ «¥¦® ¢÷¤ §¢'燐áâ÷ ¢¨å÷¤®£® £à äãG (⢥द¥ï «¥£ª® ¤®¢¥á⨠÷¤ãªæ÷õî § ª÷«ìª÷áâî ॡ¥à ã £à ä÷ G).
5.11.2. �à㣨© ¤ã «ì¨© £à ä�à㣨¬ ¤ã «ì¨¬ ¤® £à äã G §¨¢ ⨬¥¬® £à ä G∗∗ = (G∗)∗. �à ä
G∗, ¤ã «ì¨© ¤® G, §¢¥¬® â ª®¦ ¯¥à訬 ¤ã «ì¨¬.� áâ㯨© ¯à¨ª« ¤ ¤¥¬®áâàãõ §¢'燐ª ¬÷¦ £à ä ¬¨ G∗∗ â G.
�ਪ« ¤ 5.29. � à¨á. 5.30 §®¡à ¦¥® ¯®¡ã¤®¢ã ¯¥à讣® â ¤à㣮£®¤ã «ì¨å ¤® £à ä÷¢ G1 â G2 (¤ã «ì÷ £à ä¨ ¯®§ ç¥÷ ¯ãªâ¨à®¬).
G1
G2G2 G2®
G1 G1®
G2 G2®G1 G1® *
**
**
**
*
�¨á. 5.30
96
5.12. �⥯÷ì £à ÷ ¯«®áª®£® £à äã. �¥®à¥¬ ¯à® á⥯¥÷ £à ¥©
� à¨á㪠¢¨¤®, é® £à ä¨ G2 â G∗∗2 ÷§®¬®àä÷, ®¤ ª £à ä¨ G1 â
G∗∗1 ¥÷§®¬®àä÷. � § 稬®, é® £à ä¨ G1 â G∗∗
1 ¯à÷®à÷ ¥ ¬®£«¨ ¡ãâ¨÷§®¬®à䨬¨, ®áª÷«ìª¨ £à ä G1 ¥§¢'裡© (¤¨¢. § ã¢. 5.7).
� áâ㯠⥮६ ¤ õ ¥®¡å÷¤ã ÷ ¤®áâ âî 㬮¢ã ÷§®¬®àä®áâ÷ £à -ä÷¢ G â G∗∗.
�¥®à¥¬ 5.13. �à ä¨ G â G∗∗ ÷§®¬®àä÷ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨£à ä G §¢'裡©.
�®¢¥¤¥ï. �¥®¡å÷¤÷áâì. �¥å © G â G∗∗ ÷§®¬®àä÷. �®¤÷ §¢'ï§-÷áâì G ¢¨¯«¨¢ õ ÷§ §¢'燐áâ÷ G∗∗ (¤¨¢. § ã¢. 5.7).
�®áâ â÷áâì. �¥å © £à ä G §¢'裡©. �«ï ¤®¢¥¤¥ï ÷§®¬®àä®á-â÷ G â G∗∗ ¤®áâ âì® ¯®ª § â¨, é® £à ä G õ ¤ã «ì¨¬ ¤® G∗ ( £ ¤ õ¬®,é® ¤ã «ì¨© £à ä ¢¨§ ç õâìáï ®¤®§ ç®, § â®ç÷áâî ¤® ÷§®¬®àä÷§¬ã).�®¢¥¤¥¬®, é® G õ ¤ã «ì¨¬ ¤® G∗, ¯¥à¥¢÷à¨¢è¨ ã¬®¢¨ ®§ ç¥ï 5.18.
�¥å © £à ä G ¬ õ nv ¢¥àè¨, ne ॡ¥à â nr £à ¥©. �®¤÷, § ®§ ç¥-ï¬ 5.18, £à ä G∗ ¬ õ nr ¢¥àè¨ â ne ॡ¥à. � áâ®á®¢ãîç¨ ¤® £à ä÷¢ Gâ G∗ ä®à¬ã«ã �©«¥à (⥮६ 5.12), ®âਬãõ¬®, é® £à ä G∗ ¬ õ nv
£à ¥©.�áª÷«ìª¨ ª®¦ ¢¥àè¨ £à äã G «¥¦¨âì à÷¢® ®¤÷© £à ÷ £à -
äã G∗, ª®¦ £à ì £à äã G∗ ¬÷áâ¨âì ¯à¨ ©¬÷ ®¤ã ¢¥àè¨ã £à äã G,÷ ª÷«ìª÷áâì ¢¥àè¨ £à äã G §¡÷£ õâìáï § ª÷«ìª÷áâî £à ¥© £à äã G∗, ®âà¨-¬ãõ¬®, é® ª®¦ £à ì £à äã G∗ ¬÷áâ¨âì à÷¢® ®¤ã ¢¥àè¨ã £à äã G.
� à¥èâ÷, § ®§ ç¥ï¬ 5.18, ª®¦¥ ॡ஠£à äã G∗ ¯¥à¥â¨ õâìáïà÷¢® § ®¤¨¬ ॡ஬ £à äã G.
�⦥, ¢¨ª®ãîâìáï ¢á÷ 㬮¢¨ ®§ ç¥ï 5.18, ÷ £à ä G ¤ã «ì¨© ¤®£à äã G∗, ⮡⮠£à ä¨ G∗∗ ÷ G ÷§®¬®àä÷.
5.12. �⥯÷ì £à ÷ ¯«®áª®£® £à äã.�¥®à¥¬ ¯à® á⥯¥÷ £à ¥©
� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷, ïªé® ¥ ¢ª § ® ÷è¥, ¢á÷ £à ä¨ ¢¢ ¦ ⨬¥¬®¯«®áª¨¬¨ ¥®à÷õ⮢ ¨¬¨ ¬ã«ì⨣à ä ¬¨.
�§ ç¥ï 5.19. �⥯¥¥¬ dr £à ÷ r ¯«®áª®£® £à äã G §¨¢ îâìª÷«ìª÷áâì ॡ¥à £à äã G, é® «¥¦¨âì ¬¥¦÷ £à ÷ r, ¯à¨ç®¬ã ª®¦¥ ¬÷á⧡÷«ìèãõ á⥯÷ì 2.
97
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
�祢¨¤®, é®, § ®§ ç¥ï¬ 5.18, á⥯÷ì £à ÷ r £à äã G §¡÷£ õâìáï÷§ á⥯¥¥¬ ¢÷¤¯®¢÷¤®ù ¢¥à訨 v∗ ¤ã «ì®£® £à äã G∗.
�ਪ« ¤ 5.30. �à ä G, §®¡à ¦¥¨© à¨á. 5.31, ¬ õ ¤¢÷ £à ÷ {¢ãâà÷èî r1 ÷ §®¢÷èî r2. �⥯¥÷ £à ¥© r1 â r2 §¡÷£ îâìáï ÷§ áâ¥-¯¥ï¬¨ ¢÷¤¯®¢÷¤¨å ¢¥àè¨ v∗1 â v∗2 ¤ã «ì®£® £à äã G∗: dr1 = dv∗1 = 1,dr2 = dv∗2 = 3.
r1
r2 e1
e1
e2
e2
v1
v2
*
*
*
*
G G® *G
�¨á. 5.31
�⦥, ¬÷áâ e2 §¡÷«ì訢 á⥯÷ì £à ÷ r2 2, é® ¤«ï ¤ã «ì®£® £à äãG∗ ¢÷¤¯®¢÷¤ õ §¡÷«ìè¥î á⥯¥ï ¢¥à訨 v∗2 2 § à å㮪 ¯¥â«÷ e∗2.
�¥®à¥¬ 5.14 (⥮६ ¯à® á⥯¥÷ £à ¥©). �㬠á⥯¥÷¢ £à -¥© ¯«®áª®£® ¬ã«ì⨣à äã G ¤®à÷¢îõ ¯®¤¢÷©÷© ª÷«ìª®áâ÷ ॡ¥à:
∑r∈R
dr = 2ne, ¤¥ ne = card(E) { ª÷«ìª÷áâì ॡ¥à ã £à ä÷.
�®¢¥¤¥ï. �«ï ¤®¢¥¤¥ï ⥮६¨ ஧£«ï¥¬® ¤ã «ì¨© £à ä G∗.�áª÷«ìª¨ á⥯÷ì ª®¦®ù £à ÷ £à äã G §¡÷£ õâìáï ÷§ á⥯¥¥¬ ¢÷¤¯®¢÷¤-®ù ¢¥à訨 ¤ã «ì®£® £à äã G∗, § ⥮६®î ¯à® á⥯¥÷ ¢¥àè¨ (⥮-६ 5.2) ®âਬãõ¬®:
∑r∈R
dr =∑
v∗∈V ∗dv∗ = 2ne, ¤¥ V ∗ { ¬®¦¨ ¢¥àè¨ £à äã G∗.
5.13. �¤¨ á«÷¤®ª § ä®à¬ã«¨ �©«¥à ¤«ï ¯«®áª¨å £à ä÷¢
�®à¬ã« �©«¥à (⥮६ 5.12), à §®¬ ÷§ ⥮६®î ¯à® á⥯¥÷ £à -¥© 5.14, ¤®§¢®«ïõ ¢¨¢¥á⨠ª®à¨áã ¥à÷¢÷áâì, é® ¯®¢'ï§ãõ ª÷«ìª÷áâì ¢¥à-è¨ â ॡ¥à ¯« ண® £à äã.
98
5.13. �¤¨ á«÷¤®ª § ä®à¬ã«¨ �©«¥à ¤«ï ¯«®áª¨å £à ä÷¢
�¯®ç âªã ¢¥¤¥¬® ¯à®á⥠⢥द¥ï, 瘟 ¢¨¯«¨¢ õ ¡¥§¯®á¥à¥¤ì®§ ¢¨§ ç¥ï á⥯¥÷ £à ÷.
�¥¬ 5.8. �«ï ¯à®á⮣® §¢'燐£® £à äã § âà쮬 ¡® ¡÷«ìè¥ ¢¥à-è¨ ¬¨ á⥯÷ì ¤®¢÷«ì®ù £à ÷ dr ≥ 3.
�®¢¥¤¥ï. �¯à ¢¤÷, ïªé® dr = 1, £à ì r ¬ õ ¡ã⨠®¡¬¥¦¥ ¯¥â«¥î,é® á㯥à¥ç¨âì ¯à®áâ®â÷ £à äã. �ªé® dr = 2, £à ì r ¬ õ ¡ã⨠®¡¬¥¦¥- ¡® ¯ à®î ¬ã«ìâ¨à¥¡¥à (é® á㯥à¥ç¨âì ¯à®áâ®â÷ £à äã), ¡® ®¤¨¬¬®á⮬ (é® ¥¬®¦«¨¢® ¤«ï §¢'燐£® £à äã § âà쮬 ¡® ¡÷«ìè¥ ¢¥àè¨- ¬¨). � à¥èâ÷, ¢¨¯ ¤®ª dr = 0 ¬®¦«¨¢¨© «¨è¥ ¤«ï ¯®à®¦ì®£® £à äã,é® á㯥à¥ç¨âì 㬮¢÷ §¢'燐áâ÷ ¯à¨ âàì®å ¡® ¡÷«ìè¥ ¢¥àè¨ å.
� 㢠¦¥ï 5.8. � ⥮६¨ 5.9 ¢¨¯«¨¢ õ ¯÷¤á¨«¥¨© ¢ à÷ â ⢥à¤-¦¥ï «¥¬¨ 5.8 ¤«ï ¤¢®¤®«ì¨å £à ä÷¢: ã ¤¢®¤®«ì®¬ã ¯à®á⮬㠧¢'燐-¬ã £à ä÷ § âà쮬 ¡® ¡÷«ìè¥ ¢¥àè¨ ¬¨ á⥯÷ì ¤®¢÷«ì®ù £à ÷ dr ≥ 4.
�¥¯¥à ¤®¢¥¤¥¬® ®á®¢¥ ⢥द¥ï æ쮣® ¯÷¤à®§¤÷«ã, 瘟 §àãç® ¢¨-ª®à¨á⮢㢠⨠¤«ï ¤®¢¥¤¥ï ¥¯« à®áâ÷ ¤¥ïª¨å £à ä÷¢.
�¥®à¥¬ 5.15. �«ï ¯à®á⮣® ¯« ண® (¥ ®¡®¢'離®¢® ¯«®áª®£®)§¢'燐£® £à äã § nv ¢¥àè¨ ¬¨ â ne à¥¡à ¬¨ ¯à¨ nv ≥ 3 ¢¨ª®ãõâìáï¥à÷¢÷áâì:
ne ≤ 3nv − 6.
�®¢¥¤¥ï. �¥å © G { ¯«®áª¨© £à ä, ÷§®¬®à䨩 G, nr = card(R)
{ ª÷«ìª÷áâì £à ¥© ã £à ä÷ G. � ⥮६®î ¯à® á⥯¥÷ £à ¥© (⥮à¥-¬ 5.14) â «¥¬®î 5.8 ®âਬãõ¬®:
2ne =∑r∈R
dr ≥ 3nr.
�¥¯¥à ⢥द¥ï ⥮६¨ ¢¨¯«¨¢ õ § ä®à¬ã«¨ �©«¥à ¤«ï ¯«®áª¨å £à -ä÷¢ (⥮६ 5.4):
ne ≥ 3
2(2− nv + ne) ⇒ ne ≤ 3nv − 6.
99
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
� 㢠¦¥ï 5.9. �«ï ¤¢®¤®«ì¨å £à ä÷¢ १ã«ìâ â ⥮६¨ 5.15 ¬®¦¥¡ã⨠¯÷¤á¨«¥¨©:
ne ≤ 2nv − 4
(¤®¢¥¤¥ï ¯®¢÷áâî «®£÷ç¥ ¤®¢¥¤¥î ⥮६¨ 5.15, § ãà å㢠ﬧ ã¢. 5.8).
�÷¤ªà¥á«¨¬®, é® â¥®à¥¬ 5.15 ¤®§¢®«ïõ ¢áâ ®¢¨â¨ (¯à¨ ne � 3nv−6)«¨è¥ ¥¯« à÷áâì, ®áª÷«ìª¨ ¥à÷¢÷áâì ne ≤ 3nv−6 ¬®¦¥ ¢¨ª®ã¢ â¨áìïª ¤«ï ¯« à¨å, â ª ÷ ¤«ï ¥¯« à¨å £à ä÷¢.
�ਪ« ¤ 5.31. 1. �à ä «�÷ઠ» (£à ä G1 à¨á. 5.25) ¥ õ ¯« à-¨¬, ®áª÷«ìª¨ ¤«ï æ쮣® £à äã ¥ ¢¨ª®ãõâìáï ⢥द¥ï ⥮६¨ 5.15:
ne = 10 � 3nv − 6 = 9.
2. �à ä «�ਠªà¨¨æ÷» (£à ä G2 à¨á. 5.25) ¥¯« ਩, ®¤ ª¤«ï æ쮣® £à äã ¢¨ª®ãõâìáï ⢥द¥ï ⥮६¨ 5.15:
ne = 9 ≤ 3nv − 6 = 12.
�¥¯« à÷áâì £à äã «�ਠªà¨¨æ÷» ¬®¦ ¤®¢¥áâ¨, ¢¨ª®à¨á⮢ãî稯÷¤á¨«¥¨© ¢ à÷ â ⥮६¨ 5.15 ¤«ï ¤¢®¤®«ì¨å £à ä÷¢ (§ ã¢. 5.9):
ne = 9 � 2nv − 4 = 8.
5.14. � à¡ã¢ ï ¢¥àè¨ â £à ¥© £à äã� æ쮬ã ஧¤÷«÷, ïªé® ¥ ¢ª § ® ÷è¥, ¢á÷ £à ä¨ ¢¢ ¦ ⨬¥¬® ¯à®-
á⨬¨ â ¥®à÷õ⮢ ¨¬¨.
5.14.1. � à¡ã¢ ï ¢¥àè¨ £à äã�÷¤ ç á ஧¢'ï§ ï ¡ £ âì®å ¯à®¡«¥¬ ¤®æ÷«ì® ஧£«ï¤ ⨠£à ä¨ §
ä à¡®¢ ¨¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨ { ¬÷ç¥÷ £à ä¨, ¤«ï ïª¨å ª®¦÷© ¢¥àè¨÷ v §÷-áâ ¢«ïõâìáï ¤¥ïª¨© ª®«÷à cv (¢¥àè¨ v ä à¡ãõâìáï ¢ ª®«÷à cv), ¯à¨ç®¬ãáã¬÷¦÷ ¢¥à訨 ä à¡ãîâìáï ¢ à÷§÷ ª®«ì®à¨.
�÷÷¬ «ìã ª÷«ìª÷áâì ª®«ì®à÷¢, ¤®áâ â÷å ¤«ï ä à¡ã¢ ï ¢¥à訣à äã, §¨¢ îâì å஬ â¨ç¨¬ ç¨á«®¬. �஬ â¨ç¥ ç¨á«® £à äã G¯®§ ç ⨬¥¬® ç¥à¥§ qG. �à ä § å஬ â¨ç¨¬ ç¨á«®¬ k §¨¢ îâìk-ª®«÷ਬ.
100
5.14. � à¡ã¢ ï ¢¥àè¨ â £à ¥© £à äã
�ਪ« ¤ 5.32. �®¢¨© £à ä § n ¢¥àè¨ ¬¨ õ n-ª®«÷ਬ, ¯®à®¦÷©£à ä (¥§ «¥¦® ¢÷¤ ª÷«ìª®áâ÷ ¢¥àè¨) { ®¤®ª®«÷ਬ.
�ਪ« ¤ 5.33. �®§£«ï¥¬® £à ä, §®¡à ¦¥¨© à¨á. 5.32.
�¥© £à ä âਪ®«÷਩: § ®¤®£® ¡®ªã, âàì®åª®«ì®à÷¢ (¡÷«¨©, ¦®¢â¨© â ç®à¨©) ¤®áâ â쮤«ï ä à¡ã¢ ï ¢¥àè¨, ÷ ⮬ã qG ≤ 3; § ¤àã-£®£® ¡®ªã, £à ä G ¬÷áâ¨âì ¯÷¤£à ä, é® õ ¯®-¢¨¬ £à 䮬 § âà쮬 ¢¥àè¨ ¬¨ (v2, v3, v4),÷ ⮬ã qG ≥ 3.
v2 (жовтий)
v3 (білий)
v1 (білий)
v4 (чорний)
G
�¨á. 5.32� áâ㯠⥮६ ®¤®§ ç® å à ªâ¥à¨§ãõ ª« á ¤¢®ª®«÷à¨å £à ä÷¢.�¥®à¥¬ 5.16. �¥¯®à®¦÷© £à ä G ¤¢®ª®«÷਩ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷,
ª®«¨ ¢÷ ¤¢®¤®«ì¨©.�®¢¥¤¥ï. �¢®ª®«÷à÷áâì ¥¯®à®¦ì®£® £à äã G, § ¢¨§ ç¥ï¬,
¥ª¢÷¢ «¥â â ª®¬ã ⢥द¥î: ¬®¦¨ã ¢¥àè¨ V £à äã G ¬®¦ ஧¡¨â¨ ¥¯®à®¦÷ ¯÷¤¬®¦¨¨ V1, V2 (V1 ∩ V2 = ∅) â ª, é® ¡ã¤ì-ïª÷¤¢÷ ¢¥à訨 § ®¤÷õù ¯÷¤¬®¦¨¨ Vk (k = 1, 2) õ ¥áã¬÷¦¨¬¨. �®¡â®, § ®§ ç¥ï¬ 5.11, ¤¢®ª®«÷à÷áâì ¥¯®à®¦ì®£® £à äã ¥ª¢÷¢ «¥â ©®£®¤¢®¤®«ì®áâ÷.
�¤¥ § ¢ ¦«¨¢¨å § áâ®á㢠ì ä à¡ã¢ ï ¢¥àè¨ £à äã ¯®¢'ï§ ¥ §â ª §¢ ®î «â¥®à÷õî ஧ª« ¤÷¢». � áâ㯨© ¯à¨ª« ¤ ¤¥¬®áâàãõ (ã § -ç® á¯à®é¥®¬ã ¢¨£«ï¤÷) §¢¥¤¥ï ¯à®¡«¥¬¨ ᪫ ¤ ï ®¯â¨¬ «ì®£®à®§ª« ¤ã ¤® ä à¡ã¢ ï ¢¥àè¨ £à äã.
�ਪ« ¤ 5.34. �«ï ¢ç «ì®£® ¯à®æ¥áã á¥à¥¤ì®ù 誮«¨ ¯®âà÷¡®áª« á⨠஧ª« ¤ § ïâì â ª, 鮡 ãá÷ ãப¨ ¢ 誮«÷ ¯à®â¬ â¨¦ï ¡ã-«¨ ¯à®¢¥¤¥÷ § ¬÷÷¬ «ìã ª÷«ìª÷áâì ¢ç «ì¨å £®¤¨. �¢ ¦ îâì, 鮪÷«ìª÷áâì ¢ç «ì¨å 㤨â®à÷© ¥®¡¬¥¦¥ , ¯à®â¥ § ª®¦®£® ¯à¥¤¬¥â õ â÷«ìª¨ ®¤¨ ¢¨ª« ¤ ç (®¤¨ ¯à¥¤¬¥â ¥ ¬®¦¥ ¢¨ª« ¤ â¨áì ¢®¤®ç á 㤢®å £à㯠å).
�®§£«ï¥¬® £à ä G, é® ¢÷¤¯®¢÷¤ õ â ª¨¬ ¢¨¬®£ ¬:• ª®¦ ¢¥àè¨ £à äã õ ¯ à®î ⨯ã (〈ª« á〉, 〈¯à¥¤¬¥â〉) ÷ ¢÷¤¯®¢÷-
¤ õ ãப㠧 ¢ª § ®£® ¯à¥¤¬¥â , 直© ¯®âà÷¡® ¯à®¢¥á⨠¯à®â¬â¨¦ï § ãçﬨ ¢ª § ®£® ª« áã ( ¯à¨ª« ¤, (10-�, �÷§¨ª ));
101
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
• áã¬÷¦¨¬¨ õ â÷ ÷ â÷«ìª¨ â÷ ¢¥à訨, ïª÷ ¢÷¤¯®¢÷¤ îâì ãப ¬, 鮥 ¬®¦ãâì ¡ã⨠¯à®¢¥¤¥÷ ¢®¤®ç á (®¤¨ ¢¨ª« ¤ ç ¥ ¬®¦¥ ¢¥á⨢®¤®ç á ¤¢ ãப¨, ÷ ¤¢ ãப¨ ¥ ¬®¦ ¯à®¢®¤¨â¨ ¢®¤®ç á §®¤¨¬ ª« ᮬ).
�祢¨¤®, é® ª÷«ìª÷áâì ¢¥àè¨ ã £à ä÷ G ¤®à÷¢îõ § £ «ì÷© ª÷«ì-ª®áâ÷ ãப÷¢, ïª÷ âॡ ¯à®¢¥á⨠§ ãçﬨ 誮«¨ ¯à®â¬ ⨦ï, ÷ ¯à®-¡«¥¬ ᪫ ¤ ï ®¯â¨¬ «ì®£® ஧ª« ¤ã §¢®¤¨âìáï ¤® ¯®èãªã å஬ -â¨ç®£® ç¨á« ¯®¡ã¤®¢ ®£® £à äã.
�«ï ¯®èãªã å஬ â¨ç®£® ç¨á« ÷áãîâì â®ç÷ «£®à¨â¬¨ (¤¨¢., -¯à¨ª« ¤, [9]), ïª÷ £ à âãîâì § 室¦¥ï â®ç®£® § ç¥ï å஬ â¨ç-®£® ç¨á« .
�¤ ª § §à®áâ ï ª÷«ìª®áâ÷ ¢¥àè¨ § áâ®á㢠ï â®ç¨å «£®à¨â-¬÷¢ ä à¡ã¢ ï áâ õ, ç¥à¥§ 袨¤ª¥ §à®áâ ï ®¡áï£ã ®¡ç¨á«¥ì, ¤ã¦¥¯à®¡«¥¬ â¨ç¨¬. �®¬ã ¤®æ÷«ì® ஧£«ï¤ ⨠¯à®áâ÷ ⠥䥪⨢÷ «£®-à¨â¬¨ « ¡«¨¦¥®£®» ä à¡ã¢ ï £à äã § ª÷«ìª÷áâî ª®«ì®à÷¢, ¡«¨§ì-ª¨¬ ¤® å஬ â¨ç®£® ç¨á« . �¤¨ § â ª¨å «£®à¨â¬÷¢, § ¯à®¯®®¢ ¨©�. �¥«è¥¬ (D. Welsh) ÷ �. � 㥫«®¬ (M. Powell):
1. �¥à訨 £à äã ¢¯®à浪®¢ãîâìáï § ¥§à®áâ ï¬ á⥯¥÷¢.2. �¥àè¨ v, é® ¯¥àè ¢ ᯨáªã, ä à¡ãõâìáï ¢ ª®«÷à c.3. � ª®«÷à c ä à¡ãîâìáï ¢ ¯®à浪㠧 ᯨ᪮¬ ãá÷ ¢¥à訨, ¥áã¬÷¦÷
§ ¢¥àè¨ ¬¨, é® ¤ ®¬ã ªà®æ÷ ¯®ä à¡®¢ ÷ ¢ ª®«÷à c1.4. �®ä à¡®¢ ÷ ¢¥à訨 ¢¨ªà¥á«îîâì ÷§ ᯨáªã.5. �®¢â®àîõ¬® ¯ãªâ¨ 2{4, ¯®ª¨ ¢ ᯨáªã õ ¥ä à¡®¢ ÷ ¢¥à訨.
�ਪ« ¤ 5.35. �®ä à¡ãõ¬® ¢¥à訨 £à äã G, §®¡à ¦¥®£® à¨á. 5.33, § áâ®á®¢ãîç¨ ¡«¨¦¥¨© «£®à¨â¬ �¥«è { � 㥫« .
1. �®§â èãõ¬® ¢¥à訨 § ¥§à®áâ ï¬ á⥯¥÷¢:
v2
v3
v1
v4
G
�¨á. 5.33
v2, v3, v1, v4.2. �÷áâ ¢¨¬® ¢¥àè¨÷ v2 ª®«÷à c1; ¢¨ªà¥á«¨¬® ¢¥à-
è¨ã v2 §÷ ᯨáªã.3. �¥àè¨ã v3 (¯¥àèã, é® § «¨è¨« áì ã ᯨáªã)
¯®ä à¡ãõ¬® ¢ ª®«÷à c2 ÷ ¢¨ªà¥á«¨¬® §÷ ᯨáªã.4. �¥àè¨ã v1 (¯¥àèã, é® § «¨è¨« áì ã ᯨáªã)
¯®ä à¡ãõ¬® ¢ ª®«÷à c3; ã 楩 ¦¥ ª®«÷à ¯®ä à¡ãõ¬® ¢¥à-è¨ã v4, ¥áã¬÷¦ã § v1; ¢¥à訨 v4 â v1 ¢¨ªà¥á«¨¬® §÷ ᯨáªã.
102
5.14. � à¡ã¢ ï ¢¥àè¨ â £à ¥© £à äã
�⦥, £à ä G ¢¤ «®áï ¯®ä à¡ã¢ ⨠âà쮬 ª®«ì®à ¬¨. � § 稬®,é® ¤«ï ¤ ®£® £à äã ¡«¨¦¥¨© «£®à¨â¬ ¤ ¢ â®ç¥ § ç¥ï å஬ -â¨ç®£® ç¨á« : £à ä G õ á ¬¥ âਪ®«÷ਬ ( ¥ ®¤®- ç¨ ¤¢®ª®«÷ਬ),®áª÷«ìª¨ ¬÷áâ¨âì ¯®¢¨© £à ä § âà쮬 ¢¥àè¨ ¬¨.
� 㢠¦¥ï 5.10. �஡«¥¬ã ä à¡ã¢ ï ¢¥àè¨ ¬®¦ ஧£«ï¤ â¨÷ ¤«ï ¬ã«ì⨣à ä÷¢ ¡¥§ ¯¥â¥«ì (ä à¡ã¢ ⨠¢¥à訨 £à ä÷¢ § ¯¥â«ï¬¨¥¬®¦«¨¢®, ®áª÷«ìª¨ ¢¥àè¨ § ¯¥â«¥î áã¬÷¦ á ¬÷© ᮡ÷).
5.14.2. � à¡ã¢ ï £à ¥© £à äã� «÷ ¤® ª÷æï ¯÷¤à®§¤÷«ã ¢á÷ £à ä¨ ¢¢ ¦ ⨬¥¬® ¯«®áª¨¬¨ ¥®à÷õ-
⮢ ¨¬¨ ¬ã«ì⨣à ä ¬¨.�«ï ª®à¥ªâ®£® ¢¨§ ç¥ï ¯à®¡«¥¬¨ ä à¡ã¢ ï £à ¥© ¬ § ¤®-
¡¨âìáï ¯®ïââï áã¬÷¦®áâ÷ £à ¥©.
�§ ç¥ï 5.20. �à ÷ r1 â r2 £à äã G §¨¢ îâì áã¬÷¦¨¬¨, ïªé®÷áãõ ¯à¨ ©¬÷ ®¤¥ ॡà®, é® «¥¦¨âì ®¡®¬ £à ï¬.
�ਪ« ¤ 5.36. �®§£«ï¥¬® £à ä à¨á. 5.34. �®¢÷èï £à ì r4 æ쮣® £à -äã áã¬÷¦ § £à ﬨ r1, r2 â r3; £à ìr2 áã¬÷¦ § r1 â r4 ÷ ¥áã¬÷¦ § r3.
r3r2
r1r4
�¨á. 5.34�஡«¥¬ ä à¡ã¢ ï £à ¥© £à äã ¯®«ï£ õ ã §÷áâ ¢«¥÷ ª®¦÷© £à -
÷ ¤¥ïª®ù ¬÷⪨ { ª®«ì®àã (ä à¡ã¢ ï £à ÷), ¯à¨ç®¬ã áã¬÷¦÷ £à ÷á«÷¤ ¯®ä à¡ã¢ ⨠à÷§¨¬¨ ª®«ì®à ¬¨. �÷¤ ç á ä à¡ã¢ ï £à ¥©, ïª ÷¯÷¤ ç á ä à¡ã¢ ï ¢¥àè¨, ¬ £ îâìáï ¢¨ª®à¨áâ®¢ã¢ â¨ ïª ©¬¥è¥ª®«ì®à÷¢.
�祢¨¤®, é® £à ÷ £à äã § ¬®áâ ¬¨ ä à¡ã¢ ⨠¥¬®¦«¨¢®, ®áª÷«ìª¨£à ì, ïª ¬÷áâ¨âì ¬÷áâ, áã¬÷¦ á ¬÷© ᮡ÷.
�áª÷«ìª¨ áã¬÷¦÷áâì £à ¥© r1 â r2 £à äã G ¥ª¢÷¢ «¥â áã¬÷¦®áâ÷¢÷¤¯®¢÷¤¨å ¢¥àè¨ v∗1 â v∗2 ¤ã «ì®£® £à äã G∗, ¯à®¡«¥¬ ä à¡ã¢ ï£à ¥© §¢®¤¨âìáï ¤® ä à¡ã¢ ï ¢¥àè¨ ¤ã «ì®£® £à äã.
�¤¨¬ § ¯¥àè¨å (¬®¦«¨¢®, ¯¥à訬) § áâ®á㢠ì ä à¡ã¢ ï £à ¥©£à äã õ ä à¡ã¢ ï £¥®£à ä÷ç®ù ª à⨠⠪, 鮡 áãá÷¤÷ ªà ù¨ ¡ã«¨
103
�®§¤÷« 5. �¥®à÷ï £à ä÷¢
¯®ä à¡®¢ ÷ à÷§¨¬¨ ª®«ì®à ¬¨. � §¢'離㠧 ¯®è㪮¬ ¬÷÷¬ «ì®ù ª÷«ì-ª®áâ÷ ª®«ì®à÷¢, ¯®âà÷¡¨å ¤«ï ä à¡ã¢ ï ª àâ¨, ¢ á¥à¥¤¨÷ XIX á⮫÷ââï¡ã« áä®à¬ã«ì®¢ â ª §¢ «¯à®¡«¥¬ ç®â¨àì®å ª®«ì®à÷¢», ïªã ¢¥-¤¥¬® (¡¥§ ¤®¢¥¤¥ï) ¢ ¥ª¢÷¢ «¥â®¬ã ä®à¬ã«î¢ ÷ ¤«ï ä à¡ã¢ àè¨ ¯« ண® £à äã.
�¥®à¥¬ 5.17 (¯à®¡«¥¬ ç®â¨àì®å ª®«ì®à÷¢). �«ï ä à¡ã¢ àè¨ ¯« ண® £à äã ¤®áâ âì® 4 ª®«ì®à÷¢.
� § 稬®, é® ¯à®¡«¥¬ã ç®â¨àì®å ª®«ì®à÷¢ ¡ã«® ¤®¢¥¤¥® «¨è¥1976 ப㠬¥à¨ª á쪨¬¨ ¢ç¥¨¬¨ �. �¯¯¥«¥¬ (K. Appel) â �. �¥©ª¥-¥¬ (W. Haken) § ¢¨ª®à¨áâ ï¬ ª®¬¯'îâ¥à¨å â¥å®«®£÷©.
5.15. �®ïââï ¯à® ®à÷õ⮢ ÷ £à ä¨� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¢á÷ £à ä¨ ¢¢ ¦ ⨬¥¬® ¯à®á⨬¨ ®à£à ä ¬¨
(¯à®á⨬¨ ®à÷õ⮢ ¨¬¨ £à ä ¬¨).�§ ç¥ï 5.21. �à£à ä §¨¢ îâì ¯®¢¨¬, ïªé® ¡ã¤ì-ïª ¯ à
©®£® ¢¥àè¨ (u, v) (u 6= v) §'õ¤ ॡ஬.�祢¨¤®, é® ¯®¢÷ ®à£à ä¨ § ®¤ ª®¢®î ª÷«ìª÷áâî ¢¥àè¨ ¬®¦ãâì
¡ã⨠¥÷§®¬®à䨬¨. � ª, ¯®¢÷ £à ä¨ G1 â G2, §®¡à ¦¥÷ à¨á. 5.35,¬ îâì ®¤ ª®¢ã ª÷«ìª÷áâì ¢¥àè¨, «¥ ¥ ÷§®¬®àä÷.
�§ ç¥ï 5.22. �⥯¥¥¬ d+v ¢¥à訨 v § ¢å®¤®¬ §¨¢ îâì ª÷«ì-
ª÷áâì ॡ¥à, é® ¢¥¤ãâì ¤® ¢¥à訨 v, á⥯¥¥¬ d−v ¢¥à訨 v § ¢¨å®¤®¬ §¨¢ îâì ª÷«ìª÷áâì ॡ¥à, é® ¢¥¤ãâì ¢÷¤ v. �¥àè¨ã v §¨¢ îâì ¢¨â®-ª®¬, ïªé® d+
v = 0; ¢¥àè¨ã v §¨¢ îâì á⮪®¬, ïªé® d−v = 0.�ਪ« ¤ 5.37. �à ä, §®¡à ¦¥¨© à¨á. 5.36, ¬ õ áâ÷ª v6 (d−v6
= 0,d+
v6= 2) ÷ ¥ ¬ õ ¦®¤®£® ¢¨â®ªã.
G1G2
�¨á. 5.35
v2
v3v1
v4
v5
v6
�¨á. 5.36
104
5.15. �®ïââï ¯à® ®à÷õ⮢ ÷ £à ä¨
�¥®à¥¬ 5.18. �®¢¨© ®à£à ä ¥ ¬®¦¥ ¬ ⨠¡÷«ìè¥ ®¤®£® ¢¨â®ªã÷ ¥ ¬®¦¥ ¬ ⨠¡÷«ìè¥ ®¤®£® á⮪ã.
�®¢¥¤¥ï. �®¢¥¤¥¬®, é® ¯®¢¨© ®à£à ä ¥ ¬®¦¥ ¬ ⨠¡÷«ìè¥ ®¤®£®¢¨â®ªã (⢥द¥ï ¯à® á⮪¨ ¤®¢®¤¨âìáï «®£÷ç®).
�ਯãáâ÷¬®, é® ¢ ¯®¢®¬ã ®à£à ä÷ G ÷áãîâì ¢¨â®ª¨ v1 â v2. �á-ª÷«ìª¨ £à ä ¯®¢¨©, ¢¥à訨 v1 â v2 ¬ îâì ¡ã⨠§'õ¤ ÷ ॡ஬; ¥¯®àãèãîç¨ § £ «ì®áâ÷ ¯à¨¯ãáâ÷¬®, é® à¥¡à® ¢¥¤¥ ¢÷¤ v1 ¤® v2. �âਬã-õ¬® á㯥à¥ç÷áâì (¤® ¢¨â®ªã v2 ¢¥¤¥ ॡà®), é® ¤®¢®¤¨âì ⥮६ã.
�«ï ®à£à ä÷¢ ÷áãõ æ÷ª ¢¥ 㧠£ «ì¥ï ⥮६¨ ¯à® á⥯¥÷ ¢¥àè¨.
�¥®à¥¬ 5.19 (⥮६ ¯à® á⥯¥÷ ¢¥àè¨ ¤«ï ®à£à ä÷¢).�㬠á⥯¥÷¢ ¢¥àè¨ £à äã § ¢å®¤®¬ ¤®à÷¢îõ cã¬÷ á⥯¥÷¢ ¢¥à-
è¨ £à äã § ¢¨å®¤®¬ ÷ ¤®à÷¢îõ ª÷«ìª®áâ÷ ॡ¥à:∑v∈V
d+v =
∑v∈V
d−v = ne, ¤¥ ne = card(E) { ª÷«ìª÷áâì ॡ¥à ã £à ä÷.
�¯à ¢ 5.5. �®¢¥á⨠⥮६ã 5.19 á ¬®áâ÷©®, § «®£÷õî ¤® ¤®¢¥-¤¥ï ⥮६¨ 5.2.
105
�®§¤÷« 6
�«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
6.1. �«£¥¡à¨ç÷ áâàãªâãਠ§ ®¤÷õî¡÷ à®î ®¯¥à æ÷õî
�¥å © A { ¥¯®à®¦ï ¬®¦¨ , n ∈ N ∪ {0}.�ãªæ÷î f : A×n → A § ®¡« áâî ¢¨§ ç¥ï D ⊂ A×n §¨¢ îâì
n- à®î ®¯¥à æ÷õî ¬®¦¨÷ A. �ªé® n = 1, â® ®¯¥à æ÷î f §¨¢ îâìã à®î, ïªé® n = 2 { ¡÷ à®î. �ªé® n = 0, ¯÷¤ ®¯¥à æ÷õî f ஧ã¬÷îâìä÷ªá®¢ ¨© ¥«¥¬¥â f ∈ A; ®¯¥à æ÷î f ã æ쮬ã à §÷ §¨¢ îâì ã«ì- à®î. �ªé® D = A×n (⮡⮠äãªæ÷ï f õ ¢÷¤®¡à ¦¥ï¬), ®¯¥à æ÷î f §¨¢ îâì § ¬ª¥®î.
�«ï ¡÷ à®ù ®¯¥à æ÷ù ç áâ® ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì â ª §¢ ã ÷ä÷ªáã ä®à-¬ã § ¯¨áã { ᨬ¢®« ®¯¥à æ÷ù § ¯¨áãîâì ¬÷¦ ¤¢®¬ ùù à£ã¬¥â ¬¨: xfy§ ¬÷áâì f(x, y). � à §÷ ¢¨ª®à¨áâ ï ÷ä÷ªá®ù ä®à¬¨ § ¯¨áã ¤«ï ¡÷ à-®ù ®¯¥à æ÷ù ç áâ® ¢¦¨¢ îâì âà ¤¨æ÷©÷ ¯®§ ç¥ï: «+», «·», «◦» â ÷.� ¡áâà ªâ®¬ã ¢¨¯ ¤ªã (¡¥§ ä÷ªá®¢ ®£® §¬÷áâã ¡÷ à®ù ®¯¥à æ÷ù) ¡ã-¤¥¬® ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨠¯®§ ç¥ï «∗».
�÷ àã ®¯¥à æ÷î «∗» ¬®¦¨÷ A §¨¢ îâì ª®¬ãâ ⨢®î, ïªé®
a ∗ b = b ∗ a ∀ a, b ∈ A.
�÷ àã ®¯¥à æ÷î «∗» ¬®¦¨÷ A §¨¢ îâì á®æ÷ ⨢®î, ïªé®
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ∀ a, b, c ∈ A.
106
6.1. �«£¥¡à¨ç÷ áâàãªâãਠ§ ®¤÷õî ¡÷ à®î ®¯¥à æ÷õî
�«ï á®æ÷ ⨢®ù ¡÷ à®ù ®¯¥à æ÷ù «∗» § ¬÷áâì (a ∗ b) ∗ c ¡® a ∗ (b ∗ c)ç áâ® ¯¨èãâì a ∗ b ∗ c, ®áª÷«ìª¨ ¯®à冷ª ¢¨ª® ï á®æ÷ ⨢®ù ®¯¥à æ÷ù¥ ¬ õ § ç¥ï.
�ªé® ¢¥¤¥¥ á¯÷¢¢÷¤®è¥ï ª®¬ãâ ⨢®áâ÷ ¥ ¢¨ª®ãõâìáï ¯à¨- ©¬÷ ¤«ï ¤¢®å ¥«¥¬¥â÷¢ a, b ∈ A, ®¯¥à æ÷î §¨¢ îâì ¥ª®¬ãâ ⨢-®î. �ªé® ¢¥¤¥¥ á¯÷¢¢÷¤®è¥ï á®æ÷ ⨢®áâ÷ ¥ ¢¨ª®ãõâìáï ¯à¨- ©¬÷ ¤«ï âàì®å ¥«¥¬¥â÷¢ a, b, c ∈ A, ®¯¥à æ÷î §¨¢ îâì ¥ á®æ÷ ⨢-®î.
�¯®à浪®¢ ã ¯ àã 〈A, ∗〉, ¤¥ «∗» { ¡÷ à ®¯¥à æ÷ï ¬®¦¨÷A 6= ∅, §¨¢ îâì «£¥¡à¨ç®î áâàãªâãà®î § ¡÷ à®î ®¯¥à æ÷õî.
� 㢠¦¥ï 6.1. �¢¨ç ©®, ¬®¦ ஧£«ï¤ ⨠«£¥¡à¨ç÷ áâàãªâã-ਠ§ ¤®¢÷«ì®î (÷ ¢÷âì § ¥áª÷祮î) ª÷«ìª÷áâî ®¯¥à æ÷© ¤®¢÷«ì®ù à®áâ÷. � ª, ã ஧¤. 7 ¡ã¤¥ ஧£«ïãâ® «£¥¡à¨çã áâàãªâãàã § ¤¢®¬ ¡÷ ਬ¨ ®¯¥à æ÷ﬨ.
�§ ç¥ï 6.1. �«£¥¡à¨çã áâàãªâãàã 〈A, ∗〉 §¨¢ ⨬¥¬® ®¯¥à -⨢®¬, ïªé® ®¯¥à æ÷ï «∗» § ¬ª¥ . �¯¥à ⨢ § á®æ÷ ⨢®î ®¯¥à æ÷õî §¨¢ îâì ¯÷¢£à㯮î. �«£¥¡à¨çã áâàãªâãàã § ª®¬ãâ ⨢®î ®¯¥à æ÷õî §¨¢ îâì ª®¬ãâ ⨢®î, § ¥ª®¬ãâ ⨢®î ®¯¥à æ÷õî { ¥ª®¬ãâ ⨢-®î.
�ਪ« ¤ 6.1. 1. �âàãªâãà 〈Z,−〉 { ®¯¥à ⨢, ®áª÷«ìª¨ ¤«ï ¤®¢÷«ì-¨å n,m ∈ Z ®âਬãõ¬® n−m ∈ Z.
2. �âàãªâãà 〈N,−〉 ¥ õ ®¯¥à ⨢®¬: â ª, ¯à¨ª« ¤, 1−2 = −1 /∈ N.3. �¯¥à æ÷ï «−» ¬®¦¨÷ R ¥ õ ÷ ª®¬ãâ ⨢®î, ÷ á®æ÷ ⨢®î.4. �¯¥à æ÷ï «+» ¬®¦¨÷ R õ ª®¬ãâ ⨢®î â á®æ÷ ⨢®î. �â-
¦¥, 〈R, +〉 { ª®¬ãâ ⨢ ¯÷¢£à㯠.5. �¯¥à æ÷ï «·» õ ª®¬ãâ ⨢®î â á®æ÷ ⨢®î ¬®¦¨÷ R (¤®-
¡ã⮪ ¤÷©á¨å ç¨á¥«). �⦥, 〈R, ·〉 { ª®¬ãâ ⨢ ¯÷¢£à㯠.6. � ¬®¦¨÷ Mn×n ¬ âà¨æì n× n ®¯¥à æ÷ï «·» õ á®æ÷ ⨢®î, «¥
¯à¨ n ≥ 2 ¥ õ ª®¬ãâ ⨢®î. �⦥, 〈Mn×n, ·〉 { ¯÷¢£à㯠(ã ¢¨¯ ¤ªãn ≥ 2 { ¥ª®¬ãâ ⨢ ).
� 㢠¦¥ï 6.2. �ãâ ÷ ¤ «÷, ïªé® ¥ ¢ª § ® ÷è¥, ஧£«ïãâ® ¬ âà¨æ÷§ ¥«¥¬¥â ¬¨ ÷§ R.
107
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�§ ç¥ï 6.2. �¥å © 〈A, ∗〉 { ®¯¥à ⨢. �«¥¬¥â er ∈ A §¨¢ îâì¯à ¢¨¬ ¥©âà «ì¨¬, ïªé®
a ∗ er = a ∀ a ∈ A.
�«¥¬¥â el ∈ A §¨¢ îâì «÷¢¨¬ ¥©âà «ì¨¬, ïªé®
el ∗ a = a ∀ a ∈ A.
�à ¢¨© â «÷¢¨© ¥©âà «ì÷ ¥«¥¬¥â¨ §¨¢ îâì ®¤®áâ®à®÷¬¨ ¥©-âà «ì¨¬¨.
�«¥¬¥â e ∈ A §¨¢ îâì ¥©âà «ì¨¬ (¤¢®áâ®à®÷¬ ¥©âà «ì¨¬),ïªé® ¢÷ õ ®¤®ç á® ¯à ¢¨¬ ÷ «÷¢¨¬ ¥©âà «ì¨¬.
�§ ç¥ï 6.3. �÷¢£àã¯ã § ¥©âà «ì¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ §¨¢ îâì ¬®-®ù¤®¬.
� 㢠¦¥ï 6.3. �®¢÷«ì «£¥¡à¨ç áâàãªâãà § ¡÷ à®î ®¯¥à -æ÷õî ¬®¦¥ ¥ ¬÷áâ¨â¨ ÷ ¤¢®áâ®à®÷å, ÷ ¢÷âì ®¤®áâ®à®÷å ¥©âà «ì-¨å ¥«¥¬¥â÷¢.
�ਪ« ¤ 6.2. 1. � «£¥¡à¨ç÷© áâàãªâãà÷ 〈Z,−〉 ÷áãõ ¯à ¢¨© ¥©â-à «ì¨© 0, «¥ ¥¬ õ ¤¢®áâ®à®ì®£® ¥©âà «ì®£®.
2. � «£¥¡à¨ç÷© áâàãªâãà÷ 〈R3,×〉 (¢¥ªâ®à¨© ¤®¡ã⮪ ¢¥ªâ®à÷¢ ã R3)¥ ÷áãõ ¦®¤®£® (®¤®- ç¨ ¤¢®áâ®à®ì®£®) ¥©âà «ì®£® ¥«¥¬¥â .
3. � «£¥¡à¨ç÷© áâàãªâãà÷ 〈Mn×n, ·〉 ÷áãõ ¤¢®áâ®à®÷© ¥©âà «ì-¨© I (®¤¨¨ç ¬ âà¨æï). �⦥, ¢à 客ãîç¨ á®æ÷ ⨢÷áâì ¤®¡ãâªã¬ âà¨æì, 〈Mn×n, ·〉 { ¬®®ù¤ (¯à¨ n ≥ 2 { ¥ª®¬ãâ ⨢¨©).
�¥®à¥¬ 6.1. �ªé® ¢ ®¯¥à ⨢÷ 〈A, ∗〉 ÷áãõ ¯à ¢¨© er ÷ «÷¢¨© el
¥©âà «ì÷ ¥«¥¬¥â¨, â®er = el.
�®¢¥¤¥ï. � ¢¨§ ç¥ï¬ ¯à ¢®£® â «÷¢®£® ¥©âà «ì¨å ¬ õ¬®:
el = el ∗ er; er = el ∗ er,
§¢÷¤ª¨ el = er.
108
6.1. �«£¥¡à¨ç÷ áâàãªâãਠ§ ®¤÷õî ¡÷ à®î ®¯¥à æ÷õî
� á«÷¤®ª. �ªé® ¢ «£¥¡à¨ç÷© áâàãªâãà÷ 〈A, ∗〉 ÷áãõ å®ç ¡ ®¤¨¯à ¢¨© er ÷ å®ç ¡ ®¤¨ «÷¢¨© el ¥©âà «ì÷ ¥«¥¬¥â¨, â® ¢ áâàãªâãà÷÷áãõ ¤¢®áâ®à®÷© ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â e = er = el, ¯à¨ç®¬ã ¢á÷ ÷è÷®¤®- â ¤¢®áâ®à®÷ ¥©âà «ì÷ ¥«¥¬¥â¨ §¡÷£ ⨬ãâìáï § e.
� 㢠¦¥ï 6.4. � ⥮६¨ 6.1 ®¤à §ã ¢¨¯«¨¢ õ õ¤¨÷áâì ¤¢®áâ®à®-쮣® ¥©âà «ì®£®, «¥ ®¤®áâ®à®÷å ¥©âà «ì¨å ¬®¦¥ ¡ã⨠¤®¢÷«ì ª÷«ìª÷áâì.
�ਪ« ¤ 6.3. �¥å © ¥¯®à®¦÷© ¬®¦¨÷ A ¡÷ à ®¯¥à æ÷ï «∗»¢¨§ ç¥ ïª ¯à®¥ªæ÷ï ¯¥à訩 à£ã¬¥â:
a ∗ b = a ∀ a, b ∈ A.
�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ¢ «£¥¡à¨ç÷© áâàãªâãà÷ 〈A, ∗〉 ª®¦¨© ¥«¥¬¥âb ∈ A õ ¯à ¢¨¬ ¥©âà «ì¨¬.
�§ ç¥ï 6.4. �¥å © 〈A, ∗〉 { ®¯¥à ⨢ § ¥©âà «ì¨¬ ¥«¥¬¥â®¬e, a { ä÷ªá®¢ ¨© ¥«¥¬¥â ¢ A. �«¥¬¥â a−1,r ∈ A §¨¢ îâì ¯à ¢¨¬®¡¥à¥¨¬ ¤® a, ïªé®
a ∗ a−1,r = e.
�«¥¬¥â a−1,l ∈ A §¨¢ îâì «÷¢¨¬ ®¡¥à¥¨¬ ¤® a, ïªé®
a−1,l ∗ a = e.
�à ¢¨© â «÷¢¨© ®¡¥à¥÷ ¥«¥¬¥â¨ §¨¢ îâì ®¤®áâ®à®÷¬¨ ®¡¥à-¥¨¬¨.
�«¥¬¥â a−1 ∈ A §¨¢ îâì ®¡¥à¥¨¬ ¤® a (¤¢®áâ®à®÷¬ ®¡¥à¥-¨¬), ïªé® ¢÷ õ ®¤®ç á® ¯à ¢¨¬ ÷ «÷¢¨¬ ®¡¥à¥¨¬ ¤® a.
�¥®à¥¬ 6.2. �ªé® ¢ ¬®®ù¤÷ 〈A, ∗〉 ÷áãõ ¯à ¢¨© a−1,r ÷ «÷¢¨© a−1,l
®¡¥à¥÷ ¤® ¤¥ïª®£® ¥«¥¬¥â a ∈ A, â®
a−1,r = a−1,l.
�®¢¥¤¥ï. �¥å © e { ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â. � ¢¨§ ç¥ï¬ ¯à ¢®£®â «÷¢®£® ®¡¥à¥¨å ÷, ¢à 客ãîç¨ á®æ÷ ⨢÷áâì, ¬ õ¬®
a−1,l = a−1,l ∗ e = a−1,l ∗ (a ∗ a−1,r) = (a−1,l ∗ a) ∗ a−1,r = e ∗ a−1,r = a−1,r.
109
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�®¡ 㨪ã⨠ª®ä«÷ªâã ¢ ¯®§ ç¥ïå, ¤«ï ®¡¥à¥®£® ¥«¥¬¥â ÷®¤÷ ¢ª §ãîâì ®¯¥à æ÷î, ¢÷¤®á® 类ù ®¡ç¨á«¥® ®¡¥à¥¨© ¥«¥¬¥â:a−1,∗ { ¥«¥¬¥â, ®¡¥à¥¨© ¤® a ¢÷¤®á® ®¯¥à æ÷ù «∗».
�ਪ« ¤ 6.4. 1. � ¬®®ù¤÷ 〈R, ·〉 ®¡¥à¥¨© ¬ îâì ãá÷ ¥«¥¬¥â¨, ªà÷¬¥«¥¬¥â 0: a−1,· = a−1( = 1
a) (a 6= 0).
2. � ¬®®ù¤÷ 〈R, +〉 ®¡¥à¥¨© ¬ îâì ãá÷ ¥«¥¬¥â¨: a−1,+ = −a.
�§ ç¥ï 6.5. �àã¯®î §¨¢ îâì ¬®®ù¤, ¢ 类¬ã ¤«ï ª®¦®£®¥«¥¬¥â ÷áãõ ®¡¥à¥¨©. �®¬ãâ ⨢㠣àã¯ã §¨¢ îâì ¡¥«¥¢®î1.
�ਪ« ¤ 6.5. 1. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈Z, +〉 { ª®¬ãâ ⨢ £à㯠.2. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈Z, ·〉 { ª®¬ãâ ⨢¨© ¬®®ù¤ (¥©âà «ì¨©
¥«¥¬¥â e = 1), «¥ ¥ £à㯠, ®áª÷«ìª¨ ®¡¥à¥÷ ¥«¥¬¥â¨ ÷áãîâì «¨è¥¤«ï ¥«¥¬¥â÷¢ 1 â −1.
3. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈Mn×n, ·〉 { ¬®®ù¤, ¥ª®¬ãâ ⨢¨© ¯à¨n ≥ 2; ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â e = I. �ï áâàãªâãà ¥ õ £à㯮î, ®áª÷«ìª¨®¡¥à¥÷ ÷áãîâì «¨è¥ ¤«ï ¥¢¨à®¤¦¥¨å ¬ âà¨æì.
4. �¥å © GLn { ¬®¦¨ ¥¢¨à®¤¦¥¨å ª¢ ¤à â¨å ¬ âà¨æì ஧¬÷-஬ n × n. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈GLn, ·〉 { £à㯠, ¥ª®¬ãâ ⨢ ¯à¨n ≥ 2; ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â e = I; ®¡¥à¥¨© ¥«¥¬¥â A−1 §¡÷£ õâìáï §®¡¥à¥®î ¬ âà¨æ¥î.
5. �¥å © R∗ = R \ {0}. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈R∗, ·〉 õ ª®¬ãâ ⨢®î£à㯮î. �祢¨¤®, é® R∗ = GL1.
6. �¥å © A { ¤®¢÷«ì ¥¯®à®¦ï ¬®¦¨ , G { ¬®¦¨ ¡÷õªæ÷©f : A → A. ö§ ¢« á⨢®á⥩ ¡÷õªâ¨¢¨å ¢÷¤®¡à ¦¥ì ¢¨¯«¨¢ õ, é® 〈G, ◦〉 {£à㯠(«◦» { ®¯¥à æ÷ï ª®¬¯®§¨æ÷ù). �¥©âà «ì¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ £à㯨 õ â®-⮦¥ ¢÷¤®¡à ¦¥ï, ®¡¥à¥¨¬ { ¢÷¤¯®¢÷¤¥ ®¡¥à¥¥ ¢÷¤®¡à ¦¥ï.
�àã¯ã § ®¯¥à æ÷õî, «®£÷ç®î ®¯¥à æ÷ù ¤®¤ ¢ ï, ç áâ® §¨¢ -îâì ¤¨â¨¢®î; £àã¯ã § ®¯¥à æ÷õî, «®£÷ç®î ®¯¥à æ÷ù ¤®¡ãâªã, ç áâ® §¨¢ îâì ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢®î.
�ਪ« ¤ 6.6. �® ¤¨â¨¢¨å £à㯠¢÷¤®áïâì 〈Z, +〉, 〈R, +〉, 〈Mn×n, +〉.�® ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢¨å ¬®¦ ¢÷¤¥á⨠£à㯨 〈R∗, ·〉, 〈GLn, ·〉, 〈{1,−1}, ·〉.
1�¡¥«ì �÷«ìá �¥à÷ª (1802{1829) { ®à¢¥§ìª¨© ¬ ⥬ ⨪; ¤®¢÷¢, ªâ¨¢® ¢¨ª®à¨-á⮢ãîç¨ ¢« á⨢®áâ÷ ª®¬ãâ ⨢¨å £àã¯, ¥à®§¢'ï§÷áâì «£¥¡à¨ç¨å à÷¢ïì 5-£® ÷¢¨é¨å ¯®à浪÷¢ ã § £ «ì®¬ã ¢¨£«ï¤÷ ç¥à¥§ à ¤¨ª «¨.
110
6.2. �ᮢ÷ ¢« á⨢®áâ÷ £àã¯. �⥯÷ì ¥«¥¬¥â
� 㢠¦¥ï 6.5. �¢¨ç ©®, ¢¨¤÷«¥ï ª« á÷¢ ¤¨â¨¢¨å ÷ ¬ã«ìâ¨-¯«÷ª ⨢¨å £à㯠¤®á¨âì 㬮¢¥, ®áª÷«ìª¨ ¡ã¤ì-ïªã ¡÷ àã ®¯¥à æ÷¦ (¯à¨ ©¬÷, ä®à¬ «ì®) ¯®§ ç¨â¨ ïª á¨¬¢®«®¬ «+», â ª ÷ ᨬ-¢®«®¬ «·». �à®â¥, ïªé® ©¤¥âìáï ¯à® ¤¨â¨¢ã (¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ã) £àã¯ã,¬ îâì 㢠§÷ § £ «ì®¯à¨©ï⨩ á¥á ®¯¥à æ÷© «+» â «·». �÷«ìè¥ â®-£®, ¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ §¢ã «¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ ( ¤¨â¨¢ ) £à㯠», á ¬ã®¯¥à æ÷î ç áâ® ¥ ¢ª §ãîâì. � ª, ç áâ® ¯¨èãâì « ¤¨â¨¢ £à㯠Mn×n»§ ¬÷áâì «£à㯠〈Mn×n, +〉», «¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ £à㯠GLn» § ¬÷áâì «£àã-¯ 〈GLn, ·〉», «¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ £à㯠R∗» § ¬÷áâì «£à㯠〈R∗, ·〉» â®é®.
� 㢠¦¥ï 6.6. �®§ ç¥ï GLn â R∗ õ áâ «¨¬¨ ¤«ï ¢÷¤¯®¢÷¤¨å¬ã«ì⨯«÷ª ⨢¨å £àã¯, ¢÷âì ¡¥§ ª®ªà¥â¨§ãî箣® ¥¯÷â¥â «¬ã«ìâ¨-¯«÷ª ⨢ ».
� ¯®á÷¡¨ªã ஧£«ïãâ® «¨è¥ ©£®«®¢÷è÷ ᯥªâ¨ ⥮à÷ù £àã¯. �¥-â «ì÷è¥ ¯à® ⥮à÷î «£¥¡à¨ç¨å áâàãªâãà (§®ªà¥¬ , ⥮à÷î £àã¯) ¬®¦- ¤÷§ â¨áï, ¯à¨ª« ¤, § ¯à æì [10{ 13].
6.2. �ᮢ÷ ¢« á⨢®áâ÷ £àã¯.�⥯÷ì ¥«¥¬¥â
�®§£«ï¥¬® ©¯à®áâ÷è÷ ¢« á⨢®áâ÷ £à㯨 〈G, ∗〉 § ¥©âà «ì¨¬e ∈ G.
1. �¥å © a, b ∈ G. �®¤÷ à÷¢ïï a ∗ x = b ¢÷¤®á® x ∈ G ¬ õ õ¤¨¨©à®§¢'燐ª x = a−1 ∗ b.
�®¢¥¤¥ï. öá㢠ï ஧¢'離ã: ¥«¥¬¥â x = a−1 ∗ b ¤÷©á® õ ஧¢'ï§-ª®¬ à÷¢ïï a ∗ x = b, ®áª÷«ìª¨
a ∗ (a−1 ∗ b) = (a ∗ a−1) ∗ b = e ∗ b = b.
ô¤¨÷áâì ஧¢'離ã:
(a ∗ x = b) ⇒ (a−1 ∗ a ∗ x = a−1 ∗ b) ⇒ (x = a−1 ∗ b).
�¯à ¢ 6.1. �®¢¥áâ¨, é® à÷¢ïï y ∗ a = b ¬ õ ¢÷¤®á® y ∈ Gõ¤¨¨© ஧¢'燐ª y = b ∗ a−1.
111
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
2. �à ¢¨« «÷¢®£® â ¯à ¢®£® ᪮à®ç¥ï (a, b, x, y ∈ G):
(a ∗ x = b ∗ x) ⇔ (a = b) (¯à ¢¥ ᪮à®ç¥ï); (6.1)(y ∗ a = y ∗ b) ⇔ (a = b) («÷¢¥ ᪮à®ç¥ï). (6.2)
�¯à ¢ 6.2. �®¢¥á⨠¯à ¢¨« ᪮à®ç¥ï á ¬®áâ÷©®.
3. ∀ a, b ∈ G : (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1.
�®¢¥¤¥ï. �¥à¥¢÷ਬ®, é® b−1 ∗ a−1 õ ¯à ¢¨¬ ®¡¥à¥¨¬ ¤® a ∗ b:
(a ∗ b) ∗ (b−1 ∗ a−1) = (a ∗ b ∗ b−1) ∗ a−1 = a ∗ e ∗ a−1 = a ∗ a−1 = e.
� 㢠¦¨¬®, é® ¬®¦ ¥ ¯à®¢®¤¨â¨ «®£÷çã ¯¥à¥¢÷àªã ä ªâã, é®b−1 ∗ a−1 õ «÷¢¨¬ ®¡¥à¥¨¬ ¤® a ∗ b, ®áª÷«ìª¨ ¥®¡å÷¤¨© १ã«ìâ â ¢¨-¯«¨¢ õ § ⥮६¨ 6.2 (¢à 客ãîç¨ ÷áã¢ ï ¤¢®áâ®à®ì®£® ®¡¥à¥®£®© á®æ÷ ⨢÷áâì £à㯮¢®ù ®¯¥à æ÷ù).
�¯à ¢ 6.3. �®¢¥á⨠㧠£ «ì¥ï ¢« á⨢®áâ÷ 3:
∀ a1, a2, . . . , an ∈ G : (a1 ∗ a2 ∗ · · · ∗ an)−1 = a−1n ∗ · · · ∗ a−1
2 ∗ a−11 .
�¥å © a ∈ G. �¨§ 稬® á⥯÷ì ak ¤«ï k ∈ Z.�«ï n > 0 ¯®ª« ¤¥¬® § ¢¨§ ç¥ï¬:• an = a ∗ a ∗ · · · ∗ a︸ ︷︷ ︸
n
;
• a−n = (a−1)n;
• a0 = e.� 㢠¦¥ï 6.7. ö§ १ã«ìâ âã ¢¯à ¢¨ 6.3 ®¤à §ã ¢¨¯«¨¢ õ
a−n = (a−1)n
= (an)−1.
�«ï á⥯¥ï ¥«¥¬¥â £à㯨 «¥£ª® ¤®¢¥á⨠⠪÷ ¢« á⨢®áâ÷ (¯à®¤®¢-¦¥® § £ «ìã 㬥à æ÷î ¢« á⨢®á⥩).
4. an+m = an ∗ am.5. an·m = (an)m.
�¯à ¢ 6.4. �®¢¥á⨠¢« á⨢®áâ÷ 4 â 5 á ¬®áâ÷©®.
112
6.3. �à㯠¯÷¤áâ ®¢®ª
�ª §÷¢ª . �®¢¥á⨠¢« á⨢®áâ÷ ᯮç âªã ¤«ï n,m > 0, ¢ § £ «ì®¬ã¢¨¯ ¤ªã ᪮à¨áâ â¨áï ¢¨§ ç¥ï¬ ak ¤«ï k < 0 § ãà åã¢ ï¬ § ã¢. 6.7(¢¨¯ ¤ª¨ n = 0 â ( ¡®) m = 0 á«÷¤ ஧£«ïã⨠®ªà¥¬®).
�®¡ 㨪ã⨠ª®ä«÷ªâã ¢ ¯®§ ç¥ïå (§®ªà¥¬ , ஧£«ï¤ îç¨ ¤¨â¨¢÷ £à㯨), ¤«ï á⥯¥ï ¥«¥¬¥â ÷®¤÷ ¢ª §ãîâì £à㯮¢ã ®¯¥à æ÷î:an,∗ { á⥯÷ì an ã £àã¯÷ § ®¯¥à æ÷õî «∗».
�ਪ« ¤ 6.7. 1. � £àã¯÷ 〈R∗, ·〉 á⥯÷ì ¥«¥¬¥â §¡÷£ õâìáï § ¢÷¤-¯®¢÷¤¨¬ ª« á¨ç¨¬ ( à¨ä¬¥â¨ç¨¬) á⥯¥¥¬:
an,· = a · a · · · · · a︸ ︷︷ ︸n
= an.
2. � ¤¨â¨¢÷© £àã¯÷ Z (⮡⮠¢ £àã¯÷ 〈Z, +〉 (¤¨¢. § ã¢. 6.5)), á⥯÷쥫¥¬¥â a ®¡ç¨á«îîâì ïª à¨ä¬¥â¨ç¨© ¤®¡ã⮪ ç¨á« a ¯®ª §¨ªá⥯¥ï:
an,+ = a + a + · · ·+ a︸ ︷︷ ︸n
= n · a.
6.3. �à㯠¯÷¤áâ ®¢®ª� ¦«¨¢¨© ª« á £à㯠¯®¢'ï§ ¨© § ¡÷õªâ¨¢¨¬¨ ¢÷¤®¡à ¦¥ï¬¨ (¯÷¤-
áâ ®¢ª ¬¨) áª÷ç¥÷© ¬®¦¨÷ A.�áª÷«ìª¨ ¯÷¤ ç á ¢¨¢ç¥ï ¢« á⨢®á⥩ ¯÷¤áâ ®¢®ª ¯à¨à®¤ ¥«¥¬¥-
â÷¢ ¬®¦¨¨ A ¥ ¬ õ § ç¥ï (áãââõ¢¨¬ ä ªâ®¬ õ «¨è¥ ¯®âã¦÷áâ쬮¦¨¨ A), ¡ã¤¥¬® ¢¢ ¦ ⨠A = {1, 2, . . . , n} (n ≥ 1).
6.3.1. � £ «ì÷ ¯®ïââï ⥮à÷ù ¯÷¤áâ ®¢®ª�§ ç¥ï 6.6. �¥à¥áâ ®¢ª®î ¬®¦¨¨ A = {1, 2, . . . , n} §¨¢ -
îâì ¤®¢÷«ì¨© «÷÷©® ¢¯®à浪®¢ ¨© ¡÷à i = (i1, i2, . . . , in), â ª¨©, é®:• ik ∈ A ¯à¨ 1 ≤ k ≤ n;• ik1 6= ik2 ¯à¨ k1 6= k2.
�祢¨¤®, ¢á쮣® ¬®¦¨÷ A ¢¨§ 祮 n! ¯¥à¥áâ ®¢®ª.
113
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�ਪ« ¤ 6.8. 1. �ਠn = 1 ¢¨§ ç¥ ®¤ ¯¥à¥áâ ®¢ª (1). �¥©¢¨¯ ¤®ª ¥æ÷ª ¢¨© ÷ ©®£®, ïª ¯à ¢¨«®, ¥ ஧£«ï¤ îâì.
2. �ਠn = 2 ¢¨§ 祮 ¤¢÷ ¯¥à¥áâ ®¢ª¨: (1, 2), (2, 1).3. �ਠn = 3 ¢¨§ 祮 3! = 6 ¯¥à¥áâ ®¢®ª: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3),
(2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
�§ ç¥ï 6.7. �÷¤áâ ®¢ª®î c ¬®¦¨÷ A = {1, 2, . . . , n} §¨-¢ îâì ¤®¢÷«ì¥ ¡÷õªâ¨¢¥ ¢÷¤®¡à ¦¥ï c : A → A.
�÷¤áâ ®¢ªã e, ïª ¢¨§ ç õ â®â®¦¥ ¢÷¤®¡à ¦¥ï, §¨¢ îâì â®-⮦®î.
�祢¨¤®, ¢á쮣® ¬®¦¨÷ A ¢¨§ 祮 n! ¯÷¤áâ ®¢®ª.�÷¤áâ ®¢ªã c : A → A §àãç® §®¡à ¦ã¢ ⨠㠢¨£«ï¤÷ ¬ âà¨æ÷ ஧¬÷-
஬ 2× n:
c =
(i1 i2 . . . inj1 j2 . . . jn
)⇔
c : i1 7→ j1,
c : i2 7→ j2,
. . .
c : in 7→ jn.
�«ï ¯¥à¥áâ ®¢®ª i = (i1, i2, . . . , in), j = (j1, j2, . . . , jn) ¯®§ 稬®(
ij
)=
(i1 i2 . . . inj1 j2 . . . jn
).
�¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, é® ª®¦ã ¯÷¤áâ ®¢ªã (¯à¨ n ≥ 2) ¬®¦ §®¡à §¨â¨ã ¢¨£«ï¤÷ ¬ âà¨æ÷ ª÷«ìª®¬ ᯮᮡ ¬¨, ¯¥à¥áâ ¢«ïîç¨ á⮢¯æ÷ ¬ âà¨æ÷(ª®¦÷© ¯÷¤áâ ®¢æ÷ ¬®¦¨÷ A ¢÷¤¯®¢÷¤ õ n! ¬ âà¨æì).
�ਪ« ¤ 6.9. �÷¤áâ ®¢ªã c : {1, 2} → {1, 2}, â ªã, é® c(1) = 2,c(2) = 1, ¬®¦ §®¡à §¨â¨ ã ¢¨£«ï¤÷ ¬ âà¨æ÷ ¤¢®¬ ᯮᮡ ¬¨:
c =
(1 22 1
)=
(2 11 2
).
�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨ ¯®¤ ¥ ¨¦ç¥ ⢥द¥ï.
114
6.3. �à㯠¯÷¤áâ ®¢®ª
�¥¬ 6.1. �¥å © c { ¤®¢÷«ì ¯÷¤áâ ®¢ª ¬®¦¨÷ A.1. �«ï ¤®¢÷«ì®ù ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ i = (i1, i2, . . . , in) ÷áãõ õ¤¨ ¯¥à¥áâ -
®¢ª j = (j1, j2, . . . , jn), â ª , é®
c =
(ij
)=
(i1 i2 . . . inj1 j2 . . . jn
).
2. �«ï ¤®¢÷«ì®ù ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ j = (j1, j2, . . . , jn) ÷áãõ õ¤¨ ¯¥à¥-áâ ®¢ª i = (i1, i2, . . . , in), â ª , é®
c =
(ij
)=
(i1 i2 . . . inj1 j2 . . . jn
).
�¥¬ 6.1 ¤®§¢®«ïõ ஧£«ï¤ ⨠¯÷¤áâ ®¢ªã c ïª ¡÷õªâ¨¢¥ ¢÷¤®¡à -¦¥ï ¬®¦¨÷ ¯¥à¥áâ ®¢®ª ¬®¦¨¨ A = {1, 2, . . . , n}:
c(i) = j ⇔ c =
(ij
), ¤¥ i = (i1, i2, . . . , in), j = (j1, j2, . . . , jn).
�ਪ« ¤ 6.10. �¥å © c =
(1 22 1
)=
(2 11 2
). �®¤÷ c((1, 2)) = (2, 1),
c((2, 1)) = (1, 2).� ª¨© ¯÷¤å÷¤ ª®à¨á® ¢¨ª®à¨á⮢㢠⨠¯÷¤ ç á ¢¨¢ç¥ï ¢« á⨢®á⥩
¯÷¤áâ ®¢®ª. �à®â¥, ïªé® ¥ ¢ª § ® ÷è¥, ஧£«ï¤ ⨬¥¬® ¯÷¤áâ ®¢ªãïª ¢÷¤®¡à ¦¥ï ¬®¦¨÷ A.
�«ï ¯÷¤áâ ®¢®ª c1,c2 : A → A ¢¨§ 祮 ª®¬¯®§¨æ÷î c2 ◦ c1, ïªã÷®¤÷ §¨¢ îâì ¤®¡ã⪮¬ ¯÷¤áâ ®¢®ª .
�ਪ« ¤ 6.11. �¥å © c1 =
(1 2 32 3 1
), c2 =
(1 2 33 2 1
).
�®¤÷ c2 ◦ c1 =
(1 2 32 1 3
), c1 ◦ c2 =
(1 2 31 3 2
).
� 㢠¦¥ï 6.8. �¥§ã«ìâ â ª®¬¯®§¨æ÷ù c = c2 ◦ c1, ®ç¥¢¨¤®, ¥ §¬÷-¨âìáï, ïªé® ஧£«ï¤ ⨠c1 â c2 ïª ¢÷¤®¡à ¦¥ï ¬®¦¨÷ ¯¥à¥-áâ ®¢®ª. �¥, à §®¬ § «¥¬®î 6.1, 㬮¦«¨¢«îõ â ª¨© ᯮá÷¡ ®¡ç¨á«¥ïª®¬¯®§¨æ÷ù ¯÷¤áâ ®¢®ª:
1) ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c1 â c2 §®¡à ¦ãîâì ã ¢¨£«ï¤÷ ¬ âà¨æì â ª, 鮡 ¨¦-÷© à冷ª ¬ âà¨æ÷ c1 §¡÷£ ¢áï § ¢¥àå÷¬ à浪®¬ ¬ âà¨æ÷ c2:
c1 =
(ij
), c2 =
(jk
)
115
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
(æ¥ ¬®¦ §à®¡¨â¨, ¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ à¥§ã«ìâ â «¥¬¨ 6.1, ¤® ⮣® ¦ n!ᯮᮡ ¬¨);
2) ஧£«ï¤ îç¨ ¯÷¤áâ ®¢ª¨ ïª ¢÷¤®¡à ¦¥ï ¬®¦¨÷ ¯¥à¥áâ ®-¢®ª, ®âਬãîâì
c2 ◦ c1 =
(jk
)◦
(ij
)=
(ik
).
�ਪ« ¤ 6.12. �¥å © c1 =
(1 2 32 3 1
), c2 =
(1 2 33 2 1
). �®¤÷, §¬÷î-
îç¨ ¯®âà÷¡¨¬ 種¬ §®¡à ¦¥ï ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c2, ®âਬãõ¬®
c2 ◦ c1 =
(1 2 33 2 1
)◦
(1 2 32 3 1
)=
(2 3 12 1 3
)◦
(1 2 32 3 1
)=
(1 2 32 1 3
).
�§ ç¥ï 6.8. �¥å © c { ¯÷¤áâ ®¢ª ¬®¦¨÷ A. �÷¤áâ ®¢ª®î,®¡¥à¥®î ¤® c, §¨¢ îâì ¯÷¤áâ ®¢ªã c−1 ¬®¦¨÷ A, â ªã, é®
c ◦ c−1 = c−1 ◦ c = e,
¤¥ e { â®â®¦ ¯÷¤áâ ®¢ª .� ¢¥¤¥®£® ®§ ç¥ï ®¡¥à¥®ù ¯÷¤áâ ®¢ª¨ ¢¨¯«¨¢ õ, é® c−1 õ
¢÷¤®¡à ¦¥ï¬, ®¡¥à¥¨¬ ¤® ¢÷¤®¡à ¦¥ï c.�祢¨¤®, é® ¤«ï ®¡ç¨á«¥ï ®¡¥à¥®ù ¯÷¤áâ ®¢ª¨ ¤®áâ âì® ¯®¬÷-
ï⨠¬÷áæﬨ ¢¥àå÷© ÷ ¨¦÷© à浪¨ ¬ âà¨æ÷ ¢¨å÷¤®ù ¯÷¤áâ ®¢ª¨:(
ij
)−1
=
(ji
).
�ਪ« ¤ 6.13. �¡ç¨á«¨¬® ®¡¥à¥ã ¤«ï(
1 2 32 3 1
)−1
:
(1 2 32 3 1
)−1
=
(2 3 11 2 3
)=
(1 2 33 1 2
).
�⦥, ¬®¦¨ ¯÷¤áâ ®¢®ª ä÷ªá®¢ ÷© ¬®¦¨÷ A = {1, 2, . . . , n}ã⢮àîõ £àã¯ã § ®¯¥à æ÷õî «◦» (ª®¬¯®§¨æ÷ï), ïªã §¨¢ îâì £à㯮î¯÷¤áâ ®¢®ª , ¡® ᨬ¥âà¨ç®î £à㯮î á⥯¥ï n. � § 稬®, é® £à㯠¯÷¤áâ ®¢®ª áª÷ç¥÷© ¬®¦¨÷ A õ ®ªà¥¬¨¬ ¢¨¯ ¤ª®¬ £à㯨 ¡÷õªæ÷© ¤®¢÷«ì÷© ¬®¦¨÷ A (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.5).
�«ï £à㯨 ¯÷¤áâ ®¢®ª á⥯¥ï n ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ¯®§ ç¥ï Sn.
116
6.3. �à㯠¯÷¤áâ ®¢®ª
�ਪ« ¤ 6.14. �®§£«ï¥¬® £à㯨 S2 â S3.1. �à㯠S2 ᪫ ¤ õâìáï § 2! = 2 ¯÷¤áâ ®¢®ª:
t =
(1 22 1
), e =
(1 21 2
).
�÷ï «◦» S2 ¢¨§ ç õâìáï â ¡«. 6.1 (¥«¥¬¥â c2 ◦ c1 § 室¨âìáï ¯¥à¥â¨÷ à浪 § ¬÷⪮î c2 â á⮢¯æï § ¬÷⪮î c1).
� ¡«¨æï 6.1. �÷ à ®¯¥à æ÷ï ¤«ï £à㯨 S2
◦ e te e tt t e
�÷ àã ®¯¥à æ÷î £à㯠å ÷§ áª÷ç¥®î ª÷«ìª÷áâî ¥«¥¬¥â÷¢ ç á⮧ ¤ îâì ç¥à¥§ â ¡«¨æî ⨯ã â ¡«. 6.1. � ¡«¨æî â ª®£® ⨯㠧¨¢ îâìâ ¡«¨æ¥î �¥«÷1.
�¡¥à¥÷ ¥«¥¬¥â¨ ¢ £àã¯÷ S2, ®ç¥¢¨¤®, ¬ îâì â ª¨© ¢¨£«ï¤:t−1 = t, e−1 = e.
2. �à㯠S3 ᪫ ¤ õâìáï § 3! = 6 ¯÷¤áâ ®¢®ª:
c1 =
(1 2 31 3 2
), c2 =
(1 2 33 2 1
), c3 =
(1 2 32 1 3
),
f1 =
(1 2 32 3 1
), f2 =
(1 2 33 1 2
), e =
(1 2 31 2 3
).
�¯à ¢ 6.5. � ¬®áâ÷©® § ¯®¢¨â¨ â ¡«¨æî �¥«÷ ¤«ï £à㯨 S3, §¢÷-à¨¢è¨ à¥§ã«ìâ â § â ¡«. 6.2.
�¡¥à¥÷ ¥«¥¬¥â¨ ¢ £àã¯÷ S3, ïª ¢¨¤® § â ¡«. 6.2, ¬ îâì â ª¨© ¢¨-£«ï¤:
c−1i = ci (i = 1, 2, 3), e−1 = e, f−1
1 = f2, f−12 = f1.
�®§ ç¥ï, ¢¨ª®à¨áâ ÷ ¤«ï ¯÷¤áâ ®¢®ª S3 ã æ쮬㠯ਪ« ¤÷, ¢¨ª®-à¨á⮢㢠⨬ãâìáï ÷ ¤ «÷.
1�¥«÷ (�¥©«÷) �àâãà (1821{1895) { £«÷©á쪨© ¬ ⥬ ⨪; ¢â®à ç¨á«¥¨å ஡÷⧠«£¥¡à¨, «÷â¨ç®ù £¥®¬¥âà÷ù, ⥮à÷ù ¤¨ä¥à¥æ÷ «ì¨å à÷¢ïì â®é® (஡®â¨ �¥«÷¢¨¤ ® ¢ 13-⨠⮬ å). � ¬¥ �¥«÷ ¢¢÷¢ ¯®ïââï ¡áâà ªâ®ù £à㯨.
117
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
� ¡«¨æï 6.2. � ¡«¨æï �¥«÷ ¤«ï £à㯨 S3
◦ e c1 c2 c3 f1 f2
e e c1 c2 c3 f1 f2
c1 c1 e f1 f2 c2 c3
c2 c2 f2 e f1 c3 c1
c3 c3 f1 f2 e c1 c2
f1 f1 c3 c1 c2 f2 ef2 f2 c2 c3 c1 e f1
6.3.2. �®§ª« ¤ ï ¯÷¤áâ ®¢ª¨ ¢ ª®¬¯®§¨æ÷î 横«÷¢�§ ç¥ï 6.9. �¨ª«®¬ (i 1, i 2, . . . , ik) §¨¢ îâì ¯÷¤áâ ®¢ªã
¢¨£«ï¤ã (i1 i2 . . . ik−1 ik ik+1 . . . ini2 i3 . . . ik i1 ik+1 . . . in
).
�¨á«® k §¨¢ îâì ¤®¢¦¨®î 横«ã. �¨ª« ¤®¢¦¨®î 2 §¨¢ îâìâà ᯮ§¨æ÷õî.
� 㢠¦¥ï 6.9. �¨ª« (i1, i2, . . . , ik) õ ¯÷¤áâ ®¢ª®î, é® §¬÷îõ (§áã-¢ õ § 横«®¬) ¥«¥¬¥â¨ i1, i2, . . . , ik, § «¨è îç¨ ÷è÷ ¥«¥¬¥â¨ ¬÷áæ÷.
�ਪ« ¤ 6.15. 1. �¨ª« ¤®¢¦¨®î 1 § ®§ ç¥ï¬ 6.9 õ â®â®¦®î¯÷¤áâ ®¢ª®î.
2. �¨ª« ¤®¢¦¨®î 2 õ âà ᯮ§¨æ÷õî (横« (i1, i2) ¬÷ïõ ¬÷áæﬨ ¥«¥-¬¥â¨ i1 â i2, § «¨è îç¨ ÷è÷ ¥«¥¬¥â¨ ¬÷áæ÷).
� 㢠¦¥ï 6.10. �®§ ç¥ï (i1, . . . , ik), 瘟 ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ¤«ï横«ã ¤®¢¦¨®î k, § ä®à¬®î §¡÷£ õâìáï § ¯®§ ç¥ï¬ ¯¥à¥áâ ®¢ª¨.�¤ ª æ¥ ¥ ¯à¨¢®¤¨âì ¤® ª®ä«÷ªâã ¯®§ ç¥ì, ®áª÷«ìª¨ § ª®â¥ªáâ㧠¢¦¤¨ §à®§ã¬÷«®, õ ¤ ¨© ®¡'õªâ ¯÷¤áâ ®¢ª®î (横«®¬) ç¨ ¯¥à¥áâ ®¢-ª®î.
�¯à ¢ 6.6. �®¢¥áâ¨, é® ¯à¨ k ≥ 2 ¢ £àã¯÷ Sn ¬÷áâ¨âìáï 1kP k
n à÷§¨å横«÷¢ ¤®¢¦¨®î k.
� १ã«ìâ âã ¢¯à ¢¨ 6.6, §®ªà¥¬ , ¢¨¯«¨¢ õ (¯à¨ k = 2), é® ¢ £àã¯÷ Sn
¬÷áâ¨âìáï C2n âà ᯮ§¨æ÷©.
118
6.3. �à㯠¯÷¤áâ ®¢®ª
�ਪ« ¤ 6.16. �÷¤à åãõ¬®, áª÷«ìª¨ 横«÷¢ ¬÷áâ¨âìáï ¢ £à㯠åS3 â S4.
1. � £àã¯÷ S3 ¢á÷ ¥â®â®¦÷ ¯÷¤áâ ®¢ª¨ õ 横« ¬¨ (12P 2
3 = 3 âà ᯮ-§¨æ÷ù â 1
3P 3
3 = 2 横«¨ ¤®¢¦¨®î 3):
c1 = (2, 3), c2 = (1, 3), c3 = (1, 2), f1 = (1, 2, 3), f2 = (1, 3, 2).
2. � £àã¯÷ S4 ¬÷áâ¨âìáï 12P 2
4 = 6 âà ᯮ§¨æ÷©, 13P 3
4 = 8 横«÷¢ ¤®¢¦¨-®î 3 â 1
4P 4
4 = 6 横«÷¢ ¤®¢¦¨®î 4. �⦥, S4 ¬÷áâ¨âì âਠ¥â®â®¦÷¯÷¤áâ ®¢ª¨, ïª÷ ¥ õ 横« ¬¨:
(1 2 3 42 1 4 3
),
(1 2 3 43 4 1 2
),
(1 2 3 44 3 2 1
).
�§ ç¥ï 6.10. �¨ª«¨ (i1, i2, . . . , ik1), (j1, j2, . . . , jk2) §¨¢ îâì ¥-§ «¥¦¨¬¨, ïªé®
{i1, i2, . . . , ik1} ∩ {j1, j2, . . . , jk2} = ∅,
⮡⮠im1 6= jm2 ¤«ï ¢á÷å m1, m2 (1 ≤ m1 ≤ k1, 1 ≤ m2 ≤ k2).
�ਪ« ¤ 6.17. 1. �¨ª«¨ (1, 2, 4) â (3, 5) ¥§ «¥¦÷.2. �¨ª«¨ (1, 3, 5), (2, 6), (4, 7) ¯®¯ à® ¥§ «¥¦÷.3. �¨ª«¨ (1, 4) â (3, 7, 4, 2) ¥ ¥§ «¥¦÷.
�¯à ¢ 6.7. �®¢¥áâ¨, é® ¥§ «¥¦÷ 横«¨ ª®¬ãâãîâì, ⮡â®
c2 ◦ c1 = c1 ◦ c2,
¤¥ c1, c2 { ¥§ «¥¦÷ 横«¨.
�¯à ¢ 6.8. �®¢¥áâ¨, é® ª®¦ âà ᯮ§¨æ÷ï ¤®à÷¢îõ ᢮ù© ®¡¥à-¥÷©, ⮡â®
(i1, i2)−1 = (i1, i2).
�¥®à¥¬ 6.3. �®¦ã ¯÷¤áâ ®¢ªã ¬®¦ §®¡à §¨â¨ ïª ª®¬¯®§¨æ÷ «¥¦¨å 横«÷¢.
119
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�奬 ¤®¢¥¤¥ï. � ¢¥¤¥¬® «£®à¨â¬ §®¡à ¦¥ï ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c∈Sn
ïª ª®¬¯®§¨æ÷î ¥§ «¥¦¨å 横«÷¢.�®§£«ï¥¬® ¯®á«÷¤®¢÷áâì i0, i1, i2, . . . , ¯®¡ã¤®¢ ã § á奬®î:
i0 = 1, i1 = c(1), i2 = c(i1) = c2(1), i3 = c(i2) = c3(1), . . . , ik = ck(1), . . .
�à 客ãîç¨ áª÷ç¥÷áâì ¬®¦¨¨ A = {1, 2, . . . , n}, ¥«¥¬¥â¨ ¯®á«÷-¤®¢®áâ÷ ik (k ≥ 0) ¯®çãâì ¯®¢â®àî¢ â¨áï, ¯®ç¨ îç¨ § ¤¥ïª®£® ®¬¥-à m1:
• im1 = im0 ¤«ï ¤¥ïª®£® m0 (0 ≤ m0 < m1 ≤ n);• ik1 6= ik2 , ïªé® 0 ≤ k1 < k2 < m1.
�®¢¥¤¥¬®, é® m0 = 0. �ਯã᪠îç¨, é® 1 ≤ m0 < m1, ®âਬãõ¬®
c(cm1−1(1)
)= c
(cm0−1(1)
)¯à¨ cm1−1(1) 6= cm0−1(1),
é® á㯥à¥ç¨âì ÷'õªâ¨¢®áâ÷ ¢÷¤®¡à ¦¥ï c.�⦥, m0 = 0, ⮡⮠im1 = cm1(1) = i0. � ª¨¬ 種¬, ¯®¡ã¤®¢
¯®á«÷¤®¢÷áâì (i0, i1, . . . , im1−1) (im1 = i0) ¢¨§ ç õ 横« ¤®¢¦¨®î m1,¤÷ï 类£® ¬®¦¨÷ {i0, i1, . . . , im1−1} §¡÷£ õâìáï § ¤÷õî ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c.
� «÷ ¡ã¤ãõ¬® áâ㯨© 横« {i0, i1, . . . , im2−1}, ®¡¨à îç¨ i0 â ª¨¬,é® ¥ ¢å®¤¨âì ã ¯®¡ã¤®¢ ¨© 横« (i0, i1, . . . , im1−1). �¯¨á ã ¯à®æ¥¤ã-àã ¯®¢â®àîõ¬® ¤®â¨, ¤®ª¨ § «¨è õâìáï å®ç ¡ ®¤¨ ¥«¥¬¥â ¬®¦¨¨A = {1, 2, . . . , n}, é® ¥ ã¢÷©è®¢ ¤® ¯®¡ã¤®¢ ¨å 横«÷¢.
�¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, é® ª®¬¯®§¨æ÷ï ¢á÷å ¯®¡ã¤®¢ ¨å 横«÷¢ §¡÷£ õâìáï§ ¯÷¤áâ ®¢ª®î c (¤÷ï ¢÷¤®¡à ¦¥ï c ¤®¢÷«ì¨© ¥«¥¬¥â ik ∈ A §¡÷-£ õâìáï § ¤÷õî 楩 ¥«¥¬¥â ¢÷¤¯®¢÷¤®£® 横«ã, ¤® 类£® ¢å®¤¨âì ik).� à¥èâ÷, ¥§ «¥¦÷áâì ¯®¡ã¤®¢ ¨å 横«÷¢ ¢¨¯«¨¢ õ § ÷'õªâ¨¢®áâ÷ ¢÷-¤®¡à ¦¥ï c.
�ਪ« ¤ 6.18. �®¡à §¨¬® ã ¢¨£«ï¤÷ ª®¬¯®§¨æ÷ù ¥§ «¥¦¨å 横«÷¢¯÷¤áâ ®¢ªã c =
(1 2 3 4 5 6 7 82 5 8 6 4 1 7 3
):
1) ¯®¡ã¤ãõ¬® ¯¥à訩 横«, ¯®ç¨ îç¨ § ¥«¥¬¥â 1:
1, c(1) = 2, c(2) = 5, c(5) = 4, c(4) = 6, c(6) = 1,
120
6.3. �à㯠¯÷¤áâ ®¢®ª
⮡⮠®âਬãõ¬® 横« ¤®¢¦¨®î 5: (1, 2, 5, 4, 6); ¯à®æ¥¤ãà ¬ õ ¯à®¤®¢-¦ã¢ â¨áï, ®áª÷«ìª¨ ÷áãîâì ¥«¥¬¥â¨ ( ¯à¨ª« ¤, 3), é® ¥ ã¢÷©è«¨ ¤®¯®¡ã¤®¢ ®£® 横«ã;
2) ¯®¡ã¤ãõ¬® ¤à㣨© 横«, ¯®ç¨ îç¨ § ¥«¥¬¥â 3:3, c(3) = 8, c(8) = 3,
⮡⮠®âਬãõ¬® 横« ¤®¢¦¨®î 2: (3, 8); ¯à®æ¥¤ãà ¬ õ ¯à®¤®¢¦ã¢ â¨-áï, ®áª÷«ìª¨ § «¨è¨¢áï ¥«¥¬¥â 7, é® ¥ ã¢÷©è®¢ ¤® ¯®¡ã¤®¢ ¨å 横«÷¢;
3) ¯®¡ã¤ãõ¬® âà¥â÷© 横«, ¯®ç¨ îç¨ § ¥«¥¬¥â 7:7, c(7) = 7,
⮡⮠®âਬãõ¬® 横« ¤®¢¦¨®î 1 (â®â®¦ã ¯÷¤áâ ®¢ªã): (7) = e.�⦥, ¯÷¤áâ ®¢ª c ¤®¯ã᪠õ â ª¨© ஧ª« ¤ ã ª®¬¯®§¨æ÷î ¥§ «¥¦-
¨å 横«÷¢:c = (1, 2, 5, 4, 6) ◦ (3, 8) ◦ (7).
�¢'燐ª ¯®¡ã¤®¢ ¨å 横«÷¢ § ¯÷¤áâ ®¢ª®î c æ÷ª ¢® ¯à®á⥦¨â¨, ¯¥-à¥áâ ¢¨¢è¨ ¢÷¤¯®¢÷¤® á⮢¯æ÷ ¬ âà¨æ÷ c:
c =
(1 2 5 4 6 3 8 72 5 4 6 1 8 3 7
).
� 㢠¦¥ï 6.11. ö§ «£®à¨â¬ã, § ¯à®¯®®¢ ®£® ¢ á奬÷ ¤®¢¥¤¥ï⥮६¨ 6.3, «¥£ª® ¯®¡ ç¨â¨ õ¤¨÷áâì §®¡à ¦¥ï ¯÷¤áâ ®¢ª¨ ã ¢¨£«ï-¤÷ ª®¬¯®§¨æ÷ù ¥§ «¥¦¨å 横«÷¢ (§ â®ç÷áâî ¤® ¯¥à¥áâ ¢«¥ï 横«÷¢ { à£ã¬¥â÷¢ ª®¬¯®§¨æ÷ù). �÷©á®, § ¯à®¯®®¢ ¨© «£®à¨â¬ ®¤®§ 箢¨§ ç õ ª®¦¥ 横«, ¤® 类£® ¬ õ ¢å®¤¨â¨ ª®¦¥ ik ∈ {1, 2, . . . , n}, §¢÷¤-ª¨, ¢à 客ãîç¨ ¥§ «¥¦÷áâì 横«÷¢, ÷ ¢¨¯«¨¢ õ õ¤¨÷áâì §®¡à ¦¥ï.
�¥®à¥¬ 6.4. �®¦ã ¯÷¤áâ ®¢ªã c ¬®¦¨÷ A ¬®¦ §®¡à §¨-⨠㠢¨£«ï¤÷ ª®¬¯®§¨æ÷ù áª÷祮ù ª÷«ìª®áâ÷ âà ᯮ§¨æ÷©.
�«ï ¤®¢¥¤¥ï ⥮६¨ § ¤®¡¨âìáï ®¤¨ ¯à®á⨩ १ã«ìâ â, 直©,¯à®â¥, ¬ õ á ¬®áâ÷©¥ § ç¥ï.
�¥¬ 6.2 (á®àâã¢ ï ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ âà ᯮ§¨æ÷ﬨ). ö§ ¤®-¢÷«ì®ù ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ i = (i1, i2, . . . , in), § áâ®á®¢ãîç¨ áª÷ç¥ã ª÷«ì-ª÷áâì âà ᯮ§¨æ÷© tk (1 ≤ k ≤ m), ¬®¦ ®âਬ ⨠¯¥à¥áâ ®¢ªã(1, 2, . . . , n), ⮡â®
(1, 2, . . . , n) = (tm ◦ tm−1 ◦ . . . t2 ◦ t1)(i).
121
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�®¢¥¤¥ï «¥¬¨. �㤥¬® á®àâ㢠⨠¥«¥¬¥â¨, § áâ®á®¢ãîç¨ ª®¦-®¬ã ¥â ¯÷ ¥ ¡÷«ìè¥ ®¤÷õù âà ᯮ§¨æ÷ù: ᯮç âªã ¯®áâ ¢¨¬® « ᢮õ¬÷á楻 ( ¯¥àèã ª®®à¤¨ âã) ¥«¥¬¥â 1, ¯®â÷¬ { ¥«¥¬¥â 2 ÷ â ª ¤ «÷,¯®ª¨ ¢á÷ ¥«¥¬¥â¨ ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ ¥ ¡ã¤ãâì áâ®ï⨠᢮ùå ¬÷áæïå, ⮡⮯®ª¨ ¥ ®âਬ õ¬® ¯¥à¥áâ ®¢ªã (1, 2, . . . , n). �¯¨è¥¬® ¤¥â «ì® ¯¥àè÷¤¢ ªà®ª¨ ¯à®æ¥¤ãਠá®àâ㢠ï (¤ «÷ ¯à®æ¥¤ãà ¯à®¤®¢¦ãõâìáï § -«®£÷õî).
1. �¤¨ § ¥«¥¬¥â÷¢ ¢¨å÷¤®ù ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ i (ïª ÷ ¡ã¤ì-类ù ÷è®ù) ¬ õ¤®à÷¢î¢ ⨠1. �¥å © ik = 1. �ªé® k = 1, ⮡⮠㠢¨å÷¤÷© ¯¥à¥áâ ®¢æ÷i ¯¥à訩 ¥«¥¬¥â i1 = 1, ¢áâ ®¢«îõ¬® i1 = i â ¯¥à¥å®¤¨¬® ¤® ¤à㣮£®ªà®ªã. ö ªè¥, ¢¨¡¥à¥¬® âà ᯮ§¨æ÷î l1 = (i1, 1) ÷ ¢áâ ®¢¨¬® i1 = l1(i);⮤÷ ¯¥à訩 ¥«¥¬¥â ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ i1 ¤®à÷¢îõ 1, ⮡â®
i1 = l1(i) = (1, i12, i13, . . . , i
1n).
2. �¤¨ § ¥«¥¬¥â÷¢ ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ i1 ¬ õ ¤®à÷¢î¢ ⨠2. �¥å © i1k = 2(k ≥ 2, ®áª÷«ìª¨ i11 = 1). �ªé® k = 2, ⮡⮠¢ ¯¥à¥áâ ®¢æ÷ i1 ¤à㣨©¥«¥¬¥â i12 = 2, ¢áâ ®¢«îõ¬® i2 = i1 â ¯¥à¥å®¤¨¬® ¤® áâ㯮£® ªà®ªã.ö ªè¥, ¢¨¡¥à¥¬® âà ᯮ§¨æ÷î l2 = (i12, 2) ÷ ¢áâ ®¢¨¬® i2 = l2(i
1); ⮤÷¤à㣨© ¥«¥¬¥â ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ i2 ¤®à÷¢îõ 2, ⮡â®
i2 = l2(i1) = (1, 2, i23, . . . , i
2n).
�§ £ «÷, m-¬ã ªà®æ÷ áâ ¢¨¬® « ᢮õ ¬÷á楻 ¥«¥¬¥â m, § áâ®á®-¢ãîç¨ § ¯®âॡ¨ ¢÷¤¯®¢÷¤ã âà ᯮ§¨æ÷î.
�⦥, ¥ ¯÷§÷è¥ ÷¦ § n ªà®ª÷¢ ( á¯à ¢¤÷ ¥ ¯÷§÷è¥ ÷¦ § n− 1ªà®ª÷¢, ®áª÷«ìª¨ ¥«¥¬¥â n ®¯¨¨âìáï « ᢮õ¬ã ¬÷áæ÷» ¢¦¥ (n−1)-¬ãªà®æ÷ ¡¥§ § áâ®áã¢ ï ®ªà¥¬®ù âà ᯮ§¨æ÷ù) ®âਬãõ¬® è㪠¥ §®¡à -¦¥ï
(tm ◦ tm−1 ◦ . . . t2 ◦ t1)(i) = (1, 2, . . . , n), m ≤ n− 1,
¤¥ tk (1 ≤ k ≤ m) { âà ᯮ§¨æ÷ù, é® ¤®à÷¢îîâì ¢÷¤¯®¢÷¤¨¬ âà ᯮ-§¨æ÷ï¬ lj (1 ≤ j ≤ m).
� 㢠¦¥ï 6.12. �à®æ¥¤ãà , § áâ®á®¢ ¤«ï ¤®¢¥¤¥ï «¥¬¨ 6.2,¢¨§ ç õ ¤®á¨âì ¥ä¥ªâ¨¢¨© «£®à¨â¬ á®àâ㢠ï, 直© ¤«ï ¬®¦¨¨§ n ¥«¥¬¥â÷¢ § ª÷çãõ ஡®âã ¥ ¯÷§÷è¥ ÷¦ § n − 1 ªà®ª÷¢, ¯à¨ç®¬ã ª®¦®¬ã ªà®æ÷ ¢¨ª®ãõâìáï ®¯¥à æ÷ï ¯¥à¥áâ ¢«¥ï ¤¢®å ¥«¥¬¥â÷¢¬®¦¨¨.
122
6.3. �à㯠¯÷¤áâ ®¢®ª
�®¢¥¤¥ï ⥮६¨. �¥å © c =
(1 2 . . . ni1 i2 . . . in
).
�£÷¤® § ¤®¢¥¤¥®î «¥¬®î, ¤«ï ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ i = (i1, i2, . . . , in) á¯à -¢¥¤«¨¢¥ §®¡à ¦¥ï
(tm ◦ tm−1 ◦ . . . t2 ◦ t1)(i) = (1, 2, . . . , n),
¤¥ tk (1 ≤ k ≤ n) { âà ᯮ§¨æ÷ù. �®¤÷, ïª ¥¢ ¦ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨,
c−1 =
(i1 i2 . . . in1 2 . . . n
)= tm ◦ tm−1 ◦ . . . t2 ◦ t1.
� à¥èâ÷, ®áª÷«ìª¨ ª®¦ âà ᯮ§¨æ÷ï ¤®à÷¢îõ ᢮ù© ®¡¥à¥÷© (à¥-§ã«ìâ â ¢¯à ¢¨ 6.8), ®âਬãõ¬®
c = t−11 ◦ t−1
2 ◦ . . . t−1m = t1 ◦ t2 ◦ . . . tm.
�ਪ« ¤ 6.19. �®¡à §¨¬® ¯÷¤áâ ®¢ªã c =
(1 2 3 4 5 65 1 6 4 3 2
)
ã ¢¨£«ï¤÷ ª®¬¯®§¨æ÷ù âà ᯮ§¨æ÷©, ¤«ï 箣® ¢÷¤á®àâãõ¬® ¯¥à¥áâ ®¢ªãi = (5, 1, 6, 4, 3, 2), § áâ®á®¢ãîç¨ ¯à®æ¥¤ãàã á®àâ㢠ï, ã§ïâã § ¤®¢¥¤¥-ï «¥¬¨ 6.2.
1. �«ï ¢¨å÷¤®ù ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ 1 = i2, i1 = 5. �⦥, ¯¥à讬㠪à®æ÷§ áâ®á®¢ãõ¬® âà ᯮ§¨æ÷î l1 = (5, 1):
i1 = (5, 1)(i) = (1, 5, 6, 4, 3, 2).
2. �áª÷«ìª¨ 2 = i16, i12 = 5, § áâ®á®¢ãõ¬® âà ᯮ§¨æ÷î l2 = (5, 2):
i2 = (5, 2)(i1) = (1, 2, 6, 4, 3, 5).
3. �áª÷«ìª¨ 3 = i25, i23 = 6, § áâ®á®¢ãõ¬® âà ᯮ§¨æ÷î l3 = (6, 3):
i3 = (6, 3)(i2) = (1, 2, 3, 4, 6, 5).
4. �áª÷«ìª¨ i34 = 4 (¥«¥¬¥â 4 ஧â 订 ¨© « ᢮õ¬ã ¬÷áæ÷»), ¢áâ -®¢«îõ¬® i4 = i3 ÷ ¯¥à¥å®¤¨¬® ¤® áâ㯮£® ¯ãªâã.
5. �áª÷«ìª¨ 5 = i46, i45 = 6, § áâ®á®¢ãõ¬® âà ᯮ§¨æ÷î l4 = (6, 5):
i5 = (6, 5)(i4) = (1, 2, 3, 4, 5, 6).
123
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�⦥, ¤«ï ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ (5, 1, 6, 4, 3, 2) ®âਬ «¨ §®¡à ¦¥ï((6, 5) ◦ (6, 3) ◦ (5, 2) ◦ (5, 1)) ((5, 1, 6, 4, 3, 2)) = (1, 2, 3, 4, 5, 6).
� ª¨¬ 種¬, ¤«ï ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c ®âਬãõ¬® ஧ª« ¤
c =
(1 2 3 4 5 65 1 6 4 3 2
)= (5, 1) ◦ (5, 2) ◦ (6, 3) ◦ (6, 5).
�®¡à ¦¥ï ¯÷¤áâ ®¢ª¨ ã ¢¨£«ï¤÷ ª®¬¯®§¨æ÷ù âà ᯮ§¨æ÷© ÷ª®«¨¥ õ õ¤¨¨¬ ( ¢÷¤¬÷ã ¢÷¤ §®¡à ¦¥ï ¯÷¤áâ ®¢ª¨ ïª ª®¬¯®§¨æ÷ù ¥-§ «¥¦¨å 横«÷¢). �®ªà¥¬ , ¤® ª®¬¯®§¨æ÷ù âà ᯮ§¨æ÷© § ¢¦¤¨ ¬®¦ «¤®¯¨á ⨻ ¢¨à § t ◦ t, ¤¥ t { ¤®¢÷«ì âà ᯮ§¨æ÷ï ( ®â¦¥, t ◦ t = e).�à÷¬ ⮣®, ¬®¦ §¬÷¨â¨ ç¥à£®¢÷áâì ஧â è®¢ã¢ ï ¥«¥¬¥â÷¢ « ᢮ù¬÷áæï» (ã ¢¥¤¥®¬ã «£®à¨â¬÷ ¡ã«® § áâ®á®¢ ® ç¥à£®¢÷áâì ¢÷¤ 1 ¤® n),é®, ïª ¯à ¢¨«®, á¯à¨ç¨îõ ÷訩 ¢ à÷ â ஧ª« ¤ã.
�ਪ« ¤ 6.20. � ¢¥¤¥¬® ÷è÷ ¢ à÷ ⨠§®¡à ¦¥ï ïª ª®¬¯®§¨æ÷ùâà ᯮ§¨æ÷© ¤«ï ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c ÷§ ¯à¨ª«. 6.19:
c =
(1 2 3 4 5 65 1 6 4 3 2
)= (5, 1) ◦ (5, 2) ◦ (6, 3) ◦ (6, 5) =
= (6, 2) ◦ (3, 5) ◦ (2, 3) ◦ (1, 2) = (1, 2) ◦ (1, 6) ◦ (1, 5) ◦ (3, 5) =
= (5, 1) ◦ (5, 2) ◦ (6, 3) ◦ (6, 5) ◦ (2, 4) ◦ (2, 4) =
= (5, 1) ◦ (1, 3) ◦ (1, 3) ◦ (5, 2) ◦ (6, 3) ◦ (6, 5).
�¥à訩 ஧ª« ¤ ®âਬ ® «£®à¨â¬®¬, § ¯à®¯®®¢ ¨¬ ã ¤®¢¥¤¥÷«¥¬¨ 6.2 (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.19). �à㣨© ÷ âà¥â÷© ஧ª« ¤¨ ®âਬ ® §¬÷®îç¥à£®¢®áâ÷ ஧â è®¢ã¢ ï ¥«¥¬¥â÷¢: ¡ã¤ãîç¨ ¤à㣨© ஧ª« ¤, ᯮç â-ªã ஧â è㢠«¨ « ᢮õ¬ã ¬÷áæ÷» ¥«¥¬¥â 6, ¯®â÷¬ { ¥«¥¬¥â 5, ÷ â ª ¤ «÷¤® 1; ¡ã¤ãîç¨ âà¥â÷© ஧ª« ¤, ᯮç âªã ஧â è㢠«¨ « ᢮ùå ¬÷áæï廯 à÷ ¥«¥¬¥â¨, ¯®â÷¬ { ¥¯ à÷. �¥â¢¥à⨩ ÷ ¯'ï⨩ ஧ª« ¤¨ ®âਬ -® § ¯¥à讣® ¤®¤ ¢ ï¬ ¤® ª®¬¯®§¨æ÷ù âà ᯮ§¨æ÷© ¤¥ïª®ù «â®â®¦®ù¯ ਻ t ◦ t, ¤¥ t { âà ᯮ§¨æ÷ï.
6.3.3. � à÷ â ¥¯ à÷ ¯÷¤áâ ®¢ª¨�®§£«ï¥¬® ¤¢ ¥ª¢÷¢ «¥â÷ ¯÷¤å®¤¨ ¤® ¢¨§ ç¥ï ¯ à®áâ÷ ¯÷¤áâ -
®¢®ª: ¯÷¤å÷¤, ¯®¢'ï§ ¨© § ¯®ïââï¬ ÷¢¥àá÷ù, â ¯÷¤å÷¤, ¯®¢'ï§ ¨© ÷§§®¡à ¦¥ï¬ ¯÷¤áâ ®¢ª¨ ã ¢¨£«ï¤÷ ª®¬¯®§¨æ÷ù âà ᯮ§¨æ÷©.
124
6.3. �à㯠¯÷¤áâ ®¢®ª
�§ ç¥ï 6.11. � ¦ãâì, é® ¥¢¯®à浪®¢ ¯ à ¥«¥¬¥â÷¢ ik1 , ik2
ã⢮àîõ ÷¢¥àá÷î ¢ ¯¥à¥áâ ®¢æ÷ i = (i1, i2, . . . , in), ïªé® ¢¨ª®ãõâìáï ®¤- § ¤¢®å ¯ à 㬮¢:
• k1 < k2 â ik1 > ik2 ;• k1 > k2 â ik1 < ik2 ,
⮡⮠¡÷«ì訩 § ¥«¥¬¥â÷¢ ik1 , ik2 ஧â 订 ¨© ã ¯¥à¥áâ ®¢æ÷ i §«÷¢ ¢÷¤¬¥è®£®.
�ਪ« ¤ 6.21. � ¯¥à¥áâ ®¢æ÷ i = (1, 4, 3, 2) ÷¢¥àá÷î ã⢮àîîâìâ ª÷ ¯ ਠ¥«¥¬¥â÷¢ ( £ ¤ õ¬®, é® ¯®à冷ª ¥«¥¬¥â÷¢ ã ¯ à÷ ik1 , ik2 ¥¢à 客ãîâì):
• ÷¢¥àá÷©, é® ¬÷áâïâì ¥«¥¬¥â 1, ¥¬ õ (¥«¥¬¥â 1 õ ©¬¥è¨¬, ÷ ¢¯¥à¥áâ ®¢æ÷ ¥¬ õ ¦®¤®£® ¥«¥¬¥â §«÷¢ ¢÷¤ 쮣®);
• ÷¢¥àá÷ù, ã⢮à¥÷ ¥«¥¬¥â®¬ 4 â ¥«¥¬¥â ¬¨, ஧â 订 ¨¬¨ ¢ ¯¥-à¥áâ ®¢æ÷ ¯à ¢®àãç ¢÷¤ 4:
{4, 3}, {4, 2};
• ÷¢¥àá÷ù, ã⢮à¥÷ ¥«¥¬¥â®¬ 3 â ¥«¥¬¥â ¬¨, ஧â 订 ¨¬¨ ¢ ¯¥-à¥áâ ®¢æ÷ ¯à ¢®àãç ¢÷¤ 3:
{3, 2}.
�⦥, ¢ª § ® ¢á÷ ÷¢¥àá÷ù, ¯®¢'ï§ ÷ § ¯¥à¥áâ ®¢ª®î i = (1, 4, 3, 2),§®ªà¥¬ © â÷, é® ¬÷áâïâì ¥«¥¬¥â 2. �«÷¤ ¯ ¬'ïâ â¨, é® ÷¢¥àá÷ù, § ®§ -ç¥ï¬ 6.11, ã⢮àîîâìáï ¥¢¯®à浪®¢ ¨¬¨ ¯ à ¬¨ (§®ªà¥¬ , ¥ ¯®-âà÷¡® ®ªà¥¬® ¢à 客㢠⨠÷¢¥àá÷î {2, 3}, ®áª÷«ìª¨ ¢¦¥ ¢ª § ® ÷¢¥àá÷î{3, 2}).
�§ ç¥ï 6.12. �¥à¥áâ ®¢ªã §¨¢ îâì ¯ à®î, ïªé® ¢® ¤®-¯ã᪠õ ¯ àã ª÷«ìª÷áâì ÷¢¥àá÷©, ÷ ¥¯ à®î, ïªé® ¢® ¤®¯ã᪠õ ¥¯ à-ã ª÷«ìª÷áâì ÷¢¥àá÷©. � à÷áâî ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ i = (i1, i2, . . . , in) §¢¥¬®ç¨á«®
k(i) =
{0, ïªé® i ¯ à ,
1, ïªé® i ¥¯ à .
125
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�¥ à § £ ¤ õ¬®, é® ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ ã⢮àîîâìáï ¥¢¯®à浪®¢ ¨¬¨¯ à ¬¨, ®â¦¥, ¥ ¯®âà÷¡® ¢à 客㢠⨠®¤ã ÷¢¥àá÷î {ik1 , ik2} ¤¢÷ç÷, ®á-ª÷«ìª¨ ¥¢¯®à浪®¢ ÷ ¯ ਠ{ik1 , ik2} â {ik2 , ik1} §¡÷£ îâìáï. � 㢠¦¨¬®,é® ïªé® á¯à®¡ã¢ ⨠¯÷¤à å㢠⨠®¤ã ÷¢¥àá÷î ¤¢÷ç÷, â® ¢á÷ ¯¥à¥áâ ®¢ª¨¢¨ï¢«ïâìáï ¯ ਬ¨.
�ਪ« ¤ 6.22. 1. �¥à¥áâ ®¢ª (1, 4, 3, 2) ¤®¯ã᪠õ âਠ÷¢¥àá÷ù({4, 3}, {4, 2}, {3, 2}), ®â¦¥, õ ¥¯ à®î (¯ à÷áâì 1).
2. �¥à¥áâ ®¢ª (2, 3, 1, 4) ¤®¯ã᪠õ ¤¢÷ ÷¢¥àá÷ù ({2, 1}, {3, 1}), ®â¦¥,õ ¯ à®î (¯ à÷áâì 0).
3. �¥à¥áâ ®¢ª ¢¨£«ï¤ã (1, 2, . . . , n) ¥ ¤®¯ã᪠õ ¦®¤®ù ÷¢¥àá÷ù, ®â¦¥, õ ¯ à®î (0 { ¯ ॠç¨á«®).
�¥¬ 6.3. � áâ®á㢠ï âà ᯮ§¨æ÷ù §¬÷îõ ¯ à÷áâì ¯¥à¥áâ -®¢ª¨, ⮡â®
k(i) 6= k(t(i)),
¤¥ t { âà ᯮ§¨æ÷ï; i = (i1, i2, . . . , in) { ¯¥à¥áâ ®¢ª .
�®¢¥¤¥ï. �¥å © i = (i1, . . . , ik1 , . . . , ik2 , . . . , in), t = (ik1 , ik2) (k2 > k1).�®¤÷ t(i) = (i1, . . . , ik2 , . . . , ik1 , . . . , in).
�«ï ¤®¢¥¤¥ï «¥¬¨ ஧£«ï¥¬®, ïª÷ ¯ ਠ¥«¥¬¥â÷¢ {im1 , im2} ¬ îâì«à÷§ã ÷¢¥àá÷©÷áâì» ã ¯¥à¥áâ ®¢ª å i â t(i), ⮡⮠ã⢮àîîâì ÷¢¥à-á÷î ¢ ¯¥à¥áâ ®¢æ÷ i â ¥ ã⢮àîîâì ÷¢¥àá÷î ¢ t(i), ¡® ¢¯ ª¨ { ã⢮-àîîâì ÷¢¥àá÷î ¢ t(i) â ¥ ã⢮àîîâì ¢ i. �ªé® ª÷«ìª÷áâì â ª¨å ¯ ࢨâìáï ¥¯ à®î, «¥¬ã ¡ã¤¥ ¤®¢¥¤¥®.
1. �®§£«ï¥¬® ¯ àã {im1 , im2}, ïªé® {im1 , im2} ∩ {ik1 , ik2} = ∅. � ª ¯ à ¬ õ ®¤ ª®¢ã ÷¢¥àá÷©÷áâì ã ¯¥à¥áâ ®¢ª å i â t(i), (⮡⮠¢ ®¡®å¯¥à¥áâ ®¢ª å õ ÷¢¥àá÷õî ¡® ¢ ®¡®å ¯¥à¥áâ ®¢ª å ¥ õ ÷¢¥àá÷õî), ®á-ª÷«ìª¨ âà ᯮ§¨æ÷ï t = (ik1 , ik2) ¥ §¬÷îõ ஧â èã¢ ï ¥«¥¬¥â÷¢ im1
â im2 .2. �®§£«ï¥¬® ¯ àã {ik, im}, ïªé® 1 ≤ k < k1, m ∈ {k1, k2}. � ª ¯ à
¬ õ ®¤ ª®¢ã ÷¢¥àá÷©÷áâì ã ¯¥à¥áâ ®¢ª å i â t(i), ®áª÷«ìª¨ âà ᯮ-§¨æ÷ï t ¥ §¬÷îõ ¢§ õ¬®£® ஧â èã¢ ï ¥«¥¬¥â÷¢ ik â im.
3. � «®£÷ç® ¯®¯¥à¥¤ì®¬ã ¯ãªâã, ¯ à ¥«¥¬¥â÷¢ {im, ik} ¯à¨k2 < k ≤ n, m ∈ {k1, k2} â ª®¦ ¬ õ ®¤ ª®¢ã ÷¢¥àá÷©÷áâì ã ¯¥à¥áâ -®¢ª å i â t(i).
4. �¥å © k1 < k < k2, ⮤÷:
126
6.3. �à㯠¯÷¤áâ ®¢®ª
• ¯ à {ik1 , ik} ¬ õ à÷§ã ÷¢¥àá÷©÷áâì ã ¯¥à¥áâ ®¢ª å i â t(i), ®á-ª÷«ìª¨ âà ᯮ§¨æ÷ï t §¬÷îõ ¢§ õ¬¥ ஧â èã¢ ï ¥«¥¬¥â÷¢ ik1
â ik. �祢¨¤®, é® ¢á쮣® ÷áãõ k2 − k1 − 1 ¯ à ¢¨£«ï¤ã {ik1 , ik}(k1 < k < k2);
• ¯ à {ik, ik2} ¬ õ à÷§ã ÷¢¥àá÷©÷áâì ã ¯¥à¥áâ ®¢ª å i â t(i), ®á-ª÷«ìª¨ âà ᯮ§¨æ÷ï t §¬÷îõ ¢§ õ¬¥ ஧â èã¢ ï ¥«¥¬¥â÷¢ ikâ ik2 . �祢¨¤®, é® ¢á쮣® ÷áãõ k2 − k1 − 1 ¯ à ¢¨£«ï¤ã {ik, ik2}(k1 < k < k2).
5. � à {ik1 , ik2} (®áâ ï, é® § «¨è¨« áì ¥à®§£«ïãâ®î) ¬ õ à÷§ã÷¢¥àá÷©÷áâì ã ¯¥à¥áâ ®¢ª å i â t(i), ®áª÷«ìª¨ âà ᯮ§¨æ÷ï t §¬÷îõ¢§ õ¬¥ ஧â èã¢ ï ¥«¥¬¥â÷¢ ik1 â ik2 .
�⦥, ¢á쮣® ÷áãõ 2(k2−k1−1)+1 (¥¯ à ª÷«ìª÷áâì) ¯ à, ïª÷ ¬ îâìà÷§ã ÷¢¥àá÷©÷áâì ã ¯¥à¥áâ ®¢ª å i â t(i).
�¢¥à¤¦¥ï «¥¬¨ ¤®¢¥¤¥®.
�ਪ« ¤ 6.23. �¥à¥áâ ®¢ª i = (1, 4, 3, 2) ¤®¯ã᪠õ âਠ÷¢¥àá÷ù:{4, 3}, {4, 2}, {3, 2}. � áâ®á®¢ãîç¨ âà ᯮ§æ÷î t = (1, 3), ®âਬãõ¬® ¯¥-à¥áâ ®¢ªã t(i) = (3, 4, 1, 2), ïª ¤®¯ã᪠õ ç®â¨à¨ ÷¢¥àá÷ù: {3, 1}, {3, 2},{4, 1}, {4, 2}. �⦥, ¯¥à¥áâ ®¢ª i = (1, 4, 3, 2) õ ¥¯ à®î, ¯¥à¥áâ -®¢ª t(i) { ¯ à®î.
�§ ç¥ï 6.13 (¯¥àè¥ ®§ ç¥ï ¯ à®áâ÷ ¯÷¤áâ ®¢ª¨). �÷¤-áâ ®¢ªã c =
(ij
) §¨¢ îâì ¯ à®î, ïªé® ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ i â j ¬ îâì
®¤ ª®¢ã ¯ à÷áâì, ÷ ¥¯ à®î, ïªé® ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ i â j ¬ îâì à÷§ã¯ à÷áâì. � à÷áâî ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c §¢¥¬® ç¨á«®
k(c) =
{0, ïªé® c ¯ à ,
1, ïªé® c ¥¯ à .
�«ï ¢¥¤¥®£® ®§ ç¥ï ¯ à®áâ÷ ¯÷¤áâ ®¢ª¨ ¯®âà÷¡® ®¡óàãâã-¢ ï ª®à¥ªâ®áâ÷ (¥§ «¥¦÷áâì ¯ à®áâ÷ ¢÷¤ ¢¨¡®àã ¬ âà¨æ÷ ¤«ï §®¡à -¦¥ï ¯÷¤áâ ®¢ª¨). �÷¤¯®¢÷¤¥ ⢥द¥ï ¡ã¤¥ ¢¥¤¥® ¢ ⥮६÷ 6.5.
�ਪ« ¤ 6.24. 1. �¡ç¨á«¨¬® ¯ à÷áâì ¯÷¤áâ ®¢ª¨
c =
(1 2 3 43 2 1 4
).
127
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�¥à¥áâ ®¢ª i = (1, 2, 3, 4) õ ¯ à®î (¥ ¬÷áâ¨âì ÷¢¥àá÷©); ¯¥à¥áâ -®¢ª j = (3, 2, 1, 4) ¤®¯ã᪠õ âਠ÷¢¥àá÷ù ({3, 2}, {3, 1}, {2, 1}), ®â¦¥,õ ¥¯ à®î. � ª¨¬ 種¬, ¢¨å÷¤ ¯÷¤áâ ®¢ª c =
(ij
)õ ¥¯ à®î,
®áª÷«ìª¨ ¯÷¤áâ ®¢ª¨ i â j ¬ îâì à÷§ã ¯ à÷áâì.2. �¡ç¨á«¨¬® ¯ à÷áâì ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c =
(1 2 3 44 1 3 2
).
�¥à¥áâ ®¢ª i = (1, 2, 3, 4) õ ¯ à®î (¥ ¬÷áâ¨âì ÷¢¥àá÷©); ¯¥à¥áâ -®¢ª j = (4, 1, 3, 2) ¤®¯ã᪠õ ç®â¨à¨ ÷¢¥àá÷ù ({4, 1}, {4, 3}, {4, 2}, {3, 2}), ®â¦¥, õ ¯ à®î. � ª¨¬ 種¬, ¢¨å÷¤ ¯÷¤áâ ®¢ª c =
(ij
)õ ¯ à®î,
®áª÷«ìª¨ ¯÷¤áâ ®¢ª¨ i â j ¬ îâì ®¤ ª®¢ã ¯ à÷áâì.
�¯à ¢ 6.9. �®¢¥á⨠⠪÷ ⢥द¥ï:1. �÷¤áâ ®¢ª¨ c â c−1 ¬ îâì ®¤ ª®¢ã ¯ à÷áâì.2. � à÷áâì ª®¬¯®§¨æ÷ù c = c2 ◦ c1 ¬®¦ ®¡ç¨á«¨â¨ § ä®à¬ã«®î
k(c) = k(c1)⊕ k(c2),
⮡⮠c õ ¯ à®î ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ c1 â c2 ¬ îâì ®¤ ª®¢ã ¯ à-÷áâì.
�ª §÷¢ª . �ª®à¨áâ â¨áì § ã¢. 6.8.3. �®â®¦ ¯÷¤áâ ®¢ª õ ¯ à®î.4. �à ᯮ§¨æ÷ï õ ¥¯ à®î ¯÷¤áâ ®¢ª®î.5. �¨ª« ¯ à®ù ¤®¢¦¨¨ õ ¥¯ ਬ, 横« ¥¯ à®ù ¤®¢¦¨¨ { ¯ à-
¨¬.�ª §÷¢ª . �®¢¥áâ¨, é® æ¨ª« (i1, i2, . . . , ik) ¬®¦ §®¡à §¨â¨ ã ¢¨£«ï¤÷
ª®¬¯®§¨æ÷ù k − 1 âà ᯮ§¨æ÷©:
(i1, i2, . . . , ik) = (i1, i2) ◦ (i2, i3) ◦ · · · ◦ (ik−1, ik),
¯÷á«ï 箣® ᪮à¨áâ â¨áï १ã«ìâ â ¬¨ ¯¯. 2 â 4.
� áâ㯠⥮६ ¯®áâã«îõ ª®à¥ªâ÷áâì ®§ ç¥ï 6.13.
�¥®à¥¬ 6.5 (ª®à¥ªâ÷áâì ®§ ç¥ï ¯ à®áâ÷ ¯÷¤áâ ®¢ª¨).� à÷áâì ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c ¥ § «¥¦¨âì ¢÷¤ ᯮᮡ㠧®¡à ¦¥ï c ã ¢¨-£«ï¤÷ ¬ âà¨æ÷.
128
6.3. �à㯠¯÷¤áâ ®¢®ª
�®¢¥¤¥ï. �¢¥à¤¦¥ï ⥮६¨ õ ¯à®á⨬ á«÷¤ª®¬ «¥¬¨ 6.3. �÷©á-®, ¬ âà¨æî ¤«ï §®¡à ¦¥ï ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c =
(ij
)¬®¦ §¬÷î¢ â¨
«¨è¥ ¯¥à¥áâ ¢«¥ï¬ á⮢¯æ÷¢, ⮡⮠§ áâ®áã¢ ï¬ ¤® ¯¥à¥áâ ®¢®ª iâ j ¤®¢÷«ì®ù ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c0:
c =
(ij
)=
(c0(i)c0(j)
).
�ªé® c0 õ âà ᯮ§¨æ÷õî, ¯ à÷áâì ¯¥à¥áâ ®¢®ª i â c0(i) à÷§ («¥-¬ 6.3). �«¥ ¯ à÷áâì ¯¥à¥áâ ®¢®ª j â c0(j) â ª®¦ à÷§ , ⮡⮠¯ à÷áâì¯÷¤áâ ®¢®ª
(ij
)â
(c0(i)c0(j)
)(â®ç÷è¥, à÷§¨å §®¡à ¦¥ì ®¤÷õù ¯÷¤áâ -
®¢ª¨ c) ®¤ ª®¢ .� § £ «ì®¬ã ¢¨¯ ¤ªã, ª®«¨ c0 õ ¤®¢÷«ì®î ¯÷¤áâ ®¢ª®î ¬®¦¨÷
A = {1, 2, . . . , n}, ¤®áâ âì® §®¡à §¨â¨ c0 ã ¢¨£«ï¤÷ ª®¬¯®§¨æ÷ù âà ᯮ§¨-æ÷© (ä ªâ¨ç® ®âਬãîç¨ ¬ âà¨æî
(c0(i)c0(j)
)÷§ ¬ âà¨æ÷
(ij
)§ ¤¥ª÷«ìª
ªà®ª÷¢, ª®¦®¬ã ªà®æ÷ ¬÷ïîç¨ ¬÷áæﬨ «¨è¥ ¤¢ á⮢¯æ÷).
�ਪ« ¤ 6.25. �®§£«ï¥¬® ¯÷¤áâ ®¢ªã c =
(1 2 32 3 1
). �¥à¥áâ ®¢-
ª i = (1, 2, 3) õ ¯ à®î (¥ ¬÷áâ¨âì ÷¢¥àá÷©), ¯¥à¥áâ ®¢ª j = (2, 3, 1)â ª®¦ õ ¯ à®î (¬÷áâ¨âì ¤¢÷ ÷¢¥àá÷ù: {2, 1} ÷ {3, 1}). �⦥, ¢¨å÷¤ ¯÷¤-áâ ®¢ª c =
(ij
)õ ¯ à®î, ®áª÷«ìª¨ ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ i = (1, 2, 3) â
j = (2, 3, 1) ¬ îâì ®¤ ª®¢ã ¯ à÷áâì.�¥¯¥à ã ¬ âà¨æ÷
(1 2 32 3 1
)¯®¬÷ïõ¬® ¬÷áæﬨ ¯¥à訩 â ®áâ ÷©
á⮢¯æ÷, ®âਬ ¢è¨ ÷è¥ §®¡à ¦¥ï ¤«ï ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c:
c =
(3 2 11 3 2
).
�£÷¤® § ⥮६®î 6.5, ¯ à÷áâì ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c ¥ ¬ õ § «¥¦ ⨠¢÷¤¢¨¡®àã ¬ âà¨æ÷ ¤«ï ùù §®¡à ¦¥ï. �÷©á®, ã æ쮬㠢¨¯ ¤ªã ¬ õ¬®: ¯¥-à¥áâ ®¢ª i = (3, 2, 1) ¥¯ à (âਠ÷¢¥àá÷ù: {3, 2}, {3, 1}, {2, 1}); ¯¥à¥-áâ ®¢ª j = (1, 3, 2) â ª®¦ ¥¯ à (®¤ ÷¢¥àá÷ï: {3, 2}); ®â¦¥, ¬ âà¨-
129
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
æï(
i
j
)â ª®¦ ¢¨§ ç õ ¯ àã ¯÷¤áâ ®¢ªã (¯¥à¥áâ ®¢ª¨ i â j ¬ îâì
®¤ ª®¢ã ¯ à÷áâì { ®¡¨¤¢÷ ¥¯ à÷).
�§ ç¥ï 6.14 (¤à㣥 ®§ ç¥ï ¯ à®áâ÷ ¯÷¤áâ ®¢ª¨). �÷¤-áâ ®¢ªã §¨¢ îâì ¯ à®î, ïªé® ùù §®¡à ¦ãîâì ã ¢¨£«ï¤÷ ª®¬¯®§¨æ÷ù¯ à®ù ª÷«ìª®áâ÷ âà ᯮ§¨æ÷©, ÷ ¥¯ à®î, ïªé® ùù §®¡à ¦ãîâì ã ¢¨£«ï¤÷ª®¬¯®§¨æ÷ù ¥¯ à®ù ª÷«ìª®áâ÷ âà ᯮ§¨æ÷©.
� § 稬®, é® ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì ®§ ç¥ì 6.13 â 6.14, §¢÷¤á¨ ÷ ª®-४â÷áâì ®§ ç¥ï 6.14 (¥§ «¥¦÷áâì ¢÷¤ ᯮᮡ㠧®¡à ¦¥ï ¯÷¤áâ -®¢ª¨ ã ¢¨£«ï¤÷ ª®¬¯®§¨æ÷ù âà ᯮ§¨æ÷©), ®¤à §ã ¢¨¯«¨¢ õ § १ã«ìâ â÷¢¢¯à ¢¨ 6.9.
�ਪ« ¤ 6.26. �®§£«ï¥¬® ¯÷¤áâ ®¢ªã c =
(1 2 3 42 4 3 1
), ïª õ ¯ à-
®î ¢ á¥á÷ ®§ ç¥ï 6.13 (¯¥à¥áâ ®¢ª¨ (1, 2, 3, 4) â (2, 4, 3, 1) ®¡¨¤¢÷¯ à÷).
�«ï § áâ®áã¢ ï ®§ ç¥ï 6.14 §®¡à §¨¬® ¯÷¤áâ ®¢ªã c ã ¢¨£«ï¤÷ª®¬¯®§¨æ÷ù âà ᯮ§¨æ÷©:
(1 2 3 42 4 3 1
)= (2, 1) ◦ (2, 4).
�÷«ìª÷áâì âà ᯮ§¨æ÷© ¢ ®âਬ ®¬ã §®¡à ¦¥÷ ¯ à , ®â¦¥, ¯÷¤-áâ ®¢ª c õ ¯ à®î ÷ ¢ á¥á÷ ®§ ç¥ï 6.14.
�த¥¬®áâàãõ¬® ¯à¨ª« ¤÷ ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c ª®à¥ªâ÷áâì ®§ ç¥-ï 6.14, ⮡⮠¢¨¯¨è¥¬® ¤«ï c ª÷«ìª ÷è¨å ᯮᮡ÷¢ ஧ª« ¤ ï ¢ª®¬¯®§¨æ÷î âà ᯮ§¨æ÷©:
c =
(1 2 3 42 4 3 1
)= (1, 4)◦(1, 2) = (2, 4)◦(1, 4) = (2, 1)◦(2, 3)◦(2, 3)◦(2, 4).
�ª ¡ 稬®, ¢ ãá÷å ¢¥¤¥¨å ஧ª« ¤ å ª÷«ìª÷áâì âà ᯮ§¨æ÷© § «¨-è õâìáï ¯ à®î (å®ç á ¬ ª÷«ìª÷áâì ¬®¦¥ §¬÷î¢ â¨áï).
�ਪ« ¤ 6.27. �¡ç¨á«¨¬® ¯ à÷áâì ¯÷¤áâ ®¢®ª ã £à㯠å S2 â S3.�à㯠S2 ¬÷áâ¨âì â®â®¦ã ¯÷¤áâ ®¢ªã e ÷ âà ᯮ§¨æ÷î t = (1, 2)
(¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.14). � ª¨¬ 種¬, S2 ¬÷áâ¨âì ®¤ã ¯ àã (â®â®¦ã) ¯÷¤-áâ ®¢ªã e â ®¤ã ¥¯ àã ¯÷¤áâ ®¢ªã (âà ᯮ§¨æ÷î) t.
130
6.3. �à㯠¯÷¤áâ ®¢®ª
�à㯠S3 ¬÷áâ¨âì â®â®¦ã ¯÷¤áâ ®¢ªã e, âਠâà ᯮ§¨æ÷ù c1, c2, c3, â ª®¦ ¤¢ 横«¨ ¤®¢¦¨®î 3: f1 â f2 (¤«ï ¯÷¤áâ ®¢®ª £à㯨 S3
¢¨ª®à¨áâ õ¬® ¯®§ ç¥ï § ¯à¨ª«. 6.14). �⦥, S3 ¬÷áâ¨âì âਠ¯ à÷ ¯÷¤-áâ ®¢ª¨ (横«¨ ¥¯ à®ù ¤®¢¦¨¨ e, f1, f2) ÷ âਠ¥¯ à÷ ¯÷¤áâ ®¢ª¨(âà ᯮ§¨æ÷ù c1, c2, c3).
�®¦ § ஧£«ïãâ¨å £à㯠S2 â S3 ¬÷áâ¨âì ®¤ ª®¢ã ª÷«ìª÷áâì ¯ à-¨å ÷ ¥¯ à¨å ¯÷¤áâ ®¢®ª (®¤ ¯ à © ®¤ ¥¯ à ¢ S2, ÷ âਠ¯ à÷â âਠ¥¯ à÷ ¢ S3). � «÷ (¯÷¤à®§¤. 6.12) ¡ã¤¥ ¤®¢¥¤¥® ¡÷«ìè § £ «ì-¨© ä ªâ: ª®¦ £à㯠Sn ¯à¨ n ≥ 2 ¬÷áâ¨âì n!
2¯ à¨å â n!
2¥¯ à¨å
¯÷¤áâ ®¢®ª.
� ¢¥àèãîç¨ ¯÷¤à®§¤÷«, ¢¥¤¥¬® ®¤¨ ¯à¨ª« ¤ ¢¨ª®à¨áâ ï ⥮à÷ù¯÷¤áâ ®¢®ª ã «÷÷©÷© «£¥¡à÷.
�ਪ« ¤ 6.28. � ªãàáã «÷÷©®ù «£¥¡à¨ ( ¯à¨ª« ¤, [10]) ¤®¡à¥ ¢÷-¤®¬® ä®à¬ã«ã ¤«ï ®¡ç¨á«¥ï ¢¨§ 稪 ¬ âà¨æ÷:
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1,1 a1,2 . . . a1,n
a2,1 a2,2 . . . a2,n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .an,1 an,2 . . . an,n
∣∣∣∣∣∣∣∣=
∑c∈Sn
(−1)k(c) · a1,c(1) · a2,c(2) . . . an,c(n)
(¯÷¤á㬮¢ãîâìáï ¤®¤ ª¨ ¤«ï ¢á÷å c ∈ Sn; k(c), ïª ÷ à ÷è¥, ¯®§ ç õ¯ à÷áâì ¯÷¤áâ ®¢ª¨ c).
�®§£«ï¥¬® ª®ªà¥â÷ ¢¨¯ ¤ª¨ ¤«ï n = 1, 2, 3.1. �à㯠S1 ¬÷áâ¨âì ®¤ã (â®â®¦ã) ¯÷¤áâ ®¢ªã e. �⦥, ®âਬãõ¬®
‖a1,1‖ =∑c∈S1
(−1)k(c)a1,c(1) = (−1)k(e)a1,e(1) = a1,1.
2. �à㯠S2 ¬÷áâ¨âì ¤¢÷ ¯÷¤áâ ®¢ª¨ { â®â®¦ã ¯÷¤áâ ®¢ªã e ÷ âà á-¯®§¨æ÷î c = (1, 2). �⦥, ®âਬãõ¬®
∣∣∣∣a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
∣∣∣∣ =∑c∈S2
(−1)k(c)a1,c(1)a2,c(2) =
= (−1)k(e)a1,e(1)a2,e(2) + (−1)k(t)a1,t(1)a2,t(2) = a1,1a2,2 − a1,2a2,1.
131
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
3. �à㯠S3 ¬÷áâ¨âì â®â®¦ã ¯÷¤áâ ®¢ªã e, âਠâà ᯮ§¨æ÷ù c1, c2,c3, â ª®¦ ¤¢ 横«¨ ¤®¢¦¨®î 3: f1 â f2 (¯®§ ç¥ï § ¯à¨ª«. 6.9).�⦥, ¤«ï ¢¨§ 稪 ¯®à浪ã 3 ®âਬãõ¬®
∣∣∣∣∣∣
a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
∣∣∣∣∣∣=
∑c∈S3
(−1)k(c)a1,c(1)a2,c(2)a3,c(3) =
= (−1)k(e)a1,e(1)a2,e(2)a3,e(3) + (−1)k(c1)a1,c1(1)a2,c1(2)a3,c1(3)+
+(−1)k(c2)a1,c2(1)a2,c2(2)a3,c2(3) + (−1)k(c3)a1,c3(1)a2,c3(2)a3,c3(3)+
+(−1)k(f1)a1,f1(1)a2,f1(2)a3,f1(3) + (−1)k(f2)a1,f2(1)a2,f2(2)a3,f2(3) =
= a1,1a2,2a3,3 − a1,1a2,3a3,2 − a1,3a2,2a3,1−−a1,2a2,1a3,3 + a1,2a2,3a3,1 + a1,3a2,1a3,2.
�¥â «ì÷è¥ ¯à® £àã¯ã Sn (§®ªà¥¬ , ¯à® ஧ª« ¤ ï ¯÷¤áâ ®¢-ª¨ ¢ ª®¬¯®§¨æ÷î ¥§ «¥¦¨å 横«÷¢) ¬®¦ ¯à®ç¨â â¨, ¯à¨ª« ¤,ã [7, 10, 14]. �¥ïª÷ «£®à¨â¬÷ç÷ ᯥªâ¨ £à㯨 ¯÷¤áâ ®¢®ª ¢¨á¢÷â-«¥® ¢ [15].
6.4. �¤¨â¨¢ â ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ £à㯨 ª« á÷¢ «¨èª÷¢
6.4.1. �®¦¨ ª« á÷¢ «¨èª÷¢� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¡ã¤¥ ஧£«ïãâ® ¤¨â¨¢ã â ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ã
£à㯨, ¯®¢'ï§ ÷ § ä ªâ®à-¬®¦¨®î Z/(mod n)
¬®¦¨¨ æ÷«¨å ç¨á¥« Z§ ¢÷¤®è¥ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ (mod n), ¤¥ n { ä÷ªá®¢ ¥ âãà «ì¥ç¨á«®.
�÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ (mod n) (§ ¬®¤ã«¥¬ n) ¤®á¨âì ¤¥â «ì-® ஧£«ïãâ® ¢ ஧¤. 3, ¯à¨ª«. 3.20. � £ ¤ õ¬®, é® ä ªâ®à-¬®¦¨ Z
/(mod n)
¬ õ ¢¨£«ï¤
Z/( mod n)
= {0, 1, . . . , k, . . . , n− 1}, ¤¥ k = {nm + k : m ∈ Z}.�®¦¨¨ (ª« ᨠ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷) k (0 ≤ k ≤ n − 1) §¨¢ îâì ª« -
á ¬¨ «¨èª÷¢ § ¬®¤ã«¥¬ n. �祢¨¤®, ª®¦¥ ª« á k ᪫ ¤ õâìáï § æ÷«¨åç¨á¥«, ¯÷á«ï ¤÷«¥ï ª®¦®£® § 直å n ®¤¥à¦ãîâì ®áâ çã k.
132
6.4. �¤¨â¨¢ â ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ £à㯨 ª« á÷¢ «¨èª÷¢
� ªâ®à-¬®¦¨ã Z/(mod n)
¯®§ ç îâì ç¥à¥§ Zn:
Zn = Z/(mod n)
= {0, 1, . . . , k, . . . , n− 1}, ¤¥ k = {nm + k : m ∈ Z}.
�¥ à § £®«®á¨¬®, é® ¥«¥¬¥â ¬¨ ¬®¦¨¨ Zn õ ª« ᨠ«¨èª÷¢, ⮡-â® ¥ ®ªà¥¬÷ æ÷«÷ ç¨á« , ¬®¦¨¨ ç¨á¥«. � ¦«¨¢® â ª®¦ ¯ ¬'ïâ â¨, 鮢¨à § k ¬ õ á¥á ¤«ï ¤®¢÷«ì®£® k ∈ Z (¥ â÷«ìª¨ ¤«ï 0 ≤ k ≤ n − 1).�à®â¥, ã ¬®¦¨÷ Zn ¬÷áâ¨âìáï à÷¢® n à÷§¨å ª« á÷¢, ÷ æ¥ á ¬¥ ª« ᨠk¯à¨ 0 ≤ k ≤ n−1; ª« ᨠk § ®¬¥à ¬¨ k ≥ n â k < 0 §¡÷£ îâìáï § ®¤¨¬÷§ ª« á÷¢ k ¯à¨ 0 ≤ k ≤ n− 1:
n = 0, n + 1 = 1, − 1 = n− 1, . . . .
�§ £ «÷, «¥£ª® ¯®¡ ç¨â¨, é® k = k mod n. � £ ¤ õ¬®, é® k mod n õ§ £ «ì®¯à¨©ï⨬ ¯®§ ç¥ï¬ ¤«ï ®áâ ç÷ ¢÷¤ ¤÷«¥ï k n, ⮡â®ç¨á«® k0 = k mod n ®¤®§ ç® ¢¨§ ç õâìáï 㬮¢ ¬¨:
0 ≤ k0 ≤ n− 1; (6.3)k = n ·m + k0 ¤«ï ¤¥ïª®£® m ∈ Z. (6.4)
� § 稬®, é® ç¨á«® m = k div n â ª®¦ ¢¨§ ç õâìáï 㬮¢ ¬¨ (6.3)÷ (6.4) ®¤®§ ç®:
m = max{p ∈ Z : k ≥ n · p}.�ਪ« ¤ 6.29. �®§£«ï¥¬® ¬®¦¨¨ Z1, Z2 â Z3.1. �®¦¨ Z1 = {0} ᪫ ¤ õâìáï § ®¤®£® ¥«¥¬¥â 0 = Z (¡ã¤ì-瘟
æ÷«¥ ç¨á«® ¤÷«¨âìáï 1 ¡¥§ ®áâ ç÷). �¥© ¢¨¯ ¤®ª ¥æ÷ª ¢¨© ÷ ©®£®, ïª¯à ¢¨«®, ¥ ஧£«ï¤ îâì.
2. �®¦¨ Z2 = {0, 1} ¬÷áâ¨âì ¤¢ ¥«¥¬¥â¨ { ¬®¦¨ã 0 ¯ à¨åç¨á¥« ÷ ¬®¦¨ã 1 ¥¯ à¨å ç¨á¥«. � æ쮬㠢¨¯ ¤ªã
k = k mod 2 =
{0, ïªé® k ¯ à¥,1, ïªé® k ¥¯ à¥.
�®ªà¥¬ : 0 = 2 = − 2 = 4 = − 4, 1 = − 1 = 3 = − 3.3. �®¦¨ Z3 = {0, 1, 2} ᪫ ¤ õâìáï § âàì®å ¥«¥¬¥â÷¢:• ¬®¦¨¨ 0 ç¨á¥«, ïª÷ ¤÷«ïâìáï 3 ¡¥§ ®áâ ç÷;
133
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
• ¬®¦¨¨ 1 ç¨á¥«, ïª÷ ¤÷«ïâìáï 3 § ®áâ ç¥î 1;• ¬®¦¨¨ 2 ç¨á¥«, ïª÷ ¤÷«ïâìáï 3 § ®áâ ç¥î 2.
� æ쮬㠢¨¯ ¤ªã, §®ªà¥¬ , ¬ õ¬®:
0 = 3 = − 3 = 6 = − 6, 1 = − 2 = 4, 2 = − 1 = 5.
6.4.2. �¤¨â¨¢ £à㯠Zn
� ä÷ªáãõ¬® n ∈ N.� ¬®¦¨÷ Zn = {0, 1, . . . , n− 1} ¢¨§ 稬® ®¯¥à æ÷î «+»:
a + b = a + b, a, b ∈ Z.
� ¢¥¤¥¥ ®§ ç¥ï ¯®âॡãõ ®¡óàãâã¢ ï ª®à¥ªâ®áâ÷: âॡ ¤®-¢¥áâ¨, é® à¥§ã«ìâ â ®¯¥à æ÷ù a+ b ¥ § «¥¦¨âì ¢÷¤ ¢¨¡®à㠯।áâ ¢¨ª÷¢§ ª« á÷¢ a â b.
�¥¬ 6.4 (ª®à¥ªâ÷áâì ®¯¥à æ÷ù «+» Zn). �¥å © a1 = a, b1 = b.�®¤÷ a1 + b1 = a + b.
�®¢¥¤¥ï. �«ï ¤®¢¥¤¥ï à÷¢®áâ÷ a1 + b1 = a + b ¤®áâ âì® ¯¥à¥¢÷-à¨â¨, é® ((a1 + b1)− (a + b)) mod n = 0.
�áª÷«ìª¨ a1 = a, b1 = b, ¬ õ¬®
a1 = a + m1n, b1 = b + m2n ¤«ï ¤¥ïª¨å m1, m2 ∈ Z.
�«¥ ⮤÷ ®âਬãõ¬®
(a1 + b1)− (a + b) = (a1 − a) + (b1 − b) = m1n + m2n = (m1 + m2)n,
⮡⮠((a1 + b1)− (a + b)) mod n = 0, é® ¤®¢®¤¨âì ⢥द¥ï «¥¬¨.
�⦥, ¯®¡ã¤®¢ ® § ¬ª¥ã «£¥¡à¨çã áâàãªâãàã 〈Zn, +〉. �¥£ª® ¤®-¢¥áâ¨, é® â ª áâàãªâãà õ ¡¥«¥¢®î £à㯮î, ®áª÷«ìª¨ £à㯮¢÷ ¢« áâ¨-¢®áâ÷ ( á®æ÷ ⨢÷áâì, ª®¬ãâ ⨢÷áâì, ï¢÷áâì ¥©âà «ì®£® ¥«¥¬¥-â e, â ª®¦ ÷áã¢ ï ®¡¥à¥®£® x−1,+ ¤«ï ª®¦®£® x ∈ Z) ®¤à §ã¢¨¯«¨¢ îâì § «®£÷ç¨å £à㯮¢¨å ¢« á⨢®á⥩ ¤«ï áâàãªâãਠ〈Z, +〉.� ª, ã áâàãªâãà÷ 〈Zn, +〉 ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â e = 0, ®¡¥à¥¨© ¥«¥¬¥â(a)
−1,+= − a = n− a.
134
6.4. �¤¨â¨¢ â ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ £à㯨 ª« á÷¢ «¨èª÷¢
�¯à ¢ 6.10. �஢¥á⨠¯®¢¥ ¤®¢¥¤¥ï ä ªâã, é® áâàãªâãà 〈Zn, +〉 õ ¡¥«¥¢®î £à㯮î.
�àã¯ã 〈Zn, +〉 §¨¢ îâì ¤¨â¨¢®î £àã¯®î ª« á÷¢ «¨èª÷¢ § ¬®-¤ã«¥¬ n. �«ï æ÷õù £à㯨 ç áâ® ¢¦¨¢ îâì ᪮à®ç¥¥, ¡¥§ 㪠§ ï ®¯¥-à æ÷ù, ¯®§ ç¥ï Zn; ïªé® ¢¨¨ª õ ¬®¦«¨¢÷áâì ª®ä«÷ªâã ¯®§ ç¥ì,§ áâ®á®¢ãîâì §¢ã « ¤¨â¨¢ £à㯠Zn», é® ¢ª §ãõ ®¯¥à æ÷î «+»(¤¨¢. § ã¢. 6.5).
�ਪ« ¤ 6.30. �®§£«ï¥¬® £à㯨 Z2 â Z3.1. � ¢¥¤¥¬® â ¡«¨æî �¥«÷ ¤«ï ¤¨â¨¢®ù £à㯨 Z2 (â ¡«. 6.3).
� ¡«¨æï 6.3. � ¡«¨æï �¥«÷ ¤«ï ¤¨â¨¢®ù £à㯨 Z2
+ 0 10 0 11 1 0
�祢¨¤®, ®¡¥à¥÷ ¥«¥¬¥â¨ ¢ Z2 ¬ îâì ¢¨£«ï¤
(0)−1,+
= 0, (1)−1,+
= 1.
2. � ¢¥¤¥¬® â ¡«¨æî �¥«÷ ¤«ï ¤¨â¨¢®ù £à㯨 Z3 (â ¡«. 6.4).
� ¡«¨æï 6.4. � ¡«¨æï �¥«÷ ¤«ï ¤¨â¨¢®ù £à㯨 Z3
+ 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1
�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ®¡¥à¥÷ ¥«¥¬¥â¨ ¢ Z3 ¬ îâì ¢¨£«ï¤
(0)−1,+
= 0, (1)−1,+
= − 1 = 2, (2)−1,+
= − 2 = 1.
� 㢠¦¥ï 6.13. �¤¨â¨¢ £à㯠Zn õ ¯à¨ª« ¤®¬ § £ «ì®£® ⨯ãáâàãªâãà { â ª §¢ ¨å ä ªâ®à-£àã¯, ïª÷ ¡ã¤¥ ஧£«ïãâ® ¢ ¯÷¤à®§¤. 6.12.
135
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
6.4.3. �ã«ì⨯«÷ª ⨢ £à㯠Zp∗
� ä÷ªáãõ¬® p ∈ N.� ¬®¦¨÷ Zp = {0, 1, . . . , p− 1} ¢¨§ 稬® ®¯¥à æ÷î ¬®¦¥ï «·»:
a · b = ab, a, b ∈ Z.
�ª ÷ ã ¢¨¯ ¤ªã ®¯¥à æ÷ù «+», ®§ ç¥ï ®¯¥à æ÷ù «·» â ª®¦ ¯®âॡãõ®¡óàãâã¢ ï ª®à¥ªâ®áâ÷.
�¥¬ 6.5 (ª®à¥ªâ÷áâì ®¯¥à æ÷ù «·» Zp). �¥å © a1 = a, b1 = b.�®¤÷ a1 · b1 = ab.
�®¢¥¤¥ï. �«ï ¤®¢¥¤¥ï à÷¢®áâ÷ a1 · b1 = ab ¤®áâ âì® ¯¥à¥¢÷à¨â¨,é® (a1b1 − ab) mod p = 0.
�áª÷«ìª¨ a1 = a, b1 = b, ¬ õ¬®
a1 = a + m1p, b1 = b + m2p ¤«ï ¤¥ïª¨å m1,m2 ∈ Z.
�«¥ ⮤÷ ®âਬãõ¬®
a1b1 − ab = a1b1 − a1b + a1b− ab = a1(b1 − b) + b(a1 − a) = a1m2p + bm1p,
⮡⮠(a1b1 − ab) mod p = 0, é® ¤®¢®¤¨âì ⢥द¥ï «¥¬¨.
�⦥, ¯®¡ã¤®¢ ® § ¬ª¥ã «£¥¡à¨çã áâàãªâãàã 〈Zp, ·〉. �¥£ª® ¤®¢¥-áâ¨, é® æï áâàãªâãà õ ª®¬ãâ ⨢¨¬ ¬®®ù¤®¬, ®áª÷«ìª¨ ¥®¡å÷¤÷ ¢« -á⨢®áâ÷ ( á®æ÷ ⨢÷áâì, ª®¬ãâ ⨢÷áâì ÷ ï¢÷áâì ¥©âà «ì®£® ¥«¥-¬¥â ) ®¤à §ã ¢¨¯«¨¢ îâì § «®£÷ç¨å ¢« á⨢®á⥩ ¤«ï ¬®®ù¤ 〈Z, ·〉.� ª, ã áâàãªâãà÷ 〈Zp, ·〉 ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â e = 1.
�¤ ª áâàãªâãà 〈Zp, ·〉, ïª ÷ 〈Z, ·〉 (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.5), § ¦®¤®£® p ≥ 2¥ õ £à㯮î, ®áª÷«ìª¨ ¤«ï ¥«¥¬¥â 0 ã æ쮬ã à §÷ ¥ ÷áãõ ®¡¥à¥®£®.
�«ï ¯®¡ã¤®¢¨ ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢®ù £à㯨 ¬®¦¨÷ ª« á÷¢ «¨èª÷¢¡ã¤¥¬® ¤®¤ ⪮¢® ¢¨¬ £ â¨, 鮡 p ∈ N ¡ã«® ¯à®á⨬ ç¨á«®¬1. �à÷¬ ⮣®,£àã¯ã ¡ã¤ã¢ ⨬¥¬® «¬®¦¨÷ ¡¥§ ã«ï»:
Zp∗ = Zp \ {0} = {1, 2, . . . , p− 1}.
1ö®¤÷ ¢ «÷â¥à âãà÷, ®á®¡«¨¢® ¢ ¤¥ïª¨å èª÷«ì¨å ¯÷¤àã稪 å, ç¨á«® 1 ¢¢ ¦ îâì¯à®á⨬. �ã⠡㤥¬® ¢¢ ¦ â¨, é® ¯à®á⥠ç¨á«® ¯®¢¨® ¬ ⨠à÷¢® ¤¢ à÷§÷ âã-à «ì÷ ¤÷«ì¨ª¨, ⮡⮠ç¨á«® 1 ¥ õ ¯à®á⨬.
136
6.4. �¤¨â¨¢ â ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ £à㯨 ª« á÷¢ «¨èª÷¢
�¥®à¥¬ 6.6. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈Zp∗, ·〉 ¤«ï ¯à®á⮣® p ∈ N õ
¡¥«¥¢®î £à㯮î.�®¢¥¤¥ï. �¥àè § ¢á¥, ¯®âà÷¡® ¤®¢¥á⨠§ ¬ª¥÷áâì áâàãªâãà¨
〈Zp∗, ·〉, ®áª÷«ìª¨ ¯à æîõ¬® ¥ ¢á÷© ¬®¦¨÷ ª« á÷¢ «¨èª÷¢. �«ï æ쮣®
¥®¡å÷¤® ¤®¢¥áâ¨, é® a · b ∈ Zp∗ ¯à¨ a, b ∈ Zp
∗, â®¡â® é® a · b 6= 0 ¤«ïa 6= 0, b 6= 0.
�ਯãáâ÷¬®, é® a · b = 0. �¥ ®§ ç õ, é® ab mod p = 0, ⮡⮠¤®¡ã⮪ab ¤÷«¨âìáï p ¡¥§ ®áâ ç÷. �«¥ ⮤÷, ®áª÷«ìª¨ ç¨á«® p õ ¯à®á⨬, ®¤¥ §ç¨á¥« a ç¨ b ¬ õ ¤÷«¨â¨áï p ¡¥§ ®áâ ç÷, é® á㯥à¥ç¨âì 㬮¢÷ a, b 6= 0.�⦥, § ¬ª¥÷áâì áâàãªâãਠ〈Zp
∗, ·〉 ¤®¢¥¤¥®.�á®æ÷ ⨢÷áâì ÷ ª®¬ãâ ⨢÷áâì áâàãªâãਠ〈Zp
∗, ·〉 ¢¨¯«¨¢ õ § «®-£÷ç¨å ¢« á⨢®á⥩ ã áâàãªâãà÷ 〈Zp, ·〉. �¥©âà «ì¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ ã áâàãª-âãà÷ 〈Zp
∗, ·〉 õ ª« á 1 (§ § 稬®, é® 1 6= 0).� à¥èâ÷, ¤®¢¥¤¥¬® ÷áã¢ ï ®¡¥à¥®£® ¥«¥¬¥â ¤«ï ¤®¢÷«ì®£®
a 6= 0 ¢÷¤®á® ®¯¥à æ÷ù ¬®¦¥ï (⮡⮠¢ ¬¥¦ å áâàãªâãਠ〈Zp∗, ·〉).
� ä÷ªáãõ¬® ç¨á«® a, â ª¥, é® 1 ≤ a ≤ p − 1, ÷ ஧£«ï¥¬® ¡÷à ª« á÷¢«¨èª÷¢:
a · 1, a · 2, . . . , a · (p− 1). (6.5)ö§ ¢¨é¥¤®¢¥¤¥®ù § ¬ª¥®áâ÷ 〈Zp
∗, ·〉 ¢¨¯«¨¢ õ, é® ak 6= 0 ¯à¨1 ≤ k ≤ p− 1, ⮡⮠¡÷à ª« á÷¢ (6.5) «¥¦¨âì ã Zp
∗.�®¢¥¤¥¬® ¤ «÷, é® ¢á÷ ª« ᨠ(6.5) ¯®¯ à® à÷§÷, ⮡⮠ak1 6= ak2 ¯à¨
1 ≤ k1 < k2 ≤ p− 1. �ਯãá⨢è¨, é® ak1 = ak2, ®âਬãõ¬®(ak2 − ak1) mod p = 0, ⮡⮠(a · (k2 − k1)) mod p = 0.
�¢÷¤á¨ ¢¨¯«¨¢ õ, é® ¬®¦¨ª a ¡® ¬®¦¨ª (k2 − k1) ¬ õ ¤÷«¨â¨áï¡¥§ ®áâ ç÷ ¯à®á⥠ç¨á«® p, é® á㯥à¥ç¨âì 㬮¢ ¬ 1 ≤ (k2− k1) ≤ p− 1â 1 ≤ a ≤ p− 1.
�⦥, ãá÷ ª« ᨠ¢ ¡®à÷ (6.5) ¯®¯ à® à÷§÷, ⮡⮠¡÷à (6.5) ¬÷á-â¨âì p − 1 ª« á÷¢ «¨èª÷¢, ª®¦¥ § ïª¨å «¥¦¨âì ã Zp
∗. �«¥ Zp∗ â ª®¦
¬÷áâ¨âì p− 1 ¥«¥¬¥â÷¢, ⮡⮠¥ ¬®¦¥ ¬÷áâ¨â¨ ª« á÷¢, ïª÷ ¥ ¢å®¤ïâì ¤® ¡®àã (6.5). �¥ ®§ ç õ, é® ¡÷à (6.5) §¡÷£ õâìáï § ¬®¦¨®î Zp
∗:
{1, 2, . . . , p− 1} = {a · 1, a · 2, . . . , a · (p− 1)}.�÷ §¡÷£ã ¢¥¤¥¨å ¬®¦¨ ¢¨¯«¨¢ õ, é® ®¤¨ § ¥«¥¬¥â÷¢ ¬®¦¨¨
{a · 1, a · 2, . . . , a · (p− 1)} ¬ õ ¤®à÷¢î¢ ⨠1; ¯®§ 稬® 楩 ¥«¥¬¥â ç¥-१ a · ka, ¤¥ 1 ≤ ka ≤ p − 1. �«¥ ⮤÷ ª« á «¨èª÷¢ ka ∈ Zp
∗ ¢¨§ ç õ
137
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
¥«¥¬¥â, ®¡¥à¥¨© ¤® a, ®áª÷«ìª¨ § ¯®¡ã¤®¢®î
a · ka = a · ka = 1.
�¢¥à¤¦¥ï ⥮६¨ ¯®¢÷áâî ¤®¢¥¤¥®.
�àã¯ã 〈Zp∗, ·〉 (¤«ï ¯à®á⮣® ç¨á« p) §¨¢ îâì ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-
®î £àã¯®î ª« á÷¢ «¨èª÷¢ § ¬®¤ã«¥¬ p; ¤«ï æ÷õù £à㯨 ç áâ® ¢¦¨¢ îâì᪮à®ç¥¥, ¡¥§ 㪠§ ï ®¯¥à æ÷ù, ¯®§ ç¥ï Zp
∗; ïªé® ¢¨¨ª õ ¬®¦-«¨¢÷áâì ª®ä«÷ªâã ¯®§ ç¥ì, § áâ®á®¢ãîâì §¢ã «¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ £à㯠Zp
∗», é® ¢ª §ãõ ®¯¥à æ÷î «·» (¤¨¢. § ã¢. 6.5).�ਪ« ¤ 6.31. � ¢¥¤¥¬® â ¡«¨æî �¥«÷ ¤«ï £à㯨 Z5
∗ (â ¡«. 6.5).
� ¡«¨æï 6.5. � ¡«¨æï �¥«÷ ¤«ï ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢®ù £à㯨 Z5∗
× 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1
�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ®¡¥à¥÷ ¥«¥¬¥â¨ ¢ Z5∗ ¬ îâì â ª¨© ¢¨£«ï¤:
(1)−1
= 1, (2)−1
= 3, (3)−1
= 2, (4)−1
= 4.
6.5. �®ïââï ¯÷¤£à㯨. �à¨â¥à÷© ¯÷¤£à㯨�¥å © 〈G, ∗〉 { ¤®¢÷«ì £à㯠.�§ ç¥ï 6.15. �÷¤£àã¯®î £à㯨 〈G, ∗〉 §¨¢ îâì ¯÷¤¬®¦¨ã
H ⊂ G, ïª õ £àã¯®î § â÷õî á ¬®î ®¯¥à æ÷õî, é® ÷ £à㯠〈G, ∗〉 (⮡â®áâàãªâãà 〈H, ∗〉 õ £à㯮î).
� 㢠¦¥ï 6.14. 1. �®«¨ ஧£«ï¤ îâì £àã¯ã 〈G, ∗〉, á«÷¤ ¢ª § ⨠¥â÷«ìª¨ ¬®¦¨ã G, «¥ © ®¯¥à æ÷î «∗»; ª®«¨ ¦ ¡¥àãâì ¤® ஧£«ï¤ã ¯÷¤-£àã¯ã H ⊂ G, ¬®¦ ¥ ¢ª §ã¢ ⨠®¯¥à æ÷î «∗», ïª , § ®§ ç¥ï¬¯÷¤£à㯨, ¬ õ §¡÷£ â¨áï § ®¯¥à æ÷õî £à㯨 〈G, ∗〉.
2. � ®§ ç¥÷ ¯÷¤£ã¯¨ ¥ ¢¨¬ £ õâìáï, 鮡 ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â e1
¯÷¤£à㯨 H §¡÷£ ¢áï § ¥©âà «ì¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ e £à㯨 G, ®áª÷«ìª¨ 楩
138
6.5. �®ïââï ¯÷¤£à㯨. �à¨â¥à÷© ¯÷¤£à㯨
ä ªâ «¥£ª® ¢¨¯«¨¢ õ § ¢« á⨢®á⥩ £à㯨. �÷©á®, § ä÷ªá㢠¢è¨ ¤®¢÷«ì-¨© ¥«¥¬¥â h ∈ H, § ¤®¬®¬®£®î ¯à ¢¨« ᪮à®ç¥ï (6.1) ®âਬãõ¬®
(h = e ∗ h = e1 ∗ h) ⇒ (e = e1).
�ਪ« ¤ 6.32. 1. �®¦¨ Z õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈Q, +〉.2. �®¦¨ Q õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈R, +〉.3. �®¦¨ R õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈C, +〉.4. �®¦¨ (0, +∞) õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈R∗, ·〉.5. �®¦¨ {−1, 1} õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈R∗, ·〉.6. �®¦¨ ¥¢¨à®¤¦¥¨å ¨¦÷å âਪãâ¨å ¬ âà¨æì
{(a1,1 0a2,1 a2,2
): a1,1, a2,1, a2,2 ∈ R, a1,1a2,2 6= 0
}
õ ¯÷¤£àã¯®î ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢®ù £à㯨 ¬ âà¨æì GL2.7. �®¦¨ ¬ âà¨æì § ®¤¨¨ç¨¬ ¢¨§ 稪®¬
SLn = {A ∈ GLn : |A| = 1}õ ¯÷¤£àã¯®î ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢®ù £à㯨 ¬ âà¨æì GLn. �¥© ä ªâ ¥£ ©®¢¨¯«¨¢ õ § ä®à¬ã«¨, ¢÷¤®¬®ù § ªãàáã «÷÷©®ù «£¥¡à¨ ( ¯à¨ª« ¤, [10]):
|AB| = |A| · |B|, (6.6)¤¥ A, B ∈ Mn×n.
�¯à ¢ 6.11. �¥å © H1, H2 { ¯÷¤£à㯨 £à㯨 〈G, ∗〉. �®¢¥áâ¨, é® ¯¥-à¥â¨ H1∩H2 â ª®¦ õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈G, ∗〉. �§ £ «ì¨â¨ æ¥ â¢¥à¤¦¥-ï ¤®¢÷«ìã (¬®¦«¨¢ã ¥áª÷ç¥ã) ª÷«ìª÷áâì ¯÷¤£à㯠£à㯨 〈G, ∗〉.
� ¯à ªâ¨æ÷ ¤«ï ¯¥à¥¢÷ન, ç¨ õ ¥¯®à®¦ï ¯÷¤¬®¦¨ £à㯨 ¯÷¤-£à㯮î, §àãç® ª®à¨áâ㢠â¨áï â ª®î ⥮६®î.
�¥®à¥¬ 6.7 (ªà¨â¥à÷© ¯÷¤£à㯨). �¥å © ∅ 6= H ⊂ G, ⮡⮠H {¥¯®à®¦ï ¯÷¤¬®¦¨ £à㯨 〈G, ∗〉.
�«ï ⮣®, 鮡 ¯÷¤¬®¦¨ H ¡ã« ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈G, ∗〉, ¥®¡å÷¤®÷ ¤®áâ âì® ¢¨ª® ï ¤¢®å 㬮¢:(a, b ∈H) ⇒(a ∗ b ∈H) (§ ¬ª¥÷áâì H ¢÷¤®á® ®¯¥à æ÷ù «∗»); (6.7)(a∈H) ⇒(a−1∈H) (§ ¬ª¥÷áâì H ¢÷¤®á® ¢§ïââï ®¡¥à¥®£®). (6.8)
139
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�®¢¥¤¥ï. �¥®¡å÷¤÷áâì ®ç¥¢¨¤ , ®áª÷«ìª¨ 㬮¢¨ § ¬ª¥®áâ÷ ¬®-¦¨¨ H ¢÷¤®á® ¡÷ à®ù £à㯮¢®ù ®¯¥à æ÷ù, â ª®¦ ÷áã¢ ï ®¡¥à-¥¨å a−1 ∈ H ¤«ï ª®¦®£® a ∈ H, ¥£ ©® ¢¨¯«¨¢ îâì § ¢¨§ ç¥ï£à㯨.
�«ï ¤®¢¥¤¥ï ¤®áâ â®áâ÷ § 㢠¦¨¬®:• § ¬ª¥÷áâì áâàãªâãਠ〈H, ∗〉 ¢÷¤®á® ®¯¥à æ÷ù «∗» õ 㬮¢®î (6.7);• á®æ÷ ⨢÷áâì áâàãªâãਠ〈H, ∗〉 ¢¨¯«¨¢ õ § á®æ÷ ⨢®áâ÷ ®¯¥à -
æ÷ù «∗» ¢á÷© ¬®¦¨÷ G ( ®â¦¥, ÷ ¯÷¤¬®¦¨÷ H ⊂ G);• § ¬ª¥÷áâì áâàãªâãਠH ¢÷¤®á® ®¯¥à æ÷ù ¢§ïââï ®¡¥à¥®£® õ
㬮¢®î (6.8).�⦥, âॡ «¨è¥ ¤®¢¥áâ¨, é® áâàãªâãà 〈H, ∗〉 ¬÷áâ¨âì ¥©âà «ì¨©
¥«¥¬¥â e ∈ G ¢¨å÷¤®ù £à㯨 〈G, ∗〉.� ä÷ªáãõ¬® ¤®¢÷«ì¨© ¥«¥¬¥â a ∈ H (æ¥ ¬®¦ §à®¡¨â¨, ®áª÷«ìª¨
H 6= ∅). �®¤÷, ïª á«÷¤®ª 㬮¢ (6.7), (6.8), ®âਬãõ¬®
(a ∈ H) ⇒ (a−1 ∈ H) ⇒ (e = a ∗ a−1 ∈ H).
�¢¥à¤¦¥ï ⥮६¨ ¯®¢÷áâî ¤®¢¥¤¥®.
� á«÷¤®ª. �¬®¢¨ (6.7) â (6.8) ¢ ⥮६÷ 6.7 ¬®¦ § ¬÷¨â¨ ®¤-÷õî 㬮¢®î:
(a, b ∈ H) ⇒ (a ∗ b−1 ∈ H). (6.9)
�®¢¥¤¥ï. �÷©á®, § ä÷ªá㢠¢è¨ a ∈ H, ®âਬãõ¬®
e = a ∗ a−1 ∈ H.
� «÷ ¤«ï ¤®¢÷«ì®£® b ∈ H ®¤¥à¦¨¬®
b−1 = e ∗ b−1 ∈ H.
� à¥èâ÷, ¤«ï ¤®¢÷«ì¨å a, b ∈ H ¤÷áâ ¥¬®
a ∗ b = a ∗ (b−1)−1 ∈ H.
�⦥, ¤®¢¥¤¥® ¢¨ª® ï 㬮¢ (6.7) â (6.8) ®á®¢®ù ⥮६¨.
140
6.6. �®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯: ®á®¢÷ ¢¨§ ç¥ï â ⥮६¨
�ਪ« ¤ 6.33. �¥å © An { ¬®¦¨ ¯ à¨å ¯÷¤áâ ®¢®ª ¬®-¦¨÷ A = {1, 2, . . . , n}. �®¦¨ An õ ¯÷¤£à㯮î ᨬ¥âà¨ç®ù £à㯨 Sn,®áª÷«ìª¨ ¤«ï ¤®¢÷«ì¨å ¯ à¨å c1,c2 ∈ Sn ®âਬ ® ¯ à÷áâì ¯÷¤áâ ®¢-ª¨ c−1
2 , ¯®â÷¬ ÷ ¯ à÷áâì c1 ∗ c−12 (¤¨¢. १ã«ìâ â ¢¯à ¢¨ 6.9). �àã¯ã
〈An, ◦〉 §¨¢ îâì § ª®§¬÷®î £à㯮î á⥯¥ï n.
�祢¨¤®, é® ¡ã¤ì-ïª £à㯠〈G, ∗〉 § ¢¦¤¨ ¬÷áâ¨âì ¯à¨ ©¬÷ ¤¢÷¯÷¤£à㯨: ¬®¦¨ã {e} (e { ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â ã £àã¯÷ 〈G, ∗〉) â á -¬ã ¬®¦¨ã G. �÷ ¯÷¤£à㯨 §¨¢ îâì âਢ÷ «ì¨¬¨; ¯÷¤£àã¯ã, é® ¥õ âਢ÷ «ì®î, §¨¢ îâì ¢« á®î. �÷¤£àã¯ã {e} ç áâ® §¨¢ îâì ®¤¨-¨ç®î, ¯÷¤£àã¯ã H = G ¡ã¤¥¬® §¨¢ ⨠¯®¢®î. � 㢠¦¨¬®, é® ã¢¨¯ ¤ªã ®¤®¥«¥¬¥â®ù £à㯨 G = {e} âਢ÷ «ì÷ ¯÷¤£à㯨 §¡÷£ îâìáï.
6.6. �®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯: ®á®¢÷ ¢¨§ ç¥ïâ ⥮६¨
� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¯à æî¢ â¨¬¥¬® § ¤¢®¬ £à㯠¬¨: 〈G1, ∗〉 â 〈G2,~〉§ ¥©âà «ì¨¬¨ ¥«¥¬¥â ¬¨ e1 ∈ G1 â e2 ∈ G2.
�§ ç¥ï 6.16. �÷¤®¡à ¦¥ï f : G1 → G2 §¨¢ îâì £®¬®¬®à-ä÷§¬®¬, ¡® £®¬®¬®à䨬 ¢÷¤®¡à ¦¥ï¬, £à㯨 〈G1, ∗〉 ¢ £àã¯ã 〈G2,~〉,ïªé®
f(a ∗ b) = f(a) ~ f(b) ¤«ï ¤®¢÷«ì¨å a, b ∈ G1.
ö'õªâ¨¢¨© £®¬®¬®àä÷§¬ §¨¢ îâì ¬®®¬®àä÷§¬®¬, áîà'õªâ¨¢¨©£®¬®¬®àä÷§¬ { ¥¯÷¬®àä÷§¬®¬, ¡÷õªâ¨¢¨© £®¬®¬®àä÷§¬ { ÷§®¬®àä÷§¬®¬.�ªé® f : G1 → G2 { ÷§®¬®àä÷§¬, â® £à㯨 〈G1, ∗〉 ÷ 〈G2,~〉 §¨¢ îâì÷§®¬®à䨬¨. �«ï ä ªâã ÷§®¬®àä®áâ÷ £à㯠〈G1, ∗〉 â 〈G2,~〉 ¢¦¨¢ îâ쯮§ ç¥ï
〈G1, ∗〉 ∼ 〈G2,~〉 .
� 㢠¦¥ï 6.15. ö§ ®§ ç¥ï ¡÷õªâ¨¢®áâ÷ ¢¨¯«¨¢ õ, é® f õ ÷§®¬®à-ä÷§¬®¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ f õ ®¤®ç á® ¬®®- â ¥¯÷¬®àä÷§¬®¬.
�ਪ« ¤ 6.34. 1. �÷¤®¡à ¦¥ï
f : R→ R∗, f(a) = 2a
141
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
õ ¬®®¬®àä÷§¬®¬ § £à㯨 〈R, +〉 ¢ £àã¯ã 〈R∗, ·〉. �à®â¥ f ¥ õ ¥¯÷¬®àä÷§-¬®¬, ®â¦¥, ¥ õ ÷§®¬®àä÷§¬®¬.
2. �÷¤®¡à ¦¥ï
f : R→ (0, +∞), f(a) = 2a
õ ÷§®¬®àä÷§¬®¬ § £à㯨 〈R, +〉 ¢ £àã¯ã 〈(0, +∞), ·〉.3. �÷¤®¡à ¦¥ï
f : R→ {z ∈ C : z 6= 0}, f(a) = ei·a
õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ § £à㯨 〈R, +〉 ¢ £àã¯ã 〈C∗, ·〉, ¤¥ C∗ = C \ {0}. �à®â¥f ¥ õ ¬®®- ¡® ¥¯÷¬®àä÷§¬®¬. � æ쮬㠯ਪ« ¤÷ ª®áâ â e ¯®§ ç õ®á®¢ã âãà «ì®£® «®£ à¨ä¬ , ç¨á«® i { ª®¬¯«¥ªáã ®¤¨¨æî.
� £®¬®¬®àä÷§¬®¬ £à㯠¯®¢'ï§ ® ¡ £ â® æ÷ª ¢¨å ÷ ¢ ¦«¨¢¨å ¢« áâ¨-¢®á⥩. � æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¡ã¤¥ ஧£«ïãâ® ¤¢÷ ¢« á⨢®áâ÷ £®¬®¬®àä-®£® ¢÷¤®¡à ¦¥ï £àã¯; ¤¥ïª÷ ÷è÷ ¢« á⨢®áâ÷ ¡ã¤ãâì ஧£«ïãâ÷ ã¯÷¤à®§¤. 6.13.
�¥®à¥¬ 6.8. �¥å © f : G1 → G2 { £®¬®¬®àä÷§¬ £à㯨 〈G1, ∗〉 ¢ £àã¯ã〈G2,~〉. �®¤÷:
1) f(e1) = e2 (£®¬®¬®àä÷§¬ £à㯠§¡¥à÷£ õ ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â£à㯨);
2) ∀ a ∈ G1 : f(a−1) = (f(a))−1 (£®¬®¬®àä÷§¬ £à㯠§¡¥à÷£ õ ®¯¥à æ÷ïââï ®¡¥à¥®£® ¥«¥¬¥â ).
�®¢¥¤¥ï. 1. � ®§ ç¥ï¬ ¥©âà «ì®£® ¥«¥¬¥â
f(e1) = f(e1 ∗ e1) = f(e1) ~ f(e1).
�¥¯¥à § ¯à ¢¨«®¬ «÷¢®£® ᪮à®ç¥ï (6.2) ®âਬãõ¬®
(f(e1) ~ f(e1) = f(e1)) ⇒⇒ (f(e1) ~ f(e1) = f(e1) ~ e2) ⇒ (f(e1) = e2) .
2. �¥å © a ∈ G1. � ®§ ç¥ï¬ £®¬®¬®àä®áâ÷ ¢÷¤®¡à ¦¥ï ®âà¨-¬ãõ¬®
f(a−1) ~ f(a) = f(a−1 ∗ a) = f(e1) = e2,
§¢÷¤ª¨ f(a−1) = (f(a))−1.
142
6.7. �¨ª«÷ç÷ £à㯨
�®¬®¬®àä÷§¬ ÷§ £à㯨 〈G, ∗〉 ¢ 〈G, ∗〉 (⮡⮠§ £à㯨 ¢ ᥡ¥) §¨¢ îâ쥤®¬®àä÷§¬®¬ £à㯨 〈G, ∗〉. �®¦¨ã ¢á÷å ¥¤®¬®àä÷§¬÷¢ £à㯨 〈G, ∗〉¯®§ ç îâì ç¥à¥§ End〈G,∗〉 ¡® ¯à®áâ® ç¥à¥§ EndG.
�¯à ¢ 6.12. �®¢¥áâ¨, é® 〈EndG, ◦〉 õ ¬®®ù¤®¬.
6.7. �¨ª«÷ç÷ £à㯨�¥å © 〈G, ∗〉 { ¤®¢÷«ì £à㯠§ ¥©âà «ì¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ e ∈ G.� ä÷ªáãõ¬® ¤¥ïª¨© ¥«¥¬¥â a ∈ G ÷ ஧£«ï¥¬® ¬®¦¨ã ¢á÷å æ÷«¨å
á⥯¥÷¢ ¥«¥¬¥â a:
[a] = {an : n ∈ Z} = {. . . , a−n, . . . , a−2, a−1, e, a, a2, . . . , an, . . . }.
�¯à ¢ 6.13. �®¢¥áâ¨, é® ¬®¦¨ [a] õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈G, ∗〉.�ª §÷¢ª . �ª®à¨áâ â¨áï ªà¨â¥à÷õ¬ ¯÷¤£à㯨 (⥮६ 6.7) â ¢« áâ¨-
¢®áâﬨ á⥯¥ï ¥«¥¬¥â £à㯨 (¯÷¤à®§¤. 6.2, § ãà åã¢ ï¬ § ã¢. 6.7).
�÷¤£àã¯ã [a] ⊂ G §¨¢ îâì 横«÷ç®î ¯÷¤£à㯮î, ¯®à®¤¦¥®î ¥«¥-¬¥â®¬ a ∈ G. �«¥¬¥â a ∈ G §¨¢ îâì â¢÷à®î ¯÷¤£à㯨 [a] ⊂ G.
�â®á®¢® ¬®¦¨¨ æ÷«¨å á⥯¥÷¢ ¥«¥¬¥â a ∈ G ஧£«ï¥¬® ¤¢ ¢ ¦«¨¢÷ ¢¨¯ ¤ª¨: ÷áãõ ç¨ ¥ ÷áãõ ¯®ª §¨ª n > 0, â ª¨©, é® an = e.
1. öáãõ ¯®ª §¨ª n > 0, â ª¨©, é® an = e.�¨¡¥à¥¬® ©¬¥è¨© ¤®¤ ⨩ ®¬¥à n, ¤«ï 类£® an = e:
n = min{k ∈ N : ak = e}. (6.10)
�¨á«® n ∈ N, ¢¨§ 祥 ä®à¬ã«®î (6.10), §¨¢ îâì ¯®à浪®¬ ¥«¥-¬¥â a ∈ G â ¯®§ ç îâì ç¥à¥§ |a|: n = |a|.
�¯à ¢ 6.14. �®¢¥áâ¨, é® õ¤¨¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ ¯®à浪ã 1 õ ¥©âà «ì-¨© ¥«¥¬¥â: (|a| = 1) ⇔ (a = e).
�¯à ¢ 6.15. �®¢¥á⨠à÷¢÷áâì: ak mod n = ak.�ª §÷¢ª . �ª®à¨áâ â¨áì 㬮¢ ¬¨ (6.3) ÷ (6.4), é® ¢¨§ ç îâì k mod n.
�¥¬ 6.6. ak1 6= ak2, ïªé® 0 ≤ k1 < k2 ≤ n− 1.
143
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�®¢¥¤¥ï. �¥å © 0 ≤ k1 < k2 ≤ n−1. �ਯãáâ÷¬®, é® ak1 = ak2 . �®¤÷®âਬãõ¬®
ak2−k1 = ak2 ∗ (ak1
)−1= e,
é® á㯥à¥ç¨âì 㬮¢÷ (6.10), ®áª÷«ìª¨ 0 < k2 − k1 < n.
�à 客ãîç¨ à¥§ã«ìâ â «¥¬¨ 6.6 â à÷¢÷áâì ak mod n = ak, ®âਬãõ¬®ï¢¨© ¢¨£«ï¤ 横«÷ç®ù ¯÷¤£à㯨, ¯®à®¤¦¥®ù ¥«¥¬¥â®¬ a ∈ G:
[a] = {ak : 0 ≤ k ≤ n− 1} = {e, a, a2, . . . , an−1}.�⦥, ¯÷¤£à㯠[a] ¬÷áâ¨âì à÷¢® n à÷§¨å ¥«¥¬¥â÷¢; á⥯¥÷ § ¯®-
ª §¨ª ¬¨ k ≥ n ¡® k < 0 §¡÷£ ⨬ãâìáï § ®¤¨¬ §÷ á⥯¥÷¢ ak
(0 ≤ k ≤ n− 1):
an = a0 = e, an+1 = a1 = a, a−1 = an−1, . . .
(ã § £ «ì®¬ã ¢¨¯ ¤ªã, ïª ¢¦¥ § § ç «®áì, ak = ak mod n).�¥®à¥¬ 6.9. �¥å © a ∈ G { ¥«¥¬¥â ¯®à浪ã |a| = n. �®¤÷ £àã¯
〈[a], ∗〉 ÷§®¬®àä ¤¨â¨¢÷© £àã¯÷ Zn:
〈[a], ∗〉 ∼ 〈Zn, +〉 .�®¢¥¤¥ï. �㪠¨© ÷§®¬®àä÷§¬ f : [a] → Zn ¢áâ ®¢«îõâìáï á¯÷¢-
¢÷¤®è¥ï¬f(ak) = k ∈ Zn, 0 ≤ k ≤ n− 1.
�¯à ¢ 6.16. �®¢¥áâ¨, é® ¢¢¥¤¥¥ ¢÷¤®¡à ¦¥ï f : [a] → Zn { ÷§®-¬®àä÷§¬ £à㯠〈[a], ∗〉 â Zn.
�ª §÷¢ª . �®¬®¬®àäã ¢« á⨢÷áâì ÷ áîà'õªâ¨¢÷áâì f «¥£ª® ¢¨¢¥á⨧ ¢¨§ ç¥ï ¢÷¤®¡à ¦¥ï f ; ÷'õªâ¨¢÷áâì f ¢¨¯«¨¢ õ § «¥¬¨ 6.6.
2. �¥ ÷áãõ ¯®ª §¨ª n > 0, â ª®£®, é® an = e. � æ쮬㠢¨¯ ¤ªã£®¢®àïâì, é® ¥«¥¬¥â a ∈ G ¬ õ ¥áª÷票© ¯®à冷ª : |a| = ∞.
�¥¬ 6.7. ak1 6= ak2, ïªé® k1 6= k2.�®¢¥¤¥ï. �ਯãáâ÷¬®, é® ak1 = ak2 ¯à¨ k1 6= k2. �¥§ ¢âà ⨠§ £ «ì-
®áâ÷ ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® k1 < k2. �®¤÷ ®âਬãõ¬®
ak2−k1 = ak2 ∗ (ak1
)−1= e,
é® á㯥à¥ç¨âì 㬮¢÷ |a| = ∞, ®áª÷«ìª¨ k2 − k1 > 0.
144
6.7. �¨ª«÷ç÷ £à㯨
�à 客ãîç¨ à¥§ã«ìâ â «¥¬¨ 6.7, ®âਬãõ¬® © ¢¨£«ï¤ 横«÷ç®ù¯÷¤£à㯨, ¯®à®¤¦¥®ù ¥«¥¬¥â®¬ a ∈ G:
[a] = {ak : k ∈ Z} = {. . . , a−n, . . . , a−2, a−1, e, a, a2, . . . , an, . . . }.
�⦥, ¯÷¤£à㯠[a] ¬÷áâ¨âì ¥áª÷ç¥ã (§«÷ç¥ã) ª÷«ìª÷áâì à÷§¨å¥«¥¬¥â÷¢.
�¥®à¥¬ 6.10. �¥å © a ∈ G { ¥«¥¬¥â ¥áª÷祮£® ¯®à浪ã(|a| = ∞). �®¤÷ £à㯠〈[a], ∗〉 ÷§®¬®àä ¤¨â¨¢÷© £àã¯÷ Z:
〈[a], ∗〉 ∼ 〈Z, +〉 .
�®¢¥¤¥ï. �㪠¨© ÷§®¬®àä÷§¬ f : [a] → Z ¢áâ ®¢«îõâìáï á¯÷¢¢÷¤-®è¥ï¬
f(ak) = k, k ∈ Z.
�¯à ¢ 6.17. �®¢¥áâ¨, é® ¢¢¥¤¥¥ ¢÷¤®¡à ¦¥ï f : [a] → Z õ ÷§®-¬®àä÷§¬®¬ £à㯠〈[a], ∗〉 â 〈Z, +〉.
�ª §÷¢ª . �®¬®¬®àäã ¢« á⨢÷áâì ÷ áîà'õªâ¨¢÷áâì f «¥£ª® ¢¨¢¥á⨧ ¢¨§ ç¥ï ¢÷¤®¡à ¦¥ï f ; ÷'õªâ¨¢÷áâì f ¢¨¯«¨¢ õ § «¥¬¨ 6.7.
�⦥, ãá÷ 横«÷ç÷ ¯÷¤£à㯨 ¯÷¤¤ îâìáï ¯®¢®¬ã ®¯¨áã (§ â®ç÷áâ ÷§®¬®àä÷§¬ã), é® ¢áâ ®¢«¥® ⥮६ ¬¨ 6.9 â 6.10. �âਬ ¨© à¥-§ã«ìâ â áä®à¬ã«îõ¬® ã ¢¨£«ï¤÷ ⥮६¨.
�¥®à¥¬ 6.11. �¥å © 〈G, ∗〉 { ¤®¢÷«ì £à㯠. �®¤÷ 横«÷ç ¯÷¤£àã-¯ [a], ¯®à®¤¦¥ ¥«¥¬¥â®¬ a ∈ G, ÷§®¬®àä ¤¨â¨¢÷© £àã¯÷ Z ¯à¨|a| = ∞ ¡® ¤¨â¨¢÷© £àã¯÷ ª« á÷¢ «¨èª÷¢ Zn ¯à¨ |a| = n:
1) [a] ∼ 〈Zn, +〉, ïªé® |a| = n < ∞;2) [a] ∼ 〈Z, +〉, ïªé® |a| = ∞.
�àã¯ã, ïª §¡÷£ õâìáï § ®¤÷õî §÷ ᢮ùå 横«÷ç¨å ¯÷¤£àã¯, ⮡â®G = [a] ¤«ï ¤¥ïª®£® a ∈ G, §¨¢ îâì 横«÷ç®î. �«¥¬¥â a ∈ G, 鮯®à®¤¦ãõ £àã¯ã 〈G, ∗〉, õ â¢÷à®î £à㯨 [a] = G.
� 㢠¦¥ï 6.16. �¥®à¥¬ 6.11 ¢áâ ®¢«îõ (§ â®ç÷áâî ¤® ÷§®¬®àä÷§-¬ã) ¯®¢¨© ®¯¨á 横«÷ç¨å £àã¯, ®áª÷«ìª¨ 横«÷çã £àã¯ã ¬®¦ ¢¢ -¦ ⨠®ªà¥¬¨¬ ¢¨¯ ¤ª®¬ 横«÷ç®ù ¯÷¤£à㯨.
145
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�ਪ« ¤ 6.35. 1. �¤¨â¨¢ £à㯠Zn (n ∈ N) { ®¤¨ § ©¢ ¦«¨-¢÷è¨å ¯à¨ª« ¤÷¢ áª÷祮ù 横«÷ç®ù ¯÷¤£à㯨. �¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é®â¢÷ਬ¨ 横«÷ç®ù £à㯨 Zn ¤«ï ¡ã¤ì-类£® n ≥ 2 ¬®¦ãâì ¡ãâ¨, §®ªà¥-¬ , ¥«¥¬¥â¨ 1 â − 1 = n− 1:
[1] = [n− 1] = Zn, n ≥ 2
(ã ¢¨¯ ¤ªã n = 2 ª« ᨠ1 â − 1 §¡÷£ îâìáï; ¢¨¯ ¤®ª n = 1 õ ª®à¥ªâ¨¬, «¥ ¥æ÷ª ¢¨¬). � § 稬®, é® ¤«ï ¤¥ïª¨å n ∈ N (§®ªà¥¬ , ïªé® n = 5)÷áãîâì ÷è÷ â¢÷à÷ 横«÷ç®ù £à㯨 Zn. �®§£«ï¥¬® 横«÷ç÷ ¯÷¤£à㯨£à㯨 Zn ¤«ï n = 3, 4, 5, 6:
1) n = 3. Z3 = [1] = [2];2) n = 4. Z4 = [1] = [3]; [2] = {2, 0};3) n = 5. Z5 = [1] = [2] = [3] = [4];4) n = 6. Z6 = [1] = [5]; [2] = {2, 4, 0}; [3] = {3, 0}.�«¥¬¥â 0 ®ªà¥¬® ¥ ஧£«ï¤ ¢áï, ®áª÷«ìª¨ § ¢á÷å n ∈ N ¢÷ õ
â¢÷à®î âਢ÷ «ì®ù (®¤¨¨ç®ù) 横«÷ç®ù ¯÷¤£à㯨, ⮡⮠[0] = {0}(¤¨¢. ¢¯à ¢ã 6.14).
2. �¤¨â¨¢ £à㯠Z õ ®á®¢¨¬ ¯à¨ª« ¤®¬ ¥áª÷祮ù 横«÷ç®ù£à㯨. �¨ª«÷ç £à㯠〈Z, +〉 ¤®¯ã᪠õ ¤¢÷ â¢÷à÷:
Z = [1] = [−1].
�®§£«ï¥¬® ÷è÷ 横«÷ç÷ ¯÷¤£à㯨 £à㯨 〈Z, +〉. �«ï ¤®¢÷«ì®£®k ≥ 2 ®âਬãõ¬®
[k] = [−k] = {k ·m : m ∈ Z} = {0, k,−k, 2k,−2k, . . . } = kZ.
� 㢠¦¨¬®, é® ¯®§ ç¥ï kZ (k ∈ Z) õ § £ «ì®¯à¨©ï⨬ ¤«ï ¬®-¦¨¨ {k · m : m ∈ Z} (§®ªà¥¬ , 2Z õ ¬®¦¨®î ¯ à¨å æ÷«¨å ç¨á¥«).� à¥èâ÷, § § 稬®, é® ¢¨¯ ¤®ª [0] = {0} õ âਢ÷ «ì¨¬ ¢¨¯ ¤ª®¬ ®¤¨-¨ç®ù ¯÷¤£à㯨.
3. �®§£«ï¥¬® 横«÷ç÷ ¯÷¤£à㯨 ᨬ¥âà¨ç®ù £à㯨 S3 (¤«ï ¯÷¤áâ -®¢®ª £à㯨 S3 ¢¨ª®à¨áâ õ¬® ¯®§ ç¥ï § ¯à¨ª«. 6.14):
[c1] = {c1, e}, [c2] = {c2, e}, [c3] = {c3, e},[f1] = [f2] = {f1,f2, e}, [e] = {e}.
146
6.8. �ã¬÷¦÷ ª« á¨
�⦥, £à㯠S3 { ¥ 横«÷ç , ®áª÷«ìª¨ ¥ ¤®à÷¢îõ ¦®¤÷© §÷ ᢮ùå横«÷ç¨å ¯÷¤£à㯠(¢â÷¬ £à㯠S3 ¥ ¬®£« ¡ã⨠横«÷ç®î, ®áª÷«ìª¨¢® ¥ õ ª®¬ãâ ⨢®î, ®â¦¥, ¥ ÷§®¬®àä ¦®¤÷© § ª®¬ãâ ⨢¨å£à㯠Zn ¡® Z).
6.8. �ã¬÷¦÷ ª« á¨�¥å © H ⊂ G { ¯÷¤£à㯠£à㯨 〈G, ∗〉. �«ï ä÷ªá®¢ ®£® ¥«¥¬¥â
g ∈ G ¢¢¥¤¥¬® ¯®§ ç¥ï:
g ∗H = {g ∗ h : h ∈ H};H ∗ g = {h ∗ g : h ∈ H}.
�®¦¨ã g ∗ H §¨¢ îâì «÷¢¨¬ áã¬÷¦¨¬ ª« ᮬ £à㯨 〈G, ∗〉 § ¯÷¤£à㯮î H, é® ¯®à®¤¦¥¨© ¥«¥¬¥â®¬ g. �®¦¨ã H ∗ g §¨¢ îâì¯à ¢¨¬ áã¬÷¦¨¬ ª« ᮬ £à㯨 〈G, ∗〉 § ¯÷¤£à㯮î H, é® ¯®à®¤¦¥¨©¥«¥¬¥â®¬ g.
�ਪ« ¤ 6.36. � ¬ ¯÷¤£à㯠H õ áã¬÷¦¨¬ ª« ᮬ (ïª ¯à ¢¨¬,â ª ÷ «÷¢¨¬), ¯®à®¤¦¥¨¬ ¥©âà «ì¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ e ∈ G:
e ∗H = {e ∗ h : h ∈ H} = {h : h ∈ H} = H;
H ∗ e = {h ∗ e : h ∈ H} = {h : h ∈ H} = H.
�ਪ« ¤ 6.37. �®§£«ï¥¬® áã¬÷¦÷ ª« ᨠ§ âਢ÷ «ì¨¬¨ ¯÷¤£àã-¯ ¬¨.
�«ï ®¤¨¨ç®ù ¯÷¤£à㯨 H = {e} ®âਬãõ¬®
a ∗ {e} = {e} ∗ a = {a} ¤«ï ¤®¢÷«ì®£® a ∈ G,
⮡⮠÷ ¯à ¢÷, ÷ «÷¢÷ áã¬÷¦÷ ª« ᨠ¢÷¤®á® ®¤¨¨ç®ù ¯÷¤£à㯨 §¡÷£ îâìáï÷ ¤®à÷¢îîâì ®¤®¥«¥¬¥â÷© ¬®¦¨÷ {a}, é® ¬÷áâ¨âì ¯®à®¤¦ã¢ «ì¨©¥«¥¬¥â a ∈ G.
� ¢¨¯ ¤ªã ¯®¢®ù ¯÷¤£à㯨 H = G ®âਬãõ¬®
a ∗G = G ∗ a = G ¤«ï ¤®¢÷«ì®£® a ∈ G,
147
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
®áª÷«ìª¨ ¡ã¤ì-直© x ∈ G ¬®¦ §®¡à §¨â¨ ïª ¥«¥¬¥â áã¬÷¦®£® ª« áã(ïª ¯à ¢®£®, â ª ÷ «÷¢®£®):
x = a ∗ (a−1 ∗ x
) ∈ a ∗G, x =(x ∗ a−1
) ∗ a ∈ G ∗ a.
�⦥, ÷áãõ «¨è¥ ®¤¨ ¯à ¢¨© (¢÷ ¦¥ «÷¢¨©) áã¬÷¦¨© ª« á ¢÷¤®á®¯®¢®ù ¯÷¤£à㯨 H = G { æ¥ á ¬ £à㯠G.
� 㢠¦¥ï 6.17. �÷¢÷áâì a ∗G = G ∗ a = G ®¤à §ã ¢¨¯«¨¢ õ â ª®¦÷ § áâ㯮ù ⥮६¨ 6.12.
� ª®¬ãâ ⨢¨å £à㯠å, ®ç¥¢¨¤®, ¯à ¢¨© ÷ «÷¢¨© áã¬÷¦÷ ª« ᨠ§¡÷-£ îâìáï: a∗H = H ∗a ¤«ï ¢á÷å a ∈ G. � ¥ª®¬ãâ ⨢¨å £àã¯ å ¬®¦«¨¢®a ∗H 6= H ∗ a (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.38).
�¥®à¥¬ 6.12. �÷¢÷ áã¬÷¦÷ ª« ᨠ£à㯨 〈G, ∗〉 ¢÷¤®á® ¯÷¤£à㯨 H ¡® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï, ¡® §¡÷£ îâìáï. �à ¢÷ áã¬÷¦÷ ª« ᨠ£à㯨 〈G, ∗〉¢÷¤®á® ¯÷¤£à㯨 H ¡® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï, ¡® §¡÷£ îâìáï.
�®¢¥¤¥ï. �¢¥à¤¦¥ï ⥮६¨ ¡ã¤¥¬® ¤®¢®¤¨â¨ ¤«ï «÷¢¨å áã¬÷¦-¨å ª« á÷¢ (¢¨¯ ¤®ª ¯à ¢¨å áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ õ ᨬ¥âà¨ç¨¬). � ªâ¨ç® ¬ ¤®áâ âì® ¤«ï a, b ∈ G ¤®¢¥á⨠⠪¥ ⢥द¥ï:
((a ∗H) ∩ (b ∗H) 6= ∅) ⇒ ((a ∗H) = (b ∗H)) .
�⦥, ¥å © a, b ∈ G â (a ∗ H) ∩ (b ∗ H) 6= ∅, ⮡⮠¯¥à¥â¨(a ∗ H) ∩ (b ∗ H) ¬÷áâ¨âì ¯à¨ ©¬÷ ®¤¨ ¥«¥¬¥â c ∈ (a ∗ H) ∩ (b ∗ H).�®¤÷ ®âਬãõ¬® §¢'燐ª ¬÷¦ ¥«¥¬¥â ¬¨ a â b:
(c ∈ a ∗H) ⇔ (c = a ∗ h1 ¤«ï ¤¥ïª®£® h1 ∈ H);
(c ∈ b ∗H) ⇔ (c = b ∗ h2 ¤«ï ¤¥ïª®£® h2 ∈ H);
a = c ∗ h−11 = b ∗ h2 ∗ h−1
1 = b ∗ h, ¤¥ h = h2 ∗ h−11 ∈ H.
� à¥èâ÷, ¤«ï ¤®¢÷«ì®£® x ∈ G ®âਬãõ¬®(x ∈ a ∗H) ⇒ (x = a ∗ ha ¤«ï ¤¥ïª®£® ha ∈ H) ⇒
⇒ (x = b ∗ (h ∗ ha)) ⇒ (x ∈ b ∗H).
�⦥, a∗H ⊂ b∗H. �ª« ¤¥ï b∗H ⊂ a∗H ¬®¦ ¤®¢¥á⨠«®£÷ç®:(x ∈ b ∗H) ⇒ (x = b ∗ hb ¤«ï ¤¥ïª®£® hb ∈ H) ⇒
⇒ (x = a ∗ (h−1 ∗ hb)) ⇒ (x ∈ a ∗H).
� ª¨¬ 種¬, a ∗H = b ∗H, é® ¤®¢®¤¨âì ⢥द¥ï ⥮६¨.
148
6.8. �ã¬÷¦÷ ª« á¨
�¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, é® ®¡'õ¤ ï ¢á÷å «÷¢¨å ( «®£÷ç®, ãá÷å ¯à ¢¨å)áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ §¡÷£ õâìáï § ¬®¦¨®î G, ®áª÷«ìª¨ ª®¦¥ ¥«¥¬¥â a ∈ G®¡®¢'離®¢® ¢å®¤¨âì ã «÷¢¨© áã¬÷¦¨© ª« á a∗H ( «®£÷ç®, a ∈ H ∗a).�⦥, ®âਬ ® ¤¢ ஧¡¨ââï ¬®¦¨¨ G ¢ ®¡'õ¤ ï «÷¢¨å áã¬÷¦¨åª« á÷¢ â ¯à ¢¨å áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ § ¯÷¤£à㯮î H:
G =⋃g∈G
g ∗H =⋃g∈G
H ∗ g.
� § 稬®, é® ¤¥ïª÷ «÷¢÷ áã¬÷¦÷ ª« ᨠa ∗ H â b ∗ H ( «®£÷ç®,¯à ¢÷ áã¬÷¦÷ ª« ᨠH ∗ a â H ∗ b) ¬®¦ãâì §¡÷£ â¨áï ¤«ï a 6= b. �¤ ª¤«ï H ∗a 6= H ∗ b, § ⥮६®î 6.12 ª« ᨠH ∗a â H ∗ b ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï( «®£÷ç®, a ∗H ∩ b ∗H = ∅, ïªé® a ∗H 6= b ∗H). � 㢠¦¨¬® â ª®¦,é® â¥®à¥¬ 6.12 áä®à¬ã«ì®¢ ®ªà¥¬® ¤«ï ¯à ¢¨å ÷ ®ªà¥¬® ¤«ï «÷¢¨åáã¬÷¦¨å ª« á÷¢, ⮡⮠«÷¢¨© a∗H â ¯à ¢¨© H ∗b áã¬÷¦÷ ª« ᨠ¬®¦ãâì¥ §¡÷£ â¨áï â ¬ ⨠¥¯®à®¦÷© ¯¥à¥â¨.
�ਪ« ¤ 6.38. 1. �®§£«ï¥¬® «÷¢÷ â ¯à ¢÷ áã¬÷¦÷ ª« ᨠᨬ¥âà¨ç-®ù £à㯨 S3 § ¯÷¤£à㯮î [c1] = {c1, e} (¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ ¯®§ ç¥ï §¯à¨ª«. 6.14):
e ◦ {c1, e} = {c1, e}, {c1, e} ◦ e = {c1, e};c1 ◦ {c1, e} = {e,c1}, {c1, e} ◦ c1 = {e,c1};c2 ◦ {c1, e} = {f2,c2}, {c1, e} ◦ c2 = {f1,c2};c3 ◦ {c1, e} = {f1,c3}, {c1, e} ◦ c3 = {f2,c3};f1 ◦ {c1, e} = {c3,f1}, {c1, e} ◦ f1 = {c2,f1};f2 ◦ {c1, e} = {c2,f2}, {c1, e} ◦ f2 = {c3,f2}.
� § 稬®, é® á¥à¥¤ «÷¢¨å (ïª ÷ á¥à¥¤ ¯à ¢¨å) áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ õ â ª÷,é® §¡÷£ îâìáï:
e ◦ [c1] = c1 ◦ [c1], c2 ◦ [c1] = f2 ◦ [c1], c3 ◦ [c1] = f1 ◦ [c1];
[c1] ◦ e = [c1] ◦ c1, [c1] ◦ c2 = [c1] ◦ f1, [c1] ◦ c3 = [c1] ◦ f2 .
�⦥, ¬ õ¬® âਠà÷§÷ «÷¢÷ (÷ âਠà÷§÷ ¯à ¢÷) áã¬÷¦÷ ª« á¨, é® ¯®-¯ à® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï. � ª¨¬ 種¬, «÷¢÷ â ¯à ¢÷ áã¬÷¦÷ ª« ᨠ§ [c1]¤ îâì ¬ ¤¢ à÷§÷ ஧¡¨ââï S3 âਠ¬®¦¨¨:
S3 = {c1, e} ∪ {f1,c3} ∪ {f2,c2} = {e,c1} ∪ {f1,c2} ∪ {f2,c3}.
149
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
� à¥èâ÷, § 㢠¦¨¬®, é® ®âਬ ® «÷¢÷ â ¯à ¢÷ áã¬÷¦÷ ª« á¨, ïª÷ ¥§¡÷£ îâìáï, «¥ ¬ îâì ¥¯®à®¦÷© ¯¥à¥â¨; â ª¨¬¨, ¯à¨ª« ¤, õ «÷¢¨©â ¯à ¢¨© áã¬÷¦÷ ª« á¨, ¯®à®¤¦¥÷ ¥«¥¬¥â®¬ c2:
c2 ◦ [c1] = {f2,c2} 6= [c1] ◦ c2 = {f1,c2}; (c2 ◦ [c1]) ∩ ([c1] ◦ c2) = {c2}.2. �®§£«ï¥¬® «÷¢÷ â ¯à ¢÷ áã¬÷¦÷ ª« ᨠᨬ¥âà¨ç®ù £à㯨 S3 §
¯÷¤£à㯮î [f1] = {f1,f2, e}:e ◦ [f1] = [f1] ◦ e = {f1,f2, e};c1 ◦ [f1] = [f1] ◦ c1 = {c1,c2,c3};c2 ◦ [f1] = [f1] ◦ c2 = {c1,c2,c3};c3 ◦ [f1] = [f1] ◦ c3 = {c1,c2,c3};f1 ◦ [f1] = [f1] ◦ f1 = {f1,f2, e};f2 ◦ [f1] = [f1] ◦ f2 = {f1,f2, e}.
� æ쮬㠢¨¯ ¤ªã «÷¢÷ â ¯à ¢÷ áã¬÷¦÷ ª« á¨, ¯®à®¤¦¥÷ á¯÷«ì¨¬¥«¥¬¥â®¬, §¡÷£«¨áï. � ª¨¬ 種¬, ®âਬ ® ¤¢ à÷§÷ «÷¢÷ (ïª÷ § à §§¡÷£«¨áï § ¢÷¤¯®¢÷¤¨¬¨ ¯à ¢¨¬¨) áã¬÷¦÷ ª« á¨, é® ¯®¯ à® ¥ ¯¥à¥à÷-§ îâìáï. �⦥, «÷¢÷ â ¯à ¢÷ áã¬÷¦÷ ª« ᨠ¯® [f1] ¤ îâì ¬ ®¤¥ © â¥á ¬¥ ஧¡¨ââï S3 ¤¢÷ ¬®¦¨¨:
S3 = {f1,f2, e} ∪ {c1,c2,c3}.
6.9. �ª÷ç¥÷ £à㯨. �¥®à¥¬ � £à ¦ � æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ®á®¢¨¬ ®¡'õªâ®¬ ஧£«ï¤ã ¡ã¤¥ áª÷ç¥ £àã-
¯ 〈G, ∗〉, ⮡⮠£à㯠, é® ¬÷áâ¨âì «¨è¥ áª÷ç¥ã ª÷«ìª÷áâì ¥«¥¬¥â÷¢.�÷«ìª÷áâì ¥«¥¬¥â÷¢ ã áª÷ç¥÷© £àã¯÷ 〈G, ∗〉 §¨¢ îâì ¯®à浪®¬ £àã-¯¨ 〈G, ∗〉 ÷ ¯®§ ç îâì ç¥à¥§ |G|:
|G| = card(G).
�¥å © H ⊂ G { ¯÷¤£à㯠£à㯨 〈G, ∗〉.�¥¬ 6.8. �ã¤ì-直© áã¬÷¦¨© ª« á (ïª ¯à ¢¨©, â ª ÷ «÷¢¨©) áª÷-
祮ù £à㯨 〈G, ∗〉 § ¯÷¤£à㯮î H ¬÷áâ¨âì |H| ¥«¥¬¥â÷¢.
150
6.9. �ª÷ç¥÷ £à㯨. �¥®à¥¬ � £à ¦
�®¢¥¤¥ï. �¢¥à¤¦¥ï «¥¬¨ ¡ã¤¥¬® ¤®¢®¤¨â¨ ¤«ï «÷¢¨å áã¬÷¦¨åª« á÷¢ (¢¨¯ ¤®ª ¯à ¢¨å áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ õ ᨬ¥âà¨ç¨¬).
�¥å © H = {h1, h2, . . . , hm}, ¤¥ hi 6= hj ¯à¨ i 6= j, ⮡⮠¢á÷ ¥«¥¬¥-⨠hi (i = 1, 2, . . . ,m) ¯®¯ à® à÷§÷, â |H| = m. �®¤÷ ¤«ï ¤®¢÷«ì®£®ä÷ªá®¢ ®£® a ∈ G ¬ õ¬®
a ∗H = {a ∗ h1, a ∗ h2, . . . , a ∗ hm}.
� «÷ § ¯à ¢¨« «÷¢®£® ᪮à®ç¥ï (6.2) ®âਬãõ¬®
(a ∗ hi = a ∗ hj) ⇒ (hi = hj).
�⦥, a∗hi 6= a∗hj ¤«ï i 6= j, ⮡⮠¢á÷ ¥«¥¬¥â¨ a∗hi (i = 1, 2, . . . ,m)¯®¯ à® à÷§÷, â card(a ∗H) = m.
�ਪ« ¤ 6.39. � ¯à¨ª«. 6.38 ¡ã«® ¢¨¯¨á ® ¢á÷ áã¬÷¦÷ ª« ᨠ(¯à ¢÷â «÷¢÷) £à㯨 S3 § 横«÷稬¨ ¯÷¤£à㯠¬¨ [c1] â [f1]. �ª ¡ 稬®, ª®¦¥áã¬÷¦¨© ª« á § ¯÷¤£à㯮î [c1] = {c1, e} ¬÷áâ¨âì ¤¢ ¥«¥¬¥â¨, ª®¦¥áã¬÷¦¨© ª« á § [f1] = {f1,f2, e} { âਠ¥«¥¬¥â¨.
�¥¯¥à ¬®¦ áä®à¬ã«î¢ ⨠÷ ¤®¢¥á⨠®á®¢ã ⥮६㠯÷¤à®§¤÷«ã.
�¥®à¥¬ 6.13 (⥮६ � £à ¦ 1 ¤«ï áª÷ç¥¨å £àã¯). �®-à冷ª ¡ã¤ì-类ù ¯÷¤£à㯨 H áª÷祮ù £à㯨 〈G, ∗〉 õ ¤÷«ì¨ª®¬ ¯®à浪ã£à㯨 〈G, ∗〉.
�®¢¥¤¥ï. �¥å © H { ¯÷¤£à㯠áª÷祮ù £à㯨 〈G, ∗〉. �®§£«ï¥-¬® ஧¡¨ââï £à㯨 〈G, ∗〉 ¢ ®¡'õ¤ ï «÷¢¨å áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ § ¯÷¤£àã-¯®î H:
G =⋃g∈G
g ∗H.
�¥å © ¬®¦¨ {g ∗H : g ∈ G} ¬÷áâ¨âì à÷¢® k à÷§¨å «÷¢¨å áã¬÷¦¨åª« á÷¢, ¯®à®¤¦¥¨å ¤¥ïª¨¬¨ ¥«¥¬¥â ¬¨ gj (1 ≤ j ≤ k):
G = (g1 ∗H) ∪ · · · ∪ (gk ∗H) , gi ∗H 6= gj ∗H ¯à¨ i 6= j.
1� £à ¦ �®§¥ä �ãù (1736{1813) { äà æã§ìª¨© ¬ ⥬ ⨪ ÷ ¬¥å ÷ª; ¢â®à äã-¤ ¬¥â «ì¨å १ã«ìâ â÷¢ ã ¢ à÷ æ÷©®¬ã ç¨á«¥÷, ¬ ⥬ â¨ç®¬ã «÷§÷, «£¥¡-à÷ â®é®; ஡®â¨ �. �. � £à ¦ § ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ÷ª¨ â áâà®®¬÷ù ᪫ ¤ îâì14 ⮬÷¢.
151
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
� ⥮६®î 6.12 «÷¢÷ áã¬÷¦÷ ª« á¨, é® ¥ §¡÷£ îâìáï, ¬ îâì ¯®à®¦-÷© ¯¥à¥â¨:
(gi ∗H) ∩ (gj ∗H) = ∅ ¯à¨ i 6= j, 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ k.
�®¤÷ § ⥮६®î ¯à® ¯®âã¦÷áâì ®¡'õ¤ ï áª÷ç¥¨å ¬®¦¨, 鮯®¯ à® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï, ®âਬãõ¬®
card(G) = |G| =k∑
j=1
card(gj ∗H).
� à¥èâ÷, § «¥¬®î 6.8 ª®¦¨© áã¬÷¦¨© ª« á gj ∗ H (1 ≤ j ≤ k)¬÷áâ¨âì |H| ¥«¥¬¥â÷¢, §¢÷¤ª¨ ®âਬãõ¬® ⢥द¥ï ⥮६¨:
card(G) =k∑
j=1
card(gj ∗H) =k∑
j=1
|H| = k · |H|. (6.11)
�¢¥à¤¦¥ï ⥮६¨ ¤®¢¥¤¥®.
�÷«ìª÷áâì «÷¢¨å áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ § ¯÷¤£à㯮î H (§ «¥¬®î 6.8 §¡÷-£ õâìáï § ª÷«ìª÷áâî ¯à ¢¨å áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ § H) §¨¢ îâì ÷¤¥ªá®¬¯÷¤£à㯨 H ÷ ¯®§ ç îâì ç¥à¥§ i(H). �¥à¥¯¨á ¢è¨ à÷¢÷áâì (6.11) § ãà -åã¢ ï¬ ¢¨§ ç¥ï ÷¤¥ªáã ¯÷¤£à㯨, ®âਬãõ¬® á¯÷¢¢÷¤®è¥ï
|G| = i(H) · |H|.
�⦥, ã ¯à®æ¥á÷ ¤®¢¥¤¥ï ⥮६¨ � £à ¦ ¡ã«® ¢áâ ®¢«¥®, é®÷¤¥ªá ¯÷¤£à㯨 H ⊂ G â ª®¦ õ ¤÷«ì¨ª®¬ ¯®à浪㠣à㯨 〈G, ∗〉.
�ਪ« ¤ 6.40. �«ï ᨬ¥âà¨ç®ù £à㯨 S3 (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.38) ®âà¨-¬ãõ¬®:
i({c1, e}) = 3, |{c1, e}| = 2;
i({f1,f2, e}) = 2, |{f1,f2, e}| = 3.
152
6.10. � á«÷¤ª¨ § ⥮६¨ � £à ¦
6.10. � á«÷¤ª¨ § ⥮६¨ � £à ¦
1. �à㯠, ¯®à冷ª 类ù õ ¯à®á⨬ ç¨á«®¬ (â ª÷ £à㯨 ç áâ® §¨¢ îâì¯à®á⨬¨), ¬÷áâ¨âì «¨è¥ âਢ÷ «ì÷ ¯÷¤£à㯨.
�®¢¥¤¥ï. �¢¥à¤¦¥ï ®¤à §ã ¢¨¯«¨¢ õ § ⥮६¨ � £à ¦ .
2. �®à冷ª ¡ã¤ì-类£® ¥«¥¬¥â g ∈ G õ ¤÷«ì¨ª®¬ ¯®à浪㠣àã-¯¨ 〈G, ∗〉.
�®¢¥¤¥ï. �®à冷ª ¥«¥¬¥â a ∈ G (é® ¤«ï áª÷祮ù £à㯨 〈G, ∗〉õ áª÷票¬) § ¢¨§ ç¥ï¬ ¤®à÷¢îõ ¯®à浪ã 横«÷ç®ù ¯÷¤£à㯨 [a] ÷§ ⥮६®î � £à ¦ õ ¤÷«ì¨ª®¬ ¯®à浪㠣à㯨 〈G, ∗〉.
3. �¥å © a ∈ G. �®¤÷
a|G| = e, ¤¥ e { ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â £à㯨 〈G, ∗〉.
�®¢¥¤¥ï. � á«÷¤ª®¬ 2 ÷áãõ k ∈ N, â ª¥, é® |G| = k · |a|. �®-¤÷, ¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ ¢« á⨢®áâ÷ á⥯¥ï ¥«¥¬¥â ÷ ¢¨§ ç¥ï ¯®à浪㥫¥¬¥â , ®âਬãõ¬®
a|G| = ak·|a| = (a|a|)k = ek = e.
4. � « ⥮६ �¥à¬ .�¥å © n ∈ Z. �®¤÷ ¡ã¤ì-瘟 ¯à®á⥠ç¨á«® p õ ¤÷«ì¨ª®¬ ç¨á« np − n.
�®¢¥¤¥ï. � ä÷ªáãõ¬® ¯à®á⥠ç¨á«® p ÷ ஧£«ï¥¬® ¬ã«ì⨯«÷ª â¨-¢ã £àã¯ã Zp
∗. � £ ¤ õ¬®, é®
Zp∗ = Zp \ {0} = {1, 2, . . . , p− 1},
§¢÷¤ª¨ |Zp∗| = p− 1.
�®¢¥¤¥ï ¯à®¢¥¤¥¬® ã ¤¢ ¥â ¯¨.1. �®§£«ï¥¬® ¢¨¯ ¤®ª, ª®«¨ ç¨á«® n ∈ Z ¥ ªà ⥠p. �®¤÷ n ∈ Zp
∗ ÷§ ¢¨§ ç¥ï¬ ®¯¥à æ÷ù ¢ Zp
∗ â á«÷¤ª®¬ 3 ¤÷áâ ¥¬®
(np−1) = (n)p−1 = 1
153
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
( £ ¤ õ¬®, é® 1 { ¥©âà «ì¨© ã ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢÷© £àã¯÷ Zp∗). �⦥,
ç¨á« np−1 â 1 «¥¦ âì ¢ ®¤®¬ã ª« á÷ «¨èª÷¢ § ¬®¤ã«¥¬ p, ⮡⮠ç¨á«®np−1 − 1 ªà ⥠ç¨á«ã p.
2. � § £ «ì®¬ã ¢¨¯ ¤ªã n ∈ Z §®¡à §¨¬® np − n ïª ¤®¡ã⮪:np − n = n · (np−1 − 1).
�ªé® n ¥ ªà ⥠p, â®, § ¯®¯¥à¥¤÷¬ ¯ãªâ®¬ ¤®¢¥¤¥ï, ç¨á«® põ ¤÷«ì¨ª®¬ ç¨á« np−1 − 1. �⦥, ¯à¨ ©¬÷ ®¤¨ § ¤¢®å ¬®¦¨ª÷¢ (n ¡® np−1 − 1) ¤÷«¨âìáï p, ÷ ç¨á«® np − n ªà ⥠p.
�ਪ« ¤ 6.41. 1. �à®á⥠ç¨á«® 3 õ ¤÷«ì¨ª®¬ ç¨á« 43 − 4 = 60.2. �à®á⥠ç¨á«® 5 õ ¤÷«ì¨ª®¬ ç¨á« (−6)5 − (−6) = −7770.3. �¨á«® 6 ¥ õ ¯à®á⨬, ¯à®â¥ õ ¤÷«ì¨ª®¬ ç¨á« 36 − 3 = 726.4. �¨á«® 4 ¥ õ ¯à®á⨬ ÷ ¥ õ ¤÷«ì¨ª®¬ ç¨á« 64 − 6 = 1290. �⦥,
¢¨¬®£ «¯à®áâ®â¨» ç¨á« p õ ¥®¡å÷¤®î ã ä®à¬ã«î¢ ÷ ¬ «®ù ⥮६¨�¥à¬ .
6.11. �®à¬ «ì÷ ¤÷«ì¨ª¨� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ÷ ¤ «÷ ஧£«ï¤ ⨬¥¬® ¤®¢÷«ì÷ (¥ ®¡®¢'離®¢®
áª÷ç¥÷) £à㯨.�¦¥ ¢÷¤®¬® § ¯÷¤à®§¤. 6.8, é® ¯÷¤£à㯠¯®à®¤¦ãõ ¤¢ ஧¡¨ââï £à㯨 {
«÷¢÷ â ¯à ¢÷ áã¬÷¦÷ ª« á¨, ¯à¨ç®¬ã æ÷ ¤¢ ஧¡¨ââï ¬®¦ãâì ¥§¡÷£ â¨áï (¯à¨ª«. 6.38). � æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ஧£«ï¥¬® ¯÷¤£à㯨, ¤«ï直å ஧¡¨ââï ¯à ¢÷ â «÷¢÷ áã¬÷¦÷ ª« ᨠ§¡÷£ îâìáï.
�§ ç¥ï 6.17. �÷¤£àã¯ã H £à㯨 〈G, ∗〉 §¨¢ îâì ®à¬ «ì¨¬¤÷«ì¨ª®¬ (®à¬ «ì®î ¯÷¤£à㯮î), ïªé®
a ∗H = H ∗ a ¤«ï ¢á÷å a ∈ G.
�«ï ä ªâã, é® H õ ®à¬ «ì¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬ £à㯨 〈G, ∗〉, ç áâ® ¢¦¨-¢ îâì ¯®§ ç¥ï
H C G.
�祢¨¤®, é® ã ª®¬ãâ ⨢¨å £àã¯ å ¡ã¤ì-ïª ¯÷¤£à㯠õ ®à¬ «ì-¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬. � ¥ª®¬ãâ ⨢¨å £àã¯ å ¬®¦ãâì ¬÷áâ¨â¨áï ¯÷¤£à㯨,ïª÷ ¥ õ ®à¬ «ì¨¬¨ ¤÷«ì¨ª ¬¨, ®¤ ª ¥ª®¬ãâ ⨢÷ £à㯨 â ª®¦ ¬®-¦ãâì ¬÷áâ¨â¨ ®à¬ «ì÷ ¯÷¤£à㯨.
154
6.11. �®à¬ «ì÷ ¤÷«ì¨ª¨
�ਪ« ¤ 6.42. 1. �ਢ÷ «ì÷ ¯÷¤£à㯨 ¡ã¤ì-类ù £à㯨 § ¢¦¤¨ õ ®à-¬ «ì¨¬¨ ¤÷«ì¨ª ¬¨ (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.37).
2. � ¤¨â¨¢÷© £àã¯÷ Z, ïª õ ª®¬ãâ ⨢®î, ¢á÷ ¯÷¤£à㯨 nZ (n ∈ N)®à¬ «ì÷.
3. � ¥ª®¬ãâ ⨢÷© ᨬ¥âà¨ç÷© £àã¯÷ S3 ¯÷¤£à㯠{c1, e} ¥ õ ®à-¬ «ì®î, ®¤ ª {f1,f2, e} õ ®à¬ «ì¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬ (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.38).
�¨¦ç¥¯®¤ ⥮६ { §àã稩 ªà¨â¥à÷© ¯¥à¥¢÷ન, ç¨ õ ¯÷¤£à㯠®à¬ «ì®î.
�¥®à¥¬ 6.14 (ªà¨â¥à÷© ®à¬ «ì®£® ¤÷«ì¨ª ). �«ï ⮣®, 鮡¯÷¤£à㯠H £à㯨 〈G, ∗〉 ¡ã« ®à¬ «ì®î, ¥®¡å÷¤® ÷ ¤®áâ âì® ¢¨ª®- ï 㬮¢¨
∀h ∈ H ∀ g ∈ G : g−1 ∗ h ∗ g ∈ H. (6.12)
�®¢¥¤¥ï. �¥®¡å÷¤÷áâì. �¥å © ¯÷¤£à㯠H { ®à¬ «ì . �®¤÷ § ¢¨§ ç¥ï¬ ®à¬ «ì®ù ¯÷¤£à㯨
∀ g ∈ G : g ∗H = H ∗ g.
�⦥, ¤«ï ¤®¢÷«ì¨å g ∈ G, h ∈ H ¬ õ¬®
(h ∗ g ∈ H ∗ g) ⇒ (h ∗ g ∈ g ∗H) ⇒⇒ (∃ h ∈ H : h ∗ g = g ∗ h) ⇒ (g−1 ∗ h ∗ g = h ∈ H).
�®áâ â÷áâì. �¥å © H { ¯÷¤£à㯠£à㯨 〈G, ∗〉, â ª , é®
∀h ∈ H ∀ g ∈ G : g−1 ∗ h ∗ g ∈ H.
� ä÷ªáãõ¬® g ∈ G ÷ ¤®¢¥¤¥¬® à÷¢÷áâì g ∗ H = H ∗ g ¬®¤¥«ì¨¬á¯®á®¡®¬:
(x∈H ∗ g) ⇔ (∃h1∈H : x = h1 ∗ g) ⇔ (∃h1∈H : x = (g ∗ g−1) ∗ h1 ∗ g) ⇔
⇔∃h1 ∈ H : x = g ∗ (g−1 ∗ h1 ∗ g)︸ ︷︷ ︸
h2∈H
⇔ (∃h2 ∈ H : x = g ∗ h2 ∈ g ∗H).
�⦥, ⥮६㠤®¢¥¤¥®.
155
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�ਪ« ¤ 6.43. 1. � £àã¯÷ GL2 ¥¢¨à®¤¦¥¨å ¬ âà¨æì ஧¬÷஬ 2×2஧£«ï¥¬® ¯÷¤£àã¯ã ¥¢¨à®¤¦¥¨å ¨¦÷å âਪãâ¨å ¬ âà¨æì:
H =
{(a1,1 0a2,1 a2,2
): a1,1, a2,1, a2,2 ∈ R, a1,1a2,2 6= 0
}.
�ï ¯÷¤£à㯠¥ õ ®à¬ «ì®î, ®áª÷«ìª¨ ¬®¦ ¢¨¡à ⨠¨¦î âà¨-ªãâã ¬ âà¨æî A0 ∈ H â ¥¢¨à®¤¦¥ã A ∈ GL2, â ª÷, é®
A−1 · A0 · A /∈ H.
� ª, ¯à¨ª« ¤,(
1 21 1
)−1
·(
1 01 1
)·(
1 21 1
)=
(3 4
−1 −1
)/∈ H.
2. � £àã¯÷ GLn ஧£«ï¥¬® ¯÷¤£àã¯ã SLn ¬ âà¨æì § ®¤¨¨ç¨¬ ¢¨§- 稪®¬:
H = SLn = {A ∈ GLn : |A| = 1}.�ï ¯÷¤£à㯠®à¬ «ì , ®áª÷«ìª¨ ¤«ï ¤®¢÷«ì¨å A0 ∈ SLn = H â
A ∈ GLn, ¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ ä®à¬ã«ã (6.6) (®¡ç¨á«¥ï ¢¨§ 稪 ¤®-¡ãâªã ¬ âà¨æì), ®âਬãõ¬®
|A−1 · A0 · A| = |A−1| · |A0| · |A| = |A|−1 · |A0| · |A| = 1,
⮡⮠A−1 · A0 · A ∈ SLn = H ÷, § ⥮६®î 6.14, SLn C GLn.� 㢠¦¥ï 6.18. �¯÷¢¢÷¤®è¥ï |A−1| = |A|−1 ¢¨¯«¨¢ õ § ä®à-
¬ã«¨ (6.6):1 = |A · A−1| = |A| · |A−1|.
3. � ᨬ¥âà¨ç÷© £àã¯÷ Sn ஧£«ï¥¬® ¯÷¤£àã¯ã ¯ à¨å ¯÷¤áâ ®¢®ª {§ ª®§¬÷ã £àã¯ã An (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.33). � ä÷ªá㢠¢è¨ c ∈ Sn, t ∈ An ÷¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ à¥§ã«ìâ â ¢¯à ¢¨ 6.9, ®âਬãõ¬®
k(c−1 ◦ t ◦ c) = k(c−1)⊕ k(t)⊕ k(c) = k(c)⊕ k(t)⊕ k(c) = k(t) = 0
( £ ¤ õ¬®, é® k(f) ¯®§ ç õ ¯ à÷áâì ¯÷¤áâ ®¢ª¨ f). � ª¨¬ 種¬,c−1◦t◦c ∈ An, ®â¦¥, ¯÷¤£à㯯 An õ ®à¬ «ì¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬ ã £àã¯÷ Sn:An C Sn.
156
6.12. �®ïââï ä ªâ®à-£à㯨
� 㢠¦¥ï 6.19. � áâ®á®¢ãîç¨ â¥®à¥¬ã 6.14, á«÷¤ ®¡®¢'離®¢® ¯¥à¥-¢÷àïâ¨, ç¨ õ ¬®¦¨ H ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈G, ∗〉 (ïª æe ÷ ¯¥à¥¤¡ 祮⥮६®î), ®áª÷«ìª¨ 㬮¢ (6.12) ¬®¦¥ ¢¨ª®ã¢ â¨áì ÷ ¤«ï ¯÷¤¬®¦¨¨H ⊂ G, é® ¥ õ ¯÷¤£à㯮î. � ª, ã ª®¬ãâ ⨢÷© £àã¯÷ 〈G, ∗〉 㬮¢ (6.12)¢¨ª®ãõâìáï ¤«ï ¡ã¤ì-类ù ¯÷¤¬®¦¨¨ H ⊂ G.
6.12. �®ïââï ä ªâ®à-£à㯨6.12.1. �ã¬÷¦÷ ª« ᨠ§ ®à¬ «ì®î ¯÷¤£à㯮î
�¥å © H { ®à¬ «ì ¯÷¤£à㯠£à㯨 〈G, ∗〉. �«ï ¥«¥¬¥â a ∈ G¢¢¥¤¥¬® ¯®§ ç¥ï
a = a ∗H = H ∗ a.
�®¦¨ã a §¨¢ îâì áã¬÷¦¨¬ ª« ᮬ £à㯨 〈G, ∗〉 § ®à¬ «ì®î¯÷¤£à㯮î H, 直© ¯®à®¤¦¥¨© ¥«¥¬¥â®¬ a (ã æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ஧£«ï-¤ õ¬® ¢¨¯ ¤®ª ®à¬ «ì®ù ¯÷¤£à㯨 H, ®â¦¥, ¯à ¢÷ â «÷¢÷ áã¬÷¦÷ª« ᨠ§¡÷£ îâìáï).
�¥à¥§ G/H
¯®§ 稬® ¬®¦¨ã áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ £à㯨 〈G, ∗〉 § H:
G/H
= {a : a ∈ G}.
�ª 㦥 ¡ã«® § § 祮 (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.38), ¤¥ïª÷ áã¬÷¦÷ ª« ᨠ¬®-¦ãâì §¡÷£ â¨áï. � §¢¨ç ©, ã ¬®¦¨÷ G
/H
®¤ ª®¢÷ áã¬÷¦÷ ª« ᨠ¥à®§à÷§ïîâì, ⮡⮠¢¢ ¦ îâì ®¤¨¬ ¥«¥¬¥â®¬.
�¯à ¢ 6.18. �®¢¥áâ¨, é® ¤«ï ¤®¢÷«ì¨å a, b ∈ G ¬ õ ¬÷áæ¥ ¥ª¢÷¢ -«¥â÷áâì:
(a ∈ b) ⇔ (b ∈ a) ⇔ (a = b).
�«ï ¢¨¢ç¥ï ¢« á⨢®á⥩ ÷ ¯à ªâ¨ç®£® ®¡ç¨á«¥ï ¬®¦¨¨ G/H
§ ¤®¡¨âìáï â ª¨© ¯à®á⨩ १ã«ìâ â.
�¥¬ 6.9. �¥å © a, b ∈ G. �®¤÷ ¬ õ ¬÷áæ¥ ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì
(a = b) ⇔ (a ∗ b−1 ∈ H).
157
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�®¢¥¤¥ï. 1. �¥å © a = b. �®¤÷ a ∈ b (®áª÷«ìª¨ a ∈ a), ®â¦¥, a = h∗b¤«ï ¤¥ïª®£® h ∈ H. �⦥, ®âਬãõ¬® a ∗ b−1 = h ∈ H.
2. �¥å © a ∗ b−1 ∈ H. �®¤÷ a ∗ b−1 = h ∈ H, ®â¦¥, a = h ∗ b ∈ b.�⦥, áã¬÷¦÷ ª« ᨠa â b ¬÷áâïâì ¯à¨ ©¬÷ ®¤¨ á¯÷«ì¨© ¥«¥¬¥â a÷ § ⥮६®î 6.12 ¬ îâì §¡÷£ â¨áï, ⮡⮠a = b.
�¯à ¢ 6.19. �«ï ¤®¢÷«ì¨å a, b ∈ G ¤®¢¥á⨠¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì
(a = b) ⇔ (b−1 ∗ a ∈ H).
�áª÷«ìª¨ ¬®¦¨ G/H
§ ¤ õ ஧¡¨ââï ¬®¦¨¨ G ¢ ®¡'õ¤ ï ¬®-¦¨ (áã¬÷¦¨å ª« á÷¢), é® ¯®¯ à® ¥ ¯¥à¥à÷§ îâìáï, G ¬®¦ ¢¢¥á⨢÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷
(a ∼ b) ⇔ (a = b),
¯à¨ç®¬ã (¤¨¢. १ã«ìâ â ¢¯à ¢¨ 3.14) ¬®¦¨ G/H
§¡÷£ õâìáï § ä ªâ®à-¬®¦¨®î G § ¢÷¤®è¥ï¬ ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ «∼»:
G/H
= G/∼.
� ¢¤ïª¨ «¥¬÷ 6.9 (à §®¬ § १ã«ìâ ⮬ ¢¯à ¢¨ 6.19) ¬ õ¬® §àãçãä®à¬ã ¤«ï ¢¢¥¤¥®£® ¢÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷:
(a ∼ b) ⇔ (a = b) ⇔ (a ∗ b−1 ∈ H) ⇔ (b−1 ∗ a ∈ H).
�⦥, ¬®¦¨ã G/H
¬®¦ ®¡ç¨á«î¢ â¨ ïª ä ªâ®à-¬®¦¨ã G/∼,
§ áâ®á®¢ãîç¨ ¢÷¤¯®¢÷¤÷ ¬¥â®¤¨ (¤¨¢. ¯÷¤à®§¤. 3.6).
�ਪ« ¤ 6.44. �¡ç¨á«¨¬® ¬®¦¨ã GLn
/SLn
. �«ï ¤®¢÷«ì¨å ¬ â-à¨æì A,B ∈ GLn ¬ õ¬®
(A = B) ⇔ (A ∼ B) ⇔ ((A ·B−1) ∈ SLn) ⇔ (|A ·B−1| = 1) ⇔ (|A| = |B|).
�⦥, áã¬÷¦¨© ª« á, ¯®à®¤¦¥¨© ¬ âà¨æ¥î A ∈ GLn § ¢¨§ 稪®¬|A| = a, ¬÷áâ¨âì â÷ ÷ â÷«ìª¨ â÷ ¬ âà¨æ÷, ¢¨§ 稪 ïª¨å ¤®à÷¢îõ a:
A = {X ∈ GLn : |X| = |A|} = {X ∈ GLn : |X| = a}.
158
6.12. �®ïââï ä ªâ®à-£à㯨
�⦥, ª®¦¥ ª« á ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ (¢÷ ¦¥ áã¬÷¦¨© ª« á) ¬÷áâ¨âì¬ âà¨æ÷ § ä÷ªá®¢ ¨¬ § ç¥ï¬ ¢¨§ 稪 . �à 客ãîç¨, é® ¤«ï ¡ã¤ì-类£® a 6= 0 ÷áãõ ¯à¨ ©¬÷ ®¤ ¬ âà¨æï A ∈ GLn § ¢¨§ 稪®¬|A| = a, ¬®¦¥¬® ¢¨¯¨á ⨠§ £ «ì¨© ¢¨£«ï¤ áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ GLn § SLn:
Aa = {X ∈ GLn : |X| = a}, a 6= 0.
�¥¯¥à ¬®¦ ¢¨¯¨á ⨠¬®¦¨ã GLn
/SLn
:
GLn
/SLn
= {Aa : a 6= 0}.�¥ à § £®«®á¨¬®, é® ª®¦ ¬®¦¨ Aa (a > 0) õ áã¬÷¦¨¬ ª« -
ᮬ, © ÷è¨å áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ ¥¬ õ.�ਪ« ¤ 6.45. �¡ç¨á«¨¬® ¬®¦¨ã Sn
/An
(®¡¬¥¦¨¬®áì ¥âਢ÷ «ì-¨¬ ¢¨¯ ¤ª®¬ n ≥ 2). �«ï ¤®¢÷«ì¨å ¯÷¤áâ ®¢®ª c1,c2 ∈ Sn ¬ õ¬®
(c1 = c2) ⇔ (c1 ∼ c2) ⇔ ((c1 ◦ c−12 ) ∈ An) ⇔
⇔ (k(c1 ◦ c−12 ) = 0) ⇔ (k(c1) = k(c2)).
�⦥, áã¬÷¦¨© ª« á, ¯®à®¤¦¥¨© ¯÷¤áâ ®¢ª®î c ∈ Sn, ¬÷áâ¨âì â÷ ÷â÷«ìª¨ â÷ ¯÷¤áâ ®¢ª¨, ¯ à÷áâì ïª¨å §¡÷£ õâìáï § ¯ à÷áâî c:
c = {t ∈ Sn : k(t) = k(c)} =
{An, ïªé® c ¯ à ,
Sn \ An, ïªé® c ¥¯ à .
�à 客ãîç¨, é® ¯à¨ n ≥ 2 £à㯠Sn ¬÷áâ¨âì ¯à¨ ©¬÷ ®¤ã ¯ à-ã ÷ ¯à¨ ©¬÷ ®¤ã ¥¯ àã ¯÷¤áâ ®¢ªã, ®âਬãõ¬® ¤¢ áã¬÷¦÷ ª« -ᨠ{ ¬®¦¨ã ¯ à¨å ¯÷¤áâ ®¢®ª An â ¬®¦¨ã ¥¯ à¨å ¯÷¤áâ ®-¢®ª Sn \ An:
Sn
/An
= {An, Sn \ An}.�ª á«÷¤®ª, ¤®¢¥¤¥® ä ªâ, 直© ÷âãù⨢® ®ç¥¢¨¤¨©: ¯à¨ n ≥ 2
ª÷«ìª÷áâì ¯ à¨å ¯÷¤áâ ®¢®ª ã Sn ¤®à÷¢îõ ª÷«ìª®áâ÷ ¥¯ à¨å, ®áª÷«ìª¨§ «¥¬®î 6.8 card(An) = card(Sn \ An).
�ਪ« ¤ 6.46. �¡ç¨á«¨¬® ¬®¦¨ã Z/nZ (n ∈ N). �«ï ¤®¢÷«ì¨å
k1, k2 ∈ Z ¬ õ¬®
(k1 = k2) ⇔ (k1 ∼ k2) ⇔ ((k1 + (k2)−1,+) ∈ nZ) ⇔
⇔ ((k1 − k2) ∈ nZ) ⇔ ((k1 mod n) = (k2 mod n)).
159
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�⦥, ¢ ®¤®¬ã áã¬÷¦®¬ã ª« á÷ ¬÷áâïâìáï ç¨á« , é® ¤ îâì ®¤ ª®¢ã®áâ çã ¢÷¤ ¤÷«¥ï n. �¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, é® ¬ õ¬® n à÷§¨å áã¬÷¦¨åª« á÷¢:
Z/nZ = {0, 1, . . . , k, . . . , n− 1}, ¤¥ k = {km : m ∈ Z}.
�⦥, ¬®¦¨ áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ Z/nZ §¡÷£« áï § ¢÷¤®¬®î ¬ ä ªâ®à-
¬®¦¨®î Zn = Z/( mod n)
.
6.12.2. �¨§ ç¥ï ä ªâ®à-£à㯨�¥å © H { ®à¬ «ì ¯÷¤£à㯠£à㯨 〈G, ∗〉.� ¬®¦¨ã áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ G
/H
¯¥à¥¥á¥¬® ¡÷ àã ®¯¥à æ÷î «∗»,¢¨§ ç¥ã ¬®¦¨÷ G:
a ∗ b = a ∗ b, ¤«ï a, b ∈ G. (6.13)
�⦥, á¯÷¢¢÷¤®è¥ï (6.13) ¢¨§ ç õ a∗ b ¤«ï ¡ã¤ì-类ù ¯ ਠáã¬÷¦-¨å ª« á÷¢ a, b ∈ G
/H
, ®áª÷«ìª¨ ¤«ï ®¡ç¨á«¥ï a ∗ b ¤®áâ âì®:• ¢¨¡à ⨠¤®¢÷«ì¨å ¯à¥¤áâ ¢¨ª÷¢ a ∈ a â b ∈ b;• ®¡ç¨á«¨â¨ a ∗ b;• ¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ á¯÷¢¢÷¤®è¥ï (6.13), ®âਬ â¨: a ∗ b = a ∗ b.�¤ ª ¯®âà÷¡® ¤®¢¥á⨠ª®à¥ªâ÷áâì ¢¨§ 祮ù ®¯¥à æ÷ù, ⮡⮠¥§ -
«¥¦÷áâì १ã«ìâ âã a ∗ b ¢÷¤ ¢¨¡®à㠯।áâ ¢¨ª÷¢ a ∈ a, b ∈ b.
�¥¬ 6.10 (ª®à¥ªâ÷áâì ®¯¥à æ÷ù «∗» G/H
). �¥å © a1 = a,b1 = b, ¤¥ a, a1, b, b1 ∈ G. �®¤÷
a1 ∗ b1 = a ∗ b.
�®¢¥¤¥ï. � «¥¬®î 6.9 ¤«ï ¤®¢¥¤¥ï ¤®áâ âì® ¯¥à¥¢÷à¨â¨ ¢¨ª®- ï 㬮¢¨ (a1 ∗ b1) ∗ (a ∗ b)−1 ∈ H:
(a1 ∗ b1) ∗ (a ∗ b)−1 = a1 ∗ b1 ∗ b−1 ∗ a−1 = a1 ∗ h1 ∗ a−1, ¤¥ h1 = b1 ∗ b−1∈ H;
a1 ∗ h1 ∈ a1 ∗H = a1 = H ∗ a1 3 h2 ∗ a1 ¤«ï ¤¥ïª®£® h2 ∈ H;
(a1 ∗ b1) ∗ (a ∗ b)−1 = h2 ∗ a1 ∗ a−1 = h2 ∗ h3 ∈ H, ¤¥ h3 = a1 ∗ a−1 ∈ H.
�¥¬ã ¯®¢÷áâî ¤®¢¥¤¥®.
160
6.12. �®ïââï ä ªâ®à-£à㯨
�⦥, ®¯¥à æ÷ï «∗» ¬®¦¨÷ G/H
¢¨§ ç¥ ª®à¥ªâ®, ÷ ¬ õ¬®§ ¬ª¥ã «£¥¡à¨çã áâàãªâãàã
⟨G
/H
, ∗⟩.
�¥®à¥¬ 6.15. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà ⟨G
/H
, ∗⟩ õ £à㯮î.
�®¢¥¤¥ï. �«ï ¯¥à¥¢÷ન ⢥द¥ï ⥮६¨ ¥®¡å÷¤® ¤®¢¥á⨠á®æ÷ ⨢÷áâì áâàãªâãà¨
⟨G
/H
, ∗⟩, ï¢÷áâì ¥©âà «ì®£® ¥«¥¬¥â â ï¢÷áâì ®¡¥à¥®£® (a)−1 ¤«ï ª®¦®£® (a) ∈ G
/H
.�á®æ÷ ⨢÷áâì ®¯¥à æ÷ù «∗» ¬®¦¨÷ G
/H
¢¨¯«¨¢ õ § á®æ÷ ⨢®á-â÷ «∗» ¬®¦¨÷ G â ¢¨§ ç¥ï «∗» G
/H
(á¯÷¢¢÷¤®è¥ï (6.13)):
a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b ∗ c) =
= (a ∗ b) ∗ c = (a ∗ b) ∗ c = (a ∗ b) ∗ c.
�¥å © e ∈ G { ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â £à㯨 〈G, ∗〉. �®¤÷ ¥«¥¬¥â e = Hõ ¥©âà «ì¨¬ ã áâàãªâãà÷
⟨G
/H
, ∗⟩:
x ∗ e = x ∗ e = x ¤«ï ¤®¢÷«ì®£® x ∈ G.
�«ï ª®¦®£® (a) ∈ G/H
(a ∈ G) ã áâàãªâãà÷⟨G
/H
, ∗⟩ ÷áãõ ®¡¥à¥¨©(a)−1 = a−1:
a−1 ∗ a = a−1 ∗ a = e = H; a ∗ a−1 = a ∗ a−1 = e = H.
�àã¯ã⟨G
/H
, ∗⟩ §¨¢ îâì ä ªâ®à-£àã¯®î £à㯨 G § ®à¬ «ì®î¯÷¤£à㯮î H. � ¯à®æ¥á÷ ¤®¢¥¤¥ï ⥮६¨ 6.15 ¡ã«® ¯®ª § ®, é® ¥©-âà «ì¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ ä ªâ®à-£à㯨 õ ®à¬ «ì¨© ¤÷«ì¨ª H, § 直¬¯à®¢®¤ïâì ä ªâ®à¨§ æ÷î.
�«ï ¯à ªâ¨ç®£® § 室¦¥ï ä ªâ®à-£à㯨⟨G
/H
, ∗⟩ ¥®¡å÷¤®:
• § ©â¨ © ¢¨£«ï¤ ¬®¦¨¨ G/H
(ã ¡ £ âì®å ¢¨¯ ¤ª å ¤«ï æ쮣®§àãç® § áâ®á®¢ã¢ ⨠¬¥â®¤¨, ¢¨ª®à¨áâ ÷ 㠯ਪ«. 6.44 { 6.46);
• § ä÷ªá㢠¢è¨ ¡ã¤ì-ïª¨å ¯à¥¤áâ ¢¨ª÷¢ ã áã¬÷¦¨å ª« á å a â b,¢¨§ ç¨â¨ ¢¨£«ï¤ áã¬÷¦®£® ª« áã a ∗ b = a ∗ b (ãà 客ãîç¨ ¤®-¢÷«ì÷áâì ¢¨¡®à㠯।áâ ¢¨ª÷¢ a ∈ a, b ∈ b, ùå ¢¨¡¨à îâì â ª, 鮡¬ ªá¨¬ «ì® á¯à®áâ¨â¨ ®¡ç¨á«¥ï a ∗ b â a ∗ b);
161
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
• § ä÷ªá㢠¢è¨ ¡ã¤ì-类£® ¯à¥¤áâ ¢¨ª ¢ áã¬÷¦®¬ã ª« á÷ a, ¢¨-§ ç¨â¨ ¢¨£«ï¤ ®¡¥à¥®£® áã¬÷¦®£® ª« áã (a)−1 = a−1 ( £ ¤ õ-¬®, é® ¥©âà «ì¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ ä ªâ®à-£à㯨 õ ®à¬ «ì¨© ¤÷«ì-¨ª H, § 直¬ ¯à®¢®¤ïâì ä ªâ®à¨§ æ÷î).
�ਪ« ¤ 6.47. �¡ç¨á«¨¬® ä ªâ®à-£àã¯ã GLn
/SLn
. � ªâ®à-¬®¦¨-ã GLn
/SLn
¡ã«® § ©¤¥® ¢ ¯à¨ª«. 6.44:
GLn
/SLn
= {Aa : a 6= 0},¤¥ Aa = {X ∈ GLn : |X| = a}, a 6= 0.
� áã¬÷¦¨å ª« á å Aa1 â Aa2 (a1, a2 6= 0) ¢¨¡¥à¥¬® â ª¨å ¯à¥¤áâ ¢-¨ª÷¢:
a1 0 0 . . . 0 00 1 0 . . . 0 00 0 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 00 0 0 . . . 0 1
∈ Aa1 ,
a2 0 0 . . . 0 00 1 0 . . . 0 00 0 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 00 0 0 . . . 0 1
∈ Aa2 .
�«ï ¢¨¡à ¨å ¯à¥¤áâ ¢¨ª÷¢ ¥¢ ¦ª® ®¡ç¨á«¨â¨ Aa1 ∗ Aa2 :
a1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1
·
a2 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1
=
a1 · a2 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1
Aa1 ∗ Aa2 = {X ∈ GLn : |X| = a1 · a2} = Aa1·a2 .
�¥©âà «ì¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ ã ä ªâ®à-£àã¯÷ GLn
/SLn
, ïª ÷ ¢ § £ «ì®¬ã¢¨¯ ¤ªã, õ ®à¬ «ì¨© ¤÷«ì¨ª SLn. � § 稬®, é® ¢ æ쮬㠪®â¥ªáâ÷SLn §àãç® à®§£«ï¤ â¨ ïª áã¬÷¦¨© ª« á, ¯®à®¤¦¥¨© ®¤¨¨ç®î ¬ â-à¨æ¥î I { ¥©âà «ì¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ £à㯨 GLn.
� à¥èâ÷, ¤«ï áã¬÷¦®£® ª« áã Aa ®¡ç¨á«¨¬® ®¡¥à¥¨©. �¨¡à ¢è¨¯à¥¤áâ ¢¨ª
a 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1
∈ Aa,
162
6.12. �®ïââï ä ªâ®à-£à㯨
®âਬãõ¬®
(Aa)−1 =
a 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1
−1
=
a−1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1
= Aa−1 .
�⦥, ¤«ï ä ªâ®à-£à㯨 GLn
/SLn
¡÷ à ®¯¥à æ÷ï «·» â ®¡¥à¥¨©¥«¥¬¥â ¢¨§ ç îâì â ª÷ á¯÷¢¢÷¤®è¥ï:
Aa1 · Aa2 = Aa1·a2 ; (6.14)(Aa)
−1 = Aa−1 . (6.15)
� £ ¤ õ¬®, é® ¥©âà «ì¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ ã ä ªâ®à-£àã¯÷ GLn
/SLn
, ïª ÷¢ § £ «ì®¬ã ¢¨¯ ¤ªã, õ ®à¬ «ì¨© ¤÷«ì¨ª SLn.
�¯÷¢¢÷¤®è¥ï (6.14) ¢¨§ ç õ ÷§®¬®àä÷áâì ä ªâ®à-£à㯨 GLn
/SLnâ ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢®ù £à㯨 ¤÷©á¨å ç¨á¥« R∗ § ÷§®¬®àä÷§¬®¬
f : GLn
/SLn
→ R∗, f(Aa) = a.
� 㢠¦¥ï 6.20. ö§®¬®àä÷áâì GLn
/SLn
∼ R∗ â ª®¦ ¢¨¯«¨¢ õ §®á®¢®ù ⥮६¨ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £à㯠(¯÷¤à®§¤. 6.14).
� 㢠¦¥ï 6.21. �«ï ®âਬ ï á¯÷¢¢÷¤®è¥ì (6.14), (6.15) ã áã-¬÷¦¨å ª« á å ¡ã«® ®¡à ® ¯à¥¤áâ ¢¨ª÷¢ ᯥæ÷ «ì®£® ¢¨£«ï¤ã (¤÷ £®- «ì÷ ¬ âà¨æ÷). �à®â¥ æ÷ á¯÷¢¢÷¤®è¥ï ¬®¦ ¡ã«® ¡ ®âਬ â¨, ®¡¨à -îç¨ ¤®¢÷«ì¨å ¯à¥¤áâ ¢¨ª÷¢ ÷ ¤ «÷ ¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ ä®à¬ã«ã (6.6) ¤«ï¢¨§ 稪 ¤®¡ãâªã ¬ âà¨æì.
�ਪ« ¤ 6.48. �¡ç¨á«¨¬® ä ªâ®à-£àã¯ã Sn
/An
. �®¦¨ã Sn
/An
¡ã-«® § ©¤¥® ¢ ¯à¨ª«. 6.45:
Sn
/An
= {A0, A1},¤¥ A0 = An, A1 = Sn \ An.
�¨¡à ¢è¨ ¤®¢÷«ì¨å ¯à¥¤áâ ¢¨ª÷¢ c0 ∈ A0, c1 ∈ A1, ⮡⮠¢¨¡à ¢è¨¢ Sn ¤¥ïªã ¯ àã ¯÷¤áâ ®¢ªã c0 â ¥¯ àã c1 (æ¥ ¬®¦ §à®¡¨â¨ ¤«ï¡ã¤ì-类£® n ≥ 2), ®âਬãõ¬®:
c1 ◦ c1 ∈ A0, c0 ◦ c0 ∈ A0, c0 ◦ c1 ∈ A1, c1 ◦ c0 ∈ A1.
163
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�⦥, ¬®¦¥¬® ¯®¡ã¤ã¢ ⨠⠡«¨æî �¥«÷ ¤«ï ®¯¥à æ÷ù ã ä ªâ®à-£àã¯÷Sn
/An
(â ¡«. 6.6).�ï â ¡«¨æï ¢¨§ ç õ ÷§®¬®àä÷áâì ä ªâ®à-£à㯨 Sn
/An
â ¤¨â¨¢®ù£à㯨 Z2 § ÷§®¬®àä÷§¬®¬
f : Sn
/An→ Z2, f(A0) = 0, f(A1) = 1
(¤«ï ¤®¢¥¤¥ï ¤®áâ âì® ¯®à÷¢ï⨠⠡«. 6.6 â 6.3).� 㢠¦¥ï 6.22. ö§®¬®àä÷áâì Sn
/An∼ Z2 â ª®¦ ¬®¦ ¤®¢¥áâ¨, ª®-
à¨áâãîç¨áì ®á®¢®î ⥮६®î ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £à㯠(¯÷¤à®§¤. 6.14).
� ¡«¨æï 6.6. � ¡«¨æï �¥«÷ ¤«ï ä ªâ®à-£à㯨 Sn/An
◦ A0 A1
A0 A0 A1
A1 A1 A0
�ਪ« ¤ 6.49. �¡ç¨á«¨¬® ä ªâ®à-£àã¯ã Z/nZ (n ∈ N). �®¦¨ã
Z/nZ ¡ã«® § ©¤¥® ¢ ¯à¨ª«. 6.46:
Z/nZ = Zn = {0, 1, . . . , k, . . . , n− 1}, ¤¥ k = {km : m ∈ Z}.
�¯¥à æ÷ï ã ä ªâ®à-£àã¯÷ Z/nZ ¢¨§ ç õâìáï á¯÷¢¢÷¤®è¥ï¬ (6.13),
瘟 ¤«ï ¤ ®£® ¢¨¯ ¤ªã ¬ õ ¢¨£«ï¤
a + b = a + b.
�⦥, ä ªâ®à-£à㯠Z/nZ §¡÷£ õâìáï § ¤¨â¨¢®î £àã¯®î ª« á÷¢ «¨è-
ª÷¢ Zn (¯÷¤à®§¤. 6.4.2):Z
/nZ = Zn.
6.13. �®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯: ⥮६¨ ¯à® ï¤à®â ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã
�த®¢¦¨¬® ¢¨¢ç¥ï £®¬®¬®àä¨å ¢÷¤®¡à ¦¥ì £àã¯, ஧¯®ç ⥠¢¯÷¤à®§¤. 6.6.
164
6.13. �®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯: ⥮६¨ ¯à® ï¤à® â ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã
�⦥, ã æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¯à æî¢ â¨¬¥¬® § £à㯠¬¨ 〈G1, ∗〉 (¥©â-à «ì¨© ¥«¥¬¥â e1) â 〈G2, ~〉 (¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â e2), ¬÷¦ 直¬¨¢áâ ®¢«¥® £®¬®¬®àä÷§¬ f : G1 → G2.
�§ ç¥ï 6.18. �¤à®¬ £®¬®¬®àä÷§¬ã f : G1 → G2 §¨¢ îâì ¬®-¦¨ã Kerf ⊂ G1, é® ¬÷áâ¨âì â÷ ÷ â÷«ìª¨ â÷ x ∈ G1, ¤«ï 直å f(x) = e2:
Kerf = {x ∈ G1 : f(x) = e2}.� £ ¤ã¢ ï. �¡à §®¬ £®¬®¬®àä÷§¬ã (ïª ÷ ¡ã¤ì-类£® ÷讣® ¢÷-
¤®¡à ¦¥ï) f : G1 → G2 §¨¢ îâì ¬®¦¨ã Imf ⊂ G2, é® áª« ¤ õâìáï§ ¥«¥¬¥â÷¢ f(x) (x ∈ G1):
Imf = {f(x) : x ∈ G1}.� § 稬®, é® ï¤à® £®¬®¬®àä÷§¬ã § ¢¦¤¨ ¬÷áâ¨âì ¯à¨ ©¬÷ ®¤¨
¥«¥¬¥â { e1 (¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â £à㯨 G1), ®áª÷«ìª¨, § ⥮६®î 6.8,f(e1) = e2. �¤à® Kerf , é® ¬÷áâ¨âì «¨è¥ ®¤¨ ¥«¥¬¥â (Kerf = {e1}), §¨¢ îâì âਢ÷ «ì¨¬.
�ਪ« ¤ 6.50. 1. �®§£«ï¥¬® ¢÷¤®¡à ¦¥ïf : R→ R∗, f(a) = 2a.
�¥ ¢÷¤®¡à ¦¥ï õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ § £à㯨 〈R, +〉 (¥©âà «ì¨©e1 = 0) ¢ £àã¯ã 〈R∗, ·〉 (¥©âà «ì¨© e2 = 1). �¡ç¨á«¨¬® ©®£® ï¤à® â ®¡à §:
Kerf = {x ∈ R : 2x = 1} = {0};Imf = {2x : x ∈ R} = (0, +∞).
�⦥, ï¤à® Kerf âਢ÷ «ì¥.2. �®§£«ï¥¬® ¢÷¤®¡à ¦¥ï
f : R→ {z ∈ C : |z| = 1}, f(x) = eix
(âãâ e ≈ 2,718 ¯®§ ç õ ®á®¢ã âãà «ì®£® «®£ à¨ä¬ ). �¥ ¢÷¤®¡à -¦¥ï õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ § £à㯨 〈R, +〉 (¥©âà «ì¨© e1 = 0) ã £àã¯ã〈{z ∈ C : |z| = 1}, ·〉 (¥©âà «ì¨© e2 = 1). �¡ç¨á«¨¬® ©®£® ï¤à® â ®¡-à §:
Kerf = {x ∈ R : eix = 1} = {x = 2pk : k ∈ Z};Imf = {eix : x ∈ R} = {z ∈ C : |z| = 1}.
�⦥, ï¤à® Kerf ¥ õ âਢ÷ «ì¨¬.
165
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
� ï¤à®¬ â ®¡à §®¬ ¯®¢'ï§ ® ¡ £ â® æ÷ª ¢¨å ¢« á⨢®á⥩ £®¬®¬®à-ä÷§¬÷¢ £àã¯. �®§£«ï¥¬® ¤¥ïª÷ § ¨å.
�¥®à¥¬ 6.16. �®¬®¬®àä÷§¬ f : G1 → G2 õ ¬®®¬®àä÷§¬®¬ ⮤÷ ÷â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ï¤à® Kerf âਢ÷ «ì¥.
�®¢¥¤¥ï. 1. �¥å © f { ¬®®¬®àä÷§¬. �®¤÷ âਢ÷ «ì÷áâì ï¤à ¢÷¤-à §ã ¢¨¯«¨¢ õ § ¢¨§ ç¥ï ÷'õªâ¨¢®áâ÷:
(x ∈ Kerf ) ⇒ (f(x) = e2) ⇒ (x = e1),
®áª÷«ìª¨ f(e1) = e2.2. �¥å © Kerf { âਢ÷ «ì¥. � ä÷ªá㢠¢è¨ ¤®¢÷«ì÷ x1, x2 ∈ G1 ÷ ¯à¨-
¯ãá⨢è¨, é® f(x1) = f(x2), ®âਬãõ¬®
(f(x1) = f(x2)) ⇒ (f(x1) ~ (f(x2))−1 = e2) ⇒
⇒ (f(x1 ∗ x−12 ) = e2) ⇒ (x1 ∗ x−1
2 ∈ Kerf ).
�⦥, x1 ∗x−12 ∈ Kerf . �«¥ ï¤à® Kerf { âਢ÷ «ì¥, ⮡⮠Kerf = {e1},
§¢÷¤ª¨ ®âਬãõ¬®(x1 ∗ x−1
2 = e1) ⇒ (x1 = x2).
�⦥, ¤«ï x1, x2 ∈ G1 ¬ õ ¬÷áæ¥ «®£÷稩 á«÷¤®ª
(f(x1) = f(x2)) ⇒ (x1 = x2),
é® ¢¨§ ç õ ÷'õªâ¨¢÷áâì ¢÷¤®¡à ¦¥ï f .
�ਪ« ¤ 6.51. �®§£«ï¥¬® £®¬®¬®àä÷§¬¨ § ¯à¨ª«. 6.50.1. �÷¤®¡à ¦¥ï
f : R→ R∗, f(a) = 2a
õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ § £à㯨 〈R, +〉 ã £àã¯ã 〈R∗, ·〉. �¤à® æ쮣® £®¬®¬®àä÷§¬ãKerf = {0} âਢ÷ «ì¥, ÷ £®¬®¬®àä÷§¬ f õ ¬®®¬®àä÷§¬®¬.
2. �÷¤®¡à ¦¥ï
f : R→ {z ∈ C : |z| = 1}, f(x) = eix
õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ § £à㯨 〈R, +〉 ã £àã¯ã 〈{z ∈ C : |z| = 1}, ·〉. �®£® ï¤-à® Kerf = {x = 2pk : k ∈ Z} ¥ õ âਢ÷ «ì¨¬, ÷ £®¬®¬®àä÷§¬ f ¥ õ¬®®¬®àä÷§¬®¬.
166
6.13. �®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯: ⥮६¨ ¯à® ï¤à® â ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã
�¥®à¥¬ 6.17. �¥å © f : G1 → G2 { £®¬®¬®àä÷§¬ ¬÷¦ £à㯠¬¨〈G1, ∗〉 â 〈G2, ~〉. �®¤÷:
1) ï¤à® Kerf õ ®à¬ «ì¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬ ã G1;2) ®¡à § Imf õ ¯÷¤£à㯮î ã G2.
�®¢¥¤¥ï. 1. �®§£«ï¥¬® ï¤à® Kerf ⊂ G1. �¯®ç âªã ¤®¢¥¤¥¬®, é®Kerf õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈G1, ∗〉:
1) ¬®¦¨ Kerf ¥¯®à®¦ï, ®áª÷«ìª¨ Kerf 3 e1;2) ¤«ï ¤®¢÷«ì¨å x, y ∈ Kerf ®âਬãõ¬®
f(x ∗ y−1) = f(x) ~ f(y)−1 = e2 ~ e−12 = e2,
⮡⮠x ∗ y−1 ∈ Kerf .�⦥, ¢¨ª®ãîâìáï 㬮¢¨ ⥮६¨ 6.7 § ãà åã¢ ï¬ á«÷¤ªã, ⮡â®
Kerf õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈G1, ∗〉.�®¢¥¤¥¬®, é® Kerf õ ®à¬ «ì®î ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈G1, ∗〉. � ä÷ªáã-
¢ ¢è¨ ¤®¢÷«ì÷ x ∈ G1, a ∈ Kerf , ®âਬãõ¬®
f(x−1 ∗ a ∗ x) = (f(x))−1 ~ f(a) ~ f(x) = (f(x))−1 ~ e2 ~ f(x) = e2,
⮡⮠x−1∗a∗x ∈ Kerf . �⦥, ¤«ï ¯÷¤£à㯨 Kerf ⊂ G1 ¢¨ª®ãõâìáï 㬮¢ (6.12) ⥮६¨ 6.14, ⮡⮠Kerf õ ®à¬ «ì¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬ £à㯨 〈G1, ∗〉.
2. �®§£«ï¥¬® ®¡à § Imf ⊂ G2 ¢÷¤®¡à ¦¥ï f : G1 → G2. �¥à¥¢÷ਬ®¢¨ª® ï 㬮¢ ⥮६¨ 6.7 (ãà 客ãîç¨ ùù á«÷¤®ª):
1) ¬®¦¨ Imf ¥¯®à®¦ï, ®áª÷«ìª¨ Imf 3 e2 = f(e1);2) § ä÷ªáãõ¬® ¤®¢÷«ì÷ y1, y2 ∈ Imf . �à 客ãîç¨ ¢¨§ ç¥ï ®¡à §ã
¢÷¤®¡à ¦¥ï ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® y1 = f(x1), y2 = f(x2), ¤¥ x1, x2 ∈ G1.�¥à¥¢÷ਬ® ¢¨ª® ï 㬮¢¨ (6.9):
y1 ~ y−12 = f(x1) ~ (f(x2))
−1 = f(x1 ∗ x−12 ) ∈ Imf .
�⦥, ¢¨ª®ãîâìáï 㬮¢¨ ⥮६¨ 6.7 § ãà åã¢ ï¬ á«÷¤ªã, ⮡â®Imf õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈G2, ~〉.
�ਪ« ¤ 6.52. �®§£«ï¥¬® £à㯨 〈R, +〉 â 〈C∗, ·〉, ¤¥ C∗ = C \ {0}.�÷¤®¡à ¦¥ï
f : R→ C∗, f(x) = eix
167
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
¢áâ ®¢«îõ £®¬®¬®àä÷§¬ ¬÷¦ ¤ ¨¬¨ £à㯠¬¨. �¨¯¨è¥¬® ï¤à® â ®¡à §¢÷¤®¡à ¦¥ï f :
Kerf = {x ∈ R : eix = 1} = {x = 2pk : k ∈ Z};Imf = {eix : x ∈ R} = {z ∈ C : |z| = 1}.
�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ï¤à® Kerf = {x = 2pk : k ∈ Z} ¤÷©á® õ ®à-¬ «ì®î ¯÷¤£àã¯®î ¢ 〈R, +〉, ®¡à § Imf = {z ∈ C : |z| = 1} õ ¯÷¤£à㯮î£à㯨 〈C∗, ·〉.
�ਪ« ¤ 6.53. �®§£«ï¥¬® £®¬®¬®àä÷§¬ ¬÷¦ ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢¨¬¨£à㯠¬¨ GLn â R∗:
f : GLn → R∗, f(A) = |A|.
�¡ç¨á«¨¬® ï¤à® â ®¡à § ¢÷¤®¡à ¦¥ï f :
Kerf = {A ∈ GLn : |A| = 1} = SLn;
Imf = {|A| : A ∈ GLn} = R∗.
�⦥, ï¤à® Kerf = SLn ¤÷©á® õ ®à¬ «ì®î ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 GLn,®¡à § Imf õ âਢ÷ «ì®î ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 R∗.
� ¯à¨ª«. 6.52 â 6.53 ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã f : G1 → G2 ¢¨ï¢¨¢áï ®à-¬ «ì®î ¯÷¤£àã¯®î ¢ 〈G2, ~〉. �à®â¥ ¢ § £ «ì®¬ã ¢¨¯ ¤ªã ®¡à § Imf
{ ¯÷¤£à㯠〈G2,~〉 ÷, ïª ¯®ª §ãõ áâ㯨© ¯à¨ª« ¤, ¬®¦¥ ¥ ¡ã⨠®à-¬ «ì¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬.
�ਪ« ¤ 6.54. �®§£«ï¥¬® ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢㠣àã¯ã G ¥¢¨à®¤¦¥-¨å ¨¦÷å âਪãâ¨å ¬ âà¨æì ஧¬÷஬ 2× 2:
G =
{(a1 0b a2
): a1a2 6= 0
}.
�®§£«ï¥¬® ¢÷¤®¡à ¦¥ï
f : G → G, f :
(a1 0b a2
)7→
(a1 00 a2
).
168
6.13. �®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯: ⥮६¨ ¯à® ï¤à® â ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã
�÷¤®¡à ¦¥ï f õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ ÷§ £à㯨 〈G, ·〉 ã âã á ¬ã £àã-¯ã 〈G, ·〉:
(a1 0b a2
)·(
c1 0d c2
)=
(a1c1 0
bc1 + da2 a2c2
);
f :
(a1c1 0
bc1 + da2 a2c2
)7→
(a1c1 00 a2c2
)=
(a1 00 a2
)·(
c1 00 c2
).
�¡à §®¬ ãáâ ®¢«¥®£® £®¬®¬®àä÷§¬ã, ®ç¥¢¨¤®, õ ¬®¦¨ ¥¢¨à®¤-¦¥¨å ¤÷ £® «ì¨å ¬ âà¨æì ஧¬÷஬ 2× 2:
Imf =
{(a1 00 a2
): a1a2 6= 0
}.
�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, ª®à¨áâãîç¨áì ⥮६®î 6.14, é® Imf ¥ õ ®à¬ «ì-¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬ (å®ç ÷ õ ¯÷¤£à㯮î) ¢ 〈G, ·〉:
(1 01 1
)∈ G,
(1 00 2
)∈ Imf ,
(1 01 1
)−1
·(
1 00 2
)·(
1 01 1
)=
(1 01 2
)/∈ Imf .
�¯à ¢ 6.20. �®à¨áâãîç¨áì ⥮६®î 6.14, ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ï¤à®
Kerf =
{(1 0b 1
): b ∈ R
}
¤÷©á® õ ®à¬ «ì¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬ ¢ 〈G, ·〉, «¥ ¥ õ ®à¬ «ì¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬(å®ç ÷ õ ¯÷¤£à㯮î) ¢ GL2.
� áâ㯨© ¯à¨ª« ¤ ¤ã¦¥ ¢ ¦«¨¢¨©, ®áª÷«ìª¨, ã ¯¥¢®¬ã ஧ã¬÷÷,¤ õ ¯®¢¨© ®¯¨á ãá÷å ®à¬ «ì¨å ¤÷«ì¨ª÷¢ ¤ ®ù £à㯨.
�ਪ« ¤ 6.55. �¥å © 〈G, ∗〉 { ¤®¢÷«ì £à㯠§ ¥©âà «ì¨¬ ¥«¥¬¥-⮬ e ∈ G, H C G. �®§£«ï¥¬® ¢÷¤®¡à ¦¥ï
r : G → G/H
, r(a) = a.
169
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® r õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ § £à㯨 〈G, ∗〉 ã ä ªâ®à-£àã¯ã G
/H
. �÷©á®, § ¢¨§ ç¥ï¬ ®¯¥à æ÷ù ä ªâ®à-£àã¯÷ (á¯÷¢¢÷¤®-è¥ï (6.13)), ®âਬãõ¬®
r(x ∗ y) = x ∗ y = x ∗ y = r(x) ∗ r(y).
�¨§ 票© £®¬®¬®àä÷§¬ r §¨¢ îâì ¯à¨à®¤¨¬, ¡® ª ®÷稬.�¡ç¨á«¨¬® ï¤à® â ®¡à § ¯à¨à®¤®£® £®¬®¬®àä÷§¬ã r:
Kerr = {x ∈ G : r(x) = e = H} = {x ∈ G : x = e} = {x ∈ G : x ∈ H} = H;
Imr = {r(x) : x ∈ G} = {x : x ∈ G} = G/H
.
�⦥, ï¤à® Kerr §¡÷£ õâìáï § ®à¬ «ì¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬ H. � ª¨¬ 種¬,¡ã¤ì-直© ®à¬ «ì¨© ¤÷«ì¨ª H £à㯨 〈G, ∗〉 õ ï¤à®¬ ¤¥ïª®£® £®¬®¬®à-ä÷§¬ã (¯à¨ ©¬÷, § ï¤à®¬ ¢÷¤¯®¢÷¤®£® ¯à¨à®¤®£® £®¬®¬®àä÷§¬ã r),¢¨§ 祮£® 〈G, ∗〉.
� § 稬®, é® ®¡à § Imr ¢÷¤®¡à ¦¥ï r : G → G/H
§¡÷£ õâìáï §ä ªâ®à-£à㯮î G
/H
, ⮡⮠¯à¨à®¤¨© £®¬®¬®àä÷§¬ õ ¥¯÷¬®àä÷§¬®¬.
6.14. �¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ஧£«ï¥¬® ¢ ¦«¨¢ã ⥮६ã, ïª ¢áâ ®¢«îõ
§¢'燐ª ¬÷¦ £®¬®¬®àä÷§¬ ¬¨ £àã¯, ®à¬ «ì¨¬¨ ¤÷«ì¨ª ¬¨ ÷ ä ªâ®à-£à㯠¬¨.
�¥å © f : G1 → G2 { £®¬®¬®àä÷§¬ ¬÷¦ £à㯠¬¨ 〈G1, ∗〉 (¥©âà «ì¨©¥«¥¬¥â e1) â 〈G2, ~〉 (¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â e2). � £ ¤ õ¬®:
• ï¤à® Kerf £®¬®¬®àä÷§¬ã f õ ®à¬ «ì¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬ ã £àã¯÷ 〈G1, ∗〉, ®â¦¥, ¬®¦ ஧£«ï¤ â¨ ä ªâ®à-£àã¯ã G1
/Kerf
;• ®¡à § Imf £®¬®¬®àä÷§¬ã f õ ¯÷¤£àã¯®î £à㯨 〈G2, ~〉, ®â¦¥, ¬®¦-
஧£«ï¤ ⨠Imf ïª £àã¯ã 〈Imf ,~〉.
�¥®à¥¬ 6.18 (®á®¢ ⥮६ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯).1. � ªâ®à-£à㯠G1
/Kerf
§ ï¤à®¬ Kerf ÷§®¬®àä ®¡à §ã Imf :
G1
/Kerf
∼ Imf ;
170
6.14. �¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯
2. öáãõ â ª¨© ÷§®¬®àä÷§¬ f : G1
/Kerf
→ Imf , é®
f ◦ r = f, (6.16)
¤¥ r : G1 → G1
/Kerf
{ ¯à¨à®¤¨© £®¬®¬®àä÷§¬ (∀x ∈ G1 : r(x) = x).
�®¢¥¤¥ï. � ¤ ¬® ¢÷¤®¡à ¦¥ï f : G1
/Kerf
→ Imf â ª¨¬ á¯÷¢¢÷¤®-è¥ï¬:
f(x) = f(x), x ∈ G1. (6.17)�®¢¥¤¥¬®, é® ¢÷¤®¡à ¦¥ï f : G1
/Kerf
→ Imf ¢¨§ 祮 ª®à¥ªâ® ÷¢áâ ®¢«îõ è㪠¨© ÷§®¬®àä÷§¬ ¬÷¦ £à㯠¬¨ G1
/Kerf
â Imf .1. �¨§ ç¥ï ¢÷¤®¡à ¦¥ï f : G1
/Kerf
→ Imf ç¥à¥§ á¯÷¢¢÷¤®è¥ï(6.17) ¯®âॡãõ ®¡óàãâã¢ ï ª®à¥ªâ®áâ÷, ⮡⮠¥§ «¥¦®áâ÷ § ç¥ïf(x) = f(x) ¢÷¤ ¢¨¡®à㠯।áâ ¢¨ª x ∈ x.
�¥å © x1 = x2 (x1, x2 ∈ G1), ⮡⮠¥«¥¬¥â¨ x1 â x2 «¥¦ âì ®¤-®¬ã áã¬÷¦®¬ã ª« áã. �à 客ãîç¨, é® ®à¬ «ì¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬ õ Kerf ,®âਬãõ¬®
f(x1) ~ (f(x2))−1 = f(x1 ∗ x−1
2 ) = e2,
®áª÷«ìª¨, § «¥¬®î 6.9, x1 ∗ x−12 ∈ Kerf .
�⦥, f(x1) ~ (f(x2))−1 = e2, §¢÷¤ª¨ ®¤à §ã ¢¨¯«¨¢ õ à÷¢÷áâì
f(x1) = f(x2).� ª¨¬ 種¬,
f(x1) = f(x2) ¯à¨ x1 = x2, x1, x2 ∈ G1,
⮡⮠¢÷¤®¡à ¦¥ï f : G1
/Kerf
→ Imf ª®à¥ªâ® ¢¨§ ç õâìáï á¯÷¢¢÷¤®-è¥ï¬ (6.17).
2. �®¢¥¤¥¬®, é® ¢÷¤®¡à ¦¥ï f : G1
/Kerf
→ Imf õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬¬÷¦ £à㯠¬¨ G1
/Kerf
â Imf ( £ ¤ õ¬®, é® Imf ஧£«ï¤ õâìáï ïª ¯÷¤-£à㯠£à㯨 〈G2,~〉, â®¡â® ïª £à㯠〈Imf , ~〉).
�«ï ¤®¢÷«ì¨å x1, x2 ∈ G1
/Kerf
(x1, x2 ∈ G1) ®âਬãõ¬®
f(x1 ∗ x2) = f(x1 ∗ x2) = f(x1 ∗ x2) = f(x1) ~ f(x2) = f(x1) ~ f(x2).
�⦥,f(x1 ∗ x2) = f(x1) ~ f(x2),
171
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
⮡⮠¢÷¤®¡à ¦¥ï f : G1
/Kerf
→ Imf õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬ ¬÷¦ £à㯠¬¨G1
/Kerf
â Imf .3. �®¢¥¤¥¬®, é® £®¬®¬®àä÷§¬ f : G1
/Kerf
→ Imf õ ¬®®¬®àä÷§¬®¬.�¥å © x ∈ Kerf, ⮡⮠x ∈ G1, f(x) = f(x) = e2.�à 客ãîç¨, é® ä ªâ®à¨§ãõ¬® G1 § ï¤à®¬ Kerf ÷ ¥©âà «ì¨¬ ¥«¥-
¬¥â®¬ ã ä ªâ®à-£àã¯÷ G1
/Kerf
õ ®à¬ «ì¨© ¤÷«ì¨ª Kerf = e1, ®âਬã-õ¬®
(f(x) = e2) ⇒ (x ∈ Kerf ) ⇒ (x = e1 = Kerf ).
�⦥, õ¤¨¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ x, é® «¥¦¨âì ï¤àã Kerf, õ áã¬÷¦¨© ª« áKerf = e1 { ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â ä ªâ®à-£à㯨 G1
/Kerf
:
Kerf ={
e1
}= { Kerf︸︷︷︸
e1
}.
�¥ ®§ ç õ âਢ÷ «ì÷áâì ï¤à £®¬®¬®àä÷§¬ã f, ®â¦¥, § ⥮à¥-¬®î 6.16, £®¬®¬®àä÷§¬ f õ ¬®®¬®àä÷§¬®¬.
4. �®¢¥¤¥¬®, é® £®¬®¬®àä÷§¬ f : G1
/Kerf
→ Imf õ ¥¯÷¬®àä÷§¬®¬.� ä÷ªáãõ¬® ¤®¢÷«ì¨© ¥«¥¬¥â y ∈ Imf . �à 客ãîç¨ ¢¨§ ç¥ï ®¡-
à §ã ¢÷¤®¡à ¦¥ï ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® y = f(x), ¤¥ x ∈ G1. � ¢¨§ ç¥ï¬¢÷¤®¡à ¦¥ï f (á¯÷¢¢÷¤®è¥ï (6.17)) ®âਬãõ¬®
y = f(x) = f(x), x ∈ G1
/Kerf
,
⮡⮠y ∈ Imf. �⦥, ¤®¢¥¤¥® áîà'õªâ¨¢÷áâì f : G1
/Kerf
→ Imf , ⮡⮣®¬®¬®àä÷§¬ f õ ¥¯÷¬®àä÷§¬®¬.
5. �®¢¥¤¥¬® á¯÷¢¢÷¤®è¥ï (6.16).�«ï ¤®¢÷«ì®£® x ∈ G1, § á¯÷¢¢÷¤®è¥ï¬ (6.17), ¬ õ¬®
f(x) = f(x) = f(r(x)) = (f ◦ r)(x),
é® ¤®¢®¤¨âì à÷¢÷áâì (6.16).�⦥, ¢÷¤®¡à ¦¥ï f : G1
/Kerf
→ Imf , ¢¨§ 祥 á¯÷¢¢÷¤®è¥-ï¬ (6.17), õ ¬®®- â ¥¯÷¬®àä÷§¬®¬ ( ®â¦¥, © ÷§®¬®àä÷§¬®¬), 直© § -¤®¢®«ìïõ 㬮¢ã (6.16).
�¢¥à¤¦¥ï ⥮६¨ ¯®¢÷áâî ¤®¢¥¤¥®.
172
6.14. �¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯
�ਪ« ¤ 6.56. 1. �®§£«ï¥¬® ä ªâ®à-£àã¯ã GLn
/SLn
. �¥£ª® ¯¥à¥ª®- â¨áï, é® ®à¬ «ì¨© ¤÷«ì¨ª
SLn = {A ∈ GLn : |A| = 1}
õ ï¤à®¬ £®¬®¬®àä÷§¬ã f(A) = |A|, 直© ¤÷õ § GLn ¤® ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢®ù£à㯨 ¤÷©á¨å ç¨á¥«:
f : GLn → R∗, f(A) = |A|, Kerf = {A ∈ GLn : |A| = 1} = SLn.
�¡ç¨á«¨¬® ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã f . �à 客ãîç¨, é® ¤«ï ¡ã¤ì-类£®a 6= 0 ÷áãõ ¯à¨ ©¬÷ ®¤ ¬ âà¨æï A ∈ GLn § ¢¨§ 稪®¬ |A| = a,®âਬãõ¬®
Imf = {|A| : A ∈ GLn} = R∗.
�⦥, § ⥮६®î 6.18 ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯, ®âਬãõ¬® ÷§®¬®àä-÷áâì
GLn
/SLn
∼ R∗.� ª¨¬ 種¬, ¯÷¤â¢¥à¤¦¥® १ã«ìâ â, ®âਬ ¨© ᪫ ¤÷訬¨ ®¡-
ç¨á«¥ï¬¨ ¢ ¯à¨ª«. 6.44.2. �®§£«ï¥¬® ä ªâ®à-£àã¯ã Sn
/An
, ®¡¬¥¦¨¢è¨áì ¥âਢ÷ «ì¨¬ ¢¨-¯ ¤ª®¬ n ≥ 2. �¥£ª® ¯¥à¥ª® â¨áï, é® ®à¬ «ì¨© ¤÷«ì¨ª
An = {c ∈ Sn : k(c) = 0}
õ ï¤à®¬ £®¬®¬®àä÷§¬ã k(c), é® ¤÷õ § Sn ã £àã¯ã 〈{0, 1},⊕〉:
k : Sn → {0, 1}, k(c) =
{0, ïªé® c ¯ à ,
1, ïªé® c ¥¯ à ,Kerk = An.
�¡ç¨á«¨¬® ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã k:
Imk = {k(c) : c ∈ Sn} = {0, 1}.
(¯à¨ n ≥ 2 ¬®¦¨ Sn ¬÷áâ¨âì ¯à¨ ©¬÷ ®¤ã ¯ àã ⠯ਠ©¬÷ ®¤ã¥¯ àã ¯÷¤áâ ®¢ªã). �⦥, § ⥮६®î 6.18 ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯,®âਬãõ¬® ÷§®¬®àä÷áâì
Sn
/An∼ 〈{0, 1},⊕〉 .
173
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�à 客ãîç¨ ®ç¥¢¨¤ã ÷§®¬®àä÷áâì
〈{0, 1},⊕〉 ∼ Z2, 0 7→ 0, 1 7→ 1,
¤÷áâ ¥¬®Sn
/An∼ 〈{0, 1},⊕〉 ∼ Z2.
�⦥, ¯÷¤â¢¥à¤¦¥® १ã«ìâ â, ®âਬ ¨© ᪫ ¤÷訬¨ ®¡ç¨á«¥ï-¬¨ ¢ ¯à¨ª«. 6.45.
3. �®§£«ï¥¬® ä ªâ®à-£àã¯ã ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢®ù £à㯨 C∗ = C \ {0}§ ®à¬ «ì®î ¯÷¤£à㯮î {z ∈ C∗ : |z| = 1}. �¥£ª® ¯¥à¥ª® â¨áï, 鮮ଠ«ì¨© ¤÷«ì¨ª õ ï¤à®¬ £®¬®¬®àä÷§¬ã f(z) = |z|, 直© ¤÷õ § C∗ ¢¬ã«ì⨯«÷ª ⨢㠣àã¯ã ¤÷©á¨å ç¨á¥«:
f : C∗ → R∗, f(z) = |z|, Kerf = {z ∈ C∗ : |z| = 1}.
�¡ç¨á«¨¬® ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã f :
Imf = {|z| : z ∈ C∗} = (0, +∞).
�⦥, § ⥮६®î 6.18 ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯, ®¤¥à¦¨¬® ÷§®¬®àä-÷áâì
C∗/{z∈C∗:|z|=1} ∼ 〈(0, +∞), ·〉 .
4. �®§£«ï¥¬® ä ªâ®à-£àã¯ã ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢®ù £à㯨 C∗ § ®à¬ «ì-®î ¯÷¤£à㯮î (0, +∞). �¥£ª® ¯¥à¥ª® â¨áï, é® ®à¬ «ì¨© ¤÷«ì¨ª õï¤à®¬ £®¬®¬®àä÷§¬ã f(z) = z
|z| , 直© ¤÷õ § C∗ ¢ ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢㠣àã¯ã{z ∈ C∗ : |z| = 1}:
f : C∗ → {z ∈ C∗ : |z| = 1}, f(z) =z
|z| , Kerf = (0, +∞).
�¡ç¨á«¨¬® ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã f :
Imf =
{z
|z| : z ∈ C∗} = {z ∈ C∗ : |z| = 1
}.
�⦥, § ⥮६®î 6.18 ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯, ®âਬãõ¬® ÷§®¬®àä÷áâì
C∗/(0,+∞)
∼ 〈{z ∈ C∗ : |z| = 1}, ·〉 .
174
6.14. �¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯
�¥®à¥¬ 6.18 ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £à㯠㠡 £ âì®å ¯à ªâ¨ç¨å ¢¨¯ ¤-ª å (¤¨¢. ¯à¨ª«. 6.56) ¤®§¢®«ïõ, ¥ ®¡ç¨á«îîç¨ ä ªâ®à-£àã¯ã 〈G1, ∗〉
/H
, ¢áâ ®¢¨â¨ ÷§®¬®àä÷§¬ ¬÷¦ 〈G1, ∗〉/H
â ¤¥ïª®î ¤®¡à¥ ¢¨¢ç¥®î£à㯮î 〈G2,~〉.
�à®â¥, ïªé® ¯®âà÷¡® ®âਬ ⨠© ¢¨£«ï¤ ä ªâ®à-£à㯨 〈G1, ∗〉/H
(⮡⮠© ¢¨£«ï¤ áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ â ®¯¥à æ÷ù «∗» ã £àã¯÷ G1
/H
), ¬®¦- â ª®¦ ᪮à¨áâ â¨áï ⥮६®î 6.18.
�ਪ« ¤ 6.57. �¨ª®à¨á⮢ãîç¨ á¯÷¢¢÷¤®è¥ï (6.16), ¢¨¯¨è¥¬®ï¢¨© ¢¨£«ï¤ ÷§®¬®àä÷§¬ã f : GLn
/SLn
→ R∗:
f(A) = f(r(A)) = |A|, A ∈ GLn.
� «÷, ãà 客ãîç¨ ¡÷õªâ¨¢÷áâì f : GLn
/SLn
→ R∗, ¤÷áâ ¥¬® ©¢¨£«ï¤ ¥«¥¬¥â÷¢ ä ªâ®à-£à㯨 GLn
/SLn
, ⮡⮠© ¢¨£«ï¤ áã¬÷¦¨åª« á÷¢ A (A ∈ GLn):
A = {X ∈ GLn : X ∈ A} = {X ∈ GLn : X = A} =
= {X ∈ GLn : f(X) = f(A)} = {X ∈ GLn : |X| = |A|}.�à 客ãîç¨, é® ¤«ï ¡ã¤ì-类£® a 6= 0 ÷áãõ ¯à¨ ©¬÷ ®¤ ¬ âà¨æï
A ∈ GLn § ¢¨§ 稪®¬ |A| = a, ¬®¦¥¬® ¢¨¯¨á ⨠§ £ «ì¨© ¢¨£«ï¤áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ GLn § SLn:
Aa = {X ∈ GLn : |X| = a}, a 6= 0.
�⦥, ¯÷¤â¢¥à¤¦¥® १ã«ìâ â, ®âਬ ¨© ¤¥é® ᪫ ¤÷訬¨ ®¡ç¨á-«¥ï¬¨ ¢ ¯à¨ª«. 6.44:
GLn
/SLn
= {Aa : a 6= 0}.�÷ àã ®¯¥à æ÷î â ¯à ¢¨«® ®¡ç¨á«¥ï ®¡¥à¥®£® ã ä ªâ®à-£àã¯÷
GLn
/SLn
«¥£ª® ¢áâ ®¢¨â¨ ç¥à¥§ ÷§®¬®àä÷§¬ f:
f(Aa1 · Aa2) = f(Aa1) · f(Aa2) = a1 · a2 = f(Aa1·a2)
⇓Aa1 · Aa2 = Aa1a2 ;(
f((Aa)
−1)
= (f(Aa))−1 = a−1 = f (Aa−1)
)⇒
((Aa)
−1 = Aa−1
).
175
�®§¤÷« 6. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù £àã¯
�âਬ ¨© १ã«ìâ â §¡÷£ õâìáï § १ã«ìâ ⮬ ¯à¨ª«. 6.47.�⦥, § ¢¤ïª¨ ¢¨ª®à¨áâ î ⥮६¨ 6.18, ¯®¢÷áâî ¯÷¤â¢¥à¤¦¥®
१ã«ìâ ⨠áâ®á®¢® ä ªâ®à-£à㯨 GLn
/SLn
, ®âਬ ÷ ¢ ¯à¨ª«. 6.44 â 6.47.
�ª ¯®ª §ãõ ¢¥¤¥¨© ¯à¨ª« ¤, ã ¤¥ïª¨å ¯à ªâ¨ç¨å ¢¨¯ ¤ª å ¢¨-ª®à¨áâ ï ⥮६¨ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £à㯠á¯à®éãõ  ®¡ç¨á«¥ïä ªâ®à-£à㯨, ®áª÷«ìª¨ ¤®§¢®«ïõ 㨪ã⨠¡¥§¯®á¥à¥¤ì®£® ®¡ç¨á«¥ïáã¬÷¦¨å ª« á÷¢.
�¥ïª÷ ÷è÷ ¢ ¦«¨¢÷ ⥮६¨ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £àã¯, ïª÷ á¯à®éãîâ쮡ç¨á«¥ï ä ªâ®à-£àã¯, ¬®¦ § ©â¨, ¯à¨ª« ¤, ã ஡®â÷ [10].
176
�®§¤÷« 7
�«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
7.1. �¨§ ç¥ï ⠯ਪ« ¤¨ ª÷«¥æì�÷«ìæ¥ { ®á®¢¨© ®¡'õªâ ஧£«ï¤ã ¢ æ쮬ã ஧¤÷«÷ { ¯à¨ª« ¤ «£¥¡-
à¨ç®ù áâàãªâãਠ§ ¤¢®¬ ¡÷ ਬ¨ ®¯¥à æ÷ﬨ.�§ ç¥ï 7.1. �÷«ì楬 §¨¢ îâì «£¥¡à¨çã áâàãªâãàã 〈R, +, ·〉
÷§ § ¬ª¥¨¬¨ ¡÷ ਬ¨ ®¯¥à æ÷ﬨ «+» (¤®¤ ¢ ï) â «·» (¬®¦¥ï),¢¨§ 票¬¨ ¬®¦¨÷ R 6= ∅, ïª÷ § ¤®¢®«ìïîâì 㬮¢¨:
1) ∀ a, b, c ∈ R : (a + b) + c = a + (b + c) ( á®æ÷ ⨢÷áâì ¤®¤ ¢ ï);2) ∀ a, b ∈ R : a + b = b + a (ª®¬ãâ ⨢÷áâì ¤®¤ ¢ ï);3) ∃ 0 ∈ R ∀ a ∈ R : a+0 = a (÷áã¢ ï ¥©âà «ì®£® § ¤®¤ ¢ ï¬);4) ∀ a ∈ R ∃−a ∈ R : a + (−a) = 0 (÷áã¢ ï ®¡¥à¥¨å §
¤®¤ ¢ ï¬);5) ∀ a, b, c ∈ R : (a · b) · c = a · (b · c) ( á®æ÷ ⨢÷áâì ¬®¦¥ï);6) ∀ a, b, c ∈ R : (a + b) · c = (a · c) + (b · c), c · (a + b) = (c · a) + (c · b)
(¤¨áâਡã⨢÷áâì ¬®¦¥ï ¢÷¤®á® ¤®¤ ¢ ï).�«¥¬¥â 0 ∈ R (¥©âà «ì¨© § ¤®¤ ¢ ï¬) §¨¢ îâì ã«¥¬
ª÷«ìæï. � § 稬®, é® õ¤¨÷áâì ã«ï ª÷«ìæï ïª ¥©âà «ì®£® § ¤®¤ -¢ ï¬ ¢¨¯«¨¢ õ § ⥮६¨ 6.1.
�«¥¬¥â −a, ®¡¥à¥¨© § ¤®¤ ¢ ï¬ ¤® a ∈ R, §¨¢ îâì ¯à®â¨-«¥¦¨¬ a ¢ ª÷«ìæ÷ R. �祢¨¤®, é® õ¤¨÷áâì ¯à®â¨«¥¦®£® ¥«¥¬¥â ¤«ï ä÷ªá®¢ ®£® a ∈ R õ ¯à®á⨬ á«÷¤ª®¬ § ⥮६¨ 6.2.
�¬®¢¨ 1{4 ®§ ç¥ï 7.1 ¢¨§ ç îâì, é® ª÷«ìæ¥ õ ¡¥«¥¢®î £àã¯®î§ ¤®¤ ¢ ï¬; 㬮¢ 5 ¢¨§ ç õ, é® ª÷«ìæ¥ õ ¯÷¢£à㯮î (¬®¦«¨¢®, ¥ª®-¬ãâ ⨢®î) § ¬®¦¥ï¬; 㬮¢ 6 ¢¨§ ç õ §¢'燐ª ¬÷¦ ¤®¤ ¢ ï¬
177
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
÷ ¬®¦¥ï¬. �⦥, 㬮¢¨ ®§ ç¥ï 7.1 ¤«ï ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉 ¬®¦ ¯®-¤ ⨠㠢¨£«ï¤÷:
• 1{4 { «£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈R, +〉 õ ¡¥«¥¢®î £à㯮î;
• 5 { «£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈R, ·〉 õ ¯÷¢£à㯮î;
• 6 { ®¯¥à æ÷ï «·» ¤¨áâਡã⨢ c¯à ¢ ÷ §«÷¢ ¢÷¤®á® «+».
�ਪ« ¤ 7.1. � ª÷ «£¥¡à¨ç÷ áâàãªâãਠõ ª÷«ìæﬨ:1. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈R, +, ·〉 { ª÷«ìæ¥ ¤÷©á¨å ç¨á¥« § ¯à¨à®¤-
¨¬¨ ®¯¥à æ÷ﬨ ¤®¤ ¢ ï â ¬®¦¥ï.2. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈Z, +, ·〉 { ª÷«ìæ¥ æ÷«¨å ç¨á¥« § ¯à¨à®¤¨¬¨
®¯¥à æ÷ﬨ ¤®¤ ¢ ï â ¬®¦¥ï.3. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈Mn×n, +, ·〉 { ª÷«ìæ¥ ¬ âà¨æì n× n § ¯à¨-
த¨¬¨ ®¯¥à æ÷ﬨ ¤®¤ ¢ ï â ¬®¦¥ï.4. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈Zn, +, ·〉 { ª÷«ìæ¥ ª« á÷¢ «¨èª÷¢ § ¬®¤ã-
«¥¬ n ∈ N (®¯¥à æ÷ù «+» â «·» Zn ¡ã«® ¢¢¥¤¥® ¢ ¯÷¤à®§¤. 6.4).5. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈R[x], +, ·〉, ¤¥ R[x] { ¬®¦¨ ¬®£®ç«¥÷¢
áª÷祮£® á⥯¥ï ¤ §¬÷®î x § ¤÷©á¨¬¨ ª®¥ä÷æ÷õâ ¬¨:
R[x] = {a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx
n : ak ∈ R (1 ≤ k ≤ n), n ∈ N ∪ {0}}.
�¯¥à æ÷ù «+» â «·» R[x] ¢¢®¤ïâì ¯®â®çª®¢® (ç¥à¥§ § ç¥ï ¬®-£®ç«¥÷¢ ¤«ï ª®¦®£® x ∈ R), ⮡⮠¤«ï ¬®£®ç«¥÷¢ a(x) =
n∑i=0
aixi,
b(x) =m∑
j=0
bjxj ¤«ï ä÷ªá®¢ ®£® x ∈ R ¢¨§ ç õ¬®:
a(x) + b(x) = b(x) + a(x) =
max(n,m)∑
k=0
ckxk, ¤¥ ck = ak + bk;
a(x) · b(x) = b(x) · a(x) =n+m∑
k=0
ckxk, ¤¥ ck =
∑
i,j: i+j=k
aibj,
¢¢ ¦ îç¨ ak = 0 ¯à¨ k > n, bk = 0 ¯à¨ k > m.6. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈S, M,∩〉, ¤¥ S { ª÷«ìæ¥ ¬®¦¨. � £ ¤ õ¬®
(¤¨¢. ¯÷¤à®§¤. 2.5), é® ª÷«ì楬 ¬®¦¨ §¨¢ îâì ¥¯®à®¦î áãªã¯÷áâ쬮¦¨ S, § ¬ª¥ã ¢÷¤®á® ®¯¥à æ÷© ᨬ¥âà¨ç®ù à÷§¨æ÷ â ¯¥à¥â¨ã.
178
7.1. �¨§ ç¥ï ⠯ਪ« ¤¨ ª÷«¥æì
� ¤®¤ ¢ ï â ¬®¦¥ï ¢ ª÷«ìæ÷ ¬®¦¨ S ¢¨¡¨à õ¬® ¢÷¤¯®¢÷¤®á¨¬¥âà¨çã à÷§¨æî â ¯¥à¥â¨:
A + B = A M B, A ·B = A ∩B, (A,B ∈ S).
�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ã«¥¬ ã ª÷«ìæ÷ 〈S, M,∩〉 õ ¯®à®¦ï ¬®¦¨ :
A M∅ = ∅ M A = A (A ∈ S).
�«÷¤ § § ç¨â¨, é® ¥«¥¬¥â, ¯à®â¨«¥¦¨© A, §¡÷£ õâìáï ÷§ á ¬®î ¬®-¦¨®î A:
A M A = ∅ (A ∈ S).
�¥à¥¯¨è¥¬® ¤«ï áâàãªâãਠ〈S, M,∩〉 㬮¢¨ ®§ ç¥ï 7.1:1) (A M B) M C = A M (B M C);2) A M B = B M A;3) A M∅ = ∅ M A = A (ã«ì®¢¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ õ ¯®à®¦ï ¬®¦¨ );4) A M A = ∅ (¥«¥¬¥â, ¯à®â¨«¥¦¨© A, §¡÷£ õâìáï § A);5) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);6) (A M B)∩C = (A∩C) M (B ∩C), C ∩ (A M B) = (C ∩A) M (C ∩B).�ª § ÷ â®â®¦®áâ÷ ¥¢ ¦ª® ¤®¢¥á⨠§ ᮡ ¬¨ «£¥¡à¨ ¬®¦¨.�¥© ¯à¨ª« ¤ ®¡óàã⮢ãõ §¢ã «ª÷«ì楻 ¤«ï ª÷«ìæï ¬®¦¨ S ïª
¤«ï ®ªà¥¬®£® ¢¨¯ ¤ªã ¡áâà ªâ®£® ª÷«ìæï 〈S, M,∩〉.7. �¥å © 〈G, +〉 { ¤¥ïª ¤¨â¨¢ ¡¥«¥¢ £à㯠. �«ï ¥¤®¬®àä÷§¬÷¢
f1, f2 ∈ EndG ¢¢¥¤¥¬® ¯®â®çª®¢¥ ¤®¤ ¢ ï:
(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) (x ∈ G).
�¯à ¢ 7.1. �®¢¥áâ¨, é® áâàãªâãà 〈EndG, +, ◦〉 { ª÷«ìæ¥.
�÷«ìæ¥ 〈EndG , + , ◦ 〉 §¨¢ îâì ª÷«ì楬 ¥¤®¬®àä÷§¬÷¢ ¡¥«¥¢®ù£à㯨 〈G, +〉.
� 㢠¦¥ï 7.1. �«ï ª÷«¥æì 〈R, +, ·〉, ïª÷ ç áâ® âà ¯«ïîâìáï ¢ à÷§-¨å ஧¤÷« å ¬ ⥬ ⨪¨ (§®ªà¥¬ , æ¥ áâ®áãõâìáï ª÷«¥æì § ¯à¨ª«. 7.1),ç áâ® ¢ª §ãîâì «¨è¥ ¬®¦¨ã R, ¥ ¢ª §ãîç¨ ï¢® ®¯¥à æ÷ù ¤®¤ ¢ -ï â ¬®¦¥ï. � ª, ïªé® £®¢®àïâì ¯à® ª÷«ìæ¥ ¤÷©á¨å ç¨á¥«, ª÷«ì楬 âà¨æì, ª÷«ìæ¥ ª« á÷¢ «¨èª÷¢, ª÷«ìæ¥ ¬®£®ç«¥÷¢ â®é®, ¬ îâì 㢠§÷ª« á¨ç÷ (¯à¨à®¤÷) ®¯¥à æ÷ù ¤®¤ ¢ ï â ¬®¦¥ï. � àâ® § § ç¨â¨,
179
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
é® ¤«ï ª÷«ìæï ¬®¦¨ S ¯à¨à®¤¨¬¨ ¤®¤ ¢ ï¬ ÷ ¬®¦¥ï¬ ¢¢ ¦ -îâì ¢÷¤¯®¢÷¤® ᨬ¥âà¨çã à÷§¨æî â ¯¥à¥â¨: ã ¬®¤¥«ì®¬ã ¤®¢¥¤¥÷â®â®¦®á⥩ ¢ «£¥¡à÷ ¬®¦¨ ᨬ¥âà¨ç÷© à÷§¨æ÷ â ¯¥à¥â¨ã ¢÷¤¯®¢÷-¤ îâì «®£÷ç÷ ®¯¥à æ÷ù «⊕» â «∧», ïª÷ (ïªé® ®â®â®¦¨â¨ «®£÷ç÷ 0 â 1§ ª« á ¬¨ «¨èª÷¢ 0 â 1 § ¬®¤ã«¥¬ 2) §¡÷£ îâìáï § ¤®¤ ¢ ï¬ ÷ ¬®-¦¥ï¬ Z2 = {0, 1}.
�÷«ìæ¥ 〈R, +, ·〉 § ª®¬ãâ ⨢®î ®¯¥à æ÷õî ¬®¦¥ï §¨¢ îâì ª®-¬ãâ ⨢¨¬:
a · b = b · a ∀ a, b ∈ R.
�ªé® ®¯¥à æ÷ï ¬®¦¥ï ¥ª®¬ãâ ⨢ , ª÷«ìæ¥ §¨¢ îâì ¥ª®¬ã-â ⨢¨¬.
�ਪ« ¤ 7.2. � ª÷ ª÷«ìæï õ ª®¬ãâ ⨢¨¬¨:1) ª÷«ìæ¥ 〈R, +, ·〉 ¤÷©á¨å ç¨á¥«;2) ª÷«ìæ¥ 〈Zn, +, ·〉 ª« á÷¢ «¨èª÷¢ § ¬®¤ã«¥¬ n ∈ N;3) ª÷«ìæ¥ 〈R[x], +, ·〉 ¬®£®ç«¥÷¢ § ¤÷©á¨¬¨ ª®¥ä÷æ÷õâ ¬¨;4) ª÷«ìæ¥ ¬®¦¨ 〈S, M,∩〉.� ©¯à®áâ÷訩 ¯à¨ª« ¤ ¥ª®¬ãâ ⨢®£® ª÷«ìæï { ª÷«ìæ¥ ª¢ ¤à â¨å
¬ âà¨æì 〈Mn×n, +, ·〉 ã ¢¨¯ ¤ªã n ≥ 2.
�÷«ìæ¥ 〈R, +, ·〉 §¨¢ îâì ª÷«ì楬 § ®¤¨¨æ¥î, ïªé® ¢ áâàãªâãà÷〈R, ·〉 ÷áãõ ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â 1 ∈ R (¥©âà «ì¨© § ¬®¦¥ï¬),直© ã æ쮬㠢¨¯ ¤ªã §¨¢ îâì ®¤¨¨æ¥î ª÷«ìæï. � § 稬®, é® õ¤¨-÷áâì ®¤¨¨æ÷ ª÷«ìæï ïª ¥©âà «ì®£® ¥«¥¬¥â § ¬®¦¥ï¬ ¢¨¯«¨¢ õ§ ⥮६¨ 6.1.
�ਪ« ¤ 7.3. 1. �á÷ ª÷«ìæï, ஧£«ïãâ÷ ¢ ¯à¨ª«. 7.1, § ¢¨ï⪮¬ª÷«ìæï ¬®¦¨ 〈S, M,∩〉, õ ª÷«ìæﬨ § ®¤¨¨æ¥î.
2. �÷«ìæ¥ 〈nZ, +, ·〉 ã ¢¨¯ ¤ªã n ≥ 2 õ ª÷«ì楬 ¡¥§ ®¤¨¨æ÷, ®áª÷«ì-ª¨ 1 (¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â § ¬®¦¥ï¬ ¬®¦¨÷ æ÷«¨å ç¨á¥«) ¥ «¥¦¨âì ¬®¦¨÷ nZ ¯à¨ n ≥ 2.
�¯à ¢ 7.2. �¨§ ç¨â¨ ®¤¨¨æ÷ ¤«ï ª÷«¥æì § ¯à¨ª«. 7.1 (®ª-à÷¬ 〈S, M,∩〉).
�¯à ¢ 7.3. �®¢¥áâ¨, é® ª÷«ìæ¥ ¬®¦¨ 〈S, M,∩〉 õ ª÷«ì楬 § ®¤¨¨-æ¥î ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ S õ «£¥¡à®î ¬®¦¨, ¯à¨ç®¬ã ®¤¨¨æ¥î ¢ª÷«ìæ÷ 〈S, M,∩〉 (ïªé® S { «£¥¡à ) õ ã÷¢¥àá «ì ¬®¦¨ .
180
7.2. �ᮢ÷ ¢« á⨢®áâ÷ ª÷«¥æì
�÷«ìæï § ®¤¨¨æ¥î ¡ã¤¥ ஧£«ïãâ® ¡÷«ìè ¤¥â «ì® ¢ ¯÷¤à®§¤. 7.4.� 㢠¦¥ï 7.2. �ã«ì â ®¤¨¨æï ¢ ¡áâà ªâ®¬ã ª÷«ìæ÷ 〈R, +, ·〉 ¯®-
§ ç îâì, ïª ¡ã«® § § 祮, ¢÷¤¯®¢÷¤® ç¥à¥§ 0 â 1. �à®â¥ ¢ ª®ªà¥â®-¬ã ª÷«ìæ÷ ¤«ï ã«ï â ®¤¨¨æ÷ ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ¯®§ ç¥ï, ïª÷ õ § £ «ì-®¯à¨©ï⨬¨ á ¬¥ ¤«ï æ쮣® ª÷«ìæï ÷ ¬®¦ãâì §¡÷£ â¨áï ¡® ¥ §¡÷£ â¨áï§ ¡áâà ªâ¨¬¨ ¯®§ ç¥ï¬¨ 0 â 1. � ª, ã ª÷«ìæ÷ ¤÷©á¨å ç¨á¥« ã-«¥¬ â ®¤¨¨æ¥î õ ç¨á« 0 â 1, ®¤ ª ã ª÷«ìæ÷ ¬ âà¨æì Mn×n ã«¥¬ â ®¤¨¨æ¥î õ ¢÷¤¯®¢÷¤® ã«ì®¢ â ®¤¨¨ç ¬ âà¨æ÷ (ïª÷ ¥ ¯à¨©ï⮯®§ ç ⨠ç¥à¥§ 0 â 1).
� 㢠¦¥ï 7.3. �«ï á¯à®é¥ï ¯®§ ç¥ì ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® ®¯¥à -æ÷ï ¬®¦¥ï ¢ ª÷«ìæ÷ ¬ õ ¢¨é¨© ¯à÷®à¨â¥â, ÷¦ ¤®¤ ¢ ï, ⮡⮠¤ã¦ª¨ ¢ª®«® ¤®¡ãâªã ¡ã¤¥¬® ®¯ã᪠â¨: a + (b · c) = a + b · c.
� 㢠¦¥ï 7.4. �à÷¬ ⮣®, § «®£÷õî ¤® ¡ £ âì®å ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢-¨å áâàãªâãà (ãà 客ãîç¨ ¤÷©á÷ ç¨á« â ¬ âà¨æ÷), ¯®§ ç¥ï ®¯¥à æ÷ù«·» ¢ ¤®¡ãâªã ÷®¤÷ ®¯ã᪠⨬¥¬®: a · b = ab.
7.2. �ᮢ÷ ¢« á⨢®áâ÷ ª÷«¥æì�®§£«ï¥¬® ©¯à®áâ÷è÷ ¢« á⨢®áâ÷ ¤®¢÷«ì®£® ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉.1. ∀ a ∈ R : 0 · a = a · 0 = 0.�®¢¥¤¥ï. �®¢¥¤¥¬® â®â®¦÷áâì 0 ·a = 0 (â®â®¦÷áâì a ·0 = 0 ¬®¦
¤®¢¥á⨠§ «®£÷õî). � ®§ ç¥ï¬ ã«ï â ¢« á⨢÷áâî ¤¨áâਡã⨢-®áâ÷ ¬ õ¬®
0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a.
�«¥ ª÷«ìæ¥ õ £àã¯®î § ®¯¥à æ÷õî «+», ®â¦¥, § ¯à ¢¨«®¬ «÷¢®£®áª®à®ç¥ï (6.2) ®âਬãõ¬® ¯®âà÷¡¨© á«÷¤®ª:
0 · a + 0 · a = 0 · a ⇒ 0 · a + 0 · a = 0 · a + 0 ⇒ 0 · a = 0.
2. ∀ a, b ∈ R : a · (−b) = (−a) · b = −(a · b).�®¢¥¤¥ï. �®¢¥¤¥¬® â®â®¦÷áâì a · (−b) = −(a · b) (â®â®¦÷áâì
(−a) · b = −(a · b) ¬®¦ ¤®¢¥á⨠§ «®£÷õî). �«ï ¤®¢¥¤¥ï ¤®áâ â-ì® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ¥«¥¬¥â a · (−b) õ ¯à®â¨«¥¦¨¬ a · b. �®à¨áâãîç¨á좨§ ç¥ï¬ ª÷«ìæï â ¤®¢¥¤¥®î ¢« á⨢÷áâî 1, ®âਬãõ¬®
a · b + a · (−b) = a · (−b) + a · b = a · (b + (−b)) = a · 0 = 0.
181
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
�¯à ¢ 7.4. �®¢¥áâ¨, é® ¢ ª÷«ìæ÷ § ®¤¨¨æ¥î ¬ õ ¬÷áæ¥ â®â®¦÷áâì
−a = (−1) · a ∀ a ∈ R.
�«ï ¥«¥¬¥â÷¢ a, b ∈ R 㢥¤¥¬® ®¯¥à æ÷î à÷§¨æ÷ :
a− b = a + (−b).
� ª, § ®§ ç¥ï ¯à®â¨«¥¦®£® ¥«¥¬¥â ¢¨¯«¨¢ õ a−a=a+(−a) = 0.
7.3. �÷¤ª÷«ìæ¥. �à¨â¥à÷© ¯÷¤ª÷«ìæï�¥å © 〈R, +, ·〉 { ¤®¢÷«ì¥ ª÷«ìæ¥.
�§ ç¥ï 7.2. �÷¤ª÷«ì楬 ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉 §¨¢ îâì ¯÷¤¬®¦¨-ã R1 ⊂ R, ïª õ ª÷«ì楬 〈R1, +, ·〉 § ⨬¨ á ¬¨¬¨ ®¯¥à æ÷ﬨ «+» â «·», é® © ª÷«ìæ¥ 〈R, +, ·〉.
� ¯à ªâ¨æ÷ ¤«ï ¯¥à¥¢÷ન, ç¨ õ ¥¯®à®¦ï ¯÷¤¬®¦¨ ª÷«ìæï ¯÷¤-ª÷«ì楬, §àãç® ª®à¨áâ㢠â¨áì ¨¦ç¥¯®¤ ¨¬ ªà¨â¥à÷õ¬, «®£÷稬ªà¨â¥à÷î ¯÷¤£à㯨 (⥮६ 6.7 § á«÷¤ª®¬).
�¥®à¥¬ 7.1 (ªà¨â¥à÷© ¯÷¤ª÷«ìæï). �¥å © ∅ 6= R1 ⊂ R, ⮡â®R1 { ¥¯®à®¦ï ¯÷¤¬®¦¨ ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉.
�«ï ⮣®, 鮡 ¯÷¤¬®¦¨ R1 ¡ã« ¯÷¤ª÷«ì楬 ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉, ¥-®¡å÷¤® ÷ ¤®áâ âì® ¢¨ª® ï â ª¨å 㬮¢:
(a, b ∈ R1) ⇒ (a + b ∈ R1); (7.1)(a, b ∈ R1) ⇒ (a · b ∈ R1);
(a ∈ R1) ⇒ (−a ∈ R1). (7.2)
� á«÷¤®ª. �¬®¢¨ (7.1) â (7.2) ¢ ⥮६÷ 7.1 ¬®¦ § ¬÷¨â¨ ®¤-÷õî 㬮¢®î:
(a, b ∈ R1) ⇒ (a− b ∈ R1).
�¯à ¢ 7.5. �®¢¥á⨠⥮६ã 7.1 ÷ á«÷¤®ª á ¬®áâ÷©®.� 㢠¦¥ï 7.5. �®¢¥¤¥ï æ÷«ª®¬ «®£÷ç¥ ¤®¢¥¤¥î ⥮à¥-
¬ 6.7.
182
7.4. �÷«ìæï § ®¤¨¨æ¥î
�ਪ« ¤ 7.4. 1. �®¦¨ nZ (n ∈ N) õ ¯÷¤ª÷«ì楬 ª÷«ìæï æ÷«¨åç¨á¥« Z.
2. �®¦¨ R1 = {A ∈ Mn×n : Aij = 0 ¯à¨ j > i} ¨¦÷å âਪãâ¨å¬ âà¨æì ஧¬÷஬ n× n õ ¯÷¤ª÷«ì楬 ª÷«ìæï ¬ âà¨æì Mn×n.
3. �®¦¨ ¬®£®ç«¥÷¢ § ã«ì®¢¨¬ ¢÷«ì¨¬ ç«¥®¬
R1 =
{n∑
k=1
akxk : ak ∈ R (1 ≤ k ≤ n), n ∈ N
}=
= {f(x) ∈ R[x] : f(0) = 0}õ ¯÷¤ª÷«ì楬 ª÷«ìæï ¬®£®ç«¥÷¢ R[x].
�祢¨¤®, é® ¡ã¤ì-瘟 ª÷«ìæ¥ 〈R, +, ·〉 ¬÷áâ¨âì âਢ÷ «ì÷ ¯÷¤ª÷«ìæï {¬®¦¨ã {0} ÷ ¬®¦¨ã R. �÷¤ª÷«ìæ¥, é® ¥ õ âਢ÷ «ì¨¬, §¨¢ îâ좫 ᨬ.
�÷«ìæ¥, é® ¬÷áâ¨âì «¨è¥ ®¤¨ ¥«¥¬¥â (æ¥ ¬ õ ¡ã⨠0) §¨¢ îâìã«ì®¢¨¬. �⦥, ¡ã¤ì-瘟 ª÷«ìæ¥ 〈R, +, ·〉 ¬÷áâ¨âì ¤¢ âਢ÷ «ì÷ ª÷«ìæï {ã«ì®¢¥ ª÷«ìæ¥ {0} ÷ á ¬¥ ª÷«ìæ¥ R. �祢¨¤®, é® ¤«ï ã«ì®¢®£® ª÷«ìæﮡ¨¤¢ âਢ÷ «ì÷ ¯÷¤ª÷«ìæï §¡÷£ îâìáï.
7.4. �÷«ìæï § ®¤¨¨æ¥î� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ®¡'õªâ®¬ ஧£«ï¤ã ¡ã¤¥ ª÷«ìæ¥ 〈R, +, ·〉, é® ¬÷áâ¨âì
®¤¨¨ç¨© ¥«¥¬¥â 1 ∈ R. �®¢¥¤¥¬® ¯à®á⨩ ä ªâ 鮤® ¬®¦«¨¢®áâ÷§¡÷£ã ã«ï â ®¤¨¨æ÷ ª÷«ìæï.
�¥¬ 7.1. � ¥ã«ì®¢®¬ã ª÷«ìæ÷ 0 6= 1.�®¢¥¤¥ï. �¥å © ª÷«ìæ¥ § ®¤¨¨æ¥î 〈R, +, ·〉 õ ¥ã«ì®¢¨¬, ⮡⮠¬÷á-
â¨âì ¯à¨ ©¬÷ ®¤¨ ¥«¥¬¥â a 6= 0. �®¤÷ ®âਬãõ¬®
a · 0 = 0 6= a = a · 1,é® ã¥¬®¦«¨¢«îõ à÷¢÷áâì 0 = 1.
� 㢠¦¥ï 7.6. �祢¨¤®, é® ¢ ã«ì®¢®¬ã ª÷«ìæ÷ ¥«¥¬¥â¨ 0 â 1§¡÷£ îâìáï: ã«ì®¢¥ ª÷«ìæ¥ ¬÷áâ¨âì «¨è¥ ®¤¨ ¥«¥¬¥â 0, 直© ¤«ï ®¤-®¥«¥¬¥â®ù ¬®¦¨¨ õ ¥©âà «ì¨¬ § ¡ã¤ì-ïª®î ¡÷ à®î ®¯¥à æ÷õî(0 · 0 = 0).
183
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
�§ ç¥ï 7.3. �«¥¬¥â a ∈ R §¨¢ îâì ®¡®à®â¨¬ ã ª÷«ìæ÷ R, ¡® ¤÷«ì¨ª®¬ ®¤¨¨æ÷, ïªé® ÷áãõ ¥«¥¬¥â a−1 { ®¡¥à¥¨© ¤® a § ¬®-¦¥ï¬:
∃ a−1 ∈ R : a−1 · a = a · a−1 = 1.
�«¥¬¥â a−1 §¨¢ îâì ®¡¥à¥¨¬ ¤® a ¢ ª÷«ìæ÷ R.�⦥, ¢ ª÷«ìæ÷ § ®¤¨¨æ¥î ÷áãîâì ¥©âà «ì÷ ¥«¥¬¥â¨ ¤«ï ®¡®å ¡÷-
à¨å ®¯¥à æ÷©: 0 { ¥©âà «ì¨© § ¤®¤ ¢ ï¬, 1 { ¥©âà «ì¨© § ¬®¦¥ï¬. �ª 㦥 § § ç «¨, ®¡¥à¥¨© ¤® a ∈ R § ¤®¤ ¢ ï¬ §¨-¢ îâì ¯à®â¨«¥¦¨¬ ÷ ¯®§ ç îâì ç¥à¥§ −a, é® ã¥¬®¦«¨¢«îõ ª®ä«÷ªâ§ â¥à¬÷®¬ «®¡¥à¥¨©» (¡¥§ ù §¢¨ ¢÷¤¯®¢÷¤®ù ¡÷ à®ù ®¯¥à æ÷ù)â ¯®§ ç¥ï¬ a−1 ¤«ï ®¡¥à¥®£® § ¬®¦¥ï¬.
�¡¥à¥÷ ¥«¥¬¥â¨ ¬®¦ãâì ÷á㢠⨠¥ ¤«ï ¢á÷å a ∈ R. �÷«ìè¥ â®-£®, ã ¡ã¤ì-类¬ã ¥ã«ì®¢®¬ã ª÷«ìæ÷ § ®¤¨¨æ¥î ÷áãõ ¯à¨ ©¬÷ ®¤¨¥®¡®à®â¨© ¥«¥¬¥â { ã«ì ª÷«ìæï:
0 · a = a · 0 = 0 6= 1 ∀ a ∈ R.
�¤ ª, ã ¡ã¤ì-类¬ã ª÷«ìæ÷ 〈R, +, ·〉 (§ ®¤¨¨æ¥î) ®¡®à®â¨¬¨ õ ¥«¥-¬¥â¨ 1 â −1:
1−1 = 1, (−1)−1 = −1,
®áª÷«ìª¨ 1 · 1 = (−1) · (−1) = 1.�®¦¨ã ¢á÷å ®¡®à®â¨å ¥«¥¬¥â÷¢ ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉 ¯®§ ç îâì ç¥-
१ R∗.�ਪ« ¤ 7.5. 1. � ª÷«ìæ÷ ¤÷©á¨å ç¨á¥« R ¢á÷ ¥ã«ì®¢÷ ¥«¥¬¥â¨
®¡®à®â÷:a−1 =
1
a∈ R, a 6= 0,
⮡⮠R∗ = R \ {0}.2. � ª÷«ìæ÷ æ÷«¨å ç¨á¥« Z ®¡®à®â÷ «¨è¥ ¥«¥¬¥â¨ 1 â −1:
1−1 = 1, (−1)−1 = −1, a−1 =1
a/∈ Z ¯à¨ |a| 6= 1,
⮡⮠Z∗ = {1,−1}.3. � ª÷«ìæ÷ ¬ âà¨æì Mn×n ®¡®à®â÷ ¢á÷ ¥¢¨à®¤¦¥÷ ¬ âà¨æ÷:
A · A−1 = A−1 · A = I,
⮡⮠(Mn×n)∗ = GLn.
184
7.4. �÷«ìæï § ®¤¨¨æ¥î
4. � ª÷«ìæ÷ ª« á÷¢ «¨èª÷¢ Z6 ®¡®à®â¨¬¨ õ ¥«¥¬¥â¨ 1 â 5:
(1)−1
= 1, (5)−1
= 5,
⮡⮠Z6∗ = {1, 5}.
5. � ª÷«ìæ÷ ª« á÷¢ «¨èª÷¢ Z2 ®¡®à®â¨¬ õ «¨è¥ ¥«¥¬¥â 1:
(1)−1
= 1,
⮡⮠Z2∗ = {1}.
�¥®à¥¬ 7.2. �®¦¨ R∗ ®¡®à®â¨å ¥«¥¬¥â÷¢ ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉ã⢮àîõ £àã¯ã § ®¯¥à æ÷õî ¬®¦¥ï.
�®¢¥¤¥ï. �®§£«ï¥¬® «£¥¡à¨çã áâàãªâãàã 〈R∗, ·〉.1. �®¢¥¤¥¬® § ¬ª¥÷áâì áâàãªâãਠ〈R∗, ·〉. �«ï a, b ∈ R∗ ¡¥§¯®á¥-
à¥¤ì® ¯¥à¥¢÷ਬ®, é® (a · b)−1 = b−1 · a−1 :(a · b) · (b−1 · a−1) = a · (b · b−1) · a−1 = 1;
(b−1 · a−1) · (a · b) = b−1 · (a−1 · a) · b = 1,
⮡⮠a · b ∈ R∗ (¥«¥¬¥â a · b ®¡®à®â¨©).2. �âàãªâãà 〈R∗, ·〉 á®æ÷ ⨢ (§ ¢¨§ ç¥ï¬ ª÷«ìæï).3. �âàãªâãà 〈R∗, ·〉 ¬÷áâ¨âì ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â { ®¤¨¨æî ª÷«ì-
æï 〈R, +, ·〉 :(1−1 = 1) ⇒ (1 ∈ R∗).
4. �®¢¥¤¥¬®, é® ã áâàãªâãà÷ 〈R∗, ·〉 ¤«ï ¡ã¤ì-类£® a ∈ R∗ ÷áãõ ®¡¥à-¥¨© a−1 ∈ R∗. �¥§¯®á¥à¥¤ì® ¯¥à¥¢÷ਬ®, é® (a−1)
−1= a :
a−1 · a = 1, a · a−1 = 1,
⮡⮠a−1 ∈ R∗.�⦥, «£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈R∗, ·〉 õ § ¬ª¥®î, á®æ÷ ⨢®î, ¬÷á-
â¨âì ¥©âà «ì¨© ¥«¥¬¥â 1 ∈ R∗, ÷ ¤«ï ª®¦®£® a ∈ R∗ ÷áãõ ®¡¥à¥¨©a−1 ∈ R∗. � ª¨¬ 種¬, § ®§ ç¥ï¬ 6.5 áâàãªâãà 〈R∗, ·〉 õ £à㯮î.
�«£¥¡à¨çã áâàãªâãàã 〈R∗, ·〉 §¨¢ îâì ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢®î £àã-¯®î ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉. �«ï ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢®ù £à㯨 § ¤ ®£® ª÷«ìæï〈R, +, ·〉 ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ᪮à®ç¥¥ ¯®§ ç¥ï R∗ (¥ ¢ª §ãîç¨ ï¢®£à㯮¢ã ®¯¥à æ÷î, ïª §¡÷£ õâìáï § ®¯¥à æ÷î ¬®¦¥ï ¢ ª÷«ìæ÷ R).
�®ïââï ®¡®à®â®£® ¥«¥¬¥â (¤÷«ì¨ª ®¤¨¨æ÷) â÷á® ¯®¢'ï§ ¥ §¯®ïââï¬ ¤÷«ì¨ª ã«ï, 瘟 ¡ã¤¥ ஧£«ïãâ® ¢ áâ㯮¬ã ¯÷¤à®§¤÷«÷.
185
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
7.5. �÷«ì¨ª¨ ã«ï. �®ïââï ®¡« áâ÷æ÷«÷á®áâ÷
�¥å © 〈R, +, ·〉 { ¤®¢÷«ì¥ ª÷«ìæ¥.
�§ ç¥ï 7.4. �«¥¬¥â¨ a, b∈R §¨¢ îâì ¤÷«ì¨ª ¬¨ ã«ï, ïªé®
a 6= 0, b 6= 0, ab = 0.
�«¥¬¥â a ¢ æ쮬㠢¨¯ ¤ªã §¨¢ îâì «÷¢¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬ ã«ï, ¥«¥-¬¥â b { ¯à ¢¨¬ ¤÷«ì¨ª®¬ ã«ï.
�祢¨¤®, é® ¢ ª®¬ãâ ⨢®¬ã ª÷«ìæ÷ ¯®ïââï ¯à ¢®£® â «÷¢®£® ¤÷«ì-¨ª÷¢ ã«ï §¡÷£ îâìáï.
�ਪ« ¤ 7.6. 1. �÷«ìæ¥ ¤÷©á¨å ç¨á¥« R ¥ ¬÷áâ¨âì ¤÷«ì¨ª÷¢ ã«ï:
(a 6= 0) ∧ (b 6= 0) ⇒ (ab 6= 0)
¤«ï ¤®¢÷«ì¨å a, b ∈ R.2. �÷«ìæ¥ Z6 ¬÷áâ¨âì âਠ¤÷«ì¨ª¨ ã«ï { ¥«¥¬¥â¨ 2, 3 â 4:
2 · 3 = 3 · 4 = 0.
�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® 1 â 5 = − 1 ¥ õ ¤÷«ì¨ª ¬¨ ã«ï ¢ Z6.3. �÷«ìæ¥ Z4 ¬÷áâ¨âì ®¤¨ ¤÷«ì¨ª ã«ï { ¥«¥¬¥â 2:
2 · 2 = 0.
�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® 1 â 3 = − 1 ¥ õ ¤÷«ì¨ª ¬¨ ã«ï ¢ Z4.4. �÷«ìæ¥ Z3 ¥ ¬÷áâ¨âì ¤÷«ì¨ª÷¢ ã«ï:
1 · 1 = 1 6= 0, 1 · 2 = 2 6= 0, 2 · 2 = 4 = 1 6= 0.
� áâ㯠⥮६ ¢áâ ®¢«îõ §¢'燐ª ¬÷¦ ¯®ïââﬨ ¤÷«ì¨ª ã«ïâ ®¡®à®â®£® ¥«¥¬¥â ¢ ª÷«ìæ÷ § ®¤¨¨æ¥î.
�¥®à¥¬ 7.3. � ª÷«ìæ÷ 〈R, +, ·〉 § ®¤¨¨æ¥î 1 ∈ R ¦®¤¥ ®¡®à®â¨©¥«¥¬¥â ¥ õ ¤÷«ì¨ª®¬ ã«ï.
186
7.5. �÷«ì¨ª¨ ã«ï. �®ïââï ®¡« áâ÷ æ÷«÷á®áâ÷
�®¢¥¤¥ï. �ਯãáâ÷¬®, é® a ∈ R õ ®¤®ç á® ¤÷«ì¨ª®¬ ã«ï © ®¡®-à®â¨¬ ¥«¥¬¥â®¬. �¢ ¦ ⨬¥¬®, é® a 6= 0 { «÷¢¨© ¤÷«ì¨ª ã«ï (¢¨¯ -¤®ª ¯à ¢®£® ¤÷«ì¨ª ã«ï ஧£«ï¤ õâìáï «®£÷ç®), ⮡â®
ab = 0 ¤«ï ¤¥ïª®£® b ∈ R, b 6= 0.
�®¤÷ ®âਬãõ¬®(ab = 0) ⇒ (a−1 · (a ·b) = a−1 ·0) ⇒ ((a−1 ·a) ·b = 0) ⇒ (1 ·b = 0) ⇒ (b = 0),
é® á㯥à¥ç¨âì 㬮¢÷ b 6= 0.�⦥, ®¡®à®â¨© ¥«¥¬¥â (¤÷«ì¨ª ®¤¨¨æ÷) ¥ õ ¤÷«ì¨ª®¬ ã«ï, ®¤-
ª §¢®à®â¥ ⢥द¥ï ¢ § £ «ì®¬ã ¢¨¯ ¤ªã ¥¯à ¢¨«ì¥: ¥«¥¬¥â,直© ¥ õ ¤÷«ì¨ª®¬ ã«ï, ¥ ®¡®¢'離®¢® õ ®¡®à®â¨¬.
�ਪ« ¤ 7.7. � ª÷«ìæ÷ æ÷«¨å ç¨á¥« Z ¥¬ õ ¤÷«ì¨ª÷¢ ã«ï, ®¤ ª«¨è¥ ¥«¥¬¥â¨ 1 â (−1) õ ®¡®à®â¨¬¨.
� ¤÷«ì¨ª ¬¨ ã«ï (â®ç÷è¥, § ùå ¢÷¤áãâ÷áâî) ¯®¢'ï§ ® ¢¨ª® ï§ ª®÷¢ ᪮à®ç¥ï ¢ ¤®¢÷«ì®¬ã ª÷«ìæ÷ 〈R, +, ·〉:
(ax = bx) ⇔ (a = b) (¯à ¢¥ ᪮à®ç¥ï); (7.3)(xa = xb) ⇔ (a = b) («÷¢¥ ᪮à®ç¥ï), (7.4)
¤¥ a, b, x ∈ R, x 6= 0.�¥®à¥¬ 7.4. � ª®¨ ᪮à®ç¥ï (7.3) ÷ (7.4) ã ¤®¢÷«ì®¬ã ª÷«ìæ÷
〈R, +, ·〉 ¢¨ª®ãîâìáï ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ª÷«ìæ¥ 〈R, +, ·〉 ¥ ¬÷á-â¨âì ¦®¤®£® ¤÷«ì¨ª ã«ï.
�®¢¥¤¥ï. 1. �¥å © ª÷«ìæ¥ 〈R, +, ·〉 ¥ ¬÷áâ¨âì ¤÷«ì¨ª÷¢ ã«ï. �®¢¥-¤¥¬®, é® ¢ æ쮬㠪÷«ìæ÷ ¢¨ª®ãõâìáï § ª® (7.3) (§ ª® (7.4) ஧£«ï¤ -õâìáï «®£÷ç®). �à 客ãîç¨, é® ¢ ª÷«ìæ÷ ¥¬ õ ¤÷«ì¨ª÷¢ ã«ï, ¤«ïa, b, x ∈ R (x 6= 0) ®âਬãõ¬®
(ax = bx) ⇒ ((a− b) · x = 0) ⇒ (a− b = 0) ⇒ (a = b).
2. �¥å © ã ª÷«ìæ÷ 〈R, +, ·〉 ¢¨ª®ãîâìáï § ª®¨ (7.3) ÷ (7.4). �®¢¥¤¥¬®,é® ¢ ª÷«ìæ÷ 〈R, +, ·〉 ¥¬ õ ¤÷«ì¨ª÷¢ ã«ï.
�ਯãáâ÷¬®, é® a, b ∈ R, a 6= 0, b 6= 0, ab = 0. �®¤÷ ¤÷áâ ¥¬®(a · b = 0) ⇒ (a · b = a · (b · 0)) ⇒ (b = b · 0) ⇒ (b = 0),
é® á㯥à¥ç¨âì 㬮¢÷ b 6= 0.
187
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
� 㢠¦¥ï 7.7. � ¯. 2 ¤®¢¥¤¥ï ⥮६¨ 7.4 ¡ã«® ¢¨ª®à¨áâ ® «¨è¥§ ª® «÷¢®£® ᪮à®ç¥ï (7.4). � «®£÷ç® ¬®¦ ¡ã«® ¡ ¢¨ª®à¨áâ ⨠÷¯à ¢¨© § ª® ᪮à®ç¥ï (7.3), ¥ ª®à¨áâãîç¨áì «÷¢¨¬. �⦥, ïªé® ¢ª÷«ìæ÷ á¯à ¢¤¦ãõâìáï å®ç ¡ ®¤¨ ÷§ § ª®÷¢ ᪮à®ç¥ï, â® â ª¥ ª÷«ìæ¥ ¥¬÷áâ¨âì ¦®¤®£® ¤÷«ì¨ª ã«ï, ÷ ¢ æ쮬㠪÷«ìæ÷ á¯à ¢¤¦ãîâìáï ®¡¨¤¢ § ª®¨ (7.3) ÷ (7.4).
�ਪ« ¤ 7.8. 1. �÷«ìæ¥ ¤÷©á¨å ç¨á¥« 〈R, +, ·〉 ¥ ¬÷áâ¨âì ¤÷«ì¨ª÷¢ã«ï, ®â¦¥, ¤®¯ã᪠õ § ª® ᪮à®ç¥ï (7.3)
(ax = bx) ⇒ (a = b)
¤«ï ¡ã¤ì-直å a, b, x ∈ R, x 6= 0.2. �÷«ìæ¥ ¬ âà¨æì M2×2 ¬÷áâ¨âì ¤÷«ì¨ª¨ ã«ï. � ª, §®ªà¥¬ ,
(1 00 0
)·(
0 00 1
)=
(0 00 0
).
�⦥, ã ª÷«ìæ÷ M2×2 ¦®¤¥ § ¤¢®å § ª®÷¢ ᪮à®ç¥ï ¥ á¯à ¢¤¦ã-õâìáï:
(1 00 0
)·(
0 00 1
)=
(2 00 0
)·(
0 00 1
), «¥
(1 00 0
)6=
(2 00 0
);
(1 00 0
)·(
0 00 1
)=
(1 00 0
)·(
0 00 2
), «¥
(0 00 1
)6=
(0 00 2
).
� 㢠¦¥ï 7.8. �®¦ ¤®¢¥áâ¨, é® ¤÷«ì¨ª®¬ ã«ï ¢ ª÷«ìæ÷ Mn×n
(n ∈ N) õ ¡ã¤ì-ïª ¢¨à®¤¦¥ ¬ âà¨æï.
�ª ¡ 稬®, ¢ ¤®¢÷«ì®¬ã ª÷«ìæ÷ 〈R, +, ·〉 § ®¤¨¨æ¥î ÷áãõ â÷ᨩ §¢'ï-§®ª ¬÷¦ ¯®ïââﬨ ¤÷«ì¨ª ã«ï â ®¡®à®â®£® ¥«¥¬¥â (¤÷«ì¨ª ®¤¨¨æ÷). �¥© §¢'燐ª áâ õ é¥ â÷á÷訬 ã ¢¨¯ ¤ªã áª÷祮£® ª÷«ìæï〈R, +, ·〉, ⮡⮠ª®«¨ card R < ∞.
�¥®à¥¬ 7.5. �¥å © 〈R, +, ·〉 { áª÷祥 ª÷«ìæ¥ § ®¤¨¨æ¥î, ¥«¥¬¥âa ∈ R ¥ õ ¤÷«ì¨ª®¬ ã«ï â a 6= 0. �®¤÷ ¥«¥¬¥â a ®¡®à®â¨©.
�®¢¥¤¥ï. �¥å © card R = n ≥ 2 (ã ã«ì®¢®¬ã ª÷«ìæ÷, ⮡⮠㠢¨¯ ¤-ªã card R = 1, ⢥द¥ï ⥮६¨ ®ç¥¢¨¤® ¢¨ª®ãõâìáï), a ∈ R, a 6= 0.
188
7.5. �÷«ì¨ª¨ ã«ï. �®ïââï ®¡« áâ÷ æ÷«÷á®áâ÷
�«ï ¯®èãªã ¥«¥¬¥â , ®¡¥à¥®£® ¤® a, § áâ®áãõ¬® ¬¥â®¤, ¢¨ª®à¨áâ ¨©ã ¤®¢¥¤¥÷ ⥮६¨ 6.6.
�®§£«ï¥¬® ¬®¦¨ã a · R = {a · b : b ∈ R} ¤«ï ä÷ªá®¢ ®£® a ∈ R.�¯®ç âªã ¤®¢¥¤¥¬®, é® ¬®¦¨ a·R ¬÷áâ¨âì n à÷§¨å ¥«¥¬¥â÷¢ ¢¨£«ï¤ãa · b (b ∈ R), ⮡â®
a · b1 6= a · b2 ¯à¨ b1 6= b2 (b1, b2 ∈ R).
�÷©á®, ®áª÷«ìª¨ a ¥ õ ¤÷«ì¨ª®¬ ã«ï â a 6= 0, ®âਬãõ¬®
(a · b1 = a · b2) ⇒ (a · (b1 − b2) = 0) ⇒ (b1 − b2 = 0) ⇒ (b1 = b2).
�⦥, card(a ·R) = card(R) = n; ªà÷¬ ⮣®, ®ç¥¢¨¤®, a ·R ⊂ R. �¢÷¤á¨¢¨¯«¨¢ õ, é® ¬®¦¨¨ a ·R â R §¡÷£ îâìáï.
�áª÷«ìª¨ a ·R = R 3 1 (ª÷«ìæ¥ 〈R, +, ·〉 ¬÷áâ¨âì ®¤¨¨æî), ®âਬãõ¬®
(1 ∈ a ·R) ⇒ (∃ br ∈ R : a · br = 1).
�⦥, ¤«ï ¥«¥¬¥â a ã áâàãªâãà÷ 〈R, ·〉 ÷áãõ ¯à ¢¨© ®¡¥à¥¨© br.� «®£÷ç® ¤®¢¥¤¥¬® ÷áã¢ ï ¤«ï a ∈ R (a 6= 0) «÷¢®£® ®¡¥à¥®£® bl:
(1 ∈ R = R · a = {b · a : b ∈ R}) ⇒ (∃ bl ∈ R : bl · a = 1).
�⦥, ¤«ï a ∈ R (a 6= 0) ã áâàãªâãà÷ 〈R, ·〉 ÷áãõ ¯à ¢¨© ®¡¥à¥¨© br
â «÷¢¨© ®¡¥à¥¨© bl. � à¥èâ÷, § ⥮६®î 6.2, ¯à ¢¨© â «÷¢¨© ®¡¥à¥÷¤«ï ä÷ªá®¢ ®£® a ∈ R ¬ îâì §¡÷£ â¨áï:
br = bl = a−1.
�⦥, ¤®¢¥¤¥®, é® ¥«¥¬¥â a ∈ R õ ®¡®à®â¨¬.
�ਪ« ¤ 7.9. �÷«ìæ¥ ª« á÷¢ «¨èª÷¢ Zp ã ¢¨¯ ¤ªã ¯à®á⮣® p ¥ ¬÷á-â¨âì ¤÷«ì¨ª÷¢ ã«ï:
(k1 · k2 = 0) ⇒ ((k1 · k2) mod p = 0) ⇒⇒ ((k1 mod p = 0) ∨ (k2 mod p = 0)) ⇒ ((k1 = 0) ∨ (k2 = 0)).
�⦥, ã ¢¨¯ ¤ªã ¯à®á⮣® p ¢á÷ ¥ã«ì®¢÷ ¥«¥¬¥â¨ ª÷«ìæï Zp ®¡®à®â÷:
Zp∗ = Zp \ {0}.
189
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
�ª á«÷¤®ª § ⥮६¨ 7.5 ®âਬ ® ⢥द¥ï ⥮६¨ 6.6. � ª¨©à¥§ã«ìâ â æ÷«ª®¬ ¢¨¯à ¢¤®¢ãõ ¯®§ ç¥ï
Zp∗ = Zp \ {0} = {1, 2, . . . , p− 1},
¢¢¥¤¥¥ ¤«ï ¢¨¯ ¤ªã ¯à®áâ¨å p ã ¯÷¤à®§¤. 6.4.�§ ç¥ï 7.5. �¡« áâî æ÷«÷á®áâ÷ §¨¢ îâì ª®¬ãâ ⨢¥ ª÷«ìæ¥
§ ®¤¨¨æ¥î, 瘟 ¥ ¬÷áâ¨âì ¤÷«ì¨ª÷¢ ã«ï.�ਪ« ¤ 7.10. 1. �÷«ìæ¥ æ÷«¨å ç¨á¥« 〈Z, +, ·〉 õ ª®¬ãâ ⨢¨¬ ª÷«ì-
楬 § ®¤¨¨æ¥î, ¥ ¬÷áâ¨âì ¤÷«ì¨ª÷¢ ã«ï, ®â¦¥, õ ®¡« áâî æ÷«÷á®áâ÷.2. �÷«ìæ¥ Z5 õ ª®¬ãâ ⨢¨¬ ª÷«ì楬 § ®¤¨¨æ¥î, ¥ ¬÷áâ¨âì ¤÷«ì¨ª÷¢
ã«ï, ®â¦¥, õ ®¡« áâî æ÷«÷á®áâ÷.3. �÷«ìæ¥ Z4 õ ª®¬ãâ ⨢¨¬ ª÷«ì楬 § ®¤¨¨æ¥î, «¥ ¬÷áâ¨âì ¤÷«ì¨ª
ã«ï (¥«¥¬¥â 2), ®â¦¥, ¥ õ ®¡« áâî æ÷«÷á®áâ÷.�§ ç¥ï 7.6. �®«¥¬ §¨¢ îâì ¥ã«ì®¢¥ ª®¬ãâ ⨢¥ ª÷«ìæ¥ §
®¤¨¨æ¥î, ¢á÷ ¥ã«ì®¢÷ ¥«¥¬¥â¨ 类£® õ ®¡®à®â¨¬¨.�ਪ« ¤ 7.11. � ª÷ ª÷«ìæï õ ¯®«ï¬¨:1) ª÷«ìæ¥ ¤÷©á¨å ç¨á¥« R;2) ª÷«ìæ¥ à æ÷® «ì¨å ç¨á¥« Q;3) ª÷«ìæ¥ ª®¬¯«¥ªá¨å ç¨á¥« C;4) ª÷«ìæ¥
⟨{a + b · √2: a, b ∈ Q}, +, ·⟩;5) ª÷«ìæ¥ 〈{a + b · i : a, b ∈ Q}, +, ·〉, ¤¥ i ∈ C { ª®¬¯«¥ªá ®¤¨¨æï.�¯à ¢ 7.6. �¥à¥¢÷à¨â¨, é® ¢á÷ ª÷«ìæï § ¯à¨ª«. 7.11 õ ¯®«ï¬¨.� ⥮६¨ 7.3 ¢¨¯«¨¢ õ, é® ¡ã¤ì-瘟 ¯®«¥ õ ®¡« áâî æ÷«÷á®áâ÷. �¢®-
à®â¥ ⢥द¥ï ¥¯à ¢¨«ì¥ { ª÷«ìæ¥ æ÷«¨å ç¨á¥« õ ®¤¨¬ § ¯à¨ª« ¤÷¢®¡« áâ÷ æ÷«÷á®áâ÷, ïª ¥ õ ¯®«¥¬. �à®â¥, § ãà åã¢ ï¬ â¥®à¥¬¨ 7.5, ¬®-¦¥¬® áä®à¬ã«î¢ ⨠⠪¨© १ã«ìâ â.
�¥®à¥¬ 7.6. �ã¤ì-ïª áª÷ç¥ ®¡« áâì æ÷«÷á®áâ÷, é® ¬÷áâ¨âì¥ ¬¥è¥ ¤¢®å ¥«¥¬¥â÷¢ (⮡⮠¥ õ ã«ì®¢¨¬ ª÷«ì楬), õ ¯®«¥¬.
� ©¯à®áâ÷訬 (÷ ¤ã¦¥ ¢ ¦«¨¢¨¬) ¯à¨ª« ¤®¬ áª÷ç¥¨å ¯®«÷¢ õ ¯®«ïª« á÷¢ «¨èª÷¢ Zp, ¤¥ p { ¯à®á⥠ç¨á«®. � 㢠¦¨¬®, é® Zn ã ¢¨¯ ¤ªã᪫ ¤¥®£® n ∈ N ¥ õ ¯®«¥¬, ®áª÷«ìª¨ ¬÷áâ¨âì ¤÷«ì¨ª¨ ã«ï:
(n = k ·m, k 6= n, m 6= n) ⇒ (k 6= 0, m 6= 0, k ·m = 0).
190
7.6. ö¤¥ « ª÷«ìæï
�ਪ« ¤ 7.12. 1. �÷«ìæï Z2, Z3, Z5, Z97 { ¯®«ï.2. �÷«ìæï Z4, Z6, Z15 ¥ õ ¯®«ï¬¨, ®áª÷«ìª¨ ¬÷áâïâì ¤÷«ì¨ª¨ ã«ï.�§ £ «÷, ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ £à㯠ª÷«ìæï «¨èª÷¢ Zn ¤«ï ¤®¢÷«ì®£®
n ∈ N ¬ õ ¤®á¨âì ¯à®áâã ÷ æ÷ª ¢ã áâàãªâãàã.�¯à ¢ 7.7. �®¢¥áâ¨, é® ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ £à㯠ª÷«ìæï Zn ᪫ ¤ -
õâìáï ÷§ ª« á÷¢ «¨èª÷¢ k, ¤¥ k { ¢§ õ¬® ¯à®á⥠§ n:Zn
∗ = {k : ���(n, k) = 1},¤¥ ���(k1, k2) { ©¡÷«ì訩 á¯÷«ì¨© ¤÷«ì¨ª ç¨á¥« k1 â k2.
�ਪ« ¤ 7.13. 1) Z6∗ = {1, 5};
2) Z8∗ = {1, 3, 5, 7};
3) Z9∗ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
�¥â «ì÷è¥ ¯à® áâàãªâãàã ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢®ù £à㯨 ª÷«ìæï «¨èª÷¢,§®ªà¥¬ , ¯à® 㬮¢ã ùù 横«÷ç®áâ÷, ¬®¦ ¯à®ç¨â ⨠¢ [10].
7.6. ö¤¥ « ª÷«ìæï�®§£«ï¥¬® ᯥæ÷ «ì¨© ª« á ¯÷¤ª÷«¥æì, 直© ¯®á÷¤ õ ¢ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
¬ ©¦¥ â¥ á ¬¥ ¬÷áæ¥, é® ÷ ®à¬ «ì÷ ¤÷«ì¨ª¨ ¢ ⥮à÷ù £àã¯.�§ ç¥ï 7.7. ö¤¥ «®¬ ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉 §¨¢ îâì ¥¯®à®¦î ¯÷¤-
¬®¦¨ã J ⊂ R, â ªã, é®:• áâàãªâãà 〈J, +〉 { ¯÷¤£à㯠£à㯨 〈R, +〉;• ¤«ï ¡ã¤ì-直å r ∈ R â j ∈ J ¤®¡ã⪨ rj â jr ¬÷áâïâìáï ¢ J .�祢¨¤®, é® ¢ ¡ã¤ì-类¬ã ª÷«ìæ÷ 〈R, +, ·〉 âਢ÷ «ì÷ ¯÷¤ª÷«ìæï {0}
â R § ¢¦¤¨ õ ÷¤¥ « ¬¨. ö¤¥ «¨ {0} â R §¨¢ îâì âਢ÷ «ì¨¬¨; ÷¤¥ «,é® ¥ õ âਢ÷ «ì¨¬, §¨¢ îâì ¢« ᨬ.
�ਪ« ¤ 7.14. 1. �÷«ìæ¥ Z ¬÷áâ¨âì ÷¤¥ «¨ nZ (n ∈ N∪ {0}). �祢¨-¤®, é® ÷¤¥ «¨ 0Z = {0} â 1Z = Z âਢ÷ «ì÷, ÷¤¥ «¨ nZ ¯à¨ n ≥ 2 {¢« á÷.
2. �÷«ìæ¥ ¤÷©á¨å ç¨á¥« R ¬÷áâ¨âì «¨è¥ âਢ÷ «ì÷ ÷¤¥ «¨, ®áª÷«ìª¨¤«ï a ∈ J (J { ¤¥ïª¨© ÷¤¥ « ª÷«ìæï R) ®âਬãõ¬®
(a 6= 0) ⇒ (∀ r ∈ R : r = a · (r · a−1) ∈ R),
⮡⮠¡ã¤ì-直© ÷¤¥ « J 6= {0} ¬ õ ¬÷áâ¨â¨ ¢á÷ ¤÷©á÷ ç¨á« r ∈ R.
191
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
�¯à ¢ 7.8. �®¢¥á⨠⠪÷ ⢥द¥ï ¤«ï ÷¤¥ «ã J ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉:• (1 ∈ J) ⇒ (J = R) (㠯ਯãé¥÷, é® R ¬÷áâ¨âì ®¤¨¨æî);• (a ∈ J ∩R∗) ⇒ (J = R) (㠯ਯãé¥÷, é® R ¬÷áâ¨âì ®¤¨¨æî);• ¡ã¤ì-瘟 ¯®«¥ ¬÷áâ¨âì «¨è¥ âਢ÷ «ì÷ ÷¤¥ «¨.� ¦«¨¢¨© ª« á ÷¤¥ «÷¢ áâ ®¢«ïâì ÷¤¥ «¨, ¯®à®¤¦¥÷ ä÷ªá®¢ ¨¬ ¥«¥-
¬¥â®¬ ª÷«ìæï. � ©¯à®áâ÷èã áâàãªâãàã æ÷ ÷¤¥ «¨ ¬ îâì ã ª®¬ãâ ⨢¨åª÷«ìæïå § ®¤¨¨æ¥î.
�¥¬ 7.2. �¥å © 〈R, +, ·〉 { ª®¬ãâ ⨢¥ ª÷«ìæ¥ § ®¤¨¨æ¥î, a ∈ R.�®¤÷ ¬®¦¨ aR = {ar : r ∈ R} õ ÷¤¥ «®¬ ã ª÷«ìæ÷ 〈R, +, ·〉.
�®¢¥¤¥ï. �¥àãç¨ ¤® 㢠£¨ áâàãªâãàã ¬®¦¨¨ aR ÷ ª®à¨áâãîç¨á쪮¬ãâ ⨢÷áâî ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉, ®âਬãõ¬®:
(x1, x2 ∈ aR) ⇒{
x1 = ar1, r1 ∈ R
x2 = ar2, r2 ∈ R⇒ (x1 − x2 = a(r1 − r2) ∈ aR);
(x ∈ aR, r0 ∈ R) ⇒ (x = ar, r ∈ R) ⇒ (r0x = xr0 = arr0 ∈ aR).
ö¤¥ « aR §¨¢ îâì £®«®¢¨¬ ÷¤¥ «®¬, ¯®à®¤¦¥¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ a, ÷¯®§ ç îâì ç¥à¥§ (a).
�¯à ¢ 7.9. �®¢¥áâ¨, é® £®«®¢¨© ÷¤¥ « (a) ¬÷÷¬ «ì¨© (§ ¢÷¤®-è¥ï¬ «⊂») ÷¤¥ «, 直© ¬÷áâ¨âì ¥«¥¬¥â a, ⮡â®
(J { ÷¤¥ « ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉, a ∈ J) ⇒ ((a) ⊂ J).
�ਪ« ¤ 7.15. 1. � ¡ã¤ì-类¬ã ª®¬ãâ ⨢®¬ã ª÷«ìæ÷ 〈R, +, ·〉 § ®¤¨-¨æ¥î ®¡¨¤¢ âਢ÷ «ì÷ ÷¤¥ «¨ £®«®¢÷: {0} = 0R = (0), R = 1R = (1).
2. � ª÷«ìæ÷ æ÷«¨å ç¨á¥« Z ¤«ï n ∈ Z ®âਬãõ¬®
(n) = (−n) = nZ.
3. �÷«ìæ¥ ¬®£®ç«¥÷¢ R[x] ¬÷áâ¨âì â ª÷ £®«®¢÷ ÷¤¥ «¨ (p(x) ∈ R[x]):
(p(x)) = {p(x)q(x) : q(x) ∈ R[x]},⮡⮠£®«®¢¨© ÷¤¥ « (p(x)) ¬÷áâ¨âì â÷ ÷ â÷«ìª¨ â÷ ¬®£®ç«¥¨, ïª÷ ¤÷«ïâìáï¡¥§ ®áâ ç÷ ¬®£®ç«¥ p(x). � ª, ÷¤¥ « (x−a) (a ∈ R) ¬÷áâ¨âì â÷ ÷ â÷«ìª¨â÷ ¬®£®ç«¥¨, ¤«ï 直å ç¨á«® a õ ª®à¥¥¬:
(x− a) = {(x− a)q(x) : q(x) ∈ R[x]}.
192
7.6. ö¤¥ « ª÷«ìæï
�¯à ¢ 7.10. �¥å © 〈R, +, ·〉 { ®¡« áâì æ÷«÷á®áâ÷, r1, r2 ∈ R. �®¢¥áâ¨:• (r1 = r2a, a ∈ R) ⇒ ((r1) ⊂ (r2));• (r1 = r2a, a ∈ R∗) ⇒ ((r1) = (r2)).�§ ç¥ï 7.8. �¡« áâì æ÷«÷á®áâ÷, ïª ¬÷áâ¨âì «¨è¥ £®«®¢÷ ÷¤¥ «¨,
§¨¢ îâì ª÷«ì楬 £®«®¢¨å ÷¤¥ «÷¢.�ਪ« ¤ 7.16. 1. �÷«ìæ¥ æ÷«¨å ç¨á¥« Z õ ª÷«ì楬 £®«®¢¨å ÷¤¥ -
«÷¢. �÷©á®, ª÷«ìæ¥ Z { ®¡« áâì æ÷«÷á®áâ÷. �®¢¥¤¥¬®, é® Z ¬÷áâ¨âì «¨è¥£®«®¢÷ ÷¤¥ «¨.
�¥å © J { ¤¥ïª¨© ¥ã«ì®¢¨© ÷¤¥ « ª÷«ìæï Z (ïª ã¦¥ § § ç «¨, ã-«ì®¢¨© ÷¤¥ « {0} = 0Z õ £®«®¢¨¬). � ä÷ªáãõ¬® ¬÷÷¬ «ì¥ ¤®¤ ⥠ç¨á-«®, é® ¬÷áâ¨âìáï ¢ J :
m = min{n ∈ J : n > 0}. (7.5)
�à 客ãîç¨ ®§ ç¥ï ÷¤¥ «ã, ®âਬãõ¬®
(∀ k ∈ Z : mk ∈ J) ⇒ ((m) ⊂ J).
� à¥èâ÷ ¤®¢¥¤¥¬®, é® ª®¦¥ ¥«¥¬¥â ÷¤¥ «ã J ¬÷áâ¨âìáï ¢ £®«®¢®¬ã÷¤¥ «÷ (m). �«ï ¤®¢÷«ì®£® n ∈ J ¤÷áâ ¥¬®
(n,m ∈ J) ⇒ (∀ k ∈ Z : n + mk ∈ J) ⇒ ((n mod m) ∈ J).
�¢÷¤á¨, ¢à 客ãîç¨ (7.5), ®âਬãõ¬®
(0 ≤ n mod m ≤ m− 1) ⇒ (n mod m = 0) ⇒ (n ∈ (m)).
� ª¨¬ 種¬, (m) ⊂ J ⊂ (m) ⇒ J = (m). �⦥, ª®¦¥ ÷¤¥ « J ª÷«ìæïZ ¤÷©á® £®«®¢¨©, ÷ ª÷«ìæ¥ æ÷«¨å ç¨á¥« Z õ ª÷«ì楬 £®«®¢¨å ÷¤¥ «÷¢.
2. �÷«ìæ¥ R[x] ¬®£®ç«¥÷¢ § ¤÷©á¨¬¨ ª®¥ä÷æ÷õâ ¬¨ õ ª÷«ì楬 £®«®¢-¨å ÷¤¥ «÷¢. �÷©á®, ª÷«ìæ¥ R[x] õ ®¡« áâî æ÷«÷á®áâ÷. �®¢¥¤¥¬®, é® R[x]¬÷áâ¨âì «¨è¥ £®«®¢÷ ÷¤¥ «¨.
�¥å © J { ¤¥ïª¨© ¥ã«ì®¢¨© ÷¤¥ « ª÷«ìæï R[x]. �¥å © m { ©¬¥è¨©¤®¤ ⨩ á⥯÷ì á¥à¥¤ á⥯¥÷¢ ¬®£®ç«¥÷¢ ÷¤¥ «ã J , ⮡⮠J ¬÷áâ¨âì¯à¨ ©¬÷ ®¤¨ ¬®£®ç«¥ á⥯¥ï m ÷ ¥ ¬÷áâ¨âì ¦®¤®£® ¬®£®ç«¥- ¤®¤ ⮣® á⥯¥ï k < n. � ä÷ªáãõ¬® ¤¥ïª¨© ¬®£®ç«¥ p(x) ∈ Já⥯¥ï m:
p (x) = amxm + am−1xm−1 + · · ·+ a1x + a0, am 6= 0.
193
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
�à 客ãîç¨ ®§ ç¥ï ÷¤¥ «ã, ®âਬ õ¬®
(∀ q(x) ∈ R[x] : p(x)q(x) ∈ J) ⇒ ((p(x)) ⊂ J).
�®¢¥¤¥¬®, é® ª®¦¥ ¬®£®ç«¥ ÷¤¥ «ã J ¬÷áâ¨âìáï ¢ £®«®¢®¬ã ÷¤¥ «÷(p(x)). �®¢÷«ì¨© ¬®£®ç«¥ q(x) ∈ J ¬®¦¥¬® ¯®¤÷«¨â¨ p(x):
q(x) = p(x)s(x) + r(x),
¤¥ s(x), r(x) ∈ R[x], ¯à¨ç®¬ã á⥯÷ì ¬®£®ç«¥ r(x) { ®áâ ç÷ ¢÷¤ ¤÷«¥-ï { õ áâண® ¬¥è®î § m. �⦥, ¢à 客ãîç¨ ¢¨¡÷à ¬®£®ç«¥ p(x),¬ õ¬®
(r(x) = q(x)− p(x)s(x) ∈ J) ⇒ (r(x) = 0) ⇒⇒ (q(x) = p(x)s(x) ∈ (p(x))).
� ª¨¬ 種¬, (p(x)) ⊂ J ⊂ (p(x)) ⇒ J = (p(x)). �⦥, ª®¦¥ ÷¤¥ « Jª÷«ìæï R[x] £®«®¢¨©, ÷ ª÷«ìæ¥ R[x] õ ª÷«ì楬 £®«®¢¨å ÷¤¥ «÷¢.
3. �®§£«ï¥¬® ª÷«ìæ¥ R[x, y] ¬®£®ç«¥÷¢ ¢÷¤ §¬÷¨å x â y:
R[x, y] =
{n∑
i=0
m∑j=0
ai,jxiyj : ai,j ∈ R (0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m), n, m ≥ 0
}.
�¯¥à æ÷ù ¤®¤ ¢ ï â ¬®¦¥ï R[x, y] ¢¢®¤ïâì ¯®â®çª®¢® ( -«®£÷ç® ®¯¥à æ÷ï¬ ã ª÷«ìæ÷ R[x]).
�÷«ìæ¥ R[x, y] õ ®¡« áâî æ÷«÷á®áâ÷ (æ¥ «¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨), «¥ ¥ õª÷«ì楬 £®«®¢¨å ÷¤¥ «÷¢. � ª, ¬®¦¨ ¬®£®ç«¥÷¢
J = {p(x, y) ∈ R[x, y] : p(0, 0) = 0}õ, ®ç¥¢¨¤®, ÷¤¥ «®¬ ã ª÷«ìæ÷ R[x, y]. �®¢¥¤¥¬®, é® J { ¥ £®«®¢¨© ÷¤¥ «.
�ªé® ¯à¨¯ãáâ¨â¨, é® J = (p(x, y)) ¤«ï ¤¥ïª®£® p(x, y) ∈ R[x, y], â®®âਬãõ¬®:
(x ∈ J) ⇒ (x = p(x, y)q1(x, y)) (7.6)¤«ï ¤¥ïª®£® q1(x, y) ∈ R[x, y];
(y ∈ J) ⇒ (y = p(x, y)q2(x, y)) (7.7)
¤«ï ¤¥ïª®£® q2(x, y) ∈ R[x, y].
194
7.7. � ªâ®à-ª÷«ìæ¥
�¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, é® § ⢥द¥ï (7.6) ¢¨¯«¨¢ õ ¥§ «¥¦÷áâì ¬®-£®ç«¥÷¢ p(x, y) â q1(x, y) ¢÷¤ §¬÷®ù y: ¬®£®ç«¥ x = p(x, y)q1(x, y) ¬ õ§ §¬÷®î y á⥯÷ì n + m, ¤¥ n â m { á⥯¥÷ § §¬÷®î y ¬®£®-ç«¥÷¢ p(x, y) â q(x, y) ¢÷¤¯®¢÷¤®. �«¥ n + m = 0, §¢÷¤ª¨, ¢à 客ãî稥¢÷¤'õ¬÷áâì n â m, ®âਬãõ¬® n = m = 0.
� «®£÷ç®, § (7.7) ¢¨¯«¨¢ õ ¥§ «¥¦÷áâì p(x, y) ¢÷¤ §¬÷®ù x (¬®-£®ç«¥ q2(x, y) â ª®¦ ¥ ¬÷áâ¨âì x, «¥ æ¥ § à § ¥¢ ¦«¨¢®). �⦥, p(x, y)¥ ¬÷áâ¨âì ÷ §¬÷®ù x, ÷ §¬÷®ù y, ⮡⮠õ ª®áâ â®î: p(x, y) = c. �«¥¢ â ª®¬ã à §÷ ÷¤¥ « J = (p(x, y)) = (c) õ ¡® á ¬¨¬ ª÷«ì楬 R[x, y] (ïªé®c 6= 0), ¡® ã«ì®¢¨¬ ¯÷¤ª÷«ì楬 {0} (ïªé® c = 0). �¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, 鮢 ®¡®å ¢¨¯ ¤ª å ®âਬãõ¬® á㯥à¥ç÷áâì:
(J 3 x 6= 0) ⇒ (J 6= {0}); (x + 1 ∈ R[x, y] \ J) ⇒ (J 6= R[x, y]).
�⦥, J = {p(x, y) ∈ R[x, y] : p(0, 0) = 0} ¤÷©á® ¥ õ £®«®¢¨¬ ÷¤¥ «®¬ã ª÷«ìæ÷ R[x, y].
7.7. � ªâ®à-ª÷«ìæ¥�¥å © J { ÷¤¥ « ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉. � ¢¨§ ç¥ï¬ ÷¤¥ « õ ¯÷¤£à㯮î
£à㯨 〈R, +〉 ÷, ¢à 客ãîç¨ ª®¬ãâ ⨢÷áâì £à㯨 〈R, +〉, ùù ®à¬ «ì¨¬¤÷«ì¨ª®¬. �⦥, ¬®¦ ஧£«ï¤ â¨ ä ªâ®à-£àã¯ã
⟨R
/J, +
⟩:
R/J
= {a = a + J : a ∈ R}, a + b = a + b = (a + b) + J.
�®è¨à¨¬® ¬®¦¨ã R/J
®¯¥à æ÷î ¬®¦¥ï:
a · b = a · b, (a, b ∈ R).
�¥¬ 7.3. �¯¥à æ÷î ¬®¦¥ï R/J
¢¢¥¤¥® ª®à¥ªâ®, ⮡⮤®¡ã⮪ ¥ § «¥¦¨âì ¢÷¤ ¢¨¡®à㠯।áâ ¢¨ª÷¢ áã¬÷¦¨å ª« á÷¢:
a1 · b1 = a · b, ïªé® a1 = a, b1 = b.
�®¢¥¤¥ï. �¥å © a1 = a, b1 = b. �®¢¥¤¥¬®, é® a1 · b1 = a · b, ¤«ï 箣®áª®à¨áâ õ¬®áì «¥¬®î 6.9:
(a1 = a) ⇔ (a1 − a ∈ J) ; (b1 = b) ⇔ (b1 − b ∈ J).
195
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
� ¢¨§ ç¥ï¬ ÷¤¥ «ã ®âਬãõ¬®
a1 · b1 − a · b = a1 · b1 − a1 · b + a1 · b− a · b = a1 · (b1 − b) + (a1 − a) · b ∈ J.
�⦥, § «¥¬®î 6.9, ¤÷áâ ¥¬®
(a1 ·b1−a·b ∈ J) ⇔ (a1 · b1 = a · b).
� ª¨¬ 種¬, ¯®¡ã¤®¢ ® «£¥¡à¨çã áâàãªâãàã⟨R
/J, +, ·⟩, ïª ãá-
¯ ¤ª®¢ãõ ¡ £ â® ¢« á⨢®á⥩ ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉.�¯à ¢ 7.11. �®¢¥áâ¨, é® «£¥¡à¨ç áâàãªâãà
⟨R
/J, +, ·⟩ { ª÷«ìæ¥.
�®¡ã¤®¢ ¥ ª÷«ìæ¥⟨R
/J, +, ·⟩ §¨¢ îâì ä ªâ®à-ª÷«ì楬 ª÷«ìæï R §
÷¤¥ «®¬ J .�«ï ¯à ªâ¨ç®£® ®¡ç¨á«¥ï ä ªâ®à-ª÷«¥æì §¤¥¡÷«ì讣® §àãç® ¢¨-
ª®à¨á⮢㢠⨠«¥¬ã 6.9, ïª ¤«ï ¢¨¯ ¤ªã ä ªâ®à-£à㯨⟨R
/J, +
⟩ ¡ã¢ õ
¢¨£«ï¤ã(a = b) ⇔ (a− b ∈ J),
¤¥ a, b ∈ R.
�ਪ« ¤ 7.17. 1. � ªâ®à-ª÷«ìæ¥ ª÷«ìæï æ÷«¨å ç¨á¥« Z § ÷¤¥ «®¬nZ (n ∈ N) §¡÷£ õâìáï § ¢÷¤¯®¢÷¤¨¬ ª÷«ì楬 ª« á÷¢ «¨èª÷¢:
Z/nZ = Zn = {0, . . . , n− 1}.
� £ ¤ õ¬®, é® ®¯¥à æ÷ù «+» â «·» ¬®¦¨÷ Z/nZ = Zn ¡ã«® ¢¢¥¤¥®
¢ ¯à®æ¥á÷ ¢¨¢ç¥ï ª« á÷¢ «¨èª÷¢ (¯÷¤à®§¤. 6.4).2. �¡ç¨á«¨¬® ä ªâ®à-ª÷«ìæ¥ ª÷«ìæï ¬®£®ç«¥÷¢ R[x] § £®«®¢¨¬ ÷¤¥-
«®¬ J = (x). �¨§ 稬® ¢¨£«ï¤ áã¬÷¦¨å ª« á÷¢, ᪮à¨áâ ¢è¨áì «¥-¬®î 6.9:
( p1(x) = p2(x) ) ⇔ (p1(x)− p2(x) ∈ (x)) ⇔ (p1(0) = p2(0)).
�⦥, ª®¦¨© áã¬÷¦¨© ª« á Pa ä ªâ®à-ª÷«ìæï R/(x)
¬÷áâ¨âì ¬®-£®ç«¥¨, ïª÷ ¡ã¢ îâì ã â®çæ÷ 0 ä÷ªá®¢ ®£® (ã ¬¥¦ å ¤ ®£® ª« áã)§ ç¥ï a:
Pa = {p(x) ∈ R[x] : p(0) = a}, a ∈ R.
196
7.8. �®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì
�⦥, è㪠¥ ä ªâ®à-ª÷«ìæ¥ ¬ õ ¢¨£«ï¤R
/(x)
= {Pa : a ∈ R}.�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ®¯¥à æ÷ù ä ªâ®à-ª÷«ìæ÷ R
/(x)
¢¨§ ç îâìáïâ ª¨¬¨ á¯÷¢¢÷¤®è¥ï¬¨:
Pa + Pb = Pa+b; Pa · Pb = Pa·b .
7.8. �®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ¢¢¥¤¥¬® ¤® ஧£«ï¤ã ¤¢ ª÷«ìæï: 〈R1, +, ·〉 â
〈R2, +, ·〉. � § 稬®, é® ¤®¤ ¢ ï â ¬®¦¥ï R1 ¢÷¤à÷§ïîâìáï¢÷¤ ¢÷¤¯®¢÷¤¨å ®¯¥à æ÷© R2. �à®â¥ ¥ ¢¢®¤¨â¨¬¥¬® à÷§÷ ¯®§ ç¥ï¤«ï ®¯¥à æ÷© R1 â R2 ( ªèâ «â «+1» â «+2»), ®áª÷«ìª¨ æ¥ § ç®ã᪫ ¤¨âì ஧ã¬÷ï ⥪áâã.
�§ ç¥ï 7.9. �÷¤®¡à ¦¥ï f : R1 → R2 §¨¢ îâì £®¬®¬®à-ä÷§¬®¬, ¡® £®¬®¬®à䨬 ¢÷¤®¡à ¦¥ï¬, ª÷«ìæï 〈R1, +, ·〉 ¢ ª÷«ìæ¥〈R2, +, ·〉, ïªé®
f(a + b) = f(a) + f(b), f(a · b) = f(a) · f(b)
¤«ï ¤®¢÷«ì¨å a, b ∈ R1.ö'õªâ¨¢¨© £®¬®¬®àä÷§¬ §¨¢ îâì ¬®®¬®àä÷§¬®¬, áîà'õªâ¨¢¨© {
¥¯÷¬®àä÷§¬®¬, ¡÷õªâ¨¢¨© { ÷§®¬®àä÷§¬®¬. �ªé® f : R1 → R2 { ÷§®-¬®àä÷§¬, ª÷«ìæï 〈R1, +, ·〉 â 〈R2, +, ·〉 §¨¢ îâì ÷§®¬®à䨬¨. �«ïä ªâã ÷§®¬®àä®áâ÷ ª÷«¥æì 〈R1, +, ·〉 â 〈R2, +, ·〉 ¢¦¨¢ îâì ¯®§ ç¥ï〈R1, +, ·〉 ∼ 〈R2, +, ·〉 ¡® (ïªé® ®¯¥à æ÷ù ¢¦¥ ¢¨§ ç¥÷) R1 ∼ R2.
�⦥, ¢¨§ ç¥ï £®¬®¬®àä÷§¬ã ª÷«¥æì æ÷«ª®¬ «®£÷ç¥ ¢¨§ ç¥-î £®¬®¬®àä÷§¬ã £àã¯: £®¬®¬®àä÷§¬ ¬ õ «§¡¥à÷£ ⨻ ¢÷¤¯®¢÷¤÷ ®¯¥à æ÷ù «£¥¡à¨ç¨å áâàãªâãà. �祢¨¤®, é® £®¬®¬®àä÷§¬ (¬®®¬®àä÷§¬, ¥¯÷-¬®àä÷§¬) f ª÷«ìæï 〈R1, +, ·〉 ã ª÷«ìæ¥ 〈R2, +, ·〉 õ ®¤®ç á® £®¬®¬®àä÷§-¬®¬ (¢÷¤¯®¢÷¤® ¬®®- ¡® ¥¯÷¬®àä÷§¬®¬) £à㯨 〈R1, +〉 ã £àã¯ã 〈R2, +〉,é® ¤ õ §¬®£ã áä®à¬ã«î¢ ⨠⠪÷ ¢« á⨢®áâ÷ ¤«ï £®¬®¬®àä÷§¬ã ª÷«¥æì:
• f(0) = 0 (§ § 稬®, é® ã«÷ ¢ ª÷«ìæïå R1 â R2 ¬®¦ãâì ¡ãâ¨à÷§¨¬¨);
• f(−a) = −f(a) ¤«ï ¡ã¤ì-类£® a ∈ R1.
197
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
�ਪ« ¤ 7.18. 1. �÷¦ ¡ã¤ì-直¬¨ ª÷«ìæﬨ 〈R1, +, ·〉 S 〈R2, +, ·〉¬®¦ ¢áâ ®¢¨â¨ £®¬®¬®àä÷§¬, 直© §¨¢ îâì ã«ì®¢¨¬:
O : R1 → R2, ∀x ∈ R1 : O(x) = 0.
2. �¥å © J { ÷¤¥ « ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉. �®§£«ï¥¬® â ª¥ ¢÷¤®¡à ¦¥ï ÷§ª÷«ìæï R ã ä ªâ®à-ª÷«ìæ¥ R
/J:
r : R → R/J, r(x) = x.
�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® æ¥ ¢÷¤®¡à ¦¥ï õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬. �¨§ 票©£®¬®¬®àä÷§¬ r : R → R
/J
§¨¢ îâì ¯à¨à®¤¨¬, ¡® ª ®÷稬.
3. � âà¨ç¥ ª÷«ìæ¥ V1 =
{(a b−b a
): a, b ∈ R
}§ ¯à¨à®¤¨¬¨ ¤®¤ ¢ -
ï¬ ÷ ¬®¦¥ï¬ ÷§®¬®àä¥ ª÷«ìæî ª®¬¯«¥ªá¨å ç¨á¥« C; ¡¥§¯®á¥à¥¤ì®¯¥à¥¢÷àïõâìáï, é® ÷§®¬®àä÷§¬ ¬®¦ § ¤ ⨠⠪¨¬ ¢÷¤®¡à ¦¥ï¬:
f : V1 → C, f :
(a b−b a
)7→ a + bi.
4. � âà¨ç¥ ª÷«ìæ¥ V2 =
{(a b−b a
): a, b ∈ Z
}§ ¯à¨à®¤¨¬¨ ¤®¤ ¢ -
ï¬ ÷ ¬®¦¥ï¬ ÷§®¬®àä¥ ª÷«ìæî V3 = {a + bi : a, b ∈ Z} ª®¬¯«¥ªá¨åç¨á¥« § æ÷«¨¬¨ ¤÷©á®î â ª®¬¯«¥ªá®î ç á⨠¬¨; ¡¥§¯®á¥à¥¤ì® ¯¥à¥-¢÷àïõâìáï, é® ÷§®¬®àä÷§¬ ¬®¦ § ¤ ⨠⠪¨¬ ¢÷¤®¡à ¦¥ï¬:
f : V2 → V3, f :
(a b−b a
)7→ a + bi.
5. � âà¨ç¥ ª÷«ìæ¥ V4 =
{(a b2b a
): a, b ∈ Z
}§ ¯à¨à®¤¨¬¨ ®¯¥à æ÷-
ﬨ ÷§®¬®àä¥ ç¨á«®¢®¬ã ª÷«ìæî V5 = {a+b√
2: a, b ∈ Z}; ¡¥§¯®á¥à¥¤ì®¯¥à¥¢÷àïõâìáï, é® ÷§®¬®àä÷§¬ ¬®¦ § ¤ ⨠⠪¨¬ ¢÷¤®¡à ¦¥ï¬:
f : V4 → V5, f :
(a b2b a
)7→ a + b
√2.
198
7.8. �®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì
�¯à ¢ 7.12. �®¢¥áâ¨, é® ª÷«ìæï V3 â V5 ¥÷§®¬®àä÷.
�§ ç¥ï 7.10. �¤à®¬ £®¬®¬®àä÷§¬ã f : R1 → R2 §¨¢ îâì ¬®-¦¨ã Kerf ⊂ R1, é® ¬÷áâ¨âì â÷ ÷ â÷«ìª¨ â÷ x ∈ R1, ¤«ï 直å f(x) = 0:
Kerf = {x ∈ R1 : f(x) = 0}.
� § 稬®, é® ï¤à® £®¬®¬®àä÷§¬ã ª÷«¥æì § ¢¦¤¨ ¬÷áâ¨âì ¯à¨ ©¬÷®¤¨ ¥«¥¬¥â: 0 ∈ R1, ®áª÷«ìª¨ f(0) = 0. �¤à® Kerf , é® ¬÷áâ¨âì «¨è¥®¤¨ ¥«¥¬¥â (Kerf = {0}), §¨¢ îâì âਢ÷ «ì¨¬.
�à®á⨬ á«÷¤ª®¬ ÷§ ⥮६¨ 6.16 õ ⥮६ 7.7.
�¥®à¥¬ 7.7. �®¬®¬®àä÷§¬ ª÷«¥æì f : R1 → R2 õ ¬®®¬®àä÷§¬®¬â®¤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ï¤à® Kerf âਢ÷ «ì¥.
�ਪ« ¤ 7.19. 1. �¥å © O : R1 → R2 { ã«ì®¢¨© £®¬®¬®à-ä÷§¬ ÷§ ¥ã«ì®¢®£® ª÷«ìæï 〈R1, +, ·〉 ã ª÷«ìæ¥ 〈R2, +, ·〉. �祢¨¤®, é®KerO = R1, ⮡⮠ï¤à® ¥ õ âਢ÷ «ì¨¬, ÷ ã«ì®¢¨© £®¬®¬®àä÷§¬ ¥ õ¬®®¬®àä÷§¬®¬.
2. �¥å © J { ¥âਢ÷ «ì¨© ÷¤¥ « ª÷«ìæï 〈R, +, ·〉, ¢÷¤®¡à ¦¥ïr : R → R
/J
{ ¢÷¤¯®¢÷¤¨© ¯à¨à®¤¨© £®¬®¬®àä÷§¬. �¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨,é® Kerr = J , ⮡⮠ï¤à® ¥ õ âਢ÷ «ì¨¬, ÷ ¯à¨à®¤¨© £®¬®¬®àä÷§¬ ¥õ ¬®®¬®àä÷§¬®¬.
3. �®§£«ï¥¬® ¢÷¤®¡à ¦¥ï ÷§ ª÷«ìæï ¬®£®ç«¥÷¢ § ¤÷©á¨¬¨ ª®¥ä÷-æ÷õâ ¬¨ ¢ ª÷«ìæ¥ ¤÷©á¨å ç¨á¥«, é® ¤÷õ § § ª®®¬:
f : R[x] → R, f : p(x) 7→ p(0) (p(x) ∈ R[x]).
�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® f õ £®¬®¬®àä÷§¬®¬, ï¤à® 类£® ¬ õ ¢¨£«ï¤
Kerf = {p(x) ∈ R[x] : p(0) = 0}.
�¤à® Kerf , ®ç¥¢¨¤®, ¥ õ âਢ÷ «ì¨¬, ÷ ஧£«ïã⨩ £®¬®¬®àä÷§¬f ¥ õ ¬®®¬®àä÷§¬®¬.
�¥®à¥¬ 6.17 â ª®¦ ¬ õ «®£ ã ⥮à÷ù ª÷«¥æì.
�¥®à¥¬ 7.8. �¥å © f : R1 → R2 { £®¬®¬®àä÷§¬ ¬÷¦ ª÷«ìæﬨ〈R1, +, ·〉 â 〈R2, +, ·〉. �®¤÷:
199
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
1) ï¤à® Kerf õ ÷¤¥ «®¬ ã R1;2) ®¡à § Imf õ ¯÷¤ª÷«ì楬 ã R2.
�®¢¥¤¥ï. 1. �®¢¥¤¥¬®, é® ï¤à® Kerf õ ÷¤¥ «®¬ ã R1:• § ⥮६¨ 6.17 ¢¨¯«¨¢ õ, é® Kerf õ ¯÷¤£àã¯®î ¢ 〈R1, +〉;• § ä÷ªá㢠¢è¨ r ∈ R1, j ∈ Kerf , ®âਬãõ¬®:
f(rj) = f(r) · f(j) = f(r) · 0 = 0; f(jr) = f(j) · f(r) = 0 · f(r) = 0.
� ª¨¬ 種¬, rj ∈ Kerf â jr ∈ Kerf .�⦥, Kerf § ¤®¢®«ìïõ ®¡¨¤¢÷ ¢¨¬®£¨ ®§ ç¥ï ÷¤¥ «ã ª÷«ìæï.2. �®¢¥¤¥¬®, é® Imf õ ¯÷¤ª÷«ì楬 ã R2. � ⥮६¨ 6.17 ¢¨¯«¨¢ õ, é®
Imf õ ¯÷¤£àã¯®î ¢ 〈R2, +〉. �¥à¥¢÷ਬ® § ¬ª¥÷áâì Imf ¢÷¤®á® ¬®-¦¥ï. � ä÷ªáãõ¬® ¤®¢÷«ì÷ y1, y2 ∈ Imf ; ¢à 客ãîç¨ ¢¨§ ç¥ï ®¡à §ã¢÷¤®¡à ¦¥ï, ¢¢ ¦ ⨬¥¬®, é® y1 = f(x1), y2 = f(x2), ¤¥ x1, x2 ∈ R1.�«ï ¤®¡ãâªã f(x1) · f(x2) ®âਬãõ¬®
f(x1) · f(x2) = f(x1 · x2) ∈ Imf .
�⦥, § ⥮६®î 7.1, Imf { ¯÷¤ª÷«ìæ¥ ª÷«ìæï R2.
�¯à ¢ 7.13. �¥à¥¢÷à¨â¨ ⢥द¥ï ⥮६¨ 7.8 £®¬®¬®àä÷§¬ å§ ¯à¨ª«. 7.19.
7.9. �¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì� ⥮à÷ù ª÷«¥æì â ª®¦ ÷áãõ ⥮६ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ { «®£ ¢÷¤-
¯®¢÷¤®ù ⥮६¨ ¢ ⥮à÷ù £àã¯. �ª ÷ ¢ ⥮à÷ù £àã¯, ⥮६ ¯à® £®¬®-¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì ¢áâ ®¢«îõ §¢'燐ª ¬÷¦ £®¬®¬®àä÷§¬ ¬¨, ÷¤¥ « ¬¨ â ä ªâ®à-ª÷«ìæﬨ.
�¥å © f : R1 → R2 { £®¬®¬®àä÷§¬ ¬÷¦ ª÷«ìæﬨ 〈R1, +, ·〉 â 〈R2, +, ·〉.� £ ¤ õ¬®:
• ï¤à® Kerf £®¬®¬®àä÷§¬ã f õ ÷¤¥ «®¬ ã ª÷«ìæ÷ 〈R1, +, ·〉, ®â¦¥,¬®¦ ஧£«ï¤ â¨ ä ªâ®à-ª÷«ìæ¥ R1
/Kerf
;• ®¡à § Imf £®¬®¬®àä÷§¬ã f õ ¯÷¤ª÷«ì楬 ª÷«ìæï 〈R2, +, ·〉, ®â¦¥,
¬®¦ ஧£«ï¤ ⨠Imf ïª ª÷«ìæ¥ 〈Imf , +, ·〉.
200
7.9. �¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì
�¥®à¥¬ 7.9 (®á®¢ ⥮६ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì).1. � ªâ®à-ª÷«ìæ¥ R1
/Kerf
§ ï¤à®¬ Kerf ÷§®¬®àä¥ ®¡à §ã Imf :
R1
/Kerf
∼ Imf .
2. öáãõ â ª¨© ÷§®¬®àä÷§¬ f : R1
/Kerf
→ Imf , é®
f ◦ r = f,
¤¥ r : R1 → R1
/Kerf
{ ¯à¨à®¤¨© £®¬®¬®àä÷§¬ (∀x ∈ R1 : r(x) = x).
�®¢¥¤¥ï. � ¤ ¬® ¢÷¤®¡à ¦¥ï f : R1
/Kerf
→ Imf á¯÷¢¢÷¤®è¥ï¬
f(x) = f(x), x ∈ R1.
� ¯à®æ¥á÷ ¤®¢¥¤¥ï ⥮६¨ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £à㯠(⥮६ 6.18)¡ã«® ¤®¢¥¤¥®, é® ¢÷¤®¡à ¦¥ï f § ¤ ® ª®à¥ªâ® ÷ õ ÷§®¬®àä÷§¬®¬¬÷¦ £à㯠¬¨
⟨R1
/J, +
⟩â 〈Imf , +〉. � à¥èâ÷, ¤«ï ¤®¢÷«ì¨å x1, x2 ∈ R1
/J
®âਬãõ¬®
f(x1 · x2) = f(x1 · x2) = f(x1 · x2) = f(x1) · f(x2) = f(x1) · f(x2).
�¥®à¥¬ã ¯®¢÷áâî ¤®¢¥¤¥®.
�ਪ« ¤ 7.20. � ª÷«ìæ÷ ¬®£®ç«¥÷¢ R[x] ஧£«ï¥¬® £®«®¢¨© ÷¤¥ «(x− a), a ∈ R. �«ï § áâ®á㢠ï ⥮६¨ 7.9 ஧£«ï¥¬® £®¬®¬®àä÷§¬ f÷§ ª÷«ìæï R[x] ã ª÷«ìæ¥ ¤÷©á¨å ç¨á¥«:
f : R[x] → R, f(p(·)) = p(a)
(¢¨ª®à¨áâ ï ᨬ¢®«ã «·» ¢ § ¯¨áã f(p(·)) ®§ ç õ, é® à£ã¬¥â®¬ ¢÷-¤®¡à ¦¥ï f õ ¬®£®ç«¥ p ∈ R[x], ¥ ©®£® § ç¥ï ¢ ª®ªà¥â÷©â®çæ÷). �¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ï¤à® â ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã f ¬ îâì â -ª¨© ¢¨£«ï¤:
Kerf = {p(x) ∈ R[x] : p(a) = 0} = (x− a);
Imf = {p(a) : p(x) ∈ R[x]} = R.
201
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
�⦥, § ⥮६®î 7.9 ®âਬãõ¬®
R[x]/(x−a)
∼ R.
�ª ÷ ¢ ⥮à÷ù £àã¯, ¯. 2 ⥮६¨ 7.9 ¤®§¢®«ïõ  ¢ª § ⨠¢¨£«ï¤áã¬÷¦¨å ª« á÷¢ ä ªâ®à-ª÷«ìæï R[x]
/(x−a)
. �¨¯¨è¥¬® © ¢¨£«ï¤ ÷§®-¬®àä÷§¬ã f : R[x]
/(x−a)
→ R:
f(p(·)
)= f(p(·)) = p(a).
�⦥, ª®¦¥ áã¬÷¦¨© ª« á Aa ä ªâ®à-ª÷«ìæï R[x]/(x−a)
¬÷áâ¨âì ¬®-£®ç«¥¨ § ®¤ ª®¢¨¬ § ç¥ï¬ a ã â®çæ÷ a:
R[x]/(x−a)
= {Aa : a ∈ R}, Aa = {p(x) ∈ R[x] : p(a) = a}.
�ਪ« ¤ 7.21. � ª÷«ìæ÷ ¬®£®ç«¥÷¢ R[x] ஧£«ï¥¬® £®«®¢¨© ÷¤¥ «(x2 + 1). �«ï § áâ®á㢠ï ⥮६¨ 7.9 ஧£«ï¥¬® £®¬®¬®àä÷§¬ f ÷§ª÷«ìæï R[x] ã ª÷«ìæ¥ ª®¬¯«¥ªá¨å ç¨á¥«:
f : R[x] → C, f(p(·)) = p(i)
(§ 㢠¦¨¬®, é® ¤«ï p(x) ∈ R[x] ¬ õ¬® à÷¢÷áâì: |p(i)| = |p(−i)|). �¥£ª®¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ï¤à® â ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã f ¬ îâì â ª¨© ¢¨£«ï¤:
Kerf = {p(·) ∈ R[x] : p(i) = p(−i) = 0} = (x2 + 1);
Imf = {p(i) : p(·) ∈ R[x]} = C.
�⦥, § ⥮६®î 7.9 ¤÷áâ ¥¬®
R[x]/(x2+1)
∼ C.
� 㢠¦¥ï 7.9. �âਬ ¨© १ã«ìâ â ¬®¦ 㧠£ «ì¨â¨ ¢¨¯ -¤®ª £®«®¢®£® ÷¤¥ «ã (ax2 + bx + c), ¤¥ a 6= 0 â ¬®£®ç«¥ ax2 + bx + c¥ ¬ õ ¤÷©á¨å ª®à¥÷¢:
R[x]/(ax2+bx+c)
∼ C.
202
7.9. �¥®à¥¬ ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ ª÷«¥æì
�ਪ« ¤ 7.22. � ª÷«ìæ÷ ¬®£®ç«¥÷¢ R[x] ஧£«ï¥¬® £®«®¢¨© ÷¤¥- « ((x − a)(x − b)), ¤¥ a, b ∈ R, a 6= b. �«ï § áâ®á㢠ï ⥮६¨ 7.9஧£«ï¥¬® £®¬®¬®àä÷§¬ f ÷§ ª÷«ìæï R[x] ã ª÷«ìæ¥ ¬ âà¨æì:
f : R[x] → M2×2, f : p(·) 7→ p
((a 00 b
)).
�÷î ¬®£®ç«¥ p(x) =n∑
k=0
akxk ¬ âà¨æî X ∈ M2×2 ¢¨§ ç îâì
áâ ¤ àâ®:
p(X) =n∑
k=0
akXk, X0 = I.
�®¡ á¯à®áâ¨â¨ ®¡ç¨á«¥ï ï¤à â ®¡à §ã ¢÷¤®¡à ¦¥ï f , £ ¤ õ¬®¬¥â®¤ ®¡ç¨á«¥ï äãªæ÷ù ¢÷¤ ¤÷ £® «ì®ù ¬ âà¨æ÷:
p
((x1 00 x2
))=
(p(x1) 0
0 p(x2)
).
�¥¯¥à «¥£ª® ¤®¢¥áâ¨, é® ï¤à® â ®¡à § £®¬®¬®àä÷§¬ã f ¬ îâì â ª¨©¢¨£«ï¤:
Kerf =
{p(·) ∈ R[x] : p
((a 00 b
))=
(0 00 0
)}=
=
{p(·) ∈ R[x] :
(p(a) 00 p(b)
)=
(0 00 0
)}=
= {p(·) ∈ R[x] : p(a) = p(b) = 0} = ((x− a)(x− b));
Imf =
{p
((a 00 b
)): p (·) ∈ R[x]
}=
=
{(p(a) 00 p(b)
): p (·) ∈ R[x]
}=
{(a1 00 a2
): a1, a2 ∈ R
}.
�⦥, § ⥮६®î 7.9, ®âਬãõ¬®
R[x]/((x−a)(x−b))
∼{(
a1 00 a2
): a1, a2 ∈ R
}
(¤®¤ ¢ ï â ¬®¦¥ï ¢ ª÷«ìæ÷ ¤÷ £® «ì¨å ¬ âà¨æì ¢¢ ¦ õ¬® ¯à¨-த¨¬¨).
203
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
�ਪ« ¤ 7.23. � ª÷«ìæ÷ ¬®£®ç«¥÷¢ R[x] ஧£«ï¥¬® £®«®¢¨© ÷¤¥ «((x − a)2), ¤¥ a ∈ R. �«ï § áâ®á㢠ï ⥮६¨ 7.9 ஧£«ï¥¬® â ª¨©£®¬®¬®àä÷§¬ ÷§ ª÷«ìæï R[x] ã ª÷«ìæ¥ ¬ âà¨æì:
f : R[x] → M2×2, f : p(·) 7→ p
((a 10 a
)).
�®¡ á¯à®áâ¨â¨ ®¡ç¨á«¥ï ï¤à â ®¡à §ã ¢÷¤®¡à ¦¥ï f , £ ¤ õ-¬® ¬¥â®¤ ®¡ç¨á«¥ï ¬®£®ç«¥÷¢ ¢÷¤ ¬ âà¨æì ⨯ã
(a 10 a
)(â ª §¢ ¨å
¦®à¤ ®¢¨å ¬ âà¨æì):
p
((x 10 x
))=
(p(x) p′(x)
0 p(x)
), p(·) ∈ R[x]. (7.8)
� 㢠¦¥ï 7.10. � ªãàá÷ «÷÷©®ù «£¥¡à¨ (¤¨¢. [16]) ¤®¢¥¤¥® ä®à¬ã-«ã ⨯ã (7.8) ¤«ï äãªæ÷© ¢÷¤ ¦®à¤ ®¢¨å ¬ âà¨æì ¤®¢÷«ì®£® ¯®à浪ã.
�¥¯¥à, § ¤®¯®¬®£®î ä®à¬ã«¨ (7.8), «¥£ª® ®¡ç¨á«¨â¨ ï¤à® â ®¡à §£®¬®¬®àä÷§¬ã f :
Kerf =
{p(·) ∈ R[x] : p
((a 10 a
))=
(0 00 0
)}=
=
{p(·) ∈ R[x] :
(p(a) p′(a)0 p(a)
)=
(0 00 0
)}=
= {p(·) ∈ R[x] : p(a) = p′(a) = 0} = ((x− a)2);
Imf =
{p
((a 10 a
)): p (·) ∈ R[x]
}=
=
{(p(a) p′(a)0 p(a)
): p (·) ∈ R[x]
}=
{(a1 a2
0 a1
): a1, a2 ∈ R
}.
�⦥, § ⥮६®î 7.9, ®âਬãõ¬®
R[x]/((x−a)2)
∼{(
a1 a2
0 a1
): a1, a2 ∈ R
}.
204
7.10. � ªá¨¬ «ì÷ ÷¤¥ «¨
7.10. � ªá¨¬ «ì÷ ÷¤¥ «¨�®§£«ï¥¬® ᯥæ÷ «ì¨© ª« á ÷¤¥ «÷¢, 直© ¢÷¤÷£à õ ¤ã¦¥ ¢ ¦«¨¢ã
஫ì ã ¢¨¢ç¥÷ ®¡« á⥩ æ÷«÷á®áâ÷.�¥å © 〈R, +, ·〉 { ®¡« áâì æ÷«÷á®áâ÷.
�§ ç¥ï 7.11. �¥âਢ÷ «ì¨© ÷¤¥ « J ®¡« áâ÷ æ÷«÷á®áâ÷ 〈R, +, ·〉 §¨¢ îâì ¬ ªá¨¬ «ì¨¬, ïªé® ¢ 〈R, +, ·〉 ¥ ÷áãõ ÷¤¥ «ã J1, â ª®£®, é®
J $ J1 6= R.
�ਪ« ¤ 7.24. 1. �÷«ìæ¥ æ÷«¨å ç¨á¥« Z õ ª÷«ì楬 £®«®¢¨å ÷¤¥ «÷¢(¤¨¢. ¯à¨ª«. 7.16), ®â¦¥, ¬÷áâ¨âì «¨è¥ ÷¤¥ «¨ (n), n ∈ Z. �¥£ª® §à®§ã-¬÷â¨, é® ¥âਢ÷ «ì¨© ÷¤¥ « nZ (n ≥ 2) õ ¬ ªá¨¬ «ì¨¬ ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨â®¤÷, ª®«¨ ç¨á«® n ¯à®áâ¥. � ª, ÷¤¥ «¨ 2Z, 3Z, 5Z ¬ ªá¨¬ «ì÷, ®¤ ª6Z ⊂ 2Z â 6Z ⊂ 3Z.
2. �÷«ìæ¥ R[x] ¬®£®ç«¥÷¢ § ¤÷©á¨¬¨ ª®¥ä÷æ÷õâ ¬¨ õ ª÷«ì楬 £®-«®¢¨å ÷¤¥ «÷¢ (¤¨¢. ¯à¨ª«. 7.16), ®â¦¥, ¬÷áâ¨âì «¨è¥ ÷¤¥ «¨ (p(x)),p(x) ∈ R[x]. �¥£ª® §à®§ã¬÷â¨, é® ÷¤¥ « (p(x)) ¬ ªá¨¬ «ì¨© ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨â®¤÷, ª®«¨ ¬®£®ç«¥ p(x) ¬ õ ¢¨£«ï¤:
• p(x) = a1x + a0 (a1 6= 0);• p(x) = a2x
2 + a1x + a0 (D = a21 − 4a2a0 < 0),
⮡⮠ª®«¨ p(x) ¥ ¬®¦ ஧ª« á⨠¢ ¤®¡ã⮪ ¬®£®ç«¥÷¢ ¥ã«ì®¢®£®á⥯¥ï. � ª, ÷¤¥ «¨ (x − 1), (x2 + 1), (x2 + 2x + 2) ¬ ªá¨¬ «ì÷, ®¤ ª(x2 − 1) ⊂ (x− 1) â (x2 − 1) ⊂ (x + 1).
� 㢠¦¥ï 7.11. �¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® ¢ ª÷«ìæ÷ R[x] ÷¤¥ «¨ (p(x)) â (a ·p(x)) §¡÷£ îâìáï ¤«ï ¡ã¤ì-类£® a 6= 0 (¤¨¢. ¢¯à ¢ã 7.10), é® ¤®§¢®«ïõ¤«ï § ¯¨áã £®«®¢®£® ÷¤¥ «ã ®¡¨à ⨠¬®£®ç«¥ § ®¤¨¨ç¨¬ ª®¥ä÷æ÷õ-⮬ ã ç«¥÷ áâ à讣® á⥯¥ï. � ª, ¯à¨ª« ¤,
(a1x + a0) =(x + a1
a0
), (a2x
2 + a1x + a0) =(x2 + a1
a2x + a0
a2
).
�¥§ã«ìâ ⨠¯à¨ª«. 7.24 õ á«÷¤ª®¬ ¯®¤ ®ù ¨¦ç¥ ⥮६¨ 7.10.
�¥®à¥¬ 7.10. � ª÷«ìæ÷ £®«®¢¨å ÷¤¥ «÷¢ 〈R, +, ·〉 ¥âਢ÷ «ì¨© ÷¤¥- « (r) ¬ ªá¨¬ «ì¨© ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷, ª®«¨ ¥«¥¬¥â r ∈ R ¥ ¬®¦ §®¡à §¨â¨ ã ¢¨£«ï¤÷ ¤®¡ãâªã ¤¢®å ¥®¡®à®â¨å ¥«¥¬¥â÷¢ (â ª¨© ¥«¥-¬¥â r §¨¢ îâì ¯à®á⨬).
205
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
�®¢¥¤¥ï. 1. �¥å © r ∈ R { ¯à®á⨩ ¥«¥¬¥â. � ä÷ªáãõ¬® r1 ∈ R ÷¯à¨¯ãáâ÷¬®, é® (r) $ (r1) 6= R. �®¤÷ ®âਬãõ¬®
(r ∈ (r) ⊂ (r1)) ⇒ (r ∈ (r1)) ⇒ (∃ q ∈ R : r = r1q).
�áª÷«ìª¨ ¥«¥¬¥â r § ¯à¨¯ãé¥ï¬ ¯à®á⨩, ®¤¨ § ¤¢®å ¬®¦¨-ª÷¢ ã ¤®¡ãâªã r = r1q ¬ õ ¡ã⨠®¡®à®â¨¬; ¢ ®¡®å ¢¨¯ ¤ª å ®âਬãõ¬®á㯥à¥ç÷áâì (¢¨ª®à¨á⮢ãõ¬® १ã«ìâ â ¢¯à ¢¨ 7.10):
(r1 ∈ R∗) ⇒ ((r1) = R);
(q ∈ R∗) ⇒ ((r1) = (r)).
2. �¥å © ¥âਢ÷ «ì¨© ÷¤¥ « (r) ¬ ªá¨¬ «ì¨©. �ਯãáâ÷¬®, é® r஧ª« ¤ õâìáï ¢ ¤®¡ã⮪ ¤¢®å ¥®¡®à®â¨å ¥«¥¬¥â÷¢: r = r1 · r2. �®¤÷,§ १ã«ìâ ⮬ ¢¯à ¢¨ 7.10, ®âਬãõ¬® (r) ⊂ (r1). �áª÷«ìª¨ ÷¤¥ « (r)¬ ªá¨¬ «ì¨©, ¤«ï ÷¤¥ «ã (r1) ¬ õ ¬÷áæ¥ ®¤¨ § ¤¢®å ¢¨¯ ¤ª÷¢: (r1) = (r) ¡® (r1) = R. � ®¡®å ¢¨¯ ¤ª å ®âਬãõ¬® á㯥à¥ç÷áâì § ¥®¡®à®â÷áâî r1
â r2 (ã ¯¥à讬㠢¨¯ ¤ªã ª®à¨áâãõ¬®áì § ª®®¬ ᪮à®ç¥ï (7.4), 直©¢¨ª®ãõâìáï ¢ ®¡« áâ÷ æ÷«÷á®áâ÷):
((r1) = (r)) ⇒ (r1 = rq, q ∈ R) ⇒ (r1 = r1r2q) ⇒ (1 = r2q) ⇒ (q = r−12 );
((r1) = R) ⇒ (1 ∈ R = (r1)) ⇒ (1 = r1q, q ∈ R) ⇒ (q = r−11 ).
� § 稬®, é® ¢ ¤®¢÷«ì÷© ®¡« áâ÷ æ÷«÷á®áâ÷ ¯¥à訩 ¯ãªâ 鮩® ¤®-¢¥¤¥®ù ⥮६¨ § «¨è õâìáï á¯à ¢¥¤«¨¢¨¬, ⮡⮠£®«®¢¨© ¬ ªá¨¬ «ì-¨© ÷¤¥ « (a) ¬®¦¥ ¯®à®¤¦ã¢ â¨áì «¨è¥ ¯à®á⨬ ¥«¥¬¥â®¬ a; ®¤ ª 㤮¢÷«ì÷© ®¡« áâ÷ æ÷«÷á®áâ÷ ¥ ¢á直© ¯à®á⨩ ¥«¥¬¥â a ¯®à®¤¦ãõ £®-«®¢¨© ¬ ªá¨¬ «ì¨© ÷¤¥ « (a).
�ਪ« ¤ 7.25. � ª÷«ìæ÷ R[x, y] ¬®£®ç«¥÷¢ ¢÷¤ §¬÷¨å x â y ¬®£®-ç«¥ p(x, y) = x õ ¯à®á⨬ ¥«¥¬¥â®¬, ®¤ ª ÷¤¥ « (x) ¥ ¬ ªá¨¬ «ì¨©,®áª÷«ìª¨ õ ¢« á®î ¯÷¤¬®¦¨®î ÷讣® ¥âਢ÷ «ì®£® ÷¤¥ «ã:
(x) $ J = {p(x, y) ∈ R[x, y] : p(0, 0) = 0} 6= R.
�¨¦ç¥¯®¤ ⥮६ 7.11 ¤¥¬®áâàãõ ¢ ¦«¨¢ã à®«ì ¬ ªá¨¬ «ì¨å÷¤¥ «÷¢ ¤«ï ä ªâ®à¨§ æ÷ù ®¡« áâ÷ æ÷«÷á®áâ÷.
206
7.10. � ªá¨¬ «ì÷ ÷¤¥ «¨
�¥®à¥¬ 7.11. � ªâ®à-ª÷«ìæ¥ ®¡« áâ÷ æ÷«÷á®áâ÷ § ¬ ªá¨¬ «ì¨¬÷¤¥ «®¬ õ ¯®«¥¬.
�®¢¥¤¥ï. �¥å © J { ¤¥ïª¨© ¬ ªá¨¬ «ì¨© ÷¤¥ « ¢ ®¡« áâ÷ æ÷«÷á-®áâ÷ 〈R, +, ·〉. �«ï ä ªâ®à-ª÷«ìæï R
/J
¯®âà÷¡® ¤®¢¥á⨠ª®¬ãâ ⨢÷áâì, ï¢÷áâì ®¤¨¨æ÷, â ª®¦ ®¡®à®â÷áâì ãá÷å ¥ã«ì®¢¨å ¥«¥¬¥â÷¢. �®-¬ãâ ⨢÷áâì ÷ ï¢÷áâì ®¤¨¨æ÷ 1 ®¤à §ã ¢¨¯«¨¢ îâì § ¢÷¤¯®¢÷¤¨å ¢« -á⨢®á⥩ ª÷«ìæï R â ¢¨§ ç¥ï ®¯¥à æ÷© ä ªâ®à-ª÷«ìæ÷:
a · b = a · b = b · a = b · a;
1 · a = 1 · a = a.
�⦥, § «¨è¨«®áì ¤®¢¥á⨠®¡®à®â÷áâì ¤«ï ¤®¢÷«ì®£® ä÷ªá®¢ ®£®a ∈ R
/J, a 6= 0.
�¯®ç âªã § § 稬®, é® 0 = 0 + J = J (ã«ì®¢¨¬ ¥«¥¬¥â®¬ ã ¡ã¤ì-类¬ã ä ªâ®à-ª÷«ìæ÷ õ ÷¤¥ «, § 直¬ æ¥ ª÷«ìæ¥ ä ªâ®à¨§ãîâì). �⦥,¤«ï a 6= 0 ®âਬãõ¬® 㬮¢ã a /∈ J .
�«ï ¯®èãªã ¥«¥¬¥â , ®¡¥à¥®£® ¤® a, ஧£«ï¥¬® ®¢¨© ÷¤¥ «:
J1 = (a) + J = {ar + j : r ∈ R, j ∈ J}.
�¥£ª® ¯¥à¥¢÷à¨â¨, é® J1 ¤÷©á® õ ÷¤¥ «®¬ ã ª÷«ìæ÷ R, ¯à¨ç®¬ã:
(∀ j ∈ J : j = a · 0 + j ∈ J1) ⇒ (J ⊂ J1);
(a = a · 1 + 0 ∈ J1) ⇒ (J 6= J1).
�⦥, J $ J1 ÷, § ¬ ªá¨¬ «ì÷áâî J , ®âਬãõ¬®
(J1 = R) ⇒ (1 ∈ J1) ⇒ (1 = ar + j, r ∈ R, j ∈ J) ⇒ (1 = ar + j).
� à¥èâ÷, § «¥¬®î 6.9, j = 0, ÷ ®¤¥à¦¨¬® ®¡¥à¥¨© ¤® a:(1 = ar + 0
) ⇒ (1 = a · r) ⇒
(r =
(a)−1
).
� ª¨¬ 種¬, ¤®¢÷«ì¨© ¥ã«ì®¢¨© áã¬÷¦¨© ª« á a ∈ R/J
¬ õ ®¡¥à-¥¨©, é® § ¢¥àèãõ ¤®¢¥¤¥ï ⥮६¨.
207
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
�ਪ« ¤ 7.26. �¥ à § ¯®¢¥à÷¬®áï ¤® ä ªâ®à¨§ æ÷ù ª÷«ìæï æ÷«¨åç¨á¥« ÷ ª÷«ìæï ¬®£®ç«¥÷¢ § ¤÷©á¨¬¨ ª®¥ä÷æ÷õâ ¬¨.
1. � ª÷«ìæ÷ Z ÷¤¥ « (p) = pZ (p ∈ N) ¬ ªá¨¬ «ì¨© ⮤÷ ÷ â÷«ìª¨ ⮤÷,ª®«¨ ç¨á«® p ¯à®áâ¥, ÷ ¢÷¤¯®¢÷¤÷ ä ªâ®à-ª÷«ìæï õ ¯®«ï¬¨:
Z/pZ ∼ Zp .
2. � ª÷«ìæ÷ R[x] ¬ ªá¨¬ «ì¨¬¨ õ ÷¤¥ «¨, ¯®à®¤¦¥÷ ¥à®§ª« ¤¨¬¨¬®£®ç«¥ ¬¨, ÷ ¢÷¤¯®¢÷¤÷ ä ªâ®à-ª÷«ìæï õ ¯®«ï¬¨:
• R[x]/(x−a)
∼ R ¤«ï ¤®¢÷«ì®£® a ∈ R;• R[x]
/(x2+a1x+a0)
∼ C, ïªé® D = a21 − 4a0 < 0.
�®ª« ¤÷è÷ ¢÷¤®¬®áâ÷ ¯à® à®«ì ¬ ªá¨¬ «ì¨å ÷¤¥ «÷¢ ã ª÷«ìæïå £®-«®¢¨å ÷¤¥ «÷¢ ¬®¦ § ©â¨, ¯à¨ª« ¤, ã [11, 13].
7.11. �®ïââï ¯à® ÷¤¥¬¯®â¥â÷ ª÷«ìæï� æ쮬㠯÷¤à®§¤÷«÷ ஧£«ï¥¬® ª÷«ìæ¥ 〈R,⊕, ·〉, ¤¥ ®¯¥à æ÷î ¤®¤ ¢ -
ï ¯®§ 祮 ᨬ¢®«®¬ «⊕» (¤®æ÷«ì÷áâì á ¬¥ â ª®£® ¯®§ ç¥ï áâ ¥®ç¥¢¨¤®î ¯÷¤ ç á ¯®¤ «ì讣® ¢¨¢ç¥ï ÷¤¥¬¯®â¥â¨å ª÷«¥æì).
�§ ç¥ï 7.12. �÷«ìæ¥ 〈R,⊕, ·〉 §¨¢ îâì ÷¤¥¬¯®â¥â¨¬, ïªé®
a2 = a ∀ a ∈ R.
�ਪ« ¤ 7.27. �¥ïª÷ ÷¤¥¬¯®â¥â÷ ª÷«ìæï ¢¦¥ ¡ã«® ஧£«ïãâ®.1. �÷«ìæ¥ ª« á÷¢ «¨èª÷¢ Z2 õ ÷¤¥¬¯®â¥â¨¬, ®áª÷«ìª¨
(0)2
= 0,(1)2
= 1. � § 稬®, é® ¢ ⥮à÷ù ÷¤¥¬¯®â¥â¨å ª÷«¥æì § ¬÷áâì Z2 §àãç-÷è¥ à®§£«ï¤ ⨠÷è¥ ¤¢®¥«¥¬¥â¥ ª÷«ìæ¥, ÷§®¬®àä¥ Z2:
〈{0, 1},⊕, ·〉 ∼ Z2,
¤¥ «⊕» ¯®§ ç õ áã¬ã § ¬®¤ã«¥¬ 2.2. �«£¥¡à¨ç áâàãªâãà 〈S, M,∩〉, ¤¥ S { ª÷«ìæ¥ ¬®¦¨, õ ÷¤¥¬¯®-
â¥â¨¬ ª÷«ì楬, ®áª÷«ìª¨ A ∩ A = A ¤«ï ¡ã¤ì-类£® A ∈ S.
208
7.12. �®ïââï ¬®¤ã«ï â «£¥¡à¨
�®§£«ï¥¬® ¤¢÷ ©¯à®áâ÷è÷ ¢« á⨢®áâ÷ ÷¤¥¬¯®â¥â¨å ª÷«¥æì.�¥å © 〈R,⊕, ·〉 { ÷¤¥¬¯®â¥â¥ ª÷«ìæ¥.1. ∀ a ∈ R : −a = a, ⮡⮠¢ ÷¤¥¬¯®â¥â®¬ã ª÷«ìæ÷ ª®¦¥ ¥«¥¬¥â
§¡÷£ õâìáï §÷ ᢮ù¬ ¯à®â¨«¥¦¨¬.
�®¢¥¤¥ï. �®§£«ï¥¬® ¥«¥¬¥â (−a)2. �¨ª®à¨á⮢ãîç¨ ¢« á⨢®áâ÷ª÷«¥æì ÷ ®§ ç¥ï ÷¤¥¬¯®â¥â®£® ª÷«ìæï, ®âਬãõ¬®:
(−a)2 = (−a) · (−a) = −(−(a · a)) = a2 = a;
(−a)2 = −a,
§¢÷¤ª¨ ¢¨¯«¨¢ õ à÷¢÷áâì a = −a.
2. ∀ a, b ∈ R : ab = ba, ⮡⮠÷¤¥¬¯®â¥â¥ ª÷«ìæ¥ ª®¬ãâ ⨢¥.
�®¢¥¤¥ï. �®§£«ï¥¬® ¥«¥¬¥â (a⊕b)2. �¨ª®à¨á⮢ãîç¨ ¢« á⨢®áâ÷ª÷«¥æì ÷ ®§ ç¥ï ÷¤¥¬¯®â¥â®£® ª÷«ìæï, ¤÷áâ ¥¬®:
(a⊕ b)2 = (a⊕ b) · (a⊕ b) = a2 ⊕ ab⊕ ba⊕ b2 = a⊕ ab⊕ ba⊕ b;
(a⊕ b)2 = a⊕ b.
�⦥, a ⊕ ab ⊕ ba ⊕ b = a ⊕ b, §¢÷¤ª¨ § § ª® ¬¨ ᪮à®ç¥ï (6.1) ÷(6.2) (ª÷«ìæ¥ § ®¯¥à æ÷õî ¤®¤ ¢ ï «⊕» õ ¡¥«¥¢®î £à㯮î) ¬ õ¬®
(a⊕ ab⊕ ba⊕ b = a⊕ b) ⇒ (ab⊕ ba = 0) ⇒ (ab = −ba) ⇒ (ab = ba).
� ®áâ 쮬㠫®£÷箬㠯¥à¥å®¤÷ ¡ã«® ¢¨ª®à¨áâ ® ¢« á⨢÷áâìx = −x, ïªã ¤®¢¥¤¥® ¢¨é¥.
�¯à ¢ 7.14. �¥à¥¢÷à¨â¨ ¢¨ª® ï ¤®¢¥¤¥¨å ¢« á⨢®á⥩ ¤«ï÷¤¥¬¯®â¥â¨å ª÷«¥æì § ¯à¨ª«. 7.27.
7.12. �®ïââï ¬®¤ã«ï â «£¥¡à¨� ¯®ïââï¬ ª÷«ìæï â÷á® ¯®¢'ï§ ÷ ¡÷«ìè ᪫ ¤÷ «£¥¡à¨ç÷ áâàãªâã-
ਠ{ ¬®¤ã«÷ â «£¥¡à¨.
209
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
7.12.1. �®ïââï ¬®¤ã«ï�§ ç¥ï 7.13. �¤¨â¨¢ã ¡¥«¥¢ã £àã¯ã 〈M, +〉 §¨¢ îâì ¬®¤ã-
«¥¬ («÷¢¨¬ ¬®¤ã«¥¬) ¤ ª÷«ì楬 〈R, +, ·〉, ïªé® ¢¨§ 祮 ®¯¥à æ÷î ¬®-¦¥ï ¥«¥¬¥â÷¢ ÷§ M §«÷¢ ¥«¥¬¥â¨ ÷§ R, ⮡⮠¤«ï ¡ã¤ì-类ù ¯ à¨(r,m) ∈ R×M ¢¨§ 祮 ¤®¡ã⮪ r ·m ∈ M , ¯à¨ç®¬ã ¢¨ª®ãîâìáï â ª÷㬮¢¨:
• r · (m1 + m2) = (r ·m1) + (r ·m2);• (r1 + r2) ·m = (r1 ·m) + (r2 ·m);• (r1 · r2) ·m = r1 · (r2 ·m),
¤¥ r, r1, r2 ∈ R, m,m1,m2 ∈ M .� 㢠¦¥ï 7.12. � ®§ ç¥÷ ¬®¤ã«ï ¢¨ª®à¨áâ ® ¤¢÷ à÷§÷ ®¯¥à æ÷ù
¤®¤ ¢ ï (ã ª÷«ìæ÷ 〈R, +, ·〉 â ¢ £àã¯÷ 〈M, +〉) ÷ ¤¢ à÷§÷ ¬®¦¥ï(ã ª÷«ìæ÷ 〈R, +, ·〉 â ¬®¦¨÷ R ×M ÷§ § ç¥ï¬ ã M). �à®â¥ â ª «â ¢â®«®£÷ï ¯®§ ç¥ì» ¥ ¯à¨§¢®¤¨âì ¤® ¥¯®à®§ã¬÷ì, ®áª÷«ìª¨ ®¡« áâì¤÷ù ®¯¥à æ÷ù «¥£ª® ¢¨§ ç¨â¨ § ª®â¥ªá⮬.
� 㢠¦¥ï 7.13. �ªé® ஧£«ï¤ îâì ¬®¤ã«ì M ¤ ª÷«ì楬 § ®¤¨¨-æ¥î 1 ∈ R, â®, ïª ¯à ¢¨«®, ¢¢®¤ïâì ¤®¤ ⪮¢ã 㬮¢ã ∀m ∈ M : 1 ·m = m.
� 㢠¦¥ï 7.14. � «®£÷ç® ¤® ¯®ïââï «÷¢®£® ¬®¤ã«ï ¢¢®¤ïâì ¯®-ïââï ¯à ¢®£® ¬®¤ã«ï â ¤¢®áâ®à®ì®£® ¬®¤ã«ï.
�ਪ« ¤ 7.28. 1. �®¢÷«ì¥ ª÷«ìæ¥ 〈R, +, ·〉 õ ¬®¤ã«¥¬ « ¤ ᮡ®î»,⮡⮠¡¥«¥¢ £à㯠〈R, +〉 õ ¬®¤ã«¥¬ ¤ ª÷«ì楬 〈R, +, ·〉.
2. �à㯠〈Rn, +〉 õ ¬®¤ã«¥¬ ¤ ¬ âà¨ç¨¬ ª÷«ì楬 Mn×n.3. �à㯠〈Rn, +〉 õ ¬®¤ã«¥¬ ¤ ¯®«¥¬ R ¤÷©á¨å ç¨á¥«. �⦥, «÷÷©¨©
¯à®áâ÷à Rn ¬®¦ ¢¨§ ç¨â¨ ïª ¬®¤ã«ì ¤¨â¨¢®ù £à㯨 Rn ¤ ¯®«¥¬ R.�§ £ «÷, ¡ã¤ì-直© ¬®¤ã«ì 〈M, +〉 ¤ ¯®«¥¬ 〈P, +, ·〉 §¨¢ îâì «÷÷©¨¬¯à®áâ®à®¬.
�¯à ¢ 7.15. �¥å © 〈M, +〉 { ¬®¤ã«ì ¤ ª÷«ì楬 〈R, +, ·〉. �«ï ä÷ª-ᮢ ®£® ¥«¥¬¥â r ∈ R ¤®¢¥áâ¨, é® ¢÷¤®¡à ¦¥ï M 3 m 7→ r ·m ∈ Mõ ¥¤®¬®àä÷§¬®¬ £à㯨 〈M, +〉.
�¯à ¢ 7.16. �¥å © 〈M, +〉 { ¤®¢÷«ì ¡¥«¥¢ £à㯠. � £ ¤ õ¬®(¤¨¢. ¢¯à ¢ã 7.1), é® ¬®¦¨ ¥¤®¬®àä÷§¬÷¢ EndM £à㯨 〈M, +〉 õ ª÷«ì-楬 § ¯®â®çª®¢¨¬ ¤®¤ ¢ ï¬ â ®¯¥à æ÷õî ª®¬¯®§¨æ÷ù. �«ï f ∈ EndM
â m ∈ M ¢¨§ ç¨â¨ ¤®¡ã⮪ f ·m = f(m). �®¢¥áâ¨, é® 〈M, +〉 õ ¬®¤ã«¥¬ ¤ ª÷«ì楬 ¥¤®¬®àä÷§¬÷¢ EndM .
210
7.12. �®ïââï ¬®¤ã«ï â «£¥¡à¨
� ¬®¤ã«÷ ¯¥à¥®áïâì ¡ £ â® ®§ ç¥ì ÷ ⥮६ § ⥮à÷ù ª÷«¥æì. �®ªà¥-¬ , ¢¢®¤ïâì â ª÷ ¯®ïââï, ïª £®¬®¬®àä÷§¬ ¬®¤ã«÷¢ ÷ ä ªâ®à-¬®¤ã«ì, ¤®-¢®¤ïâì ⥮६㠯஠£®¬®¬®àä÷§¬¨ ¤«ï ¬®¤ã«÷¢ â®é® (¤¨¢., ¯à¨ª« ¤,[11, 13]).
7.12.2. �®ïââï «£¥¡à¨�®ïââï «£¥¡à¨ õ 㧠£ «ì¥ï¬ ¯®ïââï ª÷«ìæï.
�§ ç¥ï 7.14. �«£¥¡à®î ¤ ¯®«¥¬ 〈P, +, ·〉 §¨¢ îâì ª÷«ìæ¥〈A, +, ·〉, â ª¥, é® 〈A, +〉 õ «÷÷©¨¬ ¯à®áâ®à®¬ ¤ ¯®«¥¬ P , ¯à¨ç®¬ã¢¨ª®ãõâìáï 㬮¢ :
(p1 · p2) · a = p1 · (p2 · a) = p2 · (p1 · a), ¤¥ p1, p2 ∈ P, a ∈ A.
� 㢠¦¥ï 7.15. � ®§ ç¥÷ «£¥¡à¨, ïª ÷ ¢ ®§ ç¥÷ ¬®¤ã«ï, ¯à¨©-ïâ® §¡¥à÷£ ⨠áâ ¤ àâ÷ ¯®§ ç¥ï «+» â «·» ¤«ï à÷§¨å ®¯¥à æ÷©¤®¤ ¢ ï â ¬®¦¥ï. � ª, ¯®§ ç¥ï «·» ¢¨ª®à¨á⮢ãîâì ⥯¥à ¤«ïâàì®å à÷§¨å ¤®¡ãâª÷¢ { ¤®¡ã⮪ ã ¯®«÷ 〈P, +, ·〉, ¤®¡ã⮪ ã ª÷«ìæ÷ 〈A, +, ·〉â ¤®¡ã⮪ ¥«¥¬¥â ÷§ P ¥«¥¬¥â ÷§ A. �¤ ª æ¥ ¥ ¯à¨§¢®¤¨âì ¤® ¥-¯®à®§ã¬÷ì, ®áª÷«ìª¨ ®¡« áâì ¢¨§ ç¥ï ®¯¥à æ÷© § ¢¦¤¨ ¬®¦ ¢¨§ -ç¨â¨ ÷§ ª®â¥ªáâã.
�ਪ« ¤ 7.29. 1. �ã¤ì-瘟 ¯®«¥ P õ «£¥¡à®î ¤ ᮡ®î, ⮡⮠¤á ¬¨¬ ¯®«¥¬ P .
2. �÷«ìæ¥ ¬ âà¨æì Mn×n õ «£¥¡à®î ¤ ¯®«¥¬ R ¤÷©á¨å ç¨á¥«.
�¥®à÷î «£¥¡à ¤¥â «ì® ஧£«ïãâ®, §®ªà¥¬ , ¢ [13].� ⥮à÷ù ª÷«¥æì ÷ «£¥¡à ç áâ® ¢÷¤¬®¢«ïîâìáï ¢÷¤ 㬮¢¨ á®æ÷ ⨢®á-
â÷, ⮡⮠஧£«ï¤ îâì â ª §¢ ÷ ¥ á®æ÷ ⨢÷ ª÷«ìæï â «£¥¡à¨. � ª, ¤ã-¦¥ ¢ ¦«¨¢¨¬ ¢¨¯ ¤ª®¬ ¥ á®æ÷ ⨢®ù «£¥¡à¨ õ «£¥¡à¨ �÷1, ¤¥ § ¬÷áâì á®æ÷ ⨢®áâ÷ ¢¢®¤ïâì â ª÷ ¤¢÷ 㬮¢¨ (¤®¡ã⮪ ¢ «£¥¡à å �÷ ¯®§ ç îâìç¥à¥§ [a, b], ¤¥ a, b ∈ A):
• â¨á¨¬¥âà¨ç÷áâì: [a, a] = 0 (a ∈ A),1�÷ � à÷ãá �®äãá (1842{1899) { ®à¢¥§ìª¨© ¬ ⥬ ⨪; ஧஡¨¢ ⥮à÷î ¥¯¥à¥à-
¢¨å £àã¯, ã è ç á ¢÷¤®¬¨å ïª £à㯨 �÷.
211
�®§¤÷« 7. �«¥¬¥â¨ ⥮à÷ù ª÷«¥æì
• â®â®¦÷áâì �ª®¡÷:
[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0, (a, b, c ∈ A).
�ਪ« ¤ 7.30. �÷÷©¨© ¯à®áâ÷à R3 § ®¯¥à æ÷î ¢¥ªâ®à®£® ¤®¡ãâ-ªã, ⮡⮠¥ á®æ÷ ⨢¥ ª÷«ìæ¥ 〈R3, +, «[, ]»〉 ïª «÷÷©¨© ¯à®áâ÷à ¤ R,ã⢮àîõ «£¥¡àã �÷ ( â¨á¨¬¥âà¨ç÷áâì ÷ â®â®¦÷áâì �ª®¡÷ ¤«ï æ쮣®¢¨¯ ¤ªã ¤®¢¥¤¥® ¢ ªãàá÷ «÷÷©®ù «£¥¡à¨).
�«£¥¡à¨ �÷ ¤¥â «ì® ஧£«ïãâ®, §®ªà¥¬ , ¢ [17, 18].
212
�¯¨á®ª ¢¨ª®à¨áâ ®ù«÷â¥à âãà¨
1. �¥¤¥«ìá® �. �¢¥¤¥¨¥ ¢ ¬ ⥬ â¨ç¥áªãî «®£¨ªã. { �.: � 㪠,1984. { 320 á.
2. �«¨¨ �. � ⥬ â¨ç¥áª ï «®£¨ª . { �.: � 㪠, 1973. { 480 á.3. �£«®¬ �. �ã«¥¢ áâàãªâãà ¨ ¥¥ ¬®¤¥«¨. { �.: �®¢. à ¤¨®, 1980. { 192 á.4. �¨åâ ਪ®¢ �., �㪠祢 �. � ⥬ â¨ç¥áª ï «®£¨ª : �ãàá «¥ªæ¨©.
� ¤ 稪{¯à ªâ¨ªã¬ ¨ à¥è¥¨ï. { ��¡.: � ì, 1999. { 288 á.5. �®«¬®£®à®¢ �., �®¬¨ �. �«¥¬¥âë ⥮ਨ äãªæ¨© ¨ äãªæ¨® «ì-
®£® «¨§ . { �.: � 㪠, 1989. { 624 á.6. �¥à¥é £¨ �., �¥ì �. �¥ªæ¨¨ ¯® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª¥ ¨ ⥮ਨ
«£®à¨â¬®¢. � áâì 1: � ç « ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢. { �.: �®áª. æ¥â९à¥àë¢. ¬ â. ®¡à §®¢ ¨ï, 1999. { 128 á.
7. �㪠�., �¥©§ �. �®¬¯ìîâ¥à ï ¬ ⥬ ⨪ . { �.: � 㪠, 1990. { 384 á.8. �¬¥«¨ç¥¢ �., �¥«ì¨ª®¢ �., � ࢠ®¢ �., �ë誥¢¨ç �. �¥ªæ¨¨ ¯®
⥮ਨ £à 䮢. { �.: � 㪠, 1990. { 384 á.9. �à¨áâ®ä¨¤¥á �. �¥®à¨ï £à 䮢. �«£®à¨â¬¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤. { �: �¨à,
1978. { 432 á.10. � ¢ «® �. �ãàá «£¥¡à¨. { �.: �¨é èª., 1985. { 503 á.11. �ãà®è �. �¥ªæ¨¨ ¯® ®¡é¥© «£¥¡à¥. { �.: �¨§¬ ⣨§, 1962. { 396 á.12. �ãà®è �. �¥®à¨ï £à㯯. { �.: � 㪠, 1967. { 648 á.13. � ¤¥à � थ �. �«£¥¡à . { �.: � 㪠, 1979. { 624 á.14. �¨«¥ª¨ �. �®¬¡¨ â®à¨ª . { �.: � 㪠, 1969. { 327 á.15. �®¢¨ª®¢ �. �¨áªà¥â ï ¬ ⥬ ⨪ ¤«ï ¯à®£à ¬¬¨á⮢. { ��¡.: �§-
¤ â. ¤®¬ «�¨â¥à», 2001. { 304 á.
213
�¯¨á®ª ¢¨ª®à¨áâ ®ù «÷â¥à âãà¨
16. � ⬠å¥à �. �¥®à¨ï ¬ âà¨æ. { �.: � 㪠, 1988. { 548 á.17. �¥£ �. �«£¥¡à . { �.: �¨à, 1968. { 564 á.18. �¨à¨««®¢ �. �«¥¬¥âë ⥮ਨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨©. { �. : � 㪠,
1978. { 344 á.
214
�®ª ¦ç¨ª â¥à¬÷÷¢
�«£¥¡à 211Ä �÷ 211Ä ¬®¦¨ 30Ä Ä ¡®à¥«÷¢áìª 31�«£¥¡à¨ç áâàãªâãà § ¡÷ à®î ®¯¥à -æ÷õî 107Ä Ä Ä Ä Ä ª®¬ãâ ⨢ 107Ä Ä Ä Ä Ä ¥ª®¬ãâ ⨢ 107�«£®à¨â¬ �«¥à÷ 80
�÷õªæ÷ï (¢§ õ¬® ®¤®§ 祢÷¤®¡à ¦¥ï) 56�÷®¬ �ìîâ® (¡÷®¬÷ «ì ä®à¬ã« ) 66�÷®¬÷ «ì ä®à¬ã« ¤¨¢. �÷®¬ �ìî-â® �÷®¬÷ «ì÷ ª®¥ä÷æ÷õ⨠62
�¥àè¨ ÷§®«ì®¢ 72Ä ª®à¥¥¢ (ª®à÷ì) 86Ä ¥¯ à 72Ä ¯ à 72�¥à訨 ÷樤¥â÷ ॡàã 71Ä áã¬÷¦÷ 71�§ õ¬® ®¤®§ ç¥ ¢÷¤®¡à ¦¥ï ¤¨¢.�÷õªæ÷ï�¨¡÷ઠ59Ä ¡¥§ ¯®¢â®à¥ì 59Ä § ¯®¢â®à¥ï¬¨ 59Ä ¥¢¯®à浪®¢ (ª®¬¡÷ æ÷ï) 59Ä ã¯®à浪®¢ (஧¬÷é¥ï) 59�¨¤ «¥ï ¢¥àè¨ 73
Ä à¥¡¥à 73�¨á«®¢«¥ï 7�¨â÷ª 104�÷¤®è¥ï 33Ä â¨à¥ä«¥ªá¨¢¥ 42Ä â¨á¨¬¥âà¨ç¥ 42Ä ¤®¯®¢ï«ì¥ 38Ä ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ (¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì) 45Ä ÷'õªâ¨¢¥ 54Ä ÷¢¥àᥠ(®¡¥à¥¥) 39Ä ®¡¥à¥¥ ¤¨¢. �÷¤®è¥ï ÷¢¥àá¥Ä ¯®à®¦õ, ¯®¢¥ 33Ä ¯®à浪ã (¥áâண® ç á⪮¢®£®) 47Ä Ä «÷÷©®£® 48Ä Ä ¥áâண®£® 49Ä Ä áâண®£® 49Ä à¥ä«¥ªá¨¢¥ 41Ä á¨¬¥âà¨ç¥ 42Ä áîà'õªâ¨¢¥ 54Ä â®â®¦¥ 34Ä âà §¨â¨¢¥ 43Ä ã à¥, ¡÷ à¥, â¥à ॠ33Ä äãªæ÷® «ì¥ 54�÷¤®¡à ¦¥ï 55Ä £®¬®¬®àä¥ £à㯠¤¨¢. �®¬®¬®àä÷§¬£àã¯Ä Ä ª÷«¥æì ¤¨¢. �®¬®¬®àä÷§¬ ª÷«¥æì
�®¬®¬®àä÷§¬ £à㯠141Ä Ä ª ®÷稩 ¤¨¢. �®¬®¬®àä÷§¬ £à㯯à¨à®¤¨©
215
�®ª ¦ç¨ª â¥à¬÷÷¢
Ä Ä ¯à¨à®¤¨© 170Ä ª÷«¥æì 197Ä Ä ª ®÷稩 ¤¨¢. �®¬®¬®àä÷§¬ ª÷-«¥æì ¯à¨à®¤¨©Ä Ä ã«ì®¢¨© 198Ä Ä ¯à¨à®¤¨© 198�à ÷ áã¬÷¦÷ 103�à ì 92Ä ¢ãâà÷èï 93Ä §®¢÷èï 93�à ä 70Ä k-ª®«÷਩ 100Ä £ ¬÷«ìâ®÷¢ 81Ä ¤¢®¤®«ì¨© 85Ä ¤®¯®¢ï«ì¨© 75Ä ¤à㣨© ¤ã «ì¨© 96Ä ¤ã «ì¨© (¯¥à訩 ¤ã «ì¨©) 95Ä ¥©«¥à÷¢ 77Ä § ä à¡®¢ ¨¬¨ ¢¥àè¨ ¬¨ 100Ä §¢'裡© 75Ä ¬÷票© (¬¥à¥¦ ) 87Ä ¯÷¢£ ¬÷«ìâ®÷¢ 81Ä ¯÷¢¥©«¥à÷¢ 77Ä ¯¥à訩 ¤ã «ì¨© ¤¨¢. �à ä ¤ã «ì¨©Ä ¯« ਩ 91Ä ¯«®áª¨© 91Ä ¯®¢¨© 73Ä ¯®à®¦÷© 73Ä à¥£ã«ï਩ 84�à ä¨ £®¬¥®¬®àä÷ 88Ä ÷§®¬®àä÷ 87�à㯠110Ä Zn ¤¨â¨¢ ¤¨¢. �à㯠ª« á÷¢ «¨èª÷¢ ¤¨â¨¢ Ä Zp
∗ ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ ¤¨¢. �à㯠ª« -á÷¢ «¨èª÷¢ ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ Ä ¡¥«¥¢ 110Ä ¤¨â¨¢ 110Ä § ª®§¬÷ 141Ä ª« á÷¢ «¨èª÷¢ ¤¨â¨¢ 135Ä Ä Ä ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ 138Ä ¬ã«ì⨯«÷ª ⨢ 110Ä Ä ª÷«ìæï § ®¤¨¨æ¥î 185Ä ¯÷¤áâ ®¢®ª 116
Ä ¯à®áâ 153Ä á¨¬¥âà¨ç ¤¨¢. �à㯠¯÷¤áâ ®¢®ªÄ 横«÷ç 145�à㯨 ÷§®¬®àä÷ 141
�¥ª àâ÷¢ ¤®¡ã⮪ ¬®¦¨ 28, 29�¥à¥¢® 86Ä ª®à¥¥¢¥ 68, 86�¨§'îªæ÷ï ¢¨á«®¢«¥ì 8�÷«ì¨ª ®à¬ «ì¨© 154Ä ã«ï 186Ä Ä «÷¢¨© 186Ä Ä ¯à ¢¨© 186Ä ®¤¨¨æ÷ ¤¨¢. �¡®à®â¨© ã ª÷«ìæ÷�®¡ã⮪ ¬ âà¨æì ¢÷¤®è¥ì 40Ä ¯÷¤áâ ®¢®ª 115�®¢¦¨ 横«ã 118�®¯®¢¥ï ¤® £à äã (¤®¯®¢ï«ì¨©£à ä) 75Ä Ä ¬®¦¨¨ 22
�ª¢÷¢ «¥â÷áâì ¤¨¢. �÷¤®è¥ï ¥ª¢÷¢ -«¥â®áâ÷Ä § ¬®¤ã«¥¬ 2 45Ä Ä Ä p 45�ª¢÷¢ «¥æ÷ï ¢¨á«®¢«¥ì 9�«¥¬¥â ¯à®á⨩ 205�¤®¬®àä÷§¬ £à㯠143�¯÷¬®àä÷§¬ £à㯠141Ä ª÷«¥æì 197
� ª® ᪮à®ç¥ï ¢ ª÷«ìæ÷ 187� ¯¥à¥ç¥ï ¢¨á«®¢«¥ï 8�¢'ï§ ª®¬¯®¥â (®¡« áâì §¢'燐áâ÷) 75
ö¤¥ « ª÷«ìæï 191Ä Ä ¢« ᨩ 191Ä Ä £®«®¢¨© 192Ä ¬ ªá¨¬ «ì¨© 205Ä âਢ÷ «ì¨© 191ö§®¬®àä÷§¬ £à ä÷¢ 87Ä £à㯠141Ä ª÷«¥æì 197ö¬¯«÷ª æ÷ï ¢¨á«®¢«¥ì 8ö'õªæ÷ï 56
216
�®ª ¦ç¨ª â¥à¬÷÷¢
ö¢¥àá÷ï 125ö¤¥ªá ¯÷¤£à㯨 152öâ¥à¯à¥â æ÷ï ä®à¬ã«¨ «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢-«¥ì 10
�÷«ìæ¥ 177Ä £®«®¢¨å ÷¤¥ «÷¢ 193Ä ¥¤®¬®àä÷§¬÷¢ ¡¥«¥¢®ù £à㯨 179Ä § ®¤¨¨æ¥î 180Ä ÷¤¥¬¯®â¥â¥ 208Ä ª®¬ãâ ⨢¥ 180Ä ¬®¦¨ 32Ä Ä ¡®à¥«÷¢á쪥 32Ä ¥ª®¬ãâ ⨢¥ 180Ä ã«ì®¢¥ 183�÷«ìæï ÷§®¬®àä÷ 197�« á ¥ª¢÷¢ «¥â®áâ÷ 50Ä «¨èª÷¢ 132Ä áã¬÷¦¨© 157Ä Ä «÷¢¨© 147Ä Ä ¯à ¢¨© 147�®¬¡÷ æ÷ï ¤¨¢. �¨¡÷ઠ¥¢¯®à浪®¢ �®¬¯®§¨æ÷ï ¢÷¤®è¥ì 39�®'îªæ÷ï ¢¨á«®¢«¥ì 8�®à÷ì ¤¨¢. �¥àè¨ ª®à¥¥¢ �à¨â¥à÷© ¯÷¤£à㯨 139Ä ¯÷¤ª÷«ìæï 182
�¥ªá¨ª®£à ä÷ç¥ ¢¯®à浪㢠ï 48�¨á⮪ 86�÷á 86�®£÷ç ¥ª¢÷¢ «¥â÷áâì 11�®£÷稩 á«÷¤®ª 17
� âà¨æï áã¬÷¦®áâ÷ £à äã 89�¥¦ £à ÷ 92�¥à¥¦ ¤¨¢. �à ä ¬÷票©�÷áâ 76�®¦¨ ¢¯®à浪®¢ «÷÷©® 48Ä Ä ç á⪮¢® 47Ä ¯®à®¦ï 19Ä ã÷¢¥àá «ì 22�®¦¨¨ ¥ª¢÷¢ «¥â÷ (à÷¢÷) 19�®¤ã«ì («÷¢¨© ¬®¤ã«ì) 210
�®®ù¤ 108�®®¬®àä÷§¬ £à㯠141Ä ª÷«¥æì 197�ã«ì⨣à ä 70�ã«ìâ¨à¥¡à® 70
� ¤¬®¦¨ 20
«� ù¢¥» ¢¨§ ç¥ï ¬®¦¨¨ 19
�¥©âà «ì¨© (¤¢®áâ®à®÷© ¥©âà «ì-¨©) 108Ä «÷¢¨© 108Ä ®¤®áâ®à®÷© 108Ä ¯à ¢¨© 108�¥®à÷õ⮢ ¨© £à ä 70�ã«ì ª÷«ìæï 177
�¡'õ¤ ï ¢÷¤®è¥ì 37Ä ¬®¦¨ 21�¡¥à¥¨© (¤¢®áâ®à®÷© ®¡¥à¥¨©) 109Ä «÷¢¨© 109Ä ®¤®áâ®à®÷© 109Ä ¯à ¢¨© 109Ä ã ª÷«ìæ÷ 184�¡« áâì ¢¨§ ç¥ï ¡÷ ண®¢÷¤®è¥ï 53Ä §¢'燐áâ÷ ¤¨¢. �¢'ï§ ª®¬¯®¥â Ä § ç¥ì (®¡à §) ¡÷ ண® ¢÷¤®è¥ï 53Ä æ÷«÷á®áâ÷ 190�¡®à®â¨© ã ª÷«ìæ÷ 184�¡à § ¡÷ ண® ¢÷¤®è¥ï ¤¨¢. �¡-« áâì § ç¥ì ¡÷ ண® ¢÷¤®è¥ïÄ £®¬®¬®àä÷§¬ã £à㯠165�¤¨¨æï ª÷«ìæï 180�¯¥à ⨢ 107�¯¥à æ÷ï n- à 106Ä á®æ÷ ⨢ 106Ä ¡÷ à 106Ä § ¬ª¥ 106Ä ª®¬ãâ ⨢ 106Ä ¥ á®æ÷ ⨢ 107Ä ¥ª®¬ãâ ⨢ 107Ä ã«ì- à 106Ä ã à 106
217
�®ª ¦ç¨ª â¥à¬÷÷¢
�à£à ä ¤¨¢. �à÷õ⮢ ¨© £à äÄ ¯®¢¨© 104�à÷õ⮢ ¨© £à ä (®à£à ä) 70
� à÷áâì ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ 125Ä ¯÷¤áâ ®¢ª¨ 127�¥à¥à÷§ ¢÷¤®è¥ì 37Ä ¬®¦¨ 21�¥à¥áâ ®¢ª 113Ä ¥¯ à 125Ä ¯ à 125�¥â«ï 70�÷¢£à㯠107�÷¤£à ä 73�÷¤£à㯠138Ä ¢« á 141Ä ®à¬ «ì ¤¨¢. �÷«ì¨ª ®à¬ «ì¨©Ä ®¤¨¨ç 141Ä ¯®¢ 141Ä âਢ÷ «ì 141Ä æ¨ª«÷ç 143�÷¤ª÷«ìæ¥ 182Ä ¢« ᥠ183Ä âਢ÷ «ì¥ 183�÷¤¬®¦¨ 20Ä ¢« á 20�÷¤à®§¡¨ââï à¥¡à £à äã 88�÷¤áâ ®¢ª 114Ä ¥¯ à 127, 130Ä ®¡¥à¥ 116Ä ¯ à 127, 130Ä â®â®¦ 114�®«¥ 190�®«÷®¬÷ «ì ä®à¬ã« 67�®à÷¢ï÷ ¥«¥¬¥â¨ 48�®à冷ª £à㯨 150Ä ¥«¥¬¥â £à㯨 143Ä Ä Ä ¥áª÷票© 144�®âã¦÷áâì áª÷祮ù ¬®¦¨¨ 26�à ¢¨«® ¤¥ �®à£ 㧠£ «ì¥¥ 16Ä «÷¢®£® ᪮à®ç¥ï ¢ £àã¯÷ 112Ä ¯à ¢®£® ᪮à®ç¥ï ¢ £àã¯÷ 112�à¨æ¨¯ �÷à÷å«¥ 58Ä ¤®¡ãâªã 57
Ä ¤ã «ì®áâ÷ 14Ä á㬨 58�஡«¥¬ ª¥÷£á¡¥à§ìª¨å ¬®áâ÷¢ 77Ä ç®â¨àì®å ª®«ì®à÷¢ 104�à®á⨩ £à ä (¯à®á⮣à ä) 70�à®áâ÷à «÷÷©¨© 210�à®á⮣à ä ¤¨¢. �à®á⨩ £à ä�à®â¨«¥¦¨© ã ª÷«ìæ÷ 177
�¥¡à® ÷樤¥â¥ ¢¥àè¨ ¬ 71�÷¢¥ì ¢¥à訨 ª®à¥¥¢®£® ¤¥à¥¢ 86�÷§¨æï ¢ ª÷«ìæ÷ 182Ä ¬®¦¨ 21Ä Ä á¨¬¥âà¨ç 21�®§¡¨ââï ¬®¦¨¨ 49Ä ã¯®à浪®¢ ¥ 64�®§¬÷é¥ï ¤¨¢. �¨¡÷ઠ㯮à浪®¢
�⥯÷ì ¢¥à訨 72Ä Ä § ¢¨å®¤®¬ 104Ä Ä Ä ¢å®¤®¬ 104Ä £à ÷ 97Ä ¥«¥¬¥â £à㯨 112�â÷ª 104�㬠¢¨á«®¢«¥ì § ¬®¤ã«¥¬ 2 9�㯥à¥ç÷áâì 12�îà'õªæ÷ï 56
� ¡«¨æï �¥«÷ 117� ¢â®«®£÷ï ¤¨¢. �®à¬ã« «£¥¡à¨ ¢¨á-«®¢«¥ì § £ «ì®§ çãé �¢÷à 横«÷ç®ù ¯÷¤£à㯨 143�¥®à¥¬ �÷à ª ¯à® £ ¬÷«ìâ®®¢÷ £à ä¨ 83Ä ¤¥¤ãªæ÷ù 17Ä �©«¥à (ªà¨â¥à÷© ¥©«¥à®¢®áâ÷ £à äã) 77Ä �ì®÷£ (ªà¨â¥à÷© ¤¢®¤®«ì®áâ÷ £à -äã) 85Ä � £à ¦ 151Ä �ॠ¯à® £ ¬÷«ìâ®®¢÷ £à ä¨ 83Ä �®âàï£÷ { �ãà ⮢á쪮£® 92Ä ¯à® £®¬®¬®àä÷§¬¨ £à㯠170Ä Ä Ä ª÷«¥æì 200Ä Ä á⥯¥÷ ¢¥àè¨ 74Ä Ä Ä Ä ¤«ï ®à£à ä÷¢ 105
218
�®ª ¦ç¨ª â¥à¬÷÷¢
Ä Ä Ä £à ¥© 98Ä �¥à¬ ¬ « 153
Θ-£à ä (â¥â -£à ä) 82
�¥â -£à ä ¤¨¢. Θ-£à ä�®â®¦÷áâì �ª®¡÷ 212�®çª §'õ¤ ï 76�à §¨â¨¢¥ § ¬¨ª ï ¢÷¤®è¥ï 43, 90�à ᯮ§¨æ÷ï 118�ਪã⨪ � ᪠«ï 67
�¯ ª®¢ ¤à¥á æ÷ï 87
� ªâ®à-£à㯠161� ªâ®à-ª÷«ìæ¥ 196� ªâ®à-¬®¦¨ 51� ªâ®à¨§ æ÷ï ¬®¦¨¨ 51� à¡ã¢ ï £à ¥© £à äã 103�®à¬ã« «£¥¡à¨ ¢¨á«®¢«¥ì 9Ä Ä Ä ¤ã «ì 14Ä Ä Ä § £ «ì®§ çãé (⠢⮫®£÷ï) 12
Ä Ä Ä é® ¢¨ª®ãõâìáï 12Ä �©«¥à ¤«ï ¯«®áª¨å £à ä÷¢ 93
� à ªâ¥à¨áâ¨ç ¢« á⨢÷áâì ¬®¦¨¨ 20�஬ â¨ç¥ ç¨á«® 100
�¨ª« 72, 118Ä £ ¬÷«ìâ®÷¢ 81Ä ¥©«¥à÷¢ 77Ä ¯à®á⨩ 72
�«ïå 71Ä £ ¬÷«ìâ®÷¢ 81Ä ¥©«¥à÷¢ 77Ä ¯à®á⨩ 72
�¤à® £®¬®¬®àä÷§¬ã £à㯠165Ä Ä Ä âਢ÷ «ì¥ 165Ä Ä ª÷«¥æì 199Ä Ä Ä âਢ÷ «ì¥ 199�àãá ª®à¥¥¢®£® ¤¥à¥¢ 86
219
![Y|y¹Z¿Ä] · 2020. 12. 11. · ®°¦®¾¦®4â þû¢ÿ®ÂØëâ°â¯¦þ*3üǧ¢Ë®°»Â¥ªßÂÇ À®¦®ºÇ¢"¾¢¦û® þ¥²°®ú¦°®ú¦Â¥¢ü¥ ¾ûÂ4](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/61008f5d5dffcc761d0144d2/yyz-2020-12-11-4-3.jpg)
