Міністерство освіти та науки УкраїниНаціональна металургійна академія України

ТТееооррііяя ттаа ммееттооддииккааннааввччаанннняя ммааттееммааттииккии,,ффііззииккии,, ііннффооррммааттииккии

Збірник наукових працьВипуск 3

Том 1

Кривий РігВидавничий відділ НМетАУ

2003

2

УДК 371

Теорія та методика навчання математики, фізики, інфо-рматики: Збірник наукових праць. Випуск 3: В 3-х томах. –Кривий Ріг: Видавничий відділ НМетАУ, 2003. – Т. 1: Теорія таметодика навчання математики. – 313 с.

Збірник містить статті з різних аспектів дидактики мате-матики і проблем її викладання в вузі та школі. Значну увагуприділено проблемам розвитку методичних систем навчання фі-зики та застосування засобів нових інформаційних технологійнавчання фізики у шкільній та вузівській практиці.

Для студентів вищих навчальних закладів, аспірантів, на-укових та педагогічних працівників.

Редакційна колегія:В.М. Соловйов, доктор фізико-математичних наук, професорЄ.Я. Глушко, доктор фізико-математичних наук, професорО.І. Олейніков, доктор фізико-математичних наук, професорМ.І.Жалдак, доктор педагогічних наук, професорО.В. Сергеєв, доктор педагогічних наук, професорВ.І. Клочко, доктор педагогічних наук, професорЮ.О. Дорошенко, доктор технічних наук, професорО.Д. Учитель, доктор технічних наук, професорІ.О. Теплицький, відповідальний редакторС.О. Семеріков, відповідальний секретар

Рецензенти:Г.Ю. Маклаков – д-р техн. наук, професор кафедри кібернетики

та обчислювальної техніки Севастопольського національ-ного технічного університету, науковий керівник лабора-торії біокібернетики, дійсний член Міжнародної академіїбіоенерготехнологій

А.Ю. Ків – д-р фіз.-мат. наук, професор, завідувач кафедри тео-ретичної фізики Південноукраїнського державного педаго-гічного університету (м. Одеса)

ISBN 5-7490-0093-1

3

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭВМ В РЕШЕНИИЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧВ СТРОИТЕЛЬНОМ ВУЗЕ

О.В. Александрова, А.Н. Маркинг.Макеевка, Донбасская государственная академия строительст-

ва и архитектуры

В современных программах подготовки экономистов строи-тельного профиля курс эконометрии занял одно из ключевыхмест. Не зная хорошо этого предмета, не владея его инструмен-тарием, невозможно ни проверить представляемые в учебниках,книгах и статьях эмпирические зависимости, ни получить новыетакие зависимости. Без эконометрических методов нельзя по-строить сколь-нибудь надежного прогноза, а значит, под вопро-сом успех в банковском деле, финансах, бизнесе. Курс экономет-рии входит в «ядро» учебных программ современных экономи-ческих вузов наряду с такими предметами, как микроэкономика,макроэкономика, финансовый анализ. Именно поэтому и пред-мет «Эконометрия» был введен и в нашем вузе.

Цель изучения дисциплины состоит в том, чтобы научитьстудентов оценивать взаимосвязи экономических показателейдля разных массивов экономической информации, используя ме-тоды тестирования последней. В силу громоздкости вычисленийи требований точности результатов предмет изучается с исполь-зованием компьютерной техники. В программу курса входят во-просы теории корреляции и математической статистики. Лабора-торные работы выполняются студентами на персональных ком-пьютерах с использованием пакета анализаMicrosoft Exсel.

В помощь студентам были разработаны «Методические ука-зания и задания к практическим и лабораторным занятиям покурсу эконометрия», которые являются практическим руково-дством для изучения предмета эконометрии. Они содержат крат-кие теоретические сведения с примерами решения типовых за-дач, связанных с построением различных эконометрических мо-делей – простой линейной (с двумя переменными), нелинейныхмоделей, а также способы проверки их адекватности. Рассмотренобобщенный метод наименьших квадратов для оценивания па-

4

раметров модели с гетероскедастическими возмущениями, атакже методы обнаружения и устранения автокорреляции.

Лабораторная работа 1 посвящена построению общей эко-нометрической модели. При ее выполнении студенты получаютпрактические навыки работы с программой MS Exсel – ввод раз-личных массивов данных, операции с матрицами (нахождениетранспонированной матрицы, умножение матриц, нахождениематрицы, обратной данной и др.) при помощи соответствующихфункций программы, а также учатся оценивать значимость па-раметров модели при помощи статистических критериев Стью-дента, Фишера-Снедекора и др.

В лабораторной работе 2 выполняется построение экономет-рической модели с гетероскедастическими возмущениями. Приэтом студенты продолжают совершенствовать навыки работы смассивами данных, осваивают способы сортировки данных.Также они учатся проводить статистические тесты на наличиегетероскедастичности в исходном массиве, например, такие, кактест Гольдфельдта-Кванта, тест Спирмена.

При построении модели с автокоррелированными излишка-ми в лабораторной работе 3 студенты используют весь арсеналсредств анализа программы MS Exсel, с которым они познако-мились при выполнении предыдущих лабораторных работ.

Следует отметить, что лабораторные работы сопровождают-ся соответствующими иллюстрациями (копиями экранов с про-граммой MS Exсel) и пошаговыми алгоритмами их выполнения.В Приложениях приведена необходимая справочная информа-ция, а также контрольные вопросы и задания. Также составленыконтрольные тесты для проверки знаний студентов при помощиЭВМ, включающие в себя вопросы по теории с выбором ответа.

5

МОНІТОРИНГ КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ З МАТЕМАТИКИСТУДЕНТІВ ВНЗ І–ІІ РІВНІВ АКРЕДИТАЦІЇ ЯК ЗАСІБ

ФОРМУВАННЯМІЦНИХ НАВИЧОК І УМІНЬ

О.Б. Байструкм.Мелітополь,Мелітопольський державний промислово-

економічний технікум

Створення Державних освітніх стандартів, введення в прак-тику 12-бальної системи оцінювання на І курсі ВНЗ І-ІІ рівнівакредитації, важливість знань з математики для подальшого ви-вчення студентами предметів спеціального циклу, обумовлюютьвисокі вимоги до системи контролю результатів навчання.

Як правило, студентами першого курсу ВНЗ І-ІІ рівнів акре-дитації стають випускники дев’ятих класів загальноосвітніхшкіл. Більшість з них не мають чітко визначених цілей у навчан-ні і потребують постійної уваги з боку викладача і систематич-ного контролю процесу засвоєння знань.

Згідно з вимогами особистісно-орієнтованого навчання пріо-ритетними питаннями контролю є особисті досягнення студентав опануванні знаннями, вміннями та навичками, динаміка ростурівня знань. Отже, контролю підлягають не тільки результатинавчання, а й процес їх досягнення. Тому на перший план вихо-дять моніторинг і об’єктивна педагогічна діагностика, що забез-печує зворотній зв’язок викладача зі студентами.

Введення 12-бальної системи оцінювання знань є доцільнимі з тієї точки зору, що дозволяє студенту поступово нарощуватиоб’єм знань і складність навичок та умінь, реально відчуваючисвій прогрес. В цій ситуації задача викладача помітити і оцінитикожен успішний крок студента, надати йому моральну підтримкуі своєчасну методичну допомогу.

Тому постає проблема оперативного контролю і оперативно-го доведення до студентів рівня їх досягнень, який ми розгляда-ємо як важливу ланку у навчанні. Оцінювання знань – активний,систематичний процес. На думку В.Ф. Шаталова [1], оцінюватикожного учня треба не тільки за “гідність”, не тільки“об’єктивно”, але й щоденно.

При ретельній підготовці викладача до занять, на моніторинг

6

знань, навичок і умінь витрачається, як правило, дуже багато ча-су. Наш досвід свідчить, що одним з ефективних методів опера-тивного контролю знань з математики, який сприяє розвитку са-мооцінки знань, і, як наслідок, мотивації навчання є один із різ-новидів математичних диктантів.

При проведенні цього типу математичного диктанту студентодночасно робить дві копії, застосовуючи для цього копіюваль-ний папір. Завершивши роботу, студенти один екземпляр здаютьвикладачу, а другий залишають собі.

Це дає можливість зразу після здачі роботи провести її пере-вірку та виправити помилки. Вірні відповіді викладач може під-готувати сам і пред’явити їх на транспаранті для кодоскопа абодоручити добре підготовленому студенту виконувати завданнядиктанту на кодоплівці.

При цьому і викладач, і студенти можуть зразу ж зрозумітинаявність “білих плям” у тих знаннях, що перевірялися. Якщо впроцесі перевірки виявляться систематичні помилки, то викла-дач має можливість додатково звернути увагу на певні теоретич-ні положення або на алгоритм розв’язування вправ. В подальшійроботі викладач має можливість проконтролювати усунення ви-явлених недоліків.

За нашим досвідом, якщо студентам доручити оцінюваннявласних навчальних досягнень або досягнень своїх товаришів, тотака перевірка дає сильний виховний ефект. Не було таких випа-дків, коли студент, оцінюючи власні знання за заданими критері-ями, завищив би собі оцінку.

Включення в оцінювання власних знань грає важливу роль вформуванні у студентів критичного ставлення до одержаногорезультату, створює вірні уявлення про рівень своїх досягнень внавчанні, корегує поведінку, попереджує розвиток зарозумілостіабо, навпаки, невпевненості в собі.

Неминуча радість успіху, за В.О. Сухомлинським, прихо-дить тоді, коли оцінка викладача збігається із самооцінкою сту-дента. Це успіх для обох сторін.

Кількість варіантів, складність завдань для диктанту визна-чається викладачем в залежності від рівня підготовленості сту-дентів. Важливо, щоб диктант містив завдання не тільки репро-дуктивного характеру, але й питання, які примушують студентів

7

аналізувати подану інформацію.Так при вивченні теми “Похідна функції в точці” включаємо

завдання такого типу: знайти похідну sin 15° або 25 тощо. Незважаючи на елементарність питання, частина студентів робитьпомилку, не сприймаючи sin 15° та 25 як константи, тобто вико-нує роботу механічно або погано відрізняє загальне поняття фу-нкції від значень функції в даній точці. Але якщо включати пи-тання такого типу регулярно, то у студентів поступово розвива-ється здатність до аналітичного мислення і свідомого ставленнядо використання математичних понять.

Відомо, що коректування знань студентів слід проводитисаме в процесі опанування навчальним матеріалом, бо якщо по-милки увійшли до стереотипу мислення, то і викладачу, і студен-там потрібно докласти багато зусиль для його виправлення.

Однією з необхідних форм контролю за процесом набуттяматематичних знань є поточне усне опитування, яке не можнанедооцінювати, віддаючи перевагу тільки письмовому, як поточ-ному, так і тематичному оцінюванню.

Відомо, що під час опитування психофізичний стан студентазмінюється: в залежності від типу нервової системи студент мо-же стати збудженим або пригніченим, втратити психічну рівно-вагу, в нього змінюється швидкість процесів, які впливають намислення і пам’ять. Отже, задача викладача створити такий пси-хологічно комфортний клімат на занятті, щоб студент був впев-нений у об’єктивності оцінки, у тому, що невдала відповідь невикличе негативної реакції з боку викладача і товаришів.

Усне поточне опитування сприяє розвитку точного матема-тичного мовлення. Людина, яка чітко говорить – чітко й мис-лить. Невміння точно висловити свої думки є одним з наслідківпереповнення шкільних класів і, як результат, у студентів вияв-ляється недбале ставлення до вивчення означень та формулю-вань.

Таким студентам важко чітко поставити запитання, пояснитисуть проблеми, яка перед ними виникає. Це, в свою чергу, при-водить до зниження якості знань. Для розвитку умінь узагальню-вати інформацію під час усного опитування можна дати завданнястудентам щодо укладення питань і оцінювати не тільки відпові-ді, але й правильність, чіткість, зрозумілість питань. Студенти

8

повинні упевнитися, що для того, щоб правильно задати питан-ня, необхідно добре володіти матеріалом теми.

Щоб не спровокувати бажання деяких студентів поставити унезручне становище інших дуже складним питанням або таким,що виходить за рамки програми чи потребує багато часу на об-міркування, студенти попереджаються про вимоги до складностіпитань і про необхідність знати на нього повну відповідь. Навіть,якщо питання мають підвищену складність, методирозв’язування повинні бути відомі всім. Таке опитування перед-бачає різноманітність форм: гра, змагання, конкурс тощо.

Пропонуємо і такий методичний прийом, як коментуванняпри роботі над стандартними вправами: викладач назначає середстудентів “ведучого”, який, виконуючи завдання в зошиті, пови-нен поясняти свої дії так чітко, щоб всім був зрозумілий коженйого крок. Як свідчить практика, цей прийом найбільш ефектив-ний на додаткових заняттях серед студентів першого курсу напочатку навчального року, під час адаптаційного періоду.

Сьогодення дає широкі можливості здійснювати оператив-ний контроль за допомогою персонального комп’ютера, що за-ощаджує час викладача на перевірку, контролює час і якість ви-конання кожного завдання.

В залежності від рівня складності контролюючої програми,на монітор комп’ютера студента можуть бути виведені оцінки зароботу, кількість помилок, їх перелік, рекомендації з подоланнянедоліків та ін., вся ця інформація виводиться і на моніторкомп’ютера викладача, що дає можливість оперативно оцінитирівень засвоєння певної теми і провести корегування.

Форми і методи оперативного контролю можуть бути різно-манітними, і всі вони повинні формувати позитивне ставленнястудентів до корекції знань, тому що усвідомлення своїх поми-лок – один із шляхів до швидкого інтелектуального прогресу.

Оцінюючи та контролюючи знання студентів, викладач зо-середжує увагу не на оцінці, вираженій у певних балах, а на по-требі індивідуального підходу до кожного студента, розуміннійого труднощів при засвоєні навчального матеріалу. Безперечно,оцінка є дуже сильним інструментом і користування ним потре-бує обережності.

Слід зауважити, що регулярне отримання студентами зави-

9

щеної оцінки за старанність і ставлення до предмета, з одногобоку, може стимулювати бажання вчитись, а з іншого – дезінфо-рмувати студента, його батьків, групу, бо в заліковій книжці абов дипломі не написано, що оцінка одержана за старанність, а ви-ражає рівень знань та вмінь студента. Несправедлива, не-об’єктивна оцінка негативно впливає на ставлення студентів довивчення предмета, “вбиває” бажання вчитись.

Лише творче застосування психолого-педагогічних принци-пів і підходів в контролі і оцінюванні знань дає змогу викладаче-ві максимально об’єктивно підходити до кожного студента, не-упереджено ставитись до його знань, допомагати йому успішні-ше засвоювати навчальну програму.

Література.1. Шаталов В.Ф. Точка опоры. –М.: Прогресс, 1980. – 356 с.2. Подласый И.П. Педагогика. Учебн. для студентов высших

пед. учебных заведений. – М.: Просвещение: Гуманит. изд.Центр ВЛАДОС, 1996. – 403 с.

3. Смолкин А.М. Методы активного обучения: Науч.-метод.пособие. –М. Высш. шк., 1991. – 176 с.

10

АКТИВІЗАЦІЯ ПІЗНАВАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІНА УРОКАХМАТЕМАТИКИ

Т.Г. Балюкм. Кривий Ріг, Середня школа №99

Відомо, що однією з необхідних умов якісного навчання уч-нів є їхня активна участь у процесі пізнання, стійкий інтерес допредмета що вивчається, бажання пізнавати нове. Оскільки ма-тематична підготовка учнів орієнтується на широке розкриттязв’язків математики з оточуючим світом, а математичні вміннята навички знаходять безпосереднє застосування в виробничий інауковій діяльності, тому одним з основних завдань сучасноїшколи є розвиток математичних здібностей та творчого потенці-алу школяра.

Урок – це творчість учителя, найактивнішим співробітникомякого в досягненні мети є інтерес учнів до предмета. Інтерес, якстимул до дії, до переборення труднощів, позитивно впливає наувагу, пам’ять, мислення. Він підвищує працездатність, активізуєздібності, сприяє вихованню наполегливості, волі.

Зацікавити весь клас і кожного учня зокрема, збудити фанта-зію, думку, розвивати бажання, досліджувати, доводити, відкри-вати, знаходити – найраціональніші завдання вчителя. Реалізаціяйого – запорука успіху всього навчально - виховного процесу.Тому у своїй роботі використовую форму і методи навчання, якіб створювали найбільш сприятливі умови активної роботи длякожного школяра.

Багаторічний стаж роботи в школі дає, сподіваюсь, мені пра-во і змогу зробити певні висновки, стосовно яких і написано ціметодичні рекомендації.

Яким би за формою чи за змістом не був урок, головним уньому є праця – організована, результативна, творча.

Урок можна вважати результативним, якщо учні глибоко ус-відомили і “привласнили” мету вчителя, коли вона перетворила-ся в їхнє особисте прагнення.

Сучасний урок – це урок демократичний, що проводиться недля учнів, а разом з учнями, глибоко продуманий, організованийі керований, з урахуванням дитячих можливостей, потреб та ін-

11

тересів. Саме тому, на уроці не може бути об’єктів та суб’єктів.Лише суб’єкти – по обидва боки учительського столу.

Кожен урок має бути уроком, якого чекають, на якому дітивідчувають радість творчої праці, де виховання досягається нештучно, не мимохідь, а послідовно й логічно через навчання.

Практика керування навчально-виховним процесом має бутигнучкою й різноманітною, динамічною й емоційною, прийоми,методи і форми якої різні, але завжди доцільні. Це і створеннятимчасових груп, і навчання без принципу, і орієнтування на ме-ту, і можливість вільного вибору тощо.

Кожен учень – то є складна психологічна задача, яку вчительпокликаний розв’язати з високим професійним умінням.

Психологія твердить: добрі справи можуть творитися лишена позитивному емоційному тлі. Таким чином, дитину спочаткупотрібно навчити хотіти й любити, а вже потім – знати і вміти.Як відомо, у двигуні внутрішнього згорання робочу суміш запа-лює іскра. Так само биття учнівської думки “запалює” інтерес. Узбудженні його відводимо помітне місце ігровим елементам таурокам нестандартного типу.

У значній мірі підвищує активність учнів гра. Ігрові форми –є цінним засобом виховання і розвитку, вони активізують психі-чні процеси, викликають в учнів живий інтерес до процесу пі-знання, виховують у них активну життєву позицію, привчаютьдо колективних і індивідуальних форм роботи. Звичайно, гра –це форма, а зміст – це серйозна робота по відпрацюванню уміньта навичок, перевірці знань, закріпленню вивченого. Будь-якагра – це змагання. Тому на уроці немає байдужих, усі активнопрацюють. Саме завдяки ігровій формі навчання стає доступним,а головне – цікавим. З пасивного спостерігача учень перетворю-ється на активного учасника навчального процесу.

Ігрова діяльність сприяє створенню пізнавального мотиву,активізації розумової діяльності учнів, підвищує їхню увагу дозмісту матеріалу, що вивчається, працездатність, а також почуттявідповідальності за успіхи в навчанні як усього колективу, так ісвої особистості. Процес гри, її результати часто спонукають де-яких учнів замислитися, які прогалини є в їхніх знаннях та як їхліквідувати. Усі структурні елементи дидактичної гри взаємо-пов’язані між собою: без ігрового задуму та ігрових дій, а також

12

без правил дидактична гра втрачає свою специфічну форму, пе-ретворюється у звичайне виконання вправ. Поєднання всіх еле-ментів гри та їх взаємодія підвищують організованість, ефектив-ність гри, приводять до бажаних результатів.

Прикладом може бути використання дидактичної гри“Математичний поєдинок” для засвоєння формул скороченогомноження у 7-му класі. Гра сприяє набуттю нових знань. Осно-вою її є змагання між командами під час відповідей на запитанняі розв’язування вправ, запропонованих учителем. Назва гри під-креслює рівноправність команд у змаганні. Ігровий задум поля-гає в тому, щоб на основі створення проблемної ситуації і зма-гання команд активізувати мислення учнів, перетворити процеснавчання в процес активної діяльності та самостійних відкриттів.Етапи гри відповідають етапам уроку – це актуалізація опорнихзнань, перевірка знань учнів з теми.

У процесі гри учні, допомагаючи один одному, значною мі-рою самостійно набувають нових знань. Використовуючи дидак-тичні ігри, учитель повинен стежити за збереженням інтересушколярів до гри. Якщо діти працюють з бажанням, то це добревпливає на засвоєння ними знань.

Дидактичні ігри в 5 – 7-их класах часто бувають пов’язані зокремими сюжетами, які можна зрозуміти з назви гри:“Боротьба за цифру”, “Таблиця знань”. Вони досить прості,розраховані на елементарну уяву. Героїчний пошук, романтика,подорожі в іграх підсилюють уяву та кмітливість школярів. Длявдосконалення усних обчислювальних навичок у середніх класахпроводжу сюжетно-рольову гру “Десантники”. Вона подобаєть-ся учням і потребує мінімальної попередньої підготовки. На маг-нітній дошці кріпляться невеличкі малюнки парашутистів різно-го кольору, під кожним записується приклад, а відповіді запису-ються нижче, одним рядком. Повідомляються дітям правила гри:кожен десантник повинен приземлитися в заданому пункті.З’єднайте приклад з відповіддю і дізнаєтесь, хто і де повиненприземлитися.

При організації групової роботи з метою формування обчис-лювальних навичок дітям пропонується гра “ЕОМ”. На дошцізавчасно малюється блок-схема. Кожен блок виконує певну ро-боту-дію.

13

Учень, який сидить зліва за партою виконує роль ЕОМ – об-числює швидко і вірно, як обчислювальна машина, а другийучень, що сидить праворуч, виконує роль контролера.

Контролери запускають машину, пропонуючи на вході чис-ла. Так учні, які виконують роль ЕОМ, обчислюють за схемою іна виході записують обчислювальну відповідь. Після перевіркивідповіді контролером вони показують результати вчителю. Вза-галі в ігрових формах уроків реалізуються ідеї спільної співпра-ці, змагання, самоуправління, виховання через колектив, вихо-вання відповідальності кожного за навчання і дисципліну в класі,а головне – навчання математики.

14

САМОСТІЙНА РОБОТА СТУДЕНТІВЕКОНОМІЧНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ ПРИ ВИВЧЕННІДИСЦИПЛІН МАТЕМАТИЧНОГО СПРЯМУВАННЯ

М.М. Бантосм. Кривий Ріг, Інститут ділового адміністрування

Економічний розвиток України потребує реформування сис-теми вищої освіти. І математичні дисципліни, актуальність якихв підготовці економістів очевидна, не виняток.

Одна з головних вимог державної політики – розвиток акти-вності і самостійності майбутніх фахівців, формування у студен-тів прагнення до безперервної самоосвіти, вміння постійно онов-лювати і застосовувати здобуті знання.

Досвід свідчить, що міцними будуть ті знання, які студентздобув самостійно, користуючись власним досвідом і думками,визначив напрям їх практичного використання [1]. До того жзростання кількості навчальних дисциплін, передбачених навча-льним планом підготовки спеціалістів і зменшення годин на ма-тематичні дисципліни, потребує винесення значного об’єму тео-ретичного матеріалу на самостійне вивчення.

Самостійна робота студентів, методика її організації безпо-середньо пов’язані з активізацією їх пізнавальної діяльності. Ні-яка мета не буде досягнута без активної роботи студента і ефек-тивно діючого зворотного зв’язку викладач–студент [2]. Оскіль-ки математичні дисципліни вивчаються на перших курсах, тоадаптація першокурсників до нових форм навчання, що застосо-вуються у вищих навчальних закладах, буде проходити швидше,якщо з перших днів навчання студент опиниться в умовах, якіспонукають до активної самостійної діяльності. Крім того, слідвідмітити, що це співпадає з новою концепцією Міністерстваосвіти і науки України стосовно збільшення обсягу самостійноїроботи студентів до 50% і більше.

Саме тому перед викладачами кафедри постали наступні за-дачі:

1. Навчити студентів методам самостійної роботи (уважнесприйняття лекцій, ведення конспектів, виконання домашніх за-вдань, самостійне вивчення літератури, застосування вивченого

15

до розв’язування практичних завдань, підготовка до контрольнихробіт, заліків, іспитів тощо.

2. Створити необхідну методичну базу для самостійної робо-ти студентів.

Оскільки дидактичні матеріали і методичні розробки висту-пають основним засобом самостійної роботи студентів, то до нихповинні висуватися певні вимоги: урахування різного рівня під-готовки студентів, ретельний відбір необхідної інформації,пов’язаний з обмеженістю навчального часу, доступність. До-сить зручно розробляти методичні вказівки, які містять необхідніінструкції, достатню кількість розглянутих прикладів і завданнядля індивідуальної роботи, компонуючи такі матеріали по окре-мим темам. Мета таких розробок – надання студентові можливо-сті корегувати свої дії, виправляти допущені помилки, тобто ко-нтролювати себе.

3. Організувати самостійну роботу студентів. А саме систе-му поетапного контролю якості знань і навичок студентів, при-дбаних самостійно.

4. Впровадити сучасні технології навчання, орієнтовані насамостійну роботу студента (комп’ютерне тестування, прикладнепрограмне забезпечення і т.п.)

Так, для студентів спеціальностей “Менеджмент зовнішньоекономічної діяльності” та “Менеджмент організацій” за навча-льним планом курс вищої математики вивчається один семестр.Тому з кожного розділу курсу студенти повинні виконати інди-відуальну самостійну роботу, з метою повного опрацювання всіхрозділів. Підібрані завдання передбачають знання теоретичногоматеріалу і придбання певних практичних навичок. Деякі з нихмають різні способи розв’язання, що дає змогу проявити студен-ту свою індивідуальність.

Контроль за виконанням самостійної роботи проводитьсязгідного графіка захисту і здачі робіт. Деякі питання перевіря-ються безпосередньо на підсумкових контрольних роботах, якіпроводяться у навчальний час.

Таким чином оцінювання студента наприкінці семестру від-бувається з урахуванням виконання всього обсягу запланованоїсамостійної роботи.

В даний час викладачами кафедри інформатики та вищої ма-

16

тематики Інституту ділового адміністрування і автором особистовиконується робота з активного впровадження вище зазначенихзаходів в учбовий процес. На нашу думку, це дозволить стиму-лювати розвиток аналітичних здібностей студентів вже на почат-кових курсах і має сприяти підвищенню якості навчання.

Література1. Герман Н. Адаптація форм організації самостійної роботи сту-дентів до сучасних технологій навчання. // Вища школа. –2001. –№ 4–5. – с. 53–62.

2. Корольский В.В. Самостоятельная работа студентов при изу-чении математических дисциплин. // Теорія та методика на-вчання математики, фізики, інформатики: Зб. наук. праць: в 3-х томах. – Кривий Ріг: Вид. відділ КДПУ, 2002. – Т.1: Теоріята методика навчання математики. – С. 171–176.

17

КОМПЬЮТЕР В ЛЕКЦИОННОЙ ЛАБОРАТОРИИ

В.Н. Беловодский, Г.Т. Климког. Донецк, Донецкий государственный институт искусственного

интеллектаklimko@iai.donetsk.ua

Задачи постоянного совершенствования учебного процессадиктуют настоятельную необходимость активного использова-ния компьютера в лекционной аудитории. Возможность много-кратного воспроизведения подготовленного материала, высокиеизобразительные возможности, позволяющие непосредственно ваудитории производить моделирование физических явлений,превращают компьютер в серьезного помощника и дают воз-можность концентрировать внимание преподавателя на усиле-нии эффекта понимания учебного материала.

Считая для себя далеко не завершенным процесс поискаформ использования компьютера в аудитории, тем не менее, по-зволим поделиться опытом, приобретенным при разработке со-ответствующего методического обеспечения. Для этого изложимсодержание электронного лекционного сопровождения, разраба-тываемого при участии авторов, по отдельным темам курсоввысшей математики и физики для технических специальностейвузов.

Тема 1. «Методы решения линейных систем уравнений»Условно структура состоит из трех частей и содержит теоре-

тическую и демонстрационную составляющие и раздел с упраж-нениями.

В первой (теоретической) части приводится краткое спра-вочное описание изучаемых методов. Это правило Крамера, ме-тод Гаусса и матричный метод. Изложение ограничивается фор-мулированием и пояснением соответствующих расчетных фор-мул для получения решения системы (правило Крамера), описа-нием методики выполнения прямого и обратного хода (методГаусса), методикой получения вектора решений (матричный ме-тод). Вопросы, связанные с обоснованием и областью примени-мости указанных методов, а также сравнительный анализ их тру-доемкости рассматриваются условно, как дополнительные, и в

18

электронную версию не включены. Их рассмотрение представ-ляется целесообразным проводить с той или иной степенью под-робности непосредственно преподавателем «вживую».

Во второй части изложенные методы иллюстрируются наспециально подготовленных системах уравнений. Порядок ихрешения демонстрируется пошагово, процесс воспроизведенияуправляется с клавиатуры компьютера.

Третья часть содержит задания для самостоятельного анали-за. Каждое из них снабжено подробным описанием решения, со-держащим систему указаний, подсказок и ссылок с учетом по-желаний пользователя в части выбора метода решения и завер-шается формулированием ответа. Здесь же, помимо запрограм-мированных заданий содержится и упражнение, в котором фор-мирование системы уравнений пользователь проводит самостоя-тельно, вводя с клавиатуры коэффициенты уравнений. Послеэтого, выбрав в меню желаемый метод решения, он имеет воз-можность получить необходимые рекомендации по ее решениюи окончательный ответ, используемый для контроля самостоя-тельного решения.

Тема 2. «Замечательные пределы»Электронная версия имеет примерно такую же структуру,

как и описанная выше.В ее теоретической части содержится обоснование первого

замечательного предела. Учитывая, что центр тяжести доказа-тельства находится на проведении геометрических построений,основное внимание уделено именно им. Предусмотрено воспро-изведение их как в непрерывном режиме, так и пошаговом, длявыделения различных фрагментов рисунка использована цвето-вая индикация. Изложение второго замечательного предела ог-раничивается лишь иллюстрацией к его доказательству. Прово-дится пошаговое построение графика функции y = (1+1/x)x приx→± ∞, из которого виден асимптотический характер ее поведе-ния. Тем самым, на наш взгляд, сознание слушателей подготав-ливается к теоретическому обоснованию результата, который стой или иной степенью подробности, проводится опять такипреподавателем «вживую». Первая часть завершается поясне-ниями применения числа е в части образования гиперболическихфункций. Приведены их определения, свойства, графики.

19

Вторая часть содержит примеры на вычисление пределов.Предусмотрен пошаговый режим демонстрации их решений. Этопозволяет дать необходимые пояснения и, при желании, попы-таться провести дальнейшие вычисления самостоятельно.

Такие же принципы организации режимов воспроизведенияиспользованы и в третьей части, содержащей задания для само-стоятельного выполнения. Решение каждого задания снабженонеобходимыми указаниями и ссылками, позволяющими на каж-дом шаге вернуться в предыдущие части для дополнительнойпроработки.

Демонстрации и лабораторные работы по физикеНаш взгляд на достоинства и недостатки компьютерной мо-

дели физического эксперимента отмечены в [1]. Здесь мы оста-новимся кратко на описании наших демонстраций по многократному упругому удару, вертикальным и горизонтальным ко-лебаниям связанных тел, по применению колебаний маятника-стержня для экспериментального определения ускорения сво-бодного падения, по закону Ома. Они содержат меню, «инстру-менты», справку по теоретической части и по элементам управ-ления демонстрацией. Имеется возможность выбора упругостипружин, коэффициента восстановления ударяющихся тел, значе-ния активного сопротивления, ускорения свободного падения,которое изменяется непрерывно или принимает значение дляконкретной планеты, расстояния от верхнего конца стержня-маятника до его опорной призмы.

Подробнее опишем применение колебаний стержня дляимитации эксперимента по определению ускорения свободногопадения. По результатам 15 измерений времени 10 колебанийстержня с различной приведенной длиной, которые в виде точекпереносятся в «окно» с координатной плоскостью, строится гра-фик для зависимости периода колебаний маятника–стержня отприведенной длины. Для построения всего графика нет необхо-димости в переворачивании маятника, а используется симметрияграфика относительно расстояния до его центра. Точность изме-рений зависит от умения пользоваться секундомером и линей-кой, имеющимися в виртуальной лаборатории и управляемыми спомощью мыши. Для измерений по графику приведенной длиныимеются подвижные линейки параллельные координатным осям

20

графика. Проведенные по измерениям значения ускорения сво-бодного падения заносятся в таблицу. Предполагается такжеанализ погрешностей. По времени выполнения и достигаемойточности имитируемая лабораторная работа вполне соответству-ет реальному эксперименту.

В заключение отметим, что по мере подготовки законченныеэлектронные разработки передаются в компьютерные классы истановятся доступными пользователям в сетевом режиме. Элек-тронные страницы выполнены в масштабе html, графическаячасть разрабатывается с привлечением языка FLASH.

Литература1. Миненко А.С., Беловодский В.Н., Климко Г.Т. О разработке

электронного методического обеспечения по математике ифизике // Матеріали міжнародної науково-практичної конфе-ренції «Перспективи розвитку вищої освіти в періодсуспільної трансформації”, 13–14 листопада 2002 р., ДУЕТ,м. Донецьк (на CD).

21

СПЕЦИФИКА ИЗЛОЖЕНИЯ КУРСА ВЫСШЕЙМАТЕМАТИКИ СТУДЕНТАМ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ

Н.А. Белоцкаяг. Алчевск, Донбасский горно-металлургический институт

В последние годы качество преподавания математики вшколе оставляет желать лучшего. Резко уменьшилось количест-во часов математики, выпускник сам выбирает предметы длясдачи выпускных экзаменов и поскольку математика один изсложных предметов, часто обходит его стороной. Даже те уча-щиеся, которые знают, что встретятся с математикой в вузе, час-то не желают сдавать выпускные экзамены по математике. Кро-ме того, многие годы в ДГМИ практикуется система приема ввуз без вступительных экзаменов. Тем самым абитуриент лишенвозможности привести систему своих знаний по математике впорядок во время подготовки к экзаменам. Все это привело к то-му, что уровень подготовки абитуриентов недостаточный дляуспешного обучения в вузе, т.к. вузовская программа предпола-гает определенный уровень знаний математики.

Поэтому, разрабатывая методику преподавания математикив вузе, нужно исходить из неготовности большинства абитури-ентов к вузовскому обучению.

Методики обучения математике должны быть более актив-ными, когда преподаватель играет более активную роль, чемстуденты (лекция, объяснение, рассказ, беседа). При сущест-вующем количестве часов математики в вузе преподаватель име-ет возможность дать лишь основные знания и навыки. Число ау-диторных часов математики катастрофически мало. В сложив-шейся ситуации выход один – верно организовать, направить,проконтролировать самостоятельную работу студента.

На нашей кафедре практически по всем темам, изучаемым винституте, разработаны индивидуальные семестровые задания.Их разработка проведена так, что объем, качество и содержаниезаданий соответствует количеству часов, выделяемых деканатомдля самостоятельной работы студентов.

Но выполнение этих заданий требует помощи со стороныпреподавателя, который руководит выполнением этих заданий.

22

Выполнение заданий проводится поэтапно, в ходе чего препода-ватель консультирует студента, а также контролирует правиль-ность выполнения задания на каждом из этапов. Процесс обуче-ния должен быть непрерывным, а не только во время выдачи изащиты заданий. Только при таком условии алгоритм выполне-ния задания будет полным, глубоко будет усвоен студентом ма-териал и затем может быть использован им в аудиторных заня-тиях и на контрольных работах.

Основной проблемой при воспитании студента, обученииего правильности организации и выполнения работ, развития истановления его самостоятельности является то, что проводитсяэта работа в нашем институте исключительно на голом энтузи-азме преподавателя.

На консультации и проверку индивидуальных заданий невыделяются часы. Возникает не очень корректная ситуация, ко-гда кафедра считает задачу консультаций и проверки работы ка-ждого студента очень важной, так как совершенно ясно, что безнее знания станут гораздо хуже. И при этом одновременно важ-ность этой задачи никак не замечается и не оценивается админи-страцией института.

А ведь эта работа требует от преподавателей немалого вре-мени. Деканатами планируются часы на самостоятельную работуи если следовать тому, что не выделяется времени на проверкузаданий и контроль их выполнения, то эта работа студентадолжна остаться только его личным делом, а такое положение неможет способствовать хорошей квалификации специалиста.

Самостоятельная работа должна корректно и ненавязчивонаправляться, руководиться и контролироваться преподавателем,контакт которого со студентом должен быть максимально тес-ным, только тогда цель, которую ставит государство перед ву-зом, т.е. получение высококлассного специалиста, будет достиг-нута.

Важную роль в методике изложения математики в техниче-ском вузе играет и заинтересованность студента в изучении ма-тематики, когда решаемые задачи на лекции и практике привяза-ны к специальности. Тогда студент видит и понимает необходи-мость знаний математики при решении конкретных задач, свя-занных с его специальностью. Подбор таких задач очень важен и

23

обычно согласован с выпускающими кафедрами.В последние годы математика читается так, чтобы все те

разделы, которые широко используются для данной специально-сти, были освоены на достаточном уровне. Т.е. для металлургов,например, более подробно читается теория поля, тензоры, дляэкономистов линейная алгебра и т.д. Математика привязываетсяк специальности, чтобы подготовка специалиста была непрерыв-ной.

Известно, что специалисты, получившие достаточно широ-кое физико-математическое образование, и научившиеся само-стоятельно изучать материал, имеют способность к «физическо-му мышлению», т.е. могут сами осваивать новые техническиенаправления, легко могут переучиваться и успешно работать по-новому.

В труде преподавателя нет просто повторяющихся элемен-тов, педагогическая деятельность многогранна, сложна, трудо-емка. Работа преподавателя требует постоянного поиска содер-жания, форм, методов и средств обучения, эффективных путейсотрудничества со студентами в процессе обучения с целью дос-тижения основной цели – подготовки высококвалифицированно-го специалиста для экономики Украины.

24

ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫПРЕПОДАВАНИЯМАТЕМАТИКИ НА

ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХОТДЕЛЕНИЯХ ТЕХНИЧЕСКИХВУЗОВ

И.А. Берёзкинаг. Луганск, Восточноукраинский национальный университет

Развитие любой страны невозможно без эффективно дейст-вующей системы образования, которая готовит квалифициро-ванные кадры для всех сфер деятельности. Качество образованияв высшей школе, прежде всего, зависит от тех знаний основ науки умений, которые получены учеником в средней школе, и, во-вторых, от его подготовленности к обучению в высшей школе.

Существует ряд трудностей, обусловленных тем, что сту-денты плохо представляют себе специфику своей будущей про-фессии в целом и, соответственно, слабо ориентированы в выбо-ре специализации во время учёбы.

Школьник и абитуриент различаются не столько уровнемподготовки, сколько тем, что абитуриент работает (или, по край-ней мере, должен работать) на понимание изучаемого материала,школьник же, как правило, - на его запоминание. Именно на ос-нове понимания возникают прочные знания и, главное, интерес кучёбе. При этом вспомним, что «необходимо добиваться пони-мания и только понимания изучаемого материала», что даватьслушателям формулы, полученные без вывода, и к тому же длякратковременного использования – это, значит, терять напрасновремя.

Подтверждением тому являются исследования психологовпо различным возрастным группам школьников и студентов. Какотмечает Э.А. Фарапанова: «Заметные изменения выявились вкачественных особенностях процессов памяти. В старших воз-растах нарастает использование смысловой группировки мате-риала, что значительно слабее выражено в младшем возрасте».

Сформировать такого рода установку на понимание – важ-нейшая задача организованной в университете системы довузов-ского образования, включающей подготовительное отделение иподготовительные курсы.

25

Считаем, что вопросы отбора содержания учебного материа-ла и организация обучения математике на подготовительных от-делениях нельзя рассматривать в отрыве от решения проблемыподготовки слушателей к обучению в вузе. Но эта проблемадолжна решаться с учетом специфики вуза, где будут потом обу-чаться слушатели. В этой связи роль подготовительных отделе-ний заключается не только в том, чтобы восстановить их знания,но и в подготовке слушателей к творческой деятельности в про-цессе дальнейшего их обучения в вузе.

Если взять технические вузы, то учет их специфики заклю-чается в формировании у будущих специалистов начал общегоинженерного подхода к решению задач. А инженерный подход крешению задач включает в себя развитое логическое мышление,развитые пространственные представления и умение применятьзнания на практике.

Как показывают работы советских психологов [1–3], умениеоперировать с системой отсчета или точкой отсчета лежит в ос-нове развития пространственных представлений.

Известный советский психолог С.Л. Рубинштейн говорил,что стержнем «общего развития понимания пространства явля-ется переход от фиксированной в себе точки отсчета (координат)к системе со свободно перемещаемой точкой отсчета» [2, с. 237].

Специально этими вопросами занималась И.С. Якиманская.Она утверждает, что одним из основных направлений, в которомразвивается пространственное представление и даже мышление,является «использование любой теоретически заданной, произ-вольно выбранной точки отсчета» [1, с. 69]. Хотя нас интересуютлишь пространственные представления, приведем некоторыесведения о пространственном мышлении, которое иногда назы-вают и визуальным мышлением.

По определению И.С. Якиманской, «пространственноемышление является специфическим видом мыслительной дея-тельности, которая имеет место в решении задач, требующихориентировки в практическом и теоретическом пространстве(как видимом, так и воображаемом). В своих наиболее развитыхформах это есть мышление образами, в которых фиксируютсяпространственные свойства и отношения. Оперируя исходнымиобразами, созданными на различной наглядной основе, мышле-

26

ние обеспечивает их видоизменение, трансформацию и созданиеновых образов, отличных от исходных» [1, с. 28].

По определению В.П. Зинченко «визуальное мышление – эточеловеческая деятельность, продуктом которой является порож-дение новых образов, создание новых визуальных форм, несу-щих определенную смысловую нагрузку и делающих значениевидимым» [3, с. 8].

Сравнивая первое и второе определения, легко придти к вы-воду, что они оба описывают деятельность, порождающую но-вые образы, поэтому в дальнейшем можно пользоваться толькоодним термином, а именно, термином пространственное мышле-ние.

Интересно суждение психолога Б.Ф. Ломова. Он считает,что одним из основных механизмов чтения и построения графи-ка является «перевод» временных и количественных представле-ний в пространственные [4, с. 176].

Поскольку пространственные представления суть простран-ственные образы, а мышление оперирует образами, в основеформирования пространственного мышления лежит развитиепространственных представлений.

Обращение к рисункам и графикам в процессе обученияприводит к развитию пространственных представлений слуша-телей, к развитию их навыков использования функциональнойзависимости величин тоже является методом. Графический ме-тод в понимании слушателей воспринимается только, как приемрешения задач, который может привести к удовлетворению«сиюминутной» потребности.

Но дело в том, что мотивационное возбуждение, возникаю-щее в процессе деятельности, «зависит не только от силы по-требности, но и от вероятности его удовлетворения».

По информационной теории эмоций П.В. Симонова [5] в томслучае, когда у студента недостаточно знаний для решения зада-чи, у него возникает эмоциональное напряжение.

Об этом свидетельствует также данные, которые приводятсяВ.С. Ротенбергом и В.В. Аршавским [9]. «Если испытуемымпредлагать серию нерешаемых задач, они впоследствии хужесправляются с теми задачами, которые имеют решение». В этомслучае у испытуемых вырабатывается обученная беспомощ-

27

ность. Если человек уверен, что только он не в состоянии спра-вится с этой задачей, обучение беспомощности идет особенноинтенсивно».

Курс математики на подготовительных отделениях слушате-ли изучают повторно. Повторение осложняется возрастнымипсихофизическими особенностями слушателей и различиями висходном уровне знаний. Но даже при обычном повторении не-обходимо помнить, что «всякое повторение – это движение впе-рёд, оно всегда должно включать элемент новизны».

Повторное изучение курса и возрастные особенности слуша-телей приводят к необходимости исключения формальных све-дений. По наблюдениям психологов они хуже воспринимаются встаршем возрасте [6]. К тому же формальные знания легче утра-чиваются.

Как указывает французский педагог Ж.Ф. Ле Ни, «при каж-дом удобном случае мы подчеркиваем основной принцип всякойпедагогики: очень значительная (примерно 80%) часть сообщае-мой преподавателем информации будет утрачена в ходе заучи-вания или забывания. Отсюда следует основное правило педаго-гики: обучающий должен заранее точно знать, какие именнознания он хочет видеть сохранившимися у учащегося и какиезнания без ущерба для дела могут быть утрачены. Он должен,следовательно, располагать сообщаемую им информацию с уче-том этой нацеленной когнитивной организации. Если судить поопыту, то очень многие преподаватели не устанавливают этойиерархии предпочтений, а потом иногда удивляются, что учени-ки «не замечают главного». Этот риск особенно велик, если всепринимается за главное» [7, с. 16].

Итак, излишняя детализация учебного материала приводитне к обобщению знаний, а к перегрузке слушателей. Поэтому вновый для слушателей материал должны входить в первую оче-редь математические принципы и теории, параллельно с рас-смотрением которых даются границы их применимости. Обра-тимся к исследованию В.Л. Кагана и процитируем его: «Авторвыдвинул гипотезу о возможности достижения целей преподава-ния на подготовительном отделении вуза при использованииобобщений в качестве узловых моментов курса и максимальномприменении дедуктивного способа изложения обобщённого ма-

28

териала. При этом единственно возможно использование теоре-тического мышления слушателей…» [8, с. 25].

«Понятие абстрагируется от индивидуальных черт и призна-ков отдельных восприятий и представлений и является, такимобразом, результатом обобщения восприятия и представленийочень большого количества однородных явлений и предметов».

Говоря о новой форме занятий – лекции, используемой наподготовительном отделении, необходимо отметить следующее.Лекция как новая форма занятий может вызвать у слушателейутомление. Утомление можно снять переключением на другойвид деятельности. «Физиологической основой переключения че-ловека на другой объект или вид деятельности, как известно, яв-ляется возникновение нового очага возбуждения в коре головно-го мозга и подкорковых образованьях, которые по закону индук-ции как бы гасят, тормозят старый очаг». Применение техниче-ских средств обучения (видеозаписи, кинофильма, компьютера)в середине лекции позволит сохранить произвольное внимание,снизит утомляемость слушателей.

Помимо решения специальных задач технические средстваобучения должны реализовывать дидактические принципы: на-глядности, доступности обучения, научности, систематичности ипоследовательности, связи обучения с жизнью, сознательного ипрочного усвоения знаний. Вопросу реализации принципа на-глядности на подготовительных отделениях не уделяется долж-ного внимания в исследованиях по проблеме подготовительныхотделений.

«Одним из самых важных путей активизации познаватель-ной деятельности с помощью средств наглядного обучения явля-ется применение их с целью усвоения обобщений в форме науч-ных понятий и законов».

По мысли М. Планка, «каждое понятие, каким бы оно нибыло сложным и абстрактным, может стать для нас нагляднымблагодаря тому, что мы к нему привыкнем, и со временем нау-чимся удобно и уверенно с ним обращаться» [2].

Итак, принцип наглядности не противоречит теоретическо-му обобщению знаний. В настоящее время он остается в рядусамостоятельных принципов обучения и одновременно исполь-зуется в принципе оптимального сочетания словесных, нагляд-

29

ных и практических методов, связывается с принципами созна-тельности, активности и развития теоретического мышления.Этот принцип ориентирует педагогов на то, чтобы в каждомконкретном случае с учетом поставленных учебно-воспитательных задач и уровня подготовленности учащихся оп-ределялось, какой из превалирующих методов позволит решатьпоставленные задачи.

Чрезвычайно важно организовать контроль знаний в началеобучения слушателей на подготовительном отделении. В этихусловиях все многообразие функций контроля должно состыко-вываться с психологическими аспектами ситуации, и на первыйплан выдвигаться не оценочная, а обучающая функция контроля.Обучающая функция контроля реализуется через самоконтроль итекущий контроль. А предварительный контроль, образно гово-ря, является трамплином, без которого не может начаться реали-зация обучающей функции контроля.

Говоря о межпредметных связях математики и физики наподготовительных отделениях технических вузов, нужно отме-тить следующее: задача физики приблизить математические по-строения к реальным объектам. Поэтому в курсе физики введе-ние тех или иных математических понятий незамедлительнодолжно сопровождаться их применением к описанию изучаемыхфизических явлений и физических величин. Так согласованноеобучение должно способствовать мотивационной познаватель-ной деятельности. Знания, на овладение которыми направленоучение, выступают в этом случае как мотив, в котором нашласвое предметное воплощение познавательная потребность слу-шателей. А «учение только тогда является собственно деятель-ностью, когда оно удовлетворяет познавательную потребность»[2, с. 83].

Таким образом, указанные выше психолого-педагогическиепринципы должны быть основополагающими в преподаванииматематики на подготовительных отделениях технических вузов,их необходимо, на наш взгляд учитывать, при составлении про-граммы по математике для подготовительных отделений, иминужно руководствоваться в решении проблемы подготовки слу-шателей к обучению в вузе.

30

Литература:1. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления

школьников. –М.: Педагогика, 1980.2. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. – М.: Уч-

педгиз, 1946.3. Зинченко В.П. Проблемы визуальной культуры в свете

современных исследований зрительного восприятия и визуаль-ного мышления. – Труды ВНИИТЭ. –М., 1993.

4. Ломов Б.Ф. Человек и техника. Очерки инженерной пси-хологии. – Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1964.

5. Симонов П.В. Высшая нервная деятельность человека.Мотивационные аспекты. –М.: Наука, 1975.

6. Кулюткин Ю.Н. Индивидуальные различия в мыслитель-ной деятельности взрослых учащихся. –М.: Педагогика, 1971.

7. Ле Ни Ж.Ф. Обучение конкретным знаниям. –М., 1984.8. Каган В.Л. Теоретическое обобщение знаний слушателей

при дедуктивном построении лекционного курса математики наподготовительных отделениях. – К.: Вища школа, 1993.

9. Ротенберг В.С. Поисковая активность и адаптация. – М.:Наука, 1995.

31

ИСПОЛЬЗОВАНИЕМЕТОДАВНЕШНЕГО ДОПОЛНЕНИЯ

В РЕШЕНИЯХМАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

А.В. Бобрищевг. Полтава, Полтавский университет потребительской коопера-

ции Украины

Вообще говоря «Дополнение – операция, которая ставит всоответствие подмножеству М данного множества х другое под-множество N⊂ X так, что если известны М и N, то тем или инымспособом может быть восстановлено множество х. В зависимо-сти от того, какой структурой наделено множество х, получаютсяразличные определения дополнения и различные определениядополнения и разные способы восстановления х по М и N», ([3],c. 373); внешнее дополнение – «это требование, предъявляемоеодной частью неоднородной системы к другой ее части. Есливторая часть обладает достаточной изменчивостью, то она пре-образуется согласно этому требованию, в чем и состоит процессее самоорганизации… Понятие внешнего дополнения получилосвое развитие в математической логике в связи с появлениемтеоремы неполноты Геделя… Согласно теореме критерии выбо-ра моделей следует разделить на внутренние и внешние. Крите-рий называется внутренним, если его определение основано наиспользовании той же информации, тех же данных, что и дляполучения данной модели. Критерий называется внешним, еслиего определение основано на новой информации, «свежих» точ-ках, не использованных при синтезе модули», ([2], c.29-30). По-кажем применение метода внешнего дополнения к решению не-которых математическо-статистических и математических задач.

I.Математико-статистическая модель.Пусть х и у некоторые технико-экономические показатели,

линейно связанные между собой. На основании точных стати-стических наблюдений за три периода времени деятельноститрудового коллектива исследуемого предприятия материальногопроизводства, получена несовместная система линейных уравне-ний вида

32

(1)

=+=+

=+

1593

862

32

yx

yx

yx

Реальные значения показателей х и у, которые характеризу-ют работу данного предприятия, принимают, – только и только,положительные значения. Найти средние значения, соответст-венно, показателей х и у.

Решение. Так как система (1) является несовместной систе-мой линейных уравнений, то решаем ее, вначале, традиционнымМНК Гаусса. А именно, с учетом (1), находим наименьшее зна-чение функции

222 )1593()862()32(),( −++−++−+= yxyxyxyxf ,

поскольку

=−++−++−+=∂∂

=−++−++−+=∂∂

01358127483612642

0452791612432

yxyxyxy

f

yxyxyxx

f

или

=+=+

,18912141

644114

yx

yx

откуда и находим приближенные решения системы (1):13

5−=x

и13

22=y . Однако, получено отрицательное значение показателя

х, что не соответствует работе трудового коллектива данногопредприятия материального производства. Для нахождения ис-тинных средних значений производственных показателей х и упоступим следующим образом. Систему линейных уравнений (1)представим, в так нами названном (см. [1], c.3-33), – обобщенномвиде:

(2)

=+=+

=+

1533

862

32

33

22

11

yx

yx

yx

,

где xj, yj – значения, соответственно х и у в і-том уравнении сис-темы линейных уравнений (1); i=1, 2, 3; коэффициенты при не-известных x1, x2, x3 и y1, y2, y3, числа, что составляют правую

33

часть каждого уравнения, соответственно, системы (2) – те чис-ла, что и в системе (1).

Система (2), которая состоит из трех уравнений и шести не-известных, которые не связаны между собой, очевидно, являетсянеопределенной системой линейных уравнений.

Далее, одностолбцовые неизвестные в уравнениях системы(2), соответственно, x1, x2, x3 и y1, y2, y3, – согласуется с системой(1), которая получается из системы (2), если в ней положитьx1=x2=x3=x и y1=y2=y3=y; из этого следует, что, вообще говоря,их значения, т.е., x1, x2, x3 и y1, y2, y3 или равные, или почти рав-ные, соответственно, между собой. С этой целью рассматриваем,– с учетом системы (2), – внешнее дополнение F, – находим наи-меньшее значение функции шести переменных x1, x2, x3 и y1, y2,y3, а именно, функции

232

231

221

232

231

221

)()()(

)()()(

yyyyyy

xxxxxxF

−+−+−++−+−+−=

Поскольку из (2) следует, что x1=3–2y1; x2=4–1,5y2 и x3=5–3y3, то подставляя эти значения в функцию F приходим кфункции трех переменных, а именно

232

231

221

223

213

212321

)()()()331(

)232()231(),,(

yyyyyyyy

yyyyyyyF

−+−+−++−+++−++−=

Поскольку функция F=F(y1, y2, y3) всюду дифференцируемаяфункция и ограничена снизу, – при всех значениях y1, y2, y3, F≥0,то наименьшее значение этой функции F находится в точке, где

=+−−=−+

−=−−⇒

=∂∂

=∂∂

=∂∂

920107

024

67710

0

0

0

321

321

321

3

2

1

yyy

yyy

yyy

y

F

y

F

y

F

откуда находим860

525,

860

255,

860

30 03

02

01 === yyy и учитывая систе-

му линейных уравнений (2), ,860

2675,

860

2520 02

01 == xx и

860

272503 =x .

34

Далее, сложив уравнение в системе (2), получаем равенство(3) 26176 00 =+ yx , где

11,35160

16045

860)·321(

817535025200 ≈=

++++=x и

43,014620

6315

860)962(

47251530600 ≈=

⋅++++=y – средние

значения, соответственно, производственных показателей х и у в(1). И действительно, подставив в (3) значения 0х и 0у имеемточное равенство

26860

22360

14620

631517

5160

160456 ==⋅+⋅ .

Поскольку

93,2860

2520),,min( 0

302

01 ≈=ххх и 17,3

860

2520),,max( 0

302

01 ≈=xxx ;

03,0860

30),,min( 0

302

01 ≈=yyy и 61,0

860

525),,max( 0

302

01 ≈=yyy , то по-

казатели х и у в системе (1) принимают, соответственно, интер-вальное значение, т.е.,

2,93≤x≤3,17 0,03≤y≤0,61этим же интервалам принадлежат соответственно и среднее зна-чение показателей х и у в (1):

11,35160

160450 ≈=≈ хх 43,0

14620

63150 ≈=≈ уу

Этот результат получено благодаря тому, что система (1) яв-ляется развивающейся системой линейных уравнений (в ней не-известны показатели х и у принимают, – от уравнения к уравне-нию, – не одни и те же, соответственно значения); заменив сис-тему (1) системой (2) и найдя наименьшее значение функции F –внешнего дополнения к системе линейных уравнений (2), нахо-дим средние значения показателей (неизвестных величин) х и у внесовместной системе линейных уравнений (1) (см. [1], с. 3-33).

II.Математическая задача. Покажем, что равенство(4) z3=2x3

не имеет места для всех натуральных чисел x и z.Решение. Известно (Л. Эйлер, 1770 г.), что

(5)z3≠x3+y3 для всех x, y, z∈ N.

35

Учитывая (5), всегда можно подобрать такое k∈ N, которое, –для конкретных чисел x, y и z, – приводит к соотношению (ра-венству):

(6) z3=x3+y3+k3, где x, y, z, k∈ N.Если теперь в (6) положить х=у, то получаем или равенство

z3=2x3±k, или равенство z3=2y3±k, откуда находим, что z3≠2x3 иz3≠2y3, – ведь k∈ N. Это доказательство получено благодаря рас-смотрению внешнего дополнения (6) – множеству натуральныхчисел x, y и z.

III. Математическая задача. Формулировка данной задачиследующая. Если взять любое целое число и поделить его попо-лам – если оно четное, и умножить на 3 и прибавить 1 – если ононечетное, то повторение этой операции, в конце концов, приве-дет к цифрам 4, 2 и 1. так, например, если п=6, то получаем по-следовательность чисел: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, … илипри п=13 получаем последовательность 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4,2, 1, …, 4, 2, 1, …. Доказать это утверждение для произвольныхцелых чисел (см. [4], с.29).

Доказательство.Пусть имеется последовательность чисел

(7) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, k, k+1, …Проверим справедливость, указанных условием задачи, пре-

образований-построения последовательности, которая оканчива-ется, в конце концов, бесконечно раз повторяющейся тройкойцифр 4, 2 и 1, если, например, взять, последовательно, числа отn=1 до n=8. Имеем:при n=1 получаем последовательность 1, 4, 2, 1, …;при n=2 получаем последовательность 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …;при n=3 имеем 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1,

…;при n=4 получаем последовательность 4, 2, 1, 4,2, 1, …;при n=5 получаем последовательность 5, 16, 8, 4, 2, 1, …;при n=6 имеем 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1,

…;при n=7 получаем последовательность 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26,

13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4,2, 1, …

при n=8 Получаем последовательность 8, 4, 2, 1, …

36

Таким образом, условие задачи, приводит, в конце концов, кпоследовательности чисел

(8) n, α1, α2, …, αi, …, 8, 4, 2, 1, …, 4, 2, 1, …,если n=1, 2, 3, …, 8.

Если взять п=9=4+5, или 9=1+8 и т.п., то поскольку числа 4и 5, или 1 и 8 обладают указанным условием задачи свойством,то и число 9 также обладает этим же свойством. И действитель-но, для п=9 алгоритм задачи позволяет найти последователь-ность чисел9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …,что и требовалось доказать. Выше изложенное – для доказатель-ства того, что указанный условием задачи алгоритм позволяет,для любого n∈ N, найти последовательность чисел вида (8), реа-лизуется с использованием метода полной математической ин-дукции. Итак, используем этот метод доказательств. При п=1указанные задачей преобразования реализуются, – получаем по-следовательность: 1, 4, 2, 1, …. Теперь предположим, что длячисла n=k∈ N реализация алгоритма, указанного условием дан-ной задачи, приводит к требуемой последовательности чиселвида (8). Требуется доказать, что к аналогичной, – по виду, – по-следовательности чисел (8) приводят и преобразования указан-ные условием задачи, ели первое число в (8) положить равнымп=k+1. Поскольку для числа k∈ N, по предположению, – иссле-дуемое условием задачи, последовательность вида (8) реализует-ся, для числа 1 аналогичное свойство имеет место, то и для ихсуммы, т.е. числа п=k+1 это же свойство реализуется. Таким об-разом, на основании метода полной математической индукциидоказано, что произвольное n∈ N, – с указанными условием зада-чи операциями, приводит, в конце концов, к последовательностивида (8).

Аналогичное, но более компактное, доказательство получа-ем с использованием метода внешнего дополнения – рассмотре-ние всевозможных пар чисел т и р, где m∈ N и р=0, ±1, ±2, ….Тогда произвольное число αi∈ N может быть выражено равенст-вом

(9) αi=2m+p, где αi, m∈ N и р=0, ±1, ±2, …если αi≠f, где f=2m+b и αi, f, m∈ N и b=0, ±1, ±2, … то p≠b. Так,например, 13=22+9;25=22+21;1=22-3 и т.д.

37

Итак, пусть имеется произвольное натуральное число п, илиучитывая внешнее дополнение равенство (9). Если αi=2m+p –четное число, то после i-той операции – построения последова-тельности (8), осуществимо ли, например, равенство

(10) 82

2

21

1 =+==+Саа

ті

і , где m∈ N; С1=0, ±1, ±2, …

Из (10) следует, что при C1=16–2m равенство (10) всегдаимеет место; m∈ N.

Если αi=2m+C2 – нечетное число, то осуществимо ли(C2=±(2t+1), t∈ N) появление числа 8, – после реализации неко-торого конечного l-го числа операций, – в последовательности(8)? Имеем, – реализуя указанный алгоритм условием задачи, –равенство

(11) 82

1323 21 =++=+

C·аm

l ,

откуда при С2=5-2т, получаем равенство (11), и значит последо-вательность (8).

Использование метода внешнего дополнения таким образомоблегчает и упрощает анализ и решения многих математическихзадач, которые нередко встречаются в практике работы выпуск-ников технических вузов Украины.

Литература:1. Бобрищев О.В. Метод зовнішнього доповнення. – Полтава:

Дивосвіт, 2002. – 56 с.2. Ивахненко А.Г. Индуктивный метод самоорганизации моде-

ли сложных систем. – К.: Наукова думка, 1982. – 296 с.3. Математическая энциклопедия. Т. 2. – М.: Советская энцик-

лопедия, 1979. – 1104 с.4. Открытия и гипотезы. – 2003. –№ 1. – 32 с.

38

МЕТОДИЧНІ ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯЛОГІЧНИХ ЗАДАЧ НА УРОКАХМАТЕМАТИКИ

У 5-6 КЛАСАХ

М.О. Бугайовам. Одеса, Південноукраїнський державний педагогічний універ-

ситет ім. К.Д. Ушинського

Основною метою загальноосвітньої школи є гармонійнийрозвиток особистості. Одним із аспектів процесу формуванняособистих якостей учнів є забезпечення відповідного рівня роз-витку їх логічного мислення та творчих здібностей.

У Проекті стандарту освітньої галузі “Математика” серед ці-лей і задач навчання математики виділяється розвиток логічногомислення, інформаційної культури, формування умінь володіннярізними мовами математики (словесною, символічною, графіч-ною тощо).

Високий рівень сформованості логічного мислення і творчихздібностей учнів виступає як мета математичної освіти. Важли-вим засобом розвитку логічного мислення учнів, їх математичноїінтуїції є логічні задачі. Отже, в масової практиці роботи вчите-лів 5-6 класів не знаходять гідного місця логічні задачі. Звичайновони використовуються в позакласної роботі. Включення логіч-них задач на уроці носить випадковий характер. Зміст логічнихзадач в більшості випадків не пов’язано з вивченим матеріалом,зазначаються вони взагалі для зняття усталю, зміни видів діяль-ності та носять розважальний характер. Важливі пізнавальні фу-нкції, які можуть нести логічні задачі – це тренування у викорис-танні надбаних знань.

Крім того більшість логічних задач мають педагогічне зна-чення. Аналіз цих задач показує широкі можливості їх викорис-тання для розвитку логічного мислення учнів, ілюстрацією необ-хідності ретельного аналізу умов задач тощо.

Враховуючи психологічні особистості, необхідно відмітити,що в 10-11 років діти проявляють великий інтерес до цікавихситуацій. Одною з важливих умов підтримування та зберіганнядовільної уваги є інтерес учнів до вивчає мого матеріалу. Великуроль в цьому грає характер викладання матеріалу, характер

39

вправ, організація учбової діяльності в цілому. Відомо, що уцьому віці яскравість та образність, наочність викладання викли-кає інтерес і підтримують дитяче любознавство. Але й цього бу-ває недостатньо. Як показують багато численні дослідженняпсихологів (С.Л. Рубінштейн, Д.Б. Ельконін, В.В. Давидов,В.А. Крутенькій, Н.Д. Левітов та ін.) інтереси учнів в загальніймасі “самі по собі” не розвиваються, вони потребують ретельно-го виховання. Це підтверджують і дослідження педагогів(Ю.К. Бабанський, Л.В. Занков, Г.І.Щукіна).

Існують різні точки зору на роль цікавості на уроках матема-тики. В ряді досліджень стверджується, що цікавість учнів моло-дшого шкільного віку виникає тільки в результаті введення ціка-вості на уроках. Уміле використання елементів цікавості в учбо-вому процесі сприяє розвитку таких якостей, як самостійність,допитливість, уважність, уміння логічно мислити. Цікавістьсприяє також розвитку інтересу учнів до вивчення математики.

Одним з недоліків при вивченні математики є то, що основненавантаження при засвоєнні матеріалу пов’язано із за-пам’ятовуванням нових термінів, правил, способів дій та ін. Міжтим, пам’ять молодшого школяра характеризується переважнообразністю і конкретністю, недостатньою логічністю, обмежені-стю.

Умови логічних задач здебільш образні, вони частіше ви-кликають у школярів цікавість, визначні позитивні емоції. Крімтого, початковий етап підліткового віку характеризується підви-щенням почуттів відповідальності, творчої ініціативи.

Школярі цього віку прагнуть до самостійності, вони люблятьрозв’язувати задачі, які потребують кмітливості, деякого розу-мового напруження. Їм подобається пошук різних способіврозв’язання одній й тій самій задачі. Вони відчувають задово-лення при самостійному виконанні завдання.

В цей період в учнів виникає нове відношення до науковихзнань та умінь застосовувати ці знання. Інтереси учнів цього вікухарактеризуються легкістю виникнення та й при тому слабкоюстійкістю, мінливістю, сильною залежністю від частих успіхів таневдач. При певних умовах інтерес молодшого підлітка стає гли-боким, стійким, дійовим. Зауважимо, що доступність змісту роз-глядуваних задач нетотожна легкості їх розв’язання. Математич-

40

на база, яка потрібна для розв’язання задач може бути доситьобмеженою, але знайти рішення не завжди просто. Потрібна кмі-тливість, своєрідна “жвавість” мислення. Тоді розв’язання логіч-них задач може внести суттєвий вклад в розвиток можливих рисособистості.

Академік А. Колмогоров в статті “О профессии математик”відмічає, що при вивченні математики виховуються:

− здібність вмілого перетворення складних буквених вира-зів, знаходження вдалих шляхів для розв’язання рівнянь,які не підходять під стандартні, або, як це прийнято на-зивати у математиків, обчислювальні або алгоритмічніздібності;

− геометричне уявлення, або геометрична інтуїція;− мистецтво послідовного правильного розчленування ло-

гічного міркування.Деякі з перелічених вище якостей, наприклад, нестандартні

прийоми розв’язання задач, звертання до графічних ілюстраційфактів, властивостей міркувань, можуть розвиватися прирозв’язанні логічних задач.

Зміст логічних задач повинен відповідати віковим здібнос-тям школярів та бути цікавими для них. Умови логічних задачповинні бути зрозумілими та не вимагати від школярів багаточасу для засвоєння їх умов та крім цього додаткового поясненнявчителя. Вони повинні бути максимально чіткими, короткими, авикористані символи повинні бути зрозумілими учням.

Розв’язання логічних повинно сприяти не тільки форму-ванню умінь та навичок відповідних програмним вимогам, а йрозвитку “жвавості” мислення.

Система логічних задач являє собою підсистему вправ, якіпризначені для учнів 5-6 класів.

Логічні задачі можна поділяти на декілька груп:− комбінаторні задачі;− сюжетні логічні задачі;− задачі на використання принці па Діріхлє;− задачі на важення;− числові ребуси;− числові ігри;− задачі на обчислення;

41

− магічні квадрати;− задачі логічного моделювання та ін.У розділі “Комбінаторні задачі” можна пропонувати такі за-

дачі.Задача. Скількома способами можна представити число 10 у

вигляді чотирьох непарних цифр? Представлення, які відрізня-ються порядком доданків, вважати співпадаючими.

Задача. Скільки трьохзначних чисел можна скласти за до-помогою цифр 1, 2, 3 так, щоб ніякі цифри не зустрічались у за-пису числа не більше, ніж один раз?

Задача. У шаховому турнірі з трьома учасниками всього бу-ло зіграна шість партій. Скільки партій зіграв кожен учасник ту-рніру?

Задача. У шаховому турнірі приймали участь сім чоловік.Кожен з кожним зіграв по однієї партії. Скільки партій вони зі-грали?

Задача. При складенні розкладу уроків на вівторок три ви-кладача промовили свої пропозиції, щоб їх уроки були: по мате-матиці – перший або другий; по історії – перший або третій; політературі – другий або третій. Скількома способами при скла-данні розкладу можливо задовольнити побажання усіх виклада-чів?

Задача. В трьох ящиках лежить по одній кульки: білій, чор-ній та зеленій. На першому ящику надпис – “Білий”, на другому“Чорний”, на третьому – “Білий або чорний”. Але жодний над-пис не відповідає дійсності. Де які кульки?

Цей набір задач можна ще поповнювати та змінювати. На-ведені вище задачі в незначній мірі демонструють той об’єм за-вдань, який може бути використаний на позакласних заняттях тана уроках математики.

В роботі над логічними задачами можуть бути використанірізні форми організації роботи учнів:

− колективна форма робота учнів всього класу;− групова робота;− вільне обговорення в групах за інтересом, якій виникає

при обговоренні завдань, виконання яких проводиться впозакласний час;

− частково самостійна робота в класі та на факультатив-

42

них заняттях;− повністю самостійна робота учнів в класі, вдома та на

факультативних заняттях.В даній статті нами розглянуто можливості використання

логічних задач як на позакласних заняттях, так і на уроках мате-матики, їх роль у підвищенні ефективності навчання математиці,вихованні деяких якостей особистості, які мають важливе зна-чення не тільки для оволодіння учнями математичними знання-ми та їх застосуваннями, а й для загального розвитку учнів 5-6класів.

43

ФАКУЛЬТАТИВ “ЖИВЫЕ ЧИСЛА”

В.К. Буряк, Е.В.Макаренког. Кривой Рог, Криворожский государственный педагогический

университет

Факультативные курсы по математике являются одной изформ дифференцированного обучения, цель которой – углубле-ние и расширение знаний учащихся, развитие их математическихспособностей и устойчивой заинтересованности математикой.

Если в 7-8-х классах содержание факультативов предусмат-ривает углубленное изучение учебного предмета, основываясь наобязательном школьном курсе, то факультативы в 9-11-х классахслужат ступенью перехода от усвоения предмета к изучениюнауки, знакомят учащихся с научными методами исследования.

Факультативное изучение математики направлено на систе-матизацию знаний учащихся, которые они приобрели во времяизучения основного курса, а также на развитие логическогомышления и творческих способностей.

Основным требованием факультатива является наличие уучащихся устойчивой заинтересованности к математике, именноэто и определяет особенности методики обучения учеников вусловиях факультативного курса. Если бы спросить всех школь-ников, какой предмет нравится им больше других, то вряд либольшинство из них назовет математику. Обычно ее скорее ува-жают, чем любят. Это объясняется не только тем, что ее изуче-ние многим нелегко дается и требует упорства, но также тем, чтонекоторые вопросы школьной математики иногда кажутся не-достаточно интересными и даже порой скучными. Часто можнослышать мнение, что в математике все уже известно, что време-на открытий в этой науке давно прошли. В действительности жеэто не так. Именно сейчас математика переживает период чрез-вычайно бурного развития, несмотря на то, что родилась онамного тысячелетий назад [5].

Бурное развитие математики тесно связано с тем, что теорияи практика выдвигают все новые задачи, которые математикидолжны решать. В настоящее время существует ряд теоретико-числовых проблем, которые требуют своего решения.

44

Коротко математику можно охарактеризовать как науку очислах и фигурах. Факультативный курс “Живые числа” полно-стью посвящен стихии чисел. С глубокой древности, по мереразвития человеческого общества, накапливались сведения очислах. Можно смело утверждать, что нынешние школьникиизучают в средней школе лишь небольшую часть этих знаний.Данный факультатив предназначен для учащихся 9-11-х классовлицеев, гимназий и классов с углубленным изучением математи-ки. Курс предполагает наличие базовой подготовки по матема-тики и информатики в пределах школьной программы. Цель фа-культатива – проникновение учащихся в удивительный мир чи-сел, раскрытие его богатств и разнообразия, развитие математи-ческой любознательности и собственной инициативы. Основныезадачи факультатива “Живые числа”:

• Добиться того, чтобы обычные числа предстали передучениками как живые; раскрыть их живую природу;

• Передать ученикам ощущение чар математики, котороеиспытывают те, кто избрал ее своей специальностью;

• Раскрыть притягательные стороны математики, что оченьважно в подростковом возрасте, когда еще формируются, а ино-гда только определяются постоянные интересы и склонности ктому или иному предмету;

• Приподнять завесу, определяющую “элементарную”,школьную математику от математики “высшей”.

Учебный материал данного факультатива направлен на рас-смотрение таких вопросов:

• История возникновения понятия числа (что является од-ним из гениальнейших проявлений человеческого разума);

• Системы счисления и их историческое развитие;• Делимость чисел по модулю;• Признаки делимости для отдельных чисел;• Алгоритм Эвклида для нахождения НОД;• Удивительная природа простых чисел и других интерес-

ных;• Способы поиска простых чисел;• Понятия “метакомпьютинг”, “суперкомпьютеры” и ис-

пользование метакомпьютинга для решения теоретико-числовыхпроблем.

45

Учитывая, что учащиеся на факультативных занятиях имеютбольшие возможности по продвижению в обучении и заинтере-сованность математикой, необходимо, чтобы на факультативепреобладали методы проблемного обучения, которое способст-вует развитию познавательных возможностей школьников, ини-циативы в познании. Эффективной также является лекционно-практическая система обучения, в которой значительное местоотводится семинарам. На семинарах учащиеся смогут сделатьсообщения про интересные применения математических мето-дов, способы решения нестандартных задач, привести историче-ские сведения [2]. Больше времени следует уделить на факульта-тиве самостоятельной работе учащихся. Задания исследователь-ского характера можно разделить на несколько этапов. Сначалаученики изучают необходимую литературу, а потом ищут алго-ритм решения задачи или проблемы. На занятиях учащиеся со-общают про результаты своих поисков. Затем разработанныйалгоритм можно реализовывать в программу для персональногокомпьютера.

Практическую часть курса составляют разнообразные мате-матические задачи. Среди них есть близкие по форме и содержа-нию задачам основного школьного курса, а также задачи повы-шенной трудности. Значительное место в данном курсе занима-ют математические головоломки, ребусы и другие заниматель-ные задачи, которые воспитывают, укрепляют и обогащают та-кие качества ума, как интуиция, эрудиция и владение методамиматематики.[1] Все задачи раскрывают живую природу чисел, ихудивительный и богатый мир. Основная задача практическихзанятий курса – формирование навыков и умений исследователь-ского характера в процессе решения математических задач с це-лью углубления знаний и развития математической любозна-тельности.

Значительное место при изучении спецкурса отводится подиндивидуальные курсовые задания, которые учащиеся подбира-ют с учетом своих интересов.

На факультатив отводится 60 часов в год. Занятия можнопроводить по одному часу в неделю в течение учебного года илипо два часа на протяжении полугодия, до или после уроков.

Приведем примерную программу обсуждаемого курса.

46

Программа курса “Живые числа”.1. История возникновения понятия числа (2 часа) .Как люди

считали в старину и как писали цифры. Счет двойками, тройкамии дюжинами. Счет первобытных людей. Первые нумерации. По-зиционные системы. Почему мы все-таки пользуемся десятичнойсистемой. Всегда ли люди записывали числа, пользуясь тради-ционным принципом. Алфавитные нумерации.

2. Системы счисления (8 часов). История развития системсчисления. Их применение. Двоичная система. Троичная систе-ма.Шестнадцатеричная система счисления.

3. Делимость чисел (20 часов). Понятие делимости чисел.Наибольший общий делитель, Наименьшее общее кратное. Кон-груэнции. Свойства конгруэнций, которые зависят от модуля.Свойства конгруэнций, которые не зависят от модуля. Общийпризнак делимости Паскаля. Признаки делимости для отдельныхчисел (на 2, на 3, на 4, на 5, на 9, на 10, на 11, на 25 и на 100). Ал-горитм Эвклида для нахождения НОД. Связь НОД и НОК. Ито-говое занятие. Зачет.

4. Простые числа и другие интересные числа (15 часов).Простые и составные числа. Свойства простых чисел. Основнаятеорема арифметики. Интересные числа. Поиск простых чисел.Распределение простых чисел. Решето Эратосфена. Функция Эй-лера. Теорема Эйлера. Малая теорема Ферма. Их использованиедля поиска простых чисел. Числа Мерсенна. Совершенные идружественные числа. Женственные и мужественные числа. Из-быточные и недостаточные числа.

5. Метакомпьютинг (5 часов). Метакомпьютеры. Супер-компьютеры. Использование метакомпьютинга для поиска про-стых чисел. Проект GIMPS.

6. Курсовые задания (10 часов)Факультативные занятия являются важным способом до-

профильного обучения и помогают ученикам определиться в вы-боре будущей профессии. Факультативный курс “Живые числа”раскрывает богатый мир чисел, способствует развитию устойчи-вого интереса к математике.

47

Литература:1. Ахадов А.А. Кордемский Б.А. Удивительный мир чисел.

–М.: Просвещение, 1986.2. Онищук В.А. Дидактика современной школы. – К.: Ра-

дянська школа, 1987.3. Пичурин П.Ф. За страницами учебника алгебры. – М.:

Просвещение, 1990.4. Слепкань З.И. Методика обучения математике. – К.: Зо-

диак – ЕКО, 2000.5. Детская энциклопедия.Математика. Том 3.

48

ДЕЯКІ СУЧАСНІ ПІДХОДИ ДО ПІДГОТОВКИМАЙБУТНІХ ВЧИТЕЛІВ МАТЕМАТИКИ

У ПЕДАГОГІЧНОМУ ВУЗІ

О.Е. Валльє1, О.П. Свєтной2

1 м. Одеса, Одеський інститут удосконалення вчителів2 м. Одеса, Південноукраїнський державний педагогічний уні-

верситет ім. К.Д. Ушинського

Сьогодні, в умовах реформи математичної освіти в Україні,особлива увага повинна бути звернена на удосконалення органі-зації всіх ланок пізнавальної діяльності учнів при навчанні мате-матики. Тому розробка технологій, які сприяють успішній підго-товці вчителів математики, пошук шляхів та напрямків їх ефек-тивності – важлива задача педагогіки вищої школи на сучасномуетапі.

Реформування загальної середньої освіти передбачає мето-дологічну переорієнтацію процесу навчання учнів з інформатив-ної форми на розвиток особистості навчаємого, індивідуально-диференційований підхід до навчання та контролюючих учбовихдосягнень. Зауважимо, що сьогодні педагогічний процес у вищійшколі не зорієнтований в повній мірі на особистість майбутньоговчителя, а є так би мовити, зв’язуючим ланцюгом в їх діяльності.В навчальному процесі переважають інформаційно-ілюстративніметоди навчання, які перетворюють навчаємого в об’єкт впливу.

При інформаційно-ілюстративному навчанні особистістьмайбутнього вчителя розвивається односторонньо, працюютьлише пам’ять та сприйняття, в той же час як в активізації діяль-ності особистості взагалі, основну роль повинна відігравати тво-рчо-практична діяльність, в процесі якої активізуються всі сто-рони особи. Педагогічна діяльність взагалі є творчою за своїмхарактером, тому невід’ємною частиною процесу підготовкистудентів до творчої діяльності є формування у них в процесінавчання у вузі, починаючи з молодших курсів, спеціальнихумінь, які б забезпечували раціональне та ефективне здійсненнятворчої педагогічної діяльності. Зрозуміло, що вони існують вєдності, взаємодіють, взаємозбагачують одне друге і не можутьіснувати ізольовано в даному виді діяльності тому, що творчий

49

процес – це процес цілісний.Безумовно, якість підготовки майбутніх вчителів математи-

ки до творчої педагогічної діяльності на молодших курсах під-вищиться, якщо цілеспрямовано формувати у студентів взаємо-пов’язані складові творчої педагогічної діяльності вчителя і роз-глядати його як процес цілісний, що об’єднує такі види діяльно-сті і творчу педагогічну діяльність в період неперервної педаго-гічної практики, науково-дослідну роботу, спеціально організо-вані спецкурси.

У відповідності з таким підходом, для визначення змістутворчих педагогічних умінь виділимо такі взаємопов’язані клю-чові складові творчої педагогічної діяльності майбутнього вчи-теля математики: творчі читання науково-педагогічної літерату-ри; творчий аналіз підручників і навчальних посібників; вивчен-ня та узагальнення педагогічного досвіду; проведення експери-ментального дослідження, підготовка творчої доповіді.

Виходячи з наведених міркувань про розвиток творчих здіб-ностей, виходячи з потреб професійної діяльності вкрай необхід-ним є формування у майбутніх вчителів математики професій-них установок, тобто відношення до математики, до завдань на-вчання, до учнів. Відношення до математики формується саме устудентські роки і лише уточнюється у практиці викладання.Природно з розвитком суспільства змінюється соціальне замов-лення освіти і, як наслідок, програми викладання предмета, під-ручники, змінюється і мета навчання.

Сьогодні відправною точкою при оновленні освіти є визнан-ня розвитку особистості. Математика, насамперед, це наука, а некерівництво з розв’язанню задач, необхідних учню до вступу довузу. Саме тому, що більшість учнів у майбутньому не будутьпрофесійними математиками у своїй практичній діяльності, саметому вони повинні мати уявлення про математику, як про науку.Через математику потрібно передати учням науковий стиль дія-льності – критичність, самостійність і т.д. Тобто математика по-винна перед учнями предстати як дедуктивна наука, яка ґрунту-ється на аксіомах та має еталони строгості міркувань та зрозумі-ло, математика – це сукупність прийомів та методів длярозв’язування різноманітних задач. В результаті вивчення мате-матики учень повинен мати достатньо розвинуті інтелектуальні

50

вміння, вміння самостійно працювати.Сьогодні відбувається інверсія базових педагогічних понять

“викладання” – “навчання”. Тому суттєвим є не тільки і не стіль-ки накопичення знань та вмінь, скільки розвиток здібностей уч-нів – важливим є бачення учнем у математичних формулах дже-рела появлення нових знань та думок. Навчати сьогодні – це на-вчати математичній діяльності. В установку вчителя входить іставлення до учня як до суб’єкта учбового процесу. Учень усвоїй діяльності має самостійно думати та робити. Вчитель по-винен формувати в учня критичне, свідоме ставлення до матема-тики.

Зрозуміло, що критична діяльність потребує уваги з бокувчителя і не меншого ніж інші види діяльності і метою має бутиформування в учня вмінь оцінювати якість викладеного учбово-го матеріалу у підручниках, статтях, відповідях других учнів,роз’яснення вчителя і у підсумку – вміння оцінювати власну ро-боту. Тому одним з важливих підходів удосконалення підготовкимайбутніх вчителів математики є формування у них в процесінавчання у вузі спеціальних умінь, починаючи з молодших кур-сів, які б забезпечували раціональне та ефективне здійсненнярозвитку критичної діяльності учнів.

Без спеціальної роботи вчителя учні не зрозуміють, що будь– яка їх власна діяльність повинна бути надійно перевірена, і то-му критична діяльність направлена на той рівень розуміння уч-бового матеріалу, а не тільки на запобігання помилок. Всі ланкипрофесійних установок вчителя утворюють систему його роботи,технологію навчання. Ось чому впродовж навчання у вузі сту-дент повинен навчатися складовим педагогічної аналогії, без якоїне можливе навчання учнів.

51

ПРИМЕНЕНИЕ ОПОРНОГО КОНСПЕКТАВ ПАРАЛЛЕЛЬНОМИЗЛОЖЕНИИ ТЕМЫ “ПРЯМАЯ”

(В ПРОСТРАНСТВЕ И НА ПЛОСКОСТИ)

Г.А. Варварецкая, Т.И. Климова, Т.М. Сапроноваг. Одесса, Одесская национальная морская академия

math@ma.odessa.ua

На протяжении многих лет в ОНМА используется один изновых дидактических методов – метод параллельного изложе-ния, который состоит в том, что изложение и введение таких ос-новных понятий математики, как пространство, вектор, функция,предел, последовательность, дифференциал, интеграл, функцио-нал даются одновременно: одномерное и конечномерное про-странство, одномерный и n-мерный векторы, функции одной имногих переменных; производные функции одной и многих пе-ременных, одномерные и многомерные интегралы.

В данной статье мы остановились на изложении темы «Пря-мая в пространстве и на плоскости» с применением опорногоконспекта.

На кафедре высшей математики ОНМА на протяжении мно-гих лет изложение материала по теме «Аналитическая геомет-рия» на лекциях начинается с поверхностей и их уравнений,классификации уравнений поверхностей первого и второго по-рядка. Затем излагаются сведения о поверхностях первого по-рядка (плоскость), строится векторное уравнение плоскости вскалярной и векторной форме, угол между векторами, нормаль-ное уравнение, расстояние от точки до плоскости и т.д. Имея всевиды уравнений плоскости, уравнений прямой в пространстве иуравнения линии на плоскости, легко получаются все виды урав-нений прямой на плоскости.

С методической точки зрения на практических занятияхважно акцентировать внимание курсантов на упражнениях, ко-торые служат для закрепления лекционного материала. Т.к. вре-мени на проверку теоретического курса остаётся крайне мало,мы предлагаем курсантам в качестве домашнего задания – со-ставление опорных конспектов лекций для каждого практиче-ского занятия. В данной статье рассматривается проведение

52

практического занятия с применением такого опорного конспек-та.

Предложенный ниже конспект составлен одним из курсан-тов. Тема практического занятия – «Прямая в пространстве и наплоскости». Идея параллельного изложения прямой в простран-стве и на плоскости проходит красной нитью через всё занятие.Практика показывает, что при решении задач по новой теме укурсанта возникают сложности в выборе соответствующей фор-мулы или уравнения. Используя же опорный конспект, курсантлегко ориентируется в теоретическом материале, что приводит кувеличению количества решённых задач, и закреплению лекци-онного курса, помогает систематизировать знания по данной те-ме.

Прямаяв пространстве на плоскости z=0

Канонические уравнения

p

zz

n

yy

m

xx 000 −=

−=

−n

yy

m

xx 00 −=

−

где m, n, p – координаты направляющего вектора s :),,( pnms ),( nms

Параметрические уравнения прямой в координатной форме

+=+=+=

,

,

,

0

0

0

zptz

ynty

xmtx

+=+=

,

,

0

0ynty

xmtx

где t∈ RУравнения прямой, проходящей через две данные точки

12

1

12

1

12

1

zz

zz

yy

yy

xx

xx

−−

=−

−=

−−

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

−−

=−

−

Общее уравнение прямой (линия пересечения плоскостей)

=+++=+++

,0

,0

2222

1111DzCyBxA

DzCyBxA

==+++

,0

,0

z

DCzByAx

где A1, B1, C1, A2, B2, C2, A, B – координаты нормальных векторов:);;(),;;( 22221111 CBANCBAN );( BAn

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

53

ktg

bkxy

xxkyy

=α+=

−=−,

),( 11

Условие параллельности двух прямых

2

1

2

1

2

1

p

p

n

n

m

m==

21

2

1

2

1

2

1

2

1

kk

B

B

A

A

n

n

m

m

=

=

=

Условие перпендикулярности двух прямыхm1m2+n1n2+p1p2=0 m1m2+n1n2=0

1

0

21

2121

−==+

kk

BBAA

Угол между двумя прямыми

22

22

22

21

21

21

222

21

21

111

cos

pnmpnm

ppnnmm

ss

ss

++++

++=

=⋅

=ϕ

22

22

21

21

2121cosnmnm

nnmm

++

+=ϕ

21

12

1 kk

kktg

+−

=ϕ

где φ – угол между двумя прямыми.Задачи на данную тему предлагаются из «Сборника задач по

высшей математике» под редакцией П.Ф. Овчинникова.Используя данную методику, мы, во-первых, значительно

сокращаем время изложения темы, во-вторых, добиваемся болеечёткого усвоения основополагающих понятий. Аналогичное ис-пользование опорных таблиц выигрышно применять для тех тем,где можно проводить параллельное изложение материала. На-пример, в таких темах, как «Пределы функции одной и многихпеременных», «Непрерывность функции одной и многих пере-менных», «Производная функций одной и многих переменных»,«Формула Тейлора для функций одной и многих переменных».

54

ВИКОРИСТАННЯМАТЕМАТИЧНИХ ЗНАНЬНА УРОКАХ ГЕОГРАФІЇ

С.М. Гаврилюкм. Кривий Ріг, Середня школа №99

Математика – фундаментальна наука. Знання основ цьогопредмету є необхідною умовою, базою для багатьох шкільнихпредметів: хімії, фізики, економіки, інформатики, географії.

Учні з перших тем географії у 6 класі дізнаються про рольматематичної науки, коли знайомляться з історією пізнання лю-дьми планети Земля. Саме завдяки розрахункам математиків ма-ндрівники продовжували пошуки шостого континенту – Антарк-тиди – і їх старання увінчалися успіхом.

Ще з давніх часів мандрівники примусили картографів заду-матись над точністю своїх атласів. Через незначну помилку врозміщенні острова на карті корабель міг розбитись на рифах, якіє там, де карта показувала морську безодню.

Земну кулю не можна перенести на площину – при цьомуобов’язково не дотримуються відстані. Для мореплавців буловажливо, щоб на карті паралелі та меридіани перетинались підпрямими кутами, тому що на земній поверхні ці кути завждипрямі. На таких картах маленькі ділянки земної поверхні зобра-жуються подібними їм фігурами: квадрати – квадратами, коло-колами. Але при переході до великих фігур подібність порушу-ється, і інколи невеликі країни, острови займають на карті значнобільше місця, ніж великі. Так, на карті Меркатора, яку він ство-рив у 1569 році, Гренландія займає майже таку ж ділянку, як іПівденна Америка, хоч насправді її площа в сім разів менша. За-те кути на цій карті прямі. Але полюси на карту Меркатора непотрапили, вони зображаються на ній безкінечно віддаленимиточками, тому приполярні території значно виросли за площею.

Тісний зв’язок математики і географії просліджується в кур-сі “Загальна географія” 6 класу, де учні закріплюють знання промасштаб, набувають навичок застосування його на практиці. Задопомогою масштабу діти визначають протяжність материків,відстані між географічними об’єктами. Важливим моментом тутє вміння учнів переводити числовий масштаб в іменований і на-

55

впаки. Доцільно з цією метою проводити тренувальні вправи,наприклад:

Зведи числовий масштаб до іменованого1: 250000; 1: 300000; 1: 1000000Яка буде на карті масштабу 1:1000 000 довжина ліній, які

на місцевості мають:а) 10 км б) 100 км в) 5 км г) 3 км 500 мЗадачі можна ускладнити: відстань між населеними пунк-

тами на карті з масштабом 1: 50000 дорівнює 20 см. Скількипотрібно часу пішоходу, щоб подолати цю відстань, якщо віндолає 5 км/год?

При вивченні топографічних карт учні знайомляться з лінія-ми – горизонталями, за допомогою яких позначають пагорб чизаглиблення. Математики називають горизонталі лініями рівня.Під час виконання практичної роботи – кресленні плану місцево-сті, – я спираюсь на вміння учнів за допомогою транспортиравідкладати кути (азимути) та відстані за допомогою певного ма-сштабу.

У курсі 6 класу використовуються знання, вміння побудовиграфіків: річний та добовий хід температури повітря; визначеннясередньодобової температури та амплітуди коливань. Необхіднінавички побудови діаграм: колових (хмарності) та стовпчастих:(опадів), рози вітрів.

У старших класах задачі ускладнюються і для їх рішення ви-користовуємо геометричні формули: S=а.b; S=а2; S=0,5аb;S=0,5аh; S=0,5(а+b).h.

Курс економічної географії України теж має великі можли-вості здійснення міжпредметних зв’язків з математикою, де мо-жна запропонувати задачі такого змісту:

Населення міста потребує 200 тисяч тонн цукру на рік. Длявиробництва 1 т цукру необхідно 7 тонн цукрового буряка. Від-стань між містом і сировинною базою – 200 км. Порівняйтетранспортні витрати при розміщення цукрового заводу в районіспоживання і в районі вирощування цукрового буряка. Транспо-ртування сировини коштує 2,6 грн. за 1 т/км. Де варто будува-ти цукровий завод?

Широко використовуються в географії статистичні таблиці,які містять інформацію і з фізичної, і з економічної географії.

56

ОРГАНИЗАЦИЯ АУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙРАБОТЫ СТУДЕНТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

ОБУЧАЮЩЕГО ПОСОБИЯ

В.С. Герасимчук, В.И. Кравцовг.Макеевка, Донбасская государственная академия строительст-

ва и архитектурыvme@dgasa.dn.ua

В теории вузовского обучения исследованы далеко не всеаспекты такой актуальной проблемы, как самостоятельная рабо-та студентов (СРС), далеко не во всех деталях раскрыты ее сущ-ность и методика организации.

Встречаются различные толкования сущности СРС. Одниполагают, что СРС является необходимой составляющей любогометода обучения и любого вида учебных занятий, сводя ее к рег-ламентированной организации при отсутствии прямого управле-ния со стороны преподавателя в специально отведенное для это-го время (в основном внеаудиторное). Другие понимают подСРС такую деятельность, когда сам студент изучает указанныйучебный материал, анализирует его, обобщает и проверяет своивыводы. Третьи считают, что СРС является обязательным эле-ментом содержания образования, предусмотренного учебнымпланом и особенностями работы высшей школы.

На наш взгляд, под СРС необходимо понимать совокупностьмногообразий типов учебных и исследовательских заданий, вы-полняемых под руководством преподавателя или с помощьюучебного пособия (самоучителя) с целью приобретения навыкови умений самостоятельной творческой деятельности и выработ-ки сознательного поведения.

Традиционные методы обучения характеризуются слабойнаправленностью на формирование у студента умений решенияконкретных практических задач. Большинство студентов притаком обучении остаются пассивными созерцателями, безыни-циативно выполняющими установленный объем учебных зада-ний. Пассивность студентов можно объяснить и недостаточнымуровнем их довузовской математической подготовки. Лекцион-ный курс, где систематизированно изложены ключевые пробле-

57

мы, а содержание насыщено множеством новых понятий и фор-мул, студент зачастую не в состоянии осилить без помощи пре-подавателя или учебного пособия, адаптированного для опреде-ленной аудитории слушателей.

Одно из важнейших направлений деятельности преподава-теля, причем деятельности, аккумулирующей и педагогические,и научные, и воспитательные устремления – это создание учеб-ной литературы. А самостоятельная работа студента с литерату-рой приобщает его к теоретическим знаниям и формированиюего творческого мышления.

В связи с этим нами подготовлено учебное пособие “Курсклассический математики в примерах и задачах”, которое соот-ветствует программе курса высшей математики для студентовинженерно-технических специальностей и представляет собойдостаточно полное и доступное руководство к решению задач ипримеров по традиционному курсу высшей математики. Пособиепостроено по принципу проведения практических занятий иимеет целью оказать помощь студентам в изучении данного кур-са. В нем кратко излагаются основные теоретические положениякаждой новой темы курса, соответствующие определенномупрактическому занятию. Далее приводятся решения типовых за-дач, а затем предлагаются для решения задачи, которые предпо-лагают более глубокие знания теоретического материала. Всерешения сопровождаются подробными пояснениями, опираю-щимися на содержание и выводы той или иной теоремы или ма-тематического положения. Затем формулируются вопросы и ло-гические задания, призванные проверить степень усвоения важ-нейших теоретических положений и их применения к решениюзадач. Заканчивается каждый раздел набором заданий для само-стоятельной работы, которые снабжены ответами и пояснитель-ными комментариями в необходимых случаях.

В ряду важнейших задач всякого практического занятия от-метим умение слушателей излагать, обосновывать и применятьприобретенные теоретические знания, приобретение навыковрешения практических заданий на основе теоретических знанийи положений, развитие умений анализировать полученные ре-зультаты и давать заключения по итогам решения конкретнойзадачи.

58

Весь этот комплекс действий, имеющий целью построениепростейших математических моделей реальных инженерныхсистем и процессов, направляется преподавателем и в качествеобязательной составляющей включает целенаправленную само-стоятельную работу обучающихся. Поэтому накануне практиче-ского занятия преподаватель доводит до сведения студенческойаудитории план работы и тему следующего занятия. Это сущест-венно повышает заинтересованность студентов и побуждает их кпредварительной проработке указанной темы: к очередному за-нятию студенты с помощью учебного пособия самостоятельнознакомятся с основными типовыми методами решения простей-ших задач. В аудитории студент продолжает с помощью учебно-го пособия и под руководством преподавателя решать болеесложные задачи. Примеры, трудные для понимания, преподава-тель решает вместе со студентами или студентом у доски. Назаключительной стадии занятия проводится 10-15 минутныйэкспресс-контроль изученного материала, который позволяетпроконтролировать степень усвоения материала и оценить зна-ния слушателей, что стимулирует их активную учебно-познавательную деятельность.

Наличие в данном учебном пособии специальной главы“Прикладные задачи”, где изученные ранее математические ме-тоды применяются к решению задач практического содержания,способствует формированию у студентов положительной моти-вации всей учебной деятельности, поскольку наглядно демонст-рирует, как изученные ранее и уже известные им математическиеметоды и приемы используются в специальных дисциплинах ипрактической деятельности.

Таким образом, преподаватель направляет и активизируетучебный процесс, стимулирует активность и заинтересованностьслушателей, демонстрирует важность и необходимость сознатель-ного изучения предмета. При этом студенты не превращаются впассивных участников процесса обучения, а приобретают опыт са-мообразовательной творческой деятельности.

Было бы неверным утверждать, что в нашей работе неттрудностей, что все известные методы СРС нами решены опти-мально. Поиск путей эффективного использования указанногопособия в учебном процессе продолжается.

59

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ВЫСШЕЙМАТЕМАТИКЕВ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЯХ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИМВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫMATHEMATICA

Е.А. Дахерг. Сумы, Украинская академия банковского дела

Каждый раз, когда человечество, переживая потрясение,вступает в переходный период, резко возрастает необходимостьгуманизации общества, а, значит, – гуманизации образования.

Главными задачами гуманистической парадигмы образова-ния являются, с одной стороны – воспитание личности, стремя-щейся к самоактуализации, открытой для восприятия новогоопыта, способной на сознательный и ответственный выбор, а сдругой стороны – создание условий, обеспечивающих нормаль-ное функционирование педагогического процесса, конечной це-лью которого и становиться формирование личности с выше-упомянутыми качествами. Очевидно, что реализация этих задачневозможна без внедрения эффективных научно-педагогическихи информационных технологий с использованием соответствен-ного учебно-методического и информационно-программногообеспечения в высших учебных заведениях. Только в комплексес соответствующим учебно-методическим обеспечением исполь-зование компьютерных технологий даст позитивные результатыи явится шагом вперед на пути развития процессов гуманизациии информатизации высшего образования.

В целях реализации данных задач была разработана методи-ка преподавания высшей математики с использованием сим-вольной системы Mathematica. Символьная система Mathematica– программный продукт, созданный американской фирмойWolfram Research. Ее новая версия Mathematica 4.2 признаналучшим программным продуктом на 18-м ежегодном конкурсеMacWorld (США) по категории научное программное обеспече-ние, а ее создатель Стефан Вольфрам был удостоен звания уче-ного 2002 года.

Широчайшие возможности этой системы в сочетании с раз-работанной методикой позволили поднять процесс обучения

60

высшей математике на уровень модели реальной научной дея-тельности.

Основным принципом данной методики является опора наактивность самого обучающегося. Ему предоставляется самыйсовременный набор инструментов для реализации графических,аналитических и численных методов решения математическихзадач. Сосредотачиваясь на решении содержательных задач, до-верив технику математических преобразований компьютеру,учащийся приобретает устойчивые навыки решения прикладныхзадач, выходит на уровень понятий, концепций, общих подходови за короткое время может рассмотреть самостоятельно многопримеров. Это позволяет всесторонне исследовать новые объек-ты, выделить закономерности и сформулировать обобщающиеутверждения на основе собственных наблюдений, что способст-вует развитию творческого, критического и независимого мыш-ления.

По разработанной программе с помощью необходимых ме-тодических и дидактических материалов на базе Украинскойакадемии банковского дела при изучении дисциплин “Высшаяматематика для экономистов”, “Дискретная математика”,”Математическое программирование” был проведен курс лабо-раторных работ с использованием системыMathematica 4.1.

Результатом проведения этого курса явилось совершенство-вание процесса обучения, а именно – повышение качества зна-ний, интенсификация процесса их усвоения.

Разработка и апробация такого рода методик, широкое вне-дрение их в систему образования повлечет позитивные измене-ния: возрастет самостоятельность и самодостаточность личностиучащихся, их творческая активность, что позволит сегодняшнимстудентам, а завтрашним специалистам успешно решать слож-ные научные и профессиональные задачи.

Для примера рассмотрим лабораторную работу из курса“Высшая математика для экономистов”.

Лабораторная работа.Векторы. Линейные действия над векторами.Скалярное произведение. Векторное и смешанное

произведение векторов.

61

Цель работы:1. Ознакомиться с возможностями системы Mathematica 4.1

для решения задач по данной теме.2. Закрепить понятия скалярного, векторного и смешанного

произведений, компланарности векторов.3. Убедиться в свойствах скалярного и векторного произве-

дений.Теоретические сведения:Для задания векторов в системе Mathematica 4.1 использу-

ются списки. Список на языке данной системы – это совокуп-ность произвольных данных, указанных в фигурных скобках.Мы уже встречались с этим понятием в предыдущих лаборатор-ных работах. Например, чтобы задать вектор а с координатами (-3, 2, 1), используем форму списка (рис.1.)

In (1): = а = { -3, 2, 1}

Out (1) = {-3, 2, 1}

Рис.1. Пример задания вектора

Для задания матрицы используются списки в списке и до-полнительно для вывода ее в привычной матричной форме ис-пользуется функцияMatrix Form [ а ] (рис. 2.)

In (1): = a = {{ 1, 2, 3} , { 5, 7, 10} , { 15, 17, 9}} ;Matrix Form [ a]

Out (1) // Matrix Form

1 2 35 7 1015 17 9

Рис. 2. Пример задания и вывода матрицы.

Линейные действия над векторами в системеMathematica 4.1задаются в виде

а+ b, a – b, α · а, где α – некая константа.Для задания скалярного и векторного произведений исполь-

зуются следующие функции:

62

° Dot [a, b] – возвращает скалярное произведение векторов аи b;

° Cross [a, b, c,...] – возвращает векторное произведение век-торов а, b, с ... (может задаваться в виде а* b* с*...);

Комбинация этих двух функций позволяет осуществлятьсмешанное произведение:

Dot [a, Cross [b, c] ] – возвращает смешанное произведениевекторов а, b, с.

Смешанное произведение векторов а, b, с можно также зада-вать с помощью функции

Det[v] – возвращает определитель матрицы V, строками ко-торой являются координаты векторов а, b, с соответственно.

Порядок выполнения работы:1. Подготовьте в тетради таблицу:

№задания

Численные результаты Выводы

1234

Дополни-тельноезадание

2. Включите компьютер и войдите в ядро (Kernel) системыMathematica 4.1.

3. Выполните последовательно предлагаемые задания. Ре-зультаты и выводы запишите в таблицу.

4. На основе полученных результатов сделайте общий выводо проделанной работе.

Задание 1.Выполнить линейные действия над векторами а, b, с:

5а + 2 b – с,где а= (1, 0, -1), b = (3, -3, 2), с= (1, 1, 1)

Задание 2.Найти скалярное произведение векторов а = (3, 2, 1) и

b = (2, -3, 0). Сделайте вывод о том, какие это векторы.

63

Задание 3.Даны векторы а= (3, -4, -8), b = (-5, 2, -1).Найти:а) скалярные произведения а . b, b . aб) векторные произведения a × a, b × b, a × b, b × a.Проанализируйте результатыЗадание 4.Компланарны ли следующие векторы?:а = (-2, -1, -3), b = (-1, 4, 6), с = (1, 5, 9)Дополнительное задание.Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах(1, 2. 3), (-1, 3, 4), (2, 5, 2).Контрольные вопросы:1. Покажите с помощью стрелок какие функции каким опе-

рациям над векторами соответствуют:Dot [a, b] векторное произведение векторов а, b, с;Det [ v ] скалярное произведение векторов а, b;Cross [a, b, c] смешанное произведение векторов a, b, c.2. Что называется скалярным, векторным произведением

двух векторов а и b? Сравнить их свойства.3. Что такое смешанное произведение векторов?4. Какие векторы называются компланарными?5. Как найти объем параллелепипеда, построенного на век-

торах a, b, c?

Методические рекомендации:1. Необходимо подчеркнуть особенности синтаксиса систе-

мы: векторы и матрицы задаются с помощью фигурных скобок,название функций начинаются с заглавной буквы, а затем ис-пользуются квадратные скобки.

2. Следует обратить внимание студентов на многоплано-вость осуществления смешанного произведения. Задание сме-шанного произведения с помощью комбинирования двух функ-ций носит дефиниционный характер. Второй способ – генера-тивный.

Литература:

64

1. Національна доктрина розвитку освіти // Офіційний вісникУкраїни. – 2002. –№16. – С. 12–24.2. Гончаренко С.У. Український педагогічний словник. – К.:Либідь. – 1997.3. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика.–М.: Нолидж, 2001.4. Лутай В.С. Філософія сучасної освіти. – К.: Центр-магістр-S,1996.

65

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ ВШКІЛЬНОМУ КУРСІ БІОЛОГІЇ

Л.М. Єжельм. Кривий Ріг, Середня школа №99

Активізація пізнавальної системи діяльності учнів, вироб-лення в них умінь творчо розв’язувати навчальні завдання, сис-тематично застосувати знання на практиці – важливі завдання,що стоять перед середньою загальноосвітньою школою. Викори-стання на уроках та в позакласній роботі такого методичногоприйому, як розв’язування задач і вправ біологічного змісту, пе-вною метою сприятиме реалізації завдань при вивченні шкільно-го курсу біології.

Аналіз задачі, пошуки шляхів її розв’язування і самерозв’язування – це творчі процеси. Вони формують науковийсвітогляд, тісніше встановлюють міжпредметні зв’язки між ос-новами наук, у першу чергу між природничо-математичними.

Задачі і вправи можна застосувати під час пояснення новогоматеріалу, закріплення знань, як завдання додому, при перевірцізнань, повторенні, на факультативних заняттях.

Для розв’язання задач слід застосовувати:1. Розв’язання пропорцій.2. Приведення до одиниці.3. Використання графічних методів розрахунків.4. Складання алгебраїчних рівнянь з одним невідомим.5. Застосування методів елементарної комбінаторики.Алгебраїчний спосіб розв’язування вимагає від учнів біль-

шої глибини в логічних міркуваннях, привчає до широкого вико-ристання математичних знань у житті. Арифметичний спосіброзв’язання біологічної задачі може бути більш трудомісткий.Графічні задачі доцільної для вираження кількісних залежностейміж розмірами та віком рослин або тварин. Вчителю біологіїтреба звертати увагу учнів на найбільш раціональні прийомирозв’язання задач. Тому слід вимагати від учнів аналізу задач,вміння робити висновки і узагальнення.

Можливості застосування задач і вправ при вивченні біологіїрізноманітні, і значною мірою залежать від творчого підходувчителя до навчального процесу.

66

ОРГАНІЗАЦІЯ ТА ПРОВЕДЕННЯ ДИДАКТИЧНИХ ІГОРВ НАВЧАЛЬНОМУ ПРОЦЕСІ

О.О.Жорникм. Полтава, Полтавський університет споживчої кооперації

України

Використання дидактичних ігор в навчальному процесі мо-жна охарактеризувати як діяльність, елементом якої є дії студен-тів, властиві комунікативній поведінці в ігрових ситуаціях, щомоделюються на заняттях.

Дидактична гра містить у собі великі можливості у підгото-вці студентів. Вона дає змогу включити кожного студента, всіхучасників у такі ситуації, що враховують динамізм, зміну педа-гогічних дій та їх нестабільність, вимагає від людини постійноговибору, потреби в самостворенні, само будуванні, у зміні самогосебе [1,62].

Цінність і значущість ігрового спілкування у професійномустановленні особистості, здатної до саморозвитку і конструктив-ної взаємодії з навколишньою дійсністю і соціальним середови-щем, визначаються використанням кожної дидактичної гри, вякій закладений механізм, що забезпечує розвиток майбутньогоспеціаліста [2,51].

Навчання з використанням дидактичних ігор при підготовцістудентів слід будувати з урахуванням внутрішніх властивостейповедінки, внутрішнього досвіду і самопізнання студентів. Кож-на людина має здібності до самовдосконалення, які розвивають-ся під час активної діяльності та ігрового спілкування. Тому од-нією з важливих умов оптимізації ролі дидактичних ігор у на-вчальному процесі є врахування самоактуалізації особистостістудента.

Самоактуалізація розуміється як постійний розвиток і по-стійна реалізація можливостей студентів у процесі їхньої участіу дидактичній грі. Студент включається в навчально-ігрову ко-мунікативну діяльність відповідно до своїх пізнавальних і про-фесійних інтересів, мотивів і потреб, установок і ціннісних оріє-нтацій. Основною вимогою при цьому є створення необхідноїмотивації ігрової діяльності як важливого чинника у формуванні

67

здатності студентів до ігрової комунікації.У психолого-педагогічній літературі під мотивацією розу-

міють всі типи спонукання, що викликають активність людини.Мотивація поєднує в собі цінності, ідеали переконання, спрямо-ваність, потреби, інтереси. Зібрані факти дають змогу говоритипро те, що в системі професійної підготовки студентів у вищійшколі домінують такі мотиви: усвідомлення соціальної значущо-сті і особистої зацікавленості у вирішенні навчально-пізнавальних завдань у сфері професійної діяльності: мотиви са-мовиявлення та самоствердження.

Існує безпосередній зв’язок і взаємна обумовленість резуль-тативності навчання і характеру мотивації, пізнавальних інтере-сів та потреб студентів. Дослідники визначають мотив як внут-рішній стимул до дії, усвідомлену спонуку до певного виду дій.Мотив як усвідомлена спонука до дії власне і формується в мірутого, що людина враховує, оцінює, зважує обставини, в яких во-на перебуває, і усвідомлює мету, що перед нею постає. Від став-лення до них і породжується мотив з його конкретною змістовні-стю, необхідною для реально життєвої дії.Мотив як спонука – цеджерело дії, що породжує, але щоб стати таким, він повинен самформуватися.

Врахування специфіки мотивації студентів дає змогу кори-гувати навчальний процес з використанням дидактичних ігор длятого, щоб надати йому особистісного змісту.

Мотив, його спрямованість і характер обумовлюються різ-номанітними потребами тих, хто навчається. Внутрішня спонуказважується з обставинами відповідно до пізнавальних інтересів іпотреб, професійних установок і ціннісних орієнтацій студентів.При використанні дидактичної гри в навчальному процесі врахо-вується те, що мотив як внутрішній стимул до дії неможливийбез відповідності його спрямованості характеру діяльності, таксамо, як і самостійне вирішення навчальних завдань, пошук ви-ходу з ігрової ситуації неможливі без наявності позитивної мо-тивації.

Під час використання дидактичних ігор у навчально-виховному процесі відбувається стимулювання позитивної моти-вації студентів, внутрішніх спонук їхньої активної участі у по-шуку виходу із запропонованих ігрових ситуацій.

68

При чому закріплення пізнавального інтересу до гри як ме-тоду підготовки майбутніх спеціалістів передбачає використаннярізноманітних стимулів: допитливість, потяг до нового, потребазнайти природний вихід енергії в ігровій діяльності, хвилюваннящодо виконання ігрової ролі.

При введенні дидактичної гри в навчально-виховний процесми враховуємо те, що позитивна мотивація можлива тоді, колидидактичне завдання, випливаючи із зовнішніх факторів, що ді-ють на свідомість студентів, сприймається ними як особистіснозначуще.

Література:1. Гинзбург Я.С., Коряк Н.М. Социально-психологическое соп-ровождение деловых игр // Игровое моделирование. Методо-логия и практика. – Новосибирск, 1987. – С. 61–73.

2. Ладыжев Н.С. Философия и практика университетского обра-зования. – Ижевск, 1995. – 256 с.

3. Ломов Б.Ф. и др. Познание и обобщение. – М.: Наука, 1988. –208 с.

69

ЗАСТОСУВАННЯ ЙМОВІРНІСНИХ ПРОБІТ І ЛОГІТМОДЕЛЕЙ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ПРОБЛЕМ ВИБОРУ

Т.М. Задорожням. Ірпінь, Академія державної податкової служби України

Щоб піддати математичній обробці результати спостереженьприроди або соціального життя, необхідно попередньо ці явищасистематизувати, побудувати їх математичні моделі.

Математичними моделями прийнято називати системи ма-тематичних відношень, які описують процес, що вивчається, абоявище за допомогою математичних символів.

Ймовірнісні статистичні моделі математики виростають іззадач, в яких йдеться про необхідність брати до уваги елементивипадкового. Успіхи науки знімають або дещо відсувають на за-дній план елемент випадковості, знаходять зв’язки і причиниявищ, але кількість випадкових ситуацій не зменшується. Томунемає іншого шляху, як навчитися працювати з випадковимиявищами. А починати це можна і необхідно ще в школі.

Моделі якісного вибору застосовуються у випадках, колинеобхідно проаналізувати можливі варіанти рішень в залежностівід деяких певних економічних або соціальних обставин. Скажі-мо, страхувати чи не страхувати майно в залежності від доходута вартості самого майна. За видами моделі якісного вибору мо-жна розділити на чотири типи: лінійні імовірнісні моделі, пробітта логіт моделі, а також цензуровані моделі.

Лінійна ймовірнісна модель.Лінійна імовірнісна модель має вигляд:

Yi=α+βΧi+εi,де Yi =1 при виборі першої альтернативи і-тим суб’єктом;

Yi = 0 при виборі другої альтернативи і-тим суб’єктом;Χ i – величина ознаки, яка задається;εi – похибка з нульовим сподіванням (E(εi)=0 та незалежна

від Х: E(εi·Xi=0);α, β – регресивні коефіцієнти, які визначаються.Нехай ймовірність вибору першої альтернативи Pi

(Pi=P(Yi=1), 1–Pi=P(Yi=0)). Тоді математичне очікування залеж-

70

ної змінної:E(Yi)=1·Pi+0·(1–Pi)=Pi=α+βΧ i

Лінійну ймовірнісну модель можна подати у вигляді:

≤+≥+

<+<+=

;0де,0

;1де,1

;10дe,

i

i

ii

i

X

X

XX

P

βαβα

βαβα(1)

Виконуючи нескладні перетворення, що наведені в роботі[7], знаходимо, що Е(εi)=0

Е(εi2)=Pi·(1–Pi)=σ2.

Величина дисперсії залежить від значення Pi. Якщо Pi на-ближається до 0 або до 1, дисперсія прямує до 0, якщо Pi=0,5 ди-сперсія набуває максимального значення. Це означає, що модельякісного вибору є гетероскедатична, тобто дисперсія не є сталоювеличиною, а залежить від Χ i.

Недоліком даної моделі є передбачення при деяких Χ i немо-жливих (Pi=0) або достовірних (Pi=1) подій, хоча завжди існуєімовірність того, що при будь-яких Χ i людина зробить вибір,який не відповідає розрахунковому. Це означає, що в моделі мо-жуть з’явитися події неможливі та достовірні, а це небажано,оскільки не відповідає реальності.

Пробіт та логіт моделі.Труднощів, які виникають при застосуванні лінійної моделі,

можна уникнути, використовуючи інтегральну функцію розподі-лу, яка належить проміжку (0;1). Хоча для цього може підійтивелика кількість функцій, найчастіше використовуються дві: фу-нкція Лапласа (нормальний розподіл) та логістична функція роз-поділу:

Pi=F(Zi)= dte

tZ 2/2

1

2

1−

∞−∫π

(2)

Pi=F(Zi)=1

1

1 Z

Z

e

e

+(3)

Zi=α+βΧi (4)Різниця цих двох розподілів полягає в тому, що логістичний

дає більші значення ймовірностей при значних Z. Використову-

71

ючи (2), можна знайти e 1Z :

i

iZ

P

Pe

−=

11 .

Прологарифмуємо обидві частини даної рівності. Отримає-мо:

Zi=lni

i

P

P

−1.

Відповідна регресійна залежність має вигляд:

lni

i

P

P

−1=Zi=β0+β1X(i)+β2X(i)+ …+βkXk(i)+ε (i) (5)

де k – кількість змінних, які задаються.Якщо для кожного випадку i (1≤i≤n) відомі імовірності Рі та

фактори Х1(і), Х2(і), …, Хk(і), то це дозволяє, використовуючи за-гальний МНК, знайти оцінки регресійних коефіцієнтів β0, β1, …,βk. Отримані оцінки регресійних коефіцієнтів дозволяють знайтиоцінки Zi та згідно із співвідношенням (3) оцінити значення від-повідних ймовірностей:

Pi=1

1

ˆ

ˆ

1 Z

Z

e

e

+, 10

ˆˆˆ ββ +=iZ X(i)+…+ kβ̂ Xk(i) (6)

Величина lni

i

P

P

−1має приблизно нормальний розподіл (для

великих вибірок) з нульовим середнім та дисперсією

V=)( iii

i

rnr

n

−,

де ni – кількість індивідуумів в і-ій комірці;ri – кількість позитивних відповідей

S=∑= −

−G

S

i

i

i

i

i

iii

nr

nr

nrPn

1

2

)1(

)ˆ((7)

де iΡ̂ – оцінка імовірності для і-тої групи, отримана за допомо-гою (6), має розподіл χ2 з числом степенів свободи ν=G–(k+1) –кількість комірок за винятком кількості параметрів, які оціню-

72

ються. Менша величина χ2 відповідає кращій наповнюваностімоделі.

Інший параметр, який характеризує адекватність моделі, –функція максимальної правдоподібності. Вона розраховуєтьсяоднаково як для логіт, так і для пробіт моделі:

L=∑=

−−+n

iiiii pyPy

1

))1ln()1(ln( (8)

де yi – значення, що спостерігаються у випадку і;Pi – прогнозоване значення ймовірності відповідно до виразу

(6) для логіт моделі.Найкращому варіанту розрахунків також відповідає менше

значення L, оскільки Pi повинно прямувати до одиниці, якщолюдина вибрала перший варіант (відповідно ln Pi прямує до ну-ля). Якщо людина вибрала другий варіант, то Pi→0 таln(1–Pi)→0.

Функцію максимальної правдоподібності для моделі, в якійвсі коефіцієнти дорівнюють нулю, за винятком β0 (нульове на-ближення), розраховують за формулою:

L0=n0ln nn0 +n1ln n

n1 .

n – загальна кількість учасників експерименту;n0 – кількість учасників, які вибрали другий варіант;n1 – кількість учасників, які вибрали перший варіант

n=(n0+n1).

Оцінка максимальної правдоподібності.Розглянемо оцінку максимальної правдоподібності однофак-

торної моделі:yі=β0+β1xi+εi (1)

де і=1, N (N – кількість спостережень).Відомо, що yi є величина, яка має нормальний розподіл з се-

реднім значенням β0+β1Χ i та дисперсією Μ(εi2)=δ2.

Оцінка максимальної правдоподібності максимізує величинуL:

L=P(Y1)·P(Y2)·…·P(Yn) (2),яка у подальшому і називається функцією правдоподібності.Розподіл ймовірності можна подати таким чином:

73

P(Yn)= ( )

−−− 2

1022 2

1exp

2

1ii xY ββ

δπδ(3)

Тоді функція максимальної правдоподібності матиме вигляд:

L(β0;β1; δ2)=( )

.2

122

N

πδ(4)

L= ))(2

1exp( 2

1021

ii

N

i

xββδ

−−Υ−∏=

,

де П визначає добуток N факторів.Якщо потрібно максимізувати функцію правдоподібності L,

змінюючи параметри β0, β1 та δ2, то необхідно знайти перші по-хідні від L за вказаними параметрами та прирівняти останні донуля. Знайдемо натуральний логарифм функції правдоподібнос-ті:

ln L=– ( ) ( )∑ −−−− 2

102

2

1ln22ln

2 ii xYN ββδδπ (5)

Диференціюючи послідовно по β0, β1 та δ2, знайдемо рівнян-ня для визначення регресійних коефіцієнтів:

∑≡∂

∂iX

L(

1ln2

0 δβ–β0–β1xi)=0

∑≡∂

∂ii ΥX

L(

1ln2

1 δβ–β0–β1xi)=0 (6)

∑+−≡∂∂

inX

NL(

2

1

2

ln22 δδδ

–β0–β1xi)2=0

Розв’язок системи (6) не відрізняється від відповідного рі-шення для загального МНК, зокрема зміщення оцінки δ2.

XY 10ˆ ββ −= ;

21)(

))((ˆxx

yyxx

i

ii

−

−−=

∑∑β ; (7)

N

xY ii∑ −−=

2102

)(ˆ ββδ .

74

Оцінки максимальної правдоподібності для логіт та про-біт моделей.

При використанні економетричних моделей якісного вибору(логіт та пробіт) найбільш зручно застосовувати метод максима-льної правдоподібності.

Наприклад, нам потрібно оцінити параметри логіт моделі :

Pi=)( 101

1ie χββ ++

(8)

Нехай Pi невідомо, але ми маємо інформацію про вибір і ін-дивідуум Xi=1, якщо вибраний перший, та Xi=0 – якщо вибранийдругий варіант. Нехай перший вибраний n1 разів, другий – n2 ра-зів (N=n1+ n2). Якщо врахувати, що ймовірність другого варіантудорівнює “одиниця мінус ймовірність першого”, тоді функціяправдоподібності L дорівнює:

∏∏∏=

−

+==

+

−=−=

=−−⋅⋅⋅⋅=N

i

yi

xi

N

nii

n

ii

Nnn

ii PPPP

PPPPPL

1

1

11

11121

)1()1(

)1)...(1(...

1

1 (9)

Останній вираз отримуємо за допомогою припущення, щоYi=1 для n1 перших спостережень, та Yi=0 – для n2 останніх.

Тепер підставимо вираз для логістичного розподілу (8) у фу-нкцію правдоподібності (9), спочатку перетворивши вираз (1–Pi):

1–Pi=)( 101

11

ie χββ ++− =

)(

)(

10

10

1 i

i

e

eχββ

χββ

+

+

+Тоді

lnL=∑ ∑= +=

−+1

1 11 )1ln(ln

n

i

N

nii PP (10)

Для знаходження оцінок β0 та β1 знайдемо похідну ln L зазмінними β0 та β1:

∑ ∑= +=

=−∂

∂

−∂∂

=∂∂ 1

1 1

00

0

01

ln n

i

N

ni i

i

i

i

P

Ρ

P

PL ββ

β(11)

75

=∂

∂

1

ln

βL ∑ ∑

= +=

=−∂

Ρ∂

−∂

∂1

1 1

11 01

n

i

N

ni i

i

i

i

PP

Pββ

(12)

Отримані оцінки для параметрів β0 та β1 є обгрунтовані танезміщені.

Тест на обмеження кількості незалежних змінних.Цей тест допомагає визначити оптимальну кількість незале-

жних змінних, тобто проаналізувати правильність зміщення де-якої кількості з них. Наприклад, ми проаналізували нуль–гіпоте-зу про те, що декілька з коефіцієнтів βi дорівнюють нулю. Тествиконується таким шляхом. Нехай L(βп) – максимальне значеннялогарифмічної функції правдоподібності, коли ніяких обмеженьне введено ( повна регресійна модель). L(βp) – максимальне зна-чення логарифмічної правдоподібності з введеними обмеження-ми. Тоді асимптотично виконується співвідношення:

2 (L(βp)-L(βn)~222τχχχ =− pп ,

де τ – кількість обмежень.Перевірка вагомості відкинутих коефіцієнтів утворюється

шляхом порівняння величини χ2 з відповідним значенням розпо-ділу χ2 на 5% рівні вагомості. Якщо χτ2 більше критичного зна-чення, то нульова гіпотеза повинна бути відкинута.

Метою побудови моделі якісного вибору є визначення ймо-вірності того, що особа певної соціально-економічної належностізробить один вибір з більшою ймовірністю ніж інший.

Нас цікавило дослідження проблеми вибору, який необхіднозробити молодій людині, яка закінчує школу.

Для обробки наших даних використаємо логіт та пробіт мо-дель. Нехай P(Zi) – ймовірність вступу, тоді:

Pi=F(Zi), (1)

де Zi=β0+∑=

n

iii x

1

β для однофакторної моделі,

Zi= kikii xxx βββα ++++ ....2211 (2)

де k – кількість визначальних факторів,i – індекс індивіда.

76

Побудуємо пробіт модель для дослідження ймовірностівступу до певного інституту . Вищі навчальні заклади розіб’ємона дві категорії: для одних, умовно назвемо їх престижними, пе-реважно університети – навчальні заклади ІV категорії, які в бі-льшості випадків мають військові кафедри; та інші, умовно на-звемо їх непрестижними, – навчальні заклади третьої категорії,коледжі. Початкові дані взяті після проведення анкетування се-ред більше ніж ста випускників середніх шкіл Ірпінського регіо-ну у червні 1999 року.

Ідентифікуємо змінні. У якості екзогенних змінних висту-пають: місце роботи батьків x1 (у приватному (0) чи державномусекторі економіки (1)); середній бал атестата x2; середній бал зматематичних дисциплін x3; стать x4 (чоловік (0), жінка (1)); ба-жання вступати до того чи іншого вузу x5 (це бажання випускни-ка (1) чи бажання його батьків (0)); середньодушовий дохід x6.Ендогенною змінною, що визначається, виступає вибір, зробле-ний випускником: вступати до вузу ІV категорії з високим кон-курсом (1) чи до непрестижного (0) або зовсім не вступати (–1).

Незважаючи на досить різний рівень підготовки випускни-ків, практично всі мають бажання навчатись в учбових закладах.Можливо, це пов’язано з наявною в суспільстві думкою про не-зворотність економічних перетворень і бажанням глибше зрозу-міти їх суть. Частина незалежних змінних задавалась у бінарно-му вигляді (місце роботи батьків, стать, бажання), виняток ста-новили: середній бал атестата, середній бал з математичних дис-циплін та дохід.

На першому етапі було проведено статистичний аналіз до-ходів, середніх балів атестатів та середніх балів з математичнихдисциплін.

Статистичний аналіз доходів показав, що вони знаходяться упроміжку 20 – 5000 грн. на одного члена сім’ї, середнє значеннях1=183 грн., медіана ХM=102 грн., середньоквадратичне відхи-лення – 316 грн., нижній та верхній квартіль x0.25=75 грн.,x0.75=200 грн. Виходячи з цього, екзогенну змінну “дохід” пред-ставляємо у вигляді х1=–1 для х≤75; х1=0 для 75≤х≤200; х1=1 длях>200.

Середній бал атестатів і середній бал з математичних дисци-плін знаходяться у проміжку 3–5 балів, тому відповідні змінні х2

77

– бал атестата і х3 – бал з математичних дисциплін мають вигляд:

><<

<−=

5,4,1

5,45,3,0

5,3,1

3,2

x

x

x

x

Ендогенна змінна задавалась у вигляді Y=1, якщо респон-дент збирався вступати до престижного вузу; Y=0 – у протилеж-ному випадку; і Y=–1 – якщо респондент не збирався вступати довузу взагалі (таких було зовсім мало, тому дані про них практич-но не розглядалися).

Побудуємо логіт- і пробіт - моделі за отриманими статисти-чними даними.

У результаті розрахунків методом максимальної правдопо-дібності отримана наступна залежність вибору респондента відекзогенних змінних:

Z=–0,637+0,184х1+0,529х2+0,207х3–1,283х4+1,76х5+0,684х6.Число максимального зменшення функції правдоподібності

дорівнює L=84,09. Для змінних x1, x2, x3 одержані оцінки параме-тра в моделі за t-критерієм Стьюдента – незначимі. Оскільки від-повідно до критерію Стьюдента коефіцієнти x1, x2, x3 незначимі,вважаємо їх рівними нулю. Тобто залишається лише залежністьвід: x4 (стать), x5 (бажання), x6 (матеріальні можливості). Томудля подальшого дослідження використовуються саме ці параме-три. Досить цікавим є зв’язок певного бажання випускника і йогоматеріального стану.

Таблиця 1.Залежність ймовірності бажання навчатися від визначених фак-

торів для юнаківЧоловіча стать Бажання(1) Небажання (0)

Бідні (-1) 0,61 0,39Середні (0) 0,75 0,25Добре забезпечені (1) 0,859 0,141

439,0)1(684,0176,1028,1637,0)1;1;0( =−⋅+⋅+⋅−−=−Z

61.01

)(439.0

439.0

1 =+

=e

eZΡ

123,10684,076,1637,0)0;1;0( =⋅++−=Z

78

75.01

)(123,1

123,1

1 =+

=e

eZΡ

807,11684,076,1637,0)1;1;0( =⋅++−=Z

859.01

)(807,1

807,1

1 =+

=e

eZΡ .

Таблиця 2.Залежність ймовірності бажання навчатися від визначених фак-

торів для дівчатЖіноча стать Бажання (1) Небажання (0)

Бідні (-1) 0,301 0,659Середній (0) 0,461 0,539Добре забезпечені (1) 0,629 0,371

841.0)1(684,0176,128.1637,0)1;1;0( −=−⋅+⋅+−−=−Z

301.01

1

1)(

841,0841,0

841,0

1 =+

=+

= −

−

ee

eZΡ

157.00684,076,128.1637,0)0;1;0( −=⋅++−−=Z

461.01

1

1)(

157,0157,0

157,0

1 =+

=+

= −

−

ee

eZΡ

524.01684,0176,11283.1637,0)1;1;1( =⋅+⋅+⋅−−=Z

681.01

)(524.0

524.0

1 =+

=e

eZΡ .

На основі розрахунків, приведених в таблиці №2, видно, щопитання вступу до вузу стоїть гостріше для юнаків, ніж для дів-чат. При інших рівних умовах значення параметрів бажання довступу юнаків значно перевищує аналогічну величину у дівчат,причому, навіть у тих, у кого матеріальна база не дає змоги вчи-тися, бажання вступити значно перевищує 50%.

На відміну від юнаків, у дівчат тільки добре забезпеченихбажання вступати до вузу перевищує небажання.

На основі проведеного анкетування, бесід із старшокласни-ками та порівняння цих даних з результатами вступу можна зро-бити певні висновки.

Старшокласник як суб’єкт учбової діяльності через специфі-ку соціальної ситуації розвитку, в якій він знаходиться, характе-ризується якісно новим змістом цієї діяльності. По-перше, поряд

79

з внутрішніми пізнавальними мотивами засвоєння знань навча-льних предметів, що мають особистісно змістову цінність,з’являються широкі соціальні і вузькоособистісні зовнішні моти-ви, серед яких мотиви досягнення займають велике місце. Учбо-ва мотивація якісно змінюється за структурою, оскільки самаучбова діяльність є для старшокласника засобом реалізації жит-тєвих планів майбутнього. Основним внутрішнім мотивом длябільшості є орієнтація на результат. Але як досягнути цього ре-зультату? Чи готова молода людина до цього сьогодні? Чи можевона правильно проаналізувати всі свої можливості і зробитиправильні висновки? Результати нашого невеличкого досліджен-ня свідчать, що значна частина випускників неспроможна чітковизначитись зі своїми бажаннями на майбутнє. Досить часто це –просто бажання батьків, які хочуть бачити дитину в стінах вищо-го учбового закладу (інколи навіть неважливо якого), забуваючи,що фізична праця не виключає інтелекту. І сьогодні він вимага-ється незрівнянно частіше, ніж учора. Тому досить важливим євміння оцінити свій інтелектуальний потенціал, щоб потім вирі-шити, якій сфері діяльності себе присвятити. І не тільки інтелектвимагає правильної оцінки, а й саме життя, що є серйозною бо-ротьбою, яка вимагає сил і уміння орієнтуватися в житті. А, нажаль, значна частина випускників до цього не готові.

Нове покоління, навчаючись в середніх школах, коледжах,ліцеях, отримуючи знання з різних предметів, повинно одночас-но оволодівати методикою, яка стимулює їх потребу творчо мис-лити. А для цього їм необхідно вміти аналізувати інформацію,факти, узагальнювати спостереження.

Розвиток самостійності, творчого підходу до рішень, вмінняприймати такі рішення, аналізувати дійсність і критично, конс-труктивно її осмислювати складають зміст учбової діяльностістаршокласника при вивченні теорії ймовірностей та елементівматематичної статистики.

У старшокласника складається особлива форма учбової дія-льності при вивченні цього предмета. Вона включає елементианалізу, дослідження, в загальному контексті деякої уже осмис-леної або усвідомленої як необхідність професіональної спрямо-ваності, особистісного самовираження. “Найважливіше психоло-гічне новоутворення даного віку – вміння школяра складати

80

життєві плани, шукати засоби їх реалізації”, – такД.І. Фельдштейн визначає специфіку змісту учбової діяльностістаршокласників.

Література1. Гарднер М. Путешествие во времени. –М:Мир, 1990.2. Гинзбург М. Психологическое содержание личностного са-

моопределения. – Вопр. психол. – 1994. –№ 3.3. Зимняя И. Педагогическая психология: Учеб. пособие. – Рос-

тов-Н/Д.: Изд-во “Феникс”, 1997.4. Козелецкий К. Психологическая теория решений. – М: Про-

свещение, 1979.5. Кон Н. Психология старшеклассника. –М.: 1980.6. Максименко В., Паниотто В. Зачем социологу математика? –

К.: Рад. шк., 1988.7. Pindyck R.S., Rubinfeld D.L. Econometric models and economic

forecasts. – Mc. Grow-Hill, Inc., USA, 1991.

81

ВИКОРИСТАННЯ ПРОГРАМНОГО ЗАСОБУ GRAN1ДЛЯ РОЗВИТКУ ПІЗНАВАЛЬНОЇ АКТИВНОСТІ УЧНІВ

Н.І. Зеленкова, Н.О. Сиротам. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний універси-

тет

Застосування нових інформаційних технологій у процесі ви-вчення різних навчальних дисциплін, з одного боку, відкриваєцілий ряд можливостей для різнобічного, нетрадиційного, наоч-ного засвоєння учнями знань з предмета. З іншого боку, передвчителем постає багато різнопланових проблем, що стосуються,насамперед, методичного і програмного забезпечення уроків ізвикористанням комп’ютерно орієнтованих систем навчання (на-далі КОСН).

На сьогодні є достатня кількість програмних засобів, які до-зволяють розв’язувати різноманітні математичні задачі. Під часвикладання шкільного курсу математики увагу вчителів привер-нули розрахункові програми DERIVE, EUREKA, GRAN1. Здебі-льшого ці програмні засоби почали використовувати в школахнового типу: ліцеях, гімназіях, які краще забезпечені комп’ютер-ною технікою і відповідними комп’ютерними програмами.

Особливо ефективним є застосування програм на уроках ма-тематики у школах і гімназіях гуманітарного спрямування, оскі-льки в учнів виникає можливість розв’язувати задачі, не засвої-вши відповідного аналітичного апарату, краще зрозуміти поста-новку і суть задачі, розвивати уяву, просторове мислення і пізна-вальну активність. Доцільно використовувати розрахункові про-грамні засоби і в навчальних закладах з поглибленим вивченнямматематики. За допомогою комп’ютера зручно розв’язуватискладні задачі, уникаючи одноманітної роботи та громіздкихпроміжних дій. У цей час можна більше уваги приділити аналізута дослідженню отриманих результатів.

Вивчення досвіду роботи вчителів та анкетування школярівпоказали, що багато учнів зазнають значних труднощів під часрозв’язування прикладних задач, у яких потрібно використову-вати елементи математичного аналізу.

Використання КОСН дозволяє виявити знання учнів з даної

82

теми, забезпечити індивідуальний підхід у навчанні, врахуватипсихологічні особливості і наявний рівень знань школярів, під-вищити наочність навчання. Нині на уроках математики доціль-но використовувати такі програмні засоби, як GRAN1, DERIVE,MAXIMA та ін. По-перше, ці програми не потребують потужнихкомп’ютерів, досить прості у використанні, мають зручний ін-терфейс. По-друге, їх можна використовувати під час вивченняматематики від 6-го до 11-го класів на різних етапах уроку. Ціпрограмні середовища дозволяють розв’язувати деякі задачі, на-віть не знаючи відповідного аналітичного апарату. ВикористанняКОСН дає можливість головну увагу зосередити на з’ясуванніпроблем, розробці математичної моделі, а технічні операції пе-рекласти на комп’ютер. [2] Завдяки використанню засобів КОСНможна отримати додатковий час для розвитку творчих здібнос-тей учнів, більше уваги приділяти індивідуальному підходу унавчанні.

Використання програми GRAN1 [1] допомагає активізуватинавчально-пізнавальну діяльність учнів, використовуючи в на-вчальному процесі цю програму можна досягти таких цілей:

– учні навчаються роботі на комп’ютері;– учні закріпляють практичні навички і вміння побудови

об’єктів планіметрії та графіків функцій в алгебрі та початкаханалізу;

– економиться час побудови об’єктів завдяки виконанню ру-тинних операцій комп’ютером;

– вчитель має можливість контролювати виконання завдан-ня на кожному конкретному етапі кожним учнем.

Засіб GRAN1 призначено саме для графічного аналізу функ-цій. Для роботи з програмою досить мати на диску 2 файлиgran1.exe та gran1.hlp , загальний обсяг яких становить близько240 кбайт.

Програма передбачає вивчення у 10–11 класах спеціалізова-них шкіл, ліцеїв та гімназій фізико-математичного профілютрьох математичних дисциплін: геометрії, алгебри та математи-чного аналізу.

При вивченні теми ” Застосування визначеного інтегралу дообчислення геометричних величин” у розділі „Визначений інтег-рал” розглядаються питання про обчислення: площ плоских фі-

83

гур (межі яких можуть бути задані рівняннями в декартових іполярних координатах); об’ємів геометричних тіл, площ повер-хонь обертання. При вивченні цих тем досить ефективно можебути використаний програмний засіб GRAN1. В ньому передба-чено спеціальну послугу „Довжина дуги” (в пункті „Операції”),звернення до якої дає можливість визначити довжину дуги міждвома вказаними точками. При цьому відповідна функціональназалежність може бути задана явно (тип y = f(x)), пораметрично(тип x = γ(x), у = ψ(x)), в полярних координатах (тип r(f)), у ви-гляді полінома, який наближає таблично задану функцію(типpoly).

У зв’язку з наявністю типу залежності між змінними“Ламана FLT-B” є можливість продемонструвати ще один спосібобчислення довжини дуги кривої з досить великою точністю.Після того, як вказали тип залежності, звернемося до пункту„Об’єкт” головного меню і далі до підпункту „Нова ламана”. Врезультаті на полі вікна „Графік” з’явиться нове підменю: „Ла-мана замкнена”, ”Ламана не замкнена”. Після обрання одного звказаних типів ламаної на полі з’явиться ще одне підменю:”Таблиця з клавіатури ”, „Таблиця з екрану”, на полі вікна „Гра-фік” з’являється координатний курсор.

Курсор слід встановити у потрібні точки на екрані і, фіксую-чи (натисканням Enter чи лівої клавіши мишки), ввести одну заодною вершини ламаної. Після вводу вершин одним із вказанихспособів можна отримати зображення у вікні „Графік”, для чогодосить звернутися до послуги „Побудувати”.

Отже, використання КОСН відкриває широкі можливостіпідсилення мотивації [3] школярів до навчання та розвитку їхпізнавальної активності. Це досягається, по-перше, за рахунокнезвичного використання комп’ютера на уроках математики, щобезпосередньо само по собі сприяє підвищенню рівня пізнаваль-ної активності учнів, по-друге, за рахунок розподілу навчальнихзадач за ступенем складності, заохочення до отримання правиль-них розв’язків. При цьому завжди можна довести розв’язуваннязадачі до чисельного результату, пояснити спосіб розв’язування,обговорити його переваги і недоліки, складнощі, що виникаютьпри використанні інших методів розв’язування подібних задач.

Таким чином, застосування КОСН в навчанні, зокрема педа-

84

гогічного програмного засобу GRAN1 на уроках математики (зо-крема, алгебри та початків аналізу –10 кл), дає можливість за-безпечити позитивне відношення учнів до навчання та підви-щення рівня пізнавальної активності, за рахунок досягнення ус-піху при розв’язуванні різноманітних навчальних задач навітьучнями зі слабкою математичною базою. Зникає одна з найваж-ливіших причин негативного відношення до навчання-невдача,що виникає в результаті нерозуміння сутності проблеми, або єрезультатом значних прогалин в знаннях.

Системне та цілеспрямоване використання КОСН в процесінавчання математики сприяє гуманітаризації освіти, наданнюрезультатам навчання практично значимого характеру, форму-ванню і розвитку образного і логічного мислення учнів, створюєнеобхідні умови для інтенсифікації навчального процесу, інтег-рації навчальних предметів і диференціації навчання, наданнянавчальній діяльності дослідницького, творчого характеру, роз-криття творчого потенціалу вчителя і учнів, підвищує рівень пі-знавальної активності, математичної та інформаційної культуриучнів.

Література:1. Жалдак М.І. Комп’ютер на уроках математики: Посібник

для вчителів. – К.: Техніка, 1997. – 304 с.2. Терешин Н.А. Направленность школьного курса матема-

тики. –М.: Просвещение, 1990. – 96 с.3. Комп’ютер у школі та сім’ї. – 2002. –№3. – С. 18.

85

ОЦЕНКА И СУММИРОВАНИЕ РЯДОВИ КОНЕЧНЫХ СУММ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДАПРИ ПОМОЩИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

О.В. Зиновееваг. Запорожье, Запорожский авиационный колледж

им. А.Г. Ивченко

Рассмотрим задачу теории вероятности: имеется бесконеч-ное (счетное) количество занумерованных автоматов, каждыйиз которых может находиться в одном из двух состояний: Аили B. Опыт состоит в том, что автоматы по очереди прове-ряются, и опыт заканчивается, когда обнаруживается авто-мат, находящийся в состоянии А. Требуется найти вероят-ность того, что опыт закончится.

Обозначим через Н событие, что опыт закончится. Событие,состоящее в том, что опыт закончится до испытания п+1-го ав-томата (событие Нп), состоит из следующих событий: опыт за-кончится после испытания первого автомата (событие Н1), опытзакончится после испытания второго автомата (событие Н2),…,опыт закончится после испытания п-го автомата (событие Нп),т.е. Нп=Н1+Н2+…Нп. В силу несовместимости событий Н1, Н2,

…, Нп можем записать, что ( ) ( )∑=

=n

ii

n HpНp1

[1]. Обозначим че-

рез рi вероятность того, что i–й автомат находится в состоянииА, тогда вероятность того, что этот автомат находится в состоя-нии В, равна qi=1–pi. Событие Нk состоит в том, что первые k–1автоматов находятся в состоянии В, а k–й автомат находится всостоянии А, и вероятность наступления события Нk вычисляет-ся по формуле p(Hk)=q1q2...qk–1pk. Отсюда,

( ) ( )( )∑=

−=n

kik

n pПpHp1

1 . С другой стороны, найдем

( ) ( )j

n

j

n pHp П −==

11

. Так как 1)()( =+ nn HpHp [1], то отсюда

∑= =

−

=

=−+

−

n

kj

n

jj

k

ik ppp ПП

1 1

1

1

.1)1()1( (1)

86

Хотя эти рассуждения проведены только для случая, когдаpi∈ [0; 1], можно показать, что тождество (1) верно и для произ-вольных действительных (и даже комплексных) чисел. Это легкодоказывается при помощи метода математической индукции.

Теперь мы хотим от конечных сумм перейти к рядам. Вве-дем в рассмотрение следующие понятия:

А–последовательность – последовательность { } ∞=1iip дейст-

вительных числе, где все pi∈ [0; 1].

Рассмотрим последовательность { } ∞=1iib действительных чи-

сел, каждое из которых определяется по правилу

),1(1)1(1

1

1j

ji

k

ikk pppb ПП −−=−=

∞

=

−

=

или, в других обозначениях,

∑∞

=

∞

=−=

1.

1

1k

ss

k qb П (2)

Левую часть этого равенства будем называть А–рядом А–по-следовательности. Из определения сразу следуют:

Предложение 1. Для любой А-последовательности ее А-рядсходится, и его сумма меньше или равна 1.

Предложение 2. Если хотя бы одно из pi в А-последовательности равно 1, то сумма А-ряда равна 1.

Менее очевиден следующий факт:Предложение 3. Если А-последовательность не стремится к

нулю, то сумма А-ряда в точности равна 1.Доказательство. Для доказательства сделаем три замечания:Замечание первое: Если все рi в А-последовательности рав-

ны между собой, и равны например, р, то ряд (2) превращается всумму убывающей геометрической прогрессии:

,11

...)1(...... 22 ==−

=+++=++++p

p

q

pqqppqpqqpp n

р≠0, и его сумма равна 1.Замечание второе: Наряду с одним набором автоматов мы

рассмотрим другой набор автоматов, обладающих тем свойст-вом, что вероятность нахождения каждого автомата из второгонабора в состоянии А меньше соответствующей вероятностидля автомата из первой серии под тем же номером. Тогда веро-ятность наступления события Нп для автоматов первой серии не

87

меньше вероятности наступления события Нп для автоматов вто-рой серии.

Замечание третье: Добавление между двумя автоматамилюбого конечного числа автоматов с нулевой вероятностью на-хождения в состоянии А не влияет на величину вероятности на-ступления события Н, так как это добавление эквивалентно до-бавлению в сумму (2) соответствующего количества нулей.

Теперь перейдем к доказательству предложения 3. Напом-

ним, что если А-последовательность { } ∞=1iip не стремится к нулю,

то существует такое ε>0, что бесконечное число элементов по-следовательности будут больше ε (так как все рi неотрицатель-ны). Наряду с исходным набором автоматов рассмотрим второйнабор автоматов, обладающих следующим свойством: вероят-ность нахождения автомата в состоянии А равна ε, если вероят-ность соответствующего автомата из первой серии больше, чемε, и равна нулю, если вероятность соответствующего автоматаменьше или равна ε. В этом случае вероятности для автоматов извторого набора меньше или равны соответствующих вероятно-стей для автоматов первого ряда. Мы попадаем в условия второ-го замечания, и отсюда делаем вывод, что вероятность для на-ступления события Н для первого набора не меньше вероятностисобытия Н для второго набора.

Рассмотрим третий набор, отличающийся от второго наборалишь отсутствием автоматов с нулевой вероятностью нахожде-ния в состоянии А. По третьему замечанию вероятность наступ-ления события Н для автоматов второго и третьего набора сов-падают. По первому замечанию вероятность наступления собы-тия Н равна единице (все вероятности равны ε). Подводя итограссуждениям, получим, что с одной стороны, вероятность со-бытия Н для автоматов исходного набора не меньше единицы, ас другой стороны, она не может превосходить единицы (попредложению 1). Отсюда делаем вывод, что сумма ряда (1), ко-торая равна этой вероятности, тоже равна 1. Предложение 3 до-казано.

Предложение 3 является частным случаем следующей тео-ремы:

Теорема. Если для А-последовательности ∑∞

=

∞=1

,i

ip то

88

сумма ее А-ряда равна 1. Если для А-последовательности

,1

∞=∑∞

=

pi

i cp то сумма ее А-ряда меньше 1.

Доказательство. Если lim pi не равен нулю или не сущест-

вует, то ∑∞

=

∞=1i

ip (не выполняется необходимое условие сходи-

мости ряда), и по предложению 3 ∑∞

=

=1

,1i

ib т.е. в этом случае тео-

рема выполняется.Теперь рассмотрим случай, когда

∞→ilim pi=0. Обозначим

∑= =

−=−=n

ii

n

iin pbS П

1 1

).1(1 Так как Sn 0≥ и {Sn} – убывающая по-

следовательность, то существует∞→i

lim Sn.

Тогда

.)1ln()1ln(lim

)1(lnlimlnlimlimln

1 1

11

∑ ∑=

∞

=∞→

=∞→∞→∞→

−=−=

=−==

n

i iii

n

n

innnnn

pp

pSS П

Так как∞→i

lim pi=0, то .1)1ln(

lim =−

−∞→

i

i

i p

p Поэтому ряды

∑∞

=

−1

)1ln(i

ip и ∑∞

=1iip сходятся или расходятся одновременно. Зна-

чит, если ,1

∞=∑∞

=iip то ∑

∞

=

−∞=−1

)1ln(i

ip и, следовательно,

,limln −∞=∞→ nn

S то есть .0lim =∞→ nn

S

Если же ряд ∑∞

=1iip – сходящийся, то ∑

∞

=

−∞−=−1

)1ln(i

i cp f ,

откуда∞→i

lim Sn=e–c≠0. А так как nii

i Sb∞→

∞

=

−=∑ lim11

, отсюда и получа-

ем утверждение теоремы. Теорема доказана.

89

В том случае, когда ,1

cpi

i =∑∞

=

оценку суммы А-ряда можно

уточнить. Так как –pi≥ln(1–pi), то ,)1ln(1 1

cppi i

ii −=−≤−∑ ∑∞

=

∞

=

и,

следовательно, cni

eS −

∞→≤lim , откуда ∑

∞

=

−

∞→−≥−=

1

1lim1i

cnii eSb , то

есть в этом случае

∑∞

=

−

=

− ≤

−≤−

1

1

1

1)1(1k

i

k

ik

c ppe П (3)

Приведем еще несколько фактов, относящихся к А-рядам.

Предложение 4. Если А-последовательность { } ∞=1iip минори-

руется некоторой дугой А-последовательностью { } ∞=1iid (то есть

для всех i выполняется неравенство 01 ≥≥≥ ii dp ), и для по-

следовательности { } ∞=1iid А-ряд сходится к 1, то для последова-

тельности { } ∞=1iip ее А-ряд сходится к 1.

Предложение 4 – следствие второго замечания.Предложение 5. Если в А-последовательности { } ∞

=1iip , длякоторой сумма ее А-ряда равна S, отбросить первый член (еслион не равен единице), и для полученной последовательностиснова подсчитать сумму S' ее А-ряда, то эта сумма будет вычис-

ляться по формуле .1 1

1

p

pSS

−−=′ В частности, если S=1, то сумма

нового ряда также равна 1.

Доказательство. Обозначим через ( )ii GG событие, что i-й

автомат находится в состоянии А(B), а через H~

– событие, чтоопыт закончится позже, чем после испытания первого автомата.Тогда сумма нового ряда, полученного из исходного отбрасыва-нием первого члена, есть вероятность события H

~. Используя

аппарат теории вероятностей, можем записать равенство).

~()()( 11 HGpGpHp += В силу независимости событий 1G и H

~

будем иметь )~

())(1()()( 11 HpGpGpHp −+= . Подставляя чис-

90

ленные значения, получим равенство S=p1+(1–p1)S', откуда сле-дует утверждение теоремы.

Следствие. Если для А-последовательности { } ∞=1iip ее А-ряд

сходится к единице, то отбрасывание и добавление к этой после-довательности конечного числа неединичных элементов не ме-няет суммы получаемого А-ряда для новой последовательности.

Доказательство состоит в применении к исходному рядуконечное число раз предыдущего предложения, а также тогофакта, что добавление конечного числа автоматов не уменьшаетвероятности события Н, и если событие Н достоверное, то и ито-говая вероятность так же равна 1.

Предложение 6. Пусть задан А-ряд, тогда элементы { } ∞=1iip

соответствующей А-последовательности определяются по фор-

муле11 −−

=i

ii S

ap , где аi, Si, i=1, 2, … – элементы и частичные

суммы А-ряда соответственно.Доказательство легко проводится при помощи метода мате-

матической индукции.Предложение 7. Если сумма некоторого неотрицательного

ряда ∑ ia не превосходит 1, то ∑ ia есть сумма А-ряда для не-которой А-последовательности.

Доказательство. Так как ряд неотрицателен и его сумма непревосходит 1, то для всех частичных сумм ряда верно Si<1, i=1,2, …. Учитывая, что Si=Si–1+ai, получим

[ ].1,0,1

,11

011011

11 ∈−

=≤−

≤⇒≥−⇒≤+≤−−

−− i

i

ii

i

iiiii p

S

ap

S

aaSaS

Приведем несколько иллюстрирующих примеров.Начнем с примеров получения тождеств для конечных сумм.

Пример 1. Пусть nkn

kpk ,1, == , тогда

,)!(

)!1(,1

1

1

1

1k

k

ii

k

ikkkk nkn

nk

n

in

n

kqpb

n

knpq ПП −

−=−==−=−=−

=

−

=

011

=−=== n

knq ПП

n

kk

n

k

и по формуле (1) получаем тождество

91

∑=

=−

−n

kknkn

nk

1

1)!(

)!1(.

Пример 2. Пусть nkn

knpk ,1, =−= , тогда

k

k

ii

k

ikkkk n

kkn

n

i

n

knqpb

n

kpq ПП )!1)((

,11

1

1

1

−−=−===−=−

=

−

=,

111

)!1(−

==

−==n

n

kk

n

k n

n

n

kq ПП , и по формуле (1) получаем тождество

∑=

−

−−=−−n

knk n

n

n

kkn

11

)!1(1

)!1)((.

Пример 3. Пусть ,,1,1

nkk

kpk =

+= тогда

,)!1(1

1

1,

1

11

1

1

1

1 +=

++==

+=−=

−

=

−

= k

k

ik

kqpb

kpq ПП

k

ii

k

ikkkk

,)!1(

1

1

1

11 +=

+=

== nkq ПП

n

kk

n

k

и по формуле (1) получаем тож-

дество ∑= +

−=+

n

k nk

k

1

.)!1(

11

)!1(Пример 4. Пусть pk=k+1, тогда qk=1–pk=–k,

k

kikqpb k

k

ii

k

ikk ПП )!1(

)1()()1( 11

1

1

1

+−=−+== −−

=

−

=,

!)1()(11

nkq nn

kk

n

kПП −=−=

==, и по формуле (1) получаем тождество

∑=

− −−=+−n

k

nk nk

k

1

1 !)1(1)!1(

)1( .

Теперь несколько примеров вычисления сумм рядов.

Пример 5. Пусть1

1

+=

kpk , тогда

11

+=−=

k

kpq kk ,

)1(

1

11

1 1

1

1

1 +=

++==

−

=

−

= kki

i

kqpb ПП

k

ii

k

ikk . Так как ряд ∑

∞

= +1 1

1

k k– рас-

ходящийся, то по доказанной выше теореме получим равенство

92

1)1(

1

1

=+∑

∞

=k kk.

Пример 6. Пусть2

1+

=k

pk (эта последовательность отли-

чается от предыдущей отбрасыванием первого члена). Тогда

)1)(2(

2

2

1

2

1,

2

11

1

1

1

1 ++=

++

+==

++=−=

−

=

−

= kki

i

kqpb

k

kpq ПП

k

ii

k

ikkkk .

Так как А-ряд для примера 6 сходится к единице, то по предло-

жению 5 получаем, что ∑∞

=

=++1

1)1)(2(

2

k kk.

Пример 7. Пусть ,)1(

12+

=k

pk тогда2)1(

)2(1

++=−=

k

kkpq kk ,

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) )1(2

1

2!1

!1!1

1

2

1

122

1

12

1

1 +=

⋅++−=

++

+==

−

=

−

= kkk

kk

i

ii

kqpb ПП

k

ii

k

ikk .

Так как ∑∞

=

−=1

2

16k

kpπ

[2], то по формуле (3)

∑∞

=

≤=+

≤≈

−−

1

2

.12

1

)1(2

14753.0

61exp1

k kk

π

Таким образом, взяв различные последовательности, можнополучить новые тождества и неравенства.

ЛИТЕРАТУРА1. Боровков Ф.Ф. Теория вероятностей. –М.: Наука, 1986.2. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и

ряды. –М.: Наука, 1981.

93

ХАРКІВСЬКИЙ ПЕРІОДНАУКОВО-ПЕДАГОГІЧНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ

КОСТЯНТИНА ОЛЕКСІЙОВИЧА АНДРЄЄВА

В.Д. Зоря, Н.В. Григор’євам. Харків, Харківський державний педагогічний університет

ім. Г.С. Сковороди

В наш час немає потреби доводити необхідність розглядупитань історії математики при вивченні чисто математичних ди-сциплін. Це пов’язано як із змінами в системі освіти, так і з поча-тком нового тисячоліття, яке змушує замислитись про тисячоліт-тя минулі, озирнутися на пройдений шлях, по-новому осмислитисвоє життя, життя своїх пращурів, хід історії та історію науки.Поряд із задачею розгляду історії окремих галузей математикина перший план виходять задачі дослідження життєвого шляху,умов формування наукової та громадської особистості, творчоговнеску в науку видатних колись і забутих нинішніми покоління-ми вчених.

Одним з таких “забутих” імен є ім’я Костянтина Олексійо-вича Андрєєва (1848–1921). Найбільш продуктивний період йоготворчості тісно пов’язаний з Харківським університетом, якийсаме в ті часи став центром наукових математичних дослідженьна Україні, і 200–річчя заснування якого буде відзначатися у2005 році. Тому цей період творчості К.О. Андрєєва заслуговуєна те, щоб стати об’єктом дослідження та викладання у вузівсь-ких курсах історії математики, аналітичної та проективної гео-метрії.

1. К.О. Андрєєв народився 14 березня 1848 року в Москві всім’ї купця. В 1867 році він закінчив із золотою медаллю Мос-ковську 3 гімназію і був зарахований на математичне відділенняМосковського університету, після закінчення якого (1871 р.) бувзалишений при університеті для “удосконалення в науках” і при-готування до професорського звання. Навчаючись на 4 курсі, на-писав на запропоновану факультетом тему свій перший науко-вий твір “Про таблиці смертності”. Ця робота була удостоєназолотої медалі, надрукована в Наукових Записках Московськогоуніверситету і стала його дисертацією, яку він захистив при

94

вступі на посаду приват-доцента Харківського університету.Наукову і педагогічну діяльність на кафедрі чистої матема-

тики Харківського імператорського університету К.О. Андрєєвпроводив протягом 25 років (з грудня 1873 р. по жовтень1898 р.). Цей період його творчості був найбільш плідним. В1876 р. Харківський університет надав йому наукове відряджен-ня до Парижу, Берліну, Гейдельбергу. В Парижі він мав можли-вість спілкуватись з видатним французьким геометромМ.Шалем. Перебуваючи в Харкові, К.О. Андрєєв провів своїосновні визначні дослідження і написав майже всі наукові робо-ти. Тут він почав викладацьку діяльність, захистив магістерськудисертацію (1875 р.) і був обраний штатним доцентом; незаба-ром після захисту в Москві докторської дисертації (1879 р.) РадаХарківського університету затвердила його екстраординарним, ав 1886 р. – ординарним професором. Крім того, в 1885–1898 ро-ках, тобто з початку заснування Харківського технологічногоінституту (нині це Харківський технічний університет “ХПІ”) ідо від’їзду до Москви, К.О. Андрєєв працював його професором.В 1884 році його оригінальні наукові результати (головним чи-ном – геометричні) стали підставою для обрання його членом-кореспондентом Петербурзької Академії Наук та членом-кореспондентом Товариства фізичних і природничих наук в Бор-до.

К.О. Андрєєв був одним з семи засновників Харківськогоматематичного товариства (1879 р.), його першим секретарем, напротязі 15 років (з 1884 по 1899 рік) – незмінним головою і реда-ктором журналу “Сообщения Харьковського математическогообщества”.

В Харкові написані і вперше опубліковані його підручники“Основной курс аналитической геометрии” (1888 р.) і “Сборникупражнений по аналитической геометрии” (1892 р.), які витри-мали декілька видань.

Як свідчить список публікацій К.О. Андрєєва, на час переїз-ду до Московського університету на зміну свого вчителяВ.Я. Цингера, він вже закінчив свої основні наукові дослідження.З іншого боку, як справедливо зазначив Д.Ф. Єгоров [1], “ці рокиналежать до найбільш блискучих в житті фізико-математичногофакультету Харківського університету, якому пощастило мати в

95

своєму складі цілий ряд визначних математиків (серед них – самК.О. Андрєєв, покійний О.М. Ляпунов, академік В.А. Стеклов)”.

2. К.О. Андрєєв – перший дослідник з питань проективноїгеометрії в Росії. Школа проективної геометрії в Росії бере своївитоки з неповторного її викладання “естетом математики, неза-бутнім вчителем, першим синтетиком Росії” професором Мос-ковського університету Василем Яковичем Цингером (1836–1907). Він вважається засновником проективного напрямку вМосковській математичній школі і в Росії взагалі. Під впливомЦингера сформувалася ціла плеяда російських геометрів:К.О. Андрєєв, Б.К.Млодзеєвский (1858–1923), О.К. Власов(1868–1922). Саме завдяки впливу Цингера вихованець Москов-ського університету Андрєєв став палким прихильником синте-тичного методу в геометрії. Йому належать найперші оригіналь-ні наукові праці з проективної геометрії в Росії. Сучасники Анд-рєєва дали високу оцінку його творчості. До Андрєєва, як свід-чить сам В.Я .Цингер у відгуку про його докторську дисертацію,“ніхто з російських вчених не обирав цієї цікавої науки предме-том спеціальних і самостійних досліджень”.

Притаманні його роботі “оригінальність прийомів і витри-маність в чисто математичному дусі”, “новий погляд, або ж удо-сконалення простих розв’язань питання в більш геометричномудусі” відзначали академіки О.А. Баклунд, В.Г. Імшенецький,В.Я. Буняковський. За їх поданням Андрєєва було обрано чле-ном-кореспондентом Петербурзької Академії Наук. На заслугиАндрєєва в розробці проективної геометрії в Росії зверталасяувага і в рішенні комісії другого присудження премії ім.М.І. Лобачевського фізико-математичного товариства при Ка-занському університеті в 1900 р. у зв’язку з його нагородженнямзолотою медаллю, встановленою для рецензентів. Очевидно, щовизнанням заслуг Андрєєва в галузі математичної науки і мате-матичної освіти було і його переведення в 1898 р. до одного знайсильніших в країні Московського університету та звання за-служеного професора. Все це дало підставу Д.Ф. Єгорову охара-ктеризувати К.О. Андрєєва як “проективіста, який не має собірівних” серед вітчизняних математиків; а його докторську дисе-ртацію як таку, яка по “справедливості повинна бути настільноюкнигою” кожного вітчизняного геометра [1].

96

Незважаючи на те, що дослідження К.О. Андрєєва були гар-монічним продовженням досліджень визначних математиків, якістоять у витоків проективної геометрії, за кордоном його працізалишились майже непоміченими. Мабуть тому деякі його важ-ливі результати були пізніше заново відкриті іншими математи-ками. Пріоритет К.О. Андрєєва в деяких питаннях було встанов-лено в основному лише в середині ХХ століття. Серед робіт,присвячених аналізу і розробці його ідей, слід відзначити першза все роботи О.О. Глаголєва, А.І.Манздюк, М.П. Черняєва. До150-річчя Харківського університету в Харкові був виданий збі-рник вибраних робіт із вступною статтею та примітками профе-сора університету Д.З. Гордевського та його ж книга [3] з дета-льним викладом змісту геометричних робіт Андрєєва. Нещодав-но вийшла також книга В.С. Рижого [5], в якій дано характерис-тику діяльності найбільш видатних математиків університету, втому числі і Андрєєва.

3. Основні наукові результати в галузі геометрії викладеніК.О. Андрєєвим в його магістерській та докторській дисертаціях.Магістерська дисертація “О геометрическом образовании плос-ких кривых” (1875 р). присвячена питанню побудови на площинікривих третього і четвертого порядку. Це питання в свій час роз-глядали Шаль, Вейер, Шрьотер. Але робота Андрєєва відрізня-ється тим, що вона є узагальненням попередніх досліджень і, якнаголошував сам автор, його метод – це “перший досвід геомет-ричного встановлення взаємно-двозначної відповідності в найза-гальнішому вигляді”.

В своїй роботі Андрєєв чітко показує, що його метод побу-дови кривих третього порядку і четвертого порядку з двома по-двійними точками за допомогою пучків прямих, які знаходятьсяу взаємно-двозначній відповідності, є загальним. А метод Вейера(побудова кривих за допомогою одно-двозначної відповідності) іметод Шрьотера (побудова кривих за допомогою двох інволю-ційних пучків) є лише частковими випадками.

Метод Андрєєва базується на взаємно-двозначній відповід-ності двох пучків, яка встановлюється таким чином. На площинізафіксовано дві точки О і О' і шість прямих, з яких три – а, b, спроходять через О, а інші три – k, l, m довільного положення, якіне проходять ні через О, ні через О'. Будь-який довільний про-

97

мінь О'Х' пучка з центром О' перетне прямі k, l, m в точках K, L,M. У пучку прямих a, b, c, OK, OL, OM з центром О двома трій-ками прямих (а, b, с) і (OK, OL, OM) буде встановлена проектив-на відповідність між променями одного і того ж пучка (зцентром О) з подвійними променями OL1, OL2. Таким чином,кожному променю О'Х' пучка О' буде ставитись у відповідністьдва променя OL1, OL2 пучка О. Ця відповідність є взаємно-двозначною; до речі, якщо ОО' розглядати як промінь пучка О',то один з двох відповідних йому променів пучка О буде співпа-дати з ОО'. Таке положення пучків Андрєєв називає перспектив-ним, і з допомогою ряду перспектив переходить до розгляду за-гальної взаємно-двозначної відповідності.

В докторській дисертації “О геометрических соответствиях вприменении к вопросу о построении кривых линий” (1879 р.)К.О. Андрєєв значно розширив коло розглянутих питань. В пер-ших главах він розглядає теоретичні основи і побудови, які не-обхідні для досягнення основної мети – побудови кривих більшвисокого порядку за достатнім числом їх даних точок. Цієї метивін досягає в останній п’ятій главі, розглядаючи утворення кри-вих прямолінійними пучками, пов’язаними взаємно-тризначноюі взаємно-чотиризначною відповідністю. Андрєєв доводить ряддуже важливих теорем, на основі яких (використовуючи взаєм-но-тризначну і взаємно-чотиризначну відповідності) приходитьдо побудови кривої 4-го порядку за 14 її точками, і кривої 5-гопорядку за 20 її точками. Йому вдається побудувати деякі кривідо 8-го порядку.

4. Заслуговує на увагу активна участь К.О.Андрєєва у ство-ренні і роботі Харківського математичного товариства (ХМТ) тайого друкованого органу “Сообщений Харьковского математи-ческого общества”. Харківське наукове товариство було засно-ване другим на території Росії (1879) – після Московського(1864), членом якого К.О. Андрєєв був з 1872 р.; пізніше булистворені Київське (1889), Казанське (1890), Сибірське (1894) то-вариства. Якщо на початку ХІХ ст. подібні товариства могли ма-ти на меті не наукові, а виключно навчальні цілі (складання тапереклад підручників, організація лекцій з математики для ба-жаючих), то найбільш вагомим результатом діяльності науковихтовариств, які виникали при університетах у другій половині

98

ХІХ ст., було видання ними періодичних видань і збірників про-токолів, наукових праць. Поряд з Академією Наук такі товарист-ва стали головними чинниками швидкого розвитку самостійнихнаукових досліджень в Росії, сприяли встановленню і підтримцізв’язків з іншими товариствами та окремими вченими в Росії і закордоном. Харківське математичне товариство дуже швидко за-воювало почесне місце в науковому математичному світі. Вида-тні математики різних країн були його членами і публікувалисвої роботи в його “Сообщениях”. Пропозиції про обмін видан-нями отримувались товариством з боку академій, наукових това-риств, видавництв наукових журналів не тільки Росії, але й ін-ших країн світу. Вже на кінець другого року існування ХМТвстановило обмін виданнями з 11 науковими установами і нау-ковими товариствами, зокрема з французьким математичним то-вариством, товариством в Бордо, Вашингтонською морськоюобсерваторією. Такі зв’язки з математичними колами, регулярнепроведення засідань товариства, обговорення результатів науко-вих досліджень, публікація робіт започатковували і культивува-ли в Харківському університеті відповідні математичні традиціїта творчу атмосферу. Саме в такий спосіб сформувався і прояви-вся математичний талант багатьох математиків, вихованих Хар-ківським університетом. Студенти фізико-математичного факу-льтету проявляли стійкий інтерес до справ товариства, з великоюувагою слідкували як за самими повідомленнями, так і за диску-сіями між членами товариства.

Доцент К.О. Андрєєв був наймолодшим із засновників ХМТ,інші шість були професорами, головним ініціатором бувВ.Г. Імшенецький. Як свідчать протоколи товариства, від самогозаснування К.О. Андрєєв приймав енергійну участь в його робо-ті, за 20 років (до 1898 р.) зробив 32 доповіді. Одним з найвизна-чніших є виступ Андрєєва на честь 100–річчя “Коперніка мате-матики” – М.І. Лобачевського (1893). В цьому виступіК.О. Андрєєв не лише охарактеризував наукові досягненняМ.І. Лобачевського, а й пояснив суть його геометричних ідей. Заініціативою К.О. Андрєєва харківські математики провели в1893 р. велику роботу зі збору коштів “на капітал Лобачевсько-го”, з якого потім фінансувалося спорудження пам’ятника вче-ному в Казані та заснування міжнародної премії його імені. Крім

99

того, Андрєєв запропонував запросити до участі в поповненніцього фонду середні учбові заклади Харківського учбового окру-гу. На цей заклик відгукнулося декілька десятків чоловічих тажіночих учбових закладів. Внесок харків’ян у фонд Лобачевсь-кого за своїми розмірами зайняв четверте місце після Казані, Пе-тербурга та Москви. К.О. Андрєєв був почесним членом ювілей-ного комітету, приймав участь у рецензуванні робіт, висунутихна здобуття премії Лобачевського.

5. В Харківському університеті К.О. Андрєєв читав курсианалітичної, проективної і нарисної геометрії, диференціальногочислення, вищої алгебри, теорії чисел. Підготовлені ним учбовіпосібники та літографовані курси свідчать про їх високий длясвого часу науковий і методичний рівень. Серед них найбільшоїуваги заслуговує підручник “Основной курс аналитической гео-метрии” (останнє, п’яте видання було здійснено в 1909 р.). Декі-лька поколінь студентів вивчали за ним аналітичну геометрію.Так, програмою механіко-математичного факультету Московсь-кого університету, складеною в 1935 р. професоромН.О. Глаголєвим, серед рекомендованих підручників був і“Основной курс аналитической геометрии” К.О. Андрєєва. Прицьому теми програми знаходяться в основному у відповідності зізмістом вказаного підручника. Як класичний, один з найкращихпідручників з аналітичної геометрії згадує його академікП.С. Александров у передмові до своїх “Лекций по аналитичес-кой геометрии” (1968).

В підручнику К.О. Андрєєва поєднується елементарний, зро-зумілий виклад аналітичної геометрії з високим ступенем науко-вості. Весь курс аналітичної геометрії ділиться на дві великі час-тини: геометрію на площині і геометрію в просторі. Виклад ма-теріалу ведеться координатним методом (сучасний векторнийметод в той час тільки набував теоретичної міцності). Багатоуваги Андрєєв приділяє косокутній системі координат, уявнимелементам, проективній геометрії. При вивченні ліній і повер-хонь 2-го порядку спочатку розглядається загальна теорія, а вжепотім їх окремі види. Дуже пізнавальним є матеріал, який при-свячується так званому “скороченому способу”. Тут мається наувазі можливість при сумісному розгляді декількох ліній чи по-верхонь розв’язувати різні питання і отримувати деякі загальні

100

висновки, не беручи до уваги окремі властивості рівнянь, що ви-ражають дані геометричні образи. В таких випадках рівнянняцього образу подається в скорочених позначеннях f=0 і знак fрозглядають лише за умови існування деяких спільних властиво-стей для визначених ним виразів. Наприклад, якщо f1=0 і f2=0 –рівняння двох ліній одного й того ж самого порядку m, то рів-няння f1–k f2=0 при сталому значенні k виражає лінію порядку m,яка проходить через всі точки перетину даних ліній; при зміннихзначеннях k воно виражає цілу систему ліній, які мають той жепорядок m, і проходять через одні й ті ж самі точки перетину да-них ліній. Таку систему називають пучком ліній. Цей спосіб по-слідовно розгортається у застосуванні до прямої лінії на площи-ні, ліній 2-го порядку, площини, прямої в просторі, поверхонь 2-го порядку, побудови проективної геометрії. Стосовно, напри-клад, прямої лінії на площині розглядаються питання про геоме-тричний зміст сталої k для випадків задання прямих нормальни-ми та загальними рівняннями; виводяться рівняння бісектрискутів, утворених двома даними прямими; формулюється умовапроходження трьох прямих через одну точку; зручність способуілюструється на простих доведеннях відомих тверджень протрикутники (про перетин в одній точці бісектрис, висот і медіан,теорема про гомологічні трикутники).

Істотною особливістю третього (Москва, 1900 р., 610 сторі-нок) і наступних видань “Основного курса аналитической геоме-трии” є наведення в кінці кожної глави прикладів і задач з корот-кими відповідями, а також питань для повторення, поданих вкінці книги. Всього в підручнику вміщено 268 вправ і 726 пи-тань. Як зазначає сам автор, більшість вправ і всі питання взяті ізйого ж “Сборника упражнений по аналитической геометрии”.Такий методичний підхід, доповнення підручника задачами і пи-таннями дає, на думку автора, достатній матеріал для тренуваннята засвоєння основних відомостей. Наприклад, серед задач наскорочений спосіб у застосуванні до прямої лінії вміщено такі.

1. Показати: якщо нормальні рівняння сторін трикутникамають вигляд L1=0, L2=0, L3=0, а їх довжини відповідно дорів-нюють d1, d2, d3, то медіани цього трикутника виражаються рів-няннями:

d1L1–d2L2=0, d2L2–d3L3=0, d3L3–d1L1=0.

101

2. Показати: якщо нормальні рівняння чотирьох сторін чоти-рикутника мають вигляд L1=0, L2=0, L3=0, L4=0, а довжини їхдорівнюють відповідно d1, d2, d3, d4, то рівнянняd1L1–d2L2+d3L3–d4L4=0 виражає пряму, яка проходить через сере-дини діагоналей цього чотирикутника.

3. Дано дві прямі рівняннями U1=0, U2=0. Що виражає рів-няння aU1

2+bU1U2+cU22=0, де a, b, c – постійні величини?

Відп: Дві прямі, які проходять через точку перетину даних.Сам К.О. Андрєєв надавав особливого значення питанням

для повторення як “засобу приведення в порядок отриманихзнань”. Ці питання є дуже змістовними, методично обґрунтова-ними, їх призначення – допомогти студенту повністю засвоїтитеорію. Наведемо питання, що стосуються матеріалу про згада-ний вище скорочений спосіб.1. Що називається скороченим способом в аналітичній геомет-

рії?2. Що виражає рівняння f1–k f2=0, де f1 і f2 – многочлени одного

й того ж степеня з двома змінними x і y, а k – будь-яка сталавеличина?

3. Що виражає те ж саме рівняння, якщо в ньому k є величиноюзмінною?

4. Чому величину k в рівнянні f1–k f2=0 називають параметром?5. Яке геометричне значення має параметр k в рівнянні

A1–k A2=0, де A1 і A2 – ліві частини двох рівнянь першогостепеня в нормальній формі?

6. Яке геометричне значення має параметр k в рівнянніU1–k U2=0, де U1 і U2 – ліві частини двох рівнянь першогостепеня загального виду?

7. В чому полягає умова, щоб три прямі, які виражаються рів-няннями U1=0, U2=0, U3=0, проходили через одну точку?

8. Як застосовується скорочений спосіб для доведення того, щобісектриси кутів трикутника перетинаються в одній точці?

9. Скільки існує точок, в яких сходяться по три бісектриси вну-трішніх і зовнішніх кутів трикутника?

10. Як застосовується скорочений спосіб для доведення того, щовисоти трикутника проходять через одну точку і що медіанитрикутника проходять через одну точку ?

11. В чому полягає теорема про гомологічні трикутники? Що

102

називається віссю і центром гомології для таких трикутни-ків?

12. Як доводиться скороченим способом теорема про гомологіч-ні трикутники?В цілому для підручників К.О. Андрєєва характерна підмі-

чена В.Я. Цингером ще у відгуку про його докторську дисерта-цію здатність дати настільки “прекрасний, чіткий, ясний і точнийвиклад” матеріалу, що “з найважливішими вченнями вищої гео-метрії змогли б розібратися навіть початківці, знайомі лише зпершими основами цієї науки”.

Підсумовуючи все, що наведено вище, можна зробити ви-сновок, що наукова і педагогічна спадщина Андрєєва є однією ізяскравих сторінок в історії розвитку математики і математичноїосвіти на Україні. Вона дає достатній і благодатний матеріал длявикористання в навчально-виховному процесі і організації дослі-дницької роботи студентів.

Література1. Егоров Д.Ф. Константин Алексеевич Андреев (некролог). –Математический сборник, т. ХХХІ, в. 3, 1924. – С. 337-340.

2. Черняев М.П. Константин Алексеевич Андреев как геометр.-Историко-математические исследования. В. IX. – М., 1956. –С. 723-756.

3. Гордевский Д.З. К.А. Андреев – выдающийся русский гео-метр. – Х.: Харьковский государственный университет, 1955.– 45 с.

4. Андреев К.А. Основной курс аналитической геометрии. – М.,1900. – 610 с.

5. Рыжий В.С. Из истории механико-математического факульте-та Харьковского университета. – Х.: 2001. – С. 13–14.

103

ДОГМАТИЧНИЙ ТА ЕВРИСТИЧНИЙМЕТОДИВИКЛАДАННЯМАТЕМАТИКИ

Я.Ф. Калютам. Київ, Київський національний торговельно-економічний уні-

верситет

Cучасний етап розвитку науки, техніки, економіки вимагаєбільш серйозної, поглибленої математичної підготовки майбут-ніх інженерів, економістів, соціологів та інших фахівців. Дляцього потрібно мати не тільки математичні знання, а й вміннязастосувати математичний підхід до вивчення явищ реальногосвіту. Тому потрібно мати дієвий спосіб набути знання з матема-тики. У цьому може допомогти сучасна методика викладанняпредмету математика.

Розглянемо деякі аспекти викладання математики у вузі, асаме, догматичний та евристичний методи. Починаючи з XVIIстоліття відбувається повний розрив між математикою–наукою інавчальний предметом математикою, який виник на базі наукиматематики античного та середньовічного часів. У цей час вини-кають курси математики, які складаються із самостійних дисци-плін – арифметики, алгебри, геометрії, тригонометрії.

У XVIIІ столітті сформувалась аналітична геометрія, мате-матичний аналіз та інші розділи математики. Відповідно до цихзмін у ХІХ столітті була сформульована нова система міжнарод-ної математичної освіти. Виникає міжнародний рух реформи ма-тематичної освіти. У 1908 році на IV міжнародному конгресі вРимі створюється міжнародна комісія з реформи математичноїосвіти, до якої входило 25 національних комісій. Було написано250 томів праць, в яких розроблено методи вивчення математикивідповідно до цих реформ.

У цей період в кожній країні створили нові програми, підру-чники і методики вивчення математики, наближаючи цей процесдо сучасної математики–науки. Були визначені більш високі цілівикладання математики – розвиток функціонального мислення,просторової інтуїції, логічного розуміння. Все більше культиву-ються евристичні методи вивчення математики. Перша світовавійна зупинила прогресивний міжнародний рух реформ матема-

104

тичної освіти. Після війни досить швидко розвивались технічні,природничі та педагогічні науки (у тому числі і в Україні). У 30-ті роки ХХ століття у Франції виходить багатотомна праця“Сучасна математика”, написана талановитими математикамипід псевдонімом Миколи Бурбаки. У цій роботі дано підсумокрозвитку математичної освіти. У 1950 році виникла інтернаціо-нальна комісія з вивчення методів навчання математики. Розпо-чався рух за реконструкції всієї математичної освіти, яка ставилаперед собою нові завдання: 1) наближення викладання предметаматематики до потреб сучасності; 2) розвиток творчої ініціативистудентів; 3) поєднання догматичного та евристичного методіввикладання математики.

Викладач математики, як правило, користується двома про-міжними методами навчання. Перший метод полягає в тому, щовикладач передає студентам готові знання, а їм залишається ли-ше зрозуміти та запам’ятати. Другий, евристичний метод, пе-редбачає самостійне розв’язування студентом поставленої про-блеми, при цьому викладач лише керує процесом. В обох випад-ках роль педагога є різною: в першому випадку викладач – ідеа-льний знавець предмета, що стоїть вище студента і не терпитьтих, хто допускає помилки. В другому випадку викладач є стар-шим товаришем студента, що шукає і допускає помилки, відяких не застрахований навіть викладач. Викладач першого типупередає знання швидко, чітко, але засвоюють матеріал не повніс-тю і ненадовго. Викладач другого типу розвиває мислення сту-дентів, виховує їх розум, веде їх поступово, але вірно, до повно-го розуміння матеріалу. Проте, враховуючи фактор часу, викла-дачу доводиться застосовувати синтез обох методів. Вивченнявищої математики за короткий термін призводить до нерозумін-ня матеріалу, адже викладач не має можливості довести до слу-хачів необхідні формули, терміни. Студентам залишається їхлише запам’ятати і механічно застосовувати.

Досить часто математики стикаються з тим, що діти або під-літки поділяються на здібних і нездібних до вивчення математи-ки. Це можна пояснити одностороннім методом догматичногонавчання такого специфічного предмета, як математика, якийвимагає активного мислення. Звідси психологічні гальма, відсут-ність ініціативи, тобто повне нерозуміння предмету.

105

Варто відмітити ще один специфічний фактор вивчення ма-тематики, а саме те, що студент, який не знає матеріалу серед-ньої школи, не може зрозуміти вищу математику. У цьому випа-дку потрібно обов’язково заповнити прогалини в знаннях з еле-ментарної математики. У практиці викладання математики частотріумфує догматизм. Наприклад, неможливо навчити диференці-альному численню студента, який не знає формул диференцію-вання та інтегрування.

Еволюція викладання математики не обмежується чергуван-ням цих обох методів, застосування яких приводить до поступо-вого засвоєння матеріалу, використовуючи щасливу комбінаціюдогматизму та евристики. Викладачеві потрібно щоденно дово-дити студентам, що математика не повинна бути “баштою ізслонової кістки”. Вона повинна змінити свій суворий вигляд істати доступною всім. Цього можна досягти гармонічним таефективним застосуванням розглянутих методів та врахуваннямпсихологічних особливостей студентів.

Викладені положення стосуються ідеального середньогостудента, якій зустрічається дуже рідко. Нажаль, частина студен-тів є надто покірними, пасивними та індиферентними. Їх потріб-но виховувати за допомогою дуже сильної дози евристики. Ін-шим властива безплідна активність: вони не читають і не чують.Для них потрібно більше догматизму. Мистецтво педагога – на-вчити кожного. Педагогу треба розібратись в індивідуальнихособливостях своїх студентів. Він повинен знати, що, якщо деякііз студентів не розуміють його пояснень, то це не від розумовогорозвитку, а часто від слабкого фізичного здоров’я, з емоційнихпричин, а інколи тому, що бояться виглядати нерозумними.

Видатні педагоги-математики доводять, що не існує нездіб-них до математики учнів. Нерозуміння математики пов’язане здумкою, яка позбавила їх впевненості в собі, завдавши при цьо-му болю та страждань.

Проаналізувавши причини незнання математики, приходимодо висновку, що використання розглянутих методів допоможестудентам спочатку ліквідувати страх перед математикою, а по-тім, за умови наполегливої праці студента, – до повного розу-міння предмета.

106

ВПЛИВ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ НАВЧАННЯНА ЗМІСТ ТАМЕТОДИКУ НАВЧАННЯМАТЕМАТИКИ

В ТЕХНІЧНИХ ВНЗ

В.І. Клочком. Вінниця, Вінницький державний технічний університет

Курс вищої математики посідає чільне місце у фундамента-льній підготовці спеціалістів вищого технічного навчальногозакладу. Проте досить часто знання з математики майбутніх ін-женерів носять формальний характер, не відповідає потребамфахових дисциплін і загальному рівню підготовки сучасного фа-хівця. Наблизитись до подолання суперечностей навчальногопроцесу можна, якщо вдається розв’язати проблему активізаціїнавчально-пізнавальної діяльності студентів взагалі і зокремапри вивченні математики.

Одним із напрямів підвищення рівня ефективності навчанняє педагогічно вивірене використання комп’ютерних технологійнавчання в поєднанні з системою психологічних і педагогічнихзасобів активної навчальної діяльності.

Застосування комп’ютерів у майбутній професійній діяльно-сті фахівця передбачає опанування студентом в період навчаннязнаннями з предметної галузі, навичками використання матема-тичних методів, алгоритмічних засобів, програмного забезпечен-ня, тобто використання сучасних інформаційних ресурсів, до-ступ до яких забезпечується навчальним закладом. Отже, на за-няттях, організованих за комп’ютерно-орієнтованою технологі-єю, студент переконується в тому, що фахівець і комп’ютерутворюють принципово нову синтетичну систему, яка спромож-ніша розв’язати складні творчі завдання, ніж фахівець сам пособі.

Розглянемо деякі положення комп’ютерно-орієнтованої ме-тодики вивчення теорії ймовірності та математичної статистики.Цей розділ курсу вищої математики для студентів інженернихспеціальностей скоріше носить інформативний характер, а ніжлогічний. А тому вважаємо, що вивчення такого курсу із засто-суванням комп’ютерів ефективніше, ніж традиційно.

Зміст і методика вивчення теорії ймовірностей і математич-

107

ної статистики повинні значною мірою визначатися не лише ви-могами розвиваючих функцій курсу (розвиток логічного мис-лення, абстрактного математичного мислення, підсилення інтег-рованих впливів математики в системі вузівських дисциплін то-що), а й мотивами використання методів теорії ймовірностей таматематичної статистики при розв’язуванні прикладних задач таїх впливом на рівень професійної підготовки студентів.

Спираючись на теорію мотивації навчання, викладач розро-бляє систему завдань позитивної мотивації для формування на-вчальних дій та мотивації досягнення, як необхідних компонен-тів інтересу до вивчення даної дисципліни. Студенти, спрямову-ючи свою діяльність на розв’язання пізнавальних задач, тим са-мим опановують методами розв’язання творчих завдань, усвідо-млюють потребу у розвиткові навичок дослідницької діяльності.

Для досягнення цих цілей перш за все необхідно сформуватибазові поняття: ймовірність випадкової події, функція розподілута щільність розподілу випадкової величини і інші. Своєчасне таякісне оволодіння одним поняттям безпосередньо пов’язане іззасвоєнням інших.

Якщо виділити такі види діяльності, пов’язані з математи-кою, як створення понятійного апарату, одержання нових знань,систематизація та узагальнення накопичених знань, їх застосу-вання, передавання знань, то у зв’язку з цим слід уже розглядатине просто математичні методи, а на їх основі створювати техно-логії з формування математичних понять, одержання новихзнань тощо.

Одним із шляхів реалізації вказаного підходу є впроваджен-ня в навчальний процес комп’ютерного моделювання. Воно маєту специфічну особливість, що одночасно виступає методом якнаукового пізнання, так і навчання, змістом навчального проце-су.

Зокрема комп’ютерне моделювання дає можливість проілю-струвати підходи до введення поняття ймовірності, статистично-го, геометричного означення ймовірності події та зіставити зкласичним [1].

Наприклад, розглядається задача про зустріч:

108

З технічних причин залізнична станція може забезпечитиприймання потягів з інтервалом не менше 10 хв. Два потяги по-винні прибути за розкладом: один о 19.30, другий – о 19.40. Якаймовірність того, що другому потягу (позначимо А) прийдетьсязачекати, якщо відхилення від розкладу для першого потягу мо-жливе в межах 19 год. 20хв.÷19 год. 40 хв., другого – 19 год. 35хв.÷19 год. 45 хв. з рівномірним розподілом.

Ймовірність визначається, як відношення площі відповіднихобластей. Найчастіше на цьому викладач і зупиняється. Зрозумі-ло, що неможливо провести експеримент щодо оцінювання ймо-вірності. Проте використання комп’ютера дозволяє одержатиоцінку і глибше усвідомити поняття статистичної ймовірності.Наприклад, за допомогою одного з математичних пакета студен-ти здійснюють моделювання і оцінюють ймовірність.

Найскладнішим завданням було переведення задачі на мовугеометрії. Далі генеруються координати точки та визначаютьсяумови попадання її у задану область. Спершу припускаємо, щопопадання точки в будь-яку точку простору елементарних подійрівноможливе. Тому випадкові величини ξ1(х) і ξ2(y) вважаютьсярівномірно розподіленими на відповідних проміжках.

Ймовірність P(A) події А визначається, як відношення кіль-кості nA випадкових точок, які знаходяться в області PА до зага-льної кількості n згенерованих точок: P(A)=nA/n. Студенти порі-

внюють значення частотn

nW A

A = при деяких значеннях n. На-

приклад, n=10; 1000; 10000, а також аналізують поведінку WA

при повторюванні експерименту з одними і тими ж значеннямиn.

Поряд з цим з’являється можливість глибше проаналізуватизміст задачі і розглянути інші припущення. Наприклад, можнавважати, що час прибуття потягів є випадковою величиною іззаконом розподілу відмінним від рівномірного, наприклад, роз-поділений за нормальним законом, експоненційним або іншим.Студенти розглядають і ці випадки, порівнюють з раніше одер-жаними результатами.

Так, припустивши, що час прибуття потягів є нормальнорозподіленою випадковою величиною, студенти одержують час-тоту WA, яка не співпадає з раніше одержаною WA=0.426.

109

При цьому важливу відіграє використання положення пси-хологів про інтегративну дію пам’яті. Знання осмислюютьсястудентами продуктивніше тоді, коли вони закріплені в пам’яті.Закріплення ж інформації відбувається в досконалій формі тоді,коли нова інформація інтегрується із засвоєними поняттями, яківже є в пам’яті, і чим вище цей рівень засвоєння, тим досконалі-ше і грунтовніше відбувається осмислення і запам’ятовуваннянової інформації.

Так, в задачах, пов’язаних із теоретичним та практичним за-стосуванням рядів, виникають потреби у виконанні операцій ізрядами, які у відповідності з введеним означенням суми ряду, єрозбіжними. Тобто, є необхідність в узагальненні поняття збіж-ності ряду. Його ефективно можна сформувати, якщо закріпленов пам’яті студента класичне поняття суми ряду.

На основі такого пiдходу, було висунуто принцип залученнястудентiв до навчальної діяльності незалежно вiд рівня їхніх по-передніх знань з деяких розділів курсу математики, можлива набазi застосування пакетів прикладних програмованих засобiв [2].Незважаючи на прогалини в знаннях, наявність яких пояснюєть-ся або відношенням до навчання, або психофiзiологiчними хара-ктеристиками (наприклад, iнтенсивнiстю забування чи віднов-лення знань), застосування ППП дає можливiсть слабкiшепiдготовленим студентам на рiвнi з iншими бути включеними впроцес навчання i будувати взаємодiї з математичним середови-щем через свою інтерпретацію навчального матерiалу (свiйрiвень пiзнання, своє розумiння та рівень засвоєного навчальногоматеріалу), i в решті-решт оволодіти матерiалом теми. Деякi сту-денти мають навички роботи з комп’ютером, можуть застосуватисвої знання, допомогти викладачевi в органiзацiї заняття, iпiдвищити свiй рейтинг серед однокурсникiв.

Фундаментальною методичною ідеєю вивчення тієї чи іншоїтеми курсу математики є положення про те, що початковий етапнавчання повинен забезпечити стійке автоматичне виконання дійз обмеженим обсягом нових понять і тим самим створити міцнубазу для швидкого засвоєння нового навчального матеріалу.

Застосування комп’ютера дозволяє узгоджувати співвідно-шення між рівнем трудності (мірою зусиль, що витрачаютьсястудентом на розв’язування задачі) та рівнем складності (кількіс-

110

тю і різноманітністю складових частин та особливістю їхньоговзаємозв’язку) задачі. Це досягається шляхом регулювання зна-чень факторів складності задачі. Якщо міру складності навчаль-ної задачі визначати кількістю операцій у способі розв’язування,то використання комп’ютерів сприяє підвищенню рівня пробле-мності навчальної задачі шляхом обмеження таких факторівскладності, як кількість використовуваних студентом математи-чних понять чи інших математичних об’єктів, громіздкість про-цедур розв’язування.

Так, при застосуванні математичної статистики до обробкирезультатів експерименту, мають справу з функціями розподілу,графіки яких відрізняються від описаних в літературі. Часто фу-нкцію розподілу F(x) випадкової величини можна подати яккомбінацію відомих розподілів F1(x) i F2(x): F(x)=c1F1(x)+c2F2(x),де с1, с2 – сталі. Результуюча функція розподілу F(x) залежитьвід інтенсивності взаємного впливу функцій розподілу F1(x) іF2(x). Вважаючи, що функції F1(x) і F2(x) є деякими стандартни-ми розподілами (нормальний, показниковий та інші), та викорис-товуючи один з математичних пакетів, студенти будують криві,близькі до досліджуваних кривих F(x).

Зміст і обсяг математичної освіти у ВНЗ не можна, на нашпогляд, обмежувати обов’язковим базовим рівнем.

А тому в систему задач, розв’язання яких передбачає вико-ристання комп’ютера, включаються і обернені задачі. В процесіперетворення прямої задачі студенти встановлюють взаємообер-нені зв’язки між величинами задачі. При цьому студенти опано-вують навичками перебудови суджень та висновків прямої зада-чі, складнішими формами міркувань. Важливо розглядати прямуі обернені задачі в комплексі, не відокремлюючи їх в часі.

Обернену задачу до вище наведеної можна сформулюватитак: відомі значення функції розподілу F(x) на дискретній мно-жині значень аргументу x1, x2, …, xn, а також відомий один ізкомпонентів F1(x). Знайти іншу складову F2(x), якщо вважати, щоF(x) є лінійною комбінацією F1(x) і F2(x).

Під час розв’язання задачі вводиться умова про можливуформу кривої розподілу F2(x). Виникає проблема апроксимаціїфункції F2(x), якщо відомі її значення F2(xi), i=1,n . Не витрача-ючи значних зусиль, студент може побудувати наближення. Ви-

111

кладач детально зупиняється на питаннях формування критеріюнаближення функції розподілу.

Іншим прикладом розширенням змісту і обсягу математич-них понять, тобто вихід за межі обов’язкового базового рівня єявище Гіббса, яке має місце у функціональних рядах, зокрематригонометричних.

Проаналізуємо поведінку часткових сум ряду Фур’є. Побу-дувавши графіки часткової суми та функції f(t) на періоді та воколі точки розриву, де проявляється явище Гіббса, яке полягає втому, що графіки часткових сум Sn(x) в околі точки розриву ко-ливаються і не мають тенденції до зменшення амплітуди коли-вання. Графік часткової сум Sn(x) ряду Фур’є наведено на рисун-ку.

5.2

0.827

s4 t( )

f t( )

51 t

Рис. 1.

Зокрема, студенти переконуються в тому, що в околі точокнеперервності функції f(x) абсолютна величина різниці між зна-ченнями функції та часткової суми Sn(x) прямує до нуля приn→∞: |f(x) – Sn(x)| → 0. Крім того, швидкість прямування до нуляу точках х віддалених від точки розриву тим більша, чим далізнаходиться х від точки розриву. По іншому ведуть себе частковісуми в околі точок розриву х0.

В околі точки розриву скінчена сума членів ряду Фур’є бі-льша за відповідні значення функції. Коли кількість членів част-кової суми ряду зростає (студенти проводять чисельний експе-римент при m=10, m=100, m=1000), ця особливість не зникає, азміщується ближче до точки розриву. Тобто розриви функції по-роджують осциляції часткових сум ряду Фур’є.

Ця ситуація обґрунтовується, наприклад, дослідженням на

112

екстремум часткової суми Sn(t) функції f(t)=t, 1<t≤5. Екстремумирозміщені таким чином: між двома послідовними максимумамизнаходиться мінімум. Із збільшенням n точки екстремуму на-ближаються до кінців проміжку. Обчислюються значення част-кових сум в екстремальних точках.

При t=1.4 часткова сума S10(1.4)=1.588, тобто перевищуєзначення функції f(1.4) майже на 14%. В першій точці мінімумуt=17/11 часткова сума S10(1.545)=1.421, тобто менша за значенняфункції f(1.545) майже на 8%.

Використання математичних пакетів при розв’язанні задачрізних розділів курсу математики дає можливість студентам ква-ліфікованіше, ефективніше маніпулювати математичнимиоб’єктами, (обчислювати границі, похідні, інтеграли,розв’язувати системи рівнянь тощо). Вони оволодівають ідеями,насиченими геометричними ілюстраціями алгебраїчних методів,а не витрачають час на механічні обчислення. Важливим педаго-гічним завданням викладача є застосування таких методів і форморганізації заняття, на яких студент отримував би осмислені від-повіді на кожному етапі розв’язання задачі або їх осмислював.

Відомі педагоги та психологи вважають, що основним при-значенням педагогіки вищої школи є вирішення проблеми пере-творення наукових знань у навчальний предмет “… строить уче-бный предмет – это не просто отбирать материал из соответст-вующей науки для целей образования, это – и строить познава-тельный процесс, его содержание, средства, логику, … . Учебнаяпрограмма должна не только фиксировать содержание знаний обобъекте, их объем, в ней должен быть заложен и способ изуче-ния предмета, логика его изложения ”[3].

Математика відноситься до дисциплін, які є фундаментомтехнічної освіти. Але існуючий традиційний курс вищої матема-тики у вищому технічному навчальному закладі є занадтооб’ємним. Студенти, які готуються стати інженерами, а не про-фесіоналами математиками, за два роки повинні засвоїти елеме-нти лінійної алгебри, елементи аналітичної геометрії, математи-чний аналіз, векторний аналіз, звичайні диференціальні рівнян-ня, рівняння математичної фізики, функції комплексної змінноїта операційне числення, теорію ймовірностей з елементами ма-тематичної статистики. Зрозуміло, що майже неможливо в межах

113

існуючої кількості годин та традиційної методики викладаннязробити так, щоб студенти сприйняли, зрозуміли та засвоїли усівідповідні нові поняття; зрозуміли та засвоїли способи та межі їхвикористання; зрозуміли та засвоїли відповідний математичнийапарат.

У наш час студенти першого курсу, вчорашні школярі, немають навичок у вивченні теоретичного математичного матеріа-лу. Багато з них навіть не відрізняють, коли вони розуміють пев-ний матеріал, а коли не розуміють. У такій ситуації традиційнийметод викладення теоретичного матеріалу “від теорії до практи-ки” є мало ефективним.

Відомо, що студенти краще сприймають нові поняття, коливони є результатом розв’язання деяких практичних задач.

Останнє твердження проілюструємо на прикладі викладеннятеми “Визначений iнтеграл”. Спочатку розглядається одна iзгеометричних задач. Це може бути задача про знаходженняплощi криволінійної трапеції у вигляді границі послідовностіінтегральних сум. На цьому етапі означення подається одночас-но як формула для обчислення, оскільки простішої формули наданий момент немає. Причому, звертається увага на основниймомент застосування інтегральної схеми до розв’язання геомет-ричних задач, а саме, на наближену заміну складного елементар-ного геометричного об’єкту більш простим, часто це є замінакриволінійного елементарного геометричного об’єкту на прямо-лінійний об’єкт.

Далі розглядається одна із фізичних задач, яка такожрозв’язується за інтегральною схемою. Це може бути задача прознаходження маси неоднорідного матеріального стрижня. Ана-логічно до попереднього, результат розв’язання задачі є озна-ченням маси неоднорідного матеріального стрижня у виглядіграниці послідовності інтегральних сум. Одночасно означенняподається як формула для обчислення.

Із викладеного робиться висновок щодо практичної важли-вості нової неелементарної операції, яку називають інтегруван-ням.

Відомо, що переважна більшість основних математичнихпонять виникли із практичних задач шляхом абстрагування. Ізрозглянутих задач випливає означення нової операції – визначе-

114

ного інтегралу.При вивченні невласних інтегралів, доцільно сформулювати

задачу щодо можливості вираження числом площі певної необ-меженої фігури. Процес і результати розв’язання переконуютьстудентів у важливості операції переходу до границі прирозв’язання задач, в яких мають справу з нескінченністю.

Поява сучасних комп’ютерів та математичних комп’ютернихсистем створюють умови для використання у навчальному про-цесі більшої кількості наближених методів та ознайомлення сту-дентів із сучасними наближеними аналітичними методамирозв’язування, наприклад, ДР, зокрема, методом відомого украї-нського математика Дзядика В.К. (1919-1998).

Метод дає можливість на заданому проміжку будувати мно-гочлени, які з високою точністю наближають шуканий розв’язок,особливо у випадку, коли коефіцієнтами лінійного диференціа-льного рівняння (ДР) є многочлени. Без використання математи-чних комп’ютерних систем здійснити обчислення можна лише внайпростіших випадках.

В статті розглянуто лише окремі моменти методики вивчен-ня предмета з використанням комп’ютера.

З’ясовано, що застосування сучасних інформаційних техно-логій дозволяє значно ефективніше розв’язувати протиріччя міжформально-логічним вивченням курсів математики та евристич-ною діяльністю інженера шляхом інтенсивного та систематично-го впровадження адаптованих до навчального процесу завдань;між обсягом курсу вищої математики та часом на оволодінняним за рахунок одночасного використання всіх засобів поданняінформації.

Застосування сучасних інформаційних технологій підвищуєпізнавальний інтерес студентів до навчального матеріалу розши-рює можливості цілеспрямованого упорядкованого формування,поглиблення і розширення теоретичної бази знань студентів. Цедосягається шляхом урізноманітнення подання матеріалу та удо-сконалення методики викладання предмету. Використання засо-бів НІТН дає можливість систематично розглядати різні шляхирозв’язання завдань, збільшити кількість завдань, урізноманітни-ти їх зміст, розширити можливості узагальнень математичнихпонять.

115

Застосування математичних пакетів при вивченні теоріїймовірності і математичної статистики розвиває у студентів від-чуття структури і структурних відношень теорії ймовірності таматематичної статистики, схильність до аналізу, розуміння ма-тематичних об’єктів, бачення їхньої взаємодії.

Запропонована методика спрямована не лише на вивченняокремих розділів курсу вищої математики, а й на формуванняфахівця, підготовленого до активної професійної і соціальноїдіяльності у сучасному інформаційному просторі.

Література1. Жалдак М.І., Кузьміна Н.М., Берлінська С.Ю. Теорія ймо-

вірностей і математична статистика з елементами інформаційноїтехнології. – Київ: Вища школа, 1995. – 352 с.

2. Клочко В.І. Нові інформаційні технології навчання мате-матики в технічній вищій школі. Автореф. дис…д-ра пед. наук. –К., 1998. – 36 с.

3. Решетова З.А., Сергеева Т.А. Формирование теоретичес-кого мышления студентов при изучении курса общей химии ввысшей школе. – Современная высшая школа. – 1978. –№3.

4. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математическойстатистики. –М.: Наука, 1983. – 416 с.

116

ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПАКЕТАMATLABВ КУРСЕ ВЫСШЕЙМАТЕМАТИКИ

Е.А. Кожаев, Г.Г.Маклаковаг. Севастополь, Севастопольский национальный технический

университет

При изучении курса высшей математики большая роль мо-жет быть отведена математическим пакетам (MathCAD, Maple,MatLab и др.). Пакеты дают возможность быстро провести необ-ходимый численный эксперимент, проверить ту или иную гипо-тезу, испытать различные методы и подходы к решению задачи,выяснить границы использования метода.

В настоящее время все большее применение получает пакетMATLAB (MATrix LABoratory – матричная лаборатория), осо-бенно для проведения сложных математических расчетов. Пакетявляется одной из наиболее мощных универсальных интегриро-ванных систем математического проектирования. СистемаMATLAB была разработана К. Молером (С. В. Moler) и с конца70-х гг. широко использовалась на больших ЭВМ [1, 3]. В начале80-х гг. Джон Литл (John Little) из фирмы MathWorks, Inc. разра-ботал версии системы PC MATLAB для компьютеров классаIBM PC, VAX и Macintosh. В дальнейшем были созданы версиидля рабочих станций Sun, компьютеров с операционной систе-мой UNIX и многих других типов больших и малых ЭВМ. Сей-час свыше десятка популярных компьютерных платформ могутработать с системойMathLab [1].

Важными достоинствами системы являются ее открытость ирасширяемость. Большинство команд и функций системы реали-зованы в виде текстовых m-файлов (с расширением .m) и файловна языке Си, причем все файлы доступны для модификации.Пользователю дана возможность создавать не только отдельныефайлы, но и библиотеки файлов для реализации специфическихзадач. Легкость модификации системы и возможность ее адапта-ции к решению специфических задач науки и техники привели ксозданию десятков пакетов прикладных программ. Приведемхарактеристику некоторых пакетов, которые с успехом могутиспользоваться в преподавании прикладных вопросов высшей

117

математики.Fuzzy Logic Toolbox (определение переменных, нечетких

правил и функций принадлежности; интерактивный просмотрнечеткого логического вывода; современные методы: адаптив-ный нечеткий вывод с использованием нейронных сетей, нечет-кая кластеризация).

Symbolic Math Toolbox (решение задач в символьном виде:дифференцирование и интегрирование, вычисление сумм и про-изведений, разложение в ряды Тейлора и Маклорена, операции сполиномами, вычисление корней полиномов, решение нелиней-ных уравнений и другие всевозможные символьные преобразо-вания). Следует отметить, что по возможностям символьной ма-тематики пакет сильно уступает специализированным системамкомпьютерной алгебры, таким как новейшие версии Maple иMathematica.

NAG Foundation Toolbox (дискретное преобразование Фу-рье; обыкновенные дифференциальные уравнения: методыАдамса и Рунге-Кутта; уравнения в частных производных; ин-терполяция; вычисление собственных значений и векторов, под-держка комплексных и действительных матриц; аппроксимациякривых и поверхностей: полиномы, кубические сплайны, поли-номы Чебышева; минимизация и максимизация функций: линей-ное и квадратичное программирование, экстремумы функцийнескольких переменных; разложение матриц; решение системлинейных уравнений; статистические расчеты, включая описа-тельную статистику и распределения вероятностей; корреляци-онный и регрессионный анализ: линейные, многомерные иобобщенные линейные модели; генерация случайных чисел:нормальное распределение, распределения Пуассона, Вейбулла иКоши).

Statistics Toolbox (реализация статистических вычислений истатистической обработки данных, генерация случайных чисел,векторов, матриц и массивов с различными законами распреде-ления, а также множество статистических функций).

Optimization Toolbox (методы оптимизации функций рядапеременных: безусловная оптимизация нелинейных функций;метод наименьших квадратов и нелинейная интерполяция; ре-шение нелинейных уравнений; линейное программирование;

118

квадратичное программирование; условная минимизация нели-нейных функций; метод минимакса; многокритериальная опти-мизация).

Partial Differential Equations Toolbox (пакет содержитмножество функций для решения систем дифференциальныхуравнений в частных производных).

Control System Toolbox (моделирование, анализ и проекти-рование систем автоматического управления — как непрерыв-ных, так и дискретных при этом реализуются традиционные ме-тоды передаточных функций и современные методы пространст-ва состояний).

Digital Signal Processing (DSP) (пакет прикладных программдля проектирования устройств, использующих процессоры циф-ровой обработки сигналов. Результаты моделирования и проек-тирования цифровых устройств с помощью этого пакета могутиспользоваться для построения высокоэффективных цифровыхфильтров на современных микропроцессорах цифровой обработ-ки сигналов).

Signal Processing Toolbox (моделирование и проектированиеустройств обработки всевозможных сигналов, обеспечение ихфильтрации и множества преобразований: моделирование сигна-лов и линейных систем; проектирование, анализ и реализацияцифровых и аналоговых фильтров; быстрое преобразование Фу-рье; оценка спектров и статистическая обработка сигналов; па-раметрическая обработка временных рядов; генерация сигналовразличной формы).

Image Processing Toolbox (цифровая обработка и анализизображений: восстановление и выделение деталей изображе-ний; работа с выделенным участком изображения; анализ изо-бражения; линейная фильтрация; преобразование изображений;геометрические преобразования; увеличение контрастностиважных деталей; цветовые преобразования; изменение палитры;преобразование типов изображений).

В последних версиях MATLAB появилась возможность го-товить документы в текстовом процессоре Word 95/97/2000 совставками в виде документов MATLAB и результатов вычисле-ний, представленных в численном, табличном или графическомвиде. Таким образом, становится возможной подготовка «жи-

119

вых» электронных книг, в которых демонстрируемые примерымогут быть оперативно изменены. Представляется возможнымменять условия задач и тут же наблюдать изменение результатових решения.

Следует отметить еще одно из достоинств системыMATLAB. В нее входит ядро системы символьной математики(компьютерной алгебры) Maple V Release 5. Оно используетсяпакетами расширения Symbolic Math Toolbox и ExtendedSymbolic Math Toolbox, благодаря которым в среде MATLABстали доступны новые возможности символьных и аналитиче-ских вычислений.

Особенностью системы MATLAB является то, что ее легкоприспособить к решению нужных классов задач. Расширениедостигается естественным путем и реализуется в виде создавае-мых пользователем m-файлов. Эффективность разрабатываемыхпрограмм существенно повышается при использовании средствпостроения интерактивного графического интерфейса пользова-теля (GUI Builder), входящих в системуMATLAB.

Для иллюстрации возможностей использования пакетаMATLAB в преподавании высшей математики были разработа-ны программы по разделу теории вероятностей и математиче-ской статистики [2]. Разработка программ проводилась в средеграфического интерфейса GUIDE.

Разработанные программы позволяют наглядно представитьизменение законов распределения случайной величины от пара-метров распределения. Предусмотрены различные режимы ви-зуализации (изменение толщины линии графика распределения,цвета линии, видов маркеров). Одна из программ позволяет мо-делировать работу генератора псевдослучайных чисел с различ-ными законами распределения. Предоставляется возможностьнаглядно продемонстрировать работу генератора и изучитьвлияние параметров распределения на сгенерированную после-довательность чисел. Предусмотрено изменение объема анали-зируемой выборки, закона распределения генерируемой после-довательности и параметров закона распределения. Программыявляются интерактивным средами, которые позволят их исполь-зовать для совершенствования учебного процесса при препода-вании вопросов прикладной математики.

120

Использование пакета MATLAB в учебном процессе позво-лит совершенствовать формы и методы самостоятельной работыстудента при изучении курса высшей математики. Появляетсявозможность больше внимания уделить рассмотрению узловыхвопросов курса за счет уменьшения затрат на рутинную вычис-лительную работу, развиваются творческие способности студен-тов.

Литература1. Ануфриев И.Е. Самоучитель MatLab 5.3/6.x. – Спб.: БХВ

Петербург, 2002. – 736 с.2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высш. шк.,

2001. – 575 с.3. Потемкин В.Г. Система MatLab 5 для студентов. Спра-

вочное пособие. –М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1998. – 314 с.

121

ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯМОДУЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЙ СИСТЕМЫПРИ ИЗУЧЕНИИ ВЫСШЕЙМАТЕМАТИКИ

В.М. Комякг. Харьков, Академия пожарной безопасности Украины

fd@apbu.kharkiv.com

Создание новой пожарной техники, автоматизированных иавтоматических систем обнаружения пожара и построения про-гноза динамики его развития, оптимизационных методов обос-нования размеров пожарной службы и ее дислокации требуетусиления фундаментальной подготовки специалистов пожарнойохраны, в частности по фундаментальным дисциплинам, такимкак высшая и прикладная математика, математическое модели-рование, системный анализ, информационные технологии.

На кафедре фундаментальных дисциплин с целью лучшегоусвоения высшей математики на протяжении двух лет внедря-лась и совершенствовалась модульно-рейтинговая система. Осо-бенности ее использования состояли в следующем:

1. Материал семестра разбивался на модули, которые сов-падали с разделами тематического плана дисциплины.

2. Выбирались 3-4 основные темы из раздела.3. По каждой из выбранной тем готовились и проводились

на практических занятиях в течение 10÷15 мин. контрольныеработы. Задания для каждого слушателя готовились преподава-телем индивидуально.

4. Результаты контрольных работ объявлялись курсантам изаносились в учебные журналы преподавателей. Если оценка неудовлетворяла курсанта, он имел возможность ее отработать упреподавателя. Каждая последующая отработка снижала на 10%рейтинговую оценку. Например, курсант сдал задолженность стретьего раза на оценку «3», его рейтинговая оценка составляла3×0,8=2,4.

5. По результатам контрольных работ всего модуля выстав-лялась оценка в журнал успеваемости учебной группы.

6. При завершении семестра определялась средняя оценкапо модулям, которая принималась за рейтинговую. По получен-

122

ным рейтинговым оценкам проводилось ранжирование курсан-тов. Если группы потока примерно одного уровня знаний, то вкаждой группе по результатам рейтинга определялись 2-3 кур-санта, которые имели возможность получить либо зачет-«автомат», либо экзамен-«автомат». Если группы разнородныепо знаниям, то ранжирование оценок осуществлялось на всемпотоке, в результате чего определялись группы отстающие,имеющие минимальное число «автоматчиков», и группы-победители, имеющие максимальное число «автоматчиков». Приэтом разрабатывалась и система премирования групп-победителей.

Опыт использования такой модульно-рейтинговой системыпоказал, что курсанты, регулярно готовящиеся к занятиям, име-ют лучшие остаточные знания, и как результат, лучший резуль-тат на сессии. На втором курсе средний балл по высшей матема-тики составил: в 2000-2001 у/г. – «3,29», а в 2001-2002 у/г. –«3,46».

Таким образом, предлагаемая система контроля знаний по-зволяет:− иметь более глубокую и объективную оценку знаний;− равномерно активизировать учебную работу курсантов в те-

чение года;− повышать заинтересованность слушателей в посещении за-

нятий;− стимулировать учебную работу курсантов.

Основной недостаток системы – большая загрузка препода-вателей, связанная с необходимостью подготовки большого ко-личества материала для контрольных работ, дополнительногоучета и обработки рейтинговых оценок. И тут на помощь можетприйти компьютерная техника. Ведется работа по подготовкеэлектронных вариантов индивидуальных заданий по каждой от-рабатываемой теме, предполагается создание программы обра-ботки рейтинговых оценок.

123

ФОРМУВАННЯЗАГАЛЬНОНАВЧАЛЬНИХ УМІНЬ ЛІЦЕЇСТІВ

ПІД ЧАС ВИВЧЕННЯМАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН

С.В. Кондратенком. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний універси-

тет

Раніше основним завданням школи було забезпечення учнівсистематизованими знаннями, коло яких було точно визначено.Випускники отримували так звану “повну середню освіту”. Су-часна ж школа постає як один з етапів неперервної освіти. Навітьу державній програмі “Освіта” (“Україна ХХI століття”) [1] за-значено, що принцип неперервності освіти, перетворення її упроцес, що триває протягом усього життя людини, має стати од-ним із найважливіших принципів реформи освіти.

Здається незрозумілим, навіщо людині навчатися все своєжиття? Але на це є цілком певне пояснення. Сьогодні, перебува-ючи в умовах розквіту інформаційного суспільства, коли відбу-вається бурхливий розвиток наукових технологій, кожна освіче-на людина повинна вільно орієнтуватися в величезному потоцірізноманітної інформації, вміти її добути, проаналізувати і дійтивласних висновків.

У зв’язку з цим особливої актуальності набуває задача фор-мування загальнонавчальних умінь, які є необхідною умовою яксамостійного набуття знань (в широкому розумінні цього слова),так і оволодіння системою знань, що отримують учні в процесінавчання.

Проблема формування загальнонавчальних умінь не є но-вою. Ґрунтовні дослідження цієї проблеми здійснювали Бабансь-кий Ю.К., Щукіна Г.І., Шамова Т.І., Буряк В.К., Кабанова-Меллер О.М., Платонов К.К., Мілерян Є.О., Менчинська Н.О.Були запропоновані програми по формуванню загальнонавчаль-них умінь на уроках математики (Єпішева О.Б., Деніщева Л.О.,Грудьонов Я.І.) та на уроках фізики (Усова А.В., Бобров А.А.).

Основна доля проведених досліджень припадає на 80-ті ро-ки. Майже десять років проблемі формування загальнонавчаль-них умінь у психолого-педагогічній літературі не приділялося

124

достатньої уваги. За цей час відбулися значні зміни в організаціїнавчально-виховного процесу та освіти в цілому – гуманізаціяосвіти, методологічна переорієнтація процесу навчання з інфор-мативної форми на розвиток особистості учня, індивідуально-диференційований, особистісно-орієнтований підходи до на-вчання.

Нами досліджувалась проблема формування загальнонавча-льних умінь в процесі експериментального навчання учнів 10-11класів фізико-математичного профілю Саксаганського природ-ничо-наукового ліцею (м. Кривий Ріг).

Саксаганський природничо-науковий ліцей являє собою се-редній навчальний заклад нового типу. З часів заснування(1990 р.) керівництво ліцею за підтримки Інституту педагогікиАПН України, перебувало у пошуках стилю діяльності ліцею,який вбачали у наданні визначної ролі науково-дослідницькійдіяльності.

У зв’язку з цим у всіх класах ліцею вивчався предмет“Основи наукової творчості та наукових досліджень”, що скла-дався з декількох частин. Зміст предмета розподілявся за роками,виходячи з принципу поступового ускладнення.

На першому році вивчалися “Основи наукової творчості”.Головним при опрацюванні цього курсу було усвідомлення ос-новних ідей теорії розв’язування винахідницьких задач (ТРВЗ);освоєння зразків розумової діяльності в процесі дослідження на-вчальних задач; набуття досвіду самостійного застосування на-бутих знань при розв’язуванні творчих задач; навчання методівактивізації пошуку нових рішень.

На другому році навчання тривало вивчення курсу “Основинауково-технічної творчості” і в його межах курсу “Розвитоктворчої уяви”. Основним завданням другого року було навчанняприйомів системного мислення, прийомів боротьби з психологі-чною інертністю, навичок користування інструментами ТРВЗпри розв’язуванні творчих завдань.

На третьому році навчання завершувалося опрацювання ку-рсу “Розвиток творчої уяви”, паралельно з яким викладався курс“Життєва стратегія творчої особистості”. Вивчаючи його, ліцеїс-ти повинні були оволодіти організаційною основою ТРВЗ, функ-ціонально-ціннісним аналізом, набути стійкі якості мислення,

125

розвивати керовану уяву, формувати якості творчої особистості,навчатися оформляти заяви на патент.

Вивчення цього курсу закінчувалося на четвертому році на-вчання. Водночас вводився курс “Основи наукових досліджень.Розв’язування дослідницьких задач”. У ході його опрацюванняліцеїсти ознайомлювалися з основними прийомами відкриттяявищ та закономірностей, законами розвитку наукових систем танаукових колективів. Вони вчилися розв’язувати дослідницькізадачі, оволодівали ефективними прийомами, підходами до по-будови нових наукових систем, інструментарієм наукової діяль-ності, формували комплекс якостей творчої особистості.

Проте сьогодні задача формування творчої особистості у Са-ксаганському ліцеї розв’язується по-іншому. Навчально-виховний процес було перебудовано на засадах креативної осві-ти, коли розвиток дослідницьких умінь учнів здійснюється накожному уроці з будь-якої дисципліни. У зв’язку з цим вже не-має необхідності читання окремого спецкурсу “Основи науковоїтворчості та наукових досліджень”.

На нашу думку, умовою ефективності дослідницької діяль-ності учнів є розвиненість загальнонавчальних умінь, серед якихдо найбільш важливих відносяться організаційні, інформаційніта інтелектуальні.

З метою удосконалення науково-дослідної діяльності ліцеїс-тів на уроках математики, що розглядається як визначальнаскладова системи роботи навчального закладу, побудованого назасадах креативності, ми організували дослідно-експериментальну роботу з підвищення рівня сформованості за-гальнонавчальних умінь.

В процесі формування навчально-організаційних та навча-льно-інформаційних умінь роль математики не є визначальною,однак вивчення математики здійснює свій внесок в їх формуван-ня. Адже в порівнянні з іншими навчальними предметами мате-матичні дисципліни є більш складними, вимагають повсякденноїкропіткої самостійної роботи, досить специфічної і різноманіт-ної.

В курсі математики найбільш доцільно формувати навчаль-но-інтелектуальні та навчально-комунікативні уміння, оскільки усистемі шкільної освіти математика відіграє провідну роль у фо-

126

рмуванні інтелектуальних умінь. А уміння логічно міркуватизнаходиться у тісному зв’язку з умінням чітко й лаконічно ви-кладати свої думки, що є умовою розвитку навчально-комунікативних умінь.

В процесі дослідно-експериментальної роботи слід буловрахувати те, що, по-перше, головна мета ліцею – це формуваннявисоко інтелігентної, активної, творчої особистості; по-друге –навчальний матеріал з профільних дисциплін має більш високийрівень складності і науковості, ніж у звичайних загальноосвітніхшколах; по-третє – методика його подання повинна бути спря-мована на реалізацію дослідницького підходу у навчанні, іостаннє – це те, що ми мали працювати з ліцеїстами-старшокласниками, які відрізняються високими інтелектуальни-ми здібностями і мають чітко визначений інтерес до фізико-математичних дисциплін.

Врахувавши зазначені фактори впливу, ми в якості засобівреалізації умов ефективного формування загальнонавчальнихумінь обрали застосування прикладних задач на всіх етапах на-вчання, організацію самостійного опрацювання окремих тем, якділової гри, що моделює науково-дослідну діяльність, проведен-ня різноманітних міні-конкурсів, які б давали можливість кож-ному ліцеїсту проявити свої здібності та таланти.

Результати формуючого експерименту, що тривав протягом2001-2002 навчального року, свідчать про доцільність обраноїсистеми дидактичних умов та засобів її реалізації. Зазначимо, щопевна доля отриманих за короткий час покращень обумовленависоким рівнем здібностей та пізнавальної активності ліцеїстів-старшокласників.

Література:1. Державна національна програма “Освіта”. Україна ХХІ століт-тя. – К.: Райдуга, 1994. – 62 с.

127

ОСОБЛИВОСТІ ОРГАНІЗАЦІЇ КОРЕКЦІЇ ЗНАНЬСТУДЕНТІВ ТЕХНІЧНИХ ВУЗІВ ПРИ ВИВЧЕННІРОЗДІЛУ “ЛІНІЙНА ТА ВЕКТОРНА АЛГЕБРА”

В КУРСІ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

О.М. Кондратьєвам. Черкаси, Черкаський державний університет

ім. Б. Хмельницького

Одними з основних складових процесу навчання є контроль ікорекція знань студентів. Інформація, яку дістають внаслідокпроведення контролю, та її аналіз стають основним способомздійснення зворотного зв’язку між суб’єктами педагогічногопроцесу. Причому, у разі невідповідності еталону перевірки ре-зультатів, які отримані під час контролю, постає необхідністьздійснення корекції.

Стосовно вивчення курсу вищої математики в технічних ву-зах, можна виділити такі основні види корекції: корекцію вхід-них знань, тематичну корекцію (корекцію знань з окремої темипісля її вивчення) та підсумкову корекцію (корекцію знань з кур-су в цілому).

Серед основних форм проведення корекції виділимо корек-ційну консультацію та самостійну роботу студентів із викорис-танням коригуючи засобів.

До засобів корекції ми відносимо індивідуальні коригуючикартки, методичні вказівки коригуючого характеру, коригуючивправи з використанням ПЕОМ та інші.

Зауважимо, що будь-яка форма корекції повинна бути реалі-зована з урахуванням особистісних потреб та можливостей кож-ного зі студентів. При проведенні корекції основний акцент по-трібно ставити на самостійну роботу кожного студента, але рі-вень успішності такої діяльності напряму залежить від якостісвоєчасної допомоги викладача.

Традиційно курс вищої математики, який викладається увищих технічних закладах освіти, починається з розділу „Лінійната векторна алгебра”. Основні напрямки корекційної роботи прививченні вказаного розділу ми вбачаємо у наступному.

1. Для успішного засвоєння матеріалу даної теми доцільно

128

провести корекцію вхідних знань студентів з таких питань курсуелементарної математики:

− розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь з двомазмінними;

− побудова множини точок координатної площини, координа-ти яких є розв’язками системи лінійних нерівностей;

− вектори на площині та у тривимірному просторі (координативектора, модуль вектора, операції додавання векторів тамноження вектора на число).Корекційна робота такого характеру має здійснюватись у поза

аудиторний час здебільше індивідуально кожним зі студентів. Дляцього знадобляться індивідуальні тематичні завдання з вище озна-чених питань. Після перевірки виконання цих завдань студентам,які цього потребують, бажано надати або пояснювальну консуль-тацію, або додаткові корекційні завдання. Зауважимо, що наяв-ність методичних вказівок коригуючого характеру для здійсненнякожного з видів корекції значно полегшуватиме роботу викладача.

2. Тематична корекція з розділу „Лінійна та векторна алгеб-ра”, на наш погляд, повинна стосуватися наступних питань:

− лінійний простір, лінійна залежність векторів, дослідженнята розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь (по-вторення та уточнення матеріалу з цих питань необхідне дляефективного засвоєння розділу „Аналітична геометрія”, де-яких питань математичного аналізу, спецкурсу „Математич-не програмування” та ін.);

− скалярний, векторний та мішаний добутки векторів (необ-хідність звернення уваги на ці питання обумовлена їх вико-ристанням в аналітичній геометрії, теорії поля та ін.);

− лінійні перетворення (матеріал з цієї теми використовуєтьсяв аналітичній геометрії при зведенні рівнянь ліній та повер-хонь до канонічного вигляду, при поясненні механізму здій-снення заміни змінної в кратних інтегралах, прирозв’язуванні систем диференціальних рівнянь та ін.).Особливо відмітимо, що вказані питання мають широке за-

стосування при вивченні спеціальних дисциплін на профілюю-чих кафедрах. Отже, якісне засвоєння студентами матеріалу роз-ділу „Лінійна та векторна алгебра” виступатиме одним із факто-рів подальшої професійної освіти студентів.

129

ГУМАНІТАРНІ АСПЕКТИВИКЛАДАННЯМАТЕМАТИКИ

Т.П. Коростіянець, А.Л. Іщенком. Одеса, Південноукраїнський державний педагогічний універ-

ситет ім. К.Д. Ушинського

Характерною рисою нового світогляду нашого часу є розу-міння того, що природу не можна “покоряти” не думаючи пронаслідки своєї діяльності, що людиною не можна управляти, якмашиною, і сильно примушувати до чого-небудь для її ж блага.Світ, в якому ми живемо, є складною динамічною системою, щосама розвивається і включає в себе природу і людину. Відповід-но до цього в основу шкільного викладання повинні бути покла-дені нові цінності, орієнтири.

Одна з найважливіших цілей викладання полягає в тому,щоб виховати молоду людину, сформувати її світогляд, навчитиїї раціональному мисленню. Цій меті можна підкорити викла-дання будь-якого предмета, в тому числі й математики. Ще яких-небудь 50 років тому представники природознавства дивились наматематику лише як на засіб, що дозволяє формулювати кількіс-ні закономірності природи.

Але в наш час ці погляди змінились, до попередніх уявленьдодались ряд нових: математика була названа мовою науки. Ма-тематика не тільки створює математичні моделі явищ, що дозво-ляють виводити шляхом обчислень наслідки, але й указує експе-риментатору, в якому напрямку і як проводити експеримент. Цяобставина має виняткове значення для розвитку багатьох галузейлюдської діяльності.

Можна навести багато прикладів, коли математичний підхіддозволяв розкрити суть економічних, сільськогосподарський,екологічних або технічних явищ і внести суттєві зміни в нашізнання і в подальші практичні дії.

Новий погляд на математику безпосередньо стосується ви-ховання наукових ідеалів молоді: пізнавати, щоб діяти і вдоско-налювати наше повсякденне життя. Тому на уроках необхідноформувати систему цінностей, з якою молода людина вступає усвіт. Треба учням показати, що цінність науки визначається не

130

тільки тим, що вона допомагає створювати матеріальні блага.Наука формує і інтелектуальну атмосферу. Для людини поруч зматеріальними цінностями важливі цінності – знання, вмінняпослідовно мислити (міркувати), аналізувати факти, узагальню-вати їх. Вирішуючи задачі, вона тренується в точності і строгостісуджень, вчиться шукати різні шляхи виходу із становища, щосклалось, звикає долати труднощі. Але, щоб досягти таких ре-зультатів, треба роз’яснити учням мету і завдання виучуваногопредмету. Тому при викладанні нової теми необхідно розповістипро її виникнення й розвиток, про галузь її застосування. Напри-клад, з допомогою математики людство далеко просунулось увивченні природи – цієї стійкої і організованою системи, щосклалася в процесі еволюції органічного світу. Сюжет, фабулабагатьох прикладних задач, що вирішуються в різноманітнихтемах шкільного курсу математики допоможуть розкрити передучнями важливі галузі застосування екологічних знань таких як,охорона природи, сільське господарство, деякі галузі промисло-вості, і покажуть вирішення багатьох проблем в цих галузях здопомогою математики.

Новий світогляд, який наші дні необхідно формувати у шко-лярів, передбачає виховання у кожної людини вміння враховува-ти не тільки думку окремої особистості чи групи, але, в першучергу, інтереси суспільства. З’ясувати й зрозуміти ці інтересиможна тільки вислуховуючи різноманітні точки зору, ведучи ар-гументований діалог, доводячи справедливість одних твердженьі спростовуючи інші. Саме математика вчить проведенню дока-зів. Вивчаючи її, школяр вперше в своєму житті зустрічає такувисоку вимогливість до повної аргументації. Один з найвидатні-ших педагогів і математиків нашого часу О.Я. Хінчин неоднора-зово відмічав, що хороший вчитель привчить своїх учнів до вза-ємної критики: коли один з них що-небудь доводить чи вирішуєяку-небудь задачу перед класом, решта повинна напружено шу-кати можливості заперечень й негайно їх висловлювати.

Учень, який “відіб’ється” від таких заперечень, примуситьзамовкнути усіх своїх критиків, неодмінно зазнає законну ра-дість перемоги. Разом з тим він ясно відчує, що саме логічна по-вноцінність аргументації була тією зброєю, яка дала йому цюперемогу. А раз відчувши це, від неодмінно навчиться поважати

131

цю зброю, постарається, щоб вона завжди була при ньому. І зви-чайно, не тільки в математичних, але й в будь-яких інших диску-сіях він все більше і наполегливіше буде прагнути до повноцін-ної аргументації. Цей виховуючий процес має вирішальне зна-чення для логічної культури мислення, особливо якщо врахува-ти, що учень звикає бути безпощадно вимогливим до повноцін-ної аргументації не тільки в спорі, а й в своєму власному мис-ленні.

Крім специфічних, особливо суворих вимог до логічної пра-вильності умовиводів, математика відрізняється від інших наук,що викладаються в школі також стилем мислення. Цій стиль, хочі зазнав на протязі віків значні зміни, все ж має деякі загальні длявсіх епох риси, які помітно відрізняють його від стилів, прийня-тих в інших науках. Серед тих особливих рис, які властиві стилюматематичного мислення, є ряд таких, які мають загальне й ши-роке значення.

В основі кожного правильно побудованого ходу мислей, не-залежно від його предметного змісту, лежить така формально-логічна схема, яка відчувається вишколеним розумом як деякійлогічний кістяк, злагоджений і закономірний. Для математикихарактерно доведене до межі домінування логічної схеми мірку-вання. Очевидно, що вона в найбільшій степені дозволяє слідку-вати за правильністю течії мислі і гарантує від помилок.

Другою, характерною рисою математичного стилю мислен-ня, є його лаконізм, свідоме прагнення завжди находити короткійлогічний шлях, якій веде до даної цілі, нещадне відкидання усьо-го, у чому нема абсолютної необхідності для бездоганної повно-цінної аргументації. Тому саме уроки математики дають учнямнавички лаконічного, прямого, без відхилень мислення, яке не-обтяжливе ніякими зайвими елементами.

Далі, для стиля математичного мислення характерна читкарозчлененість ходу міркувань. Якщо, наприклад, при доведенніякого-небудь твердження ми повинні розглядати чотири можли-вих випадки, з яких кожен може розбитися на ту, чи іншу кіль-кість інших випадків, то в кожен момент міркувань математикповинен пам’ятати, в якому випадку або іншому випадку йогомисль зараз знаходиться і які випадки йому ще залишилось роз-глянути. В звичайному, ненауковому мисленні ми часто спосте-

132

рігаємо у таких випадках змішання і перескоки, які приводять допомилок в міркуванні. Для того, щоб зробити такі змішання іперескоки неможливими, математики широко користуютьсяпростим зовнішнім засобом нумерації понять, суджень. Зрозумі-ло, що така нумерація служить лише зовнішнім засобом, дужекорисним, але необов’язковим, суть справи не в неї, а в розчле-неності аргументації, або класифікації, котру вона і стимулює ізнаменує собою.

Нарешті, слід згадати ще одну чисто зовнішню традицію ма-тематичного стилю. Це точність символіки. Кожен математич-ний символ має строго визначене значення. Учень, який не звикще відноситися з достатньою вимогою до точності усної мови іписьмового висловлювання, спочатку може з недовірою віднес-тися до запрошення вчителя математики – вести математичнийзапис з абсолютною точністю. Але переконавшись, що точністьсимволічного запису відповідає його інтересам, він починаєслідкувати за собою і поступово строга правильність математич-ної символіки робиться його звичкою. Така звичка, яка здобута вякій-небудь сфері мислення, приводить до виховання і загально-го стиля мислення учня; він починає точніше висловлювати своїдумки як в усній мові, так і в письмовій мові.

Скільки-небудь помітний виховний ефект уроки математикиможуть дати при тих умовах, що вчитель, по-перше, достатньоволодіє своєю наукою, її історією, методичними принципами,по-друге має достатній педагогічний такт і досвід, по-третє, самволодіє в достатній мірі усіма якостями, які він збирається вихо-вувати у своїх учнів.

133

ВИКОРИСТАННЯ ІНФОРМАЦІЙНОЇ ТЕХНОЛОГІЇВ ПРОЦЕСІ НАВЧАННЯМАТЕМАТИКИ

СТУДЕНТІВ ФІЗИЧНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙВИЩИХ ПЕДАГОГІЧНИХ НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДІВ

О.Б. Красножонм. Бердянськ, Бердянський державний педагогічний університет

Широке впровадження нової інформаційної технології в на-вчальний процес породжує ряд проблем, що стосуються змісту,методів, організаційних форм і засобів навчання, гуманітаризаціїосвіти та гуманізації навчального процесу, інтеграції навчальнихпредметів і фундаменталізації знань, підготовки і удосконаленнякваліфікації педагогічних кадрів, створення системи неперервноїосвіти, зокрема системи самоосвіти і самовдосконалення вчите-лів, яка забезпечувала б оволодіння ними основами сучасної ін-формаційної культури [3, с. 3].

Впровадження нової інформаційної технології в навчально-виховний процес – проблема не нова в сучасній педагогічній на-уці. Її загострення саме тепер обумовлене бурхливим розвитком івдосконаленням засобів отримання, опрацювання, зберігання, атакож оперативного доступу до потужних інформаційних пото-ків, з якими нерозривно пов’язані як діяльність сучасної діловоїлюдини, так і функціонування та розвиток наукоємних вироб-ництв і технологій.

Педагогічні і теоретичні аспекти використання інформацій-ної технології у навчальному процесі досліджені у працяхМ.І.Жалдака, Ю.С. Рамського, С.А. Ракова, В.І. Клочка,Ю.І.Машбиця, Н.В.Морзе, А.В. Пенькова, Ю.В. Горошка,В.В. Дровозюка, О.Б.Жильцова, А.Г. Олійника, М.С. Голованя,Ю.О.Жука, Б.Б. Бєсєдіна, І.М. Забари та ін.

Актуальною на сьогоднішній день є проблема розробки нау-ково-обґрунтованих методичних систем навчання дисциплін ма-тематичного циклу з використанням інформаційної технології увищому педагогічному навчальному закладі, оскільки сьогодні-шнім випускникам педагогічних вузів – вчителям математики,фізики, інших навчальних предметів – завтра доведеться зіткну-тись віч-на-віч з проблемою впровадження інформаційної техно-

134

логії у закладах освіти середньої та середньо-спеціальної ланки.Процес інформатизації середньої освіти має виняткове зна-

чення в плані політехнізації навчання та загальної підготовкиучнів до практичної діяльності, оскільки вже зараз певний базо-вий рівень інформаційної культури вимагається від кожногочлена суспільства [2, с. 21].

На Україні, в системі вищої і середньої освіти, найбільш по-ширеними програмними продуктами, які використовуються унавчально-виховному процесі, є комплект педагогічних програ-мних засобів Gran1, Gran-2D, Gran-3D та відповідне науково-методичне забезпечення у вигляді навчальних посібників, розро-блені у Національному педагогічному університеті ім.М.П. Драгоманова під керівництвом академіка АПН України,доктора педагогічних наук, професора М.І.Жалдака, а такожпрограмний засіб DERIVE. Детально можливості використаннязазначених програмних продуктів у навчальному процесі роз-крито в роботі [1].

Наведемо приклади розв’язування задач практичного змістукурсу “Алгебра і геометрія” за допомогою педагогічного про-грамного засобу GRAN-3D та програмного засобу DERIVE.

Приклад 1. Обчислити відстань між прямими

2

3

3

6

4

3 −=−−=+ zyx ( )1l та

3

7

3

1

8

4 +=−+=− zyx ( )2l . [5, с. 167].

Розв’язування. Напрямним вектором прямої l1 є вектор{ }2;3;4 −ar

, т. ( ) 13;6;3 lA ∈− ; напрямним вектором прямої l2 є ве-ктор { }3;3;8 −b

r, т. ( ) 27;1;4 lB ∈−− . Спочатку з’ясуємо взаємне

розташування прямих 1l та 2l в просторі. Дослідимо на компла-

нарність вектори { }10;7;7 −−AB , { }2;3;4 −ar та { }3;3;8 −b

r:

( ) 0169

338

234

1077

≠−=−−

−−=baAB

rr, отже, прямі l1 та l2 – мимобіж-

ні. Наведемо три можливі способи розв’язування поставленоїзадачі – геометричні та алгебраїчний.

Спосіб 1 (геометричний). Обчислюємо об’єм паралелепіпе-да, побудованого на векторах { }10;7;7 −−AB , { }2;3;4 −a

r та

135

{ }3;3;8 −br

як на ребрах: ( ) 169==− baABV дапарrr

. Площа основи

паралелепіпеда – паралелограма, побудованого на векторах{ }2;3;4 −ar та { }3;3;8 −b

rяк на сторонах – дорівнюватиме моду-

лю векторного добутку векторів { }2;3;4 −ar та { }3;3;8 −b

r:

[ ] ( ) 131243mod

338

234modmod. =++−=−−== kji

kji

baSоснrrr

rrr

rr.

Шукана відстань d між прямими l1 та l2 дорівнюватиме висо-

ті цього паралелепіпеда. Отже, 1313

169 ===оснS

Vd .

Спосіб 2 (геометричний). Запишемо рівняння площини, за-даної початковою точкою A(–3; 5; 3) та напрямними векторами

{ }2;3;4 −ar та { }3;3;8 −b

r:

0691243

338

234

363

=−++−=−−

−−+zyx

zyx

.

Шукана відстань між прямими l1 та l2 дорівнюватиме відста-ні від довільної точки прямої l2, наприклад, B(4; –1; –7), до пло-щини –3x+4y+12z–69=0:

( ) ( )13

144169

697121443=

++

−−⋅+−⋅+⋅−=d .

Спосіб 3 (алгебраїчний). Відстань між прямими l1 та l2 дорів-нюватиме довжині ортогональної складової CB вектора AB=(7; –7; –10) відносно підпростору L векторного простору R3, поро-дженого векторами a=(4; –3; 2) та b=(8; –3; 3). Очевидно, векто-ри a=(4; –3; 2) та b=(8; –3; 3) утворюють базис підпростору L,оскільки

2130

234

338

234=

−

−=

−−

rangrang .

Ортогоналізуємо цей базис: a1=a=(4; –3; 2),

136

( )( )

−=−=−=

29

7;

29

54;

29

44

29

47

,

,11

11

11 aba

aaba

bb . За базисні вектори

ортогонального базису підпростору L візьмемо векториe1=(4; –3; 2) та e2=(44; 54; –7). Легко перевірити, що 21 ee ⊥ . Зна-ходимо ортогональну проекцію AC вектора AB=(7; –7; –10) напідпростір L:

( )( )

( )( ) 12

22

21

11

1

,

,

,

,ee

eeeAB

eeeeAB

ABAC =+== LПр .

Обчислюємо ортогональну складову CB вектораAB=(7; –7; –10) відносно підпростору L:

CB=AB–AC=AB–e1=(3; –4; –12).Шукана відстань між прямими l1 та l2 дорівнює довжині d

ортогональної складової CB: 13169 === CBd .

Розв’язування наведеної задачі за допомогою педагогічногопрограмного засобу GRAN-3D здійснюється у наступній послідо-вності.

Рис. 1

Очевидно, що пари точок A(–3; 6; 3) та B(1; 3; 5), C(4; –1; –7)та D(12; –4; –4) належать відповідно прямим l1 та l2. В опції ме-

137

ню “Об’єкт” обираємо пункт “Створити” і підпункт“Ламана”. У полі “Точки:” вводимо послідовно координати то-чок A(–3; 6; 3) та B(1; 3; 5). Натисканням клавіші “Виконати”будуємо відрізок AB, який містить пряма l1. Аналогічним чиномбудуємо відрізок CD, який містить пряма l2. Очевидно, що від-стань між прямими l1 та l2 дорівнюватиме відстані між відрізка-ми AB та CD. Для обчислення відстані між даними прямими вопції меню “Обчислення” обираємо пункт “Відстань” і підпункт“між двома прямими”. Покажчиком послідовно підсвічуємо ко-жний з побудованих відрізків. У полі “Звіт:” читаємо відповідь:“Відстань між прямими: 13”.

Результат виконання зазначених дій програмою GRAN-3Dпредставлений на рис. 1.

Відповідь: 13.Наведемо приклад використання програмного засобу

DERIVE для автоматизації виконання обчислень.Приклад 2. В лінійному просторі R3 задано площина Р, яка в

прямокутній декартовій системі координат Oijk має рівняння2x+y–z=0, та лінійний оператор φ, який переводить довільнийвектор OM=a у вектор OK=b , такий, що, якщо точка Т – ос-нова перпендикуляра, опущеного з точки М на площину Р, тоточка К належить відрізку ТМ і TMkTK = , де k – додатне чис-

ло. Знайдіть матрицю лінійного оператора φ в координатномубазисі Oijk [4, с. 73-74].

Розв’язування. У якості базисного вектора a нового, більшзручного для знаходження матриці лінійного оператора φ, базисуOabc візьмемо нормальний вектор a=(2; 1; –1) площини Р. Орто-гональним доповненням до підпростору, породженого векторомa=(2; 1; –1), буде фундаментальна система розв’язків рівняння2x1+x12–x3=0, загальний розв’язок якої має вигляд

−

3223 ;;

2xx

xx. Отже, у якості векторів b і c можна узяти, на-

приклад, вектори b=(1; –2; 0) та c=(1; 0; 2). Матриця переходу Т

від базису Oijk до базису Oabc матиме вигляд:

−−=

201

021

112

T .

138

Очевидно, що даний лінійний оператор φ переводить базисні ве-ктори b і c як такі, що належить площині Р, у самих себе, тобтоφ(b)=b=(0; 1; 0), φ(c)=c=(0; 0; 1) (координати образів базиснихвекторів b і c записані в базисі Oabc). Знаходимо образ базисноговектора a. Для цього потрібно знайти координати точки К, яка

розділить відрізок ОМ у відношенніk

k

−=

1λ , де точки О та М –

відповідно початок та кінець вектора a. Зрозуміло, що друга ітретя координати точки К дорівнюватимуть нулю, оскільки точ-ка К належить першому базисному вектору a. Отже,

k

k

kk

kxx

x =

−+

−=++=

11

11

21

λλ

, тобто φ(a)=(k; 0; 0). Таким чином,

матриця лінійного оператора φ в базисі Oabc матиме вигляд:

{ }

=

100

010

00k

A Oϕ

abc .

Використавши формулу { } { }1−⋅⋅= TATA OO

ϕϕabcijk , будемо ма-

ти:

{ }

1

201

021

112

100

010

00

201

021

112−

−−⋅

⋅

−−=

k

A Oϕ

ijk .

Рис. 2.

139

Обчислення виконаємо за допомогою програмного засобуDERIVE (рис. 2).

Відповідь:

+−−−+−

−−+⋅

5122

1522

222224

6

1

kkk

kkk

kkk

.

Література1.Жалдак М.І. Комп’ютер на уроках математики: Посібник

для вчителів. – К.: Техніка, 1997. – 303 с.2.Жалдак М.І., Морзе Н.В., Олійник А.Г., Рамський Ю.С.

Вплив нової інформаційної технології на зміст освіти //Сучаснаінформаційна технологія в навчальному процесі: Зб. наук. праць/Редкол.:М.І.Шкіль (відп. ред.) та ін. – К.: КДПІ, 1991. – С.17-21.

3.Жалдак М.І. Проблеми інформатизації навчального про-цесу в школі і в вузі //Сучасна інформаційна технологія в навча-льному процесі: Зб. наук. праць /Редкол.: М.І. Шкіль (відп. ред.)та ін. – К.: КДПІ, 1991. – С. 3-16.

4. Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопро-сах и задачах: Учеб. пособие для студентов вузов по спец. «Фи-зика» и «Прикл. математика». –М.: Высш. шк., 1985. – 120 с.

5. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитическойгеометрии. –М.: Наука, 1964. – 336 с.

140

ДО МЕТОДИКИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧНА ПОРІВНЯННЯ ЧИСЛОВИХ ЗНАЧЕНЬ

ЛОГАРИФМІЧНИХ ФУНКЦІЙ

В.В. Крючковський, А.Н. Хомченко, О.В. Цибуленком. Херсон, Херсонський державний технічний університет

meo@kstu.edu.ua

Задачі, що пропонуються на вступних іспитах до вузу, вима-гають від абітурієнтів не тільки знань властивостей тієї чи іншоїфункції, а й можливість творчого підходу, навиків логічного, не-стандартного мислення. Одними з таких задач є задачі на порів-няння числових значень логарифмічних функцій при різних ос-новах: alogb і dlogc .

Нажаль методика розв’язування таких задач у літературірозроблена не достатньо. Обходять стороною ці задачі і в курсі“Методика розв’язування задач”, що викладається для майбутніхвчителів у педагогічних інститутах. І той факт, що відсутній за-гальний метод порівняння числових значень логарифмічних фу-нкцій, пояснюється тим, що питання це дуже складне.

Авторам відомі п’ять часткових методів, за допомогою якихможна відповісти на питання: яке з чисел alogb чи dlogc біль-ше?

1. Порівняння наближених числових значень, знайдених задопомогою таблиць або калькулятора, кожного з порівню-ваних чисел.

2. Порівняння кожного з порівнюваних логарифмів з одним ітим же цілим числом [1, с. 82].

3. Порівняння відношення порівнюваних логарифмів з одини-цею [1, с. 82].

4. Порівняння різниці порівнюваних логарифмів з нулем [1,с. 82-83].

5. Порівняння різниці порівнюваних логарифмів з нулем післятого, як їх виразять через один і той же третій логарифм [2,с. 285-286].Перший метод перевіряє лише уміння учня користуватися

таблицями чи калькулятором. Останні чотири методи не потре-бують таблиць, але змушують учня виявити не тільки знання

141

особливостей логарифмічної функції, але й особисту кмітливість.Але ні один з цих чотирьох методів не в змозі дати стверджува-льної відповіді при порівнянні будь-яких чисел 0>alogb і

0>dlogc .Крім того для окремих прикладів ці методи досить громіздкі

і мають для учнів певні як математичні так і психологічні труд-нощі.

Приклад 1. Порівняти числа 72108log і 1854log .Розв’язання.Відповідно до метода п.5 перетворимо обидва логарифми

наступним чином:

1) =+=⋅=⋅⋅⋅

23322372 22332233

322233108 loglogloglog

332

3

32

3

2

233

3

223

2

2

2

23 loglog

loglog ++

+=

++

+= .

Позначимо alog =32 , тоді

23

32

23

3

23

2

32

32

3

272108 +

+=+

++

=+

++

=a

a

aa

a

aa

log .

2) =+=⋅=⋅⋅⋅

2322318233233

2

23354 loglogloglog

13

12

13

1

13

2

13

11

3

2

133

1

23

2

23 ++=

++

+=

++

+=

++

+=

a

a

aa

a

aa

loglog.

Тепер порівняємо числа

⇔∨++−

++⇔

++∨

++

01312

2332

1312

2332

a

a

a

a

a

a

a

a

.aa

a

logaaa

a0

)13)(23(16

;03

;0)13)(23(

16

2

>++

+⇔

>=

∨++

+

Відповідь: 1872 54108 loglog > .Суттєвим недоліком цього методу є не тільки громіздкість

необхідних математичних перетворень, а й обмеженість у йогозастосуванні. Наприклад при порівнянні чисел 143712 ,log , і

142

14137112 ,log , цей метод не спрацьовує.Звернемо увагу, що має місце наступна теорема.Теорема 1. Різниця значень логарифмічних функцій

)( cxloga + і xloga при віддаленні x у нескінченність наближа-ється до нуля.

Рис. 1.

Доведення. ( ) .loglimlogloglim 0x

c1x)cx( a

xaa

x=

+=−+

∞→∞→

Ілюстрацію теореми 1 дивись на рис. 1.

Рис. 2.

При 1=c маємо:...loglogloglogloglog >−>−>− 453423 222222 (1)

Має місце і така послідовність нерівностей...loglogloglogloglog >−>−>− 453423 443322 , (2)

що спирається на загальну формулу [1, с. 82] (див. рис. 2):

143

)2()1( 1 +>+ + alogalog aa .З останньої послідовності випливає наступна послідовність

нерівностей:.../log/log/log/log >>>> 56453423 5432 (3)

Приклад 2. Порівняти числа 32log і 54log .Розв’язання.

Рис. 3.

Обидва числа більші за одиницю. На рис. 3 це відрізки KB іED . Тому, якщо кожне з них зменшити на одиницю, то будемопорівнювати вже відрізки abAB,log/log === 5123 22 і

cdCD,log/log === 25145 24 . А нові числа мають такі властиво-сті, якими не володіють числа 32log і 54log . Дійсно

( )

<<

⇔

∨⇔∨

.lnln

lnln

ln

ln

ln

lnloglog

42

;53

4

5

2

353 42

З останньої системи нерівностей не можна зробити висновокяке з чисел 32log і 54log більше. Тепер порівняємо числа

( ) ( ) ⇔

∨⇔∨⇔∨

4

251

2

512515153 4242 ln

,ln

ln

,ln,log,logloglog

4

251

2

51

;42

;25151

ln

,ln

ln

,ln

lnln

,ln,ln>⇔

<>

⇔ .

144

Так як частка від ділення більшого числа на менше завждибільша за частку від ділення меншого числа на більше.

Відповідь: 53 42 loglog > .

Приклад 3. 1412 1311 loglog ∨ ?Розв’язання.Обидва ці числа більші за одиницю. Але на скільки більше

кожне з них за одиницю?

Рис. 4.

Рис. 5.

На рис.4 криві xlogy 11= і xlogy 13= майже зливаються. Бу-демо порівнювати не ці числа, а зменшене кожне на одиницю.

13141112 13131111 loglogloglog −∨− ;

13141112 1311 /log/log ∨ ;

0761)90(01 1311 ,log,log ∨ .

На рис. 5 )90(0111 ,logAB = і 076113 ,logCD = .

⇔∨130761

11)90(01

ln

,ln

ln

,ln

⇔

<>

⇔;1311

;0761)90(01

lnln

,ln,ln

13

0761

11

)90(01

ln

,ln

ln

,ln >⇔ .

Відповідь: 1412 1311 loglog > .

Приклад 4. 1413143 7112712 ,log,log ,, ∨ ?

Розв’язання.114131143 7112712 −∨− ,log,log ,, ;

145

158611158671 7112712 ,log,log ,, ∨ ;

⇔∨7112

158611

712

158671

,ln

,ln

,ln

,ln

⇔

<>

⇔;7112712

;158611158671

,ln,ln

,ln,ln

7112

158611

712

158671

,ln

,ln

,ln

,ln >⇔ .

Відповідь: 1413143 7112712 ,log,log ,, > .

Як бачимо, перевага запропонованого метода складається нетільки з його простоти, а і з його надзвичайно високої чутливос-ті. Цей метод чітко проводе межу між більшим і меншим чис-лом. Навіть тоді, коли числа відрізняються один від одного набудь-яку цифру після коми:

14751143712 ,,log , ≈ ; 1472114137112 ,,log , ≈ .

Зауваження. Іноді після зменшення даних чисел на одини-цю, або на декілька одиниць (в залежності від співвідношенняміж числами під логарифмами і їх основами) ми одержуємо такічисла, що не дозволяють дати відповідь на запитання яке з нихбільше.

Приклад 5. Яке з чисел 7545log чи 675135log більше?Розв’язання.

67575 13545 loglog ∨ ;

1675175 13545 −∨− loglog ;

5)6(1 13545 log,log ∨ ; (4)

Так як

<<

;13545

;5)6(1

lnln

ln,ln

то з цієї системи нерівностей відповідь на запитання ми дати неможемо. Тому нерівність (4) замінюємо на таку рівносильну не-рівність, числа якої знову можна було б зменшити на одиницю:

45135 )6(15 ,loglog ∨ ;

1451135 )6(15 −∨− ,loglog ;

2727 )6(15 ,loglog ∨ ;

146

)6(1

27

5

27

,ln

ln

ln

ln ∨ ;

)6(1

27

5

27

,ln

ln

ln

ln < .

Відповідь: 67575 13545 loglog < .Заміна однієї нерівності на рівносильну є правомірною, бо

має місце наступна теорема.Теорема 2. Зміст нерівності між двома додатними логариф-

мічними числами не зміниться, якщо поміняти місцями число,що стоїть під знаком одного з логарифмів і число, що стоїть воснові другого логарифма.

Доведення.Нехай після зменшення на одиницю чисел alogb і dlogc ми

одержали нерівність:c/dlogb/alog ca ∨ . (5)

Помножимо обидві частини нерівності (5) на додатне числоclog b/a .Маємо

clogc/dlogclogb/alog b/acb/aa ⋅∨⋅ . (6)Якщо скористатися формулою [3, с.246]:

zlogzlogxlog yxy =⋅ ,

то нерівність (6) набуває вигляду c/dlogclog b/aa ∨ .Зауважимо, що за наслідком цієї теореми можна одночасно

поміняти обидва числа, що стоять під знаками логарифмів начисла, що стоять в основах інших логарифмів.

Приклад 6. 48060 6015 loglog ∨ ?Розв’язання.

1480160 6015 −∨− loglog ;

84 6015 loglog ∨ ;

<<

.6015

;84

lnln

lnln

Ця система не дає можливості дати відповідь на запитання:яке з чисел 6015log чи 48060log більше.

Замінюємо останню нерівність рівносильною:( ) ( )⇔−∨−⇔∨ 1151601560 4848 loglogloglog

147

( )

>>

⇔∨.lnln

,ln,ln,log,log

48

;7535775357 48

Ця система теж не дає можливості дати стверджуючу відпо-відь.

Замінюємо останню нерівність рівносильною:( ) ( )⇔−∨−⇔∨ 18157857 47534753 log,loglog,log ,,

( ) .ln

ln

,ln

ln

ln

ln

,ln

lnloglog ,

>⇔

∨⇔∨⇔

4

2

753

2

4

2

753

222 4753

Відповідь: 48060 6015 loglog > .

Приклад 7. Порівняти числа 288289log і 289290log .Розв’язання.

( ) ( )⇔∨⇔∨ 289290289288 288289290289 loglogloglog

( )⇔−∨−⇔ 12891290 288289 loglog

( )⇔∨⇔ 003471003461 288289 ,log,log

⇔

∨⇔

288

003471

289

003461

ln

,ln

ln

,ln

⇔

><

⇔288289

003471003461

lnln

,ln,ln

<⇔

288

003471

289

003461

ln

,ln

ln

,ln.

Відповідь: 289288 290289 loglog < .

Зауважимо, що 99939040288289 ,log ≈ ;

99939080289290 ,log ≈ .Таким чином, розв’язування задач на порівняння числових

значень alogb і dlogc логарифмічних функцій зводиться до за-стосування наступного алгоритму:1. Порівнюємо кожне з чисел alogb і dlogc з одиницею. Якщо

одне з них більше за одиницю, а друге менше за одиницю, товідповідь готова. Якщо ні, то переходимо до п.2.

2. Зменшуємо кожне з чисел на одиницю. Одержимо: b/alogb

і c/dlogc . Складаємо систему:

148

∨∨

.clnbln

c/dlnb/aln ;

Якщо одержані нерівності будуть протилежного смислу, товідповідь готова. Якщо ні, то переходимо до п.3.3. Замінюємо нерівність c/dlogb/alog cb > на рівносильну так,

щоб порівнювані числа були більші за одиницю. Потім пере-ходимо до п.2.

Література1. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие./ Вави-

лов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. –М.: Наука, 1987. – 432 с.

2. Бесчетнов В.М. Математика: курс лекций для учащихся 7-11классов: т.1. –М.: Демиург, 1994. – 288 с.

3. Моденов П.С., Новоселов С.И. Пособие по математике дляпоступающих в вузы. –М.: Изд.МГУ, 1966. – 432 с.

149

СТВОРЕННЯ ГІПЕРТЕКСТОВИХ НАВЧАЛЬНИХКОМПЛЕКСІВ З МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН

О.С. Куцеволм. Полтава, Полтавський університет споживчої кооперації

України

Застосування інформаційних технологій в навчанні фунда-ментальним дисциплінам, а саме, математичним, в вищих навча-льних закладах потребує нового підходу до методичного забез-печення навчального процесу. Кафедрою вищої математики тафізики Полтавського університету споживчої кооперації Українирозробляється власне електронне методичне забезпечення дис-циплін кафедри для програмної оболонки, яка призначена дляпоступового формування і розміщення у внутрішній intranet–ме-режі університету типових гіпертекстових навчальних комплек-сів (див. схему 1).

Задумуючи ідею створення гіпертекстових навчальних ком-плексів з математичних дисциплін, переслідувалися такі цілі:

– по-перше, надати студентам при вивченні дисциплін ефек-тивний і легкодоступний засіб навчання, який включав би у себетеоретичний матеріал, питання і практичні завдання, і виконувавби не тільки навчальну, але і контролюючу й оцінюючу функції;

– по-друге, провести аналіз запропонованого до комп'ютер-ної реалізації теоретичного матеріалу, з метою визначення йогопридатності, і ступінь ефективності цієї реалізації;

– по-третє, продовжити, і в чомусь оживити, процес впрова-дження інформаційних технологій в область навчання математи-ки, прискорити інтеграцію математичних і інформаційних дис-циплін;

– і, по-четверте, надати університету повноцінне програмнезабезпечення, яке може бути застосоване в навчанні студентівматематичним дисциплінам на молодших курсах, і яким зможутьскористатися сотні студентів.

Облік навчального плану університету, його практичнаспрямованість і досить широкі можливості роблять гіпертексто-вий навчальний комплекс корисним і своєчасним для викорис-тання при навчанні математичним дисциплінам. Але комп’ютер

150

є і завжди залишиться лише базою даних, і щоб вилучити з ньогознання, як і з будь-якої іншої бази, потрібен викладач. Тому рольвикладача повинна бути спрямована на те, щоб дати студентамнеобхідні опорні знання, за допомогою яких на рівні своєї реаль-ної підготовленості вони зможуть розвивати їх з використаннямкомп’ютера.

Схема 1.Принципова схема програмного забезпечення

При успішному складанні модульного тесту – перехід до на-ступного модулю. Матеріал попереднього модулю при цьомустає недоступним для студента.

151

О СОДЕРЖАНИИ КУРСА ВЫСШЕЙМАТЕМАТИКИДЛЯ БУДУЩИХ ИНЖЕНЕРОВ-СТРОИТЕЛЕЙ

В.М. Левинг.Макеевка, Донбасская государственная академия строительст-

ва и архитектурыlevin@mail.donbass.com

Различные аспекты математического образования инженераанализировались в течение длительного времени самыми авто-ритетными учеными и педагогами, что само по себе свидетель-ствует о ее важности, сложности и наличии различных тенден-ций. Наиболее обоснованными выглядят подходы (достаточноблизкие), развиваемые Д. Пойя [1], А.Н. Крыловым [2], Б.В. Гне-денко [3], Л.Д. Кудрявцевым [4,5], И.И. Блехманом, А.Д. Мыш-кисом, Я.Г. Пановко [6], В.В. Паком [7], на которые автор и опи-рается в дальнейшем. Эти подходы логичны, совершенно оче-видны и основаны на богатом опыте преподавания в ведущихинженерных вузах, образуют в своей совокупности цельную, за-конченную и убедительную концепцию, содержащую в себе по-будительные мотивы для периодического обновления содержа-ния курса высшей математики в высшем техническом учебномзаведении.

Согласно этой концепции содержание курса должно соот-ветствовать: целям обучения математике; уровню подготовкислушателей; кругу их интересов и прагматических запросов, ха-рактеру их последующей производственной деятельности.

Одна из указанных целей – вооружить слушателей доступ-ным математическим инструментарием в интересах других об-щенаучных, общеинженерных и специальных дисциплин и длярешения задач, которые возникнут у них впоследствии, когдаони начнут работать по специальности. Так как строительнаянаука постоянно развивается, возникают новые задачи и методыих решения, расширяется арсенал прикладных математическихметодов и реализующих их программ, программа курса должнасоответствующим образом пополняться, чтобы рецептурнаячасть курса работала и была достаточно полной.

Наиболее высокие требования к курсу высшей математики

152

обусловлены современными задачами расчета строительныхконструкций и их систем и теоретической основой такого расче-та – строительной механикой. В этой связи можно отметить сле-дующие задачи и соответствующий им математический аппарат.

При расчете конструкций и их систем преобладающим ме-тодом дискретизации является метод конечных элементов. Не-смотря на то, что он является прикладным математическим ме-тодом, он в курсе высшей математики не рассматривается (как ивообще вопросы дискретизации и аппроксимации), а вводится вкурсе строительной механики. В результате обычно не акценти-руется внимание на многих важных для приложений вопросах, вчастности, таких, как погрешность аппроксимации и сходимостьпоследовательности конечноэлементных аппроксимаций присгущении сетки узлов. Очевидно, соответствующее пополнениекурса (затрагивающее только идеологию и необходимые практи-ческие выводы и предупреждения) было бы весьма полезным.

Так как метод конечных элементов (как и некоторые другиеметоды расчета на прочность и устойчивость) – метод вариаци-онный, целесообразно общее знакомство с вариационным исчис-лением осуществить в рамках математического курса, введя ис-ходные понятия функционала и вариации и показав в основныхчертах переход к классической задаче на экстремум при дискре-тизации системы.

Большое значение в практике проектирования имеют задачидинамики и устойчивости сооружений; для их решения с единыхпозиций (что было бы полезно и с точки зрения математическойкультуры, и с точки зрения устранения ненужных повторов) не-обходимо введение понятия собственной проблемы для диффе-ренциального оператора (в случае расчета непрерывной систе-мы) и для конечного линейного оператора (после ее дискретиза-ции), описание идеи основных методов ее решения и небольшойвычислительный практикум с использованием компьютера.

Насущная необходимость учета реальных деформативных ипрочностных свойств материалов и грунтов основания, а такжеособенностей работы конструкций при больших деформациях иперемещениях (физическая и геометрическая нелинейность, рас-чет по деформированной схеме) обуславливают необходимостьхотя бы самого краткого ознакомления с идеологией решения

153

нелинейных задач, а также интегральных уравнений и их систем.Хорошо было бы подкрепить изложение этих вопросов элемен-тарным введением в функциональный анализ.

Понятие о тензорах иногда вводится в курсах сопротивленияматериалов и механики грунтов. Целесообразнее было бы уде-лить этому немного времени в курсе высшей математики.

Для решения задач динамики стержневых систем, статики идинамики плит, оболочек и массивов необходимо знакомство сосновами теории дифференциальных уравнений в частных про-изводных и методами их решения (не только МКЭ).

Так как рассчитываемые несущие системы имеют случайныесвойства (размеры, распределение деформативных и прочност-ных свойств) и подвергаются случайным нагрузкам и воздейст-виям, при их расчете все большее распространение приобретаютвероятностные методы. Для грамотного осуществления контролякачества, для нормирования механических свойств материалов игрунтов необходимо владение методами математической стати-стики. Конечно, подготовить слушателей к их использованиюдаже в тривиальных случаях в отведенные для этой цели восем-надцать аудиторных часов не представляется возможным.

Естественно, изложение этих (и, возможно, некоторых дру-гих) вопросов возможно скорее в виде обзора, с четким описани-ем области и порядка использования в нашей отрасли каждойматематической теории.

Однако, излагать эти вопросы на первых двух курсах всемслушателям в процессе подготовки бакалавров нецелесообразно,да и невозможно: это не отвечает ни подготовке среднего сту-дента, ни его интересам, ни характеру его последующей произ-водственной деятельности (он может работать мастером настройке, на заводе стройиндустрии, в службе эксплуатации зда-ний и сооружений, младшим инженером или старшим лаборан-том в отраслевых НИИ, проектных организациях, низовыхуправленческих структурах и т.п.) и должен быть всего лишьподготовлен к дальнейшему получению специального образова-ния.

Поэтому изучение затронутых вопросов математики и меха-ники конструкций и оснований целесообразно перенести на пе-риоды подготовки специалистов и магистров.

154

Одновременно курс высшей математики при подготовке ба-калавров можно было бы освободить от вопросов, связанных сзапоминанием большого количества ненужных формул, выпол-нением достаточно сложных и ненужных тождественных преоб-разований, не актуальных сегодня методов (не нужно запомина-ние столь полных таблиц производных и интегралов – при необ-ходимости этими таблицами всегда можно воспользоваться;приемы интегрирования различных функций, выраженных гро-моздкими формулами, выражения для частных решений диффе-ренциального уравнения в обыкновенных производных с посто-янными коэффициентами второго порядка с правой частью спе-циального вида в эпоху сплошной компьютеризации выглядятдостаточно архаично).

Следовательно, для того, чтобы курс высшей математики вовтузе отвечал своему назначению, работал на хорошую профес-сиональную подготовку, приносил пользу студентам с различнойподготовкой, его программу надо периодически пересматриватьс учетом интересов и возможностей различных категорий слу-шателей, изменения потребностей практики и других изучаемыхв вузе курсов.

Литература1. Пойя Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.:

Наука, 1975. – 464 с.2. Крылов А.Н. Мои воспоминания. – Л.: Судостроение, 1979. –

480 с.3. Гнеденко Б.В. Математическое образование в вузе. – М.:

Высшая школа, 1981. – 174 с.4. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изу-

чении. –М.: Наука, 1977. – 112 с.5. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание.

–М.: Наука, 1980. – 143 с.6. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Д. Механика и при-

кладная математика: Логика и особенности приложений ма-тематики. –М.: Наука, 1983. – 328 с.

7. Пак В.В. Инженер, математика и другие. Простые методыматематического моделирования природных и технологиче-ских процессов. – Донецк: ДонГТУ, 1995. – 224 с.

155

КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ В КУРСАХВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ ТА ПРОГРАМУВАННЯ

І.В. Лупан, З.П. Халецька, Л.В. Ізюмченком. Кіровоград, Кіровоградський державний педагогічний універ-

ситет імені Володимира Винниченкаilupan@kspu.kr.ua

Одна з головних цілей вищої освіти полягає у тому, щоб задопомогою різних форм навчання і виховання підготувати сту-дента до плідної творчої участі в житті суспільства. В той же часу плануванні курсів фундаментальних дисциплін зберігаєтьсятенденція зменшення кількості аудиторних годин та збільшеннягодин на самостійну роботу при збереженні обсягу навчальногоматеріалу. Виникає потреба ефективніше використовувати час ішукати нові підходи в поєднанні традиційних методик вивченнядисциплін з інтеграцією між ними в процесі самостійної роботистудентів. Одним із можливих шляхів в організації такої роботиє індивідуальні завдання, які пов’язують окремі розділи різнихдисциплін, що вивчаються студентами протягом одного семест-ру.

Ми пропонуємо поєднання індивідуальних завдань з пред-метів: алгебра, геометрія і програмування на спеціальності“Інформатика” першого курсу навчання. Перші результати тако-го досвіду показують доцільність і корисність даного підходу [1,2].

Інтеграція фундаментальних математичних та комп’ютернихдисциплін сприяє формуванню цілісного уявлення про предметдослідження, допомагає студенту набувати різнобічні знання,оцінювати результати і творчо застосовувати їх, позитивно впли-ває на якість навчання та фахову підготовку спеціалістів.

Інтегровані індивідуальні завдання є формою контролю са-мостійної роботи студентів і охоплюють значну частину навча-льного матеріалу. У практиці роботи кафедр математики та ін-форматики маємо завдання, наприклад, з математичного аналізута програмування (обчислення подвійних інтегралів, досліджен-ня збіжності числових рядів і т. ін.) [3].

Дана робота присвячена вивченню кривих другого порядку і

156

можливим застосуванням цієї теми при вивченні програмуваннята інших розділів математики.

Завдання для кожного студента носить індивідуальний хара-ктер, містить 5 загальних рівнянь другого порядкуa11x

2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0, які відповідають різним

типам кривих, причому одне з них – уявний випадок, і захища-ється в три етапи відповідно до вивчення тем з предметів: геоме-трія, алгебра, програмування. Наприклад:

Варіант 11) 5х2–6ху+5у2–16х–16у–16=0;

2) х2+2ху+у2–3 2 х+3 2 у–12 2 =0;3) х2+4ху+у2+4х+2у–2=0;4) х2–4ху+4у2+4х–8у–5=0;5) х2–2ху+у2+4х–4у+6=0.Геометрична постановка завдання традиційна: звести рів-

няння другого порядку до канонічного виду, визначити тип кри-вої другого порядку, знайти відповідне перетворення координат(базис і початок нової системи координат), зобразити схематич-но криву і відповідні (стару та нову) системи координат.

Алгебраїчна постановка завдання пов’язана з вивченням тем“Лінійні оператори” і “Білінійні та квадратичні форми”. На етапівиконавчої частини від студента вимагається: виділити квадра-тичні форми з рівняння квадрик, за допомогою методу власнихвекторів звести матрицю квадратичної форми до діагональноговиду; визначити базис – власні вектори та нормувати їх; записатиформули перетворення та застосувати їх до вихідного рівняння;виділяючи повні квадрати, одержати координати нового початкута остаточне перетворення координат; зробити порівняльнийаналіз отриманих результатів в геометрії, алгебрі і програмуван-ні.

При захисті геометричної частини завдання від студента ви-магається знання теорії кривих другого порядку (означення, кла-сифікація, властивості, алгоритми зведення загального рівняннядо канонічного виду) та афінні, зокрема прямокутні, перетворен-ня координат площини.

Під час захисту алгебраїчної частини студент зобов’язанийпоказати теоретичні знання тем “Лінійні оператори”(ЛО) (озна-чення та властивості ЛО, ядро та ранг ЛО, власні значення та

157

власні вектори ЛО, ЛО з простим спектром та алгоритм зведенняматриці ЛО до діагонального виду) та “Квадратичні форми”(КФ) (означення та матриця КФ, методи зведення КФ до каноні-чного виду: власних векторів, Якобі, Лагранжа).

Наведемо розв’язання першого завдання поданого варіанта:5х2–6ху+5у2–16х–16у–16=0.

1. Обчислюємо інваріанти: I1=a11+a22, I1=5+5=10; I2=2221

1211

aa

aa,

I2=53

35

−−

=16; I3=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

, I3=

1688

853

835

−−−−−−−

= –1280.

За інваріантами робимо висновок: крива центральна, еліптичноготипу, не розпадається на пару прямих.2. Знаходимо корені s1, s2 характеристичного рівняння:

s2 – I1s + I2=0, s2 – 10s + 16=0, s1=2, s2=8.3. Зведене рівняння даної кривої має вид: s1x′2+ s2y′2+I3/I2=0,

2x′2+8y′2–80=0, звідки x′2/40+y′2/10=1. За канонічним рівнян-ням робимо висновок, що крива є еліпс з півосями:

a= 40 = 102 , b= 10 .4. Знайдемо центр S(x0, y0) заданої кривої з системи:

=++=++

,0

,0

23022021

13012011

ayaxa

ayaxa

=−+−=−−

,0853

,0835

00

00

yx

yxзвідки x0=4, y0=4.

Таким чином, S(4,4).5. Знайдемо кут повороту системи кординат α:

,12

111

a

astg

−=α ,1352 =

−−=αtg звідки α=π⁄4.

6. Запишемо формули перетворення координат, розширена ма-

триця якого має вигляд:

−=

0

0

cossin

sincos

y

xT

αααα

.

Отже, відповідне перетворення координат:

++=+−=

.4'22'22

,4'22'22

yxy

yxx

158

7. Будуємо схематичне зображення даної кривої та нової сис-теми координат в старій (рис. 1).

Розглянемо алгебраїчний підхід, а саме – застосування мето-ду власних векторів.1. Виділяємо квадратичну форму із загального рівняння кривої:

5х2–6ху+5у2, тоді матриця квадратичної форми має вигляд:

А=

−

−53

35.

2. Запишемо характеристичне рівняння матриці А: |A–λЕ|=0 тазнайдемо його корені.

λλ

−−−−

53

35=0, тоді (5–λ)2–9=0 і λ1=2, λ2=8.

3. Визначимо власні вектори21,aa – базис, в якому матриця А

зводиться до діагонального вигляду:

80

02.

Покладемо a =(х,у) – власний вектор, тоді aА=λ a .

При λ1=2 отримаємо систему

=+−=−

033

033

yx

yx, звідки х=у і,

вибравши вектор одиничної довжини, маємо: ( )22,221 =a .

4

4 S

Y

X

X′Y′

O

Рис. 1

159

При λ2=8 маємо систему

=−−=−−

033

033

yx

yx, звідки х= –у і

( )22,222 −=a . Таким чином, { 21,aa } – ортонормованийбазис. Запишемо перетворення координат, при якому квадратич-на форма має канонічний вид: 2х1

2+8у12:

+=−=

11

11

2222

2222

yxy

yxx.

4. Знайдемо рівняння кривої при цьому перетворенні:2х1

2+8у12–16 2 х1–16=0. Виділивши повні квадрати, одер-

жимо: 2(х1–4 2 )2+8у12–80=0. Покладемо

=−=

1

1

'

24'

yy

xx. Тоді

2х′2+8у′2–80=0, х′2/40+у′2/10=1 – канонічне рівняння кривої.5. Знайдемо формули остаточного перетворення координат.

Виразимо х′, у′ через х1,у1:

=+=

'

24'

1

1

yy

xx, а тоді

++=+−=4'22'22

4'22'22

yxy

yxx.

Завдання з програмування полягає у написанні програми по-будови графіків відповідних кривих засобами мови програму-вання, яка вивчається на даному етапі. Як правило, на першомукурсі студенти вивчають мову Pascal або С.

При написанні програми побудови будь-якого графіка слідперш за все вирішити декілька проблем, пов’язаних з особливос-тями екранної системи координат та структурою графічного зо-браження. По-друге, оскільки в індивідуальному завданні отри-маний за допомогою комп’ютерної програми графік виконува-тиме роль еталона, за яким студент звірятиме правильність вико-нання алгебраїчних перетворень, необхідно не просто отриматина екрані деяке зображення, а й прив’язати його до певної систе-ми координат, зобразити координатну сітку, за якою візуальноможна буде визначити, хоча б наближено, положення центра но-вої системи координат, асимптот, реальні розміри півосей і т. ін.По-третє, при виконанні даного завдання студенти мають справу

160

із неявно заданими функціями, в той час, як на практиці вониздебільшого будували графіки явно заданих функцій. І, по-четверте, при побудові графіка необхідно буде переходити віддійсних значень координат функції до цілочисельних координатточок екрана. Додатково вимагатиметься отримати на екрані рів-няння кривої, підписати координатні осі тощо.

Таким чином, метою завдання з програмування є узагаль-нення знань студентів про особливості графічного режиму, за-своєння прийомів перетворення екранної системи координат,закріплення навичок роботи з графічними процедурами та функ-ціями, застосування навичок програмування до розв’язуванняматематичних задач.

Перетворення екранної системи координат виконують одниміз двох способів: паралельним перенесенням початку координату центр екрана або застосуванням процедури SetViewPort, якавстановлює розміри та положення області для графічного виво-ду. З першим способом студенти знайомляться при виконаннілабораторної роботи з програмування. Другий спосіб – більшпростий – опановують самостійно, керуючись вказівками викла-дача. При застосуванні процедури SetViewPort усі наступні коор-динати обраховуються відносно границь визначеної області. За-стосування параметра clip у значенні clipoff дозволяє отримуватизображення як у межах заданої області, так і поза нею. У нижче-наведеному прикладі початок координат перенесено у центр ек-рана:

xx:=getmaxx; yy:=getmaxy;xx2:=xx div 2; yy2:=yy div 2;setviewport(xx2, yy2, xx, yy, clipoff);Побудова координатної сітки – задача тривіальна. Необхідно

лише слідкувати за тим, щоб вісі координат співпадали з грани-цями області, заданої процедурою SetViewPort.

Побудова власне графіка виконується за допомогою проце-дури putpixel. Змінна z задає масштаб – кількість пікселів в оди-ничному відрізку.

На даному етапі побудови графіка найбільш відповідальниммоментом є узгодження точності обчислень з якістю отриманогозображення. З одного боку, навряд чи вдасться отримати значен-ня функції точно рівне нулеві (як це задано рівнянням), а з іншо-

161

го – при дуже грубому округленні лінії графіків перетворюютьсяна більш або менш широкі смуги, а при збільшенні точності об-числень можуть стати надто тонкими. Нижче наведено текстпрограми побудови графіка кривої5x2–6xy+5y2–16x–16y–16=0, а на рис. 2 – результат її виконання.

Uses graph,crt;var a, b, z, c:integer; x1, y1:real;

x, y, xx, yy, xx2, yy2:integer; color, bk:byte;function f(x,y:real):real;

begin f:=5*x*x–6*x*y+5*y*y–16*x–16*y–16; end;procedure net; {побудова координатної сітки}

var x,y:integer;begin

line(0, –yy2, 0, yy2); outtextxy(–3, –yy2+5,'^ Y');line(–xx2, 0, xx2, 0); outtextxy(xx2–15, –3,'>'); outtextxy(xx2–15, 10, 'X');x:=0; y:=0; setlinestyle(4,$1111,1);while x<xx2 do begin line(x, –yy2, x, yy2);

line(–x, –yy2, –x, yy2); x:=x+z end;while y<yy2 do begin line(–xx2, y, xx2, y);

line(–xx2, –y, xx2, –y); y:=y+z end;end;

beginwriteln('Введіть кількість пікселів на одиничний відрізок');write('z=');readln(z);detectgraph(a,b); initgraph(a,b,'c:\bp\bgi');color:=blue; bk:=white; setcolor(color); setbkcolor(bk);net;for x:= –xx2 to xx2 do

for y:= –yy2 to yy2 dobegin

x1:= x/z; y1:= –y/z;if trunc(f(x1,y1))=0 then putpixel(x,y,color)

end;repeat until keypressed; closegraph;

end.

Для переходу від дійсних значень аргументів до цілочисель-

162

них координат графіка використано функцію Trunc. Відповіднуточку графіка слід будувати, коли trunc(f(x1,y1))=0. Натомісцьможна використати умову abs(f(x1,y1))<=0.1, де 0.1 – прийнятапохибка обчислень.

Рис. 2Для завдань 2, 3 та 4 з варіанта 1 отримаються графіки, пока-

зані на рис. 3, 4 та 5 відповідно.Захист програми передбачає обґрунтування та роз’яснення

обраного алгоритму побудови графіка, способу масштабуваннязображення та перетворення екранної системи координат. Сту-дент повинен бути готовим пояснити, які фактори впливають наякість зображення, повинен знати призначення та особливостізастосування використаних у програмі процедур та функцій.

Рис. 3.

163

Рис. 4.

Рис. 5.

Творча співпраця викладачів різних навчальних предметівдозволяє при організації самостійної роботи студентів з одногобоку, враховувати зміст споріднених дисциплін, які вивчалисяраніше, з іншого – орієнтує на матеріал, який буде вивчатися да-лі.

164

Література.1. Халецька З., Лупан І. Індивідуальні завдання з алгебри, гео-метрії та програмування // Наукові записки. – Випуск 46. Се-рія: Педагогічні науки. – Кіровоград: РВЦ КДПУ ім.В.Винниченка. – 2002. – С. 191-194.

2. Ізюмченко Л.В., Лупан І.В., Халецька З.П. Інтегровані за-вдання з дисциплін алгебра і геометрія та програмування //Комп’ютери в навчальному процесі: Матеріали 2-ої Всеукр.наук.-практ. конф. – Умань: Алмі, 2002. – С. 27-28.

3. Авраменко О.В., Шевченко Н.Г. Використання систем сим-вольних обчислень при дослідженні функцій на непере-рвність // Сучасні педагогічні технології у вищих закладахосвіти: Матеріали Всеукр. наук.-метод. конф. – Ніжин, 2001,ч.2. – С. 57-61.

4. Иванова Г.С. Основы программирования: Учебник для вузов.–М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. –392 с.

165

ОСОБЛИВОСТІ НАУКОВО-МЕТОДИЧНОЇ ПІДГОТОВКИСТУДЕНТІВ В УМОВАХ ЕКОНОМІЧНОЇ ПЕРЕБУДОВИ

Г.А.Малахайм. Кривий Ріг, Криворізький економічний інститутКиївського національного економічного університету

Соціальна перебудова нашої країни обумовлює необхідністьґрунтовних змін в системі вищої освіти. Для того, щоб ринковівідносини з їх специфічними особливостями стали не лише зро-зумілими молодому поколінню, а і стали звичними, закономір-ними та керованими необхідно навчати молодь мислити катего-ріями нових економічних відносин відповідно їх вікових особли-востей засобами, які забезпечують фундаментальність знань. До-сягти цієї мети можливо лише тоді, коли грамотно на певномунауковому рівні, послідовно, систематично і системно проводитилінію на економізацією навчального процесу (як в середній шко-лі так і в вищій школі) з опорою на реальні можливості і специ-фіку кожної навчальної дисципліни. Саме така суспільно обумо-влена потреба в перегляді основ вищої освіти закономірно спри-яє розформалізації змісту, перш за все, дисциплін математичногоциклу. А щоб це можливо було зробити, потрібна чітко визначи-тися у понятійному взаємозв’язку цих дисциплін та певних аспе-ктів економічних закономірностей.

Вище сказане і обумовлює необхідність перегляду напрямківнауково-методичної підготовки майбутніх вчителів математики.Для здійснення цього є різні шляхи. Один з них, на нашу думку,практично здійснений в межах вузівської математичної підгото-вки, а саме, знайомство їх зі змістом певної системи понять та їхособливостей як характеристики економічних закономірностей –спецкурс “Функціональні залежності в економічних процесах наприкладі мікроекономіки”. Саме такий спецкурс дає можливістьозброїти студентів певною системою знань про математичні мо-делі в економіці. Це дає можливість в майбутній роботі на пев-ному науковому рівні навчати учнів розумінню економічних за-конів через розв’язання задач практично-економічного змісту.

Для того, щоб дати студентам певну систему економічнихзнань необхідно вибрати певну базисну дисципліну. Такою, на

166

наш погляд, може бути мікроекономіка.Мікроекономіка (від грецького “мікро” – маленький) розгля-

дає економічні явища (виробництво, пропозиція, попит, спожи-вання та інші) у світлі законів господарської діяльності первіс-них осередків економіки – фірм, споживачів, найманих праців-ників, власників капіталу, землевласників, окремих підприємців.Вона пояснює як і чому приймаються економічні рішення на рі-вні цих осередків.

Мікроекономіка вивчає відношення між підприємцями і на-йманими працівниками, між самими підприємцями (конкурен-ція), а також між продавцями і покупцями.

Усі ці відношення реалізуються через ціни на фактори виро-бництва та економічні блага.

Мікроекономіка допомагає зрозуміти закономірності розви-тку тієї чи іншої галузі виробництва і сфери послуг, те, як взає-модіють між собою виробники та споживачі на ринках окремихтоварів.

Мікроекономіка формує і пояснює цілий ряд законів: рід-кість ресурсів та благ; попиту і пропозиції; спадання граничноїкорисності, спадання прибутку в залежності від факторів вироб-ництва.

Усі ці знання необхідні практично кожній людині для розу-міння складного світу господарських відносин між людьми, дляформування економічного мислення.

В мікроекономіці особлива увага приділяється інструментамекономічного аналізу, без оволодіння якими доволі важко розі-братися у різноманітних наукових висновках та впроваджуватиїх із користю для себе.

Основним з таких інструментів є математичне моделюванняекономічних явищ та процесів. Модель є спрощеним, хоча в тойже час і достатнє багатостороннім, зображенням економічноїдійсності. З технічної точки зору математична модель описуєфункціонування тієї чи іншої економічної системи з допомогоюалгебраїчних рівнянь, що виражають відношення, які знаходять-ся між підлягаючими вимірюванню та які вважаються важливи-ми економічними величинами для даної системи. Економістивикористовують моделі двох типів:

– оптимізаційній, що описують окремих економічних агентів

167

(споживачів, фірм);– рівноважні, що характеризують взаємовідносини між

суб’єктами ринкових відносин.Використання традиційних економічних моделей (оптиміза-

ційних, рівноважних), які лише принципово передають матема-тичну сутність тієї чи іншої економічної закономірності, даєтьможливість більш суттєво відтворити певний процес без перева-нтаження математичними викладками. Використання в економі-ці простих математичних моделей, представлених функціональ-ними залежностями між компонентами економічних явищ, ро-бить їх прозорими і цікавими для студентів математичних спеці-альностей.

В основу спецкурсу були взяті моделі системи характерис-тик мікроекономічних процесів: крива виробничих можливостей,функція і закон попиту, функція і закон пропозиція, ринкова рів-новага, еластичність, корисність блага, крива байдужості і бю-джетна лінія.

Крива виробничих можливостей . Графічно ця характе-ристика наближено трансформується відрізком графіка оберненопропорційної залежності відносно певної системи координат, асаме, при фіксованій потужності розглядається проблема вироб-ництва при наймі двох видів продукції. “Крива” розбиває пло-щину можливостей на три області – недовикористання можливо-стей (під графіком), неможливість виробництва (над графіком),можливе виробництво (точки графіка). Крива виробничих мож-ливостей дає характеристику трьом виробничим станам підпри-ємства і не є числовою характеристикою співвідношення вироб-ництва.

Функція і закон попиту . В умовах ринку бажання спо-живача трансформується в нове поняття – попит.

Функція попиту – це взаємозв’язок між бажанням матитовар (попит на товар) і факторами, що його визначають. Загаль-на функція попиту, може бути визначена таким чином:

QD =f(P , I , T , N) ,де D – попит; P – ціна товару; I – дохід; T – смаки споживачів; N– число покупців товару.

Маємо яскравий приклад функції багатьох змінних. Привведенні поняття “частині похідні” виникає досить складна ситу-

168

ація в навчанні студентів “працювати” лише з одною з багатьохзмінних, не зважаючи уваги на інші. Ця процедура легко пояс-нюється економічною ситуацією переходу від функції багатьохзмінних QD = f(P , I , T , N) до функції однієї змінної QD =f(P) .

Тепер припустимо, що усі фактори, крім ціни товару Р, не-змінні. Тоді QD буде залежати від ціни Р (введення функції однієїзмінної):

QD =f(P)Між ціню товару Р і його обсягом QD, який бажає придбати

споживач, існує наступна залежність: чим нижча ціна товару Р,тим більший обсяг попиту QD, і навпаки, із збільшенням ціникількість тих, хто має можливість придбати товар, буде зменшу-ватись. Бачимо, що між Р і QD існує зв’язок, що виражаєтьсяспадною функцією. Графічно цю залежність подається відрізкомграфіка спадної функції (частиною вітки гіперболи, або відрізкапрямої з від’ємним кутовим коефіцієнтом.

Функція і закон пропозиції . Подивимось на ринок зісторони продавця, який представляє іншу сторону ринкових від-носин – пропозицію. Пропозиція на ринку – результат виробниц-тва і відображає бажання продати товар. Введемо функцію зале-жності пропозиції від ціни.

QS =f(P)де QS – обсяг пропозиції;

S – пропозиція;P – ціна.Між ціною товару Р і його пропонованим обсягом QS на-

ближено існує пряма функціональна залежність: тобто із збіль-шенням ціни Р відповідно і збільшиться і величина пропозиції; аіз зменшенням ціни – зменшиться також і пропозиція. Звідси ви-пливає і закон пропозиції: обсяг пропозиції збільшується прирості ціни і зменшується при її зниженні. Графічно залежністьпропозиції від ціни може бути представлена відрізком прямої здодатнім кутовим коефіцієнтом, або відрізком “гіперболи” звід’ємним коефіцієнтом.

Об’єднуючи графічне представлення функції попиту і функ-ції пропозиції отримаємо графік функції, для якої має зміст по-няття „ліво- і правостороннії” границі в околі деякої точки

169

(рис. 1).Ріст ціни Р (рис. 1.) не може відбуватися нескінченно, бо на-

стає момент, коли покупець неспроможний покупати товар. Від-бувається насичення товаром ринку, попит на товар падає – фун-кція пропозиції перестає зростати.

Еластичність . Цікавою з точки зору математичної суті єтака характеристика процесу реалізації продукції, як зміна попи-ту і пропозиції при зміні ціни Р.

P0

P1

PP

← QS1QS20QD2QD1→0

Рис.1. Графік функції, яка поєднує закон попиту та пропози-ції

Для розв’язання цієї проблеми користуються поняттям“еластичність”, математична сутність якого полягає в оцінці від-ношення змін характеристик. Коефіцієнт еластичності є резуль-тат відношення відсотку зміни величини попиту, або пропозиції,до процентів зміни ціни товару.

Розглянемо це поняття на прикладі еластичності попиту поціні. Еластичність попиту по ціні називається коефіцієнтомвпливу зміни ціни на зміну кількості продукції, на яку існує по-пит. Отже, це є відношення зміни обсягів попиту ∆QP до зміниціни ∆РD, або це відношення приросту функції однієї змінної∆f(Р) до приросту аргументу ∆Р, а це с точки зору математично-го аналізу є середня швидкість зміни обсягу попиту QD.

В економіці розглядають Еd-точку від еластичності.

170

цінапочатковацінизміна

:продукціїкількістьПочаткова

продукціїкількостіЗміна=dE

тобто:

∆P

Q

Q

P

∆P

P

Q

Q

P

P:

Q

QEd

∆∆∆∆ ⋅=⋅== ,

в результаті маємо точкову еластичність, яка має місце при∆Р→ 0.

0→∆∆∆= P

P

QEd ; .

Така величина в математиці називається миттєвою швидкіс-тю зміни, бо маємо справу з локальним максимумом, або лока-льним мінімумом функцій Q в достатньо малому оточенні ціниР.

Корисність блага . Отримувати будьяке благо – це праг-нення споживача. Під благом розуміється усе те, що потрібнодля максимального задоволення потреб споживача.

В економіці має місце перший закон Гассена:При послідовному зростанні вживання одиниць блага, кори-

сність кожної додаткової одиниці його зменшується.Згідно цього закону функція корисності має точку насичено-

сті, що відповідає локальному максимуму цієї функції. В зв’язкуз цим розпізнають загальну и граничну корисність блага.

Крива байдужості і бюджетна лінія . Для моделюванняспоживчого вибору використовуються криві байдужості та бю-джетні прямі. Криві байдужості (рівно корисний контур) дозво-ляють описати поведінку споживача з точки зору переваги тогочи іншого блага. Криві байдужості – це множина точок, кожна зяких представляє собою такий набір з двох товарів, який дляспоживача байдужий: користь кожного з них однакова. Прийня-то криву байдужості зображати віткою “гіперболи”.

Якщо крива байдужості дає картину “бажання споживача”,то бюджетна лінія дає картину “можливості споживача”: не кож-ний товарний набір йому доступний і він обмежений в своїх мо-жливостях саме це фіксує бюджетна функція:

I = Px·X + Py·Y,

171

де I – місячний дохід споживача, який він витрачає на придбаннядвох товарів X та Y;

PX та PY – ціни товарів X та Y відповідно.Маємо лінійну функцію І двох змінних X та Y, яка графічно

представляється прямою лінією.Розглядання ситуацій взаємного розміщення кривої байду-

жості та бюджетної лінії дає можливість продемонструвати си-туацію, одного з важливих понять математичного аналізу: доти-чна до кривої в даній точці є граничне положення січної.

Проведений аналіз змісту понять, які є основними в мікро-економіці свідчать про те, що спецкурс “Функціональні залежно-сті в економічних процесах на прикладі мікроекономіки” сприяєформуванню нових науково-методичних аспектів підготовкистудентів, бо використання властивостей різних функцій з еко-номічним підтекстом дає можливість відчути реальний вихід ма-тематичних понять в практику оцінки ринкових відносин і тимсамим виховує особливий математичний стиль мислення – аналі-тико-економічний, що повинен бути притаманним кожній люди-ні, яка існує і працює в ринковій економіці.

Література1. Винокуров Е.Ф., Винокурова Н.А. Экономика в задачах. –М.: Начала-прес, 1995.

2. Ивашковский С.М.Микроэкономика. –М.: Дело, 2001.3.Макконел К.Р. Экономікс: Принципи, проблема та політи-ка. – К.: Хагар, 2000.

4.Мицкевич А.А. Сборник задач по экономике, 2-е изд. –М.:Школа-Пресс, 1999.

172

ПРО ОРГАНІЗАЦІЮ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИСТУДЕНТІВ МОЛОДШИХ КУРСІВ

К.І.Масловам. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний універси-

тет

У зв’язку з реформуванням системи вищої освіти в Україні вякості головної вимоги підкреслюється освоєння випускникамивузів методики самостійної, творчої науково-практичної діяль-ності. Основним результатом діяльності освітнього закладу по-винна стати не система знань, умінь та навичок сама по собі, арозвиток здібностей до самостійного здобування знань, вміннянавчатися самому. Якщо проаналізувати навчальні плани, на-приклад, підготовки вчителів математики та основ інформатики,то можна помітити, що порівняно з 90-ми роками обсяг матеріа-лу, що виноситься на самостійне опрацювання збільшився до50%. Тому проблема самостійної роботи студентів при вивченніматематичних дисциплін набуває все більшої актуальності.

Особливу увагу слід звернути на організацію самостійноїроботи студентів на молодших курсах. Як показує досвід саместуденти 1-х, 2-х курсів мають більш низький рівень успішності інайбільш високий рівень “відсіву”.

Одним з найбільш важливих факторів ефективності навчан-ня будь-якого навчального предмету є рівень умінь студентівсамостійно навчатися, який залежить від рівня оволодіння нимизагальнонавчальними уміннями та навичками. Загальнонавчальніуміння й навички дають можливість найбільш раціонально на-вчатися по всім дисциплінам, здійснювати більш ефективно всівиди діяльності, що входять до навчального процесу. Тому клю-човим моментом при організації самостійної роботи студентів,стає розв’язання проблеми формування загальнонавчальнихумінь. А це означає перехід від простої обізнаності, частиннихвмінь і конкретних навичок, від інформації як предмета за-пам’ятання – до школи мислення і розвитку здібностей.

Очевидно, що особлива роль у формуванні загальнонавчаль-них умінь приділяється початковій школі, хоча процес форму-вання навчальних умінь і навичок є тривалим, і, як правило, за-

173

ймає не один рік, а багато з цих умінь формуються й удоскона-люються на протязі всього життя. До того ж, як показує практи-ка, більшість студентів молодших курсів не мають чітко сформо-ваних навчальних умінь. Це пов’язано з тим, що багато вчителіввважають, що спеціально, цілеспрямовано навчати загальнонав-чальних вмінь непотрібно: в процесі навчання учні самі набува-ють ці уміння. Саме тому студенти молодших курсів мають зна-чні труднощі при оволодінні навчальним матеріалом.

Особливу увагу, на наш погляд, слід звернути на загально-організаційні уміння. Саме цьому типу вмінь приділяється най-менше уваги в школі, а за рахунок їх сформованості студентиможуть уникати значних труднощів при самостійному оволодін-ні знаннями. Основною проблемою при самостійному здобуваннізнань є проблема постановки задачі діяльності та раціональногоїї планування. Адже не секрет, що більшість студентів не плануєсвою діяльність і відкладає виконання самостійної роботи на кі-нець семестру, а потім починає робити все відразу і за бракомчасу матеріал вивчається формально, відсутнє його глибоке ро-зуміння, логічна стрункість та системність.

Щодо інших типів загальнонавчальних умінь, то саме на мо-лодших курсах є можливість удосконалити деякі з них. На нашпогляд, все ж таки необхідно сприяти формуванню загальнонав-чальних умінь і у вищих навчальних закладах. Адже ефектив-ність навчальної роботи студентів залежить від розвитку у нихздібностей до навчання, здібності розумно і правильно навчати-ся.

У зв’язку з вище сказаним мета навчальної дисципліни поля-гає не тільки у формуванні спеціальних знань й умінь, а у фор-муванні на їх основі загальнонавчальних умінь та навичок.

174

ИСПОЛЬЗОВАНИЕМОДУЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЙСИСТЕМЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ НА

КАФЕДРЕ ВЫСШЕЙМАТЕМАТИКИ

Л.А.Маслова, О.А. Сухининаг. Алчевск, Донбасский горно-металлургический институт

Социальные условия развития рыночных отношений, науч-но-технический прогресс, принципиальные изменения в характе-ре профессиональной деятельности требуют перевода традици-онной системы подготовки инженерных кадров на качественноновую основу. В связи с этим перед преподавателями математи-ческих дисциплин в вузе стоит непростая задача: и «возвести»фундамент математических знаний, и способствовать воспита-нию специалиста с высоким творческим потенциалом и культу-рой мышления. Поэтому назрела потребность в использованииэффективных форм и методов обучения, предполагающих сис-тематическую самостоятельную работу над дисциплиной.

Эффективной системой комплексной проверки знаний, уме-ний и навыков, позволяющей управлять познавательной дея-тельностью студентов есть модульно-рейтинговая система кон-троля знаний, используемая в ДГМИ более десяти лет.

Данная система позволяет управлять самостоятельной рабо-той студентов при изучении курса высшей математики и контро-лировать её.

В основу рейтинговой системы положена стобальная шкалаоценок, отводимых на семестр. На первой же лекции преподава-тель знакомит студентов с планом предстоящей им работы, спи-ском литературы по данной дисциплине и соответствующимиэтой системе требованиями.

На кафедре высшей математики для каждой специальностисогласно рабочему плану и количеству отводимых на дисципли-ну часов, разработаны инструкции по рейтинговому контролю наосновании институтского «Положения о рейтинговой системеконтроля знаний студентов», утвержденного на ученом совете.

Для удобства оценки работы студента в течение семестраизучаемая дисциплина разбивается на модули. Каждый модульвключает ряд тем, связанных между собой смысловым содержа-

175

нием. Внутри модуля в баллах оцениваются все основные эле-менты учебной работы студентов (выполнение и защита индиви-дуальных заданий, самостоятельные и контрольные работы, кол-локвиумы, рефераты и т.д.)

Сумма баллов, отведенная на дисциплину, распределяетсямежду модулями в зависимости от их значимости, а затем междуэлементами модуля.

Студент в течение семестра согласно графика сдает опреде-ленные разделы (модули) и набирает баллы.

Максимальное количество баллов, которое может набратьстудент в течение семестра не должно превышать 100 баллов врамках программы данного курса.

Студент, набравший 60 и более баллов, освобождается отсдачи экзамена, и это количество баллов выставляется в зачет-ную книжку и экзаменационную ведомость. В случае, если сту-дента не удовлетворяет количество набранных в семестре бал-лов, он имеет право повысить свой рейтинг путем сдачи экзаме-на в сессию. При этом, набранные в семестре баллы не учитыва-ются [1].

Приведем пример инструкции для одной из металлургиче-ских специальностей, разработанной на нашей кафедре.Инструкция по рейтинговому контролю по дисциплине

«Высшая математика»Курс: первыйСеместр: первыйСумма баллов, полученных студентами в течение семестра,

складывается из следующих элементов (с указанием максималь-ного и минимального количества баллов, выделяемых для оцен-ки модуля).

Модуль 1. Элементы линейной алгебры и аналитическойгеометрии.

Самостоятельная работа №1 3 б.-5 б. (3-я неделя)Контрольная работа №1 9 б.-15 б. (6-я неделя)Коллоквиум №1 12 б.-20 б. (7-я неделя)Самостоятельная работа №2 3 б.-5 б. (8-я неделя)ВСЕГО за первый модуль 27 б.-45 б. (восемь недель/)Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции одной

переменной.

176

Контрольная работа №2 9 б.-15 б. (11-я неделя)Самостоятельная работа №3 3 б.-5 б. (13-я неделя)Коллоквиум №2 12 б.-20 б. (15-я неделя)Итоговая контрольная работа 9 б.-15 б. (16-я неделя)ВСЕГО за второй модуль 33 б.-55 б. (восемь недель)ИТОГО за семестр 60 б.-100 б.

Итак, в чем же преимущества модульно-рейтинговой систе-мы от традиционной? На наш взгляд, это:

1) учебная нагрузка и контроль равномерно распределенына семестр, что снимает стрессовую ситуацию, возникающую наэкзамене;

2) приведенная выше инструкция позволяет планироватьсамостоятельную работу студента на семестр;

3) систематическая работа в семестре благотворно влияетна процесс обучения и усвоения знаний и приучает к дисципли-не;

4) рейтинговая система позволяет индивидуализироватьобучение, так как карточки контроля составлены по уровням исодержат такие задания, которые позволяют среднему и слабомустуденту набирать 60-80% от общего количества баллов, отво-димых на контрольную работу. Остальные задания требуют бо-лее глубокой и вдумчивой проработки изучаемого материала;

5) рейтинг позволяет более дифференцированно отразитькак сам процесс обучения, так и способности обучаемых, чтопозволяет преподавателю на ранней стадии обучения выявитьспособных студентов, увлечь их нестандартными заданиями сцелью повышения их математической культуры, углублениязнаний в фундаментальных вопросах теории, а также в той илииной сфере приложения математики;

6) модульно-рейтинговая система может служить надеж-ным адекватным критерием отбора кандидатов на вторую сту-пень высшего образования.

Для подтверждения эффективности работы рейтинговойсистемы контроля приведем данные исследований лабораторииквалиметрии по динамике изменений процента качества успе-ваемости студентов по дисциплине «Высшая математика» отсессии к сессии.

177

Семестры Процент качества, %I 48II 58III 66

К успевающим относятся студенты, получившие более 71балла. Другим примером, подтверждающим действенность ме-тодики, служит показатель изменения среднего балла успеваемо-сти по кафедре высшей математики для шести факультетов на-шего института. Так, в первом семестре 1999-2000 учебного годасредний балл составил 68,9 б., а в летнюю – 74,3 б.

Итак, инновации в системе контроля знаний порождают об-новление методики преподавания математики, что свидетельст-вует о прогрессивном характере модульно-рейтинговой системы.Её эффективность обуславливается и незаменимым дидактиче-ским средством, активизирующим творческие способности сту-дентов – проблемным обучением, применением целой системытестов, включающих задания различных типов и уровня сложно-сти.

Литература.1. Дорофеев В.Н. и др. Использование квалиметрии для

оценивания деятельности студентов в техническом вузе: Учеб.-метод. пособие / В.Н. Дорофеев, С.Н. Петрушов, Л.В. Шевцов,О.А. Сухинина. – Алчевск: ДГМИ, 2002. –108 с.

178

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯКУРСА ВЫСШЕЙМАТЕМАТИКИ

Л.В.Мигунова, А.Е. Басмановг. Харьков, Академия пожарной безопасности Украины

fd@apbu.kharkiv.com

Курс высшей математики является фундаментальным в ов-ладении инженерной профессией. Задача преподавателя макси-мально развить математическое мышление, творческий подход крешению задач, самостоятельную работу со специальной литера-турой.

При изучении различных разделов математики, особенноприкладных, объединяющим аппаратом является матричная ал-гебра, включающая вектор-столбцы (строки), на которые рас-пространяются арифметические операции над матрицами. Изо-метрические свойства векторов, углы между ними, ортогональ-ность, легко переносятся на соответствующие свойства матриц,рассматриваемых как системы векторов. Такие основополагаю-щие понятия как базис, ранг системы векторов, идентифициру-ются с понятиями базиса и минора матрицы. Практическим ап-паратом, применяющим эти понятия, являются системы линей-ных уравнений, для решения которых целесообразно применятьметод Гаусса (чаще прямой ход метода Гаусса, приводящий мат-рицу в трапециевидную форму). Он прост в практическом при-менении, позволяет работать с определенными и неопределен-ными системами любой конечной размерности, находить част-ные, базисные, опорные решения, т.е. подготовить студента кпоследующему восприятию курсов «Исследование операций»,«Основы системного анализа».

Такой синтез матриц и векторов позволяет уже на первыхпорах определить структуру общего решения системы линейныхнеоднородных уравнений, обеспечив преемственность методикипри последующем изложении систем линейных дифференциаль-ных уравнений. Достоинством методики является возможностьбыстро ознакомить студентов с методами исследования квадра-тичных форм и их линейных преобразований, методикой иссле-дования систем линейных неравенств. Геометрия пространств R2

179

и R3 излагается как приложение векторов.Раздел математического анализа целесообразно излагать с

широким применением символики математической логики.Удобно первоначально ввести понятие ε-окрестности точки про-странства, используя понятие расстояния, дать алгебраическуюзапись на прямой и плоскости, геометрическую интерпретациюспособов приближения к точке. Определить ε-окрестность бес-конечной точки, односторонние окрестности на прямой. Это уп-ростит представление о пределах. Символы бесконечно малойфункции, главной части функции упрощают одновременное из-ложение производной и дифференциала. Введение обозначения

производнойdx

dy и его последующее применение при парамет-

рическом, неявном, повторном дифференцированиях.Функция нескольких переменных излагается автоматически,

задав точку плоскости и ее окрестность, подчеркнув, что произ-водные теперь можно строить в определенных направлениях.Определив частные производные и дифференциалы, записатьпроизводные по направлению. Напомнив запись скалярногопроизведения, ввести градиент функции и исследовать скоростьизменения функции в направлении градиента. Соответственнообобщается понятие экстремума функции двух переменных, адостаточное условие исследуется путем представления второгодифференциала в виде квадратичной формы (ранее упоминае-мой). В качестве приложения экстремума вводится метод наи-меньших квадратов, позволяющий исследовать целый ряд при-кладных задач.

При изложении интегрального исчисления особо уделяетсявнимание общей схеме построения интегральных сумм при ре-шении геометрических и физических задач, их интегральномупереходу.

Рассматривая ряды Фурье, обобщить понятие ортогонально-сти функций, указав на связь с ортогональностью векторов иформальной записью операции перехода. При переходу к инте-гралу Фурье обратить внимание на построение интегральнойсуммы. Сделать запись преобразования Фурье, подчеркнув, чточастный случай этого преобразования (преобразование Лапласа)имеет широкое применение в технических исследованиях. Пока-

180

зать применение рядов Фурье и интеграла Фурье при решенииуравнения теплопроводности.

Помимо практических занятий, выдаются индивидуальныезадания прикладной направленности.

Изложенная методика построения курса высшей математикипозволяет ускоренно изложить основные идеи и методы матема-тических исследований, дать ориентацию на изучение новых со-временных прикладных методов, привлекать наиболее сильныхстудентов.

181

ВИКОРИСТАННЯ GRAN-3D НА УРОКАХ СТЕРЕОМЕТРІЇ

І.А.Мороз, Н.І. Зеленковам. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний універси-

тет

Під час вивчення стереометрії в учнів виникають труднощі,пов’язані з правильним просторовим уявленням геометричнихфігур і тіл обертання в, з розумінням взаємозв’язків між фігура-ми в просторових конфігураціях, з усвідомленням можливих пе-ретинів тривимірних об’єктів площинами та з фігурами, щоутворилися внаслідок цього. На допомогу допитливому розумута просторовій уяві учнів приходить комп’ютерна техніка з педа-гогічно доцільним програмним забезпеченням вітчизняного ви-робництва. Йдеться про новий програмний продукт ”GRAN-3D”.

Використовуючи цю програму, учні обчислюють об’ємипросторових геометричних фігур та різноманітних тіл обертання,а також площі їх поверхонь, не витрачаючи часу на виведенняформул, на виконання обчислень, на перевірку істинності одер-жаних значень. Навчальний час, звільнений завдяки автоматизо-ваним процедурам обчислень і побудов, що виконуються за до-помогою програми “GRAN-3D” методично доцільно використа-ти для проведення експериментальних досліджень побудованихоб’єктів, для складання власних задач з досліджуваними фігура-ми та їхніми елементами.

Спробуємо розв’язати деяку стереометричну задачу двомаспособами: аналітично і за допомогою ППЗ GRAN-3D.

Задача: У правильній шестикутній призмі, бічні грані якої –квадрати, проведено площину через сторону нижньої основи тапротилежну їй сторону верхньої основи. Сторона основи дорів-нює 4. Знайти площу побудованого перерізу (рис. 1).

Рис. 1.

182

Спершу розв’яжемо задачу "класичним" аналітичним спосо-бом. Розглянемо малюнок. Очевидно, що площа утвореного пе-рерізу FENIHM складатиметься із сум площ двох трапецій:MNEF та MNIH. Оскільки означені трапеції рівні (FE=HI за умо-вою, MN – спільна, MF=EN=MH=NI (бо AM=GM, DN=JN, AF-ED=GH=IJ)), то площа перерізу рівна подвоєній площі трапеціїMNEF.

Sтрапеції= h

ba ⋅+2

,

де a, b – довжини основ, h – висота трапеції.Довжина однієї з основ трапеції MNEF нам відома (за умо-

вою FE=4). Залишилось знайти довжину основи MN та висотутрапеції FP.

Оскільки MN=AD (бо MNDA - прямокутник), a AD=2AO (О– центр кола, описаного навколо основи), то MN=2AO. З рівно-стороннього трикутника AFO (всі кути рівні) маємо: AF=AO.Отже, MN=S.

Залишилось знайти висоту FP.Розглянемо прямокутній трикутник FMP:

22

4

2==−= FEMN

MP ,

5242 2222 ⋅=+=+= AFAMMF

(з прямокутного трикутникаMAF).

Таким чином, 42)52( 2222 =−=−= MPMFFP . Висотузнайдено.

Обчислимо площу трапеціїMNEF:

2442

48

2=⋅+=⋅+= FP

EFMNS кв.од.

Отже, площа перерізу FENIHM рівна 48 кв.од. Нарозв’язання задачі (відшукання шляху розв’язання, виконаннямалюнка, обчислення) затрачено близько 15 хвилин.

А тепер розв’яжемо цю ж задачу з використанням ПЕОМ задопомогою ППЗ GRAN-3D (вважатимемо, що GRAN-3D вжезапущено на виконання і на екрані з’явилося головне вікно про-грами).

Слід зазначити, що розв’язання будь-якої задачі за допомо-

183

гою ППЗ GRAN-3D зводиться до створення відповідних стерео-метричних об’єктів та виконання операцій, що фігурують в умовізадачі.

Повернемося до розв’язання задачі. По-перше, слід створитиоб’єкт – правильну шестикутну призму. Це можна зробити кіль-кома способами. Можна скористатися конструктором просторо-вих об’єктів, для активізації якого необхідно встановити типстворюваного об’єкту ("Многогранник", оскільки призма є мно-гогранником) у перемикачеві типу об’єкту у правій частині голо-вного вікна та звернутись до послуги головного меню Об’єкт\Створити. У вікні "Конструювання просторового об’єкту") навкладинці "Многогранник" слід вручну задати кількість та коор-динати вершин призми, а також встановити кількість трикутнихграней об’єкту та вибрати по три точки у кожній грані.

Рис. 2.

Але створення призми у такий спосіб не є ефективним, оскі-льки треба щонайменше знати просторові координати вершинпризми. Тому краще скористатися послугою головного менюпрограми Об’єкт/ Створити базовий об’єкт, що активізує вікно"Задання базових стереометричних об’єктів". Це вікно міститьвкладинки.. Користувачеві слід лише звернутися до вкладинки зназвою, що відповідає типу створюваного об’єкту (у нашому ви-падку це вкладинка "Пряма правильна призма"), та вказати певніпараметри об’єкту, після чого програма автоматично обчислитьвсі інші параметри, необхідні для створення об’єкту (кількість такоординати вершин, грані тощо). Оскільки відомі кількість кутівпри основі, висота та сторона основи призми (за умовою вонирівні відповідно 6, 4 та 4), слід ввести число 6 у рядок введеннябіля напису "Кутів при основі:", ввести число 4 у рядок введенняпід лівим перемикачем та встановивши перемикач способу за-

184

дання основ у положення "Сторона", ввести довжину сторониоснови (також число 4) у рядок введення під цим перемика-чем.(рис. 2) Після натиснення кнопки "Створити" з’явиться вікно"Конструювання просторового об’єкту" з вкладинкою "Многог-ранник", де є змога при потребі відкоригувати параметри. Змі-нимо назву об’єкту на "Шестикутна призма" (ця назва виводи-тиметься у переліку об’єктів) та встановимо синій колір об’єкту(цим кольором буде зафарбовано об’єкт у полі зображення). Піс-ля "натиснення" кнопки "Ok" об’єкт буде створено, тобто назваоб’єкту з’явиться у переліку об’єктів, а його зображення – у полізображення головного вікна програми(рис. 3). Індекс біля назввершин призми вказує на номер об’єкту у переліку об’єктів.

Рис. 3.

Далі необхідно створити другий об’єкт – площину перерізу.Доцільно скористатися послугою головного меню програмиОб’єкт\Створити з екрану, для чого необхідно встановити тип

185

створюваного об’єкту у перемикачеві типу об’єкту на значенні"Площина" та звернутися до відповідної послуги. Після вико-нання зазначених операцій необхідно задати три точки площи-ни.. У полі назви об’єкту введемо "Площина перерізу".

Оскільки обидва об’єкти, що фігурують в умові задачі, зада-но, залишилося лише виконати операцію перерізу призми пло-щиною. Для цього слід звернутись до послуги програми Опера-ції\Виконати переріз. Далі за відповідним запитом програми не-обхідно вказати многогранник, переріз якого має бути виконано.Підводимо вказівник "мишки" до будь-якої сторони або вершинипризми на зображенні та натискаємо ліву клавішу "мишки". Піс-ля виконання зазначених операцій буде виконано переріз при-зми.

Після виконання операції перерізу у полі звіту з’явитьсяплоща отриманого перерізу. Вона рівна 47.999999 кв. од., щомайже точно дорівнює значенню, отриманому при розв’язуванніаналітичним шляхом . Але слід зазначити, що на розв’язання за-дачі за допомогою ППЗ GRAN-3D було затрачено близько 2-ххвилин, тобто задачу було розв’язано набагато швидше і з доситьвеликою точністю. Суттєво відрізняються і шляхи розв’язування.Слід зауважити, що можливості використання розглядуваногопрограмного засобу GRAN-3D не обмежуються розв’язуваннямзадач наведеного типу.

Література1. Жалдак M.I. Проблеми інфороматизації навчального про-

цесу в школі і в вузі. // Сучасна інформаційна технологія в на-вчальному процесі: Зб. наук. праць: – К.: MHO України; Київ.держ. пед. інститут ім.М.П.Драгоманова, 1991. – С. 3-16.

2. Жалдак M.I. Комп’ютер на уроках математики. – К.: Тех-ніка, 1997. – 304 с.:іл.

3. Жалдак M.I. Нові інформаційні технології навчання гео-метрії. // Комп’ютерно-орієнтовані системи навчання: Зб. наук.праць /Редкол. – К. :"КОМП’ЮТЕР у ШКОЛІ та СІМ’Ї". – 1998.,231 с.

5. Раков С.А., Горох В.П. Компьютерные зксперименты вгеометрии. – Харків: МП Регіональний центр нових інформацій-них технологій, 1996. – 176 с.

186

ЧИСЛОВІ СИСТЕМИ ТА ЇХ ВИВЧЕННЯВ ЗАГАЛЬНООСВІТНІЙШКОЛІ

В.Г.Моторінам. Харків, Харківський державний педагогічний університет

ім. Г.С. Сковороди

Числа. Натуральні числа та дії над ними.Поняття числа – стрижневе поняття шкільного курсу і слу-

жить фундаментом, на якому будується вивчення функцій, тото-жних перетворень, рівнянь і т.ін.

В учнів повинно бути уявлення про число як про об’єкт, зкотрим можна проводити арифметичні операції.

В шкільному курсі математики ми розглядаємо множини на-туральних цілих, раціональних, дійсних і комплексних чисел, якіє прикладами кілець і полів, що вивчаються в алгебраїчній науціз єдиної точки зору.

Вчитель, проводячи лінію розвитку поняття числа, додержу-ється принципу розширення множини А до множини В, що ви-значається такими умовами:

1. А повинна бути під множиною В (А ⊂ В).2. Операції з елементами із множини А такі ж самі, що й з

елементами із множини В, але суть тих операцій, які були тількив множині А, залишаються незмінними.

3. На множині В повинна виконуватись операція, яка в мно-жині А є нездійсненою або не завжди здійсненою.

4. Розширення В повинно бути мінімальним з усіх розши-рень множини А і повинно визначуватись однозначно з точністюдо ізоморфізму.

Числа мають властивості, які ми виражаємо в поняттях їх рі-вності, суми і добутку.

Еволюція поняття числа залежить від розвитку понять рівно-сті, суми, добутку. Змінюючи умови рівності, суми і добутку, миодержуємо нові числа.

Для того, щоб нові числа були рівноправними і узаконени-ми, необхідно внести означення:

І. 1) Поняття рівності.2) Поняття “більше” і “менше”, тобто установлення кри-

187

терію порівняння нових чисел між собою і з раніше відомимичислами, крім комплексних чисел, для яких поняття “більше” і“менше” не вводяться.

ІІ. Поняття суми.ІІІ. Поняття добутку.Потрібно показати також, що нові числа підпорядковані всім

законам арифметичних дій, які встановлено для вивчаємих рані-ше чисел.

Схематичний зв’язок понять за темою “Числова система”ілюструє рис. 1.

Рис. 1. Числова система.

Властивості числової системи1. До істотних ознак структурних елементів числової систе-

ми належать такі:а) підпорядкованість законам алгебраїчних операцій;б) наявність у кожного елемента числової системи модуля,

тобто міри, яка позначається символом | |.Схематичний зв’язок понять за темами “Властивості число-

Комплексні числа: а+bi

Ірраціональні числа,тобто такі, які не мо-жуть бути подані у

виглядіp/q, q≠0p, q∈ Z

Дійсні числа

Раціональнічисла:

p/q, q≠0p, q∈ Z

Уявні числа bi,де b – уявначастина ком-плексного чис-ла; і – уявнаодиниця; заозначеннямі2=−1

Цілічисла

Дробовічисла

Натуральні числа

b=0 a=0

188

Числова система

Істотні ознаки чис-лової системи:1) підпорядкованістьструктурних елемен-тів числової системизаконам алгебраїч-них операцій;2) наявність у кож-ного елемента чис-лової системи моду-ля

Ознаки поді-льності на 2,3, 4, 5, 9, 10

Основнівластиво-сті дробів

Цілі числа

НаявністьдільниківНСД та НСК

Дроби

Простідроби

Проценти

Десятковідроби

Пропорції

вої системи та основні поняття арифметики” ілюструє рис. 2.

Рис. 2. Властивості числової системи та основні поняття арифме-тики.

В математиці існує два підходи до побудови числових сис-тем: аксіоматичний і конструктивний. У шкільному курсі мате-матики присутні елементи обох цих підходів.

Натуральні числа і дії над нимиАрифметика – наука про числа – перша складова частина

математики; арифметичні знання – основа, на якій будується по-дальше навчання математиці.

Як відомо, в основі арифметики, як і всякої математичноїдисципліни, лежить кілька первинних, неозначуваних понять,для яких дається система аксіом, що встановлює між ними фор-мальне взаємовідношення. Для всякого поняття, що вводитьсязаново, обов’язковим є точне означення. Найбільш поширеною єсистема первинних понять і аксіом арифметики натуральних чи-сел, яку дав італійський математик Пеано. Сучасна система аксі-ом така:

Первинні поняття1. Число (натуральне).2. Одиниця.3. Наступне число.

189

Аксіоми1. Одиниця є число.2. За кожним числом безпосередньо йде єдине наступне чис-

ло.3. Два числа, за якими йде одне й те саме число, рівні між

собою.4. Одиниця не йде ні за яким числом.5. Якщо будь-яке твердження є правильним для одиниці і

коли воно, будучи справедливим для будь-якого числа, є справе-дливим і для наступного числа, то це твердження є правильнимдля всякого числа.

У загальноосвітній школі не викладаються аксіоми натура-льних чисел, хоч неявно учні ними користуються. У 5–6 класахпевна частина нових понять дається учням без означень. Термін“аксіома” не дається.

Вивчення натуральних чисел у 5 класі має на меті:1) поглибити знання учнів про нумерацію багатоцифрових

чисел;2) розкрити роль нуля як числа;3) систематизувати відомості про чотири арифметичні дії,

зокрема про зв’язок між прямими та оберненими діями;4) узагальнити знання учнів про закони арифметичних дій і

їх застосування.Розглянемо кожний з цих напрямків окремо.1) Під нумерацією розуміють спосіб читання (усна нумера-

ція) і записування (письмова) нумерація чисел. Учням краще го-ворити не про нумерацію, а про читання і записування багатоци-фрових чисел.

З питань нумерації учні 5 класу не дістають принципово но-вих знань порівняно з 4 класом, де вони вже вивчили нумераціюдо мільйонів, навчилися читати і записувати числа в цих межах,встановлювати співвідношення між розрядними одиницями, за-писувати число у вигляді суми розрядних одиниць.

Подальше застосування відомостей у записуванні багатоци-фрових чисел вимагає, щоб учні правильно вживали слова“цифра” і “число”, уміли читати і записувати будь-яке число вмежах мільярдів, розуміли позиційний принцип десяткової ну-мерації, уміли записувати число як суму розрядних доданків.

190

Натуральні числа і дії над ними

Додавання:a + b = S

a, b – додан-ки,

S – сума

Здійснення дій

Віднімання:a – b = с

a –зменшуване,b – від’ємник,с – різниця

Ділення (націло):a : b = q

a – ділиме,b – дільник,q – частка

Множення:a · b = p

a, b – множ-ники

p – добуток

Обернені дії

Здійсненоякщо a=bq

Здійсненозавжди

Здійсненозавжди

Здійсненоякщо а>b

Прямі дії

1. a=b·q2. (a±b):c =

=a:c±b:c3. (a·b):c =

1. b+c = a2. a−(b−c) =

=a−b+c3. a−(b+c)=

1. a·b=b·a2. (a·b)·c =

=a·(b·c)3. (a+b)·c =

1. a+b = b+a2. (a+b)+c =

= a+(b+c)

Властивості

Рис. 3. Натуральні числа і дії над ними.

Найбільше помилок у записуванні багатоцифрових чиселприпадає на ті числа, в яких немає одиниць певних розрядів, а той одиниць цілих класів, бо учні недостатньо усвідомлюють ідею

191

поділу чисел на класи і розряди. Тут не допоможе орієнтація нарозряди – заучування номерів розрядів. Головну увагу треба зо-середити на класах і добитися, щоб учні добре вміли називатикласи, починаючи з класу одиниць і закінчуючи класом мільяр-дів, і навпаки, починаючи з класу мільярдів і закінчуючи класомодиниць.

2) Питання про роль нуля в початковому навчанні математи-ці тривалий час було предметом гострих дискусій. Йшлося проте, чи варто в курсі арифметики початкових класів знайомитиучнів з нулем як числом, чи обмежитися лише тим, щоб вонизнали нуль як цифру, що показує відсутність одиниць певногорозряду, тобто лише як показника розряду.

Думку про тлумачення нуля як числа відстоювавО.Я. Хінчин. Він підкреслював, що немає підстав протиставлятишкільний курс арифметики його науковій побудові, і наводивтакі аргументи:

– уся сучасна наука вважає нуль числом;– якщо ми не визнаємо нуль числом, то змушені будемо ви-

значити, що різниця (а після введення від’ємних чисел – і сума)двох чисел може не бути числом;

– якщо ми не визнаємо нуль як число, то змушені будемовиконувати арифметичні дії над тим, що не є числом; навпаки,визначаючи нуль числом, можна довести до свідомості учнів:нуль можна додавати і віднімати, на нуль можна множити, отже,нуль є числом;

– нуль, який спочатку виникає як заперечення натуральногочисла, з розвитком поняття числа стає в один ряд з натуральнимичислами, виступає як продукт операцій над натуральними чис-лами, підпорядковується однаковим з ними законам і правилам.

Питання про нуль цікавить і психологів у зв’язку з пробле-мою диференціації понять. Зокрема, Н.О. Менчинська підкрес-лює важливість проблеми числа і цифри стосовно до нуля і вка-зує такі напрями розкриття змісту поняття нуля: значення йогояк цифри, що впливає на величину числа; значення його як поча-тку відліку у вимірюванні; значення його як числа, що виступаєоб’єктом арифметичних операцій.

У процесі вивчення чотирьох арифметичних дій у 5 класіслід розрізняти вимоги до техніки обчислень і теоретичні питан-

192

ня, пов’язані з обґрунтуванням кожної дії, розглядом взаємо-зв’язку між прямими та оберненими діями, ролі нуля як компо-нента дій.

Дія додавання в підручниках з математики не визначається.Зміст дії розкривається на конкретних прикладах додавання на-туральних чисел. Звернути увагу в процесі вивчення дії додаван-ня треба, насамперед, на виконуваність дії та її однозначність.

Під час вивчення дії додавання важливо з’ясувати той факт,що термін “сума” вживається у двох значеннях: як результат діїдодавання і як вираз, що складається з двох або кількох чисел(змінних), сполучених знаком “плюс”. Тому в першому випадкуговорять про “значення суми”.

Дія віднімання вводиться за означенням: “Відняти від числаа число b означає знайти таке число х, яке в сумі з числом b даєa:b+x=a”.

На цьому етапі навчання учням ще важко вивчити це озна-чення і тим більше повністю усвідомити його. Адже тут йдетьсяпро логічне виведення нової дії (віднімання) з уже відомої (дода-вання). Зміст дії віднімання розкривається на зрозумілій учнямзадачі, від розв’язання якої можна перейти до узагальнення увигляді наведеного вище означення.

У підручниках з математики не розглядається у загальномувигляді питання про виконуваність дії віднімання і однознач-ність результату. Проте як підсумок розв’язування відповіднихвправ учні повинні усвідомити такі факти:

1) різниця натуральних чисел буде натуральним числом, як-що зменшуване більше за від’ємник;

2) якщо зменшуване дорівнює від’ємнику, то різниця дорів-нює нулю;

3) якщо зменшуване менше за від’ємник, то нема натураль-ного числа, яке дорівнювало б різниці цих чисел.

У добре підготовлених класах доцільно записати умову, заякої можливе віднімання від числа a числа b, у вигляді нерівнос-ті a≥b і підкреслити, що за цієї умови маємо єдине число, якедорівнює різниці даних чисел a і b.

Після розгляду дій додавання і віднімання систематизуютьсязнання учнів на перевірку цих дій. Важливо, щоб учні усвідоми-ли можливі два способи перевірки віднімання: знаходження зме-

193

ншуваного за від’ємником і різницею (додаванням) і знаходжен-ня від’ємника за зменшуваним та різницею (відніманням).

Мова йде не про заучування відповідних правил, а про вмін-ня їх застосовувати на конкретних прикладах.

У 5 класі систематизуються й узагальнюються знання учнівпро дію множення, набуті в 3–4 класах.

Зміст поняття добутку дається в загальному вигляді, а саме:суму b доданків, кожний з яких дорівнює а, називають добуткомчисел а і b й позначають a·b. Це означення учні засвоюють по-ступово, розглядаючи приклади на записування сум однаковихчислових і буквених доданків у вигляді добутків, і, навпаки, назаписування добутків у вигляді відповідних сум.

Спеціально розглядаються випадки множення одиниці й ну-ля на натуральне число: 1·b=b, 0·b=0. Оскільки множення єокремим випадком додавання, то дію множення можна завждивиконати.

Після розгляду задачі з конкретними числовими данимизміст дії ділення розкривається так: поділити число a на число bозначає знайти таке число х, при множенні якого на число b діс-танемо a : x · b = a.

Завдяки систематизації відомостей про чотири арифметичнідії забезпечується єдиний підхід до вивчення обернених дій –віднімання і ділення. Ці дії вводяться за означеннями, які маютьоднакову структуру і відображають зв’язок між відповіднимипрямими та оберненими діями. Подібність цих означень певноюмірою допомагає учням запам’ятовувати їх, проте зміст кожногоз них усвідомлюється поступово і у частини учнів викликає деякітруднощі. Щоб подолати ці труднощі, важливо розв’язувативправи, в яких вимагається пояснити зміст дії ділення на число-вих прикладах.

Істотне значення має питання про виконуваність дії ділення:– дія ділення в множині натуральних чисел не завжди мож-

лива;– обґрунтування “заборони” ділення на нуль.Важливим питанням є техніка ділення. Це виявляється, зок-

рема, у невмінні відшукати першу цифру частки, коли друга ци-фра дільника більше 5. Щоб учням було легше це робити, требаприділити достатню увагу усному множенню двоцифрових чи-

194

сел на одноцифрові.Досвід показує, що найбільше помилок припадає на ті випа-

дки, коли всередині частки є нулі.До питань техніки дії ділення, які потребують особливої ува-

ги, належить і ділення чисел, що закінчуються нулями. Щоб за-побігти помилкам, такі числа доцільно ділити згідно із загальнимправилом, не закреслюючи нулі у діленому і дільнику.

Розглядаючи ділення з остачею, слід добитися, щоб учні до-бре засвоїли залежність між діленим, дільником, часткою і оста-чею (основну теорему про подільність).

У процесі вивчення відомостей про дільники і кратні таознак подільності чисел нові поняття водяться через системувправ. Ознаки подільності є тими твердженнями, що їх учні ма-ють завчити напам’ять, і на кожну ознаку вони повинні вмітинаводити власні приклади.

Закони прямих арифметичних дій (додавання і множення) єтеоретичною базою для обґрунтування техніки дій над багато-цифровими числами і мають безпосереднє практичне значенняяк засоби реалізації обчислень. Проте цим їхня роль не вичерпу-ється. Тотожні перетворення виразів у курсі арифметики і почат-ків алгебри теж ґрунтується на законах арифметичних дій.

Подаючи закони арифметичних дій за допомогою змінних,треба щоразу підкреслювати, що записані рівності правильні забудь-яких значень змінних. Наприклад: за будь-яких значеньзмінних а і b є правильною рівність a+b=b+a; за будь-яких зна-чень а, b i c є правильною рівність (a+b)·c=ac+cb та ін.Послідовність вивчення натуральних чисел і дробів в середній

школі і короткий методичний коментарій.Натуральні числа і дроби в початковій школі.

Натуральні числа

5 Координатний проміньклас

Рівняння

НерівністьДії з багатоцифровими числами.Закон поглинання нуля.

195

Відсотки1% від а ! 1/100 частина від а

Три типи задач на відсотки

1. Р% від аΡ⋅

⇒а 2. Якщо Р% від а є b, то 100⋅

Ρ= bа

3. а від b складає 100⋅ва

Зв’язок з геометрією: площа прямокутника; об’єм прямокут-ного паралелепіпеда.

Дробові числаМотивування введення поняття дробу.Пропедевтика звичайних дробів у 5 класі, що спочатку ви-

вчати: десяткові дроби чи звичайні?Спочатку – десяткові:– їх запис – продовження нумерації цілих чисел;– велика практична значимість; зв’язок з метричною систе-

мою мір;– техніка операцій над десятковими дробами простіша;– обчислення за допомогою ЕОМ простіші;– обґрунтування правил додавання, віднімання десяткових

дробів простіші.

Рис. 4. Відсотки. Типи задач на відсотки

Спочатку – звичайні:– учням важко 1/10, 1/100, 1/1000, … без опори на 1/2, 1/3,

1/4, …;– спираємося на відомості про звичайні дроби із початкової

школи;– дріб – результат ділення цілого на рівні долі і взяття декі-

196

лька таких долей.Десяткові дроби як засіб запису дробів із знаменником виду

10.Історичні відомості про виникнення дробових чисел у про-

цесі вимірювання.Координатний промінь для позначення дробів, порівняння

дробів і вивчення основної властивості дробу.Арифметичні операції з десятковими дробами. Основні закони.Арифметичні операції із звичайними дробами. Особливості

додавання дробів з різними знаменниками.Розв’язування рівнянь.Текстові задачі, які розв’язуються арифметичними і алгеб-

раїчними способами. Зв’язок з геометричним матеріалом.Мета формування поняття звичайного дробу – підготувати

необхідний грунт для вивчення десяткових дробів. Учитель по-винен звернути особливу увагу на термін “дробове число” у про-грамі і підручнику.

Терміни “звичайний дріб”, “чисельник”, “знаменник” вво-дяться у зв’язку з розглядом поділу предметів на рівні частини.Одразу ж дається поняття про рівні дроби.

Принципово новим кроком у розгляді питання про рівнідроби у 5 класі є твердження “Два рівні дроби – це різні позна-чення одного й того самого числа”.

По-перше, учні зустрічаються тут з новим розумінням тер-міна “рівність”, по-друге, вони вперше сприймають дріб як чис-ло, не вдаючись до розгляду конкретних предметів. Формуванняв учнів поняття дробового числа – тривалий процес.

В математиці дробове число визначається як клас еквівален-тних дробів. Кожний із дробів, які входять у визначений класеквівалентності, є представником цього класу. Тому поняття“звичайний дріб” і “дробове число” відрізняються один від одно-го як елемент множини і множина.

Важливим елементом методики вивчення чисел є переко-нання учнів в доцільності введення нових чисел:

– можливість записати долі за допомогою звичайних дробів;– операція ділення натуральних завжди здійснена;– пов’язана з задачею вимірювання величин.Основним змістом перших уроків вивчення десяткових дро-

197

бів є читання і записування десяткових дробів та їх порівняння.Початкове ознайомлення з поняттям десяткового дробу

пов’язується з метричною системою мір. Спеціальну увагу слідзвернути на читання і записування дробів, у яких пропущеніодиниці певних розрядів.

Для усвідомлення нумерації десяткових дробів важливе зна-чення має порозрядне читання і записування їх.

Порівнюють десяткові дроби за величиною двома способа-ми: через зорове сприймання кожного з дробів і порівняння від-повідних розрядних одиниць цілої та дробової частин та зістав-лення того, як розміщені дані дроби на координатному промені.

Дії додавання і віднімання десяткових дробів у більшостіучнів 5 класу не викликають труднощів, бо вони виконуютьсятак само, як додавання і віднімання натуральних чисел.

Щоб пояснити дію додавання десяткових дробів, можна ско-ристатися аналогією з додаванням натуральних чисел, підкрес-люючи, що десятковий принцип нашої нумерації поширюється іна десяткові дроби.

Досвід вивчення десяткових дробів показує, що частина уч-нів робить помилки при додаванні цих дробів, бо неправильнопідписує доданки.

Техніка віднімання десяткових дробів не становить нічогопринципово нового порівняно з додаванням, проте у складнішихвипадках (наприклад, при відніманні десяткового дробу від оди-ниці, від цілого числа) частина учнів допускає помилки.

При розгляді дії множення десяткових дробів:– обґрунтувати доцільність правила множення десяткового

дробу на десятковий дріб;– розглянути алгоритм множення;– звернути увагу учнів на те, що правило множення склада-

ється, по суті, з двох частин: у першій частині йдеться про те, якзвести множення десяткових дробів до множення цілих чисел, ав другій зазначається, скільки десяткових знаків слід відокреми-ти в добутку;

– під час множення десяткових дробів учні допускають най-більше помилок тоді, коли в добутку виходить дріб, який закін-чується нулями, і коли не вистачає десяткових знаків, щоб відо-кремити комою потрібну їх кількість.

198

Особливістю вивчення ділення десяткових дробів є те, що цядія вивчається в два етапи: спочатку розглядається ділення дробуна натуральне число, а потім, відповідно, ділення на десятковийдріб. Найбільше помилок учні допускають у діленні десятковогодробу на 10, 100, 1000 і т. ін., коли в числі не вистачає цифр дляперенесення коми на потрібну кількість знаків. Головну увагутреба зосередити на техніці ділення на десятковий дріб і засво-єнні самого алгоритму ділення.

Додатні і від’ємні числа.Короткий методичний коментарій їх вивчення.

Історія виникнення від’ємних чисел.Діофант, індійські математики. Майно і борг. Леонард Ейлер

про множення чисел з різними знаками. Рене Декарт: неправиль-ні числа.

Мотивування введення від’ємних чисел у школі:– алгебраїчне (можливість виконання віднімання);– геометричне (відповідність між точками прямої і числами);– практичне (характеристика зміни величини).Від’ємні числа – рівноправні з додатними.Означення поняття рівності.Критерії порівняння нових чисел між собою і з раніше відо-

мими числами.Означення дій додавання і множення.Установлення справедливості законів дій для нових чисел.Деякі методичні прийоми, які використовуються при вве-

денні поняття від’ємного числа:– робота з моделлю термометра;– текстові задачі про зміну температури і про рух за течією і

проти течії;– робота з числовою прямою.Модуль числа. Протилежні числа.Додавання додатних і від’ємних чисел. Числова пряма.(+а) + (–а) = 0Віднімання від’ємних чисел як дія, обернена додаванню.Таблиці:І. (+) · (+) = (+)

(−) · (+) = (−)(+) · (−) = (−)

199

(−) (−) = (+)ІІ. Закони додавання:переставний: а + b = b + асполучний: а + (b + с) = (а + b) + сНаявність нейтрального елементу: а + 0 = аНаявність протилежного елементу: а + (−а) = 0

ІІІ. Закони множення:переставний: а · b = b · асполучний: а (b + с) = аb + асНаявність нейтрального елементу: а · 1 = а

Наявність оберненого елементу: 11 =⋅а

а

Дійсні числа.Короткий методичний коментарій їх вивчення.

Мотивування введення поняття ірраціонального числа. Різніспособи введення поняття ірраціонального числа.

А В у

М1 М2 у=2

n хО М В1 х1 0 х2

Рис. 5. Діагональ квадрату Рис. 6. Розв’язування рівняннянесумірна з його стороною x2=2 x= 2±

Дійсні наближення ірраціональних чисел2 : 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 … з недостачею

1,5; 1,42; 1,415; 1,4143 … з надлишкомГеометрична інтерпретація дійсного числа: між дійсними

числами і точками координатної прямої існує взаємо-однозначнавідповідність.

2

200

=<−>

=0,0

0,

0,

aякщоaякщоa

aякщоa

a

Рівносильність нерівностей |a| ≤ b i −b ≤ a ≤ b.– |a| ≤ a ≤ |a|– |b| ≤ b ≤ |b|

–( | a | + | b | ) ≤ a + b ≤ | a | + | b | ⇔ | a | + | b |

−≤≥

⇔≥ba

baba

Порівняння дійсних чисел.Що більше: 2 3 чи 3 2 ?Операції з дійсними числами.Звільнення від ірраціональності в знаменнику.

Числові прикладиаа

;bа

bа+−

;33 ba

ba

−−

Комплексні числа.Мотивування введення комплексного числа: можливість

розв’язування квадратних рівнянь виду: ах2 + bх + с = 0, якщоD=b2−4ас < 0.

Поняття про комплексне число.Геометрична інтерпретація комплексних чисел.Тригонометрична форма комплексного числа.Комплексні корені алгебраїчних рівнянь.

Введення дійсних чиселІснують різні підходи до побудови теорії дійсних чисел:– Дедекінда (побудова перерізу на множині раціональних

чисел);– Вейерштраса (представлення дійсного числа у вигляді не-

скінченого десяткового дробу);– Кантора (побудова фундаментальної послідовності раціо-

нальних чисел).В підручниках (посібниках) для загальноосвітньої школи “в

чистому вигляді” жодна з концепцій (Дедекінда, Вейерштраса)не була реалізована. Ідеї цих концепцій взаємно збагачують другдруга. За нашого часу дійсні числа вводяться так:

1) Робиться спроба розв’язання рівняння х2 − 2 = 0. Це ведедо необхідності доведення теореми: “Не існує ні цілого, ні дро-

201

Дійсні числа

Ірраціональні

Додатні0

Від’ємні

Від’ємніДодатні Від’ємні

ДодатніДробовіЦілі

Раціональні

бового числа, квадрат якого дорівнював би числу 2”.2) Позаяк теорему доведено, надалі ставиться задача знахо-

дження числа, квадрат якого був би близький до числа 2.3) Паралельно з цим поняття дійсного числа вводиться на

геометричній основі. (Задачі: а) розв’язати геометрично рівняннях2=2; б) знайти довжину діагоналі квадрата, сторона якого дорів-нює 1).

4) Вимірювання відрізків. Сумірні і несумірні відрізки. Де-сяткові наближення довжини відрізку.

5) Нескінчені періодичні і неперіодичні дроби.6) Перетворення звичайного дробу в нескінчений періодич-

ний і обернена задача.7) Ірраціональні числа.8) Дійсні числа (рис. 7).9) Порівняння дійсних чисел.10) Операції над дійсними числами.

Рис. 7. Дійсні числа

Зазначимо, що між множиною дійсних чисел і точками ко-ординатної прямої існує взаємно-однозначна відповідність: кож-ному дійсному числу відповідає єдина точка координатної пря-мої, і навпаки, кожній точці координатної прямої відповідає єди-не дійсне число. Цим множина дійсних чисел істотно відрізня-ється від усіх інших відомих учням числових множин. Слід за-уважити, що теорія дійсних чисел досить складна і не входить упрограму загальноосвітньої школи.

202

Література1.Моторіна В.Г. Технології навчання математики в сучасній

школі. – Харків, 2001. – 262 с.

203

К МЕТОДИКЕ ИЗЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГОИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ

«АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХПРОЦЕССОВ»

Г.В. Налева1, Н.П. Худенко2

1 г. Одесса, Одесская национальная морская академия2 г. Одесса, Одесская национальная академия пищевых техноло-

гий

В теории автоматизированных систем управления и регули-рования очень часто используется операционное исчисление, гдес его помощью производится анализ переходных и установив-шихся процессов в автоматических системах. Поэтому в курсе«Теория функции комплексного переменного и интегральныепреобразования» предусмотрена тема «Преобразование Лапласаи его приложения». Это связано с тем, что при анализе процес-сов в автоматизированных системах используются функции σ(t),Asin ωt, Acos ωt, exp(αt), α>0 и другие, которые не удовлетворя-ют условию абсолютной интегрируемости, и потому к ним неприменимо интегральное преобразование Фурье. Кроме того, этообъясняется наличием наглядной связи между операторным(символическим) методом и гармоническим анализом, вносящейфизический смысл в понятие изображения. Изображение по Ла-пласу F(α+iω) – это спектральная функция по отношению к за-тухающей функции exp(–αt)f(t), для которой переменная ω явля-ется частотой.

Изложение темы в лекционном курсе ведется традиционны-ми методами в соответствии с учебными пособиями [1], [2]. Напрактических и лабораторных занятиях сочетаются традицион-ные методы с методами современных компьютерных техноло-гий, применение которых дает новые возможности в методикепреподавания математических дисциплин в технических ВУЗах.Речь идет не только об экономии времени на выполнение рутин-ных математических операций (хотя и это немаловажно), а о по-явлении новых методических и дидактических приемов, позво-ляющих глубже и нагляднее изложить трудные для восприятиятемы, что ранее было невозможно сделать «вручную».

204

На факультетах «Автоматизация технологических процес-сов» в указанных ВУЗах на лабораторных занятиях используетсяпрограммный пакет MathCAD по теме «Интегральные преобра-зования». В частности, по теме «Операционное исчисление» по-сле традиционного изложения на практических занятиях вопро-сов, связанных с нахождением изображений и оригиналов поЛапласу и решением дифференциальных уравнений с постоян-ными и переменными коэффициентами ([3], [4]), проводятся ла-бораторные работы. Во время проведения этих работ студентызнакомятся со способами получения с помощью MathCAD пря-мого и обратного преобразования Лапласа и использованием ихдля решения дифференциальных уравнений с постоянными ко-эффициентами.

Использование MathCAD позволяет решать различные типызадач, строить графики, развивая пространственное воображениестудентов. С помощью графических построений нагляднее ил-люстрируются трудно воспринимаемые понятия качественныхсвойств решений дифференциальных уравнений, например, ус-тойчивости.

В целях профессиональной направленности на практическихи лабораторных занятиях рассматриваются примеры примененияпреобразования Лапласа для анализа непрерывных автоматизи-рованных систем [5].

В расчетно-графических работах предусмотрено решениедифференциальных уравнений и задач с прикладным содержа-нием с помощью применения свойств преобразования Лапласа ипроверка результата с использованием пакетаMathCAD.

Таким образом, сочетание традиционных методов и методовновых компьютерных технологий в преподавании математиче-ских дисциплин позволяет разнообразить учебный процесс, за-интересовать студентов возможностью применения математиче-ских знаний в будущей специальности.

Литература1. П.П. Овчинников, Ф.П. Яремчук, В.М. Михайленко. Вища

математика: Підручник. У 2 ч. – К.: Техніка, 1999-2000.2. Высшая математика. Специальные главы: Пособие для

студентов вузов / П.И. Чинаев, Н.А. Мишин, А.Ю. Пере-

205

возников, А.А. Черенков. Под ред. П.И. Чинаева. – К.: Вища шк.,1981. – 368 с.

3. Высшая математика: Сборник задач / Под общ. ред.П.Ф. Овчинникова. – К.: Вища шк., 1991. – 455 с.

4.М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. Функциикомплексного переменного. Операционное исчисление. Теорияустойчивости. –М.: Наука, 1971. – 256 с.

5.Математические основы теории автоматического регули-рования, т. 1, 2. / Под ред. Б.К. Чемоданова. Учеб. пособие длявтузов. –М.: Высш. шк., 1977. – 455 с.

206

ПРОФЕСІЙНА СПРЯМОВАНІСТЬ КУРСУВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ ПРИ ПІДГОТОВЦІВЧИТЕЛІВ ТРУДОВОГО НАВЧАННЯ

М.М. Ніколаєв, Є.Я. Прасоловм. Полтава, Полтавський державний педагогічний університет

імені В.Г. Короленка

Завдання курсу вищої математики для забезпечення прикла-дних спеціальностей має певні особливості. З одного боку необ-хідно дати теоретичну основу вивчення усіх фундаментальнихоснов курсу, а з іншого – пов’язати загальнотехнічні положенняз розв’язанням інженерних задач певного профілю.

Це зумовлює суперечливе завдання, яке доводиться вирішу-вати викладачеві математики. Яким чином, зберегти науковістьта абстрактність цієї навчальної дисципліни, досягти її тіснийвзаємозв’язок з профілем підготовки вчителя трудового навчан-ня? Досвід показує, що тільки оптимальне поєднання фундамен-тальної та професійної спрямованості курсу вищої математикидозволяє забезпечити високий рівень якості підготовки вчителівтрудового навчання. В цій статті автори роблять спробу узагаль-нити досвід викладання курсу вищої математики на педагогічно-індустріальному факультеті Полтавського державного педагогі-чного університету ім. В.Г. Короленка.

Курс вищої математики практично виключає можливість ви-вчення всіх розділів та понять на високому рівні та в цьому і не-має необхідності. Працюючи над планами математичної підгото-вки виявлено, що для кожної спеціалізації можна виділити дужеважливі розділи, питання, які повинні бути засвоєні глибоко таповно. Поряд з цим є положення, які в загальнотехнічних дисци-плінах використовуються рідко. Таким чином, методично вірнопобудований навчальний процес полягає не в тому, щоб робитидаремні спроби домогтися від студентів засвоєння всіх питань насамому високому рівні, а в тому, щоб раціонально визначити не-обхідні рівні засвоєння кожного положення з врахуванням йогозначення при вивченні інших дисциплін.

Рівень засвоєння знань студентами безпосередньопов’язаний з видом діяльності при навчанні. Перший рівень за-

207

своєння (λ=1) пов’язаний з репродуктивною діяльністю на рівніпізнання. Кожна операція репродуктивної діяльності в цьомувипадку виконується з допомогою підказки, яка є в явному абонеявному вигляді, на відповідь чи опис подій. Відмітимо, що ле-кція може сформувати тільки перший рівень засвоєння знань.

Другий рівень засвоєння знань (λ=2) пов’язаний з репродук-тивною діяльністю на рівні відтворення, який характеризуєтьсявідтворенням знань по пам’яті без підказки.

Третій рівень засвоєння знань (λ=3) пов’язаний с продукти-вною діяльністю на рівні використання. Спеціалісти по ряду роз-ділів повинні володіти цим рівнем засвоєння знань, тому потріб-но підібрати правильну методику проведення практичних занятьз розв’язанням нетипових задач, а також об’єм, типи та види по-закласних самостійних робіт, які допомагають досягти бажаногорівня засвоєння знань.

Четвертий рівень засвоєння знань (λ=4) пов’язаний з проду-ктивною діяльністю на рівні творчості. Його сформувати дужеважко. Безумовно, є студенти, які його досягають, але в цьомузаслуга не тільки викладача.

Якщо λ=0, то це означає, що по даному розділу у студентанемає знань, отриманих в результаті попереднього навчання, алеє необхідний мінімум, для їх сприйняття. Для цього були скорек-товані навчальні плани по курсу вищої математики з врахуван-ням вимог профільних кафедр до рівня засвоєння студентамикожного розділу дисципліни.

Вдало використовується вказаний підхід на конкретномуприкладі теми “Комплексні числа”. При вивченні цієї теми слідорієнтуватися на третій рівень знань.

Аналіз необхідності та достатності кількості навчальних го-дин для даної теми та досягнення відповідного початкового такінцевого рівнів засвоєння знань дозволяє скласти таку таблицю:

Рівні засвоєнняРівні засвоєння знань№

п/п Назва початковий кінцевий1. Алгебраїчна форма запису комплек-сного числа (КЧ)

нульовий другий

2. Тригонометрична форма запису КЧ нульовий третій

208

Рівні засвоєння знань3. Показникова форма запису нульовий третій4. Дії над КЧ, які представлені в алгеб-раїчній формі

нульовий другий

5. Дії над КЧ, які представлені в три-гонометричній формі

нульовий третій

6. Дії на КЧ, які представлені в показ-никовій формі

нульовий третій

Таким чином, по даній темі студенти не мали знань, отрима-них в результаті попереднього навчання. Тому поняття КЧ в ал-гебраїчній формі вводиться як результат розширення поняттядійсного числа, знайомого студентам зі шкільної програми. Крімтого, із таблиці видно, що кінцеві рівні засвоєння знань навчаль-них предметів нижчі, ніж цього вимагає тема в цілому. Чим по-яснюється те, що в алгебраїчній формі записи та дії над КЧ прак-тично не використовуються в електротехніці і спеціальних тазагальнотехнічних дисциплінах.

Тому, при вивченні теми “Комплексні числа” особливу увагуслід звернути на другий, третій, п’ятий та шостий підрозділи, якістудентам потрібно засвоїти на рівні використання (λ=3).

Відомо, що є залежність рівнів засвоєння знань, яка гово-рить, що неможливо сформувати більш високий рівень знань, незасвоївши попередній більш низький. Це відноситься і до даноїтеми.

Досягти потрібний рівень засвоєння знань в короткий терміндозволяє така послідовність в навчанні. На проблемній лекціїкомбінованого типу студенти досягають першого рівня засвоєн-ня знань. При виконанні домашнього завдання, отриманого налекції, вони закріплюють і отримують знання на рівні відтворен-ня. На наступному практичному занятті студенти перші вправивиконують самостійно, що примушує їх старанно опрацьовуватилекційний матеріал, встановлювати зв’язок теорії із практичнимипитаннями. Завдяки такій методиці організації самостійної робо-ти студентів, викладач має можливість на практичних заняттяхнадати перевірці знань студентів навчальний характер, викорис-товуючи новий дидактичний матеріал, який сформульований ввигляді питань та завдань. Завдання поступово ускладнюються

209

до рівня використання. Пізніше кожен студент отримує індиві-дуальне домашнє завдання, зміст якого другого та третього рів-нів. Корисно закінчити вивчення даної теми дискусією, діловоюгрою. При цьому в основу завдань корисно було взяти професій-ну направленість навчання.

Аналогічно організовується пізнавальна діяльність студентівз врахуванням потрібних рівнів засвоєння знань при вивченніінших розділів вищої математики. При розгляді питань, які ма-ють менш важливе значення для майбутньої професійної діяль-ності, інформацію можна подавати на рівні більш простих моде-лей. Але на всіх рівнях навчального процесу слід звільнятися відвивчення довідкового матеріалу, обмежившись повідомленнямпро його існування.

Логічним продовженням професійної орієнтації курсу вищоїматематики є розвиток навчальної та науково-дослідної роботистудентів в напрямі інтенсивного використання математики таелектронно-обчислювальної техніки. При вивченні загальнотех-нічних дисциплін потрібно формувати у студентів первиннізнання по методології наукових досліджень. На першому курсітакими роботами можуть бути розрахунково-графічні завдання зелементами творчого пошуку або самостійні розробки конкрет-них питань з навчального предмету. А студентам другого курсупід силу уже навчальні завдання науково-дослідного характеру.Основою для планів та тематики таких завдань є програма поконкретній дисципліні, а також інформація та пропозиції випус-каючих кафедр. Бажано тематику студентських завдань науково–дослідного характеру формулювати відповідно з напрямом тапрофілем підготовки спеціалістів.

Таким чином, в курсі вищої математики передбачається за-лучення студентів до науково–технічної творчості з першого ку-рсу , що сприяє набуття четвертого рівня засвоєння знань. Під-водячи підсумок, можна сказати, що на педагогічно-індустріальному факультеті курс вищої математики не слід ви-кладати абстрактно. Ілюстрації та завдання прикладного харак-теру, особливо ті, що пов’язані з майбутньою професією студен-тів (вчитель трудового навчання) викликають зацікавленість сту-дентів до вищої математики. Оскільки не всі питання математи-ки однаково важливі для майбутнього вчителя трудового на-

210

вчання, то в умовах обмеженого часу пропонується намітити не-обхідні рівні засвоєння знань з врахуванням специфіки майбут-ньої спеціальності.

Раціонально організована професійна орієнтація курсу мате-матики дозволяє без зниження його логічної будови досягтибільш високої ефективності навчального процесу за рахунок під-вищеної зацікавленості здобуття математичних знань, мотивую-чи професійною цілеспрямованістю.

Література1. Бугаєнко Г.О. Методи математичної фізики. – К.: Вища шко-

ла, 1970. – С. 182-205.2. Дудников Е.Г., Балакирев В.С. Построение математических

моделей химико-технологических объектов. – Л.: Химия,1970. – С. 173-194.

3. Хэмминг Р.В. Численные методы для научных работников иинженеров. –М.: Наука, 1972. – С. 163-177.

211

ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ ДЛЯ ОЦІНЮВАННЯ

АВІАЦІЙНО-ТЕХНІЧНИХ СИСТЕМ

О.П. Ніконовам. Кривий Ріг, Криворізький авіаційно-технічний коледж Націо-

нального авіаційного університету

Сучасні технічні системи виконують дуже відповідальні за-дачі, тому є велика потреба в їх абсолютної надійності, що в дій-сності не завжди співпадає.

В теорії та практиці надійності використовуються методи ізакономірності теорії ймовірностей та математичної статистики.

Будь-яка технічна система має функціональне призначення,при цьому до неї надаються вимоги:

- вона не повинна виходити з робочого стану в заданий пе-ріод;

- за умови правильної експлуатації вона повинна бути го-това виконувати ті функції, які на неї покладені:

- виконання необхідних робіт по ремонту не повинно матиперешкод.

Широке використання авіаційного обладнання важливістьзадач, які на нього покладаються, пред’являють великі вимоги дойого надійності. Проблема надійності важлива для бортовогообладнання літаків, ракет. Можливість ремонту там практичновилучається, а відмова у польоті, наприклад, навігаційного обла-днання може привести до катастрофи.

Бортове обладнання працює в складних умовах механічнихнавантажень (удари, вібрації, прискорення) і при різких змінахтемператури [1, 2]. Велике значення для бортового обладнаннямають розміри, маса, та кількість елементів, які в ньому застосо-вуються.

У літаковій панорамній радіолокаційній станції використо-вується декілька десятків елементів, сотні конденсаторів і опоріві т.ін.

Проблема забезпечення надійності має також і важливе еко-номічне значення. Якщо рівень надійності низький, то експлуа-тація такого обладнання приводить до подорожчання технічної

212

експлуатації.Теорія надійності вирішує надійність авіаційного обладнан-

ня при його конструюванні, виготовленні, експлуатації.Теорія надійності займається дослідженням таких питань,

як:– ймовірності безвідмовної роботи елемента;– частоти відмови елементів у часі;– інтенсивності відмови.Інтенсивність відмови – це ймовірність відмови виробу, яке

не ремонтується за одиницю часу, при умові, що відмова до цьо-го моменту не виникла [3].

І – період припрацювання.На ньому спостерігається відносно швидке зменшення інте-

нсивності відмови, що пояснюється виходом із ладу елементів звнутрішніми дефектами.

ІІ – період нормальної експлуатації.Це найбільше тривалий період роботи апаратури. Він харак-

теризується тим, що інтенсивність відмов в цей час зберігає по-стійне значення.

ІІІ – період інтенсивного зношування.При тривалій експлуатації обладнання настає такий період,

коли починається масовий вихід із ладу елементів внаслідок їхзношування та старіння.

Знання інтенсивності відмов як функції часу дозволяє вико-ристовувати її для розв’язання багатьох практичних задач.

Зокрема, якщо відома тривалість І ділянки, то можливо при-йняти заходи, щоб цей період був відпрацьований в час випробо-вування апаратури.

Для періоду ІІ-ої ділянки, можливо уникнути експлуатації

213

обладнання з низьким рівнем надійності шляхом своєчасногоремонту або заміни цього обладнання.

Для розв’язання такого роду проблем на допомогу прихо-дять бортові комп’ютери, які встановлені на сучасних літаках.Вони допомагають у вирішуванні задачі контролю, режимів ро-боти та обліку ресурсів бортового обладнання, а також встанов-лювати терміни ремонту та заміни обладнання за фактичнимвідпрацюванням ресурсів. Це дає можливість контролювати тех-нічний стан авіаційної техніки, для встановлення оптимальногорежиму польоту літака.

Оцінювати надійність роботи систем можливо при викорис-танні формул теорії ймовірності.

Наведемо приклади задач, які використовуються при ви-вченні роботи надійності авіаційно-технічних систем.

Оцінити надійність роботи системи, елементи якої з'єднаніза схемою, наведеною на рис. 1 [4].

Рис. 1.

При цьому відомі ймовірності безвідмовної роботи кожногоелемента рi (і=1, ..., n).

Позначивши надійність системи через R, дістанемо

∏=

=n

iipR

1

.

Оцінити надійність роботи системи, елементи якої з’єднаніза схемою, наведеною на рис. 2.

Рис 2.

При цьому відомі ймовірності безвідмовної роботи кожногоелемента РI (і=1, ..., n):

214

∏=

−=n

i

qR1

11 , ii pq −=1

Приклад, Електричні лампочки, з'єднані за схемами, наве-деними на рис. 3 і 4[5,6].

Рис. 3. Рис. 4.

Імовірність того, що електролампочка не перегорить приввімкненні в електромережу наведених схем, є величиною ста-лою і дорівнює pi = 0,8.

Яка ймовірність того, що при ввімкненні в електромережунаведених схем у них буде електрострум?

Розв’язання. За відомим значенням рi знаходимо qi=1–pi==1–0,8=0,2 (і = 1, 2, 3, 4).

∏=

===4

1

4 4096,0)8,0()i

ipRa

∏=

=−=−=−=4

1

4 9984,00016,01)2,0(11)i

iqRб

Імовірність безвідказної роботи блока, що входить у системувпродовж певного часу дорівнює 0,9. Для надійності роботи сис-теми встановлюється такий же блок, що буде знаходитись у ре-зерві. Яка ймовірність безвідмовної роботи системи, коли прицьому враховувати резервний блок?

Відповідь, р = 0,99.Радіолокаційна система, до якої входять дві станції, що пра-

цюють самостійно, виконує деяке завдання з виявлення літака-порушника повітряного простору України на певній ділянці кор-дону. Для виконання цього завдання необхідно, щоб у справномустані була хоча б одна радіолокаційна станція. Імовірність без-відказної роботи першої станції дорівнює 0,95, а другої 0,85.

Система працюватиме надійно, якщо буде справною хоча бодна радіолокаційна станція. Знайти ймовірність цієї події.

215

Відповідь, р = 0,9925 [7].Таким чином, розв’язання задач теорії ймовірностей явля-

ються доцільними не тільки для теоретичного курсу, а також дляпрактичного оцінювання роботи систем.

Література.1. Надёжность автоматизированных систем управления.

Под ред. А.Я. Хетагурова. Учебное пособие для вузов. – К.: Рад.школа, 1979.

2. Надёжность и долговечность авиационных газотурбин-ных двигателей. Сборник научных трудов. Выпуск I. – Киев,1971.

3. Надёжность полупроводниковых радиоустройств лета-тельных аппаратов. Методы расчёта на надёжность по постепен-ным, временным и перемежающимся отказам. – М.: Машино-строение, 1968.

4. Рудановський Ю.К., Костробій П.П., Олексів І.Я. та ін.Збірник задач з теорії ймовірностей: Навчальний посібник –Львів: Видавництво національного технічного університету“Львівська політехніка”, 2000.

5. Жлуктечко В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей іматематична статистика: Навчальний посібник, ч. І, ІІ. – Київ,2000.

6. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическаястатистика. Изд. 5-е, перераб. и доп. –М.: Высшая школа, 2000.

7. Шефтель З.Г. Теорія ймовірностей. – К.: Вища школа,1994.

216

О КОМПЬЮТЕРНОММОДЕЛИРОВАНИИ В КУРСЕТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИМАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИКИ

А.И. Олейников1, Н.В. Рашевская2, Н.А. Рашевский3

1 Россия, г. Комсомольск-на-Амуре, Комсомольский-на-Амурегосударственный технический университет

2 г. Кривой Рог, Криворожский государственный педагогическийуниверситет

3 г. Кривой Рог, Криворожский технический университет

Одним из средств активизации познавательной деятельностиучащихся при изучении математических дисциплин является ихкомпьютерная поддержка, которая с использованием программ-ных средств дает значительный педагогический эффект [1].Компьютер используется здесь как средство обучения и контро-ля.

Исследования по компьютерной поддержке изучения мате-матики касаются в основном методики использования готовыхпрограммных средств, в то же время использование их в курсетеории вероятностей и математической статистики (ТВ и МС)весьма ограничено по причине неформализованной, как правило,постановки задач. Решение многих из них целесообразно полу-чать с помощью компьютерного моделирования. Поэтому здесьможно удачно вводить элементы программирования, используякомпьютер в качестве средства постановки эксперимента самимиучащимися. Методике изучения компьютерного моделированияпосвящена работа [4], где отмечено, что «…выпускники школплохо осознают модельный характер научных понятий и объек-тов из базовых учебных предметов, значительная их часть имеетнизкий уровень знаний и умений при решении практических за-дач с помощью ПЭВМ…». Причины видятся в «…отсутствиивнимания к формированию научного мировоззрения … черезсодержание отдельных предметов, недостаточной осведомлен-ности учащихся с возможностями новых информационных тех-нологий, в существовании слабой межпредметной интеграцииинформатики с другими базовыми …дисциплинами». [4, с. 13](перевод авт.). Затронутые вопросы актуальны и для высшей

217

школы, в особенности технического профиля. По мнению авто-ров, целесообразно сочетать изучение курса ТВ и МС с изучени-ем информатики, и, в частности, программирования. Програм-мирование предъявляет более высокие требования к строгостирассуждений, чем даже математический язык. Если задача (илиподзадача) недостаточно точно поставлена, это непременно об-наружится при ее программировании. В [2] компьютерный экс-перимент применялся в лабораторном практикуме по физике.

С целью более глубокого усвоения материала учащимися,предлагаемые при изучении ТВ и МС индивидуальные заданияможно нацеливать на приобретение и (или) использование навы-ков программирования, и применение компьютера в качествесредства постановки эксперимента. Сформулированные нижезадания предполагают написание программы по предварительносоставленному алгоритму, также учащийся может получить го-товый алгоритм или его вербальное описание.

Задания включают следующие задачи: разработка алгорит-мов генерирования комбинаторных структур (и их реализация наодном из языков программирования); решение задач на геомет-рические вероятности методом Монте-Карло с дальнейшим ана-лизом возможного отличия полученного результата от теорети-ческих расчетов; моделирование цепей Маркова (на конкретныхпримерах); исследование генератора случайных чисел; статисти-ческие расчеты с помощью программы Excel.

Любую из названных задач можно упрощать или усложнятьв зависимости от уровня подготовленности учащегося, от типаучебного заведения. Количество и содержание задач также мож-но варьировать в достаточно большом диапазоне. Например, длягенерирования комбинаторных соединений можно воспользо-ваться готовыми алгоритмами и программами [В. Липский. Ком-бинаторика для программистов], или ставить задачу построенияструктур маленького (фиксированного) объема. Если же речьидет об усложнении задачи, то, кроме самостоятельной разра-ботки соответствующего алгоритма, можно ставить задачи с ог-раничениями, которые, как известно, имеют более сложное (ино-гда неэлементарное) решение. Цель выполнения заданий – овла-дение учащимися методикой проведения компьютерного экспе-римента или ее совершенствование, а в ходе выполнения – кор-

218

ректировка теоретических знаний. В случае согласования курсовТВ и программирования, значительная часть задач решаетсяименно при изучении программирования. Хотя не обязательнокурс программирования специально нацеливать на курс ТВ.Предлагаемые задачи можно решать исключительно при изуче-нии ТВ. Остановимся на обсуждении задач, специфике их вы-полнения и других сопутствующих вопросах.

Задача генерирования комбинаторных структур (например,перестановок) решается без использования генератора случай-ных чисел (ГСЧ). Ее решение требует не только глубокого зна-ния свойств названных структур, но и некоторой изобретатель-ности. Поэтому на первых порах необходимо ограничиться рабо-той с готовым алгоритмом.

Вторая из перечисленных задач требует использования ГСЧ.Здесь и возникают некоторые затруднения. Рассмотрим решениеклассической задачи о встрече [5] с использованием компьютера.Сгенерировав n случайных пар чисел (x, y), и, посчитав количе-ство m пар, удовлетворяющих условию x−y < 1/3, найдем ве-роятность встречи по формуле P(A) ≈ m/n. Приведем результатырасчетов при различных n. Так, при n = 50 (произведено 15 ис-пытаний) получаем 0,4 ≤ P(A) ≤ 0,62. Точное (теоретическое)значение P(A) = 5/9 ≈0,556. Средняя вероятность в 15 получен-ных ответах равна 0,51467, что также существенно отличается отточного значения. Дальнейшее увеличение n не улучшает ре-зультат. Очевидно, что причина неудачи в ГСЧ.

Смоделируем опыт с подбрасыванием монеты. К.Пирсон по-лучил 12012 «гербов» при 24000 подбрасываний. Пятнадцати-кратное повторение эксперимента с 39000 «компьютерных» под-брасываний привело к значениям вероятности выпадений гербаот 0,3948 до 0,5297. Среднее значение равно 0,496. Опять причи-ной большой погрешности есть неравномерность ГСЧ. В качест-ве хорошего ГСЧ можно использовать цифры (или последова-тельности цифр) десятичных знаков числа π[3, с. 192].

Моделировать цепи Маркова можно на простой задаче.Задача. Каждый день студент пользуется одним из справоч-

ников: А, В или С, соответственно с вероятностями р1, р2 и р3.Книги стопкой лежат на письменном столе. Воспользовавшиськнигой, студент кладет ее сверху стопки. Описать возможные

219

состояния стопки. Для каждого состояния найти вероятность.Найти вероятности перехода из одного состояния в любое дру-гое.

Здесь несовершенство ГСЧ незаметно, и роль задачи не вполучении и анализе ответа, а в формировании новых понятий(методом Дж. Пойа «от задачи – к теории»).

Разработав самостоятельно, или получив в готовом виде ал-горитм, учащийся, если это возможно, проверяет его работувручную в предельных случаях. Зная теоретический результат и,получая отличный от него экспериментальный, учащийся выяс-няет возможные причины такого отличия. Обратим внимание надве причины вероятностного характера:

1) Событие “экспериментальный результат отличается оттеоретического” является случайным, имеет ненулевую (хотя ивозможно маленькую) вероятность, и могло произойти в данномиспытании.

2) ГСЧ дал числа, неравномерно распределенные на проме-жутке [0, 1].

Статистические расчеты могут проводиться в виде лабора-торных работ. При этом допускается полное отсутствие творче-ства, но при оперировании с числовыми характеристиками слу-чайных величин не теряется время на вычисления. Эффективнойявляется названная работа в случае обработки самостоятельнособранного материала. В частности, можно предложить на осно-вании данных о массе m и росте h учащихся нескольких классов(групп) получить уравнение регрессии h на m. Получив уравне-ние (h = m + 100, известное как «правило «минус сто»), сделатьанализ полученного результата. Можно также исследовать и «за-висимости» между ростом и успеваемостью учащегося или дру-гими самостоятельно придуманными параметрами. Одной из та-ких «зависимостей» является увеличение числа случаев психи-ческих заболеваний с увеличением количества радиослушателей[3, с. 93]. Правильное объяснение того или иного парадоксально-го результата будет свидетельствовать о хорошем уровне овла-дения теорией.

Компьютерный эксперимент часто не требует глубокогознания теории, а наоборот, формирует и корректирует знания,благоприятствует формированию умений анализировать полу-

220

ченные результаты, ставить новые задачи, самостоятельно фор-мулировать проблему. Студентам педагогического учебного за-ведения приобретенные навыки станут полезными не только длярасширения и углубления предметной области, но и для даль-нейшей работы в качестве учителя-предметника, где можно бу-дет использовать приобретенный опыт.

Литература1.Жалдак М.І. Комп’ютер на уроках математики. – К.:

Техніка, 1997. – 303 с.2. Поснова М.Ф., Титовицкая А.Э. ЭВМ в учебном процессе.

–Мн.: «ВайталАда», 1996. – 104 с.3. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математиче-

ской статистике.М.:Мир, 1990. – 240 с.4. Теплицький І.О. Розвиток творчих здібностей школярів

засобами комп’ютерного моделювання: Автореф. дис. … канд.пед. наук. – К.: НПУ ім.М.П. Драгоманова. – 22 с.

5.Шефтель З.Г. Теорія ймовірностей. – К.: Вища шк., 1994. –192 с.

221

ОБ ИЗЛОЖЕНИИ ТЕМЫ «ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»НА ЛЕКЦИОННЫХИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЯХ

Н.Д. Орловаг. Одесса, Одесская национальная морская академия

Посвящается памяти ученого и замечательногопедагога Петра Филипповича Овчинникова

Курс математики, предусмотренный учебной программой повысшей математики для технических, технологических и эконо-мических специальностей высших учебных заведений (утвер-жденной Министерством образования Украины 5 января 1999года), содержит различные разделы, начиная с линейной алгебрыи аналитической геометрии и заканчивая вариационным исчис-лением, всеми видами интегральных преобразований, аналити-ческими и численными методами решения дифференциальных иинтегральных уравнений. Количество аудиторных часов по кур-су высшей математике в высших технических учебных заведе-ниях составляет около 50% от общего количества часов, осталь-ной объем часов выносится на самостоятельную работу. Стре-мясь изложить предусмотренный программой объем материала,преподаватель вынужден излагать лишь общий взгляд на опре-деленные математические понятия. Избежать поверхностногоизучения различных разделов курса высшей математики можнопользуясь общим взглядом на основные математические поня-тия. Такое изложения учебного материала нашло свое отражениев учебном пособии «Высшая математика» [1] и в учебнике наукраинском языке «Вища математика» под общей редакциейП.Ф. Овчинникова [2] и часто используется при изложении курсавысшей математики студентам нематематических специально-стей [4, 5].

Основными принципами построения учебника являются:краткость и объёмность изложения материала, метод – аналогий,принцип – от общего к частному [3]. Остановимся более подроб-но на третьем принципе, который был использован при изложе-нии темы интегралы, как в лекционном курсе, так и на практиче-ских занятиях.

Введение понятия Риманова интеграла по мере позволяет сединой позиции изложить все известные определенные интегра-

222

лы (однократные, многократные, криволинейные, поверхност-ные) и дает возможность экономии лекционного времени и срав-нительно легкого обобщения на не Римановские построения ин-теграла. При введении понятия измеримости величины, меры,полагаем, что сначала вводятся числа, а последним ставится всоответствие определенная измеряемая величина, таким образомэлементарное понятие меры соответствует духу книги Г. Лебега«Об измерении величин», опубликованной Учпедгизом в 1938году в переводе А.Н. Колмогорова. Мера как философское поня-тие – совокупность количественных и качественных характери-стик объекта, с помощью которых можно измерить указанныйобъект. В математике в роли объекта, который необходимо из-мерить, выступает область D евклидового пространства. ОбластьD может быть открытой, замкнутой, ограниченной, неограни-ченной, одномерной, двумерной, трехмерной, n-мерной.

Мера пространства вводится аксиоматически, поэтому наконкретных примерах поясняются понятия покрытия области снедостатком и избытком, существование областей меры – нуль,понятие ориентированной меры.

Затем рассматривается понятие интеграла по области (помере) и задачи, приводящие к ним (вычисление площади криво-линейной трапеции, вычисление объёма цилиндрического тела,массы тела, массы тонкой проволоки, вычисление работы массыповерхности и потока жидкости через поверхность). И толькопосле этого проводятся традиционные лекционные занятия почастным случаям вычисления интеграла по мере (определенногоинтеграла, двойного, тройного, криволинейных и поверхностныхинтегралов). Первое практическое занятие по теме «Мера конеч-ного n-мерного евклидова пространства» проводится нескольконеобычно, ибо на этом занятии подробно разъясняются теорети-ческие вопросы, связанные с понятием меры.

Отрабатываются следующие вопросы:Существование единиц измерения в одномерном, двумер-

ном, трехмерном пространствах. Например, для одномерной об-ласти существует единица измерения 1 см, двумерной – 1 кв. см,трехмерной – 1 куб см и т.д. Единица измерения должна обла-дать способностью непрерывного уменьшения, т.е. существуетсм/10, см/100, ..., см/10n. То же для квадратных, кубических и

223

других единиц.Существование наибольшего линейного размера (понятие

ранга разбиения). Поясняется, что если сторону квадрата делитьна все меньшие части, то квадрат в точку не превратится. Квад-рат превратиться в точку, если его диагональ (допустим, АС) бу-дет стремиться к нулю. Диагональ АС – это наибольший линей-ный размер единицы измерения. Наибольший линейный размерединицы измерения называется рангом разбиения λ (иногда раз-деления λ). Аналогично вводятся понятия ранга разбиения дляпространственной кривой и поверхности.

После этого проводятся обычные занятия по вычислениюопределенного интеграла, кратных и криволинейных интегралов.При данном типе изложения учебного материала становится бо-лее понятным, что вычисление любого типа интегралов в конеч-ном итоге сводится к вычислению определенного интеграла, атакже связь между интегралами различных типов (формулыОстроградского-Грина, Стокса).

Многолетний опыт изложения теоретического материала иего проработка на лекционных и практических занятиях показа-ли высокую усвояемость излагаемого материала различнымикругами слушателей. Результатом данной работы являются [1, 2].

Литература1. Высшая математика / под общей редакцией П.Ф. Овчинни-

кова. – 1, 2 том. – К.: Вища школа, 1989.2. Вища математика / за загальною редакцією П.П. Овчиннико-

ва. – 1, 2 том. – К.: Техніка, 1999.3. Орлова Н.Д. К методическим принципам построения учеб-

ника по высшей математике для технических ВУЗов. // Ма-теріали IX Міжнародної наукової конференції імені акад. М.Кравчука, 16-19 травня 2002 року. – К., 2002. – С. 532.

4. Дюженкова Л.І.,Михалін Г.О.Щодо викладання курсу вищоїматематики студентам нематематичних спеціальностей. //Матеріали IX Міжнародної наукової конференції імені акад.М. Кравчука, 16-19 травня 2002 року. – К., 2002. – С. 498.

5. Коляда Ю.В., Сторожук Є.А. Психологічні засади матема-тичної освіти податківців. // Матеріали IX Міжнародної нау-кової конференції імені акад. М. Кравчука, 16-19 травня 2002року. – К., 2002. – С. 514.

224

К ВОПРОСУ ОБ ОПТИМАЛЬНОМПОДХОДЕК ИЗЛОЖЕНИЮ КУРСАМАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИКИ В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ

Т.В. Павленког. Алчевск, Донбасский горно-металлургический институт

Info@dgmi.ivc.com.ua

Главная задача изучения курса высшей математики – фор-мирование строгого, доказательного, последовательного образамышления. Инженер обращается с реальными объектами и ко-нечная цель его работы – это не только установление закономер-ностей изучаемого процесса, сколько использование полученно-го знания для управления ним.

Поэтому при изучении высшей математики большое значе-ние в реализации связи теории с практикой имеет решение задач,начинённых практическим содержанием, использующих реаль-ные проблемы, которые возникают в специальных дисциплинах,позволяющих применять несколько этапов исследования к од-ному и тому же материалу. Например, при изучении статистикиполезно отрабатывать все приёмы обработки опытных данных наодном и том же наборе. Такой «сквозной» анализ позволяет вы-делить ключевые моменты для проверки и самоконтроля, а также позволяет подготовить студентов к проведению и самостоя-тельной обработке экспериментов в будущем.

Так для специальности «Технология машиностроения» напрактических занятиях по математической статистике изучаетсязависимость силы резанья – Р от режимов обработки t, s, v, а длягорных специальностей – зависимость себестоимости по участку(грн/т.) от мощности между пластами (до нижележащего). В этойиндивидуальной работе каждый студент выполняет исследова-ние генеральной совокупности выборочным методом, статисти-ческие оценки параметров распределения, проверку гипотезы овиде распределения и корреляционно-регрессионный анализ.

В последние годы наметилась тенденция к сокращению ко-личества часов аудиторных занятий по высшей математике. Присохранении прежнего объёма нормативных программ очень ост-ро встаёт проблема отбора лекционного материала, построения

225

практических занятий, организации самостоятельной и исследо-вательской работы студентов.

Определённая «экономия» времени может быть достигнутаза счёт компьютеризации учебного процесса. Однако широкое ичасто необоснованное применение на практических занятиях поматематической статистике стандартных программ не способст-вует глубокому осознанию и проработке учебного материала,кроме того, слабая компьютерная подготовка части студентовприводит к слепой вере во «всемогущество» и правоту «машин-ного результата. Поэтому, их использование может быть реко-мендовано лишь в качестве средства проверки вычислений.

В практике работы нашей кафедры используется следующаясхема проведения практических занятий по статистике для бу-дущих инженеров:

" формулировка задачи и объёма исследований, которыедолжны быть проведены на данном занятии;

" коллективное повторение необходимого теоретическогоматериала (в виде опроса студентов по лекционному материалулибо в виде ответов преподавателя на вопросы, возникшие устудентов во время самоподготовки);

" самостоятельная исследовательская работа студента, до-пускающая использование компьютера для автоматизации эле-ментарных вычислений (например, вычисление ∑∑∑∑ ix , ∑∑∑∑ iy ,

∑∑∑∑ ii yx , ∑∑∑∑ 2

ix для нахождения коэффициентов линии регрес-

сии);" проверка полученных результатов при помощи стандарт-

ной программы Excel илиMatcad.Такой порядок работы позволяет параллельно с экономией

времени, отведённого на вычисления, укреплять связи междуразличными дисциплинами и ещё раз продемонстрировать воз-можности стандартных пакетов, а с другой стороны, проверитьзнание студентом основных понятий статистики и его умениеделать выводы о полученных результатах.

226

ОБ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФОРМЕ ПОДГОТОВКИСТУДЕНТОВ В ОДЕССКОЙ НАЦИОHАЛЬHОЙ

АКАДЕМИИ СВЯЗИ

В.H. Паскаленког. Одесса, Одесская национальная академия связи

им. А.С. Попова

С 1998–1999 уч. года в Одесской национальной академиисвязи введена новая форма подготовки студентов. На первыйкурс принимаются школьники, окончившие 9 классов. Продол-жая обучение в школе днем, они во второй половине дня учатсяв академии и в течении двух лет проходят программу первогокурса по всем дисциплинам учебного плана. Таким образом, кмоменту окончания школы эти ученики становятся уже студен-тами второго курса. Окончив второй курс, они получают дипломмладшего специалиста и продолжают обучение.

Преимущества такой формы обучения очевидны. Эти сту-денты на год раньше, чем остальные, получают диплом о выс-шем образовании. Существенным, особенно для родителей, яв-ляется и тот факт, что в столь ответственный период формирова-ния личности, дети не предоставлены сами себе, а заняты уче-бой, находятся в студенческой среде.

Но в организации учебного процесса, в выборе форм обуче-ния имеется много проблем. Далее речь пойдет о проблемах пре-подавания высшей математики.

Одна из главных проблем состоит в том, что выпускники де-вятого класса не умеют учиться, т.е. не умеют организоватьучебный процесс, не умеют выделить главное в теме и в нужныймомент им воспользоваться. Поэтому приходится не толькоучить студентов высшей математике, но и учить учиться.

Вторая проблема состоит в отсутствии среднего образова-ния. Поэтому возникает острая необходимость согласования повремени тем курса высшей математики с темами курса элемен-тарной математики. Такая проблема оказалась разрешимой.Единственное, что не укладывается в согласовании по времени,это такой вопрос, как логарифмическая и показательная функ-ции. Этот вопрос приходится излагать при изучении курса выс-

227

шей математики.К числу самых сложных проблем следует отнести проблему

базовой подготовки по элементарной математике. К сожалению,большинство школьников, окончив девять классов, не умеютдолжным образом выполнять арифметические операции такие,как действия над числами с разными знаками, действия с обык-новенными дробями. В алгебре плохо усвоены действия с алгеб-раическими дробями и с иррациональными выражениями; три-гонометрические функции.

Все годы приходилось многократно по ходу напоминать ос-новные правила работы с этими понятиями. Следует признать,что особого эффекта такой метод не приносит. Поэтому приняторешение начиная со следующего учебного года при проведениисобеседования с поступающими распределять их на группы поуровню знаний и организовывать для каждой группы в соответ-ствии с уровнем знаний неделю переподготовки по некоторымтемам курса элементарной математики.

И, наконец, проблема согласования учебной нагрузки и фи-зических возможностей её выполнения. Выпускники девятыхклассов – физически ещё не окрепшие дети, однако им прихо-дится выполнять двойную нагрузку: и в школе, и в академии.

Для решения этой проблемы по высшей математике введенамодульная форма обучения, которая позволяет, не уменьшаяуровня требований, контролировать знания студентов.

Весь семестровый курс высшей математики делится на 2–3логические части и по каждой части по мере усвоения выполня-ется модульная работа. Задание составлено таким образом, чтодает возможность проверить наличие знаний по теме, уровеньэтих знаний. Модульной работе предшествует выполнение инди-видуальных домашних заданий; выполнение проверочных работв присутствии преподавателя.

Таким образом, модульная форма контроля знаний исключа-ет пиковую нагрузку на студентов и, что очень важно, способст-вует систематической работе над курсом высшей математики.

В заключение, следует отметить, что практика приема напервый курс выпускников девятого класса себя оправдала. С ны-нешнего года такая подготовка ведется не только в Одессе, но ив других областях Украины, где открыты филиалы.

228

ВИХОВНЕ ЗНАЧЕННЯ ДИДАКТИЧНИХ ІГОРУ ВИВЧЕННІ МАТЕМАТИКИ

Л.І. Петрушинам. Кривий Ріг, Середня школа №99

Одним із ефективних засобів розвитку інтересу до навчаль-ного предмета поряд з іншими методами та прийомами, які ви-користовуються на уроках, є дидактична гра.

У дошкільному віці гра має важливе значення у житті дити-ни. Вона займає і значне місце у перші роки навчання в школі.

Спочатку учнів зацікавлює тільки форма гри, а потім і тойматеріал, без якого неможливо приймати участь у ній.

У процесі гри учні непомітно для себе виконують різномані-тні вправи: порівнюють множини, виконують арифметичні дії,тренуються в усних обчисленнях, розв’язують задачі. Гра ста-вить учнів в умови пошуку, викликає інтерес до перемоги, а томудіти намагаються бути швидкими, зібраними, вправними, напо-легливими, винахідливими, чітко виконувати завдання, дотри-муючись правил гри.

В іграх, особливо колективних, формуються і моральні якос-ті особистості. Діти вчаться надавати допомогу товаришам, вра-ховувати інтереси інших, стримувати свої бажання. У дітей роз-вивається почуття відповідальності, колективізму, виховуютьсяволя, характер, дисциплінованість.

Включення ігор, ігрових моментів в урок перетворює процеснавчання у більш цікавий, створює у дітей бадьорий робочийнастрій, полегшує подолання труднощів у засвоєнні матеріалу,підсилює зацікавленість дітей не тільки до навчального предме-та, а й до пізнання навколишнього світу.

Прийоми зорової, слухової, рухової наочності, цікаві та по-сильні дітям запитання, загадки, задачі – жарти, моменти неспо-діванки, змагання сприяють активізації розумової діяльності.

Більшість дидактичних ігор містять у собі запитання, за-вдання, заклик до дії, наприклад: хто вірніше та швидше? Не ло-ви гав! Відповідай зразу! Одержи здачу! т. п.

Значна кількість ігор дозволяє зробити те чи інше узагаль-нення, усвідомити те чи інше правило, закріпити, актуалізувати

229

одержані знання, сприяють більш глибокому засвоєнню новогоматеріалу.

Наприклад, під час закріплення учнями таблиці множенняможна використовувати гру “Хто швидший?” Навпроти кожногоряду на дошці закріплюються малюнки транспортних засобів,під якими записані приклади:

Літак Катер Машина9 · 6 8 · 9 5 · 45 · 7 5 · 6 7 · 86 · 4 4 · 7 4 · 83 · 8 6 · 9 6 · 62 · 3 3 · 9 9 · 2

За сигналом учителя учні кожного ряду по черзі виходять додошки та пишуть відповіді.

Літак Катер Машина63 12 4254 18 2756 24 359 72 8

У цьому варіанті гри треба скласти приклади за даною від-повіддю, наприклад: 12 = 6 · 2; 3 · 4; 4 · 3; 2 · 6.

Хлопчики – дівчаткаНа картках чітко записані приклади. Зворотний бік карток

червоний або зелений. Учитель показує дітям приклад. Якщокартка червоного кольору, відповідь дають дівчатка, зеленого –хлопчики. Перемагає той, хто допустив меншу кількість поми-лок.

Прочитай прислів’яРозв’язавши правильно приклади, ви прочитаєте народне

прислів’я, бо кожна відповідь відповідає порядковому номерулітери українського алфавіту.

12 : 6=2 3 · 7=21 6 · 3=18 5 · 4=2056 : 8=7 8 ·3 =24 63 : 9=7 4 · 4=165 · 2=10 24 : 4=6 6 · 3 – 1=17 3 · 5 + 4=19

7 · 3 + 2=23 18 : 6 – 2=1 25 : 5 – 4=1 48 : 8=628 : 7 – 3=1

(Без труда нема плода.)Ці ігри прості, але вони дозволяють в ігровій формі повтори-

230

ти таблицю множення, ввести в урок елемент змагання, що спри-яє активізації діяльності учнів, вимагає від них зібраності, кміт-ливості.

Багато ігор та вправ будується на матеріалі різного ступенятруднощів, що дає можливість здійснити індивідуальний підхід,забезпечити участь у тій самій грі учнів з різним рівнем розумо-вих здібностей. Наприклад, дається самостійна робота у виглядігри “Хто першим вирушить у космос?” Пояснюється мета гри:той, хто розв’яже задачу, зможе вважати себе космонавтом, бокосмічні простори підкоряються тільки тим, хто добре знає ма-тематику. Оскільки це гра, учні почувають себе вільно, а тому зцікавістю беруться до роботи.

Кожний одержує картку із завданням – задачею. Вона у всіходна й та сама, але ступінь допомоги в її розв’язанні у кожногоучня різний. Добре підготовленим дітям пропонується розв’язатизадачу за коротким записом, склавши вираз; слабким – скластизадачу за коротким записом та закінчити розв’язування.

Поступово на дошці записуються прізвища дітей, які закін-чили виконувати завдання. Вони зараховуються в загін космона-втів. Тим, кому не вдалося потрапити у цей список, надаєтьсяіндивідуальна допомога, щоб наступного разу вони не зазналирозчарувань та разом з усіма могли вирушити в космічну подо-рож.

Таким чином ігри та ігрові ситуації на уроках призводять дотого, що учні, які захопилися грою, непомітно для себе, без осо-бливого напруження засвоюють певні знання, уміння та навичкиз математики, допомагають встановити зв’язок навчального ма-теріалу з життям.

Гра повинна бути засобом розвитку інтересу до математики.Для цього необхідно додержуватися таких положень:

1. Ігрове завдання за змістом має збігатися з навчальним.2. Правила гри повинні бути простими, чітко сформульова-

ними. Зміст гри посильний для всіх дітей.3. Дидактичний матеріал за способом виготовлення та ви-

користання має бути простим.4. Гра цікава тільки в тому випадку, якщо в ній приймає

участь кожна дитина. Довге очікування своєї черги знижує інте-рес до гри.

231

5. Підведення підсумків повинно бути чітким та справедли-вим

Велике виховне значення має колективний аналіз гри. Підчас цієї роботи важливо враховувати швидкість, якість виконан-ня ігрових дій. Аналіз та оцінка повинні стосуватися не тількитехніки виконання, а й таких виявлень особистості, як витримка,наполегливість у досягненні мети, справедливість, взаємна до-помога.

Тактовно відзначаючи досягнення та недоліки в ігровій дія-льності школярів, учитель спонукає у них прагнення до самовдо-сконалення своїх фізичних та психічних якостей, до розвиткутворчих здібностей, краси рухів та вчинків. Уміле педагогічнекерівництво грою викликає до життя зустрічну активність ди-тини у самовихованні..

На уроках корисно використовувати і логічні ігри, в якихшляхом нескладних висновків можна передбачити результат,відповідь.

Дітей неважко зацікавити математикою. Звичайнерозв’язування прикладів можна подати так, що ця робота не будездаватися дітям нудною та втомлюючою. Для цього достатньонадати вправам незвичного характеру. Дидактична гра нерідкопов’язується з певним сюжетом: “Спіймай рибку”, “Таблицюзнаю”, “Магазин”, “Садівники“, “Яка дорога веде на Січ“. Убагатьох іграх закладений елемент змагання між групами, якийпідсилюється емоційним характером. Діти не тільки намагають-ся добре виконувати завдання, а й хвилюються за своїх товари-шів, надають їм допомогу.

Ігри, крім розв’язування навчальних завдань, сприяють ви-хованню моральних якостей особистості, прищепленню навичокправильної поведінки в колективі. На кожного учня лягає відпо-відальність за результат гри. Це їх дисциплінує. “Хороша грасхожа з хорошою роботою”, – писав А.С.Макаренко. Ось чомугрі повинна надаватися належна увага у навчально-виховномупроцесі.

232

ПРОПЕДЕВТИКА КУРСУТЕОРІЇ АНАЛІТИЧНИХ ФУНКЦІЙ

ПРИ ВИВЧЕННІ ІНТЕГРАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ

М.О. Рашевськийм. Кривий Ріг, Криворізький технічний університет

Питання про зміст та методику викладання матеріалу з теоріїаналітичних функцій (або ТФКЗ) вирішується по-різному в за-лежності від профілю ВЗО та спеціальності. Так, у технічних ву-зах про необхідність вивчення згаданого матеріалу та міру мате-матичної строгості при початковому ознайомленні з деякимипоняттями говориться в [2]: «Электрики жаждут как можно ско-рее получить в свое распоряжение формулу Эйлера eix = cosx ++isinx. Действительно ли для обоснования ее нужно многоезнать о функциях комплексного переменного и рядах?… ничтоне мешает трактовать формулу Эйлера просто как определе-ние новой операции - возведения в чисто мнимую степень». Са-ме як означення і вводиться формула Ейлера при вивченні теми«Комплексні числа». Дана тема подається в основному без особ-ливих наголошень на практичні застосування. При вивченні темиформуються уміння та навички оперування з комплексними чис-лами (КЧ). У разі потреби скорегувати ці вміння доцільно прививченні інших тем курсу вищої математики. З реальними ж за-стосуваннями КЧ зустрінуться лише студенти, що матимутьсправу з електротехнічними розрахунками, із фізикою суцільнихсередовищ. Як окремий курс ТФКЗ вивчається не всіма техноло-гічними спеціальностями. Ознайомлення з елементарними функ-ціями комплексної змінної може відбутися і без вивчення окре-мого курсу. Наприклад, у темі «Степеневі ряди». Проте це озна-йомлення може вважатися лише пропедевтикою для ТФКЗ. Дляуспішного його засвоєння у разі подальшого вивчення корисни-ми будуть застосування КЧ при опрацюванні інших тем, безпо-середньо не пов’язаних із даним матеріалом.

У даній роботі наводяться деякі прийоми застосування КЧ,що можуть бути використані в аудиторний час при вивченні те-ми «Невизначений інтеграл». Задіяння КЧ дозволяє отримативідомі співвідношення між елементарними функціями комплекс-

233

ної змінної, хоча і без достатнього теоретичного обґрунтування.Згадані формальні співвідношення слугуватимуть пропедевтич-ними для поняття функції комплексної змінної, а властивостіелементарних функцій дійсної змінної, отримані за допомогоювведених формальних рівностей, стануть «доведенням» їх пра-вильності. Розглянемо згадані прийоми використання КЧ. Одниміз них є аналіз таблиці інтегралів на предмет надання комплекс-них значень сталим, що знаходяться у підінтегральних функціях.Так, надаючи комплексного значення сталій k = a+bi в інтегралі∫ekxdx, отримаємо після відокремлення за допомогою формул Ей-лера дійсної та уявної частини первісні функцій eaxcosbx таeaxsin bx:

∫e(a + bi)xdx = ∫eaxcosbx dx + i∫eaxsinbx dx=bia +

1e(a + bi)x + C =

=22 ba

bia

+−

e(a+ bi)x+C=22 ba

bia

+−

(eaxcosbx+ ieaxsinbx)=

=22

1

ba +eax (acos bx + bsinbx) +

22 ba

i

+eax ×

× (– bcos bx + asin bx) + C,які зазвичай обчислюють двічі інтегруючи частинами. Наведемотакож приклад розкладання раціонального дробу, що проілюст-

рує ще одне застосування КЧ. Розкладаючи дріб))(( 11

12 −+ xx

на

найпростіші12 +

+x

BAx+

)( 1−x

C, для визначення коефіцієнтів ма-

тимемо таку тотожність: (Ax+B) (x-1) + C (x2+1) = 1. Поклавшитут x=i та, записавши умову рівності КЧ -A-B + (-A+B) i = 1, ви-значимо A і B як розв’язки системи лінійних рівнянь. Розглянутіприклади ілюструють лише найпростіші застосування КЧ. У на-ступному необхідні дещо складніші перетворення. Розглянемо

інтеграли ∫ + 22 ax

dx=

a

xarctg

a

1+C та ∫ − 22 bx

dx=

bx

bx

b +−

ln2

1+C.

Прирівнюючи праві частини записаних двох рівностей при a = 1,

b = i, отримуємо рівність arctg x =ix

ix

i +−

ln2

1+C, що зв’язує еле-

234

ментарні функції, не зв’язані між собою без задіяння КЧ. На ос-нові формальної рівності маємо:

Невідому s знайдемо з умови рівності аргументів:

))((

))((22 11 yx

iyix

is

is

++

−−=+−

.

Позначення pyx

iyix =++

−−

))((

))((22 11

дозволяє записати вираз

для s у виглядіp

pis

−+=

1

1, звідки після тотожних перетворень

запишемо таку рівність:

))(()())((

)())((2222

22

111111

111

yxxy

yx

yxixyyx

yxixyyxs

+++−

+=+++−++

+−−+++=

Отже, визначивши s, маємо формулу

))(( 22 1112

yxxy

yxarctgyarctgxarctg

+++−

+=+ ,

уперше отриману в [1], і прокоментовану там як «несподівано,але факт». Зауважимо, що у наведених міркуваннях не записанодовільну сталу, і рівності арктангенса й логарифма є правильни-ми з точністю до сталої, значення якої знаходимо у кінцевій фо-рмулі, надаючи конкретного значення змінним. Наявність конс-танти вказує на многозначність логарифмічної функції при пере-ході до комплексних аргументів. Многозначність же арктангенсаможна пояснити і без застосування комплексної змінної як мно-жину обернених функцій до функції y = tg x для кожного k та x

∈ [-2

π+ kπ;

2

π+ kπ].

Література1. Акулов О.В. Нові формули // Матем. в шк. – 1999. – № 2. –С. 25.2. Соколовский Ю.И. Онтодидактический арсенал методики ма-тематики // Сборник научно-методических статей по математике(Проблемы преподавания математики в вузах). 1974, вып. 4,с. 29–37.

235

УЗАГАЛЬНЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗНАНЬ

А.О. Розуменком. Суми, Сумський державний педагогічний університет

Курс геометрії, який вивчають студенти математичних спе-ціальностей педагогічних вищих навчальних закладів, міcтитьтакі розділи: аналітична геометрія, проективна геометрія, дифе-ренціальна геометрія та елементи топології, основи геометрії.Кожний розділ вивчається протягом одного навчального семест-ру. Внаслідок цього у деяких студентів формується неправильнеуявлення про те, що різні розділи геометрії взагалі не пов’язаніміж собою. Щоб уникнути цієї ситуації викладач повинен приді-ляти особливу увагу засвоєнню суті методів, що використову-ються в тому чи іншому геометричних розділах, усвідомленнювзаємозв’язків між окремими поняттями, темами, формуваннюсистеми знань.

Часто ми вимагаємо від студентів точного відтворення дове-дення того чи іншого факту, чіткого формулювання означень,розв’язання типової задачі. При цьому не вистачає часу на голо-вне, що на наш погляд є усвідомленням основних ідей геометри-чної науки.

При вивченні кожного розділу геометрії доцільно демон-струвати загальні висновки і частинні випадки, спеціально роз-глядати різні класифікації понять.

Найбільш плідною з точки зору узагальнення знань студен-тів є проективна геометрія. При вивченні курсу аналітичної гео-метрії студенти знайомляться з поняттями перетворень площини,перетворень простору. З курсу алгебри їм відомі поняття групи,підгрупи. Ще до початку вивчення проективної геометрії дово-дяться твердження про те, що перетворення площини утворюютьгрупу (відносно операції “композиція”); множини перетвореньруху і подібності є підгрупами даної групи. Тому після введенняпоняття проективних перетворень, доведення того факту, щомножина проективних перетворень площини відносно операції“композиція” утворює групу, природнім стає питання: якпов’язані між собою відомі групи перетворень з проективними?

Обґрунтування відповіді на це питання доцільно провести за

236

такою схемою:1. Історичні зауваження.2. Загальна характеристика геометрії як теорії інваріантів

відповідної групи перетворень.3. Проективна група та її основні підгрупи. Інваріанти прое-

ктивної групи.4. Афінна група. Інваріанти афінної групи.5. Ортогональна група. Інваріанти ортогональної групи.В результаті такого “дослідження” необхідно підвести сту-

дентів до висновку про те, що проективна геометрія є більш за-гальною по відношенню до елементарної (евклідової) геометрії.Разом з тим клас об’єктів, що вивчає проективна геометрія єбільш вузьким порівняно з елементарною. В елементарній гео-метрії можна розглядати і афінні об’єкти (просте відношеннятрьох точок прямої, паралельність, тощо) і проективні (складневідношення чотирьох точок прямої, тощо). Навпаки, проективнагеометрія не розглядає афінні властивості фігур, а в афінній гео-метрії не розглядаються метричні властивості. Чим ширша гру-па, що лежить в основі геометрії, тим вужчий клас геометричнихоб’єктів. Але при цьому властивості фігур, які інваріантні відно-сно проективної групи, є більш “стійкими”, порівняно з власти-востями фігур, які інваріантні відносно будь-якої її підгрупи.

Ці загальні твердження доцільно продемонструвати на при-кладі класифікацій кривих другого порядку з точки зору проек-тивної та афінної геометрій. У проективній геометрії розрізня-ють вироджені і невироджені лінії другого порядку. В афіннійплощині інша класифікація. Тут розрізняють три види невиро-джених ліній другого порядку і два види вироджених.

На наш погляд, ґрунтовне вивчення теоретико-множинногопідходу до побудови геометрії, сприяє формуванню науковогосвітогляду, засвоєнню провідних ідей науки, які є золотим фон-дом математики.

Література1. Семенович О.Ф. Геометрія. Групи перетворень. – К.: Рад.

шк., 1971. – 279 с.

237

МАТЕМАТИЧЕСКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ В УСЛОВИЯХ КОНТРАКТНОЙ

СИСТЕМЫОБРАЗОВАНИЯ

В.М. Серебреников, В.В. Серебрениковаг. Кривой Рог, Криворожский технический университет

Введение контрактной системы образования привело к осо-бенностям обучения студентов фундаментальным дисциплинам.Это связано, прежде всего, с наличием в студенческих группахдвух категорий студентов: «бюджетников» и «контрактников»,которые резко отличаются уровнем начальной подготовки пофундаментальным дисциплинам, а, следовательно, и способно-стью к обучению этим дисциплинам. Эта разнородность составастудентов выдвигает как одну из проблем анализ результатовобучения студентов фундаментальным дисциплинам. Такой ана-лиз даст возможность указать пути, позволяющие улучшить обу-чение студентов фундаментальным дисциплинам в условияхконтрактной системы образования.

Как один из подходов решения поставленной проблемыпредлагается математическое моделирование результатов обуче-ния студентов на основе теории марковских цепей [1].

Рассмотрим группу студентов, состоящую из «бюджетни-ков» и «контрактников».

Возможные состояния студента в экзаменационную сессиютаковы:

S1 – экзамен не сдавался;S2, S3, S4, S5 – экзамен сдан на “неудовлетворительно”,

“удовлетворительно”, “хорошо”, “отлично”, соответственно.Перед экзаменом студент находится в состоянии S1.Вероятности перехода из состояния Sl в состояние Sk обо-

значим P(i)lk, где i=1 соответствует студенту – «бюджетнику», а

i=2 – студенту – «контрактнику».Очевидно, что P(i)

ll соответствует тому, что оценка студентане изменилась при пересдаче экзамена.

Размеченный граф состояний студента в период сдачи экза-мена представлен на рис. 1.

238

Рис. 1.

Переходные вероятности, отмеченные на рис. 1, могут бытьпредставлены в виде матрицы:

=

10000

000

00

0

4544

353433

25242322

1514131211

)()(

)()()(

)()()()(

)()()()()(

)(

ii

iii

iiii

iiiii

i

PP

PPP

PPPP

PPPPP

P (1)

Зная матрицу (1), можно рассчитать вероятность состоянияSl студента после k-того раза сдачи экзамена:

,*)()( )()()( ∑=

−=5

1

1j

i

jl

i

j

i

l PkPKP (2)

где l = 1, 2, 3, 4, 5.Тогда среднее число студентов, находящихся в состоянии Sl

после k-того раза сдачи экзамена, находится по формуле:),(*)( )()()( kPnkn i

lii

l = (3)

где n(1), n(2) – число “бюджетников”, “контрактников” в студенче-ской группе, соответственно.

Математическая модель, представленная формулами (1), (2),(3), позволяет рассчитать число задолжников после k-того раза

239

сдачи экзамена:

).(*)(2

1

)(2

)(2 kPnkn

i

ii∑=

=

Тогда число студентов, сдавших экзамен после k-того разасдачи, равно:

),()( 2 knnkn −=где )2()1( nnn += – общее число студентов в группе.

Математическое моделирование результатов обучения сту-дентов в группах, состоящих из «бюджетников» и «контрактни-ков», показало, что среднее число студентов-задолжников опре-деляется в основном числом «контрактников». Отмечена такжетенденция, связанная с тем, что снижение требований на экзаме-нах путем «завышения» оценок приводит к уменьшению значе-ний переходных вероятностей в матрице (1), что вызывает в по-следующем рост числа студентов-задолжников, формируя нега-тивное отношение к обучению данной дисциплине.

Анализ проведенного математического моделирования пока-зывает, что для достижения заданного качества обучения сту-дентов фундаментальным дисциплинам необходимо выдержи-вать в студенческих группах определённое соотношение междучислом «бюджетников» и «контрактников». Величина такогосоотношения определяется в конечном итоге матрицами пере-ходных вероятностей для каждой категории студентов.

Литература1. Вентцель Е.С. Исследование операций. –М.: Наука, 1970.

240

ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯМАТЕМАТИКИВ ТЕХНИКУМЕ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ

И.М. Симкинаг.Мариуполь, Индустриальный техникум Приазовского государ-

ственного технического университета

Начиная с 1996/97 учебного года, курс математики в вузахпервого уровня аккредитации на базе неполной средней школыразделен на две дисциплины: математика и высшая математика(или основы высшей математики – название зависит от специ-альности). Преподавание каждого из указанных курсов передпреподавателем математики ставит свои проблемы.

На первом курсе на изучение математики программой отве-дено 216 часов. За указанное количество времени студентам не-обходимо изучить и освоить материал 10 – 11 классов. Простойрасчет показывает, что в техникумах на изучение материала од-ного школьного года отводится по 108 часов, что не соответст-вует даже количеству часов, отведенных на математику в сред-них учебных заведениях и классах гуманитарного профиля. По-явление в техникумах студентов, обучающихся на контрактнойоснове, еще более усложнило ситуацию. При этом перед препо-давателем в каждом семестре первого курса встают свои про-блемы.

В первом семестре первого курса преподаватель математикисовместно с преподавателями других дисциплин должен помочьадаптироваться студентам к новым для них требованиям. Дляэтого необходимо развить у студентов умение восприниматьбольшой объем и сложное содержание изучаемого материала;научить слушать и записывать лекции одновременно; ознако-мить с новыми формами контроля; подготовить студентов к са-мостоятельному изучению нового материала. Для повышенияинтереса студентов к выбранной профессии преподаватель ма-тематики должен акцентировать внимание учащихся на приме-рах, непосредственно связанных с их возможным трудовым бу-дущим. Для этого постоянно использовать межпредметные связикак с базовыми, так и со специальными дисциплинами.

Во втором семестре первого курса в преподавании матема-

241

тики наряду с перечисленными проблемами встает проблемаобучения студентов самостоятельной работе над заданным мате-риалом, чему в школах, к сожалению, не уделяют должного вни-мания.

На втором курсе техникума на всех предметах от 1/3 до 2/3часов отведено на самостоятельную работу студентов. При этомвозраст студентов второго курса техникума (на базе неполнойсредней школы) соответствует возрасту учеников 11 класса шко-лы, в обучении которых нет специально отведенных часов длясамостоятельной работы.

В первом семестре второго курса при изучении высшей ма-тематики перед преподавателем возникают следующие пробле-мы:− малое количество часов (на данном этапе – 60–70 аудитор-

ных часов);− большое количество изучаемого материала;− низкий уровень знаний студентов при изучении определен-

ных тем высшей математики;− заполнение часов самостоятельной работы;− появление студентов – выпускников 11 классов школ, для

которых характерны проблемы первого курса техникума.Каковы решения перечисленных проблем? Преподавателю

математики и высшей математики необходимо:1. Выбрать разделы, используемые специалистами данной про-

фессии.2. Определить необходимый математический материал по каж-

дому предмету, изучаемому в техникуме на данной специ-альности.

3. Определить математический уровень студентов, обучающих-ся на данной специальности.

4. Разработать программу изучения математики для конкретнойспециальности.

5. Скорректировать полученную программу с программой поматематике, утвержденной министерством образования инауки Украины.

6. Разработать рабочую программу курса, распределив ото-бранные разделы по времени изучения и количеству часов.

7. Разработать каждый отобранный раздел курса. Для этого не-

242

обходимо:A. определить уровень научности при изучении каждой темы:

приводить ли строгие математические определения и дока-зательства, возможно ли дать лишь обоснования, подтвердивих на примерах или геометрически, или отдать предпочтениерецептурному методу;

B. разработать конспект лекций по каждой теме, уделив особоевнимание межпредметным связям;

C. отобрать задачи, необходимые для демонстрации особенно-стей данной темы и ее применение в будущей специализациистудентов;

D. отобрать задания для отработки умений и навыков, необхо-димых в данной теме;

E. определить методы контроля за уровнем понимания и усвое-ния изучаемого материала;

F. создать раздаточный материал.G. Из разработанных разделов и тем отобрать материал, кото-

рый возможно выдать на самостоятельное изучение студен-там.

H. Отобрать задачи для самостоятельного решения.I. В связи с развитием производства и возникновением новых

математических элементов в каждой специальности препо-давателю математики необходимо корректировать отобран-ный теоретический и практический материал.

J. В связи с быстрой компьютеризацией производства в препо-давании математики желательно включать элементы компь-ютерных технологий.К сожалению, преподавателю математики невозможно раз-

бираться в спецификах всех специальностей, студентам которыхпреподается математика. Для изучения потребностей конкретнойспециальности в математическом аппарате необходима объеди-ненная работа всех преподавателей техникума. Эта работа выхо-дит за рамки обязанностей преподавателей, поэтому такая работачасто держится лишь на энтузиазме отдельных преподавателей.Другой путь решения этой же проблемы – изучение учебников икниг профильных предметов. Но и он не свободен от недостат-ков, т.к. не позволяет преодолеть различия математических под-ходов в преподавании (к примеру, перевод комплексного числа в

243

показательную форму можно осуществить через нахождение си-нуса и косинуса аргумента, а можно найти тангенс аргумента -необходимо согласовывать преподавателю математики и элек-тротехники) и различие в терминологии (например, в математикесистемы решаются методом Крамера, а в прикладных науках –методом определителей. Специалисту понятно, что это одно итоже, но студенту – нет).

Выяснение математического уровня студентов определеннойспециальности, разработка и корректировка рабочей программыкурса, составление и корректировка конспектов лекций и подборзадач – очень длительный и трудоемкий процесс. Но наибольшиезатруднения возникают перед преподавателем при трактовке ма-тематических понятий элементами будущей профессии студен-тов. Эти затруднения продиктованы не только проблемами зна-ний преподавателя, но и проблемами знаний студентов. Как бы-ло сказано выше, математика и высшая математика изучаютсястудентами на младших курсах наряду с физикой, химией, ин-форматикой и т.д., о своей будущей профессии студенты знаютлишь понаслышке, так как выбор профессии осуществляетсячасто под влиянием родных, знакомых, друзей. При этом ком-ментарии преподавателя математики должны быть понятны сту-дентам и не расходится с теми знаниями, которые они получатна старших курсах от специалистов. Может быть, в этой ситуа-ции проще не профилировать знания математики, приводитьлишь примеры из уже известных студентам предметов? Для по-вышения заинтересованности студентов к будущей специально-сти, для повышения мотивации студентов в изучении математи-ки, для обобщения полученных знаний при изучении различныхпредметов, для активизации мыслительной деятельности студен-тов (причины можно перечислять и далее) внедрение профес-сиональных компонентов представляется целесообразным.

Наибольшие трудности и у преподавателя и у студентов вы-зывают задачи практического содержания. Для преподавателя,во-первых, составляет проблему найти задачи по данной теменужного уровня (обычно такие задачи в литературе поверхност-ны, используют ошибочную терминологию и символику), во-вторых, требуют использовать метод математического модели-рования, который сложен для понимания студентов.

244

Как же успеть на занятиях решить поставленные проблемы?Для экономии времени и обучения студентов самостоятельнойработе преподаватель математики должен заранее подготовитьконспекты лекций, с помощью которых можно на занятиях объ-яснять новый материал без ненужных повторений для записи вконспект. В качестве домашнего задания, в этом случае, студен-ты получают проработать и законспектировать изученную тему.

В настоящее время для контроля знаний, повышения моти-вации обучения, проведения самостоятельной работы студентов,закрепления навыков на занятиях по математике используютсяинформационные технологии. Это и компьютерные вариантыконспектов лекций, и демонстрация необходимых элементов вдинамике (например, преобразования графиков функций), икомпьютерные тесты, и обучающие программы, и дидактическиекомпьютерные игры. Подготовка таких программ очень трудо-емка и требует специальных знаний и в математике, и в про-граммировании. Необходимо также учесть рекомендации психо-логов по размещению текста на экране, по цветовой гамме, поиспользованию символов. Преимуществом же является заинте-ресованность студентов, долговременность использования, лег-кая корректировка материала.

В индустриальном техникуме ПГТУ был проведен экспери-мент по внедрению в обучение разделов высшей математики не-обходимых студентам различных специальностей, составлениюпрограммы и рабочей программы по высшей математике, вне-дрению готовых конспектов лекций и на занятиях, и при само-стоятельной работе, а также применение компьютерных техно-логий при обучении математике. В результате эксперимента по-высилась успеваемость и качество знаний по профессиональнымпредметам. Анкетирование преподавателей профессиональных испециальных дисциплин показало появление большей заинтере-сованности студентов, появления возможности усложнения пре-подаваемого курса.

В данной работе рассмотрены некоторые из существующихпроблем, решаемых преподавателями математики в техникумах.Для продолжения учебы в высших учебных заведениях выпуск-никам техникума необходимы знания по высшей математике,что ставит перед преподавателем техникума новые задачи.

245

О НЕОБХОДИМОСТИ ЛИКВИДАЦИИ ПРОБЕЛОВШКОЛЬНОГО КУРСАМАТЕМАТИКИ У СТУДЕНТОВ

ПЕРВОГО ГОДА ОБУЧЕНИЯ

И.А. Смагинаг. Алчевск, Донбасский горно-металлургический институт

Info@dgmi.ivc.com.ua

Последние годы в связи с упадком горной промышленностина горный факультет абитуриенты идут неохотно, и следствиемэтого является слабый контингент учащихся. Таким образом,вопрос о качестве подготовки кадров по этой специальностистоит остро.

Основная задача высшей школы не только построить фун-дамент математических знаний для изучения специальных пред-метов, но и укрепить основу, на которой он воздвигается. По-скольку школа в большинстве случаев не дает глубоких базовыхзнаний, рекомендуется проводить занятия по ликвидации пробе-лов школьного курса. Это будет эффективным, если будут учи-тываться индивидуальные особенности восприятия и базовойподготовки студентов.

На первом занятии следует провести контрольную работу попроверке остаточных школьных знаний, результаты которой по-зволят сделать вывод о необходимых путях и методах работы сданной группой.

На основании опыта работы со студентами горного факуль-тета и изучения их школьной подготовки на кафедре высшей ма-тематики ДГМИ разработаны «Методические указания по лик-видации пробелов школьного курса».

Первые две-три недели учебного семестра предлагается уде-лить ликвидации пробелов, т.е. больше времени отвести на по-вторение тех разделов школьного курса, которые непосредст-венно нужны студентам: решение линейных и квадратных урав-нений, вычисление дробей, решение неравенств, знание триго-нометрических функций, построение графиков элементарныхфункций. После чего проводится опять срез знаний.

Студентам, написавшим контрольную неудовлетворительно,предлагается проведение теперь уже факультативных занятий

246

или консультаций, на которых они смогут в индивидуальном по-рядке освоить те темы, которые для них наиболее трудны.

Но так как студентов надо приучать работать и самостоя-тельно, то на этом этапе необходимо предлагать индивидуаль-ные домашние задания различного уровня сложности в зависи-мости от их подготовки.

При кажущейся потере времени, такой опыт ликвидациипробелов школьного курса позволяет студентам достаточно ус-пешно в дальнейшем усваивать программу высшей школы.

247

МОДУЛЬНА ТЕХНОЛОГIЯОРГАНIЗАЦIЇ НАВЧАЛЬНОГО ПРОЦЕСУ

I.М. Сулима, I.I. Ковтун, I.А. Нiкiтiнам. Київ, Нацiональний аграрний унiверситет

ira@otblesk.com

В сучасних умовах змiни соцiально-економiчного середови-ща перед вищою школою повстало завдання пiдготовки такихспецiалiстiв, якi б користувалися попитом на ринку працi абоготувалися за попереднiми договорами з пiдприємствами. Цепотребує розробки нових технологiй органiзацiї навчальногопроцесу, напрямлених на формування спецiалiстiв, здатних ак-тивно i систематично оволодiвати новими знаннями. З’явиласянагальна потреба вiдмовитися вiд традицiйних пасивних формпроведення занять i перейти до нестандартних методiвiндивiдуального навчання.

Навчальний процес потрiбно органiзувати так, щоб студентсамостiйно оцiнював свiй рiвень пiдготовки, визначав рiвень за-своєння знань (не нижче визначеного мiнiмуму), одержував бизадоволення вiд навчання.

Необхiдно сформувати майбутнього спецiалiста i як творчомислячу особистість, що неможливо без всебiчного розвитку йо-го пiзнавальної активностi, якiй притаманнi такi якостi:

• наявнiсть пiзнавальної потреби;• глибоке осмислення мотивiв пiзнавальної дiяльностi;• постiйне намагання одержувати новi знання;• оволодiння такими загальними iнтелектуальними опе-

рацiями, як аналiз, синтез, абстракцiя, узагальнення тощо;• оволодiння формами логiчного мислення i специфiчними

методами та прийомами, що характерні для даної дисциплiни;• самостiйнiсть у своїй дiяльностi i умiння оцiнювати ре-

зультати, а також багато iнших.Це означає, що в процесi навчання потрiбно намагатися ак-

тивiзувати усi механiзми дiяльностi iнтелекту студента.Процес навчання у вищiй школi – складний i рiзноманiтний

процес, що мiстить у собi рiзнi види дiяльностi. Важливо розви-нути i своєчасно направити пiзнавальнi потреби, бажання i

248

вмiння оволодiвати новими знаннями, розвинути початковi на-вички творчої роботи. Потреба розвитку самостiйного мисленняпроявляється не тiльки в умiннi розв’язувати новi проблеми, алеi в здатностi побачити цi проблеми самостiйно.

Система освiти у вищiй школi не може дати запасу знань навсе трудове життя. Можуть бути закладенi тiльки основи знань iвироблена здатнiсть до самоосвiти, здатнiсть сприймати новiiнформацiйнi технологiї, вмiння при необхiдностi впродовж сво-го життя оволодiвати i новими спецiальностями.

Важливим моментом у процесi формування системи знаньстудентiв, зокрема iнженерних спецiальностей, і вивчення фун-даментальної науки – математики, як iнструмента для вивченнянових спецiальних дисциплiн на базi математичного апарату, дляекспериментальних дослiджень i проектування, для яких по-трiбнi сучаснi математичнi методи обробки експериментальнихданих i математичного моделювання. Високий рiвень фундамен-тальної пiдготовки – запорука успiху в оволодiннi методами са-мостiйного пошуку i пiдбору спецiальних знань для їх реалiзацiїу практичнiй дiяльностi iнженера.

Пiзнавальна дiяльнiсть при пiдготовцi спецiалiста повиннаскладатися iз внутрiшнiх взаємопов’язаних дiй, логiчна по-слiдовнiсть яких приводить до встановлення нових зв’язкiв мiжокремими факторами. Результату можна досягти при органiзацiїцiлеспрямованої дiяльностi студента i створення йому умов длявключення у необхiдний темп роботи i пошуку потрiбних знань.

Однiєю з прогресивних технологiй навчання, що забезпечуєпоєднання активної самостiйної i аудиторної роботи, є модульно-рейтингова система органiзацiї навчального процесу [1–4].

На протязi останнiх рокiв викладачi кафедри вищої матема-тики застосовують модульно-рейтингову систему на факультетiмеханiзацiї НАУ.

Загальний курс вищої математики на цьому факультетi ви-кладається на протязi трьох семестрiв. У кожному семестрi єдекiлька логiчних блокiв (роздiлiв вищої математики). Їх i оби-рають за модулi. Навчальний модуль є iнтеграцiєю рiзних видiв iформ навчання.

Враховується:• ступiнь засвоєння теоретичного матерiалу;

249

• вмiння застосовувати набутi знання до розв’язання прак-тичних задач;

• якiсть та термiни виконання iндивiдуальних завдань;• розв’язування додаткових, бiльш складних задач;• здача колоквiумiв;• пiдготовка i захист рефератiв;• участь у студентських наукових конференцiях;• участь в олiмпiадах серед студентiв НАУ та рес-публiканських олімпіадах;

• виготовлення стендiв, посiбникiв тощо;• участь у науково-дослiднiй роботi на кафедрi.Перед вивченням дисциплiни студентiв знайомлять iз систе-

мою оцiнки їх роботи, показниками оцiнки кожного виду роботи.Вивчення матерiалу в обсязi модуля забезпечується пiд час

аудиторних занять i за рахунок самостiйної роботи студентiв. Закожен модуль виставляється певна кiлькiсть балiв.

Навчальний рейтинг, як iнтегральний iндекс студента, єоб’єктивною оцiнкою дiяльностi студента. Вiн має такожсоцiально-психологiчне навантаження, активно впливає на хара-ктер навчального процесу, дає бiльш високий рiвень пiдготовкиспецiалiста.

Рейтингова оцiнка вiдрiзняється вiд традицiйної бiльш ши-роким iнтервалом балiв, якi, в свою чергу, диференцiйованi взалежностi вiд складностi матерiалу, що вивчається.

За допомогою цiєї оцiнки можна об’єктивно оцiнити знаннястудента навiть без здачi екзамену.

Наведемо як приклад модулi третього семестру.У вiдповiдностi з навчальною програмою для iнженерних

факультетiв аграрних унiверситетiв i iнститутiв третiй семестрмає 15 тижнiв. Щотижня 4 години читаються лекцiї i 4 годинипроводяться практичнi заняття, тобто аудиторнi заняття склада-ють 120 годин. Ця кiлькiсть годин приймається за кiлькiстьбалiв, якi студент може набрати на протязi третього семестру.

У вiдповiдностi з набраними балами оцiнки можуть бути та-кими: “вiдмiнно” – за 104–120 балiв, “добре” – за 87–103 бала,“задовiльно” – за 70–85 балiв.

У третьому семестрi пропонуються такi модулi.Модуль 1. Кратнi та криволiнiйнi iнтеграли

250

• Типовий розрахунок (ТР) “Кратнi та криволiнiйнiiнтеграли” – 15 балiв;

• Контрольна робота (КР) “Кратнi iнтеграли” – 5 балiв;• КР “Криволiнiйнi iнтеграли” – 5 балiв;• Поточна робота – 5 балiв;• Колоквiум – 10 балiв.Отже, сума балiв за перший модуль складає 40 балiв.Модуль 2. Диференцiальнi рiвняння• ТР “Диференцiальнi рiвняння” – 10 балiв;• КР “Диференцiальнi рiвняння першого порядку” – 5

балiв;• КР “Диференцiальнi рiвняння другого порядку” – 5 балiв;• Поточна робота – 5 балiв;• Колоквiум – 10 балiв.Отже, сума балiв за другий модуль складає 35 балiв.Модуль 3. Ряди.• ТР “Ряди” – 10 балiв;• КР “Числовi ряди” – 5 балiв;• КР “Функцiональнi ряди” – 5 балiв;Поточна робота – 5 балiв.Отже, сума балiв за третiй модуль складає 25 балiв.До здачi екзамену допускаються студенти, якi виконали

iндивiдуальнi завдання i типовi розрахунки (хоча б частково) танабрали не менше, нiж 50 балiв. Найвища оцiнка на iспитi скла-дає 20 балiв.

Як видно iз пiдрахунку балiв, найбiльша кiлькiсть балiв, якуможе набрати студент, систематично виконуючи завдання, скла-дає 100 балiв, тобто оцiнити знання студента можна тiльки на“добре”. Якщо студент не набрав вiдповiдної кiлькостi балiв, вiнможе здавати iспит та одержати вiдповiдну оцiнку за вiдповiдьна iспитi.

Додаткову кiлькiсть балiв (для оцiнок “вiдмiнно” та “добре”)можна дiстати за такi роботи:

• дострокова здача завдань;• виконання додаткових, бiльш складних, нiж типовi, за-вдань;

• участь у студентських конференцiях iз пiдготовленою

251

доповiддю;• участь у студентських олiмпiадах рiзних рiвнiв.Ця система органiзацiї навчального процесу викликає змiни

у психологiї студента. Вiн змушений працювати самостiйно, сис-тематично, iнiцiативно на протязi всього семестру, iнакше незможе набрати необхiдної кiлькостi балiв.

З’являється також можливiсть переводити студента на бiльшвисокий рiвень навчання, що особливо актуально при багатосту-пеневiй пiдготовцi фахiвцiв: бакалавр, спецiалiст, магiстр.

Пiдвищується якiсть знань студентiв, з’являєтьсязацiкавленiсть у заняттях, стимул до навчання. Студентам нада-ється можливiсть продовжити семестровi канiкули за рахунокбезсесiйного навчання.

Навчальний процес стає ритмiчним, активiзується само-стiйна робота студентiв з лiтературою. Забезпечуєтьсяiндивiдуалiзацiя та iнтенсифiкацiя навчального процесу.

Викладач виступає в ролi не тiльки iнформатора, передавачазнань, а i у ролi органiзатора творчої дiяльностi та самостiйноїроботи студентiв.

Результати опитування показують, що модульно-рейтинговасистема користується популярнiстю у студентiв.

Розглянута технологiя органiзацiї навчального процесу по-зитивно впливає на розвиток пiзнавальних потреб студентiв,пiдвищує рiвень оволодiння загальними iнтелектуальними опе-рацiями, виховує математичну акуратнiсть.

Стимулюються всi сторони навчальної дiяльностi студентiв,пiдвищується рiвень навчально-методичної роботи викладача,якiсть пiдготовки спецiалiстiв, здатних сприймати новiiнформацiйнi технологiї.

Лiтература:1. Сулима I.М., Ковтун I.I., Нiкiтiна I.А. Про модульну техно-логiю викладання вищої математики // Тези конференцiї“Iнформацiйнi технологiї в процесi пiдготовки спецiалiстiввищої квалiфiкацiї”. – Кострома, 1999. – С. 18-19 (рос. мо-вою).

2. Ковтун I.I., Нiкiтiна I.А. Застосування модульно-рейтинговоїсистеми оцiнки знань студентiв при вивченнi курсу вищої ма-

252

тематики // Матерiали Шостої Мiжнародної конференцiї iменiакадемiка М. Кравчука. – Київ, 1997. – С. 204.

3. Сулима I.М., Ковтун I.I., Нiкiтiна I.А. Модульно-рейтинговатехнологiя навчання студентiв та контроль їх знань // ТезиВсеукраїнської науково-методичної конференцiї“Математика. Актуальнi проблеми навчання, викладання i за-стосування у науковiй та iнженернiй дiяльностi”. – Львiв,2000. – С. 20-22.

4. Ковтун I.I., Нiкiтiна I.А. Про один спосiб управлiнняпiзнавальною дiяльнiстю студентiв // Збiрник “Математика.Комп’ютер. Освiта”, вип. 6, ч. 1. – М.: Прогрес-Традицiя,1999. – С. 74-76 (рос. мовою).

253

СПОСІБ НЕВ’ЯЗКИ (ВІДХИЛУ)РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕРІВНОСТІ

С.П. Ткаченко1, З.Ю. Філер2

1 м. Кіровоград, Технікум Кіровоградського державного техніч-ного університету

2 м. Кіровоград, Кіровоградський державний педагогічний уні-верситет ім. Володимира Винниченка

Вступаючи до ВУЗів, діти продовжують мати справу з нері-вностями і здебільшого при їх розв’язанні використовують вмін-ня та навички, набуті ще у шкільні роки, але цього виявляєтьсязамало при вивченні класичних нерівностей, при доведенні абодослідженні нерівностей та застосуванні нерівностей у різнихгалузях науки та техніки. Учні краще сприймають і пам’ятаютьрівняння. Тому пропонуємо допомогти їм у цьому завдяки зве-денню задачі про розв’язання нерівності до розв’язання рівнянняз врахуванням нев’язки (різниці між лівою й правою частинаминерівності). Це внесе структуризацію в множину розв’язків нері-вності, і дасть змогу відповісти на питання не тільки, де викону-ється нерівність ϕ (х) < ψ (x), але й наскільки менше ϕ (х), ніж ψ(x) при знайденому х, тобто чому дорівнює r(x) = ψ (x) – ϕ (х),точніше яке х відповідає прийнятому r>0.

Приклад 1. Розв’язати нерівність 2x – 3 < 5.Прирівнявши обидві частини нерівності, додамо зліва число

r > 0: 2x – 3 + + r = 5. Тепер використаємо відомий алгоритмрозв’язування лінійних рівнянь:

2/48352 rxrrx −=⇒−=−+= .Таким чином, розв’язок – це множина М х-ів, які представ-

ляються формулою 2/4 rx −= , при r > 0:}0|2/4{ >−=∈ rrMx .

За допомогою параметра r, який являється нев’язкою в да-ній нерівності, множина розв’язків структурована: кожному r > 0ставиться у відповідність єдиний х(r), який задовольняє данійнерівності. Наприклад, при r = 4, маємо х = 2 (мал. 1а). Даниймалюнок відображає розв’язки, які отримуються й без викорис-тання нев’язки й структуризація розв’язків не має чіткої наочно-сті. Тому зобразимо розв’язки, виходячи з того, що х залежить

254

від нев’язки r (мал. 1б). Можна було врахувати функціональнузалежність х(r) і поміняти осі місцями, але в даному випадку зо-браження розв’язків наочно не відходить від загальноприйнято-го, що буде краще сприйматись учнями й до того ж матиме про-педевтичну сторону – підготовка учнів до побудови графіків х(у).

а)

б)Мал. 1.

Приклад 2. Розв’язати систему нерівностей 3х < 5, 5x > 4.Дана система еквівалентна системі рівнянь і нерівностей:

3х + r = 5, 5x = 4 + + s, r > 0, s > 0. З рівнянь знаходимоx = (5 – r)/3 = (4 + s)/5, звідки

0513

03

513)5(

35

45

43

5rr

rsrs

sr =<⇒>−=⇒−=+⇒+=−

.

Це дає розв’язок системи нерівностей у вигляді:{ } { }3/130|5/)4(5/130|3/)5( <<+=<<−∈ ssrrx .

Другу форму відповіді неважко отримати, міркуючи анало-гічно. Відповідь дає більшу інформацію, ніж традиційно прийня-та: не тільки, де лежать х, які задовольняють дану систему, але йнаскільки більше або менше відповідні вирази при конкретнихзначеннях х. При цьому ще й указується верхні межі нев’язок r.Ситуацію пояснює мал. 2.

255

Мал. 2.

Як бачимо, розв’язки знаходяться на інтервалі (4/5; 5/3), алевони чітко структуровані для вибраних параметрів r > 0 або s > 0.

Нагадаємо, що зміст поняття “нерівність” можна розкрититак: “Два вирази, сполучені знаком <, > або ≤, ≥ утворюють нері-вність”. А розв’язати нерівність – означає вказати дійсні (абокомплексні) значення невідомих, для яких ця нерівність справ-джується. Саме поява комплексних розв’язків нерівності, зокре-ма, при використанні даного способу нев’язки при розв’язуанніквадратних або двочленних нерівностей [1; 2] викликає здиву-вання і навіть помилки в більшості вчителів, коли вони вчатьучнів казати “немає розв’язків” замість “немає дійснихрозв’язків”.

Приклад 3. Розв’язати нерівність х2 + 6х + 10 < 0.Розв’язками будуть комплексні числа, бо дискримінант

від’ємний, тому введемо нев’язку r > 0 і розв’яжемо систему:(х + 3)2 = – 1 – r, r > 0 ⇒ x + 3 = ± )1(1 r+− = ±i r+1 ,

x1(r) = – 3 +i r+1 , x2(r) = – 3 – i r+1 .Тоді загальний розв’язок нерівності можна записати так:

x∈{ –3–i r+1 , –3+i r+1 | r>0}.

( ) ( ) ( ) ( ) }0,13,13|,{ 2121 >+−−=++−=∈ rrirxrirxrxrxx

256

Ситуацію пояснює мал. 3. Зрозуміло, що із збільшенням rточка х1(r) буде рухатися вгору, а х2(r) – униз. Таким чином, дананерівність має комплексні розв’язки, геометрично зображеніоб’єднанням двох півосей, паралельних осі Im X.

Мал. 3.

ТаблицяРозв’язки нерівностей виду х2 + px + q V 0 (де V – це один із

знаків >, <, ≤ або ≥; p, q ∈ R), які отримуються при використанніметода нев’язки

DV D > 0 D = 0 D < 0

≥ 0

≤ 0

257

При розв’язанні інших квадратних нерівностей, навіть принаявності дійсних розв’язків, з’являються комплексні розв’язки.Узагальнену картину можна спостерігати в наведеній таблиці.

По вертикалі відкладено уявні частини розв’язків квадрат-них нерівностей, які необов’язково перетинають вісь Re X і мо-жуть розташовуватись з однієї сторони від осі Re X.

Виконаємо перевірку розв’язків даної нерівності. Підстави-мо х1(r) і х2(r):

.0001016181169

010)13(6)13( 2

=⇒=+++−−−+−⇒

⇒=+++−+++−

rirri

riri

.0001016181169

010)13(6)13( 2

=⇒=++−−−−++⇒

⇒=++−−++−−

rirri

riri

Отже, при підстановці розв’язків у нерівність отримуєтьсяправильна числова нерівність із дійсними числами, суто уявнічисла при цьому взаємознищуються.

Таким чином, даний метод зведення нерівностей до рівняньдозволяє структуризувати відповідь, що досить корисно для ма-шинної обробки й дозволяє зручно й легко отримати комплекснірозв’язки квадратних нерівностей, що допоможе при вивченнітеорій нерівностей та комплексних чисел. Даний метод дає мож-ливість узагальнити поняття нерівності, розглядаючи задачу їїрозв’язання як пошук образу за даними прообразом та закономвідображення.

Список використаної літератури1. Філер З.Е., Ткаченко С.П. Комплексные решения квадрат-

ного неравенства // Понтрягинские чтения – ХI. Тезисы докл. –Воронеж: ВГУ, 2000. – С. 142.

2. Філер З.Ю. Рівняння та нерівності в науці та навчанні //Математика, її застосування та викладання. Матер. міжвуз. регі-он. конф. (24-25.09.1999р.). – Кіровоград: КДПУ. – С. 141-145.

258

ВИКОРИСТАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ ІСТОРИЗМУПРИ ВИВЧЕННІ МАТЕМАТИКИ

П.І. Ульшин, С.В. Діордіцам. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний універси-

тет

Історія математики є важливим і необхідним елементом уповноцінному та якісному вивченні сучасної математики як увищих учбових, так і в середніх закладах освіти. Свідченнямцьому є багато різних фактів. Розглянемо деякі з них.

При вивченні теореми Піфагора не достатньо було б за-пам’ятати її твердження і доведення. Такий підхід у навчанні бувби вузьким і не сприяв би запам’ятанню на довго. Для розши-рення світогляду учнів потрібно обов’язково повідомити їм, щоцю теорему довів стародавній грецький вчений Піфагор у V ст.до н.е., показати прості й наочні доведення цієї теореми, розпові-сти пов’язані з нею легенди. При цьому можна відмітити, щотвердження цієї теореми без доведення, було викарбовано ваві-лонянами на клинописних табличках ще за 1200 років до Піфа-гора, а єгиптяни ще в ХХ ст.. до н.е. знали, що трикутник із сто-ронами: 3, 4, 5, – прямокутний і користувалися ним для побудо-ви прямих кутів при будівництві різних споруд. Такі повідом-лення свідчать про важливість теореми Піфагора.

При вивченні властивостей трикутників у курсі геометрії се-редньої школи серед інших розглядаються такі твердження:

1. Три бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетина-ються в одній точці, яка є центром вписаного кола.

2. Перпендикуляри, проведені через середини сторін трикут-ника, перетинаються в одній точці, яка є центром описаного ко-ла.

3. Три висоти трикутника перетинаються в одній точці.4 Три медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка

ділить кожну з них у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини.Про ці твердження можна повідомити наступне. Перші два з

них були з доведенням описані у творі Евкліда “Начала” (ІІІ ст.до н.е.), а третє й четверте були відомі Архімеду (ІІ ст. до н.е.),причому, точку перетину висот було названо ортоцентром (від

259

грецького слова “ортос” – прямий), а точку перетину медіан Ар-хімед назвав барицентром – центром ваги трикутника.

Вчені ХVIII ст. продовжили вивчати властивості трикутни-ків. У 1765 р. Л. Ейлер довів твердження: “У будь-якому трикут-нику ортоцентр, барицентр і центр описаного кола лежать на од-ній прямій”, яку пізніше було названо “прямою Ейлера”. У 20-хроках ХІХ ст. французькі математики Ж. Поснеле і Ш. Бріаншоннезалежно один від одного встановили твердження: “Основи ме-діан, основи висот і середин відрізків висот, які з’єднують орто-центр з вершинами трикутника, лежать на одному і тому ж колі,яке називається колом дев’яти точок”. К. Фейєрбах довів, щоцентр цього кола лежить на “прямій Ейлера”. Останні два твер-дження можуть зацікавити учнів і викликати бажання побудува-ти “коло дев’яти точок”.

У вищій математиці вивчаються ряди Фур’є. Цікавою булаісторія їх відкриття. Після довголітніх досліджень коливанняструни французький математик Ж. Фур’є у 1807 році без дове-дення, інтуїтивно сформулював теорему, за якою будь-яка дові-льна функція може бути представлена тригонометричним рядом.Він та його сучасники користувалися цим твердженням при до-слідженні функцій. Проте, видатній французький математикП. Лаплас застерігав, що не можна користуватися не доведенимтвердженням при обчисленнях. Лише в 1829 році цю теоремудовів математик П. Діріхле. Після цього ім’ям Фур’є була назва-на і його теорема, і тригонометричні ряди та їх коефіцієнти. Такінтуїція допомогла вченому зробити відкриття.

У 1853 році німецький геометр К. Польке інтуїтивно сфор-мулював і опублікував основну теорему аксонометрії, яка чита-ється так: Три відрізки довільної довжини, що лежать в однійплощині і виходять з однієї точки під довільними кутами один доодного, можна розглядати як паралельну проекцію просторовогоортонормованого репера { }kji ,, . Довів це твердження у 1860 ро-ці німецький математик Г. Шварц, і воно тепер зветься теоремоюПольке-Шварца. Як бачимо, К. Польке інтуїція не підвела. Отже,інтуїтивне відчуття результатів, поставленої проблеми прино-сить користь як для дослідника, так і для науки. У математиці єбагато таких проблем, які швидше розв’язати інтуїтивно, а потімможна зробити і строге доведення.

260

При вивченні алгебраїчного методу геометрії побудов за до-помогою циркуля та лінійки доцільно звернути увагу на те, щовін був обґрунтований древньогрецькими вченими у V ст. до н.е.,які застосовували його для розв’язування алгебраїчних рівняньпершого і другого степенів.

Обов’язково потрібно розв’язати задачу на золотий поділвідрізка, тобто поділ відрізка точкою на дві частини так, щоб бі-льша з них була середнім пропорційним між меншою частиною івсим відрізком. Такий поділ ще називають гармонічним. Він ви-конується циркулем та лінійкою при розв’язуванні рівняння дру-гого степеня: x2+ax–a2=0, де a – даний відрізок, х – більша йогочастина.

Після ефективного розв’язання поставленої задачі слід при-вести приклади широкого використання гармонічного поділу.Розповісти, що такий поділ виявлено у будові єгипетських піра-мід, у розміщенні колон шедевра архітектури Стародавньої Гре-ції – Парфеноні, у статуї Аполлона, на картинах Леонардо-да-Вінчі, Рафаеля, Шишкіна і ін. Слід відмітити, що про золотийподіл написано багато наукових статей і книг. Психологи вияви-ли цікаву властивість золотого поділу. Сприймання його дає лю-дині естетичну і духовну насолоду: розслаблення, спокій, душе-вну рівновагу і т.п.

Отже, використання історичних відомостей при вивченні су-часної математики сприяє розвитку світогляду школярів і студе-нтів, сприяє формуванню їхніх поглядів на цю дисципліну, про-буджує інтерес до її вивчення, стимулює появу інтуїції прирозв’язуванні теоретичних і практичних проблем, розвиває духо-вні цінності людини: математичне мислення, витонченість логіч-них міркувань, щиру повагу до видатних вчених минулого.

261

ГРАФІЧНI РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ

П.І. Ульшин, С.М. Пашенком. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний універси-

тет

Всі графічні методи розв’язування рівнянь у деякій мірі єнаближеними. Це випливає хоч би з того, що зображення точок іліній на площині завжди абстрактне, тобто таке, що не точновідповідає означенню.

Відмітимо, що окремі рівняння розв’язувалися за допомогоюгеометричних побудов ще в стародавні часи. Найбільшого роз-квіту досягли методи розв’язування рівнянь за допомогою цир-куля та лінійки у Стародавній Греції в елліністичний період: VI-Iст. до н.е.

Піфагорійці у V ст. до н.е. відкрили несумірні відрізки, тобтотакі, що не вимірюються раціональними числами. Крім раціона-льних і цілих чисел ніяких інших вони не знали. Дізнавшись, щозв’язок між відрізками будь-якої довжини можна встановити задопомогою відношень, вони замінили числові коефіцієнти рів-нянь відрізками і корені рівнянь знаходили у відрізках. Теоріювідношення відрізків розробив видатний грецький геометр Ев-докс. Так була створена геометрична алгебра.

Методами геометричної алгебри піфагорійці розв’язувалирівняння першого і другого степенів таких видів:

1) baxx =+ (b > a);

2) 222 bax += (a > b);

3) ,ayx =+ xy = b,

> b

a

2;

4) 022 =−+ aaxx та інші.Тут a і b – відрізки певної довжини, які відповідають цілим

або раціональним додатним числам. Від’ємні числа в той періодбули невідомі, і тому на від’ємні корені не зверталася увага. Як-що обидва корені одержувалися від’ємними, то рівняння вважа-лося нереальним або неправильно складеним.

Правильність розв’язку рівняння обґрунтовувалася застосу-ванням аксіом і правильних геометричних тверджень. Одержа-

262

ний розв’язок не завжди можна було виразити числом, оскількивін міг бути несумірним відрізком.

Відомо, що задача “про трисекцію кута”, яку піфагорійці до-вго намагалися розв’язувати циркулем і лінійкою, була зведенадо алгебраїчного рівняння третього степеня: x3 – 3x + a = 0, де а= 2соs α, x = 2соs ϕ, α = 3ϕ, де α – даний кут, ϕ – шуканий кут.

Вперше це рівняння було розв’язане видатним грецькимвченим Архімедом у II ст. до н.е., за допомогою розробленогоним методу “вкладок”. Користуючись циркулем і лінійкою здвома поділками, він точно побудував кут ϕ, а величину х знай-шов із прямокутного трикутника, в якому число 2 – гіпотенуза, х– катет і ϕ – гострий кут.

Розроблений Архімедом метод, був популярний довгий час.У XVI ст. його часто використовував видатний математикФ. Вієт для розв’язування рівнянь третього степеня.

У XI ст. видатний персидський математик Омар Хайям длярозв’язування кубічного рівняння: x3 + ax = b застосував “кoнічніперерізи”, відкриті Аполлонієм ще у III ст. до н.е. Він замінивдане рівняння рівняннями кола x2 + y2 = qx і параболи x2 = py, деa = p2 і b = p2q. Побудувавши на площині коло і параболу, вінвизначив невідоме х, як абсцису точки перетину кривих.

Аналогічно, за допомогою різних пар “конічних перерізів”,Омар Хайям розв’язав ще 14 типів рівнянь третього степеня зрізними коефіцієнтами.

За допомогою геометричних побудов корені рівнянь третьо-го і четвертого степенів знаходили і математики XVII століття.Так, для графічного розв’язування рівняння четвертого степеняz4 + z2 – 9 = 0 Р. Декарт, ввівши нову змінну, замінив його еквіва-лентною системою рівнянь параболи z2 = x і кола x2 + z2 = 9. Ко-ординати точок перетину кола і параболи визначають корені да-ного рівняння.

Графічними способами розв’язували рівняння третього і че-твертого степенів видатні математики П. Ферма, І. Ньютон,Г.Монж та інші.

Створений у XVII ст. координатний метод Р. Декарта спрос-тив графічне розв’язування рівнянь:

1). Якщо дано систему двох рівнянь з двома невідомими, тобудують графіки обох рівнянь і знаходять координати спільних

263

точок цих графіків. Одержані координати є розв’язками системи.2). Якщо алгебраїчне рівняння з одним невідомим має сте-

пінь вище першого, то вводять нову змінну, за допомогою якоїбудують систему двох рівнянь, еквівалентну даному рівнянню.Будують графіки рівнянь системи. Координати спільних точокграфіків і визначають розв’язок рівняння.

3). Якщо рівняння складається з двох частин: алгебраїчної ітрансцендентної (тобто тригонометричної або логарифмічної),то трансцендентну частину позначають новою змінною і одер-жують систему двох рівнянь з двома невідомими. Будують гра-фіки рівнянь цієї системи і знаходять координати спільних то-чок. Ці координати визначають розв’язок.

Використовуючи геометричний зміст похідної та інтегралу,розроблено графічний метод знаходження функцій, які єрозв’язками диференціальних рівнянь першого і другого поряд-ків.

Отже, графічне розв’язування рівнянь має довгу та цікаву іс-торію розвитку, і в сучасній математиці широко використовуєть-ся і продовжує розвиватись. Воно цінне тим, що унаочнює про-цес розв’язування рівнянь; запобігає виникненню помилок припобудові точних розв’язків; вказує проміжки на числовій вісі, детреба шукати розв’язки рівняння; наближено визначає функції,які є розв’язками диференціальних та інтегральних рівнянь.

Література:1. Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж Пути и лабиринты. Очеркипо истории математики. –М.:Мир, 1986. – 432 с.

264

ОБ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫПО ВЫСШЕЙМАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВНЕМАТЕМАТИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

С.В. Уткинаг. Кривой Рог, Криворожский государственный педагогический

университет

Дисциплина «Высшая математика» учебными планами длянематематических специальностей высших учебных заведенийтрадиционно отнесена к циклу фундаментальных дисциплин.Восприятие программного материала этой дисциплины требуетдостаточно высокого уровня математической подготовки за курссредней школы. Отсутствие такового в большей части студентовпервых курсов инженерно-педагогических специальностей спервых шагов изучения этой дисциплины вызывает негативноеотношение к процессу усвоения курса «Высшая математика».Поэтому с самого начала изучение этого курса возникает про-блема преодоления психологического барьера: страх перед появ-лением новых математических понятий и закономерностей и бо-язнь повторения бессилия перед усвоением новых фактов.

Все вышесказанное и должно предопределять специфику ор-ганизации самостоятельной работы студентов нематематическихспециальностей.

Определенный опыт работы с таким контингентом студен-тов позволил нам определиться по формам и методам организа-ции познавательной деятельности студентов при изучении дис-циплины «Высшая математика» на инженерно-педагогическомфакультете. Основной формой организации самостоятельнойработы были избраны домашние творческие работы (ДТР) попять шесть работ в каждом учебном семестре. Термин «творче-ская работа» воспринимается студентами как некоторое утвер-ждение веры в их математические способности: каждая ДТР тре-бует знаний, умений и навыков составления индивидуальныхусловий заданий согласно той или иной темы.

К таким темам в первом семестре отнесены: «Матрицы.Операции над матрицами, их основные свойства», «Определи-тель квадратной матрицы. Основные свойства определителей»,

265

«Операции над векторами (на плоскости, в пространстве)», «Ли-нейная комбинация векторов», «Нелинейные операции над век-торами», «Проекция вектора», «Уравнения прямой линии наплоскости», «Прямая линия и элементы треугольника».

Каждый из ДТР предшествует тщательно продуманное икомпактно проведенное практическое занятие по соответствую-щей теме. В процессе проведения такого занятия осуществляетсянаучение студентов (по Л.Б.Ительсону) постановки проблемы инахождения путей ее решения. Например, по теме «Прямая ли-ния на плоскости» выполняется две ДТР: подготовительная –«Уравнение прямой», и итоговая – «Прямая линия и элементытреугольника». Первая из них предполагает научение студентовосуществлять обоснованный переход от одного вида уравненияпрямой – общего уравнения прямой, к любому из пяти им из-вестных и наоборот. Вторая из ДТР предполагает научение ра-ционального выбора уравнения прямой. В связи с такими дидак-тическими целями этих ДТР на первом из практических занятийчетко формулируется задание:

1) задать общее уравнение прямой на плоскости;2) заданное уравнение прямой преобразовать в уравнение

прямой, проходящей:а) через две заданные точки;б) через одну заданную точку и угловой коэффициент;в) в отрезках на осях и т.д.Домашняя творческая работа – аналог заданий, получивших

реализации на практических занятиях. Такая постановка ДТРзаставляет студентов продуктивно работать на занятиях, созна-тельно осмысливать содержание заданий. Следующая ДТР потеме «Прямая линия на плоскости», продолжая содержание пре-дыдущей, будучи отработанной на практическом занятии, со-держит задания:

1. Задать координаты вершин треугольника (необходимо са-мостоятельно рационально выбрать вершины треугольника).

2. Записать уравнение:а) сторон;б) высот;в)медиан треугольника.

3. Определить координаты точек пересечения:

266

а) высот,б) медиан.

4. Определить углы треугольника.5. Определить длину:а) высот;б) медиан треугольника;

6. Записать уравнение прямой, проходящей через любую из-бранную точку параллельно каждой из сторон треугольника.

Поскольку каждый студент сам задает исходные данные длярешения целого ряда конкретных заданий по теме, то каждая изДТР получает статус индивидуальной работы, выполнение кото-рой требует не только определенных знаний, умений и навыков,но и проявление уверенности в свои математические способно-сти.

Закономерно, что каждая ДТР обязательно проверяется, ана-лизируются допущенные ошибки, а наиболее важные ошибкиотмечаются специальным знаком © - знак обязательной инди-видуальной консультации.

После такой проверки в ДТР, оцененных оценками «2» и»3»,студенты выполняют работу над ошибками (важно, что бы в техже ДТР на месте отмеченной ошибки другим цветом пасты иликарандашом). Работа повторно оценивается.

Завершающим этапом по каждой ДТР является ее защитакаждым студентом или выборочно (в зависимости от назначенияДТР, качества ее выполнения всей академической группой).

Такая технологи проверки знаний, умений и навыков позво-ляет максимально индивидуализировать работу с каждым сту-дентом по заранее заложенной учебной программой системезнаний, позволяет студентам постепенно преодолеть психологи-ческий барьер боязни математики и позволяет оценить реальнуюподготовку каждого студента к итоговому семестровому контро-лю – экзамену или зачету.

Чтобы каждый студент мог во временном измерении оценитьсвою подготовку к итоговому контролю составляется «карточкадопусков» – КД, где фиксируются все виды контроля по темам иоценки, за каждый вид контроля.

Очевидно, что важно добиться от каждого студента качест-венного выполнения всей системы ДТР как основной формы

267

контроля за самостоятельной работой студентов в межсессион-ный период обучения. Такая система позволяет в первом учеб-ном семестре точно определить потенциальные возможностикаждого студента к дальнейшему обучению высшей математики,т.е. провести дифференциацию потенциальных возможностейстудентов нематематических специальностей:

– может и хочет знать математику;– может, но не хочет знать математику;– хочет, но не может знать математику;– не может и не хочет знать математику.Закономерно, что каждая из вышеназванных групп в даль-

нейшем требует определенного подхода, но при этом каждыйстудент осознает, что он перестал быть загадкой для преподава-теля в аспекте его реальных математических способностей.

Литература:1. Ительсон Л.Б. Лекции по проблемам современной педаго-гики обучения. – Владимир, 1970.

2. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. –М.: Педагогика, 1981.

3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике.В трех частях. Ч. 1 / Под общей ред. А.П. Рябушко. –Минск: Вышэйшая школа, 1990.

4. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача.Ч. 1 / Пособие для учителя. –М.: Просвещение, 1982.

268

МЕТРИКА

Р.Э. Фердманг. Днепропетровск, Днепропетровская еврейская община

rodion@ff.dsu.dp.ua

Понятие метрики связано с определением расстояния междупарой точек в пространстве. Пространство, в котором можно оп-ределять расстояние между точками в математике называетсяметрическим пространством [1].

У метрики есть следующие основные свойства:1. Расстояние (длина) между парой точек не зависит от по-

рядка выбора первой (начальной) и второй (конечной) точек:( ) ( )1221 ,, xxlxxl = (1)

2. Расстояние между парой точек всегда положительно:( ) 0, 21 ≥xxl . (2)

Причем расстояние равно нулю в том и только в том случае,если точки совпадают, т.е. 21 xx = .

3. Для любых трех точек выполняется неравенство тре-угольника:

( ) ( ) ( )322131 ,,, xxlxxlxxl +≤ (3)

Частным случаем метрического пространства является евк-лидово пространство знакомое нам со школьной геометрии. Рас-смотрим метрику евклидовых пространств с различным числомизмерений:

1 измерение – Координатная ось.Если координаты точек оси имеют размерность длины (на-

пример, метры), то расстояние между парой точек:dxxxdl =−= 12 , а 22 dxdl = (4)

Если же масштаб на координатной оси не имеет определен-ной единицы измерения (в общем случае он может изменяться отточки к точке, т.е. быть функцией координаты), то расстояниемежду парой близких точек:

( ) dqqhdl = , а ( ) 2222 dqhdqhdl == , (5)

где q – координата точки, h – масштабный коэффициент, назы-ваемый коэффициентом Ламе [2, 4, 5], который показывает, ка-

269

кая длина (например, в метрах) приходится на единицу измене-ния координаты q в данной точке.

Примечание:Вообще-то есть смысл говорить и о нахождении расстояния

между парой далеких друг от друга точек, хотя оно и не будетнас здесь интересовать. Но чтобы «не напускать туману», можнопрояснить, что такое расстояние получается интегрированием:

( )∫∫ ==2

1

2

1

q

q

q

q

dqqhdll (6)

Т.е. весь промежуток от q1 до q2 разбивается на бесконечномалые отрезки dq, и расстояние l между крайними точками нахо-дят суммированием их длин.

Очевидно, что если масштаб постоянен на всем отрезке, тоесть h не зависит от q, то интегрирование выполняется триви-ально:

12

2

1

qqhhdqlq

q

−== ∫В случае пространства большего числа измерений, еще воз-

никает непростой вопрос о выборе траектории для интегрирова-ния, но мы здесь не будем заниматься этим вопросом.

Далее, мы будем говорить о бесконечно близких точках,специально не уточняя этого.

2 измерения – ПлоскостьКак известно, расстояние между парой близких точек на

плоскости в декартовых прямоугольных координатах определя-ется как длина dl вектора ( )dydxrd ,=r

, соединяющего эти точ-ки, квадрат которого находят по теореме Пифагора:

2222 dydxdrdl +== (7)В случае декартовых косоугольных координат длина вектора

определяется по теореме косинусов:( ) dydxdydxdl cos2222 θ++= , (8)

где θ – угол между осями координат.

270

Эта формула обобщается на случай произвольных (неорто-гональных криволинейных) координат q1, q2:

( ) ( ) ( )( )22

11

222

211

2 cos2 dqhdqhdqhdqhdl θ++= (9)

При этом как угол θ, так и коэффициенты Ламе h1, h2, могутменяться от точки к точке, т.к. угол между линиями координат-ной сетки и масштаб каждой из координат не обязательно вездеодинаковы.

Эту формулу можно записать в виде произведения матриц:

( ) ( )( )

=

2

1

2221

212

1212

cos

cos

dq

dq

hhh

hhhdqdqdl

θθ

, (10)

где матрица коэффициентов называемая фундаментальной мат-рицей, которая является ковариантным тензором второго ранга(здесь не доказывается). Она также называется фундаменталь-ным или метрическим тензором [4] и обозначается:

( )( )

=

=

2221

212

1

2221

1211

cos

cos

hhh

hhh

gg

gggij θ

θ(11)

Обратим внимание, что 1221 gg = , то есть метрический тен-зор является симметричной матрицей. Его элементы, в общемслучае являются функциями обоих координат, т.е. могут изме-няться от точки к точке по-разному при перемещении в любомнаправлении. А если координаты являются ортогональными(даже криволинейные), то метрический тензор представляетсядиагональной матрицей, то есть, все его элементы, не стоящие наглавной диагонали, равны нулю.

Принято обозначать суммирование по каждому из индексов,записывая его дважды (по одному разу вверху и внизу) и опускаязнак суммы, тогда квадрат расстояния:

jiij dqdqgdl =2 (12)

271

Используется два различных представления вектора qdr

[4]:

• Матрица-столбец:

=

2

1

dq

dqdqi – контравариантная

форма вектора, обозначаемая верхним индексом;• Матрица-строка:

( ) ( ) jiji dqg

gg

ggdqdqdqdqdq =

==

2221

12112121 , (13)

являющаяся произведением двух первых матриц в правой части(10), называемая ковариантной формой вектора qd

rи обозначае-

мая нижним индексом.Тогда (12) можно записать в виде:

jiij

iii

i dqdqgdqdqdqdqdl ===2 , (14)

где ijg – контравариантная форма метрического тензора.Формулы (12), (14) применимы для пространства Римана

любого числа измерений. При этом область значений каждогоиз индексов i, j и размер векторов qi, qi, и матриц gij, gij равнычислу измерений пространства. Кроме описания положительноопределенной метрики эти формулы применимы и к описаниюпсевдометрики (например, в теории относительности), не рас-сматриваемой здесь.

Применения: Метрический тензор применяется не толькодля определения расстояния между двумя близкими точками, а идля нахождения квадрата (длины) любого вектора:

jiij AAgA =2

r(15)

Кроме того, с его помощью определяется скалярное произ-ведение двух различных векторов:

jiij BAgBA =⋅

rr(16)

Обратим внимание, что коммутативность скалярного произ-ведения векторов: ABBA

rrrr⋅=⋅ , связана именно с симметрично-

стью метрического тензора.Примеры нахождения hi, hi, qi, qi, gij, gij для различных стан-

дартных криволинейных ортогональных координат, особенноважных для приложений, имеет смысл предложить слушателям

272

выполнить самостоятельно в виде упражнений. А именно: декар-товы (2, 3, 4 измерения), полярные (2), цилиндрические (3), сфе-рические (3).

1. Декартовы прямоугольные координаты (x, y) на плос-кости:

Как видно из формулы (7), на плоскости:

=

dy

dxdqi , 121 == hh ,

=

10

01ijg

Для евклидова пространства любого числа измерений в де-картовых прямоугольных координатах, каждый из коэффициен-тов Ламе равен 1, а метрический тензор представляет собой еди-ничную матрицу. Обратим внимание, что в этом случае элемен-ты метрического тензора не зависят от координат, то есть, по-стоянны во всем пространстве. Иными словами, в декартовыхкоординатах явно проявляется их однородность и однородностьевклидового пространства. Этим свойством обладает только де-картова прямоугольная система координат в евклидовом про-странстве.

2. Полярные координаты (r, αααα) на плоскости:Являются ортогональными криволинейными координатами.

Расстояние между парой близких точек в них, как известно изаналитической геометрии:

( ) ( )222 αdrdrdl += (17)Как видно, для полярных координат

=

αd

drdqi , rhhhh r ==== α21 ,1 ,

= 20

01

rgij

3. Цилиндрическая система координат (ρρρρ, αααα, z) в трех-мерном пространстве:

Квадрат расстояния между точками будет:( ) ( ) ( )2222 dzdddl ++= αρρ (18)

Отсюда:

=

dz

d

d

dqi αρ

, 1,,1 321 ====== zhhhhhh ραρ .

273

Метрический тензор:

=

100

00

0012ρijg

4. Сферическая система координат (r, θθθθ, αααα) в трехмерномпространстве.

Квадрат расстояния между точками будет:( ) ( ) ( )2222 sin αθθ drdrdrdl ++= (19)

Отсюда:

=

αθ

d

d

dr

dqi , θαθ sin,,1 321 rhhrhhhh r ======

Метрический тензор:

=

θ22

2

sin00

00

001

r

rgij

Литература:1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.– М.: Наука,

1984.2. Ли Цзун-дао. Математические методы в физике. – М.:

Мир, 1965.3. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. Векторный анализ и нача-

ла тензорного исчисления. – Харьков: Вища школа, 1986.4. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. – М.: МГУ,

1974.5. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электро-

динамике. –М.: Наука, 1985.

274

МЕТОДИ АКТИВІЗАЦІЇ НАВЧАННЯМАТЕМАТИКИ

З.Ю. Філерм. Кіровоград, Кіровоградський державний педагогічний універ-

ситет ім. Володимира Винниченка

1. Індивідуальні домашні завданняЩе в школі автор усвідомив малу ефективність фронтальних

домашніх завдань, коли значна частин учнів навіть при наявностіконтролю списує у своїх більш відповідальних та краще підгото-влених товаришів. Застосовуючи індивідуальні домашні за-вдання (ІДЗ), автор просив учнів робити їх чітко, доповнювати вразі потреби моделями. Класом розв’язувалися всі завдання зпідручника та збірника задач. Це вимагало від учителя приділятиувагу учням й практично оволодіти самому всіма матеріалами.Цей досвід автор переніс у роботу зі студентами Донецького по-літехнічного інституту (1960-1989 рр.). Будучи учасником Все-союзної наради завідуючих кафедрами математики 1975 р., авторіз задоволенням сприйняв досвід МЕІ, де було створено “Збірникзадач із курсу вищої математики” (Типові розрахунки Кузнєцо-ва). Хоча теоретичні питання (ТП) та теоретичні вправи (ТВ) єфронтальними, а розрахункові завдання (РЗ) відрізняються лишеконкретним “числовим” матеріалом, їх виконання чіткіше орга-нізує поточний навчальний процес. За кожне ТП, ТВ та РЗ при-значається відповідальний студент, який знає, що він буде за-прошений до дошки з відповідним своїм завданням й повиненйого виконати одним із перших, показати викладачеві, врахуватийого зауваження, а потім – перевіряти виконання завданнямиколегами з групи, приймати це завдання. У групі ведеться екранвиконання ІДЗ (“простирадло”), де студенти самі відмічаютьфакт виконання закресленням відповідної клітини. Після прийо-му відповідальний перекреслює її вдруге. Викладач контролюєвиконання відповідальними й, вибірково, іншими студентами напрактичних заняттях (ПЗ) та на заліку чи екзамені, куди студен-ти приносять свої ІДЗ. В разі необхідності з дозволу викладачастудент може подивитися свої записи при відповіді на питанняекзаменаційного білета. Це підвищує роль самостійного вико-нання ІДЗ. Екзаменаційні вимоги не виходять за рамки, встанов-

275

лені ІДЗ.2. Нові поняття з математики формулюються як абстра-

кції фізичних понять, які допомагають створити проблемніситуації

Доцільність тих чи інших понять та теорем, нового матема-тичного апарату студентам всіх, зокрема, технічних Вузів, якавизначає зацікавленість студентів, повинна формуватися на лек-ціях та практичних заняттях за допомогою задач із фізичним татехнічним змістом. Так майже завжди було і в історії науки; згі-дно з ноогенетичним законом, кожна людина у своєму розумо-вому та професійному становленні повинна пройти, хоч і при-скореним темпом, тими шляхами, які вже пройшло людство.“Чисті” математики забувають ті дитячі відкриття, які вони зро-били в ранньому дитинстві, коли рахували спершу до 10, а потімдо 100 й далі; знайомство з таїнами числа та форми теж відбува-лося роками дитинства.Ми забуваємо, що від методів Євдокса таАрхімеда до відкриттів Кеплера та Кавальєрі пройшло майже2000 років. Навіть, від знахідок Декарта, Ньютона й Лейбніцапройшло вже більше 300 років. Студенти технічних та педагогі-чних Вузів, які не мають видатних математичних здібностей, ви-вчають важливі математичні результати протягом 5–6 років ушколі та 1–2 років у вузі. Без чіткої мотивації та фізичних і“економічних” аналогій цього зробити неможливо. У студентівтреба створювати математичну інтуїцію, яка ґрунтується на ві-домих поняттях із побуту та фізики. Визначальним тут є поняттяруху, зміни, вектора, швидкості та прискорення тощо. Багатоскладних неочевидних понять та формул мають дуже просте“фізичне” тлумачення. Так, формула похідної складеної функціїy=f(u), u=g(x) по суті зрозуміла учням 1-го класу! Вона еквівале-нтна задачі типу: Літак рухається втричі швидше автомобіля,який іде швидше мотоцикла вдвічі. У скільки разів літак руха-ється швидше, ніж мотоцикл? Діти скажуть, що у 6 разів, а завимогою вчителя скажуть і як знайшли 6: множачи 3 на 2. Якщостудент засвоїв не тільки формальне означення похідної як гра-ниці, але знає і її механічний смисл як швидкість зміни функціїпо зрівнянню зі зміною аргументу, для нього ланцюгове правилоу′х=у′uu′x абсолютно зрозуміле. Формальне доведення, в разі не-стачі часу, може бути й опущено. Вивчення математики в школі

276

та вузі зараз іде в основному за допомогою розв’язання прикла-дів; на відміну від минулого, учням пропонується мало задач,які виробляють навички побудови математичної моделі реальноїдійсності. А як раз це й потрібно, перш за все, користувачам ма-тематики. Безумовно, необхідно й оволодіти основним матема-тичним апаратом. Задачі з фізики, теоретичної механіки, опоруматеріалів, електротехніки тощо сприяють закріпленню цих на-вичок.

3. Математичні диктанти як форма контролю та навчан-ня студентів

Знайомство з групою (потоком) автор починає з так званого“математичного диктанту” (МД) – знайомства, де крім анкетнихданих (прізвище, ім’я, по батькові, де, що, коли закінчив, які мавоцінки з алгебри, геометрії, інформатики, фізики, іноземної мо-ви, а також які має інтереси, хобі, № тел., чи має доступ докомп’ютера), перевіряється наявність навичок арифметичних дій(додавання, віднімання, множення та ділення десяткових 3-4значних чисел, вміння працювати з алгебраїчними дробами,розв’язувати квадратні рівняння та нерівності, прості логарифмі-чні, тригонометричні та показникові рівняння, розв’язувати не-складну геометричну задачу. Розв’язання кожної задачі оціню-ється окремо за 4–бальною системою: ставиться прочерк, якщостудент за завдання не брався, 0 – якщо у відповіді немає нічогораціонального, 1 – якщо є раціональне зерно, але зроблено мало,2 – при майже розв’язаній задачі з несуттєвими недоліками. 1ставимо при повній вірній відповіді. 12 питань при всіх вірнихвідповідях дають суму Σ=36, тому оцінкою буде округлене зна-чення Σ/3. Ця оцінка визначає рейтинг студента в групі, а сумабалів по кожному стовпцю дає рівень засвоєння відповідногопоняття групою в цілому. Студентів попереджають, що в журналця оцінка не ставиться, а такі диктанти будуть проводитися час-то, хоча б з 4–6 питань, і вже ті оцінки визначають рівень роботистудента на заняттях та вдома. Перевірку МД можна здійснюва-ти за допомогою самих студентів, перевіривши з поясненнями –мотиваціями роботи перевіряючих. Такі МД проводяться й назаліку та перед екзаменом. Оцінка за МД тоді стає складовоючастиною екзаменаційної оцінки студента. Після диктанту сту-дент зобов’язаний зробити аналіз МД, доповнити свої відповіді.

277

На диктанті перевіряється лише те, що необхідно для подальшоїроботи з дисципліни чи в суміжних та наступних дисциплінах.Означення, основні формули, наявність основних навичок, по-значення, смисл того чи іншого результату – складові частиниМД.

4. Як заучувати основні поняття та формулиДехто вважає, що математика тому складна, що в ній багато

формул. Ми порахували такі основні поняття й формули – їх(крім таблиць додавання та множення) 256. Це на всі класи, по-чинаючи з 5–го! У середньому менше 37 на рік, по одній на тиж-день. Серед них є й такі, що відомі з початкової школи (напри-клад, переставні закони додавання та множення). Чому ж діти незнають їх? Бо ні вони самі, ні вчителі не ставлять перед собоютаку задачу. Кабінетна система створює можливості не пам’ятатиформул, бо вони висять на стінах, задня обкладинка зошита міс-тить таблицю множення, у класі хтось згадає чи знайде її й роз-повість класу. Навіть прості обчислення хтось зробить на каль-куляторі, поки більшість учнів буде бавитись… Таке неможливов класах, де працював відомий донецький учитель – новаторВ.Ф. Шаталов або його учні та послідовники. Автор сприяв об-говоренню досвіду Шаталова в ДПІ, проведенню ним занять векспериментальному гуртку на кафедрі вищої математики ДПІ тарекомендації Міносвіти дати йому можливість проведення екс-перименту у звичайному класі звичайної донецької школи. Бу-ваючи на уроках у цьому класі, автор бачив, що діти хочуть іпрацюють у нього активно на уроці й вдома. Шаталов мав мора-льне право назвати одну з своїх книжок “Куда и как девалисьтройки”. Автор поглиблює метод опорних конспектів Шаталова,пропонуючи метод заучування малих доз формалізованої інфор-мації. Математика, фізика, курси іноземні мови мають основнуінформацію у вигляді “подвійних слів”. Якщо одне з цих “слів”записати з одного боку, а друге “слово” – з іншого боку, то ученьможе сам перевіряти себе, чи він уже запам’ятав його. В разі не-обхідності процес самоперевірки – заучування може

5. Написання рефератів – одна з форм виконання ІДЗ –пропедевтика до написання курсових робіт та робіт на кон-курс

Колись студенти мали непоганий досвід написання творів.

278

На вступних іспитах в університетах України на фізмат факуль-тет було 3 письмових екзамени: сочинение по русской литерату-ре, твір з української літератури й письмова робота з математи-ки. Абітурієнти були готові до таких випробувань. Зараз склада-ють лише один такий екзамен – диктант з української мови. Цевизнання неспроможності випускників шкіл до написання“власного” тексту. Але ж для інженера–керівника важлива хоча бділова писана мова. Перші курсові роботи студенти пишуть на5–6 семестрі, не маючи досвіду написання достатньо великогозв’язного тексту. Підготовка й оформлення за чітко сформульо-ваними вимогами відповідей на ТП й ТВ з ІДЗ (з усіма пояснен-нями й посиланням на літературу хоча б тих, за які студент від-повідальний) може стати доцільною підготовкою до виконаннямайбутніх курсових (КР) та дипломних робіт (ДР), пояснюваль-них записок до дипломної роботи. Цей досвід допоможе й офор-мленню роботи на конкурс, написанню статей і тез доповідей.Автор запроваджує таку форму звітності з ІДЗ вже багато роківяк із загального курсу вищої математики, так і з курсів“Диференціальні рівняння”, “Алгебра”, спеціальних курсів. Мивважаємо цей досвід позитивним. В умовах збільшення питомоїваги самостійної роботи студента (СРС) така форма організаціїСРС є достатньо ефективною. Студент вчиться шукати й вико-ристовувати літературні джерела, включаючи пошукові системив Інтернет. Автор веде на 3 курсі дисципліну “Основи науковихдосліджень” (ОНД), де чітко відрізняються в кращу сторону сту-денти тих груп, у яких використовувалася така форма звітностістудента, як написання та захист реферату. Основою СРС із кур-су ОНД є написання та оформлення за держстандартом КР, якщовони виконуються за навчальним планом у цьому ж семестрі, аборефератів за темою майбутньої КР. В останньому разі студентпрацює за вибраною темою цілий рік; якість цих робіт значнопідвищується – у них є й елементи творчості. Буває й так, щокурс ОНД читається після написання й захисту першої КР; тодістудентам пропонується її переоформити , доповнити згідно по-рад і вимог, сформульованих в курсі ОНД. Автор читає цей курсвже 10 років. За цей час відшліфовані необхідні форми і змістцього курсу. Навіть тоді, коли він є чисто лекційним, вдаєтьсядопомогти студентам отримати мінімально необхідні навички

279

написання звіту про наукову роботу, оформленого за діючимстандартом, відвідати науковий семінар (конференцію), оформи-ти макети плакатів (слайдів) для доповіді на конференції, напи-сати тези доповіді на наукову конференцію на 1–2 повних сторі-нки, вивчити “чужі” звіти й написати рецензію на них, вміти,прочитавши реферат роботи з Реферативного журналу, описатийого для списку літератури й виділити ключові слова для пошу-кової системи. В останні роки все більше студентів використовуєдля роботи над КР чи Рефератом ЕОМ, Інтернет. Дехто, навіть,надсилає чернетки своєї роботи викладачеві для попередньогоперегляду перед захистом і просить сповістити йому всі необ-хідні зауваження. Мабуть, реферати можуть разом із контроль-ними роботами стати основною формою організації дистанцій-ного навчання.

Автор протягом багатьох років веде курс “Історія математи-ки”, у якому основною формою звітності є реферат про розвитоктої чи іншої математичної теорії, математичної науки у регіоні упевний період чи про життя та творчість видатного вченого. Такаформа викликає у студентів – майбутніх учителів інтерес, збага-чує їх загально – культурний та фаховий рівень, готує їх до робо-ти в гуртках та на факультативі, дає досвід позакласної роботи.Крім реферату, студент випускають ще й історико-математичнийбюлетень, який використовують під час педагогічної практики ушколі. Рецензування робіт студентів минулих років допомагаєпроведенню практичних занять у формі семінару, на якому сту-дент–рецензент не тільки розповідає результати даної йому ро-боти, а й дає її критичний аналіз з пропозицією оцінки за 5–ба-льною системою (із курсу проводиться простий залік).

Маючи досвід написання рефератів, студенти можуть статипомічниками й співавторами у творчій роботі старших колег.Цей досвід допоможе їм і в магістратурі.

280

ПРО ФОРМУВАННЯЗАГАЛЬНОНАВЧАЛЬНИХ УМІНЬ СТУДЕНТІВПРИ ВИВЧЕННІ МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН

Л.О. Чернихм. Кривий Ріг, Криворізький державний педагогічний універси-

тет

Специфіка сучасних навчальних планів з математики длявищих навчальних закладів полягає в тому, що значну частинупрограмного матеріалу студенти повинні опанувати самостійно.Щоб спланувати та організувати самостійну роботу студентів,викладачу необхідно: 1) – провести аналіз програмного навчаль-ного матеріалу, щоб з’ясувати, які теми і розділи доцільно вине-сти на самостійне опрацювання; 2) – для відібраних тем та розді-лів підготувати відповідні методичні матеріали (рекомендації,системи індивідуальних завдань, питання колоквіумів тощо);3) повідомити студентам тематику питань, що виносяться на са-мостійне опрацювання, основну та додаткову літературу, запла-новані форми та методи контролю.

Як свідчить досвід, самостійне вивчення окремих тем і роз-ділів програми викликає у більшості студентів серйозні трудно-щі. Основна причина цих труднощів – низькій рівень сформова-ності у студентів певних груп загальнонавчальних умінь, зокре-ма, уміння працювати з науковою математичною літературою.Щоб успішно засвоювати математичний матеріал, який виклада-ється в аудиторії і той, що виноситься на самостійне опрацюван-ня, у студента мають бути сформовані не лише спеціальні мате-матичні уміння, а й певні групи загальних навчальних умінь. Уметодичній літературі виділяють такі основні групи загальнона-вчальних умінь: загально-інтелектуальні, загальноінформаціїні,загальнокомунікативні, загальноорганізаційні. Передбачається,що формування таких умінь починається у школі, а подальшогорозвитку вони набувають, якщо випускник середньої школипродовжує навчання, щоб придбати спеціальну освіту.

Дослідження (тестування, анкетування) серед студентів мо-лодших курсів свідчать про те, що насправді більшість з них маєдуже низький рівень сформованості вказаних умінь. Це в свою

281

чергу породжує серйозне протиріччя між значним обсягом само-стійної роботи і фактичною готовністю студентів до її виконан-ня; розв’язати це протиріччя самотужки більшість студентів, якправило, не здатні.

Для успішного самостійного вивчення певних тем та розді-лів навчального математичного матеріалу, студент у першу чер-гу повинен уміти працювати із спеціальною математичною літе-ратурою. Вміння працювати з літературою відноситься до групизагальноінформаційних умінь. Це уміння є комплексним, вонотісно пов’язане з іншими загальнонавчальними уміннями, зокре-ма із загальнологічними. Підкреслимо, що не достатньо навчатипрацювати із літературою взагалі (як загальне лінгвістичне умін-ня – аналіз тексту); слід робити акцент на формуванні умінняпрацювати із спеціальною, зокрема математичною літературою.

Специфіка навчальної математичної літератури для вищихнавчальних закладів полягає у тому, що навчальний матеріал вній не має такого методичного оздоблення, як це є у шкільнихпідручниках (виклад матеріалу суто дедуктивний, без мотивацій,надмірно детальних пояснень). Матеріал викладається стисло,лаконічно, послідовно у словесній та символіко-графічній фор-мах. Кожна з цих форм – це своєрідна мова, за допомогою якоїпередається наукова інформація. Щоб досягти свідомого і точно-го розуміння навчального матеріалу, студент повинен мати від-повідну підготовку до сприйняття як словесної, так і символічно-графічної математичної мови.

Назвемо деякі спеціальні знання і навчальні уміння (не сис-тематизуючи їх), які потрібні студенту молодших курсів для са-мостійної роботи з математичною літературою:

– вміння провести смисловий аналіз тексту;– знання елементів теорії множин для розуміння теоретико-

множинної трактовки багатьох математичних понять;– знання елементів логіки висловлень; володіння символікою

логіки предикатів (операція квантифікації);– уміння провести логічний аналіз означення та здійснити

підведення під поняття (розпізнавання);– уміння розкрити логічну структуру теореми, встановити вид

теореми за логічною структурою;– володіння поняттями «необхідні» і «достатні» умови;

282

– знання основних методів та прийомів доведення математич-них тверджень (дедуктивне і індуктивне доведення, метод відсупротивного, метод повної індукції, метод математичної індук-ції та ін.);

– знання латинського та грецького алфавітів.Зрозуміло, що формування таких знань та умінь не входить в

програму загальноосвітньої школи, тому придбати їх студентповинен на початку навчанні у вищому навчальному закладі. Зцією метою в навчальну програму курсу «Алгебра і теорія чи-сел» для спеціальності «математика і інформатика» в І семестріми включаємо такі теми для вивчення їх в умовах аудиторноїроботи: «Елементи теорії множин», «Елементи математичноїлогіки», «Бінарні відношення (відображення)». Знання та уміння,набуті при вивченні цих тем, будуть використовуватись не лишепри вивченні АТЧ, а й при вивченні усіх математичних дисцип-лін, оскільки вони носять загальноматематичний, загальнонауко-вий характер. Підкреслимо, що знання та уміння, набуті при ви-вченні елементів математичної логіки є основою формуванняусіх важливих груп загальнонавчальних умінь: інтелектуальних,інформаційних, комунікативних, організаційних. У зв’язку з цимдоцільно після вивчення формул логіки висловлень та основнихрівносильностей між ними розглянути такі питання:

– теореми, їх логічна структура;– основні види формулювання теорем;– види теорем за логічною структурою;– необхідні і достатні умови;– метод доведення від супротивного.Проте формальне включення цих питань у програму з АТЧ

не може сприяти результативному формуванню загальнонавча-лих умінь, якщо викладач не проводить для цього спеціальнуроботу, не розробляє доцільну методику.

Методику формування у студентів-математиків зазначенихумінь доцільно будувати, виходячи з основних етапів навчаннядовільному навчальному вмінню, при цьому слід врахувати не-обхідність усвідомлення своїх дій. В своїй роботі ми використо-вуємо таку послідовність етапів формування умінь:

а) діагностика рівня сформованості відповідного уміння;б) постановка мети (розкриття її для тих, хто навчається, та

283

прийняття ними мети);в) демонстрація зразка, інструктаж введення прийомів, опис

послідовності дій;г) оволодіння прийомами за допомогою системи спеціальних

вправ;д) оперативний контроль;е) застосування прийому і системи дій;є) узагальнення і навчання переносу здобутого уміння;ж) навчання знаходженню нових прийомів;з) формування відповідних професійних умінь, а саме, умінь,

пов’язаних з необхідністю навчати інших тим видам діяльності,що опановані особисто.

Проілюструємо ці загальні положення на прикладі організа-ції навчальної діяльності, пов’язаної з розвитком у студентівуміння аналізувати, формулювати та переформульовувати мате-матичні твердження (означення, теореми, окремі положення вдоведеннях). На першому етапі – етапі діагностики – студентампропонується завдання на формулювання означень і теорем шкі-льного курсу математики та перших розділів університетськихкурсів алгебри, геометрії, математичного аналізу.

Наприклад: а) сформулювати третю ознаку рівності трикут-ників; б) сформулювати цю теорему в категоричній формі;в) сформулювати обернене твердження; г) чи буде воно теоре-мою? Аналіз відповідей показав, що правильні відповіді на пи-тання (б, в, г) змогли дати лише біля 20% опитаних. Зокрема,найбільш поширеною відповіддю на питання б) була така: «Врівних трикутниках відповідні сторони рівні», тобто замістьпрямого твердження в процесі переформулювання одержали йо-му обернене. Наведені тут помилки та труднощі переформулю-вання свідчать, з одного боку, про тісний взаємозв’язок мовнихта логічних умінь. З іншого боку, такий низький покажчик гово-рить про те, що при вивченні таких вузівського дисциплін, якматематична логіка, алгебра, математичний аналіз, геометрія,основна увага приділяється формуванню лише спеціальнихумінь щодо цих дисциплін, загальнонавчальні ж уміння форму-ються недостатньо.

На другому етапі перед студентами розкривається мета май-бутньої діяльності, підкреслюється значення набутих умінь для

284

здійснення самостійної роботи з математичними текстами. Яквідомо, процес цілеутворення в неявному вигляді містить в собівесь процес майбутньої діяльності. В зв’язку з цим для дійсногоприйняття студентами цілі діяльності слід цю мету «розгорнути»у вигляді конкретних задач-завдань. Так, уміння перевести кате-горичну форму твердження теореми в умовну форму потребуєпопереднього розвитку такого логічного уміння, яке пов’язане зрозумінням логічної структури теореми та виділенням її компо-нентів. Обернене уміння – переформулювати теорему з умовноїформи в категоричну – передбачає перш за все досить розвиненімовні уміння і разом з тим сприяє їхньому розвитку. Логічніуміння тут теж присутні, але вони проявляються у внутрішньомуплані. Наприклад, щоб сформулювати в категоричній формі тре-тю ознаку рівності трикутників, необхідно не тільки досконаловолодіти рідною мовою, але й утримувати в свідомості логічнуструктуру цієї теореми, яка традиційно формулюється умовно. Впротивному разі може бути допущена наведена вище помилка –замість категоричного формулювання прямої теореми пропону-ють обернену теорему: замість «Трикутники з відповідно рівни-ми сторонами рівні між собою» одержують «У рівних трикутни-ків відповідні сторони рівні».

Третій етап може бути виділений як самостійний, а можепроходити і разом з другим. Тут викладач не тільки дає зразокправильних переформулювань, але й (і це найголовніше) наво-дить прийоми відповідних розумових дій. Ця робота дозволяєнамітити послідовність відповідних логічних операцій і, якимосьчином, алгоритмізувати цей процес.

На наступних етапах систему вправ для відпрацювання при-йому (або прийомів) слід будувати по принципу ускладнення.При цьому необхідно і студентів залучати до роботи по складан-ню таких завдань. Найбільш важливим моментом тут є те, що діїповинні виконуватись не тільки у внутрішньому, але і у зовніш-ньому плані, тобто необхідно розкривати «технологію» процесупереформулювання. Нажаль математичні уміння часто розвива-ються поза мовним простором. Студенти, вивчаючи теорію,розв’язуючи задачі, не вміють проговорювати засвоєний матері-ал. Шукаючи необхідні слова для пояснення «вголос» своїх мір-кувань, студент закріплює в пам’яті теорію і термінологію, роз-

285

виває у себе здібність висловлювати думки мовними засобами.Таке проговорювання містить певні імпровізації, тому воносприяє розвитку так званої продуктивної мови.

Слід зазначити, що навіть при умові успішного засвоєнняпорядку операцій, які виконуються в процесі переформулюваннятеорем (особливо, якщо вимагається сформулювати оберненетвердження), студенти стикаються з серйозними труднощами вцій роботі. Одна з основних причин тут – недостатньо сформо-ване спеціальне логічне уміння, що полягає у виділенніроз’яснювальної частини в логічній структурі теореми. Студентповинен розуміти, що в словесному формулюванні теоремироз’яснювальна частина, як правило, присутня в імпліцитномувигляді. Виявити її можна, лише переформульовуючи теоремузгідно до її логічної структури. В зв’язку з цим корисні деякі по-яснення:

а) множина об’єктів в роз’яснювальній частині – це обсягпоняття, про яке говориться в теоремі;

б) це поняття буде родовим по відношенню до поняття, прояке йдеться в умові теореми;

в) вибираючи родове поняття по відношенню до того, прояке говорить категоричне формулювання теореми, слід перевагувіддати саме найближчому роду.

Зупинимось коротко ще на одному умінні, яке необхіднестуденту під час самостійного опрацювання навчальної матема-тичної літератури. Теореми, що пропонуються авторами підруч-ників, як правило, мають відповідну нумерацію, яку автор вико-ристовує у подальшому викладі, посилаючись в доведеннях на тучи іншу теорему. Зрозуміло, що запам’ятовуючи формулюваннятеореми, засвоюючи її доведення, студент не повинен пам’ятатиномер цієї теореми у відповідному посібнику. Саме тому необ-хідно визначити назви для теореми. Деякі теореми курсу вищоїматематики мають свої (частіше традиційні) назви: теорема Кро-некера – Капеллі, інтегральна ознака збіжності числового ряду таін. Такі теореми легше запам’ятовуються студентами, оскількиназва дозволяє створити певні асоціації. В зв’язку з цим кожнійтеоремі, що вивчається в аудиторії чи самостійно опановуєтьсястудентом, слід надавати певної назви. Уміння називати теоремуне зводиться лише до загальнонавчального, в даному випадку –

286

комунікативного, уміння. Воно передбачає формування у студе-нтів деяких спеціальних логічних умінь. Виконуючи цю роботу,слід враховувати такі зауваження та рекомендації:

а) назва теореми не повинна повністю розкривати її зміст(прикладом можуть служити теореми, що носять імена матема-тиків, які вперше їх довели, або тих, що в їх роботах ці теоремидійшли до нас; контрприкладом можуть бути такі невдалі назви,як «теорема про неперервність диференційованої функції», «тео-рема про рівносильність двох означень групи».);

б) підбираючи назву до теореми, слід перш за все визначитивид цієї теореми за структурою і змістом; це дозволяє спроститипошуки вдалої назви (наприклад, властивості неперервної функ-ції, ознака підгрупи, теорема, обернена до теореми Вієта та ін.);

в) значну допомогу надає виділення структури теореми (чіт-ке визначення компонентів теореми та зв’язків між ними).

Щодо останнього зауваження слід розуміти, якщо умова ізаключення теореми пов’язані еквіваленцією («тоді і лише тоді,коли», «необхідно і достатньо»), то таку теорему цілком природ-ньо назвати «необхідною і достатньою умовою …». При виборіназви для теореми-властивості також дуже важливо виділитикомпоненти її логічної структури, особливо роз’яснювальну час-тину.

Сам по собі формальний запис логічної структури теореминічого не дає для розвитку логічних та мовних умінь студентів;тому необхідно обов’язково намагатись згідно цієї структуридавати словесне умовне формулювання теореми, називаючи явноїї роз’яснювальну частину. Після цього легко з’ясувати, про якісаму об’єкти йдеться в теоремі (про це говориться в умові тео-реми) і якій множині об’єктів вони належать (про це говоритьроз’яснювальна частина). Як виявляється, виділяти роз’ясню-вальну частину, а отже, і умову теореми, можна по-різному, томуодна теорема може мати різні, але еквівалентні назви.

На закінчення зазначимо, що важливою задачею вищої шко-ли є навчання студентів умінню самостійно здобувати знання. Воснові доцільної самостійної роботи лежать загальнонавчальніуміння студентів, які формуються на основі відповідних спеціа-льних умінь з окремих дисциплін.

287

ЗАСТОСУВАННЯ ПЕОМВ САМОСТІЙНІЙ РОБОТІ СТУДЕНТІВ

ПО ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИМ ДИСЦИПЛІНАМ

А.І.Шурдук,М.Г.Махном. Полтава, Полтавський університет споживчої кооперації

Україниmach@pci.poltava.ua

Фізико-математична освіта студентів технологічних спеціа-льностей відіграє значну роль у формуванні конкурентноздатнихфахівців в ринкових умовах господарювання, оскільки вона єзагальнонауковим фундаментом для засвоєння спеціальних ін-женерно-технологічних дисциплін. Важливе значення в підви-щенні якості фізико-математичної підготовки має самостійнаробота студентів, що особливо актуально в умовах зменшеннякількості лекційних та практичних занять.

Під самостійною роботою студента розуміють специфічнийвид діяльності навчання, головною метою якого є формуваннясамостійності суб’єкта, що навчається, а систематизація йогоумінь, знань та навичок здійснюється опосередковано через змісті методи всіх видів навчальних занять. При цьому важливу рольвідіграє індивідуалізація самостійної роботи, що реалізуєтьсяздебільшого шляхом видачі студентам індивідуалізованих дома-шніх завдань та використанням модульно-рейтингової системиконтролю знань.

Сьогодні для якісної підготовки майбутніх спеціалістів ши-роко використовуються різноманітні інноваційні технології на-вчання, основним елементом яких є персональний комп’ютер.Він виступає не просто як доповнення до існуючої системи осві-ти, а й вносить суттєві зміни в зміст навчання, його методи таорганізаційні форми, призводить до значних змін в діяльності яквикладача, так і студента. Доцільно, на наш погляд, застосовува-ти інноваційні технології в самостійній роботі студентів при ви-вченні циклу фізико-математичних дисциплін. ЗастосуванняПЕОМ в самостійній роботі студентів дозволяє побудувати на-вчальний процес, зберігаючи основні переваги навчання і конт-ролю знань під керівництвом викладача, додаючи до цього не-

288

скінченні можливості навчання, гнучкість управління, індивідуа-лізації, тощо.

Значне розповсюдження ПЕОМ останнім часом, призвело дотого, що на ринку програмних продуктів з’явилась велика кіль-кість обчислювальних, навчаючих та контролюючих пакетівпрограм з фізико-математичних дисциплін. Серед них, напри-клад, мультимедійна навчаюча програма, створена у співавторс-тві Донецьким державним інститутом штучного інтелекту і ком-панією HOUS Software “Высшая математика”, електронний му-льтимедійний збірник задач ELZA “Только в физике соль”, ство-рений авторськими колективами провідних російських вузів.

Навчаюча програма “Высшая математика” містить 4 основ-них розділи дисципліни. Теоретичний матеріал, який включаєкороткі біографічні довідки про видатних математиків, основніпоняття, аксіоми, теореми, леми, представлений у вигляді гіпер-текстового електронного підручника і супроводжується динамі-чними демонстраціями та звуковою підтримкою. Кожний розділмає детальне рішення типових прикладів і задач, які дозволяютьзакріпити теоретичні відомості і оволодіти основними прийома-ми і методами розв’язку, а в кінці розділу містяться вправи длясамоконтролю. Перевага цього програмного продукту полягає втому, що він дозволяє здібним студентам самостійно засвоюватитеоретичний матеріал дисципліни “Вища математика” і при не-обхідності провести самоконтроль отриманих знань. Основнимнедоліком програми є неможливість проконтролювати виклада-чем ступінь і глибину засвоєння теоретичного матеріалу при са-мостійній роботі студента. Цього можна частково уникнути, як-що кожний студент виконає індивідуальне домашнє завдання зтих чи інших розділів дисципліни.

На кафедрі вищої математики і фізики Полтавського універ-ситету споживчої кооперації України розроблена програма дляПЕОМ (умовна назва “Математика”) в середовищі Excel–97 дляконтролю самостійної роботи студентів при вивченні дисципліни“Вища математика” (розділ 1 – “Елементи лінійної алгебри”,розділ 2 – “Елементи векторної алгебри”, розділ 3 – “Елементианалітичної геометрії”). Кожний студент отримує індивідуальнедомашнє завдання з основних розділів дисципліни. Ці завданнямістять 7-10 типових вправ, правильний розв’язок яких, дозволяє

289

з певною ймовірностю стверджувати, що студент засвоїв основнітеоретичні положення даного розділу дисципліни. Наприклад,при вивченні розділу “Елементи лінійної алгебри” необхідновміти обчислювати визначники n–го порядку, знаходити рангматриці, обернену матрицю до даної, перемножати матриці, до-сліджувати на сумісність систему лінійних алгебраїчних рівнянь,розв’язувати системи рівнянь за формулами Крамера, матричнимспособом та методом Гауса. При роботі з цією програмою сту-дент вводить дані свого завдання, маючи можливість здійснитийого поетапний розв’язок. Наприклад, при розв’язуванні системилінійних рівнянь матричним способом, необхідно знайти матри-цю обернену до матриці, утвореної із коефіцієнтів при невідо-мих. При цьому пропонується послідовне знаходження алгебраї-чних доповнень елементів даної матриці, що входять до оберне-ної, і якщо алгебраїчне доповнення знайдено невірно, то про цеповідомляє програма. Отже, студент і викладач мають можли-вість не лише перевірити правильність розв’язку задачі, але йдізнатися на якому етапі допущені помилки.

Розроблена програма дозволяє швидко, якісно і достатньооб’єктивно проконтролювати самостійну роботу студентів, а та-кож закріпити теоретичні знання, набути практичні навичкирозв’язування прикладів і задач, здійснити самоконтроль отри-маних знань, успішно виконати семестрові індивідуальні завдан-ня. Апробація програми проводилась на першому курсі техноло-гічного факультету ПУСКУ і дала позитивні результати.

В самостійній роботі студентів з фізики можливе застосу-вання електронного збірника задач ELZA, в якому міститься бі-льше трьох тисяч задач з всіх розділів. Особливістю реалізованоїв збірнику програмної оболонки ELZA є можливість перевіркитеоретичних знань, отримання основних навичок розв’язуваннязадач з уясненням змісту та суті фізичних законів. Важливимтакож є те, що на основі цієї оболонки можна створити новийзбірник задач або електронний підручник, тестуючі програми.При цьому є можливість формувати структуру збірника, допов-нювати та редагувати тексти завдань, реалізувати рейтинговусистему контролю знань. Працюючи з програмою студент можевибрати рівень складності завдань, діагностувати допущені по-милки в розв’язках задач, отримувати необхідну довідкову інфо-

290

рмацію, протоколювати результати роботи на комп’ютері.Нами розроблена електронна версія тестових завдань з фізи-

ки для поточного контролю знань студентів нефізичних спеціа-льностей ВНЗ. По кожній темі дисципліни приведено 20 завданьіз п’ятьма відповідями на кожне завдання. Студенту потрібновибрати найбільш повну вірну відповідь і набрати встановленудля кожної оцінки певну кількість балів. Апробація цих завданьв навчальному процесі принесла позитивні результати.

Таким чином, використання ПЕОМ в самостійній роботістудентів здатне підвищити якість їх фізико-математичної підго-товки, відновлюючи при цьому зацікавленість до вивчення вищоїматематики та фізики.

291

КОМП’ЮТЕРНА ПІДТРИМКА КУРСУ“ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ”

А.І.Шурдук, О.Г. Фомкінам. Полтава, Полтавський університет споживчої кооперації

Україниmach@pci.poltava.ua

Удосконалення навчального процесу, направленість його напідвищення якості професійної підготовки спеціалістів, ставлятьсерйозні вимоги до математичної підготовки студентів. Томусьогодні слід говорити про принципово нові цілі і завдання ма-тематичної освіти, які, в свою чергу, обумовлюють пошук новихформ і методів організації навчального процесу, впровадженняефективних педагогічних технологій, створення системи мето-дичного та інформаційного забезпечення. Особливо актуальнимце є в той час, коли кількість аудиторних годин на вивчення ма-тематичних дисциплін зменшується, а обсяг інформації, перед-бачений нормативними програмами – збільшується. В умовахтакої невідповідності між збільшенням кількості елементів знаньі скороченням часу, відведеним на їх вивчення, великої значущо-сті набуває організація самостійної роботи студентів і водночас їїметодичне забезпечення. Саме методичне забезпечення само-стійної роботи є засобом передачі студентам знань, вмінь тапрактичних навичок.

Нами розроблений навчально-контролюючий тренінг з роз-ділу “Теорія ймовірностей”, який спрямований на активізаціюсамостійної роботи студентів, перехід від інформаційної методи-ки та простої репродукції знань до їх глибокого осмислення татворчого використання.

Організація навчального процесу взагалі і з математики, зок-рема, передбачає реалізацію трьох основних складових: вивчен-ня теоретичного матеріалу (набуття знань), застосування його дорозв’язування практичних завдань (формування умінь і навичок),контроль та оцінка набутих знань, умінь і навичок.

Тому і розроблений навчально-контролюючий тренінг скла-дається із трьох частин:

Теоретичні відомості з основних, додаткових та спеціальних

292

питань, які подані у вигляді опорних конспектів із посиланнямна джерела інформації.

Основні питання визначають базовий рівень навчання (на-вчальний матеріал засвоюється в обсязі обов’язкових результатівнавчання).

Додаткові питання визначають підвищений рівень навчання(студенти отримують більш глибокі знання, що дає можливістьзастосування їх до завдань творчого характеру, проблемно-ситуаційних задач).

Спеціальні питання – це питання, що відображають прикла-дну спрямованість навчального матеріалу.

Навчальний тренінг з елементами самоконтролю призначе-ний для самостійної роботи студентів по практичному закріп-ленню теоретичного матеріалу шляхом розв’язування задач. Пе-редбачені методичні рекомендації та посилання на літературу;контролюється правильність не тільки кінцевого результату, а іосновних дій в процесі розв’язування завдання.

Стандартизований контроль знань студентів, що базуєтьсяна тестовій методиці з множинним вибором відповідей. Склада-ється із семи модулів по 15 завдань в кожному і охоплює весьрозділ “Теорія ймовірностей”. Для зменшення можливості вга-дування правильної відповіді важливим було вирішення пробле-ми правдоподібностей неправильних відповідей. Використову-валась наступна структура відповідей: один або два варіанта –правильні, інші – неправильні, а також обов’язкова наявністьваріанта “правильної відповіді немає”.

Реалізація тренінгу здійснювалася в стандартній офіснійоболонці Excel та за допомогою тестового процесора Subject.

Ми переконані в тому, що використання в навчальному про-цесі запропонованого навчально-контролюючого тренінгу спри-ятиме глибокому засвоєнню теоретичних та практичних знань зтеорії ймовірностей, оволодінню ймовірнісним мисленням сту-дентами, що в свою чергу сформує особливу точку зору на про-блеми, які можуть виникнути в практичній діяльності майбутніхспеціалістів і особливий підхід до їх розв’язання.

293

КОМБИНАТОРНЫЙМЕТОДВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В КЛАССИЧЕСКОЙМОДЕЛИ СОБЫТИЙ

Т.А. Ярхог. Харьков, Харьковский национальный автомобильно-дорожный

университет

Теория вероятностей используется во всех достаточно раз-витых областях науки, техники и производства. Она предостав-ляет исследователю набор математических моделей, предназна-ченных для описания закономерностей в поведении реальныхявлений или систем, функционирование которых происходитпод влиянием большого числа взаимодействующих случайныхфакторов. Работа по изучению реальных явлений требует боль-шой теоретической подготовки, которую естественно начинать срешения более простых задач с целью уяснения основных веро-ятностных закономерностей.

В курсе теории вероятностей, излагаемом в высшей техни-ческой школе, формирование вероятностного мышления студен-тов начинается с рассмотрения классической модели случайныхсобытий, в рамках которой студенты знакомятся со спецификойпостановки и решения вероятностных задач. Значительная частьэтих задач исторически носит игровой характер. Их решениепредполагает применение подходов комбинаторики, развивав-шейся одновременно с теорией вероятностей.

Указанные задачи традиционно вызывают трудности у сту-дентов. Причиной этого является, по-видимому, недостаточноглубокое изучение элементов комбинаторики в школьном курсеэлементарной математики, а также слишком сжатое изложениеосновных комбинаторных формул в соответствующих разделахизвестных вузовских учебников по теории вероятностей и мате-матической статистике [1, 2].

Данная работа содержит систематическое изложение эле-ментов комбинаторики, являющееся фундаментом решения ве-роятностных задач в классической модели событий. В работеприведены основы теории соединений без повторений и разбие-ний. Сформулированы классические задачи о числе размещений,

294

перестановок, сочетаний и разбиений в общей постановке, послечего рассмотрены конкретные примеры. Разобрано решение ве-роятностных задач в условиях соответствующего случайноговыбора элементов с использованием выведенных комбинатор-ных формул. Решение комбинаторных и вероятностных задачсопровождено наглядными схемами, иллюстрирующими рассу-ждения.

Элементы комбинаторики1. Основной принцип комбинаторики

Комбинаторные задачи бывают различных типов. Большин-ство из них решается с помощью основного принципа комбина-торики – правила умножения. Прежде, чем его сформулировать,обратимся к следующей задаче.

Задача 1Сколькими способами можно расставить на полке три раз-

личные книги (A, B, C)?Решение. Выпишем все возможные варианты расстановки

книг и пересчитаем их. Чтобы ни один из вариантов не был про-пущен, изобразим так называемое “дерево”.

1 место 2 место 3 местоВ С

АС ВА С

ВС АА В

СВ А

Получено шесть способов расстановки. Возможные вариан-ты: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Когда число книг велико, трудно таким образом перечислитьи сосчитать все варианты их перестановок. В этом случае удобенследующий метод рассуждения.

В задаче требуется заполнить три места на полке. Их можноизобразить схематически:

1 2 3

Первое место можно заполнить 3 способами (поместить ли-

295

бо A, либо B, либо C). Для каждого из трех способов заполненияпервого места существует 2 варианта заполнения второго места(можно использовать любую из двух оставшихся книг).

3 21 2 3

Следовательно, первые два места можно заполнить3 . 2 = 6 (способами).

Для каждого из шести вариантов заполнения первых двухмест остается только один вариант заполнения третьего места.

3 2 11 2 3

Таким образом, все три места на полке можно заполнить.3 . 2 . 1= 6 (способами).

Общее число способов найдено умножением.Приведенное рассуждение допускает обобщение, которое

может быть сформулировано в виде следующего общего прави-ла.

Правило умножения. Пусть необходимо последовательновыполнить какие-либо к действий. Если первое действие можновыполнить n1 способами, после чего второе – n2 способами, по-том третье – n3 способами и так далее до к-го действия, котороеможно выполнить nк способами, то все к действий вместе могутбыть выполнены

n1. n2

. n3. ... . nк

способами.Задача 2Пять студентов следует распределить по трем параллельным

группам потока. Сколькими способами можно это сделать?Решение. Каждого из пяти студентов, независимо от осталь-

ных, можно распределить в одну из трех параллельных групп.Указанное распределение представляет собой последователь-ность из 5 действий, каждое из которых можно выполнить 3 спо-собами:

3 3 3 3 31 2 3 4 5

По правилу умножения, число возможных способов распре-деления составит

3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 35 = 243.

296

Задача 3Номер автомобиля состоит из двух букв, за которыми следу-

ет трехзначное число. Сколько существует различных автомо-бильных номеров? Использован латинский алфавит. Повторениебукв разрешается.

Решение. Номер автомобиля можно представить в виде 5 по-зиций, первые две из которых заполнены буквами, а следующиетри – цифрами:

б б ц ц цПо условию, первую позицию можно заполнить любой из 26

букв латинского алфавита (то есть 26-ю способами).Вторую позицию можно также заполнить 26-способами (по-

скольку разрешено повторение букв).Третью позицию можно заполнить одной из 9 цифр (1, 2, 3,

..., 9), так как, по условию, стоящее за буквами число являетсятрехзначным (откуда следует, что в данной позиции не можетнаходиться 0).

Каждую из двух оставшихся позиций (четвертую и пятую)можно заполнить 10 способами (одной из цифр 0, 1, 2, ..., 9).

Укажем на схеме число возможных способов заполнениякаждой позиции:

26 26 9 10 10б б ц ц ц

По правилу умножения, число различных автомобильныхномеров составит

26 . 26 . 9 . 102 = 608400.С помощью правила умножения можно решать различные

комбинаторные задачи. Однако, для числа элементов наиболеечасто встречающихся комбинаций существуют готовые форму-лы, выведенные с применением этого правила. Этими формула-ми удобно сразу пользоваться при решении задач. Комбинации,о которых идет речь, называются соединениями. К ним относят-ся размещения, перестановки и сочетания. Будем рассматриватьсоединения без повторений, предполагая, что в каждом данномсоединении элементы существуют в “единственном экземпляре”.

2. РазмещенияОпределение. Конечное множество, состоящее из n элемен-

тов, называется упорядоченным, если его элементы каким-либо

297

образом занумерованы числами 1, 2, 3, ..., n.Упорядоченные множества считаются равными, если они

состоят из одних и тех же элементов и занумерованы одинако-вым образом.

Определение. Пусть дано конечное множество, состоящееиз n элементов.

Размещением из n элементов по к элементов называется вся-кое его упорядоченное подмножество, содержащее к элементов(к ≤ n).

Пример. Выпишем все возможные размещения по 2 элемен-та данного множества {1, 2, 3, 4}:

(1, 2); (2, 1); (1, 3); (3, 1); (1, 4); (4, 1);(2, 3); (3, 2); (2, 4); (4, 2); (3, 4); (4, 3).

Всего получили 12 различных размещений.Различные размещения отличаются друг от друга составом

элементов или порядком их расположения.Число различных размещений из n элементов по k элементов

принято обозначать символом Αkn .

Теорема. Число различных размещений из n элементов по кэлементов равно произведению k последовательных натураль-ных чисел от n до n-k+1 включительно:

Αkn = n(n - 1)(n - 2) . ... . (n - k + 1) (1)

Доказательство. Число размещений из n элементов по kэлементов равно числу всех k-элементных упорядоченных под-множеств множества, содержащего n элементов. Первый элементподмножества можно, очевидно, выбрать n способами. Второйэлемент можно выбрать n-1 способом, так как в качестве второгоэлемента можно взять любой элемент множества, кроме уже вы-бранного первым. После выбора первых двух элементов остают-ся n-2 возможности для выбора третьего элемента и так далее.Последний k-ый элемент подмножества может быть выбран n-k+1 способом, так как к моменту его выбора осталось n-(k-1)элементов. Укажем на схеме число возможных способов выборакаждого элемента:

n n-1 n-2 … n-k+11 2 3 … k

298

По правилу умножения число различных размещений из nэлементов по k элементов выражается формулой

Αkn = n(n - 1)(n - 2) . ... . (n - k + 1).

Приведем содержание классической задачи о числе разме-щений.

Сколькими способами можно выбрать и разместить по kразличным местам k из n различных предметов.

Рассмотрим конкретные примеры.Задача 4Сколько разных билетов с указанием станции отправления и

станции назначения можно отпечатать для железной дороги, накоторой 50 станций?

Решение. Необходимо найти число различных упорядочен-ных подмножеств, содержащих по 2 элемента (названия станцийотправления и назначения), которые можно составить из множе-ства, содержащего 50 элементов:

Α250 = 50 . 49 = 2450 .

Подчеркнем, что рассматриваются упорядоченные подмно-жества по 2 элемента, поскольку любые 2 билета, в которых ука-заны одни и те же названия станций в различном порядке, явля-ются разными.

Задача 5.Сколько всего существует телефонных номеров, состоящих

из 5 различных цифр?Решение. Число таких номеров равно числу способов выбора

и размещения по пяти местам 5 из 10 различных цифр:

Α510 = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 = 30240.

3. ПерестановкиОпределение. Перестановкой данного множества называет-

ся любое упорядоченное множество, образованное из всех егоэлементов.

Пример. Выпишем все возможные перестановки множества{1, 2, 3}: {1, 2, 3}; {1, 3, 2}; {2, 1, 3}; {2, 3, 1}; {3, 1, 2}; {3, 2, 1}.Всего получили 6 различных перестановок.

Различные перестановки отличаются друг от друга толькопорядком элементов.

Число различных перестановок из n элементов обозначают

299

Pn.

Теорема. Число различных перестановок множества из nэлементов равно произведению всех последовательных нату-ральных чисел от 1 до n включительно

Pn= 1 . 2 . 3 … . (n –1) . n = n! (2)Доказательство теоремы оказывается излишним, поскольку

перестановки являются частным случаем размещений при k = n.Поэтому, согласно формуле (1)

( ) n!121nnnnn ΑP =−== ⋅⋅⋅⋅ ...

Выразим число размещений через число перестановок. Дляэтого правую часть формулы (1) умножим и разделим на (n – k)!.Получим

( ) kn

nkn P

P

!kn

n!Α−

=−

= (3)

Приведем содержание классической задачи о числе переста-новок.

Сколькими способами можно переставить n различныхпредметов, расположенных на n различных местах.

Рассмотрим конкретные примеры.Задача 6Сколько различных слов можно образовать из всех букв сло-

ва «гипербола»?Решение. Так как все буквы в данном слове различны, то

любое изменение порядка следования букв соответствует новомуслову.

Поскольку 9 букв можно переставить числом способов Р9, томожно образовать различных слов

P9 = 9! = 362880.Задача 7На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими спосо-

бами их можно расставить так, чтобы первый и второй том стоя-ли рядом?

Решение. n томов можно разместить на книжной полкеPn = n!

различными способами.Если 1-ый и 2-ой том стоят рядом, их условно можно счи-

тать одним томом:

300

12 либо 21и решать задачу о размещении на полке 29 различных книг.

Для каждого из двух указанных вариантов объединения 1-гои 2-го тома в один существует

Р29 = 29!различных способов расположения книг. Следовательно,

всего существует 2 . 29! различных способов расстановки 30 то-мов на полке, при условии, что 1-ый и 2-ой том стоят рядом.

4. СочетанияОпределение. Пусть дано конечное множество, состоящее

из n элементов.Сочетанием из n элементов по к элементов называется лю-

бое подмножество этого множества, содержащее к элементов(к ≤≤≤≤ n).

Пример. Выпишем все возможные сочетания по 2 элементаданного множества {1, 2, 3, 4}:

[1, 2]; [1, 3]; [1, 4]; [2, 3]; [2, 4]; [3, 4].Всего получили 6 различных сочетаний.Сочетания являются неупорядочными подмножествами.Различные сочетания отличаются между собой только соста-

вом элементов.Число различных сочетаний из n элементов по к элементов

принято обозначать символом Ckn .

Теорема. Число различных сочетаний из n элементов по кэлементов равно

Ckn = ( )!knk!

n!

−(4)

Доказательство. Каждое сочетание порождает столько со-ответствующих размещений, сколько возможно различных пере-становок его элементов. Поэтому

kkn

kn PCΑ ⋅= ,

откуда

Ckn =

PA

k

kn (5)

Подставляя формулу (3) в выражение (5), получим

301

( ) !k!kn

!n

kkn

nkn

PC

P

P

−=

⋅−= ,

что и требовалось доказать.Приведем содержание к классической задаче о числе сочета-

ний.Сколькими способами можно выбрать k из n различных

предметов.Рассмотрим конкретные примеры.Задача 8Из вазы, где стоят 10 красных и 4 розовые гвоздики, выби-

рают один красный и два розовых цветка. Сколькими способамиэто можно сделать?

Решение. Одну красную гвоздику из десяти можно выбрать

C110 способами, а две розовые гвоздики из четырех можно вы-

брать C24 способами. По правилу умножения, букет можно со-

ставить

C110

. C24 = =

⋅=⋅

!2!2

!410

!2!2

!4

!9!1

!1060 (способами).

Задача 9Каким числом способов можно разделить колоду из 36 карт

пополам так, чтобы в первый и второй пачке было по 2 туза?Решение. В колоде из 36 карт половину колоды составляют

18 карт. Изобразим схематически состав колоды и выборки, со-держащей 18 карт.

Общее количество (36 карт) Выборка (18 карт)

4 туза 32 «не туза» 2 туза 16 «не тузов»

При формировании выборки 2 туза из 4-х, имеющихся в ко-лоде, выбираются C2

4 способами.16 «не тузов» из 32 «не тузов», имеющихся в колоде, выби-

302

раются C1632 способами.

Так как любое извлечение 2-х тузов можно скомбинироватьс любым извлечением 16 «не тузов», в соответствии с правиломумножения, получаем общее число способов раздела колоды:

C24

. C1632 = .

!16!16

!32

!2!2

!4 ⋅

Заметим, что классическую задачу о числе сочетаний можносформулировать в следующей эквивалентной форме.

Сколькими способами можно разбить n предметов на 2группы так, чтобы в первой группе было k предметов, а во вто-рой (n – k) предметов (k + (n – k) = n).

Обобщим постановку этой задачи на случай несколькихгрупп.

5. РазбиенияПриведем содержание классической задачи о числе разбие-

ний на несколько групп.Сколькими способами можно разбить n различных предме-

тов на k групп по n1, n2, ..., nk предметов в каждой группе (n1 +n2 + ... + nk = n).

Число всех способов разбиений будем обозначатьk

nnnn

21C

,...,,.

Теорема. Пусть дано множество А, содержащее n элемен-тов. Пусть n1, n2, ..., nk – целые неотрицательные числа, причем

n1 + n2 + ... + nk = n.Число способов, с помощью которых можно представить

множество А в виде объединенияА = В1UB2 U...UBk

подмножеств, содержащих, соответственно, n1, n2, ..., nk элемен-тов, равно

!n!n!n

n!

k21

knnn

n21

C...

,...,,= (6)

Доказательство. Пусть множество А, состоящее из n эле-ментов, разбито на k подмножеств, содержащих, соответственно,n1, n2, ..., nk элементов.

Любая перестановка элементов внутри каждого множества

303

Bi (i=1,2,…,k) не меняет сути разбиения. Всего таких перестано-вок ni!. Применяя правило умножения, получим, что

n1! n2! ... nk!перестановок не меняют сути разбиения. Следовательно, каждоеуказанное разбиение n элементов на группы порождает n1! n2! ...nk! их перестановок. Поэтому общее число перестановок множе-ства из n элементов равно

Pn = knnn

n21

C,...,,

n1! n2! ... nk!,откуда

!n!n!n

n!

k21

knnn

n21

C...

,...,,=

Задача 10При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколь-

кими способами они могут это сделать?Решение. Искомое число способов равно числу всех разбие-

ний множества из 28 элементов на 4 группы. При этом n = 28;n1 = n2 = n3 = n4 = 7.

≈=4

7,7,7,728

!)7(

!28C 4,7 . 105.

Задача 11Сколько всего существует различных сдач карт при игре в

преферанс, где 32 карты делятся между тремя игроками по 10карт каждому, а 2 карты кладутся в прикуп?

Решение. Число различных сдач карт равно числу разбиениймножества из 32 элементов на 4 группы, по 10, 10, 10 и 2 элемен-та, соответственно:

≈⋅

=!2!)10(

!323

2,10,10,1032C 2,7 . 1015.

Классическое определение вероятности случайного событияБудем считать фиксированным некоторый опыт. Свяжем с

рассматриваемым опытом некоторую систему событий.Определение. Система случайных событий называется

классической моделью, если каждое случайное событие в нейможно представить в виде суммы нескольких событий, называе-мых элементарными событиями или случаями, обладающими

304

следующими свойствами:1. Число случаев конечно.2. Случаи являются попарно несовместными событиями.3. Случаи образуют полную группу событий.4. Случаи являются равновозможными событиями.Определение. Случаи, на которые подразделяется некото-

рое событие классической модели, называются благоприятст-вующими этому событию.

Определение. В классической модели вероятность любогособытия А определяется как отношение числа m случаев, благо-приятствующих этому событию к общему числу n всех случаев:

( )n

mAP = .

Решение вероятностных задач по классическому определе-нию часто облегчается использованием комбинаторных формул.Каждая из этих формул определяет число случаев в некоторомопыте, состоящем в выборе наудачу k из n различных элементовисходного множества. При этом в постановке каждого такогоопыта строго оговорено, каким способом производится выбор ичто понимается под различными выборками.

Задача 12Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово КНИГА.

Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем сновасобрал их в ряд. Найти вероятность того, что у него снова полу-чилось слово КНИГА.

Решение. Введем в рассмотрение событиеА = {сложено слово КНИГА}.

Так как все буквы в слове КНИГА различны, то любая пере-становка букв соответствует новому слову. Поэтому общее чис-ло случаев равно числу перестановок из 5 элементов:

n = Р5 = 5!Число случаев, благоприятствующих указанному событию:

m = 1 (соответствует слову КНИГА).Имеем

120.

1

5!

1P(A) == .

Задача 13В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность

305

того, что из 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.Решение. Изобразим схематический состав общего количе-

ства деталей и состав выборки:Общее количество Выборка10 деталей 6 деталей

7 стандарт. 3 нестандарт. 4 стандарт. 2 нестандарт.

Общее число случаев равно числу способов, которыми мож-но извлечь 6 деталей из общего количества 10 (без учета порядкаследования):

C610n = .

Определим число случаев, благоприятствующих появлениюданного события. 4 стандартные детали можно выбрать изимеющихся 7 стандартных деталей C4

7 способами. При этом ос-тавшиеся 2 детали являются нестандартными. Их можно выбратьиз имеющихся 3-х нестандартных деталей C2

3 способами. Поправилу умножения

CC 23

47m ⋅= .

Имеем,

501098

6543

!10!1!2!3!4

!4!6!3!7

n

m610

23

47

CCC

P(A) ,=⋅⋅

⋅⋅⋅====

⋅.

Задача 14В лифт 7-этажного дома на первом этаже вошли 3 человека.

Каждый из них, с одинаковой вероятностью, выходит на любомиз этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующихсобытий:

а) А = {все пассажиры выйдут на 6-ом этаже};б) В = {все пассажиры выйдут на одном этаже};в) С = {все пассажиры выйдут на разных этажах}.Решение.Найдем общее число случаев n в рассматриваемом опыте.

306

Каждому пассажиру, независимо от других, предоставленавозможность выйти на любом из шести этажей (2, 3, 4, 5, 6 или7). Укажем на схеме количество способов выхода каждого изтрех пассажиров:

6 6 61 2 3

По правилу умножения, у всех трех пассажиров имеетсяn = 63 способов выхода.

Для каждого из перечисленных событий А, В и С найдем со-ответствующее число благоприятствующих случаев и вычислимвероятности событий.

а) А = {все пассажиры выйдут на 6-ом этаже}.

mA = 1;216

1

6

1

n

m3

ΑP(A) === .

б) В = {все пассажиры выйдут на одном этаже}.Так как все пассажиры могут выйти на одном из шести эта-

жей, то

mB = 6; .36

1

6

6

n

m3

ΒP(B) ===

в) С = {все пассажиры выйдут на разных этажах}.Поскольку имеет значение, какой именно из пассажиров на

каком этаже выходит, число способов их выхода равно числуспособов извлечения упорядоченного подмножества, содержа-щего 3 элемента, из общего числа 6 элементов, то есть

Am 36c = ; .

9

5

6

456

6n

m33

36c ΑP(C) =

⋅⋅===

Задача 159 пассажиров наудачу рассаживаются в трех вагонах. Найти

вероятность того, что в один вагон сядут 4, в другой – 3, а в тре-тий – 2 пассажира.

Решение. Поскольку каждый из 9 пассажиров, независимоот других, имеет возможность выбрать один из трех вагонов:

3 3 3 3 3 3 3 3 31 2 3 4 5 6 7 8 9

то общее число случаев, равное числу различных способов вы-бора всех 9 пассажиров, определится как

n = 39.

307

Число случаев, благоприятствующих указанному в условиисобытию, определится как число разбиений множества из 9 эле-ментов (9 пассажиров) на 3 группы (3 вагона) по 4, 3 и 2 элемен-та в каждой группе:

.,,

!2!3!4

!9m C 234

9 ==

В результате

.93!2!3!4

!9

n

mP(A) ==

Задача 16Группа, состоящая из N человек, занимает места за круглым

столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что приэтом два определенных лица окажутся рядом?

Решение. Общее число случаев равно числу различных пе-рестановок из N элементов:

n = N!Определим m. Двух лиц А и В можно посадить рядом двумя

способамиАВ и ВА.

Пусть А и В заняли некоторые 2 места одним из двух ука-занных способов. При этом остальные (N-2) человека могут за-нять места (N-2)! способами. С учетом того, что за круглым сто-лом А и В могут занять места (1,2); (2,3); ... (N, 1) (N способами),по правилу умножения находим

m = 2 . (N - 2)! . N.Тогда

.1N

2

)!1(N

)!2(N2

N!

N)!2(N2

n

mP(A)

−=

−

−=

⋅−⋅==

Задача 17Группа, состоящая из N человек, занимает места с одной

стороны прямоугольного стола в случайном порядке. Какова ве-роятность того, что при этом два определенных лица окажутсярядом?

Решение. Общее число случаев равноn = N!

308

Определим m. Двух лиц А и В можно посадить рядом 2 спо-собами

АВ и ВА.При этом остальные (N-2) человека могут занять места (N-

2)! способами. С учетом того, что за прямоугольным столом А иВ могут занять места (1,2); (2,3); ..., (N-1, N) (N-1 способом), поправилу умножения находим

m = 2 . (N-2)!(N-1).Тогда

.N

2

N)1)!(N2(N

)1)!(N2(N2

N!

)1)!(N2(N2

n

mP(A) =

⋅−−

−−=

−−==

Литература1. Вентцель Е.С., Овчаров А.А. Теория вероятностей и ее инже-нерные приложения. –М.: Наука, 1988.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая стати-стика. –М.: Высшая школа, 1999.

3. Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность. – Новосибирск:Наука, 1975.

4. Дороговцев А.Я., Сильвестров Д.С., Скороход А.В., Ядрен-ко М.И. Теория вероятностей. Сборник задач. – Киев: Вищашкола, 1980.

5. Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории вероятно-стей и математической статистике. – Ленинград, Изд-во Ле-нинградского университета, 1967.

309

ЗмістО.В. Александрова, А.Н. Маркин. Использование ЭВМ в

решении эконометрических задач в строительном вузе ................ 3О.Б. Байструк. Моніторинг контролю знань з математи-

ки студентів ВНЗ І–ІІ рівнів акредитації як засіб формуванняміцних навичок і умінь ...................................................................... 5

Т.Г. Балюк. Активізація пізнавальної діяльності на уро-ках математики ................................................................................. 10

М.М. Бантос. Самостійна робота студентів економічнихспеціальностей при вивченні дисциплін математичногоспрямування...................................................................................... 14

В.Н. Беловодский, Г.Т. Климко. Компьютер в лекционнойлаборатории ...................................................................................... 17

Н.А. Белоцкая. Специфика изложения курса высшей ма-тематики студентам технических вузов......................................... 21

И.А. Берёзкина. Психолого-педагогические аспекты пре-подавания математики на подготовительных отделениях тех-нических вузов ................................................................................. 24

А.В. Бобрищев. Использование метода внешнего допол-нения в решениях математических задач ...................................... 31

М.О. Бугайова. Методичні особливості використання ло-гічних задач на уроках математики у 5-6 класах .......................... 38

В.К. Буряк, Е.В. Макаренко. Факультатив “Живые числа”... 43О.Е. Валльє, О.П. Свєтной. Деякі сучасні підходи до під-

готовки майбутніх вчителів математики у педагогічному вузі ... 48Г.А. Варварецкая, Т.И. Климова, Т.М. Сапронова. Приме-

нение опорного конспекта в параллельном изложении темы“Прямая” (в пространстве и на плоскости).................................... 51

С.М. Гаврилюк. Використання математичних знань науроках географії ............................................................................... 54

В.С. Герасимчук, В.И. Кравцов. Организация аудиторнойсамостоятельной работы студентов с использованием обу-чающего пособия.............................................................................. 56

Е.А. Дахер. Методика обучения высшей математике ввысших учебных заведениях с использованием символьнойсистемыMathematica ....................................................................... 59

Л.М. Єжель. Задачі і вправи в шкільному курсі біології ...... 65О.О.Жорник. Організація та проведення дидактичних

310

ігор в навчальному процесі ............................................................. 66Т.М. Задорожня. Застосування ймовірнісних пробіт і ло-

гіт моделей до дослідження проблем вибору ................................ 69Н.І. Зеленкова, Н.О. Сирота. Використання програмного

засобу Gran1 для розвитку пізнавальної активності учнів........... 81О.В. Зиновеева. Оценка и суммирование рядов и конеч-

ных сумм специального вида при помощи теории вероятно-стей .................................................................................................... 85

В.Д. Зоря, Н.В. Григор’єва. Харківський період науково-педагогічної діяльності Костянтина Олексійовича Андрєєва...... 93

Я.Ф. Калюта. Догматичний та евристичний методи ви-кладання математики ..................................................................... 103

В.І. Клочко. Вплив інформаційних технологій навчанняна зміст та методику навчання математики в технічних ВНЗ ... 106

Е.А. Кожаев, Г.Г. Маклакова. Особенности использова-ния пакетаMatlab в курсе высшей математики........................... 116

В.М. Комяк. Особенности использования модульно-рейтинговой системы при изучении высшей математики ......... 121

С.В. Кондратенко. Формування загальнонавчальнихумінь ліцеїстів під час вивчення математичних дисциплін ....... 123

О.М. Кондратьєва. Особливості організації корекціїзнань студентів технічних вузів при вивченні розділу“Лінійна та векторна алгебра” в курсі вищої математики.......... 127

Т.П. Коростіянець, А.Л. Іщенко. Гуманітарні аспекти ви-кладання математики ..................................................................... 129

О.Б. Красножон. Використання інформаційної техноло-гії в процесі навчання математики студентів фізичних спеціа-льностей вищих педагогічних навчальних закладів ................... 133

В.В. Крючковський, А.Н. Хомченко, О.В. Цибуленко. Дометодики розв’язування задач на порівняння числових зна-чень логарифмічних функцій ........................................................ 140

О.С. Куцевол. Створення гіпертекстових навчальнихкомплексів з математичних дисциплін ........................................ 149

В.М. Левин. О содержании курса высшей математики длябудущих инженеров-строителей................................................... 151

І.В. Лупан, З.П. Халецька, Л.В. Ізюмченко. Криві другогопорядку в курсах вищої математики та програмування ............. 155

Г.А. Малахай. Особливості науково-методичної підгото-

311

вки студентів в умовах економічної перебудови ........................ 165К.І. Маслова. Про організацію самостійної роботи студе-

нтів молодших курсів .................................................................... 172Л.А. Маслова, О.А. Сухинина. Использование модульно-

рейтинговой системы контроля знаний студентов на кафедревысшей математики ....................................................................... 174

Л.В. Мигунова, А.Е. Басманов. Методика преподаваниякурса высшей математики............................................................. 178

І.А. Мороз, Н.І. Зеленкова. Використання Gran-3D науроках стереометрії........................................................................ 181

В.Г. Моторіна. Числові системи та їх вивчення в загаль-ноосвітній школі............................................................................. 186

Г.В. Налева, Н.П. Худенко. К методике изложения опера-ционного исчисления для студентов специальности «Автома-тизация технологических процессов» .......................................... 203

М.М. Ніколаєв, Є.Я. Прасолов. Професійна спрямованістькурсу вищої математики при підготовці вчителів трудовогонавчання .......................................................................................... 206

О.П. Ніконова. Особливості використання теорії ймовір-ностей для оцінювання авіаційно-технічних систем .................. 211

А.И. Олейников, Н.В. Рашевская, Н.А. Рашевский. О ком-пьютерном моделировании в курсе теории вероятностей иматематической статистики .......................................................... 216

Н.Д. Орлова. Об изложении темы «Определенный инте-грал» на лекционных и практических занятиях .......................... 221

Т.В. Павленко. К вопросу об оптимальном подходе к из-ложению курса математической статистики в техническомвузе .................................................................................................. 224

В.H. Паскаленко. Об экспериментальной форме подго-товки студентов в Одесской национальной академии связи ..... 226

Л.І. Петрушина. Виховне значення дидактичних ігор увивченні математики...................................................................... 228

М.О. Рашевський. Пропедевтика курсу теорії аналітич-них функцій при вивченні інтегрального числення.................... 232

А.О. Розуменко. Узагальнення геометричних знань............ 235В.М. Серебреников, В.В. Серебреникова. Математическое

моделирование результатов обучения студентов в условияхконтрактной системы образования............................................... 237

312

И.М. Симкина. Особенности преподавания математики втехникуме на современном этапе ................................................. 240

И.А. Смагина. О необходимости ликвидации пробеловшкольного курса математики у студентов первого года обу-чения ................................................................................................ 245

I.М. Сулима, I.I. Ковтун, I.А. Нiкiтiна. Модульна техно-логiя органiзацiї навчального процесу ......................................... 247

С.П. Ткаченко, З.Ю. Філер. Спосіб нев’язки (відхилу)розв’язування нерівності ............................................................... 253

П.І. Ульшин, С.В. Діордіца. Використання елементів іс-торизму при вивченні математики ............................................... 258

П.І. Ульшин, С.М. Пашенко. Графічнi розв’язування рів-нянь .................................................................................................. 261

С.В. Уткина. Об организации самостоятельной работыпо высшей математике студентов нематематических специ-альностей......................................................................................... 264

Р.Э. Фердман.Метрика .......................................................... 268З.Ю. Філер.Методи активізації навчання математики ....... 274Л.О. Черних. Про формування загальнонавчальних умінь

студентів при вивченні математичних дисциплін ...................... 280А.І.Шурдук, М.Г. Махно. Застосування ПЕОМ в само-

стійній роботі студентів по фізико-математичним дисциплі-нам ................................................................................................... 287

А.І.Шурдук, О.Г. Фомкіна. Комп’ютерна підтримка кур-су “Теорія ймовірностей” .............................................................. 291

Т.А. Ярхо. Комбинаторный метод вычисления вероятно-стей в классической модели событий........................................... 293

313

Наукове видання

Теорія та методика навчання

математики, фізики, інформатики

Випуск 3

В 3-х томах

Том 2

Підп. до друку 24.02.2003Бумага офсетна №1Ум. друк. арк. 16,50

Формат 80х84 1/16.Зам.№2-2401

Наклад 500 прим.

Видавничий відділ Національної металургійної академії України50006, м. Кривий Ріг-6, вул. Революційна, 5

E-mail: cc@kpi.dp.ua