22
ÏÑÏÓÇÌÏ ÆÙÃÑÁÖÏÕ 22. ¸íá êéâþôéï ó÷Þìáôïò êýâïõ áêìÞò l åßíáé ãåìÜôï ìå Üììï êáé Ý÷åé óõíïëéêü âÜñïò w = 460 N. ÈÝëïõìå íá áíáðïäïãõ- ñßóïõìå ôï êéâþôéï ùèþíôáò ôï ïñéæüíôéá óôï óçìåßï Á. á. Ðïéá ç åëÜ÷éóôç ïñéæüíôéá äýíáìç ðïõ áðáéôåßôáé; â. Ðïéïò ï åëÜ÷éóôïò óõíôåëåóôÞò ôñéâÞò ìåôáîý êéâùôßïõ - åäÜöïõò óôçí ðáñáðÜíù ðåñßðôùóç; ã. ÕðÜñ÷åé ðéï áðïäïôéêüò ôñüðïò ãéá íá áíáðïäïãõñßóïõìå ôï êéâþôéï, áóêþíôáò äýíáìç óôï ßäéï óçìåßï ôïõ êéâùôßïõ; Áí íáé, âñåßôå ôï ìÝôñï êáé ôç äéåýèõíóç ôçò åëÜ÷éóôçò äýíáìçò ðïõ áðáéôåßôáé. Ëýóç A 22. á. Óôçí ïñéáêÞ ðåñßðôùóç áíáôñïðÞò ôïõ êéâùôßïõ ç áíôß- äñáóç ôïõ äáðÝäïõ A r äéÝñ÷åôáé áðü ôï Ï. Ãéá íá áíáôñáðåß ôï êéâþôéï, ðñÝðåé ùò ðñïò ôï Ï: F W τ ≥τ Þ F w 2 l l Þ w F 2 Þ min w F 2 = Þ min F 230 N = â. ¼ôáí ôï ìÝôñï ôçò F åßíáé åëÜ÷éóôï, ôï ìÝôñï ôçò óôáôéêÞò ôñéâÞò åßíáé ìÝãéóôï, Üñá: óô ïñ T Ô ìÍ = = (Áöïý ôï êéâþôéï åßíáé Ýôïéìï íá ïëéóèÞóåé) Éó÷ýåé: min ïñ F T = Þ min F ìÍ = Þ min F ìw = min F w µ= Þ ì = 0, 5 ã. Ç äýíáìç 1 F r ðñÝðåé íá áóêçèåß ðëÜãéá óôï Á, Ýôóé þóôå íá áõîçèåß ï ìï÷ëïâñá÷ßïíáò x, ùò ðñïò ôï Ï. ¸÷ïõìå: ( ) 1 1 w 0 Fx w F 2 2x Ο Στ = = = l l (1) üðïõ: ð x (OA)çì 4 = θ+ ¼ìùò: 2 2 ( ) 2 ΑΟ = + = l l l A Ï F T Í óô w Ê A è Ï F Í x 1 óô w T Ê ð 4 ËÕÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ áðü ôï âéâëßï ôïõ ÃéÜííç ÊáëéìÜíç ÖõóéêÞ Ã´ Ëõêåßïõ È/Ô Êáôåýèõíóçò Ìç÷áíéêÞ Óôåñåïý Óþìáôïò

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΟΡΟΣΗΜΟ - ˘ ˇorosimo.eu/images/orosimo/LIMENES_ASKHSEIS_GIA_SITE.pdf+ * ˇ ( *8=9 *ˇ # * ’ #ˇ 3 ˇ*#˘ *ˇ # R ’ #ˇ $ * 1 ˘( ( * ( *1 ( ˇ

  • Upload
    others

  • View
    7

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

���

��

��

��

��

��

�� ������������� ������������ ��� ������������������

���������������������� � � ��� � �!���������"���#$��%

������&��������'(��������)��������*����+

� �,���*�������*���)�����$����*�#���#������-

� �,������������������� ����� �����.�����'���%

�$�/����*��#���#��'�#���#'�*-

� �0#������#���#$�������#������������#$���������������1���������$����*��

�$���*���������'��-

+�����1����������������*�$���(���*�*��������*��$����*��#���#������

����

A

�� �� �2*������ �#���#'�*�����# �������'���*����%

$���*���$�#�$����

�$���������#���3

4�����������#���������1�#��#���'��#����35

� �τ ≥ τ ���� ���� � ��

⋅ ≥ �� ���� ����

��

�≥ ����

���

��

�= ���� ���� ���� ���=

� �6��������*��7�������������1������*������ ����� �������������1����5

� ��� � ��= = ���8+/�������������������������( ���9

:�����5��� ��� ��� �= ���� ���� ���� ��= ���� ���� ���� ��= ����⇒ ���� ����

�µ = ���� ����� � ���

� �;�$����*� ���

�#��#���������*(���#��������+1��������

�����.*(����������������<1�'��#����3

�����5

� � � �

����� ����� � � ���� �����

� ��ΟΣτ = ⇒ = ⇒ =� ���������8=9

�#�5���

� �������

= θ +

6�'�5���� �� � �ΑΟ = + =� � �

A

Ï

F

T

Í

óô

w

Ê

A è

Ï

F

Í

x

1

óô

w

T

Ê

ð4

���������������

����������� ����!���"##������$"#�

!��%&��'��!%( �!�)*+����(�,!#��-

��.�#�%&���(/(����0$���-

���

��

��

��

��

��

+#��8=95�������� �

��

�� ��� �

= +

���� ���� �

��

�� ��� �

= +

����

�������� �

� ��

���� �

= +

���� ���� �

��� ��

��� �

= +

���������8>9

6��5��� �� ���= 1����

�� � ��� ��

+ = =

?��5��� �

�� � ��� �

+ = ���� ����

�� �!

�=

+#��8>95��� ������� ��� ���= 1�������'������

��= ��#��'��#������)��

?��1��������������<����)�������*�$�������+3������'��

�1 � �2*�$���83+9��������5

@�A��������

�������*�

@�;���*���� ���� � �� � �′= = 1��/��������2�����#��

@�;����� ���� � "��

��������������������*�$�����3

@�;���(�*����$���*���

��#���������3

@�;���*���� ����8+49� ��

1�*�#���������������A*�(�����A���(1��#'������ ���*�

$�#��� ������$��

��'�<�*��#����*����*�����3��#����*�����#���#����������������2

�1 �;����� ��$����3+�� ���� # ���� ����������� �

���������������������� ���+41���������#��

����*��3�#��'�����������/��� �;�$�������%

�#�����)���� �3�������� ������ ����� �����%

����������������*�$��������� "� # $�

�2��#����#����*�<��#���31��#�������������%

��������'��������� ���1����������21������

�1���������*�$��������*������� ������3-

2 �+��������2�������������������)���*��$%

���3+1�#���*��#��������������� ���������%

� ����� ����� �1���������#����*�$����������%

�#�����)����-

B�����5��*�(����1�1�����(����1C

����

ÁO

Ã

è

Ó

���

��

��

��

��

��

;�$����83+9�����#��1����5

����� �%� ���� ����� � &'�= ⇒ = 8=9

( " �%� ���� ����� ���� � �= ⇒ + = + 1

6�'��5����� " "� � �= ���⇒

"� � ���� ��+ = 8>9

���������������� �)�%� ���� ��= ⇒

����� � �� � ���� �

− − + ⋅ =�� 8D9

+#��8=%>9������5

" � &'� *���� ��µ ⋅ = ����

"��� &'� * ���� ��µ = ����

��������������������"

���

&'� * ���= µ

8�9

+#��8D%�9������5

"

���� � ���

� &'� * ���− − + ⋅ =µ

�� ���� ����

"

� ����

� &'� * ���+ = µ

������

� �� �

� �� � �� �

� �− �����������������������������������������������������8E9

+����(�������������(�*�����������*��8E95

�$+� �

$ � $,= −+ ���� ���� � �����

2 �!������*��8E9���������'��� 1�*�(1����(�����<���>�8�/���2����������#����������%

)���F G �*��$��91����������*������� ���������� ���� �� "�′

�����5

"

�$+� �

� $+ $,= −′ ⋅ +

���� ����"

�$+�

� $+ $,= ′ ⋅ +

���� ���� "$�� �$ � �$+′ + = ����

"$�� �$ �′ = ���� ���� "� $-�′ =

?��1���������.*�*������1>E� ��#���������5

.&/� � $����0 ��0 �0

.�123���2�� $�= =�

� �

Á

1

çìèS

óõíè

1

O

Ã

è

Ó

N Ô

ÔÔ

Ô

c.m.

Ô

Ô´

w

w

x

���

��

��

��

��

��

�3 �2/����������������� 4��= �����#����#'��/���������$�#����

�� ��

� �H��$������ �������������������#�#�$�$������������

� �H���#����������$��������#��$������*��/������#���������

���������������������#�#�$

� �H���#�������*������ ���� �����*����(�*�$����*�#��$�����

*��/������#�������������#�#�$

B��������5��/�����

����

�3 �� �3�/�����*�� ��

�#��#������#������#���+1

�*����� ��'��/��'��*����

������������

I��H �J#��$ ��/�����*����

�$�����������(��

������������#�#�$1���#�#�$�$������������K

� �� �%� ���� ����� �= ⇒ = 8=9

( (%� ���� ����� 4��= ⇒ = 8>9

� � � �%� ���� ���� � 4�κ = ⇒ Τ = 8D9

�#���� �

5 5� 5 5 &', 5

� �= + = + = 1

5 � 5��,

�= =

+#��8D9������5

�5 45

� �= ���� ����� ��=

�� ��= 1��� � �( � (� 4������ ����� � � , ��= ⇒ = + =

(

� 4 67�

� = = = = ���� ���� 67� = ��� ���� ,ο=

� �+��������*����

���������������κ�

����� ���

� � �%� ���� �����5 � � � Ο = ⇒ − ΚΟ = ����

� ��5 � 5 ���� ����� � ��− ⋅ = ⇒ = =

:�����5

� � �3 �� � *�= ���� ���� � � �

3 �� � �= − ����

� � � � �� � � , κ = − = ⋅ − ⋅ =

� ��, �= − =

� � � � ��� �� � �� � �� ��, �� �� �� �� , 4�= ⋅ − ⋅ = ⋅ − = ⋅ = = Ν

R

Ï

F

F

F

T

60

60

K

90Í

ï

ï

y

x

x

x

1

2

Á

R

è

Ï

F

Êóô

T

60

K90Í

ï

Á

R

���

��

��

��

��

��

14 ���'���FG

��*��#������*�����������)���������������������� �

$��� �1�����# ��$��������'����������:1��������L�������)��

G1��#�����������'�������(*�*

�����5

M��/��� ����*�*5 8�� � �.− = 8=9

2�/�� ����*�*5 9:'�5 ;.= ���� ���� 8�.

5 5

ΙΤ = ⋅ ���� ���� 8�

.

5

ΙΤ = 8>9

+#��8=9�N�8>95��� 8� �

;� . �

5

= + ���� ���� 8�

�.

;�

5

=+

���� �����

8� �

�5.

�5 ;=

+8D9

6�'�5�� � �� � ��; ;∆ ∆> 8�9

�#��$ ����/���$�����������������'���*�*���)�����*��#���/�����

+#��8D9�%�8�9�5����<��

8�. O��<��

8�.

?��1�*����.�����#����*���.�����

2'����8�9

14 �3��$��$�����8B=9�����8B

>9�������$�����)�����

�$�������� �3�8B=9���������/��������8B

>9������

���#�� � �A*�� P � � ��������������������%

)���'��$���'����(�������)������$�������

��������1�7=���7

>���7 1��#'������ �� �3�

$���������)���������������'����������(��%

���1������)�����#�#�$ �M����#�������P=

*��#����*�'��F G �'��$���'�5

� ��������� � ���.����� � �#�����������(��

����

1 2

21 F F

(Ä ) (Ä )

OO

R R

= >

cm F

T

áO

R

3 �3���������� ��������������=E���������������L��

���1E�G�����#�����������)����$�#�$

4���#���������*����)������$����*��7�#�����������

F G ������1�������(���#��#*$ ���������#����Q��

R����1>�G-

����h

F

O

KR

4�������#��#*$ ���������������#���(�����/������'��#��*����� �3 �6�'�1�������

����������1�(��#��#����*������� �(��*�8�� �=91�*��# �*����

������������������*�*���# ���

��������

1�'��#�����$���*����3 �?��1��*������� �(��*�8=9�#��#��5

� �� = � �������������������������������������������������������������������8=9

����*����$���*���$�#�$��+����1��/��������������������*���#�/ �������$�#�$

���

��

��

��

��

��

+���*������� �(��*�8=9

*��# �*����

�'��#���

3���������������*��#�

*��# �����

�'��#��

��$���*���1�����(�

����������������(�����*

(��*1��������(�����%

�������������1�����%

���������S�*�� ��

��#�

�3����������1�����

������������ <� �

��

� �#�� � 3� ���������

8�� ��� �8>991��#��ST�U�S�������<T�O�<

+#��8=9������5 7�V�S�U���V�<���� �����

� �(

> � � � � 8>9

+#����� ���8=95 ���S���L�@�R � � � � 8D9

������ � �� 5 (= − ���� ���� � � � � �� 5 �5 >� 5 5 > �5>= − − = − − + ����

� >��5 >�= − � � � � 8�9

+#���8>9�%�8D9�%�8�95���� ��

� � �� �

−− � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 8E9

+����(����������������*��8E91������5

$ � $+� ��

$

−> ���� ����$ �

� ��$

> ���� ����5�6��77�8

+#��*��8E9�#���*�����������> 5→ �����→∞ 1�$*��$ �$����#��������������#��#*$ ���

�����#��

h h

yy´

F

F

A O O

K

K

R

R

x x´

Nw

w N

(Ó÷Þìá 1)(Ó÷Þìá 1) (Ó÷Þìá 2)(Ó÷Þìá 2)

19 �3����������$�����B=�����B

>���$�#����

�� ���� �#���� ��� �������� �'���� ��

���(������#��'����������������������

�#�#�$�1���������������������������*�

����� �����'��� �3��$�����B=1�B

>�����

��)��� G=� C WX1� G

>� > WX� ���� ������� L

=�

� �1> G1�L>� �1= G ��������1�������������%

�������������#����$�������

;������������������ �1������������������*������8$*��$ ���(����� ���9�� ���#����

�#������������)���8F G 9�'��$���'� �A*�� P � � ��/ ���������*�������(���������*(��1

���������$�����B=��������������8��������#�������'91�������$��$�������������(��

�����*1�$*��$ ������*��'�������(*�*

ÄÄ

2

1

ôñï÷áëßá

öö

���

��

��

��

��

��

H�������5

� ������*���#������*��'������'����)���8F G 9�'��$���'�

� ������*���'���� ���#������*����(��$��������������*����*����� ���

� � 6��� � $����� B=� ����� ���������

�� #�����/��1� #����� #�����/��� ����� ���������

$�����B>�����#���$���*���#�������$����������������)�����(��$��������#���#��'

����-

: �+���������� ����� �����.���#�#�$�%$���'��������

= 1���$�����(���������

�'����������(�����-�H��$������ ����*���#��*� ����

B�����5

4�����B=5��

8�

�� � �

�? � 5

�= 1��������B

>5��

8�

�� � �

�? � 5

�= 1���

�7 # ��������

@ #���AB

����

19 �;������������������ �1�$*��$ 5��� ���1� = 1�����5���� �′=

,������5��� ����1 ���1 9:' � � 9:'��� ��5 ? . � 5 . ′ − = = Σ ⋅ = �1���� �′=

J#��$ ����'����� ���������������

�����*�����1�����������)���'��$�%

��'�1���(���*������� ���1���(��

�������*�����*��#��������*�����%

������������(������� ����� ����*�

�����#������*��$�������

+/��������>�$��������������'����������(�����1�����������������5

� � 5= ⋅ 1��� 8�& : 5= ⋅ ��������� 8� 9:'. . 5= ⋅

� �4����$����8B=95

M��/��� ����*�*5��� � 8�%� � .= ���� ���� � � � 8�� @�� � � � .− − = � � � � 8=9

2�/�� ����*�*5� � � �)� � 9:'���%� ? .= � � � � � �� 8�

� � � � � � 8��

.� �� 5 � 5 ���� ����� � .

� 5 �= ⇒ = � � � � � � � � 8>9

4����$����8B>95

M��/��� ����*�*5���� � 8�%� � .= ���� ���� � � � 8�� � @�� � � .− − = � � � � � � � � � � � � � � 8D9

2�/�� � ���*�*5� � � �) � � 9:'���%� ? .′ ′= � � � � � � � 8�� � � � � � 8�

.� �� 5 � 5 ���� ����� � .

� 5 �= ⇒ = � � � � � 8�9

,��(������������*����8=9�����8D95

������ � � � � 8� � �� @�� � � @�� � . �� � �− − − = + � � � � � � � � � � � � � � 8E9

á á

Ï Ï´2

1

cmcmôñï÷áëßá

F

NN

F´ F

ö

21

21

m góõí30m góõí30

m gçì30m gçì30

2

1

T

T

ö

���

��

��

��

��

��

M��#���(��*��������*�'��8>91�8�91�8E9������5

� �� � 8� � �

� �� @�� � @�� . � �

� �

− = + + + ����

� �� � � �8� 8�

� � � �

�� � �@�� �@�� � ���. ���� ����.

� � �� � �

− −= ⇒ =+ + ����� ���� �

��� � �����

� �4����$����8B=95�� 8�

9:'����

..

5= ���� ����

�9:'. �� �!AB=

4����$����8B>95�� 8�

9:'����

..

5= ���� ���� �

9:'���. �� �!AB=

+#��*��8D9������5��� � 8� � �� � . � @�� �= + + ��� 1��.������*��8�91

�� 8� � 8�

�� � . � @�� .

�= + + ���� ���� � �,��=

� �4����$����8B=95��� �

��

��= ���� ���� �

������ ���� �� �!

� ��= ⇒ θ =

6�'�5��� � �� 9:'����

9:'���

���. C ���� ����C

� .θ = ⇒ = ���� ���� � � ���

4����$����8B>95���

�� 9:'���� �

�. C ���� ���� �� �!

�θ = ⇒ θ =

?��5

��

� ��

�� ��= = ����� ����� �

��

��= �#�����/��

4�������������)���'��$���'��������5

� �" " "= = ���� ���� �8�

�" . C

�= ���� ����" ���=

�������

+��$��������)�������������������P��#�����������������H>�'���. �5

��

"�

��5= ������� �

"�

��5=

B����������������*������5

� �

� �

� 5

� 5= ��� ��� �

� � � ��

5 $ �� � ��� ���� �

5 $�= ⇒ = ��� ��� � �

�� ��

�= = #�����/��

: �3�������� ����� �����.���#�#�$'��%�$���'����������$��������������>�$�����1��/�

���������������������#����$�������

���

��

��

��

��

��

83����.�����������#����������'���#�/�������#�������������#�/ 9

0#���)����*���� �*��A���(*�*�

�����*���� �*����� ��A1�#��#���#����#���#����*��1

*�#���#��#���������������� 1�$*��$ 5����� �D2 �E� �≤ ����������8:9

:�����5�� �D2 �E� ��@ &'7= 1���#���

= �����G�*���)���������$����

�D2 �E

� � �

�= ⋅ ���� ���� �� �!

�" �

����������������������������������������8�9

6�'�1��#���8�9����*����������*�� (����'�������'��8>9�%�8�91����� �������5

8�

�� �.

�= ���� ����" � � ���������������������������������������������������8Y9

�/���

8�. ���AB=

J#��$ �� �� �!" � " 1�$*��$ �$����������*�����*�8:91��������$��$�����(�����( ���

������5�,���*�����������*�A���(

��������*�A�

���������8�9�8Y9��.������������#��*

��)��G�����(�������$��

A��#�����������������������1��/���������� ����� ������������$��������������>

$�����1���(���*��'����/����������*���FG

��-��/���-

��'��GZ[

����������������� ����� ����������*�����������(*�*

:�����5�� �E �D2 �E� �≤ ��� ��� �E� ��≤ ���� ���� �E� ��@ &'7≤ ���� ���� �E��

�@ &'7≥

6�'���#�����*���8�95�� �E 8�

�� .

�=

?��1������5��8�

�.

���@ &'7≥ ���� ���� 8�.

��@ &'7≥

+����(������5��� � �

� ���� ����� ���� ����� �

�@�

≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ����

���

� �

= ���������

= ���#��*����/��*�*���#��� ���

J#��$ �� ���� �> 1�����������(*�*�'��$���'�

���

��

��

��

��

��

33 �+����(/(���/.�%"��/($( �+�#�; < 7 ���%��$(�:�#�$�����,(/��

$=�/�!>�=����0��(���:�(�,!#�&���-�#���.�$�� ?(��$(���#��/ @

?�#����A# ��,>�������#���� ���7�B�,�B�#

#�C < � D>�#���/( �(���-���$=-���-��A# �-�,>�������-���� (-���

��(/(�E

� �%!� (�����/�-����:(F�"

� �%!� (�����/�-�����/���(/"

� ���/�$=#(���% #���

�������%&��/��&�( #����=�����0��(������(/(��#��$�#�����,� #(� �G #(������/��&��:/"#(��-

��!���(/(���A-��/�-�����>��

����

=����#�

��'�������������������#�����$�.��

:�����5

� 8�%� �.= ���� ���� � 8�� � �.− = ����

8�� &'� � �.− = �����������������8=9

� � 9:'? .ΟΣτ = ���� ���� 8�

.� 5 � ;

5⋅ − ⋅ = ���8>9

;�8=9����/���5

8�5 � &'� � 5 5�.⋅ ⋅ − ⋅ = �����������������������������������������������8=T9

M��#���(��*��������*�'��8>91�8=T9������5

8�

;5 � &'� � . �5

5

⋅ ⋅ − ⋅ = + ���� ����

8�

; �5 � 5 &'� .

5 5

+ ⋅ ⋅ − = ����

⋅ ⋅ �

�� ��

$� � ��

�� �

% ���

−��������������������������������������������������8D9

V��J#��$ ����������������#�����$�.�����FG

�U��1�$*��$ 5

&'�

5− > �� ��

&'�

5> �� ���

� &'�

�> ��� ���

� & '�

V��+�� � � '� 1��

� &'�

�< �� ��

&'�

5− < ��� 1����'�*��8D9���

FG�O����������������������#��

���������

V��+���

� '� 1���

&'��= �� ��

&'�

5= � � � ��

FG����1�$*��$ ��������#�������������*1

�/���#��������*����(*�*

��-��/���-

;����*��������#������*����$���Q�����������������.���#�����/ �1��#���$�������

�#����*�����#�/ ��������%�$�#�$�1���'�\ �!���)�������*����(�*����*�*��������

R

Ïr è

F

Ô

R

Ïr è

F

F

F

F

=

=

Fóõíè

Fçìè

F

á

x

x

y

y

cm

Ô

���

��

��

��

��

��

'��#����31��#�������(�'�*(�����(������/�� ����'��#���\

4 � +�� � /����� *�� ��

� #����� �#�� � \1� ��� 7� �1� ���5

�(�)* � � 1���/��A�

GX�

H� � �8��/��������#��������#�

�\9

?����������$���#������/���

+#������'��3\]������5��)F �

&'�)G 5 �= = = 1

B*��$ 5��( � ��

� �+��*��# �*�� ��

�'��#����\�������$�.����/*1����

��������������#�����$�.�������(�O���

1 �+��*��# �*����

�'��#����\����������������/*1����

��������������#�����������������(�U���

A���1�#���*���������*�/��������*���'�������(*�*��

�������.�����������#��*��'����(1������5

� ������*����

������������(���

� �������

5��#��*�������������(����

R

Ïr

F

Ô

èè Ë

Ê

R

Ïr

F

Ô

èèË

Ê

R

Ïr

F

Ô

è

è Ë

Ê

3H �3���.����$�����'�������$�'��\=�����\

>�������#�����*��1�������������$����)�����#�%

#�$���������#����*� ^ � >1E G �+/ �����������#�� ����� �����$��4B���)���M � =� WX

#��'����������$������������������*��������������#��'��#��������*���#����*�

\=\

>�������������*���*����������)������������$�������#�����/ 1�����'���� ����*�

'1��$���������#'��$���������� �� �+������������4�*������$�����(�� ���)����

$����*������ 7 � =� ���������(���*�#������������B

6��� � ���� 3� *�

����$���$���������#�%

���*� _ � > FG1�*�$�%

���*�7����������

4 �H���#$��.�����

*�����$����������#�

������ �����'�*�8� � 9���������#�������*��#���$��*�

I � �,���#����+�*��� � �#���������*�����$�

ÏÃ Ä

1 2K K

d

���

��

��

��

��

��

1 �H����������������$��������1������/�����#����������'�������'��$�����'����� �

A=1�A

>���������*�*����*���#�������*�<�����������)���*������$��1������ �������

� � �#�����+

3�������� ����� �����(*�*��*������$��������������$���������� � � �1E�����*��#��%

����*�*������*��� �@ #���AB

2 � J#���/������ *� ����$�� �*�� ����� � (��*� ����#���� *� � \�#��� ����� � ���� 1

#(�����#��'��*�����$������������������2���)��� G � I WX1�����������������)��

��������)���������������)���*������$�� �+#��������������*�����%��$�%����

21��'�����2���������������<�������/ ���������(�� �A����*����������� �

2 4 �H�������������(������#���/����`���

1�`2�*������$���������������21����%����

2 � �,���*���(�����#���/��������� ���-

2 1 �,����������#���#�����#��������'�*��*������$��1���������������2���

�*�����(������'��#����� �-

B������������� ����� �����(*�*�����������������2�����*�����$���=����1�C

����

3H � 4 �2*�����$���������5

� �������*��H@�

� ������$������� � �� $��� �

��#����������$�������

� ���$����������� �� � �� $��� �

1��������� � �� ��= ����� � �� ��= ��������

2*���������#�������*���

1����(��� �/���*�/���*���#�������*�1�8�� �8>991������5

� � � � �%� � � �� ��= − = − ���� ���� � � �%� ��� � �= − ������������������������8=9

Ï

Ã

Ã

Ä

ÄÏ

1 2

1

1

1

2

2

1 2

2

T´ T´

óôïí êýëéíäñïóôïí êýëéíäñï

Ó÷. (2)

Ó÷. (1)

T

Í

Mg

Í

T

K

K

K

K

Á Ã

R R

d2

d2

x

d2

d2

xx

���

��

��

��

��

��

J#��$ �*�����$��$������/���1�������5

a���� �I� �

!%� ���� ���� H@ � � !

= ⇒ − + + = ���� ���� �

!H@ �

��

!

+ = � � � � 8>9

a�����J� �

!%� ���� ����H@ � � !

= ⇒ − − = ���� ���� �

!H@ �

��

!

− = � � � � 8D9

+����(�������*��8=91����8>91�8D95

! !� �

� � �H@ �H@! !%� � H@ H@ � � � ���

! ! ! � � !

− + = − = − − − = −

����

��+,)� �

-− �����������������������������������������������������8�9

J#��$ ����H@

!����(���1�*�8�9�$����������*�����$��������� � ���5

��H@K

!= �����������������������������������������������������������8E9

:�����5����� ��K

Μ= 1��� ����'�*��8E91���� ����H@

!

Μ= ���� ����-

" � �#��,

M�����������*������5

�$�� �� �� $ �� �� $�

� $� �= = = ⋅⋅ ⋅

���� ����" � #��

I � �bc�����*���.'���� ��$����*��71�������*����������*������'�*�

:�����5

�� L= ���� ���� ���" K�

�= ���� ����

��"�

K= ���� 1����'�*��8E95

��" �"!�

��H@ �H@

!

= = 1���������������*1��� ��, � � �$� � �

�$� �, � �

− −⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =⋅ ⋅ ����

. � ��/��

1 ��:�����5�� � �� ��= ��������� � �� ��=

6�'�1��#��+ = ����*��������#�������������8D91�8>9������5

!H@ �

��

!

− = ��������� �

!H@ �

��

!

+ =

+����(������5

�M@ !� �

! �

= − �������������� �

�M@ !� �

! �

= +

���

��

��

��

��

��

+����(�������������(�*���������

�����5

�� ���$�� ��= − �������������8�9

�������� �� ���$ �� ��= + ��������8Y9

���� � � �− ≤ ≤ ����

�$� � $��≤ ≤ ��8_ d 9

3�����/�����#����������'��8�1�Y91��������

$��������1�/���������$�#������� ��

2 4 �+#��*�����*�*�+ =1��#��������*��#���$�����'�*��*������$����!

���@= 1

���.��**�*����)��1�����*������$���������������21��/���������������������

��)���3�*������$��

?��5�� ��2' �6�.� � � ��B= = = ��������� ��2' �6�.

��: : :

�= = = ���� ����'���>�ef^gh

4��������(������#���/����*������$���������������21��������������5

� .'K M: ,���A�= = 1����� �

%K �: ,��A�= =

2 � �:�����5����

& �E��6�.�K �M * ��: ���A�= =

�.����5

+/��*��'���� ������*��'�$�������)��1���������)���*���)��G1�����#��*�����*��K �:=

(������)���*�`1�$*��$ 5��� & �E���2'� & �E��6�.�K K≠

2*�����*��K �:= 1���������)���*���)��G1��������)�������*�'�����*�`1�����������

#����*��

2 1 � 4���������21��#�������������*������'�*������ ���1������*��$�%

���*���#���/����#��)���*����� ���� �A�

�?��1������*��$����*���#���/���1��*�

������(��*�<1������5

6� � %� � K �= = ⋅ ���� ���� � �� �:= ⋅Α ���������������������������������8C9

J#��$ ��2�$������(�����

'��#���*�����$�1�������5

� �D� �≤ ����

� �� � �@≤ �������8I9

+#��8C1�I95

���: I � �@≤ ����

� @�

:≤ ���� ���� /

�0 �

� ,. �

1

+����(������������5��� ���

$+ ��

⋅= ���� ���� ���� $���=

Ô (Í)

(Ô )(Ô ) 21

x (m)–0,1 O 0,1

36,8

43,2

40

ÏÃ

Ã

Ä

ÄÏ

Tóô.

x

Ó

Ó

È.É.

Í

mg

���

��

��

��

��

��

J7 �]������)���������$��� ����i � D G �������)��� M � �1� \X���(�������������*��+���

�������/��� �2���#���%�*� ^ � = G ��#������1�*���%��$���*��)�����������$��*%

��������)���� �:$���������%������� �����(����� \ � =�� �gG����$����������������

�������������������������2=���)���G

=� = jX �A���� ��������������/�������

� ��1���.��������������)���������$���������#����������)�����������2=

A��������)�����������2=��������������#����*�̂ ��#������ �2*���������1�������

�������2=���(�� ���)�����$����*������ 7 � �� � ��������(���*�#������������4

*������$�� �6���������2=�$���������#����*� h � E FG1�*�$����*�#�����������������

��������1��*���������1���������������#� ������� �����'�*

4 �H���#��������#����*���#� �������� ������'�*��#��(�����������������2=

� �H����/�����������*��$����*��7+�#��$������*�����$���#���������������*�*���

*���#�������*���������2=�����������$������*��������*����/�� �#������* �4��

����$������*�����/�� ��#������*�������*���#�*(����������������

\��� � ��� *�� ����$��� �#�� � ���� 4� �������� ����� 2>� ��)��� G

>� = jX� ��� ���*�

�& # � ��AB �A��$�������������������������������������1�����*��#�������*��

������2=�������<

=1��#�� �� ≥ �A������2

=�����*������*��������������������

$�����#���

1 �H��������*���#�������*�<=

3 �H�������������#��#����������$���*����#��*����� �*������*����$��������(�

��������������$����*�/��

!�'����� (��� � *� /��� *�� �#�������*�� #��� � 4 � A������ �*�� ��(�'�*� ���� �

�#� ������$����#�����

B�����5��#������*�����*��� �@ #���AB �����

kJ#����*#�����,����� �����J.�������>�==l

����

J7 �4 �:�����5��� � �L � � " ��N= = ⋅ =

6�'�5��� ��

�L O� ���� ����

�= ⇒ . � �����

� � +#�� ����#��� �� 82=9� ��� �������/� �.��

�����5

� �� � @ ���′ = =

�#�� ��′�

�*����$���*��#��*�����$�

A�82=9��������#� ������� �����'�*1����(��*�����#������*����3

82*����� ��.*��*������$��9

��'�<�*��#�������*���82=9��#���3�8�� ��� �=9

2*�����$�������������. ��$�������5

@�A������*��H@�

��������*�

1

1

A

Ó

1

m g

���

��

��

��

��

��

@�;�$����*� ���

��#���� �����

@�;�$���*��#���82=91� ��

��������

� �� � ���′= =

@�;�$����*� ���

��#��*����(�'�*�+

J#��$ ���$�������� ���

1� ���

����� H@�

������ �������/��� ����*� ���

� �����

�������/*1����/�����'�#����

��'

;�����$������#��1����5

� � ���� ��ΟΣτ = ⇒

� ���� � � � H@ $� ���� ��⋅ − ⋅ − ⋅ = ⇒

� ��� � � H@ $�= ⋅ + ⋅ ���

.� � /� � � �8_ d 9

������@�1>≤ <≤�1>���8_ d 9

;����/�� �#������*�*�� �� P ���= �/���������#���#��'�$��������

������

@�2��$�����#�������(������ ��������(�'��������82=9����������(��*1�����(��� �8N<91

��������*�� �8@<9

,������5

� � ����ΟΣτ = ⇒

� �� � � � H@ $� ���� ��⋅ + ⋅ − ⋅ = ⇒

� ��� � � H@ $�= − ⋅ + ⋅ ����⇒

�� �� �= − +

��'���<�O��1�����5

.� � /� � � ���8_ d 9����#'��#���

@�+������$������,(��%&�K�/"�#��

���������1�8�� ��� �>91���5

� � ΟΣτ = ����

� �� � � � H@ $� ⋅ − ⋅ − ⋅ = ����

F (N)

(É)

x (m)

A

–0,2 +0,2

2

O

4

1

A Ã

È.É.T.

Ó

c.m.

0,5 m1 m

O

+ x

2

1

A

F

F

F Ìg

(+)

L�. �4M

1

A Ã

È.É.T.

Ó

c.m.

0,5 m1 m

O

– x

2

1

A

F

F

F Ìg

(+)

1

A Ã

È.É.T.

Ó

c.m.

0,5 m1 m

O

– x

2

1

A

F

FF Ìg

(+)

L�. ��M

���

��

��

��

��

��

�� �� �= +

�$A-��N�B�71

���5�� .� � /� � �− ���8_ d 9

@�1> ≤ < ≤ �1>��8_ d 9

;����/�� �#������*�*�� �� P ���= �/����%

�����$�#������� ��

2*���$��������*�*�� �� �� �= − + �(������ .�������(�'� �����*���#�������*�<�(��� 1

<�U�� �,���#�������������*�����#$��.���*��#���#��'�����*1������ �*��#���#'�*

;����/�� �#������*�8::9�������*��!$$(�/�%&

*�����/�� ��#������*��8:91�'��#�������

*�� ���

1��������������(��#���#'�*1�����%

���*��������������������*�� ���

���������

8�1�>1��9�H

3�� ���/����� #���������� 8:91� 8::9� ��� ����

$���������/���������$�#������� ��

2��Q�)���5

@�+��$(���(��� �/���#�����$�.��

+→ � 1� ���.��*�� ��� *�� �����

(��*���2=1��<�U���� ��<�O��1��������5

.� � /� � � ��8_ d 9

�������������@�1>≤ <≤ �1>���8_ d 9

6���82=9����������#����*����\�#�����*����]1

�����*��7m���.�����1��������������������*�*

�#��]→\������*��7m���������

@�+��$(���(��� �/���#��������%

����� +← �1����.��*�����*���%

�����(��*���82=91���<�U���� ��<�O��1

������5

.� � /� � �− ��8_ d 9

��������������������@�1> ≤ < ≤ �1>

F (N)

x (m)

A

–0,2 +0,2

2

4

(ÉÉ)

O

F

FF = – = 10x + 210x + 2

(N)

x (m)

A

AA

|Á| = 0,2 |Á| = 0,2

2

4

O

A ÃËÊ

È.É.Ô.+Á–Á

0,2 m0,2 m

O

AF

(+)1Ó

F (N)

x (m)

A

–Á O +Á

2

4

A ÃËÊ

È.É.Ô.–Á+Á

0,2 m0,2 m

O

AF

(+)1Ó

���

��

��

��

��

��

6#'������#���1��������*�*��#���\→]������*��7m

��.����������������/1��������*�*��#���]→\

���� �

6���82=9����������#���\�#����]1�*��� �*��7

m���.�����1���������������#�������82

=9

���������#���]���\1��������#������$������*����� �*��n���� �

;���(����*��#��� �*��(��� ��/����$���#��)�������"�*����� &���(����1����������/����

#����������8:9�����8::9���������$�������8+#����(*���� ���#Q*�������������������'��#��

*��7m9

1 �;��������������'�*����82=9�����*������*�������

�� �

�L O�

�= ��#��+

=�������

$�����#����*��� � �?��1�#��#�������*�J=���������������* �6�'�5

� �� � � �

� �L � & Q�

� �= +

�#����=���*����*����82

=9�����'������*������*

J#��$ ������������� ������� �����*�����������)���8G=���G

>���=�WX91�������������*�

����*���������������*��1�$*��$ �� � �& & � ���AB= =

;�J=�������������*1�����*��#�������*�<

=���2

=������������*

?��5��� / � . � �����

3 �J�$����#�����������'������*������*�����������������������*�� �;�����*

��'����������*�(��*� �� $ � �= = + 1���������*����*����82=9�#����*������*���������

�*$�� �?��1�����*������*��82=9���������#�����*����+�8�������91������82

>9�#��������

����*��*�(��*��<=����1>�G �8�� ��� �8D99

F (N)

x (m)

A

–Á +Á

2

4

O

���

��

��

��

��

��x

A

1

1

1

1

1

2

2

2

A

A

A

à Ðñéí ôçí êñïýóç

ÌåôÜ ôçí êñïýóçÃ

Ã

Ó

O

O

O

Ó

Ó

Ó

Ó

Ó

õ=0

õ=0

õ=0

t=0

È.É.Ô.

2

1

õ

õ

L�. �1M

4���*���������'�*���82=9�����*������*������5

� � �� � � �

� � �Q� Q� � &

� � �= + �����������������������������������������������8=9

�#��+=��������$�����#����*��� �

+#��8=95����� � ��Α = + ���� ���� � $ ���Α =

��'��P=�������������*��P������8���� �=*������*�91����

�������������������������>*�/��

+#������������/���������5

Q�� �!AB

�ω = = 1���� �� $ � �

���� $� �

= = =

?��5����

� �!,=

:�����5�� �7 :C= ���� ���� �� � � �C+ + = ��� ���� � �

� �� �C ���� ����C

π+ = ⇒ = ���� ���� /

�#� � �

/�

x

yy´

t=0 t

O

ð

1

1

è èx

���

��

��

��

��

��

J3 �� �:�����5�� 6D �� ( � $ � ���′ = Κ = ⋅ =

J#��$ � � ����� 2� ����#��1

������5

6D R R 6D%� ���� ����� �@ � ���� ����� � �@′ ′= ⇒ = + ⇒ = −

���� 2" � ��3

2*�$���+o��������5

@�*�$����*� ���

��#��*������

���$

@�������*�� H@�

�������

*�

@�*����$���*�*�� 6D 6D� �′ = ��

�*����o

J3 �;�$����+o����������� �������)�� M � > jX ������ ��

8+o9 � � G �p����$��4B����������� �1�����������2

�������)�� G � �1E WX

;�$����+o�����������2�����#������*�(��*�*�

$��������������)����1������������������*�����

� ���q;1���������'���

2*�(��*��� 1���$��������� ������ \ � E� �gG �����

�#��*���(������� S=� �1> G

� �,���*���*���� ����8q;91�#���*�$����*�7=�#�

������*����$��B4��*�$���+o1���(�������#���$����*

���������*�$����#��*����(�'�*���+-

� �A*�� P � � ���������� ���8q;9 �H�����/���*��.��'�*����*�*����������2�����������(��

�������'��$�����'��#�����������*�$���*������ ����� � �

�C B

�=

� �,������(��������� ��*���� ������#������(��������� ��*�����*�� �����������

������' 1�*�� �

�C B

�= -

: �H��������*����/�� �#������*�*��$����*��7=1�#��$������*�$����+o��#��*����$1���

�����*�*����*��#������/'�*�<������*���1��#��*�� �

�C

�= 1��'��*�� �C # � 1��#��A�*

#���$��� � ���2

B�����5��8+49 � = G1��@ #���AB ���������*������'�*���21�(��� �/���#�������' �;

$����+o������*�*�$������������'�*����21�����#�����)����

����

A BÃ

Ä

Z

H

K

A B

1m

2m

Ã

Ä

Z

H

KÈ.É.Ô.

È.Ö.Ì.

t = 0m

(+)

Ó

yy

A

1

2

F

Ômg

Ô

Mg

F

F

1

åë

åë

Æ

Ç

1

Á

���

��

��

��

��

��

@�*�$����*��#��*����(�'�*� ���

����*����+

J#��$ ���$�������� ���

1�H@�

������ελ�

��������������/�������*� ���

�(���������������/*1����/��

��'�#�������' �;�$��������#��5

( � � 6D%� # ���� ����� # � * �*�⇒ ���� ���� � �� # � * ��������������������������8=9

�I�%� =

� 6D� � � � � �⋅ = ⋅ + ⋅ ���� ������ � ����� ����= + ⇒ /� � ���4

+#��8=95�� �� ���= 1������*�/���*���������#'���#(�����

� �A������21�����*�� C # ��������� � $����K�#�OE

:�����5 ���� ( ����:C *7 �= 8>9

2*��! : A �������5��� � �

�@� ���� �����@ O( ���� ����( $���

OΣ = ⇒ = ⇒ = =

+#����� ��������5���� �� ( ( ���� ����� $���= − ⇒ = 1��� �� �!AB

Κω = =

A*�� C # �����������������*�(��*�(�#�*�$������5�

�7 �!

�=

+#��8>95�

( $��� �C�

= + ��"E;E ��

S�o��������#�������������' �1�$*��$ ����#���(��*�������������21�*�� �

�C B

�=

4�-��/���-

+����(�������*�� �

�C B

�= ��*��8D9������5

� � � �( $��� � $��� � $��� $���

� � � �

= + = + = = − B*��$ 5��5���O.

��-��/���-

o��������*��#���$�*��� �

��

:Τ = ���� ���� �

�� ����� ���� ����� ���� �C ���� ����

� �Τ = ⇒ Τ = ⇒ Τ = ⇒ /

"� �

B*��$ ���������)����1�����������*��(��*5��5���O.

������' �������$���������#����*�8�������/*9�5���"�#������ ���"�#�$���

,���*�������5�� �" ( $ ���= = �����*��� 6D� �= Κ ⋅ = Ν

8+/��*�� �

�C

� �

Τ= = ����� �������������*�(��*�/������� ����8! n M 99

���

��

��

��

��

��

;�$����+o�����#��5 ( � �%� ���� ����� � �′ ′= ⇒ = + 8�9

�I�%� = 1�������� � �� � � ����� ����� ���′ ′⋅ = ⋅ ⇒ = �������#��*��8�95�� ′.� � ���3

� ������5��!T

%� O(!C= = −

6�'��*��C�$��(�#�S�$�����5���

!TO

!C= Α ��� ���

!T���

!C= 1�����/���#�������'

:�����5��!

%� & %� !C

Κ = ⋅ = ⋅ =

4���������(����!

!C

���������*$������5

@�2��#�����*�! : A 9

@�����������������8(������#����91�$*��$ ���������)������$��*�����*�*�K

: �;�$����+o�����#��

� � � 6D���� ����� � H@ � � � ΑΣτ = ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ = ���� ���� � 6D� � ��= +

6�'�5�� 6D� O�=

?��5����� � � ��= + ⋅ ����

/� � 6� ���+ �������� � �� ��( ≤ ≤ ��"E;E

A*�� �

�C

�= 1�� �� ��� ���� ���= ⇒ =

A*�� �C �= 1�� �� $ ������ ���� +��= ⇒ =

F (Í)1

x (m)–0,2

80

40

O