Upload
others
View
12
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Οι τύποι που δίνουν τις λύσεις των βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι:
i) ημx = α ⇔ ημx = ημθ ⇔ η
2
2 ( )
x κπ θ
x κπ π θ
= +⎧⎪⎨⎪ = + −⎩
, κ∈ .
ii) συνx = α ⇔ συνx = συνθ ⇔ η
2
2
x κπ θ
x κπ θ
= +⎧⎪⎨⎪ = −⎩
, κ∈ .
iii) εφx = α ⇔ εφx = εφθ ⇔ x = κπ + θ , κ∈ . iv) σφx = α ⇔ σφx = σφθ ⇔ x = κπ + θ , κ∈ .
Βασική εφαρμογή 1 :
(i) ημx = 0 ⇔ ημx = ημ0 ⇔ ή
2 0
2 ( 0)
x κπ
x κπ π
= +⎧⎪⎨⎪ = + −⎩
⇔ ή
2
2
x κπ
x κπ+π
=⎧⎪⎨⎪ =⎩
⇔ ή
2
(2 +1)
x κπ
x κ π
=⎧⎪⎨⎪ =⎩
, κ∈
⇔ x = λπ , λ∈ .
(ii) συνx = 0 ⇔ συνx = συν 2π ⇔
2
2
ή
2
2
π
π
x κπ
x κπ
⎧ = +⎪⎪⎨⎪
= −⎪⎩
, κ∈ ⇔ x = λπ + 2π , λ∈ .
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στις εξισώσεις ημx = 0 και συνx = 0 οι δύο οικογένειες λύσεων μπορούν να
συμπτυχθούν σε μία. Βασική εφαρμογή 2:
(i) ημx = 1 ⇔ ημx = ημ 2π ⇔
2
2
ή
2
2 ( )
π
π
x κπ+
x κπ π
⎧ =⎪⎪⎨⎪
= +⎪⎩−
⇔ 2
2
ή
2
2
π
π
x κπ+
x κπ
⎧ =⎪⎪⎨⎪
= +⎪⎩
⇔ x = 2κπ + 2π , κ∈ .
(ii) συνx = 1 ⇔ συνx = συν0 ⇔ ή
2 0
2 0
x= kπ
x κπ=
+⎧⎪⎨⎪ = −⎩
⇔ x = 2κπ , κ∈Ζ .
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στις εξισώσεις ημx = 1 και συνx = 1 οι δύο οικογένειες λύσεων συμπίπτουν.
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΚΕΦ 1ο : TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
9ο Γεν. Λύκειο Περιστερίου 1 Γ. Καρτελιάς
1.2
Βασική εφαρμογή 3 :
(i) ημx = –1 ⇔ ημx = ημ(– 2π ) ⇔
2
2
ή
2
2 ( )
π
π
x κπ
x κπ π
⎧ = −⎪⎪⎨⎪
= + +⎪⎩
⇔ 2
32
ή
2
2
π
π
x κπ
x κπ
⎧ = −⎪⎪⎨⎪
= +⎪⎩
⇔ x = 2κπ – 2π , κ∈ .
(ii) συνx = –1 ⇔ συνx = συνπ ⇔ ή
2
2
x κπ π
x κπ π
= +⎧⎪⎨⎪ = −⎩
⇔ x = 2κπ + π , κ∈ .
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στις εξισώσεις ημx = –1 και συνx = –1 οι δύο οικογένειες λύσεων
συμπίπτουν.
____ΑΣΚΗΣΕΙΣ____ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις :
α) 2ημx = 3 β) 2 ⋅συνx = 1 γ) εφx = 1 δ) ημ2x = ημ(x-π2
) ε) εφ3x=εφx
2. Να λύσετε τις εξισώσεις :
α) ημx = συνx β) ημ2x = -ημ(x+π3
) γ) συν(x-π6
) = -συνx
δ) ημ2x = -συνx ε) εφ3x = -σφ4x
3. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) εφ22x - σφ22x = 0 β) συν4x - ημ42x = 0 γ) εφx = 3σφx δ) ημx = εφx ε) εφ2x - 2συν2x = 2ημ2x - 1 στ) 2ημx + εφx = 0
ζ) ημ23x + συν2(x+π3
) = 1
η) 1xx2=
σφεφ
θ) εφx⋅εφ3x = 1 ι) 4συν2x - 2( 3 2+ ) συνx + 6 = 0 ιa) εφ2x - ( 3 1+ ) εφx + 3 = 0
ιb) 2ημx = 5 + x
3ηµ
ιc) 1x1x1x1x1=
συν−−συν+συν−+συν+4. Να λύσετε τις εξισώσεις :
α) 2ημ(2x−π3
) = 1 στο διάστημα (π,2π)
β) ημx = 3 ⋅συνx στο διάστημα [0,2π]
γ) εφx + εφ2x = 0 στο διάστημα (0,π2
)
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ 1ο : TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
1.2 Τριγωνομετρικές εξισώσεις9ο Γεν. Λύκειο Περιστερίου 2
5. Να λυθεί η εξίσωση: ημ2x.συνx = 2 + συνx – 2ημ2x.
8. Να λυθεί η εξίσωση: 2συν2x + 3ημx = 0.
[
11. Να λυθεί η εξίσωση: (ημx+1)2 + (συνx–1)2 = 3.
14. Να λυθεί η εξίσωση: ημ4x – συν2x – 1 = 0.
π2
7. Να λύσετε την εξίσωση: ημx + συνx= 1
ημx .
π4]
.
1ν
17. Να λύσετε την εξίσωση 2συν3x – ημ2x + 2συνx + 2 = 0, στο διάστημα (–2π,π].
π3
6. Να λυθεί η εξίσωση: 1συν
xx
+ημ + συν1
xx+ημ
= 4.
4]
18. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = α.ημ ( )2
3x + β , x∈ , α > 0.
Η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α( 32π ,3) και η μέγιστη τιμή f είναι 5.
Να βρείτε: i) Τα α, β. ii) Την περίοδο της συνάρτησης. iii) Τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y = 4.
9. Να λυθεί η εξίσωση ημ2x + συνx = 0.
10. Να λυθεί η εξίσωση 3 ⋅ εφ 23x + 1 = 0, στο διάστημα (0,3π).
π4
12. Να λυθεί η εξίσωση: εφ2x = 4συν2x – 1.
13. Να λύσετε την εξίσωση σφ2x – 3 = 0 , στο διάστημα (–π,2π).
15 Να λύσετε την εξίσωση 2
1ημ x
= 2σφx , στο διάστημα [–π, π].
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 1.2 Τριγωνομετρικές εξισώσεις
9ο Γεν. Λύκειο Περιστερίου 3 Γ. Καρτελιάς
16. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις στο [0,π]
2 ημx συνx 2 συνx
3 ημθ 3 συνθ 0