خ¤خں خںخ›خںخڑخ›خ—خ،خ©خœخ‘ - edu.eap.gredu.eap.gr/pli/pli12/shmeiwseis/Oloklhrwmata_1.pdfآ  خ£د„خ± خµد€دŒآµخµخ½خ±

Embed Size (px)

Text of خ¤خں خںخ›خںخڑخ›خ—خ،خ©خœخ‘ -...

  • 1

    ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

    ΕΙΣΑΓΩΓΗ

    Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η

    “αντίστροφη πράξη” της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους

    υπολογισµού των ολοκληρωµάτων.

    Το σηµαντικότερο σηµείο της θεωρίας που εξετάζουµε είναι το εξής:

    Αν f (x) είναι συνάρτηση συνεχής στο [a, b] , τότε υπάρχει παραγωγίσιµη συνάρτηση

    g(x) µε την ιδιότητα g (x) f (x)′ = για κάθε x , οπότε το g(b) g(a)− ισούται µε τη διαφορά:

    το εµβαδόν του χωρίου {(x, y) : x [a,b], 0 y f (x)}∈ ≤ ≤

    µείον το εµβαδόν του χωρίου {(x, y) : x [a,b], f (x) y 0}∈ ≤ ≤ .

    ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

    Ας δούµε πρώτα πως ορίζουµε το εµβαδόν του χωρίου X που περιορίζεται από το

    γράφηµα µιας συνεχούς θετικής συνάρτησης f (x) ορισµένη στο διάστηµα [a, b] , και

    τις ευθείες x a= , x b= , y 0= , δηλ.

    X {(x, y) : x [a,b], 0 y f (x)}= ∈ ≤ ≤ .

    Χωρίζουµε το διάστηµα [a, b]σε n ίσα διαστήµατα µήκους b ax n −

    ∆ = το καθένα, ως

    εξής:

    [a, b] [a,a x] [a x,a 2 x] ... [a (n 1) x,a n x].= + ∆ ∪ + ∆ + ∆ ∪ ∪ + − ∆ + ∆

    Εύκολα µπορούµε να δούµε ότι το άθροισµα n

    n k k 1

    E f (x ) x =

    = ∆∑

  • 2

    είναι µια προσέγγιση του εµβαδού του X , όπου kx τυχόν σηµείο του k

    διαστήµατος, δηλ.

    kx [a (k 1) x,a k x]∈ + − ∆ + ∆ , για k 1,2,..., n= .

    Παρατηρούµε ότι όσο το n µεγαλώνει, τόσο το nE προσεγγίζει καλύτερα το εµβαδόν

    του χωρίου.

    Αποδεικνύεται ότι το nnlim E→+∞ υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός. Ο αριθµός

    αυτός είναι το εµβαδόν του χωρίου X .

    Αν η f (x) είναι τυχούσα συνεχής συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα [a, b] (όχι κατ’

    ανάγκη θετική), τότε, όταν το n τείνει στο +∞ , το nE τείνει στην τιµή E E E+ −= − ,

    όπου E+ το εµβαδόν του χωρίου

    X {(x, y) : x [a,b], 0 y f (x)}+ = ∈ ≤ ≤

    και E− το εµβαδόν του χωρίου

    X {(x, y) : x [a,b], f (x) y 0}− = ∈ ≤ ≤ .

    Την τιµή E την ονοµάζουµε ορισµένο ολοκλήρωµα της f (x) στο διάστηµα [a, b] και

    την συµβολίζουµε b

    a

    f (x)dx∫ .

    Στα επόµενα παραδείγµατα τα ολοκληρώµατα εξετάζονται βάσει του ορισµού, από

    τον γεωµετρικό υπολογισµό των εµβαδών των χωρίων X+ , X− .

    Παραδείγµατα.

    1. Το 1

    2

    0

    x dx∫ ισούται µε το εµβαδόν του χωρίου 2{(x, y) : 0 x 1, 0 y x }≤ ≤ ≤ ≤

    (την ακριβή τιµή του δεν µπορούµε προς το παρόν να υπολογίσουµε). ■

    2. 1

    1

    1 x, 1 x 0

    f (x) τότε f (x)dx= 3. x 1, 0 x 1 −

     − αν − ≤ ≤ Αν =   + αν < ≤

    ∫ ■

  • 3

    3. Για την σταθερή συνάρτηση f (x) 1= έχουµε b

    a

    f (x)dx b a= −∫ .■

    4. Αν f (x) x= και a < 0 < b τότε b 2 2

    a

    b af (x)dx E E 2 2+ −

    = − = −∫ .■

    5. a

    a

    f (x)dx 0.=∫ ■

    6. b

    a

    0dx 0.=∫ ■

    Ι∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

    Οι επόµενες ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµατος αποδεικνύονται σχετικά

    εύκολα µε τον ορισµό.

    Πρόταση. Αν f (x) , g(x) συνεχείς συναρτήσεις στο [a, b] , τότε

    1. b b b

    a a a

    [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx+ = +∫ ∫ ∫ ,

    2. b b

    a a

    kf (x)dx k f (x)dx=∫ ∫ , όπου k σταθερά,

    3. b c b

    a a c

    f (x)dx f (x)dx f (x)dx= +∫ ∫ ∫ , όπου a c b≤ ≤ ,

    4. m(b-a) ≤ b

    a

    f (x)dx∫ ≤ Μ(b-a), όταν m ≤ f(x) ≤ M , ∀ x ∈ [a, b]. ■

    Χάριν ενοποίησης του συµβολισµού µπορούµε να ορίσουµε και την ακόλουθη

    ιδιότητα:

  • 4

    Ορισµός. b

    a

    f (x)dx∫ = - a

    b

    f (x)dx∫ .

    Παραδείγµατα.

    1. 9

    3 2x

    3

    [2x 3sin(x 1) 7xe ]dx −

    − + −∫ = 9 9 9

    3 2x

    3 3 3

    2 x dx 3 sin(x 1)dx 7 xe dx − − −

    − + −∫ ∫ ∫ . ■

    2. Αν 0 x [0,1]

    f (x) 1 x x [1,2]

    αν ∈=  − αν ∈ , τότε

    2 1 2 2 2 2

    0 0 1 1 1 1

    f (x)dx f (x)dx f (x)dx 0 (1 x)dx 1dx xdx 1 3/ 2= + = + − = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (τα δύο

    τελευταία ολοκληρώµατα υπολογίστηκαν γεωµετρικά). ■

    3. 2

    1 x

    1

    2 e dx 2e −

    ≤ ≤∫ , διότι 2 2 20 x 11 e e e e= ≤ ≤ = για κάθε x [ 1, 1]∈ − . ■

    4. 2 2

    0 1 x x

    1 0

    e dx e dx 0.+ =∫ ∫ ■

    5. Αν f (x) συνεχής στο [a, b] , τότε t r t

    s s r

    f (x)dx f (x)dx f (x)dx= +∫ ∫ ∫ , για κάθε

    s, t, r [a, b]∈ .

    Απόδειξη. Όταν s r t≤ ≤ , είναι άµεσο. Όταν r s t≤ ≤ , τότε t t s t r

    s r r r s

    f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx= − = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Όµοια οι άλλες περιπτώσεις. ■

    ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

    Η επόµενη έννοια είναι πολύ χρήσιµη στον υπολογισµό του ορισµένου

    ολοκληρώµατος.

  • 5

    Ορισµός. Αόριστο ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x) ορισµένη σε ένα διάστηµα

    λέµε τις συναρτήσεις που η παράγωγός τους ισούται µε f(x). Αν g(x) είναι µία τέτοια

    συνάρτηση, δηλ. g (x) f (x)′ = , τότε κάθε άλλη θα έχει τη µορφή g(x) c+ όπου c

    κάποια σταθερά (δες επόµενη Σηµείωση). Τότε λέµε ότι το αόριστο ολοκλήρωµα της

    f (x) είναι g(x) c+ , και το συµβολίζουµε

    f (x)dx g(x) c= +∫ .

    Σηµείωση. Αν h(x) , g(x) διαφορίσιµες σε ένα διάστηµα, και h (x) g (x) f (x)′ ′= = για

    κάθε x , τότε υπάρχει σταθερά c έτσι ώστε h(x) g(x) c= + . ∆ιότι από το Θεώρηµα

    µέσης τιµής, αν µία συνάρτηση όπως η h(x) g(x)− έχει σταθερά µηδενική παράγωγο

    σε ένα διάστηµα τότε είναι σταθερή.

    Παραδείγµατα.

    1. sin(x)dx cos(x) c.= − +∫ Απόδειξη. ( cos(x)) sin(x)′− = . ■

    2. 3

    2 xx dx c 3

    = +∫ .

    Απόδειξη. 3 2

    2x 3x( ) x 3 3

    ′ = = . ■

    Μπορούµε τώρα να διατυπώσουµε το επόµενο σηµαντικό θεώρηµα που δικαιολογεί

    γιατί λέµε “η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης”.

    Θεώρηµα. Έστω f : [a, b] → R συνεχής συνάρτηση. Τότε η συνάρτηση x

    a

    F(x) f(t)dt= ∫ είναι παραγωγίσιµη και ισχύει F΄(x) = f(x), για x ∈ [a, b], δηλ.

    x

    a

    f (x)dx f(t)dt c= +∫ ∫ .

    Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι x0 ∈ (a, b). Αν x0 = a ή x0 = b, η απόδειξη µπορεί να

    συµπληρωθεί εύκολα από τον αναγνώστη.

  • 6

    Εξ ορισµού έχουµε

    0 00 h 0 F(x h) F(x )

    F (x ) lim h→

    + − ′ = .

    Υποθέτουµε κατ’ αρχάς ότι h > 0. Τότε F(x0 + h) - F(x0) = 0

    0

    x h

    x

    f (x)dx +

    ∫ .

    Ορίζουµε τα mh, Mh

Recommended

View more >