Τμήμα Μηχανικών Αομαισμού Τ.Ε.auto.teipir.gr/sites/default/files/optimization_mathima3_1.pdf · Επίλυση 3 ασκήσεων (μαθηματικό υπόβαθρο)…

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ- Επαναληπτικές ασκήσεις

- Καμπυλότητα συνάρτησης

- Γενικές συνθήκες NCM

Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

«Το έργο συγχρηματοδοτήθηκε από την Ελλάδα και την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) στο πλαίσιο της Πρωτοβουλίας για την Απασχόληση των Νέων» μέσω του Επιχειρησιακού

Προγράμματος «Ανάπτυξη Ανθρώπινου Δυναμικού, Εκπαίδευση και Διά Βίου Μάθηση».

ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης

ΔΙΔΑΣΚΩΝΧ. Τσιρώνης

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Επίλυση 3 ασκήσεων (μαθηματικό υπόβαθρο)…

Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα

Α =2 71 3

.

Να αναπτύξετε τη συνάρτηση

f1(x1,x2) = sin(5𝑥1) + ln(3𝑥2) − 4𝑥12𝑥2

3

σε σειρά Taylor 2ης τάξης γύρω από το σημείο (-1, 2).

Για x1x2 ≠ 0 βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης

f2(x1,x2) =2𝑥1 +3𝑥1

𝑥22 +

5𝑥2

𝑥1.

2


ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ«Το έργο συγχρηματοδοτήθηκε από την Ελλάδα και την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) στο πλαίσιο της Πρωτοβουλίας για την Απασχόληση των Νέων» μέσω του Επιχειρησιακού

Προγράμματος «Ανάπτυξη Ανθρώπινου Δυναμικού, Εκπαίδευση και Διά Βίου Μάθηση».

Γεωμετρία και σύνολα σημείων:

Το τμήμα που ενώνει κάθεΚυρτό → ζεύγος σημείων βρίσκεται

όλο εντός του συνόλου.

Μη κυρτό → Κάθε άλλο σύνολο.

Πράξεις ανάμεσα σε κυρτά σύνολα σημείων:

Τομή κυρτών συνόλων → Κυρτό σύνολο.

Ένωση κυρτών συνόλων → Κυρτό σύνολο???

Κυρτός συνδυασμός → Αν S ≤ Rn κυρτό σύνολο, Xι ∈ S και λι ≥ 0 (ι = 1,…, k) με σ𝜄=1

𝑘 𝜆𝜄 = 1, τότε και σ𝜄=1𝑘 𝜆𝜄Χ𝜄∈ S.



3

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΟΛΩΝ


Προγράμματος «Ανάπτυξη Ανθρώπινου Δυναμικού, Εκπαίδευση και Διά Βίου Μάθηση».ΜΑΘΗΜΑ ΤΡΙΤΟ

Είδη καμπυλότητας (ομοίως με των συνόλων): Η f είναι κυρτή όταν το τμήμα που ενώνει τυχαίο ζεύγος

σημείων δε βρίσκεται ποτέ κάτω από το γράφημά της. Η f είναι κοίλη στην αντίθετη περίπτωση (ποτέ πάνω).



4

ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ορισμός της κυρτότητας:Έστω κυρτό S ≤ Rn και f: S → R.

∀ (X1,X2)∈ S και∀ λ∈ [0,1], η f είναι κυρτή (κοίλη) αν f(λX1 + (1–λ)X2) ≤ (≥) λf(X1)+(1–λ)f(X2).Αν δεν ισχύει το =, το είδος της καμπυλότητας λέγεται γνήσιο.



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΩΤΟ

Kάθε συνάρτηση v: Rn → R λέγεται νόρμα αν είναι μη αρνητική στο Rn, θετική στο Rn – {0} και ικανοποιεί τις σχέσεις v(aX) =|a|v(X) και v(X+Υ) ≤ v(X) + v(Υ). Δείξτε ότι κάθε νόρμα είναι κυρτή συνάρτηση.

Για X1, X2 ∈ Rn και λ ∈ [0, 1], από τη 2η ιδιότητα της νόρμας:

v λX1 + 1 − λ X2 ≤ v λX1) + v( 1 − λ X2 .

Με βάση τώρα την 1η ιδιότητα της νόρμας:

v λX1 + 1 − λ X2 ≤ v λX1) + v( 1 − λ X2= λv X1) + 1 − λ v(X2 .

Ισχύει η ιδιότητα του κυρτού συνδυασμού → v(X) κυρτή.

5





f κοίλη (κυρτή) ↔ - f κυρτή (κοίλη).

Αν λι ≥ 0, σι=1k λι = 1 και fι κυρτές συναρτήσεις, τότε

f Χ) = σι=1k fι(X κυρτή και f σι=1

k λιXι ≤ σι=1k λιf(Xι).

Αν f1, f2 είναι κυρτές και f2 (γνησίως) αύξουσα, τότεη σύνθεση [f2◦f1](Χ) = f2[f1(Χ)] είναι (γνήσια) κυρτή.

f κυρτή ↔ 𝛻f X1 ∙ X2 − X1 ≤ f X2 − f X1 .

Αν ισχύει 𝛻2f ≥ 0 (> 0), τότε η f είναι (γνήσια) κυρτή.

Κάθε κρίσιμο σημείο (γνήσια) κυρτής συνάρτησης fείναι και (το μοναδικό) ολικό ελάχιστο της f.



6

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ



ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ

Δείξτε ότι οι συναρτήσεις f1 X = ln ex1 + ex2 καιf2 X = x1

2 − 4x1x2 + 5x22 − ln x1x2 είναι κυρτές.

Για την f1 αρκεί να δείξουμε ότι 𝛻2f1 ≥ 0:

𝛻2𝑓1 =𝑒𝑥1+𝑥2

(𝑒𝑥1+𝑒𝑥2)21 −1

−1 1֜ Ιδιοτιμές του 𝛻2𝑓1 ∝ 0, 2 ֜ 𝛻

2𝑓1 ≥ 0.

f2 = g3 + g4, με 𝑔3 𝑋 = 𝑥12 − 4𝑥1𝑥2 + 5𝑥2

2, 𝑔4 𝑋 = −ln 𝑥1𝑥2 .

Αρκεί να είναι οι g3, g4 κυρτές. Για τις ιδιοτιμές του 𝛻2𝑔3:

𝛻2𝑔3 =2 −4

−4 10֜ 𝛾3𝛪 − 𝛻

2𝑔3 =𝛾3 − 2 4

4 𝛾3 − 10= 𝛾3

2 − 12 𝛾3 + 4 = 0.

Θετικές ρίζες (s = 12, p = 4) → 𝛻2𝑔3 ≥ 0 → g3 κυρτή.

g5(y) = – ln(y) κυρτή (𝑔5′′ 𝑦 = 𝑦−2 > 0) → g4 κυρτή.

7





Υπάρχουν συναρτήσεις κυρτές σε υποσύνολο του συνόλου στο οποίο αναζήτουμε βέλτιστη λύση:

Σχεδόν κυρτή → Με σημεία καμπής εντός του συνόλου.

Ψευδοκυρτή → Με τα ακρότατα στα όρια του συνόλου.

Κριτήριο προσεγγιστικά κυρτών συναρτήσεων:

Για κάθε ζεύγος (X1, X2) του κυρτού συνόλου S ≤ Rn και κάθε

λ∈ [0, 1], η συνάρτηση f: S → R θα καλείται σχεδόν κυρτή αν ισχύει η σχέση f(λX1 + (1 – λ)X2) ≤ max{f(X1), f(X2)}. Στην

περίπτωση όπου ισχύει∇ f(X1)∙(X2-X1) ≥ 0, η f θα καλείται ψευδοκυρτή εάν συγχρόνως ισχύει ότι f(X2) ≥ f(X1).



8

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ



ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Εύρεση τοπικών ακροτάτων: Έλεγχος για κρίσιμα σημεία

σε όλο το σύνολο τιμών?

Εν γένει, αρκετά χρονοβόρο!

Στην περίπτωση που η f έχει συγκεκριµένες ιδιότητες, η διαδικασία απλοποιείται…

Κατηγορίες των συνθηκών βελτιστοποίησης. Ικανές: Aρκεί να ισχύουν για να υπάρχει το ακρότατο.

Aναγκαίες: Απαραίτητες προϋποθέσεις για το ακρότατο.

9





ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΝΟΤ CONSTRAINED

Οι συνθήκες ελαχιστοποίησης για προβλήματα που δεν έχουν περιορισμούς (NCM) δεν είναι όμοιες με αυτές για προβλήματα παρουσία περιορισμών (CM).

10



Στα προβλήματα χωρίς περιορισμούς, οι συνθήκες εκφράζονται με βάση τις παραγώγους της f.

Δυο αναγκαίες συνθήκες δείχνουν ότι σε σηµείο που είναιτοπικό ελάχιστο πρέπει να ισχύουν ορισμένες ιδιότητες.

Μια ικανή συνθήκη εξασφαλίζει την ύπαρξη ελαχίστου.

Οι συνθήκες χαρακτηρίζονται ως 1ης ή 2ης τάξης, ανάλογα με την τάξη της εμπλεκόμενης παραγώγου.



ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ

Αναγκαία συνθήκη ΝCM 1ης τάξης:Έστω f: S ≤ Rn → R συνεχώς διαφορίσιµη. Αν το X*∈ S

είναι τοπικό ελάχιστο της f, τότε ισχύει 𝛻𝑓(X*) = 0.

Αναγκαία συνθήκη ΝCM 2ης τάξης:Έστω f: S ≤ Rn → R συνεχώς διαφορίσιµη με παραγώγους 1ης

και 2ης τάξης. Αν το X*∈ S είναι τοπικό ελάχιστο της f, τότε 𝛻𝑓(X*) = 0 και ο πίνακας 𝛻2𝑓(X*) είναι θετικά ημιορισμένος.

Ικανή συνθήκη ΝCM 2ης τάξης:Έστω f: S ≤ Rn →R συνεχώς διαφορίσιµη με παραγώγους 1ης

και 2ης τάξης, και X*∈ S. Αν 𝛻𝑓(X*) = 0 και ο 𝛻2𝑓(X*) είναι θετικά ημιορισμένος, τότε το X* είναι τοπικό ελάχιστο της f.

11





ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΘΗΚΩΝ

Με χρήση του θεωρήματος Sylvester:Αν η f: S ≤ Rn → R έχει το κρίσιμο σημείο X*∈ Sκαι Dii είναι η (i,i)-υποορίζουσα του 𝛻

2𝑓(X*), τότε:- Dii(X*) > 0 για κάθε i → Χ* τοπικό ελάχιστο.- (-1)i∙Dii(X*) > 0 για κάθε i → X* τοπικό μέγιστο.- Dii(X*) 0 ως προς το i → X* σημείο καμπής.- Dii(X*) = 0 για κάποιο i → Τι ισχύει για το X*???

Εύρεση ακροτάτων με χρήση μόνο των 𝛻𝑓, 𝛻2𝑓!!! Αν η f είναι κυρτή, για να βεβαιώσουμε την ύπαρξη ενός

ελαχίστου αρκεί το πρώτο τμήμα της ικανής συνθήκης.

Υπενθύμιση: f κυρτή → Kρίσιμο σημείο = Oλικό ελάχιστο.

12





ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΤΡΙΤΟ

Να ελαχιστοποιηθεί η g X = x12 − x1x2 + x2

2 − 3x2.

Οι αναγκαίες συνθήκες 1ης τάξης:𝜕𝑔

𝜕𝑥1= 2𝑥1 − 𝑥2 = 0 ,

𝜕𝑔

𝜕𝑥2= −𝑥1 + 2𝑥2 − 3 (= 0).

Λύση συστήματος → Χ*=(x1*,x2*)=(1,2).

Ικανή συνθήκη (υποορίζουσες του 𝛻2𝑔):

𝛻2𝑔 =

𝜕

𝜕𝑥1

𝜕𝑔

𝜕𝑥1

𝜕

𝜕𝑥1

𝜕𝑔

𝜕𝑥2𝜕

𝜕𝑥2

𝜕𝑔

𝜕𝑥1

𝜕

𝜕𝑥2

𝜕𝑔

𝜕𝑥2

=2 −1

−1 2.

D11 = D22= 2 > 0 → Χ* τοπικό ελάχιστο.

13







14

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΖΗΤΗΣΗ

Επαναληπτικές ασκήσεις

Καμπυλότητα συνάρτησης

Γενικές συνθήκες NCM



Documents

Τμήμα Μηχανικών Αομαισμού Τ.Ε.auto.teipir.gr/sites/default/files/optimization_mathima3_1.pdf · Επίλυση 3 ασκήσεων (μαθηματικό υπόβαθρο)…